UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE HONDURAS
Facultad de Ciencias - Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Pura
I Periodo 2018
MM-411 Ecuaciones Diferenciales
Guía de Ejercicios
II Parcial
1. Obtenga la solución general de la ecuación diferencial dada.
(a) y”0 − 4y00 − 5y0 = 0
(j) y(4) − 2y00 + y = 0
(b) y”0 − y = 0
0
00
(k) 16
0
(c) y” − 5y + 3y + 9y = 0
(d) y”0 + 3y00 − 4y0 − 12y = 0
(l)
d3 u d2 u
+ 2 − 2u = 0
dt3
dt
3
d x d2 x
− 2 − 4x = 0
(f)
dt3
dt
(g) y”0 + 3y00 + 3y0 + y = 0
(e)
(m)
d2 y
d4 y
+ 9y = 0
+
24
dx2
dx4
d4 y
d2 y
−
7
− 18y = 0
dx2
dx4
d5 u
d4 u
d3 u
d2 u du
+ 5u = 0
+
5
−
2
−
10
+
dr
dr5
dr3
dr2
dr4
(h) y”0 − 6y00 + 12y0 − 8y = 0
d5 x
d4 x
d2 x
d3 x
−
7
+
8
=0
+
12
ds5
ds3
ds2
ds4
(o) y000 + 12y” + 36y0 = 0, y(0) = 0, y0 (0) = 1, y00 (0) = −7
(i) y(4) + y000 + y” = 0
(p) y000 + 2y” − 5y0 − 6y = 0, y(0) = y0 (0) = 0, y00 (0) = 1
(n) 2
2. Encuentre una ecuación diferencial homogénea con coeficientes constantes cuya solución general es la dada
(a) y = c1 + c2 e2x cos(5x ) + c3 e2x sin(5x )
(b) y = c1 + c2 x + c3 e8x
(c) y = c1 cos x + c2 sin x + c3 cos(2x ) + c4 sin(2x )
1
(d) Dos raíces de una ecuación auxiliar cúbica son coeficientes reales son m1 = − y m2 = 3 + i. Cuál es la ecuación
2
diferencial lineal homogénea correspondiente?
1
es una raíz de su ecuación auxiliar
2
(f) Determine la solución general de y000 + 6y00 + y0 − 34y = 0, si se sabe que y1 = e−4x cos x es una solución
(e) Determine la solución general de 2y000 + 7y00 + 4y0 − 4y = 0, si m1 =
(g) Para resolver y(4) + y = 0, es necesario encontrar las raíces de m4 + 1 = 0. Este es un problema trivial si se utiliza un
2
SAC, pero también se resuelve a mano trabajando con números complejos. Observe que m4 + 1 = m2 + 1 − 2m2 .
Cómo ayuda esto?, resuelva la ecuación diferencial.
3. Resuelva la ecuaciones diferenciales dada usando coeficientes indeterminados.
(a) y” + 2y0 + y = sin x + 3 cos 2x
(b) y000 − 6y00 = 3 − cos x
(c) y(4) + 2y00 + y = ( x − 1)2
(d) y(4) − y00 = 4x + 2xe− x
(e)
y00
+ 4y = −2,
y
π
8
!
1
= ,
2
y0
(f) 2y00 + 3y0 − 2y = 14x2 − 14x − 11,
(g) 5y00 + y0 = −6x,
y (0) = 0 ,
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!
=2
y (0) = 0 ,
y 0 (0) = 0
y0 (0) = −10
(h) y000 − 2y00 + y0 = 2 − 24e x + 40e5x ,
(i) y000 + 8y = 2x − 5 + 8e−2x ,
π
8
1
5
9
,
y 0 (0) = ,
y00 (0) = −
2
2
2
0
00
y (0) = 3,
y (0) = −4
y (0) =
y(0) = −5,
II Parcial, I Período 2018
4. Resuelva cada ecuaciones diferenciales por medio de variación de parámetros.
(a) y” − 2y0 + y = et arctan t
(b) y00 + 2y0 + y = e−t ln t
√
(c) 2y00 + 2y0 + y = 4 x
√
(d) 4y00 − 4y0 + y = e x/2 1 − x2
(e) y00 + 2y0 − 8y = 2e−2x − e− x ,
− 4y0
y (0) = 1 ,
y 0 (0) = 0
+ 4y =
y (0) = 1 ,
y 0 (0) = 0
(g) Las funciones que se indican son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial homogénea asociada
(0, +∞). Determine la solución general de la ecuación no homogénea
(f)
y00
(12x2
− 6x )e2x ,
x2 y00 + xy0 + y = sec(ln x ); y1 = cos(ln x ), y2 = sin(ln x )
(h) Analice como puede combinarse los métodos de coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver la
ecuación diferencial. Desarrolle sus ideas.
i. 3y00 − 6y0 + 30y = 15 sin x + e x tan 3x
ii. y00 − 2y0 + y = 4x2 − 3 + x −1 e x
5. Resuelva la ecuaciones diferenciales de Cauchy-Euler por variación de parámetros.
(a) x2 y00 − 2xy0 + 2y = x4 e x
(b) x2 y00 + xy0 − y = ln x
(c) x2 y00 + xy0 − y =
(d) 4x2 y00 + y = 0,
1
x+1
y(−1) = 2 ,
(e) x2 y00 − 4xy0 + 6y = 0,
y0 (−1) = 4
y(−2) = 8 ,
y0 (−2) = 0
(f) Use la sustitución x = et para convertir la ecuación de Cauchy-Euler en una ecuación diferencial de coeficientes constantes y luego resuelvala.
i. x2 y00 + 9xy0 − 20y = 0
ii. x2 y00 − 9xy0 + 25y = 0
iii. x2 y00 + 10xy0 + 8y = x2
6. Modelos Lineales: Problemas de valor inicial
(a) Una masa que pesa 64 libras alarga 0.32 pies un resorte. Al inicio la masa se libera desde un punto que está 8 pulgadas
arriba de la posición de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
Encuentre la ecuación del movimiento.
Cuál es la amplitud y el periodo del movimiento?
Cuántos ciclos completos habrá realizado la masa al final de 3π segundos?
En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por segunda vez?
En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos en cualquier lado de la posición de equilibrio?
Cuál es la posición de la masa en t = 3 segundos?
Cuál es la velocidad instantánea en t = 3 segundos?
Cuál es la aceleración en t = 3 segundos?
Cuál es la velocidad instantánea en los momentos en que la masa pasa por la posición de equilibrio?
En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio?
En qué instantes la masa está 5 pulgadas abajo de la posición de equilibrio apuntando en dirección hacia arriba?
(b) Una masa de 1 slug se suspende de un resorte cuya constante es 9 lb/pie. Inicialmente
√ la masa se libera desde un punto
que está 1 pie arriba de la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 3 pies/s. Determine los instantes
en los que la masa se dirige hacia abajo a una velocidad de 3 pies/s.
(c) Una masa de 1 slug está unida a un resorte cuya constante es 5 lb/pie. Al inicio la masa se libera 1 pie abajo de la posición
de equilibrio con una velocidad descendente de 5 pies/s y el movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece
una fuerza de amortiguamiento igual a dos veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación de movimiento si una
fuerza externa igual a f (t) = 12 cos(2t) + r sin(2t) actúa sobre la masa.
(d) Bajo algunas circunstancias, cuando dos resortes paralelos, con constantes k1 y k2 , soportan una sola masa, la constante
4k1 k2
de resorte efectiva del sistema se expresa como k =
. Una masa que pesa 20 libras estira 6 pulgadas un resorte y
k1 + k2
2 pulgadas otro resorte. Los resortes se unen a un soporte rígido común y luego a un placa metálica. Como se muestra
en la figura, la masa se une al centro de la placa en la configuración del resorte doble. Determine la constante de resorte
efectiva de este sistema. Encuentre la ecuación de movimiento si la masa se libera inicialmente desde la posición de
equilibrio con una velocidad descendente de 2 pies/s.
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II Parcial, I Período 2018
(e) Una masa que pesa 24 libras alarga 4 pies un resorte. El movimiento posterior toma lugar en un medio que ofrece
una fuerza de amortiguamiento igual a β ( β > 0) veces la velocidad instantánea. Si al inicio la masa
√ se libera desde
la posición de equilibrio con una velocidad ascendente de 2 pies/s, muestre que cuando β > 3 2 la ecuación de
movimiento es
2p 2
−3
e−2βt/3 sinh
β − 18t
x (t) = p
2
3
β − 18
(f) Una masa m está unida al extremo de un resorte cuya constante es k. Después de que la masa alcanza el equilibrio, su
soporte empieza a oscilar verticalmente respecto a una recta horizontal L de acuerdo con una fórmula h(t). El valor de
h representa la distancia en pies medida desde L. Vea la Figura
i. Determine la ecuación diferencial de movimiento si el sistema entero se mueve en un medio que ofrece una fuerza
de amortiguamiento igual a β (dx/dt).
ii. Resuelva la ecuación diferencial del inciso anterior, si el resorte se alarga 4 pies con una masa que pesa 16 libras y
β = 2, h(t) = 5 cos t, x (0) = x 0 (0) = 0.
(g)
i. Muestre que la solución del problema con valores iniciales
d2 x
+ ω 2 x = F0 cos γt,
dt2
x (0) = 0,
x 0 (0) = 0
F0
(cos γt − cos ωt)
− γ2
F0
ii. Evalue lim 2
(cos γt − cos ωt)
γ → ω ω − γ2
iii. Compare el resultado obtenido en el inciso anterior con la solución obtenida usando la variación de parámetros
cuando la fuerza externa es F0 cos ωt.
es x (t) =
(h)
ω2
i. Muestre que x (t) dada en el primer inciso del problema anterior se puede escribir de la forma
− 2F0
1
1
x (t) = 2
sin (γ − ω )t sin (γ + ω )t
2
2
2
ω −γ
1
ii. Si se define e = (γ − ω ), muestre que cuando e es pequeña una solución aproximada es
2
F0
sin et sin γt
x (t) =
2eγ
Cuando e es pequeña, la frecuencia γ/2π de la fuerza aplicada es cercana a la frecuencia ω/2π de vibraciones
libres. Cuando esto ocurre, el movimiento es como se indica en la figura. Las oscilaciones de esta clase se llaman
pulsaciones y se deben al hecho de que la frecuencia de sin et es bastante pequeña en comparación con la frecuencia
de sin γt. Las curvas punteadas o envoltura de la gráfica de x (t), se obtienen de las gráficas de ±( F0 /2eγ) sin et.
Use un programa de graficación para trazar las gráficas con varios valores de F0 , e y γ para comprobar la gráfica
de la figura
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II Parcial, I Período 2018
(i)
i. Muestre que la solución general
d2 x
dx
+ 2λ + ω 2 x = F0 sin γt
2
dt
dt
q
p
F
0
es x (t) = Ae−λt sin
ω 2 − λ2 t + φ + p
sin(γt + θ ), donde A = c21 + c22 y los ángulos de
(ω 2 − γ2 )2 + 4λ2 γ2
fase φ y θ están, respectivamente, definidos por sin φ = c1 /A, cos φ = c2 /A y
− 2λγ
sin θ = p
2
(ω − γ2 )2 + 4λ2 γ2
ω 2 − γ2
cos θ = p
(ω 2 − γ2 )2 + 4λ2 γ2
ii. La solución del inciso anterior tiene la forma x (t) = xc (t) + x p (t). La inspección muestra que xc (t) es transitoria y
que por lo tanto para valores grandes de tiempo, la solución se aproxima mediante x p (t) = g(γ) sin(γt + θ ), donde
F0
g(γ) = p
(ω 2 − γ2 )2 + 4λ2 γ2
Aunque la amplitud g(γ) de x p (t) está acotada conforme t → ∞, demuestre que las oscilaciones máximas ocurrirán
√
en el valor γ1 = ω 2 − 2λ2 . Cuál es el valor máximo de g? El número sqrtω 2 − 2λ2 /2π se dice que es la frecuencia
de resonancia del sistema
iii. Cuando F0 = 2, m = 1, k = 4, g se convierte en
2
g(γ) = p
(4 − γ2 )2 + β2 γ2
Construya una tabla de valores de γ1 y g(γ1 ) que corresponden a los coeficientes de amortiguamiento β = 2, β =
1
3
1, β = y β = . Usando un programa de graficación obtenga las gráficas de g que corresponden a estos co4
4
eficientes de amortiguamiento. Use los mismos ejes de coordenadas. Esta familia de gráficas se llama curva de
resonancia o curva de respuesta de frecuencia del sistema. A qué valor se aproxima γ1 conforme β → 0?. Qué
sucede con la curva de resonancia conforme β → 0
(j) Determine la carga en el capacitor y la corriente en el circuito LRC. Determine la carga máxima en el capacitor
3
1
i. L = h, R = 10Ω, C =
f , E(t) = 300V, q(0) = 0C, i (0) = 0A
5
30
ii. L = 1h, R = 100Ω, C = 0.0004 f , E(t) = 30V, q(0) = 0C, i (0) = 2A
iii. Encuentre la carga y la corriente de estado estable en un circuito LRC en serie cuando L = 1h, R = 2Ω, C =
0.25 f , E(t) = 50 cos t V
iv. Demuestre que siL, R, C y E√
0 son constantes, entonces la amplitud de la corriente estado estable del ejemplo 10 es
una máximo cuando γ = 1/ LC. Cuál es la amplitud máxima?
7. Resuelva el sistema de ecuaciones diferenciales dado, por eliminación
(a)
(b)
(c)
dx
= 2x − y
dt
dy
=x
dt
dx
= 4x + 7y
dt
dy
= x − 2y
dt
dx
= −−y+t
dt
dy
= x−t
dt
(d)
(e)
D2 + 5 x − 2y = 0
−2x + D2 + 2 y = 0
(f) ( D + 1) x + ( D − 1) y = 2
3x + ( D + 2) y = −1
(g)
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dx
− 4y + 1
dt
dy
+x =2
dt
d2 x
= 4y + et
dt2
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(h)
d2 y
= 4x − et
dt2
(p) D2 x − 2 D2 + D y = sin t
x + Dy = 0
d2 x dy
+
= −5x
d
dt2
dx dy
+
= − x + 4y
dt
d
(q) Dx = y
Dy = z
Dz = x
(i) Dx + D2 y = e3t
( D + 1) x + ( D − 1) y = 4e3t
(j) D2 x − Dy = t
( D + 3) x + ( D + 3) y = 2
(k)
(r) Dx + z = et
( D − 1) x + Dy + Dz = 0
x + 2y + Dz = et
(s)
D2 − 1 x − y = 0
( D − 1) x + Dy = 0
(l) 2D2 − D − 1 x − (2D + 1) y = 1
( D − 1) x + Dy = −1
dx
dy
− 5x +
= et
dt
dt
dx
dy
= 5et
2 −x+
dt
dt
(t)
(m) 2
(u)
dx dy
+
= et
dt
dt
d2 x dx
− 2+
+x+y = 0
dt
dt
(n) 2
(v)
(o) ( D − 1) x + D2 + 1 y = 1
D 2 − 1 x + ( D + 1) y = 2
dx
= 6y
dt
dy
= x+z
dt
dz
= x+y
dt
dx
= −x + z
dt
dy
= −y + z
dt
dz
= −x + y
dt
dx
= −5x − y
dt
dy
= 4x − y
dt
x (1) = 0, y(1) = 1
dx
= y−1
dt
dy
= −3x + 2y
dt
x (0) = 0, y(0) = 0
8. Encuentre dos soluciones en forma de series de potencias de la ecuación diferencial dada en torno al punto ordinario x = 0.
En torno al punto ordinario x = 1
(a) y00 − xy = 0
(b) y00 − 2xy0 + y = 0
(c) ( x − 1)y00 + y0 = 0
(d) ( x2 + 2)y00 + 3xy0 − y = 0
(e) ( x2 + 1)y00 − 6y = 0
9. Si x = 0 es un punto singular regular de la ecuación diferencial dada. Demuestre que las raíces iniciales de la singularidad
no difieren por un entero. Use el método de Frobenius para obtener dos soluciones en serie linealmente independientes en
torno a x = 0. Forme la solución general en (0, ∞)
(a) 2xy00 − y0 + 2y = 0
1
(b) 4xy00 + y0 + y = 0
2
(c) x2 y00 − xy0 + ( x2 + 1)y = 0
(d) 9x2 y00 + 9x2 y0 + 2y = 0
(e) 2x2 y00 + 3xy0 + (2x − 1)y = 0
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