Combinatòria
CONCEPTOS BASICOS DE LA TEORIA
DE LA PROBABILIDAD
Estadística I
2016-17
2019-20
COMBINATÒRIA
• Permutacions: diem permutacions ordinàries de m
elements, als grups que poden formar-se amb els m
elements de manera que entrin tots en cada grup i que
dos grups siguin diferents perquè varia l'ordre en què
estan col·locats els elements
• En general la fórmula per trobar el número de
permutacions ordinàries és :
Pm=m(m-1)(m-2)(m-3)..........1= m!
• Exemple: Volem col·locar quatre llibres diferents de totes
les maneres possibles en un prestatge. Els llibres els
senyalem amb les lletres : { a, b, c, d }.
P4,= 4.3.2.1 = 24
• Permutacions amb repetició: diem
permutacions amb repetició de m elements, als
grups que poden formar-se amb els m elements,
dels quals n'hi ha que estan repetits un cert
número de vegades.
• En general la fórmula per trobar el número de
permutacions amb repetició és :
𝑛,𝑙,𝑘…
𝑃𝑅𝑚
=
𝑚!
𝑛!𝑙!𝑘!
• Exemple: amb les lletres de la paraula
"CASA".Quantes ordenacions diferents podem
escriure?
• Exemple: De quantes maneres pots col·locar 8
llibres, si tens 3 llibres repetits del "Tirant lo
blanc" i dos repetits de " La plaça del Diamant"?
• Combinacions ordinàries: diem combinacions ordinàries
de m elements agafats de n en n, als grups que es poden
formar de n elements amb els m, de manera que dos
grups siguin diferents si varia la natura d'algun dels seus
elements.
• En general la fórmula de les combinacions ordinàries és:
𝐶𝑚,𝑛
𝑉𝑚,𝑛
=
𝑃𝑛
• Hi ha una altra notació per a les combinacions : 𝐶𝑚,𝑛 =
𝑚
𝑛
• Exemple: una oficina disposa de 3 llocs de
treball iguals que pot cobrir amb 6 persones. De
quantes i quines maneres pot omplir-los si
numerem les persones de l'1 al 6?
C 6, 3 = 20
• Exemple: quantes Lottos 6/49 hauríem de fer
per encertar segur la combinació guanyadora ?
Dels 49 números n'hem de triar 6, però l'ordre en què els agafem no
importa, només la natura dels nombres escollits. Per tant :
• Combinacions amb repetició: diem combinacions amb
repetició de m elements agafats de n en n, als grups que es
poden formar de n elements amb els m, de manera que dos
grups siguin diferents si varia la natura d'algun dels seus
elements. Els elements es poden repetir
𝑛
𝐶𝑅𝑚
𝑚+𝑛−1 !
𝑚+𝑛−1
=
=
𝑛
𝑛! 𝑚 − 1 !
• Exemple: Quaranta persones compren números en una
tómbola en la que es rifen 5 premis. De quantes maneres es
poden repartir?. Els premis són iguals i a una persona li pot
tocar més d’un premi:
CR40,5=(40+5-1)!/5!(40-1)!=44!/5!·39!=1.086.008
• Variacions ordinàries :diem variacions ordinàries de m
elements diferents, agafats de n en n, als grups que es poden
formar de n elements diferents amb els m, de manera que dos
grups siguin diferents tant si tenen algun element diferent o
aquests estan col·locats en ordre diferent
• En general la fórmula per trobar el número de variacions
ordinàries és
Vm,n=m(m-1)(m-2)(m-3)..........m-n+1
• Exemple: Ens interessa saber quantes i quines banderes
tricolors es poden formar amb els colors: { blau, verd, rosa,
negre }. Per saber quantes utilitzarem la fórmula anterior:
V4, 3 = 4.3.2 = 24
• Variacions amb repetició: Diem variacions amb repetició de m
elements diferents agafats de n en n, als grups que es poden
formar de n elements amb els m, de manera que en els grups
formats els elements es poden repetir i, que dos grups siguin
diferents tant si varia l'ordre, la naturalesa d'algun element o
el número de vegades que estan repetits els elements.
• En general la fórmula per trobar el número de variacions amb
repetició és :
VRm,n=m.m.m.m..........m
n vegades
• Exemple: volem saber el número de grups de tres elements
que es poden formar amb els elements {1, 2 }, de manera que
en cada grup hi poden haver elements repetits
– VR 2, 3 = 2.2.2 = 8
Grado en ADE / MKT
ESTADÍSTICA I
T4 Probabilidad
© Equipo docente Estadística 2019-20
2016/17
1. Experimentos aleatorios y eventos
Experimento aleatorio (resultado no previsible) vs.
experimento determinista (resultado previsible)
El espacio muestral, E, es el conjunto de todos los
resultados posibles que se pueden obtener al realizar un
experimento aleatorio. Cada uno de estos resultados es un
suceso o evento elemental (a, b, c, ...)
Un evento/suceso (A, B, C, ...) es cualquier subconjunto de
E. El conjunto de eventos/sucesos, S = Partes(E) incluye E
(evento/suceso seguro) y Ø (evento/suceso imposible)
Ejemplo (lanzamiento de un dado):
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
S = {Ω, Ø, {1}, {2}, …, {1,2}, {1,3}, …, {1,2,3}, …, {1,2,3,4}, …}
2. Teoría de conjuntos
Si A y B son dos eventos, entonces:
A U B es el evento que se cumple cuando A o B (unión)
A ∩ B es el evento que es cumple cuando A y B (intersección)
Ā es el evento que se cumple cuando no A (complementario)
A y B son incompatibles
A∩B=Ø
Ω
A
A∩B
B
Ejemplo (lanzamiento de un dado): A = {par}, B = {3, 6}, C =
{impar} A y C incompatibles, A y B compatibles, ...
3. Axiomática de la probabilidad
Una probabilidad, P, es una aplicación P : E
0
2. P( ) 1
3. A B
P( A
Observación:
0 P( A) 1
lR tal que:
1. P( A)
B)
0
2. P ( A)
1 P ( A)
4. P( A
B
P( A)
B)
Área
A
1. P( )
B
Probabilidad
Ω
Propiedades:
3. A
P( A) P( B)
P( B)
P( A) P( B) P( A
B)
3. Axiomática de la probabilidad
Ejemplo:
35% A, 28% B, 10% A y B
a)
P(A o B)?
P(AUB) = P(A) +P(B) - P(A∩B) = 0.35 + 0.28 – 0.10 = 0.53
b)
P(A pero no B)?
P(A - B) = 0.35 – 0.10 = 0.25
c)
P(sólo uno)?
P(sólo A o sólo B) = 0.25 + 0.18 = 0.43
d)
P(ninguno)?
P(ninguno) = 1 – P(AUB) = 0.47
4. Probabilidad condicionada
Probabilidad condicionada de A sabiendo que se ha dado B:
P( A B)
P( A / B)
P( B)
Ejemplo:
M1 60% piezas, M2 40% piezas, P(D/M1) = 0.03, P(D/M2) = 0.02
a)
P(D)?
P(D) = P(M1∩D) + P(M2 ∩D) =
= 0,018 + 0.008 = 0.026
0.6
0.03
P(M1∩D) = 0.6*0.03
M1
¬D
0.02
0.4
b)
D
D
M2
P(M1/D)?
P(M1/D) = P(M1∩D) / P(D) = 0.018 / 0.026 = 0.69
¬D
P(M2∩D) = 0.4*0.02
5. Independencia y Teorema de Bayes
A y B son independientes
P(A∩B) = P(A)*P(B)
A y B son independientes
P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B)
¡Atención!: independientes ≠ incompatibles
Teorema de Bayes:
P( A / B)
P( B / A) P( A)
P( B)
Nos permite obtener
una condicionada a
partir de la contraria
Ejemplo (continúa del anterior):
P(M1/D)?
P(M1/D) = P(D/M1)*P(M1) / P(D) = 0.03*0.6 / 0.026 = 0.69
6. Diagramas de árbol
Serie de experimentos secuenciales, cada uno de ellos con
dos posibles resultados
Ejemplo: lanzar dado; si dado < 3
C1, en otro caso
C2;
C1: 8 piezas (3 defect.), C2: 10 piezas (4 defect.); P(defect.)?
P(D) = 3/24 + 8/30 = 47/120 = 0.4
7. Números combinatorios
El número de combinaciones que se pueden formar
escogiendo k elementos a partir de un conjunto de n, puede
denotarse por C(n, k), Cn,k, o bien:
n
k
Los números C(n,k) se conocen como coeficientes
binomiales.
Recordar:
n
k
n!
k !(n k )!
0! 1
n 1
n! n (n 1) (n 2) ... 1
8. Resultados de aprendizaje
Aprender los conceptos básicos de experimento
aleatorio y evento.
Entender las operaciones con conjuntos.
Aprender los axiomas y propiedades de una
probabilidad.
Aprender el concepto de probabilidad condicionada.
Entender el significado de sucesos independientes
y saber aplicar el Teorema de Bayes.
Resolver problemas mediante diagramas de árbol.
Conocer los números combinatorios.
9. En Internet…
VITUTOR > probabilidad
http://www.vitutor.com/pro/2/probabilida
d.html
Probabilidad (capítulo en PDF)
http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Ar
chivos/PDF/T02.pdf