M.L.Krasnov
·A. I. Kiselev
G. I. Makáreriko
. ._-'.'Funciones de variable compl~a
Cálculo operacional
Teoría de la estabilidad
.
:· .
";
Editorial MIR Moscú
.
.
~~~:~>1Ma~.w~
---'
'
Traducido del ruso por
T. l. Shapovalova
..
)
.
.
impreso en la ·URSS
© MaAaTeJIMTBO «liayKa» ,. 1981
@ Traducci6n al español. Eiliiorial Mir. 1983
Prefacio
7
Capítulo I
Funciones de variable comp.l eja
9
9
i § . i. Números complejos y operaciones con ellos
21
2. Funciones de variable compleja
· , § 3. Límite. de sucesión de los números complejos. Límite
29
:
y continuidad de· una función de variable compleja
i . § 4. Diferenciación de funciones de variable compleja. Con1.
dicioncs de Cauchy-Riemann
·
'
. 36
46
} :§ 5. Integración de. funciones de variable compleja . .
·• ''§ ·6. -Fórmula integral de· Cauchy ·
55
··¡:· - § - 7. Series -en el. dominio complejo
'62
80•" .
§:. 8. Ceros . de una función. Los puntos singula,res aislados
86
§. 9. Re5iduos de funciones
§ 10. Teorema de Cauchy de los residuos. Aplicación de resi. duos al cálculo de las integrales definidas. Sumación de
,_
cierta,s series mediante residuos
93
! § 11. Residuo logarítmico. Principio de argumento. Teorema
de Rouchet
117
§ 12. Aplicaciones conformes
126
. 155'
·13 Potencial complejo. Su sentido hidrodinámico ·
-i . §
·' :§
Capítulo JI
Cálculo operacional .
' ..
;:j ..14. · Obtención
de representaciones y ol'iginales
'. · .§ 15 ..S?luCió~.. ·del problema ~e qauchy pan~ _las ecuaciones
' :; .
diferenciales lineales ordmarias de coeficientes constan. · · · ·tes
' _' j46.'Jntegral de Duhamel
<§::-::f7'>-S~luci6n de sistemas. de ecuaciones diferenciales lineales
l'J:::'..:p(?r
el .método operacional
/
.
. 't
'•
. .
.
,~~:;·Jª: ~~~~11ción de las ecuaciones integrales de Volterra con
;;:z... Jcnncleos
de
la forma .especial
,·..· ..
. . ·. ·.
0
•r '. ~,q:.· . ¡J
~·· ·
'~i~i~'i;~9j~'/:,~.:
161
1.61 ..
189'
.
202
205
209
..·
. '.·~ :
...
.. '"
. ;· ·.:·' .
•····•
Indice
§ 19. Ecuaciones diferenciales con el argumento de retardo
§ 20. Solución de ciertos problemas de la física matemática
§ 21. Transformación discr-eta de Laplace
,,,
:}
216
219
222
Capítulo III
Teoría de la estabilidad
237
§. 22. Concepto a~rca de la estabilidad de solución de un
§ 23.
§ 24.
§ 25.
§ .26.
§ _27.
§ .28.
§ .. 29.
sistema de ecuaciones .diferenciales. Los más simples
tipos de puntos de reposo
Segundo método de Liapunov
Examinación de la estabilidad por la primera aproximación
Estabilidad asintótica en total. Estabilidad según Lagrange
Criterio _de Rauss-Hurwitz
Criterio geométrico de estabilidad (criterio de Mijailov)
D-particiones
Estabilidad de soluciones de las ecuaciones en diferencias
237
245
249
254
257
260
264
272
Respuestas
282
Suplemento
330
;Bibliografía
333
j
. ·~i
.
.'·
. ' ,,.
: ·· ~. · •. : -.. ·: ;;- . .
:. J. •
Prefacio
En la presente edición todo el texto está redactado de nuevo
y están incluidos ciertos complementarios. Está ampliada
fa parte consagrada a la teoría de los residuos y a sus aplicaciones (en particular, está introducido el concepto del residuo respecto a un punto infinitamente alejado, aplicación
. de los residuos a la sumación de ciertas series). Se ampHa
el númer.o de problemas para la aplicación del cálculo operacional al estudio de ciertas funciones (de función gamma,
función de Bessel y otr.), está aumentado también el número
de problemas para la representación de funciones dadas gráficamente. Está reelaborado el párrafo dedicado a las aplicaciones conformes. Está incrementada la cantidad de- ejemplos que se analizan rn el texto. Están eliminadas unas
erratas e inexactitudes; algunos problemas que tenían
soluciones muy complicadas están sustituidos por más simples.
M.L. Krasnov
A .l. Kiseliov
q.. I . M akanrnk'!
.:./'·.
·,
Introducción
En el presente :volumen están reunidos más de 1 000
problemas y ejercicios· de las más importantes partes de
las matemáticas superiores: funciones de una variable
compleja, .cálculo operacional y teoría de la estabilidad, los
cuales el lector tiene que resolver por sí mismo, particularmente. Dichos problemas están cogidos de la actividad
práctfoa. de los especialistas técnicos, con los cuales chocan
los ·estudiantes después de haber cursado los estudios .
Este manual puede ser útil también para los lectores que
desean estudiar individualmente dichos materiales especiales del curso de matemáticas superiores.
- De las selecciones ·de problemas conocidas, dedicadas a
las materias indicadas este libro se distingue por las caraQterísticas fundamentales siguientes: por sí mismo represe~tá :un manual-guía de metodología que contiene breves
conodmientos teóricos acerca de cada punto de empalme;
ejercicios y prohlAmas con resoluciones y explicaciones detalladas como ejemplos, gran cantidad de problemas y
ejercicios para resolverlos individualmente. Casi todos de
ellos poseen respuestas, y en algunos casos están dotados
por explicaciones para su resolución, o con breves soluciones. Todos los problemas y ejercicios se disponen según
determinada sucesión: de lo simple a lo complejo.
El libro presupone que el lector trabaje sistemáticamente con el material elegido . De acuerdo con ésto, el número de problemas y ejercicios está restringido de modo
que él podrá por lo menos resolver la mayoría ele ellos. En
lo que se refiere al contenido de ejercicios, los autores intentaron evitar según la posibilidad los ejemplos de elevada dificultad técnica. Sin duda, ésto no significa, que en
el libro no haya problemas complejos.
Los autores prestaron principal atención al aspecto matemático del tema, únicamente, en pocas palabras exponiendo el sentido geométrico y físico de ciertos problemas
A examinar.
Autore.s
..... ......
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·" '" -.~ ..--.., ,,,. -
Capítulo I
Funciones de variable compleja
§ 1. Números complejos y operaciones con ellos
E l númer(I complejo z se llama la expresión del tipo
Z =X +
iy
(la forma algebraica del númer o complejo), donde x y y son l os númer os r eales cualesquiera y i es la unidad imaginaria que satisface
la condic,ión i 2 = -1. Los números x y y se llaman correspondientemente l as partes reales e imagi narías
del numero complefo z y .se deno- '
y
minan
M
x = Re z,
y= Im z.
z
El número com.Plejo = :e - iy se llama conjiigado al número
.complejo z = x
iy.
Los· númer os complejos z1 =
=Xi
iy1 YcZz = x 2
íy 2 se consider an ser iguales cuando y sólo
y
cuando x~ = x 2, Y1 = Y2·
.X
El numer o complejo z = x
iy se r epresenta en el plano X OY
Fig. 1
por el punto M con l as coordenadas (x, y) o por el vector, el origen
del ·cual se encuentra en el punto O (O, 0) y su extremo se encuentr a
en el punto M (x, y) (fig. 1). La l ongitud p del vector OM se llama
el 1n6dulo del número complejo y se denomina 1 z ¡ , así que p = 1 z 1 =
= 1! x 2
¡¡2. El ángulo <p formado . por el vector OM con el eje OX
se ll ama el argumento del número complejo z y se denomina <p =
= A'rg z; el se determina no un1vocamente, sino con exact itud hasta
el sumando que es múltiple a 2n:
+
+
+
+
+
Arg z
=
arg z
+ 2kn
(k
= o, ±1, ±2, . .. ),
. donde arg z es el valor principal Arg z que determin an las eondiciones
..'
.. ·. .
-.n:
< argz~· n ,
"•'··~-
10
Funci6n de variable compleja
con todo esto
¡
arg z= {
1
l
[Cap. 1
si x >O,
arctglL,
X
n+arctg JL.,
si x< O, y >O,
X
y
-:rt+arctg -:¡: , si x<O, y>O,
n/2,
-:rt/2,
(1)
six=O,y>O,
si x=O, y<O .
Tienen lugar las relacfones siguientes:
tg (Arg z)=JL,
y
sen (Arg z)
X
cos (Arg z)=
X
•
Vx2+y2
Dos números complejos z1 y z2 son iguales en el caso y sólo en el
caso, cuando sus módulos son iguales y sus argumentos son iguales
o se distinguen en la magnitud que es múltiple a 2:rt;
l
Z11
= l
z2 ! , Arg z1
=
Arg z 2
+ 2:rtn
(n
=
O, ±1, ±2, ... ).
+
Sean dados dos números complejos Z1 = X1 + iy1, Z2 = X2
ÍY2·
1. La suma z1
z2 de los números complejos z1 y z2 se llama
el número complejo
+
Z:i
+
Z2
= (x¡
+
X2)
+i
(y¡
+ Y2)·
2. La diferencia z1 - z2 de los números complejos z1 y z 2 se
llama el número complejo
Jr¡ -
Z2
=
(x1 -
X2)
+ i (Y1 ·- Y2).
3. El producto z1 z2 de los números complejos z1 y z2 se llama el
número complejo
.
Z¡Zg
=
(x1x2 -·
Y1Y2)
+ i (x1Y2 + a;2Y1)·
De la definición del producto de los números com1Jlejos sigue en
particular que
z; =
x2
+ y2 = z !2.
1
4. El cociente ::. de la división del número complejo z1 en el nú,.
mero complejo z2 ~ O Sff llania tal númer o complejo z que satisface
a l a ecuación zz2 = z1 . Para el cociente tiene lu¡;ra;r fo. fó:rmuJ¡,i.
. . .. .,'
11
Números complejos- y -operaclones ..con ellos
1 1
· _·Aquí fué utilizada la fórmula z2 1 = ~2 ·9 •
La fórmula (2) se pµede escribirla en la forma
Z1
. X1X2
+
+.
Y1Yll
xª+Y~
z;=
1
a:2Y1 -
X1Y2
x~ + Y~
. .·. · La parte r eal Re z y la parte imaginaria Im z del número complejo .z · se expresan a través de los númer os complejos conjugados del
modo siguiente:
_
·
;+z
Rez=~-,
,. ____, ..... . ..
2
·--~···~·-- ·
z +z
+z
Ejemplo l .. Mostrar que 1
2 =; 1
2•
Demostraci6n. Según la definición tenemos
z1
+z
2
+x
i (y + y = ·(x
+ (x2 - - iy = z1 + Z2.
= (x1
2) -
2)
1
1 -
ty1 )
+
2)
i. Demostrar las relacionas siguientes:
a) Z1 - Za= Z1 - za; b) -;1z2 = Z1;2;
e) ( -1.)-- - .3.L·
'
Z2
•.
Za
d) -z1 + -z2-- z1 +
. za·
· Ejemplo 2. Hallar las soluciones r eales de la ecuación
(4
+ 2í) X + (5 -
3t) y
=
13
+
t.
. Solución . Separemos en el miembro primero de la ecuación la
parte real e imaginaria: (4x
5y)
i (2x - 3y) = 13
i. De aquí
según la definición de la igualdad de dos números complejos obtenemos
+
+
+
4x
5y
{ 2x - 3y
+
=
=
13,
1.
Resolviendo este sistema, hallamos
X =
2,
y = 1.
Hallar las soluciones reales de las ecuaciones :
2. (3x - i) (2
i)
(x - iy) (1
-2i) = 5
6i.
· 3. (x - iy) (a - ib) = t6 , donde a, b son los números
reales dados 1 a 1 =!= 1 b 1·
+ +
__
4.
1
z_,,_i
+
2+i
i+i
= ,¡-v 2,
+
donde z=x+ iy.
5. P resentar el número complejo
. en la forma algebraica.
+
1
(a +~b)2
1
+----(a- fb)
2
\
·.
,r
12
Función de variable compleja
v1+x2 +ix
.
= i (x es
x-i lf 1+x2
6. Demostrar que
"'
[Cap. 1
real) .
t
, d
.. 1 .
1
.
7•. E1 xpresar x y
y a raves e u y v s1 --+--. =
'
x + iY
.u+iv
= 1 (x, y, u , v son los números reales).
8. Hallar todos los números complejos que satisfacen
la condición z- = z2 •
Ejemp lo !J. Hallar .el módulo y argumento del número complejo
z= -sen
:rt
8
-i
:rt
cos S.
Tenemos
Solución .
x=-sen
1t
8
n
<0,
y= - COS
3<0.
El valor principal del argumento según (1) será
argz = - :rt +arctg ( ctg;) =-n+arctg [ tg (
3
=-n+arctg ( tg
8
)
:rt
~
'
3
5
=-n + n=-
8
8
-
~)
J=
:rt.
Por consiguiente,
Argz=-
,z, =
5
8 :rt+2kn
v
sen2
~
(k=O, ±1, ±2 , ... ),
~
+cos2
= 1.
9. En los problemas siguientes hallar el módulo y el
valor principal del argumento de los números complejos:
a) z=:4+3i;
b) z = -2 +2 V3i ;
+i sen
e) z = - 7 - i ;
d) z = - cos ~
e) z = 4-3i;
f) z = coscx-isena(n < cx<
Cualquier número complejo z
.en l a forma trigonométrica
.z .= p (cos qi
+ i sen q>) ,
=x+
donde p
ty (z
=
=fo
1 z 1,
~ ;
~ n) .
O) se puede escribirlo
<p = Arg z .
Ejemplo 4, Escribir en la forma trigonométrica el número complejo
z = -1 - i. 1(3.
;.
-
.-- . .:. :
.. ~
..... .
§ .1]
13
Númetos comp lejos y opemciones con ellos
Soluci 6n. Tenemos
1z1=V<- 1) 2 + <- 1f3)2 =2; tg
q> - \
3
Por consiguiente,
-· 1- t
lf 3 = 2 [_ cos ( -
;
<p=-: n.
~ J.
=-vs,
n)+ i sen { -
n}
Ejemplo 5. Hallar raíces reales de la ecuación
cos x
,•
+ .sen
i
:i=
1 + ¡¡
3.i .
2
Soluci 6n. La ecuación dada no tiene raíces ~ En efecto, esta ecuación es equivalente a las siguientes: cos2 x = 1/2, sen x = 3/4. Las
últimas ecuaciones son incompatibles, porque cosll x
sen2 x =
= 13/16, que es imposible para ningunos valores x . ·
Cualquier número complejo z =f= O se. puede escribirlo en la for- ,
ma exponencial
·
z· = peicp,
dondep=l z !, cp =Arg z.
+
<
Ejemplo 6. Hallar todos los números complejos z "fa O que satisfa-
cen Ja condición zn-1 = Z.
Solucí6n. Sea z = petfP. Entonces z-= pe-fcp.
Según la condición
p n -tei(n-1)cp = pe - iq¡
0 · pn~2eincp = 1,
2
de donde p11 - 2 =i , es decir, p=1 y tnq>=2kni , es decir cp= kn
n
(k=O, i, 2, . .. , n -1). Por consiguiente,
i~
ZJ¡; =
e
n
(k=O, 1, 2, .. ., n - 1).
10. Expresar los siguientes números complejos en · la
forma t rigonométrica:.
a) -2; b) 2i; e) -V2+ i V2;
d) 1-sena+icosa(ü<a<
e) 1 + cos et+ i. sen a
1
+ cos et -
i
sen a
~)
(O < a< ~2 ) .' .
en la forina exponencial:
f) -2;
g) i;
h) - i;
j) sen a- i cosa (
~
i) -1...-
<a< ;ri: ) ;
i Y3 ;
k) 5 + 3i. ·
Sean los números complejos z1 y z2 dados en l a .forma trigonomótrica z1 = p1 (cos cp1
t sen <1>1), z2 = p8 (cos 1P2
t sen <1>2)·
+
l ri,\\t,:;;
+
i4
[Cap. 1
Función de variable compleja
Su producto se halla mediante la fórmula
Z1Z2 = P1P2 [cos (cr1
+ cr2) +
i sen (epi
+ (jl2)l ,
es decir, durante la multiplicación ele los números complejos sus
módulos se multiplican y sus argumentos se suman:
Arg (z1z 2 )
=
Arg z1
+ Arg z 2 •
El cociente de dos numeros complejos z1 y z 2 =f=. O se halla por la
fórmula
es decir, ·
z;- '
Z¡ ¡'
l Z¡ 1
1-;;- =
La elevación del número complejo
z
=
p (cos
q:i
+ i sen qi)
a la potencia natural n se realiza por la fórmula
l zn l = pn (cos mp + i sen ncp),
es decir,
l zn l
=
1 z ln,
Arg· zn
=
n Arg z
+ 2nk
(k
=
O, ±1, • .. ).
De aquí se obtiene la fórmula de l\foivre
(cos cp
+ i sen qipi = cos ncp + i sen ncp.
Las propiedades del módulo de los números
complejos
1. ¡;¡
= ¡z¡;
2.
zz= fz\ 2;
3. lz1z2I = [z1 l lz2 [;
lzi! _ lzd
.
5. ~--¡z;¡- , z2 ,;fr. O,
4. lzn ¡= ¡z ¡n;
7. [z1 +z2 l< Jzil + lz2I;
8. !l z1 1- lz2l l ~ l z1 - z2 I ·
6. [Re z l ~ l z l, !Imz[ ~ l z [ ;
E jemplo 7 . Calcular (-1 + i 1f3}6o.
So lución . Presentemos el n úmero z = -1
t rigon omét rica
-1+ q / 3 = 2( cos ; 31: + i sen
+ í tf 3 en
~
n) .
l a forma
15
Números compleios y operaciones con. ellos
la fórmula de la 'elevación a potencia citada arriba, obten-
(-1+q/3) 6º=26º[cos (60. ~ :rt)+isen(60· ~
= 2so (cos 40:n+ i sen 40l't) = 2 60 •
n)]=
Ejemplo 8. Demostrar que el polinomio
f (x)
=
(cos a+ x sen a.)n -
se divide en x + 1.
Solución. Tenemos xn
la fórmula de Moivre
2
f (i)
=
=
+1=
(x
cos na. -
+ i) (x -
(cosa+ i sen cz)n - cos ~a cos no:+ i sen na - cos na -
Por analogía f (-i)
=
O. Es decir,
x sen na
i). De acuerdo con
i sen na=
i
sen na=O.
f (x) se divide en x 3
+ 1.
H. Demostrar que el polinomio
j (x) = xn sen a - A,n-l x sen na+ ¡.n sen (n - 1) a
•
se divide en x 11 - 2A.x cosa + A. 2 •
12. Calcular:
ª) ( 1-!-i-V3)"'º·
1-i
'
d) (
1- í
1+ i
b) (2~2i)7 ;
)ª' '
13. Demostrar que
1-!-itga
· ( 1-i tga
)n
1-!-i tg na
1-i tg na •
14. Demost rar que si
(cos a
i s·en
= 1, entonces (cos a - i sen a)n ' 1.
15. Utilizando lá fórmula de Moivre, expresar mediante
· l as potenci as sen cp y cos qi las funciones siguientes de los
ángulos múltiples:
a) sen 3qi; h) cos 3qi; c) sen 4<p; d) cos 4qi; e) sen 5cp;
f) cos 5qi.
ar
+
La wí z de l a potenci a n del número complejo z tiene n val ores
diferentes que se h allan mediante l a fórmula
ry-
- y z
( cp +n2kn -t
= nri-ylf'"='I
¡ z 1 cos
i
sen . cp +n2kn ) ,
k = O, 1, 2, . . . , n - 1, <p = arg z .
. Los puntos que cor responden a los val or es ~íZ, son l os v értices
n-polígono regular inscrit o en l a circunferencia del r a dio R = Vrzl
con el centro en el origen de coor denadas.
16
Función de variable compleja.
. [Cap . .
La raíz de potencia n del numero real a también tiene n d~stinto
valores; entre estos valores tenemos dos v alores reales, uno o niugun·
depende de la paridad o impa"ridad de n y del signo del número a.
Ejemplo 9. Hallar todos los valores
Solución. Reducimos el número complejo 1 ,--- i a la forma tri
gonométrica
vr::::-¡.
1- i= 1f2 [ cos ( - ~ )+tsen (- :~)J.
Por consiguiente,
Suponiendo k
=
O, 1, 2, 3, hall.amos
(k=O)
fíi-t=V2 ( cos ~ - i sen
(k =1)
~r7 n) ,
y 1-i= r 2 cos 7 n+i sin 16
y-(
; ),
6
16
En los problemas siguientes hallar todos los valores
raíz:
16. a)
Y -1;
t7. a)
iYI;
18.
b)
r
b)
-Vi ;
Yi ;
e)
- 1 + i;
d)
d~
y - i.
e) V 2 - 2V 3i.
VY2 (cos ~ + sen ~ ) .
i
Ejemplo JO. ¿Qué conjunto de puntos en el plano de la variable
compleja z se determina por la condición
Im z2
Solución. Sea z
z2
2?
+ iy. Entonces
(x + iy)B = (x2 - y + i2x y.
=
=
>
x
2
)
Por consiguiente, Im z2 = 2xy.
Según la condición 2xy > 2 o xy > 1. Esta desigualdad determina el conjunto de puntos en el primer y tercer cuadrante sobre y debajo
·
de la hipérbola xy = 1.
Números complejos y operaciones con ellos
§ 1]
17
Ejemplo 11. ¿Que conjunto de puntos en el plano complejo se
determina por la conrlic.ión
1t
3
~ arg(z+1-i) ~
n?
4
2
Solución. El número complejo
z
+ 1-
i =
z - (-1
+ i)
se representa por el vector, el origen del cual es el punto - 1 + t, y el
extremo del cual es ..el punto z. E~ ángulo entre este vector y el eje- OX
es arg (z
1 - i) y él se cambia en
-.
y
los límites de - ] hasta~ n . Por
consiguiente, la desigualdad d¡¡da determina el ángulo entre las rectas
que salen del punto -1 + t y que
forman con el eje OX los ángulos
de - ~y ~ n de radianes (fig. 2).
Ejemplo 12. ¿Qué dominio se determina por la condición 1 z 1
Re z < 1?
Solución. Sea z = p (cos cp
+ i sen <p). Entonces 1 z 1 = p, Re z=
= p cos <p. Según la condición p
X
+Pcos cp < 1, de donde
+
+
+
+
;
1
-1
P< 1+cosq> ·
Esta condición la satisfacen todos los
puntos que se encuentran en el dominio limitado por la curva
Fig.-j2
1
i
p= 1 -j- cos <p
(ecuación de parábola en coordenadas polares).
En los problemas siguientes hallar conjuntos de puntos
en el plano de la variable comp1eja z que se _determinan por
las condiciones dadas:
19. a) /zj ~ 2; b) R ~ 1, z=;60; e) 1+1~2, z*O.
20. a) lz-5i !=8; b) lz--1 -i !~4.
21. a) 1<1z+i1<2, ~ < arg z < ~
h)
2<1·z 1<3,
22. a) j
2-0662
~ <argz<
:+~ j. ~1;
b)
i re.
O~Imz~ 1.
1:8
Funci6n ·de variable compleja
23¡ a) 1
< ! z + 2 + i < 2;
1
b)
1
z - 1 1<
[Cap. 1
1
z - i [;
e) 1<Rez<2.
24. 1z - a 1< 11 - az-1 (a es real , 1a 1<1),
25. a) 1 z t > 2 + Im z; b) 1 z 1 - Re z <O.
26. Im ;-2 < 1.
27. 4 1 z -1 1 + 1 z + 1 1 8.
<
'(1)
28. a) Im
_-;:
<- 2'1
<
7'· +
; b) 41 < Re (1)
+ Im. . ( _.;..)
< !.
z. ·.·
+
Ejemplo 13. ¿Quó curva se da por la ecuac1on 1 z +e 1
e 1 = 2a, donde e y a son los números reales positivos, al
mismo tiempo a> e?
Solución,. 1 z
e 1 es la distancia entre los ¡mntos z y -e;
1 z - e 1 es:lá distanda entre los punto,s z y c. Según la condición
la suma ·de distancias del punto .z hasta los dos puntos dados z1 = -e
y z 2 = e es cOi:ls.tante. En ese caso el punto z se encuentra en elipse.
La ecuadon :de· esta elipse ~iene la forma
+
1
z,~
+
donde b2 :=:,'
é~ c
2•
~;;in.plo .14.·:¿Qué
curva se define por la ecuación Re(!)=!?
Solución. Sea z = x
+ iy.
Tenemos
!: + .!
Re (
!. ) . z
2 z
Según la condición · ·
X
Esto es la circunferencia (x '--- 2) 2
+ y2 =
4.
29. ¿Qué IÍriea forma el conjunto de todos· 1os puntos
ty, si y _obtiene valores reaJes cualesquiera?
30. ¿Qué línea forma el conjunto de todos los puntos
z = x + 2i, si x o})tiene valores reales cualesquiera? ·
z
= -2
+
~····..··.
,.
19
Números complejos y operaciones con ellos
~~n: :::.~ -:_
. Indicar qué líneas se determinan por las ecuaciones si•
~{~f:<:riientes:
Re z2 = 1 ·,
( 1)
1
~:jj?fi:J · 31. a) Im z = 2; b)
e) Im 7 =2·
2
~-·p~·r
32. a) Re(~
rr:-.c,·
33. z2
34. 2zi
)=1;
h) Im(z2 -z)=2-Imz.
+ z = 1.
+ (2 + i) z + (2 2
i) i = 2 .
.35. a) ]z-il+ lz+il=4; b) l-zl-ilz + iJ=2.
36~ a) 1 z 1- 3 Im z = 6; b) 3 1 z 1 .:.._ Re z = 12.
37. a) j Z - 2 J = j 1 - 2z j; b) j Z - Z¡ J = J Z - Z2 J;
e) Re-(z2 - z) = O; d} Re (1
z) = 1z ¡.
+
Ejemplo 15, Escribir en la forma compleja la ecuación de la
rec_ta
(3)
Ax+ By+ C = O.
· Solución. Sea z
=z
= x + iy,
z= x -
i+z
- ,
ty. Entonces x = -
2
z i. Sustituyendo en la ecuación (3) las expresiones para
x y y, obtendremos
. y
2
A (z
o
. (A
+ z) -1- Bi (;' -
+ tB) z+ (A -
z)
iB) z
-1- 2C =
O
+ 2C =
O.
(4)
Introduzcamos la denominación
A+ iB =a.
··Entonce¡¡ la ecuación (4) toma la forma
az + az + 2C = O.
.
E.templo 16. Escribir en la forma compleja la ecuación de la
: ciréunferencia"
.
.
~
y2
2x
2y = o.
· S oiución. Teñemos
+ + +
':=··.'
, .
XS
+y
2 .__
1 ~ 12
=
zZ:
2x
= z+ z,
2y = t
Slistituyendo en la ecuación (5) obtendremos
zz + z-+ z + ¡. (i-:- z) = O
zz.-
+ (i
-
.t) z.
+ (i + t) r.-= º'.
(z -
z).
' '" ~ . . .... _
. 20
,, •·- :- · · - - - - · ···•- -.., ., ' · t.•...i., '-·~""·-,.'-"""•...,'ill!:~·Jl•·~• ···~"'··-'':••I"'"····" "M'.·-
Funci6n de variable co mpleja
[Cap. 1
Ejemplo 17. ¿Qué línea en el plano XOY se determina por la
ecuación
sz -!- i (z -
Z) - 2 = O?
(6)
+
Soluci6n. Sea z = x
iy.
Tenemos z-= x - iy, zi'= z2 +y~.
La ecuación (6) obtiene la forma
x2
o
+ y 2 - 2y .:.... 2 = o
+ (y - 1)2 = 3.
:i;2
Esto es la circunferencia del radio R
punto (O, 1).
.
(
!
-V3
con el centro en el
Escribir en la forma compleja las ecu aciones de l as
líneas siguientes:
38. a) De los ejes de coordenadas OX y OY; b) de la
recta y = x; c) de la recta y = kx + b, donde k, b son
. reale,s.
·
39. a) De la hipérbola equilátera x 2 - y2 = a 2 ; b) de la
circunferencia x 2 + y2 + 2x =O.
Problemas diferentes
ltesolver las ecuacione::i:
40. z3 + 3z3
41. z' - 4z3
+
3z
+ 6z
2
+3=
-
O.
4z - 15
=
O.
42. Hallar el número complejo z, la representación del
cual es el punto del segmento z1z 2 que se encuentra de z 2
en dos veces más lejos que de z1 .
43. ¿A qué vector se convierte el vector a
ib siendo
especulativo su reflejo en la bisectriz del primer cuarto?
44. ¿A qué vector se convierte el vector - V3 3i al
girarlo en el ángulo de 90º?
.
3 - i al
45. ¿A qué vector se convierte el vector girarlo en el ángulo de 120º?
46. Hallar el ángulo en el cual es necesario girar el
~ t.
vector 4 - 3t para recibir el vector -
+
.1
+
V
J2 +
2
47. Hallar el ángulo, en el cual es necesario girar el
vector 3 V2 + i2 V2 para recibir el vector -5
to
Resolver las ecuaciones:
48. (x +
(x = O (x es real) •
49. cos x + i sen x = sen x + i cos x.
+
;·
¡:
¡1
¡
ir -
ir
21 .
Funciones de variable comple;a
50. Hallar el vector, que se obtendrá al girar en 45°
+ 4i.
. 5t. El centro del cuadrado se encuentra en el punto
z0 = 1 + i, y uno de los vértices se encuentra en el punto
z1 = 1 - i . ¿En qué puntos se encuentran los demás vértices
del cuadrado?
, 52. Sea que z1 , z2 , • • • , Zn son las raíces de la~ecuación
zn - 1 = O (n > 1).
·
Demostrar que z1 + z 2 + ... + Zn =O.
Hallar las sumas siguientes:
53. a) sen x + sen 2x + . . . + sen nx;
b) cos x + cos 2x
+ cos nx.
54. a) sen x + sen 3x + . . . + sen (2n - 1) x; ·
h) cos x
cos 3x
+ cos (2n -:- 1) x.
y duplicar el vector z = 3
;.-·
+ ...
+ ...
+
§ 2. Funciones de variable compleja
·b-'''
i::~ :··
· ..
Didcen que en el dominio D está determinada la función w = f (z),
· si: a ca a punto z E D está asignado uno (función uniforme) o varios
:v,, ·
(íiní:ción multiforme) valores de w.
E.~_.,:.·:·:.'•·.·..:·.. · . puntos
·
Dedesa manera, la función w = f (z) realiza la aplicaciódn de los
e1 p1ano complejo z sobre 1os puntos correspondientes el plano
''.
. complejo w.
~'=-·: '.:;
: Sea z = x
iy y w = u
iv. Entonces la dependencia w =
~:·
== f (z) entre la función compleja w y la variable. compleja z puede
.....
ser trazada mediante las · dos funciones reales u y v de variables rea.,
+
t%;,
les x y y
<'.V··- ..
t>. ,·
t> ·.
~;;.'.
+
u= u (x" y),
v
=
v (x, y) .
+
:i~~~f:n~~ s:~ ~ ~y:-~z: u+ tv obtendremos
u + tv = (x + iy)
i (x - íy) = ·
8
8 -
=
(x3 -
3xy2 -
y)+ i
(3x~y -
y8
-
x) .
¡;tf¡'/;; '. Por consiguiente, la igualdad w = z tz es equivalente ados igual~g.{>·; .d~des
3 -
.
zt
= xs -
3xy2 -
y"
~?:,; :· •
{ V= 3x2y - X - yS.
J.1%-~</.:· !>Hallar para las siguientes funciones la
parte real e ima_
1
· 55. w = z - iz2 ; b) w = z2 + i ; c) w = i - zª; w = -=- ;
f~~~~,·¡'.1)'.: ~f!laria:
·
;~¡~J/, io= ~:¡i ;
-~·:-·> .
f)
W=
=.
'
t•·
22
Función de variable compleja
[Cap. 1
En los problemas siguientes hallar las imágenes de los
puntos dados para las aplicaciones señaladas:
b) z0 =1- i, w = (z - i) 2 ;
56. a) z0 = - i; w = z 2 ;
-
1
d) Zo=2+3i, W=..:._,
e) z0 = 1, w=--.;
z-i
t
. Sea g:ue en el plano z la curva se da por la ecuación F (x, y) = O.
Para hallar la ecuación de imágen <!> (u, v) = O de esta curva en el.
plano w para la aplicación mediante la función w = f (z) = u
iv,
es necesario excluir x y y de las ecuaciones
U=U (x, y),
+
{
v=v(x, y),
F(x, y)=O.
Si la curva está prefijada mediante las ecuaciones paramétricas:
x=x(t},}
(
(
)
Y=Y (t). o z=.z t}=x t)+ty (t,
entonces las ecuaciones paramétricas de su imágen para la aplicación
w = f (z) = u
tv serán
+
ii~u[x(t), y{t)]=U(t),}
v= v [x (t), y (t)] =V (t}.
l '
i;'
,.¡!:
¡i
!::
Ejemplo 2. ¿En qué curva se transforma la circunferencia unidad
1
z
1
=1
mediante la función w = z2?
Soluct6n. Puesto que según la condición
l w 1
=
1
z
2
1
=
1
z
1
1, entonces
=
1.
De esta forma, la imagen de la circunferencia 1 z l = 1 en el
plano z es la circunferencia 1 w l = i que pasa dos veces en el plano w.
Esto se desprende de lo que si w = z2 , entonces Arg w = 2 Arg z +
2lm y cuando el punto z traza la circunferencia completa ! z. I = 1
su imágen ·traza la circunferencia 1 w l = 1 dos veces.
E.jemplo B. Hallar la imágen de circunferencia
z = R cos t
iR sen t
(O ~ t < 2n)
. .,
z
para 1a apl icac1on w= = ·
z
+
+
+
Solución. Sea z = x
iy. La ecuación dada de la circunferencia
se puede escribirla en la forma
X=
R cos t,
(O ~ t
<
Separemos la parte real e imaginaria de la función w
mos
2n).
=
u
+
tv. Tene-
"i,
23
Funciones de variable c<Jmpfoja
1~1~;aqui
u-::+::'
v
z•~y•.
h-t:•'~::·· sustituyendo x = R cos t y y = R sen t en u y v obtenemos las
./::~ ~cuaciones paramétricas de imágen de la circunferencia
J:.'<':::
jiW:p~;
{u•-:r;~z::.:: ~···· ·
· ·. .
cos2 t-sen2 t·
l f¡;··".. + ~ _..
i~ft 2.:.
~T·'i
cos 2t,
.
:. · Pues, l.a imágen es la circunferencia de unidad que pasan dos
/·veces que s_1gue de lo que O~ t < 2:rt, y 4e l_as fórmulas {:to).
:~.'~·· '
57. Determinar en que líneas <;lel plano w se aplican
~;~,::·~ ~ .:
';./:' · mediante la función w· = ! las líneas siguientes del plano ·z:
·- z
1
a) lzl = z- ; b) Rez=O;
3
n
·
c)argz = ¡n;d) a.rgz~=-y;
. ~)
Rez= Imz; f) Jz l = .z.
· 58. Hallar las imágenes de los ejes .de· coordenadas OX
· Y. -OY para las siguientes aplicaciones:
·
·
z+1
1
b) w=1+-z.
a) w:..__z-i;
Principales funciones elementales
de variable compleja
1. La funcf.6n racional fraccional
-
aozn+a1zn-1+ ... +an .
1+ . . • +bm· '
. en particular, la función racional es el polinomio
w- b0 zm+b 1 zm
.w
=
a0 zn
+ a zn-l + ... + ª n'
1
~· / :< pote!~i~a ~~~::;e::t°ab:ol~fa e:ns~o~~i~i ;la1!~ ~~~~~j0 de la sede
~~füt;Ú función oxpon:,,7,: :::,: ~~ ·~,:p2d:~ ·,igui•nt"
;,;,¡.~\(·,. ·... '
a) eZ1+z2=
·é1
: :/{;::f,~',·; ~;
h) ez+Zilni
= ez
í}'>'
·.· <:cuale:iquiera,
·e7 2, .donde z1 y z. son las magnitudes complejas
~
(k
= O, ±1, ±2, ...) es decir,
··'.:,_.,:,, periódica con el período 2ní.
:~:~::·~~:·.~
·._:'°_
'
ez
es la función
24
Función de variable compleja
[Cap. 1
3. Las funciones trigonométricas sen z y cos z se determinan por
las series potenciales:
zS
z2n+ l
senz=z-sr + ···+(-1)'i (2n+ 1)!
z~
z2
cosz=
+ .. .,
z2n
1-21+ 41- .. , + (-1)n (2n)l + ... ,
convergentes absolutamente para cualquier valor complejo z. Las
funciones sen t y cos z son periódicas con el período real 2:t y tienen
solo los ceros reales z = kn y z = n / 2 + kn correspondientemente,
donde k = O, ±i, ±2, ...
Para las funci ones e2 , sen z y cos z tienen lugar las fórmul as de
Euler
e-tz= cos z - i sen z,
(1 )
efz = cos z
t sen z,
+
de donde
cosz =
elz+e-t z
2
,
sen z=
eiz - e-tz
(2)
2i
L as func.iones t g z y ctg z se determinan por las igualdades
cos z
t z- ~
ctgz=--,
g - cosz '
·
sen z
(3)
Para las funciones t).'.igonométricas actúan todas las fói:mulas de trigonometria.
4. Las funciones hiperbólicas sh z, ch z, th z, cth z se determinan
por las igualdades
ez-e-z
ez+e-z
z
(4)
chz= - -- - ,
2
2
sh z
chz
(5)
cth z= b:""""'
thz=-h-'
e z
s z
sh
5. Las funciones trigonométrtcas e hiperbólicas se unen entre si
por las relaciones siguientes:
sen z = - i sh iz,
cos z = ch iz,
tg z = - i th iz,
ctg z = i cth iz,
h
L
r
.¡
sh z = - i sen iz,
ch z = cos iz,
th z =
cth z =
i
i tg tz,
ctg tz.
6. La función logarCtmica Ln z, donde z =I= O, se determina como
función inversa a l a exponencial, al mismo tiempo
Ln z
=
+ i Arg z =
ln 1 z 1
(k
= o,
+
ln 1 z 1
t arg z
±1, ±2, ... ).
+ 2kni
(6)
,..
.
25
Funciones de variable compleja
§ 2]
Esta f\tnci6n es multiforme: El valor principal Ln z se llama aquel
valor que reciben para k = O; el se denomina In z:
In z = ln 1 z 1
i arg z.
Es evidente que
Ln z = In z
2knt,
k = O, ±1, ±2, ; ..
+
+
Las relaciones siguientes son váli<las:
Ln (z 1z 2) = Ln z1 Ln z2 ,
+
;...
Ln (
:~) =Lnz1 -Lnz2 •
7. Las funciones trigonométricas inversas Arcsen . z, Arceas z,
. .Arctg z, Arcctg z se definen como funciones inversas correspondientes
a las funciones sen w, cos w, tg w, ctg·w.
Por ejemplo, si z = sen w, entonces w se llama arco seno del
número z y se designa w = Arcsen z. Todas estas funciones son multiformes y se expresan a través de las funciones logarítmicas
Arcsen z= - i Ln (íz+ lf 1-z2 );
(7)
Arecas .z = - i Ln (z+ lfz2 - 1);
(8)
1+ tz
Arctgz= - - Ln - - ·
-
t
(9)
f.....: iz '
i
z+ t
(iO)
Arcctgz=-Ln .
2
z-i ·
·.· :::.
: . ·.__
Si tomemos los valores principales de las funciones logarítmicas
,;; · · - correspondientes, recibimos los valores principales de las funciones
,...~\ ,. . t_
rigoilométricas inversas arcsen z, arccos z, arctg z, arcctg z.
8. La funct6n general potencial w = zª, donde a= o;+ iP .es el
;i;: · j-¡úmero complejo cualq1liera, se determina por la igualdad
2
( ..:
:'> ·
i,:?:'~~eión, ~~ne<~, ~::::~:.~filtif~e; ru volo• p•indpal
~Plli~;,/.
· ~·
.L a fzmci~n general expo:iencial w = az (a =fa O es el numero
~~. ~t;i~º~~p~eJO
cualqmera) se det.e rmma por la igualdad
"~··· . :.>.:·:·;~;_. ~~ .¡:~ ~
aZ=ezLna.
~áloi· principal de esta función multiforme es az
=
ezln
ª.
:'f,~§~parar la parte real e imaginaria de las funciones
"g\Hentes:
k:.)59. a} w = 2z - 1; h) w = z + z2 ; e) w = z-1.
(j!-,.
· :6,0; a) w = e-z; b) w = ez·; e) w =sen z; d) w 'f
•
_,,
·~p(z
,..
-
~·1
.·.··
t) .
.··.
-~
[Cap. 1
Ejemplo 4. Hallar el valor del módulo de la función w
en el punto
=
sen z
z=tt+ t In (2+ lf5) .
;
..,
l
Función de variable compleja
61. a) w = 222 ; b). w = sh z; c) w = tg z.
!J
!
26
•" . •
· Soluci6n. Sea z
= x + ty. Entonces
w = sen x ch y + t sh y
cos x.
El módulo de la función sen z es igual a
1senz1
=lf sen2 x ch2 y+shª y cos2 x=
•=1fsen
2
x ch2 y+sh2 y (1 - sen2 x)=V sen2 :z:+sh2 y .
Suponie~do. z=tt+iln(2+lf5), hallamos
2.
Este ejemplo muestra que la función trigonométrica sen z en la
región compleja puede obtener los valores por mó~ulo más que unidad .
. En los problemas siguientes hallar el valor del módulo
y · el valor principal del argumento de funciones dadas en
los puntos indicados:
•62. w = cos
63. w
=
z,
a) Z1 =
sh z, z0 = 1
64. W = ze
2
,
~
+ i In 2;
+i;
b)
Z2
= :ri
+ i In 2.
.·
Zo = ni.
65. w = ch2 z, z 0 = i In 3.
66. Hallar logaritmos de los números siguientes:
a) e; b) -i; e) i; d) -1 - i ; e) 3 - 2i; f) ii.
67. Hallar:
1
a) ii; b) i i ;
f) (
~3
e) 1i;
++r+í ;
d)
( -1) v 2 ; e) (
Jzi)
2i ;
g) (1 - i)3-Si.
68. -H allar el módulo p y el argt~mento cp de l os números
. ·
·
complejos: a) th ni; b) 1oi; e) 32 - t.
Funciones de
var~able
27
compleja
5. Escribir en la f6rma algebraica Arcsen
=;
Solución. Suponiendo en la fórmula (7) z
§ i.
i, obtenemos
aquí
~ i=-iLn[-(~+y1+~ )=
2
=-
i [
ln (
~ -!-
V
1+
J
2
~
)
+ni+ 2kni =
n-~ In (~+V 1+ ~ )
2
=(2k+1)
~ i=-iLn(¡/1+ ~
2
Arcsen
=-
i [
ln (
=2kn-tln
V
1+
(V
--;
2
~
~
-
± 1,
~)
J.=
(k=O,
± 1,
Ejemplo 6. Escribir en la forma algebraica Arctg (1
Solución. Suponiendo en la fórmula (9) z
A
(i ')
t L i+i (1+t)
rctg +i =·-2 n 1-i(1+t)
= -
~ Ln ( ·-
± 2, ... )
)=
~ +2kni
2
1+
(k=O,
=
1
± 2, ... ) .
+
+ i,
i).
obtenemos
_.!.2 Ln _
í_=
2-i
·
! + : i)
2 )
.
Ln ( - 51 +5t
=-ln
l/ -5+(2k+ 1)ni-tarctg2.
Arct g (1 + i) =
- 21
arctg 2 + (2k+1)
(k = O,
± 1, ±
n
2
+2i 1n 11 -5
2, ... ).
la form a algebraica los sigui entes números
.. ..... .
28
Fu.ncl6n de variable compleja
~i
69. a} e 4
[Cap. 1
b) In (1-t).
70. a) sen :n:i ;
b) cos :rti;
71. a) ctg ni ;
b) Arcsen i ;
b) sh ~t
72. a) Arccos i;
e)
;
e) th ni.
Ejemplo 7. Resolver la ecuación sen z = 3.
Soluci6n. El problema se reduce al hallazgo del valor
z
=
Arcsen 3.
Utilicemos la fóimula (7):
Arcsen t =
- i Ln
(u+ lfi-'t2).
Tendremos
z=Arcsen 3= --i Ln (3i+lf -8)
o, teniendo en cuenta que
obtendremos
z= - i [Ln (3+ lf8) i],
z= - i [Ln (3-l(S) i],
Puesto que
arg[(3+lf8)i]=arg[(3-l/S)i]= ~,
1(3+ lf8) i
1=3+ vs,
1(3- lf8) i 1=3- lf 8,
entonces
Ln 1(3 ± lf8) i] = ln (3± lf8}+ ~ t+ 2kni ,
donde k=O,
± 1, ± 2,
... Por consiguiente,
z= ~ +2ktt-tln(3±lfS)
(k=O;
±1, ±2, ... ) .
Resolver las ecuaciones siguientes:
1 =O.
74. ez i =O.
73. e -z
75. 4 cos z
5 = O. 76. sh iz = - i .
77. sen z = ni.
78. e>:x: = cos nx (x es real) .
79. e2Z 2ez - 3 =O. 80. ch z = i,
81. a) ln (z
i) = O. b) ln (i - z) = 1.
+
+
+
+
+
_, ·
§ 9]
L!mtte de sucest6n de los números complejos
29
§ 3. JLímite de sucesión de los números complejos.
Límite y continuidad de una función
de variable compleja
1. Sea dada una sucesión. {zn} de los números complejos
ZJ , z2, • • . , Zn, • • •
Definición 1. El número complejo a se llama el lí mtte de una
1ucesi6n {zn}, si para f<Ualquíer número positivo e se puede indicar tal
. número N = N (e), empezando del cual, todos los elementos zn de
.esta sucesión satisfacen la desigualdad
1 Zn - a 1 < 8 para
n ;;;;,..
N, (1::) •
. La sucesión {zn} que tiene el límite a se llama convergente en el núme·
.
. ro a que se anota en forma lím z,i = a.
fl-+00
.
A cada sucesión de los números complejos {zn} le corresponden dos
sucesiones de los números reales {xn} y {yn}, donde z,.. =xn + iyn,
n = 1, 2, . ..
Teorema 1. La sucesión {zn
a=
<X
+ i!)
=
Xn
cuando y sólo cuando
lím Xn=a,
n.+oo
+ iyn}
lím
n, .... oo
converge en el número
Yn=~.
Definición 2. La sucesión {zn} se llama acotada, si existe tal
número positivo M que para todos los elementos zn de esta sucesión
· se cumpla la desigualdad 1 zn 1 ~ M.
... •.
Teornma 2. Cada sucest6n convergente es acotada.
Propiedades de las sucesiones convergentés
de números complejos
Si lím zn =a y lírn 'tn =b, entonces
n-+oo
1. lím (zn±'tn)=a±b;
.
n-+co
2. lím (zn't'n) = ab ;
n .....ao
3, lím
.!!L=
n->oo 'tn
:d::
.
Ejemplo 1. Demostrar que la sucesión
>'.'.'.,
;¡'.':>\:).'.;··•
?.' :
ba ('tn =fa O, b =fa O).
,~ffÚenefoomo el
n-t
Zn = n+:I. 9 n = 1, 2, ... ,
límite el número a = 1.
:- Soluct6n. · Sea prefijado el número arbitrario e> O. Mostremos
·~~e;· existe tal número N que 1 zn - 1 1 < s cuando n ;;;:;. N. Puesto
--·'.·if
..
c~~1
'. ..:·:,·.··.
l
::~
30
Función de variable compleja
[C•p. 1
:~~
que
lzn-1.1= 1
:+:-11=1 !!~ I= n~~ ,
1
J
~
por consiguiente, la dssígualdad lzn-11 <e
~21 <e,
es decir, para
n > ~2' -1.
que en
Que significa
calidad .de N se puede tomar
N=N(e).=[
~'2 -1]+ ~.
Aquí el símbolo [x] significa la parte entera del número real x.
Ejemplo 2. Dado que la sucesión {zn} tiene el límite a. Demostrar
que ,la sucesión {1 Zn j.} tiene el límite igual ! a ¡.
Efectivamente, debido a que lím Zn = a, entonces
11.-+00
(1)
lím lzn- a l =0.
-n-
De otra -parte, para los dos números complejos cualesquiera zn y a
tiene lugar la desigualdad (véase la · página 14)
11 Zn l
~I a ll~ lzn- al.
-lim 1 zn 1 = 1 a 1•
pe (1) y (2) obtenemos que
(2)
;t
¡
~~
·~
Condición suficiente de la ·convergencia
1)
:;t
de sucesión de los números complejos
Sea
zn
donde Pn = l·Zn 1, <Pn = arg Zn. Con eso, si _.Li-:;
lím <fln = qi0 , entonces lím zn = p0eill'o .
= Pneicpn,
lím .Pn = p0 ,
n -+oo
n ->oo
n-+-~
Ejemplo 9.
Demostrar que
lím
n-+oo
(t+_:..)n =ez, donde z=x+iy .
n
Demostract6n. Designemos
Zn=( t+ ~
r.
Por consiguient'e,
lím lznl
fl,-t- 00
= lím 1 (1+.!...)nl=
n
n~oo
n
.- 1' [ ('1_+- Xn .)2+ ny2. ]2 _:_ ]-,
-
im
. . ·_ n-+ oo
·1
~a
. 'n*~
'
·\
.,
-
- 9
.
-
l.m
n..,cio
n·
' (t+-x2+y~+2xn)2_·
- :x;•
.
,_-e
2
n.
-.
-
...
Limite de sucesión
:.:·; ..
de los
números complejos
<Pn = arg '( 1 + z, · ) = arctg _ n__
•
t+...=..
1
31
= arctg--y-,
n+x
n
~~:: : ... Por consiguiente,
!:L,.
~/.._:"::~:
'
lím <pn= lím narctg-+Y = y.
11-+oo
n X
11-+oO
,;·.
' . . ..
..
Utilizando la condición suficiente ·de la convergencia· de sucesión de
. los números complejos, obtenemos
lím (1+_:._)n
=exeiY=eX+iY=ez.
n
tt. -+oo
que queda completamente demostrado ..
.Ejeml!.lo 4. Demost~ar que .la sucesión
(-1)~ .
in=arg--n-' n=1,
...•.
i·; ... ,
Puesto que
:)n . {
O para ri par, .
n para n i~par,
la sucesión fzn} tiene la forma n 1 O, n , O,
zn.=arg (
y
Sea
.
~1::':;, 'don,de
O< P.< 1, n
=
i, 2, .•. Hallar
i~tf Solu'":~ ~u:•,:m;~ ~
p'
;t¡;'.)(\:y '~;x:aminemos
.
t~}.\~: ~~~:~·:~~\.'_" '
·.
.
.
+ ..
;.-:_··
p• ''"'na
et+i sen et)+p2 (cos Zet+ t sen 2a)
~;¡Y<.::ik'r > .··.·
·1!:l fll' '· ... •.·· .·• . .
1J'.L~'t:.§J;IPOngamos
., .. ...
.
.
.
•••
~.
.•··~"J..
..
~:
xn.
el límite de sucesión de los números complejos
F~f~ :;>'. z~~xn:+iyn=i+p (cos
:~i;·:~:<~~ :: .·~··.: ~
2a
lím
t = ·p
(cos
c:t
+ i sen a;),
.
+ ...
+ pn· (cos not + i sen nrx).
1 t 1 =p
•
<
1.
32
Funci6n de variable compleja
[Cap. 1
Utilizando la fórmula de Moivre y la fórmula de la suma de progresión
geométrica, obtenemos
y puesto que
1
t
1
<
1, entonces
1. zn,llm
- -1- .
1- t
n .....oo
Por consiguiente,
1
1
lím x71 =Re - -=Re
1-t
1-p (cos a+i sen a)
n->oo
1-pcosa
-
(1- p cos a.)2 +p2 sen2 a
-
1-pcosa
----'----......,..1-2pcosa+p2
Suponemos que tenemos la sucesión {zn} de los números complejos
Si para cualquier número grande M > O existe tal número natural N que todos los términos z11 de sucesión con los números n > N
satisfacen la desigualdad 1 z~ 1 > M, entonces se dice que la sucesión
f~n} converge en punto infinito o más simple, en el infinito y escriben
hm
Zn
n-+oo
=
oo.
Completando el plano de la variable compleja con tal introducido
punto infinitamente alejado z = oo, obtenemos el plano extendido
de la variable compleja.
El entorno del punto infinito se llama el conjunto de todos los
puntos z que satisfacen la desigualdad 1 z 1 > R (adjunto con un punto
infinitamente alejado),· es decir, conjunto de todos los puntos z que
se encuentran fuera del círculo con el centro en el origen de coordenadas del radio R suficientemente grande.
Hallar los límites de sucesiones siguientes;
82 ..
Zn = ( 1
1
~
¡¡
+ n ) e n.
84. zn=(1+3ir.
86 '
Zn
=
n + 2i
3n+7i
83.
in
Zn=-;¡:-.
85.
Zn=~·
87.
Zn
eln
=e
-1.(~ +i )
2
i
88.
Zn
~~ n
89 •
Zn
= n cos - 2
sen-;;- •
nn
+ m• se:ti - nn2-
•
sh in
90. zn - -n -•
2n
•
§ 8)
33
Límite de su cesi6n de los n úmeros compl ejos
91 . Se sabe que
límzn=oo,
Zn=Xn+iY n•
n-oo
¿Qué se puede decir de la existencia de los límites de sucesi.ones {xn} y {Yn } para n-+ oo?
l
l
J.
f.
y·
2. D efin ici6n 1. El entorno del punto z0 del plano de la variahlf!
compleja z se llama cada regi ón que contiene este pun t o; o-entorno <lel
punto zQ se llama el conjunto de t odos los puntos z que se encu entran
dentro del círculo del radio con el centro en el punto z0 , es decir, ·el
conjunt o de todos los puntos z que satisfacen la desigualdad 1 z-zo 1 <
o
< o.
ºL
Sea la función f (z) determinada en cierto entorno Q del p unto z 0 ,
menos puede ser, el mismo punto z0 •
D efinici6n 2. El número A se llama el límite de la funci6n f (z)
en el punto z0 , si para ·cualquier número e > O se puede indicar t al
.núnrnro = (e) > O que para todos los punt os z E Q que satisfacen
l a condición O < 1 z - z0 1 < 6 se cumple la desiguald ad
·.f.'.· ·
En este caso escriben
:t·
K:
t
o o
J
:l¡I] ·
J
<
B.
}7~~·:: ;~'º'
Se • upono aquí que ' •
-~
'.;_,!
f (z) - A
lin'1" del plano wm-
plejo.
·
Citamos una definición más del límite de una función en el punto.
f:\ Sea la fu nción f (z) determinada en ciert o en torno Q del punto z0 ,
:~~.-: : salvo puede ser el mismo punto z0 •
·lí:-t:
Definici6n 3. S í p ara cualquiera sucesión {zn}, Zn i= zQ que
x~':;. COnVerge en el punto Zo, la SUCeSiÓll COl'l'eSpondíente de Valores de Ulla
·~ ·.··_º·.·· función {! (z11 )} converge en el mismo número complejo A,. este
número
; ;;;:;,,_A se llaman el límite de la función f (z) en el punt o z0 :
·
:~~-.•·•
Iírof(z)=A.
· 1..·\·'.·
.. '..
~ ~~V· :,_ · .
z-+zo
· ·,:::; Aquí no se p resupone el finito de z0 y A.
'. \{
La existen cia del lím f (z), donde
'. t~~-- .
0
·
+
+
iv (x, y) , zo = .?:o
iyo
es equivalente a l a existencia de dos límites
lím u (x, y)
y
lím v (x, y) ;
f (z) = uz;,z y)
X -+ Xo
X-+ X o
l/""llo
lJ-+lJo
.
eso
lím f (z) = lím u (x, y) + i lím v (x, y) .
z-.. zo
x-.. XO
!t -toXo
11..,.1/o
Y-+!fo.
Los límites dé funciones de vari able compleja t ienen las p ropíedasig'l.lien t es .
Dado que exist en los lím ites
l ím g (z) = B .
Ií m f (z) = A
Z->ZO
... .
'·' : ' •'· '.
·
..
.: .,
~-
.,,.,·.
..,,,
.•.
. '-¡-..
5'
~
Función de variable compleja
[Cap.
·1
1:
·i
Entonces
.
lím [f (z)
z...,..zo
±
g (z)l =A
± B,
lím [f (z):g~(z)] = AB
z-+-zo
O
ll'm f (z) =~ ' B =f=-.
B
Z-+ZO g ()
z
Definici6h 4. Función f (z) prefijada en el dominio D se llama
continua en el punto z 0 E D, si
·
lím f (z) = f (zo).
z...-zo
En otras ;palabras: la función f (z) es continua en el punto Zo,
si para cada numero 8 > Ose puede indicar tal número ll = 6 {e) >O
que para todos los puntos z E D que satisfacen a la condición :
1 z ·- z0 1 < 8, tiene lugar la desigualdad 1 j (z) - f (z0) 1 < e.
•
·
Para la continuidad de función de variable compleja
+
f (z) = u (x, y)
+
tv
(~, y)
en el punto z0 = x 0
ty0 es ·necesario y suficiente que sus partes .'~
real e imaginaria, es decir las funciones u (x, y) y v (x , y) , sean conti- :
nuas en elpunto (x0 , y 0 ) por el conjunto de variables x y y.
:'
Definición 5. La función f (z) de variable compleja se llama :
continua en el dominio D, si ella es continua en cada punto de este ·:.
dominio.
'
La suma, diferencia y el producto de dos funciones _de variable _
compleja f (z) y g (z) que son continuas en el dominio D también son '
funciones continuas en este dominio, y la función~~;) es continua en ·:
aquellos puntos del dominio D, donde g (z) -4' O.
Si la función f (y) es continua en el punto z0 , y la función F ('i')
es continua en el punto -r0 = f (.zo), entonces la función compuesta .
F [f (z)l es continua en el punto zo·
Ejemplo 6 . Sea dada l a función lineal
w
=f
(z)
=
az
+ b,
donde a y b son las constantes complejas. Demostrar que en el punto :
z0 esta función tiene límite igual a w0 = az0
b, a -4' O.
·
Demostraci6n. En realidad, tomemos un número arbitrario e > O.
Puesto que
+
1j
(z) - w 0 1
=
1 (az
+ b) -
(azo
+
.
b) 1
=
1 az -- azo 1 --
=l a l·l z -zol,
entonces, escogiendo en calidad de 6 (s) >O el numero 6 = I : , ,
1
obtendremos 1 f (z) - w0 1 < e para O < 1 z - z0 1 < 6. Esto signi- :•
fica que w 0 = az0
b es el límite de l a función f (z) = az + b en <
el punto z0 •
Por lo que
lím f (z) =:= az0
b = f (z0 ) ,
+
+
35
Lfmtte de :nicest6n de los números complejos
;,,\'entonces queda demostrado que en cada punto z0 la función lineal es
~:c.' continua.
i?;¿:· :.: :, Ejempla 7. Mostrar que la función w = z2 es continua para cual·~:,, . qµier valor z.
·
.;; . )>·.: · . Solnción. Tomemos un punto arbitrario z0 y un número arhitra~¡t.r'.(:l\j rio .s > O. Puesto que el valor de la función f (z) = .z ª en el pu!lto z0
~~?;¡,~.;:"·:.:,.}_:'; es · ·1gual a f (Zo) = zg, entonces mostremos que extste el numero
. '{J ;'?, 6 (e)> O tal que 1 z2 - z3 I < s para 1 z·- z0 l < 6.
'r.;1;\~'.~>·- Si z -+ z0 , entonces se halla t al número · M > O que l z l < M
f.1'M:;::J:\Y 1 zo 1 < M. Entonces
1
~::·~~~::~\ :·~ ..... · i
.
~;:'; ·;: Jz -z~I
~[~J1f::-° >
=
+ z (z - zo)
1 z + Zo 1 • I z -
<
2M I z-zo [.
=
1
(z
0)
1
Zo
suponemos
sigue que
8
a = 2M
1
·. • es decir, para cualquier
1
<
(1 z 1
+1
Zo
1) 1 z -
Zo
' entonces de l a desigualdad 1 z z~ 1
zª Zo
<
1
<
Zo
1< 6
2M 6 ~ e,
la función
W
·=
z2
eS
Continua.
Utilizando la definición del límite, .mostrar que
92. lím
z->1
z++21
2
= 1.
93.
Z
lím
Z->3 -U
lz 1=
5.
· . Calcular los límites siguientes:
. 94 . lím z2 + 3iz- 2
z-..-t
;:~; , ,·
~}: ,,
··. 96.
..
~\\./
lím~
:z->O
itx~: ~
cos 2z
95 l'1
• 1!! ehiz+ tshiz ~
z...,.T
z+i
97
sh tz
lím
•
n
z~-21
eªz+f
ez+i •
.- Demostrar que las funciones siguientes son cont inuas en
~~,,:~~~:;:todo el plano complejo:
[~-t · ;'_ . 98. f (z) = z. 99. f (z) = Re z. 100. f (z) = Im z.
''"·;::<L< > 101. P n (z) = a 0 zn a1zn -1
an, donde ak (k =
+
+ ... +
>i\' • .. O, 1, .. . , n) son las constantes complejas.
;;;;~SF:' 102.
Demostrar que la función racional R (z) = ~~:~ ,
f¡;::'; -dpnde P (z) y Q (z) son polinomios, es continua en todos los
S~li_puntos del plano complejo z, en los cuales Q (z) ;;;fo O.
·;~ ;: •: 103. Mostrar que fa función w = ez es continua en todos
l()s :.Plintos del pl ano complejo.
.•
º ' •" '• -• •~ •...,,.., '• M" '·~"'-' ''I
'• " "... • · ' "'"·'· ' '
••.•••
·
36
[Cap. 1
.Fnnci6n de variable compleja
§ 4. Diferenciación de funciones
de va:D.'iahle compleja.
.
Condiciones de Cauchy-Riemann
J
·1
Sea l a función u; = f (z) determinada en cierto donünio D de l a
variable compleja z. Sea que los puntos z y z
t!:.z IJertenecen al dominio D. Designemos
+
t!:.w
= f (z +
tiz) - f (z),
Definición 1. Función w
=f
tiz
=
ti x
+ itiy.
(z) se llama dif erenciable en el
punto z E D, si la relació11 t.w tiene el limite finito para L'.z que tiende
tiz
al cero de un modo arbitrario . Este límite se llama l a derivada de la
función f (z) en el punto dado z y se designa por el símbolo f' (z)
· (o w' o
~;)
·
, entonces según l a definición
l
t
;'
.t
Jr
:t
-:,t
t
l
r
i
w/ = f / (z) =. l 'lfil -tiw
-.
(1)
ti.z-o tiz
+
Si z = x + iy, w = f (z) = u (x , y)
iv (x, y), entonces en
cada punto de diferenciabilidad de función f (z) se cu mplen las relaciones
íJ¡¿
ov
(2)
a;-=a¡¡,
r!
r.
•í't:
t
.~
.·.·~
rf
1'
que se llaman condiciones de Cauchy-Riemann.
.
A la razón inversa, si en cierto punto (:r, y) las funciones u (:r, y)
·.'.~~:-,;:·
y v (x, y) son diferenciables como las funciones de las var iables r eales
,
x y y y, además, satisfacen las r elaciones (2), entonces l a función
··
j (z) = n
iv es diferenciahle en el punto z = x
iy como la función
ele l a variable co mpleja z.
Definici6n 2. Función w = f (z) se l lama analítica en el punto '\~
dado z E D , si ella es cliferenciable tanto en el mismo punto z, como . .;t
en su cierto entorno. La fullción f (z) se llama analítica en el dominio D, .~~
si es diferenciable en cada punto de este dominio. Para cualquier a {.!
función analítica f (z) tenemos
'[~
+
I
éhi
·t'i
+
¡ (z) = ax+i
QI)
QI)
,
OU
OU
, OU
QI)
.
fJv
Di=a¡¡-i a¡¡=o;:- i ay=a¡¡+i Tx.
(3)
Ejemplo .1 . Mostrar que la función w = ez es analítica en todo
el plano complejo.
Soluci6n. Tenemos ez = ex cos y + i sen y), entonces
u. (x, y)
=
ex cos y,
v (x, y)
=
ex sen y.
Las'' funcione" u (:i:, y) y v (x, y) como funciones de v ariables reales x
y y son dHerenciáhles en cualquier punto (.r, y) (tienen las derivadas ·
parciales continuas de cual quier orden) y con todo eso ·sati~facen . ~·
a l us condiciones (2).
· i.
. § '4]
37
Condiciones Cauchy-Rie mann
Por .consiguiente, la función w = ez· es analítica por doquier. En
virtud de la fórmula (3) obtenemos P,ara f (z) = e:r.
(ez)' = (ex cos y):{,,+ i (ex sen y )~ = ex (cos y
i sen y) = ez.
Pues (ez)' = eZ.
Ejemplo. 2. Si es la función w =
analítica por lo menos en un
pli.nto. ·
· ·
·
· ·
Soluci6n . Tenemos z'Z = ,,2 + y~ así que
+
zz
+
,¡".
..·.
u (x, y) = x~
y~,
v (x, y) l"!':! O.
Las condiciones de Cauchy-Riemann en este caso tienen Ja forma
·=
2x=0}
2y=0
y satisfacen sólo e.n el punto (O, O).
zz
Por consiguiente, la función w =
es diferenciable únicamente
en él punto z = O y no es analítica en ninguna parte.
Mo:;tremos, utilizando l a definición 1, que la función ·f (z) =
es diferenciable en el punto z = O. Al mismo tiempo f (O) = O, l)Or
eso
M = f (O + 6.z) - f (O) = 6.z • 6.z
zz
y
M= lím· 6.z·i'i
lím -
;·· .- .
ti.z-+O bz
ti.z ..... o
!:,.z
lím .6.~= lím (bx-Ay)=O.
Ll.z-o
Lix-+-O
Ll.y-+-0
De tal modo, la· derivada j' (O) existe y es igual a cero.
Ejemplo. S. ¿La función w =
=- x - i y es analítica o no?
· Soluci6n. Aquí u (x, y) = x , v (x, y) = - y en todas partes son
. . las funciones d:iferenci.ables de variables :e y y, Más
z
fJu -1
Jx ·'
. .
fiu
fJu =0,
fJy
av
~=O,
· ax
.
~=-1.
ay
.
. .
Por cons1gmente, ;;- =!= :;- , es decir, la primera de las cond1c1ones
uX
uy
·
·
'. ! . · .de Cauchy-Riemann no se cumple en ningún punto del plano complejo .
.~/;
.. Lo que significa que . la función w = no es diferenciable en
;'b ninguna parte y, por consiguiente, no es analítica.
%: ..::-'.<
'
.
z
~~~,: '.?.
. / Utilizando
las condiciones de Cauchy- Riemann, acla-
~ ' iZ:i::r.ar ~uáles funciones de las siguientes son analíticas por lo
\•:\'.n'eil.os en un punto y cuáles no lo son:
·:e 104.
z;
a) w = z2 b) w = ze 2 ; c) w = 1 z 1 z; d) w = ez2 ;
¡ z 1 Re z; f) w = sen 3z - i.
~'.~t05. a) w = Re z; b) w =
Im z; e) w = 1 z ! Im z; ·
\·w:.:_
·}!ti . . ch .z.
· -~h' Mostrar
z
.
z
que en el dominio Re z
'rtción analítica.
>
O w = ln z es ·
.
•..
!
!
.
.
38
Funci6n de variable compleja
[Cap. 1
·'~1.,~.
,.:-~
..·., .
:~
i07. Mostrar, utilizando el cálculo directo que para n
.,··
natural
(zn)' = nzn-1,
108. Mostrar que si las funciones analíticas f (z) y cp (z)
satisfacen l a condición · f' (z) = (j)' (z} , entonces f (z) -=
= cp (z)
const.
109. Mostrar que pasando de l as coordenadas cartesianas '
(x, y a coordenadas~polares (p, cp) las condiciones de CauchyRiemann (2) obtienen la forma
+
(4)
110. Mostrar que si la función analítica w = j (z) en
cierto dominio es real, entonces esta función es const ante.
H 1. Mostrar que si la función f (z) = u (x, y)
iv (x, y)
es analítica· en el dominio D , entonces en este dominio se
cumple la igualdad
ou J.!!_ .J_1 .2!::_ ~ = o
• !•
+
ox
Ox
ay ay
·
+
112. Sea f (z) = u (x, y)
iv (x , y) la función analítica
en el dominio D. Mostrar que las familias de líneas u (x , y) =
· = const y v (x, y) = const son ortogonales.
113. Mostrar que el módulo y el Argumento de la función
analítica
f (z) = R (x, y) ei~C:.:, 11>
se conectan por las rel aciones
aR =R 8<11
ox
ay '
oR = -R aa:i .
ax
{}y
Utilizando las condiciones de Cauchy-Riemann se puede reconstruir la función analítica f (z), si se sabe su parte real u (x, y) o su
parte ima~naria v (x, y) (véase [17]).
.
Ademas, la función analitica f (z) en el entorno del punto z0 se
,
puede reconstruirla a partir de una de las fórmulas siguientes' (véase · ''
[10]):
f (z) =2u (
f (z) =2tv (
e
z-zo)
i _ ·-Co.
ztzo ' _2_
z-z-o) +co,
ztzo , _2_t_
=f yz es el
donde es el número conjugado para Co
jugado para z0 •
· ·
(z)
·
(5)
(6)
número
CQU-
Condiciones Cauchy-Riemann
39
( . ·Ejemflo 4. Hallar la función analítica w = f (z) a partir de su
.'Párte rea cónocida u (x, y) = 2ex cos y y con la condición compleT:)nentaria t (O) = 2.
.... . .
.
Soluci6n.. Primer procedimiento.
Tenemos~:
= 2ex cos y. A partir
~{;:.· '. -de las
condiciones de Cauchy-Riemann debe ser
~:~;. :·:~ =
2ex cos y.
De aquí
=
v (x , y)
+
:~ = =~
J2ex cos
y dy
qi (x) , donde la función cp (x) no es conocida por
¡t; ,-. , ~ ~iando v (x, y) a partir de x y utilizando la segunda
i';( (
=
,
entonces,
2e" sen y
+
ahora. Difer encondición de las
!?·'· ·' condiciones de ;cauchy-Riemann, obtendremos
{}u,
i)y
2e:JCseny+cp'(.x)=-
;:;> . de donde q/ (x)
~.:.:;:· . i.= .Const .
. ·.Pues,
V
= o y,
(x , y)
=
=2eXseny,
por consiguiente, cp (x)
+ e,
2eX sen y
f (z) = 2ex cos y
= e, donde e =
y por consiguiente,
+ i (2ex sen y + C) =
2ez
+ iC.
Hallamos la constante C de la condición f (O) = 2, es decir,
2; de aquí e = o. Respuesta : f (z) = 2eZ.
~- ·
Segundo procedimiento. Utilizemos la fó1•mula (5). En nuestr o
!;;': : · ejemplo u (x , y) = 2ex cos y , z0 = O, C0 = 2. Por consiguiente, en
;:.;.., . . .
.
z
~;. , virtud de la fórmula (5) obtendremos f (z) = 2 ·2eZ/2 cos 2i - 2.
.2eº
+ iC =
f~~· /?tilizando que cos 2~
~)
i,
= cos ( = :ch
obtenemos definitiva2ez.
!']¡/ , ' Ejemplo 5. Hallar la función analítica w = f (z) por su parte
i~i" . >imaginaria conocida u (x, y) = 3~:
2xy para la condición que
t~:-V< I (-t) = 2.
¡<~u: /
Soluctón . Utilizemos la fórmula (6). En nuestro ejemplo v (x, y)=
t~.<< = 3x
2xy, z0 = - i, C0 = 2, por consiguiente,
i$\\:
mente f (z)
!~~·\
=
+
+
f (z) = 2t ( 3 z
t
!
+2 z t t . z 2 t t ) +2 = 3iz + z2.
i'~¡•i'.':
. R econstruir la funci ón analítica
t;;' >'
.1f4. a)
f
(z) en el ent orno del
~h/ punt o z 0 a part ir de l a par te real u (x , y) o de la part e ima~W,,)_ giilari a v (x , y) y del valor f (z 0 ) :
\\:(,' ·
.
X
1
~': '.
0~::6; ·; ·-·.
U=
X
2
+y
•
2
,
/(rt) = ;
:rt
h) v "= arctgL
(x> O), / (1 ) = 0.
X
+
e) u = x 2 - y 2
2x, f (i) = 2i - 1.
115. a) v = 2 (ch x sen y - x y), f (O) = O;
b) u = 2 sen x ch y - x, f (O) = O;
40
[Cap. 1
F unc ión de variable compleja
e) v = 2 (2 sh x sen y + xy), f (O) = 3 .
. 116. a) v = ......:2 sen 2x sh 2y + y, f (0) - 2;
b) v = 2 cos x ch y - x2 + y2 , f (O) = 2.
Definición 3. La función cp (x, y ) se Barna armónica en el dominio D, si tiene en este dominio las derivadas par ciales continuas hasta
el segundo orden in'clusive y si satisface en este dominio la ecuación
de Laplace
a2cp
a2cp
ox2
+
a y2
= 0.
+
Si la Iunción f (z) = u
tu es analít ica en cierto dominio D,
entonces su parte r eal u (x, y) y la parte i maginaria v (x, y) son las
funciones armónicas en este dominio.
Sin embar go, 'si u1 (x, y) y u1 (x, y) son dos .funciones armónicas
cualesquiera, entonces la función /1 (z) = ¡¿1 (x , y) + irJ1 (x, y) no es
obligatoriamente analítica: para la analiticidad de f 1 (z) es necesario
que las funciones u1 y v1 11atisfagan complementariamente las condi·
ciones de Cauchy-Riemann.
Dos funciones armónicas que satisfacen las condiciones (2) se
llaman un par conju gado de las funcione s armónicas (es i mportante el
orden de las funciones en el par).
117. Mostrar que l as funciones siguientes son armónicas:
a) U=x2+2x ....:.y2·' b) u = 2excosy·• . e) u =
<lYU =
x
•
x2+y2 '
x~ ~ yi ; e) u =e1rctg ~; f) u = ln (x2+ y2).
-
118. ¿Pueden ser las partes real o imaginaria de una
función analítica f (z) = u (x, y)
iv (x, y) las funciones
siguient es?
+
a) u = x2
-
y2
d) V= - x 2+1
y 2.
+ 2xy;
h) u = x 2 ; e) v = ln (x2
+ y2);
2
119. ¿P ara. qué condiciones el trinomio u= ax 2 + 2bxy -1'cy 2 es l a fun ción armóniCa?
En los ejemplos siguientes se dan los pares u (x, y),
v (x, y) de funciones armónicas . Hallar entre ellos los pares
conjugados de las funciones armónicas .
120. a) u = 3 (x2 - y 2 ) , v = 3x2 y - y3 ;
+
b)
= 1
U=
+
x
x2+y2 '
V = ___
Y_ ·
.cª+v2 '
e) l/, = x, v = -y; d) .u =e"' cos y
ex sen y.
+ 1,
v =
§ 4]
Condiciones Cauchy-Riemann
41
121. Sea la función u (x:, y) armónica en el dominio D;
donde esta función tiene las derivadas parciales continuas
di) cualquier orden. Mostrar que las últimas serán también ·
funciones armónicas en el dominio D.
122. Sea la función u = u (x, y) es armónica en el dominio D. H allar todas las funciones f, para las cuales la función
f (u) será también armónica en el dominio D.
í23. Sea analítica la función w = f (z) en el dominio
D. ¿Qué funciones de las siguientes
a) 1w I; b) arg w; c) In 1w 1
serán armónicas en el dominio D?
i 24. Demostrar que el producto de las funciones conjugadas armónfoas en el dominio D u (x, y), v (x, y) será la función armónica en el dominio D.
125. Sea u = u (x, y), v = v (x, y) un par conjugado
de las funciones armónicas en el dominio D. ¿Cuáles de Jos
pares siguientes de funciones
a) Au - Bv, Bu +Av, A, B - const;
b) u 2 - v2 , uv;
c) eu cos v, eu sen v
serán las funciones armónicas en el dominio D?
Ejemplo 6. Hallar todas las funciones armónicas del tipo u=
=. f (x2
+
y 2 ) que se diferencian de la constante.
Soluci ón. Puesto que las funciones buscadas deben ser armónicas,
estas funciones deben satisfacer la ecuación de Laplace
(7)
Sustituimos l a función dada en l a ecuación (7). Par a eso hallemos
y 2 • Entonces
sus derivadas del segundo or den. Supongamos t = x 2
obtendremos u = f (t), donde t = t (x, y). A partir de l a regl a de
difer enciación de l a función compuest a hallamos
+
~=!'
(t) !.!... !.!!:.=t' (t) !!_;
ax
f);¡; '
ay
ay
a2u
8x 2
(72¡¿
f)y2
(!!.
)2+t' (t) fJxa2t
EJx
=f" (t) (!.!..)2
+ f ' (t)
= f"
(t)
2
f)y
.
'
()Z t •
f)y 2
dos últimas igual dades , obten emos
~)·2 -r1
[ .( ax
(!!..)
2
ay
tf"
]
(t )
f"
(t)+(~+~)W
(t) =
8 x2
f) y2 •
+ t' (t) = o.
O
42
[Cap. 1
Función de variable compleja
Para hallar la función f recibimos la ecuación de Euler
t2j" (t)
t/' (t) = o,
la resolución general de la cual es la función
f (t) = C1 In t
C2 , C¡, C 2 son const.
·Pues, las funciones armónicas buscadas tienen la forma
u= f (x2 + y2 ) = C1 In (x2 + y2) + C2 •
+
+
En los problemas siguientes hallar!todas las funciones
armónicas del tipo indicado:
126. x = f (ax + by); a, b son constantes.
! ).
127, U=f (xy).
128. U=f (
2
2
129. u= f (x -y ) . 130. u= f (x+ V x 2 +y2).
131. U=f ( x2~y2) •
Sentido geométrico del módulo
y argumento de la derivada
Sea la función f (z) analítica en el punto z0 y!' {z0 ) =/= O. Enton-
. ces 1 f' (z0 ) 1 es igual al coeficiente del estiramiento en el punto z 0
para la aplicación w = f (z) del plano z en el plano w; más exactamente: para ! f' (z0 ) l > 1 tiene lugar el estiramiento y para 1 .f' (z0 ) ! < 1
existe la contracción.
·.
El argumento de la derivada t' {z0 ) geométricamente es igual al
ángulo en que es necesario girar la tangente en el punto z 0 , a la. cualquiera curva lisa en el plano z que pasa por el punto z0 para recibir
la dirección de la tangente en el punto w 0 = f (z0 ) a la imagen de esta
curva en el plano w para la aplicación w ·= f (a). Es comprensible que
si cp = arg /' (z) > O, entonces el giro se realiza de derecha a la izquierda y para cp < O, en sentido horario.
Ejemplo 7. Hallar el coeficiente ele estiramiento y el ángulo del
giro para la aplicación W = z2
el punto Zo = -V2 i
Solución. Tenemos w' (z) = 2z, por consiguiente,
w' 1 = . ,/ñ:....2.1/2+ t2 lf2.
+ 11:r:
en
Z=
+
]'2+i r 2
Pasando de l a forma algebraica del número complejo 2 1/2
i21f 2 a l a forma trigonométrica, obten emos
2 1(2+ t21f2=4(~2 +t ~ 2 )=4(cos ~+ t sen : ) .
Por consiguiente,
lf' (z)lz= V2+i VZ =4 ,
:n;
arg
. . f' (z)J i=l~+i~ = 4'
+
43
Condiciones Cauchy-Riemann
el coeficiente de estiramiento r = 4 y el ángulo del giro
:n;
4·
Hallar el coeficiente de estiramiento r y el ángu lo del
<p para las aplicaciones prefijadas w = f (z) en los
dados:
en los puntos z1 =In2 + i ~
y z2 =
- 1 - i ~·
2 '
+
b) w =sen z en los puntos z1 =O y z2 = 1
i;
3
c) w = z en los puntos z1 = 2 - i y z 2 = 1
i ~.
Aclarar que parte del plano compl ejo se estira y
contracciona si las aplicaciones son siguientes:
+
1
a) w=¿:; b) w=lnz; e) W=-; d) w=zª.
:a:
Si la función w = f (z) es analítica en ci~to dominio D, aplica
biunívocamente este dominio en el dominio D, entonces la curva L
.que se encuentra en.el dominio D aplica en cierta curva L en el .pla•uo w, la longitud de la cual es igual a
lw=) lf' (z)l !dzl .
(8)
L
El dominio D en el plano z pal'a la aplicación w = f (z) pasa en el
. dominio D en el plano w, al mismo tiempo el área del dominio D se
expresa por la fórmula
S~=
D
H
11' (z)! 2 dxdy.
(9)
D
De t al moclo, ¡ !' (z) l 2 es igual al coeficiente de l a desfigur ación
área para l a aplicaci ón w = f (z).
Ejemp lo 8 . El p un to z = x
iy traza el segment o
:r = 1,
-1 ~ y ~ 1.
(10)
¿Cuál es la long·itud de l a línea que se recibe para l a apli cación de este
. segmento mediante l a función w = z2 ?
Soluct6n . Primer p rocedim,iento. Tenemos w = z2 o
u
iv = x 2 - y 2
i2:i:y ,
+
+
+
u = x2-y2,
{ V= 2Xy ,
evidente que en la línea (1. 0) v amos a tener
U= i-y2,
{ v=2v,
(11)
._,,-~-.,, .
44
Firnct6n d e va1'iable compleja
[Cap. 1
al mismo tiempo par a el cambio y de -1 a + 1 v se cambia de -2
hasta +2. De (11) obtenemos l a ecuación de parábola
v2
(12)
U:od-4 (fig. 3)
La longitud del arco A I B' C' de la parábola (12)"
2
--2
2
lw=2 j' V 1+ ~
o
dv=
......
JV4+v dv=2V2+ln (3+:q/2) .
2
o
Segundo
11
Utilizando
procedimtento.
la formula (8), obtendremos
lw=
~ lf' (z)l
l dz [ =
L
j2z l j azJ =.:. 1
JV
=J
·
1
+ yz ay=
-i
L
i
8'(!,tl}
o
.
=4} V 1+if
2
lJ
dy=2}/ 2+In(3+2 l/2).
o
E jemp lo 9. Calcular el área del dominio en el cual se transforma para la
aplicación w = ez el cu adrado
a-
.,
e~
x
~a+
- e ~ y .:;-;;; e
;·
·'
e,
(fig. 4)
(a es real, O < e
<
n,
z =x + t¡¡).
Fig. 3
'
""!'.· '
·calcular el límite de la relación de las áreas de estos domini os :>
cuando e-+- O.
Soluci61i. El prtmer p1'ocedimiento. Tenemos w = ez = ex+ty = ,;
= e"'eLlJ o w = petc¡¡ , donde p = ex, cp = y . De tal modo, en el caso _::':
de la aplicación w = ez en el _plano w obt enemos el dominio limitado <_;
por dos rayos arg w = - e y · arg w ·= s y por los ar cos de las dos cir- "
cunferencias p = ea-e y p = ean (fig. 5). El área del dominio
aplicado será igual a
·
e
é +e
Sw=
Jdcp
-e
)
ea-e
pdp ==ee2a - 2e(e4e _1) .
. .;,.
.
·_.,....
•..
T·
§ 4]
-r
Condiciones Cauchy-Riemann
l
Segundo proced imiento . Utilizando la fórmula (9), tenemos
=
Sw
.:¡:...
JJ¡f'
(z) ¡ 2 dx dy
· D
a+e
t
J
=
r
·J
J
·¡
= JJe2 x dx d y =
··
D
e
Jdy =ee2a- 2B(e4-e~f) ;
eZXd:t
-e ·
a-e
. !/
l
/:-----------------
·-r
~- ·
·t-r .
..
a-e
{}
,...
w
e
i-- -
-
-
-
-
_
a
a+e x
_ . _ __ __ _ _ __.
..
:·. '
Fig. 4
Es evidente que el área S z del dominio D es igual a S.,,
por eso
"'.:
.
=
4e2 ,
; ···
~ ~t:· ·: '134. Hallar el área de imagen del cuadrado D {O ~ x ~ 1,
¡, .?r~'.;, · .O ~ y~ 1} para l a aplicación w = z2 y l a longitud de su
~
.. .;·;:: frontera.
C;t 135. Hallar el área de imagen del rect ángulo
P{O <x1 ~x~x2< ~ ,O<Y1~Y ~Y2< ~}
T:J>ill'a. la aplicación w = cos z.
t'~>; '136. Sea z que circunscribe el dominio definido por l as
','~ondiciones
..
~
1~izl~2,
<Hallar el área del dominio recibido al aplicar w = z2 •
.. )3'.7. Hallar la longitud L de l a espiral en que medi ante
'.é )únción w = ez se aplica el segmento y = x , O ~ x ~ 2n .
. ....f
Fiznción de ·variable compleja
46
138. Hallar el dominio P w en el cual la función w = ez
aplica el rectángulo P {1 < x < 2, O<
8}. Calcular
el área del dominio P w mediante la fórmula (9) y explicar,
porque esta fórmula da un resultado falso .
y<
u.
Fig. 5
139. Hallar el área de una figura que se obtiene aplicando
triángulo limitado por las líneas x = O, y = O, x + y = 1
mediante la función w = 1
iz.
+
§ 5. Integración de funciones de varialble compleja
Sea una función unívoca f (z) determinada y continua en el dominio D y C, una orientada curva suave a trozo::<, cerrada o no que se
encuentra en D.
Sea
z = x
iy, f (z) = u+ iv,
+
donde u= u (x, y), v = v (x, y) son las funciones reales de las variables x y y.
El cálculo de la integral de la función f (z) de la variable compleja
z reduce al cálculo de las integrales curvilíneas, es decir,
~ f (z)dz=
e
La integral
Jf
e
integración C.
i
e
udx-vdy -t- t
j vdx-t-udy.
{i)
e
(z) dx, en r asgos generales, depende del modo de
. ..'. "
·
Integración de funciones
47
Si f'(z) es la función•analítiCa"en el .dominio $implemente conexo
1J; entonces la integral no depende del !nodo de integración. En este
) f(z)dz= O.
L
, donde L es un contorno cerrado suave a trozos en el dominio D.
Si la curva C está prefijada por las ecuaciones paramétr icas
X = X (t) 1
y = ¡¡ (t)
.
y los puntos inicial y final' del arco C corresponden a los . .:·al ores ·del
parámetro t = t 0 , t = t 1 , entonces
ti
) f (z) dz=
e
~:
[z (t)] z' (t) dt,
(2)
to
Z
..-..
:>: ,·. · Si la función
J
(t)
=
X
(t)
+ ly (t).
f (z) es analítica en el dominio simplemente conexo D
V , _c¡ue contiene los puntos z0 y .z¡, entonces tiene lugar la fórmula de
i{'
Neuton-Leihniz
Zi
:: : • .
) f (z) dz = <I> (z1 ) -
cD {z0 ) = <I> (z) 1~~,
(3)
zo
::::
·· .donde <I> (z) es alguna primitiva para la función f (z) , es decir,
~~~.. ~;:
i~~~:
·
<l>' (z) = f (z)
en el dominio D .
~.: • ·· · ·
Si las funciones f (z) y q> (z) son unalíticas en el dominio simplef;-: .mente conexo D y z0 y z:i_ son los p1· ntos arbitrarios de este dominio,
i,'.:; '.
.entonces tiene lugar la fórmula de integración ·por partes:
;:;;:;:::.··'_;·.
~
Jf (z) cp' (z) dz
~L2:;'_·;~ ..
<)'i ,
==; (f
(z) cp (z)] 1~~ -
zo
~
J
cp (z) f ' (z) dz.
zo
~(>
. La sustitución de variable¡¡ en integrales a partir de las funciones
de variable compleja se r eali7 a análogamente al caso de la función
l Lf: -~.· -d~ la variable real. Sea la f1 nción analític.a z = cp (w) que aplica
~ '~< .:biunívocamente el contorno C1 en w-plano en el contorno G en z-
~):
,,
rt. :.~lano.
E>··
~;f>
·· _;~
Entono"'
S! el modo
ít
o
(>) d•
~ í f[~ (w)j ~ • (w) dw.
C1
~le integración. es semirrecta que sale del pun~o.
zQ o es la
circunferencia con el centro en el punto z0 , entonces es ut1l llacer la
,' sustitución de la variable del tipo
'"~'~/~-~-
.
z -- z0
=
peiq>.
(-g<En primer caso <p = const, y p es la variable r eal de integración,
- :~,eµ segundo caso p = const y <p es la variable real de integración.
48
Función de variable compleja
[Cap. 1
Ejemplo 1. Calcular la integral
) (1+ t -2z) dz
e
por líneas que conectan los puntos z1 = O, y z2 = 1 + i ,
1) por la recta;
2) por la parábola y = x2 ;
3) por la quebrada z1z3z2 , donde z3 = 1.
Solución. Reescribiremos l a fu~1ci6n subintegnl en fo rma
.1 + i - 2z= (i - 2x) + i (1 + 2y) .
Aquí u = 1 - 2x, v = 1
2y.
Utilizando la fórmula (1 ), obtenemos
·...¡·
···:.::
:¡·:;..·
+
i·
t
¡:
J<1 + i-2z) az= )(1-2:r.) d:r-(1+2y) ay+
e
o
+i J(1+2y)dx+(1;-2x)dy.
.¡..-
e
=
1
.·
1) La ecuación de la recta que pasa por los puntos z1 = O y z2 =
+ i es y = x, O~ x,.,:;;; 1, y por consiguiente , dy = dx. Por. eso
...·· ~
;i;.•
1
J(1 + i-2-;) dz= J[(1-2x)-(1+2x)] dx+
.:.: ···
o
e
;f.
_· ....
i
-\-i
J
2-r)] dx = 2 (i-1).
[(1 + 2x) + (i
o
2) Para la parábola y = x 2 tenemos dy
Por consiguiente,
= 2x dx
(O,.,:;;; x,.,:;;; i)
1
) (1+ t-2z) dz= )l1 -2x - (1+2x2) Ú] dx+
e
o
1
-t--i
J[1+2x2 +(1-2x)2x] dx = -2+ ;
o
t.
.
3) En el segmento z1 z3 : y = O, dy = O, O ~ x,.,:;;; i. En el seo-mento z2 z3 : x = 1, dx = O, O ~ y
1. Utilizando la propiedad de ·
linealidad de las integrales curvilíneas, obtenemos
·
<
j (1+i-2z)dz = j
o
(1+t-2z)dz+
~~
1
.
f
(i+i-2z)dz=
~~
1
1
1
o
o
o
=j (1-2:c)dz + i Jdx- j (1+2y)dy -f- i J(1-2 ·i)dy = - 2;.
o
~·
§ 5]
49
Integración de funciones
Este ejemplo muestra que la integral de la función continua
pero no analítica depende, en general, de la forma del modo de integración.
Ejemplo 2. Calcular la integral
) (z2 +zz)dz,
e
donde C es el arco de circunferencia 1 z 1 = 1 (O ~ arg z ~ .n:) .
Soluci6n. Supongamos que 'z = eifP, entonces dz = iei'P d<p y
n
~ (z2 +zz) dz = )
e
n
teirp (é2fP
+1) d<p =
o
iJo (é
3 C!'
+ ei<P) d<p =
= (
Ejemplo 3. Calcular la integral
J
!
ei3rp+eiq¡
)j; = _
~ .
e; dz, donde C es el segmento
e
= - x que conecta los puntos z1 = O y z2 = .n; Solución. Las ecuaciones paramétricas de la línea C son
de la r ecta y
X =
o en la forma compleja
t,
i:rr.
y= -t
z = t - it,
donde la variable real t se cambia de Ohasta :n:.
Empleando la fórmula (2) obtenemos
¡¡,.
n
n
Jez = J
~·;
et+it (1- !) dt= (1-i)
dz
~~t;--.,:
l~:
J
eCl+iJ
t dt=
0
e
.
Ej,mplo 4.
=º¡+! ect+i¡t¡~=(en+i) i.
C•lcnla< l::;teg'al
Ít .
,L cs,·+2') d..
i;V;:i
:/ . S bluci6n. ~uesto que la función subintegral f (z) = 3z' + 2z
' ·~,es.analizable en todas partes, entonces utilizando la fórmula de Newton:,\teihbniz, hallamos
,, . 2+i .
.J:
(3z2
i ~i
+ 2z) .d z = (zS + z2) 1tti =
.
= (2+ i)8+(2+ i)2-(1-
i)ª - (1 - i)2=7+19i
..
~
.50
... '
Funci6ii de variable'. co mp"leja
Ejemplo 5 . ..Calcular la .. integral
.i .
.·;
~ z cos.z dz.
o
Soluci6n. Las Iuncion~ : / (i). = z y cp (z) = cos z son analizables
en todas partes. Empleando la fórmula ele integración por pintes,
obtenemos
i
i.
...
.
i
Jz cos z dz~ .\' ~(sen z),. dz= (z sen z) Jj- Jse~ z dz=
o
o.-
o
· '
·
:·
·
··
· 1-e
=i sen t+cos zli=-sh i+ch 1-1=- -.
o
e
Ram~s unívo~as de una función multiforme.
Puntos de ramfücac~ón
Sea que la función w = f (z) es analítica en el dominio D y aplica D
.en el dominio G y es tal que l a:"funC:ión inversa z = q) (w) es multiforme en el dominio· G. Si existen funciones uniformes, analíticas z =
= rp1 (w), z = <p 2 (w), ... , en el dominio .G, para las cuales l a función
dada w = f (z) es inversa, entonces fas funciones cr1 (u.'), (j!z (w), . " .
se llaman ramas unívocas de la. funci6n 11!. (w} determinadas en el domin~
G.
.
.
Por ejemplo, la función w = ~n a cada punto z0 l e asigna;_ en couespondencía el único· punto w0 , pero a crada u.n pu ato .-.100 . (w =/:= O,
w =f:. oo} la función z = jíiv le asigna en correspondencia n puntos
diferentes del plano z; al mismo ti empo, si w = peiO, entonces estos n
valores de z se hallan mediante_ l as _fó~·tnulas..z11 = ret<flh; donde
.·· ~,
nr;:
El
Zkn
.
r=l' p, cp11=-+ -( -n <B~n;
~.=0, 1, 2, ... ,n -i).
.
n
n
Sea que el do minió simpléinente' ~oi1eio ·acontiene el punto Wo, pero
11:<? contiene los puntos w = O y w = :xi· Ento~ces a vaz:ios valor~s .. .:i
ÍlJOS de k (k = ü, 1, 2, ... , n :- ·1) ·para. la, misma .e lección del nu- . ·
mero 00 (por ejemplo, 00 n= -arg w0 ) le corresponden
las ramas dife- . -~_.,
.
rentes de la función z = V w.
El punto que tiene tql' ,p~:op:ieda~ que el recorrido alrededor de .:¡
éste en un entorno suficientemente pe,ql1eño proporciona el paso de "
una rama de la Iµnción multiforme a · 1a otra, se llama el pimto de · ?,
, m_mtficación de la fonción multiforme que consideramos~ . Los puntos · !
~ de· i·amificación deJa · fon.Pión. o/W son los puntos w = ~O . .rv = oo.
Después de recorrer n veces alrededor del punto:.w.= ,O nos.volve- · ;~
mos a la rama inicial de la función }fw; los puntos de ramificación ~
que tienen esta propiedad se llaman; los. punt.os alge~raica~ .<)e i·amifi- . :~
cación del orden n - 1. En cada uno :de"'estos ¡)tiritas la función tiene :·:¿
un sólo valor:
= o, y;; = oo, es decir,
dichos pUutos las :~
ram:a;a
:de
..ti~
. . -,diferentes
..
.•
-·. la';. ,función:
.;
...coiu<:id;en'.'
'
• .;' ." ..-
y
lfo
eil
.:·.·' .J
:~. - ~-
~
~
.•
51
Integración de /unc iones
:J". · Para la función l ogarítmica w = Ln z l os puntos de ramificación
'~'~ son z = O y z = oc, al mismó tiempo,
Ln O = oc y Ln oc = oc .
..)'. ,·lJn cual quier número finito de recorridos (en l a misma dirección)
><;-\1,f\: alrededor del punto z = O no conduce ·a l a rama inicial de función
~\.f'i"? · Ln .z. Tales puntos de ramificación se llaman logarítmicos. Al integrar
~¡iiV<: ;·_
; es necesario separar una rama de la función mul tiforme. Esto se l ogra
¡¡~;L<. ':.. prefijando el v alor de ia runcióu multiforme en cierto punto del conf;;p'.·°' ' torno,.de integración. .
.,
,
r¡;;:.. . .
Sl el co.ntomo de mtegrac10n C esta cerrado, entoncE'_s el Junto
~U;< inícial z0 de la integrac~~n se e:onsidera aquel punto, en.el cua está
~f.;
<lado e~ valor de la func1on ~uhrntegral.
~~';.,
E¡emplo 6. Calcular la mtegral
ft .
¡¡//
¡;, ,
·v·
donde C es el · arco su1)erior ele la circunferencia 1 z 1 = 1. Para
toma aquella rama, para la cual lf I = - 1.
Solución. Primer procedimiiúito . La función V; tiene dos valores:
w:.::. :· se
i<'.·
.
:f~: -:
f~'.~ ·=:
.
!J~~-:-·
.... . .
~~~;-
~'?:
V ~=-VTZT[ cos (
''
= --'- 1 z 1 ( cos
i +n)+i i +n) ]=
i + -f) ,
sen (
t sen
Í:t ::~~.~?t1~f:¡~, ;~¡;~~ :.:.~f,i~o'." cfrcunf•~noia
fa
t~/::::·
~:=e•:.: ;'.~n,.: ~ .
1:<
1:·
I~:::
El sogundo
·
·.
~-1
do nnida d,
,.]o, '""''"" h
e-0udicion
i-
Al mismo tiempo,
.
•
V1
~
-1
-f ..
1/ ~ = - cos
i sen
sea z = 1, eutonces arg z =
(4)
Oy
V 1 = - cos0- i sen O= -1.
la fórmul a de Newton-Leibniz, obtenemos
r
- 1
dz
r
dz '
¡- 111 =2 ( l/ --1-"
,/-)
1 .
J --~--= .1 - --- =2 \ z
e V z ·1 V .z
.
.
52
Función de variable co mpleja
Suponiendo en la fórmula (4) z
11 --1 =
-
[ cos
..
arg(1)
?
...
= - ( cos n
2
=
- 1, hallamos
a rg(- 1) J=+ t sen --"'-"'--'2
+.i s_en :n:) =-i..
2
De acuerdo con l a elección de la rama tenemos
vamente, obtenemos
·
Jr -
e
[Cap. 1
V 1 :. __
- ·1 y, defi niti-
dz
·- - = - 2 (1-i).
Vz
Segundo procedimiento. Suponemos que z=peicp, donde p =1,
mientras que cp so cambia de O a :rt. De la condi ción lfI = -1 se
desprende que
V ei'P =
/ (-1--+n). Ahora tenemos
¡~= rJ
Vz
o
iei'P dcp
Veicp
i
= 2e
f
=
J
O
(~-:n)
1:1(
2
0
rJ
ieicp dcp
(~+:n:)
e
2
i
= 2 (e
-i~
2
.
-
ie
<~-n:)
2
i
dcp =
o
e - in:) = 2 (1 - i).
i
Ejemplo 7. Calcular la integral I
= )ln: z dz a partir del arco
1
de la circunferencia 1 z 1
ln 1 = 0).
.
= 1 (ln z es el valor principal del logaritmo,
Solución. P rimer procedimiento. Utilizando l a fórmula de Newton-
Leinbniz, obtenemos
i
i
r ln3z
r
ln~z
1= J - . z- dz = J lnS.zd(lnz) = --· 4
1
1
li =
1
In• t _.!_ (~) 4 - ~
_ ln4 i -ln4 1
4
4 - 4
2
-
64 .
Segundo procedimiento. Hacemos la sustitución de la variable ·
dz
dw = z- .
In z = w,
El . arco de la circunferencia
1
z
1
=
·-.:
1 pasa al segmento del eje imagi:-_:
nario comprendido entre los puntos (O, O) y ( O,
i)
:
§ 5]
Integración de funciones
53
La integral obtiene la forma
Tercer procedimiento. Suponemos que z = ei<P {aquí p = 1 z 1 = 1).
Entonces
ln z =' ilp, dz = tei(IJ d(f>.
La variable real rp se cambia en los límites O ,,;;; {fl ~ :rc.12. En este
caso obtenemos
n
2
l= .\
o
Calcular las integrales siguientes:
Jzlmz
140.
11
!zl =1(--n~argz~O).
dz, C:
e
~
141.
e
elzl2 Re
z dz , C es la recta que conecta los pun-
tos z1 =O, z2 =1 + i.
142. .\ln z dz (In z es el valor principal del logaritmo),
e
C: ) z / = 1, a) el punto inicial del proceso de integración
.· • 1; b) z 0 = -1. El recorrido se efectúa contra el sentiliorario.
f43.
.,
Je z Re z dz, C:
1z l
= 1. El recorrido so realiza con-
~1 sentido horario.
;i)Í44. \
zz dz,
>s~litido
horario.
·• . º
C: !zl
=
1. El recorrido se efectúa contra
i
i-45. \ ze" dz.
'1
J
Re z dz, C: a) z
=
(2
+ i) t (O~· t ~ 1); b) que-
···'a• quee se compone
.
del segmento [O, 2) del eje real y del
;o:nto que conecta los puntos z1 = 2 y z 2 = 2
:r
,·;·
+ i.
54
Funci6n de vartable compleja
-1-i
J (2z+ 1) dz.
147.
i+i
i+í
Jo z dz.
.
3
148.
i
149. ) (3z"'- 2z 3) dz.
1
_\' ez dz, C: a) es el arco de parábola y = x 2 que
150.
a.
conecta los puntos z1 = O y z2 = 1
de la recta que conecta estos puntos.
' cos z dz,
151.
é
necta z1 =
152.
~
y
e : es
z2 =
:rt
+ i;
el segmento ele la recta que co-
+ i.
·¡
I ~; . e, •) º'· la mitad superior de la circun- j
ferencia l z l = 1; se elige aquella
Vi para la cual VI= 1;
b)
b) es el segmento
lzl =
1, Re z:>O,
~:_
rama
de la función
¡ -
i 2 2 (1- i) .
V-=t =
\ 4
' . e:
es la mitad superior de la cir0 }' z S
,
cunfer encia 1z J = 1; se toma aquella rama de la función
w = Vz3, ~ara la cuz:l V I = 1. i ·" )
153.
2
154.
\ (z3 - z ) eZ dz.
155. _\ z coszclz.
o
1 °+ i
i
156 .
Jz sen z dz.
J(z -
. .r l n {z + 1) d .
el
)
z -f-i
z por
1
izl = i , Imz:> O,
Rez ~O .
J·i
:1
1
,:\
1
.~1,
.' "'·~·
'l
i
.158 •
11
. .(~
i) e- z dz .
o
1
:¡
)
l'
i
157.
·;:I
J
arco
do
la circunferencia
·.~
· · Jntegrac·ión. de frinc'ibhes ·:.
i
-~
.'
1
159. ~ ~ z dz_ por . el _segmento de la recta que conecta
1
,;,~·
..
los puntos z1 = ·1 y z2 = i.
i+i
, ·160. ·.
.
J sen:z co~ z dz. ..
. •.
o
i
161.
J·' c!s!gz~
1
dz .wr ll;l.
recta~ quo ~onec_ta los puntos
1
Zi
= 1 y
z2 = i .
i
162.
.z:1 =
-
cos z dz
J vsenz
por la ·recta·. que conecta l os puntos
- 1
.
1 y z2 = . i; eligirrios aquella rama de -la función
VSei.tZ, para la cual V sen (-1) = i sen 1.
f•·
-V
i. : : L~~:')dz,
163. JRe(senz)ccyszc_lz, ,C:
e
~;.
~L .
~~~.'.;.'~; .
j
C:
! I:tllz !~L
!lm*~1,
Rez ·. : .
Rez=1.
-í
166.
tg z dz, C:
es el arcó de la parábola y = x2 que
conecta los puntos z =O, z = 1 + i .
§ 6. Fórmula integral de Cauchy
Si l a función f (z} es analít ica en el dominio D limitado }Jor el
· ~~mtorno . cerrado suave _a trozos C y en el mismo contorno, entonces
_es válida la . fórmula de Cauehy .
·
e-'l<-
ftJ:.:·> .·
__ r 't {z) dz (z E D) ~
f (Zo ) = _1
2m J z-z0
°
(1)
o
donde el contorno C se reco1're de tal modo que el dominio D siempre
· se queda a la i zquierda. tia fórmu~a integral de Cauchy permite calcular algunos integ-rales.
·
56
[Cap. 1
Fu.nci6n de variable compleja ·
Ejemplo 1. Calcular la integral
·.¡
Solución. Dentro de la circunferencia 1 z 1 = 2 el denominador
de fracción se anula en el punto Zo = -1. Para utilizar las fórmulas
(f) reescribiremos la integral en la forma si~uiente :
·
Jr
ch iz
_z_2_+_4_z_+_3_ dz
Jr
=
fzf=2
lzf=2
ch iz
-- Jr
%IT
ch iz
dz=
(z+i) (z+3)]
z- (·-1)
dz
·
fzf=2
· ' f (z) = ch
· en e1 c1rcu
'
1o
1 y 1a f unc1on
z+iz es ana lít1ca
3
1 z 1 ~ 2. Por eso
Aqui' z0 =
-
r
.J
z2
izf=2
iz
+ch4z+
a
.
. . ch
dz =2m.f(-1)=2:rti
.
( - i)
2
=
=:rtichi=ntcosi.
Ejemplo 2. Empleando la fórmula integral de Cauchy ,
\' e"~
cular la integral J z2 _ z dz, si:
6
o
1) C:
1
z - 21
=
cal-
1; 2) C:
I
z - 2 1 = 3; 3) C:
1
z- 2i
=
5.
Soluci6n. 1) En el dominio cerrado, acotado por la circunferencia
z - 2 1 = 1, la función subintegral es analítica, por eso en virtud
del teorema de Cauchy
1
.•
.,
,.~ ~:.
2) Dentro del dominio, limitado por l a circunferencia\ z - 2 1 =
= ·3 se encuentra un punto z = O, en el cua:l el denominad·or se anula . .
Reescribiremos la integral err la forma
) z2 ez26z dz
e
=
)
Jz-21= 3
. ......·~ --"·•~11,......................."'""'"""""""'' .......... .......~......,. ., ···
§ 6]
'· ·: ~""':"."~·~:-:.•··--·..r
-:""'' "" ....-.--,...._·--·'fr' ..-..-.---·--~-
57
F órmula integral de Cauchy
z2
La funciou f (z) = z e es analítica en el domini o dado. Utilizando
6
la fórmula integral .de Cauchy (z0 = 0), obtenemos
J
fz-21=8
3) En el dominio limitado por la circunferencia 1 z - 2 1 = 5
tenemos dos puntos z = O, z = 6, en los cuales el denominador de .la
y
::··.·· ·
~t~.
Fig. 6
~~· ·
fun,ción subintegral se anula. Es imposible utilizar directamente la
~-·. ;~~:~~~e~i ). En este caso para cal cular la integral se puede hacer lo
~L-.:
P rimer pr ocedimiento. Desarrollamos la fracción z2
f,~''/) ~~dnes simples. Tenemos
''··:
z2
S~shtuyendo
en
:·.,·..
.
·
~ 6z ! ·
z \
z en frac6
!(! ·
la integral , obtenemos
e22 - dz= -1
-..,..z2-6z
6
~·
e' dz
•
z-6
lz- 21= 5
ji,<;·..• ..
-
1
11
! )
Jz-21=5
-z- =
..
.
•;_
.
:~~
Fnnci6n de ·variable compleja
58
. [Cap. l _.·
Segundo procedimiento. Construyamos l as circunferencias y1 y y2 ·
con los centros en los puntos z = .O y z = 6 de los radios suficientemente pequeños tales, para que las. circ'!nferern:~ias no s~ intersequen
y se encuentren completamente en el circulo 1 z - 2 j ~ 5 (fig. 6).
En el dominio triplemente conexo, limitado por las circunferencias 1 z - 2 I· == 5, y1 y y2 , la funci6n subintegral en todas partes es ·
analizable. En virtud del t eorema de Cauchy para el donúni o múltidlemente conexo
··
Í · e' 2 dz . · · Í ezª dz
J :Z2 - 6z J z - 6z ·
s
f z-2 J =~
+ Y2
V1
·se
A cada integral en el segundo miembro
puede utilizar la fórmula
. integral de Cauchy (1) . De resultas obt,enemos
~
2ni -
Jz-21 =~
ez2
--
. é 2
r
z - 6 z= O
+ 2ni - z
¡
z=6
es 6- 1
= - -- ni.
3
Calcul ar mediante la fór i;nul a iniegral ·de Cauchy las
. integrales siguient es (todas l as circunferencias se recorren
contra el s·erttido horario):
167.
169.
~
lzl=1
r
J
senzz2+2z - 3 dz .
175.
Jz.1= 1
J
Jzl=2
ig z
ze1/(z+2>
r
172.
dz.
J
cos (z +nt) d
z (ez+2) z.
lzl=3
~ z2~16•
lz1=5
)
sen i z
d
v2 -4z + 3 z.
\
170.
ltl=i
173 .
z2 + 1 dz.
lz- il=1
Jz-11=2
171.
ei z
J
1tZ·
J
r
r
168.
r
dz
(z2+9) (z+9) .
J
. 174.
lzl = 4
sh-i (z+ i)
176. .
z2 - 2z
f1.'':"
(' - !) dz.
z -z
Jz l=2
Si l a función f (z) ·e s analizable en el dominio D y en su frontera C,
entonces para cualquiera n natural t iene lugar la fórmula
. .····~.
¡en) (zo)=~
·
r __
f (_z)_d_z_
(z-z
2m .1
e
0)7i+ l
'
donde z0 E D 1 z E C. Se puede emplear la fórmul a (2) para calcular
algunas integrales.
.~·
·F6rmula ~ntegral - de Cauchy ·
·· Ejemplo 3. Calcular
59.
Ja integral
~~¡(
,J;., (:,n_·:i, ª'·
~:'?!:).;
· Soluci6n . La función subintegral (z~e~n;} 2 es analítica en el domi-
>J··~·
• nio 1 z -'- 1 1 ~ 1 en todas partes menos -en el punto z0 = i. Separemos
bajo el signo de integral la función f (z) que es analítica en el círcul o
fh-;•;·,_¡ z - 1 1 ~ 1. Para eso reescri biremos la función subintegral en la
~h~:
~\-=>
e-~ ~- forma
..
SBD
sen nz
(z
(zZ-1)2
._y en calidad de
_f
nz
+ f)Z
(z-1) 2
'
sen nz
(z) tomemos (z+ f)ll' Suponiendo en la fórmula (2)
·n. =1, obtenemos
sen nz
\
j
Jz- 11= 1
(z + 1)2
(z- 1)2
dz=2n if' (1).
I--iallamos la derivada
sen :n:z ) ' =
n cos :n:z · (+
f' (z) = ( (z -1-1)2
+1) -
2 sen nz
(z+ t)3
consiguiente,
('
sen m
J
:rt2
(z2 -1)2 dz= ·-2 i.
[z-if=I
Ejemplo 4 . Calcular la integral
r .
ch z dz
J · (z +
fz l=2
1)ª (z-1)
.. Solucicín. Primer procedimiento. El denominador (z + 1)ª (z - 1)
·-de la función subinteg1·al se anula en dos puntos z1 = -1, z 2 = 1
se encuentran dentro del círculo 1 z ! ~ 2. Desarrollemos en
,....-c.1v•"~" simples la función
1
1
(z +
1)~
(z-1)
1
1
1
1
.8-z-=1-8 z+i - 4
1
--2
1
(z+1)ª ·
1
(z + i )~
60
Función de variable co_mpleja
[Cap. 1
Utilizando la linealidad de la integral, obtenemos
r
J
ch z
(z+f)S(z - 1) dz =
r
1
sh z dz
J
8
f zl=2
z- 1
(zj=2
__ ..!_
8
r
J
(zj=2
~ dz-.!.
z+i
4
r
J
ch z
(z+1)2
(zJ=2
dz -
r
i
J
2
ch z
(z + 1)ª
dz.
(zl= 2
Apliquemos la fórmula integral de Cauchy (1) para las dos primeras
int<'~ralcs:
~h zi
.\
dz=2ni ch 1,
lzl=2
r
chz
z+i dz=27ti ch 1.
J
lzJ=2
:t
.•
?
.:.•.
La terce!'a y cuarta integrales l as calculamos median.te la fórmula (2)
J\
chz
(z+i) 2 dz=2ni(chz)' l z=-l=-2nish1.
,~'~i
lzf=2
1
lz)=2
chz
(z+ 1)ª
dz =
22~i (chz)" lz=-1 = ntch1 .
•
Obtenemos definitivame.nte
r
J
ch z dz
(z + 1)3(z-1)
fzl=2
+!
2ni ch 1
8
2ni ch 1
8
~jJ
--¡.
.. .:a
....1;1
sh 1- ch 1
2:rtish1-; ni ch 1=
2
.
.·~~~:
ni
m = -2e ·
· :~;!
'f'·
Segundo procedimiento. Con8truyamos las circunferencias 'Vi y j12 "i\il.
con centros en los puntos z1 = -1 y i:2 = 1 de Jos radios suficiente- ·~
mente pequeños tales, p ara .que las circunferencias no se intersequcm . '~~
y se encuentren completamente en el círculo ¡ z 1 ~ 2. La función · ~~
subintegral en todas partes es analizable en el dominio triplemente '~~
conexo limitado por las circunferencias 1 z 1 = 2, Yt. y y 2 • En virtud
de~· teoremcahdzedCzauchy para el dominio múltiplemente conexo tt>nemos ~~~·
J
lzf=2
(z + f)S (z-1)
r -(-z+-....,.Cih"'"")Sz.....,(~-Z-1)- +
'1'1
)
V2
(z+Cf~3Z(:~f)
'
(3) }
W
f ...
,.,-·t.~·-~.~
§ 6]
L
tf .
Fórmula integral de Cauchy
Emplearemos la fórmula (2) a la primera integral del miembro segundo (3), representando previamente la función subintegral en forma
chz
chz
t •.
l .
t:·
,.
(z+1)3 (z-1)
:~iJ··L:
La función ch zi es analítica dentro de
zla fórmula (2)
chz
chz dz
t'
r
J
(z+1) 8 (z-1)
.
V1
i
=
..
·"' ·
¡.; ·'
J,,
.
'.~t.·
·-"'
y1 , por lo tanto en virtud de
-z=T'"
--dz=
(z + 1)ª
.J
Y1
i···.·
~/:
61
22~.i
chz )"
(
(z-1)
2e-1+ch 1 ni
1
_
z= - 1 -
4
·
Utilizamos la fórmula integral de Cauchy {1) a la segunda integral
en el miembro derecho (3)
ch z
(z+ 1)3
_c_h_zd_z_
z- 1
~ (z 1)S (z - 1)
r
2 +
'\12
=2ni
chz 1 =ni~.
{z+1)3 z-1
4
· Definitivamente obtenemos
r
ch z dz
(z+1)11(z -1) · -ni
U
fzt=2
Calcular las intergales siguientes:
r ~d
J
zB
:i:.
178.
jzj= i
•
:>: f79.
)
s~:z
J
dz:
¡zj= i
1t
(z~:):f:S)
dz.
180.
Jz- 11=1
z sh z
J
(zZ - f) 2 dz.
Jzj= 2
182.
)·
Jz -21=3
J
Jzl= i / 2
185.
r
J
. jz/= i/2
:s
cos
z~ 1
1-senz d
zª
z.
dz.
r
J
184.
ez
(z2 +-l)' dz.
lz-2J = 1
186. .
r
J
elz
(zll-f)2 dz\
/z- 1= 11/2
)
()2
Ftinci6n de uaria'ble co mplefa
§'7. Serie:s en ·el dominio complejo
Sea que tenemos una.serie con los términos complejos
00
z1+z.2+ ... +zn+ ... = 2J Zn.
n=i
don rlc Zn
=
Xn
+ iYn·
-
·- ·
La serie (1) converge cuando y sólo cuando converge, como la serie
x1 +x2 + ... +xn+ ... = ~
Xn;_ ,
n=i
tanto como y serie
'Oo
Y1 + Y~'+···+Yn+···= _LJ
n =i
Yn·
(3)
La serie (1) se llama absolutamente convergente, si converge la
serie
00
1 Z¡ 1
+ 1 Za 1+ ... + l lln ¡ + .. . = 2J )'Z¡~ 1• . '
n= i
Las series (2), (3) , (4) son unas series con los términos re ale~ y el
¡:írohlema de su 'cónvérgencia se resuelve mediante el criterio de con- ·
vergencia de las series en el dominio real.
Ejemplo 1 . ~ xaminar convergencia de una serie
' OC!
~~
4J
n2
•
n.=1 .
+
S olución. Tenemos etn = cos n
i sen n. De tal modo, el problema de convergencia de una serie dada se redilee ·al problema de convergencia de series: con los términos reales:
00
00
~ ~
4J
~
y
~
na
sen:n
n2 •
n;=l
n=i
Cada una de estas series converge absolutamente. Por consiguiente,
la serie dada converge absolutamente.
Ejemplo 2. Examinar la convergencia: (le una serie
00
. n
i-
~ ~
LI
n
•
n=1
Solución. Tenemos
e
."
i11
:n:
;t
=cos-+i
sen - n .
n
· 71
63
Series en el · de minio complejo
J~is ·
cos
00
~Í~~. serie ~
1
~
n n
00
diverge, mientras que la serie
~
Z.converge. Por consiguiente, la serie dada rliverge.
1
n
sen - ·
n
n
, Examinar la convergencia de las series:
00
00
187.
~
188.
00
00
h
cos in 2
190. .'1
,¿J
5nZ
n=i
n=i
.n
te n
00
191. ~
195,
'1
V ri
n= i
(i+i)n
-'n--'---'--
2T cos in ·
_.,,,--.....,
00
00
194. ~
ln n
sh in
•
n=i
n
ch t -n
h
n-Vn
192. LJ
'V sh l 1/;
LJ
sen in
00
etzn_ •
00
- .
n=1
..193 .
3n
·n =i
n= 1
.189 .
n sen in
h
00
196. ~
nln n
n
tg
i.nn
n=i
n=i
Sel'ie de potencias
Una serie que tiene la forma
00
c0 + .c1 z-f-c2 z2 -f- . . . +cnzn+ . . , = . ,2j cnzn,
(5)
n=O·
: ·donde c0 , c1 , etc. son las consta.ntes cümplejas y z eida variable comple. ja, se llama serie de potencias en el dominio complejo .
za·
. TEOREMA DE ABEL. Si
serie de potencias (5) converge para cierto
valor de z = z0 , entonces ella converge y absolutamente co11ve1·ge para
todos lo.~ valores de z, para la.s cuales 1 z 1 < 1 z0 J. Si la serie (5) diverge
p ara z = z1 , entonces ella diverge y para cualquier valor de z, para el
cual 1 z 1 > ! z1 1.
.·
. • .. . • El .dominio .de la convergencia de la serie (5) es el círculo- con el
·.· ·centro· en el origen de coordenadas. ·
·
-· ·
.· · El radio de convergencia de una serie de potencias se· 'd'eterrñina
mediante las fórmulas
l'
n. :.=.n-+oo
1m
1Cn1
1 Cn+1 1
(6)
Función de variable compleja
[Cap. 1
ó
,
1
R= hm n _ _ ,.
ti
n-+oo
Cn
(i)
1
si existen los límites indicados.
Ejemplo 3. Determinar el radio de convergencia de una serie
de potencias
00
.í]
cos in·zn.
n=O
S olllción. Tenemos
.
Cn =COS in=
e-n+ en
chn.
2
Para hallar el radio de convergencia R utilizamos la fórmula (6):
R = J~~
.,,
1chn1
-,-;ch_(_n_+-'1-)_I
_
ch n
. = lím ch n·ch 1+ sh n·sh 1
n-+oo
,
____1_~1
= n-+oo
1lffi
ch i+th n·sh
1
= ch1+sh1
puesto que
lím th n= lím
n-oo
n-+oc
en+e-n
n
e -e
-n
Entonces, el radio de convergencia de la serie de potencias es R = e-1 .
Ejemplo 4. Hall ar el radio de convergencia de la serie de potencias
00
LJ
(1+i)nzn,
n=O
Solución. Hallamos el módulo del coeficiente en = (1
+
í)n:
1Cn1 = 1(1+i)n1=i1+ i ln = (V2)n =2n/2 •
Empleando l a fórmula (7) , hallamos el radio de convergencia
de la serie dada
1
R= lím n i
n-+oo Jí2n¡z
1r2 ·
Hallar los r adios de convergencia de las siguientes series
de potencias:
00
197.
h
n=i
00
einzn.
198.
h
n=i
. lt
i-
e
n
.zn.
§ 7]
00
.z
199. ~ ( 1i
n=O
r
00
200. .~
•
n=i
00
202. ~
c h-Í-zn.
n
n=i
00
203.
:..
,.
·~-, .
·.,
~/'':
inzn.
ni
~ sen-zn.
n
204.
n=O
. n-1
00
00
~
206.
n= i
n=i
~·:.
00
207.
r.
n
.
~
( lnzin
n=.i
n;i zn.
205. ~ cosn lfñ
~ ·.",
(i: r.
00
201 . ~
;-·.
65
Sertes en el domtnio complejo
zn
senn (1
+ in)
.
00
~
208.
(n+i)zn.
~ cosin·zn.
n=O
n=O
00
209. La serie ~ cnzn tiene el radio de convergencia
n=O
y .la serie
.
\,:tes:
2J c~zn
n=O
tiene el radio de convergencia r'.
Estimar el radio de convergencia R de las series siguieni
00
00
a)
2]
(en+ e~) zn;
b)
n=O
2J (en n=O
e~) zn;
00
q)
d) ~ ~~ z" (c~=fo O).
~· Cnc~zn;
n=O n
n=O
Series de Taylor y de Laurent
<> .. La función f .(z)
tse : de~arrolla
que es unívoca y analítica en el punto z = z0
en el entorno de este punto en seríe de potencias de Taylor
00
f (z) =
2J
en (z-z0)n,
(8)
n~o
los coeficientes de la cual en se calculan según las fórmulas
Cn
=
1
,('..
f {z) dz
2ni ¿f ( z - z0 )'n+1
I'
f(n)
(zo) (n=O, 1, 2, ... ),
n!
(9)
6~
[Cap. l.
Fu._T}.::i6YJ,: de .variable aonipleja
.jt'
donde r es la circunferencia con el e-entro en el punto z = 2:0 que se ;; ;
encu.e;ntra complet_a~~nJe en e~ entorno cl~l punto_ zº, .en .el, cu~l la ;¡~­
func1on f (~) es a1~~J1_t1ca. El centro de l a c1rctulfe:re~cia_ del ca:culo ele ~­
·convergencia se encuentra en el punto z0 ; esta circunferencia pasa
a través del punto singular ~ de la función f (z) que es más próxima al
punto z0 , es -decir, el radio de _convergencia de la serie (8) será igual
a la distancia del punto z0 al inás próximo punto singular de l:a-fünción f (z). '
·
·
Para las funciones
ln _(1 _.f:- z),
(1
+ zr
tienen lugar lo~ desar:rollos siguientes en serie de Taylor e~1 .el entorno
del punto z0 = O:
--
-z2
z8
2
3
ln(1 +z)=z- ~+- ·-
-_zn
· · ··+(-t)n-1 _ + . .. (R=i).
n
-
ª= i+ _a. (a-1) 2 +a(a.- ·l )(a. -2)~a +
.
(1 +)
z
_
az
_z
.. _ : ..
21
31
, a (a-1) ... (a + n - 1) n+
· · · --r
n!
z
... (R=i).
En p.arJ;ic1..uar, para a
·i!z
=
'(lO)
(11)
.,,...1 obtenemos
-:-.1~z+z2 :-_. • • + (-1)~ zn+ ... _(R =
1).
- (12)
- La fórm~la (10) cla el desa1:rollo en SP.l'Íe de · T~iylor en el entorno
del punto z = O del yalor }Jrinci pal del logaritmo; para obtener l a
serie de Taylor para otros valoren de lu Función multiforme Ln (1
z)
conviene añadir a l a serie (10) los UÚlferos 2nni, n = _± ·1, ±2, ....
+
·-
zZ
-
z3
Ln (i + z)=z-;r + 3 - • • • +2nni.
Ejemplo .5, Desarrollar· en serie de Taylor en . el entomo del
punto z0
=
O la función
z
f (z) = zª-2z-3'
utilizando el desa~·i·oll~ ' (12), "y hallar el radio.. cle convergencia ele la
serie.
Soluci6n. .. :Oesarrollemos la funcion dad,;i. en frac.clones s~mpfos
z
z2 -2z-3
1
T
1
z+i
3
1
+ T .z_- 3 ·
Transformemos el miembro segundo del modo signieDte:
. -1 -- '1 1- 1f(z)=----- - 4 . 1+z
4
.....:.~·
1 _-
3_
.-l
-~·· '
Series en el do1ninio complejo
f··
El punto z = -1 es el punto más próximo singular al purito
O de la fun ción dada. Por eso et radío de convergencia de la serie
.obtenida es R = 1.
¡r:>'< .: E femp lo 6. Desarrollaren serie por potencias de diferencia z - 3
\:,:la-función
1
f(z)=3 -2z'
:~o -.=
Soluc-t611. Transformemos la función dada del modo siguiente:
1
- 3-2(z-3)
1
3-2(z-3 + 3)
. .
.
hL:: :~Sustituyendo
i1\<:~·2z
~:'-: '.
~
1-
1
~f::::.
2
en el desarrollo (12) z por
=-+ [
·.·
(z··-3)
+ ~:
"
22
2
1
1
2
•
1+3(z- 3)
-
3), obtendremos
-3
3 (z
(z--3)ª~ ;: .(z -
3)ª+ . .. ] =
23
.
= -3+32(z-3)- 38 (z- 3)ª + .34 (z- 3)ª -···
~?~---~..··
~~~{· -Esta serie converge para la condición
I~\ i ." ~
H
;,~::~
1<
: ~ oonvo~noi• do ~"' '¡
1
dooi:,;.:... :
"
2 '
R
,>~ '.
Ejemplo 7. Hallar unos t érminos primeros del desarrollo en serie
''tpor potencias z de la función f (z) = tg z y hallar el radio de la conver!•/gencia · de la serie.
·
,_: : . . So lución . Suponemos que la serie buscada tiene el aspecto de
f (z)
=
c0
+ _c z + c z + r z + ... ,
. . j<n~ (O)
Cn = - -.-(n =
.
n1
1
-
2
2
3
3
O, 1, 2, ... }, j(0)(0)=/(0)=0.
-:--:,~.~- . =.~·:,~=,·--·-·-~~,1~··-.~,~
Para hallar los valores de las derivadas j\n) (z) en el punto z
vamos a diferenciar la función. Tenemos
f'
1
2
(z)= -cos~
-.z o f' (z)=i + / (.i:).
¡n (z)=2f(z)f'(z),
f"' (z) = 2 [/',2 (z) + f (z) f" (z)],
fIV (z)=2 [3f' (z) !" (z)+ f (z} /'" (z)j,
f V (z) = 2 [3¡n 2 (z) + 4/' (z) f"' (z) + f (z) ¡IV (z)],
Suponiendo en (13) y (14) z
f' (O)= 1;
=
··.l
O
j(V) (0)
=
j (IV) (0)
=
(14)
. ·.
.~:. E
O;
16, ...
Sustituyendo los valores hallados .de derivadas en serie, obtenemos
t gz=z
2 zS-1..,
16 6 + ...
, 51z
+ 31
El punto ~ = rr,/2 es el punto más próximo singular al punto z
Por eso el radio de convergencia de la serie obtenida R = rr.12.
(15)
=
O.
En los problemas siguientes las funciones dadas desarro-·
llar en serie de Taylor, usando l os desarrollos hechos, y
hallar los radios de convergencia de series:
210. sen (2z + 1) por potencias z + 1.
211. cos z por potencias z +
:.
212. ez por potencias 2z -1.
213.
Sz~ 1 por potencias z + 2.
214.
z2+4z-5
215.
216.
z+1
z
+.
i
tz
cos2
z2
2
·
<t
(13)
O, hallamos
f'" (O) = 2;
!"(O)= O;
l
=
.
por potencias z.
•
por potencias z.
· .
por potencias z.
217. sh 2 ~ por potencias z.
218. ln (2 - z) por potenci'as z.
219. ln (2 + z - z2 ) por potencias z.
Hallar u,nos términos primeros del desarrollo en serie por
potencias z de las funciones siguientes. Hallar el radio do .
_ __
.._.. ... ~,""'--" "~'"~"'-- .. , ~, ......,...... ......_ __ _, ··· •, ... ...... ~- ·~· -,· ~·· ·-,.•-:ii:--.-~.. ---.'"r-~·· •,... -
Ci9
S eries en el dominio complejo
§ 7]
...-
c-0nvergencia de las series:
1
1
220. 1+ ez • 221. 2+ sen z •
222. e-z +s.
223. In (1 + e-z) . 224. In cos z.
1
+
225. In (1 cos z). 226. e"T='Z.
227. Ha llar la función f (z) analítica en el círculo ·
/ z 1~1 y que obt iene en la circunferencia 1z J = 1 el valor
a -cos0+isen8
a2 - 2 a cos e+1
' a> 1, 8 = arg z.
00
f (z) =
228. Dado que la función
:>i
ah.zR.
li=O
es
analítica
en el círculo 1z 1 ~1. Demostrar que el valor medio de la
función 1z(~) . en la circunferencia 1z1=1 es i gua l a
ªn·
Sea dada la rerie
~
Si c_n
+ (z-z
c_
+
)~
+
c_n
-1= "'\l _c-n
(16)
• • •
(z - z0 )n ' · · ·
~ (z-z0)n ·
0
n =i
-:/= O y existe el límite finito
r= lím lc-n-1 1
(17)
z - z0
2
n-+oo 1c.. : n1 '
entonces, esta serie converge en el dominio
1 z Zo 1 > r.
Ejemplo 8. Hallar el dominio de convergencia de la serie
(18)
00
~
(i ~~n+l .
n =1
Solucio1L Aquí c_n = (i
+ i)n+i,
c- n-t = (1
+i)n+
2,
.z0 = O. Por
lím li +i l ~1/ 2.
n ~oo
a serie dada: converge en el dominio 1 z 1 > lf2.
.9. Hallar el dominio de convergencia de la sel'ie
J. < E jemplo
00
"'\l
~
n=i
sen in
(z+wi.
{),:Soluci6n. ·Tenemos
c_n = sen in= i sh n,
c-n - t
=
i
sh ( n-)- 1).
--·-
70
Función de variable compleja
Por lo tanto
r=lím Jish(n-f-1)1 =lim sh(n-j-1)
n...,. 00
JishnJ
n->oo
shn
=
lím
n-+oo
en+l_ e-n-1
-n
n
e -e
e- e-2n-1
,
= n-+oo
lun
i-e-zn
e.
Por consiguiente, la serie. converge en el dominio 1 z + i 1 >·e,. es
decir, fuera del círculo con el centro en el punto z0 = - i y dehadio ~--
Determinar el dominio de· convergencia de las series
siguientes:
00
229.
00
~-
1
230.
(i-i)nzn'
00
00
~
z-n
cos in
232.
•
¿;
en (iztn.
n=l
n=1
00
233.
zn
n=l
n=1
231.
(1/2+i V2)n
~
00
~
1
4n (z-j- 1)n '
234.
n2-n
~
(z~2;--i)n'.
n=I
n=i
00
00
235. ~
3n+f
236. ~
(z+2t)n
n=!
n=i
(z-j-1-i)-n
n+i
La serie de la forma
00
00
00
...
+ L.l
'Q
(
Cn z -zo
n=O
)n
. +
=...
· c-n
(z-zo)n
·-L • • •
i
+~ +
.
z-zo
+ c +c¡_(z-=zoH- . .. +en (z-z~)n+...
0
(19)
converge en el dominio, en el cual convergen las series.
oo·
(20)
00
LJ
n=O
Cn
(z-z0 )n =c0 +c1 (z-z0 )+c 2 (z-z0) 2 -l-
. ..
Seríes en ·e( dom'inio complej~
71
·Suponemos qu'e fa serie (20) converge en el dominio 1 z - z0 1 >· r,
fuera del círculo con el centro en el punto z ""' .. z0 del radio r
serie (21) couve.rge en el círculo ! z ~· z0 l < R. Entonces, si
1) !r > R, la serie (19) diverge en todas partes;
·
· 2) ~r < R, la serie (19) con verge en el anillo r < 1 z - z0 1 < R.
r ~O, O< R < +oo ..
10. Determinar el domini.0 de convergencia de la serie
00
~
00
eln
(z+1)n
(z+1)n ;- ~
einH¡2
.
n=O
n=1
00
e~n
· · Solución, Para la serie ~·
(z+1)n
tonemos
n=i
r=
lím lei(n+l)j
n-+oo
-1,
¡ein ¡
· pl'imera serie converge .en el dominio
Para la serie de potencias
(z-zo)n
~
n=O
ein+l/2
1
z
+1
1
>
1.
tenemos-
cn=e-in-1¡2, cn+i=e-i(n+l)-1/2 .
de eonvergencia
R= lím
n->oo
\cnl
1Cn+1 I
¡e-tn-1¡2
lím - - ' - - - - - -
n-..oo
1,·.
J e-1 (ntl)-J./21
+
de modo que l a segund a serie converge en el. dominio 1 z
.1 1 < 1.
La serie dada diverge en todas partes.
Ejemplo 1 1. Determinar el dominio de conver g·encia de l a seri e
00
(3 +4i)n -1-
~
(z+2i)n · Li
n= i
Solución . Para la se r ie
C-n= (3 + 4i)n ,
Po r cunsigu i ente,
n=O
( z + 2i ) n
6
'
72
Función de variable compleja ·
{Cap. 1
La primera serie converge ln el dominio lz+2il>5. Para la
00
- )n tenemos
serie ""
LI ( -z+2i
6
n=O
Cn =6-n,
Cn+1 =6-n-1.
Por tanto el radio de convergencia de esta serie de potencias será
igual a
16-nl
= n->-oo
lím 1e-n-1 ¡ =6.
R
+
La serie converge en el dominio 1 z
2i 1 < 6.
Pues bi.en; 1· = 5 < R = 6. Por consiguiente, la serie dada converge en el anillo 5 < \ z
2i 1 < 6.
+
Definir los dominios de convergencia de series siguientes:
00
237.
~
(
! +in) (z + 1 + i)n.
00
238. ~
n=i
n=i
00
00
. 239.
~ nn(z~ 2 +i)n+ ~
~
·
r + ~ ( ~ r.
00
240.
(1+in)(z-2+i)n.
n=O
n=i
00
(
~
n=i
00
00
241. ~ (z+t-i)n+~ n(z+i-i)7'.
n=i
n=O
00
"'1
242. LI
00
1
"'1
zn
zn + LI
2n+1 •
n= O
n =l.
00
00
in +""
(z-:}n (O! = i).
LI
sen
243. "'1
LI (z-i)n
n=i
n= O
00
00
"'1 (-1)!1.
244. L.J
n4zn
"'1
+ L.J
n=i
zn
n2n •
n=i
00
246
• -
i
2 (z-i)
+ .i_
"'1
4 LI
n=O
( - 1)n (z - i)n
(2t)n
... ··
§ 7]
247.
++
00
00
~
248. - z
zn.
1
1
n= O
·co
+ ~ ( - ·i)n (z- i)n.
n= O
oo
2-49. ~ ~:
¡_
73
Series en el dominio complejo
+ ~ ~: (b=F O).
n=1
n=O
La función f (z) es unívoca y analítiqa en el anillo r < 1 z - z0 1 <
R (no se excluyen los casos, cuando r = O y R =
oo) se nesarrolla en este anillo en sc>rie de Laurent
+
<
-1
00
/(z)=
2J
n = - oo
cn (z - z 0 )n=-~
2.J
00
cn(z-z 0)n+2J c11 (z-z0 )1t,
(22)
n=O .
n =-oo
donde los coeficientes en se hallan mediante las fórmulas
1
2m
Cn=.
j
f (z) dz
( z-z )?t+l (n=O, ± 1,
I'
' ·
± 2, ... ).
(23)
0
Aquí r es la circunferencia arbitraria con el centro en el punto
que se encúentra dentro del anillo dado.
· En la fórmula (22) la serie
·;_~
- 1
Zu
00
.
~e se llama la parte principal de la serie de Laurent, la serie
/·: ·.
CX>
~.:;.
~
~~~~··:·:
n==O
Cn
(z-z0 )"
.
····>• :· se llama la parte correcta de la serie de Laurent.
···. - . · En la práctica para hallar los coeficientes en tratan de evitar
; .· el empleo de las fórmulas (23), puesto que ellos proporcionan calcula<:;. ciones voluminosas. En realidad, si esto es posible, utilizan los desat:<rrollos hechos en serie de Taylor de las funciones elementales.
\: · . . Ejemplo 12. Desarrollar en serie de LaUl'ent en el anillo O <
< <.:. 1 z - 1 1 < 2 la función
~1
f (z)= (zZ- 1)2
1
.Solución . Primer procedimiento. La función f (z") =
es
:--, . ..
(zª - 1ra
,¡fo~lítica en. el anillo O < 1 z - 1 1 < 2. Hallamos los coeficientes
d·e ·'5erie de Laurent mediante la fórmula (23)
fü.',;
:;-.·, ·.:;.-::
1
-
_fn=:=
·
1'
2nt.
f
J
r
(z 2 - 1)2
(z - f)n+l. dz =
1
r.
·
dz
2ni .J (z-1)1HS(z + f)1l '
r
,
'
14
Función de ·variable comple;a
donde r es una circunferencia cualquiera con el centi·o en el plinto .·
z0 = 1 que se encuentra en el anillo dado.
.
.•
Si n
3 ~ O, es decir n ~- - 3, entonces la función suhintcgral..:
+
+ 1)
será''analítica en todos los puntos comprendidos .
dentro de la circunferencia r incluso comprendidos y en los· puntos
z = 1. En este caso
·
·
¡
dz
(z _ i)n!s (z
2
J · (z -1)n+S (z+ 1)2
O,
l'
+
es · clecir, en = O para n = - 3, -4, .. ·. Si n
3 > O, es decir
n > -3, entonces aplicando la fórmula (2) del § o para Ja derivada
del cualquier orden de la función analítica, obtendremos
· ·
1
r_ --..,...<
_z +__,.,.1. , .)2._,_. dz =
1
an+z . [
1
••• :\ (z-i)n+s
(n +2)! dzn+2. (z +1)2
r
1
- ---,--,.....,.. (-1)n(n7 + 3)! 1 = (-1)n(n+3)
(z 1.) 1+1\
z- 1
zn+ 4
(n+2)!
= -2, -1 - O, 1, 2, ... tenemos
(- 1)n (n+ 3)
e11 = 2:i
J
1
-
z-1 -
+
i>ar<l
11
2nH
Cn=
La serie de Laurcut para la función dada en el aniHo O < 1 z -
<
·I oo
1
~
(z2- f)Z
1
(z2-.1)2
1
1
T (z-1) 2
!<
+ co
(z - 1)n= ~·
Cn
··n=- 2
n=-2
ó
1
2 tendrá el aspecto de ·
1
1
3
1
.
- ·- + - - - ( z - 1)+
4 . z-1
16
8
·
+ :4 {z~1)Z- ~· (z ~i)ª+ :". .
· . · Seguiulo procedimiento. Es 'Jlecesario presentar f (z) en la forma
de la suma de potencias (positiv.as y negativas) de diferencia (z ..:....
Transformemos la función dad a del modo siguiente:
1
1 ( 1 · . ·1 . ) z .
f(z) = (z2-1p
A, z-1 ~ z+ 1 .
_ J_
-
_!_; _1_ _¡__!__.. _1_+.!...
1
4 (z- 1) 2
.
1Y.
1
4 z - 1 ' 4 z+1 ... 4 (z+ 1)2
. (24) '
Dos primeros sumandos en el miembro segundo (24) tienen la forma :
necesaria, puesto .que .. represelitair por sí .niismó la~ pqtencias de la .:
diferencia '(z - 1).
·
·
75
·series en el dominio co mplejo
§ 7]
;}f~~,\ .·. Escribiremos dos últimos sumandos en la forma
:'.,.>;:1·
é~'z + 1
=
~?t. . . :·
1
1
(z-1)+2
2
·1 ··
+
1
-
'1
z-1 '
2
(z+ 1)2
.
.
~
! [1+ ( z-;-,1) r~.
lu fórmula (12) y l uego la fórmula (11 ) para a = · -2,
J
(25)
·J:
(26)
1 [
z+1 1=z
i ---z-1
2.- + ( -z-1
2-. )2 - (-z- 2-1 )ª + · · · '
(.:.=..!_.) +
1.,[ 1 ..:...2 . z-:-1 -f- - 2( - 2-1)
2
4 - .
2 .
2!
_,·
_;_ 2( -2-1) (- 2 -' 2) ( z-1)3
+
31
- . -2-· .
2
+. :.· .
Sustituyendo (·25) .y (21l) en (24), hallaremos
1'
1
1
1
1
----- - +
~---
1·1 •· (<'- 1)'" !4[ :•-_z1_~_2_1 +'(_:_-;_: }'c-(-z-~_1_)3 r .. .J+
7:~
+ 1~
.. .
1
4
[ i - (z-1H- ; 2
(z - 1)2-~ ; 3 (z.~Í)ª + :
· ·
J
1
1
3
1
.
- - + - - - (z-1) +
4 z -1
16 . 8
.
5 .
3
2
64 (z- 1). - -64. (z -1)s+ . ..
1
(z -1) ~
+-·
~; ~·::<·.·_·: . .
~:~ t
~~:~:
Ejemplo 13. Desanollar en serie de .Laurent l a función
'
1
~~:~
~~'-
/ (z) = z2 cos .+ .
en el entorno del punto z0 = .O. .
Suluct6n .
Suponiendo
P01·:.:·;: :•~mi¡º,;~:ii; ~'~''.'.'ºº' ·
~ = J_,
obtenemos
~:{-z2: cos + =z2( 1-z·~!1z2 +
'
..
4!1z4
.:•
L.
6,lfzG
+ ... )<--e .
.
1. 1
. 1
2
= z 2f 4 1.: z~ - 6! z!
+···
76
Función de variable complej.1 .
[Cap. 1
ó
1
1
1
.z2cos7=-2+z2+
4fz2 --
1
6!z4
+.
Este desarrollo es válido para cualquier punto z =I= O. En el caso dado
«el anillo» representa por sí mismo todo el plano complejo con un
punto excluido z = O. Este «anillo» se puede determinarlo mediante
la relación siguiente: O < 1 z - O1 < + oo. Aquí r = O, R = + oo,
z0 = O. La función dada es analítica en el <ianillo» indicado.
E jemplo 14. Examinar diferentes desarrollos en serie de Laurent
de la función
2z+1
f(z)
aceptando z0 = O.
Solución. La función f (z} tiene dos puntos singulares: z1 = -2
y z 2 = · 1. Por consiguiente, tenemos .tres «anillos» con el centro en el
punto z0 = O, la función f (z) es analítica en cada uno de los «anillos»:
a) círculo 1 z 1 < 1;
b) anillo 1 < 1 z 1 < 2;·
e) 2 < 1 z 1 <
oo es el exterior del círculo ! z 1 ~ 2.
Hallamos las series de Laurent para la función f (z} en cada uno
de estos «anillos».
Representemos f (z} en forma de la suma de fracciones elementales
+
f (z} = z ~ 2 + z 1 1 .
n1)
a) Desarrollo en el círcul o 1 z 1 < 1. Transformemos (27) del
modo siguiente:
'
1
/(z)=-z-1 +
1
1
1
1
-z+
- 2=-z - - - --:¡--.
1+_:_
-z
(28)
2
Mediante la fórmula (12) obtenemos
1
1-z =i+z + z2 +z3+
z
1
z2
zS
4
8
.... ' lzl < 1,
- --1--..L-- -+ • • · , lz1<2,
1+..!_ -
2
2·
1
(29)
(30)
Sustituyendo (29) y (30) en (28), obtenemos
2z+i =_!__..!__+..::_-~+ . . . - (H-z+z2+zª + ... +) =
z2+z-2 2 4 8 16
1
3
7
15
=-2-4z--gz2-16zs+ ...
Este desarrollo es la serie de Taylor de la función f (z).
h) Es el desarrollo en el anillo 1 < \ z 1 < 2. La serie· (30) para ·
la función
1
+:
'
sigue siendo convergente en este anillo porque·
1. ' 2
. ~ •:,.
.. ,.
,. . .. .
§ 7]
..... ......- - - .... •..
·· ~·· "'··· ~ ':"'t~:""'"~"~- ...-....;c<· '!'....-"·-""'!''~-:-· ·-
...,........_......._ _
77
Series en el dominio complejo
~ z diverge, _para 1 z 1 > 1.
1
Por eso transformamos f (z) del modo siguiente:
1 z 1 < 2. La serie (29.\ para la función
f (z) =~
s ··.
l
1
{
¡·::.'
f:'
e,;._
l
l.
1
1-..!.
f'
k
~:·
§f
...1.....
~··
:>
1
(31)
z 1-_!_
z
1
1
1
1
1+-z+zr+7-r...
(32)
z
Esta serie converge para 1~1 < 1, es decir, para 1 z 1 > 1.
Sustituyendo _(30) y (32) en (31), hallaremos
2z + 1 ·
z2+z - 2
1
2
z2
z
1
z3
1
-4+g--·15+ · · · +-;-+ z
2
1
i
1
z·
+· · · =
zª
z2
= ·. ·+~+z-+2-4+3-15 + · ..
..:·
··'.
+J...
2
Em1)leanclo la fórmula (12), obtenemos
;_
'~·.·
1
2 1+~
ó
00
2z + 1
z2 +z-2
00
~ z~ + ~ ~ ~: •
n= O
n=i
e) Desarrollo para 1z1 > 2. La
1
1+~
2
~erie
(30) para la función
para 1z1> 2 diverge y la serie (32) para la función
1
- -- converge, puesto que si lz1>2, entonces y lz!> 1 también.
1
1- z
La función f (z) la representem<1S en tal forma:
f (z) = _!_
1
1+~
z
z
+..!._
z
1
1- __!_
z
..!._ (
z
1
1+
~
+
z
1
)
1- __!_ .
z
Por medio de la fórmula (12) obtenemos
t M=.i.
(1 - .!.
+ i..-~+
· · · +1 + __!_+_!_+.-!.+
... ) = ·
z
z
z2
z3
z
z2
_z3
1
5
7
z·! +---+·
zS
z'
·.
_·,
..
,·- .'
:
.......
Fitnci6n· de vartable comple¡a.
Este ejemplo muestra . que para la misma función f (z) l a serie
de Laurent, en general , tiene la forma diferente para difer entes anillos.
Ejemplo 15. Desarrollar en serie _de Laurent la función
2z ...,....3 .
()
f _ z = z2 ~ 3z + 2
en el entorno ·de sus puntos singulares: ·
Solución. Los puntos singulares de la función f (z) son: z1 = 1,
Zz = 2.
1) El desarroUo de f (z) en el entorno del punto z,_ = 1, es decir,
en el ani.llo O < 1 z - 1 1 < 1. Representemos la función f (z) en
fo1·ma ele la suma de fracciones· elementales
2z - 3
1
1 ·
zL-3z+2
z-': 1
z- 2 '
Transformemos el mie:rnllro ~egundo. del mocl.o siguiente:
2z-3 .
1
1
z2 - 3z+2 = z-1 --: 1-(z-1) '
Aplicando el desarrollo (12), en el cual z ha sido can1biado en ·-(z-1.) ,
obtenemos
2z - 3
1
·
.,
+ = -z - -1 --l1 + (z -1)+(z-1) 2 -I- ... )
z· - 3 z 2
ó
+
=
(33)
2j Desarrollo de f (z) en el entorno
anillo O < 1 z ~ 2 1 < 1. Tenemos
d~l
punto z 2 ==2, es decir, eu el
2z -3
z3 -3z +2
=
:t~ 2 +1 --:(z.~2)+(z-,2)2-(z-- 3)ª+ . ..
ó
""
'
2z-3 ..:,_ _ 1_ + "1 ( - t )n(z-2)n .
z.,- 2 .. L.J . .
. ·
z -3z + 2
(34)
2
n=O
Desarrollar en
seri~
de -Laurent en el entorno del punto
· ~
--
z = O las funciones siguientes:
250.
253.
sen z
~
ez
zr·
251.
sen 2 z
z
1
. 254. z3 e:Z.
2 .
·ez
z
1
. 255. z1• cos- z .
,,
S.~1 r ,,..J..,, ._ .
79
Series en el domi nio compleio
: .;:
~ •,
~-:;:_.;..:~. ·.,
.
Ir.
~'!':?:.:
1
25~.
. . ·.
.?>
e
~·'.:.~~\.
2
1- cos z
256. -z sen2 -z . · 257.
1
+ ccis z
'·
260 .
. z4
eZ-f
- z-
258 ..
zZ
1- ·e- z
zª
Desarrollar e.n serie de Laurent l as funciones siguientes
.. en entornos. de los puntos indicados:
,26i.
z
.
262. :~~ ,
- 1.
(z+ 1)2 ' Zo =
Zo
=
2.
263. ze!+t , z0 = - i.
Desarrollar l as funcion es siguientes en la seri e de Laurerit
los anillos indicados:
264.
:,.,·
:~· ¡"
1
1
265 . z~ + z,
1
i;~/;:·;.
a) 2< lz/< 3;
(z - 2) (z- 3)'
a)
0</ zl< i;
1
2z+3
267. z2 + 3z+Z .' · 1 <
J
z2-z+ 3
268. -z3·=
-3z-f- 2 ,
1;
2 < !z j <
2
Z
1
z+ 2
271. z2 - 4z +3 '
5
2.
b) 1 < / z 1 < 2 ;
e)
oo.
1< 1z+ 21 <4.
·
2< 1z- 1I <+oo.
.
/z j < + oo.
z
273. (z2 _ 4 ) (z2 -
i) ,
1 < !z ! < 2.
1
274. zi+i , 0< lz- i l < 2.
1
4< /Z1< + oo.
a) / z 1<
272. (z2 ~ 4 )2 , 2 <
275. (z2 - 4'21
b)
1<jz+21<3.
270. z~ + zz - S,
.
!<
3<" 1z/< +oo .
1.< /z/ < + oo.
a) 1 < [ z 1< 4;
266. (z+ 2) (i+z2 ) ,
. 269. z 2 - 1'
b)
b)
4<.I
+ 21 < + OO.
..·..::,..
80
F u n ción d e uariable co. mpleja
[Cap. 1
§ -8. Ceros de una función.
Los puntos singulares aislados
1. Ceros d e una fu nción. Dado que la función f (z) es analítica en
el punto z0 • El punto z0 se llama cero de la función f (z) del orden (o de
la multip licidad ) n, si se cumplen l as condiciones
f (zo) = O, f' (z0) = O, . . . , /(n-l) (z 0) = O, f(n) (z0 ) =!= O.
Si n = 1, entonces el punto z 0 se llama cero simple.
El puntu z0 será el cero de n-orden de la funció n f (z ) que es anaUt ica
c ua ~do
en el pu n to z0 en.tonceb' y 8ólo entonces,
en alg ún en torno de est e
punto extste la igualdad
f (z) = (z - z0 )(n)q; (z),
do nde la función q> (z) es analizable en el pu n to z 0 y qi (z0) =!= O.
E jemplo 1. Hallar los cero de Ja fu nción t (z) = 1
cos z y
+
determinar su or den .·
Solución. Igualando f (z) al cer o, obt enemos ·cos z = - 1, de
donde zn = (2n
1) 1t (n = O, ±1 , ±2, .. . ) son los ceros de l a
funcíón dada. A continuación
f' [(2n
1) n] = - sen (2n
1) 1t = O.
f(2n 1) n] = - cos (2n 1) 1t = 1 =!= o.
Por consiguiente, los .puntos zn = (2n
1) n (n = O, ±1, ± 2, .. . )
son los ceros del segundo orden de l a función dad a.
Ejemp lo 2. Hallar los ceros de la función f (z) = 1 - ez y d eterminar sus órdenes.
·
Solución. I gualando f (z) al cero, hallamos l os ceros zn = 2nn i
(n = O, ±1, ... ) de la función f (z}. Luego
+
r ++
r
+
+
+
(2nni)
=
=
-e2 W"Ci
-1
=!= o.
Así, f (2nni) = O, f ' (2nni) =!= O, por consiguiente, los puntos zn =
= 2mtt (n = O, ±1, ± 2, ... ) son los ceros simples de l a función
f (z) = 1 - ez.
Ejemplo 3; Hallar ~l orden del cero z0 = O par a la función
z8
· · ~:
;;~1
.,.,
f(z)= .z -senz ·
: -= ~
Soluci6n. Mediante el desarrollo de l a funci ón sen z en serie de >;~,~
. ·.i"·
Tay1or en el entorno del punto z0
=
O, obtendremos
zª
.z8
f(z}= z-senz
3
(
z5
z- .z-Tr-+v-···
)=
.j~
.·· ~"I
'~
___z__,,s_ _ _ _ __,,_ _zº.,.-----= z5 _ _ _1_ _ _ • :)~
~; - ~~ + . . .
;, - ~: + .. .
s_upongamos que
1
cp (z) = _
1 __
zª _¡_
3!
51
1
;, - ;; + .. . t:i~~
¡ . .
• ••
;.
···.
§ 8]
81
Ceros de una funci6n. Los puntos singulares aislados
Entonces f (z) = z5 <p (z), donde <p (z) es la función analítica en el punto
z0 = O, con todo Cf- (0) = 6 =f= O. Por consiguiente, el punto z 0 = O
es para la función fiada el ce1·0 del quinto orden.
.
Ejemplo 4. Hallar los ceros de la función f (z) = (z2
1)8 sh z
y definir sus órdenes.
.
Solución. Suponiendo f (z) = O, obtenemos (z2
1)8 sh z = O,
de donde z2
1 = O ó sh z = O. Resolviendo estas ecuaciones, hallamos los ceros de. la función f (z):
z =. -t,
z = t,
z = kttt
(le = o, ±1, ±2, . .. }.
+
+
+
Sea z
=
-t, entonces f (z) se puede representar en la forma
f (1) = (z
i)8 cp (z),
+
donde la función cp (z) = (z sh z es analítica en el pUnto z = - i,
además cp (- t) = Bt sh i = -8 sen 1 =FO. Esto significa qu·c el
· punto z = - i es el cero del tercer orden. Análogamente se demuestra
. que y el punto z = - i es el cero del tercer orden~ ·E xaminamos los ceros
z = kni (k = O, ±1 , ±2, . . .). La derivada
i)3
t' (z)
=
6z (z2
+ 1)'2 sh ·~ + (z + f)
11
3
ch z
en los puntos z. = · lcnt es difer ente del cero. Por consiguiente, z = knt
son los ceros d·el primer orden.
,
. Hallar los ceros de las funciones siguientes y determinar
sus órdenes:
276, a)
f (~) =
zl.
+ 4z
2 ;
277. a) f (z)=z2 senz;
b)
f (z) = se: z
b)
/(z)~ sh:·z:.
•
278. a) f(z) = 1+ch z ; b) /(~) = (i-,,.shz~
2
z
279; a} f (z) = (z +ni) sh z; b) f (z) = cos z3 •.
.·. . ·280. · a) f (z) .e:.. (z'
n 2) (1
e-z); b) f(z) = cos· z
+
+
, . . Hallar el o~'den del cero z 0 =
.
~es:
+·
+ cli iz. ·
O para las funciones siguien.
.
zG
f(z) .
·. . .
¡
'.
(~)2-(se~~)2
2
2.
f (z) = esen z.:..... ets- z.
·zs
f(z)= 1+z- ez ·
f (z) =
.
(1-cos 2z)
z-shz
2
2
284. j(z)=2(chz~1Y--:--z
•• , , .
.
'.· .
; . . .t
. -·
~
' .···..
...... . . .
~
. . .....
·~
~
':
.
82
Funci6n de variable compleja
286. f (z) = (ez - ez 2) ln (1 - z). 287. f (z) = z2 (e'2 -1). '
z3 (zª - 6).
. ·t
288. f (z) = 6 sen z3
289. El punto z0 es .el cero del orden n para la función ,:,
cp (z) y el cero del orden m para la función ljJ (z). ¿Qué es el.:.:'.
punto z0 para las funciones
· '
+
cp(z)+~;(z); b) cp(z) ·1p (z); e) :~:~?
a)
2. Puntos singulares aislados. El punto z0 se llama el punto si~gular ;:;
aislado de l a función f (z), si existe el entomo de este punto, en el cual::·
f (z) es analizable en todas partes, menos el mismo punto z.= z0•.~
El punto z0 s e llama el punto singular evitable de l a funciónf (z), ..;
. {
si existe el límite finito de la funci.ón f (z) en el punto z0 •
eZ - f
:, ·
Ejemplo 5 . f (z) =
z · .
El punto singular de la función f (z) es z0
.
=
O. Tenemos
eZ - f
lím t(z)=lím .- - = 1 .
.'
z~ oo
z-+oo
z
Por consiguie.ntc, el punto .z0 = O ·es el punto singular evitable.
El punto z~ se llama el polo de la función f (z), si lim f (z) = oo . .···
z-+zo
Para que .el punto z0 sea el polo de la f u,nci6n f (z), es
y
mfi~iente
que este punto sea el
c~ro
para la
.
,•'
ne.cesado ;~
f~nción .cp (z) ~
f (:)
:<
Al punto z0 le llaman el p olo del orden n (n ;;;:;. 1) ; de h , función ,_'
f (z), si este punto es el cero del orden n para la función <p (z)
En el caso n
=
Ejemplo 6 .
~ !- (~) .
1 el polo se llaman simple.
1
f (z)=-zs.
El punto singular z0
=
O. Supongamos que z
=
peiq¡, entonces ·
e - ~~
1
f (.z) = - 3- . Es evidente ·que 1 f (z) 1 = -¡ , de donde sigue que ·
p
p
..
1 f (z) 1 crece indefinidamente, cuando z -+ O según la ley cualquiera. .. ;,
Por consiguiente, lím f (z) = oo, es decir. el punto z0 = O es el :
·..
Z-+0
.
·
polo de esta función. Para las funciones <p (.z). = zª el punto z0 =;= O>
es el cero del tercer orden y, por consiguiente, z0 = O es el polo_ del'
tercer orden para l a función f (z) = :;_ .
·
' ·.
Para que el p unto z0 sea el p olo fez orden n de la f unci6n f (z), es
necesario y suficiente que la fu nci6n f (z) sea posible represe.ntarla en la
fo rma de .f (z)
punto
=
{z
~z~o)n,
donde la funci6n q.i (.z) es analítica en el" ·
z0 y cp (z0 ) =J=. O.
sen z
E1emplo 7. f (z)= zª+ z2 - z - t .
.
.,
·.·:.
Ceros de una func i6n. Los puntos singulares aislados
... ·\< . .:.'
=
FS< ..
~z:,<
83
La iunción f (z) tiene dos puntos singulares z
-1 y z = 1.
:,·Ftxaminamos el punto z = - 1. Representemos f (z) en Ja forma
'
~~~g:::
:·
i~~fc~•ui
sen z
t:l<:~;~;.
?o_es analítica en el entoruo del punto z = -1, y al mismo tiempo
:,. · . ·
sen 1
<<~ (-1) = --=F O. Pol' lo tanto, el punto z = -1 es el polo doble
2
:_,..( '.d e la función dacla. Análogamente, al escribir la función f (z) en la
\': forma
senz
i~ti~\ ~.
f (z) =
(zz~y~ '
z = 1 es el polo simple de esta función.
El punto z0 se llama el punto singular esencial de la función f (z),
iIJ(: , ·, ·si. en el punto z0 la función f (z) no tiene ni el límite finito, ni el irifi¡;;l i- : nito,
~t
Ejemplo 8. Definir el carácter del punto singular z
O de la
ffi
_._.\'._•..·.,
.••'• ·runc·1.o
' n. f (z) = e1 tz 2 •
.
.
.
Eiti';-;.-\ . Saluci6n. Examinemos esta función en los ejes real e imaginado.
¡\¡;~~( :·} ~n el eje real z = x y f (x) = e1 /x2 -+ oo para x-+ O. En el eje imagi-
~;(' \:';~ : deducimos que el punto
0W :.::·,/>.
=
:.. · .
;;"~,_¡· ~~·
E~:}}t~V·~:M< ... ·. . .
12
narie z = iy y f (iy) = vey -+ O para y -+ O. Por consiguiente, no
~&':?:' 'existe el límite de I (z) en el punto z = ·O ni finito, ni infinito tampoco.
-1!.('; :· ·:El punto z = O es el punto singular esencial de la funcíón f (z).
~Z< · ·. Ejemplo 9. Definir ·el carácter del punto singular z = O de la
~"":,;-/:. ,. función
;t ?i; ·
flj;( .
1
f (z)=2+z 2 -2ch z •
~;:,..
'
Solució n. El punto z = O es el polo de la función f (z), puesto
~;;,'. · que él es el cero del denominador. Examinemos l a funci6n cp (z) =
~~~[;t:= f tz) = 2 + z2 -
2 ch z. Para ella <p (O) ;,.,,. O. Hallemos el orden
;~(};.•-:¡; del e.ero z = O de esta función. Tenemos
~~\.-' -:'·
cp' (z) = 2z - 2 sh z,
qi' (0) = O;
~-~>'.;~~' :
q¡" (z) = 2 - 2 ch z,
q¡" (0) = o·
Wfü~; _,.
<p"' (z) = -2 sh z,
cp"'
=
i~}f1;\ : ·
cp 1 V (z) = -2 ch z,
1p 1V (0) = -2 =F O.
i;)J,:?>•."·,j.':. .
.
~~N;',:C:· ~e "'.ste modo, z = O e.s, el cero del cuarto orden para <p (z) y, por con~~\L;~:~1gmente, para la fonmon dada f (z) el punto z = O es el polo del cuar_,·::!v........._.to . orden.
<º' o;
~
il!~t
·
84
Funci6n de 'variable compleja
Ejemplu 10. Definir el carácter del puntó sil)gul ar z
fun ción
sen nz
f (z)
=
1 de la
)
Soluci6n. Examinemos la función
1
q> (z) =
El punto z
=
ya que
(z) =
2ez-1 _z2- 1
sen nz
1 es el cero del tercer orden para el numerador
1jJ (z) = 2ez-l -:- z2 - 1,
=
'~ (1)
'11" (1). =
f
(2ez-
1
-
O; ijJ' (1) = (2ez-1 - 2z) 1z=i = O;
2) 1z=i = ·o;
~,,,, (1} = 2eZ-1 1_, 1 = 2
=F O.
El punto z = 1 es el cero del primer orden para el denominador sen nz
de la función q> (z).
· Por tanto, el punto z = 1 es el cero del orden 3 - 1 = 2 para
la función i:p (z) y, por eso, es el polo del segundo orden para la función
dada.
Definir el carácter del punto singular z0
funciones siguientes:
290:/ a) z- !enz
b)
e)
1
z2
cosz -1+
=
O para las
1
2
sen z
sh z
e-z+z- 1 ; b) z-shz •
29 1. a}
Hallar los puntos singulares y definir su carácter de la~
funciones siguientes:
1
·b) 1-cosz
292. a)
1-senz
.
z!l
i
293. a) e z+2 ; b) · cosJ...
z •
294. a)
z~+ ;z.i+zª
1
295. a)
e-zr.
.
; b)
e-z:_1
b) sen z~i ; e) ch
l
¡
(Cap. l
1
z-·
z2 .
• b) 1-senz . . e)~ .
cosz-1'
cos z
'
· sen2 z· ·
Existen las afirmaciones siguientes: ·
1. Para que el punto z0 ·sea el punto singular. evitable de la función :
f (z} , es necesario Y. suficiente que el desarrol~o de .Laurent de f (~) df't eL
296. a)
entorno del p unto z0 no contenga la p(l.rte p rincipal.
· .
2. Para que el punto z0 sea el polo de la func i6n f (z) , es 1i:ecesarto .
y suficiente que la parte principal del desarrolla de Law·ent de f (z) ·en el·-:':.
§ 8]
85
Ceros de zina función. Los puntos stngula1·es aislados
entorno z0 contenga sólo el número finito de _tél'minos
00
e_¡¡,
f (z)= (z-zo)h..
c-1
~
+ ... +--+
z-zo
en (z -z0)n
.
n=O
El máximo de los e:cponentes de potencias y de dtf erencias z - z3 que
se encuentran en los denomtnadores de los términos de la parte principal
de serie de Laurent coincide con el orden del polo.
3. El punto z 0 es el punto singular esencial p ara la función f (z)
entonces y sólo entonces cuando la parte p rincipal de su desarrollo de
Laurent en el entorno del punto z0 contiene infinitamente muclws términos.
· Ejemplo 11. Definir el .carácter del punto singular z 0 = O de la
función
f (z)
z
Solución. Por medio del desarrollo en serie de Taylor _para la -función e-z en el entorno del punto z 0 = O, obtenemos el desarrollo de
Laurent de la función f (?.) en el entorno del cero
f:(z)=+{1-e-ez) =~[1-(1-z+ ~~ -;~ + .. .)]=
. 1 (
z2
z3
=7 z--2T+3T- .. ·
!
)
2
z
z
=i-w+31-·
..
·Esiedesarrollo n o contiene la parte princi1Jal. Por eso el punto z
0
=
O
singular evitable.
j Ftinción f (z) que-h a sido definida en el punto z = Opor la unidad ,
·!dec
(ir ,
. { ' i-e-z
\•; i · .
IM-
~.
'
::
'. ~o~,
,';;~~-hnalítica también y en al punto z0 = O.
~jemplo 12. Definir el carácter del punto singular Zo =
r::·:.J
.
'''flli(CIÓU
~~{rl
o de Ja .
t (z) = 1-z~os z.
~---.. '. Soluci6n. Desarrollando la función cos z en serie de Taylor según
'ps exponentes z, obteneiµos el desarrollo de Laurent de la función
·
: '(tl en el entorno del cero:
;j<·:·.·.. ~ . .
;::>{, ·i ·
f _(z) =
·~.
· . .,, .. .· - ..=
.;, \f'. ·:
.1
z; {~; - ~~ + ~; - ·~~ + :~~ - ... )=
1
2!z 0
--
1 J 1
z
zS
1
41zS T 6! z --ST·.,- 101- · · ·
.l destú+'ol~o en serie de Laurent de la función
f
(z) en el entorno del
to z0 = ·O contiene el número finito de términos de potencias negas, ~. Por consiguiente, el punto z 0
' .-.·. :·;.'.·. :
.
.
=
O es el polo rlel quinto orden,
86
Funci6n de variable compleja
puesto que el m.ás grande exponente de potencia de z que se encuentra
en los denominadores de los términos de la parte principal de serie de
Laurent es igual al cinco.
Ejemplo 19. Definir el carácter del punto singular z
función
=
1 de la
1
f (z) = (z-1)eZ-T'
Solu~ión.
Utilizando el desarrollo
.
u2
uS
. eu=i+u+ 21 + 31+ ...
1
z
, obtenemos el desarrollo de Laurent de la
1
función f (z) en el entorno del punto z0 = i:
i
1
1
f (z)=(z-i) [ i+ z-1 + 21 (z-1)2
S! (z-1)ª
=
y suponiendo que u
=
+· ··J
+
1
1
=i+(z-i)+ 2! (z-'-1) +3J (z-1)2 f- · · ·
Este desarrollo contiene el conjunto infinito de los términos de poten- .
cias negativas z - 1. Por lo tanto, el punto z 0 = 1 es el punto singular
esencial de la función f (z).
Definir el carácter de los puntos singulares indicados:
297.
1+cos z
z-n
senz
299. --z¡- ,
· r298.
, z0 = :n:.
Zo
1
301. cos z + :n;
. 300.
= Ü..
z0 = - n . . 302.
,
z2 -3z+2
z 2 -2z+1
, Zo= 1..
shz
Zo=Ü.
z
z2-f
Z= Ü
z6 +2zr.+z4 '
'
Zo= -f,
303º
_O
ln (1+zªl..
z.2
'
Zo -
•
e z+e
307. z sh - z ,
z
z-
306. cos 1
305. -::¡::---- · z0 = -e.
~e
1
. 304.
sen2 z
, Zo=Ü.
!
1
sen
2-:ttz
z
z= O.
Zo= Ü.
§ 9. Residuos de funciones
Sea el punto z 0 es el punto singul ar aisl ado de la fun ción f (z) .
R esid uo de la fun ción f (z) en el pu nt o z 0 se llama el nú mero qu e se
design a con el símbolo r es f (z0 ) y c1ue se define por igualdad
res f (z0)
= -
1
. lh f (z) dz.
2m ~y
"
('l)
87
Residuos de funcione s
\ tras designaciones son: res [f (z); z0], res f (z). (En calidad del con,.~·. .
'
. Z=Zo
(irno y se puede tomar la circunferencia con el centro en el punto zs
el". radio suficientemente pequeño tal que la circunferencia no salga
qe ~os límites de la analiticidad de función/ (z) y no contenga dentro
\~i:.otros puntos singulares de la función f (z) . El residuo de función es
tngiial al coeficiente de la primera potenca con signo menos en el desa.t;Jr~ollp de Laurent f (z) en el entorno del punto z = z 0 :
(;;;·;e ;
res/ .(z 0) = c_1 • ·
. (2)
·
-~·". ~~d~~:: ;:::/:j:::·~;i~!;l~:):~::,~.(tj,· ~W•7.:
.E n caso del polo simple (n = 1)
res f (z0) = lím [f (z) (z - Zo)] .
(4),
z ~ z,
~-:.-_Si la función f (z) en el entorno del punto
·.,;:'. éF cociente de d os funciones analíticas
~~ffeif?tfr.:_
!Jz) = :
~~~::.;: al - mismo . tiempo
¡;:~;;'/· es eL~ polo
~~Y<f'.
Se puede present~rla
res f (z0 ) =
·•
.
COIDO
,
cp (zo)
o, 'ljJ (zo) = o, y 'P' (zo)
simple de la función f (z), entonces
.· . ·
i\;\~;L~>..
+
~:~
Zo
,~, ((zo))
+ o,
es decir, Zo
• .
(5)
zo
.
:!:zy':'?::.:.: ' Si el punto zQ es el punto singular esencial de la función f (z),
'.-}~ entonces para hallar res f (z 0 ) es necesario hallar el coeficiente c_1
· 'en el desarrollo de Laurent de la función f (z) en el entorno del punto
;,'~ 0 ; lo que es res f (z 0 ) .
\,. · Ejemplo 1. Hallar residuos de la función
senz2
f(z)=
Í]f2<
'Y
n
zª--zZ
4
~~~ti> .en sus puntos singulares.
~-".'.'. •. ··..:..
·
''\'.·; ':" <,
:>.<>'
;;·y;. '·"
~'~; Jos.
;,t
'
z8 -
puntos z = O y z=n/4. En el punto z = O tenemos
~ zª
son
4
sen z2
1
4
lím f (z) = lim-Hm - - = - - .
2 Z-+()
.~:~/~·_'::·,
sen z 2
Solución , Los puntos singulares de la función
Z-+0
z
Z -+0
n
z-4
n
[J.,.;:;:Por consiguiente, el punto z = O es el punto si11gula1· evitable de la
~:f.~nción f(z). Por eso
·
~~~~~¡~,;;._
res f (O) = O.
88
Funci6n de vartable compleja_
En el punto z
z
=
=
[Cap. 1
n/ 4 tenemos lím f (z) = · oo, es d ecir, d punto
Z-+'JC/4
n.14 es el polo (del primer orden) de la función f (z) .
Según la fórmula (4) tenemos
res f {
~- ) =z~~t. f (z) ( z- ~ ) =
=
lím . sen z2 ( z _ ~) = lim sen z2
16
nª
s n a
4
z-+1t/4 -z2
- = 3t2 seniif.
z z
z-+1t/4
4
Ejemplo 2. Hallar residuos de la función
eZ
f (z) = (z+ 1)3 (z-2)
en sus · puntos singulares.
Soluct6n. Los puntos singulares. de l a función f (z) son z = -1
y z = 2. El punto z = - 1 para la función f (z) es el polo del tercer
orden. Según la fórmula (3) tenemos
resf(-1)=-iJ z~~
1 !: ( /z 2 )=
1 l' · zZ-'-6z+10) ez
lID
2 z--1
(z-'2)S
=El pul)to z
mula (4)
=
17
54e '
~
2 es el polo del primer orden, por eso conforme a l a fór.
'
ez
e8
res f (2) = !~~ (z+ i )S
27 .
Ejemplo 3. Hallar r esiduos de la funció n f (z)
.
( .i ~T en
s{1s
puntos singulares.
.
Solución. Puntos singulares f (z) son los ceros del denominador , es
decir, las raíces de l a ecuación z4
1 = O. Tenemos
+
-
Z3 -
. 3n
e
- t -¡-
,
Por medio de la fórmula (5), obtendremos ·
.
1 1
res f (z1)=rs.
Z
3n
1
i
-¡=- e
. B
4
.
i.
z=e 4
· 1 1
.res f (z 2)=rs
z
9it
. 3:n:
1 -
z=e 4
1 e -iT
=4
§ 9]
89
Residuos de functon es
, ll:n:
res f (z3 )
1 •4
1
= TzS
.3n
_,_
z=e
13
res f (z4) = -4
z
1
=- e
4
4
. 3n
. l't
=
T1 ei - n •
z-e -iT
Ejtmplo 4. Hallar el residuo de la función
.
f (z)
=
1
i' senz¡
. en su punto singular.
·
Soluci6n. El punto singnlar de la función f (z) es el punto z = O.
Ella es e] p11nto singular esencial de la función f (z) . De hecho, el
desarrollo de Laurent de la función en el entorno del punto z = O
tiene la forma
1
1
f (z)=z3 ( z2-- 3! zG +5!
1
)
1
1
zlO- · · · =z- 31 z3 + 51 z7 - · ·"
es d~cir, contiene el número infinito de miembros en Ja parte principal.
El resjduo de l a fuI1,ción en el punto z = O es i gual a ce:ro, puesto que
el coeficiente c_1 en el desarrollo de Laurent f (z) es i ~·na1 a cero.
.
·Si la función f (z) tiene la forma f (z) = :~:~. donde_ las fu~ciones
· analíticas cp (z) y 'iJ (z) en el punto. z0 tienen ceros supe~iores del primer
.... orden, entonces en este r,;.iso es muy cómodo cambiar las funciones
·q¡ (z) y t~ (z) por desarrollos en serie de Taylor en el entorno del punto z 0 •
Ejemplo 5. Hallar el residuo en el punto z = O de la función
f
(z)
sen 3z- 3 sen z
(sen r;- z) sen z •
cSoluci61i. El punto z = O es el cero del numerador <p (z) =
sen 3z - 3 sen z y al mismo tiempo es el cero del denumerador
{i¡> (z) = (sen z - z) sen z. Definimos l os órdenes del cero para estas
) fünciones, empleando el desarrollo en serie de Taylor sen zen el entorno
:l~íJ:Cl < punto z = O:
·
.
.
;, ~..
.
z3
sen
z5
z=z-:-Sf+ST""·- ...
.
90
~·.: '· '.
Func i6n de variable compleja
donde
3s_3
31
3~-3
<p 1 (z) = - -- - + --sr-z2-, .. , <p1 (0) = - 4 =I= O;
'IJ(z)=(senz-z)senz= (
=z4 (
zS
z6
-sr+fü··· )
(
za·
)
z-g¡+ .. . =
zll
z2 +
. .. .) =z4'1j¡l
1
-31+51. .. ) ( i-31
(z)
donde
~1 (z) =
+ ~~ - ... ) (1 -
( - ;,
;~ + ... } ,
1
'111 (0)= - 6 =I= o.
Por c.o nsiguiente,
sen3z-3senz
(sen z _;_ z) sen z
f (z
zªq>1 (z)
z''IJi 1 (z)
<pl (z)
z'IJ 1 (z)'
<pi (O) =I= O, ~1 (0) =!= O, entonces el punto z = O es el ·
polo simple de a función dada, por eso su r esiduo en este punt o l o
hallamos mediante la fórmula (5)
.
· y puesto que
res sen 3z- 3 sen z
z= O ~(sen z-z) sen z
= lim
<p 1 (z)
z .... o z'ljl1 (z)
z=
qi 1 (O)
~ 1 (O)
= -4 = 24 .
1
-7
Calcular los residuos siguientes:
zn-l
·
·
308. z=O
res--n(n=1 , 2, ... ). 309. res
sen z
=O
31
.
(1 - --chz)sh -z
·
311 . 1es 1
)
•
z=O ( - cos z sen2 z
ez-1-z
cos 2z) sen z •
zn-2
º· ~!~ (1 -
312. res
~b
n
z-o s
z
sen 2z- 2z
)
-cos z 2·
(i
313. res
(n = 2, 3, . .. ).
z=O
E jemplo 6. Hallar residuos de la función f (z)
z2
2
ch z- 1- ...:..:_
2
=
e
1
1/z
··
z en sus, .··
puntos singulares.
Soluct6n . Los puntos singulares de la función dada son z
y z = O. El punto z = 1 es el polo simple, por lo tanto
.
et/z
1
-1
z=i
r es f (z)= - - . .
z=i
= 1.
=-e.·
Para defi nir el carácter del punto s ingular z = O desarrollemos la fun..:
ci6n en !lerie de Laurent en el entorno de este punto. Tenemos ·
et/z=i+++ 2;lz2
+ 31\s .+ ... ' .
i
- -=i+z+z2+ zs +
1-z
...
·· :"l ·.
.···
'O]:
de
Residuos
;(,:'
funcione s
91
.n~.,
:·~~;t1itiplicando estas series, obtenemos
Y!:
1
i/z
1
1
·
:.<:.._1e
-z=(1+-+-212+-31
z
z.
zs + ... ) (1 -l- z+z2+za+ . . . )=
,<"• .
~Kt, ,,,,(<+ ;, +ii +·:· H +'-• ~+ ·· ·+la parle oo<<eoh
+
t!ifo';°4.0.nde
.c-11.
O, k = 2, 3, •. •
~;,;((~;;-: . Puest? qu~ la part,!! p~ncipal de la s_erie de L_aurent contiene
un
'! · ~(lQnJunto mfm1to de termmos de potencias. negativas z, entonces el
;i>.\!.ilto. z = O es el punto singular esencial de l a función dada. Su resiJ IO . en el punto z = O es igual
;'..: ·. '.
·
~!!'/
.
1
(z)=c- 1 = 1+
1
21 +31+ ... =e-1.
'lz.
·Ejemplo 7. Hallar el residuo de la función f (z) = cos z sen
singular z = O.
~· '! •· Solución. Para definir el carácter del runto singular desarrolle- .
.:nios la función dada en serie de Laurent en e ent orno del punto z = O.
'Tenemos
·''.;:·
..en .su punto
z2
z4
c os z=1-~+-¡¡--
.. . ,
1
1
1
1
sen - = - ·- - - + - -- ·
z
z
31zS
5J z5
···
,,\lltiplicando estas series, obtenemos
:><'
"\!...
;:'. . : :.
1 {
z2
z'
,.} s)'<::""'cos z son z-= 1- zr -1-41-
· ··
) ( 1
1
1
)
-z-3f'Z3+ 51 z6- · · · =
1
1
) 1.
= ( 1 +2¡3¡+4151+ · ··
z--
·e13, la serie de Laúrent en el entorno· del punto z = O tiene la forma
V·
.
::·.;..
i.; ..· ~
00
1
""
1
1
1
~{·s~n -z . LJ (2 n)!( 2n+i)l .z +c-sza-+ .. . +lapartecor recta,
'<:·.
n=O
·*~~~~ C-(~~-1) ;p. O, k = 1,
2, . . .
;<·La parte principal de la serie de Laurent contiene un conjunto
jnito de t érminos y, por consiguiente, el punto z = O es el punto
)lcialmente singular de la función dada. El residuo buscado es
~F
.
00
1
· res ( cos z sen _!_) = c_1 = "'1
z=O
z
LJ (2n)l(2n+1)1
n=O
.;.'..: .:_•, .·,.
92
[Cap. 1
Función de variable complei.a
Ejemplo 8, Hallar el residuo de l a función
1
z+1
w=z2 aen-.
en su punto singular.
So luci6n. El punto sing·ular de la función dada es el punto z = -1.
Para definir el carácter de este punto desarrollemos la función en
serie de Laurent en el entorno del punto z = -1. Para eS'o expresemos
z2 a través de potencias de la diferencfa z - (-1) = z + 1. Tenemos
z2 = ((z + 1) - í]2 = (z + 1)2 - 2 (z + 1) + 1.
(1)
La serie de Laurent para la función sen z
z
= -1 tiene la forma
1
1
'1
sen z+ i = z+1 ·- 31 (z+1)ª
Multiplicando (1) y (2), hallamos
1
w=z2 sen--=
z+1
2
=[(z + 1) -2(z+1)+1J [
z~i -
1 ) 1
= ( 1 -3! z+1
31
~1
en el entorno del punto
1
+ 5! (z+ 1)1l
(z~1)ª
'¡- 5!
(2)
(z~·i)ó
·
"]= .
i
2
+31(z+1) 2 +
+ (fi-ir) (z~f)S+
+
· ·' + [-Z+ (z+i )] .
.La serie de Laurent contiene el conjunto infinito de términos
potencias negativas de la suma z
i. Por consiguiente, el punto
z = -1 es el punto esencialmente sing·ular de la función darla y
residuo en est e punto es igual
1
5
res w = i - - = 3!
6 •
z=-1
Ejemp lo 9, Hallar el residuo de l a fu nción
f (z) = e1 / Z2 cos z
en el punto z = O.
So lución. Pu est o qu e el resid uo en el punto z = O es igual a l coefi· :
ciente para z-1, entonces en seguina ob tenemos qu e en el caso dado es te<
residu o es i gual al cero, porqu e l a fu nción / (z) es par y su desarrollo<.
en el ent orno del punto z = O no puede co.nt en er potencias impares z. ':
Hallar residuos en los puntos singulares de l as funciones ,
siguientes:
·
f(z) = -"""tg_z_
I 314.
315. f (z) = z3 e1/z.
z9 -
. 316.
z
4
ch z
f (z) = (z2+ 1) (z- 3)
.::_
317.
eZ
1
-~ sen
f(z) = ---~.
2
4
z
'318.
f (z) =
z
319. f (z) = (z+ i)S (z -
et
zª (z-1)
2)2 •
1
-%2
· 320.
:1
f (z) = ~+z4
321. /(z)=z2 sen.
z
•
•
1
·322. f (z) = cos -;+ z8•
'324.
323. f (z) =
f (z) =
(z2-1) (z+3)
(z-3) ·
eiz
329. f(z)=
.330~
f.(z) = ctg2 z.
331.
z2n
(z- i)n
1
sen -
332. f (z) · ez=I".
1..:.-:
333. /(z) =
1
·.. 336.
(n>O-es
entero).
f (z) =senz cos -1z .
' ·z
1+z
.
zª--2 z2
f(z) = -z- i. .
'
cosz
n
327. f (z) =
. 328.
ez
1
325. f (z) = / +7 .
zS
f(z) = -
(
.· ) 2 •
(z.+i) z--i- ·.
z
i-cos z
f (z) =
enz
sen 2z
z2+ 1
.
335.
f (z) = e- z-
f (z) = ez sen ·-1;- .
§ 10. Teorema de Cauchy de los residuos.
Aplieación ,de residuos al cálculo ·
de las integrales definidas . .·
Sumación. de ciertas series mediante residuos
·
I. Teorema de Cauchy de los residuos
.
.
'.<Teorema. Si la funci6n f (z) -e.s ;anq,líttca en la frontera C del domt·
· io D y en todas partes dentro del dominio a e.1Jcepci6n del número finito
~}os : puntos singulares z¡, z 21 ; •• , Zn, entonces
· :.,·
.
n
Jf (z)dz=2nt ~- res f (zk)· .
a
h=t ··
·
94
Función de variable compleja
::+!
j'
Ejemplo 1. Calcular la integral
[Cap. 1
dz.
/z(=4
:z:_1
z 1 < 4 la función f (z) = - 2- - es
z +z
analítica en todas partes excepto los puntos z = O y z = -1. ·
Solución. En el dominio 1
Según el teorema de Cauchy de los residuos
eZ-1
J z2.+z dz=2ni (res f (O)+resf (-1)).
r
El punto z
=
lz(=(o
O es el punto singular evitable de la funcón f (z), porque
,
eZ-1
hm
1.
Z-+0 z (z-i-1)
Por tanto res f (0)
=
O. El punto z = ..,-1 es el.polo del primer orden
· resf (-1)= lím { ~z+!) (z+1>}=1-e-1.
.
De tal modo
z-..-1
.f
J
(Z1=4
z z
ez- 1 dz=2ni (1-e-1),
z2 +z
J tg
Ejemplo 2. Calcular la integral
z dz.
1 z(=2
Solución. En el dominio D:
1
z 1 < 2 la función
analítica en todas partes, excepto los puntos z
SOIJ
= ~y
f (z) = tg z es
z
= . .:::.
los polos simples. Todos los demás puntos singulares zk =
f que.
~
+ k:n
el e 111 función f (z) = tg z se encuentran Juera del dominio D y por
eso no los tomamos en consideración.
Tenemos
res f ( ~
senz)'
z 1
2 )-- (cos
- = -1.
,.
z=2
··resf (·-...::.)...:::. senz I···
·
Por lo_ t'antQ·
--
·
2
J-· _tg z dz =
IZ1=2
(cos z)' _ =-11/2
-4nt,.
.
Ejemplo 3. Calcular la integral
.
f
e~·
J
zª+i dz.
1z-i j=3/2
Soluci6n. En el dominio D: 1 z :.:__ t 1
22
•-1.
<
·
3/2 la funciión f (z)
=
el/
tiene dos puntos singulares: z = i es el polo del primer orden
z2+ 1
·y z = O es el punto esencialmente singular.
95
Teor ema de Cauchy de los 1'esiduos
. Según la fórmula (5) d.el § 9 tenemos
eijz•
j
res t (í} = -z;- lz=í
e-1
=u.
hallar el residuo en el punto z = O hay que tener el desarrollo de
de la función f (z) en el entorno del punto z = O. Sin embargo,
caso dado no hay necesidad de buscar la serie de Laurent: la
j (z) es par y por eso se puede decir de antemano que. en su
desarrollo de Laurent se tendrán sólo potencias par z y
que, c_1 = O y por lo tanto res f (O)
· Cauchy de los residuos
l'
\
J z-i
.J
1=s;2
=
~.
.z
Debido a lo
O. En virtud del teorema de
e1/z•
:rt
--dz=z2+1
e
·
Ejemplo 4. Calcular la integral
~
z \sen!
d;,
IZl=2
Solnción. En el círculo 1 z 1 ~ 2 la función subintegral tiene dos
·puntos singulares z = 1 y z = O. Es muy fácil definir que z = 1 es
· .··.el polo simple, por eso
1
sen
1
1)
res - - sen = (
i)'
=sen 1.
:i=1 ( z- 1
z
z%=1
z
Para definir el caracter del punto singular z = O escribimos la
1
" z _1 1 sen zen
para 1a i uncion
e1 ent orno. de est e
punto. Tenemos
1
1
sen-=
z
'1
'1
.
( 1
1
1
')
= - --1
-(i +z+z2+ ... ) -z ·--31
z sen-=
z
.z3 + -51.z5 . - .. . =
1 +511
1 L c_ 2 . ~·
c_s +- .. . + 1a par t e
= -:- ( •~- 3!
· ·· ) Z"Tzzi-
.
corree t a,
c_11. =fa O, k= 2, 3, .. .
Puesto que l a serie de Lauren t coutieue ·un conjunto infini to de t~rm i ­
de potencias negativas z, .entonces el punto z =·O ·e s singul ar
f!~
d e l a función subiutegr al en este punto es i gu al
1
sen(
)
1
1
z-:
= c-1 = -
1- 31 + 51- ... = - sen 1.
96
Funct6 n de variable compleja
[Cap. 1
Por consiguiente,
Jr
_!_1sen.! dz =2ni(seni- sen 1) = 0.
zz
1z1=2
Calcular las integrales:
J z tg nz dz.
337.
lz:1-1
338.
J (z-i~2dtz+ 2)
e
339.
r
, donde
ez d::
J zª (z+i)
34o.
•
lzl=ll
J z sen+
2
341 .
r
lz+il=li
+3
r
345.
eZ
J
ez2 -
344 •
'
346,
dz
.z4+2z2+ 1 •
11-il= i
z·- t-3
·
~\
348.
J
e
CO!i2
zi-4
.
z2·az
z
Jzl= 1
i
J
efz
(z - st)3 •
lzf= li
:¡;2
dz, C:
Jz¡=¡- dz,
e!!z
y2
9+4 = 1.
C: x2 +y2- 2x =O.
e
349.
)
e
sen nz
(z2- 1)2
dz, C:
z+ 1
350.
Je z +2z-3
351.
1I
352.
11
zsenz
e
353.
dz
z4 +1 '
,[1
:i;ll.
-.r +y2= 1.
dz; C: x 2 +y2 = 16.
x2
(z- 1)& dz,
e·'
1
dz.
J ~~~~ dz.
J senª cos
z
347~:
1
zª- tzZ
lzl= v'a
z dz
ez
r
J
dz . . 342.
1z1,;,,1¡2
J
23
C: x21s +y21a=3 1 •
y2
C: 3 + 9
x2+ y2=2X.
z3sen-dz.
z
.
= 1. .
z •
§ 10]
354..
97
Teorema de Caachy de los residuos
)
(z
+ 1) ei/z dz.
lzl=1/3
355.
J
(sen
z; + ez
2
cos z} dz.
lz/=2/3
Residuo de función respecto al punto infinito
Ha'b lan que la funCión f (z) es analítica
= oo, si la función
n itamente alejado) z
en el punto infintto (o infi-
1
r· .
<p <~>=t-r
es analítica en el punto 6 = O.
Po1· ejemplo, In función f (z)
z = oo porque la función
q>
.
=
sen! es analítica en el punto
z
m= f ( ~ ) = sen t
es analitica en el punto ~ = O.
Sea que la función j (z) es analitica en cierto entorno del punto infinitamente alejado (a ex~epción del mismo punto z = oo).
El punto z = oo se llama punto siagular aislado de la función
f (z), si .en cierto entorno de este punto no hay otros puntos singulares
de la función f (z).
,.
1
La función
. f (z) = -sen- z tiene en el infinito una
- par~ipuláddad
.,. ·.
no aislada: los polos z1¡. = kn de esta función se acumulan' en el infinito, si k -+ oo.
·
.
Es conocido que z = oo es el punto singular evitable, el polo o el
punto singular esencial de la función f (z) en dependencia del lím f (z),
z...,oo
si este límite es finito, infinito o no existe en absoluto.
Criterios del tipo de un punto singulal' infinitamente alejado ,
relaci<inados con el desarrollo de Laurent cambian en comparación
con los criterios para los puntos singulares fini tos.
Teorema 1. Si z = oo es el punto singular evttable de la función
f (z), entonces el desarrollo de Law·ent f (z) en el entoriio de este punta
no cont iene p otencias p ositivas z; si z = oo es el polo, entonces este de.~a­
n·ollo contiene el número finito de potencias posttivas z, en el caso de la
singularidad esencial contiene el número infinito de potencias positiva.~ z
Con esto, el desarrollo f (z) en serie de Laurent qile converge en
· · todas partes fuera del círcul o del radio suficientemente grande R
con el centro en el punto z = O (a excepción, puede ser, del mismo
punto z = oo) vamos a denominar e1 desarrollo de Laurent de la función f (z) en el entorno de un punto infinitamente alejado.
·
Sea q"(Je la función/ (z) es analítíca en cierto entorno del punto z = oo
=-" (menos" puede ser, el mismo punto).
l~ 7-0662
;.
'
98
Función de variable com,P,leja
[Cap. 1
La magnitud
1 \'
resf(oo)= 2 ni
J f(z)az,
.
(i)
y~
donde r es la circunferencia suficientemente grande 1 z 1 = p que
se recorre en sentido horario (de tal modo que el entorno del punto
z = oo se queda a la izquierda, como y en el caso del punto finito
z = a) es el residuo de la funci6n f (z) en el infinito.
De esta definición sigue que el resi_duo de la función en el infinito
es igual al coeficiente de .z-1 en el desarrollo de Lam·ent .f (z) en el
entorno del punto z = oo tomado con el signo contrario:
·
. (2)
res f ( oo) = -c_1 .
Ejemplo ..'í. Tenemos f (z) = 1 + ~ para la función f (z) =
z
z
Se puede considerar esta expresión como su desarrollo de Laurent
en el entorno de un punto infinito. Es evidente que
lím/ (z) = 1,
:.±!.
Z-+00
.
así que el punto z = oo es el punto singular evitable y suponemos como · ·
siempre f ( oo) = 1 y, por consígu1ente,
res f (oo) = -1.
.
De este ejemplo se deduce que el residuo de la función analítica
respecto al P!1nto ii;ifinito singul8:r .evit~ble puede. resultarse diferente
del cero, a diferencia del punto finito smg~µlar evitable,;
Los desarrollos conocidos de las funciones ez, seu-'z, cos z, sh z,
ch z se puede considerarlos también como los desarrollos de Laurent
en el entorno del punto z = oo. Puesto que todos estos desai·1·ollos con7
tienen un conjunto infinjto de potencias positivas z, entonces las funciones enumeradas tienen en el punto z = oo la singularidad esencial. . ,4f
.
Teorema 2. Si la funci6n f (z) tiene en el plano extendido com,plefa .,,:;'#:':
un número finito de los puntos singulares, entonces la suma de todos sus ;" - , ~;¡residuos, incluso ¡¡ el residuo en el inftntto, e:; igual a cero.
.
. ·'
Así_que si a1 , a2 , •• ., ªn son los puntos singulares finitos de la .
función f (z). entonces
·
n
· resf( oo)+
LJ
'\!
r es f (ak)=O
k=i
ó
n
res f (oo) =
- ,L;-. res f (ah).
(3)
k=i .
La última .relación pod1·á ser útil para calcular ciertas integrales.
Ejemplo 6: Calcular la integral
dz
I= J 1+z4 '
r
lzJ= 2
.
=
Sólució1;¡,. Las raíces z1 , z.2, z~, z4 de la ecuación z4
-1 que
todas se encuentran dentro de la circunferencia 1 z 1
2 son los polos
=
99
Teorema de Cauchy de los residll0$
función subi ntegral
1
f (z)= 1+z~'
.
en el entorno del punto infinito tiene el
f (z) =
1
1
1
1
1
1+1 z4 =--¡--1-=4--s+-rr- ... '
z 1+- z
z
z
z4
cual se ve que res f ( oo) = -c _1 = O. En vigor de la igualdad (3)
4
.lJ
1=2ni
res/(z¡¡)=-2niresf(oo)=O.
li.=1
Ejemplo 7. Calcular la integral
r
j
l =
zl7
(z~+2)3(z3+3)4dz.
JzJ=3
Solucir!n: La Junción subintegral
zl7
f (z)= (z~+2)3 (zS+3)4
1 z \ = 3 tiene cinco puntos singulare~
son los polos múltiples. La aplicación del teorema fundamental
los residuos proporciona muchas calculaciones. Para calcular
dada es más cómodo utilizar la igualdad (3), en virtud
cual obtendremos
I = -21ti res f ( oo).
(3')
Ya que la función f (z) se puede representar en la forma
dentro de la c.ircunferencia
zl7
f(z)= (z~+2)ª (z3+3)4
zl7
=
1
~6 ( 1 + z~ ) 3 ( 1 + z~ ) 4 z1 2 = 7
1
, ( 1+
z~ ) 3 { i + z~ ) 4
entonces se ve de aquí, que l a parte correcta del desarrollo de Lauren
esta funci ón en el en torno del punt o infinita mente al ejado z = oo
comienza con el t érmino 1/z. P or consiguiente, r es f ( oo) = -1. Su stituyendo est e valor en l a igualdad (3), obtendremos I = 2ni.
Definir el caráct er del punto infinitamente alejad o para
funciones siguientes:
f (z) =
z+ i
z3- - z2zt z+6
357.
eZ
359. f (z) = cos -z :
f (z) = z¡- .
f(z) = ~ ·
1
100
Función de varia ble compleja
[Cap. 1
360. f (z) = e 1/z2 •
361. f (z) = z 3ei/z.
362. Sea l a función f (z) representable en la forma
f (z) = q> ( ~) , donde la función <p ( ~) es analítica en el
punto ' = O. Demostrar que res f (z) = - cp' (O) .
2=00
Utilizando el residuo r espect o al punto infinito calcular
las integrales sigui entes:
363.
J
+1
-
z2
-8
z
dz..
364.
1
dz
1+z12
¡z[=2
Jzl-1
1000z+2
) 1+z12u
dz.
lz1=2
1
367. j' z sen -z dz.
365.
2
366.
eZ
J -z-1- dz.
Jzl:m8
368.
Jzl=i
z9
J.
fzl=S
z1 º-1
dz.
II. Aplicación de residuos al cálculo
de integrales definidas
1. I ntegrales de funciones racionales. Sea f (x) una función racio-
nal, f (x) = ~:(~), donde Pm (x) y Qn (x) son los pofü1omios respec_.
tivamente d_e potencias m y n. Si f (x) es continua en todo el eje real
(Qn (x) =fa O) y n ~ m
2, es decir, la potencia del denominador por
lo ºmenos en dos . unidades es más que la potencia del numerador,
entonces
+
+oo
Jf(x)dx=2nia,
(4)
-oo
donde a significa la suma de residuos de la función f (z) = ~: ~:~ ·
en todos los polos que se encuentran en el semiplano superior.
Ejemplo 8. Calcular la integral
.
·
co
1
r
=J
o
(
x 2 dx
(x2 +a2)2
(a> O).
Soluctón. Puesto que la función subintegral f (x)
es par, entonces
;<
)
1
1·
f
1
J·.
§ 10].
T eorema de Cauchy de los residuos
r
Introduzcamo$ la .función f (z) = (z2 a2) 2 que en el eje real, es
decir, para z = x coincide con f (x) . La función f (z) tiene en el sem.iplano superior el polo del segundo orden en el punto z = ai, el residuo
/(z) respecto a este polo es igual
\.
J
d
[f (z) (z - at)2] =
z
res f (ai) = lím -d
z~ai
l
l
1
L
101
= z~ai
lím
-d [
dz
z2
(z +al)2
J= lím
2atz
1
(z+at)3 = 4ai ·
z~ai
Utilizando la fórmula (4), obtenemos
1
_!_ • 2nt · - 4at-=_::...
4a
· 2
Calcular las integrales siguientes con los límites infinitos :
J
+oo
00
I',
369.
..
[t·...
x~+1
x4+1 dx.
370
o
~ :-_:
+oo
37i.
~.~ .=
)
• 373.
)
. (a> O, b > O).
dx
J
-oo
+oo
374 . J
372.
(xª+ 1)8
xdz
(x2+4:r+13) ~
-oo
+oo
+oo
375.
.
J x4+1
xv + i dx.
376.
o
+oo
dx
377. ~ 1+.
TG '
Í
379. .
dx
(1 +x2)n+1 ·
dx
(x2 + a2)11 (x2
)
:¡;2m
1+ .x2n
+ b2)2
dx.
- oo
+co
378.
dx
(x~+2x-!-2)2
-oo
-oo
+co
dx
+oo
- oo
.
J (x2+ aª) (x2+b2)
-oo
-00
+oo
•·
x~dx
(a+bxª)4
(a> O, b >O).
"
- oo
Nw
·
:lt·~SO. : Demostrar la fórmula
00
j
-oo
(t
+ª;
2)n+i
1·3 ... (2n-1)
.
2·4·6 ... 2n
n
•
~
102
::
Funct6n de vartable t;ompl8ja
[Cap. 1
2. Integrales del t ipo
00
""
} R (x) cos /.,x dx,
) R (x) sen A.:c dx,
o
o
donde R (x) es una fracci6n propia racional, ¡., > O es cualquier número real. Para calcular tales integrales es cómodo utilizar el lema de
· Jordan:
<
Sea g (z} una }unci6n analttica en el semtplano superior (O
<
arg z < n ) a excepci6n de' número finito de los puntos singulares
Fig. 7
y
tie~ e
en este semiplano a cero para 1 z 1 -+ oo. E ntonces, para í..
>
O
Hm Í g(z)ei"zaz.=0,
R->co
J
CR
donde el .co¡itorno GR es la semicircunferencia en el semiplano superiOI'
con el centro en el punto O y del radio R (fig. 7).
Ejemplo 9. Calcular la integral
00
I-
r
J
o
xsen ax d
xt+k~
.x
(a>O , lc>O).
Soluct6n. Introduzcamos una función auxiliar
ZllÍO,z
f (z) = z2+k~.
Es evidente que si z = x, entonces Im f (x) coincide con la función ·
. b'integral <p (:e) = xx sen
ax E
.l
. d' d
1
su
2 + k~ · . xaminemos e contorno in tea o en a
Teorema de Caiichy de los residuos
',..;;t
),;tfig: 7. ;~ara (R
~~t¡·.:.L. g(z) ~Bzª~ k2
103
suficientemente grande en el contorno CR la función
satisface la desigualdad · 1 g (z) 1 < R~ R k~ y por
;;,#r;.z:~-col:lSiguiente, g (z) tiende a cero cuando R -+ oo. Entonces, según l a
;j':;.\:J' -lema de Jordan
.
J~'.:;:
'\
'•.·
!~~2
lim \
.R-+-oo
J
dz= O.
(5)
Z
CR
Para cnalquiel' R
>
k ·por el teorema sobre residuos tenemos
R
í
J
r zeiaz
z +,,, ' dz=2:nia.
xeta:x:
x2+k2 dx+ j
-R
..-
2
2
OR
donde
Elí el límite para R
-+ oo ,
teniendo en cuenta la relación (5), obte-
uemos
-oo
Sep·arando de la izquierda y de l a derecha las partes reales e imagin arias, obtenemos
+oo
-oo
En virtud ele lo que l a función subintegral es par definitivameute obten~mos
Ejemplo 10. Hallar la representación integral de l:i función de
unidad (función ele . Heaviside) f (t)
.
·
={
?para
para t < O,
t > O.
i
Solución. Examinemos la función
1
r
e-izt
f (t)= 2:nt .J - z - dz,
e
donde el contorno C se Tepresenta en fig. 8 .
. , Cerrando el con torno por la semicircunferencia eB que se encuentra en el semiplano supe1•ior, podemos ver que para t < O. en vigor
.:.i>.;.:
104
Funci6n de variable compleja.
[Cap. 1
del leJll.a de Jordan las integrales
··· ....(
e-hf
j - -z - dz-+ O para R-+ oo,
.
CR
y puesto que en el dominio con tal contorno cerrado la función subintegral es analizable obtenemos que f (t) = O para t < O.
!!
©
o
-Ir
Fig. 8
Construyamos ahora el cierre del contorno con ayuda de la semi-circunferencia C}. que se encuentra en el semiplano inferior. Ahora
para t > O de nuevo obtenemos en virtud del lema de J ordan que las
integrales
e-izt
J
- z - dz ~ O para
R 4 - oo.
ciR
Pero ahora el punto z = O se encuentra dentro del contorno de integración. Resulta que debido al teorema de Cauchy de los residuos
1 i e-izt
f(t)= 2ni J-z-dz=i
(t>O).
e
Pues
1
r e-izt
d
{
o
para t <
o'
f {t)= 2:n:i j -z- z= 1 para t>O.
e
De ese modo la integral examinada representa por sí misma la~unción
discontinua.
)
·. :~
.
§ 10]
Teorema de Cauchy de los residzios
105
Calcular las integrales siguientes:
+r
381. J
xdx
x2-2x+i0 •
X COS
+oo
-oo
-oo
r
+oo
00
383.
C06 X
J
dx
(x~ + i) (x2+4)
o
384.
J
x sen :r
x 2 +4x+20 dx.
cos xdx
x2+9
-oo
00
385.
)
• 382.
r ~~:: dx (a> O).
00
386.
o
COS X
5o .i·2+az dx(a> O).
00
dx (m>O, a>O).
387 • .)í cosmx
a2+x2
o
00
388.
Jo
389.
-oo
00
390.
~·
r sen ax dx (a>O).
~ (i + x
;¡;3
00
39
2) 2
r
1. ~
392.
o
E jemplo 11. Calcular l a . integral
00
1=
¡·:.
~·..
f
J
o
sen ax
x (x2+b2) dx
(a~O,
b>O),
Solución. Introduzcamos la función f (z)
=
(6)
efaz
z (zª+bz) tal que
lm f (z) coincide con la funulcióndsubintegral .enal(6) para dz = x. La
función f (z) tiene una partic ari ad,,en ·el eje re : e1 polo . el pri~er
"/{ · 01·den en el punto z = O. Por eso escoJamos el contorno de integración
;/: . . de esa manera como se indica en la fig. 9 (el punto singular z = O
;;;:. se recorre por el semicírculo pequeño Cr (r < b) ; escojamos el semi'.[2:;,.,círculo C¡,¡ de este modo, para que b < R).
·
::~,. < .·
· De este modo dentro del contorno cerrado se encuentra sólo un
~~/f)yolo de la !unción f (z) en el punto z = bi. Según el teorema de Cauchy
-~-· .,, de los residuos
1,t.;.·.;.:'. ..
,,.:;;
~ -r
' .· -f ,
;:.>.J
eiaX
x(xª +bª)dx+
~R
r
J
R
eiaz
\ eiaX dx
z(z2+bª) dz+ J x(x2+bz)+
r
Off
"·~ ._' ': .
~·..
elaz
+ Jr z (z2+
bll) dz= 2nicr'
~
-·:.~. ..~~-~;: •.. . ..
·.-:~ .· ·"··
.,.
... t···'
(7)
106
[Cap: 1
Función de variable· compleja
donde
(8)
cr = z=biZ
res. (z.2 + bª)
Sustituyendo en la .primera integral (7) x en -x y uniéndola con la
!/
-.R
o
-r
r
R
Fig. 9
tercera integral, obtenemos
- 1·
J
-R
sen ax dz
X
(.x2
+ b2)
r
1'
Ya que
,
1
eiaz
luu
2+b2 ==-b2 '
z ... o z
eiaz
- - - es repre.sentable en la
entonces la función subintegral z (z2+b2)
forma
ei.a z
107
Te1Jrenia de Cauchy de los residuos
'.t,~i }. : d9Pd.c
lim 'P (z) =
O. Suponiendo z
=
re·icp, hallamos
~fi:?1 ,;::~~ ,; í :' + í ~;<> J,~
_: ::. Cr
. -.
Cr
Cr
o
--~+t
b2
Jr \jl(reicp)d<p.
(10}
-
n
t::~~, La integral en el segundo miembi·o de (10) parar-+ 10 tiene cero como
/'::r lfM.te
..
o
;__' .· :
lím
Z-+0
·~
J'l\l
.
(raiq¡) dq¡=O.
.
(11)
n
~:)' <
En resumen, de acuerdo con el lema de Jordan la cuarta integral /./·::_en
el
miembro primero (7) tiende hacia el cero para R -+ oo, ya que
.•: ..
~-
'··.' ·•' '•'
L
. .fa función g (z) = z (zu +1
bª)
tiende al cero para
, J z (zª+b')
dz=O.
.
1
z 1 -+ oo :
elaz
hm
(12)
.
R-+oo
CR
De este modo para R-+ oo, y r-+ O la igualdad (7), teniendo en
las relaciones (8)-(12) obtiene la forma
00
¡
J
sen ax
n
x (x2+b2) dx= 2b2 (1-e-"ab),
o
las integrales siguientes:
00
393.
J se: x
00
dx.
394.
o
J cos ax:;cos
io
X
t'C~n; i )
00
395 .
o
bx
dx (a> O, b >O).
dX.
108
[Cap. 1
Funci6n de uartable compleja
9. Calculación de integrales que contienen una función exponencial
Ejemplo 12. Calcular las integrales de Frenel
fo
00
I1 =
sabiendo que
J
00
cos x~ dx,
I2=
sen x~ d:r.,
o
j e-x2 dx= v;n •
00
-
(13)
o
Solución. Examinemos una función auxiliar f (z) = eb y el contorno indicado en fig. 10 (el sector circular OBAO donde OA = OB =
2
AY
A
8
o.
R
::...:
Fig. 10
y ¿BOA =;o n/4). Dentro de este contorno f (z) es analítica y por . .:
medio del teorema de Cauchy
= R
. ·:t
J
R
eiz2 dz=
OBAO
~ eiX2 d~+
O
J
eh
CR
2
dz+
J
··. ·~
2
eh dz=0.
AO
Mostremos que
Realmente, suponiendo z2 =
J
s,
etz2dz =
ºn
obtenemos dz =
d~
2 1/~
J 2 ~~ ~.
rR.
donde r R• es un cudlto de la circunferencia del radio
La función g (S) =
2
y
~~ . satisface
R~ .
las condiciones del lema
,
de:
§ 10]
109
t'eorema de Cauchy de los residuos
Jordan y por lo tanto,
lim
R-+oo
r
J
rR•
~ d~ = lím
2 V~
R-+o0
r eiz
2
J
CR
i~
i~
AO; z= pe ~., z2 = p9e 2 = p2i,
En segmento
J
.
eiz
2
J
C>
dz=
~
•
e-P2
n
t·-r dp= -
.
:n;
/ 4
O:s:;; p :s:;; R. De aquí
R
J
2
e - P dp.
(16)
O
R
Al pasar en (:1.4) al límite para R
ción (1 5), (16) y (13), obtendremos
00
•
~
oo, y tomando en considera-
.
:n;
14
~ 1l~ 2 dx= e
_"f ·
dz=0.
-
~ ft
o
ó
r
J
sen
xª dx= .!. ... /,.
o
2
V
2 ·
E jemplo 19. Calcular la integ1;al
(0 <a< 1).
- 00
· :solución. Escojamos una íunción auxiliar
eaz
,.
f (z) = 1 +ez
;:~\~~ contorno
indicado en fig. 11 (rectángulo con· lados 2R y 2n) .
.J!()ntro de este contorno f (z) es analizable a excepción del punto
;z;=,nt que es para ella el polo simple
·;· . ;
r~s/ (ni)= (i ~zz)'
·
e
/
. . e:i = -ea:rti.
z=ni
e
::;según el teorema de Cauchy de los residuos
~>If>r<z) dz+
>J:?t1>
f1
AB
(z)
ª~+
j 1(z) az+
.BC
) , (z) dz =
CD
_ 2nieªni
(i 7)
... :'".>'·····
·. : ~ •... ¡
[Cap.1
Función de variable compleja
110
En el segmento DA: z
=
x, -R ~ x ~ R; por lo tanto
R
J= J 1 ~:x
DA
En el segmento A B: z
=
R
-R
+ iy,
O '~ y ~ 2n;
~ 1= /· en(R+iY.~
i+eR+iu
1. 1+ez .
IJ
(18)
dx .
¡
&
en ese caso
.eªR
~ eR-1
A
o
.X
Fig. 11
2:rt
l~ 1~ ~
AB
O
Análogamente obtenemos
i
1 f (z) dz 1
CD
~
En el segmento BC: z = x
-R
~-
_
BC
\
.,
e-aR
1 -e -R
para R-+ oo
+ 2nt, -R ~ x ~ R; poi· eso
ea(x+2ní)
. . dx =
i+ex+2m ·
R
~
~ e2a:rti j 1 +e- dx.
\
~
-R
R
Pasando al limite en (17) para R -+ oo y teníeudo en cuenta (18)-- (21), ·
obtendremos
+ oo
+oo
Í
eax
Za.n i \
eax
. Mti
J 1 +ex dx - e
J 1 + ex dx = - 2:rtte ,
- oo
-
00
'. ' .~
~
..... . ·. :·
.•. ·.··· ,
.
Teorema de Cauq/iy de los residuos
2llieani
e2aiti_ 1
- oo
111
sen an
integrales siguientes:
i e-axª cos bx dx (a> O, b >O).
00
397.
o
Indicación. Tomar f (z)
.
b
l?~ lados 2R y
2
=
eªz
2
,
el contorno es un rectángulo con
ª.
_
·- · ::.!·
dx (O < a< 1, 0< b< 1).
- oo
Indicación. Tomar f (z)
=
eaz- ebz
ez , el contorno es como en la
1
+
11.
4 . Cálculo de integrales del tipo
2n
~
(22)
R (cos x, sen x) dx,
o
donde ·R es la función racional del argumento. cos x y sen
.dentró del intervalo de integración.
;¡;
limitada
dz
.Suponemos que eix = z, entonces dx = - .- y
iz
zi+ 1
cos:i:=zx-•
z2 -1
senx=~ ·
Es evidente que en dicho caso 1 z 1 = 1, O ~ x
La integral (22) obtiene l a forma
J
F (z) dz,
~
2n.
(23)
~el
:'~
·.
C es la)rcunferencia
radio de unidad con el centro en el
·. origen de coordenadas. De acuerdo con el t eorema de Cauchy de los
residuos la integral (23) es igual 2noi, donde C1 es la suma de residuos
de los polos comprendidos dentro de la circunferencia C.
2n
Ejemplo 14. Calcular la integral I =
dx
Jr -,(-a_,.+_,b,_c0-s-x"'"')2~ (a> b >O).
o
·.·.· :.,. ' :·:
.
112
Función de variable compleja
Solución. Aplicando la sustitución etx
formaciones· simples obtendremos
=
[Cap. 1
z, después de las transn
~
f2ni
res F (ZJi).
li=i
Dentro del circulo de unidad para la condición qtte a
encuentra un solo polo (doble)
-
Z1-
-· a+ l/ ~
b
,
d
dZ
Z-+Z¡
{
2
z (z -z1)
b9(.z - .z )ª(.z-z )2
1
b
> O se
•
El residuo de la función F(z)= (bz 2 +;az+b) 2
polo
resF(.z1)= hm
>
'2
respecto a este
}-=a·
-·-4 (a2- · b2)S/ 2.
Pues
l=
2:rta
(a2 ·- bª)ª/2
Calcular las integrales siguientes:
399.
2\"'
J
o
2:rt
400.
r
J
o
·dx
1.- 2p COS X+ p2
cos2 3x dx
1.-2pcos2x+p2
J
(0< p < 1).
(O<p< 1).
2:t
401.
cos 2x dx
1 - 2p COS X+ p 2
(p > 1).
cosx dx
1-2,p S!lll x+ p2
(0<p<1).
2:t
402. ~
.. ~
........
2it
403.
J a+cosx
d.r
(a> 1).
o
1C
404.
Jctg (x---a) dx
(Ima>O).
o
2it
405.
j
o
2
sen x
a+ bcosx
:,. ,
d
X
(a>b>O).
§ 10]
113
Teorema de Cauchy de los residuos
2it
406. \
dx
J
(0<a< 1).
1+acosx
o
2:n:
!
J
407.
l
o
d.-c
a+b cos .i:
(O<b<a).
JIU. Su mación de ciertas series mediante resid'!llos
1
'. '1. Sea la función f (z) analizable en todo el plano complejo
a ex'cepción del número finito de polos z1 , z2 , • • • , zh que no coinciden con ;ninguno ;de los puntos z = O, ±1, ±2, .. , y suponemos
que j (z) satisface la condición f (z) = O (z-2 ) para z-+ oo *). Entonces
h
00
2J
f (n) =
-1E
n=-oo
2J
res
[f (z) ctg :rtz].
(24)
m=i z=zm
00
Ejemplo 15@ Hallar l a suma de una serie ~
a
Soluci6n. Examinemos la función
1
f (.~)= z ª+ a.2
=
donde
n=1
=i= O.
EsL¡¡,
1
funciún eu
Luda:;
partes
e~
•
an<1.llzable atlernás de los puntos z1
ai y z2 = -ai que son los polos simples. Puesto que
=
1
(z)=----z2 (
1+ :: )
entonces de aquí se desprende que
i
zi + ª 2
O (z-2)
para z -+ oo.
la fórmula (24), obtendremos
1
_ ctg :rtz
-:rt [ res 2 + 2
z= ai z
a
n=-oo
La inscripción "f (z)
;
~:~
=
+z=res- ai
·
ctg:n:z
z2 +a2
f (z)
¡
'.:;;;;;
e,
'
O (g {z)) para z -+ oo " significa que la
es limitada siendo z -+ oo:
1g (z)
J
donde
e=
const,
e > o.
114
Función de variable compleja
[Cap. 1
par a l a funció n ~;~na~ los pun tos z1 = at y z2 = - ai son los polos .... ,
simples, y por consiguiente, sus residuos serán igual
·.¡~
res ct.g nz, = ctg :rtz r
= ctg :rrzk
k =i, 2.
2
2z
z=z..
2zh
z= zk z + a"
,.
E11 tone es
co
1
ctg nai , ctg ( - n ai) ) _
2ai 1
- 2ai
- ·
-· n (
11..= -oo
;¡¡, • t
:rt et 11 na.
.
= -;¡
¡e g (nai') =a
La seri e en el primer miembr o de la última igualdad se pued e
escribirla en l a forma siguiente:
00
n~ - oo
n=i
De o.quí hallamos que
00
1
¿}
""
1
nz.+a2
1
¿} . nLf- a2
=2
i
2aª •
n=-oo
n=1
La sttma buscada de la serie dada será igual a
"\"
·1
L.J ni+a2
_
.i_ ..::_ 0 , h
2
a
'
_ 1_ _ na cLh :n:a - 1
:n:a-.2a2
-
2a2
n= 1
H allar las sumas de las series siguientes en las cuales
el número a no es entero :
00
408.
'i
""'
L.J .n 2 -a2
00
409 .
n=i
¿} (n~a)2 •
n = - co
1
n' ·-a"
n= i
co
41()1.
¿}
co
411 •
~ (2n~1)2 •
n =O
2 . Da<lo que funció n f (z) es analizable en todo el plano complejo
adE,más del número complejo de los polos z1 , za. , . •• zk que no coin-
115
Teorema de Cauchy de los tesiduos
~;~~Si<l~n con ni~iguna
'l'~:que
{J§f· .'.:~.
de los.1rnntos z = O, ±1, ±2, .. . , y suponemos
f (z) satisface la desigualdad
-;~;-
lf(z)J<eª1Im z 1s(jzl},
., ~-
(25)
< <
( ridoncie e (1 z 1) -+ O para z-+ oo, z E Gp; O a
n . Aquí Gp es
'>":todo el plano con los círculos eliminados del plano z - Zm 1 ~ p,
1
• i;:' m ·= 1, 2, ... , k.
' ~Y.·:EJD.tonces es válida la fórmula
h
00
~
(-1)n f (n) =
!~T(·'.:i¡
;.;~_
1
,;,,
:.: : • ..:..
- (- i)n , a ==fo O.
n2 + a2
tien~:os
1
polos simples
z2 +a2
ai y z 2 = -ai y eJia satisface la condición (25), ya que
Solución. La función j (z) =
...
~
L.J
Hallar la suma de una se1·ie
7
Jw:\:
(26)
·m= i z=zni
11=-oo
~~~j,'/?,
'. Ejeriiplo i/.6.
~!,/;;
f (z)
- n ~ res sen nz
l{r, .,
ll (') I
1•;~•'1 <;;
•I' '
1•1 '_I_ 1
~l:(i::. ·:aqm a =O, e (l zl)= izl 2 _; Jal 2 - O cuando z-+
fiL:i;.·
Utili zando la fór mula (26), obtendremos
I~}~ ~~:~:
l~i{: \_.
-·
[=
oo.
<"+··~ ..... +
+ z~~ ai (z + a2~ sen nz ] •
2
1
fi{:(;-Hallamos los residuos de la función
2
en
}03
-~~ :~~~ :1"+<'; "nru ,...,:~~;:~~::c"'ru•'
¡¡, .~ ('' •'~ ,!. 2u~
2'h
+
res
.z=-- ai
,,n ru
1
2al
nal
1
2ash na •
na '
puntos
.H6
Función de variable compleja
(Cap. 1
Por consiguiente,
00
a
n=-oo
1
sh :rta
Más tenemos
00
De aquí
00
00
. 21 ."'1
L.J
(- i)n
n2 +a2
1
2a2
'
n::.:-oo
y p,or lo tanto
· .:~
00
n=O
ni=-oo
n
2a sh na
+_12a2_ = _2a21_
(1 -~)
· --j sh na
'
Hallar sumas de series siguientes, suponiendo que
núme·ro a no es entero:
00
412.
~
n=-oo
00
(-i)n
(n+a) 2 '
413.
~
(- 1)n
(2n + 1) 3
n=O
00
414.
~
(-1)ncos an
ns +a2.
n==-oo
00
415.
~
n ::m - m
(-1)1!.
(n2+a2)2 •
'
- n <a< n.
§ 11]
·111
Principio del argumento. Teorema de Rouchet
§ 11. Residuo logarítmico.
Principio del a:rgumento.
Teorema de Rouchet
Función <P (z) que es la derivada del logaritmo de función f (z)
se llama la derivada logar€tmica de la función f (z):
.
cp(z)=(Lnf(z)]'=
·- ',,_
jg? .
Sólo ceros o los plintos singulares de función f (z) pueden ser los puntos
·
singulares de función qi (z).
: El residuo de la derivada logarítmica de función f (z) respecto
al punto, que es el cero de función f (z), es igu1;1l al orden del cero,
y:respecto al punto que es el polo de la función, es igual al orden de
este polo con el signo menos.
Ejemplo 1. Hallar los residuos de la derivada logarítmica de función f (z) =:: :; : respecto de sus ceros y polos.
Soluci6n. La función dada tiene un conjunto infinito de ceros
·.· simples z = lm (k = O, ±1, ±2, .. .) y un polo simple z = -1.
. De~~
' ·
(z) =
· 1 (k = O, ± 1 , +2
(z) = - 1 .
res -t' (z)
_ , ... ), res - t' (z)
,
!.
Z=hxt 1
z=-f 1
;:}/:,,_;.j,; J{allar los residuos de derivadas logarítmicas de funcio~.'<n:és dadas respecto de sus ceros y polos:
·
:·::
.
¡
'"16.
f
(
)
.
sen z
417
f
(
)
a
;~(.-1.d· ,'f
•
~ =-- z- .
. Z =COS Z.
·~:~~\ :·~' ~ :. .
cos z .
' ;.. ; .418. a) f(z)=-,
b) f(z)=sen z.
. ;;\~.::;:;:
z
Sea analizable la función f (z) =I= O en todos los puntos del con•:tdrno cerrado C. La magni1.ud
::'"··".. I
,
(. i '
1
f' (z)
2ni J T(i) dz.
·C'f
/::t' ... .
r
.
i lÍlama el residuo logarítmico
errado C. · ·
l{':'r~ore1Ila
1
d~ la fundón f (z) respecto al ~ontorno
del residuo logarítmico. Sea analftica la funci6n f (z)
J,.¡¡z dominio cerrado D,
a excepción del número finito de polos y en la
i:.O:Mera C de este domínto no tiene ni ceros nt polos. Entonces la diferencia
'- ) ·¡.&,'. e'l,niímero de ce1·ol! y de polos de f (z) en D contados con sus 6rdenes
. A"i·lgual al residuo logarUmtco de la función f (z) respecto al contorno
~~i'{ldO
'.tJ f~· ;
:~,..,..
)~, '
t:'.' ,_.
C::
..1 Je f'1(·)
- ..,i
2
-
(z)
~
dz=N-P,
.
~(]~ N ~sel número de ceros f (z) en D, P es el número de polos f (z) en D.
:ff('.
. ~': :'
..,, ....
.
118
Función de variable completa
[Cap. 1
El resicluo logarítmico del polinomio
n
Qn (z) =
2.J
a11.zk
k=O
respecto al contorno C es igual al número de ceros de este polinomio
(tt>niendo en cuenta su multiplicidad) en el dominio D limitado mediante el contorno e.
Ejemplo 2. Hallar el residuo Iog·arítmico de la función f (z) =
ch z
·
= -=----z respecto al contorno C: 1 z j = 8.
ei - 1
Solución. Hallamos los ceros z11 de la función f (z). Resolvemos
para esto la ecuación ch z = O o ez -+- e- 2 = O. Al escribir la última
ecuación en forma de e2z = -1hallemos2z = Ln (-1) = (2k
1) :n:i,
+
,=
así que z1
2
kii :n:i (k =O, ±1, ±2, ... ) (toclos los ceros son
simples). Para hallar los polos de función f (z) resolvemos la ecuación
eiz - 1 = O o eiz = 1. Tenemos iz = Ln 1 =-~ 2mnt, Zni = 2mn: (m =
= O, ±1, ±2, _ . .). En el círculo 1 z 1 < 8 se encuentran ceros
zn=
2
kii
y los ceros simples
Zm
nt
=
(k~O; ±-1,
2mn
(m
=
±2, -3)
O, ±1)
de la función f (z). El número de ceros N = 6, el número de polos
= 3. Por consiguiente,
1
- _[Ji}_ dz=o-3=3.
2:n:t J
f (z)
1•1=8
Ejemplo 3. Hall1:1r el residuo logarítmico de la función
P
r
t+z 2
f (z)= 1-cos 2m
i·especto a la circunferencia 1 z l = n.
Solución. Suponiendo que 1
z2 = O, hallamos dos ceros simples de la función f (z): a1 = -i, a = i. Suponiendo que 1 - cos 2.rtz = O, hallamos los polos d e
función f (z) : zn = n, n =
= O, ±1, ±2, ... La multiplicidad de polos k = 2.
En el círculo 1 z 1 < ri: la función dada tiene dos ceros simples
ai = -i, a 2 = i y siete polos dobles
+
la
Z1
= -3,
Z2
= -2,
Z3
= -f,
Z4
=
Ü,
Z5
= 1,
Ze
=
2,
Z7
=
8,
Pues, N = 2 y P = 7. En virtud del teorema del residuo logarítmico
obtenemos que el residuo logarítmico de la función dada f (z) ·respecto
a la circunferencia 1 z 1 = n será igual
- 1-
2:rtí
r
J
\Z\=lt
!'
(z) dz=2-7·2=-12.
f (z)
Prtncipio del argumento. Teore ma de R ouchet
119
. En los problemas siguientes hallar los residuos logarítmi. de funciones dadas respecto de los contornos indicados:
. 419. /(z)=nzª '
420. f (z) =
421. f (z) =
422. f (z) =
423. f (z) =
424. f (z) =
C:lz l = 2.
+
e: !z 1=4.
e: 1z 1= s.
e: 1z 1= 6.
cos z
sen z,
(ez - 2) 2
th z,
tg'3 z,
1 - th2 z,
e: 1z1 = B.
e : 1z 1= 2.
Principio del argu mento. El residuo logarítmico de la funciñ11
respecto al contorno cerrado C e;; igual al incremento t.c At":( I (z',
dl'l a1·gumento f (z) para el recorrido del contorno C d ivid ido en 2:r; :
1
t' (z)
1
2nt J fW dz= 2:, lle Arg f (z).
-f
(~)
r
o
;~- -·
Por consiguiente, la diferencia entre el número de ceros y d'! polos
de la función f (z) comprendidos en el dominio D es igual a
1
N - P = n lle Arg f (z) .
2
En otras palabras, la diferencia N - P es i gual al número el E'
revol uciones que realiza en el plano w el vector que sale del p1111to
w = O al punto w = f (z), cuando el punto z circunscribe el contorno C
·=.. (el número de revoluciones lo consideramos ser positivo, si el vee.tor
-.: ·se gira contra el sentido horario y es negativo en el caso contrario).
.
En un caso particular, cuando la función 10 = f (z) es analítica
· en el dominio D y en su frontera C, en la cual ella n o se annln, el
- r esiduo logarítmico ele f (z) respecto a C del número de ceros de f (z)
en D que es igual la variación de Arg f (z) durante su recorrido del
contorno e dividido en 2n:
i
2ni
r
!'
J
e
Lo que tiene lugar,
n
· =
(z)
f(z)
1
dz = 2n 11 0 Argf(z)=N.
.
por ejemplo, para el polinomio Qn z
2J akzk,
k=O
Ejemplo 4. Hallar el número de raíces en el semiplano derecho
Re z > O de la ecuación
Q¡; (z)
;s;;;
z~
+ z + 2z
4
3 -
Bz -- 1
=
O.
Soluci6n. Debido al principio de argumento el número de
del contorno C
igual a
1
N = n /ic Arg Q5 (z),
P.S
2
"Cr (1s
- ;_,,,
120
Funct6n de variable co.mpleja
[Cap. 1
donde el contorno C está compuesto de la semicircunferencia CR:
1 z 1 = R, Re z > O y de su diámetro en el eje imaginario; el radio R,
lo consideramos ser tal grande que todos Jos ceros del polinomio Q5 (z)
que se encuentra en el semiplano derecho dan en el semicírculo 1 z 1<
< R, Re z > O. Tenemos
1
2
8 - -1)
Q5 (z)=z5 ( 1 +
z -+
z2 - z4
zii- .
De aquí
8 -i )] =
2 -.ArgQ6 (z) =Arg [ z5 ( 1+ -1z + z2
zt
zii
1)
1
2 · 8
=Argz5+Arg
(1+
.
z -+
z2
z4 - -z&-
=
1) ,
1 2 -8 -=5Argz+Arg ( 1+--L
z ' z9
z4
z~
El incremento del argumento Q5 (z) al recorrer en el sentido positivo
a semicircunferencia C R es igual a
1
2
8
1 )
Acn Arg Q6 (z) = McR Arg z+ licR Arg ( 1 + -z+Zil-7-7 .
Pasemos en esta igualdad al límite siendo R -+ oo:
lím flc R Arg Q6 (z) =
R-+oo
Los dos límites en el segundo miembro existen y son iguales respectivamente a
lím &en Arg z=n,
R .... oo
lím lle Arg ( 1+..!.+2._ _!_ _
R -+ oo
z
R
z2
z•
__!._)
=0.
zº
De tal manera
lím llcR Arg Q 5 (z) = Sn.
R-+oo
Suponemos ahora que el punto z se mueve por el eje imaginario ..
desde z = tR hasta z = - tR. Aceptemos que z = it, -R ~ t ~R. o'.
Entonces
Q6 (tt) = u (t)
tv (t) = t4 - 1
i (tó - 2ts - 8t),
de donde
u=t4 -1,
{ V=t&-2tS-8t.
+
+
Estas son las ecuaciones paramétricas de la línea que
el punto w = Q 6 (z) en el plano (u , v), cuando el punto
eje imaginario de arriba abajo. Para construir esta línea
puntos de su intersección con los ejes de coordenadas Ou
circunscribe;;.
z recorre el '
hallemos los.
y Ov. Igua- :
' ·..,.•••••. , ,. .•••, ••,..':'' "'""- - · 11-,.··· ... ~ - ~·----
§ 11]
Principio del argumento. Teorema de Rouchet
121
l anrlo u y v al cero, obtendremos correspondientemente
t 1 - 1 = o ó t = ±1,.
(2)
(3)
t6 - 2t8 - 8t = 0 Ó t = ±2, t = Ü.
Observamos que las ecuaciones (2) y (3) no tienen raíces comunes
(reales), así que el polinomio Q 5 (z) no tiene ceros en eje ·i m.agi
. ·na1'io.
Por consiguiente, es váfüla la :aplicación del ,principio del ~rgumento.
Las raíces de ecuaciones (2) y '( 3) las distribuimos por decrecimiento,
es decir, según el recorrido del contorno y hallamos l os val ores respectivos de u y v:
u
t
Nº
1
1
15
2
1
2
o
-1
o
1
o
3
4
5
-1.
15
-2
A continuación
' lím
t-+±00
V
1
u=+=,
o
o
9
o
- 9
lím v= ±oo.
t'->±00
Es~os
Dl
datos permiten construir la línea que nos interesa (fig. 12) .
fig. 12 se ve que el vector rc =·~' Q5 ('-)se van gir11r t-n ángulo cp = 3n
V
ti.
.··~·
. !. .
··,1') ~ ··' •.
.. '! ..
'f.~,>
Fig. 12
p:·fel sentido negativo. Por consiguiente,
.. < .
A.e Arg Q5 (z) = 5n - · 3n = 2n:,
/~ifdonde el número de ceros en semiplano derecho sera igual
:.. :l; .
,. .
231:
N= 2at =1.
122
Función de variable comple;a
[Cap. 1
Ejemplo 5. Hallar el número de raíces de la ecuación
~
5
•,.
~
•n m niplann d•....h• º ' (<)
, , - "' o
Solución. Elijamos un contorno C como se indica en el ejemplo 4.
Entonces
<e,
A'""' (<) =lle, Mg("-2'-5)=Ac, Arg [ " ( 1- ;. -
=1AcRArgz+ócR Arg( 1-
z~ - - ;
=7n + 8cR Arg ( 1 -
)
Supongamos z
=
it (-R ~
t
~
:
2
-
;
-+
)=
7n para R -¡,. co.
R ). E nton ces
w
-5
(}
"
Fig. 13
Q, (it)
de donde
=
u (t)
{
+ iu (t) = - 5+ i (-
t7
~
2t),
U= - 5
V=. - t (t 6 + 2),
Puesto que u =I= O, entonces la aplicación del pri ncipio del ar gi.tmento es válido (Q7 (z) en el eje imaginario no tiene ceros). Esta línea
es la recta (fig. 13). El vector w = Q 7 (z} gira en el sentido negativo
en n radianes. Por consiguiente
~cR Arg Q7 (z) -~ 7n- n: = f:i
R -+-oo
y
6n: .
N = -- =3,
2,n
,,
. ·1;e"
,~) J= . ·'~
.
(}
1
··'w:11
>~~;
"'
· ·~
123
Principio del argumento. Teorema de R ouchet
la ecuación dada tiene trf.s raíces en el semiplano derer,ho.
Para l as ecuaciones siguientes determinar el número de
en el semiplano derecho:
425. z 4 + 2z 3 + 3z2 + z + 2 = O. 426. z 3 - 2z ....,.- 5 = O.
427. z3 - 4z2 + 5 =O. 428. 2z3 - z2 - 7z + 5 =O.
429. z5 + 5z 4 - 5 =O. 430. z12 - z + 1 =O.
.
en
de
su
el
Teorema de Rouchet. Sean analíticas las funciones f (z) y cp (z)
un dominio cerrado D limitado por el contorno C y en todos los puntos
este contorno satisfacen la desigualdad 1 f (z) 1 > 1 cp (z) 1. Entonces
suma F (z) = f (z )
cp (z) y la función f (z) tienen en el dominio D
nzímero igual de ceros (tomando en consideración su multiplicidad).
Ejemplo 6. Hallar el número de ceros ele la función
+
F (z) =
zB -
4z5
+ z2 -
1
dentro del círculo de unidad 1 z 1 < 1.
.
Solución. Representemos la función F (i) en forma de la suma de
dos funciones f (z) y (f' (z) que escojamos, por ~ejemplo, del modo
·. siguiente:
f (z) = -4z 5 ,
cp (z) = z 8
z2 - 1.
+
en la circunferencia 1 z 1 = 1 obte.ndremos
1 f (z) \ = 1 -4z5 1 = 4.
2
2
1 cp (z) 1 = 1 z 8 + z - 1 \ ~ ! z 8 !
Z \
1
+\
+
=
3.
Pues, en la frontera 1 z 1 = 1 del círculo se cumple la desigualdad
1 f (z) 1 > \ cp (z) 1. La función f (z) = -4z 5 tiene el cero múltiple
de cinco en el origen de coordenadas. En vigor del teorema de Rouchet
la función
F (z) = f (z)
cp (z) = z8 - 4z•
zZ - 1
- t iene en el círculo 1 z 1 < 1 cinco ceros. Notemos que es posible y otra
'" ~•-urn'll de l as funciones f (z) y cp (z), por ejemplo, t al:
f (z) = z8 - 4zG,
cp (z) = z2 - 1.
+
+
Ejemplo 7. Determi nar el nú mero de r aíces de la ecuación
z6
-
6z
+ 10 =O
dentro del cír culo 1 z 1 < 1.
Solución. Supongamos, por ejempl o, f (z)
.En l a circunferen ci a 1 z 1 = 1 tenemos
!f
(z) 1
=
10,
\ <p
(z)
1
= 1 z6
6z l
-
=
10 y IJl (z)
=
zª -
< ! z + 8 1. z 1 =
6
\
6z .
7.
Así, en t odos l os punt os de l a cir cunferencia \ z 1 = 1 se cumpl e l a
· desigu al dad 1 f (z) 1 > 1 cp (z) ¡. La función f (z) = 10 no tiene cer os
dentr o del círculo 1 z 1 < -1 y, por consiguiente, de acuerdo con el
~l,!orem a de :j.fouchet 110 tiene ce~·os
la función z6 - 6z
1 o,
r
+
Punc t~n
124
de variable compleja
[Cap. 1
Aplicando el t eorema de Rouchet, hallar el número de
raíces de las ecuaciones dadas en los dominios indicados:
43i. z4 - 3z3 - 1 =O,
1 z 1< 2.
3
432. z + z + i = O,
Iz I< ~ .
5
2
4S3. z
z
1 = O.
! z 1 < 2.
434. z8
6z + 10 = O.
1 z 1 < 1.
435. 27z11 - 18z
10 =O,
1z 1< 1.
436. z8 - 6z6 - z3 + 2 = O. 1 z 1 < 1.
+ +
+
+
Ejemplo 8. ¿Cuántas raíces de l a ecuación.
z" - fu+i =O
~
se encuentran en el anillo 1 < 1 z 1 < 2?
Soluci6n. Sea N el número de raíces de la ecuación (4) en el anillo
1 < 1 z 1 < 2'. Entonces N '""' N 2 - N 1 , donde N 1 es el .número de
raíces de la ecuación (4) en el círculo 1 z 1 < 1, N 2 es el número de
raíces de la ecuación (4) en el círculo 1 z 1 < 2 (N2 ;;:;;. N 1 ). Se ve claro
que en l a circunferencia 1 z 1 = 1 l a ecuación (4) no tiene raíces: si
1 z l = 1, entonces 1 z' - 5z
1 1 ~ 3.
Para hallar N 1 tomemos f (z) = -5z', tp (z) = .z4
1. En la
circunforencia 1 z l = 1 tenemos 1 f (:i) 1 > 1 cp (z) 1, ya que 1 f (z) 1 =
= 1 -5z 1 = 5, l <p (z) 1 = 1 z4 + t 1 ~ 1 z' 1 + 1 = 2. La función "
f (z) = -5z en el cfrcUlo 1 z 1 < 1 ti ene un solo cero, por consiguiente,
NJ = 1.
:O)~
· Para hallar N 2 tomemos f (z) = z', <p (z) = 1 - 5z. En la cir- · '!'
cunferencia 1 z 1 = 2 tenemos 1 f (z) 1 > q> (z), puesto que 1 f (z) 1 = .]
= 1 z" 1 = 24 = 16, 1 q: (z) 1 = 1 1 - 5z l ~ 1 5 1 z 1 = 11. . La "~.·
función f {z) = z( t iene cuatro raíces en el círculo 1 z 1 < 2 y por lo
~
tanto, N 2 = 4.
:.i':~
El número de raíces de l a ecuación (4) en el anillo 1 < 1 z 1 < 2 ·}~
sera' N = 4. - 1 = S.
.1
·. ·"¡
"''
+
+
+
:JI
En los problemas siguientes determinar la cant idad de .
raíces de 1as ecua ciones dadas en l os anillo_: indicados:
/~
437. 4z4 - 29z2
25 = O,
2 < 1z 1--. 3.
<"8~~
438. z7 - 5z'
z2 - 2 =O, 1 < 1z 1<2.
<"''~
439. z6 - 8z
10 = O,
1 < 1z 1< 3.
·
+
+
+
Ejemplo 9. Hallar el número de raíces de l a ecuación
aez = O, donde O < a < e-1 ,
en el círculo de unidad 1 z 1 < f .
Soluc f6n . Supongamos f (z) = z2 y tp (z) = - aez. En la circtm- .
fere ncia 1 z 1 = 1 tenemos
·
1 f (z) 1 = 1 zt ! = 1,
·
1 <p (z) 1 = l - aez 1 = a 1 ez 1 = a 1 ex+IY 1 = aex ~ ae < 1
en virtud de l as condiciones - -1 ~ x ~ i y O < a < e-1 •
Pue!!, 1 f (z) 1 > 1 q¡ (z) t, si 1 z 1 = 1. La función f (z) = z2
en el círculo 1 z 1 < 1 tiene l a raíz doble en el origen de coordenadas; .
z2
-
»'J. .
§ 11]
Principio del argumento. Teo1·ema de Rouchet
125
Por tanto, en vigor del teorema ele Rouchet la ecuación inicial en el
círculo tiene dos raíces.
Observaci6n. Examinemos l a función real F (x) = x2 - aex,
Esta · función en el segmento -1 ~ x ~ 1 es continua. Además,
F (-1) = 1 - ae-1 > 0, -puesto que O<ae-1 < e-2 <1, F(O) =
= -a< O, F (1) = 1 - ae >O, puesto que a< e-1 •
De tal manera en los · extremos de- los segmentos -1 ~ x ~ O y
O~ x ~ 1 la función F (x) obtiene los valores de diferentes signos. De
aquí se desprende que la ecuación dada en el círculo 1 z 1 < f tiene
dos raíces reales de diferentes_ signos.
En los problemas siguientes deteri:nin.ar el número · de
raíces de las ecuaciones dadas en los dominios indicados:
440. eZ-J,, = Z (A> 1), 1Z j <1. · ~
441. ff = azn, donde n es el nún;lero real y
lz l<R.2
cos z = O,
sen z = O,
ch iz = O,
~45. ch z = z2 - 4z,
446. 2z = 4z, ·
442. z
443. z4
444. z 2
:·..·.
:-
:.;:.
~~·
~;
..
{ ;"
-
+
!z ]<2.
lz l<n
1z1<0,5.
1z_I<1.
1z1<1.
Ejemplo .ZO. Hallar el número de raíces de la ecuación
t. - z - ·e-Z = O,
Í\, > 1.
\' .. en el semi plano derecho Re z > O.
;' ---. 'Soluci6n. Examinemos el contorno que se compone del segmento
.· [-if{, tRJ y de la semicircunferencia derecha 1 z 1 = -!1· Supongamos
:rz (z): =:= z - A, y q> 1 (z) 1 = e-z. En el segmento [-iR, tRJ, donde
;:¡ == iy tenemos
•- 11(z)I=1ty-t.¡=¡/11. 2 + y~ >VJ.. 2 =1. > 1,
l<Jl (z)I = te-zf = le-:- 1YI =1,
'.· :'. Y pbr consiguiente, 1f (z) 1 > 1 q> (z) 1.
;.: ·. ·En la semicir~u:11ferencia1 1 z 1 = R, donde Re z = .'!: > O pura
:;R (R > ')., 1) suficientemente grande tenemos l f (z) 1 > 1 q> (z) l 1
':' ya· que
1 :
lf (z)I = lz-A. I > fz l- f.. =R -1. > 1.
\ , 1~ (z)I= 1e-zl = ¡e-x-iy¡ = 1e-xe-iY I = e-x¡e- ill=·e-x ~ 1 (x >O).
Según el teorema de Rouchet dentro del contorno indicado para cualJíttjera. que sea grande R la ecuación dada tiene tantas raíces cuantas
;tien:e la ecuación f (z) = z - t..= O,, es decir, una sola· raíz. Por con'guiEinte y en todo el semiplano derecho la ecuación dada tiene una
la raíz.
·
+
Mostrar que l a ecuación · ze"--Z. = 1, donde "'> 1,
.:fofi.e. en el círculo de uní 1ad 1 z 1 ~ 1 una sola raíz real y
os1tiva.
'
'.d:;'.447.
i26
P1mct6n de Vái'iable compleja
[Cap. 1
+ +
448. Mostrar que la ecuación i. z ixzn = O, donde n
es el número natural, más grande que la unidad· para cualquier a tiene en el círculo 1 z ¡ ~ 2, por lo menos una sola
raíz.
449. Sea f (z) y cp (z) las funciones analíticas en cierto
entorno del punto a , Ces el círculo con el centro en el punto
a, tal que a lo largo de la circunferencia de este círculo
tenemos
1
a.f (z)
1
+ 1 ~a (z) 1 <
r.
Mostrar que la ecuación F (z) = z - a - a.f (z) - M(z)
= O tiene dentro del círculo C una y sólo una raíz.
·
§ 12. Aplicaciones conformes
I. Concepto de aplicación conforme
Definic'i6n. Aplicación (transformación) del entorno del punto z0 en
el entorno del punto w 0 que se realiza por la función w = f (z) se
· llama conforme, si en el punto z 0 ella tiene la propiedad de conservación de ángulos entre líneas y constancia de estiramientos (fig. 14).
!/
o
lJ
o
IL
Fig. 14
Esto significa que: 1) si al aplicar w = f (z) las curvas Y¡ y y 2
pas_¡m correspondientemente en las curvas r 1 y r 2 , entonces el angulo
<p entre las tangentes k 1 y k 2 a las curvas y1 ·y 'l'z en el punto z0 será
igual al ángulo <I> entre las tangentes respectivas K 1 y K 2 a las curvas
r 1 y r2 en el punto w 0 , es decir, <I>' = q¡; 2) si en el plano de la variable
comrleja z tomemos un círculo infinitamente pequeño con el centro
en e punto z0·, entonces en el plano w le va a correspOnder un círculo
infinitamente pequeño con el centro en el punto Wp. Por lo tanto se
127
Aplicaciones conformes
;~;:,;.)
,.,
.
:'~;;'Jl~e ·que l a aplica~tón conforme Uen: la
W/~¡igµ,los y de seme¡anza en lo pequeno.
't;> ·>
propieda.d de conservattsmO" de
.
Si durante la aplicación w = f (z) los ángulos entre las direcciones
por la magnitud, sino y por la direcaplicación se llama l a transformación
~~ ~'.es:pedivas son iguales no sólo
':f'..C~ón :de referencia, entonces tal
,:e~{'Ciol1forme del })rimer género .
.... ? '.-<.,La aplicación conforme, con la cual los ángulos se conservan
~~}t\í.nicamente P?r la ma~itu~ , absoluta,. pero se cambia l~ di~ección
~~r:o:.Jde- su r eferencia en la direccwn contraria, se llama la aplicacwn con-
mi~i/fq.nne del segundo género.
F.S'::: ' .
Un ejemplo más simple de l a aplicación conforme del primer génel a aplicación w = z, m!:_entras que de la aplicación del segundo
mv::.'género es l a aplicación w = z.
~;).\· : ~.'.~ : . En lo sucesivo vamos a examinar solamente las aplicaciones
f•U . ·: <conformes del primer género.
.
f.U< · . t . La aplicación w = f (z) se llama conforme en el dominio D , si
:;;<'. ._e lla' es conforme en cada punto de este dominio.
~/!;'';·rp ·es
= f (z) sea
en el dominio D , es necesario y suficien te que la función w =
L'> ',,,~ f (z) en este dominio sea de una hoja *) ¡1 analítica, cuando t' (z) :# O
[){'. ' p_1J1:a todos z E D.
·
:'.:~.·,,. :,:' '~
Criterio de conformidad. Para que la aplicaci6n w
t'~'- ,c~nforme
·· · .. Si no supong·amos que la función f (z) es de una boja, entonces la
aplicación que realiza esta función no será biunívoca y · por eso no
~:) · será conforme tampoco. Por ejemplo, la lunción w = z4 dada en semi~
~i'.':i': 'círculo 1 ~ ¡· z 1 ~ 2, O ~ arg z ~ :n, es analitica en él y además,
~0'°'< .en todas IJartes en el semicírculo se cumple la condición w' = 4z3 :# O.
:;{ Sin embargo, la función w = z4 aplica el semicírculo dado en el domi!if):· nio 1 ~ 1 w 1 ~ 16, O ~ arg ~ ~ 4n es decir,.en el dominio que cubre
~·' - . : dos veces el amllo correspondiente en el plano w lo que altera la co~,,,~ ' . rrespondencia biunívoca.
!it:i•: .• · ·· Ejemplo l. ¿En qué dominios D las aplicaciones
~k '. · .·:
a) w = 2z,
b) w = (z - 2)2
;lf:i; ;_·s on ·conformes?
i:s~>
a) Puesto que la función t (z) = 2z es analítica y de una hoja en
\(;\', . todo el plano. complejo z y su derivada j' (z) = 2 :#. O, entonces l a
\f.'§ aplicación dada es conforme en todo el plano complejo.
:Ji< , .· b) La aplicación w = . (z - 2) 2 es confor me en1 todas pa1·tes,
fi~·'.' , a ,excepción del punto z = 2, en el cual l a derivada / (z) = 2 (z - 2)
""'' _. se anula.
~'_:·;,
i<'
',
i~(
·
450. Indicar dominios de conformidad para las aplicaciones siguientes:
!':.}(·
a) w = e-3•· b) w = ·z2 - 4z· e) w = -iz2 ·,
\h~ d) w = sh (1 - z); e) w = (z
2i)3 •
t~\·
., ~,
.._
,
t
+
1, fomnn d:I~:~::~::;::~·=:~::::~:,lítica
~
1.
w
/ (<)
aplica biuní vocamente_y de modo conforme un dominio plano
'1 sii::nplemente conexo D en el otro G, si ninguno de estos dominios no
); "' ) La función w = f (z) se llama de una hoja en el dominio D ,
:.$Í ,tiene en distintos puntos del dominio D distint os val ores.
.:~ que
[Cap~ 1
Funci61i de vartable complefa
coincide con todo el plano con un punto excluido o con todo el plano
extendido.
·
Existe un conjunto infinito de funciones analíticas que efectúan
la aplicación del dominio D sobre el dominio G. La unicidad de función w = f (z) que aplica se garantiza, si vamos a exigir que se cumpla
una de las condiciones:
. a) el punto prefijado z0 en el do1ninio D Jpasará al punto prefijado
w 0 del dominio G, y l a línea que sale de .zo girará .en el ángulo dado
a (w9 = f (z0 ). arg f' (z0) = a;
b) el punto z0 del dominio D y el punto z1 de la frontera '\' pasarán
rel'!pectivamente al punto w 0 del dominio G y al punto w1 de la frontera r (wu = f (zo) 1 W¡ = f (z,_)];
.
c) tres puntos de frontera z1 , z2 , z8 del dominio D pasarán en
tres puntos de frontera w1 , w 2 , w 3 del do.minio G [w1 = f (z1 }, .w2 =
= f (z 2), w3 = f (z8}], al mismo tiempo, si durante el movimiento
por la frontera y de z1 a z8 . a través de z2 el dominio D se queda a la
izquierda (a la derecha), entonces durante el movimiento por la frontera r de W1 a w~ a través de W2 el dominio G deberá quedarse a la izquierda (a la derecha) también .
. En los casos b). y c) la función f (z) se presupone ser continua en el
dominio cerrado D.
.
.
2. Princtpio de correspondencia biunívoca de fronteras. Sea el
dominio D limitado por un contoruo suave o suave a trozos y .. Sea la ;;;
función w = f (z) analítica en D y en 'V aplica el contorno 'V en cierto "
contorno r que limita el dominio. G, sin embargo cuando el punto. z ~
recorre el contorno 'V de tal manera que el dominio D se queda a la :i~
izquierda, el. punto respectivo w recorre el contorno r de tal manera · ,
que el dominio G también se queda a la izquierda. Entonces el domi- .·.{).~
nio D mediante la función w = f (z) se aplicará biunívocamente y de
·11
forma conforme sobre el dominio G.
3. Principio de simetrfo. Sea el dominio D que tiene en su frontera :~
cierto segmento rectangular y (de longitud finita o infinita) se aplica _
por la función w = f (z) sobre el dominio G así que y se convierte en el '~
segmento rectangular r que entra en la frontera del dominio (fig. 15). ;tiJ
Designemos respectivamente por medio del y L las rectas, en las cuales . ·. ~~~
se encuentran los segmentos 'V y r. El principio de simetría afirma:.. ·•~.·;~
si l a función w = f (z) es analítica en el dominio D, y también en-_...;..
todo~ l os puntos. ittteriores de! ~egmento d~ ,frontera 'i'? e~t~nces esta ;;,;"
función es analítica en el domm10 D* tambien que es s1metrica con D ~/J~
respecto a la·rectal y tiene .l a propiedad de que dos puntos cualesquiera . A~~
z1 y z2 (uno de los cuales se encuentra en D) , simétricas respecto a l, . ·t;
se aplican en los puntos w 1 y w 2, simétricas respecto a l a ·r ecta L.
.Y..
Ejemplo 2 . En el dominio D limitado por el contorno y:
....\f~
:1
1
está prefijada
·
la
x2
fÍlnción
+y
2
-
2x
=
O,
w = 3z +t.
iEn que dominio pasará D al efectuar la aplicación por medio de esta
función?
· •
. Soluct6n. Sea ~ = x·+ ty, w = u
iv. Entonces la relació .
w = 3z t se anota de nuevo en forma de u+ tv = 3x t (3y 1), .
así que u = Sx, v = 3y
i. De aquí x = u/3, y = (v - 1)/3.
·
+
+
+
+
+
§ 12]
129
Aplicaciones conformes
El contorno y se aplica en el contorno f:
2
1 2
) -2: ~ =0 ó (u-3) 2 +(v- 1)2 =9,
( ~ )
v
3
es decir, la circunferencia del radio 3 con el centro en el punto M (3, 1).
La dirección positiv a del recorrido del contorno y corresponde a Ja
+(
¡,
Fig..15
"'\~·diredción fositiv a
del recorrido del contorn? r. Se pued,e ~onvencerse
x,-.:.en e_sto a dar l os contornos por las ecuaciones parametr1cas:
~'.,~' ~: . = 1
cos <p,
y = sen <p,
O ~ rp < 2n,
' ·· r: u= 3 3 ,cos;qi, v =;13 sen cp 1, o~ cp < 211:.
·, : confprme al principio de la correspondencia biunívoca de fronteras
;: el dpminio D aplicará en el dominio G, es decir, en el interior de la
·,~ circunferencia limita.da por el contorno r. Esto puede verificarse
": y de otra manera: tomar un cualquier punto' 'E D y h allar su)magen
~·para: la aplicación w = 3z
í. Por ejemplo, el punto z = 1 pasa al
· punt'o w = 3
i que se encuentra dentro del contorno r.
'. _· $jemplo 3. Dados los puntos zt = 2
Si y z2 = 3
2t simétri-
·.· x
+
+
+
+
+
+
:' ' .: .~.
+
.:re
- i-
~ cos respecto .a l a recta y = x. Mostrar que la función w = e 2 z con,.j uce¡ z1 y z2 en lo.s puntos w1 = 3 - 2í y w2 = 2 - 3i, simétricos
)·~specto a la recta y = -x.
.f.:;f:~·. ~--~.
'''i<_'Solución.
Es muy fácil verificar que la función w
:[.}<.~-~ .
=
- i~
-
e
i::2
z aplica
ia tecta y _= x 1m l a recta y= - x . La función w = e 2 z es analítica
'P:,: t?das partes. En vigor del principio de simetría los puntos Z1 =
} 3 ;+ 2t y z2 = 2
3i, .simétricos respecto a la recta y = x pasarán
'las puntos w1 = 3 - 2i y w 2 = 2 - Sl, simétricos respecto a l a rec-
+
a.) /=
%is2
-X.
..·•"·.· ·:···
130
Funct6n qe variable compleja
[Cap.
nz
Mostrar que la función w = e r. aplica la franja O< :
<
el semiplano superior Im w > O.
'
Solitctón. Vamos a pasar la frontera del dominio D de manera que
·
el dominio D se quede con esto a la izquierda. Puesto que
Ejemplo 4.
lm z < h en
n(x+iy)
w=:u+iv=e
h
nx
iny
= ehe-h- ,
entonces, cuando el punto z recorre el eje real Ox de x
=-
oo hast.a ·
+
x =
oo (para ¡¡ = O) el punto i·espectivo w = e7i recorre el semieje
real positivo Ou del plano w del punto u = O hasta el punto u = .+ oo,
v = O. Cuanrlo el punto z = x
ih recorre la frontera supel'ior de la · ·~~
franja del punto
oo
ih hasta el punto - oo
th (lo que corres- :·~·
ponde al cam~~o x de +:hasta - oo), entonces el punto correspon- -~
+ +
+
+
diente w = ehein = -eh rec.orre el semieje real negativo Ou del
plano w del punto - oo hasta el punto O. Puesto que la función w =
·· ~
"T es analítica en el dominio n: O < Irn z < h y en su frontera,
entonces ella aplica conformemente este dominio en .e l dominio G:
.~~:·
ru
:I;;
~
:~.
=
lm
IV>
Ü.
-ti
451. Mostrar que el semianillo 1 ~ 1z 1~ 2, O ~. .
arg z ~ n con ayuda de la función w = z2 se aplica en
el anillo 1 :::;;;; 1 w 1~4, O:::;;;; arg w ~ 2:rt.
452. Mostrar que el ángulo O < arg z < :n;/5, O < 1 z l <
< +co, mediante la función w = z5 se aplica en el semiplano superior Im w >O, así que el punto z = O pasa al punto
w =0.
.
kf:i 453. Mostrar que la franja 1 :::;;;; y < 1
2n mediante la
función w = ez se aplica en el plano completo w con el corte N
a lo largo de la parte positiva del eje Ou.
;;}
l
~-
+
::;·
IH. Aplicaciones conformes que se efectúan
mediante la función lineal w=az+b.
por mediG de la foneióll w =
2.z
Y por la función lineal fracciona! w =
az + b
cz+d
+
>lt
1. Función lineal. La función lineal w = az
b, donde a y b ;;;
son los números compiejos constantes (a =/= 0), reaiiza la aplicación :1"
conforme de todo el plano z en todo el plano w, puesto q\le para todo z ;~
tenemos w' = a =/= O. .
.t
Casos particulares:
~l
1.
w
z+ b
(1) . ·;;"
=
,J
..¡.
i3i
Apiicaciones con/orme&
~líz.a la transformación de traslación par~lela
~! .
.
b
·•:.2 •. ·
w =e z,
(2)
o~de o:., es el número real que realiza la transformación del giro
lrededor del origen de coordenadas en un ángulo o:..
<~:\: 3.
w = rz,
(3)
'.'{fonde r, el número real positivo, produce la transformación de seme''"i,ap,ia con el centro de semejanza en el origen de coordenadas, r es la
·azón de semejanza.
} f .. · · Un caso general e la :S.plicación lineal
/: · ·.
w = az
b,
donde a = reicx,
(4)
'.7·se realiza por medio del empleo sucesivo: 1) del gi ro cerca del orig-en
'::>:de,.coordenadas en el ángulo o:., 2) de la transformación de semejanza
{ :i
el· centro de semejanza en el origen de coordenadas y con la razón
,:; >O.e semejanza igual ;a r, 3) de la translación paralela con ayuda del
~;;;::
vector que corresponde al número complejo b.
~::,::i.
Observemos queb la transformación lineal deja·inmóvil dos puntos
....
....,... :
j
+
con
~ff~: z1 = oo y z2
= --a
- . Para a = 1 obtenemos z2 = oo, es decir, en
1
~t> este caso ambos puntos inmóviles coinciden.
~~.:}:<
Ejemp lo 5. Mostrar que la aplicación lineal w = az
b se define
"'1:-,,•.,.
·
+
~?fi·:;oen
sumo grado, si vamos a exigir que dos puntos distintos z1 y z2 pasen
t;;~;> respectivamente a los puntos prefijados arbitrariamente, pero distinfS:í.·J" :: tos· w1 y w 2 •
;}:'.'\
Solu.ci6n. En realidad, la representación de la aplicación w =
~'/:
az
b será realizado, si son conocidos los valores de parámetros
Wf:/-: a y b. Mostremos que nuestras condiciones permiten hallar unívoca~t~/?mente estos parámetros. $ea que para z = z1 obtenemos w = w1 , es decir,
~~;::;>, w1 = az1
b, y para z = z~ obtenemos w 2 = az 2
b.
f.j( ;
De estas igualdades hallamos .
f}.U ~'·. .
Wz-W¡
b -- W¡Zs-W2Z1
'!V: .·.·.·
a
(z1 =/= z2).
=
+
+
~;'./ .
+
Zz-Zt
Z2-Z1
.··Los parámetros a y b son definidos unívocamente por las relaciones
i·ecibidas.
.
·
" . · Ejemplo 6. Mostrar que la aplicación lineal (4) se puede represen, .' tada exigiendo que el punto z1 pase al punto w1 y para que la derivada
:~,:.F en el punto Zi tenga el valor pregijado de a •
... ,..<~ · Solu.ci6n. Para representar la aplicación (4), conviene represen&'í'\ '. ,tar los valores de parámetros a y b. De la condición que el punto z1
~;¡::.~' · debe pasar al punto w1 , obtendremos w1 = az1
b. Restando esta .. _._;,,..
i\~ti!'ígualdad de (4), ohtenemo.s w - w1 = a (z - z1 ). Es evidente que
~~!{i;:1L~~ = a para cada z. Por eso, representando el valor de la derivada!~
\ =!'l:ii . el punto z1 determinamos el parámetro a. La aplicación lineal
·~z;¿t.,,..: w 1 = a (z - z1 ) debido a lo que está determinado por completo
parámetro b = w1 - az1) .
-'. Ejemplo 7. Hallar la función lineal que aplica un triángulo con
. :.s..vértices en los puntos O, 1, t en el plano z en el triángulo seme7
J!\~1te con los vértices 1
i, O, 2 en el plano w.
.
•'; : .. ·.
!':
+
+
.··.:,
.....
132
[éap. i
llrmct6n de variable compieja
Sofoci6n. Prime1· procedimiento. De la fig. 16 vemos que .6.ABC
pasa al triángulo.semejante .6.A 1 B1 C1 mediante las operaciones sigitientes:
1) el giro cerca d el origeu de coordenadas en el ángulo
=
corresponde a la t1·ansformación w1
i:rt
que
i ~1t
e 4 z;
A
I /
'
/
A~ -- -
'\
---'::oB
r
V
c1 =t+l
"\
·!
.... ~:
.. : ~
:1 l
Fig. 16
a
\1
1
2) la transformación de seme janza con el centro en el origen~¡;j
r=1/2 (ya
w2 =1/2 w1 ;
de coordenadas y con la razón
que
A~~1 =112): · J(;1"
3) la traslación paralela que desplaza el punto C (O, O)
C1 (1 1 1) (obtenemos .b = 1
i):
W = W2 + f + i.
+
-:;.1·-
-~ ""'-·-"'~ -·-•~· --·"~ ·
..........
v••·-·"~~-·-··_, ~,•.,.... _,,.,_.,••~-
.
~
·.'
:f'
1:
§ 12]
Aplicaciones conformes
133
'
f
i l..¡n
112 1(2
Teniendo en cuenta que e <o = - -- - t - 2
2
definitivamente
.~~:!~/~:
w=lf2 ( -
obtenemos
~ 2 - t ~'2) z+1+t= (i -z) (1.+t)•
Segundo procedimiento. Supongamos que Ja función buscada es
• ' . w = az + b, donde .a y b son hasta ahora constantes indefinidas .
. ,.: Según la condición del problema los puntos i:1 = O y z2 = t deben
:. · pasar respectivamente a los puntos w 1 = 1
i y w2 = O. Recibimos
~istema de ecuaciones para determinar a y b:
,·,>un
. .
1
+
.. '. .
!'.· Pe i,aquí a
'.;;Cf• 1
t}::::.
=
-1 -
i, b
w
=
{1+~::~b.
+
=
1
(i
i y, por consiguiente,
i) (1 - z).
+
¡~54. Ind~car el sentido geométri~o (desI?la~amiento, esti-
-~'ram1ento 1
giro) de las transformaciones siguientes:
\. ¡a) w = z
3i; b) w = z + 5~ e) w = iz;
i; ~-:
+
i3.
6
i- t
}d) w= e
1
z; e) w=3z; f) w= lfÍ z.
\ii ¡.455. Hallar la forma general de las funciones lineales
._lqe.(liari.te las cuales se efectúan transformaciones:
:i'."Tar del semiplano superior en sí;
.
::·;¡ h) del semplano superior sobre el semiplano inferior;
.,~· 1 :0) d el semiplano superior en el semlplano derecho.
::X:~i 456. Hallar las aplicaciones lineales w. = az +b que
';'ffejan'el punto z 0 inmóvil y que pasan el punto z1 al punto w1:
,;.(~.)Sf~) Zo = 1 - i, Z1 = 2 + i, W¡ = 4 - 3i;
..."f/j':;
,.".."·o·) . z.o = - i•, z .= 1 - 2·z, w . - 2 -:---- 3·i ;
.
.
1
1
;; ;.c) Zo = -1 - i, Z1 = 3 - 2i, W1 = 3i. .
¡t;M57. Hallar l a función lineal w = f (.z) que aplica _la
~alija comprendida entre las rectas x = a, x = a + h, en
'[írarija O< u< 1 en· el plano (w) .
.
·
:.f2. La función .
i
w = -z •
(5).
Los. p~ntos M y M' ~e llaman simétricas respecto a la circunfe~ r, d
.
.
.
.
·F·ellos se encuentran)n una semirecta que sale del centro de la
· ferencia; ·
·
·
P>.elproducto de sus distancias desde el centro de la circunferen-2
·ngual al cuadrado del radio ae la circunferencia: OM ·OM' = R
g..ii7).
.
.
.
.
' .Obúniaéión, Los puntos de la, ¡circunfereµcia r son simétricas a sí
..9! respecto a esta circunferencia.
1
'.v .. ·
·:·· · ·:.•: · :.•
134
Función de variable compleja
[Cap. 1
Para el centro O de la circunferencia r un punto simétrico respecto r es un pi.mto infinitamente alejado.
Si el centro de la circunferencia r se encuentra en el origen de
coordenadas y uno de los puntos simétricos respecto r representa el
··,
;t
. i,
. : ·~~~'
,.·,;·
o
Fig. 17
. número complejo z, entonces otro punto corresponde al número complejo
R2
-=- .
z
La transformación w = .!. se compone de dos reflexiones siméz
tricas: respecto a la circunferencia de unidad y respecto al eje real
(fig. 18) y se llama la inversión.
La transformación w = .!. es conforme en todo el plano extendido.
z
Con todo eso al punto z = O le corresponde el punto w = oo, mientras
~ue al punto z = oo le corresponde el punto w ='= O. (Se considera que
el ángulo entre las líneas en un punto infinito de uno de los planos
(z o w) es igual al ángulo entre imágenes de estas líneas en el origen •
d.e coordenadas de otro plano). Las circunferencias (y las rectas también)
para la aplicación w = .!. pasan a las circunferencias o rectas. Los
z
puntos inmóviles son z = +1 y z2 = -1.
Ejemplo 8 . Hallar fa imagen de la circunferencia 1 z 1 = 3 para
25
. .,
1a apl icac1on w = - .
z
Soluct6n. Primer procedimiento. Sea z = x + ty, w = u+ tv.
25
Entonces la. relación w = z Ia anotemos de nuevo en forma de
.
25
u+tv=-X +y.t -
25x
135
Aplicaciones conformes
(a)
La ecuación de l a cfrcunferencia 1 z 1 = 3 en las coordenadas car-
y
z
ü...:,.
: :_·.··
o
1
zf
Fig. 18
tesianas se escribe en forma de
x2
+ y2 =
9.
(h)
Excluyendo de (a) y (b) :v y y, obtendremos
u!+v~ = (-~
)2,
2
es decir, la circunferencia del radio R= : con el centro en el
· origen de coo1·denadas sobre el plano w.
·
Segundo procedimtento. Escribiremos z y w en la forma exponencial
w=ré 9 •
~l
efectuar la
. aplicación
w=..?!.
z
obtendremos
25 -,
rei9 :::;:--.
. péq¡
..,.,..>" ~~'.~·:~-~-- ··-·· .
....-·.·:.·~<..'':.·
_....;,.~'-
136
F un ci6n de variable compleja
[Cap. 1
25
de donde r = - , 0= -q>, donde p= 3 y O~ <p < 2n. Por lo tanto,
p
W=
~
e- iq>
es la circunferencia del radio r = 25/3 con el centro en el origen de
coordenadas que la pasan en sentido horario, cuando l a circunferencia
inicial la pasan de derecha a la izquierda.
Tercer procedtmiento. De la igualdad w = 25/z tenemos z = 25/w.
Sustituyendo esta expresión para z en la ecuación de l a circunferencia
1 z 1 = 3 y u tilizando la propiedad del módulo, obtendremos
¡~ 1=3
ó
l~I
= 3,
de donde 1 w 1 = 25/3. .Por consiguiente, la circunferencia 1 w 1 =
= 25/3 será la imagen de la circunferencia ¡ z ¡ = 3 para la aplicación
w = 25/z.
458. ¿En qué dominio aplica la función w = 1/z la
semifranja
O< Re z< 1, Im z > 0?
459. Hallar las imágenes de los conjuntos siguientes
efectuando la aplicación w = Vz:
a) arg z = n/3; b) 1 z 1 _:. 1, ~ < arg z < :rt;
e) 2 :< x ~ 4, y = O; d) -2 < y < -1 , x = O;
e) 0< Re z< 1.)
·
3. F uncl6n
linr.al fraccional
az+b
W = cz+ d '
(6)
donde a, b, e, d son las constantes complejas y ad - be=:/== O aplica
biunívoca y conformemente el plano extendido z en el plano extendido w. La t ransformación proporcionada por la función lineal fracciona! se llama lineal :fraccional. Cada transformación lineal fracciona!
puede ser recibida mediante el uso suce!)ivo de t ransformaciones linear'
J ".,
:<:~
de la forma w = ~z .
les y de transformación
.
E jemp lo 9. Hallar las condiciones para las cuales la función
lineal fraccional (6)
,
az+b
w= cz+d
··
::'¡¿~;~;;~:i::;¡. ;:~;:;E'.ni~:;~;;~·;;~ ·•··-:,:'.,;··!~.
aplique en l a frontera del 'dominio lm w > O, 'es ijecir, en ~l eje Ou.. .
que también pasa de izquiérda a ;derecha. De tal manera para cuales- .
~"Qjera valo~ l't!ale:J de z deben ser reales y los valores w. Es evidente. · ,;
l¡4 .
.,,,
Y~é:
t :···
.·;~{>
137
Apltcaciones conformes
·. § 12]
que esto es posible s6Io para los valores reales de los números a, b, e, d.
A continuación, a cada z = :e + iy, donde y > O debe corresponder tal
w = u+ iv, el cual tiene v > O. Sustituyendo z = x + iy, en la
fórmula (6), ohtendremos
·
.
º\..:·"
·~ ->
W=
~l·
u+ tv= (az+b) (cx-j-d)+acy2
(cx-f-d)2-f-yll
+
i
(ad-be} y
(cx+d)2+ 112 9
de donde
'f
. -~;t.:'.
:!: ;·
j;.:
·]-;: ·
· Ya que y> O y el denominador es po!litivo, entonces para la positívidúl ves necesario .y suficiente que se cumpla la condición ad - be > O.
Esto es la conclíción buscada.
j¡•.
l
Propiedades de!~~::;::i~rmaclón lineal
it.
P""P'•dad
"~"'"'· Lo '"'"'fonn"ión I!neal f,.odonal lo aplfoo.
: ·,:-~.~l.~,-.:·"~_~-,· .·:,•- ~tf~F~f;~1~:~i¿J~~:1;1~~~:c::n:sa
::n;az:e:i:é::i:::s:::::c~:
r
c.
.:·.··. •.·. · ·.
•.:.·
,~:
1
. a la circunferencia C aplican en los puntos w1 y w 2 , simétricos respecto
_pi.?:' .
a la circunferencia
, Corolario.
sobre la cual aplica la circunferencia
Si para la a.p ltcaci6n lineal fraccional zv "'= f (z) la recta
o c,! rcunferencia '1' pasa en la circunferencia r 11 uno de los dos punt os
.~im/tricos respecto i' pasa al centro de la clrcu,nferencta .r . entonces otro
punto necesariamente pasa al punto infinitamente alejado .
·. ,¡ 3. Existe la única función linéal fracciona! que pasa los. tres puntos¡dados z1 , z2 , z 8 del plano za los tres puntos dados w1 , w 2 , w3 del
w. Ella t!ene la forma
·
·
plano
.
1
>'1;,-
W - Wi . Ws-W2
z-z1_.
Z3 - Z 2
w-W2
Z-Zi
Zs-Z1 •
W3-!D¡
(7)
.10. Hallar la función lineal fraccional que pasa los pim1, z 2 = i, z 8 = --1 en los puntos w1 = - 1, w2 = O, w8 = 1.
Snlucióñ.• Por medio de la fórmula (7), obtendremos '
;: Ejemplo
:tos ~ z1
' :;~;
.!;.__h··.
'''. ' w
,~¡ 'w
=
+1 -
o.·
•
1- O
i-{-t)
..;:q_
.. .
:i{Jbservación, Si uno de los puntos zk o wk (k
· :'.~!¡
-
-
.
•:
z-1 -1- i
·
·.
i -- z
z-.t • ~ 1 _ 1 , de donde u1=i t+z.
= 1, 2, 3) es infinito,
la fórmula (7) ihay '.que sustituir .todas las ]diferencias ¡que
nen · ·este punto por unidades.
.
" · ' · "
:Ejemplo 11. Hallar J.a función lineal fraccional que pasa ~I punto
··:~¡jl-'ptinto . w1 = O, y el punto z2 en el .punto wi = -oo:
· -·
'.Sii"luct6n.- Tomemos un .punto arfüt.rario z3 distinto 'd e)os puntos
~:z~ ;y .supongamos que él pasa' al punto w 3 distinto 'd e los ·puntos
~iv,-;; Entonces mediante la fórmula (7) teniendo en cuenta la obser-
.if<l'és )~
138
Función de variable compleja
vación obtendremos
w-0
1
Z-Z1
---1- · w 8 -0 = z-z 2
Z3-Z2
•
z3 -z 1
'
de donde
donde
K
=
zs-Zz
Z3-Z1
W3,
es decir, K es el número complejo arbitrario, K ,P O.
Ejemplo 12. Aplicar el semiplano superior Im z > O sobre el
círculo de unidad 1 w ¡ < 1 de manera que el punto z 0 (Im z0 > O)
pase al centro w = O del círculo.
·
Solución. Puesto que el punto z 0 por medio de la función lineal
fraccional buscada -w = w (z) pasa al cent.ro del círculo, es decir,
w (z0 ) = O, entonces el punto conjugado~ debe pasar al punto w = oo
(según la propiedad de simetría). Después utilizemos la fórmula (8) ··
y obtenemos
.
Z-Zo
w=K-·---,
Z-Zo
donde K es el multiplicador constante. Para cualquier K esta función/
aplica el semiplano superior.en cierto círculo con el centro en el .punto ·
w = O. Elijamos K de tal manera que el círculo sea de unidad. Para
esto es suficiente exigir que el purito z = o (el punto de frontera del
dominio 1m z > O) pase al punto de la circunferenr.ia rle unidad' :-,.
1w1 =
1. Entonces, 1 = [ w l
puesto que K
= éª,
=
1 K 1•
I~: I• de donde 1 K 1 = f,
donde a, es cualquier número real. Pues,
w= ei<l.
z-zo •
z-zo
Observación. Hallemos la derivada w' en el punto
(b > O)
.
. ri
i(a-~)
,
iekJG ,
,
:1 ia - i 2
e
. 2
w (z0) = -2b o w (zo)=2b e •I!
=
b
2
Por consiguiente, arg w' (z0 ) = (;(; - n/2, entonces según el sentido
geométrico de la derivada para la aplicación (9) el ángulo del giro de
curvas en el punto z0 es igual ex - :rt/2.
De acuerdo con el teor ema de Riemann existe la única aplicación.
w = w (z) del semiplano Im z > O en el círculo 1 w l < 1 que satisface
las condiciones w (zq) = O, arg w' (z 0) = a - rr,/2. De aquí se desprende ·.
que cualquiera aplicación lineal fracciona! del semiplano Im z > O.
en el círculo 1 w 1 < 1 tiene la forma (9).
Ejemplo 13. Aplicar el círculo de unidad ] z 1 < 1 en el círculo
de unidad 1 w 1 < 1.
_:'
139
Apltcaciones co nformes
~'¡'.~
.Soluw. Suponemos que la aplicación lineal
fracciona! buscada
1< 1
~hcentro del circulo ! w ! < 1, as1 que w (z0) = O. Entonces el punto
:'~: ~ : 1/~ que ,es simétrico respec~o a la circunferencia de ur~idad
.)~J == .1 pasara al punto oo , es decir, w (zi) = oo. Entonces mediante
J,a: ~6rmula (8) obtendremos
.
::W'.-i
w (z) pasa,el punto z0 que se e;icuentra dentro del círculo 1 z
r.r z-zo
W = , , - --
1
z --:-
.·..
o'
W=
K
z-zo
-- 9
1 --
1-zz0
Zo
'.,"d'oñde K+ = -
I(i 0 es cierto número complejo constante.
:::;·..·" EscoJamos la constante [{1 así que el círculo en el plano w sea de
',:/;µ:nii! ad. Para esto es sufi ciente exigir que el punto z = 1 pasa al punto
> "$.opx:e la circunferencia de unidad 1 w ! = 1. Entonces obtendremos
:.:.;::.;_
..:.:·.'.
··:." .''' .
i = 1w1=1 K1 l
1
·1 1-z
- :_o ¡,
0
K1 r = 1, puesto que 1 i - Zo 1 = 1 1 - z;i. Por lo tanto.
donde a es cualquier número real. Pues,
ia z-z,
(10)
w=e - - - - ,
1-zz0
.;, ~-donde 1 z0 [ < 1, ex. es cualquier· número real.
··" :. Observación . Ya que
.
w' {z)-
eia
_ , en toncas w' (z 0 )
1 - zz0
eia
· 1-1zo12'
> es decir, arg- w' (z0) = a. Esto significa que para la aplicación (10)
ángulo de giro de curvas en el punto z0 es igual a a.
{:':> Según el teorema de Riemanó. existe la única aplicación w =
O.\.=;; w (z) del círculo de unidad 1 z 1 < 1 en el círculo 1 w 1 < 1 que
. :''<, satisface las condiciones w {zQ) = O, arg w' (z0 ) = a ;
1;i ;:;:·} ·> ~ . Por consigui ente, toda aplicación linea~ fraccional del círculo de
k;.i"'/ umdad 1 z 1 < 1 en el círculo 1 w 1 < 1 tiene la forma (10).
~¡~K~<,
Ejempl~ 14 . Hallar l a función w = f (z) que aplica el círculo de
!$i~i>f\i_mdad en s1 y una tal que
}~:1:!1
.
-~~
1
2
:~~: ::~ul~g )= ~ •
1
. • Solu"'"
::
~if;\il·'. · ·
I' (
w = éa. z -z0
i - zz0
>'fe~
es cual qu ier número real) obtenemos la aplicación del círculo de
Lunidad 1 z 1 < 1 en el círculo de unidad 1 w 1 <: 1, así que el punto
:s~¿· =
';1
.
.
.,.
. ·.
f40
[Cap. J.
Funci6n de variable compleja
pasa al centro w
=
O. Tenemos
r
¡
i-1
z--2-
w=f (z)=eio:
,.
ó
1+ Z·-21-j-i
.
Gcx 2z+1- i
f(z)=e 2-J-z(1-J-i)'
Puesto que
, (
f z)=e
ta
2
[2+(1+i)z]2'
entonces
Conforme a la condición arg f' ( - i-1)
2
= n/2, de donde a= n/2 y por tanto
· =
= 2n obtenemos arg (2eiª)
ó
460. Hallar l a transformación lineal fraccional que pasa
el eje real en la circunferencia de unidad.
Hallar las imágenes de los dominios siguientes para las
¡
aplicaciones lineales fracciono.los dadas :
l
461. Anillo 1 <
1
z ! < 2 para w =
;
¡
J
r··
~ 12 •
462. Exterior del círculo 1z 1> 1 para w = z-i
z ~
+.
463. Círculo [ zl < 1 pa:ra w· = Zz+~L
¡
.
464. Determinar en qué pasa el interior del círculo
< 1 para l a aplicación lineal fraccional que pasa los
puntos z1 = 1, z2 = i, z8 = oo respectivamente a los punt os
W1 = Ü, W 2 = oo, W 3 = i.
465. Hallar los puntos simétricos ·con el punto z = 1
t
respecto a las líneas siguientes:
a) x =O; b) 1 z l = V.2; c) 1 z - 1 - i l = 2.
466. Hallar el aspecto general de la función lineal frac·
cional que aplica:
a) el semiplano superior en el semiplano inferior;
b) el semiplano superior en el semiplano derecho.··
1z 1
+
, . ., ... .... '"
§ 12]
•··•···• .. · -- ·- ·· '"' ' '
. , . " ··· · · · 1:"'1 ~· ~:-- - ·· ~-.·· no:l!" · :o:>o ··-
....···-1'1"'"' ..1'-
":". ... . . ,. .....................- - ·· ·
141
Aplicaciones con.formes
467. Hallar l a aplicación del semiplano superior en sí, si
w (O) = 1,
w (1)
= 2,
w (2)
=
oo .
468. Hallar la aplicación en el círculo de unidad 1 w 1 <
1 del semiplano superior Im z > O, así que
. a) w (i) = O, arg w' (i) = -n/2;
b) w (2i) = O, arg w' (2i) = O.
469. Hallar la función w = f (z) que aplica el semiplano
superior en el círculo de unidad así que los puntos z1 = - t,
z2 = O, z3 = 1 pasen en los puntos w1 = 1, w 2 = i, w 3 = _:_1
de la circunferencia.
470. Hallar la función w = j (z) que aplica el círculo
1 z 1 < 1 sobi:e el semi plano inferior de manera que los
puntos 1, i, - i pasen a los puntos 1, O, -1.
471. Hallar la función lineal fracciona! que aplica el
círculo 1 z 1 < 1 en el semiplano Im z > O de tal modo que
los puntos -1, 1, i pasen en los puntos oo , O, 1.
472. Hallar la aplicación conforme del círculo 1 z 1 < 5
en el <?írculo 1w L< 1 así que los puntos -5, 4 + 3i,
5 pasen a los puntos - 1, i , 1.
·
473. Hallar la función w = f (z) que aplica de modo
conforme el círculo de unidad en sí y tal que
<
a) f (
! )=O;
b) f (0) =O,
ar g f' ( ~ ) =
~;
arg f' (O)= - ~ ..
474. Hallar l a función lineal fracciona! que aplica el
circulo l z - 2 1 < 3 en el círculo 1 w 1< 1 de tal manera
que l os puntos - 1, 5, i V 5 pasen respectivamente a los
puntos 1, i, -1.
·
475. ¿En qué dominio en el plano w aplicará la función
w i ~+; el semicírculo superior_¡ z l < 1, Im z > 0?
476. Hallar la imagen del dominio D: 1 ~ 1z 1:::;;; 2,
'Ü
·. ~ arg
. z ~ n/4 para la aplicación w = z~ + 1.
I V. Aplicaciones confoi·mes que realizan
· pl'incipales funciones elementales
1. : Fu1u;t6n potencial
w
=
zn,
ond_~· ~i ;:;.. 2 es el número positivo.
1
(11)
142
Fund6n de variable co mpieja
~ ,~~A1:~lF~~J¡:~r~p¡~~l: ;~~c~s~~:{E=:~iyec~if::rIJ ·_:-_'.~,r:'-_~".:t
1
___,_
-_.,_·•.
:_.
puesto que en el caso de la aplicación mediante la función (11) los
ángulos se aumentan en n veces. El ángulo O< q> < 2,-c/ n, 'aplica
por la función (11) biunívocamente en todo el plano z con el corte por
la parte positiva del eje real, con todo eso al rayo <p = Ol e corresponde
el extremo superior y al rayo q> = Z:rt le cor1•esponde el extremo infe~
n
rior del cor te. La misma aplicación la obtendremos para cada uno de los
.
2k:n
ángulos, en los cuales parten los rayos .<p = - (k es el número ente- ·
n
.
.
lJ
a
b
Fig. 19
ro) el plano z, además para la aplicación del ángulo 2 (k- i) :n
n
-
<
cp
<
= 2 (k-
n
2kn
(k
n
= 1, 2, .. .,
<
n) -en el plano con corte al rayo q> =
i) n le corresponde el extremo superior y al 1·ayo q>
=
Zlm
n
le corresponde el extremo inferior del corte.
Ejemplo .15. Aplicar el sector O< arg z < ~ en el círculo de uni.n
i -
.
dad 1 w 1 < 1 así que el punto z1 = e 8 pase al centro· w~ = O y el
punto z2 = O., al punto w2 = 1.
·
·
Solución. El sector O< arg z < n/4 (fig. i9, a) le aplicaremos en
el semi plano superior I m t > O mediante la función t = z4 (fig. 19, b). · ··
.n
t -
El punto z1 -= e. 8 pasará ·al punto t1 = zf = i y z2 = O pasará
al punto t 2 = O.
Después aplicaremos el semiplano I m t > O en el círculo 1 w 1 <
< 1 de manera que el punto t 1 = i. pase al centro del círculo (fig. 19, e).
::~
Aplicaciones conformes
Ütilizando l a fórmula (9), obtendremos
\::"~;·. · .:
-
t-i
•m
.
w=e""'--·.
.
\ .:\ ·
.
·.
:,
t+i .
.
\ .'2L ( exigencia que el punto t 2 = O pase al punto w 2 = 1, da eiq> = - 1.
,'"-'~~stituyendo en la expresión para w el valor ei¡p = -1 y t = z4 ,
.,~.; obtendremos definitivamente
... .,,
•.
~~ ~·· ~
Ejemp lo 16. Hallar la función que aplica la mitad superior del
círculo 1 z 1 < 1, Im z > O sobre el semiplano superior Iro w >O.
!'.<<
~0 ··
l~)'. ,
,.
y
I~ ~_L!:tcaz¿,o~Lú.'.L .CLz~-,- ;:c,_
©
V
-i
Z¡l'...
'..
~-·,
a
·:
~~{:.( .'
a
b
"
.
Fig. 20
t~:.~~ :
~:-~: .·.'
~Jt· éon fo~l~J~ti~!le~ºr:~~ndt~~oz:~reseft;
~~t.'::; :vértice ix = n/2 (fig. 20, a).
f,t;,,:. · ·
.,
. .
La func1o n aux1har t
~so~síi ts~~o á:~l~ú~~!
= -1t -+ z
realiza l a aplicación conforme de
- z
.
~{o'.1< esta lúnul a en el primer cuadrado del plano t (fig. 20, b) . La función
f\;>$>
~~({': .
~~:<. /~ ·= t
~~;_-:- ·> · 2.
2
o w=
(
!+:)
2
da l a aplicación buscada (fig. 20, e).
R adical. La función w = 1V.Zque es inversa a la función poten·
wn es den v alores, es decir, a ,cada z = pei<ll (z =f= O y z =fa oo)
~sr~ e c orresponde n v alores de w por l a formul a
~)>'cial z
=
~t;:>
~r ( cr+n2kn + tsen q¡+2kn
)
%;{'_· w1i =y p cos
n
,
·•
1:~N~:·.<··· ;. ·
t:;¡:' ·
.
k= O, i, ... , n - 1.
.
.Cada una de l as funciones wk es una rama de l a función multiw =
El p unto z = O es un punto de ramificación de esta
lFiR...- funci ón.
·
µ·:.:'.: ·_ En el z plan o extendido con cualquier corte de z = O h asta z = oo,
OC;:~n particular, con el corte a lo l argo de l a parte positiva del eje real
"'{se ·puede separar n r amas biunívocas w¡, . Estas ramas de una hoja
,·:;11,plican el plano extendido _con el corte a lo l argo de l a parte positiva
~~~!>-forme
VZ.
144
Funci6n de variable compleja
[Cap. 1
del eje real en sectores
2(k -1)n
n
2kn
<argw<-n-
tk=1, 2, .. . , n).
Ejemplo 17. Aplicar el semiplano superior Im z > O con el corte
por el segmento del punto z1 = O hasta el punto z 2 = at (a > O) en
el semiplano superior Im w > O (excluir el corte).
Solución. 1) Por medio de la aplicación t = z2 doblemos los ángulos en el origen de coordenadas. Con todo_, el segmento z1 z2 pasará al
segmento t 1 t 2 del plano extendido t del punto t 1 === O hasta el punto
t 2 = - a 2 , mientras que el rayo arg z = n (el semieje real negativo)
en el rayo arg w = 2n. De ese modo el dominio inicial aplicó en el t
plano extendido con el corte desde el punto t 2 = - a2 hasta el punto
t
= +oo.
+
2). Con ayuda de la función lineal ,; = t
a 2 d(lsplazemos el
inició del corte al origen de coordenadas. El -.. plano extendido resulta
ser cortado del punto -. = O hasta el punto -. = + oo.
3) Mediante la función w = lf:t" (más exactamente su rama que
toma los valores positivos en el extremo superior del corte) aplicamos
,; plano cortado en el semiplano Im w > O. Pues
w= lf :&= lft+a2=V z~ +a2.
Hallar °las aplicaciones en el semiplano superior de los
dominios siguientes:
477. Del plano con el corte por el segmento [-1, 11.
478. De la franja O < x < 1 con el corte por el rayo
x · 1/2, a ~ y ~ oc (a > O).
.
479. Del plano con los cortes por los rayos y = O, -oo <
< x ~a e y = O, b ~ x < +co (a < b}.
·
'
.. ,
'·:J
'.)~
·~
·~~
';i.
3. Fun.ci6n. exponencial. La aplicación que realiza la función \}~
ex1JOnencial
·
.. •
.
w = ez,
.
:·:·:.~1
:fi
· ~
es conforme en todo el plano, puesto que w' = ez =!= O en todo el punto .·'>. ·
finito del plano z.
·
. Si el plano'°; dÍvidir en franjas
;~
2k1C <y< 2 (k
1) 1C (k =o, ±1 , ±2, . . . ),
+
entonces cada. una de estas franjas se aplicará por la función w = é ::
biunívocamente en todo el plano w con el corte a lo largo de la parte ·
positiva del eje real. En este caso consideramos que al extremo inferior y = 21m de la .franja le corresponde el extremo imperior del corte·
y al extremo superior y = 2 (lr. + 1) :n: el extremo· inferior del corte . .
Con eso los puntos z0 = x 0 + iy0 y z11. = x9 + i (Yo + 28 rt), (k 7' :
= ±1, ±2, ... ) pasan en el mismo punto del plano w. Esto· signific.á
que la fu_nción expou~ncial es la fu!lción. infi~lita. de h.oj a perió~i~!f
de la variable compleJa z con el periodo iroagmar10 2m. El dommw,.
de una hoja es cualquiera franja y 0 ~ y < y0
2n que se aplica én é.l ·
plano completo w con el corte por el rayo arg zv0 = y0 (fig. 21) . , ;·,
+
§ 12]
i 45
Aplicaciones conformes
Notemos que la función ex ponencial w = ez no se anula para nin·
gún val or de z.
.
·
Ejemp lo 18 . ¿, En que se transforma la semifranja
O < Im z
<
Re z
2n,
<
O
mediante la función w = ez?
So luci6n . Supongamos que z = x
iy, w = ez = ex.eiY= pei'P.
Entonces
p = eX, cp = y, donde -oo < x < O, 0 -< y< 2n, así que
O < p < 1, O < cp < 2n. Es evidente, los puntos w = peiip que satis-
+
y
©
(!J0 +27t}l
o
Fig. 21
. ·:racen estas condiciones llenan el círculo 1 w 1 < 1 con el corte por
. .el 5égmento de la recta que conecta los puntos w = O y w = 1. De
'S:; ;·.hecifo recorremos el contorno ')' del dominio D en la dirección positiva
.
.
~·~~
y
JU
·o
J'
[)
®
X
a
ó
Fig. 22
· p~zando . con la parte I (- oo < x < O, y = O), más Il (x = O,
<\V<2:rt) y por fin !JI ( y = 2:rt, y x se cambia de O basta -oo).
_:e,.v idente que a estas partes en el plano w las corresponden las partes
,-;._,¡ ]', IIJ', _donde la parte I' coincide con el extremo superior del
i1~· y-III' coincide con el extremo inferior (fig. 22).
'i::/r :
0;"'0662
..
.
.
146.
"
[Cap~ 1
Función de variab.le compleja
4. Función logarítmica
=
Ln z
se define como la función inversa a la exponencial. Para más precisión
vamos a examinar el :valor principal del l ogaritmo z, es decir, aquel
valor que corresponde al valor princi pal del argumento
w
In z = In 1 z 1 + f arg z,
- 1t
< arg z ~ Jt .
Esta función es analítica en todos los puntos finitos z =I= O y w'
=
= -z1 =fa
=
O. P or
co~isiguiente,
la aplicación mediante la :función w
Fig. 23
= In z es conforme en todos tales punto~. Observemos que los puntos
z = O y z :::;= oo son los pnntos de ramificación de la función w =
= Lu z, al mismo tiempo Ln O = oo y Ln .oo = oo .
Cualquier núnicro finito ele recorridos (en la misma dirección)
alrededor del punto z = O no cond•1ce de nu evo a la r ama i nicial ele l a
función Ln z. Tales puntos de ramificación se llaman l ogarítmicos.
E jemplo 19. Hallar la función que aplica el plano z con el corte
a lo largo de l a parte negativa del eje real desde el punto z = O hasta
el punto z = - oo sobre la franja - 11 < v < ;n: en el plano riJ.
Solución. Examinando la función exponencial w = ez, indicamos
(véase la pag. 144) que cualquiera franja y0 ~ y < y0
2n se aplica
por esta función en el plano completo w con el corte por el rayo arg· w 0 =
+
= Yo·
Examinemos l á aplicación inversa, a saber, l a aplicación de la
franja v0 ~ v < v0 + 2;n:, doncle v0 = -n del plano w en todo el
plano z con el corte por el rayo arg z 0 = v0 = - n: (fig. 23) . Es evidente,
t al aplicación de l a función z = ew; por consiguiente, la aplicación
buscada es w = ln z = ln 1 z 1
i ar g z. Cuando el punto z recorre
por el extremo in-ferior del corte .1 .de :c.= - oo hasta x = O, entonces
en el plano w el punto respectivo circunscribe la línea J' dE>.sde tt =
= +oo hasta u = -oo (v = - n). Más, cuando el punto z r ecorre por
el extremo superior del corte I J. desde x = O hasta ·x = - oo, entonces
en: el plano w el punto r\>.spectivo circunscribe la línea JI' d esde ii =
= - oo hasta u = + oo (v "'"'· n), puesto que el dominio D y el dominio
que· .le corresponde se qµedan durante el r ecorrido de contornos a la
derecha:
·
. · .
· .
+
:-:
··~:~:'·,..
.'
.'· '·'· '
Aplicaciones conformes
trigono"}-étricas
W = C0S z.
w =sen z,
cualquier complejo z
eiz-e-iz
el z+ e- iz
.. : .
scnz=
cosz=
2i
2
't~'o :.'..<Ejemplo 2.0 . ¿En qué se aplica la semifranja O < x < n, y < O
· ~;N;(fig~: 24) con ayuda de la función cos z? ·
i.Ñ;~Y·': A'ohc~ión. Tenemoscos z = cos (x
iy) = cos x ch y - i sen :e sh y .
ilf1., ;.,cJ¡i: . el ·p_unto z recorre una parte de la frontera 1 · de
+
©
~ ..;'"
.
';¡;
-~'
+
=
~.. ~
=
.
~i/Y '.==
oo hast a y
O (para x
O) , entonces el punto respectivo en
~ú::.. . eLplano w recorre la parte 1' de u
oo hasta u = 1 (para v
O).
~> ~i el punto z recorre la parte 11 de x
O hasta x
n (para y= O),
~,>;/:_::·entonces w
cos x circunscribe la parte II' de u = 1 hasta u
-1
~~{:·· (para v
O). Por fin, ~i el punto z recorre la parte 11I de y
O hasta
=
=
+
=
=
=
=
=
=
~1';.··,;;.Y -:--+.oo (para x == n), entonces w = -ch y recorre la parte lll'
i~.:r~,; .· desde u = -1 hasta u = - oo (para v = O) . Pués, si el punto z r ecorre
~\?' ,: la:frontera de la semifranja O < x < n, y > Ode ese modo que la semi} ;:.-:: franja se queda a la izquierda, entonces el punto w recorre. de derecha
}/. ~-·# izquterda todo el eje real y por lo tanto de acuerdo con el principió .
~";"';'.:-::'·
ª .e.la correspondencia biunívoca de fronteras se deduce -que la fúri.ción .
z aplica la semifranja que examinamos en el semiplano
:/i,[;(inforfor w.
l(<: '<: Análogamente se muestra que la semifranja O < x < n , y < O
~;¡:,; .- "pof.la función w = cos z se aplica en el semiplano superior w.
:~~:. .. );> Al lado de la semi~ranja x = n, Y.< Ole corresponde el segmento
~.-./>-;:,:: qo < u < - 1". del eJe real del plano w, al lado O < x < n, y = O
~;/:'{ , Gque se recorre de ~ a O) le corresponde el segmento -1 < u < 1
;~<<~':.Y al lado :.e = O, y< O el segmento 1 <u< .+oo. El segmento
~i6::t,,:- oo < u < -1 del eje real del plano w se recorre dos veces, a saber, ..
~. :y;: sobre él se aplica el lado x = n, y > O de la semifranja primera y el
~/~:'.)ado x = n, y < O de l a semifranja segunda. Para que la aplicacíóri
'i:,.\'.·;w·;;= cos z sea biunívoca, es necesario en .el plano w hacer el corte a lo
~·~J~r~o del eje real de - qo hasta - 1 (y de 1 hasta
oo también).
~{\'.? w : =F ' cos
+
:.' ,: . ·i o"' ·.
148
Función de variable compleja
[Cap. 1
Así, la función w = cos z aplica la franja O < x < n en todo el
plano w con el corte por el eje real de - oo hasta -1 y de 1 hasta+ oo.
6, Función de Zkukovskt
w=
es analítica en todo el plano,
~
(z++)
menos el punto z
el polo del primer orden.
(12)
=
O, donde ella tiene
La derivada de Ja función de Zhukovski w' = ~ { 1-z~) ;fa O
para z ;/=: ±i, y, por consiguiente, la aplicación que realiza esta fun-
Fig. 25
ción en todas partes es conforme, menos los puntos z = ±1. La funaplica de modo conforme el dominio 1 z 1 < i .,:
ción w = ; ( z+
!)
en todo el plano w cortado por el segmento f-1, 1] del eje real. -La
frontera del dominio es la circunferencia ! z 1 = ~ se aplica en este
segmento, al mismo tiempo la semicircunferencia superior se aplica ,
en inferior y la semicircunferencia inferior se aplica en el extremo
superior del corte.
·Análogamente el dominio 1 z 1 > i se aplica en el segundo ejemplar del plano w cortado por el segmento [-i, i] del eje real, al mismo tiempo la semicircunferencia superior 1 z 1 = 1, Im z >O se
aplfoa en el-extremo superior y la semicircunferencia inferior z ] = . 1,
Im z > O se aplica en el extremo inferior del corte (fig.
. Toda circunferencia del radio R ;fa 1 se aplica por
(12) en elipse con los semiejes
·
b=_!_JR~_!.1
2
R · .
§ 12]
149
Aplicaciones conformes.
y con los focos en los puntos (-1, 0) y (1, O). Los rayos arg z = cp
(menos <p=O; ± ~,
se aplican en las ramas. respectivas de ·la
hipérbol a
n)
u2
vª
-- - -2 = 1·
cos2 rp
sen cp
'
los rayos ar-g z = O, arg z = ± ~ , arg z = n se aplican en los segmentos infinitos que se recorren dos veces del eje real o imaginario.
Fig.
26
' Ejemplo 21. Utilizando la función de Zhukovski, hallar la imiigen
del _dominio
b < ¡ z 1 < 1,
Soluci6n. Sustituimos z
=
O < argz
"
<4.
reiq¡ en la función de Zhukovski
w=; (%++)
., y' separemos las partes real e imaginaria; obtenemos
~
++)_cos q¡,
v=..!...
2 (r-1-)
r sen q>, ·
_ _
{ u= ; ( r
jf:ilkcorriendo el contorno del sector en la dirección positiva OABO
~c;- {fig. : ~6) obtenemos: el segmento OA pasará en el seg.mento infinito·
oo hasta u = 1 (fig. 27); el arco
,_,_deLéJe real que so recorre de u =
'. .A:Zfde la circunferencia l z 1 = 1 pasará en el segmento del eje real
' Jt ~B' y el segmento BO ,pasará en la curva
-
+
:i:}f:l)~' -> . · u= ~ 2 (r++),
:1'~'.1~;·~ v ~ ~
2
.,.1f.::
i~J.~1ú~,:
(hipérbola).
v=
-
~Í (r-+}
.
Función de varia.ble comple¡a
f50
[Cap. 1
Según .el principio de la correspondencia biuní,voca de fronteras
obtendremos que el sector prefijado pasa por la función de Zhukovski
P.n el dominio
112
u> - 2- ·
' /, '
. .·.''.l.¡.¡.
°1
v< O.
· '··
~
_-.
Ejemp lo 22. Aplicar en el semiplano superior un círculo de
. con el corte que sale del centro por el eje real. .
uni da~
.~-: t
.<. -
u
~
·>;~
=·_;:;
·._,
u
~
M
w
·.i
.
cil!
~:~
;1
Fíg. 27
Snlución . 1) Con ayuda de la función w1 =
¡/ zaplica11los el círculo de unidad en el semicírculo superior. Al mismo tiempo el extremo
superior del corte OA, es decir, el segmento [- 1, O], se queda inmóvil
y el extremo inferior OA' pasará en el segmento [-1 , O] en el plano W1 •
2) Mediante la función
·
·
W2=
!V1+1
W1 -f
aplicamos la semicircunferencia obtenida en 1) en el primer cuadrante
del plano W2 • Al mismo tiempo, el punto zo1 = i pasará al punto
w2 = oo y el punto w1 = - 1 pasará en el punto w 2 = O.
3) Por fin, mediante la función w = w~ aplicamos el primer cua·
drante en el semiplano superior.
Obtenemos definitivamente ,
w=w§ = ( w1 +1
.
W1- 1 .
)2= ( Vi-1
1fZ"+1 ·)2
.
.
Ejemplo 23. Hallar la función que aplica el dominio comprendido entre las dos circunferencias que se intersccan en Jos puntos reales
z = a y z = b (a < b) bajo el ángulo n;f., O <f.< 1 (fig. 28) en el
semiplano superior Im w > O de manera que el punto z = a. pase al
punto w = O y el punto z = b pase al ·punto w = oo .
···.:··--.:-1
-,t.:
. :. :-l.
{~
Aplicaciones conformes
.~:0..<.:
15'i
:_,
~Ü{;·::-.:_
Soluct6n. 1) Transformemos la lúnula ab en .el án~ulo del valor
::Mi, O< A.< i de tal manera que el ptinto·z = a pase al punto u1 = O,
~$~}_::,''??entras que el punto z = b pase al p_unto w = oo. Lo que se reali;-a
B'.Jí/}
.-
'!ft'.::<:~::'nl.e.diante l a función w1
'--'"·-·-,._- .
·,r>_- ~,, -:
f3.::;
=~
(fig.
b- z
29).
2) La t ransformación w 2 = w1eia gira el ángulo V 1 de la aberturu
Xrc-' cont.r a el senticlo horario en ángulo a. De ese modo, en el plano W
r
' - ~-
y
X
Fig. 29
Fig. 28
obtenemos el ángulo Y 2 de la misma abcrturn · que y el ángulo V1
(fig. 30).
3) La transformación w = wJl1' pasa el ángulo V 2 en el scmiplune.
!I
Vz
-2
·.··::·:···:
Fi_g. 31
Fig. 30
De
ese modo, l a tra11sformación buscada tiene la forma
w=c
(~ )i /7'
b-z
'
152
[Cap. 1
Funci6n de vartable compleja
donde e es una constante compleja que se elige así que la aplicación
se_realize en el semiplano superior.
Ejemplo 24 . Hallar la función que aplica conformemente en el
semiplano superior el dominio D: 1 z 1 < 2, 1 z - 11 > 1 (fig. 31).
Solzici6n. 1) La función
z
(13)
W1~ :-2
aplica el dominio prefijado en la franfa II1
<
+oo}.
Realmente; suponiendo z
= 2eill>,
{O
:
<
u
. 1
< 2, -
oo
< 1J <
obtendremos
Separando la parte real e imaginaria, obtenemos
q>
cos;r
V= -
. •.:
q> •
.. ,
.. ~~·
2 sen2
~
De este modo, la circunierencia 1 z 1 = 2 se transforma por la función
z
w1 = - - en la recta
z-2
cos ...!.
2
V=-----
2sen
!
que se recorre de abajo hacia arriba (fig. 32) . En particular, los puntos
.
1-t
z1 = 2t, z2 = -2 y z~ = -2i pasarán en los puntos w = - - ,
2
+
.
f unc1.ó n· pasa l a circun
.
f erencJa
.
w = 1 y w = -1 - i . Esta m1sma
2
2
1 z - 1 1 = 1 en la recta u= O, - oo < v < +oo. Al mismo tiempo
eifP, obtenemos
sustituyendo en (13) el valor de z = 1
+
-
i
cosf
cp
sen2
de donde
cosf
V¡= -
sen ..!.
2
§ 12]
153
Aplicactones confarmes
donde cp se cambia de 2rc hasta O. Por consiguiente, cuando el punto
z recorre la circunforencia
entonces el punto respectivo w1 recorre
la recta r 2 (el eje v1 en el pano W1 ) de arriba abajo. Para la aplica-
'\'f'
1··
~ ..
'{··'
k·
;;t:·
r: ·
-t
ir:.
i'.
-j .
J~; -
. ,.
{.~C
:lf ..
~
~i~~'.
Fig. 32
2r~i\: . ~;:cíón; ·wi. =
z
:,><'.- . : ·-
.
z 2 el
punto infedor z
.1
:; . ,p1mt;o mter10r w1 =
:;fürn:rlc~ón
~ ·. ··~· _·-
w1
=z z
'·
2
3 de
=
-1 del dominio D p asa en el
.
la franJa II1 (fig. 32). Por consiguiente, la
realiz a la a1Jlicación del dominio Den Ja franja 111 •
Fig. 33
La función w 2 = 2rciw1 pasa la franja
TI¡ :
{o < <-} , - 00 <
U1
V¡
verti~al
<
+ 00}
horizontal
TI 2 : {-oo < u 2 < +oo, O< v2 < lt}
(fig. 33).
~:.3)\La función w = ew• pasa l a franja TI3 al semiplano superior
;?.'lano W.
.
.
'f? ues, obtenemos definitivamente
w
= ew2 = e2niw¡ == e
2ni -z\z- 2
154
Función de variable compleja
[Cap. ·
480. Hallar la función que aplica el círculo d e unidad.
en el plano con el corte a lo largo del semieje r eal positivo/
481. H allar la función que aplica el ángulo entre los:
rayos
z = zo + eícp,t, z = Zo eicp,t'
donde t ~ O, O< cp1 < cp 2 , en el semiplano superior.
·.·
482. Hallar la función que aplica la franja horizontaL
{O ~ x < +oo, O~ y ~ :n:} en el semicírculo superior 1z l <~·
< 1.
.
.
483. Aplicar en el semiplano superior la semifranja {O ~\,
~ x < + oo, o~ y ~ :n:}.
:w'
484. ¿En., qué aplica l a función w = In z el semi anillo '~
{r ~ p ~ R, O~ cp ~ :n:} en el plano z?
;~· .
485. Hallar la función que aplica el dominio n /2 < ':~{
< arg z < n en el dominio O < arg w < n/4.
. <~~
486. Aplicar el plano con el corte rectangular por el)~!'
eje real O < a < x < b en el semiplano superipr w.
. '.:1
~~.
487. Aplicar el plano z con l as secciones rectangular~s ::lf
(-oo, b), (a, +oo), dondeay bsonreal es,b< a, enel serru.- ·1
plano Im w >O. ·
·· _·.· 488. Hallar la función que aplica el primer cuadrante:,~
O ~ arg z ~ n/2 en el círculo 1 w 1 < 1 así que a l os puntos:f
z = 1 + i, z = Oles correspondan los puntos w = O, w = L ·:.~,
En los problemas siguientes hallar el dominio del pla1io .:-~
w, en el cual la función w = f (z) aplica el dominio dado D /;!!,
del plano z:
_.
489. w = z2 + ·1, D: es
cuarto del círculo 1z 1 <1;:#~
O < arg z < n/2 .
·
·
· ':!~~
490. w = e2Z, D: es la semifranja O< Im z < n/4, ;·~. t~
Re z < O.
.
'?Wi
491.: w = l n z + 1, D: l a parte del anillo circular~~
1 < 1 z 1 < e comprendida en el ángulo O < arg z < e. ·, :~
Hall~r la función que aplic.a ~onf?r~emente en el semipla:-..'.).:~:t:.
nosupenor cada de los domuuos · md1cados:
492. Sector 1 z 1 < 2, O< arg z < n/4.
. '.~~~
493. Franja a<Rez<b, a > O.
·.. :e¡,
Hallar l as funciones que aplican:
-.-..
494. Círculo 1 z 1 < 1 con l a sección por el radío deh fl
punto z =O hasta el pu nto z - -1 o la semifran ja - :n:: < :·Al .'
+
un
·I
<
~~. ~e~i~~ja O < Im z <
Imw > O.
n, Re z > O en el
semiplan;d~I
~<·•'
155
Potencial complejo
,496-. Franja -oo < Re z < +oo, O < Im z < n/2 en
_sé;miplano w con las secciones - oo < u ~ -1 , v = O y
·... ·.u< +oo, v = O.
·
:.;;-4~7. Lúnula limitada por las circunferencias 1 z - 1 1 =
'~:: f; 1 z - 2 1 = 2 en la franja O< Re w < 1.
;{V 498. . Hallar la función lineal fraccional que aplica el
'&minio D: {I z + 1 1>1; f z + 2 f < 2} en la franja P:
{O< Im w < 1}.
.
G~ 499. Hallar la función que aplica la lúnula entre las dos
frpµi:iferenci as 1 z - 1 1 = 1, 1 z + i 1 = 1 en el semiplano .
e:-i.v >O.
< ;.J.·5·00. Utilizando la función de Zhukovski, hallar la
~(#1nción que ·aplica el anillo 1 < ! z 1 ~ 2 en el dominio
··'.{¡;?. '
v2
fa5 0 ~ 1 con la sección, -4 :::;:;; u :::;:;; 4, v = O.
::~ · 501. Aplicar el semi plano superior Im z >O con el semiJ rculo excluido 1 z l < 1/2 en el círculo 1 w 1 < 1.
·,:>'2 502. Hallar la represent ación conforme del sector O <
··,·.arg
z < n/8 en el círculo de unidad 1 w 1<1 de tal
. ,
.n
:+
i-
odo que el punto z1 = e 16 pase al centro w1 = O y el
'\iñto z = O pase al punto w = 1.
¡fr· 503. Aplicar la fran ja O < x < n/4 en el primer cuadran.:e;_ O < arg w < n /2.
&:';; 504. Hallar los dominios, en los ·cuales la función w =
r~ tg z pasa: a) la franj a < Re z < ~ ; h) la franja
¡
"b<Re
z < n.
·.
.
.:/•\'
§ 13. Potencial complejo.
Su sentido hidrodinámico
Sea dado un campo plano estable vectorial
a
=
P (x , y) i
+ Q"(x,
y) j,
(1)
;;'donde i y i son los versores de.los ejes de coordenadas Ox y Oy r especti·
,, '.vamente.
·
·
\! Puesto que el punto (x, y) en el plano xOy y su radio vector
:t =-= xi
yj son la r epresentación del número complejo z = x + iy,
;:,donde i es la unidad imaginaria, entonces el vector a = P (x, y) i
(•.+ Q (x , y) t son en su turno la representación clel número complejo
;:'J' (;i;, y) iQ (x, y) también. Por eso el vector a junto con (1) se
,til!-ede escribirlo en la forma
+
+
+·
a = P
(x,
y)
+ tQ (x,
y) .
Funci6n de va1'lable compleja
156
(Cap. 1
Por consiguiente, el campo vectorial (1 ) se puede representarlo
indicando dos funciones reales P (x, y) y Q (x, y) de dos variables
complejas x y y o una función de la variable compleja z
f
(z}
=
P (x , y)
+ iQ (x,
y) .
Aplicación de funciones de variable compleja
a la hidrodinámica
Una plana corriente estable no turbulento del líquido incompresi-
+
ble se caracteriza por la función analítica f (z) = u (x, y)
iv (x, y)
que se llama el potencial complejo o la funct6n característica de la corriente. La parte real u (x, y) e imaginaria v (x , y) se llaman l a función
potencial y la de corriente, respectivamente.
Las líneas u (x, y) = const se llaman las líneas equipotenciales
o las Uneas del nivel. Las líneas v (x, y)
coust se llaman las líneas
de co1·riente.
=
Cada partícula del líquido se mueve por la línea de corriente.
Es conocido que la velocidad V de corriente del líquido que preiy se determina
fija por la función f (z) en cualquier punto z = x
tanto por la magnitud como y por l a dirección mediante el número
complejo
+
V=Veiq>=Vox+iVoy=;=f' (z)=
:~
+i
:~
,
- ~ ·,i
es decir, por el número conjugado con el valor de la derivada del potencial complejo en el punto z. El v alor de la velocidad es igual a
V = 1 VJ
= 1 t'
(z) 1
= 1 f'
.,
. :.
. .;..
~
(z)
¡,
y la dirección del vector de velocidad V forma con la dirección positiva ~)
del eje Ox el ángulo
J.-~\:
q> = arg t' (z) = -arg f' (z) .
Las proyecciones V ox y V Or¡ del vector de velocidad V en · el
eje de coordenadas Ox y Oy son iguales a
Vox=ProxV=
au
ax ,
Voy=Proy
{Ju
V=e¡¡,
o en virtud de las condiciones de Cauchy-Riemann
av
a~
Vox=ay'
Voy=·--ax·
De aquí sigue que
au .
V=gradu=. ax
au . au
i+-1=-+t
-au
ay
ax
ay
•
:S
Supongamos que las coorden~das V o x = Vo x (x•. y) Y V ou
"":' J';oy (x, y) del ':ector ~e vel~c1dad V e~ el domimo d.e su · def1~
mc1011 son las func10nes d1ferenciables continuas, a excepción, puede'
ser, del número finito. de puntos.
' ·
......
157
Potencial comple¡o
Definición. La ci 1•culación de.L vector de velocidad V, a lo largo de
la curv·a cerrada L , el recoITido de la cual se realiza en la dirección
positiva, se la llaman la magni tud
('
au
~
{)u
I' L=c\I
Voxdx+Voydy= · ~dx+
- dy=
•
ux .
0y
L
L
8u
av
=
d y.
axdx- -ax
i
.¡
~
L
El grado de vorticidad de la corriente del líquido se caracteriza por
la circulación rL. Se presupone aquí que la curva L no contiene los
puntos singulares de velocidad V y dentro de L puede existir el número
finito de los puntos singulares,
Def inict6n. La magnitud
t''·,···.
'·
k'
F
f·
NL=~ VoxdY-Voydx=~
J''
L
L.
b·
~
:; dy- :; dx=
L~
av
8v
•
ox
8y
=· -ax+-dy.
L
r~~·...~_·i.,' -_~· recorrido
t~ ~~~:ªez¿z~~º
r~~~~;~t':nd¡;eái~~~~tó: ~J~üI~~.d~;ªd~~~;,ª 3~~~~~: ~i
de
el dominio limitado por ella se queda a la izquierda
1
.•
_:__
:·.:·.:_
.... •........
· .
:~.-._~
r,.. ·,;.;'....•.·:.:_·..
L
(se toma aquí la normal exterior a la curva cerrada L) . Se presupone
que la curva L no pasa por los puntos singulares de la velocidad V,
d~íif'Iu~~riJ; ::ir~e~~~/~e(~~loddftd
es
V determina la cantidad del
líquido que pasa por la línea L por unidad de tiempo.
·
I;.; ve!~d!J6~~~·~:•;, :::~:~;~(,:::. flujo
N L del
vootor (:;
L
~: que~ permite hallar la circulación
y el flujo con ayuda de los residuos.
cuando la derivada f' (z) (y, por consiguiente, la velocidad
:.w =j' (z)) tiene el número finito de los puntos singulares z11. (k =
·?···J, 2, ... , n),
·
:~ne~~
n
rL+tNL=2nt
.
. ..
.
\\'~·, Los puntos, en los cuales V
·!\Dl~ los puntos crittcos de la
'
2J
resf' (:k) .
k=1
f' (z) = O se
corriente.
:~,\~templo _ 1 .. El .mcwimiento ~el líquido s~ representa po~ ,el poten~
'f (z) _,:: z11 • Hallar el potencial de velocidades, la func1on de co.. · te, las líneas del nivel, las líneas de corriente, la magnitud y la
ir~éción del vector de velocidad V, las proyecciones del vector de
éfoéidad V ox y V oy en el eje de coordenadas Ox y Oy.
= O y, por lo tanto,
158
Función de variable compleja
=x+
S oluci6n. Suponiendo z
f (z)
=
(x2 -
iy, tenemos
y2 )
+ i2xy,
1~:.
de donde el potencial de velocidades ¡¿ (x, y) = x - y y la función ·.-.':.~.·iil.
de c~rr}ente u (x, y) = 2xy. L as Hnei:s del nivel 1~ (x, y) = const, :~;,
de h1perbola x~ - ¡¡2 = const. Las hneas de corrtente u (:r, y) = J
= const, de hipérbola xy = const. El valor del vector de velocidad -':)~
2
2
V=·lf' (z)l= l2Z1=2Y x2 +y 2 •
. ..·;1~
La dirección de.l vector de velocidad se determina por el á11g1.1lo . ·>
cp = - arg f' (z) = -arctg .JL,
X
Las proyecciones del vector de velocidad a los ejes de coordenadas
0.-c y Oy son
au
au
Vox= -ax =2x,
Voy= -ay =-2y.
El origen de coordenadas O (O, O) es el punto de reposo (tranquilidad)
del líquido.
Ejemplo 2. El movimiento del líquido se prefija por el potencial
f (z) = In sh r&z. Hallar el valor del flujo N L a través de la circunferencia 21 z 1 = 3 y l a circulación rL por ella.
Solución. Hallamos la derivada del potencial complejo:
f' (z) ·= it cth na.
Ut_ilizando la fórmula (2), obtenemos
J
rL+iN L =n
J
cthnz dz =r&
lzf=3/2
chnz
-h
s -:n;z- dz .
fzl=3/2
La función suhintegral tiene dentro de la circunferencia 2 1 z 1 = 3
tres polos simples: .zl = -i, z2 = O, z8 = t. Sus residuos en estos
polos son iguales a
1
resf (zk)=n -=1,
n
. k=1, 2, 3k
Entonces
J
cth nzdz=6ni,
Jzf=3/2
Por consiguiente,
fL
De aquí l a circulación
+ iNL =
rf = o,
6n2 i.
el flujo NI.
Ejemplo 3 . Hallar e potencial complejo
=
6n 2 •
líquido, si se sabe la ecuación de las líneas equipote.n ciales
ch x sen y
donde e
=
const y f (O)
=
O.
+ 2xy =
e,
• .
f (z) de la corriente del .
.·
. ·.
159
Potencial complejo
'S~lución. De la condición se sigue que la función potencial u (x, y)
)icir, la parte real de la función analítica f (z) del potencial com,io'buscado es igual (l.
·
u= 2xy
~I ·problema se reduce a la
:P~,rtir de su parte real..
+ ch x sen y
reconstrucción de la función analítica
(Jiallemos la función f (z), conociendo su parte real u (x, y). TeID,ós
Bu
Tx =
2y
+ sh z sen y.
·· o.nforme a la primera de las condiciones de Cauc:.y-Riemann
au . ov
r
'qx = Ty , as1 que
Bv
-;-=2y+sh;c sen y.
vy
aquí hallamos
v {x, y) = y 2
-
sh x cos y+ cp (x),
~)'\'. ·(londe cp (x) es la función arbitraria dife1·enciable. Diferenciando
jff;;>v (x, y) por x y utilizan do la segunda de las condiciones de Cauchy'~.{{-.Riemann, hallemos
~~{·. ,·
:~ =-ch x cos y +cp' (x) = - ~uy = -2x-ch x cos y,
~r-J·
~~~j'r;¡~
donde cp' _(x)
R}/'~: const. Pues,
=
~~,['.;·
v (x, y) = y~· -
f'{: :Por
~{·p :-.: :
f;¡é{
x2
sh x cos y
-
=
-x3
+ e, e =
+ c.
consiguiente,
·:
~7>:_:"· ..
-2x, y por consiguiente, qi (x)
.j (z)
=
2xy + ch x sen y + i (y 2
-
x2
-
sh x cos y) +
ic.
+
~;i,} .De ·la condición f (O) = O hallamos: O
iO = e, e = O.
~:~:>.·
De tal modo el buscado potencial complejo es
~~~~;¡,:_,
f~!jL;;
~~)lr:° .
~}~~~·;y~
f (z)
=
2x y
+ ch x sen y + i (y x
j (z) = - i (zZ + Sh z).
2
~~;.',!t .:
-
2
-
sh x cos y)
La corriente del líquido se determina por el potencial
· ' om.plejo. Hallar el potencial de velocidades, la función de
¿ofriente, las líneas del nivel, líneas de corriente, el valor
yJa dirección del vector de velocidad, las proyecciones de
velocidad sobre los ejes de coordenadas.
505. f (z) = z11
2z
2. 506. f (z) - ~ .
+
+
160
[Cap. 1
Función de va1'iable compleja
507. f (z} = ln (z - 1).
508. Construir el potencial complejo de corriente del
líquido, si es sabida la ecuación de líneas del nivel
x2
-
y2
+ 2xy + x =
const y f (O} = O.
509. Construir el potencial complejo de corriente del
líquido, si es sabida la ecuación de líneas de la corriente
cos x sh y = const y f (O)
=
O.
510. Hallar la circulación por la circunferencia
lz ± a l =
= a, si es conocido el potencial complejo de corriente del
líquido
f
(z) = 5i ln (z2
-
a 2) .
162
Cálculo operacional
Es eviden te,
t >o~
O,
t<O,
pues, si q> (t) satisface las condiciones 1ª y 3" , entonces cp (t) lJ (t ):
satisface todas las condiciones que se superponen en funciones origh.
cp (t) r¡ (t) = { cp (t) ,
n~~.
~
511. Verificar que funciones de las indicadas son funcio-'.?
nes originales:
·
~~r
a) f( t) = btr¡(t), b> O, b* i;
b) f (t) = e<2 Hi)tr¡ (t);
e) f (t) =
r¡ (t);
t_! 3
e) f (t) =ch (3 - i) ti1 (t);
g) f(t) = ttr¡(t);
i) f (t) = et*ri (t);
1
.
k) f(t)= t 2 + 2 r¡(t);
d) f (t) = t (t) ;
.
f) f(t)=tgt'l}(t);
h) f (t) = e-t cos tr¡ (t);
2 r¡
j) f(t ) =e-t'r¡(t) ;
00
l} f (t) = r¡ (t) +
2J (-
i)k 'rl (t- k).
lt=i
··"5t
A continuación para reduc i.r anotaciones vamos, como regla, a escribir·:\~
f (t) en vez de f (t) 11 (t), considerando que las funcio nes a examinar se A ·
prolongan. por cero p ar a t negativos.
_:';
La función F (p) de l a v ariable compleja p = s + ia que se }¡··
<?~·
determina por la igualdad +oo
.
J1 (t) e-Pt dt
F (P)=
o
:~
,,
se llama la representaci6n de función f (t ) según Laplace.
. f i:,
Aquel hecho que F (p) es la represent ación de f (t) vamos a escrh;~"
birlo simbólicamente en l a forma de:
\:e~
f (t) • ' F (p).
,~;::[~ ;
La funci6n F (p ) est á definida en el semi.plano Re p = s > s¡/ ,;:','.
y es en este sem iplano la funci6n analítica.
·~~
E jemplo 2. Utilizando la defi nici.611, h allal' l a representación de ··:
la función
·
e2t .
,,
Soluci6n. P ara la función f (t) = e2 t tenemos s0 = 2. Por lo .J
tanto l a representación F (p) será· en cada caso determinada y analF~, .,
tica en el semi_pl ano Re p > 2. Tenemos
+oo
+co
f
F (p) =
J
e2te-'Pt dt=
o
_
1
- (p-2)
(t)
Jo .
e-(p-11)t
=
e-(p-2)t
dt =
¡t=+oa = -1 t =O
p-2
.
(Re p = s > 2).
m
.."}....
.:
,;,,.:.:
Capítulo II
)'~'·:.
Cálculo operacional
'.
§ 14. Obtención de representaciones
y originales
Lci funci6n original se llama toda función de valores complejos
f {t) del argumento .r eal t que satisface las condiciones:
1. f (t) es integrable en cualquier intervalo finito del eje t (es
localmente integrable).
· 2. Para todos t negativos
f (t) =
o.
3. ! f (t) ¡ crece para t -+ + oo no más rápidamente que la función
exponencial, es decir, existen tales constantes M > O y s que para
todos t
st
(i)
1 f (t) 1 :;;;;; Me •
La;cota inferior s0 de todos los números s, para los cuales es .válida la
desigualdad (1 ), se llama el índice del incremento de la función f (t) .
; Ejemplo 1. Mostrar que l a función
e2 t sen 3t
f (t) == {
o,
'
,:< ;és ila
t >O,
t<O
función original.
Realmente, la función f (t) es localmente integrable:
,.
t2
r
e2t
sen 3t dt
t1
~~)é~iste para todas t1
y t 2 íinitos.
:;: ) _La condición 2 está cumplida en vigor de la representación de Ja
/ función.
>; i : · Por fin; para todos t r eales
,.1;';.· .. . ,'"
~
1 e2 t sen 3t 1 :;;;;; e2t,
.
~' pttésto que en calidad de M en la condición 3 se puede tomar cualquier
~'.Ii)Ímero ~ 1, s0 = 2. ·
>~.\ ,La ~~s simple fun ción original es así llamada la función unidad
ft:' Heav1s1de
'•/,j ,•
.
tj (t) =
{
1,
O,
t >o,
t< O.
163
Obtención t:le representa'ciones y originales
;:( .
· t;,1 °:F
': .':·
.
(p)
i
=- .. Esta
p - 2
función ·es .analizable para Re p
> ·2
a~emás, ella es analítica en todas partes, a excepción del punto
.· 2. Lo que no contradi_ce a la afirmación formulada arriba, puesto
'~':·la última garantiza analiticidad de F (p) para Re p > s0 , pero
o.;áfirma que si Re p < s0 ; entonces F (p) no es analítica en todas
artes. ·
··
;- l;Jtili.iando la definición, hallar representa~iones de las
riciq_nes siguientes:
.,''512. f .(t) =t.
513. f (t) = sen 3t.
· · 514. f (t) = tet. 5i5. t (t) -:- tª (ix > -1).
_ij,:. 516. ¿Pudiera la función <p (p) = - 1- servir de repre,;./~entación de cierto original?
cos P
ii
':-:-=
.'.·J. ~
;:~ .:
·Propiedades de bansformación de Lapiace
·.
.
. ,i"· . Teorem¡t de unicidad. La transformad6n de Laplace
.7:::-- ..
lt~.;~~. :
F (p) =
~~::t}~>"
.
+f
e-Ptf (t)' dt
o
lJ.(~~. ~nica en el sentido que las dos funciones / 1 (t) y f z (t) que tienen las
:.:·¡!ra,n~formaciones
~o;:'tt~u.idad
~
,
de Laplace iguales coincidm· en todos los puntos deconpara todas t > O.
Distintas funciones discontinuas pueclen tener la transfol'mación
' dé . La place igual (se le ofrece al lector construir un ejemplo de tal
\función).
·
1. Prop iedad de linealidad . Para cualesquiera constantes complejas
'/~f(Y ·~
· rxf (t)
~g (t) ~ aF (p)
~G (p)
r.'" .; . . .
;,'.F<
~
+
+
,''(aqµí y en todo lugar consideramos f (t) ~ F (p), g (t) • • G (p)).
'(,-:{;~ Hallar la representación de funciones:
517. · 1+t. 518. 2sent---cost. 519.
t+ i e-t.
JI. Teorema de semejanza. Para cualquiera constante a
t (at>
•
Q
>
O
f;. (~ ).
. Utilizando el t eorema de semejanza, hallar las represen·:.taciones de las funciones siguientes:
'i,i 520. f (t) = eªt.
521. f (t) = sen 4t.
/'.'.'' 522. a) f (t) = cos rot; b) f (t) = sh 3t.
523. Sea f (t) • • F (p). Hallar la representación de la
J<
'{ t..:
;.:. .
.-=·.•-:;._ ,l
i64
Cálculo operacional
[Cap. JI
función f (~) (a> O) directamente y mediante el teorema
de semejanza.
Empleando los teoremas de linealidad y de semejanza, hallar representaciones de las funciones siguientes:
524. f (t) = sen 2 t. 525. f (t) = sen mt cos nt.
526. f (t) = cos3 t. 527. f (t) -:- sen mt sen nt.
528. f (t) = sen4 t. 529. f (t) = cos mt cos nt.
III. Dtjemictaci6n del ortgin.al. Si las funciones f (t), !' (t) , . .. ,
... , ¡<n> (t)
son las
funcio~es
originales y f (t) • • F (p), entonces
f' (t) • ' pF (p)- f (O),
f" (t) • • p 2 F (p)- pf (O)-/' (0),
j(n) (t)
¡=:. pnF (p)-pn-1¡ (O) - pn-21' (O) - ... - f(n-1) {O)
donde bajo /Ch.) (O} (k = 1, 2, ... , n - 1) se entiende
líro
t .... +o
/(kl(t) .
Ejemplo 3. Utilizando el teorema de la diferenciación del original, hallar la representación de la función f (t) = sen2 t.
Soluci6n. Sea f (t) -F F (p). Entonces
f' (t) ~ pF (p) - J (O).
2
Pero f(O)=O y . f'(t)=2sentcost=sen2t~ P2 + . Por consi4
guiente,
+P+
4
= pF (p),
F(p)
de donde
2
p (p2+ 4)
~sen2t,
Empleando el teorema de la diferenciación del original, . .
hallar la representación de las funciones siguientes:
530. j (t) = cos 2 t.
531. f (t) = sen 8 t.
532. f (t) = t sen rot. 533. f (t) = cos 4 t.
534. f (t) = t cos rot. 535. f (t) = tet.
. }j
IJ!; Diferenciación de rep~·es~ntac_~6n. La diferenciación de repre<fr
sent11c10n se reduce a la mult1phcac1on por (-t) del original
o, en general,
F' (p) • ' - tf (t)
.· ," '':
;/
F(n) (p) • ' (-t)n¡ (t) .
Ejemp lo 4. Hallar l a representación de la función
f (t) = t2et .
.
.
1
,:'
Solución. Tenemos et~ - -- . Según el teorema de la dif
P- 1
.
renciaci6n de r epresentación
~
tet
De
p -1 .
.
. 1
--!.f
(p --' 1)2 . - te .
(_!_)
'§ 14]
165
Obtenci6n de rep resentactones y originales
Luego
[ (p-=-
iJ2
J.•
- t (tet)
ó
.Hallar las representaciones de las funciones siguientes:
536. f (t) = t 2 cos t .
537. f (t) = t (et+ ch t).
538, f (t) = (t
1) sen 2t. 539. f (t) = t sh 3t.
+
V. lntegraci6n del original. La integración del original se reduce
a la división de la representación en p, es decir, .si f (t) =F- P (p),
entonces
t
Jf
(i:) rh;. ' F
;p) .
o
t
. Ejemplo 5. Hallar la representación de la función
~olución.
.
.
· "t·
·,
m egrac1on
Tenemos et • • P
t
ael
· · i
or1grna
Jl'
1
1
Jo
e" di:.
. En virtud del teorema de
_1_._
1
p-i
e di: • • - p - = P (p-1) ·
i:
o
; Hallar las representaciones de las funciones siguientes:
t
t
j' sen
540. f (t) =
't'
o
t
t
. . 542. f (t) =Ji- sh 2i- dr;.
543. f (t) =
o
COS O>'t'
d'!.
Jcos2 on d,;.
o
t
!544, f (t) =
J('t' -1- f)
541. j (t) =
d,;.
o
f ch úrr d,;.
t
545. f (t) =
J-r e-" dr.
2
o .
o
•
J
00
. ;VJ . lntegraci6n de 1·epresentación. Si la integral
.
F (p) dp con-
p
·entonces ella sirve de representación de la fuui;¡ó:¡i f
Jr F (p) dp,
00
t (t>
- t- . ·
'P
it) :
166
Cálculo operactonal
E jemplo 6. Hallar la representación de la función
.
.
P2 ~ 1
S oluci6n. Como se sabe., sen t F
r
00
sen t
.
J
~
--¡--
p
dp
Pª+ 1 =arctgp
loo
P
~
, ··
t
. Por lo tanto'
"'
.
.
=2-arctgp=arcc~gp
.
(para las funciones multiformes Ln z, Arctg z etc, tomamos sus ramas '._.
pri!lcipales, para las cuales ln 1=0, arctg i=n/4 etc.).
· :
Hallar las representaciones de las funciones siguientes:
. h) 1-e-t. ) senª t
546 .a.) et -1
t'
t
,c
t
•
547 • a), 1-~ost ; b) cost-;cos2t.
548. a)
et-1-t
b) et-e-t
t
;
t
Mediante el teorema de la integración de representadón· se éalculan fácilmente ciertas integrales impropias.
·
Sea f _(t) ~ F ~) y se converge la tntegral impropia
co
J. f ~t)
dt.
Entonces
o
co
00
f (t)
- t - dt =
5o
Jí
F (p) dp ,
(3)
o
donde la integral del miembro segundo se puede calcuiar por el semieje
positivo.
·
00
Í setn t .dt.
Ejemplo 7. Calcular la integral J
o
Soluci6n~ Tenemos sent~ p2 ~ 1
00
. 00
r sen t »f
J - t- ·dt= J
o .
o
Calcular las .integrales:
.
En virtud de la fórmula (3)
dz
..
loó n
zZ+f = arctg z 0 = 2·
00
549. Jr
o
550.
"°
I
o
e-at -t e-bt ,Jt.
¡-~:sen
e
at
b_> O).
IÑ
(a> O,
dt.
(a>0,-~>0).
'
167
Obtención de representaciones y origtnales
1
-o:t
- Cit
''~.~?'.: ~'A,-: ~B,~:::~~W ~a::·
~gj;:,•. 552.
J- - - - - - - -
-~<--:
o
1
df3t> O, m >O).
1'55:~t:, :,;~~~~:· ::O~,~:O~)y>O, 6>O).
li''',554' J"n ª',sen
i',yrt
.-.·
>
O' b > O).
Po
·
eP'tf (t} ~ F (p- Po) .
1
' ···
~·
(a
Teorema del desplazamiento, Si f (f} =¡=:. F (p)", ento.nces para
.,~/iuilquier complejo
:,.
bt dt
(4)
Ejemplo 8. Hallar la r epresentación de lafunción f (t) = e-t cos 2t.
. S oluci6n. Tenen~os cos 2t ~ Pz ~ . Según el teorema rlel despla4
zamiento (p 0 = - 1)
1
.,
e-t cos 2t ~
p+
'~· . :;:..
(P + 1)2+4 •
't ..
:;~·
Hallar laR representaciones de l as funciones siguientes:
555.. a) e2t sen t; b) et cos nt.
556. e -t.t 3 •
557. et sh t. 558. tet cos t.
559. e3t sen 2 t . 560. e-at cos 2 ~t.
VIII. Teorema de ret ardo. Si f (t) ~ F (p) , entonces /)ara cual-
.>qi•iera
¡ .
posttiva ,;
f (t - 't') ~ e-P't' p (p} .
(5)
.
El teorema de retardo es muy cómodo utilizarlo para determinar
· las representaciones de funcfones que en distintas partes se prefijan
por distintas expresiones analíticas.
. .•·
Ejemplo 9. Hallar Ja representación de la función
t (t - - 1) = (t - 1}2 r¡ (t - 1).
Solucié5ri. Para la función f (t) = t2t) (t) tenemos
t
(t)
~
:s..
De acuerdo con el teorema de retardo para la función (t
ienemos
(t -1)Z11
(t-1)~e-¡p ~ ,
~
1)2 lj (t ""'": .1)
,', .
. ,.:·;
..~
168
[Cap. 11
Cál'a.úlo operiicton_al .
Es esencial aquí que s~ busca Ia r~presentadó~ de .la funció¡i
1), es decir, de la func10n que es igual a cero para
t < 1. Si examinaramos la función f 1 (t) = (t - 1)2 r¡ (t), entonces
para eJJa tendríamps ti (t) = (t2 ,..... 2t
1) r¡ (t) y debido a la. pro•
piedad de linealidad
2
2
1
(t ,_ 1) 2 ti· (t -
+
(t -1)2 r¡ (t) ~
y-pr+y .
Hallar la representación de funciones:
561. sen (t -'-- h) t¡ (t - b) . .·
562. c.os 2 (t - b) 'l'J (t - b).
563. et - 211 (t ~. 2).
Ejempló 10. Hallar la representación F (p) de la fttnción
f(t)
que está . representada por la gráfica siguiente (fig. 34):
f(t)
Ja
2a
t
Fig. 34
Solución, Hallemos la expresión analítica para f (t).
a) Para i E (O, a} la función f (t) se. <la por la fórmula
f(t)
t-a
= - ·-a.-
b) Para t E (a , 2a) tenemos I (t)
e} Para t ;;;., 2a obt:enemos
T] (t).
=
·o.
f (t) = - 1-2a
- · r¡ (t -2a).
a
Suponiendo que la :función f. (t). és dada por la fórmula (6) par~
todos t ~ O, aclaremos que func~pn '\ji¡ (t) es. necesario añadir a elli(
para recibir la función f (t) = O para todas ,L~ a. Exigiendo qu~·
para t ~ a
·
t -.ci
.
.-.-.a -+"1'1(t)=O,
ballémos
. .
1Jli (t) =
t-a
--a-71 (t-a),
Obtención d:e
repre~entaciones
t69
y originales
'1í2 (t) , pa1'.a qué en sunia ·con
2a
·ó
·
t
.. t ,,,,
.__2· ª· L o que el a .
unc1 n •·-·· - a. - para tú d as
t-2a
.
Más. adelante hallamos tal fünción
f (t)
·
O tener la
!!5l
r·
-ª- 1
o + 'lí2 ·(t)= ·-
cie donde
t'-2a
'1>2 (t)= - 1
1 (t-2a).
·a
,
De tal inilnera; pa1;a todos t ;;;;, O ohtenémps
.
t-a
.
t·- a .
t-2.:'t ..
f (t)= - a - r¡ (t) - - 4 - r¡ (t -a)+· -~- r¡ (t -2a).
Utilizando la propiedad de linealidad y el teoreíná de retard_o,
f(t)
a
2a
4a
t
Fíg. 35
º'X···j
,:~11.fmos
. ·Í
la representación buscada
.
:'· i
.
0~
:':i·j '
1
1
F (p)
1
de la función da,dá t(t):
.
1
..
F(p)= -·- ~- - . --e-ªP- --~-2ap1 .
· a~
p
~2
~2
•
.
iJiJ jfmpta 11. Hallar la representaci.ón F .(p)de la funcióí1 f (t) q1.1e
•· 'ór la gráfica siguiente (fig. 35): .
·
·
b.tcíón . Hallemos la· expreción analítica para la función f (t)
'f (t) = 1 para t E. (O, a),
)}( t)=-, 0 para tE (a 1 2a),
~:, . · · ·· t - 2a
h.f.(t)=: -. - · para tE (2a, 3a),
!·-~~
-~
~
. .
f:··; · .·
.
t -3a
. -· para t: E (3a , 4a),
.a
ll~fU'l~ o para t ? .4a. .
.
;~r.a 1 t. E(0, a) tenemo~ / (t) = 1.
.
. ..
u_eg5::;baUemos_!a func16n'1Ji (t) tal que ·para t ·~ á se cumple la
'P; {t) - Or de P,onde '\jl (t) = -1 ·TJ (t--: a).
ta hallamos la función '1'2 (t)1 tal que para todas t > 2a sea
:ikualdad O '11>2 (t) = t - 2ª . De aquí
. .
·¡ J-Xt)= 1- '>.·.!· . ·, ··.
.i+
'11i;:".
..
'
+
a
t-2a
1l'a (t)=-a- i¡(t-2a).
,
(.
170
Cálculo operacional
Análogamente hallamos las funciones
t-3a
t-4a
'lj)3(t)= -2
r¡ (t-3a),
t¡l 4 (t)=
a
a
t)
(t-4a),
De ese modo,
f (t)= 11 (t)-r¡ (t-a)
+ -t-2a
- r ¡ (t-2a)a
t-3a ·
t-4a
- 2 - - 1 1 (t-3a)-f--- r¡ (t-4a),
_
a
a
A base de la propiedad de linealidad y el teorema de retardo, obtendre·
mos la representación
1
2
1
1
1
F(P)=---e-aP+-·- e-2ap ___ 6-aap+_ 6-:iap,
p
p
ap2
ap2
apz
Ejemplo 12. Hallar la representación de la función
O
para t
<
1,
para 1 < t < 2,
para t > 2.
Solución. Expresemos f (t) a través de potencias de diferencias
.t - 1 y t - 2. Tenemos
f (t) = {
t 2 = [(t - 1)
t2 = [(t - 2)
ot2
.
+ 1)2 =
+ 2]2 =
(t (t -
1) 2
2)2
+ 2 (t + 4 (t -
1)
2)
+ 1,
+ 4.
Por consiguiente, la función dada f (t) la escribiremos en forma de
f (t)
=
[(t _, 1) 2
+ 2 (t -
1)
+ 1] TJ (t -
+
[(t - 2) 2
+4 (t - 2) +41 r¡ (t 1) -
2).
Pasando a las representaciones, obtendremos
.
2 1)
(2
f (t)-:-F( p)= ]i3"+pr + p- e-P -
(2
4 4) e-zv.
¡;a+-pz+-p
H allar l as represent aciones de l as funciones siguientes
prefij as gráficamente:
564.
f(t)
fi----
o
/
·'
Obtención de .representaciones y originales
f(t)
11---.
1
·l
l
1
o
i1I·
¡2
l
1
1
t
~t
f(t)
f(t)
l .
.
1-~
t
O
t (t) =
{
1
l
-
t
·a
o
para O::;;; t::;;; a,
para t >a.
t
O
para
O~ t ~ a,
f (t ) = { 1-e-l>(t - ª ) para t> a.
171
172
Cálqulo operactonal
569,
f(t)
t
570.
f(t}
571.
4
3
,,
f(t)
r
1
11
1 1
1 1
2
1
1
l
1
o r1 r2
1
-2
-4
572.
f(t)
.__,
1
l
l
1
1
1
1
l
¡3 1*
1
1
1
1
1
1
1
1
L.....I
t
[Cap. JI
§ 14)
Obtención de representaci-Ones y originales
573.
l(t)
2
1
o
a
2a
Ja
t
574.
--~
·,
:
f(t)
-
:i~---h;
·:• ·.=-::.
;_:.
t
·f ":
=~
f(t}
ft------.
o
·1 ------
576.
t
f73 .
·174
Cálculo operacional
577.
f{t}
b------ - -~,-~~~~~~
o
12a
t
J
. ·;.ó.
578. Suponemos que la funci ón f (t) periódica con .el
período T es la función original. Mostrar que su representación según Laplace F (p) se expresa mediante la fórmula-
1
F(p)= _~-pT
T
j e-Ptf(t)dt
o
y está .determin ada en el semi plano Re p = s >
f
O.
E jemplo 13. Hallar la representación de la función per iódica
(t) que es dada gráficamente (fig. 36).
·
Fig. 36 ·
S oluctó11.
La representación, l a hallamos por l a fórmula
T ·
F (P) =
Jr e-Ptf (t) át,
1. T
1- e-P
donde f (t) es la función periódica Re
Sustituyendo en (8) la expresión
f (t) = {
2~t
teniendo en cuenta que T
=
1
F (p) =
1
_ :_2P [ ) te-Pt dt
o
p
= s>
O, con el período T.
. ·
para o:;;:;;;t::=:;;;1,
para 1<t::::;;;2,
2, obtenemos
2
+ J(2- t) e- pt dt J= p::iú-~:~'P).
1
(8)
o
Obtención de representaciones y originale .~
175
la representación de las funciones periódicas
f(tj
•.- ; -__ -..
..,. ..
,::
~ '
t
58i. t (t)
583.
-·.:
.- ..:;
! sen t [. 582. f (t)
=
l cos t ¡.
t
.
para 2kn < t < 2k+ 1) n ,
para (2k 1) tt < t < (2k + 2) n
(k= o, 1, 2, .. . ).
584. Mostrar que si f (t) • · F (p) , entonces
f (t) = {
sen t
o
+
a
f(t)r¡(t-a). • F(p)-If(t) e-P' dt.
o
En la práctica del cálculo operacional a veces nos encontramos
con así llamadas funciones generalizadas*) que juegan un papel impo1·tante en la matemática contemporánea.
Uno de Jos representantes de funciones generalizadas es la función
de Dirac o (t) que se determina así:
f} <'l(t)={ O,
s~ t'1=0,
Sl t =O,
J
1:1
6 (t) f (dt ) == f (0),
o:
donde (a., ~) es cualquier intervalo que contiene el punt o t
mientras que f (t) es la función continua en el punto t = O.
oo,
2)
=
O,
*) La definición más exacta de las funcioues generalizadas se
puede verla en el libro de J. M. Gclfand y G. E. Shilov : Funciones
generalizadas y operaciones con ellos. 1959, Fismatgis. Moscú.
.
·-lllllU!!!l!lmft\IJllllPlll""N!
=mílllllil'W'IMZ::lliW!"KliliiMillll"1191". .m--1o1,ili·::¡¡,,·•r-.,.11::·..,--·~~-.w~.·_._. _ .,, .,_
f76
.._,~.,,-............
''"•""' " ' · ' ·
'l r'
[Cap. 11
Cálculo operacional
Análogamente se define la íunción o (t - -r) concentrada en el
punto t = i;.
En la teoría de las funciones generalizadas f> (t) se considera como
la derivada de función <le unidad
_
r¡ (t)={ 1, t >O
O, t<O,
r¡'(t)=6(t).
Análogamente, para cualquiera
r¡' (t -
(9)
't
o (t -
't') =
,;).
Observemos que la derivada ele la función r¡ (t) en el sentido común
es igual a cero para todas t =I= O y para t = O no existe.
Son válidas las fórmulas
<'>(t)~i;
o(m)
}
(t) • • pm, m es el número entero ;;. O;
(10)
O(t--r) ~ e-P"C.
Examinemos la función j (t) que tiene la discontinuidad de primer
género en los puntos tk (le= 1, 2, ... , n) con saltos
h11. = f (t11. +O) - f (t1t - O)
(k = 1, 2, . .. , n) .
Dado que f (t) es continuamente diferenciable en los intervalos
(t1¡ , th+1) (k = 1, 2, ... , n - 1) y para t < t 1 y t > tn. Entonces
f' (t) = f{ (t) +
n
LJ
(11)
hkfi (t- tk),
k=1
n
donde fi (t) = f (t) -
LJ
h11.1'}
t1¡) es l a función <icerrada». De
(t -
k=i
.
ese modo, la derivada de la función discontinua f (t) se compone de su
derivada ordinaria f í (t) (en los intervalos de suavidad f (t) y de suma
de 6 funciones en los puntos de discontinuidad con los saltos respectivos
en calidad de coeficientes. Esta regla es muy importante par11 la aplicación correcta de teoremas de cálculo operacional para lasfunciones .
discontinuas.
Examinemos, verbigracia, la función f (t) que se determina del .
modo siguiente:
f (t) = 'I') (t} - 2n (t - 1} r¡ (t - 2).
Aplicando la fórmula (11) hallamos
....·.-~..,,~
f' (t) = a (t) - 20 (t -- 1) o(t - 2),
_ ,.,
de donde conforme a las relaciones (10)
·J
f' (t) ~ 1 - 2e-P e-2P.
A continuación
+
+
:
+
f (t) ~ _!__~ e-P+_!_
p
lo que da de nuevo
t (t) =
'Y) (t) -
p
2ri (t -
p
1)
e-2P
+ r¡ (t -
'
2).
§ 14]
Obtención de representacio'nes y original es
1ii
Los razonamientos no estrictos sin tomar en consideración la fórmula (11) condu~irían a lo siguiente. La derivada f (t) en el sentido
común es igual a cero en todas partes menos los puntos t = O, t = f,
t = 2, donde ella rio existe. Pero en este caso la integral de Laplace
de f' (t) tendría que ser también igual a cero, de donde y la representación f (t) resulta ser igual a cero que claro no es correcto.
585. Resolver el problema Nº 580, hallando primeramente la representación de la derivada de la función f (t ) y después la representación de la misma función f (t).
586. Supongamos· que a y b son dos números positivo s
y sea f (t) . · F (p).
·
· Mostrar que la función
. { f (at -
./
·
...
>
~.
;\'
!,
b
º~
:
·¡·.
. .'
b), t
g (t) =
b
a
t<¡¡,
a
1 .--PF ( P )
.
I a representac10n
.'
tiene
e a..
(el teorema conjunto de semejanza y de retardo).
587. Hallar las representaciones de funCiones:
a)
sen· ( 2t -
~ ) ,. t > ~ ,
O,
t<s;
/(t)= {
b) f(t) =
·.
e)_f (t) =
n
~os ( 3t - ~ ) , t > 1~
{
,
it
o,
t <18;
{ sh (3t - 6), t > 2,
O,
. t < 2.
", 588. Hallar fa representación d.e la funci9n de dis1ribum1¡ en los" puntos t.= k
ción de masas
n
f (t) =
/'-i
.2J
k= O
m11 6 (t - k).
IX. Teorema de n,tultiplicación (teorema de convoluci6n). Pro -
;~!fft~ de dos rep resentaciones F (p) y
:_0662
a>
(p) es la representaci6n también,
178
Cálculo operacional
. :1f
~~'~'
al mtsmo tiempo
i
t
Jf
o
F (P) a> (p). •
('t) <p (t - 't) d't,
(12)
t'
. :-::~
La integral en el miembro segundo (12) se llama la corwoluci~11 : :"
de las .funciones f (t) y q> (t) y se denom!~ª por el símb.olo f (t)* <p (t)/ ;~
E¡emplo 14. Hallar la representac1on de la función
, ·;;:
..:.v
.· ·~ ·
J
t
'l!>(t)=
)ií
(t-'t) ei; d-r.
o
.
:~
Solución. La función l!J (t) es la convolución de funciones f (t) = t ·f,;,,
y cp (t) = et. Según .e l teorema de multiplicación
~J~
1
1
1
'lj)(t)~'l!(p)=F(p)«l(p)= p~ • p-i
1
.~
p2(p-1) •
1
E jem plo 15. SeaFi(P)=px, F 2 (p) =p11(x>O,
Y>O
raales) . Entonces
· De acuerdo con el teorema de multiplicación
F (p) F (P)
l
2
i
=
t
1
·
r
px+y :;- I' (x)
(Y)
Jf
(t - -r)ll-1 'tx-1 d-r;.
o
De otra parte
1
tx+y-1
Fi(p) Fo¡ (p)= pX+Y • • I' (x +y) •
De (13) y (14) tenemos
''
i
t
t"'+Y-1
r
(i~).
(x+y)
r
(x)ir(y)
Jo
(t-'t)11-1.-x-1d-..
Suponiendo 't=A.t, de la última igualdad obtenemos
i
f
tX+l/-1
tX+l/-1
I'(x+y)
I'(x)f(y)
J A.x-1(1-/.)Y-ldl..
o
La integral en el miembro segundo es B función de Euler B (x, y).
Ahora surge la fórmula. formidable que conecta B y r funciones de
. Euler
- r
B(x, Y) -
(x) r (y)
f(x+y)
óbtenci6n de representaciones y originales
179
,, .. ,./Convolución reiterada. Supongamos que tenemos tres funciones
~ti~(t), / 2 · (t), f 3 (t). Entonces
~w~.;~~;~: ·:.:. .
t
~1~:¡?_;
t1~:;,
Jf
F i (P) F (p) ••
:- .
(1:1) Íi (t-1:1) d't'¡o
2
o
iW\continuación
~;u:::·'. . -'_-.
t
" '<•" · "
i
t-i:2
r~~1(P)·F2(P))-F3(p) •• J{
~'.(:;_i
to
f2('t'1)f¡{t-'t1-'t2) d-r1}ts('t'2) d1z =
o
t-'t'2
= Jfs (1:2) d-r2
¡;~;:·:
·, :_-•;CC.
J /2 ('t¡) f1 (t--r1-'t'2) d't'1,
0
Q
;~ea_
i::
F 1 (p)=_!_F1'J (t).
( -'
p
tEntonces
;.:;:~= , ·
,,
~>
;:: _
,_:.,_,_.. .
ª
F 2 (p) F (p)
•
p
-;--
t
t-'tz
o
o
Jr fs('t'~>ª'tz Jr
/2 <'t1 >'l'J ( t--r1-'t'2>d 't'1·
f·I?e<la definición de la función 1'J (t) se deduce que efectivamente la
&lµtegración se rea.liza por el dominio t > 't'1
-r 2, donde 'IJ (t - 't'1 f'·: .:¡;2 ) = 1. De ese modo,
F
>· .
f·
+
F 2 (p) Fs (p)
p
=
•
Jr Jr
f ( )f ( ) d
2 't'1
s 1:2
d
't'.i 't'z.
't'.t+'t'2<t
;:,
Utilicemos este resultado para hallar el volumen de la esfera
(.ii-di!Ilensional. Introduzcamos el sistema rectangular de coordenadas
{~ilitesianas :i:1 , a; 2 , • • • , xn en el espacio n-dimensional.
:- : ) El volumen Vn (R) de la hiperesfera del radio R se determina
f p9,: · la igualdad
;t"
t':,
Jj ... J
V n (R) = xi+xª+ ... +x~.,¡;;;na dx 1 dx 2
•••
1
dx ¿.
¡ ~;p ?irtud de la simetría de la esfera respecto a su centro
xf+x¡+ · , • tx,t<R2
•.:.- ;·
.,
Vn (R)=2n
Jd:c J dx
1
o
o
2 •••
Jdxn.
o
[éap. lÍ
Cátcuio operactonai
Esto es la convolución ;reiterada de n funciones idénticas
fk (t)= r¡ (~ (k=i, 2, ... , n), donde t=R2.
lit -
.
.
La representació'n de cada una de estas funciones es
fk (t)
••
~~
(véase el problema 515).
Por lo tanto
de cfonde
:rr,n/2
- - - - - t n /2 =
r(1+~)
Así,
Vn (R)
En particular, para n
r ( 1+ ~ )
= 2 hallamos
V 2 .(R)=
:rtRZ
r (2) =:rtRZ .
. Hallar la representación de las funciones sig11ientes:
t
t
589.
J
et-'I:
sen -i; d-i;;
590.
t
591.
Jcos (t -
o
o
J(t ~ T)2ch
i") e2.. ·a.-.
.
t
't' d-r.
592.
o
J(t ~ 't')n f (~) dt:.
o
t
.
593. .~ e2<~ -t>~~, dt:.
o
Primer 'teorema del desarrollo·. Si F (p) es la función analítica
en el entorno del punto infinito y es tgual en él al cero y st el desa rrollo
de Laurent F (p) e.n el ent?r~o del punto infinito tiene lar,fórmula F (p) =
00
.
=
~ e! , entonces la funci~n
k=1 P.
.
.,.
···
.
,
• 00
.( ) . °'1 '
~:
¡
'.' f t
= LJ
11=1
Ck , .
it
l
(k-1)1 t. - '.
§ 14]_..
..
· :._.
Obtención de representaciones. y ortgtnales
sirve del original F (p) , al mismo tiempo esta serte converge para todas t.
Ejemplo 16. Ex~mine~os la función F (p}_= P 2 ~ . Ella es
1
analítica en el entorno del· punto infinito· y su desarrollo de Laurent
en el entorno de este punto tiene la forma
1
:p .(1+
-~)
. p_
00
=_!_(1-_i_+_!_· .. +C-t)n_.p2'11
1-+· .. )=
°"' (-11': ..
p
p2
p"
. . .LJ p2'11+1 •
n=O
Entonces
• CIO
f (t)
=""'4J·
(-'-1)'11tan
cosJ,...
(2n)!
'·~ ·
n=-O
lo qué coinci¡le con· el resultado conocido-,
..
Ejemplo 17: Hallar la representación de la función f (t)
donde J 0 (t) es la función del Bessel del orden nulo.
Solución. Es conocido que ([20]) .
=
J 0 (t},
. .\
·oo
tllk
Jo(t)=
~ (-:--1)11. (kl)222k •
,¡
k=O
Examinemos la función F (p) ·=
. .
· . Esta función es uniforme
· P
lfi + f\l
.
.
en el dominio 1 p 1 > 1, es analítica en e entorno del punto infinito
(infinitamente alejado) y se anula en este punto. Hallemos su desarrollo de Laurent en el entorno del punto infinitamente alejado según
la fórmula del desarrollo del binomio:
1
F (p) =
1 .
V 1 + p2 ·-
1 (
p
1
1 )-2
+ P2 .
00
·
(- i)h (2k)I
. ~-- (kf)2 2211p2k+l .
11.=0
Conforme al primer teorema del desarrollo el original para F (p)
será la función
00
f (t) = "¿.j
ltz=O
De tal manera
(-1)h 2tZk
(kl)ª 2 11.
10 (t).
182
[Cap. ~r;
Cálculo operacional
Ejemplo 18. Deducir la relación recurrente
·
2n
l n+1 (t)=-t- Jn (t)-ln- 1 (t) .
Solución. Es conocido (véase el problema 596) que
Utifü;ando el teorema de la integración de representación, obtenemos ·
J n (t).,,.:.
i
Suponemos que
'f (vP2+f- p)n d . ·
vp2 +1
Jp
•
V p2 + 1-p = v.
Entonces
r (lfpq:i-p)n dp= - r v'IH dv =
v~ +t
J
P
J .
-~ +c.
n
Así que
l n (t)
t
•
';""'
...!...[(,
r pz+i- p)n] IP:'.:"" =_!_(, r pz+t- pyi.
n V
P- P
n V
(15)
De otra parte, de l as expresiones
1
ln-1 (t). • - -- - (1f P2 +1 -p)n-1,
l/ P2 +1
1
11F2+1
ln+i (t) . º - - ==,....(1fp2+ 1-p)n+
1
hallamos
ln-1 (t) + ln+ 1 (t) ~ 2 (ifp 2 + 1- p)n.
De las r elaciones (15) y (16) demostramos
2n
ln- 1 = -t- ln (t)+ln+1 (t)=Ü .
(16)
594. Mostrar que
J~(t)= ln- dt)-;ln+i(t)
(n= 1, 2, . . . ).
595. Hallar la representación de la función f (t) =
= 11 (t).
596. Mostrar que
J
•_
( V P2+T - p)n
(t)
n
"
V Pª+t
j
.~
Obtención de rep resentaciones y originales
183
· 5~7 . Mostrar que
: · ·..
598. La función de Bessel del prhner género del argumento puramente imaginario I n (t) se expresa a través de la
función de Bessel J n (t)mediantela relación! ii(t) = (i) -n J n (it).
Mostrar que
I (t) • (p- lfiJ2=I)n
n
lfp2-1
•
599. Los polinomios de Laguerre se determinan por la
fórmula
et
Ln (t) = -;;:r
an
dtn
n -t
(t e ) (n =O, 1, 2, ... ).
Mostrar que
• 1 ( 1--¡;1
L n(t):-p-
)n
(n=O, 1, 2, ... ).
600. Hallar l a repr esentación de la función
601. Mostrar que erf (Vt) . ·
1
P
lf
P+1
,
t (t)
=
In t .
donde
t
Je-u• du.
V n O
efr (t) = .. :
00
Sea necesar io hallar la suma de la ser ie funcional
2J IJln (t), donde
n=i
son las funciones-originales.
Al sustituir las funciones IPn (t) por sus represent aciones, llegamos
a una serie que se compone de las rep1·esentaciones, sumar la cual es,
a veces, más simple que la serie inicial. Pasando de la suma hallada
. a la función-original, hallamos la suma de la serie dada.
E jemplo 19. Para los polinomios de Laguerre Ln (t) tenemos
..·
.· <p1i (t)
1 ( 1- p1
Ln ( t).,..:. P
)n.
~
i·
J
(
t·
Cálculo operacional
184
fCap. 11
Por eso
00
~
( - f)TiLn(t)r
! [1-( ! )+(
1-
1-·
.
n=O
1
1
1
1+1--
2p.- 1
1
= p-·
.
~
1
2
p
r- ... ]
=
t
. 1 2
1
1
-;=T e.
p-2
De ese modo
n=O
· 602. Mostrar que ·
00
~ ( ~ 1)n L 2 n (2t)
·n =O
=+et
(sen t
+ cos t) .
00
603. Mostrar que ~ L~!(t) = eJ 0 (2 Y t)
n=O
.
00
604. Mostrar que ~ ( -1 )n J zn+ 1 (t) = {sen t.
n=O
. 00
605. Mostrar que J 0 (tH-2
LJ
n=i
J 2 n(t ) =1, donde Jk(t)
es la función de Bessel del orden k .
00
606. Mostrar que ~
Ln (t) = e- t
2n+1
'
O< t <
+ oo .
1'!=0
Ejemplo 20 . Calcular la integral
+oo
f(t)~ J :.'~':, du,
~
.·,\
t>O.
:·~
Soluci6n. Para cos tu que consideramos como la funci6n del argu~ '.;~
mento t mediante el teorema de semejanza tenemos
. <·<
•
COS ·t u'F'
.
p
p2+ u· a •
§ 14]
185
Obtención d·e representaciones y originales
Por tanto
La función suhintegral como la función del argumento u admite
la representación
1·
p·
Por consiguiente,
1
{ (t)-F {
pZ-a~
arctg ~+
• ~ arctg ~)
P
p
p2-a2
a
a
¡u=+<» =
u=O
n
=24
1
P+a .
Pasando a las funciones originalea, obtenemos definitivamente
· ~ e-:-at
f (t)= 2a
.
·· Calcular las integrales: .
I
u
/ (t) =
b) f (t) ·
""j
sentu~cosu du,
6º:-· a)
""
sen tu
1+ u2
t> O;
du,
t> O.
o
608. Hallar los valores de la función f (t) y sus ·dos pri'
d eriva
. d as para t. -+ + O, s1. f (t) :;==p(pz+
.
P+i
, ..... meras
p+í)
·~ · yf' (t), f" (t), /"' (t) son los originales.
~:_
!· _Determinación d~l original por la ~epresenta~tón. Para hallar el
;; Qr1gmal f (t) por medio de la representac10n conoc1cla F (p) se emplean
·rdó~
.métodos siguientes:
Si F (p) = RQ ((p)) es 1a fracción propia racional, entonces la
'·':". !. 1.
p
·' i.
.
eséomponen en la suma ele fracciones simples y hallan los originales
:.ntir ·cada fracción simple, utilizando las propiedades 1-IX de la
ra:nsformación de Laplace.
·
·:'.~ Ejemplo 21. Hallar el or.iginal para la función F (p} =
. ... .
1
l
p
CP -
1) (p 2
+ 4) •
·i Solúr.t611. Desarrollamos F (p ) en suma de fracciones simples:
.. ~ :·
,.
,.,.
'.
i
A
p(p-1) (p2+4)
p
B
Cp + D·
+ p-i + p +4
2
Cálculo oper acional
186
Hallandó los coeficientes A , B, C, D obtenemos
11
11
1
p
1
1
F{.P)= --¡-¡;+ 5 p - 1
20 p 2 +4 -5 p 2 + 4
+
Los originales para cada fracción simple en el miembro segundo (17)
se hallan fácilmente. Utilizando la propiedad de linealidad, hallamos
1
1
1
f
f (t)= - 4 +5 et+ 20 cos2t- sen 2t.
10
Ejemplo 22. F(p).--
(p2 ~f)ª,
Hallar el original f ( t).
Soluci6n. En el caso dado ya F (p ) es una fracción simple. P ara
hallar el original ampliquemos el teorema ele multiplicación y lo que
P2
1
+1
• ·sen t.
..
Tenemos
1
?s
1
p2+1
-p-,ª""+
~1-· .
t
sen(t-'t) sen -rd'l' =
o
~
t
J rcost-cos(2•-t)]d't=
o
i
= 2 t cos t - 4 sen (2'&-t) ¡i:=t
't=O =
2 t cos t -
1
1
Ejemplo 23.
1
2
sen t .
;~i Hallar el original f (t).
F(p) =
Solución . La presencia del factor
e- P
indica en la necesidad de
aplicación del teorema de r etardo. Aquí 't = 1 ,
tanto
P!
1
. · et, por lo
e-P
P+1 • . e- <t-1)1'}(t - 1) .
II. Con ayuda del segundo teorema del desarrollo que afirma
que para las · condiciones determinadas superpuestas en P (p) la función
f (t = ¿} res [F (p) ePt]
(pk)
.
sirve de original para F (p), doncle la suma de residuos se toma por
todós loll puntos singulares p¡¡ de la función F .(p ).
En partlcular, si F (p) ~ ~~~ es la fracción racional propia,
ent.onces la función
l
~
1
dnk- 1
nk- i
P~ PJi dp
f (t)= ~ (nlí_.:1)1 lím
k=i
·n
·
{F(p)ePt (P - Pk) k},
(18)
··~
Obtención de representaciones y ortginales
187
;
:~irve de su original, donde P1i. son los polos de F (p) de multiplici\lad n1i.
y la suma en (18) se toma por todos los polos de F (p).
· Si todos los polos de F. (p) son simples, entonces la fórmula (18)
simplifica y obtiene la forma
.
l
.
t (t)= ~ il~~) /kt.
k=i
=
¡
(ps .!.. f)ll . Hallar el original
(t).
Solución. La función F (p) tiene los polos Pi.= 1, P?.
cada polo es de segundo orden. Mediante la fórmula (18)
. Ejemplo 24. F (p}
,
f(t)=~l~
[
J' , [
pePt
(P+1)2 P +P~i_:ti
pePt
(p-1)2
=
--1
J'P=2tsht.
t
Para las representaciones dadas hallar originales y cons. truir sus gráficas:
e-2P
2e-P
609. F(p)=•
p3
610. F(p)=-a-·
p
e-2p
e-sp
611. F(p)= p-t.
612. F(P)= P+ S.
Hallar los originales por la representación dada:
1
+5
613. F (p) =
P2 + 4P
615. F(p)=
(p-: i)ª .
1
614. F (p) = P2 + 4 P+ 3
616. F(p) =
1
617. F(p)= P+ 2p2 + p3 .
(P2
¡
1)2
1
618. F(p)= 7-p+p2 •
6 9
2pª+ p2+2p+ 2
1 • F (p) =
P"+2p4+2pª
1
620. F _(p) = - p2(p2+1)
- -
-~
62 1. F (p) = (P+ 1) (pP+2
-2) (Pª+4) •
n!
622. F (p) =
p (p+i) (P+ 2) . .. (p+n)
623. F (p) =
P~ + 2ps + 3p2+2P+ 1 •
1
2
•
p +2p- 1
624 · F (p ) = Pª+3p
2 +3p+1 •
p
62
2p+3
625. F< p)= Pª +
t •
6. F(p) = pS+4p2+5p'
·i88
{Cap. !~
Cálculo operacional
629 . . F (p) =
e-ap
631: F .{p)-:- (p+i) 2
(p:~ 1)2 •
e-p
632. F (p)-= P íp- n
•
1
633 . F (p) = p2+1
(e- 2P + 2e-3P + 3e-i.P).
e-P
+
634. F(p)= .p2-1
.
.
.
pe-2 P
p2_4 .
e-p¡2 ..
635. F (p) =
P (p+i)(IJ2+ 4)
636 • F (p ) =
e-P
2e-2P
P 2 · P3
e-P/8
P (P 2 i) •
+
+ 6e-3P
P'
'
+
637. F (p)?
Teorema de Efros. Sea f (t) • • F (p) y sea cI> (p) y q (p) las
funciones analítias tales que
. $ (p) e-'fq(~) ~ cp (t, -r).
Entonces .
00
F {q (P)] cI> (p) ~ )
.
f ('t) q> (t, 't) d't.
. ; ·.,·
~
o
En particular , si cI> (p) =
~ ;_
q (p)
V p
= lf[i,
entonces
.
.·:
.·.:·.~
l
cp (t , -r)= ) - e'"""2/ 4t,
·;['.
r :nt
3:
Por eso, si es sabido que P (p) • · f (t), enton~s mediante el te.orema ·.~[~
F
. . 1
d e Efros h a11 amos el or1gn 1a para:
F
<Vp ) :
VP
;y: ... ;.. r
1(<) .-"'" ,,_
.
o
.
. ~'M
. .
.
}ii
,.,;'h
.
(l;~I
.!-.~~;;
Mediante el teorema de Efros hallar los originales d~~¡'
las funciones siguientes (a es el número real):
·
638. F (p) .
e- Yp:r./a
P
....,...
~---,
~. · - --
............,........
_,.,._
..... _............ .
~. --
........·· .
'·· · ·- ····:·
- · · ·':'~ · ·. ••··
· -·-·":- ·~ ·
.... ,... . . ,.. -·· -··-,, ~
$oluct6n de ias ecuaciones dtierenciales
e-u. v:P
a •
p.
.
640. F(p)=
642. F(p)=
p
-aVp
6
(, 1 V
641. F (p)=
·
e- Vpx/a
-VP (11/
-
+h)
) •
p+a
· Utilizando el teorema de Efros, calcular las integrales
siguientes:
.
. .
00
'
·..
.·
643. I (t) = ~ Í ch w-'1; 2/4t·d1:.
.. .
lfnt oJ
00
;644. · I (t) = ~ Í cos -,;e-i;a¡t,.t di; •
. . Vnt ~
00
645. I (t) = ~ Í i- sh -r:e-..:2/u di;.
1/:n:t
. . oJ .
00
.646. I (t) =
·
1
-
l/nt
f -r sen i:e-" 2 /u di;.
J
§ 15. Solución del problema de Cauchy. para
las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias
de coeficientes constantes
Dado que tenemos la ecuación diferencia} (para ,l a simplicidad,
del segundo orden)
·
d¡z
ªo dt~ +a1
dz
dt.
··
+a z (t) = f _(t) ,.
.
(i)
2
.' donde a0 , a1 , a2 = const, a0 ..=/= O;f (t) es .Ja· funci6n original.
, .. Vamos a buscar Ja·soluci6n de la ecuación (f)" que satisface las
'Ccind'iciones iniciales:
··
~- (O)=
xo,
(2)
.a :~ . (t) • • X. (p), f (t) ·-=F- F (p) • .A.p~icando a los dos miemb~os (1)
' t~ansformae1ón de Laplace y ut1hzando el teorema de la d1feren_iiici6n del original y la propiedad de linealidad de la transform~~i6n·
'~é-'.Ua_place en vez de la ecuación diferencial (f) con las condiciones 1
!~1:1-i~iales (2) obtendremos la ecua,~ión opei:atoria
•
:s-.~
\., (aop11
+ a1P + a
11)
X (p) - (aoPZo
+ a:ix1 + aixo) =
F (p).
(3)
· ··· ·~
190
éáiczilo operacio nal
De (3} hallamos
X (p) = F (P) + a0 px0 + a0x 1 +a1 x0
ª0P2 + a1P+ a2
Esto .es así llamada la solución operatoria. Hallando mediante X (p)
el original x (t), al mismo tiempo hallamos la función x (t), es decir,la solución del problema de Cauchy (1) - (2).
. ··
El caso general de la solución del problema de Cauchy para la
ecuación diferencial del orden n en general no se distingue del; caso .
n
=
2.
E squema de soluci6n del problema de Cauchy
mediante la transformaci6n de Laplace
Problema de Cauchy en
1 el espacio de originales
l
1
Solución
del problema de Cauchy IV
IL
1 i-1
1
Ecuación operatoria en
A
II el espacio de represen- _ _,.
tación
J
Solución de la
ecuación operatoria
III
Aquí L significa la aplicación de la transformación de Laplace
a la I , A es la solución de la ecuación operatoria II, L-1 es la aplica~
ción de la transformación inversa de Laplace a la III.
Ejemplo 1. Resolver el problema de Cauchy
x 11
x = 2 cos t;
x (O) = O,
x' (O) = -1.
+
Soluci6n.
x' (t) -F pX (p) - x (O) = pX (p),
x (t) • • X (p) ,
x" (t) • • p2X (p) - px (0) - x' (O) = p 2 X (p)
1,
•
p
cos t 'F' p2 + 1
+
así que l a ecuación operatoria obtiene la forma
2p
p2X (P)-!- 1 + X (p)
P~ +1
de aquí
2p
1
- p2 + 1 '
Hallamos el original para X (p). El original para la función
X (p)
.
l
(P~+1)~
1
p2+ 1 :
.
1
- - - , P . sen t.
P~+1
..'. ;.-~' .
. ~ ·~ .
'
...
~1'
191
Soluci6n de las ecuaciones diferenciaies
~
.
"[( P¡lrn hallar el original para la (unción ( 2 ~ ) 2 haremos uso del
. eprema de l a diferenciación de representaclón (véase § 14) verbi·gracia; .
1
l!l;' . oonfil..'.::~,
); ~
=
PO<
~{:_.,. Pués, x (t)
(p) •
(t -
1) sen t.
::::
1
~~~~: :n(:·_ ""t.
1l
~~~:\:'.·_. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales para las
~;· :condiciones inicales dadas :
p-:;< · · 647~ x' + x = e-t,
~~::: .· 648. x' - X = 1,
l~:::·
649. x' + 2x =sen t,
;:,::- ·
( .... . .
i
: ·.
650.
651.
652.
653.
; .··
654.
¡-,, • 655.
656.
657.
658.
659.
~- ·
660.
661.
'.· ·
662.
663.
664.
665.
666.
667.
668.
669.
670.
671.
672~
673.
674.
675.
676.
x (0) = 1.
X (0) = -1.
x (O) =O.
x" = 1 ,
x (O) =O, x' (O) = 1.
x" + x' = 1, x (0) = O, x' (O) = 1.
x" + x = O, x (O) = 1, x' (O) =O.
x" + 3x' = et,
x (O) = O, x' (O) = - 1.
x" - 2x' = e 2 t , x (O) = x' (O) =O.
x + 2x' - 3x = e-t, x (O) = O, x' (O) = 1.
x'"
x' = 1, x (O) = x' (O) = x" (O) =O.
x" + 2x' = t sen t, x (O) = O, x' (O) =O.
x"
2x'
x =sen t, x (O) = O, x ' (O) = - 1.
x'" - x" = sen t, x (O) = x' (O) = x " (0) =O .
x'" + x' = t, x (O) = O, x' (O)= -1; x " (O) =O.
x" - 2x' +x=et, x(O) =Ü, x'(O) =1.
x"' + 2x" + 5x' = O, x (O) = -1, x' (O) = 2,
x" (O) =O.
x" - 2x'
2x = 1, x (O) = x' (O) = O.
x" + x' = cos t, x (O) = 2, x' (O) = O.
x" + 2x' + x = t 2 , x (O) = 1, x' (O) =O.
x"' + x" = sen t, x (O) = x ' (O) = 1, x" (O) = O.
x" +X= cos t, X (0) = -1, x' (O) = 1.
x"'
x" = t, x (O) = -3, x' (O) = 1, x" (O)= O.
x" + 2x' + 5x = 3, x (O) = 1, x' (O) =O.
xrv - x" = cos t, x (0) =O, x' (0) = -1,
x" (O) = x'" (O) = O.
x" + 2x' + 2x = 1, x {Ü) = x' (O) =O.
x"
x = 1, x (O) = - 1, x' (O) = O.
x" + 4x = t, x (O) = 1, x' (O) = O.
x" - 2x' + 5x = 1 - t, x (O) = x' (O) = O.
x"' + x =O, x (O) = O, x' (O) = -1, x" (O) = 2 . .
x'"
x" = cos t, x (O) = -2, x' (O) = x" (O) =O
11
+
+
+
+
+
+
+
. ...
192
~
· - ··---- ·· ·· · · · ~..
,._,
.. ...... .... . ........... . . ...... ........... ........
~
,
[Cap.·¡¡
Cálculo op eracional
677. x"' + x' =et, x (O) = O, x' (O) = 2, x" (O) = O.
678. xIV - x" = 1, x (O) = x' (O) = x" (O) = x'" (O) =
679. x" + x' = cos t, x (O) = 2, x' (O) = O.
680. x" - x' = tet , x (O) = x ' (O) =O.
681. x"' + x' = cos t, x (O) = O, x' (O) ....:. - 2,
=o.
x" (0) = O.
+ 2x' + x = t, x (O) = x' (O) = O.
683. -x" - x' + x = e-t, x (O) =O, x' (O) = 1.
684. x" - x = sen t , x (O) = -1 , x' (O) · O.
685. x"' + x =et, x (O) =O, x' (O) :-- 2, x" (O) =O.
686. x" + x = 2 sen t , x (O) = 1, x' (O) = - 1.
. 687. x" - 2x' + x = t - sen t, x (O) = x' (O) =O.
688. x + 2x' + x = 2 cos t, x (O) = x' (O) =O .
689. x" + 4x = 2 cos t · COS 3t, X (O) = x' (O) = o.
690. x" + x = tet + 4 sen t, x (O) = x' (O) =O.
691. x" - x' = tet, x (O) = 1, x' (O) = O.
692. x" + x' = 4 sen t, x (O) =O, x' (O) = - L .
693. x"' - 2x" + x' = 4, x (O) = 1, x' (O) = 2,
.
x" (O) = -2.
694. x" - 3x' + 2x = et, x (O) = x' (O) = O.
2
682. x"
2
11
2
~
;-
;¡
_i·
"
i-·
695.
696.
697.
698.
699.
700.
701.
. 702.
703.
704.
705 .
706.
707.
7()8.
· 709.
x" - .X' = t
=o; x' (O)
.
x'" + x = ~ t et, x (O) = x' (O) -= x" (O.) = .O"
x" + x = t cos 2t, x (0) = x' (0) =O.
x"
n 2x = a sen (nt
a), x (O) = x' (O) = ' O. ·
x'"
6i"
11x'
6x = 1
t
t2,
x-(0) = x' (O) = x" (O)
O.
xIV + 2x" + x = t sen t, x (O) = · x'. (O) =
.
·
= x" (O)"== x'" (O) = O. ·
~~
x" - 2ax'
(a 2
~2) x =O , x (O) = O,
f
'.
-"·-~:
.
X ' (O)
.
= 1 ,..
,.,~
X + 4x = sen t, X (O) = x' (O) = o. '
. )rr
x"'
x' = e2', x (O) = x' (O) = x " (O) = O. · . .j~
xIV + x
= cos t, x (O) = x' (O) = x" (O) == O, •-;;;;J
x'" (O) ::::: y. ;;¡~
3
1
O)
·i~
4
"
x x = sen 2 t sen t, x ( :.._ 1 , x' (O) · . ..·. g
k
2
xiv - 5x" + 10x' - 6x =o, x (O) = 1, x~ (O) ~Jir
x" (O) = 6, x" (O) · = ' ..2.)~:::
x"
x' + x = tet, x (O)"= x' (0) =O . .. · '\·~,:
x" +X = t COS t, X (0) = x' (Q) _::_O. · .. · · ')°;t~.·
xi(' + 3x" - 4x = O, x (O) '= x' (0) = O, x"-(0}; :,.:21
, X
(O)
= 1.
2
+
+
+
+
+
+
+
+ +
=
11
+
11
'
+
.:;fi!t
§ 15]
193
S oluci6n de las ecuaciones diferenciales
+ 3x" + 3x' + x = 1, x (O) = x' (O) =
=4 x" (O)= O.
x"' + x = 1, x (O) = x' (O).= x' (O)= O.
x" + ro x = a [r¡ (t) - r¡ (t - b) ], x (O) = x' (O) =
= o.
7i0. x'"
711.
712.
2
La exigencia de que las condiciones iniciales estén prefijadas en
el punto t=O, no es esencial, puesto que por la .sustitución lineal de
variable independiente t el problema ·de Caucby para t = t 0 i= O
se reduce al problema con las condiciones iniciales en el punto t = O.
Mostremos esto en el ejemplo de la ecuación diferencial del segundo
orden.
Sea necesario hallar la solución de l a ecuación
(4)
aox" (t)
a¡x' (t)
a 2 x (t) = f (t) ,
que satisface las condiciones iniciales x (t0) = x 0 , x' (t 0) = x1 , donde
+
t0
=FO.
t
= l' +
+
Supongamos
Entonces
+ to) = x (-r); f (t) = f (-r + t 0) =
x' (t) = x' (-r + t 0) = ;' (%),
· x" (t) = x" (l' + t = x ('t),
x (t)
t0 ;
=
x (T
f (-r).
1
0)
1
'
y la ecuación (4) y las condiciones iniciales obtienen la forma
ªº;;, (1:)+a1? (-r)+a2;'(-.) = f(-r),
;'(O) =Xo,
(5)
? (0)=x1 •
· . , Hemos obtenido el problema de Cauchy para la ecuac10n (5)
. con las condiciones iniciales prefijadas en el punto l' = O.
.. .
Ejemplo 2. Hallar la solución de la ecuación x" (t)
x' (t) = t
'./que, satisface las condiciones iniciales x (1) = 1, x' (1) = O.
;.::. ' . Solución. Supongamos t = l' + 1 y x (t) = x ('t' + 1) = ; ('t').
·;·;Entonces la ecuación dada y las condiciones iniciales obtienen la forma
+
,
?
1
('t)+? (i')=1'+ 1,
x(0)= 1,
x'(O) =O,
(6)
:;;ya que al valor t = 1 le corresponde el valor -r = O.
''.i< .Y amos a componer la ecuación operatoria para la ecuación dife~
(6) . Sea ; (t) ~X (p). Entonces
.. .
i,; Í
;? ('t) • • pX (p) - 1,
..
';ir ('t)
• • p2X (p) -
p
'.la. ecuación operatoria será
~
1
p 2 X (p)-P+PX (p)-1= - 2
~··' _
.
p.
olviénclola respecto a X (p), hallamos
' . '
1
1
X
(P)=7+p-·
+-p1 .
iM
. Cálcuio operacional
Pasando a los originales, obtendremos
,...,
x(•)=1+
;;2
2 .
Al sustituir aquí •en t - 1, obtendremos la solución buscada del
problema de Cauchy
x(t)=i+ (t-; 1 >~.
Resolver las ecuaciones diferenciales siguientes
condiciones iniciales dadas:
·
713. x " x = O; x (n) = 1, x' (n) = O.
714. x" (t)
x' (t) = 2t; x (1) = 1, x' (1) = -1.
715. x" (t) - x' (t) = -2t; x (2) = 8, x' (2) ~ 6.
71S, x" (t)
(t) = -2 sen t; X(~) = Ü, x'
+
+
rn)
+X
717. x" (t)
x' (i) = - 1.
+ 2x' (t) + x (t)
= 2e 1 -t; x (1) = 1,
= 1.
Ejemplo 9. Resolver el problema de Cauchy
Xq + X =
.. x (O)
=
f (t),
x' (O)
=
O,
l!li la función f (t} está prefijada gráficamente
f(t)
,. ,
.1 --i
o
~t
.: -~
1
·.··.·.·1·":·.•.
-, :.
t
-
·'.~
I·:~.
Soluci6n. Es evidente
f (t)
= r¡ (t) -
2r¡ (t -
1)
,¡
+ 1'] (t -- 2),
·•..·.. .;•.
··y~
por eso, utilizando la fórmula
/ (t -~ •) • • e·- p''F (p )
obten emos
1
e-P
i
f (t) ~
-p -2 · p- 1 · e-W -p
•
:;~
...
+
y teniendo en cuenta los condiciones
Suponiendo x (t) : ·.X (p)
ciales , obtendremos
x" (t) • • p 2 X (p) ~ px (0)
e- x' (O)
=
p 2 X (p).
ini-
1M
Solución de tas ecuaciones diferenciales
1
X (P)= p (P2+1)
2e-P
e-2p
p (pz+1)+ p (p2+1)"
1
p (P 2
+ i)
0
•
(1-cos t) 11 (t) ,
1
i
p -
1
p (p 2
p
P2+1 '
.
+ 1) e""' 2P -;--9. [1- cos (t -
2)J TJ (t - 2)
(aquí aplicamos el teorema de reta1·do: si f (t) • • F (p), entonces
f (t--r:)
0
•
e - P• F (p).
Por consiguiente,
X
(t)
=
(1 -
COS
t) 11 (t) -
+ [1 -
2 [i -
cos (t -
COS
(t -
2) ] T} (t -
f)] t¡ (t - 1)
+
2)
ó
J
t-2
x (t) =2 [ sen2 t TJ (t)-2 sen2 - t-i
-r¡ (t-1)+sen2 - - t¡ (t-2)· •
2
2
2
R1-1...iolver l os problemas siguientes de Cauchy:
f(t)
2
-
x"
o
13*
+ 4x =
j(t),
x (O) = x' (O) = O.
718,,
f
2
t
• .¡ _ • ·•
....
'.t
-. · ~
,.r·'·
l.
!·',
!M
f(fJ
719.
X + X= f (t),
11
...,
b
x (Ü) = 1, x' (O) = O.
(\¡
o -
t
a
f(t)
. j'
(Cap. Il
c&.lcuio operaclonat
720 .
+
9x = f (t) ,
x (O) = O, x' (O) = 1.
t
x"
o
f
t
f(t)
+
.------.
I
J.721.
/J
1
1
1
1
.Za
.fa
x" - 2x'
x = f (t),
x (0) = x' (0) = 0.
t
722. Una partícula de masa m se mueve rectilíneamente
bajo la acción de la fuerza de reconstrucción m'Ax que es
proporciona1~:a1 .desplazamiento y de la fuerza de resistencia ·
2mµv que es proporcional a la velocidad. En el moment o de
tiempo t = O la p articula se ·encuentra a la distancia x 0 de
la posición del equilibrio y "tiene )a velocidad v0 • Mostrar
que si existe la igualdad n 2 = /,,2 - µ 2 , entonces el desplazamiento de la partícula se determina por la expresión
1
-e-µt
[nx 0 cos nt+ (llo
n
¡. ,
+ µx
0)
sen ntJ.
)~
723. Una partícula de masa m puede realizar las oscila- :1
ciones pequeñas respecto a la posición de equilibrio y . se.:.~
encuentra bajo la ac~ión de la fuerza ~e reconstrucción '3.i
mn2x que es p1·oporc10nal al desplazamiento. La fuerza:,;}'i
constante F que actúa sobre dicha partícula durante eH°y
tiempo T la hace salir del est ado de equilibrio. Mostrar~~
· que la amplitud de oscilación es igual a
;~~
2F
nT
t > T.
mn. sen - 2- para
·
-2
::
..,,
. :s~
•:u"
••
724. Por desviaciones pequeñas del punto de suspenc~ón;~\·
·a dirección horizontal el 'péndulo matemático de la longitqd'
le hacen salir de la posición de equilibrio. Mostrar que si el
.: -·~r:
§ 15]
Soluct6n de las ecuaciones dtferenciales
197
punto de suspensión se ha movido en la distancia a, entonces
la desviación del péndulo es igual a a (1 - cos nt), n2 = gil.
'725. Una part ícula fue tirada verticalmente arriba con
l a velocidad v 0 • Sobre ella actúan la fuerza de gravedad y la
de resistencia 2kmv. Mostrar que en el momento de tiempo t
ella se encuentra a la distancia - ~~ g+~~uo (1 - e-2ht)
del punto de tiro.
726. Un punto material de masa 2 gramos se mueve rectilíneamente bajo la acción ele la fuerza F que crece en a dinas
por segundo. En el momento inicial el punto se encontraba en
el origen de coordenadas y tenía l a velocidad v 0 = 1O cm/s.
Conociendo que la magnitud inicial de l a fuerza F 0 = 4
dinas y que a la distancia de 450 sm del origen de coordenadas la velocidad v = 105 cm/s, determinar el valor de ·la
magnitud a.
727. Un punto material de masa m se mueve rectilíneamente repulsando del origen de coordenadas O con la fuerz a
F que es directamente proporcional a fa distancia (F = 4mx).
Al p1füto actúa la resis~encia del medio ambiente R = 3mv.
En el momento inicial la distancia del inicio es igual a: 1, y
la velocidad es igual a cero. Hallar l a ley de movimi ento
delJ. punto.
728. Un punto pesado· de masa m cae en el medio, la
resistencia del cual es directamente proporcional al primer
grado de velocidad. Determinar la velocidad máxima del
· punto si para v = 1 m/s la fuerza de resistencia es igual a un ·
·t.ercio del peso del punto y la velocidad inicial v 0 = O.
. .·:· 729. Un punto material dl! masa m se mueve en el medio,
Ja resistencia del cual es directamente proporcional al pri;mer grado de velocidad (coeficiente de p1•oporcionalidad es k) .
.¿Que distancia pasará el punto hasta la detención si le han
:a:ado la velocidad inicial v0 y no existen ningunas otras
.uíirias menos la de resistencia?
.
~.~:';7$0.l .Una pesada cadena homogénea de masa m y de
:rl:gitud ·2l se encuentra en l a mesa plana horizontal de ese
·ro-dó que su mitad baja colgada de l a mesa . Determinar la
· .el movimiento de cadena durante su desliz de la mesa
lar el tiempo de su desliz.
l: Un punto de masa m ·se encuentra en la recta que
..;-;tpor dos centros A y B, la distancia entre los cuales es
·~l¡.a, '·2d. Los centros atraen el punto con las fuerzas que
~;' ·i~·ect~mente :pro:por'>hHl\lles a la dista:µci\l liast\l el
+
198
Cálculo operacional
centro; el coeficiente de proporcionalidad mk2 es igual para ~~,
los dos centros. En el momento inicial el punto sé encuentra
a la distancia a de la mitad O del segmento AB, sin tener la
velocid ad inicial. Determinar la ley del movimiento del
punto.
732. Un centro inmóvil O atrae el punto de masa m con
la fuerza F = µmr , donde r es la distancia del punto de este
centro y ~L es el coeficiente constante. En el momento inicial
r = a y la velocidad v = O. ¿Dentro de cuánto tiempo el
punto alcanzará el centro de 0?
733. Le han dado a la barca la velocidad inicial v0 =
= 6 m/s. Dentro de 69 s después del inicio de movimiento
esta velocidad disminuye en dos veces. Hallar la ley de
movimiento de la barca, si la fuerza de resistencia del agua . :: ·'
es directamente proporcional a la velocidad de la misma . .
734. Un punto material de masa m = 2 realiza l as oscilaciones rectilíneas por el eje Ox baj o la acción de la fuerza de
reconstrucción que es proporcional a la distancia del punto
del origen de coordenadas (coeficiente de proporcionalidad
es igual a 8), y de la fuerza perturbadora F = 4 cos t . Hallar
la ley del movimiento del punto, si en el momento inicial
.
X= Ü
y
V=
Ü.
735. Determinar el movimiento de un punto material de
masa m que se atrae al centro inmóvil O por la fuerza que es
directamente proporcional a la distancia y es igual a k 2m
a distancia igual a la unidad de longitud.
En el momento inicial el punto se encontraba a la distancia a desde el centro O y tenía la velocidad v 0 perpendicular
a la recta que conecta la posición inicial con el centro O.
736. Resolver el problema 735, suponiendo que el punto
M se repulsa del centro con la fuerza que es directamente
proporcional a la distancia para el mismo coeficiente de
proporcionalidad.
·
737. Al circuito compuesto de la capacidad Ce inducción
L conectadas en serie, en el · momento de tiempo t = O se
aplica la fuerza electromotriz Ecos (wt +a). La corriente
y carga iniciales son iguales a cero. Mostrar que la corriente
en el momento t es igual a
E~{ w sen (rot +a) - n cosa sen nt dd
on e n 2 =
1,'
1
w sen a cos nt} -L (wz _ n 2 )
1
u;
; se presupone que·~o
n• =(= (J.)~.
•
......
. ¡ ~ ",'.
ti
i~t·
~;~·- §
l.,.
~~:,
1
.·
15]
199
Soluctón de las ecuactones diferenciales
:·
,'
738. Al circuito del ejemplo anterior, con la corriente
., Jnicial nula y la carga en el momento de tiempo t = O, está
:~' apl i cada la fuerza electromotriz E sen nt de la frecuencia
.
.
1 a EL t sen nt,
·..i ·resonante. Mostrar que l a cornente
es igua
2
1
don de n 2 -- LC.
739. A la resistenca R que tiene inducción L está aplicada
la fuerza electromotriz E sen (ú)t + a.). La corriente inicial
es igual a cero. Mostrar que la corriente es igual a
Rt
1
E {sen ('\' - a.) e-¡;-+ sen (wt
+ a-1')} (R 2 + L2ro2)-2
wL
donde tg y=--¡¡- .
740. Al circuito, a la cual se conectan en serie L, R, C
con la corriente inicial y la carga nulas, está aplicada la
fuerza electromotriz que es igual a E 1 para O < t ~ T y E 2
para t > T; E 1 , E 2 son constantes. Mostrar .que para t > T
la corriente en el circuito es igual a
-
E1
nL
e-µt. sen nt ·-
E1 - E2
nL
e-µ<t-T> sen n (t - T)
'
R
2
1
m
1 .
t'
.
dond e µ = u
y n = LC - 4L 2 , a mismo iempo se presupone que n2 > O.
741. El circuito que se compone de la induct ividad L,
de resistencia R y ele capacidad C conectadas en serie, conecta a la fuerza constante electromotriz E. La carga inicial
y la corriente son iguales a cero. Mostrar que la corriente I
en el momento de tiempo t es igual a
.!!._e- ~lt sen nt para ni.> o,
nL
l={ E
-¡; te-~Lt
· para n 2= O,
·· · ~
Cálculo operacional
200
[Cap. II
Solución de ciertas ecuaciones diferenciales
lineales con coeficientes variables
Dado que tenemos la ecuación
a 0 (t) x(n) (t)
donde
cia ~
+ a1 (t}
x(n-l)
a~
(t) + •. • +
(t) x (t}
=f
(7)
(t),
a 0 (t}, a1 (t), . . ., ªn (t) son los polinomios de t de la potenm, mientras que f (t) es l a función original. Vamos a suponer
que el problema de Cauchy
x lt=o=xo; x' lt=o=xg, · .. ,
x(f'l-l)
l t=o=x~n-n
(8)
tiene la solución para la ecuación (7).
Sea
(t) • • X (p).
X
En virtud del teorema de diferenciación de la representación
tkx( 8 ) (t)
~ ( -1)k ..!!!:__ {L (x(s) (t))} =
dpk
= ( - 1)1'. -dk- (pSX (p)-pg-1Xo- • .. - xó8-l>J.
dpl!.
Aquí .L {x(s) (t)) es la representación de la función x( 6) (t).
De ese modo, aplicando a ambos miembros de l a ecuación (7)
la transformación de Laplace, convertimos (7) en la ecuación diferencial de m orden respecto a la representación X (p) de la funció n x (t) .
Si m < n, entonces el problema de integración de la ecuación (7)
. :,
se simplifica.
Ejemplo 4. Hallar la solución general de la ecuación
(9)
t" - 2x' =O.
Soluct6n. Sea x (t) • • X (p) . Entonces
x' (t). · pX (p)-x (0),
x" (t) ~ p2X (p)- px (0) - x' (O),
tx" (t)
~- dd
p
.;
{p2 X (p)_:. px (0)-x' (O)}= - pi d~ l P) _ 2pX
p
(p)+x(O).~ f¡~;
·;;';+i'.li'
_/~t.
La ecuación (9) obtiene la forma
-pª d~ (p) _2pX (p)+ x (0)-2pX (p) +2x (0)=0
p
.
ó
dX (P)+_±. X ( )
dp
p
p
=
3x (O)
p2 •
Integr ando esta ecuación como la ecuación lineal heterogénea respectQ
,:
de X (p), hallemos
X ( )=
p
X
(O)
p
+.EJ..
p4 ~
.
§ 15]
201
S oluct6n de las ecuaciones diferenciales
de donde
x(t)=x(O)+C 1
t3
31
es la solución de la ecuación inicial.
Ejemplo 5. Examinemos la ecuación de Bessel
t2x" (t)
+ fa:'
(t
(t)
> O,
+ (t2 = n2 ) x (t) = O
n es el entero)
(10)
y busquemos la solución de Ja ecuación (10) que satisface las condiciones iniciales x (O) = x 0 , x' (O) = x 1 •
Sea x (t) • • X (p). Entonces
x' (t) •• pX (p) -
Xo,
x" (t} • • p 2X (p) - PXo -
X ¡.
2
(i+p2) d X (p) +3p dX (p) +(i-n2)X (P) = O.
(1 1)
dp 2
dp
Para resolver la ecuación (ii) introduzcamos una nueva variable
independiente y una nueva función buscada por las fórmulas
z
X (P)= ch u '
(11) convertirá en este caso, en la siguiente:
d2z
2
- 2 - n z=0.
P=shu,
du
splución general es
-~.
=
+
C1enu
C2 e-nu.
testo que p = sh u , obtendremos ch u = V p2
1. Teniendo en
ien~a las expresiones para sh u y i<h u a través de las funciones expo-~ crales hallamos
·
>,t/f ·. ·
eu- e-u
eu+ e-u
2
= p,
2
lfp2+1,
·i:..:
·'
z
+
. ·. -~
202
·~
Cálculo operacional
Para ·x (p) obtenemos
X (P)= - z-= C1 (1/ pq::i+ p)n+ Ca (\/ pz+i - p)n .
ch u
lf p2+ f
Para n = O de (1 2) hallamos
x
(P) =
e1 +e 2
1/P~+ 1
Escogiendo C1 +. e2 = 1,
la función de Bessel del
Suponiendo n = 1 y
la solución x (t) = J 1 (t)
• • (e 1 + e2)Jº (t).
obtenemos la solución X (t) = Jo (t) que es
primer généro del orden cero.
escogiendo C1 = O, C2 = 1, obtendremos
de. la ecuación (10).
Hallar las soluciones de ecuaciones:
tx,, + (2t - 1) x' + (t - 1) x =O.
txª + 2x' =O.
742.
743.
744.
745.
x"
x"
(12)
+ (t + 1) x' + tx =O, x (O) =
+ (t + b) x' = O, x (O) = - 1,
. '::.
,,
,.
i, x' (O) = -1,
x' (O) -:- O (b es
cualquier número real).
746. x" + tx' - (t + 1) x = O, x (O) = x' (O) = 1.
747. x" - tx' + nx = O, n es el ent ero, n >O (la ecuación de Chébishev - Hermite):
a) x (O) = 1, x' (O) = O, n = 2k;
b) x (O) =O , x ' (O) = 1, n = 2k + 1.
§ 16. I ntegral de Duhamei
+
Si la función f (t) es continua en [O,
oo) y la función <p (t)
es continuamente diferenciable en ro,
oo) y
F (p) =F> f (t) ,
ll> (p) ,'cp (t),
entonces
+
t
F (p) CI> (p). ' .\ f ('t) <p (t--i;) d-i;.
o
D.e aquí según el teorema de la diferenciación del original
.
pF (p) CI> (p) ••
t (t)
q>
t
CO)+ Jf ('T) qi' (t-'T) d't.
(1)
o
Esto es así llamada f6rmula de Duham el.
Dado que se necesita resolver la ecuación diferencial lineal ele
coeficientes constantes del n orden
L [ x ] """ a 0x(n) (t)
+ a x(n- l) (t) + .. . + anx (t ) = f (t), a 0 =/= O,
1
para las condiciones iniciales nulas
. x (O) = :e' (O) = • , •
=
x(n-l )
{O) =
O~
(2)
(3)
,
-Í
Integral
de
203
Duhamel
'.'" Supongamos
que es conocida la solución de la ecuación
- .
~.:·.
=
L {x)
(4)
i
con el mismo miembro primero y el segundo que es igual a la unidad
para las condiciones (3). Pasando a las ecuaciones operatorias, obtendremos (A (p) es el polinomio conocido de p)
=
F (p)
(5)
1
A (p) X 1 (P)=-
(6)
A (p) X (p)
p
para (4). De (5) hallamos X (p) = ~ ~:~ , y de (6) A (P) = pX~ (P) ,
de donde X (p) = pX 1 (p) F (p). De acuerdo con la fórmula (1)
t
pXi(p) F (Ph=;,· f (t) x1 (O)+
j f (i;) x{{t-i;) di;.
(7)
o
Teniendo en cuenta que
x 1 (O)
=
O, obtendremos
t
X (p) = pX i(p) F (p) ••
If
(1:)
xí (t-'t) di;.
(8)
o
De aquí la solución x (t) de la ecuación (2) para las condiciones iniciales n1.llas (3) tendrá la forma
t
x(t)=
Io f
(t)xí(t-i;)di;,
(9)
clonde x1 (t) es la solución del problema (4) - (3).
·
Ejemplo 1. Utilizando la fórmnla de Duhamel, resolver la ecuación para las condiciones iniciales dadas
x"(t )- x(t)=
i~et, x(O)=~'(O)=O.
Solución. Examinemos el problema auxiliar
xi (t) - x1 (t)
=
1,
x1 (O)
= xf (O) =
Empleando el método operacional, hallamos
1
Xi(p)=p(p2-f)'
de donde
t
-- ·
:
...
~--.-
-:
xi(t) =
Jsh
Q
i; di;= ch t-1.
O.
. . ······~\.".~~
'·
.~.·
, ·!•
204
Cálculo operacional
[Cap. 11
Mediante la fór mula (9)
t
x(t)=
r - 1- sh (t-i:)d't=....!...(ef-tef-i)+sht-ln
J 1+e't'
2
o
i+et
2
La exigencia que las condiciones iniciales sean nulas, no es esencial:
por medio de una sustitución simple de la función buscada, se puede
reducir el problema de l as condic10nes iniciales no nulas al problema
de las condiciones nulas. Vamos a mostrar esto en el ejemplo de la
ecuación diferencial del segundo orden.
Suponemos que se busca la solución rle la ecuación
aox" (t)
a¡x' (t)
a 2 x (t) = f (t)
{10)
que satisface las condiciones iniciales no nulas
x (O) = x 0 ,
x' (O) = xi .
Supongamos que
+
Y (t}
Entonces
y' (t)
=
=
+
X
x' (t} -
(t} -
Xo -
y" (t}
Xi ,
(11)
Xit•
= x" (t)
y la ecuación (10) se transforma en la forma de
donde
aoy" (t)
+ ª1Y
1
(t)
+ ª2Y {t) = fi (t},
fi (t) = f (t) - a1x 1 - a2 x 0 - a2 x1 t.
Luego, en vigor de (H)
y (O) = x (O) - x0 = O,
y' (0) = x' (O) - Xi = O.
Dé Lal manera llegamos al siguiente problema de Cauchy:
ªoY" (t)
ªiY' (t)
a2Y {t) ·= fi (t),
y (O) = O,
y' (O) = O
de las condiciones iniciales nulas.
Ejemplo 2. Mediante la fórmula de Duhamel resolver el siguiente
problema de Cauchy:
"
,
e- t.
x +2x +x= (t+t)~
(12)
+
+
+t,
x (O) = - 2,
x' (O) = 1.
(13)
Soluci6n. Reducimos el problema (12) - (13) al problema de
las condiciones iniciales nulas. Supongamos para esto que
y (t) = X (t)
2 - t.
Entonces
y' {t) = x' (t) - 1,
y" (t) = xª (t),
+
y la ecuación (12) se transforma en la siguiente:
y" (t)+2y' (t)+Y (t) =
donde
y (O} = O,
(1.e~t)2
y' (O} = O.
,
Sistemas de ecuactones di/erendales
205
Hesolviendo el último problema mediante la fórmula de Duhamel,
hallamos
y = e-t [t - ln (1 + t )] .
Solución del problema inicial (12) - (13)
X (t) = e-t ( t ll (1
t)] - 2
t.
+
+
Mediante l a fórmula de Duhamel _h allar las soluciones
que satisfacen las condiciones iniciales dadas:
2t
748. x" -x'= (i~et)2 ,
-
·.
··.
x(O) = x' (O) = Ü.
e-t
749. x" + 2x' +x= i +t ,
x (O) = .x' (O) = O.
2t
e
750. X " -X ' = 2+et'
x (O) = x' (O) = O.
1·1
·, .
·751. x"-x' = -1+et'
~
752.
753.
X
x
" -t. X1
- 2+ cost '
X (O) =X' (O) =
"+ X=
,_
'.• ·:.
756.
X
11
X -
X=
o.
x (O)= x' (O) = O.
1 t '
4+tg2
1
754. x"+x=
1+cos2 t '
1
755. x"+x = 1+ sen
2
t '
"''.,
(O) = x' (O) = O.
x (O)= x' (O) = O.
x(O)=x' (0)= 0.
th t,
x (O)= x' (O)= O.
1
x (O) = x' (O) = x" (O) = O.
757. x'"+ x' = 2+sen t
§ 17. Solución de sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales por el método operacional
'ii:V:
.L.a solución del sistema de ecuaci0~1es diferenciflles lineales ~e
coef1c1entes constantes, empleando el metodo operac10nal se efectua
-,·t por el mismo esquema que se aplica para resolver una ecuación dife·
. rencial.
,- -Sea, por elemplo, necesario resolver el sistema de las ecuaci ones
del segundo orden
.
.(]iferenciales
,r .
. .
~~;:
n
~ {
L..J
d2x11,
dx11,
)
ail¡, (l'ta+b ilt dt+c¡11,Xk =f¡ (t)
k.= 1
(i = -i, 2, ••• , n),
(1)
cdicuio operacional
donde
ªtk•
-bili• c¡k = const, siendo iniciales las condiciones
xk (O)
=
a¡p
Xk (O) =
~k.
Designando a través de X11. (p) y F¡ (p) las representaciones xk (t)
y f 1 (t) del sistema (1) y tomando en consideración (2), pasaremos al
~istema operatorio
I<
2J
(au1P~+bi1iP+C111) X11. (p)=Fg'_(P)+
h=i
n
+ k=i
}.J [(ai11P+bi11.) a1i+a11i~1i]
.
(3)
(t=i, 2, • . • , n).
Resolviendo el sistema (3) como el sistema lineal algebraico de ecuaciones respecto a Xn. (p), hallamos Xn. (p) y luego sus originales xk (t)
(k = 1, 2, . . . , n) . Estos últimos serán las soluciones del problema
de Cauchy para el sistema (1).
Ejemplo. Resolver el sistema de ecuaciones
x"- = 3 (y - x + z) ,
y"-= x - y,
{-
z"-= -z,
(O) = :r:' (O) = o,
y (O) = O,
y' (O)
z (O) = 1,
z' (O)
X
=
- 1,
= O.
Solución. Pasando al sistema operatorio, obtenemos
pªX = 3 (Y-X
p~Y+ 1=X-Y,
{
+z),
pªZ-p=-Z,
donde
X (p) • •
X
(t),
y (p) • • y
z (p) ~ z (t ).
(t),
Al resolver el último sistema respecto a X (p), Y (p) y Z (p ),
obtenemos
(3p- i)
1
3(p-1)
- X (p)= pZ(p2+4)
y (p)= p2(p2+ 1) (p2 + 4)
z (p) =
p2+f ~
p
p2+ 1 •
Hallando los originales para X (p), Y (p) , Z (p ), obtenemos
3
3
3
x (t) =4" (i-t)-¡¡ cos 2t + 1f sen 2t ,
3
y(t)=-¡(1-t)
+ 1 cos 2t -- i sen 2 t - cos _t ,
4
Z
(t)=COS t.
8
Sistemas de ecuaciones dt/erenciales
201
Resolver los sistemas de ecuaciones:
:x'+y=O,
r ,+
758. {
-__y
X=
0'
x (O) = 1, y (O) = - L
x+x'=y+et,
759. { Y+ y'= x+ et,
x (O)= y (O)= 1.
x ' - y' - 2x + 2y = 1- 2t,
760. {
x" +2y' +x= O,
x (O) =y (O)= x' (O) =O.
x"-3x' +2x+y' -y=O,
761. {
-x' +x+y" -5y' +4y=0,
x (O)= x' (O)= y' (O)= O, y (O)= 1.
762.
763
{xy:-_2.-+y,2y,
x.(O) =y (O)= 1. .
X
2x" -x' + 9x - y" - y' - 3y =O,
{
·
2x" +x' + 7x-y" +Y' -5y=0,
x (O) = x' (O) = 1, y (O) =y' (O) = O.
x' +y; - y =et,
764. {
2x' +y' +2y=cost,
X
(O)= y (O)= o.
x' = - x +y+ z + et,
765.
y' =x-y+z+e3t,
{
z'= x+ y+z+4,
X
(O)= y (O) = z (O) - - o.
=~=::
766. { ::
z'
=
-x-y,
X
(O)= - 1, y (O)= O, z (O)= L
x' =y+z,
767.
y'= 3x + z, x (O) = O, y (O) = 1, z (O) = 1.
{
z' = 3x+y,
·{ x' = 3y-x ,
768.
,
at
X (O) = 1, Y (O) = 1,
y = Y x -e ,
.
+ -\-
208
Cálrnlo operacional
[Cap. JI
x' = 2x--y+z,
x(0)=1, y(0)=1, z(O)=O.
769. { y'=x+z,
z' = -3x--j-y-2z,
x' = --2x-2y--4z,
770. { y'= -2x +y·- 2z,
z' = 5x+2y--j- 7z,
.r.(0) = y(O) =z (0) = 1.
tx' = -x+y+z+t,
z (1) =y (1) = z (1) =O.
771. { ty' =x-y--J-z+ tª,
tz' =x+ y+z+4,
x¿= -cx0 ~
772. {
x~ . ~~ c~i :+: c~o: .
Xn =
-
CXn
+ CXn-1•
x 0 (O)=1, x 1 (O)= x 2 (O)== . .. = Xn (O)= O.
3x' 2x y' = 1,
.773. { x' + 4y, 3 y =O,
x (O)= y (O) =O.
3tx' = 2x+ y -z,
774.
2ty'=x+3y+z,
x(1)=y(1)=z(1)=1.
{
6tz' =i-x+7y+5z,
.
x' -x-2y= t,
775. { _ 2x+y'-y =t, x(0)=2, y( ()4.
+ +
+
776. Un electrón sale del origen de coordenadas con }
velocidad inicial v0 que está dirigida por el eje Ox. Hallar la ;i
ley~ de movimiento del electrón, suponiendo que la tensióI:Li;
del campo magnético Hes constante y está dirigido perpendF
~':
' .'.
cularmente al plano xOy.
777. Un proyectil sale de un cañón con la velocidad<v'"
m/seg bajo el ángulo de 45º al horizonte. Hallar, tenien(
a menos la resistencia del aire, la máxima altura, en la ct1á
sube el proyectil y el lugar de su caída.
'
778. El eléctrón se mueve en el campo magnético de:
tensión constante H. Hallar l a trayectoria, si la velocid
inicial v0 forma el ángulo et con la dirección del campo n:iá
nético.
·
·~---· ··------ -------
· - -......
----~-- ---·--·-"~-·
-.--.·~--·-·-·""" · - --·-~- ·~-
--
.-
.- · ·-- = ~-- --
--·--:-.-~--
.. --·-
•'-:---·--~ ·-.----.-···.·----·-~- --,,....
209
Sistemas de ecuaciones diferenciales
779. Det erminar el movimiento de un punto material
pesado tirado con la velocidad inicial v0 bajo el ángulo a
al horizonte en un medio, la resistencia del cual es proporcional a la primera potencia de velocidad (F = mkv) .
780. Una p artícula de masa m con la carga e sale del
origen~ de coordenadas con la velocidad (u, O, O). Sobre ella
actúa el campo magnético constante H paralelo aJ eje Oz
y la resistencia del medio kmv, donde v es l a velocidad de
partícula. Most rar que sus coordenadas en el momento. de
tiempo t son iguales a
_
x-
+'),
kue-kt
k2
2
(
kt
1
/,,u
k~+J. 2 +
y= donde 'A
=
eH,
me
,
'),,
e - cos ,..,t 1 k sen
1
""t
)
~
ue-kt
_k 2
+A. 2
(A.cos'At+ksen'At),
e es la velocidad de la luz.
.781. Una partícula se mueve en el medio que resiste y
que actúa sobre ésta con l a fuerza F = 2/..,v, donde v es la
velocidad de partícula y se atraye al punto (O, O) con la
fuerza µ 2r (m = 1) ~ En el punto (a, O) esta partícul a tiene la
velocidad v0 paralela al eje Oy. Mostrar que p ara µ >J. la
trayectoria de partícula se define por las ecuaciones
x = ae-J..t [ cos úJt
+:
sen
(l)tj,
y=~ e;..J.t sen wt,
ú)
donde w = y¡_i - 71.2 ; r es la distancia del punto móvil a
·partir del punto (O , O).
· · · 782. Un punto material A con la masa m que estaba a la
distancia a del eje Ox ha obtenido l a v elocidad inicia 1 v 0
. ,paralela al eje Ox. E l punto A se atrae por el eje Ox con la
i(fuérza F que es directamente proporcional a la distancia del
·.eje; el coeficiente de proporcionalidad es igual a mk2 • Hallar
á,s ecuaciones de movimiento y la trayectoria d el punto .
2
·-:;
:. § 18. Sohl!Ción de fas
ecuac:ion~s
ftn.tegrafos
!de Volterra con nudeos de fa forma especial
) La ecuación que contiene función buscada bajo el signo ele la
~qg'l:al .se llama la ecuación integral. Por ejemplo, la solución del
ppleina de Cauchy
.,
y'= J (x, y) ,
y (xo) =Yo •
--
Ciílcuio operacionai
como se sabe, se reduce a la solución de la ecuación integral siguiente: .
i
:i:
y=
f (:c, y(x))dx +y0 ,
XQ
Si l a función buscada y entr a en la ecuación l inealmente, entonces la
ecuación integral se llama lineal.
La ecuación de la forma
b
. y (x)= f (x)+
J
K(x, t )y (t):dt
(1)
a
(a y b son constantes) se llama la ecuación integral lineal de Fredholm
del segundo género. Aquí K (x, t), j (x) son las funciones prefijadas,
y (x) es l a función buscada . La función K (x , t) la llaman el núcleo
de la ecuación (1).
:"."='
.,
;,~
La ecuación
X
y (x)=f(x)+J K (x , t)y(t)dt
(2)
a
la llaman la ecuactón integral lineal de Volterra del segundo género.
Si en las ecuaciones (1) y (2) t (x) .e= O, entonces las ecuaciones
se llaman homogéneas .
·
Si la función buscada y (x) eritra sólo bajo el signo de la integral,
entonces tenemos i·espectivamente las ecuaciones de Fredholm o de
Volterra del primer género
b
:¡¡
5
J
ó
K(x, f ) y°ct ) dt = f (x)
K(x , t)y(t)dt = f( x).
a
a
·¡
Las ecuaciones que tienen la forma:
él\l
qi (a:) - !-
J
J{ (x-t) <p (t) dt=f
<~~)
(3)
o
con el núcleo K (x - t) que depende únicamente de l a diferencia de
argumentos representan una clase importante de ecuaciones de Volterra. Las últimas a veces se llaman las ecuaciones del t tpo de convoluci6n.
j
·. ".
·
Dado qu,e tenemos la ecuación integral de Volterra del tipo ele
co nvolución
X
<,D (x) = f(x) -j-
Jo
K (x-· t) q¡(t) dt.
(4)
Vamos a suponer que f (t) y J( (x) son fas funciones suficientemente
suaves y tienen el orden finito clel i11cremento para x ;;:;,,, O. En este
caso, también q¡ (x) para x ;;;;;. O tiene el orden finito del incremento y,
.,··.
·..··
Solución de las ecuaciones integraiea
2H
. :_por consiguiente, se puede hallar la representación de las funciones
'-'· . f , J( y ¡p (según Laplace). Sea <D (p) • • <p (x), F (p) ~ f (x) , L (p) ~
itjff. ··, • J( (x). Utilizando para ambos miembros de (4) la transformación
~\~ ) ·d e Laplace y empleando la fórmula de convolución (véase § 14, IX),
bp> ,obtendremos
'! '""
(5)
II> (p) = F (p) + ¡, (p) <D (p),
it;~;. de donde
i(·
[?/•
p (p)
<D (P)= 1-L (p)'
L (p)
:#: 1.
(6)
'$> .
f~,
~-,:
Para <I> (p) hallamos el original <p (x) que es la solución de la ecuación
integral (4).
Ejemplo 1. Resolver la eeuación integral
¡e
y)...
q:i
(x) = cos x+
J
(x - t}
qi
(t) dt.
(7)
.J
Solución. P asando a las representaciones y examinando la integral
como la convolución de funciones, obtendremos, a base de la regla
de la representación de convolución
(8)
de donde
(9)
Hallando el original pare <I> (p), obtendremos la solución de la ecuación integral (7)
i
<p (x) = "2 (cos.x+ch x}.
Resolver las ecuaciones integrales:
e:
783.
q:i (x)
J
= sen x + (x - t) cp (t) dt.
o
x++ J
oc
784. <p (x) =
(x-t) 2 cp (t) dt.
o
X
785. q:¡ (x) = x
+ Jsen (x -
t) rp (t) dt.
o
oi:
786. <p (x) = cos x + J_ex.-t<p (t) dt.
o
(10)
C&lcuio operacional
[Cap. ll
X
787. <p(x) = 1 + x+ \ cos(x-t)qJ(t)dt.
o·'
+ s(x X
788. <p (x) = 2x2
. (t) dt.
t) e-< t -x¡<p
o
rx
789.
qJ (x) =
e-x +
;,
J
(x - t) 2 <p (t) dt.
o
ac
790. cp(x) = x+2 J[(x-t)-sen(x - t)]cp{t)dt.
o
X
791. <p (x) = sen x
+ 2 Jcos (x -
t) cp (t) dt.
o
792. q>(x) =1 -2x -4x2 +
I [3+6(x-t)X
o
-4 (x- t)2] <p (t) dt .
X
J
J93. <p (x) = 1 +{ sen 2 (x- t) <p (t) dt.
o
Icos (x- t) cp
X
724. <p (x) = ex - 2
(t) dt .
o
X
795. q>(x)= 1 +{
J(x-t)
3
cp(t)dt.
o
1111
796. <p(x)=x-S sh(x-t)cp(t)dt.
o
J
X
797. <p (x) = sh x-
ch (x-t) <p(t) dt.
o
'•
,
-,~r
Por analogía se resuelven las ecuaciones integrales ele Voltet ·
del primer género con el núcleo I( (x, t) que sólo depende de la, diii
··-·····<·..¡:··
§ 18)
Solución de las ecuaciones integrales
~-·· · -
.,......,.__ •. .,.,_
213
rencia x - t, es decir, de la ecuación ele la forma
J
X
K(x - t)cp(t)rlt=f(x),
(11)
o
donde f (x) es la función conocida, cp (x) es la función buscada. Al
mismo tiempo supongamos K (x, :r) <=fa O.
Sea F (p) • • f (x), L (p) ~ K (x), <I> (p) • • cp (x). Empleando para
los dos miembros de (11) la transformación de Laplace y utilizando el
t eorema de convolución, obtendremos
L (p) · <P (p)
de donde
<J> (p)
=
=
F (p)
L (p) ,
F (p),
L (p) ::f= O.
El original para <I> (p) será la solución cp (x) de l a ecuación integral (11) .
Resolver las ecuaciones integrales:
X
W8 . ) ex-t<p (t) dt = x.
o
X
;''
. '
~
·- ' ""•:r -.•1""" ...............-.-· ~-.-···· ;-
.
, ...
..
~
799.
~
J 0 (x - t) cp (t) dt =sen x.
o
X
800.
Jo cos
801.
Ji~-tq¡ (t) dt =sen x.
(x - t) cp (t) dt = sen x.
X
o
:ll
S02.
Jcos(x- t) <p(t) dt=x+x2.
o
X
5e <x-t¡cp (t) dt = x2ex.
2
o
X
Jo ch (x X
t) cp (t) dt = sh x.
Jch(x-t)<p(t)dt=x.
()
·-
214
Cálculo op eracional
[Cap.
n · :'.~
El método indicado de resolver las ecuaciones (4) , (11) aplicamos. _;j
también a los sistemas de las ecuaciones integrales de Volterra . que -~
~i
tienen la forma:
''3
<p¡{x) = f ¡(x)
J
+ ¿}
K ¡R.(x - t) cpn. (t) dt
o
k=i
(t=1, 2, .. .,s) .
(12)
Aplicando a ambos miembros de (12) la transformación de Laplace,
obtendremos
<I>i (p) = F i (p)
+ 2J•
(t=i, 2, . .. , s).
Ltk I p) <I>1t (p )
k= l
Resolviendo este sistema de ecuaciones que es lineal respecto a <D1 (p),
hallamos <I>i (p) (í = 1, 2, .. . , s) , los originales para l as cua1es
serán al mismo t iempo la solución del sistema inicial de las ecuaciones
integrales (12).
Ejemplo 2. Resolver el sistema de ecuaciones integrales
(
1
cpi(x) = x
X
X
o
o
+ ~ e-(x- Ocp1 (t) dt + .Í (x- t) cp 2 (t) dt,
~
X
1
l
cp2 (x)=1
+ Jsh (x -
I
X
t)"cpi(t) dt -
o
e(x-l )cp2 (t) dt.
o
Solucí6n. Pasanclo a las representaciones y utilizando el teorema
de convolución, obtendremos (©1 (p) • • cp1 (x), <1> 2 (p) • • cp2 (x)l
<I>i(p) ~
{
:a + p! 1 <Di(p) + ;z <P2 (p),
1
1
1
<D2(P)=-p-+ p~-i <I>i(p) - p-i <l>2(p),
de donde
p2+p-1
. ©i(p)= p (p - 1) (P2 1) '
+
Hallamos los originales para <I>1 (p) y <I>2 (p):
1
cp 1 (x) = i +
eX+ 21 sen x - 23 cos x ,
2
cpz (x) =
i
2 (cos x+ch x)-sen x.
El sistema de las funciones q>1 (:e) y <p2 (x) es la solución del sistema
inicial de las ecuaciones integrales.
..
215
S olución de las ecuaciones integrales
f-~'. Resolver Jos sistemas de ecuaciones integrales siguientes:
l
~., -
(
f,·
b.
X
<p 1 (x) =
o
i.
806.
f'":
:;. -
X
.~ e2<x-t><pi(t) dt + ) <p2 (t) dt,
1- 2
o
"1
X
i
l
(
X
Jcp (t) dt - J
cpt(x) = ex+
1
e(x-· >qi 2
1
o
X
X
J
<p 2 (x) = - X -
t) cp 1 (t) dt
(X -
l
o
X
o
<p2 (x) = 1-
j e<x- t><p
l
1
(t) dt
.
+
\ <¡>1 (t)
~o
dt
f
l
(
\ e(x-t >cp2 (t) dt ,
r.l e-(x- t¡ <p1 (t) dt + r\ cp 2 (t) dt.
X
811 .
~
t
cp 1 (x) = 2x-·
X
o
.l (x - - t) cp
X
1 (t)
dt
o
= - -2 -- 4 .~
2
(t) dt,
·X
rp 1 (t) dt
+ 3 J (x -
o
j (x-- t) lpt{t) dt o
X
4 ) <pz (t) dt,
o
X
X
o
o
J<p.(t) dt -
t ) <p2 (t) dt.
o
X
<p2 (x) = 1-
+ Jcp
o
X
crdx) ~~~ 2--
<p2 (t) dt.
·'o
b
cp 2 (x)
J
X
+4
X
810.
(t)dt ,
o
X
<p2 (x) = 1 --
2
X
o
¡
1
f (x-- t)cp
o
~
q> 1 (x) = ex -
809.
+ ~ cp2 (t) dt,
o
00
l
(t) dt,
o
q¡t(x)=x + · f cp 1 (t)dt +
1
2
o
X
(
808.
J(x-: t)cp (t)dt.
1
<p 1 t )dt + 4
o
807.1
l
J
'P2 (x)=4x-
~
(x- t) cp2 (t) dt.
Cálculo operacional
216
[Cap. Tl
§ 19. Ecuacfones dñfere:ncfaHes con
ei aa-gume:nb~ de retan•do
En una serie de problemas técnicos es necesario examinar las
ecuaciones diferenciales, en las cuales la función incógnita entra siendo
distintos los valores del argumento, por ejemplo:
9
(t)
=
q:i
(t, .-r (t),
X
(t -
't"
(t})),
; (t)
=
{jl
(t,
X
(t),
X
(t -
't
(i)), ; (t -
~ (t)
=
q> (t ,
X
(t), ; (t -
X
(1)
'ri (t}), ; (t -
't"
(t))),
't2
(t)}),
(2)
(3)
Tales ecuaciones se llaman las ecuaciones dtferenciales con los
argumentos de desvtact6n . Si "t (t) son constantes, entonces tenemos así
llamada ecuaci6n dtferenctal en dtferencias. Si 1:¡ > O y la derivada
mayor entra en la ecuación diferencial en diferencias sólo para un
valor del arp:umento que es no menor de todos otros argumentos de
funciones y derivadas que entran en la ecuación, entonces la ecuación
se llama la ecuaci6n diferencial con el argumento de retardo (por ejemplo,
las ecuaciones (1) y (3)).
Sea dada l a ecuación diferencial con el argumento de retardo
con los coeficientes constantes:
n-1
x(n)
(t)
=~
a1ix (h)
+f (t),
< t < + oo) .
(t-T1i)
k=O
donde
ak
= const,
~implificar
(4)
'ti! ~ const >O (O
Tomemos para
la solución las condiciones iniciales nulas
x (O)
=
x' (O} =
. ,.=
x(n-l)
(O)
=
O.
(5)
Al mismo tiempo supongamos
:e (t)
=
x' (t)
= ...=
x (n-l)
(t) ,,,.. O para t <O.
Aplicando para ambos miembros (4) la transformación de Laplace:
y utilizando para esto el teorema de retardo (véase§ 14), obtendremos':
la ecuación operatoria para X (p) -F ;e (t):
n- t
pnX(p)= "'"'
LJ a¡¡pkX(p)e -i;kp +F(p), donde
A.= 0
de donde.
X (p) = - - -F--'"(p--')"_ __
n-1
pn-
LJ
a11.pke-i:,.p
k=O
·>
Hallando x (t), el original para X (p) que se determina por la fórmt~i
(7), obtendremos la solución de la ecuación (4) que satisface l as condi'
ciones iniciales (5).
Ejemplo J.. Resolver la ecuación
x' (t) = x (t -
1)
+ 1, x (0) = 0,
§ 19]
Ecuaciones con el argumento de retardo
217
Solución. Pasando a las representaciones; obtendremos
1
pX (P)=X (P) e-P+p,
de donde
1
1
1
X(P)=p- p-e-P =]ft
1
e-P
1-p
1 (
;:.'-2
p
1+-+-2-+·
..
p
p
e-P
e-2p
Para x (t) obtendremos
X
1
(t) = tr¡ (t) +21 (t-1)2 r¡ (t-1H- . . .
~· .. + (n~i)I
tt-n)n+lr¡ (t-n)+ . .. =
00
=~
(t-k)k+l r¡ (t-k).
(k+ 1)1
k=O
Resolver las ecuaciones siguientes:
812. x" (t) - x (t - 1) = t, x (O) = x' (O) = O.
813. x" (t) - 2x' (t - 1) = t, x (O) = x' (O) = O.
814. x" (t) = 2x' (t - 1) - x (t - 2)
1,
(O) = x' (O) = O.
815. x" (t)
2x' (t - 2)
x (t - 4) = t,
.(O} = x' (O) =O.
+
+
+
Para las ecuaciones diferenciales con el argumento de retardo
ue;describen el proceso con acción posterior se encuentran muy a metido 'los problemas en la sucesión siguiente:
·:>:-Hallar la solución de la ecuación x (t) para t ~ t 0 al mismo tiempo
fto dos t :;;:;:; to, para las CUa}es los Valores X (t) ejercen influencia
.os: valores ulteriores de solución para t ~ O, se da la función x (t) .
·:Pe ese modo, por ejemplo, se plantea el problema: hallar la solu;; continua x (t) para t ~ t 0 de la ecuación
• ·" ·t
x (t) = f (t, x (t) , x (t - i-)), -r > O = const,
. ,:.: :·i .·
'.(da · que x (t) = cp (t) para t 0 - i-:;;:;:; t:;;:;:; t 0 •
Aquí <p (t) es la función continua dada que se llama la funci6n
·a¡l. El segmento [t0 - -r, t 0 ], en el cual se da la función rp (t),
ama
el conjunto inicial.
:La solución de la ecuación lineal (4) con los coeficientes const1mtes
~etárdo constante en el caso, cuando la función inicial se distingue
218
Cálculo operacional
del cero idéntico , también se puede buscar, utilizando la transforma- ··-~
· ::~i:
ción de Laplace. Mostremos aquí un ejemplo.
·
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
X
1
=
(t)
X
(t -
1), <p (t) ::; Í ,
-1
~
t
~o.
Soluct6n.
X (t)~X
x' (t) ~ pX (p) -
(p),
(O)= pX (p) -
:i:
1.
Utilizando para ambos miembros de la ecuación inicial la transforma- .
ción de Laplace, hallamos
00
J
pX (p)- 1 =
e-Ptx (t - i) dt .
o
Haciendo la sustitución de variables t - 1 = · z, obtendremos
00
00
q-Pix (t -1)
)
J
dD =
o
(z) dz=
- 1
Q
= e- v
J e-P~x
00
(z) dz
+ e-P Je- vzx (.i:) dz =
o
-1
¡z=O
=e-P - e-pz
-p •=-1
pu ~:ito
X
e-P(Z+l)
+e-PX (p),
que x (z) =: 1 para - 1 ~ z ~O . Definitivamente
pX (p) - 1=
De aquí
X
_
1
(P) -
p-e-P
+ p 1-e-P
(p-e-P)
1 (
= -p
+
1-e-P
p
+ e-PX (p) .
1
::.:
1-e-P
+ p (1--pe-P )
e- P )
p: ( 1---p
2
e-P , e-2p
e-kP
)
1+-+- + .. .+~
p . p2
P"'. - + .. . . 1-
(1-e-P) (
p.2
e- P
e- kp
1+-+
.. .+-k-+
···
p .
p
1
1
)
=p-+7+7+ ... +
:e (t)=(1 + t) r¡ (t) +
~ (t-~;i)k T) (t-k+1).
h- 2
.
:.;~;:
·,3--
e-k p
.
pk+i + .. .
Hallando el original para X (p), obtenclremos la sol ución de la ecui:ción inicial
00
'j,
·-j~·
=
e-P
w:·
.
~
· .·.·.'1
·.'.1.';:'
. :,,,.
·, ¡.,
.
•. ·,
ti
r
)ít~
,
Soluci6n de problemas (le la física matemlftica
219
ecuaciones siguient es:
816. x ' (t) = X (t - 1), qJ (t) = t , - 1 ~ t ~ Ü.
: 817. x' (t) = X (t - i)
t, qJ (t) = 1, - 1 ~ t ~ Ü.
818. x'(t) +x -~) =O , cp (t) = cos t, - ~ ~t ~O.
+
(t
i¡
j
l
§ 20. Sohllelión de clie:dos problemas
de fa física matemátfoa
Limitemos por el caso, cuando la función buscada u depende de
._ las dos variables independientes x y t . La variable x la vamos a considerar como la coordenada espacial, variable t como el tiempo.
--·· Examinemos, por ejemplo, la ecuación .de termoconductividad
8u.
8~u
~=a~ Oa:¡ +!(~, t)
(1)
(az es constante) .
Examinemos el primer problema de contorno para la ecuación (1):
hallar la solución u (x, t) de la ecuación diferencial (i) para O ~ x ~ l
y t >: O que satisface la condición inicial
u (x , O)
=
cp (x)
(2)
y las condiciones de frontera
u (O, t) =
1¡¡1
(t),
11.
(l, t)
= ,,,2 (t).
(3)
8 2 u (x t)
Supongamos que u (x, t) , fJx 2 '
y
f (x, t) que consideramos como
las funciones de t son los originales. Designemos a través de
U (p, x)-=
J""
u (x, t) e- vt dt
(&)
o
la representación de la función u (x, t) . Entonces
00
iJu
dU
• (' éJu
f}:r; -;---
J ax e-pt dt =a;-'
(5)
o
Según la regla de la diferenciación de originales obtenemos, teniendo
en cuenta la condición inicial (2):
~~
• • pU-cp (x).
(6)
Supongamos que 'lj1i (t) y 'lj12 (t) son los originales y
'ljil (t) •• 'f. (p),
'ljig (th=~· 'Y2 (p).
(7)
220
Cálculo operacional
[Cap. II
Entonces las condiciones de frontera (3) dan
U l=o
=
=
U lx=l
11'1 (p),
11'2 (p).
(8)
De ese modo, el método operacional conduce la solución del problema
(1), (2), (3) a la solución de la ecuación diferencial ordinaria
' d2U
-
a 2;-d
2 -pU+cp(x)+F{x, P)=O
(9)
X.
para las condiciones de frontera (8), donde F (x, p) • • f (x, t) . Resolviendo el problema (9), (8) e invertiendo la sol ución obtenida, hallamos
la función u (x, t) que es la solución del problema (1), (2), (3). Análogamente se resuelven y otros problemas de frontera para la ecuación
de termoconductividad y otros problemas de frontera para la ecuación
de vibraciones de una cuerda
f)2u
éJt2
= a2
f)2u
oT-2
+f (x, t)
( 10)
de ecuación de Jos telegrafistas (véase [2] y [9])
(11)
y ciertas otras ecuaciones que tienen la forma más general.
Problema. Los extremos de una cuerda x = O y x = l son fijos.
A sen ~x
(0 os:;;; x os:;;; l). Las velocidades iniciales son iguales a cero. Hallar las
desviaciones u (x, t) para t > O.
· Suluct6n. El problema se reduce a la solución de la ecuación
diferencial
IJ2 u
1 o2 u
(12)
ax~ - 7 at2 =O
La desviación inicial se da por la igualdad u (x, O)
=
para las condiciones iniciales
au (x,
at
:n:x
u (x, O)=A sen-l-,
O)
o,
(13)
y las condiciones de frontera
u (O, t) = u (l, t) = O.
Pasando a las representaciones, vamos a tener
d2U
p2
dx~
a
-
(14)
"
:n:x
pA
a
--2 U= - 2 sen - l
'
U lx=o= U l x=1=0.
Resolviendo la ecuación (15), obtendremos
U (x p)= C ePx/a+c e-Px/a+
,
l
z
Ap
sen~
a2ns
l •
P-+zr
2
·.
(15) ;'. ;
.. ·~
(16) :
. ··..
§ 20]
Soiuci6n de problemas de la física matemáttca
221
· Tomando en consideración las condiciones de frontera (16), obtendremos
Ap
U(x , p)=
2 2
p 2 +~
¿2
sen
-ttxz- ·
El original para U (x, p) es la función
.
n:x
3tat
u(x, t)=A:cos -l-sen-z-
que es la solución del problema dado.
Resolver los problemas siguientes:
i}u
ou
{) u
[)2u
iJu
(j2u
2
819. Tt=k ax2 (x >O, t >O), u (O, t) = u 0 , u (x, O)= O,
·
820. ai=k o:r2 (x >O, t >O), u (O, t) = O, u (x, O)= u 1 •
821. Tt= k ax2 (x >O, t >O), u (O, t) =a cos wt,
u(x, O) = O.
. 8u
822 . a¡=k ax2 (x >O, t >O), u (O, t) :-- a sen wt,
82u
u(x, 0)=0.
ou
{}2u
·
823. Tt=k uxª (.r ,>0, t>O), u (O, t)=<p(t),
u(x, 0)=0.
824. H allar la distribución de temperaturas en .una barra .
. O ~ x ~ l para la condición que el flujo del calor no pasa a
través de l a frontera x = O; y otra frontera x = l conserva
la temperatura constante u 1 ; la temperatura inicial de la
barra: es igual a u 0 = const.
825. Hallar la distribución de temperaturas en la barra
semilimitada, si en el extremo izquierdo de l a barra se pro·. duce la termoradiacíón al medio con la temperatura de cero:
La temperatura inicial de la barra u 0 = const.
826. Una barra de longitud l se encuentra en el estado
de reposo, su extremo x = Oes fij o. En un momento de tiempo t = O se aplica (por unidad del área) al extremo libre de
: la barra la fuerza F que está dirigida a lo largo de la barra.
·-. Hallar la oscilación de barra .
. . . . 827. Una barra está colgada verticalmente y está fijada
· ' e tal manera que en todos los puntos el desplazamiento sea
·~ual a cero. En un momento de tiempo t = O la barra s'e
c&.lcuio operacional
libera, siendo fija en el punto superior. Hallar la l ey
oscilaciones de la barra.
828. Resolver la ecuación
iJ2u
iJt2
=
iJZu
2
a:x
+ bx (x -
l)
para las condiciones iniciales nulas y l as de frontera
~~
u (0, t) =u (l , t) = 0.
829. Una cuerda homogénea , que se fija en los extremos
x = O y x = l , tiene en el momento inicial de tiempo la
forma de una parábola simétrica respecto a la perpendicular
trazada por el punto x = l/2. Determinar el desplazamiento ·
de los puntos de la cuerda de la posición rectilínea del
equilibrio, suponiendo q ue faltan las velocidades iniciales.
U
lt=O-:- 0,
lt=O = 0,
§ 21. Transformación dism·eta de JLapiace
Dado que tenemos la función de valores complejos f (t) del argu"
mento real t, determinada para t ;;;;;. O.
Examinemos la sucesión {/ (n)} (n = O, 1, 2, .. .) que designemos brevemente f (n) y la llamemos la funci6n de retículo. La función
f (t) se llama la junct6n generadora para f (n) . De tal manera, el argumento de la función de r etículo obtiene sólo los valores enter9s, al
mismo tiempo, para los valores negativos del argumento la función
de retículo es igual a cero.
La transformaci6n discreta de Laplace de la función de retículo
f (n) se llama la función F* (p) del argumento complejo p = s ia
que se determina por la igualdad .
+
00
F* (p) =
2::
e-npf (n);
(1)
n= O
se presupone que la serie a la
A l a función f (n) l a vamos
la llamemos su representación y
F* (p) .._...:.. f (n)
de1·echa converge.
a llamar el original y a la
vamos a escribir
o f (n)-;~: F'? (p).
F ·~ (p)
El valor Re p = s*, para el cual para Re p = s > s* la serie (1)
·converge, y cuando s < s* diverge, se llama la abscisa de convergen.eta.
La función F* (p) es la función periódica con el período 2ni, es analítica en el semiplano Re p > s*.
Si la función de retículo f (n) satisface la condición
l f (n )/:i¡;;; M eA.on,
(2)
entonces la abscisa de convergencia s'• > ~o y, por consiguiente, la
representación de tal función existe. En general, cada función f (t)
que es el original para la transformación ordinaria de Laplace engendr1'1
i'ransionnaci6n discreta de iapiace
~;.~.J: l.(). f~nció~ de retículo f (n), para la cual está determinada la transfor-
l
~~ . mac1ón discreta
;f..~ '..
Ejemplo 1.
~:~":de la función
~:;. ·
de La place F* (p).
·
.
Utilizando la definición, hallar la representación
.
.f
(n)
~i{, .
=
e-n.
Solución. Es evidente que esta función satisface la condición (2)
~:Y"' cuando A.0 = 1 y M > i arbitrario. Por consiguiente, su representa~·;. .ción existe. Por la fórmula (1) hallamos
~}
t.: .F*
..
¡¡:, .
~-,
00
~
(P) =
00
e-Pne-n
=~
n=O
e-(i+p)n=
n=O
1
_)(t+p) (Rep> -1), (3)
~\
'•'·
· Observemos que ·la función de retículo f (n) = en 2 no tiene la
representación, puesto que para ella la abscisa de convergencia s*
~{ es igual al infinito.
~·.
; :;:
Utilizando la definición, hallar las representaciones de
(. las funciones siguien tes :
83(). /(n)= 11(n), donde ri (n)= { 1 para n>O~
•:
O para n<O.
..
83t. f (n) = n.
832. j (n) = ea.n.
833. f (n) = an (a >O, a =f=. 1).
;
•:"·-.··
Principales propiedades de la transformación
discreta de Laplace
. 1. La proptedad de ltnealtdad. Para las constantes complejas
cualesquiera a. y p
.
+
+
a.f (n)
~g (n) ~ a.Fo) (p)
~G• (p) .
(Aquí y en todas partes en lo ulterior f (n).,..:. F• (p) , g (n) ....-:. G• (p)).
Ejemplo 2 . Hallar la representación de la función f (n) = sen n.
Soluci6n. Por lru; fórmulas de Euler
eln-e-tn
1
1
sen n -.....,,...,-=2i- ....tn - 2i
2t ..o-In
Tenemos
00
et n ....:.- "1 e- npeln =
1
LJ
i-e-CP-i) '
n~o
1
- 171 -!.
a
•
1-
e-(P+i) •
224
[Cap. ll
Cálculo operacional
·Según la propiedad de linealidad
1
• 1 (
1
sen nT"--2i 1 - e - (p-i)
)
eP
sen 1
1-e-(P+i) = e2 P-2ePcos1+1
Hallar las representaciones de las funciones siguientes:
834. f (n) = cos n.
835. f (n) =sen an (a = const) ..
836. f (p) = sh n.
837. f (n) = en - 2en12.
838. f (n) = cos 2 n.
11. Teoremas de anticipación y de- retardo. Sea f (n )
y sea k un número positiVo entero. Entonces
~
F* (p) ,
k-1
f (n+k)-;-!
2J
ekP [ F* (p)-
e-mp¡ (m)].
(4)
m=O
En particular, si f (0) = f (1) = ... = f (k - 1) = O, entonces
f (n
k) -;--.!.- ekPF* (p).
(5)
Por analogía,
f (n - k)-;--!- e-kPF* (p)
(j (n - k) =.-: O para n < k).
(6)
Ejemplo 3 . Hallar la representación de la función f (n) =
= en-2 (! (n) !!!!! O para n < 2).
Soluci6n. Tenemos
n •
1
eP
e -• 1-ei- v =
-eP-e •
En virtud del teorema de retardo de (6) hallamos
1
en-2 ·- .!.. e-2p _eP_ = -....,..---.,...
+
· •
eP-e
eP (eP-e) •
Hallar las representaciones de las funciones siguientes:
839. f (n) = r¡ (n - k).
_,
840. f (n) = ea<n+S).
j
841. f (n) = sh 2 (n - 1) •r¡ (n - 1).
·· ~
8
1~~ :e~:~ma ~:l ~e:~l:zamiento.
~
:~
Si F* (p)
f (n), entonces
para cualquier complejo Po
.:::~;
.;
F* (p - Po)~ ePo n¡ (n) .
(7) . ;j
Ejemplo 4. Hallar la representación de l a función f (n) = ne2n. '. :¡".
So lución. Tenemos
;' ;'.
rP
~~
n~
%
'
(1 -e-P)2
Según el teorema del desplazamiento obtenemos (p 0 = 2)
e2nn
-(P-2)
-.!.. _ _e_,--...,-,,..,.....-
•
[1.- e-(p.:..2¡]2
,,
§ 21]
.••
225
7.'ransformaci6n discreta de Laplace
Hallar las representaciones de las funciones sigui en tes:
843. f (n) = e-n sen 2n.
844. f (n) -:- n2 e2 n •
845. f (n) = e3n ch n .
~: .
'
IV. Diferenciación de representar.ión, La diferenciación de 1;epresentación se rednce a l a multiplicación del original por - n;
ddp {F* (p)}-;-!-- nf (~),
(8)
en general,
dk
dpk {F*(p)}~(- i) knlif(n) .
(9)
Ejemplo 5. Hallar l a representación de la fun ción
Solución. Tenemos
f (n) = nen,
eP
en~--.
eP-e
Según el teorema de la diferenciación de representación obtendremos
nen-! - •
d ( -eP- ) = -,---:-:,.eP+l
eP-e
(eP-e)2 ·
dp
Hallar las representaciones de las funciones siguientes:
846. f (n) = n 2 en.
847. f (n) = n 2 .
848. f (n) = n sen ( n ~ } .
'
"·
V. Teo1•ema de la integración de representación.
Sea la función de 1·eticulo
f (n) que satisface las
,.·
•
f (0)=0,
{..
~
f(t)
t
=
1
t= O
lím f (t) = 0 .
t .... +o t
condicione~
(10)
Entonces
.
~i:'.
.
f ~) -;-!-
00
JF*
(P) dp,
(11)
p
~ · ·
~~{; es
decfr, la diVisión del or.i ginal en n co1:1·esponde a la integración de
representación en los límttes de p has~a oo.
..
·~,1~:
Observaciones. a) Para f (O) =/= O l a mtegral en el miembro segundo
t;f~:i°'
'*:
(11) será di vergente y, por consiguient e, el teorema de la integración
·',·de representaci ón no es válida.
·
b) Si
f(t) / . = lím f(t) =a=:f=O,
t t=o t ..... +0 t
220
Cálcul o operacional
entonces
00
f~i)-;-..!
J
a+
F* (p ) dp.
p
c) Si 11ara m
=
1, 2, ... , k están cumplidas las comliciones
lím JJ!l. = O,
t-.+o tm
entonces
00
00
',:~)
•"' -... Ji ... Ji
F* (p) dp •.. dp,
..._,,_,
p
(13)
p
11.
es decir, la división del original en nll. corresponde a k-multipl e integración de representación de p hasta oo.
·
Ejemplo 6 . Hallar la representación de la función de retículo
en - 1 - n
n
Soluci6n. Sea
f (n) = en - 1 - n.
Verificamos si es posible cumplir las condiciones (10). Tenemos
f (0)=0,
lím f(t) = lím et - i - t = lím ( et -t 1 -1)=1-1=0.
t-+ +O t
1-+o
t
t ..... +n
Hallamos la representación ele función
eP_ _ _ _
eP _
en-1-n _.!. _eP
____
•
eP - e
eP- 1
"< ••
(eP-1)2 •
Puesto que l as condiciones (10) están cumplidas, entonces
00
_e_n___n_i-_n_-;-=.
J [ eP~e ~ eP~ 1 -(eP~1)2]
dp=
p
= [In (eP-e)-ln (eP -
1)+ eP ~i
J
J¡; =
eP-e
-- [ ln·--+ -1- leo eP-1 ' eP -1 p -
eP-1
ln
-- -i eP- e eP - 1 ·
Ejemplo 7 . Hallar la representación de l a función de r etículo
sh an (a =I= O) .
n
S oluci6n . Sea f (n) = sh a n. Tenemos
f (0) =O;
.JJ!l
/t= O=
t
lím sh at =a =I= O.
t-.+o
t
.
.' "'
t,!.
J 'l" ~
··,-,.
· , .;._
227
Transformaci6n discreta de Laplace
.(· La representación de la función f (n) es
.
~r<
~;r-,
~~r
shan~ ~ ( eP~aª eP~e-a.) •
Hallamos la representación de la función dada, empleando la rela(12):
?tf.· ~ión
f:;\
-_
~-!a+...!.
,
n · '
2
1
eP- eª 100
1
eP- e-°'
=a+- ln
=a+ -ln - - eP - e-a
2
p
2
eP - eª
Hallar representaciones de las funciones siguientes:
849. an- i
850.
(a> O,
n
1-cosan
a=:/=
1).
sen an (et=:/= O) .
n
n- shn
n
850.
852.
n
VI. La diferenciación respecto al parámetro. Sea que el original
y la representación contienen el parámetro s que no depende de n y p,
y sea que
F* (p, s) ,....:. f (n, s).
Entonces
aF* (p,
as
s)
•
-:-
o/ (n,
as
s)
(14)
es decir, la derivada por s de la representación es la representación
de la derivada por s del original. Supongamos que todas estas deriva. das existen, y a¡ ~n~ e) es el original.
Ejemplo 8. Hallar la representación nea.n (a es real).
Solución. Tenemos ea.n,..:. eP eP ¡p.. Tomemos a en calidad del
parámetro. En la base del teorema de la· diferenciación respecto al
parámetro
De aquí
15"'
~.
,.
•- ••• • • ·- -·"•' "'
228
' ·" • ·• '· " "• -·-··- O H"•• •"•" " ~- ··~ , .-~
......,
"'~"•'•.'<-:~~:
[Cap. ll
Cálculo operacional
H allar las representaciones de las funciones siguientes :
853. f (n) = n cos an.
854. f (n) ~ n 2 sh an.
2) ch an.
855. f (n) = (n
+
VII. Intef$ración i·especto al parámetro. Si f (n, e) ~ F* (p, e)
donde el parametro e no depende de n y p (e0 ~ e ~ A.), entonces
e
Jf
(n, e)
de~
e0
e
JF*
(15)
{p, e) de,
e0
es decir, la integración respecto al parámetro e del original corresponde
a la integración de la representación respecto al parámetro e.
Ejemplo 9. Mediante la integración respecto al parámetro hallar
1 - cosen
la representación de la función de retículo
n
S oluci6n . Tenemos
•
eP sen e
sen sn --..,,..--=----,......,...
º
e2P- 2eP cos e+ 1 •
Integramos los miembros primero y segundo de esta relación respecto
al parámetro s en los limites de . s0 = O hasta e:
e
e
J
.sen ends~
.o
De aquí obtenemos
eP sen e de
Jº·· e.2P-2ePcose + i
1-cossn
1
n
-;-!T ln(e2 P-2ePcose + 1)
1
=T
·.i·
...
¡e=
0
[ln (e2P- 2eP cose + 1) - ln
(e~P- 2eP+
1)].
Pués,
1- cos en -=...!. in e 2 P-2eP cos e + i
n
•
2
(eP- 1)2
Empleando la integración respecto al parámetro , hallar
l as representaciones de l as funci ones siguientes:
858.
n
sen en
n
857.
chsn -ch n
.. .. n
859 • sen (s- 1)nn·cos (s+ 1)n
Teorema de la multiplicación de representaciones. S ea
fi (n) -;-!. Ff (p) ,
'2 (ii) -;-! F: (p).
§ 21]
229
Transfo rmaci6n discreta de Laplace
Entonces
n
n
.2:
Ff (p) ·Fi(p)-;-!-
:2:j
f i(n -· m)f 2 (m) =
m=O
fi (m)f 2 (n- m) ,
(Hi)
m=O
E jemplo 10. H allar el orginal que corresponde a la r epresen ta-
ción
e2 P
~ •;' '
F* (p)= (eP - e) (eP-e-1)
. .,''
;::: ~-;
Solttción. La repr esentación F* (p ) se puede representarla en
forma de Jlroducto de dos r epresentaciones
eP
eP- e -;-!- e't,
Ft' (p) =
eP
F np) = eP - e-1
.
--!..e-n
.
En vi rtud del teor ema de la multi1)licación
n
F* (P)
n
"1 e-men- m = en "'
-...!.
'
L.J
m= O
LJ
m= O
e-2m
=
en . e2 e2 - i
~
2
e -1 '
Ut ilizando el teor ema de la multiplicación, hall ar los
origin ales para l as representaciones sigui ent es:
eP
. (eP -1) (e P- e) •
860. F* (p)
e-P
eP
861 • F* (p ) -_ (1-e-P)2
, eP-1
862 • F* (p) =
(eP -i)~~pP- e) •
863 • F*· (p ) -_ (e P- ee2P
2 ) (eP - 1) ·
L a representación de diferencias. La ma~nit ud que se. designa por
el símbol o M (n) y que se determina por l a igualdad
ti/
(n)
= f
(n
+ 1) -
f
(n)
(17)
se llama la diferencia rlel primer orden de la función de retí culo f ( n) .
La magnit ud qu e es igual a
--..._t:.. 2f (n)
=
D.f (n
+ 1) -
t:..f (n)
(18)
:: o, teniendo en cuenta (17),
A2f (n) =
l
(n
+ 2) -
2f (n + i ) +.f (n)
(19)
t:. 2/
;;; se llama la diferencia del segun do orden
(n) .
.::: .En general, .la diferencia de k orden tihf (n) se determina por la rela-
·. x1ción
:;;
~.
dkf (n)= IV ·-1f(n +1) - dk-lf (n)
k
M-1.t (n)' =
_.lJ
J=O
(- 1)i
ctt (n +
k -- j),
(20)
(21)
230
Cálrnlo operacional
º . t es bºrnom1a
. l es.
d ond e Cih. - .j! (k -k j)! son 1os coef lC1en
Ejemplo 11. Hallar las diferencias para la función f (n )
Solución. Según la definición la pr imera diferencia es
t:.í (n) =
2 (n
+ 1)
2
2n2
-
=
2 (2n
= 2n2 •
+ 1) .
Segunda diferencia es
8 2/ (n)
=
+ 1) - M (n) =
= 2 [2 (n + 1) + 1] -
!J.f (n
2 (2n
+ 1) =
4.
Es evidente que todas las diferencias del orden más alto son iguales
a cero (comparen con las derivadas de la función f (t) = 2tZ) . ·
En los problemas siguientes hallar l as diferenci as .Áel k
orden:
864. f (n) = 3n
2. 865. f (n) = e2n . 866. f (n) =
2
= n - n.
+
Sea f(n)
F*(p) Entonces
M (n) -;--!. (eP - 1) F* (p) - ePf (0),
8 2/ (n) -;--!. (eP - 1)2 F* (p) - eP (eP ~
1)
.::¡
f (0) - eP!i,f (0),
etc.
En general,
··.~
k-1
tlhf(n).,....:. (eP-1) kF*(p) - eP); (eP - i )k - V-i t:,.V/(O),
(22)
v~o
:J.·
donde ó.Of (O)= f (O). De la relación (22) hallamos
~·
" ,{
k- 1
F* {p)
eP
eP -
/l "f (0)
L.J (eP - 1)"
""
1
+
1
(eP -1)k Ln {tlkf {n)},
(23)
'V=O
donde Lk {M/ (n)} es la representación !J.kf ( n) en el sentido de la
transformación discreta de Laplace.
Si, en particular, A"/ (O)= O (v =O, 1, .. ., k - 1) o que es
equivalente f (O) = f (1) = .. . = f (k - 1) = O, entonces la fórmula (22) adquiere la forma más simple
!J.kf (n)
~
(eP -
f )kF* (p),
es decir, las operaciones de determinar las diferencias de k orden
del original , le corresponde la mult iplicación de representación l)Or
(eP -· 1)11 .
· Ejemplo 12. Hallar la representación de la función f (n) = n2 •
So lución. Tenemos
/:,.j (n)
!J.2f (ii)
Mf (n)
= 2n
= 21i
=
'
~.l '
·..
+ 1,
+3-
O (k
>
2).
2n - 1 = 2,
.·
231.
Transformación discreta ele Laplace
En seguida f (O)= O, t,f (0) = 1, 8 2/ (O)
= 3, obtendremos
=
2. Suponiendo en la
iguald ad (23) k
2
!,I:·.~, f(n).-'-F'(p)~ ·::"-l(~O(~:~~~v
O+
+
·.·_'·:·········.
eP-:-- f
;
eP -1
2
)
eJJ(eP-f-1 \
(eP - 1)2 =· (eP -1) 3
•
H allar las representaciones de funciones:
n(n- 1)
867. j (n) = n 3 . 86 8 . f (n) = - - ·
869.
f
21
(n) = (n -
k) 2 r¡ (n -
k).
Representación de suma. Sea f (n) la func.ión de ret.ículo que tiene
la representación
.
f
(n) -;--!- F* (p) .
E xami nernos l a suma
n -1
¿j f (m).
m=O
Entonces
n-1
~ f (m)
F* (µ)
1 '
•
eP -
m=O
es decir, a l a :;umaci ón de originales le corresponde l a división ele Ja
representación en eP - 1.
En general , la sumación k mítltiple dPl original corresponde
a la división de la representaci ón en (eP - 1)1>.
E jemplo 13. Utilizando el teorema de l a representación ele la
suma, hallar la suma
n-1
.lJ
mem .
m=O
.,
.
Solución. La representacwn nen es igual a (
eP+l
, • Por eso de
acuerdo con el teorema de la representación de suma
eP -
e,2
n-1
eP+l
~ mem -;--!m=O
e
[
eP
-- (e -1)2 . el'- 1
e-1
eP
eP-e
,
eP+l
·¡
+- e- ' (e1l-e)~ _ -;--=.
e
[
(e -1.) iie1l
(e-- 1. )2 1- en+
e
J.
232
[Cap. ll
Cálculo operacional
Por consiguiente,
n- 1
""1
m_ e (1-en )+(e-1) nen
L.J me (e - 1):a
•
m=O
Hallar las sumas siguientes:
n-1
n-t
870. 2j m 2 •
m=O
2J
m cos ma.
m=O
n-t
872.
2J
87 L
n -t
873. ¿} em cos ma (n> 2).
m (m -1).
m=O
m=O
Fórmula de inve1·si6n. Dado que la función de retículo j (n} tiene
como · su representación la función F* (p) de . la variable compleja
p = a + i't, donde F* (p) debido a su periodicidad: F* (p
2ni) =
= F" (p) se examina en la franja princi pal -n < Im p ~ n.
Si es conocida la representación F* (p), entonces el original f (n)
se puede hallarlo según Ja fórmula de inversión
+
c+in
f (n) =
~ .F* (p) env dp ,
2~i e-in
(24)
donde e es cualquier número real que es más grande que la abscisa
de convergencia s*.
En el caso, cuando F* (p} es una fracción propia racional respecto
eP, tenemos
f (íi) = ~ res [F* (p) e(n -l)Pj ,
(25)
"'
Pv
donde la suma se toma por todos los polos de la función F* (p) que se
encuentran en la franja -:n: < Im p ~ n y en su frontera Im p = n.
Si Pv es un polo simple, entonces
'l
~I
1
:)
l.
1
1
¡
res [F* (p) eP(n- l)J = lím [F* (p) (eP-eP"') eP(n -1)];
(26)
p ....p'\>
Pv
si Pv es el polo de orden rv, entonces
res [F* (p) eP(n-l)] =
Pv
1
(rv- 1)!
"'
drV-1
lím
[F* (p) (eP- epv)"vep(n-1 )].
(27) ·
p->-pv dep(rv -1)
.•
Ejemplo 14 . Utilizando la. fórim1la (25), hallar el original que i)
corresponde a la representaci ón
;;/
~
¡
...'"
il..,
·:
1
+
.\~
F* (p)
e2P - 3eP + 2
:;_-~;\
.Solución. Hallamos ceros del d enominador. Tenemos e2 P - 3eP
·~:ti
2 = O, de donde e1' = 1 y eP = 2. Por consiguiente, p1 = 01 , ·
+
§ 21]
233
Transforma ción discreta de Laplace
In 2 son los ceros simples del denomin ador y, por consiguiente,
ellos son l os polos simples de la función F'-' (p) en la franja principal.
Hallamos los residuos de la función F* (p} eP(n-1 ) respecto a estos
polos. Tenemos
p2 =
.,.
res [F··· (p)
p=O
eP(n- )]
,
[
= hm
(
e
p-+0
eP (eP-1)
P- 1) ( P- 2)
e
eP(n-1)
=
J=
ePn
lím
p-+ 0 .eP -
- 1;
2
eP (eP -eln 11) eP(n- 1)
(eP - 1) (eP - 2)
p-+ln 2
res [F* (P) eP(n-1)] = lím
P=ln 2
ePn
=
lím
P-+ln 2
en
eP - 1 -
In 2
elD 2 -1
Por consiguiente, mediante l a fórmula (25) obtenemos
f (n) = -1 + 2n.
Ejemplo 15 . Mediante la fórmu la de inversión hallar el original
para la función
eP
I·
1
e2P-i '
F* (p )
Soluci6n. La fonción
eP
. F*(p) = (eP - 1)(eP + 1)
tiene dos polos simples en los punt os p 1
principal -n < Im p ::;;; n. Hallamos
·~
O, p 2
=
i it ele
eP(eP-i)eP(n- 1)
n -l
res[F-(p)ePC
1'=º
=
>]= lím
p -+O
,
P.:,~~ [F* (p) eP(n-l.) j = 1~1f11
=
lím
p-+in
(P - i )(P +1'
e
e
1
l a franja
1
. 2'
ei:rt) eP(n-1)
(eP -1) (eP + 1) =
eP ( eP -
ePn
eP-1
( - f)n-1
nim i
ein _
i
2
Hallar originales para las representaciones siguientes:
874. F* (p) =
.
(e:~ 3 ) 2
876. F* (p) = e2P+1 .
·
~ 78 • F* (p) =
875. F* (p) = e2p_;:v +10
eP
e2P
877. F*(p)= e4P-1
eP
e2v+2aeP+2a2
(a> O.
234
Cálculo operacional
eP
879. F*(p)= - ~-~
~
Soluci6n de las ecuaciones en diferencia mediante la transformación ·:~,
discreta de Laplace. La ecuación que tiene la forma
·
F (n, f (n), f (n
o
F (n, f (n),
+ 1) ,
l:!.f (n),
... , f (n
+ k)) =
.. . , /). kf (n))
=
O
O,
(29}
donde f (n) que es la función de retículo buscada, se llama la ecuac ión.
en diferencias de. k orden.
La ecuación de la forma (28) se reduce a la ecuación de la fol'lna (29)
mediante la fórmula
f (n + k) = f (n) + Ck/!;f (n) + C~t:. 2f (n) + ... + b.hf(n),
· (30)
y con ayuda de la fórmula
D.k f (n)
=f
(n
+ k) -
Cfd (n
. . . + (-1)hf (n)
e"'h = le (k -
+k(k
=
+
+
1)
Ckf (n
k O, l, 2, ... ),
2) -
...
(31)
+ 1)
son ¡ os coer·1c1·entes b'momiales, la ecuación (29) se reduce a la ecuación (28).
Si la ecuación (29) es lineal respecto a f (n) y sus diferencias,
ella se llama la ecuación lineal en diferencias. La ecuación lineal en
diferencias de k orden con coeficientes constantes tiene la forma ·
don de
b0 Akf (n)
1) ...m (k - · m
1
+
b1 ók-1/ (n)
+ ... + b¡¡f (n) =
<p (n),
(32}
donde <p (n) es la función de retículo prefijado, f (n) es la función
de retículo buscada, b0 , b1 , . . . , bll. son constantes, al mismo tiempo
b0 =f:. O,
bk
=f:. O.
Sustituyendo en la ecuación (32) las diferencias f).m f (n) (m =
= 1, 2, .. . , 8) mediante la fórmula ~ obtenemos otra forma
de la ecuación lineal en diferencias:
a 0 f (n + k) + a1f (n
k - 1) + ...
a1¡f (n) = <p (n) .
(33)
Si <p (n) ""' O, entonces las ecuaciones (32) y (33) se llaman homogéneas, si <p (n) =¡É O, entonces est as ecuaciones llaman no homogéneas.
La ecuación en diferencias que contiene f (n) y f (n
k) se llama
la ecuación en diferencias de k orden (k > O). De ese modo, la ecuación
(33) para a 0 =F O y ah =F O es la ecuación lineal en diferencia no homogénea de k orden.
· El orden de la ecuación en diferencias puede no coincidir con el
orden de la diferencia más alta que entra en esta ecuación, si la ecuación E;!n diferencias está escrita en la forma (32) .
Ejemplo 16. La ecuación en diferencias
D.3 f (n)
4/).2 / (n)
5ó/ (n) + 2/ (n) = O
+
+
+
+
+
después de sustituir en ella las diferencias según la fórmula (31) se
reduce a la forma
. f (n + 3) + f (n + 2) = O
o
f
(n
+ '1) + / (n) = O,
;;~
235
Transformación discreta de Laplace
es la ecuación en diferencias del primer orden.
. .. Determinar los órdenes de las siguientes ecuaciones en
.?diferencias
'>
880. /).. 4/ (n) + 4ó.3j (n) + 48. 2f (n) - f (n) = O.
881. /).. 3 / (n) + 31'!.2 / (n) + 3/if (n) + f (n) = TÍ3 + 1.
882. f).~f (n) + 21'l2 f (n) + !if (n) = 2n.
~"
. 883. /)..4/ (n) + 4113/ (n)
61'!. 2/ (n) + 5f'l/ (n)
I'.'• · · ·
nn
ft..; · 2/ (n) = sen -6 •
~'' .
~1; .·
Las condiciones iniciales para la ecuación en dHerencias de k orden
+
+
+
¡f;f·
se prefijan en la forma de los valores de la función de retículo f (n)
y de sus diferencias hasta (le - 1) orden inclusive siendo n = O,
. si la ecuación tiene la forma (32) o en la forma de valores de la función
f · de retículo f (n) cuando n = O, 1., •• ., k - 1, si la ecuación tiene
'' . la forma (33).
·
La solución de las ecuaciones lineales en diferencias de los coeficientes constantes empleando el método de la transformación discreta
(le Laplace se efectúa según el mismo esquema que en el caso de la
,.- transformación clásica de Laplace. Aplicando la transformación disi•· · creta de Laplace para tales ecuaciones y utilizando los teoremas de
linealidad, de anticipación o de la representación de diferencias, llega.
mos a l a ecuación lineal algebraica simple respecto a la representación
F* (p) de la función buscada f (n) (ya tomando en consideración las
condiciones iniciales). Resolviendo esta ecuación algebraica respecto
a F* (p), obtenemos la solución operacional de la ecuación en diferencias, yara la cual el original será la solución buscada de la ecuación
inicia en diferencias que satisface ]as conrlicionP.s iniciales dadas.
Ejemplo 17. Hallar la solución de la ecuación
~+
~·:·
f (n
+ 1) -
Solución. Sea f (n)
~
ef (n)
=
1, f (O) = O.
(84)
F'-' (p). Según el teorema de anticipación
f (n
+ 1)-;-.!. ePF* (p).
Aplicando a ambos miembros de (34) la transformación rliscreta de
Laplace, obtenemos la ecuación operacional
eP
ePF* (p) - eF* (p)= eP-
1
,
de donde
...
~""
F* ( ) p -
eP
(eP -e)(eP-1) •
La función F* (p) tiene dos polos simples p -= O, p
res [F* (p) e(n- 1 )P] =
p= O
res {F* (p) e(n-l)Pj
~1
.
lím
p -+ O
eP
eP-e
=
1:
1.
e(n-l)p= _ _
1- e '
e
en
=- en-1 = -.
e-1
e-1
236
Cálculo operacional
[Cap. IJ
Por consiguiente, mediante la fórmula (25)
f (n)
en-1 .
e-1 • ·
Resolver las siguientes ecuaciones lineales homogéneas
en diferencias:
884. f (n + 1) - 2f tn) = O, f <0) = 1.
885. f (n + 2) + 2f {n + 1) + f (n) = O, f (O) ·= 1,
t (1) = o.
.
886. f (n + 2) - 2f (n + 1) + 2f (n) = O, f (O) = O,
f (1) = 1.
887. f (n + 3) - 3f (n + 2) + 4f {n + 1) - 2/ (n) = O,
f (O) = O, f (1) = O, f (2) = 1.
888. f (n + 4) + f (n) = O, f (O) = O, f (1) = 1,
t (2) = o, f (3) = o.
889. f (n + 3) + 3f (n + 2) + 3f ln + 1) + f (n) = O,
f (O) = O, f (1) = O, f (2) = 1.
Resolver las siguientes ecuaciones lineales no homogéneas en diferencias:
890. f (n + 1) + 2f (n) = n, f (O) = O.
891. f (n + 2) - 4f (n) = 4n, f (O) = f (1) . 1.
892. f (n + 2) + f (n) = 1 - (-1)n,¡ (0) = O, j(1) = 1
893. f (n + 2) - 6f (n + 1) + 9f (n) = n .3n,
f (O) = O, f (1) = O.
·
894. f (n + 3) + 3/ (n + 2) + 3/ (n + 1) + f (n) =
= cos nn, f (O) = O, f (1) = O, f (2) = O.
895. f (n + 3) - 3/ (n + 2) + 3.f (n + 1) - f (n) = n 2 ,
f (O) = O, f (1) = O, f (2) = O.
.
..
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.
· ·· · .
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Capítulo III
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Teoría de la estabilidad
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l
,1~~ '.
§ ·22. Concepto acerca.de la estabilidad de solución
de un sistema de ecuaciones diferenciales. ·
Los más simples tipos de puntos de reposo
Supongamos qJe tenemos un sistema de las ecuaciones diferenciales ordinarias
·
dy¡
donde
:/i~~
dt=fi(t,y11Y2• •" •Yn.)
(i=1,2, . .. ,n),
(1)
=
1, .2 , . .. , n) existen y son continuas, y sea cp 1 (t)
(i = 1,
.. . , n) la solución de este sistema que para t = t 0 satisface las. condiciones ..
(i, le
epi (t0) = cp~ (í = 1, 2, .. ., n).
La solución epi (t) (i = 1, 2, .. ., n ) del sistema (1) se llama
estable según Liapunov para t -~ oo, si para cualquiera e > O se
puede escoger 6 (e)> O tal que para cualquiera soluci6n Yi (t) (i =
= 1, 2, ... , n) del mismo sistema (1), los valores iniciales del cual
satisfacen las desiguaJdades .
.
.
1 Yi (t0) - ~ 1 < ll (e) (i = 1, 2, . . . , n),
para tod as t ~ t0 son válidas las desigualdades
1 Yi (t) - Cj>¡ (t) 1 < 8 (i = 1, 2 , ... , n),
(2)
· es decir, soluciones próximas por l os v alores iniciales se quedan pró.,, ximas para todas t ~ tQ.
·
~' .
Con otras palabras, l a solución <p¡ (t) (i = 1, 2, ... , n) es estable,
,,T.fi: si suficientement e próxima a ella en el momento inicial t = t0 solu0~;~:: ción Yi (t) (t - 1, 2, ... , n) para todas t ~ t0 se contiene en t anto
.rt~f'. como se quiera estrecho e tubo construido alrededor de l a soluci6n
.,¡' <Pi (t) (i = 1, 2, ... , n) .
·'; · ·
Si para tanto como se quiera pequeña ó > O por l o menos
'h >ara una sola solución Yi (t) (i = 1, 2, .. ., n) las· desigualdades (2)
·';'. no se cumplen, entonces la soluci6n cp¡ (t) (t = 1, 2, ... , n) se llama
".'·inestable.
; . Si la solución cp1 (t) (i = 1, 2, ... , n) es estable, y también,
\.además, satisface las condiciones
....
lim 1 y¡ (t) - cp¡ (t) ! = O (i = 1, 2, ... , n),
(3)
+
;._ -.
t-+-l-00
j Yt (t0 )
-
cpy 1 <
stable asint6ticamente.
Óv
entonces l a solución
CJ>t
(t) se lJama
.
238
~
.
Teoría de la estabilidad
El problema sobre la estabilidad de soluci6n <p¡ (t) del sistema (1)
puede ser reducido al probl ema de la .estabilidad de solución nula
xi (t) = O de cier to sistema nuevo de ecuaciones que se obtiene de (1):'·.
por la sustitución lineal de las funciones buscadas
·'-.
Xt (t)
=
Yt (t) -
<p¡ (t) (i
=
·I, 2, . . . , n),
donde x¡ (t) son las funci ones nuevas incógnitas iguales a las desviaciones de las funciones incó~nitas anteriores Yi (t) de las funciones-.
<p¡ (t) que determinan la solución a examinar. Por lo tanto en lo poste-).!.
ri or vamos a considerar que se examina a la estabilidad precisamente -' i
la solución nula x 1 (t) == O o que es lo mismo el punto de reposo que se. :'
encuentra en el origen de coordenadas del sistema de ecuaciones ;
(5)
En vez del término «solución nula» vamos a emplear el término solución t ri vial.
En l a aplicación al punto de reposo x1 (t) = O ( i = 1, 2, . ..
. , n) la condición de estabilidad es la siguiente:
El punto de reposo Xi (t) == O ( i = 1, 2, .. '.• n) del sistema (5)
es estable según Liapunov, si para cada s ·> O se puede escoger ó (e) > O
tal que d e la desigualda4 1 x 1 (t0) 1 < ó ( s) (i = 1, 2, ... , n) se .·
.
desp rende 1 x¡ (t) 1 < e (i = 1, 2 , .. ., n) para todas t ;a. t 0 •
E jemplo 1. Cada solución de la ecuación
·
~-o
dt -
(6)
es estable.
Realmente, l a solución Xi (t) de esta ecuación que satisface la
condición inicial x1 (to) = xi, es X¡ (t) = x~ = const.
·
Examinemos otra solucion x 2 (t) de la ecuación (6) que satisface
la condición inicial
X2 (to) = xg.
(7)
Para est as soluciones tenemos 1 x 2 (t) - x1 (t) /. = ¡ xg - x~ ¡ para
todas t . Por consiguiente, para cada e > O existe ó > O, verbigraci.a,
ó = e tal que en cuanto 1 xg - x~ 1 < ó, entonces para las soluciones
x2 (t) y x1 (t) se cumple la desigualdad
·
1 X 2 (t) - X i (t) 1 = 1 xg 1 < S para todas t ;:;;. to.
Por consiguiente, cualquiera· solución de la ecuación (6) es estable.
Sin embargo no existe la estabilidad asintótica:
1 x2 (t) - Xi (t) 1 = 1 xg - x~ 17'-- O para t -+
oo.
E jemplo 2. Cada solución de la ecuación
xr
+
dx
dt + x=O
(8)
es asintóticamente estable.
En realidad, la solución general de la ecuación tiene la forma
x (t)
=
Ce-t.
(9)
.....
J
Estabilidad de solución de
sistema de ecuaciones
im
239
'. Las soluciones x1 (t), Xi (t) de la ecuación (8) que satisfacen las condi
iniciales x1 (t0 ) = x~, x 2 (t0 ) = .?:g son
~f ciones
x 2 (t)=x~e-(t-to).
x 1 (t)=xfe-(t-to),
De aquí
1 x 2 (t) - x·1 (t) 1 = 1 xg - x~ 1 e- <t-to)-+ O para t-+ +oo
. que significa la estabilidad asintótica de solución cualquiera de la
ecuación (8).
Ejemplo 3. Solución x (t) """' -1 de la ecuación
!; =
1-
.7: 2
(1)
es estable, puesto que para t -+ + oo todas las soluciones de la ecuación
(1+xo) e2(t-to) _(1-Xo)
X (t)
(1 + x0 ) e2 <t-to) (1-x0 )
+
·se tienden a + 1. La solución x (t) = 1 de esta ecuación según la
definición es estable asintóticamente.
Empleando la definición, examinar de la estabilidad las
soluciones de las ecuaciones siguientes y sistemas:
896. ~; +x= 1,
x (O)= 1.
897. ~; =-t(x-1) , x(0)=1.
898,
~;
- 2x = t,
dx
899. Tt=2xt,
· 900. Tt=cost,
dx
901.
~~=y,
{ Tt = --
902. {
dy
X ( ;
=
)
-+ .
x(O)=O.
x (O) ,= 1.
X
(O)= y (O) = o.
3y-2x,
~~ =y,
X
dy
Tt=2y-\-3x,
(O) = y (O) = o.
Los más simples tipos de los puntos de reposo. Suponemos que tene-
mos el sist ema de l as ecuaciones diferenciales
dx
dt= P (x,
{
dy
y),
dt = Q(x, y) .
(A)
240
[Cap. lll
Te oria de la estabilidad
El punto (.r0 , y0 ) se llama el p unto de reposo o el punto
sistema (A), si P (x0 , y0 ) = O, Q (.:ro, Yo) = O.
Examinemos el sistema
·.~; =a 11 x+a1;Y,
{
singular~
( 1)
dy
dt = iiux +a22Y•
donde ªli (i, j = 1, 2) son constantes. El punto (0,0) es el punto
de reposo del sistema (1). Examinemos la disposición de trayect ori as
del sistema (1) en el entorno de este punto. Buscamos la sol ución
en la forma
(2)
Para definir k obtenemos la ecuación característica
a11 - k
(3)
1
ª21
Examinemos los casos posibles.
1. Las raí ces de la ecitaci6n característica son reales y distintas.
Los subcasos: 1) k1 < O, k 2 < O. El punto de reposo es asintóticamente estable (el nudo estable) . 2) k1 > O, k 2 > O. El punto de r eposo
es inestable (el nudo inestable) . 3) k1 > O, k 2 < O. El punto de r eposo es inestable (la ensilladura) . 4) k 1 = O, k 2 > O. El punto de reposo
es inestable. 5) k1 = O, k2 < O. El punto de i·eposo es estable, pero
no asiotóticamente.
J I. Las raíces de la cci~act6n característ ica con complejos: k 1 =
k 2 = p - qt. Los subcasos: 1) p < O, q =f= O. El punto
= p + qi,
ele reposo es estable asintóticamente (el foco estable). 2) p > O, q =F O.
El punto de reposo es inestable (el foco inestable). S) p = O, q =F O.
El punto de reposo es estable (el centro). No existe la estabilidad
asintótica.
III. Las rafees m 1.ílt!p les: k1 = k 2 • Los subcasos: 1) k1 = k 2 < O.
El punto de r eposo es asintóticamente estable (el nudo estable).
2) k1 = k 2 >O. El punto de reposo es inestable (el nudo inestable). ·
3) k1 = k 2 = O. El punto de reposo es inestable. E~ posible un caso
singular, cuando todos los puntos del plano son los puntos estables
de r eposo.
Para el sistema de las ecuaciones lineales homogéneas de los coeficientes constantes
n
""1
dx¡
-¡¡¡-= .LJ
a ¡j X j
(i= 1, 2,. . ., n)
j= 1
la ecuación característica es
a11 - k ·
ªu
ªu
llz1
ª22 - k
ª2s
ªin
ª2n
ªni
ªn2
ªna
ann -
= Ü.
k
i·
i,
':
§ 22]
Estabilidad de solución de un sistema de ecuaciones
241
1) Sí las partes reales de todas las raíces de la ecuacifü1 característica (5) del sistema (4) son negativas, entonces el punto de reposo
.1:; (t) 2 " O (i = 1, 2, . .. , n) es asintóticamente estable.
2) Si la parte real por lo menos de u.na sola raíz de la ecuación
característica (5) es positiva, Re ki = Pi > O, entonces el punto de
r eposo x¡ (t) ==O (i = 1, 2, . . . , n) del sistema (4) no es estable.
3) Sí la ecuación carncterística (5) tiene las raíces simples de la
parte real nula (cuando las raíces son nulas o puramente imaginarias},
entonces el punto de reposo x; (t) =O (i = 1, 2, ... , n) del sístema(4) es estable, pero no asintóticamente.
Ejemplo 4. Determinar el carácter del pLmto de reposo (O, O) del
sistema
{
~=y,
l y=
Solución. En el caso dado
ª11 =o,
ª1.2 = 1,
-
X.
ª21
=
-1,
La ecuación característica
-k
1
-1
1f
- k =O
ó
Las raíces de la ecuac1on característica k1 , 2 = ±i son puramente
imaginar ias. El punto de reposo es estable y es el centro.
Det erminar el carácter del punto de estabilidad (O, O)
en los sistemas siguientes:
903. { ~ = X -- y'
.
y=2x+3y.
905. {
907. {
~=
-2x-3y,
y =x-t y.
~ = 3x+ 2y,
y = x+y .
-
909. {~ = 2x+y ,
Y = - x - 4y.
.
¡
x=x - 3y+4z ,
9.11.
~=4x-7y+8z.
z= 6x-7y + 7z.
904. {
x=li.y-x,
y= -9x+y.J
{ ~=x-2y.
y= 2y-3x .
906.
908. {
~ =~ -- X + 2y ,
y = - 2x+ 3y.
X= 2x -y,-t 2z,
910.
~=
1z =
5x-3y+3z ,
-·- x- 2z.
~r
¡1·
¡.{"
I '.
,,
!'-¡
Teorta de la estabilidad
!i
Para el sistema ele dos ecuaciones lineales de los
·constantes reales
f ~=a11.'l:+a12y,
l Y=a21x+a22Y
la ecuación. característica (3) se reduce a la forma
k2
a 1k + a 2 = O.
1) Si a1 > O, a 2 > O, entonces la solución nula del sistema
es asintóticamente estable.
2) Si a 1 > O, a 2 = O ó a 1 = O, ~ 2 > O, enton.ces la solución
es estable, pero no asintóticamente.
3) En todos los demás casos la solución nula es inestable;
embargo, para a1 = ªz.. = O es posible un caso singular, cuando la
solución nula es estable, pero no asintóticamente.
Ejemplo 5. Determinar los valores del parámetro a, para los cuales
la solución nula del sistema es estable
(
+
j;i
/, '
.
~ ~=y,
L Y=(a-1)x__.:_ay.
Solucióii. La ecuación característica para el sistema dado
la forma
·
k.
~¡.
1
¡:
1
¡,
!;
L
i
f
I'
+
1-0
a.k
1a 2 = 1 - a.
.
La estabilidad asintótica de a solución ·nula tendrá lugar para
o:> O, 1 - a> O, es decir. para O< a< 1.
.
o k2
¡'i ·
1
+
1 a-1 -CG-k
o: = O. Aquí ªt = a,
La estabilidad, pero no asintótica, la tendremos en dos casos· .
a) a> O, 1 - a =0; es decir, para a = 1;
b) CG = O, 1 - a. > o; es decir, para a = o.
.
Para todos otros valores de a la solución nula es inestable.
'
Determinar los valores del parámetro a, para los cuales
las soluciones nulas de los sist~mas siguientes son e.stab!es:
912.
914.
{~ = y,
..
y= 5ax-a2y.
.
l
{~=ª2·-i: - 3y,
y=ax+4y.
X=CGX - y,
916.
~ = ay-~,
Z ·-CGZ - X.
913.
{~= - x+y,
y = Clx-a2 y.
915.
{ ~ = y + ax,
y = -x.
· Estabilidad de solución de un sistema de ecuaciones
243
V·:iosEj,einp
lo 6 . En el plano de los rarámetros a y~ hallar los dominios,
cuales la solución nula de sistema de ecuaciones es estable
T·:··
.
:=ax+ (~- 2a~ -1)
{
y,
y = x-~y .
. Solución. La ecuación característica del sistema
a- k
~ -2a~-1
- ~- k
1 1
k2
ª1
~;::~: ·' .
:~.-. a¡:· y a2
·:.-.:iªt
+ (~ -
a) k
l=O
+ 1 + a~ -
~
= O.
= ~ - a,
son las funciones continuas de a y ~. por lo tanto los signos
y a 2 van a cambiarse donde a 1 = a 2 = O, es decir, en la recta
jJ
J
JI[
IV
o
(2,-2)
Fig. 37
~ - a= O y en la hipérboln 1 + a~ - ~ = O. Estas líneas_ parten
el plano de parámetros a , ~ en los cuatro dominios !, Il , lll, I V
(fig. 37), en cada' uno de los cuales los signos a 1 y a 2 son constantes.
16*
\
244
[Cap. Ill
T eoría de la estabilidad
Tomemos un punto arbitrario en cada dominio y determinemos en
estos puntos los signos de coeficientes a1 y a 2 •
El dominio /: en el punto (-1; 1) tenemos a1 = 2 > O, a 2 =
= -1 < O. La solución nula del sistema en este dominio es inestable.
El d ominio IJ: en el punto (O,
=
~)
tenemos a 1
= ~>
O, a 2 =
~>
O. La solución nul a del sis·tema en ei dominio IJ es asint6ticamente estable.
El dominio JI/: en el punto (1, O) tenemos ªi = -1 <O, a 2 =
= 1 > O. La solución nula en el clominio IlI es inestable.
El dominio I V: en el punto (2, -2) tenemos a1 = -4 < O, a 2 =
= - 1 < O. La solución nula en este dominio es inestable.
Examinamos de la estabilidad la solución nula en las fronter as de
los dominios que ya hemos examinado.
1
1)' ~ =
a , a < 1 (es la fronter a entre los dominios I y .Il).
1
En est a frontera a 1 > O, a 2 = O, así que la solución nula en ella es
estable, pero no asintóticamente.
·
2) ~ = a (es la frontera entre l os dominios JI y III). En esta
frontera a1 = O, a 2 > O, así que la solución nula en r.Ha es estable,
3~ ~a~n:ót1c:~e:t: 1 (es la frontera entre los dominios Il I
0
¡Jero
IV). En esta frontera a 1 < O, a 2
:lleas
y
= O, así que la solución nula en ·
.''
,
,;
:i~
j
<~
-}~
~~:::~t=~I~ii~~ ~~t:16~i~~!~~1~~a:~e~~e f~~~~l~ e~ei\~~~~~off ·...•-·..·.•.J:•~;-·~•,.:I·~.;
H allar dominios para los sistemas siguientes en el plano
de parámetros a y B, en los cuales la solución n ula es estable:
917.
{~= -x+ ay,
918.
{~ - ax+ ~y,
y= x+ay.
y = ~x - y.
919.
920.
{:: =ax+~y,
{
y=
-~x+ (o: - 2)
X=
- a2x-~ 2 y,
.
y= (a2·- 1) X+ (~2 + 1) y
; = (a2 ·- ~)
921. { .
y=
922. {
y.
~=
X+ (1 -j- ~) y
- ~2x+ W·y.
-
a 2x _.:. (~
+ 1) y'
y = (4a+ ~ + 1) x - 4y.
~,' -~~"""'~''..'"'~~-·-~~·-~--~·-·,.-~-·
..
.......... "'"""""''_........ ~-·· ·-·- ..-·-···---·-·--··----·~
ti'...
;/.
§ 23]
245
Segundo método de Liapunov
§ 23 ~ Segundo método de Liapunov
La función v (:x¡, x 2 ,
xn) se llama ·aeftnitivamente positiva en
••• ,
n
f.
,\.·
H-entorn<f ( ~ .xr ~ H) del origen de coordenadas, si ella es positiva
~~· ·.
i =1
··.'..
. .. ._.
¡:-..·..
~:
en todos los puntos de e8te entorno , a excepción del origen de coordenadas, donde eila es igual a cero:
n
v(x1 , x 2 ,
•• .,
xn) > O,
l
.
t.
t·::.
.
v(O, O, .. . , 0)=0.
x¡>O,
i= 1
~;
,,
2J
si
+ +
Verbigracia, l a función v = x~
x~
x~ es defini tivamente positi va
en el espacio de variables x1 , .~ 2 , 3;8 • La función u = x~ + :r.~ es sólo
de signo constante en este espacio, pero no rlefinitivamente positiva,
puesto que ella se anula en todo el eje Ox3 , y no sólo en el punto (O, O, 0)
y ella misma es definitivamente positiva en el espacio x1 , .x 2 •
n
-~
~.::::
,;_,
~'
tt>
;'e_ . -
Si v (x 1 , x 2 ,
.. .,
,Zj
xn) <O para
xf >O y
i= i
v (O, O, ... , O) = O, entonces la función v (x1 , x 2 , .- • . , xn) se llama
definitivamente negativa.
La función v (t, x 1 , x 2 , • • • , xri) se llama definitivamente positii;a
en H-entorno del origen de coordenadas para t ;;;;;:. t 0 , si existe tal función
definitivamente positiva w (x1 , x 2 , •• ., xn) que no depende de t que
v (t, :x1 , x 2 , •• ., xn);;;;;:. w (x1 , x 2 , • •• , :r.n) para todos los valor es indicados de argumentos y v (t; O, O, .. . , O) = O.
·
.Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales
d;/
=fi(t,
X1,
X2, ... , Xn)
(i=1, 2, ... , n),
j(1)
.!(:cy se'a
1
··~.~~· . .. .
1
V
'
(t,
.'t¡, X2,
• . . , Xn,)
:ves IÁfunción continuamente diferenciable de sus argumentos. La deri-
vada total por t
.si.St~ína (1)
.. '
¡).:·: ··r:~.J_ IJv
~ .~ '
·
ÍllnCiÓn l/ (t, X1 X2, • • ., Xn) 1 calculada en Vigor del
(a lo largo de curvas integrales) es igual a
1
~
n
~
f t- Tt+ LJ
·.. í
:••. l
-
.
t=i
n
IJv
8x·
l
dxi _
8v
~ ov
d't -Tt+ LJ --¡¡¡--l
·
f¡ (t,
.
Xi,
X21 . .. , Xn).
(2)
•
t=i
i lo;:; miembros segundos del sistema (1 ) no contienen explícitamente t,
' tclnces tal sistema se llama autónomo o estacionario.
':di~, Teorema de A.M. Liapunov de la estabilidad. Si un sistema
·:e9itaciones diferenciales es tal que existe la funci6n v (t, x1 , x 2 , •• ., xn)
eje~ definitiva"mente positiva para t;;;;;:. t 0 en cierto H - entorno del origen
~
~
.
~cr or~enada.s, la deriVada del cu.al dt calen lada en virtud del ststema (1)
' J s .positiva, entonces la soluci6n trivial del sistema (1) es estable.
·,4~./i :. ·: ; .
.~i~· ::
246
Teoría de la estabilidad
U. Teorema de A.M Liapunov de la estabilidad asintótica (e(
caso de sistemas autónomas). St zm sistema aútonomo de ecuaciones·
diferenciales
dxt
dt=ft(x¡, xz, •.. , xn)
(i=i, 2, .. . , n)
e8 t al que existe la funci6n v (x1 , x 2 ,
• • • , xn) que es definitivamente posi- ..
ttva en cierto H-entomo del origen de coordenadas, la derivada de la cual :,:.
dv
·
·
· ' ~'
dt · ca?culada .en vigor dt.!l. sistema (3) es definitivamente negati1>a, entonces ;:.
=
1, 2, .. ., n) es estable asintóticamente~ xn) y v (x1 , x 2 , •• ., xn) que figuran
en los teoremas citados arrib a se llaman las funciones de Liapunov.
Designemos por el dominio v > O cierto dominio del entorno
la soluci6n trivial x¡ """' O (i
Las funciones v (t, x1 , :r2 ,
•• .,
n
¿j
x¡ ~ H del origen de coordenadas del espacio de variables x 1 , x 2 ,
• •• . :
i=i
.
: .. , x11 limitado por la superficie v = O, en el cual la función v toma
los valores positivos.
·
. ..
Supongamos que la función v posee las propiedades siguientes:
1). para cualesquiera que sean grandes valores de t en cualquier
que sea pequeño entorno del origen de coordenadas existe el dominio
v> O;
2) en el dominio v > O la función v es limitada;
3) en el dominio v > O la derivada ~ compuesta en virtud del
sistema de ecuaci~mes (2) es definítivamente positiva.
III. Teorema de N. G. Chctaev de la inestabilidad. St para· el
sistema de ecuaciones diferenciales (2) se puede hallar la funci6n qzie
sat isface las con.dictones 1), 2), 3), entonces la soluci6n trivial de este
sistema es inestable.
Observaci6n. Si en el sistema (2) todas f ¡ no dependen explícitamente de t, entonces la función de Liapunov hay que buscar como no
dependiente explícitamente de t.
Ejemplo 1. Examinar de la estabilidad la solución trivial del
sistema
-
dx
dt
{
= -x(x-2y) (1-x2 - 3y2),
:; = - (y+x) (f - :¡;i-3y2).
¡.
.'
. :.:
+
Solución. Tomemos en calidad de v la función v = x2
2y2 •
Ella es, en primer lugar, definitivamente positiva, y en segundo
lugar, su derivada
:~tomada en virtud del sistema, es igual a
~=~~+~ dy=
dt
OX
dt
{}y
dt
1
.=:•."
._ • •
1
1
247
Segimdo método de Liapunov
=2x (2y-x) (1 -x2-3y2)-4y (x+ y) (1 -x2 -3y2)=
~t.
=...:....2(1 -x 2 - 3y 2)(x2+2yª)~O
;: . para x y y suficientemente pequeña.$.
~'·' · ·. De aquí se ve que se cumplen todas las condiciones del teorema de
~-·. A.M. Liapunov de la estabilidad.
.
.
f;.:/ · .Por consiguiente, la solución trivial x = O, .y ;: : :;: ; O es estable. :
~ :~·. ·. E jemplo 2. Examinar de la estabilidad . la solución del sistema
•¡,, · ··
tif...
{ -¡¡¡--dx _
5 y- 2 .s
~:~'
9,.:.·-.
X '
dy
.
-¡¡¡-=5x-3yS.
¡;:,
i\'°
r-:~···
!-~-~.?·
.·
Soluci6n. La función v = x 2 + y 2 satisface las condicionPs del
, . teor!!ma de A.M. Liapunov de la estabilidad asintótka:
,
1) v (x, y) ;;;;,. O, v (O, 0) = O;
. ..
2) Bt = 2x (-5y - 2x3) + 2y (5x ·- 3y9) = -(4x' + 6y4) ~ O,
~
. O, y·= ·o y, por. cons1guien·
. . t e,
. dv
es decir,
ot < O y dv
ot =. Oso' lo para x =
es la función definitivamente negativa. Por consiguiente, la solución
x =- O, y =- O es asintóticamente estable.
·
E jemplo 3. Examinar de la estabilidad la solución trivial del
sistema autónomo
~;
=x2+y,
dy
-¡¡¡-=Yi+x.
{
Solución. Tomemos en calidad de
v=
1
3
v (x,
y) la funcióri
1
:i:s+xy+a ys.
Aquí el dominio v > O es, por ejemplo, el dominio x
el dominio v > O tenemos
·
>
O, y
>
o: En
~=!.!!._
+!!:.~=(xz+
)2+(x+ Z)i>o.
dt
ax !=..
dt
ay dt
Y
·
Y ·
En virtud del teorema de N .G. Chetaev de la inestabilidad la
solución x == O, y = O es inestable.
·
Mostremos en un ejemplo un método de construcción de la función
de Liapunov, que se llama el método de d.ivisión de variables.
Ejemplo 4. Sea dado un sistema de ecuaciones
;=a;¡;S+by,
{
y= -cx+dys.
Hallar para el sistema (4) la función de Liapunov en la forma
v (:r, y)= F1 (x)ft F 2 (y), .
( )
4
de
.,
.· ·
..
248
)
Teoría de la estabilidad
(Cap. Ill
donde F 1 (x}, F~ (Y} son ciertas funciones diferenciahles hasta ahora
incógni tas.
.
Solución. En vi gor del sistema (4} obtendremos
~
=
F{ (x) x
'+ F~ (y) y ' =
F{ (x} (ar'
+
l1 y) -
F~ (y) (ex - dyª) .
Exijamos que la fondón ~tenga la mi.sma forma .que también la funci6n v (x, y), es decir, que ella se represent e en la forma de la suma de
dos funciones, de una que sólo depende de x, de otra que sólo depende
de y. Para eso es necesario que exista la identidad
F{ (x) by - Ff (y) ex == O.
Separando las variables, obtenemos
ex
by
F: (x) = F~ (y) '
y, por consiguiente, cada una de las fracciones debe ser l a magnit ud
constante, por ejemplo, ser igual a ; . Entonces vamos a tener
ex
1
F{ (x) = 2'
de donde
a~í
F 1 (x)
que
=
1
by
F2 (y) =2 '
cx2 ,
v (x, y) =cxz+byz.
Examinar de la estabilidad la solución trivial de sistemas:
•
1
11
X = -x+y-3xy2 ; = y -3x3 ,
4 x ,
923.
924. {
•
1
1
{
-x-7y,
Y= - 3 x - 2y - 2ys.
y=
;= -2x-y+2xy -3x
2
. 925.
3
,
{ Y. = s1 x - y-x2y - 7yª .
;= -5x-9y+3xy2 -xa ,
927.
928.
929.
{ y. =
3x - 4y - 2x2 y -
1
2
x = - x - 2xy2 - xy6,
.
1
{ y= - 2 y - x2y-x4ys.
; =
•
{ y=
-3x + xy4-x3y 6 ,
1
1
- 2x2y"'--¡;Yª·
y3 •
926.
{~ = - xy~,
y = yx"'.
:
§ 24]
249
Estabilidad por la primera aproximación
930.
.= x-xy
{
.T
4,
y=y-xzys.
932.
--2y -x3,
{ ~=
y=3x-4ys.
.
1
1
( x=
-2x-2xyz,
1•
933. { y =
3
-
•
l1 z=
-
3
4 y+ 3xz ,
934.
2
2
3 z-2xyz •
(v = x 2 + 2yz + 3z2).
§ 24. Examinación de la estabilidad por Ila primera
aproximación
Supongamos que tenemos un sistema de ecuaciones diferenciales
dx·
--¡¡f-=fi(t, x1 ,
.
x2,
•• .,
Xn)
(i=i, 2, .. ., n),
(1)
donde f¡ son las funciones, diferenciables en el entorno del origen de
coordenadas, f¡ (t, O, O, .. ., O) == O.
Examinamos de la estabilidad el punto de reposo :v¡ = O (i =
= 1, . 2, ... , n) del sistema (1). Representemos el sistema (1) en el en. torno del origen de coordenadas en la forma
•·.. .
·.:.!:¡
n
=
'
~
aij (t) x1+R; (t, x 1 , x 2 ,
••• ,
xn)
(i =1, 2, .. ., n),
J=i
clon~e. Ri tienen el orden más alto que primero respecto a
(2)
V]ti
es decir, en realidad desarrollemos los miembrog segundos (1) mediante
- J ói:mula de Taylor por potencias x en el entorno del origen de coorn. ad as). En vez del punto de reposo del sistema (1) ·examhiainos de la
abilidad el punto de reposo del sistema lineal
n
d:c¡
""'
dt= LJ
ªii (t)
1: j
(i=1, 2, .. : i n),
(3)
j=i
e .se llama
', elii.a
el sistema de ecuaciones de la primera aproximación. o el
linearizado para. el sistema (1) .
. :Surge el probl eroa, si provoca la estabilidad (inestabilida<l) del
dé reposo del sistema (3) estabilidad (inestabilidad) del punto
, Ji~ti
.·.....
250
Teoría de la estabilidad
de reposo del sistema inicial (1). En general no existe conexi6n rigu<
rosa entre los sistemas (1) y (3).
Ejemplo l. Examinemos la ecuación
dx
dt = x2.
Aquí f (t ,
la forma
x) ;:;; x 2 .
(4) :'
La ecuación linearizada par a la ecuación (4) tiene
>
' "'
dx
dt= O.
La solución x (t) !!!!!!!! O de la ecuación (5) es estable (véase la pag. 238). "
Ella misma, siendo la solución de la ecuación inicial (4), no es para .
ella estable. En realidad cada :solución real de la ecuación (4) tiene la
forma
x-
xo
- 1-tx0
y rleja de existir para t
=
xlt=o =Xo,
'
.!__ (la solución es discontinua).
Xo
Ejemplo 2. Examinemos la ecuación no lineal
dx
-dt-=--xset
..,
.
(6)
La ecuación linearizada tiene la forma
dx
dt= x.
(7)
La solución x (t) """ O de l a ecuación (7) es inestable, puesto que cada
solución de esta ecuación tiene la forma
:t: (t)
=
Cet ,
+
+
y es evidente que 1 x (t) 1 -+
oo para t-+
oo. De otra parte, la
solución x (t) = O de la ecuación (6) es asintóticamente estable. En
realidad la solución general de esta ecuación tiene la forma
x (t)=Cet [
+
1+;
CZ(eSf _i)J-
112
y tiende a cero para t -+ oo.
,
,
Sin embargo, para las condiciones definidas la estabilidad (inestabilidad) de la solución del sistema de la primera aproximación rrovoca
l a estabilidad (inestabilidad) de solución del ,sistema inicia (1).
Para la mayor simplicidad limitemos por el caso, cuando los
coeficientes ªii (t) en (3) son constantes. En este. caso se dice que el
sistema (2) es estacionario en la primera aproximación.
Teorema L ,_ St el sistema de ecuaciones (2) es estacionario en la primera aproximación, todos los términos R¡ son limitados por t y se desa,
rrollan en series p o1· las potencias x1 ,
•• . ,
'n
~n en cierto dominio ~ x~ ~
i=i
:;::;; H, al mismo tiempo los desarrollos se empiezan po,r los tfrniinos
~o
. ".
Estabilidad por la primera aproximación
251
..?menos de segundo orden y to.das las raíces de la ecuact6n caracter!stica
~:1f..::,
f{'
r..--
<
ªu - k
ª12
ª2i
ª22 - k
=Ü
(8)
~"
~(·
~...."'
f-;..
[i"--'
i):;'
tf.·.
ªni
an2
ann-k
tienen las partes reales negativas, entonces la soluctón trivial xi .... O
(1 = 1, 2, .. . , n) del sistema (2) es astnt6ticamente estable, es decir, en
:~c:::i~ es posible la examtnación a z_a estabtlidad por la priniera aproxi-
~" " · '
Teorema 2. Si el sistema de ecuaciones (2) es estacionario en la primera aproximación, todas las funciones R¡ satisfacen las condiciones del
~-;\. teorema 1 y por lo menos una de las rafee.~ de la ecuación característica (8)
~-·. tiene la parte 1·eal positiva, entonces el punto de reposo xi i;a O (i =
= 1, 2, . . . , n) del sistema (2) es inestable, es decir, y en este caso es
Z.:
posible el examen de la estabilidad p or la pr~mera aproximación.
Observación. Si l as partes reales de todas las raíces de la ecuación
: .:
:(
t
característica (8) no son positivas, al mismo tiempo la parte real por
lo menos de una sola raíz es igual a cero, entonces es imposible examinar
t,·. la estabilidad poi• la primera aproximación, en general, (en este caso
;empiezan a influir los términos :no lineales R;).
,
Ejemplo 3. Examinar 'de la estabilidad el punto rle reposo x = O,
;~
y = O del sistema
' ·
-;«,
(.
..
~
~-·
..
'·
{~= x~~::12;'.-y6,
(9)
Soluci6n. Los miembros no lineales satisf11cen las condiciones de
teoxemas 1 y 2. Examinamos de la estabilidad el punto de reposo del
sistema de la primera aproximación
.
{.
x=-x+y,
(10)
y=x-3y.
La ecuación característica
1- ~
11=0
-k
-3 -k
tiene las raíces negativas k1 , 2 = -2 ± lf2. Por consiguiei:te, de
acuerdo con el teorema 1 el punto de reposo x = O, y = O de srntemas
(9) y (10) es asintóticamente estable.
E jemplo 4 . Examinemos la ecuación de oscilación de un péndulo
~· + ax·+ b sen x = O.
(11)
Aquí x es el ángulo de desviación del péndulo de la perpendicular. A la
ecuación (11 ) le corresponde el sistema
:
o
:e=y,
{
Y= -ay-bsenx.
(12)
-::d
. ·1
._,,
252
[Cap. lll
Teoría de la estabilidad
Los puntos ele r c:poso del sistema
x 'T kn (k es el
Examinamos de la estabilidad
que obtenemos de (13) para k = O.
.
sen x=x -
(12)
entero), y = O.
(13)
el punto de reposo x = O, y = o
Utilizando el desarrollo
xS
31 + ...,
:
·'
:
'
escri biremos el sistema de la ·primera aproximación
;=y,
.
. (14)
{
y= - bx - ay,
{
1a ecuación característica de la cual es
+ +
31
y trasladando el origen de coordenadas en el punto
llegamos al sistema
~=y,
{ y = bx-a¡¡,
.1:
=
:rt, y
=
O,
(16)
l a ecuación característica del cual es
'l.2 + aA - b = o.
Para a > O, b
O las raíces de esta ecuación son 1·eales y de signos :
_distintos. Por consiguiente, .el punto el e reposo (n, O) es el punto iues- .
table para el sistema (16).
,..
Ejem¡ lo 5. Examinar de la estabilidad el punto de reposo x = ;.f.
y = O de sistema
.. ·,
>
.º
{::· :/~;(:'.',),
''
.
.
. .
donde ia función f (x, y) se desarrolla en serie de potencias convergen~~
y f (O, O) = O.
· •'1¡,
Soluci6n. Un sistema linearizado t iene la forma de
"· ·
{ ~=y,
y=-x.
El punto de reposo del sistenia (19) es (O, O).
La ecuación característica del sistema (19)
1 =~
~~ 1=0
ó
k2 + 1 = 0
..
·,.
(15)
'1.2
a'A
b = O.
Si a > O, b > -0, entonces las r aíces de la ecuación (15) tienen las partes reales negativas y, por consiguiente, el punto ele reposo x = O,
y = O es estable por la primera aproximación.
Ahora examinamos de la estabilidad el punto (:rt, O) que corresponde a k = 1. Utilizando el desarrollo
·
(x+n)ª
- ..•
sen x= -(x - n )
+
"'
§ 24]
Estabilidad por la primera ap roximación
253
muy a menudo tiene raíces imaginarias k1 , 2 = ±i. El punto de reposo
(O, O) del sistema de la primera aproximación (19) es estable (centro).
Puesto que las partes reales de raíces de la ecuación característica (20)
son ig·uales a cero, entonces según la observación en la página 251 el
problema sobre la estabilidad del punto de reposo (O, O) exige el análisis
complementario. Para examinar de la estabilidad el punto de reposo
(O, O) del sistema (18) emplearemos el segundo método de Liapunov.
Tomando v (x, y)
= ~ (x2 +
dv
Tt= -
y 2 ) , hallaremos que
(x2+ y2) f (x, y).
De aquí: si f (x, y) ;;. O en un entorno suficientemente pequeño del
origen de coordenadas, entonces el punto de r eposo (O, O) es estable;
si f (x, y) es una función definida positiva en cierto entorno del origen
de coordenadas, entonces el punto de reposo (O, O) es asintóticamente
estable; si f (x, y) < O en un entorno suficientemente pequeño del origen de coordenadas, enton~es el punto de reposo (O, 0) es inestable.
Este ejemplo muestra aquel hecho que en ciertos casos es imposible
decir sobre la estabilidad del punto de reposo según la primera aproximación.
Examinar de la estabilidad por la primera aproximación
el punto de reposo x = O, y = O en los sistemas siguientes:
935. {
~= -
x+ 2y-3xz,
y= 3x-2y + 2xz + y"'.
; .. =
936.
{
.
- senx+3y + x5,
1
1
Y=-¡-x-2y- 6 y3.
937 • .{ ~= 2ex+5y-2+x\
, y=x + 6cosy-6-yz.
~ = -3x + 4y+sen3x-y2,
{
{
y= -2x+seny + eYx2.
·~= x-2seny-y 3 senx,
y =2y-3x- x 3 •
~), 940 {; =x-- Y+ x2 + yz,
... - • y= X + y -- y2.
254
Teo'l'ía de la estabilidad
94 '1.
{ ·~ · 2x+~seny,
y= 2 - e - 3y - cos y.
.•
942.
{
'
7
x. = - 4x-;-- 2 sen y - 3x2 ,
943.
Y= -2x+xz + y+ys.
4y- x.3.:,,:-..:..'.•.;,·.·_.
y = 3x-y2 • ·:/·
; = {
944• {~= 1"0sen_x--29y+3ys, 945 • {~=y-xy2,
y = 5x - 14 sen y+ y 2 •
~-Y = - xs.
946. Examinar de la estabilidad los puntos de reposo .,
del péndulo, al cual está aplicado el momento de rotación L:
x + ax + b sen ·x = L, donde 1 L 1 < b.
..
.
§ 25. Estabilidad asintótica en total.
Estabilidad según Lagrange
Suponemos que tenemos un sistema de ecuaciones düerenciales
dxi .
c¡¡-=ft(t,
·
x 1 , ..• , xn), ft(t, O, ... , O)=O
(i=i, 2, ... , n) (1)
y sea definido dicho sistema en el semiespacio
Q:
(a< t <
n
.
+ oo , 2J a:r < + oo} .
i=i
Se considera que la solución trivial xi 5 ! O (i = 1, 2, ... , n) del sistema (1) es asint6tlcamente estable en total, si
1) es asintóticamente estable seg!Ín Liapunov;
2) cualquiera otra solución xi (t) (i = 1, 2, ... , ni del sistema
(1) tiene la propiedad de
lün xt (t) = O
(i = 1, 2, ... , n).
t-.oo
Análogamente se determina la estabilidad asintótica en total de
la solución no trivial del sistema (1).
·Nos limitemos por los.sistemas autónomos, es·decir, por tales; los
miembros segundos de los cuales no dependen explícitamente de
tiempo t:
dxi
-¡¡¡-=ft(x1 ,
. .. ,
xn),
·
ft(O, ... , 0)=0
(i=1, ... , n).
(2)
La función de Liapunov v (x1 , • • • , xn) la llamemos infinitamente
grande, si par a todo número positivo NI existe el número positivo R
n
tal que fuera de la esfera ~
:el =
R.2 existe la desigualdad v > M.
i=1
..·..
li:stabiltdad asint6tica en total
255
Teorema (de la estabilidad asintótica en total). Si existe la funcióii
.
~
, •• , Xn), tal que dt < O
:
'"f2.i¡ifinitamente grande definitiva p ositiva v (x1 ,
~~!.~;;,ª de E y :~ ~ O en E, donde el conjunto ·E
~·
no contiene, trayectorias
,c1nnpletas (a :excepción de la posición nula del equilibrio), entonces la
del sistema (2) es asintóticamente estable en total. .
~\ ·solución trivial
~( .; . . Ejemplo 1.
Examinemos la ecuación
;·+ x + x
r·;Y
2
;
3
= o.
(3)
~~' ·
Escribiremos la ecuación (3) en la forma del sistema equivalente
};<de .ecuaciones
:~·--
.,
.~
o
x=y,
f.
(4)
y = - xª-x2 y.
En calidad de la función de Liapunov v (x, y) tomemos la función
{
~--·
• ..
V
1
(x, y)=T
1
y2-¡--4 x'.
Tenemos
dv
•
•
-at=YY+xªx= -xªy -x2·y2+xªy = -x2y2.
+
Es evidente que .v (x, y) - oo para x2
y2 -r- oo. Más adelante,
~ (x, y) se anula sólo en los ejes de coordenadas (conjunto E). Es evidente que ninguna solución, a excepción del punto de reposo en el origen
de coordenadas, se queda en estos ejes para toilas t > O. En realidad,
en todos los puntos del eje OY distintos del origen de coordenadas O el
coeficiente angular
dy
-xª - x2 y
\
dX
y
tiene el valor finito y, por lo tanto en este eje no puede encontrarse
el arco de trayectoria. De otra parte, al aproximarse al eje OX el
coeficiente angular:~ -+ oo y, . por eso en el eje OX ~o pueden encontrarse los arcos de trayectorias. Por consiguiente, el conjunto E no
contiene las trayectorias completas a excepción del origeu de coordenadas) .
·
En virtucl del teorema el punto de reposo (O, O) tiene la estabilidad
asintótica en total.
947. Mostrar que si la solución trivial del sist ema lineal
autónomo es asintóticamente estable según el' sentido de
Liapunov, entonces ella es asintóticamente estable en total.
· Examinar de la estabilidad asintótica eri total las soluciones nulas de ecuaciones (véase [21):
·
948.
:.;+.;;a+ (~2+ 1) X= 0.
'I
..
,, ., . -, '-,
'¡
'
.....
~·
:fi
¡;
1
!j.
256
Teoría de la estabilidad
I'.
¡
1
j
949.
i
950.
1
1
r
.. . .
[Cap. lll
.
x+ x+ (x2 + x+ 2) (2x+ x5) =O.
"; + x2 e-"~ + x3 + 2x = O.
Se puede resultar que el sistema (2) no tiene la estabilidad completa, pero, a ¡Jesar de esto, ¡Jara él puede existir un dominio de la
estabilidad asintótica.
Bajo el dominio de la estabilidad asintótica del sistema (2) se
entiende el dominio que contiene el origen de coorrlenadas O y que
posee la propiedad que todas las tr ayectorias que comienz an en este
dominio tienden cuando t -+ oo al origen de coordenadas.
En los sistemas lineales siempre existe sólo la estabilidad completa, mientras que en los sistemas no lineales e.lla puede ser no completa.
Teorema. Sea v (x1 , . • . , :i:n) es una función que t iene. las derivadas
parciales continuas del primer orden para todas xi . D esignemos mediante
Q 1 el conjunto de todos los puntos, don de v (x1 , • • • , ·•n) < l. Si el conjunto Q 1 es limitado y en el
1) v (x1 , • • ., xn) > O para xi =f= O, (i = 1, 2, . . ., n),
2) v (x 1 , ••• , Xn) <O para x¡ =f= O
entonces el origen de coordenadas es la posición estanle asi n tóticamente del
equilibrio del sistema (2) mientras que Qi es el dominio de la estabilidad
asintótica.
E jemplo 2. Indicar el dominio de estabilidad asintótica de la
ecuación
~·+ e (x2 - 1) ;
(ecuación de Van-der-Paul).
+x= O
(e
<
O)
Soluct6n. Reescribiremos la ecuaci ón en la forma del sistema
{
~=y-e (
;s -·~) ~
y= -x.
El único punto de reposo es el ori gen de coordenadas. Tomemos
xi
y'?•
•
•
( x2 .
)
. Entonces 11(x, y) = yy
v (x, y) =
x:c = -sx2 y--1 .
2
Es evidente, ~ ~ O para x2 ~ 3 (e < O). De ese modo, en el círculo ,·'
i2
y 2 < 3 tenemos: 11 > O para x2
y2 =I= O y ~ < O para x2 y 2 =!= .
=I= O, es decir, este círculo se encuentra en el dominio de la estabilidad ·
asintótica:
Estabilidad según Lagrange. Supongamos que tenemos el sistema··J
+
+
+
+
+
dx ·
·
a]-=f¡(t , x 1 ,
... ,
Xn)
,_,:·¡
-"
(i= i , 2, .. ., n)
. _(5) j
'
.; .·,= •t.:1
donde fi (t, 3:¡ , . . • , Xn) Satisfacen las Condiciones del teorema de exis:r:~
tencia y de unicidad ~e la solución del sistema (5) par a toda~ .f;:~';$:'1
E [t0 , +oo) y cu-alesqmera x1 , • . . , x 0 •
·
.• ..·f:t
D efinición. El sistema (5) se llama estable según Lagrange, si todas.~
las soluc.iones de este sist ema están definidas y limitadas en [t0 , +óo).!.~
'-. ·· ..;.?.
. 1·-lf>
. ':i"(l'
.1
,,.;~t
.·~ •d
§ 26]
Criterio de Rauss-Hurwttz
257
951. Mostrar que todas l as soluciones de la ecuación
·; (t)
+ (a2+ i~t 2 ) x(t) =O
están limitadas en [1 , +oo).
952. Mostrar que todas las soluciones de la ecuación
°d (t)-t-(1+e-t• _ t~ 2
) x(t) =O
están limitadas en [1, +oo ).
953. En el ejemplo de ecuaciones
.•
2 •
a) :r (t)-T x (t)
·~ ;·
o o
2
+ x (t) =
O;
o
b) x(t)+ 7 x(t) +x(t)=0
mostrar que de la restricción de t odas las soluciones de la
ecuación «limite» ~· (t)
x (t) = O no se siguen l as r estricciones de soluciones de l a ecuación inicial.
+
§ 26. Cli'iterio de Rauss-Hm.·witz
Una importancia grande :para la práctica tienen las condiciones
necesarias y suficientes para que todas l as raíces de la ecuación algebraica de coeficientes reales a 0 , a1 , a 2 ,
•• • ,
ªn
tengan las partes reales negativas. Sin alterar la comunidad, se puede
suponer que a0 >O.
·
La positividacl de todos los coeficientes es la cond~ción necesaria,
· pero no suficiente para que todas las raíces de la ecuación (1) se en". cuentren a la izquierda del eje imaginario (en el caso de las ecuaciones
ele 1ª y 2ª potencias esta condiCión es también suficiente). Las condi. ciones necesarias y suficientes para· que sean negativas l as partes
:·· reales de raíces de la ecuación (1) las dieron Rauss y independiente de
,~,._ él Hurwitz.
'ii.: 'Las condiciones de Rauss-Hurwitz, Pa1'a que todas las raíces de
.la ecuación (1) tengan las partes reales negativas es necesario y suficiente
.que sean positivos todos los menores principales diagonales de la matriz
;de Hurwitz
'·
(~ .~ :: :
o o o o
(2)
258
- Teorta de la estabilidad
El polinomio f (A.) de potencia n ;;;;, i se llama el polinomto estable,
si todas sus raíces A.¡, A. 2 , • • • , An tienen las partes reales negativas:
Re A.1 <O (j = 1, 2, .. ., n) , es decir, todas las raíces del ¡Jolinomio
estalile se encuentran en el semiplano izquierdo.
La ;matriz de Hurwitz se compone del modo siguiente. P or la diagonal principal se sitúan los coeficientes del polinomio (1), a partir de a1
hasta ªw
.
Las columnas se componen consecutivamente de los coeficientes ·-·
sólo con los .índices impares o sólo pares, al mismo' tiempo al número ,--,
de los últimos se incluye el coeficiente a 0 • Todos los elementos que
faltan, es decir, los coeficientes con los índices que son n;iás de n o
menos de Ose sustituyen por ceros.
Los menores principales diagonales de matriz de Hurwitz son
A¡ =a 1 ,
-1 ªª ªº ¡
ª1
82-
,
Ós =
ª2
ª1
ªº o
ªa
ª2
ª1
a¡;
a4
ªª
O
O
O
1n =
ª1
ªº o
ªª
a¡;
ª2
a4
o
o
o
,..
ª1
,
•• • 9
ªª
(3}
an
De esa manera, la condición de Hurwitz tiene la forma siguiente:
Ll.1 > O, Ll.2 > O, .. . , Ll.n > O.
(4)
Notemos que puesto que Ll.n = Ll.n-1..'ªn entonces la última de.las condiciones tl.n > O se puede sustituirla }Jor la exigencia ªn > O.
Ejemplo 1. Examinar de la estabilidad la solución trivial de la
ecuación
yV
y~V
7y"'
4y"
10y'
3y = 0.
Soluci6n. Comporwmos la ecuación característica
f (A.) = M /..4
7A.3
4A.2
iOA.
3 = o.
Aquí
a 0 =i,
a1 = i,
a 2 =7,
a 3 = 4,
a 4 = 10,
ªs = 3.
Apuntamos· los menores diagonales de Hurwitz
1 1 o o o
4 7 1 1 o
ll5= 3 10 4 7 1 =3i:l4= 3·8 = 24 >o,
o o 3 10 4
o o o o 3
1 1 o o
1. 1 o
4 7 1 1
= 10Li3-3 4
7 1
3 -10 4 7
3 -10 7
o o 3 10
=50-3 (49--j-3- 1.0-28)=8> o
+
+
+ + +
+ + + + +
259
Criterio de Rauss-Hurwitz
1 1 o
t:..3= 4 7 i =5>0,
3 10 4
Pues, ll1 > O, t!. 2 > O, t. 3 > O, ll4 > O, ll¡; > O. Por consiguiente,
la solución trivial y = O de la ecuación es asintóticamente estable.
Se puede efecluar los cálculos del modo siguiente. Al principio
componemos el menor :L\t· Después, ;calculamos sucesivamente los
menores ll1 , il2 , il 8 , etc. Si nos encontramos con el menor negativo,
entonces el sistema es inestable y los cálculos posteriores son innece•
1
sar1os.
,
Si los coeficientes de la ecuación (1) :son prefijadas como números, entonces las condiciones (4) se verifican fácilmente. Si los coeficientes de la ecuación (2) contienen los párametros literales, entonces
el cálculo de los determinantes para grandes k es bastante dificil.
Se puede mostrar que si las condiciones (4) están cumplidas, entonces todos los coeficientes del polinomio (1) son positivos
a0
>O,
a1 >O,
o •
(5)
• ,
Como hemos mostrado, las condiciones (5) son necesarias, pero no
suficientes para que todas las r aíces f (A.) se sitúen en el semiplano
izquierdo Re 'A < O. Sin embargo, al cumplirse las condiciones (5)
las desigualdades (4) ya no son independientes. Así, por ejemplo, para
n = 5 las condiciones de Rauss-Hurwitz se reducen a dos desigualdades:
il 2 > O, ll 4 > O. Lo que dio la posibilidad a Lienard y Chipard de
determinar otras condiciones de estabilidad, en las cuales el número
de las desigualdades determinantes es en dos veces menos que en las
condiciones (4).
Las condicion es de lLienard - Chipard. Para que el polinomio
f ('A) """ao'An
+ a1'J..n-l + · · · + ªn-1'A + ªn
(1')
tenga todas las raíces con las partes reales negativas, es necesario y suficiente que:
·
1) todos los coef icientes del polino mio f (A.) sean p ositivos:
a0
>
O,
a1
>
O,
a2
>
O, • •• , ªn
>
O;
2) tengan lugar las desigualdades determinan tes
> O,
>
(6)
O, • • •
(aquí, como antes t:i.¡¡ es el determin ante de Hurwi tz de k orden).
Ejemp lo 2. Examinemos la misma ecuación que en la página 258:
lln - l
yV
Aquí
ªº =
ª1
=
1
>
t:i.n-s
+ y I V + 7y"' + 4y" + 10y' + 3 y = 0.
o, ª~ = 7 > o, a = 4 > O, ª" = 10 > o,
3
ª &= 3
> o,
es decir, está cumplida la primera condición de Lienard-Chipard.
17*
260
Teor!a de la estabilidad
[Cap. 111
Luego
i
i o o
4 7 1 1
Ll,=
=8 >0, Ll2= 1
3 10 4 7
o o 3 10
es decir , está cumplida la condici ón 2.
De esa manera, la condición trivial de la ecuación es estable
asintóticamente.
! ~1 =3>0,
Examinar de la estabilidad las soluciones triviales de
las ecuaciones:
954. yIV + 7y ' " + 12y" + 23y' + 10y = Ü.
955. yIV + 2y"' + 4y" -j- 2y' + 5y = Ü.
956. yIV + y"' + 3y" + 2y' +y = Ü.
957. yV + 2yIV + 3y'" + 2y" + y' + y = Ü.
¿Para qué valores de a serán estables las soluciones
triviales de las ecuaciones siguientes:
958. y"'
ay" + 2y' + y = 0?
959. yIV + 2y"' + y" + r:xy' + 3y = O?
960. yIV+ 3y"' + ay" + 2y' + y = 0?
¿Para qué valores de ex y ~ serán est ables las soluciones
triviales de l as ecuaciones siguientes:
96L y"' + ay" + 2y' + BY = O?
962. y"' +ay" + ~y' + 3y = O?
963. yIV + ay"' + 2y" + ~y ' + y = 0?
964. ¿Qué aspecto tienen las condiciones de Hurwitz
para la ecuación recurrente
'A,4 +pi.ª+ qt.2
p"A
1 =o
(p y q son reales)?
+
+ +
.,
.. _
~ - ' .~
...·~
~~i
§ 27. Criterio geométrico de estabilidad
(criterio de Mijailov)
...
·l
;.)~
de /~~
Sup?n.emos que tenemos una ecuaci ón diferencial de n orden
l os coeficientes constantes reales
. :: • -~~1
a oy(n)
ª 1Y(n - l )
+ ~y= O.
(1)"h .
.. ·;-·"(
El problema sobre la estabilidad de una solución de la ecuación dife-:: ·
rencial (1) se reduce al problema de disposición de raíces de l a ecua~:·.
ción característica
a 0 A,n.
a1 A,n-1 + . . . + a 11 = O
.
en el plano complejo. El último problema se resuelve mediante. 'el
criterio de Mi.jailov que citamos abaje>.
.··
+
+
+ -· .
§ 27]
26t
Criterio geométrico de estabilidad
Sea dado el polinomio característico
f (A.)
=
aoA.n + iziA,n-l + • · · + ªn-1A. +
= too,
f (io>) =
Al sustituir en él A.
donde
ª11 •
(3)
obtendremos
u (w)
+ iv (oo),
(4)
u (ro)= an-an- 9úlL{-an-4úl~- · ..; ,
}
( )
5
v (oo) =an- 1 oo - an-súl 8 +an- 5 CO~- •. .
La magnitud f (ioo) conforme a (4) y (5) para el parámetro dado ro
se puede representarla en el plano ;complejo uOv en !.forma del vector.
Fig. 38
Si vamos a cambiar el parámetro ro en el intervalo (- oo, + oo), enton. ces el extremo de este vector circunscribirá cierta curva, cada punto de .
. la cual corresponde al valor definitivo de cu.
La hodógrafa del vector f (icu), obtenida de esa manera, se llama
la curva de Mijailov para el polinomio f (A.) (fig. 38).
'; . Al variar co de - oo hasta + oo el vector f (iw) gira a cierto ángulo
'.· q>. Si el polinomio f (A.) tiene m raíces con las partes reales positivas y
:,;ilas ·demás n-m raíces con las negativas, entonces
cp = (n -
m)
:n;
+ m (-:nY= (n -
2m) :n;.
(6)
;Qbservaci6n. Puesto que la función u (ro) es par, entonces la curva
al eje Ou y por lo tanto es suficiente
construir una parte de la curva de Mijailov que corresponda a la
variación del parámetro (!) de o hasta +OO. Entonces la fórmula (6)
ób.tehdrá la forma de
1..
cte 'Mijailov es simétrica respecto
cp=(n-m)
~ +m ( - ~
) = (n-2m)
~.
(7)
" · Para la estabilidad de solución rle la ecuaci'ón (1) es necesario y
úi:~iente que todas las raíces de l a ecuación característica f. (1>,,) = O
ngím' las partes reales negativas, es decir, en la fórmula· (7) debe
r·· m= O.
·, ....
262
[Cap . .Il{
Teor!a de la estabilidad
De aquí se sigue la siguiente definición del criterio de Mtjailov:
para la estabilidad de soluct6n trivial de la ecuaci6n (1) es necesario y
suftctente que:
1) el vector f (tw) p ara el cambio de w de O hasta
oo realice un
+
giro en el ángulo q>
=
n
i ,es dectr, haga i revoluciones de derecha a
izquierda ;
2) la hod6grafa f (iw) para el camb io de w de O hasta
po1· el punto nulo. · ·
la
+ oo no pase
De otra forma, para l a ·estabilidad de solución de la ecuación (1)
es necesario y suficiente que la curva de Mijailov recorra consecutivaV
u
Fig. 39
mente n cuadrantes de derecha a la izquierda, rodeando siempre el
origen de coordenadas.
El recorrido consecutivo de cuadrantes ~ignifica que la curva
consecutivamente interseca los ejes ele coor denadas. Por consigui ente ,
l as coordenadas u (w) y v (w) de los puntos de la curva de Mijailov
para la estabilidad de solución deben con secutivamente anularse. De
aquí se desprende la segunda definici ón del criterio de estabilidad
de Mijailov .
. Para la estabilidad de solución de la ecuación (1) es necesario (y cuando la curva se recorre de derecha a la izquierda también es suficiente)
que todas las raíces de las ecuaciones u (co) = O, 11 (w) = O sean reales e
intermitentes U.no con el otro, es decir, que entre las dos ra,ices cualesquiera
·
de una de estas ecuaciones se el!cuel!f:re la rafz de otra ecuaci6n .
Ejemplo. Examinar de l a estabilid ad l a solución trivial de ecua~
ción
yIV
+ 2y'" + 3y" + 2y' +y =
0.
Soluct6n. Componemos el polinomío característico
f (A.) =
A,4
+ 2A.8 + 3?.,2 + 2A. + 1.
§
27J
263
Criterio geométrico de estabiltdad
A continuación
= w<i4 - 2iw23 - 3(J)2 + 2i(J) + 1,
= w - 3(¡) + 1,
v (w) = -2ro3 + 2w = Zro (1 - ro2 ) =
f (t©)
z¿ (w)
Vamos a cambiar w de O hasta
(fig. 39)
+ oo
+
2ro (1 - ro) (1
ro).
y construimos la curva
, { U=U(ro) ,
V= V(@),
¡/3
o
(¡)
o
V
1
1
l l
o
+
t
o
-1
1
1
1
vrª+2vs
1
o
1
¡¿
rs
lím
-
.!:.=o.
m-+ co u
El ángulo de giro del radio vector es
q>=4
n
2
=(n-2m)
n:
2 .
De aquí n - 2m = 4; n = 4; por consiguiente, m = O. De esa
manera, todas las raíces de la ecuación característica se encuentran en
el semiplano izquierdo, es decir, l a solución trivial y e ; O es asintóticamente estable. A esta misma deducción podríamos llegar partiendo
del criterio de Lienard-Chipard, ya que todos los coeficientes de la
·
ecuación caract erística son positivos y
2 1
o
6n-1==.ó.a= 2 3 2 =4>0,
o 1 2
~n-a
= ~l = 2 >
O.
Examinar de la estabilidad l as soluciones triviales de
ecuaciones:
965. 2yIV + 4y'" + 3y" + 3y' + y = Ü.
966. 3yIV + 4y"' + 3y" + 3y' + y = Ü.
967. yV
5yIV 10y'" + 11y" + 1y' + 2y = 0.
968. yIV + 5y"' + 4y" + 3y' + 2y = Ü.
969. yV + 2yIV+ 2y"' + 46y" + 89y' + 260y = Ü.
970. yV + yIV + 7y"' + 4y" + 10y' + 3y = Ü.
+
+
í.
;'~~··
·.,:¡¡
264
+
[Cap. lll
TeorCa de la estabilidad
971.
12y'
972.
973.
974.
975.
976,
977.
978.
979.
980.
981.
982.
983.
984.
yVILf- 7yVI + 23yV + 37yIV + 56y"' + 36y" +
+ 4y = o.
yIV + 3y"' + 4y" + 3y' + y = Ü.
yIV + 7y"' + 18y" + 22y' + 12y = Ü.
yIV + 2y"' + 3y" + 2y' +y= Ü.
yrv+ 11 y''' + 59y" + 107y' + 60y =O.
yIV + 5y"' + 18y" + 53y' + 60y = Ü.
yIV + 6y'" + 15y" + i8y' + 10y = Ü.
yIV + 4y"' + 10y" + 12y' + 5y = Ü.
y'" + 6y" + Hy' + 6y = O.
yiv+ 7y"' + 12y" + 23y' + 10y = O.
yIV + 3y'" + 3y" -f- 3y' + 2y = Ü.
yIV + 2y" + 4y" + 2y' + 5y = Ü.
yIV + 2y" +By' + 5y =o.
yV + 4yIV+ 5y'" + 2y' + 4y = Ü.
1
§ 28. D nparUieft(m.es
Supongamos que tenemos la ecuación lineal diferencial de coeficientes constantes reales
aoy(n)
+
ª1!/(n - I)
+ ... + ªnY =
O.
(1)
O.
(2)
Su ecuación ca1·acterí.stica tiene la forma de
ª 07.n
+ 17.1 7.n-1 + ... + a,. =
Para poder determinar la estabilidad de solución de l a ecuación (1)
no hay necesidad de calcular las raíces de l a ecuación car acterjstica.
Eil suficiene sólo determinar que todas ellas se encuentran en el femiplano izquierdo. Por lo c.omún se encuentran dos ]Jlanteamientos de
este problema.
Primero. Consiclerando dados todos los coeficientes de la ecuación
(1), determinar si es estable la solución par a estos valores de coeficientes.
Segzmdo. Considerando dados ciertos coeficientes de l a ecuación
(1), determinar para qué valores de otros coeficientes la sol ución de
ecuación es estable.
Construcción de fos dominios {le estabilidad
Concepto sobre D-partici6n. Dado que tenemos la ecuación caracte-
rística
+ ... +
a0 zn + a 1zn -l
an = O.
(2)
El conjunto ele valores de los coeficientes de la ecuaci6u (1) se
puede considerarlo como el punto n + 1 dimensional del espacio ·
Rn+ J· A cada punto del espacio Rn+r le corresponde un valor determinado de los coeficientes a0 , a 1 , •• ., a1i i y por consiguiente, el valor
determinado de todas las raíces z1 , z2 , •• ., z11 de la ecuación caracterís-
·f
.,
·· · · ·- ·\· ~.- ·. ····• -·t::t" ·:1-
265
V-p articiones
§ 28]
·····. ·.-- ··-· --; .• . :· ..·- --
ti ca (2). Si en R ,.+1 existe tal dominio que a cada su punto le corresponde la ecuación característica, todas las raíces de la cual se encuentran en el semiplano izquierdo, en tonces este dominio se llama el
!/
f< r>a(ces
©
•
o
Fig. 40
dominio de estabilidad y la hipersuperficie gue l o limita se llama la
;, , ,.
~'L:
·;-
'··
frontera del dominio d e esta bilidad. Sea, por eJemplo, que en la ecuació.n
característica (2) todos los coeficientes a excepción de dos, verbigracia,
a1 y a 2 1>on los números concretos.
_
Supongamos que _para ciertos valores definidos a 1 y a 2 la ecuación
da.Ja en el ÍJlano de raíces (es decir, en e} plano z) ti enP. k raíces que se
encuentran· a la izquierda, y (n k ) raíces que se encuentran a la
derecha del eje imaginario (fig. 40).
En el pJano A (el plano de parámetr os a1 y a 2) hay una curva que
limita tal domilüo fig. (41), cad a
punto del cual determina el polinomio que también tiene k raíces
que se encuent ran a la izquierda,
y n - k r aíces que se encuentran
et¡
a la derecha del eje imaginario.
Designemos este dominio mediante D (k, n - k) (k es el entero, O ::;;; k .;;:;; n).
Fig. '.41
Por ejemplo, si la ec uac10n característi ca tiene la tercera potencia, es decir , n = 3, entonces en el caso general en el espacio de coeficientes pueden ser indicados los dominios
D (O, 3),
D (1, 2) ,
D (2, 1) ,
D (3 , O),
El dominio D (3, O) y es ei dominio de estabilidad .
Observemos que ciertos dominios, en particular, D (3, O) pueden
faltar.
-··-
....
·'
266
• ·,··~~
[Cap. lll
Teoría de la estabilidad
La partición del espacio de coeficientes ele la ecuación característica en los dominios que corresponden al mismo número de raíces
que se encuentran en el semiplano izquierdo del plano z se llama Dpartición del espacio de coeficientes.
.
Por analogía se puede construir D-partició11 del espacio de los
parámetros cualesquiera, de los cuales pueden depender los coeficientes
de la ecuación característica.
Supongamos que en l a ecuación característica (2) los coeficientes
dependen sólo de dos parámetros y '!] (en particular dos coeficientes
de l a ecuación que consideramos pueden ser estos parámetros).
Vamos a considerar una familia de polinomios
s
f (z,
~. r¡)
=
~p (z)
+ 11Q (z) + R
(3)
(z),
donde (~ , r¡) son los parámetros reales y P , Q, R, los polinomios de z
con los coeficientes reales.
El problema se plantea así:
En el plano de parámetros (~, 11) (plano w) hallar el dominio
. D (n, O) tal que para cualquier punto (s, r¡) E D (n, O) el polinomio (3}
va a tener toda~ las raíces z en el semiplano izquierdo o convencerse
que tal dominio no existe.
La construcción de los dominios D (k, n - k) se basa sobre los
razonamieutos siguientes:
1. Las raíces de la ecuación algebraica dependen continuamente
de sus coeficientes, es decir, si los coeficientes del polinomio f (z, i;, ·r¡)
se cambian foco, entonces y sus raíces se cambian poco.
,
2. Si e punto (s, 11) se encuentra en la frontera del dominio
D (k, n - k), entonces por lo menos una raíz del polinomio . (3) se
encuentra en el eje imaginario, es decir, la f¡-0:ntera de D-partición
es l a imagen del eje imaginario del _pl ano z.•.,-··
En realidad, si , por ejemplo, el punto (s, r¡) E D (n, 0), entonces
el polinomio (3) tiene al mismo tiempo todas las raíces en el semiplano
izquierdo.
Si (s, r¡) se encuentra fuera de D (n, O), entonces el polinomio (3)
tiene por lo menos una raíz en el semiplano derecho .
Para el movi miento continuo del punto (~, r¡) del dominio D (n, 0)
al próximo se cambian continuamente las raíces del polinomio f (z, r¡).
Puesto que al mismo tiempo aparece por lo menos una raíz en el semipla,no derecho, entonces en el proceso del cambio de (s, 11) ella debe
ii'l.tersecar el eje imaginario (el eje Oy). Esto sucede, cuando el punto
(s,·.11) interseca l a frontera del dominio D (n, O). ·
11). La iguladad
Sea z = x + iy la raíz del polinomio f (z,
(z,
1¡) = O es equiva~ente a l as igualdades
s,
s,
s,
[ ~u 1 (x, y)+ r¡u 2 (x, y)+ u 8 (ci-, Y) = 0,
l ~vi(x, Y) + r¡v 2 (x, Y)+v 3 (x, y)=O,
(4)
donde u1 , u~, u 3 y v1 , v2 , 113 son las partes reales e imaginarias de polinomios P, Q y R respectivamente.
Si el determinante del sistema (4)
267
t
entonces el sistema (4) es resoluble unívocamente respecto a
6=6(x, y),
{ TJ =TJ (x, y).
s y r¡: · .
(5)
Las ecuaciones (5) en los puntos, donde A ::f. O, determinan · 1a
aplicación unívoca del plano ele raíces del polinomio f (z, .6, r¡) sobre
.
el plano de parámetros (s, 11).
La aplicación inversa es multiforme: a un par fijo de valores
r¡) le corresponden en general, n raíces. Si el determinante del
iy0 se anula, entonces el sistema
sistema (4) en el punto z0 = x 0
es o incompatible o una ecuación es la consecuencia de la otra.
En este último caso en el plano de parámetros w existe una recta
completa que se compone de los puntos (s, r¡), para los cuales z 0 =
= x 9 + iy 0 es la raíz del polinomio f (z, 1)). A tal punto (x0 , y0 )
y a !a recta que le corresponde los vamos a llamar exclusivos.
Hallemos en el plano de pa,,rámetros (s, r¡) aquellos puntos, para
los cuales el polinomio (3) tiene por lo menos una raíz puramente imaginaria z = iy .
El lugar geométrico de tales puntos se compone de una línea, las
ecuaciones geométricas de la cual son
(s,
+
s,
(O, y),
{ r¡s=~
=TJ (O, y)
( - oo <y < +oo)
(6)
y la cual se puede obtener, suponiendo x = O en las ecuaciones (5)
y también de las rectas exclusivas que corresponden a los puntos exclu-
·
sivos del eje Oy (si tales existen).
Observemos que las ecuaciones (6) dan la imagen del eje Oy para
la aplicación (5).
·
Este lugar geométrico de los puntos lo vamos a llamar la línea L.
La línea L parte el dominio de parámetros a cierto número de los
dominios conexos.
Cada uno de tal dominios obtiene la propiedad siguiente: para
r¡) el polinomio f (z;
t¡) tiene el mismo
cualquier de su punto
número de raíces que se encuentran en el semiplano izquierdo, es decir,
es el dominio del tipo D (k, n - k) (O ~ k ~ n).
De esa manera, la línea L es la frontera ele D-partición buscada.
Considel'emos la aplicación (5) del plano de raices sobre el plano
de parámetros
(s,
s,
(x, y),
{ r¡s=s
= r¡ (x, y).
el punt~ (x0 ,. y0 ) dos .líneas: horizo_ntal -~ y vertical Il.
Defmicion. Si la direccwn del giro de I a I l sigue siendo constante
para la aplicación (5), entonces se dice que la aplicación conserva .lá
orientaci6n en el punto (x 0 , y0 ); en el caso contrario se dice que la aplicación no conserva la orientaci6n (fig. 42 y 43) .
T1·azam~s po~·
Si el determinante
l=
:os or¡
'jox Tx
os ~
jTy'
ay
>O
---·J.•..... . ....
~ · · -·, . ,,.....,..
. .,,.. .·- ....
_ ~- - ·· ~
268
TeorCa d e la estabtltdad
[Cap. Ill
en el punto (x0 , y 0 ) , entonces la aplicación (5) en el punto (x0 , y 0 )
conserva su orientación. Para I < O la ori entación se alter a. Si I = O,
entonces el problema de la conservación o no conservación de la
orientacion lo resuelvan l as derivadas mayores. Se puede mostrar
(véase í '.l.O]) que el signo del determinante I coincide con el signo del
determinante ti , donde
Ó=I
U¡
U2
v2
V¡
I
t
-
así que si ti > O, entonces la aplicación del plano de r aíces sobre el
plano de parámetros conserva la orientación, si !i < O, entonces se
cambia la orientación.
!!
11
L
'1
L'
z·z
{:<.,Y)
li
ll'
I
l2
!'
(.X,!fo)
(~0>'16)
o
.X
l¡
o
Fig. 42
~
Fig. 43
Vamos a examinar de nuevo la partición del plano w (el plano de
parámetros) en los dominios D (k , n - k) (k ~ n) y dE>.signemos mediante L la frontera de estos dominios. Vamos a considerar como l a
dirección positiva hacia L la dirección la cual corresponde al incremento de y (a partir de y = - oo) ; en este caso, la curva L puede componerse de unas r amas y durante siendo completo el recorrido del eje
Oy sus partes pueden ser recorridas varias veces (no más de n, donde n
es el grado del polinomio f (z, ~. '1'])).
Vamos a examinar cierto segmento w1 1v2 de la curva L y suponemos que en el caso del recorrido completo del eje Oy ese segmento se
r ecorre r veces, es decir, que a este segmento le corresponde r partes
y~y~ (µ = 1, 2, .. . , r) del eje Oy. Suponemos B µ = 1, si la dirección
de y~ y~ coincide con la dirección del eje Oy , y B µ = -·1 en el caso
contrario. Suponemos también que <'>µ = 1 cuando en yµ yµ2 el determinante es ti > O, y llµ = - 1 en el caso contrario. Dado qJe el punto 1v
moviéndose continuamente por una vía suficientemente pequeña, corta
el arco w1w2 de izquierda a der echa (fig. 44). A esta vía en el plano z
le corresponde r vías que intersecan los segmentos yµ.yµ
del eje Oy.
1 2
Si s µ. &!! > O, entonces la vía respectiva va del semi plano izquierdo
al derecho y el polinomio
f (z,
~. r¡)
=
~P (z)
+ r¡Q (z) + R (z)
l
;·· ' · I
' :··~J
adquiere en ella una raíz con la parte real positiva y pierde la raíz
con l a ¡Jarte real negativa; en el caso 8µ ·Óµ < O a la inversa.
Realmente, sea ~ ·Óµ > O. Esto puede suceder en dos casos:
1) eµ = 1, 61, = 1; 2) eµ = - 1, 6µ = - 1. En el primer caso la
,··
J
...'.¡·.
.. -~.
•,.'
Fig. 44
-~-
dirección del segmento y~y ~ del eje Oy coincide con la dirección
positiva de este eje (eµ = 1) y se conserva la ori.entación (ISµ = 1),
o sea, si en el plano w el arco w1 w2 se pasa de izquierda· a derecha, en-
.
!J
!/f
©
!/f
/J
-~ ~ '
Fig. 45
tonces y en el plano z pasamos del semiplano izquierdo en el derecho
(es decir, el eje Oy se interseca t ambién de izquierda a derecha,
(fig. 45)).
..
~
.
'·
•
?'
i: • ~ .
·f·.
~~-..
~·
~ ~~~;r:·..
,
-
~
En el segundo caso el vector y~y~ está dirigido en la dirección
contraria a la dirección de Oy (eµ.= -1). Puesto que Oµ = - 1,
entonces en este caso se cambia la orientación y durante el paso de
izquierda a derecha en el plano w de nuevo obtenemos el paso de
izquierda a derecha en el plano z a través del eje Oy .
Análogamente se examina el caso eµ •Oµ <O.
270
[Cap .. IÚ
TeorCá de la esÚibilidad
Pués, durante el paso de la parte izquierda del arco w1ui 2 de la
curva L al lado derecho el polinomio f (z,
TJ) ¡Jierde
s,
N
=
ei61
+ e o + . .. + er6
2 2
1•
raíces con la pa1·te negativa real.
El ejemplo de Vtshnegradski. Dado un polinomio
2
Hallar el dominio D (3, O).
+ ~z + r¡z + 1.
f (z}
= z8
+
!/
y¡
e2~-t
§j
o
··.~
¡f
,.
t;,,,¡
"
Jl:f
f.
G
Fig. 47
Fig. 46
Soluci6n . Suponiendo z = ty y separando la par te real e imaginaria, hallamos las ecuaciones paramétr icB:s de la .ecuación de la
curva L :
1
~=-yz,
TJ = y2.
Esto es la rama de hipérbola sTJ = 1 que se encuentra en el primer
cuadrante. Para el recorrido completo del eje Oy (y se cambia de - oo
hasta
oo) la hipérbola se circunscribe dos veces, es deci r, r = 2;
con esto una vez la hipérbola se recorre en una dirección para el cambio de y de - oo hasta O.
.
Para el cambio posterior de y de O hasta + oo lá :hiparbola se
recorre la segunda vez, pero ya en la dirección contraria: De esa manera al segmento w 1 w 2 de la curva L le corresponden dos segmentos del
eje Oy: YM y y~y~ (Iig. 46 y 47). El determinante /1 en el eje Oyes igual
a /J.= -y3 . Por consiguiente, 61 = 1 (ya que para µ = 1, y< 0),
62 = -1 (ya que para µ = 2, y> 0). Al pasar el punto w a través
de w1 w2 de izquierda a derecha se pierde N raíces con la parte negativa,
donde
N = e161
e 26 2 = 2.
+
+
En el origen de coordenadas
forma de
z3
+1 y
6=
r¡
=
tiene ·.las raíces z1
O el polinomio f (z) obtiene la
=
l
. . ..
-1 , z2 , 3
=
1
±; lf3 ,
por
consiguiente, el dominio debajo de la hipérbola es D (1, 2). El dominio
sobre la hipérb.ola es el dominio D (3, 0). De hecho, para el paso de.
'te dominio a D (1, 2) el polinomio f (z) ha perdido dos raíces con la
271
D-parttciones
parte real negativa y se convirtió en el polinomio que tiene una sola
raíz con la parte real negativa. Por consiguiente; en el dominio sobre
la hipérbola existían tres raíces con el dominio real negativo (fig. 48).
Para verificar eRto se puede tomar el punto ~ = '11 = 3, en el cual el
3z~
3z
1 y tiene la raíz de tercer
polinomio obtiene la forma z3
grado de multiplicidad z = -1.
De esa manera,para construir·
'IJ
D-dominios vamos a hacer lo siguiente:
1. En el polinomio f (z, 6, '11)
suponemos z = ,iy, separamos las
partes real e imaginaria e igualámoslas a cero:
+ +
+
JJ(f,2)
o
Resolviendo (7) respecto a
obtenemos
6y
'11·
Fig._¡48
que son las ecuaciones paramétricas de la línea L.
2. Construimos la curva L en el plano de pará.q¡.etros, cambiando
y en los límites de - oo hasta
oo, al mismo tiempo, si en las ecuaciones (7) ~ es la primera variable según e) orden de anotar, y r¡ es la
segunda, entonces IJara la construcción de la curva L el sistema de
coordenadas ~0'11 debe ser derecho.
Si para cierto valor de y el determinante del sistema (7) y los
determinantes
+
y
-lu¡ -us¡
L\ri-
v¡
-v 8
se anulan, entonces para este valor de y una de las ecuaciones (7) es
el corolario de la otra y para este valor de y obtenemos en el plano
~O'l] no el punto, sino la recta (es la recta singular o exclusiva). La
incluimos en la frontera de D-partición también.
Si el coeficiente del término mayor de la ecuación característica
depende de los parámetros ¡; y r¡, entonces, igualando este coeficiente
a cero, obtenemos la ecuación de una recta singular más, que corresponde a y = oo.
Si, por fin, el determinante del sistema (7) !J. = O, entonces de
frontera de D-partición sirven sólo las rectas singulares.
3. Separamos los dominios conexos, en los cuales L parte el
dominio de parámetros, los cuales serán los dominios D (k, n - k)
(O~ k ~ n).
4. Determinamos el ca1·ácter de estos dominios, es decir, hallamos
k. Para esto escogemos en cada de los dominios D (/,, n - k)
un punto (~0 , r¡ 0 ) y examinamos de la estabilidad el polinomio obtenido
k y n-
272
Teoría de la estabilidad
-~--.\\
[Cap. lll
s
0 , 'l'J~) ele coeficientes numéricos mediante los criterioR citados
arriba de la estabilidad de Hauss-Hurwitz o de Mijailov (véase §§ 26
f (z,
y 27).
Construir D-dominios para los polinomios siguientes:
986. z4 + sz3 + r¡z2 +4z+ 1
985. z3 + sz 2 + r¡z + 6.
3
2
987. z + sz + Hz + r¡. 988. z3 + (z2 + 2) ¡; + r¡z- 4.
989. z4 + 2z 3 + sz2 + z + r¡. 990. z3 + 3z 2 + sz + 11.
991. z8 + sz 2 + (z + 1) r¡ + 1. 992. z3 + r¡z 2 + sz + 6.
993. z3 + 2z2 + ¡; (z - 1) + r¡. 994. z3 + ¡; (z2 + z) +
+ z + 2r¡.
995. sz 2 + 3z2 + r¡z + 1.
996.
(z3 + z2) + r¡ (z 2 + 1) + 2z.
997. (z3 - z) + r¡ (z 2 + z. - 1) + 1.
s
s
§ 29. Estabilidad de soliuciones die fas ecuaciones
en diferencias
1. Soluci6n de las ecuaciones lineales homogéneas en diferencias de
coeficientes constantes. Sea que tenemos la ecuación en diferencias del
orden k:
f (n k)
a1f (n
k - 1)
a1) (n) = O,
(1)
+ +
+
+ ... +
donde ªk =f=. O; f (n) ·es la función buscada del argumento númerlco
entero; a1 , •. ., ah son las constantes reales.
Para hallar las soluciones no triviales (no nulas) de la ecuación
(1) componemos la ecuación característica
/,,h
+ a1M- + ... + ªh-1/.. + ªh =
1
O.
(2)
Sea /..¡, /.. 2 , • • • , /,,R. las raíces de la ecuación (2).
Son ¡JOsihles los casos siguientes:
1) Íi.1 , A. 2 , •• ., A.k son reales y distintas.
La solución general de la ecuación (1) será
f (n)
=
C1'J..P
+ C2/,,r + ... + Ch/..~'
(3)
donde C1 , C 2 , •• ., C11. son las constantes arbitrarias que pueden ser
d.eterminadas, si están dadas las condiciones iniciales
f
(0)
= fo,
f (i) = f1, · .. , f (k -
1)
= h-1·
2) Las raíces de la ecuación característica son reales, pero entre
ellas existen múltiples. Sea, por ejemplo, /..l = /.. 2 = . . . = 7,i =
es decir, f. es la raíz ;-múltiple de la ecuación (2) y t odas las demas de
raíces son distintas.
La solución general ele la ecuación (1) será
j
(n) = C1'J;:n+ C2 n¡n + . . . +einJ-1J:.'n+Cr~ 1 A.J.a.i+ ... + C11.f..~.
;}..
;~
·~
:\
§ 29] Estabilidad de soluctones de las ecuaciones en dtferencias
273
.
3) Entre las raíces de la ecuación característica (2) hay las raíces
complejas simples. Suponemos por ejemplo, que para la precisión
J..1
A.3
=a+ if},
=y+
i6,
A.2 = a -
i~,
=y -
i6,
7'.4
las clemás raíces son reales y distintas.
La solución general (1 ) entonces tiene la forma
f (n) = C1
1 "-1 1n
+C
8
;
I
7'.3
cos (n arg A.1)
+ C2'A1 1n sen (n arg "-1 ) +
+ C I A. In sen (n arg A. +
In cos (n arg A.3)
+
....
4) En el caso, cuando A.1 =
a+
3)
8
4
(5)
CsA.'f: + ... + C1i"-~·
i~ es la r aíz j-múltiple de la
ecuación (2) ( j ~ ~ ) , entonces A. 2 = a - i~ también es la l'aíz de
j-múltiple y la solución general (1) tiene la forma de
, 1'
/ (n) = (C1 +C 2 n+ ... +e 1ni- 1 ) I f..1 ¡n cos (n arg A.1 ) +
+(CJ+1 +e1+ 2 n+ ... + C 21ni-1 ) 1 A. 1 1n sen (n arg A.1 )+
+
+ ... +
C 2i+1"-:j+i
C1il.r.
(6)
Observación . La raíz 'Jv = O corres¡)ond e a la solución trivial
(nula) f (n) = O.
Ejemplo 1 . Hallar la solución general de la ecuación
+ +
+
+
f (n 2) 4/ (n 1) f (n) = O.
So lución. Componemos la ecuación caracl.erístlca
+ 4A. + 1 = o.
lf 3, A. = -2 + V 3 son
"¡.,?.
¡: 1,
Sus raíces A¡ = -2 por consiguiente,
f (n.)
2
= C1 (-2 -
¡fS)n
+
C2 (- 2
distintas y reales;
+ l/3)n.
E jemp lo 2. Hallar la solución general de Ja ecuación
f (n + 3) - 3f (n + 2) + 3/ (n + 1) - f (n) =
Solución. La ecuación característica tiene la forma
/,,3 .- SA.2
3A. - 1 = o ó ("- - f)S ~ o.
O.
+
De a:quí A¡
f
=
A. 2
(n) =
=
(C1
7'. 3
=
+
C2n
1. La solución general será
+
C 3 n2 )-in
= C1 +
C2 n
+
C8 n 2 •
Ejemplo 3 . Hallar la solución general de la ecuación
f (n
+ 2) -
2f (n
+ 1) + 2f (n) =
Solución. La ecuación característica
O.
274
Teorfa de la estabtlidad
tiene las raíces simples
A1
Hallamos
=
1
+ i,
arg (1 + i) = ~
11 ± i 1= 1f 2,
.
La solución general tiene la forma
n
2
f(n)=C 1 2
n
2
nn
cos4+ C2 2
n
2 (
nrc
sen4=2
nn
nn )
C1 cos4+C 2 sen4 •
Ejemplo 4 . Hallar la solución general de la ecuación
f (n
+ +
+ +
+
+
4)
2/ (n
3)
4/ (n
2) - 2/ (n
1) Solución. Componemos la ecuación característica
A'
+ 2A.5 + 4/.2 -
2A. -
5
=
5f (n) = O.
O.
La reescribiremos en la forma de
(A2
-
1.) (/..,2
+ 2J. + 5)
Las raíces de esta ecuación son
At = 1, ?.i = -1 , A.3 = - 1
Aquí
= O.
+ 2i,
1.4 = -1 - 2i.
".:'
r -1 ± 2t 1=1f5,
arg (-1 +2i)= it-arctg 2.
La solución general de esta ecuación es
f (n)=C 1 +c2 (-t)n+
n
+!C8 cos n (n-arctg 2)+C 4 sen n (n-arctg 2)] 52
ó
f (n)=Ct +C 2 (-f)n +
n
+ ( - 1)n 52 (C8 cos (n arctg 2) - C4 sen (n a1·ct g 2)],
Resolver las siguientes ecuaciones en diferencias:
998. 3f (n + 2) - 2f (n + 1) - 8f (n) = O.
999. f (n + 3) + 3f (n + 2) + 3/ (n + 1) + f (n) = O,
f (O) = 1, f (1)
= 2, j (2)
=
3.
+ 2) - 8f (n + 1) + 5f (n) = O.
f (n + 3) - 8f (n) = O.
f (n + 4) - f (n + 2) + 2f (n + 1) + 2/ (n) =
1000. 4/ (n
i001.
1002.
O.
JI. Solución de las ecuaciones no homogéneas lineales
en diferencias de coejtcientes constantes
Suponemos que tenemos la ecuación lineal no homogénea en
diferencias de k orden
f (n
+ le) + a1f (n + k -
1)
+ ... + akf (n') =
g (n)
(7)
de coeficientes constantes a1 , •• ., a¡¡ . La solución general de esta
ecuación representa por si misma la suma de solución general de la
"
§ 29] Estabtltdad de soluctones de las ecuactones en diferencias:
'\
275
ecua.ción homogénea respectiva y de cualquiera ·sQlución particular de
la ecuación no homogénea.
1) Sea que el miembrn segundo g (n) de la ecuación (7) tiene la
forma siguiente
g (n) = rnu (n),
donde u (n) es el polinomio de n de grado m , mientras que r es el número real.
Si r no es la raíz de la ecuación característica (2), entonces la
'solución particular (n) se busca en forma de
7
'··
f(n)=rn;'(n),
donde';; (n) es el polinomio de grado m; si r es la raíz j-múltiple de la
ecuación (2), entonces í°;' (n) es el polinomio de grado m
j.
2) Si el miembro segundo g (n) de la ecuación tiene la forma
g (n) = u (n) sen cm
o g (n) = u (n) cos a.n, ·
entonces la solución particular
busca en forma
+
se
"'
f (n) =; (n) sen a.n+; (n) cos a.n.
3) Si g (n) = u (n) sh a.n o g (n)
solución particular se busca en forma
=
u (n) ch a.n, entonces la
~
f(n) =; (n) sh an + ;;' (n) ch a.n.
"'
Aquí y en el p. 2) ; (n) y';;: (n) son los polinomios, el grado de los
cuales se determina por la re~la indicada en el p. 1).
Ejemplo 5. Hallar la solución general de la ecuación
+
+
+
+
+
f (n
2) - 4/ (n
1)
3! (n) = 2 (n 1).
(8)
S oluci6n. La ecuación característica t.1 - 41.
3 = O tiene las
raíces t.1 = 3, 71.2
respectiva es
=
1. La solución general de la ecuación homogénea
f
(n)
=
C1 ,3n
+C
2•
Puesto que el número 2 no es la raíz de la ecuación característica,
entonces la solución particular de la ecuación no homogénea la buscamos en la forma de
(9)
f(n) = 2n (An
B),
donde A y B son los coeficientes indefinidos. Sustituyendo (9) en (8),
obtenemos
2n+2 (An
2A
B) - 4·2n+ 1 (An + A
B)
3 X
X 2n (An
B) = zn (n
1)
ó
4 (An
2A
B) - 8 (An +A+ B)
3 (An
B) = n
1.
De aquí hallamos
4A - BA
3A = 1,
8A + 4B - 8A - BE
3B = 1
así que A = - 1, B = - 1.
-
+
18*
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
276
[Cap. lll
Teoría de la estabilidad
De esa manera, la solución particular de la ecnación dada es
7(n) =
_zn (n
+ 1);
la solución general es
J (n) = C1 .3n +
C~ ~
zn (n
+ 1).
En los problemas siguientes hallar las soluciones generales de las ecuaciones lineales no homogéneas en diferencias:
1003. f (n
2) - 2f (n
1) - f (n) = n.
1004. f (n + 2) + 2j (n + 1) + j (n) = 3n.32,
f (O) = O, f (1) = O.
1005. f (n
2)
f (n) = sen 2n, j (O) = O, f (1) = L
1006. f (n + 3) - 3f (n + 2) + 3f (n
1) - f (n) =en.
1007. f (n
3)
8f (n) = 2n.
+
+
+ +
+ +
+
III. Estabilidad de soluciones de las ecuaciones en diferencias.
La solución f* (n) dela ecuación en diferencias del orden k que satisface
las condiciones iniciales
r'
(O)=
ft,
f* (1) =
f~,
.. ., f* (le - 1)
= !~_ 1 ,
se llama estable, si para cualquier e> O existe o (e) > O tal que para
cualquiera solución f (n) de la ecuación (1) que satisface las condiciones
iniciales
J {O) = f 0 , f (i) = .fi, ... , f (k ·- 1) = h:-t•
del conjunto de desigualdades
1
fo -
ta' 1 <o,
1
<o, . . ., 1 h-1 - !~_ 1 1 <o
f* (n) 1 < e para cualquiera n ~ O.
sea pequeña o (e) > O la desigualdad
/1 - /i'
I
sigue la desigualdad 1 j (n) Si para cualquiera que
1 f (n) - f* (n} 1 < e no se cumple para cualquiera solución f
entonces la solución f* (n) se llama inestable.
Si además del cumplimiento de la desigualdad 1 f (n) - f* (n)
< B se cumple también la condición
(n),
·
1
<
·
lím [f(n) --f* (n)]=O,
entonces la solución f* (n) se llama asintóticamente estable.
La examinación de la estabilidad de la solución f* (n) ele la ecuación no homogénea lineal en diferencias
f (n
+ k) + a f (n + le - - i) + ... + a j
1
1
(n)
=
g (n)
mediante la sustitución cp (n) = j (n) - j* (n) se reduce a la
ción de la estabilidad ele la solución nula (trivial) de l a ecuación
génea
<p (n
k)
a1 cp (n
k - 1)
a¡¡c¡J (n) = O.
+ +
+
+ ...+
i.',f;
En el posterior nos limitemos por la examinación de la estabilidá&
sólo de las soluciones triviales de ecuaciones homogéneas.
§ 29] Estabilidad de soluciones de las ecuaciones en diferenctas
277
Ejemplo 6. Partiendo de la definición de la estabilidad de la
ecuación en diferencias, examinar de la estahílidatl la solución de la
ecuación
2/ (n
+ 2) ~ 2/ (n + 1) + f (n) =
(10)
O,
que satisface las condiciones iniciales f (O) = O, f (1) = O.
Soluci6n. La solución de la ecuación dada que satisface las condiciones iniciales f (O) = O, f (1) = O es
f (n) =O,
porque de (10)
1
f (n+2)=f (n+1)-2 f (n).
'+·
'.,¡':
·,:
·¡·.···.·
JJ.. ·
'
Cualquiera solución de esta ecuación que satisface las condiciones
= / 0 , . f (1) = ft tiene la forma
f (O)
,
f"'(n)=
1
2n¡~
[
mt
·
focos4+(f 1 -f0 )sen
Tnn] .
Tomemos arbitraria B > o y mostremos que existe a (s) >o tal que
para 1 / 0 - O 1 < 6 y 1 f1 - O ! < S tiene lugar la desigualdad .
,,
'
para todas n ;;;. O. Lo que significa de acuerdo con la definición que
la solución nula f* (n) = O es estable.
Es evidente que
¡
nn
.
nn 1
¡f0 cos4+(f1 - f0 )sen4¡
2n¡2
~
~
- .-
I /o !+I fi-fo I
2n¡2
1fo1+1 f1 -h 1~ 1fo 1+1 f1 1+1/o1
~
~ 2 (1fo1+1
h
1)
+
para todas n ;;;. O. Por lo tanto, si 1 / 0 1 1 f 1 1 < ~ , entonces y
tanto mejor ! O - /* (n) 1 < s para todas n ;;;. O. Por consiguiente,
si, por ejemplo, tomar {j (e) = : 'entonces para 1 f o 1 <
a y! ti 1 < a
será válida la desigualdad 1 O - f* (n) 1 < e para todas n ;;;. O, así
que la solución nula de la ecuación dada es estable. Esta estabilidad
es asintótica, puesto que
nn
focos T
lím [O-/* (n)J = - lím ·
n~oo
nn
+U1 -10 ) sen4
n¡ 2
2
n~oo
=0.
? Partiendo de la definición de l a estabilidad, examinar de la
?·'est'abilidad las soluciones nulas de l as siguientes ecuacione
·:'en; diferencias:
~31
·''·· d 008. 8fa(n + 2)
2f (n 1) - f (n) = o.
··1009. f (n
2)
f (n) = O.
+
+ +
+
• , .•
278
'•
!
..
TeorEa de la estabilidad
1010. 4/ (n
1011. f (n
+ 2) -
+ 2) -
4/ (n
+ 1) + f (n)
= O.
7/ (n) = O.
+ f) -
6f (n
Para examinar de l a estabilidad la solución nula f (n) ""' O de la
ecuación (1) se emplea la regla general siguiente:
·.
1. Si todas las raíces de la ecuación característica (2) por módulo
son menores que la unidad, entonces la solución f (n) """ O de la ecuación (1) es asintóticamente estable.
2. Si por lo menos una sola raíz de la ecuación caracteristica por
el módulo es mayor que Ja unidad, entonces la solución f (n) """' O es
inestable.
·
3. Si la ecuación característica tiene las raíces simples de módulos
que son iguales a la unidad y las demás raíces, si tales existen, por el
módulo son menores que la unidad, entonces la solución ¡ (.n) ¡¡¡¡¡¡ O
es estable, pero no asintóticamente.
4. Si la ecuación característica tiene por lo menos una raíz múltiple con el módulo que es igual a la unidad, entonces la solución
f (n) 55 O es inestable.
La regla indicada reduce el problema sobre la estabilidad de la
· solución nUla de la ecuación (1) a la aclaración de cuales son los módulos de raíces de la ecuación característica (2) .
. .·
Ejemplo 7. Examinar de la estabilidad la solución nula f (n) a O ' :. ~ l
de la ecuación
·
2! (n 2) - 2f (n 1) f (n) = O.
' \~:¡·.
+
· ~:
+ +
• .. e
S oluci6n. Componemos la ecuación característica
21.ª - 21..
,.
,
Sus ra1ces r.1 ,
i +t
+ 1 = o.
<j
·1
T
enemos
2 =~ .
. -~j
".' ¡.
1+ i 1
1A.í, 2 I = 1-f=
V1 2 < 1.
.
Por consiguiente, la solución f (n) ""' O de esta ecuación es asintóticamente estable.
Ejemplo ·s. Examinar de la estabilidad la solución nula de la
ecuación
f (n
+ 2) -
2/ (n
+ 1) + 5j (n) =
'),,'J. -
Tenemos
Aj= 1
21..
+ 2i,
!
1
O.
Solución. La ecuación característica
tiene las r aíces
!
+ 5 =o
·
.
Xi = 1 - 2t.
1Ad = ·I A.id = I 1 ± 2i 1 = 1(5 > 1.
Las dos raíces son más que unidad que significa que la solución
f (n) == O es inestable.
Es conocido que la función
A.= w+i
. w-1
.
..
1
~.¡
1
279
§ 29] Estabilidad de soluciones de ·las ecuaciones en diferencias
· aplica el interíor del círculo de unidad del plano !. sobre el semipla:no
izquierdo del plano w. A las raíces · de la ecuación característica (2)
que se encuentran dentro del círculo de unidad 1 A. 1 < 1 (es decir, los
·
la unidad) les conesponderán
t.~.:.r[.T l~sªlre:d~~r d~l 11:6e~~~ciÓ~ ¡:i~~f~~~'Ja!
"
(w
f~!
t
p:·
.i.::·:
?·.
:/;'
~I(:
...-:·
.
+ :f)Tt +
1
ai (w· + 1)1i- (w -
1) + . . . +
ah
(w - 1)k
ó
=
O.
(11)
que se encuentran en el semiplano izquierdo del plano w •
. El problema acerca de la posición de raíces de la ecuació.n (11)
puede ser resuelto mediante el criterio de Rauss-Hurwitz o el criterio
de Mijailov.
Ejemplo 9. Hallar las condiciones necesarias y suficientes de lo
que las raíces de la ecuación característica
'Aª+ a11I. + ª2 = O
se encuentran en el círculo de unidad 1 'A 1 <
1
,
Solución. Supongamos que :\. = w+
w-1
(12)
1.
Entonces la ecuación
(12) obtendrá la forma
(w
ó
(1
+ a1 +
+ 1)2 + a
1
(w + i ) (w -
a 2 ) u/" + (2 - 2a 2} w
1)
+ (i -
+a
2
(w -
a2 + a 2 )
1)2
=
=
O.
O
(13)
Para el polinomio (13) empleamos el criterio de Rauss-Hurwitz
(véase§ 26). La matriz de Hurwitz tiene la forma
2-2a 2 1+a¡+a2 ) .
O
1-a¡+a2
Los menores diagonales principales de la matriz de Hurwitz son
A1 = 2 - 2a2 ,
A2 = (2 - 2a 2) (1 - a1
a2).
En virtud del criterio indicado debe ser
1
a1
ª2 > O,
f - ª2 > O,
1 - a1
ªz > O.
(14)
Pués, la ecuación caracteristica (12) tiene en el círculo 1 /, 1 < 1 las
raíces cuando y sólo cuando se cumplen )as condiciones (14).
Corolarto. La ecuación lineal homogénea en diferencias del segundo
orden de coeficient es constantes
f (n
2)
aif (n
1) +a:J (n) = O
tiene la solución nula que es asintóticamente estable f (n) == O cuando
y sólo cuando sus coeficientes satisfacen las condiciones (14).
Ejemplo 10. Examinar de la estabilidad la solución nula f (n) ra O
d~ la ecuación
2/ (n
2} - 2/ ( n
1)
f (n) = O.
1~foluctón . Reescribiremos esta ecuaui6n en la forma
1
f (n+2) - f (n+i)+?" f (u) =O,
(
+
+ +
+
+ +
+
+
+ +
280
[Cap. Ill
Teoría de la estabilidad
Aquí a1 = -1, a 2 = 0,5 . Por Jo tanto
+ ª 1 + = 0,5 > o,
i = 0,5 > o,
1+ = 2,5 > o.
1
ª2
ª 2
Cl1
ª 2
Las condiciones (14) del criterio de Rauss-Hurwitz están cumplidas.
Esto significa que la solución f (n)
O es asi ntóticamente estable.
Ejemplo 11. Examinar de la est abili.clacl la solución nula de la
ecuación
f (n
2)
f (n
1)
2/ (n) = O.
Soluci6n, Aquí a1 = 1, a 2 = 2. Tenemos
1
a1
a2 = 4 > O,
=
+ +
+ +
+ +
1-
ª2
=
-1
<o.
.
"•
·..i~
La soluci6n nula es inestable.
Para las ·ecuaciones en diferencias siguientes hallar .
las condiciones necesarias y suficientes de la estabilidad .
asintótica de solución nula:
1012. a 0f (n
3)
aJ (n
2) + aJ (n + 1-) +
a 8f (n) = O.
1013. f (n + 4) + pf (n + 2)
qf (n) = O.
+ +
+
1014. f (n
+
+ 5) + pf (n) =
+
O.
+
~n
5) - bf (n} = O, a-+ O, b >O.
.
Utilizand o el criterio de Rauss-Hurwitz , examinar de la ·;
estabilidud la solución nula de las ecuaciones en diferencias /
sigu ientes:
··\
1016. 11/ (n
4) - 8j {n
3)
8f (n
2) '
- 4f (n
1)
f (n) = O.
1017. f (n
4)
f (n 3) f (n) = O.
1018. 12/ (n
4) - 3f (n
3)
2f (n 2)
2f (n
1) - 2/ (n) =O.
1019. 7f (n
4) - 4f (n
3)
30! (n
2) 4f (n
1)
3j (n) = O.
1020. f (n
5) - f (n
1)
f (n) = O.
.1021. f (n
5) - f (n
2) - f (n) = O.
1022. f (n
5)
f (n + 1) - f (n) O.
1015. aj
+
+
+ +
+
+
+
+ +
+
+
+ +
+
+
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
+
,,
+
+
+
=
+
~~f~
281
Respuestas
20
36
-b
-a
2 . .7:=17' Y= -"17. 3. x= a2+b2 , y= a2+b2
4. No existe la solución real.
(a2+b2)2 •
u 2 +v2 -u
7
• x
8.
2 (a 2 -b2 )
5.
v
(i - u)2+v2 ' y= -
Z¡=Üt
(i-u)2-j-v2 ·
1
113
z2 =1, Zg=--y+t-- ,
2
9. a) p=5, <p=arctg
1 . -V3
Z4=-2-¡
- 2-,
3
2
4 ; b) p=4, cr= 3 n;
e)
p=5-V2,
..
1
4
3
=arctgT-:n:; d) p= 1, <p= n; e) p=5, cp=-arctgT;
5
<p=2:n:-a.
10:. ~) 2(corn+1 ~en :n:); b) 2 ( cos ..=¿-+i sen ~ ) ;
2
teas!
:n:+isen
~ :n:);
d) l/ 2(1-sena) [ cos (
~
+ ~ )+
• :n:
i-
e) 1(cosa+isena);
··: .,
'-i~
J 1·e
2
-~-i
;
3
i) 2e
;
· (a-n)i
2
j) 1 ·e
_
;
k)
2e'n ; g) 1·e
f)
2
;
iarctg.l.
lf 34 e
5
·. Ji. Indicación. Puesto qlie x2 - 2A.x coso;+ /,2 =
[x -·· /,(cosa+ i sen a)] [.x - /..(cosa - i sen a)], entonces es ne_esario mostrar que j fl, (cosa ± i sen a.)] = O.
12. a) -21 9 (1
i y 3); b) 210 (1
i); e) 1728, el) 1.
13. Indicac ión. Apliquemos la relación
+
+
cosa- i sen a
1+ttga
1-itga
cos ( - a)+ i sen ( - a)
.utilizemos la fórmula de Moivre para el nmneraclor·y denumerador.
~.· . 15. a) 3 cos 2 cp sen cp - sen3 cp;
h) cos8 cp - 3 cos cp sen2 cp;
)•.· 4 .sen cp ·cos3 cp - 4 cos cp sen3 cp; el) cos4 cp - 6 cos2 cp sen2 cp
. . sen4 cp; e) 5 sen q¡ · cos4 cp --- 10 cos2 cp sen3 cp
sen5 cp; f) cos5 cp-
·;: 10 cos3 cp sen2 cp
\, · 1·.6.
0:-' .
,
a +
_c.
)
+ 5 cos cp ·sen
V2 ;
1+i
b)
±
1
+
+
4
V2
cp.
(1+ ')
± ( cos
i ;
e)
1
2 ( ± 1f3-+ i') '
~ n + i sen ~
l"t) .
-i;
282
Respuestas
~4
17. a) ±1, ±i; b)
('i+i),
V2( -
J.
cos ; 2
+i sen
; ) , -:::
2
6
( sen :rt - i. cos T2
:rt
Vf2
, c) ± Ct/3 - i),
12
+
+
18. i12 (cos 6° t sen 6°); 1y] (cos 78° i sen 78°); 1-V-.2(cos150º+
1
t sen 150"); -VZ (cos 222º i sen 222°); ªi12 (cos 294° t sen 294°) . -·
19. a) Todo el plano complejo, del cual está cortado el círculo _
del radio 2 con el centro en el origen de coordenadas. b) El círculo del ~
radio r = 1 con el centro en el origen de coordenadas, al mismo tiempo ·
el centro de este círculo está excluido (el círcúlo esta «punzado»).
c) Todo el plano complejo, del cual está cortado el circulo del radio ·
r == 1/2 con el centro en el origen de coordenadas.
·
20. a) La circunferencia del radio r = 8 con el centro en el punto
z = 5t. b) El círculo junto con la frontera del radio r = 4 con el centro
en el punto z = 1
t.
21. a) La parte del anillo limitado por dos rayos arg z = n/4
. y arg z = n/2 y por las circunferencias de los radios r = 1 y r = 2
con el centro en el punto z = -i. h) La parte del anillo limitado· por
los
dos rayos arg z = ~ y arg z = ; :re y por las circunferencias
radios r = 2 y r = 3 con el centro en el punto z = O. El conjunto
n entre las circunferencias
incluye también la parte del rayo arg z =
indicadas y una parte de la circunferencia del radio 3 entre los rayos
indicados.
22. a) El semiplano derecho, incluyendo y el eje OY; b) la franja
entre las rectas y = O y y = 1, incluyendo estas rectas.
23. a) El anillo concéntrico limitado por las circunferencias de
los radios R1 = 1 y R 2 = 2 con el centro en el punto z0 = - (2
i).
Las dos circunferencias pertenecen al conjunto; b) la parte del plano
que se encuentra más bajo de la recta y = x; c) la ~ranja entre las
rectas x = 1 y x = 2.
24. El interior de la circunferencia de unidad.
1
+
+
+
+
de
!
+
x2
25. a) El exterior de parábola y =
4 - 1; b) el semieje real,
incluso y al punto (O, O) .
2
y2
-i;-+ 3
,¡;V.
.
= 1 Yttf+
2
+
28. a) El interior de la circunferencia x2
(y - i) 2 = 1; b) el
dominio comprendido entre las circunferencias (x - 1) 2
(y - 1)2 =
=
2 y (x -
2)
+ (y -
29. La recta x
30. La recta y
=
2)2
-2 .
:::;= ~-
=
8.
l
,.i
+ ~5 = 1, incluso y las mismas elipses.
2
.. i
.!
26. El interior de la hipérbola x y = - ; .
21. El dominio circular entre las elipses
_,¡
. 1
+
1
l
t
283
Respuestas
f
31. a) La hipérb ol a xy = 1; b) la hipérhola x 2
; circunferencia x2 +(y + 1)2 = 1.
i::·
32. a) La circunferencia ( x - -})
;:\ bola xy = -1.
2
-
y2
+ y2 =· ! ;
=
1; c) l a
.
b) la hipér -
33. La hipérbola x2. - y2. = .!..
2 o
34. La circunferencia ( x
x2
35. a) La elipse
3
hasta -oo.
+ 1)2 + (y -
+4y2
! )2
= : .
·
= 1; b) el rayo en el eje OY de -1
36. a) La hipérbola
1; b ) la elipse
+
37. a) La circunfereni;ia x2 y2 = 1; b) la recta que es perpendicular al segmento z1 z2 y que pasa p or ·su punto medio; e) la hipérbola
( X- ;
r-
y2 =
!;
d)
}a
parábol a y2= 2x
+ f.
38, a) z -z=O y z+z = O; h) z+;+i(z-z)=O; e) k(z+z)+
+2b+i (z-°Z)=O.
39. a) z2 +z-2=2a2; b) zz+z+z=O~
40. (-1+Vi); - 1+
~2 ± i f"22lf3.
'-'• z -"'r.1 · .- i·, 3·, 1 ± 2·i. '"'·
2zi+z 2
_ ai.·
• . "'r.3. b+
3
44. -3-i l/3. 45. lf3-i.
46. Solución. Según la condición del problema tenemos
(4 - 3i) (cos "'+i
sen. q>)=~('f"
.
\(2 .. 1+0
ó
¡
5
4 cos rp +3 sen <p= - - - - ,
-3coscp-f-4sen q>=
v2
;?,.'
284
Respuestas
,
·v2 ,
-W
De aqu1 sen cp =
1112 , es decir, tg cp = - 1 ,
cos e¡>= - - - 10
7 ·
y por consiguiente, e¡>= -arctg
3
1
1
kn
47. Ql=4n. 48. Xk=Ctg-;;:- (k=f, 2, . . ., n-1),
49.
X1t=
~ +k:n:
(k =O,
.50. -lf2-H7 ¡/2.
±1 , ±2, ... ).
51. Z1 = 3 + i , Z2 = f + 3i, Zs = -1 + i..
53. Solución. Examinemos la suma
Sn = (cos x + i sen x)
(cos 2x
tsen 2.1:)
. . . + (cos nx
Utilizando la fórmula de Moivre, obtendremos
Sn = (cos x + t sen x) + (cos x
i sen x} 2
. . . + (cos x +
+
+
+ ...
+
+ i sen nx).
+ .. .
t
sen .:i:)n>.
Esto es la suma de los primeros n términos de la progresión geométrica
con el denominador q = cos x + i sen x y el primer término a1 =
= cos x + i sen x. Ella es igual a
(cos x+ i sen x)-(cos nx+ t sen nx) (cos x+t sen x)
1-(cos x + t sen x)
Separando la parte real e imaginaria, hallamos
nx
nx
sen2
Sr,
X
sen2
COS
(n+ f)
2
X
sen2-
+t
X
sen
sen2
(n+ f ) X
2
.··
..
De aquí
nx
a) sen x+sen2x + ·. .. +sen nx=
sen - 2
X
sen
(n-!-1) X
2
cos
(n+f)
2
sen2
nx
h) cos x+cos2x + ... +cos nx
sen -2X
sen2
M. a)
55. a)
2
sen nx ; b) sen 2nx
senx
2 sen x
u=x+ 2xy , v= y2-x2-y; b) ti = xª - y:i ,
e) u =3xy2-~:1, v= 1-3x y + y
2
8
;
X
:
•_"•;
·-->-~~
". -~!~
V =1 + 2xy,::,~);
X
y
• :'j;;
el) u= x 2+Yª , v= x~ + Y 2 ?:··~;;f.
(.;
-·- .:··
285
Respuestas
xz+y-yz+x
(x+1)2+y2
' V
56. a) w=-1; b)
w=-3~4i;
c)
5
w=itt; d) w=~ ~ 12 i.
+
3
57. a) La circunferencia u 2
v2 = 4 que se recorre en el sentido
horario; h) el eje Ov (a excepción del punto O) qne se recorre del mod·o
siguiente: primeramente de O h asta + oo, y luego de - oo hasta O;
c) el rayo que pasa ·por la hisectríz lll del ángulo de coordenadas de
oo a O; d) el rayo que pasa por la bisectriz 1 del ángulo de coordenadas
de co a O; e) l a bi~ectriz 11 del ángulo de coordenadas que se recorre
de Ohasta oo y l a bisectriz IV del ángulo de coordenadas que se recorre
de oo a O; f) el semieje real positivo que se recorre de+ oo a O.
58. a) El eje OX pasa en el eje OU, al mismo tiempo para el cambio
de x de -oo hasta+ oo el eje OU se recorre de +1 hasta -oo y de+ oo
hasta
(el punto 1 se excluye). El eje OY pasa en la circunfer encia
u2
v2 = 1. h) El eje OX pasa en el eje OU del mismo modo que y en
el p. a). El eje OY pasa en l a recta u = 1 que se recorre del punto +1
hasta 1
too y del 1 - ioo h asta +1 (el punto 1 se excluye) .
59. a) u=2x-i, v =2y; b) u=x2 -y2+x, v=(2x + 1) y; c) u=
+
+i
+
X
-
x2 +y2 • V= -
y
x2+y2 ;
60. a) u= e-x cos y, v =-e-X sen y; b) t i = e:ic•-v= cos 2.'!;y,
-ex•-y• sen 2xy; c) u= sen x ch¡¡, v = cos x sh y; d} u =
= ch x c:os (y - 1), v = sh x sen (y - 1).
11
=
6i . a) {
u= eCx 2 - v2> ln 2 - 4 hitx¡¡ cos [2kn (x2- y2) +2 ln 2·xyJ,
v = eCx2-v 2> In 2 - 4/inxy sen [2kn (x2 - y 2) + 2 ln 2 ·xy]
(k=O,
±1, ±2, ... );
b) ti =ch xcosy, v=ch:r.sen y; e)
sen xcosx
ch2 y - sen2 x
u==-.,.~---~
sh y ch V
v---,-.....;:;_--,-- ch2 y - sen 2 x •
62. a} p = 3/4, <ro = -n/2 ; b} p = 5/4, cp0 =:= :rt.
63. p = ch 1, <Jlo = n/2. 64. p = n , cp0 = -n/2.
65. p = cos2 (ln 3), «p0 = O.
66. a} 1
2kni. Aquí y en lo posterior, se hacen referencias a lo
. contrario, k = O, ±1, ±2, . . . ;
+.
.... b) :( .2k- 1 ) ni; . c) ( 2k+ 1 :rrt ) ;
2
~ ..e)
2
In V13+(2kn -arctg ; ) t; f)
~'~o.
··:·
±1.
±2, .. . ).
d)
3 ) ni;
ln -.v¡ -2+ ( 2k--;r
·-(21t+ ~) n+2m:rt·i (k, m=
286
Respuestas
67. a) e
- (21i-1-2-).rc
¡ b) e
2
( 21~+..!..) n
2
1
1
-( 4R+ 2 )n
(i-1 ) (2n+
6
; f) e
e) e
g) 23/Ze
3
-
:'.
e - 2hn; d) e V2 (2k+1)nii . '..
)n
;
(211.n -~)-3 (~+In VZ - 2kn)i
4
; e)
4
.
68. a) p= O, q> no está definido; b) p=e- 2 h.rc , cp=ln 10+
+2mn (k, m=O, ±1, ±2, .. . ); e) p=9e 2hn, cr= -In 3+
+2mn (k, m=O, ±1, ± 2, .. . ).
1
1
3 .
69. a) V'2
i
; b) 21 in 2-¡¡ni.
+ 112
70. a) t sh n; b) ch n; e) i th
n .
2
71. a) -tcthn¡ b) 2kn-ilnCV2~1), (2k + 1)n-iln(l/2+1)¡
e) (
2k++) n -
72. a). kn+ i
~ In (11 2+ 1),
1
~2
(
2k-+) n -
t
In CV2-1).
(k=O, ±1, ±2, ... ); b)
t;
e) O.
73. Zk=(2k + i)ni (k=O, ±1, ±2, ... ).
.
74. Zñ = ( 2!c-+) ni (k=O, ± 1, ±2, . .. ).
75. z¡¡=(2k+1)n+il n2 (k = O, ±1,
76. Zk=: ( k-
~
)
:rt
(7~=0,
±4, ... ).
±1, ±2, ... ).
77. z2 k = 2kn ~ i In CV n 2 +1 - n ),
- i ln (lf112 +1 n) (k = O, ±1 , ±2, . .. ).
78. x= O.
+
z 2 h+~
=
(2Tc
+ 1) :rt-
79. z2 k=2knt, z2 k+i = (2k+1) :ra + In3 ( k =O, ± 1, ± 2, .. .. ).
80. zk=ln(1 + 1/2)+(2k+ ;) nt,
+ (2k-+) nt (k=O,
zk
= ln (l/2- 1) +
± 1, ±2, . .. ).
81. a) z = 1 - t; b) z = - e + i . 82. 1.
83. O. 84. No existe. 85. O. 86. 1/3.
87. - i. 88. t. 89. No existe. 90. O. 94. i .
95.
96. - i . 97. - 2i.
104. a) no; b) si; e) no; d) si; e) no ; f ) · si.
105. a) no; b) no; e) no; d) si.
109. lndicaci6n. Para las dos direcciones cualesquiera que se
caracterizan por los vectores unitarios s0 y n°, debido a la condfoión
v2.
;
(1)
as-a;:;, as=-Tn·
Para obtener las condiciones de Cauchy-Riemann en l as coordenadas
polares
(2)
es necesario en calidad de s º tomar el vector unitario tangente a l a
circunferencia 1 z 1 = p, dirigido en el sentido antihorario y por n°
tomar el vector de la normal interior a la circunferencia. Además, hny
que tener en cuenta que
a
¡¡~ ' ·.·.
~ ~
' .
a
~=--ap,
!~
a
fJ
as= p fJrp.
Entonces muy fácilmen te de (1) obtendremos (2). Notemos que las
condiciones de Cauchy-Riemann en las coordenadas cartesianas
au av av
au
-ax= -¡¡' ax= ---ay
se obtienen de (1) para
s0
i
=
1,
nº
=
í.
f (z) = z ; b) f (z) = ln z; c) f (z) = z2 + 2z.
115. a) f (z) = 2 sh z - z2 ; b) f (z) = 2 sen z - z; c) f (z)
114. a)
+
=
4 ch z
z2 - 1.
116. a) f (z) = 2 cos 2z + z; b ) f (z) = 2i (cos z - 1) 11 8. a) si; b) no; e) si; d) no.
.
119.
a+ e=
tz2
=
+ 2.
O.
t.20. a) no; b) si; e) no; d) si.
122. f (u) = c1 u + c2 ; c1 y c2 = const.
123. a) no; b) si; e) si. I ndícación. Mostrar que l a funci611 ] n w
es analítica ·en el dominio D.
125. a) si; b) no; c) no. 126. u = c1 (ax
by) + c2 :
127. u
129.
U
=
=
C¡Xy
+
c1 (x2
130. u= c1
arbitrarias.
V
+
128. u
C2·
y2)
-
x+-V x 2
f3i. u= c¡ x2+
X
y2
r2
=-arctg
1-senq,
4
3 ;
C¡
arctg
+ c11 •
+ y2 + c2,
+ Cz.
132. a) r 1 =2, q>1 = : ; r 2
=1/ch 2
=
c1 y
=+;
JL
+ C2 •
X
c2 son las constantes
<p 2 = -
<p2 = - arctg(tg 1·th1);
~;
e)
b) r 1 =1, cp 1 =0;
r 1 =d5,
cp 1 =
283
Respuestas
133. a) El semiplano Re z > O se estira, el semiplano Re z < O
se contrae.
b) En cualquier punto z (además de z = 0) que se encuentra en el
interior de la circunferencia 1 z 1 = 1 existe el estiramiento y para los
puntos que se encuentran fuera de esta circunferencia existe la contracción.
c) Lo mi.smo que en el p. b).
d) La parte del plano complejo que se encuentra en el interior de
la circunferencia 1 z 1 = 1/if3 se cont rae; la parte del plauo que se
encuentra fuera de esta circunferencia se estira .
134. S~=8/3, lw=2 (1+t/2)+ln (3+ 2 l/2).
D
135. Sñ=
X2-X1
4
(s h 2y2 - sh2 y1 ) -
(scn2x2 -sen 2x1 ).
Y2-Y1
4
136. 7,5:n:.
137. V 2(e2 n-i).
· 138. El rectángulo d ado se aplica en el anillo e~ 1 w ! ~ e2 , el
área del cual es igual a :rt (e4 - e2 ). Según la fórmula (9) obtenemos
4 (é - e2). El erl'Or surge debido a lo que para las condiciones dadas
la aplicación no es biunívoca.
~
139. 1/'2. 140. -
. 14t.
!
(e2-1) (1
142. a) 2:rti; b) -2ni. 143. O. 144. O.
145. (i - 1) ei.
146. a) 2
i; b) 6 + 2i. J47. -2 (1
~
"149.
+
(i -
+ i).
+ i) .
148. -1.
~- .[\;
1).
+ ie sen 1; b) e cos 1 - 1 + ie sen 1.
1
!~!:
~ ~h~)~2 v"/) 1;4~i =.;;~2 ~ ~a112·i2º ei .
!~~: ~~s 1 ~·sen 1 - te- 157. 1 - cos 1 + i (sen 1 - 1).
;,e~
150. a) e cos 1 - 1
;-y.t
! (~
.160.
+ i th 1.
:.:~
1•
2
158. -
- :·i:~
2
+ 3 111 2)
! [1 - cos(2+2i)J.
+i ~
~
·:·.~'.:;
2
In 2. 159. -
•
i61. -(tg 1+ { tg21+
•
~ th2 1)+:--·.:
:
!
167. n i.
171. O.
';~~
sh2 + -}) t . 164. - ; . 165. O.
166. - ln lf sh2 1
+ cos 1 + i arctg (tg 1. t h i).
172.
!
;.
2
168. rie- 1 •
169. ~ t. 170.
:ri
i)
. ~j;
162. v2sh 1+i (l/2sh 1-2 ySelli).
163. (
;_,
sh 1.
:n: ch Jt · i. 173. O. 174. - -:
5
i.
.
\.·· ,~
f1
.·:.:~~
•
. .,.. . """•
~r
~;
•-~ ·~ --~--·~W· •· ··~,
-,
1
ij
~;
+
:n;2
--y sh 1.
182.
186. -
1
t
__._.. ~ ._,.,.
289
175. :n:. 176. O. 177. -=-:n: i. 178. 2:n:i.
179. - n (n 2l 11 2 i. 1.80. O. 181. .
3
~t
J
··•w •- ·•"•"' .,• ._,,.,~.,--•.- ·.,....-~·-·~°'"'" '
Respuestas
.,.
;[
.
~
•
183. n 8 i . 184. O. 185. -2ni.
et. 187. Diverge. 188. Converge.
i
189.
192.
195.
199.
203.
207.
Converge. 190. Converge. 191. Diverge.
Converge absolútamente. 193. Converge. 194. Diverge.
Converge. 196. Diverge. 197. R = 1. 198. R = 1.
R = 112: 200. R = OO. 201. R = 1. 202. R = oo .
R = 1. 204. R = 1. 205. R = 1. 206. R = OO .
R = 1. 208. e- 1 •
r+r' - lr - 1·' 1
r
209. a)y b) R>
; c) R ;;;::. rr';d)R~ 7 .
2
22
23
210. -sen 1+2(z + 1) cos 1+y (z+ 1)2 sen1(z
1)S X
31
+
·xcos· i - . . . , R=oo.
1-[1 + (z + ~)-...!.. {z + ~)
211. . --V2
.
4
21
4
+ ... ],
2
_
__!_
31
21s. _
t+ 21
1 [
5
1+
(2z-1) +
3
5
1 (2z-1)2
2122
.R = 0 0 ,
+
32
8
1
3123 (2z-1)
33
(z+2l+ sz (z + 2)2+ v
J
5
1
9
-5- 25 z-
41
125 z2 - .. . , R=i.
· 215. -tz+zs+tz5 - z7 - .. . , R=i.
+-}- ( ;~ + ~; + ... ) , R = oo.
z2
z4
zG
z1 ( 21
+41
+61+
. . .) , R=oo
216, 1
1 ( z
z2
218. ln 2-y 2+ 2 . 4
z
5z2
0
z3
+"3.8+
.. . ) , ·R=2.
7z3
.
2 - rr+s:s- .. ., R=1.
1
f.
1
3
5
.
2 - 22 z + 3123 zLj-- 5!2s z + ...' R =:= :n;•
219. 1n2 +
220.
+
+ ...J,
.
(z+zls+
... ,
R= 3 .
217.
3
R~ oo.
212. l / -e [
214.
(z+~)
4
.
290
Respuestas
22 1.
1
1
1
2-22 z + 2122
1
2
z
3!2ª zS
-
+ · · ·'
R= V 1n2 (2- t/ 3) + n2.
.
222.
'
'
223.
224.
225. ln2-
. ! 4 4
2~
e ( 1+z+
226.
1
z6
.
2 61
z4
z2
4 -
~f
z2+
1
227. f (z) = - - , lzl
< 1.
a- z
+ ... , R= :rI.
zs+ ... ) , R=i.
229. lzl
> i /V2.
2. 231. 1 z 1 > e-1 • 232. 1 z 1 >e.
1/4. 234. 1 z - 2 - i 1 > 1/2. 235. 1 z + 2i 1 > 3:
236~ 1 z
1 - i 1 > 1. 237. ! z
1
i 1 < 1.
238. ' 1 z - i 1 < 2. 239. o < 1 z - 2
i 1 < 1.
240. 2 < 1 z 1 < 4. 241. Diverge en todas partes.
242. 1 < 1 z 1 < 2. 243. 1 z - i 1 > e. 244. 1 < 1 z 1 < 2.
245. 1 z
1 1 > 2. 246. o < 1 z - i 1 < 2. 247. o< ! z 1 < 1.
248. o < 1 z - 1 1 < 1.
249. 1) Si 1 a 1 > ! b J, entonces diverge en todas partes; 2) si
a l < 1 b 1, entonces converge en el anillo l a 1 < 1 z 1 < 1 b' ! .
1
z
zª
zb
250. -;--31+51-71+ ....
230.
233.
l
1
·z
z
1
>
+ 11 >
+
+ +
+
+
251.
2
8
2f
z41 zs +
32
•
z• - ...
252.
61
1
z
z2
7+1+21+31+ ...
253 •
Z2+ Z2+
254.
255.
256 •
257.
1
1
1
1
+3f1 41Z
1 +
z4-21 + 4142
44
212z31
4!2zG
z2
z
+31 + 41+ · · ·
2!z
z
zs +z2+ 2f
z2
1
·'
' t.
• 1
1
6/z2
~·
.· )
., í
. \
. ..
+ ...
40
+ 612z7
zi
-
·· ·
z6
21- Tr +61""- BT+ ...
z
z2
zS
258.1+21+ 31 +41 + ...
.'
·'"1
~
~
291
Respuestas
2
1
1
1
1
z2
259.
--z¡--- 21z2 +41·'--w+ ...
260•
-z¡--- 2!z
26
1
z
+31-41+
1
(z + 1)2 •
1
1. z + 1 -
262• sen2 _ sen2 (z- 2)- cos2 (z- 2 )2 + sen2 (z _
z-2
21
3!
4!
cos 2
4
- -(z-2) - .. .
51
2 )ª+
+-
.
. (121-1!i)l
(1 i)l
·z+i + 31-21 (z+i?+ ··•
263.(1-t)+(z+t)+
00
"· = ~ [
(n·!1)!
n=l
00
~
264. a) -
' '.·
00
;~
2
1
-
~
;
(+
n=O
n=i
'
00
265. a)
1
-z-
r;
00
b)
~
n=i
00
"1
"1
Ll (-1)n zn; b) Ll
n=O
(-1)n
zn+ 2
n=O
266. a) No se desarrolla;
b)
1 ( 2~+1
z3+z v-1
2&-2)
-5 - - 3 - ----4-+--&----6-+ . .. .
z
z
z
00
"1 (-1)n-1
267. Ll
zn
"1
+ L!
(-f)n
zn.
zn+l
n=D
n=i
00
268. a)
z
00
~
[n-
(-;!)n
Jzn-
1;
n=i
00
"1
b) Ll
00
n
zn+i
+
n= i
00
"'1 (-f)n
1
"1 n+(-2)n
L! zn+l zn; e) -;-+ Ll
zn+l
n=O
n=i
00
00
269.
~
1
(z+z)n
n=O
n=1
270. No se desarrolla
00
271.
_ 1_ +5 ""
z- 1
LJ (z-1)n . 272.
n=2
19*
00
zn-2
""
z+ LJ
n= O
(n+ 2)·4n+l
z2n+1
..
292
Respuestas
00
273.
-1~ ~
n=O
00
z2n+l
1
4fi-- 3 ~
1
2 2·n-1
n=1
00
l
l ~ (-1)n
1
2 (z-t) -' - 4
(2i)n (z - 1')"
· ·.
n=O
274, 00
275.
276. a) z = O es de segundo orden, z1 , 2 = ±2i son simples;
= nn (n = ± 1, ±2 , ...) son simples.
277. a) z = O es del tercer orden, zn = n :rt (n = ±1, ±2, . .. )
son simples. b) z = O es simples, zn = nnt (n = ±i, ±2, ... ) son
del segundo orden.
278. a) zn = (2n
1) ni (n =O, ±1, ±2, . .. ) son del segundo
b) 2n
+
b) zn = (4n + 1) ~ i
orden;
(n = O, ±1, ±2, .. .) son del segundo
orden.
·
279. a) z= - ·n:i es del segundo orden; zn=nni (n=O, ± 1,
±2, ... )son simples; h) Zn=
.
zn
== .•V/
(2
11
. \~
3 r
,.
V
(2n + 1)-y (n=O , ± 1, ±2, . . . ),
:rt 1 + q/'3
+ 1)z
-2
. 1es.
son :.mnp
280. a) z1 , 2 = ±ni son del segundo orden, .;i = (2n + 1) :rti ·.
1, ± 2, ±3, ...) son simples; b) ceros no existen.
· .: ,;
281. Del segundo orden. 282. Del tercer orden.
::.?
283. Cero simple . 284. Del cuarto orden .
·.::~~:
285. Del primer orden. 286. Del segundo orden .
· "'··
287. Del cuarto orden. 288. Del decimoquinto orden.
:\~
289. a) El cero, el orden del cual es no menos que mín ( n, m); . ,"\
h) El cero del n
m orden; c) el cero de n - m orden, si n ::> m; · :•".
el punto correcto que no es cero, sin = m; el punto sing ular, sin < m.· _·'.-. ',i. .':j
290. a) E1 po1o e1e1 tercer orden; b) e1 po1o e1e1 cuarto orden;
.•
c) el polo del . ~egundo orden.
· :_._,'. :~
291. a) El polo simple; b) el polo del segundo orden.
.i Íllí
(n
=
+
+
292. a) Zn = (4n
1) ~ (n = O, ± 1, ± 2, . . . ) sou los polos ::.'~;~
:. "::'~
del segundo orden; b) z = O es el punto evitable si.ngula:r.
; ·~ ~~
293. a) z = -2 es el punto singular esencial; b) z = Oes el punto ~<~
si ugular esencial.
.=: ):.,.la
294. a) z = O es el polo del segundo orden, ·z.= - 1 es el polo del
segundo orden; b) z = O es el polo del segundo orden, z = 2nrct ·:ro~\~
(n = ± 1, ±2, . . . ) son los polos si mples.
.
..
)~'.1~
295. a) z = Oes el punto singular esencial; b) z = -1 es el punto '-'\~J.i
singulilr esencial; c) z = O es el punto singular esepr.iaL
· ., ...;
;,a
296. a) z
=
O es el punto singular evitabl e; z
=
2nk
n
= ±1, ±2, . . .) son los polos del segundo orden; b) z = T
= O,
=- ~
(k
~.
'.
1, .
(k =
+
2!rn:
±1, ±2, ... ) son los puntos singulares evitables; z =
+
2kn (k = O, ±1, ±2, . . . ) son l os polos simpl es; c) z = n
es el polo simple; z = k n (k = O, -1, ±2, ±3, .. .) son los polos
del segundo orden.
297. El punto singular evitable. 298. El polo simple.
299. El polo simple. 300. El punto singul ar evitable.
30L El punto- singular esencial.
302. z = O es el Ilolo del cuarto orden, z = -1 es el polo simple.
303. El punto singular evitable. 304. El punto singular evitable.
305. El polo simple. 306. El punto singular evitable.
307. El punto singular esencial. 308. 1. 309. - 16/;!.
310. 1. 311. -1. 312. o. 313. o.
314. res f (O) = O, res f ( : ) =
!,
res f (
~ + mi) =
- 8
-
¡i;2
(2n+ 1) (4n +1) (n=O , ± i , ± 2 , ... ).
315. res f (O)= 1/24.
.
.
1+3i
316. res/(-i)= -"'20 cos J,
res/ (3)
3i7.
ch3
= 10
.
res/
res f (i)=-
¡
¡
[c-1¡11 n6 + nn]= -
res/ [(-f)n+1
2
1-3i
2 0 cos 1,
n/ 6+ 2nn
1f'3 e
. '
-n/ 6+{2n-1)n
-V3 e
'
~
+ nn]=
6
(n=O ,
2
2
- n/G+2nn
V3
e
_ _ 2_
lf3
'
8
n/6+(2n - i)n
± 1, ±2, ... ).
5
2 , r es / (f) = e.
f
1
res f(-1)=
27 , resf (2)=-27·
318. res / (0) = 319.
1+t .
(1-i)e-!
320. res/(0) = 0, rAsf(z 1) = --:;¡:=-e1, resf(z2) =
~ r- ,
4v 2
4v 2
294
Respuestas
(1+ i) ei
(1- i) e-i
,r, resf(z 4) = _
, donde
4V 2
4 1/ 2
3, 4) son las raíces de la ecuación z4 +1 =O.
1
321. res f (0) = . 322. res f (0) =O.
resf(z8)=
z1i
(k=i, 2,
6
323. res/(-i)=
324. res f (0) =
!
sh2·i, res f (
- 61 _,
~
)=-: (e + 2e-
2 sen2 .( T3 )
r es f (3) = 'I!f
1 )i.
.
325. res f (O)= O.
1
.
;z ,
res/
326. res f (- 3) = se-si,
327. res/ (0)=-
res f (-1) = - -
. et
e- i
-, resf (i)=g)
4
/
(~) = o.
328. res f (i) = -1.
= 2n(2n-1) (2n-2) ... [2n - (n - 2)]
329_. res f (1)
(n-i)!
330. res f (nn)=O (n=O, ±1, ±2, .. . ).
· ·,• .
00
"" (2n-i)l
1 (2n)! en el punto z =O.
331. - _¿_¡
n=i
332. e en el punto z = 1.
333. ~en 1 en el punto z = O; - sen 1 en el punto z = 1.
334. 1 - e-1 en el punto z = O; e-1 en el pllllto z = -1.
335. e-1 - 1 en el punto z = O.
00
""
336. _¿_¡
n=O
(-1)n
(2n)I (2n+ 1)! en el punto z=O.
-]
337. o. 338. o. 339. (i-2e- 1) :rti.
340. 2(1-e- 1 )ni. 341.
343. -
!
- {-ni. 342. O.
ln3·:ni. 344. 2:rti.
345. [cos 1+sen1+ i (sen1 -cos 1)] ~ . 346.
347. O. 348. 2ni
351.
e2
3 .
349.
-
i1;2i.
:ni.
350. 2ni.
sen1 - 4cos1
.
-~
12
m. 352·
1f2 · 353' 0·
354. 3ni. 355. O. 356. z = oo es el polo simple.
357. z = oo es el punto singular evitable.
358. z = oo es el punto singular esencial.
;j
t:..-.,_ ...
Respuestas
'1-. ·~ : .
iil!l,.i:_·:
l'!}. ..
359.
·::160.
361.
363.
t''
.:·' /
t
fit;
iL~'.
111:
~-
371.
I
X\
,.,:
·
379.
h~(.
382.
r~'.-
383.
jo-.
~
~
i . 368. 2n i. 369 . ... ~- . 370.
~!7}!
n . 372.
5b2-a2
bª
376.
f'
z = oo es el punto singular evitable.
z = oo es el punto isingul ar evitable.
z = oo es el polo del t.ercer orden.
2nt. 364. O. 365. O. 366. 2nei.
367. -
w~,'
295
+
b2-5a2
2m+1 ·
n sen
n
16a~2b5/2
T1t
•
. 375.
377
381.
2
2-2nn. 373. -
)
as
n
V
2
2
3
~
n
ab(a+ b) •
, 374.
2
(b 2 ~ a 2)3
n.
378
'3n. '
n
·2 '
-J- e-s (cos i -3 sen 1).
e -~ (2 cos 2 +sen
2).
385.
387.
389.
.
391. O. 392.
393.
Tn
n
396. za~
398.
400.
n
b e-bm [3b2 -a 2 - mb (3b2+ a2)].
4 3
n
b- a
1
394.
2 (1 -e- ). 395. - 2- n.
-
( m+ : ) . 397. -}
V~
b•
e -Ttt .
1
sen an
1
) 399
2n
• 1 - p2 •
sen bn
·
:rt (i-p+ p2)
2n
1-p
. 401. p2 (p2- 1) . 402. o.
.rt (
2n
2n
-403. - - - . 404•. n i. 405. --¡;2 (a -1/ a2- [¡2).
lf a2-1
2n
2n
1 - na ctg na
406.
za2
V 1- a2 . 407. V a2 - b2 . 408.
X
296
Respiiestas
n
1
409.
411
4 as (ct.g na+ ctg na).
2aª -
410.
n2
sen2 na
~ . 412. n ctg na . 413. ~
2
sen na
32
n ch aa .J.. _i_
_1_ ( :ri:2a2 ch na
414
415
• 2a sh na 1 2a2 •
sh2 na
• 4a 4
•
8
na
)
·+-sh n a -2 .
t' (z)
1z
416. res - () =1 (lc= ±1 , ±2, . . . ).
Z=/11'
res
417.
z=
418. a)
n
2
+h:n:
f' (z)
- - = 3 (k =O, ±1 , ±2, . . .).
f (z)
t' (z)
:!i T(Z)
=-
(lc=O, ±f, ±2, ... ); b)
1,
f' (z)
r!s
---¡(z)= 1
z=y+kn
f' (z)
res ~
(~) = 1 (k=O, ±1, ±2, ... ).
z=h:n:
1
~
419. -2 . 420. 3. 421. 6. 422. -1. 423. --3. 424. -4.
425. 2. 426. i. 427. 1. 428. 1. 429. 2. 430. 6.
431. 3. 432. No hay. 433. 5. 434. No hay. 435. 11. 436. fi.
437 . 2. lt38. 3. 439. 4. 440. 1. ·441. /t. 442. 2.
443. 4. 444. No hay. 445. 1. 446. 1.
450. a) Toclo el plano; h) todo el plano, menos el punto z = 2;
c) todo el plano, menos el pnnto z = O; d) todo el plano menos los puntos
(le+ ; )
:n:i, k = O, ±1, ± 2, ... e) todo el plano, menos
el punto z = -2i.
:)
454. a) y h) es el paso par alelo; c), d) y e) es el giro; f ) es el alarga- t;;~
miento.
·A
455. a) w = az + b; b) w = -az
b; e) w = - i (az
b), ·· j~
donde a y b son los números reales, a > O.
· :..:'~
z1i = 1 -
+
456. a) w = - 457. w =
i~Si z +
14
i
2
+
i ; b) w= 2z+i; c) w=iz-2.
>\j
~1:~
_z_-;:- ª- .
458. lndicaci6n. Suponiendo z
X
U= x2+y~ '
=
x
+ iy , w =
v= __
u
+ fv, obtenemos
.1
·1.,·f
.:i1
1¡'
·...-,,.,
y
x2 + y2 •
:~,
Recorriendo la frontera de la semifranja, verbigracia, de tal
manera que el do_minio se queda a la izquierda, en vigor del principio. , './!~~·
de correspondencia ~de fronteras, hallamos que el cuarto cuadrante con . · \~
el semicírculo eliminado
semüranja.
1 z -(
k+ ~) t( ~ será
la imagen de
la:. ;:~
297
Respiiesta's
459.
a)
arg w=-
c) '.l ~n~ i ,
4
2
n
3 ; h)
lwl=1,
- n<argw<-
v= O; d) 1 <v< 1,u=O;e) 1 w- 1
2
z- i
460. w= iz-i
; 461.
2
1
1
> 21 ,
K
4 ;
u >O.
1 1
1
3
w-3
>3'
ii<4.
462. Re w >O. 463. u. < v. 464. u+ v <O.
465. a) - 1
i; b) 1
i; c) oo.
4.66. a) w = -az-+ b; b) w = - i (az
b), donde a y b son los
números reales, a > O.
2
z- i
z-2i
467. w= -2 -- z . 468 . a) w=-+
z ¡·; b) w= t -z + 2 ¡. •
z- i
i - 1- (i+ilz
469. W= -iz.- - 1 , 470. W = .:ii- i ) z- i - 3 1. ,
+
+
+
e·
471. w = i :
¡; . Utilizar la fórmula (7).
2z - 5
.
472. w= :l.O-z . Utilizar la fórmula (7).
473.• Solución . Utilizar la fó rmula w =eicp z-zo , donde z0 es
1 - zzo
el punto del primer círculo que pasa al centro del segundo. En el
caso a) tenemos f ( ~ ) = O, es decir z0 = ~ . Utilizando la cond ición
1\
7t
.
·
K
2z-1
argf' ( 2i=2, obtenemos cr=-z· Pues, w=i 2 _ z . En el
caso b) análogamente obtenemos w = - iz.
474. w= 5 - z+1/ ~(i - 1)(z-+ 1) .
5-z -!- l/ 5(i + 1) (z+ 1J
475. El primer cuadr ante del plano w.
476. El dominio
477.
W=
~ ~
·v : +: .
1 w-1 1 ~ 1 ,
478.
-..¡.~arg lw-i)~O .
w=Ve2 nzi+e-2na.
2
479. W= -./z · b. 480. w= ( .z - i ) •
V z-a
iz - 1
Indicación. P rimer amente aplicar el círculo sobre el semiplano
:.• supel'ior y luego transformarlo en el plano con el corte.
n
4
.
z
)
0
482. w= - e- z.
e-iq¡,] <p, -cp, •
2
<'183. w= ( :~:+:) •
Sollre el rectángulo
{l n1· ~u;;:;;; lnR, O;;:;;;v~n}.
298
R espuestas
~,
485 •. w 1 =ze-i
486,
W1
w =Vw 1 =
z- a
~ r= -b- - , W= V W1 =
-z
~ (VII-).
J/-b- -z .
z- a
~~
487.w1 - z-a,w 2 =
=z2 ,
'Vze -i
J ..
ª.
)'w=l/w 2
/z
- a
w1 ' / V z- b
entonces w1 lz=i+i· Según }4 fórmula (9) w=
488. w1
W1 -2i
'iq¡ z 2 -2t
..
- e w + 2t
e zZ + 2i . De la cond1c1ón w (O) = 1 hallamos que
1
·
. . .
2i-z2
e'q¡ = - f . Defm1t1vamente w= -2 •
_
iq¡
2 t+z
489. El semicírculo superior
1
1 1 < 1, In~ w
w -
>
O.
490. Un cuarto del cír culo 1 w 1 < 1, O< arg w < ~ .
491. El rectángulo con los vértices en los puntos 1, 2, 2
1
+te.
492.
_
_
4
W1 - Z ' W2-
+
16 w1
16-w¡ '
_
2_
W - W2 -
(
f6
+
2
z4 )
16 - z4
··~
+ te,
.
ni(z - a )
·'
ni
w
b=-a
493
. • w1 =z-a, w2 = b- a w1 , w=e •=e
j
494. W= ln Z,
-z
W 2 +1
2
495. w1=e , w 2= - w1, w2 = i - w ' W=Ws=
(
2
=2iz , w2 =
496.
w1
497.
w=2· z- 2
z
499. w = (
w1
+
~ , w=sen w2 =sen (2iz+ ~ )= ch 2z.
. 498. w=2i z+z.
z
z-:+ i)
2
•
500. w = 2 (
501. w1 =2z,· w2= 21 ( wi + -1-) '
w1
502.
z8 -
i
1- e-z ) 2
.
1 +e-z
w= - s
+-i. .
Z,
z+! ).
w=w2 + ~
w2
i
'
4z2-4tz
+ 1
4z2 + 4tz+1
.
503. w=ez2z,
504. a) el círculo de unidad 1 rv 1 < 1; b) todo el plano w con el
corte a lo largo del segmento u = O, -1 =s;;; v :s;;; 1.
505. El potencial de velocidades u = x 2 - y2 + 2x + 2; la
función de corriente v = 2 (x + 1) y; las líneas del nivel x 2 - y 2 +
2x = c1 son hipérbolas; las líneas de corriente xy
y = c2 son
.hipérbolas; la magnitud de velocidad V = 21{(x
1)2
y 2 ; es la
dirección de velocidad
+
+
y
<p= -arctgx+i+tnn, m=- 1, O, 1
+
+
299
Respuestas
(véase la fórmula (i) en la página 10); las proyecciones de velocidad en
1), Voy= -2y.
el eje Ox y Oy: V 0;\; = 2 (x
+
2
506. El potencial de velocidades u= (; ;
(x ~~
corriente v=
las líneas de corriente
2
(xz+~2 ) 3 /2
V=
;
2)2 ;
~; 2
la función de
;
las líneas del nivel x 2 -y2=ci(x2+y2)2;
xy =:= c2 (x 2
y 2 ) 2 ; la magnitud de velocidad
+
l a dirección de velocidad
q¡=3arctg!.+(3m-1):rt,
X
m=-i, .O, 1;
son las proyecciones de velocidad en el eje Ox y Oy:
Vox=
2x (3y2-x2)
(x2+y2)s '
Voy=
2y (y2 - 3x2)
(x2+y2)3
507. El potencial de velocidades u = ; ln [(x - 1) 2
función de corriente v = arctg x Y
+y =
2
1
+y
; las líneas del nivel (x -
c1 son las circunferencias; las lín~as de corriente y
son las rectas; la magnitud de ·velocidad V
=
2]
la
1)2 +
c 2 (x -
1
-::-;===:====""
;
1/(x-f)2+y2
1)
la
dirección de velocidad
cp = arctg _j/_
x- 1
+ m:rt,
m = -1, O, 1;
proyecciones de velocidad en el eje Ox y Oy:
x-1
Vox= (x-i)2+y2
Y
Voy= (x-1)2+y2
+
+
508. f (z) = (1. - i) z2
z. 509. f (z) = sen z
c.
510. fL = -10:rt por las dos circunferencias.
511. a) si; b) si; c) no; d) si; e) si; f) no; g) no; h) si; i) no; j) si;
k) si; 1) si.
1
3
1
512
i)
. -¡¡;: . 513. p 2 +9 . ;)"14. (p-1) 2 • 5·15 • f(a+
pa.+1 •
P+1
2-p
P2 +2P+2
516. No. 511.7 . --p2 . 518. pz+i . 519. Zp 2 (P+ 1)
1
4
p
3
520. - - . 521. 2
. 522. a) z+ 2 ; h) - 2 •
p- a
p
16
P úl
P - 9
+
2
523. aF (pa) . 524. p (P2 + 4)
526,
528.
Pª+7P
+m
2 -n2)
2mnp
. (p2+m2-n2)2-4m2n2 •
4p )
p(pLf-m2+n2)
p- 1 p2+16 - p2+ 1 • 529. (p2+mz+n2)2-4m2n2.
(p2 + 9) (P2+1) .
1 ( 3 ,
p
8
527
m (p2
525. (pz+m2 +n 2) 2 _ 4m2 n 2 •
300
Respuestas
p2 +2
6
2wp
530. p.(p2-j- 4 ) . 53L (P2 i) (P2 9) . 532. (Pz+w 2 ) 2 •
p4+ 16p2+24
p2-co2
1
533. p2(p2+4)(p2+16)' 534. (p2+w2)2. 535. (p-1)2 .
+
+
+
2p3 -6p
2 (p2 P+i)
2p2+4p + 8
536. (p2 + 1)3 . 537. (p2-f)2 . 538.
(p2+4)2
6p
1
Pª+P2+pw2-w2
539. (pZ-f)Z . 540. P (P2+1). 541.
P (P 2 +wz)2
4
.
pLj- 2ro2 . "
1
542. (pª-4)2. 543. pª(P2+4w2) . a44, pª -w2·
2
p
•
p
+ 1 .,
i
545. p (p - f-i)S. 546. a) ln p- - , b) ln - p
1
.
11p2+1 •
1
p2 4
547. a) ln
p
, b)
2 1n pi+i .
e) - . In
2
+
V pL¡--4
p
1
548. a) ln_E_ -~ ; b) In P+ •
p- 1
p
p- 1
b
a
549. ln - • 550. arctg -
552. A In ~
554.
1
2
a
a
+
B In
a
1a+b¡
~
ex,
. 551. arctg- - arctg - •
·
m
m.
~ + C ln ~ .
y
P
553. ln !_
.1
a
1
111 a-b . 555. a) (p - Z)2
31
1
+1
"'
p-m
; b) (p- m)z+n~·
p2-2p
556, (p+1)4 . 557. (p-1)2 - 1 . 558. (pª-2p +2)2 •
1
1
p-3
559
• 2 (p- 3) 2 • (p - 3)2-H •
1
560.
p+a
2 (p+o..)
2 (( p + a)2+ 4~2 ) ·
+
8-bp
e-bp
pe-bP
e- 2p
56i, p2+1 . 562. '2j)+ 2 (p2+4) . 563. p-1 .
1-e-P
1-2e- P+e-2P
1 - 2e-v+e-2P
564. -p- 565.
.
. 566.
2
p
p
e-ap
be-aP
1- e-ap
567. p +b • 568. p (p +b). 569.
p2
00
570.
e-ap - e-bp
•
P2
1 "" ( - 1 )k (2k
571. - LI
P
ekP
11.= 0
1
572. F (p)= - -(2e-2aP-1)+1.. e-aP.
ap2
e-ap
p
573. F(p)=-- (2-e-ªP-e-2ªP).
p
+ 1) •
•
··- . ··-· · ·:· ~ . ...-t~~--:-,,.. ••••• .,.....,........ - ---.- ·..,,..,........- - - -· ..~~ • ·-·· ···
Respuestas
1
1
ap-2
1
574. F (p)= - - + + - - e-ªP+ - . e-2a¡.i.
p
ap2
ap2
ap2
1
1 2
575, F(p)= _!_ + - ªP e- aP - -- e-2aP.
p
ap2
ap2
i
1
2
576. F( p)= - - - e-av+ - . e-sap.
p
ap2
ap2
b
2b
p
p
(i-e-P)2
e-2ap· 579, F (P) = ..
,
p2 ('1-rlP)
1-Lp - rP
1
1 +e- :rtP
p2,(eP- 1) • 581. p2+1 . 1-e-:np ,
577. F (p) = - - e-ªP+ 580.
1
583.
1t
1t
2e
587. a)
- 3P
P2
+4
-i -8 P
pe
3e-2P
P2,......-J-- ..,.....- ; b) - P-=-2 ___,9,......
b ) --,
9
;
n
588. "'1
589. _ _ _
i _ __
(p -1)(p2+ '1 ) •
m1ie-hP ,
LJ
k= O
n!F (p)
2
p
590. (p- 2) (P2 + i )
591. p2 (pZ - i ) ' 592.
pn+l
2
p8(p+2) •
595. Solución .. Es conocido que 1 1 (t)
593.
= - Jó (t). Utilizando los
resul tados del problema anterior y el t eorema de la diferenciación
del original, hallamos
1
p
Ji( t)~-p ·vp2+1 +10 (O) = - VF2 +1 +1=
VT+T~ p
=
596. Solución. Para n = O y n
¡·.·.
J n (t) ••
.
=
V P2 +
1
•
1 l a fórmula
(V~Pr
1f p2+1
es válida. Utilicemos el méto o de la inducción matemática. P uesto qu~
i,
2J:i (t)
entonces .
= Jn -i (t)
-
n+i (t)
y
J ,._1 (O)
=
O
(n
.
~
2),
f~'. ln(t) = ln-2(t)-2J~-i (t).
'·
~{': . .. (lfr+f-p)'H
2p (Vpr+i-p)n~1
(1/P.2+f- p)n
V P2+ 1
lfP 2 +1
~;.,:
ft:
~:.
~.~
if•i...
~x~
V p2 +
1
302
Respuestas
597. Soluci6n. Examinemos la función
1
p
1
F (p)= pn+1 e
(n=O, 1, 2, . .. ).
Tenemos
co
00
F (p)
.
=
'\1 (-1)k
'\1
L.J k!ph = L.J
1
pn+1
k=O
co
'\1
Por consiguiente, f (t) = L.J
(-1)k
klpn+k+l •
k=O
( - i)ll. tn+k
kl (n + k)! · . Subrayando qu e
k=O
.!:.+Ti
2
oo
ln (z lft)=
"" (-1)11. t
L.J kl (n + k)I
'
k=O
obtenemos t (t) = tnf2 J n (2
vn.
-·
1
En particular, para n. = O tenemos J 0 (2 V t) • • - r
p
1 /P.
599. Supongamos <p (t) = tne-t. De acuerdo con el teorema . del
· desplazamiento
tn -t •
nl
e
-;-- (p + 1)n+i
Es muy fácil verificar que cp (O) = cp' (O) = . . . = cp<n-1 ) (O) = O.
Según el teorema de la diferenciación de los originales
an
n -t
•
pn·n!
dtn (t e ) •
(P+1Jn+1 •
Utilizaudo el teorema del desplazamiento, hall arnos
=+(1-+r
600 . -
In/
-
~
, donde C =
f
(t ) . Tenemos
lf nt
=
(erf t)' =
f' (t).=et erf (lf t) + __!_=/ (t )+
.
1,2, ... ).
~~1! (1-1- ~ + ... + ~ -ln n)
es l a constante de Euler (véase [151).
601. Soluctón. Examinemos l a función f (t)
F (p) la repr esentación de
(n=o,
~/
/;¡-(Vtf
et erf
v nt
y sea
e-t 2 ,
.
( 1)
~', •
~t:;.
Pasando a ]as representaciones y t.eniendo en cuenta que f (O)
=
de (1) liallamos pF (y)
r
~;. :
303
Respuestas
F (p)
+
./P ,
1
F(p)=
(p-1)
v
O,
de donde
- •
P
Aquí utilizamos el resultado del problema 515
et erf (Vt)~
=
1
(p;_ 1) y¡;
y que r ( ~ ) = yñ.·
.
Empleando el teorema del desplazamiento, definitivamente,
hallamos
607. a)
T:rt
b)
e-t;
T:rt
r¡ (t-1).
608. f (O) = O, /' (O) = 1, /" (O) = O.
609. (t - 1)2 'I') (t - 1). 610. (t - 2) 1l (t - 2).
611. et-2t¡ (t - 2). 612.e-3(t-3}t¡ (t - 3).
· ·
1
613. e-zt sen t. 614.
(e-t - e-st).
2
6 16 .~ ~
615. (1 - t)e-t.
2 lf 3
J...
3
tsent. 611.1-e-t-te-t.
V3
t2
- e 2 sen
t. 619. 2 +2e-t sen t,
9
2
620. t-sen t .
1
1
1
1
62i.
e2t - l5 e-t - 10 cos 2t sen 2t.
618. -
6
5
1
622. 1-ne-t +
623. 2 e-t /2 [
3
2
n tn-t) e-2t -
va
... +(-1)n e- nt.¡
va ]
2 sen - - t - t cos-- t •
VS
2
2
624. e-t (1- t2) ,
625 i.et/2 (cos
• 3
626.
3
1123 t+V3 sen l/S
t)-.!.e-t
.
2
3
e-2t
+-(4sent5
5
1
3cost). 627. g-(e-2t_et + 3tet).
304
Re.s puestas
(~ lfS
3
628. 2et +et/2
629 .
l/3"
2
t-cos
..!.
tet _ _!_ te-t/ 2 ( cos 11 3
3
3
2
1
630.
sen
1/2S i)•
t -¡-1/ 3 sen l/S
.
2
t) .
.
.
eH sen 2 (t - 1) fJ (t- 1) + cos 3 (t ~ 2) 11(t -:--2).
2
631. (t-'-3)e-(t-B) f] {t- 3). 632.
ef- 1 f](t-
1)- 11 (t-i).
633. sen(t-2) 'YJ (t -2)+2 sen (t-3) 11 (t - 3)+ 3 sen (t-4) r¡ (t-4).
634. sh (t-1)
'l')
(t-:--1) +ch 2 (t-2f 'YJ (t-2).
. 1 (·
1)
_635. 411 t-2
- J..)
1)
2 'Y! ( t- 2
- 51 e- (t
·
-
~ ~ cos 2 { t - ~ ) 11 ( t
636. (t--1)
'YJ
637. 11 ( t -
F
; ) 11 ( t -
~).
+ (t-2) 11 (t-2) + (t - 3)3 'YJ (t-3).
! )- cos ( t - !_) 11 ( t - ~ ) •
2ª~'~ ·),
e-ª -V:ii
· 639. Soluct6n.
V p
1~ · sen 2 ( t -
2
(t - 1)
638. 1-erf (
= ,:- ,
~
- _ )-
(lfp)
e-aVP
1
V P (V p) 2
•
Supongamos 11> (p) =
y de
.
acuerdo con ei ·teorema de retai·do
F (p)
.
~ (t -
a) t¡ (t -
a)
=f
(t) .
·
En vigor del teorema de Efros
-y-
e-a P
,; p V p
.
.·
1
Vnt
J
00
(i--a)
o
. . .
'l')
-"'t2
(t-a) e
.
4
. .
t di-=
:<;
Respuestas
305
Aquí
i;2
00
l
1
(t)
Te
1f nt
Vm
a
oo
l2 (t)= --
t9
S -1 - ( -2t) e- 4·t I"°
i.t d'f=- =
1
=--=-
a
i;2
vª } e --¡r d-r: = 1ª
nt
i=a
1 nt
a
=
i;2
je -Tt d-r;0
a
00
f
2 lÍt
..-2
a
) e - 42
--~
' dT=a ( ---=-
V nt
lf:n
o
2
e-s ds -
o
- ..,;ñ: JO e- ds),
00
.
82
dondes=
V
2 1ft
y definitivamente
e - a 1Íp
- PlfP.
- -==2
·~ '
(t+ ª2
•
t
!2 (/:)=a[erf(~)-1] = -'-aErf (~)
Por consiguiente
640.
(T -
21
2
)
E rf
vt -
ne
21/t
a2
4T
(
-aErf
(~)-o:"
Í
21/ t
V
t e-
n
a
)
2ift
•
~: •
.
642. So[uci6n.
..
<D (p)=
~':
~·
p
i
e-a "JÍp
¡-)
(
a+ 1
V!J ,
p
1
lfp
F(lfp)
e- aYp
ifp (a+ lfp)
e - a -Vj}
lfp (a + -V:P)
De aquí
F (P)
••-
1
a
[11 (t-o:) -e -a(f-ct)1l (t-o:)) =f (t).
.
.
Supongamos
"· •" ' '"~?,
.,.
30\ii
R esp iiestas
Debido al teorema de Efros tenemos
~
e-a Vp
f
p(a+\/P')
a
,;2
00
1
lf :n:t
[1-e-a(i:-a)]e---¡¡- d1:=
a
00
1 2
=---
v-n a)
a
i
e-s ds -
a V nt
X
. 2 Vt
:t2
r -fa't -aa+- ] d"T=
X J e ·
00
•
•
i. t
a;
1
( -CG- ) - - -1 - X
= -Erf
a
21/t
a 1/:n:t
J
oo
X
eaa+a2te
- ( --='.:__+a ¡í t") 2
2 Yt.
dT =
CI.
'¡;
e- a
.+a l/t. Pues,
Z1/t
donde z=
Vp
1
p(a+l/Ji) .· ~Erf
(
CG
ea (at+a)
)
a
Zlft --
64.3. Solución. I (t)
~l:ílt
)
.
't2
00
J
(
Erf 2 ;t+aV·t
ch -¡; e-4t dT, Comparando I (t) con
o
l a fórmu l a .( 19), la página 188, vemos que f(t) =ch t y resulta que
F (p)
=
/
Q:J (p)
1
=----=,
11 p
p -
1
Por consiguiente, F (\(p)
= plf- P1
•
Al
tornar
.
.
1
obtenemos <1J (p) F (1fp) = - . -.- • • I (t), de donde
.
p- 1
I (t) = et .
644. I(t) =e-t. 645. I(t) =2tet. 646 . l(t)=2te- t .
647. ,_, (t) = Ct+ 1) e- t . 64.8 .- rc·(t) = -1.
649.x(t) = e-
651. :; (t) =t.
2
t .
.
1
-cos; + zsent
652:.
:e '(t) = cos t .
•
.
650. x(t)=t+; t 2•
Respuestas
307
1
5
2
653. x( t )= T et-te- st_
3 .
12
654 . .-i: (t) =
1
4
(1 -e2t
+2te•t) .
1
655. x(t)=s(3et - e-st - 2e-t).
2
657. x (t) =25" e- 21 -
658. x (t) =
~ (e- t -
2
656. ;r (t) =t -sent.
14
1
25 cos t+ 25 sen t - 5
te- t - cos t) .
1
1
659. x (t) =2" et - t-- 1+ (cos t+sen t).
2
1
660. x(t) = 2" t 2 - 1 +cos t-sen t.
661. x (t) =
1
2
t 2 et + te t.
662 .x (t) = 3 e- t sen2t -
5
663. x (t) =
1
2 (J -
4 r t cos 2t.
1
5
5
.
et cos t +et sen t).
1
664. x(t) =2+z- (e-t - cost+sen t) .
665. :r(t) = t 2 - 4t+6- 5e-t .,.-te-t .
1
666. x (t) =2t + (e- t -f-cost-sen t).
2
1
667. .:r(t)= tsent-cost+sen t.
2
668.x(t)= B1 t 3 -
669. x (t ) =
670. x (t)=
671. x (t) =
1
j
672.
1
-~ ,:
-,.
e-t sen 2t .
1
(cos t +ch t)-t -1.
2
i
(1-e -t cos t-e- t sen t) .
2
(t) = 1- 2 COS t.
8
.
· ;..,
+ S2 e- t cos 2t + 51
1
1
673. x (t)= -¡- t +cos 2t- sen 2t .
.
~
X
3
5
1 t 2 + 2t - 4+e- t .
2
t sen t -
2
5
t
cost
•• '•- ••
308
• ' ·• " ·• ' l .'.• ... .,,.,., v,.. o .. ,. _
. • , , .~ ·
..:>
•"'.,,.\,,•• ,• ~ l.,
Respl!estas
:o.
t
3
4
- - - -5 .- 25
- el cos
674. x(t )
- - 25
. 2t.J·--25 et san2t .
1
1/ 3
675. x(t) = e-t -et/2 cos2
676. x(t)=i -
t+ V1 § ei /2
1/ 3
sen --y t .
; (sen t+cost+e-t).
1
3
1
677. x(t)=T et+ s<m t +
cos t-1.
2
i
678. T( t) =cht-
t 2 - 1.
2
1
679. x (t)=2 +
2
(et +sen t - cos t) .
2
680. x(t)=et (1 - t+
681. x (t) =
t2}-L
~
- 23 sen t - T1
t cos t.
682. x(t)=2e- t + ie- t+t - 2.
11 3 t - 3 V 3- scm -V 3
- t) •
cos ~
2
1
3
1
x(t)= - '1 et e-t - ;r sent.
1
683. x (t) ='3
e-t ~ 84.
1
;:¡
et/2
4
685. x (t )=
1
1
1(3
a-et /2 cos - 2
5
2 eL- 6 e-t +
686. x( t)=co st-tcost.
1
687. x (t)=2 + t -
688. x(t) = 1689. x(t)=
690. x (t) =
69 1.
( ·
X
t
4
1
2
2
cos t
22
25 e-t -
sen2t
6
gte t -
3
2
;
\/
et/ e sen -
3
l.
et .
3
4
-
25 cos2t+ 25 sen2t.
1
+ 12
(cos2t- cos4t).
(t-1) et +
(t)=et (
+ 21 tet -
1
t+ tfS
T1
~-
cos t +2 sen t - 2t cos t .
t; - (+ 1).
1
6 92. x ( t) = 2t-3 +3e-t - "'[ (se n 2t - 2 cos 2t-1-2e- t).
6 93. x(t) =4t+ 3 -2et
69 4. x(t)= e21- et·- tet.
..•,
. ;:A1
809
Respuestas
695. x(t)=3et-3 - 2t-t2--;. .
696. X (t)=
!
+
et ( t2-3t+;)
lf 3 )
+31 e..!.. ( lf3- sen -113
2- t-cos-r t 2
4
5
697. x (t)=g sen 2t sen t -
9
'
698. x(t)=
1
6 99 . z(t)= 1
!
t cos 2t.
a
L
i
1
3
f
24
e-t.
n [senntcoso:-ntcos(nt+a)].
2 2
4 + 35
2
6 r-g-t 54 .-
700. x (t) =
t
[3t cos t
24
-
+
't . 4 e-st.
e- t +. 1 e-"-
27
2
.
(t 2 -3) sen t].
1
.
1
701.x(t)=J3eªtsen~t. 702. xy)~gsent-·
.
1 ..
1
703. :t(t)=-:ro eet_
2
704. x (t)= ~ t 2 + (1 -
1
6 sen2t.
.
i
+52· cost5 sent.
v) t + <v- 1)+
-r (;-v) e-t +; (cost-sent) .
705.x(t)=
83
00
706. x (t)=et
707 ..T(t)=
~
ch 2t-
1
10
cost +
1
16
cos2t.
(cost + sen t -~) + ~
e- t¡2 (cos
l~S t+ l~S
e- st,
sen
~S
t) +~ (t -
1)et .
1
708. x (t) = T (t 2 sen t+t cos t-sen t) .
2 et ~e- Zi (3t + 1) ] .
7 09. x(t)= 1f[
_711. x (t) = 1-
1
3
.
e-t -
2
3
710. x (t )= t - e-t ( ti
et/2 cos -
)
2 +t +·1 .
lf32
t.
2a [
rot
ro(t-b)
J.
712.x(t)=ror sen2-yr¡(t)-sen2
r¡(t-b) •
2
71:3 . x(t ) = - cos t. ,!'714. x(t) = .(t_;f)2+ el- t .
310
Respziestu
715. x(t)=t 2 +2t.
716. x(t)=(t-1-;) cost.
717. x(t)=(t2-2t+2) el-f .
~
718. x (t) =
(t-
sea 2t) TJ (t)-
;
-- [ (t-1) -
~sen 2(t -1)]
+ 21 [ (t-2) 719. x (t) = [b+ (1-b) cos t] 11 (t)
~
720. x (t)=
+ [b -
.·. .
~s
J
.·
;
1 sen 2 (t - 2) ll (t-2).
2
! [<t:--1) --
sen3tl1(t)+
r¡ (t-1)+
b cos (t - a)] r¡ (t-a). ·
l-
_ _!_ sen 3 (t-1) r¡ (t-1 ) 3
2 [ (t -2) - 1
-9
3
+ 91 [ (t -3)- 31 sen 3(t-3) J11 (t~3).
3
¿j
721. x (t) =
·: )
sen3(t-2) J- TJ (t-2) +
(-1 )11 [i - et-lia
+ et-Ra (t- ka) ) 11 (t-ka) .
x (0)
722. Solucilin. La ecuación de mov imiento n;; = - m.Á; - 2m¡u;
= x 0 , ; (0) = u0 . La ecuación operatoria tiene la forma de
p2 X -
.ele donde X(p)
X (P)=
=
p x0
-
1:0
+ 2~LpX -
2µx 0 +'>-X= O,
2µxo+vo + Pxo ó
p 2 +2~Lp+A.
(p+µ)+µxo+ Vo
(P + µl 2+(t/ A. - µ2)2
xo
(p + µ)
rp+µ)2+n2
xo
+
x (t)= ~
n
723. La ecuación
m:r = -mn2 x + FT)
724. La .ecuación
e-µ t [nx0 cos nt+(µx 0
+v
0)
=
;.:~
:·1~
.·;5~
.·; ;~:I:~
'·
f.•1
.
~~
. -~t
..._,.
.
sen nt].
(O) = o.
725. La ecuación del movimiento es
x (0)
'
,
del movimiento es
(t) - F11 (t - T),
x (O) = O,
x (O) = O.
del movimiento es ~· = an2 - n 2x, x (0) = O,
m~· = -mg - 2km;,
· .:~~;
µxo+vo
(P + µ¡ 2+n2 ,
donde n2 =1'. - ~~2 •
Hallando el original para X (p ), obtenemos
X
:.
:
h=O
,
·.··~
. _: ~,·;i
.¡'.~\
' "\~
. ¿r.·
O,
x (0)
=
u0 •
.?".·:•
.' ,··"::
311
Respuestas
726. Solución. La ecuae,ión del movimiento es
(1)
En nuestro caso m = 2, F
(1) obtiene la forma de
=
+ at = 4 + at entonces ;la ecuacióa
F0
.
.
(2)
x(O)=O,
x(0)=10.
(3)
La ecuación operatoria tiene la forma de 2 (p 2 X -
10)
.!.
+ .;
,
p
p
=
de donde
1 (
a
X=-¡p
2
) ·
2+-+10
.
p
-2
p.
Hallando el original para X (p), obtenemos
a
X
(t) =12 tS +t2+ iOt.
Para determinar la magnitud a tenemos el sistema siguiente:
450=
{
~~3+t5+10t0 ,
at 2
105=-f-+ 2t0 +10,
de donde hallamos que t 0 = 10, a = 3.
727. La ecuación del movimiento es
X
(0)=1 ,
X
(0)=0,
= ·mg
728. La ecuación del movimiento ,;,;
~
En vigor de la condición del problema f.. =
¡,;.
-
mg
para
P
= i m/s,
entonces definitiv amente obtenemos la ecuación
dv
1
dt =g- 3
gv,
v (0) = 0,
de donde
gt
v(t) = 3(1-e--3-),
vmáx=3
729. La ecuación del movimiento es
mx= -k; ,
mv
X
(t) = - f - (1 -
e
x(O)=O,
_....!!:_t
m ),
para t=oo.
;(0) = v6 ,
mv9
xmáx= -k-
para t = oo.
312
Respuestas
730. Soluci6n. Circunscribiremos el movimiento del extremo
de. la cadena,. ~lijamos e~ origen de coordenadas en el punto O
(vease la figura) y dmJ amos el e]e Ox ahajo. Entonces l as condiciones
;
Z
iniciales son •
~
x (O) = l, x (O) = O (la cadena es inmóin~erior
--°'~:;ic;c::o::~
·
Vil).
Si la abscisa del extremo es x, entonces
la .fuerza motriz es igual al peso de aquella
parte de la cadena que cuel ga de la mesa,
es decir
O
F-- .!!!:!.
2l X .
A
De esa manera, la ecuación diferencial del movimiento es la siguiente:
••
mg
mx="2[ x,
.(0)=0.
x (O)=l,
X
;¡;
Fig. a la respuésta 730
Según esta ley el movimiento se efectúa hasta aquel momento T,
en que la cadena se deslice completamente de l a mesa. Hallamos este
momento, suponiendo x = 21:
- v-
V L2i+e L
rVL obtenemos l a
Denominando z =e
T
-T
4 =e
21 .
+
21 ,
ecuación z2 - 4z
+1=0,
de donde z1 = 2 - i/3 < 1, z2 = 2
l/3': z1 lo excluimos, porque
le corresponde el vafor nega tivo de T. Así, para determinar T h emos
obtenido fa ecuación
+
rV
e
g
21
.
=2+ l/3,
..
de donde T=
731. La ecuación del movimiento es
mx = -2mxk2 , x (O) = a , ~ (0) = O,
732. La ecuación del movimiento es
m~·= -µm x, x (O)= a,
•
X
/u
V g ln(2 + 1/S).
x (t) = a 'cos
l/ (2kt).
1t
(0)=0, t=
y µ.
2
733. La ecuación del movimiento es
m~·=-k~ ,
x(O)=O,
;(0) = 6, x(t)=600(i - e- O, Olt).
·. .:
313".
-Respuestas
734. La ecuación del m ovimiento es
••
x+ 4x=2cost,
x(O)=O,
•
2
x(O) = O, x(t)=
(cost- cos 2t) .
3
735. La ecuación del movimiento es m~:= - mk2 r 6
x = - k2x,
x(O)= a,
y=-kzy,
y (O)=O,
.
x (fl)=O;
y(O)=v 0 •
2
2
La trayectoria del punto es la elipse: -; + ~= 1.
a
v0
k2
736. Las ecuaciones del movi miento son
.
x = kzx, · x (O)=a,
x(O( =O;
y=k 2 y,
y (0)=v0 •
y (0)=0,
2
¡
~\ .
2
La t rayectoria
clel . in mto es la hipérbol a: _:_
.
a 2 - - Y_, = t .
~
k2
dZQ
737. Ecua ción difere11eial: L dt 2
=0,
+e1 Q= E c0s (wt+i:z), Q [t:::o=
dd.Q 1 = O.
t t=O
cPQ
1
. .
738. E cua ción diferen cia l: L dt 2 +yQ = E sen nt; QI t=O = .
= Ü,
~~ ft=O= O,
739. F cu i\ción diferencial: L
di
dt + RJ =E ~en (Olt + iz), I 1t= o =
=0.
740.
Ecuación diferencial:
74i. Ecuación diferencial: L dZQ ...!-. R clQ + ...!..·Q=E
at~
= O,
~~. ,t=O = O-.
'
dt
e
'
742. x(t) = (C 1 +C 2 t 2)e-t.
743. x(t)= C 1 •
744. x(t) = e- t .
745. x(t) == - L
746. x( t) =et .
Q¡1__1¡ =
..314
Resp.uestas
/¡
74.7. a)
'\;1
tZS
(t) = LJ ( - f)S 25sl C~ ( s)! ;
X
.
2
•=0
k
b)
"'
31
(t) = LJ (-1) 8 Vs/
1
e¡;
t2s+l
(2s +'l) !
s=O
i +et
748. x(t)='2 (el-1)-ln-.
2
749. x(t)=e-t [(t+i)ln(t+i)-t].
et +2
750. x (t)=(et+2)ln-- - e1+1.
3
751. x (t) = et-1-(t -j- ln 2) (et -j-i) +(et
...,,;
+ 1) In (et+ 1).
t
tg
4
2)
752. x (t) =sen t ( t - - - - arctg ---- + cos t In (2
V3
-ln3cost.
9-n-,13
,,cos t +-y3
.. sen t ln
3
1
753. x (t} = -3 -
-
~3
1.1 3
"' 1
v
+ cos t) -
[V3st'u t-21
, í-
r 3 sen t
+ 2 .·-
cos t arctg (V3 cos t).
1
3t
754. x (t) =cos t arctg (cos t)- -¡-cos t - - - sen t X
2v2
X
ln
sen t-YZ 1
1 sen t+
755,
X
(t)
,í-
=
v
2
Slm
,
t arctg (sen t) -j- COS
t•
2
y.2 {
ln
I l/l/22-j-ccst
- coJ t
1-
- In (3+2 -,12)} .
756. x( t)=-sht + 2cht (arctg et -
: ).
757. x(t)= ln2 cost-cos t ln (2+sent)-tsen t +
. 2tg_.!._+ 1
+1) ( arctg
:
3
:a
(2sent-j-
)
- ~ •
758. x (t ) =et, y (t) :== - et. 759. x (t ) = et, y (t) = et.
760. x (t) = 2. (1 - e-t - trt), y (t} = 2 - t - 2e-t - 2te-t.
1 .
1
76t. x (t) = -¡ (et - eªt
2te3t¡, y (t) = 7; (Set - e3t - 2te31).
+
315
Respuestas
762. x (t) = et (cos t - 2 sen t), y (t) = et
763. x (t)=
1
3
(co~
t
+ 3 sen t).
(et+2cos2t+sen2t), y(t)=
=-2_
3 (et - cos 2t-J_
2 sen 2t) .
11
764. x (t) =et -
34
2
y (t) = 765. x (t)= _
1
1
cos t+
5
17
12
13
1
+ 12
e-1-- 2 +
6
1
e-t _
2
et+
4
3
1
sen t -
cos t -
13 .
1
e-21+ 12
e-t-z _
6
13
z (t) = -
;- .
3
17
22
4
+ 51
eH +
17
e-21
15
y(t) =15"
·: · .
et
3
e4t --
,
2
1
17 sen t.
et+
2
3
e2t
2
et + g e2t +
3
+ 20
est,
7
20
1
e-t+-¡; est.
Q
766. x(t)=-et, y(t)=O, z(f) = et.
2
. 1
767. x(t)=s(e3l_e-21),. y(t)=s(3e3Lf-2e-21),
X (3e3t
est,
1
z(t)=yX
+ 2e-2t) .
(11-4a) e2 t
3aat
3e-2 l
768 · x(t)=4(2+a)+ 4(2-a)
a 2 -4 ·
e-21
. (11-4a) e2t
(a-f- 1) eat
y(t)= 4(2+a)+ 4(2 - a)
a 2 -4 ·
+
+
769. x(t)=2--e-t , y(t) = 2---e- t , z(t)=2e-t - z.
770. x (t) = fi et - e 2 1-4e31,
+e2t _5et.
z (t)=6e 3 t+
y (t) =3e1-2est,
1_+ ~- 2+ 2-.
+~
2+~
3
771. x(t¡, -_ _ _
15t 2 . 12t
6 t
3 t
20 t,
1
y (t)= 15t2
13
+ 12t -
13
12t
z (t) = -
1
1
2
Z- 6 t+3 t z+
4
7
20
13'
1
-2 t+3 t2+ 4 .tª.
- et ( ct )m
- -- ( rn = Ü, 1, 2, . . . , n).
772. xm(t) = e
m 1.
1
1
3
1
773. x(tl = -z- 5 e- t _ .We- at¡u , y(t)= 5 (e-t - e-Gt /ll).
174.
1
X
2
5
(t ) = 3 + 3 t, y (t ) = 4
1
t 2 -4 ,
Z
(1) =
5
2
5
4 t2 - 3t + 12 •
316
Respiiest as
28
t
1
775. x(t)= -9 est _ e-t- -3·--9'
28
t
1
y (t) == -est+e-t-- - - .
9
3
9
776. Las ecuaciones de l mov imiento del elec trón son
m; ·= _ eH
.
e
{
y,
• • -eH
•
my=
c x,
x(t)= vomc ~en e1It
e!l
x (O) = O,
x (O) = v0 ,
y (0)=0,
y (0)= 0.
y ( t )mcv
= -0
e11
me '
Lt1 trayectona
. del e 1ec tron
' os
J; 2
( 1-cos
·
eHt)
- .
me
+ y"-~
; 2mcvo y = O.
777: Las ecuaciones del movimi/>nto so n
•
La más alta altura es ll ·=
0
.
v2
•
(0)=0,
y
V
x(O)= -º=- ~
x(O) =O,
y (O) =
v2
.
°; el punto
de
4g
Vo
,r
r
2
caída es .x
.
'
=
v2
....Q
g
778. Sea que un electrón sale ael origen de coordenacl as. Elijamos el
eje Ox paralelamente a l a dirección del campo magnético Jl y el eje Oy
lo elijamos <IP. tnl manera que ~l vector t'o se encuentre e H el plano de
coordenadas .x Oy.
Entonces las ecuacion es del movimiento serán
(
¡
{
mx= O,
my= - -c- z'
I mz =
eH •
- e y,
l
(Ü) =Ü,
x (O)= v0 cosa ,
y (0) =0,
y (O)= v0 sen a,
z (0) =0,
z't0) =0.
X
elf •
La trayectoria del electrón es
y
2
+ z-"' 2v cmeHsen a z = 0'
0
{
x =tv0 cosa. .
779. Las ecuaciones del movimiento son
m;~ - km.;,
{ my°= - mg- kmy,''
x(t) =
v0 ~osa("1-e-ht),
X
(0)=0,
X
(O)=Vo
y(0) =
y (0) =0,
CtlSa.
v0 sen a .
y(t)=v 0 kse: cr. +g(í -e-ht )2
-~,t .
·"J'._.··
.:~1 · .·
·, ,t ..
. ~r .
.
;
'
317
R espncstas
780. Lns ecuaciones .del movimiento son
( mx=-••
-eH
e
1
1
.. .
•
•
y-kmx,
eH •
e
x(O}=O,
X
(Q) =
!L 1
j
niy= - ~c -kmy,
y (0) =0,
y(O) = O,
l
mz =-kmz,
z (0)=0,
z (0) = 0.
0
781. Las ecuaciones del movimiento son
{
. (O)
m~·=-n; - fL2 x,
x(O) =a,
X
- 2A.y - ~~2 y,
y (0)=0,
Y (0) = fJo.
mÍ/=
= Ü,
782. Las ecu aciones del movimiento son
m~:=O,
{
~: ) -·..
•
my= -mk 2 y,
x (t) = v 0 t,
x(0)=0,
y(O)=a,
y(O)=O,
y (t) = a cos kt .
La t.rayectori a del puntn es ¡¡=a cos {
783.
cp (x)=
1
x(O)=v0 ,
~:) .
1
2 shx+ 2 senx.
1 (
1f3x
v3x \
784. <p (x)= g \ ex-e-x12cos-- +vae-Xf2 sen - - j.
2
2
1
785. cp (x)=x+
xs.
6
2
•x , 3
-'- 1
.
786 • cp ( x) =5e··
15cosx 1
scnx.
5
1 ( ex -e-x+ - l/ -sen
2
790. <p(x)=s
l ¡ -2.:r ) • 7!H . qilx )=xex.
2
318
Respuestas
792. cp(x)=e:x:.
793. cp (x)=
!
cp(x)=x -
- 1
3
-
cosY3 x .
.
1
795. cp(x) =
(ch x -t- cos x) .
794. <p(x)=chx - xe-x.
796.
4
3
2
xª . 797. cp(x) =
:s
sh
l~S
.x.
7!J8. <p (x)=i - x.
X
799. cp(x) = J 0 (1·), entonces
J
J 0 (x - t)l 0 (t )dt=sen x .
o
800. cp (x) = 1 801. <p (x) =--" e- x .
802. cp(x)=1 +2x +
804. cp(x)
=1.
1
1 3
.r.2+
x • 803. cp( x)= 2xex--.t2ex.
2
3
x2
805. cp(x) = i - 2 .
806. <p 1 (x)=e - X(i - x), cp2 (:r)= : e2 x+
~
xe- x -
~
e-x.
1
'1 °•
8 07. cp 1 ()
x =e2X , cp 2 (x,' =;r·--zecx.
1
( 11 3
y"3 ) 1 .
808. cp 1 (x) = 3 es¡~x Jf3s.en- ·-- x-t-2cos-- .r - 3 ,
2
2
1
<p 2 (:r)=e 3/rx (cn1
~§ :~-
;;:¡ sen~
3
x).
809. cp1 (x) =(x -f-2) senx-t-(2.v-t-1) cos x .
(.1+ ; ) ces x -
cp2 (x) =
( ;
+:e) se n x . .
-
s
810. <p 1 ('r) = · -v~
2- sen 1/ 3x - ysh x , cp 2 (x) = coq/ 3 :i: - 3 ch x
811. <p1 (x) = 2(1-x) e-x, cp2 (x) =(i - x) c- x .
1
. 00
812.
X
"'\1 (t-k)2k +3
(l) = LJ (Zk -f- 3)! "T\ (t-k ).
k=O
1
1~
r
1
1
J
00
"",
818. x(t) = L
l!=l
2k (t - k)l!+3
.
(k -f- B)!
r¡ (i - k) .
: 1
't
l' ¡,
31~
Respuestas
00
"' (k+ i ) (t - k)k+2
814 • .1:(t)= LI
(k + Z¡I
k=O
r¡ (t-k)
.
00
~ (_:_1)1i(t - 2(~~;i ~+'1lr¡(t-2k)
815. x(t)=
11=0
..
1
816. x(t)=( - t + 2 t2 )r¡ (t) +
00
+~
(t-k: 2 )h- l (t- 3k+2) t'J (t-k + 2) . "
k =3
00
(t -k)k+l
+~
11 (t - k) +
(k + i)!
~
(t - k)k+2
( k + 2)!
lt=-1
k= l
818. x( t)- c.ost.
X
<>
819 ..
1,1.
(x , t)=uo ( 1- ;
2
v·ki
n j
e-z· dz) .
o
X
2 )Íkt
820. u (x, t) = u 1
')
-7=-
,.
11 1t o
.
821. u (x, t)= ae - x
V~0i
2ii cos ( wt-x
V
: )2
11 (t-- k).
320
Respuestas
t
823. u (a:,
X
t) =
\'
g1f :nk
qi
41< (1-T)
(t-i;) 312
(i
dT.
fJu
• [J2u
o,;;;;; ;¡; ,;;;;; l ,
-=a·-ot
rh! 2 '
824. Ecuación diferencial:
t>O,
('t) e
au
u lt=o=u0 ,
--;;-- 1
ux x=(I
=0, u !x=1=u 1 ,
U (X,
(2n-1) :nx
l
2
X cos
au Tt
- ª2
825. Ecuación diferencial:
t
>~O, u 1t=o• aauT
1
x=O
fJ 2u
Bx2
= lw. 1x= o•
x >O,
,
h = const,
u (x, t)=u0 [erf~-f-ehx+h•a•t Erf (
r
+ha l/t)] .
2a l/ t
2a V t
Para resolver el problema utilícense el teorema de Efros (véase el
§ 14).
- 826. .,
. , ei i· f erencia
. l : í:J2
a2u Ü o;;; X o;;; l,
.l!.Cuac10n
oxu 1 --¡¡¡:¡;-,
7
2
t >O,
au (l,
ax
t)
F
u lt=o=O,
u (x,
E '
!::._¡
=0,
fJt t=O
u(O, t) = O,
t)=
00
_ Fx __ 8Fl"'
k
( - 1) sen
(2k + 1):rtx
cos
Zl
(2k+ 1)nct
2
l
n 2 E LJ
-- E
k=O
ª
º
2
2
· 1: - u., - - 1 --;¡-z
u = - g- , O,;;;;; x """=
_- l , t > O,
827. Ecuac1'ó n el'1 f erencia
e2 v t
e2
0x·
ou 1t = O=
Tt
t~ lt= o=Ü,
u ( r, t)
Ü,
u (O, t ) = 0,
au ( l ,
Bx
t)
o.
gx (2l-x)
00
-
2
16gl
""'
;ns 02 LJ (- i ) I!.
cos
(2 k
+ l) (xl 2
l)
it
cos
(2lc
+ 1) :n:ct ·
21
(2k + 1)3
ll = O
!
ij
321
Respu-estas
828 • z¿ ( x, t)= -
b:i
12 (xª-2lx2-j-l3)+
Bbl4
cos
oo
+---;ir- k~
(2k+ 1) nt
ou (x,
fJt
= 4hx (l- :v)
¡2
t)
l
(2k+ 1) :n:x
l
(2k+ 1)5
íJZu
a2u
2 -829. Ecuación diferencial: --=a
8t 2
8x 2
u (x, O)
sen
l
O)
•
,
O~ J: ~
~
t >O,
l,
·
u(O, l ) =u( l , t)=O,
O,
+
(2k 1) :n;at
(2k+ 1) :n;x
00
32h "1 _c_o_s___z_ _s_e_n_ _l_ _
:n;3 L.!.
(2k+ 1)ª
k=O
=
n(x,
1
830.
833.
eP
eP-a
835.
eP sen a
e2P-2eP cosa-+ 1 •
837.
eP
eP-e
1
834
.
•
eP(eP-cos1)
e2P+2eP cos 1+1
836.
eP
sh 1
e2P-2eP ch '1
+ '1
2eP
eP-Jle ·
1
eP
838.
TeP=i"+z
840.
eP
( eP-es
eP(eP-cos2)
• 839.
e2 P-2eP cos2+ 1
e<1-k)p
eP - 1.
1 _/Y--p -e2a - 2p) eSP ,
eP(4e2 J) - 3eP+1)
(eP- 1)8
843.
845.
847.
eP- 1 sen 2
cos 2+e-2
e ~ 11-2eP- l
eP (eP- e3 ch1)
846.
eP (eP+ 1)
13
(eP- ')
848.
. sena
850. a + a rctg eP -cos a..
2 1- 0662
+ e2)
(eP - e2)3·
eP+2 (eP
844.
eP+l(eP +e)
(eP - e;ª
.
(e 2P- 1) eJJ
(e2P + 1)2 •
849. ln.a + ln
eJJ - 1
eP-a
• 85 i . ln 1/e2 P - 2ePcos a - 1
eP- 1
. -.: .:
.· '~"¡J!l%~.
. ··~~;
.·""!.~
Respuestas
322
852
_ i _ _ ln .. / eP - e-1.
• eP - 1
V eP-e
854.
855
853.
.
eP [(1 +e2P) cos a. - 2ePJ
(e 2 P-2eP cos a + 1)ª
eP (e4P+2e3P ch a - 6e2v+2ev ch a+ i ) sha.
(e2 P-2ePch a.+ 1)3
· eP (2e3P - 5e2P ch a.+4eP ch2 a. - ch a)
·
(e 2P - 2eP ch a.+1 )2
eP- e80
eP-e8
·
857 ·
856. e - e0 +1n - - -858. e+ ar ctg
P
se.jl e·
1
2
e2 P- 2eP ch 1+1
In e2 P - 2eP ch e+ 1
,
e -cose
1 {
sen 2e
)•
arctg P sen2
859. e - 1+ -2 arctg e P -cos 2e
e -cos 2
n
f -en
1 - en
1. n(1i +1)
860.
86
862. 1- e - (1- e)2
.1 - e
2
1 - e2(n-1)
863. - --_- e...,.
2-
.
864. M(n)=3. lfl'.f..(n)=O (k=2, 3, 4 , ... ).
1
4
2
865. ó.hJ(n)=(e -e )11.
(k=1, 2, 3, .. . ).
866. M(n)=2n, ó.2f (n)=2, ó.kf (n)= O
(k=3, 4, ... ).
2e(1-k)p
eP
eP (e 2 P+ 4eP+ 1)
867.
869.
(eP- 1)3 •
868.
(eP
-1)3'
(eP -1)4
n (n - 1) (2n- 1)
870.
6
871.
2n- 1
(n -1) sen - - a.
2
2sen
a.
2.
T
n (n - 1) (n-2)
3.
873.
(1 - ecos o:) (1 - en cos na)+ en+l sen a. sen ncx.
e2 - 2e cosa.+1
877.
878.
1+( -1)n
4
an-1
5n _ 3n
875.
1
2
zn.
n:n:
2
.
n +1
2
sen - -n.
3nn
2n¡2 sen 4
880. Es del segundo orden.
882. Es del primer orden. .
884.
876. sen
3
885. ( - 1)n(1 - n) .
rf - 1
- a
2
sen
872.
874. nan- 1,
sen2
881. Es del orden nulo. ·
883. Es del ter cer or,h·n.
886. 2n/ '2. sen n:
2
a.
T
323
Respuestas
n/2
887. 1-2
cos
nn
4
889. (-t)nn2;-n •
891.
.
mt
888. sen--cos
2
890.
3 2
895 _!:__!:_+---n• 60
8
8
5
4
ns
3
4
3n-11( - 2)n
4n-1+15.2n-3_7 (- 2)n-s
3.
893. n(n- il (n-2) .3n-a.
(n-1) n
894.
1-(-1)"
2
892.
n (n -1) (n - 2) •(- f)n-i.
6
3'
+-'
•
20 •
896. Es asintóticamente estable. 897. Es asintóti.camente estable.
898. Es inestable. 899. Es inestable.
900. Es estable, pero no asintóticamente.
901. Es asintóticamente estable. 902. Es inestable.
903. El foco inestable. 904. El centro.
905. El foco estable. 906. La ensilladura.
907. El nudo inestable. 908. El nudo inestable.
909. El nudo estable. 910. El punto (O, O, O) es estable.
911. El punto (O, O, O) es inestable.
912. Es asintóticamente estable para ex. < O. En todQs los demás
casos es inestable.
913. Es asintóticamente establP. para cx. < O y ex. > 1; es estable,
pero no asintóticamente para cx. = O y cx. = 1; es inestable para
O<cx.<1.
914. Es inestable para todo!> ex.. 915. ex.~ O. 916. ex.~ -1/2.
917. Es asintóticamente estable para ex.~ < 1; es estable, pero
no asíntóticamente para a~ = 1.
918. Es asintóticamente estable para ~ < a 2 (a < O); es estable,
pero no asintóticamente ~ara: 1) ex.= O (~ < O); 2) ~ = cx.2 (cx. < O).
919. Es estable asintoticamente para a.2
~ 2 - 2cx. >O (a< 1);
es estable, pero no asintóticamente para: 1) ex.= 1 (1 ~ 1 > 1);
2) cx.2
~2 - 2cx. =O (O~ ex.< 1).
920. Es inestable para todos los valores de ex. y ~921. Es asintóticamente estable para cx.2
~ 2 - ~ < O; es
estable, pero no asiutóticamente para a 2
~ 2 - ~ = O (a =I= O,
+
+
~
=I=
0).
+
+
+
922. Es estable, pero no asintóticamente para ~ + 2cx.
1 = O;
es asintóticamente estable para t odos los demás valores de a y ~·
923. Es asintóticamente estable. 924. Es asintóticamente estable.
925. Es asintóticamente estable. 926. Es estable.
927. Es asintóticamente estable.
928. Es asintóticamente establ e.
929. Es asintóticamente estable. 930. Es inestable.
931. Es inestable. 932. Es asint.óticamente estable.
933. Es asintóticamente estable.
934. Es asintóticamente estable.
935. Es inestable. 936. Es estable. 937. Es inestable.
938. Es estable. 939. Es inestable. 940. Es inestable.
941. Es asintóticamente estable. 942. Es estable.
943. Examinación por l a primera aproximación es imposible.
21*
Respuesta~
!324
Mediante la función de Liapunov demostramos que el punto (O, O)
es asintóticamente estable.
944. El punto de reposo es estable.
945. La solución nula del sistema de la primera aproximación
es inestable, mientras que para el sistema completo es asintóticamente estable.
946. Si a > O, b > O, entonces la condición de la estabilidad tiene
la forma de cos T > O, donde T = (-1)'1. x0
1rn (k = O, 1, 2, ... ),
:ro = arcsen
~
+
(véase
r:m.
954. Es estable. 955. Es inestable. 956. Es estable.
957. Es inestable. 958. Para a > 1/2.
959. La solución es inestable para todo ex.
960. Para a > 13¡6.
961. Para cualesquiera (ex, B) del dominio G. (véase la fig.).
/J
Fig. a la respuesta 961
Fig. a la respuesta 962
962. Para cualesquiera (... , I~) dei dominio G: o:~ > 3, ex> O,
(véase la fig.).
963. La solución es inestable para todos (oi, ~).
964. p > o, q > 2.
965. Todas las raíces en el semiplano izquierdo; la solución es
estable (véase la fig.).
~>O
V
Fig. a la respuesta 965
Fig. a la respuesta 9.66
966. Las dos raíces en el semiplano izquierdo, las dos .raíceces en
el derecho; la solur.ión es inestable (véase la fig.).
Respuestas
967. Es estable. 968. Es estable.
969. Las dos raíces en el semiplano derecho; la.solución es inestable
(véase fig.). : : : : :
i ; · \ : '
. :
\
\
1
\
ll
3
{/.
i
j
./
r
¡:
i¡
Fig . a la respuesta "969
Fig. a l a respuesta 970
1
·l.
1
·1
A
Jj.
.1
970.
972.
974.
976.
979.
Es
Es
La
Es
Es
estable. (véase la fig.). 971. Es estable.
estable. 973. Es estable.
solución es estable. 975. Es estable.
estable. 977. Es estable. 978. Es estable.
estable (véase la fig .. ). 980. Es estable.
u
Fig. a l a respuesta
97~
Fig. a la ,respuesta 981
981. Son las r aíces puramente imaginarias; la solución es inestable
.
(véase la fig.).
.982. Las dos 1·aíees en el semi pl ano derecho; la solución es ines--
~able.
326
Respuestas
983. Las dos raíces en el semiplano derecho; l a solución es inestable (véase la fig.).
y
o
Fig. a l a respuesta 983
984. Las dos raíces en el semiplano derecho; la solución es inestable.
1/
·~
985.
D(f,2)
o
Fig. a la respuesta 985
986.
o
Fig. a la respuesta 986
jFig. a la respuesta 987
327
Respuestas
.lJ(J,O}
988.
2
JJ(2,1)
o
2
)J(t,2)
r
Fig. a ;la respuesta 988
990.
989.
JJ(f,2)
:
Fig. a la respuesta .989
.111
991.
~
(3,0)
JJ(3.IJ)
=iJ
(2,1}
Fig. a la respuesta 990
992.
C, =1+#
]) (!,2}
o
J)
t;; f
(2,f}
.;
t¡ ·-1
Fig. a la respuesta 991
~
Fi g. a fa respuesta 992
Respuestas
993.
Fig. a la respuest a 993
994.
JJ{2/)
ll(3,0)
. D/UJ
JJ(0,3)
Fig. a la respuésta 995
' · ·· · Fig. a la tespµesta 994
· 11
Il(l,2} .
IJ(3,f!
996.
997 .
D(l', I}
/}{¿/}
.t
.D(P,1)
IJ{J,O}
Fig. a la r espuesta
~97
IJ(?.t)
IJ(!,2) .
Fig. a la resepusta 996
.:~
329
Respuestas
998. f(n)=C 1 .2n+c2 (--;
r.
;:¡ '
999. f (n) = (-1)" (4n2 - 7n
1000. f (n)= (
v; f [
5
+ i).
C1 cos ( n arctg+)
+ C 2 sen ( n arctg ; )
100i. f (n)=2n ( C1 +e; c~s·
+
J.
2
~f&+C 3 sen 2 ;:rr. .) .
t 002. f (n)=(-1)n (C 1 +c2 n)+2n1 2 ( C3 cos n: -j-C4 sen n
n) .
4
1_
003. t (n) =cd1-:- v2r+c2(1+1f2r -
; ..
.,
1 .
sen 2 (n -1)
.1005. f(n)= 2 tg2·cos2 + sen2+
2 cos 2 - •
-~
n.n
n:it
:
en
1006• f (n)=Ci+C 2 n+Csn2 + (e- )3
1
·.,;·
.»
•
·
1007. f(n)=2n. ( 1 +ci cos nn +c2 sen nn )·+OH-2)n:
16
3
3
,
1008. Es asintóticamente establé. 1009. Es estable, pero no asiu~
'tóticamente. -· ' . ·
1010. Es asintóticamente estabie. 1011. Es inestable.
,
1012. a 0
ai
a2
a 3 > O, a0 - a1
a 2 . - a.3 > O,
(ao - a 3 )
ii1 - á. 2 > O, 3 (a 0
a 3) - a 1 '-- a~ > O, a~ - a~ -
:s
'-
+ + +
+
+
ª~ª2 + ª1ª~ > O.
'
1013. i _-:: q > O, 1 + p + q > O,
1014.
1016.
1018.
1020.
+
+
1 - p
(¡ > O.
_;1 < p < f. 1015. 1 a 1 '> b.
Es asintóticamente estable. 1017. Es inestabk
Es asintóticamente estable. 1019. Es inestable/
Es inestable. 1021. Es inestable. 1022. Es inestable .
·;
..
í
l
Suplemento
Principales originales y sus representaciones
00
Oribina l f(t)
Representación F(p)
=
Jf (t) e-pt dt
o
2.
3.
1
-p
1
1.
tn
(n= i , 2,
tª
(a> -1)
4.
e'J..t (A.=a+bí)
5.
tnlt
6.
tª.eM (a> -1)
7.
sen wt (w > 0)
8.
cos wt
9.
sh wt
10.
ch wt
11.
e'At sen
n!
... )
pn+l
r
(a+i)
pa+1
1
p - 'J.
ni
(p-A.)n+l
r (a +i)
(p-A.¡a+1
ú)
pz + wª
p
p2+ 00 2
ú)
p2-w2
wt
p
p2-ú) 2
(iJ
(p~A.) ª + wª
···:,
·.' ' ~-.• '' l. '· .
·,;-··.!r.·.'.''''' ..
-,· ·
1
381
Suplemento
·j
i
Conttnuaci6n
00
~
Original / (t)
1
l
o
'i
1
'
1
12.
e'At cos wt
13.
e'J..t
14.
e"" ch wt
15.
t sen wt
16.
t cos wt
p-'}.,
sh wt
(p2 + w11)2
pZ-Ol2
(p2+wZ)2
2pw1
sh wt
17.
t
18.
t ch wt
19.
sen (t - 't') (i;>O)
20.
cos (t - 't')
21.
tn sen wt
Im (P+ iw)n+l ni
22 .
tn cos wt
Re (P + iw)n+l n !
(P2+ co2)n+1
(p2 - w2)2
p2 +wª
- (p2 - w2)2
i
i
j
·I
''
l
li
Jn (t) (n = f, 2,
24. Erf { 2
=
1
j
'
1
l.
1
:ñ
(Pª+w2)n+l
...)
Vt) =
I
p2 +1
pe-'tP
1
23.
e- 'tp
p2+1
1
1
Sf..(t) e-Pt dt
Representación F (p) =
(1fP2+f-p)n
V P 2+1
..!..
e- a Vii
p
00
e-x2dx
rx./2 Vt
t
25.
Si t=
J se::r.
o
.dx
arcctg p
p
332
Snplemento
Continuación
""
Representación F{p) = ~ / (t) e-pt dt
Originai f (t)
o
1
00
COS X
26. Ci t = - ~ -x-dx
1- in
p
t
27.
28.
29.
,
p-a
In-.
ebt _eat
t
p--b
ln .(a"t)
(a>O)
t
In t
1
11p2+1
1
--CVP2+a2-p)n
71
na
~
{ ln
~
-y) , y=0,57722 . ..
1
l
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