INTEGRAL TAK WAJAR
KALKULUS 2
Integral Tak Wajar
b
Dalam mendefinisikan integral tentu  f ( x)dx sebagai limit jumlah
a
Reimann ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
a. Batas pengintegralan berhingga
b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka
integral tentu disebut integral tak wajar
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga
b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga
a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga
Definisi :
b
(i)
b
 f ( x)dx  lim  f ( x)dx

(ii)
a  

a
b
 f ( x)dx  lim f ( x)dx
b 
a
a
Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar
disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen
(iii)

c



 f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx
c
c
b
 lim  f ( x ) dx  lim  f ( x ) dx
a  a
b  c
c



c

Jika  f ( x ) dx dan  f ( x ) dx konvergen,maka  f ( x ) dx konvergen
Contoh Periksa kekonvergenan ITW

2

x
dx
a.  xe
4
b.
0
dx

2
  ( 2x  1)
c.

dx

2
  ( x  2x  5 )
Jawab :
a.
b

2
 x dx  lim xe  x 2 dx  lim   1 e  x b 
xe


b  
b  
4
2


4
4
2
 lim 
b 
1  b 2
 1
 e 16   e 16
e
2
 2
1 16
Jadi integral tak wajar konvergen ke 2 e
0 dx
0

0
1
dx


 lim 
 lim  
b. 

b


2 b
2
 2(2 x  1) b 
  (2 x  1)
b (2 x  1)
1
 1
1
 
 lim  
b  2
2(2b  1)  2

Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2
1


dx
dx
dx


c. 
 2
 2
2
  ( x  2 x  5 )  x  2 x  5 1 x  2 x  5

 
1

b
dx
dx
 lim  2
 lim  2
a   x  2 x  5
b  x  2 x  5
1
a
1
b
1
1
tan 1  x21   lim tan 1  x21 
a   2
b  2
a
1
 lim




1
1
1
1 a 1
 lim tan 1  tan  2   lim tan 1  b21   tan 1 1
a   2
b  2
1      1    

   
      
2  4  2  2  2 4 
2
Jadi integral tak wajar konvergen ke

2
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
  dx
a. 
2
0 4 x
0
b.  e 4 x dx


x dx
e. 
2 2
2 (1  x )
f.

dx

2
  (x  16)
 dx
c. 
1 x
 xdx
g. 
x2
 e
d.
1
1
e x dx
 x2


dx
h. 
2  2 x  17
x

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga
(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang
Jika kontinu pada [a,b) dan lim f ( x )   maka
x b
b
t
a
t b a
 f ( x )dx  lim  f ( x )dx
Jika kontinu pada (a,b] dan lim f ( x )   maka
x a
b
b
a
s a s
 f ( x )dx  lim  f ( x )dx
Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan
konvergen, sebaliknya dikatakan divergen
(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan
lim f ( x)   maka
x c
c
b
b
t
b
 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t  c a
s  c s
a
a
c
II
I
b
Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar
 f ( x)dx
a
konvergen.
Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
1
ln x
 x dx
0
Jawab :
Karena fungsi f ( x ) 
maka
ln x
ln x
 
tidak kontinu di x=0 dan lim
x
x
x 0
1
1
ln x
ln x
1
2 1
dx

dx
lim
x
lim
(ln
)

0 x
t 0   x
t 0 2
t
t

 lim
t0


1
0  (ln t ) 2   (  ) 2  
2
Integral tak wajar divergen
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
2
x
 1  x dx
0
Jawab
Fungsi f ( x) 
2
x
x
diskontinu di x=1 dan lim

1 x
x 1 1  x
1
2
x
x
x
dx

dx

0 1  x
0 1  x 1 1  x dx
2
s
Karena
x
x
dx  lim 
dx
t 1
1 x
1 x
t
0
 lim 
s 1
s
x
s
dx  lim  x   ln | 1  x | 0  lim  s  ln | 1  s |  0  
s 1
1 x
s 1
0
lim 
s 1
2
x
dx divergen
maka integral tak wajar 
1 x
0
Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan
dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan
integran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contoh
berikut
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

x
 1  x dx
0
Jawab :
Integral diatas merupakan integral tak wajar karena
- batas atas integral tak hingga
- integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selang
pengintegralan
sehingga

1
2

x
x
x
x
dx 
dx 
dx
 1  x dx 
1 x
1 x
1 x
0
0
1
2




2
s
x
x
x
dx  lim 
dx
dx  lim 
 lim 
b  2 1  x
s 1 0 1  x
t 1 t 1  x
Karena
s
x
s
lim 
dx  lim  x   ln | 1  x | 0  lim  s  ln | 1  s |  0  
s 1
s 1
s 1
1 x
0

x
dx divergen
1

x
0
Maka integral tak wajar 
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
a.
0
1 dx
 13
1 x
1
x
b.  xe dx
1
x dx
f.
e.  2
x  7x  10
2
1
x dx
2 x 2  1
1 dx
c. 
1 x
1
d.
g.

1 x2
0
1
x dx
2 x 2  1
dx
3
h.
dx
0 x ln x
Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1
x dx
2 x 2  1
a.
0
1
x dx
xe
b. 
1
x dx
f.
e.  2
x  7x  10
2
1 dx
c. 
1 x
1
x dx
2 x 2  1
g.
1 dx
 13
1 x
1
d.
dx

1 x2
0
3
h.
dx
0 x ln x