See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/282703986
‫ اﻟﺘﻮزﻳﻌﺎت اﻻﺣﺘﻤﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﺴﺘﻤﺮة او اﻟﻤﺘﺼﻠﺔ‬- ‫اﺣﺼﺎء ﻣﺘﻘﺪم – اﻟﻤﺤﺎﺿﺮة اﻟﺴﺎﺑﻌﺔ‬
Research · October 2015
DOI: 10.13140/RG.2.1.5174.3449
CITATIONS
READS
0
44,400
1 author:
Aziz Mahdi Abd Al-Shammari
University of Diyala
135 PUBLICATIONS 38 CITATIONS
SEE PROFILE
All content following this page was uploaded by Aziz Mahdi Abd Al-Shammari on 10 October 2015.
The user has requested enhancement of the downloaded file.
‫التوزيعات االحتمالية المستمرة او المتصلة‬
‫‪Continuous probability Distribution‬‬
‫التوزيع الطبيعي ‪Normal Distribution:‬‬
‫يعتبر التوزيع الطبيعي من التوزيعات المستمرة التي تستخدم في جميعع ماعاالت اإلحصعا ‪ ،‬وان‬
‫أهمية التوزيع الطبيعي يرجع إلى أربعة اعتبارات مهمة ‪:‬‬
‫(‪ )1‬أن كثيععرام مععن المتتيععرات تتععوزً توزيع عا م نبيعي عا م وم هععا الص ع ات البيولوجيععة او ال سععية او‬
‫االجتماعية وغيرها‬
‫(‪ )2‬توزيعات المعاي ة لمتوسطات العي ات تكعون مقاربعة للتوزيعع الطبيععي ويعد ا هعذا التقعارب‬
‫كلما زا حام العي ة ‪.‬‬
‫(‪ )3‬امكانية تحويل توزيعات كثيرة إلى التوزيع الطبيعي‪.‬‬
‫(‪ )4‬أن معظم االختبارات المستخدمة في االست تاج اإلحصعايي مب يعة علعى كعون المتتيعر يتعوزً‬
‫توزيعا م نبيعا م ‪.‬‬
‫مالحظة ‪:‬‬
‫في اغلع االحيعان تكعون هعذن ال تعايح عحيحة أو ريبعة معن الصعحة حتعى ولعو لعم يتعوفر رعرن‬
‫التوزيعع الطبيععي ‪.‬وباالظافعة لألعتبعارات االربععة اعععالن فالسعهولة تلعع ورام مهمعا م فعي اختيععار‬
‫التوزيع الطبيعي ‪.‬‬
‫الم ح ى الطبيعي او المعتدل ‪:‬‬
‫)‪Normal Curve (x‬‬
‫يسمى أحيانا م ح ى كاوس على ررف العالم ‪ ( 1777-1855) Gauss‬العذ ارعتم معا لتع‬
‫ع د راست (الخطأ المتكرر)و د يسمى م ح ي ( كعاوس لاليعالس) كمعا هعو مو عي فعي ال عكل‬
‫التععالي ‪ .‬ويالحععه ه ععا انسععا اسععتخدم ا (‪ )y‬بععدال مععن(‪ )x‬ليتمارععى مععع اسععتخدام ا للمتتيععر ‪ y‬فععي‬
‫المحا رات السابقة ليس اال‪.‬‬
‫اذا كان المتتير الع وايي ‪ y‬يتوزً توزيعا م نبيعيا م ول ُ وسط حسابي ‪ µ‬و ‪( ‬تباين) وانحراف‬
‫ياسي ‪ δ‬فان معا لة الم ح ى الطبيعي هي ‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1 y   ‬‬
‫‪e‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫حيث أن ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪e‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f y ‬‬
‫‪22‬‬
‫= ال سبة الثابتة = ‪= 3.142‬‬
‫‪7‬‬
‫= اساس اللوغاريتم الطبيعي = ‪2.71827‬‬
‫‪ = y‬أية يمة علىالمحور السي ي حيث ان ‪+ ( :‬‬
‫∞ > ‪∞ >y‬‬
‫‪)-‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ = f y‬الععة التوزيععع االحتمععالي (‪)P.df‬وهععي تمثععل المحععور الصععا ‪،‬وان مامععوً‬
‫المساحة الكلية الوا عة تحت الم ح ي يساو واحد ‪.‬ان الة التوزيع الطبيعي تعتمد على ريئن‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫الوسععط الحسععابي ‪ µ‬والتبععاين ‪ ‬وان يمتععي الوسععط الحسععابي والتبيععاين يحععد ان مو ععع ورععكل‬
‫الم ح ى الطبيعي فال كل التالي يبين ثالثة توزيعات نبيعية لهعا ن عس االنحعراف القياسعي ولكعن‬
‫اوسانها مختل ة ‪:‬‬
‫بي مععا ال ععكل التععالي يبععين ثالثععة توزيعععات نبيعيععة لهععا ن ععس الوسععط الحسععابي ولكععن انحرافاتهععا‬
‫القياسية مختل ة ‪:‬‬
‫وال كل التالي يبين توزيعان نبيعيان لهما وسطان حسابيان وانحرفان ياسيان مختل ان ‪:‬‬
‫خواص الم ح ي الطبيعي‪:‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪-3‬‬
‫‪-4‬‬
‫توزيع مستمر وركل الم ح ي يكون على هيئة نا وس ‪.Bell‬‬
‫ان ماموً المساحة الكلية تحت الم ح ى الطبيعي = ‪. 1‬‬
‫تتركععد الم ععاهدات حععول الوسععط الحسععابي ويكععون الم ح ععي متمععاثال حععول الوســـــــــــععـط‬
‫الحسابي بحيث يقسم إلى ســــمين متسعاويين‪ ،‬ولعذل فعان ارت عاً الم ح عي حعول ال قطعة‬
‫‪ y = µ +2 δ‬مثال يكون بالضبط مساويا م الرت اً الم ح ي حول ال قطة م ‪. y = µ-2δ‬‬
‫أن نرفي الم ح ى يت ا صا باالرت اً كلما ابتعدنا ععن الوسعط الحسعابي و لك همعا ال يلتقيعان‬
‫بالمحور السي ي ابداُ ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ -5‬المسععاحة المحصععورة بععين ‪   ‬و‪ 68.27%    ‬مععن مامععوً المسععاحة الكليععة‬
‫تحعععععععععت الم ح عععععععععي أو بعبعععععععععارة أخعععععععععر أن ‪ %68.27‬معععععععععن الم عععععععععاهدات تقعععععععععع‬
‫بين ‪   ‬و‪   ‬أ ان ‪:‬‬
‫‪P    Y       68.27%‬‬
‫‪-6‬المسععاحة المحصععورة بععين ‪   2‬و‪   2‬تسععاو ‪ 95.45 %‬مععن مامععوً‬
‫المسعععاحة أو بعبعععارة أخعععر أن ‪ 95.45 %‬معععن الم عععاهدات التعععي تقعععع بيـــــــعععـن ‪  2‬‬
‫و ‪   2‬أ ان ‪:‬‬
‫‪P(µ-2δ > y > µ +2δ ) =95.45%‬‬
‫‪ -7‬المسععاحة المحصععورة بععين ‪   3‬و‪   3‬تسععاو ‪ 99.73 %‬مععن مامــــــــعععـوً‬
‫المساحة أو بعبارة أخر أن ‪ 99.73%‬من الم اهدات التي تقع بين ‪   3‬و‪  3‬‬
‫أ ان‪:‬‬
‫‪ 3δ > y > µ +3δ ) = 99.73%‬ــ ‪P(µ‬‬
‫‪3‬‬
‫مالحظة‪:‬‬
‫ان االحتمععاالت فععي التوزيعععات المسععتمرة تمثععل بالمسععاحات ‪،‬فمعثال الياععا احتمععال‬
‫)‪ p(y1 < y < y2‬فان ا نحس المساحة المحصورة بعين ‪ y1‬و ‪ ،y2‬فقيمعة هعذن المسعاحة‬
‫هي رجة االحتمال ويمكن حسابها باستخدام التكامل‪.‬‬
‫مثعععال ‪ :‬اذا كعععان المتوسعععط الحسعععابي للعععوزن الصعععافي لمعععا ة غذاييعععة معلبعععة هعععو ‪250‬غعععم‬
‫وبعانحراف معيععار (‪ )δ‬ععدرن (‪ ، )10‬والععوزن الصععافي مععوزً توزيععع معتععدالم ‪ ،‬المطلععوب‬
‫ت سير هذن الحقايم ؟‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪ -1‬ال كل العام‪:‬‬
‫‪ -2‬لو اختيرت علبة ب كل ع وايي من هذا المعمل فما احتمال ان يكون الوزن الصافي فعي‬
‫الما ة المعلبة فيها يقل عن ‪ 250‬غم ؟‬
‫است ا ام الى ة التماثل ‪. p y  250  0.5 :‬‬
‫‪ -3‬ماهي نسبة العل التي يتراوح العوزن الصعافي للمعا ة المعلبعة فيهعا بعين ‪260 -240‬‬
‫غم؟‬
‫است ا ام الى ة التماثل فان هذا االحتمال =‪ %86‬تقريبا م‬
‫او ان ‪:‬‬
‫‪p y 240  y  260  68.27%‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ -4‬ماهو احتمال ان الوزن (‪ )y‬يتراوح بين ‪ 270- 230‬؟‬
‫‪P230  y  270  95.45%‬‬
‫‪P220  y  280  99.73%‬‬
‫‪ -5‬ماهو احتمال ان العلبة المختارة يكون وزنها ‪260 - 250‬‬
‫‪1‬‬
‫‪68.27  34.13%‬‬
‫‪2‬‬
‫‪P250  y  260 ‬‬
‫مالحظة‪:‬‬
‫التوزيععع المعتععدل يعتمععد علععى ال ع قالت الكاملععة ولععيس علععى اجدايهععا وال قلععة ه ععا هععي‬
‫انحراف معيار واحد ‪.‬‬
‫‪ -6‬ماهو احتمال ان ‪PY  240 :‬‬
‫‪ -: Y=240‬االحتمال = ر‬
‫فععي التوزيعععات المسععتمرة اليمكععن القععول مععا هععو احتمععال كععذا‪ ،‬الن االحتمععال ه ععا علععى‬
‫ركل مساحة ‪.‬‬
‫مالحظة ‪ :‬التوزيع في( الوزن كالطول ‪ )...‬تسمى توزيعات معتدلة اعتيا ية ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ -2‬التوزيع المعتدل القياسي‪Standard Normal Distribution (Z) :‬‬
‫موا ات ‪:‬‬
‫‪ -1‬توزيع نظر الي طبم على أ حالة من الحاالت التي نتكلم عليها‪.‬‬
‫‪ -2‬تطبم علي جميع موا ات التوزيع المعتدل ‪.‬‬
‫‪ -3‬لكي يكون ياسي ‪:‬فان المتوسط الحسابي يا ان = ر ‪ ،‬واالنحراف المعيار = ‪1‬‬
‫اذن ال كل العام ل ‪:‬‬
‫ماهو احتمال ‪ Z‬اكثر من‬
‫)‪P(Z≥0‬‬
‫الاواب= ‪1\2‬‬
‫وكذل فان ‪:‬‬
‫ر؟أ ‪:‬‬
‫‪P 1  Z  1  0.68‬‬
‫‪P 2  Z  2  0.95‬‬
‫‪P0  Z  1  0.34‬‬
‫‪P0  Z  0.5  0.1915‬‬
‫و القيمة (‪ )0.1915‬تستخرج من جدول ‪ Z‬الموجو في نهايات كت االحصا ‪.‬‬
‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬
‫تحويل التوزيع المعتدل االعتيا (‪ )x‬الى توزيع معتدل ياسي (‪:)z‬‬
‫‪ -1‬نطرح ‪ µ x‬من كل يمة من يم التوزيع الطبيعي ‪.‬‬
‫‪ -2‬نقسم على ‪.δ x‬‬
‫ول اخذ المثال السابم لتو يي كي ية تحويل التوزيع المعتدل الطبيعي )‪(x‬الى توزيعع معتعدل‬
‫ياسي)‪.(Z‬‬
‫الخطوة الولى‬
‫الطرح (‪ µx‬ـــ )‬
‫‪6‬‬
‫الخطوة الثانية‬
‫القسمة على ‪δy‬‬
‫اذن انون التوزيع المعتدل القياسي ‪:‬‬
‫‪y  y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Z‬‬
‫ماهي يمة ‪ Z‬الم اظرة لقيمة ‪ y =255 gram‬في مثال ا السابم ؟‬
‫الحل‪:‬‬
‫‪255  250‬‬
‫‪ 0.5‬‬
‫‪10‬‬
‫ماهو احتمال ‪:‬‬
‫‪z‬‬
‫‪P0  Z  1‬‬
‫الحل ‪ :‬من الادول ناد ان يمة ‪ Z‬المحصورة بين الص ر و‪ 1+‬تساو ‪0.3413‬‬
‫ما هو احتمال ‪P0  Z  2‬‬
‫الاواب من الادول ‪0.4772‬‬
‫امثلة تطبيقية على التوزيع المعتدل القياسي ‪Z‬‬
‫مثال‪1‬‬
‫اذا كانععت نتياععة امتحععان االحصععا لطلبععة المرحلععة االولععى \ كليععة التربيععة و عععد هم ‪ 400‬نال ع‬
‫كاالتي ‪ 6= δ ، 64=µ‬و الدرجات تتوزً توزيعا م نبيعيا م ‪ ،‬المطلوب ‪:‬‬
‫أ‪ -‬اياععا احتمععال الحصععول علععى رجععة ‪ 79‬فا ععل و عععد الطلبععة الععذين حصععلوا علععى هععذن‬
‫الدرجة ؟‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪79  64‬‬
‫‪ 2.500‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪p y79  p  z  2.5‬‬
‫‪7‬‬
‫ومن جدول ‪ Z‬ناد ان‪:‬‬
‫=‪Z‬تتطي مساحة ‪0.9938‬‬
‫‪2.500‬‬
‫‪P y  79  PZ  2.500  0.9938‬‬
‫اذن احتمال الحصول على رجة ‪ 79‬فا عل هعو ‪0.9938‬ويمثعل ‪ %99.32‬معن نسعبة الطلبعة‬
‫حصل على‪ 79‬فا ل‪.‬‬
‫عد الطلبة الذين حصلوا على‪ 79‬فا ل = عد الطلبة الكلي × الحتمال‬
‫=‪ 397= 0.9932 × 400‬نال (تقريبا)‬
‫ب – ما هواحتمال الحصول على رجة‪ 52‬فاكثر؟‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪y  y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪52  64‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪P y  52  pZ  2‬‬
‫)‪ 1  P( Z  2‬‬
‫‪ 1  0.0228‬‬
‫‪ 0.0762‬‬
‫وهي يمة االحتمال‬
‫جـ ‪ -‬اياا احتمال الحصول على رجة تتراوح بين ‪ 58‬و ‪ 76‬رجة ‪.‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫)‪P(58 < y < 76 )=P(-1 < Z <2‬‬
‫‪Z1‬‬
‫‪Z2‬‬
‫‪58  64‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪6‬‬
‫‪76  64‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪6‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪y  y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Z1 ‬‬
‫‪Z2 ‬‬
‫‪P58  y  76  P 1  Z  2‬‬
‫‪ PZ  2  PZ  1‬‬
‫‪ 0.9772  0.1587  0.8185‬‬
‫‪8‬‬
‫– اياا الدرجة التي حصل عليها أ ل م ها ‪ %65‬من الطلبة ‪.‬‬
‫الحل‪:‬‬
‫من ‪ % 65‬االحتمال ← ‪ p (z ≥?(= 0.6500‬أ نبحث عن القيمة التعي نضععها فعي مكعان‬
‫عالمة االست هام‪،‬وبعد الحصول عليها نبحث عن يمة ‪ y‬هي ومعا ا عل م هعا تعتبعر االجابعة علعى‬
‫السؤال ‪.‬‬
‫ومن جدول‪ Z‬ناد ان ا رب يمعة لعـ ‪ 0.6500‬هعي ‪ 0.6517‬وهعي تقابعل ‪ 0.39‬والتعي هعي‬
‫يمة‪. Z‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪y  64‬‬
‫‪6‬‬
‫‪y  64  2.34  66.34‬‬
‫‪0.39 ‬‬
‫أ الدرجة ان ‪ 62.66‬او ا ل م ها‪.‬‬
‫هـ ‪ -‬اياا الدرجة التي حصل عليها او اكثر م ها ‪ % 30‬من الطلبة ‪.‬‬
‫من ال سبة التي يحصل أ احتمال ‪0.3000‬‬
‫‪pZ  ?‬‬
‫‪1  PZ  ?  1  0.3000‬‬
‫‪PZ  ?  0.7000‬‬
‫ومن الادول ‪ Z‬التالي تاد ان ‪:‬‬
‫‪ 0.7000‬تقابل ‪0.53‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪y  64‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ y  64  3.18‬‬
‫‪y  64  3.18  67.18‬‬
‫‪0.53 ‬‬
‫اذن الدرجة هي ‪ 67.18‬فاكثر‬
‫مثال‪: 2‬‬
‫اذ كان الوسط الحسابي لتوزيع نبيعي هو ‪ µ =50‬و االنحراف القياسي ل ’ هو ‪ 10‬اوجعد يمعة‬
‫‪ Z1, Z2‬بحيث ان ‪:‬‬
‫)‪P(45<y <62) = p( z1<z<z2‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪y1  ‬‬
‫‪45  50‬‬
‫‪ 0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪y   62  50‬‬
‫‪z2  2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.2‬‬
‫‪‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪z1 ‬‬
‫‪9‬‬
‫مثال‪: 3‬‬
‫اذا كان لدي توزيع نبيعي لماموعة م اهدات اوجد االحتمال التالي ‪:‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪p    y     ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪z1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪       1‬‬
‫‪z2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪p    y       p 1  Z  1‬‬
‫‪ P z  1  PZ  1‬‬
‫‪ 0.8413  0.1587‬‬
‫‪ 0.6826‬‬
‫مثال‪: 4‬‬
‫اذا كان متوسط انتاج الدونم من الذرة الص را ‪ 800‬كتم وبانحراف ياسي ‪ 40‬كتم وعلى فرق‬
‫ان كمية المحصول تتبع التوزيع الطبيعي ‪،‬ما هو احتمال ال باتات التي تعطي محصوال بين ‪778‬‬
‫ـــ ‪ 834‬كتم او ماهي نسبة ال باتات التي تعطي كمية محصول بين ‪778‬ـــ ‪ 834‬كتم ؟‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪778  800‬‬
‫‪ 0.55‬‬
‫‪40‬‬
‫‪834  800‬‬
‫‪Z2 ‬‬
‫‪ 0.85‬‬
‫‪40‬‬
‫‪Z1 ‬‬
‫‪P778  y  834  p 0.55  z  0.85‬‬
‫‪ pz  0.85  pz  0.55‬‬
‫‪ 0.8023  0.2915‬‬
‫‪ 0.5111‬‬
‫أ ان ‪ %51‬من ال باتات تعطي محصوال بين ‪ 778‬ـــ‪ 834‬كتم ‪.‬‬
‫مثال‪:5‬‬
‫اذا كات متوسعط نعول ‪ 500‬نالع فعي احعد المعدارس الثانويعة هعو ‪ 151‬سعم بعانحراف ياسعي‬
‫درن ‪15‬سم ‪ ،‬فاذا فر ا ان االنوال تتوزً توزيعا نبيعيا اوجد القيمة المتو عة للطلبة الذين ‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪ -1‬انوالهم بين ‪ 120‬ـــ‪ 155‬سم‬
‫‪ -2‬انوالهم اكثر من ‪ 181‬سم‬
‫‪ -3‬انوالهم ا ل من ‪ 128‬سم‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪120  151  31‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 207‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪155  151 4‬‬
‫‪Z2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 0.27‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪Z1 ‬‬
‫‪P120  y  155  p 2.07  z  0.27 ‬‬
‫‪ pz  0.27   pz  2.07 ‬‬
‫‪ 0.6064  0.0192  0.5872‬‬
‫أ ان حععوالي ‪ %58‬مععن الطلبععة تقععع انععوالهم بععين ‪120‬ــععـ ‪ 155‬سععم وهععذا يععؤ‬
‫الطلبة = ‪ 290 = 500 × 0.58‬نال ‪.‬‬
‫‪ -2‬انوالهم اكثر من ‪181‬سم أ ان ‪:‬‬
‫الععى ان عععد‬
‫‪p y  181‬‬
‫‪y   181  151‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪15‬‬
‫‪p y  181  pz  2‬‬
‫‪ 1  pz  2‬‬
‫‪ 1  0.9772  0.0228‬‬
‫أ ان حوالي ‪ %2‬من الطلبة انوالهم اكثر من ‪ 181‬سم‬
‫اذن عد الطلبة = ‪ 10= 500×0.02‬نالبا م ‪.‬‬
‫‪-3‬‬
‫انوالهم ا ل من ‪ 128‬سم‬
‫‪p y  128‬‬
‫‪128  151  23‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1.53‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪p y  128  pz  1.53‬‬
‫‪11‬‬
‫و يمة ‪ Z‬تعا ل مساحة ‪0.6030‬‬
‫اذن ‪ %60.3‬من الطلبة انوالهم ا ل من ‪128‬سم‬
‫وعد الطلبة =‪ 320= 500 × 0.063‬نالبا تقريبا ‪.‬‬
‫مثال‪: 6‬‬
‫معمل النتاج بطاريات السيارات ي تح بطاريات متوسط مدة استهالك البطارية ‪ 3‬سع ة وانحعراف‬
‫ياسي ‪ ، 0.5‬فاذا كانت مدة استهالك تتبع التوزيع الطبيعي ‪ ،‬معا هعو احتمعال ان بطاريعة معي عة‬
‫ستستهل با ل من ‪ 2.3‬س ة ؟‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪2.3  3‬‬
‫‪ 1.4‬‬
‫‪‬‬
‫‪0.5‬‬
‫‪p y  2.3  pz  1.4‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫من الادول نحصل ان يمة ‪ z =-1.4‬تعطي مساحة ‪0.8080‬‬
‫وهذا احتمال ان بطارية معي ة تستهل با ل من ‪ 2.3‬س ة وبعبارة اخر ان نسبة ‪ %80‬تقريبعا‬
‫من البطاريات الم تاة في هذا المعمل تستهل بـ ‪ 2.3‬س ة ‪.‬‬
‫مثال‪: 7‬‬
‫اذا كعان المتتيععر‪ y‬يتبععع التوزيعع الطبيعععي بوسععط حسععابي عدرة ‪   20‬وانحععراف ياسععي ععدرن‬
‫‪   5‬المطلوب‪:‬‬
‫‪ -1‬اوجد يمة ‪ y 1‬بحيث ان ‪P(y<y1) = 0.2514‬‬
‫‪ -2‬اوجد يمة ‪ y 2‬بحيث ان ‪P(y<y2) = 0.0655‬‬
‫الحل ‪:‬‬
‫‪ -1‬من الادول الخاص بـ ‪( Z‬التوزيع الطبيعي القياسي) ناد ان يمة ‪ Z‬لهذة المساحة هي ‪:‬‬
‫‪z  0.67‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪y1  20‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y1  20  3.55‬‬
‫‪ 0.67 ‬‬
‫‪y1  16.65‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪p y  y2   0.0655‬‬
‫‪1  p y  y2   0.0655‬‬
‫‪p y  y2   1  0.0655‬‬
‫‪p y  y2   0.9345‬‬
‫‪12‬‬
‫وهذن المساحة تقابل‪ 1.51‬من يم ‪z‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪z‬‬
‫‪y 2  20‬‬
‫‪5‬‬
‫‪y 2  20  7.55  27.55‬‬
‫‪1.51 ‬‬
‫مثال ‪: 8‬‬
‫اذاكععان معععدل نععول ‪10000‬نبععات مععن نباتععات القطععن هععو ‪ 80‬سععم فاذاوجععد ان ‪ 1875‬نباتععا يقععل‬
‫نولهم عن ‪ 60‬سم فما هو عد ال باتات التي يديد نولها عن ‪ 90‬سم ؟‬
‫(انتبان ‪:‬المتوسط موجو لكن االنحراف القياسي غير موجو ‪ ،‬ابحث ع !)‬
‫ان نسبة ال باتات التي يقل نولها عن ‪ 60‬سم هي ‪0.1587= 10000 ÷ 1578‬‬
‫وهذة ال سبة هي المساحة الم تولة تحت الم ح ي للتوزيع الطبيعي وتعا ل يمعة لعـ ‪ z‬مقعدارها‬
‫(‪.)1-‬‬
‫‪p y  60  pZ  1  0.1587‬‬
‫‪y‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪‬‬
‫‪60  80‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪  20‬‬
‫‪p y  90  1  p y  90‬‬
‫(يديد نولها )‬
‫ناد يمة ‪ Z‬وهي ‪:‬‬
‫‪y‬‬
‫‪90  80‬‬
‫‪ 0.5‬‬
‫‪‬‬
‫‪20‬‬
‫‪ 1  p y  90‬‬
‫‪‬‬
‫‪Z‬‬
‫‪ 1  pz  0.5‬‬
‫‪ 0.3085‬‬
‫عد ال باتات التي يديد نولها عن ‪ 90‬سم هو ‪:‬‬
‫‪ 3085 = 0.3085 ×10000‬نبات‬
‫‪13‬‬
‫مثال ‪:9‬‬
‫في احد امتحانات االحصا كان معدل الدرجات = ‪ 74‬بانحراف ياسي درة ‪ ، 7‬فاذا كان ‪%12‬‬
‫من الطلبة عد حصعلوا علعى امتيعاز وكانعت العدرجات تتعوزً توزيععا نبيعيعا ‪،‬فمعا هعي ا عل رجعة‬
‫للمتياز واعلى رجة للايد جدا ؟‬
‫مالحظة ‪ :‬المقصو باالمتيازفي هذا هي رجة ‪ 83‬فاكثر والايد جدام هي ‪ 82‬فا ل‬
‫الحل ‪:‬‬
‫ان االمتياز اعلى الدرجات ونسبتهم ‪ 12%‬وهذا يؤ الى ان ‪:‬‬
‫‪p(z > ? ) = 0.12‬‬
‫‪pz  2  0.12‬‬
‫‪1  pz  2  0.12‬‬
‫‪pz  2  1  0.12  0.88‬‬
‫وناد ان هذن المساحة ‪ 0.88‬تقابل ‪ 1.175‬في جدول ‪ Z‬وهي يمة ‪z‬‬
‫‪P(z< 1.175 )=0.88‬‬
‫‪y‬‬
‫‪z‬‬
‫‪‬‬
‫‪y  74‬‬
‫‪7‬‬
‫‪y  (1.175)(7)  74  82.225‬‬
‫لذل ان ا ل رجة لالمتيازهي ‪ 83‬و اعلى رجة للايد جدا هي ‪ 82‬رجة ‪.‬‬
‫‪1.175 ‬‬
‫‪14‬‬
‫‪ 3‬ــ توزيع – ‪t- Distribution t‬‬
‫تكلم ا سابقا عن كي يعة اسعتخدام التوزيعع الطبيععي القياسعي فعي ان عا حعدو ثقعة بعافترا ان‬
‫تباين الماتمع معلوم وان حام العي ة كبيرا ‪.‬وه ا س تكلم عن توزيع ‪ t‬الذ يستخدم ايضعا فعي‬
‫تحديد فترات ثقعة واختبعار ال ر عيات المتعلقعة بالمتوسعطات ع عدما يكعون تبعاين الماتمعع غيعر‬
‫معلوم وع دما يكون حام العي ة تيرا ‪.‬ف ي كثيعر معن االحيعان ال يمكعن معرفعة تبعاين الماتمعع‬
‫الذ سحبت م العي ة ‪ ،‬فاذا كان باين الماتمع غيعر معلعوم وكعان حاعم العي عة كبيعرا (‪)n≥30‬‬
‫فان يمكعن اسعتخدام تبعاين العي عة الكبيعرة ‪ S2‬عو عا ععن تبعاين الماتمعع ‪ δ2‬غيعر المعلعوم الن‬
‫تباين العي ة هو ُمق ِدرجيد لتباين الماتمع والن اليتتيركثيرا من عي ة الخر ما ام حاعم العي عة‬
‫كبيرا أ (‪ )n≥30‬وع ديذفان يمة المتتير الزالت تتوزً توزيعا نبيعيا ياسيا(‪. )Z‬‬
‫ولكعن اذا كععان حاععم العي ععة ععتيرا (‪ )n≤30‬فععان يمععة تبعاين العي ععة تتتيععر كثيععرا مععن عي ععة العى‬
‫اخر وبذل فعان المتتيعر ال يتعوزً توزيععا ياسعيا ‪ .‬وفعي سع ة ‪1908‬اسعتطاً ولعيم كوسعت ان‬
‫‪y‬‬
‫ي عععتم معا لعععة للتوزيعععع االحتمعععالي لالحصعععايية ‪ T‬التعععي يمتهعععا‬
‫‪s‬‬
‫‪ t ‬خعععاص بالعي عععات‬
‫‪n‬‬
‫الصتيرة‪ ،‬وفي ارتقا لهذن المعا لة افتر كوست ان العي ات د سحبت معن ماتمعع التوزيعع‬
‫الطبيعي ‪.‬و د ن ركوسعت هعذا البحعث تحعت اسعم مسعتعار هعو سعتو نت ‪ Student‬ولعذل سعمي‬
‫بتوزيع ‪ t‬لستو نت ‪ Student,s Distribution‬بعد و عع بععا التحعويرات عليع معن بعل‬
‫العالم ف ر‪. R.A.Fisher‬‬
‫ات توزيع ‪t :‬‬
‫‪ -1‬ان الة كثافة االحتمال ل هي‪:‬‬
‫‪k‬‬
‫‪f t  ‬‬
‫‪ v 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ t 2  2 ‬‬
‫‪1  ‬‬
‫‪v‬‬
‫‪‬‬
‫حيث ان‪:‬‬
‫‪ = V‬رجات الحرية‬
‫‪ =K‬عد ثابت يعتمد على رجات الحرية‬
‫‪v‬‬
‫‪t 2 ‬‬
‫‪ -2‬ان متوسط توزيع ‪ = t‬ر ‪ ،‬وتباي ‪:‬‬
‫‪v2‬‬
‫‪ -3‬ان توزيع ‪ t‬هو توزيع مضبون ‪.‬‬
‫‪ ∞ < t < ∞ + -4‬ـــ‬
‫‪ -5‬التوزيع ذو مة واحدة على ركل نا وسي متماثل حول الص ر‪.‬‬
‫‪ -6‬اكثر ت لطحا من التوزيعع الطبيععي أ ان المسعاحة فعي نرفيع انعول ممعا هعو عليع فعي‬
‫التوزيع الطبيعي‪.‬‬
‫‪ -7‬اذا زا حام العي ة الى ان يصل الى ∞ فان يت اب مع التوزيع الطبيعي ‪.‬‬
‫‪ -8‬نحتاج معرفة رجات الحرية(‪ )v‬فقط الستخراج احتماالتهمن جدول ‪. t‬‬
‫‪ -9‬ان المعا لة المذكورة في (‪ )1‬اععالن ال نحتاجهعا الن المسعاحة تحعت الم ح عي عد حسعبت‬
‫في جداول م صلة ت ي متطلبات معظم المسايل ‪ِ.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪View publication stats‬‬