Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr, 2011
Cebir Notları
Mustafa YAĞCI, yagcimustafa@yahoo.com
Bir Karmaşık Sayının Modülü
B
ir karmaşık sayının karmaşık
düzlemdeki
görüntüsünün
(ona karşılık gelen noktanın)
orijine olan uzaklığına, o karmaşık
sayının modülü denir.
y
y
z = x+yi
|z|
O
x
Örnek. z − 4i = z + 2 eşitliğini sağlayan z karmaşık
x
sayısının modülü kaçtır?
Mutlak değeri veya büyüklüğü dendiği de olur. |z| ile gösterilir.
A) 3
|z|’nin değeri. z = x + yi şeklindeki bir karmaşık sayının
modülünün, yan şekilde gördüğünüz taralı üçgende
Pisagor Teoremi uygulanarak,
|z|
5
13
17
25
z
3 + 4i
–5 – 12i
–8 + 15i
7 – 24i
Kanıt: z = x + yi diyelim.
− z = (− x) + (− y ) = x + y
2
E) 9
a 2 + b 2 − 4i = a − bi + 2
Eşitliğin her iki tarafının imajinerlerini eşitlersek b = 4
olduğunu görürüz. Şimdi de b’yi yerine yazıp, reelleri
eşitleyeceğiz.
a 2 + 16 = a + 2
a 2 + 16 = a 2 + 4a + 4
4a = 12
a=3
a’yı da bulduk. O halde sonucu bulduk.
A)
2
z = x 2 + (− y ) 2 = x 2 + y 2
2
D) 7
Örnek [2006 ÖSS]. z + z = 3 − 2i eşitliğini sağlayan z
karmaşık sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
z = z = −z = −z = −z .
2
C) 5
z = a 2 + b 2 = 42 + 32 = 25 = 5 .
Doğru cevap: C.
Teorem. Bir karmaşık sayının modülü, eşleniğinin modülüne, toplamaya göre tersinin modülüne, eşleniğinin
toplamaya göre tersinin modülüne ve toplamaya göre
tersinin eşleniğinin modülüne eşittir. Yani,
z = x +y
B) 4
Çözüm: z = a + bi olsun. Eşitliği yeniden yazalım.
z − 4i = z + 2
GELİŞİM © YAYINLARI
|z| = x 2 + y 2
olduğu rahatlıkla bulunabilir.
2
kanıt tamamlanmış olur. Bu kanıtla birlikte bir karmaşık
sayının ters işaretlisinin görüntüsünün, kendisinin orijine
göre simetriği olduğunu da anlamış olduk.
3
− 2i
5
B)
5
2
3
− 2i C) + 2i D) − 3i
6
3
4
E)
3
+ 3i
5
Çözüm: z bir reel sayı olduğundan z + z = 3 − 2i eşitliğini düşününce Im(z) = ─2 olduğunu anlarız. Hatta
böyle düşündüğümüz için direkt olarak üç şıkkı da eleriz. ☺
z = a ─ 2i diyelim.
2
− z = − z = (− x) 2 + y 2 = x 2 + y 2
olduğundan eşitlikler doğrudur.
Bu durumu bir de yandaki
y
gibi grafikle açıklayalım:
z = x+yi y
z = x+yi
z, z , –z ve − z sayılarının
|-z|
karmaşık düzlemdeki gö|z|
rüntüleri orijin merkezli bir
-x
x
O x
dikdörtgen oluştururlar ki,
|-z|
dikdörtgende köşegenlerin
|z|
merkeze olan uzaklıklarının
-y
z = x yi
z = x yi
eşit olduğunu bildiğimizden
z + z = a 2 + 4 + a − 2i = 3 − 2i
a2 + 4 + a = 3
a 2 + 4 = −a + 3
a + 4 = a 2 − 6a + 9
6a = 5
5
5
olduğundan a = , dolayısıyla z = − 2i bulunur.
6
6
Doğru cevap: B.
2
446
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Teorem. İki karmaşık sayının bölümlerinin modülü, modüllerinin bölümüne eşittir. Yani,
z
z1
= 1 .
z2
z2
Örnek. x < 2 olmak üzere z = 2 − x + x − 2 sayısının
modülü 3 2 olduğuna göre x reel sayısı kaça eşittir?
A) 1
B) 0
C) ─1
D) ─7
Bir Karmaşık Sayının Modülü
E) ─18
Çözüm: x < 2 iken x ─ 2 < 0 olacağından şöyle bir düzenleme yapacağız:
Kanıt: z1 = x1 + y1i ve z2 = x2 + y2i olsun.
z1
x +yi
( x + y i )( x − y2 i )
= 1 1 = 1 1 2
( x2 + y2 i )( x2 − y2 i )
x2 + y2 i
z2
x − 2 = −1 ⋅ (2 − x) = i 2 (2 − x) = ± i 2 − x
olacağından verilen z sayısı şu halde yazılabilir:
z = 2 − x ±i 2 − x
=
O halde z = (2 − x) + (2 − x) = 2 − x ⋅ 2 = 3 2 olmalıdır ki
2 − x = 3 eşitliğinden x = ─7 bulunur.
Doğru cevap: D.
=
Teorem. İki karmaşık sayının çarpımlarının modülü,
modüllerinin çarpımına eşittir. Yani,
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
=
x12 x2 2 + y12 y2 2 + x12 y2 2 + x2 2 y12
=
x12 ( x2 2 + y2 2 ) + y12 ( x2 2 + y2 2 )
=
( x12 + y12 ) ⋅ ( x2 2 + y2 2 )
=
x12 + y12 · x2 2 + y2 2
x2 + y2
2
2
z1
=
.
z2
z1
z2
kaça eşittir?
GELİŞİM © YAYINLARI
( x1 x2 − y1 y2 ) 2 + ( x1 y2 + x2 y1 ) 2
x12 + y12
Örnek. z1 = 3 – 4i ve z2 = –5 + 12i olduğuna göre
Kanıt: z1 = x1 + y1i ve z2 = x2 + y2i olsun.
|z1⋅z2| = |x1x2 – y1y2 + (x1y2 + x2y1)⋅i|
=
x1 x2 + y1 y2 − ( x1 y2 − x2 y1 )i
x2 2 + y2 2
A)
1
13
B)
C) −
1
13
D) −
5
13
E) 1
Çözüm: |z1| = 5 ve |z2| = 13 olup,
z
z1
= 1
z2
z2
z1
5
=
bulunur.
z2
13
olduğundan
= z1 ⋅ z2
5
13
Doğru cevap: B.
Örnek. z1 = 3 – 4i ve z2 = –5 + 12i olduğuna göre |z1·z2|
kaçtır?
A) 65
B) 60
C)55
D) ─65
E) ─55
Çözüm: İki farklı yol göstereceğiz. İlk çözümü, ikincinin kıymetini anlayıp, unutmayın diye vereceğiz.
Birinci yol. Madem sayıların çarpımının modülü soruluyor. Biz de önce sayıları çarpmakla işe başlayacağız.
z1⋅z2 = (3 – 4i)(–5 + 12i)
= –15 + 36i + 20i + 48
= 33 + 56i
olduğundan
|z1⋅z2| =
332 + 562 =
Örnek [1981 ÖYS]. z =
ğeri kaçtır?
A) 3
3035 = 65.
Çözüm:
İkinci yol. |z1| = 5 ve |z2| = 13 olup,
z1 ⋅ z2 = z1 ⋅ z2
olduğundan |z1⋅z2| = 5⋅13 = 65.
1 + ix
olduğuna göre |z|’nin de1 − ix
B) 2
C) 1
D)
1
2
E)
1
3
z
z1
= 1 olduğundan
z2
z2
z =
1 + ix 1 + ix
12 + x 2
=
=
=1.
1 − ix 1 − ix
12 + (− x) 2
Doğru cevap: C.
Doğru cevap: A.
447
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Örnek. z = 2 + i olmak üzere z50 sayısının büyüklüğü
kaçtır?
Örnek. z ⋅|z|–2 sayısının sadeleştirilmiş biçimini yazınız.
A) z─1
B) z
D) ─z─1
C) ─z
E) ─2z
A) 5
Çözüm: z = x + yi olsun.
z ⋅|z|–2 = (x – yi)⋅( x 2 + y 2 )–2 =
Bir Karmaşık Sayının Modülü
B) 55
C) 510
D) 525
E) 550
Çözüm: Bize z 50 soruluyor. Biz de
x − yi
= z–1.
x2 + y 2
Doğru cevap: A.
50
z 50 = z
eşitliğini biliyoruz. O zaman ne duruyoruz?
z = 2 + i olduğundan
z = 22 + 12 = 5
olur. Bu yüzden
Örnek [1993 ÖYS]. Karmaşık düzlemde z = 3 − i olduğuna göre z −1 kaçtır?
10
10
B)
10
20
C)
15
20
D)
15
30
E)
Çözüm: z = 3 − i ise z = 32 + (−1) 2 = 10 olduğundan
1
1
1
10
=
z −1 = = =
10
z
z
10
olarak bulunur.
Doğru cevap: A.
Teorem. Bir karmaşık sayının herhangi bir kuvvetinin
modülü, modülünün o kuvvetine eşittir. Yani,
|zn| = |z|n.
Kanıt: İlerde kanıtlanacak.
B) 55
C) 510
D) 515
= 5
50
= 525 .
Doğru cevap: D.
Örnek. z 2 − 13 = z − z + 6i eşitliğini sağlayan z karmaşık sayılarının toplamı kaçtır?
A) −6
Örnek. z1 = 3 – 4i olduğuna göre |z10| kaçtır?
A) 52
50
10
50
GELİŞİM © YAYINLARI
A)
z 50 = z
E) 1
B) 6
D) −6i
C) 0
E) 6i
Çözüm: z = x + yi olsun.
2
z 2 = z = x2 + y2
olduğunu görerek eşitliği tekrar yazalım.
x 2 + y 2 − 13 = x − yi − x − yi + 6i
x 2 + y 2 − 13 = −2 yi + 6i
Eşitliğin sol tarafı reel olduğundan sağ tarafı da reel olmalıdır. Bu sadece y = 3 olmasıyla mümkündür. O halde
x2 + y2 = 13
bulunur ki buradan x = 2 veya x = −2 olması gerektiği
çıkar. Bu durumda z’nin alabileceği değerler
2 + 3i ve −2 + 3i
olur. Bunların toplamı da 6i olarak bulunur.
Doğru cevap: E.
Çözüm: z = 32 + (−4) 2 = 5 olduğunu not edelim. Öyleyse
|z10| = |z|10 = 510.
Doğru cevap: C.
Örnek.
z1 = sin 40o + i cos 20o
z2 = sin 20o + i cos 40o
Örnek. z = 6 + 8i olduğuna göre |z─1| kaça eşittir?
A)
10
B)
1
10
C)
1
10
olduğuna göre z12 + z2 2 toplamı kaçtır?
D) 10
E) 100
A) 0
Çözüm: z = 6 + 8i ise |z| = 10 olduğunu biliyoruz.
1
.
|z─1| = |z|─1 = 10─1 =
10
Doğru cevap: C.
B) 1
C)
2
D) 2
2
Çözüm: z12 + z2 2 = z1 + z2
E) 2 2
2
= sin 2 40o + cos 2 20o + cos 2 40o + sin 2 20o = 1 + 1 = 2
Doğru cevap: D.
448
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
Teorem. Bir karmaşık sayıyla eşleniğinin çarpımı, modülünün karesine eşittir. Yani,
z⋅ z = |z|2.
Bir Karmaşık Sayının Modülü
Örnek. Re(z) > 0 olmak üzere 3 ⋅
A) 1 + i
B) 1 ─ i
Örnek. z ⋅ z + 3 z = 40 olduğuna göre |z| kaçtır?
Çözüm: z ⋅ z = z
C) 4
2
D) 5
E) 8
D) 2
E) 1
64
eşitliği z⋅ z = 64 şeklinde düzenlenirse,
z
teroem gereği |z|2 = 64 olur ki, |z| negatif olamayacağından |z| = 8 olduğunu buluruz.
Doğru cevap: B.
Çözüm: z =
Örnek [1977 ÜSS]. a∈ℝ için
z = a + (a + 1)i
B) –2
C) 0
D)
2
− y 2 ) + ( 2 xy )
2
2
2
(x
2
+ y2 )
2
3x + 1 + 3( y + 1)i = x 2 + y 2
eşitliğinden 3x + 1 = x2 + y2 ve y = ─1 olduğunu buluruz.
O halde 3x + 1 = x2 + 1 eşitliğinden x = 0 veya x = 3 olduğu çıkar. Soruda x > 0 verildiğinden x = 3’tür. Diğer
yandan y = ─1 olduğunu daha önce bulduğumuzdan
z = x + yi = 3 − i
olur. Her iki yanın karesi alınırsa
z = (3 − i ) 2 = 9 − 6i + i 2 = 8 − 6i
olarak bulunur.
Doğru cevap: E.
Örnek. Modülü, reelinden 2, imajinerinden 9 fazla olan
karmaşık sayıların toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
B) 3 − 4i
A) 3 + 4i
ve
D) 8 + 15i
z + iz = 2 olduğuna göre a kaçtır?
A) –3
(x
3x + 1 + 3( y + 1)i =
GELİŞİM © YAYINLARI
C) 4
)
z + i +1 = z
3x + 1 + 3( y + 1)i = x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4
ve z = z olduğunu biliyoruz.
64
ise z karmaşık sayısının modülü kaçtır?
z
B) 8
E) 8 ─ 6i
3x + 1 + 3( y + 1)i = x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 + 4 x 2 y 2
Doğru cevap: D.
A) 16
(
3 ⋅ ( x + ( y + 1)i ) + 1 =
z ⋅ z + 3 z = 40
|z|2 + 3|z| ─ 40 = 0
(|z| + 8)·(|z| ─ 5) = 0
olduğundan |z| = 5 olmalıdır.
Örnek. z =
C) 2 ─ 4i D) 3 ─ 2i
Çözüm: Bu soruda z = x + yi olsun demek, başa bela almaktan başka bir şey değildir. Biz
z = x + yi
diyeceğiz. Dolayısıyla z = x2 + 2xyi ─ y2 olacak. Şimdi
buna göre eşitliği tekrar düzenleyelim.
3⋅
B) 3
)
z + i + 1 = z eşitli-
ğini sağlayan z sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
Kanıt: z = x + yi ise z = x – yi olacağından
z⋅ z = (x + yi)⋅(x – yi) = x2 – (yi)2 = x2 – y2i2 = x2 + y2
olduğunu daha önce kanıtlamıştık zaten.
x2 + y2 = |z|2
olduğundan kanıt biter.
A) ─8
(
C) 8 − 15i
E) 18 + 4i
Çözüm: Bahsi geçen karmaşık sayı z = a + bi olsun.
Bahse göre
E) 2 2
a 2 + b2 = a + 2 = b + 9
imiş. Demek ki b = a − 7. Bu durumda eşitliği sadece
a’ya bağlı yazabiliriz.
Çözüm: z = a + (a + 1)i iken z = a − (a + 1)i olduğundan
a 2 + (a − 7) 2 = a + 2
a2 + a2 – 14a + 49 = a2 + 4a + 4
a2 − 18a + 45 = 0
(a − 15)(a − 3) = 0
olduğundan a = 15 veya a = 3’tür.
a = 15 ise b = 8
a = 3 ise b = −4
olduğundan, şartları sağlayan karmaşık sayılar 15 + 8i ile
3 − 4i’dir. Toplamları da 18 + 4i yapar.
Doğru cevap: E.
z + iz = z + iz = a + (a + 1)i + i ( a − (a + 1)i )
= a + (a + 1)i + ai + a + 1
= 2a + 1 + (2a + 1)i
= (2a + 1) 2 + (2a + 1) 2
= (2a + 1) 2
olur. O halde (2a + 1) 2 = 2 eşitliğinden a = 0 bulunur.
Doğru cevap: C.
449
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
olur.
Örnek. Reel olmayan bir karmaşık sayınının imajineri
modülüyle reelinin aritmetik ortalamasıdır. Bu sayının
imajineri, reelinin kaç katıdır?
A)
3
4
B) −
3
4
C)
4
3
D) −
4
3
E)
|z1 + z2| =
|z1 + z2| = (x1 + x2)2 + (y1 + y2)2
= (x12 + y12) + (x22 + y22) + 2x1x2 + 2y1y2
= |z1|2 + |z2|2 + 2x1x2 + 2y1y2
≤ |z1|2 + |z2|2 + 2x1x2 + 2y1y2 + 2x1y1 + 2x2y2
= |z1|2 + |z2|2 + 2·|z1|·|z2|
= (|z1| + |z2|)2.
5
4
a 2 + b2 + a
=b
2
Örnek. |z| ≤ 3 olmak üzere |z – 5 – 12i| ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?
a 2 + b 2 + a = 2b
a 2 + b 2 = 2b − a
a + b2 = 4b2 − 4ab + a2
3b2 − 4ab = 0
b(3b − 4a) = 0
b = 0 ise sayı reel olacağından b = 0 olamaz. O halde 3b
b 4
= 4a olmalıdır. Buradan = olarak bulunur.
a 3
Doğru cevap: C.
A) ─8
2
C) 15
D) 17
E) 20
Çözüm: z1 = a + (a + 7)i dersek z2 = b + (b + 7)i olur.
Diğer yandan z2 − z1 = (b − a) + (b − a)i olduğundan
|z2 − z1| = (b − a ) 2
olmalıdır. O halde b − a = 3 olur. Şimdi verilen son eşitliği yazalım.
|z2| = |z1| + 4
B) ─16
C) 0
D) 8
E) 16
Çözüm: |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| olduğunu biliyoruz. Uyarlarsak,
|z + (–5 – 12i)| ≤ |z| + |–5 – 12i|
olur. O halde |z – 5 – 12i| ≤ |z| + 13 olduğundan |z|’i ne
kadar büyük tutarsak, istenileni o kadar büyütmüş oluruz. |z| en çok 3 olduğundan sorulan değer de en çok 16
olabilir.
Doğru cevap: E.
GELİŞİM © YAYINLARI
Örnek. z1 ve z2 karmaşık sayıları için
Im(z1) − Re(z1) = Im(z2) − Re(z2) = 7
|z2 − z1| = 3 2
|z2| − |z1| = 4
olduğuna göre |z2| en fazla kaç olabilir?
B) 13
( x1 + x2 ) 2 + ( y1 + y2 ) 2
2
Çözüm: Bu karmaşık sayıya a + bi diyelim. Buna göre
A) 12
Bir Karmaşık Sayının Modülü
Teorem. İki karmaşık sayının farkının modülü, modüllerinin farkından büyük veya ona eşittir. Yani,
z1 − z2 ≥ z1 − z2 .
Kanıt: Bir önceki teoremin kanıtında kullandığımız metodun aynısını kullanarak kanıtlayabilirsiniz. Kafanızı
çalıştırıp şunu da söyleyebilirsiniz:
z1 − z2 demek z1 ile z2 karmaşık sayıları arasındaki
uzaklık demektir. z1 ve z2 de, bu sayıların orijine
olan uzaklıkları demektir. Bu sayılarla orijin doğrusalsa
eşitlik gerçekleşir, eğer doğrusal değillerse üçgen oluştururlar, bu durumda üçgen eşitsizliği gereği ikisi arasındaki uzaklık, diğer iki kenar farkından mutlaka büyük
olmalıdır. Diğer iki kenar farkı negatifse zaten büyüktür
ama pozitif farkından da büyüktür. Yani teoremin aslı
şu: z1 − z2 ≥ z1 − z2 ≥ z1 − z2 .
(a + 10) 2 + (a + 3) 2 = (a + 7) 2 + a 2 + 4
(a + 10) 2 + (a + 3) 2 = (a + 7) 2 + a 2 + 42 + 8 (a + 7) 2 + a 2
20a + 100 + 6a + 9 = 14a + 49 + 16 + 8 (a + 7) 2 + a 2
12a + 44 = 8 (a + 7) 2 + a 2
3a + 11 = 2 (a + 7) 2 + a 2
9a + 66a + 121 = 8a2 + 56a + 196
a2 + 10a −75 = 0
(a + 15)(a − 5) = 0
Bu durumda a = −15 için b = −12 veya a = 5 için b = 8
olur. Yani z2 sayısı ya −12 − 5i ya da 8 + 15i’dir. Demek
ki |z2| en fazla 17 olabilir.
Doğru cevap: D.
Örnek. |z| ≤ 3 olmak üzere |z – 5 – 12i| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
2
A) ─8
B) ─16
C) 0
Çözüm: z1 − z2 ≥ z1 − z2
D) 8
E) 16
olduğunu biliyoruz. Uyar-
larsak, z1 − ( 5 + 12i ) ≥ z1 − 5 + 12i olur. O halde
z1 − ( 5 + 12i ) ≥ 13 − z1
Teorem. İki karmaşık sayının toplamlarının modülü,
modüllerinin toplamından küçük veya ona eşittir. Yani,
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|.
Kanıt: z1 = x1 + y1i ve z2 = x2 + y2i olsun.
z1 + z2 = x1 + x2 + (y1 + y2)i
olduğundan |z|’yi ne kadar büyük tutarsak, istenileni o
kadar küçültme imkanı doğar. |z| en çok 3 olduğundan
sorulan değer de en az 10 olabilir.
Doğru cevap: E.
450
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
CEVAPLI TEST 1
6.
61 m/dk’lık sabit hızla gezinen bir sahil güvenlik botu,
karmaşık düzlemin orijininde bulunmaktayken 44 − 240i
sayısının görüntüsünün olduğu yerden bir imdat çağrısı
alıyor.
Hızını değiştirmeden, yaralıya en az kaç dakikada
ulaşabilir?
1.
z = 3 – 4i, w = 8 + 6i, p = 2 − 2 3i , q = –5, t = 8i
karmaşık sayılarının modüllerinin toplamı kaçtır?
A) 16
B) 32
C) 34
D) 38
Bir Karmaşık Sayının Modülü
E) 66
A) 0.25
D) 4
E) 6
D) 5
E) 1
D) 2 3
E) 2
24 + 7i
4 − 3i
olduğuna göre |z| kaça eşittir?
z = x + 3i
karmaşık sayısı için |z| = 5 olduğuna göre x kaçtır?
B) ∓4
C) 4
D) 8
z=
E) 16
A) 25
B) 16
C) 9
8.
z = −9 + 40i
olduğuna göre z kaça eşittir?
B) 47
C) 45
D) 43
E) 41
GELİŞİM © YAYINLARI
3.
A) 49
C) 2
7.
2.
A) – 4
B) 1
10 − 6i
z=
1 − 3i
olduğuna göre |z| kaça eşittir?
A) 32
B) 16
C) 8
9.
4.
z=
z1 = 18 − 80i , z2 = −13 + 84i , z3 = 48 + 64i
sayısının modülü
ğeri kaçtır?
olduğuna göre z1 , z2 , z3 için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) z1 < z2 < z3
D) z3 < z1 < z2
B) z1 < z3 < z2
A)
C) z3 < z2 < z1
2
B)
3
2 + 5i
x+i
3 olduğuna göre x’in pozitif de-
C)
6
D) 4 3
E) 6 3
E) z2 < z1 < z3
10.
z1 = 3 − 2i , z2 = 1 + 2i , z3 = a − 3i
karmaşık sayıları veriliyor.
z1 ile z2 sayılarının çarpımının z3’e bölünmesinden elde edilen karmaşık sayının orijine olan uzaklığı 5
birim olduğuna göre a reel sayısının pozitif değeri
kaçtır?
5.
z1 = 2006 + 2007i , z2 = 2005 + 2008i , z3 = 2004 + 2009i
olduğuna göre z1 , z2 , z3 için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) z1 < z2 < z3
B) z1 < z3 < z2
D) z3 < z1 < z2
E) z2 < z1 < z3
A) 1
C) z3 < z2 < z1
451
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Mustafa YAĞCI
www.mustafayagci.com.tr
6.
O merkezli karmaşık düzlemde OABC dikdörtgeni çiziliyor.
A köşesinin simgelediği karmaşık sayının modülü
18’dir. C köşesi de −3 3 + 3i sayısının görüntüsüyse
dikdörtgenin alanı kaç birimkaredir?
CEVAPLI TEST 2
1.
x < 0 olmak üzere
z=
1 + xi
4−i
karmaşık sayısı için z = 1 olduğuna göre x kaçtır?
A) −5
B) −4
C) −3
Bir Karmaşık Sayının Modülü
D) −2
A) 18
B) 24
C) 36
D) 54
E) 108
E) −1
7.
2.
−12 + 9i + 12 − 16i ⋅ i
z1 = 1 + i
z2 = 2 − 2i
işleminin sonucu kaça eşittir?
olduğuna göre |z15⋅z23| ifadesi kaça eşittir?
B) 64
C) 81
D) 128
3.
z1 = 1 + i , z2 = 2 + i , z3 = −2i olduğuna göre
3z14
z2 2 ⋅ z3
ifadesi kaça eşittir?
A) 1
B)
C) 2
D)
5
2
B) 4
C) 8
D) 64
D) 25
E) 28
z + 3 = z − 11
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları için |z| en az
kaç olabilir?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 7
E) 3
9.
4.
z karmaşık sayısının büyüklüğü 16 birim olduğuna göre
z z
z
sayısının büyüklüğü kaçtır?
A) 2
C) 20
8.
A) 1
3
2
B) 16
E) 256
GELİŞİM © YAYINLARI
A) 27
A) 12
z + 3i = z + 11i
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayıları için |z| en az
kaç olabilir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 7
E) 128
10.
z + z = 16 + 8i
5.
z=
(
13 + i 3
(−
3 −i
)
)
eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısı aşağıdakilerden
hangisidir?
3
5
A)
2
B) 2
C) 22
B) 6 – 8i
A) 6 + 8i
D) 3 + 4i
sayısının modülü kaça eşittir?
D) 23
E) 215
452
C) 3 – 4i
E) 8 + 4i