OSMART’DA
RANGKUMAN MATEMATIKA PEMINATAN KELAS X SEMESTER 2
BAB 1
KONSEP VEKTOR
1.1 Pengertian Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Vektor
digambarkan dengan anak panah. Besar Vektor dinyatakan dengan panjang anak
panah sedang arah vector dinyatakan dengan arah anak panah.
⃑⃑⃑⃑⃑ , titik A sebagai pangkal vector dan titik B sebagai ujung vector.
Pada vector 𝐴𝐵
Selain penulisan menggunakan 2 titik ujungnya, vector juga dapat dituliskan dengan
huruf kecil yang diberi tanda panah / diunderline / dibold, (𝑢
⃑ , 𝑢, u)
1.2 Vektor di R2
Vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan bilangan yang dituliskan secara
vertical (tegak) dan horizontal (datar). Bilangan pertamanya menyatakan arah pada
sumbu x (kanan / kiri), dan bilangan keduanya menyatakan arah pada sumbu y (atas /
bawah), (𝑦𝑥 ).
𝑧 memiliki titik A pada pangkal dan B pada ujung, dari titik A ke kanan 5 satuan,
dank ke atas 3 satuan sampai titik B, maka 𝑧 = (53) atau 𝑧 = (5 3). Begitu pula dengan
⃑ dan 𝑎, caranya dihitung mulai pangkal ke ujung seperti 𝑧
vector 𝑘
1.3 Vektor di R3
Vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan bilangan yang dituliskan secara
vertical (tegak) dan horizontal (datar). Bilangan pertamanya arah sumbu x (depan /
belakang), bilangan kedua menyatakan arah sumbu y (kanan / kiri), dan bilangan
𝑥
ketiganya menyatakan arah sumbu z (atas / bawah), (𝑦).
𝑧
⃑⃑⃑⃑⃑⃑
𝑂𝐷 2 satuan ke depan, 3 satuan ke
kanan, dan 3 satuan ke atas, sehingga dapat
2
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = (3) atau 𝑂𝐷
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ = (2 3 3)
dituliskan 𝑂𝐷
3
2
Vektor Posisi
Vektor posisi adalah vector yang menyatakan posisi suatu titik terhadap
pangkal koordinat. Vector posisi titik Y berpangkal pada titik O yaitu pusat koordinat
⃑⃑⃑⃑⃑ atau 𝑦.
dan berujung pada titik Y sehingga dapat dituliskan 𝑂𝑌
Vektor posisi dipisahkan menjadi dua, yakni Vektor posisi R2 dan Vektor posisi
R3.
1.4 Kesamaan Vektor
Dua atau lebih Vektor dapat dikatakan sama apabila ia memiliki besar dan arah
𝑥1
𝑥1
𝑥1
𝑥2
yang sama. ( ) = ( ) atau (𝑦1) = (𝑦1)
𝑦1
𝑦2
𝑧1
𝑧1
BAB 2
OPERASI VEKTOR
2.1 Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^2
Dua vektor atau lebih dapat dijumlahkan dan hasilnya disebut resultan. Penjumlahan vektor
secara aljabar dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan komponen yang seletak.
Jika
dan
maka:
Penjumlahan secara grafis:
Dalam pengurangan vektor, berlaku sama dengan penjumlahan yaitu:
Sifat-sifat dalam penjumlahan vektor:
2.2 Perkalian vektor di R^2 dengan skalar
Suatu vektor dapat dikalikan dengan suatu skalar (bilangan real) dan akan menghasilkan
suatu vektor baru. Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
Dengan ketentuan:
Jika k > 0, maka vektor
searah dengan vektor
Jika k < 0, maka vektor
berlawanan arah dengan vektor
Jika k = 0, maka vektor
adalah vektor identitas
Secara grafis perkalian ini dapat merubah panjang vektor dan dapat dilihat pada tabel
dibawah:
Secara aljabar perkalian vektor
dengan skalar k dapat dirumuskan:
2.3 Penjumlahan dan pengurangan vektor di R^3
Penjumlahan dan pengurangan vektor di
sama dengan vektor di
yaitu:
dan
2.4 Perkalian vektor di R^3 dengan skalar
Jika adalah vektor dan k adalah skalar. Maka perkalian vektor:
2.5 Hasil kali skalar dua vektor
Selain rumus di
Jika
, ada rumus lain dalam hasil kali skalar dua vektor.
dan
maka
BAB 3
PANJANG VEKTOR
adalah:
# MENYATAKAN VEKTOR MENGGUNAKAN VEKTOR SATUAN PADA SUMBU KOORDINAT
a. Pada bidang Koordinat di R2
Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1,0)
Vektor satuan searah sumbu y adalah j = (0,1)
Setiap vektor di R2 dinyatakan sebagai hasil operasi vektor i dan j dengan rumus :
V = (x,y) = xi + yj
b. Pada bidang Koordinat di R3
Vektor satuan searah sumbu x adalah i = (1,0,0)
Vektor satuan searah sumbu y adalah j = (0,1,0)
Vektor satuan searah sumbu z adalah k = (0,0,1)
Setiap vektor di R3 dinyatakan sebagai hasil operasi vektor i dan j dengan rumus :
V = (x,y,z) = xi + yj + zk
BAB 4
PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
4.1 Hasil kali skalar 2 vektor
a. Hasil kali skalar vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃑⃗ adalah suatu skalar yang besarnya sama dengan
jumlah hasil kali komponen-komponen 𝑎⃗ dan 𝑏⃑⃗ yang bersesuaian.
Vektor-vektor 𝑎⃗ dan 𝑏⃑⃗ dinyatakan dengan komponen-komponen:
Hasil kali skalar dua vektor tersebut adalah
𝑎⃗ ∙ 𝑏⃑⃗ = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3
b. Jika 𝜃 adalah besar sudut antara dua vektor
4.2 Besar Sudut Antara Dua Vektor
4.3 Dua Vektor yang Saling Tegak Lurus
4.4 Sifat Perkalian Skalar Dua Vektor
BAB 5
PROYEKSI VEKTOR
Proyeksi Skalar
*Missal proyeksi a pada b (gambar 1)
Proyeksi skalar ortogonal
pada
Proyeksi skalar ortogonal
pada .
Proyeksi Vektor Ortogonal
Proyeksi vektor ortogonal
pada .
Proyeksi vektor ortogonal
pada .
Contoh soal
1.
vektor
pada
Panjang proyeksi ortogonal
adalah 4. Nilai p adalah ….
Pembahasan:
Mencari panjang vektor b:
Beradasrkan rumus proyeksi skalar (proyeksi panjang) ortogonal vektor dapat diperoleh
persamaan berikut.
2. Proyeksi vektor u=6i+4j-5k pada v=-2i+j+2k adalah...
Pembahasan: