МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ (МАДИ)
Г.К. ИППОЛИТОВА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ
ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
МОСКОВСКИЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
(МАДИ)
Кафедра физики
Утверждаю
Зав. кафедрой профессор
___________ А.Ф. Смык
«___» __________ 2016 г.
Г.К. ИППОЛИТОВА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ
ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
МОСКВА
МАДИ
2016
УДК 53
ББК 22.3
И766
Рецензент:
д-р физ.-мат. наук, профессор каф. физики МАДИ Никеров В.А.
Ипполитова, Г.К.
И766
Методические указания к самостоятельной работе по физике для студентов заочной формы обучения / Г.К. Ипполитова. –
М.: МАДИ, 2016. – 116 с.
В методическом пособии детально изложены вопросы организации учебного процесса по физике для студентов заочной формы обучения и требования, предъявляемые к студенческим работам. Представлены программа, вопросы к зачету и экзамену, контрольные задания и образцы решения задач. Изложена подробная методика решения задач по физике. Приведенный теоретический материал и задачи
являются традиционными и соответствуют учебному плану рабочей
программы дисциплины «Физика».
Указания предназначены для самостоятельной работы студентов всех направлений подготовки заочной формы обучения.
УДК 53
ББК 22.3
___________________________________________________________
Учебное издание
ИППОЛИТОВА Галина Константиновна
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЕ
ПО ФИЗИКЕ
ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОЙ
ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
Редактор Т.А. Феоктистова
Подписано в печать 23.08.2016 г. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 7,25. Тираж 300 экз. Заказ
. Цена 240 руб.
МАДИ, 125319, Москва, Ленинградский пр-т, 64.
МАДИ, 2016
3
1. ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ
ДИСЦИПЛИНЫ «ФИЗИКА»
Целью курса является воспитание у будущего инженера современного физического подхода к решению научных, технических и производственных проблем. Последовательное изучение курса физики вырабатывает логические методы мышления, физическую интуицию и творческий подход необходимые для решения научно-технических задач.
Вне зависимости от уровня программы и формы обучения, в результате изучения курса физики студенты должны приобрести следующие знания, умения и навыки, применимые в их последующем
обучении и профессиональной деятельности.
Знания:
основных физических явлений и законов физики; границ их
применимости, применения законов в важнейших практических приложениях;
основных физических величин и физических констант, их определения, смысла, способов и единиц их измерения;
фундаментальных физических опытов и их роли в развитии
науки;
назначения и принципов действия важнейших физических
приборов.
Умения:
объяснить основные наблюдаемые природные и техногенные
явления и эффекты с позиций фундаментальных физических взаимодействий;
указать, какие законы описывают данное явление или эффект;
истолковывать смысл физических величин и понятий;
записывать уравнения для физических величин в системе СИ;
работать с приборами и оборудованием современной физической лаборатории;
использовать различные методики физических измерений и
обработки экспериментальных данных;
использовать методы адекватного физического и математического моделирования, применять методы физико-математического
4
анализа к решению конкретных естественнонаучных и технических
проблем.
Навыки:
использования основных общефизических законов и принципов в важнейших практических приложениях;
применения основных методов физико-математического анализа для решения естественнонаучных задач;
обработки и интерпретирования результатов эксперимента;
использования методов физического моделирования в инженерной практике.
После завершения обучения студенты должны продемонстрировать компетенции, перечисленные в программе для соответствующей
специальности. Курс физики для большинства направлений подготовки
разбивается на два семестра. Программа дисциплины «Физика» сформирована таким образом, чтобы дать студентам представление об основных разделах физики, познакомить их с наиболее важными экспериментальными и теоретическими законами и историей их открытий.
2. СОСТАВЛЯЮЩИЕ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА
Учебная работа студентов заочного отделения по изучению курса физики складывается из следующих основных элементов: самостоятельного изучения физики по учебным пособиям, решения задач,
выполнения и защиты контрольных работ, выполнения лабораторных
работ, сдачи зачетов и экзаменов.
К экзамену или зачету допускаются студенты, выполнившие все
лабораторные работы и получившие положительную рецензию по
контрольным заданиям у преподавателя. Во время экзаменационной
сессии проводятся консультации студентов-заочников с преподавателями, предназначенные, в частности, для анализа и оценки выполненных студентом контрольных работ. При сдаче контрольных работ
студент должен пояснить принципы и ход решения содержащихся в
них задач, сформулировать физические законы, на которых основано
решение задачи. Зачтенные работы передаются в деканат. Неудовлетворительные работы могут быть возвращены студенту на доработку.
Кроме того, в указанные часы студент может получить консультацию
по всем вопросам, связанным с материалом, изучаемым в текущем
5
семестре и подготовкой к экзамену. Каждый семестр заканчивается
зачетом или экзаменом.
2.1. Самостоятельная работа с учебными пособиями
Самостоятельная работа с учебными пособиями является главным видом работы студента-заочника. Студентам следует руководствоваться следующими положениями:
изучать курс физики необходимо систематически в течение
всего семестра, поскольку изучение курса в сжатые сроки перед экзаменом не дает глубоких и прочных знаний;
чтение учебного пособия необходимо сопровождать составлением конспекта, в котором: записываются формулировки законов и
формулы, выражающие эти законы, определения физических величин
и единицы измерения этих величин; делаются чертежи и выполняются решения типовых задач;
самостоятельную работу по изучению физики необходимо
подвергать систематическому самоконтролю.
При самостоятельной работе надо использовать рабочую программу дисциплины «Физика». Не следует ограничиваться только запоминанием физических формул. От студента требуется умение самостоятельно вывести формулу, понимание физического содержания
изучаемых законов и их применение при решении задач и для объяснения явлений природы.
Во время проведения зачета или экзамена студент должен
представить конспект изученного материала в соответствии с
рабочей программой дисциплины «Физика».
2.2. Выполнение контрольных работ
Выполнение контрольных работ студентом и рецензирование их
преподавателем преследует две цели: во-первых, осуществление
университетом контроля над работой студента; во-вторых, оказание
помощи в решении непонятных вопросов.
К выполнению контрольных работ по каждому разделу курса физики следует приступить только после изучения материала, соответствующего данному разделу программы, внимательного ознакомле-
6
ния с условиями задач и самостоятельной работы по решению задач
из учебных пособий.
Правила оформления контрольных работ
Студент заочного отделения должен решить задачи того варианта, номер которого совпадает с последней цифрой студенческого
билета или зачетной книжки. Контрольные работы выполняются в
обычной школьной тетради или на листах бумаги формата А4 с обязательным указанием следующих данных:
Контрольная работа №__________ по физике
Фамилия Имя Отчество
№ зачетной книжки _________, группа_______
Семестр, учебный год
Каждая задача контрольной работы должна начинаться с новой
страницы. Условия задач необходимо переписать полностью, без сокращений. Для замечаний преподавателя на страницах тетради необходимо оставить поля не менее 3 см. В конце контрольной работы
студенту необходимо указать, каким учебником или учебным пособием он пользовался при изучении данного раздела физики. Представлять контрольные работы на рецензирование необходимо в установленные сроки, с тем чтобы студент имел возможность внести необходимые исправления в те работы, которые не получили положительной
рецензии. Последний срок представления работ – первые дни лабораторно-экзаменационной сессии. Студент должен быть готов во время зачета или экзамена дать пояснения по существу решения задач,
входящих в его контрольные работы.
2.3. Методика решения задач
Систематическое решение задач является необходимым условием успешного изучения курса физики. Решение задач помогает уяснить физический смысл явлений, закрепляет в памяти формулы, прививает навыки практического применения теоретических знаний. Решение задач следует правильно оформить, в соответствии с примерами, которые приведены в тексте настоящего учебного пособия. Существует общий подход к решению задач по физике, независимо от
их типа. Для того, чтобы решить задачу с минимальными усилиями и
7
максимальной уверенностью в правильности решения, необходимы
следующие этапы.
Внимательно ознакомиться с условием задачи, определить
раздел физики, которому соответствует данная задача. Уяснить физическое явление, лежащее в основе задачи.
Записать кратко условие задачи, все величины перевести в СИ.
Выполнить чертеж, поясняющий содержание задачи (в тех
случаях, когда это возможно), на котором схематически изобразить
физическое явление, описанное в задаче. В задачах на механику необходимо выбрать и указать на чертеже систему отсчета. Чертеж
должен быть максимально информативным, на нем должны быть указаны все величины, используемые для описания рассматриваемого
явления. Все векторные величины должны быть изображены стрелками. Если в задаче рассматриваются два состояния системы, (например, до удара и после удара, до теплообмена и после), то должно
быть два рисунка, по одному на каждое состояние.
Записать законы, которые описывают данное явление, дать
словесную формулировку этих законов, пояснить буквенные обозначения, употребляемые при написании формул. Если при решении задачи применяется формула, полученная для частного случая, не выражающая какой-либо физический закон в целом или не являющаяся
определением физической величины, то её следует вывести самостоятельно.
Записать в виде вспомогательных уравнений дополнительные
условия задачи. Эти условия чаще всего формируются в задаче описательно, словами, но в них содержится скрытая математическая
связь между физическими явлениями, характеризующими это явление. Например, «равномерное движение» запишем в виде а = 0, условие «объем увеличился вдвое» запишем в виде V2 = 2V1.
Составлением системы указанных уравнений заканчивается
физическая часть решения задачи.
Затем следует вернуться к условию задачи, уточнить, какие из
физических величин даны, какие надо найти. Составить план решения
системы уравнений и решить ее в общем виде относительно величин,
спрашиваемых в задаче.
8
Получив в результате решения задачи окончательную формулу, приводящую к искомому результату, проверить правильную размерность определяемой величины. Для этого, в рабочую формулу
следует подставить размерности всех величин и произвести указанные действия.
Подставить в окончательную формулу, полученную в результате решения задачи в общем виде, числовые значения и произвести
необходимые вычисления. Записать в ответе числовое значение и
размерность полученной физической величины.
Как правило, физические задачи следует решать в общем виде,
т.е. в буквенных обозначениях. При этом способе не производятся
вычисления промежуточных величин; числовые значения подставляются только в окончательную (рабочую) формулу, выражающую искомую величину.
Умение решать задачи приобретается длительными и систематическими упражнениями. Чтобы научиться решать задачи и подготовиться к выполнению контрольной работы, после изучения очередного
раздела учебника следует внимательно разобрать примеры решения
типовых задач и решить несколько задач самостоятельно, пользуясь
рекомендуемыми учебными пособиями.
2.4. Выполнение лабораторных работ
Для того, чтобы студента допустили до выполнения лабораторной
работы, необходимо чтобы он имел в наличии следующие материалы.
Отдельную тетрадь для лабораторных работ.
Оформленный титульный лист.
Краткий конспект лабораторной работы: цель работы, схема
установки, основные формулы, необходимые для оформления расчётов по лабораторной работе.
Таблицу технических данных приборов.
Таблицы наблюдений, в которые будут заноситься полученные результаты наблюдения.
В отчетах по лабораторной работе должна быть использована
общепринятая методика статистической обработки экспериментальных результатов. Самостоятельное знакомство с этой методикой
9
можно почерпнуть из «Лабораторного практикума по физике», указанного в списке рекомендуемой литературы.
3. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «ФИЗИКА»
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ
В основу изучения представленного курса физики положена
«Рабочая программа по физике для всех направлений заочного обучения», составленная на основании типовой программы данной дисциплины преподавателями кафедры физики МАДИ. Эта программа
включает в себя следующие дидактические единицы.
1. Механика.
2. Молекулярная (статистическая) физика и термодинамика.
3. Силовые поля. Электромагнетизм.
4. Механические и электромагнитные колебания.
5. Волновые процессы.
6. Основы квантовой физики. Строение атома. Ядерная физика и
элементарные частицы.
Ниже приведены основные вопросы базового курса физики для
студентов заочной формы обучения в МАДИ.
Раздел 1. Механика
1.1. Введение. Предмет физики, ее связь с другими науками.
Пространственно-временные масштабы мира. Механическое движение. Физические модели, системы отсчёта.
1.2. Кинематика поступательного и вращательного движения
материальной точки и твёрдого тела: линейные скорость и ускорение,
угловые скорость и ускорение. Связь линейных и угловых кинематических параметров.
1.3. Кинематика специальной теории относительности. Преобразования Галилея. Следствия из преобразований Лоренца. Сокращение длины и замедление времени в движущихся системах отсчета.
1.4. Основные понятия и законы динамики. Сила как мера взаимодействия тел. Сила трения. Сила упругости. Законы Ньютона. Масса как мера инертности тел. Центр масс системы материальных точек.
Импульс. Связь импульса и скорости движения центра масс.
10
1.5. Динамика вращательного движения. Момент инерции как
мера инертности тела при вращательном движении. Главные оси
инерции и устойчивость вращения. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Орбитальный и осевой моменты импульса. Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
1.6. Работа и мощность силы. Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия.
1.7. Законы сохранения в замкнутых системах: законы сохранения импульса, момента импульса, механической и полной энергии.
Частные законы сохранения для незамкнутых систем.
Раздел 2. Молекулярная (статистическая) физика
и термодинамика
2.1. Основные положения молекулярно-кинетической теории
(МКТ). Модель идеального газа. Основное уравнение МКТ. Скорости
молекул газа. Число степеней свободы молекулы. Понятие о температуре. Уравнение Менделеева – Клапейрона. Изопроцессы. Адиабатный процесс.
2.2. Классическая статистика. Барометрическая формула. Распределения Больцмана и Максвелла.
2.3. Первое начало термодинамики. Работа газа при изменении
его объема. Внутренняя энергия макроскопического тела. Теплоемкость идеального газа. Сжижение газов. Принцип действия тепловых
двигателей. КПД. Второе начало термодинамики. Энтропия.
Раздел 3. Электромагнетизм
3.1. Фундаментальные взаимодействия. Гравитационное поле.
Закон всемирного тяготения. Напряженность гравитационного поля.
Гравитационное поле точечной массы. Принцип эквивалентности. Попытки объединения фундаментальных взаимодействий.
3.2. Электростатическое поле. Свойства электрического заряда.
Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Напряженность электростатического поля заряженных тел: шара, сферы, заряженной нити, плоскости. Конденсаторы. Напряженность поля, электроемкость и энергия
заряженного конденсатора.
11
3.3. Потенциал электростатического поля. Связь потенциала и
напряженности. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности
электростатического поля.
3.4. Теорема Остроградского – Гаусса и ее применение для расчета напряженности электростатических полей различной симметрии.
3.5. Электрический ток. Сила и плотность тока. Правила Кирхгофа. Разность потенциалов, напряжение, электродвижущая сила источника. Закон Ома для однородного участка и для замкнутой цепи.
Работа и мощность тока. Закон Джоуля – Ленца.
3.6. Вектор магнитной индукции. Силовые линии магнитного поля. Закон Био – Савара – Лапласа. Принцип суперпозиции. Магнитное
поле прямого, кругового тока и соленоида. Природный магнетизм.
3.7. Сила Лоренца. Движение зарядов в электрических и магнитных полях. Принцип работы циклотрона. Закон Ампера. Действие
магнитного поля на прямой проводник и рамку с током. Вращение
рамки в магнитном поле.
3.8. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея – Ленца. Самоиндукция. Индуктивность соленоида. Энергия магнитного поля. Уравнения Максвелла и их физический смысл.
Раздел 4. Механические и электромагнитные колебания
4.1. Понятие колебательного процесса. Классификация колебаний. Параметры гармонических колебаний. Способы графического
представления колебаний: плоская диаграмма, векторная диаграмма,
спектральная диаграмма.
4.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его
решение. Пружинный, физический и математические маятники. Свободные гармонические колебания в электромагнитном контуре. Электромеханическая аналогия. Свободные затухающие колебания.
4.3. Сложение коллинеарных гармонических колебаний равных
частот. Сложение двух коллинеарных гармонических колебаний близких частот. Биения. Сложение ортогональных гармонических колебаний кратных частот.
4.4. Вынужденные колебания. Графики амплитудно-частотной и
фазово-частотной зависимости. Резонанс. Резонансная амплитуда,
резонансная частота, добротность колебательной системы.
12
Раздел 5. Волновые процессы. Оптика
5.1. Общее понятие волнового процесса. Уравнение плоской
волны. Характеристики волнового движения: волновая поверхность,
волновой фронт, фазовая скорость, волновой вектор, длина волны.
Продольные и поперечные волны.
5.2. Упругие волны в газах, жидкостях и твердых телах. Скорость
распространения волн в различных средах. Диапазон частот слышимого звука. Уровень интенсивности звука. Децибел. Ультразвук и инфразвук. Эффект Доплера для звуковых волн.
5.3. Электромагнитные волны. Уравнение плоской гармонической электромагнитной волны. Поляризация электромагнитных волн.
Закон Малюса. Эффект Доплера для электромагнитных волн.
5.4. Интерференция волн. Методы получения когерентных волн.
Условия интерференционного минимума и максимума. Интерференция света в тонких пленках. Просветление оптики.
5.5. Стоячие волны. Нормальные колебания струны.
5.6. Дифракция волн. Принцип Гюйгенса – Френеля. Дифракционная решетка как спектральный прибор. Поглощение света. Дисперсия света.
Раздел 6. Основы квантовой физики, строение атома и ядра.
Элементарные частицы
6.1. Спектральные характеристики теплового излучения. «Ультрафиолетовая катастрофа». Гипотеза Планка. Корпускулярно-волновая природа вещества. Фотоэффект.
6.2. Гипотеза де Бройля. Опыты Дэвиссона и Джермера по дифракции электронов. Волновая функция, её статистический смысл.
Принцип неопределенностей Гейзенберга.
6.3. Уравнение Шредингера. Квантование энергии микрочастицы
в одномерной потенциальной яме.
6.4. Планетарная модель атома. Постулаты Бора. Эмпирические
закономерности в атомных спектрах. Энергетический спектр атома
водорода. Квантовые числа. Формула Бальмера.
6.5. Опыты Резерфорда по рассеянию альфа-частиц Ядерная
модель атома. Масса ядра и энергия связи. Ядерные силы. Радиоактивность. Закон и виды радиоактивного распада.
13
6.6. Ядерная реакция деления. Ядерная энергетика. Термоядерные реакции синтеза легких ядер
6.7. Элементарные частицы. Классификация и взаимодействие.
6.8. Основы физической электроники. Металлы, полупроводники
диэлектрики. Электропроводность металлов и полупроводников. Легирование полупроводников. Фотопроводимость п/п.
4. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
Первый семестр
Тема 1. Введение
Самой простой формой движения материи является механическое перемещение тел. Оно происходит в пространстве и во времени,
которые сами по себе являются формой существования материи.
Материя – это окружающие нас тела вместе с создаваемыми
ими полями. Материя, с точки зрения классической физики, существует в двух видах:
в виде вещества, состоящего из мельчайших частиц;
в виде поля (гравитационного, электромагнитного).
Поле – это особый вид материи, передающий взаимодействие
между телами.
Основные свойства пространства: непрерывно, трёхмерно, однородно и изотропно: пространственные соотношения инвариантны относительно параллельного переноса и вращения системы
координат. Пространство плоское (Эвклидово). Для измерения пространственных объектов эталоном служит линейка.
Основные свойства времени: непрерывно, одномерно, однонаправленно, однородно: любые физические законы не зависят от
выбора начала отсчёта времени. Эталон для определения временных
соотношений называется часами.
Физическая модель – это упрощённая система, передающая
главные свойства реальной системы и взаимодействие её элементов.
Материальная точка (МТ) – модель реального тела, размерами
которого в данной задаче можно пренебречь и считать, что всё вещество сосредоточено в точке.
14
Абсолютно твёрдое тело (АТТ) – модель реального тела, расстояние между любыми точками которого остаётся неизменным; деформация отсутствует.
Сплошная среда – объект, в котором возможны деформации и
перемещения; вещество тела распределено непрерывно. Такая модель, в частности, применяется для описания свойств жидкости или
плазмы.
Тема 2. Кинематика поступательного и вращательного движения
Раздел механики, описывающий движение без анализа причин его
вызывающих или изменения в движении, называется кинематикой.
Система координат, служащая для указания положения тела в
пространстве, вместе с часами для указания времени называется
системой отсчёта. На практике, чаще всего используется декартова
система координат, которая представляет собой тройку взаимно перпендикулярных осей. Положение точки М задаётся тремя числами x, y,
z или с помощью радиус-вектора R , проведённого из начала координат в точку М (рис. 2.1).
Единичные вектора (орты) i , j , k, указывают направления вдоль
осей, соответственно радиус-вектор можно разложить по ортам, т.е.
представить в виде:
R(t ) x(t )i y (t ) j z(t )k.
В этом случае x, y, z являются проекциями радиус-вектора на
соответствующие оси.
Рис. 2.1
15
Зависимость радиус-вектора точки от времени R R(t ) называется кинематическим уравнением движения. Одному такому векторному уравнению соответствуют три скалярных:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
Линия, вдоль которой точка перемещается, называется траекторией, а вектор
R, проведённый из начального пункта в конечный,
называется вектором перемещения:
R / t при
t
R
t ) R(t ). Отношение
R(t
0 стремится к определённому пределу, называемо-
му линейной мгновенной скоростью (или просто скоростью):
R
R(t
t ) R(t ) dR
lim
R.
t 0 t
t 0
t
dt
Таким образом, линейной скоростью точки называется производная её радиус-вектора по времени. Размерность скорости [v] = м/с.
Разложение скорости по ортам через проекции имеет вид
v
lim
v
xi
yj
zk
v x i v y j v z k,
где точка над функцией обозначает дифференцирование по времени.
Величина скорости определится по формуле v
v x2
v y2
v z2 . Мгно-
венная скорость направлена по касательной к траектории в сторону
движения. Движение называется равномерным прямолинейным, если
v const, т.е. мгновенная скорость постоянна по величине и по направлению.
Средняя путевая скорость – это отношение всего пройденного
S
пути к соответствующему промежутку времени <v> =
, где отрезок
t
траектории S – путь (скаляр). При движении точки по криволинейной
траектории её скорость может меняться и по величине, и по направлению. В момент времени t скорость точки равна (t ), а через некоторый промежуток времени t скорость равна v (t
t ), то приращение
скорости
v (t
t ) v (t ).
Линейным мгновенным ускорением (или просто ускорением) называется быстрота изменения скорости, производная от вектора скорости по времени:
a
v
lim
t 0 t
dv
dt
d 2R
dt 2
v
R.
16
Это полное ускорение можно разложить на две составляющие:
a
(тангенциальное ускорение) направленно вдоль касательной и
характеризует изменение скорости по величине и а n (нормальное или
центростремительное ускорение) перпендикулярно к касательной,
направлено к центру кривизны траектории в данной точке и характеризует изменение скорости по направлению.
Тангенциальное, нормальное и полное ускорения имеет вид:
a
dv
e
dt
v2
en ; a
R
a
dv
dt
2
v2
R
2
;a
dv
; an
dt
v2
,
R
где R – радиус кривизны траектории.
Поступательное движение – это движение, при котором все
точки тела движутся по одинаковым траекториям, скорости всех точек
одинаковы. Прямая, соединяющая две любые точки тела, движется
параллельно самой себе. Поступательное движение твердого тела
можно описать движением одной его точки, остальные движутся по
тем же законам. При поступательном движении всегда используется модель материальной точки.
Вращательное движение описывает движение твёрдого тела или
системы материальных точек. Простое вращение – это вращение тела
вокруг фиксированной оси, при этом все точки тела описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях, центры окружностей лежат на оси вращения. В этом случае для определения положение тела
в любой момент времени достаточно ввести одну координату – угол
поворота (t). Сложное вращение – когда тело вращается вокруг фиксированной точки. В этом случае вводится три координаты: (t), (t),
(t), характеризующие поворот тела вокруг любой из трёх взаимно перпендикулярных осей. Любое движение твёрдого тела можно представить как сумму поступательных и вращательных движений.
Количество i независимых координат, определяющих положение
тела в какой-либо момент времени, называется числом степеней
свободы. Свободное движение материальной точки описывается
тройкой координат x, y, z, поэтому i = 3. При наличии k независимых
жёстких связей число степеней свободы в системе из N материальных
точек равно i = 3N – k. Для простого вращательного движения i = 1, а
17
для сложного i = 3. Для твёрдого тела i = 6, т.е. три поступательных и
три вращательных степени свободы.
Вектор углового перемещения d численно равен углу поворота в радианах, а направление определяется правилом буравчика: при
вращении рукоятки буравчика в направлении вращения тела направление движения его винта укажет направление вектора.
Угловая скорость характеризует быстроту изменения углового
d
перемещения во времени:
. Размерность [ ] = рад/с или с–1,
dt
угловая скорость направлена как и d вдоль оси вращения.
Связь линейной скорости с угловой в векторной форме
v [ R], где квадратные скобки обозначают векторное произведение. Направление вектора определяется по правилу буравчика. Угловое ускорение определяется как производная от вектора угловой скорости по времени
= const получим
d / dt; размерность [ ] = рад/с2 или с–2. При
o
t и
t ( t 2 / 2)
o
циальное ускорение точки в этом случае a
корение an
[
o
=
. Линейное танген-
R]. Нормальное ус-
2
r.
Тема 3. Кинематика специальной теории относительности
В 1609 г. великий итальянский ученый Галилео Галилей открыл
закон инерции: если на тело не действуют никакие другие тела,
то оно сохраняет состояние покоя или прямолинейного равномерного движения. Системы отсчета, в которых выполняется закон инерции, называются инерциальными.
Принцип относительности Галилея: в инерциальных системах
отсчёта, находящихся друг относительно друга в состоянии покоя
или прямолинейного равномерного движения, все физические явления и процессы происходят одинаково. Как следствие – все инерциальные системы отсчёта неразличимы.
Преобразования Галилея. Пусть имеются две инерциальные
системы K и K’ (рис. 3.1), одну из которых K, будем считать неподвижной («лабораторной»), а другую – движущейся относительно K со скоростью v, направленной вдоль осей х и х’. При t = 0 начала обеих сис-
18
тем совпадают, а время в системах течёт одинаково: t = t’. Через время t начало O’ будет находиться в точке x = vt (относительно K). События, одновременные в K, будут одновременными и в K’. Приведенные ниже формулы выражают рассмотренный принцип относительности и называются прямыми и обратными преобразованиями Галилея.
Y
Y’
v
K
O’
O
Z
K’
X’
X
Z’
x = x’ + vt’;
x’ = x – vt;
y = y’;
y’ = y;
z = z’;
z’ = z;
t = t’;
t’ = t;
Рис. 3.1
Длительность какого-либо события (интервал) одна и та же в
обеих системах. Величины, значение которых не изменяется при переходе от одной системе отсчёта к другой, называются инвариантами. Инвариантом является и длина стержня L = L’.
По Галилею для инерциальных систем отсчёта (ИСО) K и K’
связь компонент скоростей u ↔ u’ для некоторой материальной точки
выражается формулами:
ux ux v ; uy uy ; uz uz .
Эти соотношения называются классическим законом сложения
скоростей.
В конце XIX в. ряд экспериментов (например, опыты Майкельсона – Морли) поставил под сомнение классический закон сложения
скоростей. Возникли предположения, что скорость света в вакууме
является инвариантом для инерциальных систем и не зависит от скорости их движения, а одновременность относительна.
Специальная теория относительности была создана А. Эйнштейном в 1905 г. и базируется на двух постулатах:
все инерциальные системы отсчёта равноправны, и все физические явления и процессы – механические, оптические, электромагнитные – протекают в них одинаковым образом;
19
скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО, не зависит
от скорости движения источника и является предельной скоростью
распространения взаимодействий.
Первый постулат является принципом относительности Галилея,
распространенным на все физические явления, а второй – обобщением опытных данных о постоянстве скорости света, полученных исследователями XIX в. Голландским физиком Лоренцем, были найдены
носящие его имя преобразования координат и времени при переходе
из одной инерциальной системы K в другую K’, движущуюся с постоянной скоростью v вдоль оси Х системы K.
vx '
t'
x ' vt '
c2 ;
x
; y y '; z z '; t
v2
v2
1 2
1 2
c
c
(3.1)
vx
t
x vt
c2 .
x'
; y ' y ; z ' z; t '
v2
v2
1 2
1 2
c
c
При v ≪ c они переходят в преобразования Галилея. Отход от
классической физики к релятивистской (описываемой теорией относительности) наступает при скоростях порядка 70–80% от скорости света.
Следствия из преобразований Лоренца. Рассмотрим ИСО K’,
движущуюся в направлении Х со скоростью v так, что Х’ скользит
вдоль Х.
1. Сокращение длины движущегося стержня. Пусть в K’ покоится стержень, расположенный параллельно Х’. Его длина, измеренная
в той системе, где он покоится (т.е. в K’), называется собственной
длиной Lо. Используя вышеприведенные формулы, можно получить:
v2
,
c2
где L – длина стержня, измеренная в ИСО K. Таким образом, длина
стержня, измеренная в неподвижной системе K, меньше собственной
длины стержня.
2. Замедление хода движущихся часов. Пусть часы в K’ покоятся. Длительность события о = t’2 – t’1, измеренная в K’, где часы покоL
Lo 1
20
ятся, называется собственным временем события. Соответствующий интервал в K будет . Из преобразований Лоренца следует
o
v2
1 2.
c
Поэтому о < , т.е. движущиеся часы идут медленнее.
Доказательства второго следствия были получены при исследовании космических лучей. Время жизни летящих с большой скоростью частиц в лабораторной системе отсчета оказывается больше из
собственного достаточно короткого (~ 10–6 с), времени жизни.
Тема 4. Основные понятия и законы динамики
Динамика анализирует движение вместе с причинами, вызывающими это движение и изменения в нём. Начало любого движения
и его изменения связаны с взаимодействием между телами. Количественной мерой взаимодействия между телами является векторная
величина сила F . Взаимодействие может быть непосредственное или
на расстоянии – посредством силового поля, т.е. области пространства, в котором обнаруживается действие силы. Единица силы [F] = (Н)
Ньютон.
Законы динамики были сформулированы английским физиком
Исааком Ньютоном и носят его имя. Справедливы они при v ≪ c.
Инерция – свойство всех материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Мерой количества вещества в теле, а также мерой инертности тел является масса m. Масса – величина скалярная и аддитивная.
Первый закон Ньютона: существуют такие системы отсчета,
называемые инерциальными, в которых тело, на которое не действуют другие тела, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, т.е. движется по инерции.
Основным законом динамики является второй закон Ньютона: под действием силы тело получает ускорение, пропорциональное
F
.
m
Если действует не одна, а несколько сил, то под F понимается их векторная сумма, называемая равнодействующей силой.
действующей силе и обратно пропорциональное массе тела: a
21
Третий закон Ньютона: при взаимодействии тел возникающие силы равны по величине, направлены по одной прямой и противоположны по направлению: F 12
F 21. Здесь F 12 – сила, действую-
щая на первое тело со стороны второго, а F 21 – сила, действующая на
второе тело со стороны первого. Важно, что силы приложены к разным телам.
Из опытов Галилея по свободному падению известно, что ускорение, обусловленное притяжением Земли, одинаково для всех тел и
равно g = 9,8 м/с2. Сила, с которой тело, притягиваясь к Земле, действует на подставку (или подвес), называется весом тела.
Импульс – мера (запас) поступательного движения. Импульс
материальной точки равен p
альных точек равен p
i
mv. Полный импульс системы матери-
pi . Так как a
dv / dt, то F
ma
mdv / dt и
F d p / dt. Последняя форма второго закона справедлива и для релятивистского случая.
Любое твёрдое тело можно представить как совокупность большого числа материальных точек. Центр масс системы материальных
точек – это точка, радиус-вектор которой определяется по формуле:
Ro
m1r 1 m2 r 2 m3 r 3 ...
m1 m2 m3 ...
mi r i
,
mi
где r i , mi – радиусы-векторы материальных точек и их массы соответственно. Скорость движения центра масс тела:
vo
dR o
dt
d
dt
mi r i
mi
1
M
mi
dr i
dt
P
,
M
где М – полная масса, а Р – полный импульс тела. Соответственно
полный импульс системы можно определить, зная массу всей системы М и скорость её центра масс P
MV o .
Тема 5. Динамика вращательного движения
Моментом инерции материальной точки mi относительно
фиксированной оси вращения называется величина mi ri 2, где ri –
расстояние i-й точки до оси вращения. Моментом инерции системы
материальных точек относительно фиксированной оси называют
22
величину J
mi ri 2. Если же масса распределена непрерывно, то
r 2 dV . Здесь dV = dm – элементарная масса, r – расстояние от
J
V
dm до оси вращения, V – объём всего тела. Момент инерции является
мерой инертности тела при вращательном движении относительно какой-либо оси, как масса при поступательном.
Существуют три взаимно перпендикулярные оси x, y, z – главные оси инерции, которым соответствуют моменты инерции Jx, Jy, Jz.
Эти оси для тел правильной формы совпадают с осями геометрической симметрии и характеризуются тем, что они определяют устойчивость вращения. Соответствующие этим осям моменты инерции также
называются главными. Если все три главных момента различны, то
устойчивым является вращение относительно двух осей, соответствующих максимальному и минимальному главному моменту. Если две
из трёх компонент одинаковы, то устойчивое вращение соответствует
оси с максимальным моментом инерции.
Теорема Гюйгенса – Штейнера: момент инерции относительно
произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси,
параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
JA
Jo
md 2,
где JA – момент инерции тела относительно произвольной оси, не
проходящей через центр масс; Jo – момент инерции относительно оси,
проходящей через центр масс; d – расстояние между осью вращения
А и параллельной осью О, проходящей через центр масс. Моменты
инерции симметричных однородных тел относительно оси, проходящей через центр масс можно найти в таблицах.
Момент импульса характеризует меру (запас) вращательного
движения. Моментом импульса материальной точки mi относительно
точки О называется векторная величина Li
[r i
mi v i ] [r i
pi ], где
r i радиус-вектор, v i – скорость. Направление Li определяется правилом буравчика. Момент импульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов отдельных точек Li
[r i
pi ].
Для простого вращательного движения твердого тела момент
импульса равен:
23
L
Li
Ji
Ji J ,
причем для простого вращательного движения векторы момента импульса L и угловой скорости имеют одинаковое направление.
Собственный момент импульса твёрдого тела (или собственный
механический момент) равен Ls J , например, вращение Земли вокруг собственной оси. Движение Земли вокруг Солнца характеризуется орбитальным моментом импульса Lo
[r
p].
Моментом силы F i относительно точки О называется величина
Mi равная векторному произведению вектора сила на радиус-вектор
точки приложения силы:
M i [r t F i ].
Модуль момента силы равен:
Mi ri Fi sin
Fi h, где h – плечо силы.
Основной закон динамики вращательного движения в самом
общем виде:
dL
dt
M.
Для простого вращательного движения L
J , поэтому
d
J
M.
dt
Это уравнение называется уравнением динамики вращательного движения и играет такую же роль, как второй закон Ньютона в динамике поступательного движения.
J
Тема 6. Работа, мощность, энергия
Работой силы F на перемещении dr называется скалярная величина dA (F dr ) F ds cos .
Работа на конечном участке 1–2 равна
2
A12
2
dA
1
(F ds ).
1
Единицей работы является джоуль: [A] = H·м = кг м2/c2 = Дж.
Быстрота выполнения работы называется мощностью:
P
dA
dt
(F
ds
) (F v ).
dt
24
Мощность измеряется в ваттах: [P] = Дж/c = Вт.
Энергия – это способность тела или системы совершить работу
и измеряется также в джоулях. Кинетической энергией называется
скалярная величина Ек = mv2/2, характеризующая движение тела.
Изменение кинетической энергии при перемещении точки из 1 в 2
равно совершённой при этом работе
v2
2
0, v 2 v1
mv 22 mv12
mv 2
d
(F ds );
A12
.
0, v 2 v1
2
2
2
v1
1
Консервативными (потенциальными) называются силы, работа
которых не зависит от траектории движения тела, а определяется
только начальным и конечным его состоянием. Соответственно, работа консервативных сил по замкнутой траектории всегда равна нулю. В
поле консервативных сил вводится понятие потенциальной энергии.
Пример: сила тяжести и сила упругости.
Неконсервативными (диссипативными) называются силы, работа которых зависит от пройденного пути. Пример: сила трения
скольжения, силы сопротивления воздуха или жидкости.
Для консервативной (потенциальной) силы, вводится функция
координат Еп = Еп(x, y, z), называемая потенциальной энергией и характеризующая способность системы совершить работу:
2
A12
2
(F ds )
1
dEп
(Eп2
Eп1).
1
Потенциальная энергия связана с взаимодействием между телами и зависит от их взаимного расположения. Выбор начала отсчёта
потенциальной энергии обычно определяется условиями задачи.
Вблизи поверхности Земли Еп = 0, и потенциальная энергия поля тяготения Еп = mgh, где h – высота над поверхностью Земли.
Потенциальная энергия упругой деформации определяется как
Еп
Fdx
( kx )dx
kx 2
2
const.
Тема 7. Законы сохранения в замкнутых системах
Сумма кинетической и потенциальной энергии системы называется ее механической энергией.
Система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой. Системы, в которых действуют только консервативные
25
силы, называются консервативными. Механическая энергия системы тел сохраняется, если система замкнута и консервативна.
mv 2
Eп сonst.
2
Полная энергия системы может включать кроме механической и
другие виды энергии – химическую, биологическую и т.п., причём различные виды энергии могут переходить друг в друга. Полная энергия
системы тел сохраняется, если система изолирована.
В замкнутой системе выполняется закон сохранения импульса
Если
F внешн 0, то p соnst.
Если система не замкнута, то импульс системы сохраняется в
следующих случаях:
1) внешние силы компенсируют друг друга;
2) внешние силы компенсируют друг друга в проекции на какоелибо направление: в этом случае сохраняется проекция импульса на
это направление (частный закон сохранения);
3) взаимодействие кратковременно.
Рассмотрим центральный абсолютно упругий удар. Пусть шар
m1 догоняет шар m2 и v1 > v2. Скорости после удара u1 и u2. Тогда законы сохранения имеют вид:
m1v1 m2v 2 m1u1 m2u2 и
m1v12 m2v 22 m1u12 m2u22
.
2
2
2
2
Скорости после абсолютно упругого удара могут быть различны.
Абсолютно неупругим называется удар, после которого тела движутся вместе с одинаковыми скоростями или покоятся. Закон сохранения
для неупругого соударения имеет вид:
m1v1 m2v 2 (m1 m2 )u и
m1v12 m2v 22
(m1 m2 )u 2 Q,
2
2
где Q – немеханические виды энергии, в основном, теплота. Таким
образом, при неупругом ударе переход часть механической энергии
переходит в другие немеханические виды энергии.
Момент импульса сохраняется, если система замкнута. В незамкнутых системах тел момент импульса сохраняется, если:
26
1) сумма моментов внешних сил относительно некоторой точки
пространства равна нулю,
Mвнешн
0, то сохраняется момент им-
пульса системы относительно этой точки;
2) сумма моментов внешних сил в проекции на какую-либо ось
равна нулю Mвнешн z 0, то в этом случае сохраняется проекция момента импульса на эту ось Lz
const;
3) взаимодействие кратковременно: t
0,
L
M
t
0.
Кинетическая энергия простого вращательного движения:
вращ
Eк
ния,
J
2
, где J – момент инерции тела относительно оси враще2
– угловая скорость. Полная кинетическая энергия:
2
mvц.масс
J 2
Ек Е
E
.
2
2
Из всех реальных сил, которые наблюдаются в природе: сила
трения, сила упругости, сила давления, сила поверхностного натяжения и т.д., наибольшую роль в технике играет сила трения. Это один
из видов сопротивления движению, приводящих к диссипации механической энергии, например, превращению полезной энергии в тепло.
Трение обусловлено механическим зацеплением поверхностей и
электромагнитным взаимодействием на межмолекулярном уровне.
Сухое трение возникает между поверхностями соприкасающихся
твёрдых тел. Если к лежащему на столе бруску приложить горизонпост
к
вращ
к
тальную силу F , которая меньше некоторого определённого значения
0 < F < Fmax, то брусок не сдвинется с места. Сила трения в этом интервале значений называется силой трения покоя. Её максимальное
значение зависит от материала тел, качества поверхностей и характерно только для сухого трения.
Когда тело начинает движение, трение покоя сменяется трением
скольжения, которое пропорционально силе реакции опоры: Fтр
N.
Коэффициент трения
зависит от материала тел и качества поверх-
ности. Сила трения скольжения направлена против относительного
перемещения и обычно не зависит от скорости.
Сила трения качения F тр к выражается через коэффициент трения качения
к
, силу нормального давления и радиус колеса форму-
27
лой Кулона Fтрк
к
N / R. Иногда трением качения называют суммар-
ное сопротивление, возникающее при качении колеса, куда включается и трение скольжения, и аэродинамическое сопротивление, и другие
силы, препятствующие движению.
Вязкое (жидкое, внутреннее) трение возникает при движении в
жидкой или газообразной среде, или же при движении слоёв жидкости
и/или газа относительно друг друга. Вязкое трение всегда приводит к
переходу механической энергии в тепловую. Силы трения зависят от
dv
формы тела, его скорости и вязкости среды: F
– коS, где
dx
эффициент динамической вязкости, имеющий размерность кг/(м·с),
S – площадь соприкасающихся поверхностей. Во многих случаях
Fтр ~ v N, где N – целое число. В частности, сила, действующая на шарик радиуса R в вязкой среде, равна F
6 R v (формула Стокса).
Силы инерции не относятся к реальным силам, а вводятся только в неинерциальных системах отсчета, движущихся с ускорением. В
инерциальных системах отсчета нет сил инерции. Сила инерции всегда пропорциональна массе и не является потенциальной.
Тема 8. Молекулярно-кинетическая теория
Модель идеального газа предполагает следующие допущения:
собственные размеры молекул меньше расстояний между ними, поэтому они считаются материальными точками;
взаимодействие между молекулами отсутствует из-за большого расстояния между ними;
столкновения молекул друг с другом и со стенками сосуда
имеют характер абсолютно упругого удара.
Очевидно, что чем меньше плотность, тем ближе газ к этой
модели.
Давление идеального газа P определяется средним импульсом,
передаваемым единице площади стенки сосуда в единицу времени
молекулами газа. Размерность [P] паскаль (Па).
Для идеального газа абсолютная температура Т, измеряемая
в Кельвинах (К), является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул:
28
m v2
3
Eк
kT ,
2
2
где k = 1,38∙10–23 Дж/К – постоянная Больцмана.
На каждую степень свободы приходится энергия ½kT – закон
равнораспределения энергии по степеням свободы.
Уравнение Больцмана
nkT ,
где n – концентрация молекул n = N/V.
В моле любого вещества содержится одно и то же число частиц
NA = 6,02∙1023 моль–1 (число Авогадро).
Уравнение Менделеева – Клапейрона – это уравнение состояния
для идеального газа:
m
V
RT ,
где R = 8,31 Дж/(моль∙К) – универсальная газовая постоянная, m –
масса газа, – молярная масса.
Следствиями уравнения являются изопроцессы, происходящие
при постоянном значении одного из макроскопических параметров:
изотермический, Т = соnst (закон Бойля-Мариотта);
изобарный, Р = const (закон Гей-Люссака);
изохорный, V = const (закон Шарля).
Закон Дальтона: давление смеси газов, не вступающих друг с
другом в химические реакции, равно сумме парциальных давлений
компонент газовой смеси.
1
2
3 ....
Парциальное давление данного газа из смеси – это давление,
которое бы он создавал, если бы занимал весь объем сосуда в отсутствие других газов.
Тема 9. Классическая статистика
Молекулы воздуха находятся под воздействием двух факторов –
гравитационного поля Земли и хаотического теплового движения. Барометрическая формула показывает, как давление убывает с высотой
над поверхностью Земли:
0
e
mg
z
kT
.
29
В показателе экспоненты потенциальная энергия в поле тяжести. Распределение Больцмана показывает зависимость концентрации частиц от потенциальной энергии:
n
noe
Eп
kT
.
Здесь no – концентрация частиц в точке, где Еп = 0.
Распределение молекул идеального газа по скоростям носит
имя Максвелла. Обозначим dN – число частиц из полного их числа N,
dN
скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, dw
– доля
N
таких частиц или вероятность того, что скорость частицы попадает в
указанный интервал.
График распределения Максвелла представляет собой асимметричный колокол, правая ветвь которого асимптотически уходит на
бесконечность при возрастании скорости.
Наиболее вероятная скорость определяется формулой:
2kT
.
m
Среднеарифметическая скорость равна
v НВ
v
v F (v )dv
0
8kT
m
8RT
,
а среднеквадратичная скорость
v2
v 2 F (v )dv
0
3kT
m
3RT
.
Тема 10. Основы термодинамики
Термодинамика изучает превращение тепла в полезную работу
и различные способы такого превращения. Энергия может передаваться благодаря контакту тел с разной температурой или через вакуум излучением. Измеряется количество теплоты, как и энергия, в джоулях. Совершённая газом работа равна dA Fdx PSdx PdV .
Внутренней энергией называется полная энергия, отнесённая к
частицам газа. Для идеального газа в неё входит кинетическая энергия частиц и атомов.
30
Первое начало термодинамики: при нагревании газа подводимое тепло идёт на увеличение внутренней энергии и совершение полезной работы:
M i
dQ dU dA или dQ
RdT
dV .
2
Это одна из форм проявления закона сохранения энергии. Количество тепла, которое надо подвести к телу, чтобы увеличить его температуру на 1 К называется теплоёмкостью и измеряется в Дж/К:
dQ
C
.
dT
Теплоёмкость, отнесённая к 1 молю, называется молярной (С), а
к 1 кг – удельной (с). Очевидно, что с = С/ .
Молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме:
dQ
dU
i
CV
R.
dT V
dT V 2
Если нагревание происходит при постоянном давлении, получим
dQ
dV
CP
CV
.
dT P
dT
Формула Майера:
C
CV
R.
Адиабатным называется процесс, протекающий без теплообмена с окружающей средой (dQ = 0). Первое начало термодинамики
для такого процесса имеет вид:
dV
CV dT ,
что означает понижение температуры при адиабатном расширении и
повышение при сжатии. Уравнение адиабаты Пуассона имеет вид:
V
где
C
CV
i
2
i
const,
называется показателем адиабаты.
Работа при адиабатном процессе равна
Aадиаб Cv (T1 T2 ).
Идеальным циклом является цикл Карно, в ходе которого газ
приобретает две различные температуры: нагревателя (Тн) и холодильника (Тх). Термический КПД цикла равен отношению работы, произведённой за весь цикл к теплу, полученному машиной:
31
QH
QX
QH
1
QX
QH
TH
TX
TH
TX
.
TH
1
Теоремы Карно:
1) тепловая машина, работающая при заданных температурах
нагревателя и холодильника, не может иметь КПД больший, чем машина, работающая по циклу Карно;
2) КПД машины, работающей по циклу Карно, не зависит от рабочего тела машины, а зависит только от температур нагревателя и
холодильника.
где
Из соотношений (2.11) следует, что 1
QX
QH
QH
TH
QX
,
TX
QX
QH
и
TX
TH
1
TX
, откуда
TH
Q – абсолютная величина изменения теплоты на изотерме при
Q
, введённая Клаузиусом, явT
ляется функцией состояния и называется энтропией (измеряется в
Дж/К) и определяется с точностью до константы. На практике важно
изменение энтропии при переходе из состояния А в состояние В:
B Q
SB SA
S.
A T
Второе начало термодинамики: в изолированной системе энтропия остаётся постоянной для обратимых процессов ( S 0 ) и
данной температуре. Величина dS
возрастает для необратимых ( S 0 ). Второе начало термодинамики показывает невозможность в тепловых машинах, работающих по
замкнутому циклу, превращать теплоту в механическую работу полностью, без каких-либо изменений в окружающих телах. Всегда при таком превращении Q
A.
Энтропия – количественная мера беспорядка в термодинамической системе. Стремясь к максимально возможному равновесному значению, она уменьшает возможности превращения теплоты в полезную
работу. Согласно Больцману энтропия пропорциональна статистическому весу
– числу микроскопических способов, которыми осуществляется некоторое макросостояние системы: S k ln . Здесь k – посто-
32
янная Больцмана. Если система состоит из нескольких подсистем, то
вероятность состояния всей системы равна w w1 w2 w3 ..., а её энтропия S ~ lnw ~(lnw1 lnw2
lnw3 ...) и таким образом число микро-
состояний всей системы определяется числом микросостояний отдельных её частей. При T
0 все микрочастицы, образующие систему, переходят в основное состояние. Число способов осуществления
такого состояния
1 и ln1 0. Поэтому lim S 0. При абсолютном
T
0
нуле наступает абсолютный порядок. Последнее соотношение называется теоремой Нернста или третьим началом термодинамики,
из которого следует недостижимость абсолютного нуля температуры.
Тема 11. Фундаментальные взаимодействия.
Гравитационное поле
Фундаментальными называются взаимодействия, которые
нельзя свести к другим более простым известным взаимодействиям.
В настоящее время различают четыре таких взаимодействия, различающиеся по интенсивности, радиусу действия и частицам, принимающим участие во взаимодействии.
Сильное взаимодействие обеспечивает связь частиц внутри
ядра: протонов и нейтронов, из которых оно состоит. В сильном взаимодействии участвуют и другие тяжелые частицы – адроны.
Электромагнитное взаимодействие описывает кулоновское
взаимодействие заряженных частиц, существование атомов и молекул, а также процессы излучения и поглощения фотонов веществом.
Слабое взаимодействие характеризует процессы распада (в
частности, бета-распада), взаимодействие нейтрино и антинейтрино с
веществом. В нём участвуют все элементарные частицы, за исключением фотонов.
Гравитационное взаимодействие управляет всемирным тяготением, в нём участвуют все частицы. В микромире из-за малости
масс частиц оно существенной роли не играет, однако очень важно
при взаимодействии космических тел, и при взаимодействии излучения с такими телами.
Интенсивность взаимодействия характеризуется безразмерным
параметром, который для сильного взаимодействия принимается за
33
единицу. В таблице 11.1 приведены основные характеристики фундаментальных взаимодействий.
Таблица 11.1
Характеристики взаимодействий
Вид взаимодействия
Интенсивность
Радиус взаимодействия R, м
1
10–15
10–2
∞
Сильное
Электромагнитное
–14
Слабое
10
Гравитационное
10–39
10–18
∞
Взаимодействие между телами осуществляется не только посредством контакта, но и посредством поля. Полем называют область
пространства, где обнаруживается действие каких-либо сил. Для человека наиболее важными являются гравитационное и электромагнитное поля.
Закон всемирного тяготения был открыт Ньютоном и опубликован в 1687 г. Согласно закону, между двумя точечными массами
действуют силы взаимного притяжения, направленные по прямой, соединяющей массы, сила тяготения пропорциональна произведению
масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
В векторном виде закон имеет вид:
m1m2
F12
F21
n,
r2
где n – единичный вектор, направленный к притягивающей массе
(т.е. к массе, создающей гравитационное поле. Справедливость закона была подтверждена опытами Кавендиша (1798 г.) на крутильных
весах и при этом была определена гравитационная постоянная =
= 6,67∙10–11 м3кг/с2. Ученые сказали, что он «взвесил Землю».
Во втором законе Ньютона масса выступает как мера инертности тел при поступательном движении. В законе всемирного тяготения
масса является источником и мерой гравитационного взаимодействия. Принцип эквивалентности, доказанный опытами, утверждает
равенство этих масс.
Отношение
G
F
m
M
n
r2
34
характеризует величину поля, созданного массой М. Этот вектор направлен к источнику поля и называется напряжённостью поля. На
любое тело массой m в поле с известной напряжённостью действует
сила F
mG. В поле Земли вблизи её поверхности G имеет смысл
ускорения силы тяжести g. На тело вблизи поверхности Земли действует сила величиной
M
M
F mG m 2 m
mg.
r
(R h)2 h R
Графически поля изображаются при помощи силовых линий, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с
вектором G, причём густота линий (их количество, проходящее через
единичную площадку) пропорциональна величине напряженности.
Поле точечной массы М определяется как сферически симметричное, радиальное, так как величина G зависит только от r, и неоднородное. Если поле создаётся несколькими источниками, то результирующая напряжённость поля в данной точке есть векторная сумма
полей, создаваемых в этой точке каждым источником в отдельности –
принцип суперпозиции:
G G1 G2 ...
Gi .
Потенциальная энергия точечной массы m определяется с точностью до константы:
Mm
Еп
const.
r
Работа сил тяготения равна разности потенциальных энергий
A12
Mm
1
r1
1
.
r2
Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Силовые линии всегда ортогональны эквипотенциальным поверхностям (линиям).
Тема 12. Электростатическое поле.
Напряженность и потенциал поля
Электромагнитное поле и его свойства начинают изучать с начала XVIII в. Было установлено, что существуют два типа электриче-
35
ских зарядов, которые условно назвали положительными и отрицательными. В XIX в. было установлено, что носителями обоих типов
зарядов являются микрочастицы: электроны, протоны и др.
Свойства электрических зарядов:
одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются;
заряд любого тела кратен элементарному заряду: Q
N e,
где e
1,6 10 19 Кл (кулон – единица заряда в СИ). Здесь N – целое
число, е – заряд электрона. Это минимально возможный заряд микрочастиц. Заряд любого тела меняется дискретно, квантуется;
в изолированной системе суммарный заряд сохраняется:
Q = const (закон сохранения заряда);
полный заряд системы инвариантен, т.е. не зависит от
скорости движения системы.
Заряды, неподвижные в связанной с ними системе отсчёта, создают электростатическое поле. Силовой характеристикой поля является вектор напряжённости электрического поля E
F
, численно
qпр
равный силе, действующей на единичный положительный пробный заряд, внесённый в поле. Единица измерения напряжённости [E] = H/Кл
или В/м. Если заряд движется, то проявляются магнитные свойства поля, и вводится еще одна характеристика – магнитная индукция B.
Закон Кулона (1785 г.) – основной закон электростатики: между
двумя точечными зарядами, расположенными на расстоянии r в вакууме, действует сила вдоль прямой, соединяющей заряды, пропорциональная произведению зарядов и обратно пропорциональная
qq
квадрату расстояния между ними: F k 1 2 2 n. Здесь n – единичный
r
вектор, направленный в сторону силы, коэффициент пропорциональ1
ности в СИ k
, где электрическая постоянная 0 = 8,85·10–12
4 0
ед. СИ. Если взаимодействие происходит в диэлектрике, то
qq
F k 1 22 n,
r
36
где диэлектрическая постоянная показывает, во сколько раз сила
взаимодействия в диэлектрике меньше, чем в вакууме.
Закон Кулона применим для точечных зарядов, для тел сферической симметрии (шара, сферы), причём расстояние r берётся между
центрами этих тел.
Напряженность электрического поля Е – силовая характеристика
поля и численно равна силе, с которой поле действует на единичный
положительный пробный заряд, помещенный в данную точку пространства. Тогда сила, действующая на произвольный заряд q равна
F qE.
Если поле создаётся несколькими зарядами, то результирующая
напряжённость поля в данной точке есть векторная сумма полей, создаваемой в этой точке каждым зарядом в отдельности – принцип суперпозиции: Е
Еi . Как и в гравитационном поле, сило-
Е1 Е2 ...
вые линии проводятся так, что касательные к ним в каждой точке линии совпадают по направлению с Е, причём густота линий пропорциональна величине Е.
Величина напряжённости электростатического поля точечного
заряда равна:
kQqпр kQ
F
E
.
qпр
r 2qпр
r2
Поле точечного заряда и тел сферической симметрии радиально, сферически симметрично и неоднородно.
Напряженность поля равномерно заряженной бесконечной плоскости, с поверхностной плотностью заряда + равна E
2
.
0
Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин,
имеющих противоположные заряды, и может быть заполнен диэлектриком с диэлектрической проницаемостью . Напряженность поля
конденсатора равна E
в любой точке между пластинами и Е = 0
0
вне конденсатора. Таким образом, все электростатическое поле расположено внутри конденсатора, причем оно является однородным.
Вне конденсатора поля нет. Для вакуума = 1.
37
Заряженная полая сфера имеет E
Q
4
0
вне сферы и E
r
0
внутри, так как заряд распределён по поверхности и внутри сферы заряда нет.
Электростатическое поле, как и гравитационное, является потенциальным, поэтому работа по перемещению заряда по замкнутому
контуру L равна нулю.
Потенциал в некоторой точке численно равен работе поля по
перемещению единичного положительного заряда из этой точки в
бесконечность 1 = kq1/r1.
Работа по перемещению заряда q равна A12 q( 1
qU.
2)
Разность потенциалов называется электрическим напряжением. Единица измерения потенциала в СИ [ ] = Дж/Кл = В (вольт). Потенциал –
величина скалярная; потенциал поля, созданного системой зарядов,
равен алгебраической сумме
i.
i
Поле внутри плоского конденсатора однородно, поэтому связь
между Е и напряжением на пластинах U имеет вид:
U
E
,
d
где d – расстояние между пластинами.
Характеристикой конденсатора является ёмкость, которая определяется как величина заряда, который необходимо сообщить конденсатору, чтобы напряжение изменилось на единицу C = q/U. Ёмкость измеряется в фарадах: [C] = Кл/В = Ф и зависит от параметров
0S
конденсатора C
, где S – площадь пластины, d – расстояние
d
между пластинами. Энергия конденсатора:
CU 2 q 2
WC C UdU
.
2
2C
0
Подставляя сюда выражение для С и учитывая, что объём, в котором локализована энергия, равен V = S·d, получим:
U
WC
CU 2
2
С(Ed )2
2
WC
wE
V
S(Ed )2
2d
2
0E
,
2
0
E2
V;
2
0
38
где wE – плотность энергии электростатического поля.
При внесении незаряженного проводника в электрическое поле в
проводнике происходит перераспределение зарядов: электроны сместятся в направлении, противоположном Е, а ионы – вдоль этого направления. Возникающее поле индуцированных зарядов направлено
противоположно основному полю. При установлении равновесия поле
внутри проводника равно нулю, а потенциал постоянен. Если внутри
проводника сделать полость, то поле там будет равно нулю, а если
проводник при этом заземлить, то будет равен нулю и потенциал. Это
используется для электростатической защиты приборов (экранировка).
Тема 13. Постоянный электрический ток
Электрический ток – это упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. В металлах это, в основном, электроны; в растворах – положительно и отрицательно заряженные ионы. За
направление тока принимается направление движения положительных зарядов Количество заряда, переносимое в единицу времени через поверхность поперечного сечения проводника, называется силой
dq
тока J
, а через единицу этой поверхности – плотностью тока
dt
dq
j. Плотность тока считается величиной векторной: j
nе и ток
dtds
тоже. Единичная нормаль к поверхности ds направлена в сторону
движения положительных зарядов.
Сила тока измеряется в амперах (А). Это основная единица в СИ,
через которую выражаются все остальные единицы электромагнетизма. Например, [q] = Кл = А∙с. Плотность тока можно выразить через
концентрацию n носителей заряда и среднюю скорость их движения v.
dQ
j
qnv .
Sdt
Чтобы создать постоянный ток в замкнутой цепи необходим источник сторонних сил неэлектрической природы. Для этого можно
применить батарейку или аккумулятор, использующие энергию химических реакций. Такой источник будет поддерживать разность потенциалов. ЭДС ( ) – это работа, совершаемая сторонними силами, по
перемещению единичного положительного заряда по замкнутой цепи.
Измеряется в вольтах (В).
39
При движении по проводнику заряды тормозятся столкновениями с атомами решётки. Это тормозящее действие называется сопротивлением. Оно пропорционально длине проводника L и обратно
пропорционально площади S сечения:
L
R
.
S
Коэффициент пропорциональности называется удельным сопротивлением, которое зависит от материала проводника. Величина
= 1/ называется удельной проводимостью. Если к участку цепи
приложено напряжение U, то ток на этом участке определяется законом Ома для участка цепи:
U
J
.
R
Для ЭДС, имеющей внутреннее сопротивление r, и замкнутой на
внешнюю нагрузку Rн, закон Ома для полной цепи имеет вид:
J = /(Rн + r).
Правила Кирхгофа.
1. Сумма токов в точке разветвления равна нулю. При этом токи,
сходящиеся в точке, имеют один знак, а расходящиеся – знак противоположный.
2. В замкнутом участке цепи сумма напряжений равна сумме
действующих в нём эдс.
Закон Ома в дифференциальной форме. j
E. Единицы из-
мерения; удельное сопротивление [ ] = Oм·м; удельная проводимость
[ ] = (сименс – См); = 1/ .
При перемещении заряда dq по цепи между точками с потенциалами 1 и 2 совершается работа:
dA = dq( 1 – 2) = UJdt = J2Rdt.
Мощность P = dA/dt равна (закон Джоуля Ленца):
P
UJ
2
J R
U2
.
R
Тема 14. Магнитное поле
При движении заряда поле не является кулоновским и кроме
вектора Е и вводится вторая компонента электромагнитного поля В,
40
которая называется магнитной индукцией. Единица измерения магнитной индукции: [B] Тесла (Тл).
Линии магнитной индукции всегда замкнуты, а явления естественного магнетизма веществ обусловлены токами зарядов, движущихся внутри вещества.
Закон Био – Савара – Лапласа (БСЛ) позволяет вычислить индукцию магнитного поля dB, создаваемую проводником с током J в
любой точке пространства:
dB
где
0
1
2
0с
4
10
7
J [dL r ]
,
4
r3
0
ед. СИ – магнитная постоянная, dL элемент
тока – малый отрезок проводника вектор, совпадающий по направлению с током, r – расстояние от элемента тока до данной точки пространства, для которой вычисляется магнитное поле.
Направление силовой линии магнитного поля определяется по
правилу буравчика: если рукоятку буравчика вращать по направлению
тока, то винт пойдёт в направлении вектора В. Принцип суперпозиции
в данном случае имеет интегральную форму: В
dВ.
В центре кольца, по которому идет ток магнитное поле равно
0J
B
. Направление силовых линий вектора магнитной индукции
2R
для кругового тока можно также найти по правилу буравчика.
Величина pm JSn называется магнитным дипольным моментом. Здесь единичный вектор n перпендикулярен плоскости кольца,
охватывающего площадь S, а его направление задаётся правилом
буравчика. Во внешнем магнитном поле такой магнитный диполь поворачивается таким образом, что направление дипольного момента
pm совпадет с направлением поля. В атомах такие магнитные моменты создаются вращающимися электронами, которые можно рассматривать как элементарные токи.
Для длинного соленоида, величина магнитной индукции в его
N
J
середине равна B
0
0nJ , где L – длина соленоида, N – обL
щее количество витков, n – количество витков на единицу длины.
41
Магнитное поле прямого провода с током на расстоянии а от него равно:
0J
B
.
2 a
Тема 15. Сила Лоренца. Сила Ампера
Сила Лоренца, действующая на заряд движущийся в магнитном
поле со скоростью v равна
F
q[v B].
Если v и B коллинеарны, то магнитное поле на заряд не действует. Если v
B, то FЛ
v и сила Лоренца создает центростреми-
тельное ускорение и заставляет заряд двигаться по окружности радиуса R:
mv 2
qvB.
R
Выражая линейную скорость через угловую (v = R), получаем
так называемую «циклотронную частоту»
qB
,
ц
m
с которой вращаются заряженные частицы в ускорителях.
На проводник с током J1, находящимся в магнитном поле тока J2
действует сила Ампера
dF12
J1[dL1 dB2 ].
Пользуясь правилом буравчика для векторного произведения,
получаем, что параллельные токи притягиваются, а антипараллельные отталкиваются.
Тема 16. Электромагнитная индукция
В 1831 г. М. Фарадей установил, что только переменное магнитное поле, вызывает появление электрического тока. Явление было названо электромагнитной индукцией и обусловлено изменением магнитного потока Ф
(B ds ), т.е. потока вектора B через поверхность
S
S. Поток вектора B измеряется в веберах: [Ф] = [B]·[S] = Тл·м2 = Вб.
42
Возникновение в цепи индукционного тока обусловлено появлением ЭДС-индукции и определяется по закону Фарадея – Ленца, где
знак «минус» означает противодействие причине, вызвавшей индукционный ток:
dФ
d
(B ds ).
dt
dt S
Возникновение индукционного тока характерно для любой замкнутой цепи, в которой протекает меняющийся ток. Это явление называется самоиндукцией, а дополнительный индукционный ток – током
самоиндукции. Магнитная индукция пропорциональна току, следовательно, магнитный поток тоже:
Ф = LJ.
Коэффициент L называется индуктивностью. Размерность
[L] = Генри (Гн). Для ЭДС самоиндукции получаем
dФ
dJ
L .
S
dt
dt
В цепи, имеющей индуктивность, ток спадает до нуля медленно,
этому препятствует самоиндукция, которая также препятствует и
мгновенному установлению тока. Индуктивность аналогична массе в
механике и является мерой инертности в электрических цепях. Индуктивность соленоида длиной ℓ и сечения S, имеющему N витков с сердечником с магнитной проницаемостью , равна:
L = 0 N2S/ℓ.
Энергия WМ магнитного поля катушки:
LJ 2
WM
LJdJ
.
2
0
Плотность энергии электромагнитного поля (энергия, отнесенная
к единице объема) имеет вид:
J
w
0
E2
2
B2
.
2 0
Уравнения Максвелла теоретически решают все проблемы электромагнетизма. Одним из важнейших следствий уравнений Максвелла является возможность существования электромагнитных волн и
получение волнового уравнения, описывающего процесс распространения волны в среде или в пустом пространстве.
43
5. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
Второй семестр
Тема 1. Гармонические колебания
Колебания – процесс изменения какой-либо физической величины или состояния системы, повторяющийся во времени.
Если состояние системы или значение какой-либо физической
величины повторяется через равные промежутки времени, то такие
колебания называются периодическими: f(t) = f (t + T), T – период –
время совершения одного полного колебания {с}; число колебаний за
единицу времени называется частотой = 1/Т. Размерность [ ] = c–1,
Герц (Гц). Собственные (свободные колебания) – колебания которые
происходят в системе, не подверженной действию внешних сил и возникшие в результате кратковременного воздействия.
Классификация колебаний по типу колеблющейся величины.
1. Механические колебания: меняются кинематические параметры: координата x, скорость V, ускорение a, угол .
2. Электрические колебания: колеблются заряд q и напряжение
U на конденсаторе, сила тока I в колебательном контуре, состоящем
из конденсатора ёмкостью С и катушки с индуктивностью L.
3. Электромагнитные колебания: совершают колебания значения напряженности электрического поля E, и магнитной индукции B.
4. Упругие колебания: совершают колебания плотность среды
и давление Р.
Регистрация колебаний осуществляется разнообразными приборами, например, самописец, сейсмограф, электронный осциллограф.
Гармоническим колебанием называется процесс, при котором
значение некоторой переменной величины x(t) изменяется по закону
косинуса или синуса:
x(t ) A cos( t o ).
Это – незатухающие колебания. Параметры А, и о – константы. А амплитуда – максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, всегда положительна, измеряется в тех
же единицах, что и колеблющаяся величина.
44
Круговая или циклическая частота
= 2 /Т = 2
( t + о) называется фазой, а ее значение при t = 0 (т.е.
ной фазой колебания.
. Величина
о) – началь-
Тема 2. Дифференциальные уравнения свободных колебаний
Пружинный маятник представляет собой груз массой m, подвешенный на пружине жесткостью k, который может совершать колебания. При смещении груза на некоторую величину х возникает возвращающая сила упругости равная – kx. Знак минус означает возникновение возвращающей силы kx, направленной в сторону, противоположную смещению. По второму закону Ньютона:
m
d 2x
dt 2
kx
x
2
o
x
0,
d 2x
k
2
где введены обозначения x
,
. Это уравнение называетo
m
dt 2
ся дифференциальным уравнением гармонических колебаний. Решением уравнения являются
x(t) = Acos( оt + о) или х(t) = Asin( оt + о),
т.е. гармонические колебания, которые являются свободными и незатухающими. Амплитуда А и начальная фаза колебаний о. зависят от
того, какую энергию сообщили грузу в начальный момент. Циклическая частота
o
k
называется собственной частой пружинного маm
ятники, также как и период колебаний Tо
2
2
o
m
– определяются
k
параметрами системы.
Физический маятник – твердое тело, совершающее колебания
относительно некоторой оси, не совпадающей с центром масс. Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид:
J
M,
где вторая производная угла отклонения по времени является угловым ускорением маятника, J – момент инерции маятника, а в правой
части стоит векторная сумма моментов приложенных внешних сил. В
скалярной форме J
magsin , где а – расстояние между центром
масс маятника и осью колебаний. Знак минус означает, что момент
45
силы тяжести является возвращающим. Последнее уравнение можно
записать в виде:
mag
, Tо 2 J / mag .
J
При малых колебаниях можно принять, что sin
( в радианах), и уравнение дифференциальным уравнением гармонических
колебаний имеет вид:
2
o
sin
0, где
o
2
o
0,
его решение является гармоническим колебанием:
(t ) A cos( ot
o ),
где A амплитуда – величина максимального угла отклонения в радианах или градусах.
Математический маятник представляет собой материальную
точку, подвешенную на тонкой невесомой и нерастяжимой нити.
Основное уравнение динамики вращательного движения:
J
M, где момент инерции маятника J = mL2 ( L – длина нити) и
расстояние до центра масс a = L. Для малых колебаний получим
уравнение
с решением
(t ) A cos(
t
o
o
2
o
0,
), где
o
g / L, а период колебаний
определяется формулой Гюйгенса:
Tо 2
L / g.
Меняя длину математического маятника можно добиться синхронного качания с физическим маятником, т.е. совпадения периоды
маятников. Тогда длина математического маятника будет называться
приведённой длиной физического маятника Lпр :
2
Lпp
g
2
J
.
mag
Для экспериментального определения момента инерции физического маятника можно использовать выражение:
J maLпр.
Колебательный контур представляет собой катушку индуктивности, соединенную с конденсатором и является гармоническим осциллятором. Если в начальный момент t = 0 на конденсаторе имеется
46
заряд q, то протекание тока через катушку будет приводить к разряду
конденсатора и убыванию напряжения на его обкладках до нулевого
значения. Величина тока в катушке в этот момент достигнет максимального значения и затем начнёт убывать. Возникающая при этом
ЭДС самоиндукции порождает ток, который в соответствии с правилом Ленца поддерживает убывающий ток и при этом перезаряжает
конденсатор. По завершении этого процесса ток обратится в нуль, а
заряд на конденсаторе снова примет максимальное значение, но с
другим знаком. Этот момент соответствует половине периода колебаний, и далее процесс идет в обратном направлении. Энергия электростатического поля в конденсаторе Wс = СU2/2 переходит в энергию
магнитного поля катушке WМ = LJ2/2 и обратно.
По закону Кирхгофа напряжение на конденсаторе Uc = q/C равно
ЭДС самоиндукции, получаем дифференциальное уравнение колебаний в контуре:
dJ
d 2q
1
L
L
Lq
.
Поэтому
Lq
q 0 или q o2q 0,
s
2
dt
С
dt
1
где o
и Tо 2 LC – формула Томсона.
LC
Решением этого уравнения является гармоническое колебание
заряда
q(t) = Qcos( ot + o),
где Q – амплитуда заряда; или напряжения на конденсаторе:
Uc = q/C = (Q/C)cos( ot + o),
и также гармонические колебания тока
J q
oQ sin( ot
o ).
Полная энергия, запасенная в контуре равна:
Еполн Ес
Ем
CU 2
2
LJ 2
const.
2
Аналогично для пружинного маятника
2
o
k/m и
kx 2 mv 2 m o2 A2
Еполн Еп Ек
const.
2
2
2
Таким образом, полная энергия в каждой из этих систем сохраняется. Потенциальная и кинетическая энергии колеблются в противофазе и с удвоенной частотой.
47
Тема 3. Сложение колебаний
Сложение колебания одинаковых частот 1 = 2 = с амплитудами А1 и А2 можно представить при помощи метода векторных диаграмм. Представим складываемые колебания
х1(t) = A1cos( t + о1) и х2(t) = A2cos( t + о2)
в виде векторов, длины которых равны А1 и А2, а углы, которые векторы образуют с осью Х, равны о1 и о2 соответственно (рис. 3.1). При
этом весь параллелограмм векторов вращается против часовой
стрелки со скоростью . Суммой векторов является вектор A, длина
которого по теореме косинусов равна
A
A12
A22 2 A1A2 cos(
o1
o2
).
Y
A
A1 A2
A2
A1
о1
02
Х
Рис. 3.1
Для треугольника с гипотенузой А найдём
A1 sin o1 A2 sin o2
tg
.
A1 cos o1 A2 cos o2
Следовательно, суммой двух коллинеарных гармонических колебаний с одинаковыми частотами является гармоническое колебание x(t ) A cos( t
) с амплитудой, зависящей от разности фаз
складываемых колебаний и новой начальной фазой.
Если складываются колебания с разными частотами
1
и
2,
то
метод векторных диаграмм неприменим, поскольку векторы A1 и A2
будут вращаться с различными скоростями.
Когда амплитуды складываемых колебаний равны, но частоты
незначительно отличаются 1
2, то результат сложения можно
48
представить как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого A(t) медленно изменяется. Этот процесс называется биениями.
Частота модуляции определяется разность частот (малой частотой)
1
2
2
, а период биений определяется величиной:
1
2
2
1
2
.
2
2
Здесь = 1 – 2 – частота биений. Если частоты 1 и 2 сильно
отличаются друг от друга, то колебания не будут гармоническими.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Пусть складываемые колебания имеют вид
x(t) = A1cos( t + о1) и y(t) = A2cos( t + о2).
Если разность фаз
= 0, то точка будет колебаться в пределах
прямой, проходящей через начало координат, с результирующей амплитудой A
A12
A22 . Если
=
/2, то получим уравнение эллип-
са, симметрично ориентированного относительно координатных осей.
x2
A12
y2
A22
1. Фигуры, при различных соотношениях кратных частот и
разностях фаз называются фигурами Лиссажý.
Тема 4. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс
В среде с вязким трением при движении пружинного маятника,
кроме сил тяжести и упругости, действует сила трения, величина которой пропорциональна скорости Fтр = rv. (Здесь r – коэффициент сопротивления; измеряется в кг/с). Поэтому дифференциальное уравнение принимает вид:
mx
kx rx или
x 2 x
2
o
x
0,
где = r/(2m) – коэффициент затухания; измеряется в с–1. Решение
уравнения при o
имеет вид
x(t ) A(t )cos( t
о
где амплитуда затухающих колебаний равна
),
49
t
A(t ) Aoe
и частота затухающих колебаний
2
o
2
.
Здесь Ао и о – константы, определяемые начальными условиями. График функции представлен на рис. 4.1, где пунктирной линией
показан закон изменения амплитуды. Время одного колебания называется условным периодом Т = 2 / .
x(t)
Ao
A(t )
Aoe
t
Aocos
0
t
t*
t*+T
Рис. 4.1
Временем релаксации = 1/ называется время, за которое амплитуда уменьшается в е раз.
Полная энергия колебаний Е пропорциональна квадрату амплитуды E(t ) Eoe
2 t
.
Добротностью колебательной системы называется величина
Q, определяемая следующим образом:
E
количество энергии, запасенной в системе
Q 2
2
.
количество энергии, теряемой за условный период
E
При большом затухании, когда
0, колебаний не будет, такой
режим называется апериодическим.
В реальном электромагнитном контуре всегда присутствует омическое сопротивление R катушки индуктивности и подводящих проводов.
Падения напряжения на омическом сопротивлении по закону Ома равно
50
UR
RJ Rq. Коэффициент затухания имеет вид = R/(2L). Дальнейшее
аналогично затухающим колебаниям в механической системе.
Колебания, происходящие под действием внешней периодической силы, называются вынужденными. Пусть на маятник действует
внешняя периодическая сила F(t) c циклической частотой и амплитудой Fo. Из 2-го закона Ньютона с учетом силы вязкого трения rx получим уравнение mx
kx rx Fo cos t, откуда
x 2 x
2
o
x fo cos t.
Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. В
r
k
– коэффициент затухания, o
– собственная часто2m
m
Fo
та колебаний, а fo
называется плотность силы.
m
Общее решение состоит из уравнения затухающих колебаний и
частного решения (t) неоднородного уравнения:
нем
x (t ) Ae t cos(
2
о
2
t
о
)
(t ).
Частное решение имеет вид (t) = acos( t + ), где
Fo
2
a( )
; ( )
arctg 2
2 2
m ( o2
) 4 2 2
o
2
.
Вынужденные колебания происходят с частотой
внешней силы, а не с собственной частотой 0.
Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний
при значении частоты внешнего воздействия близкой к собственной =
= р называется резонансом, а максимальное значение амплитуды называется резонансной амплитудой. При = 0 амплитуда а
, а при
возрастании амплитуда убывает. Частота резонанса равна
р
2
o
2 2.
При
0 получим амплитуду при очень малых частотах ao =
2
= Fo/(m o ) – статическое смещение. Амплитуда при резонансе равна
Ap
Fo (2m
2
o
2
).
Электрическим аналогом механической системы является колебательный контур с последовательно включенным генератором
внешней э.д.с. E(t) = Eocos t.
51
Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний в контуре с последовательным возбуждением имеет форму
Eo
q
R
1
Lq Rq
Eo cos t или q
q
q
cos t.
L
LC
L
C
2
2
o
Решения этого уравнения имеют тот же вид как для механической системы с заменами силы Fo на эдс Eo и массы m на индуктивность L.
Параметрическими называются колебания, происходящие под
действием внешней периодической силы, изменяющей параметры
системы, например, длину математического маятника – параметр, от
которого зависит период (Tо
2
/ g ). Если менять с некоторой час-
тотой расстояние между пластинами конденсатора в контуре (или
вводить в катушку индуктивности ферритовый сердечник), то также
получим параметрические колебания, поскольку параметр С (или L)
определяет период колебаний в контуре (Tо
2
LC ).
Автоколебания – это колебания, которые совершает система,
подключенная к источнику энергии и периодически пополняющая израсходованную энергию при помощи звена обратной связи.
Тема 5. Волновые процессы
Процесс распространения колебаний в пространстве называются волной. Основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.
Колебания вещества порождают упругие волны, например, звук.
Колебания электромагнитного поля порождают электромагнитные
волны, например, свет.
Если колебания возмущенной величины происходят перпендикулярно направлению распространения волны, то волна называется
поперечной, а если параллельно, то продольной. В жидкостях и газах
могут распространяться только продольные упругие волны, поскольку
такие среды не обладают деформацией изгиба, ответственной за
формирование поперечных упругих волн. В твердом теле могут распространяться как продольные, так и поперечные волны.
Гармонические волны – волны, в которых колебания происходят
по гармоническому закону. Расстояние, которое волна проходит в
52
пространстве за время, равное одному периоду колебаний, называется длиной волны ( ) – это минимальное расстояние между двумя точками, колеблющимися в одинаковой фазе (рис. 5.1).
Рис. 5.1
Скорость распространения волновой картины называется фазовой скоростью (V). Поэтому
V
2
2
VT
,
k
V
где k – волновое число.
Геометрическое место точек, до которых доходит волновое возмущение к данному моменту времени, называется фронтом волны, а
геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе, называется волновой поверхностью. По виду волновой поверхности волны
можно разделить на сферическую, цилиндрическую и плоскую.
Уравнение плоской волны. Предположим, что точка, координата которой х = 0, колеблется по закону (0, t) = Asin t. Возмущение
для любой точки с координатой х дойдет с запаздыванием на время
распространения волны, равное = x/V, и уравнение будет иметь вид:
x
(x, t) = Asin (t – ).
V
С учетом возможной начальной фазы :
x
( x, t ) A cos[ (t
)
] или ( x,t ) A cos( t kx
).
V
2
где волновое число k
.
V
53
Это скалярное уравнение плоской гармонической волны.
Общая картина колебания всех точек будет выглядеть для стороннего наблюдателя как реальная бегущая волна.
dx
Фазовая скорость V
– скорость распространения волновой
dt
картины. Если в скалярном уравнении плоской гармонической волны
в круглых скобках минус заменить на плюс, то получим волну, распространяющуюся в противоположном направлении.
Тема 6. Упругие волны
Полная энергия, переносимая упругой волной, включает потенциальную энергию упругой деформации и кинетическую энергию частиц объема, колеблющихся под воздействием волны.
Фазовая скорость распространения продольных упругих волн:
V
E
V||,
где – плотность, а Е – модуль Юнга, характеризующий упругие свойства материала. Для поперечных волн получится формула:
V
G
V ,
где модуль сдвига G так же, как и модуль Юнга Е, является универсальной константой, зависящей от свойств среды. В газах скорость
звука определяется формулой
V||
p/ ,
где – константа, зависящая от свойств газа; р – среднее давление.
Скорость звука в воздухе при комнатной температуре около 340 м/с, в
жидкостях – около 1500 м/с, в твердых телах – от 3000 до 5500 м/с.
Слышимый звук образует узкий диапазон упругих волн от 20 Гц
до 20 кГц. Инфразвук, расположен в диапазоне от 0 до 20 Гц. Более
высокие частоты – ультразвук, нижняя граница которого еще находится в пределах слышимости для некоторых животных.
Величиной, характеризующей воздействие звука на организм
человека, является уровень интенсивности звука, измеряемый в децибелах (дБ) и определяемый как
54
L 10ln
j
,
jo
где jo = 10–12 Вт/м2 – уровень, принятый за порог слышимости.
Тема 7. Электромагнитные волны
Возникновение электромагнитной (ЭМ) волны обусловлено
тем, что изменяющееся магнитное поле порождает в непосредственной окрестности изменяющееся электрическое поле, которое, в свою
очередь, снова порождает изменяющееся магнитное и т.д.
Скорость света в вакууме (с) связана с электрической o и магнитной
o
постоянными, соотношением с
1
o
.
o
Уравнения гармонической электромагнитной волны имеют вид:
),
Ey ( x,t ) Eyo sin ( t kx
) и Bz ( x, t ) Bzo sin( t kx
где Eyo, Bzo – амплитуды электрической напряженности и магнитной
индукции поля соответственно. ЭМ волны поперечны: E
B. Колеба-
ния векторов Е и В происходят в одной фазе: их значения проходят
одновременно через нуль или через максимум. Фазовая скорость в
среде равна
c
c
V
,
n
где , – соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости; величина n, показывающая, во сколько раз фазовая скорость ЭМ
волны в среде меньше, чем в вакууме, называется оптическим показателем преломления. Для вакуума = = 1 и V = c.
Для ЭМ волны плотность энергии определяется суммой электрической и магнитной компонент:
w
E2
2
o
B2
.
2 o
Диапазон длин волн видимого света довольно узкий: от 4000 Å
(фиолетовый свет) до 7500 Å (красный). Ангстрем: 1 Å = 10–10 м.
В среде фазовая скорость распространения V = c/n зависит от
, поэтому n = f( ), т.е. в данной среде для каждой составляющей
55
спектра будет свой показатель преломления, что и обусловливает
разложение призмой белого света на цветные полоски.
Тема 8. Интерференция когерентных волн
Интерференция – это явление перераспределения светового
потока в пространстве, возникающее при наложении когерентных
волн, в результате возникновения min и max интенсивности в определённых точках пространства. Когерентными называются волны,
имеющие одинаковую частоту, поляризацию и постоянную разность
фаз. Физический смысл максимумов и минимумов: приходя в некоторую точку наблюдения, волны могут усиливать и ослаблять друг
друга в зависимости от разности фаз, т.е. в зависимости от того,
где находится точка наблюдения.
Рассмотрим сложение двух когерентных волн, проходящих путь
S1 и S2 в средах с показателем преломления n1 и n2 соответственно:
S1
)],
1
о1 cos[ (t
V1
о2
2
cos[ (t
S2
)].
V2
Если складывать когерентные волны (разность фаз постоянна), то задача сводится к сложению коллинеарных колебаний
Ар2
А12
А22
S2
V2
S1
) – разность фаз.
V1
(
V1
c
; V2
n1
c
; n
n2
2А1А2 cos
.
c
– показатель преломления.
V
(n2S2 n1S1),
(L2 L1),
с
с
где S1 и S2 – геометрическая длина пути, а L1 = n1·S1 и L2 = n2·S2 – оптическая длина пути; L2 – L1 – разность оптических длин пути или
просто разность хода. Для вакуума она совпадает с геометрической,
так как n = 1. Если волна переходит из вакуума в среду, то частота колебаний остается неизменной, а скорость и длина волны меняется.
2
K
;
c
0
56
где
0
– длина волны в вакууме.
Выразим разность фаз через разность хода:
2
.
0
Результирующая амплитуда складываемых колебаний зависит
от разности хода.
Пусть А1 = А2
2 m, где m – целое число.
cos
1
0; 2 ; 4 .
4А2, Aр
max Aр2
2А.
Найдём условия max через разность хода.
2
2 m,
0
отсюда условие максимума
m 0, где m = 1, 2, … – номер максимума.
Условия max интенсивности: в разность хода двух волн укладывается целое число длин волн (четное число полуволн).
Поскольку J A2, то при интерференции от двух одинаковых источников максимальный выигрыш по интенсивности – в четыре раза.
Ар = 0 условие min: cos
1;
3 ...(2n 1) .
Из условия min
2
(2m 1) получаем для разности хода:
(2m 1), где m = 1, 2, … – номер минимума.
2
Условие min интенсивности: в разность хода двух волн укладывается нечётное число полуволн.
Волны, исходящие от независимых источников, никогда не будут
когерентными. Для получения когерентных источников необходимо
разделить световой луч на два луча, например, бипризма Френеля,
зеркала Френеля, кольца Ньютона.
Принцип Гюйгенса-Френеля: каждая точка волновой поверхности сама является источником вторичных волн. Учёт амплитуды и фазы вторичной волны даёт интерференционную картину в каждой точке
пространства.
Метод Юнга: за точечным источником света ставится диафрагма с двумя щелями: L – расстояние от плоскости щелей до экрана, d –
расстояние между щелями (рис. 8.1).
0
57
Рис. 8.1
X – расстояние от центра до точки наблюдения, m = 0, 1, 2, …
x
xd
xd
max m
,
d L
L
L
m L
0 (2m 1)L
xmax
или xmin
.
d
2d
Для среды с коэффициентом преломления n разность хода равxd
на
n(d1 d2 ) n
.
L
При m = 0 получим центральную светлую полосу xmax = 0 и рядом
L
– две темные полосы порядка m = +1 и m = –1 симметричxmin
2d
но по обе стороны от центрального максимума. Расстояние b между
соседними максимумами или соседними минимумами называется
шириной интерференционной полосы b = L/d. Если освещать монохроматическим светом две щели, то на экране получим чередование
тёмных и светлых полос. Если щели осветить белым светом, то получим разложение белого света на спектр.
Интерференция в тонких пленках дает цветные разводы на поверхности мыльных пузырей, поверхностях пленок от бензина на воде. При падении луча на пленку толщиной d с параллельными поверхностями, с коэффициентом преломления n, возникают когерентные отраженный и преломленный лучи, которые выйдут из пленки
близко друг от друга. При нормальном падении разность хода лучей,
отраженных от верхней и нижней поверхностей равна
58
2dn
m .
2
При отражении от более плотной среды фаза волны меняется
на , что соответствует добавлению (или вычитанию) в разность хода
2
. Это эффект «потери полволны».
Наилучшим способом наблюдения интерференции является использование лазерного луча, так как он обладает высокой степенью
когерентности, монохромности и большой интенсивностью.
Тема 9. Стоячие волны
Стоячие волны можно рассматривать как частный случай интерференции, имеющей свои особенности. При сложении двух плоских волны, распространяющихся вдоль оси Х навстречу друг другу:
( x,t ) A cos( t kx ) и ( x,t ) A cos( t kx ).
Получим уравнение результирующего колебательного процесса:
( x, t )
A cos( t kx ) A cos( t kx ) 2A cos kx cos t .
a( x )
Такие колебания называются стоячей волной. Амплитуда стоячей волны 2A cos kx зависит от координаты. В точках, для которых
1
xo
(n
) , где n = 0, 1, 2, амплитуда равна нулю:
2 2
2
a( x ) 2A cos
x 0.
Такие точки называются узлами стоячей волны. Между ними, т.е.
в точках, где X равна целому числу полуволн, амплитуда a(x) может
принимать максимальные значения a(x) = 2А. Такие точки называются
пучностями. Реальная картина стоячих волн зависит от граничных
условий среды.
Рассмотрим струну длиной L, закрепленную у обоих концов, в
которой взаимодействуют встречные бегущие поперечные волны.
Учитывая, что = V/ , где – частота, а V – фазовая скорость бегущей волны, связанная с линейной плотностью материала струны
(масса на единицу длины), и силой натяжения F соотношением
V
F
. Тогда для общего случая получим: L
nV
, откуда
2
n
nV
,
2L
59
где n = 1, 2, 3, .... Последнюю формулу называют спектром собственных частот колебаний струны. Индекс n, присвоенный частоте,
отражает тот факт, что набор частот дискретен.
Эффект Доплера заключается в том, что частота сигнала, который посылается источником, отличается от частоты, которая принимается приемником, если источник или приемник (или оба вместе) движутся. При приближении источника сигнала наблюдатель обнаруживает повышение частоты тона, а при удалении – понижение. Это явление
наблюдается и для упругих, и для электромагнитных волн, однако описывается по-разному, поскольку упругие волны распространяются всегда в среде, а ЭМ волны могут распространяться и в вакууме. В этом
случае упругих волн говорят об эффекте Доплера в акустике. Воспринимаемая частота рассчитывается по следующей формуле:
V Vпр
' o
,
V u
где скорость волны относительно среды V, скорость источника относительно неподвижной среды u.
Правило знаков следующее: V > 0 – всегда; Vпр, u > 0 – для
сближения; Vпр, u < 0 – для удаления.
Эффект Доплера для ЭМ волн. Так как ЭМ волны могут распространяться в пустом пространстве в отличие от упругих волн, то говорят лишь об относительной скорости U приемника по отношению к
источнику (или наоборот).
Пусть система K' с неподвижным в ней приемником удалялась от
системы K с неподвижным источником. Формула для принимаемой
частоты имеет вид:
'
o
с U
.
с U
Анализ линий спектра излучения удаленных космических объектов показывает, что положение этих линий сдвинуто в сторону
бóльших длин волн. Явление это называют красным смещением. Повидимому, оно подтверждает гипотезу о расширяющейся Вселенной.
Согласно этой гипотезе, Вселенная образовалась в результате большого взрыва, и находится в состоянии расширения, которое затем
должно смениться сжатием.
60
Эффект Доплера используется в приборе для определения скоU
рости U движущегося автомобиля. В этом случае
1 и для малых
c
U получим для частоты ′, воспринимаемой водителем, значение
U 2
U
'
)
).
o (1
o (1
2c
c
Сигнал этой частоты отражается назад и воспринимается радаром как сигнал, идущий от движущегося источника – автомобиля. Воспринимаемая радаром частота ″ снова определится формулой:
U
U 2
2U
"
'(1
) o (1
)
(1
...).
o
c
c
c
Соответственно разность частот посланного и принятого сигнала:
= ″ – о = 2 оU/c, откуда U = c /(2 о).
Тема 10. Дифракция. Поляризация. Дисперсия
Дифракция – это широкий круг явлений, описывающих влияние
неоднородностей среды или помех на распространение волн. В частности, рассматривается отклонение направления распространения
света от прямолинейного – огибание препятствий.
Основой теории дифракции является принцип Гюйгенса – Френеля: если от некоторого источника распространяется волна, то любую волновую поверхность можно рассматривать как совокупность
большого количества точечных вторичных источников, испускающих
сферические когерентные волны, суммарное действие которых эквивалентно действию первичного источника.
Дифракционная решетка представляет собой периодическую
структуру, состоящую из большого количества щелей с промежутками
между ними. Расстояние d между соседними щелями (промежутками
между штрихами) называют периодом решетки: d = 1/N, где N – число штрихов на единицу длины. Условие главных максимумов определяется соотношением
d sin = m ,
где m = 0, 1, 2,... – номер главного максимума.
Если решетку освещать белым светом, то в центре картины будет белая полоса. Для данного значения m получим, что бóльшему
соответствует бóльший угол . Каждый главный максимум превраща-
61
ется в полоску цветов спектра белого света от фиолетового до красного. В отличие от призмы, решетка будет отклонять красный цвет
больше, чем фиолетовый (так как КР > Ф). Дифракционная решетка
часто используется как спектральный прибор, заменяющий призму.
Поляризация определяется ориентацией вектора напряжённости
электрического поля Е волны. В луче естественного света вектор Е
всегда расположен в плоскости, перпендикулярной к направлению
распространения, но в этой плоскости он может быть ориентирован
произвольным образом. Существуют анизотропные среды, свойства
которых зависят от направления. После прохождения света через
кристалл-поляризатор колебания вектора Е будут ориентированы в
плоскости выделенного направления. Свет на выходе поляризатора
называется линейно-поляризованным. Если далее на пути света поставить точно такой же кристалл и вращать его вокруг луча, то интенсивность света на выходе обоих кристаллов будет зависеть от угла
поворота. Зависимость интенсивности прошедшего света от выражает закон Малюса J( ) = Jоcos2 .
Таким образом, второй кристалл позволяет установить, является
ли падающий свет поляризованным, и потому называется анализатором. Явление поляризации характерно не только для электромагнитных, но и для любых поперечных волн.
Существуют вещества, при прохождении через которые плоскость
падающего плоскополяризованного излучения поворачивается на некоторый угол , пропорциональный концентрации вещества С и длине L
прохождения: ~ CL. Измерив этот угол, можно определить концентрацию раствора. Соответствующий прибор, используемый в пищевой промышленности и фармацевтике, называется сахариметром.
Дисперсия в оптике – это зависимость фазовой скорости волны
V = c/n и соответственно оптического показателя преломления от
длины волны n = f( ) или частоты. Демонстрацией оптической дисперсии является разложение белого света на семь монохроматических
компонент: красную, оранжевую, желтую, зелёную, голубую, синюю и
фиолетовую («Каждый Охотник Желает Знать, Где Сидит Фазан»).
Самый большой показатель преломления – для фиолетовой компоненты, а самый маленький – для красной. Потому белый свет и распадается на спектральную полоску.
62
Другим свойством среды является поглощение. Если излучение
с длиной волны и интенсивностью Jо падает на некоторую среду с
коэффициентом поглощения k, то интенсивность света, прошедшего
расстояние x, определяется по закону Бугера – Ламберта:
J( x )
Joe
k x
.
При воздействии на среду излучения некоторой частоты, близкой к собственной частоте о колебаний электронов в молекулах вещества, начинается сильная резонансная раскачка этих электронов,
которая приводит к их переходу в возбужденное состояние. Этот процесс сопровождается поглощением энергии из внешнего излучения. В
средах, где число частиц в возбуждённом состоянии превышает число
частиц в основном состоянии коэффициент поглощения становится
отрицательным. Такая среда с инверсной заселённостью уровней
усиливает проходящее через неё излучение. На этом основана работа лазеров, дающих монохроматическое когерентное излучение. Эта
активная среда может быть твёрдым телом, газом или жидкостью.
Она помещается между двумя зеркалами, одно из которых полупрозрачное. Излучение, стимулированное в среде внешним источником,
попеременно отражаясь от зеркал, приобретает большое усиление и
затем выходит через полупрозрачное зеркало.
Тема 11. Основы квантовой физики
К концу ХIХ в. все основные разделы классической физики были
практически завершены. Ньютон создал основу динамики, которая
изучает движение всех тел, включая движение планет. Опыты Френеля и Фраунгофера по дифракции и интерференции доказали, что свет
имеет волновую природу. Уравнения Максвелла описывали все электромагнитные явления и предсказывали распространение электромагнитных волн, что было подтверждено на опыте. Опыты Майкельсона – Морли показали, что скорость света является абсолютной, т.е.
не зависит от систем отсчета. На основе этого была создана теория
относительности пространства и время.
Но были некоторые опыты, которые не находили объяснений в
рамках классической физики, в частности «ультрафиолетовая катастрофа»: в спектральном распределении излучения нагретых твер-
63
дых тел в области коротких длин волн наблюдалось существенное
расхождение экспериментальных данных и теории.
14 декабря 1900 г. Макс Планк, анализируя тепловое излучение,
впервые предположил, что оно испускается отдельными порциями.
Каждая такая порция стала называться квантом электромагнитного
излучения или фотоном.
Энергия кванта равна
h , где – частота излучения, а h =
= 6,62∙10–34 Дж∙с – постоянная Планка. Для круговой частоты = 2 ,
, где
h / (2 ) 1,05∙10–34 Дж∙с. Это основное отличие от классической теории, которая предполагает, что энергия волны (колебаний) пропорциональна квадрату амплитуды: E A2.
При таком допущении теоретическая спектральная зависимость
излучения твердого тела полностью совпадала с экспериментальной.
Этот день считается днем рождения квантовой физики. Эта рабочая
гипотеза Планка ознаменовала начало новой квантовой эры. Далее
выяснилось, что весь микромир подчиняется законам, отличным от
законов макромира. Многие другие физические величины в микромире квантуются, т.е. принимают набор определённых дискретных
значений. В дальнейшем теория квантов была применена для объяснения других физических явлений.
Фотоэффект – это явление выбивания электронов из металла
под действием света. Фотоэффект был открыт в 1887 г.
Г. Герцем и затем исследован А.Г. Столетовым. Это явление
можно объяснить с классической точки зрения: электроны поглощают
падающее излучение и преодолевая потенциальный барьер, вылетают из металла. Но наличие «красной границы» не объяснялось с
классической точки зрения. В 1905 г. А. Эйнштейн применил гипотезу
Планка для объяснения фотоэффекта:
meV 2
,
2
где me – масса электрона, а V – их максимальная скорость, Авых – раh
Авых
бота выхода – энергия, которую нужно сообщить электронам, чтобы
вырвать их из атома. Часть энергии передается выбитым электронам
в виде кинетической энергии. Длина волны, для которой энергии фотонов хватает только на преодоление работы выхода, называется
красной границей фотоэффекта и определяется из соотношения
64
h
hc
кр
Авых .
кр
При облучении катода светом с длиной волны
кр
фототока
не будет. Задерживающий потенциал, когда электроны полностью
тормозятся создаваемым полем, вычисляется из соотношения:
meV 2
| eUзап |
.
2
Идей о существовании частиц света – «корпускул» – придерживались античные атомисты во главе с Демокритом (V в. до н.э.), а также Ньютон. В XIX в., после интерференционных опытов Юнга и Френеля, активно стала развиваться волновая концепция, согласно которой свет имеет волновую природу. Однако в XX в. стали появляться
подтверждения корпускулярной теории, согласно которой свет – частицы. Давление света, открытое в 1899 г. Лебедевым, сначала объяснили с позиций корпускулярной теории, а затем та же самая формула
была получена с помощью волновой теории.
Вывод: в различных ситуациях свет может проявлять и корпускулярные, и волновые свойства. Такая двойственность поведения называется корпускулярно-волновым дуализмом.
Гипотеза де-Бройля (1924 г.) объединила корпускулярные и волновые свойства вещества. Импульс фотона p = E/c, а энергия E = h =
= hc/ , то длина волны = h/p. Луи де-Бройль обобщил эту идею на все
микрочастицы. Согласно его гипотезе, микрочастице с массой m, и скоростью V соответствует длина волны, определяемая по формуле:
h
.
дБ
mV
Это объединение длины волны – волнового параметра и импульса – механического параметра.
В 1927 г. Дэвиссоном и Джермером, а позднее и другими физиками были поставлены опыты по рассеянию пучка электронов на кристаллических периодических структурах. В результате на фотопластинке наблюдалась дифракционная картина с максимумами и минимумами. Таким образом, электроны, ведущие себя как частицы, попадая на кристалл, начинают вести себя как волны, образуя дифракционную картину, что подтвердило гипотезу де Бройля.
65
Тема 12. Уравнение Шредингера
Каждой микрочастице в квантовой механике ставится в соответствие волновая функция = (x, y, z; t), квадрат модуля которой является мерой вероятности dW нахождения микрочастицы в пределах
малого элемента объема dV:
dW = | |2∙dV = ∙ *∙dV.
Интеграл, взятый по всему объему пространства, называется
условием нормировки волновой функции и соответствует достоверному событию – обнаружить частицу в данном объеме.
Квантовая задача о частице в потенциальной яме соответствует
реальной ситуации связанных состояний электронов и других микрочастиц в атомах и ядрах. Уравнение Шредингера для такой задачи по математической форме соответствует уравнению гармонических колебаний.
С учетом граничных условий выражение для дискретного спектра собственных значений энергии частицы в потенциальной яме имеет вид:
2 2 2
n
,
2mL2
где L – ширина потенциальной ямы, m – масса частицы.
Рассмотрим микрочастицу, полная энергия которой меньше
уровня U потенциального барьера В классическом варианте в этом
случае прохождение частицы через барьер невозможно. Однако в
квантовой физике существует вероятность, что частица пройдет, т.е.
как бы «просочится», используя свои волновые качества. Поэтому
эффект еще называется «туннельным».
En
Тема 13. Строение атома водорода
В 1911 г. Резерфорд предложил планетарную модель атома, которую в дальнейшем дополнил датский физик Нильс Бор. Теория
атома водорода Бора состоит из трех постулатов.
Электрон вращается вокруг ядра по избранным стационарным
круговым орбитам. Атом при этом не излучает и не поглощает энергии.
При переходе с одной стационарной орбиты на другую происходит излучение или поглощение кванта электромагнитной энергии.
Стационарная орбита удовлетворяет условию квантования
момента импульса (пространственное квантование):
66
mevr n ,
где n – главное квантовое число, соответствующее номеру энергетического уровня n = 1, 2, 3 …, – постоянная Планка.
Разрешенные орбиты пространственно разделены. Разделены
и соответствующие уровни энергии. Это проявление дискретности и
называется квантованием энергии. Самый низкий уровень энергии
(основное состояние) соответствует квантовому числу n = 1, соответственно E1 = –13,6 эВ (энергия ионизации атома водорода). Все значения энергии электрона в атоме водорода задаются формулой En =
= –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, .... При переходах с верхних уровней
энергии на нижние атом излучает фотон. Переходы с верхних уровней
на основной уровень с n = 1 образуют серию Лаймана; на уровень с
n = 2 – серию Бальмера; на уровень с n = 3 – серию Пашена и т.д.
Длины волн в спектре излучения атома водорода определяют по
формуле Бальмера:
1
1
1
R 2
,
n m2
k 2meZ 2e4
где R
4 c 3
1,097∙107 м–1 – постоянная Ридберга.
Тема 14. Ядро атома. Ядерные реакции
В 1912 г. Э. Резерфорд с коллегами впервые осуществили опыты по бомбардировке атомов альфа-частицами (ядрами гелия) и доказали, что внутри атома существует ядро. Его заряд определяется
содержащимся в ядре числом протонов Z, которое совпадает с номером элемента в таблице Д.И. Менделеева. Полное число частиц в ядре (число нуклонов) определяется массовым числом А. Поскольку ядро состоит из протонов и нейтронов, то число нейтронов равно
N A Z. Для обозначения ядер элемента X применяют обозначение
Z
X A. Радиус ядра зависит от массового числа и равен примерно
R 1,3
3
A 10
15
м. Изотопы имеют одинаковое число протонов Z и
различное массовое число А. Масса ядра меньше суммы масс, входящих в него частиц:
mя ZmP (A Z )mn .
67
Разность
m
ZmP
(A Z )mn
mя называется дефектом мас-
сы, а соответствующая этой массе энергия, равная E
m c 2 называется энергией связи. Она и обусловливает связь нуклонов в ядре.
Основные свойства ядерных сил:
свойство зарядовой независимости – протон и протон, нейтрон
и нейтрон, протон и нейтрон взаимодействуют одинаковым образом
независимо от электрического заряда;
ядерные силы, короткодействующие на расстояниях более
–15
10 м, не обнаруживаются и являются силами притяжения;
каждый нуклон взаимодействует только со своим ближайшим
окружением (свойство насыщения);
ядерные силы зависят от ориентации спинов нуклонов.
Радиоактивность – самопроизвольное превращение неустойчивых изотопов одного химического элемента в изотоп другого, сопровождающееся испусканием элементарных частиц или ядер. Пусть
в начальный момент (t = 0) имеется No ядер, которые распадаются.
N – количество нераспавшихся ядер в любой момент времени t:
N
Noe t .
Это закон радиоактивного распада, где постоянная распада
измеряется в с–1, зависит от вещества и определяет скорость его распада. Период полураспада 1/ 2 – времени, за которое начальное количество No уменьшается вдвое. Эта величина для известных радиоактивных ядер может принимать значения от 3∙10–7 с до 5∙1015 лет.
Основными видами радиоактивного распада являются альфараспад и бета-распад. Альфа-распад происходит с выбросом ядер гелия. Например,
92
U 238
Th234
90
2
He4.
Бета-распад включает три вида:
1) испускание электрона с антинейтрино по схеме:
Z
XA
YA
Z 1
e0
1
e
. Например, 90Th234
Pa234
e0
91
1
e
;
2) испускание позитрона с нейтрино по схеме:
Z
XA
YA
e0
Z 1
1
e
. Например, 7 N13
6
C13
e0
1
e
;
3) K – захват. Это поглощение одного из электронов с оболочки,
ближайшей к ядру по схеме:
Z
XA
e0
1
YA
Z 1
e
. Например,
19
K 40
e0
1
Y 40
18
e
.
68
В реакциях всегда сохраняется суммарный заряд и массовое
число. Распад во многих случаях сопровождается испусканием
-излучения, которое представляет собой поток незаряженных фотонов, как видимый свет или рентгеновское излучение.
В основе действия атомной бомбы лежит реакция деления изотопа урана-235, под действием нейтронов приводящая к образованию
новых нейтронов:
92
U 235
U 236
n
92
55
Cs140
37
Rb94
2n.
Новые нейтроны взаимодействуют с исходным изотопом урана235. Нарастающий лавинообразный процесс приводит к выделению
огромной энергии, которую можно использовать как в мирных, так и в
военных целях. Неконтролируемая ядерная реакция деления – это
атомная бомба, а контролируемая – атомный реактор, энергия которого используется в мирных целях.
Реакция синтеза лёгких ядер – дейтерия и трития по схеме
H2
1
H3
1
2
He4
0
n1 17,6 МэВ,
также идёт с выделением огромной энергии, которая составляет
3,5 МэВ на нуклон, в то время как в атомной бомбе всего
0,85 МэВ/нуклон. Синтезу ядер препятствует сильное кулоновское отталкивание одноимённых зарядов. Этот потенциальный барьер могут
преодолеть частицы, энергия которых соответствует температуре порядка 107 К. Такие температуры есть на Солнце, где термоядерные
реакции идут в естественных условиях. Такая же температура достигается при взрыве атомной бомбы. Поэтому атомная бомба может
служить запалом для водородной.
Пока проблема управляемого термоядерного синтеза не решена, что связано с проблемой удержания горячей плазмы. Вероятно,
для решения этой задачи потребуется ещё 10–20 лет.
Тема 15. Элементарные частицы
Элементарная частица – частица субъядерного мира, которую
(по существующим представлениям) невозможно расщепить на составные части. Одни элементарные частицы имеют внутреннюю
структуру и состоят из других элементарных частиц. Другие элементарные частицы считаются бесструктурными, их называют фундаментальными частицами.
69
К середине 1930-х гг. было известно 5 частиц: фотон (гаммаквант), электрон, протон, нейтрон и нейтрино. Однако к 1970 г. их уже
было более двухсот, а сейчас более пятисот. В 1960-х была создана
кварковая модель, при помощи которой теоретически удалось построить многие частицы, однако все попытки обнаружить гипотетические
кварки экспериментально не увенчались успехом.
Элементарные частицы падают потоками из космоса в виде
космических лучей. Уже найдены частицы с энергией до 1022 эВ.
Пролетая из открытого космоса через атмосферу, космические
лучи рассеиваются и потому претерпевают значительное ослабление.
Другим источником элементарных частиц являются природные
радиоактивные вещества (уран, радий, полоний и многие другие). Одна из возможных реакций, приводящих к рождению пары электронпозитрон имеет вид:
X
X
e
e,
где Х – ядро, в поле которого происходит рождение пары. Обратная
реакция называется аннигиляцией: e
2 . Двойная масса элек-
e
трона соответствует энергии двух образовавшихся гамма-квантов. Повидимому, каждая элементарная частица имеет античастицу, хотя не
все античастицы в настоящее время открыты. Античастицу имеют и
нейтральные частицы, например, нейтрон. Но для таких частиц сопряжение идёт не по электрическому заряду, а по некоторым другим
квантовым свойствам, например, барионный заряд.
Всё большое разнообразие элементарных частиц можно классифицировать по типу взаимодействий, в которые частицы вступают.
Фотоны (гамма-кванты) участвуют в электромагнитном взаимодействии и образуют отдельный класс. Лептонам присуще слабое и электромагнитное взаимодействие, адронам – сильное, но и все другие
виды взаимодействий.
Ядро любого атома любого вещества состоит из протонов и нейтронов, образующих подкласс нуклонов. Протон является стабильной
частицей, а нейтрон стабилен, только находясь в составе ядра. В свободном состоянии время его жизни порядка 10 мин., а распад происходит по схеме
n
p e
e
.
70
При ядерных реакциях выполняются законы сохранения импульса, момента импульса, энергии, электрического заряда и присущие
только миру элементарных частиц законы сохранения лептонного заряда и сохранение барионного заряда.
Регистрация элементарных частиц основана, главным образом,
на их ионизирующем действии. Благодаря высокой энергии, частица,
сталкиваясь на своём пути с нейтральными атомами и молекулами,
превращает их в ионы. Счётчик Гейгера – классический прибор, состоящий из центральной металлической нити-анода и металлического
цилиндра-катода.
Тема 16. Физические основы микроэлектроники
Полупроводники обязаны своим названием тому обстоятельству,
что по величине электропроводности они занимают промежуточное
положение между металлами и изоляторами. Однако характерным для
них является не величина проводимости, а то, что их проводимость
растет с повышением температуры (у металлов она уменьшается).
Удельная электрическая проводимость
при комнатной температуре
Металлы
106 – 104 (Ом∙см)–1
Полупроводники
103 – 10–9 (Ом∙см)–1
Диэлектрики
10–10 – 10–22 (Ом∙см)–1
Проводимость и другие свойства этого класса веществ зависят
от внешних воздействий, например, освещенности, гидростатического
давления, наличия электрического или магнитного полей и т.п., а также от структурного совершенства кристалла, т.е. наличия различного
рода дефектов и примесей.
При внешнем воздействии электропроводность полупроводников может изменяться на несколько порядков. Такой чувствительностью к внешним воздействиям не обладают ни металлы, ни диэлектрики. К числу полупроводников относятся многие химические элементы (германий, кремний, селен, теллур, мышьяк соединения А3B5 и
др.), огромное количество сплавов и химических соединений. Почти
все неорганические вещества окружающего нас мира – полупроводники. Самым распространенным в природе полупроводником является кремний, составляющий около 30% земной коры.
71
При повышении температуры проводимость полупроводника
возрастает, поскольку некоторая часть валентных электронов может
получить энергию, достаточную для разрыва ковалентных связей. Тогда в кристалле возникнут свободные электроны (электроны проводимости). Одновременно в местах разрыва связей образуются вакансии, которые не заняты электронами. Эти вакансии получили название «дырок». Если полупроводник помещается в электрическое поле,
то в упорядоченное движение вовлекаются не только свободные
электроны, но и дырки, которые ведут себя как положительно заряженные частицы.
Концентрация электронов проводимости в полупроводнике равна концентрации дырок: nn = np. Электронно-дырочный механизм проводимости проявляется только у чистых (т.е. без примесей) полупроводников. Он называется собственной электрической проводимостью полупроводников.
Электропроводимость полупроводников можно менять в широком интервале значений путем введения примесей (легированием).
Например, добавка примесей фосфора в кристалл кремния в количестве 0,001 атомного процента уменьшает удельное сопротивление
более чем на пять порядков.
Необходимым условием резкого уменьшения удельного сопротивления полупроводника при введении примесей является отличие валентности атомов примеси от валентности основных атомов кристалла.
Проводимость полупроводников при наличии примесей называется
примесной проводимостью. Различают два типа примесной проводимости – электронную и дырочную. Электронная проводимость возникает, когда в кристалл германия с четырехвалентными атомами введены пятивалентные атомы (например, атомы мышьяка As).
Примесь из атомов с валентностью, превышающей валентность
основных атомов полупроводникового кристалла, называется донорной примесью. В результате ее введения в кристалле появляется значительное число свободных электронов, что приводит к уменьшению
удельного сопротивления полупроводника – в тысячи и даже миллионы раз. Удельное сопротивление проводника с большим содержанием
примесей может приближаться к удельному сопротивлению металлического проводника.
72
Примесь атомов, способных захватывать электроны, называется
акцепторной примесью. В результате введения акцепторной примеси
в кристалле разрывается множество ковалентных связей и образуются вакантные места (дырки). Дырочная проводимость возникает, когда
в кристалл германия или кремния введены трехвалентные атомы (например, атомы индия In). Атом индия создает с помощью своих валентных электронов ковалентные связи с тремя соседними атомами
германия, одна связь остается незаполненной. Этот недостающий
электрон может быть захвачен атомом индия из ковалентной связи
соседних атомов. В этом случае атом индия превращается в отрицательный ион, расположенный в узле кристаллической решетки, а в ковалентной связи соседних атомов образуется вакансия.
Примесный полупроводник с дырочной проводимостью называется полупроводником p-типа. Основными носителями свободного
заряда в полупроводниках p-типа являются дырки.
Таким образом, удельное сопротивление полупроводников может изменяться в широких пределах и очень быстро убывает с повышением температуры. Это означает, что электрическая проводимость
увеличивается c повышением температуры. При низких температурах
у чистых полупроводников нет свободных электронов, и они ведут себя как диэлектрики.
6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
Механика
Задача 1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой 2500 кг тормозит перед светофором пройдя путь s = 50 м до остановки. Определите ускорение автомобиля при торможении, время
торможения, его начальную кинетическую энергию. Коэффициент
трения 0,4.
Решение.
Запишем 2-й закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось:
Fтр ma, подставим значение силы трения Fтр
N
mg, где – коэффициент трения, получаем
a
g = 4 м/с2.
mg
ma, отсюда находим ускорение
73
Используя формулу для равноускоренного движения 2aS
и учитывая, что
скорости
0
k
2
k
2
o
0, получаем формулу для определения начальной
2aS = 20 м/с.
Время торможения находим из условия
k
0
at
0
0
t
a
= 5 с.
m 02
Кинетическая энергия равна Ek
= 500 кДж.
2
Задача 2. С какой минимальной скоростью (в км/ч) автомобиль
может пройти, не отрываясь, высшую точку выпуклого моста, имеющего радиус кривизны 22,5 м?
Решение.
2-й закон Ньютона в проекции на вертикальную ось имеет вид:
mg N mac . При максимально возможной скорости сила реакции
моста N = 0. Получаем выражение для центростремительного ускоре2
ния ac
R
ем скорость
g, где R – радиус кривизны окружности, отсюда выража-
gR = 15 м/с = 54 км/ч.
Задача 3. Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч по горизонтальной дороге, на повороте дороги с радиусом закругления 100 м.
Каким должен быть коэффициент трения между шинами и дорогой,
чтобы его не занесло?
Решение.
Единственной горизонтальной силой, которая может осуществить поворот автомобиля, является сила трения между шинами и дорогой: Fтр
N
mg, где – коэффициент трения, N – реакция опоры, в данном случае равная силе тяжести mg. Подставляем во 2-й закон Ньютона значение силы трения и выражение для центростремительного ускорения, получаем:
2
mg
m
2
;
0,4.
R
gR
Задача 4. Две материальные точки массами 0,2 кг и 0,3 кг движутся перпендикулярно одна другой со скоростями 20 м/с и 10 м/с соответственно. Определите полный импульс системы и скорость центра масс системы.
74
Решение.
Полный импульс системы равен: P
m1
m2 2.
1
Величина импульса, с учетом того, что движение происходит по
кг м
перпендикулярным прямым равна: P
(m1 1)2 (m2 2 )2 5
.
с
Скорость центра масс определяется выражением:
m1 1
m1
P
c
m1
m2
m1
m2
2
.
Тогда модуль скорости равен:
c
(m1 1)2 (m2
m1 m2
2
)2
10
м
.
с
Задача 5. Два однородных шара массами m1 = 1 кг и m2 = 5 кг
скреплены стержнем массой mст. = 4 кг, длина которого l = 1 м. На каком расстоянии от центра более легкого шара находится центр масс
системы?
Решение.
Применим формулу для определения положения центра масс в
выбранной системе отсчета, в данном случае относительно центра
легкого шара:
l
m
m2l
ст.
m1x1 mст. xст. m2 x2
2
xc
0,7 м.
m1 mст. m2
m1 mст. m2
Задача 6. Диск массой 2 кг катится по горизонтальной плоскости
со скоростью 4 м/с. Найдите кинетическую энергию диска.
Решение.
Кинетическая энергия плоского движения складывается из кинетических энергий вращательного и поступательного движения:
J
Ек
2
2
Момент инерции диска равен:
m 2
.
2
mR 2
.
2
Поскольку движение без скольжения угловая скорость равна:
J
R
, где
– линейная скорость, R – радиус диска.
75
Подставляем это выражение в формулу для энергии получаем:
mR 2
( )2 m 2 3
2 R
Ек
m 2 24 Дж.
2
2
4
Задача 7. Тонкостенная трубка и кольцо, имеющие одинаковые
массы и радиусы, вращаются с одинаковой угловой скоростью. Найдите отношение величины момента импульса трубки к величине момента импульса кольца.
Решение.
Величина момента импульса тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется по формуле L J , где J момент инерции
тела относительно заданной оси,
– угловая скорость. Момент инерции тонкостенной трубки равен Jт
mR2; момент инерции кольца,
имеющего такую же массу и радиус, равен моменту инерции трубки,
т.е. Jк
mR2. Отношение величин моментов импульсов трубки и
кольца равно
Lт
Lк
Jт
Jк
mтRт 2
mкRк 2
1.
Молекулярная физика и термодинамика
Задача 1. В резиновую камеру колеса автомобиля накачали
воздух при температуре t1 = –3°С до давления Р1 = 2,5·105 Па. Затем
колесо закатили в теплый гараж, где температура воздуха составила
t2 = 24°С? Каким стало давление в камере после установления теплового равновесия? Объем камеры остается почти постоянным.
Решение.
PV P2V2
Обобщенный газовый закон гласит: 1 1
.
T1
T2
76
Поскольку объем камеры остается постоянным (V = const), полуP P2
T
чаем 1
, соответственно P2 P1 2 2,75 105 Па.
T1 T2
T1
Задача 2. Определите, за какое время прогреется двигатель от
температуры 290 К до температуры 330 К при ежеминутном выделении
в нем энергии 600 кДж. Считайте, что все выделяющееся тепло идет на
нагревание двигателя. Теплоемкость двигателя C = 75 000 Дж/К.
Решение.
Составим уравнение теплового баланса: Nt C T , где N выделяющаяся тепловая мощность, равная 10 кДж/с.
C T
Отсюда выражаем время: t
300 c.
N
Задача 3. Чему равен коэффициент полезного действия тепловой машины , если количество теплоты, отдаваемое рабочим телом
холодильнику в два раза больше, чем количество теплоты, получаемое от нагревателя?
Решение.
Коэффициент полезного действия тепловой машины определяQн Qх
ется по формуле
, где Qн – количество теплоты, полученQн
ное рабочим телом от нагревателя; Qх – количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику.
Поскольку Qн
2Qх , получаем
2Qх Qх
2Qх
0,5.
Электромагнетизм
Задача 1. Электрическое поле создается двумя одноименными
точечными покоящимися зарядами q1 = 2 мКл и q2 = 8 мКл, находящимися на расстоянии l = 12 см. Найти расстояние от первого заряда до
той точки, где напряженность результирующего поля равна нулю.
Решение.
Напряженность электростатического поля может быть равна нулю только на прямой, соединяющей заряды, поскольку во всех остальных точках остается нескомпенсированной компонента поля, перпендикулярная этой прямой, то есть поле нулю не равно.
77
E
Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом равна:
kq
. Согласно принципу суперпозиции: Eр E1 E2.
r2
kq1
kq2
В проекции на ось OX получаем: Eр
0.
x 2 (l x )2
Отсюда
l
x
x
q2
q1
2. Решая уравнение, получаем x = 0,04 м.
Задача 2. Каждый из четырех одинаковых по модулю точечных
зарядов (см. рис.), расположенных в вершинах квадрата. Найдите напряжённость и потенциал электрического поля в точке пересечения
диагоналей.
Решение.
E1 Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность в
точке пересечения диагоналей квадрата равна: Eр
E1 E2
E3
E4,
где E1, E2, E3, E4 – напряженности полей, создаваемых точечными зарядами
q1,
q2, q3, q4, в рассматриваемой точке соответственно.
На рисунке показаны направления этих векторов.
Величина напряженности поля точечного заряда определяется
kq
по формуле E
, где k – электрическая постоянная, r – расстояние
r2
от заряда до данной точки. Поскольку все заряды одинаковы по вели-
78
чине и рассматриваемая точка одинаково удалена от каждого заряда,
модули векторов напряженности равны, а Eрез. образует диагональ
квадрата со стороной 2Е. Модуль напряженности результирующего
поля в центре квадрата Eрез.
2 2E .
Результирующий потенциал в центре равен нулю, так как потенциалы складываются скалярно, а заряды равны по величине, но противоположны по знаку.
Задача 3. Какой ток пойдет по серебряному проводу длиной l =
= 500 м с поперечным сечением S = 0,2 мм2, при напряжении U = 80 В.
Удельное сопротивление серебра = 1,6·10–8 Ом·м.
Решение.
U
Согласно закону Ома: I
.
R
l
Сопротивление равно: R
, подставим в закон Ома, получим
S
выражение для силы тока:
US
I
2 A.
l
Задача 4. Определите индуктивность катушки, если при изменении в ней силы тока от 0 до 5 А за время 2 с, возникает ЭДС самоиндукции 1 В.
Решение.
I
Модуль ЭДС самоиндукции равен:
L .
t
Отсюда получаем выражение для индуктивности:
t
L
0,4 Гн.
I
Колебания и волны
Задача 1. Шарик, прикрепленный к пружине (пружинный маятник) и насаженный на горизонтальную направляющую, совершает
гармонические колебания.
79
На графике представлена зависимость проекции силы упругости
пружины на положительное направление оси Х от координаты шарика.
Найдите энергию пружинного маятника в положении В.
Решение.
В положении В пружинный маятник обладает потенциальной
энергией, кинетическая энергия равна нулю. Потенциальную энергию
kx 2
можно найти по формуле Eп
, где k – коэффициент жесткости
2
пружины, x – растяжение (сжатие) пружины. Жесткость пружины можно определить по закону Гука, используя график
Fx
H
F
kx
k
50 .
x
м
Величину растяжения (сжатия) пружины в положении В также
можно определить из графика: x = 40 мм. Потенциальная энергия
kx 2
0,04 Дж.
2
Задача 2. Складываются два гармонических колебания одного
направления с одинаковыми периодами. При какой разности фаз результирующее колебание будет иметь максимальную амплитуду?
Решение.
Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами, определяется по формуле:
равна: Eп
A2
A12
A22
2A1A2 cos(
2
1
),
где A1 и A2 – амплитуды складываемых колебаний;
1
и
2
– их на-
чальные фазы. Следует заметить, если равны периоды колебаний, то
2
. Амплитуда результирующего коравны и их частоты, так как
Т
80
лебания будет максимальной, если cos(
должны быть равны их фазы (
2
1
2
1
) 1, следовательно,
) 0.
Задача 3. На рисунке представлена зависимость амплитуды вынужденных колебаний груза массой 1 кг на пружине от частоты вынуждающей силы при слабом затухании. Найдите коэффициент жесткости пружины.
Решение.
На графике представлена резонансная кривая. Если частота
вынуждающей силы равна резонансной частоте, амплитуда вынужденных колебаний достигает максимального значения. При слабом
затухании резонансная частота практически равна собственной частоте колебаний пружинного маятника
рез
0
k
m
10
рад
, следовас
Н
.
м
Задача 4. Приемник радиолокатора регистрирует частоту биений равную 4 кГц между частотой сигнала, посылаемого передатчиком
и частотой сигнала, отраженной от ракеты, приближающейся к локатору, со скоростью 6 км/с. Определите на какой частоте работает радиолокатор.
Решение.
Для нахождения скорости движущегося объекта U используется
радар, который одновременно является и источником, посылающим
излучение частоты о, и приемником, регистрирующим отраженное
излучение частоты ″. Разность частот посланного и принятого сигнала равна
= ″ – о = 2 оU/c, откуда U = c /(2 о). В результате взаи-
тельно, k
2
рез
m 100
81
модействия коллинеарных колебаний с близкими частотами ″ и о
возникнут биения с частотой . Соответственно, частота, на которой
c
работает радиолокатор равна: 0
108 Гц.
2u
Задача 5. На рисунке представлена мгновенная «фотография»
электрической составляющей электромагнитной волны, переходящей
из среды 1 в среду 2 перпендикулярно границе раздела AB. Напряженность электрического поля в первой и второй среде изменяется
согласно уравнениям:
Е1
Е0sin( t
5 106 x ) и Е2
Е0sin( t
8 106 x ).
Найдите относительный показатель преломления двух сред.
Решение.
Относительный показатель преломления двух сред равен отноn2
шению их абсолютных показателей преломления: n21
. Напомn1
ним, что абсолютный показатель преломления среды равен отношению скорости электромагнитной волны в вакууме c к фазовой скороc
1
сти в среде: n
. Следовательно, n21
.
2
Фазовая скорость волны равна
, где
– циклическая часk
тота, которая не меняется при переходе электромагнитной волны из
одной среды в другую. Волновое число k равно коэффициенту при x
в уравнении волны. Следовательно, относительный показатель преломления двух сред равен:
n21
1
2
k2
k1
8 106
5 106
1,6.
82
Задача 6. Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси OX, имеет вид
0,01sin(103 t
2x ). Найди-
те длину волны.
Решение.
В общем случае уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси ОХ в среде, не поглощающей энергию, имеет вид, ( x, t ) Asin( t kx ), где А –
амплитуда волны,
2
волны, k
уравнения
равна
2
– циклическая частота, ( t
– волновое число,
0,01sin(103 t
2 3,14
2
kx ) – фаза плоской
– длина волны. Из заданного
2x ) следует, что k
2 м 1, а длина волны
3,14 м.
Волновая оптика
Задача 1. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения интерференционной картины на 500 полос потребовалось переместить зеркало на расстояние 0,161 мм. Чему равна длина волны
падающего света в нанометрах?
Решение.
В интерферометре Майкельсона луч проходит плечо интерферометра дважды: до отражения от зеркала и после. Если l – смеще2l k , где
ние зеркала, то дополнительная разность хода лучей
k – число полос, на которое сместилась интерференционная картина.
2l
Отсюда находим
644 нм.
k
Задача 2. Естественный свет с интенсивностью I0 падает на
вход устройства, состоящего из двух скрещенных поляроидов. Между
поляроидами поместили третий поляроид, ось которого составляет с
осью первого угол . Найдите отношение интенсивности света, прошедшего через систему, к интенсивности падающего света.
Решение.
Первый поляроид пропускает только половину интенсивности
падающего естественного света. Свет становится поляризованным с
83
1
I0 . После прохождения следующего поляроида
2
1
получим по закону Малюса интенсивность I2 I1 cos2
I0 cos2 .
2
После прохождения светом третьего поляроида получим интен1
сивность: I3 I2 cos2 (
) I2 sin2
I0 sin2 2 .
2
8
Отношение интенсивности прошедшего света к интенсивности
I
1 2
падающего равно: 3
sin 2 .
I0 8
интенсивностью I1
Задача 3. Постоянная дифракционной решетки равна d = 2 мкм.
Найдите наибольший порядок спектра для желтой линии натрия.
589 нм.
Решение.
Запишем формулу дифракционной решетки dsin
зим k. Максимальный порядок спектра будет при,
k
и выраd
, kmax
.
2
Округляя до ближайшего целого меньшего числа, получим 3.
Квантовая и ядерная физика
Задача 1. В опыте Дэвиссона и Джермера исследовалась дифракция прошедших ускоряющее напряжение электронов на монокристалле никеля. Если ускоряющее напряжение уменьшить в 2 раза,
то как изменится длина волны де Бройля электрона?
Решение.
h
Длина волны де Бройля
, где h – постоянная Планка, p –
p
импульс частицы. При прохождении электроном ускоряющего напряжения увеличивается его кинетическая энергия. Если считать начальm 2
ную скорость электрона равной нулю, то
eU, где m и e – масса
2
и заряд электрона, U – ускоряющее напряжение,
– приобретенная
p2
электроном скорость. После преобразований получим
eU, или
2m
h
, и при уменьшении ускоp
2meU . Следовательно,
2meU
84
ряющего напряжения U в 2 раза длина волны де Бройля электрона
увеличится в 2 раз.
Задача 2. Если позитрон, протон, нейтрон и -частица имеют
одинаковую длину волны де Бройля, то какая частица обладает наибольшей скоростью?
Решение.
h
Длина волны де Бройля определяется формулой
, где
m
h – постоянная Планка, m и
– масса и скорость частицы. Отсюда
h
скорость частицы равна
. По условию задания, длины волн де
m
1
Бройля одинаковы, следовательно,
. Тогда наибольшей скороm
стью обладает частица с наименьшей массой. Известно, что среди
указанных частиц наименьшей массой обладает античастица электрона - позитрон me . Следовательно, наибольшей скоростью обладает позитрон.
Задача 3. При освещении металла излучением с длиной волны
0 фототок прекращается при задерживающем напряжении Uз. Если
изменить длину волны излучения в 1,5 раза, то задерживающее напряжение увеличится в 2 раза. Работа выхода электронов из металла
А = 4 эВ. Найдите задерживающее напряжение Uз в вольтах для излучения с длиной волны 0 .
Решение.
Запишем уравнение Эйнштейна для фотоэффекта под действиhc
ем излучения с длиной волны 0 :
A eUз.
0
Изменение длины волны в данном случае означает уменьшение,
так как задерживающее напряжение увеличилось. Соответственно
3hc
hc
имеем
из первого уравнения, полуA 2eUз. Подставляя
2 0
0
3( A eUз )
A 2eUз. Отсюда находим eUз A и Uз 4В.
2
Задача 4. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, .... При переходах с
чим
85
верхних уровней энергии на нижние атом излучает фотон, а при переходах с нижних на верхние поглощает. Какую минимальную работу
надо совершить, чтобы удалить электрон с четвертой орбиты атома
водорода за пределы притяжения его ядром?
Решение.
Энергия электрона на четвертой орбите атома равна
13,6
13,6
Eп
0,85 эВ.
2
n
42
Эта энергия и равна работе необходимой для удаления электрона с орбиты атома за его пределы.
7. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 1700 кг, двигавшийся со скоростью 36 км/ч, тормозит перед светофором. Найдите путь S до остановки, время торможения t, ускорение
автомобиля при торможении и его начальную кинетическую энергию.
Коэффициент трения при торможении равен = 0,4.
2. С какой максимальной скоростью может двигаться автомобиль
на повороте дороги с радиусом закругления 100 м, чтобы его не занесло? Коэффициент трения между равен 0,4.
3. Импульс материальной точки массой 4 кг изменяется по закону Рx = 4t кг·м/с, Рy = 30 кг·м/с. Найдите модуль импульса и скорость
МТ в момент t = 10 с.
4. Материальные точки массами 1 кг и 3 кг расположены на противоположных концах невесомого стержня длиной 1 м. Стержень приводится во вращение вокруг оси, перпендикулярной ему и проходящей через центр инерции системы, с угловой скоростью 2 рад/с. Определите кинетическую энергию вращения системы.
5. Сплошной диск радиусом 10 см и массой 2 кг имеет осевой момент импульса 4 кг·м2/с. Найдите линейную скорость точек на краю диска.
6. Вентилятор вращается, совершая 100 об/с. Определите момент инерции вентилятора, если после выключения двигателя прило-
86
женный к нему тормозящий момент, равный 0,5 кг·м2/с2, останавливает вентилятор через 10 с.
7. Электрическое поле создается двумя разноименными точечными покоящимися зарядами q1 = –2 мКл и q2 = 8 мКл, находящимися
на расстоянии 10 см. Найдите расстояние от первого заряда до той
точки, где напряженность результирующего поля равна нулю.
8. На какое расстояние по горизонтали переместится частица,
имеющая массу 1 мг и заряд 2 нКл, за время 3 с в однородном горизонтальном электрическом поле напряженностью 50 В/м, если начальная
скорость частицы равна нулю? Ответ выразите в сантиметрах.
9. Заряженный до разности потенциалов 100 В конденсатор
электроёмкостью 840 мкФ разряжают на резистор, опущенный в воду
массой 10 г. На сколько градусов нагреется вода, если её удельная
теплоёмкость 4200 Дж/(кг К)?
10. Плоскость проволочной рамки площадью 1,5 м2 перпендикулярна однородному магнитному полю, которое меняется каждые 3 с
на 20 Тл. Определить величину ЭДС индукции в рамке.
11. В резиновую камеру колеса автомобиля накачали воздух до
давления 2,5.105 Па при температуре t1 = –3оС. Затем колесо закатили
в теплый гараж, где температура воздуха составила t2 = +24°С. Каким
стало давление в камере после установления теплового равновесия?
12. Определите теплоемкость двигателя, если при ежеминутном
выделении в нем энергии 600 кДж он прогревается от температуры
290 К до температуры 330 К за время 300 с. Считать, что все выделяющееся тепло идет на нагревание двигателя.
Вариант 2
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 2500 кг тормозит перед светофором, пройдя путь S = 50 м до остановки. Определите ускорение автомобиля при торможении, время
торможения t, начальную кинетическую энергию. Коэффициент трения
равен = 0,4.
2. Автомобиль движется со скоростью 72 км/ч по горизонтальной
дороге на повороте дороги с радиусом закругления 100 м. Каким должен быть коэффициент трения между шинами и дорогой, чтобы его не
занесло?
87
3. Удлинение буксирного троса с жёсткостью 30 кН/м при буксировке саней массой 1,2 т с постоянной скорость по горизонтальной дороге равно 0,08 м. Определите коэффициент трения саней о дорогу.
4. Две материальные точки массами 0,2 кг и 0,3 кг движутся перпендикулярно одна другой со скоростями 20 м/с и 10 м/с соответственно. Определите полный импульс и скорость центра масс системы.
5. Два однородных шара массами 1 кг и 5 кг скреплены стержнем
массой 4 кг, длина которого 1 м. На каком расстоянии от центра более
легкого шара находится центр масс системы?
6. Маховик с моментом инерции 4,0 кг.м2 начинает вращаться
под действием постоянного момента силы 20 Н·м. Какую кинетическую энергию приобретет маховик через 10 с?
7. Электрическое поле создается двумя одноименными точечными покоящимися зарядами q1 = 2 мКл и q2 = 8 мКл, находящимися
на расстоянии 12 см. Найдите расстояние от первого заряда до той
точки, где напряженность результирующего поля равна нулю.
8. Какой ток пойдет по серебряному проводу длиной 500 м с поперечным сечением 0,2 мм2 при напряжении 80 В? Удельное сопротивление серебра 1,6·10–8 (Ом·м).
9. Определите индуктивность катушки, если при изменении в ней
силы тока от 0 до 5 А за 2 с возникает ЭДС самоиндукции 1 В.
10. Конденсатор электроёмкостью 840 мкФ разряжают на резистор, опущенный в воду массой 10 г. При этом вода нагрелась на
0,1 К. Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг К). До какой разности
потенциалов был заряжен конденсатор?
11. В металлическом баллоне находится газ под давлением
.
1,5 105 Па при температуре t1 = –8°С. Баллон занесли в помещение с
температурой воздуха t2 = +18,5°С. Каким стало давление в баллоне
после установления теплового равновесия?
12. Найдите КПД дизельного двигателя, если для совершения
полезной работы 49 МДж он потребляет 20 кг топлива. Удельная теплота сгорания дизельного топлива 8,75.106 Дж/кг.
Вариант 3
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 2200 кг тормозит перед светофором. Время торможения t = 6,0 с.
88
Определите ускорение автомобиля при торможении, путь S до остановки, его начальную кинетическую энергию. Коэффициент трения
при торможении равен = 0,35.
2. С какой минимальной скоростью (в км/ч) автомобиль может
пройти, не отрываясь, высшую точку выпуклого моста, имеющего радиус кривизны 22,5 м?
3. Система состоит из четырех шаров, массы которых равны соответственно m, 2m, 3m, 4m. Шары расположены на одной прямой,
расстояние между центрами соседних шаров 15 см. Определите
центр масс системы, отсчитывая от шара меньшей массы.
4. Снаряд, массой 12 кг в верхней точке траектории, имея скорость 300 м/с, разорвался на два осколка, меньший – массой 4 кг полетел в сторону, противоположную движению снаряда со скоростью
100 м/с. Определите величину скорости второго осколка.
5. Маховое колесо, момент инерции которого равен 250 кг·м,
вращается с частотой 30 Гц. Через 1 мин после прекращения действия сил колесо остановилось. Найдите момент сил трения.
6. Шар массой 1 кг и радиусом 0,4 м катится по плоскости со скоростью 5 м/с. Определите его момент импульса и кинетическую энергию.
7. Расстояние между точечными зарядами q1 = 2 нКл и q2 =
= –2 нКл равно 40 см. Определите напряженность электростатического поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся в середине
между ними.
8. При каком напряжении по серебряному проводу длиной 250 м
с поперечным сечением 0,2 мм2 пойдет ток 2 А? Удельное сопротивление серебра 1,6.10–8 (Ом·м).
9. Заряженный до разности потенциалов 100 В конденсатор разряжают на резистор, опущенный в воду массой 10 г, при этом вода нагрелась на 0,1°С. Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг К). Определите электроёмкость конденсатора.
10. Соленоид радиусом 3 см, содержащий N = 600 витков, помещен в магнитное поле, индукция которого меняется со скоростью
0,5 мТл/с. Определите ЭДС индукции, возникающую в соленоиде.
11. В металлический баллон накачали воздух до давления
2,4·105 Па при температуре t1 = +22,2°С. Затем баллон выкатили на
улицу с температурой воздуха t2 = –27°С. На сколько уменьшилось
89
давление в баллоне по сравнению с начальным давлением после установления теплового равновесия?
12. Движущийся равномерно автомобиль развивает силу тяги
1000 Н. Определите расход топлива (в кг) на горизонтальном пути
3 км, если КПД двигателя 30%. Удельная теплота сгорания топлива
5·107 Дж/кг.
Вариант 4
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 4200 кг тормозит перед светофором. Начальная скорость автомобиля 72 км/ч, путь до остановки S = 100 м. Определите ускорение автомобиля при торможении, коэффициент трения , время торможения,
начальную кинетическую энергию.
2. При каком радиусе закругления дороги автомобиль не занесет
при скорости движения 74 км/час? Коэффициент трения между шинами и дорогой 0,4 м.
3. Конькобежец массой 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в
горизонтальном направлении камень массой 3 кг со скоростью 8 м/с.
Найдите, на какое расстояние откатится при этом конькобежец, если
коэффициент трения коньков о лед равен 0,02.
4. На концах стержня массой 2 кг и длиной 0,8 м закреплены грузы массами 1 кг и 5 кг. Стержень подвешен на нити и висит горизонтально. Найдите расстояние от более легкого груза до точки подвеса.
5. Цилиндр с моментом инерции 5 кг·м2 вращается с угловым ускорением 2 рад/с2. Какой энергией будет обладать цилиндр через
10 с, если начальная угловая скорость равна 6 рад/с?
6. Диск массой 10 кг радиусом 20 см вращается вокруг оси, проходящей через центр перпендикулярно плоскости диска с угловой
скоростью 5 рад/с. Чему равен импульс диска? Чему равен осевой
момент импульс диска?
7. Электрическое поле создается двумя одноименными точечными покоящимися зарядами q1 = 2 мКл и q2 = 18 мКл, находящимися
на расстоянии 20 см. Найдите расстояние от первого заряда до той
точки, где напряженность результирующего поля равна нулю.
8. Пылинка, имеющая положительный заряд 10–11 Кл и массу
10–6 кг, влетела в однородное электрическое поле вдоль его силовых
90
линий с начальной скоростью 0,1 м/с и переместилась на расстояние
4 см. Какой стала скорость пылинки, если напряженность поля 105 В/м?
9. Какая масса воды должна пройти через плотину высотой 25 м,
чтобы обеспечить горение лампочки мощностью 150 Вт в течение
20 мин? КПД лампочки равен 60%.
10. Определите площадь проволочной рамки, плоскость которой
перпендикулярна однородному магнитному полю, которое меняется
каждые 3 с на 20 Тл. Величина ЭДС индукции в рамке равна 10 В.
11. Одноатомный газ хранится в баллоне при температуре 290 К и
давлении 4.107 Па. Если этот баллон взрывается при давлении 3.108 Па,
то какова должна быть температура газа, чтобы баллон взорвался?
12. В цилиндре с подвижным поршнем 0,25 молей одноатомного
идеального газа адиабатически расширяются, при этом температура
газа падает от 1200 К до 400 К. Какую работу совершает газ?
Вариант 5
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 2500 кг, тормозит перед светофором за время t = 5 с. Определите
ускорение автомобиля при торможении, путь S до остановки и кинетическую энергию. Коэффициент трения = 0,2.
2. Автомобиль может пройти, не отрываясь, высшую точку выпуклого моста с минимальной скоростью 54 км/ч. Определите радиус
кривизны моста.
3. На испытательном полигоне беспилотный автомобиль массой
1200 кг, ехавший со скоростью 72 км/ч, врезается в неподвижный автомобиль массой 800 кг. Определите величину скорости, с которой будут
двигаться оба автомобиля как одно целое сразу после соударения.
4. Два однородных шара массами 1 кг и 4 кг скреплены стержнем
массой 5 кг. Расстояние между их центрами 0,6 м. На каком расстоянии от центра более легкого шара находится центр масс системы?
5. Горизонтально расположенный однородный стержень длиной
50 см и массой 0,3 кг начинает вращаться вокруг вертикальной оси,
проходящей через его конец. Определить линейную скорость другого
конца стержня через 2 с после начала движения под действием вращающего момента 1,25.10–3 Н.м.
6. Кольцо массой 1 кг катится по плоскости со скоростью 5 м/с.
Определите его кинетическую энергию.
91
7. Расстояние между точечными зарядами q1 = 5 нКл и q2 = –10 нКл
равно 1 м. Определите напряженность электростатического поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся в середине между ними.
8. Металлический шарик, подвешенный на пружине, жесткостью
20 Н/м, помещается в однородное вертикальное электрическое поле
напряженностью 200 В/м. При этом растяжение пружины увеличилось
на 0,05 м. Определите величину заряда шарика.
9. Вольтметр рассчитан на измерение максимального напряжения 60 В, при этом через него идёт ток 3 мА. Какое дополнительное
сопротивление нужно присоединить к вольтметру, чтобы им можно
было измерять напряжение до 120 В при той же величине тока?
10. Определите ЭДС самоиндукции, которая возникает в катушки
индуктивностью 0,4 Гн при изменении в ней силы тока от 0 до 5 А за
время 2 с.
11. В резиновую камеру колеса автомобиля накачали воздух до
давления 2,4·105 Па при температуре t1 = +24°С. Затем колесо выкатили из теплого гаража на улицу, где температура воздуха t2 =
= –25,5°С. Каким стало давление в камере после установления теплового равновесия?
12. КПД дизельного двигателя 28%. Определите полезную работу двигателя при потреблении 20 кг топлива. Удельная теплота сгорания дизельного топлива 8,75·106 Дж/кг.
Вариант 6
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 3500 кг тормозит перед светофором за время t = 4 с, пройдя путь до
остановки 70 м. Определите ускорение автомобиля при торможении,
его начальную кинетическую энергию и коэффициент трения .
2. Автомобиль массой 1 т движется по выпуклому мосту,
имеющему радиус кривизны 200 м, со скоростью 36 км/ч. Найдите
силу нормального давления автомобиля на мост в верхней точке
траектории.
3. Водитель автомобиля массой 800 кг начинает движение с горки высотой 5 м и свободно с неё скатывается, не нажимая на тормоз.
Какова величина импульса, который приобретёт автомобиль при выезде на горизонтальную дорогу? Силу трения не учитывать.
92
4. Два однородных шара диаметром 0,6 м каждый скреплены в
точке касания их поверхностей. На каком расстоянии от точки касания
находится центр масс системы, если масса одного шара в 3 раза
больше другого.
5. Кинетическая энергия вала, вращающегося с частотой 5 об/с
вокруг неподвижной оси, равна 60 Дж. Найдите момент импульса вала
относительно оси.
6. Однородный диск массой 3 кг и радиусом 20 см, вращающийся с
угловой скоростью 16 рад/с, начинает тормозиться касательной силой
0,05 Н, приложенной к его ободу. Через какое время диск остановится?
7. Металлический шарик с зарядом 5 мКл, подвешенный на пружине жесткостью 20 Н/м, помещается в однородное вертикальное
электрическое поле напряженностью 200 В/м. Определите на сколько
увеличилось растяжение пружины.
8. Две электрические лампы сопротивлением 2,5 и 5 Ом соединены параллельно. Полный ток в цепи равен 2,4 А. Определите какой
ток проходит через вторую лампу.
9. Воздушный конденсатор подсоединен к источнику напряжения
24 В. Определите напряженность электрического поля между обкладками конденсатора, расположенными на расстоянии 2 см друг от друга.
10. ЭДС самоиндукции, которая возникает в катушки индуктивностью 0,4 Гн, равна 1 В. Определите за какое время в катушке происходит изменении силы тока от 0 до 5 А.
11. В резиновую камеру колеса автомобиля в теплом гараже, где
температура воздуха составила t1 = + 24°С накачали воздух до давления 2,75.105 Па. Затем колесо выкатили на улицу, где температура
воздуха составила t2 = –3оС. Каким стало давление в камере после установления теплового равновесия?
12. Расход топлива на горизонтальном пути 3 км составляет
0,2 кг. КПД двигателя 30%. Удельная теплота сгорания топлива
4,5·107 Дж/кг. Определите, какую силу тяги развивает равномерно
движущийся автомобиль.
Вариант 7
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 3200 кг, двигавшийся со скоростью 24 км/ч, тормозит перед свето-
93
фором. Определите ускорение автомобиля при торможении, время
торможения, путь S и работу силы трения до остановки. Коэффициент
трения при торможении = 0,25.
2. Автомобиль массой 1 т движется по вогнутому мосту радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Найдите силу нормального давления
автомобиля на мост в нижней точке траектории.
3. Из неподвижной лодки мальчик массой 40 кг прыгнул со скоростью 1,4 м/с относительно воды под углом 60° к горизонту. Масса
лодки 80 кг. Какую скорость приобрела лодка?
4. Шар радиусом 10 см скатывается без скольжения с наклонной
плоскости высотой 70 см. Найдите угловую скорость шара в момент
выхода на горизонтальный участок.
5. Санки массой m без начальной скорости скатываются со
снежной горки высотой Н и останавливаются. Какую работу требуется
совершить, чтобы вернуть санки в начальную точку, двигаясь по той
же траектории?
6. Колесо массой 2 кг и радиусом 10 см имеет осевой момент
импульса 4 кг.м2/с. Найдите линейную скорость точек обода колеса.
7. Металлический шарик с зарядом 5 мКл, подвешенный на пружине, помещается в однородное вертикальное электрическое поле
напряженностью 200 В/м, при этом растяжение пружины увеличилось
на 0,05 м. Определите коэффициент жесткости пружины.
8. Две электрические лампы сопротивлением 2,5 Ом и 5 Ом соединены параллельно. Полный ток в цепи равен 2,4 А. Определите
какой ток проходит через первую лампу.
9. Электрический заряд на одной пластине конденсатора равен
+2 Кл, а на другой равен –2 Кл. Напряжение между пластинами равно
5000 В. Чему равна электрическая ёмкость конденсатора?
10. Замкнутый проводник сопротивлением R = 3 Ом находится в
магнитном поле. В результате изменения этого поля магнитный поток
пронизывающий контур возрос с Ф1 = 0,002 Вб до Ф2 = 0,005 Вб. Какой
заряд прошел через поперечное сечение проводника? Ответ выразите в милликулонах (мКл).
11. Баллон содержит газ при температуре 300 К и давлении
4 105 Па. Каково будет давление, если из баллона выпустить половину
массы газа, а температуру повысить до 600 К?
94
12. Движущийся равномерно автомобиль развивает силу тяги
1000 Н. Определите путь, на котором расход топлива составляет 0,5 кг.
Удельная теплота сгорания топлива 5·107 Дж/кг. КПД двигателя 30%.
Вариант 8
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 4300 кг, тормозит перед светофором, пройдя путь до остановки
100 м. Определите ускорение автомобиля при торможении, время
торможения, работу силы трения за время торможения. Коэффициент
трения = 0,4.
2. Автомобиль массой 2 т движется по вогнутому мосту, имеющему радиус кривизны 200 м, со скоростью 10 м/с. Найдите силу нормального давления автомобиля на мост в нижней точке траектории.
3. Две материальные точки массами 0,2 кг и 0,3 кг движутся во
взаимно перпендикулярных направлениях со скоростями 20 м/с и
10 м/с соответственно. Определите полный импульс и скорость центра масс системы.
4. Пять шаров массами 2, 3, 4, 5 и 6 кг укреплены на тонком невесомом стержне так, что их центры находятся на одной линии. Расстояние между центрами соседних шаров одинаково и равно 1 м.
Найдите положение центра масс системы, отсчитывая его от центра
шара наибольшей массы.
5. Карусель с моментом инерции 50 кг·м2 начинает вращаться
под действием момента силы М = 1,8 Н·м. Определите значение угловой скорости через 1 мин.
6. Сплошной цилиндр массой 2 кг и радиусом 10 см имеет осевой момент импульса 4 кг·м2/с. Найдите кинетическую энергию цилиндра.
7. Электрическое поле создается двумя разноименными точечными покоящимися зарядами q1 = 2 мКл и q2 = –18 мКл, находящимися на расстоянии 20 см. Найдите расстояние от первого заряда до той
точки, где напряженность результирующего поля равна нулю.
8. На какое расстояние по горизонтали переместится частица с
массой 2 мг и зарядом 4 нКл за время 5 с в однородном горизонтальном электрическом поле напряженностью 100 В/м? Начальная скорость равна нулю.
95
9. Чему равно сопротивление резистора, подключенного к источнику тока, ЭДС которого равна 10 В, внутреннее сопротивление 1 Ом,
а сила тока в электрической цепи равна 2 А?
10. Замкнутый проводник находится в магнитном поле. В результате изменения этого поля магнитный поток, пронизывающий контур,
возрос с Ф1 = 0,002 Вб до Ф2 = 0,005 Вб. При этом через поперечное
сечение проводника прошел заряд 1 мКл. Определите сопротивление
проводника.
11. В металлический баллон накачали воздух до давления
2,4·105 Па при температуре t1 = +24°С. Затем баллон выкатили на
улицу с температурой воздуха t2 = –25,5°С. На сколько уменьшилось
давление в баллоне по сравнению с начальным давлением после установления теплового равновесия?
12. Какое количество теплоты было сообщено газу, если его работа при расширении была полностью использована для поднятия в
поле тяготения груза массой 10 кг на высоту 1 м? Увеличение внутренней энергии газа при этом составило 100 Дж.
Вариант 9
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 7100 кг, двигавшийся со скоростью 54 км/ч, тормозит перед светофором, пройдя путь S = 60 м до остановки. Определите ускорение автомобиля при торможении, время торможения t, работу силы трения
при торможении и коэффициент трения .
2. На горизонтальной дороге автомобиль делает разворот радиусом 9 м. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Какую
максимальную скорость при развороте должен иметь автомобиль
чтобы его не занесло?
3. Два шарика массами 2 и 4 кг двигаются со скоростями, равными соответственно 5 и 7 м/с. Определите скорость шаров после прямого неупругого удара для следующих случаев: 1) больший шар догоняет меньший; 2) шары двигаются навстречу друг другу.
4. К концам однородного стержня массой 3 кг и длиной 90 см
прикреплены шары массами 8 и 4 кг и радиусами соответственно, 20 и
10 см. Найдите центр масс системы, отсчитывая его от центра шара
большей массы.
96
5. Диск массой 5 кг и радиусом 50 см, вращающийся с угловой
скоростью 30 рад/с, затормозили, а затем закрутили в другую сторону
до угловой скорости 20 рад/с. Насколько изменился момент импульса
диска? Ось вращения проходит через центр диска перпендикулярно
его плоскости.
6. Обруч радиусом 10 см скатывается без скольжения с наклонной плоскости высотой 90 см. Найдите угловую скорость обруча в момент выхода на горизонтальный участок.
7. Электрическое поле создается двумя одноименными точечными покоящимися зарядами q1 = 2 мКл и q2 = 18 мКл, находящимися
на расстоянии 40 см. Найдите расстояние от первого заряда до точки,
где напряженность результирующего поля равна нулю.
8. За какое время частица с массой 2 мг и зарядом 4 нКл переместится в однородном горизонтальном электрическом поле напряженностью 100 В/м на расстояние 250 м? Начальная скорость частицы равна нулю.
9. Электрический заряд 1,25 мКл перенесли из одной точки электростатического поля в другую. При этом электрическим полем была
совершена работа 5 мкДж. Чему равна величина разности потенциалов между этими точками?
10. Замкнутый проводник сопротивлением 3 Ом находится в
магнитном поле. В результате изменения этого поля через поперечное сечение проводника прошел заряд 1 мКл. Определите, на сколько
возрос магнитный поток, пронизывающий контур проводника.
11. В металлическом баллоне находится газ под давлением
1,5·105 Па при температуре t1 = –8°С. Баллон занесли в помещение с
температурой воздуха t2 = +18,5°С. На сколько изменилось давление в
баллоне после установления теплового равновесия?
12. Движущийся равномерно автомобиль развивает силу тяги
1000 Н. Определите расход топлива (в кг) на горизонтальном пути
3 км, если КПД двигателя 30%. Удельная теплота сгорания топлива
4·107 Дж/кг.
Вариант 10
1. На горизонтальном участке дороги автомобиль массой m =
= 4600 кг тормозит перед светофором за время t = 8 с. Определите ус-
97
корение автомобиля при торможении, путь до остановки, его начальную кинетическую энергию. Коэффициент трения = 0,3.
2. Автомобиль массой 2 т движется по выпуклому мосту, имеющему радиус кривизны 200 м, со скоростью 36 км/ч. Найдите силу нормального давления автомобиля на мост в верхней точке траектории.
3. Удлинение буксирного троса с жёсткостью 30 кН/м при буксировке саней массой 1,2 т с постоянной скоростью по горизонтальной
дороге равно 0,08 м. Определите коэффициент трения саней о дорогу.
4. Две материальные точки массами 1 и 2 кг движутся перпендикулярно одна другой со скоростями 6 и 4 м/с соответственно. Определите полный импульс системы и скорость центра масс этой системы.
5. Маховое колесо, вращается с частотой 30 Гц. Через 1 мин под
действием момента сил трения равным 785 Н·м колесо остановилось.
Найдите момент инерции маховика.
6. Стержень массой 6 кг вращается в горизонтальной плоскости
под действием горизонтальной силы 10 Н, приложенной перпендикулярно стержню к одному из его концов. Ось вращения вертикальна и
проходит через второй конец стержня. Определите кинетическую
энергию стержня через 5 с после начала действия силы
7. Расстояние между точечными зарядами q1 = 2 нКл и q2 =
= –8 нКл равно 20 см. Определите напряженность электростатического поля, созданного этими зарядами в точке, находящейся посередине
между ними.
8. Металлический шарик с зарядом 5 мКл, подвешенный на пружине жесткостью 20 Н/м, помещается в однородное вертикальное
электрическое поле, при этом растяжение пружины увеличилось на
0,05 м. Определите напряженность электрического поля.
9. Рассчитайте силу тока в замкнутой цепи, состоящей из источника тока, ЭДС которого равна 10 В, а внутреннее сопротивление равно 1 Ом. Сопротивление резистора равно 4 Ом.
10. Круглый проволочный виток площади 2 м2 расположен перпендикулярно линиям вектора магнитной индукции однородного магнитного поля. Величина вектора магнитной индукции равна 0,04 Тл. За
время 0,01 с магнитное поле равномерно спадает до нуля. Чему равна ЭДС индукции генерируемая при этом в витке?
11. Давление в камере автомобильной шины при температуре
t1 = 2°С равно Р1 = 2,2·105 Па. На сколько повысится давление, если
98
при движении автомобиля температура воздуха в камере станет равной t2 = 27°С? Объем шины считать постоянным.
12. Определите, за какое время прогреется двигатель от температуры 290 К до температуры 330 К при ежеминутном выделении в
нем энергии 600 кДж. Считайте, что все выделяющееся тепло идет на
нагревание двигателя. Теплоемкость двигателя 75 000 Дж/К.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Физический маятник представляет собой тонкий однородный
стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на нем на конце маленьким шариком массой 3m. Маятник совершает колебания около
горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня.
Определите круговую частоту собственных колебаний.
2. Точка участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых
уравнениями x = 3sin( t + /2), y = 4sin( t). Определите уравнение траектории точки и нарисуйте ее.
3. Уравнение плоской бегущей волны, распространяющейся
вдоль оси ОХ, имеет вид
0,01sin(103 t
2x ). Определите скорость
распространения волны (в м/с) и отношение длины волны к амплитуде
смещения.
4. Приемник радиолокатора регистрирует частоту биений между
частотой сигнала, посылаемого передатчиком, равной 800 МГц и частотой сигнала, отраженной от движущегося объекта. Определите частоту биений, если скорость ракеты, приближающейся к локатору равна 6 км/с.
5. Индуктивность колебательного контура равна 0,5 мГн. Какова
должна быть электроемкость контура, чтобы он резонировал на длину
волны 300 м?
6. Два когерентных источника посылают волны в одинаковых
фазах. Периоды колебаний Т = 2 с. Скорость распространения волн в
среде 80 м/с. Определите, при каком значении разности хода будет
наблюдаться ослабление колебаний в случае наложения волн.
99
7. Труба, длина которой 1 м, заполнена воздухом и открыта с одного конца. Скорость звука равна 340 м/c. Определите наименьшую
частоту, при которой в трубе будет возникать стоячая звуковая волна.
8. Наибольший порядок спектра, получаемый с помощью дифракционной решетки равен 5. Определите постоянную дифракционной решетки, если монохроматический свет длиной 0,5 мкм падает на
нее нормально.
9. Во сколько раз «красная граница» фотоэффекта для металла,
имеющего работу выхода 1 эВ, больше «красной границы» фотоэффекта для металла, имеющего работу выхода 3,2·10–19 Дж?
10. Пороговая чувствительность сетчатки человеческого глаза к
свету, длина волны которого равна 0,6 мкм, составляет 1,65·10–18 Вт.
Какому числу фотонов, ежесекундно попадающих на сетчатку глаза,
это соответствует?
11. Чему равно отношение длин волн де Бройля для дейтрона и
-частицы, прошедших одинаковую разность потенциалов? Дейтрон –
ядро тяжелого водорода с массовым числом 2 (дейтерий).
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3 …. Определите энергию
фотона, соответствующего второй линии в серии Лаймана. Ответ
округлите до десятых.
Вариант 2
1. Однородный диск радиусом 10 см совершает гармонические
колебания вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку, расположенную на расстоянии R/2 от центра диска и перпендикулярно
плоскости. Определите частоту колебаний.
2. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями x = Asin( t + /2) и y =
= Вsin t. Найдите уравнение траектории точки и постройте ее, указав
направление движения.
3. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со
скоростью 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А = 5 см, а период колебаний Т = 1 с. Запишите уравнение волны и определите длину
волны, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии х = 9 м от источника колебаний в момент времени 2,5 с.
100
4. Движущийся по реке теплоход издает свисток частотой 400 Гц.
Наблюдатель, стоящий на берегу, воспринимает звук свистка частотой 395 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/c, определите скорость движения теплохода, удаляющегося от наблюдателя.
5. Индуктивность колебательного контура равна 0,5 мГн, электроемкость контура 51 пФ. На какую длину волны будет резонировать
контур?
6. Стержень с закрепленными концами имеет длину 70 см. При
трении стержень издает звук, основная частота которого 1 кГц. Определите скорость звука в стержне.
7. Какова должна быть толщина защитного покрытия самолета –
невидимки на длине волны радара 3 см, если эффективный показатель преломления электромагнитных волн в покрытии равен 2?
8. Дифракционная решетка содержит 200 штрихов на миллиметр. На решетку падает нормально монохроматический свет с длиной волны = 0,6 мкм. Найдите наибольший порядок спектра для этой
решетки.
9. «Красная граница» фотоэффекта для металла, имеющего работу выхода 7,04·10–19 Дж, равна 0,45 мкм. Чему равна работа выхода
для металла, имеющего «красную границу» фотоэффекта в 2 раза
больше, чем у первого?
10. Пороговая чувствительность сетчатки человеческого глаза к
видимому свету составляет 1,65·10–18 Вт, при этом на сетчатку глаза
ежесекундно попадает 5 фотонов. Определите, какой длине волны это
соответствует.
11. Чему равно отношение длин волн де Бройля для дейтрона и
-частицы, летящей со скоростью в 2 раза большей, чем дейтрон?
Дейтрон – ядро тяжелого водорода с массовым числом 2.
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, .... Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить электрон с третьей орбиты атома водорода за пределы притяжения его ядром? Ответ округлите до десятых.
Вариант 3
1. Напишите уравнение косинусоидальных колебаний с амплитудой 5 см, если за 1 мин совершается 150 колебаний, а начальная
фаза равна /4.
101
2. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, колеблется в плоскости,
параллельной стене. Радиус обруча 30 см. Вычислите период его колебаний и приведенную длину.
3. Звуковые колебания с частотой ν = 450 Гц и амплитудой А =
= 0,3 мм распространяются в упругой среде. Длина волны равна
80 см. Запишите уравнение волны. Определите скорость распространения волн и максимальную скорость частиц среды.
4. Закон изменения силы тока в колебательном контуре задан в
виде I = –0,02sin(400 t) А. Индуктивность контура 1 Гн. Найдите длину
волны излучения контура.
5. Для нахождения скорости автомобиля используется радар,
излучающий волны длины о = 3 см. Приемник радара регистрирует
частоту биений между частотой сигнала, посылаемого передатчиком и
частотой сигнала, отраженной от автомобиля, движущегося со скоростью 54 км/ч. Определите частоту биений.
6. Какова толщина просветляющего слоя на объективе фотоаппарата с показателем преломления 1,2 для длины волны 0,6 мкм.
7. Стержень с закрепленными концами имеет длину 35 см. Скорость звука в стержне равна 1400 м/с. Определите основную частоту
звука, издаваемого стержнем при трении.
8. На дифракционную решетку падает пучок света от газоразрядной трубки, наполненной гелием. На какую линию 2 в спектре
третьего порядка накладывается красная линия гелия ( 1 = 670 нм)
спектра второго порядка?
9. «Красная граница» фотоэффекта для металла, имеющего работу выхода 7,04·10–19 Дж, равна 0,45 мкм. Определите «красную границу» фотоэффекта для металла с работой выхода в 2 раза меньшей
чем у первого металла.
10. Сколько фотонов попадает за 2 сек. на сетчатку глаза человека, если глаз воспринимает свет длиной волны 0,45 мкм при мощности светового потока 1,98·10–17 Вт?
11. Чему равно отношение длин волн де Бройля для протона и
-частицы, летящей со скоростью в два раза больше, чем протон?
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, …. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить электрон со второй орбиты атома водорода за пределы притяжения его ядром?
102
Вариант 4
1. Однородный диск радиусом 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии15 см от центра диска. Определите период собственных колебаний диска относительно этой оси.
2. Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами А1 = 4 см и А2 = 8 см имеют разность
фаз 45°. Определите амплитуду результирующего колебания.
3. Напишите уравнение плоской волны смещения частиц среды
в воздухе, если скорость распространения волны равна 340 м/с, ее
амплитуда А = 5 мм, а частота 1000 Гц.
4. Колебательный контур содержит конденсатор емкостью 0,5 нФ
и катушку индуктивность 0,4 Гн. Определите длину волны излучения,
генерируемого контуром.
5. Приемник радиолокатора регистрирует частоту биений между
частотой сигнала, посылаемого передатчиком, и частотой сигнала,
отраженной от ракеты, приближающейся к локатору, со скоростью
6 км/с. Радиолокатор работает на частоте 800 МГц. Определите частоту биений.
6. Два когерентных источника излучают волны с одинаковыми
начальными фазами. Период колебаний 0,2 с, скорость распространения волн 300 м/с. Чему должна быть равна разность хода волн от
источников в точках, для которых будет наблюдаться максимум интерференции?
7. Стержень с закрепленными концами имеет длину L м. При
трении стержень издает звук, основная частота которого 1 кГц. Определите, какие ещё частоты может иметь звук, издаваемый стержнем.
8. На дифракционную решетку длиной 1,5 см, содержащую
3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет с длиной
волны 550 нм. Определите число максимумов, наблюдаемых в спектре этой решетки.
9. Максимальная кинетическая энергия электронов, вылетающих
из металла под действием света с энергией фотонов 2,75 эВ, равна
1,2 эВ. Чему будет равна максимальная кинетическая энергия
электронов, вылетающих из этого же металла, если длину волны
падающего света уменьшить в два раза?
103
10. На сетчатку глаза человека падает 135 фотонов за 3 сек.
при мощности светового потока 1,98·10–17 Вт. Определите длину
волны света.
11. Если протон и -частица имеют одинаковую длину волны де
Бройля, то во сколько раз скорость -частицы меньше скорости протона?
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3 .... При переходах с верхних
уровней энергии на нижние атом излучает фотон, а при переходах с
нижних на верхние – поглощает. Атом водорода в основном состоянии
поглотил квант света с энергией 12,1 эВ. На какой уровень перешел
электрон?
Вариант 5
1. Пружинный маятник с массой шарика 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению Х = 0,1cos(3 t/2) м. Определите
результирующую силу, действующую на шарик в момент времени
0,5 с, и полную колебательную энергию маятника.
2. Физический маятник представляет собой тонкий однородный
стержень длиной L и массой m с укрепленным на конце маленьким
шариком массой m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, отстоящей от свободного конца стержня на четверть
длины. Определите циклическую частоту собственных колебаний
стержня.
3. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со
скоростью 10 м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А = 6 см, а частота колебаний 1 Гц. Запишите уравнение волны и определите длину
волны, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии Х = 10 м от источника колебаний в момент времени t = 2,5 с.
4. Приемник радиолокатора регистрирует частоту биений, равную 4 кГц, между частотой сигнала, посылаемого передатчиком, и
частотой сигнала, отраженной от ракеты, приближающейся к локатору, со скоростью 6 км/с. Определите, на какой частоте работает радиолокатор.
5. Электроемкость колебательного контура равна 0,5 мГн. Какова должна быть индуктивность контура, чтобы он резонировал на
длину волны 300 м?
104
6. При какой минимальной толщине пленки на объективе фотоаппарата с показателем преломления 1,3 будет максимально пропущен свет длиной волны 0,68 мкм?
7. Определите длину бегущей волны, если расстояние между
первым и четвертым узлами стоячей волны равно 30 см.
8. Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки,
если углу = 30° соответствует максимум четвертого порядка для монохроматического света с длиной волны = 0,5 мкм.
9. Максимальная кинетическая энергия электронов, вылетающих
из металла при падении на него фотонов с энергией 2,75 эВ, равна
1,2 эВ. Во сколько раз надо уменьшить длину волны падающего света,
чтобы максимальная кинетическая энергия электронов, вылетающих
из этого же металла стала равной 3,95 эВ.
10. Лазер излучает в импульсе 1019 световых квантов с длиной
волны 0,9 мкм. Чему равна средняя мощность импульса лазера, если
длительность вспышки 2·10–3 с.
11. Тепловые нейтроны находятся в температурном равновесии
со средой. Начальная температура равна 27°С. Затем среду нагрели
до 90°С. Во сколько раз уменьшилась длина волны де Бройля частиц?
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, .... При переходах с верхних
уровней энергии на нижние атом излучает фотон, а при переходах с
нижних на верхние – поглощает. Атом водорода в основном состоянии
поглотил квант света с энергией 12,75 эВ. На какой уровень перешел
электрон?
Вариант 6
1. На концах лёгкого стержня длиной 30 см укреплены одинаковые грузики. Стержень колеблется около оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на 10 см от одного из концов
стержня. Определите приведенную длину и период колебаний данного физического маятника.
2. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с
одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний 3 и 4 см соответственно. Найдите амплитуду результирующего колебания, если
колебания коллинеарные.
105
3. Напишите уравнение плоской волны смещения частиц среды
в воздухе, если скорость распространения волны равна 340 м/с, ее
амплитуда А = 15 мм, а частота 3000 Гц. В начальный момент времени смещение равно 0.
4. Приемник радиолокатора регистрирует частоту биений между
частотой сигнала, посылаемого передатчиком и частотой сигнала, отраженной от движущегося объекта. Определите скорость ракеты,
приближающейся к локатору, если тот работает на частоте 600 МГц, а
частота биений равна 8 кГц.
5. Радиолокатор обнаружил в море подводную лодку, отраженный сигнал от которой дошел до него за 36 мкс. Учитывая, что диэлектрическая проницаемость воды = 81, определите расстояние от локатора до подводной лодки.
6. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления
n = 1,33 падает нормально параллельный пучок белого света. Определите, при какой наименьшей толщине пленки зеркально отраженный свет окрасится в желтый цвет ( = 0,6 мкм).
7. Скорость распространения волны по струне с закрепленными
концами равна 2 м/с. Расстояние между узлами стоячих волн 0,03 м.
Какова частота колебаний струны?
8. Дифракционная решетка расположена параллельно экрану на
расстоянии 0,7 м от него. При нормальном падении на решетку светового пучка с длиной волны 430 нм первый дифракционный максимум
на экране находится на расстоянии 3 см от центральной светлой полосы. Определите количество штрихов на 1 мм для дифракционной
решетки. Считать sin
tg .
9. Максимальная кинетическая энергия электронов, вылетающих
из металла под действием света, равна 1,2 эВ. Если уменьшить длину
волны падающего света в 2 раза, то максимальная кинетическая
энергия электронов, вылетающих из этого же металла станет равной
3,95 эВ. Определите энергию падающих фотонов в первом случае.
10. Лазер излучает в импульсе 1019 световых квантов с длиной
волны 0,9 мкм. Средняя мощность импульса лазера 1100 Вт. Чему
равна длительность вспышки лазера.
11. Тепловые нейтроны находятся в температурном равновесии
со средой при температуре 27°С. При нагревании длина волны де
106
Бройля нейтронов уменьшилась в 1,1 раза. До какой температура нагрели нейтроны?
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, .... При переходах с верхних
уровней энергии на нижние атом излучает фотон. Переходы с верхних
уровней на уровень с n =1 образуют серию Лаймана; на уровень с n =
= 2 – серию Бальмера; на уровень с n = 3 – серию Пашена и т.д. Определите наименьшую длину волны в серии Бальмера. Ответ округлите до целых.
Вариант 7
1. Материальная точка массой 0,1кг колеблется по закону х =
= 5cos(20t) см. Найдите зависимость силы, действующей на точку от
времени, и максимальную кинетическую энергию материальной точки.
2. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с
одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний 3 см и 4 см
соответственно. Найдите амплитуду результирующего колебания, если колебания ортогональные.
3. Плоская гармоническая волна распространяется вдоль прямой, совпадающей с положительным направлением оси Х со скоростью 10 м/с. Две точки, находящиеся на этой прямой на расстояниях
8 и 10 м от источника колебаний, колеблются с разностью фаз 2 /5.
Амплитуда волны 5 см. Напишите уравнение волны. Определите длину волны.
4. Для нахождения скорости автомобиля используется радар,
излучающий волны длины о = 3 см. Частота биений между частотой
сигнала, посылаемого передатчиком и частотой сигнала, отраженного
от движущегося автомобиля, равна 1400 Гц. Определите скорость автомобиля.
5. Какова длина электромагнитной волны, на которую настроен
колебательный контур емкостью С = 5·10–7 Ф и индуктивностью L =
= 4,5·10–10 Гн?
6. На мыльную пленку (n = 1,3), находящуюся в воздухе, падает
нормально пучок лучей белого света. При какой наименьшей толщине
пленки отраженный свет с длиной волны = 0,55 мкм окажется максимально усиленным в результате интерференции?
107
7. Труба, длина которой 2 м, заполнена воздухом и открыта с одного конца. Скорость звука равна 340 м/c. Определите при какой наименьшей частоте в трубе возникнет стоячая звуковая волна.
8. На дифракционную решетку нормально падает монохроматический свет. Определите угол дифракции для линии 0,55 мкм в четвертом порядке, если угол дифракции для линии 0,6 мкм в третьем
порядке составляет 30°.
9. Найдите работу выхода электронов из металла, если задерживающая разность потенциалов для излучения с некоторой длиной
волны равна 3 В, а для длины волны в два раза большей 1 В.
10. Лазер излучает в импульсе 1019 световых квантов Средняя
мощность импульса лазера 1100 Вт при длительности вспышки
2·10–3 с. Определите длину волны излучения лазера.
11. Кинетическая энергия микрочастицы увеличилась в 2 раза.
Как изменилась длина волны де Бройля этой частицы?
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, …. При переходах с верхних
уровней энергии на нижние атом излучает фотон. Переходы с верхних
уровней на уровень с n = 1 образуют серию Лаймана; на уровень с n =
= 2 – серию Бальмера; на уровень с n = 3 – серию Пашена и т.д. Определите наибольшую длину волны в серии Бальмера. Ответ округлите до целых.
Вариант 8
1. Точка совершает колебания с амплитудой 2 см. Циклическая
частота равна
с–1, начальная фаза равна
рад. Напишите уравне4
ние колебаний и постройте график и зависимости от времени: 1) смещения x(t); 2) скорости и ускорения.
2. Диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси,
проходящей через середину одного из радиусов, перпендикулярно
плоскости диска. Определите приведенную длину такого физического
маятника.
3. Напишите уравнение плоской волны смещения частиц среды
в воздухе, если скорость распространения волны равна 340 м/с, амплитуда А = 20 мм, а частота 4000 Гц.
108
4. Приемник радиолокатора регистрирует частоту биений между
частотой сигнала, посылаемого передатчиком равной 800 МГц, и частотой сигнала, отраженной от движущегося объекта. Определите скорость
ракеты, приближающейся к локатору, если частота биений равна 4 кГц.
5. На какую длину волны нужно настроить радиоприёмник, чтобы слушать радиостанцию «Европа+», которая вещает на частоте
106,2 МГц?
6. Какова должна быть толщина защитного покрытия самолетаневидимки на длине волны радара 4 см, если эффективный показатель преломления электромагнитных волн в покрытии n = 2,5?
7. Определите длину бегущей волны, если в стоячей волне расстояние между первой и седьмой пучностями равно 15 см.
8. Определите число штрихов на 1 мм дифракционной решетки,
если углу
= 300 соответствует максимум четвертого порядка для
монохроматического света с длиной волны = 0,5 мкм.
9. Работа выхода электронов из металла равна 1,6·10–19 Дж. Если задерживающая разность потенциалов для излучения с некоторой
длиной волны равна 3 В, то чему будет равна задерживающая разность потенциалов для длины волны излучения в два раза большей?
10. Глаз человека воспринимает свет длиной волны 0,45 мкм при
мощности светового потока 1,98·10–17 Вт. Определите, за сколько секунд на сетчатку глаза падает 180 фотонов.
11. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл по окружности радиусом 1 м. Определите длину волны де
Бройля электрона.
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, .... При переходах с верхних
уровней энергии на нижние атом излучает фотон, а при переходах с
нижних на верхние поглощает. Фотон выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Вне атома электрон получил скорость
1 Мм/с. Чему была равна энергия фотона?
Вариант 9
1. Найдите период гармонических колебаний точки, если амплитуда скорости 1 м/с, а амплитуда ускорения 2 м/с2. Напишите уравнение и постройте график колебаний. В начальный момент времени
смещение равно нулю.
109
2. Физический маятник состоит из однородного стержня длиной
30 см и массой 50 г, на одном конце которого укреплен маленький шарик массой 40 г, на другом маленький шарик массой 100 г. Определите период колебаний этого маятника относительно горизонтальной
оси, проходящей через центр стержня.
3. Напишите уравнение плоской волны смещения частиц среды
в воздухе, если скорость распространения волны равна 340 м/с, ее
амплитуда А = 20 мм, а частота 4000 Гц.
4. Электропоезд проходит со скоростью 72 км/ч мимо неподвижного приемника и дает гудок, частота которого 300 Гц. Принимая скорость звука равной 340 м/с, определите частоту, воспринимаемую
приемником.
5. На какую длину волны нужно настроить радиоприёмник, чтобы
слушать радиостанцию «Наше радио», которая вещает на частоте
101,7 МГц?
6. Два динамика расположены на расстоянии 2 м друг от друга и
воспроизводят музыкальный тон на частоте 1000 Гц. На расстоянии
4 м от плоскости источников звука в центре находится слушатель. На
каком расстоянии от центральной линии должен сидеть второй слушатель, чтобы достичь первого узла интерференционной картины?
Скорость звука 330 м/с.
7. В трубе длиной 1,2 м находится воздух при температуре 300 К.
Определите минимальную частоту возможных колебаний воздушного
столба в случае, когда труба закрыта.
8. На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на мм,
перпендикулярно ей падает плоская монохроматическая волна. Какова длина падающей волны, если спектр четвертого порядка наблюдается в направлении, перпендикулярном падающим лучам? Ответ дайте в нанометрах.
9. Работа выхода электронов из металла равна 1,6·10–19 Дж.
Задерживающая разность потенциалов для излучения с некоторой
длиной волны равна 3 В. Во сколько раз надо увеличить длину волны
излучения, чтобы задерживающая разность потенциалов стала
равной 1 В.
10. Электрическая лампа испускает ежесекундно 1·1019 фотонов. Средняя длина волны излучения 600 нм, а коэффициент полез-
110
ного действия лампы равен 3,3%. Определите потребляемую мощность лампы.
11. Электрон движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом 1 м. Длина волны де Бройля электрона равна
8,25·10–15 м. Определите значение вектора магнитной индукции.
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, …. При переходах с верхних
уровней энергии на нижние атом излучает фотон, а при переходах с
нижних на верхние поглощает. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить электрон с четвертой орбиты атома водорода
за пределы притяжения его ядром?
Вариант 10
1. Точка равномерно движется по окружности против часовой
стрелки с периодом 6 с. Диаметр окружности равен 20 см. Напишите
уравнение движения точки на ось Х, проходящую через центр окружности, если в начальный момент времени проекция на ось равна 0.
Найдите смещение скорость и ускорение Х проекции точки в момент
времени равный 1 с.
2. Физический маятник представляет собой тонкий однородный
стержень длиной L и массой 2m с укрепленным на конце маленьким
шариком массой 3m. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определите круговую частоту собственных колебаний.
3. Напишите уравнение плоской волны смещения частиц среды
в воздухе, если скорость распространения волны равна 340 м/с, ее
амплитуда А = 15 мм, а частота 3000 Гц.
4. Сигнал неподвижного ультразвукового локатора на частоте
50 кГц направлен к приближающейся подводной лодке. Определите
ее скорость, если частота биений 250 Гц. Скорость распространения
звука в воде 1500 м/с.
5. Какова длина электромагнитной волны, на которую настроен
колебательный контур, состоящий из емкости С = 5·10–7 Ф и индуктивности L = 4,5·10–10 Гн?
6. На какой частоте самолет-невидимка будет действительно невидим для радиолокаторов, если толщина его покрытия 5 мм, а его
диэлектрическая проницаемость 9.
111
7. Латунный цилиндрический стержень, закреплённый посередине,
имеет длину 1 м. При трении возникают продольные колебания, основная
частота которых 1740 Гц. Определите скорость звука в стержне.
8. На дифракционную решетку падает нормально пучок света. Для
того, чтобы увидеть красную линию ( = 700 нм) в спектре второго порядка, зрительную трубу пришлось установить под углом 30° к оси коллиматора. Найдите период решетки и количество штрихов на 1 мм длины.
9. Одна из обкладок плоского конденсатора емкостью 0,1 мФ освещается светом с энергией фотонов 6,6·10–19 Дж. Какой заряд будет
накапливаться на конденсаторе при длительном освещении, если работа выхода электронов из металла равна 5·10–19 Дж?
10. Электрическая лампа мощностью 100 Вт испускает ежесекундно 1·1019 фотонов. Коэффициент полезного действия лампы равен 3,3%. Определите среднюю длину волны излучения.
11. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 Тл. Длина волны де Бройля электрона равна 8,25·10–15 м. Определите радиус окружности движения электрона.
12. Значения энергии электрона в атоме водорода задаются
формулой En = –13,6/n2 эВ, где n = 1, 2, 3, …. При переходах с верхних
уровней энергии на нижние атом излучает фотон, а при переходах с
нижних на верхние – поглощает. Какую минимальную работу надо совершить, чтобы удалить электрон со второй орбиты атома водорода
за пределы притяжения его ядром?
8. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО ФИЗИКЕ (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР)
1. Свойства пространства и времени. Механическое движение. Системы отсчета. Степени свободы.
2. Модели в механике. Вращательное и поступательное движение.
3. Основные кинематические параметры поступательного движения: путь,
перемещение, скорость и ускорение. Тангенциальное и нормальное ускорение.
4. Кинематические параметры вращательного движения: угловое перемещение, угловая скорость и ускорение. Связь линейных и угловых кинематических
параметров.
5. Принцип относительности и преобразования Галилея. Экспериментальное
обоснование СТО. Относительность одновременности и преобразования Лоренца.
6. Сокращение длины и замедление времени в движущихся системах отсчета.
7. Масса тела и ее свойства. Центр масс системы материальных точек. Импульс материальной точки, системы материальных точек, твердого тела. Связь
импульса и скорости движения центра масс.
8. Сила как мера взаимодействия тел. Силы упругости, трения, тяготения.
Законы Ньютона.
112
9. Орбитальный и осевой моменты импульса. Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.
10. Момент инерции как мера инертности тела при вращательном движении. Моменты инерции материальной точки, СМТ, АТТ. Основные свойства момента инерции. Теорема Штейнера.
11. Работа и мощность силы в поступательном и вращательном движениях.
12. Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения.
13. Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия.
14. Законы сохранения в замкнутых системах: закон сохранения импульса,
момента импульса, механической энергии, полной энергии. Частные законы сохранения для незамкнутых систем.
15. Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ). Уравнение состояния идеального газа.
16. Статистические распределения. Распределение Максвелла.
17. Распределение Больцмана и барометрическая формула.
18. Первое начало термодинамики. Внутренняя энергия макроскопического
тела. Работа газа при изменении его объема.
19. Изопроцессы. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона.
20. Второе начало термодинамики. Необратимость тепловых процессов.
Энтропия.
21. Принцип действия тепловых двигателей. КПД.
22. Фундаментальные взаимодействия. Интенсивность и радиус действия.
23. Гравитационное поле. Закон всемирного тяготения. Напряженность гравитационного поля. Гравитационное поле точечной массы. Вес тела. Принцип эквивалентности.
24. Электромагнитное поле. Электрический заряд и его свойства. Закон Кулона. Напряженность электростатического поля. Принцип суперпозиции.
25. Потенциал электростатического поля. Связь потенциала и напряженности. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности электростатического поля.
26. Емкость и энергия конденсатора. Объемная плотность энергии.
27. Электрический ток. Сила и плотность тока. Разность потенциалов, напряжение, электродвижущая сила.
28. Закон Ома для однородного участка и для замкнутой цепи. Правила
Кирхгофа.
29. Работа и мощность тока. Закон Джоуля – Ленца.
30. Вектор магнитной индукции. Силовые линии магнитного поля.
31. Закон Био – Савара – Лапласа. Принцип суперпозиции. Магнитное поле
прямого, кругового тока и соленоида.
32. Сила Лоренца. Движение зарядов в электрических и магнитных полях.
Принцип работы циклотрона.
33. Взаимодействие токов. Закон Ампера. Вращение рамки с током в магнитном поле.
34. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея – Ленца. Самоиндукция. Индуктивность соленоида.
35. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля и их физический смысл.
9. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ФИЗИКЕ (ВТОРОЙ СЕМЕСТР)
1. Понятие колебательного процесса. Классификация колебаний. Параметры гармонических колебаний.
2. Способы графического представления колебаний: плоская, векторная и
спектральная диаграммы.
113
3. Уравнение гармонических колебаний. Определение амплитуды, фазы,
начальной фазы, периода, частоты, циклической частоты колебаний. Связь частоты, циклической частоты и периода колебаний.
4. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математические
маятники. Частота собственных гармонических колебаний маятников.
5. Свободные гармонические колебания в электромагнитном контуре. Электромеханическая аналогия.
6. Сложение двух коллинеарных гармонических колебаний равных частот
методом векторной диаграммы. Уравнение результирующего колебания. Формула
для амплитуды результирующего колебания.
7. Сложение двух коллинеарных гармонических колебаний близких частот.
Биения.
8. Сложение двух ортогональных гармонических колебаний равных частот.
Вывод уравнения траектории.
9. Основные характеристики затухающих колебаний: амплитуда, циклическая частота, время релаксации, добротность.
10. Колебательный, критический и апериодический режимы.
11. Вынужденные колебания. Резонанс. Графики амплитудно-частотной
характеристики при различных значениях коэффициента затухания.
12. Общее понятие волнового процесса. Характеристики волнового движения: волновая поверхность, фазовая скорость, фронт волны. Классификация волн.
13. Уравнение плоской волны. Определение длины волны. Волновое число.
14. Продольные и поперечные упругие волны. Примеры. Какие волны распространяются в газах, жидкостях и твердых телах. Скорость распространения
волн в различных средах.
15. Диапазон частот слышимого звука. Уровень интенсивности звука. Что
такое децибел? Ультразвук и инфразвук.
16. Эффект Доплера для звуковых волн.
17. Уравнение плоской гармонической электромагнитной волны. Какие величины совершают колебания в электромагнитной волне?
18. Формула продольного и поперечного эффекта Доплера для электромагнитных волн. «Красное смещение».
19. Поляризация электромагнитных волн. Физические методы получения
поляризованного света. Закон Малюса.
20. Понятие о дисперсии волн. Закон поглощения электромагнитных волн.
21. Наложение волн. Принцип суперпозиции. Какие волны называются когерентными? Методы их получения.
22. Определение интерференции. Условия интерференционного минимума
и максимума. Расчет интерференционной картины в опыте Юнга.
23. Интерференция света в тонких пленках. Выведите формулу разности
хода лучей, отраженных от верхней и нижней границы пленки.
24. Уравнение стоячей волны. Как меняется фаза колебаний при отражении
упругой волны от закрепленного и свободного конца струны?
25. Спектр собственных частот колебаний струны с закрепленными концами. Запишите положение узлов и пучностей.
26. Дифракция волн. Принцип Гюйгенса – Френеля.
27. Дифракционная решетка. Условие главных максимумов
28. В каких опытах проявляются корпускулярные свойства света. Приведите не менее трех примеров.
29. Законы теплового излучения. Формула Планка, определяющая энергию
кванта электромагнитного излучения.
114
30. Формула Эйнштейна для фотоэффекта. Красная граница фотоэффекта – проявление корпускулярных свойств света.
31. Волновые свойства микрочастиц вещества. Длина волны де Бройля.
Опыты Девиссона – Джермера по рассеянию электронов на монокристалле и их
интерпретация.
32. Стационарное уравнение Шредингера. Волновая функция. Уравнение
Шредингера для частицы, в одномерной глубокой прямоугольной потенциальной
яме. Квантование энергии.
33. Классификация элементарных частиц по видам взаимодействий. Экспериментальные методы исследования и наблюдения элементарных частиц.
Принцип действия счетчика Гейгера, камеры Вильсона, пузырьковой камеры.
34. Перечислите законы сохранения в физике элементарных частиц. Примеры выполнения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса при
превращении частиц.
35. Основные характеристики ядер. Состав атомного ядра. Зарядовое число. Массовое число. Изотопы.
36. Энергия связи нуклонов в ядре. Дефект массы. График зависимости
удельной энергии связи нуклонов в ядре от массового числа.
37. Назовите основные свойства ядерных сил. Сравните ядерные силы с
другими фундаментальными силами по интенсивности.
38. Закон радиоактивного распада. Период полураспада. Какие частицы
вылетают из ядра при распаде? Термоядерный синтез. Почему при синтезе легких
ядер выделяется энергия?
39. Атом водорода по теории Бора. Назовите постулаты Бора. Спектр излучения атомов водорода. Назовите не менее трех серий спектра испускания атома
водорода.
40. Основные отличия в электропроводности металлов и полупроводников.
10. ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Трофимова, Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т.И. Трофимова.
– 21-е изд., стер. – М.: Академия, 2015. – (Высшее образование).
2. Трофимова, Т.И. Курс физики. Задачи и решения / Т.И. Трофимова. – М.:
Академия, 2011. – (Высшее профессиональное образование) (Бакалавриат).
3. Сборник задач по физике / И.А. Авенариус, Е.Ю. Бахтина, Ю.А. Белкова,
Е.А. Гусева, В.Л. Захаров, Г.К. Ипполитова [и др.]; под ред. Ю.А. Белковой. – М.:
МАДИ, 2016.– 143 с.
4. Захаров, В.Г. Физика для бакалавров: учеб. пособие для вузов / В.Г. Захаров. – М.: МАДИ, 2015. – 244 с.
Дополнительная
1. Тимофеева, Г.Ю. Методические указания по решению задач по механике
и электромагнетизму / Т.Ю. Тимофеева. – М.: МАДИ, 2015.
2. Лабораторный практикум по физике. Колебания, волны, строение вещества / под ред. И.А. Авенариус. – М.: МАДИ, 2015.
3. Лабораторный практикум по физике. Механика / под ред. И.А. Авенариус,
Б.Л. Афанасьева. – М.: МАДИ, 2010.
115
СОДЕРЖАНИЕ
1. ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИЗУЧЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ «ФИЗИКА» ................3
2. СОСТАВЛЯЮЩИЕ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА ................................................4
2.1. Самостоятельная работа с учебными пособиями............................................. 5
2.2. Выполнение контрольных работ .......................................................................... 5
2.3. Методика решения задач ...................................................................................... 6
2.4. Выполнение лабораторных работ ....................................................................... 8
3. ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ «ФИЗИКА»
ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ ПОДГОТОВКИ ..................................................9
4. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
Первый семестр ........................................................................................................... 13
Тема 1. Введение ........................................................................................................ 13
Тема 2. Кинематика поступательного и вращательного движения ...................... 14
Тема 3. Кинематика специальной теории относительности ................................. 17
Тема 4. Основные понятия и законы динамики ...................................................... 20
Тема 5. Динамика вращательного движения .......................................................... 21
Тема 6. Работа, мощность, энергия.......................................................................... 23
Тема 7. Законы сохранения в замкнутых системах ................................................ 24
Тема 8. Молекулярно-кинетическая теория ............................................................ 27
Тема 9. Классическая статистика.............................................................................. 28
Тема 10. Основы термодинамики ............................................................................. 29
Тема 11. Фундаментальные взаимодействия. Гравитационное поле ................. 32
Тема 12. Электростатическое поле. Напряженность и потенциал поля ............. 34
Тема 13. Постоянный электрический ток ................................................................. 38
Тема 14. Магнитное поле ........................................................................................... 39
Тема 15. Сила Лоренца. Сила Ампера ..................................................................... 41
Тема 16. Электромагнитная индукция...................................................................... 41
5. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИОННОГО КУРСА
Второй семестр ............................................................................................................ 43
Тема 1. Гармонические колебания ........................................................................... 43
Тема 2. Дифференциальные уравнения свободных колебаний .......................... 44
Тема 3. Сложение колебаний .................................................................................... 47
Тема 4. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс ................................. 48
Тема 5. Волновые процессы ...................................................................................... 51
Тема 6. Упругие волны ............................................................................................... 53
Тема 7. Электромагнитные волны ............................................................................ 54
Тема 8. Интерференция когерентных волн ............................................................. 55
Тема 9. Стоячие волны............................................................................................... 58
Тема 10. Дифракция. Поляризация. Дисперсия...................................................... 60
Тема 11. Основы квантовой физики ......................................................................... 62
Тема 12. Уравнение Шредингера .............................................................................. 65
116
Тема 13. Строение атома водорода ......................................................................... 65
Тема 14. Ядро атома. Ядерные реакции.................................................................. 66
Тема 15. Элементарные частицы ............................................................................. 68
Тема 16. Физические основы микроэлектроники .................................................... 70
6. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ ............................................................ 72
Механика....................................................................................................................... 72
Молекулярная физика и термодинамика ................................................................. 75
Электромагнетизм ....................................................................................................... 76
Колебания и волны...................................................................................................... 78
Волновая оптика .......................................................................................................... 82
Квантовая и ядерная физика ..................................................................................... 83
7. ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ ....................................................................... 85
Контрольная работа № 1............................................................................................ 85
Контрольная работа № 2............................................................................................ 98
8. ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ ПО ФИЗИКЕ (ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР).................................. 111
9. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО ФИЗИКЕ (ВТОРОЙ СЕМЕСТР) ............................ 112
10. ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................... 114