“Año de la universalización de la salud”
UNIVERSIDAD NACIONAL
SAN LUIS GONZAGA
FACULTAD DE INGENIERIA DE MINAS Y
METALURGIA
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN:
TEORÍA DE ELASTICIDAD Y LA RESISTENCIA DE MATERIALES,
FUERZAS AXIALES EXTERIORES E INTERIORES.
DOCENTE: Dr. Ing. GUTIERREZ FERREYRA, JAVIER ORLANDO
CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES
CICLO: VI.
GRUPO: A
ESTUDIANTE:
 ABAD PALOMINO DIEGO ENRIQUE
ICA – 2020
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INDICE
I.
INTRODUCCION ..................................................................................................................... 3
II.
OBJETIVOS ............................................................................................................................. 3
III.
MARCO TEORICO ............................................................................................................... 4
3.1.
TEORIA DE LA ELASTICIDAD:.......................................................................................... 4
3.2.
LEY DE HOOKE GENERALIZADA ..................................................................................... 9
3.3.
DEFINICIÓN DE ESFUERZO........................................................................................... 21
Esfuerzo producido bajo carga normal axial ....................................................................... 21
Deformación lineal en barras. ............................................................................................. 22
IV.
EJEMPLOS: ....................................................................................................................... 23
V.
CONCLUSIONES ................................................................................................................... 25
VI.
BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................................. 26
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I.
INTRODUCCION
La resistencia de materiales y la teoría de elasticidad, como partes
integrantes de la mecánica de solidos deformables, son dos disciplinas
con objetivos comunes:
Ambas abordan la resistencia y rigidez de cuerpos solidos deformables
sometidos a la acción de sistemas de fuerzas en equilibrio estáticos.
La resistencia de materiales limita su campo de aplicación a ciertos de
elementos estructurales (vigas y columnas), sustentados de ciertas
maneras
predeterminadas
(apoyos
simples,
articulaciones,
empotramientos, etc) y sometidos a ciertos tipos de acciones (fuerzas
puntuales y repetidas generalmente, y otras acciones definidas de forma
adecuada).
Teoría de elasticidad, por su parte, afronta el problema ¨mecánico¨ en su
forma más general en cuanto a geometrías, condiciones de contorno y
tipos de acciones consideradas. Esto lleva un rigor que precisa en su
planeamiento matemático que impide obtener soluciones analíticas, salvo
para un limitado número de casos requiriendo el método numérico
aproximados (diferencias finitas y elementos finitos).
II.
OBJETIVOS
 Conocer la teoría de la elasticidad, resistencia de materiales, fuerzas
axiales exteriores e interiores, diagramas, ejemplos.
 Dar a conocer, a través de un trabajo de investigación sobre la teoría de
la elasticidad, resistencia de materiales.
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III.
MARCO TEORICO
3.1. TEORIA DE LA ELASTICIDAD:
La “Teoría de la Elasticidad” nos centraremos en la mecánica de los
sólidos deformables.
La mecánica de sólidos deformables estudia el comportamiento de los
cuerpos sólidos deformables ante diferentes tipos de situaciones como
la aplicación de cargas o efectos térmicos. Estos comportamientos, más
complejos que el de los sólidos rígidos, se estudian en mecánica de
sólidos deformables introduciendo los conceptos de deformación y de
tensión mediante sus aplicaciones de deformación. Una aplicación
típica de la mecánica de sólidos deformables es determinar a partir de
una cierta geometría original de sólido y unas fuerzas aplicadas sobre
el mismo, si el cuerpo cumple ciertos requisitos de resistencia y rigidez.
Para resolver ese problema, en general es necesario determinar el
campo de tensiones y el campo de deformaciones del sólido. Las
ecuaciones necesarias para ello son: ecuaciones de equilibrio, que
relacionan tensiones internas del sólido con las cargas aplicadas.
Cuerpo elástico. - Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o
momentos exteriores recuperan su forma o tamaño original.
Cuerpo inelástico. - Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o
momentos no retorna perfectamente a su estado inicial.
Las fuerzas de masa están asociadas con el cuerpo considerado
(afectan a todas las partes del mismo) y no son consecuencia de un
contacto directo con otros cuerpos y entre ellas podemos citar las
fuerzas gravitacionales, las de inercia, las magnéticas.etc. Se
especifican en términos de fuerzas por unidad de volumen . Las
componentes de la intensidad de estas fuerzas según los ejes
coordenados, son Fx , Fy y Fz .
Las fuerzas de superficie son debidas al contacto físico entre dos
cuerpos. Si ampliamos el concepto podríamos incluir en dicho concepto
las fuerzas que una superficie imaginaria dentro de un cuerpo ejerce
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sobre la superficie adyacente, lo que resulta muy práctico para
establecer ecuaciones de equilibrio y otras.
Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el límite elástico.
Cuerpos dúctiles: Los que se siguen deformando al superar el límite
elástico, siguiendo un comportamiento plástico.
Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas
deformaciones
Cuerpo isótropo: Tiene las mismas características físicas en todas las
direcciones. Anisótropo, cuando depende de la dirección.
Cuerpo homogéneo: Tiene igual densidad . Inhomogéneo: Diferente
densidad. Los cuerpos homogéneos e isótropos tienen definidas sus
característica elásticas con el módulo de Young y el coeficiente de
Poisson.
ELASTICIDAD
En esta existe una relación lineal entre las deformaciones de los sólidos
y los esfuerzos externos aplicados a ellos. Esto que acabo de decir
conforma prácticamente la ley de Hooke cuya ecuación dice: Є*E=σ, es
decir que los esfuerzos (σ) son directamente proporcionales a las
deformaciones (Є), o decir también que los esfuerzos son iguales a las
deformaciones por el módulo de elasticidad del material. Para esto hay
que tener en cuenta que la deformación producida por un esfuerzo se
manifiesta en el mismo sentido de este.
Para la elasticidad existe un límite al cual se le llama límite elástico. Si
un material sobrepasa este límite, su comportamiento dejará de ser
elástico. Debido a esto se establece un rango elástico del material
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PLASTICIDAD
Cuando se somete un material a esfuerzos que los llevan a sobrepasar
su límite elástico, ocurre que sus deformaciones se vuelven irreversibles
o permanentes. Cuando esto ocurre las deformaciones dejan de ser
proporcionales a los esfuerzos y por tanto la ley de Hooke no cumple
como modelo explicativo para estos casos, por tanto se han
desarrollado muchos otros modelos para explicar el comportamiento
plástico de los materiales, los cuales son algo más complejo y no
pretendo cubrirlos en este artículo.
Dicho esto entraremos de lleno en el tema, la elasticidad, es una
propiedad mecánica de los sistemas, decimos que un material es
elástico cuando al aplicarle una fuerza, se deforma, y, al dejar de aplicar
la
fuerza,
vuelve
a
su
forma
original.
Los materiales que al ser deformados y dejar de aplicar la fuerza, no
vuelven a su forma original, se llaman inelásticos o plásticos.
Son materiales elásticos, un resorte, una gomita elástica, la piel, los
músculos,
entre
otros.
Materiales plásticos, son por ejemplo un chicle, plasticina, cemento...
Todos los materiales elásticos tienen un límite de elasticidad, lo cual
significa que si aplicamos una fuerza mayor al límite de elasticidad, el
material
queda
deformado
o
se
rompe.
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Las partículas se mantienen unidas por fuerzas de atracción entre ellas,
las que hacen que al separarlas vuelvan a su lugar, pero si las
separamos demasiado, éstas fuerzas no son suficientes para volver a
unirlas. El límite elasticidad depende de cada material.
Esfuerzo Normal
El esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de área (en la que se
aplica) que causa la deformación. Si la fuerza aplicada no es normal ni
paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma
vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la otra paralela
a la superficie considerada.
Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan
normalmente como σ (sigma) y se denominan como esfuerzo de
tracción o tensión cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando
de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de compresión
cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento
analizado.
El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota
como τ (tau) y representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo
trata de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta
papel.
Las unidades de los esfuerzos son las de fuerza dividida por área (las
mismas que para la presión), pero el esfuerzo no es un vector sino un
tensor.
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Las unidades que más se utilizan son: Pascal (Pa) = N/ m2 , (S.I.); din/
cm2 (c.g.s.); Kp/m2 , (s. Técnico); atmósfera técnica (Kp/cm2 );
atmósfera (atm); bar.
DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL
Si a una barra de longitud l le aplicamos una fuerza de tracción F y la
barra sufre un alargamiento ∆l , se define alargamiento o deformación
longitudinal como:
La deformación longitudinal es la variación relativa de longitud.
La relación entre la fuerza F y el alargamiento ∆l viene dada por el
coeficiente de rigidez Ks:
El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su
temperatura y presión y, en algunos casos, de la dirección en la que se
deforma (anisotropía).
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3.2. LEY DE HOOKE GENERALIZADA
Un medio se dice que es elástico si posee un estado natural, en el cual
esfuerzos y deformaciones son cero, y al cual se puede “volver” luego
de que las fuerzas aplicadas son removidas.
Bajo cargas aplicadas, los esfuerzos y las deformaciones “cambian”
juntos, y las relaciones entre estos, denominadas relaciones
constitutivas, son una importante característica de los medios.
Estas relaciones constitutivas iniciaron su desarrollo hace más de 300
años atrás, con las determinaciones experimentales desarrolladas
por Robert Hooke sobre “cuerpos elásticos”.
Hooke concluyó que el esfuerzo es proporcional a la deformación.

Ejemplo: Ensayo barra a tracción.
Un caso ilustrativo de este concepto, corresponde al análisis
unidimensional de un ensayo de tracción de una barra de acero.
En este caso, la tensión por unidad de área transversal de la barra,
es proporcional al alargamiento unitario de ésta, tal como se
esquematiza en la figura adjunta.
Se aprecia que, en cierta zona la relación entre el alargamiento unitario
y la tensión, se puede considerar “lineal”, pudiendo identificarse el valor
de la pendiente de esta recta, como la constante que relaciona esta
variable.
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Supóngase que se considera sólo la acción de 𝜎1 : entonces el cubo se
alargará en la dirección principal I y al mismo tiempo, por efecto Poisson,
se acortará en las otras dos direcciones principales, II y III.
El alargamiento en la dirección I se expresa como:
𝜀𝐼 (𝜎𝐼 ) =
𝜎𝐼
𝐸
y el decremento en las direcciones II y III debido a 𝜎1 se expresa como
𝜀𝐼𝐼 (𝜎𝐼 ) = −𝜈
𝜎𝐼
𝐸
;
𝜀𝐼𝐼𝐼 (𝜎𝐼 ) = −𝜈
𝜎𝐼
𝐸
Donde 𝜈 es el Módulo de Poisson del material considerado, ya que
recordando su definición:
𝜈=
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎
𝐴𝑙𝑎𝑟𝑔𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑥𝑖𝑙 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜
→ Aplicando al caso en cuestión:
Contracción lateral unitaria (𝜀𝐼𝐼 ) = 𝜈 . Alargamiento axil unitario =
−𝜈. (𝜀𝐼 )
De igual forma si se considera sólo el efecto de 𝜎𝐼𝐼 se tiene:
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El alargamiento en la dirección II debido a 𝜎𝐼𝐼 es:
𝜀𝐼𝐼 (𝜎𝐼𝐼 ) =
𝜎𝐼𝐼
𝐸
y el decremento en las direcciones I y III debido a 𝜎𝐼𝐼 es:
𝜀𝐼 (𝜎𝐼𝐼 ) = −𝜈
𝜎𝐼
𝐸
𝜀𝐼𝐼𝐼 (𝜎𝐼𝐼 ) = −𝜈
;
𝜎𝐼𝐼
𝐸
De igual forma debido a la acción de 𝜎𝐼𝐼𝐼 el alargamiento en la dirección
III es:
𝜀𝐼𝐼𝐼 (𝜎𝐼𝐼𝐼 ) =
𝜎𝐼𝐼𝐼
𝐸
y el decremento en las direcciones I y II debido a 𝜎𝐼𝐼𝐼 es:
𝜀𝐼 (𝜎𝐼𝐼𝐼 ) = −𝜈
𝜎𝐼𝐼𝐼
𝐸
;
𝜀𝐼𝐼 (𝜎𝐼𝐼𝐼 ) = −𝜈
𝜎𝐼𝐼𝐼
𝐸
Sumando las contribuciones aisladas de 𝝈𝑰 , 𝝈𝑰𝑰 𝒚 𝝈𝑰𝑰𝑰 se produce el
caso original objeto de este estudio, resultando:
𝜀𝐼 =
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 )]
𝐸 𝐼
𝜀𝐼𝐼 =
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 )]
𝐸 𝐼𝐼
𝜀𝐼𝐼𝐼 =
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼 )]
𝐸 𝐼𝐼𝐼
Las ecuaciones 𝜀𝐼 𝜀𝐼𝐼 𝜀𝐼𝐼𝐼 constituyen la ley de Hooke generalizada en
ejes principales para materiales isótropos y homogéneos. Isótropo
porque se supone que tanto el Módulo de Elasticidad como el de
Poisson no varían con la dirección. Homogéneo porque las propiedades
en un punto determinado son independientes de la posición del mismo
en el sólido.
Las deformaciones en función de las tensiones o bien la ley de Hooke
generalizada a ejes cualesquiera es la siguiente:
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𝜀12 =
𝜎12
2𝐺
;
𝜀11 =
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎22 + 𝜎33 )]
𝐸 11
𝜀22 =
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎11 + 𝜎33 )
𝐸 22
𝜀33 =
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎22 + 𝜎11 )]
𝐸 33
𝜀13 =
𝜎13
2𝐺
;
𝜀23 =
𝜎23
2𝐺
Las ecuaciones 𝜀11 ; 𝜀22 ; 𝜀33 y 𝜀12 ; 𝜀13 ; 𝜀23 en notación de índices se
expresarían:
𝜀𝑖𝑗 =
1+𝜈
𝜈
𝜎𝑖𝑗 − 𝜎𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗
𝐸
𝐸
En este punto es necesario hacer unas consideraciones:
a. Aunque se ha trabajado con un único ensayo, el de tracción, se ha visto
teóricamente que cuando la solicitación es cualquiera, o bien la
orientación es cualquiera, aparecen las deformaciones tangenciales y las
tensiones tangenciales asociadas. Sin embargo, el ensayo no puede
contemplarlas por lo que se plantea la duda sobre si el desarrollo teórico
realizado se corresponde con la realidad experimental.
b. Para comprobar la veracidad cabría pensar en realizar un ensayo en el
que sólo aparecieran tensiones tangenciales y comprobar el cumplimiento
de las ecuaciones 𝜀12 ; 𝜀13 ; 𝜀23. Tal tipo de ensayo es el de torsión que se
realiza con tubos de pared delgada y (aunque el tema será estudiado
posteriormente con profundidad, de momento es suficiente para el alumno
que sepa que un cuerpo sometido a un estado de torsión pura trabaja
exclusivamente a esfuerzo cortante) los resultados corroboran la
veracidad de las ecuaciones 𝜀12 ; 𝜀13 ; 𝜀23 .
c. La constatación experimental de la demostración teórica realizada
consiste en aplicar superposición de los resultados de los dos ensayos:
axil puro (ensayo de tracción) y cortante puro (ensayo de torsión). Del
ensayo de tracción se obtiene la ley empírica dada por las ecuaciones
𝜀11 ; 𝜀22 ; 𝜀33, es decir:
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𝜀𝐼 =
𝜀𝐼𝐼 =
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 )
𝐸 𝐼
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼 + 𝜎𝐼𝐼𝐼 )]
𝐸 𝐼𝐼
𝜀𝐼𝐼𝐼 =
𝜀12 = 𝜀13 = 𝜀23 =
1
[𝜎 − 𝜈(𝜎𝐼𝐼 + 𝜎𝐼 )
𝐸 𝐼𝐼𝐼
y del ensayo de torsión se obtiene
𝛾12 =
𝜎12
𝐺
; 𝛾13 =
𝜎13
𝐺
; 𝛾23 =
𝜎23
𝐺
𝜀11 = 𝜀22 = 𝜀33 = 0
Está claro que la superposición de efectos reproduce las ecuaciones
𝜀𝑖𝑗 =
1+𝜈
𝐸
𝜈
𝜎𝑖𝑗 − 𝐸 𝜎𝑘𝑘 𝛿𝑖𝑗 .
Así pues, tanto por el camino teórico como por el experimental se
demuestra la verificación de la ley de Hooke generalizada a ejes
cualesquiera.
Si se invierten las ecuaciones de Hooke generalizadas, se obtienen las
denominadas ecuaciones de Lamé para materiales isótropos:
𝜎11 = 2𝐺𝜀11 + 𝜆(𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 )
𝜎22 = 2𝐺𝜀22 + 𝜆(𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 )
𝜎33 = 2𝐺𝜀33 + 𝜆(𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 )
𝜎12 = 𝜀12 2𝐺
𝜎13 = 𝜀13 2𝐺
𝜎23 = 𝜀23 2𝐺
Las ecuaciones de Lamé expresadas en notación son:
𝜎𝑖𝑗 = 2𝐺𝜀𝑖𝑗 + 𝜆(𝜀𝑘𝑘 )𝛿𝑖𝑗
donde 𝜆 (constante de Lamé) es:
𝜆=
𝐸𝜈
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)
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Constantes Elásticas:
Según se vio, en la deducción de la ley de Hooke en ejes principales fue
necesario hacer uso de dos constantes: 𝐸 y 𝜈 o bien Modulo de
Elasticidad y Módulo de Poissón respectivamente. Posteriormente, en
la deducción de la ley de Hooke generalizada a ejes cualesquiera se
usó el Módulo de Rigidez 𝐺 que era simplemente una combinación de
las dos anteriores, es decir:
𝐺=
𝐸
2(1 + 𝜈)
Luego al invertir la ley de Hooke para obtener las ecuaciones de Lamé
se obtuvo la constante de Lamé como combinación de 𝐸 y 𝜈.
En definitiva, se han empleado las siguientes constantes:
𝐸 ; 𝜈 ; 𝐺 ; 𝜆
Aún se puede definir una quinta constante conocida como Módulo de
Compresibilidad K (Bulk Moduli en la nomenclatura anglosajona), que
nace de la realización del ensayo de compresión hidrostático (ensayo
triaxial), consistente en someter a una probeta a una presión uniforme
en todas sus caras.
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Si se parte de las ecuaciones 𝜎11 ; 𝜎22 ; 𝜎33 ; 𝜎12 ; 𝜎13 ; 𝜎23 y se suman las
tres primeras (las tres últimas no existen en este tipo de ensayo) se
obtiene:
(𝜎11 + 𝜎22 + 𝜎33 ) = 𝜎𝑘𝑘 = (3𝜆 + 2𝐺)(𝜀11 + 𝜀22 + 𝜀33 ) = (3𝜆 + 2𝐺)𝜀𝑘𝑘
Recordando que 𝜀𝑘𝑘 =
Δ𝑉
𝑉
y sustituyendo:
𝜎𝑘𝑘 = (3𝜆 + 2𝐺)
Δ𝑉
𝑉
Sustituyendo valores: 𝜎11 = 𝜎22 = 𝜎33 = −𝑝, y teniendo en cuenta que
Δ𝑉
𝑉
también es negativa, resulta:
𝑃=
3𝜆 + 2𝐺
𝐸
=
3
3(1 − 2𝜈)
Lógicamente todas las constantes están relacionadas y a continuación
se expresan algunas de las posibles combinaciones:
𝜆=
𝐺=
2𝐺𝜈
𝐺(𝐸 − 2𝐺)
2
=
=𝐾− 𝐺
1 − 2𝜈
3𝐺 − 𝐸
3
𝐸
𝜆(1 − 2𝜈) 3
=
= (𝐾 − 𝜆)
2(1 + 𝜈)
2𝜈
2
𝜈=
𝐸=
𝜆
𝜆
𝐸
=
=
−1
2(𝜆 + 𝐺) 3𝐾 − 𝜆 2𝐺
𝐺(3𝜆 + 2𝐺) 𝜆(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈) 9𝐾(𝐾 − 𝜆)
=
=
𝜆+𝐺
𝜈
3𝐾 − 𝜆
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2
𝜆(1 + 𝜈) 2𝐺(1 + 𝜈)
𝐸
𝐾=𝜆+ 𝐺 =
=
=
3
3𝜈
3(1 − 2𝜈) 3(1 − 2𝜈)
Aparte es interesante reseñar las siguientes dos relaciones que suelen
aparecer en ciertos casos de resolución de problemas de Elasticidad:
𝐺
= 1 − 2𝜈
𝜆+𝐺
𝜆
𝜈
=
𝜆 + 2𝐺 1 − 𝜈
;
A la vista de lo expuesto y sabiendo que todas las constantes son reales
y positivas es fácil ver que necesariamente existen límites en sus
valores. Así
(1 − 2𝜈) ≥ 0 ⇒ 𝜈 ≤
1
2
y
𝜈≥0
Así, 𝜈 = 1⁄2 implica que 𝐾 = ∞ o lo que es lo mismo: un material que
cuando se le somete a un estado de compresión no cambia de volumen
(material incompresible ya que 𝐾 =
𝑃
∆𝑉
𝑉
).
El otro límite 𝜈 = 0 significaría un material que cuando se le somete a
un estado de tracción no se acorta en las direcciones perpendiculares a
las de aplicación de la fuerza.
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DEFORMACIÓN POR TRACCIÓN O COMPRESIÓN. MÓDULO DE
YOUNG.
Si aplicamos una fuerza F a una barra de longitud l0 el material se
deforma longitudinalmente y se alarga l - l0.
La razón de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por unidad de
área) y deformación unitaria (deformación por unidad de longitud) está
dada por la constante E, denominada módulo de Young , que es
característico de cada material.
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Y
Donde:
Y
es el módulo de elasticidad (módulo de elasticidad longitudinal o
módulo de Young).
es la tensión ejercida sobre el área de la sección transversal del
elemento (tensión = fuerza/área).
es la deformación unitaria entendida como la relación entre el cambio
de longitud con respecto a la longitud inicial.
Y
La Ley de Hooke relaciona la deformación x ε de una barra sometida a
esfuerzo axial, con la tensión normal generada por dicho esfuerzoσ x ,
mediante la constante Y que se denomina módulo de elasticidad lineal
o módulo de Young.
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La rigidez de un material queda caracterizada por la relación entre el
esfuerzo σ x y deformación x ε , o sea por el módulo de Young.
Y
El módulo de Young tiene las mismas unidades que el esfuerzo.
Cizalladura. Módulo de rigidez.
Hasta hora solo hemos tenido en cuenta fuerzas normales a las
superficies que dan lugar a esfuerzos normales y a deformaciones de
volumen. Supongamos ahora que las fuerzas F que se aplican son
tangenciales a una superficie A, el cambio que se produce en el cuerpo
es solo un cambio de forma ya que el volumen permanece constante.
El esfuerzo cortante o tangencial τ, es la fuerza de corte o tangencial
por unidad de área:
Esfuerzo cortante = fuerza de corte / área de corte
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El esfuerzo cortante tiene las mismas dimensiones que la presión pero
tiene la dirección de la fuerza tangencial .
Las unidades del esfuerzo cortante son las mismas que la de la presión
N / m´2 en el S.I..
La deformación por cizalladura se produce sólo en los sólidos, por eso
se dice que estos presentan rigidez. Los sólidos pueden tener
deformaciones volumétricas y de forma, mientras que los fluidos solo
tienen deformación volumétrica.
donde G se denomina módulo de elasticidad Tangencial o más
habitualmente módulo de rigidez (o también módulo de cortante o de
cizalladura).
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3.3. DEFINICIÓN DE ESFUERZO
Es la resistencia interna que ofrece un área (sección) del material del
que está hecho, al haberle aplicado una fuerza externa.
Si la estructura soporta sin tener deformación excesiva o sin romperse,
decimos que es una estructura resistente al esfuerzo.
En general, un esfuerzo es el resultado de la división entre la fuerza
aplicada y el área en donde se aplica dicha fuerza.
Se expresa de la siguiente manera:
𝜎=
F
A
Donde F es la fuerza (N) y A es el área (m2). Sus unidades están dadas
por una unidad de fuerza dividida por una unidad de área (igual que para
presión). En el SI se utiliza el pascal (Pa), igual a un Newton sobre metro
cuadrado: 1MPa=1N/m2
Esfuerzo producido bajo carga normal axial
Cuando un elemento recto de sección constante, se somete a un par de
fuerzas axiales, F, aplicadas en el centroide de la sección transversal,
se producen esfuerzos normales en todo el elemento. Bajo algunas
condiciones adicionales se dice que este elemento está sometido a
carga axial, soportando un esfuerzo uniforme dado por:
𝜎=±
F
A
Donde A es el área de la sección transversal. El signo es positivo si el
esfuerzo es de tracción, es decir, cuando la carga es de tracción, se
toma el signo negativo para esfuerzos de compresión, producidos al
aplicar una carga de compresión.
Un ejemplo real de elementos estructurales bajo carga axial es dado por
los elementos de la armadura del puente.
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Esta armadura de puente se compone de elementos de dos fuerzas que
pueden estar en tensión o en compresión.
Deformación lineal en barras.
Deformación (δ) se refiere a los cambios en las dimensiones de un
miembro estructural cuando este se encuentra sometido a cargas
externas.
Estas deformaciones serán analizadas en elementos estructurales
cargados axialmente, por los que entre las cargas estudiadas estarán
las de tensión o compresión.
Todo miembro de carga se deforma por la influencia de la carga
aplicada. La deformación total de un miembro de carga puede, desde
luego,ser medido.
Deformación lineal, la cual es perpendicular el eje longitudinal de la viga
y se conoce como la flecha de la misma.
Se expresa como:
δ= (L-Lₒ)
Deformación en barras.
Al aplicar la carga P, el eje longitudinal se flexiona tomando la forma de
una viga curva. Esta forma se conoce como elástica de la viga, así
mismo se observa que hay un desplazamiento lineal el cual se conoce
como flecha de la viga y un desplazamiento angular conocido como
pendiente de la viga. El ángulo que gira a la sección transversal con
respecto a su posición original se denomina pendiente de flexión
angular.
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La deformación que también se conoce como deformación unitaria, se
obtiene dividiendo la deformación total entre la longitud de la barra. Se
denota con la letra griega minúscula épsilon.
IV.
EJEMPLOS:
1. Un perno de acero ( 𝑆 = 8.27 ∗ 1010 𝑃𝑎 ) de 1cm de diámetro, se proyecta 4cm desde
la pared. Al extremo se aplica una fuerza cortante de 36.000N. ¿Cuál es la desviación
d del perno?
Datos
Gráfico
𝐒 = 8.27 ∗ 1010 𝑃𝑎 1cm de diámetro
Proyección= 4cm
F= 36.000N
Incógnitas
d=?
Solución
𝜋𝐷2
𝜋(0.01 𝑚)2
𝐴=
=
4
4
Á𝑟𝑒𝑎: 𝐴 = 7.85 ∗ 10−5 𝑚2
𝑆=
𝑑=
𝐹/𝐴
φ
=
𝐹/𝐴
𝐹𝑙
=
;
𝑑/𝑙
𝐴𝑑
(36.000 𝑁)(0.04 𝑚)
(7.85 ∗ 10−5 𝑚2 )(8.27 ∗ 1010 𝑃𝑎 )
𝑑=
𝐹𝑙
𝐴𝑆
𝑑 = 0.222𝑚𝑚
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2. Un perno de acero tiene una sección transversal de 1.8 ∗ 10−4 𝑚2 y sobresale 3.8 cm
de la pared. Si el extremo del perno está sometido a una fuerza cortante de 35kN. ¿Cuál
será la flexión hacia abajo del perno?
Datos
Gráfico
−4 2
Sección transversal= 1.8 ∗ 10 𝑚
Sobresale= 3.8 cm
F= 35kN
Incógnitas
d=?
Solución
𝐹
𝐹𝑙
𝑆= 𝐴=
𝑑
𝐴𝑑
𝑙
(35.000 𝑁)(0.038 𝑚)
𝐹𝑙
𝑑=
=
(1.8 ∗ 10−4 𝑚2 )(8.27 ∗ 1010 𝑃𝑎 )
𝐴𝑆
𝒅 = 8.94 ∗ 10−5 𝑚
[Fecha]
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V.
CONCLUSIONES
 Con esta investigación se analizó la información que se recopilo de
distintas LIBROS PAGINAS WEB, para poder entender sobre la
TEORIA ELASTICIDAD sirve para describir en diferentes tipos de
materiales; si los materiales son elásticos (al se aplicadas fuerzas
axiales tienden a recuperar su forma natural), y los materiales plásticos
(al ser aplicados fuerzas axiales no recuperan su estado natural).
 Nos da entender que elasticidad será aplicado en la ingeniería
[Fecha]
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BIBLIOGRAFÍA
VI.
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http://amoviblesio.blogspot.com/2015/11/compresion-traccion-flexiontorsion.html
http://www.construmatica.com/construpedia/Ley_de_Hooke
RESISTEN C IA D E M ATERIALES BÁSIC A PARA ESTU D IAN TES D E IN G EN IERÍA,
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES, JORGE EDUARDO
SALAZAR TRUJILLO
http://blog.360gradosenconcreto.com/que-es-el-modulo-de-elasticidad-en-elconcreto/
https://w3.ual.es/~mnavarro/Tema%206%20%20Elasticidad.pdf
Trujillo, J. E. (2007). Ley de la elasticidad de Hooke. Colombia: Centro de
publicaciones, Universidad Nacional de Colombia
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