-1مقدمة -2أمثلة على الحركات االهتزازية و تعريفها -3الخواص العامة للحركة االهتزازية البسيطة -4المفاهيم األساسية للحركة الدورية -5معادالت الحركة التوافقية البسيطة -6مناقشة خصائص الحركة التوافقية البسيطة بداللة الطاقة -7البندول البسيط -8مسائل محلولة د .ميسون مقل -1مقدمة : •هناك نوع خاص جداً من أنواع الحركة تحدث عندما تكون القوه المؤثرة على جسم ( قوة االستعادة ) تتناسب مع إزاحة الجسم عن وضع اتزان معين (أي القوة و اإلزاحة مرتبطان ببعضهما وفقا ً لقانون هوك ). • فإذا لم يكن هناك فقد في الطاقة بسبب االحتكاك فإن هذه القوه ستتجه دائما ً نحو موضع االتزان و ستحدث حركة متكررة إلى األمام وإلى الخلف حول هذا الوضع وهذه الحركة تسمى : •الحركة الترددية •الحركة التوافقية •الحركة التذبذبية •الحركة االهتزازية •الحركة الدورية والمصطلحات السابقة جميعها متكافئة تماما ً. د .ميسون مقل -2أمثلة على الحركات االهتزازية و تعريفها: .1تذبذب ثقل مثبت في زنبرك. .2تأرجح األطفال باستخدام األرجوحة. .3اهتزاز األوتار (تنتج الموجات الصوتية). .4اهتزاز الشوكة الرنانة. .5ضربات قلب اإلنسان .6حركة الجزيئات في األجسام الصلبة وحركة االلكترونات في الذرات. .7حركة األرض حول الشمس ,وحركة القمر حول األرض ,وعموما َ فإن أي مادة تكون فيها جزيئات تتحرك لألعلى واألسفل ) (up & downأو تتحرك يسار أو يمين ) (right & leftتكون حركة ترددية. د .ميسون مقل إذا ً: الحركة الدورية( الترددية ) :هي حركة تتكرر بيكيفية واحدة في فترات زمنية متساوية. أو تعرف الحركة االهتزازية :هي الحركة التي يعملها الجسم المهتز حول موضع اتزانه في اتجاهين متضادين ,وفي فترات زمنية متساوية وتكون فيها قوة اإلرجاع دائما ً في اتجاه معاكس التجاه اإلزاحة. أو هي الحركة التي يصنعها الجسم المهتز على جانبي موضع سكونه أو اتزانه األصلي أو هي االضطراب أو الحركة التي تحدث في الوسط عندما يتحرك كل جزء من أجزائه حركة اهتزازية تسري بالتتابع من نقطة إلى أخرى. وتسمى الحركة االهتزازية في أنقى صورها بالحركة التوافقية البسيطة. د .ميسون مقل -3الخواص العامة للحركة االهتزازية البسيطة : الحركة التوافقية االهتزازية البسيطة :هي أحد أشكال الحركة االهتزازية تنشأ نتيجة الستجابة المنظومة لقوة استعادة تتناسب طرديا ً مع مقدار اإلزاحة عن موضع التوازن . توصف بالعالقة : حيث Aو و : ثوابت تصف الحركة الموضحة بالشكل د .ميسون مقل -4المفاهيم األساسية للحركة الدورية : • االهتزازة (الذبذبة) الكاملة :هي الحركة التي يعملها الجسم المهتز عندما يمر على نقطة ما في مسار حركته مرتين متتاليتين في اتجاه واحد. •اإلزاحة ) :(Xهي بعد الجسم المهتز في أية لحظة عن موضع اتزانه (سكونه) ,و تقاس بـ ). (m • سعة االهتزازة ) :(Aهي أقصى إزاحة يصل إليها الجسم المهتز من موضع االتزان ,أو هي المسافة بين نقطتين في مسار حركة الجسم تكون سرعته في إحداهما أقصاها وفي األخرى منعدمة و تقاس بـ ).(m • الزمن الدوري ) :(Tهو الزمن الالزم إلتمام اهتزازة ( دورة ) كاملة ,و يقاس بـ ).(Sec • التردد ( التواتر) ) :( ƒهو عدد الدورات أو االهتزازات الكاملة التي يعملها الجسم المهتز في الثانية الواحدة ,و هو مقلوب الزمن الدوري ,و يقاس بـ ) (1/Sec = Hz •التردد الزاوي (التواتر الزاوي ) (:(هوعدد االهتزازات الكلية التي يقوم بها الجسم المهتز خالل زمن مقداره 2ثانية و يقاس بوحدة )(rad/Sec •المدى الكلي للحركة ( المطال )): (2Aو هو ضعف سعة الحركة د .ميسون مقل -5معادالت الحركة التوافقية البسيطة : من قانون نيوتن الثاني: ()1 ولكن: من ( , )1و ()2 ()2 ()3 نالحظ أن مقدار العجلة غير ثابت ألن قوة اإلرجاع متغيرة بتغير موقع الجسم ,لذلك ال يجوز استخدام معادالت الحركة بعجلة منتظمة وفي خط مستقيم ( الحركة الخطية ) لحساب اإلزاحة والسرعة والعجلة عند دراسة الحركة التوافقية البسيطة. د .ميسون مقل •عندما تأخذ اإلزاحة xأقصى قيمة موجبة ) (Aسيكون للتسارع أقصى قيمة سالبة و العكس • و عند اللحظة التي يمر فيها الجسم المهتز بموضع التوازن ) ( x=0التسارع )(a=0 و بالتالي سرعته ليست صفر عند هذه اللحظة . -6مناقشة خصائص الحركة التوافقية البسيطة بداللة الطاقة : يمكن التعبير عن الشغل المبذول بواسطة قوة االستعادة كطاقة وضع مختزنة نعبر عنها بالعالقة: و الطاقة الحركية: و حسب مبدأ حفظ الطاقة تكون الطاقة الكلية: E=K+U فإنه يتوقف • عندما يصل الجسم المهتز إلى أقصى إزاحة و الطاقة الكلية كلها تكون طاقة كامنة الطاقة الحركية الجسم مرة أخرى نحو موضع التوازن. 9 و بالتالي تنعدم ,و من ثم يعود و عليه فإن : وفق العالقة ) (7يمكن ايجاد سرعة الجسم المهتز في أي موضع أثناء حركته د .ميسون مقل •أما عندما أي أن : تكون الطاقة الكلية مساوية للطاقة الحركية حيث تنعدم هنا الطاقة الكامنة و باالستفادة من العالقة ) (6نكتب : و هي السرعة القصوى للجسم المهتز لنضع في المعادلة )(7 د .ميسون مقل بفصل المتحوالت : و بالتكامل : حيث cثابت التكامل د .ميسون مقل بحل المعادلة األخيرة بالنسبة لـ xنجد : من المعادلة األخيرة نجد أن إزاحة الجسم xهو دالة دورية في الزمن ( مثل دالة )Sin •الزمن الدوري للحركة : Tنحصل عليه بوضع t=Tفي المعادلة ) (10فنجد: من المعادلة )(11نالحظ أن الزمن الدوري يتعلق بكتلة الجسم المهتز mو ثابت القوة k و ليس له عالقة بالسعة Aو ال بالطاقة الكلية E د .ميسون مقل •التردد أو التواتر ): (f •التردد(التواتر) الزاوي ): ( و بالتالي باالستفادة من المعادلتين ) (12و) (13يمكن كتابة المعادلتين)(7و )(10 د .ميسون مقل و باالستفادة أيضا ً من المعادلة ) (13يمكننا كتابة المعادلة ) (3على النحو التالي: و الدالة التي تحقق هذه المعادلة هي دالة جيب الزاوية أو جيب تمام الزاوية : حيث :فرق الطور أو ثابت الطور ,أما المقدار ) (t+فيسمى طور الحركة :و هو مقدار يستخدم للمقارنة بين نظامي حركتين للجسيمات. و التي يمكن تمثيلها بيانيا ً بالشكل التالي ,و الذي يوضح فيه أن الحركة التوافقية البسيطة و الحركة الجيبية شيء واحد . د .ميسون مقل د .ميسون مقل منحنى اإلزاحة والسرعة والتسارع مع الزمن لجسم يتحرك حركة توافقية بسيطة عند ثابت الطور =0 د .ميسون مقل من الشكل السابق يمكن استنتاج مايلي: طور السرعة يختلف عن طور اإلزاحة بمقدار 90oوهذا يعني أنه عند إزاحة xأكبر أو أقل تكون السرعة مساوية للصفر. التسارع يختلف عن طور اإلزاحة بمقدار 180oو هذا يعني أنه عند أكبر إزاحة xيكون هناك أكبر تسارع باتجاه معاكس. أي أن تسارع الجسم يتناسب مع اإلزاحة ولكن باتجاه معاكس. ويمكن تلخيص ماسبق كما يلي: • اإلزاحة من نقطة االتزان والسرعة والتسارع كلها تتغير جيبيا ً مع الزمن ولكنها ليست متحدة في الطور كما في الشكل السابق. • تسارع الجسم يتناسب مع اإلزاحة ولكنها في االتجاه العكسي وهذا شرط هام وكافياَ كشرط للحركة التوافقية البسيطة. • التردد وزمن الذبذبة ال يعتمدان على سعة الذبذبة كما وجدنا في العالقات)(11و)(12 . د .ميسون مقل -7البندول البسيط : هو عبارة عن جسم معلق رأسيا ً بخيط مهمل الكتلة و غير قابل للتمدد و الفتل د .ميسون مقل عند سحب الكتلة إلى أحد الجانبين ثم تركها حرة ,يبدأ البندول بالحركة حول موضع التوازن ( oحركة اهتزازية ) ,توصف هذه الحركة بأنها حركة توافقية بسيطة ألنها تحقق الشرط الالزم لهذه الحركة و هو :قوة االستعادة تتناسب طرديا مع اإلزاحة ,و سنتحقق من ذلك كما يلي : كما نرى في الشكل :أن كرة البندول تتحرك على قوس من دائرة نصف قطرها ) (lو هو طول البندول ,و يوضح الشكل مقدار اإلزاحة )(xالتي تعملها كرة البندول من موضع التوازن ). (o يمكن تحليل وزن الكرة إلى مركبتين ,إحداهما عمودية على اتجاه الحركة ) ,(-mg cos و هي ال تلعب أي دور في الحركة و تكون مقابلة لقوة شد الخيط المنطبقة على الخيط نفسه,و األخرى مماسية على مسار الحركة ( القوس ) ) , ( -mg Sin و هي السبب في حركة البندول و عودته نحو موضع التوازن و تسمى بقوة االستعادة و كما نالحظ أن قوة االستعادة )(F= -mg Sin تتناسب مع الزاوية . د .ميسون مقل باعتبار أن ذات قيم صغيرة فإنه رياضيا ً يمكننا كتابة Sin : F=-mg و من الشكل نالحظ أن : Sin = x/l )F= -mg (x/l و من هذه العالقة نجد فعالً أن قوة االستعادة تتناسب طرديا ً مع اإلزاحة , xو ثابت التناسب هنا هو ) (mg/lو هو يمثل ثابت القوة )(k F= -(mg/l)x = -(k)x و عليه الزمن الدوري للبندول البسيط يمكن إيجاده من العالقة ):(11 د .ميسون مقل أما التردد : و التردد الزاوي و بذلك نجد أن حركة البندول البسيط هي حركة توافقية بسيطة و زمنها الدوري و ترددها ال يتعلقان إال بطول الخيط فقط د .ميسون مقل مســــــــــائـل مـحـلـولــة المطلوب : -1يعطى اهتزاز نقطة ما بالمعادلة x=10Sin(15.7t+/4) : أ -ايجاد سعة اهتزاز هذه الحركة ت -دورها ب -تواتر الحركة ث -طور االهتزاز في اللحظة t= T/4ج -تحديد مقدار انزياح النقطة و ذلك بفرض أن xتقدر بالسنتيمتر الـحـل لنقارن المعادلة المعطاة مع معادلة الحركة االهتزازية التوافقية : A=10 cm نجد أن :أ -سعة االهتزاز =15.7 rad/Sec ب -التواتر الزاوي f=/2=15.7/(23.14)=2.5 Hz التواترf ومنه T= 2/ ت -دور الحركة يحسب من العالقة =2/T : T= (23.14)/(15.7)=0.4 Sec ث=3/4 =(2/T )(T/4)+(/4) =t+◦ - x= 10 Sin (3/4)= 100.707=7.07 cm ج- د .ميسون مقل -2علق نابض خفيف كتلته ) (50grفاستطال بمقدار ) (10cmو المطلوب :احسبي دور و تواتر االهتزازات الصغيرة للكتلة عند إزاحتها عن موضع توازنها .مع العلم أن : g=10m/Sec2وثابت الصالبة ( ثابت الزنبرك ) K=5 N/m الـحل يعطى دور االهتزاز Tبالعالقة : أما التواتر فيحسب كما يلي : f=1/T =1/0.63=1.59 Hz د .ميسون مقل -3بندول بسيط دوره ) (2 Secو سعة اهتزازه ) (5 cmالمطلوب :حساب تسارع كتلته : الـحل amax=-2x=-2A T=2/=2/2= rad/Sec amax=-2(5) cm/Sec2 50 cm/Sec2 حيث :اإلشارة السالبة تؤخذ عند الطرف x=+5cm و اإلشارة الموجبة عند الطرف x=-5cm د .ميسون مقل -4احسبي تواتر الحركة االهتزازية لنقطة مادية مهتزة كتلتها ) (20grمع العلم أن معامل قوة االستعادة )(K= 0.18 N/m الـحل يرتبط التواتر الزاوي مع كل من الكتلة و معامل اإلرجاع Kوفق العالقة : f=/2 و عليه فإن تواتر الحركة االهتزازية يساوي : f=3/2= 0.48 Hz T=1/f أما دور االهتزاز عندئذ يحسب وفق العالقة : T=1/0.48=2.08 Sec د .ميسون مقل مسائل في الكتاب -1أمثلة محلولة 52 /4 ,3/52 ,2/51 , 1/50 : -2مسائل غير محلولة 1( :و/ )2ص 4 (, 55و 5و 7و / )8ص 56 د .ميسون مقل