جامعة بابل – كلية العلوم – قسم الكيمياء – المرحلة الثانية
محاضرات الرياضيات -الفصل الدراسي الثاني للعام الدراسي – )2( – 5102 -5102م .م فؤاد حمزة عبد
التوزيعات االحتمالية Probability Distributions
تكلمنـا عـن بعض مفاهيـم االحتمالية والتجارب العشوائية وفـي كثير من األحيان نرغب فـي التعامل مع قيـم
عدديـة مرتبطة بنقاط العينة للتجربـة العشوائية بدالا من التعامل مع نقاط العينة نفسها إذ أن نقاط العينة أو النتائج
الممكنة للتجربة العشوائية تكون في بعض األحيان عبارة عن صفات أو مسميات يصعب التعامل معها رياضيا وفي
هذه الحالة فإننا نقوم بتحويل هذه القيم الوصفية إلى قيم عددية حقيقية تسمى قيم المتغير العشوائي فالمتغيرات
العشوائية تستعمل للتعبير عن نتائج التجربة العشوائية وعن الحوادث بقيم عددية بدل من المسميات أو الصفات .
فعلى سبيل المثال عند رمي قطعة نقود ثالث مرات متتالية فان فضاء العينة هو
{
}
وقد نكون مهتمين فقط بعدد مرات ظهور الصورة
هذه الحالة هو عبارة عن متغير عشوائي
بغض النظر عن التفصيالت االخرى ،إن عدد الصور في
هنا هي
تتغير قيمته بتغير نتيجة التجربة العشوائية وقيم
هناك عدة انواع من المتغيرات العشوائية نذكر منها نوعين هما المتغير العشوائي المنفصل ( اذا كانت مجموعة
القيم الممكنة له قابلة للعد ) والمتغير العشوائي ال متصل ( اذا كانت مجموعة القيم الممكنة له عبارة عن فترة او
اتحاد عدة فترات حقيقية ) .
التوزيعات االحتمالية المنفصلة Discrete Probability Distributions
التوزيع االحتمالي المنفصل هو جدول أو قانون يحتوي على جميع قيم المتغير العشوائي المنفصل مع جميع
االحتماالت المقترنة مع كل قيمة من قيم المتغير العشوائي المنفصل.
فاذا كان
متغيراا عشوائيا منفصالا يأخذ
من القيم وكانت ) ( هي دالة الكثافة االحتمالية ) ( p.d.f
للمتغير العشوائي المنفصل فان :
) (
)
(
0
) (
) (
) ( ∑
جامعة بابل – كلية العلوم – قسم الكيمياء – المرحلة الثانية
محاضرات الرياضيات -الفصل الدراسي الثاني للعام الدراسي – )2( – 5102 -5102م .م فؤاد حمزة عبد
مثال ( )1ليكن xتمثل عدد الصور في تجربة رمي قطعة نقود ثالث مرات متتالية ،جد قانوناا يمثل دالة الكثافة
(
االحتمالية ثم احسب احتمالية ظهور الصور مرة واحدة فقط أي )
.
الحل :
) (
عدد عناصر فضاء العينة
عدد مرات ظهور الصورة
عدد الطرق الممكنة للحصول على الصورة هو ) (
) (
دالة الكثافة االحتمالية هي
) (
) (
) (
) (
) (
)
(
) (
مالحظة :يمكن لنا حل المثال اعاله من خالل فضاء العينة
{
}
نكون الجدول التالي :
2
⁄
3
⁄
0
⁄
1
⁄
) (
القيمة المتوقعة أو التوقع الرياضي :
اذا كان المتغير العشوائـي
المتوقعة لـ
يأخـذ القيـم
هي الوسط الحسابي للمتغير العشوائي 𝜇
) (
والتباين
وباحتمال )
(
) ( ) (
∑
)
) (
(
) (
هو:
) (
واالنحراف المعياري
)𝜇
)𝜇
(∑
هو الجذر التربيعي للتباين .
5
(
) (
𝜇
فان القيمة
جامعة بابل – كلية العلوم – قسم الكيمياء – المرحلة الثانية
محاضرات الرياضيات -الفصل الدراسي الثاني للعام الدراسي – )2( – 5102 -5102م .م فؤاد حمزة عبد
مثال ( )2من جدول التوزيع االحتمالي المنفصل التالي احسب الوسط الحسابي والتباين واالنحراف المعياري
4
0.10
2
0.35
3
0.25
0
0.15
1
0.15
) (
الحل :
) (
)
) (
(
) (
) (
) ( )𝜇
)
)
(
(
(
)
) (
∑
) (
(∑
)𝜇
(
(
)
𝜇
(
)
√
√
مثال ( )3جد معامل االختالف من جدول التوزيع االحتمالي المنفصل التالي
3
0.064
2
0.288
1
0.432
0
0.216
) (
الحل :
) (
) (
) (
(
)
) (
) (
) ( )𝜇
)
)
(
√
∑
(∑
(
) (
𝜇
)𝜇
(
(
)
√
𝜇
3
جامعة بابل – كلية العلوم – قسم الكيمياء – المرحلة الثانية
محاضرات الرياضيات -الفصل الدراسي الثاني للعام الدراسي – )2( – 5102 -5102م .م فؤاد حمزة عبد
توزيع ذي الحدين Binomial Distribution
يعتبر توزيع ذي الحدين من أهم التوزيعات المتقطعة ويهتم بالتجارب التي تتكرر nمن المرات والتي تصنف
نتائجها الى صنفين االول النجاح ) pاحتمال ظهور الحادث ( والثاني الفشل ) qاحتمال عدم ظهور الحادث (
فاذا كانت عدد مرات النجاح هو xفان احتمال ظهور الحادث xعدد من المرات في n
بحيث ان
من التجارب يمكن حسابه بقانون توزيع ذي الحدين والذي ينص على :
) (
) (
مثال ( )4ابو تحسين الصالحي هو من ابرز قناصي لواء علي االكبر ،نسبة اصابته للهدف هي
خمسة دواعش على جبال مكحول فتصدى لهم ابا تحسين ،ما احتمال ان يقتل منهم اربعة على االقل ؟
الحل :
) (
)
( )
)
() (
( )
) (
(
)
() (
(
مثال ( )5ليكن xتمثل عدد الصور في تجربة رمي قطعة نقود خمس مرات احسب )
الحل :
) (
)
( )
() (
) (
)
) (
( )
)
() (
)
خواص توزيع ذي الحدين
.1الوسط الحسابي لتوزيع ذي الحدين هو
𝜇
.2التباين لتوزيع ذي الحدين هو
4
(
)
( )
( )
() (
(
،تسلل
جامعة بابل – كلية العلوم – قسم الكيمياء – المرحلة الثانية
محاضرات الرياضيات -الفصل الدراسي الثاني للعام الدراسي – )2( – 5102 -5102م .م فؤاد حمزة عبد
مثال ( )2بجهود المخلصين من اعضاء مجلس محافظة بـابـل تم افتتاح معمل لصناعة الحاسبات اللكترونية
لتوزيع ارباحه على طلبة جامعة بابل وكانت نسبة المعيب من هذه الحاسبات اللكترونية هي 8%من النتاج
احسب الوسط الحسابي للحاسبات اللكترونية الصالحة اذا تم انتاج 750حاسبة ثم جد التباين ومعامل الختالف.
الحل :
𝜇
√
𝜇
تمارين
.1في عائلة مكونة من 6أطفال احسب احتمال ان يكون بينهم 4اناث علما ان نسبة الذكور الى االناث هي
.2في المرحلة الثانية الحد اقسام كلية العلوم 15طالبا و 35طالبة تم تشكيل لجنة مكونة من 5اشخاص
فما احتمال ان تتألف هذه اللجنة من طالبين وثالث طالبات ؟
.3ليكن xتمثل عدد الصور في تجربة رمي قطعة نقود اربع مرات احسب الوسط الحسابي لـ xثم احسب التباين
ومعامل االختالف.
.4اذا كان احتمال شفاء مريض من مرض معين هو 0.6فاذا دخل المستشفى سبعة مرضى مصابين بهذا
المرض فما هو احتمال ان
) (aال يشفى أحد منهم ال سامح هللا.
) (bيشفى واحد منهم فقط بعون هللا ودعاء والديه.
) (cيشفى اربع منهم على االقل بعون هللا ودعاء المؤمنين.
.5اذا كان احتمال تسجيل العب المنتخب العراقي علي عدنان لهدف من ضربة حرة هو
تسجيله لهدفين على االقل من اربع ضربات ؟
2
فما احتمال