OCTAVA
NING
PEARSON
Tabla p a ra e v a lu a r
J
m m ' dx
D e fle x io n e s y p e n d ie n te s d e v ig a s
D e fle x io n e s y p e n d ie n te s d e v ig a s (c o n tin u a c ió n )
wT
r =é.
8E l
en x = L
0 - -¡É l
—
6FJ
(x 4 - 47.x3 + d t V )
2AF.I
ta z = L
P t¿
~4SFJ
U2
16£ 7
c tix s O o l» /.
/■o6(¿ +6
6/J-/
P a ftí/- + a )
6 /J-/
p " 4 ^ 7 (4**" 3¿,x>’
O s i s /V2
Pbt
r " ~6/.£/
Os x s o
SwL
24E /
384£ /
(x* - 2 Lx* + £»)
24E/
r = - ¿ i r (l6r’ " 2 4 /,í + 9/,J
3 » /-’
128£ 7
Os x s L jl
7 » /.’
384E/
^ D - 3 s l 7 ( 8 , , • 24/'*2 + ,7/*, x - /•,,
£ /2 s x s L
0, =
Hpl" 6E l
Mjx
HqL1
9 \/Í E Í
0
.-
MoL
3£ /
(iE I I.
L’ -x * )
ANÁLISIS
ESTRUCTURAL
ANALISIS
ESTRUCTURAL
O CTAVA E D IC IÓ N
R. C. HIBBELER
T r a d u c c ió n
J e s ú s E lm e r M u r r ie t a M u r r ie t a
M a e s tro e n in v e s tig a c ió n d e o p e ra c io n e s
T e c n o ló g ic o d e M o n t e r re y C a m p u s M o re lo s
R e v is ió n t é c n ic a
G e la c io J u á r e z L u n a
D a v id S e p ú h /e d a G a rc ía
D e p a r ta m e n t o d e E s tru c tu ra s
D e p a r ta m e n to d e M e c á n ic a
U n iv e rs id a d A u tó n o m a M e tro p o lita n a
U n id a d A z c a p o tz a lc o
E s c u e la S u p e r io r d e In g e n ie ría M e c á n ic a y E lé c tric a
U n id a d P ro fe s io n a l A z c a p o t z a lc o
In s titu to P o lit é c n ic o N a c io n a l
PEARSON
y / l ) M c a d e c a t a l o g a c i ó n b ib lio g r á fic a
H 1 B B E L E R .R .C .
A n á lk rt e stu c tu r a L
O c ta v a e d ic ió n
P E A R S O N E D U C A C I Ó N , M é x ic o .2012
IS B N : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1062-1
Á r e a : In g e n ie ría
fo rm a to : 2 0
x 2 5 .5 c m
P á g in a s: 7 2 0
A u th o riz e d Ir a n s la tio n ír o m th e E n g lis h la n g u a g e e d ilio n . e n t i l l e d S T R U C T U R A L A N A L Y S I S , í * E d ilio n .b y
R u s s e ll C H ib b d e r , p u b lis h c d b y P e a rs o n E d u c a tio n , In c .. p u b lis h in g a s P re n tic e H a ll In c ., C o p y rig h t © 2 0 1 2 .
A ll r ig h ts re s e r v e d .
IS B N 9 7 8 0 1 3 2 5 7 0 5 3 4
T r a d u c c ió n a u to r iz a d a d e l a e d ic ió n e n id io m a in g lé s , titu la d a S T R U C T U R A L A N A L Y S I S , 8 ‘ E d ic ió n p o r
R u s s e ll C H ib b d e r . p u b lic a d a p o r P e a rs o n E d u c a tio n , In c ., p u b lic a d a c o m o P r e n tic e H a ll In c ., C o p y r ig h t © 2012.
T o d o s lo s d e r e c h o s re s e rv a d o s .
E s ta e d ic ió n e n e s p a ñ o l e s la ú n ic a a u to r iz a d a .
E d ición e n c sp a ú o l
D ir e c c i ó n G e n e r a l :
D ir e c c i ó n E d u c a c i ó n S u p e r io r :
E d ito r S p o n so r:
E d i t o r d e D e s a r r o l lo :
S u p e r v i s o r d e P r o d u c c ió n :
G e re n c ia E d ito ria l
E d u c a c ió n S u p e r i o r L a tin o a m é r ic a :
L a u r a K o e s tin g e r
M a rio C o n tre ra s
L u is M . C r u z C a s tillo
e - m a i l : Iu is .c r u z @ p e a r s o n .c o m
B c rn a rd in o G u tié rre z H e rn á n d e z
R o d r i g o R o m e r o V illa lo b o s
M a r is a d e A n ta
O C T A V A E D IC I Ó N , 2 0 1 2
D .R .© 20 1 2 p o r P e a rs o n E d u c a c ió n d e M é x ic o .S .A .d e C .V .
A tla c o m u lc o 5 0 0 -5 o . p iso
C b l. In d u s tria l A to to
53 5 1 9 , N a u c a lp a n d e J u á r e z . E s ta d o d e M é x ic o
C á m a r a N a c io n a l d e l a In d u s tr ia E d ito r ia l M e x ic a n a . R c g . n ú m . 1031.
R e s e rv a d o s to d o s l o s d e re c h o s . N i la to ta lid a d n i p a r t e d e e s t a p u b lic a c ió n p u e d e n r e p r o d u c ir s e , r e g is tr a r s e o
tra n s m itirs e , p o r u n s is te m a d e r e c u p e r a c ió n d e in fo rm a c ió n , e n n in g u n a fo r m a n i p o r n in g ú n m e d io , s e a e le c tr ó n ic o ,
m e c á n ic o , fo to q u lm ic o , m a g n é tic o o e le c tr o ó p tic o , p o r fo to c o p ia , g ra b a c ió n o c u a lq u ie r o t r o , s in p e rm is o p re v io p o r
e s c rito d e l e d ito r .
E l p r é s ta m o , a lq u ile r o c u a lq u ie r o t r a f o r m a d e c e s ió n d e u s o d e e s t e e je m p la r r e q u e r ir á t a m b ié n la a u to riz a c ió n
d e l e d i t o r o d e s u s re p re s e n ta n te s .
ISB N V E R S IÓ N I M P R E S A : 978-60 7 -3 2 -1 0 6 2 -1
ISB N V E R S IÓ N E -B O O K : 9 7 8 4 Í0 7 -3 2 -1063-8
ISB N E -C H A P T E R : 9 7 8 -6 0 7 -3 2 -1 0 6 4 -5
Im p re s o e n M é x ic o . P r m le d i n M éxico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 1 5 1 4 13 12
PEARSON
A lo s e s tu d ia n te s
C on la esperanza d e q u e este tra b a jo estim ule
su interés p o r el análisis estructural y p ro p o rc io n e
una gu ía a ce p ta b le hacia su com prensión.
PREFACIO
E l p r o p ó s ito d e e s te lib ro e s p r o p o r c io n a r a l e s t u d ia n t e u n a p r e s e n ta c ió n
c la r a y c o m p le ta d e la te o r ía y la a p lic a c ió n d e l a n á lisis e s tr u c tu r a l en
a rm a d u r a s , vigas y m a rc o s . E n e s t a o b r a s e h a c e é n f a s is e n e l d e s a r r o ll o
d e la c a p a c id a d d e lo s e s t u d ia n t e s p a r a m o d e la r y a n a liz a r u n a e s t r u c tu ­
ra , y s e p r o p o r c io n a n a p lic a c io n e s r e a le s c o m o las q u e p u e d e n e n c o n ­
tr a rs e e n la p rá c tic a p r o f e s io n a l.
D e s d e h a c e m u c h o s a ñ o s , lo s in g e n ie ro s h a n u tiliz a d o m é to d o s m a trid a l e s p a r a a n a liz a r e s t r u c tu r a s . A u n q u e e s t o s m é to d o s s o n d e p r o b a d a
e fic ie n c ia p a r a r e a l iz a r u n a n á lis is e s tr u c tu r a l, e l a u to r o p in a q u e lo s
e s t u d ia n te s q u e to m e n p o r p r im e r a v e z u n c u r s o s o b r e e s t e te m a ta m ­
b ié n d e b e n c o n o c e r c o n p r o f u n d id a d a lg u n o s d e lo s m é to d o s c lá s ic o s
m ás im p o r ta n te s . L a p r á c tic a e n la a p lic a c ió n d e e s t o s m é to d o s c i m e n ­
ta r á u n a c o m p r e n s ió n m á s p r o f u n d a d e d o s d e las c ie n c ia s b á s ic a s d e
in g e n ie ría : la e s t á tic a y l a m e c á n ic a d e m a te ria le s . In c lu s iv e , la s h a b ilid a ­
d e s p a r a re s o lv e r p r o b le m a s s e d e s a r r o ll a n a ú n m á s c u a n d o s e c o n s id e ­
ra n y a p lic a n d iv e r s a s té c n ic a s d e u n a m a n e r a c la r a y o r d e n a d a . A l r e s o l­
v e r p ro b le m a s d e e s te m o d o e s p o s ib le c a p t a r d e u n a m e jo r m a n e r a la
fo r m a c o m o s e t r a n s m i te n la s c a r g a s a tr a v é s d e u n a e s t r u c t u r a y c o m ­
p r e n d e r c o n m á s e x a c titu d la m a n e r a e n q u e la e s t r u c tu r a s e d e f o r m a
b a jo u n a c a r g a . P o r ú ltim o , lo s m é to d o s c lá s ic o s b rin d a n u n m e d io p a ra
c o m p r o b a r lo s r e s u lta d o s o b te n i d o s a l u s a r u n a c o m p u t a d o r a , e n lu g a r
d e lim ita rs e a c o n f ia r e n lo s r e s u lta d o s g e n e ra d o s .
N o v e d a d e s en e s ta e d ic ió n
• P ro b le m a s fu n d a m e n t a le s . E s to s c o n ju n to s d e p r o b le m a s se
lo c a liz a n d e fo r m a s e le c tiv a ju s to d e s p u é s d e lo s p r o b le m a s d e e j e m ­
p lo . O f r e c e n a lo s e s t u d ia n te s a p lic a c io n e s s e n c illa s d e lo s c o n c e p to s y.
p o r lo ta n t o , le s p r o p o r c io n a n la o p o r t u n id a d d e d e s a r r o l l a r su s h a b i­
lid a d e s p a r a r e s o lv e r d if ic u lta d e s a n te s d e t r a t a r d e s o l u c io n a r a lg u n o
d e lo s p r o b le m a s típ ic o s q u e s e p r e s e n t a n m á s a d e la n te ; y p u e d e n
c o n s id e r a r s e e je m p lo s e x te n d id o s , p u e s t o q u e to d o s c u e n ta n c o n s o l u ­
c io n e s y r e s p u e s ta s a l fin a l d e l lib ro . A d e m á s , s o n u n m e d io e x c e le n te
p a r a e s t u d ia r a n te s d e lo s e x á m e n e s g e n e r a le s ; y ta m b ié n s o n m u y ú t i ­
le s c o m o p r e p a r a c ió n p a r a e l e x a m e n fin a l y a s e a d e l c u r s o o p a ra
o b t e n e r s u títu lo p r o f e s io n a l e n in g e n ie ría .
• R e v is ió n d e l c o n t e n id o . C a d a se c c ió n d e l te x t o s e re v is ó c u id a d o ­
s a m e n te p a r a m e j o r a r s u c la r id a d . E s to in c lu y e la in c o r p o ra c ió n , e n e l
c a p ítu lo l . d e la s n u e v a s n o r m a s s o b r e c a r g a s A S C E /S E I 0 7 -1 0 . u n a
e x p lic a c ió n m e jo r a d a s o b r e c ó m o tr a z a r d ia g r a m a s d e c o r t a n te , d i a ­
g ra m a s d e m o m e n to y l a c u r v a d e d e f le x ió n d e u n a e s tr u c tu r a ; la c o n ­
s o lid a c ió n d e l m a t e r i a l s o b r e e s t r u c tu r a s q u e ti e n e n u n m o m e n to d e
in e r c ia v a ria b le , la in c lu s ió n d e u n a n á lis is m á s p r o f u n d o d e la s e s t r u c ­
tu r a s q u e c u e n ta n c o n a r tic u la c io n e s in te r n a s a p lic a n d o a n á lis is m a trid a l ; y l a a d ic ió n d e u n n u e v o A p é n d ic e B d o n d e s e a n a liz a n a lg u n a s
d e la s c a r a c te r ís tic a s c o m u n e s p a r a e je c u ta r e l s o f tw a r e c o m p u ta c io n a l
m á s r e c ie n te s o b r e a n á lis is e s tr u c tu r a l.
X
P r e f a c io
• C a m b io s e n lo s e je m p lo s . C o n e l fin d e ilu s tr a r d e m e jo r m a n e r a
las a p li c a c io n e s p r á c tic a s d e la te o r ía , e n e l te x t o s e h a n c a m b ia d o
a lg u n o s e je m p lo s , y c o n a y u d a d e fo to g ra fía s s e h a n a p lic a d o té c n ic a s
d e m o d e la d o y a n á lisis d e c a r g a s s o b r e e s t r u c tu r a s re a le s .
F o t o g r a f ía s a d ic io n a le s . La im p o r ta n c ia d e c o n o c e r e l o b j e t o d e
e s tu d io s e r e f le ja e n la s a p lic a c io n e s a l m u n d o re a l q u e s e m u e s tr a n a
tr a v é s d e u n a g r a n c a n ti d a d d e fo to g ra fía s n u e v a s y a c tu a liz a d a s , j u n t o
c o n c o m e n t a r i o s a lo la r g o d e l lib ro .
•
P ro b le m a s n u e v o s . A p r o x im a d a m e n te 7 0 % d e lo s p r o b l e m a s d e
e sta e d ic ió n s o n n u e v o s . C o n e s t o s e je r c ic io s s e m a n tie n e u n e q u ilib r io
e n tr e la s a p lic a c io n e s fá c ile s, la s r e g u la r e s y la s d ifíc ile s. E s to s p r o b l e ­
m a s h a n s i d o re v is a d o s ta n t o p o r e l a u t o r c o m o p o r o tr o s c u a tr o p a r ­
tic ip a n te s : S c o tt H e n d ric k s , N o h r a K a rim , N o rlin K u r t y K a i B e n g Y ap.
•
D is p o s ic ió n d e lo s p r o b le m a s . P a r a m a y o r c o m o d id a d e n la a s ig ­
n a c ió n d e ta r e a s , lo s p r o b le m a s se h a n d is tr ib u id o a lo la r g o d e l te x to
e n s e c c io n e s b ie n d e f i n id a s c o n p r o b l e m a s il u s tr a tiv o s d e e je m p lo y u n
c o n ju n to d e p r o b l e m a s d e t a r e a d is p u e s to s e n o r d e n d e d if ic u lta d c r e ­
c ie n te .
•
O rg a n iz a c ió n y e n fo q u e
E l c o n te n i d o d e c a d a c a p ítu lo e s tá o r g a n i z a d o e n s e c c io n e s c o n te m a s
e sp e c ífic o s, c la s ific a d o s p o r s u b títu lo s . L o s r a z o n a m ie n to s re le v a n te s
s o b r e u n a t e o r í a p a r t ic u l a r s o n b re v e s p e r o c o m p le to s . E n la m a y o r ía d e
lo s c a s o s d e s p u é s d e e s to s r a z o n a m ie n to s s e p r e s e n t a u n a g u ía d e l " p r o ­
c e d im ie n to d e a n á lis is ” , la c u a l p r o p o r c io n a u n r e s u m e n d e lo s c o n c e p ­
to s m á s im p o r t a n te s y u n e n f o q u e s is te m á tic o p a r a l a a p lic a c ió n d e la
te o r ía . L os p r o b l e m a s d e e je m p lo s e re s u e lv e n u s a n d o e s t e m é to d o
e s q u e m a tiz a d o c o n e l fin d e h a c e r m ás c la r a s u a p lic a c ió n n u m é r ic a . L os
p r o b le m a s s e p r e s e n ta n al fin a l d e c a d a g r u p o d e s e c c io n e s y e s t á n o r g a ­
n iz a d o s p a r a c u b r ir e l m a te r ia l e n o r d e n s e c u e n c ia l. A d e m á s , p a r a c a d a
te m a lo s p r o b l e m a s e s t á n d is p u e s to s e n o r d e n d e d if ic u lta d c re c ie n te .
E le m e n to s im p o r ta n te s
F o t o g r a f ía s . A lo la r g o d e l lib r o s e u tiliz a u n a g r a n c a n ti d a d d e
fo to g ra fía s p a r a e x p lic a r c ó m o se a p lic a n lo s p rin c ip io s d e l a n á lis is
e s tr u c tu r a l e n s i tu a c io n e s d e l m u n d o r e a l.
•
• P r o b le m a s . E n la m a y o r ía d e lo s p ro b le m a s d e l lib r o s e p r e s e n ta n
s i tu a c io n e s r e a le s q u e p u e d e e n c o n tr a r s e e n la p r á c t ic a . E s te re a lis m o
d e b e r ía e s tim u la r e l in te r é s d e lo s e s t u d ia n t e s e n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l
y d e s a r r o lla r s u h a b ilid a d p a r a r e d u c i r lo s p r o b l e m a s d e e s t e tip o
d e s d e s u d e s c r ip c ió n físic a h a s t a u n m o d e lo o r e p r e s e n ta c i ó n s im b ó li­
c a a la c u a l p u e d a a p lic a r s e l a te o r ía c o r r e s p o n d ie n te . E n e s t e lib ro h a y
u n b a la n c e d e p r o b le m a s e n lo s q u e s e u tiliz a n u n id a d e s d e l S is te m a
I n te r n a c io n a l ( m e tr o - k ilo g r a m o - s e g u n d o ) y d e l S is te m a In g lé s (p ie lib ra -s e g u n d o ) c o n l a in te n c ió n d e p o n e r a p r u e b a la h a b ilid a d d e l
e s tu d ia n te p a r a a p lic a r la te o r ía , te n i e n d o e n c u e n ta q u e lo s p r o b le m a s
Pr e f a c io
q u e r e q u ie r e n c á lc u lo s te d io s o s s e p u e d e n r e l e g a r a u n a n á lis is p o r
c o m p u ta d o r a .
• R e s p u e s ta s a p r o b le m a s s e le c c io n a d o s . L as r e s p u e s ta s a lo s
p r o b le m a s s e le c c io n a d o s a p a r e c e n a l fin a l d e l lib ro . H e m o s te n i d o c u i ­
d a d o e s p e c ia l e n s u p r e s e n ta c ió n y s o lu c ió n ; to d o s h a n s i d o re v is a d o s ,
y s u s s o lu c io n e s c o m p r o b a d a s y v e rific a d a s u n a y o t r a v e z p a r a g a r a n ­
tiz a r s u c la r id a d y p re c is ió n n u m é ric a .
• P r o b le m a s d e e je m p lo . T b d o s lo s p r o b l e m a s d e e je m p lo s e p r e ­
s e n t a n d e m a n e r a c o n c is a y c o n u n e s t i l o fá c il d e e n te n d e r .
I lu s tr a c io n e s . H e m o s a u m e n t a d o la c a n tid a d d e f ig u r a s ilu s tr a ti­
v a s e ilu s tr a c io n e s r e a le s q u e p r o p o r c io n a n u n a f u e r te c o n e x ió n c o n la
n a tu r a le z a tr id im e n s io n a l d e la in g e n ie r ía e s tr u c tu r a l.
•
• T r ip le c o m p r o b a c ió n d e la e x a c t it u d . E s ta e d ic ió n h a p a s a d o p o r
u n a r i g u r o s a c o m p r o b a c ió n d e s u e x a c titu d y u n a p r o f u n d a re v is ió n d e
la s p r u e b a s d e im p r e n ta . A d e m á s d e la re v is ió n q u e re a liz ó e l a u to r
s o b r e e l te x t o y la s ilu strac io n es, S c o tt H c n d ric k s ,d c l In s titu to I\>litécnico
d e V irg in ia ; K a r im N o h r a d e la U n iv e rs id a d d e l S u r d e F lo r id a , y K u rt
N o rlin , d e L a u re l T e c h n ic a l S e rv ic e s, r e v is a r o n d e n u e v o la s p r u e b a s
d e im p r e n ta y e n c o n ju n to in s p e c c io n a r o n to d o e l M a n u a l d e s o lu c io ­
n e s p a r a e l p ro f e s o r.
C o n te n id o
E s te lib r o e s tá d iv id id o e n tr e s p a r t e s . 1.a p r i m e r a c o n s ta d e s ie te c a p í t u ­
lo s q u e a b a r c a n lo s m é to d o s c lá s ic o s d e l a n á lis is d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a ­
m e n te d e te r m in a d a s . E l c a p ítu lo 1 p r e s e n ta lo s d is tin to s tip o s d e f o r m a s
e s tr u c tu r a le s y c a r g a s E l c a p ítu lo 2 a n a liz a l a d e te r m in a c ió n d e f u e r z a s
e n lo s s o p o r t e s y c o n e x io n e s d e v ig a s y m a r c o s e s t á ti c a m e n t e d e t e r m i ­
n a d o s E l a n á lis is d e lo s d is tin to s ti p o s d e a r m a d u r a s e s t á tic a m e n te
d e te r m i n a d a s s e p r e s e n ta e n e l c a p ítu lo 3 ; e n t a n t o q u e la s f u n c io n e s y
lo s d ia g r a m a s d e c o r t a n te y d e m o m e n to d e fle x ió n e n v ig a s y m a r c o s se
e s tu d ia n e n e l c a p ítu lo 4 . E n e l c a p ítu lo 5 v e r e m o s lo s s i s te m a s s im p le s
d e c a b le y a rc o , y e n e l c a p ítu lo 6 s e e s t u d i a n la s fin c a s d e in f lu e n c ia p a r a
vigas, te n s o r e s y a rm a d u r a s . P o r ú ltim o , e l c a p ítu lo 7 o f r e c e v a r ia s té c n i­
ca s c o m u n e s p a r a e l a n á lis is a p r o x i m a d o d e e s t r u c tu r a s e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s .
L a s e g u n d a p a r t e d e l lib r o c u b re e n 6 c a p ítu lo s la s e s t r u c tu r a s e s tá tic a ­
m e n te in d e te r m in a d a s . E n e l c a p ítu lo 8 s e a n a liz a n lo s m é to d o s g e o m é ­
tric o s p a r a e l c á lc u lo d e d e fle x io n e s . E n e l c a p ítu lo 9 s e e s tu d ia n lo s
m é to d o s d e e n e r g í a p a r a e n c o n tr a r d e fle x io n e s . E l c a p ítu lo 10 h a c e u n
a n á lisis d e la s e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a s m e d ia n te e l
m é to d o d e l a f u e r z a , a d e m á s d e u n e s tu d io d e la s lín e a s d e in f lu e n c ia
p a ra vigas. E n e l c a p ítu lo 11 e s tu d ia r e m o s lo s m é to d o s d e d e s p la z a m ie n to
q u e s e c o m p o n e n d e l m é to d o d e p e n d ie n te - d e f le x ió n , y e n e l c a p ítu lo 12
v e re m o s la d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s . P o r ú ltim o , e l c a p ítu lo 1 3 o f r e c e
u n p a n o r a m a d e la s v ig as y m a r c o s d e e le m e n to s n o p ris m á tic o s .
XI
x ii
P r e f a c io
L a t e r c e r a p a r t e d e l lib r o t r a t a e l a n á lis is m a tr ic ia l d e e s t r u c tu r a s a p l i ­
c a n d o e l m é to d o d e l a r ig id e z . L a s a r m a d u r a s s e e x a m in a n e n e l c a p í t u ­
lo 14. la s v ig a s e n e l 15 y lo s m a r c o s e n e l 16. E n e l a p é n d ic e A se h a c e
u n r e p a s o d e l á lg e b r a m a tric ia l. m ie n tr a s q u e e l a p é n d ic e B p r o p o r c io n a
u n a g u ía g e n e r a l p a r a e l u s o d e l s o f tw a r e d is p o n ib le p a r a la re s o lu c ió n
d e p r o b l e m a s d e a n á lis is e s tr u c tu r a l.
R e curso s p a ra lo s p ro fe s o re s (en in g lé s )
M a n u a l d e s o lu c io n e s p a r a e l p r o fe s o r . E l a u to r p r e p a r ó u n
m a n u a l d e s o lu c io n e s p a r a e l p r o f e s o r , e l c u a l ta m b ié n f u e re v is a d o
c o m o p a r t e d e l p r o g r a m a d e trip le c o m p r o b a c ió n d e e x a c titu d .
•
P re s e n ta c io n e s e n P o w e r P o in t . T o d a s la s ilu s tr a c io n e s d e l lib ro
e s tá n d is p o n ib le s e n d ia p o s itiv a s d e P o w e r P o in t y e n f o r m a to J P E G .
E s to s a rc h iv o s e s tá n d is p o n ib le s e n e l c e n tr o d e r e c u r s o s p a r a e l p r o ­
fe s o r e n W N v w .p ea rso n cn c sp a flo l.c o m /h ib b c ler. C o n ta c t e a s u r e p r e ­
s e n ta n te lo c a l d e P e a r s o n p a r a o b t e n e r su s c la v e s d e ac ce so .
•
S o lu c io n e s e n v id e o . S o n s o lu c io n e s e n v id e o c o n d e s c r ip c io n e s
p a s o a p a s o p a r a r e s o lv e r lo s p r o b l e m a s d e t a r e a m á s r e p r e s e n ta tiv o s
d e c a d a se c c ió n d e l lib ro . U tilic e e f ic ie n te m e n te las h o r a s d e c la s e y
o fre z c a a s u s e s t u d ia n t e s lo s m é to d o s c o m p le to s y c o n c is o s p a r a r e s o l­
v e r p r o b le m a s c o n e s t o s v id e o s , a lo s c u a le s p u e d e n t e n e r a c c e s o e n
c u a lq u ie r m o m e n to y e s t u d ia r a s u p r o p io r itm o . L o s v id e o s e s t á n
d is e rta d o s c o m o u n r e c u r s o fle x ib le q u e p u e d e u s a r s e c a d a v e z q u e el
p r o f e s o r y e l e s t u d ia n t e lo r e q u ie r a n . S o n u n a h e r r a m i e n ta m u y v a li o ­
s a y a q u e p u e d e v e rlo s u n a y o t r a v e z p a ra v e rific a r s u c o m p r e n s ió n y
t r a b a j a r c o n a lg ú n p r o b le m a s ig u ie n d o lo s p a s o s d e l v id e o . E s te m a t e ­
ria l s e e n c u e n t r a e n w N v w .p e a rso n e n e s p a flo l.c o m /h ib b e lc r, s ig u ie n d o
•
lo s v ín c u lo s d e S ir u c íu r a l A n a ly s i s h a s ta V id eo S o lu tio n s .
R e c o n o c im ie n to s
M á s d e u n c e n t e n a r d e m is c o le g a s e n la p r o f e s ió n d o c e n te y m u c h o s d e
m is a lu m n o s h a n h e c h o v a lio s a s s u g e r e n c ia s m u y ú tile s e n la p r e p a r a c ió n
d e e s t e lib ro . P o r e s t e m e d io m e g u s ta ría h a c e rle s u n r e c o n o c im ie n to p o r
to d o s s u s c o m e n ta r io s ; a s im is m o q u is ie r a a g r a d e c e r a lo s re v is o re s c o n ­
tr a ta d o s p o r m i e d i t o r p a r a e s t a n u e v a e d ic ió n :
T ilo m a s H . M ille r, O r e jó n S ta te U n iv e rs ity
H a y d e r A . R a s h e e d , K a n sa s S ta te U n iv e rs ity
J e ffre y A . l l a m a n , P e /in S ta te U n iv e rs ity
J e r r y R . B a y le ss , U n iv e rs ity o f M is s o u r i— R o lla
P a o k ) G a r d o n i , T exa s A & M U n iv e rs ity
T im o th y R o ss. U n iv e rs ity o f N e w M é x ic o
F W a y n e K la ib e r , lo w a S ta te U n iv e rs ity
H u s a m S, N a jm , R u tg e r s U n iv e rsity
Pr e f a c io
T a m b ié n f u e r o n m u y a p r e c ia b le s las o b s e r v a c io n e s c o n s tr u c tiv a s d e
K a i B c n g Y a p y B a r iy N o la n , a m b o s in g e n ie r o s e n a c tiv o . P o r ú ltim o , m e
g u s ta r ía a g r a d e c e r e l a p o y o d e m i e s p o s a C o n n y , q u e s ie m p re h a s id o d e
g r a n a y u d a e n la p r e p a r a c ió n d e l m a n u s c rito .
E s ta r é m u y a g r a d e c id o a l le c to r q u e m e e n v íe a lg ú n c o m e n ta r io o s u g e ­
re n c ia s o b r e e l c o n te n id o d e e s t a e d ic ió n .
R tisse ll C h a rle s H ib b e le r
h ib b e le r G b e lls o u th .n e t
x iii
CREDITOS
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 1:
© C J G u n th e r /e p a /C o r b is
F ig u r a 1 .6 (a ) , p á g in a 7 :
M a r k H a r r is /P h o to d is c /G e tty Im a g e s
F il tr a d a d e l c a p ítu lo 2:
J o e G o u g h /S h u tte r s to c k
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 3:
© R o b c r t S h a n tz /A la m y
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 4:
R a li B r o s k v a r /I 2 3 r f
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 5:
© G r e g B a lf o u r E v a n s /A la m y
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 6:
© A c c e n t A ia s k a .c o m /A la m y
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 7:
© D a v id R . F r a z ie r P h o to lib r a ry ,
In c ./A la m y
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 8 :
[ F o tó g r a f o j/S to n e /G e tty Im a g e s
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 9 :
A la m y Im a g e s
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 10:
S h u tte r s to c k
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 11:
© 2 0 1 1 P h o to s .c o m . u n a d iv is ió n d e G e tty
Im a g e s. D e r e c h o s r e s e rv a d o s .
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 12:
R íto s e a r c h /S u p e r S to c k
E n tr a d a d e l c a p ítu lo 13:
iS to c k p h o to .c o m
E ji tr a d a d e l c a p ítu lo 14:
© C o r b i s R F /A la m y
F il tr a d a d e l c a p ítu lo 15:
© P a u l A . S o u d e r s /C O R B I S
E n t r a d a d e l c a p ítu lo 16:
© A l a n S c h e in /C o rb is
R i r t a d a 1:
z im m y tw s \S h u tte is to c k
l\> r ta d a 2:
V la d itto \S h u tte r s to c k
L a s fo t o g r a f ía s resta n tes fu e r o n p ro p o rc io n a d a s p o r e l a u tor,
f t C H ib b e le r .
C O N T E N ID O
3.5
3.6
3.7
3.8
1
T ip o s d e e s tru c tu ra s
y c a rg a s 3
B m é t o d o d e las s e c c io n e s
A r m a d u ra s c o m p u e s ta s
A r m a d u ra s c o m p le ja s
116
A r m a d u ra s e s p a c ia le s
120
P ro b le m a s
127
R e p a s o d e l c a p ít u lo
1.1
In tr o d u c c ió n
1.2
C la s ific a c ió n d e e s tru c tu ra s
1.3
1.4
C a rg a s
9
D is e ñ o e s tr u c tu r a l
P ro b le m a s 2 7
26
31
C argas in te rn a s
d e sa rro lla d a s en
e le m e n to s e stru ctu ra les
2
A n á lis is d e e s tru c tu ra s
e s tá tic a m e n te
d e te rm in a d a s 33
2.2
2.3
2.4
2.5
130
3
R e p a s o d e l c a p ít u lo
2.1
104
110
4.1
C a rg a s in te rn a s e n u n p u n t o
4.2
e s p e c ífic o 1 3 3
F u n c io n e s d e fu e rz a c o r ta n te
y d e m o m e n to
4.3
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
46
150
4.4
D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te
4.5
y d e m o m e n t o p a ra u n m a r c o 1 6 3
D ia g ra m a s d e m o m e n to c o n s tr u id o s
p o r e l m é t o d o d e s u p e r p o s ic ió n
47
D e te rm in a c ió n y e s t a b ilid a d
P ro b le m a s
48
A p lic a c ió n d e las e c u a c io n e s
173
R e p a s o d e l c a p ít u lo
178
59
R e p a s o d e l c a p ít u lo
68
P ro b le m a s fu n d a m e n ta le s
P ro b le m a s
139
D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te
y d e m o m e n t o p a ra u n a v ig a
E s tru c tu ra id e a liz a d a 3 3
P rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n
d e e q u ilib r io
133
70
72
P ro b le m a d e p r o y e c t o
77
5
C a b le s
y a rc o s
5.1
5.2
A n á lis is d e a rm a d u ra s
e s tá tic a m e n te
d e te rm in a d a s 79
3.1
3.2
3.3
3.4
T ip o s c o m u n e s d e a rm a d u ra s
C a b le s
181
C a b le s o m e t id o a c a rg a s
c o n c e n tr a d a s
79
C la s ific a c ió n d e a rm a d u ra s c o p la n a re s
El m é t o d o d e lo s n o d o s 94
B e m e n to s d e fu e rz a c e r o 98
181
85
182
5.3
C a b le s o m e t id o a u n a c a rg a
u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a
5.4
5.5
A rc o s
184
194
A r c o d e t r e s a rtic u la c io n e s
P ro b le m a s
201
R e p a s o d e l c a p ít u lo
203
195
168
x v iii
C o n t e n id o
6
Lineas d e in flu e n c ia p a ra
e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te
d e te rm in a d a s 205
j
8
D e fle x io n e s
6.1
6.2
L in e a s d e in flu e n c ia
L ín e a s d e in flu e n c ia p a ra v ig a s
213
6 .3
L in e a s d e in flu e n c ia c u a lita tiv a
L in e a s d e in flu e n c ia p a ra v ig a s
216
6.4
d e p is o
6.5
6.6
6.7
205
8.1
D ia g ra m a s d e d e f le x ió n y la
8.2
8.3
8.4
8.5
T e o ría d e la v ig a e lá s tic a
c u rv a e lá s tic a
228
L ín e a s d e in flu e n c ia p a ra a rm a d u r a s
299
232
299
P ro b le m a s
ix ia s e rie d e c a rg a s c o n c e n tra d a s 2 4 0
F u e rz a c o r ta n te y m o m e n t o m á x im o
R e p a s o d e l c a p ít u lo
a b s o lu to
307
T e o re m a s d e l m o m e n t o d e á r e a 3 1 6
M é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a 3 2 6
In flu e n c ia m á x im a e n u n p u n t o d e b id o a
P ro b le m a s
305
0 m é t o d o d e in te g r a c ió n d o b le
335
338
250
255
R e p a s o d e l c a p ít u lo
260
9
D e fle x io n e s e m p le a n d o
m é to d o s d e e n e rg ía 341
A n á lisis a p ro x im a d o d e
e s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s 263
l
l
7.1
U s o d e m é t o d o s a p ro x im a d o s
7 .2
A rm a d u ra s
7.3
C a rg a s v e r tic a le s s o b re m a rc o s
d e c o n s tru c c ió n 2 7 0
7.4
M a rc o s y a rm a d u r a s d e p o r ta l
7 .5
C a rg a s la te ra le s e n m a rc o s d e
7.6
C a rg a s la te ra le s s o b r e m a rc o s d e
263
9.1
T ra b a jo e x t e r n o y e n e r g ía
d e d e fo r m a c ió n 3 4 1
9.2
9.3
9.4
P rin c ip io d e l t r a b a jo y la e n e r g ía
M é t o d o d e l t r a b a jo v irtu a l:
9.5
9.6
T e o re m a d e C a s tig lia n o 3 5 5
T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra
9.7
M é t o d o d e l t r a b a jo v irtu a l:
9.8
E n e rg ía d e d e fo r m a c ió n v ir tu a l c a u s a d a
p o r c a r g a a x ia l, fu e rz a c o r ta n te , to r s ió n
9.9
T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra v ig a s
264
273
a rm a d u ra s
282
c o n s tru c c ió n : M é t o d o d e l v o la d iz o
288
356
y te m p e r a tu r a
296
y m a rc o s
P ro b le m a s
345
346
348
V ig a s y m a rc o s
294
R e p a s o d e l c a p ít u lo
P rin c ip io d e l t r a b a jo v ir tu a l
A rm a d u ra s
c o n s tru c c ió n : M é t o d o d e l p o r t a l
P ro b le m a s
i
364
375
381
388
R e p a s o d e l c a p ít u lo
392
C o n t e n id o
I
TTT
10
A n á lisis d e e s tru c tu ra s
e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s p o r el
m é to d o d e la fu e rz a 395
1 0 .1
1 0 .2
in d e te r m in a d a s 3 9 5
M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
12.1
P rin c ip io s g e n e ra le s
1 2 .2
y d e fin ic io n e s 4 8 7
D is tr ib u c ió n d e m o m e n to s
12.3
M o d ific a c io n e s al f a c t o r
12.4
d e rig id e z 5 0 0
D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra
12.5
m a rc o s : S in la d e o 5 0 8
D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra
p a ra v ig a s
398
T e o re m a d e M a x w e ll d e los
d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ;
L e y d e B e tti 4 0 2
10.4
M é to d o d e a nálisis del
d e s p la z a m ie n to : d is trib u c ió n
d e m o m e n to s 487
E s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te
P r o c e d im ie n to g e n e r a l
10.3
12
M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
V ig a s
490
m a rc o s : C o n la d e o
403
10.5
M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
P ro b le m a s
M a rc o s 4 1 1
M é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
R e p a s o d e l c a p ít u lo
1 0 .6
1 0 .7
E s tru c tu ra s c o m p u e s ta s
10.8
C o m e n ta r io s a d ic io n a le s s o b re el
10.9
E s tru c tu ra s s im é tric a s 4 2 9
L ínea s d e in flu e n c ia p a r a v ig a s
A rm a d u ra s
425
428
13
V ig a s y m a rc o s
co n e le m e n to s n o
p ris m á tic o s 523
435
e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s
1 0 .1 1
L ínea s d e in flu e n c ia c u a lita tiv a s
p a ra m a rc o s 4 3 9
P ro b le m a s
521
422
m é t o d o d e a n á lis is d e la fu e rz a
1 0 .1 0
510
518
446
R e p a s o d e l c a p ít u lo
13.1
P ro p ie d a d e s d e c a rg a d e lo s e le m e n to s
13.2
no p ris m á tic o s 5 2 3
D is tr ib u c ió n d e m o m e n t o s p a ra
448
e s tru c tu ra s c o n e le m e n to s
13.3
11
no p ris m á tic o s 5 2 8
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n
p a ra e le m e n to s n o p r is m á tic o s
P ro b le m a s
M é to d o d e a nálisis d e l
d e s p la z a m ie n to : Ecuaciones
d e p e n d ie n te -d e fle x ió n 451
R e p a s o d e l c a p ít u lo
11.1
M é t o d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to :
11.2
11.3
11.4
11.5
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n
A n á lis is d e v ig a s 4 5 9
P ro c e d im ie n to s g e n e ra le s
451
A n á lis is d e m a rc o s : S in la d e o
A n á lis is d e m a rc o s : C o n la d e o
P ro b le m a s
482
R e p a s o d e l c a p ít u lo
485
536
469
474
453
537
534
xx
C o n t e n id o
15.4
A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la rig id e z
al a n á lis is d e v ig a s
14
P ro b le m a s
579
592
A n á lis is d e a rm a d u ra s
u tiliz a n d o e l m é to d o
d e la r ig id e z 539
14.1
d e la rig id e z
14.2
14.3
14.4
539
M a tr iz d e r ig id e z d e l e le m e n to
542
M a tr ic e s d e tr a n s fo r m a c ió n d e
fu e rz a y d e s p la z a m ie n to 5 4 3
M a tr iz d e r ig id e z g lo b a l d e l
A n á lis is d e m a rc o s
p la n o s u tiliz a n d o el
m é to d o d e la rig id e z
595
16.1
M a tr iz d e r ig id e z d e l
A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la rig id e z
16.2
m a r c o - e le m e n to 5 9 5
M a tr ic e s d e tra n s fo rm a c ió n d e l
p a ra e l a n á lis is d e a rm a d u ra s
C o o rd e n a d a s n o d a le s
560
16.3
M a tr iz d e r ig id e z g lo b a l d e l
m a r c o - e le m e n to 5 9 9
16.4
A p lic a c ió n d e l m é t o d o d e la r ig id e z
e le m e n to
14.5
14.6
16
F u n d a m e n to s d e l m é t o d o
546
M a tr iz d e r ig id e z d e la a rm a d u ra
552
14.7
14.8
A r m a d u r a s c o n c a m b io s té r m ic o s
14.9
A n á lis is d e a rm a d u ra s e s p a c ia le s
y e rr o r e s d e fa b ric a c ió n
R e p a s o d e l c a p ít u lo
P ro b le m a s
547
564
d e s p la z a m ie n to y d e las fu e rz a s
570
p a ra e l a n á lis is d e m a rc o s
571
P ro b le m a s
597
600
609
572
A p é n d ic e s
A.
A lg e b ra m a tr ic ia l p a ra
B.
P r o c e d im ie n to g e n e r a l p a ra u s a r e l
el a n á lis is e s tr u c tu r a l
15
612
s o ftw a re d e a n á lis is e s tru c tu ra l
A n á lis is d e v ig a s
u tiliz a n d o e l m é to d o
d e la r ig id e z 575
625
S o lu c io n e s p a rc ia le s y re s p u e s ta s
a lo s p r o b le m a s fu n d a m e n ta le s
628
R e spu estas a p ro b le m a s s e le c c io n a d o s
15.1
15.2
C o m e n ta r io s p re lim in a re s
15.3
M a tr iz d e r ig id e z d e la
M a tr iz d e r ig id e z d e la
v ig a - e le m e n to
v ig a - e s tr u c tu r a
577
579
575
ín d ic e
685
665
ANÁLISIS
ESTRUCTURAL
La e stru ctu ra (el co n tra ve n te o ) con p a tró n d e dia m a n te (refue rzo cruzado)
instalada en estos e d ific io s d e gran altura se u tiliza para resistir las cargas
d e b id a s al vie nto.
Tipos de estructuras
y cargas
E ste c a p ít u lo c o n tie n e u n e s tu d io d e a lg u n o s d e lo s a s p e c to s p r e lim i­
n a re s d e l a n á lis is e s tr u c tu r a l. P r im e r o s e p r e s e n ta n las fa s e s n e c e s a ria s
p a ra c o n s tru ir u n a e s tr u c tu r a , d e s p u é s s e h a c e u n a in tr o d u c c ió n a lo s
t ip o s b á s ic o s d e e s tru c tu ra s , s u s c o m p o n e n te s y s o p o rte s , y p o r úl­
t im o , s e p r o p o r d o n a u n a e x p lic a c ió n b r e v e d e lo s d is t in t o s t ip o s d e
c a rg a s q u e d e b e n c o n s id e ra rs e p a ra u n a n á lis is y d is e ñ o a p ro p ia d o s .
1 .1
Introducción
U n a e s tr u c tu r a s e r e f ie r e a u n s is te m a d e p a r t e s c o n e c ta d a s q u e se u tiliz a
p a ra s o p o r t a r u n a c a r g a . E n t r e lo s e je m p lo s m á s im p o r ta n te s r e l a c io n a ­
d o s c o n la in g e n ie r ía c iv il e s t á n lo s e d ific io s , lo s p u e n te s y las to r r e s ; e n
o t r a s ra m a s d e la in g e n ie r ía p u e d e d e c ir s e q u e s o n im p o r t a n te s las e s ­
tr u c tu r a s d e b a r c o s y a v io n e s , lo s ta n q u e s , lo s r e c ip ie n te s a p r e s ió n , lo s
s is te m a s m e c á n ic o s, y la s e s t r u c tu r a s d e s o p o r te d e lín e a s e lé c tr ic a s t a m ­
b ié n s o n im p o rta n te s .
C u a n d o s e d is e ñ a u n a e s t r u c t u r a p a r a q u e d e s e m p e ñ e u n a fu n c ió n e s ­
p e c ífic a p a r a e l u s o p ú b lic o , e l in g e n ie r o d e b e c o n s i d e r a r s u s e g u r id a d ,
e s t é t i c a y f a c i li d a d d e m a n t e n i m i e n t o , y a la v e z t e n e r p r e s e n t e s la s
l i m i t a n t e s e c o n ó m i c a s y a m b i e n ta l e s . A m e n u d o e s t o r e q u i e r e v a r io s
e s t u d io s in d e p e n d i e n te s s o b r e la s d if e r e n te s s o lu c io n e s p o s i b le s a n te s d e
to m a r u n a d e te r m in a c ió n fin a l s o b r e c u á l e s la f o r m a e s t r u c t u r a l m á s
a d e c u a d a . E s t e p r o c e s o d e d is e ñ o e s ta n t o c re a tiv o c o m o té c n ic o y r e ­
q u ie r e u n c o n o c im ie n to f u n d a m e n ta l d e la s p ro p ie d a d e s d e lo s m a te ria le s
y d e la s le y e s d e la m e c á n ic a q u e r ig e n l a r e s p u e s ta d e lo s m a te ria le s .
U n a v e z p r o p u e s to e l d is e ñ o p r e l im in a r d e u n a e s tr u c tu r a , é s ta d e b e
a n a liz a r s e p a r a a s e g u r a r q u e ti e n e la rig id e z y la f u e r z a n e c e s a r ia s . P a ra
a n a liz a r a d e c u a d a m e n te u n a e s t r u c t u r a d e b e n h a c e r s e a lg u n a s id e a liz a ­
c io n e s s o b r e c ó m o s e c o n e c t a n y a p o y a n lo s e le m e n to s e n tr e s í. L a s c a r ­
g a s s e d e t e r m i n a n a p a r t i r d e c ó d ig o s y e s p e c ific a c io n e s lo c a le s , m ie n tr a s
q u e la s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s y su s d e s p la z a m ie n to s s e e n c u e n t r a n
a p lic a n d o la t e o r í a d e l a n á lis is e s tr u c tu r a l, q u e e s e l o b je t o d e e s tu d io d e
e s te te x to . L o s r e s u lta d o s d e e s te a n á lis is p u e d e n e m p le a r s e p a r a re d is e ñ a r la e s tr u c tu r a , lo q u e im p lic a u n a d e te r m in a c ió n m ás p r e c is a d e l p e s o
4
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
y e l ta m a ñ o d e lo s e le m e n to s . ft>r lo ta n t o , e l d is e ñ o e s t r u c t u r a l p r o v ie n e
d e u n a s e r i e d e a p r o x i m a c i o n e s s u c e s iv a s e n la s q u e c a d a c ic lo r e q u i e r e
u n a n á lis is e s tr u c tu r a l. E n e s t e lib r o , e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e a p lic a a e s ­
tr u c tu r a s v in c u la d a s c o n la in g e n ie r ía civil; s in e m b a r g o , e l m é t o d o d e
a n á lisis d e s c r ito ta m b ié n p u e d e s e g u ir s e e n e l c a s o d e e s t r u c tu r a s r e l a ­
c io n a d a s c o n o tr o s c a m p o s d e la in g e n ie ría .
1 .2
Clasificación de estructuras
P a r a u n in g e n ie r o e s tr u c tu r a l e s i m p o r t a n te r e c o n o c e r lo s d is tin to s tip o s
d e e le m e n to s q u e c o m p o n e n u n a e s t r u c t u r a , y s e r c a p a z d e c la s ific a r las
e s t r u c tu r a s d e a c u e r d o c o n s u f o r m a y f u n c ió n . E n e s t e p u n to s e p r e s e n ­
ta r á n a lg u n o s d e lo s a s p e c t o s m e n c io n a d o s y p o s te r io r m e n te , e n e l m o ­
m e n t o a d e c u a d o a lo la r g o d e l te x t o .s e p r o f u n d iz a r á e n e llo s .
E lem entos estructurales.
A lg u n o s d e lo s e le m e n to s m á s c o m u ­
n e s d e lo s c u a le s e s t á n c o m p u e s ta s las e s t r u c tu r a s s o n lo s s ig u ie n te s .
O
E =>
v a rilla
b a rra
L u
á n g u lo
canal
s e c c io n e s tra n s v e r s a le s c o m u n e s
te n so r b a n a
Figura 1-1
v ig a s im p le m e n te a p o y a d a
v ig a fija o e m p o tr a d a
v ig a c o n tin u a
Figura 1 -2
Tensores.
L o s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s s o m e tid o s a u n a fu e r z a de
te n s ió n s u e le n d e n o m i n a r s e te n s o r e s o p u n ta le s. D e b id o a la n a tu r a le z a
d e la c a rg a d e s c r ita ,e s to s e le m e n to s tie n d e n a s e r d e lg a d o s y s u e le n e l e ­
g irse a p a r t i r d e v a rilla s , b a r r a s , á n g u lo s o c a n a le s , fig u ra 1-1.
Vigas. ft>r lo g e n e r a l, la s v ig a s s o n e le m e n to s re c to s h o r iz o n ta le s q u e
s e u s a n p r in c ip a lm e n te p a r a s o p o r t a r c a r g a s v e rtic a le s . C o n fr e c u e n c ia se
c la s ific a n s e g ú n la fo r m a e n q u e e s t á n a p o y a d a s , c o m o s e in d ic a e n la fi­
g u ra 1-2. E n p a r tic u la r , c u a n d o la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l a v ig a v a ría ,
é s ta se c o n o c e c o m o v ig a a fila d a o e s t r e c h a d a . L a s s e c c io n e s tr a n s v e r s a ­
le s d e la s v ig a s ta m b ié n p u e d e n " c o n s tr u i r s e " a ñ a d ie n d o p la c a s e n su s
p a r te s s u p e r io r e in f e rio r .
L a s v ig a s se d is e ñ a n e n p r i n c ip i o p a r a r e s is t ir m o m e n to s d e fle x ió n ;
s in e m b a r g o , s i u n a v ig a e s c o r ta y s o p o r ta g r a n d e s c a rg a s , la f u e r z a c o r ­
ta n t e in t e r n a p u e d e lle g a r a s e r b a s t a n te g r a n d e y r e g ir e l d is e ñ o d e la
v ig a . C u a n d o e l m a te r ia l u tiliz a d o p a r a u n a v ig a e s u n m e ta l c o m o el
a c e r o o e l a lu m in io , la se c c ió n tr a n s v e r s a l r e s u lta m á s e f ic ie n te s i t i e n e la
fo r m a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-3. A q u í, las f u e r z a s d e s a r r o lla d a s e n
la s a la s ( p a tin e s ) s u p e r io r e in f e r io r d e la v ig a f o r m a n e l p a r n e c e s a r io
q u e s e u s a p a r a re s is tir e l m o m e n to M a p lic a d o , m ie n tr a s q u e e l a lm a e s
e fic ie n te a l re s is tir la fu e rz a c o r ta n te V a p lic a d a . E s ta se c c ió n tra n s v e rs a l se
c o n o c e c o m ú n m e n te c o m o " a l a a n c h a " . I o H , y s u e le f o r m a r s e c o m o u n a
s o la u n id a d e n u n a la m in a d o r a c o n lo n g itu d e s d e h a s t a 75 p ie s ( 2 3 m ) . S i
s e r e q u i e r e n lo n g itu d e s m á s c o r ta s s e p u e d e s e le c c io n a r u n a se c c ió n c ó ­
n ic a c o n a la s a h u s a d a s ( o p a tin e s e s tr e c h a d o s ) . S i e s n e c e s a r io q u e la
v ig a te n g a u n c la r o m u y a m p lio y la s c a r g a s a p lic a d a s s o n b a s t a n te g r a n ­
d e s , la se c c ió n tr a n s v e r s a l p u e d e t o m a r la f o r m a d e u n a tra b e a r m a d a .
E s te e l e m e n t o s e fa b r ic a u tiliz a n d o u n a p la c a g r a n d e p a r a e l a lm a , a la
c u a l p a r a f o r m a r la s a la s s e le s u e l d a n o f ija n c o n p e r n o s p la c a s e n lo s e x ­
tr e m o s . 1.a t r a b e s u e le tr a n s p o r t a r s e a l c a m p o e n s e g m e n to s y é s t o s s e d i ­
s e ñ a n p a r a e m p a lm a r s e o u n ir s e e n t r e s í e n lo s p u n to s d o n d e l a tr a b e
1 .2
C la s if ic a c ió n d e estructuras
5
F ig u ra 1 -3
E s ta s t r a b e s d e c o n c r e t o p r e s i o n a d o e s tá n
s o p o r ta u n m o m e n to in te r n o p e q u e ñ o . (V e a la f o to g r a f ía e n la p a r t e in fe r io r d e e s ta p á g in a ) .
sim plem ente apoyadas y se em plean en un
P uenle c a r r e t e r o .
ft» r lo g e n e r a l , la s v ig a s d e c o n c r e t o t i e n e n s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s r e c ­
ta n g u la r e s p o r q u e e s t a f o r m a e s fácil d e c o n s t r u ir d ir e c ta m e n te e n el
c a m p o . C o m o e l c o n c r e t o e s b a s t a n te d é b il e n c u a n to a s u re s is te n c ia a la
te n s ió n , se c o lo c a n v a rilla s d e a c e r o d e r e f u e r z o d e n t r o d e la v ig a e n la s
re g io n e s d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l s o m e tid a s a te n s ió n . D e l m is m o m o d o ,
las v ig a s o tr a b e s d e c o n c r e to p r e f a b r ic a d a s p u e d e n c o n s tr u ir s e e n u n t a ­
lle r o fá b r ic a p a r a d e s p u é s s e r t r a n s p o r t a d a s a l lu g a r d e tr a b a jo .
L as v ig a s d e m a d e r a p u e d e n o b te n e r s e d e u n a p ie z a s ó lid a d e m a d e r a
o la m in a r s e . L a s v ig a s la m in a d a s se c o n s tr u y e n c o n s e c c io n e s s ó lid a s d e
m a d e r a u n id a s e n tr e s í m e d ia n te a d h e s iv o s d e a lt a re s is te n c ia .
E l a ce ro d e re fu e rz o q u e s e o b serv a a d e ­
E n e s t a f o t o g r a f í a s e m u e s t r a n la s j u n t a s
d e p la c a s e m p a l m a d a s q u e s e u s a n c o m ú n ­
r e c h a c iz q u ie r d a s e u t i l i z a p a r a r e s i s t i r c u a l ­
q u i e r te n s i ó n q u e p u d i e r a o r i g i n a r s e e n la s
m e n t e p a r a c o n e c t a r la s t r a b e s d e a c e r o e n
u n p u e n te c a rre te ro .
v ig a s d e c o n c r e t o q u e s e f o r m a r á n a s u a l r e ­
d e d o r.
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
Los
e le m e n to s
de
a la
u s a r s e c o m o c o lu m n a s .
ancha
La
s u e le n
f o to g r a f ía
p r e s e n ta u n e je m p lo d e u n a c o lu m n a d e
v ig a ( a f l c x o c o m p r c s ió n ) .
C o lu m n a s .
L o s e le m e n to s q u e g e n e r a l m e n t e s o n v e rtic a le s y re s is te n
c a r g a s d e c o m p r e s ió n a x ia l s e c o n o c e n c o m o c o lu m n a s , fig u ra 1-4. L as
s e c c io n e s tr a n s v e rs a le s tu b u l a r e s y d e a la a n c h a s e s u e le n u tiliz a r p a r a
c o lu m n a s d e m e ta l, y las s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s c ir c u la r e s y c u a d ra d a s ,
c o n v a rilla s d e re f u e rz o , s e u tiliz a n p a r a la s c o lu m n a s d e c o n c r e to . E n
o c a s io n e s , la s c o lu m n a s e s t á n s u j e ta s s i m u ltá n e a m e n te a u n a c a r g a a x ia l
y a u n m o m e n to d e fle x ió n , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-4. E s to s e l e ­
m e n to s s e d e n o m i n a n c o lu m n a s d e v ig a .
Tipos de estructuras.
I
c o lu m n a
L a c o m b in a c ió n d e lo s e le m e n to s e s t r u c tu ­
ra le s y lo s m a te r ia le s d e q u e e s t á n h e c h o s s e c o n o c e c o m o s is te m a e s tr u c ­
tu ra l. C a d a s i s te m a e s t á c o n s tr u id o c o n u n o o m á s d e lo s c u a tr o tip o s
b á s ic o s d e e s tru c tu r a s . Si s e c la s ific a n p o r la c o m p le jid a d d e s u a n á lis is d e
fu e rz a s , lo s ti p o s b á s ic o s d e e s t r u c tu r a s s o n lo s s ig u ie n te s .
Q ia n d o s e r e q u i e r e q u e e l c la r o d e u n a e s t r u c tu r a s e a
( ü iu m n a d e v ig a
A rm a d u ra s .
a
g r a n d e y s u p r o f u n d id a d , o p e r a l te , n o e s u n c r ite r io im p o r ta n te p a r a el
d iserto , s e p u e d e e le g i r u n a a r m a d u r a . L a s a r m a d u r a s c o n s is te n e n e l e ­
m e n to s d e lg a d o s , p o r lo g e n e ra l c o lo c a d o s e n fo r m a tr ia n g u la r . L a s a r ­
m a d u r a s p la n a s se c o m p o n e n d e e le m e n to s u b ic a d o s e n e l m is m o p la n o
y s e u tiliz a n p a r a e l s o p o r te d e p u e n te s y te c h o s , e n ta n t o q u e la s a r m a ­
d u r a s e sp a c ia le s ti e n e n e le m e n to s q u e s e e x tie n d e n e n tr e s d im e n s io n e s
y s o n a d e c u a d a s p a r a g r ú a s y to r r e s .
D e b id o a l a d is p o s ic ió n g e o m é t r i c a d e s u s e le m e n to s . la s c a r g a s q u e
h a c e n q u e t o d a la a r m a d u r a s e d e f o r m e s e c o n v ie r te n e n f u e r z a s d e t e n ­
s i ó n o c o m p r e s ió n e n lo s e le m e n to s . E n c o n s e c u e n c ia , u n a d e la s p r in c i­
p a le s v e n ta ja s d e u n a a r m a d u r a e n c o m p a r a c ió n c o n u n a v ig a e s q u e
u tiliz a m e n o s m a te r ia l p a r a s o p o r ta r u n a c a rg a d e te r m i n a d a , fig u ra 1-5.
A d e m á s , u n a a r m a d u r a se c o n s tr u y e a p a r t i r d e e le m e n to s la r g o s y d elg a d o s . q u e p u e d e n c o lo c a r s e d e v a ria s m a n e r a s p a r a s o p o r ta r u n a c a r g a . L a
1 .2
C la s if ic a c ió n d e estructuras
l a s c a r g a s p r o v o c a n la fle x ió n d e u n a
a r m a d u r a , la c u a l d e s a r r o l l a c o m p r e s i ó n
e n s u s e l e m e n t o s s u p e r i o r e s y te n s i ó n e n lo s
in f e r io r e s .
H g u n i 1 -5
m a y o r ía d e la s v e c e s r e s u lta e c o n ó m ic a m e n te f a c tib le u s a r u n a a r m a ­
d u r a p a r a c u b r ir c la r o s q u e v a n d e s d e 3 0 p ie s (9 m e t r o s ) h a s ta 4 0 0 p ie s
(1 2 2 m ) , a u n q u e e n o c a s io n e s s e h a n e m p l e a d o a r m a d u r a s p a ra c u b r ir
c la r o s d e m a y o r lo n g itu d .
C a b le s y a r c o s . O t r a s d o s f o r m a s d e e s tru c tu r a q u e se u s a n p a r a c u b rir
d is ta n c ia s la r g a s s o n e l c a b le y e l a rc o . I\>r lo g e n e ra l, lo s c a b les s o n fle x i­
b les. s o p o r ta n c a rg a s e n te n s ió n y s e u tiliz a n c o m o s o p o r te e n p u e n te s , fi­
g u r a l- 6 a , y e n te c h o s d e ed ificio s. C u a n d o se u s a p a ra e s to s fin es, e l cab le
tie n e u n a v e n ta ja s o b r e la v ig a y la a r m a d u r a , e n p a rtic u la r p a r a c la ro s m a ­
y o re s a 150 p ie s (4 6 m e tro s ). D a d o q u e lo s c a b le s s ie m p re e s tá n e n te n s ió n ,
n o se v o lv e rá n in e s ta b le s n i s e c o la p s a rá n d e m a n e r a s ú b ita c o m o p u e d e s u ­
c e d e r c o n las vigas o la s a rm a d u ra s . A d e m á s , l a a r m a d u r a r e q u e r iría c o s to s
a d ic io n a le s p a ra s u c o n s tru c c ió n y u n p e ra lte m a y o r c o n fo r m e a u m e n te el
c la ro . P b r o t r o la d o , e l u s o d e c a b le s s ó lo e s tá lim ita d o p o r s u c o lg a m ie n to ,
s u p e s o y lo s m é to d o s d e a n c la je q u e s e e m p le e n .
E l a r c o lo g ra s u re s is te n c ia e n c o m p r e s ió n , p u e s t o q u e ti e n e u n a c u r v a ­
tu r a in v e r s a a la d e l c a b le . S in e m b a r g o , e l a r c o d e b e s e r r íg id o a fin d e
m a n t e n e r s u f o r m a , lo q u e s e tr a d u c e e n c a r g a s s e c u n d a r ia s q u e in v o lu c ­
r a n fu e iz a s c o r t a n t e s y d e m o m e n to , q u e d e b e n c o n s id e r a r s e e n s u d i­
s e ñ o . L o s a r c o s se u s a n e n e s t r u c tu r a s p a r a p u e n te s , f ig u r a 1 -6 6 , te c h o s
d e c ú p u la y a b e r t u r a s e n m u r o s d e m a n ip o s te r ía
8
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
ríg id a
a rtic u la d a
L o s e le m e n to s d e l m a r c o e s tá n
s o m e tid o s a c a r g a s i n t e r n a s a x ia le s
c o r ta n te s y d e m o m e n to .
rígida
a rtic u la d a
lig a r a 1 -7
L o s m a rc o s s e s u e le n u s a r e n e d ific io s y e s t á n c o m p u e s to s
p o r v ig a s y c o lu m n a s c o n e c t a d a s r íg id a m e n te o m e d i a n te a rtic u la c io n e s ,
fig u ra 1-7 . A l ig u a l q u e las v ig a s, lo s m a r c o s s e e x ti e n d e n e n d o s o tr e s d i ­
m e n s io n e s . L a c a r g a e n u n m a r c o o c a s io n a fle x ió n d e s u s e le m e n to s ; y s i
tie n e c o n e x io n e s d e u n ió n ríg id a s, p o r lo g e n e ra l e s t a e s t r u c tu r a e s “i n d e ­
te r m i n a d a " d e s d e e l p u n to d e v is ta a n a lític o . L a r e s is te n c ia d e u n m a rc o
d e e s t e tip o s e d e r i v a d e la s in te r a c c io n e s d e m o m e n to e n t r e las v ig a s y
la s c o lu m n a s e n la s u n io n e s ríg id a s.
M a rc o s .
U n a e stru c tu r a s u p e r fic ia l e s tá h e c h a d e
u n m a te r ia l q u e ti e n e u n e s p e s o r m u y p e q u e ñ o e n c o m p a r a c ió n c o n su s
o t r a s d im e n s io n e s . S e Ies lla m a te n s o e s tr u c tu r a s c u a n d o e l m a t e r i a l e s
m u y fle x ib le y p u e d e t o m a r l a fo r m a d e u n a t i e n d a d e c a m p a ñ a o u n a e s ­
tr u c t u r a in f la d a c o n a ir e . E n a m b o s c a s o s , e l m a t e r i a l a c tú a c o m o u n a
m e m b r a n a q u e s e s o m e te a te n s ió n p u r a .
L as e s t r u c tu r a s s u p e r fic ia le s ta m b ié n p u e d e n e s t a r h e c h a s d e u n m a t e ­
ria l ríg id o c o m o e l c o n c r e t o re f o rz a d o . E n ta le s c a s o s p u e d e n t e n e r la
fo r m a d e p la c a s p le g a d a s .c ilin d r o s o p a r a b o lo id e s h ip e rb ó lic o s , y re c ib e n
el n o m b r e d e p la c a s d e lg a d a s o c a sc a ro n e s. E s ta s e s t r u c tu r a s a c tú a n
c o m o c a b le s o a rc o s , p u e s t o q u e s o p o r t a n c a r g a s s o b r e t o d o e n te n s ió n
o c o m p r e s ió n ,y e x p e r im e n ta n m u y p o c a fle x ió n . N o o b s t a n te , la s e s t r u c ­
tu r a s d e p la c a o c a s c a r ó n s u e le n s e r m u y d ifíc ile s d e a n a liz a r , d e b id o a la
g e o m e tr ía tr id im e n s io n a l d e s u s u p e rfic ie . U n a n á lis is d e e s t e tip o s e e n ­
c u e n tr a f u e r a d e l a lc a n c e d e l p r e s e n t e te x to ; s i n e m b a r g o , e x is te n lib r o s
d e d ic a d o s p o r c o m p le to a e s e te m a .
E s tr u c tu r a s s u p e r fic ia le s .
L a f o t o g r a f ía m u e s t r a u n e j e m p l o d e m a r c o
d e a c e ro q u e s e a s a p a ra s o s te n e r el rie l d e
u n a g r ú a . S e s u p o n e q u e e l m a r c o e s t á u n id o
r íg i d a m e n te e n s u s j u n t a s s u p e r io r e s y a r tic u ­
la d o e n b s a p o y o s.
E l t e c h o d e l " D o m o d e G e o r g i a " e n A t la n ta ,
G e o rg ia , p u e d e c o n s id e ra rs e c o m o u n a m e m ­
b r a n a d e lg a d a .
1 .3
Cargas
U n a v e z q u e s e h a n d e f i n id o lo s r e q u is ito s d im e n s io n a le s p a r a u n a e s ­
tr u c tu r a , e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s c a rg a s q u e d e b e s o p o r ta r la e s t r u c ­
tu r a . L a a n tic ip a c ió n d e las d if e r e n t e s c a r g a s q u e s e im p o n d r á n a u n a
e s t r u c tu r a s u e le p r o p o r c io n a r e l tip o b á s ic o d e e s tr u c tu r a q u e s e e le g irá
p a ra e l d is e ñ o . I\>r e je m p lo , la s e s t r u c tu r a s m u y a lta s d e b e n s o p o r ta r
g r a n d e s fu e r z a s la t e r a l e s c a u s a d a s p o r e l v ie n to , y e n to n c e s s e s e le c c io ­
n a n p a r e d e s p a r a c o r t a n t e y s is te m a s d e m a r c o tu b u la r , e n ta n t o q u e lo s
e d if ic io s u b ic a d o s e n z o n a s p r o p e n s a s a te r r e m o t o s d e b e n d is e ñ a r s e
c o n m a r c o s y c o n e x io n e s fle x ib le s.
U n a v e z d e te r m i n a d a la fo r m a e s t r u c tu r a l, e l d is e ñ o r e a l c o m ie n z a c o n
lo s e le m e n to s q u e e s t á n s u je to s a la s c a r g a s p r im a r ia s q u e d e b e s o p o r ta r
la e s t r u c t u r a y p r o c e d e e n o r d e n s e c u c n c ia l a lo s d is tin to s e le m e n to s d e
a p o y o h a s ta a lc a n z a r e l c im ie n to o b a s e . IY>r lo ta n to , e n u n e d if ic io p r i ­
m e r o s e d is e ñ a r ía la lo s a d e c a d a p iso , d e s p u é s la s v ig a s d e s o p o r t e , la s
c o lu m n a s y, p o r ú ltim o , lo s c im ie n to s . D e m o d o q u e p a r a d is e ñ a r u n a
e s t r u c tu r a e s n e c e s a r io e s p e c if ic a r p r i m e r o la s c a r g a s q u e a c tú a n e n e lla .
L a c a rg a d e d is e ñ o d e u n a e s t r u c t u r a s u e l e e s t a r e s p e c if ic a d a e n c ó ­
d ig o s. E n g e n e r a l , e l in g e n ie r o e s tr u c tu r a lis ta t r a b a j a c o n d o s ti p o s d e
c ó d ig o s : lo s c ó d ig o s g e n e r a le s d e c o n s tru c c ió n y lo s c ó d ig o s d e d is e ñ o .
I .o s c ó d ig o s g e n e ra le s d e c o n s tr u c c ió n e s p e c ific a n lo s re q u is ito s d e lo s o r ­
g a n is m o s g u b e r n a m e n ta le s p a r a las c a r g a s m ín im a s d e d is e ñ o e n la s e s ­
tr u c tu r a s y la s n o rm a s m ín im a s p a r a la c o n s tru c c ió n . L o s c ó d ig o s d e
d is e ñ o p r o p o r c io n a n n o r m a s té c n ic a s d e ta l la d a s y s e u tiliz a n p a r a e s ta H e c e r lo s r e q u is ito s e n e l d is e ñ o re a l d e e s t r u c tu r a s . E n la ta b l a 1-1 se
e n u n c ia n a lg u n o s d e lo s c ó d ig o s m á s im p o r t a n te s q u e s e a p lic a n e n la
p rá c tic a . S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e lo s c ó d ig o s p r o p o r c io ­
n a n s ó l o u n a g u ía g e n e r a l p a r a e l d is e ñ o . L a r e s p o n s a b ilid a d d e fin itiv a
d e l d is e ñ o reca e e n e l in g e n ie r o e stru c tu ra lista .
T A B L A 1 -1
C ó d ig o s
C ódigos d e construcción g e n erales (e n E stad o s U nid o s)
M ínim um Design l o a d s fo r B u ild in g s and O th er Structures,
A S C E /S E I 7-10 (C argas d e d ise ñ o m ínim as p a ra edificios y o tras
estructuras, A SC E /SE 1 7-10). A m erican Society o f Civil E ngineers.
International B uilding C o d e (C ódigo in tern acio n al d e construcción).
C ódigos d e D iseño
Building C ode R equirem ents fo r R ein fo rced C oncrete (C ódigos d e re q u e ri­
m ientos d e construcción p a ra c o n c re to refo rzad o ). A m . C onc. Inst. ( A CI).
M an u a l o f S teel C onstruction (M anual de construcción e n a c e ro ), A m erican
Institutc o f S teel C on stru ctio n (A IS C ).
Standard Specifications fo r H ig h w a y B ridges (E specificaciones e s tá n d a r p ara
p uentes c a rre te ro s). A m erican A ssociation o f S tate H ighw ay and
'Iran sp o rtatio n O fficials (A A S H T O ).
N ational D esign Specifications fo r W o o d C onstruction (Especificación
n acional de d iseñ o p a ra la co n stru cció n e n m ad e ra ). A m erican R arest a n d
P aper A ssociation (A F P A ).
M anual f o r Railway E ngineering (M anual d e ingeniería fe rro v iaria),
A m erican R ailw ay E n gineering A sso ciatio n (A R E A ).
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
D a d o q u e p o r lo c o m ú n u n a e s t r u c tu r a e s tá s o m e tid a a v a rio s tip o s d e
c a rg a s, a c o n tin u a c ió n s e p r e s e n ta r á u n b re v e a n á lisis d e e s t a s c a r g a s p a ra
ilu s tr a r la m a n e r a e n q u e d e b e n c o n s id e r a r s e su s e f e c to s e n la p rá c tic a .
Cargas m uertas.
I-a s ca rg a s m u e r ta s s o n lo s p e s o s d e lo s d iv e r s o s
e le m e n to s e s t r u c tu r a le s y lo s p e s o s d e t o d o s lo s o b je t o s q u e e s t á n u n i­
d o s d e m a n e r a p e r m a n e n te a l a e s t r u c tu r a . ft>r lo ta n t o , la s c a r g a s m u e r ­
ta s d e u n e d if ic io s o n e l p e s o d e la s c o lu m n a s , v ig a s y tr a b e s , la lo s a d e l
p is o , e l te c h o , p a r e d e s , v e n ta n a s , f o n t a n e r í a , in s ta la c io n e s e lé c tr ic a s y
o tr o s a c c e s o rio s d iv e rs o s .
E n a lg u n o s c a so s, u n a c a r g a m u e r ta e s t r u c tu r a l p u e d e e s tim a r s e d e
m a n e r a s a tis f a c to r ia a p a r t i r d e fó r m u la s s e n c illa s b a s a d a s e n lo s p e s o s y
ta m a ñ o s d e e s t r u c tu r a s s im ila re s . A tr a v é s d e la e x p e r ie n c ia ta m b ié n e s
p o s ib le o b t e n e r u n a “ a p r e c ia c ió n " d e la m a g n itu d d e e s t a s c a rg a s. P o r
e je m p lo , e l p e s o m e d io d e lo s e d if ic io s d e m a d e r a e s d e 4 0 a 5 0 I b /p ie 2
( 1 .9 a 2 .4 k N /m 2) , p a r a lo s e d ific io s c o n e s t r u c tu r a d e a c e r o e s d e 6 0 a 75
lb /p ie ? (2 .9 a 3 .6 k N /m 2) ,y p a r a lo s e d ific io s d e c o n c r e t o r e f o r z a d o e s d e
110 a 130 Ib /p ie 2 (5.3 a 6 .2 k N /m 2). S in e m b a r g o , u n a v e z q u e s e h a n d e ­
te r m in a d o lo s m a te ria le s y lo s ta m a ñ o s d e lo s c o m p o n e n t e s d e la e s t r u c ­
tu r a , se p u e d e n e n c o n tr a r su s p e s o s a p a r t i r d e ta b la s q u e m u e s tr a n su s
d e n s id a d e s .
E n la ta b l a 1-2 s e e n u n c ia n las d e n s id a d e s d e lo s m a t e r i a le s q u e s e s u e ­
le n u s a r e n la c o n s tru c c ió n , y e n la ta b l a 1-3 p u e d e o b s e r v a r s e u n a p a r t e
TA BLA 1 -2
D e n s id a d e s m ín im a s p a r a c a rg a s
d e d i s e ñ o d e d i s t in t o s m a te r ia le s *
Ib /p ie 3
A lum inio
C oncreto, c o n c re to simple
C oncreto. p ie d ra simple
C oncreto, co n creto refo rzad o
C oncreto, p ie d ra refo rzad a
A rcilla, seca
A rcilla, húm eda
A re n a y g rav a, seca, su elta
A re n a y g rav a, húm eda
M anipostería, co n c re to só lid o ligero
M anipostería, peso n orm al
M ad era co n trach ap ad a
A cero, e stirad o e n frío
M adera, a b e to D o u g las
M adera, p in o d e l su r
M adera, p in o a b eto
170
108
144
111
150
63
110
100
120
105
135
36
492
34
37
29
k N /m 3
26.7
17.0
22.6
17.4
23.6
9.9
17.3
15.7
18.9
16.5
21.2
5.7
77.3
5.3
5.8
4.5
• R e p r o d u c i d o con p e rm ito d e la A m erican S odely o í Civil F.ngmeem, M ínimum
fía ig n l.oads f o r fíu ild m g t a n d O dirr S a n caíres A S C E S E I 7-10 (C argas d e
d s c f t o mínim as para e d if ic io s y o tra s Estructuras A SC E /S E I 7-10). Para adquirir
copias d e este estándar d e A SC E acceda a l s it» «ww.pubs.asce.org.
TA B LA 1 - 3
C a rg a s m u e r t a s m ín im a s d e d is e ñ o *
I
M uros
p sf
k N /m 2
ladrillo d e arcilla. 4 p u lg (102 m m )
ladrillo d e arcilla. 8 p u lg (203 m m )
ladrillo d e arcilla. 12 p u lg (305 m m )
39
79
115
1.87
3.78
5.51
48
8
2.30
0.38
4
0.19
12
0.57
20
0.96
9
8
12
0.017
0.015
0.023
1
5
10
0.05
0.24
0.48
0.10
0.04
P articiones y m u ro s d e m arco
M uros d e e n tra m a d o e x te rio r c o n revestim iento d e ladrillo
V entanas, vidrio, m arco y h o ja
E n tra m a d o s de m a d e ra d e 2 x 4 p u lg (51 X 102 m m )
sin enyesar
E ntram ados de m a d e ra d e 2 X 4 p u lg (51 X 102 m m )
enyesados d e un lado
E n tra m a d o s de m a d e ra d e 2 x 4 p u lg (51 X 102 m m )
enyesados p o r lo s d o s lados
R elleno d e p is o
C o ncreto d e cem ento, p o r pulgada (m m )
C b n creto ligero, sim ple, p o r p u lg ad a (m m )
C b ncreto d e p ied ra, p o r p u lg ad a (m m )
Techos
lá m in a d e fibra acústica
Yeso so b re m osaico o c o n c re to
M alla de m etal susp en d id a y y e so rev o cad o
Tejas de asfalto
L ám ina d e fibra, | pulg (13 m m )
2
0.75
'R e p r o d u c i d o c o n p e r m i s o d e U A m e r i c a n S o t í e l y o t C iv il E n g in c e i* . M ín im u m D a i g n L o a d s f o t
B u i i d m g t a n d O d i r r S i r u c l u r r \ A S C E / S E I 7 - 1 0 ( C a r g a » d e d b e f l o m ín im a » p a r a e d if ic io » y o tr a *
a t r u c t u r a * . A S C T / S E I 7 -1 0 ).
d e l lis ta d o d e l p e s o d e lo s c o m p o n e n te s d e c o n s tr u c c ió n m ás c o m u n e s .
A u n q u e e l c á lc u lo d e la s c a r g a s m u e r ta s c o n b a s e e n e l u s o d e d a to s t a ­
b u la d o s e s b a s t a n te s e n c illo , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e n m u c h o s a s ­
p e c to s e s t a s c a rg a s d e b e n e s tim a r s e e n la fa s e in ic ia l d e l d ise rto . E s ta s
e s tim a c io n e s in c lu y e n m a t e r i a le s n o e s tr u c tu r a le s c o m o lo s p a n e le s d e
fa c h a d a p r e f a b r ic a d o s , lo s s is te m a s e lé c tr ic o s y d e f o n t a n e r í a , e tc é te r a .
In c lu so s i e l m a te r ia l e s tá e s p e c ific a d o , lo s p e s o s u n ita r io s d e lo s e le m e n ­
to s r e p o r ta d o s e n lo s c ó d ig o s p u e d e n v a r ia r r e s p e c to d e lo s d a t o s d e l f a ­
b ric a n te . y e l u s o p o s t e r i o r d e l e d if ic io p u e d e in c lu ir a lg u n o s c a m b io s e n
la c a r g a m u e r ta . E n c o n s e c u e n c ia , la s e s tim a c io n e s d e la s c a r g a s m u e r ta s
p u e d e n te n e r u n e r r o r d e 15 a 2 0 % o m ás.
N o r m a lm e n te la c a r g a m u e r ta n o e s m u y g r a n d e e n c o m p a r a c ió n c o n
la c a r g a d e d is e rto e n e s t r u c tu r a s s im p le s , c o m o u n a v ig a o u n m a r c o d e
u n a s o la p l a n t a ; sin e m b a r g o , p a ra e d if ic io s c o n v a rio s p is o s, e s im p o r ­
ta n t e c o n s id e r a r t o d a s la s c a r g a s m u e r ta s a fin d e d is e r ta r c o r r e c ta m e n te
las c o lu m n a s , e n e s p e c ia l p a r a lo s p is o s in fe rio re s.
12
C a p it u l o
E JE M P L O
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
1.1
12 p u lg
L a v ig a d e p is o q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 1-8 se u tiliz a p a r a s o p o r ta r
u n a lo s a d e c o n c re to lig e r o s im p le c o n 6 p ie s d e a n c h o y u n e s p e s o r de
4 p ulg . I-a lo sa s irv e c o m o u n a p a r t e d e l t e c h o d e la p l a n t a d e a b a jo ,
p o r lo q u e s u p a r t e in f e r io r e s t á c u b ie r ta c o n y eso . A d e m á s , u n m u r o de
ta b iq u e s d e c o n c re to lig ero s ó lid o d e 8 p ie s d e a ltu r a y 12 p u lg d e e sp e so r,
s e e n c u e n tr a d ir e c ta m e n te s o b r e e l a la s u p e r io r d e la v ig a . D e te rm in e la
c a r g a e n la v ig a m e d id a p o r c a d a p ie d e lo n g itu d d e la viga.
S O L U C IÓ N
U s a n d o lo s d a t o s d e la s ta b la s 1-2 y 1-3, s e o b ti e n e :
L o sa d e c o n c r e to :
Y e so d e l l e c h o :
F ig u ra 1 - 8
M u ro d e ta b iq u e s :
C arg a to ta l
(8 l b / ( p i e ? • p u l g ) ) ( 4 p u l g ) ( 6 p i e s ) =
(5 l b /p ie 2) ( 6 p i e s ) —
(105 lb /p ie 3) ( 8 p i e s ) ( 1 p i e ) -
1 9 2 lb /p ie
3 0 lb /p ic
8 4 0 Ib /p ie
10 6 2 I b /p ie -
1.06 k / p i e
R esp .
A q u í la u n id a d k s ig n ific a " k i p ” , q u e s im b o liz a k ilo lib ra s . P b r lo ta n to .
1 k = 1000 Ib.
C argas vivas. L a s ca rg a s v iv a s p u e d e n v a r ia r ta n t o e n s u m a g n itu d
c o m o e n s u u b ic a c ió n . L a s p u e d e c a u s a r e l p e s o d e o b je to s c o lo c a d o s
p ro v is io n a lm e n te s o b r e u n a e s t r u c tu r a , v e h íc u lo s e n m o v im ie n to o f u e r ­
z a s n a tu r a le s . L a s c a r g a s v iv a s m ín im a s e s p e c ific a d a s e n lo s c ó d ig o s se
d e te r m in a n c o n b a s e e n el e s t u d io d e la h is to r ia d e su s e f e c to s s o b r e e s ­
tr u c tu r a s e x is te n te s . P o r lo g e n e ra l e s t a s c a rg a s in c lu y e n u n a p r o te c c ió n
a d ic io n a l c o n t r a u n a d e f o r m a c ió n e x c e s iv a o s o b r e c a r g a r e p e n t in a . E n el
c a p ítu lo 6 s e d e s a r r o ll a r á n té c n ic a s p a r a e s p e c if ic a r l a u b ic a c ió n a d e ­
c u a d a d e la s c a r g a s v iv a s s o b r e la e s t r u c tu r a , d e f o r m a q u e c a u s e n el
m a y o r e s f u e rz o o d e f le x ió n d e lo s e le m e n to s . A c o n tin u a c ió n s e a n a li z a ­
r á n lo s d is tin to s ti p o s d e c a r g a s vivas.
L a c a r g a v iv a s o b r e e l p i s o d e e s t e s a l ó n d e
c la s e s c o n s is te e n lo s e s c r it o r io s , la s s illa s y
e l e q u i p o d e la b o r a t o r i o . P a r a e l d is e ñ o , la
N o r m a A S C E 7 -1 0 e s p e c if ic a u n a c a r g a d e
4 0 p s f o 1 .9 2 k N /m 2.
C argas en e d ific io s . S e s u p o n e q u e lo s p iso s d e lo s e d ific io s e s t á n
s o m e tid o s a ca rg a s v iv a s u n ifo r m e s q u e d e p e n d e r á n d e la f in a lid a d p a r a
la c u a l s e d is e ñ ó e l e d if ic io . P o r lo g e n e r a l e s t a s c a r g a s s e e n c u e n t r a n
ta b u la d a s e n lo s c ó d ig o s lo c a le s , e s ta ta le s o n a c io n a le s. E n la ta b l a 1 -4 se
p r e s e n ta u n a m u e s tr a r e p r e s e n ta tiv a d e ca rg a s v iv a s m ín im a s ,l a s c u a le s
s e to m a r o n d e la N o r m a A S C E 7 -1 0 . L os v a lo r e s s e d e te r m i n a n a p a r t i r
d e d a to s h is tó ric o s d e la s c a r g a s a p lic a d a s a d is ti n to s e d ific io s . L a s c a rg a s
m ín im a s in c lu y e n a lg ú n tip o d e p r o te c c ió n c o n t r a la p o s ib ilid a d d e s o ­
b r e c a r g a d e b i d o a s itu a c io n e s d e e m e r g e n c ia , c a r g a s d e c o n s tr u c c ió n y
lo s r e q u is ito s d e u tilid a d d e b i d o a la v ib ra c ió n . A d e m á s d e las c a r g a s u n i ­
fo rm e s . a lg u n o s c ó d ig o s e s p e c if ic a n ca rg a s v iv a s c o n c e n tr a d a s m ín im a s ,
o c a s io n a d a s p o r c a r r o s m a n u a le s , a u to m ó v ile s , e t c é t e r a , q u e ta m b ié n
d e b e n a p lic a rs e e n c u a lq u ie r p u n t o d e l s is te m a d e l p iso . P o r e je m p lo , e n
e l d is e ñ o d e u n e s ta c io n a m ie n to p a r a a u to m ó v ile s s e d e b e n c o n s i d e r a r
ta n t o la s c a r g a s v iv a s u n if o r m e s c o m o la s c o n c e n tra d a s .
1.3
TABLA 1 -4
CA3GAS
13
C a rg a s v iv a s m ín im a s
O cu p a c ió n o u so
C a rg a viva
k N /m 2
p sf
Z o n as d e reunión y te a tro s
A sientos fijos
A sientos m óviles
E stacionam ientos (vehículos
d e p asajero s so lam en te)
Edificios d e oficinas
Vestíbulos
O ficinas
A lm acén
Ligero
ftisado
60
100
50
2.87
4.79
2.40
100
50
4.79
2.40
125
250
6.00
11.97
O cu p a c ió n o u so
R esidencial
V iviendas (d e u n a y d o s fam ilias)
H o tele s y casas m ultifam iliarcs
H abitaciones p riv ad as y pasillos
Salas públicas y pasillos
Escuelas
Salones d e clase
Pasillos p o r en cim a d e la p rim e ra planta
p sf
C a rg a viva
k N /m 2
40
1.92
40
1.92
100
4.79
40
80
1.92
3.83
'R e p ro d u c id o con perm iso d e MmOnum D ettgn l.oads fo r fíuildm gs a n d O d itr S tru a u rri. A SCF/SF1 7-10 ( C a r g u d e diserto mínimas p a ra edificios y olraa
e s tr u c tu r a s . A S C E ^ S E I 7-10).
P a r a a lg u n o s tip o s d e e d ific io s q u e ti e n e n p iso s c o n á r e a s m u y g r a n d e s
m u c h o s c ó d ig o s p e r m itir á n u n a r e d u c c ió n d e la c a r g a v iv a u n if o r m e p a ra
e l p is o ,p u e s t o q u e e s p o c o p r o b a b le q u e la c a rg a v iv a p r e s c r it a o c u r r a s i­
m u ltá n e a m e n te e n to d a la e s t r u c tu r a e n a lg ú n m o m e n to . P o r e je m p lo .
A S C E 7 -1 0 p e r m i t e u n a r e d u c c ió n d e la c a rg a v iv a s o b r e u n e le m e n to
q u e te n g a u n área d e in flu e n c ia ( K / j . A t ) d e 4 0 0 p i e s 2 (3 7 .2 n r ) o m ás.
E s ta c a r g a v iv a r e d u c id a s e c a lc u la e m p l e a n d o la s ig u ie n te e c u a c ió n :
( U n id a d e s P L S )
d-1)
L -
L0(o.25 +
'
( U n id a d e s S I)
V k u
a
t )
donde
L = c a rg a v iv a d e d is e ñ o r e d u c id a p o r p ie c u a d r a d o o m e tr o
c u a d r a d o d e á r e a s o s te n id a p o r e l e le m e n to .
L 0 = c a rg a v iv a d e d is e ñ o s i n r e d u c i r p o r p i e c u a d r a d o o m e t r o c u a ­
d r a d o d e á r e a s o s te n id a p o r e l e le m e n to ( v e a la ta b l a 1-4).
K , , = f a c to r d e la c a r g a v iv a d e l e le m e n to . P a r a c o lu m n a s in te r io r e s .
K l l ~ 4.
A t = á r e a tr ib u t a r ia e n p ie s c u a d r a d o s o m e tro s c u a d ra d o s .*
1.a c a r g a v iv a re d u c id a d e f in id a m e d i a n te la e c u a c ió n 1-1 s e lim ita a n o
m e n o s d e l 5 0 % d e L „ p a r a e le m e n to s q u e s o s tie n e n u n p is o , o n o m e n o s
d e l 4 0 % d e L„ p a ra e le m e n to s q u e s o p o r ta n m á s d e u n p is o . N o s e p e r ­
m ite la re d u c c ió n p a r a c a rg a s q u e e x c e d a n 100 Ib /p ie 2 (4 .7 9 k N /m ?). o
p a ra e s t r u c tu r a s q u e s e u tilic e n e n s itio s d e r e u n i ó n p ú b lic o s , e s t a c io n a ­
m ie n to s o te c h o s . E n e l e je m p lo 1 -2 s e il u s t r a u n a a p lic a c ió n d e la e c u a ­
c ió n 1-1.
•En la sección 2-1 se proporcionan ejemplos específicos de la determinación de áreas tri­
butarias para vigas y columnas.
14
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
E n ia f o to g r a f ía s e m u e s tr a u n e d if ic io d e o fic in a s d e d o s p is o s q u e
tie n e c o lu m n a s in te r io r e s s e p a r a d a s p o r 2 2 p ie s d e d is ta n c ia e n d o s
d ir e c c io n e s p e r p e n d i c u la r e s S i la c a r g a d e l te c h o ( p la n o ) e s d e 2 0
Ib /p ie 2, d e te r m i n e la c a rg a v iv a r e d u c id a q u e s o p o r ta u n a c o lu m n a
in te r io r típ ic a s i tu a d a a n iv e l d e l p iso .
2 2 p ie s
X
X
I— 2 2 p i e s - 4 - 2 2 p ie s — |
H g u n i 1-9
S O L U C IÓ N
C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-9, c a d a c o lu m n a in t e r i o r tie n e u n á r e a
tr ib u t a r ia o á r e a c a r g a d a e fe c tiv a d e A r - (2 2 p ie s ) ( 2 2 p ie s ) - 484
p ie s 2. P o r lo ta n t o , u n a c o lu m n a d e la p l a n t a b a ja s o p o r ta u n a c a rg a
v iv a e n e l t e c h o d e
F „ = (2 0 l b / p i e 2)( 4 8 4 p ie s 2) = 9 6 8 0 Ib = 9 .6 8 k
E s ta c a r g a n o p u e d e r e d u c ir s e p o r q u e n o e s u n a c a rg a e n e l p iso . P a r a
e l s e g u n d o p is o , la c a rg a v iv a s e to m a d e l a t a b l a 1-4: L a = 50 Ib /p ie 2.
C o m o K I L = 4 , e n to n c e s AA T = 4 (4 8 4 p ie s 2) = 1936 p ie s 2 y 1 9 3 6 p ie s 2
> 4 0 0 p ie s 2, l a c a r g a v iv a p u e d e re d u c irs e m e d i a n te la e c u a c ió n 1.1.
ft> r lo ta n t o ,
A q u í, la re d u c c ió n d e la c a rg a e s (2 9 .5 5 /5 0 )1 0 0 % = 5 9 .1 % > 5 0 % .
M u y b ie n ! l\> r lo ta n t o ,
F f = (2 9 .5 5 lb / p ie 2)( 4 8 4 p ie s 2) = 1 4 3 0 0 1 b = 14.3 k
E n to n c e s , la c a r g a v iv a to t a l s o p o r ta d a p o r la c o lu m n a d e la p la n ta
b a ja es.
F = F ff + F F = 9 .6 8 k + 14.3 k = 2 4 .0 k
R esp .
1 .3
C argas
Cargas en p u en tes carreteros.
L a s c a r g a s v iv a s p rin c ip a le s e n
lo s c la r o s d e u n p u e n te s o n la s o c a s io n a d a s p o r e l trá fic o , y la c a rg a m á s
p e s a d a d e v e h íc u lo s q u e p u e d e e n c o n tr a r s e e s la c a u s a d a p o r u n a s e r ie
d e c a m io n e s . L a s e s p e c ific a c io n e s p a r a la s c a rg a s d e c a m io n e s e n p u e n ­
te s c a r r e t e r o s s e r e g is tr a n e n la L R F D fir id g e D e sig n S p e c ific a tio n s (E s ­
p e c ific a c io n e s p a r a e l d is e rto d e p u e n te s ) d e la A m e r ic a n A s s o c ia tio n o f
S ta te a n d H ig h w a y IV a n sp o rta tio n O ffic ia ls ( A A S H T O ) . P a r a c a m io n e s
d e d o s e je s , e s t a s c a r g a s s e d e s ig n a n c o n u n a H . s e g u id a p o r e l p e s o d e l
c a m ió n e n to n e la d a s y o t r o n ú m e r o q u e p ro p o r c io n a el a rto d e las e s p e c i­
fic a c io n e s e n e l c u a l se r e p o r tó la c a r g a . Ix>s p e s o s d e lo s c a m io n e s d e la
s e r i e H v a r ía n d e 10 a 2 0 to n e la d a s . S in e m b a r g o , lo s p u e n te s u b ic a d o s
e n la s p r in c ip a le s c a r r e t e r a s q u e lle v a n u n a g r a n c a n tid a d d e trá fic o , se
d is e rta n c o m ú n m e n te p a r a c a m io n e s d e d o s e je s m á s u n s e m ir r e m o lq u e
d e u n e je c o m o e l d e la fig u ra 1 -1 0 . É s ta s s e d e n o m in a n c a r g a s H S. P o r lo
g e n e r a l la s e le c c ió n d e u n a c a rg a d e c a m ió n p a r a u n d is e rto d e p e n d e d e l
tip o d e p u e n te , s u u b ic a c ió n y la c la s e d e tr á f ic o p re v is to .
E n la s e s p e c ific a c io n e s ta m b ié n se r e p o r t a e l ta m a r to d e l “ c a m ió n
e s t á n d a r " y la d is tr ib u c ió n d e s u p e so . A u n q u e s e s u p o n e q u e lo s c a m io ­
n e s e s t á n e n la a u to p i s t a , n o to d o s lo s c a r r ile s e n e l p u e n te d e b e n e s t a r
c a r g a d o s c o n u n a fila d e c a m io n e s p a r a o b t e n e r l a c a r g a c rític a , p u e s to
q u e u n a c a rg a s e m e ja n te s e r ía m u y im p r o b a b le . L o s d e ta l le s s e a n a liz a n
e n e l c a p ítu lo 6.
Cargas en puentes fe rro v ia rio s .
L as c a rg a s s o b re p u e n te s fe ­
rr o v ia rio s . c o m o e l d e l a fig u ra 1-11, s e r e p o r t a n e n la s S p e c ific a tio n s f o r
S te e l R a ilw a y B r id g e s (E s p e c ific a c io n e s p a r a p u e n te s f e r r o v ia r io s d e
a c e r o ) p u b lic a d a s p o r la A m e r ic a n R a ilro a d E n g in e e r s A s s o c ia tio n
( A R E A ) . N o r m a lm e n te , p a r a e l d is e rto s e u tiliz a n la s c a r g a s E c o m o la s
c o n c ib ió o r ig in a lm e n te T T ieo d o re C o o p e r e n 1894. D e s d e e n to n c e s . B.
S te in m a n n h a a c tu a liz a d o la d is tr ib u c ió n d e c a r g a s d e C o o p e r e id e a d o
u n a s e r i e d e c a r g a s M . a c tu a lm e n te a c e p ta d a s p a r a e l d iserto . D a d o q u e
las c a r g a s d e u n t r e n im p lic a n u n a s e r i e c o m p lic a d a d e fu e r e a s c o n c e n ­
tr a d a s p a r a s im p lific a r lo s c á lc u lo s m a n u a le s , e n o c a s io n e s s e u tiliz a n t a ­
b las y g rá f ic a s e n c o m b in a c ió n c o n lín e a s d e in f lu e n c ia p a r a o b t e n e r la
c a r g a c rític a . T a m b ié n s e u s a n p r o g r a m a s d e c o m p u ta c ió n p a r a e s te
p ro p ó s ito .
H g u ra 1-10
1 5
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
Cargas d e im pacto.
L o s v e h íc u lo s e n m o v im ie n to p u e d e n r e b o t a r
o d e s p la z a r s e l a t e r a l m e n t e m ie n tr a s a v a n z a n p o r u n p u e n te , p o r lo ta n t o
p u e d e n tr a n s m i ti r u n im p a c to a la c u b ie r ta . E l p o r c e n t a je d e a u m e n t o d e
la s c a r g a s v iv a s d e b id o a l im p a c to s e d e n o m i n a fa c to r d e im p a c to , I. P o r
lo g e n e r a l , e s te f a c t o r s e o b ti e n e d e fó r m u la s d e s a r r o lla d a s a p a r t i r d e la
e v id e n c ia e x p e r im e n ta l. P o r e je m p lo , p a r a p u e n te s c a r r e te r o s la s e s p e c i­
fic a c io n e s d e l a A A S H T O r e q u i e r e n q u e
/ = L + 12S
p e r o n o m a y o r a 0 .3
d o n d e L e s la lo n g itu d e n p ie s d e l c la r o q u e e s t á s o m e tid o a l a c a rg a viva.
E n a lg u n o s c a s o s ta m b ié n e s n e c e s a r io t o m a r p re v is io n e s p a r a la c a rg a
d e im p a c to s o b r e la e s t r u c tu r a d e u n e d ific io . P o r e je m p lo , la N o rm a
A S C E 7 -1 0 r e q u i e r e q u e e l p e s o d e la m a q u in a r ia d e lo s a s c e n s o r e s se
in c r e m e n te 1 0 0 % , y q u e la s c a r g a s s o b r e c u a le s q u ie r s o p o r te s u tiliz a d o s
p a ra s o s te n e r lo s p is o s y b a lc o n e s s e in c r e m e n te n 3 3 % .
Cargas del v ie n to ,
c u a n d o la s e s t r u c tu r a s b lo q u e a n e l f lu jo d e l
v ie n to , la e n e r g ía c in é tic a d e l v ie n to s e c o n v ie r te e n e n e r g ía p o te n c i a l d e
p r e s ió n , la c u a l o c a s io n a u n a c a r g a d e v ie n to . E l e f e c to d e l v ie n to s o b r e
u n a e s t r u c tu r a d e p e n d e d e la d e n s id a d y l a v e lo c id a d d e l a ir e , e l á n g u lo
d e in c id e n c ia d e l v ie n to , la f o r m a y la rig id e z d e la e s t r u c t u r a y la ru g o s i­
d a d d e s u s u p e r f ic ie . P a r a p r o p ó s ito s d e d is e ñ o , las c a r g a s d e l v ie n t o p u e ­
d e n a b o r d a r s e m e d ia n te u n m é to d o e s tá tic o o d in á m ic o .
P a r a e l m é to d o e s tá tic o , la p r e s ió n f lu c tu a n te o c a s i o n a d a p o r u n v ie n to
q u e s o p l a c o a s ta n te m e n te s e a p r o x im a m e d i a n te u n a p r e s ió n d e v e lo c i­
d a d m e d ia q u e a c tú a s o b r e la e s tr u c tu r a . E s ta p r e s ió n q e s tá d e f in id a p o r
s u e n e r g ía c in é tic a , q = jp V '2. d o n d e p e s la d e n s i d a d d e l a i r e y V e s s u
v e lo c id a d . D e a c u e r d o c o n la N o r m a A S C E 7 -1 0 , e s t a e c u a c ió n s e m o d i­
fic a a fin d e t o m a r e n c u e n ta la im p o r ta n c ia d e la e s t r u c t u r a .s u a lt u r a , y
e l t e r r e n o e n q u e s e lo c a liz a . S e r e p r e s e n ta c o m o
q . = 0 . m 5 6 K . K 3 K d V 2 ( l b / p i e 2)
q ; = Q.f>\2>K; K :, K d V 2 { N / m 1)
( 1- 2)
donde
V = la v e lo c id a d e n m illa s p o r h o r a (m /s ) d e u n a r á f a g a d e v ie n to
d e 3 s e g u n d o s m e d id a a 3 3 p ie s (1 0 m ) d e l s u e lo . lx»s v a lo r e s
e s p e c ífic o s d e p e n d e n d e la “ c a te g o r ía " d e la e s t r u c tu r a o b te n i d a
a p a r t i r d e u n m a p a e ó lic o . P o r e je m p lo , a l in t e r i o r d e l te r r it o r i o
1 .3
L o s v ie n to s d e u n h u r a c á n c a u s a r o n e s t o s d a t o s a u n c o n d o m i ­
n io e n M ia m i. F l o r i d a .
c o n tin e n ta l d e E s ta d o s U n id o s s e r e p o r ta u n a v e lo c id a d d e l
v ie n to d e 105 m i/h ( 4 7 m /s ) s i l a e s t r u c t u r a e s u n e d if ic io d e u so
a g ríc o la o d e a lm a c e n a m ie n to , y a q u e u n a f a lla d e la e s t r u c tu r a
r e p r e s e n ta u n b a jo rie s g o p a r a la v id a h u m a n a . M a s e n e l c a s o d e
la e s t r u c tu r a d e u n h o s p ita l, l a v e lo c id a d d e l v ie n t o e s d e 120
m i/h (5 4 m /s), p u e s s u f a lla p o d r í a o c a s io n a r u n a im p o r ta n te
p é r d id a d e v id a s h u m a n a s .
K t = e l c o e f ic ie n te d e e x p o s ic ió n a la p r e s ió n d e la v e lo c id a d , la c u a l
e s u n a fu n c ió n d e la a lt u r a y d e p e n d e d e l te r r e n o . E n la ta b l a 1-5
se lis ta n lo s v a lo r e s d e u n a e s t r u c tu r a q u e s e e n c u e n t r a a t e r r e n o
a b ie r to , c o n o b s tr u c c io n e s b a ja s d is p e rs a s .
K ;, = u n f a c to r q u e to m a e n c u e n ta lo s a u m e n t o s d e l a v e lo c id a d d e l
v ie n to d e b i d o a c o lin a s y a c a n t i l a d o s P a r a e l t e r r e n o p la n o
K t l = 1 .0 .
K d = u n f a c to r q u e to m a e n c u e n ta la d ir e c c ió n d e l v ie n to . S e u s a s ó l o
c u a n d o la e s t r u c t u r a e s tá s o m e ti d a a c o m b in a c io n e s d e c a r g a s
(v e a la se c c ió n 1-4). C u a n d o e l v ie n t o a c t ú a p o r s í s o l o , K d ■ 1.0.
T A B LA 1 -5
C o e f ic ie n t e d e e x p o s ic ió n
a la p r e s ió n d e la v e lo c id a d p a r a
t e r r e n o s c o n o b s t r u c c io n e s b a ja s .
7
p ie s
0-15
20
25
30
40
50
m
0 -4 .6
6.1
7.6
9.1
12.2
15.2
085
090
094
098
1.04
1.09
¡
C argas
1 7
1 8
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
P re sió n d e d is e ñ o d e l v ie n to p a r a e d ific io s c e r r a d o s . U n a v e z q u e s e h a
o b te n id o e l v a lo r p a r a q t , s e p u e d e d e te r m i n a r la p r e s ió n d e d is e ñ o a
p a r t i r d e u n a li s t a d e la s e c u a c io n e s p e r t in e n t e s e s t ip u la d a s e n la N o rm a
A S C E 7 -1 0 . L a e le c c ió n d e p e n d e d e la fle x ib ilid a d y la a lt u r a d e la e s ­
t r u c tu r a , y s i e l d is e ñ o e s tá d ir ig id o a l s i s te m a p rin c ip a l p a r a la r e s is t e n ­
cia d e l v ie n to o p a r a lo s c o m p o n e n t e s d e la c o n s tr u c c ió n y el
r e v e s tim ie n to . P o r e je m p lo , m e d ia n te u n ‘• p ro c e d im ie n to d i r e c d o n a l " la
p r e s ió n d e l v ie n to s a b r é u n e d if ic io c e r r a d o d e c u a lq u ie r a lt u r a s e d e t e r ­
m in a a p a r t i r d e u n a e c u a c ió n d e d o s té r m in o s q u e r e s u lta d e la s p r e s i o ­
n e s ta n t o e x te r n a s c o m o in te r n a s , e s d e c ir .
P = <lGCP ~ R h iG C p i)
d -3 )
A quí
E l v ie n to q u e s o p la s o b r e u n m u ro te n d e rá a
q =
q . p a ra e l m u r o e n b a r lo v e n to a la a l t u r a z s o b r e e l s u e lo
( e c u a c ió n 1- 2 ) , y < /= « //, p a r a e l m u ro e n s o ta v e n to , las
p a r e d e s la t e r a l e s y e l t e c h o , d o n d e z = / i . l a a l t u r a m e d ia
cfel te c h o .
G =
f e c to r d e l e f e c to d e la r á f a g a d e v ie n to , q u e d e p e n d e d e
la e x p o s ic ió n . P o r e je m p lo , p a r a u n a e s t r u c tu r a ríg id a .
G - 0.85.
Cp =
c o e fic ie n te d e p r e s ió n d e u n a p a r e d o u n te c h o
d e te r m i n a d o a p a r t i r d e u n a ta b l a . E n la f ig u r a 1-12 se
p r e s e n ta n e s to s v a lo r e s ta b u l a d o s p a r a la s p a r e d e s y u n
p a s o d e l te c h o d e 0 = 10°. O b s e r v e e n la v is ta d e e le v a c ió n
q u e la p r e s ió n v a r ía c o n la a lt u r a e n e l la d o d e b a r l o v e n to
d e la c o n s tru c c ió n , m ie n tr a s q u e e n lo s la d o s r e s ta n te s y e n
el t e c h o se s u p o n e q u e la p r e s ió n e s c o n s t a n te . L o s v a lo r e s
n e g a tiv o s in d ic a n p r e s io n e s q u e a c tú a n f u e r a d e la
su p e rfic ie .
v o l t e a r u n e d if ic io o h a c e r q u e s e la d e e . P a r a
e v i t a r e s t o , lo s in g e n ie r o s s u e l e n u s a r a r r i o s ­
tra m ie n te s c ru z a d o s p a ra p ro p o r c io n a r e s ­
ta b i l i d a d . V e a t a m b i é n la p á g i n a 4 6 .
( G C p l) =
el c o e f ic ie n te d e la p r e s ió n in te r n a , q u e d e p e n d e d e l tip o d e
a b e r t u r a s e n e l e d ific io . P a r a lo s e d if ic io s c o m p l e ta m e n te
c e r r a d o s (G C p í) = ± (1 1 8 . A q u í lo s s ig n o s in d ic a n q u e
e fe n tro d e l e d if ic io p u e d e o c u r r i r p r e s ió n p o s itiv a o n e g a tiv a
(s u c c ió n ).
A l a p li c a r l a e c u a c ió n 1 -3 im p lic a r á c á lc u lo s d e la s p r e s io n e s d e l v ie n to
d e c a d a la d o d e l e d ific io , c o n la s d e b id a s c o n s id e r a c io n e s p a r a la p o s ib i­
lid a d d e p r e s io n e s p o s itiv a s o n e g a tiv a s q u e a c tú a n s o b r e e l in t e r i o r d e l
ed ific io .
1 .3
«fcGC,
S u p e rfic ie
L /B
U so con
P a re d en
Todos
b a r lo v e n to la s v a lo re s
P a re d en
s o ta v e n to
P a re d e s
la te ra le s
0 .8
Á n g u lo fí d e
b a rlo v e n to
íi
D ire c c ió n
d e l v ie n to
0 -1
2
S4
-0 3
-0 3
-0 2
•b,
Todos
le s v a lo re s
-0 .7
Qk
N o rm a l a la
c r e s ta
C o e f ic ie n te s d e p re s ió n s o b re u n a p a r e d , C r
A n g u lo d e
s o ta v e n to
h /L
10°
0 -1 0 °
*025
05
> 1 .0
-0 7
-0 9
-0 3
-0 3
-L 3
-0 .7
C o e f ic ie n te s d e p r e s ió n n e g a tiv o s
m á x im o s e n e l te c h o . C r p a r a s u u so c o n
<•)
(b>
fig u ra 1-12
P a r a e d ific io s d e g r a n a h u r a o a q u e llo s q u e ti e n e n u n a f o r m a o u n a
u b ic a c ió n q u e lo s h a c e s e n s ib le s a l v ie n to , s e r e c o m ie n d a e l u s o d e u n
m é to d o d in á m ic o p a ra d e t e r m i n a r la s c a rg a s d e l v ie n to . L a m e to d o lo g ía
p a ra h a c e r e s t o ta m b ié n s e in d ic a e n la N o rm a A S C E 7 -1 0 . É s ta im p lic a
p r u e b a s e n tú n e l d e v ie n to , la s c u a le s s e re a liz a n s o b r e u n m o d e lo a e s ­
c a la d e l e d if ic io y la s c o n s tru c c io n e s q u e lo r o d e a n , c o n e l f i n d e s im u la r
e l a m b i e n te n a tu r a l. L o s e f e c t o s d e la p r e s ió n d e l v ie n to s o b r e e l e d if ic io
p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r tir d e tr a n s d u c to r e s d e p r e s ió n c o n e c ta d o s al
m o d e lo . A d e m á s , si e l m o d e lo ti e n e c a r a c te r ís tic a s d e r ig id e z q u e s e e n ­
c u e n tr a n e n la e s c a la a d e c u a d a p a r a e l e d ific io , ta m b ié n p u e d e n d e t e r m i ­
n a rs e la s d e fle x io n e s d in á m ic a s d e l e d ific io .
C argas
19
2 0
C a p it u l o
E JE M P L O
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
1 .3
E l e d if ic io c e r r a d o q u e se m u e s tr a e n la fo to g ra fía y e n l a fig u ra l- 1 3 a
s e u tiliz a c o n fin e s d e a lm a c e n a m ie n to y s e e n c u e n t r a e n la s a f u e r a s
d e C h ic a g o , ! l lin o is ,e n u n t e r r e n o p la n o y a b ie r to . Si e l v ie n to ti e n e la
d ire c c ió n q u e se m u e s tr a , d e te r m i n e la p r e s ió n d e l v ie n t o d e d is e ñ o
q u e a c tú a s o b r e e l te c h o y lo s la te r a le s d e l e d if ic io e m p l e a n d o la s
e s p e c ific a c io n e s A S C E 7 -1 0 .
S O L U C IÓ N
E n p r im e r lu g a r , la p r e s ió n d e l v ie n t o se d e t e r m i n a r á m e d i a n te la
e c u a c ió n 1-2. L a v e lo c id a d b á s ic a d e l v ie n t o e s V = 105 m i/h . p u e s t o
q u e e l e d if ic io se u tiliz a p a r a a lm a c e n a m ie n to . A d e m á s , p a r a u n
te r r e n o p la n o , K ¡, = 1.0. C o m o s ó lo se e s t á c o n s id e r a n d o la c a r g a d e l
v ie n to , K d = 1.0. P o r lo ta n t o ,
q z = 0 .0 0 2 5 6 K zK a K d V 2
= 0 .0 0 2 5 6 K r (1 .0 ) ( 1 .0 ) ( 1 0 5 ) 2
= 2 8 .2 2 K z
A p a r t i r d e la fig u ra 1-13 a , A ' = 75 t a n 10° = 13.22 p ie s d e m o d o q u e
la a ltu r a m e d ia d e l te c h o e s h “ 2 5 + 1 3 .2 2 /2 - 31.6 p i e s S i se
e m p l e a n lo s v a lo r e s d e K z d e la ta b l a 1.5. lo s v a lo r e s c a lc u la d o s d e l
p e rf il d e la p r e s ió n s e lis ta n e n la ta b l a d e la fig u ra 1 -1 3 6 . O b s e r v e q u e
e l v a lo r d e K : se d e te r m i n ó p o r in te r p o la c ió n lin e a l p a r a z = h , e s
d e c ir . (1 .0 4
0 .9 8 )/(4 0 - 3 0 ) = (1 .0 4 - K .) /( 4 0 - 3 1 .6 ), K . - 0 .9 9 0 .
d e m o d o q u e qh = 2 8 .2 2 (0 .9 9 0 ) = 2 7 .9 lib ra s p o r p ie c u a d r a d o (p s f ) .
P a r a a p lic a r la e c u a c i ó n 1-3 , e l f a c t o r d e r á f a g a e s G = 0 .8 5 , y ( G C pi)
= ± 0 .1 8 . P o r lo ta n to ,
P = 9G C P - q h(G C pi)
= <7(0.85)Cp - 2 7 .9 ( ± 0 .1 8 )
= 0 .8 5 ^ C P =F 5 .0 3
(1 )
L a s c a r g a s d e p r e s ió n s e o b ti e n e n a p a r tir d e e s ta e c u a c ió n c o n lo s v a ­
lo r e s c a lc u la d o s p a r a q . q u e se lis ta n e n l a ta b la d e la fig u ra 1 -1 3 6 ,d e
a c u e r d o c o n e l p e rf il d e la p r e s ió n d e l v ie n t o d e la fig u ra 1- 1 2 .
z(p¡es)
0-15
20
25
h = 31.6
K,
0.85
0.90
0.94
0990
(b)
q , (psf)
24.0
25.4
26.5
27.9
P a re d e n b a r lo v e n t o .
A q u í la p r e s ió n v a r ía c o n la a l t u r a z p u e s to
q u e d e b e u s a r s e q zG C p. P a ra to d o s lo s v a lo r e s d e L / f í , C p = 0 .8 . p o r
b q u e a p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 1 ) ,
P o -is =
11.3 p s f o
2 1 .3 p s f
p ío =
12.2 p s f o
22.3 p s f
P25 =
13.0 p s f o
23.1 p s f
A q u í l . / B = 2 ( 7 5 ) /1 5 0 = l . d e m o d o q u e Cp
= -0.5. A d e m á s ,«/ = q h p o r lo q u e a p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 1 ) ,
P a re d e n s o ta v e n to .
p=
- 1 6 .9 p s f
o
- 6 8 4 psf
P a r e d e s la te r a le s . P a r a to d o s lo s v a lo r e s d e L / B . Cp = 0.7, y c o m o
d e b e u tiliz a r s e q = q h. e n la e c u a c ió n ( 1 ) , s e tie n e
p = - 2 1 .6 p s f
o
- 1 1 .6 p sf
A q u í h / L = 3 1 .6 /2 ( 7 5 ) = 0.211 < 0 .2 5 , p o r
b q u e C p = - 0 . 7 y q = q h. P o r lo ta n to ,
T e c h o e n b a r lo v e n t o .
p = - 2 1 .6 p s f
o
- 11.6 p s f
T e c h o e n s o t a v e n t o . E n e s t e c a s o , C p = - 0 . 3 ; p o r lo ta n t o , c o n
q = qh se o b ti e n e
p =
-1 2 .2
p sfo
- 2 0 9 p sf
E s to s d o s c o n ju n t o s d e c a r g a s s e m u e s tr a n e n la e le v a c ió n d e l e d ific io ,
b q u e r e p r e s e n ta u n a p r e s ió n in te r n a e n e l e d if ic io p o s itiv a o n e g a ­
tiv a (s u c c ió n ), fig u ra l- 1 3 c . L a e s tr u c tu r a p rin c ip a l d e la c o n s tru c c ió n
d e b e r e s is t ir e s t a s c a r g a s ; lo m is m o o c u r r e c o n las c a r g a s p o r s e p a r a d o
c a lc u la d a s a p a r tir d e l v ie n t o q u e s o p la e n la p a r t e d e l a n t e r a o la t r a ­
s e r a d e l e d ific io .
(c)
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
P re sió n d e l v ie n to d e d is e ñ o p a r a e sp e c ta c u la r e s. Si la e s t r u c tu r a r e p r e ­
s e n t a u n e s p e c ta c u la r , e l v ie n t o p r o d u c e u n a f u e r z a r e s u lta n t e q u e a c tú a
s o b r e la c a r a d e l a e s t r u c t u r a y q u e s e d e te r m i n a a p a r t i r d e
F = q hG C f A ,
(1 -4 )
A quí
q h = la p r e s ió n d e l v ie n to e v a lu a d a a l a a l t u r a h , m e d id a d e s d e e l s u e lo
h a s ta la p a r t e s u p e r io r d e l e s p e c ta c u la r .
G = la c to r d e l c o e f ic ie n te d e r á f a g a d e v ie n to y a d e f in id a a n te s .
C f = u n c o e f ic ie n te d e f u e r z a q u e d e p e n d e d e la re la c ió n d e a s p e c to
( a n c h o B d e l e s p e c t a c u la r s o b r e s u a l t u r a s \ y la re la c ió n d e á r e a
S b re ( a l t u r a s d e l e s p e c t a c u la r s o b r e la e le v a c ió n h , m e d id a d e s d e
d s u e l o h a s t a la p a r t e s u p e r io r d e la e s t r u c tu r a ) . P a r a lo s c a s o s e n
q u e e l v ie n t o se d ir ig e e n f o r m a n o r m a l h a c ia e l c e n t r o d e l e s p e c ­
ta c u la r. p a r a B / s ■= 4 . lo s v a lo r e s se lis ta n e n la ta b l a 1.6.
A , = d á r e a d e la c a r a d e l e s p e c t a c u la r e n p ie s 2 (m 2).
TABLA 1 -6
C o e f íd e n t e s d e fu e r z a
p a r a e s p e c ta c u la r e s s ó lid o s p o r
I e n c im a d e l s u e lo , C f
s /h
Cf
1
0.9
0.5
0.2
£ 0 .1 6
1.35
1.45
1.70
1.80
1.85
P a r a p e r m itir la s d ir e c c io n e s n o r m a l y o b lic u a d e l v ie n to , s e s u p o n e
q u e la f u e r z a r e s u lta n te c a lc u la d a a c tú a y a s e a a tr a v é s d e l c e n tr o g e o ­
m é tr ic o d e la c a r a d e la s e ñ a l , o e n o t r o s lu g a r e s e s p e d f i c o s e n la c a r a d e
la s e ñ a l, lo s c u a le s d e p e n d e n d e la s r e l a c io n e s s / h y B / s .
w
\
I
l o s v ie n to s h u r a c a n a d o s q u e a c t ú a n s o b r e
I
la c a r a d e e s t e e s p e c t a c u l a r s o n l o b a s ta n te
fu e rte s c o m o p a r a d o b la r n o ta b le m e n te
M . f ll a • *
lo s d o s b r a z o s d e s o p o r t e y o c a s i o n a r la
f lu e n c ia d e l m a te r ia l. E s t o p u d o e v ita r s e
c o n u n d is e ñ o a d ec u a d o .
1 .3
Cargas de nieve. E n a lg u n a s p a r t e s d e E s ta d o s U n id o s la c a rg a
s o b r e e l te c h o d e b i d a a la n ie v e p u e d e s e r m u y g r a v e ; p o r lo ta n to , p r o t e ­
g e r e l te c h o c o n t r a p o s ib le s fa lla s e s u n a p re o c u p a c ió n p r im o r d ia l. R »r lo
c o m ú n , la s c a r g a s d e d is e rto d e p e n d e n d e la f o r m a g e n e r a l d e la c o n s ­
tr u c c ió n y la g e o m e tr ía d e l te c h o , la e x p o s ic ió n a l v ie n to , la u b ic a c ió n , s u
im p o rta n c ia , y s i s e u s a o n o c a le fa c c ió n . D e l m is m o m o d o q u e p a r a e l
v ie n to , e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 se d e t e r m i n a n la s c a r g a s d e la n i e v e ,p o r
lo g e n e r a l a p a r t i r d e u n m a p a d e la z o n a c o n lo s r e p o r te s d e lo s p e r io d o s
d e r e c u r r e n c ia d e la p r o f u n d id a d e x tr e m a d e la n ie v e e n u n p e r i o d o d e
5 0 artos. P o r e je m p lo , e n la e x te n s ió n r e la tiv a m e n te p la n a a lo la r g o d e la
se c c ió n m e d ia d e Illin o is e In d ia n a , la c a rg a d e la n ie v e d e l s u e lo e s d e 2 0
l b / p i e 2 (0 .9 6 k N / m 2). S in e m b a r g o , p a r a e l á r e a d e M o n t a n a s e r e q u ie r e n
e s tu d io s s o b r e lo s c a s o s e sp e c ífic o s d e la s c a r g a s d e n ie v e d e b i d o a la e l e ­
v a c ió n v a ria b le d e l t e r r e n o e n to d o e l e s ta d o . L a s e s p e c ific a c io n e s p a r a
las c a r g a s d e n ie v e se c u b r e n e n l a N o r m a A S C E 7 -1 0 , a u n q u e n o h a y
n in g ú n c ó d ig o q u e p u e d a c u b r i r t o d a s la s im p lic a c io n e s d e e s t e tip o d e
c a rg a .
Si u n t e c h o e s p la n o , d e f i n id o c o m o u n te c h o c o n u n a p e n d ie n t e m e n o r
a 5 % , e n to n c e s la c a r g a d e la p r e s ió n p u e d e o b te n e r s e m o d ific a n d o la
c a rg a d e l a n ie v e s o b r e e l s u e l o , p g, m e d ia n te l a s i g u ie n t e f ó r m u la e m p í­
ric a
P f - 0 J C t C , I sp g
(1 -5 )
A quí
C , = u n f a c t o r d e e x p o s ic ió n q u e d e p e n d e d e l te r r e n o . P o r e je m p lo , p a r a
un te c h o c o m p l e ta m e n te e x p u e s to e n u n á r e a d e s p e ja d a . C , = 0.8,
e n t a n t o q u e s i e l te c h o e s t á p r o t e g id o y s i tu a d o e n e l c e n tr o d e
u n a c iu d a d g r a n d e , C , = 1.2.
C , = un f a c t o r té r m ic o q u e s e r e f ie r e a la te m p e r a t u r a m e d ia d e n t r o d e l
e d ific io . P a r a la s e s t r u c tu r a s s in c a le fa c c ió n q u e s e m a n tie n e n p o r
d e b a jo d e c e r o g r a d o s , C , = 1.2, e n t a n t o q u e s i e l te c h o s o p o r ta
u n a e s t r u c t u r a q u e se s u e l e c a le n ta r .e n t o n c e s C , = 1.0.
/ , = d f a c t o r d e im p o r ta n c ia e n lo q u e r e s p e c ta a la o c u p a c ió n . P o r
e je m p lo , / , ■ 0 .8 0 p a r a in s ta la c io n e s d e d ic a d a s a la a g r ic u ltu r a y e l
a lm a c e n a m ie n to , / , ■ 1.20 p a r a e s c u e la s y h o s p ita le s .
S i p g s 2 0 lb /p ie 2 (0 .9 6 k N /m 2), u s e e l v a lo r m a y o r p a r a pf, y a s e a c a lc u ­
la d a d e s d e la e c u a d ó n a n t e r i o r o a p a r tir d e p f = /«p^. S i p g > 2 0 lb /p ie 2
(0 .9 6 k N /m 2), u tilic e pf = 7,(20 lb /p ie 2).
C argas
2 3
L a s c a r g a s e x c e s iv a s d e l a n ie v e y e l h ie lo
actúan sobre este techo.
2 4
C a p it u l o
E JE M P L O
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
1 .4
L a in s ta la c ió n d e a lm a c e n a m ie n to s i n c a le fa c c ió n q u e s e m u e s tr a e n
la fig u ra 1-14 s e lo c a liz a e n u n t e r r e n o p la n o y a b i e r t o e n e l s u r d e
Illin o is, d o n d e la c a r g a e s p e c ific a d a d e la n ie v e s o b r e e l s u e lo e s d e 15
lb /p ie ? . D e te r m in e la c a r g a d e n ie v e d e d is e ñ o s o b r e e l te c h o , e l c u a l
tie n e u n a p e n d ie n t e d e 4 % .
S O L U C IÓ N
C ó m o la p e n d ie n t e d e l te c h o e s < 5 % . s e u s a r á la
e c u a c ió n 1.5. A q u í . C f = 0 .8 d e b id o a q u e s e t r a t a d e
u n á r e a a b i e r t a , C , = 1 .2 e / , - 0.8. P o r lo ta n to .
p f = 0 .7 C fC , I tp g
= 0 .7 ( 0 .8 ) ( l .2 ) ( 0 .8 ) ( 1 5 I b /p ie 2) = 8 .0 6 I b /p ie 2
C o m o p g = 15 Ib /p ie 2 < 20 Ib /p ie 2, e n to n c e s ta m b ié n
p f = l p g = 1 .2 (1 5 lb / p ie 2) = 18 I b /p ie 2
Figura 1-14
I\>r c o m p a r a c ió n , e lija
P f = 18 I b /p ie 7
R esp .
Cargas de te rre m o to .
m a s a c o n c e n tr a d a
d e l te c h o
m a s a c o n c e n tr a d a
d e la s c o lu m n a s
Figura 1-15
L o s te r r e m o t o s p r o d u c e n c a r g a s s o b r e
u n a e s t r u c tu r a a tr a v é s d e s u in t e r a c c ió n c o n e l s u e l o y la s c a ra c te rís tic a s
d e s u r e s p u e s ta . E s ta s c a r g a s r e s u lta n d e la d is to r s ió n d e la e s t r u c t u r a a
c a u s a d e l m o v im ie n to d e l s u e lo y la re s is te n c ia la t e r a l d e la e s tr u c tu r a .
S u m a g n itu d d e p e n d e d e la c a n tid a d y tip o d e a c e le r a c io n e s d e l s u e l o y
d e la m a sa y la rig id e z d e la e s tru c tu ra . P a r a o b t e n e r a lg ú n c o n o c im ie n to de
la n a tu r a le z a d e la s c a r g a s s ís m ic a s ,c o n s id e r e e l m o d e lo e s t r u c t u r a l s im ­
p le q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1-15. E s te m o d e lo p u e d e r e p r e s e n t a r u n
e d ific io d e u n a s o la p la n t a , d o n d e e l b lo q u e s u p e r io r e s la m a s a " c o n c e n ­
t r a d a " d e l te c h o y e l b lo q u e m e d io e s la rig id e z a g r u p a d a d e to d a s la s c o ­
lu m n a s d e l e d ific io . D u r a n te u n te r r e m o to e l s u e lo v ib r a t a n t o h o r iz o n ta l
c o m o v e r tic a lm e n te . L a s a c e le r a c io n e s h o r iz o n ta le s c r e a n fu e r z a s c o r ­
ta n t e s e n la c o lu m n a q u e p o n e n a l b lo q u e e n m o v im ie n to s e c u e n c ia ! c o n
e l s u e lo . Si la c o lu m n a e s ríg id a y e l b lo q u e tie n e u n a m a s a p e q u e ñ a , el
p e r i o d o d e v ib r a c ió n d e l b lo q u e s e r á c o r lo y e l b lo q u e s e a c e l e r a r á c o n
el m is m o m o v im ie n to q u e e l s u e l o y s u f r ir á s ó lo p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n ­
to s re la tiv o s . P a r a u n a e s t r u c tu r a re a l q u e e s t é d is e ñ a d a c o n u n a g r a n
c a n tid a d d e r e f u e rz o s y c o n e x io n e s ríg id a s e s t o p u e d e s e r b e n e fic io s o ,
p u e s to q u e s e d e s a r r o lla m e n o s e s f u e r z o e n lo s e le m e n to s . l\> r o t r o la d o ,
a la c o lu m n a d e la f ig u r a 1 -15 e s m u y fle x ib le y e l b l o q u e t i e n e u n a m a s a
g r a n d e , e n to n c e s e l m o v im ie n to in d u c id o p o r e l te r r e m o to c a u s a r á p e ­
q u e ñ a s a c e le r a c io n e s d e l b lo q u e y g r a n d e s d e s p la z a m ie n to s re la tiv o s .
E n la p r á c tic a , lo s e f e c to s d e la a c e le ra c ió n , la v e lo c id a d y e l d e s p la z a ­
m ie n to d e u n a e s t r u c t u r a s e p u e d e n d e te r m i n a r y r e p r e s e n ta r c o m o u n
e sp e c tro d e re s p u e sta a l te r r e m o to . U n a v e z q u e s e h a e s t a b le c i d o e s ta
g rá fic a , la s c a r g a s d e l te r r e m o to p u e d e n c a lc u la r s e a p lic a n d o u n a n á lisis
1 .3
C argas
2 5
á n á m i c o b a s a d o e n la t e o r í a d e la d in á m ic a e s t r u c tu r a l. E s te tip o d e
a n á lisis e s t á g a n a n d o p o p u la r id a d , a u n q u e a v e c e s e s m u y e l a b o r a d o y
r e q u ie r e u tiliz a r u n a c o m p u t a d o r a . A ú n a s í , d ic h o a n á lis is r e s u lta o b li g a ­
to r io si la e s t r u c t u r a e s g r a n d e .
A lg u n o s c ó d ig o s r e q u ie r e n q u e s e p r e s te a te n c ió n e s p e c ífic a a l d is e ñ o
sísm ic o , e s p e c ia lm e n te e n la s z o n a s d e l p a ís ( E s t a d o s U n id o s ) d o n d e
p r e d o m in a n f u e r te s te r r e m o to s . A d e m á s , e s t a s c a r g a s d e b e n c o n s id e ­
r a r s e c o n g r a n s e r ie d a d e n e l d is e ñ o d e e d if ic io s d e g r a n a l t u r a o p la n t a s
d e e n e rg ía n u c le a r. A fin d e e v a lu a r la im p o r ta n c ia d e la c o n s id e ra c ió n
d e l d is e ñ o p a r a s ism o s , e s p o s ib le c o r r o b o r a r lo s m a p a s sísm ic o s d e a c e ­
le r a c ió n d e l s u e lo p u b lic a d o s e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 . E s to s m a p a s p r o ­
p o r c io n a n la s a c e le r a c io n e s p ic o d e l s u e l o c a u s a d a s p o r a lg ú n te r r e m o to ,
j u n t o c o n lo s c o e f ic ie n te s d e rie s g o . L a s r e g io n e s d e E s ta d o s U n id o s
v a ría n d e s d e u n rie s g o b a jo , c o m o e n a lg u n a s p a r t e s d e T e x a s, h a s t a u n
rie sg o m u y a lto , c o m o a lo la r g o d e la c o s ta o e s t e d e C a lifo rn ia .
P a r a e s t r u c tu r a s p e q u e ñ a s , u n a n á lisis e stá tic o p a r a e l d is e ñ o sísm ic o
p u e d e r e s u l t a r s a tis f a c to r io . E n e s t e c a s o la s c a rg a s d in á m ic a s s e a p r o x i­
m a n m e d ia n te u n c o n ju n to d e fu e r z a s e stá tica s e x te r n a s q u e s e a p lic a n
d e m a n e r a la t e r a l a la e s tr u c tu r a . U n o d e e s t o s m é to d o s e s t á r e p o r ta d o
e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 , y se b a s a e n e l h a lla z g o d e u n c o e fic ie n te d e
re s p u e s ta s ís m ic a , C . d e te r m i n a d o a p a r t i r d e las p r o p ie d a d e s d e l s u e lo ,
las a c e le ra c io n e s d e é s te y la r e s p u e s ta v ib r a to r i a d e la e s tr u c tu r a . P a r a la
m a y o r ía d e la s e s t r u c tu r a s , e s t e c o e f ic ie n te s e m u ltip lic a p o r la c a rg a
m u e r ta t o t a l W d e la e s t r u c tu r a , c o n lo q u e s e o b tie n e la " f u e r z a c o r ta n te
b a s a l" e n l a e s t r u c tu r a . E l v a lo r d e C , s e d e te r m in a r e a l m e n t e a p a r tir d e
C,
R /Ie
donde
S DS = la a c e le r a c ió n d e r e s p u e s ta e s p e c t r a l d u r a n t e c o r t o s p e r i o d o s d e
v ib ra c ió n .
R = u n f a c t o r d e m o d ific a c ió n d e la r e s p u e s ta q u e d e p e n d e d e la
fle x ib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . L o s e le m e n to s d e u n m a r c o d e
a c e ro q u e s o n m u y fle x ib le s p u e d e n t e n e r u n v a lo r a l t o d e 8 . e n
ta n to q u e la s e s t r u c tu r a s d e c o n c r e to re f o r z a d o p u e d e n t e n e r u n
v a lo r b a jo d e 3.
I t = e l fa c to r d e im p o rta n c ia q u e d e p e n d e d e l u s o d e l ed ific io . P o r
e je m p lo , le = 1 p a r a las in s ta la c io n e s d e a g ric u ltu ra y a lm a c e n a ­
m ie n to , e I , = 1.5 p a ra lo s h o s p ita le s y o tr o s s e r v id o s esen cia les.
A c a d a n u e v a p u b lic a c ió n d e la N o r m a , lo s v a lo r e s d e e s to s c o e f ic ie n te s
s e a c tu a liz a n c o n lo s d a t o s m á s p r e c is o s d is p o n ib le s s o b r e la r e s p u e s ta al
te r r e m o to .
P resión h id ro s tá tic a y g e o s tá tic a .
Q i a n d o la s e s t r u c tu r a s se
u tiliz a n p a r a r e t e n e r a g u a , t i e r r a o m a te r ia le s g r a n u la r e s , la p r e s ió n d e s a ­
r r o lla d a p o r e s ta s c a r g a s se c o n v ie r te e n u n c r ite r io im p o r ta n te p a r a s u
d is e ñ o . A lg u n o s e je m p lo s d e e s t e tip o d e e s t r u c tu r a s s o n lo s ta n q u e s , la s
p re s a s, lo s b u q u e s , la s m a m p a r a s y lo s m u r o s d e c o n te n c ió n . A q u í s e a p l i ­
c a n la s le y e s d e la h id r o s tá tic a y la m e c á n ic a d e s u e lo s p a r a d e f in ir la in ­
te n s id a d d e la s c a rg a s s o b r e la e s tr u c tu r a .
E l d i s e ñ o d e e s t e m u r o d e c o n te n c ió n r e ­
q u i e r e la e s ti m a c ió n d e la p r e s i ó n g e o s t á t i c a
q u e a c tú a s o b r e é l. A d e m á s , l a c o m p u e rta
d e s e g u r i d a d e s t a r á s u j e t a a u n a p r e s i ó n h i­
d ro s tá tic a q u e d e b e c o n sid e ra rs e d u r a n te su
d is e ñ o .
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
O tra s cargas n a tu ra le s.
E n e l d is e ñ o d e u n a e s t r u c t u r a ta m b ié n
d e b e n c o n s id e r a r s e o t r o s ti p o s d e c a r g a s v iv a s e n fu n c ió n d e s u u b ic a ­
c ió n o s u u so . É s to s in c lu y e n e l e f e c t o d e l a e r o s ió n , lo s c a m b io s d e t e m ­
p e r a t u r a y lo s a s e n ta m ie n to s d if e r e n c ia le s d e lo s c im ie n to s .
1 .4
Diseño e structural
C a d a v e z q u e s e d is e ñ e u n a e s t r u c t u r a , e s i m p o r t a n t e c o n s i d e r a r las
in c e r tid u m b r e s d e lo s m a te ria le s y la s c a rg a s . E s ta s in c e r tid u m b r e s in c lu ­
y e n u n a p o s ib le v a r ia b ilid a d e n la s p r o p ie d a d e s d e l m a te r ia l, la te n s ió n
r e s id u a l e n lo s m a te r ia le s , la s m e d id a s p r e v is ta s q u e p u e d e n s e r d i f e r e n ­
te s a lo s ta m a ñ o s p r e f a b r ic a d o s , la s c a r g a s d e b id a s a la s v ib r a c io n e s o im ­
p a c to s y la c o r r o s ió n o d e c a d e n c i a d e lo s m a te ria le s .
D E P . L os m é to d o s d e d is e ñ o p o r e s f u e r z o s p e rm is ib le s ( D E P ) in c lu ­
y e n ta n to la s in c e r ti d u m b r e s d e l m a te r ia l c o m o la s d e la s c a r g a s e n u n
s o l o f a c t o r d e s e g u r id a d . L os d if e r e n te s tip o s d e c a r g a s y a a n te s a n a li z a ­
d o s p u e d e n o c u r r i r s i m u l tá n e a m e n te e n u n a e s t r u c tu r a , p e r o e s m u y
p o c o p r o b a b le q u e e l m á x im o d e to d a s e s ta s c a r g a s o c u r r a a l m ism o
t i e m p o P o r e je m p lo , la s c a r g a s m á x im a s d e l v ie n t o y d e lo s s is m o s n o
s u e l e n a c tu a r d e f o r m a s i m u ltá n e a s o b r e u n a e s tr u c tu r a . P a r a e l d is e ñ o
p o r e s fu e r z o s p e r m is ib le s .^ I e s f u e r z o e lá s ti c o c a lc u la d o e n e l m a te r ia l n o
d e b e e x c e d e r e l e s f u e rz o a d m is ib le p a r a c a d a u n a d e las d i f e r e n t e s c o m ­
b in a c io n e s d e c a r g a . L a s c o m b in a c io n e s d e c a r g a m á s c o m u n e s q u e s e e s ­
p e c ific a n e n la N o r m a A S C E 7 -1 0 in c lu y e n
•
c a rg a m u e r ta
•
0 .6 ( c a r g a m u e r t a ) + 0 .6 ( c a r g a d e l v ie n to )
•
0 .6 ( c a r g a m u e r t a ) + 0 .7 ( c a r g a sís m ic a )
D F C R . C ó m o la in c e r tid u m b r e p u e d e to m a rs e e n c u e n ta e m p l e a n d o
la te o r ía d e p r o b a b ilid a d , h a h a b id o u n a c r e c ie n te te n d e n c ia a s e p a r a r la
in c e r tid u m b r e d e l m a t e r i a l d e la in c e r tid u m b r e d e las c a rg a s . E s te m é ­
to d o se d e n o m i n a d is e ñ o p o r r e s iste n c ia o D F C R ( D is e ñ o p o r fa c to re s
d e c a r g a y d e re s is te n c ia ) . P o r e je m p lo , p a r a t e n e r e n c u e n ta la in c e r ti­
d u m b r e d e la s c a rg a s , e s t e m é to d o u tiliz a lo s f a c to r e s d e c a r g a a p lic a d o s
a la s c a r g a s o c o m b in a c io n e s d e é s ta s . D e a c u e r d o c o n l a N o r m a A S C E
7 -1 0 , a lg u n o s d e lo s f a c to r e s d e c a r g a y c o m b in a c io n e s d e é s t a s s o n
•
1 .4 ( c a r g a m u e r ta )
•
1.2 ( c a r g a m u e r t a ) + 1.6 ( c a r g a v iv a ) + 0 .5 ( c a r g a d e n ie v e )
•
0 .9 ( c a r g a m u e r t a ) + LO ( c a r g a d e v ie n t o )
•
0 .9 ( c a r g a m u e r t a ) + 1.0 ( c a r g a sís m ic a )
E n to d o s e s to s c a s o s s e c o n s id e r a q u e la s c o m b in a c io n e s p r o p o r c io n a n
u n a c a rg a m á x im a p e r o r e a l s o b r e la e s tr u c tu r a .
1.4
Disefco EsraucruRAi
27
PROBLEM AS
1-1. El piso de un edificio q u e se u s a p a ra e l a lm acen a­
m iento d e e q u ip o p esad o e s d e lo sa s de c o n creto con 6 pulg
d e espesor. Si el piso e s u n a losa q u e tiene u n a lo n g itu d de
15 p ies y una an ch u ra d e 10 pies, d ete rm in e la fu erza resu l­
tante cau sad a p o r la c arg a m u erta y la carg a viva.
•1 -4 . La b a rrera “ N ew Je rse y " se u sa co m ú n m en te d u ­
ran te la construcción de carreteras. Si e stá h ech a de c o n ­
creto de p ie d ra sim ple, d eterm in e su p e so p o r p ie de
longitud.
1-2. E l p iso d el edificio de oficinas e s de c o n c re to ligero
con 4 p u lg de espesor. Si el p iso d e la oficina e s una losa con
una longitud d e 20 p ie s y u n a an ch u ra d e 15 pies, d ete rm in e
la fuerza re su ltan te cau sad a p o r la c arg a m u erta y la carga
viva.
P ro h . 1-2
1-3. La viga e n T e stá h ech a d e c o n creto y tiene u n peso
específico d e 150 lb/pie3. D eterm in e la c arg a m u e rta p o r pie
d e longitud d e la viga. N o co n sid ere e l peso del re fu e rz o de
acero.
1-5. El piso de u n a b o d e g a d e alm acen am ien to ligero está
hecho de co n c re to sim ple lig ero con 150 m m d e e sp eso r. Si
e l piso e s u n a losa q u e tien e u n a lo n g itu d d e 7 m y una
anchura d e 3 m . d ete rm in e la fuerza resu ltan te c a u sad a por
la carga m u e rta y la c arg a viva.
l- ó . l a trab e d e c o n c re to prcesfo rzad o e s d e c o n c re to de
piedra sim ple y tien e c u a tro varillas d e refu erzo d e ¿ pulg,
hechas d e a cero form ado e n frío. D ete rm in e la carga
m uerta d e la tra b e p o rc a d a pie de s u longitud.
26 pulg
P un
P ro h . 1-3
P u l? 4 p u lg
P ro h . 1-6
28
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
1-7. l a p a ie d tiene 2.5 m d e a ltu ra y consta d e p u n tales
de 51 m m X 102 m m enyesados p o r un lado. E n e l o tr o lado
hay una lám in a d e fibra d e 13 m m y ladrillos d e arcilla de
102 mm. D eterm in e la carg a p ro m c d io .c n kN /m d e la longi­
tud d e la p a re d , q u e la p are d e jerce so b re e l suelo.
1-11. U n edificio d e oficinas d e c u a tro pisos tien e co lu m ­
n as in terio res se p a rad a s a 3 0 pies de d istancia e n d o s d irec ­
ciones perp en d icu lares. S i la c arg a viva d e l te c h o p la n o se
estim a e n 3 0 Ib/pie7, d e te rm in e la carga viva red u cid a que
so p o rta u n a co lu m n a in te rio r n o rm a l ubicada a nivel del
suelo.
*1-12. U na co n stru cció n p a ra alm acen am ien to ligero de
dos p lan tas tien e co lu m n as in te rio re s se p a ra d a s a 12 p ies
d e d istancia e n d o s direccio n es perp en d icu lares. Si se e s­
tima q u e la carg a v iv a so b re e l tech o e s d e 2 5 lb/pie?, d e te r­
mine la carg a viva red u cid a q u e so p o rta una colum na
interior n orm al (a ) al nivel d e la p la n ta baja, y (b ) al nivel
d e l se g u n d o piso.
2 .5 m
1-13. E l edificio d e oficinas tiene co lu m n as interiores se ­
p arad as a 5 m en direcciones perpendiculares. D ete rm in e la
carga v iv a red u cid a q u e so p o rta u n a co lu m n a in te rio r n o r­
mal u b icad a e n e l p rim e r p iso d e b a jo d e las oficinas.
* 1 -8 . U n a p a re d d e u n edificio se c o m p o n e de p a red e s de
en tram ad o e x te rio r con rev estim ien to d e ladrillo y 13 mm
de lám ina d e fib ra e n un lado. Si la p a re d tien e 4 m d e al­
tu ra . d eterm in e la carg a en kN /m q u e ejerce so b re e l suelo.
1-9. La p ared in te rio r de u n edificio está h ech a d e p u n ta ­
les d e m ad era de 2 x 4. enyesados p o r am b o s lados. Si la
p ared tie n e 12 p ies d e altu ra , d e te rm in e la c arg a e n Ib/pie de
longitud de la p ared q u e e jerce so b re e l suelo.
1-10. E l seg u n d o piso de u n edificio u sa d o p a ra la m anu­
factu ra ligera e stá h ech o d e u n a losa de c o n c re to d e 5 pulg
de esp eso r, con u n relleno de 4 p u lg d e c o n c re to sim ple,
com o se m uestra e n la figura. Si e l te c h o su sp en d id o d e la
prim era p la n ta c o n sta d e m alla m etálica y yeso, d ete rm in e
el p eso m u erto d e d iseñ o e n lib ra s p o r p ie cu ad rad o del
área d e l piso.
Proh. 1-13
c e m e n to d e rcD cn o
d e 4 p u lg
— lo s a d e c o n c r e t o
d e 5 p u lg
T echo
P rob. 1-10
1-14. U n h o te l d e d o s pisos tiene co lu m n a s interiores
p a ra las h ab ita cio n e s q u e e s tá n se p a ra d a s a 6 m d e d istancia
en d o s direccio n es perp en d icu lares. D ete rm in e la c arg a viva
rcducida q u e so p o rta una c o lu m n a in te rio r típica e n e l pri­
m e r piso d e b a jo d e las h ab itacio n es públicas.
1.4
Disefco EsraucruRAi
29
1-15. E l viento so p la lateralm en te so b re u n hospital co m ­
pletam ente c e rra d o q u e se ubica e n u n te r re n o a b ie rto y
plano en A rizona. D e te rm in e la presión e x te rn a q u e actú a
so b re la p ared e n b arlo v en to , la c u a l tien e u n a altu ra d e 30
pies. E l tech o e s plano.
1-17. U n edificio c e rra d o d e alm acen am ien to se en c u en ­
tra so b re u n te rre n o a b ie rto y plano e n e l c e n tro d e O h io . Si
la p a re d lateral d e l edificio tien e 20 p ies de a ltu ra , d e te r­
mine la p resió n e x te rn a d e l v ien to q u e actú a so b re las p a re ­
d e s en b a rlo v en to y so tav en to . C a d a p a re d tien e 6 0 p ie s de
largo. S uponga q u e e l techo e s esen cialm en te plano.
P ro h . 1-15
P ro h . 1-17
•1 -1 6 . E l viento sopla lateralm en te so b re u n h o sp ital
com pletam ente c e rra d o q u e se u b ica e n u n te r re n o ab ierto
y p la n o en A rizona. D ete rm in e la p resió n e x te rn a q u e actú a
so b re la p a re d e n sotav en to , la c u a l tien e u n a longitud de
200 p ies y u n a altu ra de 3 0 pies.
1-18. E l edificio m etálico d e alm acen am ien to lig ero está
e n u n terre n o a b ie rto y plano e n e l c e n tro de O k lah o m a. Si
la p a re d la te ra l d e l edificio tien e 14 p ie s de a ltu ra , ¿cuáles
so n los d o s v alo res d e la p re sió n e x te rn a d e l v ien to q u e
actúa so b re e sta p ared cu an d o e l v ien to so p la so b re la p arte
trasera d e l edificio? E l tech o e s esencialm ente p la n o y el
edificio e stá to ta lm e n te cerrad o .
P ro h . 1-16
P ro h . 1-18
30
C a p it u l o
1
T ip o s
d e
e s t r u c t u r a s
y
c a r g a s
1-19. D eterm in e la f u e r a resu ltan te q u e actú a e n form a
p e rp en d icu lar a la c a ra d e l e sp ectacu lar y a trav és d e su
c e n tro si se e n c u e n tra e n M ichigan so b re u n te rre n o plano y
ab ierto . E l esp e c ta c u la r e s rígido y tien e una a n ch u ra d e 12
m e tro s y una altu ra d e 3 m. Su p arte su p e rio r e stá a 15 m del
suelo.
1-21. E l edificio d e la escu ela tien e u n tech o plano. Se e n ­
c u en tra e n u n á re a ab ierta d o n d e la c arg a d e la n iev e so b re
el su e lo e s d e 0.68 kN /m 7. D ete rm in e la carga d e n iev e que
se re q u iere p a ra d ise ñ a r e l techo.
P roh. 1-21
1-22. E l h o sp ital tien e u n techo p la n o y se u b ica e n una
zona a b ie rta d o n d e e l p eso d e la nieve so b re el su elo e s de
30 lb/p iez. D eterm in e la c arg a de n iev e d e d iseñ o p a ra el
techo.
P roh. 1-19
*1-20. U n hospital u b icad o e n e l c e n tro d e Illinois tiene
un tech o p lan o . D e te rm in e la c arg a de n iev e e n kN /m 7 que
se re q u iere p a ra d ise ñ a r e l techo.
Proh. 1-22
R e p a s o d e l c a p it u l o
31
REPA SO D E L C A P ÍT U L O
L os e lem en to s estru c tu rale s básicos son:
T ensores m e m e n to s d elgados so m etid o s a ten sió n . A m en u d o se u sa n c o m o so p o rtes.
Vigas E lem en to s disertados p a ra resistir m o m e n to s d e flexión. S u e le n s e r fijos o articulados, y p u e d e n te n e r la form a de
una trab e d e p laca de acero, una viga d e c o n c re to re fo rz a d o o de m a d e ra lam inada.
C o lum nas m e m e n to s q u e resisten u n a fu e rz a d e co m p resió n axial. Si la co lu m n a tam b ién resiste flexión, se d enom ina
colum na viga.
te n s o r
$
c o lu m n a
JE=
c o lu m n a d e sig a
v ig a s im p le m e n te a p o y a d a
v ig a e n v o la d iz o
L os tipos de e stru c tu ra s c o n sid erad as e n este libro s o n las arm aduras hechas d e e le m e n to s d e lg ad o s articulados, que
form an una serie d e triángulos; lo s cables y los arcos,q u e so stien en c arg as d e ten sió n y com presión, resp ectiv am en te, y los
m arcos q u e se co m p o n en d e vigas y co lu m n as c o n ectad as e n fo rm a ríg id a o m ed ian te p asad o res.
Las cargas se especifican e n códigos, com o el código
A S C E 7-10. L as cargas m uertas so n fijas y se re fie re n a
los pesos d e elem en to s y m ateriales. L as cargas vivas
so n m óviles y co n sisten e n c arg as u n ifo rm e s so b re los
pisos d e lo s edificios, las cargas d e l tráfico y e l tren
so b re lo s puentes, las cargas de im pacto c a u sad as p o r
autom óviles y m áq uin as, las cargas d e l viento, las
cargas d e la nieve, las c arg as sísm icas y la presión
hid ro stática y geostática.
Con frecuencia los e le m e n to s estructurales, c o m o las vig a s y tra b e s q u e fo r­
m an e l so p o rte d e este e d ific io , está n con ectad os e n tre s i de ta l m o d o q u e el
análisis p u e d e considerarse estáticam ente d e te rm in a d o .
Análisis de estructuras
estáticamente
determ inadas
En e l p r e s e n te c a p ít u lo s e p re s ta rá a te n c ió n a la fo r m a m á s c o m ú n d e
e s tru c tu ra q u e e l in g e n ie ro t e n d r á q u e a n a liz a r, la c u a l se e n c u e n tr a e n
u n p la n o y e s tá s o m e tid a a u n s is te m a d e fu e rz a s q u e ta m b ié n p e r te ­
n e c e a l m is m o p la n o . E n la p r im e ra p a r te d e l c a p ítu lo s e e s tu d ia rá la
im p o rta n c ia d e e le g ir u n m o d e lo a p r o p ia d o d e a n á lis is p a ra u n a e s ­
tru c tu ra e n la q u e s u s fu e rz a s p u e d e n d e te r m in a r s e c o n u n a p re c is ió n
ra z o n a b le ; d e s p u é s s e a n a liz a rá n lo s c r ite rio s n e c e s a rio s p a ra o b t e n e r
la e s ta b ilid a d e s tru c tu r a l y, p o r ú ltim o , s e p r e s e n ta rá e l a n á lis is d e e s ­
tru c tu ra s e s tá tic a m e n te d e te rm in a d a s , p la n a s y a rtic u la d a s .
2 .1
Estructura idealizada
E l a n á lis is e x a c to d e u n a e s t r u c tu r a e s im p o s ib le d e r e a liz a r , d e b i d o a
q u e s i e m p r e h a y q u e r e a liz a r e s tim a c io n e s d e la s c a rg a s y la re s is te n c ia
d e lo s m a te ria le s q u e c o m p o n e n l a e s t r u c tu r a . A d e m á s , ta m b ié n d e b e n
e s tim a r s e lo s p u n to s d e a p lic a c ió n d e las c a r g a s P o r lo ta n t o , e n la p r á c ­
tic a e s im p o r ta n te q u e e l in g e n ie r o e s tr u c tu r a lis ta d e s a r r o ll e la c a p a c i­
d a d d e m o d e la r o id e a liz a r u n a e s t r u c tu r a a fin d e p o d e r e f e c tu a r u n
a n á lisis d e fu e r z a s d e lo s e le m e n to s . E n e s t a se c c ió n se d e s a r r o ll a r á n la s
té c n ic a s b á s ic a s n e c e s a r ia s p a r a lle v a r a c a b o ta le s id e a liz a c io n e s .
3 4
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
O b s e r v e q u e la c u b i e r t a d e e s t e p u e n t e d e
c o n c r e t o e s tá h e c h a d e f o r m a q u e p u e d e c o n ­
s id e r a r s e q u e u n a s e c c ió n e s tá u n id a i r c d i a n t e
u n s o p o r t e d e r o d il lo s o b r e la o t r a s e c c ió n .
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
C onexiones de s o p o rte (apoyo). L os e le m e n to s e s tr u c tu r a le s
s e u n e n d e d iv e r s a s m a n e r a s d e p e n d ie n d o d e l a in te n c ió n d e l d is e ñ a d o r .
L o s tr e s tip o s d e ju n t a s q u e s e e s p e c ific a n c o n m a y o r f r e c u e n c ia s o n la
j u n t a a r t i c u l a d a , e l s o p o r t e d e r o d i ll o y la j u n t a fija . L a s j u n t a s a r t i c u ­
la d a s y lo s s o p o r t e s d e r o d illo p e r m it e n c ie r ta li b e r t a d d e r o t a c ió n , e n
ta n t o q u e u n a ju n t a f ija n o p e r m it e l a r o ta c ió n r e la tiv a e n t r e lo s e l e m e n ­
to s c o n e c ta d o s y, e n c o n s e c u e n c i a .s u fa b r ic a c ió n e s m á s c o s to s a . E n las
fig u ra s 2 -1 y 2 -2 se m u e s tr a n e je m p lo s d e e s t a s j u n t a s f o r m a d a s , r e s p e c ti­
v a m e n te , e n m e ta l y c o n c r e to . P a r a la m a y o r ía d e la s e s t r u c tu r a s d e m a ­
d e r a . s e s u p o n e q u e lo s e le m e n to s d e b e r á n s e r a r tic u la d o s y a q u e el
h e c h o d e a to r n illa r lo s o c la v a rlo s n o e s s u f ic ie n te p a r a r e s tr in g ir la r o t a ­
c ió n d e u n e le m e n to c o n r e s p e c to a lo s d e m á s .
E n la s fig u ra s 2 - 3 a y 2 3 - b se m u e s tr a n m o d e lo s id e a liz a d o s q u e s e u s a n
e n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l y q u e r e p r e s e n t a n s o p o r te s fijo s y a rtic u la d o s ,
a s í c o m o ju n t a s fija s y a rtic u la d a s . S in e m b a r g o , e n r e a lid a d to d a s la s c o ­
n e x io n e s m u e s tr a n c ie r ta rig id e z a la r o t a c ió n d e la s a rtic u la c io n e s , d e ­
b id o a la fr ic c ió n y a l c o m p o r ta m ie n to d e l m a te r ia l. E n e s te c a s o , u n
m o d e lo m á s a p r o p i a d o p a r a u n s o p o r te o j u n t a p o d r í a s e r e l q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3 r . S i la c o n s ta n te t o r s io n a l d e r e s o r t e k = 0 , la
ju n t a e s a rtic u la d a , y s i k —* o o , la ju n t a e s fija .
1
0
IL iS c o n e x ió n “ f ij a " típ ic a ( d e m e ta l)
c o n e x ió n “ a r tic u la d a ” típ ic a ( d e m e ta l)
(a )
<ar
fig u ra 2 -1
f
r
)
y
t
-------------------------------------------
c o n e x ió n “ d e r o d illo ” típ ic a ( d e c o n c r e to )
c o n e x ó n “ f ija ” típ ic a ( d e c o n c re to )
(a)
(b )
fig u ra 2-2
2 .1
s o p o r te a rtic u la d o
j u n t a a rtic u la d a
35
E s t r u c t u r a id e a l iz a d a
s o p o r te fijo
(a )
j u n t a fija
(b )
s o p o r te d e r e s o rte a n g u la r
j u n t a d e r e s o r te a n g u la r
(c )
F ig u r a 2 - 3
A l s e le c c io n a r u n m o d e lo c o n c r e to p a r a c a d a s o p o r te o j u n t a , e l in g e ­
n ie r o d e b e e s t a r c o n s c ie n te d e c ó m o a f e c t a r á n lo s s u p u e s to s e l d e s e m ­
p e ñ o r e a l d e lo s e le m e n to s y s i lo s s u p u e s to s s o n r a z o n a b le s p a r a e l
d is e rto e s tr u c tu r a l. P b r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n l a f i ­
g u ra 2 -4 * .l a c u a l s e u s a p a r a s o p o r ta r u n a c a rg a c o n c e n t r a d a P . L a c o n e ­
x ió n m e d ia n te á n g u lo s e n e l s o p o r t e A e s c o m o l a d e la f ig u r a 2 . l a y p o r
lo ta n t o p u e d e id e a liz a r s e c o m o u n s o p o r te a r tic u la d o típ ic o . A d e m á s , e l
s o p o r te e n H p ro p o r c io n a u n p u n t o a p r o x im a d o d e c o n ta c to liso , d e
m o d o q u e p u e d e id e a liz a r s e c o m o u n ro d illo . E l e s p e s o r d e la v ig a p u e ­
d e ig n o r a r s e , d a d o q u e e s p e q u e ñ o e n c o m p a r a c ió n c o n la lo n g itu d d e la
viga y, p o r lo t a n t o , e l m o d e lo id e a l iz a d o d e la v ig a e s c o m o s e m u e s tr a e n
la fig u ra 2 -4 6 . E l a n á lis is d e c a r g a s e n e s t a v ig a d e b e p r o p o r c io n a r r e s u l­
ta d o s q u e s e a p r o x im e n m u c h o a la s c a r g a s r e a le s e n la viga. P a r a d e m o s ­
tr a r q u e e l m o d e lo e s a d e c u a d o , c o n s id e r e e l c a s o p a r t ic u l a r d e u n a v ig a
d e a c e ro c o n P - 8 k (8 0 0 0 lib ra s ) y I . - 2 0 p ie s . U n a d e la s s im p lific a c io ­
n e s m ás im p o r t a n te s q u e se h ic ie r o n a q u í f u e s u p o n e r q u e e l s o p o r te e n
A e s u n a a r tic u la c ió n . E l d is e rto d e la v ig a u s a n d o e l c ó d ig o d e p r o c e d i ­
m ie n to s e s t á n d a r * in d ic a q u e u n a s e c c ió n W 1 0 X 19 s e r ía s u f ic ie n te p a ra
s o p o r ta r la c a r g a . A l u s a r u n o d e lo s m é to d o s d e d e f le x ió n d e l c a p ítu lo 8,
la r o t a c ió n e n e l s o p o r t e " a r ti c u la d o " p u e d e c a lc u la r s e c o m o 0 = 0.0103
r a d = 0 .5 9 °. C o n b a s e e n la fig u ra 2 -4 c . ta l r o t a c ió n s ó lo m u e v e e l p a tín
( a la ) s u p e r io r o in f e r io r a u n a d is ta n c ia d e A = Or = (0 .0 1 0 3 ra d )(5 .1 2
p u lg ) = 0 .0 5 2 8 p u lg a d a s ! S in d u d a , e s t a p e q u e ñ a c a n tid a d p u e d e in ­
c lu irs e a l fa b r ic a r l a c o n e x ió n c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - l a y ,p o r lo
ta n to , la a rtic u la c ió n s irv e c o m o u n m o d e lo a d e c u a d o .
v ig a re a l
v ig a id e a liz a d a
0 .0 5 2 8 p u lg
(a)
(b )
(c )
Figura 2 -4
• C ó d ig o s c o m o e l M a n u a l d e C o n s im c c ió n e n a c e r o d e l A m e r ic a n In s titu to o f S te e l C o n stru c tio n .
3 6
C a p it u l o
2
A n á l is is
S o p o r te o s c ila n te c o m ú n q u e s e u s a e n
u n a tr a b e d e p u e n te .
L o s r o d il lo s y l o s c o j i n e t e s a s o c ia d o s s e
u s a n p a r a s o s t e n e r la s t r a b e s d e c o n ­
c re to p re s fo rz a d o d e u n p u e n te c a r r e ­
te r o .
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E n l a ta b l a 2 -1 , s e m u e s tr a n o t r o s tip o s d e c o n e x io n e s c o m ú n m e n te
p r e s e n te s e n las e s t r u c tu r a s c o p la n a r e s . E s im p o r ta n te te n e r la c a p a c id a d
d e r e c o n o c e r lo s s ím b o lo s d e e s t a s c o n e x io n e s y lo s ti p o s d e r e a c c io n e s
q u e e je r c e n s o b r e lo s e le m e n to s a lo s q u e s e e n c u e n t r a n u n id a s . E s to
p u e d e h a c e r s e fá c ilm e n te s i s e o b s e r v a la fo r m a e n q u e la c o n e x ió n re s­
tr in g e c u a lq u ie r g r a d o d e li b e r t a d o d e s p la z a m ie n to d e lo s e le m e n to s . E n
p a r tic u la r , e l s o p o r te d e s a r r o ll a r á u n a fu e r z a s o b r e e l e le m e n to s i e v ita s u
tr a sla c ió n y d e s a r r o ll a r á u n m o m e n t o s o b r e e l e le m e n to s i e v ita s u r o ta ­
c ió n . P o r e je m p lo , e n e l c a s o d e u n e le m e n to q u e e s t á e n c o n ta c to c o n
u n a s u p e r fic ie lis a (3 ) s e im p id e s u tr a s la c ió n e n u n a s o la d ir e c c ió n , la
c u a l e s p e r p e n d i c u la r o n o r m a l a l a s u p e r fic ie . P o r l o ta n t o , la s u p e r fic ie
e je r c e s ó l o u n a fu e r z a n o r m a l F s o b r e e l e le m e n to e n e s a d ir e c c ió n . L a
m a g n itu d d e e s t a f u e r z a r e p r e s e n t a u n a in c ó g n ita . A d e m á s , o b s e r v e q u e
e l e le m e n to e s lib r e d e g ir a r s o b r e la s u p e r fic ie , d e m o d o q u e é s t a n o
p u e d e d e s a r r o ll a r u n m o m e n to s o b r e e l e le m e n to . C o n s id e r e o t r o e je m ­
p lo e n e l q u e e l s o p o r te fijo (7 ) im p id e ta n to la tr a s la c ió n c o m o la r o t a ­
c ió n d e u n e le m e n to e n e l p u n to d e c o n e x ió n . E n c o n s e c u e n c i a ,e s t e tip o
d e s o p o r te e je r c e d o s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a y u n m o m e n to s o b r e e l e l e ­
m e n to . E l “ g ir o " d e l m o m e n to s e e n c u e n t r a e n e l p la n o d e la p á g in a ,
d a d o q u e la r o t a c ió n s e e v ita e n e s e p la n o . P o r c o n s ig u ie n te , e n u n s o ­
p o r t e fijo h a y tres in c ó g n ita s .
E n la p r á c tic a , to d o s lo s s o p o r te s e je r c e n r e a lm e n te ca rg a s su p e r fic ia le s
d is tr ib u id a s s o b r e lo s e le m e n to s c o n q u e e s t á n e n c o n ta c to . l>as f u e r z a s y
m o m e n to s c o n c e n t r a d o s q u e se m u e s tr a n e n la ta b la 2-1 r e p r e s e n ta n las
re su lta n te s d e e s t a s d is tr ib u c io n e s d e c a r g a . P o r s u p u e s to , e s t a r e p r e s e n ­
ta c ió n e s u n a id e a liz a c ió n ; s in e m b a r g o , s e u s a a q u í p o r q u e e l á r e a d e la
s u p e r f ic ie s o b r e la q u e a c t ú a la c a r g a d is tr ib u id a e s c o n s id e r a b le m e n te
m e n o r q u e la s u p e r fic ie to ta l d e lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s .
E l e s la b ó n c o r to s e u s a p a r a c o n e c ­
A r t i c u l a c i ó n típ ic a e m p l e a d a p a r a
t a r la s d o s t r a b e s d e l p u e n t e c a r r e ­
s o p o r ta r la tr a b e d e a c e ro d e un
p u e n t e f e r r o v ia r io .
t e r o y p e r m i t e la e x p a n s ió n t é r m i c a
d e la c u b ie r ta .
2 .1
T A B LA 2 -1
S o p o r t e s p a r a e s t r u c t u r a s c o p la n a r e s
T ip o d e c o n e x ió n
W
¿ P 'Y
E s t r u c t u r a id e a l iz a d a
S ím b o lo id e a liza d o
Reacción
N ú m e ro de in có g n ita s
c a b le lig e ro
U n a in c ó g n ila . L a re a c c ió n e s u n a fu e rz a
q u e a c t ú a e n l a d ir e c c ió n d e l
c a b l e o d e l c s ta b ó n .
E s la b ó n s in p e s o
(2)
&
U n a in c ó g n ila . L a re a c c ió n e s u n a fu e rz a
q u e a c t ú a p e r p c n d ic u la r m c n tc a la
s u p e rfic ie e n e l p u n t o d e c o n ta c to .
ro d illo s
b a la n c ín
(3 )
y
j
f
f
;
s u p e r fic ie d e c o n ta c to lisa
U n a in c ó g n ita . L a r e a c c ió n e s u n a fu e rz a
q u e a c t ú a p e r p e n d ic u la r m c n t c a la
s u p e rfic ie e n e l p u n to d e c o n t a c t a
F
(4 )
c o lla rín a r tic u la d o liso
U n a in c ó g n ita . 1.a re a c c ió n e s u n a fu e rz a
q u e a c t ú a p e r p e n d ic u la r m e n t e a la
s u p e rfic ie e n e l p u n t o d e c o n ta c to .
F
£-
j
D a s in c ó g n ita s. L a s r e a c c io n e s so n
d o s c o m p o n e n te s d e la f u e rz a .
a r tic u la c ió n o b is a g r a lisa
(6)
tr
9
-
M
D a s in c ó g n ita s. I-a»s r e a c c io n e s so n
u n a f u e r z a y u n m o m e n to .
d e sliz a d o r
Ir=
c o lla rín c o n e c ta d o f ija m e n te
(7 )
T r e s in c ó g n ita s. L a s r e a c c io n e s so n
e l m o m e n to y la s d o s c o m p o n e n te s
d e la fu e rz a .
s o p o r te fijo
37
3 8
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E structura idealizada.
e s tr u c t u r a re a l
(a )
m -------------|
4 m
e s tr u c tu r a id e a liz a d a
<b)
F ig u ra 2 - 5
D e s p u é s d e e s ta b le c e r la s d if e r e n t e s f o r ­
m a s e n q u e p u e d e n id e a liz a r s e las c o n e x io n e s d e u n a e s t r u c tu r a , a h o r a
e s p o s ib le a n a liz a r a lg u n a s d e la s té c n ic a s e m p le a d a s p a r a r e p r e s e n t a r
lo s d is tin to s s i s te m a s e s t r u c tu r a le s m e d ia n te m o d e lo s id e a liz a d o s .
C o m o p r i m e r e je m p lo , c o n s id e r e e l b ra z o d e g r ú a y e l c a r r o q u e se
m u e s tr a n e n la fig u ra 2 -5 a. P a r a e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e p u e d e ig n o r a r el
e s p e s o r d e lo s (to s e le m e n to s p r in c ip a le s y s u p o n e r q u e la ju n t a e n B e s
ríg id a . A d e m á s , la c o n e x ió n e n A p u e d e m o d e l a r s e c o m o u n s o p o r te fijo
y e s p o s ib le e x c lu ir lo s d e ta l le s d e l c a rr o . P o r lo ta n t o , lo s e le m e n to s d e la
e s t r u c t u r a id e a liz a d a s e r e p r e s e n t a n m e d i a n te d o s lín e a s c o n e c t a d a s , y
la c a r g a s o b r e e l g a n c h o s e r e p r e s e n ta m e d ia n te u n a s o la f u e r z a c o n c e n ­
t r a d a F .f i g u r a 2 -5 6 . E s ta e s t r u c tu r a id e a liz a d a q u e se m u e s tr a a q u í c o m o
u n d ib u jo d e lin e a s p u e d e u s a r s e a h o r a p a r a a p li c a r to s p r in c ip io s d e l
a n á lisis e s t r u c t u r a l . e l c u a l c o n d u c ir á f in a lm e n te a l d is e ñ o d e s u s d o s e l e ­
m e n to s p rin c ip a le s .
L a s v ig a s y tr a b e s s u e l e n e m p le a r s e p a r a s o s te n e r lo s p is o s e n e d ific io s.
E n p a r t ic u l a r , u n a tr a b e e s e l e le m e n to p r in c ip a l p a r a e l s o p o r te d e las
c a r g a s d e l p is o , m i e n tr a s q u e lo s e le m e n to s m á s p e q u e ñ o s q u e ti e n e n
u n c la r o m á s c o r t o y q u e e s t á n c o n e c t a d o s a la s tr a b e s s e ll a m a n v ig a s.
A m e n u d o , la s c a r g a s a p lic a d a s s o b r e u n a v ig a o tr a b e se t r a n s m i te n h a c ia
é s t a s a tr a v é s d e l p is o q u e s o s tie n e n . U n a v ez m ás, e s im p o r ta n te t e n e r la
c a p a c id a d d e id e a liz a r a p r o p i a d a m e n t e e l s is te m a c o m o u n a s e r ie d e m o ­
d e lo s . lo s c u a le s p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r d e m a n e r a a p ro x im a d a
la s f u e r / a s q u e a c tú a n s o b r e lo s e le m e n to s . C o n s id e r e , p o r e je m p lo , la e s ­
tr u c tu r a u tiliz a d a p a r a s o p o r ta r u n a lo s a d e p is o e n u n e d ific io típ ic o c o m o
e l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -6 a . A q u í la lo s a s e s o s tie n e m e d i a n te v i­
g u e ta s d e p is o s itu a d a s a in te r v a lo s re g u la r e s , la s c u a le s a s u v e z e s t á n s o ­
p o r t a d a s m e d ia n te la s d o s tr a b e s la t e r a l e s A B y C D . P a r a e l a n á lis is , e s
r a z o n a b le s u p o n e r q u e la s j u n t a s s o n a r t ic u la d a s y /o q u e e s t á n c o n e c t a ­
d a s m e d ia n te ro d illo s a la s tr a b e s y q u e é s ta s s o n a r tic u la d a s y /o e s t á n
c o n e c ta d a s m e d ia n te ro d illo s a la s c o lu m n a s. E n la fig u ra 2 -6 b se m u e s tra
la v is ta s u p e r io r d e l p l a n o e s t r u c tu r a l d e e s t e s is te m a . E n e s t e e s q u e m a
“ g r á f ic o " , o b s e r v e q u e la s " lín e a s " q u e r e p r e s e n t a n la s v ig u e ta s n o to c a n
la s tr a b e s y q u e la s lín e a s d e la s tr a b e s n o to c a n las c o lu m n a s . L o a n t e r i o r
s im b o liz a c o n e x io n e s a r t ic u la d a s y /o a p o y a d a s e n ro d illo s . P o r o t r o la d o .
H
p ia n o e s tr u c tu ra l id e a liz a d o
(a )
<b)
F ig u ra 2 -6
2 .1
si e l p l a n o e s t r u c t u r a l t r a t a d e r e p r e s e n ta r e le m e n to s c o n e c t a d o s f ija ­
m e n te , c o m o ju n t a s s o ld a d a s e n v e z d e s im p le s u n io n e s a to r n illa d a s , e n ­
to n c e s la s lín e a s p a r a la s v ig a s o tr a b e s to c a r ía n la s c o lu m n a s c o m o e n la
fig u ra 2 -7 . D e m a n e r a s im ila r, u n a v ig a s a lie n te c o n e c ta d a f ija m e n te e s ­
ta r ía r e p r e s e n ta d a e n la v ista s u p e r io r c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -8 .
Si s e u s a la c o n s t r u c c i ó n d e c o n c r e t o r e f o r z a d o , la s v ig a s y t r a b e s se
r e p r e s e n ta n m e d ia n te lín e a s d o b le s . P o r lo g e n e r a l e s t o s s i s te m a s e s tá n
c o n e c ta d o s f ija m e n te y, p o r lo ta n t o , lo s e le m e n to s se d ib u ja n to c a n d o
lo s s o p o r te s . P o r e je m p lo , e l g rá f ic o e s tr u c tu r a l p a r a e l s i s te m a d e c o n ­
c r e t o v a c ia d o e n s i ti o d e la fig u ra 2 -9 a s e m u e s tr a e n s u v is ta s u p e r io r
c o m o e n la f ig u r a 2 -9 6 . L a s lín e a s d e la s v ig a s s e d ib u ja n d is c o n tin u a s d e ­
b id o a q u e e s t á n p o r d e b a jo d e la lo s a .
L as g rá f ic a s e id e a liz a c io n e s e s tr u c tu r a le s p a r a e s t r u c tu r a s d e m a d e r a
s o n s e m e ja n te s a la s d e m e ta l. P o r e je m p lo , e l s is te m a e s t r u c tu r a l q u e se
m u e s tra e n la fig u ra 2 - 1 0 a r e p r e s e n ta la c o n s tru c c ió n d e u n a v ig a de
p a r e d , d o n d e l a c u b ie r ta d e l t e c h o s e s o s tie n e m e d ia n te v ig a s d e m a d e r a ,
q u e tr a n s m ite n la c a r g a a u n m u r o d e m a n ip o s te r ía . P u e d e s u p o n e r s e q u e
las v ig a s e s t á n s im p le m e n te a p o y a d a s e n la p a r e d , d e m o d o q u e e l p la n o
e s tr u c tu r a l id e a liz a d o s e r í a c o m o e l q u e s e m u e s tra e n l a fig u ra 2 - 106.
{
>
v ig a c o n e c ta d a fija m e n te
M
i
v ig a id e a liz a d a
F ig u ra 2 - 7
v ig a id e a liz a d a
F ig u ra 2 - 8
(a)
(b )
F ig u ra 2 - 9
p la n o e s tr u c t u r a l id e a liz a d o
(b )
Figura 2-10
39
E s t r u c t u r a id e a l iz a d a
4 0
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
C argas trib u ta ria s .
O t a n d o la s s u p e r f ic ie s p la n a s c o m o p a re d e s ,
p is o s o le c h o s e s t á n s o p o r ta d a s p o r u n m a r c o e s tr u c tu r a l, e s n e c e s a r io
d e te r m in a r la f o r m a e n q u e s e tr a n s m ite l a c a r g a s o b r e e s t a s s u p e r fic ie s
h a c ia lo s d iv e r s o s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s u tiliz a d o s p a r a s u s o p o r t e . E n
g e n e r a l, e x is te n d o s fo rm a s e n la s q u e p u e d e h a c e r s e e s to . L a e le c c ió n
d e p e n d e d e la g e o m e t r í a d e l s is te m a e s t r u c t u r a l , e l m a t e r i a l d e l q u e e s tá
h e c h o y e l m é to d o e m p l e a d o p a r a s u c o n s tru c c ió n .
Sistema de una dirección.
E l m a r c o e s tr u c tu ra l d e e s te e d ific io c o n ­
s is te e n v ig u e ta s d e c o n c r e t o , la s c u a le s se
f o r m a r o n e n e l s i t i o u s a n d o p la c a s m e t á l i ­
c a s . E s t a s v ig u e ta s e s t á n s i m p l e m e n t e a p o ­
y a d a s s o b r e la s t r a b e s , q u e a s u v e z se
a p o y a n s i m p l e m e n t e e n la s c o lu m n a s .
U n a lo s a o u n a c u b ie r ta q u e s e a p o y a d e
ta l m a n e r a q u e tr a n s f ie r e s u c a r g a a lo s e le m e n to s d e s o p o r te m e d ia n te
u n a a c c ió n e n u n s o lo s e n t id o .s e c o n o c e c o m o u n a ¡osa e n u n a d ir e c c ió n .
P a r a ilu s tr a r e l m é t o d o d e tr a n s m is ió n d e c a r g a s ,c o n s id e r e e l s i s te m a e s ­
tr u c tu r a l q u e s e m u e s tr a la fig u ra 2 -1 la d o n d e la s v ig a s A t í , C D y E F
d e s c a n s a n s o b r e la s tr a b e s A E y B E . Si s e c o lo c a u n a c a r g a u n if o rm e d e
1 00 Ib /p ie 2 s o b r e la lo s a , e n to n c e s p u e d e s u p o n e r s e q u e la v ig a c e n tr a l
C D s o p o r ta la c a rg a q u e a c t ú a s o b r e e l á re a tr ib u ta r ia , la c u a l s e m u e s tra
c o n u n s o m b r e a d o o s c u r o e n e l p la n o d e l m a r c o e s t r u c t u r a l d e l a fig u ra
2-11 b . P o r lo ta n t o , e l e l e m e n t o C D se s o m e te a u n d is tr ib u c ió n d e c a rg a
B n e a lá e (1 0 0 lb /p ie 2X 5 p ie s ) = 5 0 0 lh / p ¡ e ,q u e s e m u e s tr a e n la v ig a id e a ­
liz a d a d e la fig u ra 2 -1 l e . I.a s r e a c c io n e s s o b r e e s t a v ig a (2 5 0 0 lib r a s ) se
a p lic a r á n d e s p u é s a l c e n t r o d e la s tr a b e s A E (y B F \ q u e s e m u e s tr a n
id e a liz a d a s e n la fig u ra 2-11 d . S i se u s a e s te m is m o c o n c e p to , ¿ e s p o s ib le
o b s e r v a r c ó m o e l r e s t o d e la c a rg a d e la lo s a s e tr a n s m ite a lo s e x tr e m o s
d e l a tr a b e c o n u n v a lo r d e 1250 lib ra s ?
A
________________________B..
1
2 .5 p ie s
l
úes
“
f
lies
lies
E
f
“
f
p ia n o e s tr u c t u r a l id e a liz a d o
(a )
(b )
25 0 0 Ib
|
12501b
1
I
.
l _
12501b
5 p ie s -
_ h
■5 p ie s
« g a id e a liz a d a
tr a b e id e a liz a d a
(c)
(d)
F igura 2-11
2 .1
E str u c t u r a id e a l iz a d a
E j e m p l o d e la c o n s tr u c c ió n d e u n a lo s a e n u n a d ir e c c ió n
e n u n e d if ic io c o n e s t r u c t u r a d e a c e r o q u e t i e n e u n p is o
d e c o n c re to v a c ia d o s o b re u n a c u b ie rta d e m e ta l c o rru ­
g a d o . S e c o n s i d e r a q u e la c a r g a s o b r e e l p i s o s e t r a n s m i t e
a la s v ig a s y n o a la s tra b e s .
P a ra a lg u n o s s i s te m a s d e p is o , la s v ig a s y tr a b e s e s t á n c o n e c t a d a s a la s
c o lu m n a s a l a m is m a a ltu r a , c o m o e n la fig u ra 2 - 1 2 a. S i é s t e e s e l c a s o , e n
o c a s io n e s l a lo s a ta m b ié n p u e d e c o n s id e r a r s e c o m o u n a “ lo s a e n u n a d i ­
re c c ió n ’'. P o r e je m p lo , s i l a lo s a e s d e c o n c r e t o c o n r e f u e r z o e n u n a s o la
d ir e c c ió n o s i e l c o n c r e t o s e v a c ía e n u n a c u b ie r ta d e m e ta l c o r r u g a d o ,
c o m o e n l a f o to g r a f ía s u p e r io r , e n to n c e s p u e d e s u p o n e r s e u n a a c c ió n d e
tra n s m is ió n d e c a r g a e n u n s o l o s e n tid o . P o r o t r o la d o , s i la lo s a e s p la n a
e n las p a r t e s s u p e r io r e in f e r io r y s e r e f u e r z a e n d o s d ir e c c io n e s ,e n to n ­
c e s e s n e c e s a r io c o n s i d e r a r la p o s ib ilid a d d e q u e la c a r g a s e tr a n s m ita a
lo s e le m e n to s d e s o p o r te e n u n o o d o s s e n tid o s . P o r e je m p lo .c o n s id e r e la
lo sa y e l p la n o e s t r u c tu r a l d e la fig u ra 2-12¿>. D e a c u e r d o c o n e l A m e r i­
c a n C o n c r e te I n s tit u te . c ó d ig o A C I 3 1 8 , s i
> / . | y s i b r e la c ió n d e l
c la r o ( L J L \ ) > 2, la lo s a se c o m p o r ta r á c o m o u n a lo s a e n u n a d ir e c c ió n ,
d a d o q u e c o m o L ¡ se h a c e m á s p e q u e ñ o , la s v ig a s A S , C D y E F p r o p o r ­
c io n a n u n a m a y o r rig id e z p a r a s o p o r ta r la c a rg a .
tr a b e
lo s a d e c o n c r e t o
re fo rz a d o e n d o s
d ire c c io n e s ,
v a c ia d a e n fo r m a
p la n a
hA '
—i
¿Í
2 4—
Lx
~ Y -i—
M
M
r a q u e l a lo s a a c t ú e e n u n
ic n tid o , e l p la n o e s tr u c tu ra l
fclealizad o r e q u ie r e q u e L j / L \ > 2
X
a ilu m n a
fl>)
H gura 2-12
4 2
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
500 Ib /p ie
— 5 p ie s — — 5 p ie s —
v ig a id e a liz a d a
(a)
F ig u ra 2 -1 3
Sistema en dos direcciones.
Si d e a c u e r d o c o n e l c ó d ig o d e c o n ­
c r e t o A C I 3 1 8 l a re la c ió n d e s o p o r te e n la fig u ra 2 -1 2 6 e s ( L j / L x) s 2 , se
s u p o n e q u e la c a rg a s e tr a n s f ie r e a la s v ig a s d e s o p o r te y a la s tr a b e s e n
d o s d ir e c c io n e s . C u a n d o s e p r e s e n t a e s t a s itu a c ió n , la lo s a s e d e n o m in a
lo sa e n d o s d ir e c c io n e s . P a r a m o s tr a r u n m é to d o m e d ia n te e l c u a l p u e d a
e s tu d ia r s e e s te c a s o , c o n s i d e r e la lo s a c u a d r a d a d e c o n c r e to re f o r z a d o
q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 1 3 a, la c u a l e s tá s o p o r ta d a p o r c u a tr o v ig a s
e n e l b o r d e . d e 10 p ie s d e la rg o : A B , B D , Ü C , y C A . A q u í L j f L x = 1. E l
ú re a tr ib u ta r ia s u p u e s ta p a r a la v ig a A /f ,d e b i d a a la a c c ió n d e la lo s a e n
d o s d ir e c c io n e s , s e m u e s tra c o n u n s o m b r e a d o o s c u r o e n la fig u ra 2 -1 3 6 .
E sta á re a se d e te r m in a al c o n s tr u ir lín e a s d ia g o n a le s a 4 5 ° c o m o s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra . P o r lo ta n to , s i s e a p lic a u n a c a rg a u n if o r m e d e 100 I b /p ie 2
s o b r e la lo s a .s e o b te n d r á u n a in te n s id a d m á x im a d e (1 0 0 lb /p ie 2)(5 p ie s )
= 500 Ib /p ie s o b r e e l c e n t r o d e la v ig a A / Í . l o q u e r e s u lta e n u n a d i s t r i b u ­
c ió n d e c a r g a s tr ia n g u la r c o m o la q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 13c. P a r a
o t r a s g e o m e t r í a s q u e o c a s io n a n a c c io n e s e n d o s d ir e c c io n e s , p u e d e e m ­
p le a r s e u n p r o c e d im ie n to s im ila r. P o r e je m p lo , s i L ^ L X = 1.5 e n to n c e s e s
n e c e s a r io c o n s t r u ir lín e a s c r u z a d a s a 4 5 ° , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra
2 - 1 4 a. D e e s t a f o r m a , u n a c a rg a d e 100 Ib /p ie 2 c o lo c a d a e n la lo s a p r o d u ­
c i r á c a rg a s d is tr i b u id a s tr a p e z o id a le s y tr ia n g u la re s e n lo s e le m e n to s A B
y A C re s p e c tiv a m e n te , fig u ra s 2 -1 4 6 y 2 - 14c.
5 0 0 lb /p tc
5 0 0 I b /p ie
.p ie s - t~ > p i e s v ig a id e a liz a d a
(c)
2 .1
L a c a p a c id a d d e r e d u c i r u n a e s t r u c tu r a r e a l a u n a f o r m a id e a liz a d a ,
c o m o s e m u e s tr a e n e s to s e je m p lo s , s ó l o p u e d e a d q u ir ir s e a tr a v é s d e la
e x p e r ie n c ia . P a r a p r o p o r c io n a r u n a p rá c tic a a e s te r e s p e c to , lo s p r o b le ­
m as d e e je m p lo y lo s p ro b le m a s a re s o lv e r q u e s e in c lu y e n e n e s t e lib ro se
p r e s e n ta n e n f o r m a r e a lis ta , y e l e n u n c ia d o d e l p r o b le m a a y u d a a e x p lic a r
c ó m o p u e d e n m o d e la rs e la s c o n e x io n e s y lo s s o p o r te s m e d ia n te lo s e le m e n to s e n lis ta d o s e n la t a b l a 2 -1 . E n la p rá c tic a d e la in g e n ie r ía .s i s e tie n e
u n a d u d a s o b r e c ó m o m o d e la r u n a e s t r u c tu r a o tr a n s f e r ir la s c a r g a s a lo s
e le m e n to s , lo r e c o m e n d a b le e s c o n s id e r a r va rias e s tr u c tu r a s y c a rg a s
id e a liz a d a s p a r a d e s p u é s d is e ñ a r l a e s t r u c tu r a re a l d e m o d o q u e p u e d a
re s is tir la s c a r g a s in c lu id a s e n to d o s lo s m o d e lo s id e a liz a d o s .
E JE M P L O
2 .1
E l p is o d e u n s a l ó n d e c la s e s d e b e e s t a r s o p o r t a d o p o r la s v ig u e ta s e n
fo r m a d e b a r r a c o m o s e m u e s tr a n e n l a f ig u r a 2 -1 5 a . L a s v ig u e ta s t i e ­
n e n 15 p ie s d e la r g o c a d a u n a y e n t r e s u s c e n tr o s h a y u n e s p a c io d e
2 5 p ie s . E l p is o s e h a r á d e c o n c r e to lig e r o d e 4 p u lg a d a s d e e s p e s o r .
Ig n o r e lo s p e s o s d e la s v ig u e ta s y d e la c u b ie r ta d e m e ta l c o r r u g a d o , y
d e te r m in e la c a r g a q u e a c tú a a lo la r g o d e c a d a v ig u e ta .
S O L U C IÓ N
L a c a r g a m u e r ta s o b r e e l p is o s e d e b e a l p e s o d e la lo s a d e c o n c r e to .
C b n b a s e e n la t a b l a 1 -3 p a r a 4 p u lg a d a s d e c o n c r e t o lig e ro , é s t a e s
(4 )(8 lh /p ie 2) = 3 2 lb /p ie . D e la ta b l a 1 -4 s e s a b e q u e la c a r g a v iv a
p a r a u n s a l ó n d e c la s e s e s d e 4 0 lb /p ic ?. A s í, la c a r g a to t a l d e l p is o e s
d e 3 2 lb /p ie 2 + 4 0 lb / p ic 2 = 7 2 lb /p ie 2. P a r a e l s is te m a d e l p is o , L x =
2 5 p i e s y L* = 15 p ie s . C o m o L j l L x > 2 , la lo s a d e c o n c r e to s e tr a ta
c o m o u n a lo s a e n u n a d ir e c c ió n . E l á r e a tr ib u t a r ia d e c a d a v ig u e ta se
m u e s tra e n l a fig u ra 2 -1 5 6 . P o r lo ta n t o , la c a rg a u n if o r m e e n to d a s u
b n g itu d e s
iv = 72 lb /p ie 2 (2.5 p ie s ) = 180 lb /p ie
E n la fig u ra 2 -1 5 c s e m u e s tr a n e s t a c a rg a y la s r e a c c io n e s fin a le s s o b r e
c a d a v ig u e ta .
F ig u ra 2 -1 5
E str u c t u r a id e a l iz a d a
4 3
2
4 4
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E J E M P L O 2 .2
E l te c h o p la n o d e l e d if ic io c o n e s t r u c t u r a d e a c e r o q u e s e m u e s tr a e n
la f o t o g r a f í a e s t á d e s t in a d o a s o p o r t a r u n a c a r g a t o t a l d e 2 k N /m 2
e n t o d a s u s u p e r fic ie . D e te r m in e la c a r g a d e l te c h o d e n t r o d e la re g ió n
A B C D q u e se tr a n s m ite a la v ig a B C . L a s d im e n s io n e s s e m u e s tr a n e n
la fig u ra 2 - 16a.
4 m
n
(a)
S O L U C IÓ N
E n e s t e c a s o . L i ■ 5 m y L \ - 4 m . C o m o l s ¿ L \ ■ 1.25 < 2 . se ti e n e la
a c c ió n d e u n a lo s a e n d o s d ir e c c io n e s . E n la f ig u r a 2 - 1 6 a s e m u e s tr a
la c a r g a tr ib u t a r ia a lo la rg o d e c a d a v ig a e n e l b o rd e , d o n d e e l á r e a d e
c a rg a tra p e z o id a l c o n u n s o m b r e a d o c la r o se tra n s m ite a l e le m e n to B C .
L a in te n s id a d m á s a lt a d e e s ta c a rg a e s ( 2 k N /m 2)(2 m ) = 4 k N /m . E n
c o n s e c u e n c ia , l a d is tr ib u c ió n d e c a r g a a lo la r g o d e B C e s c o m o se
m u e s tr a e n la f ig u r a 2 -1 6 b .
4 k N /ta
E s te p ro c e s o d e tr a n s m is ió n d e la c a r g a tr i b u t a r i a ta m b ié n d e b e c a lc u ­
la r s e p a r a la re g ió n a la d e r e c h a d e B C c o m o s e m u e s tra e n la f o to ­
g ra f ía ; a d e m á s , e s ta c a r g a ta m b ié n d e b e c o lo c a r s e e n B C . V ea e l
s ig u ie n te e je m p lo .
2 .1
E str u c t u r a id e a l iz a d a
E JE M P L O 2 .3
L a s tr a b e s d e c o n c r e to q u e se m u e s tr a n e n la fo to g ra fía d e l e s t a c i o ­
n a m ie n to p a r a a u to m ó v ile s d e p a s a je ro s m id e n 3 0 p ie s y e n tr e su s
c e n tr o s h a y u n a s e p a r a c ió n d e 15 p ie s . S i la lo s a d e l p is o ti e n e 5 p u l ­
g a d a s d e e s p e s o r , e s tá h e c h a d e c o n c r e t o d e p i e d r a r e f o r z a d o y la
c a rg a v iv a e s p e c ific a d a e s d e 5 0 Ib /p ie 2 (v e a la ta b l a 1 .4 ), d e te r m i n e
ki c a r g a d is tr ib u id a q u e e l s is te m a d e p is o tr a n s m ite a c a d a t r a b e in ­
te rio r.
S O L U C IÓ N
A q u í, L 2 = 3 0 p ie s y L x = 15 p ie s , d e m o d o q u e L j J L x = 2 S e ti e n e
u n a lo s a e n d o s d ir e c c io n e s . D e l a ta b l a 1-2, p a r a e l c o n c r e to d e p i e ­
d r a re f o rz a d o , e l p e s o e s p e c ífic o d e l c o n c r e t o e s 150 Ib /p ie 3. A sí, la
c a rg a d e d is e ñ o p a r a e l p is o e s
p = 150 I b / p i e ' p i e ^ + 5 0 I b / p ie 2 = 112.5 I b /p ie 2
U n a c a rg a d is tr ib u id a tr a p e z o id a l se tr a n s m ite a c a d a tr a b e in te r io r
A R d e s d e c a d a u n o d e s u s la d o s . L a i n t e n s i d a d m á x im a d e c a d a
u n a d e e s ta s c a rg a s d is trib u id a s e s (112.5 lb 'p ie 2)(7.5 p ie s ) = 843.75 Ib/pie,
d e m o d o q u e e n la t r a b e e s t a in t e n s i d a d s e c o n v ie r te e n 2 (8 4 3 .7 5
b / p i e ) = 1687.5 lb /p ie , fig u ra 2 -1 7 6 . N o ta : P a r a e f e c to s d e d is e ñ o , t a m ­
b ié n d e b e t e n e r s e e n c u e n ta e l p e s o d e l a tr a b e .
16873 Ib/pie
Figura 2 -1 7
4 5
46
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
2 .2
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n
E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n e s la b a s e d e g r a n p a r t e d e la t e o r í a d e l
a n á lisis e s t r u c tu r a l. E s p o s ib le a f ir m a r lo s ig u ie n te : F] d e s p la z a m ie n to
to ta l o la s c a rg a s in te r n a s ( e s fu e r z o s ) e n u n p u n t o d e u n a e stru c tu r a s o m e ­
tid a a v a ria s c a rg a s e x te m a s p u e d e d e te r m in a r s e a l s u m a r lo s d e s p la z a ­
m ie n to s o c a r g a s in te r n a s (e s fu e r z o s ) c a u s a d o s p o r c a d a u n a d e la s ca rg a s
e x te r n a s q u e a c tú a n p o r s e p a r a d o . P a r a q u e e s t e e n u n c ia d o s e a v á lid o e s
n e c e s a r io q u e e x is ta u n a re la c ió n lin e a l e n t r e la s c a rg a s , lo s e s f u e r z o s y
lo s d e s p la z a m ie n to s .
P a r a a p li c a r e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n d e b e n im p o n e rs e d o s r e q u i­
sito s:
1.
E l m a t e r i a l d e b e c o m p o r ta r s e d e u n a m a n e r a c lá s tic a li n e a l, d e
m o d o q u e la le y d e H o o k e s e a v á lid a y , p o r lo ta n to , la c a r g a s e r á
p r o p o r c io n a l a l d e s p la z a m ie n to .
2.
l a g e o m e tr ía d e la e s t r u c tu r a n o d e b e e x p e r i m e n t a r u n c a m b io s ig ­
n if ic a tiv o a l a p li c a r la s c a r g a s ; e s d e c i r , s e a p li c a la t e o r í a d e lo s
p e q u e ñ o s d e s p la z a m ie n to s . S i s e d a n g r a n d e s d e s p la z a m ie n to s , la
p o sic ió n y la o r i e n ta c i ó n d e la s c a r g a s c a m b ia r á n e n f o r m a s ig n ific a ­
tiv a . U n e je m p lo p o d r í a s e r u n a b a r r a d e lg a d a e n v o la d iz o s o m e tid a
a u n a f u e r z a e n s u e x tr e m o .
A lo la rg o d e l p r e s e n t e te x to d e b e n c u m p lir s e e s t o s d o s r e q u i s it o s A q u í,
lo s m a te r ia le s s ó lo p r e s e n ta n u n c o m p o r ta m ie n t o lin e a l e lá s tic o y lo s
d e s p la z a m ie n to s p r o d u c id o s p o r las c a r g a s n o c a m b ia n s ig n ific a tiv a ­
m e n te la s d ir e c c io n e s d e la s c a r g a s a p lic a d a s n i las d im e n s io n e s u s a d a s
p a ra c a lc u la r lo s m o m e n to s d e la s fu e rz a s.
v e n to
ti?
L a s p a r e d e s la te r a le s d e e s t e e d if ic io s e u tiliz a n p a r a r e f o r ­
z a r s u e s t r u c t u r a c u a n d o la c o n s tr u c c ió n e s t á s u j e t a a g r a n ­
d e s c a r g a s d e v ie n to s h u r a c a n a d o s , la s c u a l e s s e a p lic a n e n
la s p a r t e s f r o n t a l o t r a s e r a d e l e d ific io . E s t a s p a r e d e s l a t e r a ­
le s s e d e n o m i n a n " m u r o s c o r t a n t e s ” .
2 .3
2 .3
E c u a g c n e s d e EQUILIBRIO
E c u a cio n e s d e e q u ilib r io
D e la e s tá tic a , d e b e r e c o r d a r s e q u e u n a e s t r u c tu r a o u n o d e s u s e le m e n ­
to s e s tá e n e q u ilib r io c u a n d o s e m a n tie n e u n b a la n c e d e f u e i z a s y m o ­
m e n to s . E n g e n e r a l, e s t o r e q u i e r e q u e se s a tis f a g a n la s e c u a c io n e s d e
e q u ilib r io d e la s f u e r z a s y d e lo s m o m e n to s a lo la r g o d e tr e s e je s in d e ­
p e n d ie n te s , a s a b e r ,
2FX = 0
lP y = 0
S f 'r = 0
2M X = 0
2M y = 0
2M Z= 0
N o o b s t a n te , la s p a r t e s p rin c ip a le s q u e s o p o r ta n c a rg a e n l a m a y o r ía d e
las e s t r u c tu r a s se e n c u e n t r a n e n u n s o l o p la n o , y c o m o la s c a r g a s ta m b ié n
s o n c o p la n a r e s . lo s r e q u is ito s a n te r io r e s p a ra e l e q u il ib r io se r e d u c e n a
(2 -2 )
A q u í,
y S E y r e p r e s e n ta n r e s p e c tiv a m e n te la s s u m a s a lg e b r a ic a s d e
las c o m p o n e n te s x y y d e to d a s la s f u e r z a s q u e a c tú a n s o b r e la e s t r u c tu r a
o u n o d e su s e le m e n to s , y
r e p r e s e n ta la s u m a a lg e b r a ic a d e lo s m o ­
m e n to s d e e s to s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a a l r e d e d o r d e u n e je q u e e s p e r ­
p e n d ic u la r a l p la n o x - y (e l e j e z ) y q u e p a s a a tr a v é s d e l p u n t o O .
S ie m p re q u e s e a p li q u e n e s t a s e c u a c io n e s ,p r im e r o e s n e c e sa r io d ib u ja r
u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la e stru c tu r a o d e s u s e le m e n to s . Si s e s e ­
le c c io n a u n e le m e n to , d e b e a isla rse tfc s u s s o p o r te s y e n t o r n o p a r a d ib u ­
ja r s ó l o s u c o n to r n o . E s n e c e s a r io m o s tr a r to d a s la s fu e r z a s y m o m e n to s
d e p a r q u e a c tú a n so b r e e l e le m e n to . A e s t e re s p e c to , lo s ti p o s d e r e a c c io ­
n e s e n lo s s o p o r te s p u e d e n d e te r m in a r s e u s a n d o la ta b l a 2 -1 . T a m b ié n ,
d e b e r e c o r d a r s e q u e la s f u e r z a s c o m u n e s a d o s e le m e n to s a c tú a n c o n
m a g n itu d e s ig u a le s p e r o e n d ir e c c io n e s o p u e s t a s e n lo s r e s p e c tiv o s d i a ­
g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e lo s e le m e n to s .
Si e s n e c e s a r io d e t e r m i n a r la s ca rg a s in te rn a s en u n p u n to e s p e c ífic o
d e u n e le m e n to , d e b e e m p le a r s e e l m é to d o d e la s se c c io n e s. E s to r e ­
q u ie r e h a c e r u n " c o r te " o se c c ió n p e r p e n d i c u la r a l e je d e l e le m e n to e n e l
p u n to d o n d e s e d e te r m i n a r á n la s c a r g a s in te r n a s . D e s p u é s s e a ís la u n
d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c u a lq u ie r s e g m e n to d e l " c o r te " d el e l e ­
m e n to y e n to n c e s se d e te r m i n a n la s c a rg a s in te r n a s a p a r t i r d e la s e c u a ­
c io n e s d e e q u il ib r io a p lic a d a s a e s t e s e g m e n to . P o r lo g e n e r a l la s c a r g a s
in te r n a s q u e a c tú a n e n l a s e c c ió n c o n s is te n e n u n a f u e r z a n o r m a l N . u n a
fu e rz a c o r t a n te V y u n m o m e n to f le x io n a n te M .c o m o s e m u e s tr a e n la
fig u ra 2 -1 8 .
E n la s e c c ió n 2 -5 s e e s t u d i a r á n lo s p r i n c ip i o s d e la e s t á t i c a q u e se
e m p l e a n p a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e x te r n a s s o b r e la s e s t r u c tu r a s .
L a s c a r g a s in te r n a s e n lo s e le m e n to s e s t r u c tu r a le s s e a n a li z a r á n e n el
c a p ítu lo 4.
M
M V,
D * ¡.- íC
v
fig u ra 2 -1 8
4 7
48
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
2 .4
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
D e te rm in a c ió n y e s ta b ilid a d
A n te s d e in ic ia r e l a n á lis is d e f u e r z a s d e u n a e s l r u c t u r a .e s n e c e s a r io e s ­
ta b le c e r la d e te r m in a c ió n y la e s ta b ilid a d d e la e s t r u c tu r a .
D e t e r m i n a c i ó n . L a s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p ro p o r c io n a n la s c o n ­
d ic io n e s n e ce sa ria s y s u fic ie n te s p a r a e l e q u ilib r io . C u a n d o to d a s la s f u e r ­
z a s e n u n a e s t r u c tu r a p u e d e n d e te r m in a r s e e s tr ic ta m e n te a p a r tir d e e s ta s
e c u a c io n e s , la e s t r u c tu r a s e d e n o m i n a e stá tic a m e n te d e te r m in a d a . L a s e s ­
tr u c tu r a s q u e ti e n e n m á s fu e r z a s d e s c o n o c id a s q u e e c u a c io n e s d e e q u il i­
b r io d is p o n ib le s se ll a m a n e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a s . C o m o reg la
g e n e ra l, u n a e s tr u c tu r a p u e d e id e n tif ic a rs e c o m o e s tá tic a m e n te d e te r m i­
n a d a o in d e te r m in a d a a l d ib u j a r d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e to d o s su s
e le m e n to s , o p a r t e s s e le c c io n a d a s d e su s e le m e n to s , p a r a d e s p u é s c o m p a ­
r a r e l to t a l d e f u e r z a s d e r e a c c ió n y c o m p o n e n te s d e m o m e n to d e s c o n o ­
c id o s c o n e l to ta l d e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d is p o n ib le s .* P a r a u n a
e s t r u c tu r a c o p la n a r e x is te n a lo s u m o tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a r a
c a d a p a r t e , p o r lo q u e s i h a y u n to t a l d e n p a r te s y r c o m p o n e n te s d e
fu e r z a s y m o m e n to s d e r e a c c i ó n ,s e ti e n e q u e
r - 3 /i. e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a
(2 -3 )
r > 3 n ,e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a
E n p a r tic u la r , s i u n a e s t r u c t u r a e s e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a , las
e c u a c i o n e s a d ic io n a le s n e c e s a r ia s p a r a r e s o lv e r la s r e a c c io n e s d e s c o ­
n o c id a s s e o b ti e n e n a l r e l a c i o n a r la s c a r g a s a p lic a d a s y la s r e a c c io n e s
c o n e l d e s p l a z a m i e n t o o la p e n d i e n t e e n d i f e r e n t e s p u n t o s d e l a e s ­
t r u c t u r a . E s t a s e c u a c i o n e s , q u e s e c o n o c e n c o m o e c u a c io n e s d e c o m p a ­
tib ilid a d , d e b e n s e r ig u a le s e n n ú m e r o a l g ra d o d e in d e te r m in a c ió n d e
la e s t r u c t u r a . L as e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d in c lu y e n las p r o p ie d a d e s
g e o m é tr ic a s y físic a s d e la e s t r u c tu r a y s e e s t u d ia r á n m á s a d e l a n t e e n el
c a p ítu lo 10.
A c o n tin u a c ió n s e c o n s i d e r a r á n a lg u n o s e je m p lo s p a r a m o s tr a r la
f o r m a d e c la s ific a r la d e te r m in a c ió n d e u n a e s tr u c tu r a . E l p r im e r e j e m ­
p lo t r a t a s o b r e v ig a s , e l s e g u n d o s o b r e e s t r u c tu r a s a r t ic u la d a s y e l te r c e r o
s o b r e m a rc o s . L a c la s ific a c ió n d e a r m a d u r a s s e e s t u d i a r á e n e l c a p ítu lo 3.
• E l tr a z a d o d e d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e n o e s e s tr ic ta m e n te n e c e s a r io , p u e s to q u e t a m ­
b ié n p u e d e h a c e rs e u n ,,c o n tc o m e n ta l" d e l n ú m e r o d e in c ó g n ita s p a r a c o m p a r a r lo c o n e l
n ú m e r o d e e c u a c io n e s d e e q u ilib rio .
2 .4
D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d
E JE M P L O 2 .4
G a s if iq u e c a d a u n a d e las v ig as q u e s e m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 2 -1 9 a a
2 -1 9 d c o m o e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m i­
n a d a . Si s o n e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a s , in d iq u e e l n ú m e r o d e g r a ­
d o s d e in d e te r m in a c ió n . S e s u p o n e q u e la s v ig a s e s t á n s o m e tid a s a
c a rg a s e x t e r n a s c o n o c id a s q u e p u e d e n a c t u a r e n c u a lq u i e r lu g a r d e la s
vigas.
S O L U C IÓ N
l a s viga s c o m p u e s la s .e s d e c ir la s d e las fig u ra s 2 - 19c y 2 -1 9 < ¿ .q u e se
c o m p o n e n d e e le m e n to s a r tic u la d o s , d e b e n d e s e n s a m b la rs e . C o n s i­
d e re q u e e n e s to s c a s o s la s f u e r z a s d e re a c c ió n d e s c o n o c id a s q u e
a c tú a n e n t r e c a d a e le m e n to d e b e n m o s tr a r s e e n p a r e ja s ig u a le s p e r o
o p u e s ta s . E n la s fig u ra s s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e
c a d a e le m e n to . D e s p u é s d e a p li c a r r = 3 /i o r > 3 n .s e in d ic a n las c la á f i c a d o n e s r e s u lta n te s .
*
(a )
r - 3 .ii- l.3 - 3 ( l)
T
=
F
R e sp .
E s tá tic a m e n te d e te r m in a d a
J
—
i
(b )
r - 5 .1 1 - 1 .3 > 3 (1 )
<d)
r -
E s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g r a d o
R e sp .
E s tá tic a m e n te d e te r m in a d a
R e sp .
H
10. n - 3 . 1 0 > 3 ( 3 )
*—
f ------*
t -
i
E s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r g r a d o
fig u ra 2 -1 9
R esp.
5 0
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E JE M P L O 2 .5
C la s ifiq u e c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s q u e s e m u e s tra n e n
la s fig u ra s 2 -2 0 a a 2 - 2 0 d c o m o e s t á tic a m e n te d e t e r m i n a d a o e s t á tic a ­
m e n te in d e t e r m in a d a . Si e s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a , in d iq u e el
n ú m e r o d e g r a d o s d e in d e te rm in a c ió n . S e s u p o n e q u e las e s t r u c tu r a s
e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s c o n o c id a s y q u e p u e d e n
a c tu a r e n c u a lq u ie r p u n to d e la s e s t r u c tu r a s .
S O L U C IÓ N
L a c la s ific a c ió n d e e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s e s s e m e ja n t e a la d e la s
vigas. E n la s f ig u r a s s e m u e s tra n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e lo s
e le m e n to s . A l a p li c a r r = 3 n o r > 3 n , s e in d ic a n la s c la s ific a c io n e s r e ­
s u lta n te s .
r
- J
C
r-7 ./i -2.7 >6
t
E s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a d e p r i­
Resp.
m er g rad o
J
r - 9 , n - 3 .9 - 9 .
(b )
jr t
(C)
E s tá tic a m e n te d e te r m in a d a
r -
R esp .
T
lO .n = 2 ,1 0 > 6 ,
E s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a d e
R e sp .
c u a rto g ra d o
T
\
t r
r-9.n~ 3 .9~ 9.
E s tá tic a m e n te d e te r m in a d a
R esp.
(d)
j
F igura 2-20
r
2 .4
D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d
51
E JE M P L O 2 .6
C la s ifiq u e c a d a u n o d e lo s m a r c o s q u e s e m u e s tr a n e n la s fig u ra s 2 - 2 la
y 2 -2 1 ¿> c o m o e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o o e s t á tic a m e n te in d e t e r m i­
n a d o . S i e s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o , in d iq u e e l n ú m e r o d e g r a d o s
d e in d e te r m in a c ió n . S e s u p o n e q u e lo s m a r c o s e s t á n s o m e tid o s a c a r ­
g a s e x t e r n a s c o n o c id a s , la s c u a le s p u e d e n a c t u a r e n c u a lq u ie r p u n to
d e lo s m a rc o s.
S O L U C IÓ N
A d if e r e n c ia d e la s v ig a s y la s e s t r u c tu r a s a r tic u la d a s q u e s e m o s tr a ­
ro n e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s , lo s m a rc o s e s t á n c o m p u e s to s p o r e l e ­
m e n to s q u e s e c o n e c t a n e n t r e s í m e d ia n te ju n t a s ríg id a s. E n o c a s io n e s ,
los e le m e n to s f o r m a n c ir c u ito s ( c r u jía s ) in t e r n o s c o m o e n la fig u ra
2 -2 1 a . A q u í A B C D fo rm a u n c ir c u it o c e r r a d o . P a r a c la s ific a r e s t a s e s ­
tr u c tu r a s e s n e c e s a r io e m p l e a r e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y " c o r ta r " el
c ir c u ito e n d o s . E n la fig u ra s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
d e la s p a r te s s e c c io n a d a s , d e m a n e r a q u e e s p o s ib le c la s ific a r e l m a rc o .
T e n g a e n c u e n ta q u e s ó l o s e n e c e s ita u n a s e c c ió n a tr a v é s d e l c ir c u ito ,
p u e s to q u e a l d e te r m in a r la s in c ó g n ita s e n la se c c ió n e s p o s ib le e n c o n tr a r
las f u e r z a s in t e r n a s e n c u a lq u i e r p u n to d e lo s e le m e n to s , e m p le a n d o
e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . E n l a fig u ra
2-21 b s e m u e s tr a u n s e g u n d o e je m p lo d e e s to . S i b ie n e l m a r c o d e la fi­
g u r a 2 - 2 l e n o tie n e c ir c u ito s c e r r a d o s , e s p o s ib le e m p l e a r e l m ism o
m é to d o c o n s e c c io n e s v e rtic a le s p a r a c la s ific a rlo . E n e s te c a s o , ta m ­
b ié n se p u e d e d i b u j a r s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e c o m p le to . L a c la s i­
ficació n r e s u lta n t e s e in d ic a e n c a d a fig u ra .
D
r = 9 , / i = 2 , 9 > 6,
Estáticamente indeterminado de
tercer grado
R esp .
(a)
t
.E h
4 v
r - 9,n - 1 ,9 > 3 .
Estáticamente indeterminado de
sexto grado
R e sp .
(Este marco no tiene circuitos cerrados.)
, 4
* ^
—
t
j
r
r=
-4 = ¡-
T
r
r
18, n = 3 ,1 8 > 9 ,
Estáticamente indeterminado de
ruveno grado
R esp .
(b)
(c)
Figura 2-21
r = 1 8 ,n = 4 ,1 8 > 12,
Estáticamente indeterminado de
sexto grado
Resp.
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E s ta b ilid a d .
P a r a g a r a n tiz a r e l e q u ilib r io d e u n a e s tr u c tu r a o d e su s
e le m e n to s , n o s ó l o e s n e c e s a r io s a tis f a c e r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ,
s i n o q u e lo s e le m e n to s ta m b ié n d e b e n e s t a r c o r r e c ta m e n te s u j e to s o r e s ­
tr in g id o s p o r s u s s o p o r te s . C u a n d o n o s e h a n c u m p lid o la s c o n d ic io n e s
a d e c u a d a s d e re s tric c ió n p u e d e n p r e s e n t a r s e d o s s itu a c io n e s d is tin ta s .
r
z
j M.
re s tric c io n e s p a r d a le s
F ig u ra 2 - 2 2
Restricciones parciales. E n a lg u n o s c a so s, u n a e s t r u c tu r a o u n o d e
s u s e l e m e n t o s p u e d e n t e n e r m e n o s f u e r z a s r e a c t iv a s q u e e c u a c i o n e s
d e e q u ilib r io a s a tis f a c e r. E n to n c e s la e s t r u c t u r a s e c o n v ie r te s ó lo e n p a rd a lm e n ie re strin g id a . P o r e je m p lo , c o n s id e r e e l e le m e n to d e la fig u ra 2 -2 2
c o n s u c o r r e s p o n d ie n t e d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . A q u í, la e c u a c ió n 2 .F ,
= 0 n o s e r á s a tis f e c h a p o r la s c o n d ic io n e s d e c a r g a y, p o r lo ta n to , e l e l e ­
m e n t o s e r á in e s ta b le .
Restricciones impropias.
E n a lg u n o s c a s o s p u e d e h a b e r ta n ta s
fu e r z a s d e s c o n o c id a s c o m o e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ; s i n e m b a r g o , la
in e s ta b ilid a d o e l m o v im ie n to d e u n a e s t r u c tu r a o su s e le m e n to s p u e d e n
d e s a r r o lla r s e d e b id o a la re stric c ió n i m p r o p i a d e lo s s o p o r te s . E s to p u e d e
o c u r r ir s i t o d a s las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s s o n c o n c u r r e n te s e n u n
p u n to . E n la f ig u r a 2 -2 3 se m u e s tr a u n e je m p lo d e e s t a s itu a c ió n . A p a r t i r
d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a p u e d e o b s e r v a r s e q u e la s u m a d e
lo s m o m e n to s a lr e d e d o r d e l p u n t o O n o s e r á ig u al a c e r o ( F d * 0), p o r lo
q u e se p r e s e n ta r á r o ta c ió n a l r e d e d o r d e l p u n to O .
O tr a f o r m a e n la c u a l la re s tric c ió n im p r o p ia c o n d u c e a la in e s ta b ili­
d a d o c u r r e c u a n d o t o d a s la s fu e r z a s r e a c tiv a s s> n p a ra le la s. U n e je m p lo
d e e s t e c a s o s e m u e s tra e n la fig u ra 2 -2 4 . A q u í, c u a n d o s e a p lic a u n a
fu e rz a in c lin a d a P . l a s u m a d e fu e r z a s e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ta l n o s e r á
ig u a l a c e r o .
o
o
r e a c c io n e s c o n c u r re n te s
F ig u ra 2 - 2 3
z
,P
Fa
T
z
F„
r e a c c io n e s p a r a le la s
H g u ra 2-24
2 .4
E n g en era l, u n a e s tr u c tu r a se r á g e o m é tr ic a m e n te in e s ta b le — e s decir, se
m o v e r á lig e r a m e n te o c o la p s a r á — s i h a y m e n o s fu e r z a s d e re a cc ió n q u e
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ; o, s i h a y s u fic ie n te s re a c cio n e s, se p r o d u c ir á in e s ­
ta b ilid a d s i la s lín ea s d e a c c ió n d e la s fu e r z a s d e re a c c ió n se c r u z a n e n u n
p u n to c o m ú n o s o n p a r a le la s e n tr e s í. S i la e s t r u c tu r a s e c o m p o n e d e v a ­
rio s e le m e n to s o c o m p o n e n te s , la in e s ta b ilid a d lo c a l d e u n o o v a rio s d e
e s t o s e le m e n to s p u e d e d e te r m in a r s e g e n e r a lm e n te m e d ia n te in s p e c c ió n .
Si lo s e le m e n to s f o r m a n u n m e c a n is m o c o la p s a b le , la e s t r u c tu r a s e r á
in e s ta b le . A c o n tin u a c ió n s e f o r m a liz a r á n e s to s e n u n c ia d o s p a r a u n a e s­
tr u c tu ra c o p la n a r c o n n e le m e n to s o c o m p o n e n te s y r r e a c c io n e s d e s c o ­
n o c id a s . D a d o q u e h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s p a ra
c a d a e le m e n to o c o m p o n e n t e .s e t i e n e q u e
r <3>n
r a 3n
es in e s ta b le
e s in e s ta b le s i la s r e a c c io n e s d e lo s
e le m e n to s s o n c o n c u r r e n te s o p a r a le lo s
o a lg u n o s d e lo s c o m p o n e n te s f o r m a n u n
m e c a n is m o c o la p s a b le
(2 -4 )
Si la e s tr u c tu r a e s in e s ta b le , n o im p o r ta si e s e s t á tic a m e n te d e t e r m i ­
n a d a o in d e t e r m in a d a . E n to d o s lo s c a so s, e s e tip o d e e s t r u c tu r a s d e b e
e v ita r s e e n la p rá c tic a .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la f o r m a e n q u e la s e s t r u c tu r a s o s u s
e le m e n to s p u e d e n c la s ific a rs e c o m o e s ta b le s o in e s ta b le s . E n e l c a p ítu lo 3
s e a n a liz a r á n la s e s t r u c tu r a s e n la f o r m a d e u n a a r m a d u r a .
E l re fu e rz o e n K s o b re e s te m a rc o
p r o p o rc io n a s o p o r le la te ra l c o n ­
tra el v ie n to y s o p o rte v e rtic a l d e
la s
aso
tra b e s
d e
la
del
p is o . O b s e r v e e l
le c h a d a d e
c o n c re to ,
q u e s e a p lic a p a r a a is la r e l a c e r o
y e v ita r q u e p ie r d a s u rig id e z e n
c a s o d e p r e s e n ta r s e u n in c e n d io .
D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d
53
2
5 4
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
C la s if iq u e c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s q u e s e m u e s t r a n e n la f ig u r a
2 - 2 5 a a 2 -2 5 d c o m o e s t a b le o in e s ta b le . S e s u p o n e q u e las e s t r u c tu r a s
e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s c o n o c id a s .
S O L U C IÓ N
L a s e s t r u c tu r a s s e c la s ific a n d e la m a n e r a in d ic a d a .
(a)
F igura 2 -2 5
E l e l e m e n t o e s e sta b le p u e s to q u e la s r e a c c io n e s n o s o n c o n c u r r e n te s
n i p a ra le la s . T a m b ié n e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m in a d o .
R esp .
tr
(b)
E l e le m e n to e s in e s ta b le p u e s to q u e las tr e s re a c c io n e s s o n c o n c u r r e n ­
te s e n B .
R esp .
r
\
(C)
t
L a v ig a e s in e sta b le p u e s to q u e la s tr e s re a c c io n e s s o n p a ra le la s . R e s p .
f— r
j
D
C
(d)
r
j
r
L a e s t r u c tu r a e s in e sta b le p u e s to q u e r = 7 , n = 3. p o r lo q u e s e g ú n la
e c u a c ió n 2 -4 , r < 3 n , 7 < 9 . A d e m á s , e s t o p u e d e o b s e r v a r s e p o r in s p e c ­
c ió n . y a q u e A B p u e d e d e s p la z a r s e h o riz x )n ta lm e n te sin r e s tric c ió n .
R esp .
2 .4
D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d
PR O B LEM A S
2- 1. 1.a e s tru c tu ra d e a c e ro se u sa p a ra s o s te n e r una
lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re fo rz a d o q u e s e e m p le a en
u n a o ficin a. L a lo s a tie n e 200 m m d e e s p e s o r. D ib u je las
c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s B E y F E D .
C o n s id e r e a — 2 m , b — 5 m . S u g eren cia : V ea las ta b la s
1-2 y 1-4.
2-2.
R e su e lv a e l p ro b le m a 2-1 c o n a = 3 m , b = 4 m.
2 -6. E l m a rc o se u sa p a ra s o p o r ta r u n p iso d e m a d e ra
d e 2 p u lg a d a s d e e sp e s o r e n u n a v iv ie n d a re sid e n c ial. D i­
b u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s
B G y A B C D . C o n s id e re a = 5 p ie s , b = 15 p ies. Sugerend a : V e a las ta b la s 1-2 y 1-4.
2-7. R e su e lv a e l p ro b le m a 2-6. c o n a - 8 p ies, b - 8
pies.
• 2 -8 .
pies.
R e su e lv a e l p ro b le m a 2 -6 , c o n a — 9 p ie s y b — 15
Probs. 2 -1 /2 -2
2-3. E l siste m a d e p iso e m p le a d o e n u n a u la con siste
e n u n a lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re fo rz a d o d e 4 p u lg a ­
das. D ib u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e la v ig u eta
B F y la tr a b e la t e r a l A B C D E . C o n s id e r e a « 10 p ie s ,
b « 3 0 p i e s Sugerencia: V ea la s ta b la s 1-2 y 1-4.
•2 -4 .
pies.
R e su e lv a e l p ro b le m a 2 -3 co n a = 10 p ie s .6 = 15
2-5. R e su elv a e l p ro b le m a 2-3 c o n a - 7 .5 p ie s , b - 20
pies.
Probs. 2-6Z2-7/2-8
2 -9. L a e s tru c tu ra d e a c e ro se u sa p a r a s o p o r ta r u n a
lo sa d e c o n c re to d e p ie d ra re f o rz a d o d e 4 p u lg ad a s, la
c u a l s o s tie n e u n a c a rg a v iv a u n ifo rm e d e 500 Ib /p ie 2. D i ­
b u je la s c a rg a s q u e a c tú a n a lo la rg o d e lo s e le m e n to s
B E y F E D . C o n s id e re 6 - 1 0 p ie s y a - 7 .5 p ies. S u ge­
rencia: C o n su lte la ta b la 1-2.
2- 10 .
R e su elv a e l p ro b le m a 2-9, c o n b — 12 p ies, a — 4
pie&
P to Ik . 2 -3 /2 -4 /2 -S
Probs. 2 -9 /2 -1 0
56
C a p itu lo
2
A n á lis is
de
e s tru c tu ra s
2- 11. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu ra s c o m o e s tá ­
tic a m e n te d e te r m in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a o
in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , e sp e c ifiq u e e l g ra d o de
in d e te rm in a c ió n . L o s s o p o rte s o c o n e x io n e s d e b e n s u je ­
ta r s e a lo s s u p u e s to s in d icad o s.
¿V
e s tá tic a m e n te
d e te rm in a d a s
*2-12. C la sifiq u e c a d a u n o d e lo s m a rc o s c o m o e s tá ti­
c a m e n te d e te r m in a d o s o in d e te rm in a d o s. S i e s in d e te r­
m in a d o , e s p e c ifiq u e e l g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . T odas
las ju n ta s in te rn a s e s tá n c o n e c ta d a s fijam en te.
n i,
(a)
— ------------(a)
0»
(C)
P ro lx 2-11
(d)
Proh. 2-12
2 .4
D e t e r m in a c ió n y e s t a b ilid a d
2-13. C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e stá ­
tic a m e n te d e te r m in a d a , e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a ,
e s ta b le o in e s ta b le . S i e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el
g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . L o s s o p o r te s o c o n e x io n e s
d e b e n s u je ta rs e a lo s s u p u e s to s indicad o s.
(¡rlc u la d ó n
ro d illo
I
Aja
57
a rtic u la c ió n
♦
(a)
articu lació n
a rtic u la ció n
flja
2-15. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e s tá ­
tic a m e n te d e te rm in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a o
in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , e sp e c ifiq u e el g ra d o de
in d e te rm in a c ió n .
0»
jlic u la d ó n
¿rU culaclón
(c)
Proh. 2-13
2-14. G a s if iq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o e s tá ­
tic a m e n te d e te r m in a d a , e stá tic a m e n te in d e te rm in a d a ,
e s ta b le o in e s ta b le . S i e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el
g ra d o d e in d e te rm in a c ió n . I x » s o p o r te s o c o n e x io n e s
d e b e n s u je ta rs e a lo s s u p u e s to s indicad o s.
a rtic u la c ió n
a rtic u la c ió n
ro d illo
(a)
I
¿ ro d illo
‘S)
a rtic u la c ió n r o d il lo ^ - a rtic u la c ió n
(b )
fija
(b)
5 8
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
*2-16. C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu r a s c o m o
e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm i­
nada o in estab le. Si e s in d e te rm in a d a , e s p e c ifiq u e el
g ra d o d e in d e te rm in a c ió n .
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
2 -1 7 . C la sifiq u e c a d a u n a d e la s e s tru c tu ra s c o m o e stá ­
tica m en te d e te rm in a d a , e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a ,
e s ta b le o in e sta b le . Si e s in d e te rm in a d a , e sp e c ifiq u e el
g r a d o d e in d e te rm in a c ió n .
(a)
(a)
<b)
(b)
<c)
(c )
A
&
<d)
P roh. 2 -1 6
(d)
Proh. 2 -1 7
2 .5
2 .5
A p l ic a c ió n d e i a s e c u a c io n e s d e e q u iu b r io
A p lic a c ió n d e las e c u a c io n e s
d e e q u ilib r io
H n fo r m a o c a s io n a l, lo s e le m e n to s d e u n a e s t r u c tu r a s e c o n e c t a n e n t r e s í
d e m o d o q u e la s ju n t a s p u e d e n a s u m ir s e c o m o a rtic u la c io n e s . L o s m a r e o s y la s a r m a d u r a s p a r a c o n s tru c c ió n s o n e je m p lo s típ ic o s q u e s u e le n
fo r m a rs e d e e s t a m a n e r a . Si u n a e s t r u c t u r a c o p l a n a r a r tic u la d a e s t á b ie n
r e s tr in g id a y n o c o n tie n e n in g ú n s o p o r te o e le m e n to a d ic io n a l n e c e s a r io
p a ra e v ita r e l c o la p s o , la s f u e r / a s q u e a c tú a n e n las ju n t a s y s o p o r te s p u e ­
d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te la a p lic a c ió n a c a d a e le m e n to d e las tr e s
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io (2 .F , = 0
=
0 ,X A 1a = 0 ). E s c o m p r e n s ib le
q u e , u n a v e / q u e s e h a y a n c a lc u la d o las f u e r / a s e n la s j u n t a s , s e r á p o s ib le
d e te r m i n a r e l ta m a ñ o d e lo s e le m e n to s , las c o n e x io n e s y lo s s o p o r te s c o n
b a s e e n la s e s p e c ific a c io n e s d e lo s c ó d ig o s d e d is e ñ o .
P a ra il u s t r a r e l m é to d o d e a n á lis is d e fu e rz a s , c o n s id e r e e l m a r c o d e
tr e s e le m e n to s q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 2 6 a ,e l c u a l e s t á s o m e tid o a
las c a r g a s P i y P 2. E n la fig u ra 2 -2 6 6 s e m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e
c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to . E n to t a l h a y n u e v e in c ó g n ita s ; s i n e m ­
b a rg o , p u e d e n e s c r ib ir s e n u e v e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , tr e s p a r a c a d a
e le m e n to , p o r lo q u e e l p r o b l e m a e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d o . P a r a la
s o lu c ió n r e a l ta m b ié n e s p o s ib le , y c o n v e n ie n te a v e c e s, c o n s i d e r a r u n a
p o rc ió n d e l m a r c o o s u to ta lid a d a l m o m e n to d e a p lic a r a lg u n a d e e s t a s
n u e v e e c u a c io n e s . P o r e je m p lo , e n la fig u ra 2 -2 6 c se m u e s tra u n d ia g r a m a
d e c u e r p o lib r e d e to d o e l m a rc o . S e p o d r ía n d e t e r m i n a r las tr e s r e a c c io ­
n e s A ,,A vy C , s o b r e e s te s is te m a a r t ic u l a d o “ r íg id o ” p a r a d e s p u é s a n a ­
liz a r d o s d e c u a lq u ie r a d e s u s e le m e n to s , f ig u r a 2 - 2 6 6 ,y o b t e n e r la s o tr a s
se is in c ó g n ita s . A d e m á s , la s r e s p u e s ta s p u e d e n c o m p r o b a r s e , e n p a r t e
m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e n e l “ te r c e r "
e le m e n to r e s ta n te . E n r e s u m e n , e s te p r o b le m a p u e d e re s o lv e r s e a l e s c r i­
b ir u n m á x im o d e n u e v e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io u s a n d o d ia g r a m a s d e
c u e r p o lib r e d e c u a le s q u ie r e le m e n to s y /o c o m b in a c io n e s d e e le m e n to s
c o n e c ta d o s . S i s e e s c r ib e n m á s d e n u e v e e c u a c io n e s , h a b r ía r e d u n d a n c ia
s o b r e la s n u e v e e c u a c io n e s o r ig in a le s y a lg u n a s d e é s ta s s ó lo s e r v ir ía n
p a r a c o m p r o b a r re s u lta d o s .
D,
Figura 2-26
A,
2
6 0
2
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
C o n s id e r e a h o r a e l m a r c o d e d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tr a e n la fi­
g u r a 2 -2 7 a. A q u í, lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e lo s e le m e n to s m u e s ­
t r a n s e is in c ó g n ita s , fig u ra 2 -2 7 6 ; s in e m b a r g o , e s p o s ib le e s c r ib ir se is
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , tr e s p a r a c a d a e le m e n to , p o r l o q u e d e n u e v o el
p r o b le m a e s e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d o . A l ig u a l q u e e n e l c a s o a n te r io r ,
ta m b ié n p u e d e e m p le a r s e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e t o d o e l m a rc o
p a ra u n a p a r t e d e l a n á lis is , fig u ra 2 -2 7 c . A u n q u e , c o m o s e m u e s tr a , el
m a r c o ti e n e te n d e n c ia a l c o la p s o si n o c u e n ta c o n s u s s o p o r te s , a l g i r a r
s o b r e la a r tic u la c ió n e n R . e s t o n o s u c e d e r á p u e s t o q u e e l s is te m a d e
fu e r z a s q u e a c tú a n s o b r e e l m a r c o to d a v ía p u e d e n m a n t e n e r l o e n e q u il i­
b rio . P o r lo ta n t o , si a s í s e d e s e a , la s se is in c ó g n ita s p u e d e n d e te r m in a r s e
m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a to d o el
m a r c o , fig u ra 2 -2 7 c , y ta m b ié n a l a p li c a r e s t a s e c u a c io n e s a u n o d e su s
e le m e n to s .
L o s d o s e je m p lo s a n te r io r e s m u e s tr a n q u e s i u n a e s t r u c tu r a e s t á b ie n
s o p o r ta d a y n o c o n tie n e n in g ú n a p o y o o e le m e n to a d ic io n a l q u e s e a n e ­
c e s a r io p a r a e v it a r e l c o la p s o , e l m a r c o s e c o n v ie r te e n e s t á tic a m e n te d e ­
te r m in a d o y, p o r lo ta n t o , la s f u e r z a s d e s c o n o c id a s e n lo s s o p o r t e s y
c o n e x io n e s p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io
a p lic a d a s a c a d a e le m e n to . A d e m á s , s i la e s t r u c t u r a s e m a n t ie n e rígida
( n o c o la p s a b le ) a l r e t i r a r lo s s o p o r t e s (f ig u ra 2 -2 6 c ), la s tr e s re a c c io n e s
e n lo s s o p o r te s p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d i a n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s
e c u a c io n e s d e e q u il ib r io a to d a la e s t r u c tu r a . S in e m b a r g o , s i la e s tr u c tu r a
n o p a r e c e s e r ríg id a ( c o l a p s a b l e ) d e s p u é s d e r e t i r a r lo s s o p o r t e s ( f ig u ­
r a 2 - 2 7 c ) ,s e r á n e c e s a r io d e s m e m b r a r la e s t r u c t u r a y c o n s i d e r a r e l e q u il i­
b r io d e lo s e le m e n to s in d iv id u a le s a f i n d e o b t e n e r s u fic ie n te s e c u a c io n e s
p a ra d e t e r m i n a r to d a s la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s .
H g u ra 2-27
2 .5
A p l ic a c ió n d e l a s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a d e t e r m i n a r la s rea c c io n e s e n la s
ju n ta s
e s t r u c tu r a s c o m p u e s ta s p o r e le m e n to s a rtic u la d o s .
D ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
•
D e s e n s a m b le la e s t r u c tu r a y d ib u j e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to .
A d e m á s , p u e d e s e r c o n v e n ie n te c o m p le m e n ta r e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n e l e ­
m e n to c o n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la e s tr u c tu r a . C o n e s t e d ia g r a m a e s p o ­
s ib le d e te r m i n a r t o d a s o a lg u n a s d e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s .
•
R e c u e r d e q u e la s f u e r z a s d e r e a c c ió n c o m u n e s a d o s e le m e n to s a c tú a n c o n m a g n i tu ­
d e s ig u a le s p e r o c o n d ir e c c io n e s o p u e s ta s e n lo s r e s p e c tiv o s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
d e lo s e le m e n to s .
•
D e b e n id e n tif ic a rs e to d o s lo s e le m e n to s d e d o s fu e rz a s . S o b r e e s to s e le m e n to s , i n d e ­
p e n d ie n t e m e n t e d e s u f o r m a , n o a c tú a n c a rg a s e x t e r n a s y, p o r lo ta n to , s u s d ia g r a m a s
d e c u e r p o lib r e s e r e p r e s e n t a n c o n la s fu e r z a s c o lin e a le s ig u a le s p e r o o p u e s t a s a c ­
tu a n d o e n s u s e x tr e m o s .
•
E n m u c h o s c a s o s e s p o s ib le e s t a b le c e r p o r in s p e c c ió n e l s e n tid o c o r r e c to d e la fle c h a
q u e in d ic a la d ir e c c ió n d e u n a f u e r z a o m o m e n to d e s c o n o c id o ; s in e m b a r g o , s i e s to p a ­
r e c e d ifíc il, e l s e n t id o d e la f u e r z a p u e d e s u p o n e r s e a r b itr a r ia m e n te .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
•
C u e n te e l n ú m e r o to t a l d e in c ó g n ita s p a r a a s e g u r a r q u e s e p u e d a e s c r ib ir u n n ú m e r o
e q u iv a le n te d e e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a s u s o lu c ió n . A e x c e p c ió n d e lo s e l e m e n ­
to s d e d o s fu e rz a s , r e c u e r d e q u e g e n e r a lm e n te p u e d e n e s c r ib ir s e tr e s e c u a c i o n e s d e
e q u ilib r io p a r a c a d a e le m e n to .
•
E n m u c h a s o c a s io n e s la s o lu c ió n d e la s in c ó g n ita s s e r á s e n c illa , s i la e c u a c ió n d e m o ­
m e n to
“ O se a p lic a a lr e d e d o r d e u n p u n to ( O ) q u e s e e n c u e n t r e e n la i n t e r s e c ­
c ió n d e la s lín e a s d e a c c ió n d e ta n t a s f u e r z a s d e s c o n o c id a s c o m o s e a p o s ib le .
•
A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e f u e r z a Í F , = 0 y Z F y = 0 , o r i e n t e lo s e je s x y y a lo la rg o
d e la s lín e a s q u e o f r e c e n la re d u c c ió n d e fu e r z a s m á s s im p le e n s u s c o m p o n e n t e s x y y .
•
Si la s o lu c ió n d e las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p r o p o r c io n a u n a m a g n itu d n e g a tiv a p a ra
u n a f u e r z a o m o m e n to d e s c o n o c id o , e s to in d ic a q u e e l s e n t id o d e la f u e r z a e s o p u e s t o
a l q u e s e s u p u s o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re .
62
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E JE M P L O 2 .8
D e te r m in e las re a c c io n e s s o b r e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 2-28a.
60 k
60 i
A
!r
60" k
5 0 k p ie
60*
cos6 0 °k
5 0 k- pi e
7
------------ 10 p ie s ------------ 1-
p
J
10 p ie s
-------- 7 p ie s --------
-4 p ie s -t
»•
(a)
(b)
Figura 2 -2 8
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e rp o líb r e . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 -2 8 6 , la
f u e r z a d e 6 0 k s e r e s u e lv e e n s u s c o m p o n e n t e s x y y . ft>r o t r a p a r t e ,
la lín e a d im e n s io n a l d e 7 p ie s n o e s n e c e s a r ia p u e s t o q u e u n m o m e n to
d e p a r e s u n v e c to r lib r e y. p o r lo ta n t o , p u e d e a c t u a r e n c u a lq u ie r
p u n to d e la v ig a p a r a lo s fin e s d e c a lc u la r las r e a c c io n e s e x te rn a s .
E c u a c io n e s d e e q u flib r io . A l a p li c a r la s e c u a c io n e s 2 -2 e n u n a s e ­
c u e n c ia y a l e m p l e a r lo s re s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v i a m e n t e .s e tie n e
Í
+ Í s f ,
A x ~ 60 eos 60° = 0
2 F X = 0-
A , = 3 0 .0 k
o.
- 6 0 se n 6 0 °(1 0 ) + 6 0 c o s 6 0 ° (1 ) + « ,( 1 4 ) - 50 = 0
0;
- 6 0 s e n 6 0 ° + 3 8 .5 + A .
B f = 3 8 .5 k
R e sp
R esp .
R esp .
13.4 k
E JE M P L O 2 .9
15 k N / r
D e te r m in e las re a c c io n e s s o b r e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 2-29a.
5 k N /n
------------------------------ 1 2 m ------------------------------ 1
(a)
U l0 k N /m K I2 m ) - 6 0 k N
| (5 k N /m )(1 2 m ) =
t e
4
- H -
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e rp o li b r e . G o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 2 -2 9 b ,
la c a r g a tr a p e z o id a l d is tr ib u id a s e d iv id e e n u n a c a rg a tr ia n g u l a r y u n a
c a r g a u n if o r m e . L a s á r e a s b a jo e l tr iá n g u lo y e l r e c tá n g u lo r e p r e s e n ­
t a n la s f u e iz a s r e s u lta n te s. E s ta s fu e r z a s a c tú a n a tr a v é s d e l c e n tr o id e
d e s u s á r e a s c o rr e s p o n d ie n te s .
“ kN
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
S F X = o;
A* = o
R esp .
(b )
+ Í 2 F , = 0;
A y - 60 - 6 0
Figura 2-29
L + 2 M a = 0;
- 6 0 ( 4 ) - 6 0 (6 ) + M A = 0
0
120 k N
R esp .
M A = 6 0 0 k N - m R esp .
2 .5
A p l ic a c ió n d e i a s e c u a c io n e s d e e q u iu b r io
E JE M P L O 2 .1 0
D e te r m in e las r e a c c io n e s s o b r e la v ig a m o s tr a d a e n la f ig u r a 2 -3 (ta.
S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n y e l s o p o r te e n f í e s u n r o d illo ( s u ­
p e rfic ie lis a ).
F igura 2 -3 0
S O LU C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e rp o lib r e . C ó m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3 0 6 .e l
s o p o r te (“ r o d i ll o " ) e n B e je r c e u n a fu e r z a n o r m a l s o b r e la v ig a e n s u
p u n to d e c o n ta c to . L a lí n e a d e a c c ió n d e e s t a f u e r a e s tá d e f i n id a p o r
d tr iá n g u l o 3-4-5 .
(b)
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A l d e s c o m p o n e r N # e n s u s c o m p o n e n ­
te s x y y ,y a l s u m a r lo s m o m e n to s a lr e d e d o r d e A se o b ti e n e u n a s o lu d ó n d ir e c ta p a r a N B. ¿ P o r q u é ? C o n e s t e r e s u lta d o e s p o s ib le o b t e n e r
Ax y A y.
- 3 5 0 0 ( 3 . 5 ) + ( i ) N B( 4 ) + (Í)A rA( 1 0 ) = 0
R esp .
N „ = 1 3 3 1 .5 1 b = 1.33 k
0;
A , _- * (11/3m3 1i . 5o ) = 0n
0;
A , - 3 5 0 0 + f ( 1331.5) = 0
= 1.07 k R e sp .
A y = 2 .7 0 k R esp .
63
6 4
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E JE M P L O 2 .1 1
L a v ig a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 2 - 3 \a e s tá fija e n A .
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n A , B y C . S u p o n g a q u e la c o n e x ió n e n B
e s u n a a rtic u la c ió n y q u e C e s u n ro d illo .
(a )
Figura 2-31
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a s d e c u e r p o lib r e . E n la fig u ra 2 -3 1 6 s e m u e s tr a e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib re d e c a d a s e g m e n to . ¿ P o r q u é e s t e p r o b l e m a e s
e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o ?
#000 ib
6000 Ib • pie
A , — ( j!
A , |—
l O p i e s -—
i “ ^ ^®
i
J1---------- 15 pies---------\
|----- lOpies— I
(b)
E c u a c io n e s d e e q u flib r io . H a y s e is in c ó g n ita s . A l a p li c a r la s s e is
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io y e m p l e a r lo s re s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v i a ­
m e n te , s e ti e n e
S e g m e n to B C \
5,+ Z M c = O.
+ t Z F , = 0;
6 0 0 0 + f l ,( 1 5 ) = 0
By
-4 0 0 + Cy = 0
4001b
R esp .
4001b
R esp .
R esp .
% - Z F , = 0;
S e g m e n to A B :
l + S M * = O.
M a ~ 8 0 0 0 (1 0 ) + 4 0 0 (2 0 ) =
M a = 7 2 .0 k - p ie
0
;
0;
R esp .
A y - 8000 + 400 = 0
A,
7 .6 0 k
R esp .
At - 0 = 0
At
0
R esp .
2 .5
A p l ic a c ió n d e i a s e c u a c io n e s d e e q u iu b r io
E JE M P L O 2 .1 2
D e te r m in e las c o m p o n e n te s h o r iz o n ta l y v e r tic a l d e r e a c c ió n e n la s
a rtic u la c io n e s A , B y C cfcl m a r c o d e d o s e le m e n to s q u e s e m u e s tr a e n
b fig u ra 2 -3 2 a.
F igura 2 -3 2
S O L U C IÓ N
Diagramas da cuerpo libre. E n la fig u ra 2 -3 2 b s e m u e s tr a e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a e le m e n to .
Ecuaciones de equilibrio. 1.a a p lic a c ió n d e la s s e i s e c u a c i o n e s d e
e q u ilib r io e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia p e r m it e u n a s o lu c ió n d i r e c t a p a ra
c a d a u n a d e la s se is in c ó g n ita s .
E le m e n to B C :
L + S A fc = 0;
~ B y{ 2 ) + 6 ( 1 ) = 0
By = 3kN
R esp .
- 8 ( 2 ) - 3 (2 ) + B , { 1 .5 ) = 0
B , = 14.7 k N
R esp .
A x + ^ (8 ) -
14.7 = 0
A , = 9.87 k N
R esp .
= 0
A y = 9 .4 0 k N
R esp .
E le m e n to A B :
J .+ 2 M Á = 0 .
= 0;
+ Í Z F y = 0;
A y - Í(S) - 3
E le m e n to BC :
- ¿ Z F , = 0.
14.7 - C , = 0
C , = 14.7 k N
R e sp .
+ Í 2 F , = 0;
3 - 6 + Cy = 0
Cy = 3 kN
R esp .
6 6
C a p it u l o
E JE M P L O
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
2 .1 3
E l la d o d e la c o n s t r u c c i ó n q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 2 - 3 3 a e s t á
s o m e ti d o a u n a c a r g a d e v ie n to q u e c r e a u n a p r e s ió n u n if o r m e n o r ­
m a l d e 15 k P a s o b r e e l la d o e n b a r lo v e n to y u n a p r e s ió n d e s u c c ió n d e
5 k P a e n e l la d o e n s o ta v e n to . D e te r m in e las c o m p o n e n t e s h o r iz o n ta l
y v e r tic a l d e la re a c c ió n e n la s c o n e x io n e s a r t ic u la d a s A , R y C e n e l
a rc o a d o s a g u a s q u e d a s o p o r te a la c o n s tru c c ió n .
(a)
Figura 2 -3 3
S O L U C IÓ N
C o m o la c a r g a e s t á d is tr i b u id a u n if o r m e m e n te , e l a r c o c e n tr a l a d o s
a g u a s s o p o r ta u n a c a rg a q u e a c tú a s o b r e la s p a r e d e s y e l te c h o d e l
á r e a tr ib u t a r ia q u e s e m u e s tr a c o n u n s o m b r e a d o o s c u ro . E s to r e p r e ­
s e n t a u n a c a r g a d is tr ib u id a u n if o r m e d e (1 5 k N /m ?)(4 m ) = 6 0 k N /m
e n e l la d o d e b a r lo v e n to y ( 5 k N /m 7)(4 m ) = 2 0 k N /m e n e l la d o d e s o ­
ta v e n to , fig u ra 2 -3 3 6 .
2 .5
A p l ic a c ió n d e i a s e c u a c io n e s d e e q u iu b r io
D ia g ra m a s d e c u e r p o lib r e . Si se s im p lific a n la s c a r g a s d is tr i b u i­
d a s. lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re d e to d o e l m a r c o y c a d a u n a d e s u s
p a r te s s o n c o m o s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 2-33c.
Br
B
8 4 .9 ki N
M.v
2 5 4 .6 k N 2.12
« i *
B .J
B.
A
*
45 m
6 0 kN
180 k N
15 m
r
A.
r n - 4 - l "
* 1 .5 m
15 m
(c )
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s o lu c ió n d e e c u a c io n e s s im u ltá n e a s
se e v it a a l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io e n la s e c u e n c ia s i­
g u ie n te y u s a n d o lo s r e s u lta d o s c a lc u la d o s p r e v ia m e n te .*
M a r c o c o m p le to :
t + I M * = O.
- ( 1 8 0 + 6 0 ) ( 1 .5 ) -
(2 5 4 .6 + 8 4 . 9 ) e o s 4 5 ° ( 4 .5 )
- (2 5 4 .6 s e n 4 5 ° ) ( 1.5) + (8 4 .9 s e n 4 5 ° ) ( 4 .5 ) + C , { 6 ) = 0
C y = 2 4 0 .0 k N
+ 1 Z F y = 0;
R esp .
- A y - 2 5 4 .6 s e n 4 5 ° + 8 4 .9 s e n 4 5 ° + 2 4 0 .0 =
A y = 1 2 0 .0 k N
0
R esp .
E le m e n to A B :
\ , + Z M b = 0;
- A t ( 6 ) + 1 2 0 .0 (3 ) + 1 8 0 (4 .5 ) + 2 5 4 .6 (2 .1 2 ) = 0
A , = 2 8 5 .0 k N
- i 1 F , = 0;
R esp .
Bt = 0
- 2 8 5 . 0 + 180 -f 2 5 4 .6 e o s 4 5 ° B x = 7 5 .0 k N
+ ]'Z F y = 0;
R esp .
- 1 2 0 . 0 - 2 5 4 .6 s e n 4 5 ° + B y = 0
B y = 3 0 0 .0 k N
R esp .
E le m e n to C B:
-4
=
0;
-C , +
6 0 4- 8 4 .9 e o s 4 5 °
C x = 1 9 5 .0 k N
+
7 5 .0
=
0
R esp .
• E l p r o b le m a t a m b ié n p u e d e re s o lv e rs e a l a p lic a r la s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib rio s ó lo
a lo s d o s e le m e n to s . S i s e h a c e c s to .c s r e c o m e n d a b le s u m a r p rim e r o lo s m o m e n to s a l ­
r e d e d o r d e l p u n t o A « o b re e l e le m e n to / l f i .d c s p u é s lo s d e l p u n t o C s o b r e e l e le m e n to
C B . D e e s t a m a n e r a r e s u lta n d o s e c u a c io n e s q u e d e b e n re s o lv e rs e s im u ltá n e a m e n te
p a ra o b te n e r B , y B r
C,
67
68
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
REPA SO D EL C A P ÍT U L O
S o p o rtes—A m enudo se su p o n e q u e lo s e lem en to s e stru ctu ra le s d e b e n e sta r c o n e c ta d o s m ed ian te a rticu lacio n es si e n tre
ellos p u ed e o c u rrir u n a ro tació n relativa leve, y q u e d e b e n e sta r co n e cta d o s fijam ente si la ro tació n n o e s posible.
sd d ad u ra
c o stilla s
s o ld a d u r a
c o n e x ió n “ a r tic u la d a ” típ ic a ( d e m e ta l)
c o n e x ió n “ f ija " típ ic a ( d e m e ta l)
E stru ctu ras idealizadas—O ta n d o se realizan su p u esto s acerca de so p o rtes y conexiones, al considerar p o r ejem p lo q u e so n
rodillos, articulaciones o fijos, los e le m e n to s p u e d e n rep re se n ta rse co m o líneas, p o r lo q u e e s posible esta b le c er u n m o d e lo
idealizado q u e p u ed e usarse e n e l análisis.
c
E L
T
v ig a id e a liz a d a
v ig a re a l
L as cargas tributarías so b re losas p u e d e n d e term in arse al clasificar, en p rim e r lugar, la losa c o m o e n u n a d irecció n o e n d o s
direcciones. C o m o reg la g e n e ra l, si L? es la d im en sió n m ás g ra n d e y L j / L t > 2, la losa se c o m p o rta rá com o u n a losa en
u n a dirección. Si ¿ / Z . , < 2. la losa se c o m p o rta rá c o m o u n a losa en d o s direcciones.
la a c c ió n d e u n a lo s a e n u n a
d ire c c ió n r e q u ie r e q u e L 3/ L i >
la a c c ió n d e u n a lo s a e n d o s
2
d ir e c c io n e s r e q u ie r e q u e L 2/ L , s 2
R
e p a s o d e l c a p it u l o
69
Principio d e s u p e r p o s ic ió n - L as c arg as o los despla7am ienios p u e d e n sum arse siem p re q u e e l m aterial se a elástico lineal
y q u e sólo o c u rra n p e q u eñ o s d esp lazam ien to s d e la estru ctu ra.
E qu itibrio L as estru c tu ra s estáticam ente d e te rm in a d as p u ed en an aliz arse al d esen sam b la rlas y a l a p lic a r las ecu acio n es
de eq uilibrio a cada elem en to . E l análisis d e u n a e stru ctu ra estáticam ente d ete rm in a d a re q u iere, p rim ero , d ib u ja r e l d ia­
g ram a d e cuerp o libre de to d o s lo s elem e n to s, p a ra d e sp u é s a p lic a r las ecu acio n es d e equilibrio a c a d a ele m e n to .
2 F . - 0
2Fy = o
ZMo = 0
E l núm ero d e ecuacio n es d e e q u ilib rio p a ra lo s n e le m e n to s de u n a estru ctu ra e s 3n . Si la estructura tien e r reacciones, e n ­
to n ces la estru c tu ra e s estáticamente d eterm inada si
r »3n
y estáticamente indeterm inada si
r >3n
E l núm ero adicional d e ecu acio n es n ecesarias p a ra o b te n e r la solución se conoce com o e l g ra d o d e indeterm inación.
E stabilidad —Si h a y m e n o s reac c io n es q u e ecu acio n es d e equilibrio, en to n c e s la e stru c tu ra será inestable p o rq u e e stá res­
tringida parcialm ente.T am bién p u ed e p re se n ta rse una inestabilidad d e b id a a las restricciones im propias, si las lín eas de a c ­
ción d e las reacciones so n c o n c u rre n tes e n u n p u n to o p a ralelas e n tre sí.
T'
rea c c io n e s c o n c u r r e n te s
re a c c io n e s p a ra le la s
7 0
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
PR O BLEM AS FU N D A M E N TA LE S
F 2 -1 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de
la reacción e n las articu lacio n es A . B y C .
¥ 2 -4 . D eterm in e las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de
la reacción e n el so p o rte d e ro d illo s A y e n el so p o rte fijo R.
F 2 -5 . D eterm in e las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de
la reacción e n las articu lacio n es A , B y C del m arco d e d o s
elem entos.
F 2 -2 . D eterm ine las com p o n en tes h o riz o n ta l y v ertical de
la reacción e n las articu lacio n es A , B y C.
3 0 0 Ib
10 k N /m
F2-Ó. D eterm in e las c o m p o n e n te s d e la reacción e n e l s o ­
p o rte d e ro d illo s A y e n la articu lació n C. La ju n ta B está
co n ec ta d a fijam ente.
F 2 -3 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de
la reacción e n las articu lacio n es A , B y C.
6kN
P roblem as r jn d a m e n t a ie s
R - 7 . D eterm ine las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de
la reacción e n las articu lacio n es A , B y D d e l m arco d e tres
elem entos. La ju n ta e n C está c o n e c ta d a fijam ente.
8 kN
6k N
F 2-8
F2-9. I ^ te r m in e las com ponentes de la reacción e n el s o ­
p o rte fijo D y e n las articu lacio n es A . B y C d ¿ \ m a rc o d e tres
elem entos. N o to m e e n cu en ta e l espesor d e los e le m e n to s
8 kN
F2-8. D eterm ine las co m p o n en tes d e la reacción e n el s o ­
p o rte fijo D y e n las articu lacio n es A . B y C del m a rc o de tres
elem entos. N o to m e en cu e n ta e l espesor d e los elem en to s.
6k N
71
2 k/pie
F2-10. D eterm ine las com ponentes de la reacción e n el s o ­
porte fijo D y en las articulaciones A , li y C del m arco d e tres
e lem en to s N o tom e en cu e n ta el espesor d e los elem entos
8 kN
8 kN
F 2 -I0
7 2
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
PR O BLEM AS
2 -1 8 . D eterm ine las reacciones so b re la viga. N o to m e en
cu en ta s u espesor.
2 -2 1 . D eterm in e las reaccio n es e n lo s s o p o rte s A y B de la
viga co m p u esta. S uponga q u e e n C hay una articulación.
18 IN
20 k N
Í
Hr
É
LJa
20 kN
*-"
- J«
- . . P rob. 2 -1 8
2 -1 9 .
D eterm ine las reaccio n es so b re la viga.
2 -2 2 .
D e te rm in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s A , B . D
yf.
3k/pie
2 p ies
Prob. 2 -2 2
•2 -2 0 .
D eterm ine las reaccio n es so b re la viga.
2 -2 3 . La viga co m p u esta se sostien e m ed ian te u n a a rtic u ­
lación e n C y e stá ap o y ad a so b re un rod illo e n A y B . H ay
una b isag ra (articulación) e n D . D eterm in e las reaccio n es
en lo s soportes. N o to m e en cu e n ta el esp eso r d e la viga.
2 k /p ie
I
A
A
4 k
6
p ies
\
12 k
D
4
S 1 " '
«
2.
P
é
C
- -D 8ie s-^L'o ie8s HJ
p ie s — - p ¡ e s - » - p i e a -
p ie s
P ro b . 2 -2 3
PfOBlEMAS
•2 -2 4 . D eterm ine las reacciones so b re la viga. P uede suponerse q u e e l so p o rte e n B e s un rodillo.
7 3
2 -2 7 . La viga co m pu esta e stá fija e n A y se sostien e m ed ian tc un o scilad o r e n tí y C . H ay bisag ras (articulaciones)
e n D y E . D eterm in e las reacciones e n los soportes.
15 kN
P ro h .2 -2 4
2 -2 5 . D eterm ine las reaccio n es e n e l s o p o rte liso C y en el
so p o rte articu lad o .4. S uponga q u e la ju n ta e n fle s tá conec­
ta d a fijam ente.
•2 -2 # . D eterm in e las reaccio n es e n los s o p o rte s A y tí.
L as cu b ie rtas C D . D E . E F y F G d e l piso tran sm iten su s c ar­
gas a la tra b e so b re so p o rte s lisos. S uponga q u e A es u n r o ­
dillo y q u e tí es u n a articulación.
10 k
3 k /p ic
n
1
1
Í 3pi
u1 ,
1
U
1[
ir
i
I
ar
P ro b .2 -2 5
4
4
4
4
p ies
p ies
p ies
p ie s
P ro b .2 -2 #
2-26. D eterm ine las reaccio n es e n lo s so p o rte s A y B d e la
arm adura. L a c a rg a d istrib u id a e s c a u sa d a p o r e l viento.
2 -2 9 . D eterm in e las reaccio n es e n los so p o rte s A y tí d e la
viga co m p u esta. H ay u n a articulación e n C.
P ro h .2 -2 6
P ro b , 2 -29
74
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
2 -3 0 . D eterm in e las reaccio n es e n lo s s o p o rte s A y B de la
viga com puesta. Hay una articulación e n C
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
2 -3 3 . D eterm in e las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de
la reacción q u e a c tú a e n lo s s o p o rte s A y C.
2 k N /m
2 -3 1 . La viga está so m etid a a las d o s cargas co n c en tra d a s
com o se m u e s tra n e n la figura. Si se su p o n e q u e e l cim iento
ejerce u n a distribución de carga q u e v aría linealm cnte e n el
fondo, d eterm in e las intensidades d e c a rg a h'i y w 2 necesa­
ria s p a ra e l eq uilibrio (a ) e n térm in o s d e los p a rá m e tro s
m ostrados, y (b ) co n sid eran d o P = 500 Ib, L = 1 2 pies.
2P
P r o h 2-31
2 -3 4 . D eterm in e las reac c io n es e n e l so p o rte liso A y e n el
so p o rte artic u la d o B . La ju n ta e n C está c o n e c ta d a fija­
m ente.
*2-32. La z a p a ta superficial se u sa p a ra s o s te n e r una
p ared cerca d e s u b o rd e A , de m an era q u e causa u n a p r e ­
sión u niform e d el suelo d e b a jo d e la zap ata. D ete rm in e las
cargas uniform em ente d istrib u id a s wA y wB m edidas en
Ib/pie so b re las alm o h ad illas A y B ,necesarias p a ra so p o rta r
las fuerzas d e la p ared de 8000 y 2 0 000 lib ras
200001b
P r o h 2 -3 2
P r o h 2 -3 4
PfOBlEMAS
2-35.
D eterm ine las reaccio n es en lo s so p o rte s A y /?.
7 5
2 -3 7 . D eterm ine las c o m p o n e n tes d e fu erza h o rizo n tal y
v ertic a l e n las a rticu lacio n es A y C del m arco d e d o s e le ­
m entos.
200 N/r
P ro h . 2-35
•2 -3 6 . D eterm ine las co m p o n en tes h o rizo n tal y vertical
d e la reacción e n los s o p o rte s A y B . S uponga q u e las ju n tas
e n C y D so n con ex io n es fijas.
2-38. 1.a grúa de p a re d so p o rta una c arg a d e 700 Ib. D e­
term in e las co m p o n en tes h o riz o n ta l y v ertical d e la reac­
ció n en las articu lacio n es A y D . A dem ás, ¿cu ál e s la fu erza
d el cab le e n W su jeto al m alacate?
7001b
P ro h . 2-38
7 6
C a p it u l o
2
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
2 -3 9 . D eterm in e las fuerzas resu ltan tes e n las articu lacio ­
nes B y C sobre e l e le m e n to A B C del m arco de c u a tro e le ­
m entos.
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
2 -4 1 . D eterm in e las reaccio n es verticales y h o rizo n tales
en las co n ex io n e s A y C del m a rc o a d o s aguas. S u p o n g a que
A , B y C so n conexiones articuladas. L as c arg as c o n c en tra ­
das, c o m o D y E se ap lican e n fo rm a p erp en d icu lar a la
linea cen tral de c a d a trab e.
Prob. 2-41
*2-40. D eterm ine las reacciones e n los so p o rte s A y D .
S uponga q u e A e stá fijo y q u e B . C y D e stá n articuladas.
2-42. D ete rm in e las co m p o n en tes h o rizo n tal y vertical de
la reacción e n A , C y D . S uponga q u e el m arco e stá articu ­
lado e n A , C y D , y q u e h a y u n a ju n ta co n ec ta d a fijam ente
en B.
* . kN
j--1.5 m-^ - -2 m
40 kN
-^ - 1.5 m -•
15 kN/m
T
4m
6m
P rob. 2 -4 0
P rob. 2 -4 2
P fO B L E M A D E PR O YEC TO
77
2-43. D eterm ine las c o m p o n e n te s h o rizo n ta l y v ertical e n
A . tí y C. S uponga q u e e l m a rc o está articu lad o e n esto s
puntos. L as ju n ta s e n D y E están co n ectad as fijam ente.
*2-44. D eterm in e las reaccio n es e n los s o p o rte s A y tí.
l a s ju n ta s e n C y D e stá n c o n ectad as fijam ente,
P ro h . 2-43
P ro h . 2-44
P R O B L E M A DE P R O Y E C T O
2-1P. E l p u e n te ferro v iario d e caballetes q u e se m u estra
e n la fo to g rafía se sostiene m ed ian te pilas d e c o n creto re­
forzado. S u p on ga q u e las d o s trab es laterales sim plem ente
apoyadas, la b ase d e la vía y los d o s carriles, tie n en u n peso
d e 0.5 Ic/pie y q u e la carga im p u e sta p o r u n tre n e s d e 7.2
k/pic (vea la figura 1-11). C a d a viga tiene 2 0 p ie s d e largo.
A plique la carg a so b re to d o e l p u e n te y d ete rm in e la fuerza
d e com p resió n e n las co lu m n as d e c a d a pila. P ara e l análisis,
suponga q u e to d a s las ju n tas e stán articu lad as y n o to m e en
cu en ta el p eso d e la p ila ¿E sto s su p u esto s s o n reales?
Las fuerzas en los ele m e n to s d e este p u e n te p u e d e n analizarse a p lic a n d o el
m é to d o de los no do s o e l m é to d o de las secciones.
3
Análisis de armaduras
estáticamente
determ inadas
En e s te c a p ít u lo s e d e s a rro lla rá n lo s p r o c e d im ie n to s p a ra a n a liz a r a r­
m a d u ra s e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a s s ig u ie n d o e l m é t o d o d e lo s
n o d o s y el d e la s s e c c io n e s . S in e m b a r g o , p r im e r o se a n a liz a rá n la d e ­
te r m in a c ió n y la e s ta b ilid a d d e u n a a rm a d u ra . D e s p u é s s e c o n s id e ra rá
el a n á lis is d e tr e s tip o s d e a rm a d u ra s p la n a s : s im p le s , c o m p u e s ta s y
c o m p le ja s . P o r ú ltim o , a l fin a l d e l c a p ítu lo s e re a liz a rá e l a n á lis is d e
u i a a rm a d u ra e s p a c ia l.
.
3 .1
T ip o s c o m u n e s d e a rm a d u ra s
U n a a r m a d u r a e s u n a e s t r u c tu r a c o m p u e s ta d e e le m e n to s d e lg a d o s u n i­
d o s e n su s e x tr e m o s . L o s e le m e n to s q u e se u s a n c o m ú n m e n te e n la c o n s ­
tr u c c ió n c o n s is te n e n p u n t a l e s d e m a d e r a , b a r r a s d e m e ta l, á n g u lo s o
c a n a le s . I.a s c o n e x io n e s e n la s ju n t a s s u e l e n f o r m a r s e a l e m p e r n a r o s o l­
d a r lo s e x tr e m o s d e lo s e le m e n to s a u n a p la c a c o m ú n , lla m a d a p la c a d e
e m p a lm e , c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -1 , o s im p le m e n te p a s a n d o u n
p e r n o o u n p a s a d o r d e g r a n ta m a ñ o a tr a v é s d e c a d a u n o d e lo s e le m e n ­
tos. I j i s a r m a d u r a s p la n a s s e u b ic a n e n u n s o l o p la n o y a m e n u d o s e e m ­
p le a n c o m o s o p o r te ( a p o y o ) d e te c h o s y p u e n te s .
!!!
t - v X / i.
t flL
l a p la c a d e e m p a l m e s e u s a p a r a c o n e c t a r
o c h o e le m e n to s d e la a r m a d u r a q u e s o p o r ta
la e s t r u c t u r a d e u n t a n q u e d e a g u a .
F igura 3-1
79
8 0
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
c u e r d a s u p e r io r
c u e r d a in fe rio r
es efím ero
3
R g u ra 3 -2
A rm aduras d e te c h o . L a s a r m a d u r a s d e te c h o s e s u e l e n u tiliz a r
c o m o p a r t e d e u n m a r c o d e c o n s tr u c c ió n in d u s tr ia l, c o m o e l q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 . E n e s t e c a s o , la c a r g a d e l te c h o s e tr a n s m i te a la
a r m a d u r a e n la s ju n t a s a tr a v é s d e u n a s e r i e d e la r g u e r o s . I>a a r m a d u r a
d e te c h o , j u n t o c o n s u s c o lu m n a s d e s o p o r te s e d e n o m i n a ca b a lle te . P o r
lo g e n e r a l , la s a r m a d u r a s d e te c h o s e s o s tie n e n ta n t o p o r c o lu m n a s d e
m a d e r a , a c e r o o c o n c r e t o r e f o r z a d o , o p o r m e d io d e m u ro s d e m a n ip o s ­
te r ía . P a r a m a n t e n e r e l c a b a l le te ríg id o y, p o r lo ta n t o , c a p a z d e re s is tir
la s f u e r z a s h o r iz o n ta le s d e l v ie n to , e n o c a s io n e s s e u s a n e s q u in e r o s e n las
c o lu m n a s d e s o p o r te . E l e s p a c io e n t r e lo s c a b a lle te s a d y a c e n te s s e c o ­
n o c e c o m o b a h ía . L a s b a h ía s e s t á n e c o n ó m ic a m e n te e s p a c ia d a s a u n o s
15 p ie s (4 .6 m ) p a r a c la r o s a l r e d e d o r d e 6 0 p ie s (1 8 m ) , y c e r c a d e 2 0 p ie s
(6.1 m ) p a r a c la r o s d e 100 p ie s ( 3 0 m ). C o n fr e c u e n c ia , la s b a h ía s e s t á n
u n id a s e n t r e s í m e d ia n te r e f u e r z o s d ia g o n a le s a fin d e m a n t e n e r la r i g i­
d e z d e l a e s t r u c t u r a d e l e d ific io .
L a s a r m a d u r a s e m p le a d a s p a r a s o p o r ta r te c h o s se s e le c c io n a n c o n
b a s e e n e l c la r o , l a p e n d ie n t e y e l m a te r ia l d e l te c h o . A lg u n o s d e lo s tip o s
d e a r m a d u r a s u tiliz a d o s c o n m a y o r fre c u e n c ia se m u e s tra n e n la fig u ra 3-3.
E n p a r t ic u l a r , la a r m a d u r a d e t i je r a s , fig u ra 3-3<?, p u e d e u s a r s e p a r a c la ­
ro s c o r to s q u e r e q u i e r e n u n e s p a c io s u p e r io r . L as a r m a d u r a s H o w e y
P r a t t, f ig u r a s 3b y 3 -3 c , s e u s a n p a ra te c h o s d e c la r o m o d e r a d o , a p r o x i­
m a d a m e n te e n tr e 6 0 p ie s ( 1 8 m ) y 100 p ie s (3 0 m ) . S i s e r e q u ie r e n c la r o s
m á s g r a n d e s p a r a s o s te n e r e l te c h o p u e d e n e m p le a r s e la s a r m a d u r a s d e
a b a n ic o o F in k , fig u ra s 3 -3 d y 3 -3 e . E s ta s a r m a d u r a s p u e d e n c o n s tr u ir s e
c o n u n a c u e r d a in f e r io r c o n v e x a .c o m o l a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -3f.
Si s e s e le c c io n a u n te c h o p la n o o c a s i p la n o , a m e n u d o s e u s a la a r m a ­
d u r a W a rr e n , f ig u r a 3 -3 g . A d e m á s , la s a r m a d u r a s H o w e y P r a t t ta m b ié n
p u e d e n m o d ific a rs e p a r a te c h o s p la n o s . L a s a r m a d u r a s d e s i e r r a , fig u ra
3 -3 /i,s u e le n e m p le a r s e d o n d e e l e s p a c io e n t r e c o lu m n a s n o e s o b je ta b le y
la ilu m in a c ió n u n if o r m e e s im p o r ta n te . U n a fá b r ic a te x til s e r ía u n e je m ­
p lo . L a s a r m a d u r a s d e c u e r d a s , f ig u r a 3 -3 i , s e s e le c c io n a n e n o c a s io n e s
A u n q u e s o n m á s d e c o ra tiv a s q u e e s tr u c tu r a ­
le s , e s ta s a r m a d u r a s P r a t t s im p le s s e u s a n
p a r a la e n t r a d a d e u n e d ific io .
p a r a ta lle r e s y h a n g a r e s d e a v io n e s p e q u e ñ o s ; y la a r m a d u r a d e a r c o , fi­
g u ra 3 -3 /, a u n q u e e s r e l a tiv a m e n te c o s to s a , p u e d e u s a r s e p a r a c o n s t r u c ­
c io n e s c o n g r a n d e s a lt u r a s y c la r o s a m p lio s c o m o e n c a s a s d e c a m p o ,
g im n a sio s, e tc é te r a .
3 .1
T p o s comunes de armaduras
le c h o ^
81
¡e c h o n a
^ Y*/ \
/ /
\
v c n ,a n a
- í ^
d e s ie r r a
<h)
arco de tres bisagras
0)
/ /
\v e n ia n a
8 2
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
re fu e rz o
la te ra l
s u p e r io r
re fu e rz o
a ( n tr a la d e o
c u e r d a s u p e r io r
re fu e rz o
d e p o r ta l
la rg u e ro s
c u b ie r ta
p o s le fin a l
d e p o r ta l
A rm aduras de p u e n te .
Para soportar este puente se usan
arm aduras Parker.
E n la fig u ra 3 -4 s e m u e s tr a n lo s p r i n c ip a ­
le s e le m e n to s e s tr u c tu r a le s d e u n a a r m a d u r a d e p u e n t e tí p ic a . A q u í
p u e d e o b s e r v a r s e q u e u n a c a r g a s o b r e la c u b ie r ta s e tr a n s m ite e n p r i m e r
lu g a r a lo s la r g u e ro s, d e s p u é s a la s vig a s d e p i s o y. f in a lm e n te , a la s ju n ta s
d e las d o s a rm a d u ra s la te ra le s d e s o p o r te . L a s c u e rd a s s u p e r io r e in f e r io r de
la s v ig a s la te r a le s s e c o n e c t a n m e d ia n te lo s re fu e r z o s la tera le s s u p e r io r e
in f e rio r , q u e s i r v e n p a r a re s is tir la s f u e r z a s la te r a le s c a u s a d a s p o r e l
v ie n to y e l d e s p la z a m ie n to la t e r a l c a u s a d o p o r lo s v e h íc u lo s e n m o v i­
m i e n to s o b r e e l p u e n te . L o s so p o r te s d e p o r t a l y c o n tr a la d e o p r o p o r c io ­
n a n e s ta b ilid a d a d ic io n a l. A l ig u a l q u e e n e l c a s o d e m u c h a s a r m a d u r a s
d e c la r o a m p lio , e n u n e x tr e m o d e la a r m a d u r a d e p u e n te s e e n c u e n t r a
u n r o d illo p a r a p e r m it ir la e x p a n s ió n té rm ic a .
E n la f ig u r a 3 -5 s e m u e s tr a n a lg u n a s d e la s f o r m a s típ ic a s d e a r m a d u ras d e p u e n te q u e s e u s a n a c tu a lm e n t e p a r a c la r o s in d iv id u a le s . E n p a r tic u la r, la s a r m a d u r a s P r a tt. H o w e y W a r r e n s e u s a n n o r m a lm e n te p a r a
d a r o s d e h a s t a 2 0 0 p ie s (61 m ) d e lo n g itu d . 1.a fo r m a m á s c o m ú n e s la a r ­
m a d u ra W a r r e n c o n v e rtic a le s , f ig u r a 3 -5 c. P a r a c la r o s m a y o r e s s e u s a
u n a a r m a d u r a c o n u n a c u e r d a s u p e r io r p o lig o n a l, c o m o la a r m a d u r a P a r ­
k e r, f ig u r a 3 - 5 d ,a f i n d e lo g r a r a h o r r o s e n m a te r ia l. 1.a a r m a d u r a W a r r e n
c o n v e rtic a le s ta m b ié n p u e d e fa b r ic a rs e d e e s t a m a n e r a p a r a c la r o s d e
h a s ta 3 0 0 p ie s (9 1 m ). L a m a y o r e c o n o m í a e n m a te r ia l s e o b ti e n e s i las
d ia g o n a le s ti e n e n u n a in c lin a c ió n e n t r e 4 5 ° y 6 0 ° r e s p e c to a la h o riz o n ta l.
Si e s t a r e g l a s e m a n tie n e , e n to n c e s p a r a c la r o s d e m á s d e 3 0 0 p ie s (9 1 m ),
la p r o f u n d id a d d e la a r m a d u r a d e b e a u m e n ta r y. e n c o n s e c u e n c ia , e l p a n e l
se a la r g a r á . E s to s e tr a d u c e e n u n s is te m a d e c u b ie r ta p e s a d a y, p a r a
m a n te n e r e l p e s o d e la c u b ie r ta d e n t r o d e lo s lím ite s to le r a b le s , s e h a n
d e s a r r o ll a d o a r m a d u r a s s u b d iv id id a s . E n tr e lo s e je m p lo s m á s c o m u n e s
e s tá n las a r m a d u r a s B a ltim o r e y W a rre n s u b d iv id id a s , f ig u r a s 3 -5 e y 3 - 5 /
R k ú ltim o , la a r m a d u r a K q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 3 -5 g ta m b ié n
p u e d e u tiliz a rs e e n lu g a r d e u n a a r m a d u r a s u b d iv id id a . d a d o q u e c u m p le
e l m ism o p r o p ó s ito .
(a)
W u rrc n (con verticales)
(c)
W a r rc n s u b d iv x lid a
(0
annadura K
(g)
Figura 3 -5
8 4
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
S upuestos para e l diseño.
P a r a d is e ñ a r ta n t o lo s e le m e n to s
c o m o la s c o n e x io n e s d e u n a a r m a d u r a , a n te s h a y q u e d e t e r m i n a r la
f u e r z a d e s a r r o lla d a e n c a d a e le m e n to c u a n d o la v ig a e s t á s o m e tid a a u n a
c a r g a d a d a . A e s t e r e s p e c to s e h a r á n d o s s u p u e s to s im p o r ta n te s c o n e l fin
d e id e a liz a r la a r m a d u r a .
1.
L o s e le m e n to s e stá n u n id o s m e d ia n te p a s a d o r e s liso s. E n lo s c a s o s
e n q u e s e u s a n c o n e x io n e s a to r n illa d a s o s o ld a d a s , e s te s u p u e s to
su e le s e r s a tis f a c to r io s ie m p r e q u e las lín e a s c e n tr a le s d e lo s e l e ­
m e n to s u n id o s s e a n c o n c u r r e n te s e n u n p u n to , c o m o e n la fig u ra 3-1.
S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e la s c o n e x io n e s r e a le s le
d a n u n p o c o d e r ig id e z a la a r tic u la c ió n y e s to a s u v e z in tr o d u c e la
fle x ió n d e lo s e le m e n to s c o n e c t a d o s c u a n d o la v ig a e s t á s o m e t i d a a
u n a c a r g a . E l e s f u e r z o f le x io n a n te ( o d e f le x ió n ) d e s a r r o ll a d o e n lo s
e le m e n to s s e d e n o m i n a e s fu e r z o s e c u n d a r io , m ie n tr a s q u e e l e s ­
fu e rz o e n lo s e le m e n to s d e l a a r m a d u r a id e a liz a d a , q u e ti e n e n j u n ­
ta s a r t ic u l a d a s .s e lla m a e s fu e r z o p r im a r io . U n a n á lis is d e l e s f u e r z o
s e c u n d a r io d e u n a a r m a d u r a se p u e d e e fe c tu a r u tiliz a n d o u n a c o m p u ­
ta d o r a , c o m o s e e x p lic a e n e l c a p ítu lo 16. P a r a a lg u n o s tip o s d e g e o ­
m e tría s d e a r m a d u r a e s to s e s f u e r z o s p u e d e n s e r g ra n d e s .
2.
T odas la s c a rg a s se a p lic a n e n la s ju n ta s . E n la m a y o r ía d e s i tu a c i o ­
n e s. c o m o e n e l c a s o d e a r m a d u r a s p a r a p u e n te s y te c h o s , e s te s u ­
p u e s to e s v e r d a d e r o . C o n f r e c u e n c ia e n e l a n á lis is d e fu e iz a s . el
p e s o d e lo s e le m e n to s s e d e s p r e c ia , d a d o q u e la f u e r z a s o p o r ta d a
p o r lo s e le m e n to s e s g r a n d e e n c o m p a r a c ió n c o n s u p e s o . S i e l p e s o
se v a a in c lu ir e n e l a n á lisis, p o r lo g e n e r a l r e s u lta s a tis f a c to r io a p l i ­
c a r lo c o m o u n a f u e r z a v e rtic a l, d o n d e la m ita d d e s u m a g n itu d se
a p lic a e n c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to .
D e b id o a e s t o s d o s s u p u e s to s , c a d a e le m e n to d e u n a a r m a d u r a a c tú a
c o m o u n m ie m b r o d e f u e r z a a x ia l y, p o r k» ta n to , la s fu e r z a s q u e a c tú a n
e n lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to d e b e n e s t a r d ir ig id a s a lo la r g o d e s u e je . Si
la f u e r z a ti e n d e a a la r g a r d e le m e n to , s e t r a t a d e u n a fu e r z a d e te n s ió n
(7 ^ , f ig u r a 3 -6 a ; m ie n tr a s q u e s i la f u e r / a ti e n d e a a c o r ta r d e le m e n to , e s
u n a fu e r z a d e c o m p r e s ió n ( Q , fig u ra 3-6¿>. E n e l d is e ñ o re a l d e u n a a r ­
m a d u r a e s im p o r ta n te e s t a b le c e r si la f u e r z a e s d e te n s ió n o d e c o m p r e ­
s ió n . M u y a m e n u d o , lo s e le m e n to s s u je to s a c o m p r e s ió n d e b e n e s t a r
f a b r ic a d o s m á s g r u e s o s q u e lo s s o m e tid o s a te n s ió n , d e b id o a l p a n d e o o
la in e s ta b ilid a d s ú b ita q u e p u e d e o c u r r ir e n lo s e le m e n to s s u j e to s a c o m ­
p re s ió n .
c
C
<b)
F igura 3 -6
3 .2
3 .2
C lA S lR C A C Ó N D E A R M A D U R A S CO PLANARES
C la s ifica ció n d e a rm a d u ra s co p la n a re s
A n te s d e c o m e n / a r e l a n á lis is d e f u e r z a s d e u n a a r m a d u r a .e s im p o r ta n te
c la s ific a r la a r m a d u r a c o m o s im p le , c o m p u e s ta o c o m p le ja , p a r a e n t o n ­
c e s t e n e r la c a p a c id a d d e e s p e c ific a r s u d e te r m i n a c ió n y s u e s ta b ilid a d .
A rm adura sim ple. P a ra e v it a r e l c o la p s o , e l m a r c o d e u n a a r m a ­
d u r a d e b e s e r ríg id o . O b v ia m e n te , e l m a r c o d e c u a t r o b a r r a s / l f l C D d e la
fig u ra 3 -7 s e c o la p s a r á a m e n o s q u e s e a rta d a u n a d ia g o n a l d e s o p o r te ,
c o m o A C . E l m a r c o m á s s im p le q u e e s ríg id o o e s t a b le ti e n e la f o r m a d e
u n tr iá n g u lo . E n c o n s e c u e n c ia , u n a a r m a d u r a s i m p l e s e c o n s tr u y e a p a r ­
tir d e u n e le m e n to b á s ic o tr ia n g u la r , c o m o e l A B C d e l a fig u ra 3 -8 . c o ­
n e c ta n d o d o s e le m e n to s (A D y B D ) p a r a f o r m a r u n e le m e n to a d ic io n a l.
D e e s t a m a n e r a , s e o b s e r v a q u e a l c o lo c a r c a d a e l e m e n t o a d ic io n a l d e
d o s e le m e n to s e n la a r m a d u r a , e l n ú m e r o d e a r tic u la c io n e s s e in c r e ­
m e n ta e n u n o .
E n la fig u ra 3 -9 se m u e s tra u n e je m p lo d e u n a a r m a d u r a s im p le , d o n d e
e l e le m e n to tr ia n g u l a r “ e s t a b l e " b á s ic o e s A B C , a p a r t i r d e l c u a l s e e s t a ­
b le c e e l r e s to d e la s a r tic u la c io n e s D , E y F e n o r d e n a lf a b é tic o . S in e m ­
b a rg o . p a r a e s t e m é to d o d e c o n s tru c c ió n e s i m p o r t a n te t o m a r e n c u e n ta
q u e la s a r m a d u r a s s im p le s n o ti e n e n q u e c o a s is tir e n te r a m e n t e e n tr i á n ­
gulos. E n l a f ig u r a 3 -1 0 s e m u e s tr a u n e je m p lo d e e s to , d o n d e a p a r t i r d e
u n tr iá n g u lo A B C se a g r e g a n la s b a r r a s C D y A D p a r a f o r m a r la j u n t a D .
P o r ú ltim o , s e a g re g a n la s b a r r a s B E y D E p a r a f o r m a r la j u n t a E .
a r m a d u r a s im p le
fig u ra 3 -9
a r m a d u r a s im p le
f ig u r a 3 -1 0
85
86
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
A r m a d u r a c o m p u e s t a . U n a a rm a d u ra c o m p u e s ta se f o r m a a l c o ­
n e c ta r d o s o m á s a rm a d u ra s s im p le s e n t r e s í. C o n m u c h a fr e c u e n c ia e ste
tip o d e a r m a d u r a s e u s a p a r a s o p o r ta r las c a rg a s q u e a c tú a n s o b r e u n cla ro
a m p lio , p u e s to q u e e s m á s b a r a t o c o n s tr u ir u n a a r m a d u r a c o m p u e s ta un
p o c o m á s lig e ra q u e u tiliz a r s ó l o u n a a r m a d u r a s im p le m á s p e sa d a .
H a y tr e s f o r m a s e n q u e la s a r m a d u r a s s im p le s s e u n e n p a r a f o r m a r u n a
a r m a d u r a c o m p u e s ta . L a s a r m a d u r a s p u e d e n e s t a r c o n e c t a d a s m e d ia n te
u n a j u n t a c o m ú n y u n a b a r r a . E n la fig u ra 3 -1 l a se p r o p o r c io n a u n e je m ­
p lo , d o n d e la a r m a d u r a s o m b r e a d a A B C e s tá c o n e c ta d a a la a r m a d u r a
s o m b r e a d a C D E de e s t a m a n e r a . l a s a r m a d u r a s p u e d e n u n ir s e m e ­
d ia n te tr e s b a r r a s , c o m o e n e l c a s o d e la a r m a d u r a s o m b r e a d a A B C c o ­
n e c ta d a a la a r m a d u r a D E F m á s g r a n d e , f ig u r a 3 .1 1 6 . Y . p o r ú ltim o , las
a rm a d u ra s p u e d e n u n ir s e e n lo s p u n to s d o n d e la s b a r r a s d e u n a a r m a ­
d u r a s im p le d e g r a n ta m a ñ o , lla m a d a a r m a d u r a p r in c ip a l, s e h a n s u s ti­
tu id o p o r a r m a d u r a s s im p le s , lla m a d a s a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s . E n la
fig u ra 3 -1 l e se m u e s tr a u n e je m p lo , d o n d e lo s e le m e n to s s o m b r e a d o s d e
h a r m a d u r a p r in c ip a l A B C D E h a n s i d o su s titu id o s p o r la s a r m a d u r a s s e ­
c u n d a r ia s s o m b r e a d a s . S i e s t a a r m a d u r a s o p o r ta c a r g a s d e te c h o , e l u s o
d e a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s p o d r í a r e s u lta r m á s e c o n ó m ic o , y a q u e lo s e l e ­
m e n to s tr a z a d o s c o n lín e a s d is c o n tin u a s p u e d e n e s ta r s o m e tid o s a f le ­
x ió n e x c e s iv a , m ie n tr a s q u e la s a r m a d u r a s s e c u n d a r ia s p u e d e n tr a n s f e r ir
m e jo r la c a rg a .
A r m a d u r a c o m p l e j a . U n a a r m a d u r a c o m p le ja e s a q u e lla q u e n o
p u e d e c la s ific a rs e c o m o s im p le o c o m p u e s ta . l a a r m a d u r a d e la fig u ra 3-12
e s u n e je m p lo .
p rin c ip a l
(c)
D ife re n te s tip o s d e a r m a d u r a s c o m p u e s ta s
F ig ó n 3 -1 1
3 .2
C lA S lR C A C Ó N D E A R M A D U R A S CO PLANARES
D e t e r m i n a c i ó n . P a r a c u a lq u ie r p r o b le m a e n e l a n á lis is d e a r m a d u r a s
d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e l n ú m e r o to t a l d e in c ó g n ita s in c lu y e la s
fu e r z a s e n e l n ú m e r o b d e b a r r a s d e la a r m a d u r a y e l n ú m e r o to t a l r de
r e a c c io n e s e x te r n a s e n lo s s o p o r te s . C o m o lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a
s o n t o d o s m ie m b r o s r e c to s d e f u e r z a a x ia l q u e s e u b ic a n e n e l m is m o
p ia n o , e l s i s te m a d e fu e r z a s q u e a c t ú a e n c a d a j u n t a e s c o p la n a r y c o n c u ­
rren te. E n c o n s e c u e n c ia , e l e q u ilib r io r o ta c io n a l o d e m o m e n to s e s a tis ­
fa c e d e m a n e r a a u to m á tic a e n l a ju n ta ( o a rtic u la c ió n ), y s ó lo e s n e c e s a r io
s a tis f a c e r 1 F , = 0 y 2 F y = 0 p a r a a s e g u r a r e l e q u ilib r io d e tr a s la c ió n o
d e f u e r z a s P o r lo ta n to , s ó l o p u e d e n e s c r ib ir s e d o s e c u a c io n e s d e e q u i l i ­
b rio p a r a c a d a j u n t a , y s i h a y u n n ú m e r o ; d e j u n t a s ,e l to ta l d e e c u a c io n e s
d is p o n ib le s p a r a la s o lu c ió n e s 2;\ S i s im p le m e n te s e c o m p a r a e l to ta l d e
in c ó g n ita s (/> + r ) c o n e l d e e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s .e s p o s i­
b le e s p e c ific a r la d e te r m in a c ió n d e u n a a r m a d u r a s im p le , c o m p u e s ta o
c o m p le ja . S e ti e n e
b + r = 2;
e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a
b + r > 2)
e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a
(3 -1 )
E n p a r tic u la r , e l g ra d o d e in d e te r m in a c ió n x e s p e c ific a p o r la d if e r e n c ia
e n lo s n ú m e r o s ( b + r ) - 2/'.
E stabilidad. S i b + r < 2 jt u n a a r m a d u r a s e r á in e s ta b le , e s d e c ir , se
c o la p s a r á p o r q u e h a b r á u n a c a n ti d a d in s u fic ie n te d e b a r r a s o r e a c c io n e s
p a ra r e s tr in g ir to d a s la s ju n ta s . A d e m á s , u n a e s t r u c t u r a p u e d e s e r i n e s ta ­
b le s i e s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a . E n
e s te c a s o , l a e s t a b ilid a d t e n d r á q u e d e te r m in a r s e p o r in s p e c c ió n o m e ­
d ia n te u n a n á lis is d e fu e iz a s.
E s t a b i l i d a d e x t e r n a . C o m o se e s ta b le c ió e n la s e c c ió n 2 -4 , u n a e s­
tr u c tu ra ( o a r m a d u r a ) e s e x te r n a m e n te in e s ta b le s i to d a s s u s re a c c io n e s
s o n c o n c u r r e n te s o p a ra le la s. P o r e je m p lo , la s d o s a r m a d u r a s d e la fig u ra
3 -1 3 s o n e x te r n a m e n t e in e s ta b le s p o r q u e las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
tie n e n lín e a s d e a c c ió n q u e s o n o c o n c u r r e n te s o p a ra le la s .
t
r e a c c io n e s c o n c u r r e n te s in e s t a b le s
lig a r a 3 -1 3
\
r e a c c io n e s p a r a le la s in e s ta b le s
t
8 8
C a p it u l o
3
F ig u ra 3 -1 4
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E s t a b i l i d a d i n t e r n a . C o n f r e c u e n c ia la e s t a b ilid a d in t e r n a d e u n a a r ­
m a d u r a p u e d e c o m p r o b a r s e m e d ia n te u n a in s p e c c ió n c u id a d o s a d e la
d is p o s ic ió n d e s u s e le m e n to s . S i e s p o s ib le d e te r m i n a r q u e c a d a j u n t a se
m a n tie n e fija d e m o d o q u e n o p u e d e m o v e r s e e n e l s e n t id o d e u n
" c u e r p o ríg id o " c o n r e s p e c to a la s o t r a s j u n t a s , e n to n c e s la a r m a d u r a
s e r á e s ta b le . O b s e r v e q u e u n a a r m a d u r a s im p le s ie m p r e s e r á in te r n a ­
m e n te e s ta b le , d a d o q u e p o r la n a tu r a le z a d e s u c o n s tr u c c ió n r e q u i e r e
p a r t i r d e u n e l e m e n t o tr ia n g u l a r b á s ic o p a r a d e s p u é s a g r e g a r s u c e s iv o s
“e le m e n to s r íg id o s ” , c a d a u n o c o n d o s e le m e n to s a d ic io n a le s y u n a
ju n ta . L a a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -1 4 e s u n e je m p lo d e e s t a c o n s tru c c ió n ,
d o n d e , a p a r t i r d e l e le m e n to tr ia n g u la r s o m b r e a d o A B C , s e a g r e g a n s u ­
c e s iv a m e n te las j u n t a s D , E , F , G y H.
Si u n a a r m a d u r a s e c o n s tr u y e d e m a n e r a q u e s u s ju n t a s n o s e m a n t ie ­
n e n e n u n a p o s ic ió n fija , s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a “ f o r m a c r ític a " . U n
e je m p lo c la r o d e e s t o s e m u e s tra e n la f ig u r a 3 -1 5 , d o n d e p u e d e o b s e r ­
v a rse q u e n o h a y re s tric c ió n o fije z a e n tr e las ju n t a s d e C y F o R y E . p o r
lo q u e la a r m a d u r a c o la p s a r á b a jo c a rg a .
H g u ra 3 -1 5
P a r a d e te r m i n a r l a e s t a b ilid a d in t e r n a d e u n a a r m a d u r a c o m p u e s ta , e s
n e c e s a r io id e n tif ic a r la f o r m a e n q u e la s a r m a d u r a s s im p le s e s t á n c o n e c ­
ta d a s e n t r e sí. P o r e je m p lo , la a r m a d u r a c o m p u e s ta d e la fig u ra 3 -1 6 e s
in e s ta b le p u e s t o q u e la a r m a d u r a s im p le i n t e r i o r A B C e s tá c o n e c t a d a a
la a r m a d u r a s im p le e x t e r i o r D E F m e d ia n te tr e s b a r r a s , A D , B E y C F ,
q u e s o n c o n c u r r e n te s e n e l p u n t o O . ft>r lo ta n t o , p u e d e a p lic a r s e u n a
c a r g a e x te r n a a la j u n t a A , B o C y o c a s i o n a r q u e la a r m a d u r a A B C g ire
lig e ra m e n te .
H g u ra 3 -1 6
3 .2
C lA S in C A G Ó N D E A R M A D U R A S C O P IA N A R E S
Si u n a a r m a d u r a s e id e n tif ic a c o m o c o m p le ja , e s p o s ib le q u e n o se
p u e d a e s t a b le c e r p o r in s p e c c ió n s i e s e s ta b le . ft>r e je m p lo , p u e d e d e m o s ­
tr a rs e , m e d ia n te e l a n á lis is p r e s e n ta d o e n la s e c c ió n 3.7, q u e l a a r m a d u r a
c o m p le ja d e la fig u ra 3 -1 7 e s in e s ta b le o ti e n e u n a “ f o r m a c r í ti c a " s ó lo si
la d im e n s ió n d = d '. S i d * d ' la a r m a d u r a e s e s ta b le .
L a in e s ta b ilid a d d e c u a lq u i e r f o r m a d e a r m a d u r a , y a s e a s im p le , c o m ­
p u e s ta o c o m p le ja , ta m b ié n p u e d e d e te r m in a r s e u tiliz a n d o u n a c o m p u ­
ta d o r a q u e re s u e lv a las 2j e c u a c io n e s s im u ltá n e a s e s c r ita s p a r a t o d a s la s
ju n ta s d e la a r m a d u r a . S i s e o b ti e n e n r e s u lta d o s in c o n s is te n te s , la a r m a ­
d u r a s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a f o r m a c rític a .
Si n o s e re a liz a u n a n á lis is c o n c o m p u t a d o r a , p u e d e n u tiliz a rs e lo s m é ­
to d o s d e s c r ito s a n te r io r m e n te p a r a c o m p r o b a r la e s t a b ilid a d d e la a r m a ­
d u r a . A m o d o d e r e s u m e n , s i la a r m a d u r a ti e n e b b a r r a s , r re a c c io n e s
e x te r n a s y j ju n ta s , e n to n c e s s i
b + r = 2j
b + r a 2j
e s in e s ta b le
e s in e s ta b le s i la s r e a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s d e l a a r m a d u r a s o n
c o n c u r r e n te s o p a r a l e la s o si
a lg u n o s d e lo s c o m p o n e n te s d e la
a r m a d u r a f o r m a n u n m e c a n is m o
c o la p s a b le .
(3 -2 )
S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e s i u n a a r m a d u r a e s in e sta b le , n o
im p o r ta s i e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d a o in d e te r m in a d a . O b v ia m e n te , el
u so d e u n a a r m a d u r a in e s ta b le d e b e e v ita r s e e n la p rá c tic a .
Figura 3-17
89
9 0
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
C la s ifiq u e c a d a u n a d e la s a r m a d u r a s d e la fig u ra 3.18 c o m o e s ta b le ,
in e s ta b le , e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a o e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a ,
l^as a r m a d u r a s e s t á n s o m e tid a s a c a r g a s e x te r n a s a r b itr a r ia s , la s c u a ­
le s s e s u p o n e n c o n o c id a s y p u e d e n a c tu a r e n c u a lq u ie r p u n t o d e la s
vigas.
S O L U C IÓ N
F i g u r a 3 - 1 8 a . E sta b le e x te r n a m e n te , p u e s t o q u e la s r e a c c io n e s n o
s o n c o n c u r r e n te s n i p a ra le la s . C o m o b ■ 19, r = 3 . / ° 11, e n to n c e s b
+ r ■ 2 j o 2 2 - 22. P o r lo ta n to , la a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te d e te r m i­
n a d a . P o r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e sta b le in te r n a m e n te .
(a)
fig u ra 3-18
F i g u r a 3 - 1 8 b . E s ta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 15, r = 4 , ; ' = 9,
e n to n c e s b + r > 2 j o 19 > 18. L a a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te in d e te r ­
m in a d a d e p r im e r g ra d o . P o r in s p e c c ió n , l a a r m a d u r a e s esta b le in te r n a ­
m e n te .
3 .2
C lA S lR C A C Ó N D E A R M A D U R A S CO PLANARES
F ig u ra 3 - 1 8 c. E sta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 9 , r = 3 , / = 6 , e n t o n ­
c e s b + r = 2 j o 12 = 12. L a a r m a d u r a e s e stá tic a m e n te d e te r m in a d a .
R>r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s esta b le in te r n a m e n te .
(c)
F ig u ra 3 - 1 8 d . E sta b le e x te r n a m e n te . C o m o b = 1 2 , r « 3 . / = 8 , e n ­
to n c e s b + r < 7 j o í 5 < 16. L a a r m a d u r a e s in e sta b le in te r n a m e n te .
91
9 2
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
PR O BLEM AS
3 -1 . G asifique c ad a u n a d e las a rm ad u ras siguientes com o
estáticam ente d e te rm in a d a , estática m e n te in d eterm in ad a
o inestable. Si e s in d eterm in ad a, estab lezca su grado.
3 -2 . G asifique cada una de las arm aduras siguientes com o
estable, inestable, estáticam ente determ in ad a o estáticam ente
indeterm inada. Si e s indeterm inada.establezca s u grado.
(a)
(b)
(c)
P ro b .3 - 2
Proh. 3 -1
3 .2
3-3. C lasifique cada una d e las sig u ien tes a rm ad u ras com o
estáticam ente d e term in a d a , in d eterm in ad a o inestable. Si es
indeterm inada, establezca su grado.
C l a s i f i c a g ó n D E A R M A D U R A S C O PLAN A R E S
*3-4. Clasifique c a d a una de las siguientes arm ad u ras com o
está tic am en te d e te rm in a d a , está tic am e n te in d eterm in ad a
o inestable. Si e s in d eterm in ad a, establezca s u grado.
(a)
(a)
9 3
94
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
3 .3
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
El m é to d o d e lo s n o d o s
Si u n a a r m a d u r a e s tá e n e q u ilib r io , e n to n c e s c a d a u n a d e s u s ju n t a s o
n o d o s ta m b ié n d e b e e s t a r e n e q u ilib r io . P o r c o n s ig u ie n te , e l m é to d o d e
lo s n o d o s c o n s is te e n s a tis f a c e r la s c o n d ic io n e s d e e q u il ib r io 2 F , = 0 y
I F y — 0 p a r a la s f u e r / a s e je r c id a s s o b r e e l p a s a d o r e n c a d a j u n t a d e la a r ­
m ad u ra.
C u a n d o s e u tiliz a e l m é to d o d e lo s n o d o s , e s n e c e s a r io d ib u ja r e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a j u n t a a n te s d e a p li c a r la s e c u a c io n e s d e
e q u ilib r io . R e c u e r d e q u e la lín e a d e a c c ió n d e c a d a f u e r z a d e u n e l e ­
m e n t o q u e a c tú a s o b r e la j u n t a s e e sp e c ific a a p a r t i r d e la g e o m e tr ía d e la
a r m a d u r a , p u e s t o q u e la f u e r z a e n u n e l e m e n t o p a s a a lo l a r g o d e s u e je .
C o m o e je m p lo .c o n s id e r e la j u n t a B d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la
fig u ra 3 -1 9 a. C o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -1 9 b , las
ú n ic a s in c ó g n ita s s o n la s m a g n itu d e s d e las f u e r z a s e n lo s e le m e n to s B A
y B C . C o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a , FBA e s tá “j a l a n d o " e l p a s a d o r , k) q u e
in d ic a q u e e l e le m e n to B A e s tá e n te n s ió n , m ie n tr a s q u e
e s tá “ e m p u ­
j a n d o " e l p a s a d o r y. p o r c o n s ig u ie n te , e l e le m e n to B C e s tá e n c o m p r e ­
s ió n . E s to s e f e c to s s e d e m u e s tr a n c la r a m e n t e a l u s a r e l m é to d o d e las
s e c c io n e s y a l a is la r la j u n t a c o n p e q u e ñ o s s e g m e n to s d e lo s e le m e n to s
c o n e c ta d o s a l p a s a d o r , fig u ra 3 -1 9 c . O b s e r v e q u e e l h e c h o d e e m p u j a r o
ja l a r e s t o s p e q u e ñ o s s e g m e n to s in d ic a e l e fe c to d e lo s e le m e n to s y a s e a
e n c o m p r e s ió n o e n te n s ió n .
E n to d o s lo s c a s o s , e l a n á lis is d e la s ju n t a s d e b e c o m e n z a r e n u n a j u n t a
c o n t a n d o c o n a l m e n o s u n a f u e r z a c o n o c id a y u n m á x im o d e d o s fu e r z a s
d e s c o n o c id a s , c o m o e n la f ig u r a 3-19¿>. D e e s t a m a n e r a , la a p lic a c ió n d e
1 F , = 0 y 2 F y = 0 g e n e r a d o s e c u a c io n e s a lg e b r a ic a s q u e p u e d e n r e s o l ­
v e rs e p a r a d e t e r m i n a r las d o s in c ó g n ita s . A l a p li c a r e s t a s e c u a c io n e s , e l
s e n tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e s c o n o c id a d e u n e l e m e n t o p u e d e d e t e r ­
m in a rs e m e d ia n te a lg u n o d e lo s d o s m é to d o s p o s ib le s .
K
500 N
FB(-( c o m p re s ió n )
F jm ( te n s ió n )
(b )
500N
FK ( c o m p re s ió n )
F jm ( te n s ió n )
(a )
(c)
F igura 3-19
3 .3
E l M É T O D O D E LO S N O D O S
S ie m p r e s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s d e lo s e le m e n to s q u e
a c tú a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a e stá n e n te n s ió n , es
decir, " ja la n d o " e l p a s a d o r . Si s e h a c e e s t o , e n to n c e s la s o lu c ió n
n u m é r ic a d e la s e c u a c i o n e s d e e q u il ib r io p r o d u c i r á e sc a la re s p o s i ­
tiv o s p a r a lo s e le m e n to s e n te n s ió n y e s c a la r e s n e g a tiv o s p a r a lo s
e le m e n to s e n c o m p r e s ió n . U n a v e z q u e s e e n c u e n t r e la f u e r z a d e s ­
c o n o c id a d e u n e l e m e n t o , d e b e u tiliz a r s e s u m a g n i tu d y s e n t id o
c o r r e c to s ( T o C ) e n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s ju n t a s s u b ­
s e c u e n te s .
E n m u c h o s ca so s, e l s e n tid o c o r r e c to d e la d ir e c c ió n d e u n a f u e r z a
d e s c o n o c id a d e u n e le m e n to p u e d e d e te r m in a r s e "m e d ia n te in s p e c ­
c ió n ". P o r e je m p lo , F Bc e n la fig u ra 3-19¿> d e b e e m p u j a r e l p a s a d o r
(c o m p r e s ió n ) y a q u e s u c o m p o n e n te h o r i z o n ta l , F b c s e n 4 5 ° , d e b e
e q u ilib r a r la f u e r z a d e 5 0 0 N ( 2 F Z = 0). D e l m is m o m o d o , F ^ e s
u n a f u e r z a d e te n s ió n , d a d o q u e e q u il ib r a la c o m p o n e n t e v e rtic a l,
E s c e o s 4 5 ° ( 2 F y = 0 ). E n c a s o s m á s c o m p lic a d o s , e l s e n t id o d e u n a
fu e rz a d e e le m e n to d e s c o n o c id a p u e d e su p o n e r s e ’, e n to n c e s , d e s p u é s
d e a p li c a r Las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l s e n tid o s u p u e s to p u e d e
v e rific a rs e a p a r t i r d e lo s r e s u lta d o s n u m é r ic o s . U n a r e s p u e s ta p o s i­
tiv a in d ica q u e e l s e n t id o e s c o r r e e r o ,m ie n tr a s q u e u n a r e s p u e s ta n e ­
g a tiv a in d ic a q u e e l s e n t id o m o s tr a d o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re d e b e in v e rtirse . É s te e s e l m é to d o q u e s e u tiliz a r á e n lo s p r o ­
b le m a s d e e je m p lo q u e s e p r e s e n ta n a c o n tin u a c ió n .
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m e d io p a r a a n a liz a r u n a a r m a d u r a u s a n d o el
m é to d o d e lo s n u d o s .
•
D ib u je e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n a j u n t a c o n a l m e n o s u n a f u e r z a c o n o c id a y
u n m á x im o d e d o s f u e r z a s d e s c o n o c id a s . (S i e s t a j u n t a s e e n c u e n t r a e n u n o d e lo s s o ­
p o rte s , p u e d e s e r n e c e s a r io c a lc u la r la s r e a c c io n e s e x t e r n a s e n lo s s o p o r te s d ib u ja n d o
u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la a r m a d u r a ) .
•
U tilic e u n o d e lo s d o s m é to d o s d e s c r ito s a n te s p a r a e s ta b le c e r e l s e n t id o d e u n a f u e r z a
d e s c o n o c id a .
•
L o s e je s x y y d e b e n o r i e n ta r s e d e m o d o q u e la s f u e r z a s e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e
p u e d a n d e s c o m p o n e r s e fá c ilm e n te e n s u s c o m p o n e n t e s x y y . A p liq u e la s d o s e c u a c i o ­
n e s d e e q u ilib r io d e f u e r z a s , 2 F X = 0 y 2 F t = 0 , o b te n g a la s d o s f u e r z a s d e e le m e n to
d e s c o n o c id a s y v e rifiq u e s u s e n tid o d e d ir e c c ió n c o r r e c to .
•
C o n tin u a r c o n e l a n á lis is d e c a d a u n a d e las o t r a s ju n t a s ,d o n d e d e n u e v o e s n e c e s a r io
e le g ir u n a j u n t a q u e te n g a c o m o m á x im o d o s in c ó g n ita s y p o r lo m e n o s u n a f u e r z a c o ­
n o c id a .
•
U n a v e z q u e s e e n c u e n t r a la f u e r z a e n u n e le m e n to a p a r t i r d e l a n á lis is d e u n a j u n t a e n
u n o d e s u s e x tr e m o s , e l r e s u lta d o p u e d e u s a r s e p a r a a n a li z a r la s fu e r z a s q u e a c tú a n
s o b r e la j u n t a u b ic a d a e n s u o t r o e x tr e m o . R e c u e r d e q u e u n e le m e n to e n c o m p r e s ió n
“ e m p u ja " a la ju n t a y u n e le m e n to e n te n s ió n “j a l a " a la a itic u l a r i ó n .
9 6
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
D e te r m in e la f u e r a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra en
la fo to g ra fía . L a s d im e n s io n e s y la s c a rg a s s e m u e s tra n e n la fig u ra 3 -2 tto.
In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .
S O L U C IÓ N
S ó lo e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n la m ita d d e lo s e le m e n to s ,
p u e s to q u e la a r m a d u r a e s s im é tr ic a ta n to c o n r e s p e c to a la c a rg a
c o m o a la g e o m e tr ía .
J u n ta A , fig u r a 3 - 2 0 b . E l a n á lis is p u e d e in ic ia r s e e n la j u n t a A .
¿ P o r q u é ? E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 0 6 .
+ í 2 / > = 0;
4 - Fa c sen 30° = 0
F AC = 8 k N ( C )
R esp .
:+ S F , = 0 ;
F AB - 8 e o s 3 0 ° = 0
F AB = 6 .9 2 8 k N ( T )
R esp .
J u n ta G , fig u r a 3 - 2 0 c .
E n e s te c a s o , o b s e r v e c ó m o la o r ie n ta c ió n
d e lo s e j e s x y y e v ita la s o lu c ió n s i m u l tá n e a d e e c u a c io n e s .
+ \" L F y = 0;
F gb sen 60°
F cb =
+ / " 2 F l = 0;
4
3(£
6 .9 2 8 k N
A y
B
¥BC
Fg f = 0
5 .0 0 k N ( C )
R esp .
J u n t a B, f i g u r a 3 - 2 0 d.
+ 1 2 Fy = 0;
F b f s e n 6 0 ° - 3 .0 0 s e n 3 0 ° = 0
F bf =
(d)
fig u ra 3 -2 0
R esp .
3 .0 0 k N ( C )
8 - 3 s e n 3 0 ° - 3 .0 0 c o s 6 0 “ F gf =
3 .0OOIcN
0 kN
- 3 eos 30° = 0
;+ 2 F t = 0 ;
1.73 k N ( T )
R esp .
F ^ + 1.73 e o s 6 0 ° + 3 .0 0 e o s 3 0 ° - 6 .9 2 8 = 0
F bc =
3 .4 6 k N ( T )
R e sp .
3 .3
E l M ÉTO D O D E IO S M O D O S
D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a d e tije r a s q u e
se m u e s tr a e n la f ig u r a 3 - 2 l a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s tá n e n t e n ­
s ó n o e n c o m p r e s ió n . l.a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s s e p ro p o r c io n a n
e n la fig u ra .
9 7
175 Ib
S O L U C IÓ N
L a a r m a d u r a s e a n a liz a r á e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia :
J u n ta E, fig u r a 3 - 2 1 b . O b s e rv e q u e la s o lu c ió n s i m u ltá n e a d e e c u a ­
c io n e s n o p u e d e r e a l iz a r s e d e b i d o a la o r i e n ta c i ó n d e lo s e j e s x y y .
+ / - 2 F y = 0;
191.0 e o s 3 0 ° -
F F n s e n 15° = 0
F e d = 639.1 Ib ( C )
+ \ 2 F t = 0;
639.1 e o s 1 5 ° -
R esp .
F E f ~ 191.0 s e n 3 0 ° = 0
F e f = 5 2 1 .8 I b ( T )
R esp .
J u n ta D , fig u r a 3 - 2 1 c.
V
rM>
+S1Fs
= 0;
~ F df se n 75o = 0
F nF = 0
R esp .
+ \Z F ,
= 0;
- F o c + 6 3 9 .1 = 0
F DC = 639.1 Ib ( C )
R esp .
75J
f 0fy
x
3 0 ! i ____
19 1.01b
J u n ta C, fig u ra 3 -2 1 d .
- 4 2 F x - 0;
0;
R esp .
- F c f ~ 175 + 2 (6 3 9 .1 ) e o s 4 5 ° = 0
R esp .
I * '- " *
J u n ta B, fig u r a 3 - 2 1 e .
- 0;
+ S 2 F X =0 ;
(c)
F CB s e n 4 5 ° - 639.1 s e n 4 5 ° = 0
F c f = 7 2 8 .8 I b ( T )
+ \Z F y
Ü 9 .1 Ib
(b)
F e a = 6 3 9 .1 Ib ( C )
+ 12Fy -
F„f se n 75°
200 =
0 F ñF = 207.1
Ib ( C )
\
(e)
R esp .
J u n ta A, fig u r a 3 - 2 1 f.
F a f e o s 3 0 ° - 692.7 e o s 4 5 ° F a f = 7 2 8 .9 Ib ( T )
+ 1 ' LF y = 0 ;
1 2 5 .4 - 6 9 2 .7 s e n 4 5 ° +
© 9 .1 1 b
R esp .
6 3 9 .1 + 207.1 e o s 7 5 ° - F ñ Á = 0
F b a = 6 9 2 .7 I b ( C )
± 2 F X = 0;
r\\
/
141.4 = 0
R esp .
7 2 8 .9 s e n 3 0 ° = 0
c o m p r o b a c ió n
O b s e rv e q u e c o m o y a s e h a n c a lc u la d o la s re a c c io n e s , p u e d e r e a li­
z a rs e u n a c o m p r o b a c ió n a d ic io n a l d e lo s c á lc u lo s a n a liz a n d o la ú ltim a
ju n t a F. I n t é n te l o y c o m p r u e b e lo s r e s u lta d o s .
692.7 Ib
141.4 Ib
30“
125.41b
(0
Figura 3-21
9 8
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
3 .4
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E le m e n to s d e fu e rz a c e ro
E l a n á lis is d e a r m a d u r a s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n o d o s s e sim p lific a
e n g r a n m e d id a si p r i m e r o s e d e te r m i n a n lo s e le m e n to s q u e n o s o p o r ta n
c a rg a . E s to s e le m e n to s (le f u e r z a c e r o p u e d e n s e r n e c e s a r io s p a r a la e s t a ­
b ilid a d d e la a r m a d u r a d u r a n t e s u c o n s tr u c c ió n y p a r a p r e s ta r a p o y o s i la
c a r g a a p lic a d a c a m b ia . P b r lo g e n e r a l , lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o d e
u n a a r m a d u r a p u e d e n d e te r m in a r s e m e d ia n te la in s p e c c ió n d e la s a r t ic u ­
la c io n e s y s e p r e s e n ta n e n d o s caso s.
C a s o 1 . C b n s id e r e la a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -2 2 a . L o s d o s e le m e n to s
e n la j u n t a C <e c o n e c t a n e n t r e s í e n á n g u lo r e c t o y n o h a y c a rg a e x te r n a
s o b r e la ju n t a . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a C .f ig u r a 3 -2 2 b , in ­
d ic a q u e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e b e s e r c e r o a fin d e m a n t e n e r el
e q u ilib r io . A d e m á s ,c o m o e n e l c a s o d e la j u n t a A ,f ig u r a 3 - 2 2 c ,e s to d e b e
s e r c ie r to s i n im p o r t a r e l á n g u lo , d ig a m o s 0 , e n t r e lo s e le m e n to s .
* 2 P * “ O, Fc „ ** 0
+ ¿ 2 F ,- O .F c o - 0
0»
C a s o 2 . L o s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o ta m b ié n s e p r e s e n ta n e n la s j u n ­
ta s c o n u n a g e o m e t r í a c o m o la d e la j u n t a D e n l a fig u ra 3 -2 3 a . A q u í n in ­
g u n a c a r g a e x te r n a a c tú a s o b r e la j u n t a . d e m o d o q u e u n a s u m a to r i a d e
fu e r z a s e n la d ir e c c ió n y ,f i g u r a 3 - 2 3 6 ,q u e e s p e r p e n d i c u la r a lo s d o s e l e ­
m e n to s c o lin c a le s , r e q u i e r e q u e F q f = 0- S i s e u s a e s te r e s u lta d o . F C
ta m b ié n e s u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e ro , c o m o lo in d ic a e l a n á lis is d e f u e r ­
z a s d e la j u n t a F , fig u ra 3 -2 3 c .
+ T % F , * 0; FAg s e n 0 = 0
Fab " 0 (p u e s sen 0 * 0 )
% 'Z F , - 0 ; - F a e + 0 - 0
Fjut ~ 0
(c)
F ig u ra 3 - 2 2
E n r e s u m e n , s i s ó l o d o s e le m e n to s n o c o lin c a le s fo r m a n u n a j u n t a d e
u n a a r m a d u r a y n o s e a p lic a n in g u n a c a rg a e x te r n a o r e a c c ió n e n lo s s o ­
p o r te s s o b r e la ju n t a , lo s e le m e n to s d e b e n s e r e le m e n to s d e f u e r z a c e ro .
C a s o I. A d e m á s , s i tr e s e le m e n to s f o r m a n u n a j u n t a d e u n a a r m a d u r a
p a ra la c u a l d o s d e lo s e le m e n to s s o n c o lin e a le s .e l te r c e r e le m e n to e s u n
e le m e n to d e f u e r z a c e r o , s i e m p r e y c u a n d o n o s e a p liq u e n in g u n a f u e r z a
e x te r n a o r e a c c ió n e n lo s s o p o r t e s s o b r e la j u n t a . C a s o 2 . S e d e b e p r e s t a r
a te n c ió n e s p e c ia l a e s t a s c o n d ic io n e s g e o m é tr ic a s d e la j u n t a y la c a rg a ,
p u e s to q u e e l a n á lis is d e u n a a r m a d u r a p u e d e s im p lific a rs e c o n s i d e r a b l e ­
m e n te s i p r im e r o s e d e te c ta n lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e ro .
Fn f - 0
F
F FF
(c)
f 1 F y - 0 ; F( ,-se n 0 + 0 - 0
+ * 2 F ,= 0;F d, = 0
F ig u ra 3 -2 3
P e r = 0 (p u e s sen
0 * 0)
3 .4
El e m e n t o s d e f u e r z a c e r o
E JE M P L O
U tiliz a n d o e l m é to d o d e lo s n o d o s , in d iq u e to d o s lo s e le m e n to s d e la
a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 4 ti y c u y a f u e r z a e s c e ro .
<b)
(a)
(c)
H ^ u r a 3 -2 4
S O L U C IÓ N
B u s c a n d o ju n ta s s e m e ja n te s a la s a n a liz a d a s e n las fig u ra s 3 .2 2 y 3 .2 3 ,
se ti e n e
FH A
X1
~F«»
J u n ta D, fig u r a 3 - 2 4 b .
+ 12Fy -
0; F K s e n 0 =
- i 2 F x = 0;
F DE + 0 = 0
0
F
-
0
R e sp .
F DE =
0
R esp .
'IIP
<d)
J u n ta E, f ig u r a 3 - 2 4 c .
2 F x = 0;
F ef = 0
R esp.
( O b s e rv e q u e FEC = P y u n a n á lis is d e la j u n t a C r e s u lta r ía e n u n a
fu e rz a e n e l e l e m e n t o C F .)
J u n ta H, fig u r a 3 - 2 4 d .
e
< IA
+ SZFy =
0;
F „ fí = 0
R esp .
G,
J u n ta G, f ig u r a 3 - 2 4 a . E l s o p o r te d e o s c ila d o r e n G s ó lo p u e d e
e je r c e r u n c o m p o n e n t e x d e la f u e r z a s o b r e la j u n t a ; e s d e c i r , G , . P o r
b ta n t o ,
+ 12F, =
O,
Fc a = 0
R esp .
G
(e)
F c,i
1 0 0
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
PROBLEM AS FU N D AM EN TALES
F 3 - L D eterm ine la fu e rz a e n c a d a e lem e n to de la arm a­
d u ra c indique si e stá e n ten sió n o en com presión.
B - i D eterm in e la fu erza e n c a d a e le m e n to de la a rm a ­
d u ra c indique si e stá e n ten sió n o en com presión.
F 3 -2 . D eterm ine la fu e rz a e n c a d a e le m e n to de la arm a ­
d u ra c indique si e stá e n ten sió n o en com presión.
F 3-4
F 3 -5 . D eterm in e la fu erza e n c ad a e le m en to de la arm a ­
d u ra e indique s i e stá e n ten sió n o en com presión.
F 3-2
F3-3. D eterm ine la fu e rz a e n c a d a e le m e n to de la arm a ­
d u ra e indique s i e stá e n ten sió n o en com presión.
1 3 -6 . D eterm in e la fu erza e n c ad a e le m en to de la a rm a ­
d u ra e indique s i e stá e n ten sió n o e n com presión.
3 .4
El e m e n t o s d e f u e r z a c e r o
1 0 1
PROBLEM AS
3-5. Un señ alam ien to e stá so m e tid o a u n a c arg a del
viento q u e ejerce fuerzas h o rizo n tales d e 300 Ib e n las ju n ­
ta s B y C d e u n a d e las a rm ad u ras laterales d e so p o rte . D e­
term ine la fuerza e n cada e lem e n to de la a rm a d u ra e
indique si lo s elem en to s e stán e n ten sió n o e n co m p resió n .
3 -7 . D eterm ine la fu erza e n cada elem en to d e la a rm a ­
d u ra. In d iq u e s i lo s e lem en to s e stá n e n ten sió n o e n c o m ­
presión. C o n sid e re P = 8 IcN.
P ro h . 3 - 5
P r o b s . 3-7Z3-8
3 -6 . D eterm ine la fu erza e n cada elem en to d e la arm a ­
d ura. In d iq u e si lo s e le m e n to s e stá n e n tensión o e n c o m ­
presión. S uponga q u e to d o s los e le m e n to s están co n ectad o s
m ediante articulaciones.
^ -9 . D eterm in e la fu erza e n cada e le m e n to d e la a rm a ­
d u ra. In d iq u e s i lo s e lem en to s e stá n e n tensión o e n c o m ­
presión.
• 3 -8 . Si la fu erza m áxim a q u e cu alq u ier e lem e n to p u e d e
so p o rta r e s d e 8 kN e n ten sió n y 6 k N e n co m p resió n , d e te r­
mine la fu erza P máxim a q u e p u ed e so p o rta r la ju n ta D .
1 0 2
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
3 -1 0 . D eterm in e la fuerza e n c ad a e le m en to d e la a rm a d ura. In d iq u e si lo s e le m e n to s e stá n e n ten sió n o e n com p resión.
d e t e r m in a d a s
*3-12. D eterm in e la fu erza e n c a d a e lem e n to d e la arm a ­
d u ra. In d iq u e si lo s e lem en to s e s tá n e n ten sió n o e n com ­
presión. Suponga q u e to d o s los e lem en to s e stán co n ectad o s
m ediante articulaciones. A G = G F = FF. = E D .
P ro b . 3 -1 0
3 -1 1 . D eterm ine la fuerza e n c ad a elem en to d e la arm a ­
d ura. In d iq u e si lo s elem en to s e s tá n e n ten sió n o e n co m ­
presión. Suponga q u e to d o s los e le m e n to s e stá n co n ectad o s
m ediante articulaciones.
P rob. 3 -1 2
3 -1 3 . D eterm in e la fuerza e n c a d a elem ento d e la a rm a ­
d u ra. In d iq u e si lo s e lem en to s e stá n e n ten sió n o e n co m ­
presión.
4 kN
5 kN
Prob. 3-11
Prob. 3 -1 3
3 .4
3-14. D eterm ine la fu erza e n cada e le m en to d e la a rm a d u ra d e techo. Indiqu e si lo s elem en to s e s tá n e n ten sió n o
e n com presión.
Elementos de fuerza cero
10 3
*3-16. D eterm in e la fuerza e n c a d a e le m e n to d e la a rm a ­
d u ra. In d iq u e s i lo s e le m e n to s e stán e n tensión o e n c o m ­
presión.
8kN
6 X 4 m = 24 m
P ro h . 3 -1 4
P ro h . 3 -1 6
3 -1 5 . D eterm ine la fu erza e n c ad a e le m en to d e la a rm a ­
d u ra d e techo. In d iq u e si lo s e le m e n to s e s tá n e n ten sió n o
e n com presión. S uponga q u e to d o s los e le m e n to s e stán c o ­
nectadas m ediante articulaciones.
3 -1 7 . D eterm in e la fu erza e n c a d a e lem e n to d e la a rm a ­
d u ra d e techo. In d iq ue si lo s e le m e n to s e s tá n e n ten sió n o
e n com presión. S u p o n g a q u e B e s u n p a s a d o r y q u e C e s un
so p o rte de rodillos.
P ro h . 3 - 1 5
P ro h . 3 - 1 7
1 0 4
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
3 .5
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
El m é to d o d e las s e c c io n e s
Si s e d e b e n d e te r m i n a r la s f u e r / a s s ó l o e n u n o s c u a n to s e le m e n to s d e
u n a a r m a d u r a , p o r lo g e n e r a l e l m é to d o d e las s e c c io n e s p r o p o r c io n a el
m e d io m á s d ir e c to p a r a o b t e n e r e s t a s fu e rc a s. E l m é to d o d e la s se c c io n e s
c o n s is te e n h a c e r p a s a r u n a se c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e la a r m a d u r a ,
d e m o d o q u e la c o r ta e n d o s p a r te s . S ie m p r e q u e t o d a la a r m a d u r a e s té
e n e q u il ib r io .c a d a u n a d e la s d o s p a r t e s ta m b ié n d e b e e s ta r e n e q u ilib r io
y. e n c o n s e c u e n c ia , la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p u e d e n a p lic a r s e a
c u a lq u ie r a d e e s ta s d o s p a r t e s p a ra d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n lo s e l e m e n ­
to s d e la " s e c c ió n c o r t a d a " .
C u a n d o s e e m p le a e l m é to d o d e la s se c c io n e s p a r a d e te r m in a r la fu e rz a
e n u n e le m e n to e n p a r tic u la r , d e b e to m a r s e u n a d e c is ió n s o b r e la fo r m a
d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r la a r m a d u r a . C o m o s ó l o p u e d e n a p lic a r s e tres
e c u a c io n e s in d e p e n d ie n te s d e e q u ilib r io ( 2 F t = 0 . 1 F y = 0 , I M o = 0 ) a la
p a r t e a is la d a d e la a r m a d u r a , t r a t e d e s e le c c io n a r u n a s e c c ió n q u e , e n g e ­
n e r a l, n o p a s e a tr a v é s d e m á s d e tres e le m e n to s e n lo s q u e la s fu e r z a s
s e a n d e s c o n o c id a s . P o r e je m p lo .c o n s id e r e la a r m a d u r a d e la fig u ra 3 -2 So.
Si s e v a a d e te r m i n a r la f u e r z a e n e l e l e m e n t o G C , la s e c c ió n a a s e r ía
a d e c u a d a . E n la s fig u ra s 3-25b y 3 -2 5 c se m u e s tr a n lo s d ia g r a m a s d e
c u e r p o lib r e d e la s d o s p a r te s . E n p a r t ic u l a r , te n g a e n c u e n ta q u e la lín e a
d e a c c ió n d e c a d a f u e r z a e n u n e l e m e n t o s e c c io n a d o s e e s p e c ific a a p a r ­
ti r d e la g e o m e tría d e la a r m a d u r a , p u e s to q u e la fu e rz a e n u n e le m e n to p a s a
a lo la r g o d e l e j e d e l e le m e n to . A d e m á s , la s fu e n -a s d e u n e le m e n to q u e
a c tú a n s o b r e u n a p a r t e d e la a r m a d u r a s o n ig u a le s p e r o o p u e s t a s a las
q u e a c tú a n s o b r e la o t r a p a r t e , lo q u e s e d e b e a la te r c e r a le y d e N e w to n .
C o m o p u e d e o b s e r v a r s e , lo s e le m e n to s q u e s u p u e s ta m e n t e e s tá n e n te n ­
s i ó n ( B C y C G ) e s t á n s o m e tid o s a u n “j a l ó n " , m ie n tr a s q u e e l e le m e n to
e n c o m p r e s ió n ( G F ) e s t á s o m e tid o a u n “ e m p u j ó n " .
3 .5
L a s tr e s fu e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s F a c , F q c y $ g f p u e d e n o b ­
te n e r s e m e d ia n te la a p lic a c ió n d e la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a l d i a ­
g ra m a d e c u e r p o lib r e d e la fig u ra 3 -2 5 6 . S in e m b a r g o , s i s e c o n s id e r a e l
d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la fig u ra 3 -2 5 c , d e b e r á n d e te r m in a r s e e n
p r im e r lu g a r la s tr e s r e a c c io n e s d e s o p o r t e !> ,, D 4, y E , . ¿ I\> r q u é ? ( P o r
s u p u e s to , e s to s e h a c e d e la m a n e r a u s u a l, c o n s id e r a n d o u n d ia g r a m a d e
c u e ip o lib r e d e to d a la a r m a d u r a ). A l a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u il i­
b rio , c o n s i d e r e la m a n e r a d e e s c r ib ir las e c u a c io n e s c o n e l fin d e o b t e n e r
u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a c a d a u n a d e la s in c ó g n ita s , e n v e z d e t e n e r q u e
re s o lv e r e c u a c io n e s s im u ltá n e a s . P o r e je m p lo , s i s e s u m a n m o m e n to s r e s ­
p e c to a C e n la fig u ra 3 -2 5 6 g e n e r a r ía u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a F g f
p u e s to q u e F BC y F í ; c c r e a n m o m e n to s c e r o a lr e d e d o r d e C . D e l m ism o
m o d o . FflC p u e d e o b te n e r s e d ir e c ta m e n te a p a rtir d e u n a s u m a to ria d e m o ­
m e n to s a lr e d e d o r d e G . P o r ú ltim o , F c c p u e d e d e te r m in a r s e d i r e c t a ­
m e n te a p a r t i r d e u n a s u m a to r i a d e f u e iz a s e n la d ir e c c ió n v e rtic a l, d a d o
q u e FC f y F K n o ti e n e n c o m p o n e n t e s v e rtic a le s .
C o m o e n e l m é to d o d e lo s n u d o s , h a y d o s f o r m a s d e d e t e r m i n a r e l s e n ­
tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e e le m e n to d e s c o n o c id a .
L
S ie m p r e s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s e n la s e c ­
c ió n c o rta d a e s tá n en te n s ió n , e s decir, "ja la n d o " e l e le m e n to . D e e s ta
m a n e r a , l a s o lu c ió n n u m é r ic a d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io g e n e ­
r a r á e sc a la re s p o s i ti v o s p a r a lo s e le m e n to s e n te n s ió n y e sca la res
n e g a tiv o s p a r a lo s e le m e n to s e n c o m p r e s ió n .
2.
E n m u c h o s ca so s, e l s e n tid o c o r r e c to d e u n a f u e r z a d e e le m e n to d e s ­
c o n o c id a p u e d e d e te r m in a r s e “p o r i n s p e c c i ó n ”. P o r e je m p lo . FBC e s
u n a f u e r z a d e te n s ió n c o m o s e r e p r e s e n ta e n la fig u ra 3 - 2 5 6 ,p u e s to
q u e e l e q u ilib r io d e m o m e n to s r e s p e c to a G r e q u i e r e q u e F flC c r e e
u n m o m e n to o p u e s t o a l d e la f u e r z a d e 1000 N. A d e m á s . F GC es d e
te n s ió n p o r q u e s u c o m p o n e n t e v e r tic a l d e b e e q u i l i b r a r la f u e r z a
d e 1000 N . E n c a s o s m á s c o m p lic a d o s , e l s e n tid o d e u n a f u e r z a d e
e le m e n to d e s c o n o c id a p u e d e s u p o n e r s e . S i la s o lu c ió n r e s u lta s e r u n
e s c a la r n e g a tiv o , e s to in d ic a r á q u e e l s e n t id o d e la f u e r z a e s o p u e sto
a l m o s tr a d o e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . É s te e s e l m é t o d o q u e
s e u tiliz a r á e n lo s s ig u ie n te s p r o b l e m a s d e e je m p lo .
E n e l n o rte d e C a lifo rn ia s e c o n s ­
tru y e u n a a rm a d u ra d e p u e n te s o b re
e l la g o S h a s ta .
E l M É T O D O D E LA S SECCIONES
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m e d io p a r a a p lic a r e l m é to d o d e las s e c c io ­
n e s a fin d e d e t e r m i n a r la s fu e r z a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a .
D ia g ra m a d e c u e r p o lib re
• T o m e u n a d e c is ió n s o b r e la fo r m a d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r la a r m a d u r a a tr a v é s d e lo s
e le m e n to s e n lo s q u e d e b e n d e te r m i n a r s e la s fu e rz a s .
•
A n te s d e a is la r la se c c ió n a d e c u a d a , q u iz á s e r e q u i e r a d e t e r m i n a r la s r e a c c io n e s e x te r ­
n a s d e la a r m a d u r a , d e m o d o q u e las tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó l o se u s e n p a r a
e n c o n tr a r la s fu e r z a s d e e le m e n to e n la se c c ió n c o r ta d a .
•
D ib u je e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e d e la a r m a d u r a s e c c io n a d a q u e t e n g a e l
m e n o r n ú m e r o d e f u e r z a s e n e lla .
•
U tilic e u n o d e lo s d o s m é to d o s d e s c r ito s a n te r io r m e n te p a r a e s t a b le c e r e l s e n t id o d e
u n a f u e r z a d e s c o n o c id a .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
•
L o s m o m e n to s d e b e n s u m a r s e a lr e d e d o r d e u n p u n to q u e s e e n c u e n t r e e n la i n t e r s e c ­
c ió n d e la s lín e a s d e a c c ió n d e d o s f u e r z a s d e s c o n o c id a s ; d e e s t a m a n e r a , la te r c e r a
fu e rz a d e s c o n o c i d a s e d e te r m i n a d ir e c ta m e n te a p a r tir d e la e c u a c ió n .
•
Si d o s d e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s s o n p a r a le la s ,l a s fu e r z a s p u e d e n s u m a r s e e n f o r m a
p e r p e n d ic u la r a la d ir e c c ió n d e e s t a s in c ó g n ita s a fin d e d e te r m i n a r d ir e c ta m e n te la t e r ­
c e ra f u e r z a d e s c o n o c id a .
E j e m p l o d e u n a a r m a d u r a W a r r e n ( c o n v e r tic a le s )
3 .5
E l M É T O D O D E LA S SECCIONES
D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s G J y C O d e la a r m a d u r a d e
le c h o q u e s e m u e s tr a e n la fo to g r a f ía . L a s d im e n s io n e s y las c a r g a s se
m u e s tra n e n la fig u ra 3 -2 6 a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n
o e n c o m p r e s ió n . L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a s e h a n c a lc u la d o .
50 0 1 b
3 0 0 Ib
3001b
3001b
3 0 0 Ib
3001b
. \ 0
1501b
1501b
A , = 0
1 159.3 Ib |*3 p ie s ' 3 p ie s
3 p ie s
3 p ie s
3 p ie s
3 p ie s
3 p ie s
3 p ie s 1 1159.3 Ib
(a)
Hgiira 3-26
S O L U C IÓ N
E le m e n to CF.
D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . 1.a f u e r z a e n e l e le m e n to G J p u e d e o b ­
te n e r s e a l c o n s i d e r a r la s e c c ió n a a d e la f ig u r a 3 - 2 6 a . E n la fig u ra
3 . 2 6 b s e m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e d e r e c h a d e
e s ta se c c ió n .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A p lic a n d o £ A // ■ 0 s e p u e d e o b t e n e r
u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a *V ;/ ¿ P o r q u é ? P a r a s im p lific a r, d e s lic e F<;j
h a c ia e l p u n t o G (p r in c ip io d e tr a n s m is ib ilid a d ). fig u ra 3 - 2 6 6 . P o r lo
ta n to .
t+ S M / = 0;
<b)
- F Cj s e n 3 0 ° ( 6 ) + 3 0 0 (3 .4 6 4 ) = 0
f c , = 3 4 6 1 b (C )
R esp .
E le m e n to G C
D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . La f u e r z a e n C O p u e d e o b te n e r s e
u s a n d o la s e c c ió n b b d e la fig u ra 3 -2 6 a . E n la fig u ra 3 -2 6 c se m u e s tra
el d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz q u ie rd a d e la se c c ió n .
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L o s m o m e n to s s e s u m a r á n r e s p e c to al
p u n t o A co n e l fin d e e li m i n a r la s in c ó g n ita s F OP y F c 0 .
= 0;
- 3 0 0 ( 3 .4 6 4 ) + F c o { 6 )
Fc o = 173 Ib ( T )
0
R esp .
(c )
107
1 0 8
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s G E y G D d e la a r m a d u r a q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 7 a . In d iq u e s i lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n o
e n c o m p r e s ió n . L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s ya s e h a n c a lc u la d o .
Figura 3 -2 7
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e rp o lib r e . S e c o n s id e r a r á l a s e c c ió n a a d e la fi­
g u ra 3 -2 7 a . ¿ P o r q u é ? E n la f ig u r a 3 -2 7 b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e
c u e r p o lib r e a l a d e r e c h a d e e s ta s e c c ió n . L a d is ta n c i a E O p u e d e d e ­
te r m in a r s e m e d ia n te tr iá n g u lo s s e m e ja n te s o a l o b s e r v a r q u e e l e l e ­
m e n t o G E c a e v e r tic a lm e n te 4 .5 - 3 = 1.5 m e n 3 m , fig u ra 3 -2 7 a . P o r
c o n s ig u ie n te , p a r a c a e r 4 .5 m d e s d e G . l a d is ta n c i a d e C a O (fc b e s e r
d e 9 m . A d e m á s , lo s á n g u lo s q u e f o r m a n ¥ GD y ¥ GF c o n l a h o r iz o n ta l
s o n t a n - ‘ (4 .5 /3 ) = 56.3° y t a n " '( 4 . 5 / 9 ) = 2 6 .6 °, re s p e c tiv a m e n te .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . L a f u e r z a e n G F p u e d e d e te r m i n a r s e d i­
r e c t a m e n t e a p lic a n d o 1 M D = 0. ¿ I\> r q u é ? P a r a e l c á lc u lo a p liq u e e l
p rin c ip io d e tr a n s m is ib ilid a d y d e s lic e ¥ GF h a s ta e l p u n t o O . P o r lo
ta n to .
5,+ S A /„ = O.
- F g f s e n 2 6 .6 ° (6 ) + 7 ( 3 ) = 0
F g f = 7.83 k N ( C )
R esp .
l a f u e r z a e n G D se d e te r m i n a d ir e c ta m e n te a l a p li c a r 2íV/0 = 0 . P a ra
sim p lific a r a p liq u e e l p rin c ip io d e tra n sm isib ilid a d y d e slic e ¥ G n h a d a D .
A sí,
l + I M o = 0;
- 7 ( 3 ) + 2 ( 6 ) + E c o s e n 5 6 .3 ° ( 6 ) = 0
E g d = 1.80 k N ( C )
R esp .
3 .5
E l M É T O D O D E IA S SECC IO NES
D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s B C y M C efe la a r m a d u r a K q u e
se m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 8 a . In d iq u e si lo s e le m e n to s e s t á n e n te n s ió n
o e n c o m p r e s ió n . L as re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a se h a n c a lc u la d o .
A , —2900 Ib
12001b
15001b 18001b
(a)
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . A u n q u e l a s e c c ió n a a q u e s e m u e s tr a
e n la fig u ra 3 -2 8 a r e a l i/ a u n c o r t e a tr a v é s d e c u a t r o e le m e n to s , e s p o ­
sib le d e s c o m p o n e r la f u e r z a e n e l e l e m e n t o B C u s a n d o e s ta s e c c ió n .
E n la fig u ra 3-28¿> se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r te
iz q u ie rd a d e la a r m a d u r a .
F.va
\a
m "
29001b
-2 9 0 0 (1 5 ) + F bc{ 20) = 0
F b c = 2 1 7 5 Ib ( T )
|
Fvl
2 0 p ie s
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s u m a d e lo s m o m e n to s r e s p e c to a l
p o n t o L e lim in a tr e s d e la s in c ó g n ita s , p o r lo q u e
= O,
12001b
(b)
R esp .
D ia g ra m a s d e c u e rp o lib r e . L a f u e r z a e n M C p u e d e o b te n e r s e d e
m a n e r a in d ir e c ta a l o b t e n e r p r i m e r o la f u e r z a e n M B a p a r tir d e l
e q u ilib r io d e f u e iv a s v e r tic a le s e n la ju n t a B , f ig u r a 3 -2 8 c . e s d e c ir ,
FUfí = 1200 Ib (T ). E n to n c e s , c o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re
d e la fig u ra 3-28¿>.
+ T
= 0;
2900 -
F UB
1200 + 1200 - F u l = 0
F
«
= 2 9 0 0 Ib ( T )
E n la fig u ra 3 -2 8 d se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l a ju n t a
A /.e n e l c u a l se u s a n e s t o s re s u lta d o s .
0;
+ Í Z F y = 0;
Fbc
12001b
(c )
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io .
X ? .F t =
i
I**” F;.X
L
(vn)F"c (vb)
2900- 1200-(w) -
F'm k = 0
F „ k = L532 Ib ( C )
F" c
F m c = 1532 Ib ( T )
0
R esp .
E n o c a s io n e s , c o m o e n e s te e je m p lo , la a p lic a c ió n t a n t o d e l m é to d o d e
h s s e c c io n e s c o m o d e l m é to d o d e lo s n u d o s c o n d u c e a u n a s o lu c ió n
m ás d ir e c ta d e l p ro b le m a .
T a m b ié n e s p o s ib le o b t e n e r la f u e r z a e n M C u s a n d o e l r e s u lta d o de
FflC. E n e s te c a s o .s e p a s a u n a se c c ió n v e rtic a l a tr a v é s d e I .K , M K . M C
y B C , fig u ra 3 -2 8 a . S e a ís la la s e c c ió n iz q u ie r d a y s e a p lic a 1 M K = 0 .
29001b
12001b
(d )
Figura 3 -2 8
1 0 9
1 1 0
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
3 .6
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
A rm a d u ra s com puestas
E n la se c c ió n 3 -2 s e e s ta b le c ió q u e las a r m a d u r a s c o m p u e s ta s s e f o r m a n
al c o n e c t a r e n tr e s í d o s o m á s a r m a d u r a s s im p le s , ya s e a m e d ia n te la s b a ­
r r a s o la s ju n t a s . D e m a n e r a o c a s io n a l, e s t e t i p o d e a r m a d u r a s e a n a liz a
d e u n a m e j o r m a n e r a s i s e a p li c a n la n ío e l m é t o d o d e lo s n u d o s c o m o
e l d e la s se c c io n e s. C o n f r e c u e n c ia e s c o n v e n ie n te r e c o n o c e r a n te s e l tip o
d e c o n s tr u c c ió n ,s e g ú n la lis ta p r e s e n ta d a e n la s e c c ió n 3 -2 , p a ra d e s p u é s
r e a liz a r e l a n á lis is a p lic a n d o e l s ig u ie n te p ro c e d im ie n to .
E JE M P L O
3 .8
I n d iq u e c ó m o a n a liz a r la a r m a d u r a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la
fig u ra 3 -2 9 a . L a s re a c c io n e s e n lo s a p o y o s y a se h a n c a lc u la d o .
-4, = 0
£ - 5 kN
4k N
na
4 s e n 60° m
5 kN
4 kN
S O L U C IÓ N
L a a r m a d u r a e s c o m p u e s ta p u e s to q u e la s a r m a d u r a s s i m p l e s A C H y
C E G e s tá n c o n e c t a d a s m e d i a n te e l p a s a d o r e n C y la b a r r a 1IG .
L a s e c c ió n a a d e la fig u ra 3 - 2 9 a c o r ta la b a r r a H G y o tr o s d o s e l e ­
m e n to s q u e ti e n e n fu e rz a s d e s c o n o c id a s . E n la f ig u r a 3 -2 9 ¿> se m u e s tr a
u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l a p a r t e iz q u ie r d a . L a f u e r z a e n H G se
d e te r m in a d e la m a n e r a s ig u ie n te :
t+ Z A /c - O ,
<b)
- 5 ( 4 ) + 4 ( 2 ) + F //C ( 4 s e n 6 0 ° )
0
F HG = 3 .4 6 k N ( C )
3 .4 6 k N
A h o r a s e p r o c e d e a d e t e r m i n a r la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la s
a r m a d u r a s s im p le s s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . POr e je m p lo , el
d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e A C H se m u e s tr a e n la fig u ra 3 -2 9 c . L a s
ju n t a s d e e s t a a r m a d u r a p u e d e n a n a liz a r s e e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia :
5 kN
4 kN
(c)
H g u ra 3 -2 9
2 kN
J u n ta
Jum a
J u n ta
J u n ta
J u n ta
A : D e te r m in e la f u e r z a e n A B y A l .
H : D e te r m in e la f u e i v a e n H l y H J.
I : D e te r m in e la f u e r z a e n U e IB .
B : D e te r m in e la f u e r z a e n B C y BJ.
J: D e te r m in e la f u e r z a e n J C .
3 .6
A rmaduras compuestas
L a s a r m a d u r a s d e te c h o c o m p u e s ta s s e u s a n e n u n v iv e ro , c o m o se
m u e s tra e n la f o to g ra fía .T ie n e n las d im e n s io n e s y la c a rg a q u e s e m u e s­
tr a n e n la fig u ra 3-30a. In d iq u e la f o r m a d e a n a liz a r e s ta a rm a d u ra .
(b)
fig u ra 3 -3 0
S O L U C IÓ N
L a f u e r z a e n E F p u e d e o b t e n e r s e u s a n d o la s e c c ió n a a d e la fig u ra
3 -3 0 a . E n la f ig u r a 3 -3 0 b se m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l
s g m e n t o d e la d e r e c h a .
i+ I M 0 = 0;
-1 (1 ) -
1 (2 ) -
1 (3 ) -
1 (4 ) - 1 (5 ) - 0 .5 ( 6 ) + 6 ( 6 )
F e f = 5 .2 0 k N ( T )
R esp .
I b r in s p e c c ió n , o h s e r v e q u e R T , E O y H J s o n e le m e n to s d e fu e rz a
c e r o p u e s to q u e + 1 2 F y = 0 e n la s ju n t a s R . E y H . re s p e c tiv a m e n te .
T a m b ié n , p o r a p lic a c ió n + \ Z F y = 0 ( p e r p e n d ic u la r a A O ) e n la s
ju n ta s d e P . Q . S y T , p u e d e d e te r m in a r s e d ir e c ta m e n te la f u e r z a e n
b s e le m e n to s P U , Q U , S C y T C , re s p e c tiv a m e n te .
F e f { 6 ta n 3 0 ° ) = 0
111
1 1 2
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
In d iq u e c ó m o a n a liz a r la a r m a d u r a c o m p u e s ta q u e s e m u e s tra e n la
fig u ra 3-31<i. L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s ya s e h a n c a lc u la d o .
12
A D_
,
•45°
y»
' -**
45°
45°
\
j
B
E \
6w DÍCS
l/,V J — J L— 6 d í c s —-
-
oics
— 6 d í c s — 1-— 6 o
3k
3k
F, = 3 k
|— 6pies—|
S O L U C IÓ N
12 pies
6 sen 45° pies
L a a r m a d u r a p u e d e c l a s i f i c a r e c o m o c o m p u e s ta d e l tip o 2 , p u e s t o
q u e la s a r m a d u r a s s im p le s A B C D y F E H G e s tá n c o n e c ta d a s p o r tr e s
b a r r a s q u e n o s o n p a r a le la s n i c o n c u r r e n te s , a s a b e r , C E , B U y D G .
Si s e u s a la s e c c ió n a a d e la fig u ra 3 - 3 l a , e s p o s ib le d e t e r m i n a r la
f u e r z a e n c a d a b a r r a d e c o n e x ió n . E n la fig u ra 3 -3 1 b se m u e s tr a e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz q u ie r d a d e e s t a se c c ió n . P o r lo
ta n to ,
= O,
-3 (6 ) -
F p c i é s e n 4 5 ° ) + F C E e o s 4 5 ° (1 2 )
+ f ’C £ s e n 4 5 ° ( 6 ) = 0
+ T 2 F , = 0;
Z F , = 0;
3 - 3 -
(1 )
F rh s e n 4 5 ° + FC £ s e n 4 5 ° = 0
—F b u e o s 4 5 ° + F ^ -
FCEco s 45° = 0
(2 )
(3 )
A p a r t i r d e la e c u a c ió n ( 2 ) , Ffín ■ FCú e n to n c e s , a l r e s o lv e r s im u ltá ­
n e a m e n te la s e c u a c io n e s ( 1 ) y (3 ) s e o b tie n e
F Bh = F cf. = 2 .6 8 k ( C )
3k
Fnc
=
3 .7 8 k ( T )
3k
(c)
A h o r a p u e d e r e a liz a r s e e l a n á lis is d e c a d a a r m a d u r a s im p le c o n e c ­
ta d a s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s P o r e je m p lo , c o n b a s e e n la fi­
g u ra 3 - 3 le , e s to p u e d e h a c e r s e e n la s ig u ie n te s e c u e n c ia .
J u n ta A : D e te r m in e la f u e r z a e n A B y A D .
J u n ta D : D e te r m in e l a f u e r z a e n D C y D B .
J u n ta C: D e te r m in e la f u e r z a e n C B .
3 .6
113
A rmaduras compuestas
PROBLEM AS FU N D A M E N TA LE S
F 3 - 7 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s H G , I t G y B C
c i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
1 3 -1 0 .
D e t e r m in e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s G F , C F y
C D c in d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
4001b
1 3 - 8 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s H G , H C y B C
e i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
1 3 - 1 1 - D e te r m in e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s F E , F C y B C
e i n d iq u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
4 kN
6001b
6 0 0 Ib
6001b
6001b
6001b
2 kN
2 kN
3m -
3 m
B
— 4 p ie s — — 4 p ies -
1-3-8
1 3 -1 1
1 3 - 9 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s E D . B D y B C
c i n d i q u e s i e s t á n e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .
D
1 3 - 1 2 . D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s G F , C F y
C D e in d i q u e s i e s t á e n t e n s i ó n o e n c o m p r e s i ó n .
6 kN
.3¡>U
y
—
A1 l >
*
j
-----J 1.— > r , l p \ — J
’l p 1V.>
13-12
1r
p ita
1 1 4
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
PROBLEM AS
3 - 1 8 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s G F , F C y C D
d e la a r m a d u r a d e p u e n t e . I n d iq u e s i lo s e l e m e n t o s e s t á n e n
3 - 2 1 . L a a r m a d u r a H o w e e s t á s u j e t a a la c a r g a q u e se
m u e s tr a . D e t e r m i n e la s f u e r z a s e n lo s e l e m e n t o s G F , C D y
te n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e l e m e n t o s
e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a sa d o re s.
G C . I n d i q u e s i lo s e l e m e n t o s e s tá n e n t e n s ió n o e n c o m p r e ­
s ió n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e l e m e n t o s e s t á n c o n e c t a d o s
m e d ia n te p a sa d o re s.
IS k
10 k
P ro h . 3 -1 8
3 - 1 9 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s J K . J N y C D .
I n d iq u e s i l o s e l e m e n t o s e s t á n e n t e n s ió n o e n c o m p r e s i ó n .
I d e n tif iq u e t o d o s l o s e l e m e n t o s d e f u e r z a c e r o .
P ro h . 3 -2 1
P ro h . 3 -1 9
3 - 2 2 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n lo s e l e m e n t o s R G , H G y R C
d e la a r m a d u r a e in d i q u e s i lo s e l e m e n t o s e s t á n e n t e n s ió n o
e n c o m p r e s ió n .
* 3 - 2 0 . D e t e r m i n e la f u e r z a e n l o s e l e m e n t o s G F , F C y C D
d e la a r m a d u r a e n v o la d iz o . I n d i q u e s i lo s e l e m e n t o s e s tá n
e n t e n s ió n o e n c o m p r e s i ó n . S u p o n g a q u e t o d o s lo s e l e m e n ­
to s e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te p a s a d o re s .
G
6kN
7 kN
4kN
--------------- 12 m .4 X 3 m ----------P roh. 3 -2 0
P roh. 3 -2 2
3 .6
3 -2 3 . D eterm ine la fuerza e n lo s e le m e n to s G F . C F y CD
d e la a rm a d u ra d e tech o e indique si lo s e lem en to s e s tá n en
tensión o e n com presión.
A rmaduras compuestas
115
3-25. D eterm in e la fu erza e n los e le m e n to s / / / . ID y CD
d e la a rm a d u ra . In d iq u e si lo s e le m e n to s e stá n e n te n sió n o
e n co m p resió n . S uponga q u e to d o s los elem en to s e stá n c o ­
nectados m ed ian te pasadores.
3-26. D eterm in e la fuerza e n lo s e le m e n to s .//, IC y C D de
la a rm a d u ra . In d iq u e si los elem en to s están e n ten sió n o en
com presión. S u p o n g a q u e to d o s los e le m e n to s e s tá n conec­
tad o s m ed ian te pasadores.
1 5 kN
P robs. 3 -25/3-26
•3 -2 4 . D eterm ine la fu e rz a e n lo s e le m e n to s G F , F B y B C
de la a rm a d u ra F in k e in d iq u e si lo s elem en to s e stá n e n te n ­
sión o e n com presión.
3-27. D eterm in e las fu erzas en los e lem en to s K J , C D y C l
d e la a rm a d u ra . In d iq u e si lo s e le m e n to s e stá n e n te n sió n o
e n com presión.
P ro h . 3-24
P ro h . 3 - 2 7
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
3 .7
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
A rm a d u ra s c o m p le ja s
L a s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a c o m p le ja p u e d e n d e t e r ­
m in a rs e s ig u ie n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s ; s in e m b a r g o , la s o lu c ió n r e ­
q u e r i r á e s c r ib ir la s d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a c a d a u n a d e la s j
ju n t a s d e la a r m a d u r a y d e s p u é s re s o lv e r e l c o n ju n to c o m p le to d e 2j
e c u a c io n e s e n f o r m a s im u ltá n e a * E s te e n f o q u e p u e d e s e r p o c o p rá c tic o
s i lo s c á lc u lo s s e r e a liz a n m a n u a lm e n te , e n e s p e c ia l c u a n d o la s a r m a d u ­
ra s s o n m u y g ra n d e s . P o r e llo , a c o n tin u a c ió n se p r e s e n t a u n m é t o d o m á s
d ir e c to p a r a a n a liz a r u n a a r m a d u r a c o m p le ja .c o n o c id o c o m o e l m é to d o
d e lo s e le m e n to s s u b s titu to s .
P ro c e d im ie n to de a n á lis is
C b n r e f e r e n c ia a la a r m a d u r a d e la f ig u r a 3 - 3 2 a .s e r e q u ie r e n lo s s ig u ie n te s p a s o s p a r a
d e te r m in a r las fu e r z a s e n lo s e le m e n to s m e d ia n te e l m é to d o d e lo s e le m e n to s s u s titu to s .
Fuerzas 5 /
Fuerzas s,
<b>
(c )
fig u ra 3 -3 2
• F s t o p u e d e re a liz a r s e f á c ilm e n te e m p le a n d o u n a c o m p u ta d o r a , c o m o se m u e s tra e n e l
c a p itu lo 14
3 .7
A rm aduras com plejas
R e d u c c ió n a u n a a r m a d u r a s im p le e s t a b l e
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y c o m ie n c e p o r im a g in a r c ó m o a n a liz a r ía la
a r m a d u r a a p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , e s d e c ir , p a s a n d o d e u n a j u n t a a o t r a y
re s o lv ie n d o p a r a e n c o n t r a r c a d a f u e r z a d e e le m e n to . S i se lle g a a u n a j u n t a d o n d e h a y
tres in c ó g n ita s , e lim in e u n o d e lo s e le m e n to s e n la a r tic u la c ió n y r e e m p lá c e lo p o r u n
e le m e n to im a g in a r io e n c u a lq u ie r o t r a p a r t e d e la a r m a d u r a . D e e s t a m a n e r a , s e
r e c o n s tr u y e la a r m a d u r a c o m o u n a a r m a d u r a s im p le e s ta b le .
ft>r e je m p lo , e n la fig u ra 3 -3 2 a s e o b s e r v a q u e c a d a ju n t a te n d r á tr e s fu e r z a s d e e l e ­
m e n t o d e s c o n o c id a s a c tu a n d o s o b r e e lla . ft>r lo t a n t o . s e e lim in a r á e l e le m e n to / I D y se
r e e m p la z a r á c o n e l e le m e n to im a g in a r io C E , fig u ra 3 -3 2 b . E s ta a r m a d u r a p u e d e a n a l i ­
z a rs e a h o r a m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n u d o s p a r a lo s d o s tip o s d e c a r g a q u e s ig u e n .
C a r g a e x t e r n a s o b r e u n a a r m a d u r a s im p le
C a r g u e la a r m a d u r a s im p le c o n la c a rg a r e a l P y d e s p u é s d e te r m i n e la f u e r z a 5 / e n c a d a
e le m e n to i. C u a n d o la s r e a c c io n e s y a h a n s i d o d e te r m i n a d a s ,e n la fig u ra 3 - 3 2 6 * p u e d e
c o m e n z a r e n la j u n t a A p a ra d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n A R y A F , d e s p u é s e n la j u n t a F
p a r a d e te r m i n a r la s f u e r z a s e n F E y F O , lu e g o e n la j u n t a D p a r a d e te r m i n a r las f u e r z a s
e n D E y D C (la s c u a le s s o n ig u a le s a c e r o ) ; p o s t e r io r m e n t e , e n la j u n t a E p a ra
e n c o n tr a r E R y E C , y f in a lm e n te la j u n t a B p a ra d e t e r m i n a r la f u e r z a e n B C ,
R e tiro d e la c a r g a e x t e m a d e la a r m a d u r a s i m p l e
C o n s id e r e la a r m a d u r a s im p le s i n la c a rg a e x te r n a P . C o lo q u e ca rg a s u n ita r ia s g u a l e s
p e r o o p u e s ta s a lin e a d a s s o b r e l a a r m a d u r a e n la s d o s ju n ta s d e la s c u a le s s e r e t i r ó e l
e le m e n to . S i e s t a s fu e r z a s d e s a r r o ll a n u n a f u e r z a s, e n e l i- é s im o e le m e n to d e u n a
a r m a d u r a , e n to n c e s p o r p r o p o r c ió n u n a f u e r z a x d e s c o n o c id a e n e l e le m e n to r e t i r a d o
e je r c e r ía u n a f u e r z a d e x s , e n e l í- é s im o e le m e n to .
C b n b a s e e n la f ig u r a 3 - 3 2 c ,la s c a r g a s u n ita r ia s ig u a le s p e r o o p u e s t a s n o c re a rá n r e a c ­
c io n e s e n A y C c u a n d o s e a p lic a n las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io a to d a la a r m a d u r a . L a s
fu e r z a s s , p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te u n a n á lis is d e la s j u n t a s e n l a m ism a s e c u e n c ia
a n te r io r , e s d e c ir , p r i m e r o la j u n t a A , lu e g o la s ju n t a s F . D . E y p o r ú ltim o la j u n t a B .
S u p e r p o s ic ió n
Si lo s e f e c to s d e las d o s c a r g a s a n te r io r e s s e c o m b in a n , la f u e r z a e n e l i-é s im o e l e m e n t o
d e la a r m a d u r a s e r á
S , = s ; + *5,
(1 )
E n p a r tic u la r , p a r a e l e le m e n to s u s tit u id o E C e n la f ig u r a 3 -3 2 b la f u e r z a S EC ■ S 'c c +
x s FC. C ó m o e l e l e m e n t o E C e n r e a lid a d n o e x is te e n la a r m a d u r a o r ig in a l, se e le g i r á x
c o n u n a m a g n itu d ta l q u e p r o d u z c a u n a fu e r z a c e r o e n E C .P o r c o n s ig u ie n te ,
S'EC + x s EC = O
(2 )
o x = - S 'E c fs E c v e z q u e se h a d e te r m i n a d o e l v a lo r d e x , las f u e r z a s e n lo s o t r o s
e le m e n to s i d e la a r m a d u r a c o m p le ja p u e d e n d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la e c u a c ió n (1 ).
117
1 1 8
C a p it u l o
E JE M P L O
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
3 .1 1
D e te r m in e la f u e iz a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a c o m p le ja q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -3 3 a . S u p o n g a q u e la s j u n t a s B , F y D x e n ­
c u e n tr a n e n la m ism a lín e a h o r iz o n ta l. I n d i q u e s i lo s e le m e n to s e s tá n
e n te n s ió n o e n c o m p r e s ió n .
8 p ie s
(a)
F ig u ra 3 - 3 3
S O L U C IÓ N
Reducción a una armadura simple estable. ft>r in s p e c c ió n , c a d a
ju n t a tie n e tr e s fu e r z a s d e e le m e n to d e sc o n o c id a s. E l a n á lisis d e la s j u n ­
ta s p u e d e r e a liz a r s e e n f o r m a m a n u a l s i. p o r e je m p lo , s e e lim in a e l e le ­
m e n t o C E y s e s u s titu y e p o r e l e le m e n to D E . f ig u r a 3 -3 3 b . L a a r m a d u r a
r e s u lta n te e s e s t a b le y n o c o la p s a rá .
Carga externa sobre la armadura simple.
C o m o s e m u e s tra e n la
fig u ra 3-33¿>,se h a n d e te r m in a d o la s re a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la a r ­
m a d u r a . A p lic a n d o e l m é t o d o d e lo s n u d o s , p r i m e r o p u e d e a n a liz a rs e
la ju n t a C p a r a e n c o n tr a r las fu e rz a s e n lo s e le m e n to s C B y C D \lu e g o la
ju n ta F , d o n d e s e o b s e r v a q u e F A y F E s o n e le m e n to s d e f u e r z a c e ro ;
d e s p u é s la j u n t a E p a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s e n lo s e l e m e n t o s E B
y E D \ p o s te r io r m e n te , l a ju n t a D p a ra d e te r m in a r las fu e r z a s e n D A y
D B ,y p o r ú ltim o la ju n t a B p a r a d e te r m in a r la f u e r z a e n B A . E sta s fu e r­
z a s 5¡ se r e g is tr a n e n la c o lu m n a 2 d e la t a b l a 1, d o n d e s e c o n s id e r a a la
te n s ió n c o m o p o s itiv a y a la c o m p r e s ió n c o m o n e g a tiv a .
í
4375 k
(b)
3 .7
(c)
R e tir o d e la c a rg a e x te m a d e la a rm a d u ra s im p le . E n la fig u ra
3 -3 3 c s e m u e s tr a l a c a rg a u n it a r i a q u e a c tú a s o b r e la a r m a d u r a . E s ta s
tu e r z a s ig u a le s p e r o o p u e s ta s n o c r e a n r e a c c io n e s e x te m a s s o b r e la
a r m a d u r a . E l a n á lis is d e ju n ta s s ig u e la m is m a s e c u e n c ia in d ic a d a a n ­
te r io r m e n te ; e s d e c i r , s e a n a liz a n la s j u n t a s C , F , E , D y B . L o s r e s u lta ­
d o s d e l a n á lis is d e f u e r z a s s, s e r e g is tr a n e n la c o lu m n a 3 d e la t a b l a 1.
S u p e rp o s ic ió n .
Se re q u ie re
S
db
= S' d b +
xsd b
= 0
A l s u s titu ir lo s d a t o s e n S ' DB y sDB, d o n d e S ’DB e s n e g a tiv a p u e s to q u e
h f u e r z a e s d e c o m p r e s ió n ,s e tie n e
- 2 . 5 0 + x ( 1 .1 6 7 ) = 0
x = 2.143
L o s v a lo r e s d e xs¡ s e r e g is tr a n e n l a c o lu m n a 4 d e la t a b l a 1. y la s f u e r ­
za s d e e l e m e n t o r e a le s S ,= S ¡ + xs¡ se e n lis ta n e n la c o lu m n a 5.
j
TABLA 1
S e m e n tó
CB
CD
FA
FE
EB
F.D
DA
DB
BA
CB
s¡
*
**
s.
3.54
-3 .5 4
0
0
0
-4 .3 8
534
-2 .5 0
2.50
-0 .7 0 7
-0 .7 0 7
0.833
0.833
-0 .7 1 2
-0 2 5 0
-0 .7 1 2
1.167
-0 .2 5 0
-1 .5 2
-L 5 2
1.79
1.79
-1 .5 3
-0 5 3 6
-1 .5 3
250
-0 5 3 6
2.02 (T)
5.05 (C)
1.79 (T)
1.79 (T)
1.53 (C)
4.91 (C )
3.81 (T )
0
1.96 (T)
2 1 4 (T)
A rm aduras com plejas
119
1 2 0
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
3 .8
p
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
A rm a d u ra s e s p a c ia le s
U n a a rm a d u ra e sp a c ia l c o n siste e n e le m e n to s q u e e s t á n u n id o s e n tr e s i p o r
s u s e x tr e m o s p a r a fo rm a r u n a e s tru c tu r a trid im e n s io n a l e s ta b le . E n la se c ­
c ió n 3 -2 s e d e m o s tr ó q u e la fo r m a m á s sim p le d e u n a a r m a d u r a b id im e n s io n a l e s ta b le s e c o m p o n e d e e le m e n to s d is p u e s to s e n fo r m a d e u n
triá n g u lo . D e s p u é s s e c o n s tru y ó u n a a r m a d u r a p la n a sim p le c o n b a s e en
e s te e le m e n to tria n g u la r, a ñ a d ie n d o d o s e le m e n to s a la v e z p a r a f o r m a r
n u e v o s m ie m b r o s D e m a n e r a s im ila r, e l m ie m b r o m á s sim p le d e u n a a r m a ­
d u r a e sp a c ia l e s ta b le e s u n te tra e d ro , f o r m a d o p o r l a c o n e x ió n d e se is e le ­
m e n to s m e d ia n te c u a tr o ju n ta s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 3-34. T o d o s los
e le m e n to s a d ic io n a le s a ñ a d id o s a e s t e e le m e n to b á sic o s e r ía n re d u n d a n te s
p a r a s o p o r ta r la fu e rz a P. U n a a r m a d u r a e sp a c ia l s im p le p u e d e c o n stru irse
a p a r t i r d e e s te m ie m b r o te tr a é d r ic o b á sic o , a g re g a n d o tr e s n u e v o s e le m e n ­
to s y o t r a j u n t a p a ra a s í f o r m a r te tr a e d r o s m u ltic o n e c ta d o s.
D eterm inación y estabilidad. A l o b s e r v a r q u e e n tr e s d i m e n ­
s io n e s h a y tr e s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io p a ra c a d a j u n t a ( 2 / r, = 0 , 2 F V=
0 . 2 F . = 0 ) . e n to n c e s p a r a u n a a r m a d u r a e s p a c ia l c o n u n n ú m e r o j d e
ju n ta s , h a y 3j e c u a c io n e s d is p o n ib le s . Si la a r m a d u r a ti e n e u n n ú m e r o b
d e b a r r a s y u n n ú m e r o r d e r e a c c io n e s , c o m o e s e l c a s o d e u n a a r m a d u r a
p la n a ( e c u a c io n e s 3 -1 y 3 -2 ). e s p o s ib le e s c r ib ir
b + r < 3j
b + r = 3j
b + r > 3/
a r m a d u r a in e s ta b le
e s tá tic a m e n te d e t e r m i n a d a - c o m p r o b a r
e s ta b ilid a d
e s tá tic a m e n te in d e t e r m in a d a - c o m p r o b a r
e s ta b ilid a d
(3 -3 )
L a esta b ilid a d exte rn a d e la a r m a d u r a e s p a c ia l r e q u ie r e q u e las re a c c io n e s
e n lo s s o p o r te s m a n te n g a n la a r m a d u r a e n e q u ilib r io d e fu e r z a s y m o ­
m e n to s r e s p e c to d e c u a le s q u ie r e je s. E n o c a s io n e s e s to p u e d e c o m p r o ­
b a rs e p o r in s p e c c ió n , p e r o s i la a r m a d u r a e s in e s ta b le u n a s o lu c ió n d e las
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d a r á r e s u lta d o s in c o n s is te n te s . L a e sta b ilid a d i n ­
te rn a p u e d e c o m p r o b a r s e a v e c e s m e d ia n te u n a in s p e c c ió n c u id a d o s a de
h d is p o s ic ió n d e lo s e le m e n to s . S ie m p re q u e c a d a ju n ta s e m a n te n g a fija
p o r s u s s o p o r te s o e le m e n to s c o n e c ta d o s , d e m o d o q u e n o p u e d a m o v e rs e
c o n r e s p e c to a la s d e m á s ju n ta s , l a e s tr u c tu r a p u e d e c la s ific a rs e c o m o e s ­
ta b le in te r n a m e n te . A d e m á s .s i s e h a c e u n a n á lisis d e fu e r z a s d e la a r m a ­
d u r a y s e o b tie n e n re s u lta d o s in c o n s is te n te s , e n to n c e s la c o n fig u ra c ió n de
la a r m a d u r a s e r á in e s ta b le o te n d r á u n a “ fo r m a c r ític a ” .
Supuestos para el diseño.
E l l e c h o d e e s l e p a b e l ló n s e s o s t i e n e m e ­
d i a n t e u n s i s t e m a d e a r m a d u r a s e s p a c ia le s .
L o s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a e s p a ­
c ia l p u e d e n tr a ta r s e c o m o e le m e n to s d e f u e r z a a x ia l, s ie m p re q u e la c a rg a
e x t e m a se a p liq u e e n la s ju n t a s y é s t a s s e f o r m e n m e d ia n te c o n e x io n e s de
ró tu la . E s te s u p u e s to se ju s tific a s u p o n ie n d o q u e lo s e le m e n to s u n id o s p o r
u n a c o n e x ió n se c ru c e n e n u n p u n to c o m ú n y e l p e s o d e lo s e le m e n to s
p u e d a ig n o ra rse . E n lo s c a so s e n q u e e l p e s o d e u n e le m e n to s e in c lu y a en
e l an álisis, p o r lo g e n e ra l re s u lta s a tisfa c to rio a p lic a rlo c o m o u n a fu e rz a
v e rtic a l, co n la m ita d d e s u m a g n itu d a p lic a d a a c a d a e x tr e m o d e l e le m e n to .
P a r a e l a n á lis is d e fu e rz a s, lo s s o p o r t e s d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l s u e ­
le n m o d e la rs e c o m o u n e s la b ó n c o rto , u n a j u n t a d e ro d illo s p la n a , u n a
ju n t a d e ro d illo s r a n u r a d a o u n a j u n t a d e r ó tu la . E n la ta b la 3 -1 s e m u e s ­
tr a c a d a u n o d e e s t o s s o p o r te s y s u s c o m p o n e n te s d e f u e r z a re a c tiv a .
3 .8
TA B LA 3 - 1
S o p o r te s y s u s c o m p o n e n te s d e f u e r z a re a c tiv a
(2)
ro d illo
(3 )
V
-
F,
/
ro d illo r a n u n id o re s trin g id o
e n u n c ilin d r o
r.
(4 )
— y
ró tu la
A r m a d u r a s espaciales
1 2 2
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
C o m p o n e n te s de fuerza X, y , z.
C ó m o e l a n á lis is d e u n a a r m a ­
d u r a e s p a c ia l e s tr id im e n s io n a l, a m e n u d o s e r á n e c e s a r io d e s c o m p o n e r la
f u e r z a F d e u n e le m e n to e n lo s c o m p o n e n te s q u e a c tú a n a lo la r g o d e lo s
e je s x , y , z . P o r e je m p lo , e n la f ig u r a 3 -3 5 e l e le m e n to A B tie n e u n a lo n g i­
tu d / y p r o y e c c io n e s c o n o c id a s x , y , z a lo la r g o d e lo s e je s c o o rd e n a d o s .
E s ta s p r o y e c c io n e s p u e d e n r e la c io n a r s e c o n la lo n g itu d d e l e le m e n to
v m e d ia n te la e c u a c ió n
i =
V ? T 7 T ?
(3 -4 )
C o m o la f u e r z a F a c tú a a lo l a r g o d e l e je d e l e le m e n to , la s c o m p o n e n ­
te s d e F p u e d e n d e te r m in a r s e p o r p r o p o r c ió n d e la s ig u ie n te m a n e r a :
F ig u ra 3 - 3 5
* - < f )
- Í l )
(3-5)
T e n g a e n c u e n ta q u e e s to r e q u i e r e
f
= V fT T Fi +
(3 -6 )
E l u s o d e e s t a s e c u a c i o n e s s e il u s t r a r á e n e l e je m p lo 3 -1 2 .
E le m e n to s d e fu e rz a c e ro . E n a lg u n o s c a s o s , e l a n á lis is d e las
ju n t a s d e u n a a r m a d u r a p u e d e s im p lific a rs e s i e s p o s ib le d e t e c t a r lo s e l e ­
m e n to s d e f u e r z a c e r o a l r e c o n o c e r d o s c a s o s c o m u n e s e n la g e o m e tr ía
d e las ju n ta s .
C a s o 1 . Si to d o s lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s a u n a a r m a d u r a m e n o s u n o
e s t á n e n e l m is m o p la n o y s ie m p r e q u e n in g u n a c a r g a e x te r n a a c tú e
s o b r e la ju n t a , e l e le m e n to q u e n o s e e n c u e n t r a e n e l p la n o d e lo s d e m á s
e le m e n to s d e b e e s t a r s o m e tid o a u n a f u e r z a c e r o . I-a p r u e b a d e e s ta a f i r ­
m a c ió n s e m u e s tra e n la fig u ra 3 -3 6 ,d o n d e lo s e le m e n to s A , f í y C e s tá n
e n e l p la n o x - y . C o m o la c o m p o n e n t e z d e F „ d e b e s e r c e r o p a r a s a t is f a ­
cer
- 0 , e l e l e m e n t o D d e b e s e r u n e l e m e n t o d e f u e r z a c e r o . P o r el
m is m o ra z o n a m ie n to , e l e le m e n to D s o p o r ta r á u n a c a rg a q u e p u e d e d e ­
te r m in a r s e a p a r t i r d e 1 F . = O si u n a f u e r z a e x te r n a a c tú a s o b r e la j u n t a
y ti e n e u n a c o m p o n e n t e q u e a c t ú a a k» l a r g o d e l e je z.
D e b id o a s u e f ic ie n c ia d e c o s to s , la s t o r r e s
d e e s t e t i p o s e u s a n p a r a s o s t e n e r v a r ia s li­
n e a s d e tr a n s m i s i ó n e lé c tr ic a .
H g u ra 3-36
3 .8
A r m a d u r a s espaciales
C a s o 2 . S i s e h a d e te r m i n a d o q u e to d o s m e n o s d o s d e v a rio s e le m e n to s
c o n e c ta d o s a u n a ju n t a s o p o r ta n f u e r z a c e r o , lo s d o s e le m e n to s r e s ta n te s
ta m b ié n d e b e n s o p o r t a r f u e r z a c e r o , s ie m p r e q u e n o s e e n c u e n t r a n a lo
la rg o d e la m ism a lín e a . E s ta s itu a c ió n s e ilu s tr a e n la f ig u r a 3 -3 7 , d o n d e
s e s a b e q u e A y C s o n e le m e n to s d e f u e r z a c e r o . C o m o F D e s c o lin e a l c o n
e l e je y , e n to n c e s la a p lic a c ió n d e I F , = 0 o 1 F . = 0 r e q u i e r e q u e la s
c o m p o n e n te s x o z d e F fl s e a n c e r o . E n c o n s e c u e n c ia , F fí = 0. Si é s t e e s el
c a s o , F „ = 0 p u e s t o q u e Z F y = 0.
F ig u ra 3 - 3 7
D e b e p r e s ta r s e a te n c ió n e s p e c ia l a lo s d o s c a s o s a n t e r i o r e s d e c a rg a y
g e o m e tr ía d e la s ju n t a s , p u e s to q u e e l a n á lis is d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l
p u e d e s im p lific a rs e c o n s id e r a b le m e n te s i se d e t e c t a n p r i m e r o lo s e l e ­
m e n to s d e f u e r z a c e ro .
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
P a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s d e s a r r o ll a d a s e n lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a e s p a c ia l
p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e la s s e c c io n e s o e l m é t o d o d e lo s n u d o s .
M é t o d o d e la s s e c c i o n e s
Si s ó l o d e b e n d e te r m i n a r s e a lg u n a s f u e iz a s d e e le m e n to , p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e las
s e c c io n e s C u a n d o s e p a s a u n a s e c c ió n im a g in a r ia a tr a v é s d e u n a a r m a d u r a y é s t a se
d iv id e e n d o s p a r te s , e l s is te m a d e f u e r z a q u e a c tú a e n c a d a u n a d e las p a r te s d e b e
s a tis f a c e r la s s e is e c u a c io n e s e s c a la r e s d e e q u ilib r io : Z F , = 0 , Z F r = 0 , Z f . = 0 ,
Z A f , = 0 , Z A /y = 0 , Z A f . = 0 . M e d ia n te la e le c c ió n a d e c u a d a d e la s e c c ió n y lo s e je s
p a r a s u m a r f u e r z a s y m o m e n to s .e s p o s ib le c a lc u la r d ir e c ta m e n te m u c h a s d e la s fu e r z a s
d e e l e m e n t o d e s c o n o c id a s e n u n a a r m a d u r a e s p a c ia l, e m p l e a n d o u n a s o la e c u a c ió n d e
e q u ilib r io . A e s te re s p e c to , r e c u e r d e q u e e l m o m e n t o d e u n a f u e r z a r e s p e c to a u n e je e s
c e r o s ie m p r e q u e la f u e r z a s e a p a r a le la a l eje o s u lín e a d e a c c ió n p a s e a tr a v é s d e u n
p u n to e n e l eje.
M é t o d o d e lo s n u d o s
E n g e n e r a l , s i d e b e n d e t e r m i n a r s e la s f u e r z a s e n l o d o s lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a ,
e l m é to d o d e lo s n u d o s e s e l m á s a d e c u a d o p a r a r e a l iz a r e l a n á lis is . C u a n d o s e u tiliz a e l
m é to d o d e lo s n u d o s , e s n e c e s a r io re s o lv e r las tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io e s c a la r e s
Z Fx = 0 , Z Fy = 0 , Z F . = 0 e n c a d a ju n ta . C o m o e s r e l a tiv a m e n te fá c il d ib u j a r lo s
d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e y a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , e l m é to d o d e lo s n u d o s
es m u y c o n s is te n te e n s u a p lic a c ió n .
1 2 3
1 2 4
C a p it u l o
E JE M P L O
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
3 .1 2
D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e l e m e n t o d e la a r m a d u r a e s p a c ia l q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 3 -3 8 a . L a a r m a d u r a e s t á s o p o r ta d a p o r u n a j u n t a
d e r ó tu la e n A , u n a ju n t a d e r o d illo r a n u r a d o e n B y u n c a b le e n C.
Figura 3 -3 8
S O L U C IÓ N
L a a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a p u e s to q u e b + r = 3 ; o
b ie n 9 + 6 = 3 (5 ), fig u ra 3 -3 8 6 .
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . E s p o s ib le o b t e n e r la s r e a c c io n e s e n
lo s s o p o r te s a p a r t i r d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la a r m a ­
d u r a . fig u ra 3 - 3 8 6 ,d e l a s ig u ie n te m a n e r a :
+
ZM y =
0;
SA Z. =
0;
2M , =
0;
lF t =
0;
300 - A , = 0
A , = 3 0 0 Ib
ZFy =
0;
< 4 ,- 6 0 0 - 0
<4, = 6 0 0 Ib
ZF. =
0;
<4. - 6 0 0 = 0
<4. = 6 0 0 Ib
-6 0 0 (4 )
B ,( S ) = 0
ñ , = 3 0 0 Ib
Cy = 0
B y {8 ) - 6 0 0 (8 ) = 0
B , = 6 0 0 Ib
3 .8
A r m a d u r a s e spaciales
1 2 5
6001b
J u n ta B. E l m é to d o d e lo s n u d o s p u e d e e m p e z a r e n B , p u e s t o q u e
h a y tr e s f u e r z a s d e e le m e n to d e s c o n o c id a s e n e s ta ju n t a , f ig u r a 3 -3 8 c .
L a s c o m p o n e n t e s d e F fl£ p u e d e n d e t e r m i n a r e p o r p r o p o r c ió n a la
b n g i t u d d e l e le m e n to S E , c o m o se in d ic a e n la s e c u a c io n e s 3 -5 . S e
tie n e q u e
l F y = O.
- 6 0 0 + E fl£(& ) = 0
S E , = 0;
300 -
S E , = 0;
F ba - 9 0 0 (g ) = 0
F b e = 9 0 0 Ib (T )
F bc - 9 0 0 (£ ) = 0
F BC = 0
F RA = 6 0 0 I b ( C )
R esp .
R esp .
R esp .
J u n ta A . U s a n d o e l r e s u lta d o p a r a F ^ ■ 6 0 0 Ib ( C ) .e l d ia g r a m a d e
c u e r p o lib re d e la j u n t a A s e m u e s tr a e n la fig u ra 3 -3 8 d . S e tie n e
S E , = 0;
6 0 0 - 6 0 0 + E ^ c s e n 45
F
S E V = 0;
ac
0
= 0
- E r f í f o ) + 600 - 0
F a e = 6 7 0 .8 Ib (C )
S E , = 0;
AK
R esp .
R esp .
- 3 0 0 + Fad + 6 7 0 .8 ( ^ ) = 0
Fad = 0
R esp .
J u n ta D. P b r in s p e c c ió n , lo s e le m e n to s e n la j u n t a D , f ig u r a 3 -3 8 a ,
s o p o r ta n f u e iz a c e r o , y a q u e l a d is p o s ic ió n d e lo s e le m e n to s e s s im ila r
a c u a lq u ie ra d e lo s d o s c a so s a n a liz a d o s e n r e f e r e n c ia a la s fig u ra s 3 -3 6
y 3 -3 7 . A d e m á s , a p a r t i r d e l a f ig u r a 3 -3 8 e .
SE,
0;
F DE
R esp .
SE,
0;
F nc
R esp .
J u n ta C .
l\> r o b s e r v a c ió n d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -3 8 f
F'c e = 0
R esp .
0
0
(f)
Ft*
1 2 6
C a p it u l o
E JE M P L O
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
3 .1 3
D e te r m in e lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o d e l a a r m a d u r a q u e s e m u e s ­
tr a e n la f ig u r a 3 -3 9 a . L o s s o p o r te s e je r c e n la s c o m p o n e n t e s d e r e a c ­
c ió n e n la a r m a d u r a c o m o s e in d ic a e n la fig u ra .
<«)
fig u ra 3 -3 9
S O L U C IÓ N
E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 3 -3 9 a , in d ic a q u e h a y o c h o r e a c ­
c io n e s d e s c o n o c id a s p a r a c u y a s o lu c ió n s ó lo h a y d is p o n ib le s s e is
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . A u n q u e é s t e s e a e l c a s o , la s r e a c c io n e s p u e ­
d e n d e te r m in a r s e , p u e s t o q u e 6 + r = 3 / o l 6 + 8 = 3 (8 ).
P a r a d e t e c t a r lo s e le m e n to s d e f u e r z a c e r o , e s n e c e s a r io c o m p a r a r
la s c o n d ic io n e s d e la g e o m e tr ía d e las ju n t a s y la c a rg a c o n la s in c lu i­
d a s e n la s fig u ra s 3 -3 6 y 3 -3 7 . C o n s id e r e la j u n t a F , fig u ra 3 -3 9 b . C o m o
lo s e le m e n to s F C , F D y F E se e n c u e n t r a n e n e l p la n o x ' y ' y F G no
e s tá e n e s t e p la n o , F G e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r a ( D e b e s a tis f a ­
c e r s e "LF.• = 0 .) D e l a m is m a m a n e r a , a p a r t i r d e la j u n t a E , f ig u r a
3 -3 9 c . E F e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r o , p u e s t o q u e n o se e n c u e n t r a e n
e l p l a n o y '- z '. ( D e b e s a tis f a c e r s e E / y = 0 .) V o lv ie n d o a l a j u n t a F , fi­
g u r a 3 -3 9 b , p u e d e o b s e r v a r s e q u e F fd = F p c = 0 p u e s t o q u e F f f =
F f c = 0 ,y n o h a y f u e r z a s e x te r n a s q u e a c tú e n s o b r e la ju n ta . U s e e s te
p r o c e d im ie n to p a r a d e m o s tr a r q u e A B e s u n e le m e n to d e f u e r z a c e r o .
E l a n á lis is n u m é r ic o d e fu e r z a s e n la s ju n t a s p u e d e p r o c e d e r a h o r a a
a n a liz a r la ju n t a G (F g f = 0 ) p a r a d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n G H , G B ,
G C , D e s p u é s s e a n a liz a la ju n t a H p a r a d e te r m in a r la s f u e r z a s e n H E ,
H B y H A -,la ju n t a E p a r a d e te r m i n a r la s fu e r z a s e n E A , E D \ la j u n t a zl
p a ra d e te r m in a r la s f u e r z a s e n A B . A D y / l r ;la ju n t a B p a ra d e te r m i­
n a r la f u e r z a e n B C y B „ B ¡\ la ju n t a D p a r a d e te r m in a r la f u e r z a e n
D C y D y, D z y. p o r ú ltim o , la j u n t a C p a ra d e te r m i n a r C „ C y , C z.
3 -8
PR O B LE M A S
1 2 7
PROBLEM AS
•3 -2 8 . D eterm ine las fu erzas e n to d o s los elem en to s d e la
arm ad u ra c o m p le ja In d iq u e s i lo s elem en to s e stá n en te n ­
sión o e n com presión . Sugerencia: S ustituya A l ) p o r u n ele­
m ento ubicado e n tre E y C.
3-30. D eterm in e la fu erza e n c a d a e le m e n to e indique si
los e le m e n to s e s tá n e n ten sió n o e n com presión.
P ro h . 3 -3 0
P ro h . 3-28
>-29. D eterm ine las fuerzas e n to d o s lo s e le m e n to s d e la
arm ad u ra (com pleja) e n fo rm a d e red. In d iq u e si los ele­
m entos están e n tensió n o e n co m p resió n . Sugerencia: S u sti­
tuya J E por u n e lem en to u b icad o e n tre K y F.
3-31. D eterm in e la fuerza e n to d o s lo s e le m e n to s d e la ar­
m adura c o m p le ja In d iq u e si lo s elem en to s e stá n e n ten sión
o e n com presión.
P ro h . 3 -3 1
1 2 8
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
*3-32. D eterm ine la fu erza d esarrollada e n c a d a e le ­
m ento de la a rm a d u ra esp acial e indique si lo s e le m e n to s
e stán e n te n sió n o e n co m p re sió n . L a c aja tien e u n p e so de
150 Ib.
d e t e r m in a d a s
3 -3 4 . D eterm in e la fuerza e n c a d a elem en to d e la a rm a ­
d u ra esp acial e indique si lo s elem en to s e stá n e n te n sió n o
en com presión. La a rm a d u ra se so stien e m ed ian te artic u la ­
ciones de ró tu la e n C . D . E y G . Ñola: A p esar d e q u e esta
arm ad u ra e s in d eterm in ad a de p rim e r grado, e s posible una
solución d eb id o a la sim etría de la c arg a y la geom etría.
P ro b .3 -3 2
3 -3 3 . D eterm in e la fuerza e n c ad a e le m en to d e la arm a ­
d u ra espacial e indique s i lo s elem en to s e stá n e n te n sió n o
en com presión. Sugerencia: La reacción d e l so p o rte e n E
actúa a lo largo del e le m e n to £ /? .¿ F o r q u é ?
3 -3 5 . D eterm in e la fu erza e n lo s e le m e n to s F E y F.D de la
a rm a d u ra esp acial e indique si los e le m e n to s e stá n e n te n ­
sión o e n co m p resió n . La arm ad u ra se sostien e m ed ian te
una articulación d e ró tu la e n C y eslabones cortos c n A y B .
* 3 -3 6 . D eterm ine la fuerza e n los e lem en to s G D , G E y
F D de la arm ad u ra esp acial e indique si los e le m e n to s están
en ten sió n o en com presión.
5 001b
2 001b
P roh. 3 -3 3
Probs. 3 -3 5 /3 -3 6
P f O B l EM A S D E P R O V E C TO
3-37. D eterm ine la fu erza e n cada e le m en to d e la arm a ­
d u ra espacial. In d iq u e s i los e lem en to s e stán e n te n sió n o en
com presión.
1 29
3-38. D eterm in e la fu e rz a e n lo s e le m e n to s B E . B E y B C
d e la a rm ad u ra esp acial c in d iq u e si los e le m e n to s e stá n en
tensión o e n com presión.
3-39. D eterm in e la fuerza en lo s e le m e n to s C D , F D y C F
d e la a rm ad u ra esp acial e in d iq u e si los elem en to s e stá n en
tensión o e n com presión.
P ro b . 3 -3 7
P robs. 3 -3 8 /3 -3 9
P R O B L E M A S DE P R O Y E C T O
3-1P.
Las arm ad u ras P ratt d e tech o e s tá n esp aciad as
uniform em ente a cada 15 pies. l a cu bierta, e l m a te ria l del
techo y los larg u ero s tie n e n un peso p ro m e d io d e 5.6
Ib/pie7. E l edificio está situ ad o e n N ueva Y ork, d o n d e la
carga d e nieve prevista e s d e 2 0 lb/pic2 y la c arg a d e hielo
pronosticada e s d e 8 Ib/pie7. E stas carg as se p ro d u cen e n el
área h o rizo n tal p ro y ectad a d e l tech o . D e te rm in e la fu erza
e n cada e lem en to d eb id a a la c arg a m u e rta y a las carg as de
la n iev e y el hielo. D esp recie e l p e so d e lo s e le m e n to s d e la
arm ad u ra y su p o n g a q u e A e s u n a articulación y q u e F e s u n
rodillo.
P ro b lem a d e proyecto 3 - 1 P
1 3 0
C a p it u l o
3
A n á l is is
d e
a r m a d u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
r e p a s o d e l c a p ít u l o
L as arm a d u ra s se co m p o n en de e le m e n to s d elgados un id o s e n sus e x tre m a s p a ra fo rm a r una se rie d e triángulos.
P ara e l análisis se su p o n e q u e lo s e lem en to s e stá n co n ec­
ta d o s m ediante p asa d o re s y q u e las c arg as se ap lican en
las juntas. P o r lo ta n to , lo s e le m e n to s e sta rá n e n te n sió n o
en com presión.
L as arm a d u ra s p u e d e n clasificarse e n tre s form as:
l a s arm aduras sim ples se fo rm an com enzando con u n e le m e n to tria n g u la r in icial.d esp u és se co n ecta a d o s e le m e n to s m ás
y u n a ju n ta para a s í fo rm ar u n seg u n d o triángulo, etcétera.
L as arm aduras com puestas se fo rm an al c o n e c ta r e n tre s í d o s o m ás a rm a d u ra s sim p les u sa n d o u n a ju n ta c o m ú n y/o u n e le ­
m ento adicional.
L as arm aduras com plejas son aquellas q u e n o p u e d e n clasificarse com o sim ples o c o m p u e sta s
a rm a d u ra s
a r m a d u r a s im p le
a r m a d u r a c o m p u e s ta
a r m a d u r a c o m p le ja
Si e l núm ero d e b a rra s o e le m e n to s d e u n a a rm a d u ra es
b ,se tien en r reacciones y h a y j juntas, e n to n ce s si
b + r=
2/. la arm ad u ra e s estáticam en te d eterm in ad a
b + r > 2/ la a rm a d u ra e s está tic a m en te in d eterm in ad a
R epaso d e l c a p it u l o
1 31
La arm ad u ra será inestable e x te rn a m e n te si las reaccio n es s o n co n cu rren tes o paralelas.
I a estabilidad in tern a p u ed e verificarse al c o n ta r e l n ú m ero de b a rra s b . las reaccio n es r y las ju n ta s j.
Si b + r < 2j, la a rm a d u ra e s inestable.
Si b + r a 2 / b a rm a d u ra a ú n p u ed e s e r inestable, p o r lo q u e e s necesario inspeccionarla y b u sc ar arre g lo s d e b a rra s q u e
form en un m ecanism o p aralelo , sin fo rm ar u n e le m en to trian g u lar.
in c s ia b le - r e a c c io n e s p a ra le la s
in e s ta b le in te r n a m e n te
l a s arm ad u ras p lan as p u e d e n an alizarse p o r el m étodo
d t lo s nu d o s. E sto se hace seleccionando c a d a ju n ta e n secu cn cia.d e m odo q u e ten g a com o m áx im o u n a fuerza c o ­
nocida y a l m enos d o s incógnitas. S e co n stru y e el
diagram a d e c u e rp o libre de c a d a ju n ta y se escrib en y re­
suelven d o s ecuacio n es d e e q u ilib rio d e fuerzas, E F , = 0
y E F , = 0, a fin d e d e te rm in a r las fu erzas d e elem en to
desconocidas.
E n e l m éto d o d e las seccio n es e s necesario p a sa r una
sección a trav és d e la a rm ad u ra y después d ibujar u n d ia ­
gram a de c u e rp o libre d e u n a de sus p a rte s seccionadas.
D espués se d e te rm in a n las fu erzas d e elem en to c o rta d a s
p o r la sección a p a rtir d e las tre s ecu acio n es d e equilibrio.
N orm alm ente p u ed e en co n tra rse u n a so la incógnita si se
sum an los m o m en to s resp ecto a u n p u n to q u e elim ine las
otras d o s fuerzas.
l a s arm a d u ra s co m p u estas y co m p lejas ta m b ié n p u ccfcn analizarse p o r e l m é to d o de lo s n o d o s y el m éto d o de
las secciones. P ara o b te n e r u n a solución d ire c ta d e la
fuerza en un e lem e n to p a rtic u la r d e u n a a rm a d u ra c o m ­
pleja p u ed e em plearse e l "m é to d o d e los e le m e n to s su sti­
tutos” .
Las vigas y tr a b e s sim p le m e n te a p o y a d a s q u e fo rm an la e stru c tu ra d e e s te
edificio fu ero n d is e ñ a d a s p a ra resistir la fu erza c o rta n te y el m o m e n to in tern o s
q u e actú a n e n to d a s u lo n g itu d
Cargas internas
desarrolladas en
elementos estructurales
A n te s d e d e t e r m in a r la s p r o p o r c io n e s d e u n e le m e n to e s tr u c tu r a l, es
n e c e s a rio c o n o c e r la fu e rz a y e l m o m e n t o q u e a c tú a n e n s u in te r io r . En
e s te c a p ít u lo s e d e s a rro lla rá n lo s m é to d o s p a ra h a lla r e s ta s c a rg a s en
p u n to s e s p e c ífic o s a lo la rg o d e l e je d e u n e le m e n to , y p a ra m o s tr a r
g r á fic a m e n te la v a ria c ió n u tiliz a n d o lo s d ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te y
d e m o m e n to . Se p re s e n ta rá n a p lic a c io n e s t a n to p a ra v ig a s c o m o p a ra
m a rc o s .
4 .1
C a rg a s in te rn a s en u n p u n to
e s p e c ífic o
C ó m o s e e s t u d ió e n la se c c ió n 2 -3 , la c a rg a in t e r n a e n u n p u n t o e s p e c í­
fico d e u n e le m e n to p u e d e d e te r m i n a r s e a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c ­
c io n e s . E n g e n e r a l , e s t a c a r g a p a r a u n a e s t r u c tu r a c o p l a n a r c o n s is tir á e n
u n a f u e r z a n o r m a l N . u n a f u e r z a c o r t a n te V y u n m o m e n to fle x io n a n te
M * S in e m b a r g o , d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e s ta s c a r g a s r e p r e s e n ta n
e n r e a l id a d la s re s u lta n te s efe la d is tr ib u c ió n d e e s fu e r z o s q u e a c tú a s o b r e
e l á r e a tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to e n la s e c c ió n c o r t a d a . U n a v e z q u e s e c o ­
n o c e n la s c a rg a s in te r n a s r e s u lta n te s , la m a g n itu d d e l e s f u e r z o p u e d e d e ­
te r m in a r s e s ie m p r e q u e se s u p o n g a u n a d is tr ib u c ió n d e e s f u e r z o s s o b r e
e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l e s p e c ífic a .
• L o s m a r c o s trid im e n s io n a le s t a m b ié n p u e d e e s t a r s o m e tid o s a u n m o m e n to d e t o n i ó n ,
q u e t ie n d e a d o b la r e l e le m e n to r e s p e c to d e s u eje .
134
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
C o n v e n c ió n d e s ig n o s .
A n te s d e p r e s e n t a r u n m é to d o p a r a e n ­
c o n tr a r la f u e r z a in t e r n a n o r m a l, la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to fle x io n a n te . e s n e c e s a r io e s ta b le c e r u n a c o n v e n c ió n d e s ig n o s p a r a d e f in ir su s
v a lo r e s “ p o s itiv o " y “ n e g a tiv o ” .* Si b ie n l a e le c c ió n e s a r b i tr a r ia , la c o n ­
v e n c ió n d e s ig n o s q u e s e a d o p t a r á a q u í h a s id o a m p lia m e n te a c e p ta d a
e n la p r á c tic a d e l a in g e n ie r ía e s t r u c tu r a l y s e ilu s tr a e n la fig u ra 4 - l a . E n
la c a ra iz q u ie r d a d e l e le m e n to c o r ta d o , la f u e r z a n o r m a l N a c tú a h a c ia la
d e r e c h a , la f u e r z a c o r t a n t e in t e r n a V a c tú a h a c ia a b a jo y e l m o m e n to M
a c tú a e n s e n tid o in v e r s o a l d e la s m a n e c illa s d e l re lo j ( a n t ih o r a r io ) . D e
a c u e r d o c o n la te r c e r a le y d e N e w to n . u n a f u e r z a n o rm a l, u n a f u e r z a c o r ­
ta n t e y u n m o m e n to f le x io n a n te ig u a le s p e r o o p u e s t o s , d e b e n a c t u a r e n
la c a r a d e r e c h a d e l e l e m e n t o e n la s e c c ió n . Q u iz á s u n a m a n e r a fá c il d e
r e c o r d a r e s ta c o n v e n c ió n d e s ig n o s s e a a is la r u n p e q u e ñ o s e g m e n to d e l
e le m e n to y r e c o r d a r q u e u n a fu e r z a n o r m a l p o s itiv a tie n d e a a la r g a r e l
s e g m e n to , f ig u r a 4-l¿>; q u e u n a fu e r z a c o r ta n te p o s itiv a tie n d e a h a c e r
g ir a r e l s e g m e n to e n e l s e n tid o d e la s m a n e c illa s d e l r e lo j (h o r a r io ) , fig u ra
4 - l e , y q u e u n m o m e n t o fl e x io n a n t e p o s itiv o tie n d e a d o b la r e l s e g m e n to
e n f o r m a c ó n c a v a h a c ia a r r ib a ,a m a n e r a d e u n “ r e c ip ie n te p a r a a g u a ," fi­
g u r a 4 -1 d.
I
<c>
M
M
(
)
(d )
fig u ra 4 -1
•Esto será de utilidad posteriormente en las secciones 4-2 y 4-3,donde V y M x expresarán
en función de x y después se representarán gráficamente. El hecho de tener una conven­
ción de signos es semejante a asignar direcciones coordenadas positivas hacia la derecha
para x, y positivas hacia arriba para y al momento de trazar una función y = f[x).
4.1
C
a r g a s in ter n a s e n
u n
p u n t o
e s p e c Ie i c o
P ro c e d im ie n to d e a n á lisis
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m e d io d e a p li c a r e l m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a
d e te r m i n a r la f u e r z a n o r m a l in te r n a , la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to f le x io n a n te e n u n a
u b ic a c ió n e s p e c íf ic a d e u n e l e m e n t o e s tr u c tu r a l.
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s
•
A n te s d e “ c o r t a r " o s e c c io n a r e l e le m e n to , p u e d e s e r n e c e s a r io d e t e r m i n a r la s r e a c c i o ­
n e s e n s u s s o p o r te s d e m o d o q u e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s ó l o s e u tilic e n p a r a r e ­
s o lv e r la s c a rg a s in te rn a s c u a n d o s e s e c c io n e e l e le m e n to .
•
Si e l e l e m e n t o e s p a r t e d e u n a e s t r u c tu r a a r tic u la d a , la s r e a c c io n e s e n la s a r tic u la c io ­
n e s p u e d e n d e te r m i n a r s e m e d ia n te lo s m é to d o s d e la s e c c ió n 2.5.
D ia g r a m a d e c u e r p o lib re
•
M a n te n g a to d a s la s c a r g a s d is tr ib u id a s . lo s m o m e n to s d e p a r , y la s f u e r z a s q u e a c tú a n
s o b r e e l e le m e n to e n s u u b ic a c ió n exacta', d e s p u é s p a s e u n a s e c c ió n im a g in a r ia a
tr a v é s d e l e le m e n to , q u e s e a p e r p e n d i c u la r a s u e je e n e l p u n t o d o n d e s e d e s e a d e t e r ­
m in a r l a c a r g a in te rn a .
•
D e s p u é s d e h a c e r la s e c c ió n , d ib u j e u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e l s e g m e n to s o b r e el
q u e a c tú e e l m e n o r n ú m e r o d e c a rg a s . E n la s e c c ió n , in d iq u e la s in c ó g n ita s r e s u lta n te s
Ñ , V y M d e m o d o q u e a c tú e n e n s u s e n t i d o p o s itiv o (f ig u ra 4 - l a ) .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
•
L o s m o m e n to s d e b e n s u m a r s e e n la se c c ió n r e s p e c to a lo s e je s q u e p a s a n a tr a v é s d e l
c e n tr o id e d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to , c o n e l f i n d e e li m i n a r la s in c ó g n ita s N
y V .p a r a a s í o b t e n e r u n a s o lu c ió n d i r e c t a d e M .
•
Si la s o lu c ió n d e la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io e s u n a c a n ti d a d c o n m a g n itu d n e g a tiv a ,
e l s e n t id o d ir e c c io n a l s u p u e s to d e la c a n tid a d e s o p u e s to a l q u e s e m u e s tr a e n e l d i a ­
g ra m a d e c u e r p o lib re .
1 3 6
C a p it u l o
E JE M P L O
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
4 .1
E l te c h o d e l e d if ic io q u e s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía ti e n e u n p e s o d e
1.8 k N /m 2 y s e s o s t i e n e s o b r e v ig a s s i m p l e m e n t e a p o y a d a s d e 8 m
d e l a r g o .e n tr e las c u a le s h a y u n a s e p a r a c ió n d e 1 m .C a d a v ig a , q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -2 b , tr a n s m i te s u c a r g a a d o s tr a b e s , u b ic a d a s e n
la p a r t e d e l a n t e r a y tr a s e r a d e l e d ific io . D e te r m in e la f u e r / a c o r ta n te
y e l m o m e n to in t e r n o s d e la v ig a f r o n ta l e n e l p u n t o C .f ig u r a 4 -2 a . N o
to m e e n c u e n ta e l p e s o d e lo s e le m e n to s .
3 .6 k N
1 2 kN
^ 1 2 k N -^ ^ =
■12 k N
3 . 6 kN
S O L U C IÓ N
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . L a c a rg a d e l te c h o s e tr a n s m ite a
c a d a v ig a c o m o u n a lo s a d e u n s o l o s e n tid o ( L 2/ L x = K m /1 m = 8 > 2 ).
I\> r lo ta n t o , la c a r g a tr i b u t a r i a e n c a d a v ig a in t e r i o r e s (1 .8 k N / m 2)
(1 m ) - 1.8 k N / m . ( L a s d o s v ig a s d e l b o r d e s o p o r ta n 0 .9 k N / m .) D e
la f ig u r a 4-2¿>. la r e a c c ió n d e c a d a v ig a in t e r i o r s o b r e la t r a b e e s (1 .8
k N / m ) ( 8 m ) / 2 = 7 .2 kN .
1.8 k N /m
v ig a -
I I I I I I 1I I I
0.5 m
3 .6 k N
1 2 kN
^1 2 )M
0 .5 m
7 m
tra b e
t
T
7 .2 kN
7 .2 k N
(b )
D ia g ra m a d e c u e r p o lib r e . E n la fig u ra 4 - 2 a s e m u e s tra e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a . T e n g a e n c u e n ta q u e la r e a c c ió n d e
c a d a c o lu m n a e s
[{ 2 (3 .6 k N ) + 1 1 (7 .2 k N ) [ / 2 = 4 3 .2 k N
E l d ia g r a m a d e c u e ip o lib r e d e l s e g m e n to iz q u ie r d o d e la tr a b e se
m u e s tr a e n la fig u ra 4 -2 c . A q u í s e s u p o n e q u e la s c a rg a s in te r n a s
a c tú a n e n s u s e n tid o p o s itiv o .
(c)
Figura 4 -2
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
+ Í2 F ,
0;
4 3 .2 - 3 .6 - 2 (7 .2 ) - V c = 0
M c + 7 .2 (0 .4 ) + 7 .2 (1 .4 ) + 3 .6 (2 .4 ) - 4 3 .2 (1 .2 ) = 0
V c = 2 5 .2 k N
R e sp .
M c = 30.2 k N • m
R esp .
4.1
C
a r g a s in ter n a s e n
u n
p u n t o
espec ífic o
137
D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to in te r n o s q u e a c tú a n e n
u n a se c c ió n q u e p a s a p o r e l p u n t o C de la v ig a q u e se m u e s tr a e n la fi­
g u r a 4 -3 a .
27 k
i L
4
Figura 4 -3
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . A l s u s tit u ir la c a r g a d is tr ib u id a p o r
s u f u e r z a r e s u lta n t e y c a lc u la r la s re a c c io n e s , s e o b t i e n e n lo s r e s u lta ­
d o s q u e s e m u e s tr a n e n l a fig u ra 4 -3 6 .
D i a g r a m a d e c u e r p o l i b r e . S e c o n s id e r a r á e l s e g m e n to A C p u e s to
q u e p r o d u c e la s o lu c ió n m á s s e n c ifla , f ig u r a 4 -3 c . L a in t e n s i d a d d e la
c a rg a d is tr ib u id a e n C se c a lc u la p o r p r o p o r c ió n , e s d e c ir .
w c = (6 p i e s / 18 p ie s ) ( 3 k / p i e ) = 1 k /p i e
E c u a c io n e s d e e q u i l i b r i o .
+ f2 F y = 0 .
5 ,+ S M c = 0 .
9 - 3 - Vc = 0
- 9 ( 6 ) + 3 (2 ) + M c = 0
Vc -
6 k
R esp .
M c = 4 8 k - p ie
R esp .
L s te p r o b le m a ilu s tr a la im p o r ta n c ia d e m a n te n e r la c a r g a d is tr ib u id a s o b r e la v ig a h a s t a d e s p u é s d e s e c c io n a ría . S i la v ig a d e la fig u ra
4 -3 6 se s e c c io n a r a e n C .e l e f e c t o d e la c a r g a d is tr ib u id a s o b r e e l s e g ­
m e n to A C n o se r e c o n o c e r ía .y e l r e s u lta d o V c = 9 k y M c = 54 k • p ie
s e r ta e r r ó n e o .
3 |k
1 3 8
C a p it u l o
E JE M P L O
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
4 .3
E l p a n e l d e p is o D E s o p o r ta la f u e r z a d e 9 k q u e s e m u e s tr a e n la fi­
g u r a 4 - 4 u ,e l c u a l a s u v ez e s t á s im p le m e n te a p o y a d o e n s u s e x tr e m o s
p o r v ig a s d e p is o . E s ta s v ig a s tr a n s m ite n s u s c a r g a s a la t r a b e s im p le ­
m e n te a p o y a d a A B . D e te r m in e l a f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to i n t e r ­
n o s q u e a c tú a n e n e l p u n t o C d e la tr a b e .
F ig u ra 4 -4
9k
6 k
6k
3 k
J_c,
-i|
12 p ie s -
|
• p ie s — j
2 4 p ie s -
5.25 k
3.75 k
3
12 P * '
'p i e s
",
- Ve
3.75 k
(c)
(b)
S O L U C IÓ N
R e a c c io n e s e n lo s s o p o rte s , fin la fig u ra 4-4¿> se m u e s tr a n e l e q u iS b rio d e l p a n e l d e p is o , la s v ig a s d e p is o y la tr a b e . S e r e c o m ie n d a v e ­
rific a r e s t o s r e s u lta d o s .
D ia g ra m a d e c u e r p o lib re . S e u tiliz a e l d ia g r a m a d e c u e rp o lib r e d e l
s e g m e n to -4 C p o r q u e c o n d u c e a la s o lu c ió n m á s s e n c illa , fig u ra 4 -4 c .
T e n g a e n c u e n ta q u e A C n o s o p o r ta c a r g a s s o b r e la s v ig a s d e p iso .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
+ f 2 F y = 0;
S,+ £ M C = 0 ;
3 .7 5 - 6 - V c = 0
-3 .7 5 ( 1 5 ) + 6 ( 3 ) + M c = 0
V c = - 2 .2 5 k
M c = 3 8 .2 5 k - p ie
R esp .
Resp.
4 .2
4 .2
1 3 9
Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o
F u n c io n e s d e fu e rz a c o r ta n te
y d e m o m e n to
E l d is e ñ o d e u n a v ig a r e q u i e r e u n c o n o c im ie n to d e ta l la d o d e la s va ria ­
c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n te V y e l m o m e n to M in te rn o s q u e a c tú a n e n
c a d a p u n t o a lo la rg o d e l e j e d e la v ig a . P o r lo g e n e r a l, la f u e r z a n o rm a l
in t e r n a n o s e c o n s i d e r a p o r d o s ra z o n e s : (1 ) e n la m a y o r ía d e lo s c a s o s la s
c a rg a s a p lic a d a s a u n a v ig a a c tú a n e n f o r m a p e r p e n d i c u la r a s u e je y, p o r
lo ta n t o ,s ó l o p r o d u c e n u n a f u e r z a in t e r n a c o r t a n te y u n m o m e n to fle x io n a n te ;( 2 ) y p a r a fin e s d e d is e ñ o , la re s is te n c ia a la f u e r z a c o r t a n te d e la
viga y, e n p a r tic u la r , a la fle x ió n , e s m á s im p o r ta n te q u e s u c a p a c id a d
p a ra r e s is t ir la f u e r z a n o rm a l. S in e m b a r g o , h a y u n a e x c e p c ió n im p o r ­
ta n t e a e s t o c u a n d o la s v ig a s e s t á n s o m e tid a s a f u e r z a s a x ia le s d e c o m ­
p re s ió n , p u e s t o q u e d e b e n in v e s tig a rs e e l p a n d e o o la in e s ta b ilid a d q u e
p u d ie r a n o c u r r ir .
L a s v a r ia c io n e s d e V y M e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x d e u n p u n to a r b i ­
tr a rio a lo la r g o d e l e je d e la v ig a p u e d e n o b te n e r s e m e d ia n te e l m é to d o
d e la s s e c c io n e s a n a li z a d o e n la se c c ió n 4 -1 . S in e m b a r g o , a q u í e s n e c e s a ­
rio lo c a liz a r la s e c c ió n im a g in a r ia o c o r t a r a u n a d is ta n c ia a r b i t r a r i a x
d e s d e u n e x tr e m o d e la v ig a e n v e z d e e n u n p u n t o e sp e c ífic o .
E n g e n e r a l , la s f u n c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n t e y d e l m o m e n to in te r n o s
s e r á n d is c o n tin u a s , o s u p e n d ie n t e s e r á d is c o n tin u a , e n lo s p u n to s d o n d e
d tip o o l a m a g n itu d d e la c a r g a d is tr ib u id a c a m b i a , o b ie n d o n d e s e a p li­
q u e n la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s o lo s m o m e n to s d e p a r. D e b id o a e s to , la s
fu n c io n e s d e la f u e r z a c o r t a n te y d e l m o m e n to d e b e n d e te r m i n a r s e p a ra
c a d a re g ió n d e la v ig a lo c a liz a d a e n tr e c u a lq u ie ra d e la s d o s d is c o n tin u i­
d a d e s d e c a rg a . P b r e je m p lo , la s c o o r d e n a d a s .ti, * 2 y xy d e b e r á n u s a rs e
p a ra d e s c r ib ir la v a ria c ió n d e V y M e n to d a la lo n g itu d d e l a v ig a e n la fi­
g u r a 4-5a . E s ta s c o o r d e n a d a s s e r á n v á lid a s s ó l o d e n t r o d e la s r e g io n e s
d e s d e A h a s ta B p a r a x , . d e B a C p a r a x 2. y d e C a D p a r a x 3. A u n q u e
c a d a u n a d e e s t a s c o o r d e n a d a s ti e n e e l m ism o o r ig e n , c o m o s e h a s e ñ a ­
la d o a q u í, é s t e n o ti e n e p o r q u é s e r e l c a so . D e h e c h o , p u e d e s e r m á s fá c il
d e s a r r o ll a r las f u n c io n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to , e m p l e a n d o
las c o o r d e n a d a s X |,x 2,x 3 q u e ti e n e n o ríg e n e s e n A , B y D c o m o s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra 4-5/>. A q u í x i y x 2 s o n p o s itiv a s h a d a la d e r e c h a y x ¡ e s p o ­
s itiv a h a d a la iz q u ie rd a .
i
w
D
E l r e f u e r z o a d i c i o n a l q u e p r o p o r c i o n a n la s
p l a c a s v e r tic a le s lla m a d a s c o s ti lla s s e u tiliz a
e n l o s s o p o r t e s a r tic u la d » » y d e o s c il a d o r e n
e s ta s t r a b e s d e p u e n t e . A q u í , la s r e a c c io n e s
c a u s a r á n g r a n d e s f u e r z a s c o r t a n t e s e n la s
t r a b e s y lo s r e f u e r z o s e v i t a r á n p a n d e o s lo c a ­
liz a d o s e n la s a la s o e l a l m a d e la t r a b e .
A d e m á s , t e n g a e n c u e n t a l a in c lin a c i ó n d e l
s o p o r t e d e o s c i l a d o r c a u s a d a p o r la e x p a n ­
s ió n t é r m i c a d e la c u b i e r t a d e l p u e n te .
n
i
%»_
D
C
_
— x,
(b )
(a)
F ig u ra 4 - 5
1 4 0
C
4
a p i t u l o
C
a r g a s
i n t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
e n
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
P ro c e d im ie n to de a n á lis is
E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m é t o d o p a r a d e te r m i n a r la v a ria c ió n d e la f u e r z a
c o r t a n te y e l m o m e n to e n u n a v ig a e n fu n c ió n d e la p o s ic ió n x.
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s
•
D e te rm in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s d e la v ig a y d e s c o m p o n g a to d a s la s fu e r z a s
e x te r n a s e n s u s c o m p o n e n t e s q u e a c tú a n e n f o r m a p e r p e n d i c u la r y p a r a l e la a l e je d e
la v ig a .
F u n c io n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o
•
E s p e c if iq u e p o r s e p a r a d o la s c o o r d e n a d a s x y s u s o ríg e n e s a s o c ia d o s , e x te n d ié n d o s e a
las re g io n e s d e la v ig a e n t r e la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s y / o m o m e n to s d e p a r . o d o n d e
h a y a u n a d is c o n tin u id a d d e la c a rg a d is tr ib u id a .
•
S e c c io n e la v ig a e n f o r m a p e r p e n d i c u la r a s u e je a c a d a d is ta n c i a x , y c o n b a s e e n el
d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n o d e lo s s e g m e n to s d e te r m i n e las in c ó g n ita s V y M en
la s e c c ió n c o r t a d a e n fu n c ió n d e x . E n e l d ia g r a m a d e c u e r p o li b r e , V y M d e b e n m o s ­
tr a rs e a c tu a n d o e n s u s d ir e c c io n e s p o s itiv a s , d e a c u e r d o c o n la c o n v e n c ió n d e sig n o s
d a d a e n la f ig u r a 4-1.
•
V se o b ti e n e d e l.F y = 0 y M se o b ti e n e a l s u m a r m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p u n t o 5
u b ic a d o e n la s e c c ió n c o r t a d a , 'L M s = 0 .
•
L o s r e s u lta d o s p u e d e n c o m p r o b a r s e o b s e r v a n d o q u e d M / d x - V y q u e d V I d x = w ,
d o n d e w e s p o s itiv a c u a n d o a c t ú a h a c ia a r r ib a , a le já n d o s e d e l a v ig a . E s ta s re la c io n e s
se d e s a r r o ll a n e n la s e c c ió n 4-3.
I^as v ig u e ta s , v ig a s y t r a b e s q u e s e u s a n p a r a s o s t e n e r e s t e p is o
p u e d e n d i s e ñ a r s e u n a v e z q u e s e c o n o c e n la f u e r z a c o r t a n t e y e l
m o m e n to e n t o d a s u lo n g itu d .
4 .2
F
u n c io n e s d e
141
fu erza c o r t a n t e y d e m o m e n t o
EJEM PLO
P a ra la v ig a q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 4 - 6 a .d e t e r m in e l a f u e r z a c o r ­
ta n te y e l m o m e n to c o m o u n a fu n c ió n d e *.
2 k /p * c
^ ttttttTí TTT[] l
F igura 4 -6
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r te s . C o n e l fin d e c a lc u la r la s r e a c c io n e s
e n lo s s o p o r te s . la c a rg a d is tr ib u id a s e s u s titu y e p o r s u f u e r z a r e s u l­
ta n te d e 3 0 k . fig u ra 4-6¿>. S in e m b a r g o , e s im p o r ta n te r e c o r d a r q u e
e s ta r e s u lta n t e n o e s la c a r g a r e a l e n la viga.
30 k
30 k
íte:
6 0 0 k • p ie
2 0 p ies
(b )
F u n c io n e s d e fu e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . E n l a fig u ra 4 -6 c
se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l s e g m e n to d e v ig a c o n l o n ­
g itu d x . T e n g a e n c u e n ta q u e la in t e n s i d a d d e la c a r g a tr ia n g u l a r e n la
se c c ió n s e e n c u e n t r a p o r p r o p o r c ió n ; e s d e c i r , w / x = 2 /3 0 o w = * / 1 5 .
C o n la in te n s id a d d e c a r g a c o n o c id a , la r e s u lta n t e d e la c a r g a d is tr i­
b u id a se e n c u e n t r a d e la m a n e r a u s u a l c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra .
R>r lo ta n to .
+ TSFV= 0 ;
30
-K s> -
0
h ?5 > ‘
V = 3 0 — 0 .0 3 3 3 * 2
{,+ l M s = 0 ;
600 - 30* +
M
-
—
K é>]
- 6 0 0 + 3 0 * - 0.01 I I * 3
O b s e rv e q u e d M / d x = V y q u e d V / d x = - * /1 5
c o m o u n a v e rific a c ió n d e lo s r e s u lta d o s .
R e sp .
o
30k
t
HH
600
k -p ie
R esp .
w , lo c u a l s irv e
(c)
f
1 4 2
C
a p i t u l o
4
C
a r g a s
i n t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
e n
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
E JE M P L O
P a r a la v ig a q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 4 -7 a , d e te r m i n e l a f u e r z a c o r ­
ta n t e y e l m o m e n to e n fu n c ió n d e x .
60
k
4| t|
. , 1 4k/pie1 . ,
l l l i l l i l i l !
108 k
1
ti
■Jf
1
— *3-11 M H
—
—
M
'
i
1588 k pá«
— -« .— I
-T
(a)
(c)
48 k
60 k
108 k r
t—
¡“
14 p ie s
1588 k - p i e |— 6 p i e s ■
tb)
Figura 4 -7
S O L U C IÓ N
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . l a s r e a c c io n e s e n e l s o p o r te fijo s o n
V = 108 K y M - 1588 k . p e . fig u ra 4 -7 b .
F u n c io n e s d e fu e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to . D a d o q u e h a y u n a
d is c o n tin u id a d d e la c a r g a d is tr ib u id a e n x ■ 12 p ie s , d e b e n c o n s id e ­
r a r s e d o s re g io n e s d e x c o n e l f i n d e d e s c r ib ir la s f u n c io n e s d e c o r ta n te
y d e m o m e n to p a r a to d a la v ig a . A q u í x \ e s a p r o p i a d o p a r a lo s 12 p ie s
d e la iz q u ie r d a y x 2 p u e d e u s a r s e p a r a e l s e g m e n to re s ta n te .
0 s x
12 p ie s . O b s e r v e q u e V y M s e m u e s tr a n e n la d ir e c c ió n p o s i­
tiv a . fig u ra 4 -7 c .
+ 12F y -
0;
5 ,+ 2 A /* = 0 ;
108 - 4 x , 1588 -
V = 0.
V = 108 - 4 x ,
108*, + 4 x , ( y )
R esp .
+ M = 0
M = - 1 5 8 8 + 108*, - 2 x \
R esp .
12 p ie s s x 2 s 2 0 p ie s , f ig u r a 4 -7d .
+ t Y .F y = 0 ;
108 - 4 8 -
í + Z M s = 0;
1588 -
V = 0,
V = 60
R esp .
108*2 + 4 8 ( * 2 - 6 ) + M = 0
M = 6Q *2 -
1300
R esp .
E s to s re s u lta d o s p u e d e n v e rific a rs e e n f o r m a p a rc ia l s i s e ti e n e e n
c u e n ta q u e c u a n d o x 2 = 2 0 p ies, e n to n c e s l ' = 6 0 k y A Í = - 1 0 0 k . p ie.
A d e m á s .o b s e r v e q u e d M / d x = V y d V / d x = w .
4 .2
Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o
1 4 3
P a ra la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -8 a , d e te r m i n e l a f u e r z a c o r ­
ta n te y e l m o m e n to e n fu n c ió n d e * .
30 k N /m
9 0 kN 9 0 I N
F ig u ra 4 -8
ft> )
S O L U C IÓ N
R e a ccio n e s e n lo s s o p o r t e s . P a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s , la c a r g a d is tr i b u id a se d iv i d e e n u n a c a r g a tr ia n g u l a r y u n a
r e c ta n g u la r , a la s c u a le s lu e g o r e e m p la z a n s u s fu e r z a s r e s u lta n te s .
E s ta s r e a c c io n e s y a s e h a n c a lc u la d o y s e m u e s tr a n e n e l d ia g r a m a d e
c u e r p o lib re d e la v ig a , fig u ra 4 -8 6 .
F u n c io n e s d e fu e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . E n l a f ig u r a 4 -8 c
se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la s e c c ió n c o r t a d a . C o m o
e n e l c a s o a n te r io r , la c a rg a tr a p e z o id a l se s u s titu y e p o r u n a d is tr i b u ­
c ió n r e c ta n g u la r y u n a tr ia n g u la r. O b s e r v e q u e la in te n s id a d d e la c arg a
tr ia n g u la r e n e l c o r t e se e n c u e n t r a p o r p r o p o r c ió n ; a d e m á s , la fu e rz a
r e s u lta n te d e c a d a c a r g a d is tr ib u id a y s u u b ic a c ió n e s tá n in d ic a d a s . A l
a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se t i e n e
10* |( 2 0 K - J ) r
N/«
~ \{ r
J ir
i
1
= 0;
7 5 — 10* —
X i> ]
V = 75 5 ,+ 2 M 5 = 0 ;
-7 5 * +
-
V = o
75 kN
(c)
R esp .
10* - 1 .1 1 * 2
5 ( 2 0 ) l ? |*
M = 7 5 * - 5 * 2 - 0 .3 7 0 * 3
-
+
M
= 0
R esp .
10 k N /m
1 4 4
C
a p i t u l o
4
C
a r g a s
i n t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
e n
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
PROBLEM AS FU N D AM EN TALES
F 4 - L D eterm ine la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el
m om ento flexionante in te rn o s q u e actú a n en el p u n to C de
la viga.
1 4 -4 . D eterm in e la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en el p u n to C de
la viga.
10 kN
300 Ib/pie
20kN m
T T T T T m T m T ^
(
2m
[—1.5 pies—|—1.5 pies-
3 pies
F 4-1
F 4-4
1 4 -2 . D eterm ine la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de
la viga.
F 4 -5 . D eterm in e la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de
la viga.
8 kN/m
F4-3. D eterm ine la fuerza n orm al, la fu erza c o rta n te y e l
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C d e
la viga.
F 4-6. D eterm in e la fu erza n orm al, la fu erza c o rta n te y el
m om ento flexionante in tern o s q u e actú a n en e l p u n to C de
la viga.
4 .2
F 4 -7 . P ara la viga m o strad a, d ete rm in e la fu erza c o rta n te
y el m om ento in tern o s e n función d e x.
145
Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o
14 -10 . D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m om ento in ternos e n fu n ció n d e x a lo largo de la viga.
2 0 kN
F 4-10
F 4 -8 . Para la viga m o stra d a , d ete rm in e la fu e rz a c o rta n te
y e l m o m en to in tern o s e n función d e x .
F 4 -1 1. D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m om ento internos e n función de x a lo largo de la viga.
12 k N /m
15 k N
5 k N /m
^ rr r n T n T
* £ . - 1
------------f i m ---------------------------F 4-8
F4-11
F 4 -9 . D eterm ine la fu erza c o rta n te y el m o m en to in ternos e n función d e x a lo largo de la viga.
14 -1 2 . D eterm in e la fuerza c o rta n te y e l m om ento in ter­
nos e n fu n ció n d e x a lo largo d e la viga.
F 4-9
14-12
1 4 6
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
PROBLEM AS
4 -1 . D eterm ine la fuerza n o rm al, la fu e rz a co rtan te y el
m om ento flexionante in tern o s en los p u n to s C y D de la
viga. S uponga q u e el so p o rte e n A es una articu lació n y en
B e s un rodillo.
4 -3 . E l ag u iló n Í ) F y la colu m n a D E de la g rú a tie n e n un
peso u n ifo rm e d e 5 0 lb /p ie. S i e l g an ch o y la c a rg a p e sa n
300 libras, d ete rm in e la fuerza n o rm al, la fu e rz a c o rta n te y
el m o m en to flex io n an te in te rn o s e n lo s p u n to s A , B y C de
la grúa.
6kN
20kN m
A
-
h
T T J
C
I m
-
-1 m
2m
2m
P ro b .4 -1
P r o b .4 - 3
4 -2 . D eterm ine la fuerza n o rm al, la fu e rz a co rtan te y el
m om ento flexionante in tern o s en los p u n to s C y D de la
viga. S u ponga q u e e l so p o rte e n B es u n rodillo. E l p u n to D
está u b icad o ju s to a la d erech a d e la c arg a d e 10 k.
*4-4. E x te rm in e la fu erza n orm al, la fu erza co rta n te y el
m om ento flexionante intern o s e n e l p u n to O . C o n sid ere
q u e h = 150 N /m .
10 k
25 k -p ie
25 k -p ie
(A
n
10 p i e s —
— ■10 p ie s —
- -* — 10 p i e s — -j
P ro h .4 -2
4 -5 . La viga A B fallará si e l m o m en to in tern o m áx im o en
D alcanza 800 N • m o si la fu erza n o rm a l e n e l e le m e n to B C
llega a 1500 N . D eterm in e la c arg a h- m ás g ra n d e q u e p u ed e
soportar.
4 .2
4 - 6 . D e t e r m i n e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y el
m o m e n t o f l e x i o n a n t e i n t e r n o s e n l o s p u n t o s C y D d e la
vig a. S u p o n g a q u e e l s o p o r t e e n A e s u n r o d i ll o y q u e t í e s
Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o
147
4 -9 .
D e te r m in e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y e l
m o m e n to f le x io n a n te i n t e r n o s e n e l p u n t o C <fc la v ig a . F.l
s o p o r t e e n A e s u n r o d i ll o y B e s u n a a r tic u la c ió n .
u n a a r tic u la c ió n .
5kN
4 -7 .
D e te r m in e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y el
m o m e n t o f le x io n a n te i n t e r n o s e n e l p u n t o C . S u p o n g a q u e
4 - 1 0 . D e te r m in e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y el
m o m e n to f le x io n a n te i n t e r n o s e n e l p u n t o C . S u p o n g a q u e
la s r e a c c i o n e s e n l o s s o p o r t e s A y t í so n v e r tic a le s .
la s r e a c c io n e s e n l o s s o p o r t e s A y t í s o n v e r tic a le s .
1.5kN A n
P ro b .4 - 7
• 4 - 8 . D e t e r m i n e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y e l
m o m e n to fle x io n a n te in te rn o s e n e l p u n to C . S u p o n g a q u e
la s r e a c c i o n e s e n lo s s o p o r t e s A y t í so n v e r tic a le s .
1.5 k N /m
4 - 1 1 . D e te r m in e la f u e r z a n o r m a l , la f u e r z a c o r t a n t e y el
m o m e n to f l e x i o n a n te i n te r n o s e n lo s p u n t o s C y D . S u p o n g a
q u e la s r e a c c i o n e s e n lo s s o p o r t e s A y t í s o n v e r tic a le s .
1 4 8
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
*4-12. D eterm ine la f u e r a c o rta n te y el m o m en to a lo
largo d e la viga e n función d e x .
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
I ^ te r m in e la f u e r a c o rta n te y e l m om ento a lo
largo d e la v ig a e n función d e x.
4 -1 5 .
P
12 k N *m
---------------------------------- L ------4
P ro b . 4 -1 2
P ro b . 4 -1 5
4 -1 3 . D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m o m en to e n la
viga d e piso e n fu nción d e ¿ .S u p o n g a q u e e l so p o rte e n A e s
una articulación y q u e B es u n rodillo.
D eterm in e la f u e r a c o rta n te y e l m o m en to a lo
largo d e la v ig a e n función d e x.
* 4 -1 6 .
6kN
i íin
11iH
P ro b . 4 -1 6
D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m o m en to a lo
largo d e la viga e n función d e x.
4 -1 4 .
D eterm in e la f u e r a c o rta n te y el m om ento a lo
largo d e la v ig a e n función d e x.
4 -1 7 .
8 kN
b —
M o
P rob. 4 -1 4
1
8 kN
4 .2
4 -1 8 . D eterm ine la fu erza c o rta n te y e l m o m en to a lo
largo d e la viga e n función d e x.
10 k
4 -2 1 . D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m o m en to e n la
viga e n fu n ció n d e x.
8k
I
1
1 4 9
Fu n c io n e s d e fu e r za c o r t a n t e y d e m o m e n t o
1
r
2 0 0 I b / p ie
4 0 k p ie
12001b
•]--------- 4 p i e s ----------- -
— 6 p ie s
P roh. 4 -1 8
8001b
P roh. 4 -2 1
4 -1 9 . D eterm ine la fu e rz a c o rta n te y e l m o m en to a lo
largo d e la viga e n función d e x.
2501b
2501b
1 5 0 1 b / p ie
______________
: 1 I.
t1
.
fe
i -
-— 4 pie: i ------ ----------- 6 p ie s ----------- —
4 -2 2 . D eterm in e la fu erza c o rta n te y e l m o m en to a lo
largo d e la viga ahu sad a e n función d e x.
------------------
4 p .e s —
P roh. 4 -1 9
*4-20. D eterm ine la fu erza c o rta n te y e l m o m en to e n la
viga e n función d e x
P roh. 4 -2 0
P roh. 4 -2 2
1 5 0
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
4 .3
L a s v a r ia s c a r g a s c o n c e n t r a d a s q u e a c t ú a n
4
s o b r e e s t a v ig a d e c o n c r e t o r e f o r z a d o c r e a n
u n a v a r ia c ió n d e l a c a r g a i n t e r n a e n la v ig a .
rt>r e s t a r a z ó n , e s n e c e s a r io e l a b o r a r d i a g r a ­
m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o flc x i o n a n t c c o n e l f in d e d i s e ñ a r c o r r e c t a m e n t e
l a v ig a .
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
D ia g ra m a s d e fu e rz a c o rta n te
y d e m o m e n to p a ra u n a v ig a
A l r e p r e s e n ta r g r á f ic a m e n te las v a ria c io n e s d e V y M e n fu n c ió n d e x
q u e s e o b tu v i e r o n e n la s e c c ió n 4 .2 , la s g rá fic a s r e s u lta n t e s s e d e n o m i n a n
d ia g r a m a d e f u e r z a c o r la n te y d ia g r a m a d e m o m e n t o , re s p e c tiv a m e n te .
E n lo s c a s o s d o n d e u n a v ig a e s tá s o m e ti d a a va ria s fu e r z a s c o n c e n tra d a s ,
p a r e s y c a rg a s d is tr ib u id a s , la g r a f ic a c ió n d e V y M e n c o m p a r a c ió n c o n x
p u e d e s e r b a s t a n te te d i o s a p u e s t o q u e d e b e n r e p r e s e n ta r s e v a ria s fu n c io ­
n e s. E n e s t a se c c ió n s e a n a liz a u n m é to d o m á s s im p le p a r a la c o n s tru c c ió n
d e e s to s d ia g r a m a s ; u n m é to d o b a s a d o e n las re la c io n e s d if e re n c ia le s
q u e e x is te n e n t r e la c a r g a , la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to .
P a ra o b t e n e r e s ta s r e la c io n e s ,c o n s id e r e la v ig a A D d e la fig u ra 4 - 9 a ,la
c u a l e s tá s o m e ti d a a u n a c a rg a a r b i tr a r ia d is tr i b u id a w = w ( x ) y a u n a
s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n t r a d a s y p a re s . E n e l s ig u ie n te a n á lis is , la ca rg a
d is tr ib u id a s e c o n sid e ra rá p o s itiv a c u a n d o a c tú e h a c ia a r r ib a c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra . S e c o n s id e r a r á e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re p a r a u n
p e q u e ñ o s e g m e n to d e la v ig a c o n lo n g itu d A * , fig u ra 4-9¿>. C o m o e s te
s e g m e n to s e e lig ió e n u n p u n t o x a lo la r g o d e la v ig a q u e n o e s tá s o m e ­
tid o a u n a f u e r z a c o n c e n t r a d a o a u n p a r , lo s re s u lta d o s o b te n i d o s n o s o n
a p lic a b le s e n lo s p u n to s c o n c a r g a c o n c e n t r a d a . S e s u p o n e q u e la f u e r z a
c o r ta n te y e l m o m e n to f le x io n a n te in t e r n o s q u e s e m u e s tr a n e n e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s i ti v a (te a c u e r d o c o n la
c o n v e n c ió n d e s ig n o s e s ta b le c id a , fig u ra 4 -1 . T e n g a e n c u e n ta q u e ta n t o
la f u e r z a c o r t a n te c o m o e l m o m e n to q u e a c tú a n s o b r e la c a r a d e r e c h a
d e b e n a u m e n t a r e n u n a c a n ti d a d p e q u e ñ a y f in ita c o n e l fin d e m a n t e n e r
al s e g m e n to e n e q u ilib r io . L a c a r g a d is tr ib u id a s e r e e m p la z ó p o r u n a
f u e r z a c o n c e n t r a d a w-(.r)Ax; q u e a c t ú a a u n a d is ta n c i a fr a c c io n a ! e (A r)
d e s d e e l e x tr e m o d e r e c h o , d o n d e 0 < c < 1. ( P o r e je m p lo , s i \v (x ) e s u n i ­
fo r m e o c o n s t a n te , e n to n c e s w ( x )A r a c tu a rá e n j A t . a s í q u e e = j . ) A l
a p lic a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se ti e n e
+ 1
= 0;
V + w(x) Ax -
{V + AV) = 0
AV = w (x )A r
5,+ Z M o = 0 ;
-V C x x - M -
w { x ) A * « (A * ) + ( M + A M ) = 0
AAf = V t s x + w { x ) e ( A x f
» '(x )A x
—
«(ÓX)
M
AM
t
U
LJ
F ig u ra 4 - 9
(b)
M+
V + AV
4 .3
D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a
Si s e d iv id e e n t r e A * y s e to m a e l lím ite c u a n d o At - * 0 , e s t a s e c u a c io n e s
s e c o n v ie r te n e n
dV
— = w(x)
(4 - 1 )
P e n d ie n te d e l d ia g r a m a 1
í I n t e a s id a d d e la
d e fu e rz a c o rta n te /
\ c a rg a d is tr ib u id a
dM
dx
(4 - 2 )
P e n d ie n te d e l d i a g r a m a ]
> = { F u e rz a c o r ta n te
d e m o m e n to J
C ó m o s e h a s e ñ a la d o , la e c u a c i ó n 4-1 e s ta b le c e q u e la p e n d ie n te d e l d ia ­
g ra m a d e f u e r z a c o rta n te en u n p u n to ( d V /d x ) e s ig u a l a la in te n s id a d d e
la c a rg a d is tr ib u id a w ( x ) e n e se p u n t o . D e l m is m o m o d o , la e c u a c ió n . 2 .4
e s ta b le c e q u e ¡a p e n d ie n te d e ! d ia g r a m a d e m o m e n t o ( d M /d x ) es ig u a l a
la in te n s id a d d e la f u e r z a c o r ta n te e n ese p u n to .
L a s e c u a c io n e s 4-1 y 4 -2 p u e d e n " i n te g r a r s e " d e s d e u n p u n t o h a s t a e l
o t r o e n t r e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s o p a r e s ( p o r e je m p lo , d e B a C e n la f i ­
g u ra 4 -9 a ) . e n c u y o c a s o
A V = I w {x)dx
[ Á r e a b a j o el
C a m b io e n l a l
Í
fu e rz a c o r t a n t e /
(4 - 3 )
d ia g r a m a d e
c a rg a d is tr ib u id a
y
AM =
/ V(x)dx
(4 - 4 )
C a m b io e n 1 _
el m o m e n to /
f Á r e a b a jo e l d ia g r a m a
\ d e f u e r z a c o r ta n te
C ó m o s e h a s e ñ a la d o , la e c u a c ió n 4 -3 e s t a b le c e q u e e l c a m b io en la
fu e r z a c o r ta n te e n tr e d o s p u n to s c u a le s q u ie r a d e u n a v ig a e s ig u a l a l á rea
b a jo e l d ia g r a m a d e c a r g a d is tr ib u id a e n tr e e s o s p u n to s . D e l m is m o m o d o ,
la e c u a c i ó n 4 -4 e s ta b le c e q u e e l c a m b io en e l m o m e n t o e n tr e d o s p u n to s
d e u n a v ig a e s ig u a l a l á re a b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te e n tre e s o s
p u n to s . Si la s á r e a s b a jo lo s d ia g r a m a s d e c a r g a y d e fu e rz a c o r t a n t e s o n
fáciles d e c a lc u la r, la s e c u a c io n e s 4 -3 y 4 -4 p r o p o r c io n a n u n m é to d o p a ra
d e te r m i n a r n u m é r ic a m e n te lo s v a lo r e s d e l a f u e r z a c o r t a n te y e l m o ­
m e n to e n v a rio s p u n to s a lo l a r g o d e u n a v ig a .
1 5 1
1 5 2
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
i
O.
V
| ^ i V + AV
V ^ ^ V + AV
(a )
(b )
Figura 4 -1 0
C o n b a s e e n la d e r iv a c ió n a n t e r i o r d e b e o b s e r v a r s e q u e la s e c u a c io n e s
4 -1 y 4 -3 n o p u e d e n u s a r s e e n lo s p u n to s d o n d e a c tú a u n a f u e r z a c o n c e n ­
tr a d a . p u e s t o q u e e s ta s e c u a c io n e s n o to m a n e n c u e n ta e l c a m b io r e p e n ­
tin o d e la f u e r z a c o r t a n t e e n e s t o s p u n to s . D e l m is m o m o d o , d e b i d o a
u n a d is c o n tin u id a d d e l m o m e n to , la s e c u a c io n e s 4 -2 y 4 -4 n o p u e d e n e m ­
p le a r s e e n lo s p u n to s d o n d e s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r . A fin d e c o n s i­
d e r a r e s t o s d o s c a s o s , e s n e c e s a r io t o m a r lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
d e lo s e l e m e n t o s d i f e r e n c i a le s d e la v ig a q u e s e m u e s t r a n e n la fig u ra
4 - 9 a .l o s c u a le s e s t á n e n p u n to s c o n f u e r z a c o n c e n t r a d a y m o m e n to s d e
p a r. E n las f ig u r a s 4 - 10a y 4 -1 0 6 , re s p e c tiv a m e n te , s e m u e s tra n e je m p lo s
d e e s to s e le m e n to s . A p a r t i r d e la f ig u r a 4 -1 0 a . s e o b s e r v a q u e e l e q u il i­
b r io d e fu e r z a s r e q u i e r e q u e e l c a m b io e n la fu e rz a c o r t a n te s e a
+ ]'2 F y = 0;
AV = - F
(4 -5 )
A sí. c u a n d o F a c t ú a h a c ia a b a jo » b r e l a v i g a . A V e s n e g a tiv a p o r lo q u e
e l d ia g r a m a d e c o r t e m u e s tra u n “ s a l t o " h a c ia a b a jo . D e l m is m o m o d o , s i
F a c tú a h a c ia a r r ib a , e l s a l t o (A V') e s h a c ia a rr ib a . C o n b a s e e n la fig u ra
4 - 1 0 6 ,c u a n d o A r —* 0 ,e l e q u ilib r io d e m o m e n to s r e q u i e r e q u e e l c a m b io
e n e l m o m e n to s e a
S,+ 2 A / o = 0 ;
AM = M '
(4 -6 )
E n e s t e c a s o , s i s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r e x te r n o M ' e n s e n tid o h o r a ­
rio . A M es p o s itiv o , p o r lo q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to s a l t a h a c ia
a rr ib a , y c u a n d o M a c tú a e n s e n t i d o c o n tr a r io a l d e la s m a n e c illa s d el
re lo j, e l s a l t o ( A M ) d e b e s e r h a c ia a b a jo .
4 .3
D
ia g r a m a s d e
fu erza c o r t a n t e y de m o m e n t o pa r a
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to a p o r t a u n m é to d o p a r a c o n s t r u ir lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ­
ta n t e y d e m o m e n to p a r a u n a v ig a e m p l e a n d o la s e c u a c io n e s 4-1 a 4-6.
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s
•
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y d e s c o m p o n g a la s f u e r z a s q u e a c tú a n s o b r e
la v ig a e n s u s c o m p o n e n te s p e r p e n d i c u la r e s y p a r a le la s a l e je d e la v ig a .
D ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e
•
E s ta b le z c a lo s e je s V y x y g r a f iq u e lo s v a lo r e s d e la f u e r z a c o r t a n te e n lo s d o s e x tr e ­
m o s d e la v ig a .
•
D a d o q u e d V / d x = w , la p e n d ie n t e d e l d ia g r a m a d e fu e r z a c o r la n te e n c u a lq u i e r p u n to
e s ig u a l a la in te n s id a d d e la ca rg a d is tr ib u id a e n e s e p u n to . ( l e n g a e n c u e n ta q u e w e s
p o s itiv a c u a n d o a c tú a h a c ia a r r ib a ) .
•
Si d e b e d e te r m in a r s e u n v a lo r n u m é r ic o d e la f u e r z a c o r t a n t e e n e l p u n to , e s te v a lo r se
p u e d e e n c o n t r a r e m p l e a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e v io e n la se c c ió n 4 -1 .
o b ie n p u e d e u s a r s e la e c u a c ió n 4 -3 , la c u a l e s ta b le c e q u e e l c a m b io e n la f u e r z a c o r ­
ta n te es ig u a l a l á rea b a jo e l d ia g r a m a d e c a rg a d is tr ib u id a .
•
C o m o w (x ) s e in te g r a p a r a o b t e n e r V .c u a n d o w (x ) s e a u n a c u rv a d e g r a d o n , V ( x ) s e r á
u n a c u r v a d e g r a d o n + 1. P o r e je m p lo , s i rv (x ) e s u n if o r m e , V'(x) s e r á lin e a l.
D ia g ra m a d e m o m e n to
•
E s ta b le z c a lo s e j e s M y x y g r a f iq u e lo s v a lo r e s d e l m o m e n to e n lo s e x tr e m o s d e la
viga.
•
D a d o q u e d M / d x = V , la p e n d ie n te d e l d ia g r a m a d e m o m e n t o e n c u a lq u ie r p u n to e s
ig u a l a la in te n s id a d d e la f u e r z a c o r ta n te e n e s e p u n to .
•
E n e l p u n to d o n d e la f u e r z a c o r t a n te e s c e r o . d M / d x = « . p o r lo q u e é s t e p u e d e s e r u n
p u n to d o n d e e l m o m e n to p u e d e s e r m á x im o o m ín im o .
•
Si d e b e d e te r m i n a r s e e l v a lo r n u m é r ic o d e l m o m e n to e n u n p u n to , e s t e v a lo r s e p u e d e
e n c o n tr a r e m p le a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e v io e n la se c c ió n 4 -1 o m e ­
d ia n te la e c u a c i ó n 4 -4 , la c u a l e s t a b le c e q u e d c a m b io en e l m o m e n t o es ig u a l a l área
b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te .
•
C o m o V ( x ) s e in te g r a p a ra o b t e n e r M , c u a n d o V ( x ) s e a u n a c u rv a d e g r a d o n , M ( x )
s e r á u n a c u r v a d e g r a d o n + 1. P o r e je m p lo , s i V 'íx ) e s li n e a l, M ( x ) s e r á p a r a b ó lic a .
u n a v ig a
1 5 4
C a p it u l o
E JE M P L O
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
4 .7
L o s d o s e le m e n to s h o r iz o n ta le s d e la e s t r u c tu r a q u e s o s tie n e lín e a s d e
a lt a te n s ió n e s t á n s o m e tid o s a la s c a r g a s d e c a b le q u e s e m u e s tr a n e n
la fig u ra 4 - U n . D ib u je lo s d ia g r a m a s d e h i e r c a c o r t a n te y d e m o m e n to
p a ra c a d a e le m e n to
S O L U C IÓ N
R e a c c io n e s e n lo s s o p o rte s . C a d a p o s te e je r c e u n a f u e r z a d e 6 k N
s o b r e c a d a e le m e n to .c o m o s e m u e s tr a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re .
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . P rim e ro s e g r a f ic a n lo s p u n to s e x ­
tr e m o s . t - 0 . V = - 4 k N y x = 6 m . V = 4 k N , fig u ra 4 -1 1 6 . C o m o se
h a in d ic a d o , la f u e r z a c o r ta n te e n t r e c a d a f u e r z a c o n c e n tr a d a e s c o n s ­
ta n te p u e s to q u e w = d V / d x - 0. L a f u e r z a c o r t a n te j u s t o a la d e r e c h a
d e l p u n t o B (o C y D ) p u e d e d e te r m in a r s e p o r e l m é to d o d e la s s e c ­
c io n e s, f ig u r a 4 -1 I d . E l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te ta m b ié n p u e d e
e s ta b le c e r s e “ s ig u ie n d o la c a r g a " e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . C o ­
m e n z a n d o e n /1 ,1 a c a r g a d e 4 k N a c tú a h a c ia a b a j o d e m o d o q u e V A =
- 4 k N . N in g u n a c a rg a a c tú a e n t r e A y B . p o r lo q u e l a f u e iz a c o r ta n te
e s c o n s t a n te . E n B , la f u e r z a d e 6 k N a c tú a h a c ia a r r i b a , p o r lo q u e la
f u e r z a c o r t a n te s a lta h a c ia a r r ib a 6 k N , d e s d e - 4 k N h a s t a + 2 k N ,
e tc é te r a .
D ia g ra m a d e m o m e n to . E n p r i m e r lu g a r se g r á f ic a e l m o m e n to e n
lo s p u n to s e x tr e m o s x = 0 , W = 0 y r = 6 m , M = 0 , fig u ra 4 - 1 1c. La
p e n d ie n te d e l d ia g r a m a d e m o m e n to d e n t r o d e c a d a re g ió n d e 1.5 m
d e lo n g itu d e s c o n s ta n te p u e s to q u e V ta m b ié n e s c o n s ta n te . Ix>s v a lo ­
re s e s p e c ífic o s d e l m o m e n to , c o m o e n C , p u e d e n d e te r m i n a r s e p o r e l
m é to d o d e la s se c c io n e s, f ig u r a 4 -1 I d o b u s c a n d o e l c a m b io e n e l m o ­
m e n t o m e d i a n te e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . P o r
e je m p lo ,c o m o M A = O e n A ,e n to n c e s e n C , M c = M A + A M ¿ c = 0 +
( - 4 )( 1 .5 ) + (2 )( 1.5) = —3 k N • m.
F ig u ra 4 -1 1
4 .3
D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 12a.
.- ^ T m T T T T H 1
pr
— 9 m ---------
t í .
(a )
F igura 4 -1 2
w n e g a tiv a c re c ie n ie
p e n d ie n te V n e g a tiv a c re c ie n te
*<m)
S O L U C IÓ N
1 -5 2 0 m
R e accion es e n lo s s o p o rte s . L a s r e a c c io n e s y a s e h a n c a lc u la d o y
s e m u e s tra n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e la v ig a , fig u ra 4 -1 2 b.
(c )
V p o s itiv a d e c r e c ie n te
p e n d ie n te A i p o sitiv a
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r t a n te . P rim e ro s e g ra f te a n lo s p u n to s e x ­
tr e m o s x = 0 , V = + 3 0 k N y x = 9 m . V = - 6 0 k N . O b s e r v e q u e e l
d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te e m p ie z a c o n u n a p e n d ie n t e c e r o p u e s t o M(lcN-m)
q u e H' = 0 e n x = ü ,y t e r m i n a c o n u n a p e n d ie n t e d e tv = - 2 0 k N /m .
E l p u n t o d e f u e r z a c o r t a n te c e r o p u e d e e n c o n tr a r s e m e d ia n te el
m é to d o d e las s e c c io n e s a p lic a d o a u n s e g m e n to d e v ig a d e lo n g itu d x ,
fig u ra 4 -1 2 e .S e r e q u i e r e q u e V = O .p o r lo q u e
V n e g a tiv a c re c ie n te
p e n d ie n te A i n e g a tiv a c re c ie n te
*| m)
<d)
U F =
0;
(!)}
30 - - 1 2 0 1 -
5 .2 0 m
D ia g ra m a d e m o m e n to . P a r a 0 < x < 5 .2 0 m e l v a lo r d e la f u e r z a
c o r ta n te e s p o s itiv a p e r o d e c r e c ie n te y. p o r lo ta n to , la p e n d ie n t e d e l
d ia g r a m a d e m o m e n to ta m b ié n e s p o s itiv a y d e c r e c ie n te ( d M / d x = V) .
E n x = 5 .2 0 m . d M / d x = 0 . L o m is m o s u c e d e p a r a 5 .2 0 m < x < 9 m .
b f u e r z a c o r t a n t e y p o r e n d e la p e n d ie n t e d e l d ia g r a m a d e m o m e n to
s o n n e g a tiv a s y c r e c ie n te s , ta l c o m o s e in d ic a e n la fig u ra .
E l v a lo r m á x im o d e l m o m e n to e s t á e n x = 5 .2 0 m p u e s t o q u e e n
e s te p u n t o d M / d x = V = 0, fig u ra 4 -1 2 d . A p a r t i r d e l d ia g r a m a d e
c u e r p o lib re d e la fig u ra 4 -1 2 e s e ti e n e
t+ 2 M s = 0;
- 3 0 ( 5 . 2 0 ) + | [ 2 0 ( 5| e ) ] ( 5 ^ 0 ) ( 5 | 2 ) + «
M =
104 k N • m
“ 0
j |2 0 ( f ) |*
ir
»(f)
3 0 kN
(e )
1 5 6
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
E JE M P L O
600 Ib
|
4000 Ib-pie
|c
n „
* r-
u
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a l a v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 13a.
t í*
10 pies- X 5 - L . 5
'p i e s < 'pies •
S O L U C IÓ N
Rseaabcbciio
n
un
ne
as
» «e n
n ilou s» s> uo pp uo ir te s .
L a s rhe a c c io n e s y a s e c a lc u la r o n y s e
in d ic a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e
(a)
6001b
4 0 0 0 Ib • p ie
100 Ib
.
„
(b)
»=0
V(lb) P ^ i c n t c V
lool
M Ib-pie)
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . Se g ra f ic a n lo s v a lo r e s d e la f u e r z a
c o r t a n te e n lo s p u n to s e x tr e m o s A (V A = + 100 Ib ) y B ( V B - * 500
Ib ). E n C la f u e r z a c o r t a n te e s d is c o n tin u a p u e s to q u e a h í h a y u n a
f u e r z a c o n c e n tr a d a d e 6 0 0 Ib. E l v a lo r d e la f u e r z a c o r t a n te ju s to a la
d e r e c h a d e C p u e d e e n c o n tr a r s e a l s e c c io n a r la v ig a e n e s t e p u n to .
E s to p r o d u c e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re q u e s e m u e s tr a e n e q u il i­
b rio e n la fig u ra 4 -1 3 e . E s te p u n t o ( V = - 5 0 0 Ib ) s e g r á f ic a s o b r e el
d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . O b s e r v e q u e e n D n o s e p r e s e n t a n in g ú n
s a lto o d is c o n tin u id a d d e la f u e r z a c o r t a n t e . e n e s te p u n t o e s d o n d e se
a p lic a u n m o m e n to d e p a r d e 4 0 0 0 Ib • p ie , fig u ra 4 -1 3 6 .
LD ia g ra m a d e m o m e n to . E l m o m e n to e n c a d a e x tr e m o d e la v ig a
e
s c e r o , fig u ra 4 -1 3 d . E l v a lo r d e l m o m e n to e n C p u e d e d e te r m in a r s e
(c)
m
e d ia n te e l m é to d o d e la s se c c io n e s, fig u ra 4 - 1 3 e ,o b i e n e n c o n tr a n d o
V constante negativa
pendiente M constante negativa el á r e a b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r ta n te e n tr e A y C. C o m o M A * 0 ,
2500
1000
M a + A M ÁC
M,
\
1500
0 + (1 0 0 Ib )(1 0 p ie s )
1000 Ib • p ie
A d e m á s , d a d o q u e M e = 1 0 0 0 Ib • p ie , e l m o m e n to e n D e s
(d)
M,
M r + A M CD - 1000 I b - p i e + ( - 5 0 0 l b ) ( 5 p i e s )
M D = ~ 1 5 0 0 Ib • p ie
E n e l p u n to D x p r o d u c e u n s a lto d e b id o a l m o m e n to d e p a r d e
4 0 0 0 Ib • p ie . E l m é to d o d e la s s e c c io n e s , fig u ra 4 - 1 3 / ,d a u n v a lo r d e +
2 5 0 0 Ib • p ie ju s to a la d e r e c h a d e D .
6001b
6001b
|
1000 Ib pie
10 pies-
i)
-5 0 0 1 b
|— 10 pies
100 Ib
(0
fig u ra 4 -1 3
1)
5 pies
1001b
(e)
2“ ° lb
-5001b
4 .3
157
D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to p a r a c a d a u n a
d e las v ig a s q u e s e m u e s tr a n e n la fig u ra 4 -1 4 .
8 k N /r
p c n d ic n tc M n e g a tiv a
M (líN -m )
"
4
*(m )
(a)
15 k
2 0 k p ie
(b)
F ig u ra 4 - 1 4
V '(k )
H' n e g a tiv a c o n s ta n te
p o d i e n t e V n e g a tiv a c o n s ta n te
i(p ic s )
-1 5
S O L U C IÓ N
E n to d o s lo s c a s o s se h a n c a lc u la d o la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y se
in d ic a n e n la p a r t e s u p e r io r d e la s fig u ra s . S ig u ie n d o la s té c n ic a s d e s ­
c rita s e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e
m o m e n to s e m u e s tr a n d e b a jo d e c a d a v ig a . O b s e r v e c o n c u id a d o la
fo rm a e n q u e s e e s ta b le c ie r o n , c o n b a s e e n la p e n d i e n t e y e l m o ­
m e n to , d o n d e d V / d x = w y d M / d x = V. L o s v a lo r e s c a lc u la d o s s e h a ­
l a n e m p l e a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s o b ie n e n c o n tr a n d o la s
á re a s d e b a jo d e lo s d ia g r a m a s d e c a r g a o d e f u e r z a c o r ta n te .
A í( k - p ie )
V p o s itiv a d e c r e c ie n te
p e n d ie n te M p o s itiv a d e c r e c ie n te
x (p ie s )
-2 0
(c )
1 5 8
C a p it u l o
E JE M P L O
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
4 .1 1
L a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la f o to g r a f ía s e u s a p a r a s o s te n e r u n a p a r te
d e la s a l ie n t e d e la p u e r t a d e e n t r a d a a u n e d if ic io . E n la fig u ra 4 - 15a
s e m u e s tra e l m o d e lo id e a liz a d o d e la v ig a y d e la c a r g a q u e a c tú a
s o b r e e lla . S u p o n g a q u e H e s u n r o d illo y q u e C e s u n a a r tic u la c ió n .
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to p a r a la v ig a .
S O L U C IÓ N
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s , l a s r e a c c io n e s s e c a lc u la n d e la
fo r m a h a b itu a l. L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 4-15/>.
IO k N /m
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . P rim e ro se g r á f ic a la f u e r z a c o r ­
ta n t e e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a ; e s d e c i r , V A - 0 y V c - - 2 . 1 9 k N , fi­
g u r a 4 - 15c. P a r a e n c o n tr a r la f u e r z a c o r t a n t e a la iz q u ie rd a d e B u s e e l
m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a e l s e g m e n to A B , o b ie n , c a lc u le e l á r e a
b a jo e l d ia g r a m a d e c a r g a d is tr ib u id a , e s d e c i r , AV' = V B —0 =
- 1 0 ( 0 . 7 5 ) , V'fl. = - 7 . 5 0 k N . L a r e a c c ió n e n e l s o p o r te h a c e q u e la
f u e r z a c o r t a n t e s a l t e - 7 . 5 0 + 15.31 = 7.81 k N . E l p u n to d e fu e rv a c o r ­
ta n t e c e r o p u e d e d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la p e n d ie n t e - 1 0 k N / m , o
p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n te s , 7 .8 \ / x ■ 2 . 1 9 / ( 1 - * ) , x - 0.781 m . O b s e r v e
c ó m o e l d ia g r a m a V a g ü e la p e n d ie n t e n e g a tiv a , q u e s e d e f i n e p o r la
c a rg a d is tr ib u id a n e g a tiv a y c o n s ta n te .
gn m u
i
0.75
•1 m -
(a)
D ia g ra m a d e m o m e n to . P rim e ro s e g rá fic a e l m o m e n to e n lo s
p u n to s e x tr e m o s , M A = M c = 0 , f ig u r a 4 -1 5 d . L o s v a lo r e s d e - 2 . 8 1 y
0 .2 3 9 e n e l d ia g r a m a d e m o m e n to p u e d e n c a lc u la r s e p o r e l m é to d o
d e la s s e c c io n e s o b ie n b u s c a n d o la s á r e a s b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a
I O k N /m
IA
m m ui m
r ..
------ 0.75
m—
c o r t a n te . P o r e je m p lo . AAf » M B - 0 =* K ~ 7 .5 0 )(0 .7 5 ) = - 2 . 8 1 . M B =
- 2 .8 1 k N « m . A s im is m o ,d e m u e s tr e q u e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o
e s d e 0 .2 3 9 k N * m . O b s e r v e c ó m o s e fo r m a e l d ia g r a m a d e M , s i­
g u ie n d o la p e n d ie n t e d e f in id a p o r e l d ia g r a m a d e V.
*
2 .1 9 k N
I 5 J 1 kN
(b)
M flcN-m)
P (k N )
7.81
-*(m )
0.781 m
-2 .1 9
- 7 JO
(d)
(c)
fig u ra 4 -1 5
4 .3
1 5 9
D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a
c o m p u e s ta q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 - 16o. S u p o n g a q u e lo s s o p o r ­
te s e n A y C s a n ro d illo s y q u e f í y E s o n c o n e x io n e s a rtic u la d a s .
3k/P 'c
5k
2¿ K/pt
k /p ie
g d id lííf c h i
( ü k • p ie ^
^
10
1
\D
4 j _ 6 p ie s _ |_ 6 p i e s 5 k
20k
(»)
■; 16 k
^ k /p ie
J—
— - r—
k)
24
.2
10
16
\
r
T
16 k
4k
6k
45 k
(b )
20
i32
-« (p ie s )
M
(c )
60
10
H g u ra 4 -1 6
16
20
32
2
-9 6
-1 8 0
(d )
S O L U C IÓ N
R e accion es e n lo s s o p o r te s . U n a v e z q u e lo s s e g m e n to s d e v ig a se
d e s c o n e c ta n d e l p a s a d o r e n B , la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s p u e d e n
c a lc u la rs e c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -1 6 6 .
D ia g ra m a d e fu e r z a c o r ta n te . C ó m o s ie m p r e , s e c o m ie n z a p o r
g y a ficar la f u e r z a c o r t a n te e n lo s e x tr e m o s A y E , fig u ra 4 - 16c. E l p e r ­
fil d e l d ia g r a m a d e V se f o r m a s ig u ie n d o s u p e n d ie n te , d e f i n id a p o r la
c a rg a . T rate d e e s t a b le c e r lo s v a lo r e s d e la f u e r z a c o r t a n te u s a n d o la s
á re a s a p ro p ia d a s b a jo e l d ia g r a m a d e c a rg a (c u rv a w ) a fin d e e n c o n tr a r
d c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n t e . E l v a lo r c e r o p a r a la f u e r z a c o r ta n te
e n x = 2 p ie s , p u e d e e n c o n tr a r s e e m p l e a n d o tr iá n g u lo s s e m e ja n t e s o
u f a n d o la e s t á ti c a ,c o m o se h iz o e n la fig u ra 4 -1 2 e d e l E je m p lo 4 -8 .
D ia g ra m a d e m o m e n to . P rim e ro s e g ra f ic a n lo s m o m e n to s e n lo s
e x tr e m o s M A = 6 0 k • p ie y M e = 0, fig u ra 4 -1 6 d . E s tu d ie e l d ia g r a m a
y o b s e r v e c ó m o s e e s t a b le c e n las d if e r e n t e s c u rv a s m e d i a n te d M / d x
= V . V e rifiq u e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e lo s p ic o s u s a n d o la e s t á tic a o
c a lc u la n d o la s á r e a s a p r o p i a d a s b a jo e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e a
fin d e e n c o n t r a r e l c a m b io e n e l m o m e n to .
x (p ie s )
160
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
PROBLEMAS FUNDAM ENTALES
F 4 -1 3 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rla n te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. Indiqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
los punto s d o n d e se p rodu zca u n cam b io e n la carga.
8 kN
I
2 kN/m
3 kN
-2 m
F 4 -1 7 . D ibuje los d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o­
m en to p a ra la viga. In d iq u e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga.
2 k N /m
F 4 -1 3
F 4 -1 4 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. Indiqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
tos punto s d o n d e se p rodu zca u n cam b io e n la carga.
K4-17
F 4 -1 8 . D ibuje los d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­
m en to p a ra la viga. In d iq u e lo s v alo res e n los s o p o rte s y en
tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga.
4 k N /m
.^rrrrrrnTnT^^
|
1 .5 m
-
F 4 -1 8
F 4-14
F 4 -1 5 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rta n te y d e m o­
m ento p a ra la viga. In diqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
tos punto s d o n d e se p rodu zca u n cam b io e n la carga.
15 m
- 2 m -
F 4 -1 9 . D ibuje los d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. In d iq u e lo s v alo res en los s o p o rte s y en
tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga.
6 k N /m
m u iu
IIJIUI
_ 2 m ------- 1-------2 » - ----- 1------ 2 m
F 4 - I5
F 4 -1 6 . D ibuje los diagram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­
m ento p a ra la viga. Indiqu e lo s v a lo re s en los s o p o rte s y en
tos puntos d o n d e se p rodu zca u n cam b io e n la carga.
F 4-19
F 4 -2 0 . D ibuje los d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o­
m en to p a ra la viga. In d iq u e lo s v a lo re s e n los s o p o rte s y en
tos pu n to s d o n d e se p ro d u zca u n cam b io e n la carga.
18 k
6 k/pie
£
6 p ie s
. - I
— 12 p i e s
12 p ie s -
F4-16
6 p ie s
F 4-20
4 .3
161
D ia g r a m a s d e fu e r za c o r t a n t e y de m o m e n t o p a r a u n a v ig a
PR O B LEM A S
4 -2 3 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu erza c o rla n te y de m o­
m ento p a ra la viga.
4 -2 6 . D ibuje lo s d iag ram as d e fuerza co rta n te y d e m o ­
m ento p ara la viga.
10 k
8k
n
*
!_ C
- 6 p ie s -I*
12 p ie s •
•
z l
c c
n
A
P ro h . 4 -2 3
12 p i e s
[ - 6 p ie s —
P ro h . 4-26
4 -2 7 . D ib u je lo s d iag ram as d e fu erza c o rta n te y de m o ­
m ento p ara la viga.
•4 -2 4 . D ibuje los d iag ram as de fu erza c o rta n te y de m o ­
m ento p a ra la viga.
2k
2k
2k
2k
.
.
1
.
4 0 0 Ib /p ie
n
-------------------------------15 p i e s -----------------------------------
P ro h . 4 -2 7
. j f ! 1 j x
|— 4 p ie s —| - 4 p ie s *1— 4 p ie s —|— 4 p ie s - | — 4 p ie s —|
• 4 -2 8 . D ibuje lo s d iag ram as de fu erza co rtan te y d e m o ­
m en to p a ra la viga (a ) e n térm in o s d e lo s p a rá m e tro s m o s­
trados; (b ) co n sid ere q u e M 0 = 500 N . m . I. = 8 m.
P ro h . 4-24
L/3
L /3
L/3
- I
P ro h . 4 -2 8
4 -2 5 . D ib u je lo s d iag ram as d e fu erza c o rta n te y de m o ­
m ento p a ra la viga.
6kN
M0
M,
4 -2 9 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza c o rta n te y de m o­
m e n to p a ra la viga.
I S k N /m
□un
2 m
3 m
P ro h . 4 -2 5
P ro h . 4 -2 9
1 6 2
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
4 -3 0 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o ­
m ento flexionante p a ra la viga.
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
4 -3 4 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o ­
m ento p a ra la viga.
2 0 0 Ib /p ic
2 0 0 Ib -p ie
P ro h . 4 -3 0
4
4 -3 1 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­
m ento p a ra la viga.
4 -3 5 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu erza co rtan te y de m o­
m ento p a ra la viga.
2 0 0 I b /p ic
n
/
P ro b . 4 -3 1
P ro h .4 - 3 5
* 4 -3 2 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­
m ento p a ra la viga.
*4 -3 6 . D ibuje lo s d iagram as d e fu erza c o rta n te y de m o ­
m ento p a ra la viga. S u p o n g a q u e e l so p o rte e n B e s una a r ­
ticulación y q u e A es u n rodillo.
P ro b . 4 -3 6
4 -3 3 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o­
m ento p a ra la viga.
4 -3 7 . D ibuje lo s d iagram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­
m ento p ara la viga. Suponga que e l so p o rte e n tí es una articu ­
lación.
8 k N /m
20kN
4 0 k N /ta
l
1 5 0 k N -m
8m
P rob. 4 -3 3
P rob. 4 -3 7
4 .4
4 .4
D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y d e m o m e n t o para u n m a r c o
D ia g ra m a s d e fu e rz a c o rta n te
y d e m o m e n to p a ra u n m a rc o
R e c u e r d e q u e u n m a r c o s e c o m p o n e d e v a rio s e le m e n to s q u e e s tá n c o ­
n e c ta d o s f ija m e n te o a r t ic u l a d o s e n su s e x tr e m o s . C o n fr e c u e n c ia , e l d i­
s e ñ o d e e s ta s e s t r u c tu r a s r e q u i e r e e l a b o r a r d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te
y d e m o m e n to p a r a c a d a u n o d e s u s e le m e n to s . P a r a a n a liz a r c u a lq u ie r
p r o b le m a , s e p u e d e u tiliz a r e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la
s e c c ió n 4 -3 . P a ra e l l o e s n e c e s a r io p r im e r o d e t e r m i n a r la r e a c c ió n e n lo s
s o p o r te s d e l m a rc o . D e s p u é s , a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , s e e n ­
c u e n tr a n la f u e r z a a x ia l, la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to q u e a c tú a n e n
lo s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to . L o s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e
m o m e n to p a r a c a d a e le m e n to p u e d e n d ib u ja r s e d e la m a n e r a d e s c r ita
a n te r io r m e n te , s ie m p r e y c u a n d o t o d a s la s c a r g a s s e d e s c o m p o n g a n e n
c o m p o n e n te s q u e a c tú a n e n f o r m a p a r a le la y p e r p e n d ic u la r a l e je d e l
e le m e n to .
E n la p r á c tic a , a l d ib u ja r e l d ia g r a m a d e m o m e n to s e u s a u n a d e la s d o s
c o n v e n c io n e s d e s ig n o s e x is te n te s . E n p a r tic u la r , s i e l m a r c o e s d e c o n ­
c r e to r e fo r z a d o , lo s d is e ñ a d o r e s s u e le n d i b u j a r e l d ia g r a m a d e m o m e n to
p o s itiv o e n e l la d o d o n d e e l m a r c o e s t á s o m e tid o a te n s ió n . E n o t r a s p a ­
la b ra s , s i e l m o m e n to p ro d u c e te n s ió n e n la s u p e r fic ie e x t e r n a d e l m a rc o ,
e l d ia g r a m a d e m o m e n to s e d ib u j a p o s itiv o e n e s te la d o . C o m o e l c o n ­
c r e t o ti e n e u n a b a ja re s is te n c ia a la te n s ió n , e n to n c e s s e p o d r á d e c ir d e
u n v is ta z o e n q u é la d o d e l m a r c o d e b e c o lo c a r s e e l a c e r o d e re f u e rz o . S in
e m b a r g o , e n e s t e te x t o s e u s a r á la c o n v e n c ió n d e s ig n o s c o n tr a r i a e n la
q u e s ie m p r e s e d ib u ja e l d ia g r a m a d e m o m e n t o p o s itiv o e n e l la d o d o n d e
lo s e le m e n to s e stá n s o m e tid o s a c o m p r e s ió n . É s ta e s la m ism a c o n v e n c ió n
q u e s e u s ó p a r a la s v ig as y s e a n a liz ó e n la se c c ió n 4 -1 .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e s te p r o c e d i m i e n to e n f o r m a n u m é ­
rica.
P a ra e l d is e ñ o d e e s ta t r a b e s im p le m e n te a p o y a d a , q u e fo r m a p a rte
d e u n m a r c o d e c o n c r e t o p a r a c o n s tr u c c ió n , p r i m e r o s e t r a z a r o n s u s
d i a g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to .
163
1 6 4
C a p it u l o
E JE M P L O
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
4 .1 3
D ib u je e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e l m a r c o a h u s a d o d e l a f ig u r a
4 -1 7 a . S u p o n g a q u e e l s o p o r t e e n A e s u n r o d i ll o y q u e B e s u n a a r ­
tic u la c ió n .
H g e ra 4 -1 7
S O L U C IÓ N
elemento CR
elemento AC
<d)
Reacciones en los soportes.
L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s se
m u e s tr a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o e l m a rc o , fig u ra 4 -1 I b .
C o n e s t o s r e s u lta d o s , e l m a r c o s e s e c c io n a e n d o s e le m e n to s , y s e d e ­
te r m i n a n la s r e a c c io n e s in te r n a s e n la s ju n t a s e x tr e m a s d e lo s e le m e n ­
to s . fig u ra 4 - 17c. O b s e r v e q u e l a c a r g a e x te r n a d e 5 k s ó l o s e m u e s tra
e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la j u n t a e n C .
Diagrama de momento. D e a c u e r d o c o n n u e s t r a c o n v e n c ió n d e
sig n o s p o s itiv o s , y e l u s o d e la s té c n ic a s d e s c r ita s e n la s e c c ió n 4 -3 , lo s
d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a lo s e le m e n to s d e l m a r c o s o n c o m o se
m u e s tr a e n la f ig u r a 4 -1 7 d .
4 .4
E JE M P L O
D ia g r a m a s d e fuerza c o r ta n te y d e m o m e n t o para u n m a r c o
1 6 5
4 .1 4
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a e l m a r c o
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 18a. S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n ,
C e s u n r o d illo y f í e s u n a j u n t a fija . I g n o r e e l e s p e s o r d e lo s e le m e n to s .
S O L U C IÓ N
T e n g a e n c u e n ta q u e la c a r g a d is tr ib u id a a c tú a s o b r e u n a lo n g itu d d e
10 p i e s V 2 = 14.14 p ie s . L a s r e a c c io n e s e n to d o e l m a r c o s e c a lc u la n
y s e m u e s tr a n e n s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fig u ra 4 -1 8 6 . A p a r tir d e
e s te d ia g r a m a s e d ib u ja n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e c a d a e l e ­
m e n to , fig u ra 4 -1 8 c. L a c a rg a d is tr ib u id a e n B C tie n e c o m p o n e n t e s a
b la r g o d e B C y p e r p e n d ic u la r e s a s u e je d e (0 .1 4 1 4 k / p i e ) e o s 4 5 ° =
(0 .1 4 1 4 k / p i e ) s e n 4 5 ° = 0 .1 k /p ie , c o m o s e m u e s tr a . C o n b a s e e n
e s to s r e s u lta d o s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to t a m ­
b ié n s e p r e s e n ta n e n la f ig u r a 4 - 18c.
4
U f a r a 4 -1 8
( 0 .1 4 1 4 k / p i e ) ( 1 4 . 1 4 p i e s ) = 2 k
1 6 6
C a p it u l o
E JE M P L O
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
4 .1 5
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a e l m a r c o
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 - 19a. S u p o n g a q u e A e s u n a a r tic u la c ió n ,
C e s u n r o d illo y R e s u n a ju n t a fija.
80 kN
(a)
80kN
fig u ra 4 -1 9
S O L U C IÓ N
R e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s . H1 d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d o
e l m a r c o s e m u e s tr a e n la fig u ra 4 -1 9 6 . A q u í la c a rg a d is tr ib u id a , q u e
r e p r e s e n ta l a c a r g a d e l v ie n to , h a s i d o r e e m p la z a d a p o r s u r e s u lta n te
p a ra d e s p u é s c a lc u la r las r e a c c i o n e s L u e g o s e s e c c io n a e l m a r c o e n R
y s e d e te r m i n a n la s c a r g a s in te r n a s e n e s e p u n to , fig u ra 4 - 19c. C o m o
u n a c o m p r o b a c ió n , e l e q u il ib r io s e s a tis f a c e e n la j u n t a R , lo c u a l t a m ­
b ié n s e m u e s tr a e n la fig u ra .
D ia g ra m a s d e c o r ta n te y d e m o m e n to . I-as c o m p o n e n te s d e la
c a r g a d is tr ib u id a (7 2 k N ) / ( 5 m ) * 14.4 k N / m y ( 9 6 k N ) / ( 5 m ) - 19.2
k N / m , se m u e s tr a n e n e l e le m e n to A R , fig u ra 4 -1 9 d . L o s d ia g r a m a s
a s o c ia d o s d e f u e i z a c o r t a n te y d e m o m e n to s e d ib u ja n p a r a c a d a e le ­
m e n to , c o m o s e m u e s tr a e n la s fig u ra s 4 -1 9 d y 4-19e.
4 .4
D ia g ra m a s d e fu e rz a c o r ta n te y d e m o m e n to p a ra u n m a rc o
167
1 6 8
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
4 .5
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
Diagram as de m o m e n to construidos
p o r el m é to d o de superposición
D a d o q u e las v ig a s s e u tiliz a n p r in c ip a lm e n te p a r a re s is tir e s f u e r z o s flex io n a n te s .e s i m p o r t a n te q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to a c o m p a ñ e a la s o ­
lu c ió n p a r a s u d is e ñ o . E n la se c c ió n 4 -3 e l d ia g r a m a d e m o m e n to se
c o n s tr u y ó d ib u j a n d o p r im e r o e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n te . S in e m ­
b a rg o , s i s e a p lic a e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n .c a d a u n a d e las c a r g a s e n
la v ig a p u e d e t r a ta r s e p o r s e p a r a d o y e n to n c e s e l d ia g r a m a d e m o m e n to
p u e d e c o n s t r u ir s e e n u n a s e r ie d e p a r t e s e n v e z d e h a c e r lo e n u n a s o la
fo r m a q u e e n o c a s io n e s r e s u lta c o m p lic a d a . M ás a d e l a n t e e n e l te x t o se
v e rá q u e e s t o p u e d e s e r e s p e c ia lm e n te v e n ta j o s o c u a n d o s e a p lic a n m é ­
to d o s d e d e f le x ió n g e o m é tric a p a r a d e te r m i n a r ta n t o la d e fle x ió n d e u n a
v ig a c o m o la s r e a c c io n e s e n v ig a s e s t á tic a m e n te in d e te rm in a d a s .
E n e l a n á lis is e s t r u c tu r a l, la m a y o r ía d e la s c a rg a s a p lic a d a s s o b r e v ig a s
e s u n a c o m b in a c ió n d e las c a r g a s d e la fig u ra 4 -2 0 . L a c o n s tr u c c ió n d e lo s
d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s s e a n a liz ó e n e l E je m p lo 4 .8 . A f i n d e
4 .5
D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S TR U ID O S P O R E l M É T O D O D E SU PERPO SICIÓN
4 k /p ie
ÍTTTTn
10 p ie s — ——
I 15
IS k
10 p ie s
25
LSlc*
4 k /p ie
M (k p ie )
TTTlTn
V
40
p ie s —
k>»p“
250
« p ie s )
-5 0
d ia g ra m a d e m o m e n to re s u lta n te
* 4
-—
10 p ies
25 k
M (k - p ie )
Yünfm
200 k - p ie "
« p ie s )
-200
10 p ie s — |
+
A l { k -p ie )
300 k
;!
I
« p ie s )
- 3001
-1 0 p i e s -
3 0 0 k • p ie
500 k p i e
M k -p ie )
500
« p ie s )
2 0 p ie s
25 k
25 k
s u p e r p o s k ió n d e la s v ig a s e n v d a d i z o
s u p e r p o s ic ió n d e lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to a so c ia d o s
(a )
(b )
H g u ra 4 -2 1
e n t e n d e r c ó m o s e u s a e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n p a r a c o n s t r u ir e l d i a ­
g r a m a d e m o m e n to , c o n s id e r e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a q u e se
m u e s tra e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4-21a. A q u í la s re a c c io n e s ya s e han
c a lc u la d o , p o r lo q u e e l s i s te m a d e fu e r z a s s o b r e la v ig a p r o d u c e u n a
fu e rz a c e r o y u n m o m e n to r e s u lta n te . E l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e s te
c a s o s e m u e s tr a e n la p a r t e s u p e r i o r d e la f ig u r a 4 -2 1 6 . O b s e r v e q u e
e s t e m is m o d ia g r a m a d e m o m e n to s e p r o d u c e p a r a la vig a e n v o la d iz o
c u a n d o e s t á s o m e ti d a a l m is m o s is te m a d e c a r g a s e s tá tic a m e n te e q u iv a ­
le n te s q u e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a . E n v e z d e c o n s i d e r a r to d a s las
c a rg a s s o b r e e s t a v ig a d e m a n e r a s im u ltá n e a a l tr a z a r e l d ia g r a m a d e m o ­
m e n to , se p u e d e n s u p e r p o n e r lo s r e s u lta d o s d e la s c a rg a s q u e a c tú a n p o r
s e p a r a d o e n la s tr e s v ig a s e n v o la d iz o d e la fig u ra 4 . 2 1 a . I \ ) r l o t a n t o .s i se
d ib u ja e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a c a d a v ig a e n v o la d iz o , fig u ra 4 -2 1 6 ,
al s u p e r p o n e r e s to s d ia g r a m a s s e o b tie n e e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u l­
ta n t e d e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a . l\ » r e je m p lo , c o n b a s e e n c a d a u n o
d e lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to s e p a r a d o s , e l m o m e n to e n e l e x tr e m o A e s
M a - - 2 0 0 - 300 4- 5 0 0 ■ O .c o m o se c o m p r u e b a e n e l d ia g r a m a d e m o ­
m e n to s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 1 6 . E n a lg u n o s c a s o s e s m á s f á c i l c o n s tr u ir
y u tiliz a r o t r a s e r i e d e d ia g r a m a s d e m o m e n to e s t á tic a m e n te e q u iv a le n ­
te s p a r a u n a v ig a , en lu g a r d e c o n s tr u ir e l d ia g r a m a d e m o m e n to “ r e s u l ­
ta n t e " d e la v ig a q u e s u e le s e r m á s c o m p lic a d o .
1 6 9
1 7 0
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
D e m a n e r a s im ila r, ta m b ié n p u e d e s im p lific a rs e la c o n s tr u c c ió n d e l
d ia g r a m a d e m o m e n to “ r e s u l t a n t e " p a r a u n a v ig a c o n u n a s u p e r p o s ic ió n
d e v ig a s “s im p le m e n te a p o y a d a s ” . P o r e je m p lo , la c a rg a s o b r e la v ig a q u e
s e m u e s tr a e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 2 a e s e q u iv a le n te a la s c a r ­
g a s d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la p a r t e in f e rio r . E n c o n s e c u e n c ia , se
p u e d e n u s a r lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to s e p a r a d o s p a r a c a d a u n a d e
e s t a s tr e s v ig a s a i v e z d e d ib u ja r e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 4-22¿>.
M (k N m )
5 k N /m
2 0 k N ■m
lili lili
11
T )4 0 k N m
x(m )
-12 m II
5 k N /i
M
* (m )
-1 2 m -
M (k N -m )
+
20kN *
*(m )
-2 0
12m
4 0 k N -m
M (k N m )
x(m>
- 1 2 :
-4 0
s u p e r p o s ic ió n d e l o s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s
s u p e r p o s ic ió n d e v ig as s im p le m e n te a p o y a d a s
(a)
(b )
F ig u ra 4 - 2 2
4 .5
E JE M P L O
1 7 1
D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S TR U ID O S P O R E l M É T O D O D E SU PERPO SICIÓN
4 .1 6
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la
p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 - 2 3 a u s a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n .
C b n s id e r e q u e la v ig a e s tá e n v o la d iz o d e s d e e l s o p o r te e n ñ .
S O L U C IÓ N
Si la viga e s t u v ie r a a p o y a d a e n v o la d iz o d e s d e f í , e s t a r ía s o m e tid a a
las c a r g a s e s t á t i c a m e n t e e q u i v a l e n t e s q u e s e m u e s t r a n e n la fig u ra
4 -2 3 a . A c o n tin u a c ió n s e m u e s tr a n la s tr e s v ig a s e n v o la d iz o s u p e r ­
p u e s ta s j u n t o c o n s u s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s , fig u ra 4-23¿>.
( C o m o u n a a y u d a p a r a s u c o n s tru c c ió n , re v is e la fig u ra 4 -2 0 .) A u n q u e
n o e s n e c e s a r io a q u í , la s u m a d e e s to s d ia g r a m a s p r o d u c ir á e l d i a ­
g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e p a r a la v ig a . C o m o u n a p r á c tic a , in ­
te n te d ib u j a r e s te d ia g r a m a y c o m p r u e b e lo s re s u lta d o s .
5 k /p ie
5 k /p ic
w rrlT n T I
150 k
_
15 p ie s
15 k
150 k • p ie
x ( p ie s )
15 pie
225 k
5 k /p ie
■x (p ie s )
^ m
- íT
Í
I------------------ 15 p i e s ----------'- 1 8 7 5
s u p e r p o s ic ió n d e lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s
s u p e r p o s ic ió n d e la s s ig a s e n v o la d iz o
(b )
(a)
Figura 4 -2 3
1 7 2
C a p itu lo
E JE M P L O
4
C a rg a s
in te rn a s
d e s a rro lla d a s
en
e le m e n to s
e s tru c tu ra le s
4 .1 7
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e m o m e n io p a r a la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la
p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 4 u , u s a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n .
C o n s id e r e q u e la v ig a e s t á e n v o la d iz o d e s d e e l p a s a d o r e n A .
S O L U C IÓ N
L a s v ig a s e n v o la d iz o s u p e r p u e s ta s s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 4 -2 4 a ,
j u n t o c o n s u s d ia g r a m a s d e m o m e n to a s o c ia d o s , fig u ra 4 -2 4 b . T e n g a
e n c u e n ta q u e la r e a c c ió n e n e l p a s a d o r (2 2 .5 k ) n o s e c o n s id e r a y a
q u e n o p r o d u c e n in g ú n d ia g r a m a d e m o m e n to . C o m o u n e je r c ic io ,
c o m p r u e b e q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to r e s u lta n t e e s e l q u e s e p r e ­
s e n t a e n la p a r t e s u p e r io r d e la fig u ra 4 -2 4 6 .
M (k p ie )
5 k /p ic
* ( pies)
A f(k p ie)
150 k •pie
í(p ie s )
-1 5 0
5 k /p ie
x ( pies)
tí
M (k p ie )
225 k-pie
15 pies
15 k
superposición de las vigas en vdadizo desde A
(a)
(b)
H g ura 4 -2 4
4 .5
D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S TR U ID O S P O R E l M É T O D O D E SU PERPO SICIÓN
1 7 3
PROBLEMAS
4 -3 8 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o­
m ento p a ra c a d a u n o d e los tre s e le m e n to s d e l m arco. S u ­
ponga q u e e l m arco e stá articu lad o e n A . C y D , y q u e hay
una ju n ta fija e n B.
50 kN
* 4 -4 0 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o ­
m ento p a ra cada u n o d e lo s e le m e n to s d e l m arco. S uponga
q u e A es u n o scilad o r y q u e D está articulado.
40 kN
15 kN/m
,V "
P ro b . 4 -4 0
P ro b . 4 -3 8
4 -3 9 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o­
m ento p a ra cada u n o d e lo s e lem en to s d e l m arco. S uponga
q u e e l so p o rte e n A e s una articulación y e n D es u n rodillo.
4 -4 1 . D ibuje lo s d iagram as de fu e rz a c o rta n te y d e m o ­
m ento p a ra cada u n o d e los e le m en to s d e l m arco. S uponga
q u e e l m arco está artic u la d o e n B , C y D ,y q u e A está fijo.
0.8 k/pie
6k
3k
a s k/pie
t
pies
6k
3k
pies
15 p ie s
P rob. 4 -4 1
1 7 4
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
4 -4 2 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rla n te y d e m o ­
m ento p a ra c ad a u n o d e lo s e le m e n to s d e l m arco. S uponga
q u e A está fija, q u e la ju n ta e n B e s una articu lació n , y que
C e s un so p o rte d e rodillo.
20 k
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
* 4 - 4 4 D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o ­
m en to para c a d a e lem en to d e l m arco. S uponga q u e el
m arco tien e u n so p o rte d e rod illo e n A y un so p o rte a rtic u ­
lado e n C.
1.5 k /pie
O ik/p ie R
2k
P rob. 4 -4 2
4 -4 3 . D ibuje los d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­
m ento para cada e lem en to d el m arco. Suponga q u e el
marco e stá articulado e n A y q u e C e s u n rodillo.
4 -4 5 . D ibuje lo s d iag ram as d e fu erza co rta n te y d e m o ­
m en to p a ra c ad a e le m en to d e l m arco. Ix k e le m e n to s están
articulad o s e n A , B y C.
P rob. 4 4 5
4 .5
D A G R A M A S D E M O M E N T O C O N S TR U ID O S P O R E l M É T O D O D E SU PERPO SICIÓN
1 7 5
4 -4 6 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e mo
m entó p a ra cada e lem e n to d el m arco.
* 4 -4 8 . D ibuje los d iag ram as d e fu e rz a co rtan te y d e m o ­
m ento p a ra c a d a elem en to d e l m arco. I.a s ju n ta s e n A , f í y
C están articuladas.
P ro h . 4 -4 6
P roh. 4 -4 8
4 -4 7 . D ibuje lo s diagram as d e fu e rz a c o rta n te y d e m o ­
m ento p a ra cada e lem e n to del m arco. S uponga q u e la ju n ta
e n A está articu lad a y q u e e l s o p o rte e n C e s u n rodillo. La
articulación e n U está fija. L a carg a d el v ie n to se tran sfiere a
los elem entos e n las c o rre a s y larg u ero s d e sd e lo s seg m en ­
tos sim plem ente apoyados d e la p ared y e l techo.
4 -4 9 .
m e n to
ponga
fijo e n
D ibuje los d iag ram as de fuerza co rta n te y d e m o ­
p a ra cada u n o de lo s tr e s e le m e n to s d e l m arco. S u ­
q u e e stá articu lad o e n tí, C y D y q u e se en cu en tra
A.
3 0 0 lb /p ic
5 0 0 Ib /p ie
P roh. 4 -4 7
P roh. 4 -4 9
1 7 6
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
4 -5 0 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando e l m éto d o de superposición. La viga e stá e n v o la­
dizo d e s d e A .
6 0 0 Ib
6 0 0 Ib
6 0 0 Ib
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
4 -5 4 . D ibuje los diagram as de m om ento p ara la viga usando
el m éto d o de superposición. C o n sid ere q u e la viga e stá en
voladizo d e sd e e l so p o rte articu lad o e n A .
4 -5 5 . D ibuje lo s d iagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando el m étodo de superposición. C onsidere q u e la viga está
en voladizo d e sd e el o scilad o r e n B.
30 kN
4 k N /m
ITTi ~fm
80 k N •m
|
—
8m
4 -5 1 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando e l m éto d o d e superposición.
-I
4m
P r o b s . 4 - 5 4 /4 - 5 5
* 4 -5 6 . D ibuje lo s d iag ram as de m om ento p a ra la vi;
usando el m étodo d e superposición. C onsidere q u e la viga es
en voladizo d e sd e el e x tre m o C.
3 0 kN
4 kN /
P ro b . 4 -5 1
P ro b . 4 -5 6
*4-52. D ibuje lo s diagram as d e m om ento p a ra la viga
usando el m étodo de su p erp o sició a C onsidere q u e la viga está
en voladizo d e sd e e l e x trem o A .
4 -5 3 . D ibuje lo s diagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando el m étodo de su p erp o sició a C onsidere q u e la viga está
sim plem ente ap o y ad a e n A y e n fl.co m o se m u e stra e n la fi­
gura.
4 -5 7 . D ibuje lo s d iagram as d e m o m en to p a ra la viga
usando el m étodo d e superposición. C onsidere q u e la viga está
sim plem ente ap o y ad a e n A y B , com o se m u estra e n la fi­
gura.
2 5 0 lb /p ie
2 0 0 lb /p ie
7— i 100
111I 1111111111*
2 0 p ies
P robs. 4 -5 2 /4 -5 3
P rob. 4 -5 7
ar
Pr o b l e m a s d e p r o y e c t o
1 7 7
PR O BLEM AS DE PROYECTO
4 -1 P . E n la fo to g rafía se m uestra u n balcó n u b icad o e n el
tercer piso d e u n m otel. E stá co n stru id o con u n a lo sa de
concreto d e 4 p ulgadas d e esp e so r (p ied ra lisa) la c u a l se
apoya so b re las c u a tro vigas de piso sim plem ente apoyadas,
d o s tra b e s laterales e n voladizo A B y H G ,y las trab es fr o n ­
tal y p o sterio r. E n la figura ady acen te se m u estra e l p la n o
idealizado d e la estru c tu ra con d im en sio n es p ro m ed io . D e
acuerdo co n lo s cód ig o s locales, la carga viva d el b alc ó n es
d e 45 psf. D ib u je los d iag ram as d e fuerza co rtan te y d e m o­
m ento p a ra la tra b e fro n ta l B G y u n a tra b e lateral A B . S u ­
ponga q u e la tra b e fro n ta l e s u n can al con u n p e so d e 25
Ib /p ie y q u e las tra b e s laterales tie n en secciones d e ala
ancha co n u n p eso d e 4 5 Ib /p ie. Ignore el peso de las vigas
d e piso y d e la b aran d a frontal. P ara e sta solución co n sid ere
cada una de las cinco lo sa s com o losas d e d o s vías.
P
//
6ft
“ J C 4 X
4 !£ 4
« e s^ 1 pies~*~pies
pies
P r o b .4 - lP
4 - 2 P . E l pabellón q u e se m u e stra e n la fo tografía p ro p o r­
ciona resguardo a la e n tra d a de un edificio. C o n sid ere q u e
todos lo s elem entos e stá n sim plem ente apoyados. L as b arras
d e a p o y o e n C, I). F., F tienen un p e so d e 135 Ib y u n a longi­
tud d e 2 0 pies c a d a u n a. E l te c h o tien e 4 p u lg a d a s d e e s­
p eso r y d e b e s e r de c o n c re to ligero c o n u n a d en sid ad de
102 lb/picJ. Se supone q u e la carga viva causada p o r la acumu­
lación d e nieve e s trap ezo id al, c o n 6 0 p sf a la d erech a (c o n ­
tra la p a re d ) y 20 psf a la izquierda (e n la saliente). S u p o n g a
q u e la losa de co n creto está sim plem ente ap o y ad a e n tre las
vigas. D ibuje lo s diagram as de fuerza c o rta n te y efe m o ­
m ento p a ra la viga lateral A B . N o to m e e n cu e n ta s u peso.
P rob. 4 -2 P
4
pies"
1 7 8
C a p it u l o
4
C arg as
in t e r n a s
d e s a r r o l l a d a s
en
e l e m e n t o s
e s t r u c t u r a l e s
H
4 -3 P . E n la figura se m uestra el p lan o estru c tu ral ideali­
zado d e u n sistem a d e piso localizado e n el v estíb u lo d e un
edificio d e oficinas. Hl piso e s d e c o n c re to re fo rz a d o co n
piedra de 4 pulgadas d e e sp eso r. Si las p a red e s del hueco
d el elev a d o r e stán hech as con m an ip o stería d e c o n c re to li­
gero sólido d e 4 p u lg ad as d e espesor, y tie n e n una a ltu ra de
10 pies, d eterm in e e l m o m en to m áx im o e n la viga A R . Ig­
nore el peso de los elem en to s.
H
8 pies
H
Hueco
del
pies
e le v a d o r
8 pies
D
M
L _ « Pi „ _ L 6 pies—I—6 pies—
P roh. 4 - 3 P
REPA SO D EL C A P IT U L O
Los elem entos estructurales som etidos a carg as planas
soportan una fuerza norm al interna N . una fu erza c o r­
lante V y un m om ento flexionante M. Para encontrar
estos v alores e n un punto específico de u n elem ento,
debe usarse el m éto d o d e las secciones. P ara ello e s ne­
cesario dibujar u n diagram a d e cu erp o libre de un seg ­
m ento del elem ento, y después aplicar las tres ecuaciones
de equilibrio. Siem pre m uestre las tre s cargas internas
sobre la sección e n sus direcciones positivas.
La fuerza c o rta n te y d e m o m en to p u e d e ex p resarse en
función d e x a lo largo d el e le m en to a l esta b le c er el
origen en u n p u n to fijo (n o rm alm e n te e n el ex trem o
izquierdo d el elem en to , p a ra d e sp u és u sa r el m éto d o
de las secciones, d o n d e se realiza la sección a u n a d is­
tan cia x desde e l o rig en ). P ara los e le m e n to s so m e ti­
d o s a cargas diversas d e b en e x te n d e rse d iferen tes
co ordenadas * en tre las cargas.
convención de signos posáivos
— x ,—
-x2■Xy
/
R e p a s o d e l c a p it u l o
1 7 9
l-o s d i a g r a m a s d e f u e r / a c o r t a n t e y d e m o m e n t o p a r a l o s e l e m e n t o s e s t r u c t u r a l e s p u e d e n d i b u j a r s e g r a f i c a n d o l a s f u n c i o ­
n e s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n t o . T a m b ié n p u e d e n d i b u j a r s e u s a n d o la s d o s r e l a c i o n e s g rá fic a s .
Jd L - v
dx
v
f x “ W {I)
t e n d i e n t e d e l d ia g r a m a 1 _ / I n t e n s id a d d e la
de fu e rz a c o rta n te /
te n d ie n te d e l d ia g r a m a /
\ c a rg a d is tr ib u id a
= { F u e r/a c o rta n te
de m o m e n to /
T e n g a e n c u e n t a q u e u n p u n t o d e f u e r z a c o r t a n t e c e r o lo c a liz a a l p u n t o d e m o m e n to m á x im o p u e s t o q u e V = d M / d x = 0.
4
A V = J w { x ) dx
C a m b io e n la 1 _
fu e r z a c o r t a n t e /
A M = J V ( x ) dx
Á r e a b a jo e l
C a m b io e n 1 _
d ia g r a m a d e
el m o m e n to /
c a rg a d is tr ib u id a
í Á r e a b a jo e l d ia g r a m a
\ d e f u e r z a c o r t a n te
U n a f u e r z a q u e a c t ú a h a c i a a b a j o s o b r e la v ig a l i a r á q u e e l d ia g r a m a d e f u e r z a c o r t a n t e s a l te h a c ia a b a jo , y u n m o m e n t o d e
p a r e n s e n t id o c o n t r a r i o a l d e la s m a n e c illa s d e l r e lo j h a r á q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n t o s a l t e h a c i a a b a jo .
P
Ml .
I
I
Ml
1
1)
M
!
-
=
ñ
=
■
VV
u
\r
IP
J
M,
V'*
M,
E m p l e a n d o e l m é t o d o d e s u p e r p o s i c i ó n , lo s d i a g r a m a s d e m o m e n t o p a r a u n e l e m e n t o p u e d e n r e p r e s e n t a r s e m e d i a n t e u n a
s e rie d e f o r m a s m á s s im p le s . I j i s f o r m a s r e p r e s e n t a n e l d ia g r a m a d e m o m e n t o p a r a c a d a u n a d e la s c a r g a s p o r s e p a r a d o .
E n to n c e s , e l d i a g r a m a d e m o m e n t o r e s u l t a n t e e s la s u m a a l g e b r a i c a d e l o s d i a g r a m a s s e p a r a d o s .
E s te p u e n t e d e a r c o p a r a b ó l i c o s o s t i e n e la c u b i e r t a q u e c o m u n i c a a m b o s e x t r e m o s .
Cables y arcos
A m e n u d o , lo s c a b le s y a rc o s c o n s titu y e n e l e le m e n t o p r in c ip a l p a ra
s o p o r ta r c a rg a s e n m u c h o s tip o s d e e s tru c tu ra s , y e n e s te c a p ít u lo se
a n a liz a rá n a lg u n o s d e lo s a s p e c to s m á s im p o r t a n t e s r e la c io n a d o s c o n
su a n á lis is e s tr u c tu r a l. El c a p ít u lo c o m ie n z a c o n u n e s tu d io g e n e r a l d e
lo s c a b le s , s e g u id o d e u n a n á lis is d e lo s c a b le s s o m e tid o s a u n a c a rg a
c o n c e n tra d a y a u n a c a rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a . C o m o la m a ­
y o ría d e lo s a rc o s s o n e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o s , s ó lo s e c o n s id e ­
rará e l c a s o e s p e c ia l d e u n a rc o c o n tr e s a rtic u la c io n e s . El a n á lis is d e
e s ta e s tru c tu ra a y u d a a u n a m e jo r c o m p re n s ió n d e l c o m p o r t a m ie n t o
fu n d a m e n ta l d e t o d a s las e s tru c tu ra s a rq u e a d a s .
5 .1
C a b le s
E n la s o b r a s d e in g e n ie r ía c o n f r e c u e n c ia s e u s a n lo s c a b le s p a r a s o p o r ­
ta r y tr a n s m itir c a rg a s d e u n e le m e n to a o t r o . C u a n d o se u tiliz a n p a ra
s o s te n e r te c h o s c o lg a n te s , p u e n te s c o lg a n te s y la s r u e d a s d e u n c a r r e tó n ,
lo s c a b le s r e p r e s e n ta n e l e le m e n to p rin c ip a l p a r a s o p o r ta r la s c a r g a s
s o b r e la e s tr u c tu r a . E n e l a n á lis is d e fu e r z a s d e e s to s s i s te m a s .s e p u e d e
p a s a r p o r a l t o e l p e s o d e l c a b le e n s í; s in e m b a r g o , c u a n d o lo s c a b le s se
u s a n c o m o te n s o r e s p a r a a n t e n a s d e r a d io , lín e a s d e tr a n s m is ió n e lé c tric a
o to r r e s d e p e r f o r a c ió n , e l p e s o d e l c a b le p u e d e lle g a r a s e r i m p o r t a n te y
d e b e in c lu irs e e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l. E n la s s ig u ie n te s s e c c io n e s se
te n d r á n e n c u e n ta d o s c a so s : u n c a b le s o m e ti d o a c a r g a s c o n c e n t r a d a s y
u n c a b le s u j e to a u n a c a rg a d is trib u id a . S ie m p r e q u e e s t a s c a r g a s s e a n c o p la n a r e s c o n e l c a b le , lo s r e q u is ito s p a r a e l e q u il ib r io s e f o r m u la n d e m a ­
n e ra id é n tic a .
1 8 2
C a p it u l o
5
C ables
y
a r c o s
O t a n d o s e o b t e n g a n la s re la c io n e s n e c e s a r ia s e n t r e la f u e r z a e n el
c a b le y s u p e n d ie n te , s e s u p o n d r á q u e e l c a b l e e s p e r fe c ta m e n te fl e x ib l e e
in e x te n s ib le . D e b id o a s u fle x ib ilid a d , e l c a b le n o o f r e c e r e s is t e n c ia a la
f u e r z a c o r t a n te o a la fle x ió n y, p o r lo ta n to , la f u e r z a q u e a c tú a e n el
c a b le s ie m p re e s ta n g e n te a é s te e n lo s p u n to s u b ic a d o s e n to d a s u lo n g i­
tu d . Si e s in e x te n s ib le , e l c a b le ti e n e u n a lo n g itu d c o n s ta n te , ta n t o a n te s
c o m o d e s p u é s d e a p lic a r la c a r g a . E n c o n s e c u e n c ia , u n a v e z q u e s e a p lic a
la c a r g a , la g e o m e tr ía d e l c a b le p e r m a n e c e fija y e l c a b le , o u n s e g m e n to
d e é s t e , p u e d e t r a ta r s e c o m o u n c u e r p o ríg id o .
5 .2
L a c u b ie rta d e u n p u e n te a tira n ta d o s e s o s ­
tie n e m e d ia n te u n a s e r ie d e c a b le s c o n e c ta ­
d o s e n v a r io s p u n t o s a lo la r g o d e l a c u b ie r ta
y lo s p ilo n e s .
C a b le s o m e tid o a ca rg a s
c o n c e n tra d a s
C u a n d o u n c a b le c u y o p e s o s e p u e d e p a s a r p o r a l t o s o p o r ta v a ria s c a rg a s
c o n c e n tra d a s , t i e n e la f o r m a d e v a rio s s e g m e n to s d e lí n e a r e c t a , c a d a u n o
d e lo s c u a le s e s t á s o m e ti d o a u n a f u e r z a d e te n s ió n c o n s ta n te . C o n s id e r e ,
p o r e je m p lo , e l c a b l e q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 5-1. A q u í 0 e s p e c ific a e l
á n g u lo d e l a c u e r d a d e l c a b le A B y L e s e l c la r o d e l c a b le . S i las d is ta n ­
c ia s L \ , L i y L 3 y la s c a r g a s P ( y P 2 s o n c o n o c id a s , e n to n c e s e l p r o b le m a
c o n s is te e n d e te r m i n a r la s n u e v e in c ó g n ita s d e q u e c o n sta b te n s ió n en
c a d a u n o d e lo s tr e s s e g m e n to s , la s c u a tr o c o m p o n e n t e s d e la r e a c c ió n
e n A y B , y la s fle c h a s y e y y o e n lo s d o s p u n to s C y D . P a ra la s o lu c ió n se
p u e d e n e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e r z a s e n c a d a u n o d e
lo s p u n to s A , B , C y D . E s to se tr a d u c e e n u n to ta l d e o c h o e c u a c io n e s.
P a ra c o m p l e ta r la s o l u c ió n .s e r á n e c e s a r io c o n o c e r a lg o a c e r c a d e la g e o ­
m e tr ía d e l c a b le a fin d e o b te n e r la n o v e n a e c u a c ió n n e c e sa ria. P o r e je m p lo ,
s i s e e s p e c ific a la lo n g itu d to ta l d e l c a b l e ££,e n to n c e s s e u s a e l te o r e m a
d e P itá g o ra s p a r a r e la c io n a r
c o n c a d a u n a d e la s tr e s lo n g itu d e s d e lo s
s e g m e n to s , e s c r ito e n té r m in o s d e 0, y ^ y n *
^ 2 y ¿ 3 - P o r d e s g r a c ia ,
e s t e tip o d e p ro b le m a s n o p u e d e re s o lv e rs e c o n fa c ilid a d m a n u a lm e n te . Sin
e m b a r g o , o t r a p o s ib ilid a d c o n s is te e n e s p e c if ic a r u n a d e la s fle c h a s , y c o
y D , e n v e z d e l a lo n g itu d d e l c a b le . D e e s t a m a n e r a , la s e c u a c i o n e s d e
e q u ilib r io s o n s u f ic ie n te s p a r a la o b te n c ió n d e la s fu e r z a s d e s c o n o c id a s y
la fle c h a r e s ta n te . U n a v ez q u e se o b ti e n e la fle c h a e n c a d a p u n to , f £
p u e d e d e te r m i n a r s e p o r tr ig o n o m e tr ía .
A l r e a l iz a r u n a n á lis is d e e q u ilib r io p a r a u n p r o b le m a d e e s t e ti p o , las
fu e r z a s e n e l c a b le ta m b ié n p u e d e n o b te n e r s e e s c r ib ie n d o la s e c u a c io n e s
d e e q u ilib r io p a r a to d o e l c a b le o c u a lq u ie r p o r c i ó n d e l m ism o . E l s i­
g u ie n te e je m p lo ilu s tra e s t o s c o n c e p to s e n fo r m a n u m é r ic a .
5 .2
C a b le s o m e tid o a c a rg a s c o n c e n tr a d a s
D e te r m in e la te n s ió n e n c a d a s e g m e n to d e l c a b le q u e s e m u e s tr a e n la
fig u ra 5-2<j. A d e m á s , ¿ c u á l e s e l v a lo r d e la d im e n s ió n h 'í
S O L U C IÓ N
R>r in s p e c c ió n , h a y c u a t r o r e a c c io n e s e x te r n a s d e s c o n o c id a s ( A x , A y ,
D x y D y ) y tr e s te n s io n e s d e s c o n o c id a s , u n a e n c a d a s e g m e n to d e l
c a b le . E s ta s s i e t e in c ó g n ita s , j u n t o c o n la fle c h a h p u e d e n d e t e r m i ­
n a rs e a p a r t i r d e la s o c h o e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d is p o n ib le s ( I . F , =
0 , 'ZFy = 0 ) a p lic a d a s a lo s p u n to s d e s d e A h a s ta D .
U n m é to d o m á s d ir e c to p a r a e n c o n tr a r la s o lu c ió n e s r e c o n o c e r q u e
la p e n d i e n t e d e l c a b l e C D e stá e s p e c i f i c a d a ; p o r e n d e , e n la fig u ra
5 -2 b se m u e s tr a u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e to d o e l c a b le . L a t e n ­
s ió n e n e l s e g m e n to C D p u e d e o b te n e r s e d e la s i g u ie n t e m a n e r a :
i + Z M Á = O.
T c d Í 3 / 5 ) ( 2 m ) + 7 c#)( 4 / 5 ) ( 5 .5 m ) - 3 k N ( 2 m ) - 8 k N ( 4 m ) = 0
T c d = 6 .7 9 k N
R esp .
A h o r a e s p o s ib le a n a li z a r d e m a n e r a s e c u e n d a l e l e q u ilib r io d e lo s
p u n to s C y D . P u n to C ( f i g u r a 5 -2 c);
<b)
y
X l F x = 0;
6 .7 9
+ 1
6 .7 9 k N ( 4 / 5 ) -
8 k N + 7 * - s e n 0 BC = 0
B fíc = 3 2 .3 °
T b c = 4 .8 2 k N
= 0;
kN ( 3 / 5 )
-
TBCe o s 0BC = 0
R esp .
(c)
y
P u n to B (fig u ra 5 -2 d):
X l F ,
0;
- T ñÁ e o s 0 BA + 4 .8 2 k N e o s 3 2 .3 ° = 0
+ TZFy
0;
T b a s e n 0 RA - 4.82 k N s e n 3 2 3 ° - 3 k N
0 BA = 5 3 .8 °
T b a = 6 .9 0 k N
R esp .
(d )
f ig u r a 5 - 2
ft> r l o t a n t o , c o n b a s e e n l a f i g u r a 5-2<i,
h = ( 2 m ) t a n 5 3 .8 ° = 2 .7 4 m
Resp.
1
8 3
1 8 4
C a p it u l o
5
C ables
y
a r c o s
5 .3
C a b le s o m e tid o a u n a ca rg a
u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a
L o s c a b le s p r o p o r c io n a n u n m e d io m u y e fic a z p a r a s o p o r ta r e l p e s o
m u e r to d e las tr a b e s o lo s a s d e p u e n te s c o n c la r o s m u y a m p lio s . U n
p u e n te c o lg a n te e s u n e je m p lo tf p i c o .e n e l q u e la c u b ie r ta e s t á s u s p e n ­
d id a d e l c a b le p o r m e d io d e u n a s e r ie d e s u je ta d o r e s c e r r a d o s e s p a c ia d o s
d e m a n e r a u n ifo rm e .
P a r a a n a li z a r e s te p r o b l e m a , p r i m e r o se d e te r m i n a r á la f o r m a d e u n
c a b le s o m e tid o a u n a c a rg a v e r tic a l iv 0 u n if o r m e m e n te d is tr ib u id a d e
m a n e r a h o r iz o n ta l, fig u ra 5 -3 a . A q u í, lo s e j e s x y y ti e n e n s u o r i g e n e n el
p u n to m á s b a jo d e l c a b le , d e m o d o q u e e n e s t e p u n t o la p e n d ie n t e e s
c e ro . E n la f ig u r a 5 -3 b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e u n s e g ­
m e n t o p e q u e ñ o d e l c a b le c o n u n a lo n g itu d A s .C o m o la f u e r z a d e te n s ió n
e n e l c a b le c a m b ia c o n tin u a m e n te , t a n t o e n m a g n itu d c o m o e n d ir e c c ió n
a to d o lo la r g o d e l c a b le , e s te c a m b io s e in d ic a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re c o n A T . L a c a r g a d is tr ib u id a se r e p r e s e n ta p o r m e d io d e s u f u e r z a
r e s u lta n t e u '0A z ,l a c u a l a c t ú a e n A x /2 d e s d e e l p u n t o O .
A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io s e o b ti e n e
X
+
Z F , = 0;
T'Z F y
= 0;
{ ,+ Z A /o = 0 ;
- T e o s 9 + ( 7 + A r ) c o s ( 0 + A 0) = 0
- T s e n 9 - w0( A x ) + { T + A 'F ) s e n ( 0 + A 0 ) =
0
»v0( A x ) ( A x / 2 ) - T e o s 9 A y + 7 s e n 0 A * = 0
Si s e d iv i d e c a d a u n a d e e s t a s e c u a c io n e s e n t r e A x y s e to m a e l lím ite
c u a n d o A x - * 0 y. p o r e n d e , c u a n d o A y - * 0 , A 0 - * 0 y A T — 0 . r e s u lta
d ( T e o s 9)
<b)
(5 -1 )
dx
fig u ra 5 -3
d ( T s e n 9)
wo
dx
(5 -2 )
(5 -3 )
dx
A l in t e g r a r la e c u a c ió n 5 -1 .d o n d e T = F „ e n x = 0, s e tie n e :
T eos 9 = F „
(5 -4 )
k> q u e in d ic a q u e l a c o m p o n e n t e h o r iz o n ta l d e la f u e r z a e n c u a lq u ie r
p u n t o a lo la r g o d e l c a b le s e m a n tie n e c o n sta n te.
Si s e i n t e g r a la e c u a c i ó n 5 -2 , t e n i e n d o e n c u e n t a q u e T s e n 0 = 0 e n
x = 0, r e s u lta
T s e n 9 = wqX
(5 -5 )
A l d iv id ir la e c u a c ió n 5 -5 e n tr e la e c u a c ió n 5 - 4 s e e lim in a T . L u e g o ,
u s a n d o la e c u a c ió n 5 -3 , e s p o s ib le o b t e n e r la p e n d ie n t e e n c u a lq u ie r
p u n to .
"o*
ta n 9
dx
Fu
(5 -6 )
5 .3
C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a
185
Si se in te g r a p o r s e g u n d a v e z c o n y = O e n x = O se o b tie n e
JVo_
(5 - 7 )
2F„
É s ta e s l a e c u a c ió n d e u n a p a r á b o la . L a c o n s t a n te
p u e d e o b te n e r s e
m e d ia n te e l u s o d e la c o n d ic ió n d e f r o n te r a y = h e n . t = ¿ . P o r lo ta n to .
w 0L~
H
(5 - 8 )
2h
F in a lm e n te , a l s u s titu ir e n la e c u a c ió n 5 -7 r e s u lta
y - 7
h
^
2
E l p u e n t e V c r r a / a n o - N a r r o w s e n la e n tr a d a
a l p u e rto d e N u e v a Y o rk c u e n ta c o n un
c l a r o p r in c ip a l d e 4 2 6 0 p ie s ( 1 . 3 0 k m ).
(5 - 9 )
D e la e c u a c ió n 5-4, la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le o c u r r e c u a n d o 0 c s m á ­
x im a ; e s d e d r , e n x = L . P o r lo ta n to , a p a r tir d e la s e c u a c io n e s 5 -4 y 5-5,
T . * = V F 2h + ( w 0L ) 2
(5 - 1 0 )
O b ie n , c o n b a s e e n la e c u a c ió n 5.8 e s p o s ib le e x p r e s a r Tm íx e n té r m i ­
n o s d e w o .es d e c ir .
m ix
»V0 / V i + ( L /2 J iY
(5 -U )
O b s e r v e q u e s e h a ig n o r a d o e l p e s o d e l c a b le , e l c u a l e s u n if o r m e e n
to d a la lo n g itu d d el c a b l e y n o a lo l a r g o d e s u p r o y e c c ió n h o r iz o n ta l. E n
re a lid a d , u n c a b le s o m e tid o a s u p r o p i o p e s o y lib re d e c u a le s q u ie r o tr a s
c a rg a s to m a r á la f o r m a d e u n a c u r v a c a te n a ria . S in e m b a r g o , s i la r e la ­
c ió n d e fle c h a s o b r e c la r o e s p e q u e ñ a , c o m o e n e l c a s o d e la m a y o r ía d e
las a p lic a c io n e s e s tr u c tu r a le s , e s t a c u rv a se a p r o x im a a u n a fo r m a p a ­
ra b ó lic a . c o m o s e d e te r m i n ó a q u í.
C o n b a s e e n lo s r e s u lta d o s d e e s t e a n á lis is , s e d e d u c e q u e u n c a b le
m a n te n d r á u n a f o r m a p a r a b ó lic a s ie m p re q u e la c a r g a m u e r ta d e l a c u ­
b ie r ta p a r a u n p u e n te c o lg a n te o u n a tr a b e d e s u s p e n s ió n s e d is tr ib u y a
u n ifo r m e m e n te e n to d a la lo n g i tu d p r o y e c t a d a h o r iz o n ta l d e l c a b le . P o r
lo ta n t o , s i la tr a b e d e l a fig u ra 5 -4 a se s o s tie n e m e d ia n te u n a s e r ie d e
g a n c h o s , q u e e s tá n c e r r a d o s y u n if o r m e m e n te e s p a c ia d o s , l a c a rg a e n
c a d a g a n c h o d e b e s e r la m is m a p a r a q u e p u e d a a s e g u r a r s e q u e e l c a b le
tie n e u n a f o r m a p a ra b ó lic a .
S i s e u s a e s t e s u p u e s to , e s p o s ib le r e a l iz a r e l a n á lis is e s tr u c tu r a l d e la
tr a b e o d e c u a lq u ie r o t r a e s t r u c t u r a q u e e s té s u s p e n d id a lib r e m e n te d e l
c a b le . E n p a r tic u la r , si la t r a b e e s tá s im p le m e n te a p o y a d a , a s í c o m o s o s ­
te n id a p o r e l c a b le , e l a n á lisis s e r á e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o d e p r i ­
m e r g r a d o , f ig u r a 5 - 4 6 .S in e m b a r g o , s i la t r a b e t i e n e u n p a s a d o r in te r n o
e n a lg ú n p u n t o in te r m e d io d e t o d a s u lo n g itu d , fig u ra 5 -4 c ,é s ta s e r ía u n a
c o n d ic ió n d e m o m e n to c e r o y. p o r lo t a n t o . s e r í a p o s ib le r e a l iz a r u n a n á ­
lisis e s t r u c tu r a l d e te r m i n a d o d e la tr a b e .
(c)
fig u ra 5 -4
1 8 6
C a p it u l o
E JE M P L O
5
C ables
y
a r c o s
5 .2
E l c a b le d e la fig u ra 5 - 5 a s o s tie n e u n a tr a b e q u e p e s a 8 5 0 I b /p ie . D e ­
te r m in e la te n s ió n e n e l c a b le e n lo s p u n to s A . B y C.
A
T
r
\
20
100 pies
x
(a)
(b)
F ig u ra 5 -5
S O L U C IÓ N
E l o r i g e n d e lo s e je s c o o r d e n a d o s s e e s ta b le c e e n e l p u n t o i* .e l p u n to
m á s b a jo d e l c a b le , d o n d e la p e n d ie n t e e s c e r o , fig u ra 5 -5 d . A p a r tir d e
la e c u a c i ó n 5 -7 , la e c u a c ió n p a r a b ó l ic a d e l c a b le es:
= _W q_
^
2i rF „
, _ 8 5 0 I b / p ie
^
, = 425
i2 rF „
r„
F
(!)
S u p o n ie n d o q u e e l p u n to C se e n c u e n t r a a . t ' d e B , s e ti e n e
2 0 - f , *
Fu
F „ = 212 5 x '2
A d e m á s ,p a r a e l p u n t o A ,
•40 - ^ [ - ( t ° 0
- x ') ! 2
425
x a + 200x ’ -
10000 = 0
a:' = 4 1 .4 2 p ie s
(2 )
5 .3
C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a
I\>r lo ta n t o , c o n b a s e e n las e c u a c io n e s 2 y 1 ( o la e c u a c i ó n 5 -6 ) se
tie n e
F u = 2 1 .2 5 (4 1 ,4 2 )2 = 36 4 5 9 .2 1 b
dy
850
dx
36 4 5 9 .2
x = 0 .0 2 3 3 l x
(3 )
E n e l p u n to A ,
x = - ( 1 0 0 - 4 1 .4 2 ) = - 5 8 .5 8 p ie s
dy
ta n 9 ^
r
x
0 .0 2 3 3 1 ( - 5 8 . 5 8 ) = - 1 .3 6 6
j — 5838
9 Á = - 5 3 .7 9 c
U s a n d o la e c u a c ió n 5 -4 ,
3 6 4 5 9 .2
c o s f l^
? fc
c o s ( - 5 3 .7 9 ° )
E n e l p u n t o B , x = 0,
d vy
= 0,
eB = o°
* -o
. 3 6 .5 k
e o s 6b
eos 0
E n e l p u n to C ,
x = 4 1 .4 2 p ie s
dy
t a n 0C = —
dx
0 .0 2 3 3 1 (4 1 .4 2 ) = 0 .9657
* = 4 1 .4 2
flc = 4 4 .0 :
T e m .r ! L .m * %
l m S 0 .l k
e o s 6C
eo s 4 4 .0 °
R esp.
187
1 8 8
C a p it u l o
E JE M P L O
5
C ables
y
a r c o s
5 .3
E l p u e n te c o lg a n te d e la fig u ra 5 -6 a x c o n s tr u y ó u s a n d o d o s a r m a d u ­
ra s d e rig id e z q u e e s t á n c o n e c ta d a s e n su s e x tr e m o s m e d ia n te u n p a ­
s a d o r e n C , y s e s o s tie n e n m e d ia n te u n p a s a d o r e n A y u n o s c ila d o r e n B .
D e te r m in e la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le I H . E l c a b le ti e n e u n a fo r m a
p a ra b ó lic a y e l p u e n te e s t á s o m e ti d o a u n a s o la c a rg a d e 5 0 kN .
H
/
(a)
fig u ra 5 -6
S O L U C IÓ N
E n la f ig u r a 5 -6 b se m u e s tr a e l d ia g r a m a d e c u e r p o l i b r e d e l s is te m a
c a b le - a r m a d u r a . D e a c u e r d o c o n l a e c u a c ió n 5 - 4 (7* e o s 9 = F „ ), la
c o m p o n e n te h o r iz o n ta l d e la te n s ió n d e l c a b le e n / y H d e b e s e r c o n s ­
ta n t e , F u . S i se to m a n lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a B , s e ti e n e
1 + 2 M b = 0;
—/ y(2 4 m ) -
A y{2 4 m ) + 5 0 k N ( 9 m ) = 0
l y + A y = 18.75
5 .3
C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n i f o r m e m e n t e d is t r ib u id a
(c)
Si s e c o n s id e r a s ó lo la m ita d d e la e s t r u c tu r a s u s p e n d id a , fig u ra 5 -6 c ,
e n to n c e s a l s u m a r lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l p a s a d o r e n C . s e o b ­
tie n e
i + 2 M c = 0.
F h { 14 m ) -
F „ {6 m ) -
/ y( 1 2 m ) -
¿ ,(1 2 m ) = 0
l y + A y = 0 .6 6 7 F h
A p a r t i r d e e s t a s d o s e c u a c io n e s .
18 .7 5 = 0 .6 6 7 F „
F h = 2 8 .125 k N
P a r a o b t e n e r la te n s ió n m á x im a e n e l c a b le s e u tiliz a rá la e c u a c ió n 5-11.
p e ro p r im e r o e s n e c e s a r io d e te r m i n a r , c o n b a s e e n la e c u a c ió n 5 -8 , e l
v a lo r d e u n a c a r g a vv,, q u e s e s u p o n e u n if o r m e m e n te d is tr ib u id a :
2 F „ h = 2 (2 8 .1 2 5 k N ) ( 8 m )
IV0 = — r r =
sT
1 = 3 .1 2 5 k N /m
L2 ~
(1 2 m)^
R>r lo ta n to , u s a n d o la e c u a c ió n 5 -1 1 . se ti e n e
T mix = w , L \ / 1 + ( L /2 H ) 2
= 3 .1 2 5 (1 2 m ) \ / l + (1 2 m / 2 ( 8 m ) ) 2
= 4 6 .9 k N
R esp .
189
1 9 0
C a p it u l o
5
C ables
y
a r c o s
PROBLEMAS
5 -1 .
D e t e r m i n e la t e n s i ó n e n c a d a s e g m e n t o d e l c a b l e y la
l o n g i t u d t o t a l d e é s te .
D e te r m in e la t e n s i ó n e n c a d a s e g m e n to d e c a b l e y la
d i s t a n c ia y D .
P ro b . 5 - 1
5 -2 .
5 -3 .
E l c a b l e A B C D s o p o r t a la c a r g a m o s tr a d a . D e t e r ­
m in e la t e n s ió n m á x i m a e n e l c a b l e y la f le c h a d e l p u n t o R .
P ro b . 5 -3
* 5 - 4 . E l c a b l e s o p o r t a la c a r g a m o s t r a d a . D e t e r m i n e la
d is ta n c ia x B.m e d i d a d e s d e A , a la a i a l a c t ú a la f u e r z a e n e l
p u n t o B . C o n s i d e r e q u e P = 4 0 Ib.
5 - 5 . E J c a b l e s o p o r t a la c a r g a m o s tr a d a . D e t e r m i n e la
m a g n itu d d e la f u e r z a h o r i z o n t a l P d e m a n e r a q u e x B = 6
p ie s .
P rob. 5 -2
P robs. 5-4Z5-5
5 .3
C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a
5-6. D eterm ine las fu e rz a s /*, y P , necesarias p a ra m a n te ­
n e r a l cable e n la posición in d ic a d a .e sd e c ir.d e m o d o q u e el
segm ento C D se m an teng a ho rizo n tal. T am bién e n c u e n tre
la carga m áxim a e n el cable.
5-7. El c a b le está so m etid o a la carga uniform e. Si la p en d ie n te d el c a b le e n el p u n to O e s igual a c e ro , d e te rm in e
la ecu ació n d e la curva y la fu e rz a e n e l c a b le e n lo s p u n to s
O y B.
191
•5 -8 . H cab le soporta la carg a uniform e de w’0 “ 600 Ib/pie.
D ete rm in e la ten sió n e n e l cab le e n cada so p o rte (ap o y o )
AyB.
5 -9 .
D eterm ine la te n sió n m áxim a y m ín im a e n el cable,
10
lO i
8 p ie s
o
J— ,
TTTTTT
I
15 p ie s
t
5 0 0 I b /p ie
15 p ie s
P rob. 5 -7
'1
n
1 6 k N /m
n
P ro b . 5 -9
1 9 2
C a p it u l o
5
C ables
y
a r c o s
5 -1 0 . D eterm in e la carg a u n ifo rm e w m áxim a, m e d id a en
Ib/pie, q u e p u ed e so p o rta r e l c a b le si e s cap az d e so ste n e r
una tensión m áxim a d e 3000 Ib antes d e rom perse.
5 -1 3 . I-as a rm a d u ra s e s tá n articu lad as y cuelgan d e l cable
parabólico. D eterm in e la fuerza m áxim a e n e l c a b le cu an d o
la e stru c tu ra se s o m e te a la carga q u e se m uestra.
5 -1 1 . E l cable e stá so m e tid o a u n a carga u n ifo rm e h1 =
250 Ib/pic. D eterm in e la te n sió n m áxim a y m ín im a e n el
cable.
Proh. 5 -1 3
5 -1 4 . D eterm in e la ten sió n m áxim a y m ínim a e n e l cable
parab ó lico y la fu erza e n c ad a uno d e los ganchos. La tra b e
está so m e tid a a una carga u n ifo rm e y se co n ecta m ed ian te
un p a sa d o r e n B.
5 -1 5 . D ib u je lo s d iagram as d e fu erza c o rta n te y d e m o­
m ento p a ra las tra b e s articu lad as A B y B C. E l cab le tiene
una fo rm a p arabólica.
*5-12. E l cable q u e se m u estra e n la fig u ra e stá som etido
a la carg a u niform e »v0. D eterm in e la relació n en tre la e le ­
vación h y e l claro / . q u e se trad u cirá e n el u so d e la can ti­
dad m ínim a d e m aterial p a ra el cable.
P roh. 5 -1 2
P r o b s . 5 — 14 /5 — 15
5 .3
C a b l e s o m e t i d o a u n a c a r g a u n if o r m e m e n t e d is t r ib u id a
*5-16. 1*1 c a b le se ro m p e rá cu an d o la ten sió n m áxim a al*
canee
= 5000 kN. D ete rm in e la c arg a u n ifo rm em en te
distribuida tv máxim a n ecesaria p a ra d e sarro lla r esta te n ­
sión m áxim a.
1 9 3
5-19. L as vigas A B y B C so so stien en m e d ian te el cable
q u e tiene una fo rm a p arabólica. D ete rm in e la ten sió n e n el
cable e n lo s p u n to s D , F y E, a s í com o la fu e rz a e n c a d a uno
d e lo s su jeta d o re s ig u alm en te espaciados.
5-17. E l cable e stá so m etid o a u n a c arg a u n ifo rm e d e w =
60 k N /m . D eterm in e la te n sió n m áxim a y m ínim a e n el
cable.
P robs. 5 -1 6 /5 -1 7
5-18. E l c a b le A B está so m etid o a una carga u n ifo rm e d e
200 N /m . Si se pasa p o r a lto el peso d e l cab le y los án g u lo s
d e la p e n d ien te e n lo s p u n to s A y B so n 3 0 y 60“. resp ectiv a­
m ente, d eterm in e la cu rv a q u e d e fin e la fo rm a d e l cab le y la
tensión m áxim a desarro llad a e n e l cable.
P rob. 5 -1 9
*5-20. D ibuje los d iagram as de co rta n te y d e m o m en to
pura las v ig as A B y B C. E l cab le tien e u n a fo rm a p arabólica,
1 9 4
C a p it u l o
5
C ables
y
a r c o s
5 .4
A rc o s
A l ig u a l q u e lo s c a b le s, lo s a rc o s p u e d e n u s a r s e p a r a r e d u c ir lo s m o m e n ­
to s d e fle x ió n e n la s e s t r u c tu r a s c o n c la r o s a m p lio s . E n e s e n c ia , u n a rc o
fu n c io n a c o m o u n c a b le in v e r tid o , p o r lo q u e g e n e r a l m e n t e re c ib e c a rg a
e n c o m p r e s ió n ; a u n q u e , d e b id o a s u r ig id e z . ta m b ié n d e b e re s is tir a lg u ­
n a s f u e r z a s d e fle x ió n y d e c o r t a n t e d e p e n d ie n d o d e c ó m o e s té c a r g a d o y
c u á l s e a s u f o r m a . E n p a r t i c u l a r , s i e l a r c o t i e n e u n a f o r m a p a r a b ó lic a
y se s o m e te a u n a c a r g a v e r t ic a l u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a d e m a n e r a
h o r iz o n ta l, e n to n c e s a p a r t i r d e l a n á lis is d e lo s c a b le s se d e d u c e q u e e l
a r c o s ó lo re sistirá fu e r z a s d e c o m p r e s ió n . E n e s ta s c o n d ic io n e s , la fo r m a
tra s d ó s
(o )
H cu ra 5 -7
^ a r c o s e c lc n o m in a a r c o fu n i c u la r , p o r q u e d e n t r o d e é l n o s e p r o d u c e n
fu e r z a s d e fle x ió n n i f u e r z a s c o r ta n te s .
E n la f ig u r a 5 -7 s e m u e s tr a u n a r c o típ ic o , q u e e s p e c if ic a a lg u n a d e la
n o m e n c l a tu r a q u e s e u s a p a r a d e f i n ir s u g e o m e t r í a . D e p e n d i e n d o d e
la a p lic a c ió n , p u e d e n s e le c c io n a r s e v a rio s tip o s d e a rc o s p a r a s o p o r t a r
u n a c a rg a . U n a rc o f i j o , fig u r a 5 - 8 a ,s u e le h a c e r s e d e c o n c r e t o re f o rz a d o .
A u n q u e s u c o n s tr u c c ió n p u e d e r e q u e r ir m e n o s m a t e r i a l q u e la d e o tr o s
tip o s d e a rc o s , d e b e te n e r p ila s d e c im e n ta c ió n só lid a s , p u e s t o q u e e s in ­
d e te r m i n a d o d e t e r c e r g r a d o y, e n c o n s e c u e n c ia , p u e d e n in tr o d u c ir s e
te n s io n e s a d ic io n a le s a l a r c o , d e b i d o a l a s e n t a m i e n to r e l a ti v o d e su s s o ­
p o rte s . U n a r c o d e d o s a r tic u la c io n e s , fig u ra 5 - S b ,s e h a c e c o m ú n m e n te
d e m e ta l o d e m a d e r a . E s in d e te r m in a d o d e p r i m e r g r a d o y. a u n q u e n o e s
t a n r íg id o c o m o u n a rc o fijo , e s a lg o in s e n s ib le a l a s e n ta m ie n to . E s ta e s ­
tr u c tu r a p o d r í a h a c e r s e e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a a l s u s tit u ir u n a d e las
a rtic u la c io n e s p o r u n ro d illo . S in e m b a r g o , a l h a c e r t e d e e s t a m a n e r a se
e lim in a la c a p a c id a d d e la e s t r u c t u r a p a r a r e s is t ir la fle x ió n a lo la r g o d e
s u c la r o y, p o r e n d e , s e r v ir ía c o m o u n a v ig a c u r v a y n o c o m o u n a rc o . U n
a r c o d e tr e s a r tic u la c io n e s , fig u ra 5 - 8 c ,q u e ta m b ié n s e h a c e d e m e t a l o d e
m a d e r a , e s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d o . A d if e r e n c ia d e lo s a r c o s e s t á t i ­
c a m e n te in d e te r m in a d o s , n o le a f e c ta n lo s c a m b io s e n e l a s e n t a m i e n to o
la te m p e r a t u r a . Ite r ú ltim o , s i se v a n a c o n s t r u ir a r c o s d e d o s y tr e s a r t ic u ­
la c io n e s s in r e q u e r ir g r a n d e s p ila s d e c im e n ta c ió n y s i e l e s p a c ia m ie n to
n o e s u n p r o b l e m a , e n to n c e s lo s s o p o r te s p u e d e n c o n e c ta r s e m e d ia n te
u n ti r a n t e , fig u ra 5 -8 d . U n a rc o a tir a n ta d o p e r m ite q u e la e s t r u c t u r a se
c o m p o r te c o m o u n a u n id a d ríg id a , p u e s t o q u e e l ti r a n t e s o p o r ta la c o m ­
p o n e n te h o r iz o n ta l d e l e m p u je e n lo s s o p o r t e s A d e m á s , ta m p o c o le
a fe c ta e l a s e n t a m i e n to re la tiv o d e lo s s o p o r te s .
5 .5
5 .5
A m o D E TRES AR TIC U LAC IO N ES
195
A rc o d e tr e s a rtic u la c io n e s
C b n el fin d e o b t e n e r u n a id e a d e la f o r m a e n q u e lo s a r c o s tr a n s m ite n
las c a rg a s , a c o n tin u a c ió n s e c o n s id e r a r á e l a n á lis is d e u n a r c o d e tr e s a r ­
ticu lacio n es, c o m o e l q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 5 -9 a . E n e s te c a so , la te rc e ­
ra a rtic u la c ió n s e e n c u e n t r a e n la c o r o n a y lo s s o p o r te s ( o a p o y o s ) e s tá n
a d if e r e n te s a ltu ra s . Si se d e s e a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s ,
e l a r c o d e b e d e s m o n ta r s e p a r a d e s p u é s h a c e r e l d ia g r a m a d e c u e rp o
lib re d e c a d a e le m e n to , c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 5 -9 b . A q u í h a y s e is
in c ó g n ita s p a r a las c u a le s h a y d is p o n ib le s s e is e c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
U n m é t o d o p a r a la s o lu c ió n d e e s te p r o b le m a c o n s is te e n a p li c a r la s
e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d e m o m e n to s r e s p e c to a lo s p u n to s A y B . L a
s o lu c ió n s i m u ltá n e a p r o d u c i r á la s r e a c c io n e s C , y Cy L u e g o , la s r e a c c i o ­
n e s e n lo s s o p o r te s s e d e te r m i n a n a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io
d e fu e rz a s. U n a v ez o b te n i d a s e s t a s r e a c c io n e s , e s p o s ib le d e t e r m i n a r la s
fu e r z a s n o r m a l y c o r t a n t e in te r n a s , a s í c o m o la s c a rg a s d e m o m e n to e n
c u a lq u ie r p u n t o d e l a r c o s ig u ie n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s . A q u í, p o r
s u p u e s to , la s e c c ió n s e d e b e t o m a r p e r p e n d i c u la r a l e je d e l a r c o e n el
p u n to c o n s id e ra d o . P o r e je m p lo , e n la fig u ra 5 - 9 c s e m u e s tr a e l d ia g r a m a
d e c u e r p o lib r e p a r a e l s e g m e n to A D .
l-os a r c o s d e tr e s a r tic u la c io n e s ta m b ié n p u e d e n t o m a r la f o r m a d e d o s
a r m a d u r a s a r t ic u l a d a s ,c a d a u n a d e la s c u a le s r e e m p la z a r ía a la s c o s tilla s
d e l a r c o A C y C R en la f ig u r a 5 -9 a . E l a n á lis is d e e s t a f o r m a s ig u e e l
m ism o p r o c e d i m i e n to d e s c r ito a n te r io r m e n te . L o s s ig u ie n te s e je m p lo s
ilu s tr a n e s to s c o n c e p to s e n fo r m a n u m é r ic a .
(a)
(b)
El arco de arm aduras de Ircs articulaciones
x utiliza p ara soportar una parte de la carga
del lecho de este edificio (a). E l acerca­
miento muestra que el arco está articulado
en su parte superior (b).
(a)
*i
i
Nn
Md
V„
A,
<b)
F ig u r a 5 - 9
r
B.
(O
1 9 6
C a p it u l o
5
C ables
y
a r c o s
E l p u e n t e d e a rc o c o n e n ju ta a b i e r t a y tr e s a rtic u la c io n e s , c o m o e l q u e
s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía tie n e u n a f o r m a p a r a b ó lic a . S i e s t e a r c o
d e b e s o p o r t a r u n a c a rg a u n if o r m e y ti e n e la s d im e n s io n e s in d ic a d a s
e n la fig u ra 5 -10 a ,d e m u e s t r e q u e el a rc o e s t á s o m e ti d o s ó lo a c o m p r e ­
s ió n a x ia l e n u n p u n t o in te r m e d io c o m o e l p u n to D . S u p o n g a q u e la
c a rg a s e tr a n s m ite u n if o r m e m e n te a la s c o stilla s d e l a rc o .
(a )
n g n r a 5 -1 0
S O L U C IÓ N
A q u í lo s a p o y o s ( s o p o r te s ) e s tá n a la m is m a a ltu r a . L o s d ia g r a m a s d e
c u e r p o lib r e d e to d o e l a r c o y d e la p a r t e R C se m u e s tr a n e n las fig u ­
ra s 5 -1 0 6 y 5 -1 0 c . A l a p li c a r las e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , se tie n e :
A r c o c o m p le to :
t+ S A f x = 0;
C ,(1 0 0 p ie s ) - 5 0 k (5 0 p ie s ) = 0
C , = 25 k
5 .5
A l K O D E TRES A R TIC U LA C IO N E S
1 9 7
S e g m e n to B C cfcl arc o :
t+ Z A ff l = 0;
- 2 5 k (2 5 p ie s ) + 25 k (5 ü p i e s ) - C , ( 2 5 p ie s ) = 0
C x = 25 k
X 2 F t = 0;
Bx = 2 5 k
+ T 2 F y = 0;
B y - 2 5 k + 25 k = 0
(c)
By = 0
U n a se c c ió n d e l a rc o to m a d a a tr a v é s d e l p u n t o D ,.x = 2 5 p ie s , y =
- 2 5 ( 2 5 ) 2/ ( 5 0 ) 2 = - 6 . 2 5 p i e s . s e m u e s tr a e n la fig u ra 5 -1 0 d . L a p e n ­
d ie n te d e l s e g m e n to e n D e s
dy
-5 0
= - 0 .5
x = 25 pira
e = - 2 6 .6 °
A l a p li c a r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ,f ig u r a 5 - l ü d , s e ti e n e
X
2 F , = 0;
+ ] 2 F y = 0;
t + S M o = 0;
25 k -
N „ e o s 2 6 .6 o -
V ^ s e n 2 6 .6 ° = 0
- 1 2 . 5 k + N D s e n 2 6 .6 ° -
V¡¡ e o s 2 6 .6 ° = 0
M d + 12.5 k (1 2 .5 p ie s ) - 2 5 k { 6 .2 5 p ie s ) = 0
N d = 2 8 .0 k
R esp .
Vn = 0
R esp .
M d = 0
R esp .
Nota: Si el arco tuviera una forma diferente o á la carga no fuera uniforme, entonces la
fu e ra cortante y el momento internos « ría n nulos. Además, si « usara una viga sim­
plemente apoyada para soportar la carga distribuida, tendría que resistir un momento
flcxionante máximo de M = 625 k • pie. Por comparación, es más eficiente resistir estmcturalmente la carga en compresión directa (aunque debe considerar» la posibili­
dad de pandeo) que resistir la carga debida a un momento flexionante.
5
1 9 8
C a p it u l o
E JE M P L O
5
C ables
y
a r c o s
5 .5
E l a rc o a ti r a n t a d o d e tr e s a r tic u la c io n e s e s tá s o m e ti d o a la c a rg a q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 5 -1 la . D e te r m in e la f u e r z a e n lo s e le m e n to s
C H y C B . E l e l e m e n t o G F , tr a z a d o c o n lín e a s d is c o n tin u a s e n la a r ­
m a d u r a , e s tá d e s t in a d o a n o s o p o r ta r f u e r z a a lg u n a .
(a)
<b)
Figura 5-11
S O L U C IÓ N
I-a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s p u e d e n o b te n e r s e d e u n d ia g r a m a d e
c u e r p o lib re d e to d o e l a r c o , fig u ra 5 -1 1 b:
Í + 2 M a = 0;
E y {1 2 m ) -
1 5 k N (3 m ) - 2 0 k N (6 m ) -
1 5 k N (9 m ) = 0
E y = 25 kN
^ Z F x = 0;
+ T 2 F y = 0;
>4, = 0
Ay -
15 k N - 2 0 k N -
15 k N + 2 5 k N = 0
A y = 25 kN
L a s c o m p o n e n t e s d e f u e r z a q u e a c tú a n e n la j u n t a C p u e d e n d e t e r ­
m in a rs e c o n s id e r a n d o e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la p a r t e iz ­
q u ie r d a d e l a r c o , fig u ra 5 -1 le . P r i m e r o .d e t e r m in e la fu e rz a :
25 k N
t+ Z M c = 0;
(c)
F a e ( 5 m ) - 2 5 k N ( 6 m ) + 15 k N ( 3 m ) = 0
F jip = 2 1 .0 k N
5 .5
A l C O D E TRES A R TIC U LA C IO N E S
1 9 9
E n to n c e s .
X
ZFX
=
0;
+ T 2 F V= 0;
-c,
+ 2 1 .0 k N = 0 ,
C , = 2 1 .0 k N
2 5 k N - 15 k N - 2 0 k N + C , = 0 .
C y = 10 k N
2 0 kN
P a r a o b t e n e r la s f u e r z a s e n C U y C B , p u e d e u s a r s e e l m é to d o d e las
ju n ta s d e l a s ig u ie n te m a n e r a :
G
Fot
J u n t a G ; fig u ra 5-1 I d ,
(d )
+ T 2 F ,- 0 ;
Fq c - 2 0 k N = 0
20 kN
Fc c = 2 0 k N ( C )
'" a
t a r F
í -
2 1 .0 k N
f
10 k N
J u n t a C ;f i g u r a 5-1 l e .
(c)
- i X F , = 0;
+ 1 S F y = 0;
Fcb( ^ )
- 2 1 .0 k N -
F c « (^ ) = 0
+ r c H ( ^ u ) - 2 0 k N + 10 k N = 0
ft>r lo ta n to .
F c b = 2 6 .9 k N (C )
R esp .
F c n = 4 .7 4 k N ( T )
R esp .
N o ra : E n o c a s io n e s , lo s a rc o s a tir a n ta d o s se
e m p le a n e n p u e n te s . A q u í la c u b ie r ta e s tá
« s i e n i d a p o r b a r r a s d e s u s p e n s ió n q u e
tr a n s m ite n s u c a r g a a l a rc o . L a c u b ie r ta e s tá
e n te n s ió n , d e m o d o q u e s o p o r ta e l e m p u je
re a l o la fu e rz a h o riz o n ta l e n lo s e x tr e m o s
d e l a rc o .
2 0 0
C a p it u l o
E JE M P L O
5
C ables
y
a r c o s
5 .6
E l a rc o d e a r m a d u r a d e tr e s a r tic u la c io n e s q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra
5 - 1 2 a s o p o r ta la c a r g a s im é tr ic a . D e te r m in e la a l t u r a h ¡ r e q u e r id a
p a ra la s ju n t a s R y D . d e m o d o q u e e l a rc o te n g a u n a f o r m a fu n ic u la r.
E l e l e m e n t o H G e s tá d e s t in a d o a n o s o p o r t a r f u e r / a a lg u n a .
S O L U C IÓ N
P a r a u n a c a rg a s i m é tr ic a , la fo r m a f u n ic u la r d e l a r c o d e b e s e r p a r a b ó ­
lic a c o m o lo in d ic a la lín e a d is c o n tin u a (f ig u ra 5 -1 2 6 ). A q u í d e b e m o s
e n c o n tr a r la e c u a c ió n q u e s e a ju s ta a e s t a f o r m a . Si lo s e j e s x y y tie ­
n e n s u o r ig e n e n C . la e c u a c i ó n e s d e la f o r m a y «
e x 2. P a r a o b t e n e r
la c o n s t a n te c . s e r e q u i e r e
- ( 1 5 p ie s ) = - c ( 2 0 p i e s ) 7
c = 0 .0 3 7 5 /p ie
P b r lo ta n t o .
(b)
y D = - ( Q 0 3 7 5 / p i e ) ( 1 0 p ie s ) 2 = - 3 . 7 5 p ie s
fig u ra 5 -1 2
A s í q u e a p a r t i r d e la f ig u r a 5 - 1 2 a,
h \ = 15 p ie s - 3.75 p ie s = 11.25 p ie s
R esp .
A p r o v e c h a n d o e s t e v a lo r , s i a h o r a s e a p lic a e l m é to d o d e lo s n u d o s a
la a r m a d u r a , lo s r e s u lta d o s m u e s tra n q u e l a c u e r d a d e la p a r t e s u p e ­
r i o r y t o d o s lo s e le m e n to s d e la d ia g o n a l s e r á n e le m e n to s d e fu e re a
c e ro , y la c a r g a s im é tr ic a s e r á s o p o r t a d a s ó l o p o r lo s e le m e n to s A B ,
B C , C D y D E d e la c u e r d a in fe r io r d e l a a r m a d u r a .
5 .5
A I C O D E TRES A R TIC U L A C IO N ES
2 0 1
PROBLEMAS
5-21. E l arco a tira n ta d o d e tre s articu lacio n es e stá so m e ­
tido a las cargas indicadas. D ete rm in e las c o m p o n e n te s de
la reacción e n A y C .a s í c o m o la ten sió n e n e l cable.
5-23. E l arco de e n ju ta c o n tre s articulaciones e stá so m e ­
tido a las cargas indicadas. D ete rm in e e l m o m en to in te rn o
e n el a rc o e n e l p u n to D.
P ro h . 5-21
P roh. 5 -2 3
5-22. D eterm ine las fu erzas re su ltan tes e n lo s p asad o res
A , B y C d c la a rm a d u ra de tech o a rq u e a d a y de tre s articu ­
laciones.
•5 -2 4 . E l a rc o a tira n ta d o d e tre s articu lacio n es e stá so m e ­
tido a las cargas indicadas. D ete rm in e las c o m p o n e n te s de
la reacción e n A y C .así co m o la ten sió n e n la barra.
P ro h . 5 -22
P roh. 5 -2 4
2 0 2
C a p it u l o
5
C ables
y
a r c o s
5 -2 5 . E l p u e n te e stá co n stru id o com o u n arco atirantado
de tres articulaciones. D eterm in e las com ponentes horizontal y vertical d e la reacció n e n las articulaciones (p asad o res)
A , R y C. E l e lem en to D E trazad o co n líneas d isco n tin u as
está d e stin a d o a n o so p o rta r fu e rz a alguna.
•5 -2 8 . E l a rc o d e e n ju ta d e tre s articu lacio n es e stá so m e­
tid o a la c arg a uniform e d e 2 0 k N /m . D ete rm in e e l m o­
m ento in te rn o e n e l a rc o e n e l p u n to D .
5 -2 6 . D eterm in e las a ltu ra s de d iserto h x, h j y h j d e la
cuerda inferior d e la arm ad u ra, d e m o d o q u e e l a rc o d e tres
articulaciones resp o n d a com o un arco funicular.
20 kN /m
Probs. 5 -2 5 /5 -2 6
P roh. 5-28
5 -2 7 . D eterm ine las com p o n en tes h o rizo n tal y v ertical de
la reacción e n lo s p u n to s A , B y C del a rc o d e tre s articu la­
ciones. S uponga q u e A . R y C e stá n co n e c ta d o s m e d ia n te un
pasador.
5 -2 9 . La e stru ctu ra a rq u e a d a está som etid a a la c arg a que
se m u estra e n la figura. D ete rm in e las co m p o n en tes h o ri­
zontal y v ertical d e la reacción e n A y D , así co m o la tensión
en la b a rra A D .
P roh. 5 -2 7
Proh. 5 -2 9
R e p a s o d e l c a p it u l o
2 0 3
REPA SO D E L C A P ÍT U L O
Los cables so p o rta n su s c arg as e n ten sió n s i se les co n sid era
p erfectam en te flexibles.
Si e l cable e stá so m e tid o a c arg as concentradas, e n to n c e s la
tu erza q u e a c tú a en c ad a seg m e n to de cab le se d ete rm in a
m ediante la aplicación d e las ecu acio n es de e q u ilib rio al
diagram a d e c u e rp o libre d e los g ru p o s de seg m en to s d e l
cable o a las ju n ta s d o n d e se aplican las fuerzas.
5
Si e l c a b le so p o rta una c arg a uniform e a lo largo d e una d is ­
tancia h o rizontal proyectada, e n to n c e s e l c a b le to m a la
form a de una parábola.
Los arcos e s tá n d ise ñ a d o s prim o rd ialm en te p ara so p o rta r
una fuerza d e com presión. P ara so p o rta r una carga u n ifo r­
m em en te d istribuida so b re s u proyección h o rizo n ta l se r e ­
q uiere u n a fo rm a parabólica.
I-os a rc o s d e tr e s articu lacio n es so n estática m e n te d e te rm i­
nad o s y p ueden an alizarse sep a ra n d o los d o s e le m e n to s
p a ra después aplicar las ecu acio n es d e eq u ilib rio a c ad a e le ­
m ento.
a rc o d e t r e s a rtic u la c io n e s
AJ d iseña r lo s e le m e n to s de e s te p u e n te d e b e n tenerse e n cuenta las cargas
m óviles causadas p o r los trenes. Las lineas de in fluen cia para los elem entos
fo rm a n p a rte im p o rta n te d e l análisis estructural.
Líneas de influencia
para estructuras
estáticamente
determ inadas
Las lín e a s d e in flu e n c ia tie n e n u n a a p lic a c ió n im p o r ta n te e n e l d is e ñ o
d e las e s tru c tu ra s q u e re s is te n g r a n d e s c a rg a s viv a s . E n e s te c a p ítu lo
se e s tu d ia rá c ó m o d i b u j a r la lín e a d e in flu e n c ia p a ra u n a e s tru c tu ra
e s tá tic a m e n te d e te r m in a d a . La t e o r ía s e a p lic a a e s tru c tu ra s q u e e s tá n
s o m e tid a s a u n a c a rg a d is tr ib u id a o a u n a s e rie d e fu e rz a s c o n c e n tra ­
d a s ; a s im is m o , s e p re s e n ta n a p lic a c io n e s e s p e c ífic a s p a ra v ig a s d e
p is o y v ig a s d e p u e n te . A l f in a l d e l c a p ítu lo s e a n a liz a n la d e te r m in a ­
c ió n d e la fu e rz a c o r ta n te v iv a y e l m o m e n to m á x im o s a b s o lu to s e n un
e le m e n to .
6 .1
Lín e a s d e in flu e n c ia
E n lo s c a p ítu lo s a n te r io r e s s e h a n d e s a r r o lla d o té c n ic a s p a r a e l a n á lis is
d e fu e r z a s e n lo s e le m e n to s e s tr u c tu r a le s d e b id a s a ca rg a s m u e r ta s o
fija s . S e h a d e m o s tr a d o q u e lo s é a g r a m a s d e f u e r z a c o r la n te y d e m o ­
m e n to r e p r e s e n ta n lo s m é to d o s m á s d e s c r ip tiv o s p a r a m o s t r a r l a v a r ia ­
c ió n d e e s t a s c a r g a s e n u n e le m e n to . S in e m b a r g o , s i u n a e s t r u c tu r a e s t á
s o m e tid a a u n a carg a v iv a o m ó v il,[ a v a ria c ió n d e la fu e rz a c o r t a n te y d e l
m o m e n to d e fle x ió n e n e l e le m e n to s e d e s c r ib e m e jo r u s a n d o l a lín e a d e
in flu e n c ia . U n a lín e a d e in f lu e n c ia r e p r e s e n ta la v a ria c ió n y a s e a d e la
re a c c ió n , d e la f u e r z a c o r t a n t e , d e l m o m e n to o d e la d e f le x ió n e n u n
p u n to e s p e c ific o d e u n e le m e n to , a m e d id a q u e u n a f u e r z a c o n c e n tr a d a
s e m u e v e a k) la r g o d e l e l e m e n t a D e s p u é s d e c o n s t r u ir e s ta l í n e a , e s p o ­
s ib le d e c ir d e u n v is ta z o d ó n d e d e b e c o lo c a r s e la c a r g a m ó v il s o b r e la e s ­
tr u c tu r a d e m o d o q u e c r e e la m a y o r in f lu e n c ia e n e l p u n to e s p e c ífic o .
A d e m á s , e n to n c e s p u e d e c a lc u la r s e la m a g n itu d d e la r e a c c ió n , la f u e r z a
c o r ta n te , e l m o m e n to o la d e f le x ió n a s o c ia d o s e n e l p u n t o a p a r t i r d e la s
o r d e n a d a s d e l d ia g r a m a d e l a lín e a d e in flu e n c ia . P o r e s t o la s lín e a s d e
in f lu e n c ia ju e g a n u n p a p e l i m p o r t a n te e n e l d is e rto d e p u e n te s , c a rr ile s
d e g r ú a s in d u s tria le s , t r a n s p o r t a d o r e s y o tr a s e s t r u c tu r a s d o n d e la s c a r ­
g a s s e m u e v e n a lo la r g o d e u n c la r o .
206
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
A u n q u e e l p r o c e d im ie n to p a r a c o n s t r u ir u n a lí n e a d e in f lu e n c ia e s b a s ­
ta n te b á s ic o , d e b e t e n e r s e c la r a la d fe r e n c ia e n tr e c o n s t r u ir u n a lí n e a d e
in f lu e n c ia y u n d ia g r a m a d e f u e r z a d e c o i t e o d e m o m e n to . L a s lín e a s
d e in f lu e n c ia r e p r e s e n ta n e l e f e c t o d e u n a ca rg a m ó v i l s ó lo e n u n p u m o
e s p e c ífic o d e u n e le m e n to , m ie n tr a s q u e lo s d ia g r a m a s d e f u e r a c o r t a n te
y d e m o m e n to r e p r e s e n ta n e l e f e c to d e la s ca rg a s f i j a s e n lo d o s lo s p u n ­
to s a lo la r g o d e l e j e d e l e le m e n to .
P ro c e d im ie n to de a n á lis is
Si se d e s e a c o n s t r u ir la lín e a d e in f lu e n c ia e n u n p u n t o P e s p e c ífic o d e u n e l e m e n t o p a r a
c u a lq u ie r fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r t a n te o m o m e n to ) p u e d e u s a r s e c u a lq u ie r a d e lo s
d o s p r o c e d im ie n to s s ig u ie n te s . E n a m b o s c a so s s e e le g irá la f u e r z a m ó v il q u e te n g a u n a
m a g n itu d s i n d im e n s io n e s d e u n id a d *
T a b u la c ió n d e v a lo r e s
•
C o lo q u e u n a c a r g a u n it a r i a e n v a r ia s u b ic a c io n e s , x , a lo la r g o d e l e le m e n to y e n c a d a
u b ic a c ió n u s e la e s t á tic a p a r a d e te r m i n a r e l v a lo r d e la fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r ­
ta n te o m o m e n to ) e n e l p u n to e sp e c ífic o .
•
Si s e d e s e a c o n s t r u ir la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a u n a f u e r z a d e r e a c c ió n v e rtic a l e n u n
p u n to s o b r e u n a v ig a , c o n s i d e r e q u e la r e a c c ió n s e r á p o s itiv a e n e l p u n t o d o n d e a c tú e
h a c ia a rrib a .
•
Si s e v a a d i b u j a r u n a lín e a d e in f lu e n c ia d e f u e r z a c o r t a n te o d e m o m e n to e n u n
p u n to , to m e la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n e l p u n to c o m o p o s itiv o s d e a c u e rd o
c o n la m ism a c o n v e n c ió n d e s ig n o s q u e s e e m p le a e n la e la b o r a c ió n d e lo s d ia g r a m a s
d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to . (V e a la fig u ra 4 -1 ).
•
Io d a s la s v ig a s e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a s te n d r á n lín e a s d e in f lu e n c ia q u e c o n s is te n
e n s e g m e n to s d e lín e a r e c t a . D e s p u é s d e a lg o d e p r á c tic a s e a d q u ie r e l a c a p a c i d a d d e
m in im iz a r lo s c á lc u lo s y u b ic a r la c a r g a u n it a r i a s ó l o e n lo s p u n to s q u e r e p r e s e n ta n lo s
p u n to s e x tr e m o s d e c a d a s e g m e n to d e lín e a .
•
P a r a e v it a r e r r o r e s , s e r e c o m ie n d a p r i m e r o c o n s t r u ir u n a ta b l a q u e c o n te n g a la s “c a r ­
g a s u n ita r ia s e n x " c o n t r a e l v a lo r c o r r e s p o n d ie n t e d e la fu n c ió n c a lc u la d o e n e l p u n to
e s p e c ífic o ; e s d e c ir , “ la r e a c c i ó n R ' \ “ l a f u e r z a c o r t a n t e V " o “ e l m o m e n to Af.” U n a v ez
q u e se h a c o lo c a d o la c a r g a e n v a rio s p u n to s a lo la r g o d e l c la r o d e l e l e m e n t o .e s p o s i­
b le g r a f ic a r lo s v a lo r e s ta b u la d o s y c o n s t r u ir lo s s e g m e n to s d e la lí n e a d e in flu e n c ia .
E c u a c io n e s d e las lín e a s d e in flu e n c ia
•
L a lín e a d e in flu e n c ia ta m b ié n se p u e d e c o n s tr u ir a l c o lo c a r la c a rg a u n ita r ia e n u n a
p o s ic ió n va ria b le x s o b r e e l e le m e n to p a r a d e s p u é s c a lc u la r e l v a lo r d e R . V o M e n el
p u n to e n fu n c ió n d e x . D e e s ta m a n e r a s e p u e d e n d e te r m in a r y r e p r e s e n ta r g r á f ic a ­
m e n te la s e c u a c io n e s d e lo s d if e r e n te s s e g m e n to s q u e c o m p o n e n la lín e a d e in flu e n c ia .
• L a r a t ó n d e e s t a e le c c ió n s e e x p lic a e n l a s e c c ió n 6 -2 .
6 .1
LIN E A S O E IN FLU E N C IA
2 0 7
6.1
EJEM PLO
C o n s t r u y a l a l í n e a d e i n f lu e n c i a p a r a l a r e a c c i ó n v e r ti c a l e n e l p u n t o A
d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 - l a .
• j?
10 p i e s —
I—
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo r e s . S e c o lo c a u n a c a r g a u n ita r ia s o b r e la v ig a
e n c a d a p u n t o x s e le c c io n a d o , y e l v a lo r d e A y s e c a lc u la s u m a n d o lo s
m o m e n to s r e s p e c to a R . P o r e je m p lo , c u a n d o x = 2 .5 p ie s y x = 5 p ie s ,
r e a la s fig u ra s 6-1 b y 6 - le , r e s p e c tiv a m e n te . I-os re s u lta d o s d e A y se
in tr o d u c e n e n la ta b l a .f i g u r a 6 - l d . A l g ra f íc a r e s t o s v a lo re s s e o b tie n e
bi lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n e n A ,f i g u r a 6 - le .
x -
(a)
Figura 6-1
2 5 p ie s
í
C + IM a -
\*>
- lO p ie s 0 ; - .4 ,( 1 0 ) +
I ( 7 .5 ) -
0
-10 p i e s C +
A ,~ 0 S
0 .7 5
(c)
(b )
I
0
25
5
15
10
-t"'
= 0 ; - A . (1 0 ) + 1 (5 )
-4 ,
1
0 .7 5
0 .5
0 .2 5
0
(d)
(e)
E cu ació n d e la lín e a d e in flu e n c ia . C u a n d o la c a r g a u n ita r ia s e c o b e a a u n a d is ta n c i a v a r i a b le x d e s d e A , f i g u r a 6 - 1 / , la r e a c c ió n A v en
fu n c ió n d e x p u e d e d e te r m in a r s e a p a r t i r d e
= O,
-y ty(10) + (10 - x ) ( l) = 0
¿y " 1 “ ii *
E s ta l í n e a s e t r a z a e n l a f i g u r a
6- le .
Jzüzü
r=
lO p ie s -
(0
2 0 8
C a p it u l o
E JE M P L O
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 .2
C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n v e rtic a l e n e l p u n to B
d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 a .
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo r e s . C o n b a s e e n la e s t á t i c a ,c o m p r u e b e q u e lo s
v a lo r e s p a r a la r e a c c ió n B y q u e a p a r e c e n e n la ta b l a , fig u ra 6 -2 6 , e s tá n
c a lc u la d o s c o r r e c ta m e n te p a r a c a d a p o s ic ió n x d e la c a rg a u n ita r ia . Al
g ra f ic a r lo s v a lo r e s s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia q u e s e m u e s tr a e n
la fig u ra 6 -2 c.
X
0
2S
5
0
0 .5
1
15
10
1.5
2
(b)
(c)
E c u a c ió n d e la lín e a d e in flu e n c ia . Si se a p lic a la e c u a c ió n d e m o ­
m e n to s r e s p e c to a A , e n l a fig u ra 6 -2 d ,
i+ S A /^ -O ;
« , ( 5 ) - l( x ) = 0
By = \x
L o a n te r io r s e g rá fic a e n l a f ig u r a 6 -2 c.
j~ f
^
.
5 m
5 m-
<d)
6 .1
LIN E A S 0 E IN FLU E N C IA
2 0 9
E JE M P L O
C o n s t r u y a la l í n e a d e i n f lu e n c i a p a r a l a f u e r z a c o r t a n t e e n e l p u n t o C
d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 -3 a.
tt
■ í-
C
pics-1
T a b u la c ió n d a v a lo r a s . E n c a d a p o s ic ió n x s e le c c io n a d a p a r a la
c a rg a u n it a r i a , s e a p lic a e l m é to d o d e la s s e c c io n e s p a r a c a lc u la r el
v a lo r d e V c . O b s e r v e e n e s p e c ia l q u e la c a r g a u n ita r ia d e b e c o lo c a rs e
ju s to a la iz q u ie rd a (x - 1 5 " ) y a la d e r e c h a ( * - 2 .5 * ) d e l p u n t o C
p u e s to q u e la fu e rz a c o r t a n t e e s d is c o n tin u a e n C . f ig u r a s 6-3¿* y 6 -3 c .
A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6 -3 d se o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n d a p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n C . fig u ra 6 -3 e.
25' ,
2 .5 *
n
,
[O
n
1
•
C
1 0 p ie s
1
025
0.75
0.25
+ T X F r -(* V 'c - - < X 2 5 j
v tc
(a)
Figura 6 -3
V'c
0
0
2 5 ' -0 .2 5
0.75
25*
5
0.5
75
0.25
10
0
<d)
+ t X f ,- 0 ; V c - 0 .7 5 |
0 .2 5
0.25
(b)
(c )
E cu a cio n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia . A q u í d e b e n d e te r m in a r s e
d o s e c u a c io n e s p u e s t o q u e h a y d o s s e g m e n to s e n la lí n e a d e in flu e n d a . d e b i d o a la d is c o n tin u id a d d e la f u e r z a c o r t a n te e n C . f ig u r a 6 -3f
E s ta s e c u a c io n e s s e g r a f ic a n e n la f ig u r a 6 -3 e.
i
10 p ie s -
X
1 1
1 P' CS
0.75
Mc
R
25
S O L U C IÓ N
M
~* M
‘ *d :
,
i) ( í
2 5 pies
Vc
{ £ - \ V 0 S I<
í4*= I
(0
K nca d e in f lu e n c ia p a r a V c
(e)
J 2 5 p i c s < x s 1 0 pies
2 1 0
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
EJEM PLO
C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a l a f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o C
d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -4 a .
S O L U C IÓ N
8
-— 4 m — . -
4 l
44 m
m—
(a)
T a b u la c ió n d e v a lo re s . C o n b a s e e n la e s tá tic a y e l m é t o d o d e la s
s e c c io n e s , c o m p r u e b e q u e lo s v a lo r e s d e la f u e r e a c o r t a n t e V c e n el
p u n to C d e la fig u ra 6 - 4 6 c o r r e s p o n d e n a c a d a p o s ic ió n x d e la c a rg a
u n ita r ia s o b r e la v ig a . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6 -4 6 se o b ­
tie n e la lín e a d e in f lu e n c ia e n la fig u ra 6 -4 c.
Figura 6 -4
r vc - \ - ± x
0.5 .
12
X
0
4”
4*
8
12
-0 .5
0
-0 5
05
0
-0 5
- 0 .5
linca de influencia para Vc
<c)
(b)
E c u a c io n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia .
co m p ru eb e q u e
V c = ~ \x
A p a r t i r d e la fig u ra 6 -4 d ,
ü s i < 4 m
Vc = 1 ~ kx
4 m < r
E s ta s e c u a c io n e s s e g r a f ic a n e n la fig u ra 6 -4 c .
X~ \
U
F *
A ,- 1 - i ,
Mc-
)
—
E
h
l
t
M ,- 1 - i- x
(d)
s l 2 m
6 .1
211
LIN E A S 0 £ INFLU EN C IA
C o n s t r u y a la l ín e a d e i n f lu e n c i a p a r a e l m o m e n t o e n e l p u n t o C 'd e l a
v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a f i g u r a 6 - 5 a .
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo r e s . F,n c a d a p o s ic ió n s e le c c io n a d a p a r a la
c a rg a u n ita r ia , e l v a lo r d e M c se c a lc u la m e d ia n te e l m é to d o d e la s
se c c io n e s. P o r e je m p lo , v e a la fig u ra 6 - 5 b p a r a x = 2 .5 p ie s . A l g ra f ic a r
b s v a lo r e s d e la fig u ra 6 - 5 c s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l
m o m e n to e n C , fig u ra 6 -5 d.
2 .5
p ie s
f
i
Mc
X
0 .7 5
&
7 .5
10
0
5 p ie s
(ft
^
5 - l x
0
0
2 . 5 1 .2 5
025
Mc
M c -\x
M c
J t* ZM C -
0; - M c + 0 2 5 (5 ) Wc -
5
0
(d )
(c )
1 .2 5
10
I n c a d e in flu e n c ia p a ra M (-
025
fl>)
E cu a cio n e s d e la lin e a d e in flu e n c ia . L o s d o s s e g m e n to s q u e f o r ­
m a n la lín e a d e in f lu e n c ia p u e d e n d e te r m in a r s e e m p l e a n d o 2 M c = 0
ju n to c o n e l m é to d o d e las s e c c io n e s q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -5 e .
A l g r a f ic a r e s t a s e c u a c i o n e s se o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 6 -5 d.
M c + 1(5 - x ) - ( l - ^ * > 5 = 0
{ ,+ 2 M c = 0 ;
Mc = \x
j,+ 2 A f c = 0 ;
M c = 5 - \x
0 s r < 5 p ie s
■
i
5 p ie s
X
Mc
-I
¿
M r
F= i
I)
Vc
[—
(e)
5 p ie s —
M c - ( l - i¡ x )5 = 0
Ve
V
t
5 p i e s < x £ 10 p ie s
2 1 2
C a p itu lo
6
L In e a s
de
in flu e n c ia
p a ra
e s tru c tu ra s
e s tá tic a m e n te
d e te rm in a d a s
E JE M P L O
C o n s tr u y a la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n e l p u n t o C d e la
v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -6 a.
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo re s . U se la e s t á tic a y e l m é to d o d e la s s e c c io n e s
p a ra v e rific a r q u e lo s v a lo r e s d e l m o m e n to M c e n e l p u n t o C d e l a fi­
g u r a 6 -6 b c o r r e s p o n d e n a c a d a p o s ic ió n .t d e la c a rg a u n ita r ia . A l g r a fic a r lo s v a lo r e s d e la fig u ra 6-6¿> s e o b tie n e la lín e a d e in f lu e n c ia d e la
fig u ra 6-6c.
Mc
0
2
0
-2
<b)
E c u a c io n e s d e la lín e a d e in flu e n c ia .
C o n b a s e e n la fig u ra 6 -6 d
co m p ru eb e q u e
M c = \x
M C " 4 - \x
0 s j < 4 m
4m < r s
I2 m
E s ta s e c u a c io n e s s e g ra f ic a n e n la fig u ra 6 -6 c.
I
h ~ l , "c
h '- '1
\ ------ - ' 1
' f ----------\-* — \
I— 1” — |V t
Ar - l - ± x
0 £ * <4m
Mc
)
|
4m <
i s 12 m
□
I) (í
A,= 1 - - J x
(d)
6 .2
6 .2
Lí n e a s d e i n f l u e n c i a p a r a v i g a s
2 1 3
Lín e a s d e ¡n flu e n d a p a ra v ig a s
D a d o q u e la s vigas ( o tr a b e s ) c o n s titu y e n lo s e le m e n to s p r in c ip a le s p a ra
s o p o r ta r c a r g a s e n u n s is te m a d e p is o o e n la c u b ie r ta d e u n p u e n te , p o r
e llo e s im p o r ta n te t e n e r la c a p a c id a d d e c o n s t r u ir la s lín e a s d e in f lu e n c ia
p a ra la s r e a c c io n e s , la f u e r z a c o r ta n te o e l m o m e n to e n c u a lq u ie r p u n to
e s p e c ífic o d e u n a v ig a .
C a r g a s . U n a v e z q u e s e h a c o n s t r u id o la lín e a d e in f lu e n c ia p a ra u n a
f u n d ó n ( r e a c d ó n , f u e iz a c o r t a n te o m o m e n to ) , s e p o d r á n c o lo c a r la s
c a r g a s v iv a s s o b r e la v ig a p a r a p r o d u c i r e l v a lo r m á x im o d e la f u n c ió n .
A c o n tin u a c ió n se c o n s id e r a r á n d o s tip o s d e carg as.
F u e r z a c o n c e n t r a d a . D a d o q u e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e u n a f u n ­
c ió n p a r a u n a lín e a d e in f lu e n c ia se d e t e r m i n a n m e d ia n te u n a c a rg a u n i ­
ta r ia s in d im e n s io n e s , e n to n c e s p a r a c u a lq u i e r f u e r / a c o n c e n t r a d a F q u e
a c tú a s o b r e la v ig a e n c u a lq u ie r p o s ic ió n x , e l v a lo r d e la fu n c i ó n p u e d e
e n c o n tr a r s e a l m u ltip lic a r la o r d e n a d a d e la lín e a d e in flu e n c ia e n la p o s i­
c ió n x p o r b m a g n itu d d e F. P b r e je m p lo , c o n s i d e r e la lín e a d e in f lu e n c ia
p a ra la r e a c c ió n e n e l p u n t o A d e la v ig a A B q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra
6-7. S i la carg a u n ita r ia e s tá e n x = $ L .la r e a c c ió n e n A e s A y = j c o m o lo
in d ic a la lín e a d e in f lu e n d a . P o r lo ta n to , s i la f u e r z a F h s e e n c u e n t r a e n
e s te m is m o p u n to , la r e a c c ió n e s A y = ( J ) ( F ) Ib. P o r s u p u e s to , e s t e m ism o
v a lo r ta m b ié n p u e d e d e te r m in a r e e p o r la e s tá tic a . O b v ia m e n te , la i n ­
flu e n c ia m á x i m a c a u s a d a p o r F s e p r o d u c e a l c o lo c a r la s o b r e l a v ig a e n la
m ism a u b ic a d ó n q u e e l p ic o d e la lín e a d e in f lu e n d a ; e n e s te c a s o e n x = 0 ,
d o n d e la r e a c c ió n s e r í a A y = ( 1 ) ( /- ) Ib.
C a r g a u n i f o r m e . C o n s id e r e u n a p a r t e d e u n a v ig a s o m e ti d a a u n a
c a rg a u n if o r m e w0, fig u ra 6-8. C o m o se m u e s tr a e n la G g u ra , c a d a s e g ­
m e n t o d x d e e s t a c a rg a c r e a u n a f u e r z a c o n c e n tr a d a d e d F = w 0 d x s o b r e
la v ig a . S i d V se e n c u e n t r a e n x , d o n d e la o r d e n a d a d e la lín e a d e in f lu e n ­
cia d e la v ig a p a r a a lg u n a fu n c ió n ( r e a c c ió n , f u e r z a c o r t a n te o m o m e n to )
e s y , e n to n c e s e l v a lo r d e la fu n c ió n e s (d F ) ( y ) = ( w 0 d x ) y . E l e f e c to d e
to d a s la s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s d F s e d e te r m i n a a l in te g r a r s e p o r to d a la
lo n g itu d d e la v ig a , e s d e c i r . f w 0y d x = w0f y d x . A d e m á s , c o m o f y d x
e q u iv a le n a l á r e a b a jo la lín e a d e in f lu e n c ia ;e n to n c e s , e n g e n e r a l , t i v a lo r
d e u n a fu n c i ó n c a u s a d a p o r u n a c a rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a e s s ó lo
e l á r e a b a jo la lín e a d e in flu e n c ia p a r a la fu n c i ó n m u ltip lic a d a p o r la in ­
te n s id a d d e b ca rg a u n ifo r m e . P o r e je m p lo , e n e l c a s o d e la v ig a c a rg a d a
u n if o r m e m e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -9 . la r e a c c ió n A ,, p u e d e d e ­
te r m in a r s e a p a r t i r d e la lín e a d e in f lu e n c ia c o m o A y = ( á r e a ) ( w 0) = Q
( l ) ( L ) J w 0 = \ wqL . ? ov s u p u e s to ,e s t e v a lo r ta m b ié n p u e d e d e te r m i n a r s e
c o n b a s e e n la e s tá tic a .
"o
lin e a d e in f l u e n c i a p a r a
A,
- 1 1 - *
lín e a d e i n f l u e n d a p a r a la f u n d ó n
F ig u ra 6 - 8
2 1 4
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n t e p o s itiv a m á x im a q u e s e p u e d e d e s a r r o ­
lla r e n e l p u n to C d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 - 1 0 a d e b id o
a u n a c a r g a m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 Ib y u n a c a r g a m ó v il u n if o rm e
d e 2 0 0 0 lb /p ie.
(a)
fig u ra 6 -1 0
Inca de influencia para Vc
<b)
S O L U C IÓ N
E n e l e je m p lo 6 -3 s e e s ta b le c ió la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la fu e rz a
c o r ta n te e n C , la c u a l s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -1 0 6 .
F u e rz a c o n c e n tr a d a . L a f u e r z a c o r t a n te p o s itiv a m á x im a e n C se
p ro d u c e c u a n d o la f u e r z a d e 4 0 0 0 Ib s e u b ic a e n ,t = 2 .5 * p ies, p u e s t o
q u e e s e l p ic o p o s itiv o d e la lín e a d e in f lu e n c ia . L a o r d e n a d a d e e s te
p ic o e s + 0 .7 5 ; d e m o d o q u e
V c = 0 .7 5 (4 0 0 0 Ib ) = 3 0 0 0 Ib
C a rg a u n ifo r m e . L a c a rg a m ó v il u n ifo rm e c r e a la in f lu e n c ia p o s itiv a
m á x im a p a r a V c c u a n d o la c a rg a a c tú a s o b r e la v ig a e n t r e x = 2 .5 * p ies
y x = 10 p ie s , p u e s to q u e d e n tr o d e e s ta re g ió n la lín e a d e in flu e n c ia
tie n e u n á r e a p o s itiv a . 1.a m a g n itu d d e V c d e b id a a e s t a c a rg a e s
V c = [ K 10 P ie s ~ 2 .5 p i e s ) ( 0 .7 5 ) ¡2 0 0 0 I b / p ie s = 5 6 2 5 Ib
F u e rz a c o r t a n te m á x im a t o t a l e n C.
(V’c)m íx = 3 0 0 0 Ib + 5 6 2 5 Ib = 8 6 2 5 Ib
Resp.
T e n g a e n c u e n ta q u e u n a v e z q u e s e h a n e s ta b le c id o la s p o s ic io n e s
d e la s c a r g a s e m p l e a n d o la lín e a d e in f lu e n c ia , f ig u r a 6 - 1 0 c ,e s te v a lo r
( V c)máx ta m b ié n p u e d e d e te r m i n a r s e u s a n d o l a e s t á tic a y e l m é to d o
d e las se c c io n e s. D e m u e s tr e q u e a s í es.
6.2
E JE M P L O
LINEAS DE IN F L U E N C IA
PARA
V.GAS
6 .8
L a e s t r u c tu r a d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - l i a se u tiliz a
p a ra s o s te n e r u n a g r ú a q u e tr a n s f ie r e c a r g a s d e s tin a d a s a a lm a c e n a ­
m ie n to e n p u n to s q u e s e e n c u e n t r a n p o r d e b a jo d e e lla . S e p re v é q u e
ta c a rg a e n la p la ta f o r m a r o d a n te s e a d e 3 k N y q u e la v ig a C B te n g a
u n a m a s a d e 2 4 k g /m . S u p o n g a q u e e l ta m a ñ o d e la p la ta f o r m a r o ­
d a n te p u e d e p a s a r s e p o r a lto y q u e p u e d e v ia ja r a to d o lo la r g o d e la
viga. A d e m á s , s u p o n g a q u e A e s tá a r tic u la d o y q u e R e s u n ro d illo .
D e te r m in e la s r e a c c io n e s v e rtic a le s m á x im a s e n lo s s o p o r te s (a p o y o s )
e n A y B y e l m o m e n to m á x im o e n l a v ig a e n D .
S O L U C IÓ N
R e a cció n m á x im a e n A . E n p r im e r lu g a r se t r a z a la lín e a d e in ­
flu e n c ia p a r a A y, f ig u r a 6 -1 1 6 . E n e s p e c ífic o , c u a n d o u n a c a rg a u n it a ­
ria e s t á e n A la r e a c c ió n e n A e s 1 c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a . La
o r d e n a d a e n C e s 1 .3 3 . A q u í e l v a lo r m á x i m o d e A v o c u r r e c u a n d o
la p la ta f o r m a r o d a n t e s e e n c u e n t r a e n C .C o m o l a c a r g a m u e r ta ( p e s o
d e l a v ig a ) d e b e c o lo c a rs e e n to d a la lo n g itu d d e la v ig a , s e tie n e .
H nca d e in flu e n c ia p a r a A y
(b)
( A y U , = 3 0 0 0 (1 .3 3 ) + 2 4 ( 9 .8 1 ) [ J ( 4 ) ( 1 J 3 ) ]
= 4 .6 3 k N
R esp .
R e a cció n m á x im a e n B . L a lín e a d e in f lu e n c ia ( o v ig a ) to m a la
fo rm a q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -1 l e . I x s v a lo r e s e n C y R se d e t e r ­
m in a n c o n b a s e e n la e s tá tic a . A q u í, la p la ta f o r m a r o d a n te d e b e e s t a r
e n R . P o r lo ta n t o .
( f l,u
lin e a d e in flu e n c ia p a r a B ,
(c)
= 3 0 0 0 (1 ) + 2 4 (9 .8 1 ) [ 1 ( 3 ) ( 1 ) ] + 2 4 (9 .8 1 ) [ } ( !)(■ -0 .3 3 3 ) ]
= 3.31 k N
R esp .
M o m e n to m á x im o e n D . L a lí n e a d e in f lu e n c ia ti e n e l a fo r m a q u e
s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -1 I d . L o s v a lo r e s e n C y D se d e t e r m i n a n a
p a r t i r d e la e s tá tic a . E n e s t e c a s o .
lin c a d e in f lu e n c ia p a r a M p
(M » U
= 3 0 0 0 (0 .7 5 ) + 2 4 ( 9 . 8 1 ) [ ! ( l ) ( - 0 . 5 ) ] + 2 4 (9 .8 1 ) [j( 3 )(0 .7 5 )]
= 2 .4 6 k N • m
R esp .
<d)
Figura 6-11
2 15
2 1 6
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
6 .3
(«>
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
Líneas d e in flu e n c ia c u a lita tiv a
E n 1886, H e in r ic h M ü lle r- B r e s la u d e s a r r o lló u n a té c n ic a p a r a c o n s t r u ir
c o n r a p id e z la f o r m a d e u n a lí n e a d e in f lu e n c ia . E s te m é t o d o c o n o c id o
c o m o e l p r in c ip io d e M U ller-fíresIa u , e sta b le c e q u e la lín e a d e in flu e n c ia
p a r a u n a fu n c i ó n (re a c c ió n , f u e r z a c o r ta n te o m o m e n t o ) e s tá a la m is m a
e sc a la q u e la fo r m a a lte r a d a d e la v ig a c u a n d o s o b r e ésta a c tú a la f u n c i ó n .
P a r a d ib u j a r a p r o p i a d a m e n t e la f o r m a a lt e r a d a , d e b e r e m o v e r s e la c a p a ­
c id a d d e la v ig a p a r a re s is tir la fu n c ió n d e m o d o q u e l a v ig a p u e d a d e f o r ­
m a r s e a l a p lic a r la fu n c ió n . P o r e je m p lo , c o n s i d e r e la v ig a d e la fig u ra
6 - 1 2 a. Si d e b e d e te r m in a r s e la f o r m a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la
re a c ció n v e r tic a l e n A .p r i m e r o s e s u s titu y e e l p a s a d o r p o r u n a g u ía d e r o ­
d illo s c o m o se m u e s tr a e n la fig u ra 6 -1 2 6 . S e r e q u i e r e u n a g u ía d e r o d i ­
llo s p u e s to q u e la v ig a to d a v ía d e b e r á re s is tir u n a f u e r z a h o r iz o n ta l e n A ,
p e r o n in g u n a f u e r z a vertical. C u a n d o la f u e r z a p o s itiv a ( h a c ia a r r ib a ) A
s e a p lic a e n A , l a v ig a s e d e f o r m a h a s t a la p o s ic ió n m a r c a d a c o n lín e a s
d is c o n tin u a s ,* lo q u e r e p r e s e n ta la f o r m a g e n e ra l d e la lí n e a d e in f lu e n ­
c ia p a r a A y, fig u ra 6 -1 2 c . ( L o s v a lo r e s n u m é r ic o s p a r a e s t e c a s o e s p e c í­
fic o y a se c a lc u la r o n e n e l e je m p lo 6 -1 .) S i d e b e d e te r m in a r s e la f o r m a d e
la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f i e n a c o r ta n te e n C , fig u ra 6 -1 3 a , la c o n e ­
x ió n e n C p u e d e s im b o liz a rs e m e d ia n te u n a g u ía d e r o d illo s c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 6 -1 3 6 . E s te d is p o s itiv o re s is tirá u n m o m e n to y u n a
f u e r z a a x ia l, p e r o n in g u n a f u e r z a c o r ta n te . ' A l a p li c a r u n a f u e r z a c o r ­
ta n t e p o s itiv a V c a la v ig a e n C y a l p e r m it ir q u e la v ig a s e d e f o r m e h a s ta
la p o s ic ió n in d ic a d a c o n lín e a s d is c o n tin u a s , s e e n c u e n t r a la f o r m a d e la
lín e a d e in f lu e n c ia , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 13c. P o r ú ltim o , s i
d e b e d e te r m in a rs e la fo r m a d e la lín e a d e in flu e n c ia p a ra e l m o m e n to e n C,
fig u ra 6 - 1 4 a, se c o lo c a u n a b is a g ra o p a s a d o r in t e r n o e n C . p u e s t o q u e
e s t a c o n e x ió n r e s is tir á fu e r z a s a x ia le s y c o r ta n te s , p e r o n o p u e d e re sistir
u n m o m e n t o , f ig u r a 6 -1 4 6 . A l a p li c a r lo s m o m e n to s p o s itiv o s M c a la
v ig a , é s t a s e d e f o r m a h a s t a l a p o s ic ió n in d ic a d a c o n lín e a s d is c o n tin u a s ,
q u e e s la f o r m a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , fig u ra 6 -1 4 c.
1.a c o m p r o b a c ió n d e l p r in c ip io d e M ü lle r- B r e s la u p u e d e e s ta b le c e r s e
m e d ia n te e l p r in c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l. R e c u e r d e q u e e l tr a b a jo e s el
3
3
• A lo la r g o d e l a n á lis is to d a s la s p o s ic io n e s a lte r a d a s s e d ib u ja n a u n a e s c a la e x a g e r a d a
d i s e c o d e la i r a b e d e e s t e p u e n t e s e b a s a
la s lin c a s d e in f l u e n c ia q u e d e b i e r o n
8
n s tru irs c p a r a la c a rg a d e l tre n .
p a r a ilu s tr a r e l c o n c e p t a
t A q u i l o s r o d illo s s im b o liz a n los a p o y o s q u e s o p o r ta n c arg as, t a n t o e n te n s ió n c o m o e n
c o m p re s ió n , v e a la t a b l a 2- 1 , s o p o r te (2 ).
6 .3
LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA
C
(a)
<■>
f o r m a a lte r a d a
(b)
<b>
Vc
A1C
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a V c
lin c a d e in flu e n c ia p a r a M c
(c)
(c )
F ig u ra 6 -1 4
H g u ra 6 -1 3
p r o d u c to d e u n d e s p la z a m ie n to lin e a l p o r u n a f u e r z a e n la d ir e c c ió n d e l
d e s p la z a m ie n to o b ie n d e un d e s p la z a m ie n to d e r o ta c ió n p o r e l m o m e n t o
e n la d ire c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to . Si u n c u e r p o ríg id o (v ig a ) e s t á e n
e q u ilib r io , la s u m a d e t o d a s la s f u e r z a s y to d o s lo s m o m e n to s d e b e s e r
ig u a l a c e ro . E n c o n s e c u e n c ia , s i a l c u e r p o s e le d a u n d e s p la z a m ie n to
im a g in a r io o v ir tu a l, e l tr a b a jo r e a liz a d o p o r to d a s e s ta s fu e r z a s y m o ­
m e n to s d e p a r ta m b ié n d e b e s e r ig u a l a c e r o . I\> r e je m p lo , c o n s i d e r e la
viga s im p le m e n te a p o y a d a q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 6 - 15a. la c u a l e s tá
s o m e tid a a u n a c a r g a u n it a r i a c o lo c a d a e n u n p u n to a r b i tr a r io d e t o d a s u
lo n g itu d . Si a la v ig a se le d a u n d e s p la z a m ie n to v ir tu a l ( o im a g in a r io ) S y
e n e l s o p o r t e A , f ig u r a 6 - 15¿>, e n to n c e s s ó lo la r e a c c ió n d e l s o p o r te A v y
la c a r g a u n it a r i a r e a liz a n t r a b a j o v ir tu a l. E n e s p e c ífic o , A v re a liz a e l t r a ­
b a jo p o s itiv o A y S y y la c a r g a u n i t a r i a re a liz a e l tr a b a jo n e g a tiv o - I 5 y ' .
(E l s o p o r te e n B n o s e m u e v e y, p o r lo ta n to , la f u e r z a e n t í n o h ac e
n in g ú n tr a b a jo .) D a d o q u e la v ig a e s t á e n e q u ilib r io y p o r e n d e n o se
m u e v e , e l tr a b a jo v ir tu a l s u m a c e r o . e s d e c ir ,
I
c
A y 8y -
18 / = ü
(a )
Si se e s ta b le c e q u e 8 y e s ig u a l a 1 ,e n to n c e s
Ay = Sy'
E n o tr a s p a la b r a s , e l v a lo r d c A y r e p r e s e n ta l a o r d e n a d a d e la lí n e a d e in ­
flu e n c ia e n l a p o s ic ió n d e la c a rg a u n ita r ia . C o m o e s te v a lo r e s e q u iv a ­
le n te a l d e s p la z a m ie n to 8 y ' e n l a p o s ic ió n d e la c a r g a u n ita r ia , m u e s tra
q u e s e h a e s ta b le c id o la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n
e n A . L o a n t e r i o r c o m p r u e b a e l p rin c ip io d e M ü llc r- B r e s la u p a r a la s
re a c c io n e s.
(b )
F ig u ra 6 -1 5
2 1 7
2 1 8
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
H g u ra 6 -1 5
D e la m is m a m a n e r a , s i la v ig a s e s e c c io n a e n C y e x p e r i m e n t a u n d e s ­
p la z a m ie n to v ir tu a l S y e n e s te p u n to , f ig u r a 6 - 1 5 c ,e n to n c e s s ó lo la fu e rz a
c o r ta n te e n C y la c a r g a u n it a r i a r e a liz a n tr a b a jo . I\>r lo ta n t o , la e c u a ­
c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l e s
Vc S y -
1 6 / = 0
D e n u e v o , s i S y = I, e n to n c e s
vc=
«y'
y s e e s t a b le c e la f o r m a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te
e n C.
<d)
l\>r ú ltim o , s u p o n g a la in tr o d u c c ió n d e u n a b is a g ra o p a s a d o r e n el
p u n to C d e la v ig a , f ig u r a 6 -1 5 d . S i s e p r e s e n ta u n a r o t a c ió n v ir tu a l S<f>e n
e l p a s a d o r , s ó l o e l m o m e n to i n t e r n o y la c a r g a u n it a r i a r e a liz a r á n tr a b a jo
v irtu a l. A s í q u e
Mc &<t> - i «y' = o
Si s e e s t a b le c e S<t> = l . s e o b s e r v a q u e
M C = Sy'
lo c u a l in d ic a q u e la v ig a d e f o r m a d a ti e n e la m is m a f o r m a q u e la lín e a d e
in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to in t e r n o e n e l p u n t o C (v e a la fig u ra 6 -1 4 ).
í\>r s u p u e s to , e l p r in c ip io d e M tllle r-B re s la u p r o p o r c io n a u n m é to d o
r á p i d o p a r a e s t a b le c e r la f o r m a efe la lín e a d e in f lu e n c ia . U n a v ez q u e se
s a b e e s t o , la s o r d e n a d a s e n lo s p ic o s p u e d e n d e te r m in a r s e a p lic a n d o el
m é to d o b á s ic o a n a liz a d o e n la s e c c ió n 6-1. A d e m á s , c o n s ó l o c o n o c e r la
fo r m a g e n e r a l d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e s p o s i b le u b ic a r la c a r g a v iv a
s o b r e la v ig a y lu e g o d e te r m i n a r e l v a lo r m á x im o d e la fu n c ió n p o r e l u so
d e la e stá tic a . E n e l e je m p lo 6 -1 2 s e ilu s tr a e s t a té c n ic a .
6 .3
LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA
EJEMPLO
P a ra c a d a v ig a d e las q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 6 a a 6 - 1 6 c, tr a c e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n v e rtic a l e n A .
S O L U C IÓ N
E l s o p o r te e n A se s u s titu y e p o r u n a g u ía d e ro d illo s , p u e s t o q u e r e s is ­
tirá A , , p e r o n o A v. D e s p u é s s e a p lic a la f u e r z a A r
f o r m a a lte r a d a
I n c a d e in flu e n c ia p a r a A ,
(a)
F ig u ra 6 -1 6
D e n u e v o , se c o lo c a u n a g u ía d e ro d illo s e n A y s e a p lic a la f u e r z a A ...
JEnir
fo r m a a lte r a d a
<b)
E n e s te c a s o d e b e u s a r s e u n a g u ía d e d o b le r o d illo , p u e s t o q u e e s te
tip o d e s o p o r te r e s is tir á ta n t o u n m o m e n to
e n e l s o p o r t e fijo
c o m o u n a c a r g a a x ia l A r p e r o n o r e s is t ir á A v.
b=
línea d e influencia p a ra A y
(c)
2 1 9
2 2 0
C a p it u l o
EJEMPLO
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 .1 0
P a r a c a d a v ig a d e la s q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 7 a a 6 - 1 7 c ,ir a c e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n B .
S O L U C IÓ N
L a g u ía d e ro d illo s s e in tr o d u c e e n B y s e a p lic a la f u e r a c o r t a n t e p o ­
s itiv a \ R. O b s e r v e q u e e l s e g m e n to d e r e c h o d e la v ig a n o s e d e fo r m a r á
p o r q u e e l r o d illo e n r e a lid a d lim ita e l m o v im ie n to v e r tic a l d e la v ig a ,
y a s e a h a d a a r r ib a o h a d a a b a jo . [V e a e l s o p o r te (2 ) d e la ta b la 2-1].
B
lin e a d e in flu e n c ia p a r a V„
fo r m a a lte r a d a
(a )
F ig u ra 6 - 1 7
A l c o lo c a r la g u ía d e ro d illo s e n f í y a p li c a r la f u e r z a c o r t a n t e p o s itiv a
e n B se o b ti e n e la fo r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia c o r r e s p o n ­
d ie n te .
v»
fo rm a a lte ra d a
v„
P*
B nca d e in flu e n c ia p a r a VB
(b )
U n a v e z m á s , la g u ía d e ro d illo s s e c o lo c a e n B , s e a p lic a la f u e r z a c o r ­
ta n t e p o s itiv a , y s e m u e s tr a n la f o r m a a l t e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia
c o r r e s p o n d ie n te . O b s e r v e q u e e l s e g m e n to iz q u ie r d o d e la v ig a n o se
d e f o r m a d e b id o a l s o p o r te fijo .
Va
(c)
fo r m a a lte r a d a
linea de influencia p ara VB
6 .3
EJEMPLO
LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA
6 .1 1
P a ra c a d a v ig a d e las q u e a p a r e c e n e n la s fig u ra s 6 - 1 8 a a 6 - 1 8 c, tr a c e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n B .
S O L U C IÓ N
Se in tr o d u c e u n a b is a g r a e n B y s e a p lic a n lo s m o m e n to s p o s itiv o s M fl
a la v ig a . E n la fig u ra s e m u e s tr a n la f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e i n ­
flu e n c ia c o r r e s p o n d ie n te .
fo r m a a lte r a d a
(a )
F igura 6-18
A l c o lo c a r u n a b is a g ra e n B y a l a p lic a r lo s m o m e n to s p o s itiv o s M fl a
la v ig a s e o b ti e n e la f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in flu e n c ia .
C o n la b is a g ra y e l m o m e n to p o s itiv o e n B , se m u e s tr a n la f o r m a a lt e ­
ra d a y la lí n e a d e in f lu e n c ia . E l m o v im ie n to d e l s e g m e n to iz q u ie r d o
d e la v ig a e s t á re s tr in g id o d e b id o a l a p a r e d f ija e n A .
2 2 2
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
D e te r m in e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o q u e p u e d e d e s a r r o lla r s e e n
e l p u n t o D d e la v ig a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 1 9 a ,d e b i d o a u n a
c a rg a m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 Ib. u n a c a rg a m ó v il u n if o r m e d e 3 0 0
Ib /p ie . y e l p e s o d e la v ig a q u e e s d e 2 0 0 Ib /p ie .
(»)
F ig u ra 6 - 1 9
S O L U C IÓ N
S e c o lo c a u n a b is a g ra e n D y s e a p lic a n a la v ig a lo s m o m e n to s p o s i ti­
v o s M D. L a f o r m a a lt e r a d a y la lín e a d e in f lu e n c ia c o r r e s p o n d ie n t e se
m u e s tr a n e n la fig u ra 6 -1 9 6 . D e in m e d ia to s e r e c o n o c e q u e la c a rg a
m ó v il c o n c e n tr a d a d e 4 0 0 0 li b r a s c r e a u n m o m e n to p o s i ti v o m á x im o
e n D c u a n d o s e c o lo c a a h í. e s d e c ir , e l p ic o d e la lín e a d e in flu e n c ia .
A d e m á s , la c a r g a m ó v il u n if o rm e d e 3 0 0 Ib /p ie d e b e e x te n d e r s e d e s d e
C h a s ta E p a ra c u b r i r la re g ió n d o n d e e l á r e a d e la lín e a d e in f lu e n c ia
e s p o s itiv a . P o r ú ltim o , e l p e s o u n if o r m e d e 2 0 0 lb 'p ie a c tú a a to d o lo
la r g o d e l a v ig a . E n la f ig u r a 6 - 19c s e m u e s tr a n la s c a r g a s s o b r e la v ig a .
C u a n d o s e c o n o c e la p o s ic ió n d e la s c a rg a s , e s p o s ib le d e te r m i n a r e l
m o m e n to m á x im o e n D e m p le a n d o la e s t á ti c a . E n la fig u ra 6 -1 9 d se
c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n B E . A l s e c c io n a r la v ig a e n D y u s a r e l s e g ­
m e n t o D E , fig u ra 6 -1 9 e .s e tie n e
t + 2 A / 0 = 0;
- M „ - 5 0 0 0 (5 ) + 4 7 5 0 (1 0 ) = 0
M n = 2 2 5 0 0 I b - p i e = 2 2 .5 k - p i e
R esp .
fo r m a a lte r a d a
Md
5
10
x
linea d e influencia para MD
(b)
6 .3
LINEAS DE INRUENCIA CUAUTATVA
40001b
5 0 0 I b /p ie
2 0 0 l b /p ie
p ie s
10 p ie s -
5 p i e s -------f— 5 p ie s-
(c)
4 0 0 0 1 b 75001b
1 0 0 0 Ib
1000 1 b
,_ _ _ _ r |- 2 A Jr
<4,= 0 _
t p ie !
■■■■♦
. :
•
B .-O
•5 p ie s ------
-7 .5 p i e s -
I p ie s !
!,
T
•5 p ie s
A , - '5 0 0 1 b
» ,* - 5001b
B , - 500 Ib
C , ~ 82501b
(d )
40001b
50001b
Md
V o ^ - 5 p ie s —
|—
5 p ie s — |
E , -4 7 5 0 1 b
(e )
E s te p r o b le m a ta m b ié n p u e d e s o lu c io n a r s e u s a n d o v a lo re s n u m é r i­
c o s p a ra l a lín e a d e in f lu e n c ia c o m o e n la se c c ió n 6 -1 . E n r e a l i d a d , a l
in s p e c c io n a r la fig u ra 6 -1 9 6 , s ó lo d e b e d e te r m in a rs e e l v a lo r p ic o h e n D .
E s to r e q u ie r e c o lo c a r u n a c a rg a u n ita ria s o b r e la v ig a e n e l p u n to D de
b fig u ra 6 - 19a y lu e g o d e te r m in a r e l m o m e n to in t e r n o e n la v ig a e n D .
D e m u e s tr e q u e e l v a lo r o b t e n i d o e s h = 3.33. P o r tr iá n g u lo s s e m e ja n ­
te s, 67(10—5) = 3 .3 3 /( 1 5 - 1 0 ) o b ie n h' = 3.33. P o r lo ta n t o , c o n la s
c a rg a s s o b r e la v ig a c o m o s e m u e s tr a n e n la fig u ra 6 - 19c y e m p l e a n d o
las á r e a s y v a lo r e s p ic o d e la lín e a d e in flu e n c ia , f ig u r a 6 - 1 9 6 ,s e tie n e
Md
= 500[!(25 - 10)(3.33)]
+
4000(3.33) - 200[J(10)(333)]
= 22 5 0 0 Ib • p i e = 2 2 .5 k • p i e
R esp .
2 2 3
2 2 4
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
PROBLEMAS FUNDAM ENTALES
F 6 -1 . U tilice el principio d e M üller-B reslau y trace las li­
neas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fu erza
co rtan te e n C y e l m om ento e n C.
FÓ-1
F 6 -5 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
neas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fuerza
co rtan te e n C y e l m o m en to e n C.
FÓ-5
FÓ -2. U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
n eas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fu erza
co rtan te e n D y el m o m en to e n B.
F 5 -6 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
neas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fu erza
co rtan te ju s to a la izq u ierd a d el so p o rte de rodillo e n F. y el
m om ento e n A .
F 6 -2
PS-6
F 6 -3 . U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
n eas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fuerza
co rtan te e n D y el m o m en to e n D .
Hü-7. La viga so p o rta una c a rg a viva distribuida d e 1.5
kN /m y u n a sola c arg a co n c en tra d a d e 8 kN . La carga m uerta
e s de 2 kN /m . D eterm in e (a ) e l m om ento positivo m áxim o
e n C, y (b ) la fuerza co rta n te positiva m áx im a e n C.
F 6 -3
F6-7
F 6-4. U tilice e l principio de M üller-B reslau y tra c e las lí­
n eas d e influencia p a ra la reacción v ertical e n A , la fuerza
co rtan te e n B y e l m om ento e n B.
ffc-8. l a viga so p o rta una c arg a viva distribuida de 2 kN /m ,
y una sola c arg a co n cen trad a d e 6 kN. La c arg a m uerta e s de
4 kN/m. D eterm in e (a) la reacción v ertical positiva m áxim a
en C .y (b ) el m o m en to negativo m áxim o e n A .
F& -4
K -8
6 .3
LIN E A S D E IN R U E N C IA C U A U TA TV A
2 2 5
PROBLEMAS
6 -1 . D ibuje las lín eas d e influencia p a ra (a) el m o m en to
e n C ;(b ) la reacción e n f t y (c) la fu e rz a c o rta n te e n C. S u ­
ponga q u e A está artic u la d o y q u e R es u n rodillo. R esuelva
este p ro b lem a u san d o e l m éto d o básico de la sección 6-1.
6 -2 . R esuelva e l p ro b le m a 6 1 u sando e l prin cip io d e MUllcr-Breslau.
6 -7 . D ib u je la lín ea d e influencia p a ra (a ) el m o m en to en
B\ (b ) la fu erza c o rta n te e n C, y (c) la re acció n v ertical e n R.
R esuelva e ste problem a u sando e l m éto d o básico d e la sec­
ció n 6-1. Sugerencia: E l so p o rte e n A sólo resiste una fu erza
horizontal y u n m o m en to flexionante.
• 6 -8 . R esuelva e l p ro b lem a 6-7 e m p lean d o e l prin cip io de
M üller-Breslau.
n
A
* ^
3
D i
------ 10 pies------- ------ 10 pies— ■ ------- 10 pies— Probs. 6 -1 /6 -2
6 -3 . D ibuje las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción
vertical e n -4; (b ) e l m o m en to e n A , y (c) la fu erza c o rta n te
e n R . S uponga q u e el so p o rte e n A e s fijo. R esu elv a este
problem a u san d o el m éto d o básico d e la sección 6-1.
6 -9 . D ibuje la línea de influ en cia p a ra (a ) la reacción ver­
tical e n i4 ;(b ) la fu erza co rta n te e n B ,y (c ) e l m om ento e n B.
Suponga q u e A e stá fijo. R esuelva e ste p ro b lem a u sa n d o el
m étodo básico d e la sección 6-1.
•6 -4 . R esuelva e l p ro b lem a 6 -3 em p lean d o e l prin cip io de
M üller-Breslau.
6 -1 0 . R esuelva e l p ro b lem a 6-9 e m p lean d o e l prin cip io de
M üller-Breslau.
s =
----------- 7 = --------------- a
B
--------------5 p ies----------------- •------------- 5 p ie s---------------1
P robs. 6-346-4
6 -5 . D ibuje las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción
vertical e n B\ (b ) la fuerza c o rta n te ju s to a la d e re c h a d el o s ­
cilad o r e n A , y (c) e l m o m e n to e n C. R esuelva e ste p ro ­
blem a u san d o el m éto d o básico de la sección 6-1.
6 -1 1 . D ib u je las lín eas d e influencia p a ra (a) la reacción
vertical e n A \ (b ) la fu erza c o rta n te e n C , y (c) el m o m en to
e n C. R esuelva e ste p ro b lem a u sando e l m éto d o básico de
la sección 6-1.
6 -6 . R esuelva e l p ro b lem a 6-5 e m p lean d o e l prin cip io de
M üller-Breslau.
•6 -1 2 . R esuelva e l p ro b lem a 6 1 1 e m p le a n d o e l principio
d e M üller-B reslau.
6 p ie s
6 pies
P ro h s .6 -5 /6 -6
6 p ie s
6 p ie s
*1*
6 p ie s
P robs. 6 -1 1 /6 -1 2
-r
3 p ie s
3 p ie s —
2 2 6
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
6 -1 3 . D ib u je las líneas d e influencia p a ra (a ) la reacción
vertical e n A ;(b ) la reacción v ertical e n B ;(c ) la fu e rz a c o r­
ta n te justo a la d e re c h a d el so p o rte e n A , y (d ) e l m om ento
en C. S uponga q u e el so p o rte e n A está articu la d o y q u e B
e s u n rodillo. R esuelva e ste p ro b lem a u sando e l m éto d o b á ­
sico de la sección 6-1.
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 -1 7 . E n la b a rra se co lo ca rán una carga viva u n ifo rm e de
300 Ib/pie y una so la fu erza viva co n c e n tra d a de 1500 Ib. La
viga tiene u n p eso d e 150 Ib/pie. D ete rm in e (a) la reacción
vertical máxim a e n e l so p o rte B, y (b ) e l m om ento negativo
m áxim o e n e l p u n to /L S u p o n g a q u e e ls o p o rte e n -4 está a r ­
ticu lad o y q u e B es u n rodillo.
6 -1 4 . R esuelva e l p ro b lem a 6-13 e m p le a n d o e l principio
de M üller-B reslau.
v
H
\------ 2m —
L
-
m
.
M
P robs. 6 -13/6-14
6
6 -1 5 . L a viga e stá som etid a a u n a carga m u e rta uniform e
de 1.2 IcN/m y u n a so la carga viva d e 4 0 kN . D eterm in e (a)
el m om ento m áxim o cread o p o r e sta s cargas e n C, y (b ) la
tuerza co rtan te positiva m áx im a e n C. S u p o n g a q u e A está
articulado y q u e B es u n rodillo.
|-
1
6m
-|-
|
J
6m
6 -1 8 . La viga s o p o rta una c arg a m u erta uniform e d e 0.4
k/pie; u n a c arg a viva d e 1.5 k/pic. y una so la fu e m i viva c o n ­
c e n trad a d e 8 k. D ete rm in e (a ) e l m o m en to p ositivo m á­
xim o e n C, y (b ) la reacción v ertical positiva m áx im a e n B.
S uponga q u e A es u n rod illo y q u e B está articulado.
-|
I’
4 0 kN
P ro b . 6 -1 5
*6-16. La viga so p o rta una carga m u erta uniform e d e 500
N/m y u n a so la fuerza viva co n ce n trad a d e 3000 N. D e te r­
m ine (a ) e l m om ento p ositivo m áxim o e n C, y (b ) la fu erza
co rtan te positiva m áxim a e n C. S u p o n g a q u e e l so p o rte en
A e s u n rodillo y q u e B está articulado.
P roh.
6-16
6-19. l a viga se utiliza p ara so p o rta r u n a c arg a m u e rta de
0.6 k/pie, u n a carga viva de 2 k/pie y una carga viva c o n ce n ­
tra d a de 8 k . D eterm in e (a ) la reacción positiva m áxim a
(hacia a rrib a ) e n A \ (b ) e l m om ento positivo m áxim o e n C,
y (c) la fu erza co rta n te positiva máxim a a la d erech a d e l s o ­
p o rte e n A . S u p o n g a q u e e l so p o rte e n A está artic u la d o y
q u e B e s u n rodillo.
P rob.
6 -1 9
6 .3
•6 -2 0 . l a viga com p u esta e stá so m e tid a a u n a carga
m uerta u niform e d e 1.5 kN /m y a una so la carg a viva d e 10
k N D eterm in e (a ) e l m o m en to neg ativ o m áxim o c re a d o
por estas cargas e n A , y (b ) la fuerza c o rta n te positiva m á­
xim a e n B . S u ponga q u e A e s u n so p o rte fijo. B está a rtic u ­
lado y C es u n rodillo.
LIN E A S D E IN R U E N C IA C U A U TA TV A
2 2 7
6 -2 3 . 1.a viga se em p lea p ara so p o rta r una c arg a m u erta
d e 800 N/m, una c arg a viva d e 4 kN /m y u n a carga viva c o n ­
c e n trad a d e 20 kN . D eterm in e (a ) la reacción positiva m á­
xim a (h a c ia a rrib a ) e n B \( b ) e l m o m en to p ositivo m áxim o
e n C, y (c) la fu erza c o rta n te negativa m áx im a e n C. S u ­
ponga q u e B y D están articulados.
P roh. 6 -2 3
6 -2 1 . ¿D ónde d e b e colocarse una so la carg a viva d e 500 Ib
so b re la viga q u e se m u e s tra .d e m o d o q u e cause el m ayor
m om ento e n D ? ¿Q uó v a lo r tien e ese m o m en to ? S uponga
q u e el so p o rte e n A es fijo, q u e B está articu lad o y q u e C es
un rodillo.
p1
S ~
-N
1
C
p
= 1
•6 -2 4 . La viga se u sa p ara so p o rta r u n a c arg a m u erta de
400 Ib/pie, u n a carga viva d e 2 k/pic y u n a c a rg a viva co n ­
c e n trad a d e 8 k. D ete rm in e (a ) la reacción v ertical positiva
m áxim a e n <4;(b) la fu erza c o rta n te positiva m áxim a ju s to a
la d erech a d e l so p o rte e n A , y (c ) e l m om ento neg ativ o m á­
xim o e n C. S uponga q u e A e s u n rodillo, C e stá fijo y B e stá ¿
articulado.
o
—
— oo pies— — 8 pies—
1
20 pies
Proh. 6-21
P roh. 6 -2 4
6 -2 2 . ¿D ónde d e b e cargarse la viga A B C c o n una carga
viva uniform em ente distribuida d e 300 Ib/pie d e m o d o q u e
ocasione (a ) e l m ayor m o m en to e n e l p u n to A y (b ) la
m ayor fuerza co rtan te e n D ? C alcule lo s valores d e l m o­
m ento y la fu e rz a cortante. S uponga q u e el so p o rte e n A es
fijo, q u e B está articu la d o y q u e C es u n rodillo.
t
L
6 -2 5 . La viga se u sa p ara so p o rta r una carga m u e rta de
500 Ib/pie, u n a carg a viva d e 2 k/pic y u n a c a rg a viva c o n ­
c e n trad a d e 8 k . D eterm in e (a ) la reacción positiva m áxim a
(hacia arrib a) e n -4 ;(b ) e l m om ento p ositivo m áxim o e n £,
y (c ) la fuerza co rta n te positiva m áxim a a la d e re c h a d e l s o ­
porte e n C. S uponga q u e A y C so n ro d illos y q u e D está a r ­
ticulado.
C
1
n
D
U
—
8 p ie s
-— 8
p i e s —-
------------ 20 pies--------------I
¿J
P roh. 6 -2 2
P roh. 6 -2 5
2 2 8
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a p a
6 .4
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
Líneas d e in flu e n c ia p a ra v ig a s
d e p iso
O c a s io n a lm e n te , lo s s is te m a s d e p is o s e c o n s tr u y e n c o m o s e m u e s tr a e n
la fig u ra 6 - 2 0 a , d o n d e p u e d e o b s e r v a r s e q u e la s c a r g a s d e l p is o se t r a n s ­
m ite n d e la s lo s a s a la s vig a s d e p i s o , lu e g o a la s ira b e s la te ra le s y, f in a l­
m e n te , a la s c o lu m n a s d e s o p o r te . E n la v is ta d e p l a n t a d e la f ig u r a 6-20¿>
s e m u e s tr a u n m o d e lo id e a liz a d o d e e s t e s is te m a . A q u í se s u p o n e q u e la
lo s a e s d e u n a s o la v ía y s e d iv id e e n c la r o s s im p le m e n te a p o y a d o s q u e
d e s c a n s a n s o b r e la s v ig a s d e p is o . A d e m á s , la t r a b e e s t á s im p le m e n te
a p o y a d a e n la s c o lu m n a s . D a d o q u e la s tr a b e s s o n lo s p r in c ip a le s e l e ­
m e n to s d e c a r g a e n e s t e s is te m a , a v e c e s e s n e c e s a r io c o n s t r u ir s u s lín e a s
d e in f lu e n c ia d e f u e r e a c o r t a n te y d e m o m e n to . E s to e s e s p e c ia lm e n te
c ie r to p a r a lo s e d ific io s in d u s tria le s q u e s e s o m e t e n a f u e r te s c a r g a s c o n ­
c e n tr a d a s . E n e s te s e n t id o , te n g a e n c u e n ta q u e u n a c a rg a u n ita r ia s o b r e
la lo s a d e l p is o s e tr a n s f ie r e a la t r a b e s ó lo e n lo s p u n to s d o n d e h a y c o n ­
ta c t o c o n la s v ig a s d e p is o , e s d e c ir , e n lo s p u n to s A , B , C y D . E s to s p u n ­
to s s e d e n o m i n a n p u n to s d e p a n e l y la re g ió n q u e e x is te e n t r e e s to s
p u n to s s e lla m a p a n e l ,c o m o B C e n la f ig u r a 6-20¿>.
6
_______ i
1
1
Ffl
F*
R
i—
Fe
___C
P
i-
t
f
(c)
d<d>
Figura 6 -2 0
V " '
-V p
6 .4
L IN F A S D E IN FLU E N C IA PARA V IG A S D E P ISO
L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a u n p u n t o e s p e c íf ic o s o b r e l a v ig a p u e d e
d e te r m i n a r s e m e d i a n te e l m is m o p r o c e d i m i e n to e s t á ti c o q u e se u s ó e n
la se c c ió n 6-1, e s d e c ir , c o lo c a r la c a rg a u n it a r i a e n d iv e r s o s p u n to s x d e la
lo sa d e l p is o y c a lc u la r s ie m p r e la fu n c ió n ( d e f u e r z a c o r t a n te o d e m o ­
m e n to ) e n e l p u n to e s p e c ífic o P d e la v ig a , fig u ra 6 -2 0 6 . A l g r a f ic a r e s to s
v a lo r e s e n fu n c ió n d e x se o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la fu n c ió n
e n P . E n p a r tic u la r , e l v a lo r p a r a e l m o m e n to in t e r n o e n u n p a n e l d e la
tr a b e d e p e n d e r á d e d ó n d e se e lija e l p u n t o P p a r a la lín e a d e in f lu e n c ia ,
p u e s to q u e la m a g n itu d d e M p d e p e n d e d e la u b ic a c ió n d e l p u n t o d e s d e
e l e x tr e m o d e la tr a b e . P o r e je m p lo , si la c a rg a u n ita r ia a c tú a s o b r e la lo sa
d e l p is o c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 0 c , p r i m e r o s e e n c u e n t r a n las
re a c c io n e s F fl y F (; s o b r e la lo s a y lu e g o s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s F ! y F¿ s o b r e la tr a b e . D e s p u é s s e d e te r m i n a e l m o m e n to i n ­
t e r n o e n P m e d ia n te e l m é t o d o d e la s se c c io n e s, fig u ra 6 -2 0 d . E s to r e ­
s u lta e n M p = F \d - F g f d - s). ft>r m e d io d e u n a n á lisis s im ila r , e s
p o s ib le d e t e r m i n a r la f u e iz a c o r t a n te in t e r n a \ P. S in e m b a r g o , e n e s te
c a s o V P s e r á c o n s ta n te a lo la r g o d e l p a n e l B C ( V P = F y — F B) y, p o r lo
ta n to , n o d e p e n d e d e la u b ic a c ió n e x a c t a d d e /* e n e l p a n e l. P o r e s t a
ra z ó n , la s lín e a s d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n v ig a s d e p is o se
e s p e c ific a n p a r a lo s p a n e le s d e la t r a b e y n o e n p u n to s e s p e c ífic o s a lo
la rg o d e é s t a . I-a f u e r z a c o r ta n te s e c o n o c e e n to n c e s c o m o fu e r z a c o r ­
ta n te d e p a n e l.T a m b ié n d e b e h a c e r s e n o t a r q u e c o m o la tr a b e s ó l o s e ve
a fe c ta d a p o r la s c a r g a s tr a n s m itid a s p o r la s v ig a s d e p is o , g e n e r a lm e n te
la c a rg a u n it a r i a s e c o lo c a e n c a d a u b ic a c ió n d e la s v ig a s d e p is o p a r a e s ­
ta b le c e r lo s d a t o s n e c e s a r io s p a r a d ib u j a r la lí n e a d e in flu e n c ia .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s n u m é ric o s d e b e n c la r if ic a r e l an álisis d e fu e rz a s.
E l d is e ñ o d e l s i s t e m a d e l p i s o e n c a l e a l m a c é n d e b e t e n e r e n
c u e n t a la s u b ic a c io n e s c r ític a s d e lo s m a te r ia le s d e a l m a c e n a ­
m ie n to s o b r e e l p i s o . P a r a e s t e p r o p ó s i t o d e b e n u tiliz a r s e l í ­
n e a s d e in f lu e n c ia . { F o to g r a fía c o r te s ía d e P o r tla n d C e m e n t
A s s o c ia t io n ) .
2 2 9
6
2 3 0
C a p it u l o
EJEMPLO
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 .1 3
D ib u je l a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r la n te e n e l p a n e l C D de
la v ig a d e p i s o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 2 la .
B
H M
C
P
F.
£
■10pies
-G
10 pies
10 pies—(—10 pies —)
fig u r a 6 -2 1
<«)
S O L U C IÓ N
X VCD
0 0333
10 0
20 -0 3 3 3
30 0333
40 0
T a b u la c ió n d e v a lo re s . La c a r g a u n it a r i a s e c o lo c a e n c a d a u b ic a d ó n d e la s v ig a s d e p is o y se c a lc u la la f u e r z a c o r ta n te e n e l p a n e l C D .
E n l a f ig u r a 6 -2 I b s e m u e s tr a u n a ta b l a c o n lo s r e s u lta d o s . L o s d e ta lle s
cb lo s c á lc u lo s , c u a n d o x = ü y x = 20 p ie s , s e d a n e n la s fig u ra s 6-21 c
y 6 - 2 1</, r e s p e c tiv a m e n te . O b s e r v e c ó m o , e n c a d a c a s o , p r i m e r o s e
c a lc u la n la s re a c c io n e s d e las v ig a s d e p is o s o b r e la tr a b e , lu e g o se d e ­
te r m in a la r e a c c ió n d e l s o p o r te e n e l p u n t o F d e la t r a b e ( G , n o e s n e ­
c e s a r io ), y f in a lm e n te s e c o n s id e r a u n s e g m e n to d e la tr a b e y s e c a lc u la
la f u e r z a c o r t a n t e d e p a n e l i n t e r n a V Cf>. C o m o e je r c ic io , v e rifiq u e lo s
v a lo r e s d e V c d c u a n d o x
10 p ie s . 3 0 p ie s y 4 0 p ie s .
(b)
le n x = 0
en x
í
f
T
c
1-10 pies-
t
G,
M
2A/G - 0 ; F , - 0 3 3 3
1
l
T
-30p
■20 pies
IM (;= 0 ^ = 0 3 3 3
*^-10 pies-
t
V£D
M
Fy - 0333
J
-20 p in
|
1 F .- 0 - .V c d - -0 3 3 3
t
VCD
0; V 'o = 0.333
(c)
Fy - 0333
«0
L ín e a d e in flu e n c ia . S i s e g r a f ic a n lo s v a lo r e s ta b u l a r e s y s e c o n e c ­
t a n lo s p u n to s c o n s e g m e n to s d e lí n e a r e c ta , la lín e a d e in f lu e n c ia r e ­
s u l ta n t e p a r a V CD e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 .2 le .
CD
0333
0333
10
*
-0 3 3 3
Nnca de influencia para Vcn
(e)
40
6 .4
EJEMPLO
L IN F A S O E IN FLU E N C IA PASA V IG A S D E P ISO
6 .1 4
D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n e l p u n t o F d e la
tr a b e d e p is o q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 2 a .
X
0
2
4
8
10
12
16
Mr
0
0.429
0.857
2.571
2.429
2286
0
(b)
Figura 6 -2 2
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo re s . L a c a rg a u n ita r ia se c o lo c a e n r = 0 y e n
c a d a p u n to p o s t e r io r e n e l p a n e l. L o s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s p a r a
M F se c a lc u la n y s e m u e s tr a n e n la ta b la , fig u ra 6 -2 2 b . L o s d e ta l le s d e
b s c á lc u lo s p a r a i = 2 m s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 6 -2 2 c . A l ig u a l q u e
e n e l e je m p lo a n te r io r , p r im e r o e s n e c e s a r io d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s
d e las v ig a s d e p is o s o b r e l a tr a b e , s e g u id a s p o r la d e te r m in a c ió n d e la
re a c c ió n d e la t r a b e d e a p o y o G y ( H v n o e s n e c e s a r ia ) y, f i n a lm e n te .s e
c o n s id e r a e l s e g m e n to G F d e la v ig a y s e c a lc u la e l m o m e n to in t e r n o
M f. C o m o e je r c ic io , d e te r m i n e lo s o t r o s v a lo r e s d e M f lis ta d o s e n la
fig u ra 6 -2 2 b .
L ín e a d e in flu e n c ia . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s d e la ta b la s e o b ti e n e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a M F,f i g u r a 6 -2 2 d.
I en* - 2 m
U i A - 0 ; R , - 0 .5
L
'
- J
A
|
- 05
Mr
8m
[£
6m
í
n * 2 M „ - 0 ; G , - 0 .0 7 1 4
M,
S A Í , - 0; M , - 0 .4 2 9
|*
'V d 1“ ----- 6 m —
f
G r ~ 0^)714
(C>
(d>
2 3 1
2 3 2
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
6 .5
L o s e le m e n to s d e e s t e p u e n t e d e a r m a d u r a s se
d i s e ñ a r o n u s a n d o la s lin c a s d c i n f l u c n c i a . d c
a c u e r d o c o n la s e sp e c ific a c io n e s d e A A S I I T O .
p a p a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
Lineas d e influencia para arm aduras
L a s a r m a d u r a s s e u tiliz a n c o m o e le m e n to s p r in c ip a le s p a r a e l s o p o r te d e
c a r g a s e n p u e n te s . P o r lo ta n t o , p a r a e l d is e ñ o e s im p o r ta n te p o d e r c o n s ­
tr u ir la s lín e a s d e in f lu e n c ia d e c a d a u n o d e su s e le m e n to s . C o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 3 , la c a r g a s o b r e la c u b ie r ta d e l p u e n te s e t r a n s ­
m ite a lo s la r g u e ro s , q u e a s u v e z tr a n s m ite n la c a rg a a la s v ig a s d e p is o y
lu e g o a la s ju n ta s a lo la r g o d e la c u e r d a in f e r io r d e la a r m a d u r a . D a d o
q u e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a s ó l o s e v e n a f e c ta d o s p o r la c a r g a e n
la s ju n ta s , e s p o s ib le o b t e n e r lo s v a lo r e s d e la s o r d e n a d a s d e l a lín e a d e
in f lu e n c ia p a r a u n e le m e n to a l c a r g a r c a d a j u n t a a lo la r g o d e l a c u b ie r ta
c o n u n a c a r g a u n ita r ia , p a r a d e s p u é s u s a r e l m é to d o d e lo s n u d o s o e l
m é to d o d e la s s e c c io n e s a f i n d e c a lc u la r l a f u e r z a e n e l e le m e n to . L os
d a to s p u e d e n d is p o n e r s e e n f o r m a ta b u la r , lis ta n d o la “ c a r g a u n it a r i a e n
la j u n t a ” c o n tr a la “f u e r z a e n e l e l e m e n t o ” C o m o u n a c o n v e n c ió n , s i la
f u e r z a e n e l e le m e n to e s d e te n s ió n s e c o n s id e r a u n v a lo r p o s i t i v o ,y s i e s
d e c o m p r e s ió n e l v a lo r s e r á n e g a tiv o . L a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e ­
m e n t o s e c o n s tr u y e a l g ra f íc a r lo s d a t o s y d ib u j a r lín e a s r e c t a s e n t r e lo s
p u n to s .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n e l m é to d o d e c o n s tru c c ió n .
re fu e rz o
c o n tr a la d e o
c u erd a
s u p e r io r
re fu e rz o
la te r a l
re f u e r z o
d e l p o rta l"
c u b ie rta
c u e r d a in fe rio r
la rg u e ro s
v ig a d e p iso
H g u ra 6 -2 3
6 .5
EJEMPLO
LIN E A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S
2 3 3
6 .1 5
D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a l a f u e r z a e n e l e l e m e n t o G B d e la
a r m a d u r a d e p u e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -2 4a.
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a l o r e s . A q u í, a c a d a j u n t a s u c e s iv a e n la c u e r d a in ­
fe r io r s e le a g re g a u n a c a r g a u n it a r i a y se c a lc u la la f u e r z a e n e l e l e ­
m e n to G B a p lic a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , fig u ra 6 -2 4 6 . P o r
e je m p lo , a l c o lo c a r la c a r g a u n it a r i a e n x = 6 m ( j u n ta B ) , p r i m e r o se
c a lc u la la r e a c c ió n e n e l s o p o r t e E , fig u ra 6 -2 4 a , y lu e g o se p a s a u n a
se c c ió n a tr a v é s d e H G , G B , B C y a is la n d o e l s e g m e n to d e la d e r e c h a ,
se d e t e r m i n a la f u e r z a e n G B , fig u ra 6 -2 4 c . D e la m is m a m a n e r a , se
d e te r m in a n lo s o t r o s v a lo r e s e n lis ta d o s e n la ta b la .
L ín e a d e in f lu e n c i a . A l g ra f ic a r lo s d a t o s t a b u l a r e s y c o n e c t a r lo s
p u n to s s e o b t i e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e m e n t o G B , fig u ra
6 -2 4 d . C o m o la lín e a d e in f lu e n c ia s e e x ti e n d e p o r to d o e l c la r o d e la
a r m a d u r a , e l e l e m e n t o G B s e c o n o c e c o m o u n e le m e n to p r im a r io .
E s to s ig n ific a q u e G B e s tá s o m e ti d o a u n a f u e r z a , i n d e p e n d i e n te ­
m e n te d e d ó n d e e s té c a r g a d a la c u b ie r ta d e l p u e n te ( c a r r e te r a ) , e x ­
c e p to . p o r s u p u e s to , e n x ■ 8 m . E l p u n t o d e f u e r z a c e r o , x ■ 8 m . se
d e te r m in a p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n t e s e n t r e x = 6 m y x ■ 12 m , e s
d e c ir , (0 .3 5 4 + 0 .7 0 7 )/(1 2 - 6 ) - 0 . 3 5 4 / x \ x ' - 2 m .d e m o d o q u e x - 6
+ 2 = 8 m.
X
0
6
12
18
24
Fg b
0
0354
-0 .7 0 7
-0 3 5 4
0
(b )
S F , - 0 ; 0.25
F UB s e n 4 5 ° - 0
Fg b = 0 3 5 4
035
(c )
Fon
f z l±
-0 3 5 4
0.707
lin c a d e in f lu e n c ia p a i a FOB
(d)
2 3 4
C a p it u l o
EJEMPLO
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 .1 6
D ib u je l a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r a e n e l e le m e n to C G d e la
a r m a d u r a d e p u e n te q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -2 5 a .
Fea
X
Fac
0
6
12
0
0
18
24
I-*
(a)
Fea
1
0
0
Feo
I
(b )
(c)
H g u ra 6 -2 5
S O L U C IÓ N
T a b u la c ió n d e v a lo r e s . E n la fig u ra 6-25¿> se m u e s tr a u n a ta b la c o n
la p o s ic ió n d e la c a r g a u n it a r i a e n las ju n t a s d e la c u e r d a in f e r io r c o n ­
tr a la f u e r z a e n e l e l e m e n t o C G . E s to s v a lo r e s s e o b t i e n e n fá c ilm e n te
al a is la r la j u n t a C .f ig u r a 6 -2 5 c . A q u í se v e q u e C G e s u n e le m e n to d e
f u e r z a c e r o a m e n o s q u e la c a r g a u n ita r ia s e a p liq u e e n la j u n t a C .e n
c u y o c a s o F ^ - 1 (T ).
L ín e a d e in flu e n c ia . A l g ra f ic a r lo s d a t o s ta b u l a r e s y c o n e c t a r lo s
p u n to s se o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l e l e m e n t o C G c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 2 5 d .E n p a r t ic u l a r , o b s e r v e q u e c u a n d o la c a rg a
u n ita r ia e s t á e n x = 9 m . la f u e r z a e n e l e l e m e n t o C G e s FCG = 0.5.
E s ta s itu a c ió n r e q u i e r e q u e la c a r g a u n it a r i a s e u b iq u e s o b r e la c u ­
b ie r ta d e l p u e n te e n tr e las ju n t a s . L a tr a n s f e r e n c ia d e e s t a c a rg a d e s d e
la c u b ie r ta h a s ta la a r m a d u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -2 5 e . A p a r tir d e
e s t o p u e d e v e rs e q u e , e f e c tiv a m e n te . F Cg = 0 .5 a l a n a li z a r e l e q u il i­
b r io d e l a j u n t a C , fig u ra 6 -2 5 /. D a d o q u e l a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a
C G n o se e x tie n d e a to d o e l c la r o d e l a a r m a d u r a , f ig u r a 6 - 2 5 d .e l e l e ­
m e n t o C G x c o n o c e c o m o u n e le m e n to s e c u n d a r io .
rco
lin c a ü c in flu e n c ia p a r a
FCa
F eo- 0 5
(d)
le f
CD
05
c a r g a d e la a rm a d u ra
(e )
(0
6 .5
EJEMPLO
LIN E A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S
2 3 5
6 .1 7
P a r a d e te r m i n a r l a fu e rz a m á x im a e n c a d a e le m e n to d e l a a r m a d u r a W arre n q u e s e m u e s tra e n la fo to g ra fía , p rim e ro d e b e n d ib u ja rs e la s lín e a s
d e influencia d e lo s e le m e n to s. S i se c o n sid e ra u n a a rm a d u ra sim ilar a la de
la fig u ra 6.26a, d e te r m in e la f u e r z a m á s g ra n d e q u e p u e d e d e s a rro lla rs e
e n e l e le m e n to B C d e b id a a u n a fuei7.a m ó v il d e 2 5 k y u n a c a rg a m óvil
d is trib u id a d e 0.6 le/pie. 1.a c a rg a se a p lic a e n la c u e rd a s u p e rio r.
X
Fb c
0
20
40
60
80
-2 0 p i e s - j - 2 0 p i c s - j - 2 0 p i e s j - 2 0 p i e s - |
0
1
0 .6 6 7
0333
0
(b )
(a)
fig u ra 6 -2 6
S O L U C IÓ N
T a bu la ció n d e v a lo re s . E n la fig u ra 6-26b s e m u e s tr a u n a ta b la d e la
p o s ic ió n . t d e la c a rg a u n ita r ia e n la s ju n ta s a lo la r g o d e la c u e r d a s u p e ­
rio r c o n tr a la f u e r z a e n e l e le m e n to B C . P a r a lo s c á lc u lo s p u e d e u s a rs e
el m é to d o d e la s sec cio n es. P o r e je m p lo , c u a n d o la c a rg a u n ita r ia e s t á en
la j u n t a / ( x = 2 0 p ie s ) , fig u ra 6 -2 6 a , p r im e r o s e d e te r m in a la re a c c ió n
E y ( E y = 0.2 5 ). D e sp u é s, la a r m a d u r a s e s e c c io n a a tra v é s d e B C , I C y
/ / / y s e a ís la e l s e g m e n to d e la d e re c h a , f ig u r a 6-2 6 c. F /k- se o b tie n e al
s u m a r lo s m o m e n to s r e s p e c to a l p u n t o / , p a r a e lim in a r F /// y F /c . L os
d e m á s v a lo re s d e la f ig u r a 6 -2 6 b se d e te r m in a n d e ig u a l m a n e ra .
L ín e a d e in flu e n c ia . A l g r a f ic a r lo s v a lo r e s ta b u l a r e s se o b ti e n e la
lín e a d e in f lu e n c ia , fig u ra 6 -2 6 d . P o r in s p e c c ió n . B C e s u n e le m e n to
p rim a rio . ¿ P o r q u é ?
Fa t -
F u e rz a v iv a c o n c e n tr a d a . 1.a m a y o r f u e r z a e n e l e le m e n to B C
o c u r r e c u a n d o la f u e r e a m ó v il d e 2 5 k s e c o lo c a e n x = 2 0 p i e s P o r lo
ta n to ,
F r c = ( L 0 0 ) ( 2 5 ) = 2 5 .0 k
F*
C a rg a v iv a d is tr ib u id a . L a c a rg a v iv a u n if o r m e d e b e c o lo c a rs e
s o b r e t o d a la c u b ie r ta d e la a r m a d u r a p a r a c r e a r la m a y o r f u e r z a d e
te n s ió n B C * E n to n c e s ,
F u e rz a m á x im a t o t a l.
2 5 .0 k + 2 4 .0 k = 4 9 .0 k
R esp .
• L a m a y o r f u e r z a d e te n s ió n e n e l e l e m e n t o G B d e l e je m p lo 6 1 5 s e c r e a c u a n d o la
c a rg a d is tr ib u id a a c t ú a s o b r e la c u b ie r ta d e la a r m a d u ra d e s d e x = 0 h a s t a x e 8 m , f i­
g u ra 6 2 4 i .
20
80
lin c a d e in f lu e n c ia p a r a F b c
<d)
F b c = [J ( 8 0 ) ( 1 .0 0 ) ] 0 .6 = 2 4 .0 k
( F B c)m ix
1.00 (T )
(c)
2 3 6
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
PROBLEM AS
6 -2 6 . U n a carg a viva uniform e de 1.8 kN/m y u n a sola
tuerza viva co n cen trad a d e 4 kN se co lo can so b re las vigas
de piso. D eterm in e (a ) la fuerza c o rta n te positiva máxim a
en e l p an el B C de la trab e, y (b ) el m om ento m áxim o e n el
p u n to G de la trabe.
A
L
H
IG
C
- t\U cj
025 m 0 2 ! m
i
6 -2 9 . D ibuje la linea de influencia p ara (a ) la fu erza c o r­
tan te e n e l p a n e l B C de la trab e, y (b ) e l m o m en to e n D .
i£
D
Cmin
—_——li\OC—
m
n y_itU.3
P ro h . 6 -2 6
6 -2 7 . U n a carg a viva uniform e de 2 8 kN/m y u n a sola
tuerza viva co n cen trad a de 2 0 kN se colocan so b re las vigas
de piso. Si las vigas tam bién so p o rta n u n a c arg a m u e rta uni­
form e d e 700 N /m , d eterm in e (a) la fuerza c o rta n te positiva
m áxim a e n el p a n e l B C de la tra b e y (b ) el m o m en to posi­
tivo m áxim o en el p u n to G de la trab e.
6
d
G
-1 5 m 1—15 m---0.75 m 0.75 m
-1 5 m-
6 -3 0 . U n c arg a viva u n ifo rm e de 250 Ib/pie y u n a sola
fuerza viva co n c e n tra d a de 1.5 k d e b e n colocarse so b re las
« g a s de piso. D eterm in e (a ) la fuerza co rtan te positiva m á ­
xim a en e l p a n e l A B , y (b ) e l m om ento m áxim o e n D . S u ­
ponga q u e e n los so p o rtes sólo se p ro d u cen reaccio n es
verticales.
2X F
-1.5 m-
P ro b .6 -2 7
*6-28. U na carga viva uniform e d e 2 k /p ic y u n a sola
fuerza viva co n cen trad a de 6 k se colocan so b re las vigas de
piso. Si las vigas tam bién so p o rta n una carga m u erta uni­
form e d e 350 Ib/pie, d eterm in e (a ) la fu erza co rtan te posi­
tiva m áxim a d e l p a n e l C D de la trab e, y (b ) el m om ento
negativo m áxim o en el p u n to D de la trab e. S u p o n g a q u e el
so p o rte e n C es u n rodillo y q u e E e stá articulado.
P ro h . 6 -28
6 -3 1 . U n a carg a viva u n ifo rm e d e 0 .6 k/pic y u n a sola
tu erza viva co n c en tra d a d e 5 k d eb en colocarse so b re las
« g a s superiores. D e te rm in e (a ) la fu erza c o rta n te positiva
máxim a e n e l p a n e l B C de la tra b e , y (b ) e l m o m en to posi­
tivo m áx im o e n C. S u p o n g a q u e e l so p o rte e n B es u n ro d i­
llo y q u e D está articulado.
P roh. 6 -3 1
6 .5
2 3 7
LhJE A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S
•6 -3 2 . D ib u je la línea d e influencia p a ra e l m o m en to e n el
p u n to F de la tra b e . D ete rm in e el m o m en to vivo p ositivo
m áxim o e n e l p u n to F de la trab e, si una so la fu erza viva
co n centrada d e 8 k N se m u ev e a trav és d e las vigas d e piso
su p e rio re s S u ponga q u e los so p o rte s d e to d o s los e le m e n ­
tos só lo p u e d e n e je rc e r fu erzas h acia a rrib a o h acia a b ajo
so b re lo s elem entos.
6 -3 5 . D ib u je la línea d e influencia p ara la fu e rz a co rta n te
e n el p a n e l C D de la trab e. D e te rm in e la fu e rz a co rta n te ne­
gativa m áx im a e n e l p an el C D .d e b id a a una c arg a viva u n i­
form e d e 500 lb/pic q u e a c tú a so b re las vigas superiores.
P ro h . 6 -3 2
P ro h . 6 -3 5
6 -3 3 . U na carg a viva uniform e d e 4 k/pie y u n a so la fuerza
viva co n cen trad a d e 2 0 k se co lo ca n so b re las vigas d e piso.
Si las vigas tam bién so p o rtan u n a c arg a m u e rta u n ifo rm e de
700 Ib/pie, d eterm in e (a ) la fu erza c o rta n te n egativa m á­
xim a en el p an el D E <fc la trab e, y (b ) el m om ento negativo
m áxim o e n e l p u n to C <fe la trabe.
•6 -3 6 . U na carg a viva uniform e d e 6 kN /m y u n a sola
fuerza viva co n c e n tra d a d e 15 k N se co lo ca n so b re las vigas
d e piso. Si las vigas ta m b ié n so p o rta n una c arg a m u erta uni- 6
form e d e 600 N /m ,d e term in e (a ) la fu erza c o rta n te positiva
m áxim a e n el p a n e l C D de la trab e, y (b ) el m om ento p o si­
tivo m áxim o en e l p u n to D de la trabe.
—
^
- . _
- £
b
.....f
f
c
—
—
v
--------4 m --------- 1-------- 4 m --------- -------- 4 m -------
-
3?
=
-------4 m ---------1
P ro h . 6 -3 3
P ro h . 6 -3 6
6 -3 4 . U na carga viva uniform e d e 0.2 k/pie y una sola fuerza
viva co n centrada de 4 k se colocan sobre las vigas d e piso. D e­
term ine (a) la fuerza co rta n te positiva máxim a e n el p an el DF.
tfe la tra b e ,y (b ) el m om ento positivo m áxim o e n H.
6 -3 7 . U na c arg a viva u n ifo rm e d e 1.75 kN /m y u n a sola
fiierza viva co n c e n tra d a d e 8 kN se colocan so b re las vigas
d e piso. Si las vigas ta m b ié n so p o rta n una c arg a m u erta u n i­
form e de 250 N /m ,d e te rm in e (a ) la fu erza c o rta n te n egativa
m áxim a e n e l p a n e l B C de la trab e, y (b ) e l m o m en to p o si­
tivo m áxim o e n B.
j----------------- 3 m
1 % “
•{•
-
-
t
1.5 m —- -—1-5 m —|
r
c
i
P roh. 6 -3 4
P roh. 6 -3 7
0
2 3 8
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 -3 8 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la f u e r a e n (a ) el
e lem en to K J y (b ) e l e lem en to CJ.
6 -4 5 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu erza e n (a ) el
e le m en to F .tl y (b ) e l e le m en to JF .
6 -3 9 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la f u e r a e n (a ) el
e lem en to y /;(b ) e l e le m e n to IF , y (c ) e l e le m e n to EF.
6 -4 6 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l ele­
m ento JI.
6 -4 7 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l ele­
m e n to A L .
L
K
J
|*6 pies—1—6P*es—) 6 pies—|—6 p i e s - ^ 6 p ie s -|-6 pies-]
Probs. 6 -3 8 /6 -3 9
Prob*. 6 -4 5 /6-46/6-47
*6-40. D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el
e lem en to KJ.
*6-48. D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el
e lem e n to B C de la a rm ad u ra W arren. In d iq u e los v alo res
num éricos d e los pico s.T o d o s los e le m e n to s tie n en la mism a
longitud.
6 -4 1 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l e le ­
m e n to JE.
[-8 pies—|—8 pies—J—Hpies— 8 pies- {-8 pies—[-8 p i c s - |
Probs. 6 -40/6-41
P rob. 6-48
6 -4 2 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l e le ­
m e n to CD .
6 -4 9 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l ele­
m ento B F de la a rm ad u ra W arren. In d iq u e lo s valores
num éricos d e los pico s.T o d o s lo s e le m e n to s tie n en la misma
longitud.
6 -4 3 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l e le ­
m e n to JK .
*6-44. D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el
e lem en to D K .
Probs. 6 -4 2 /6-43/6-44
6 -5 0 . D ib u je la línea d e influencia p a ra la fuerza e n e l ele­
m ento F E de la a rm ad u ra W arren. In d iq u e lo s valores
num éricos d e los pico s.T o d o s los e le m e n to s tie n en la m ism a
longitud.
P robs.
6 -4 9 /6 -5 0
6 .5
6 -5 1 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el ele­
m en to C L .
*6-52. D ibuje la línea de influencia p a ra la fu e rz a e n el
e lem en to D L .
6 -5 3 . D ibuje la línea d e influencia p ara la fu erza e n e l e le ­
m en to CD .
LhJE A S D E IN F L U E N C IA P A R A A R M A D U R A S
239
•6 -5 6 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el
e lem en to G D . luego d e te rm in e la fuerza m áx im a (e n te n ­
sión o co m p resió n ) q u e p u ed e d esarro llarse en e ste ele­
m ento d eb id o a una c arg a viva uniform e d e 3 kN /m q u e
actúa so b re la cu b ie rta del p u e n te a lo largo de la c u e rd a in ­
ferior d e la arm adura.
6 ® 9 pies - 54 pies------Probs. 6 -5 1 /6-52/6-53
6 -5 4 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el ele
m en tó CD .
P ro b . 6 -5 4
6 -5 5 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l ele­
m en to KJ.
P ro h . 6 -5 6
6 -5 7 . D ibuje la linca d e influencia p a ra la fu e rz a e n el ele­
m en to C D y después d e term in e la fuerza m áxim a (e n tensión
o co m p resió n ) q u e p u e d e d esarro llarse en este e le m en to
d eb id o a la carga v iv a uniform e d e 800 Ib/pie, la c u a l a c tú a a
lo largo d e la c u e rd a in ferior d e la a rm a d u ra .
6
P ro b . 6 -5 7
6 -5 8 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu e rz a e n e l e le ­
m en to C F y después efetermine la fuerza m áxim a ( e n tensión
o co m p resió n ) q u e p u e d e d esarro llarse en este e le m en to
d eb id o a la c arg a viva uniform e d e 800 Ib/pie, q u e se tra n s­
mite a la a rm a d u ra lo largo de s u c u e rd a inferior.
P ro b . 6-58
2 4 0
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
6 .6
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
In flu e n d a m á x im a e n u n p u n to
d e b id o a u n a s e rie d e ca rg a s
c o n c e n tra d a s
U n a v e z q u e s e h a e s ta b le c id o la lín e a d e in f lu e n c ia d e u n a fu n c ió n p a r a
u n p u n to d e u n a e s tr u c tu r a , e l e f e c t o m á x im o c a u s a d o p o r u n a f u e r z a
v iv a c o n c e n t r a d a se d e te r m i n a a l m u ltip lic a r la o r d e n a d a m á x im a d e la
lín e a d e in f lu e n c ia p o r la m a g n itu d d e la fu e r z a . S in e m b a r g o , e n a lg u n o s
c a s o s s e d e b e n c o lo c a r va ria s fu e r z a s c o n c e n t r a d a s s o b r e la e s tr u c tu r a ;
p o r e je m p lo , la s c a rg a s d e la s r u e d a s d e u n c a m ió n o u n tr e n . P a r a d e t e r ­
m in a r e l e f e c to m á x im o e n e s t e c a s o p u e d e u s a r s e u n p r o c e d i m i e n to d e
p r u e b a y e r r o r , o b ie n u n m é to d o b a s a d o e n e l c a m b io e n la fu n c ió n q u e
s e p r e s e n t e c o n e l m o v im ie n to d e la c a r g a . A c o n tin u a c ió n s e d a r á u n a
e x p lic a c ió n d e c a d a u n o d e e s t o s m é to d o s , e s p e c ífic a m e n te a p lic a d o s a la
f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to .
Cuando el Iren pasa so b ic esle puente de
vigas, la locom otora y sus vagones ejercen
reacciones verticales sobre la trabe. Para el
diseño del puente, deben considerarse estas
reacciones junto con la carga m uerta del
puente.
6
Fuerza c o rta n te . C o n s id e r e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a c o n la
lín e a d e in f lu e n c ia a s o c ia d a p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o C d e la fi­
g u ra 6 -2 7 a . I ja fu e r z a c o rla n te p o s itiv a m á x im a e n e l p u n t o C e s tá d e t e r ­
m in a d a p o r la s e r ie d e c a rg a s c o n c e n tr a d a ( r u e d a s ) q u e s e m u e v e n d e
d e r e c h a a iz q u ie rd a s o b r e l a v ig a . 1.a c a r g a c r ític a s e p r o d u c ir á c u a n d o
u n a d e la s c a rg a s s e c o lo q u e ju s to a la d e r e c h a cfel p u n t o C , e l c u a l e s
c o in c id c n te c o n e l p ic o p o s itiv o d e l a lí n e a d e in f lu e n c ia . E n to n c e s , c a d a
u n o d e lo s tr e s c a s o s p o s ib le s p u e d e in v e s tig a rs e m e d ia n te p r u e b a y
e r r o r , f ig u r a 6 -2 7 b . S e ti e n e
C a so 1:
(V V ), = 1 (0 .7 5 ) + 4 ( 0 .6 2 5 ) + 4 ( 0 .5 ) = 5.25 k
C aso 2:
( V c ) 2 = 1 ( - 0 . 1 2 5 ) -t 4 (0 .7 5 ) + 4 ( 0 .6 2 5 ) = 5 .3 7 5 k
C a so 3:
( V c ) s = * (0 ) + 4 ( - 0 . 1 2 5 ) + 4 (0 .7 5 ) = 2 .5 k
E n e l c a s o 2 , c o n la f u e r z a d e 1 k lo c a liz a d a a 5* p ie s d e l s o p o r te iz ­
q u ie r d o , s e o b ti e n e e l v a lo r m á s g r a n d e d e V c y, p o r lo ta n to , r e p r e s e n ta
la c a r g a c rític a . E n r e a lid a d , la in v e s tig a c ió n d e l c a s o 3 n o e s n e c e s a r ia ,
p u e s to q u e p o r in s p e c c ió n p u e d e v e r s e q u e u n a r r e g lo d e c a rg a s c o m o
é s t e g e n e r a r ía u n v a lo r d e ( V c h , q u e s e r í a m e n o r q u e ( Vc ) 2.
lk
4k
n e E = ?
10 pies- 1--------------- 30 pies0.75
10
025
línea de influencia para Vc
(a)
H g u ra 6 -2 7
h + H
4k
6 .6
In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s
lk
4k
4 k
i ¿i
|— 10 p ie s —|--------------------3 0 pi<
lk
4 k
I 5 I 5 I
p ie s p ie s
4k
i — Í t— Í l
M O p ie s - 4 ^
C aso I
Vc
0.75
10
&
15
20
-0 2 5
lk
4k
4 k
C aso 2
-0 2 5
lk
4 k
4k
Í> — Í)
C aso 3
0.75
’c
5
-0 .1 2 5
10
.
-0 2 5
(b )
F ig u ra 6 - 2 7
2 4 1
2 4 2
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
C u a n d o m u c h a s c a r g a s c o n c e n tr a d a s a c tú a n s o b r e e l c la r o , c o m o e n el
c a s o d e la c a r g a d e E -7 2 d e la fig u ra 1- 11, lo s c á lc u lo s p o r p r u e b a y e r r o r
u tiliz a d o s a n te r io r m e n te p u e d e n r e s u l t a r te d io s o s . E n v ez d e e s t o , la p o ­
s ic ió n c r ític a d e la s c a r g a s p u e d e d e te r m in a r s e d e u n a m a n e r a m á s d i ­
r e c ta s i s e e n c u e n t r a e l c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n t e , A V , q u e s e p r o d u c e
c u a n d o las c a rg a s s e m u e v e n d e l c a s o 1 a l c a s o 2 ; lu e g o d e l c a s o 2 a l c a s o 3
y a s í s u c e s iv a m e n te . S ie m p re q u e c a d a A V c a lc u la d o s e a p o s itiv o , la
n u e v a p o s ic ió n p r o d u c i r á u n a f u e r z a c o r t a n t e m á s g r a n d e e n e l p u n t o C
d e l a v ig a q u e la p o s ic ió n a n te r io r . S e in v e s tig a c a d a m o v im ie n to h a s ta
q u e s e p r e s e n te u n c a m b io n e g a tiv o e n l a f u e r z a c o r t a n te . C u a n d o e s to
o c u r r e , la p o s ic ió n a n t e r i o r d e las c a r g a s p r o p o r c io n a r á e l v a lo r c rític o .
E l c a m b io AV' e n la f u e r z a c o r t a n te p a r a u n a c a r g a P q u e s e m u e v e d e s d e
la p o s ic ió n x i h a s ta x i s o b r e u n a v ig a p u e d e d e te r m in a r s e a l m u ltip lic a r
P p o r e l c a m b io e n la o r d e n a d a d e la lín e a d e in flu e n c ia , e s d e c ir (><2 y , ) . S i la p e n d ie n t e d e la lín e a d e in f lu e n c ia e s s .e n t o n c e s O 2 —>'») = s ( x 2
- x }) y. p o r lo ta n t o
AV' = P s ( x 2 ~ x , )
( 6 - 1)
L ín e a in c lin a d a
Si la c a r g a s e m u e v e m á s a llá d e u n p u n t o e n e l q u e h a y u n a d is c o n ti­
n u id a d o “ s a l t o " e n la lí n e a d e in f lu e n c ia , c o m o e l p u n t o C d e la fig u ra
6 - 2 7 a ,e n t o n c e s el c a m b io e n la f u e r z a c o r t a n te n o e s m á s q u e
( 6- 2 )
E l u s o d e la s e c u a c io n e s a n te r io r e s s e il u s t r a r á c o n r e f e r e n c ia a la viga,
la c a r g a y la lín e a d e in flu e n c ia p a r a V 'c .q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -28 a .
O b s e r v e q u e la m a g n itu d d e la p e n d ie n te d e la lín e a d e in f lu e n c ia e s s =
0 .7 5 /(4 0 - 10) = 0 .2 5 /1 0 = 0 .0 2 5 , y e l s a lto e n C tie n e u n a m a g n itu d de
0 .7 5 + 0.25 = 1. C o n s id e r e q u e la s c a rg a s d e l c a s o 1 s e m u e v e n 5 p ie s h a sta
e l c a s o 2 , f ig u r a 6 -2 8 6 . C u a n d o e s to o c u rr e , la c a rg a d e 1 k s a lta h a c ia a b a jo
(
1) y to d a s la s c a rg a s s e m u e v e n h a c ia a rr ib a p o r la p e n d ie n t e d e la
lí n e a d e in flu e n c ia . E s to c a u s a u n c a m b io d e la f u e r z a c o rta n te ,
A V 'j_2 = 1 ( - 1 ) + [1 + 4 + 4 J ( 0 .0 2 5 ) ( 5 ) = + 0 1 2 5 k
C o m o AV'i_ 2 es p o s i ti v o ,e l c a s o 2 g e n e r a r á u n v a lo r m ás g r a n d e p a r a V c
q u e e l c a s o 1. ( C o m p a r e las r e s p u e s ta s p a r a ( V ¿ )\ y ( V ¿ h c a lc u la d a s p r e ­
v ia m e n te , d o n d e d e h e c h o ( V c h = ( ^ c ) i + 0 1 2 5 .) A l in v e s tig a r AV' 2_ 3
q u e s e p r o d u c e c u a n d o e l c a s o 2 s e m u e v e h a s ta e l c a s o 3 , fig u ra 6 -2 8 6 ,
d e b e t e n e r s e e n c u e n ta e l s a lto h a c ia a b a j o ( n e g a t iv o ) d e la c a r g a d e 4 k
y e l m o v im ie n to h o r iz o n ta l d e 5 p ie s d e to d a s la s c a r g a s h a c ia a r r ib a p o r
la p e n d ie n t e d e la lín e a d e in f lu e n c ia . S e ti e n e
A V '2-3 = 4 ( - l ) + ( 1 + 4 + 4 ) ( 0 .0 2 5 ) ( 5 ) = - 2 .8 7 5 k
C o m o AV'2 -3 e s n e g a tiv o ,e l c a s o 2 e s la p o s ic ió n c r ític a d e la c a r g a ,c o m o
s e d e te r m i n ó p r e v ia m e n te .
6 .6
In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s
2 4 3
lk
4 k
Á rr
4 k
-4—j l
hr+rH
p ie s p ie s
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a Vc
(a)
lk
4k
4 k
C aso 1
-0 .2 5
lk
4 k
4 k
i
5
5 15
p .e s p í o p*es
vc
u
C aso 2
J 0.625
5
40
10
-0 .1 2 5
lk
4k
.
4 k
C aso 3
- 0 .2 5
(b)
fig u ra 6-28
2 4 4
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
M o m e n to .
L o s m é to d o s a n te r io r e s ta m b ié n p u e d e n u tiliz a rse p a r a d e ­
te r m in a r la p o s ic ió n c r ític a d e u n a s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s p a r a
q u e c r e e n e l m a y o r m o m e n to i n t e r n o e n u n p u n t o e s p e c ífic o d e u n a e s ­
tr u c tu r a . P o r s u p u e s to , p r i m e r o e s n e c e s a r io d ib u j a r la lí n e a d e in f lu e n c ia
p a ra e l m o m e n to e n e l p u n t o y d e t e r m i n a r la s p e n d ie n t e s s d e s u s s e g ­
m e n to s d e lín e a . P a r a u n m o v im ie n to h o r iz o n ta l ( x 2 - ^ i ) d e u n a f u e r z a
c o n c e n tr a d a P , e 1 c a m b io e n e l m o m e n to A W .e s e q u iv a le n te a la m a g n i­
tu d d e la f u e r z a p o r e l c a m b io e n l a o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia
b a jo la c a r g a , e s d e c ir .
A M = P s { x 2 ~ x x)
L a s t r a b e s d e e s te p u e n t e d e b e n r e s is ti r e l m o ­
m e n to m á x im o c a u s a d o p o r e l p e s o d e e ste
l i n e a in c lin a d a
a v ió n a p r o p u ls ió n m ie n tr a s p a s a s o b r e él.
6
C ó m o e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a , la c a r g a y la lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a
e l m o m e n to e n e l p u n t o C d e la fig u ra 6 -2 9 a . S i c a d a u n a d e la s tr e s f u e r ­
z a s c o n c e n t r a d a s s e c o lo c a s o b r e l a v ig a , e n f o r m a c o in c id e n te c o n el
p ic o d e la lín e a d e in f lu e n c ia , s e o b t e n d r á la m a y o r in f lu e n c ia d e c a d a
fu e r z a . E n la fig u ra 6 -2 9 b s e m u e s tr a n lo s t r e s c a s o s d e c a r g a . C u a n d o las
c a rg a s d e l c a s o 1 s e m u e v e n 4 p ie s a l a iz q u ie rd a h a s t a e l c a s o 2 . s e o b ­
s e r v a q u e la c a r g a d e 2 k á s m i n u y e A W ,_ 2, y a q u e la p e n d ie n te (7 .5 /1 0 )
e s d e sc e n d e n te J ig u r a 6 -2 9 a . A s im is m o , la s f u e r z a s d e 4 k y 3 k o c a s io n a n
u n a u m e n to d e A W |_ 2. p u e s t o q u e l a p e n d ie n te f7.5 /(4 0 - 10)J e s a s c e n ­
d e n te .S e ti e n e
A * .-» - - * ( l £ ) w + (4 + 3) ( ió Zn o ) (4) = , 0k pie
C o m o A W |_ 2 e s p o s i ti v o .e s n e c e s a r io in v e s tig a r a ú n m á s e l m o v im ie n to
d e las c a r g a s d e 6 p ie s d e l c a s o 2 a l c a s o 3.
“
» = - ( 2 + 4> © < 6> + i w
h ¡ )w
=
- 2 2 -5 k - p ie
A q u í e l c a m b io e s n e g a tiv o , p o r lo q u e e l m a y o r m o m e n to e n C o c u r r ir á
c u a n d o la v ig a e s t é c a r g a d a c o m o s e m u e s tr a e n el c a s o 2 . fig u ra 6 -2 9 c .
P or lo ta n t o , e l m o m e n to m á x im o e n C e s
( M c L i * = 2 ( 4 .5 ) + 4 ( 7 .5 ) + 3 ( 6 .0 ) = 5 7 .0 k - p ie
L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n a ú n m á s e s t e m é to d o .
6 .6
In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e b d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s
2k
4k
3 k
jk
“
' V i o p ie s-
«I
3 0 p ie s
I n e a d e in flu e n c ia p a r a M c
(a )
2 k
4k
3k
C aso 2
(c )
Figura 6 -2 9
* f 4 >
p ie s
Á H
p ies
2 4 5
2 4 6
C a p it u l o
EJEMPLO
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 .1 8
D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n te p o s itiv a m á x im a c r e a d a e n e l p u n t o B
d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 3 0 a ,d e b id o a la s c a rg a s d e la s
r u e d a s d e l c a m ió n e n m o v im ie n to .
15 k
10 k
B
-1 0 p ie s -
-10 p ie s
-| |-,
(a)
fig u ra 6 -3 0
S O L U C IÓ N
L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r e a c o r t a n te e n B se m u e s tra e n la fi­
g u ra 6 -3 0 6 .
0.5
10
20
-0 3
I n e a d e in flu e n c ia p a r a V „
(b )
M o v im ie n to d e 3 p ie s d e la c a rg a d e 4 k . Im a g in e q u e la c a r g a de
4 k a c t ú a j u s t o a la d e r e c h a d e l p u n t o f l . d e m a n e r a q u e s e o b ti e n e
s u in flu e n c ia p o s itiv a m á x im a . D a d o q u e e l s e g m e n to d e v ig a B C tie n e
10 p ie s d e la rg o , la c a r g a d e 10 k n o e s tá to d a v ía s o b r e la v ig a . C u a n d o
e l c a m i ó n s e m u e v e 3 p ie s a la iz q u ie rd a , la c a r g a d e 4 k s a lta 1 u n id a d
h a c ia a h a jo s o b r e la lín e a d e in f lu e n c ia y la s c a r g a s d e 4 k , 9 k y 1 5 k
c r e a n u n in c r e m e n to p o s itiv o e n AVfl. p u e s to q u e la p e n d ie n te e s a s ­
c e n d e n t e h a c ia la iz q u ie r d a . A u n q u e la c a r g a d e 10 k ta m b ié n s e m u e v e
h a c ia a d e la n te 3 p ie s , a ú n n o e s tá s o b r e l a v ig a . P o r lo ta n to .
AV'fl = 4 ( — 1) + ( 4 + 9 + 1 5 ) ( ^ j ) 3 = + 0 .2 k
M o v im ie n to d e 6 p ie s d e la c a rg a d e 9 k . C u a n d o la c a r g a d e 9 k
a c tú a ju s to a la d e r e c h a d e B ,y d e s p u é s e l c a m ió n s e m u e v e 6 p ie s a la
iz q u ie rd a , s e tie n e
= 9(
1 ) + ( 4 + 9 + 1 5 ) ( ^ ) ( 6 ) + i o ( 5 0 4 ) = + 1 .4 k
O b s e r v e e n e l c á lc u lo q u e la c a r g a d e 1 0 k s ó l o s e m u e v e 4 p ie s s o b r e
la v ig a .
6 .6
In f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e s d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s
M o v i m i e n t o d e 6 p i e s d e l a c a r g a d e 1 5 k . Si la c a rg a d e 15 k se
c o lo c a j u s t o a la d e r e c h a d e R y d e s p u é s e l c a m ió n se m u e v e 6 p ie s a
la iz q u ie r d a , la c a rg a d e 4 k s ó l o s e m u e v e u n p ie h a s ta q u e e s tá fu e ra
d e la v ig a , y ta m b ié n la c a r g a d e 9 k s e m u e v e s ó l o 4 p ie s h a s t a q u e
q u e d a f u e r a d e la v ig a . P o r lo ta n to .
AV„ = 1 5 (-1 ) +
+ 9 g ) ( 4 ) + (1 5 + 1 0 ) ( ^ ) ( 6 )
= - 5 .5 k
C o m o A V B a h o ra e s n e g a tiv o , la p o s ic ió n c o r r e c ta d e la s c a r g a s se
p ro d u c e c u a n d o la c a rg a d e 15 k e s t á ju s to a la d e r e c h a d e l p u n t o R , fi­
g u ra 6 -3 0 c . E n c o n s e c u e n c ia ,
( V 'f l W = 4 ( - 0 . 0 5 ) + 9 ( - 0 . 2 ) + 1 5 (0 .5 ) + 1 0 (0 .2 )
R e sp .
= 7 .5 k
E n l a p r á c tic a , ta m b ié n d e b e c o n s id e r a r s e e l m o v im ie n to d e l c a m ió n
d e iz q u ie r d a a d e r e c h a y lu e g o e le g ir e l v a lo r m á x im o e n t r e e s t a s d o s
s itu a c io n e s
().?
1
4
^ ---- J
-°°5 . 0 2 -
10
- c L5
(c)
16
20
2 4 7
2 4 8
C a p it u l o
EJEMPLO
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 .1 9
D e te r m in e e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o c r e a d o e n e l p u n t o B d e la
v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 - 3 la , d e b id o a la s c a rg a s d e la s r u e ­
d a s d e la g rú a .
8 kN
4 kN
I
3 kN
Á 3m
u * u
'A
( - 2 m - ----- 3 m — |
t 20
4 kN
¿
8 lj N
3 kN
4 ,
' m - ¿ ■ '" i
r
l t
,
ínea de influencia para M H
1 - 2 m -|— 3 m — + - 2 m - j
(a)
(b)
Figura 6 -3 1
S O L U C IÓ N
L a lín ea d e in flu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n B s e m u e s tra e n la fig u ra 6-31 b.
M o v im ie n to d e 2 m d e la c a rg a d e 3 k N . Si s e s u p o n e q u e la
c a r g a d e 3 k N a c t ú a e n B y lu e g o s e m u e v e 2 m a la d e r e c h a , fig u ra
6 -3 1 /> ,el c a m b io e n e l m o m e n to e s
A M „ = - 3 ( i f S ) ( 2 ) + s ( ^ ) ( 2 ) - 7 .2 0 k N
m
¿ P o r q u é n o s e in c lu y e la c a r g a d e 4 k N e n lo s c á lc u lo s ?
M o v im ie n to d e 3 m d e la c a rg a d e 8 k N . Si s e s u p o n e q u e la
c a rg a d e 8 k N a c tú a e n B y lu e g o s e m u e v e 3 m h a d a la d e r e c h a , e l
c a m b io e n e l m o m e n to e s
AMs = _ 3 ( l | 0 ) ( 3 ) _ 8( l f 0 ) o ) + 4 ( l | 0 ) ( 2 ,
= - 8 .4 0 k N - m
O b s e r v e a q u í q u e la c a r g a d e 4 k N e s t a b a in ic ia lm e n te 1 m f u e r a d e la
v ig a , p o r lo q u e s e m u e v e s ó l o 2 m s o b r e la viga.
C o m o n o h a y u n c a m b io d e s ig n o e n D A S g.la p o s i d ó n c o n -e c ta d e
la s c a rg a s p a r a e l m o m e n to p o s itiv o m á x im o e n B se p r o d u c e c u a n d o
la f u e r z a d e 8 k N e s t á e n B ,f i g u r a 6 -3 1 b . ft» r lo ta n to .
{ M b ) mi* = 8 ( 1.20) + 3 ( 0 .4 ) = 10.8 k N • m
R esp .
6 .6
I n f l u e n c i a m á x i m a e n u n p u n t o d e s d o a u n a s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s
D e te r m in e la f u e r z a m á x im a d e c o m p r e s ió n d e s a r r o ll a d a e n e l e l e ­
m e n to B G d e la a r m a d u r a la te r a l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 6 -3 2 a ,
d e b id o a la s c a r g a s d e la s r u e d a s d e l la d o d e r e c h o d e l a u to m ó v il y el
re m o lq u e . S u p o n g a q u e la s c a r g a s s e a p lic a n d ir e c ta m e n te a la a r m a ­
d u r a y q u e s e m u e v e n s ó l o a la d e r e c h a .
(■)
F ig u ra 6 - 3 2
S O L U C IÓ N
L a lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a e n e l e le m e n to B G s e m u e s tr a e n
b fig u ra 6 -3 2 b . A q u í s e u s a r á u n e n f o q u e d e p r u e b a y e r r o r p a r a o b t e ­
n e r la s o lu c ió n . C o m o s e b u s c a la m á x im a f u e r z a n e g a tiv a ( c o m p r e ­
sió n ) e n B G , s e c o m ie n z a d e la s ig u ie n te m a n e r a :
C a rg a d e 1 .5 k N e n e l p u n to C .
E n e s te c a s o ,
= - 0 .7 2 9 k N
C a rg a d e 4 k N e n e l p u n to C.
m ás r a z o n a b le q u e e l a n te r io r .
I\>r in s p e c c ió n , é s t e p a r e c e u n c a s o
F b g = 4 k N ( - 0 . 6 2 5 ) + 1.5 k N ( - | ^ P ) ( 4 m ) + 2 k N ( 0 3 1 2 5 )
= - 2 .5 0 k N
C a rg a d e 2 k N e n e l p u n t o C
E n e s t e c a s o to d a s las c a r g a s
c r e a r á n u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n e n B C .
F bg = 2 k N ( - 0 .6 2 5 ) + 4 k N
= - 2 .6 6 kN
R esp .
C o m o e s t e ú ltim o c a s o r e s u lta e n la r e s p u e s ta m á s g r a n d e , la c a r g a c r í­
tic a se p r o d u c e c u a n d o la c a r g a d e 2 k N e s t á e n C.
2 4 9
2 5 0
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
6 .7
p a p a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
F u e rza c o r ta n te y m o m e n to m á x im o
a b s o lu to
E n la se c c ió n 6-6 s e d e s a r r o ll a r o n lo s m é to d o s p a r a c a lc u la r la fu e rz a
c o r t a n te y e l m o m e n to m á x im o s e n u n p u m o e s p e c ífic o cfc u n a v ig a d e ­
b id o a u n a s e r ie d e c a rg a s m ó v ile s c o n c e n tr a d a s . U n p r o b l e m a m á s g e n e ­
r a l in v o lu c ra la d e te r m in a c ió n ta n t o d e la u b ic a c ió n d e l p u n t o e n la v ig a
c o m o d e la p o s ic ió n d e la ca rg a e n la v ig a d e m o d o q u e s e o b te n g a la
f u e r z a c o r ta n te y e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to s r e s u lta n te s d e la s c a r ­
gas. S i la v ig a e s tá e n v o la d iz o o s im p le m e n te a p o y a d a , e s t e p r o b le m a
p u e d e re s o lv e r s e c o n fa c ilid a d .
Fuerza c o rta n te .
P a r a u n a vig a e n v o la d i z o la f u e r z a c o r t a n t e m á ­
x im a a b s o l u ta s e p r o d u c i r á e n u n p u n to s i tu a d o j u s t o e n s e g u id a d e l s o ­
p o r t e fijo . L a f u e r z a c o r t a n te m á x im a se e n c u e n t r a p o r e l m é to d o d e las
s e c c io n e s , c o n la s c a r g a s u b ic a d a s e n c u a l q u i e r l u g a r d e l c l a r o , fig u ra
i
6 -3 3 .
P a r a la s v ig as s im p le m e n te a p o y a d a s la f u e r z a c o r ta n te m á x im a a b s o ­
lu t a s e p r o d u c e j u s t o e n s e g u id a d e u n o d e lo s s o p o r te s . P o r e je m p lo , s i las
c a r g a s s o n e q u iv a le n te s ,s e c o lo c a n d e f o r m a q u e l a p r i m e r a e n la s e c u e n c ia s e u b iq u e c e r c a d e l s o p o r t e , c o m o e n la f ig u r a 6 -3 4 .
vg ¿
„
rig u ra 6 -3 4
M o m e n to .
E l m o m e n to m á x im o a b s o l u to d e u n a v ig a en v o la d iz o se
p ro d u c e e n e l m is m o p u n t o d o n d e o c u r r e la f u e r z a c o r t a n te m á x im a a b ­
s o lu ta . a u n q u e e n e s t e c a s o la s c a r g a s c o n c e n t r a d a s d e b e n u b ic a r s e e n el
o tr o e x tr e m o d e la v ig a , c o m o e n la fig u ra 6 -3 5 .
P a r a u n a viga s im p le m e n te a p o y a d a , e n g e n e r a l , la p o s ic ió n c r ític a d e
la s c a r g a s y e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to a s o c ia d o n o p u e d e n d e te r m in a r s e p o r in s p e c c ió n . S in e m b a r g o . e s p o s ib le d e t e r m i n a r la p o s ic ió n d e
m a n e r a a n a lític a . P a r a fin e s d e e s te a n á lis is , c o n s i d e r e u n a v ig a s o m e tid a
a la s f u e r z a s F ,. F 2. F , q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -3 6 a . D a d o q u e e l d i a ­
g r a m a d e m o m e n to p a r a u n a s e r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s c o n s t a d e
s e g m e n to s d e r e c t a q u e t i e n e n p ic o s e n c a d a f u e r z a , e l m o m e n to m á x im o
a b s o lu to o c u r r ir á b a jo u n a d e la s f u e i z a s S u p o n g a q u e e s t e m o m e n to
m á x im o s e p r o d u c e b a jo F 2. L a p o s ic ió n d e la s c a r g a s F ,, F 2. F 3 s o b r e la
i
( i — J> J)
i
A».
« g u ra 6 -3 5
v ig a e s t a r á e s p e c ific a d a p o r la d is ta n c i a x , m e d id a d e s d e F 2 h a s ta la lín e a
c e n tr a l d e la v ig a , ta l c o m o s e m u e s tr a . P a r a d e te r m i n a r u n v a lo r e s p e c í­
fic o d e x ,p r i m e r o s e o b ti e n e la f u e r z a r e s u lta n t e d e l s i s te m a . F * ,y s u d is -
F*
F,
F2
M,
U
= 1 '
L
2
A,
(a )
»*
Figura 6-36
rm :
(b)
6 .7
F lE R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X IM O A B S O LU T O
2 5 1
ta n c ia x ' m e d id a d e s d e F 2. U n a v ez h e c h o e s lo , lo s m o m e n to s s e s u m a n
re s p e c to a B , d e d o n d e s e o b ti e n e la r e a c c ió n a l a iz q u ie rd a d e l a v ig a ,
A v, e s d e c ir ,
S M fí = 0 ;
A y ° T ( F *)
|
- (T -
S i la v ig a se s e c c io n a ju s to a la iz q u ie rd a d e F 2, e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re r e s u lta n t e e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 6-36¿>. P o r lo ta n to , e l
m o m e n to M 2 b a jo F 2 e s
El
SM
= 0;
Mi
A{
\
~ x)
m o m e n to
m á x im o
a b s o lu to
en
e s te
p u e n t e d e t r a b e s e s e l r e s u l t a d o d e la s c a r ­
g a s m ó v ile s c o n c e n t r a d a s c a u s a d a s p o r la s
F td
• ■
-
m e d a s d e lo s v a g o n e s d e l tre n . L o s v a g o n e s
d e b e n e s ta r e n la p o s ic ió n c rític a y d e b e
FrL
F &
“1 -----ñ
F„x 2 . F „ x x '
+ — i
/
.. ,
M i
P a r a q u e Af2 s e a m á x im o s e r e q u i e r e
d M i
dx
= -2
F r x
x
L
F r x '
_ Q
L
o b ie n .
x'
X ~ 2
ft>r l o ta n t o , s e p u e d e c o n c lu i r q u e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to en
u n a viga s im p le m e n te a p o y a d a s e p r o d u c e b a jo u n a d e Lis fu e r z a s c o n c e n ­
tradas, p o r lo q u e e s ta f u e r z a se c o lo c a s o b r e la v ig a d e m o d o q u e e lla y la
f u e r z a re s u lta n te d e l s is te m a s e a n e q u id is ta n te s d e s d e la lín e a c e n tr a l d e
la v ig a . P u e s to q u e h a y u n a s e r i e d e c a rg a s s o b r e e l c la r o ( p o r e je m p lo ,
F |, F 2, F , e n la fig u ra 6 -3 6 a ), e s t e p r in c ip io te n d r á q u e a p lic a r s e a c a d a
c a rg a d e la s e r ie y d e b e r á c a lc u la rs e e n c a d a m o m e n to m á x im o c o r r e s ­
p o n d ie n te . P o r c o m p a r a c ió n , e l m o m e n to m á s g r a n d e s e r á e l m o m e n to
m á x im o a b s o lu to . S in e m b a r g o , c o m o r e g la g e n e r a l e l m o m e n to m á x im o
a b s o lu to s u e le o c u r r i r b a jo la f u e r z a m á s g r a n d e q u e s e u b ic a m á s c e rc a
d e la f u e r z a r e s u lta n t e d e l s is te m a .
E nvolvente de los valores m áxim os de la línea de in ­
flu e n cia . L a s re g la s o fó r m u la s p a r a d e t e r m i n a r la f u e r z a c o r t a n te o
e l m o m e n to m á x im o s a b s o lu to s s o n d ifíc ile s d e e s t a b le c e r p a r a las v ig a s
q u e s e a p o y a n d e u n a m a n e r a d is tin ta a l v o la d iz o o a l a p o y o s i m p l e .q u e
ya s e a n a liz a r o n a q u í. N o o b s t a n t e , u n a f o r m a e le m e n ta l d e p r o c e d e r
p a ra la s o lu c ió n d e e s t e p r o b le m a r e q u i e r e l a c o n s tr u c c ió n d e lín e a s d e
in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n lo s p u n to s s e le c c io n a ­
d o s a lo l a r g o d e to d a la v ig a y e l c á lc u lo p o s t e r io r d e l a f u e r z a c o r t a n t e o
e l m o m e n to m á x im o s e n la v ig a p a r a c a d a p u n to , e m p l e a n d o p a r a e llo
lo s m é to d o s d e la se c c ió n 6 -6 . A l g ra f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e u n a
“e n v o lv e n te d e m á x im o s " , a p a r t i r d e la c u a l p u e d e d e te r m in a r s e ta n t o
e l v a lo r m á x im o a b s o lu to d e la f u e r z a c o r ta n te o d e l m o m e n to c o m o s u
u b ic a c ió n . P o r s u p u e s to , s e r e c o m ie n d a u n a s o lu c ió n e n c o m p u ta d o r a
p a ra la s s i tu a c io n e s c o m p lic a d a s d e e s t e p r o b l e m a , y a q u e e l t r a b a j o
p u e d e s e r te d i o s o s i s e re a liz a m a n u a lm e n te .
id e n tif ic a r s e la u b ic a c ió n d e l p u n t o e n la
v ig a d o n d e s e p r o d u c e e l m o m e n t o m á x im o
a b s o lu t o .
2 5 2
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
D e te r m in e e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to e n la c u b ie r ta d e l p u e n te
s im p le m e n te a p o y a d o d e la fig u ra 6 -3 7 a.
“ 4-5 k
|.____________
3 0 p ie s -
S O L U C IÓ N
F „ - 4 .5 k
P r im e r o se d e te r m i n a n la m a g n itu d y la p o s ic ió n d e la f u e r z a r e s u l ­
ta n t e d e l s i s te m a , f ig u r a 6 -3 7 a . S e ti e n e
+ 1Fr = ZF;
* . —
¡i —
*>,
F * = 2 + 1.5 + 1 = 4 .5 k
'•
— u
“ y ~
*
A h o r a , u s a n d o la se c c ió n iz q u ie rd a d e la viga, f ig u r a 6-37c. s e o b tie n e
i + Z A /s = 0 ;
- 2 .5 0 ( 1 6 .6 7 ) + 2 ( 1 0 ) + M s = 0
M s = 21.7 k - p i e
A , = 2S k
(c)
H g u ra 6 -3 7
6 .7
F l f R 7 A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X IM O A B S O LU T O
H a y u n a p o s ib ilid a d d e q u e e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to p u e d a
o c u r r ir b a jo la c a r g a d e 2 k , p u e s to q u e 2 k > 1 .5 k y F/* e s tá e n t r e 2 k
y 1.5 k. P a r a in v e s tig a r e s t e c a s o , la c a r g a d e 2 k y F * se c o lo c a n e q u i­
d is ta n te s d e la lí n e a c e n tr a l d e la v ig a , fig u ra 6 -3 7 d . D e m u e s tr e q u e A y
= 1.75 k c o m o s e in d ic a e n la fig u ra 6 - 3 7 e y q u e
M s = 2 0 .4 k • p ie
ft>r c o m p a r a c ió n , e l m o m e n to m á x im o a b s o l u to e s
M s = 2 1 .7 k - p i e
e l c u a l s e p r o d u c e b a jo la c a r g a d e 1.5 k . c u a n d o la s c a rg a s s e u b ic a n
s o b r e la v ig a c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 6 -3 7 b .
F , - 43 k
2k
13 k
2 k
A , - 1.75 k
lk
253
2 5 4
C a p it u l o
EJEMPLO
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
6 .2 2
E l c a m ió n tie n e u n a m a s a d e 2 M g y u n c e n tr o d e g r a v e d a d e n G .c o m o
s e m u e s tra e n la fig u ra 6 -3 & I. D e te rm in e e l m o m e n to m á x im o a b s o lu to
q u e se d e s a r ro lla e n la c u b ie r ta d e l p u e n te s im p le m e n te a p o y a d o , d e ­
b id o a l p e s o d e l c a m ió n . E l p u e n te tie n e u n a lo n g itu d d e 1 0 m .
S O L U C IÓ N
C o m o s e o b s e r v a e n la f ig u r a 6 - 3 8 a ,e l p e s o d e l c a m i ó n , 2 ( 103) k g (9 .8 1
m /s2) = 19.62 k N .y la s r e a c c io n e s d e la s r u e d a s s e c a lc u la ro n c o n b a s e
e n la e s tá tic a . D a d o q u e l a m a y o r r e a c c ió n s e p r o d u c e e n la r u e d a d e ­
l a n t e r a , s e s e le c c io n a r á e s ta r u e d a j u n t o c o n la f u e r z a r e s u lta n t e y se
c o lo c a r á n e q u id is ta n te s d e la lín e a c e n t r a l d e l p u e n te , fig u ra 6 -3 8 6 . S e
u s a r á la f u e r z a r e s u lta n t e e n lu g a r d e la s c a r g a s d e la s ru e d a s , e n t o n ­
c e s la r e a c c ió n v e r tic a l e n B e s
Í + S M a = O,
# , ( 1 0 ) - 1 9 .6 2 (4 .5 ) = 0
B y = 8 .8 2 9 k N
E l m o m e n to m á x im o o c u r r e b a jo la c a r g a d e la n i e d a d e la n te r a . U tili­
z a n d o la s e c c ió n d e r e c h a d e la c u b ie r ta d e l p u e n te , fig u ra 6 -3 8 c , se
tie n e
¡ ,+ 2 M s = 0 ;
8 .8 2 9 (4 .5 ) -
M, = 0
M s = 39.7 k N • m
Figura 6 -3 8
R esp .
6 .7
F lE R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X IM O A B S O LU T O
2 5 5
PROBLEMAS
6 -5 9 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n e l p u n to C d e la
trab e sim ple, cau sad o p o r e l m o v im ien to de la p latafo rm a
móvil q u e tiene u n a m a sa de 2 M g y u n c e n tro d e m a sa e n G .
Suponga q u e A e s u n rodillo.
TF
«
c
R2
*
U
j
w
t
6 -6 2 . D eterm in e el m o m en to p ositivo m áxim o e n e l e m ­
palm e C sobre la tra b e lateral, cau sad o p o r la c arg a móvil
q u e se d esp laza a lo largo del c e n tro d e l p u en te.
j
ni
Dm
P ro b . 6 -5 9
*6-60. D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n e l p u n to B del
carril susp en d id o s i é ste so p o rta la carg a d e 2.5 k so b re el
carro.
P ro b . 6 -6 2
6 -6 3 . D eterm in e e l m o m en to m áxim o e n C d eb id o a la
carga móvil.
P r o b . 6 -6 3
P r o b . 6 -6 0
6 -6 1 . D eterm ine la fu erza c o rta n te positiva m áxim a e n el
p u n to B s i e l carril s o p o rta la carga d e 2.5 k so b re e l carro.
P rob. 6 -6 1
•6 -6 4 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n el
e le m en to I H de la a rm a d u ra p ara puente. D e te rm in e la
fuerza máxim a (e n ten sió n o co m p resió n ) q u e p u e d e d esa­
rrollarse e n e ste e lem e n to d e b id o a u n cam ió n d e 72 k q u e
tiene las cargas de las ru e d as q u e se m u estran e n la figura.
Suponga q u e el cam ión p u e d e viajar *7? cu a lq u ier dirección
a lo largo d el centro d e la cu b ierta, d e m o d o q u e la m itad de
su c arg a se tran sfiere a c a d a una d e las d o s a rm a d u ra s late­
rales. S uponga tam b ió n q u e los e le m e n to s e stá n articu lados
e n las placas d e refuerzo.
P rob. 6 -6 4
2 5 6
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
6 -6 5 . D eterm in e e l m o m en to positivo m áx im o e n el
p u n to C so b re la tra b e sim ple, d e b id o a la carga móvil.
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
*6-68. D ib u je la linea d e influencia p a ra la fu e rz a e n el
e lem e n to I C de la arm ad u ra p a ra p u en te. D ete rm in e la
tu erza m áxim a (e n ten sió n o com presión) q u e p u ed e d e s a ­
b o lla rse e n e l e le m en to d e b id o a u n cam ión de 5 k con las
cargas de las ru ed a s q u e se m u estran e n la fig u ra S uponga
que e l cam ión p u ed e viajar en cualquier dirección a lo largo
d e l centro de la c u b ic rta .d e m o d o q u e la m itad d e la carga
se tran sfiere a c ad a una d e las d o s a rm a d u ra s laterales. S u ­
p onga tam b ién q u e los elem en to s e stán a rticu lad o s e n las
placas d e refuerzo.
5m
P ro b . 6 -6 5
6 -6 6 . E l c a rro tiene u n peso de 2500 libras y un c e n tro de
gravedad e n G . D eterm in e e l m o m en to m áxim o positivo
creado e n e l p u n to C d e la tra b e la te ra l m ie n tra s pasa p o r el
puente. S u ponga q u e e l c a rro puede viajar e n c u a lq u ie r d i­
rección a lo largo d e l centro d e la cu b ierta, d e m o d o q u e la
m itad de su carg a se tran sfiere a c a d a u n a d e las d o s trab es
laterales.
P robs. 6 -67/6-68
6 -6 9 . E l cam ión tien e u n a m asa de 4 M g y c e n tro d e m asa
en G ,.p o r s u p arte e l re m o lq u e tien e u n a m asa d e 1 M g y
cen tro de m a sa e n G?. D ete rm in e e l m o m en to vivo m áxim o
absoluto d e sa rro lla d o e n e l puente.
P ro b . 6 -6 9
6 -7 0 . D eterm in e el m o m en to vivo m áxim o a b so lu to e n el
p u e n te d e l p ro b lem a 6-69 si se retira e l rem olque.
6 -6 7 . D ibuje la línea d e influencia p a ra la fu erza e n e l e le ­
m e n to B C de la a rm a d u ra p a ra puente. D e te rm in e la fu erza
m áxim a (e n te n sió n o com presión) q u e p u ed e desarrollarse
en e l e lem en to d e b id o a u n cam ión d e 5 k q u e tiene las c a r­
gas d e las ru ed as q u e se m u estran e n la figura. S u p o n g a que
el cam ió n p u e d e viajar en cualquier dirección a lo largo del
centro de la cu b ierta, d e m o d o q u e la m ita d de la c arg a se
transfiere a c a d a u n a d e las d o s arm ad u ras laterales. S u ­
ponga tam bién q u e lo s elem en to s e stá n articu lad o s e n las
placas d e refuerzo.
P roh. 6 -7 0
6 .7
6 -7 1 . D eterm ine la fu erza c o rta n te viva y e l m o m en to
vivo m áxim os ab so lu to s e n el b ra zo A l t cíe la g rú a, d eb id o s
a la carg a d e 10 kN. L as restricciones e n los e x tre m o s re­
q u ieren q u e 0.1 m < i < 3 . 9 m .
F lE R Z A C O N T A N T E Y M O M E N T O M Á X IM O A B S O LU T O
2 5 7
6 -7 3 . D eterm in e e l m o m en to m áxim o a b so lu to e n el
puen te d e trabes, d e b id o a las cargas del cam ió n q u e se
m uestra. L as c arg as se ap lican d irectam en te so b re la trabe.
15 k
PTOb. 6 -7 3
6 -7 4 . D eterm in e la fuerza c o rta n te m áx im a ab so lu ta e n la
viga d e b id o a las carg as m ostradas.
2 0 kN
Prob. 6-71
•6 -7 2 . D eterm ine e l m o m en to m áxim o e n C cau sad o p o r
las carg as móviles.
6 -7 5 . D eterm in e e l m o m en to m áxim o a b so lu to e n la viga
d eb id o a las c arg as m ostradas.
20 kN
P rob. 6 -7 2
P rob. 6 -7 5
2 5 8
C a p it u l o
* 6 -7 6 .
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
D e te r m in e la f u e r / a c o r ta n te m á x im a a b s o lu ta e n
la t r a b e d e l p u e n t e , d e b i d o a la s c a r g a s m o s t r a d a s
e s t r u c t u r a s
6 -7 9 .
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
D e t e r m i n e la f u e r z a c o r t a n t e m á x i m a a b s o l u t a e n la
s i g a d e b i d o a la s c a r g a s m o s t r a d a s
6 k
5
3
3
p ies p ies pies
-3 0 p ie s -
Proh. 6 - 7 9
P ro h . 6 -7 6
* 6 -8 0 .
D e te rm in e e l m o m e n to
m á x im o a b s o lu to e n e l
p u e n t e d e b i d o a la s c a r g a s m o s t r a d a s
6 -7 7 .
D e te rm in e
el
m o m e n to
m á x im o
a b s o lu to
en
la
tra b e d e l p u e n te , d e b id o a la s c a r g a s m o s tr a d a s
6k
6 -8 1 .
E l c a r r o r u e d a e n C y D a lo l a r g o d e l a s a l a s i n f e r i o r
y s u p e r i o r d e la v ig a A R . D e te r m in e e l m o m e n to m á x im o
a b s o lu to d e s a r r o lla d o e n la v ig a s i la c a r g a s o p o r ta d a p o r e l
P ro h . 6 -7 7
c a r ro e s d e 2 K . S u p o n g a q u e e l s o p o r te e n A e s tá a rtic u la d o
y q u e B e s u n ro d illo .
6 -7 8 .
D e te rm in e e l
m o m e n to
m á x im o
a b s o lu to
en
tr a b e d e b id o a la s c a r g a s m o s tr a d a s
10 k
8k
3
2
2
pies p ies pies
-25 p ie s-
P ro h .6 -7 8
Proh. 6-81
P R O B .E M A S D E P R O Y E C TO
2 5 9
P R O B L E M A S DE P R O Y E C T O
6 -1 P. E l polipasto d e c ad en a p u e d e colocarse e n c u a l­
q u ie r p u n to a lo largo d e l aguilón de u n a g rú a de p a re d (0.1
m < x < 3.4 m ) y tien e una capacidad n o m in a l d e 2 8 kN.
U se u n facto r d e im p acto d e 0 .3 p a ra d e te rm in a r el m o­
m ento flexionante m áxim o ab so lu to e n e l aguilón y la
fuerza máxim a d e sarro lla d a e n la varilla d e re fu e rz o B C . El
aguilón está articu lad o a la co lu m n a d e p a re d e n s u ex trem o
izquierdo A . Pase p o r a lto el ta m a ñ o d e l c a rro e n D .
6-2P . Se va a c o n stru ir un p u e n te p e a to n a l sim plem ente
ap oyado e n u n p arq u e de la ciudad, p o r lo q u e se lian p r o ­
puesto d o s m o d elo s q u e se m u estran co m o c aso a y c aso b .
Los e lem en to s d e la a rm a d u ra d e b e n e sta r h e ch o s d e m a­
d e ra . La cu b ie rta se co m p o n e d e planchas d e 1.5 m etro s de
largo q u e tien e n u n a m asa de 2 0 kg/m ?. U n có d ig o local e s­
tablece q u e la c arg a viva so b re la c u b ie rta d e b e s e r de 5 kP a
con u n factor de im pacto de 0.2. C o n sid ere q u e la cu b ie rta
e sta rá sim plem ente a p o y a d a e n los largueros. E n to n ces, las
vigas d e piso tran sm iten la c a rg a a las ju n ta s inferiores de la
arm ad u ra (v e a la figura 6-23). E n cada caso, e n c u e n tre cuál
e s e l e le m e n to so m etid o a la m ay o r carga e n ten sió n y en
co m p resió n , y sugiera p o r q u é d e b e elegirse u n diseño
so b re e l o tro . N o to m e e n cu e n ta el peso de lo s elem en tos
d e la a rm ad u ra.
caso a
125 m-
125
1 2 5 m —|— 1 2 5 m —|
caso b
P ro h . 6 - 1 P
P ro b . 6 -2 P
2 6 0
C a p it u l o
6
L In e a s
d e
in f l u e n c ia
p a r a
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
d e t e r m in a d a s
REPASO DEL C A P ÍT U L O
U n a línea d e influencia indica el v alor d e u n a reacción, u n a fu erza c o rta n te o u n m o m en to e n u n p u n to específico d e un
elem ento, cu a n d o u n a carg a u n itaria se m u ev e so b re éste.
D espués d e co n stru ir la lín ea de influencia p a ra u n a reacción, u n a fu erza co rta n te o u n m o m en to (fu n ció n ), se p o d rá lo ­
calizar la carga viva so b re e l elem en to q u e p ro d u zca e l m áxim o v alor p ositivo o neg ativ o d e la función.
U na fuerza viva co n ce n trad a se aplica en lo s picos positiv o s (negativos) de la lín ea de influencia. E l v alor d e la función
es igual a l p ro d u c to de la o rd e n a d a d e la línea d e influencia p o r la m agnitud d e la fuerza.
f
±d
U n a carga uniform em en te d istrib u id a se e x tien d e so b re u n a región positiva (n eg ativ a) d e la línea d e influencia. E l v alor
de la función e s igual al p ro d u c to d e la z o n a b ajo la línea d e influencia p a ra la reg ió n y la m agnitud d e la carga uniform e.
"o
M
3,
La fo rm a g en eral de la lín ea d e influencia p u e d e d eterm in arse m e d ia n te e l prin cip io d e M U U er-B reslau.el c u a l estab lece
que la línea d e influencia p a ra u n a reacción, u n a fu erza co rta n te o un m o m en to , e stá a la m ism a escala q u e la form a alte ­
ra d a d e l e lem en to cuand o a c tú a n so b re é l la reacción, la fuerza c o rta n te o e l m om ento.
R e p a s o d e l c a p it u l o
2 61
L as lin eas d e influencia p a ra trab es d e piso y a rm ad u ras p u e d e n establecerse a l c o lo c a r la c arg a un itaria en c a d a p u n to o
ju n ta del panel, y calcular e l v alor d e la reacción, la fuerza co rta n te o e l m o m en to necesarios.
Si so b re el e lem en to p asa una serie de c arg as co n cen trad as, en to n ces d e b e n co n sid erarse las d iferen tes posiciones d e la
carga so b re e l e lem e n to a fin d e d ete rm in a r la m ayor fu erza c o rta n te o el m ay o r m om ento e n e l elem en to . H n general, c o ­
lo q u e la carg a de m a n e ra q u e c a d a u n a ap o rte s u m áxim a influencia, la cual se d e te rm in a m ultiplicando c a d a carg a p o r la
o rd en ad a de la línea d e influencia. E ste p ro ceso d e e n c o n tra r la p osición re a l puede h acerse m ed ian te una técnica de
p ru e b a y e rro r, o buscando e l cam b io e n la fu e rz a c o rta n te o e l m o m en to c u a n d o las c arg as se m u ev en de una p osición a
otra. C ada m om ento se investiga h a sta q u e se p resen ta u n v a lo r neg ativ o d e la fu erza c o rta n te o e l m om ento. U na v ez que
ocurre esto , la posición a n te rio r d efin irá la c a rg a crítica.
I j i fu e rza córlam e máxim a ab so lu ta e n u n a viga e n vo­
ladizo o sim plem ente ap o y ad a se p ro d u cirá en u n s o ­
p o rte, cu a n d o u n a de las carg as se c o lo q u e al la d o d e ese
soporte.
E l m o m en to m áxim o absoluto e n una v ig a e n voladizo se
produce cu a n d o la serie d e carg as co n cen trad as se c o lo ­
can e n e l p u n to m ás alejad o d e l s o p o rte fijo.
<
F,
-J|«N
A.
F}
^!
u
Para d ete rm in a r el m om ento m áxim o a b so lu to e n una
viga sim plem ente a p o y a d a , p rim ero se d e te rm in a la
fuerza re su ltan te d el sistem a. D espués, ju n to c o n u n a de
las fuerzas co n cen tra d as e n e l sistem a, se coloca de m o d o
que las d o s fuerzas se e n c u e n tre n eq u id istan te s d e la
línea c e n tra l d e la viga. E l m o m en to m áxim o se p ro d u ce
b ajo la fuerza seleccionada. C ad a fu erza en e l sistem a se
selecciona de esta m a n e ra y, p o r c o m p aració n . la m ás
g ran d e d e to d o s esto s casos e s el m om ento m áxim o a b s o ­
luto.
H t
F=i — ^
L
2
El po rta l d e este p u e n te d e b e resistir cargas la te rale s d e b id a s al v ie n to y al trá­
fico. Para hacer un dise ñ o pre lim in ar d e los e le m e n to s pu e d e realizarse un
análisis a p ro xim a d o de las fuerzas producidas, an tes de llevar a ca b o u n a n á li­
sis estructu ral más preciso.
Análisis aproximado de
estructuras estáticamente
indeterminadas
En e s te c a p ít u lo s e p re s e n ta rá n a lg u n o s d e lo s m é t o d o s a p r o x im a d o s
p a ra a n a liz a r a r m a d u ra s y m a rc o s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o s . Estas
té c n ic a s s e d e s a rro lla ro n c o n b a s e e n e l c o m p o r ta m ie n to e s tr u c tu ra l y,
e n la m a y o ría d e lo s ca s o s , su p r e c is ió n s e c o m p a r a fa v o ra b le m e n te
c o n m é t o d o s a n a lític o s m á s e x a c to s . A u n q u e a q u í n o se e s tu d ia rá n
t o d o s lo s tip o s d e fo r m a s e s tru c tu ra le s , m e d ia n te e l e s t u d io d e e s to s
m é t o d o s se p r e te n d e p r o p o r c io n a r u n e n t e n d im ie n t o s u fic ie n te p a ra
q u e e l e s tu d ia n te p u e d a d e t e r m in a r c u á le s s e ría n lo s m e jo re s a c e rc a ­
m ie n to s p a ra re a liz a r u n a n á lis is a p r o x im a d o d e fu e rz a s d e u n a e s tru c ­
tu ra e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a .
7 .1
U so d e m é to d o s a p ro x im a d o s
Q i a n d o s e u tiliz a u n m o d e lo p a ra r e p r e s e n ta r c u a lq u ie r e s t r u c tu r a , e l
a n á lisis d e la m ism a d e b e s a tis f a c e r ta n to la s c o n d ic io n e s d e e q u ilib r io
c o m o la s d e c o m p a tib ilid a d d e d e s p l a z a m i e n to e n la s ju n ta s . C o m o se
m o s tr a r á e n c a p ítu lo s p o s te r io r e s d e e s t e te x to , la s c o n d ic io n e s d e c o m ­
p a tib ilid a d p a r a u n a e s t r u c tu r a e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a p u e d e n r e la ­
c io n a r s e c o n la s c a r g a s s ie m p r e q u e s e c o n o z c a e l m ó d u lo d e e la s tic id a d
d e l m a te r ia l, a s í c o m o e l ta m a ñ o y la f o r m a d e lo s e le m e n to s . S in e m ­
b a rg o . p a r a u n d is e ñ o in ic ia l n o se c o n o c e r á e l ta m a ñ o d e l e l e m e n t o y.
p o r e n d e , n o s e p o d r á c o n s id e r a r u n a n á lis is e s tá tic a m e n te in d e te r m i­
n a d o . P a r a lle v a r a c a b o e l a n á lis is se r e q u e r i r á d e s a r r o ll a r u n m o d e lo
m ás s im p le d e la e s t r u c tu r a q u e s e a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d o . U n a v e z
e s p e c ific a d o e s te m o d e lo , e l e s tu d io s e d e n o m i n a a n á lisis a p r o x im a d o .
M e d ia n te u n a n á lis is d e e s t e t i p o p u e d e h a c e r s e u n d is e ñ o p r e lim in a r d e
lo s e le m e n to s d e u n a e s t r u c tu r a , y a l c o m p l e ta r é s te e s p o s ib le r e a liz a r
u n a n á lis is in d e t e r m in a d o m á s e x a c to y p e r f e c c io n a r e l d is e ñ o . U n a n á l i ­
sis a p r o x im a d o ta m b ié n p r o p o r c io n a in f o r m a c ió n s o b r e e l c o m p o r ta ­
m ie n to d e u n a e s t r u c t u r a b a jo c a r g a y r e s u lta ú til a l v e r if ic a r la v a lid e z
d e u n a n á lis is m á s e x a c to o c u a n d o e l tie m p o , e l d in e r o o l a c a p a c id a d n o
s o n s u f ic ie n te s p a r a e f e c t u a r e l a n á lis is c o n m a y o r p re c is ió n .
2 6 4
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
E s n e c e s a r io t e n e r e n c u e n ta q u e , p o r lo g e n e r a l , to d o s lo s m é t o d o s d e
a n á lisis e s tr u c tu r a l s o n a p r o x im a d o s , s im p le m e n te p o r q u e la s c o n d ic io ­
n e s r e a l e s d e c a r g a , la g e o m e t r í a ,e l c o m p o r ta m ie n to d e l m a te r ia l y la r e ­
s is te n c ia d e la s ju n t a s e n lo s s o p o r te s n u n c a s e c o n o c e n e n u n s e n tid o
e stric to . S in e m b a r g o , e n e s t e te x t o e l a n á lisis e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o
d e u n a e s t r u c t u r a se lla m a r á a n á lisis e x a c to y e l a n á lis is e s t á tic a m e n te
d e te r m in a d o , q u e e s m á s s e n c illo , s e d e n o m i n a r á a n á lisis a p r o x im a d o .
7 .2
A rm a d u ra s
E n la f ig u r a 7 - l a s e m u e s tr a u n t i p o c o m ú n d e a r m a d u r a q u e s e u s a c o n
fr e c u e n c ia c o m o s o p o r t e la t e r a l p a r a e d if ic io s o e n la s c u e r d a s s u p e r io r
e in f e r io r d e lo s p u e n te s (v e a ta m b ié n la fig u ra 3 -4 ). C u a n d o s e u s a p a r a
ta l p r o p ó s ito , e s t a a r m a d u r a n o s e c o n s i d e r a u n e l e m e n t o p r i m a r i o
p a r a s o p o r ta r la e s tr u c tu r a y, e n c o n s e c u e n c ia , s u e le a n a liz a rs e p o r m é to d o s
a p ro x im a d o s . E n e l c a s o q u e s e m u e s tr a se p o d r á o b s e r v a r q u e a l e lim i­
n a r u n a d ia g o n a l d e c a d a u n o d e lo s tr e s p a n e le s , la a r m a d u r a s e v u e lv e
e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a . E n to n c e s , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in ­
d e te r m i n a d a d e t e r c e r g r a d o ( a p a r t i r d e la e c u a c ió n 3 - 1 , 6 + r > 2/', o
b ie n 1 6 + 3 > 8 ( 2 ) ) y, p o r lo ta n to , d e b e n h a c e r s e tr e s s u p u e s to s r e s p e c to
d e la s fu e r z a s e n la s b a r r a s a fin d e c o n v e r t ir l a a r m a d u r a e n e s t á t i c a ­
m e n te d e te r m in a d a . E s to s s u p u e s to s p u e d e n h a c e r s e c o n r e s p e c to a las
d ia g o n a le s tr a n s v e r s a le s , s i s e o b s e r v a q u e c u a n d o u n a d ia g o n a l e n u n
p a n e l e s t á e n te n s ió n , la c o r r e s p o n d ie n t e d ia g o n a l tr a n s v e r s a l e s t á e n
c o m p r e s ió n . E s to e s e v id e n te e n l a G g u ra 7 - 1 6 ,d o n d e la “ f u e r z a c o r t a n te
d e l p a n e l ” V e s s o p o r ta d a p o r la c o m p o n e n te v e rtic a l d e f u e r z a d e t e n ­
s i ó n e n e l e l e m e n t o a , y l a c o m p o n e n te v e rtic a l efe la f u e r z a d e c o m p re s ió n
e n e l e le m e n to 6 . E n g e n e r a l s e a c e p ta n d o s m é to d o s d e an á lisis.
F ig u ra 7 - 1
M é to d o 1:
M é to d o 2 :
Si la s d ia g o n a le s s e d is e ñ a n in te n c io n a lm e n te la rg a s y
d e lg a d a s .e s r a z o n a b le s u p o n e r q u e n o p u e d e n s o p o r ta r
u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n ; d e lo c o n tr a rio , s e p a n d e a r ía n
c o n fa c ilid a d . P b r c o n s ig u ie n te , la f u e r z a c o r t a n t e d e l
p a n e l e s r e s is t id a e n s u t o t a li d a d p o r l a á a g o n a l d e t e n ­
s ió n . m ie n tr a s q u e la d ia g o n a l d e c o m p r e s ió n se a s u m e
c o m o u n e le m e n to d e f u e r z a cero.
Si lo s e le m e n to s d ia g o n a le s s e c o n s t r u y e n a p a r t i r d e
g r a n d e s s e c c io n e s la m in a d a s , c o m o á n g u lo s o c a n a le s,
p u e d e n s e r ig u a lm e n te c a p a c e s d e s o p o r ta r u n a fu e rz a
d e te n s ió n q u e u n a d e c o m p r e s ió n . A q u í s e s u p o n d r á
q u e c a d a d ia g o n a l d e te n s ió n y d e c o m p r e s ió n s o p o r ta
la m ita d d e la f u e r z a c o r t a n te d e l p a n e l.
fta k rs
E s to s d o s m é to d o s d e a n á lis is a p r o x i m a d o s e ilu s tra n n u m é r ic a m e n te
e n lo s s ig u ie n te s e je m p lo s .
P a r a d e t e r m i n a r la s f u e r z a s d e l r e f u e r z o t r a n s v e r s a l e n
c a d a p a n e l d e e s t e p u e n t e f e r r o v i a r i o le v a d iz o , p u e d e
u s a r s e u n m é t o d o a p r o x i m a d o . A q u í , l o s e le m e n to s
tr a n s v e r s a l e s s o n d e lg a d o s y. p o r l o t a n t o , p u e d e s u p o ­
n e rs e q u e n o s o p o r ta n n in g u n a fu e rz a d e c o m p re sió n .
7 2
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) las f u e r z a s e n lo s e le m e n to s d e la
a r m a d u r a q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 1 - l a . L as d ia g o n a le s d e b e n d i­
s e ñ a r s e p a r a s o p o r ta r ta n t o f u e r z a s d e te n s ió n c o m o d e c o m p r e s ió n y,
p o r e n d e , se s u p o n e q u e c a d a u n a s o p o r ta la m ita d d e la f u e r z a c o r ­
ta n te d e l p a n e l. I-as r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s y a se h a n c a lc u la d o .
A rm a d u ra s
20 kN
20 kN
(b)
10 k N
20 kN
10 kN
(a)
F ig u r a 7 - 2
(c)
S O L U C IÓ N
R>r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e s e ­
g u n d o g r a d o . L o s d o s s u p u e s t o s r e q u i e r e n q u e la s d ia g o n a l e s d e
te n s ió n y d e c o m p r e s ió n s o p o r te n fu e r z a s ig u a le s , e s d e c ir , F f b = F AE
= F . P a r a u n a se c c ió n v e r tic a l a tr a v é s d e l p a n e l iz q u ie r d o , fig u ra 7 -2b ,
se ti e n e
+ 1 2 F y = 0;
20 - 10 - 2 (j)F = 0
F = 8 .3 3 k N
F ÍO
-----------►
V - 10 kN
I
¿d
sf-
* D t,y
R esp .
de m odo que
10kN
F f b = 8 .3 3 k N ( T )
R esp .
F u = 8 .3 3 k N ( C )
R esp .
t+ Z M a
= 0;
- 8 .3 3 ( f ) ( 3 ) + Ffe(3 ) = 0
F f e = 6 .6 7 k N ( C )R e sp .
l+ X W f
= 0;
- 8 .3 3 ( |) ( 3 ) + ^ ( 3 ) = 0
FAfí = 6 .6 7 k N ( T ) R esp .
(d)
6 .6 7
A p a r t i r d e la j u n t a A ,f ig u r a 7 -2 c,
833 kN
F AF = 15 k N ( T )
R esp .
E n la f ig u r a 7 -2 d s e m u e s tr a u n a s e c c ió n v e rtic a l a tr a v é s d e l
d e re c h o . D e m u e s tr e q u e
panel
+ 1 2 F , = 0;
kN -
F a f - 8 .3 3 ( í ) - 1 0 = 0
F DB = 8 .3 3 k N ( T ) ,
F ED = 6 .6 7 k N ( C )
F e c = 8.33 k N ( C ) ,
F BC = 6 .6 7 k N ( T )
R esp .
R esp .
P b r o t r a p a r te , e m p le a n d o lo s d ia g r a m a s d e c u e rp o lib r e d e las a r t ic u ­
la c io n e s D y £ , f ig u r a s l - 2 e y 7 -2 /, d e m u e s tr e q u e
F iyc = 5 k N ( C )
R esp .
F e b = 10 k N ( T )
R esp .
X/
Foc-
(e)
6 .6 7
kN —
8 .3 3 k N
‘
— 6 ,6 7 k N
F f/
(0
8 3 3 kN
2 6 5
2 6 6
C a p it u l o
EJEMPLO
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
7 .2
P a r a p r o p o r c io n a r s o p o r t e la t e r a l a e s t e p u e n te c o n tr a e l v ie n to y la s
c a r g a s d e s b a la n c e a d a s d e l trá fic o , s e e m p l e a u n r e f u e r z o tr a n s v e r s a l.
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) las fu e r z a s e n lo s e le m e n to s d e
e s t a a r m a d u r a . S u p o n g a q u e la s d ia g o n a le s s o n d e lg a d a s y p o r lo
ta n t o n o s o p o r ta n n in g u n a f u e r z a d e c o m p r e s ió n , l^as c a r g a s y la s
r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 7 -3 a.
(a)
Figura 7 -3
P = 6k
S O L U C IÓ N
P o r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e c u a r t o
g ra d o . A sí, lo s c u a t r o s u p u e s to s q u e s e u tiliz a rá n r e q u ie r e n q u e c a d a
d ia g o n a l d e c o m p r e s ió n s o s te n g a u n a f u e r z a n u l a . P o r lo ta n t o , a
p a r t i r d e u n a s e c d ó n v e r tic a l a tr a v é s d e l p a n e l iz q u ie rd o , fig u ra 7 -3 6 ,
s e ti e n e
F ai = 0
+ TZFv = 0;
8 - 2 - F j b eos 45° = 0
F j n = 8.49 k ( T )
- 8 . 4 9 s e n 4 5 ° ( 1 5 ) + F ; / (1 5 ) = 0
6k<C )
1 + 2 A/y = 0;
F ab = 0
A p a r t i r d e l a j u n t a A , f i g u r a 7 - 3 c.
F j a = S k (C )
7 2
A rm a d u ra s
2 6 7
E n la f ig u r a 7 3 d se m u e s tr a u n a se c c ió n v e r tic a l d e la a r m a d u r a a
tr a v é s d e lo s e le m e n to s I I I , I C , B H y B C . L a f u e r z a c o r ta n te d e l p a n e l
e s V = 'LFy = 8 - 2 - 4 = 2 k . S e r e q u i e r e q u e
F bh = 0
+ 1 '¿ F y - 0 ;
8 - 2 - 4 -
R esp .
F IC e o s 4 5 ° = 0
F IC = 2 .8 3 k ( T )
t+ S A / ,, = 0;
- 8 ( 1 5 ) + 2 ( 1 5 ) - 2 .8 3 s e n 4 5 ° ( 1 5 ) +
F /H = 8 k ( C )
J.+ 2 A / , = 0 ;
R esp .
F /w(15)
= 0
R esp .
- 8 ( 1 5 ) + 2 (1 5 ) + F ^ 15) = 0
F bc = 6 k (T )
R esp .
A p a r t i r d e la j u n t a B , fig u ra 7 -3 e,
+ 1 2 F y = 0;
8.49 s e n 4 5 ° -
F B, = 0
8 49^
Fs,
| 45 > °
457
F fl/ = 6 k ( C )
.
6k
R esp .
(e)
I-as f u e iz a s e n lo s o tr o s e le m e n to s s e p u e d e n d e te r m i n a r p o r s i­
m e tría , e x c e p to F c / /;s in e m b a r g o , a p a r t i r d e la j u n t a C , fig u ra 7 -3 /, se
tie n e
283 k
1 2 F , = 0;
2 (2 .8 3 s e n 4 5 ° ) - F CH = 0
Fc h = 4 k (C )
f( „
I
283 k
6k
R esp.
6k
(f)
2 6 8
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
PROBLEMAS
7 -1 . D eterm ine (e n fo rm a a p ro x im a d a ) la fu erza e n cada
elem ento d e la a rm a d u ra . S u p o n g a q u e las d iag o n ales p u e ­
den so p o rta r u n a fu e rz a d e ten sió n o d e com presión.
7 -5 . D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im a d a ) la fu e rz a e n cada
elem en to d e la a rm a d u ra . S u p o n g a q u e las d iag o n ales p u e ­
den so p o rta r u n a fuerza d e ten sió n o d e com presión.
7 -2 . R esuelva e l p ro b lem a 7-1 su p o n ie n d o q u e las d ia g o ­
nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión.
7 -6 . R esuelva e l p ro b lem a 7-5 su p o n ie n d o q u e las d ia g o ­
nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión.
50 kN
40 kN
20 kN
7k
14k
14 k
7 k
fO
pies
P ro b s. 7 -1 /7 -2
pies
pies
P ro b s. 7 -5 7 7 -6
7 -3 . D eterm ine (e n fo rm a a p ro x im a d a ) la fu e rz a e n cada
elem ento d e la a rm a d u ra . S uponga q u e las d iag o n ales p u e ­
den so p o rta r u n a fuerza d e ten sió n o d e com presión.
7 -7 . D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza en cada
elem en to d e la a rm a d u ra . S u p o n g a q u e las d iag o n ales p u e ­
den so p o rta r u n a fuerza d e ten sió n o d e com presión.
* 7 -4 . R esuelva el p ro b le m a 7-3 su p o n ien d o q u e las d ia g o ­
nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión.
*7-8. R esuelva e l p ro b le m a 7-7 su p o n ien d o q u e las d iag o ­
nales n o p u e d e n so p o rta r u n a fuerza de com presión.
P robs. 7 -3 7 7 -4
P robs. 7 -7 7 7 -8
72
7 -9 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza en c ad a
elem ento d e la a rm a d u ra . S uponga q u e las diagonales p u e ­
d e n so p o rta r tan to fuerzas de ten sió n c o m o d e co m p resió n .
A rm aduras
2 6 9
7-11. D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza e n c a d a
elem en to d e la a rm a d u ra . S u p o n g a q u e las diagonales p u e ­
d e n so p o rtar u n a fuerza d e ten sió n o una d e co m p resión.
pies
P ro b . 7 -9
P ro b . 7-11
7 -1 0 . D eterm ine (e n form a ap ro x im ad a) la fu erza e n c a d a
elem en to d e la arm ad u ra. S u p o n g a q u e las d iag o n ales D G y
A C no p u e d e n so p o rta r u n a fu e rz a d e com presión.
•7 -1 2 . D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) la fu erza en
cada e le m e n to d e la arm ad u ra. S uponga q u e las diagonales
no p u ed en so p o rta r una fu erza d e com presión.
pies
P ro h .7 -1 0
P ro b . 7 -1 2
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
7 .3
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
C a rga s v e rtic a le s s o b re m a rco s
d e c o n s tru c c ió n
l\> r lo c o m ú n , lo s m a r c o s d e c o n s tr u c c ió n c o n s is te n e n tr a b e s q u e e s t á n
c o n e c ta d a s r íg id a m e n te a c o l u m n a s . d e m o d o q u e t o d a la e s t r u c t u r a ti e n e
u n a m a y o r c a p a c id a d p a r a re s is tir lo s e f e c to s d e la s fu e r z a s la te r a le s d e ­
b id a s a l v ie n t o y a lo s te r r e m o to s . E n la fig u ra 7 -4 s e m u e s tr a u n e je m p lo
d e u n m a r c o ríg id o , d e n o m i n a d o c a b a l le te d e e d ific io .
E n la p r á c t ic a , u n in g e n ie r o e s t r u c tu r a l p u e d e e m p l e a r d iv e r s a s té c n i­
c a s p a r a r e a l i z a r u n a n á lis is a p r o x im a d o d e u n c a b a l le te d e e d ific io . C a d a
u n o s e b a s a e n e l c o n o c im ie n to d e la fo r m a e n q u e la e s t r u c tu r a se d e fo r ­
m a r á b a jo c a r g a . U n a té c n ic a s e r ía la d e c o n s id e r a r s o la m e n te lo s e l e ­
m e n to s d e n t r o d e u n a re g ió n lo c a liz a d a d e la e s tr u c tu r a . E s to e s p o s ib le
s ie m p r e q u e la s d e fle x io n e s d e lo s e le m e n to s d e n t r o d e la re g ió n a lt e r e n
p o c o a lo s q u e e s t á n f u e r a d e e lla . S in e m b a r g o , c o n m u c h a fr e c u e n c ia se
to m a e n c u e n ta la c u rv a d e d e fle x ió n d e to d a la e s t r u c tu r a . A p a r t i r d e
e s to p u e d e c sp e c ific a re c la u b ic a c ió n a p r o x im a d a d e lo s p u n to s d e in f le ­
x ió n ; e s d e c ir , d e lo s p u n to s d o n d e e l e le m e n to c a m b ia s u c u r v a tu r a .
E s to s p u n to s p u e d e n c o n s id e r a r s e c o m o a r tic u la c io n e s , y a q u e e n lo s
p u n to s d e in fle x ió n d e l e l e m e n t o s e p r e s e n ta n m o m e n to s n u lo s. E n e s ta
s e c c ió n se u tiliz a r á e s t a id e a p a r a a n a liz a r las fu e r z a s e n lo s m a r c o s d e
c o n s tr u c c ió n d e b id a s a las c a r g a s v e rtic a le s , y e n la s s e c c io n e s 7 -5 y 7 -6 se
p r e s e n ta r á u n a n á lis is a p r o x im a d o d e lo s m a r c o s s o m e tid o s a c a r g a s l a t e ­
rale s. D a d o q u e e l m a r c o p u e d e s o m e te r s e a e s t a s d o s c a r g a s a l m ism o
tie m p o , e n to n c e s , s i e m p r e q u e e l m a t e r i a l p e r m a n e z c a e lá s tic o , la c a rg a
r e s u lta n te p o d r á d e te r m i n a r s e p o r s u p e r p o s ic ió n .
S upuestos para el análisis a p ro xim a d o .
C o n s id e r e u n a
tr a b e tí p ic a lo c a liz a d a d e n t r o d e u n c a b a l le te d e e d ific io q u e e s t á s o m e ­
tid a a u n a c a r g a v e r tic a l u n if o r m e , c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 7 -5 a . L os
s o p o r te s d e c o lu m n a e n A y H e je r c e r á n , c a d a u n o , tr e s r e a c c io n e s s o b r e
la v ig a , p o r lo q u e é s ta e s e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a d e te r c e r g r a d o
(6 r e a c c io n e s - 3 e c u a c io n e s d e e q u ilib r io ) . E n to n c e s , u n a n á lis is a p ro x i-
M a rc o d e c o n s tr u c c ió n típ ic a
H gura 7 -4
7 .3
c o lu m n a
•y
.
.
C a r g a s v e r t ic a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c i ó n
c o lu m n a
■
■
viga
1
1
fija m c n ic a p o y a d a
(b )
(a)
s im p le m e n te a p o y a d a
(d )
(C)
F igura 7 -5
m a d o r e q u e r i r á I r e s s u p u e s to s p a r a h a c e r q u e la v ig a s e a e s tá tic a m e n te
d e te r m in a d a . S i la s c o lu m n a s s o n e x tr e m a d a m e n te ríg id a s n o se p r o d u ­
c ir á r o t a c ió n e n A y B ,y l a c u r v a d e d e f le x ió n d e la tr a b e s e p a r e c e r á a la
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7-5¿>.Si se e m p l e a u n o d e lo s m é to d o s q u e s e
p r e s e n ta n e n lo s c a p ítu lo s 9 a 11, u n a n á lis is e x a c to r e v e la q u e e n e s te
c a s o lo s p u n to s d e in fle x ió n , o p u n to s d e m o m e n to n u lo , s e p r o d u c e n a
0.21 L d e c a d a s o p o r te . S in e m b a r g o , s i la s c o n e x io n e s d e la s c o lu m n a s e n
A y f í so n m u y fle x ib le s, e n to n c e s , c o m o s i s e t r a t a r a d e u n a v ig a s im p le ­
m e n te a p o y a d a .s e p ro d u c irá n m o m e n to s n u lo s e n lo s s o p o r te s , fig u ra 7-5c.
N o o b s ta n te , e n r e a lid a d la s c o lu m n a s p r o p o r c io n a n c ie r ta fle x ib ilid a d
e n lo s s o p o r te s y. p o r c o n s ig u ie n te , s e s u p o n d r á q u e o c u r r e u n m o m e n to
n u lo e n e l p u n to m e d i o e n tr e lo s d o s e x tr e m o s , e s d e c ir , a ( 0 .2 1Z. + 0 )/2 =*
0 .1 L d e c a d a s o p o r te , fig u ra . 7 -5 d . P o r o t r a p a r t e , u n a n á lis is e x a c to d e lo s
m a r c o s q u e s o p o r ta n c a rg a s v e r tic a le s in d ic a q u e la s f u e r z a s a x ia le s e n la
tr a b e s e p u e d e n p a s a r p o r a lto .
E n r e s u m e n , c a d a t r a b e d e lo n g i tu d / . p u e d e m o d e la r s e m e d ia n te u n
c la r o s im p le m e n te a p o y a d o d e 0 .8 /. d e la r g o q u e d e s c a n s a s o b r e d o s e x ­
tr e m o s e n v o la d iz o , c a d a u n o c o n u n a lo n g itu d d e 0 .1 L , fig u ra 7 -5 e. E n
e s te m o d e lo s e h a n in c o r p o r a d o lo s s ig u ie n te s tr e s s u p u e s to s :
L
H a y u n m o m e n to n u lo e n la t r a b e a 0 .1 L d e l s o p o r te iz q u ie rd o .
2.
H a y u n m o m e n to n u lo e n la t r a b e a 0 . \ L d e l s o p o r te d e r e c h o .
X
1.a t r a b e n o s o p o r ta u n a f u e r z a a x ia l.
A h o r a e s p o s ib le o b t e n e r , m e d ia n te e l u s o d e la e s t á ti c a , las c a r g a s in ­
te r n a s e n la s tr a b e s y p u e d e h a c e r s e u n d is e ñ o p r e l im in a r d e su s s e c c io ­
n e s tr a n s v e rs a le s . E l s ig u ie n te e je m p lo ilu s tr a e s t o e n fo r m a n u m é r ic a .
F
0.1/.
o .i/.
0 XI.
m íd e lo
(e )
2 7 2
C a p it u l o
EJEMPLO
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
7 .3
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) e l m o m e n to e n la s ju n t a s E y C
c a u s a d o p o r lo s e le m e n to s E F y C D d e l c a b a l le te d e e d if ic io q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 7 -6 a.
8 » I b /p ie
(b )
Figura 7 -6
S O L U C IÓ N
P a ra u n a n á lis is a p r o x im a d o , e l m a r c o s e m o d e la d e la m a n e r a q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 7 -6 6 . T e n g a e n c u e n ta q u e lo s c la r o s e n v o la d iz o
q u e s o p o r ta n la p a r t e c e n tr a l d e la t r a b e t i e n e n u n a lo n g itu d d e 0.1 / .
= 0.1 ( 2 0 ) = 2 p ie s . E l e q u ilib r io r e q u i e r e q u e las r e a c c io n e s e n lo s e x ­
tr e m o s d e la p a r t e c e n tr a l d e la tr a b e s e a n d e 6 4 0 0 Ib. f ig u r a 7 -6 c. E n ­
to n c e s , lo s c la r o s e n v o la d iz o e s t á n s o m e tid o s a u n m o m e n to d e
r e a c c ió n d e
M = 1 6 0 0 (1 ) + 6 4 0 0 (2 ) = 14 4 0 0 I b - p i e = 14.4 k - p ie
R e sp .
E s te m o m e n to a p r o x im a d o , c o n d ir e c c ió n o p u e s t a , a c tú a s o b r e la s
j u n t a s e n E y C ,f ig u r a 7 -6 a. C o n b a s e e n lo s r e s u lta d o s ,e l d ia g r a m a d e
m o m e n to a p r o x im a d o p a r a u n a d e la s tr a b e s e s c o m o s e m u e s tra e n la
fig u ra 7 -6 d.
12 8 0 0 1 b
i
t
6 4 0 0 Ib
1 6 p i a --------1
<400 Ib
1600 Ib 6 4 0 0 I b
6 4 0 0 1Ib
b U
1600 Ib
A (k-pic)
256
1 4 4 0 0 1b p ie
:4
U n
2 p ies
1 4 4 0 0 Ib - p ie
20
14.4 ' 2
80001b
18 4
80001b
(c)
<d)
x (p ie s )
7 .4
7 .4
M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal.
2 7 3
M a rc o s y a rm a d u ra s d e p o r ta l
M arcos.
L os m a rc o s d e p o r t a l s e s u e le n u s a r a la e n t r a d a d e u n
p u e n te * y c o m o u n e le m e n to d e r e f u e r7 o p r i n c ip a l e n e l d is e rto d e e d if i­
c io s c o n e l fin d e tr a n s f e r ir f u e r z a s h o r i z o n ta le s a p lic a d a s e n la p a r t e s u ­
p e r io r d e l m a r c o h a d a lo s c im ie n to s . E n lo s p u e n te s , e s t o s m a rc o s
re s is te n la s fu e r z a s p r o d u c i d a s p o r e l v ie n to , lo s te r r e m o to s y la s c a r g a s
d e s b a la n c e a d a s d e l tr á f ic o s o b r e l a c u b ie r ta d e l p u e n te . L o s p o r ta le s
p u e d e n t e n e r s o p o r te s a r tic u la d o s o fijo s, o b ie n s e p u e d e n s o s te n e r m e ­
d ia n te u n a fija c ió n p a r c ia l. A c o n tin u a c ió n se e s t u d ia r á e l a n á lis is a p r o x i­
m a d o d e c a d a c a s o m e d i a n te u n p o r t a l s e n c illo d e tr e s e le m e n to s .
A r t i c u l a d o s . E n la fig u ra 1 - l a s e m u e s tr a u n m a r c o d e p o r t a l a r ­
tic u la d o . D a d o q u e e x is te n c u a t r o in c ó g n ita s e n lo s s o p o r te s , p e r o s ó l o
tr e s e c u a d o n e s d e e q u ilib r io p a r a o b t e n e r la s o l u d ó n . e s ta e s t r u c tu r a e s
e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . E n c o n s e c u e n c ia , s ó l o
d e b e a d o p ta r s e u n s u p u e s to p a r a c o n v e r t ir e l m a r c o e n e s tá tic a m e n te
d e te r m in a d o .
E n la f ig u r a 1 - l b se m u e s tra la d e f le x ió n e lá s tic a d e l p o r ta l. E s te d i a ­
g ra m a in d ic a q u e u n p u n t o d e in fle x ió n , e s d e c ir , a q u e l d o n d e e l m o ­
m e n to c a m b ia d e fle x ió n p o s itiv a a fle x ió n n e g a tiv a , s e e n c u e n t r a
a p r o x im a d a m e n te e n e l p u n t o m e d io d e la tr a b e . C o m o e l m o m e n to e s
c e r o e n e s t e p u n t o d e la tr a b e , s e p u e d e s u p o n e r q u e a llí e x is te u n a b is a ­
g r a , p a r a d e s p u é s p r o c e d e r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
u tiliz a n d o la e s tá tic a . Si s e h a c e e s t o , p u e d e c o n s t a ta r s e q u e las r e a c c io ­
n e s h o r iz o n ta le s ( f u e r / a c o r t a n te ) e n la b a s e d e c a d a c o lu m n a s o n ig u a ­
le s y q u e la s o tr a s r e a c c io n e s s o n la s in d ic a d a s e n la fig u ra 7 -7 c . A d e m á s ,
lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a e s te m a r c o s o n c o m o lo in d ic a la fig u ra
1 -ld .
(b )
?
r
—
(d)
Pb
V e a la fig u ra 3 -4 .
í<c)
r
Pb
2 7 4
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
Figura 7-8
T 1 Ph f
r
f
«I
n
HH
i
L
1
Ph 1
f*
*
(b )
in d e t e r m in a d a s
F i j a m e n t e a p o y a d o s . Ix>s p o r t a l e s c o n d o s s o p o r t e s fijo s , fig u ra
7 - 8 u ,s o n e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o s d e t e r c e r g r a d o , p u e s to q u e h a y
u n to t a l d e se is in c ó g n ita s e n lo s s o p o r te s . S i lo s e le m e n to s v e r tic a le s t i e ­
n e n lo n g itu d e s y á r e a s tr a n s v e r s a le s ig u a le s , e l m a r c o s e d e f o r m a r á c o m o
s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -8 b . E n e s t e c a s o s e s u p o n d r á q u e lo s p u n to s d e
in fle x ió n o c u r r e n e n lo s p u n to s m e d io s d e lo s tr e s e le m e n to s y, p o r lo
ta n to , la s b is a g ra s s e c o lo c a n e n e s to s p u n to s . P o r c o n s ig u ie n te , la s r e a c ­
c io n e s y lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a ra c a d a e le m e n to p u e d e n d e t e r m i ­
n a r s e a l d e s m e m b r a r e l m a r c o e n las b is a g ra s y a l a p lic a r la s e c u a c io n e s
d e e q u ilib r io p a r a c a d a u n a d e las c u a t r o p a r te s . L o s r e s u lta d o s s e m u e s ­
tr a n e n l a fig u ra 7 -8 c .T e n g a e n c u e n ta q u e ,c o m o e n e l c a s o d e l p o r t a l a r ­
tic u la d o , las r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s ( f u e r z a c o r t a n te ) e n la b a s e d e c a d a
c o lu m n a s o n ig u a les. E l d ia g r a m a d e m o m e n to p a ra e s t e m a r c o s e in d ic a
e n la fig u ra 7 -8 d.
(a)
h H
e s t á t ic a m e n t e
9
r
(c)
9
■i
i
\
- 9
d ia g r a m a d e
m o m e n to
<d)
F i j a c i ó n p a r c i a l . D a d o q u e e s d ifíc il y c o s to s o c o n s t r u ir u n s o p o r te o
c im ie n to p e r f e c ta m e n te fijo p a r a u n m a r c o d e p o r ta l, e s c o n s e r v a d o r y
a lg o r e a l is t a s u p o n e r q u e s e p r o d u c e u n a lig e ra r o t a c ió n e n lo s s o p o r te s ,
fig u ra 7 -9 o . C o m o r e s u lta d o , lo s p u n to s d e in fle x ió n e n la s c o lu m n a s se
e n c u e n t r a n e n a lg ú n lu g a r e n t r e e l c a s o d e te n e r u n p o r t a l a r tic u la d o , fi­
g u r a 7 - 7 í i , d o n d e lo s " p u n to s d e in f le x ió n " e s tá n e n lo s s o p o r te s ( b a s e d e
la s c o lu m n a s ) ,y u n p o r t a l f ija m e n te a p o y a d o , fig u ra 7 - 8 u ,d o n d e lo s p u n ­
to s d e in f le x ió n e s t á n e n e l c e n t r o d e la s c o lu m n a s . M u c h o s in g e n ie ro s
d e f in e n a r b i tr a r ia m e n te la u b ic a c ió n e n h H , f ig u r a 7 -9 6 , y p o r e n d e u b i ­
c a n b is a g ra s e n e s to s p u n to s , a s í c o m o e n e l c e n t r o d e la tr a b e .
7 .4
M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal.
Figura 7 -9
A rm aduras.
C u a n d o u n p o r t a l s e u tiliz a p a r a a b a r c a r g r a n d e s d is ­
ta n d a s , p u e d e u s a r s e u n a a r m a d u r a e n v e z d e la tr a b e h o riz o n ta l. D ic h a
e s t r u c tu r a s e e m p le a e n g r a n d e s p u e n te s e in c lin a c io n e s tr a n s v e r s a le s
p a ra g r a n d e s a u d ito r io s e in s ta la c io n e s fa b rile s . U n e je m p lo típ ic o se
m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 0 a . E n to d o s lo s c a s o s , s e s u p o n e q u e la a r m a d u r a
s u s p e n d id a e s t á a r tic u la d a e n s u s p u n to s d e fija c ió n a la s c o lu m n a s .
A d e m á s , la a r m a d u r a m a n tie n e r e c t a s las c o lu m n a s d e n t r o d e la re g ió n
d e u n ió n c u a n d o e l p o r t a l s e s o m e te a l d e s p la z a m ie n to la t e r a l A . fig u ra
7-1 Ob. E n c o n s e c u e n c ia , lo s p o r ta le s d e a r m a d u r a p u e d e n a n a liz a r s e c o n
lo s m ism o s s u p u e s to s q u e s e u s a r o n p a r a lo s p ó r tic o s s im p le s . P a r a la s
c o lu m n a s a rtic u la d a s , s u p o n g a q u e la s r e a c d o n e s h o r i z o n ta le s ( f u e r z a
c o r t a n te ) s o n ig u a le s , c o m o e n la fig u ra 7 -7 c. P a r a las c o lu m n a s f ija m e n te
a p o y a d a s , s u p o n g a q u e la s r e a c d o n e s h o r iz o n ta le s s o n ig u a le s y q u e e n
c a d a c o lu m n a s e p r o d u c e u n p u n to d e in f le x ió n ( o b is a g r a ) a m e d ia d is ­
ta n c ia e n t r e la b a s e d e la c o lu m n a y e l p u n to m á s b a jo d e la c o n e x ió n d e l
e le m e n to d e la a r m a d u r a c o n l a c o lu m n a , v e a la s f ig u r a s 7 -8 c y 7-106.
E l s i g u ie n t e e je m p lo ilu s tr a la f o r m a e n q u e s e d e t e r m i n a n la s f u e r z a s
e n lo s e le m e n to s d e u n p o r t a l d e a r m a d u r a s s ig u ie n d o e l m é to d o d e a n á ­
lisis a p r o x im a d o q u e s e d e s c r ib ió a n te r io r m e n te .
Figura 7 -1 0
275
2 7 6
C a p it u l o
EJEMPLO
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
7 .4
D e te r m in e m e d i a n te m é to d o s a p r o x im a d o s la s f u e r z a s q u e a c tú a n e n
lo s e le m e n to s d e l p o r t a l W a r r e n m o s tr a d o e n la fig u ra 7 -1 lo.
40 kN
V - 20 kN
(a)
Fl«ura 7-11
S O L U C IÓ N
L a p o r c ió n B , C , F , G d e la a r m a d u r a a c t ú a c o m o u n a u n id a d ríg id a .
D a d o q u e lo s s o p o r te s e s t á n fijo s, s e s u p o n e q u e e x is te u n p u n t o d e in ­
fle x ió n 7 m /2 = 3 .5 m p o r e n c im a d e A e / . y q u e e n la b a s e d e la s c o ­
lu m n a s a c tú a n r e a c c io n e s h o riz o n ta le s o tr a n s v e rs a le s ig u a le s, e s
d e c ir . 2 F , = O, V = 4 0 k N /2 = 20 k N . C o n e s t o s s u p u e s to s e s p o s ib le
s e p a r a r la e s t r u c t u r a e n la s b is a g r a s J y K , fig u ra 7 - 1 1 6 .y d e te r m i n a r
la s r e a c c io n e s e n la s c o lu m n a s d e la s ig u ie n te m a n e ra :
M i t a d i n f e r i o r d e l a c o lu m n a
5,+ S M a = 0 ;
M - 3 .5 ( 2 0 ) = 0
M = 70 k N • m
P o r c i ó n s u p e r i o r d e l a c o lu m n a
1 + 2 A#, = 0 ;
-4 0 ( 5 .5 ) + N ( 8) = 0
N = 27.5 k N
7 .4
M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal.
2 7 7
C o n b a s e e n e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 7 -1 l e , a h o r a e s p o s i­
b le o b t e n e r la s f u e iz a s e n lo s e le m e n to s C D , B D y B U .
+ 1 2 F y = 0;
- 2 7 . 5 + F BDs e n 4 5 ° = 0
F BD = 3 8 .9 k N ( T )R e sp .
5,+ S M f l = O,
- 2 0 ( 3 . 5 ) - 4 0 ( 2 ) + F CD( 2 )
=
0 F CD = 7 5 k N ( C )
{,+ 1 M d = 0 ;
F b h {2 ) - 2 0 ( 5 .5 ) + 2 7 .5 ( 2 )
=
0 F „ „ = 2 7 .5 k N ( T )R e sp .
Resp.
D e m a n e r a p a r e c id a , d e m u e s tr e q u e lo s r e s u lta d o s p u e d e n o b te n e r s e
e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la c o lu m n a F G I de la fig u ra 7 -1 Id .
C ó n e s t o s r e s u lta d o s , a h o r a p u e d e e n c o n tr a r s e la f u e r z a e n c a d a u n o
d e lo s o tr o s e le m e n to s d e la a r m a d u r a d e l p o r t a l e m p l e a n d o e l m é ­
to d o d e lo s n u d o s.
(C )
J u n ta D , fig u ra 7 - 1 1 *
+ 1 2 F y = 0 ; F d h s e n 4 5 ° - 38.9 s e n 4 5 ° = 0 F DH = 3 8 .9 k N ( C )
R esp .
• i 2 F X = 0 ; 7 5 - 2 (3 8 .9 e o s 4 5 ° ) - F DE = 0 F DE = 2 0 k N ( C )
Resp.
k -2 m -|
2m
38.9 k N
_ 4 5 °/
J u n ta H , fig u ra 7 - 1 1 f
2 7 5 kÑ
+ ] 2 F y = 0 ; F h e s e n 4 5 ° - 3 8 .9 s e n 4 5 ° = 0
F „ E = 3 8 .9 k N ( T ) R e sp .
35 m
E s to s r e s u lta d o s s e r e s u m e n e n la fig u ra 7 -1 lg.
20 kN t
27.5 k N
<d)
4 0 kN C
2 7 5 k N CT)
H
a
27.5 k N (C )
3 8 .9 k N
75kN_IJ^>*
3 8 .9 k N
Fdh
(e)
,
20kN,
?0kN
!
70kNm
2 7 5 kN
70 k N - m
|
'2 7 5 kN
(8)
_
275 kN H
(0
2 7 5 kN
2 7 8
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
PROBLEMAS
7 -1 3 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) los m o m e n to s
internos e n las ju n ta s A y B d e l m arco.
T
7 -1 5 . D eterm in e (en fo rm a ap ro x im ad a) los m o m en to s
in te rn o s e n A causados p o r las c arg as verticales.
lili rn x f lili
■
i
H
F
6m
A
B
6m
1
C
8m
D
6m
P ro b . 7 -1 3
Prob. 7 -1 5
7 -1 4 . D eterm ine (e n fo rm a ap ro x im ad a) lo s m o m en to s
internos e n las ju n ta s F y D d e l marco.
•7 -1 6 . D eterm in e (e n form a ap ro x im ad a) los m o m en to s
in tern o s e n A y B causados p o r las cargas verticales.
P rob. 7 -1 4
Prob. 7 -1 6
7 .4
7 -1 7 . D eterm ine (en form a ap ro x im ad a) lo s m om entos
internos e n las ju n ta s / y L. Por o tr a p arte, ¿cuál e s e l m o ­
m en to in tern o e n la ju n ta / / cau sad o p o r e l e lem e n to H G 1
M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal.
2 7 9
7-19. D eterm in e (e n fo rm a ap ro x im ad a) las reac c io n es en
los so p o rte s A y B d e l m arco d e p o rta l. S uponga q u e lo s so­
p ortes e s tá n (a ) articulados, y (b ) fijos.
P ro b .7 -1 7
7 -1 8 . D eterm in e (e n fo rm a a p ro x im ad a ) las rea cc io n e s e n
b s so p o rte s A , B y C d c l m arco.
*7-20. D eterm in e (e n fo rm a ap roxim ada) e l m om ento inte m o y la fuerza c o rta n te e n lo s ex trem o s d e c ad a e lem e n to
d el m arco de p o rta l. S uponga q u e los so p o rte s e n A y ü
e stá n parcialm en te fijos, d e m o d o q u e hay un p u n to d e in­
flexión ubicado e n h f t d e la p arte in ferior d e c a d a colum na.
P ro h . 7 -1 8
P ro h . 7 -2 0
2 8 0
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
7 -2 1 . D ib u je (en fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­
m ento p a ra e l e lem en to A C E del p o rta l, e l cual se c o n s­
truyó co n u n e le m e n to rígido E G y so p o rte s a c o d a d o s C F y
D H . S u ponga q u e to d o s lo s p u n to s d e c o n e x ió n e stá n a r ­
ticulados. T am bién d eterm in e la fu erza e n e l re fu e rz o a co ­
d a d o CF.
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
7 -2 5 . D ib u je (en fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o­
m en to p a ra la c o lu m n a A G F cfcl p o rta l. S u p o n g a q u e to d o s
lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las co lu m n a s e s tá n a rtic u ­
lados e n su s extrem os. T am bién d ete rm in e las fu e rz a s en
to d o s los elem en tos d e la arm ad u ra.
7 -2 2 . R esuelva e l p ro b le m a 7 -2 1 si lo s so p o rte s e n A y B
so n fijos e n vez de articulados.
P roh. 7 -2 5
7 -2 3 . D eterm in e ( e n form a a p ro x im a d a) la fu e rz a e n cada
elem ento d e la a rm a d u ra d e l m arco d e p o rta l. T am bién e n ­
cu en tre las reacciones e n los so p o rte s fijo s A y B de la c o ­
lum na. S uponga q u e to d o s los e le m e n to s d e la arm ad u ra
e stán articulados e n su s extrem os.
7 -2 6 . D ib u je (en fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o­
m ento p a ra la c o lu m n a A G F tk \ p o rta l. S u p o n g a q u e to d o s
los e lem en to s d e la a rm ad u ra e stá n a rticu lad o s e n su s e x tre ­
mos. L as co lu m n as e s tá n fijas e n A y t f .T am bién d ete rm in e
la fuerza d e to d o s lo s e le m en to s d e la a rm ad u ra.
*7-24. R esuelva el p ro b lem a 7-23 si lo s so p o rte s c n A y B
e stán articulados e n vez d e fijos.
Probs. 7 -23/7-24
P ro b .7 -2 6
7 .4
M a r c o s y a r m a d u r a s d e po r tal.
2 8 1
7 -2 7 . D eterm ine (e n form a ap ro x im ad a) la fu erza e n c ad a
elem ento d e la a rm a d u ra d el m arco d e p o rta l. T am bién e n ­
c u e n tre las reacciones e n lo s s o p o rte s A y t í de la co lu m n a
fija S uponga q u e to d o s lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra e stá n
articulados e n su s extrem os.
7-31. D ibuje (e n fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­
m ento p a ra la co lu m n a A C D del portal. S uponga q u e to d o s
lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las co lu m nas e stán a rtic u ­
lad o s e n sus ex trem o s. T am bién d ete rm in e la fu erza e n los
e lem en to s F G , F U y EH.
•7 -2 8 . R esuelva e l p ro b lem a 7-27 s i lo s so p o rte s e n A y tí
están fijos e n vez de articulados.
•7 -3 2 . R esuelva e l p ro b le m a 7-31 s i lo s so p o rte s e n A y tí
e stá n fijos e n vez de articulados.
P robs. 7 -27/7-28
P robs. 7 -31/7-32
7 -2 9 . D eterm ine (e n form a ap ro x im ad a) la fu erza e n los
elem en to s GF, G K y J K del m arco d e po rtal. T am bién e n ­
c u e n tre las reacciones e n lo s s o p o rte s A y B de la co lu m n a
fija S uponga q u e to d o s los e le m e n to s d e la a rm a d u ra e stá n
co nectados e n su s extrem o s.
7 -3 3 . D ibuje (en fo rm a ap ro x im ad a) e l d iag ram a de m o ­
m entos p a ra la c o lu m n a A J I d el po rtal. S u p o n g a q u e to d o s
lo s e le m e n to s d e la a rm a d u ra y las co lu m n as e stá n articu­
lad o s en su s ex trem o s. T am bién d e te rm in e la fuerza e n los
e lem en to s H G , I I L y K L .
7 -3 0 . R esuelva el p ro b lem a 7-29 s i lo s so p o rte s e n A y tí
están articu lad o s e n v ez d e fijos.
7 -3 4 . R esuelva el p ro b lem a 7-33 s i lo s so p o rte s e n A y tí
e stá n fijos e n vez de articulados.
6<S> l í m = 9 m
2 kN
4k N
Probs. 7 -29/7-30
/
]
K
L
M
N
P ro b s. 7 - 3 3 / 7 - 3 4
O
2 8 2
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
7 .5
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
C a rg a s la te ra le s e n m a rc o s de
c o n s tru c c ió n : M é to d o d e l p o r ta l
E n la se c c ió n 7-4 s e a n a liz ó la a c c ió n d e las c a rg a s la t e r a l e s s o b r e lo s
m a r c o s d e p o r t a l y s e e n c o n tr ó q u e p a r a u n m a r c o fijo a p o y a d o e n s u
b a se , lo s p u n to s d e in fle x ió n o c u r r e n a p r o x i m a d a m e n te e n e l c e n t r o d e
c a d a v ig a y c o lu m n a y q u e las c o lu m n a s s o p o r ta n las m ism a s c a r g a s c o r ­
ta n te s , f ig u r a 7-8. U n c a b a l le te d e e d if ic io s e d e f o r m a d e la m is m a m a ­
n e ra q u e u n m a r c o d e p o r ta l, fig u ra 7 - 1 2a y, p o r lo ta n t o , s e r ía
c o n v e n ie n te s u p o n e r q u e lo s p u n to s d e in f le x ió n s e p r o d u c e n e n e l c e n ­
tr o d e la s c o lu m n a s y tr a b e s . Si s e c o n s id e r a q u e c a d a c a b a l le te d e la e s ­
tr u c tu r a s e c o m p o n e d e u n a s e r ie d e p o r t a le s , f ig u r a 7 -1 2 6 , e n to n c e s ,
c o m o s u p u e s to a d ic io n a l, la s c o lu m n a s in te r io r e s r e p r e s e n ta r ía n e l e fe c to
d e d o s c o lu m n a s d e l p o r t a l y, p o r e n d e , s o p o r t a r í a n e l d o b le d e fu e rz a
c o r l a n te V q u e las d o s c o lu m n a s e x te r io r e s .
o - punto de inflexión
(a)
V
V
V
(b)
H g u ra 7-12
V
7 .5
C a r g a s la te r a le s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é tc o o d e l po r tal
E n r e s u m e n , e l m é to d o d e l p o r t a l p a r a a n a liz a r lo s m a r c o s d e c o n s ­
tr u c c ió n f ija m e n te a p o y a d o s r e q u i e r e lo s s ig u ie n te s s u p u e s to s :
L
E n e l c e n tr o d e c a d a t r a b e s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s to q u e s e s u ­
p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro .
2.
E n e l c e n t r o d e c a d a c o lu m n a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e se
s u p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro .
3.
fin u n n iv e l d e p is o d a d o , la f u e r z a c o r t a n te e n la s b is a g ra s d e la c o ­
lu m n a in te r io r e s e l d o b le q u e e n la s b is a g ra s d e la c o lu m n a e x te r io r ,
p u e s to q u e e l m a r c o s e c o n s id e r a u n a s u p e r p o s ic ió n d e p o r ta le s .
E s to s s u p u e s to s p r o p o r c io n a n u n a re d u c c ió n a d e c u a d a d e l m a r c o a u n a
e s t r u c tu r a e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a p e r o e s t a b le b a jo c a rg a .
E n c o m p a r a c ió n c o n e l a n á lis is e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d o q u e e s
m ás e x a c to , e l m é to d o d e l p o r ta l e s e l m á s a d e c u a d o p a r a la s c o n s tr u c c io ­
n e s c o n p o c a a ltu ra y e stru c tu r a u n ifo r m e . 1.a ra z ó n d e e s t o tie n e re la c ió n
c o n la a c c ió n d e l a e s t r u c tu r a b a jo c a r g a . A e s t e r e s p e c to , c o n sid e re q u e el
m a r c o a ctú a c o m o u n a v ig a e n v o la d i z o q u e e s t á fija al s u e lo . R e c u e r d e
d e l e s tu d io d e la m e c á n ic a d e m a te r ia le s q u e la resisten cia a la f u e r z a
c o r ta n te se v u e lv e m á s im p o r ta n te e n e l d is e rto d e v ig a s c o rta s, e n ta n t o
q u e la re siste n c ia a la f l e x i ó n e s m á s i m p o r t a n te s i la v ig a e s la r g a (v e a la
s e c c ió n 7 -6 ). E l m é t o d o d e l p o r t a l s e b a s a e n e l s u p u e s to r e l a c io n a d o c o n
la f u e r z a c o r ta n te c o m o s e in d ic a e n e l p u n to 3 a n te r io r .
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a fo r m a d e a p li c a r e l m é to d o d e l p o r ­
tal p a r a a n a liz a r u n c a b a l le te d e e d ific io .
EJ m é t o d o d e l p o r t a l p u e d e u s a r s e p a r a r e a l i z a r u n a n á l is is ( a p r o x i m a d o ) d e la s c a r ­
g a s l a t e r a l e s e n e s t e m a r c o d e u n a s o l a p la n ta .
283
2 8 4
C a p it u l o
EJEMPLO
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
7 .5
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­
lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 3 a . U se e l m é to d o d e
a n á lisis d e l p o rta l.
B
M
n
N
F
O
G
<b)
Figura 7 -1 3
S O L U C IÓ N
A I a p li c a r lo s d o s p r i m e r o s s u p u e s to s d e l m é to d o d e l p o r t a l , s e c o lo ­
c a n b is a g ra s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y la s c o lu m n a s d e l a e s t r u c ­
tu r a , fig u ra 7 - 13a. U n a s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a g r a s d e c o lu m n a e n
I , J , K , L p r o d u c e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e q u e s e m u e s tr a e n l a fi­
g u r a 7 -1 3 6 . A q u í s e a p lic a e l te r c e r s u p u e s to e n re la c ió n c o n la s f u e r ­
z a s c o r t a n te s e n la s c o lu m n a s . S e r e q u i e r e
i* S F x= 0;
1200 - 6^ = 0
V = 200 Ib
C o n b a s e e n e s t e r e s u lta d o , a h o r a se p u e d e d e s m e m b r a r e l m a r c o
e n la s b is a g ra s y d e t e r m i n a r s u s r e a c c io n e s , C o m o re g la g e n e ra l, s ie m ­
p r e in ic ie e ste a n á lisis e n la e s q u in a o j u n t a d o n d e s e a p lic a la carg a h o ­
r iz o n ta l. P o r lo ta n to , e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e l s e g m e n to I B M
s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 13c. L a s tr e s c o m p o n e n te s d e la r e a c c ió n e n
la s b is a g r a s l y, M x y M y x d e te r m in a n al a p li c a r d e 1 M ^ = 0 , 2 f ' , = 0,
'I F y = 0 , r e s p e c ti v a m e n te . A c o n t i n u a c i ó n s e a n a liz a e l s e g m e n to
a d y a c e n t e M J N , f ig u r a 7 -1 3 d , s e g u i d o p o r e l s e g m e n to N K O , fig u ra
7 -1 3 e ,y p o r ú lt im o e l s e g m e n to O G I . , fig u ra 7 - 1 3 / U s a n d o e s t o s r e ­
s u lta d o s , lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s c o lu m n a s c o n la s r e a c ­
c io n e s e n s u s s o p o r te s s o n c o m o s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 7 - 13g.
7 .5
C a r g a s la te r a le s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é tc o o d e l po r tal
2 8 5
Si s e c o n s id e r a n lo s s e g m e n to s h o r iz o n ta le s d e tr a b e s d e la s fig u ra s
7 - 1 3 c ,d ,e y / .e n t o n c e s e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la tr a b e e s c o m o
d q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 3 h .
15 0 1 b
»
* Ny - 1501b
S p te t" ’
12001b
M
8 pies
10 0 0 I b ^
------------- N * = 6 0 0 Ib
N
-
6pÍC4
M 8 pies
M , ~ 1 0 0 0 Ib
1501b*
2001b
6 p ie *
Jj
If - 1501b
4001b
J ,- 0
(d)
(c)
A O ,- 1 5 0 1 b
N
8 p ie s
8 p ie s
1
O
O . = 2 0 0 Ib
-U
6001b
2001b
O
■ n
8 p ie s
115501
01b*
6 p ,e s
4001b *
,K
150
150 IIbb*t
6 p ie s
L
2 0 0 1 b -* — o
“
0
I
L y = 1 5 0 Ib
<0
(e )
1501b
■50lbu
2001b
► 4001b
6 p ie s
6 p ie s
A , - 2 0 0 Ib
M a = 1 2 0 0 Ib * p i e
^
L
w------- ► 4 0 0 I b
6 p ie s
C , -
4 0 0 1 b _________ ^ _____ E , -
H , -2 0 0 1 b
4 0 0 Ib
|
|
M c - 2 4 0 0 Ib * p ie
M „ - 12 0 0 Ib - p ie
A f t = 2 4 0 0 I b • pie
A y - 1501b
H y - 1501b
(g )
M (k -p ie )
12
1 .2
12
\
/
/
\
8
x
16
32
24
40
48
\
-1 2
-1 2
(h )
2001b
6 p ie s
-1 2
(pies)
2 8 6
C
a p i t u l o
EJEMPLO
7
A
n á l i s i s
a p r o x i m a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t i c a m e n t e
i n d e t e r m i n a d a s
7 .6
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­
lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 4 a . U se e l m é to d o d e
a n á lisis d e l p o r ta l.
H
r
s
i
20 kN'
25 m
Ar i
v
*O r
i
j
v
*P,
Q*
(b)
Figura 7 -1 4
S O L U C IÓ N
E n p r i m e r lu g a r .s e c o lo c a n la s b is a g r a s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y
la s c o lu m n a s d e l m a r c o , fig u ra 7 - 1 4 a. U n a s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a ­
g ra s e n O , P , Q y J, K , L g e n e r a e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e q u e se
m u e s t r a e n la f ig u r a 7 -1 4 6 . L a s f u e r z a s c o r t a n t e s e n la s c o lu m n a s
s e c a lc u la n d e l a s ig u ie n te m a n e ra :
X l , F x = 0;
Í 2 F , = 0;
20 - 4 F = 0
20 + 30 - 4 V '
=
0
V = 5 kN
V ' = 12.5 kN
7 .5
2 8 7
C a r g a s la te r a le s e n m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é tc o o d e l po r tal
U tiliz a n d o e s t o s re s u lta d o s s e p u e d e c o n tin u a r c o n e l a n á lis is d e
c a d a p a r t e d e l m a r c o . E l a n á lis is c o m ie n z a c o n e l s e g m e n to e n e sq u in a
O G R , fig u ra 7 - 14c. L a s t r e s in c ó g n ita s O y , R x y R y s e h a n c a lc u la d o
e m p le a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . C o n e s t o s re s u lta d o s , s e a n a i z a a c o n tin u a c ió n e l s e g m e n to O J M , fig u ra 7 -1 4 < f;lu e g o e l s e g m e n to
J A , fig u ra 7 -1 4 c; K /> S ,fig u ra 7 -1 4 /; P M K N , fig u ra 7 -1 4 * . y K R , fig u ra
7-146. C o m p le te e s te e je m p lo y a n a lic e lo s s e g m e n to s S I Q , d e s p u é s
Q N L y p o r ú lt im o L C \ ta m b ié n d e m u e s tr e q u e C , » 12.5 k N . Cy 15.625 k N , y M c - 3 7 .5 k N . m . A d e m á s , u s e lo s r e s u lta d o s p a r a d e ­
m o s tr a r q u e e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a D M E N F e s c o m o se
m u e s tra e n la f ig u r a 7.1 4 i.
3.1 2 5
* l í , ^ 3 .1 2 5 k N
O J ÍM ~
■ “ - ¡ 2S
o mI |
«
f
15 --
L— =
*.
kN
15kN
«-
|
t -
»
k
—
N
kN
I
t S’ ‘ 3 ' “
« -
10kN ^
(C)
3 .1 2 5
'!_jL-2k'ikN
J
*
i
, , m
20
m
*
|
(O
kN
p 10 k N
í_ 5 k N
|M r -l2 J k N
°
2 .5 m
3 0 k N ---------- * 4
4 m
_
—
►
20 m
U , = 725 kN
1 2 S -k N --------- ^
4 m
125 k N *
3 m
-a ■■J1----------------------------------------------------------------------------------1K
Iz Jk Ñ ]
75 kN I
Jf “ 15.625 k N
* K ,- O
(d)
(g)
M (k N -m )
» 15.625 k N
-
12.5 kN
K
*
3 m
3 m
/i
T
A , = 1 2 J kN
M a - 3 7 .5 k N - m
B
----- B ,
• Mb
A , = 1 5 .6 2 5 k N
(e)
<h)
25 k N
A v
- 1 12 2. 5.51k N
L ,--------- N ¡ _
4 m
J l
kN
|V
7 .5 k N
2 8 8
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
7 .6
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
Cargas la te ra le s sobre m arcos de
construcción: M é to d o del vo la d izo
E l m é to d o d e l v o la d iz o se b a s a e n la m ism a a c c ió n q u e u n a v ig a e n v o la ­
d iz o la r g a s o m e tid a a u n a c a r g a tr a n s v e r s a l. C o m o s e v io e n e l e s t u d io d e
la m e c á n ic a d e m a te ria le s , ta l c a r g a p ro v o c a u n e s f u e r z o f le x io n a n te e n la
v ig a q u e v a r ía li n e a lm e n te d e s d e e l e je n e u t r o d e la v ig a , fig u ra 7 - 1 5 a. D e
m a n e r a s im ila r, la s c a rg a s la te r a le s s o b r e u n m a r c o tie n d e n a v o lc a r lo o a
c a u s a r le u n a r o t a c ió n r e s p e c to a u n “ e je n e u t r o " . e l c u a l s e e n c u e n t r a e n
u n p la n o h o r iz o n ta l q u e p a s a a tr a v é s d e la s c o lu m n a s e n t r e c a d a p is o .
P a r a c o n tr a r r e s ta r e s te v o lc a m ie n to , la s fu e r z a s (o e s f u e r z o s ) a x ia le s e n
la s c o lu m n a s s e r á n d e te n s ió n e n u n la d o d e l e je n e u tr o y d e c o m p r e s ió n
e n e l o t r o la d o , fig u ra 7 -1 5 6 . P o r lo ta n t o , a l ig u a l q u e c o n la v ig a e n v o la ­
d iz o . p a r e c e r a z o n a b le s u p o n e r q u e e s t e e s f u e rz o a x ia l tie n e u n a v a ria c ió n
lin e a l d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s d e la c o lu m n a o e l e je n e u tr o . P o r
c o n s ig u ie n te , e l m é to d o d e l v o la d iz o e s a d e c u a d o s i e l m a r c o e s a lto y d e l ­
g a d o , o tie n e c o lu m n a s c o n á r e a s tr a n sv e rs a le s d ife r e n te s .
marco de construcción
<b)
H g u ra 7 -1 5
7 .6
C a r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o
E n r e s u m e n , c u a n d o s e e m p le e e l m é t o d o d e l v o la d iz o , d e b e n a p li­
c a r s e lo s s ig u ie n te s s u p u e s to s a u n m a r c o f ija m e n te a p o y a d o .
L
E n e l c e n t r o d e c a d a v ig a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e s e s u ­
p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro .
2.
E n e l c e n t r o d e c a d a c o lu m n a s e c o lo c a u n a b is a g r a , p u e s t o q u e se
s u p o n e q u e é s te e s u n p u n to d e m o m e n to c e ro .
3.
E l e s fu e r z o a x ia l e n u n a c o lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia
d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s tr a n s v e r s a le s d e la s c o lu m n a s e n u n
n iv e l d e p is o d a d o . C o m o e l e s f u e r z o e s ig u a l a f u e r z a p o r á r e a , e n ­
to n c e s e n e l c a s o e s p e c ia l d e la s c o lu m n a s q u e tie n e n á re a s tr a n s v e r ­
sa les ig u a le s, la fu e r z a e n u n a c o lu m n a ta m b ié n e s p r o p o r c io n a l a s u
d is ta n c ia d e s d e e l c e n tr o id e d e la s á r e a s d e la c o lu m n a .
E s to s tr e s s u p u e s to s h a c e n q u e e l m a r c o s e a e s t a b le y e s t á tic a m e n te d e ­
te r m in a d o .
L o s s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la fo r m a e n q u e s e a p lic a e l m é to d o
d e l v o la d iz o p a ra a n a li z a r u n c a b a l le te d e e d ific io .
L a e s t r u c t u r a d e l e d if ic io t i e n e c o n e x i o n e s r íg i d a s . E l m é t o d o d e l v o l a d i / o p u e d e
i& a rs c p a r a r e a l i z a r u n a n á l is is ( a p r o x i m a d o ) d e c a r g a s la te r a le s .
2 8 9
2 9 0
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
D e te r m in e ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s e n la b a s e d e las c o ­
lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 - 1 6 a. S e s u p o n e q u e la s
c o lu m n a s ti e n e n á r e a s d e se c c ió n tr a n s v e r s a l ig u a le s. U s e e l m é to d o
d e a n á lis is d e l v o la d iz o .
3 0 kN
15 k N
- 6 m
(b)
S O L U C IÓ N
E n p r i m e r lu g a r s e c o lo c a n b is a g r a s e n lo s p u n to s m e d io s d e la s c o ­
lu m n a s y tra b e s . L a s u b ic a c io n e s d e e s to s p u n to s s e in d ic a n m e d ia n te
la s le tr a s G a L e n la f ig u r a 7 - 1 6 a. L o s c e n tr o id e s d e la s á r e a s tr a n s ­
v e rs a le s d e la s c o lu m n a s p u e d e n d e te r m i n a r s e p o r in s p e c c ió n , fig u ra
7 -1 6 6 ,0 a n a lític a m e n te d e la s ig u ie n te m a n e r a :
x
(c)
Y .x A
0 (i4 ) + 6 (A )
2/1
A + A
3 m
E l e s fu e r z o a x ia l e n c a d a c o lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia
d e s d e e s te p u n to . A q u í la s c o lu m n a s ti e n e n la m ism a á r e a e n s u s e c ­
c ió n tr a n s v e r s a l y. p o r lo ta n t o , la f u e r z a e n c a d a c o lu m n a e s p r o p o r ­
c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e l c e n tr o id e . E n to n c e s , u n a s e c c ió n a tr a v é s
d e la s b is a g r a s H y K e n e l p is o s u p e r io r g e n e r a e l d ia g r a m a d e c u e r p o
lib re q u e se m u e s tr a e n la fig u ra 7 - 16c. T e n g a e n c u e n ta q u e la c o ­
lu m n a a la iz q u ie r d a d e l c e n tr o id e d e b e e s t a r s o m e ti d a a te n s ió n , e n
ta n t o q u e l a c o lu m n a d e la d e r e c h a e s t a r á s o m e ti d a a c o m p r e s ió n .
E s to e s n e c e s a r io p a r a c o n t r a r r e s t a r e l v o lc a m ie n to c a u s a d o p o r la
f u e r z a d e 3 0 k N . A l s u m a r lo s m o m e n to s c o n r e s p e c to a l e je n e u tr o .s e
tie n e
i + S M = ü;
- 3 0 ( 2 ) + 3 Hy + 3 K y = 0
I-a s in c ó g n ita s p u e d e n re la c io n a r s e p o r m e d io d e tr iá n g u lo s p r o p o r ­
c io n a le s , fig u ra 7 - 1 6 c .e s d e c ir .
Hy
Ky
— = —
o b ie n
Hy = K y
A sí que.
H y
=
K y
=
10 k N
7 .6
2 9 1
C a r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o
D e u n a m a n e r a p a r e c id a , u tiliz a n d o u n a se c c ió n d e l m a r c o a tr a v é s
d e la s b is a g ra s e n G y L , f ig u r a 7 - \ 6 d , s c ti e n e
t+ Z M = 0;
-3 0 (6 ) -
1 5 (2 ) + 3 G , + 3 L , = 0
G o m o G y /3 = L y/3 o b ie n G y = L y , e n to n c e s
G y = L y = 3 5 kN
A h o r a p u e d e a n a liz a r s e c a d a p a r t e d e l m a r c o u s a n d o lo s r e s u lta d o s
a n te rio re s . C o m o e n lo s e je m p lo s 7 -5 y 7 -6 , s e c o m ie n z a e n la e s q u in a
s u p e r io r, d o n d e se p r o d u c e l a c a r g a a p lic a d a , e s d e c ir , e n e l s e g m e n to
W C /,fig u ra 7 -1 6 o .A I a p lic a r la s tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , SAZ/ = 0 .
S f, = 0 y
= 0 , se o b ti e n e n lo s r e s u lta d o s p a r a H „ I, e ^ ..r e s p e c ­
tiv a m e n te , q u e s e m u e s tra n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la fig u ra
7 -1 6 e. C o n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s , e n s e g u id a s e a n a liz a e l s e g m e n to
/D A T ,fig u ra 7 - 1 6 /;s e g u id o d e H J G ,f i g u r a 7 - 16g; d e s p u é s K J L ,f ig u r a
7 -1 6 /j,y p o r ú ltim o la s p a r te s in f e r io r e s d e la s c o lu m n a s , fig u ra s 7-16#
y 7 -1 6 /. L o s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a c a d a tr a b e s e m u e s tr a n e n la
fig u ra 7 -1 6 * .
3 0 1N
10 kN
10 k N
M ( k N -m )
30
7 .5 kN
x (m )
G , - 2 2 .5 s r i
35 kN
<h)
-3 0
A i ( k N -m )
35 kN
»35 k N
Gl
— + 7 2 S kN
2 2 .5 k N
2 m
2m
A
A , = 2 2 .5 k N
M a - 45 k N -m
A , = 35 kN
(0
F, - 223 kN
4 5 k N -m
N- ¡
F , = 35 kN
Ü)
(k)
2 9 2
C a p it u l o
EJEMPLO
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
7 .8
M u e s tr e c ó m o s e d e te r m i n a n ( e n f o r m a a p r o x im a d a ) la s r e a c c io n e s
e n la b a s e d e la s c o lu m n a s d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 7 -1 7 a.
I^as c o lu m n a s ti e n e n la s á r e a s d e s e c c ió n tr a n s v e r s a l q u e s e m u e s tr a n
e n la fig u ra 7 -1 7 6 . U se e l m é to d o d e a n á lis is d e l v o la d iz o .
P
t
O
R
*\10pulg2
— T
i---------O nLO p u lg 7
M 8 pulg2 N !6pulg2
12pies
4
4
16 pies E
'
10 pulg7
I T - .. /
F
r
,* —
8 pulg7 G |6 p u lg 7
10 pulg2
8 pulg2
í
6 pulg2
I
;
— 2 0 p ie s — |— 15 p ic s A
O
le
R
-20 pies — |—15 pies-j------25 pies
I
10 pulg7
H
-|
T
-25 pies
i
(a)
(b)
Figura 7 -1 7
S O L U C IÓ N
P r im e r o , s e s u p o n e q u e e x is te n b is a g r a s e n lo s c e n tr o s d e la s tr a b e s y
c o lu m n a s d e l m a r c o , f ig u r a s 7 - 1 7 d y 7 -1 l e . E l c e n tr o id e d e la s á r e a s
tr a n s v e r s a le s d e las c o lu m n a s s e d e te r m in a a p a r t i r d e l a fig u ra 7 .1 I b
d e l a s ig u ie n te m a n e ra :
•ro
853 pies 6.47 pies
x =
2853 pies-----(c)
31.47 pies
2xA
0 ( 1 0 ) + 2 0 (8 ) + 3 5 ( 6 ) -f 6 0 (1 0 )
„
= ---------------n ------l. '.' " -j 1.
= 2 8 .5 3 p ie s
2A
10 + 8 + 6 + 1 0
E n p r im e r lu g a r s e c o n s id e r a r á la s e c c ió n a tr a v é s d e la s b is a g r a s e n L ,
M .N y O .
<e>
7 .6
C a r g a s l a t e r a l e s s o b r e m a r c o s d e c o n s t r u c c ió n : M é t o d o d e l v o l a d iz o
E n e s te p r o b l e m a las c o lu m n a s ti e n e n d ife re n te s á r e a s tr a n s v e rs a le s ,
p o r lo q u e d e b e t e n e r s e e n c u e n ta q u e e l e s fu e r z o a x ia l e n c a d a c o ­
lu m n a e s p r o p o r c io n a l a s u d is ta n c ia d e s d e e l e je n e u tr o , u b ic a d o e n
x = 28 .5 3 p ie s .
L os e s f u e r z o s e n la s c o lu m n a s p u e d e n re la c io n a r s e m e d ia n te tr i á n ­
g u lo s s e m e ja n te s , f ig u r a 7 -1 7 c . S i s e e x p r e s a n la s re la c io n e s e n té r m i ­
n o s d e la f u e r z a e n c a d a c o lu m n a , p u e s t o q u e o = F / A , s e ti e n e
6.47
p ie s
8 p u lg 2
2 8 .5 3 ' «10 p u lg 2 /
Ny
6 .4 7 (/
L ,
\
'
L’ \
2 8 .5 3 ' ,1 0 p u lg 2/
6 p u lg 2
P , - 0.725 k
„
,
0 .1 3 6 /.,
___
/>, = 6.791 k
8k
^10 p i«
6 pies
L ,= 1209 k j 7
31.47
p ie s
Ly
31.47 I
Z
7~y = tíT c T l 7^
T il
28 .5 3 \ 10 p u lg 2
10 p u lg 2
O,
U y = l.W 5 L y
0.725k
(0
A h o r a q u e c a d a f u e r z a e s t á re la c io n a d a c o n Z .,,e l d ia g r a m a d e c u e r p o
S b re e s c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 7 -1 7 d .
O b s e r v e c ó m o la s c o lu m n a s a la iz q u ie rd a d e l c e n tr o id e e s t á n s o ­
m e tid a s a te n s ió n y las d e la d e r e c h a e s t á n s o m e tid a s a c o m p r e s ió n .
¿ P o r q u é ? A l s u m a r m o m e n to s c o n r e s p e c to a l e je n e u t r o s e tie n e
0.725 k
Ti.209 i
I , - 2.902 k
6 p i«
{,+ 1 M = 0 ;
- 8
k ( 6 p ie s ) +
¿ ,(2 8 .5 3
p ie s ) +
( 0 .2 3 9 /.,)(8 .5 3
A /_
l0J ~ ^ l O p i e s H r 8.489 k
p ie s )
„
.
2.720 k
+ ( 0 .1 3 6 ¿ ,) ( 6 .4 7 p i e s ) + (1 .1 0 3 /.,) ( 3 1 .4 7 p ie s ) = 0
3.627 k
( 8)
R e s o lv ie n d o ,
L y = 0725 k
M y = 0 .1 7 4 k
N y = 0 .0987 k
O , = 0 .8 0 0 k
3-627k
kt
F .'------► 2 .7 2 0 k
8 p ie s
U s a n d o e s t e m is m o m é to d o , d e m u e s tr e q u e s e o b ti e n e n lo s r e s u lta d o s
d e la fig u ra 7 -1 7 e p a ta la s c o lu m n a s E , F , G y / / .
A h o r a s e p u e d e p r o c e d e r a a n a liz a r c a d a p a r t e d e l m a r c o . C o m o e n
b s e je m p lo s a n te r io r e s , s e c o m ie n z a c o n el s e g m e n to d e la e s q u in a
s u p e r io r L P , fig u ra 7 -1 7 /. U tiliz a n d o lo s r e s u lta d o s c a lc u la d o s , e n s e g u id a s e a n a liz a e l s e g m e n to L E I , fig u ra 7 -1 7 g , s e g u id o p o r e l s e g ­
m e n to E A , fig u ra 7 -1 7 /j. L u e g o p u e d e n s e g u irs e a n a liz a n d o lo s o tr o s
s e g m e n to s e n s e c u e n c ia .e s d e c i r , P Q M ,d e s p u é s M I F l , e n s e g u i d a , F B
y a s í s u c e s iv a m e n te .
a
, = 1720 k
4
»
A#*-2 1 .7 6 4 k pie
(h)
2 9 3
294
C a p itu lo
7
A n á lis is
a p r o x im a d o
de
e s tru c tu ra s
e s tá tic a m e n te
in d e te r m in a d a s
PR O B LEM A S
7 -3 5 . U se e l m éto d o d e análisis d e l p o rta l y d ib u je el d ia ­
gram a d e m o m en to p a ra la tra b e FED .
15 kN
7 -3 9 . U se e l m éto d o d e análisis d e l p o rta l y d ib u je el d ia ­
gram a d e m o m en to p a ra la co lu m n a A F E .
*7-40. R esuelva el p ro b lem a 7-39 m ed ian te e l m é to d o de
análisis d el voladizo. T odas las co lu m n as tien e n la mism a
á re a e n s u sección transversal.
F
|------ 8 m ------ 1------8 m ------ 1
P roh. 7 -3 5
*7-36. U se e l m éto d o d e an álisis d e l p o rta l y d ib u je e l d ia ­
gram a d e m o m en to p a ra la tra b e J1UGF.
P robs. 7 -39/7-40
Proh. 7 -3 6
7 -3 7 . U se e l m éto d o d e l p o rtal y d e te rm in e (e n form a
aproxim ada) las reacciones e n los so p o rte s A . B , C y D .
7 -4 1 . U se e l m éto d o d el po rtal y d e te rm in e (e n form a
ap roxim ada) las reaccio n es e n A .
7 -3 8 . U se e l m éto d o del vo lad izo y d ete rm in e ( e n form a
aproxim ada) las reacciones e n los s o p o rte s A , B , C y D.
Todas las colum nas tien en la m ism a á re a e n s u sección
transversal.
7 -4 2 . U se e l m éto d o del vo lad izo y d e te rm in e (e n form a
ap roxim ada) las reaccio n es e n A .T odas las co lu m n as tienen
la m ism a á re a e n s u sección transversal.
5 m
• [-
5 m
P ro b s . 7 -3 7 /7 -3 8
------------5 m
[■—
18 pies — |"--------
20p ie s ---------*|
P ro b s . 7 -4 1 /7 -4 2
Pr o b l e m a s d e p r o y e c t o
2 9 5
7 -4 3 . D ibuje (e n fo rm a ap ro x im ad a) los d iag ram as de
m om ento p a ra la tra b e P Q R S T y la co lu m n a B G L Q del
m arco d e c o n stru c c ió a U se e l m éto d o d e l po rtal.
7-45. D ibuje el d iag ram a d e m o m en to p a ra la tra b e ¡JK L
d el m arco de c o n stru c c ió a U se el m éto d o de análisis del
portal.
*7-44. D ibuje (e n form a ap ro x im ad a) lo s d iag ram as de
m om ento p a ra la tra b e P Q R S T y la co lu m n a B G L Q del
marco d e construcción. U se e l m éto d o d e l voladizo.
7-46. R esuelva el p ro b lem a 7-45 m e d ia n te e l m é to d o de
análisis d el voladizo. C a d a c o lu m n a tien e el á re a transversal
q u e se indica.
9k
aJL
M
0 |>ies
H
lOpies
*JL dL
elL
20
dlS?*
20
- I
4 m -— -j------- 5 m --------t——- 4 m ---- -j
Probs. 7 -43/7-44
S
I
I
Area 24 (lO-3) m* 16 (10-3) m*
I
16 (10"*) m* 24(10", )m ?
Probs. 7 -45/7-46
P R O BLEM AS DE PROYECTO
7 -1 P . Los caballetes d e l edificio de alm acenam iento q u e
se m uestra e n la fotografía e stán separados p o r 10 pies y se
puede su p o n er que e stá n articulados e n todos los pu n to s d e
apovo. Utilice el m odelo id ealizado q u e se m uestra y d etermine la carga d el v ie n to prevista sobre el caballete.T enga e n
cuenta q u e la carga del viento se tran sm ite desd e la p ared
hasta los c u a tro largueros y efespués a las colum nas e n el lado
d e re c h a H a g a u n análisis aproxim ado y determ in e la carga
axial máxim a y el m om ento m áxim o e n la colum na A B . Suponga que las colum nas y los puntales acodados están articulados e n sus extrem os. E l edificio está situ ad o e n u n terre n o
plano de N ueva O rlean s.L o u isian a, d onde V — 125 mi/h.
2 9 6
C a p it u l o
7
A n á l is is
a p r o x im a d o
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
R EP AS O D E L C A P ÍT U L O
U n análisis e stru c tu ra l a p ro x im ad o se utiliza p a ra co n v er­
tir u n a e stru c tu ra estáticam en te in d eterm in ad a e n estáti­
cam ente d e term in ad a. D e e sta m an era p u ed e h ace rse u n
diserto p relim in ar de lo s e le m e n to s y, u n a vez c o m p leto ,
efectuar e l análisis indeterm in ad o , q u e e s m ás exacto, p a ra
perfeccionar e l diserto.
Las arm ad u ras q u e tienen refu erzo s d iag o n ales tran s­
versales d e n tro d e su s p an e le s p u ed en an alizarse su p o ­
niendo q u e la diagonal e n ten sió n so p o rta la fu erza
cortante del p an el y q u e la d iag o n al e n co m p resió n e s u n
elem ento d e fuerza cero. E sto es razo n ab le s i los ele m e n ­
tos so n largos y delgados. Para seccio n es m á s gran d es, lo
razonable e s su p o n er q u e cada d iag o n al so p o rte la m itad
de la fuerza co rtan te d el p an el.
V F'fw .
t
i— ti
E l análisis aproxim ado de una carg a v ertical uniform e q u e
actúa so b re una trab e d e lo n g itu d /- .e n un m arco d e c o n s­
trucción co nectado fijam ente, p u ed e a p ro x im arse m e­
d iante e l supuesto de q u e la viga no so p o rta n in g u n a carga
axial y q u e hay p u n to s de inflexión (bisagras), u b icad o s a
0.1 ¿ d e los soportes.
L
\v I
R e p a s o d e l c a p it u l o
2 9 7
Los m arcos d e p o rta l q u e cu en ta n c o n s o p o rte s fijos se analizan e n fo rm a a p ro x im a d a su p o n ien d o q u e hay b isag ras e n el
p u n to m edio d e c a d a a ltu ra d e colum na, m ed id a h a sta la p arte in fe rio r d e l re fu e rz o de a rm ad u ra. A dem ás, e n esto s m arcos
y e n lo s articulados, se su p o n e q u e c a d a co lu m n a so p o rta la m itad d e la c a rg a c o rta n te so b re e l m arco.
Para lo s m arcos de construcción fijos q u e e stá n so m etid o s a carg as laterales, se puede su p o n e r q u e hay bisagras e n los c e n ­
tro s de las colum nas y trabes. S i e l m arco tien e una elevación b a ja, la resisten cia a la fu erza c o rta n te es im p o rtan te y e s p o ­
sible e m p le a r e l m éto d o d e l po rtal, d o n d e las co lu m n as in terio res e n cu alq u ier nivel d e piso d a d o so p o rta n e l d o b le de
fuerza cortante q u e las colum nas exteriores. Para los m arco s d e lg ad o s y a lto s p u ed e usarse e l m éto d o d e l voladizo, d onde el
esfuerzo ax ial e n u n a co lu m n a e s p ro p o rcio n al a s u d istan cia d e sd e el cen tro id e d e l á re a de la sección transversal d e to d as
las co lum nas e n u n n iv e l de piso dad o .
N
M é to d o d e l v o la d iz o
l a deflexión d e e s te p u e n te a rq u e a d o d e b e su p erv isarse c u id a d o sa ­
m en te m ientras e s tá e n co nstrucción.
D eflexiones
En e s te c a p ít u lo se m o s tra r á c ó m o d e t e r m in a r las d e fle x io n e s e lá s tic a s
d e u n a v ig a s ig u ie n d o e l m é t o d o d e la d o b le in te g r a c ió n y d o s im p o r ­
ta n te s m é t o d o s g e o m é tr ic o s , a s a b e r, lo s te o r e m a s d e l m o m e n t o d e
á re a y e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a . La d o b le in te g r a c ió n s e e m ­
p le a p a ra o b t e n e r las e c u a c io n e s q u e d e fin e n la p e n d ie n te y la c u rv a
e lá s tic a . L o s m é to d o s g e o m é tr ic o s p r o p o r c io n a n u n a fo r m a d e o b t e ­
n e r la p e n d ie n te y la d e f le x ió n e n p u n t o s e s p e c ífic o s d e la v ig a . C a d a
m o d e e s to s m é t o d o s t ie n e s u s v e n ta ja s o d e s v e n ta ja s , q u e se a n a li­
z a rá n a l m o m e n t o d e p r e s e n ta r c a d a m é t o d o .
8 .1
D ia g ra m a s d e d e fle x ió n y la c u rva
e lá s tic a
L a s d e f le x io n e s d e la s e s t r u c tu r a s p u e d e n t e n e r v a ria s f u e n t e s , c o m o la s
c a rg a s , la t e m p e r a t u r a , lo s e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n o e l a s e n t a m i e n to .
D u r a n te e l d is e ñ o d e b e n lim ita r s e la s d e f le x io n e s a fin d e g a r a n tiz a r la
in te g r id a d y la e s ta b ilid a d d e lo s te c h o s y e v it a r e l a g r i e ta m ie n t o d e lo s
m a te r ia le s ríg id o s a d ju n to s c o m o e l c o n c r e to , e l y e s o o e l v id rio . A d e m á s ,
u n a e s t r u c tu r a n o d e b e v ib r a r o d e f o r m a r s e s e v e r a m e n te s i s e d e s e a q u e
“p a r e z c a " s e g u r a a la v is ta d e s u s o c u p a n te s . A ú n m ás i m p o r t a n te e s e l
h e c h o d e q u e , p a r a a n a liz a r la s e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e i n d e t e r m in a ­
d a s , s e d e b e n d e t e r m i n a r las d e f le x io n e s e n p u n to s e s p e c ífic o s d e la e s ­
tr u c tu ra .
I-as d e fle x io n e s q u e se c o n s id e r a r á n e n e s te te x to s ó lo se a p lic a n a e s ­
tr u c tu r a s q u e ti e n e n u n a re s p u e sta m a te r ia l lin e a l e lá stica . E n e s t a s c o n d i­
c io n e s . u n a e s t r u c t u r a s o m e ti d a a u n a c a r g a v o lv e r á a s u p o s ic ió n o r ig i­
n al n o d e f o r m a d a a l r e t i r a r l a c a r g a . L a d e fle x ió n d e u n a e s t r u c tu r a la
c a u s a n s u s c a r g a s in te r n a s , c o m o la f u e r z a n o r m a l, la f u e r z a c o r t a n t e . o e l
3 0 0
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
T A B L A 8 -1
0)
A = o
r o d illo u o s c fla d o r
(2)
A - 0
p asad o r
( 3)
A = 0
0 -0
s o p o r te fijo
m o m e n to f le x io n a n te . S in e m b a r g o , e n e l c a s o d e la s v ig a s y lo s m a rc o s,
la s m a y o r e s d e s v ia c io n e s s u e l e n s e r c a u s a d a s p o r l a fl e x ió n in te r n a , e n
ta n t o q u e e n u n a a r m a d u r a las d e f le x io n e s la s o c a s io n a n la s fu e r z a s a x ia ­
les in te rn a s.
A n te s d e d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to
s o b r e u n a v ig a o u n m a r c o , a m e n u d o r e s u lta ú til b o s q u e j a r e l p e rf il d e ­
f o r m a d o d e la e s t r u c tu r a c u a n d o e s t á c a r g a d a p a r a v e r if ic a r p a r c i a l­
m e n te lo s r e s u lta d o s . E s te d ia g r a m a d e d e fle x ió n r e p r e s e n ta la c u rv a
e lá stic a o e l lu g a r g e o m é tr ic o d e lo s p u n to s q u e d e f i n e la p o s ic ió n d e s p l a ­
z a d a d e l c e n tr o id e d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l a lo l a r g o d e lo s e le m e n to s .
P a r a l a m a y o r ía d e lo s p r o b le m a s , la c u rv a e lá s tic a p u e d e b o s q u e ja r s e sin
m u c h a d if ic u lta d . S in e m b a r g o , a l h a c e r lo e s n e c e s a r io c o n o c e r la s r e s ­
tr ic c io n e s e n c u a n to a la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to q u e o c u r r e n a
m e n u d o e n u n s o p o r te o u n a c o n e x ió n . C o n r e f e r e n c ia a l a ta b l a 8 -1 , lo s
s o p o r te s q u e resisten u n a f u e r z a , c o m o u n p a s a d o r , re s trin g e n e l d e s p la z a m ie n to '.y lo s q u e resisten u n m o m e n t o ,c o m o u n a p a r e d fija , re s trin g e n
h r o ta c ió n . O b s e r v e ta m b ié n q u e la d e f le x ió n d e lo s e le m e n to s d e u n
m a r c o q u e e s t á n f ija m e n te c o n e c ta d o s (4 ) h a c e q u e la ju n t a g ir e lo s e l e ­
m e n to s c o n e c ta d o s e n la m ism a c a n ti d a d 0. P o r o t r o la d o , si e n l a j u n t a se
u s a u n a a r t ic u l a c ió n ,c a d a e le m e n to te n d r á u n a p e n d ie n te d ife r e n te o u n a
r o ta c ió n d is tin ta e n e l p a s a d o r , d e b i d o a q u e é s t e n o p u e d e s o p o r t a r u n
m o m e n to ( 5 ) .
(4 )
j u n t a f ija m e n te c o n e c ta d a
(5 )
II
j u n t a a r tic u la d a
L o s m a r c o s d e d o s e l e m e n t o s s o p o r t a n t a n t o la c a r g a
m u e r t a d e l t e c h o c o m o la c a r g a v iv a d e la n ie v e . P u e d e
c o n s i d e r a r s e q u e e l m a r c o e s t á a r t i c u l a d o e n la p a r e d ,
f ijo e n e l s u e l o y q u e t i e n e u n a j u n t a f ij a m e n te c o n e c ­
ta d a .
8 .1
D ia g r a m a s d e o e r e x j ó n y l a c u r v a e l á s t ic a
S i la c u r v a e lá s tic a p a r e c e d ifíc il d e e s ta b le c e r , s e s u g ie r e d ib u j a r p r i ­
m e r o e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la v ig a o e l m a rc o . P o r la c o n v e n c ió n
d e s ig n o s p a r a lo s m o m e n to s e s t a b le c id a e n e l c a p ítu lo 4 , u n m o m e n to
p o s itiv o ti e n d e a d o b l a r u n a v ig a o e le m e n to h o r iz o n ta l c ó n c a v o h a c ia
a rr ib a , fig u ra 8 -1 . D e l m is m o m o d o , u n m o m e n t o n e g a tiv o tie n d e a d o ­
b la r la v ig a o e l e le m e n to c ó n c a v o h a c ia a b a jo , fig u ra 8-2. P o r lo t a n t o , si
se c o n o c e la fo r m a d e l d ia g r a m a d e m o m e n t o , la c o n s tr u c c ió n d e la cu rv a
e lá stic a se r á f á c i l y v ic e v e r s a . P o r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra
8 -3 c o n s u d ia g r a m a d e m o m e n to a s o c ia d o . D e b id o a l s o p o r te d e p a s a ­
d o r y r o d illo , e l d e s p la z a m ie n to e n A y D d e b e s e r c e ro . D e n t r o d e la r e ­
g ió n d e m o m e n to n e g a tiv o , la c u r v a e lá s tic a e s c ó n c a v a h a c ia a b a jo ; y
d e n tr o d e la re g ió n d e m o m e n to p o s itiv o , la c u rv a e lá s tic a e s c ó n c a v a
h a c ia a r r ib a . E n p a r tic u la r , d e b e h a b e r u n p u n to d e in fle x ió n e n e l s i ti o
d o n d e la c u r v a c a m b ia d e c ó n c a v a h a d a a b a jo a c ó n c a v a h a d a a r r ib a ,
p u e s to q u e é s t e e s u n p u n to d e m o m e n to n u lo . U s a n d o e s to s m ism o s
p rin c ip io s, o b s e r v e c ó m o la c u r v a e lá s tic a p a r a la v ig a e n la fig u ra 8 -4 se
e l a b o r ó c o n b a s e e n s u d ia g r a m a d e m o m e n to . E s p c d f ic a m e n tc , te n g a e n
c u e n ta q u e la r e a c c ió n d e m o m e n to p o s itiv o d e s d e la p a r e d m a n tie n e la
p e n d ie n te in ic ia l d e la v ig a h o r iz o n ta l.
P,
L
o
i
v ig a
m o m e n to p o s itiv o ,
c ó n c a v o h a c ia a r r ib a
HRura 8 -1
-
ir » ) m e n tó n e g a tiv o ,
c ó n c a v o h a c ia a b a jo
fig u ra 8-2
r
v ig a
M
d ia g r a m a d e m o m e n to
p u n to d e in f le x ió n
c u rv a d o d e fle x ió n
f ig u r a 8 - 3
301
, ,v*
f ig u r a 8 - 4
M
3 0 2
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
D ib u je l a f o r m a a lt e r a d a d e c a d a u n a d e las v ig a s q u e s e m u e s tr a n e n
la fig u ra 8 -5 .
S O L U C IÓ N
E n la fig u ra 8 - 5 a ,e l r o d illo u b ic a d o e n A p e r m ite la r o t a c ió n lib r e s in
d e fle x ió n , m ie n tr a s q u e la p a r e d fija e n B im p id e ta n t o la r o ta c ió n
c o m o l a d e f le x ió n . L a f o r m a a lt e r a d a se m u e s tr a m e d ia n te la lín e a
g ru e s a . E n l a f ig u r a 8-5£>, n o p u e d e o c u r r ir r o ta c ió n n i d e f le x ió n e n A
y B . E n l a fig u ra 8 - 5 c ,e l m o m e n to d e p a r g ir a r á a l e x tr e m o A . E s to
o r i g in a r á d e f le x io n e s e n a m b o s e x tr e m o s d e la v ig a , p u e s t o q u e la d e ­
fle x ió n n o e s p o s ib le e n B n i e n C . O b s e r v e q u e e l s e g m e n to C D p e r ­
m a n e c e sin d e f o r m a c ió n ( u n a lín e a r e c t a ) , d a d o q u e e n é l n o a c tú a
n in g u n a c a r g a in te r n a . E n la f ig u r a 8 -5 ¿ /,e l p a s a d o r ( b is a g ra in t e r n a )
e n B p e r m ite la r o t a c ió n lib r e y, p o r lo ta n t o , la p e n d ie n t e d e la c u rv a
d e d e f le x ió n c a m b i a r á s ú b i ta m e n te e n e s t e p u n to , m ie n tr a s q u e la
vig a e s t á r e s tr in g id a p o r s u s o p o r t e . E n la fig u ra 8 -5 e , la v ig a c o m ­
p u e s ta s e d e f o r m a d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a . I a p e n d ie n t e c a m b ia
a b r u p ta m e n te a c a d a la d o d e la a rtic u la c ió n e n B . P o r ú ltim o , e n la fi­
g u r a 8 -5 f e l c la r o B C se v o lv e r á c ó n c a v o h a d a a r r ib a d e b id o a la
c a r g a . D a d o q u e la v ig a e s c o n ti n u a , lo s d a r o s fin a le s se v o lv e r á n c ó n ­
c a v o s h a c ia a b a jo .
p
H'
A
8
- 2 T
C
A
P
w
I
B
F ig u r a 8 - 5
C
D
8 .1
D ia g r a m a s d e o e r e x j ó n y l a c u r v a e l á s t ic a
3 0 3
D ib u je la s f o r m a s a lt e r a d a s d e c a d a u n o d e lo s m a r c o s q u e se m u e s ­
tr a n e n la fig u ra 8 -6 .
B
c
B
c
D
' " I T
m
\
|j/>
(a)
S O L U C IÓ N
E n la fig u ra 8 - 6 a , c u a n d o l a c a r g a P e m p u ja las j u n t a s B y C h a d a la
d e r e c h a .s e p r o d u c e u n a r o t a d ó n d e c a d a c o lu m n a e n s e n tid o h o r a r io ,
d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a . C o m o r e s u lta d o , la s ju n t a s B y C d e b e n
g ir a r e n e l s e n tid o h o r a r io . D a d o q u e e n e s t a s a r tic u la c io n e s d e b e
m a n te n e r s e e l á n g u lo d e 9 0 ° e n t r e lo s e le m e n to s c o n e c ta d o s , la v ig a
B C se d e f o r m a r á d e m o d o q u e l a c u r v a tu r a s e in v ie r ta d e c ó n c a v a
h a c ia la iz q u ie r d a a c ó n c a v a h a d a la d e r e c h a . O b s e r v e q u e e s t o p r o ­
d u c e u n p u n to d e in f le x ió n d e n t r o d e la v ig a .
E n la fig u ra 8 - 6 b , P d e s p la z a la s ju n t a s B . C y D h a c ia la d e r e c h a ,
h a c ie n d o q u e c a d a c o lu m n a s e d o b le e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . I-as
ju n ta s fija s d e b e n m a n te n e r s u s á n g u lo s d e 9 0 ° y. p o r lo t a n t o . B C y
C D d e b e n t e n e r u n a c u r v a tu r a in v e r tid a c o n u n p u n to d e in fle x ió n
c e rc a d e s u p u n to m e d io .
E n la fig u ra 8 - 6 c ,la c a r g a v e r tic a l e n e s t e m a r c o s im é tric o d o b la r á la
viga C D c ó n c a v a h a c ia a r r ib a , c a u s a n d o u n a r o t a c ió n e n s e n t id o h o r a ­
rio d e la j u n t a C y e n s e n tid o a n ti h o r a r io d e la j u n t a D . C o m o e l á n ­
g u lo d e 9 0 ° e n la s ju n t a s d e b e m a n te n e r s e , las c o lu m n a s s e d o b la r á n
e n la f o r m a q u e se m u e s tr a . E s to h a c e q u e lo s c la r o s B C y D E x v u e l­
v a n c ó n c a v o s h a c ia a b a jo , lo q u e r e s u lta e n u n a r o t a c ió n e n s e n tid o
a n tih o r a r io e n B y e n s e n t id o h o r a r io e n E . P o r c o n s ig u ie n te , la s c o ­
lu m n a s s e d o b la n e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . I\>r ú ltim o , e n la fig u ra
8 -6d , las c a r g a s e m p u ja n la s j u n t a s B y C h a c ia la d e r e c h a , lo q u e
d o b la las c o lu m n a s e n la f o r m a q u e s e m u e s tr a . L a j u n t a fija B m a n ­
tie n e s u á n g u lo d e 9 0 ° , sin e m b a r g o , n o h a y re s tric c ió n a la r o ta c ió n
re la tiv a e n t r e lo s e le m e n to s e n C p o r q u e la j u n t a e s t á a rtic u la d a . E n
c o n s e c u e n c ia , s ó l o la v ig a C D n o tie n e u n a c u r v a tu r a in v e r s a .
(c)
*í
<d)
f ig u r a 8 - 6
3 0 4
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
PROBLEM AS FU N D AM EN TALES
(b)
R*-3. D ibuje la form a alterad a d e c a d a m arco. In d iq u e los
p u n to s d e inflexión.
(c)
ro -i
1 8 -2 . D ibuje la form a alterad a d e c a d a m arco. In d iq u e los
p u n to s d e inflexión.
» 8 -3
8 -2
8 .2
T E O ftlA D E L A V IG A ELASTICA
3 0 5
T e o ría d e la v ig a e lá s tic a
E n e s t a se c c ió n s e d e s a r r o ll a r á n d o s e c u a c io n e s d if e r e n c ia le s im p o r t a n ­
te s q u e r e l a c io n a n e l m o m e n to in t e r n o e n u n a v ig a c o n e l d e s p la z a ­
m ie n to y la p e n d ie n t e d e s u c u rv a e lá s tic a . E s ta s e c u a c io n e s f o r m a n la
b a s e d e lo s m é to d o s d e d e f le x ió n q u e se p r e s e n ta n e n e s te c a p ít u lo , y p o r
e s a r a z ó n h a y q u e c o m p r e n d e r p le n a m e n te lo s s u p u e s to s y la s lim ita c io ­
n e s q u e s e a p liq u e n e n s u d e s a r r o llo .
P a ra o b t e n e r e s ta s re la c io n e s , e l a n á lis is s e lim ita r á a l c a s o m á s c o m ú n
d e u n a v ig a q u e e n p r in c ip io e s r e c ta y q u e s e d e f o r m a e lá s tic a m e n te d e ­
b id o a las c a r g a s a p lic a d a s d e m a n e r a p e r p e n d i c u la r a l e je x d e la v ig a , y
q u e s e s itú a n e n e l p la n o d e s i m e t r ía x - v d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e la
v ig a , f ig u r a 8 -7 a . D e b id o a la s c a rg a s , la d e f o r m a c ió n d e la v ig a e s c a u ­
s a d a ta n t o p o r la f u e r z a c o r ta n te i n t e r n a c o m o p o r e l m o m e n to d e f le ­
x ión. S i la v ig a ti e n e u n a lo n g itu d m u c h o m a y o r q u e s u p r o f u n d id a d , la
m a y o r d e f o r m a c ió n s e r á c a u s a d a p o r la fle x ió n y, p o r e n d e , la a te n c ió n se
d ir ig i r á a s u s e f e c to s . L a s d e f l e x io n e s c a u s a d a s p o r la f u e r z a c o r t a n t e
s e a n a li z a r á n m á s a d e la n te e n e s te c a p ítu lo .
C u a n d o e l m o m e n to i n t e r n o M d e f o r m a e l e l e m e n t o d e la v ig a , c a d a
se c c ió n tr a n s v e r s a l s e m a n tie n e p la n a y e l á n g u lo e n t r e e lla s s e c o n v ie r te
e n dO , fig u ra 8 - 7 b . E l a r c o d x q u e r e p r e s e n ta u n a p o r c ió n d e la c u rv a
e lá s tic a in t e r s e c a e l e je n e u tr o d e c a d a se c c ió n tr a n s v e r s a l. E l ra d io d e
c u r v a tu r a efe e s te a r c o se d e f in e c o m o la d is ta n c i a p. q u e s e m id e d e s d e el
c e n tr o d e la c u r v a tu r a O ' h a s ta d x . C u a lq u i e r a r c o e n e l e le m e n to d is tin to
a d x e stá s o m e tid o a u n a d e f o r m a c ió n n o rm a l. P o r e je m p lo . l a d e f o r m a ­
c ió n e n e l a r c o d s . q u e s e u b ic a e n u n a p o s ic ió n y r e s p e c to a l e je n e u tr o ,
e s € = (</s’ - d s ) /d s . S in e m b a r g o , d s = d x = p d O y d s ' = ( p - y )d O ,y a s í
M
“ ( I
a n te s d e la
d e fo rm a c ió n
( p - y ) dO - p dO
o b ie n
pdO
1
e
- = —
P
y
d e s p u é s d e la
d e fo rm a c ió n
(b )
F ig u ra 8 - 7
Si e l m a t e r i a l e s h o m o g é n e o y se c o m p o r ta d e m a n e r a lin e a l e l á s t i c a ,e n ­
to n c e s p u e d e a p lic a rs e la le y d e H o o k e . f - tríE . A d e m á s , d a d o q u e t a m ­
b ié n e s a p lic a b le la f ó r m u la d e la fle x ió n , a = - M y l l. A l c o m b in a r e s ta s
e c u a c io n e s y s u s tit u ir e n la e c u a c i ó n a n te r io r , s e ti e n e
M
El
(8- 1)
A quí
p = e l r a d i o d e c u r v a t u r a e n u n p u n to e s p e c ífic o d e la c u r v a e lá s tic a
( 1/p s e c o n o c e c o m o la c u r v a tu r a )
M = e l m o m e n to in t e r n o e n l a v ig a e n e l p u n t o d o n d e d e b e d e t e r m i ­
n arse p
E = e l m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te r ia l
/ e l m o m e n to d e in e rc ia d e la v ig a c a lc u la d o r e s p e c to d e l e je n e u t r o
3 0 6
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
E n e s t a e c u a c ió n e l p r o d u c t o E l se c o n o c e c o m o la rig id e z a la fle x ió n ,
y s i e m p r e e s u n a c a n tid a d p o s itiv a . P u e s to q u e d x = p d O , e n to n c e s a p a r ­
ti r d e l a e c u a c i ó n 8 -1 ,
rf» = f j d x
(8 -2 )
Si s e e lig e e l e je v c o m o p o s itiv o h a c ia a r r ib a , fig u ra 8 -7 a ,y s i e s p o s ib le
e x p r e s a r l a c u r v a t u r a ( 1 /p ) e n té r m in o s d e x y ^ .e n t o n c e s s e p u e d e d e t e r ­
m in a r la c u rv a e lá s tic a d e la v ig a . E n la m a y o r ía d e lo s lib r o s d e c á lc u lo
s e d e m u e s tr a q u e e s ta re la c ió n d e c u r v a tu r a e s
1
d ’v /d x 2
p
[1 + ( d v / d x ) 2? ' 2
I\>r l o ta n t o .
M
_
d 2v / d x 2
(8 -3 )
£ / " [ ! +
( d v / d x ) 2p
E s ta e c u a c ió n r e p r e s e n ta u n a e c u a c ió n d if e r e n c ia l n o lin e a l d e s e ­
g u n d o o r d e n . S u s o lu c ió n , v = f ( x ) , p r o p o r c io n a la f o r m a e x a c ta d e la
c u r v a e lá s tic a ; s u p o n i e n d o , p o r s u p u e s to , q u e las d e fle x io n e s d e la v ig a se
p r o d u c e n s ó l o p o r fle x ió n . C o n e l f i n d e f a c ilita r la s o lu c ió n d e u n m a y o r
n ú m e r o d e p ro b le m a s , la e c u a c ió n 8 -3 s e m o d ific a rá a l h a c e r u n a im p o r ­
ta n t e s im p lific a c ió n . C o m o la p e n d ie n t e d e la c u rv a e lá s tic a p a r a la m a ­
y o ría d e la s e s t r u c t u r a s e s m u y p e q u e r t a .s e e m p l e a r á la te o r ía d e la p e ­
q u e ñ a d e f le x ió n y s e s u p o n d r á q u e d v l d x « 0 . E n c o n s e c u e n c ia , s u
c u a d r a d o s e r á in s ig n ific a n te e n c o m p a r a c ió n c o n la u n i d a d y p o r lo ta n t o
la e c u a c i ó n 8 -3 s e r e d u c e a
d h
dx2
= M
El
(8 -4 )
T a m b ié n d e b e s e ñ a l a r s e q u e a l s u p o n e r q u e d v / d x =» 0 , la lo n g itu d
o r ig in a l d e l e je x d e la v ig a y e l a r c o d e s u c u r v a e lá s tic a s e r á n a p r o x im a ­
d a m e n t e lo s m is m o s . E n o t r a s p a la b r a s , d s e n la f i g u r a 8 - 7 6 e s a p r o x i ­
m a d a m e n te ig u a l a d x , p u e s t o q u e
d s = V d x 2 + d v 2 = V i + { d v /d x )2 d x * d x
E s te r e s u lta d o im p lic a q u e lo s p u n to s d e la c u r v a e lá s tic a s ó l o s e d e s p l a ­
z a rá n d e m a n e r a v e r tic a l m a s n o h o riz o n ta l.
R e sultad os ta b u la d o s .
E n la s ig u ie n te se c c ió n s e m o s tr a r á c ó m o
a p lic a r la e c u a c i ó n 8 - 4 p a r a e n c o n tr a r la p e n d ie n t e d e u n a v ig a y la e c u a ­
c ió n d e s u c u rv a e lá s tic a . E n la c o n t r a p o r t a d a d e l lib r o s e u b ic a u n a ta b l a
q u e p r e s e n ta lo s r e s u lta d o s d e ta l a n á lis is p a r a a lg u n a s c a r g a s c o m u n e s
e n v ig a s q u e s e e n c u e n t r a n a m e n u d o e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l. T a m b ié n
s e e n u m e r a n la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to e n lo s p u n to s c rític o s d e la
viga. P o r s u p u e s to , u n a s o la ta b l a n o p u e d e in c lu ir lo s m u c h o s d if e r e n te s
c a s o s d e c a rg a y g e o m e tr ía q u e s e p r e s e n ta n e n la p r á c tic a . C u a n d o n o se
d is p o n e d e u n a ta b l a o s e ti e n e u n a in c o m p le ta , e l d e s p la z a m ie n to o la
p e n d ie n te e n u n p u n t o e s p e c ífic o d e u n a v ig a o u n m a r c o p u e d e n d e t e r ­
m in a rs e e m p l e a n d o e l m é to d o d e in te g r a c ió n d o b le o a lg ú n o t r o m é to d o
a n a liz a d o e n e s t e c a p ítu lo o e n e l s ig u ie n te .
8 .3
8 .3
3 0 7
E l m í t o o o d e in t e g r a c ió n d o b l e
El m é to d o d e in te g r a c ió n d o b le
U n a v e z q u e M s e e x p r e s a c o m o u n a fu n c ió n d e la p o s ic ió n x , e n to n c e s la s
in te g r a c io n e s s u c e s iv a s d e la e c u a c i ó n 8 .4 d a r á n la p e n d ie n t e d e la v ig a .
0 ^ t a n 0 = d v /d x = J ( M / E I ) d x ( e c u a c ió n 8 -2 ), y la e c u a c ió n d e la c u rv a
e lá s tic a , t* = f { x ) ■ / f ( M / E Í ) d x , re s p e c tiv a m e n te . P a r a c a d a in te g ra r i ó n , e s n e c e s a r io in tr o d u c ir u n a " c o n s ta n te d e in te g r a c ió n " y d e s p u é s r e ­
s o lv e r las c o n s ta n te s a f i n d e o b t e n e r u n a s o lu c ió n ú n ic a p a ra u n p r o ­
b le m a p a rtic u la r. R e c u e r d e d e la se c c ió n 4 -2 q u e s i la c a rg a e n u n a v ig a e s
d is c o n tin u a , e s d e c ir , c o n siste e n u n a s e r ie d e v a ria s c a r g a s c o n c e n tr a d a s y
d is trib u id a s , e n to n c e s d e b e n e s c r ib ir s e v a ria s fu n c io n e s p a r a e l m o m e n to
in te rn o , c a d a u n a v á lid a d e n t r o d e la r e g i ó n e n t r e la s d is c o n tin u id a d e s .
P or e je m p lo , c o n s id e re l a v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 84*. E l m o ­
m e n to i n t e r n o e n la s r e g io n e s A B , B C y C D d e b e e s c r ib ir s e e n té r m in o s
d e las c o o r d e n a d a s x \ , x i y x y U n a v e z q u e e s ta s fu n c io n e s se in t e g r e n a
tr a v é s d e la a p lic a c ió n d e l a e c u a c i ó n 8 -4 , y q u e s e h a y a n d e te r m in a d o la s
c o n s ta n te s d e in te g ra c ió n , la s fu n c io n e s d a r á n la p e n d ie n t e y la d e fle x ió n
(c u rv a e lá s ti c a ) p a r a c a d a re g ió n d e la v ig a e n la q u e s o n v á lid a s.
C
h « -l
*
--------------------- XJ-
fig u ra 8 -8
□
(a)
C o n v e n c ió n d e signos.
A l a p lic a r l a e c u a c ió n 8 -4 e s im p o r ta n te
u s a r el s ig n o a d e c u a d o p a r a M s e g ú n lo e s ta b le c e la c o n v e n c ió n d e s ig ­
n o s q u e s e u s ó e n la o b te n c i ó n d e e s t a e c u a c ió n , fig u ra 8 -9 a. A d e m á s , r e ­
c u e r d e q u e l a d e f le x ió n v p o s itiv a e s h a c ia a r r ib a y, e n c o n s e c u e n c ia , e l
á n g u lo d e la p e n d ie n t e p o s itiv a d x m e d i r á e n s e n t id o a n ti h o r a r io d e s d e
e l e je x . 1.a ra z ó n d e e s to s e m u e s tr a e n la f ig u r a 8 - 9 b . A q u í, lo s in c r e ­
m e n to s p o s itiv o s d x y d v e n x y r c re a n u n in c r e m e n to d e d O q u e e s e n
s e n tid o a n ti h o r a r io . A d e m á s , c o m o e l á n g u lo d e la p e n d ie n t e tf s e r á m u y
p e q u e ñ o , s u v a lo r e n r a d i a n e s p u e d e d e te r m in a r s e d ir e c ta m e n te d e 0 *
ta n 0 » d v ld x .
C o n d icio n e s d e fro n te ra y d e c o n tin u id a d . L a s c o n s ta n te s
d e in te g r a c ió n s e d e t e r m i n a n e v a lu a n d o la s f u n c io n e s d e la p e n d ie n t e o
d e l d e s p la z a m ie n to e n u n p u n to p a r t ic u l a r d e la v ig a d o n d e s e c o n o c e el
v a lo r d e la f u n c ió n . E s to s v a lo r e s se lla m a n c o n d ic io n e s d e fr o n te r a . P o r
e je m p lo ,s i la v ig a s e s o s tie n e m e d ia n te u n r o d illo o u n p a s a d o r , e n to n c e s
s e r e q u i e r e q u e e l d e s p la z a m ie n to s e a c e r o e n e s to s p u n to s . In c lu s iv e , e n
u n s o p o r te fijo , la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to s o n ig u a le s a c e ro .
S i n o p u e d e u s a r s e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a ra e x p r e s a r la e c u a c ió n d e
la p e n d ie n t e o la c u r v a e lá s tic a d e la v i g a ,e n t o n c e s d e b e n u s a r s e la s c o n ­
d ic io n e s d e c o n tin u id a d p a r a e v a lu a r a lg u n a s d e la s c o n s ta n te s d e in t e ­
g ra c ió n . C o n s id e r e la v ig a d e la fig u ra 8 -1 0 . A q u í la s c o o r d e n a d a s x , y x 2
s ó lo s o n v á lid a s d e n t r o d e la s r e g i o n e s A t í y B C , re s p e c tiv a m e n te . U n a
v ez q u e s e o b t i e n e n las f u n c io n e s d e la p e n d ie n t e y l a d e fle x ió n , é s t a s t i e ­
n e n q u e d a r lo s m ism o s v a lo r e s d e la p e n d ie n t e y la d e f le x ió n e n e l p u n to
B , x i = *2 = a . d e m a n e r a q u e la c u rv a e lá s tic a e s f ís ic a m e n te c o n tin u a .
E x p r e s a d o d e m a n e r a m a te m á tic a , e s t o r e q u i e r e q u e 0 \( a ) = ^ ( a ) y
u ,( a ) = v 2(a ). E s ta s e c u a c io n e s p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r d o s c o n s ­
ta n te s d e in te g ra c ió n .
c u r v a c lá s tic a
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
P r o c e d im ie n t o d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e y la
d e fle x ió n d e u n a v ig a ( o e j e ) u s a n d o e l m é to d o d e la in te g r a c ió n d o b le . D e b e t e n e r s e e n
c u e n ta q u e e s t e m é to d o s ó l o e s a d e c u a d o e n d e fle x io n e s e lá stic a s p a ra la s c u a le s la p e n ­
d ie n te d e la v ig a e s m u y p e q u e ñ a . A d e m á s , e l m é t o d o c o n s i d e r a s ó lo la s d e fle x io n e s d e b i­
d a s a la fl e x i ó n . E n g e n e r a l , la d e fle x ió n a d ic io n a l p o r la f u e r z a c o r t a n te r e p r e s e n ta s ó lo
u n p e q u e ñ o p o r c e n t a je d e la d e f le x ió n d e b id a a la fle x ió n ; p o r e llo , e n la p rá c tic a d e la in ­
g e n ie r ía s u e le ig n o r a rs e .
C u rv a e lá s tic a
•
D ib u je u n a v is ta e x a g e r a d a d e la c u r v a e lá s tic a d e la v ig a . R e c u e r d e q u e lo s p u n to s d e
p e n d ie n t e c e r o y d e s p la z a m ie n to c e r o s e p r o d u c e n e n u n s o p o r te fijo , y e l d e s p la z a ­
m ie n to c e r o s e p r o d u c e e n lo s s o p o r te s d e r o d illo y a rtic u la d o s .
•
E s ta b le z c a lo s e je s d e la s c o o r d e n a d a s x y y . E l e j e x d e b e s e r p a r a le lo a la v ig a s i n d e ­
f o r m a rs e y s u o r ig e n d e b e e s t a r e n e l la d o iz q u ie r d o d e l a v ig a , c o n s e n tid o p o s itiv o
h a c ia l a d e r e c h a .
•
Si h a y v a ria s c a r g a s d is c o n tin u a s p r e s e n te s , e s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x q u e s e a n v á ­
lid a s p a r a c a d a re g ió n d e la v ig a e n t r e las d is c o n tin u id a d e s .
•
E n t o d o s lo s c a so s, e l e je a s o c ia d o p o s itiv o v d e b e d ir ig ir s e h a c ia a r r ib a .
F u n c ió n d e la c a r g a o d e l m o m e n t o
•
P a r a c a d a re g ió n e n la q u e h a y u n a c o o r d e n a d a x , e x p r e s e e l m o m e n to i n t e r n o M e n
fu n c ió n d e x.
•
S ie m p r e s u p o n g a q u e M a c tú a e n la d ir e c c ió n p o s itiv a a l a p li c a r la e c u a c i ó n d e e q u il i­
b rio d e m o m e n to s p a r a d e t e r m i n a r M = f x ) .
P e n d i e n t e y c u rv a e lá s tic a
•
S ie m p re q u e E l s e a c o n s t a n te , a p liq u e la e c u a c ió n d e m o m e n to E l <P v /d x * = M ( x ) ,
q u e r e q u i e r e d o s in te g ra c io n e s . P a r a c a d a in te g ra c ió n e s im p o r ta n te in c lu ir u n a c o n s ­
ta n t e d e in te g r a c ió n . L a s c o n s t a n te s s e d e te r m i n a n u s a n d o la s c o n d ic io n e s d e f r o n te r a
p a ra lo s s o p o r te s y la s c o n d ic io n e s d e c o n tin u id a d q u e s e a p lic a n a la p e n d ie n t e y al
d e s p la z a m ie n to e n lo s p u n to s d o n d e s e e n c u e n t r a n d o s fu n c io n e s .
•
U n a v ez q u e s e d e t e r m i n a n la s c o n s t a n te s d e in te g r a c ió n y s e s u s titu y e n d e n u e v o e n
las e c u a c io n e s d e la p e n d ie n t e y l a d e f le x ió n , e s p o s ib le d e te r m i n a r la p e n d ie n t e y el
d e s p la z a m ie n to e n p u n to s e s p e c ífic o s d e l a c u rv a e lá s tic a . L o s v a lo r e s n u m é r ic o s o b t e ­
n id o s p u e d e n c o m p r o b a r s e g r á f ic a m e n te a l c o m p a r a r l o s c o n e l b o s q u e jo d e la c u rv a
d á s t ic a .
•
L o s v a lo r e s p o s i ti v o s d e la p e n d ie n te s o n e n s e n tid o a n ti h o r a r io y e l d e s p la z a m ie n to
p o s itiv o e s h a c ia a r r ib a .
8 .3
E l m é t o o o d e in t e g r a c ió n d o b l e
C a d a v ig u e ta d e p i s o s im p le m e n te a p o y a d a q u e se m u e s tr a e n l a f o to ­
g ra fía e s t á s o m e tid a a u n a c a r g a d e d is e ñ o u n if o rm e d e 4 k N /m , fig u ra
8-1 \a . D e te r m in e la d e f le x ió n m á x im a d e la v ig u e ta . E l e s c o n s ta n te .
C u rv a e lá s tic a , l i b i d o a la s i m e t r ía , la d e f le x ió n m á x im a d e la v i­
g u e ta s e p r o d u c i r á e n s u c e n tr o . .Sólo se r e q u i e r e u n a s o la c o o r d e n a d a
x p a r a d e t e r m i n a r e l m o m e n to in te rn o .
F u n c ió n d e m o m e n to .
g u ra 8 -1 1 s e tie n e
C o n b a s e e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , fi­
“(!)
M = 20x -
P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a .
d o s v eces re s u lta
2 0
a:
- 2x2
A l a p lic a r la e c u a c ió n 8 -4 e in te g r a r
4 k N /m
d 2v
■%
E l — z = 20* - 2x
dx
E ¡ ^ ~ = lO x2 - 0 .6 6 6 7 * 3 + C ,
dx
E l v = 3 3 3 3 a : 3 - 0 . 1 6 6 7 a : 4 + C xx + C 2
(a )
A q u í v = O e n x = 0 , d e m o d o q u e C 2 = 0 y v = 0 e n . t = 10; p o r lo
q u e C , - - 1 6 6 .7 . l\> r lo ta n to , la e c u a c ió n d e l a c u rv a e lá s tic a e s
E l v = 3 . 3 3 3 a 3 - 0 . 1 6 6 7 a :4 -
(4 x )N
1 6 6 .7 a :
E n a = 5 m , o b s e r v e q u e d v / d x = 0. P o r c o n s ig u ie n te , l a d e fle x ió n
m á x im a e s
521
t» m á x
=
“
El
R esp .
3 0 9
C a p it u l o
D e f l e x io n e s
8.4
L a v ig a e n v o la d iz o q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 8 - Í2 a e stá s o m e ti d a a
u n m o m e n to d e p a r M ,, e n s u e x tr e m o . D e te r m in e la e c u a c ió n d e la
c u rv a e lá s tic a . F.I e s c o n s ta n te .
"■
*
L ---------- ------___|
.
|
(a)
.
"
x
(b)
Figura 8 -1 2
S O L U C IÓ N
C u r v a e l á s t i c a . La c a r g a ti e n d e a d e f o r m a r la v ig a c o m o s e m u e s tra
e n la f ig u r a 8 -9 a. f t ) r in s p e c c ió n , e l m o m e n to in t e r n o p u e d e r e p r e s e n ­
ta r s e a lo la r g o d e la v ig a e m p le a n d o u n s is te m a d e u n a s o la c o o r d e ­
n a d a X.
F u n c ió n d a m o m e n t o . A p a r tir d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , c o n
M q u e a c t ú a e n la á r e c c ió n p o s i ti v a ,f ig u r a 8-12¿> ,se tie n e
P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a .
d o s v e c e s s e o b ti e n e
O*
EJEM PLO
8
5
ii
3 1 0
A l a p li c a r la e c u a c ió n 8 -4 e in t e g r a r la
d 2v
E l— ¡ = M„
(1 )
E 'T x = M oX + C |
<2)
E lv = ^
* C ,x + C ,
(3 )
Si s e u s a n la s c o n d ic io n e s d e f r o n t e r a d v l d x = ü e n x = ü y t > = ü e n
x = (X e n to n c e s C \ =
= 0. A l s u s tit u ir e s t o s r e s u lta d o s e n la s e c u a ­
c io n e s ( 2 ) y (3 ) c o n 0 = d v l d x , s e o b ti e n e
v m
2E l
R eSp
8 .3
E l M É T O O O D E IN T E G R A C IÓ N D O B L E
L a p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to m á x im o s o c u r r e n e n A ( x = L ) ,
p a r a lo c u a l
E l r e s u lta d o p o s itiv o p a r a 0A in d ic a u n a r o t a c ió n e n s e n t id o a n tih o ra r io y e l r e s u lta d o p o s itiv o p a r a v A in d ic a q u e v A a c tú a h a d a a rr ib a .
E s to c o n c u e r d a c o n lo s re s u lta d o s b o s q u e ja d o s e n la fig u ra 8 -1 2a.
C o n e l fin d e o b t e n e r u n a id e a d e la m a g n itu d re a l d e la p e n d ie n t e y
d d e s p la z a m ie n to e n e l e x tr e m o A , c o n s i d e r e q u e la v ig a d e la fig u ra
8 -1 2 a tie n e u n a lo n g itu d d e 12 p ie s , q u e s o p o r ta u n m o m e n to d e p a r
d e 15 k . p ie , y e s tá h e c h a d e a c e r o c o n E K - 2 9 (1 0 3) ksi. Si e s ta v ig a
se d is e ñ a r a s i n u n f a c to r d e s e g u r id a d s u p o n i e n d o q u e e l e s f u e rz o
n o rm a l p e r m is ib le e s ig u a l a l e s f u e r z o d e c e d e n c ia
= 3 6 k si, e n ­
to n c e s s e e n c o n t r a r í a q u e u n p e r f il W 6 X 9 s e r í a a d e c u a d o ( / = 16.4
p u lg 4). A p a r t i r d e la s e c u a c io n e s (4 ) y ( 5 ) se o b ti e n e
e
= 15 k ' p i e ( l 2 P u l&/ P 'e ) ( 12 P »es) (1 2 p u l g / p i e ) =
M
^
2 9 (1 0 3) k / p u l g 2( 16.4 p u lg 4)
15 k • p ie (1 2 p u l g / p i e )( 1 2 p ie s ) 2(1 2 p u lg /1 p i e ) 2 _
2 ( 2 9 ( 1 0 ’ ) k /p u l g 2) ! 1 6 .4 p u lg 4)
D a d o q u e fl2, = 0 .0 0 2 9 7 r a d 2 «
1, s e ju s tif ic a e l u s o d e la e c u a c ió n
8 -4 e n v e z d e a p lic a r la e c u a c ió n m á s e x a c ta 8 -3 , p a r a e l c á lc u lo d e la
d e fle x ió n d e la s v ig a s. A d e m á s , c o m o e s ta a p lic a c ió n n u m é r ic a e s p a ra
u n a viga en v o l a d i z o ,s e h a n o b te n i d o v a lo re s m á s g r a n d e s p a r a 9 y v
m á x im o s q u e lo s q u e s e h a b r ía n o b t e n i d o s i la v ig a e s tu v ie r a a p o y a d a
m e d ia n te p a s a d o r e s , ro d illo s u o tr o s s o p o r te s .
3 1 1
3 1 2
C a p it u l o
EJEM PLO
8
D e f l e x io n e s
8 .5
L a v ig a d e l a f i g u r a 8 - 1 3 a e s t á s o m e t i d a a u n a c a r g a P e n s u e x t r e m o .
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to e n C . E l e s c o n s ta n te .
r
F
,,i .
|
i)
m2
«.
i
f
Vl
4'
3P
T
(b)
Figura 8 -1 3
S O L U C IÓ N
C u r v a e l á s t i c a . L a v ig a s e d e f o r m a c o m o s e m u e s t r a e n la f ig u r a
8 - 1 3 a. D e b id o a l a c a r g a , d e b e n c o n s id e r a r s e d o s c o o r d e n a d a s x.
F u n c i o n e s d e m o m e n t o . Si s e u s a n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib re
q u e s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 8 - 1 3 6 .s e ti e n e
P
Xi
M \ =
0
s
i , s
2o
3P
P
M i = - - ^ * 2 + -= -(* 2 - 2a)
2
2
2a
P x 2 ~ 3 Pa
P e n d ie n te y c u rv a e lá s tic a .
p a ra x¡.
« a
dx,
E l vt
3a
A p lic a n d o la e c u a c ió n . 8 -4 ,
+c,
+ C xx %+ C 2
(»
(2 )
8 .3
E l M É T O O O D E IN T E G R A C IÓ N D O B L E
d 2v 2
E I ~ T ~2 = P x i ~ ^ P a
dx2
P a r a * 2,
. dv° l _
P
2
E l dt2 = 2Xl ~ 3PaX2 + C3
E l»l =
(3)
- \ P a x * + CyX2 + C 4
(4 )
L a s c u a tr o c o n s ta n te s d e in te g r a c ió n s e d e t e r m i n a n m e d ia n te tres
c o n d ic io n e s d e f r o n te r a , a s a b e r , v , = 0 e n x x = 0 , t>j = 0 e n x x = 2 a y
v 2 = O e n x 2 = 2 a ,y u n a e c u a c ió n d e c o n tin u id a d . A q u í la c o n tin u id a d
d e la p e n d ie n t e e n e l r o d illo r e q u i e r e q u e d v \ ! d x \ = d v 2l d x 2 e n
= x2
= 2a. ( T e n g a e n c u e n ta q u e la c o n ti n u id a d d e l d e s p la z a m ie n to e n tí
ha s id o c o n s i d e r a d o d e m a n e r a in d ir e c ta e n la s c o n d ic io n e s d e f r o n ­
te ra , p u e s to q u e v ¡ = v 2 = 0 e n
= x 2 = 2a.) A l a p li c a r e s t a s c u a t r o
c o n d ic io n e s re s u lta
«>i =
=
vz =
O en x \
oen
0 + 0 + C2
0 ;0 =
= 2a\
O en x 2
d v t( 2 a )
=
+ C t {2 a ) + C 2
0 =
2 a \ 0 =>
o
=
d v iila )
p
¿ r ;
- 7
£ ( 2 a )3 - \ P a i l a ) 1 + C 3(2 n ) + C 4
Z
p
,
+ c - - 1 <2")2 - 3P° ™
+c>
R c s o lv ie n d o .s e o b ti e n e
C,
-
C2 = 0
C3 =
j P a 2 C 4 = - 2 Pai
A l s u s tit u ir C 3 y C4 e n la e c u a c ió n (4 ) re s u lta
P
,
3Pa 2
10P a 2
01 “ 6 é ¡ ^ ~ 2 ¡ n x *
2Pa3
~ ~e F
E l d e s p la z a m ie n to e n C s e d e t e r m i n a a l e s t a b l e c e r x 2 = 3 a . S e tie n e
que
Pa3
vc =
R esp .
3 1 3
3 1 4
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
PROBLEMAS FUNDAM ENTALES
r a - 4 . D eterm ine la ecu ació n d e la cu rv a elástica p a ra la
viga em p lean do la coorden ad a x que e s válida p ara 0 < x < L.
E l es constante.
FR-7. D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la
viga em p lean d o la co o rd en ad a * que e s válida p ara 0 < x < /..
E l e s constante.
t
ra -4
F8-5. D eterm ine la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coorden ad a x que e s válida p ara 0 < x < L .
E l es constante.
r a - 8 . D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la
viga em p lean d o la coordenada x que es válida p ara 0 < x < L.
F.I es constante.
ra -8
F 8 -6 . D eterm ine la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la
viga em pleando la coorden ad a .r que e s válida p ara 0 < x < L.
E l es constante.
F 8 -9 . D eterm in e la ecu ació n d e la c u rv a elástica p a ra la
viga em p lean d o la coordenada x que es válida p ara 0 < x < L.
F.I es constante.
8 .3
E l m é to o o d e in t e g r a c ió n d o b le
3
1
5
PROBLEM AS
8 - 1 . D e te r m in e l a s e c u a c io n e s d e la c u r v a e lá s t ic a p a r a la
8 - 6 . D e te r m in e la d e f le x ió n m á x im a e n t r e lo s s o p o r t e s
v ig a e m p l e a n d o l a s c o o r d e n a d a s x , y x 7. E s p e c if iq u e la p e n ­
d i e n t e e n A y la d e f le x ió n m á x im a . E l e s c o n s ta n t e .
E la
m
A y B.
c o n s ta n te . U tilic e e l m é to d o d e in te g ra c ió n .
.1
P ro h . 8 -1
8 - 2 . l a b a r r a e s t á s o p o r t a d a p o r u n a r e s tr ic c ió n d e r o d i ll o
e n & , q u e p e r m i t e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t ic a l p e r o r e s i s t e la
c a r g a a x ia l y e l m o m e n t o . S i la b a r r a s e s o m e te a la c a r g a
q u e s e m u e s tr a , d e t e r m i n e la p e n d i e n t e e n A y la d e f le x ió n
8 - 7 . I > íte r m in e la c u r v a e l á s tic a p a r a la v ig a s i m p l e m e n t e
a p o y a d a u s a n d o la c o o r d e n a d a i , 0 < í < I . ) 2 . A d e m á s .d e ­
t e r m in e la p e n d i e n t e e n A y la d e f l e x i ó n m á x i m a d e la v ig a .
E l e s c o n s ta n te .
e n C E l es c o n s ta n te .
8 - 3 . D e t e r m i n e la d e f l e x i ó n e n e l p u n t o B d e la b a r r a d e l
p r o b l e m a 8 -2 .
L___ k
2
u
2
P ro h . 8 -7
P ro b s . 8 -2 7 8 -3
• 8 - 4 . D e te r m in e la s e c u a c io n e s d e la c u r v a e lá s t ic a u s a n d o
la s c o o r d e n a d a s x , y x 7, e s p e c i f iq u e la p e n d i e n t e y la d e f l e ­
x ió n e n B . E l e s c o n s t a n t e .
8 - 5 . D e t e r m i n e l a s e c u a c i o n e s d e la c u r v a e l á s t i c a u s a n d o
la s c o o r d e n a d a s X | y x3 y e s p e c i f i q u e la p e n d i e n t e y la d e f l e ­
x ió n e n e l p u n t o B . F .I e s c o n s ta n te .
• 8 - 8 . D e te r m in e l a s e c u a c io n e s d e la c u r v a e l á s tic a e m ­
p l e a n d o l a s c o o r d e n a d a s x , y x*. y e s p e c i f i q u e la p e n d i e n t e
e n C y e l d e s p la z a m ie n to e n B . E l es c o n s ta n te .
8 - 9 . D e t e r m i n e l a s e c u a c io n e s d e la c u r v a e l á s t ic a e m ­
p l e a n d o la s c o o r d e n a d a s x i y x * y e s p e c i f i q u e la p e n d i e n t e
e n B y la d e f le x i ó n e n C . E l e s c o n s ta n te .
u n i te
h x> -
P ro b s .8 -4 /8 -5
P ro h s . 8 -8 Z 8 -9
8 .4
T e o re m a s d e l m o m e n to d e á re a
L a s id e a s in ic ia le s p a r a lo s d o s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a f u e r o n
d e s a r r o lla d a s p o r O t t o M o h r y m á s t a r d e e s ta b le c id a s f o r m a lm e n te p o r
C h a r le s E . G r e e n e e n 1873. E s to s te o r e m a s p r o p o r c io n a n u n a té c n ic a sem ig rá fic a p a r a d e t e r m i n a r la p e n d ie n t e d e la c u r v a e lá s tic a y s u a l t e r a ­
c ió n d e b id o a la fle x ió n . R e s u lta n p a r t ic u l a r m e n t e v e n ta jo s o s c u a n d o se
u tiliz a n p a r a r e s o lv e r p r o b le m a s d e v ig as, e n e s p e c ia l la s s u j e ta s a u n a
s e r ie d e c a r g a s c o n c e n t r a d a s o q u e ti e n e n s e g m e n to s c o n d if e r e n t e s m o ­
m e n to s d e in e rc ia .
P a r a d e s a r r o l l a r lo s te o r e m a s , s e h a c e r e f e r e n c ia a l a v ig a d e la fig u ra
8 - 1 4 a. S i s e d ib u j a e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la v ig a y d e s p u é s s e d i ­
v id e e n tr e la rig id e z a la fle x ió n , £ 7 ,r e s u lta e l " d ia g r a m a d e M I E F q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 8 -1 4 6 . C o n b a s e e n la e c u a c i ó n 8 -2 ,
A s í p u e d e v e rs e q u e e l c a m b io d O a i la p e n d ie n t e d e la s ta n g e n te s a c a d a
la d o d e l e le m e n to d x e s ig u a l a l á r e a c o n s o m b r e a d o c la r o b a jo e l d i a ­
g r a m a M I E L A l in te g r a r d e s d e e l p u n t o A h a s ta e l p u n t o B d e la c u rv a
e lá s tic a , fig u ra 8 - 1 4 c ,s e ti e n e
E s ta e c u a c i ó n e s la b a s e p a r a e l p r i m e r te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a .
T e o r e m a 1: E l c a m b io e n la p e n d ie n t e e n t r e d o s p u n to s c u a le s q u ie r a
d e la c u rv a e lá s tic a e s ig u a l a l á r e a d e l d ia g r a m a M I E I e n t r e e s o s d o s
p u n to s .
La n o ta c ió n 0B,A se c o n o c e c o m o e l á n g u lo d e la t a n g e n t e e n B m e d id o
c o n r e s p e c to a la t a n g e n t e e n / L A p a r t i r d e la c o m p r o b a c ió n d e b e r í a s e r
e v id e n te q u e e s te á n g u lo s e m id e en s e n tid o a n tih o ra rio d e s d e la t a n ­
g e n te A h a s ta la t a n g e n t e B . s i e l á r e a d e l d ia g r a m a M I E I e s p o s itiv a , fi­
g u ra 8 -1 4 c . D e m a n e r a in v e r s a ,s i e s t a á r e a e s n eg a tiva . o e s tá p o r d e b a jo
d e l e je x . e l á n g u lo 0Bia se m id e e n s e n t id o h o ra rio d e s d e la t a n g e n t e A
h a s ta l a t a n g e n t e B . A d e m á s , c o n b a s e e n la s d im e n s io n e s d e la e c u a c ió n
8 - 5 , 0K A s e m i d e e n ra d ia n e s .
F ig u r a 8 - 1 4
8 .4
T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a
E l s e g u n d o te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a s e b a s a e n la d e s v ia c ió n r e ­
la tiv a d e la s ta n g e n te s a la c u r v a e lá s tic a . E n la f ig u r a 8 - 15c s e m u e s tra
u n a v ista m u y e x a g e r a d a d e l a d e s v ia c ió n v e rtic a l d t cfc las ta n g e n te s a
c a d a la d o d e l e le m e n to d if e r e n c ia l d x . E s ta d e s v ia c ió n s e m i d e a lo la rg o
d e u n a lín e a v e rtic a l q u e p a s a a tr a v é s d e l p u n t o A . C o m o s e s u p o n e q u e
la p e n d ie n t e d e la c u rv a e lá s tic a y s u d e f le x ió n s o n m u y p e q u e ñ a s , re s u lta
s a tis f a c to r io a p r o x im a r la lo n g itu d d e c a d a lín e a d e la t a n g e n t e m e d ia n te
* y e l a r c o d s ' p o r m e d io d e d t. S i s e u s a la f ó r m u la d e l a r c o c ir c u la r s =
0 r, d o n d e r tie n e u n a lo n g itu d * , s e p u e d e e s c r ib ir d t - x dO. E m p le a n d o
la e c u a c ió n 8 -2 . d O - ( M I E l ) d x , la d e f le x ió n v e r tic a l d e la t a n g e n t e e n A
c o n r e s p e c to a la ta n g e n te e n B p u e d e e n c o n tr a r s e p o r in te g ra c ió n , e n
cuyo caso
U ,B
M
— dx
Ja
T i
( 8-
--------------x ------------------------ d x
(*>
6)
R e c u e r d e q u e a l e s t u d i a r la e s t á tic a s e e s ta b le c ió q u e e l c e n tr o id e d e u n
á r e a s e d e te r m i n a a p a r t i r d c x f d A = f x d A . P u e s to q u e / M / E ! d x
r e p r e s e n ta u n á r e a d e l d ia g r a m a M /E I , ta m b ié n e s p o s ib le e s c r ib ir
r
*A ,B = X
m_
— dx
Ja El
(b )
(8 - 7 )
A q u í a : e s la d is ta n c ia d e s d e e l e je v e r tic a l q u e p a s a p o r A h a s ta e l c e n ­
tr o id e d e l á r e a c o m p r e n d id a e n t r e A y
f ig u r a 8 -1 5 6 .
A h o r a p u e d e e n u n c ia r s e e l s e g u n d o te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a d e
la m a n e r a s ig u ie n te :
T e o r e m a 2 : L a d e s v ia c ió n v e r tic a l d e la t a n g e n t e e n u n p u n t o ( A ) d e
la c u r v a e lá s tic a c o n r e s p e c to a la t a n g e n t e e x te n d id a d e s d e o t r o
p u n to ( B ) e s ig u a l a l “ m o m e n to ” d e l á r e a b a j o e l d ia g r a m a M I E l
e n tr e lo s d o s p u n to s (A y B \ E s te m o m e n to s e c a lc u la r e s p e c to d e l
p u n to A (e l p u n to s o b r e la c u rv a e lá s tic a ), d o n d e d e b e d e te r m in a r s e
la d e s v ia c ió n t A¡R.
C u a n d o se c a lc u la e l m o m e n to d e u n á re a p o s itiv a M I E l d e s d e A h a s ta
B , c o m o e n la fig u ra 8 -1 5 6 ,é s t e in d ic a q u e la t a n g e n t e e n e l p u n t o A e stá
p o r e n c im a d e la t a n g e n t e a la c u rv a e x te n d i d a d e s d e e l p u n t o B , fig u ra
8 -1 5 c. D e l m is m o m o d o , la s á r e a s n e g a tiv a s M I E I in d ic a n q u e la ta n g e n te
e n A e s tá p o r d e b a jo cfc l a t a n g e n t e e x te n d i d a d e s d e B . O b s e r v e q u e , e n
g e n e r a l . ia /b n o e s ig u a l a t BiA , q u e s e m u e s t r a e n la f ig u r a 8 -1 5 d . E n
e s p e c ífic o , e l m o m e n to d e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M I E I e n tr e A y B se
c a lc u la r e s p e c to d e l p u n to A p a r a d e te r m in a r t^ , f i g u r a 8 -1 5 6 ,y s e ca lc u la
re s p e c to a l p u n t o B p a ra d e t e r m i n a r tBIA.
E s im p o r ta n te te n e r e n c u e n ta q u e lo s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á re a
s ó lo p u e d e n u s a r s e p a r a d e te r m i n a r lo s á n g u lo s o la s d e s v ia c io n e s e n tr e
las d o s t a n g e n t e s d e la c u r v a e lá s tic a d e la v ig a . P o r lo g e n e r a l n o p r o p o r ­
c io n a n u n a s o lu c ió n d ir e c ta p a r a la p e n d ie n t e o e l d e s p la z a m ie n to e n u n
p u n to d e la v ig a . E s ta s in c ó g n ita s d e b e n r e la c io n a r s e p r i m e r o c o n lo s á n ­
g u lo s o la s d e s v ia c io n e s v e rtic a le s d e la s ta n g e n te s s o b r e lo s p u n to s d e la
c u rv a e lá s tic a . H a b itu a lm e n te , las ta n g e n te s e n lo s s o p o r te s s e d ib u ja n
c o n e s t a in te n c ió n , p u e s t o q u e e s to s p u n to s n o e s t á n s o m e tid o s a d e s p l a ­
z a m ie n to s y /o ti e n e n p e n d ie n t e c e ro . E n lo s p r o b l e m a s d e e je m p lo se
p r o p o r c io n a n c a s o s e s p e c ífic o s p a r a e l e s ta b le c im ie n to d e e s t a s re la c io ­
n e s g e o m é tric a s .
c u rv a c lá stic a
(c)
c u rv a e lá stic a
(d)
F igura 8-15
31 7
3 1 8
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
P r o c e d im ie n t o d e a n á lis is
E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r el
d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e e n u n p u n to d e la c u rv a e lá s tic a d e u n a v ig a m e d ia n te lo s
te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a .
D ia g r a m a M /E I
•
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y d ib u je e l d ia g r a m a M I E l d e la v ig a .
•
Si la v ig a e s t á c a r g a d a c o n f u e r / a s c o n c e n tr a d a s , e l d ia g r a m a M I E l c o n s is tirá e n u n a
s e r ie d e s e g m e n to s d e lin e a r e c ta , p o r lo q u e la s á r e a s y m o m e n to s r e q u e r id o s p a r a
a p lic a r lo s te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a p o d r á n c a lc u la rs e c o n r e la tiv a fa c ilid a d .
•
Si l a c a r g a c o n s is te e n u n a se r ie d e fu e r z a s c o n c e n tr a d a s y c a rg a s d is tr ib u id a s , p u e d e
r e s u lta r m á s s e n c illo c a lc u la r la s á r e a s y s u s m o m e n to s r e q u e r id o s a l d ib u j a r e l d i a ­
g r a m a M I E l p o r p a r t e s , e m p l e a n d o e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n c o m o s e e s tu d ió e n la
se c c ió n 4 -5 . E n c u a lq u ie r c a s o , e l d ia g r a m a M I E l c o n s ta r á d e c u r v a s p a r a b ó lic a s , o
q u iz á d e o r d e n s u p e r io r , p o r lo q u e p a r a lo c a liz a r e l á r e a y e l c e n tr o id e b a jo c a d a
c u rv a s e s u g ie r e c o n s u lta r la ta b l a q u e a p a r e c e e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e
e s te lib ro .
C u rv a e lá s tic a
•
D ib u je u n a v is ta e x a g e r a d a d e la c u rv a e lá s tic a d e la v ig a . R e c u e r d e q u e lo s p u n to s d e
p e n d ie n te c e r o o c u r r e n e n lo s s o p o r te s fijo s y q u e lo s p u n to s d e d e s p la z a m ie n to c e r o
se p r o d u c e n e n lo s s o p o r t e s fijo s, a r tic u la d o s y d e ro d illo .
•
Si e s d ifíc il d ib u j a r la fo r m a g e n e r a l d e l a c u r v a e lá s tic a , u tilic e e l d ia g r a m a d e m o ­
m e n to ( o M / E I ) . O b s e r v e q u e c u a n d o la v ig a e s t á s o m e ti d a a u n m á m e n lo p o s itiv o
é s ta s e d o b la c ó n c a v a h a d a a rr ib a , e n t a n t o q u e u n m o m e n to n e g a tiv o c u rv a la v ig a
c ó n c a v a h a c ia a b a jo . P o r o t r a p a r t e , u n p u n t o d e in fle x ió n o c a m b io e n la c u r v a tu r a
o c u r r e c u a n d o e l m o m e n to e n la v ig a ( o M I E l ) e s ig u al a c e ro .
•
E l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e a d e t e r m i n a r d e b e n in d ic a rs e e n la c u rv a . C o m o lo s
te o r e m a s d e l m o m e n to d e á r e a s ó l o se a p lic a n e n t r e d o s ta n g e n te s , d e b e p r e s ta r s e
a te n c ió n a q u e la s ta n g e n te s e s t é n c o n s tr u id a s d e m o d o q u e lo s á n g u lo s o la s d e s v ia d o n e s e n t r e e lla s c o n d u z c a n a la s o lu c ió n d e l p r o b le m a . E n e s te s e n t id o , d e b e n c o n s i­
d e ra r se la s ta n g e n te s e n lo s p u n to s c o n p e n d ie n te y d e s p la z a m ie n to d e s c o n o d d o s , a s í
c o m o e n lo s s o p o r te s , y a q u e g e n e r a lm e n te la v ig a ti e n e d e s p la z a m ie n to c e r o y /o p e n ­
d ie n te c e r o e n lo s s o p o r te s .
T e o re m a s d e l m o m e n to d e á re a
•
A p liq u e e l te o r e m a i p a r a d e t e r m i n a r e l á n g u lo e n t r e d o s ta n g e n te s , y e l te o r e m a 2
p a r a e n c o n t r a r la s d e s v i a d o n e s v e r tic a le s e n t r e la s ta n g e n te s .
•
lé n g a e n c u e n t a q u e , p o r lo g e n e r a l , e l te o r e m a 2 n o r e s u lta r á e n e l d e s p la z a m ie n to d e
u n p u n t o s o b r e la c u rv a e lá s tic a . C u a n d o s e a p lic a c o r r e c ta m e n te , s ó l o d a r á la d is ta n ­
d a v e rtic a l o la d e s v ia c ió n d e u n a t a n g e n t e e n e l p u n t o A s o b r e la c u rv a e lá s tic a c o n
re s p e c to a la t a n g e n t e e n 8 .
•
D e s p u é s d e a p lic a r e l te o r e m a 1 o e l te o r e m a 2 , e l s ig n o a lg e b ra ic o d e la re s p u e s ta p u e d e
v e rific a rse a p a r tir d e l á n g u lo o la d e s v ia d ó n s e g ú n se in d iq u e e n la c u rv a elástica.
8 .4
EJEMPLO
T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a
3 1 9
8 .6
D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n lo s p u n t o s B y C d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a
2k
e n l a f i g u r a 8 - I 60 . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( l ü 3) k s i y q u e / = 6 0 0 p u l g 4.
I
S O L U C IÓ N
l 5 p i e s -------- \ B
D ia g ra m a M /E I. E s te d ia g r a m a s e m u e s tr a e n la fig u ra 8-16¿>. R e ­
s u lta m ás s e n c illo r e s o lv e r e l p r o b le m a e n té r m in o s d e E l y s u s titu ir
b s d a t o s n u m é r ic o s c o m o ú ltim o p a so .
C u rv a e lá s tic a . L a c a r g a d e 2 k h a c e q u e la v ig a s e d e f o r m e c o m o se
m u e s tra e n la fig u ra 8 -1 6c. (1 .a v ig a s e v u e lv e c ó n c a v a h a c ia a b a jo ,
p u e s to q u e M / E I e s n e g a tiv o .) A q u í la t a n g e n t e e n A (e l s o p o r te )
s ie m p r e e s h o r i z o n ta l.T a m b ié n s e in d ic a n la s ta n g e n te s e n B y C . S e
d e b e e n c o n t r a r 0 R y 0 C. P b r la c o n s tru c c ió n , e l á n g u lo e n tr e t a n A y
tan f l .e s d e c i r 0 n A , e s e q u iv a le n te a 0R.
t
---------- K)
3 ) pni»
i
(a)
Í7
Ofí =
A d em ás.
=
ec
e c /A
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . A p lic a n d o e l te o r e m a 1. 0K A e s
ig u al a l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n tr e lo s p u n to s A y f l . e s d e c ir .
(3 0 k * p i e V
- QB/ A - - (
.
x
J ( 1 5 p ie s ) -
1 / 60 k • pie
-y
3ük-pie\
— -----------------—
j
675 k -p ie 2
(15 p ie s )
tan.-t
El
A l s u s titu ir lo s d a t o s n u m é r ic o s d e E e I , y c o n v e r tir d e p ie s a p u lg a ­
d a s, s e ti e n e
- 6 7 5 k • p i e 2( 144 p u lg 2/ ! p i e 2)
=
a
2 9 (1 0 3) k /p u l g 2(6 0 0 p u lg 4)
R esp .
= - 0 .0 0 5 5 9 r a d
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e e l á n g u lo s e m id e e n s e n t id o h o ra r io
d e s d e A . fig u ra 8 - 16c.
D e m a n e r a s im ila r, e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n t r e lo s p u n to s
A y C e s ig u a l a 0 QA. E n to n c e s .
\(
60 k-p ie\_
»c = *c/ a = 2 [ —
.
4
900 k -p ie 2
E ¡ ~ J {30pies)
Ti
S u s titu y e n d o lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e E l , se o b ti e n e
- 9 0 0 k • p ie 2( 144 p u lg 2/ p i e 7)
"C “
2 9 ( lU ') k / p u lg ¡ (6 ü 0 p u lg ‘ )
= - 0 .0 0 7 4 5 r a d
R e sp .
3 2 0
C a p it u l o
EJEM PLO
8
D e f l e x io n e s
8 .7
D e te r m in e la d e f le x ió n e n lo s p u n to s B y C de la v ig a q u e s e m u e s tr a
e n la fig u ra 8 - 17a. L o s v a lo r e s p a r a e l m o m e n to d e in e r c ia d e c a d a
s e g m e n t ó s e in d ic a n e n la fig u ra . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a .
5 0 0 N-m
S O L U C IÓ N
¡a b
- 8 ( IíA) m m * \,BC. 4(10*)m m 4
4 m
J . __ - 3 m
D i a g r a m a M /E I . ft>r in s p e c c ió n , e l d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a la
v ig a e s u n r e c tá n g u lo . A q u í s e c o n s tr u ir á e l d ia g r a m a M I E I re la tiv o a
fflc . te n i e n d o e n c u e n ta q u e I AB m 2 I BC, fig u ra 8 -1 7 6 . C o m o ú ltim o
p a so , s e s u s titu ir á n lo s d a t o s n u m é r ic o s p a r a E I BC.
i
(a)
C u r v a e l á s t i c a . E l m o m e n to d e p a r e n C h a c e q u e la v ig a s e d e ­
fo rm e , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 7 c . S e in d ic a n la s ta n g e n te s e n
A (e l s o p o r t e ) . B y C . S e d e b e e n c o n tr a r A fl y A c . E s to s d e s p la z a m ie n ­
to s p u e d e n re la c io n a r s e d ir e c ta m e n te c o n la s d e s v ia c io n e s e n tr e la s
ta n g e n te s , d e m a n e r a q u e p o r c o n s tr u c c ió n A fl e s ig u a l a la d e s v ia c ió n
d e t a n B e n r e la c ió n c o n t a n A ; e s d e c ir .
M
F Jñ
I b ¡a
m
FImc
250
ÉÍ7r
A dem ás.
'C t A
B
|- 2 —
T e o r e m a d e l m o m e n t o d e á r e a . A p lic a n d o e l te o r e m a 2 . tB/A e s
ig u a l a l m o m e n to d e l á r e a b a jo e l d ia g r a m a M / E I B í e n t r e A y B c a lc u ­
la d o c o n r e s p e c to a l p u n t o B , y a q u e é s t e e s e l p u n t o d o n d e d e b e d e ­
te r m in a r s e la d e s v ia c ió n ta n g e n c ia l. ft> r lo ta n t o , a p a r t i r d e la fig u ra
8 -1 7 6 ,
(b)
A» =
2000 N • m ?
250 N -m
( 4 m ) (2 m )
t B/ A
El
E IK
c
BC
A l s u s titu ir lo s d a to s n u m é r ic o s r e s u lta
2000 N -m
AB =
(2 0 0 ( 109) N / m 2l(4 (1 0 6) m m 4( l m 4/ ( 1 0 3) 4 m m 4) |
R esp .
0.0025 m = Z 5 m m
D e l m is m o m o d o , p a r a ¡c ía se d e b e c a lc u la r e l m o m e n to d e to d o e l
d ia g r a m a M I E l g e d e s d e A h a s ta C re s p e c to d e l p u n to C. S e ti e n e
250 N -m
Ac =
Ic /
500 N - m
(4 m) ( 5 m ) +
a
E l BC
El
(3 m)
7250 N •m 3
7250 N • m3
E I bc
[200{109) N / n f l K l O ^ J Í l O " 12) m 4j
= 0 .0 0 9 0 6 m
9 .0 6 m m
(1 .5 m )
BC
R esp .
D a d o q u e a m b a s r e s p u e s ta s s o n p o s itiv a s , in d ic a n q u e lo s p u n to s B
y C se e n c u e n t r a n p o r e n c im a d e la t a n g e n t e e n A .
8 .4
EJEMPLO
T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a
8 .8
D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n e l p u n t o C d e la v ig a q u e s e m u e s t r a e n la
f ig u r a 8 - 1 8 a . £ = 200 G P a . l = 6 ( 1 0 )6 m m '.
F ig u ra 8 - 1 8
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M /E f.
F ig u r a 8-18¿>.
C u r v a e l á s t i c a . C o m o la c a rg a s e a p lic a a la v ig a e n f o r m a s im é ­
tric a . la c u rv a e lá s tic a e s s i m é tr ic a , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 8 c .
Se d e b e e n c o n t r a r 0C. E s to p u e d e h a c e r s e fá c ilm e n te s i s e t i e n e e n
c u e n ta q u e la t a n g e n t e e n D e s h o r iz o n ta l y e n to n c e s , p o r c o n s tr u c ­
c ió n . e l á n g u lo 0D¡C e n tr e t a n C y t a n D es ig u a l a 0 C\ e s d e c ir ,
6c = Od / c
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . C o n b a s e e n e l te o r e m a 1 , 0¡¡ic e s
ig u al a l á r e a s o m b r e a d a b a jo e l d ia g r a m a M I E I e n tr e lo s p u n to s C y D .
Se ti e n e
/30kN -m \
c=
= 3 m\
Ti
, 1
/60kN •m
30kN-m\
) + 5<3
Ii~ )
135 k N • m 2
El
R>r lo ta n to .
135 k N - m 2
° C
~
(2 0 0 ( 106) k N / m 2| [ 6 ( 106) ( 1 0 " 12) m 4) ” 0,112 r a d
R e s p
3 2 1
3 2 2
C a p it u l o
EJEMPLO
8
D e f l e x io n e s
8 .9
8k
D e t e r m i n e l a p e n d i e n t e e n e l p u n t o C d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a
f i g u r a 8 -1 9 a. E = 2 9 (1 0 3) k s i, / = 6 0 0 p u l g 4.
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M / E I .
M
El
F ig u ra 8 -1 9 6 .
C u rv a e lá s tic a . L a c u rv a e lá s tic a s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -1 9 c . S e
d e b e e n c o n t r a r 0C\ p a r a e l l o , s e e s t a b le c e n la s t a n g e n t e s e n A , B (lo s
s o p o r t e s ) y C ,ta m b ié n o b s e r v e q u e Ocia e s e l á n g u lo e n t r e la s ta n g e n t e s e n A y C .A d e m á s .e l á n g u lo «¿de la fig u ra 8 -1 9 c p u e d e e n c o n tr a r s e
u s a n d o <t>= tB/AI L Afí. E s ta e c u a c i ó n e s v á lid a p o r q u e lB/A e s r e a lm e n te
m u y p e q u e ñ o , y p u e d e a p r o x im a r s e m e d ia n te la lo n g itu d d e u n a r c o
c ir c u la r d e f in id o p o r u n r a d io d e L AB - 2 4 p i e s y e l a lc a n c e d e <t>. ( R e ­
c u e rd e q u e s ■ Or.) C o n b a s e e n la g e o m e tr ía d e la fig u ra 8 -1 9 c . se
tie n e
e c = <b - o,C IA
'va
24
d)
’ C /A
T e o re m a s d e l m o m e n to d e á re a . U s a n d o e l te o r e m a 1, 0OA e s
e q u iv a l e n te a l á r e a b a j o e l d i a g r a m a M / E I e n t r e lo s p u n t o s A y C ;
e s d e c ir ,
Qc /
a
1
/1 2 k /p ie \
- (6 p ie s )
E l
)
36 k - p i e 2
El
A l a p lic a r e l te o r e m a 2 , i BIA e s e q u iv a l e n te a l m o m e n to d e l á r e a
b a jo e l d ia g r a m a M / E I e n tr e B y A r e s p e c to a l p u n t o B , p u e s t o q u e
é s t e e s e l p u n t o d o n d e d e b e d e te r m i n a r s e la d e s r í a d ó n ta n g e n c ia l. Se
tie n e
6 p ie s + | ( 1 8 p ie s ) J [ | ( 1 8 p i e s ) ( -
tB /A
)]
+ - ( 6 p ie s )
4 3 2 0 k - pie-3
El
S u s titu y e n d o e s t o s r e s u lta d o s e n la e c u a c ió n 1. re s u lta
dc =
4320 k •p ie 3
3 6 k • p ie 2
144 k • p ie 2
(2 4 p ie s ) E l
El
El
de m odo que
144 k • p ie '
" 2 9 (1 0 ’ ) k /p u l g 2(1 4 4 p u lg 2/ p i e 2) 6 0 0 p u lg 4( l p i e 4/ ( 1 2 ) 4 p u lg 4)
= 0 .0 0 1 1 9 r a d
R esp .
8 .4
EJEMPLO
T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a
8 .1 0
D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n e n e l p u n t o C d e l a v i g a q u e s e m u e s t r a e n la
f ig u r a 8 - 20 a . C o n s i d e r e q u e E = 2 9 ( 1 0 3) k s i, / = 21 p u l g 4.
u
Tí
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M /E I.
F ig u ra 8 -2 0 6 .
C u rv a e lá s tic a . A q u í d e b e m o s e n c o n t r a r A c , fig u ra 8 -2 0 c . É s ta n o
e s n e c e s a r ia m e n te la d e f le x ió n m á x im a d e l a v ig a , p u e s to q u e la c a r g a ,
y p o r lo t a n t o la c u rv a e lá s tic a , n o s o n sim é tric a s . E n la fig u ra 8 -2 0 c
ta m b ié n s e in d ic a n la s ta n g e n te s e n A , B (lo s s o p o r te s ) y C . S i s e d e ­
te r m in a /x ís , e n to n c e s A ' p u e d e e n c o n tr a r s e p o r tr iá n g u lo s s e m e ja n ­
te s, e s d e c ir , A '/1 2 = tAIBQ A o b i e n A ' =
p a r t i r d e la c o n s t r u c ­
c ió n e n la f ig u r a 8 -2 0 c se tie n e q u e
'A J f í
~
( 1)
¡C /R
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . S e a p lic a rá e l te o r e m a 2 p a r a d e ­
t e r m i n a r tAiB y Io b - A q u í ¡ajb e s e l m o m e n to d e l d ia g r a m a M / E I e n tr e
A y B r e s p e c to a l p u n t o A ,
I
y
Icib
a /b
-B f)]
^ ( 2 4 p ie s )
4 8 0 k • p ie 3
2 (2 4 p ie s )
es e l m o m e n to d e l d ia g r a m a
M/EI e n tr e
El
C y B r e s p e c to d e C.
60 k - p i e 3
l C /B
i ( 12p ie s ) ] [ i( 12 p i e s ) ( ^ ! ^ ) ]
El
S u s titu y e n d o e s t o s re s u lta d o s e n la e c u a c ió n (1 ) s e o b ti e n e
1 ( 4 8 0 k • p i e 3\
K:
El
6 0 k • p ie 3
180 k • p ie 3
El
El
Si se tr a b a ja e n u n id a d e s d e k ip s y p u lg a d a s , r e s u lta
180 k - p i e 3( 1728 p u lg 3/ p i e 3)
AC =
» ( 1 0 5) k / p u l g ^ l p u l g 4)
0.511 p u lg
R esp .
3 2 3
3 2 4
C a p it u l o
EJEM PLO
8
D e f l e x io n e s
8 .1 1
6 k N /m
D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n e n e l p u n t o C d e l a v ig a q u e s e m u e s t r a e n l a
f i g u r a 8 - 2 1 o . E = 2 0 0 G P a . I = 2 5 0 ( 1 0 6) m m 4.
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M /E I. C o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a 8-21 ¿>,este d ia g r a m a
s e c o m p o n e d e u n tr iá n g u lo y u n s e g m e n to p a ra b ó lic o .
24 kN
C u rv a e lá s tic a . L a c a r g a h a c e q u e la v ig a s e d e f o r m e , c o m o se
m u e s tr a e n la f ig u r a 8 2 1 c. S e d e b e e n c o n t r a r Ac - M e d ia n te la c o n s ­
tr u c c ió n d e Lis ta n g e n te s e n A , B (lo s s o p o r t e s ) y C . s e v e q u e A c =
t CIA - A '. S in e m b a r g o . A ' p u e d e r e la c io n a r s e c o n lBiÁ p o r tr iá n g u lo s
s e m e ja n t e s .e s d e c ir . A '/1 6 = tm A!8 o b ie n A ' = 21¡,/A. P o r lo ta n to .
R.
El
-
(b)
¡ C /A ~
( 1)
2 * B /A
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . S e a p lic a r á e l te o r e m a 2 p a r a d e ­
t e r m i n a r /c ía y Ir ía • S i s e u s a l a ta b la d e la c o n t r a p o r t a d a in t e r i o r d e l
lib ro p a r a e l s e g m e n to p a r a b ó lic o y s e c o n s i d e r a e l m o m e n to d e l d i a ­
g r a m a M I E l e n tr e A y C re s p e c to d e l p u n t o C . s e tie n e
ÍCM. g , s m) ] [ i ( 8m )p
kN
- ) }
[1<8
+ | - ( 8 m ) + 8 m li­
li 2 6 4 k N •m 3
El
E l m o m e n to d e l d ia g r a m a M I E l e n tr e A y B r e s p e c to d e l p u n t o B e s
I b/ a -
192kN-m\l
J
1,«
5(8m)j[-(8m\--- 17“
2048 k N - m 3
)\
El
¿ P o r q u é e s t o s té r m in o s s o n n e g a tiv o s ? A l s u s titu ir lo s re s u lta d o s e n
la e c u a c ió n ( 1 ) s e o b ti e n e
11 2 6 4 k N • m 3
¿ c ----------------- Y ,
J(
21
\
N •- m 3‘
2 004488 kk N
3\
-
El
)
7168 k N - m 3
El
ft>r lo ta n t o .
-7 1 6 8 k N - m 3
Ac
|2 0 0 ( 106) k N / m 2I 2 5 0 ( 106) ( 1 0 " '2) m 4]
= - 0 .1 4 3 m
R esp .
8 .4
T e o r e m a s d e i m o m e n t o d e Ar e a
3 2 5
D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l r o d illo B d e l a v ig a c o n d o b l e s a lie n te
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -2 2 a . C o n s id e r e q u e E = 200 G P a , / = 18
(106) m m \
S O L U C IÓ N
D ia g ra m a M / E f . La e la b o r a c ió n d e l d ia g r a m a M I E I p u e d e s im p lifi­
c a rs e a l d ib u ja r lo p o r p a r te s y c o n s i d e r a r lo s d ia g r a m a s M I E I d e la s
tr e s c a rg a s , d o n d e c a d a u n a a c tú a s o b r e u n a v ig a e n v o la d i /o fija e n D ,
fig u ra 8 .2 2 b . ( L a c a rg a d e 1 0 k N n o s e to m a e n c u e n ta d a d o q u e n o
p ro d u c e n in g ú n m o m e n to e n t o r n o a D ).
C u rv a e lá s tic a . Si s e d ib u ja n ta n g e n te s e n R y C , fig u ra 8 -2 2 c . la
p e n d ie n t e e n B p u e d e d e te r m i n a r s e a l e n c o n t r a r t OB,y p a r a lo s á n g u ­
los p e q u e ñ o s .
(a )
El
*c íb
0)
2 m
T e o re m a d e l m o m e n to d e á re a . P a r a d e t e r m i n a r í C i b se a p lic a e l
te o r e m a d e l m o m e n to d e á r e a , a fin d e e n c o n t r a r e l m o m e n to d e l d i a ­
g r a m a M I E I e n t r e B y C r e s p e c t o d e l p u n t o C . E s to s ó l o in v o lu c r a
al á r e a s o m b r e a d a b a jo d o s d e lo s d ia g r a m a s d e la fig u ra 8 -2 2 b . E n ­
to n c e s.
/- 3 0 kN-mY| . ^ 2 m \fl
-3 0
M
El
20
10
F.l
É l
V lO kN-nA l
' c/ b = (1 m )
5 3 .3 3 k N - m 3
U
El
Él
10
Él
S u s titu y e n d o e n l a e c u a c ió n ( 1 ) ,
I
5333 kN • m3
( 2 m )|2 0 0 { l(/* ) k N /m 3J[1 8 (1 0 6)( 1 0 “ 12) m4J
Resp.
0.00741 r a d
tan B
(c)
F ig u r a 8 - 2 2
<b)
■
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
8 .5
M é to d o d e la v ig a c o n ju g a d a
H . M ü lle r- B r e s la u d e s a r r o lló e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a e n 1865. E n
e s e n c ia , r e q u i e r e la m ism a c a n ti d a d d e c á lc u lo s q u e lo s te o r e m a s d e m o ­
m e n t o d e á r e a p a r a d e te r m i n a r la p e n d ie n t e o la d e f le x ió n d e u n a viga;
s in e m b a r g o , e s t e m é to d o s e b a s a s ó l o e n lo s p rin c ip io s d e la e s t á tic a y.
p o r lo t a n t o . s u a p lic a c ió n r e s u lta r á m ás fa m ilia r.
I-a b a s e p a r a e l m é to d o p r o v i e n e d e la s im ilitu d d e las e c u a c io n e s 4 -1 y
4 -2 c o n la s e c u a c io n e s 8 -2 y 8 -4 . P a r a d e m o s t r a r e s t a s e m e ja n z a , la s e c u a ­
c io n e s p u e d e n e s c r ib ir s e d e la s ig u ie n te m a n e r a :
dv
d 7M
dx
W
de _
A/
d 2v _
dx ~ El
M
~d¿ ~ T i
O al in t e g r a r
/
a.
viga real
w dx
m
M = / [
/ w dx Idx
I
t
dx
/[/(!>
-TT 1 d x I d x
A q u í la f u e r z a c o r ta n te V s e c o m p a r a c o n la p e n d ie n te
e l m o m e n to M
s e c o m p a r a c o n e l d e s p la z a m ie n to v , y la carga e x te r n a w se c o m p a r a c o n
e l d ia g r a m a M I E I . P a r a a p lic a r e s ta c o m p a r a c ió n a h o r a s e c o n s id e r a r á ,
fig u ra 8 -2 3 , u n a v ig a c o n la m ism a lo n g itu d q u e l a v ig a r e a l , p e r o a q u í se
d e n o m i n a r á c o m o la “ v ig a c o n ju g a d a " , la c u a l s e “ c a r g a " c o n e l d ia g r a m a
M I E I o b te n i d o d e la c a r g a w s o b r e la v ig a r e a l. A p a r t i r d e la s c o m p a r a ­
c io n e s a n te r io r e s s e p u e d e n e n u n c ia r d o s t e o r e m a s r e la c io n a d o s c o n la
v ig a c o n ju g a d a , a s a b e r .
T e o r e m a 1 : I-a p e n d ie n t e e n u n p u n t o d e la v ig a re a l e s n u m é r ic a ­
m e n t e ig u a l a la fiie rz a c o r l a n te e n e l p u n t o c o r r e s p o n d ie n t e d e la
v ig a c o n ju g a d a .
viga conjugada
fig u ra 8 -2 3
T e o r e m a 2 : E l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to e n la v ig a re a l e s n u m é r i­
c a m e n te ig u al a l m o m e n to e n e l p u n t o c o r r e s p o n d ie n t e d e la v ig a
c o n ju g a d a .
Soportes de la viga conjugada.
A l d i b u j a r la v ig a c o n ju g a d a
e s im p o r ta n te q u e la f u e r z a c o r t a n te y e l m o m e n to d e s a r r o lla d o s e n su s
s o p o r te s t o m e n e n c u e n ta la p e n d ie n t e y e l d e s p la z a m ie n to c o r r e s p o n ­
d ie n te s d e la v ig a r e a l e n s u s s o p o r te s , lo c u a l e s u n a c o n s e c u e n c ia d e lo s
te o r e m a s 1 y 2 . P o r e je m p lo , c o m o s e m u e s tr a e n la ta b l a 8.2, u n s o p o r te
8 .5
M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A
d e p a s a d o r o r o d illo e n e l e x tr e m o d e la v ig a r e a l p r o p o r c io n a u n d e s p la ­
z a m ie n to c e r o , p e r o la v ig a ti e n e u n a p e n d ie n t e d is ti n ta d e c e r o . P o r
c o n s ig u ie n te , a p a r t i r d e lo s te o r e m a s I y 2 , la v ig a c o n ju g a d a d e b e e s t a r
s o p o r ta d a p o r u n p a s a d o r o u n ro d illo , d a d o q u e e s t e s o p o r te ti e n e u n
m o m e n t o c e r o p e r o ti e n e u n a f u e r / a c o r t a n te o u n a r e a c c ió n e n e l e x ­
tr e m o . C u a n d o la v ig a re a l e s t á f i j a m e n t e a p o y a d a ( 3 ) , t a n t o la p e n ­
d ie n te c o m o e l d e s p la z a m ie n to e n e l s o p o r te s o n ig u a le s a c e r o . A q u í la
viga c o n ju g a d a ti e n e u n e x tr e m o lib re , y a q u e e n e s t e e x tr e m o h a y u n a
fu e rz a c o r t a n te c e r o y u n m o m e n to c e r o . E n la t a b l a s e e n u m e r a n lo s s o ­
p o r te s c o r r e s p o n d ie n te s d e las v ig a s re a l y c o n ju g a d a e n o tr o s c a s o s , y e n
la fig u ra 8 -2 4 se m u e s tr a n e je m p lo s d e v ig a s r e a l e s y c o n ju g a d a s . O b ­
s e r v e q u e . c o m o r e g la , a l p a s a r p o r a l t o la f u e r z a a x ia l, la s v ig a s r e a le s
e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a s ti e n e n v ig a s c o n ju g a d a s e s t á tic a m e n te d e ­
te r m in a d a s ; y la s v ig a s r e a l e s e s t á ti c a m e n t e in d e te r m in a d a s , c o m o e n e l
ú ltim o c a s o d e la f ig u r a 8 -2 4 , se c o n v ie r te n e n v ig a s c o n ju g a d a s i n e s ta ­
b les. A u n q u e e s t o o c u r r a , la c a r g a M I E l p r o p o r c io n a r á e l " e q u i li b r io " n e ­
c e s a r io p a r a m a n t e n e r la e s t a b ilid a d d e l a v ig a c o n ju g a d a .
T A B LA 8 - 2
V ig a r e a l
1)
V ig a c o n j u g a d a
«
- f i =
A -0
pasad o r
2)
p asad o r
V
e
M=0
A -0
ro d illa
ro d illo
V -0
3)
M =0
libre
fijo
V
4)
lib re
Ai
fijo
V
5)
A -0
p a s a d o r i n le m o
Af = 0
b is a g ra
V
6)
4 = 0
ro d illo
inlemo
b is a g ra
Ai - 0
b isag ra
V
M
ro d illo in te r n o
3 2 7
3 2 8
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
v iga c o n ju g a d a
v ig a re a l
Figura 8-24
P r o c e d im ie n t o d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e e m p le a r s e p a r a d e t e r m i ­
n a r e l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e e n u n p u n t o s o b r e la c u r v a e lá s tic a d e u n a v ig a s¡g u ie n d o e l m é to d o d e la v ig a c o n ju g a d a .
C u rv a e lá s t i c a
•
D ib u je la v ig a c o n ju g a d a p a r a la v ig a re a l. E s t a v ig a ti e n e la m is m a lo n g itu d q u e la
v ig a r e a l y lo s s o p o r te s c o r r e s p o n d ie n t e s s e g ú n s e p r e s e n ta n e n la t a b l a 8 -2 .
•
E n g e n e ra l, s i e l s o p o r te re a l p e r m it e u n a p e n d i e n t e s I s o p o r te c o n ju g a d o d e b e d e s a ­
rr o lla r u n a fu e r z a c o r ta n te ',y s i e l s o p o r te re a l p e r m it e u n d e s p la z a m ie n to ,e l s o p o r te
c o n ju g a d o d e b e d e s a r r o ll a r u n m o m e n to .
•
L a v ig a c o n ju g a d a s e c a r g a c o n e l d ia g r a m a M I E l d e la v ig a r e a l. S e s u p o n e q u e e s ta
c a rg a e s t á d is tr ib u id a en la v ig a c o n ju g a d a y q u e s e d ir ig e h a c ia a r r ib a c u a n d o M I E l es
p o s itiv a , y h a c ia a b a jo c u a n d o M I E l e s n e g a tiv a . E n o tr a s p a la b r a s , la c a r g a a c t ú a s ie m ­
p r e a le já n d o s e d e la viga.
8
E q u ilib rio
•
U s a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , d e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la
v ig a c o n ju g a d a .
•
L a s e c c ió n la v ig a c o n ju g a d a e n e l p u n t o d o n d e d e b e n d e te r m i n a r s e l a p e n d ie n t e d y
d d e s p l a z a m i e n to A d e la v ig a r e a l. E n la se c c ió n m u e s tr e la f u e r z a c o r t a n te V d e s c o ­
n o c id a y e l m o m e n to M ' q u e a c tú a e n s u s e n t id o p o s itiv o .
•
D e te r m in e la f u e r z a c o r t a n t e y e l m o m e n to e m p l e a n d o la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
V y M ' s o n ig u a le s a 9 y A , re s p e c tiv a m e n te , p a r a la v ig a r e a l . E n p a r tic u la r , s i e s to s
v a lo r e s s o n p o s itiv o s , la p e n d ie n te tie n e u n s e n tid o a n tih o r a r io y e l d e s p la z a m ie n to es
h a c ia a rrib a .
8 .5
3 2 9
M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A
D e te r m in e la p e n d ie n t e y la d e f le x ió n e n e l p u n t o & d e la v ig a d e
a c e ro q u e s e m u e s tr a e n la f i g u r a 8 -2 5 a . L a s r e a c c i o n e s y a s e h a n
c a lc u la d o . E = 2 9 (1 0 3) k s i , / = 8 0 0 p u lg 4.
Slc
I
( ! ■
75 k -p ie
1 5 p ie s .
15
v ig a re a l
<■)
Figura 8-25
S O L U C IÓ N
V ig a c o n ju g a d a . L a f ig u r a 8 -2 5 b m u e s tr a la v ig a c o n ju g a d a . L o s s o ­
p o r te s e n A ' y B ' c o r r e s p o n d e n a lo s s o p o r t e s A y B ck: la v ig a r e a l,
ta b la 8-2. E s m u y i m p o r t a n te e n t e n d e r p o r q u é s u c e d e e s t a E l d i a - 75
g r a m a M I E l e s n e g a tiv o , p o r lo q u e la c a rg a d is tr ib u id a a c tú a h a c ia "
a b a jo .e s d e c ir , se a le ja d e la v ig a .
viga c o n ju g a d a
(b )
E q u ilib rio . D a d o q u e h a y q u e d e te r m in a r 0 B y A fl. e s n e c e s a r io c a lc u ­
la r V B‘ y Affl<e n la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 8-25c.
5 6 2 .5 k - p i e 2
+ T2F, = 0 ;
-2 5 pie
M,
El
1
5 6 2 .5 k • p ie 2
0 b - V tr - -
V,
El
5 6 2 .5
El
- 5 6 2 .5 k - p i e 2
2 9 (1 0 5) k /p u l g 2(1 4 4 p u lg V p ie 2) 8 0 0 p u I g 4( I p ie 4/ ( 1 2 )4 p u lg 4)
R esp .
- 0 .0 0 3 4 9 r a d
= 0 ;—
re a c c io n e s
(c )
5 6 2 5 k • o ie 2
-------------- (2 5 p ie s ) + M K = 0
— r~
a.
— J-
1 4 0 6 2 .5 k - p i e 3
A fl = M t t = -
El
- 1 4 0 6 2 .5 k - p i e 3
(d>
2 9 (1 0 3)( 1 4 4 ) k / p i e 2|8 0 0 /( 1 2 ) 4l p ie 4
-0 .0 8 7 3 p ie s = - 1 . 0 5 p u lg
R esp .
Ix>s s ig n o s n e g a tiv o s in d ic a n q u e la p e n d ie n t e d e la v ig a se m id e e n
s e n tid o h o r a r io y q u e e l d e s p la z a m ie n to e s h a c ia a b a jo , f ig u r a 8 -2 5 d .
3 3 0
C a p it u l o
EJEM PLO
8
D e f l e x io n e s
8 .1 4
D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n m á x i m a d e l a v ig a d e a c e r o q u e s e m u e s t r a e n
la f i g u r a 8 - 2 6 a . L a s r e a c c i o n e s y a h a n s i d o c a l c u l a d a s . E = 2 0 0 G P a ,
/ = 6 0 ( 1 0 6) m m 4.
18
8 kN
Fl
J
\-
m—j
-9 m -
2kN
6kN
v ig a ic a l
(a)
fig u ra 8 -2 6
(b )
S O L U C IÓ N
^ 4
A 27
•i rk
1—
I-
~ — K2 " 4
63
El
45
0
r e a c c io n e s e x te rn a s
(c )
g < í> -
A'
V ig a c o n j u g a d a . E n la fig u ra 8 -2 6 b se m u e s tr a la v ig a c o n ju g a d a
c a rg a d a c o n e l d ia g r a m a M /E I . C o m o ó s te e s p o s itiv o , la c a rg a d is tr i­
b u id a a c t ú a h a c ia a r r ib a ( a le já n d o s e d e la v ig a).
r<rfrTff
f
!»!
L a s r e a c c io n e s e x te r n a s s o b r e la v ig a c o n ju g a d a se d e ­
te r m i n a r o n e n p r i m e r lu g a r y se in d ic a n e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o
E q u H íb r ío .
lib re d e la fig u ra 8 -2 6 c . L a d e fle x ió n m á x im a d e la v ig a r e a l s e p ro d u c e
e n e l p u n to d o n d e la p e n d ie n te d e la v ig a e s c e ro . E s to c o r r e s p o n d e a l
m is m o p u n t o e n la v ig a c o n ju g a d a d o n d e la fu e r z a c o r ta n te e s c e ro . S i
s e s u p o n e q u e e s te p u n to a c t ú a d e n t r o d e la re g ió n ü s r s 9 m d e s d e
A \ s e p u e d e a is la r la s e c c ió n q u e se m u e s tra e n la fig u ra 8 -2 6 d . O b ­
s e r v e q u e e l p ic o d e la c a r g a d is tr ib u id a s e d e te r m i n ó p o r tr iá n g u lo s
s e m e ja n te s , e s d e c i r , w / x = ( \ S /E I ) / 9 . S e r e q u ie r e q u e V ' = ü d e m o d o
que
=0
+ Í 2 f \ . = 0;
El
2 \ EI/
x - 6.71 m
v -o
(0 s
x
9m lOK
U s a n d o e s te v a lo r d e x , la d e fle x ió n m á x im a e n la v ig a r e a l c o r r e s ­
p o n d e a l m o m e n to M '. P o r c o n s ig u ie n te .
45
El
re a c c io n e s in te r n a s
<d)
§ (6 7 .) - [ f ( ®
' m lx
= M' = -
H
-( 6 .7 1 ) + M '
201.2 k N - m El
- 2 0 1 .2 I c N - m 3
[2 0 0 ( 106) k N / m 2][60( 106) m m 4( l m 4/ ( 103)4 m m 4)j
= - 0 .0 1 6 8 m = - 1 6 . 8 m m
F.1 s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e la d e f le x ió n e s h a c ia a b a jo .
R esp .
8 .5
M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A
L a tr a b e d e la f ig u r a 8 - 2 7 a e s tá h e c h a d e u n a v ig a c o n tin u a y r e f o r ­
z a d a e n s u c e n tr o , c o n p la c a s d e c o b e r t u r a e n e l s i ti o d o n d e s u m o ­
m e n to d e in e r c ia e s m a y o r. L o s s e g m e n to s e x tr e m o s d e 12 p ie s ti e n e n
u n m o m e n to d e in e r c ia d e / = 4 5 0 p u lg 4 y la p a r t e c e n t r a l ti e n e u n
m o m e n to d e in e r c ia d e / ' = 9 0 0 p u lg 4. D e te r m in e la d e f le x ió n e n e l
c e n tr o C. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. L a s r e a c c io n e s y a h a n s id o
c a lc u la d a s.
8 k
6 k
6k
1
i
3 3 1
i
ah
.o
* /= 4 5 0 p u lg * / = 9 0 0 pulg* /= 4 5 0 p u lg 4A
10 k
10 k
v ig a re a l
S O L U C IÓ N
(a )
V i g a c o n j u g a d a . E n p r i m e r lu g a r s e d e t e r m i n a e l d i a g r a m a d e
m o m e n to p a r a la v ig a , f i g u r a 8-27¿>. C o m o / ' = 2 / , p o r s im p lic id a d ,
la c a r g a s o b r e la v ig a c o n ju g a d a p u e d e e x p r e s a r s e e n té r m in o s d e la
c o n s ta n te d e £ 7 , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 8 -2 7 c.
F igura 8 -2 7
E q u ilib r io . L as r e a c c io n e s s o b r e la v ig a c o n ju g a d a p u e d e n c a lc u ­
la rse p o r la s i m e t r ía d e la c a rg a o m e d ia n te la s e c u a c io n e s d e e q u il i­
b rio . L o s r e s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la f i g u r a 8-27</. C o m o d e b e d e t e r ­
m in a rs e l a d e fle x ió n e n C , s e d e b e c a lc u la r e l m o m e n to i n t e r n o e n C \
E m p le a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c io n e s .e l s e g m e n to A ' C ' s e a ís la y se
d e te r m in a n la s r e s u lta n te s d e la s c a r g a s d is trib u id a s , a s í c o m o s u u b i ­
c a c ió n . fig u ra 8 -2 7 e . P o r lo ta n t o ,
1+2 M
c
= O, ^ ( 1 8 ) - f >
Mc = ~
) - ~ *(3)
- j- ^ 2 )
+
MC
=
0
A /(k p ie )
II 736 k -p ie 3
El
120
144
120
12
18
24
A l s u s titu ir lo s d a to s n u m é r ic o s p a r a E l y a l c o n v e r t ir la s u n id a d e s , se
tie n e
* (p ie s )
11 7 3 6 k - p i e 3( 1728 p u l g '/ p i e 3)
A c = M c' = -
2 9 ( lÓ ') k / p u l g ?(4 5 0 p u lg 4)
=
d ia g ra m a d e m o m e n to
PU' 8
(b)
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e l a d e f le x ió n e s h a c ia a b a jo .
720
y
720
-
t í
?
,-í R d X
m a c a o n e s e x te rn a s
re a c c io n e s in te r n a s
«b
(e )
36
3 3 2
C a p it u l o
EJEM PLO
8
D e f l e x io n e s
8 .1 6
D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o d e l p a s a d o r e n B y la p e n d i e n t e d e c a d a
s e g m e n t o d e v ig a c o n e c t a d o a l p a s a d o r p a r a l a v ig a c o m p u e s t a q u e s e
m u e s t r a e n l a f i g u r a 8 - 2 8 a . E = 2 9 ( 1 0 3) k s i , / = 3 0 p u l g 4.
8k
8k
T ^ O k - P*e
— 12 pies —
12 pies -j-
15 pies — I
viga conjugada
curva elástica
(a)
(b)
F ig u ra 8 - 2 8
S O L U C IÓ N
V ig a c o n j u g a d a . E n la fig u ra 8 -2 8 b s e m u e s tr a la c u rv a e lá s tic a
p a ra la v ig a c o n e l fin d e id e n tif ic a r e l d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o Afl
y la s p e n d ie n t e s ( 0 fí)L y ( 0 fí) R a la iz q u ie r d a y a la d e r e c h a d e l p a s a ­
d o r. U s a n d o la ta b l a 8 .2 . la v ig a c o n ju g a d a s e m u e s tra e n la fig u ra
8 .2 8 c . R j r s im p lic id a d e n e l c á lc u lo , e l d ia g r a m a M / E I se h a e l a b o r a d o
e n p a r le s e m p le a n d o e l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n c o m o se d e s c r ib e
e n l a se c c ió n 4 -5 . A e s te re s p e c to , la v ig a re a l s e c o n s i d e r a e n v o la d iz o
d e s d e e l s o p o r te iz q u ie r d o , A . S e p r o p o r c io n a n lo s d ia g r a m a s d e m o ­
m e n t o p a r a la c a r g a d e 8 k , la f u e r z a r e a c t iv a Cy = 2 k , y la c a r g a d e 3 0
k • pie. O b s e r v e q u e la s r e g io n e s n e g a tiv a s d e e s te d ia g r a m a d e s a r r o ­
lla n u n a c a r g a d is tr ib u id a h a c ia a b a jo y la s re g io n e s p o s itiv a s tie n e n
u n a c a r g a d is tr ib u id a q u e a c tú a h a c ia a rr ib a .
reacciones externas
(c)
<d)
8 .5
M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A
E n p r i m e r lu g a r s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e x te r n a s e n
B ' y C ' y lo s r e s u lta d o s s e in d ic a n e n la fig u ra 8 -2 8 d . P a r a d e te r m i n a r
(0 fí)R se s e c c io n a la v ig a c o n ju g a d a j u s t o a la d e r e c h a d e B ' y se c a lc u la
h f u e r z a c o r t a n t e (V'/J-)#í. fig u ra 8 -2 8 e . E n to n c e s .
225
E q u ilib r io .
E l.
3.6
El
5P ^ -:
+ Í 2 F y = 0;
b p ie i
2 2 8 .6
(0 b ) r = { V B' ) r
3 3 3
450
El
(e)
k • p ie 7
El
2 2 8 .6
k • p ie 2
(2 9 (1 0 3) ( 1 4 4 ) k / p i c 2] [ 3 0 /( 1 2 ) 4j p ie 4
0 .0378 r a d
R esp .
El
E l m o m e n to in t e r n o e n B ’ p ro d u c e e l d e s p la z a m ie n to d e l p a s a d o r .
A sí q u e.
(,+ S W b - = O,
-M e +
2304 k • p ie 3
I - ..
(29( 10 3) (1 4 4 ) k / p i e 2|( 3 0 / ( 12 ) 4| p i e 4
R esp .
- 0 3 8 1 p i e s = - 4 . 5 8 p u lg
L a p e n d ie n t e ( 6 a )¡. p u e d e e n c o n tr a r s e a p a r t i r d e u n a se c c ió n d e la
viga j u s t o a l a iz q u ie r d a d e B ’. fig u ra 8-28f P o r lo ta n t o .
, 2 2 8 .6
E l
225
450
+ E l
E l
(B b ) l = [ V i t ) l = 0
3 .6 _
El
R esp .
I b r s u p u e s t o , Afl = M ñ >p a r a e s t e s e g m e n to e s e l m is m o q u e s e c a lc u ló
c o n a n t e r i o r i d a d , y a q u e e n la s f ig u r a s 8 -2 8 e y 8 - 2 8 / l o s b r a z o s d e l m o ­
m e n to s ó lo s o n a lg o d if e re n te s .
M
. *— l S p i c S - ^ l
(0
El
-2 3 0 4 k - p i e 3
\
M»
| í ( 5 ) - |5 (7 .5 ) - |y (1 5 ) = 0
As = M g = -
(V
5 p ta -¡
3 3 4
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
PROBLEM AS FU N D AM EN TALES
13-10.
U se los teo rem as d e l m o m en to de á re a y d e te r ­
mine la p e n d ien te e n A y la d e flex ió n e n A , E l e s constante.
1 3-1L R esuelva e l p ro b lem a F 8 -10 e m p le a n d o e l m étodo
de la viga conjugada.
13-16.
U se lo s te o re m a s d e l m o m en to de á re a y d e te r ­
mine la p e n d ie n te e n A y e l desplazam iento e n C. F.I es
constante.
13-17. R esuelva el p ro b lem a F8-16 em p lean d o e l m étodo
de la viga conjugada.
6kN
8kN
2
t= r
|
3 m —
A
-
3 m ------------------1--------------- 3 m -----------------1
13-16/8-17
R I-10/8-11
13-18.
13-12.
U se lo s te o re m a s d e l m o m en to de á re a y d e te r­
mine la p e n d ie n te e n A y e l d esp lazam ien to e n C. E l es
constante.
13-13.
13-19. R esuelva el p ro b lem a F8-18 em p lean d o e l m étodo
d e la viga conjugada.
U se los teo rem as d e l m o m en to de á re a y d e te r ­
mine la p endiente e n B y la d eflexión e n B . E l e s constante.
R esuelva e l p ro b lem a F8-12 e m p le a n d o e l m étodo
de la viga conjugada.
4 kN
4 kN
8 k N -m
■)
|‘
4 m
'I
13-12/8-13
13-14. U se los te o re m a s d e l m om ento d e á re a y d e te r ­
m ine la p e n d ien te e n A y e l d esp lazam ien to e n C. E l es
constante.
13-15. R esuelva el p ro b lem a F8-14 e m p le a n d o e l m étodo
<fc la viga conjugada.
13 -2 0 . U se lo s teo rem a s d e l m o m en to d e á re a y d e te r ­
mine la p e n d ie n te e n B y e l d esplazam ien to e n B . E l es
constante.
13-21. R esuelva e l p ro b lem a F 8-20 em p lean d o e l m étodo
<fc la viga conjugada.
I
5 k N -m
^
=
I
7
1 .5 m ----------1 3 -1 4 /8 -1 5
15
2 m
2m
1 3 -2 0 /8 -2 1
8 .5
M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A
3 3 5
PROBLEM AS
8 -1 0 . D eterm ine la p en d ien te e n f í y el desplazam iento
m áxim o d e la viga. U se lo s teo re m a s d e l m o m en to d e á re a .
C onsidere q u e F. = 29(10’) ksi. / = 500 p u lg 4.
8 -1 1 . R esuelva e l problem a 8-10 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
8 -1 8 . D eterm in e la p en d ien te y e l d esp lazam ien to e n C.
E l e s constante. Use los teo re m a s d e l m o m en to d e área.
8 -1 9 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 8 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
15 k
fc1.
r
J
JE
R
--------- 6 pies--------------- ---------- 6 pies-------------- Probs. 8-10/8-11
P ro b s. 8 -1 8 /8 -1 9
*8-12. D eterm ine la p e n d ie n te y e l d esp lazam ien to e n C.
E l e s constante. U se los teo re m a s d e l m o m en to d e área.
•8 -2 0 . D eterm in e la p e n d ien te y e l d esp lazam ien to e n el
e x tre m o C tfc la viga. E = 2 0 0 G P a . / = 7 0 ( 1 0 6) mm* U se
los te o re m a s d e l m o m en to de á re a .
8 -1 3 . R esuelva e l p ro b lem a 8-12 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
8 -2 1 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 2 0 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
15 k
8 kN
=i
- 30 p ie s
— 1 5 p ie s — |
Probs. 8 -12/8-13
8 -1 4 . D eterm ine e l v a lo r d e a tfc m o d o q u e la p e n d ie n te
e n A sea igual a ce ro . £ / e s constante. U se lo s teo re m a s d e l
m om ento d e área.
8 -1 5 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 4 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
•8 -1 6 . D eterm ine e l v a lo r d e a d e m o d o q u e e l d esp laza­
m iento e n C sea igual a cero. E l o co n stan te. U se los te o re ­
m as d e l m om ento d e á re a .
8 -2 2 . ¿A q u é d istancia a d e b en colocarse lo s so p o rte s de
c o jin ete e n A y tf.d e m o d o q u e el d esp lazam ien to e n el c e n ­
tro del eje se a igual a la d eflexión e n sus ex trem o s? L os c o ­
jin e tes sólo e je rc e n reaccio n es v erticales so b re e l eje. E l es
constante. U se los teo re m a s d e l m om ento d e á re a.
8 -2 3 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 2 2 e m p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
8 -1 7 . R esuelva e l p ro b lem a 8 - 1 6 em p lean d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
P
A
P
--2 — D
_ a H ---------L ----------1
L
2
P ro b s . 8 -1 4 /8 -1 5 /8 -1 6 /8 -1 7
P ro b s . 8 -2 2 /8 -2 3
3 3 6
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
*8-24. D eterm ine el desplazam ien to e n C y la p e n d ie n te
en B . E l es co n stan te. U se los te o re m a s d e l m o m en to de
área.
*8-28. D eterm in e la fu erza F e n e l ex trem o d e la viga C
d e m o d o q u e el d esp lazam ien to e n C sea igual a cero. E l es
constante. U se los teo re m a s d el m om ento d e área.
8 -2 5 . R esuelva el p ro b lem a 8.24 e m p le a n d o e l m éto d o de
la viga conjugada.
4 kN
4 kN
L
£
4,
3 m
151
■1.5 m
3 m
Prob*. 8 -24/8-25
P r o b . 8 -2 8
8 -2 9 . D ete rm in e la fu e rz a F en e l e x tre m o de la viga C de
m odo q u e el d esp laz a m ie n to e n C sea igual a cero. E l es
constante. U se e l m éto d o de la v ig a conjugada.
L
8 -2 6 . D eterm in e e l desplazam iento e n C y la p e n d ie n te
en B . E l es co n stan te. U se lo s teo re m a s d e l m o m en to de
área.
1
i—
a --------
P r o b . 8 -2 9
8 -3 0 . D ete rm in e la p e n d ie n te e n B y el desplazam iento
en C. E l es co n stan te. U se los teo re m a s d e l m o m en to de
L
a
-------P r o h . 8 -3 0
8 -2 7 . D eterm ine e l desplazam iento e n C y la p e n d ie n te
en B. E l e s constante. U se e l m éto d o de la viga conjugada.
8 -3 1 . D ete rm in e la p e n d ie n te e n B y el desplazam iento
en C. E l e s constante. U se e l m éto d o d e la v ig a conjugada.
1
i
1-
P ro b . 8 -2 7
2
“ * * *
a
1
a
P ro b . 8 -3 1
:
8 .5
•8-3 2. D eterm in e e l desplazam iento má x i mo y la p e n ­
d ien te e n A . E l es co n stan te. U se los teo re m as d el m o m en to
d e área.
M É T O D O D E L A V IG A C O N J U G A D A
3 3 7
• 8 -3 6 . D eterm in e e l desplazam iento e n C .S uponga q u e A
e s un s o p o rte fijo, B e s u n a articulación y D e s un rodillo.
E l e s co n stan te. U se los teo rem a s d e l m o m en to d e área.
25 kN
Mo
P ro h . 8 -3 2
P ro h . 8-36
8 -3 3 . D eterm ine e l d esp la z am ie n to m áxim o e n B y la
pendiente e n A . E l es constante. U se e l m étodo d e la viga
conjugada.
8 -3 7 . D eterm in e e l d esp lazam ien to e n C. S uponga q u e A
e s un s o p o rte fijo, B e s u n a articu lació n y D es un rodillo.
E l e s co n stan te. U se e l m éto d o de la viga conjugada.
Mo
P ro h . 8 -3 3
8 -3 4 . D eterm ine la p en d ien te y e l d esp lazam ien to e n C.
E l e s constante. U se los teo re m a s d e l m o m en to d e área.
P
M0 ~ P a
i
8 -3 8 . D eterm in e e l d esp la z am ie n to e n D y la p e n d ien te
e n D . Suponga que A e s un so p o rte fijo, B e s una articulación
y C e s u n rodillo. U se los teo rem as d e l m o m en to de á re a .
6k
P ro h . 8-34
8 -3 5 . D eterm ine la p en d ien te y e l d esp lazam ien to e n C.
E l e s constante. U se e l m éto d o de la viga conjugada.
P
M0 - Pa
i
P ro h . 8 -3 5
8 -3 9 . D eterm in e e l d esp lazam ien to e n D y la p e n d ien te
e n D . S uponga q u e A es u n s o p o rte fijo. B e s una articu la­
ció n y C e s u n rodillo. U se e l m éto d o d e la viga conjugada.
6k
3 3 8
C a p it u l o
8
D e f l e x io n e s
R EP AS O D E L C A P ÍT U L O
La deflexión d e un elem en to (o e stru c tu ra ) siem pre
p u ed e establecerse cuan d o se conoce e l d iag ram a de
m om ento, p o rq u e los m om entos positivos te n d e rá n a
d o b lar e l elem ento cóncavo hacia a rrib a , y lo s m o­
m entos negativos ten d erá n a d o b la r e l elem en to c ó n ­
cavo hacia abajo. D el m ism o m odo, la fo rm a general
del d iag ram a d e m om ento p u ed e d e te rm in a rse si se
conoce la cu rv a d e deflexión.
P,
v iga
d e in fle x ió n
c u r v a d o d e f le x ió n
M
La alteració n de u n a viga d eb id o a la d e flex ió n p u e d e
determ inarse m e d ian te la doble in teg ració n d e la
ecuación
(fv
M
dx2
El
A q u í, e l m o m en to in tern o M d e b e ex p re sa rse e n fun­
ción d e las c o o rd e n a d a s x q u e se e x tie n d e n a través
de la viga. L as co n stan tes d e integración se o b tie n e n de
las co n d icio n es de fro n te ra , com o la d eflexión c e ro en
u n so p o rte d e p a sa d o r o rodillo, y la d eflexión y la
p endiente cero e n u n so p o rte fijo. Si se re q u ie re n alg u ­
nas c o o rd e n a d a s ^ .e n to n c e s d e b e co n sid erarse la c o n ­
tinuidad d e la p e n d ien te y la d eflexión, d o n d e 0 \(a ) =
0?(a) y ü i(a ) - ^ ( a ) e n x , - x 2 - a.
R e p a s o d e l c a p it u l o
3 3 9
Si el d iag ram a d e m o m en to tien e u n a fo rm a sim ple, se p u e d e n u sa r los teo re m a s d e l m o m en to d e á re a o e l m é to d o d e la
viga co n ju g ad a p a ra d e te rm in a r la desviación y la p en d ien te e n u n p u n to d e la viga.
Ix>s teo rem as d el m o m en to d e á re a co n sid e ra n los án g u lo s y las desviaciones verticales e n tr e las ta n g e n te s e n d o s p u n ­
to s A y fí so b re la curva elástica. E l cam b io e n la p e n d ie n te se e n c u e n tra a p a rtir d e l á re a b ajo e l d ia g ra m a M /E I e n tre los
d o s puntos, y la desviación se d eterm in a con base e n e l m o m en to d e á re a del d iag ram a M IE I c o n resp ecto al p u n to d o n d e
ocurre la desviación.
jnrnrfTnTm^
° k / a ” A r e a d e l d ia g ra m a M / E I
M
U / b ~ í ( Á r e a d e l d ia g r a m a M / E f )
E l m éto d o d e la viga co n ju g ad a e s muy d e ta lla d o y re q u ie re la aplicación d e lo s principios d e la estática. D e m an era m uy
sim ple.se e stab lece la viga conjugada u sa n d o la ta b la 8-2, d esp u és se co n sid era la c arg a c o m o e l d iag ram a M IE I. La p e n ­
d ien te (deflexión) e n u n p u n to so b re la v ig a re a l e s e n to n c e s igual a la fuerza co rtan te (m o m e n to ) e n el m ism o p u n to sobre
la viga conjugada.
M
M
\v ig a re a l
v ig a c o n ju g a d a
El d e spla zam ie nto en los extrem os d e la cub ierta d e este p u e n te pu e d e d e te r­
minarse d u ran te su con stru cció n e m p le a n d o m é to d o s de energía.
Deflexiones em pleando
m étodos de energía
En e s te c a p ít u lo s e m o s tra r á c ó m o a p lic a r lo s m é t o d o s d e e n e r g ía
p a ra re s o lv e r p ro b le m a s q u e in v o lu c ra n a la p e n d ie n te y a la d e fle x ió n .
El c a p ít u lo c o m ie n z a c o n u n a n á lis is d e l t r a b a jo y la e n e r g ía d e d e f o r ­
m a c ió n , s e g u id o p o r u n d e s a r r o llo d e l p r in c ip io d e l t r a b a jo y la
e n e rg ía . D e s p u é s se e s tu d ia n e l m é t o d o d e l t r a b a jo v ir tu a l y e l t e o ­
re m a d e C a s tig lia n o , y e s ta s té c n ic a s s e e m p le a n p a ra d e t e r m in a r lo s
d e s p la z a m ie n to s e n p u n to s e s p e c ífic o s d e a rm a d u ra s , v ig a s y m a rc o s .
9 .1
T ra b a jo e x te r n o y e n e rg ía
d e d e fo rm a c ió n
L o s m é to d o s s e m ig rá f íc o s p r e s e n ta d o s e n lo s c a p ítu lo s a n t e r i o r e s s o n
m u y e fe c tiv o s p a r a e n c o n t r a r lo s d e s p la z a m ie n to s y p e n d ie n t e s e n p u n ­
to s d e vigas s o m e tid a s a c a r g a s b a s t a n te s i m p l e s P a r a c a r g a s m á s c o m p li­
c a d a s o e n e s t r u c tu r a s c o m o a r m a d u r a s y m a rc o s , s e s u g ie r e r e a l iz a r lo s
c á lc u lo s s ig u ie n d o lo s m é to d o s d e e n e r g í a . 1.a m a y o r ía d e lo s m é to d o s d e
e n e r g ía s e b a s a n e n e l p r in c ip io d e c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g ía , q u e e s t a ­
b le c e q u e e l tr a b a jo r e a liz a d o p o r to d a s la s f u e r z a s e x te r n a s q u e a c tú a n
s o b r e u n a e s t r u c tu r a . U r, s e tr a n s f o r m a e n tr a b a jo in t e r n o o e n e r g ía d e
d e f o r m a c ió n , U¡, la c u a l s e d e s a r r o ll a a l d e f o r m a r s e l a e s tr u c tu r a . Si n o se
e x c e d e e l lím ite e lá s tic o d e l m a t e r i a l, la e n e rg ía d e d e fo r m a c ió n elá stica
r e g r e s a r á a la e s t r u c tu r a a s u e s t a d o s i n d e f o r m a r , c u a n d o las c a r g a s s e a n
re tir a d a s . E l p r in c ip io d e c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g í a p u e d e e s ta b le c e r s e
m a te m á tic a m e n te c o m o
Ur = U t
(9 -1 )
S in e m b a r g o , a n te s d e d e s a r r o ll a r c u a lq u ie r a d e lo s m é to d o s d e
e n e r g ía b a s a d o s e n e s t e p rin c ip io , p r i m e r o s e d e te r m i n a r á n e l tr a b a jo e x ­
t e r n o y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n c a u s a d o s p o r u n a f u e r z a y u n m o ­
m e n to . L a s fo r m u la c io n e s q u e se p r e s e n ta r á n s e r v ir á n d e b a s e p a r a c o m ­
p r e n d e r lo s m é to d o s d e tr a b a jo y e n e rg ía q u e le s ig u e n .
3 4 2
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
T ra b a jo e x te rn o , fu e rz a .
O ia n d o u n a f u e r z a F e x p e r i m e n t a u n
d e s p la z a m ie n to d x e n la m is m a d ir e c c ió n q u e la f u e r z a , e l tr a b a jo r e a l i­
z a d o e s d U e = F d x . S i e l d e s p la z a m ie n to t o t a l e s x , e l tr a b a jo se c o n ­
v ie r te e n
U .=
¡ F d x
(9 -2 )
C o n s id e r e a h o r a e l e f e c to c a u s a d o p o r u n a f u e r z a a x ia l a p li c a d a a l e x ­
tr e m o d e u n a b a r r a c o m o la q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - l a . A m e d id a
q u e la m a g n itu d d e F se in c r e m e n t a g r a d u a lm e n te d e s d e c e r o h a s ta u n
v a lo r lím ite F = P , la e lo n g a c ió n f in a l d e la b a r r a se c o n v ie r te e n A . S i e l
m a t e r i a l ti e n e u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l, e n to n c e s F = ( P / A )x . S i se
s u s titu y e e n l a e c u a c ió n 9 -2 y s e in t e g r a d e s d e 0 h a s t a A , r e s u lta
1 , = iPA
(9-3)
lo q u e r e p r e s e n ta e l área tr ia n g u la r s o m b r e a d a d e la fig u ra 9 - la .
D e e s t o ta m b ié n p u e d e c o n c lu irs e q u e c u a n d o u n a f u e iz a s e a p lic a
g r a d u a lm e n te s o b r e la b a r r a , y s u m a g n itu d s e c o n s tr u y e lin e a lm e n te
d e s d e c e r o h a s ta a lg ú n v a lo r P te \ tr a b a jo r e a liz a d o e s ig u a l a la m a g n itu d
d e la fu e r z a m e d ia (/* /2 ) p o r e l d e s p la z a m ie n to (A ).
(a)
fig u r a 9 -1
9 .1
T r a b a j o e x t e r n o y e n e r g ía d e d e e o r m a o ó n
3 4 3
S u p o n g a a h o r a q u e F y a e s t á a p lic a d a s o b r e la b a r r a y q u e a h o r a se
a p lic a o tra f u e r z a F , p o r lo q u e la b a r r a s e d e f o r m a a ú n m á s e n u n a c a n ­
tid a d A ', fig u ra 9-1 b . E n to n c e s , e l tr a b a jo re a liz a d o p o r P ( n o p o r F ')
c u a n d o la b a r r a e x p e r i m e n t a la d e f o r m a c ió n a d ic io n a l A ' e s
U; = P A '
(9 - 4 )
A q u í el t r a b a j o r e p r e s e n t a e l á rea r e c ta n g u la r s o m b r e a d a d e la fig u ra
9-l¿>. E n e s te c a s o . P n o c a m b ia s u m a g n itu d p o r q u e A ' e s c a u s a d o s ó l o
p o r F '. P o r lo ta n to , e l tr a b a jo e s s im p le m e n te l a m a g n itu d d e la fu e rz a
( P ) p o r e l d e s p la z a m ie n to (A ').
E n to n c e s , p u e d e a f ir m a r s e d e m a n e r a r e s u m id a q u e a l a p li c a r u n a
f u e r z a P a la b a r r a , s e g u id a p o r la a p lic a c ió n d e u n a f u e r z a F . e l tr a b a jo
to ta l r e a liz a d o p o r la s d o s fu e r z a s e s t á r e p r e s e n ta d o p o r e l á r e a tr ia n g u ­
la r A C E ife la fig u ra 9-l¿>. E l á r e a tr ia n g u l a r A B G r e p r e s e n ta e l tr a b a jo
d e P q u e e s c a u s a d o p o r s u d e s p la z a m ie n to A , e l á r e a tr ia n g u l a r B C D r e ­
p r e s e n ta e l tr a b a jo d e F ' t b b i d o a q u e e s t a f u e r z a p r o v o c a u n d e s p la z a ­
m i e n to A ' y, p o r ú ltim o , e l á r e a r e c ta n g u la r s o m b r e a d a B D E G r e p r e ­
s e n t a e l tr a b a jo a d ic io n a l re a liz a d o p o r P c u a n d o s e d e s p la z a A ' a c a u s a
d e F '.
c
F’ + P
Trabajo e x te rn o , m o m e n to .
E l t r a b a j o d e u n m o m e n to s e d e ­
fin e p o r e l p r o d u c t o d e la m a g n itu d d e l m o m e n to M y e l á n g u lo d O a
tr a v é s d e l c u a l g ir a , e s d e c i r , d U e = M dO\ f ig u r a 9 -2 . Si e l á n g u lo to t a l d e
r o ta c ió n e s 0 ra d ia n e s , e l t r a b a j o s e c o n v ie r te e n
Ue = J
M dd
(9 - 5 )
R
r\
D
G
E
l ------A ------- - 1— A'
C o m o e n e l c a s o d e la f u e r z a , s i e l m o m e n to s e a p lic a g r a d u a lm e n te a
u n a e s t r u c tu r a q u e t i e n e r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l e n t r e c e r o y Ai, e n t o n ­
c e s e l tr a b a jo e s
U f = \M 6
(9 -fi)
S in e m b a r g o , s i e l m o m e n to y a e s tá a p lic a d o a la e s t r u c tu r a y o t r a s c a r g a s
d e f o r m a n a ú n m á s la e s t r u c tu r a e n u n a c a n ti d a d F , e n t o n c e s M g ir a 0 ' y
e l tr a b a jo e s
U; = M 6‘
M
fig u ra 9 -2
(9 - 7 )
(b)
fig u ra 9 -1
C a p it u l o
9
.
D e f l e x io n e s
,
1
! I*
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
Ener gí a d e d e fo rm a c ió n , fu e rz a a x ia l. C u a n d o s e a p lic a u n a
f u e r z a a x ia l N d e m a n e r a g r a d u a l a la b a r r a q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra
9 -3 , d e f o r m a r á e l m a t e r i a l d e m a n e r a q u e e l tra b a jo e x te r n o re a liz a d o
p o r N se c o n v ie r te e n e n e rg ía d e d e f o r m a c i ó n M c u a l s e a lm a c e n a e n la
b a r r a ( e c u a c ió n 9 -1 ). S ie m p re q u e e l m a te r ia l s e a e lá stic o lin e a l, la le y d e
H o o k e s e r á v á lid a , o- = E e , y s i l a b a r r a ti e n e u n á r e a c o n s t a n te A e n s u
se c c ió n tr a n s v e r s a l y u n a lo n g itu d L , e l e s f u e r z o n o r m a l e s cr= N / A y la
d e f o r m a c ió n f in a l e s t = A / L . E n c o n s e c u e n c ia , N / A = E ( A / L ) , y la d e s ­
v ia c ió n f in a l e s
AE
A
H gun. 9 -3
I b r lo ta n to , a l s u s tit u ir c o n P «= N en la e c u a c ió n 9 -3 . la e n e r g ía d e d e ­
fo rm a c ió n e n la b a r r a e s
N 2I
U‘ = 2A E
<’ - 9 >
E n e rg ía d e d e fo rm a c ió n , fle x ió n .
C o n s id e r e la v ig a d e la fi­
g u ra 9 - 4 u ,q u e s e d is to r s io n a p o r la a p lic a c ió n g r a d u a l d e la s c a r g a s P y
w . E s ta s c a r g a s c r e a n u n m o m e n to i n t e r n o M e n l a v ig a e n u n a s e c c ió n s i ­
tu a d a a u n a d is ta n c ia x d e l s o p o r te iz q u ie rd o . L a r o t a c ió n r e s u lta n t e d e l
e le m e n to d if e r e n c i a l d x , f ig u r a 9 -4 6 . p u e d e d e te r m i n a r s e c o n b a s e e n la
e c u a c ió n 8 -2 , e s d e c ir , d O = ( M / E I ) d x . E n c o n s e c u e n c ia , la e n e r g ía d e
d e fo r m a c ió n , o e l t r a b a j o a l m a c e n a d o e n e l e le m e n to , s e d e te r m i n a a
p a r t i r d e l a e c u a c ió n 9 -6 p u e s t o q u e e l m o m e n to i n t e r n o se d e s a r r o lla
g r a d u a lm e n te . E n to n c e s .
d
U
l
=
p . 10)
L a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p a ra la v ig a s e d e te r m i n a a l in t e g r a r e s t e r e ­
s u lta d o p o r to d a la lo n g itu d / . d e la v ig a . E l r e s u lta d o e s
M
t i*
|
(a)
_
ra m s
dx
(b)
H g u ra 9 -4
M
9 .2
9 .2
P r i n c i p i o d e l t r a b a j o y l a e n e r g Ia
P rincipio del tra b a jo y la e nergía
A h o r a q u e y a s e h a n f o r m u la d o e l tr a b a jo y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n
p a ra u n a f u e r z a y u n m o m e n to , s e il u s t r a r á c ó m o p u e d e n a p lic a r s e la
c o n s e r v a c ió n d e la e n e r g ía o e l p rin c ip io d e l t r a b a j o y la e n e r g í a p a r a d e ­
te r m in a r e l d e s p la z a m ie n to e n u n p u n to s o b r e u n a e s tr u c tu r a . P a r a h a ­
c e rlo . c o n s id e r e la d e te r m in a c ió n d e l d e s p la z a m ie n to D e n e l p u n to
d o n d e s e a p lic a la f u e r z a P a la v ig a e n v o la d iz o d e la f ig u r a 9-5. A p a r t i r
d e la e c u a c ió n 9 -3 , e l tr a b a jo e x t e r n o e s U f = J /* A . P a r a o b t e n e r la
e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n r e s u lta n te , p r i m e r o d e b e d e te r m in a r s e e l m o ­
m e n to in t e r n o c o m o u n a fu n c ió n d e la p o s ic ió n x e n la v ig a y d e s p u é s
a p lic a r la e c u a c ió n 9 -1 1 . E n e s t e c a s o M = - P x . d c m o d o q u e
f L M }
1~
L
dx
2E l
r L(-P x )2dx
Jn
2E l
1 p*Q
6
El
A l ig u a la r e l tr a b a jo e x t e m o c o n la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n in t e r n a y al
d e s p e j a r e l d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o A ,s e ti e n e
Ue = U,
ip A =
2
6 El
a = ------P ,?
A
3EI
A u n q u e l a s o lu c ió n a q u í e s b a s t a n te d ir e c ta , la a p lic a c ió n d e e s t e m é ­
to d o s e lim ita a u n o s c u a n to s p r o b le m a s s e le c c io n a d o s . C a b e s e ñ a l a r q u e
s ó lo p u e d e a p lic a r s e u n a c a rg a a la e s t r u c tu r a , p u e s t o q u e s i s e a p lic a s e
m á s d e u n a c a r g a h a b r í a u n d e s p la z a m ie n to d e s c o n o c id o b a jo c a d a c a r g a
c in c lu s iv e p o d r ía e s c r ib ir s e s ó l o u n a e c u a c ió n d e “ t r a b a j o " p a r a la v ig a .
A d e m á s , só lo p u e d e o b te n e r s e e l d e s p la z a m ie n to b a jo la f u e r z a , p o r q u e el
tr a b a jo e x te r n o d e p e n d e ta n t o d e la f u e r z a c o m o d e s u d e s p la z a m ie n to
c o r r e s p o n d ie n te . U n a m a n e r a d e s o r t e a r e s t a s lim ita c io n e s c o n s is te e n
e m p le a r e l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l o e l te o r e m a d e C a s tig lia n o . lo s
c u a le s s e e x p lic a n e n la s s ig u ie n te s s e c c io n e s .
p
p
3 4 5
346
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
9 .3
A p lic a c ió n d e la c a rg a v i r t u a l / * ' -
I
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
P r in á p io del tra b a jo virtu a l
E s te p r in c ip io f u e d e s a r r o ll a d o p o r J o h n B e r n o u lli e n 1717, y e n o c a s i o ­
n e s s e le c o n o c e ta m b ié n c o m o e l m é to d o d e la c a r g a u n ita ria . P r o p o r ­
c io n a u n m e d io g e n e r a l p a r a o b t e n e r e l d e s p la z a m ie n to y la p e n d ie n t e
e n u n p u n to e s p e c ífic o d e u n a e s t r u c tu r a , y a s e a u n a v ig a , u n m a r c o o
u n a a rm a d u ra .
A n te s d e d e s a r r o lla r e l p rin c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l s e r e q u i e r e h a c e r
a lg u n o s e n u n c ia d o s g e n e r a le s s o b r e e l p rin c ip io d e l tr a b a jo y la e n e r g ía ,
lo c u a l s e a n a liz ó e n l a s e c c ió n a n te r io r . S i s e to m a u n a e s t r u c t u r a d e f o r m a b le d e c u a lq u ie r f o r m a o ta m a ñ o y s e le a p lic a u n a s e r i e d e cargas
e x te r n a s P . s c p r o d u c i r á n c a r g a s in te rn a s u e n p u n to s a tr a v é s d e to d a la
e s tr u c tu r a . E s n e c e sa r io r e la c io n a r la s ca rg a s in te r n a s y e x te rn a s m e d ia n te
la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io . C o m o c o n s e c u e n c ia d e e s t a s c a rg a s , o c u ­
r r ir á n d e s p la z a m ie n to s e x te r n o s A e n la s c a r g a s P y s e p r e s e n ta r á n d e s ­
p la z a m ie n to s in t e r n o s 5 en c a d a p u n t o d e c a r g a i n t e r n a u . E n g e n e r a l,
e sto s d e s p la z a m ie n to s n o tie n e n q u e s e r e lá s tic o s ,y q u iz á n o s e r e l a c io n e n
c o n las c a r g a s ; s in e m b a r g o , lo s d e s p la z a m ie n to s in te rn o s y e x te r n o s d e b e n
esta r r e la c io n a d o s p o r la c o m p a tib ilid a d d e lo s d e s p la z a m ie n to s . E n o tr a s
p a la b r a s , s i s e c o n o c e n lo s d e s p la z a m ie n to s e x te r n o s , lo s d e s p la z a m ie n ­
to s in te r n o s c o r r e s p o n d ie n te s e s t a r á n d e f in id o s d e m a n e r a ú n ic a . E n t o n ­
ces. e l p r in c ip io d e l t r a b a j o y lo s e s ta d o s d e e n e r g ía p u e d e e n u n c ia r s e d e
m a n e r a g e n e r a l c o m o sig u e :
(a )
SPA
A p l i c a c i ó n d e l a s c a r g a s r e a le s
(b )
Figura 9 -6
r>
P ,. P2. P;
=
lu S
T r a b a j o d e la s
T r a b a j o d e la s
c a rg a s e x te r n a s
c a r g a s in te r n a s
(9 - 1 2 )
C o n b a s e e n e s t e c o n c e p to , a h o r a s e d e s a r r o ll a r á e l p r in c ip io d e l t r a ­
b a jo v irtu a l. P a r a e l l o s e c o n s id e r a r á q u e la e s t r u c tu r a ( o c u e r p o ) ti e n e
u n a f o r m a a r b i t r a r i a c o m o se m u e s tr a e n la f ig u r a 9 .6 b * S u p o n g a q u e e s
n e c e s a r io d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A d e l p u n to A e n e l c u e r p o c a u ­
s a d o p o r la s “ c a r g a s r e a l e s ” P i. P 2 y P 3 . D e b e e n t e n d e r s e q u e e s ta s c a rg a s
n o c a u s a n m o v im ie n to d e lo s s o p o r te s ; s in e m b a r g o , e n g e n e r a l , p u e d e n
d e f o r m a r e l m a t e r i a l m á s a llá d e l lim ite e lá s tic o .C o m o n in g u n a c a r g a e x ­
te r n a a c tú a s o b r e e l c u e r p o e n A n i e n la d ir e c c ió n d e A , e l d e s p la z a ­
m ie n to A p u e d e d e te r m i n a r s e s i s e c o lo c a p r im e r o u n a c a rg a " v ir tu a l"
s o b r e e l c u e r p o d e m o d o q u e e s ta f u e r z a P ' a c tú e e n la m is m a d ir e c c ió n
q u e A . fig u ra 9 -6 a . P o r c o n v e n ie n c ia , q u e s e r á e v id e n t e m á s a d e l a n t e .s e
e le g irá P ' co n u n a m a g n itu d “ u n it a r i a " , e s d e c i r , P ' = 1. P a r a d e s c r ib ir la
c a rg a s e u s a e l t é r m i n o “v ir tu a l” d e b i d o a q u e es im a g in a r ia y e n r e a lid a d
n o e x is te c o m o p a r le d e la ca rg a rea l. S in e m b a r g o , la c a rg a u n it a r i a ( P ’)
c re a u n a c a rg a v ir tu a l i n t e r n a u e n u n e le m e n to o f ib r a r e p r e s e n ta tiv a
d e l c u e r p o , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -6 a . A q u í s e r e q u i e r e q u e P ' y
u se r e l a c io n e n m e d i a n te la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io .’
• E s t a f o r m a a r b it r a r í a r e p r e s e n ta r á p o s t e r io r m e n t e u n a a r m a d u r a , u n a v ig a o u n m a r c o
es­
pecífico*.
'A u n q u e e s ta s c a r g a s p r o v o c a r á n d e s p la z a m ie n to s v ir t u a le s , n o se t o m a r á n e n c u e n t a sus
m a g n itu d e s .
9 .3
U n a v e z a p lic a d a s las c a rg a s v ir tu a le s , e l c u e r p o e s t á s o m e ti d o a la s cargas
reales P , t P 2 y P 3, fig u ra 9 -6 b . E l p u n to A se d e s p la z a r á u n a c a n ti d a d A, la
c u a l c a u s a r á q u e e l e le m e n to s e d e f o r m e u n a c a n ti d a d d L . C o m o r e s u l­
ta d o , la f u e r z a v ir tu a l e x te r n a P ’ y la c a rg a v ir tu a l in t e r n a u s e “ p a s e a r á n
a lo la r g o ’’ d e A y d L , re s p e c tiv a m e n te , y p o r lo ta n t o r e a liz a r á n u n tra b a jo
virtu a l e x te r n o d e I • A s o b r e e l c u e r p o y u n tra b a jo v irtu a l in te r n o d e u - d L
s o b r e e l e le m e n to . S i s e to m a e n c u e n ta q u e e l t r a b a j o v ir tu a l e x t e r n o e s
ig u al a l tr a b a jo v ir tu a l in t e r n o r e a liz a d o e n to d o s lo s e le m e n to s d e l
c u e r p o .e s p o s ib le e s c r ib ir la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l c o m o
p-------------j --------------c a rg a s v ir tu a le s
1•A = lu - d L
donde
P ' = l = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e A.
u -
carg a v irtu al in te rn a q u e a c tú a s o b r e e l e le m e n to e n la d ire c c ió n d e d L
A =
d e s p la z a m ie n to e x t e m o c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s .
d L = d e f o r m a c ió n in t e r n a d e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s .
A l e l e g i r P = 1, p u e d e v e r s e q u e la s o lu c ió n p a r a A re s u lta d i r e c t a ­
m e n te , p u e s to q u e A - l u d L .
D e m a n e r a p a r e c id a , si d e b e n d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to r o t a c io ­
n al o l a p e n d ie n t e d e la t a n g e n t e e n u n p u n t o s o b r e u n a e s t r u c tu r a , se
a p lic a u n m o m e n t o d e p a r v ir tu a l M ’ c o n m a g n itu d u n it a r i a e n e l p u n to .
C ó m o c o n s e c u e n c ia , e s t e m o m e n to d e p a r c a u s a u n a c a rg a v ir tu a l u # en
u n o d e lo s e le m e n to s d e l c u e r p o . Si s e s u p o n e q u e la s c a r g a s r e a l e s d e f o r ­
m a n e l e le m e n to u n a c a n ti d a d d L , la r o t a c ió n 0 p u e d e e n c o n tr a r s e a p a r ­
tir d e la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l
l
l
1 -0 = 2 u e ‘ d L
t
1_
c a rg a s v ir tu a le s
(9 -1 4 )
d e s p la z a m ie n to s re a le s
donde
M '= 1 = m o m e n to d e p a r u n it a r i o v ir tu a l e x t e r n o q u e a c tú a e n la
d ire c c ió n d e 6.
u e - c a r g a v ir tu a l i n t e r n a q u e a c tú a s o b r e u n e le m e n to e n la d ir e c c ió n
dc d L .
0 = d e s p la z a m ie n to r o ta c io n a l e x t e r n o o p e n d ie n t e e n ra d ia n e s
c a u s a d o s p o r la s c a r g a s re a le s .
d L = d e fo r m a c ió n in t e r n a d e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s .
E s te m é to d o p a r a a p li c a r e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l s e c o n o c e
c o m ú n m e n te c o m o e l m é to d o d e la s fu e r z a s v ir tu a le s ,d a d o q u e s e a p lic a
u n a f u e r z a v ir tu a l d e lo q u e r e s u lta e l c á lc u lo d e u n d e s p la z a m ie n to rea l.
E n e s te c a s o , la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l r e p r e s e n ta u n re q u isito d e
c o m p a tib ilid a d p a ra la e s tr u c tu r a . A u n q u e a q u í n o e s im p o r t a n te , o b ­
s e r v e q u e ta m b ié n e s p o s ib le a p lic a r e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l c o m o
P a .N G P IO D E L T R A B A J O VIRTUAL
3 4 8
C
a p i t u l o
9
D
e f l e x i o n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
u n m é to d o d e d e s p la z a m ie n to s v ir tu a le s . E n e s t e c a s o .s e im p o n e n d e s p l a ­
z a m ie n to s v ir tu a le s s o b r e la e s t r u c tu r a c u a n d o é s t a s e e n c u e n t r a s o m e ­
ti d a a ca rg a s r e a le s . E s te m é to d o p u e d e u s a r s e p a r a d e te r m i n a r u n a
f u e r z a s o b r e o d e n t r o u n a e s tr u c tu r a ,* d e m o d o q u e la e c u a c ió n d e l t r a ­
b a jo v ir tu a l s e e x p r e s a e n to n c e s c o m o u n r e q u isito d e e q u ilib r io .
9 .4
M é to d o d e l tr a b a jo v irtu a l:
A rm a d u ra s
E l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a ­
m i e n to d e u n a j u n t a d e a r m a d u r a c u a n d o la a r m a d u r a e s tá s o m e ti d a a
u n a c a r g a e x t e r n a , a u n c a m b io d e t e m p e r a t u r a , o p o r e r r o r e s d e fa b r ic a d ó n . A c o n t i n u a d ó n s e a n a liz a r á c a d a u n a d e e s t a s s itu a c io n e s .
I
Aplicación de la carga unitaria virtual en R
(a)
Carga e xte rn a .
P a ra f a c ilita r la e x p li c a d ó n . c o n s id e r e e l d e s p la z a ­
m i e n to v e r t ic a l A d e u n a j u n t a H d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tra e n la f¡g u ra 9 -7 a. A q u í, u n m ie m b r o típ ic o d e la a r m a d u r a s e r í a u n o d e s u s elem e n to s c o n lo n g itu d L , fig u ra 9 -7 b . Si la s c a r g a s a p lic a d a s P | y P }
o c a s io n a n u n a re s p u e sta m a te r ia l lin e a l e lá s tic a .e s t e m ie m b r o s e d e f o r m a
e n u n a c a n t i d a d A /. - N L / A E . d o n d e N e s la f u e r z a n o r m a l o a x ia l e n e l
e le m e n to , c a u s a d a p o r la s c a rg a s . S i s e a p lic a la e c u a c i ó n 9 -1 3 , e n to n c e s
la e c u a c i ó n d e l tr a b a jo v ir tu a l p a r a la a r m a d u r a e s
(9 - 1 5 )
Aplicación de las cargas reales P |, Pj
(b)
donde
1 =
c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a d e la
a r m a d u r a e n la d ir e c c ió n in d ic a d a d e A
n =
f u e r e a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a
c a u s a d a p o r la c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a .
d e s p la z a m ie n to e x t e r n o d e la ju n t a c a u s a d o p o r las c a r g a s r e a le s
s o b r e la a r m a d u r a .
f i g ó n 9 -7
A =
N = fu e rz a n o r m a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e la a r m a d u r a c a u s a d a
p o r la s c a r g a s re a le s .
L =
lo n g itu d d e u n e le m e n to .
A *
E -
á r e a tr a n s v e r s a l d e u n e le m e n to .
m ó d u lo d e e la s tic id a d d e u n e le m e n to .
La f o r m u la c ió n d e e s t a e c u a c ió n se s ig u e e n fo r m a n a tu r a l d e l d e s a r r o ­
llo e n la se c c ió n 9 -3 . A q u í la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x t e m a c r e a fu e r z a s
v ir tu a le s in t e r n a s n e n c a d a u n o d e lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a . E n t o n ­
c e s la s c a rg a s re a le s h a c e n q u e la ju n t a d e la a r m a d u r a s e d e s p la c e A e n
la m ism a d ir e c c ió n q u e la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l, y q u e c a d a e le m e n to se
d e s p la c e N L / A E e n la m is m a d ir e c c ió n q u e s u re s p e c tiv a f u e r z a n . E n
c o a s e c u e n c i a .e l tr a b a jo v ir tu a l e x t e r n o 1 - A e s ig u a l a l tr a b a jo v ir tu a l in ­
t e r n o o la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n in t e r n a ( v ir tu a l) a lm a c e n a d a e n to d o s
lo s e le m e n to s d e l a a r m a d u r a . e s d e c i r , Y n N L / A E .
•Así se usó en la sección 6-3 en relación con el principio de MUller-Brcslau.
9 .4
M
é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l
Tem peratura.
E n a lg u n o s c a s o s , lo s e le m e n to s d e u n a a r m a d u r a
p o d r ía n c a m b ia r s u lo n g i tu d d e b id o a la te m p e r a t u r a . S i o es e l c o e f i­
c ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a d e u n e l e m e n t o y A T e s e l c a m b io e n s u t e m ­
p e r a t u r a , e l c a m b io e n la lo n g i tu d d e u n e le m e n to e s A L - a A 7* L .P o r lo
ta n to , e l d e s p la z a m ie n to d e u n a j u n t a s e le c c io n a d a e n u n a a r m a d u r a d e ­
b id o a e s t e c a m b io d e te m p e r a t u r a p u e d e d e te r m i n a r s e a p a r t i r d e la
e c u a c ió n 9 -1 3 , e s c r ita c o m o
1 • A = 2 /io A T L
(9 - 1 6 )
donde
1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a
d e la a r m a d u r a e n e l s e n t id o in d ic a d o d e A .
n ■ fu e rz a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a e n u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a
c a u s a d a p o r la c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a .
A = d e s p la z a m ie n to e x te r n o d e la ju n t a c a u s a d o p o r e l c a m b io d e
te m p e r a tu r a .
a = c o e fic ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a d e l e le m e n to .
A T = c a m b io e n la t e m p e r a t u r a d e l e le m e n to .
L = lo n g itu d d e l e le m e n to .
Errores de fabricación y com ba. E n o c a s io n e s p u e d e n p r e s e n ­
ta r s e e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n e n la s lo n g itu d e s d e lo s e le m e n to s d e u n a a r ­
m a d u r a . A d e m á s , e n a lg u n o s c a s o s e s n e c e s a r io h a c e r lo s e le m e n to s u n
p o c o m ás la r g o s o m á s c o r t o s p a ra o b t e n e r u n a c o m b a e n la a r m a d u r a .
L a c o m b a s u e le c o n s tr u ir s e e n u n a a r m a d u r a d e p u e n te p a r a q u e la
c u e r d a in f e r io r s e c u rv e h a c ia a r r ib a e n u n a c a n tid a d e q u iv a l e n te a la d e ­
fle x ió n h a c ia a b a jo d e la c u e r d a c u a n d o e s t á s o m e tid a a to d o e l p e s o
m u e r to d e l p u e n te . S i u n e le m e n to d e l a a r m a d u r a e s m á s o m e n o s la r g o
d e lo p r e v is to , e l d e s p la z a m ie n to d e u n a j u n t a d e la a r m a d u r a r e s p e c to a
s u p o s ic ió n e s p e r a d a p u e d e d e te r m i n a r s e m e d i a n te la a p lic a c ió n d i r e c t a
d e la e c u a c i ó n 9 -1 3 , e s c r ita c o m o
1 • A = 2 /i A L
(9 - 1 7 )
donde
1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la j u n t a
d e la a r m a d u r a e n la d ir e c c ió n in d ic a d a d e A.
n = f u e r z a n o r m a l v ir tu a l in t e r n a d e u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a
c a u s a d a p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a .
A = cfcsplaza m ie n to e x t e r n o d e la ju n t a o c a s io n a d o p o r lo s e r r o r e s
d e f a b r ic a c ió n .
AL = d if e r e n c ia e n lo n g itu d d e l e le m e n to r e s p e c to a s u ta m a ñ o
e s p e r a d o a c a u s a d e u n e r r o r d e f a b r ic a c ió n .
S i s o b r e la a r m a d u r a a c tú a n c a rg a s e x te r n a s y a lg u n o s d e lo s e le m e n to s
e s t á n s o m e tid o s a u n c a m b io té r m ic o o s e h a n f a b r ic a d o c o n d im e n s io ­
n e s in c o r re c ta s , s e r á n e c e s a r ia u n a c o m b in a c ió n d e lo s la d o s d e r e c h o s d e
las e c u a c io n e s 9 -1 5 a 9-17.
: A
rm a d u ra s
3 4 9
3 5 0
C
9
a p i t u l o
D
e f l e x i o n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p u e d e u s a r s e p a r a d e t e r m i n a r u n d e s p la z a m ie n to e s p e c ífic o
d e c u a lq u ie r j u n t a e n u n a a r m a d u r a a p lic a n d o e l m é t o d o d e l tr a b a jo v ir tu a l.
F u e r z a s v ir tu a l e s n
•
C o lo q u e la c a r g a u n it a r i a s o b r e l a a r m a d u r a e n la j u n t a d o n d e d e b e d e te r m i n a r s e el
d e s p la z a m ie n to . L a c a rg a d e b e e s t a r e n la m ism a d ir e c c ió n q u e e l d e s p la z a m ie n to e s ­
p e c ific a d o , p o r e je m p lo , h o r iz o n ta l o v e rtic a l.
•
C o n la c a r g a u n ita r ia c o lo c a d a d e e s t a m a n e r a y c o n t o d a s la s c a r g a s r e a l e s retira d a s
d e la v ig a , u tilic e e l m é to d o d e lo s n u d o s o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s y c a lc u le la
f u e r z a i n t e r n a n e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a . S u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e te n s ió n
s o n p o s itiv a s y q u e las fu e r z a s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s .
F u e rz a s r e a le s N
•
U s e e l m é to d o d e las s e c c io n e s o e l m é t o d o d e lo s n u d o s p a r a d e t e r m i n a r l a f u e r z a N
e n c a d a e le m e n to . E s ta s f u e r z a s s o n c a u s a d a s ú n ic a m e n te p o r la s c a rg a s r e a le s q u e
a c tú a n s o b r e la a r m a d u r a . U n a v e z m ás, s u p o n g a q u e la s fu e r z a s d e te n s ió n s o n p o s i ti­
v a s y q u e la s f u e r z a s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s .
E c u a c ió n d e l t r a b a j o v ir tu a l
•
A p liq u e la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v irtu a l, p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e s e a d o .
E s im p o r ta n te c o n s e r v a r e l s ig n o a lg e b r a ic o d e c a d a u n a d e las f u e r z a s n y N c o r r e s ­
p o n d ie n te s a l s u s titu ir e s t o s té r m in o s e n la e c u a c ió n .
•
Si la s u m a to r i a r e s u lta n t e 'L n N L / A E es p o s itiv a , e l d e s p la z a m ie n to A tie n e la m ism a
d ir e c c ió n q u e l a c a rg a u n ita r ia . S i s e o b ti e n e u n v a lo r n e g a tiv o . A es o p u e s t o a la c a r g a
u n ita ria .
A l a p li c a r 1 • A = I n a A T L , te n g a e n c u e n ta d e q u e s i a lg u n o d e lo s e le m e n to s e x p e r i ­
m e n ta u n a u m e n to d e te m p e r a tu r a , A T s e r á p o s i ti v o ,e n ta n t o q u e u n a á s m in u c i ó n de
la te m p e r a tu r a r e s u lta r á e n u n v a l o r n e g a tiv o p a r a A T.
P a ra q u e 1 • A = Z /i A /..c u a n d o u n e r r o r d e f a b r ic a c ió n a u m e n ta la lo n g i tu d d e u n e l e ­
m e n to , A L e s p o s i ti v a .e n ta n t o q u e u n a d is m in u c ió n d e la lo n g i tu d e s n e g a tiva .
A l a p lic a r c u a lq u ie r fó rm u la d e b e p r e s ta r s e a te n c ió n a la s u n id a d e s d e c a d a c a n tid a d n u ­
m é ric a . E n p a r tic u la r , a l a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l p u e d e a s ig n á rs e le c u a lq u i e r u n id a d
a r b i tr a r ia (Ib, k ip , N , e t c ) , p u e s to q u e la s f u e r z a s n te n d r á n e s t a s m is m a s u n id a d e s ,y e n
c o n s e c u e n c ia las u n id a d e s , ta n t o d e la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l c o m o d e la s fu e r z a s n se
c a n c e la r á n a a m b o s la d o s d e la e c u a c ió n .
9 .4
M
é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l
: A
rm a d u ra s
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a d e
a c e ro q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -8 a . E l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r ­
s a l d e c a d a e le m e n to e s A = 0 .5 p u lg 2 y E = 2 9 (1 0 ’ ) ksi.
S O L U C IÓ N
F u e rza s v ir tu a le s n . S ó lo s e c o lo c a u n a c a rg a v e rtic a l d e 1 k e n la
ju n t a C y la f u e r z a e n c a d a e le m e n to s e c a lc u la a p lic a n d o e l m é to d o
d e lo s n u d o s . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -8¿>. I-o s n ú m e ­
ro s p o s itiv o s in d ic a n f u e r z a s d e te n s ió n y lo s n ú m e r o s n e g a tiv o s i n d i ­
c a n fu e r z a s d e c o m p r e s ió n .
-0 3 3 3 k
F u e rza s re a le s N . L a s fu e r z a s r e a le s e n lo s e le m e n to s s e c a lc u la n
u s a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fi­
g u r a 9 -8c.
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l.
tar, s e ti e n e
A l d is p o n e r lo s d a t o s e n f o r m a ta b ú - 0 3 3 3 k
1k
fuerzas virtuales n
E lem en to
n (k)
N ( k)
L (p ies)
AB
BC
CD
DE
FE
EB
BF
AF
CE
0.333
0.667
0.667
4
4
4
-5 .6 6
-4
0
4
-5 .6 6
4
10
10
10
14.14
10
14.14
10
14.14
10
-0 .9 4 3
-0 .3 3 3
-Ü 4 7 1
0.333
-0 .4 7 1
1
n N L (le2 • pie)
(b )
13.33
26.67
26.67
75.42
13.33
0
13.33
37.71
40
2246.47
fu e rz a s re a le s N
~ n N L
E n to n c e s .
lk -A c.=
¿
2 4 6 .4 7 k 2 - p ie
AE
(c)
AE
.Si s e c o n v ie r te n la s u n id a d e s d e lo n g itu d d e l e l e m e n t o a p u lg a d a s y se
s u s titu y e n lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e A y £ , re s u lta
(2 4 6 .4 7 k 2 • p i e ) (1 2 p u l g / p i e )
1 k • Ac , =
(0 .5 p u lg 2)( 2 9 ( 1 0 3) k /p w lg 2)
0 .2 0 4 p u lg
R esp .
fig u ra 9 -8
3 5 1
3 5 2
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e r s a l d e c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e
te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C s i s e a p lic a u n a fu e rz a
d e 4 k N s o b r e la a r m a d u r a e n C . ( b ) S i n in g u n a c a r g a a c tú a s o b r e la
v ig a , ¿ c u á l s e r ía e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C á e l e le m e n to
A R f u e r a 5 m m m á s c o r to d e lo e s p e r a d o ?
c
(a)
Figura 9 -9
S O L U C IÓ N
In c is o (a)
F u e rz a s v ir tu a le s n . D a d o q u e d e b e d e te r m in a r s e e l desplaza­
miento v e r tic a l d e la j u n t a C ,s e a p lic a u n a f u e r z a v ir tu a l d e 1 k N e n C
c o n d ir e c c ió n v e r tic a l. L a s u n id a d e s d e e s t a f u e iz a s o n la s m is m a s q u e
la s d e l a c a r g a re a l. S e c a lc u la n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s A y B y
d e s p u é s s e d e te r m i n a la f u e r z a N e n c a d a e le m e n to p o r e l m é to d o d e
lo s n u d o s , c o m o s e m u e s tr a e n lo s d ia g r a m a s d e c u e r p o lib r e d e la s
j u n t a s A y B ,f i g u r a 9 -9 b.
F u e rz a s re a le s N . E n la fig u ra 9 -9 c se m u e s tr a e l a n á lis is d e la s j u n ­
ta s A y B c u a n d o s e a p lic a la c a rg a re a l d e 4 k N s o b r e la a r m a d u r a .
9 .4
M é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l : A r m a d u r a s
2 .5 k N
1.5 kN
1.5 kN
E cuación d e l tr a b a jo v ir t u a l. C o m o A E e s c o n s t a n te , c a d a u n o d e
b s té r m in o s n N L p u e d e c a lc u la r s e y d is p o n e r s e e n f o r m a ta b u la r .
A q u í lo s n ú m e r o s p o s itiv o s in d ic a n f u e r z a s d e te n s ió n y lo s n ú m e r o s
n e g a tiv o s in d ic a n f u e r z a s d e c o m p r e s ió n .
AB
AC
CB
n (kN)
N (kN)
Mm)
n N L (kN2 • m)
Q667
-0 .8 3 3
-0 .8 3 3
2
2.5
- 2 .5
8
5
5
10.67
-1 0 .4 1
10.41
210.67
rt>r lo ta n to .
1 k N • A c> = 2
nN L
10.67 k N 2 - m
AE
AE
A l s u s titu ir lo s v a lo r e s A = 400 m m ? = 4 0 0 ( 1 0 6) m 2, E = 200 G P a
200 (1 0 6) k N / m 2, s e ti e n e
10.67
Cr
k N 2 -m
4 0 0 (1 0 ~ 6) m 2(2 0 0 (1 0 6) k N /m 2)
A c . = 0 .0 0 0 1 3 3 m = 0 .1 3 3 m m
R esp .
Inciso (b ). A q u í d e b e a p lic a r s e l a e c u a c ió n 9-17. C o m o se d e s e a d e ­
te r m in a r e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e C , p u e d e n u s a r s e lo s r e s u lta ­
d o s d e la fig u ra 9 -7 6 . S ó lo e l e le m e n to A B e x p e r im e n ta u n c a m b io e n
su lo n g itu d , e s t o es. d e A L = - 0 .0 0 5 m . E n to n c e s .
1 • A = 2 /i A L
1 k N • Ac , = (0 .6 6 7 k N ) ( - Q 0 0 5 m )
Ac
E l s ig n o
o p u e s ta
b c a rg a
ta n t e e s
2 kN
h ie rv a s r e a le s N
1 5 kN
(C)
S e m e n tó
2 5 kN
► 2 kN
4 kN
= - 0 .0 0 3 3 3 m = - 3 . 3 3 m m
R esp .
n e g a tiv o in d ic a q u e la j u n t a C s e d e s p la z a h a c ia a rr ib a , e n fo rm a
a la c a rg a v e r t ic a l d e 1 k N . O b s e r v e q u e s i s e to m a n e n c u e n ta
d e 4 k N y e l e r r o r d e fa b r ic a c ió n , e l d e s p la z a m ie n to r e s u l­
A Ct = 0 .1 3 3 - 3 .3 3 = - 3 . 2 0 m m (h a c ia a r r ib a ) .
3 5 3
^ B
1.5 kN
3 5 4
C a p it u l o
EJEMPLO
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
9 .3
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 9 - l ü u . D e b id o a l c a lo r r a d ia n te d e la p a r e d ,
e l e l e m e n t o A D e s tá s o m e tid o a u n a u m e n to e n la te m p e r a t u r a d e A T
= + 120°F. C o n s id e r e q u e a = 0 .6 ( 1 0 - 5) / " F y q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i. E l
á re a d e la s e c c ió n tr a n s v e rs a l d e c a d a e l e m e n t o s e in d ic a e n la fig u ra .
i k
p a re d , I
i k
|C
D
2 p u lf?
o
f u e r z a s v irtu a le s n
f u e r z a s r e a le s N
<b)
(c)
S O L U C IÓ N
F u e rz a s v ir tu a le s n . Se a p lic a u n a c a r g a v e rtic a l d e I k s o b r e la a r ­
m a d u r a e n la j u n t a C y s e c a lc u la n la s f u e r z a s e n lo s e le m e n to s , fig u ra
9-1 0 6 .
F u e rz a s re a le s N . C o m o la s fu e r z a s n e n lo s e le m e n to s A B y B C
s o n ig u a le s a c e r o , n o e s n e c e s a r io c a lc u la r la s f u e r z a s N e n e s o s e l e ­
m e n to s . ¿ P o r q u é ? S in e m b a r g o , c o n e l p r o p ó s ito d e c o m p le ta r e l m é ­
to d o , e n la fig u ra 9 - 10c * m u e s tr a e l a n á lis is d e to d a s la s fu e r z a s re a le s .
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l. T a n to la s c a r g a s c o m o la te m p e r a ­
tu r a a f e c ta n la d e f o r m a c i ó n ; p o r lo ta n t o , la s e c u a c io n e s 9 -1 5 y 9 -1 6 se
c o m b in a n . Si s e e m p l e a n u n id a d e s d e k ip s y p u lg a d a s , r e s u lta
1 -A c .
(0 .7 5 ) ( 1 2 0 ) ( 6 ) ( 12)
( 1 )(8 0 )(8 )(1 2 )
2 [2 9 (1 0 3)]
2 (2 9 (1 0 3)]
(
1 -2 5 )( —100) (1 0 ) (1 2 )
+ ( 1 ) (0 .6 ( 10-5 ) J (1 2 0 ) ( 8 ) (1 2 )
1 .5 I2 9 ( 103) ]
A Cw = 0 .6 5 8 p u l g
R esp .
9 .5
9 .5
T e o re m a d e C a s tig lia n o
E n 1 8 7 9 , A lb e r t o C a s tig lia n o , in g e n ie r o ita lia n o d e f e r r o c a r r ile s , p u b lic ó u n
lib ro e n e l q u e e x p o n ía u n m é to d o p a r a d e te r m i n a r la d e fle x ió n o la p e n ­
d ie n te e n u n p u n t o e n u n a e s t r u c tu r a , e n u n a a r m a d u r a , u n a v ig a o u n
m a rc o . E s te m é to d o , c o n o c id o c o m o e l s e g u n d o te o r e m a d e C a s tig lia n o , o el
m é to d o d e l tr a b a jo m í n i m o , s ó l o a p lic a a la s e s t r u c tu r a s q u e t i e n e n u n a t e m ­
p e r a t u r a c o n s t a n te , s o p o r te s q u e n o c e d e n y r e s p u e s ta m a t e r i a l e lá stic a li­
n e a l. S i d e b e d e te r m in a r s e e l d e s p la z a m ie n to d e u n p u n to , e l te o r e m a e s t a ­
b le c e q u e é s t e e s ig u a l a la p r i m e r a d e r i v a d a p a rc ia l d e la e n e r g í a d e
d e f o r m a c ió n e n la e s t r u c t u r a c o n r e s p e c to a u n a f u e r z a q u e a c t ú a e n el
p u n to y e n la d ir e c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to . O e u n a m a n e r a p a r e c i d a , la
p e n d ie n te e n u n p u n t o d e u n a e s t r u c tu r a e s ig u a l a l a p r im e r a d e r iv a d a p a r ­
c ia l d e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n la e s t r u c tu r a c o n r e s p e c to a u n m o ­
m e n to d e p a r q u e a c tú a e n e l p u n t o y c o n la d ir e c c ió n d e la ro ta c ió n .
P a r a o b t e n e r e l s e g u n d o te o r e m a d e C a s tig lia n o . c o n s id e r e u n c u e r p o
( e s tr u c tu r a ) d e c u a lq u ie r f o r m a a r b i tr a r ia q u e e s t á s o m e tid o a u n a s e r ie d e
n fu e r z a s /* ,, P 2........P„. C o m o e l t r a b a j o e x t e r n o r e a liz a d o p o r e s t a s c a rg a s
e s ig u a l a la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n i n t e r n a a lm a c e n a d a e n e l c u e r p o ,
p u e d e e s c r ib ir s e
A h o r a b ie n , s i c u a lq u i e r a d e la s fu e rz a s , p o r e je m p lo P t, s e in c r e m e n ta e n
u n a c a n tid a d d if e r e n c ia l d P t, e l tr a b a jo in t e r n o ta m b ié n a u m e n t a d e m o d o
q u e la m u e v a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n s e c o n v ie r te e n
(9 - 1 8 )
S in e m b a r g o , e s t e v a lo r n o d e b e d e p e n d e r d e la s e c u e n c ia e n la q u e e s t a s n
fu e r z a s s e a p lic a n a l c u e r p o . P o r e je m p lo , s i p r im e r o se a p lic a d P , al c u e r p o ,
e s to h a rá q u e e l c u e rp o s e d e s p la c e u n a c a n tid a d d ife re n c ia l d& t en la dirección
d e d P r P o r la ecu ació n 9 - 3 ( u f = } P A ), e l in c re m e n to d e la e n e rg ía d e d e f o r ­
m a c ió n s e r í a \ d P , d ¡ s t. S in e m b a r g o , e s t a c a n t i d a d e s u n d if e r e n c i a l d e
s e g u n d o o r d e n y p u e d e p a s a r s e p o r a l t a U n a a p lic a c ió n p o s t e r io r d e las
c a r g a s /* ,. P ^ ,..., Pn q u e d e s p la z a r ía a l c u e r p o A ,. A2, . . . , A ,,,p ro d u c ir ía la s i­
g u ie n te e n e r g ía d e d e fo r m a c ió n .
U , + d U , = U ¡ + d P ,A ,
(9 - 1 9 )
A q u í, c o m o a n te s , U ¡ e s la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n in t e r n a e n e l c u e r p o , c a u ­
s a d a p o r la s c a r g a s P \ , P-¡_
P„ y d U t = d P ,A , e s la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n
a d ic io n a l c a u s a d a p o r d P , ( e c u a c ió n 9 -4 , U , = /'A ') ,
E n r e s u m e n , la e c u a c ió n 9 -1 8 r e p r e s e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n el
c u e r p o .d e t e r m in a d a a l a p lic a r p r i m e r o la s c a r g a s P \. P i
P„, d e s p u é s d P ,.
y la e c u a c ió n 9 -1 9 r e p r e s e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e te r m i n a d a al
T eorem a d e C a s tg u a n o
3 5 6
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
a p lic a r p r i m e r o dP ¡ y lu e g o las c a r g a s P \ , P i,-- -. P n• C o m o e s t a s d o s e c u a ­
c io n e s d e b e n s e r ig u a le s , se r e q u i e r e q u e
k> q u e d e m u e s tr a e l te o r e m a : e s d e c ir , e l d e s p la z a m ie n to A, e n la d ir e c ­
c ió n d e P¡ es ig u a l a la p r i m e r a d e r iv a d a p a rc ia l d e la e n e r g ía d e d e f o r ­
m a c ió n c o n r e s p e c to a P ¡*
D e b e s e ñ a la r s e q u e la e c u a c ió n 9 -2 0 e s u n e n u n c ia d o a c e r c a d e la c o m ­
p a tib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . A d e m á s , la d e d u c c ió n a n t e r i o r e x ig e q u e e n
e l a n á lis is s ó l o se c o n s id e r e n la s fu e r z a s c o n s e r v a d o r a s . E s ta s fu e r z a s
re a liz a n tr a b a jo q u e e s i n d e p e n d i e n te d e la tr a y e c to r ia y p o r lo t a n t o n o
c r e a n p é r d id a s d e e n e r g í a . C o m o la s f u e r z a s q u e c a u s a n u n a r e s p u e s ta li­
n e a l e lá s tic a s o n c o n s e r v a d o r a s , e l te o r e m a s e lim ita a u n c o m p o r ta ­
m ie n to lin e a l e lá s tic o tfcl m a te r ia l. E s to c o n s titu y e u n a d if e r e n c ia c o n e l
m é to d o d e la f u e r z a v ir tu a l a n a liz a d o e n l a se c c ió n a n te r io r , q u e se a p lic a
ta n to a l c o m p o r ta m ie n to e lá s ti c o c o m o al n o e lá s tic o .
9 .6
T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra
a rm a d u ra s
1.a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p a r a u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a e s tá d a d a
p o r la e c u a c i ó n 9 -9 , U¡ -* N 2L / 2 A E . A l s u s titu ir e s t a e c u a c i ó n e n la e c u a ­
c ió n 9 -2 0 y s i s e o m ite e l s u b ín d ic e /.r e s u l t a
A = — y ] ——
dP
2AE
P b r l o g e n e r a l e s m á s f á c il r e a l iz a r la d if e r e n c ia c ió n a n te s d e l a s u m a to ria . E n e l c a s o g e n e r a l L , A y E s o n c o n s ta n te s p a r a u n e le m e n to d a d o , y
p o r k) t a n t o p u e d e e s c r ib ir s e a s í
* ■ M
m
(9 - 2 1 )
donde
A = d e s p la z a m ie n to d e la j u n t a e x te r n a d e la a r m a d u r a .
P = fu e rz a e x te r n a a p lic a d a a la ju n t a d e la a r m a d u r a e n la d ire c c ió n
d e A.
N ■ fu e rz a in t e r n a e n u n e le m e n to c a u s a d a ta n to p o r la f u e r z a P c o m o
p o r la s c a r g a s s o b r e la a r m a d u r a .
L » lo n g itu d d e u n e le m e n to .
A = á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e r s a l d e u n e le m e n to .
E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e u n e le m e n to .
* E I p rim e r le o r e m a d e C a s tig lia n o e s p a r e c i d o a s u s e g u n d o te o r e m a ; sin e m b a r g o , r e l a ­
c io n a la c a r g a P t c o n l a d e r iv a d a p a r d a l d e la e n e r g ía d e d e f o r m a d ó n r e s p e c to a l d e s ­
p la z a m ie n to c o r r e s p o n d ie n t e , e s d e d r P , = d U / d 1-a c o m p r o b a d ó n e s p a r e c id a a la
d a d a a n te r io r m e n te y , c o m o e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to v ir tu a l, e l p rim e r t e o r e m a d e
C a s tig lia n o s e a p lic a t a n t o a l c o m p o r ta m ie n to m a te ria l c lá s tic o c o m o a l n o c lá s tic o . E s te
te o r e m a e s o t r a m a n e r a d e e x p r e s a r lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io p a ra u n a e s tr u c t u r a y,
p u e s to q u e tie n e u n u so m u y lim ita d o e n e l a n á lis is e s tr u c tu r a l, n o s e a n a liz a e n e s te l i b r a
9 .6
TP O R E M A d e C a s t ig l ia n o p a r a a r m a d u r a s
E s ta e c u a c ió n e s s e m e ja n t e a la q u e s e u tiliz a e n e l m é to d o d e l t r a b a j o
v irtu a l, e c u a c ió n 9 -1 5 (1 • A = 'Z n N L / A E ) , e x c e p t o q u e n se s u s titu y e
p o r d N /d P . O b s e r v e q u e c o n e l fin d e t e r m i n a r e s t a d e r i v a d a p a rc ia l s e r á
n e c e s a r io t r a t a r P c o m o u n a v a r ia b le ( n o u n a c a n ti d a d n u m é r ic a e s p e c í­
fica) y, a d e m á s , c a d a e le m e n to d e la f u e r z a N d e b e e x p r e s a r s e e n fu n c ió n
d e P . E n c o n s e c u e n c ia , e l c á lc u lo d e d N /d P g e n e r a lm e n te r e q u i e r e u n
p o c o m ás d e o p e r a c i o n e s q u e la s n e c e s a r ia s p a r a c a lc u la r c a d a f u e r z a n
d e m a n e r a d ir e c ta . ft» r s u p u e s to ,e s t o s té r m in o s s e r á n ig u a le s p o r q u e n o
d N /d P e s s im p le m e n te e l c a m b io d e la f u e r z a i n t e r n a d e l e le m e n to c o n
re s p e c to a la c a r g a P . o e l c a m b io e n la f u e r z a d e l e l e m e n t o p o r c a rg a
u n ita ria .
P ro c e d im ie n to d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d im ie n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e u tiliz a rs e p a r a d e t e r m i ­
n a r e l d e s p la z a m ie n to d e c u a lq u i e r j u n t a d e u n a a r m a d u r a u s a n d o e l te o r e m a d e C a s ti­
g lia n o .
F u e rz a e x t e r n a P
•
C o lo q u e u n a f u e r z a P s o b r e la a r m a d u r a e n la j u n t a d o n d e s e d e s e a d e te r m i n a r e l d e s ­
p la z a m ie n to . S e s u p o n e q u e e s t a f u e r z a ti e n e u n a m a g n itu d v a r ia b le c o n e l fin d e o b ­
t e n e r e l c a m b io S N /d P . A s e g ú re s e d e q u e P e s té d ir ig id a a lo la r g o d e la lí n e a d e
a c c ió n d e l d e s p la z a m ie n to .
F u e rz a s in te r n a s N
•
D e te r m in e la f u e r z a .V e n c a d a e le m e n to c a u s a d a ta n t o p o r la s c a r g a s r e a le s ( n u m é r i ­
c a s ) c o m o p o r la f u e r z a v a r i a b le P . S u p o n g a q u e las fu e r z a s d e te n s ió n s o n p o s itiv a s y
q u e la s d e c o m p r e s ió n s o n n e g a tiv a s .
•
C a lc u le la s d e r iv a d a s p a r c i a le s r e s p e c tiv a s d N /B P p a r a c a d a e le m e n to .
•
D e s p u é s d e d e te r m i n a r N y d N /d P , a s ig n e a P s u v a lo r n u m é r ic o s i h a re e m p la z a d o
u n a f u e r z a re a l s o b r e la a r m a d u r a . D e lo c o n tr a r i o .c o n s id e r e q u e P e s ig u a l a c e ro .
T e o re m a d e C a s tig lia n o
•
A p liq u e e l te o r e m a d e C a s tig lia n o p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A d e s e a d o . E s
i m p o r ta n te c o n s e r v a r lo s s ig n o s a lg e b r a ic o s p a ra lo s v a lo r e s c o r r e s p o n d ie n te s d e N y
d N /d P a l s u s titu ir e s t o s té r m in o s e n la e c u a c ió n .
•
Si la s u m a to r ia r e s u lta n t e 1 N ( d N / d P ) L / A E e s p o s itiv a , A tie n e la m is m a d ir e c c ió n
q u e P . S i s e o b tie n e u n v a lo r n e g a ti v o , A e s o p u e s t o a P .
3 5 8
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
EJEM PLO
---------- * - 4 k N
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e la j u n t a C d e la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 1 a . E l á r e a d e la se c c ió n tr a n s v e rs a l d e
c a d a e l e m e n t o e s A = 4 0 0 m m 2 y E - 200 G P a .
3 m
- U
S O L U C IÓ N
———
^
-
4 m ---------- 1
(3)
F u e rz a e x te r n a P . S e a p lic a u n a f u e r z a v e r tic a l P s o b r e la a r m a ­
d u r a e n la j u n t a C , p u e s t o q u e e s d o n d e d e b e d e te r m in a r s e e l d e s p l a ­
z a m ie n to v e rtic a l, fig u ra 9 -1 1 6 .
F u e rz a s in te rn a s N . S e d e t e r m i n a n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
A y H d e la a r m a d u r a y lo s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -1 1 6 .
U tiliz a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , s e d e t e r m i n a n la s f u e r z a s N en
c a d a e le m e n to , fig u ra 9 -1 l e * P o r c o n v e n ie n c ia , e s t o s re s u lta d o s j u n t o
c o n la s d e r iv a d a s p a r c i a le s A V /d P s e e n u n c ia n e n fo r m a t a b u l a r d e la
s ig u ie n te m a n e ra :
¿>N
E le m e n to
N
N (P = 0)
L
2
8
1 0 .6 7
dP
A B
4 kN
0 .6 6 7 P + 2
0 .6 6 7
“ ( S
>
AC
- ( 0 .8 3 3 /' -
2 .5 )
-0 .8 3 3
2 .5
5
-1 0 .4 2
BC
- ( 0 . 8 3 3 / * + 2 .5 )
-0 .8 3 3
-2 .5
5
1 0 .4 2
0 -5 P + 1 .5 k N
0 5 P - 1.5 kN
1
= 1 0 .6 7 k N • m
(b )
E n v is ta d e q u e P e n r e a l id a d n o e x is te c o m o u n a c a rg a r e a l s o b r e la
a r m a d u r a , s e r e q u i e r e q u e P = O e n la ta b l a a n te r io r .
T e o re m a d e C a * tig lia n o .
A l a p li c a r la e c u a c ió n 9 -2 1 . s e ti e n e
N a c - 0 .8 3 3 P - 2 -5 k N
10.67
4kN
-
A Á
- 0 6 6 7 P * 2 kN
0 -5 P - 1 .5 k N
N „ c - 0 * 3 3 P + 2 .5 k N
*
\d P J AE
kN • m
AE
Si se s u s tit u y e A = 400 m m 2 = 4 0 0 (1 0 “ 6) m 2. E = 200 G P a = 2 0 0 (1 09)
P a ,y la s u n id a d e s d e
s e c o n v ie r te n d e k N a N .s e ti e n e
1 0 .6 7 (1 0 3) N * m
0 .0 0 0 1 3 3 m = 0 .1 3 3 m m
4 0 0 ( 10”6 ) m 2( 2 0 0 (1 0 * ) N /m 2)
N a» “ 0.667/* + 2 k N ♦
0.5 /* + 1-5 k N
(c )
R esp .
E s ta s o lu c ió n d e b e c o m p a r a r s e c o n e l m é to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l d e l
e je m p lo 9-2.
R g H M 9 -1 1
'Q u i z á s e a m á s c o n v e n ie n te a n a liz a r la a r m a d u ra s ó lo c o n la c a r g a d e 4 k N s o b re e lla ,
y lu e g o a n a l iz a r la a r m a d u r a c o n la c a rg a P , D e e s te m o d o p u e d e n s u m a rse l o s re s u l­
ta d o s p a r a o b t e n e r la s f u e r z a s N .
9 .6
TE O R É M A d e C a s t ig l ia n o p a r a a r m a d u r a s
E J E M P L O 9 .5
D e te r m in e el d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e la j u n t a I ) efe la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 9 - 17a. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si. E l
á re a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e c a d a e le m e n to s e in d ic a e n la fig u ra .
(b)
Figura 9-12
S O L U C IÓ N
F u e rz a e x te r n a P . C o m o d e b e d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to h o ­
riz o n ta l d e D , s e a p lic a u n a f u e r z a v a r ia b le h o r i z o n ta l P a la j u n t a D ,
fig u ra 9 -1 2 b .
F u e rza s in te rn a s N. A p lic a n d o e l m é to d o d e lo s n u d o s , s e c a lc u la
la f u e r z a N e n c a d a e le m e n to .* U n a v e z m á s , a l a p lic a r la e c u a c ió n 9-21.
se e s t a b le c e P = 0 p o r q u e e s t a f u e r z a n o e x is te r e a l m e n t e s o b r e la a r ­
m a d u r a . L o s re s u lta d o s s e m u e s tr a n e n la fig u ra 9 -1 2 6 . A l d is p o n e r lo s
d a to s e n f o r m a ta b u l a r , se ti e n e
Elem ento
dN
N
dP
-13.33
-13.33
16.67
16.67 + 1.25/'
-(20 + 0.75P)
AB
BC
CD
DA
BD
T e o re m a d e C a s tig lia n o .
A
_
y
¿
N ( M \
0
0
0
1.25
-0.75
0)
-13.33
-13.33
16.67
16.67
-20
L
12
12
15
15
9
0
0
0
312.50
135.00
A l a p lic a r la e c u a c ió n 9 - 2 1 , s e ti e n e
L_ = 0 + Q + o +
\d P )A E ~
= 0.3 3 3 p u lg
N (P =
3 1 2 .5 0 k - p i e ( 12 p u l g / p i e )
(0 .5 p u lg 2)[2 9 (1 0 J ) k /p u lg 2!
R esp .
•Como en el ejempkj anterior, quizá lo recomendable sea realizar un análisis p o r sepa­
rado de la armadura cargada con 10 k y cargada con P, para después superponer los
resultados.
+
1 3 5.00 k - p i e ( 1 2 p u lg / p ie )
(0 .7 5 p u lg 2) [2 9 (1 0 3) k /p u l g 2]
3 6 0
C a p it u l o
EJEMPLO
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
9 .6
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e l a j u n t a C d e la a r m a d u r a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - 13a. S u p o n g a q u e A = 0 .5 p u lg * y q u e E
= 2 9 (1 0 3) ksi.
S O L U C IÓ N
F u e rz a e x te r n a P . L a f u e r e a d e 4 k e n C s e s u s tit u y e p o r u n a fu e r z a
v a r ia b le P e n la j u n t a C . fig u ra 9 -1 3 6 .
F u e rz a s in te r n a s N. S e u s a e l m é to d o d e lo s n u d o s p a r a d e t e r ­
m in a r l a f u e r z a N e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a . L o s r e s u lta d o s
s e r e s u m e n e n l a fig u ra 9 -1 3 6 . A q u í . P = 4 k c u a n d o s e a p lic a la
e c u a c ió n 9 -2 1 . L o s d a t o s r e q u e r id o s p u e d e n d is p o n e r s e e n fo r m a
ta b u l a r d e l a s i g u ie n t e m a n e r a :
(a)
E le m e n to
(P = 4 k)
N
T r
AB
BC
CD
DE
EF
FA
RF
BE
CE
0.333P +
0.667P +
0.667 P +
-(0 .9 4 3 /* +
- ( 0 .3 3 3 P +
-(0 .4 7 1 /* +
0.333 P +
-0 4 7 1 P +
P
2667
1.333
1.333
1.886)
2667)
3.771)
2.667
1.886
L
»
4
4
4
-5 .6 6
-4
-5 .6 6
4
0
4
0333
0.667
0.667
-0 .9 4 3
-0 .3 3 3
-0.471
0333
-0.471
1
10
10
10
14.14
10
14.14
10
14.14
10
13.33
26.67
26.67
75.42
13.33
37.71
13.33
0
40
2 = 246.47 k - p ie
T e o re m a d e C a s tig lia n o .
9 -2 1 . r e s u lta
Si s e s u s titu y e n lo s d a t o s e n la e c u a c ió n
L
0.333/*+2.667k
P
4k
(b)
Figura 9 -1 3
_ 2 4 6.47 k • p ie
AE
0.667/*+1333k
AE
A l c o n v e r t ir la s u n id a d e s d e lo n g itu d d e l e le m e n to e n p u lg a d a s y a l
s u s titu ir e l v a lo r n u m é r ic o d e A E , s e ti e n e
(2 4 6 .4 7 k - p i e ) (1 2 p u l g / p i e )
¿ ^
( 0 , p ^ ) ( M (ltf) W
) - a204pu'8
D e b e o b s e r v a r s e la s e m e ja n z a e n t r e e s t a s o lu c ió n y la d e l m é to d o
d e l t r a b a j o v ir tu a l, e je m p lo 9-1.
PR O B LEM A S F U N D A M E N T A L E S
1 9 -1 . D eterm in e e l d esp lazam ien to v ertical de la ju n ta B.
A E e s co n stan te. U se el prin cip io d e l trab ajo virtual.
1 9 -7 . D eterm in e el d esp lazam ien to v ertical de la ju n ta D .
A E e s constante. U tilice e l principio d e l trab ajo virtual.
F 9 -2 . R esuelva el p ro b le m a F9-2 u sa n d o e l te o re m a de
Castigliano.
F 9 -8 . R esuelva el p ro b le m a F9-7 u sando e l te o re m a de
Castigliano.
P 9 -1 9 -2
1 9 -3 . D eterm ine e l desplazam iento horizontal de la ju n ta A .
A F e s constante. U se el prin cip io d e l trab ajo virtual.
1-9-4. R esuelva el p ro b le m a F9-3 u sa n d o e l te o re m a de
Castigliano.
1 9 -7 9 - 8
1-9-9. D eterm in e e l desplazam iento v ertical d e la ju n ta B.
A F e s constante. U tilice e l prin cip io d e l trab ajo virtual.
1 9 -1 0 . R esuelva e l p ro b lem a F9-9 u sa n d o e l te o re m a de
Castigliano.
1 9 -3 /9 -4
F 9 -5 . D eterm ine el desplazam iento horizontal d e la ju n ta D .
A E c s constante. U se el prin cip io d e l trab ajo virtual.
1 9 -6 . R esuelva e l p ro b le m a F9-5 u sando e l te o re m a de
C astigliano.
1 9 -9 9 - 1 0
I 9 - 1 L D eterm in e e l desplazam iento v ertic a l de la ju n ta C.
A E es constante. U se e l prin cip io d e l trab ajo virtual.
19-12 . R esuelva el p ro b lem a F 9-11 u sando el te o re m a de
Castigliano.
1 9 -1 1 9 -1 2
3 6 2
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
PR O BLEM AS
9 - 1 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r tic a l d e la j u n t a A .
C a d a b a r r a e s t á h e c h a d e a c e r o y tie n e u n á r e a e n s u s e c c ió n
tr a n s v e r s a l d e 6 0 0 m m ?.C o n s i d e r e q u e £ = 2 0 0 G P a U s e e l
9 - 7 . D e te r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r ti c a l d e la j u n t a D .
U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r tu a l. A E e s c o n s t a n t e . S u ­
p o n g a q u e lo s e l e m e n t o s e s t á n a r t ic u l a d o s e n s u s e x tr e m o s .
m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l.
9 - 2 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9-1 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s t i ­
g lia n o .
* 9 - 8 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9-7 u s a n d o e l te o r e m a d e C a s ­
tig lia n o .
5 kN
P ro b s . 9 - 1 /9 -2
9 - 3 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t ic a l d e la j u n t a B .
P ara c a d a e le m e n to A = 40 0 m m \ £ = 2 0 0 G P a . U s e e l m é ­
t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l.
* 9 - 4 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9 -3 a s a n d o e l t e o r e m a d e C a s ­
tig lia n o .
P r o b s . 9 -7 Z 9 -8
9 - 9 . U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l.
9 - 1 0 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9-9 u s a n d o e l t e o r e m a d e C a s ­
tig lia n o .
9 - 5 . D e t e r m i n e e l d e s p l a z a m i e n t o v e r t ic a l d e la j u n t a £ .
P a r a c a d a e l e m e n t o A = 4íX) m m 2, £ = 2 0 0 G P a . U s e e l m é ­
t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l.
9 - 6 . R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9 -5 u s a n d o e l te o r e m a d e C a s t i­
g lia n o .
P ro b s .
9 -V 9 -4 /9 -5 E > -6
P ro b s . 9 - 9 /9 -1 0
9 .6
9 - 1 1 . D eterm ine el d esp lazam ien to vertical d e la ju n ta A .
EJ á re a d e la sección transversal d e c a d a e le m en to se indica
e n la figura. S u ponga q u e lo s e le m e n to s e s tá n a rticu lad o s en
sus ex trem o s. £ = 29(10)3 ksi. U se el m éto d o d e l trab ajo
virtual.
• 9 - 1 2 . R esuelva e l p ro b lem a 9-11 u sando el te o re m a de
TPORPM A o e C a s tig h a n o p a r a a r m a d u r a s
3 6 3
9 -1 5 . D eterm ine el d esp laz a m ie n to v ertic a l d e la ju n ta C
d e la a rm a d u ra . C ada e le m e n to tiene u n á re a e n s u sección
transversal d e A ~ 3H) m m '. E ^ 200 G P a U se e l m éto d o
d el trab ajo virtual.
• 9 - 1 6 . R esuelva e l p ro b lem a 9-15 u sando el te o re m a de
Castigliano.
Castigliano.
H
G
F
9 - 1 7 . D eterm ine e l desplazam iento v ertical d e la ju n ta A .
S uponga q u e lo s elem en to s e stá n articu lad o s e n su s e x tre ­
mos. C o n sid ere q u e A = 2 p u lg 2 y E = 29Í103) p a ra c a d a
elem en to . U se e l m é to d o d e l trab ajo virtual.
P r o b s . 9 - 1 1 /9 - 1 2
9 - 1 8 . R esuelva e l p ro b lem a 9-17 u sa n d o e l teo rem a de
Castigliano.
9 - 1 3 . D eterm ine el desplazam iento h o rizo n tal de la ju n ta D .
Suponga q u e los elem en to s e stá n articu lad o s e n sus ex tre­
mos. AF. es co n stan te. U se e l m ó to d o d e l trab ajo virtual.
9 - 1 4 . Resuelva e l p ro b lem a 9-13 u sa n d o e l te o re m a de
Castigliano.
9 - 1 9 . D eterm ine e l d esp la za m ien to v ertical d e la ju n ta A si
b s e le m e n to s A B y B C ex p erim entan u n a u m e n to d e la
tem p eratu ra d e A T = 200 "F. C o n sid ere q u e A = 2 p u lg 2 y £
= 29(103)k si. A d e m á s .« = 6 .6 0 ( 10~ V F
• 9 - 2 0 . D eterm in e e l d esp lazam ien to v ertical de la ju n ta A
s i e l e le m e n to A E se fabrica 0.5 p u lg ad as m ás c o rto d e lo e s­
perado.
3 6 4
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
9 .7
A p lic a c ió n d e l a c a rg a u n ita r ia v irtu a l a l p u n to A
(»)
A p licació n d e la c a rg a re a l *
(b )
R g ttra 9-14
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
M é to d o d e l tr a b a jo v irtu a l:
V ig a s y m a rc o s
E l m é to d o d e l t r a b a j o v ir tu a l ta m b ié n p u e d e a p lic a rs e a lo s p ro b le m a s de
d e fle x ió n e n v ig as y m a rc o s. C o m o la s d e fo r m a c io n e s d e b id a s a l a fle x ió n
s o n la c a u sa p r in c ip a l d e las d e fle x io n e s e n v ig as o m a rco s, p r im e r o s e a n a ­
liz a rá n s u s e fe c to s . L as d e fle x io n e s d e b id a s a la s c a rg a s c o rta n te s , a x ia le s y
d e to r s ió n , a s í c o m o a la te m p e r a tu r a , s e c o n s id e r a r á n e n la se c c ió n 9-8.
E l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l o , m á s e x a c ta m e n te , e l m é to d o d e la
fu e rz a v ir tu a l, p u e d e fo r m u la r s e p a r a d e fle x io n e s e n v ig a s y m a r c o s al
c o n s id e r a r la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 9 -1 4 6 . A q u í d e b e d e te r m i­
n a r s e e l d e s p la z a m ie n to A d e u n p u n to A . P a r a c a lc u la r A se c o lo c a u n a
c a rg a v ir tu a l u n ita r ia q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e A s o b r e la v ig a e n A , y
e l m o m e n t o v ir tu a l in te r n o n i se d e te r m in a m e d ia n te e l m é to d o d e las s e c ­
c io n e s e n u n a u b ic a c ió n a r b i t r a r i a x m e d id a d e s d e e l s o p o r te d e la iz ­
q u ie r d a , fig u ra 9 - 1 4 a. C u a n d o la s c a rg a s r e a le s a c tú a n s o b r e la v ig a , fig u ra
9 -1 4 6 , e l p u n to A s e d e s p la z a A . S ie m p re q u e e s t a s c a rg a s c a u s e n u n a re s­
p u e sta m a te r ia l e lá stic a lin e a l,e n to n c e s c o n b a s e e n la e c u a c ió n 8 -2 , e l e l e ­
m e n t o d x se d e f o r m a o g i r a d O - ( M / E l ) d x .* A q u í M e s e l m o m e n to in ­
te r n o e n x c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s . E n c o n s e c u e n c ia , e l tra b a jo
v irtu a l e x te r n o re a liz a d o p o r la c a r g a u n ita ria e s 1 • A, y e l tr a b a jo v ir tu a l
in te r n o r e a liz a d o p o r e l m o m e n to m e s m d d = m ( M / E l ) d x . L a s u m a to ria
d e lo s e fe c to s s o b r e to d o s lo s e le m e n to s d x a lo la r g o d e la v ig a r e q u ie r e
u n a in te g r a c ió n y. p o r lo ta n t o , la e c u a c i ó n 9 -1 3 s e c o n v ie r te e n
1•A
I
*
A p lic a c ió n d e l m o m e n to d e p a r u n ita r io v irtu a l
e n e l p u n to A
<•)
Ü
S
*
El
dx
(9 -2 2 )
donde
1 = c a rg a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a q u e a c tú a s o b r e la v ig a o e l m a r c o e n
la d ir e c c ió n d e A.
m = m o m e n to v ir tu a l in te r n o e n l a v ig a o e l m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a
f u n c ió n d e x y q u e e s c a u s a d o p o r la c a rg a u n ita r ia v ir tu a l e x te r n a .
A = d e s p la z a m ie n to e x te r n o d e l p u n to c a u s a d o p o r las c a r g a s r e a le s
q u e a c tú a n s o b r e la v ig a o e l m a rc o .
M = m o m e n to in t e r n o e n la v ig a o e l m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a
f u n c ió n d e x y q u e e s c a u s a d o p o r las c a r g a s re a le s .
E ■ m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te ria l.
I ■ m o m e n to d e in e r c ia d e l á r e a tr a n s v e rs a l, c a lc u la d o c o n r e s p e c to
a l e je n e u tr o .
D e u n a m a n e r a s e m e ja n t e , s i d e b e d e te r m i n a r s e la r o ta c ió n d e la t a n ­
g e n te o e l á n g u lo 0 d e la p e n d ie n t e e n u n p u n t o A d e la c u rv a e lá s tic a d e
la v ig a , fig u ra 9 -1 5 , s e a p lic a p r im e r o u n m o m e n to d e p a r u n it a r i o e n el
p u n to , y s e d e t e r m i n a n lo s m o m e n to s in te rn o s c o r r e s p o n d ie n t e s m e.
C o m o e l t r a b a j o d e l p a r u n it a r i o e s 1 • 0 . e n to n c e s
1
A p l i c a c i ó n d e la c a r g a r e a l w
J.
mM
r
m dM
El
dx
(9 - 2 3 )
• R e c u e r d e q u e si e l m a te ria l s e d e f o r m a m á s a llá d e s u lim ite e lá s tic o , to d a v ía p u e d e a p l i ­
c a r s e e l p r in c ip io d e l tr a b a jo v irtu a l, a u n c u a n d o e n e s te c a s o d e b e e m p l e a r e u n a n á lisis
fig u ra 9 -1 5
n o lin e a l o p lá stico .
9 .7
M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S
1
F ig ó n 9-16
A l a p lic a r la s e c u a c io n e s 9 -2 2 y 9 -2 3 , e s im p o r ta n te t e n e r e n c u e n ta
q u e la s in t e g r a l e s d e f i n it iv a s a l la d o d e r e c h o r e p r e s e n t a n e n r e a lid a d
la c a n ti d a d d e e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l q u e e s t á a lm a c e n a d a e n la
viga. Si s o b r e la v ig a a c tú a n f u e r z a s c o n c e n t r a d a s o m o m e n to s d e p a r o s i
la c a r g a d is tr ib u id a e s d is c o n tin u a , n o s e p u e d e r e a l iz a r s ó l o u n a i n t e g r a ­
c ió n a tr a v é s d e to d a la lo n g itu d d e la v ig a . E n v e z d e e s t o d e b e r á n e le ­
g ir s e c o o r d e n a d a s x s e p a r a d a s d e n t r o d e la s re g io n e s q u e n o ti e n e n d is ­
c o n tin u id a d d e c a r g a . A d e m á s , n o e s n e c e s a r io q u e c a d a x te n g a e l
m ism o o r ig e n ; s in e m b a r g o , l a x s e le c c io n a d a p a r a d e te r m i n a r e l m o ­
m e n t o M re a l e n u n a re g ió n p a r t ic u l a r d e b e s e r la m is m a x q u e la s e le c ­
c io n a d a p a r a d e t e r m i n a r e l m o m e n to v ir tu a l m o m 0 d e n tr o d e la m ism a
re g ió n . P o r e je m p lo , c o n s id e r e l a v ig a d e l a fig u ra 9 -1 6 . P a r a d e te r m i n a r
e l d e s p la z a m ie n to d e D cfcb en c o n s id e r a r s e c u a t r o re g io n e s d e la v ig a , y
p o r lo ta n to , d e b e n e v a lu a r s e c u a tr o in te g ra le s q u e c o n te n g a n la fo r m a
f ( m M / E I ) d x . E s p o s ib le u s a r x , p a r a d e te r m i n a r la e n e r g í a d e d e f o r m a ­
c ió n e n la re g ió n A B . x2 p a ra la re g ió n B C . x j p a r a la r e g i ó n D E y x 4 p a ra
la re g ió n D C . E n c u a lq u i e r c a so , c a d a c o o r d e n a d a x d e b e s e le c c io n a r s e
d e m o d o q u e W y m ( o m e) s e p u e d a n f o r m u la r c o n fa c ilid a d .
In te g ra ción u tiliz a n d o tablas.
C u a n d o la e s t r u c tu r a e s t á s o m e ­
tid a a u n a c a rg a r e l a tiv a m e n te s im p le y q u e a ú n a s í la s o lu c ió n p a r a u n
d e s p la z a m ie n to r e q u i e r e v a r ia s in te g ra c io n e s , p u e d e u s a r s e u n m é to d o
ta b u la r p a ra r e a l iz a r e s t a s in te g ra c io n e s . E n e s t e m é to d o , p r im e r o s e d i­
b u ja n lo s d ia g r a m a s d e m o m e n to p a r a c a d a e le m e n to , t a n t o p a r a la s c a r ­
g a s r e a l e s c o m o v irtu a le s . A l r e la c io n a r e s t o s d ia g r a m a s p a r a m y M c o n
lo s in d ic a d o s e n la ta b l a d e la p o r t a d a i n t e r i o r , s e p u e d e d e t e r m i n a r la
in t e g r a l J m M d x co n b a s e e n la f ó r m u la a p r o p i a d a . l o s e je m p lo s 9 -8 y
9 -1 0 ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t e m é to d o .
3 6 6
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
P r o c e d i m i e n t o d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to p u e d e u s a r s e p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to y / o la p e n ­
d ie n te e n u n p u n to d e la c u r v a e lá s tic a d e u n a v ig a o u n m a r c o m e d ia n te e l m é to d o d e l
t r a b a jo v irtu a l.
M o m e n to s v ir tu a l e s
m o m0
•
C o lo q u e u n a ca rg a u n ita r ia s o b r e la v ig a o m a r c o e n e l p u n to y e n la d ir e c c ió n d e l d e s ­
p la z a m ie n to d e s e a d o .
•
Si d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n te , c o lo q u e u n m o m e n t o d e p a r u n ita r io e n e l p u n to .
•
E s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x a p r o p ia d a s q u e s o n v á lid a s d e n t r o d e las r e g io n e s d e la
v ig a o e l m a r c o d o n d e n o h a y a d is c o n tin u id a d d e l a c a r g a r e a l o v ir tu a l.
•
C o n la c a r g a v ir tu a l e n s u s i ti o y to d a s la s c a r g a s r e a l e s r e m o v id a s cte la v ig a o el
m a rc o , c a lc u le e l m o m e n to i n t e r n o m o m 0 c o m o u n a fu n c ió n d e c a d a c o o r d e n a d a x ,
•
S u p o n g a q u e m o m 0 a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s itiv a c o n v e n c io n a l, s e g ú n s e in d ic a e n
la fig u ra 4 -1 .
M o m e n to s r e a l e s
•
U s a n d o la s m is m a s c o o r d e n a d a s x q u e la s e s ta b le c id a s p a r a m o m 0, d e te r m i n e lo s m o ­
m e n to s in te r n o s M c a u s a d o s s ó l o p o r la s c a r g a s re a le s.
•
D e b id o a q u e s e s u p o n e q u e m o m 0 a c tú a n e n la d ir e c c ió n p o s itiv a c o n v e n c io n a l, es
im p o r ta n te q u e M p o s i ti v o a c tú e e n la m is m a d ire c c ió n . E s t o e s n e c e s a r io p o r q u e el
t r a b a jo in t e r n o p o s itiv o o n e g a tiv o d e p e n d e d e l s e n tid o d ir e c c io n a l d e la c a rg a ( d e f i­
n id o p o r ± m o ± m 0) y e l d e s p la z a m ie n to ( d e f in id o p o r ± M d x / E ¡ ).
E c u a c ió n d e l t r a b a j o v ir tu a l
•
A p liq u e la e c u a c i ó n d e l t r a b a j o v ir tu a l p a r a d e te r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e s e a d o A
o l a r o t a c ió n Q. E s im p o r ta n te c o n s e r v a r e l s ig n o a lg e b r a ic o d e c a d a in te g r a l c a lc u la d a
d e n tr o d e s u re g ió n e s p e c ífic a .
•
Si la s u m a a lg e b r a ic a d e t o d a s la s in te g r a le s p a r a to d a l a v ig a o m a r c o e s p o s itiv a . A o
A tie n e n l a m is m a d ir e c c ió n q u e l a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l o e l m o m e n to d e p a r u n ita r io ,
re s p e c tiv a m e n te . S i s e o b ti e n e u n v a lo r n e g a tiv o , la d ir e c c ió n d e A o # c s o p u e s t a a la
d e la c a rg a u n i t a r i a o e l m o m e n to d e p a r u n ita rio .
9 .7
3 6 7
M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S
EJEMPLO
D e t e r m in e e l d e s p l a z a m i e n t o d e l p u n t o B d e l a v ig a d e a c e r o q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 9 .1 7 a . C o n s i d e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 5 0 ü (l(/* ) m m 4.
12 k N /m
TTTTTTTTTTTTTTH
10 m -
(a)
i kN
S O L U C IÓ N
M o m e n to v ir t u a l m . E l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l d e l p u n to B x o b ­
tie n e al c o lo c a r u n a c a rg a v ir tu a l u n it a r i a d e 1 k N e n B . fig u ra 9 -1 7 6 .
ft» r in s p e c c ió n s e o b s e r v a q u e n o h a y d is c o n tin u id a d e s d e c a r g a e n la
v ig a , la n ío p a r a la s c a r g a s r e a l e s c o m o p a r a la s v ir tu a le s . A s í, p u e d e
u s a rs e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a r a d e te r m i n a r la e n e r g ía d e d e f o r m a ­
c ió n v ir tu a l. E s ta c o o r d e n a d a se s e le c c io n a r á c o n o r ig e n e n B ,p o r q u e
d e e s e m o d o n o h a b r á n e c e s id a d d e d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s e n A
c o n e l fin d e e n c o n tr a r lo s m o m e n to s in t e r n o s m y M . U s a n d o e l m é ­
to d o d e la s s e c c io n e s , e l m o m e n to i n t e r n o m se f o r m u la d e la m a n e r a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 7 6 .
‘—
(b )
E n to n c e s ,e l d e s p la z a m ie n to v e rtic a l
i T í mJ
Ti----
,rf-1
1 5 (1 0 * ) k N 2 - m 3
1 k N -A ,
|--------- * -
fu e rz a u n ita r ia
M o m e n to r e a l M . C o n b a s e e n l a m is m a c o o r d e n a d a j . e l m o m e n to
n t e r n o M se f o r m u la c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 - 17c.
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l.
de « es
|
" • -h i
i * - - # i f ífc
El
c a r g a re a l
(c )
o r b ie n .
H g a ra 9 -1 7
15(103) k N • nv
2 0 0 ( l ü 6) k N / m 2(5 0 0 (1 0 6) m m 4) ( l < r 12 m 4/ m m 4)
0 .1 5 0 m = 150 m m
R esp .
3 6 8
C a p it u l o
E JE M P L O
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
9 .8
D e te r m in e la p e n d ie n te 0 e n e l p u n to R d e la v ig a d e a c e r o q u e s e m u e s­
tr a e n la fig u ra 9 1 8 a . C o a s id e r e q u e F. - 2 0 0 G P a . / = 60(10*) m m 4.
3 kN
<»>
H g u ra 9 -1 8
S O L U C IÓ N
M o m e n t o v i r t u a l m „. 1.a p e n d ie n t e e n R se d e te r m i n a a l c o lo c a r u n
m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l d e 1 k N • m e n R , fig u ra 9 -1 8 6 . A q u í
d e b e n s e le c c io n a r s e d o s c o o r d e n a d a s x co n e l fin d e d e te r m i n a r la
e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l to t a l e n la v ig a . 1.a c o o r d e n a d a x x
to m a e n c u e n ta la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e n t r o d e l s e g m e n to A R y
la c o o r d e n a d a x 2 in c lu y e la d e l s e g m e n to R C . L o s m o m e n to s in te r n o s
m 0 d e n tr o d e c a d a u n o d e e s to s s e g m e n to s s e c a lc u la n u s a n d o e l m é ­
to d o d e la s s e c c io n e s c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 9 -1 8 6 .
I
m „-0
p a r u n i ta r io v irtu a l
(b )
3 kN
3 6 9
M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S
9 .7
3 kN
cr*
é
f
x,
|V,
c a r g a re a l
3 kN
f c — 3 (5 + x j
8.1 )
V2
(C)
M o m e n t o s r e a l e s M . Si s e u s a n la s m is m a s c o o r d e n a d a s x x y *2.1os
m o m e n to s in t e r n o s M se c a lc u la n c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 9 -1 8 c .
E c u a c ió n d e l t r a b a j o v i r t u a l .
ta d o d e
m„M
/
1 '0 ,
E n to n c e s , la p e n d ie n t e e n R e s r e s u l­
El
dx
5 ( l ) I - 3 ( 5 + x 7) \ d x 2
/ * (0 ) (-3 * ,)< /a :,
Jo
I.
El
El
m » flc N -m )
-1 1 2 .5 k N - m ?
O)
El
T a m b ié n s e p u e d e n e v a lu a r la s in t e g r a l e s J m 0M d x efe f o r m a g r á ­
f ic a . e m p l e a n d o la ta b l a q u e s e e n c u e n t r a a l r e v e r s o d e la p o r ta d a d e
e s te lib r o . P a r a e llo , p r im e r o e s n e c e s a r io e s t a b l e c e r lo s d ia g r a m a s
d e m o m e n to p a r a la s v ig a s e n la s fig u ra s 9 - 1 8 6 y 9 - 18c. É s to s s e m u e s ­
t r a n e n la s f i g u r a s 9 - 1 8 d y 9 -1 8 e . r e s p e c ti v a m e n te . C o m o n o h a y
m o m e n to m p a ra 0 S r < 5 m , s ó l o s e u tiliz a n la s á r e a s s o m b r e a d a s
r e c ta n g u la r e s y tr a p e z o id a le s p a r a e v a lu a r la in te g r a l. D e s p u é s d e e n ­
c o n tr a r e s t a s f o r m a s e n la fila y la c o lu m n a c o r r e s p o n d ie n t e s d e la
ta b l a .s e ti e n e
/
c
dx =
10
<d>
+ M 2) L = $ ( 1 ) ( - 1 5 - 3 0 )5
J5
M (k N • m )
= - 1 1 2 .5 k N 2 - m 3
É ste e s e l m is m o v a lo r q u e s e d e te r m i n ó e n la e c u a c ió n 1. P o r lo ta n to .
(lk N -m l-0
‘
- ________________ - 1 1 2 .5 k N 2 - m 3________________
~ 20<)(106) k N / m 2|6 0 (1 0 6) m m 4|(1 0 ~ 1 2 m 4/ m m 4)
e B = - 0 .0 0 9 3 8 r a d
30
R esp .
E l s ig n o n e g a tiv o in d ica q u e 0B e s o p u e s to a la d ir e c c ió n d e l m o m e n to
d e p a r v ir tu a l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9-1 8 6 .
(e)
-x(m>
3 7 0
C a p it u l o
EJEMPLO
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
9 .9
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to e n D d e la v ig a d e a c e r o q u e s e m u e s tr a
e n la fig u ra 9 - 19a. C o n s id e r e q u e E = 2 9 ( 103) k s i, / = 8 0 0 p u lg 4.
6 k
8 0 k p ie
D
G *
10 p ie s
lO p ii
15 p ie s -
(a)
fig u ra 9 -1 9
S O L U C IÓ N
M o m e n t o s v i r t u a l e s m . L a v ig a e s tá s o m e ti d a a u n a c a rg a v ir tu a l
u n ita r ia e n D , c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -1 9 6 . P o r in s p e c c ió n ,
d e b e n u s a r s e tres c o o r d e n a d a s , c o m o X j, x 2 y x3 p a ra c u b r i r t o d a s la s
re g io n e s d e la v ig a . O b s e r v e q u e e s t a s c o o r d e n a d a s c u b r e n la s r e g io ­
n e s d o n d e n o o c u r r e n d is c o n tin u id a d e s e n la s c a r g a s y a s e a n r e a le s o
v irtu a le s . L o s m o m e n to s in t e r n o s m se c a lc u la r o n e n la fig u ra 9 -1 9 6
p o r e l m é to d o d e la s se c c io n e s.
i k
1
P .,- 1
0.75 k
1.75 k
Ik
m ,— lx,
I— ,-i
1k
1
* 'S
■n-awfr-nlf fi
=
.
1
^
1“ ”
" - \
1.75 k
0 .7 5 k
c a r g a s v irtu a le s
(b)
m ,— 0.75*,
- |V
9 .7
M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S
80 I pie
1 ______________________________________________________________
&
E5
Ik
T=T
- I
7k
[* E 3 Cí j ™
I-— * i— I
8 0 k p ie
* 3 ------ 1 V ,
7k
lk
cargas reales
(c)
M o m e n t o s r e a l e s M . E n p r i m e r lu g a r s e c a lc u la n la s r e a c c io n e s
s o b r e l a v ig a; d e s p u é s , e m p l e a n d o la s m is m a s c o o r d e n a d a s x q u e se
u s a r o n p a ra rn .s e d e te r m i n a n lo s m o m e n to s in te r n o s M c o m o se m u e s ­
tra e n la fig u ra 9 - 19c.
E c u a c ió n d e l t r a b a j o v i r t u a l . A l a p lic a r la e c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir ­
tu a l a l a v ig a ,c o n lo s d a to s d e las fig u ra s 9 -1 9 6 y 9 - 1 9 c ,s e tie n e
1 ‘A" ‘
c
1
T T dx
f ' 5( - 1 x ^ ( 0 ) dXl
"
Jo
E l
y 10( 0 .7 5 * 2 -
1 5 )( 7 * 2) d x 2
Jo
El
, 0 ( - 0 . 7 5 * 3) ( 8 0 -
1*3) d x j
El
0
* n=
3500
E l~
El
2750
~
El
6250 k -p ie 3
~ ~
El
o b ie n
- 6 2 5 0 k • p ie 3( 12) 3 p u lg 3/ p i e 3
A„ =
2 9 (1 0 3) k /p u l g 2( 8D« p u lg 1)
= - 0 .4 6 6 p u lg
R esp .
EJ s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e e l d e s p la z a m ie n to e s h a d a a r r ib a ,
o p u e s to a la c a r g a u n ita r ia h a c ia a b a jo .f ig u r a 9 -1 9 6 .T a m b ié n te n g a e n
c u e n ta q u e e n r e a lid a d n o h a y n e c e s id a d d e c a lc u la r m i p u e s to q u e
A i, - 0.
3 7 1
3 7 2
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e l p u n t o C e n e l m a r c o q u e
s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 tto . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i e / = 600
p u lg 4 p a r a a m b o s e le m e n to s .
R g u ra 9 -2 0
S O L U C IÓ N
M o m e n t o s v i r t u a l e s m . R>r c o n v e n ie n c ia , s e u s a r á n las c o o r d e n a ­
d a s x \ y x 2 e n la fig u ra 9 -2 0 6 . S e a p lic a u n a c a rg a u n it a r i a h o r iz o n ta l
e n C , fig u ra 9 -2 0 6 . ¿ P o r q u é ? L a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s y lo s m o ­
m e n to s in te r n o s v ir tu a le s s e c a lc u la n c o m o s e m u e s tra .
m : - 1.2 5 1 . v.
125 k
Ik
c a r g a s v irtu a le s
(b )
9 .7
373
M É T O D O DEL T R A B A J O V lR T U A i: V>GAS Y M A 3 C O S
W? - 25xj
N,
Vj|—
25 k
-8 pies-
Mi ~ 40.t,
-
I
25 k
W
N,
40 k
4 .v ,
)ics
4« 2
i
40 k
4 0 k - -----
25 k
caigas reales
25 k
(c)
M o m e n to s re a le s M . D e ig u a l m a n e r a , la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r ­
te s y lo s m o m e n to s r e a l e s s e c a l c u l a n c o m o s e m u e s t r a e n la fig u ra
9-20c.
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l.
9 -2 0 6 y 9 - 2 0 c .s e ti e n e
[ Lm M ,
' • Ac- = i
—
ü —
8 3 3 3 .3 + S333.3
4c,
El
10 k p i c
C b n b a s e e n lo s d a t o s d e la s f ig u r a s
/ • 10( l i i ) ( 4 0 * 1 - 2 x ¡ ) d x ,
= i
10 kpic
El
8 p ies
+ y. —
t
,—
Eí
(1 )
(d)
200 k- pie
2 0 0 k p ie
1
m M d x = é (1 0 )(2 0 0 )(1 0 ) + J(1 0 )(2 0 0 )(8 )
8 p ie s
\\
\
= 8 3 3 3 .3 + 5 3 3 3 .3 = 13 6 6 6 .7 k 2 • p ie 3
Q u e e s ig u a l a lo q u e s e c a lc u ló e n la e c u a c ió n 1. A sí,
____________________________13 6 6 6 .7 k - p i e 3_________________________
C*
1 0 p ie s
\
13 6 6 6 .7 k • p ie-
Si s e d e s e a , la s in te g ra le s J m M / d x ta m b ié n p u e d e n e v a lu a r s e g r á f i­
c a m e n te e m p le a n d o l a ta b la q u e e s t á d e tr á s d e la p o r ta d a . L o s d ia g r a ­
m as d e m o m e n to p a r a e l m a r c o d e las fig u ra s 9 -2 0 6 y 9 -2 0 c se m u e s tra n
e n la s fig u ra s 9 -2 0 d y 9 -2 0 e , re s p e c tiv a m e n te . P o r lo ta n to , u tiliz a n d o las
fó rm u la s p a ra la s fo rm a s s e m e ja n te s d e l a t a b l a . s e o b tie n e
f
\
\
f» (\.2 5 x 2)( 2 5 x , ) d x ¡
(2 9 (1 0 3) t f p u t f ( ( 1 2 J 2 p u lg 2/ p i e 2) ] |60() p u lg 4( p ie 4/ ( 1 2 ) 4 p u lg 4)]
= 0 .1 1 3 p i e s = 1.36 p u l g
R esp .
10 p ies
\
(e )
3 7 4
C a p it u l o
EJEMPLO
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
9 .1 1
D e te r m in e la r o ta c ió n ta n g e n c ia l e n e l p u n to C d e l m a r c o q u e s e m u e s­
t r a e n la f ig u r a 9 - 2 l a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 15( 106) m m 4.
5 kN
I k N -m
lk N -m
SkN
5 kN
(a)
Figura 9-21
c a r g a s v irtu a le s
c a r g a s r e a le s
S O L U C IÓ N
M o m e n to s v ir tu a le s m 0. S e u s a r á n las c o o r d e n a d a s xt y x j q u e se
m u e s tr a n e n l a f ig u r a 9 - 2 l a . S e a p lic a u n m o m e n to d e p a r u n it a r i o e n
C y s e c a lc u la n lo s m o m e n to s i n t e r n o s m g, fig u ra 9 -2 1 b.
M o m e n to s re a le s M . D e u n a m a n e r a s i m i la r .s e c a lc u la n lo s m o ­
m e n to s r e a le s M c o m o s e m u e s tr a e n l a fig u ra 9 - 2 le .
E c u a c ió n d e l tr a b a jo v ir tu a l.
9 -2 \ b y 9 - 2 1 c .s e tie n e
f Lm ,M ,
C o n b a s e e n lo s d a t o s d e la s fig u ra s
[H -l){-2 .S x ,)d x ,
l -*“ y„ ~irix- i — Ti
11.25
E l
c
.
/*2 (1 )(7 .5 ) d x j
+i — ¡n—
15 _ 2 6 .2 5 k N • m 2
+ E l
El
o b ie n
0
_ _________________ 2 6 .2 5 k N - m 2_________________
C “ 2 0 0 (1 0 6) k N / m 2|1 5 ( l( J 6) m m 4|( 1 0 " 12 m4/ m m 4)
= 0.00875 r a d
R esp .
9 .8
9 .8
E n e r g Ia d e d e f o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l , f u e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a
E n e rg ía d e d e fo rm a c ió n v ir tu a l
ca u sa d a p o r c a rg a a x ia l, fu e rz a
c o r ta n te , to r s ió n y te m p e r a tu r a
A u n q u e la s d e f le x io n e s e n v ig a s y m a r c o s s e p r o d u c e n p r in c ip a lm e n te
d e b id o a l a e n e rg ía d e d e f o r m a c ió n p o r fle x ió n , e n a lg u n a s e s t r u c tu r a s la
e n e r g í a d e d e f o r m a c i ó n a d ic i o n a l d e la c a r g a a x ia l , la f u e r z a c o r t a n t e ,
la to r s ió n y q u iz á la t e m p e r a t u r a p u e d e n lle g a r a s e r im p o rta n te s . A c o n ­
tin u a c ió n s e c o n s id e r a r á c a d a u n o d e e s t o s e fe c to s.
Carga axial. L os e le m e n to s d e u n m a r c o p u e d e n e s t a r s o m e tid o s a
c a rg a s a x ia le s y la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l c a u s a d a p o r e s t a s c a r ­
g a s s e h a e s ta b le c id o e n l a s e c c ió n 9 -4 . P a r a lo s e le m e n to s q u e c u e n ta n
c o n u n á r e a c o n s ta n te e n s u s e c c ió n t r a n s v e r s a l s e tie n e
c r .- = g
donde
n = c a rg a a x ia l v ir tu a l in t e r n a c a u s a d a p o r la c a rg a u n it a r i a v ir tu a l
e x te m a .
N = fu e rz a a x ia l i n t e r n a e n e l e le m e n to c a u s a d a p o r la s c a rg a s re a le s .
E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te ria l.
A = á r e a d e l a s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to .
L = lo n g itu d d e l e le m e n to .
Fuerza c o rta n te .
P a r a d e te r m i n a r la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir ­
tu a l d e b id a a la f u e r z a c o r t a n te e n u n a v ig a .s e c o n s id e r a r á e l e le m e n to
d x d e la v ig a q u e se m u e s tr a e n la f ig u r a 9 -2 2 . L a d is to r s ió n c o r t a n te d y
d e l e le m e n to c u a n d o e s c a u s a d a p o r la s ca rg a s rea les e s d y ■ y d x . S i la
d e f o r m a c ió n c o r t a n t e y e s c a u s a d a p o r l a re s p u e sta d e u n m a te r ia l elá s­
tic o lin e a l, e n to n c e s p u e d e a p lic a re c la le y d e H o o k e , y = t / G . P o r lo
ta n to , d y = ( t / G ) d x . E l e s f u e r z o c o r t a n te p u e d e e x p r e s a r s e c o m o t =
K ( V / A ) , d o n d e K e s u n fa c to r d e f o r m a q u e d e p e n d e d e l p e rf il d e l á r e a
tra n sv e rs a l A d e la viga. ft>r lo ta n t o .s e p u e d e e s c rib ir d y = K ( V / G A ) d x .
E l tr a b a jo v ir tu a l in t e r n o h e c h o p o r u n a f u e r z a c o r t a n te v ir tu a l v . q u e
a c tú a s o b r e e l e l e m e n t o d y m ie n tr a s s e d e f o r m a , e s e n to n c e s d U , = v d y
= v ( K V / G A ) d x . P a r a to d a la v ig a , la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l se
d e te r m i n a p o r in te g ra c ió n .
U,
(9 -2 5 )
donde
v = fu e rz a c o r t a n te v ir tu a l in t e r n a e n e l e le m e n to , e x p r e s a d a e n
fu n c ió n d e x y c a u s a d a p o r la c a r g a v ir tu a l u n it a r i a e x te r n a .
V = fu e rz a c o r t a n te in t e r n a e n e l e le m e n to ,e x p r e s a d a c o m o u n a
fu n c ió n d e x y c a u s a d a p o r la s c a r g a s re a le s .
A - á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l d e l e le m e n to .
K ■ f a c to r d e f o r m a p a r a e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e r s a l:
K - 1.2 p a r a s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s re c ta n g u la r e s .
K = 1 0 /9 p a r a s e c c io n e s tr a n s v e r s a le s c irc u la re s .
K as 1 p a r a v ig a s d e a la a n c h a o d o b le T , d o n d e A e s e l á r e a d e l alm a .
G = m ó d u lo d e e la s tic id a d a l c o r te p a r a e l m a te ria l.
3 7 5
3 7 6
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
T o r s i ó n . C o n fr e c u e n c ia , lo s m a r c o s tr id im e n s io n a le s s e s o m e te n a
c a rg a s d e to r s ió n . Si e l e le m e n to ti e n e u n a se c c ió n tr a n s v e r s a l circu la r,
n o o c u r r ir á n in g ú n p a n d e o e n s u á r e a tr a n s v e r s a l a l c a r g a r lo . C o m o r e ­
s u l ta d o . p u e d e o b te n e r s e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n e l e l e ­
m e n to . P a r a e l l o s e c o n s i d e r a u n e l e m e n t o d x d e l e l e m e n t o q u e e s tá
s o m e ti d o a u n p a r d e to r s ió n T a p lic a d o , fig u ra 9 -2 3 . E s te p a r d e to r s ió n
p ro d u c e u n a d e f o r m a c ió n c o r t a n t e d e y = (c d d ) / d x . D a d o q u e s e p r o ­
d u c e u n a re sp u esta m a te r ia l lin e a l e lá s tic a , e n to n c e s , y ■ t / G , d o n d e r T c / J . P o r lo ta n t o , e l á n g u lo d e g i r o d 0 = ( y d x ) / c = ( t / G c ) d x = ( T / G J )
d x . S i s e a p lic a u n a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l a la e s t r u c tu r a q u e o c a s io n e u n
p a r d e to r e ió n v ir tu a l in t e r n o t e n e l e le m e n to , d e s p u é s d e a p li c a r la s c a r ­
g a s r e a le s , la e n e r g í a d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n e l e l e m e n t o d e lo n g itu d
d x s e r á d U , = t d Ü = t T d x / G J . I n t e g r a r a t o d a la lo n g itu d L d e l e le m e n to
d a p o r r e s u lta d o
(9 - 2 6 )
donde
r = p a r d e to r s ió n v ir tu a l in t e r n o c a u s a d o p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l
e x te r n a .
T -
p a r d e to r s ió n in t e r n o e n e l e le m e n to c a u s a d o p o r la s c a rg a s re a le s .
G = m ó d u lo d e e la s tic id a d a l c o r t e d e l m a te ria l.
J = m o m e n to p o la r d e in e r c ia p a r a la s e c c ió n tr a n s v e r s a l. J =
d o n d e c e s e l r a d i o d e l á r e a d e la s e c c ió n tr a n s v e rs a l.
ttc * / 2 ,
L = lo n g itu d d e l e le m e n to .
1.a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l d e b id a a la to r s ió n d e e le m e n to s
q u e n o ti e n e n á r e a s tr a n s v e r s a le s c ir c u la r e s s e d e te r m i n a m e d i a n te u n
a n á lis is m á s r i g u r o s o q u e el q u e s e h a p r e s e n ta d o a q u í.
T e m p e r a t u r a . E n la s e c c ió n 9 -4 s e c o n s i d e r ó el e f e c to d e u n c a m b io
d e te m p e r a tu r a u n if o r m e A 7*s o b r e u n e le m e n to d e u n a a r m a d u r a y s e in ­
d ic ó q u e e l e le m e n to s e a la r g a r ía o a c o r t a r í a u n a c a n ti d a d A L = a A T L .
S in e m b a r g o , e n a lg u n o s c a s o s u n e le m e n to e s t r u c t u r a l p u e d e e s t a r s o ­
m e t id o a u n a d ife r e n c ia d e te m p e r a tu r a e n to d a s u p r o f u n d id a d , c o m o e n
e l c a s o d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 4 a . S i e s to o c u r r e , e s p o ­
s ib le d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to d e lo s p u n to s a lo l a r g o d e la c u rv a
e lá s tic a d e l a v ig a u s a n d o e l p rin c ip io d e l tr a b a jo v ir tu a l. P a r a e llo , p r i ­
m e r o d e b e c a lc u la r s e la c a n ti d a d d e ro ta c ió n d e u n e le m e n to d if e r e n c ia l
d x d e la v i g a .c a u s a d o p o r e l g r a d i e n te té r m i c o q u e a c t ú a s o b r e la se c c ió n
tr a n s v e r s a l d e la v ig a . P a r a h a c e r m á s c la r o e l a n á lis is , s e e le g irá e l c a s o
m á s c o m ú n d e u n a v ig a q u e ti e n e u n e je n e u t r o s itu a d o a la m ita d d e la
p r o f u n d id a d (c ) d e la v ig a . A l g ra f ic a r e l p e r f il d e la t e m p e r a t u r a , fig u ra
9-24¿> .se o b s e r v a r á q u e l a te m p e r a t u r a m e d ia e s T m = ( 7 , + T? ) / 2 . S i 7 ,
> 7*2, la d if e r e n c ia d e t e m p e r a t u r a e n la p a r t e s u p e r io r d e l e le m e n to
c a u s a u n a d e f o r m a c ió n d e a la r g a m ie n to , m ie n tr a s q u e e n la p a r t e b a ja
p ro v o c a u n a d e f o r m a c ió n p o r c o n tr a c c ió n . E n a m b o s c a s o s la d if e r e n c ia
d e t e m p e r a t u r a e s A T m = 7 ’, — T m = T m — T 2. C o m o e l c a m b io té r m ic o
9 .8
E n e r g Ia d e d e f o r m a c i ó n v i r t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l , f u e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a
p e rfil d e la t e m p e r a t u r a
d e lo n g i tu d e n la p a r t e s u p e r io r e in f e r io r e s d e 8 x = a &Tm d x , f ig u r a
9 -2 4 c , e n to n c e s la r o t a c ió n d e l m i e m b r o e s
<b)
d e m aA T s dx
c
Si s e a p lic a u n a c a r g a u n ita r ia v ir tu a l e n u n p u n to d e la v ig a d o n d e
d e b e d e te r m i n a r s e e l d e s p la z a m ie n to , o s e a p lic a u n m o m e n to d e p a r
u n ita r io v ir tu a l e n u n p u n t o d o n d e d e s e a c o n o c e r s e e l d e s p la z a m ie n to
r o ta c io n a l d e la t a n g e n t e , e n to n c e s e s ta c a rg a c r e a u n m o m e n to v ir tu a l m
e n la v ig a e n e l p u n t o d o n d e se e n c u e n t r a e l e le m e n to d x . C u a n d o s e im ­
p o n e e l g r a d ie n te d e te m p e r a t u r a , la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l e n
la v ig a e s
donde
m = m o m e n to v ir tu a l i n t e r n o e n l a v ig a e x p r e s a d o e n fu n c ió n d e x , y
c a u s a d o p o r la c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e x te r n a o e l m o m e n to d e
p a r u n it a r i o v ir tu a l e x te r n o .
a = c o e fic ie n te d e e x p a n s ió n té r m ic a .
& T m = d if e r e n c ia d e te m p e r a t u r a e n t r e la te m p e r a t u r a m e d ia y la t e m ­
p e r a t u r a e n la p a r t e s u p e r io r o in f e r io r d e la v ig a .
c = p r o f u n d id a d m e d ia d e la viga.
A m e n o s q u e s e in d iq u e lo c o n tr a r io , e n este te x to se c o n s id e r a r á n s ó l o
la s d e fle x io n e s e n v ig a s y m a r c o s d e b id a s a la fl e x i ó n . N o o b s t a n te , p o r lo
g e n e r a l lo s e le m e n to s d e v ig a s y m a r c o s p u e d e n e s t a r s o m e tid o s a v a ria s
d e las o tr a s c a r g a s a n a liz a d a s e n e s ta s e c c ió n . S in e m b a r g o .c o m o se m e n ­
c io n ó a n te r io r m e n te , la s d e fle x io n e s a d ic io n a le s c a u s a d a s p o r la s f u e r z a s
c o r t a n te s y a x ia le s a lt e r a n l a d e f le x ió n d e la s v ig a s e n s ó l o u n p e q u e ñ o
p o r c e n ta je p o r lo q u e g e n e r a lm e n te s e ig n o r a n , in c lu s o e n e l a n á lis is d e
“p e q u e ñ o s ” m a rc o s d e d o s o tr e s e le m e n to s c o n u n n iv e l d e a ltu r a . S i
é s t o s y o tr o s e f e c to s d e la to r s ió n y la te m p e r a t u r a d e b e n c o n s id e r a r s e
e n u n an á lisis, e n to n c e s s im p le m e n te se a g re g a s u e n e r g í a d e d e f o r m a ­
c ió n v ir tu a l d e f i n id a p o r la s e c u a c i o n e s 9 -2 4 a 9 -2 7 a la e c u a c i ó n d e l
tr a b a jo v ir tu a l d e f in id o p o r la e c u a c ió n 9 -2 2 o la e c u a c ió n 9 -2 3 . L o s s i­
g u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a a p lic a c ió n d e e s t a s e c u a c io n e s .
ro ta c ió n p o sitiv a
'&r
—d x —
(C )
fig u ra 9 -2 4
3 7 8
C a p it u l o
EJEMPLO
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
9 .1 2
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e l p u n t o C e n e l m a r c o d e
la f ig u r a 9 -2 5 a . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i, G = 1 2 (1 0 3) k s i, / =
6 0 0 p u lg 4 y A = 80 p u lg 2 p a ra a m b o s e le m e n to s . E l á r e a d e la se c c ió n
tr a n s v e r s a l e s re c ta n g u la r . In c lu y a la e n e rg ía d e d e f o r m a c i ó n in t e r n a
d e b id a a la c a rg a a x ia l y la f u e r e a c o r ta n te .
-S p ie s -
4 k /p ic
10
T
(a)
fig u ra 9 -2 5
S O L U C IÓ N
A q u í d e b e a p lic a rs e u n a c a r g a u n it a r i a h o r iz o n ta l e n C . L o s d ia g r a ­
m a s d e c u e r p o lib r e n e c e s a r io s p a r a la s c a r g a s r e a le s y v ir tu a le s se
m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 9 -2 5 b y 9 -2 5 c.
M 2 -2 S x}
g
i
-1 2 5
V 2 - 0 ♦ —f
25 k
125 k
25 k
n , = 125
1 0 p ie s
Ti
lk -U -|
125 k
i - i
IkJ-j
1.25 k
c a r g a s v irtu a le s
(b )
(c )
9 .8
E n e r g í a d e d e e o r m a c i ó n v ir t u a l c a u s a d a p o r c a r g a a x i a l , r j e r z a c o r t a n t e , t o r s ó n y t e m p e r a t u r a
F le x i ó n . L a e n e r g ia d e d e f o r m a c ió n v ir tu a l d e b i d a a la fle x ió n se
d e te r m in ó e n e l e je m p lo 9 -1 0 . S e d e m o s tr ó q u e
, ' m M dx
Ub
13 6 6 6 .7 k 3 - p i e 3
1 3 6 6 6 .7 k J - p i e 3 (12-’ p u lg 3/ l p ie 3)
El
[2 9 (1 0 * ) k / p u l g ?[( 6 0 0 p u lg 4)
El
A p a r tir d e lo s d a t o s d e la s fig u ra s 9 -2 5 b y 9 -2 5 c .s e
C a rg a a x ia l.
tie n e
1.25
k (2 5 k ){ 1 2 0 p u l g )
8 0 P u lg 2p 9 ( 1 0 3) k /p u lg 7]
+
1 k ( 0 ) ( 9 6 p u lg )
8 0 p u lg ?[2 9 ( 10*) k /p u l g 2]
= 0.001 6 1 6 p u lg • k
F u e rz a c o rta n te .
A l a p lic a r l a e c u a c i ó n 9 -2 5 c o n K = 1.2 p a r a s e c ­
c io n e s tr a n s v e r s a le s re c ta n g u la r e s y a l u tiliz a r la s f u n c io n e s d e f u e r z a
c o r ta n te q u e s e m u e s tr a n e n l a fig u ra 9 -2 5 6 y 9 - 2 5 c .r e s u lta
f lo 1 . 2 ( l ) ( 4 0 - A x \ ) d x \
“
J'o
o
GA
r 8 1 . 2 ( - 1 . 2 5 ) ( - 2 5 ) c/x2
J0
"
GA
540 k? - p i e ( 1 2 p u l g / p i e )
= 0 .0 0 6 7 5 p u l g - k
[ 1 2 ( 1 0 3) k /p u l g 2]( 8 0 p u lg 2)
Si se a p lic a la e c u a c i ó n d e l tr a b a jo v ir tu a l .s e tie n e
1k•
= 1.357 p u lg • k + 0 .0 0 1 6 1 6 p u lg • k + 0 .0 0 6 7 5 p u lg • k
A Ct = 1.37 p u lg
R esp .
L a in c lu s ió n d e lo s e f e c to s d e la f u e r z a c o r t a n te y la c a r g a a x ia l c o n tr i­
b u y ó s ó l o c o n u n a u m e n to d e l 0 .6 % s o b r e la r e s p u e s ta q u e s e d e t e r ­
m in ó u s a n d o ú n ic a m e n te la fle x ió n .
1.357 p u lg - k
3 7 9
3 8 0
C a p it u l o
EJEMPLO
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
9 .1 3
L a v ig a q u e s e m u e s tr a e n l a f ig u r a 9 - 2 6 a se u tiliz a e n u n e d if ic io s o ­
m e tid o a d o s a m b ie n te s té r m ic o s d if e r e n te s . S i la t e m p e r a t u r a e n la
s u p e r fic ie s u p e r io r d e la v ig a e s d e 8 0 ° F y e n la in f e r io r e s d e 160°F ,
d e te r m in e la d e fle x ió n v e rtic a l d e la v ig a e n s u p u n to m e d i o ,d e b id o al
g r a d ie n te d e te m p e r a t u r a . C o n s id e r e q u e a = 6 .5 (1 0 -6 )/° F .
80° F
)EEE
(b)
Figura 9 -2 6
S O L U C IÓ N
D a d o q u e la d e f le x ió n e n e l c e n tr o d e l a v ig a d e b e d e te r m in a r s e , se
c o lo c a u n a c a r g a v ir tu a l u n it a r i a a llí y s e c a lc u la e l m o m e n to v ir tu a l
in te r n o e n la v ig a , fig u ra 9 -2 6 6 .
La te m p e r a t u r a m e d ia e n e l c e n t r o d e la v ig a e s (1 6 0 ° + 8 0 ° ) / 2 =
120°F, p o r lo q u e p a r a la a p lic a c ió n d e la e c u a c i ó n 9 - 2 7 , A T m = 120°F
- 8 0 ° F = 40°F . A d e m á s , c = 1 0 p u l g / 2 = 5 p u lg . A l a p li c a r e l p r in c i­
p io d e l t r a b a j o v ir tu a l .s e ti e n e
. . . .
1 Ib * A r
C*
=
f L m a M m dx
/ -------------------
Jo
c
P -* ( í * ) 6 . 5 ( l < r 6) / oF (4 0 ° F )
-------------- c--------------------- d x
5 p u lg
A c , = 0.0936 p u lg
F.I r e s u lta d o in d ic a u n a d e f le x ió n m u y in s ig n ific a n te .
R esp .
9 .9
9 .9
T e o r e m a d e C a s t o l ia n o p a r a v c a s y m a r c o s
T e o re m a d e C a s tig lia n o p a ra v ig a s
y m a rc o s
L a e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p o r fle x ió n in t e r n a p a r a u n a v ig a o u n m a r c o
re s u lta d e la e c u a c i ó n 9 -1 1 (U , = J M 2 d x / 2 E l ) . A l s u s titu ir e s t a e c u a c ió n
e n la e c u a c ió n 9 -2 0 (A , = d U ,/d P ¡) y o m itir e l s u b ín d ic e / . s e ti e n e
d
[ ‘ M 2 dx
A = J p ja I
e
T
E n lu g a r d e e le v a r a l c u a d r a d o la e x p r e s ió n d e l m o m e n to in t e r n o M . in ­
te g r a r y lu e g o o b t e n e r la d e r iv a d a p a rc ia l, g e n e r a lm e n te r e s u lta m á s fá c il
d if e r e n c ia r a n te s d e la in te g ra c ió n . D a d o q u e E e I s o n c o n s ta n te s , se
tie n e
(9 - 2 8 )
donde
A = d e s p la z a m ie n to e x t e m o d e l p u n t o c a u s a d o p o r las c a r g a s re a le s
q u e a c tú a n s o b r e la v ig a o m a rc o .
P = fu e rz a e x te r n a a p lic a d a a la v ig a o m a r c o e n la d ir e c c ió n d e A.
A i ■ m o m e n to in t e r n o e n la v ig a o m a r c o , e x p r e s a d o c o m o u n a fu n c ió n
d e x y c a u s a d o t a n t o p o r la f u e r z a P c o m o p o r la s c a rg a s r e a l e s
s o b r e la v ig a .
E = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a te r ia l d e l a viga.
/ = m o m e n to d e in e r c ia d e l á r e a d e l a s e c c ió n tr a n s v e r s a l c a lc u la d o
re s p e c to a l e je n e u tr o .
S i d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n t e 0 c n u n p u n t o . e s n e c e s a r io e n c o n ­
tr a r la d e r iv a d a p a rc ia l d e l m o m e n to i n t e r n o M c o n r e s p e c to a u n m o ­
m e n to d e p a r e x te r n o M ' q u e a c t ú a e n e l p u n to , e s d e c ir .
dM
í ‘\ A
6 =
l
U
\ dx
) El
(9 -2 9 )
L a s e c u a c io n e s a n te r io r e s s o n s im ila re s a la s u s a d a s p a r a e l m é to d o d e l
tr a b a jo v ir tu a l, e c u a c io n e s 9 -2 2 y 9 -2 3 , e x c e p to q u e H M / d P y d M /B M '
re m p la z a n a m y m » , re s p e c tiv a m e n te . C o m o e n e l c a s o d e la s a r m a d u r a s ,
g e n e r a lm e n te se r e q u i e r e u n p o c o m á s d e c á lc u lo p a ra d e t e r m i n a r la s
d e r iv a d a s p a r c ia le s y a p li c a r e l te o r e m a d e C a s tig lia n o e n v ez d e e m ­
p le a r e l m é t o d o d e l t r a b a j o v irtu a l. T a m b ié n , r e c u e r d e q u e e s t e te o r e m a
s ó lo s e a p lic a a m a te r ia le s q u e te n g a n u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l. S i se
d e s e a u n a d e te r m i n a c ió n m á s c o m p le ta d e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n e n
la e s t r u c tu r a , d e b e in c lu irs e la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n d e b id a a la s f u e r ­
z a s c o r t a n te s , a x ia le s y d e to r s ió n . L as d e d u c c io n e s p a r a la f u e r z a c o r ­
ta n t e y la to r s i ó n s ig u e n e l m is m o d e s a r r o ll o q u e la s e c u a c i o n e s 9 -2 5 y
9 -2 6 . L a s e n e r g í a s d e d e f o r m a c ió n y s u s d e r iv a d a s s o n . re s p e c tiv a m e n te .
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
V 2d x
•
-
r
2AG
dP
dx
9U ,
dx
dP
S in e m b a r g o , e s t o s e fe c to s n o s e in c lu y e r o n e n e l a n á lis is d e lo s p r o b l e ­
m a s p a r a e s t e te x to , d e b id o a q u e la s d e f le x io n e s e n v ig a s y m a r c o s se
p r o d u c e n p r in c ip a lm e n te d e b id o a la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n p o r f le ­
x ió n . L o s m a r c o s m á s g ra n d e s , o a q u e llo s q u e ti e n e n u n a g e o m e tr ía i n u ­
s u a l . p u e d e n a n a liz a r s e p o r c o m p u t a d o r a , d o n d e e s t o s e f e c t o s p u e d e n
in c o r p o r a r s e fá c ilm e n te a l an á lisis.
P r o c e d i m i e n t o d e a n á lis is
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o q u e p u e d e e m p le a r s e p a r a d e t e r m i ­
n a r la d e f le x ió n y / o la p e n d ie n t e e n u n p u n t o d e u n a v ig a o u n m a r c o u s a n d o e l te o r e m a
d e C a s tig lia n o .
F u e rz a e x t e r n a P o m o m e n t o d e p a r M
•
C o lo q u e u n a f u e r z a P s o b r e l a v ig a o e l m a r c o e n e l p u n t o y e n la d ir e c c ió n d e l d e s p l a ­
z a m ie n to d e s e a d o .
•
Si d e b e d e te r m i n a r s e la p e n d ie n te , c o lo q u e u n m o m e n to d e p a r M ' e n e l p u n to .
•
Se s u p o n e q u e t a n t o P c o m o M ' ti e n e n u n a m a g n itu d v a r ia b le p a r a o b t e n e r lo s c a m ­
b io s d M / d P o d M / d M ' .
M o m e n to s in te r n o s M
•
E s ta b le z c a la s c o o r d e n a d a s x a p r o p ia d a s q u e s o n v á lid a s d e n t r o d e la s r e g io n e s d e la
v ig a o e l m a r c o d o n d e n o h a y d is c o n tin u id a d e n la f u e r z a , la c a rg a d is tr ib u id a o e l m o ­
m e n to .
•
C a lc u le e l m o m e n to in t e r n o M en fu n c ió n d e P y M ' y c a d a c o o r d e n a d a x . A d e m á s ,
c a lc u le la d e r iv a d a p a rc ia l d M / d P o d M / d M ' p a ra c a d a c o o r d e n a d a x .
•
D e s p u é s d e d e t e r m i n a r M y d M / d P o d M / d M ' , a s ig n e a P o M ' s u v a lo r n u m é r ic o si
h a n s u s titu id o a u n a f u e r z a o m o m e n to re a le s . D e lo c o n tr a r i o .e s ta b l e z c a P o M ' g u a ­
les a c e r o .
T e o r e m a d e C a s tig lia n o
•
A p liq u e la e c u a c ió n 9 -2 8 o 9 -2 9 p a r a d e t e r m i n a r e l d e s p la z a m ie n to A o la p e n d ie n t e 6
d e s e a d o s . E s i m p o r t a n te c o n s e r v a r lo s s ig n o s a lg e b r a ic o s d e lo s v a lo r e s c o r r e s p o n ­
d ie n t e s d e M y d M /d P o d M / d M ' .
•
Si la s u m a r e s u lta n t e d e to d a s la s in te g r a le s d e f in id a s e s p o s itiv a , A o A tie n e n la m ism a
d ir e c c ió n q u e P o M ' .
9 .9
T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s
3 8 3
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to d e l p u n t o B d e la v ig a q u e s e m u e s tra
e n la fig u ra 9 2 1 a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a e / = 5 0 0 (1 0 6) m m 4.
12 k N /m
1 2 k N ,t a
11
11
111
11
1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 I I
11
I—
I
-------- 1
1A
_
IW III
- —
10 m
(b)
(a )
S O L U C IÓ N
F u e rza e x t e r n a P. Se c o lo c a u n a f u e r z a v e r tic a l P s o b r e la v ig a e n
B c o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 7 6 .
M o m e n to s in te r n o s M . Se r e q u i e r e u n a s o la c o o r d e n a d a x p a ra
o b t e n e r la s o lu c ió n , p u e s t o q u e n o h a y d is c o n tin u id a d e s d e c a r g a
e n t r e A y B . Si s e u s a e l m é to d o d e las s e c c io n e s , fig u ra 9 - 2 7 c .s e tie n e
~M -
Px = 0
(c)
dM
M = ~6x! - Px
fig u ra 9 -2 7
-x
dP
A l e s t a b le c e r P = 0 , s u v a lo r re a l, r e s u lta
M = -6 x :
T e o re m a d e C a s tig lia n o .
A
r l J
-
"
i
dJ ±
dP
-x
Si s e a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 8 . se tie n e
d M \ d x -
U P J E l
i
El
1 5 (1 0 * ) k N - m *
El
o b ie n
15(103) kN • m3
A/í
200( 106) k N /m ?(500( 106) m m ^ l O '12 m '/m m 1;
= 0.150 m = 150 m m
R esp .
D e b e o b s e r v a r s e l a s e m e ja n z a e n t r e e s t a s o lu c ió n y la o b te n i d a m e ­
d ia n te e l m é to d o d e l t r a b a j o v ir tu a l, e je m p lo 9-7.
3 8 4
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l p u n t o f í d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la
fig u ra 9 -2 8 a . C o n s id e r e q u e E = 2 0 0 G P a , / = 6 0 (1 0 6) m m 4.
S O L U C IÓ N
M o m e n to d e p a r e x t e r n o M '. D a d o q u e d e b e d e te r m in a r s e la
p e n d ie n te e n e l p u n t o f í . s e c o lo c a u n p a r e x t e r n o M ' a > b re la v ig a e n
e s e p u n to , fig u ra 9 -2 8 6 .
ta)
M o m e n to s in t e r n o s M . P a r a d e te r m i n a r lo s m o m e n to s in te r n o e n
la v ig a d e b e n u s a r s e d o s c o o r d e n a d a s . x\ y a p u e s t o q u e h a y u n a d is ­
c o n tin u id a d . M ' , e n f l . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 9 .2 8 6 .a :, va d e A
a f í y x2 v a d e f í a C . U t i l i z a n d o e l m é t o d o d e la s s e c c i o n e s , fig u ra
9 -2 8 c . lo s m o m e n to s in te r n o s y la s d e r iv a d a s p a r c ia le s s e c a lc u la n d e
la s ig u ie n te m a n e r a :
3 ItN
P a ra * ,:
— Ti­
L + S W = 0;
M i + 3 a:i =
(b)
M \ = - 3 a:,
d M x
= 0
dM'
P a ra
a2 :
t +
3kN
= 0;
-
M 2 = M '
3 kN
f= 3 i r
r.— Iv ,
M
. ( ----
L
l
(c)
Figura 9 -2 8
M ’ +
dM 2
M,
l
5 m
3 ( 5 + a:2 ) = 0
- 3 (5 + a ,)
= I
d M '
e— |Va
T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e e s t a b le c e
a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 9 . r e s u lta
B
i
M'
O .su v a lo r r e a l, y se
K d M' / E I
5( “ 3 a i)(0 ) d x x
■f.
f - - 3 ( 5 + a:2) ( 1 ) d x 2
l
El
1 1 2 .5 k N - m 2
F .I
o b ie n
-1 1 2 .5 k N - m 2
n
2 0 0 (1 0 6) k N / m 2[60{ 106) m m 4]( 1 0 "12 m 4/ m m 4;
= - 0 .0 0 9 3 8 r a d
Resp.
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e 0fí e s o p u e s t o a la d ir e c c ió n d e l m o m e n to
d e p a r M '. O b s e r v e la s im ilitu d e n tr e e s ta s o lu c ió n y la d e l e je m p lo 9-8.
9 .9
T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to v e rtic a l d e l p u n t o C d e la v ig a q u e
se m u e s tr a e n la fig u ra 9 -2 9 a . C o n s id e r e q u e E = 21X3 G P a , 1 =
150 (1 06) m m 4.
8 k N /m
3 8 5
2 0 kN
S O L U C IÓ N
(a )
F u erza e x te r n a P . S e a p lic a u n a f u e r z a v e rtic a l P e n e l p u n to C,
fig u ra 9 -2 9 b . D e s p u é s , e s t a f u e r z a s e r á ig u a l a u n v a lo r fijo d e
20 kN .
M o m e n to s in t e r n o s M . E n e s te c a s o s e r e q u i e r e n d o s c o o r d e n a d a s
x p a r a l a in te g r a c ió n , fig u ra 9-29¿>, p u e s to q u e la c a rg a e s d is c o n tin u a
e n C . E m p le a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 9 -2 9 c ,s e ti e n e
P a ra j j :
8 k N /m
i,+ 2 W = 0 ;
- ( 2 4 + 0 .5 P )x , + 8 * , ( y )
a ra n
+ M, = 0
M \ = (2 4 + 0 . 5 P ) * , - A x\
8 + 05P
2 4 + 0.5 P
1 F = “ *»
(b )
P ara x 2:
- M 2 + ( 8 + 0 .5 P ) x 2 = 0
= 0;
M 2 = ( 8 + 0 .5 P ) x 2
bm
dp
2
8 + 0 .5 P
2 4 + 0 .5 P
0 .5 x 2
(c)
T e o re m a d e C a s tig lia n o . Si s e e s t a b le c e P = 2 0 k N , s u v a lo r r e a l, y
se a p lic a la e c u a c ió n 9 -2 8 , r e s u lta
- ■ ■ jx
m
/ - ( 3 4 » ,- 4 x j) ( 0 .5 x , ) d x ,
Jo
E l
,í 4 ( I 8 * 2)(0 .5 x 1) d x ,
El
Jo
2 3 4 .7 k N • m 3 + 192 k N • m 3
El
|
El
4 2 6 .7 k N - m 3
El
o b ie n
= _________________ 4 2 6 .7 k N • m 3__________________
kC’ ” 2 0 0 ( 106) k N /m 7[1 5 0 (1 0 6) m m 4j ( 1 0 - '2 m 4/ m m 4)
= 0 .0 1 4 2 m = 14.2 m m
R esp .
F igura 9 -2 9
3 8 6
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
D e te r m in e la p e n d ie n t e e n e l p u n t o C d e l m a r c o d e d o s e le m e n to s
q u e s e m u e s tra e n la f ig u r a 9-30a . E l s o p o r te e n A es fijo . C o n s id e r e q u e
E = 2 9 (1 0 * ) k s i , / = 600 p u lg 4.
2 k /p ie
nTTTTT
12 p ie s
e m p l e a n d o
£J
S O L U C IÓ N
M o m e n to d e p a r e x t e r n o M '. S e a p lic a u n m o m e n to v a r ia b le M '
s o b r e e l m a r c o e n e l p u n to C , p u e s t o q u e d e b e d e te r m i n a r s e la p e n ­
d ie n te e n e s te p u n to , fig u ra 9 -3 0 6 . D e s p u é s , e s t e m o m e n to s e ig u a la rá
a ce ro .
(a)
M o m e n to s in t e r n o s M . D e b id o a la d is c o n tin u id a d d e la c a rg a in ­
te r n a e n B , s e e lig e n d o s c o o r d e n a d a s .r, y * 2.c o m o s e m u e s tr a e n l a fi­
g u r a 9 -3 0 6 . U s a n d o e l m é to d o d e la s s e c c io n e s , f ig u r a 9 -3 0 c , s e tie n e
P a r a x x\
= O.
-M , -2 * , ( § ) -
vi
dM i
" ' - o
= -1
dM 7
P a r a x 2:
- M 2 - 2 4 { ^2 e o s 6 0 ° + 6 ) -
t + Z A # = 0;
M' = 0
M 2 = -2 4 { a :2 c o s 6 0 o + 6 ) -
dM 2
dM '
T e o re m a d e C a s tig lia n o .
c ió n 9 -2 9 s e o b ti e n e
24 k
/I
M; >
A f'
= -1
A l e s t a b le c e r M ' = O y a p li c a r la e c u a ­
t;
"
Vj
‘ ■/ “( S i
•« (-* } ){ -!) dx,
N
X j e o s 60* + 6 p ie s
( C)
“i s
a
-
= í
El
c
-2 4 ( x 2cos 60° + 6 ) ( - l ) d x 7
El
F ig u r a 9 - 3 0
5 7 6 k -p ie 2
El
2040 k - p i e 2 _ 2 616 k - p i e 2
+
El
“
El
2 6 1 6 k • p ie 2( 144 p u lg 2/ p i e 2)
R esp .
°C ~
2 9 (1 0 * ) k /p u l g 2(6 0 0 p u lg 4)
0 0 2 1 6 ra d
9 .9
T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s
387
PR O BLEM AS F U N D A M E N TA LE S
19-13. D eterm ine la p en d ien te y e l desplazam iento e n el
punto A . E l e s constante. U se el prin cip io del trab ajo virtual.
19-14. R esuelva el p ro b lem a F9-13 u sando e l te o re m a de
Castigliano.
19 -1 9 . D eterm in e la p e n d ie n te e n A y e l desplazam iento
e n e l p u n to C . E l e s co n stan te. U se el prin cip io d e l trab ajo
virtual.
1 9 -2 0 . R esuelva el p ro b lem a F9-19 u sando el te o re m a de
Castigliano.
i k N /m
30 kN
in n u m .
4m
—4 m
3 m
19-19/9-20
19-13/9-14
19-15. D eterm ine la p en d ien te y e l desplazam iento e n el
punto A . E l e s constante. U se e l prin cip io del trab ajo virtual.
19-16. R esuelva e l p ro b lem a F9-15 u sando el te o re m a de
Castigliano.
1 9 -2 1 . D eterm in e la p en d ien te y e l desplazam iento e n el
p un to C. E l e s constante. U se e l principio d e l trab ajo virtual.
1 9 -2 2 . R esuelva el p ro b lem a F9-21 u sando el te o re m a de
Castigliano.
12 k N
4 k N -m
(
2m
-2 m
1 9 -1 5 /9 -1 6
1 9 -2 1 9 -2 2
19-17. D eterm ine la p e n d ien te y e l desplazam iento e n el
punto tí. E l e s constante. U se e l p rin c ip o d e l trab ajo virtual.
1 9 -2 3 . D ete rm in e el desplazam iento e n el p u n to C. E l es
constante. U se el prin cip io d el trab ajo virtual.
19-18. R esuelva el p ro b lem a F9-17 u sando el te o re m a de
Castigliano.
19-24 . R esuelva el p ro b lem a F9-23 u sando el te o re m a de
Castigliano.
1 8 k N /r
TTTirnrm^
3 m ---------
1 9 -1 7 /9 -1 8
3 8 8
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
PR O BLEM AS
9 -2 1 . D eterm ine el desplazam ien to d e l p u n to C y la p e n ­
diente e n e l p u n to B . F.I es co n stan te. U se el principio del
trab ajo virtual.
9 - 2 9 . D eterm in e la p e n d ie n te y e l d esp la z am ie n to e n el
p u n to C .U s e el m éto d o d e l trab ajo virtual. F. = 29(10*) ksi.
/ - m p u lg 4.
9 -2 2 . R esuelva e l p ro b le m a 9-21 usando e l te o re m a de
Castigliano.
9 - 3 0 . R esuelva el p ro b lem a 9-29 u sando e l te o re m a de
C astigliano.
P r o b s . 9 - 2 9 /9 - 3 0
P r o b s . 9 - 2 1 /9 - 2 2
D eterm ine e l d esp la za m ien to e n el p u n to C. E l es
constante. U se e l m éto d o d e l trab ajo virtual.
9 -2 3 .
* 9 - 2 4 . Resuelva e l p ro b lem a 9-23 u sando el te o rem a de
Castigliano.
9 -3 1 . D eterm in e e l d esp lazam ien to y la p en d ien te e n el
p u n to C de la viga en voladizo. E l m o m en to d e in ercia de
cada seg m en to se indica e n la figura. C o n sid ere q u e E =
29(10*) ksi. U se e l principio del tra b a jo virtual.
*9-32. R esuelva e l p ro b lem a 9-31 u sando e l te o re m a de
C astigliano.
P r o b s . 9 - 2 3 /9 - 2 4
D eterm in e la p end ien te e n e l pun to C. E l es c o n s­
tante. U se el m éto d o d el trab ajo virtual.
9 -2 5 .
P ro h s . 9 -3 1 )9 -3 2
9 -2 6 .
R esuelva e l p ro b lem a 9-25 usando e l te o re m a de
Castigliano.
9 -3 3 . D eterm in e la p e n d ie n te y el d esp laz a m ie n to e n el
p u n to B . E l es constante. U se el m éto d o d e l trab ajo virtual.
9 - 2 7 . D eterm in e la p end ien te e n e l p u n to A . E l es c o n s­
tante. U se e l m éto d o d el trab ajo virtual.
9 - 3 4 . R esuelva e l p ro b lem a 9-33 usando e l te o rem a de
C astigliano.
*9-28. R esuelva e l p ro b lem a 9-27 u sando e l te o rem a de
Castigliano.
P r o h * . 9 -2 5 /9 -2 6 /9 -2 7 /9 -2 8
P ro b s . 9 -3 3 /9 -3 4
9 .9
9 -3 5 . D eterm ine la p e n d ie n te y e l d c sp laza m ien to e n el
p u n to B .S uponga q u e e l so p o rte e n A es un p asad o r y e n C
e s u n rodillo. C onsidere E - 29( 103) k si e / - 300 pulg4. U se
el m éto d o d el trab ajo virtual.
•9 -3 6 . R esuelva e l p ro b lem a 9-35 u sando e l te o re m a de
Castigliano.
-1 0 p ie s -
T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s
3 8 9
*9-40. D eterm in e la p e n d ie n te y e l d esp lazam ien to e n el
p u n to A . S uponga q u e C está articulado. U se el principio
d el trab ajo virtual. E l e s constante.
9 -4 1 . R esuelva e l p ro b lem a 9-40 u sando el te o rem a de
Castigliano.
5 p ie s
P ro b s. 9-35)9-36
9 -3 7 . D eterm ine la p e n d ie n te y e l d esp lazam ien to e n el
p u n to B .S uponga q u e e l so p o rte e n A es u n p asad o r y e n C
es u n rodillo. T o m e e n cu e n ta la e n e rg ía d e d efo rm ació n
adicional d eb id a a la fu erza c o rtan te. C o n sid ere q u e E =
29(IO }) ksi. / «■ 300 p u lg 4. G - 12(10*) ksi y su p o n g a q u e
A B tiene u n á re a en s u sección transversal d e A = 7.50
pulg2.U se el m étodo d e l tra b a jo virtual.
4 k /p ie
9 -4 2 . D eterm in e e l d esp lazam ien to e n e l p u n to D . U se el
principio d e l trab ajo v irtu al. E l es constante.
8k
9 -3 8 . D eterm ine el d esp lazam ien to d e l p u n to C. U se el
m étodo d el tra b a jo virtual. E l e s constante.
9 -3 9 . R esuelva e l p ro b lem a 9-38 u sando el te o re m a de
Castigliano.
9 -4 3 . D eterm in e e l d esp lazam ien to e n e l p u n to D . U se el
teo rem a d e C astigliano. E l e s co n stan te.
*0
8k
rrffm
i>
4 p ie s -
4 pies
P ro b .9 -4 3
_ ¡1
•4 p i« -
3 9 0
* 9 -4 4 .
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l p a r a d e t e r m i n a r la
d e f l e x i ó n v e r tic a l e n e l s o p o r t e d e o s c i l a d o r
9 -4 5 .
e m p l e a n d o
D . E l e s c o n s ta n te .
R e s u e lv a e l p r o b le m a 9 -4 4 u s a n d o e l te o r e m a d e
C a s tig lia n o .
m é t o d o s
d e
9 -4 9 .
e n e r g ía
D e te r m in e e l d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l d e l p u n to C .
F .¡ e s c o n s t a n t e . U s e e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir t u a l.
9 -5 0 .
R e s u e lv a e l p r o b le m a 9 -4 9 u s a n d o e l te o r e m a d e
C a s tig lia n o .
>ies
P ro b s . 9 -4 4 /9 -4 5
P ro b s . 9 -4 9 /9 -5 0
9 -4 6 .
E l m a rc o e n fo rm a d e L se c o m p o n e d e d o s seg m e n ­
to s , c a d a u n o d e lo n g itu d I . y rig id e z a la fle x ió n E l . S i s e s o ­
m e te a la c a r g a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a , d e te r m in e e l
d e s p la z a m ie n to h o riz o n ta l d e l e x tre m o C . U s e e l m é to d o
d e l tr a b a jo v irtu a l.
9 -4 7 .
E l m a rc o e n fo rm a d e L se c o m p o n e d e d o s seg m e n ­
to s , c a d a u n o d e l o n g i t u d L y r i g i d e z a l a f l e x i ó n E / . S i s e s o ­
9 -5 1 .
D e t e r m i n e l a d e f l e x i ó n v e r t i c a l e n C . E l á r e a d e la
s e c c ió n tr a n s v e r s a l y e l m o m e n to d e in e rc ia d e c a d a s e g ­
m e te a la c a rg a u n ifo r m e m e n te d is tr ib u id a , d e te r m in e e l
m e n to s e m u e s tr a n e n la f ig u r a C o n s id e r e q u e E
d e s p la z a m ie n to v e rtic a l d e l p u n to B . U s e e l m é to d o d e l tr a ­
G Pa. S uponga q u e
b a jo v irtu a l.
t r a b a j o v ir t u a l.
*9-48.
*9-52.
R e s u e lv a e l p r o b le m a 9 -4 7 u s a n d o e l te o r e m a d e
C a s tig lia n o .
= 200
A e s u n s o p o r t e fijo . U s e e l m é t o d o d e l
R e s u e lv a e l p r o b le m a 9 -5 1 . in c lu y e n d o e l e f e c t o d e
la e n e r g í a d e d e f o r m a c i ó n c o r t a n t e y a x ia l.
9 -5 3 .
R e s u e lv a e l p r o b l e m a 9 -5 1 u s a n d o e l t e o r e m a d e
C a s tig lia n o .
A h c “ 6 .5 (1 0 * ) m m ?
h e = 100(10“) mm*
A a b - 1 8 (1 0 ’) m m 1
. 9 t> Ia h
40CH106) m m *
P r o b a 9 - 4 6 ^ - 4 7 / 9 — 48
P ro b s . 9 -5 1 /9 -5 2 /9 -5 3
c
5 0 kN
9 .9
9 - 5 4 . D eterm ine la p en d ien te e n A . C o n sid ere q u e E =
29(103) ksi. E l m o m en to de inercia d e c a d a seg m en to del
marco se indica e n la figura. S uponga q u e D e s u n so p o rte
articulado. U se e l m éto d o d e l trab ajo virtual.
R esuelva e l p ro b lem a 9-54 u sando e l te o re m a de
Castigliano.
9 -5 5 .
T E O R E M A d e C a s t g u a n o p a r a v ig a s y m a r c o s
U se el m éto d o d e l trab ajo virtual y d ete rm in e la d e ­
flexión horizontal e n C. E l es co n stan te H a y u n pasad o r e n A .
S uponga q u e C e s un rod illo y q u e B e s una ju n ta fija.
9 -5 8 .
Resuelva e l p ro b lem a 9-58 u sando el te o re m a de
Castigliano.
9 -5 9 .
12 k
400 Ib/pie
*9-56. U se e l m éto d o d e l tra b a jo v irtual y d eterm in e la d e ­
flexión h o rizontal e n C. E l á re a d e la sección transversal de
cada e lem en to se indica e n la figura. S uponga q u e lo s ele­
m entos e stán articulados e n su s ex trem o s. E = 29(105) ksi.
R esuelva e l p ro b lem a 9-56 u sando el te o re m a de
C astigliano.
9 -5 7 .
2k
Sk
Probs. 9 - 5 6 9 - 5 7
3 9 1
•9 -6 0 . E l m arco e stá so m e tid o a la c arg a d e 5 k. D eter­
mine el d esp la z a m ie n to v ertical e n C. S u p o n g a q u e los
elem en to s e stá n articu lad o s e n z i . C y E ,y q u e e stá n conec­
tad o s fijam ente e n las ju n ta s a c o d a d as B y D . E l e s cons­
tante. U se e l m éto d o d e l tra b a jo virtual.
R esuelva e l p ro b lem a 9-60 u sando e l te o re m a de
Castigliano.
9 -6 1 .
3 9 2
C a p it u l o
9
D e f l e x io n e s
e m p l e a n d o
m é t o d o s
d e
e n e r g ía
r e p a s o d e l c a p ít u l o
Todos los m éto d o s d e e n e rg ía se b a sa n e n e l principio d e la conservación de la en erg ía, e l cual estab lece q u e e l trab ajo rea ­
lizado p o r to d a s las fuerzas ex tern as q u e actú a n so b re la e stru c tu ra . l/,.s c tran sfo rm an e n trab ajo in te rn o o en erg ía de d e ­
form ación. U¡, desarro llad a e n lo s e lem en to s c u a n d o la e stru ctu ra se d efo rm a.
U r = U,
U n a fuerza (m om ento) realiza tra b a jo U cuando e x p erim en ta u n desplazam iento (ro tació n ) e n la dirección d e la fuerza
(m om ento).
U = Md
E l principio d e l trab ajo v irtu a l se b asa e n el tra b a jo realizad o p o r una fu erza u n ita ria “ virtual" o im aginaria. Si d e b e o b te ­
nerse la deflexión (ro tació n ) e n u n p u n to d e la e s tru c tu ra .s e aplica una fu e rz a (m o m en to d e p a r) u n ita ria v irtual a la es­
tru c tu ra e n e sc punto. E s to ocasiona cargas virtuales in tern as e n la e stru c tu ra. E l tra b a jo v irtual se d esarro lla c u a n d o las
cargas reales se colocan so b re la estru ctu ra p ro v o can d o s u deform ación.
l o s desplazam ientos e n las a rm ad u ras se e n c u e n tra n utilizando
nN L
1 -A
=
2
AE
Si el desplazam iento e s cau sad o p o r la tem p eratu ra o e rro re s de fabricación, en to n ce s
1 -A
=
I n a tfL
1 -A = ZnAL
R e p a s o d e l c a p it u l o
3 9 3
Para las vigas y los m arcos, e l d esp lazam ien to (ro tació n ) se d efin e a p a rtir de
E l seg u n d o teo rem a d e C astigliano, tam b ién llam ad o el m é to d o d el tra b a jo m ínim o, p u ed e usarse p a ra d e te rm in a r las d e ­
flexiones e n las estru ctu ras q u e resp o n d an clásticam ente. S e afirm a q u e e l d esp lazam ien to (ro ta c ió n ) en u n p u n to de una
e stru ctu ra e s igual a la p rim era d e riv a d a parcial d e la e n e rg ía d e d efo rm ació n en la e stru ctu ra con respecto a u n a fu erza /’
(m o m en to de p a r M ') q u e actú a e n e l p u n to y e n la dirección d el d esp lazam ien to (ro ta c ió n ). P ara u n a a rm a d u ra
=
Para vigas y m arcos
Las ju n ta s d e este m a rco d e c o n c re to con ectad as fija m e nte ha cen q u e la e s ­
tructura sea estáticam ente in d e te rm in a d a .
Análisis de estructuras
estáticam ente
indeterm inadas por el
m étodo de la fuerza
En e s te c a p ít u lo s e a p lic a rá e l m é t o d o d e la fu e rza o d e la fle x ib ilid a d
p a ra a n a liz a r a rm a d u ra s , v ig a s y m a rc o s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a ­
d o s . A l f in a l d e l c a p ít u lo s e p re s e n ta rá u n m é t o d o p a ra d ib u ja r la lín e a
d e in flu e n c ia p a ra u n a v ig a o u n m a rc o e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d o .
1 0 .1
E s tru c tu ra s e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s
E n la s e c c ió n 2 - 4 s e e s ta b le c ió q u e u n a e s t r u c tu r a d e c u a lq u ie r tip o se
c la s ific a c o m o e stá tic a m e n te in d e te r m in a d a c u a n d o la c a n ti d a d d e r e a c ­
c io n e s o fu e r z a s in t e r n a s d e s c o n o c id a s e x c e d e a l a d e la s e c u a c io n e s d e
e q u ilib r io d is p o n ib le s p a r a s u a n á lis is . E n e s t a s e c c ió n s e a n a liz a r á n lo s
b e n e fic io s d e u tiliz a r la s e s t r u c tu r a s in d e te r m in a d a s y d o s f o r m a s f u n d a ­
m e n ta le s e n la s q u e p u e d e n a n a liz a rs e . T e n g a e n c u e n ta q u e la m a y o r ía
d e la s e s t r u c tu r a s d is e rta d a s e n la a c tu a lid a d s o n e s t á tic a m e n te in d e t e r ­
m in a d a s. E s ta in d e te r m in a c ió n p u e d e s u r g ir c o m o r e s u lta d o d e la a rta d id u r a d e s o p o r te s o e le m e n to s , o d e b i d o a la fo r m a g e n e r a l d e la e s t r u c ­
tu r a . P o r e je m p lo , la s c o n s tr u c c io n e s d e c o n c r e to r e f o r e a d o s o n c a s i
s ie m p r e e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a s p o r q u e la s c o lu m n a s y las v ig a s
s e v a c ía n c o m o e le m e n to s c o n ti n u o s a tr a v é s d e la s j u n t a s y s o b r e lo s
so p o rte s .
3 9 6
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
Ventajas y desventajas. A u n q u e e l a n á lis is d e u n a e s t r u c tu r a
e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a e s m á s c o m p lic a d o q u e e l d e u n a e s t á t i c a ­
m e n te d e te r m i n a d a , p o r lo g e n e r a l h a y v a r ia s ra z o n e s m u y im p o r ta n te s
p a ra la e le c c ió n d e e s te tip o d e e s t r u c tu r a d u r a n t e e l d ise rto . P e r o a ú n
m á s i m p o r t a n te e s q u e , p a r a u n a c a r g a d a d a , e l e s f u e r z o m á x im o y l a d e ­
fle x ió n d e u n a e s t r u c tu r a in d e te r m in a d a s o n g e n e r a l m e n t e m á s p e ­
q u e ñ o s q u e lo s d e s u c o n t r a p a r t e e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a . ft>r e je m ­
p lo . l a v ig a f ija m e n te a p o y a d a y e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e la
fig u ra 1 0 - l a e s t a r á s o m e ti d a a u n m o m e n to m á x im o d e M mix m P I . / 8 ,
m ie n tr a s q u e la m is m a v ig a , c u a n d o e s t á s im p le m e n te a p o y a d a , fig u ra
1 0 - 1 6 .s e s o m e t e r á a d o s v e c e s e l m o m e n t o . e s d e c i r ,
= P L /4. E n
c o n s e c u e n c ia , la v ig a f ija m e n te a p o y a d a ti e n e u n c u a r t o d e la d e f le x ió n y
la m ita d d e l e s f u e r z o e n e l c e n t r o q u e la v ig a s im p le m e n te a p o y a d a .
O tr a r a z ó n im p o r ta n te p a r a s e le c c io n a r u n a e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te
in d e te r m in a d a e s q u e ti e n e u n a te n d e n c ia a r e d i s tr ib u i r s u c a rg a e n su s
s o p o r te s r e d u n d a n t e s e n la s s i tu a c io n e s d o n d e o c u r r e u n d is e rto d e f e c ­
tu o s o o s e p r e s e n ta u n a s o b r e c a r g a . E n e s t o s c a s o s , l a e s t r u c tu r a m a n ­
tie n e s u e s ta b ilid a d y s e e v it a e l c o la p s o . L o a n t e r i o r e s p a r t ic u l a r m e n t e
im p o r ta n te c u a n d o s e im p o n e n s o b r e la e s t r u c tu r a c a rg a s la t e r a l e s re ­
p e n ti n a s ,c o m o la s p r o v o c a d a s p o r e l v ie n to o lo s sism o s. P a r a il u s t r a r
e s to , c o n s i d e r e d e n u e v o la v ig a c o n u n e x tr e m o fijo d e la f ig u r a 1 0 -la .
A m e d id a q u e P a u m e n ta , e l m a te r ia l d e la v ig a e m p ie z a a c e d e r e n su s
p a r e d e s y e n s u c e n tr o f o r m a n d o “ a r tic u la c io n e s p lá s tic a s " lo c a liz a d a s ,
la s c u a le s h a c e n q u e la v ig a s e d e f o r m e , c o m o si e s tu v ie r a c o n e c t a d a m e ­
d ia n te b is a g ra s o p a s a d o r e s e n e s t o s p u n to s . A u n q u e la d e f le x ió n s e h a g a
g r a n d e , la s p a r e d e s d e s a r r o ll a r á n f u e r z a s h o r iz o n ta le s y r e a c c io n e s d e
m o m e n to q u e p o d r á n s o s te n e r la v ig a y a s í e v it a r q u e s e c o la p s e p o r
c o m p le to . E n e l c a s o d e l a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a d e la fig u ra 10 -1 6 ,
u n a c a r g a P e x c e siv a h a r á q u e la “ a rtic u la c ió n p lá s tic a " s e f o r m e s ó l o e n
e l c e n t r o d e la v ig a y, d e b i d o a la g r a n d e f o r m a c ió n v e rtic a l, lo s s o p o r te s
n o d e s a r r o ll a r á n n in g u n a f u e r z a h o r iz o n ta l n i r e a c c io n e s d e m o m e n to
q u e p u d ie r a n s e r n e c e s a r ia s p a r a e v it a r u n c o la p s o to ta l.
A u n q u e la s e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s p u e d e n s o p o r ­
t a r u n a c a rg a c o n e le m e n to s m á s d e lg a d o s y ti e n e n m a y o r e s t a b ilid a d e n
c o m p a r a c ió n c o n s u s c o n tr a p a r t e s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d a s , h a y
c a so s e n lo s q u e , p o r e l c o n tr a r io , e s t a s v e n ta ja s p u e d e n c o n v e r tir s e e n
d e s v e n ta ja s . E l a h o r r o d e c o s to s e n m a t e r i a l d e b e c o m p a r a r s e c o n el
c o s to a d ic io n a l n e c e s a r io p a r a f a b r ic a r la e s tr u c tu r a , p u e s to q u e e n
m u c h a s o c a s io n e s la c o n s tr u c c ió n d e lo s s o p o r te s y la s ju n t a s d e u n a e s ­
tr u c tu r a in d e te r m in a d a e s m á s c o s to s a q u e la d e u n a d e te r m i n a d a . S in
e m b a r g o , m á s im p o r ta n te a ú n e s q u e la s e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e ­
te r m in a d a s t i e n e n r e a c c io n e s r e d u n d a n t e s e n lo s s o p o r te s , e s n e c e s a r io
te n e r m u c h o c u id a d o p a r a e v i t a r e l d e s p la z a m ie n to d if e r e n c ia l d e lo s s o ­
p o rte s . y a q u e e s t e e f e c to in tr o d u c e e s f u e r z o s in t e r n o s e n la e s tr u c tu r a .
I \ ) r e je m p lo , s e a ju s ta r a s i la p a r e d u b ic a d a e n u n e x tr e m o d e la v ig a fija
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 - l a , s e d e s a r r o ll a r í a u n e s f u e r z o e n la v ig a
d e b id o a e s t a d e f o r m a c ió n “ o b lig a d a " . P o r o t r a p a r t e , s i la v ig a e s tu v ie r a
s im p le m e n te a p o y a d a o e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a , fig u ra 1 0 - 1 6 , e n t o n ­
c e s c u a lq u ie r a ju s te d e s u e x tr e m o n o o c a s io n a r ía u n a d e f o r m a c ió n d e la
v ig a y, p o r lo ta n t o , n o s e d e s a r r o ll a r á e s f u e r z o e n la v ig a . E n to n c e s , e n
g e n e r a l , c u a lq u ie r d e f o r m a c ió n c o m o la c a u s a d a p o r e l d e s p la z a m ie n to
re la tiv o d e u n s o p o r te o lo s c a m b io s e n la lo n g itu d d e lo s e le m e n to s p o r
e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n o c a m b io s d e te m p e r a t u r a , in tr o d u c e e s f u e rz o s
a d ic io n a le s e n la e s t r u c tu r a , lo s c u a le s d e b e n s e r c o n s id e r a d o s e n e l d i ­
s e rto d e e s t r u c tu r a s in d e te r m in a d a s .
1 0 .1
E s t r u c t u r a s e s t á t ic a m e n t e in d e t e r m in a d a s
P
p
(a)
(b)
Figura 10-1
M é to d o s d e análisis.
A l a n a liz a r c u a lq u ie r e s t r u c tu r a in d e t e r m i­
n a d a e s n e c e s a r io s a tis f a c e r lo s r e q u i s it o s d e e q u ilib r io ,c o m p a tib ilid a d y
fu e r z a -d e s p la z a m ie n to p a r a la e s tr u c tu r a . E l e q u ilib r io s e s a tis fa c e c u a n d o
las f u e r z a s d e re a c c ió n m a n t ie n e n la e s t r u c tu r a e n r e p o s o y la c o m p a tib i­
li d a d s e c u m p le c u a n d o lo s d if e r e n t e s s e g m e n to s d e la e s t r u c tu r a s e a ju s ­
ta n s in in t e r r u p c io n e s o tr a s la p e s in te n c io n a le s . L o s r e q u is ito s d e fu e r z a d e s p la z a m ie n to d e p e n d e r á n d e la f o r m a e n q u e r e s p o n d a e l m a te r ia l; e n
e s te te x t o s e h a s u p u e s to u n a r e s p u e s ta e lá s tic a lin e a l. E n g e n e r a l, h a y
d o s m a n e r a s d if e r e n t e s d e s a tis f a c e r e s to s r e q u is ito s c u a n d o s e a n a liz a
u n a e s t r u c tu r a e s t á ti c a m e n t e in d e t e r m in a d a : e l m é to d o d e la f u e r z a o de
la fle x ib ilid a d y e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to o de la rig id e z .
M é to d o de la fuerza.
O r ig in a lm e n te , J a m e s C le r k M a x w e ll d e s a ­
rr o lló e n 1864 e l m é to d o d e la f u e r z a y p o s t e r io r m e n t e f u e r e f in a d o p o r
O tto M o h r y H e in r ic h M ü lle r-B re s la u . E s te m é to d o f u e u n o d e lo s p r i ­
m e r o s q u e e x is tió p a r a e l a n á lis is d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e t e r ­
m in a d a s . C o m o la c o m p a tib ilid a d f o r m a la b a s e d e e s t e m é to d o , e n o c a ­
s io n e s s e le h a lla m a d o e l m é to d o d e la c o m p a tib ilid a d o e l m é to d o d e lo s
d e s p la z a m ie n to s c o n s is te n te s . E s te m é t o d o c o n s is te e n e s c r ib ir la s e c u a ­
c io n e s q u e s a tis f a c e n lo s re q u isito s d e c o m p a tib ilid a d y d e fu e r z a - d e s p la ­
z a m ie n to p a ra la e s t r u c tu r a c o n e l f i n d e d e t e r m i n a r la s fu e r z a s r e d u n ­
d a n te s . U n a v e z q u e se h a n d e te r m i n a d o e s t a s f u e r z a s .s e c a lc u la e l r e s to
d e la s fu e r z a s d e re a c c ió n s o b r e l a e s tr u c tu r a m e d ia n te e l c u m p lim ie n to de
lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io . L o s p rin c ip io s f u n d a m e n ta l e s in v o lu c ra d o s
e n la a p lic a c ió n d e e s t e m é t o d o s o n fá c ile s d e e n t e n d e r y d e s a r r o ll a r , y se
e s t u d ia r á n e n e s te c a p ítu lo .
M é to d o del desplazam iento.
E s te m é to d o s e b a s a e n e s c r ib ir
p r im e r o la s re la c io n e s d e f u e r z a - d e s p la z a m ie n to p a r a lo s e le m e n to s ,
p a ra lu e g o s a tis f a c e r lo s re q u isito s d e e q u ilib r io efe la e s t r u c tu r a . E n e s te
c a s o la s in c ó g n ita s e n la s e c u a c io n e s s o n d e s p la z a m ie n to s . U n a v e z q u e
s e h a n o b te n i d o lo s d e s p la z a m ie n to s , la s fu e r z a s se d e t e r m i n a n a p a r t i r
d e la s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d y d e fu e r z a - d e s p la z a m ie n to . E n lo s
c a p ítu lo s 11 y 1 2 s e e s t u d ia r á n a lg u n a s d e la s té c n ic a s c lá s ic a s q u e se u ti­
liz a n p a r a a p lic a r e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to . D e b id o a q u e e n la a c ­
tu a lid a d c a s i to d o e l s o f tw a r e p a r a e l a n á lis is e s t r u c tu r a l s e d e s a r r o lla
iB a n d o e s t e m é to d o , e n lo s c a p ítu lo s 1 4 ,1 5 y 16 s e p r e s e n ta r á u n a f o r m u ­
la c ió n d e l a m a tr iz d e l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to .
C a d a u n o d e e s t o s d o s m é to d o s d e a n á lis is , q u e s e d e lin e a n e n la fig u ra
10-2 , ti e n e s u s v e n ta j a s y d e s v e n ta ja s p a r tic u la r e s , d e p e n d ie n d o d e la
g e o m e tr ía d e la e s t r u c tu r a y d e s u g r a d o d e in d e te r m in a c ió n . A l t e r m i n a r
la p r e s e n ta c ió n d e lo s m é to d o s , s e d a r á u n a e x p lic a c ió n s o b r e la u tilid a d
d e c a d a u n o d e e llo s.
3 9 7
3 9 8
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
Incógnitas
p o r
...
E c u a c io n es usad as
p a r a la solución
C oeficientes d e
la s incógnitas
M éto d o d e la fuerza
F u e rz a s
C o m p a tib ilid a d y
fu e r/a -d c sp la /ít m íenlo
C o efic ien te s d e
flexibilidad
M é to d o del
d c sp L u am ien to
desplaza m íen los
E q u ilib rio y
fu erza-desplazam iento
C o e f ic ie n te d e rigidez
H g u ra i0 -2
1 0 .2
M é to d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
P ro c e d im ie n to g e n e ra l
T a l v e z la m e j o r m a n e r a d e il u s t r a r lo s p rin c ip io s in v o lu c r a d o s e n e l m é ­
to d o d e a n á lis is d e la f u e r z a s e a c o n s id e r a r la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la
fig u ra 10-3a. S i s e d ib u ja r a s u d ia g r a m a d e c u e r p o lib re , h a b r í a c u a tr o
r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s e n lo s s o p o r te s ; y c o m o s e p u e d e d is p o n e r d e
tr e s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a o b t e n e r u n a s o lu c ió n , la v ig a e s i n d e ­
te r m in a d a d e p rim e r g ra d o . ft>r lo ta n to .s e r e q u ie r e u n a e c u a c ió n a d ic io n al
p a ra la s o lu c ió n . C o n e l fin d e o b t e n e r e s t a e c u a c ió n s e u s a r á e l p rin c ip io
d e s u p e r p o s ic ió n y s e c o n s i d e r a r á la c o m p a tib ilid a d d e l d e s p la z a m ie n to
e n u n o d e lo s s o p o r t e s E s to s e h a c e a l e le g ir u n a d e la s re a c c io n e s e n lo s
s o p o r te s c o m o “ r e d u n d a n t e " y a l e li m i n a r te m p o r a lm e n te s u e fe c to
s o b r e la v ig a d e m a n e r a q u e é s t a s e v u e lv a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a y
e s ta b le . E s ta v ig a s e c o n o c e c o m o la e stru c tu ra p r im a r ia . A q u í s e e lim i­
n a rá la a c c ió n d e re s tric c ió n d e l o s c ila d o r e n B . C o m o r e s u lta d o , la c a rg a
F h a rá q u e B q u e s e d e s p la c e h a c ia a b a jo e n u n a c a n ti d a d A ,,, c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 10-3¿>. S in e m b a r g o , p o r s u p e r p o s ic ió n , la r e a c c ió n
d e s c o n o c id a e n B . e s d e c i r , Br h a c e q u e la v ig a e n B se d e s p la c e & ' BR
h a c ia a r r i b a , fig u ra 1 0 -3 c . A q u í, la p r i m e r a lite r a l d e e s ta n o ta c ió n d e
d o b le s u b í n d ic e s e r e f ie r e a l p u n t o ( B ) d o n d e s e e s p e c ific a la d e f le x ió n , y
la s e g u n d a lite r a l s e r e f ie r e al p u n t o ( B ) d o n d e a c t ú a la r e a c c ió n d e s c o ­
n o c id a . Si s e s u p o n e q u e lo s d e s p la z a m ie n to s p o s itiv o s a c tú a n h a c ia
a r r ib a , e n to n c e s , a p a r t i r d e las f ig u r a s 10-3<r a 1 0 -3 c .e s p o s ib le e s c r ib ir la
e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d n e c e s a r ia e n e l o s c ila d o r c o m o
v ig a r e a l
(a )
e s tr u c t u r a p r im a r ia
(+t)
<b)
10
a a ~ B yf BB |
r e d u n d a n te B , a p lic a d a
H guni 10-3
A h o r a s e in d ic a rá el d e s p la z a m ie n to e n B c a u s a d o p o r u n a c a rg a u n i ­
ta ria q u e a c tú a e n la d ir e c c ió n d e
c o m o e l c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d li­
n e a l f RR. fig u ra 10 -3 d . S i s e e m p le a e l m is m o e s q u e m a a n t e r i o r p a r a e s ta
n o ta c ió n d e d o b le s u b ín d ic e , f RR e s la d e f le x ió n e n B c a u s a d a p o r u n a
c a r g a u n it a r i a e n B . C o m o e l m a t e r i a l s e c o m p o r ta d e u n a m a n e r a lin e a le lá s tic a , u n a f u e r z a B ^ q u e a c t ú a e n B . e n v e z d e la c a r g a u n ita r ia , c a u ­
s a r á u n i n c r e m e n t o p r o p o r c io n a l e n f RR. P o r lo ta n to , e s p o s ib le e s c r ib ir
A*
(c)
(d)
o = -Afl + ágg
t
r u .
B
C u a n d o s e e s c r ib e e n e s te f o r m a to , p u e d e v e rs e
x ib ilid a d lin e a l f RR e s u n a m e d id a d e la d e fle x ió n
lo q u e s u s u n id a d e s s o n m /N . p i e / b . e tc é te r a .
d e c o m p a tib ilid a d a n t e r i o r p u e d e e s c r ib ir s e e n
B y com o
0 = - A f l + fly/ i
q u e e l c o e f ic ie n te d e f le ­
p o r u n id a d d e fu e r z a , p o r
Ptor lo ta n t o , la e c u a c ió n
té r m in o s d e l a in c ó g n ita
10 2
M f r o o o DE ANÁLISIS DE LA FUERZA:
P R O C E D IM IE N T O G ENERAL
3 9 9
Si s e e m p l e a n lo s m é to d o s d e lo s c a p ít u lo s 8 o 9 , o la ta b l a d e d e fle x io n e s
q u e s e e n c u e n t r a d e tr á s d e la p o r t a d a d e l lib ro , e s p o s ib le o b t e n e r la s r e ­
la c io n e s a d e c u a d a s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to p a r a l a d e f le x ió n A fl, fig u ra
10-3¿>,y e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d / b b . fig u ra 10-3*/; a s im is m o p u e d e
d e te r m in a r s e la s o lu c ió n p a r a # y, e s d e c i r , B y = A b / Í b b - U n a v e z h e c h o
e s t o .s e p u e d e n e n c o n t r a r las tr e s r e a c c io n e s e n la p a r e d A a p a r t i r d e la s
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
C o m o s e in d ic ó a n te r io r m e n te , la e le c c ió n d e la r e d u n d a n t e e s a rb itra ­
ria. P o r e je m p lo , e l m o m e n to e n A , fig u ra l0 - 4 a , p u e d e d e te r m i n a r s e d i­
re c ta m e n te a l e lim in a r la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a s o p o r ta r u n m o m e n to
e n A , e s d e c ir , a l s u s tit u ir e l s o p o r te fijo p o r u n p a s a d o r . C o m o s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra 10-4¿>, la r o ta c ió n e n A o c a s io n a d a p o r l a c a rg a P e s 6A, y la
r o ta c ió n e n A c a u s a d a p o r l a r e d u n d a n t e M,* e n A e s Q 'a a , fig u ra IO-4c.
Si se d e n o t a u n c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d a n g u la r a ^ c o m o e l d e s p l a z a ­
m ie n to a n g u la r e n A c a u s a d o p o r u n m o m e n to d e p a r u n ita r io a p lic a d o
s o b r e A ,f i g u r a 1 0 - 4 J ,e n to n c e s ,
9'a a =
M Aa AA
R>r lo ta n t o , e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d a n g u l a r m id e e l d e s p la z a ­
m ie n to a n g u la r p o r u n id a d d e m o m e n to p a r . y p o r lo ta n t o ti e n e u n id a ­
d e s d e r a d /N . m o d e r a d / lb • p ie, e tc é te r a . P or lo ta n to , la e c u a c ió n d e
c o m p a tib ilid a d p a r a l a r o ta c ió n e n A r e q u ie r e q u e ,
0 = 9 A + M Aa AA
(r+ )
E n e s t e c a so . M A 0 /J a M . u n v a lo r n e g a tiv o ; q u e s im p le m e n te sig n ific a
q u e M 4 a c tú a e n u n a d ir e c c ió n o p u e s ta a la d e l m o m e n to d e p a r u n ita rio .
10
' ------- - - " I M
^
° A e s tr u c t u r a p r im a r ia
, MaQaa
r e d u n d a n te
(b)
(c )
----a AA
<d)
fig u ra 10-4
- ja i
a p lic a d a
4 0 0
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
P.
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
Pj
a .1 X 1i. x viga real
(a)
P.
c.
P?
^
—
C
JM U
-■
As
V
estructura primaria
<b>
redundante B , aplicada
(c)
A'c c ^ / cc
redundante C , aplicada
(d)
F ig u ra 1 0 -5
E n la f ig u r a 10 -5 a se d a u n te r c e r e je m p lo q u e il u s t r a la a p lic a c ió n d e l
m é to d o d e la fu e r z a . A q u í la v ig a e s in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g r a d o , y
p o r lo ta n t o s e r e q u i e r e n d o s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d p a r a o b t e n e r
la s o lu c ió n . S e e le g ir á n la s f u e r e a s v e rtic a le s e n lo s s o p o r te s d e r o d illo B
y C c o m o r e d u n d a n te s . L a v ig a e s t á tic a m e n te d e te r m i n a d a r e s u lta n t e se
d e f o r m a c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -5 6 c u a n d o s e r e t i r a n la s f u e r ­
z a s r e d u n d a n te s . C a d a u n a d e e s t a s f u e r z a s , q u e s e s u p o n e a c tú a n h a c ia
a b a jo , d e f o r m a la v ig a c o m o s e m u e s tr a e n las f ig u r a s 10 -5 c y 1 0 -5 d , r e s ­
p e c tiv a m e n te . A q u í, lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d f BB y f CB se e n c u e n ­
AJ E
t r a n a p a r t i r d e u n a c a r g a u n ita r ia q u e a c tú a e n /¡ .f ig u r a 1 0 - 5 e ; y / c c y / s c
s e h a lla n a p a r t i r d e u n a c a rg a u n ita r ia q u e a c t ú a e n C , f ig u r a 1 0 - 5 / P o r
s u p e r p o s ic ió n , la s e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d p a r a l a d e f le x ió n e n R y
C s o n . r e s p e c tiv a m e n te
=5=
“
T
(C)
fCB
(+1)
.
1
B
_ £ i --------- - * Y "
Í bc
fÍC
' f)
"
( + 1)
0 = A„ + B J m + C , f BC
0 = A C + V e a + C /cc
(1 0 -1 )
U n a v ez e s ta b le c id a s la s re la c io n e s c a r g a - d e s p la z a m ie n to u tiliz a n d o lo s
m é to d o s d e lo s c a p ítu lo s 8 o 9 . s e p u e d e n r e s o lv e r s i m u ltá n e a m e n te e s ta s
e c u a c io n e s p a r a o b t e n e r las d o s fu e r z a s d e s c o n o c id a s . B y y C v.
D e s p u é s d e h a b e r ilu s tr a d o la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e a n á lis is d e la
f u e r z a m e d ia n te u n e je m p lo , a h o r a s e a n a liz a r á s u a p lic a c ió n e n té r m i ­
n o s g e n e r a le s y lu e g o s e e m p l e a r á c o m o b a s e p a r a la s o lu c ió n d e p r o b l e ­
m a s r e la c io n a d o s c o n a rm a d u r a s , v ig a s y m a rc o s . S in e m b a r g o , p a r a
to d o s e s t o s c a s o s te n g a e n c u e n ta q u e c o m o e l m é to d o d e p e n d e d e la s u ­
p e rp o s ic ió n d e d e s p la z a m ie n to s , e s n e c e s a r io q u e e l m a te ria l p e r m a n e z c a
e lá stic o lin e a l c u a n d o se s o m e te a u n a c a rg a . A d e m á s , c o n s id e r e q u e c u a l­
q u i e r c a rg a d e r e a c c ió n e x te r n a o in t e r n a e n u n p u n t o d e la e s t r u c tu r a
p u e d e d e te r m i n a r s e d ir e c ta m e n te a l l i b e r a r e n p r i m e r lu g a r la c a p a c id a d
d e la e s t r u c tu r a p a r a s o p o r ta r la c a r g a , y d e s p u é s e s c r ib ir u n a e c u a c i ó n d e
c o m p a tib ilid a d e n e l p u n to . V e a e l e je m p lo 10-4.
*1BBes la deflexión en B causada p o r una carga unitaria en B;flH es la deflexión en C cau­
sada por una carga unitaria en R.
1 0 .2
M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: P fO C E D IM lE N T O G ENERAL
P ro c e d im ie n to d e a n á lisis
E l s ig u ie n te p r o c e d i m i e n to o f r e c e u n m é to d o g e n e r a l p a r a d e te r m i n a r la s r e a c c io n e s o
c a rg a s in te r n a s d e e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s u tiliz a n d o e l m é t o d o d e
a n á lis is d e la f u e r z a o la fle x ib ilid a d .
P r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n
D e te r m in e e l n ú m e r o d e g r a d o s n e n q u e la e s t r u c tu r a e s in d e t e r m in a d a . D esp u és» e s p e ­
c ifiq u e la s n fu e r z a s o lo s n m o m e n to s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id o s q u e d e b e n r e t ir a r s e d e
la e s t r u c t u r a p a r a q u e s e a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a y e s ta b le . U tiliz a n d o e l p r in c ip io
d e s u p e r p o s ic ió n , d ib u j e la e s t r u c t u r a e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a y m u e s tr e q u e e s
ig u a l a u n a s e r ie d e e s t r u c tu r a s e s t á ti c a m e n t e d e te r m in a d a s c o r r e s p o n d ie n te s . L a e s t r u c ­
tu r a p r im a r ia s o p o r ta la s m is m a s c a r g a s e x t e r n a s q u e la e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te in d e ­
te r m i n a d a , y c a d a u n a d e la s e s t r u c tu r a s q u e se a ñ a d e n a la e s t r u c tu r a p r i m a r i a m u e s tr a
la e s t r u c tu r a c a r g a d a c o n u n a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n t e s e p a r a d o . T a m b ié n , t r a c e la
c u rv a e lá s tic a e n c a d a e s t r u c t u r a e in d iq u e s im b ó lic a m e n te e l d e s p la z a m ie n to o la r o t a ­
c ió n e n e l p u n to d e c a d a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n te .
E c u a c io n e s d e c o m p a t ib ilid a d
E s c rib a u n a e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a e l d e s p la z a m ie n to o la r o t a c ió n e n c a d a
p u n to d o n d e h a y a u n a f u e r z a o m o m e n to r e d u n d a n t e . E s ta s e c u a c io n e s d e b e n e x p r e ­
s a r s e e n té r m in o s d e las r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id a s y s u s c o r r e s p o n d ie n t e s c o e f ic ie n te s
d e fle x ib ilid a d o b te n i d o s d e la s c a r g a s o m o m e n to s d e p a r u n ita r io s q u e s o n c o lin e a le s
c o n las fu e r z a s o m o m e n to s r e d u n d a n te s .
D e te r m in e t o d a s la s d e f le x io n e s y to d o s lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d e m p l e a n d o la
ta b l a q u e a p a r e c e d e tr á s d e la p o r t a d a , o lo s m é to d o s d e lo s c a p ítu lo s 8 o 9 .* S u s titu y a
e s ta s re la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to e n las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d y r e s u e lv a
la s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c i d a s E n p a r t ic u l a r , s i e l v a lo r n u m é r ic o d e u n a r e d u n d a n t e e s
n e g a tiv o , in d ic a q u e la r e d u n d a n t e a c tú a o p u e s t a a s u f u e iz a u n it a r i a o m o m e n to u n ita r io
c o r r e s p o n d ie n te .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
D ib u je u n d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la e s t r u c tu r a . C o m o la s f u e r z a s y / o m o m e n to s r e ­
d u n d a n te s y a h a n s id o c a lc u la d o s , la s r e a c c io n e s d e s c o n o c id a s r e s ta n te s p u e d e n d e t e r m i ­
n a r s e a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io .
E s n e c e s a r io te n e r e n c u e n ta q u e u n a v ez q u e se h a y a n o b te n id o to d a s las r e a c c io n e s
e n lo s s o p o r te s , e s p o s ib le d ib u ja r lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to , a s í
c o m o d e t e r m i n a r la d e f o r m a c ió n e n c u a lq u ie r p u n to d e la e s t r u c tu r a m e d ia n te lo s
m ism o s m é to d o s d e s c r ito s a n t e r i o r m e n t e p a r a e s t r u c tu r a s e s t á tic a m e n te d e te r m in a d a s .
• S e s u g ie re q u e s i e l d ia g r a m a d e M I E I p a r a u n a v ig a c o n s is te e n s e g m e n to s sim p le s, s e u s e n lo s te o r e m a s d e l m o ir e n t o d e á r e a o e l m é to d o d e l a v ig a c o n ju g a d a . I j i « g a s c o n d ia g r a m a s M I E I c o m p lic a d o s , e s d e c ir , a q u e l la s q u e
p r e s e n ta n m u c h o s s e g m e n to s c u r v o s (p a ra b ó lic o s , c ú b ic o s, e t c é t e r a ) p u e d e n a n a liz a rs e fá c ilm e n te u tiliz a n d o e l m é ­
to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l, o e l s e g u n d o te o r e m a d e C a s tig lia n o .
401
402
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
1 0 .3
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
T e o re m a d e M a x w e ll d e lo s
d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ;
L e y d e B e tti
C u a n d o M a x w e ll d e s a r r o lló e l m é to d o d e a n á lis is d e la fu e r z a , ta m b ié n
p u b lic ó e l te o r e m a q u e re la c io n a lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d d e c u a l ­
q u ie r a d e lo s d o s p u n to s e n u n a e s t r u c t u r a e lá s tic a , y a s e a u n a a r m a d u r a ,
u n a v ig a o u n m a rc o . E s te te o r e m a s e c o n o c e c o m o e l te o r e m a d e lo s
d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s y p u e d e e n u n c ia r s e c o m o s ig u e : E l d e s p la z a ­
m ie n to d e u n p u n to f l e n u n a e stru c tu r a d e b id o a u n a c a rg a u n ita r ia q u e
a c tú a e n e l p u n to A e s ig u a l a l d e s p la z a m ie n to d e l p u n to A c u a n d o la
c a rg a u n ita r ia a c tú a e n e l p u n t o B, e s d ec ir, /& * = f AR.
L a c o m p r o b a c ió n d e e s t e te o r e m a p u e d e r e a liz a r s e fá c ilm e n te m e ­
d ia n te e l p r in c ip io d e l t r a b a j o v ir tu a l. P o r e je m p lo , c o n s id e r e la v ig a d e la
fig u ra 10-6. C u a n d o u n a c a rg a u n it a r i a re a l a c tú a e n A ,s u p o n g a q u e lo s
m o m e n to s in te r n o s e n la v ig a e s t á n r e p r e s e n ta d o s p o r m A . P a r a d e t e r m i ­
n a r e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d e n f l . e s d e c ir . f fíA, s e c o lo c a u n a c a rg a
v ir tu a l u n it a r i a e n f l.f ig u r a 10-7, y se c a lc u la n lo s m o m e n to s in t e r n o s m fí.
E n to n c e s , a l a p lic a r la e c u a c ió n 9 -1 8 s e o b tie n e
/ m Rm A
ÍB Á -
) ~ ¿ F dx
D e l m is m o m o d o , si d e b e d e te r m in a r s e e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d f AR
c u a n d o u n a c a rg a u n it a r i a r e a l a c tú a e n fl. fig u ra 10-7. e n to n c e s m R r e ­
p r e s e n ta lo s m o m e n to s in te r n o s e n la v ig a d e b id o a u n a c a r g a u n ita r ia
re a l. P o r o t r a p a r t e , m A r e p r e s e n ta lo s m o m e n to s in te r n o s d e b id o s a u n a
c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e n A ,f i g u r a 10-6. P b r lo ta n to .
( m Am R
- J ~ e T íx
1
1
10
-ü
- - '- ',
;
_________
ÍBA
H g u ra
10-6
1
H g u ra 10-7
1 0 -4
M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A PUER ZA: V lG A S
P or s u p u e s to , a m b a s in te g r a le s d a n e l m is m o r e s u lta d o , lo q u e d e m u e s tr a
e l te o r e m a , e l c u a l ta m b ié n se a p lic a e n la s r o t a c io n e s re c íp ro c a s , y p u e d e
e n u n c ia r s e c o m o s ig u e : L a r o ta c ió n en e l p u n t o B d e u n a e s tr u c tu r a d e ­
b id a a l m o m e n to d e p a r u n ita r io q u e a c tú a en el p u n to A e s ig u a l a la r o ­
ta c ió n en e l p u n to A , c u a n d o e l m o m e n to d e p a r u n ita rio a c tú a e n e l p u n to B.
ft>r o t r a p a r t e , s i s e u s a u n a fu e iz .a u n it a r i a y u n m o m e n to c o n c e n t r a d o
u n ita rio , a p lic a d o s e n p u n to s s e p a r a d o s d e la e s t r u c tu r a , ta m b ié n se
p u e d e e s t a b le c e r q u e : h r o ta c ió n e n ra d ia n e s e n e l p u n to B d e u n a e stru c ­
tu ra d e b id a a u n a c a rg a u n ita ria q u e a c tú a en la ju n ta A e s ig u a l a l d e s p la ­
z a m ie n to en e l p u n t o A , c u a n d o u n m o m e n t o c o n c e n tr a d o u n ita rio a c tú a
en e l p u n to B.
C o m o c o n s e c u e n c ia d e e s te te o r e m a , e s p o s ib le a h o r r a r s e a lg u n o s t r a ­
b a jo s a l a p lic a r e l m é to d o d e la f u e r z a a lo s p r o b l e m a s q u e s o n e s t á tic a ­
m e n te in d e te r m in a d o s d e s e g u n d o g r a d o o d e u n g r a d o s u p e r io r . P o r
e je m p lo , e n la s e c u a c io n e s 10-1 s ó l o d e b e c a lc u la r s e u n o d e lo s d o s c o e f i­
c ie n te s d e fle x ib ilid a d f BC o f CB, p u e s t o q u e f BC = f CB. P o r o t r a p a r t e , e l
te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ti e n e a p lic a c io n e s e n e l a n á ­
lisis d e m o d e lo s e s t r u c tu r a le s y e n la c o n s tru c c ió n d e lín e a s d e in f lu e n c ia
c o n e l p rin c ip io d e M ü lle r- B r e s la u ( v e a l a s e c c ió n 10-10).
C u a n d o e l te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s r e c íp r o c o s s e f o r m a liz a e n
u n s e n t id o m ás g e n e r a l , se c o n o c e c o m o la ley d e B e tti. D ic h o b r e v e ­
m e n te : E l t r a b a j o v ir tu a l 8 U AB re a liz a d o p o r u n s i s te m a d e fu e r z a s S P „
q u e e x p e r im e n ta n u n d e s p la z a m ie n to c a u s a d o p o r u n s is te m a d e fu e r z a s
2 P ,< e s ig u a l a l tr a b a jo v ir tu a l b U n * c a u s a d o p o r la s fu e r z a s Z P A c u a n d o
la e s tr u c tu r a s e d e f o r m a d e b i d o a l s is te m a d e fu e r z a s d e S P fl. E n o tr a s
p a la b ra s , 8 UAB = 8 U ¡ h . L a c o m p r o b a c ió n d e e s te e n u n c ia d o e s s im ila r a
la d a d a a n te r io r m e n te p a r a e l te o r e m a d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s .
1 0 .4
M é to d o d e análisis d e la fuerza: Vigas
E l m é to d o d e la f u e r z a a p lic a d o a las v ig a s s e d e s c r ib ió d e m a n e r a g e n e ­
ra l e n la se c c ió n 10-2. U til iz a n d o e l “ p r o c e d i m i e n to d e a n á lis is " q u e t a m ­
b ié n s e v io e n e s a m ism a s e c c ió n , s e p r e s e n ta n a h o r a v a rio s e je m p lo s q u e
ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t a té c n ic a .
Estas trabes de puente son estáticam ente indeterminadas
puesto que son continuas sobre sus pilares.
4 0 3
4 0 4
C
a p i t u l o
E JE M P L O
1 0
A
n á l i s i s
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t i c a m e n t e
i n d e t e r m i n a d a s
p o r
...
1 0 .1
D e te r m in e la r e a c c ió n e n e l s o p o r te d e r o d illo B d e l a v ig a q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 -8 a . E l e s c o n s ta n te .
50 kN
+
Oc
7
estructura primaría
redundante B, aplicada
(b)
Figura 10-8
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . P b r in s p e c c ió n , la v ig a e s e s tá tic a ­
m e n te in d e t e r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . L a r e d u n d a n t e s e to m a r á
c o m o B v d e m o d o q u e e s ta f u e r z a p u e d a d e t e r m i n a r s e d ir e c ta m e n te .
E n la fig u ra 1 0 -8 6 s e m u e s tr a la a p lic a c ió n d e l p rin c ip io d e s u p e r p o s i­
c ió n . O b s e r v e q u e la r e m o c ió n d e l a r e d u n d a n t e r e q u i e r e q u e se r e tir e
e l s o p o r te d e r o d illo o la a c c ió n r e s tr ic tiv a d e la v ig a e n la d ir e c c ió n d e
B v. A q u í s e h a s u p u e s to q u e B,. a c tú a h a c ia a r r ib a s o b r e l a viga.
E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . Si s e to m a e l d e s p la z a m ie n to p o sit i v o c o m o d ir ig id o h a d a a r r ib a , fig u ra 1 0 -8 6 , se ti e n e
0 = - A f l + B yf BR
:+t>
( 1)
L o s t é r m i n o s An y f fíR s e o b ti e n e n f á c ilm e n te u s a n d o la ta b la d e la
p o r ta d a in te r io r . E n p a r t ic u l a r , o b s e r v e q u e A fl ■ Ac + 9 ({ 6 m ) P o r lo
ta n to ,
P ( L /2 )3
A» =
P { L f2 ?
+
3E l
2EI
(!)
(5 0 k N )(6 m )3 . (5 0 k N )(6 m )J „
34.4 kN
(t
112 kN-m |
+ --------------
50 kN
6m
1.
2E l
3E7
_ í_
.
6m
i
-|
15.6 kN
f “
~ 3E l
(6m,
1 (1 2 m ) 3
576 m3
3E l
El
.
9000 k N - m 1
El
i
t
A l s u s titu ir e s to s r e s u lta d o s e n la e c u a c i ó n ( 1 ) r e s u lta
(c)
T)
M (kN m )
93.8
327
-112
(d)
0=
+ ^ '( e / )
By = 15,6 kN
Resp'
S i e s ta r e a c c ió n s e c o lo c a s o b r e e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a ,
la s r e a e d o n e s e n A p u e d e n o b t e n e r s e a p a r t i r d e la s t r e s e c u a c io n e s
d e e q u ilib r io , fig u ra 1 0 -8c.
D e s p u é s d e h a b e r d e t e r m i n a d o t o d a s la s r e a c c io n e s , p u e d e c o n s ­
tr u ir s e e l d ia g r a m a d e m o m e n to c o m o se m u e s tra e n la fig u ra 10 -8 d .
1 0 -4
M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A PUER ZA: V lG A S
H ld fllJM IM U
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -9 a . E l s o p o r te e n B se a s i e n ta 1.5 p u lg .
C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k s i, / = 7 5 0 p u lg 4.
20 k
=
A
Í
R
- - “ Ev ' - ' A'a* - V *
A»
c s l r u d u r a p rim a rla
r e d u n d a n te ; B , a p lic a d a
(a )
(b )
F igura 10-9
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n .
P b r in s p e c c ió n . la v ig a e s in d e t e r m i­
n a d a d e p r i m e r g r a d o . S e e le g i r á e l s o p o r te c e n t r a l B c o m o r e d u n ­
d a n te , d e m a n e r a q u e s e e lim in a e l r o d i ll o e n B , fig u ra 10-9/>. A q u í se
s u p o n e q u e B. a c tú a h a c ia a b a jo s o b r e l a viga.
E c u a c ió n d e c o m p a t ib ilid a d . C o n r e f e r e n c ia a l p u n t o B d e la fi­
g u r a 1 0 -9 6 , u s a n d o u n id a d e s e n p u lg a d a s , se r e q u i e r e
+ 1)
1.5
( 1)
p u lg = A fl + B y f bb
S e u tiliz a rá la ta b l a d e la p o r ta d a in te r io r . O b s e r v e q u e p a r a A „ la e c u a d ó n d e la c u r v a d e d e f le x ió n r e q u i e r e q u e 0 < x < a . C o m o x = 24
pies, e n to n c e s a - 3 6 p ies. P b r lo ta n to .
A fl
2 0 (1 2 ) (2 4 )
Pbx
[( 4 8 ) 2 - ( 1 2 ) 2 -
(L 2 - b 2 - / '
6L E r
'
(2 4 )2]
6 (4 8 )£ 7
3 1 ,6 8 0 k - p i e 3
El
f BB
PL?
1 (4 8 )3
2 3 0 4 k - p ie 3
4S E 1
AS E l
El
A l s u s titu ir e s to s v a lo r e s e n la e c u a c ió n ( l ) , s e o b ti e n e
1.5
p u lg ( 2 9 ( 1 0 3) k/pulg^JCTSO p u lg 4)
= 3 1 .6 8 0 k • p ie 3( 12 p u lg /p ie ) 3 + f l ,( 2 3 0 4 k - p ie 3) (1 2 p u lg / p ie ) 3
By = - 5 .5 6 k
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e B v a c tú a h a d a a r r ib a s o b r e la v ig a .
4 0 6
C a p it u l o
EJEM PLO
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
1 0 .2 (C o n tin u a c ió n )
E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . A p a r tir d e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 10 -9 c * ti e n e
i+
2 M
a =
0;
-2 0 (1 2 ) +
5 .5 6 (2 4 ) + C y(4 8 ) = 0
C y = Z22 k
A y - 2 0 + 5 .5 6 + 2 .2 2 = 0
+ f 2 F y - 0;
A y = 12.22 k
C o n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , v e rifiq u e lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ­
ta n t e y d e m o m e n to q u e s e m u e s tr a n e n la f ig u r a I0 -9 d .
20 k
A
C
2 4 p iC 5
A , = 1222 k
5 .5 6 k
í
C, = 222 k
(c )
V
k)
1222
* (p ie s )
-2 2 2
•7.7 8
A f(k p ic )
146.7
53J
x ( p ie s )
12
24
(d)
1 0 -4
M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A PUER ZA: V lG A S
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a l a v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra l ü - l ü a . E l e s c o n s ta n te . I g n o r e lo s e f e c to s
d e la c a rg a a x ia l.
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . C o m o la c a rg a a x ia l e s in s ig n ific a n te ,
la v ig a e s in d e te r m in a d a d e s e g u n d o g ra d o . L o s d o s m o m e n to s e n lo s
e x tr e m o s A y B se c o n s i d e r a r á n c o m o lo s r e d u n d a n t e s . L a c a p a c id a d
d e la v ig a p a r a re s is tir e s to s m o m e n to s s e e lim in a a l c o lo c a r u n p a s a ­
d o r e n A y u n o s c ila d o r e n B . E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a
la v ig a s e m u e s tr a e n la fig u ra 10- 10/».
E c u a c io n e s d a c o m p a tib ilid a d .
fig u ra 1 0 -1 0 6 ,r e q u i e r e q u e
La r e f e r e n c ia a lo s p u n to s A y B .
(r+)
0 =
BA + M
M „ a AB
O)
tt+)
0 =
eB + MAaBA + M bobb
(2 )
a0 a a
+
v ig a re a l
II
e s tr u c tu r a p r im a r ia
+
Oa a - M a« a a
0 ha ~ M a " ha
m o m e n to re d u n d a n te M * a p lic a d o
4 ¡B C -----o’AH “
-W H»A«
0’BH - M b°HB
m o m e n to r e d u n d a n t e M 0 a p lic a d o
(b)
fig u ra 10-10
4 0 7
4 0 8
C a p itu lo
10
A n á lis is
de
e s tru c tu ra s
e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s
p o r...
L a s p e n d ie n te s y lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d a n g u la r n e c e s a r io s
p u e d e n d e te r m i n a r s e u s a n d o la ta b la q u e s e e n c u e n t r a d e tr á s d e la
p o r ta d a . S e ti e n e
3 wL?
A
128E l
~
lw Q
3 (2 X 2 0 )*
375
128É7
E l
7 (2 )(2 0 )J
B ~ 384E l ~
384£7
2 9 1 .7
"
El
M L = 1 (2 0 ) = ^ 6 7
0,4,4
3E l
M L
a/fB
° AB
3E l
El
1 (2 0 ) = 6 ^ 7
3EI
3E l
El
,ML a
= 252
° 6E l " 6EI
"
El
O b s e r v e q u e Qra = a An, e s c o n s e c u e n c ia d e l te o r e m a d e M a x w e ll d e
lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s .
Si se s u s titu y e n lo s d a t o s e n la s e c u a c io n e s ( 1 ) y ( 2 ) r e s u lta
A l c a n c e l a r E ! y r e s o lv e r e s t a s e c u a c io n e s s im u ltá n e a m e n te , s e o b ­
tie n e
M A = - 4 5 . 8 k • p ie
M B = - 2 0 . 8 k • p ie
C o n e s to s r e s u lta d o s p u e d e n c a lc u la r s e la s f u e r z a s c o r t a n te s e n lo s e x ­
tr e m o s , fig u ra 10-10 c , y g ra f ic a rs e lo s d ia g r a m a s d e c o r t a n t e y d e m o ­
m e n to .
/
1 0 -4
EJEMPLO
M É T O D O D E A N Á L IS S D E L A PUER ZA: V lG A S
1 0 .4
D e te r m in e la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n
la fig u ra 10-1 la . E l e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n .
P o r in s p e c c ió n , la v ig a e s in d e t e r m i­
n a d a d e p r i m e r g ra d o . A q u í, c o n fin e s ilu s tra tiv o s , s e e le g irá e l m o ­
m e n to in t e r n o e n e l s o p o r te B c o m o l a r e d u n d a n t e . E n c o n s e c u e n c ia ,
b v ig a s e c o r ta y se c o lo c a n p a s a d o r e s e x tr e m o s o u n a b is a g ra e n B a
fin d e l i b e r a r s ó lo la c a p a c id a d d e l a v ig a p a r a re s is tir m o m e n to s e n
e s te p u n to , fig u ra 10-1 I b . E l m o m e n to in t e r n o e n B se a p lic a a la v ig a
e n la fig u ra 1 0 - 11c.
E cu a cio n e s d e c o m p a tib ilid a d . A p a r t i r d e la fig u ra 10-1 l a se r e ­
q u ie r e q u e l a r o t a c ió n r e la tiv a d e u n e x tr e m o d e u n a v ig a c o n r e s ­
p e c to a l e x tr e m o d e la o t r a v ig a s e a ig u a l a c e r o .e s d e c ir .
<r+)
e B
+
= 0
M B °B B
donde
eB = e'B + o"B
° BB
=
°B B
+
° BB
5001b
120 Ib /p ie
12 p ie s -
| - 5 p ie s | 5 p ie s —|
v ig a re a l
(a)
II
120 Ib /p ie
. 8 'b
s » lb
estructura primaria
(b )
+
Ma
Ma
m o m e n to r e d u n d a n te M B a p lic a d o
(c)
Figura 10-11
4 0 9
4 1 0
C a p it u l o
EJEM PLO
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
1 0.4 (C ontinuación)
L a s p e n d ie n t e s y lo s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d a n g u la r e s p u e d e n
d e te r m in a r s e a p a r t i r d e la ta b l a q u e s e p r e s e n ta d e tr á s d e la p o r t a d a ,
e s d e c ir .
< *BB =
120( 1 2 )3
8 6 4 0 Ib - p ie 3
24E l
24EI
El
PL2
5 0 0 (1 0 )2
3125 I b - p i e 2
16E l
16 E l
El
ML
1 (1 2 )
4 p ie s
3EI
3El
El
ML
1( 10)
3.33 p ie s
3E l
3E l
El
A sí
8 6 4 0 I b - p i e 2 , 3 1 2 5 I b - p ie 2
• + ------------ 77Z----------El
El
+
/ 4 p ie s
M ,
° \ El
3 3 3 p ie s \
V
El
)
M B = - 1 6 0 4 Ib - p ie
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a q u e M B a c tú a e n la d ir e c c ió n o p u e s t a a la
q u e s e m u e s tr a e n l a fig u ra 1 0 -11c. U tiliz a n d o e s t e r e s u lta d o .s e c a lc u ­
la n la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s c o m o s e m u e s tra e n la fig u ra 10- l i d .
A d e m á s , lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r ta n te y d e m o m e n to s o n c o m o se
m u e s tr a e n la fig u ra 10-1 le .
5001b
1 6 0 4 Ib -p ie
16 0 4 Ib-pie
c|T
8541b
5 8 6 Ib
P
854
<54 Ib 1 4 1 0 1 b
: M
4101b
=
¡
12641b
1
8 9 .6 Ib
D
C
(d)
M (I b -p ie )
- x (p ie s )
<e>
1 0 .5
1 0 .5
M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S
M é to d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
M a rc o s
E l m é to d o d e la f u e r z a e s m u y ú til p a r a r e s o lv e r p r o b l e m a s r e la c io n a d o s
c o n m a r c o s e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d o s q u e ti e n e n u n s o lo n iv e l y u n a
g e o m e tr ía in u s u a l, c o m o lo s b a s tid o r e s d e d o s a g u a s. L o s p r o b l e m a s q u e
in v o lu c ra n m a r c o s c o n v a rio s n iv e le s, o a q u e llo s q u e p r e s e n ta n u n a lto
g r a d o d e in d e te r m in a c ió n , s e re s u e lv e n d e m e jo r m a n e r a m e d ia n te lo s
m é to d o s d e p e n d ie n t e - d e f le x ió n ,d e la d is tr ib u c ió n d e l m o m e n to .o d e la
rig id e z q u e s e a n a liz a rá n e n c a p ítu lo s p o s te rio r e s .
I-os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la s a p lic a c io n e s d e l m é to d o d e la
fu e rz a u s a n d o e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la s e c c ió n 10-2.
E JE M P L O
1 0 .5
E l m a r c o , o c a b a lle te , q u e s e m u e s tr a e n la fo to g ra fía s e u s a p a r a s o ­
p o r t a r la c u b ie r ta d e l p u e n te . S i s e s u p o n e q u e E l e s c o n s ta n te , se
p u e d e p r e s e n t a r u n d ib u jo d e l m a r c o j u n t o c o n s u s d im e n s io n e s y la
c a rg a a p lic a d a , fig u ra 1 0 -1 2 a. D e te r m in e la s re a c c io n e s e n lo s s o p o rte s .
4 0 k N /m
(a)
Figura 10-12
S O L U C IÓ N
P r i n c ip i o d e s u p e r p o s i c i ó n . ft>r in s p e c c ió n , e l m a r c o e s e s t á tic a ­
m e n te in d e t e r m in a d o d e p r i m e r g ra d o . S e e le g i r á la r e a c c ió n h o r iz o n ­
tal e n A c o m o r e d u n d a n te . E n c o n s e c u e n c ia ,e l p a s a d o r A se re m p la z a
p o r u n o s c ila d o r , p u e s to q u e u n s o p o r te d e e s t e tip o n o r e s tr i n g ir á A
e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ta l. E l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o al
m o d e lo id e a liz a d o d e la e s t r u c t u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra 10-12 b . O b ­
s e rv e c ó m o s e d e f o r m a e l m a r c o e n c a d a c a so .
4 1 2
C a p it u l o
EJEM PLO
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
10.5 (C o n tin u ació n )
40 kN/m
e s tr u c t u r a p rim a r ia
<b>
E c u a c ió n d a c o m p a tib ilid a d .
10- I 2¿ r e q u i e r e q u e
L a r e f e r e n c ia a l p u n t o A d e l a fig u ra
0 = A¿ + A J aa
(*)
( 1)
L os té r m in o s A ¿ y f AA s e d e te r m i n a r á n u s a n d o e l m é to d o d e l t r a ­
b a jo v ir tu a l. D e b id o a la s im e tría d e la g e o m e t r í a y la c a r g a s ó l o s e n e ­
c e s ita n tr e s c o o r d e n a d a s x. E s ta s y lo s m o m e n to s in te rn o s s e m u e s tra n
e n la s fig u ra s 1 0 -12c y 10-12d. E s i m p o r t a n te q u e c a d a c o o r d e n a d a x
s e a l a m is m a ta n to p a r a la s c a r g a s r e a le s c o m o p a r a la s v ir tu a le s .
A d e m á s , la s d ir e c c io n e s p o s itiv a s d e M y m d e b e n s e r la s m is m a s .
P a r a A ^ se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la s c a r g a s re a le s , f ig u r a 1 0 -12c.
y u n a c a r g a u n it a r i a v ir tu a l e n A , fig u ra 1 0 -1 2 d . A sí,
( 0 ) ( lx , ) d x ,
El
lo
5 (1 0 0 0 +
200
(2 0 0 x 2) ( - 5 ) < / x 2
El
x
3
+
2 jjof
El
- 2 0 x ^ )(-5 )d x 3
El
= 0 -
25000
6 6 666.7
9 1 6 6 6 .7
El
El
El
4 0 k N /m
f_X2- J
= -S ¡ m , = -5
P
L
-
1000 + ZOO», - 2 0 * ,2
(c )
1 kN
1 kN
= 2 0 0 (5 + Jr3) - 4 Q r 3( S )
300 k N
5m
200 kN
(d>
1 0 .5
M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S
P a r a f AA s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n a c a r g a u n it a r i a re a l y u n a
c a rg a u n it a r i a v ir tu a l q u e a c tú e e n A , fig u ra 1 0 -1 2 d .P o r lo ta n t o ,
=l
f r * "
2j[
^
r 1 * 2l
{5?dX2 + 2[
{5fdx>
_ 583.33
El
S u s titu y e n d o lo s r e s u lta d o s e n la e c u a c ió n ( 1 ) y r e s o lv ie n d o s e o b ­
tie n e
A x = 157 k N
R esp .
C o n e s t e r e s u I ta d o .c n la f ig u r a 10-12e se
m u e s tra n la s r e a c c io n e s s o b r e e l m o d e lo id e a liz a d o d e l a e s t r u c tu r a .
E c u a c io n e s d e e q u il ib r io .
4 0 k N /m
(c)
4 1 3
4 1 4
C a p it u l o
E JE M P L O
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
1 0 .6
D e te r m in e e l m o m e n to e n e l s o p o r te fijo A p a r a e l m a r c o q u e se
m u e s tr a e n la fig u ra I0 -1 3 o . E l e s c o n s ta n te .
S O L U C IÓ N
Principio de superposición.
E l m a r c o e s in d e t e r m in a d o d e p r i m e r
g ra d o . S e p u e d e o b t e n e r u n a s o lu c ió n d ir e c ta d e
al e le g ir lo c o m o
r e d u n d a n t e . A s í. la c a p a c id a d d e l m a r c o p a r a s o p o r ta r u n m o m e n to
e n A se e lim in a y p o r lo t a n t o s e u s a u n p a s a d o r e n e l s o p o r t e . E l p r in ­
c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a l a e s t r u c tu r a s e m u e s tra e n la fig u ra
10-136.
Ecuación de compatibilidad.
1.a r e f e r e n c ia a l p u n t o A e n la fig u ra
1 0 -1 3 6 r e q u ie r e q u e
tt+ )
0 = BÁ + M
(1 )
a <*a a
C ó m o e n e l e je m p lo a n t e r i o r . 0 A y a AA s e c a lc u la u tiliz a n d o e l m é ­
to d o d e l tr a b a jo v ir tu a l. L a s c o o r d e n a d a s x cfcl m a r c o y lo s m o m e n to s
in te r n o s s e m u e s tr a n e n la s f ig u r a s 10-13c y 1 0 -1 3 J.
m a rc o re a l
e s tr u c t u r a p r im a r ia
(b)
m o m e n to r e d u n d a n te
a p lic a d o
1 0 .5
415
M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S
P a r a 6 a se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la s c a rg a s re a le s , fig u ra 1 0 -1 3 c ,y
u n m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l, fig u ra 1 0 -1 3 d .P o r lo ta n t o .
222.5 Ib
5001b
1 570.8 Ib
[ ‘ M m 0dx
*Á
* J ,
= £
El
{79l7X'
í
) ( 1 - 0 .0 8 3 3 * ,) d x \
" , -
El
r
(2 9 6 .7 x ? - 5 0 ^ ) ( 0 .0 6 6 7 x ? ) d x .
2 9 .1 7 Ib
3001b
Ti
(c)
51 8 .5 + 3 0 3 .2
8 2 1 .8
El
£ /
El
0 .0 5 Ib
P a r a a AA s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n m o m e n to d e p a r u n ita rio
re a l y u n m o m e n to d e p a r u n ita r io v ir tu a l q u e a c tú e e n A ,f ig u r a 10-13d.
R>r ta n to ,
< *AA
\
/
x f% /
V
Sjf:
m, -
1
< X 0 8 3 3 t,
I
* (1 - 0 .0 8 3 3 x ,)2 </x1
El
- 1
E l
0 .0 6 6 7 Ib
« j = 006671,
m </n 6
dx
El
3 .8 5
/0 .0 8 3 3 1 b
l
(ü .0 6 6 7 x 2) d x j
0 .0 8 3 3 Ib — ► . —
|
El
0185 = 404
E l
l l b - p ic
(d)
E l
S u s titu y e n d o e s t o s r e s u lta d o s e n l a e c u a c ió n ( 1 ) y re s o lv ie n d o s e o b ­
tie n e
° = ^ T T + M a\ Í T )
M a = _ 2 0 4 , b ' P ic
R e sP ‘
E l s ig n o n e g a tiv o in d ic a M ,, a c tú a e n la d ir e c c ió n o p u e s ta a la q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 10-13¿>.
10
4 1 6
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
PR O BLEM AS FU N D A M E N TA LE S
1 1 0 -1 . D eterm ine las reaccio n es e n e l s o p o rte fijo e n A y
en e l rodillo e n B. E l e s co n sta n te .
F10-4. D eterm in e las reacciones en la articulación A y en
los ro d illo s e n B y C.
4 0 kN
|A
—^
B
-----------------2 m ------------------ --------------- 2 m ----------------*
F10-1
flO -2 . D eterm ine las reacciones e n el s o p o rte fijo e n A y
en e l rodillo e n B . E l es co n sta n te .
R 0 - 5 . D eterm in e las reaccio n es en la articulación A y en
los ro d illos e n B y C so b re la viga. E l e s constante.
H-o
5 0 kN
1r— 2m
¿m
'A
71
m
11
•p-
*1U
nil
F10-5
10
F10-3. D eterm ine las reacciones e n e l so p o rte fijo e n A y
en e l rodillo e n B. E l so p o rte B se a sie n ta 5 m m . C o n sid ere
q u e E - 2M) G P a e / - 300 (10*) m m 4.
f 1 ---1--- ■ 1 1
10 kN/m
uJ ü - 1 1 .
6m
1 1 0 -3
"T--- --- - i .
FIO -6. D eterm in e las reaccio n es en la articulación A y en
los ro d illo s e n B y C so b re la viga. E l s o p o rte B x a sie n ta 5
mm. C o n sidere q u e £ = 200 G P a . / = 300(10*) m m 4.
10kN/m
■ ■
L il.
l i l i l í l i l i l i l i , 11111
-
6m ■
-6 m
F 1 0 -6
1 0 .5
M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S
41 7
PR O BLEM AS
10-1. D eterm ine las reacciones e n lo s so p o rte s A y B . E I
es co n stan te.
* 1 0 - 4 . D eterm in e las reaccio n es e n los s o p o rte s A , B y C;
después d ib u je el d iag ram a d e fu erza c o rta n te y de m o ­
m ento. £ / e s constante.
P r o b . 1 0 -1
1 0 -2 . D eterm ine las reaccio n es e n lo s so p o rte s A . B y C.
d esp u és d ib u je los d iag ram as d e fu e rz a co rta n te y d e m o­
m ento. E l e s constante.
1 0 -5 . D eterm in e las reaccio n es e n los so p o rtes, d e sp u és
d ib u je e l d iag ram a d e fuerza co rtan te y d e m om ento. E l es
constante.
P ro b . 1 0 -2
P r o b . 1 0 -5
1 0 -3 . D eterm ine las reacciones e n lo s s o p o rte s A y B . E I
e s constante.
1 0 -6 .
D ete rm in e las reaccio n es e n lo s so p o rtes, d e sp u és
d ib u je e l diagram a d e m om entos. S uponga q u e B y C so n
rodillos y q u e A está articulado. E l so p o rte e n B se asienta
hacia a b a jo 0.25 pies. C o n sid ere q u e F. = í^ lO ^ Ic s i c / =
500 p u lg 4.
P ro h . 10-3
P ro h . 10-6
418
C a p itu lo
10
A n á lis is
de
e s tru c tu ra s
10-7. D eterm in e la deflexión en el e x tre m o B de la tira
aseg urada de a c e ro A -36. E l re so rte tien e u n a rigidez k = 2
N /m m . La tira tiene 5 m m de a n c h o y 10 m m d e alto.
A dem ás, dibuje lo s d iag ram as de fu erza c o rta n te y de m o­
m ento p a ra la tira.
*10-8. D eterm ine las reacciones en lo s soportes. E n la fi­
gura se m u estra e l m o m en to d e inercia p a ra cada segm ento.
S uponga q u e e l so p o rte e n B es u n rodillo. C o n sid ere q u e E
= 29(103) ksi.
e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s
p o r...
10-10. D eterm in e las rea cc io n e s e n los so p o rtes, d e sp u és
dibuje e l d ia g ra m a d e m om entos. S uponga q u e e l so p o rte
en t í e s u n rodillo. E l e s constante.
10-11. D ete rm in e las rea c cio n e s e n los so p o rtes, d e sp u és
dibuje e l diagram a de m om entos. S uponga q u e A está articu ­
lado y q u e fí y C son rodillos. E l es constante.
6 0 0 Ib /p ic
10 k
¡ A H - 6 0 0 p u lg 4
— 18 p i e s ----------
= 3 0 0 p u lg 4 ! C
12 p i e s
J
P rob. 10-8
10
10-9. La sig a sim plem ente ap o y ad a se so m e te a la carga
que se m u estra. D eterm in e la d eflexión e n su c e n tro C . E l
e s constante.
*10-12. D eterm in e las reaccio n es e n lo s soportes, d e sp u és
dibuje e l d ia g ra m a d e m om entos. S u p o n g a q u e e l so p o rte
en A está articu lad o y q u e B y C so n rodillos. E l es c o n s­
tan te.
6 k ip /p ie
S k ip - p ie
íp ie s
“ Í T
r m
-8 pies-
P rob. 10-9
^ _
f
P rob. 10-12
1 0 .5
10-13. D eterm ine las reacciones e n lo s soportes. S uponga
q u e A y C e stán articu lad o s y q u e la ju n ta e n B está conec­
ta d a fijam ente. E l es constante.
M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S
4 1 9
10-15. D eterm in e las reaccio n es e n los so p o rtes, d e sp u és
dibuje e l d iag ram a d e m om entos p ara c a d a elem en to . E l es
constante.
10 k
P ro h . 10-13
P ro h . 10-15
10-14. D eterm ine las reaccio n es e n los so p o rtes. E l es
constante.
3k
•1 0 -1 6 . D eterm in e las reacciones e n los soportes. S u ­
p onga q u e A está c o n e c tad o fijam ente. E e s constante.
4 2 0
C a p itu lo
10
A n á lis is
de
e s tru c tu ra s
10-17. D eterm ine las reac c io n es e n lo s so p o rtes. E l es
constante.
e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s
p o r...
10-19. E l m arco d e a cero s o p o rta las carg as indicadas. D e­
term ine las co m p o n en tes h o rizo n tal y v ertical d e la re a c ­
ción e n lo s so p o rte s A y D . D ib u je e l d iag ram a d e m om en­
to s p ara lo s elem en to s d el m arco. E es constante.
8 k N /m
3 k /p ic
U.L.U.LÜ..I-I.I.
h - 2/,
12 pies
P ro b . 10-17
15 pies-
P ro h . 10-19
10-18. D eterm ine las reacciones e n los so p o rte s A y D . El
m o m en to d e inercia de c a d a seg m en to d e l m arco se m u es­
tra en la figura. C onsidere q u e E = 29( 103) ksi.
*10-20. D eterm ine las reaccio n es en lo s s o p o rte s S u ­
p onga q u e A y B están a rticu lad o s y q u e las ju n ta s e n C y D
so n con ex io n e s fijas. E l es constante.
3 k /p ie
2k
1 0 p ie s ----------P ro b . 10-18
1 0 .5
1 0 -2 1 . D eterm ine las reacciones e n lo s soportes. S u p o n g a
q u e A y D e stán articulados. E l e s co n stan te.
8k
15
íes
r
M É T O D O D E A N ÁLISIS D E L A FUERZA: M A R C O S
4 2 1
1 0 - 2 3 . D eterm in e las reacciones e n lo s soportes. S uponga
q u e A y B están articulados. E l es co n stan te.
2 0 p ie s -
Z Z E S T 7
10 p ie s
1
P r o h . 1 0 -2 1
P ro h . 1 0 -2 3
1 0 -2 2 . D eterm ine las reacciones e n los soportes. S uponga
q u e A y B e stán articulados. E l e s constante.
D os tablas, c a d a u n a co n e l m ism o E l y la mism a
longitud L se cru zan e n tre s i de m an era p erp en d icu lar,
com o se m u estra e n la figura. D eterm in e las reacciones ver­
ticales e n lo s soportes. S uponga q u e las tab las ap en as se
tocan en tre s í a n te s d e aplicar la c arg a P .
•1 0 -2 4 .
4 2 2
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
1 0 .6
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
M é to d o d e a n á lis is d e la fu e rz a :
A rm a d u ra s
E l g r a d o d e in d e te r m in a c ió n d e u n a a r m a d u r a , p o r lo g e n e r a l p u e d e d e ­
te r m in a r s e p o r in s p e c c ió n ; s i n e m b a r g o , s i e s t o se h a c e d ifíc il, u s e la
e c u a c ió n 3 -1 , 6 + r > 2 j. A q u í la s in c ó g n ita s e s t á n r e p r e s e n ta d a s p o r el
n ú m e r o d e fu e r z a s e n la s b a r r a s ( fr), m á s la s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s
( r ) , y e l n ú m e r o d e e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d is p o n ib le s e s d e 2 j p u e s to
q u e p u e d e n e s c r ib ir s e d o s e c u a c io n e s p a r a c a d a u n a d e la s j u n t a s (/).
E l m é to d o d e la f u e r z a e s m u y a d e c u a d o p a r a a n a liz a r a r m a d u r a s q u e
s o n e s t á tic a m e n te in d e te r m in a d a s d e p r i m e r o o s e g u n d o g ra d o . L o s s i ­
g u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n la a p lic a c ió n d e e s t e m é to d o u s a n d o e l p r o c e ­
d im ie n to d e a n á lis is d e s c r ito e n la se c c ió n 10-2.
E JE M P L O
1 0 .7
D e te r m in e la f u e r z a e n e l e l e m e n t o A C d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s ­
tr a e n la fig u ra 1 0 -1 4 a . A E e s ig u a l p a r a to d o s lo s e le m e n to s .
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . l\ » r in s p e c c ió n , la a r m a d u r a e s in d e ­
te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o .* C o m o d e b e d e te r m in a r s e la f u e r z a e n el
e l e m e n t o C A .é s te s e e le g i r á c o m o r e d u n d a n te . P a r a e llo e s n e c e s a r io
“c o r t a r " e l e le m e n to p a r a q u e n o p u e d a s o s te n e r u n a f u e i z a , c o n lo
q u e la v ig a s e v u e lv e e s tá tic a m e n te d e te r m i n a d a y e s ta b le . E l p r in c i­
p io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a la a r m a d u r a s e m u e s tr a e n la fig u ra
10 -1 4 fr.
E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . C o n r e f e r e n c ia a l e l e m e n t o A C e n la
fig u ra 1 0 -1 4 fr.se r e q u i e r e q u e e l d e s p la z a m ie n to re la tiv o A ^ c .e l c u a l
o c u r r e e n lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to c o r t a d o A C d e b id o a la c a r g a d e
4 0 0 Ib . m á s e l d e s p la z a m ie n to r e l a ti v o F M f ACAC c a u s a d o p o r la fu e rz a
r e d u n d a n t e q u e a c tú a s o la , s e a ig u a l a c e r o , e s d e c ir ,
0 =
* ac +
Fa c / a c a c
4001b
4 0 0 Ib
(b )
• A l a p lic a r la e c u a c ió n 3 - 1 , 6 + r > 2 j o 6 + 3 > 2 ( 4 ) . 9 > 8 , 9 - 8 = l c r g ra d o .
(1 )
1 0 .6
M é t o d o d e a n á l is is d e l a f u e r z a : A r m a d u r a s
A q u í e l c o e f ic ie n te d e fle x ib ilid a d
¿ c r e p r e s e n ta e l d e s p la z a m ie n to
re la tiv o d e lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e le m e n to A C c a u s a d o p o r u n a
c a rg a u n it a r i a “ r e a l " q u e a c t ú a e n lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e ­
m e n t o A C . E s te té r m in o , f AcAC y ^ a c x c a lc u la r á n e m p l e a n d o e l m é ­
to d o d e a n á lis is d e l t r a b a j o v ir tu a l. E l a n á lis is d e la f u e r z a , u tiliz a n d o
e l m é to d o d e lo s n u d o s .s e r e s u m e e n la s fig u ra s 10-14c y 1 0 -1 4 d .
P a r a A ^ - s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la c a rg a re a l d e 4 0 0 Ib , fig u ra
10-14 c , y u n a f u e r z a u n it a r i a v ir tu a l q u e a c tú a e n lo s e x tr e m o s c o r t a ­
d o s d e l e l e m e n t o A C .f ig u r a 10-14d. P o r lo ta n to .
s? n N L
* AC ~ ^
~AE
( ” 0 .8 ) ( 4 0 0 ) ( 8 )
- 0 .6 ) ( 0 ) ( 6 ) . ( - 0 .6 ) ( 3 0 0 ) ( 6 )
AE
AE
AE
t (1 ) (-5 0 0 )(1 0 ) + (1 )(0 )(1 0 )
AE
AE
11 2 0 0
AE
P a ra f # :
r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e la s f u e r z a s u n ita r ia s r e a l e s y
las f u e r z a s u n ita r ia s v ir tu a le s q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s c o r ta d o s d e l
e le m e n to A C .f ig u r a 1 0 -1 4 d . A sí,
Í ac ac
AE
’( -
■ ( - 0 .8 ) 2(8 )
= 2
AE
+ 2
0 .6 )2( 6 )
AE
+ 2
(i£ io
AE
34 .5 6
AE
A l s u s tit u ir lo s d a to s e n la e c u a c ió n (1 ) y r e s o lv e r , s e o b tie n e
FÁC = 3 2 4 Ib ( T )
R e sp .
D a d o q u e e l r e s u lta d o n u m é r ic o e s p o s itiv o . A C e s tá s o m e tid o a
te n s ió n ta l c o m o s e s u p u s o , f ig u r a 10-14/». U s a n d o e s t e r e s u lta d o , la s
fu e rz a s e n lo s o tr o s e le m e n to s p u e d e n e n c o n tr a r s e m e d ia n te e l e q u i l i ­
b rio . u s a n d o e l m é t o d o d e lo s n u d o s .
4 2 3
4 2 4
C a p itu lo
E JE M P L O
10
A n á lis is
de
e s tru c tu ra s
e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s
p o r...
1 0 .8
D e te r m in e la f u e r z a e n c a d a e le m e n to d e la a r m a d u r a q u e s e m u e s tr a
e n la f ig u r a 10-15 a s i e l to r n iq u e t e s o b r e el e le m e n to A C se u tiliz a
p a ra a c o r t a r e l e le m e n to e n 0 .5 p u lg a d a s . C a d a b a r r a ti e n e u n á r e a e n
su s e c c ió n tr a n s v e rs a l d e 0 .2 p u lg 2, y E = 2 9 (JO 6) psi.
U b i c a c i ó n d e F AC r e d u n d a n t e
c s tr u c lu r a p r im a ria
(b)
F igura 10-15
S O L U C IÓ N
P r i n c i p i o d e s u p e r p o s i c i ó n . E s ta a r m a d u r a tie n e la m ism a g e o ­
m e t r í a q u e la d e l e je m p lo 10-7. C o m o A C se h a a c o r ta d o , s e e le g i r á
c o m o r e d u n d a n te , fig u ra 10-156.
E c u a c ió n d e c o m p a t i b i l i d a d . D e b id o a q u e n o h a y c a rg a s e x te r n a s
q u e a c tú e n s o b r e la e s t r u c tu r a p r i m a r i a ( a r m a d u r a ) , n o h a b r á d e s p l a ­
z a m ie n to r e l a ti v o e n t r e lo s e x tr e m o s d e l e le m e n to s e c c io n a d o c a u ­
s a d o p o r l a c a rg a ; e s d e c i r A a c = 0 . E l c o e fic ie n te d e fle x ib ilid a d / a c a c
s e d e te r m i n ó e n e l e je m p lo 10-7, p o r lo q u e
Si s e s u p o n e q u e la c a n ti d a d e n la q u e s e a c o r ta la b a r r a e s p o s itiv a ,
e n to n c e s la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a la b a r r a e s
34 56
0 .5 p u lg = 0 + - ^ t F ac
A I r e c o n o c e r q u e e l / a c a c e s u n a m e d id a d e l d e s p la z a m ie n to p o r u n i­
d a d d e f u e r z a .s e tie n e
3 4 .5 6 p ie s ( 12 p u l g / p i e )
°
P “ * " ° + ( 0 .2 p u lg 2) |2 9 ( l ü 6) I b /p tilg 2] ^ AC
R > r lo ta n t o ,
Fa c = «#93 Ib = 6 .9 9 k ( T )
Resp.
D a d o q u e s o b r e la a r m a d u r a n o a c tú a n in g u n a f u e iz a e x t e r n a , la s
re a c c io n e s e x te r n a s s o n ig u a le s a c e ro . P b r lo ta n t o , si s e u s a FAC y s e
a n a liz a la v ig a m e d ia n te e l m é to d o d e lo s n u d o s s e o b ti e n e n lo s r e s u l­
ta d o s q u e s e m u e s tr a s e n l a fig u ra 1 0 - 15c.
10 . 7
1 0 .7
E s t r u c t u r a s c o m pu e s t a s
E s tru c tu ra s c o m p u e s ta s
L a s estru ctu ra s c o m p u e s ta s e s t á n f o r m a d a s p o r a lg u n o s e le m e n to s s o m e ­
tid o s s ó lo a f u e r / a a x ia l, m ie n tr a s q u e o tr o s e le m e n to s e s tá n s u j e to s a f le ­
x ión. S i la e s t r u c t u r a e s e s tá tic a m e n te in d e te r m in a d a , e l m é t o d o d e la
fu e rz a p u e d e s e r c o n v e n ie n te m e n te e m p l e a d o p a r a s u a n á lis is . E l s i­
g u ie n te e je m p lo ilu s tr a e l p ro c e d im ie n to .
l a v ig a d e p é n d o la a r m a d a q u e s e m u e s tr a e n la f o t o ­
g ra fía e s t á s im p le m e n te a p o y a d a y d e b e d is e rta rs e p a r a
s o p o r ta r u n a c a r g a u n if o rm e d e 2 k N /m . l a s d im e n s i o ­
n e s d e la e s t r u c tu r a s e m u e s tr a n e n la f ig u r a 10-16 a . D e ­
te r m in e la f u e r z a d e s a r r o ll a d a e n e l e l e m e n t o C E . N o
to m e e n c u e n ta e l e s p e s o r d e la v ig a y s u p o n g a q u e lo s
e le m e n to s d e la a r m a d u r a e s tá n c o n e c ta d o s m e d ia n te
p a s a d o r e s a la v ig a . A d e m á s , ig n o r e e l e f e c to d e la c o m ­
p r e s ió n a x ia l y la f u e r z a c o r t a n t e e n la v ig a . E l á r e a d e
ti se c c ió n tr a n s v e rs a l d e c a d a p u n ta l e s d e 4 0 0 m m ', y
p a r a la v ig a I
2 0 (1 0 6) m m 1. C o n s id e r e q u e E = 200
G Pa.
e s tr u c t u r a re a l
(a )
F ig u ra 1 0 -1 6
2 kN /
m illlllllllíT T T l
S O L U C IÓ N
P rin c ip io d e s u p e rp o s ic ió n . S i s e c o n o c e l a f u e r z a e n u n o d e
lo s e le m e n to s d e la a r m a d u r a , e n to n c e s e s p o s ib le d e te r m i n a r
la f u e r z a e n t o d o s lo s d e m á s e le m e n to s , a s í c o m o e n l a v ig a , m e ­
d ia n te l a e s tá tic a . P o r lo ta n to , la e s t r u c tu r a e s in d e te r m in a d a
d e p r i m e r g ra d o . P a r a o b t e n e r l a s o lu c ió n , s e e lig e la f u e r z a e n
e l e le m e n to C E c o m o la r e d u n d a n t e . E n to n c e s , e s t e e le m e n to
se s e c c io n a p a r a e li m i n a r s u c a p a c id a d d e s o s te n e r u n a f u e r / a .
E l p r in c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a p lic a d o a la e s t r u c t u r a s e m u e s ­
t r a e n la fig u ra 1 0 - 166.
E c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d . C ó n r e f e r e n c ia a l d e s p la z a ­
m ie n to re la tiv o d e lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e m e n t o C E , fi­
g u r a 1 0 - 1 6 6 .s e r e q u i e r e
0 = Ace + FceÍ c e c e
(1 )
10
r e d u n d a n te d e F c e a p lic a d a
(b )
4 2 6
C a p it u l o
EJEM PLO
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
10.9 (C o n tin u ació n )
S e u s a r á e l m é t o d o d e l t r a b a j o v ir tu a l p a r a e n c o n t r a r A c e y Í c e c e - E l
a n á lisis d e f u e r z a s n e c e s a r io se m u e s tr a e n las fig u ra s 1 0 - 16c y 1 0 - 16</.
nirrrrmTnjj
2 k N /m
rv sL JL -W
6kN
6 kN
6 kN
is
- 0 5 kN
- 0 5 kN
+ 1.118 kN
.118 kN
1 kN
m, = -0 5 i(
1.118 kN
2 n
-|
~
1
« , - - 0 5 * , + 0 5 (* ,- 2 )
Io 5 k N
1 .1 1 8 kN
(d)
1 0 .7
Es tr u c t u r a s c o m p u e s t a s
4 2 7
P a ra A c £ se r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e las c a r g a s r e a le s ,f ig u r a IO -16c,
y u n a c a r g a u n ita r ia v ir tu a l a p li c a d a a lo s e x tr e m o s c o r t a d o s d e l e l e ­
m e n to C E , fig u ra 1 0 -1 6 d . A q u í s e u s a r á la s im e tr ía la n ío d e la c a rg a
c o m o d e la g e o m e t r í a , y s ó l o s e t e n d r á e n c u e n ta la e n e r g ía d e d e f o r ­
m a c ió n e n la v ig a y. p o r s u p u e s to , la e n e r g ía d e d e f o r m a c ió n a x ia l e n
b s e le m e n to s d e la a r m a d u r a . P o r lo ta n t o ,
, ^nNL
[ l Mm ,
A“ = J ~ÍT + ¿‘ ~ÁE
_ f 1 (6x, - j¡)(-0 J * ,)d x ,
= J0
eT
+ Zj \ 6 x i - Á ) { ~ 1**2 + ^ (l.llg)(0)(V5)^
= -
i
-
^
+ „ + o + o
- 2 9 . 3 3 ( 1 0 ')
200 ( 109) ( 2 0 )(1 0
-
- 7 . 3 3 3 ( 1 0 " ') m
6\
P a r a / c e c b s e r e q u i e r e la a p lic a c ió n d e u n a c a r g a u n it a r i a r e a l y u n a
c a rg a u n ita r ia v ir tu a l e n lo s e x tr e m o s c o r ta d o s d e l e le m e n to C E , fi­
g u ra 10-16rf. P ó r lo ta n to .
Ln td x
L
.
[ H -O S x tfd x ,
.
r ' ( - i ) 2d x ,
El
1.3333
2_
5390
05
2
El
E l
AE
AE
AE
3 3 3 3 ( 1 0 ')
8 .0 9 0 Í1 0 3)
2 0 0 ( 109) (2 0 ) ( lü ~ 6)
4 0 0 ( 1 0 “ 6) (2 0 0 ( 109))
10
= 0 .9 3 4 5 ( 1 0 '') m /k N
S u s titu y e n d o lo s d a t o s e n l a e c u a c ió n ( 1 ) se ti e n e
0 = - 7 . 3 3 3 ( 1 0 " ') m + F Cf ( 0 . 9 3 4 5 ( 1 0 '') m / k N )
F c e = 7.85 k N
R esp .
4 2 8
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
1 0 .8
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
C o m e n ta rio s a d ic io n a le s s o b re el
m é to d o d e a n á lisis d e la fu e rz a
A h o r a q u e y a s e h a n d e s a r r o ll a d o la s id e a s b á s ic a s s o b r e e l m é to d o d e la
fu e r z a , s e p r o c e d e r á a g e n e r a liz a r s u a p lic a c ió n y a n a liz a r s u u tilid a d .
C u a n d o se c a lc u la n lo s c o e f ic ie n te s d e f l e x i b i l i d a d , / ^ o a „ ) , p a r a la e s ­
t r u c tu r a , p u e d e o b s e r v a r s e q u e s ó l o d e p e n d e n d e lo s m a te r ia le s y d e las
p r o p ie d a d e s g e o m é tr ic a s d e lo s e le m e n to s y n o d e la c a rg a d e la e s t r u c ­
tu r a p r im a r ia . P o r lo ta n t o , u n a v e z d e te r m in a d o s , e s to s v a lo r e s p u e d e n
u s a r s e p a r a c a lc u la r la s r e a c c io n e s p a r a c u a lq u ie r c a r g a .
P a r a u n a e s t r u c tu r a q u e t i e n e n re a c c io n e s r e d u n d a n t e s , R „ .s e p u e d e n
e s c r ib ir n e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d , a s a b e r :
A | + /1 1 ^ 1
+
/ l 2 ^ 2 + ••• + f i n ^ n = 0
A2 + f 2\R\ + f 22^2 +••• + fh ,R ñ = o
A„ + f„ \R \ +
f n i R i + ••• + f m R n =
o
A q u í lo s d e s p la z a m ie n to s . A i ,..., A „. s o n c a u s a d a s la n ío p o r la s cargas
re a le s s o b r e la e s t r u c tu r a p r i m a r i a c o m o p o r e l a s e n ta m ie n to d e lo s s o ­
p o r te s o lo s c a m b io s d im e n s io n a le s d e b id o s a la s d if e r e n c ia s d e te m p e r a ­
tu r a o a lo s e r r o r e s d e f a b r ic a c ió n e n lo s e le m e n to s . P a r a s im p lific a r el
c á lc u lo d e e s t r u c tu r a s q u e ti e n e n u n a l t o g r a d o d e in d e te r m in a c ió n , las
e c u a c io n e s a n te r io r e s p u e d e n r e p la n te a r s e e n f o r m a m a tric ia l,
/21
/«2
Í 22
U
fn2
7u
-
fu
fu
fnn.
R2
" A i“
a2
(10-2)
_A„_
o sim p le m e n te
fR = - A
10
E n p a r tic u la r , o b s e r v e q u e f ¡ =
= / 21, e t c é t e r a ) , u n a c o n s e c u e n c ia
d e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n to s re c íp ro c o s ( o le y d e
B e tti). P o r l o ta n to , la m a tr iz d e fl e x ib i li d a d s e r á s im é tric a , y e s t a c a r a c ­
te r ís tic a e s b e n e fic io s a e n la s o lu c ió n d e g r a n d e s c o n ju n to s d e e c u a c io n e s
lin e a le s , c o m o e n e l c a s o d e u n a e s t r u c t u r a a lt a m e n t e in d e te r m in a d a .
A lo la r g o d e e s t e c a p ítu lo s e h a n d e te r m i n a d o lo s c o e f ic ie n te s d e f le ­
x ib ilid a d u s a n d o e l m é t o d o d e l t r a b a j o v i r t u a l q u e s e a p li c a a to d a la
e s tr u c tu r a . S in e m b a r g o , e s p o s ib le o b t e n e r e s to s c o e f ic ie n te s p a r a c a d a
e le m e n to d e la e s t r u c tu r a , p a r a d e s p u é s , u s a n d o la s e c u a c io n e s d e tr a n s ­
fo r m a c ió n , o b t e n e r s u s v a lo r e s d e to d a la e s t r u c tu r a . E s te e n f o q u e se
a n a liz a e n lo s lib r o s d e d ic a d o s a l a n á lis is m a t r i c ia l d e e s t r u c t u r a s y n o
s e in c lu y e e n e s t e te x to .*
• V e a . p o r e je m p lo , H . C M a r tin , b u r o d u c tio n l o M a tr ix M e lh o d s o fS ir u c lu r a lA n a l y á s . M cG ra w -H ill. N u e v a Y ork.
1 0 .9
A u n q u e lo s d e ta l le s p a r a la a p lic a c ió n d e l m é to d o d e a n á lis is d e la
fu e rz a m e d ia n te m é to d o s in f o rm á tic o s ta m b ié n s e o m i te a q u í, e s p o s ib le
h a c e r a lg u n o s c o m e n ta r io s y o b s e r v a c io n e s g e n e r a le s q u e s e a p lic a n al
u tiliz a r e s te m é to d o p a r a re s o lv e r p r o b l e m a s q u e s o n a lt a m e n t e in d e t e r ­
m in a d o s y q u e , p o r c o n s ig u ie n te , im p lic a n g r a n d e s c o n ju n to s d e e c u a c io ­
n e s. A e s te re s p e c to , la p re c is ió n n u m é r ic a d e la s o lu c ió n m e jo r a si lo s
c o e fic ie n te s d e fle x ib ilid a d s i tu a d o s c e rc a d e la d ia g o n a l p r in c ip a l d e la
m a tr iz f s o n m a y o r e s q u e lo s s itu a d o s f u e r a d e la d ia g o n a l. P a r a lo g r a r
e s te o b je tiv o , d e b e d e d ic a r s e a lg u n a re f le x ió n a la s e le c c ió n d e la e s t r u c ­
tu r a p r im a r ia . P a r a f a c ilita r e l c á lc u lo d e fj;, ta m b ié n e s c o n v e n ie n te e l e ­
g ir la e s t r u c tu r a p r im a r ia d e m o d o q u e s e a a lg o s im é tr ic a . E s to te n d e r á a
p ro d u c ir a lg u n o s c o e f ic ie n te s d e fle x ib ilid a d s im ila r e s o ig u a le s a c e r o .
f t ) r ú ltim o , la f o r m a a lt e r a d a d e la e s t r u c t u r a p r i m a r i a d e b e s e r s im ila r a
la d e l a e s t r u c tu r a r e a l. S i e s t o o c u r r e , e n to n c e s la s r e d u n d a n t e s in d u ­
c ir á n s ó l o p e q u e ñ a s c o r r e c c io n e s a l a e s t r u c t u r a p r im a r ia , lo q u e r e s u lta
e n u n a s o lu c ió n m á s p r e c is a d e l a e c u a c ió n 10-2.
1 0 .9
E s tru c tu ra s s im é tric a s
U n a n á lis is e s t r u c t u r a l d e c u a lq u ie r e s t r u c t u r a a lt a m e n t e in d e te r m in a d a
o . p a r a e s e c a s o , in c lu s o u n a e s t r u c t u r a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a , se
p u e d e s im p lif ic a r s ie m p r e q u e e l d is e ñ a d o r o e l a n a lis ta p u e d a n r e c o n o ­
c e r a q u e ll a s e s t r u c tu r a s q u e s o n s im é tr ic a s y q u e s o p o r t a n c a r g a s s i m é ­
tric a s o a n tis im é tric a s . E n u n s e n t id o g e n e r a l, u n a e s t r u c tu r a p u e d e s e r
c la s ific a d a c o m o sim é tr ic a s ie m p re q u e la m ita d d e é s t a d e s a r r o ll e la
m ism a c a r g a in t e r n a y d e f le x io n e s q u e la s d e s u im a g e n r e f le ja d a e n e l
e s p e jo r e s p e c to a s u e je c e n tr a l. N o r m a lm e n te l a s im e tr ía r e q u i e r e q u e la
c o m p o s ic ió n d e l m a te r ia l, la g e o m e t r í a , lo s s o p o r te s y la c a rg a s e a n ig u a ­
les e n c a d a la d o d e la e s tr u c tu r a . S in e m b a r g o ,e s t o n o s i e m p r e tie n e q u e
s e r así. T e n g a e n c u e n ta q u e p a r a la e s t a b ilid a d h o r iz o n ta l s e r e q u i e r e u n
p a s a d o r p a r a s o p o r ta r la v ig a y la a r m a d u r a e n la s fig u ra s 10-1 l a y 10-1 I b .
A q u í, la r e a c c ió n h o r iz o n ta l e n e l p a s a d o r e s ig u a l a c e r o y. p o r lo ta n to ,
a m b a s e s t r u c tu r a s s e d e f o r m a n y p r o d u c e n la m ism a c a r g a in t e r n a q u e
s u c o n t r a p a r t e r e f le ja d a . C o m o r e s u lta d o , p u e d e n c la s ific a rs e c o m o
sim é tric a s . O b s e r v e q u e e s t o n o s e r ía a s í p a r a e l m a r c o d e la fig u ra 1 0 -17c,
s i e l s o p o r t e f i jo e n A se s u s titu y e r a p o r u n p a s a d o r , p u e s t o q u e e n to n c e s
la f o r m a a lt e r a d a y la s c a rg a s in t e r n a s n o s e r ía n ig u a le s e n s u s la d o s iz ­
q u ie r d o y d e r e c h o .
e je d e s im e tría
(«)
Figura 10-17
E s t r u c t u r a s s im é t r i c a s
4 2 9
4 3 0
C a p it u l o
10
A n á l is is
e j e d e s im e tría
(c)
Figura 10-17
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
E n o c a s io n e s , u n a e s t r u c tu r a s im é tr ic a s o p o r ta u n a c a r g a a n tis im é ­
tr ic a , e s d e c ir , la c a r g a d e s u la d o r e f le j a d o ti e n e la d ir e c c ió n o p u e s ta ,
c o m o lo m u e s tr a n lo s d o s e je m p lo s d e la fig u ra 10-18. S ie m p r e q u e la e s ­
tr u c tu r a s e a s im é tric a y s u c a rg a s e a s im é tr ic a o a n tis im é tr ic a , u n a n á lis is
e s t r u c tu r a l s ó lo te n d r á q u e ll e v a r s e a c a b o e n la m ita d d e lo s e le m e n to s
d e l a e s tr u c tu r a , p u e s t o q u e e n la o t r a m ita d s e p r o d u c ir á n re s u lta d o s
ig u a le s ( s im é tr ic a ) u o p u e s to s ( a n tis im é tr ic a ) . Si u n a e s t r u c tu r a e s s im é ­
tric a y s u c a rg a a p lic a d a e s a n tis i m é t r ic a ,e n t o n c e s e s p o s ib le tr a n s f o r m a r
e s a c a r g a e n c o m p o n e n t e s s im é tr ic o s y a n tis im é tric o s . P a r a e l l o .p r im e r o
la c a rg a s e d iv id e e n d o s, lu e g o se re fle ja h a c ia e l o tr o la d o d e la e stru c tu r a
y s e p r o d u c e n lo s c o m p o n e n te s ta n to s im é tr ic o s c o m o a n tis im é tr ic o s . P o r
e je m p lo , la c a r g a s o b r e la v ig a d e l a f ig u r a 10- 19a se d iv id e e n d o s y s e r e ­
fle ja s o b r e e l e je d e s im e tr ía d e l a v ig a . A p a r t i r d e e s to , s e p r o d u c e n lo s
c o m p o n e n t e s s im é tr ic o s y a n tis im é tr ic o s d e l a c a r g a c o m o s e m u e s tr a
e n l a f ig u r a 10-19¿>. C u a n d o e s t o s c o m p o n e n t e s s e s u m a n s e p r o d u c e la
c a rg a o rig in a l. A h o r a p u e d e r e a liz a r s e u n a n á lis is e s t r u c tu r a l p o r s e p a ­
ra d o e m p l e a n d o lo s c o m p o n e n te s d e c a r g a s im é tr ic a y a n tis im é tric a ,
p a r a d e s p u é s s u p e r p o n e r lo s r e s u lta d o s y a s í o b t e n e r e l c o m p o r ta m ie n to
re a l d e la e s tr u c tu r a .
2 k N /r
8 kN
t
JJTTTTTT[_
(a)
41N
4kN
1 k N /m
c a rg a s im é tric a
+
1 k N /m
4 kN
i
Je
carga antisimétrica
Figura 10-18
r í íj u t 11
,-^r,
1 k N /m
A
4kN
carga antisimétrica
(b)
F igura 10-19
1 0 .9
E s t r u c t u r a s s im é t r i c a s
4 3 1
PR O BLEM AS
10-25. D eterm ine la tu erza e n cada e le m e n to d e la a rm a ­
d u ra . A E e s constante.
10-27 . D eterm in e la fu erza e n el e le m e n to A C de la a rm a ­
d u ra . A E e s co n stan te.
P ro h . 10-25
P ro h . 10-27
10-26. D eterm ine la fuerza e n cada e le m e n to d e la a rm a ­
d u ra . E l á re a d e la sección transversal d e c a d a elem en to se
indica e n la figura. E = 29 (105) ksi. S uponga q u e lo s ele­
m entos e stán articu lad o s e n su s extrem os.
P ro h . 10-26
•1 0 -2 8 . D eterm ine la fuerza e n el e le m en to A D de la a r ­
m adura. E l á re a d e la sección tran sv ersal d e c a d a e lem en to
se m u estra e n la figura. S uponga q u e los e le m e n to s e stá n a r ­
ticulados e n su s extrem os. C o n sid ere q u e E = 29(10*) ksi.
P ro h . 10-28
4 3 2
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
10-29. D eterm ine la fuerza e n c a d a e lem e n to d e la arm a ­
d ura. Suponga q u e lo s e le m e n to s e stá n a rticu lad o s e n sus
extrem os. A E e s co n stan te.
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
10-31. D eterm ine la fu erza e n e l e le m e n to C D de la a r ­
m ad u r a . A E e s co nsta n te.
10-30. D eterm ine la fuerza e n c a d a e le m e n to s de la a rm a ­
d u ra articu lad a. A E e s co n stan te.
*10-32. D eterm ine la fu e rz a e n e l e le m e n to G B de la a r ­
m adura. A E e s constante.
H
lOk
Prob. 10-30
G
F
151
5k
P rob. 10-32
1 0 .9
10-33. l a viga e n v o la d iz o A l t recibe so p o rte adicional
m ediante d o s tira n te s D ete rm in e la fu erza en c ad a una de
estas b a rr a s Pase p o r a lto la co m p resió n ax ial y la fuerza
co rtan te e n la viga. P ara la viga. Ib = 2 0 0 (l(^ ) m m 4 y p a ra
c ad a tira n te ,/! - 100 m m . C onsidere q u e E - 200 G P a.
E s t r u c t u r a s s im é t r ic a s
4 3 3
10-35. l a viga a rm a d a so p o rta la carga u n ifo rm em en te
d is trib u id a Si to d o s los e lem en to s d e la a rm ad u ra tie n en un
área e n s u sección tran sv ersal de 1.25 pulg2 d ete rm in e la
fuerza e n e l e le m e n to BC . P a se p o r a lto la p ro fu n d id a d y
la com presión axial e n la viga. C onsidere q u e E = 29(10*) ksi
p ara to d o s los elem en to s. A dem ás, p a ra la viga, IAn = 750
pulg4. Suponga q u e A es u n p a sa d o r y D e s un oscilador.
1
80 kN
P ro h . 10-33
10-34. D eterm ine la fu erza e n lo s e le m e n to s A B , B C y
B ü que se utilizan ju n to c o n la viga p ara so p o rta r la carga
d e 3 0 k . La viga tie n e u n m o m en to d e in ercia d e / = 600
pulg4, los e le m e n to s A B y B C tienen una sección tran sv er­
sal de 2 pulg2 y B D tiene una sección transversal d e 4 pulg2.
C bnsidcrc q u e E = 29(10*) ksi. Ignore e l e sp e s o r de la viga
y su com presión axial, asim ism o suponga q u e to d o s lo s e le ­
m entos están articulados. A su m a ta m b ié n q u e e l so p o rte en
A e s u n p a sa d o r y e n E e s u n rodillo.
•1 0 -3 6 . La viga arm ad a so p o rta u n a fu erza co n c e n tra d a
d e 80k e n s u c e n tro . D eterm in e la fu erza e n c ad a u n o d e los
tres p u n tales y d ib u je e l d iag ram a d e m o m en to flexionante
para la viga. lx>s p u n ta le s tienen u n á re a e n s u sección
transversal d e 2 p u lg 2. S upongam os q u e e s tá n articu lad os
e n su s extrem os. N o to m e e n cu e n ta la p ro fu n d id ad d e la
viga n i e l efecto d e la co m p resió n axial en é sta . C o n sid ere
q u e E = 29 (10*) k si p a ra la viga y los p u n ta le s A dem ás,
para la viga. / = 400 pulg4.
80k
P ro h . 1 0 -3 4
P ro h . 10-36
4 3 4
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
10-37. D eterm ine las reaccio n es e n el so p o rte C. F.I es
constante p a ra a m b a s vigas.
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
10-39. l a viga e n vo lad izo se sostien e e n u n ex trem o m e ­
d iante una b a rra de su sp en sió n A C (fe $ p ulgadas d e d iá m e ­
tro y e stá fija e n el o tro e x tre m o B . D eterm in e la fuerza e n la
b a rra d e b id o a u n a carga u n ifo rm e d e 4 k /p ie . F. = 29(10*)
ksi. tan to p ara la v ig a c o m o p a ra la b arra .
P
P rob. 10-39
10-38. 1.a viga A B tiene u n m o m en to d e in ercia / = 475
pulg4 y yace so b re lo s so p o rte s lisos e n su s e x tre m o s U na
varilla CD de 0.75 pulgadas d e d iám etro e stá so ld ad a al
centro de la viga y al so p o rte fijo e n D . Si la te m p e ra tu ra de
la varilla se red u c e e n 150 °F, d eterm in e la fu erza d e sa rro ­
llada en la b arra. T an to la viga com o la b a rra están h ech as
de u n a c e ro para el cual E = 200 G P a y o = 6.5(10~6)/°F.
*10-10. El e n sam b le estru c tu ral so p o rta las cargas indica­
das. D ib u je los d iag ram as d e m o m en to p a ra cada una d e las
s ig a s C o n sid ere q u e / » 100(10®) m m 4 p ara las vigas y A 200 m m ' p ara el tiran te. T o d o s los e le m e n to s e stán h e ch o s
d e a cero p ara el c u a l F = 200 G P a.
15 k N
10
6m
|--------------5 p ie s -
2 m —
5 p ie s -
*
4 m
8 k N /m
í
i i i i í i i
6 m
P ro h . 10-38
P rob. 10-40
3 .
1 0 .1 0
1 0 .1 0
LIN E A S D E IN E IU E N C IA P A R A VIG A S E S TÁ TIC A M E N TE IN D E T E R M IN A D A S
Lineas d e in flu e n c ia p a ra v ig a s
e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d a s
E n la se c c ió n 6 -3 se a n a liz ó e l u s o d e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u c o n e l
fin d e d ib u j a r la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c c ió n , la c o r t a n te y e l m o ­
m e n to e n u n p u n t o d e u n a v ig a e s t á ti c a m e n t e d e te r m i n a d a . E n e s t a s e c ­
c ió n se e x te n d e r á e s t e m é to d o y s e a p lic a r á a v ig a s e s t á tic a m e n te in d e ­
te rm in a d a s .
R e c u e r d e q u e , p a r a u n a v ig a , e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u e s ta b le c e
q u e ¡a lín e a d e in flu e n c ia p a r a u n a fu n c i ó n (re a c c ió n , f u e r z a c o r ta n te o
m o m e n t o ) está a la m is m a e sc a la q u e la fo r m a a lte ra d a d e la v ig a c u a n d o
la v ig a s e v e a fe c ta d a p o r ¡a f u n c i ó n . P a r a d ib u j a r la f o r m a a lt e r a d a c o ­
rr e c ta m e n te , d e b e e lim in a r s e la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a re s is tir la f u n ­
c ió n a p lic a d a a fin d e q u e l a v ig a p u e d a d e f o r m a r s e c u a n d o s e a p lic a la
fu n c ió n . P a r a la s vigas e stá tic a m e n te d e te r m in a d a s , la s f o r m a s a lt e r a d a s
( o las lín e a s d e in f lu e n c ia ) s e r á n u n a s e r ie d e s e g m e n to s d e lín e a recta.
P a r a la s v ig a s está tic a m e n te in d e te r m in a d a s , r e s u l t a r á n c u rv a s . S e a n a li­
z a rá la c o n s tr u c c ió n d e c a d a u n o d e lo s tr e s ti p o s d e lín e a s d e in f lu e n c ia
(d e r e a c c ió n , d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to ) p a r a u n a v ig a e s t á tic a ­
m e n te in d e te r m in a d a . E n c a d a c a s o . s e ilu s tr a r á la v a lid e z d e l p r in c ip io
d e M lllle r- B r e s la u u s a n d o e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p la z a m ie n ­
to s re c íp ro c o s .
Reacción en A . P a ra d e t e r m i n a r la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la r e a c ­
c ió n e n A e n la fig u ra 1 0 -2 ü a ,s e c o lo c a u n a c a rg a u n it a r i a s o b r e la v ig a
e n p u n to s su c e s iv o s, y e n c a d a p u n to d e b e d e te r m i n a r s e la r e a c c ió n e n A .
U n a g r á f ic a d e e s t o s r e s u lta d o s g e n e r a l a lín e a d e in flu e n c ia . I\> r e je m ­
p lo , c u a n d o la c a rg a e s t á e n e l p u n t o D , f i g u r a 1 0 - 2 0 a ,la r e a c c ió n e n A ,
q u e r e p r e s e n ta la o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n D , p u e d e d e t e r ­
m in a rs e m e d i a n te e l m é to d o d e la fu e iz a . P a r a e llo , se a p lic a e l p r in c ip io
d e s u p e r p o s ic ió n , c o m o s e m u e s tr a e n la s fig u ra s IO -20a a 1 0 -2 0 c. P o r lo
ta n to , la e c u a c ió n d e c o m p a tib ilid a d p a r a e l p u n t o A e s 0 » f AD + A J a a
o b i e n A y = —/ « © / / x a i s ¡ n e m b a r g o , p o r e l te o r e m a d e M a x w e ll d e lo s
d e s p la z a m ie n to s r e c íp r o c o s f AD = ~ / m . fig u ra 10-2 lk /, p o r lo q u e ta m ­
b ié n e s p o s ib le c a lc u la r A y (o la o r d e n a d a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n D )
u s a n d o la e c u a c ió n
D
v ig a re a l
(a)
R
A
n
e s tr u c t u r a p r im a r ia
(b )
* ,f* A
r
-X-A r a p lic a c ió n d e A , re d u n d a n te
(c )
P b r c o m p a r a c ió n , e l p rin c ip io d e M lllle r- B r e s la u r e q u i e r e e lim in a r e l
s o p o r te e n A y a p lic a r u n a c a rg a u n it a r i a v e rtic a l. L a c u rv a d e d e f le x ió n
r e s u lta n te ,f ig u r a 10-2 0 </,es a c i e r t a e s c a la la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n ­
c ia p a r a A ,. S in e m b a r g o , e n la e c u a c ió n a n t e r i o r s e o b s e r v a q u e e l f a c to r
d e e s c a la e s I / f AA.
J a a
D
(d)
F ig u ra 1 0 -2 0
4 3 6
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
C o r t a n t e e n E . S i d e b e d e t e r m i n a r s e la lí n e a d e in f lu e n c i a p a r a
la f u e r z a c o r t a n te e n e l p u n t o E d e la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra
1 0 -2 l a . e n to n c e s , p o r e l p r in c ip io d e M ü lle r - B r e s la u , l a v ig a s e im a g in a
c o r ta d a e n e s te p u n t o y s e in s e r ta u n d is p o s itiv o d e d e s liz a m ie n to e n E ,
fig u ra 1 0 -2 1 6 . E s te d is p o s itiv o tr a n s m itir á u n m o m e n to y u n a f u e r z a n o r ­
m a l, p e r o n in g u n a f u e r z a c o r t a n te . C u a n d o la v ig a s e f le x io n a d e b id o a
la s c a r g a s c o r t a n te s u n ita r ia s p o s itiv a s q u e a c tú a n e n E , la p e n d ie n t e d e
c a d a la d o d e la g u ía s ig u e s i e n d o la m is m a , y la c u rv a d e d e f le x ió n r e p r e ­
s e n t a a c i e r t a e s c a la la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la f u e r z a c o r t a n te e n ¿ « f i­
g u ra 1 0 -2 le . S i s e a p lic a e l m é to d o b á s ic o p a r a e s ta b le c e r la lín e a d e in ­
flu e n c ia d e la f u e r z a c o r t a n t e e n E ,e n t o n c e s s e r ía n e c e s a r io a p li c a r u n a
c a rg a u n it a r i a e n c a d a p u n t o D y c a lc u la r la f u e r z a c o r t a n te e n E , fig u ra
1 0 -2 l a . E s te v a lo r , V F , r e p r e s e n ta r ía la o r d e n a d a d e la lín e a d e in f lu e n c ia
e n D . C o m o e n e l c a s o a n te r io r , u s a n d o e l m é t o d o d e la f u e r z a y e l t e o ­
r e m a d e M a x w e ll d e lo s d e s p l a z a m i e n to s re c íp r o c o s , p u e d e d e m o s ­
tra rs e q u e
D e n u e v o , e s t o e s ta b le c e la v a lid e z d e l p r in c ip io d e M ü lle r - B r e s la u , e s
d e c ir , u n a c a rg a u n it a r i a c o r t a n t e p o s itiv a a p li c a d a a la v ig a e n E , fig u ra
10-21c, h a r á q u e la v ig a s e a l t e r e c o n la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia
p a ra la f u e r z a c o r t a n t e e n E . A q u í e l f a c to r d e e s c a la e s (1 / f FF).
l
t
10
1
<b)
I
1
(c)
Figura 10-21
1 0 .1 0
M o m e n to en E.
LIN E A S D E IN E IU E N C IA PARA V IG A S E S TÁ TIC A M E N TE IN D E T E R M IN A D A S
L a lí n e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n E d e la
fig u ra 1 0 -2 2 a p u e d e d e te r m in a r s e a l c o lo c a r u n p a s a d o r o b is a g ra e n E ,
p u e s to q u e e s ta c o n e x ió n tr a n s m ite f u e r / a s n o r m a le s y c o r t a n te s , p e r o
n o p u e d e re s is tir u n m o m e n to , f ig u r a 10*226. A l a p lic a r u n m o m e n to d e
p a r u n it a r i o p o s itiv o , l a v ig a s e d e f o r m a a la p o s ic ió n m a r c a d a c o n tr a z o s
d is c o n tin u o s e n l a f ig u r a 10-2 2 c,k> q u e g e n e r a a c ie r ta e s c a la la lín e a d e
i n f lu e n c i a .d e n u e v o u n a c o n s e c u e n c ia d e l p r in c ip io d e M ü lle r-B re s la u .
Si se e m p l e a e l m é to d o d e la f u e r z a y e l te o r e m a d e la r e c ip r o c id a d d e
M a x w e ll, se p u e d e d e m o s tr a r q u e
E l f a c t o r d e e s c a la a q u í e s ( \ / a KF) .
1
1
4 3 7
4 3 8
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
E l s i g u ie n t e p r o c e d i m i e n to p r o p o r c io n a u n m é to d o p a r a e s ta b le c e r la lín e a d e in f lu e n c ia
d e la r e a c c ió n , la f u e r z a c o r t a n te o e l m o m e n to e n u n p u n to d e u n a v ig a , m e d ia n te la t é c ­
n ic a d e M U lle r-B re sla u .
L ín e a d e in f lu e n c ia c u a lita tiv a
E n e l p u n t o d e la v ig a p a r a e l c u a l d e b e d e te r m i n a r s e l a lí n e a d e in f lu e n c ia , c o lo q u e u n a
c o n e x ió n q u e e lim in e la c a p a c id a d d e la v ig a p a r a s o p o r ta r la fu n c ió n d e la lín e a d e in ­
flu e n c ia . S i la fu n c ió n e s u n a re a cc ió n v e rtic a l, u s e u n a g u ía d e r o d illo s v e rtic a l; s i la f u n ­
c ió n e s c o r í a m e ,u tilic e u n d is p o s itiv o d e d e s l i z a m i e n t o s s \ la fu n c ió n e s u n m o m e n t o .u s e
u n p a s a d o r o u n a b is a g ra . C o lo q u e u n a c a r g a u n ita r ia e n la c o n e x ió n q u e a c tú e s o b r e la
v ig a e n la " d ir e c c ió n p o s itiv a " d e la f u n c ió n . D ib u je la c u rv a d e d e f le x ió n d e la v ig a . E s ta
c u rv a r e p r e s e n ta a c ie r ta e s c a la la f o r m a d e la lín e a d e in f lu e n c ia p a r a la v ig a .
L ín e a d e in f lu e n c ia c u a n ti ta t iv a
Si d e b e n d e te r m i n a r s e lo s v a lo r e s n u m é r ic o s d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , c a lc u le e l d e s p la ­
z a m ie n to d e p u n to s s u c e s iv o s a lo la r g o d e la v ig a c u a n d o la v ig a e s tá s o m e ti d a a la c a rg a
u n ita r ia c o lo c a d a e n la c o n e x ió n m e n c io n a d a a n te r io r m e n te . D iv id a c a d a v a lo r d e d e s ­
p la z a m ie n to e n t r e e l d e s p la z a m ie n to d e te r m i n a d o e n e l p u n t o d o n d e a c t ú a la c a rg a u n i ­
ta ria . A l a p li c a r e s t e f a c t o r d e e s c a la , lo s v a lo r e s r e s u lta n te s s o n las o r d e n a d a s d e la lín e a
d e in flu e n c ia .
10
*
P a r a e s t e v ia d u c to s e c o n s t r u y e r o n la s lín e a s
d e in flu e n c ia d e la tr a b e c o n tin u a p a r a d i­
s e ñ a rla a d e c u a d a m e n te .
1 0 .1 1
1 0 .1 1
LIN E A S D E IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S
Líneas d e in flu e n d a c u a lita tiv a s
p a ra m a rco s
H1 p rin c ip io d e M U IIer-B re sIa u p r o p o r c io n a u n m é to d o r á p i d o y tie n e u n
g r a n v a lo r p a r a e s t a b le c e r la f o r m a g e n e r a l d e la lí n e a d e in f lu e n c ia e n la
c o n s tru c c ió n d e m a r c o s U n a v e z q u e se c o n o c e la f o r m a d e la lín e a d e
in flu e n c ia , e s p o s ib le e s p e c if ic a r d e in m e d ia to la u b ic a c ió n d e la s c a r g a s
vivas d e m o d o q u e c r e e n la m a y o r in f lu e n c ia d e la fu n c ió n ( r e a c c ió n ,
fu e rz a c o r t a n te o m o m e n to ) e n e l m a rc o . P o r e je m p lo , la f o r m a d e la
lín e a d e in f lu e n c ia p a r a e l m o m e n to p o s itiv o e n e l c e n tr o / de la tr a b e
F G cfel m a rc o d e la fig u ra 1 0 -2 3 a se m u e s tr a m e d ia n te lín e a s d is c o n ti­
n u as. E n to n c e s , la s c a r g a s u n if o r m e s s e c o lo c a r ía n s ó l o s o b r e la s v ig a s
A B . C D y F G c o n e l f i n d e c r e a r e l m a y o r m o m e n to p o s itiv o e n / . C o n el
m a rc o c a r g a d o d e e s ta m a n e r a , fig u ra 10-23/», e n to n c e s p o d r ía r e a liz a r s e un
a n á lisis in d e te r m in a d o d e l m a r c o p a ra e n c o n tr a r e l m o m e n to c r ític o e n / .
(b)
« g u ra 1 0 -2 3
4 3 9
4 4 0
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
D ib u je la lí n e a d e in f lu e n c ia d e la r e a c c ió n v e rtic a l e n A p a ra la v ig a q u e
s e m u e s tra e n la fig u ra lü - 2 4 a . E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo r e s
n u m é r ic o s c a d a 6 p ie s .
S O L U C IÓ N
Se r e t i r a la c a p a c id a d d e l a v ig a p a r a re s is tir la r e a c c ió n A r E s to s e h a ce
u s a n d o u n d is p o s itiv o d e ro d illo s v e rtic a le s e l c u a l s e m u e s tr a e n la fi­
g u r a 1 0 -2 4 6 . A l a p li c a r u n a c a rg a u n it a r i a v e r tic a l e n A se o b tie n e la
fo r m a d e la lí n e a d e in f lu e n c ia d e la fig u ra 10-24c.
C o n e l f i n d e d e te r m i n a r la s o r d e n a d a s d e la lí n e a d e in f lu e n c ia , se
u s a r á e l m é t o d o d e la v ig a c o n ju g a d a . L a s r e a c c i o n e s e n A y H s o b r e
la “v ig a re a l” , c u a n d o s e s o m e te a la c a r g a u n ita r ia e n A , s e m u e s tr a n e n la
fig u ra 1 0 -2 4 6 . L a v ig a c o n ju g a d a c o r r e s p o n d ie n t e se m u e s tr a e n la fig u ra
10-24d. O b s e r v e q u e e l s o p o r t e e n A ' sig u e s i e n d o e l m is m o q u e e l d e A
e n la fig u ra 1 0 -2 4 6 . E s to s e d e b e a q u e u n d is p o s itiv o d e ro d illo s v e rtic a ­
les e n la v ig a c o n ju g a d a s o p o r ta u n m o m e n to , p e r o n o u n a f u e r / a c o r ­
ta n te . k> q u e c o r r e s p o n d e a u n d e s p la z a m ie n to p e r o n o a u n a p e n d ie n t e
e n e l p u n t o A d e la v ig a r e a l, fig u ra 10-24c. I-a s r e a c c io n e s e n lo s s o p o r ­
te s d e la v ig a c o n ju g a d a s e h a n c a lc u la d o y s e m u e s t r a n e n la f ig u r a
1 0 -2 4 d . A h o r a s e c a lc u la r á n lo s d e s p la z a m ie n to s d e lo s p u n to s e n la v ig a
r e a l, f ig u r a 10-246.
1k
i k
v ig a c o n ju g a d a
(d)
F ig u ra 1 0 -2 4
1 0 .1 1
LINEAS D E
IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S
4 4 1
P a r a B ', p u e s t o q u e n o e x is te u n m o m e n to s o b r e la v ig a c o n ju g a d a e n
B ’, fig u ra 10-24</, e n to n c e s
------6 p i e s --------1
AB =
M
0
=
b
v ilix S H 162
.
P a r a D ',f i g u r a 10-24e:
El
2 M „ . = 0;
AD =
-
E l (6 )
936
U ± 2 \E I
(e )
E l
P a r a C \ f ig u r a 1 0 - 2 4 /
1656
El
El
P a r a A ',f i g u r a 10 -2 4 d:
1944
A Á = M ,. =
El
Mr
P u e s to q u e u n a c a r g a v e r tic a l d e 1 k q u e a c tú a e n A » b r e l a v ig a d e
fa fig u ra 1 0 -2 4 a c a u s a r á u n a r e a c c ió n v e r tic a l e n A de 1 k , e l d e s p la z a ­
m ie n to e n A , &A = 1 9 4 4 /£ Y , d e b e c o r r e s p o n d e r a u n v a lo r n u m é r ic o
d e 1 p a r a la o r d e n a d a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia e n A . P o r lo ta n t o , a l d i­
vidir lo s o tr o s d e s p la z a m ie n to s c a lc u la d o s e n t r e e s t e f a c t o r .s e o b tie n e
X
A
1
C
0 .8 5 2
D
0 .4 8 1
tí
0
U n a g r á f ic a d e e s t o s v a lo r e s g e n e r a la lín e a d e in f lu e n c ia q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 10-24g.
A,
° " 2
E
12
U n c a d e in flu e n c ia c u a n tita tiv a
p a r a l a re a c c ió n e n A
(g )
18
-1 2 p ie s -
t
Vr
(0
4 4 2
C a p it u l o
E JE M P L O
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
...
p o r
1 0 .1 1
D ib u je la lín e a d e in f lu e n c ia d e la f u e r z a c o r ta n te e n D p a ra l a v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 0 -2 5 a. E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo ­
re s n u m é r ic o s c a d a 9 p ies.
p i e s - 4 - 9 p i e s - |--------- 18 p i e s (a )
F igura 10-25
S O L U C IÓ N
S e e lim in a la c a p a c id a d d e l a v ig a p a ra re s is tir u n a f u e r z a c o r la n te e n D .
E s to se h a c e m e d ia n te e l d is p o s itiv o d e r o d illo q u e s e m u e s tra e n la fi­
g u ra 1 0 -2 5 6 . A l a p li c a r u n a f u e r z a c o r t a n t e u n it a r i a p o s itiv a e n f í se
o b ti e n e la fo r m a d e l a lín e a d e in f lu e n c ia d e la fig u ra 10-25c.
E n la fig u ra 1 0 -2 5 6 se m u e s tr a n las r e a c c io n e s e n lo s s o p o r te s A , R
y C s o b r e la " v ig a r e a l " , c u a n d o é s t a s e s o m e te a la f u e r z a c o r ta n te
u n ita r ia e n D . L a v ig a c o n ju g a d a c o r r e s p o n d ie n t e s e m u e s tr a e n la f i ­
g u ra 10-25d. A q u í d e b e a p lic a r s e u n m o m e n to d e p a r e x t e r n o M 0 . en
D ' a fin d e p r o v o c a r u n m o m e n to in te r n o d if e r e n t e ju s to a l a iz q u ie r d a
y ju s to a la d e r e c h a d e D \ E s to s m o m e n to s in t e r n o s c o r r e s p o n d e n a
to s d e s p la z a m ie n to s j u s t o a la iz q u ie rd a y j u s t o a la d e r e c h a e n d e
s o b r e la v ig a re a l, fig u ra 1 0 -2 5 c. L a s re a c c io n e s e n lo s s o p o r t e s A ’, B ' ,
C y e l m o m e n to e x t e r n o M/>- s o b r e la v ig a c o n ju g a d a s e h a n c a lc u ­
la d o y s e m u e s tr a n e n la fig u ra 10-25e. C o m o e je r c ic io , v e rifiq u e lo s
cálc u lo s.
1 k
Ik
9 k -p ie
|
9 k pic
i.
-P=1M =— í f
| — 9 p ie s —^
Ik
9p ie s
18 p ie s
2k
Ik
1
Ik
viga real
lin e a d e in flu e n c ia c u a lita tiv a
p a r a la c o r t a n t e e n D
(c )
(b)
162
162
El
r
El
i" i - -
108
¡ fiT í
'•f W T 7 -T^°
o ^ - jc
12 pies — 1-6 pie*—)
F l |~6
270
(d)
Pic»-|--- 12 P*es~ J
54
El
EÍ
(e )
1 0 .1 1
LIN E A S D E IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S
D a d o q u e e x is te u n a d is c o n tin u id a d d e l m o m e n to e n D \ s e c a lc u la rá
e l m o m e n to in t e r n o j u s t o a la iz q u ie rd a y j u s t o a la d e r e c h a d e D '.
J u s to a la iz q u ie rd a d e D \ f i g u r a 1 0 -2 5 /,s e ti e n e
l M n . = 0;
A ,
405
h‘ n
h ;i
4 0 -5
2 7 0 ...
2 3 0 8 .5
= - z r r ( 3 ) - — -(9 ) = E l
El
El
=
4 4 3
.
i
M«r,
I 3 I
pies
J u s to a l a d e r e c h a d e D ’, fig u ra 1 0 -2 5 g , r e s u lta
(0
ÍM ff' = 0;
' ~
4 0-5
270
= ~ E I~
~ ~e T
. 3888
~ E I~ =
1579.5
E/
D e l a fig u ra 1 0 -2 5 e ,
= M * = 0
405
El ±
¿a =
= 0
A c = Afc . = 0
P a ra e l p u n t o E , f i g u r a 10-25í>.si s e u s a e l m é to d o d e la s s e c c io n e s e n
d p u n to E ' c o r r e s p o n d ie n te s o b r e la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 1 0 -2 5 /i,s e
tie n e
XMr
= 0;
a
£ = Mf = ^ ( 3 ) - ^ ( 9 )
= -
^
.
J
- 6 pies-i-. -j
|
¿
<*>
L a s o r d e n a d a s d e la lín e a d e in f lu e n c ia s e o b ti e n e n a l d iv i d ir c a d a
u n o d e lo s v a lo r e s a n te r io r e s e n t r e e l f a c to r d e e s c a la W D- = 3 8 8 8 / f /.
E n to n c e s ,
X
Vo
A
0
o,.
D*
AQ5
4
v * -:'
-0 .5 9 4
I
I 3
pies
0 .4 0 6
B
m,
6 _J
pies 1
54
0
E
- 0 .0 9 3 8
C
(h)
0
A l g ra f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n c ia q u e s e m u e s ­
tr a e n l a fig u ra 10-25/.
V'n
U 4( 16
27
9
18
- 0 .0 9 3 8
-0 3 9 4
lín e a d e in f lu e n c ia c u a n tita tiv a
p a r a la c o r ta n te e n D
(0
36
10
4 4 4
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
D ib u je la lí n e a d e in f lu e n c ia d e l m o m e n to e n D p a r a la v ig a q u e se
m u e s tr a e n la f ig u r a 1 0 -2 6 a . E l e s c o n s ta n te . G r a f i q u e lo s v a lo r e s
n u m é r ic o s c a d a 9 p ie s .
(a)
F igura 10-26
S O L U C IÓ N
S e in s e rta u n a b is a g r a e n D co n e l fin d e e li m i n a r la c a p a c id a d d e la
v ig a p a r a re s is tir u n m o m e n to e n e s e p u n to , fig u ra 10-266. A l a p li c a r
m o m e n to s p a r u n ita r io s p o s itiv o s e n D . s e o b ti e n e la lí n e a d e in f lu e n ­
c ia d e la fig u ra 10-26c.
E n la fig u ra 1 0 -2 6 b se m u e s tr a n la s r e a c c io n e s e n A . B y C s o b r e la
“ v ig a re a l" , c u a n d o é s ta se s o m e te a lo s m o m e n to s d e p a r u n ita r io s e n D .
L a v ig a c o n ju g a d a c o rr e s p o n d ie n te y s u s re a c c io n e s s e m u e s tra n e n la fi­
g u r a 10-26d. S e s u g ie re v e rific a r la s r e a c c io n e s e n a m b o s caso s. A p a r tir
d e la fig u ra W - 2 6 d , o b s e r v e q u e
A¿ = M a = 0
lk -p ic
Afl = M f l = 0
A¿- =
= 0
lk -p ic
B
0.111 k
0222 k
0.111 k
v iga re a l
<b)
1
El
a
1 k -p ie
,
,
1 k -p ie
h n c a d e in flu e n c ia c u a lita tiv a p a r a e l m o m e n to e n D
(c)
I8
48
El
FJ
<d)
.6
n
1 0 .1 1
LIN E A S D E IN F L U E N C IA C U A IIT A T V A S P A R A M A R C O S
P a ra e l p u n t o D ' , fig u ra 10-26e:
S M „ . - 0;
A„ -
P a ra e l p u n t o
£ M c = 0;
- |5 ( 3 )
+
J |( 9 ) -
fig u ra 1 0 -2 6 /
A £ - M £. - ^ ( 3 ) - - | 7 ( 9 ) . - ^
E l d e s p la z a m ie n to a n g u la r a n o e n D d e la “v ig a r e a l " q u e s e m u e s ­
tra e n la fig u ra 10-26c s e d e f i n e p o r la r e a c c i ó n e n D ' s o b r e la v ig a
c o n ju g a d a . E s te f a c to r , D ’y = 4 8 /E l , s e d iv id e e n t r e lo s v a lo r e s a n t e ­
rio re s p a r a o b t e n e r la s c o o r d e n a d a s d e la lín e a d e in f lu e n c i a .e s d e c ir .
X
m d
A
0
D
3 .6 5 6
B
0
E
-0 .8 4 4
0
C
A l g r a f ic a r e s t o s v a lo r e s s e o b ti e n e la lín e a d e in f lu e n c ia q u e se
m u e s tra e n la f ig u r a 10-26g.
Mn
3.656
—0 .8 4 4
I n c a d e in f lu e n c ia c u a n tita tiv a
p a r a e l m o m e n to e n D
(8)
4 4 6
C a p it u l o
10
A n á l is is
d e
e s t r u c t u r a s
e s t á t ic a m e n t e
in d e t e r m in a d a s
p o r
...
PR O BLEM AS
10—41. D ibuje la linea d e influencia p a ra la reacción e n C.
G rafique los v alores num éricos e n los picos. S uponga q u e A
e s u n pasad o r y q u e B y C » n ro d illo s E l e s constante.
10-45. D ibuje la línea d e influencia p ara la reacción e n C.
G ra fique los v a lo re s n um éricos c a d a 5 pies. E / e s constante.
15 pies
*
•
15 pies
_jf
-i
P roh. 10-45
10-42. D ibuje la linca d e influencia p a ra e l m om ento e n A .
G rafique los v alores num éricos e n los picos. S u p o n g a q u e A
está fijo y q u e e l so p o rte e n B e s u n rodillo. E l e s constante.
10-43. D ibuje la linca de influencia p ara la reacción verti­
cal e n B . G ra fiq u e lo s v alo res n um éricos en los p ic o s S u ­
ponga q u e A e stá fijo y q u e e l so p o rte e n fí e s un rodillo. E l
e s constante.
10-46. B osqueje la linea d e influencia p a ra (a ) e l m o ­
m ento e n E\ (b ) la reacción e n C y (c) la fu erza co rtan te e n E.
E n c a d a caso, indique en u n d ib u jo d e la viga, d ó n d e d e b e
colocarse una carga v iv a uniform em ente distribuida de m odo
que p ro d u zc a u n v a lo r p ositivo m áxim o d e e sta s funciones.
S uponga q u e la viga e stá fija e n D.
P ro h . 10-46
10
*10-44. D ibuje la linea de influencia p a ra la fu erza c o r­
ta n te e n C. G rafiq u e los v alo res n um éricos cada 1.5 m . S u ­
ponga q u e A e stá fijo y q u e e l so p o rte e n fí e s un rodillo. E l
e s constante.
P ro h . 10-44
10-47. B osqueje la lín ea d e influencia p a ra (a ) la reacción
v ertical e n C ;(b ) el m o m en to e n f l y (c) la fu erza co rta n te
en E. E n c a d a caso, indique en un d ib u jo d e la viga, d ó n d e
d ebe colocarse u n a c arg a viva u n ifo rm em en te distribuida
d e m o d o q u e p ro d u zca u n v a lo r p ositivo m áxim o d e estas
(u n c io n e s S uponga q u e la viga e stá fija e n F.
P r o h . 10-47
10.11
•1 0 -4 8 . U se e l p rin c ip io d e M üller-B rcslau p ara b o sq u e ­
ja r la form a g en eral d e la línea d e influencia p ara (a ) e l m o ­
m ento e n A y (b ) la fuerza co rta n te e n B,
447
LIN E A S D E IN F L U E N C IA CUALITATIVAS P A R A M A R C O S
10-50. U se el prin cip io d e M llller-B reslau p a ra b o sq u ejar
la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) el m o ­
m ento e n A y (b ) la fu erza co rta n te e n B .
C
P ro b . 10-50
P ro b . 10-48
10-49. U se el princip io d e M llller-B reslau p a ra b osq u ejar
la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) el m o ­
m ento e n A y (b ) la fuerza co rta n te e n B.
10-51. U se el prin cip io d e M llller-B reslau p ara b o sq u ejar
la form a g en eral d e la línea de influencia p a ra (a ) e l m o ­
m ento e n A y (b ) la fuerza c o rta n te e n B.
10
A
P ro h . 10-51
ñ
4 4 8
C a p itu lo
10
A n á lis is
de
e s tru c tu ra s
e s tá tic a m e n te
in d e te rm in a d a s
p o r...
R E P A S O D E L C A P ÍT U L O
E l análisis d e una estru ctu ra estáticam en te in d eterm in ad a re q u ie re q u e se satisfag an e l eq u ilib rio , la co m p atib ilid ad y
las relaciones d e fuerza-desplazam iento p a ra la e stru c tu ra . U n m éto d o d e análisis d e la fu erza con siste e n esc rib ir las
ecuaciones q u e satisfacen los req u isito s d e co m patibilidad y d e fu erza-desplazam iento, lo q u e p ro p o rcio n a u n a solución
directa p a ra las reaccio n es re d u n d an tes. U n a v ez o b te n id o esto , las rea cc io n e s re s ta n te s se e n c u e n tra n con b ase e n las
ecuaciones de equilibrio.
h----- *
—
v ig a re a l
fl?
í
r r n r : -------------
^- - - - - ■£-
’u b ” B . Í b b |
+
r e d u n d a n te d e B , a p lic a d a
e s tr u c t u r a p rim a r ia
i 0 =
E l m éto d o d e la fuerza p u e d e sim plificarse m e d ia n te el
teo rem a d e M axw ell d e lo s d esp la za m ien to s recíprocos,
el cual e stab lece q u e e l d esp lazam ien to d e u n p u n to B
sobre una estru ctu ra d e b id o a una c arg a un itaria q u e
actúa e n e l p u n to A . f m , e s igual al d esp la z a m ie n to del
punto A cuando la carga actú a e n B , f AH.
- B f f RH
1
i
-I—
I ba
Repaso d e l c a p itu lo
El análisis de u n a e stru c tu ra está tic a m en te ind eterm in ad a
p u ed e sim plificarse si la e stru c tu ra tiene una sim etría del
m aterial, la g eo m e tría y la c arg a resp ecto a s u e je central.
E n p articu lar, las e stru c tu ra s q u e tie n e n u n a c arg a asim é­
trica p u e d e n sustituirse p o r la su p erp o sició n d e una carga
sim étrica y antisim étrica.
8 kN
^
4 4 9
2 k N /m
< JJTTTTTTL
II
4kN
,
1 k N /m
4kN
|
II.1I1IU I11L
c a r g a s im é tric a
+
4 kN
IkN/m
i.iiimIU
f í i i i r<
_
1kN/m
4kN
c a rg a a n tis im é tric a
L as líneas de influencia p a ra estru ctu ras está tic am e n te in ­
d e te rm in ad as consistirán e n Uneos curvas. Se p u e d e n b o s­
q u e ja r usando e l prin cip io d e M Uller-BresIau. el c u a l e sta ­
blece q u e la fo rm a de la lín ea d e influencia, ya sea p ara
u n a reacción, u n a fu erza c o rta n te o u n m o m en to esté a la
mism a escala q u e la form a alterad a de la estructura cuando
se vea afectad a p o r la reacción, la fu erza co rta n te o el m o­
m ento. respectivam en te. Si se e m p le a el te o rem a d e M ax­
well de las d eflexio n es recíprocas, e s posible o b te n e r los
valores específicos d e las o rd e n a d a s de cu a lq u ie r lín ea de
influencia.
- fc :
;
^ =1-
J L.
fo rm a d e la lín e a d e in flu e n c ia p a r a e l m o m e n to e n A
Los e le m e n to s d e e s te m arco e s tá n c o n e c ta d o s fijam en te, p o r lo q u e e l m arco
e s e s tá tic a m e n te in d eterm in a d o .
M étodo de análisis
del desplazam iento:
Ecuaciones de
pendiente-deflexión
En e s te c a p ítu lo s e d e s c r ib e n b r e v e m e n te las id e a s b á s ic a s p a ra a n a li­
z a r e s tr u c tu r a s u tiliz a n d o e l m é t o d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a m ie n to .
U n a v e z q u e s e h a y a n p r e s e n ta d o e s to s c o n c e p to s , s e d e s a rr o lla rá n las
e c u a c io n e s g e n e r a le s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n , y d e s p u é s s e u sa rá n
p a ra a n a liz a r v ig a s y m a rc o s e s tá tic a m e n te in d e te rm in a d o s .
1 1 .1
M é to d o d e a n á lis is
d e l d e s p la z a m ie n to :
P ro c e d im ie n to s g e n e ra le s
T o d a s la s e s t r u c tu r a s d e b e n s a tis f a c e r lo s r e q u is ito s d e e q u ilib r io , d e s p l a ­
z a m ie n to d e c a r g a y c o m p a tib ilid a d d e lo s d e s p la z a m ie n to s a fin d e g a ­
r a n t iz a r s u s e g u r id a d . E n la s e c c ió n 10-1 s e e s ta b le c ió q u e h a y d o s f o r ­
m as d if e r e n t e s d e s a tis f a c e r e s to s r e q u i s it o s c u a n d o se a n a liz a u n a
e s t r u c tu r a e s t á tic a m e n te in d e t e r m in a d a . E l m é to d o d e a n á lis is d e la
f u e r z a ,q u e s e e s tu d ió e n e l c a p ítu lo a n t e r i o r . s e b a s a e n l a id e n tific a c ió n
d e las fu e r z a s r e d u n d a n t e s d e s c o n o c id a s , p a r a d e s p u é s s a tis f a c e r la s
e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d d e la e s tr u c tu r a . E s to se h a c e a l e x p r e s a r
lo s d e s p la z a m ie n to s e n té r m in o s d e las c a r g a s u s a n d o la s re la c io n e s d e
c a rg a - d e s p la z a m ie n to . A l re s o lv e r la s e c u a c io n e s r e s u lta n t e s s e o b tie n e n
las r e a c c io n e s r e d u n d a n t e s , y d e s p u é s s e u tiliz a n la s e c u a c io n e s d e e q u i­
lib rio p a r a d e t e r m i n a r la s r e a c c io n e s r e s ta n te s d e la e s t r u c tu r a .
E l m é to d o d e l d e s p la z a m ie n to fu n c io n a d e m a n e r a in v e rs a . R e q u ie re
e n p r i m e r lu g a r s a tis f a c e r la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io p a r a la e s t r u c tu r a .
P a r a e l l o s e e s c r ib e n lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s e n té r m in o s d e la
c a rg a u s a n d o la s re la c io n e s d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to , lu e g o s e re s u e lv e n
e s t a s e c u a c io n e s p a r a o b t e n e r lo s d e s p la z a m ie n to s . U n a v ez q u e s e c o n o ­
c e n lo s d e s p la z a m ie n to s , s e d e te r m i n a n la s c a rg a s d e s c o n o c id a s a p a r t i r
d e las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ilid a d e m p l e a n d o la s re la c io n e s d e c a rg a d e s p la z a m ie n to . T odos lo s m é to d o s d e d e s p la z a m ie n to s ig u e n e s t e p ro -
4 5 2
C a p it u l o
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
c e d im ie n to g e n e r a l. E n e s t e c a p ít u lo s e g e n e r a liz a r á e l p r o c e d im ie n to
p a r a p r o d u c ir la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n . E n e l c a p ítu lo 12 se
d e s a r r o ll a r á e l m é to d o d e d is tr ib u c ió n d e m o m e n to s ,e l c u a l d e ja d e la d o
e l c á lc u lo d e lo s d e s p la z a m ie n to s y e n s u lu g a r h a c e p o s ib le a p lic a r u n a
s e r ie d e c o r r e c c io n e s d e c o n v e r g e n c ia q u e p e r m it e n c a lc u la r d i r e c t a ­
m e n te lo s m o m e n to s e x tr e m o s . F\>r ú ltim o , e n lo s c a p ítu lo s 1 4 ,15 y 1 6 se
ilu s tr a r á la m a n e r a d e a p li c a r e s t e m é to d o m e d ia n te u n a n á lis is m a trid a l . lo q u e lo h a c e a d e c u a d o p a r a s u u s o e n c o m p u ta d o ra s .
E n e l a n á lis is s ig u ie n te s e m o s tr a r á la f o r m a d e id e n tif ic a r lo s d e s p l a ­
z a m ie n to s d e s c o n o c id o s e n u n a e s t r u c tu r a y s e d e s a r r o ll a r á n a lg u n a s d e
la s re la c io n e s d e c a r g a - d e s p la z a m ie n to m á s im p o r t a n te s p a ra lo s e l e ­
m e n to s d e v ig a s y m a rc o s . L o s r e s u lta d o s s e u s a r á n e n la p r ó x i m a se c c ió n
y e n lo s c a p ítu lo s p o s t e r io r e s c o m o b a s e p a r a a p lic a r e l m é to d o d e a n á li­
sis d e l d e s p la z a m ie n to .
G rados d e lib e rta d .
(a)
fig u ra 11-1
C u a n d o u n a e s t r u c tu r a e s t á c a r g a d a , lo s p u n ­
to s e s p e c ific a d o s s o b r e e l l a , lla m a d o s n o d o s , e x p e r i m e n t a r á n d e s p la z a ­
m ie n to s d e sc o n o c id o s. A e s to s d e s p la z a m ie n to s s e le s c o n o c e c o m o g ra d o s
d e lib e r ta d p a ra la e s tr u c tu r a , y e n e l m é to d o d e a n á lis is d e l d e s p la z a ­
m i e n to r e s u lta i m p o r t a n te e s p e c ific a r e s t o s g r a d o s d e lib e r ta d p u e s to
q u e s e c o n v ie r te n e n la s in c ó g n ita s a l a p lic a r e l m é to d o . E l n ú m e r o d e
e s t a s in c ó g n ita s se c o n o c e c o m o e l g r a d o e n q u e l a e s t r u c tu r a e s c in e m á ­
tic a m e n te in d e te r m in a d a .
f t ir a c o n o c e r la in d e te r m in a c ió n c in e m á tic a se p u e d e c o n s i d e r a r q u e
la e s t r u c tu r a c o n s is te e n u n a s e r ie d e e le m e n to s c o n e c ta d o s a lo s n o d o s ,
lo s c u a le s s e e n c u e n t r a n u s u a lm e n te e n la s ju n ta s , s o p o r te s o e x tr e m o s d e
u n e le m e n to , o c u a n d o é s t e e x p e r im e n ta u n c a m b io r e p e n tin o e n s u se c ­
c ió n tr a n sv e rs a l. E n tr e s d im e n s io n e s , c a d a n o d o e n u n m a rc o o u n a v ig a
p u e d e t e n e r u n m á x im o d e tr e s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s y tr e s d e s p la z a ­
m ie n to s d e ro ta c ió n ; y e n d o s d im e n s io n e s , c a d a n o d o p u e d e t e n e r a lo
s u m o d o s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s y u n d e s p la z a m ie n to d e r o ta c ió n .
A d e m á s , lo s d e s p la z a m ie n to s n o d a le s p u e d e n r e s tr in g ir s e m e d ia n te lo s
s o p o r te s , o d e b i d o a lo s s u p u e s to s b a s a d o s e n e l c o m p o r ta m ie n to d e la
e s t r u c tu r a . P o r e je m p lo , s i l a e s t r u c t u r a e s u n a v ig a y s ó l o s e c o n s i d e r a
la d e f o r m a c ió n d e b id a a la fle x ió n , e n to n c e s n o p u e d e h a b e r u n d e s p la z a ­
m i e n to lin e a l a lo la rg o d e l e je d e la v ig a p u e s to q u e e s te d e s p la z a m ie n to
lo c a u s a la d e f o r m a c ió n p r o v e n i e n te d e u n a f u e r z a a x ia l.
E s to s c o n c e p to s s e a c la r a n s i s e c o n s id e r a n a lg u n o s e je m p lo s , c o m e n ­
z a n d o c o n la v ig a d e la fig u ra 11- l a . A q u í c u a lq u i e r c a r g a P a p lic a d a a la
v ig a h a r á q u e e l n o d o A s ó lo g ir e (s i se ig n o r a la d e f o r m a c ió n a x ia l) , e n
ta n t o q u e e l m o v im ie n to d e l n o d o B e stá t o t a lm e n te r e s tr in g id o . E n c o n ­
s e c u e n c ia , la v ig a tie n e s ó l o u n g r a d o d e l i b e r t a d d e s c o n o c id o . 0A, y p o r
lo ta n t o e s c in e m á tic a m e n te in d e te r m in a d a d e p r i m e r g ra d o . L a v ig a d e
la fig u ra 1 1 -lfi ti e n e n o d o s e n A , B , y C y, p o r lo ta n t o , ti e n e c u a t r o g r a ­
d o s d e lib e rta d , d e s ig n a d o s p o r lo s d e s p la z a m ie n to s d e r o t a c ió n 0 A, 0 B,
Oc y e l d e s p la z a m ie n to v e r tic a l A ¿-;es c in e m á tic a m e n te in d e te r m in a d a
d e c u a r t o g ra d o . C o n s id e r e a h o r a e l m a rc o d e la fig u ra 1 1 -lc . U n a v ez
m ás, s i s e p a s a p o r a l t o la d e fo r m a c ió n a x ia l d e lo s e le m e n to s , u n a c a r g a P
a r b i tr a r ia a p lic a d a a l m a r c o p u e d e h a c e r q u e lo s n o d o s B y C g ire n y se
p u e d a n d e s p l a z a r h o r iz o n ta lm e n te u n a c a n ti d a d ig u a l. E n c o n s e c u e n c ia ,
e l m a r c o tie n e tr e s g ra d o s d e li b e r t a d . 0„. 0 C, A fl, y p o r lo t a n t o e s c i­
n e m á tic a m e n te in d e te r m in a d o d e t e r c e r g ra d o .
11
2
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n
E n r e s u m e n , la e s p e c ific a c ió n d e l a in d e te r m in a c ió n c in e m á tic a o la
c a n tid a d d e g r a d o s d e li b e r t a d n o re s trin g id o s p a ra la e s tr u c tu r a , e s u n
p r im e r p a s o n e c e s a r io c u a n d o s e a p lic a e l m é to d o d e a n á lis is d e l d e s p l a ­
z a m ie n to . C o n e s t o s e id e n tif ic a e l n ú m e r o d e in c ó g n ita s e n e l p r o b l e m a ,
c o n b a s e e n lo s s u p u e s to s s o b r e e l c o m p o r ta m ie n t o d e la d e f o r m a c ió n d e
la e s t r u c tu r a . A d e m á s , u n a v e z q u e s e c o n o c e n e s t o s d e s p la z a m ie n to s n o ­
d a le s , e s p o s ib le e s p e c ific a r c o m p le ta m e n te la d e f o r m a c ió n d e lo s e l e ­
m e n to s e s tr u c tu r a le s , y o b t e n e r la s c a rg a s d e n t r o d e lo s e le m e n to s .
1 1 .2
E c u a cio n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n
C o m o s e in d ic ó a n te r io r m e n te , e l m é t o d o d e lo s d e s p la z a m ie n to s c o n s is ­
te n te s q u e s e e s tu d ió e n e l c a p ítu lo 10 e s u n m é to d o d e an álisis d e l a fu e rz a ,
p u e s to q u e r e q u i e r e e s c r ib ir la s e c u a c io n e s q u e r e l a c io n a n la s fu e rz a s o
m o m e n to s d e s c o n o c id o s e n u n a e s tr u c tu r a . P o r d e s g r a c ia , s u u s o e s t á li­
m ita d o a e s t r u c tu r a s q u e n o s o n m u y in d e te rm in a d a s . E s t o s e d e b e a q u e
s e r e q u i e r e m u c h o t r a b a j o p a ra e s ta b le c e r las e c u a c io n e s d e c o m p a tib ili­
d a d y, a d e m á s , c a d a e c u a c ió n e s c r ita in v o lu c ra a to d a s la s in c ó g n ita s , lo
q u e h a c e difícil r e s o lv e r e l s is te m a d e e c u a c io n e s r e s u lta n te a m e n o s q u e
s e c u e n te c o n u n a c o m p u ta d o r a . E n c o m p a r a c ió n , e l m é to d o d e la p e n ­
d e n te - d e f l e x ió n n o e s t a n c o m p lic a d o . C o m o s e v e rá m á s a d e la n te .s e r e ­
q u ie r e m e n o s t r a b a j o t a n t o a l e s c r ib ir la s e c u a c io n e s n e c e s a r ia s p a r a o b ­
te n e r la s o lu c ió n d e l p ro b le m a c o m o al re s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s y e n c o n tr a r
lo s d e s p la z a m ie n to s y c a r g a s in te r n a s d e s c o n o c id a s . A d e m á s , e l m é to d o
p u e d e p r o g r a m a r s e fá c ilm e n te e n u n a c o m p u ta d o r a y e m p le a r s e p a ra
a n a liz a r u n a a m p lia g a m a d e e s t r u c tu r a s in d e te rm in a d a s .
E l m é to d o d e la p e n d ie n te - d e f le x ió n fu e d e s a r r o ll a d o o r ig in a lm e n te
p o r H e in r ic h M a n d e r la y O t t o M o h r c o n e l p r o p ó s ito d e e s tu d ia r lo s e s ­
fu e rz o s s e c u n d a r io s e n las a rm a d u r a s . D e s p u é s , e n 1 9 1 5 .G .A . M a n e y d e ­
s a r r o ll ó u n a v e rs ió n m e jo r a d a d e e s t a té c n ic a y la a p lic ó a l a n á lis is d e
vigas in d e te r m in a d a s y e s t r u c tu r a s a rm a d a s .
Caso general.
E l m é to d o d e la p e n d ie n te - d e f le x ió n s e lla m a a s í
p o r q u e r e l a c io n a las p e n d ie n te s y las d e fle x io n e s d e s c o n o c id a s c o n la
c a rg a a p lic a d a s o b r e u n a e s t r u c tu r a . C o n e l fin d e d e s a r r o lla r la fo r m a
g e n e r a l d e la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n , s e c o n s id e r a r á u n
c la r o típ ic o A B de u n a v ig a c o n ti n u a , c o m o e l q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra
11-2, e l c u a l s e s o m e te a u n a c a r g a a r b i tr a r ia y t i e n e u n a E l c o n s ta n te . S e
d e s e a r e la c io n a r lo s m o m e n to s in t e r n o s e n lo s e x tr e m o s d e la v ig a M AB y
M b a e n té r m in o s d e s u s tr e s g r a d o s d e lib e r ta d , e s d e c ir , su s d e s p la z a ­
m ie n to s a n g u la r e s 0 A y Bb y e l d e s p la z a m ie n to l i n e a l A , q u e p u e d e s e r
c a u s a d o p o r u n a s e n t a m i e n to re la tiv o e n tr e lo s s o p o r te s . C o m o se d e s a ­
r r o lla r á u n a f ó r m u la , lo s m o m e n t o s y d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s s e c o n ­
s i d e r a r á n p o s itiv o s c u a n d o a c tú e n e n s e n tid o h o r a r io s o b r e e l c la r o ,c o m o
s e m u e s tr a e n la fig u ra 11 -2 . A d e m á s , e l d e s p la z a m ie n to lin e a l A se c o n s i­
d e r a p o s itiv o , d e la m a n e r a q u e s e m u e s tr a , p u e s t o q u e e s te d e s p la z a ­
m ie n to h a c e q u e la c u e r d a d e l c la r o y e l á n g u lo d e la c u e r d a d e l c la r o «/»
g ir e n e n s e n tid o h o ra r io .
L a s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p u e d e n o b te n e r s e e m p l e a n d o
e l p rin c ip io d e s u p e r p o s ic ió n a l c o n s i d e r a r e n f o r m a se p a r a d a lo s m o ­
m e n to s d e s a r r o ll a d o s e n c a d a s o p o r te d e b i d o a c a d a u n o d e lo s d e s p la z a ­
m ie n to s 0A. Bn y A , y d e s p u é s la s c a rg a s .
Figura 11-2
4 5 3
4 5 4
C a p it u l o
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
)
M/m
v ig a re a l
v ig a c o n ju g a d a
Va -» a
(b)
(a)
F ig u ra 1 1 -3
D e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r e n A , 0 A. C b n s id e r e q u e e l n o d o A d e l
e le m e n to q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a I l - 3 a g ir a f l^ .e n ta n t o q u e e l n o d o
B e n s u e x tr e m o le ja n o s e m a n tie n e f i j o . P a r a d e te r m i n a r e l m o m e n to
M AB n e c e s a r io p a r a c a u s a r e s te d e s p la z a m ie n to s e u s a r á e l m é to d o d e la
v ig a c o n ju g a d a . P a r a e s te c a so , la v ig a c o n ju g a d a s e m u e s tr a e n la fig u ra
11 -3 b . O b s e r v e q u e la f u e r z a c o r t a n te e n e l e x tr e m o A ' a c tú a h a d a a b a jo
s o b r e l a v ig a , p u e s t o q u e 0 A tie n e s e n t id o h o r a r io . L a d e f le x ió n d e la
“ v ig a r e a l " en la fig u ra 1 l- 3 a d e b e s e r c e r o e n A y B , y p o r lo ta n t o la su m a to r ia c o r r e s p o n d ie n t e d e lo s m o m e n t o s en c a d a e x tr e m o A ' y B ’ d e la
v ig a c o n ju g a d a ta m b ié n d e b e s e r ig u a l a c e ro . D e e s t o r e s u lta
L |y
+ 0a L
d e lo c u a l se o b t i e n e n la s s ig u ie n te s r e l a d o n e s d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to .
M
4E l
(1 1 - 1 )
AB
U sa =
I ?
Sa
( 11 - 2 )
D e s p l a z a m i e n t o a n g u l a r e n B , 0 b - D e m a n e r a s im ila r, si e l e x ­
tr e m o B d e la v ig a g ira h a s ta s u p o s ic ió n fin a l 0„, m ie n tr a s e l e x tr e m o A
s e m a n tie n e f i j o , fig u ra 4 .1 1 . e s p o s ib le r e l a a o n a r e l m o m e n to a p lic a d o
Af i h c o n e l d e s p la z a m ie n to a n g u l a r Bfí y e l m o m e n to d e r e a c c ió n M AB e n
la p a r e d L o s r e s u lta d o s s o n
(H -3 )
2El
M ab
(1 1 -4 )
11
M AB
2
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e fle x ió n
M ha
(
—
—
----------- L -------F ig u ra 1 1 -4
D e s p l a z a m i e n t o l i n e a l r e l a t i v o , A . S i e l n o d o le ja n o B d e l e l e ­
m e n to s e d e s p la z a c o n r e s p e c to a A ,d e m o d o q u e l a c u e r d a d e l e le m e n to
g ira e n s e n tid o h o r a r io ( d e s p la z a m ie n to p o s itiv o ) p e r o lo s d o s e x tr e m o s
n o g ir a n ,e n to n c e s e n e l e le m e n to s e d e s a r r o ll a n m o m e n to s y r e a c c io n e s
c o r t a n te s ig u a le s p e r o o p u e s to s , f ig u r a 1 1-5a. C o m o a n te s ,e l m o m e n to M
p u e d e re la c io n a r s e c o n e l d e s p la z a m ie n to A u s a n d o e l m é to d o d e la v ig a
c o n ju g a d a . E n e s t e c a s o , la v ig a c o n ju g a d a , fig u ra 11 -5 b , e s t á lib re e n
a m b o s e x tr e m o s , p u e s t o q u e la v ig a re a l ( e l e m e n t o ) e s tá f ija m e n te so p o r t a d a . S in e m b a r g o , d e b i d o a l d e s p la z a m ie n to d e la v ig a re a l e n B , e \
m o m e n t o e n e l e x tr e m o B ' d e la v ig a c o n ju g a d a d e b e t e n e r u n a m a g n i­
tu d d e A ,c o m o s e in d ic a .* A l s u m a r m o m e n to s r e s p e c to a f f . s e ti e n e
i-íí.
2 El
KIO] - [BWW] - *-°
-6 El
M
a b
=
M
b a
=
(H -5 )
M
f\>r la c o n v e n c ió n d e s ig n o s a d o p ta d a , e s te m o m e n to in d u c id o e s n e g a ­
tiv o d e b id o a q u e . p a r a lo g r a r e l e q u ilib r io , d e b e a c tu a r e n s e n t id o a n ­
tih o r a r io s o b r e e l e le m e n to .
v ig a re a l
v iga c o n ju g a d o
(a)
<»»
F ig u ra 1 1 -5
• L o s d ia g r a m a s d e m o m e n to q u e s e m u e s tr a n s o b re l a v ig a c o n ju g a d a s e d e te r m in a r o n
m e d ia n te e l m é to d o d e s u p e r p o s ic ió n p a r a u n a v ig a s im p le m e n te a p o y a d a , s e g ú n se e x ­
p lic ó e n l a s e c c ió n 4-5.
4 5 5
4 5 6
C a p it u l o
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
pi .
íñ
----------------1—
L
"i
\ i
M
1
1
2
L
2
1
t
^ < T T íT T T fT r > ^
M
U
1¡
v ig a r e a l
v ig a c o n ju g a d a
(a )
(b )
Figura 11-6
M o m e n to s en e xtre m o s fijos.
E n lo s c a so s a n te r io r e s s e h a n
c o n s id e r a d o la s re la c io n e s e n tr e lo s d e s p la z a m ie n to s y lo s m o m e n to s n e ­
c e s a r io s M AB y M / u q u e a c tú a n e n lo s n o d o s A y B , re s p e c tiv a m e n te . S in
e m b a r g o , p o r lo g e n e r a l lo s d e s p la z a m ie n to s lin e a le s o a n g u la r e s d e lo s
n o d o s s o n c a u s a d o s p o r la s ca rg a s q u e a c tú a n s o b r e e l c la r o d e lo s e l e ­
m e n to s . n o p o r lo s m o m e n to s q u e a c tú a n e n su s n o d o s . P a r a d e s a r r o ll a r
la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e s n e c e s a r io t r a n s f o r m a r e s ta s
c a rg a s s o b r e e l c la r o e n m o m e n to s e q u iv a le n te s q u e a c tú e n e n lo s n o d o s ,
y d e s p u é s u s a r la s re la c io n e s c a r g a - d e s p la z a m ie n to q u e s e a c a b a n d e o b ­
te n e r . E s to s e lo g r a s im p le m e n te a l e n c o n t r a r e l m o m e n to d e r e a c c ió n
q u e c a d a c a rg a d e s a r r o lla e n lo s n o d o s . ft> r e je m p lo , c o n s i d e r e e l e l e ­
m e n t o f ija m e n te a p o y a d o q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11 -6 a, e l c u a l e s tá
s o m e ti d o a u n a c a r g a c o n c e n tr a d a P e n s u c e n tr o . L a v ig a c o n ju g a d a
p a ra e s t e c a s o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-6¿>. C o m o s e r e q u i e r e q u e la
p e n d ie n te e n c a d a e x tr e m o s e a ig u a l a c e ro .
E s te m o m e n to s e d e n o m i n a m o m e n to d e e x tr e m o f i j o ( F E M ) . O b s e r v e
q u e d e a c u e r d o c o n la c o n v e n c ió n d e s ig n o s a d o p t a d a . e s n e g a tiv o e n el
n o d o A (s e n tid o a n ti h o r a r io ) y p o s itiv o e n el n o d o B (s e n tid o h o r a r io ) .
I\> r c o m o d i d a d e n la re s o lu c ió n d e p r o b le m a s , lo s m o m e n to s d e e x tr e m o
fijo s e h a n c a lc u la d o p a r a o tr a s c a r g a s y s e m u e s tr a n ta b u l a d o s e n e l in ­
t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e l lib ro . Si s e s u p o n e q u e e s to s F E M s e h a n
d e te r m i n a d o p a r a u n p r o b le m a e s p e c ífic o (f ig u ra 11 -7 ). s e ti e n e q u e
M a b = ( F E M ) ^ fl
M b a = ( F E M )BA
(1 1 - 6 )
11
2
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n
4 5 7
Ecuación de pendiente-deflexión.
Si lo s m o m e n to s e n lo s e x t r e ­
m o s d e b id o s a c a d a d e s p la z a m ie n to ( e c u a c io n e s 1 1-1 a 1 1 -5 ) y la c a rg a
( e c u a c ió n 1 1 -6 ) s e s u m a n , lo s m o m e n to s r e s u lta n t e s e n lo s e x tr e m o s
p u e d e n e s c r ib ir s e c o m o
M a b = 2 e (j ^ 2 6 a + 9„ - 3 ( | ) ]
+ (F E M )x fl
(1 1 -7 )
M b a = 2 £ ( 0 2 0 fl + d A -
+ ( F E M ) Bíl
D e b id o a q u e e s ta s d o s e c u a c io n e s s o n sim ila re s , e l r e s u lta d o p u e d e e x ­
p re s a rs e c o m o u n a s o la e c u a c ió n . Si se r e f ie r e a u n o d e lo s e x tr e m o s d e l
c la r o c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o ( N ) y a l o t r o e x tr e m o c o m o e l e x tr e m o
le ja n o (F), y s e r e p r e s e n ta la rig id e z d e l e le m e n to c o m o k = I I L , y la m ia c ió n d e la c u e r d a d e l c la ro c o m o
(p s i) = A I L .s e p u e d e e s c r ib ir
A ív = 2 E k ( 2 0 N + 9 f - 3 * ) + (F E M )jy
P a ra e l c la r o in t e r n o o e l c la r o final
(H -8 )
c o n e l e x tr e m o le ja n o fijo
donde
M n = m o m e n to in t e r n o e n e l e x tr e m o c e r c a n o d e l c la r o ; e s t e
m o m e n to e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io c u a n d o a c t ú a s o b r e
e l c la r o .
E . k = m ó d u lo d e e la s tic id a d d e l m a t e r i a l y rig id e z d e l c la r o
k = l/L.
9h , 9 f = p e n d ie n te s d e lo s e x tr e m o s c e r c a n o y le ja n o o d e s p la z a ­
m ie n to s a n g u la r e s d e l c la r o e n lo s s o p o r te s ; lo s á n g u lo s
s e m id e n e n ra d ia n e s y s o n p o s itiv o s e n s e n tid o h o r a r io .
™ r o ta c ió n d e la c u e r d a d e l c la r o d e b id a a u n d e s p la z a m ie n to
lin e a l, e s d e c i r . «/» = A / / . ; e s t e á n g u lo se m id e e n ra d ia n e s y
e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io .
( F E M ) |V « m o m e n to d e l e x tr e m o fijo e n e l s o p o r te d e l e x tr e m o c e r ­
c a n o ; e l m o m e n to e s p o s itiv o e n s e n tid o h o r a r io c u a n d o
a c tú a s o b r e e l c la r o ; c o n s u l te l a ta b la e n e l in t e r i o r d e la
c o n tr a p o r t a d a p a r a v e r d is tin ta s c o n d ic io n e s d e c a rg a .
A p a r t i r d e la d e d u c c ió n a n te r io r , la e c u a c i ó n 11-6 e s a la v e z u n a r e l a ­
c ió n d e c o m p a tib ilid a d y d e c a rg a - d e s p la z a m ie n to , q u e s e e n c o n tr ó c o n ­
s i d e r a n d o s ó l o lo s e f e c t o s d e l a fle x ió n e ig n o r a n d o la s d e f o r m a c io n e s
a x ia le s y c o rta n te s . S e c o n o c e c o m o la e c u a c ió n g e n e ra l d e p e n d ie n te -d e ­
fl e x ió n .C u a n d o s e u tiliz a p a r a la s o lu c ió n d e p r o b le m a s , e s t a e c u a c ió n se
a p lic a d o s v e c e s p a r a c a d a e le m e n to d e l c la r o (A B ) \ e s d e c i r , s e a p lic a
d e s d e A h a s t a B y d e s d e B h a s ta A p a r a e l c l a r o A B q u e s e m u e s tra e n la
fig u ra 1 1 -2 .
Este pu en te p eato n a l tiene una cubierta
de concreto reforzado. C om o se extiende
sobre todos sus soportes, es indeterminada
de segundo grado. Las ecuaciones de pen­
diente-deflexión proporcionan un método
conveniente para encontrar los mom entos
internos e n cada claro.
4 5 8
C a p it u l o
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
C laro fin a l a rticu la d o .
E n o c a s io n e s , u n c la r o f in a l d e u n a v ig a o
u n m a r c o e s tá s o p o r t a d o m e d i a n te u n p a s a d o r o u n r o d illo e n s u e x tr e m o
le ja n o , fig u ra 11 -8 a . C u a n d o e s t o o c u r r e , e l m o m e n to e n e l r o d illo o p a s a ­
d o r d e b e s e r c e r o ; y s ie m p r e q u e e l d e s p la z a m ie n to a n g u l a r 0 B e n e s t e s o ­
p o r t e n o d e b a d e t e r m i n a r s e .e s p o s ib le m o d ific a r la s c o n d ic io n e s g e n e r a ­
le s d e l a e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n a fin d e a p lic a r la s ó lo u n a v e z
al c la r o , e n v ez d e d o s v e c e s. P a r a e s t o se a p lic a r á la e c u a c ió n 11-8 o las
e c u a c io n e s 11-7 a c a d a e x tr e m o d e la v ig a q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11-8.
E s to r e s u lta e n las d o s e c u a c io n e s s ig u ie n te s :
4á
(a)
M N = 2 E k (2 0 N + 0F - t y ) +
(F E M )jv
0 = 2 E k { 2 B F + 0N - 3 * ) + 0
(b)
(1 1 - 9 )
A q u í e l ( F E M ) f e s ig u a l a c e r o , p u e s t o q u e e l o t r o e x tr e m o e s t á fijo , fi­
g u ra 11 -8 6 . P b r o t r o la d o , e l ( F E M ) lV p u e d e o b te n e r s e , p o r e je m p lo , m e ­
d ia n te la t a b l a e n la c o lu m n a d e r e c h a d e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r t a d a d e
e s te lib r o . A l m u ltip lic a r la p r i m e r a e c u a c ió n p o r 2 y r e s t a r la s e g u n d a
e c u a c ió n d e é s t a , s e e lim in a la in c ó g n ita 0F y s e o b tie n e
R giira 11-8
M n = 3 E k ( 8 „ - * ) + (F E M )jv
( 11 - 10 )
S ó lo p a r a u n c la r o f in a l c o n e l e x tr e m o le ja n o
a r tic u la d o o s o p o r t a d o p o r u n r o d illo
C ó m o el m o m e n to e n e l e x tr e m o le ja n o e s ig u a l a c e r o ,s ó lo s e n e c e s ita
u n a a p lic a c ió n d e e s ta e c u a c ió n p a r a e l c la r o fin a l. E s to s im p lific a e l a n á ­
lisis p o r q u e la e c u a c ió n g e n e r a l 11-8, r e q u e r ir í a d o s a p lic a c io n e s p a r a
e s t e c la r o y p o r lo t a n t o in v o lu c r a a l d e s p la z a m ie n to a n g u la r (a d ic io n a l)
d e s c o n o c id o 0R ( o d F) e n e l s o p o r te d e l e x tr e m o .
P a r a r e s u m i r l a a p lic a c ió n d e las e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n ,s e
c o n s i d e r a la v ig a c o n ti n u a d e la f ig u r a 11-9, la c u a l ti e n e c u a t r o g r a d o s d e
lib e rta d . A q u í l a e c u a c ió n 11-8 p u e d e a p lic a rs e d o s v e c e s p a r a c a d a u n o
d e lo s tr e s c la ro s , e s d e c ir , d e A a f l . d e f l a A , d e t í a C , d c C a f l . d e C a
D y d e D a C . E s ta s e c u a c io n e s in v o lu c ra n a las c u a t r o r o ta c io n e s d e s c o ­
n o c i d a s , ^ , 0 b .O c ,0 D ‘ S in e m b a r g o ,c o m o lo s m o m e n to s e x tr e m o s e n A y
D s o n ig u a le s a c e ro , n o e s n e c e s a r io 0 A y 0D . S e p r o d u c e u n a s o lu c ió n
m á s c o r t a a l a p lic a r la e c u a c ió n 1 1 -1 0 d e f l a A y d e C a D , p a r a d e s p u é s
a p li c a r la e c u a c ió n 11 -8 d e f l a C y d e C a f l . E s ta s c u a t r o e c u a c i o n e s in ­
v o lu c r a n s ó l o a la s r o t a c io n e s d e s c o n o c id a s 0 H y 0 C.
1 1 .3
1 1 .3
A N Á L IS S D E V IG A S
A n á lis is d e v ig a s
P ro c e d im ie n to d e a n á lisis
G ra d o s d e lib e rta d
M a r q u e lo d o s lo s s o p o r te s y a r tic u la c io n e s ( n o d o s ) c o n e l fin d e id e n tif ic a r lo s c la r o s d e
la v ig a o d e l m a r c o e n t r e lo s n o d o s A l d i b u j a r la f o r m a a lt e r a d a d e la e s t r u c tu r a s e r á p o ­
sib le id e n tif ic a r e l n ú m e r o d e g r a d o s d e lib e r ta d . E s p o s ib le q u e c a d a n o d o t e n g a u n d e s ­
p la z a m ie n to a n g u la r y u n d e s p la z a m ie n to lin e a l. L a c o m p a tib ilid a d e n lo s n o d o s se
m a n t ie n e s i e m p r e q u e lo s e le m e n to s q u e e s tá n c o n e c ta d o s f ija m e n te a u n n o d o e x p e r i ­
m e n te n lo s m ism o s d e s p la z a m ie n to s q u e e l n o d o . S i e s t o s d e s p la z a m ie n to s n o se c o n o ­
c e n , y e n g e n e r a l a s í s e r á , e n to n c e s p o r c o m o d id a d s u p o n g a q u e a c tú a n e n d ir e c c ió n
p o s itiv a d e m o d o q u e c a u s a n u n a r o ta c ió n e n s e n tid o h o r a r io d e u n e l e m e n t o o j u n t a , fi­
g u r a 1 1 -2 .
E c u a c io n e s d e p e n d ie n t e - d e f le x ió n
E s ta s e c u a c io n e s r e l a c io n a n lo s m o m e n to s d e s c o n o c id o s q u e s e a p lic a n a lo s n o d o s a fin
d e c a u s a r s u d e s p la z a m ie n to e n c u a lq u ie r c la r o d e la e s tr u c tu r a . S i e x is te u n a c a r g a e n el
c la r o , c a lc u le lo s F E M u s a n d o la ta b l a q u e se e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r ­
t a d a . A d e m á s , s i u n n o d o ti e n e u n d e s p la z a m ie n to li n e a l. A , c a lc u le i\¡ = A / / , p a r a lo s c la ­
ro s a d y a c e n te s . A p liq u e la e c u a c i ó n 11-8 a c a d a e x tr e m o d e l c la r o , g e n e r a n d o a s í d o s
e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p a r a c a d a c la r o . S in e m b a r g o , s i u n c la r o e n e l e x ­
tr e m o d e u n a v ig a o u n m a r c o c o n ti n u o e s tá a r tic u la d o , a p liq u e la e c u a c ió n 1 1 -1 0 s ó l o al
e x tr e m o re s trin g id o , lo q u e g e n e r a u n a e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n p a r a e l c la r o .
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io
E s c r ib a u n a e c u a c ió n d e e q u ilib r io p a ra c a d a g r a d o d e li b e r t a d d e s c o n o c id o d e la e s t r u c ­
tu r a . C a d a u n a d e e s t a s e c u a c io n e s d e b e e x p r e s a r s e e n té r m in o s d e lo s m o m e n to s i n t e r ­
n o s d e s c o n o c id o s s e g ú n s e e s p e c ific a e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n . P a r a las
v ig a s y lo s m a r c o s e s c r ib a la e c u a c ió n d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n c a d a s o p o r te , y p a r a
lo s m a r c o s ta m b ié n e s c r ib a la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n c a d a ju n t a . S i el
m a r c o s e l a d e a o s e d e f o r m a e n s e n t id o h o r iz o n ta l, d e b e n re la c io n a r s e la s f u e r z a s c o r t a n ­
te s d e la c o lu m n a c o n lo s m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s d e é s t a . L o a n t e r i o r s e a n a liz a e n la
se c c ió n 1 1 .5 .
S u s titu y a las e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e n la s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io y
re s u e lv a lo s d e s p la z a m ie n to s d e s c o n o c id o s d e las ju n t a s . E s to s r e s u lta d o s s e s u s titu y e n
e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e f le x ió n a fin d e d e te r m in a r lo s m o m e n to s in te rn o s e n lo s
e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to . S i a lg u n o s d e lo s r e s u lta d o s s o n n e g a tiv o s . in d ic a n g ir o en
s e n tid o a n tih o r a r io ,e n t a n t o q u e lo s m o m e n to s y lo s d e s p la z a m ie n to s p o s itiv o s se a p lic a n
e n s e n tid o h o ra r io .
4 5 9
4 6 0
C a p itu lo
EJEMPLO
11
M é to d o
de a n á lis is
d e l d e s p la z a m ie n to :
E c u a c io n e s
de
p e n d ie n te -d e fle x ió n
1 1 .1
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n t e y d e m o m e n to p a r a la v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la f ig u r a l l - 1 0 a . E l e s c o n s ta n te .
6 k N /m
M
BC
L -r-rfíT fi
Mc*
6m
(b )
(a)
Figura 11-10
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e d o s c la ro s. P u e s to q u e n o h a y u n c la r o q u e te n g a e l e x ­
tr e m o le ja n o a r tic u la d o o s o p o r t a d o p o r ro d illo s, se a p lic a la e c u a c ió n
11-8 p a r a o b t e n e r la s o lu c ió n . S i s e e m p l e a n la s fó r m u la s d e lo s F E M
ta b u la d a s p a r a la c a r g a tr ia n g u l a r q u e s e m u e s tr a n e n e l in t e r i o r d e la
c o n t r a p o r t a d a . s e ti e n e
6 (6 )J
wL
(F E M )bc = ( F E M ) Cfl
30
-7 .2 kN • m
30
6 (6 )-
wL
20
10.8 k N • m
20
O b s e r v e q u e ( F E M ) flC e s n e g a tiv o p o r q u e a c tú a e n s e n t id o a n ti h o r a ­
r i o s o b r e la v ig a e n B . A d e m á s . ( F E M ) ^ - (F E M ) * * = O p u e s to q u e
n o h a y c a r g a e n e l c la r o A B .
A f i n d e id e n tif ic a r las in c ó g n ita s , e n l a fig u ra 1 1 -1 0 6 se m u e s tr a la
c u rv a e lá s tic a d e l a v ig a . C o m o s e in d ic a , h a y c u a t r o m o m e n to s i n t e r ­
n o s d e s c o n o c id o s . S ó lo la p e n d ie n t e e n f l , 0 fl, e s d e s c o n o c id a . C o m o A
y C s o n s o p o r te s fijo s, 0 A = Oc = 0. A d e m á s , d a d o q u e lo s s o p o r te s n o
s e a s i e n ta n , n i s e d e s p la z a n h a c ia a r r i b a o h a c ia a b a jo , i¡i A b = •I'b c = 0 .
P a r a e l c l a r o A B , si s e c o n s i d e r a q u e A e s e l e x tr e m o c e r c a n o y B e s e l
e x tr e m o le j a n o .s e ti e n e
M n = 2 e ( { ) ( 2 * * + « f - 3 * ) + (F E M )*
=
2 /r( 0 [2 ( O )
+
0B -
3 (0 )1
+
0
=
^
9
„
(1 )
A h o r a , t o m a n d o a B c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o y a A c o m o e l e x tr e m o
le ja n o , r e s u lta
M ,Á
=
2 e ( ^ [ 2 9 8
+
0
-
3 (0 )1
+
0
-
(2 )
Y "
D e m a n e r a s im ila r, p a r a e l c la r o B C se t i e n e
M
bc =
M cb
2 / - ( ^ ) |
20b
+
0
-
2 E [ - )[2(0) + 0*
3 (0 )|
-
=
™
> 0 .8
=
7 .2
-
7 .2
(3 )
El
3 (0 )] +
—
e R +
1 0 .8
(4 )
1 1 .3
M Ba + M b c = 0
4 6 1
M,
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io .
L as c u a t r o e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­
n e n c in c o in c ó g n ita s . L a q u in t a e c u a c ió n n e c e s a r ia p r o v ie n e d e la c o n ­
d ic ió n d e l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n e l s o p o r te / / . E n la fig u ra I I - 1 0 c
* m u e s tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re d e u n s e g m e n to d e la v ig a e n fí.
A q u í se s u p o n e q u e M u * y M flC a c tú a n e n d ir e c c ió n p o s itiv a p a r a s e r
c o n s is te n te s co n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te -d e fle x ió n .* l.a s c o r ta n te s
e n la v ig a c o n tr ib u y e n c o n u n m o m e n to in s ig n ific a n te a l r e d e d o r d e fí
p u e s to q u e e l s e g m e n to ti e n e u n a lo n g itu d d ife re n c ia l. P or l o ta n t o .
= O,
A n Á L IS S D E V IG A S
C ty l
I V .,
(C>
(5 )
P a r a r e s o lv e r , s u s titu y a la s e c u a c io n e s (2 ) y (3 ) e n la e c u a c ió n (5 ),
d e d o n d e s e o b tie n e
El
Si s e s u s titu y e d e n u e v o e s t e v a lo r e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 4 ) r e s u lta
M a b = 1.54 k N - m
M ñÁ = 3 .0 9 k N • m
M bc = - 3 .0 9 k N • m
M c b = 12.86 k N • m
H v a lo r n e g a tiv o p a r a M B ( in d ic a q u e e s t e m o m e n to a c tú a e n s e n tid o
a n tih o r a r io s o b r e la v ig a , n o e n s e n t id o h o r a r io c o m o s e m o s tr ó e n la
fig u ra 11-106.
C o n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , la s f u e r z a s c o r t a n t e s e n lo s c la r o s e x ­
tr e m o s s e d e te r m i n a n a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io , fig u ra
11-10d . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e to d a la v ig a y lo s d ia g r a m a s d e
fu e rz a c o r t a n te y d e m o m e n to s e m u e s tra n e n la fig u ra l l - 1 0 e .
6 k N /r
B f [ = 0 .5 7 9 k N
L54 k N -m
(1
1.54 k N - m
1
3.09 k N - m
A , - 0 .5 7 9 kN
•8 m -
0 .5 7 9 k N
P (k N )
1 2 .8 6 k N - m
t
4 .9 5 k N
4 .3 7 .
sf
- t t 579
.10.%
,(m)
6 k N /m
' ?' . ~ 4 J7 k N
3 .0 9 k N
I
^ rfT íl
6»
c / - ,3 6 3 k N
1
12.86 k N •
A# ( k N - m )
154
(d)
• E n s e n ti d a h o r a r io s o b r e e l s e g m e n to d e l a v ig a , p e r o ( p o r e l p r in c ip io d e a c c ió n , r e a c ­
c ió n ig u a l p e r o o p u e s ta ) e n s e n ti d o a n tih o r a r io s o b r e e l s o p o r t e
2.67
547
II
-,M 3
-
-3 .0 9
-1 2 .8 6
(e)
4 6 2
C a p it u l o
E JE M P L O
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
1 1 .2
D ib u je lo s d ia g r a m a s d e f u e r z a c o r t a n te y d e m o m e n to p a r a la v ig a
q u e s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 1 -la . E l e s c o n s ta n te .
12 k
n fí;
cr
rm
<
4
pK
—
-g p ie s -
2 4 p i e s ---------
(a)
f i g u r a 11-11
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e d o s d a r o s . L a e c u a c ió n 11-8 s e a p lic a a l d a r o A B . S e
p u e d e u s a r la e c u a c ió n 1 1 -1 0 p a r a e l c la r o B C p o r q u e e l e x tr e m o C
e s tá s o b r e u n ro d illo . S i s e u s a n la s fó r m u la s p a r a lo s F E M ta b u la d a s
q u e se e n c u e n t r a n e n e l in t e r i o r d e l a c o n tr a p o r t a d a , s e ti e n e
w l*21
\_
( F E M ) * , ---------— = - — ( 2 ) ( 2 4 ) 2 = - 9 6 k - p i e
12
wL£
(F E M )* *
^
-
^ (2 )(2 4 )2
12
«
-
S
g
S
% k • p ie
= - 1 8 k -p ie
O b s e r v e q u e ( F E M ) ^ fl y ( F E M ) flí s o n n e g a tiv o s , p u e s to q u e a c tú a n
e n s e n tid o a n ti h o r a r io s o b r e l a v ig a e n A y B , re s p e c tiv a m e n te .
A d e m á s , c o m o lo s a p o y o s n o se a s i e n ta n . f AB - if/BC = 0. A l a p lic a r la
e c u a c ió n 11-8 p a r a e l d a r o A B y t o m a r e n c u e n ta q u e 0A = 0 , s e tie n e
MN = 2 e (0 2 0 v
+ e F - 3 * ) + (F E M )*
M a b = 2 f ( ^ ) [ 2 ( 0 ) + 9 B - 3 (0 )J - %
M a b = O .O 8 3 3 3 £ /0 fl - 9 6
( 1)
M b a = 2 e ( J ^ ) \ 2 0 b + 0 - 3 (0 )] + %
M
BA
(2 )
O .1 6 6 7 £ /0 fl + 96
Si s e a p lic a la e c u a c ió n 1 1 -1 0 c o n B c o m o e l e x tr e m o c e r c a n o y C
c o m o e l e x tr e m o le ja n o , r e s u lta
M.v - 3 e (j -)(« * - * ) + (FEM)„
Mk
= 3 Eh|
y
,
- o ) - «8
M bc = 0 3 7 5 E le b -
18
(3 )
R e c u e r d e q u e la e c u a c ió n 11-10 n o se a p lic a d e C ( e x tr e m o c e r c a n o ) a
B ( e x tr e m o le ja n o ) .
1 1 .3
A n Á L IS S D E V IG A S
E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . L a s tr e s e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­
n e n c u a t r o in c ó g n ita s . 1.a c u a r ta e c u a c ió n n e c e s a r ia p r o v ie n e d e la s
c o n d ic io n e s d e e q u ilib r io e n e l s o p o r te H. E n la fig u ra 11 -11 b se m u e s ­
tra e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib re . S e ti e n e
t + 2 W fl =
O.
M ba
+ Mbc=0
t ♦J
♦" *
t
(4 )
(b)
P a ra r e s o lv e r , s u s titu y a la s e c u a c io n e s (2 ) y (3 ) e n la e c u a c ió n ( 4 ) , d e
d o n d e re s u lta
144.0
•
' - - i r
C o m o 0 b e s n e g a tiv o ( s e n tid o a n ti h o r a r io ) , la c u r v a e lá s tic a p a r a la
v ig a se d ib u j ó c o r r e c ta m e n te e n la f ig u r a 11-1 l a . A l s u s tit u ir 0„ e n la s
e c u a c io n e s ( l ) - ( 3 ) , s e o b tie n e
m a b
1 0 8 .0 k - p ie
-
=
Mba = 7 2 .0
k -p ie
M a c = - 7 2 .0 k - p i e
C o n b a s e e n e s to s d a t o s p a r a lo s m o m e n to s , s e h a n d e te r m i n a d o las
re a c c io n e s c o r t a n t e s e n lo s e x tr e m o s d e lo s c la r o s d e l a v ig a , s e g ú n se
m u e s tra e n l a fig u ra 11-1 le . L o s d ia g r a m a s d e f u e r e a c o r t a n te y d e
m o m e n to se g r a f ic a n e n la fig u ra 11-1 Id .
48 k
±
V . - 253 k
t
VBf - 22.5 k
P ..- 1 5 k
Ct
ít
108 k ’pic |— 12pie«— |— 12 pies— | 72 k-p
72 k-pie
12 k
'
4 ' 4 1
p ie s pies
(c)
/
/
/
255
k)
/
/
V
12.75
15P
— 32
3
124 28
-22.5
M
(k-pie)
54A
x (pies)
t
C , = 31) k
\ K
V ..
4 6 3
4 6 4
C a p it u l o
E JE M P L O
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
1 1 .3
D e te r m in e e l m o m e n to e n A y B p a ra la v ig a q u e s e m u e s tr a e n la fi­
g u ra 1 1 -1 2 a. E l s o p o r te e n B x d e s p la z a ( a s ie n ta ) 8 0 m m . C o n s id e r e
q u e E = 2 0 0 G P a , / = 5 (1 0 * ) m m 4.
8 kN
(a )
F ig u ra 11-12
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b l e m a s ó l o d e b e
c o n s id e r a r s e u n c la r o ( A B ) p u e s t o q u e e l m o m e n to e n M Bc d e b i d o a
la s a lie n te p u e d e c a lc u la rs e a p a r t i r d e la e s tá tic a . C o m o n o h a y c a r g a
e n e l c la r o A B , lo s F E M s o n ig u a le s a c e r o . C o m o s e m u e s tr a e n la fi­
g u r a 1 1 -1 2 a . e l d e s p la z a m ie n to h a c ia a b a jo ( a s e n ta m ie n to ) d e B h a c e
q u e la c u e r d a d e l c la r o A B g ire e n s e n tid o h o r a r io . P o r lo ta n t o ,
J>ab =
¡>ba
0 .0 8 m
,w „
= — i— = 0.02 r a d
L a rig id e z p a r a A B e s
(b)
5 (1 0 6) m m 4(1 0 ~ 12) m 4/ m m 4
I ^ I O " 6) m 3
4 m
A l a p li c a r la e c u a c ió n d e p e n d ie n te - d e f le x ió n ( e c u a c ió n 1 1 -8 ) al
c la r o A B c o n 0A = 0 ,s e tie n e
M n = 2 fc Q -)(2 0 * + e F -
+ (F E M )*
= 2 (2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2) [ l . 2 5 ( 1 0 ^ ) m ‘] [ 2 ( 0 ) + 0 B - 3 (0 .0 2 ) ] + 0
M BA = 2 ( 2 0 0 ( 1 0 9) N /m 2) | 1 .2 5 (1 0 -6) m 3] |2 0 fl + 0 - 3 ( 0 . 0 2 ) ] + 0
8)00 N
V -£
l
M|m l E
8000 N(3m)
(C)
(2 )
E c u a c io n e s d e e q u flib r io . E l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e la v ig a
e n e l s o p o r te B s e m u e s tr a e n la fig u ra 11 -12 c. E l e q u il ib r io d e
m o m e n to s r e q u i e r e q u e
t + 2 M fl = O,
Br
(1 )
M r a - 8 000 N (3 m ) = 0
Si s e s u s titu y e la e c u a c ió n (2 ) e n e s t a e c u a c ió n r e s u lta
l( lO 6)0 fl - 3 0 ( 1 0 ') = 2 4 (1 0 3)
dB = 0 .0 5 4 r a d
P o r lo ta n t o , a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s ( 1 ) y (2 )
M a b = - 3 .0 0 k N • m
M b a = 2 4 .0 k N - m
1 1 .3
A n Á L IS S D E V IG A S
MUSIJMKPE1
D e te r m in e lo s m o m e n to s in te r n o s e n lo s s o p o r t e s d e la v ig a q u e se
m u e s tra e n la fig u ra 11-1 3 a . E l s o p o r te d e r o d illo e n C es e m p u j a d o
h a c ia a b a j o 0.1 p ie s p o r la f u e r z a P. C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 ’ ) k s i e /
= 1500 p u lg 4.
-1 5 p ie r­
da»
B J
+ * .<
(b)
Ugura 11-13
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e tr e s c la ro s. S e a p lic a la e c u a c ió n 11-8 p o r q u e lo s s o p o r te s
e n lo s e x tr e m o s A y D e s t á n fijo s. A d e m á s , s ó lo e l c la r o A B tie n e
FEM .
w [2
( F E M ) .,» =
l
= - - ( 1 . 5 ) ( 2 4 ) J = - 7 2 .0 k - p ie
WI ^
1
( F E M )BA = —
= ~ (1 .5 )( 2 4 )
= 7 2 .0 k - p i e
C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 1 1 -1 3 6 , e l d e s p la z a m ie n to (o a s e n t a ­
m ie n to ) d e l s o p o r t e C o c a s io n a q u e ip s c se a p o s itiv o , p u e s t o q u e la
c u e r d a d e l c l a r o B C g ira e n s e n t id o h o r a r io , y t¡/cD * a n e g a tiv o , p o r ­
q u e la c u e r d a d e l c l a r o C D g ira e n s e n t id o a n tih o r a r io . P o r lo ta n to .
0.1 p ie
*BC
2 0 p ie s
0.1 p ie
0.0 0 5 r a d
..........~
* cd = -
1 5 p ie s
-0 .0 0 6 6 7 r a d
A s im is m o , a l e x p r e s a r la s u n id a d e s d e la rig id e z e n p ie s .s e tie n e
■AB
1500 4 = 0 .0 0 3 0 1 4 p i e s 3
2 4 (1 2 )
*cd = ^
^
k Bc =
2 0 (1 2 )
= 0 .0 0 3 6 1 7 p ie s 3
= 0 .0 0 4 82 3 p i e s 3
Si se o b s e r v a q u e 0A = 6 n = 0 p u e s t o q u e A y f í s o n s o p o r te s fijo s, y
se a p lic a la e c u a c i ó n p e n d ie n te - d e f le x ió n ( e c u a c ió n 11-8 ) d o s v e c e s a
c a d a c la r o , re s u lta
('
~ * ID
4 6 6
C a p it u l o
EJE M PL O
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
1 1 .4 (C o n tin u a c ió n )
P a r a e l c la r o A B :
1 3 k /p ic
M a b = 2 [2 9 (1 0 3)( 1 2 )2] ( 0 .0 0 3 0 1 4 )(2 (0 ) + d„ - 3 (0 )1 - 72
M AB = 2 5 1 7 3 .6 0 *
-
72
(1 )
M b a = 2 |2 9 (1 O 3) ( 1 2 ) 2](O.OO3O14)|20* + 0 - 3 ( 0 ) J + 7 2
M BA = 5 0 3 4 7 .2 0 * + 7 2
(a)
(2 )
P a r a e l c la r o B C :
M b c = 2[29{103) ( 1 2 ) 2l(0 .0 0 3 6 1 7 )I2 « fl H
M b c = 6 0 4 1 6 .7 0 * + 3 0 2O 8.30C -
c - 3 (0 .0 0 5 )1 + 0
4 5 3 .1
(3 )
M c b = 2 |2 9 (1 O 3) ( 1 2 ) 21(O.OO3617)(20C + 0 * - 3 (0 .0 0 5 )1 + 0
M Cb
= 6 0 4 1 6 .7 0 c + 3 0 2 0 8 .3 0 * -
4 5 3 .1
(4 )
P a r a e l c la r o CD :
Mcd = 2 |2 9 ( 1 0 3) ( 12 )2J(0 .0 0 4 8 2 3 ) [20c +
0 - 3 ( - 0 .0 0 6 6 7 )|
-f
0
M c d = 8 0 5 5 5 .6 0 c + 0 + 8 0 5 .6
(5 )
M o c = 2 (2 9 ( 10 3) ( 1 2 )21(0 .0 0 4 8 2 3 )(2 (0 ) + 0C - 3 ( - 0 .0 < ) 6 6 7 ) | + 0
M o c = 4O 2 7 7 .8 0 C + 8 0 5 .6
P
Meo
M
í
U ícn
M c.
v-
» r
(C )
Ve.
(6 )
E c u a c io n e s d e e q u ilib r io . E s ta s se is e c u a c io n e s c o n ti e n e n o c h o
in c ó g n ita s . Si s e e s c r ib e n las e c u a c io n e s d e e q u il ib r io d e m o m e n to s
p a r a lo s s o p o r te s e n B y C . fig u ra 1 0 -1 3 c ,s e ti e n e
(,+ 2 M * = 0 ;
M b a + M bc = 0
(7 )
(,+ S M c = 0 .
Mcs +
(8 )
M eo = 0
P a r a e n c o n tr a r la so lu c ió n s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s (2 ) y ( 3 ) e n la
e c u a c ió n (7 ). y la s e c u a c io n e s (4 ) y (5 ) e n la e c u a c ió n (8). D e e s to re s u lta ,
0 c + 3 .6 6 7 0 8 = 0 .0 1 2 6 2
- 0 C - O.2140fl = 0 .0 0 2 5 0
ft>r lo ta n to .
0ñ = 0 .0 0 4 3 8 r a d
0C = - 0 .0 0 3 4 4 r a d
E l v a lo r n e g a tiv o d e 0 C in d ic a u n g ir o e n s e n t id o in v e r s o d e la t a n ­
g e n te e n C , fig u ra 1 1 -13a. A l s u s tit u ir e s to s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s
( l ) - ( 6 ) s e o b ti e n e
M a b = 3 8 .2 k • p ie
R esp .
M ba = 292 k - p i e
R esp .
M bc = -2 9 2 k -p ie
R esp .
M Cfl = - 5 2 9 k - p i e
R esp .
M e o = 5 2 9 k • p ie
R esp .
M qc = 667 k - p i e
R esp .
A p liq u e e s t o s m o m e n to s e n lo s e x tr e m o s a lo s c la r o s B C y C D y d e ­
m u e s tre q u e V c . “ 4 1 .0 5 k , V c - - 7 9 .7 3 k y q u e la fu e rz a s o b r e e l r o ­
d illo e s P = 121 k .
1 1 .3
A n Á L IS S D E V IG A S
4 6 7
PROBLEMAS
D eterm ine los m o m en to s e n A , B y C .y d e sp u é s d i­
buje e l d iag ram a d e m o m en to . E l e s co n stan te. S uponga
q u e e l so p o rte e n R es u n rod illo y q u e A y C e stá n fijos.
1 1 -1 .
3k
3 k
D eterm in e lo s m om entos e n lo s so p o rtes, y d e s ­
pués d ib u je el d iag ram a d e m om ento. S uponga q u e & e s un
rodillo y q u e A y C e stán fijos. E l es constante.
•1 1 -4 .
4 k
P r o b . 1 1 -4
P r o h . 11—1
11—2 . D eterm ine los m o m en to s e n A , B y C .y d e sp u é s d i­
buje e l d iag ram a d e m o m en to p a ra la viga. E l m o m e n to de
inercia d e c ad a claro se indica e n la figura. S uponga q u e el
s o p o rte e n B e s u n rod illo y q u e A y C e s tá n fijos. E —
2 9 (!0 5) ksi.
1 1 -5 . D eterm in e e l m o m e n to c n A . B . C y / ) , y d e sp u é s d i­
buje el diagram a d e m o m en to p ara la viga. S uponga q u e los
so p o rtes e n A y D están fijos y q u e B y C son rodillos. E l es
constante.
P r o h . 1 1 -2
11-3. D eterm ine lo s m om entos e n lo s so p o rte s A y C , y
después d ib u je e l diagram a de m om ento. S uponga q u e la
ju n ta B e s u n rodillo. E l e s constante.
1 1 -6 . D eterm in e los m o m en to s e n A , B, C y D. y d e sp u és
dibuje e l d iag ram a d e m o m en to p a ra la v ig a S u p o n g a q u e
b s so p o rte s e n A y D e stán fijos y q u e B y C so n rodillos. El
e s co n stan te.
9 k
P ro h . 11-3
P ro h . 11-6
9k
468
C
a p i t u l o
11
M
é t o d o
d e
a n á l i s i s
d e l
1 1 - 7 . D eterm in e e l m o m e n to e n ti, y d e sp u é s d ib u je e l
diagram a de m o m en to p a ra la viga. S u p o n g a q u e lo s so p o rtes e n A y C están articu lad o s y q u e t i es u n rodillo. El es
constante.
d e s p l a z a m i e n t o
:
E
c u a c i o n e s
d e
p e n d i e n t e
-
d e f l e x i ó n
1 1 - 1 0 . D eterm in e lo s m o m en to s e n A y II. y d e sp u é s d i­
buje e l d ia g ra m a d e m o m en to p ara la viga. £ / e s constante,
*11-8. D eterm ine lo s m o m en to s e n A. t i y C .y d e sp u és
dibuje el d iag ram a d e m o m en to . El e s constante. S uponga
que e l so p o rte e n t i es u n rodillo y q u e A y C e stá n fijos.
11-11. D eterm in e los m o m en to s e n A, B y C .y d esp u és d i­
buje e l d iag ram a de m o m en to p a ra la viga. S uponga q u e el
so p o rte e n A está fijo, q u e ti y C so n rodillos, y q u e D está
articulado. El es co n stan te.
1 1 - 9 . D eterm in e los m o m en to s e n c a d a so p o rte, y d e s ­
pués dibuje e l diagram a de m om ento. S uponga q u e A está
fijo. F.I es constante.
D eterm ine lo s m o m en to s q u e actú a n e n A y ti.
Suponga q u e A e stá fijam ente apoyado, q u e t i e s u n rodillo
y q u e C está articu lad o . E l e s co n stan te.
P roh. 11-9
P roh. 11-12
•1 1 -1 2 .
1 1 .4
1 1 .4
A n á l is is d e m a u c o s : S i n l a d e o
A n á lis is d e m a rc o s : S in la d e o
U n m a r c o n o s e la d e a r á , o n o s e d e s p l a z a r á a la iz q u ie r d a o a la d e r e c h a ,
s ie m p r e y c u a n d o e s t é d e b id a m e n te re s trin g id o . E n la fig u ra 11-14 se
m u e s tra n a lg u n o s e je m p lo s . A d e m á s , n o se p r o d u c i r á u n d e s p la z a m ie n to
la te r a l e n u n m a r c o n o re s trin g id o , s ie m p r e q u e s e a s im é tr ic o c o n r e s ­
p e c to a la c a rg a y a la g e o m e tr ía , c o m o s e m u e s tr a e n la f ig u r a 11 -1 5 .
f t i r a a m b o s c a s o s , e l t é r m i n o y e n la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n
e s ig u a l a c e r o , p u e s to q u e la fle x ió n n o h a c e q u e la s j u n t a s te n g a n u n
d e s p la z a m ie n to lin e a l.
L os s ig u ie n te s e je m p lo s ilu s tr a n l a a p lic a c ió n d e la s e c u a c io n e s d e p e n ­
d ie n te - d e f le x ió n u s a n d o e l p r o c e d im ie n to d e a n á lis is q u e s e d e s c r ib ió e n
la s e c c ió n 11-3 p a r a e s te tip o d e m a rc o s.
W
W
W
F ig u ra 1 1 -1 5
4 6 9
4 7 0
C a p it u l o
E JE M P L O
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
1 1 .5
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 11-16 a , E l e s c o n s ta n te .
2 4 k N /m
S O L U C IÓ N
/X - .
121
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s te p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e tr e s c la r o s : A B , B C y C D . C o m o lo s c la r o s e s t á n f ija ­
m e n te a p o y a d o s e n A y D, se a p lic a la e c u a c ió n 11-8 p a r a e n c o n tr a r la
s o lu c ió n .
A p a r t i r d e la ta b l a q u e s e e n c u e n t r a e n e l in t e r i o r d e la c o n t r a p o r ­
ta d a . lo s F E M p a r a B C s o n
(F E M )
5 \v l.
5 (2 4 )(8 )2
96
96
BC
5w L2
(F E M )c fl =
(a)
Figura 11-16
96
-8 0 k N -m
5 (2 4 ) ( 8 )2
- = 80 k N - m
96
O b se rv e q u e 0 A =
= 0 y q u e i¡,AB = 4>b c = •I'c d = 0 . p u e s to q u e n o
s e p r o d u c i r á u n d e s p la z a m ie n to la te r a l.
A l a p lic a r la e c u a c ió n 11 -8 . se ti e n e
M n = 2 E k ( 2 0 N + BF - 3 4 ,) + ( F E M )N
M ab = 2 £ ( ^ ) [ 2 ( ° ) +
~ 3 (°)1 + 0
M á b = 0 .1 6 6 7 £ /* fl
M ba =
2e (J ^ [ 2 0 b
(1)
+ 0 - 3 (0 )] + 0
M b a = 0 .3 3 3 E I d „
(2)
M b c = 2 ^ ( g ) | 2 0 B + e c - 3 (0 ) 1 - 8 0
M /u : = 0 .5 E i e „ + 0 .2 5 E I 6 C - 8 0
(3 )
M c b = 2 * ( j ) p * c + 0B ~ 3 (0 ) 1 + « 0
M c b = 0 .5 E 1 6 c + 0 .2 5 E I 0 B + 8 0
(4 )
M cd = 2 E ( j ^ [ 2 d c + 0 - 3 (0 )J + 0
M c d = O .3 3 3 £ 7 0 c
M dc
=
2e (J ^ [2 {0 )
M o c = O .1 6 6 7 E /0 C
(5 )
+ 9 c - 3 (0 )1 + 0
(6)
1 1 .4
E c u a c i o n e s d e e q u i l i b r i o . L as s e is e c u a c io n e s a n te r io r e s c o n t i e ­
n e n o c h o in c ó g n ita s . L a s d o s e c u a c io n e s d e e q u il ib r io r e s ta n te s p r o ­
v ie n e n d e l e q u il ib r io d e m o m e n to s e n la s ju n t a s H y C , f ig u r a 1 1 -1 6 6 .
Se t i e n e
M b a + M Bc ~ 0
(7 )
M Cb + M C d - 0
(8 )
P a r a re s o lv e r e s t a s o c h o e c u a c io n e s s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s (2 )
y (3 ) e n l a e c u a c ió n ( 7 ) . y se r e m p la z a n la s e c u a c io n e s (4 ) y ( 5 ) e n la
e c u a c ió n (8 ). R e s u lta
0 .8 3 3 E 1 0 b + Q 2 5 E I0 C = 8 0
0 .8 3 3 E ! 0 C + O .2 5 E /0 fl = - 8 0
A l r e s o lv e r s i m u ltá n e a m e n te s e o b ti e n e
• • - - « c - T
r
la c u a l c o n c u e r d a c o n la m a n e r a e n q u e s e d e f o r m a e l m a r c o .c o m o se
m u e s tra e n la fig u ra I I - 1 6 a . S i se s u s tit u y e e n la s e c u a c io n e s (1 ) - ( 6 ) .
se ti e n e
M a r = 22.9 k N - m
R esp .
M b a = 4 5 .7 k N • m
R esp .
M Bc = - 4 5 . 7 k N - m
R esp .
M Cñ = 4 5 .7 k N • m
R esp .
M Cd = - 4 5 . 7 k N • m
R e sp .
M o c = - 2 2 .9 k N - m
R esp .
C 6 n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s p u e d e n d e te r m i n a r s e las r e a c c io n e s e n
lo s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to a p a r tir d e la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io y
es p o s ib le d ib u ja r el d ia g r a m a d e m o m e n to p a r a e l m a rc o , fig u ra 1 l - 16c.
8 23 kN-m
4 7 1
A n á l is is d e m a r c o s : S i n l a d e o
m.
Mo
-fr*
C
^
T
(b)
M eo
4 7 2
C a p it u l o
E JE M P L O
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
1 1 .6
D e te r m in e lo s m o m e n to s in te r n o s e n c a d a j u n t a d e la e s t r u c tu r a q u e
se m u e s tra e n la f ig u r a 11-17 a . E l m o m e n to d e in e rc ia p a r a c a d a e l e ­
m e n to s e d a e n la f ig u r a . C o n s id e r e q u e E = 2 9 (1 0 3) k si.
6k
Figura 11-17
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . E n e s t e p r o b le m a d e b e n
c o n s id e r a r s e c u a tr o c la ro s. S e a p lic a la e c u a c ió n 11-8 a lo s c la r o s A B y
B C , y la e c u a c ió n 1 1-10 a C D y C E , p o r q u e lo s e x tr e m o s e n D y E
e s t á n a rtic u la d o s .
Si s e c a lc u la n la s rig id e c e s d e lo s e le m e n to s , s e ti e n e
* AB
kñc
4 00
4 = 0001286 p ie s '
1 5 (1 2 )4
” r "
1 6 (1 2 )4
0.002411 p ie s 3
*'*’
‘
k CD
200
4 = (1000643 p ie s 3
1 5 (1 2 )'
k CE =
= 0 .0 0 2 6 1 2 p i e s 3
1 2 (1 2 )'
L o s F E M d e b id o s a la s c a r g a s s o n
(F E M ) s c
PL
6 (1 6 )
- = - - ^ =
- 1 2 k -p ie
PL
6 (1 6 )
( F E M ) Cfi = — = - Y 2 = 12 k • p ie
wL2
(F E M ) c e
g
3(12)2
- j -
= - 5 4 k - p ie
A l a p li c a r la s e c u a c io n e s 11-8 y 11-10 a la e s t r u c tu r a y to m a r e n
c u e n ta q u e 0 A = 0 , i/>AB = i¡ib c = •k c n = I c e = O d a d o q u e n o s e p r o ­
d u c e d e s p la z a m ie n to la t e r a l .s e ti e n e
M n = 2 E k (2 B N + 0 F - t y ) + (F E M )*
M a b = 2 (2 9 (1 0 3)( 12 ) 2|( 0 .0 0 1 2 8 6 ) ( 2 ( 0 ) + 0 B - 3 (0 )1 + 0
M A ñ = 1 0 7 4 0 .7 0 «
(1 )
11A
A n á lis is d e m a u c o s : S in la d e o
4 7 3
M BA = 2 [2 9 ( 103) ( 1 2 )2] (0 .0 0 1 2 8 6 )[20B + 0 - 3 ( 0 ) ] + 0
A # * , « 2 1 4 8 1 .5 » *
M
Mk
(2 )
« 2 (2 9 ( 103) ( 1 2 ) 2|( 0 .0 0 2 4 1 1 )[20„ + 0C - 3 ( 0 ) ] -
12
= 4 0 2 7 7 .8 6 B + 20 1 3 8.90c - 12
(3 )
M c b = 2 (2 9 ( 103) ( 1 2 )2](0 .0 0 2 4 11 )[26c + 0 B - 3 ( 0 ) ] + 12
M c b = 2 0 1 3 8.90fi + 40 2 7 7 .8 6C + 12
M s =
3E k ( 6 N
~ *) +
(4 )
(FEM)*,
M c n = 3 [2 9 ( 103) (1 2 )2] (0 .0 0 0 6 4 3 ) [dc - 0 ] + 0
(5 )
M Cn = 8 0 5 5 .6 0 c
M Ce = 3 [2 9 ( 103) (1 2 ) 2| (0 .0 0 2 6 1 2 )|0 c - 0 ] - 5 4
(6 )
M Ce = 32 7 2 5 .7 6C - 54
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . E s ta s se is e c u a c i o n e s c o n tie n e n o c h o
in có g n itas. E s p o s ib le e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o ­
m e n to s p a r a la s j u n t a s B y C , fig u ra 11 - 17 b . S e o b tie n e
T
M ba + M k
= 0
(7 )
Mcb + M cd + M c e - 0
(8 )
A fin d e e n c o n tr a r la s o l u c ió n ,s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s ( 2 ) y (3 ) e n
ki e c u a c i ó n ( 7 ) , y la s e c u a c io n e s ( 4 ) - ( 6 ) e n la e c u a c ió n (8 ). D e e s t o r e ­
s u lta
6 1 7 5 9 3 6 B + 2 0 1 3 8.90c = 12
2 0 1 3 8.90fl + 81 0 5 9 .0 0 c = 42
A l r e s o lv e r e s ta s e c u a c io n e s s i m u ltá n e a m e n te s e o b ti e n e
0fl = 2 .7 5 8 ( 10-5 ) r a d
0C = 5 .1 1 3 (1 0 -4 ) r a d
A l t e n e r u n s e n t id o h o r a r io ,e s t o s v a lo r e s tie n d e n a d is to r s io n a r la e s ­
tr u c tu r a c o m o se m u e s tra e n la f ig u r a 1 1 -1 7 a . S i s e s u s titu y e n e s t o s v a ­
lo re s e n las e c u a c io n e s (1 ) - ( 6 ) y s e re s u e lv e , r e s u lta
M a b = 0 .2 9 6 k - p i e
R esp .
M ,m = 0 .5 9 2 k - p i e
R esp .
M BC = - 0 .5 9 2 k - p i e
R esp .
Mcb =
k • p ie
R esp .
M c n = 4 .1 2 k - p ie
R esp .
M
ce
=
3 3 .1
“ 3 7 .3
k - p ie
R esp .
« „
Í
<b)
Mc»
4 7 4
C a p it u l o
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
1 1 .5
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
A n á lis is d e m a rc o s : C o n la d e o
U n m a r c o s e la d e a , o s e d e s p la z a l a t e r a l m e n t e .c u a n d o la c a r g a q u e a c tú a
s o b r e é l n o e s s im é tric a . P a r a il u s t r a r e s t e e f e c to , c o n s i d e r e e l m a r c o d e
la fig u ra 11-18. A q u í, la c a r g a P p ro v o c a m o m e n to s d e s ig u a le s M flC y
M Cfl e n la s j u n t a s t í y C , r e s p e c tiv a m e n te . M flC ti e n d e a d e s p l a z a r la
ju n t a t í h a d a la d e r e c h a , m ie n tr a s q u e M e a ti e n d e a d e s p la z a r la j u n t a C
h a c ia l a iz q u ie rd a . P u e s to q u e M n c e s m a y o r q u e M< * , e l r e s u lta d o n e to
e s u n d e s p la z a m ie n to la t e r a l A d e la s d o s ju n t a s B y C h a c ia la d e r e c h a ,
c o m o s e m u e s tra e n la f ig u r a .* P o r lo ta n t o , a l a p li c a r la e c u a c i ó n d e
p e n d ie n t e - d e f le x ió n a c a d a c o lu m n a d e e s t e m a r c o d e b e c o n s i d e r a r s e
la r o t a d ó n d e la c o lu m n a
( p u e s to q u e ip = A / £ ) c o m o in c ó g n ita e n la
e c u a c ió n . E n c o n s e c u e n c ia , d e b e in c lu ir s e u n a e c u a c ió n d e e q u ilib r io
a d ic io n a l p a r a o b t e n e r l a s o lu c ió n . E n la s s e c c io n e s a n te r io r e s s e d e ­
m o s tr ó q u e lo s d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s d e s c o n o c id o s 0 se r e l a d o n a n
m e d ia n te la s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la s ju n ta s . D e u n a
m a n e r a s im i la r .c u a n d o s e p r o d u c e n d e s p la z a m ie n to s lin e a le s d e s c o n o c i­
d o s A e n la s ju n ta s ( o r o t a c io n e s i¡i d e l c la r o ) , s e r e q u i e r e e s c r ib ir las
e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e fu e r z a s p a r a o b t e n e r la s o lu c ió n c o m p le ta .
S in e m b a r g o , la s in c ó g n ita s e n e s t a s e c u a c io n e s s ó l o d e b e n in c lu ir lo s
m o m e n t o s in te r n o s q u e a c tú a n e n lo s e x tr e m o s d e la s c o lu m n a s , p u e s to
q u e la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n in v o lu c r a n a e s t o s m o m e n to s .
L a té c n ic a p a r a re s o lv e r lo s p r o b l e m a s d e m a rc o s c o n d e s p la z a m ie n to la ­
te r a l s e ilu s tra d e m e jo r m a n e r a m e d ia n te e je m p lo s .
l i g a r a 1 1 -1 8
E JE M P L O
d e s p l a z a m ie n t o
1 1 .7
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a rc o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 1 l- 1 9 a . E l e s c o n s ta n te .
401c
S O L U C IÓ N
12 pies
E c u a c i o n e s d e p e n d i e n t e - d e f l e x i ó n . C ó m o lo s e x tr e m o s e n A y
D e s tá n fijo s, s e a p lic a l a e c u a c ió n 11-8 a lo s t r e s c la r o s d e l a e s t r u c ­
tu r a . A q u í s e p r o d u c e d e s p la z a m ie n to la t e r a l p o r q u e n i la c a r g a a p l i ­
c a d a n i la g e o m e t r í a d e la e s t r u c tu r a s o n s im é tric a s . E n e s te c a s o , la
c a rg a s e a p lic a d ir e c ta m e n te a la j u n t a t í y, p o r lo ta n t o , n in g ú n F E M
a c tú a e n la s ju n t a s . C o m o s e m u e s tr a e n la fig u ra 11-1 9 a . s e s u p o n e
q u e a m b a s j u n t a s t í y C se d e s p la z a n u n a c a n tid a d ig u a l A. E n c o n s e ­
c u e n c ia . j»AB = A /1 2 y i[id c = A /1 8 , A m b o s té r m in o s s o n p o s itiv o s
p o r q u e la c u e r d a d e lo s e le m e n to A t í y C D " g ir a n ” e n s e n t id o h o r a ­
rio . S i s e r e l a c io n a il/AB c o n i|»o c , s c t i e n e jiAB = (1 8 /1 2 )i/rDO A l a p lic a r
la e c u a c i ó n 11-8 a l m a r c o , r e s u lta
(a)
F ig u ra 11-19
M AB
“ (n)
2 (0 )
M
BA
2£[ —
20, + 0 - 3 ( | | * « ; ) ] + 0 = E l { 0 3 3 3 0 B - O J S t o c )
M
i
2 E [ j^ j[ 2 B B
©
+
+
9fí ~
0C
-
) ] + 0 = E l (O .16670fl - 0 .7 5 * n c )
l f * DC
3 (0 )]
+
0
=
£ 7 (0 .2 6 7 0 *
+
O .1 3 3 0 c )
( 1)
(2 )
(3 )
•Recuerde que la deformación de los tres elementos debida a la tuerca cortante axial es in­
significante.
1 1 .5
A n Al i s i s d e m a r c o s : C o n l a d e o
M c b = 2 E ( j ^ j [ 2 B c + 0„ ~ 3 ( 0 ) | + 0 = E l (0 .2 6 1 0C + O.1330fl)
(4 )
M e o = 2 e ( J ^ [ 2 B c + 0 - 3 * K \ + 0 = E /(O .2 2 2 0 C - 0 .3 3 3 4>oc)
(5 )
M o c = 2 E ^ ) [ 2 ( 0 ) + dc - 3 M
(6 )
+ 0 = £ 7 ( 0 .1 1 1 0 c -
0 .3 3 3 * d c )
40 k ■
E cu a cio n e s d e e q u ilib r io . L a s s e is e c u a c io n e s c o n ti e n e n n u e v e
in c ó g n ita s . E s p o s ib le e s c r ib ir d o s e c u a c io n e s d e e q u ilib r io d e m o ­
m e n to s p a r a la s j u n t a s B y C , fig u ra 1 1 -1 9 6 ,a s a b e r ,
= 0
(7 )
A fe a + M c n = 0
( )
M
+ M
ba
bc
4 7 5
Msc
&
^
T~„
T
(b)
8
C o m o se p r e s e n ta u n d e s p la z a m ie n to h o r iz o n ta l A . s e c o n s id e r a r á
la s u m a to r i a d e la s fu e rz a s s o b r e io d o e l m a r c o e n la d ir e c c ió n x . D e
e s to r e s u lta
■ ± Z F ,
=
0 ;
— V A
40
— V p
=
p
0
L a s r e a c c io n e s h o r iz o n ta le s o f u e r z a s c o r t a n te s d e c o lu m n a V A y V D
p u e d e n r e la c io n a r s e c o n lo s m o m e n to s in te r n o s a l c o n s i d e r a r e l d i a ­
g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a c o lu m n a p o r s e p a r a d o , f ig u r a 1 l-1 9 c .
12 p ie s
Se t i e n e
M a b + M ba
12
SAZ*, = 0;
V'amT •
M
M pc + M eo
2 A /C = O,
Vd -
-
(c)
18
R>r lo ta n to ,
40 +
M
a b
+
M
b a
12
+ M oc + M cn
18
0
(9 )
A fin d e re s o lv e r, s e s u s titu y e n la s e c u a c io n e s ( 2 ) y (3 ) e n la e c u a d ó n ( 7 ) , la s e c u a c io n e s ( 4 ) y ( 5 ) e n la e c u a c ió n (8 ), y la s e c u a c io n e s
(1 ), ( 2 ) , ( 5 ) y (6 ) e n la e c u a c ió n ( 9 ) . D e a q u í s e o b ti e n e
O .60fl + 0 .1 3 3 0 c - 0 .7 5 * d c = 0
0 .1 3 3 0 b + O.4890c - 0 .3 3 3 ^ o c = 0
480
0 .5 0 b
+ O.2220c. -
1.944V/OC = -
£/
A l r e s o lv e r s im u ltá n e a m e n te , s e ti e n e
£ / 0 fl = 438.81
£ / 0 c = 136.18
E l ^ p c = 3 7 5 .2 6
ft>r ú ltim o , c o n b a s e e n e s t o s r e s u lta d o s y re s o lv ie n d o la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 6 )
s ; o b ti e n e
M Ab =
- 2 0 8 k -p ie
R esp .
M Ba °
- 1 3 5 k •p ie
R esp .
M
bc
~
M cb =
135 k •p i e
R esp .
9 4 .8 k • p i e
R esp .
M Co = ^ 9 4 .8 k ■p ie
R esp .
A /b c = - 1 1 0 k - p i e
R esp .
v „ -f-
-
MCD
4 7 6
C a p it u l o
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a r c o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 1 l- 2 0 a . L o s s o p o r te s e n A y D e s tá n fijo s y s e s u p o n e q u e la
j u n t a C e s tá a rtic u la d a . E l e s c o n s ta n te p a r a c a d a e le m e n to .
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e fle x ió n . S e a p lic a r á la e c u a c ió n 11-8
al e l e m e n t o A f í p u e s to q u e e s tá c o n e c ta d o f ija m e n te e n a m b o s e x t r e ­
m o s. L a e c u a c ió n 11-10 p u e d e a p lic a r s e d e / í a C y d e / ) a C p o r q u e e l
p a s a d o r e n C s o p o r ta u n m o m e n to c e ro . C o m o s e m u e s tra e n e l d i a ­
g r a m a d e d e f le x ió n , f ig u r a 1 1 -2 0 6 . h a y u n d e s p la z a m ie n to lin e a l d e s ­
c o n o c id o d e la e s t r u c tu r a y u n d e s p la z a m ie n to a n g u la r d e s c o n o c id o
6„ e n la j u n t a B * D e b id o a A . lo s e le m e n to s d e la c u e r d a A B y C D
g ira n e n s e n t id o h o r a r io , i = i¡iAfí = iftp c = A /4 . S i s e to m a e n c u e n ta
q u e dA = 0 D = O .y q u e n o h a y F E M p a r a lo s e le m e n to s , s e ti e n e
+ 0F - 3 * ) + (F E M )*
+
0B -
3*] + 0
+ 0 - 3*) + 0
~ t ) + (F E M )*
E c u a c io n e s d e e q u H ib rio .
fig u ra 11- 2 0 c .r e q u ie r e q u e
E l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la j u n t a B .
M ba +
M ac =
0
(5 )
Si la s f u e r z a s s e s u m a n p a r a to d o e l m a r c o e n la d ir e c c ió n h o r iz o n ­
ta l , re s u lta
X S F , = O.
1 0 - VA - V D - 0
(6)
C o m o s e m u e s tr a e n e l d ia g r a m a d e c u e r p o lib r e d e c a d a c o lu m n a , fi­
g u r a l l - 2 0 d .s e ti e n e
M
ab +
M
ba
V 'x
V D
• L o s d e s p la z a m ie n to s a n g u la r e s 0 CB y Bc n e n la j u n t a C ( a r ti c u la d a ) n o e s t á n in c lu i­
d o s e n e l a n á lis is d e b id o a q u e s e d e b e u s a r la e c u a c ió n 1 1 - 10 .
1 1 .5
A n á l is is d e m a r c o s : C o n l a d e o
4 7 7
E n to n c e s , a p a r t i r d e la e c u a c ió n (6 ),
(7 )
t
- é r v*
- ^
Vc
A l s u s tit u ir la s e c u a c io n e s d e p e n d ie n te - d e f le x ió n e n la s e c u a c io n e s
(5 ) y ( 7 ) y a l s im p lific a r s e o b tie n e
» * ¥ (!-■- ¥ * ) v- t " R »r lo ta n to .
(d)
e*
240
320
21 E l
2 \E l
Si s e s u s titu y e n e s t o s v a lo r e s e n la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 4 ) , s e tie n e
M a r = - 1 7 .1 k N - m .
M BA = - 1 1 . 4 k N • m
R e sp .
M b c = 11.4 k N - m ,
M ^ = - 1 1 .4 kN • m
R esp .
C b n b a s e e n e s to s r e s u lta d o s , e s p o s ib le d e te r m i n a r la s re a c c io n e s e n
b s e x tr e m o s d e c a d a e le m e n to a p a r t i r d e la s e c u a c io n e s d e e q u i l i ­
b rio , f ig u r a 1 l- 2 0 e . E l d ia g r a m a d e m o m e n to s p a r a e l m a r c o s e m u e s ­
tr a e n l a fig u ra 1 1 -2 0 /
3 .81 k N
3.81 k N
3.81 k N
2 8 6 kN
10 kN
I
H
* “
1 1.4kkKN-i»
lM
-m
t
2 8 6 kN
« « H i
2 .8 6 k N
1 1 .4 k N *
*1"
11.4 k N - m
3 .8 1 k N
3.81 k N
ir
3.81 k N
2 .8 6 k N
1 1 .4 k N - r
7 .1 4 k N
2 * 6 kN
11.4 kN *
T"
3 8 1 kN
7.14 k N ♦ + -
.1 k N • i
3.81 k N
(e)
(0
4 7 8
C a p it u l o
E JE M P L O
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
1 1 .9
E x p liq u e c ó m o s e d e te r m i n a n lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e la e s ­
tr u c tu r a d e d o s n iv e le s q u e s e m u e s tra e n la fig u ra 11 -2 1 a . E l e s c o n s ­
ta n te .
A, + A ,
4)kN
S O L U C IÓ N
7 m ------
Ecuación de pendiente-deflexión. C o m o lo s s o p o r te s e n A y F
e s t á n fijo s, la e c u a c ió n 11 -8 se a p lic a p a r a lo s s e is c la r o s d e la e s t r u c ­
tu r a . N o e s n e c e s a r io c a lc u la r n in g ú n F E M p o r q u e la c a r g a a p lic a d a
a c tú a e n las ju n t a s . A q u í, la c a rg a d e s p la z a a la s j u n t a s R y E u n a c a n ­
ti d a d A i. y a C y D u n a c a n ti d a d A | + A?. E l r e s u lta d o e s q u e lo s e l e ­
m e n to s A B y F E e x p e r im e n ta n r o ta c io n e s d e
= A , / 5 . y B C y E D se
s o m e te n a r o t a c io n e s d e
“ A ^S.
A l a p li c a r la e c u a c i ó n 11-8 a l m a r c o s e o b ti e n e
<■)
Figura 11-21
M ab =
2 f ( j y [2 ( 0 )
+e B -
M ba = 2 E ^ [ 7 B b +
3 * ,]
+ ec
=
M
cb
= 2 £ ^ 0 [ 2 0 c + 0B -
3 ^ 2]
M
cd
= 2 E Í ^ p 0 c + 0D -
3 (0 )1
M a c = 2e (^)[2 B
d
0
0 - 3*J + 0
M bc
2 ¿ (0 [2 0 s
+
- 3<tel
+
(1)
(2)
o
(3 )
+ 0
(4)
+
0
(5)
+ 0 C - 3 (0 )1 + 0
(6)
M
be
= 2 £ ^ ) [ 2 0 a + e E - 3 (0 ) 1 + 0
(7)
M
fb
= 2 e ( Í ) [ 2 0 * + B ñ - 3 (0 ) 1 + 0
(8 )
2 e [ ^ \2 B e
+ 0 n - 3 * 21 + 0
(9)
M nE = 2 e Q ) [ 2 9 0 + B E - 3 * 2) + 0
(1 0 )
M Ef> =
M f e = 2 £ G ) ,2 (o ) + ° F ~ 3 ^ ' 1 +
Me f
= 2
e
( -‘ W
+ 0 - 3 ^ ,1 + 0
E s ta s 12 e c u a c io n e s c o n ti e n e n 18 in c ó g n ita s .
0
(1 1 )
(1 2 )
1 1 .5
A nálisis d e m a r c o s : C o n l a d e o
E c u a c io n e s d e e q u li b r i o . E l e q u ilib r io d e m o m e n to s e n la s ju n t a s
R , C , D y E , fig u r a 11 -2 1 6 . r e q u i e r e q u e
M ba +
M ef +
M be + M bc = ü
(1 3 )
M Cb + M c d = ü
(1 4 )
M pc + M de = 0
(1 5 )
M eb + M ed = 0
(1 6 )
C o m o e n lo s e je m p lo s a n te r io r e s . la f u e r z a c o r t a n te e n la b a s e d e
to d a s la s c o lu m n a s d e c u a lq u ie r n iv e l d e b e e q u il ib r a r la s c a r g a s h o r i­
z o n ta le s a p lic a d a s , fig u ra 1 1 -2 le . D e a q u í r e s u lta
X 1 F , = 0;
4o + M K
40 - V K
-
V ED
+ M cb + M ed + M de = Q
(1 7 )
X Z FX = 0;
120 +
40 + 8 0 -
V AB -
V FE = 0
+ M e f ± M FE = q
( 18)
L a s o lu c ió n r e q u i e r e s u s titu ir la s e c u a c io n e s ( l ) - ( 1 2 ) e n la s e c u a c io ­
nes (1 3 ) - ( 1 8 ), d e d o n d e r e s u lta n se is e c u a c io n e s c o n s e is in c ó g n ita s .
E s ta s e c u a c io n e s p u e d e n re s o lv e rs e d e m a n e r a
s i m u ltá n e a . L o s re s u lta d o s s e s u s titu y e n d e n u e v o e n las e c u a c io n e s
(1 )-(1 2 ). d e d o n d e s e o b ti e n e n lo s m o m e n to s e n las ju n ta s .
(c)
4 7 9
4 8 0
C a p it u l o
EJEMPLO
11
M é to d o
d e
a n á l is is
d e l
d e s p l a z a m ie n t o
: E c u a c io n e s
d e
p e n d ie n t e
- d e f l e x ió n
1 1 .1 0
D e te r m in e lo s m o m e n to s e n c a d a j u n t a d e l m a rc o q u e s e m u e s tra e n
la fig u ra 1 l- 2 2 a . E l e s c o n s ta n te p a r a c a d a e le m e n to .
,
¿y «r
(c )
F igura 11-22
S O L U C IÓ N
E c u a c io n e s d e p e n d ie n te * d e fle x ió n . La e c u a c i ó n 11-8 s e a p lic a a
c a d a u n o d e lo s tr e s c la ro s . L o s F E M s o n
(F E M )* ; = -
wL¿
2 (1 2 )'
12
12
w1}
2 ( 12 )2
( F E M ) Cfl = - j z r = ~ “
12
12
- 2 4 k - p ie
= 2 4 k • p ie
E l e l e m e n t o in c lin a d o A ñ o c a s io n a q u e e l m a rc o s e la d e e h a c ia l