4.Poglavlje

Proračun stabilnosti 305 Poglavlje 4 PRORAČUN STABILNOSTI Proračun stabilnosti 306 Zadatak 4.1 a) Izvesti opšte izraze za proračun odate aktivne i reaktivne snage generatora se cilindričnim rotorom (turbogenerator) i na primeru mašine čiji su osnovni parametri SnG = 100 MVA; Xd = 100%, koja u mrežu odaje prividnu snagu SG = 100 MVA posredstvom generatorskog bloktransformatora reaktanse XT = 10%, naći sinhronizacione snage pri induktivnom i kapacitivnom faktoru snage od 0,9 i naponu na strani višeg napona generatorskog blok-transformatora (mreža) Un = 1,00 r.j. b) Izvesti opšte izraze za proračun aktivne i reaktivne snage na krajevima sinhronog generatora sa istaknutim polovima (hidrogenerator) i na primeru mašine čiji su osnovni parametri E = 2UG; Xd = 1,45Xq, odrediti granični ugao i maksimalnu aktivnu snagu mašine sa aspekta statičke stabilnosti. Rešenje: a) Theveninov ekvivalent i fazorski dijagram napona i struje turbogeneratora u stacionarnom stanju, prikazani su na sl. 4.1a. Umesto faznih vrednosti napona i struja, na ovim dijagramima su, kao i u ranijim zadacima korišćene računske vrednosti napona i struja, definisane u zadatku 1.4 kao: U = 3U f ; I = 3I f , E IG SG = PG + jQG jXdIG Zd ≈ jXd ~ UG E δ ϕ a1) I UG RIG a2) Sl. 4.1a Theveninov ekvivalent (a1) i fazorski dijagram napona i struje (a2) turbogeneratora pri čemu su struje i naponi izraženi u apsolutnim jedinicama. Pri normalizaciji, za bazne vrednosti računskih napona i struja koriste se 3 veće vrednosti od baznih faznih vrednosti, odnosno: U B = 3U fB ; I B = 3I fB , Proračun stabilnosti 307 tako da su računski i fazni naponi i struje izraženi u relativnim jedinicama jednaki i po amplitudi i po fazi: U r . j. = Uf U U = = =U UB 3U fB U fB I r . j. = If I I = = = I fr. j. , IB 3I fB I fB fr . j. ; Posledica toga je da se sve relacije mogu pisati bez posebnog isticanja da li se radi o faznim ili računskim vrednostima promenljivih, a u izrazima za snagu da li se radi o monofaznim ili trofaznim snagama. Time se vrši izjednačavanje svih relacija za monofazna i trofazna kola, što predstavlja jednu od važnih prednosti uvođenja sistema relativnih jedinica. U izrazima za trofazne snage, date u apsolutnim jedinicama, korišćenjem računskih vrednosti napona i struja gubi se koeficijent 3: S = 3U f I f = U I , * * odnosno ovaj izraz se izjednačava sa izrazom za snagu izraženu u relativnim jedinicama. Prema tome, korišćenjem dijagrama sa sl. 4.1a, izraz za kompleksnu snagu generatora, koji važi kada se sve veličine izraze bilo u apsolutnim ili relativnim jedinicama je: SG =U G I G , * gde je: IG = E − U G E ∠ δ − U G ∠ 0° X = , gde je ψ = arctg ≈ 90° , Zd Z d ∠ψ R tako da on postaje: E −U G * S G = PG + jQG = U G * * Zd = UG E ∠ − δ − U G EU G ∠ψ − δ − U G2 ∠ψ = Zd ∠ − ψ Zd Iz izraza za kompleksnu snagu dobijaju se izrazi za aktivnu i reaktivnu snagu na krajevima turbogeneratora: PG = EU G U2 EU G cos (ψ − δ ) − G cos ψ ≈ sin δ ; Zd Zd Xd EU G U G2 EU G U G2 QG = sin (ψ − δ ) − sin ψ ≈ cos δ − . Zd Zd Xd Xd Proračun stabilnosti 308 Numerički primer: Induktivni režim: Kapacitivni režim: P ind G = 0,9 r.j. P Gcap = 0,9 r.j. Q G = 0,436 r.j. Q Gcap = 0,436 r.j. I G = (0,9 − j 0,436) r.j. I G = (0,9 + j0,436) r.j. ind cap ind E = U G + j( X d + X T ) I G = ind ind E cap = U G + j( X d + X T ) I G = cap = 1,0 + j1,1 ⋅ (0,9 − j0,436) = = 1,0 + j1,1 ⋅ (0,9 + j0,436) = = (1,4795 + j0,99) r.j. = 1,78 r.j. ∠33,789° = (0,5205 + j0,99) r.j. = 1,1185 r.j. ∠62,267° δ ind 0 = 33,789° Pmind ax E ind U G 1,78 ⋅1 = = = 1,618 r.j. X d + X T 1,0 + 0,1 δ cap 0 = 62,267° Pmcap ax = ( RS ) cap E capU G X d + XT = 1,1185 ⋅1 = 1,0168 r.j. 1,0 + 0,1 Rezerve stabilnosti su onda: ( RS ) ind ind Pma 1,618 x = = = 1,7981 , PG 0,9 Pmcap 1,0168 ax = = = 1,1298 , PG 0,9 ili 79,81 % . ili 12,98 % . Izrazi za krive njihanja P(δ) su: P ind = 1,618 sin δ . P cap = 1,0168 sin δ . Sinhronizacione snage su: ind ind Psind = Pma x cos δ 0 = 1,618 ⋅ 0,83 = 1,345 r.j./rad . cap cap Pscap = Pma = 1,0168 ⋅ 0,465 = 0,473 r.j./rad . x cos δ 0 b) Sa fazorskog dijagrama napona i struja generatora sa istaknutim polovima prikazanog na sl. 4.1b, mogu se izvesti sledeće osnovne relacije IG = Id + Iq ; E − U G cos δ ; Xd U sin δ Iq = G ; Xq Id = − U G = U d +U q ; U d = −U G sin δ ; U q = U G cos δ . Proračun stabilnosti 309 jXdIG jXdIq E +ω Eq d - osa q - osa jXqIq j(Xd – Xq) Id I *G jXqIG Uq jXdId Iq jXqId δ UG = UG ∠0° ϕ Re Ud IG Id Sl. 4.1b Fazorski dijagram napona i struja sinhronog generatora sa istaknutim polovima Aktivna i reaktivna snaga na krajevima generatora, sa svim veličinama izraženim u relativnim jedinicama računaju se preko relacija: PG = U d I d + U q I q ; QG = U d I q − U q I d ; odakle je: U G sin δ EU G U G2 X d − X q  E − U G cos δ  PG = (− U G sin δ ) − + U cos δ = sin δ + sin 2δ ;  G Xd Xq Xd 2 Xd Xq   QG = (− UG sin δ) =  cos2 δ sin2 δ  UG sin δ  E − UG cos δ  EUG = − UG cosδ − cosδ − UG2  + = Xq Xd X q    Xd  Xd  1 + cos 2δ 1 − cos 2δ  EUG EUG UG2 X d + X q UG2 X d − X q = cos δ − UG2  + cos δ − + cos 2δ . Xd 2 X q  X d 2 Xd Xq 2 Xd Xq  2 Xd Granica statičke stabilnosti se ima pri nultoj vrednosti sinhronizacione snage, tj. za Ps = Xd − Xq dPG EU G = cos δ + U G2 cos 2δ = 0 ; gde je cos 2δ = 2 cos 2 δ − 1 . dδ Xd Xd Xq Posle preuređenja, gornja jednačina po δ = δgr dobija oblik: 2U G Xd − Xq Xd − Xq cos 2 δ + E cos δ − U G =0 . Xq Xq Proračun stabilnosti Stavljajući a = U G cos δ gr 310 Xd − Xq , rešenje te jednačina je: Xq − E + E 2 + 8a2 = . 4a Za a = 0,45UG i E = 2UG ima se: cos δ gr − 2U G + 4U G2 + 8 ⋅ (0,45U G ) 2 − 2 + 2,3707 = = = 0,20595 ⇒ δ gr = 78,12° . 1,8U G 1,8 Maksimalna snaga generatora je onda: PGmax = 2U G ⋅ U G U 2 0,45 X q U2 U2 U2 sin 78,12° + G sin 156,24° = 1,3498 G + 0,0625 G = 1,4123 G . 1,45 X q 2 X q 1,45 X q Xq Xq Xq Proračun stabilnosti 311 Zadatak 4.2 Sinhroni generator sa sl. 4.2a, priključen je na krutu mrežu preko spojnog voda impedanse Zv = (0,1 + j0,4) r.j. Sa sabirnica generatora napaja se lokalno opterećenje Pp = 0,4 r.j. pri cos ϕp = 0,8. Snaga merena na krajevima generatora je PG = 1,0 r.j. pri cos ϕG = 0,85 i naponu U G = 1,0 r.j. a) Naći fazore struje koja teče po vodu Iv i napona krute mreže U∞. b) Proračunati aktivne i reaktivne gubitke u spojnom vodu, faktor snage cos ϕ∞ i kompleksnu snagu (S∞ = P∞ + jQ∞) koja se isporučuje krutoj mreži. c) Iz izraza za tok aktivne snage na kraju spojnog voda P∞(θ), naći koeficijent sinhronizacione snage, za P∞ = P∞(θ = θ ∞). UG = 1,0 r.j. ∠0° U∞ Spojni vod G Zv Kruta mreža Iv SG Sv S∞ cos ϕG = 0,85 Lokalni Pp potrošač cos ϕp = 0,8 ~ Sl. 4.2a Uprošćena šema sistema iz zadatka 4.2 Rešenje: a) Kompleksne snage generatora i potrošača su: S G = PG + jQG = PG (1 + jtg ϕG ) = (1 + j 0,62 ) r.j. = 1,177 r.j. ∠31,8° ; S p = Pp + jQ p = Pp 1 + jtg ϕ p = (0,4 + j 0,3) r.j. = 0,5 r.j. ∠36,87° . ( ) Kompleksna snaga koju generator isporučuje spojnom vodu je: S v = S G − S p = (1 + j 0,62) − (0,4 + j 0,3) = (0,6 + j 0,32) r.j. = 0,68 r.j. ∠28,07° . Kompleksna struja koja teče kroz spojni vod je: * Iv = Sv * UG = 0,68 ∠ − 28,07° = (0,6 − j 0,32) r.j. = 0,68 r.j. ∠ − 28,07° . 1,0 Pad napona u spojnom vodu je: ∆U v = Z v I v = (0,1 + j 0,4) ⋅ (0,6 − j 0,32) = (0,188 + j 0,208) r.j. Kompleksni napon na sabirnicama krute mreže je: U ∞ = U G − ∆U v = 1,0 − 0,188 − j 0,208 = (0,812 − j 0,208) r.j. = 0,838 r.j. ∠ − 14,37° . Proračun stabilnosti 312 b) Kompleksna snaga koja se isporučuje krutoj mreži je: S ∞ = U ∞ I *v = 0,838 ∠ − 14,37° ⋅ 0,68 ∠28,07° = 0,57 r.j. ∠13,70° = (0,554 + j 0,135) r.j. Faktor snage koja se isporučuje krutoj mreži je: cos ϕ ∞ = P∞ 0,554 = = 0,972 (ind. jer je Q∞ pozitivno). S∞ 0,57 Gubici u spojnom vodu su: gub Sv = Z v I v = (0,1 + j 0,4) ⋅ 0,68 2 = (0,046 + j 0,185) r.j. ; 2 Pvgub = 0,046 r.j. ; Qvgub = 0,185 r.j. Provera: gub Sv = S v − S ∞ = (0,6 + j 0,32) − (0,554 + j 0,135) = (0,046 + j 0,185) r.j. c) Izraz za tok aktivne snage na kraju prenosnog voda je: P∞ = − U U U ∞2 sin µ v − G ∞ sin (θ 21 − µ v ) , Zv Zv gde je: θ 21 = θ ∞ − 0 = θ ∞ ; µ v = 90° − arg Z v = 90° − arctg 0,4 = 90° − 75,97° = 14,03° ; Z v = 0,4123 ∠75,97° , 0,1 tako da je: 0,838 2 1,0 ⋅ 0,838 P∞ = − sin 14,03° − sin (θ ∞ − 14,03°) = −0,413 − 2,033 sin (θ ∞ − 14,03°) . 0,4123 0,4123 Sinhronizaciona snaga na kraju voda je: Ps = − dP∞ = 2,033 cos (θ ∞ − 14,03°) = 2,033 cos(− 14,37° − 14,03°) = 1,788 r.j./rad dθ ∞ dP∞ u formuli za Ps potiče iz činjenice da sabirnice krute mreže dθ ∞ predstavljaju potrošački čvor). (znak '−' ispred izvoda Proračun stabilnosti 313 Zadatak 4.3 a) Za hidrogenerator priključen na moćnu mrežu posredstvom generatorskog bloktransformatora, u koju odaje snagu S∞ = 88,2 + j66,15 MVA, pri U∞ = Un, izračunati sinhronizacionu snagu, ako su osnovni podaci: G: SnG = 110,25 MVA ; UnG = 10,5 kV ; Xd = 125% ; Xq = 0,72Xd = 90% ; BT: SnT = 110,25 MVA ; UnT = 10,5/132 kV/kV ; XT = 10% ; UB = 132 kV ; SB = SnG = 110,25 MVA . b) Turbogenerator nominalne snage SnG = 300 MVA priključen je na moćnu mrežu, posredstvom generatorskog blok-transformatora nominalne snage SnT = 275 MVA. Izračunati aktivne i reaktivne snage koje teku prema moćnoj mreži merene na strani višeg napona blok-transformatora i faktore snage prenosa za dva radna režima: 1° Napon moćne mreže: U∞ = 231 kV; sinhronizaciona snaga: Psind = 323 MW/rad; ugao momenta: δ ind 0 = 29,13°. 2° Napon moćne mreže: U∞ = 231 kV; sinhronizaciona snaga: Pscap = 53 MW/rad; ugao momenta: δ cap 0 = 73,61°. Ostali podaci za proračun su: Generator: xd = 130 %; UnG = 12 kV. Transformator: xT = 13 %; mnT = 12/242 kV/kV. Rešenje: a) Hidrogenerator - Proračun početnih uslova, shodno fazorskom dijagramu sa sl. 4.1b, za SB = 110,25 MVA i UB = 132 kV: ( ) E q 0 = U ∞ + j X q + X T I = 1,00 + j (0,9 + 0,1) ⋅ (0,8 − j 0,6) = 1,6 + j 0,8 = 1,789 r.j. ∠26,57° ; 66,15 = 36,87° ; 88,2 = I sin (δ 0 + ϕ) = 1,0 sin (26,57° + 36,87°) = 0,8945 r.j. ; δ 0 = arg E q 0 = 26,57° ; Id ϕ = arctg I q = I cos (δ 0 + ϕ) = 1,0 cos (26,57° + 36,87°) = 0,4471 r.j. Aktivna snaga na visokonaponskoj strani blok-transformatora je: P∞ = = Xd − Xq E0U ∞ U2 sin δ 0 + ∞ sin 2δ 0 = X d + XT 2 (X d + XT )(X q + XT ) 2,013 ⋅1,0 1,0 2 1,25 − 0,9 sin 26,57° + ⋅ sin 53,14° = 0,8744 r.j. ; 1,25 + 0,1 2 1,35 ⋅1,0 ( ) E 0 = E q 0 + X d − X q I d = 1,789 + (1,25 − 0,9) ⋅ 0,8945 = 2,102 r.j. Proračun stabilnosti 314 Sinhronizaciona snaga za δ = δ0 = 26,57° je: Ps = Xd − Xq E0U ∞ ∂P∞ (δ) = cos δ 0 + U ∞2 cos 2δ 0 = ∂δ δ=δ X d + XT (X d + XT )(X q + XT ) 0 = 2,102 ⋅1,0 1,25 − 0,9 cos 26,57° + 1,0 2 ⋅ cos 53,14° = 1,549 r.j./rad = 170,72 MW/rad . 1,25 + 0,1 1,35 ⋅1,0 b) Turbogenerator - Proračun impedansi (svedenih na stranu višeg napona transformatora): 2 2 XG = 2 2 xd U nG  242  130 12  242  = ⋅ ⋅    = 253,78 Ω ; 100 S nG  12  100 300  12  XT = 2 xT U nT 13 242 2 = ⋅ = 27,68 Ω ; 100 S nT 100 275 X = XG + XT = 253,78 +27,68 = 281,46 Ω . Iz izraza za sinhronizacione snage Ps i poznate vrednosti napona U∞ i ugla δ0 je: E indU ∞ cos δ ind 0 = 323 MW/rad ; X 323 ⋅ 281,46 = = 450,54 kV ; 231cos 29,13° Psind = E ind E capU ∞ cos δ cap 0 = 53 MW/rad ; X 53 ⋅ 281,46 = = 228,86 kV . 231cos 73,61° Pscap = E cap Prenosne snage i faktori snaga prenosa su: P ind E indU ∞ 450,54 ⋅ 231 = sin δ ind ⋅ 0,4868 = 180 MW ; 0 = X 281,46 U ∞2 E indU ∞ 2312 450,54 ⋅ 231 + cos δ ind = − + ⋅ 0,8735 = 133,41 MVAr ; 0 X X 281,46 281,46 133,41 = arctg = 36,545° ⇒ cos ϕind = 0,803 ; 180 Q ind = − ϕind P cap E capU ∞ 228,86 ⋅ 231 = sin δ cap ⋅ 0,9594 = 180,2 MW 0 = X 281,46 U ∞2 E capU ∞ 2312 228,86 ⋅ 231 + cos δ cap = − + ⋅ 0,2822 = −136,59 MVAr ; 0 X X 281,46 281,46  136,59  cap = arctg  −  = −37,16° ⇒ cos ϕ = 0,797 . 180 , 2   Q cap = − ϕcap Proračun stabilnosti 315 Zadatak 4.4 Sinhroni turbogenerator priključen je na krutu mrežu (čiji je napon U∞ = 1,0 r.j.), u koju isporučuje snagu S∞ = (0,554 + j0,135) r.j., posredstvom spojne impedanse Zv = (0,1 + j0,4) r.j., shodno sl. 4.4a. Sa sabirnica generatora napaja se lokalno opterećenje Sp = (0,4 + j0,3) r.j. Proračunati: a) Fazor napona UG, struje IG i kompleksnu snagu SG na krajevima generatora, kao i aktivne i reaktivne gubitke u spojnoj impedansi Zv. b) Fazor indukovane EMS generatora E i izraz za krivu njihanja generatora prema krutoj mreži PG(δ), ako je sinhrona reaktansa generatora Xd = 1,7 r.j. c) Koeficijent sinhronizacione snage i rezervu stabilnosti generatora za napred zadato (odnosno proračunato) radno stanje. d) Faktor snage generatora za proračunato radno stanje. Takođe proveriti nađene vrednosti (u tač. a) za PG i QG. Spojni vod Zv UG G ~ SG Sv Kruta mreža S∞ Sp U∞ = 1,0 r.j. ∠0° Sl. 4.4a Jednopolna šema sistema iz zadatka 4.4 Rešenje: a) Proračun fazora napona, struje i kompleksne snage generatora: Za: S∞ = (0,554 + j0,135) r.j. = 0,5702 r.j. ∠13,70° ; I∞ = (0,554 - j0,135) r.j. = 0,5702 r.j. ∠-13,70° ; Sp = (0,4 + j0,3) r.j. = 0,5 r.j. ∠36,87° ; Zv = (0,1 + j0,4) r.j. = 0,4123 r.j. ∠75,96° ; X d = j1,7 r.j. = 1,7 r.j. ∠90° ; Zp = U G2 * Sp = 1,1288 2 ∠36,87° = 2,5484 r.j. ∠36,87° = (2,0387 + j1,529) r.j. , 0,5 napon UG, čiji je moduo izražen u relativnim jedinicama, a fazni ugao u ° je: U G = U ∞ + Z v I ∞ = 1,0 + (0,1 + j 0,4) ⋅ (0,554 − j 0,135) = = (1,1094 + j 0,2081) r.j. = 1,1288r.j.∠10,63° , Proračun stabilnosti 316 dok su komleksni gubici: S vgub Z v S ∞2 0,5702 2 = = (0,1 + j 0,4) ⋅ = (0,0325 + j 0,131) r.j. , U ∞2 12 tako da je kompleksna snaga na početku voda: Sv = S∞ + Sv gub = (0,554 + j 0,135) + (0,0325 + j 0,131) = (0,5865 + j 0,266) r.j. , a odata snaga generatora: S G = S v + S p = (0,5865 + j 0,266) + (0,4 + j 0,3) = (0,9865 + j 0,566) r.j. = 1,1367 r.j. ∠29,8° , dok je struja generatora: * IG = SG * UG = 1,1367 ∠ − 29,8° = 1,007 r.j. ∠ − 19,17° = (0,951 − j 0,331) r.j. 1,1288 ∠ − 10,63° b) Proračun fazora indukovane EMS i izraza za krivu njihanja turbogeneratora: E = U G + jX d I G = (1,1094 + j 0,2081) + j1,7 ⋅ (0,951 − j 0,331) = = (1,6724 + j1,8251) = 2,4755 r.j. ∠47,50°; E = 2,4755 r.j. ; δ = 47,50° . E = 2,4755 r.j. ∠47,50° 1 ZG = j1,7 r.j. UG = 1,1288 r.j. ∠10,63° U∞ = 1,0 r.j. ∠0° Zv = (0,1+ j0,4) r.j. 2 Zp = (2,0387 + j1,529)r.j. Sl. 4.4b Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.4a Za proračun izraza za krivu njihanja generatora prema krutoj mreži, posmatra se zamenska šema sistema sa sl. 4.4a, prikazana na sl. 4.4b, odakle se transfer impedansa dobija transfiguracijom zvezde koju formiraju impednase generatora (ZG), potrošača (Zp) i spojnog voda (Zv) u trougao. Njena vrednost je Z 12 = Z G + Z v + ZGZv 1,7 ∠90° ⋅ 0,4123 ∠75,96° = j1,7 + (0,1 + j 0,4) + = Zp 2,5484 ∠36,87° = (−0,073 + j 2,3134) r.j. = 2,315 r.j. ∠91,82°; Z12 = 2,315 r.j.; µ12 = 90° − 91,82° = −1,82° . Proračun stabilnosti 317 Sopstvena (ulazna) impedansa punog sistema u tački 1 gde deluje EMS E, shodno ekvivalentnoj šemi sa sl. 4.4a je: Z 11 = Z G + Z v + Z pZv 2,5484 ∠36,87° ⋅ 0,4123 ∠75,96° = j1,7 + = Z p +Zv 2,5484 ∠36,87° + 0,4123 ∠75,96° = (0,12 + j 2,044) r.j. = 2,048 r.j. ∠86,639°; Z11 = 2,048 r.j.; µ11 = 90° − 86,639° = 3,361° . Onda je izraz za krivu njihanja generatora: P= EU ∞ E2 2,4755 2 2,4755 ⋅ 1,0 sin µ11 + sin (δ − µ12 ) = sin 3,361° + sin (δ + 1,82°) = Z11 Z12 2,048 2,315 = 0,1754 + 1,0693 sin (δ + 1,82°) [r.j.] . c) Proračun koeficijenta sinhronizacione snage i rezerve stabilnosti za δ = 47,50° : Ps = Pmax cos (δ − µ E∞ ) = 1,0693 cos (47,50° + 1,82°) = 0,697 r.j./rad ; RS = Pmax 1,0693 = = 1,084 (ili 8,4 %) . PG 0,9865 d) Faktor snage generatora je kosinus ugla između fazora UG i IG. Taj ugao je, shodno fazorskom dijagramu na sl. 4.4c: ϕG = arg U G − arg I G = 10,63° + 19,17° = 29,8° , pa je cos ϕG = cos 29,8° = 0,8678 . Provera: PG = U G I G cos ϕG = 1,1288 ⋅1,007 ⋅ 0,8678 = 0,98643 r.j. (ranije proračunato: PG = 0,9865 r.j.). QG = U G I G sin ϕG = 1,1288 ⋅1,007 ⋅ 0,496974 = 0,5649 r.j. (ranije proračunato: QG = 0,566 r.j.). Male razlike u proračunima PG i QG su posledica zaokruživanja rezultata proračuna. Proračun stabilnosti 318 E = 2,4755 r.j. ∠47,50° 36,87° 47,50° U G = 1,1288 r.j. ∠10,63° -36,87° 10,63° -13,7° U ∞ = 1,0 r.j. ∠0° I ∞ = 0,57 r.j. ∠ − 13,7° I p = 0,5 r.j. ∠ − 36,87° I G = 1,007 r.j. ∠ − 19,17° Sl. 4.4c Fazorski dijagram napona i struja za sistem iz zadatka 4.4 Proračun stabilnosti 319 Zadatak 4.5 Kolika je granična električna dužina λ, u pogledu statičke stabilnosti, za trofazni, na sl. 4.5a jednopolno prikazani jednomašinski sistem, uzimajući da je elektromotorna sila iza sinhrone reaktanse konstantna, a idealizovanim vodom se prenosi prirodna snaga. T G Vod ~ 15,75/400 kV/kV Jaka mreža Zc = 330 Ω λ xdG = 200% U∞ = const S nG = S nT = 500 MVA U nG = 15,75 kV xT = 14% X dGT = X dG + X T = 214% f = const Sl. 4.5a Jednopolna šema i osnovni podaci o elementima sistema iz zadatka 4.5 Rešenje: Jednopolna zamenska šema impedansi sistema ima izgled prikazan na sl. 4.5b. Eq jX dGT U∞ Sl. 4.5b Jednopolna zamenska šema impedansi sistema sa sl. 4.5a Ako se pojedini elementi ekvivalentne šeme (blok generator-transformator i vod) predstave preko odgovarajućih četvorokrajnika, dobija se ekvivalentna šema na sl. 4.5c, na kojoj su sve struje i naponi dati kao računski. I∞ I Eq Av Bv Cv Dv jX dGT U∞ Sl. 4.5c Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.5b, pri predstavljanju elemenata odgovarajućim četvorokrajnicima Proračun stabilnosti 320 Lanac četvorokrajnika na sl. 4.5c može se uprostiti tretmanom preko odgovarajućeg ekvivalentnog četvorokrajnika sa sl. 4.5d, čiji se parametri nalaze primenom matričnog računa: I ° I∞ ° Ae Be ° Ce De Eq ° ° ° U∞ ° ° Sl. 4.5d Ekvivalentni četvorokrajnik sistema sa sl. 4.5c jZce sinλ ′ + X T1 )  cosλ  Ae Be  1 j( X dG  = C D  = 0   j 1 sinλ cos λ  1 e   Zce  e   X dGT   cosλ − Z sin λ j cosλ( X dGT + Zc tg λ) c = . 1   j sinλ cosλ Zc   Veza između struja i napona na krajevima četvorokrajnika sa sl. 4.5d je: E q   Ae Be U ∞   I  = C D  I  . e  ∞     e Prikazivanjem ove matrične relacije preko skalarnih jednačina, dobija se sistem jednačina: Eq = Ae U∞ + Be I∞ ; I = Ce U∞ + De I∞ . Izračunavanjem struje I∞ iz prve relacije i njenim zamenjivanjem u drugu, dobija se izraz za struju I: A D − Be C e A D 1  1  D I = C eU ∞ + De  Eq − e U ∞  = e Eq − e e U ∞ = e Eq − U . Be Be Be Be ∞  Be  Be Kompleksna snaga generatora se tada izračunava iz relacije: * * * De 2 E qU ∞ 1  De  S = Eq I = Eq Eq − U  = * Eq + . * Be ∞  Be Be  Be * Zamenjivanjem izraza za Be i De: Be = j cosλ( X dGT + Zc tg λ) ; De = cosλ , Proračun stabilnosti 321 i usvajanjem da su naponi Eq = Eq ∠0° i U∞ = U∞ ∠-δ = U∞ (cos δ - jsin δ) gde je δ ugao između faznih vrednosti elektromotorne sile iza sinhrone reaktanse Xd generatora i napona na sabirnicama jake mreže (sabirnice beskonačne snage), izraz za kompleksnu snagu postaje: S = jEq2 = ( X dGT E qU ∞ 1 −j (cos δ + j sin δ ) = + Z c tg λ ) cos λ ( X dGT + Z c tg λ ) EqU ∞ sin δ + cos λ( X dGT + Z c tg λ ) EqU ∞   1 j  Eq2 cos δ  , − ( X dGT + Z c tg λ ) cos λ( X dGT + Z c tg λ )   odnosno, izraz za odatu električnu aktivnu snagu generatora u sistemu je: P= E qU ∞ sin δ . cos λ( X dGT + Z c tgλ ) Kako se idealizovanim vodom prenosi prirodna snaga voda i kako je na kraju voda linijski U2 napon U∞, to je Pnat = ∞ , pa će elektromotorna sila iza sinhrone reaktanse Xd generatora, shodno Zc ekvivalentnoj šemi sa sl. 4.5c, biti: jX dGT Pnat MW 0 MVAr ~ Eq U∞ Sl. 4.5c Theveninov ekvivalent generatora i transformatora sistema iz zadatka 4.5 E q = U∞ + j Pnat X dGT U X = U ∞ + j ∞ dGT , U∞ Zc odnosno Eq = U∞ Zc 2 Z c2 + X dGT . Granična električna dužina voda λ se određuje iz karakteristika odate električne aktivne snage generatora kada se P zameni sa Pnat a ugao δ sa 90°, tako da je U ∞2 2 Z c2 + X dGT E qU ∞ Zc U ∞2 = = , Z c cos λ ( X dGT + Z c tgλ ) cos λ( X dGT + Z c tgλ ) Proračun stabilnosti ili: 2 cos λ( X dGT + Z c tgλ ) = Z c2 + X dGT ; 2 ( X dGT cos λ + Z c sin λ )2 = Z c2 + X dGT ; 2 2 X dGT cos 2 λ + 2 Z c X dGT sin λ cos λ + Z c2 sin 2 λ = Z c2 + X dGT ; ( X dGT sin λ − Z c cos λ )2 = 0 . Rešenje gornje jednačine je: tg λ = Zc . X dGT Kako je X dGT = 214 400 2 ⋅ = 684,8 Ω , 100 500 to je granična električna dužina voda: tg λ = 330 = 0,4819 , 684,8 odakle je λ = 25,729° = 0,06 Lv , a stvarna dužina voda Lv = 428,8 km. 322 Proračun stabilnosti 323 Zadatak 4.6 a) Na koju maksimalnu udaljenost se za dati, jednopolno prikazani trofazni sistem, usvajajući nacrtanu zamensku šemu sa sl. 4.6a, može statički stabilno preneti prirodna snaga voda 380 kV sa dva provodnika u snopu po fazi (Zc = 320 Ω)? b) Na koju maksimalnu udaljenost se može statički stabilno preneti ista snaga ako se na sredini uključi baterija kondenzatora čija reaktansa kompenzuje 50% reaktanse voda 380 kV, dužine nađene pod a)? 2 1 T AT G Pnat Jaka cos ϕ = 1 mreža Zc = 320 Ω 15,75/400 380/220 Lv ~ S nG = S nT = 2 ⋅ 250 MVA U 1 = U nv = 380 kV xdG = 160% U nG = 15,75 kV xT = 15% S nAT = 2 ⋅ 250 MVA U∞ = const x AT = 10% f = const Sl. 4.6a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.6 Rešenje: Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.6a ima izgled kao na sl. 4.6b. Eq j ( X dG + X T ) Pnat 1 0 U1 Pnat 2 jXAT U∞ U2 0 Sl. 4.6b Jednopolna zamenska šema sistema sa sl. 4.6a a) Kako je vod idealizovan i kako je na početku voda P1 = Pnat, Q1 = 0 i U1 = Unv to su poznate i radne veličine na kraju voda P2 = Pnat, Q2 = 0 i U2 = U1 ∠–λ, gde je λ = 0,06 Lv [°] (dužina Lv data je u kilometrima). Onda su: - Reaktanse elemenata sistema: X dG + X T = 175 400 2 ⋅ = 560 Ω ; 100 2 ⋅ 250 Proračun stabilnosti X AT = 324 10 380 2 ⋅ = 28,88 Ω ; 100 2 ⋅ 250 - Prirodna snaga voda: Pnat 2 U nv 380 2 = = = 451,25 MW ; 320 Zc - Elektromotorna sila iza sinhrone reaktanse: E q = U1 + j Pnat ( X dG + X T ) 451,25 ⋅ 560 = 380 + j = 765 kV ∠60°15′ ; U1 380 - Napon na sabirnicama beskonačne snage (kruta mreža): U ∞ =U2 − j Pnat X AT 451,25 ⋅ 28,88 = 380 − j = 381 kV ∠ − 5°10′ . U2 380 Na sl. 4.6c nacrtan je fazorski dijagram napona, za slučaj a. Ovaj fazorski dijagram važi za slučaj kad su sve veličine međufazne (linijske), ili kad su sve veličine fazne. Isto tako on je validan i u sistemu relativnih jedinica. Eq Pnat ( X dG + X T ) U1 U1 . θa U2 λ θb . Pnat X AT U2 U∞ Sl. 4.6c Fazorski dijagram napona iz zadatka 4.6a Potrebno je napomenuti da je pri određivanju fazora napona, na sabirnicama beskonačne snage fazor napona na kraju voda uslovno postavljen po faznoj osi. Tražena dužina voda Lv određuje se iz uslova da je maksimalan fazni pomeraj između fazora elektromotorne sile E q i napona na sabirnicama beskonačne snage U ∞ jednak 90°: θ a + λ + θb = 90° , Proračun stabilnosti 325 gde su θa i θb fazni pomeraji između fazora elektromotorne sile E q i fazora napona U1, odnosno fazora napona U2 i napona na sabirnicama beskonačne snage U ∞ , respektivno, shodno sl. 4.6c: θ a = 60°15′ ; θb = 5°10′ ; dok je λ = 0,06 ⋅ Lv električna ugaona dužina voda. Zamenom brojčanih vrednosti dobija se: 60°15′ + λ + 5°10′ = 90° , odakle je λ = 24°35′ = 24,58° , odnosno maksimalna dužina voda na koju se može statički stabilno preneti prirodna snaga voda: Lv = 24,58° = 408 km. 0,06 b) Ako se sa l označi podužna pogonska induktivnost, a sa c podužna kapacitivnost voda, l onda je po definiciji Z c = . c Kako je c0 = 1 lc (brzina svetlosti), to se podužna pogonska induktivnost može odrediti iz izraza: 1 c0 1 = lc = , Zc l l c odakle je l= Z c 320 = ⋅10 −3 = 1,066 ⋅10 −3 H/km . c0 300 Induktivna reaktansa voda dužine Lv = 408 km, nađene u tač. a, onda je: X v = lωLv = 1,066 ⋅10 −3 ⋅ 314 ⋅ 408 = 137 Ω , a kapacitivna reaktansa rednog kondenzatora prema uslovu zadatka: 1 X C = − X v = −68,5 Ω . 2 Proračun stabilnosti 326 Ova reaktansa se smešta na sredinu voda, kako je to prikazano na sl. 4.6d, tako da su za idealizovan vod i radno stanje na početku voda P1 = Pnat, Q1 = 0 i U1 = Unv u ovom slučaju poznate radne veličine na kraju polovine voda, odnosno u tački priključenja kondenzatorske baterije P1′ = Pnat, Q1′ = 0 i U1′ = U1 ∠–λ/2. Eq j ( X dG + X T ) Pnat 1 1′ 2′ U1 0 jXAT 2 U∞ U2 Sl. 4.6d Jednopolna zamenska šema sistema iz zadatka 4.6b Uslov statičke stabilnosti je u ovom slučaju: θ a + λ / 2 + θ c = 90° , gde je θ a = 60°15′ ugao između fazora elektromotorne sile E q i fazora napona U1, proračunat u tač. a, dok je θc ugao između fazora napona U1′ i napona na sabirnicama beskonačne snage U ∞ . Ovaj ugao je najjednostavnije odrediti korišćenjem modela mreže prikazanog preko četvorokrajnika. Ako se pojedini elementi dela ekvivalentne šeme od tačke 1′ do sabirnica beskonačne snage predstave preko odgovarajućih četvorokrajnika, dobija se ekvivalentna šema na sl. 4.6e. U1′ Av Bv Cv Dv jX C jXAT U∞ Sl. 4.6e Ekvivalentna šema dela sistema od tačke 1′, pri predstavljanju elemenata odgovarajućim četvorokrajnicima Ekvivalentni četvorokrajnik ovom lancu četvorokrajnika, prikazan je na sl.4.6f. Njegovi parametri su: cosλ / 2 jZc sin λ / 2 1 jX  Ae Be  1 jX C    AT  = C D  = 0 1   j 1 sin λ / 2 cosλ / 2  0 1  e   Zc   e    XC X AT   cosλ / 2 − Z sinλ / 2 j X AT cosλ / 2 − Z X C sin λ / 2 + Z c sin λ / 2 + X C cosλ / 2 c c  . = X AT 1   j sin λ / 2 cosλ / 2 − sinλ / 2   Zc Zc Proračun stabilnosti 327 I ° U1′ ° I∞ ° Ae Be ° Ce De ° ° U∞ ° ° Sl. 4.6f Ekvivalentni četvorokrajnik sistema sa sl. 4.6e Veza između struja i napona na krajevima četvorokrajnika sa sl. 4.6f je: U 1′   Ae Be U ∞   I  = C D  I  . e  ∞     e Inverzijom ove matrične relacije dobija se zavisnost veličina na prijemnom kraju u funkciji napona i struje na predajnom kraju četvorokrajnika, odnosno: U ∞   De − Be  U 1′    .  I  = − C  ∞   e Ae   I  Prva relacija za napon na kraju voda je U∞ = De U1′ − Be I . Postavljanjem napona U1′ u faznu osu U1′ = U1 ∠0° i zamenjivanjem izraza za Be i De, kao i struje I koja je, shodno datoj pretpostavci: Pnat 451,25 = = 1,1875 A ∠0° , U1 380 izraz za napon U∞ postaje: I= X X     U ∞ =  cosλ / 2 − AT sinλ / 2U1′ − j X AT cosλ / 2 − AT X C sinλ / 2 + Zc sinλ / 2 + X C cosλ / 2I = Zc Zc     = (380cosλ / 2 − 34,295sinλ / 2) + j(47,049cosλ / 2 − 387,34sinλ / 2). Ugao θc je jednak negativnoj vrednosti argumenta fazora U∞, pa se uslov statičke stabilnosti prevodi u: 47,049 cos λ / 2 − 387,34 sin λ / 2 θ a + λ / 2 − arctan = 90° . 380 cos λ / 2 − 34,295 sin λ / 2 Rešavanje ove transcedentne jednačine po λ daje vrednost granične električne dužine voda: λ = 35,709° = 35°42′ , odnosno, granična dužina voda u ovom slučaju iznosi: Lv = 595,15 km . Proračun stabilnosti 328 Zadatak 4.7 Za dati trofazni, jednopolno prikazani elektroenergetski sistem, sa sl. 4.7a izračunati do koje i kakve (induktivne ili kapacitivne) reaktivne (spoljne) snage Q mogu da rade statički stabilno ravnomerno opterećeni generatorsko-transformatorski blokovi koji na sabirnice 1 odaju ukupnu aktivnu snagu P = 700 MW, ako se jaka mreža na kraju može zameniti reaktansom izračunatom iz udela te mreže u trajnoj trofaznoj snazi kratkog spoja na sabirnicama 2 i konstantnim naponom iza te reaktanse. 1 2 U1 = Ur = 410 kV ~ Jaka aktivna mreža P = 700 MW ~ SnG = 2×400 MVA UnG = 15,75 kV xdG = 240% xT = 14% mT = 15,75/400 kV/kV Sp = 250 MVA pri Up = Ur = 410 kV i cos ϕp = 0,9 (ind.) Unv = 400 kV xv = 0,33 Ω/km Lv = 240 km S k 3M = 8000 MVA pri UnM = 400 kV Sl. 4.7a Jednopolna šema i parametri elemenata sistema iz zadatka 4.7 Rešenje: Oba generatorsko-transformatorska bloka, identična po konstrukciji i podjednako opterećena, mogu se tretirati zajedno sa reaktansom svedenom na stranu voda. Njihova ukupna reaktansa je: X dGTsv = 2 xdGT % U nT 240 + 14 400 2 = ⋅ = 508 Ω . 100 S nGT 100 2 ⋅ 400 Reaktansa oba paralelna voda je: X vekv = xv Lv 0,33 ⋅ 240 = = 39,6 Ω . 2 2 Ekvivalentna reaktansa jake mreže u stacionarnim stanjima (normalnim ili poremećenim) je: XM = 2 U nM 400 2 = = 20 Ω . S k 3M 8000 Ekvivalentna impedansa potrošačkog centra na sabirnicama 1 je: Zp = U 2p 410 2 cos ϕ p + j sin ϕ p = ⋅ (0,9 + j 0,4359) = (605,16 + j 293) Ω . Sp 250 ( ) Proračun stabilnosti 329 Na osnovu izračunatih parametara zamenska šema sistema sa sl. 4.7a ima izgled prikazan na sl. 4.7b. 1 Z dGTsv = j508 Ω P ekv Ur Z v = j 39,6Ω ZM= j20Ω 2′ E UM Qun Qsp Zp = (606 + j293) Ω Sl. 4.7b Ekvivalentna jednopolna šema impedansi sistema sa sl. 4.7a Sopstvena impedansa u fiktivnom čvoru dejstva ems E je ( ) Z 11 = jX dGTsv + Z p j X vekv + X M = j 508 + (605,16 + j 293) j (39,6 + 20) = (4,4 + j 565) Ω , odnosno Z 11 = Z11 ∠ψ11 ≈ 565 Ω ∠90° ⇒ µ11 = 90° − ψ11 = 0° . Granica statičke stabilnosti ima se kada se sinhronizaciona snaga, tj. prvi izvod aktivne snage po uglu, izjednači sa nulom, pri čemu se najbrže dolazi do rezultata ako se upotrebe izrazi za odatu aktivnu i reaktivnu snagu generatora u fiktivnom čvoru dejstva ems E (unutrašnji generatorski čvor): Pun = P = Qun = EU ∞ E2 sin µ11 + sin (δ − µ12 ) ; Z11 Z12 EU ∞ E2 cos µ11 − cos (δ − µ12 ) . Z11 Z12 Izraz za prvi izvod aktivne snage po uglu je: dP EU ∞ = cos (δ − µ12 ) . dδ Z12 Zamenom izraza za reaktivnu snagu Qun može se izvršiti eliminacija člana zavisnog od ugla δ, te se za sinhronizacionu snagu dobija izraz: Ps = dP E 2 = cos µ11 − Qun . dδ Z11 Korišćenjem relacije koja povezuje spoljašnju Qsp i unutrašnju Qun reaktivnu snagu Qun = Qsp + 2 P 2 + Qsp U r2 X dGTsv Proračun stabilnosti 330 i njenim zamenjivanjem u izraz za sinhronizacionu snagu, granica statičke stabilnosti se određuje iz jednačine: Ps = 2 P 2 + Qsp E2 cos µ11 − Qsp − X dGTsv = 0 . Z11 U r2 Ems E može se izračunati iz relacije: Qsp X GTsv  E = U r + Ur  2 2   PX GTsv  +   U r   2   .   Posle zamene relacije za E2 u izraz za Ps uz uvažavanje činjenice da je cos µ11 = 1 , dobija se jednačina: 2 2 2 2 2 P 2 + Qsp U r2 2 Qsp X GTsv Qsp X GTsv P X GTsv + + + − Qsp − X GTsv = 0 . Z11 Z11 U r2 Z11 U r2 Z11 U r2 Ako se u gornju jednačinu smene brojčane vrednosti dobija se jednačina: 2 2 2 700 2 + Qsp 410 2 2 Qsp ⋅ 508 Qsp ⋅ 508 700 2 ⋅ 508 2 + + + − Qsp − ⋅ 508 = 0 . 565 565 410 2 ⋅ 565 410 2 ⋅ 565 410 2 Posle sređivanja gornjeg izraza sa leve strane, dobija se kvadratna jednačina po Qsp: 2 Qsp − 2618,2 Qsp − 485881 = 0 , čija su rešenja: Qsp1 = 2782 MVAr ; Qsp 2 = −174 MVAr . Pošto se uslovi statičke stabilnosti normalno pogoršavaju kada se pri istoj aktivnoj snazi prelazi sa reaktivnom snagom iz induktivnog u kapacitivno područje, može se zaključiti da su sva induktivna opterećenja (naravno samo ona koja dolaze u obzir sa gledišta dozvoljenih reaktivnih snaga generatora i naponskih prilika u mreži) stabilna, kao i ona kapacitivna, sve dok je reaktivna snaga manja od 174 MVAr cap. (174/2 MVAr po generatoru). Granični faktor snage je: cos ϕ cap = P 2 P 2 + Qcap = 700 700 2 + 174 2 = 700 = 0,97 721,3 i on naravno važi kako za ukupno opterećenje oba bloka tako i za svaki blok posebno. Proračun stabilnosti 331 Zadatak 4.8 Preko jednopolno prikazanog trofaznog sistema 220 kV sa sl. 4.8a, predaje se iz udaljene hidroelektrane jakoj mreži nominalnog napona 400 kV na ulazu u postrojenje 220/400 kV aktivna snaga od 260 MW pri 220 kV, uz faktor snage jednak jedinici. Proveriti statičku stabilnost ako se relativno jaka mreža 400 kV može zameniti reaktansom izračunatom iz udela te mreže u trajnoj trofaznoj snazi kratkog spoja, a napon UM iza te reaktanse smatrati konstantnim. Takođe smatrati konstantnom i ems E iza sinhrone reaktanse generatora. G TG TM Mreža 400 kV ~ P = 260 MW ~ G S k 3M cos ϕr = 1 TG SnG = SnTG = 150 MVA UnG = 15,75 kV xdG = 100% xqG = 65% xTG = 12% mTG = 15,75/231 kV/kV Unv = 220 kV Lv = 350 km Zc = 400 Ω TM SnTM = 150 MVA xTM = 13 % mTM = 220/400 kV/kV S k 3M = 10000 MVA pri 400 kV Sl. 4.8a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka Rešenje: Zamenska šema impedansi sistema sa sl. 4.8a ima izgled prikazan na sl. 4.8b. Ur P E jXTM jX d = j ( X dG + X TG ) (q) jXM UM I (qG) Zc , λ Sl. 4.8b Zamenska šema impedansi sistema sa sl. 4.8a Analizu stanja u sistemu u kom je vod predstavljen modelom sa raspodeljenim parametrima, slično zadatku 4.6, najjednostavnije je rešiti koričćenjem prezentacije mreže preko ekvivalentnog četvorokrajnika. Osnovna naponska jednačina sistema je: E = AeUM + BeI , Proračun stabilnosti 332 gde je E ems iza sinhrone reaktanse generatora a UM i I napon i struja mreže. Transformacijom u dq-koordinatni sistem, uz uvažavanje idealizacije da je sistem bez (aktivnih) gubitaka, ova jednačina prevodi se u dve jednačine: Ed = AqUd + jBqIq ; Eq = AdUq + jBdId . U njima su elementi četvorokrajnika realni, dok su komponente struja i napona dati relacijama: IG = Id + Iq ; U M = U d +U q ; I d = − I sin(δ + ϕ) ; U d = −U M sin δ ; I q = I cos(δ + ϕ) ; U q = U M cos δ , gde je ϕ ugao struje na kraju šeme prema naponu, dok se ems E poklapa sa q osom: E = Ed + Eq = Eq , odnosno Eq = E , kao što je prikazano na fazorskom dijagramu na sl.4.8c. jBdI E +ω d - osa I *G jBqI Uq AdUq jBqIq jBdId Iq δ AdUM AqUM ϕ AqUd Ud Id UM Re I Sl. 4.8c Fazorski dijagram napona i struja sistema iz zadatka 4.8 Korišćenjem gornjih relacija, dobijaju se skalarni izrazi: E = AdUq − BdId = AdUM cosδ + BdI sin(δ + ϕ) ; 0 = AqUd + BqIq = −AdUM sinδ + BqI cos(δ + ϕ) . q - osa Proračun stabilnosti 333 Elementi četvorokrajnika Ad i Bd se dobijaju ekvivalentiranjem lanca četvorokrajnika po d osi elemenata sistema prikazanim na sl. 4.8d. j ( X dG + X TG ) E Av jBv jCv Dv jXTM,M Uq Sl. 4.8d Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.8b, pri predstavljanju elemenata odgovarajućim četvorokrajnicima po d osi Parametri ekvivalentnog četvorokrajnika, prikazanog na sl. 4.8e, nalaze se primenom matričnog računa:  Ad  jC  d  jZcekv sinλ jBd  1 jX d   cosλ  1 jXTM ,M  = 1 =   cosλ  0 Dd  0 1   j ekv sin λ 1  Z  c     X TM ,M Xd sinλ j  X TM ,M cosλ − ekv X d sin λ + Z cekv sinλ + X d cosλ cosλ − ekv Zc Zc  . =   X TM ,M 1 cosλ − ekv sin λ  j ekv sin λ  Zc Zc   ° ° Ad jBd ° ° jCd Dd ° E ° Uq ° ° Sl. 4.8e Ekvivalentni četvorokrajnik sistema sa sl. 4.8d Koeficijent Bd istovremeno predstavlja i transfer reaktansu ovog sistema, odnosno reaktansu produženog statora hidrogeneratora po d osi X dekv :   X TM ,M X dekv = X d  cos λ − sin λ  + Z cekv sin λ + X TM , M cos λ , ekv Zc   gde je: X TM ,M = X TM + X M . dok je koeficijent Ad: Ad = cos λ − Xd Z cekv sin λ . Proračun stabilnosti 334 Sličnim izvođenjem za sistem po q osi, uz uočavanje da jedina razlika postoji kod četvorokrajnika generatora gde se umesto reaktanse Xd po d osi koristi reaktansa Xq, dobijaju se sledeći izrazi za koeficijente Aq i Bq = X qekv : Aq = cos λ − Xq Z cekv sin λ ;   X TM ,M X qekv = X q  cos λ − sin λ  + Z cekv sin λ + X TM , M cos λ . ekv Zc   Zamenom ovih koeficijenata u prvi od naponskih izraza, dobija se izraz za ems E:   Xd E = U M cos δ cos λ − ekv sin λ  + X dekv I sin(δ + ϕ) . Zc   Sređivanjem drugog izraza dobija se: Xq   U M sin δ cos λ − ekv sin λ  = X qekv I cos(δ + ϕ) = X qekv I cos δ cos ϕ − X dekv I sin δ sin ϕ ; Zc     Xq   ekv ekv U M  cos λ − ekv sin λ  + X d I sin ϕ sin δ = X q I cos ϕ cos δ , Zc     odnosno izraz za ugao δ između elektromotorne sile iza sinhrone reaktanse Xd generatora i napona na sabirnicama jake mreže (sabirnice beskonačne snage): tg δ = X qekv I cos ϕ Xq   U M  cos λ − ekv sin λ  + X qekv I sin ϕ Zc   . Izraz za odatu električnu snagu hidroelektrane je: P = Ud Id +UqIq . A U sin δ  E − Ad U M cos δ   + U M cos δ q M P = (− U M sin δ ) − =  X dekv X qekv   = EU M X dekv sin δ − Ad U M2 X dekv sin δ cos δ + AqU M2 X qekv sin δ cos δ = ekv ekv EU M U M2 X d Aq − X q Ad = ekv sin δ + sin 2δ . 2 Xd X dekv X qekv Proračun stabilnosti 335 Konačno, sređivanjem ovog izraza dobija se: EU M U M2 X d − X q P = ekv sin δ + sin 2δ , 2 X dekv X qekv Xd Parametri zamenske šeme sa slike 4.8b su: X dG = X qG X TG 2 1 xdG % U nG 1 100 15,75 2 2 mTG = ⋅ ⋅ 2 100 S nG 2 100 150 2  231  ⋅  = 177,87 Ω ;  15,75  2 2 1 xqG % U nG 1 65 15,75 2  231  2 = m = ⋅ ⋅ ⋅  = 115,61Ω ; 2 100 S nG TG 2 100 150  15,75  2 1 xTG % U nTG 1 12 2312 = = ⋅ ⋅ = 21,34 Ω ; 2 100 S nTG 2 100 150 2 XM X TM 2 U nM 400 2  220  2 = m =   = 4,84 Ω ; S k 3M TM 10000  400  2 1 xTM % U nTM 1 13 220 2 = = ⋅ ⋅ = 20,97 Ω . 2 100 S nTM 2 100 150 Dalje je: X d = X dG + X TG = 177,87 + 21,34 = 199,15 Ω ; X q = X qG + X TG = 115,61 + 21,34 = 136,95 Ω ; X TM ,M = X TM + X M = 21 + 4,84 = 25,81Ω ; 1 Z = 200 Ω ; 2 c λ = βLv = 0,06 ⋅ 350 = 21° ; Z cekv =   X TM ,M X dekv = X d  cos λ − sin λ  + Z cekv sin λ + X TM ,M cos λ = ekv Zc   25,81   = 199,15 ⋅  cos 21° − sin 21°  + 200 sin 21° + 25,81cos 21° = 272,48 Ω; 200     X TM ,M X qekv = X q  cos λ − sin λ  + Z cekv sin λ + X TM ,M cos λ = ekv Zc   25,81   = 136,95 ⋅  cos 21° − sin 21°  + 200 sin 21° + 25,81cos 21° = 217,29 Ω; 200   U M =Ur − j Ako je: U r = U r ∠0 , PX TM , M 260 ⋅ 25,81 = 220 − j = 220 − j30,5 = 222,1 kV ∠ − 7,89° . 220 Ur Proračun stabilnosti 336 to je: U M = U M ∠θ ⇒ θ = −7,89° . Računska struja I nalazi se kao: I= P 260 = = 1,18 kA . U r 220 Pošto je struja I u fazi sa naponom Ur to ona prednjači naponu UM za ugao 7,89°, odnosno ϕ = θ = −7,89°. Dalje je: tg δ = X qekv I cos ϕ = Xq   U M  cos λ − ekv sin λ  + X qekv I sin ϕ Zc   217,29 ⋅ 1,18 cos (−7,89°) = , 136,95   222,1 ⋅  cos 21° − sin 21°  + 217,29 ⋅1,18 sin (−7,89°) 200   odakle je: tgδ = 2,16 ⇒ δ = 65,14° . Sada je:   Xd sin λ  + X dekv I sin(δ + ϕ) = E = U M cos δ cos λ − ekv Zc   199,15   = 222,1 cos 65,14° ⋅  cos 21° − sin 21°  + ⋅272,48 ⋅1,18 sin (65,14° − 7,89°) = 200   = 324,27 kV. Na kraju je: EU M U M2 X d − X q P = ekv sin δ + sin 2δ = 2 X dekv X qekv Xd 324,27 ⋅ 222,1 222,12 199,15 − 136,95 = sin δ + ⋅ sin 2δ = 272,48 2 272,48 ⋅ 217,29 = 264,31sin δ + 25,91sin 2δ ; Ps = dP = 264,31cos δ + 2 ⋅ 25,91cos 2δ = 77,61 MW / ° . dδ Kako je Ps > 0 to se zaključuje da je sistem statički stabilan. Proračun stabilnosti 337 Zadatak 4.9 Za dati trofazni, jednopolno prikazani elektroenergetski sistem na sl. 4.9a proveriti statičku stabilnost generatora. P = 180 MW Q = 60 MVAr (cap.) G 250 km ~ Jaka mreža homogena mreža 220 kV x = 0,42 Ω/km T Ur = 225 kV SnG = SnT = 200 MVA UnG = 15,75 kV xsG = 160 % mT = 15,75/231 kV/kV xT = 12 % 150 km S k 3 M = 6000 MVA pri UM = 220 kV 160 km Zp = const Pp = 120 MW   pri U p = 220 kV Q p = 40 MVAr  Sl. 4.9a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.9 Rešenje: Parametri ekvivalentne šeme sistema sa sl. 4.9a, prikazane na sl. 4.9b su: 2312 = 459 Ω ; 200 X v1 = 0,42 ⋅ 250 = 105 Ω ; X GT = 1,72 ⋅ X v 2 = 0,42 ⋅150 = 63 Ω ; X v3 = 0,42 ⋅160 = 67,2 Ω ; 1 j459 Ω 3 j105 Ω 4 j8,1 Ω E 2 UM j63 Ω j67,2 Ω 5 403,3 Ω j1210 Ω Sl. 4.9b Ekvivalentna šema impedansi sa sl. 4.9a Proračun stabilnosti Rp = 338 U 2p 220 2 = = 403,3 Ω ; Pp 120 U 2p 220 2 Xp = = = 1210 Ω ; Qp 40 XM = U M2 220 2 = = 8,1Ω . S k 3M 6000 Posle transfiguracije trougla 345 u zvezdu, dobija se šema prikazana na sl. 4.9c. 1 j459 Ω 3 4 E j8,1 Ω j30 Ω j28,125 Ω 2 UM 0 j18 Ω 5 (362,85 + j120,8) Ω Sl. 4.9c Ekvivalentna šema sistema posle transfiguracije trougla 345 sa sl. 4.9b u zvezdu Sa prethodne šeme se nalazi sopstvena impedansa za čvor 1: Z 11 = j 459 + j 28,125 + ( j 30 + j8,1) ( j18 + 362,85 + j120,8) = (3,2 + j 523,5) Ω , odnosno: Z 11 ≈ j 523,5 Ω ⇒ µ11 ≈ 0 . Dalje je, za Ur uslovno u faznoj osi: E =Ur + QX GT PX GT (−60) ⋅ 459 459 ⋅180 +j = 225 + +j = Ur Ur 225 225 = (102,6 + j 367,2) kV = 381,4 kV ∠74,4°. Gubici reaktivne snage u reaktansi bloka generator-transformator su: Q gub = X GT P2 + Q2 180 2 + 60 2 = 459 ⋅ = 326,4 MVAr , U2 225 2 Proračun stabilnosti 339 tako da je unutrašnja reaktivna snaga generatora: Qu = Qsp + Q gub = −60 + 326,4 = 266,4 MVAr . Generator je statički stabilan ako mu je sinhronizaciona snaga veća od nule, tj. ako je, shodno izrazu izvedenom u zadatku 4.7, ispunjen uslov ∂P E 2 = cos µ11 − Qu > 0 , ∂δ Z11 odakle je ∂P 381,4 2 = ⋅1 − 266,4 = 11,52 > 0 . ∂δ 523,5 Odavde se vidi da je generator statički stabilan. Proračun stabilnosti 340 Zadatak 4.10 a) Sinhroni motor funkcioniše u natpobuđenom stanju, apsorbujući iz mreže aktivnu snagu od PSM = -0,61 r.j. i odajući reaktivnu snagu QSM = +0,36 r.j., pri naponu U = 1,0 r.j. a1) Naći ugao snage δ; a2) Proračunati indukovanu EMS motora E; a3) Pokazati da se gledano sa strane mreže motor može predstaviti sa prostim RC kolom. Reaktanse motora su Xd = 1,10 r.j. i Xq = 0,80 r.j.. b) Sinhroni generator je priključen na mrežu u čvoru čiji je napon U = U0 konstantan, sa snagom određenom uglom snage δ0. Pod pretpostavkom da je mehanički momenat turbine takođe konstantan, naći izraz za proračun malih promena reaktivne snage (∆QG), pri promeni pobude (koja je u r.j. jednaka promeni EMS ∆E). Rešenje: a1) Aktivna i reaktivna snaga sinhronog motora izražavaju se preko formula: EU U2  1 1    sin 2δ ; sin δ + − Xd 2  X q X d   1 U 2 EU 1  2  cos δ . =− + cos δ + U 2  − Xq Xd  Xq Xd  PSM = QSM Posle množenja prve formule sa cos δ , a druge sa sin δ i oduzimanja tako dobijenih drugog od prvog izraza, dobija se: PSM cos δ − QSM sin δ = U2 sin δ , Xq odakle je: PSM tg δ = QSM + 2 U Xq = − 0,61 = −0,379 ; 12 0,36 + 0,8 δ = −20,75° . a2) Iz izraza za PSM u tač. a1), dobija se jednačina: − 0,61 = E ⋅1 12  1 1 sin (−20,75°) + ⋅  −  sin (−41,5°) , 1,1 2  0,8 1,1  odakle je E = 1,543 r.j. Proračun stabilnosti 341 a3) Motor troši aktivnu snagu (od 0,61 r.j.) i proizvodi reaktivnu snagu (0,36 r.j.), pa se može predstaviti kao potrošač sa ekvivalentnim RC paralelnim kolom, sa sl. 4.10a, čiji su otpor i reaktansa U2 1 = = 1,64 r.j. ; P 0,61 U2 1 XC = − =− = −2,78 r.j. Q 0,36 R= Uf R = 1,64 r.j. jXC = -j2,78 r.j. Sl. 4.10a RC ekvivalent sinhronog motora iz zadatka 4.10 b) Iz uslova zadatka (PG = const. i U = U0 = const.) i izraza za PG izvedenog u zadatku 1a, ako se sve veličine izraze u relativnim jedinicama, je: U E  U  ∆PG =  0 cos δ  ∆δ +  0 sin δ  ∆E = 0 , X X  d   d  odakle je ∆δ = − sin δ ∆Ε . E cos δ Kako je izraz za promenu reaktivne snage turbogeneratora za U = U0 = const. shodno izrazu za QG izvedenom u zadatku 4.1b, ako se sve veličine izraze u relativnim jedinicama: U E  U  ∆QG = − 0 sin δ  ∆δ +  0 cos δ  ∆E ,  Xd   Xd  to se zamenom napred nađenog izraza za ∆δ, u izraz za ∆QG, dobija da je:  U sin 2 δ + cos 2 δ   U sin 2 δ  U   U0   ∆E +  0 cos δ  ∆E =  0  ∆E =  ∆QG =  0    X cos δ  ∆E .    cos δ  Xd   d   X d cos δ   Xd  Proračun stabilnosti 342 Zadatak 4.11 a) Izvesti jednačinu kretanja obrtnih masa dvomašinskog elektroenergetskog sistema tipa sinhroni generator – sinhroni motor, shodno šemi sa sl. 4.11a. Takođe izvesti izraze za učestanost i periodu oscilacija međusobnog ugla rotora, na granici dinamičke stabilnosti sistema, pod pretpostavkom da se radi o malim poremećajima. U proračunima zanemariti sopstvena prigušenja mašina. 1 2 T1 T2 G SM Spojni vod ~ ~ Sl. 4.11a Uprošćena šema dvomašinskog sistema iz zadatka 4.11 b) Izvršiti numeričke proračune učestanosti i periode oscilacija iz tač. a, ako su parametri sistema sledeći: Generator: EG′ = 1,80 r.j. X G′ = 0,25 r.j. TiG = 7 MWs/MVA XT1 = 0,12 r.j. Xv = 0,60 r.j. fn = 50 Hz Motor: ′ = 1,0 r.j. E SM ′ = 0,20 r.j. X SM TiSM = 4,2 MWs/MVA XT2 = 0,105 r.j. δ120 = 30° ′ = 0,25 + 0,12 + 0,60 + 0,105 + 0,20 = 1,275 r.j. X = X G′ + X T 1 + X v + X T 2 + X SM Rešenje: a) Jednačine obrtnih masa generatora i motora (iz uslova zadatka) su: TiG d 2 (∆δ1 ) + Ps12 ∆δ12 = 0 ; ωn d t 2 2TiSM d 2 (∆δ 2 ) + Ps 21∆δ 21 = 0 , ωn dt2 gde je: Ps12 (Ps21) - sinhronizaciona snaga generatora (motora) u MW/rad; δ12 = –δ 21 = δ 1 – δ 2 - međusobni ugao rotora generatora i motora u rad. Oduzimanjem druge od prve jednačine dobija se jednačina P d 2 (∆δ12 ) P  + ωn  s12 ∆δ12 − s 21 ∆δ 21  = 0 . 2 T T dt iSM  iG  Proračun stabilnosti 343 Jednačina aktivne snage, koju razmenjuju sinhroni generator i motor je: P12 = ′ EG′ E SM sin δ12 = Pmax sin δ12 ; X gde je Pmax = ′ EG′ E SM . X Onda je pri početnom uglu δ120 = -δ210: Ps12 = Pmax cos δ120 ; Ps 21 = Pmax cos δ120 = Ps12 [r.j./rad] . Konačno, jednačina kretanja obrtnih masa sistema postaje:  1 d 2 (∆δ12 ) 1  + P ω cos δ + m ax n 120 2 dt  TiG TiSM   ∆δ12 = 0 ,  odnosno: d 2 (∆δ12 ) ωn Ps12 + ∆δ12 = 0 , Ti dt2 gde je: Ti = TiGTiSM . TiG + TiSM b) Karakteristična jednačina sistema ovde je: s 2 + ωn Ps12 = 0, Ti čiji su koreni: s1, 2 = ± j ωn Ps12 = ± js0 , Ti gde je: s0 = ωn Ps12 . Ti Onda su tražene veličine učestanosti i periode oscilacija: ωosc = s0 [rad], Proračun stabilnosti odnosno: s0 [Hz]; 2π 1 = [s]. f osc f osc = Tosc Numeričke vrednosti traženih veličina su: ′ EG′ E SM 1,8 ⋅1,0 cos δ120 = cos 30° = 1,223 r.j./rad; X 1,275 ωn = 2πf n = 314 rad/s ; T T 7 ⋅ 4,2 = 2,625 MWs/MVA; Ti = iG iSM = TiG + TiSM 7 + 4,2 Ps12 = Ps 21 = ωn Ps12 314 ⋅1,223 = = 12,095 rad/s; 2,625 Ti ω 12,095 f osc = osc = = 1,925 Hz; 2π 2π 1 1 Tosc = = = 0,52 s. f osc 1,925 ωosc = s0 = 344 Proračun stabilnosti 345 Zadatak 4.12 Metodom jednakih površina utvrditi graničnu snagu Pgr = kPmax (k ≤ 1), pri kojoj se turbogenerator (generator sa cilindričnim rotorom) vezan na krutu mrežu, pri potpunom rasterećenju (∆P = -Pm) nalazi na granici stabilnosti (Pmax je amplituda krive njihanja P(δ) mašine), pri čemu je dozvoljena greška rešenja ε ≤ 1%. Rešenje: Na sl. 4.12a, nacrtana je kriva njihanja P(δ) generatora. Uslov stabilnosti pri kompletnom rasterećenju mašine je jednakost površina A1 i A2, koji se analitički izražava preko jednačine: δ0 δmax =π−δ0      Pmax δ 0 sin δ 0 − ∫ sin δ dδ = Pmax  ∫ sin δ dδ − δ max − δ 0 sin δ 0  ,    δ0  δ1   ( ) P A2 A1 Pm = Pmax sin δ0 P(δ) = Pmax sin δ ∆P δ1 = 0 rad δ0 δmax = π – δ0 Sl. 4.12a Kriva njihanja turbogeneratora iz zadatka 4.12 δ iz koje se, posle sređivanja dobija transcedentna jednačina po početnom uglu δ0 (koji određuje rasterećenje ∆P = Pm = Pmax sin δ 0 ): cos δ 0 + δ 0 sin δ 0 + 1 − π sin δ 0 = 0 . Rešenje ove jednačine naći će se razvojem trigonometrijskih funkcija ( sin δ 0 i cos δ 0 ) u Taylorov red, povećavajući broj članova reda, sve dok se ne zadovolji uslov ε ≤ 1%. Proračun stabilnosti 346 Prvi korak: Zamenjuje se: sin δ 0 = δ 0 ; cos δ 0 = 1 − δ 02 , 2 pa se rešava jednačina δ 02 − 2πδ 0 + 4 = 0 , odakle je δ 0 = π ± π 2 − 4 = 3,1416 ± 2,4227 . Prihvatljivo rešenje za δ0 mora biti manje od 90°, pa je δ 0 = 0,7189 rad = 41,19° . Zamenom ovog rešenja u osnovnu jednačinu jednakosti površina A1 i A2 na sl. 4.12a, dobija se: 0,7525 + 0,7189⋅0,6586 + 1 - 3,1416⋅0,6586 = 0,1571 ≠ 0 . Uočava se da je greška rešenja (15,71 %) suviše velika u odnosu na dozvoljenu, odakle se zaključuje da se u razvoju trigonometrijskih funkcija mora ići na veći broj članova Taylorovog reda, od ovde korišćenih (jedan za sin δ 0 i dva za cosδ 0 ). Drugi korak: Zamenjuje se: sin δ 0 = δ 0 − δ 30 ; 6 cos δ 0 = 1 − δ 02 δ 04 + , 2 24 pa se rešava jednačina: δ 02 δ 04  δ 30   1− + + δ −  ⋅ (δ − π) + 1 = 0 , 2 24  0 6  0 čije je rešenje: δ 0 = 0,8096 rad = 46,387° Proverom ovog rešenja, preko osnovne jednačine jednakosti površina A1 i A2 na sl. 4.12a dobija se: 0,6896 + 0,8096⋅0,724 + 1 – 3,1416⋅0,724 = 0,0013 . Greška je 0,13% < εzad = 1%, tako da se ovo rešenje problema može prihvatiti. Onda je traženo granično opterećenje generatora: Pgr = Pmax sin δ 0 = 0,724 Pmax . Proračun stabilnosti 347 Zadatak 4.13 Za prenosni sistem, prikazan na sl. 4.13a, proračunati kritični ugao i kritično vreme isključenja kvara, za slučaj trofaznog kratkog spoja sa nultom impedansom luka na vodu V2, neposredno iza sabirnica višeg napona generatorskog blok-transformatora. U normalnom stanju, pre kvara, generator odaje u krutu mrežu snagu P∞ = 0,9 r.j. pri naponu U∞ = 1,00 r.j. i faktoru snage cos ϕ∞ = 1,00. Bazne vrednosti za proračun relativnih jedinica su SB = SnG i UB = U∞. 1 G BT Prenosni vodovi V1 2 ~ 3 Kruta mreža V2 K X'd = 0,4 r.j. mD2 = 243,2 tm2 nn = 3000 ob/min SnG = 1000 MW XT = 0,15 r.j. SnT = 1000 MW Xv1 = 0,4 r.j. Xv2 = 0,4 r.j. U∞ = 1,00 r.j. P∞ = 0,90 r.j. cos ϕ∞ = 1,00 Sl. 4.13a Jednopolna šema i osnovni podaci za prenosni sistem iz zadatka 4.13 Rešenje: Proračun početnih uslova: Indukovana EMS iza tranzijentne impedanse je: E ′ = U ∞ + jX I = 1,00 + j 0,75 0,9 + j 0 = (1 + j 0,675) r.j. = 1,2065 r.j. ∠34,02° . 1,00 Onda je: E ′ = 1,2065 r.j. , a početni ugao: δ 0 = 34,02° . Provera: sin δ 0 = Pm 0,9 ⋅ 0,75 = = 0,55947 ; Pmax 1,2065 ⋅1 δ 0 = 34,02° = 0,594 rad. Izrazi za karakteristike snaga-ugao su: Pm = 0,9 r.j. ; Pmax = E ′U 1,2065 ⋅1 = = 1,609 r.j.; X 0,75 Proračun stabilnosti 348 Pre kvara: P = 1,609 sin δ . Za vreme kvara: Pk = 0 = r1 Pmax sin δ ⇒ r1 = 0 . Posle isključenja kvara ( X ekv = 0,4 + 0,15 + 0,4 = 0,95 r.j. ) Pi = 1,2065 ⋅1 sin δ = 1,27 sin δ = r2 Pmax sin δ 0,95 ⇒ r2 = 1,27 = 0,789 . 1,609 Granični dozvoljeni radni ugao mašine je: δ gr = 180° − arcsin Pm 0,9 = 180° − arcsin = 180° − 45,13° = 134,87° = 2,3536 rad . r2 Pmax 0,789⋅1,609 P [r.j.] Pmax = 1,609 r.j. – Pre kvara 1,5 A2 Pimax = 1,27 r.j. – Posle isključenja kvara 1,0 A1 Pm = 0,9 r.j. 0,5 0 δn = 45,13° 0 δikr = 57,20° δ0 = 34,02° δgr = 134,87° Sl. 4.13b Ilustracija rešenja zadatka 4.13 Kritični ugao isključenja kvara je δ [ °] Proračun stabilnosti cos δ ikr = 349 ( ) Pm 0,9 δ − δ 0 + cos δ gr = ⋅ (2,3536 − 0,594) − 0,7053 = 0,5417 ; r2 Pmax gr 1,27 δ ikr = 57,20° = 0,998 rad . e) Kritično vreme isključenja kvara za mD2 = 243,2 tm2 i Ti = 2,7414 ⋅ je: tikr = ( mD 2 nn2 243,2 ⋅103 ⋅ 9 ⋅10 6 ⋅10 −9 = 2,7414 ⋅ ⋅10 −9 = 6,0 s , Sn 1000 ) 2Ti δ ikr − δ 0 2 ⋅ 6 ⋅ (0,998 − 0,594) = = 0,131s ≈ 6,5 perioda . ω s Pm 314 ⋅ 0,9 Na sl. 4.13b grafički je ilustrovano rešenje problema. Proračun stabilnosti 350 Zadatak 4.14 Elektrana predstavljena ekvivalentnim generatorom (G), vezana na krutu mrežu posredstvom generatorskog blok-transformatora (BT) i dvostrukog voda (V1, V2), prikazana je na sl. 4.14a. Odaje snagu P = 0,85 r.j. uz cos ϕ = 0,85 (ind) pri naponu krute mreže U∞ = 1,0 r.j. (fn = 50 Hz). Ostali podaci neophodni za proračune, dati su ispod sl. 4.14a. Za slučaj trofaznog kratkog spoja sa nultom impedansom luka, koji se dogodio na vodu V2 na udaljenosti od 75 % od početka voda (mereno od sabirnica 2) izračunati: a) Početni ugao δ0 (u rad i °) na krivoj njihanja P(δ). b) Izraze za krive P(δ) pre kvara, za vreme kvara i posle isključenja voda u kvaru. c) Granični dozvoljeni ugao oscilacija mašine δgr (u rad i °). d) Kritični ugao isključenja kvara δ ikr (u rad i °). e) Ilustrovati grafički rešenje problema. 1 2 BT G 3 V1 ~ Mreža 0,75 Xv2 V2 SnG = 100 MVA; SnT = 100 MVA; x'dG = 0,3 r.j.; xBT = 0,12 r.j.; Ti = 6,0 MWs/MVA; K Xv1 = Xv2 = 0,4 r.j.; U∞ = 1,0 r.j. P∞ = 0,85 r.j. cos ϕ = 0,85. Sl. 4.14a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.14 Rešenje: Proračun početnih uslova Ekvivalentna zamenska šema sistema pre kvara sa sl. 4.14a, data je na sl. 4.14b. j0,3 r.j. 1′ 1 j0,12 r.j. 2 E′ = E′ ∠δ j0,4 r.j. j0,4 r.j. 3 S S = (0,85 + j0,527) r.j. Pm = 0,85 r.j. U∞ = 1,0 r.j. ∠0° Sl. 4.14b Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.14a pre kvara Sa sl. 4.14b dobija se: X ekv = 0,3 + 0,12 + 0,4 = 0,62 r.j. , 2 odnosno: E ′ = U ∞ + jX ekv I = 1,0 + j 0,62 ⋅ 0,85 − j 0,527 = (1,327 + j 0,527) r.j. = 1,428 r.j. ∠21,66° , 1 Proračun stabilnosti 351 odakle je: δ 0 = 21,66° = 0,374 rad . b) Izrazi za krive njihanja P(δ) Pre kvara: E ′U ∞ 1,428 ⋅ 1,0 sin δ = sin δ = 2,303 sin δ ; ekv 0,62 X P= Pmax = 2,303 r.j. Za vreme kvara: Transfer impedansa se proračunava sa sl. 4.14c, koja prikazuje ekvivalentnu šemu sistema sa sl. 4.14a za vreme kvara. j0,3 r.j. 1′ 1 j0,12 r.j. 2 Zv1 = j0,4 r.j. E′ = E′ ∠δ 14444244443 Z s = j 0,42 U∞ = 1,0 r.j. ∠0° K Z 1v 2 = j 0,3 3 Z v22 = j 0,1 Sl. 4.14c Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.14a, za vreme kvara Posle transfiguracije zvezde 1′23K u trougao 1′3K proračunava se transfer impedansa Z 1′ 3 = j 0,42 + j 0,4 + j 0,42 ⋅ 0,4 = j1,38 r.j. 0,3 Onda je izraz za krivu njihanja P(δ) za vreme kvara Pk = E ′U ∞ 1,428 ⋅ 1,0 sin δ = sin δ = 1,035 sin δ . X 1′ 3 1,38 Odnos amplituda krivih njihanja za vreme i pre kvara je r1 = 1,035 = 0,4494 . 2,303 Proračun stabilnosti 352 Posle isključenja kvara (kada se isključuje vod V2): X 1ekv = 0,42 + 0,4 = 0,82 r.j. , Pi = E ′U ∞ 1,428 ⋅1,0 sin δ = sin δ = 1,742 sin δ . ekv 0,82 X1 Odnos amplituda krivih njihanja posle isključenja kvara i pre kvara je r2 = 1,742 = 0,7562 . 2,303 c) Određivanje graničnog dozvoljenog ugla oscilacija mašine: δ gr = π − arcsin Pm 0,85 = π − arcsin = 2,632 rad = 150,79° . 0,7562 ⋅ 2,303 r2 Pmax d) Proračun kritičnog ugla isključenja kvara vrši se na osnovu jednakosti površina A1 + A3 i A2 + A4 sa sl. 4.14d. Taj uslov se ovde izražava preko jednačine: δn ( ) Pm (δ n − δ 0 ) − ∫ r1 Pmax sin δdδ + Pm δ ikr − π + δ n − δ0 = π− δ n δ gr δn δikr δikr ∫ r1Pmax sin δdδ = π −δ n ∫ r1 Pmax sin δdδ − Pm (π − 2δ n ) + ∫ r2 Pmax sin δdδ − Pm (δ gr − δi kr ), gde je δ n = arcsin Pm 0,85 = arcsin = 55,21° = 0,964 rad. r1 Pmax 1,035 Kritičan ugao isključenja kvara onda se nalazi preko izraza: cos δ ikr ( ) Pm δ − δ 0 + r2 cos δ gr − r1 cos δ 0 Pmax gr = = r2 − r1 0,85 ⋅ (2,6317 − 0,374) + 0,7562 cos150,79° − 0,4494 cos 21,66° 2,303 = = −0,796936 ; 0,7562 − 0,4494 δ ikr = 142,84° = 2,493 rad < δgr = 2,632 rad = 150,79° . Proračun stabilnosti 353 e) Grafička ilustracija problema prikazana je na sl. 4.14d. P [r.j.] P = 2,303 sin δ (pre kvara) 2,0 Pi = 1,742 sin δ (posle isključenja kvara) A2 1,0 A1 A3 A4 Pk = 1,035 sin δ (za vreme kvara) A1 + A3 = A2 + A4 0 δn= 0,964 rad δ0 = 0,374 rad Pm = 0,85 r.j. δikr = 2,493 rad π − δn= 2,178 rad δgr= 2,632 rad δ [rad] Sl. 4.14d Ilustracija rešenja zadatka 4.14 Proračun stabilnosti 354 Zadatak 4.15 Elektrana predstavljena ekvivalentnim generatorom nominalne snage SnG = 500 MVA, posredstvom generatorskog blok-transformatora i dvostrukog voda isporučuje u moćnu mrežu, čiji je napon 220 kV, snagu od 450 MW, pri faktoru snage od 0,965 cap., kako je to ilustrovano na sl. 4.15a. Zbog trofaznog kratkog spoja na jednom od dva paralelna voda, posle trenutne eliminacije kvara, sistem nastavlja da radi samo sa jednim vodom. a) Proračunati reaktivne gubitke prenosa i faktor snage generatora u normalnom radnom režimu (pre kvara). b) Odrediti izraze za krive snaga-ugao P(δ) pre kvara i posle kvara (pobuda generatora ostaje konstantna). c) Odrediti uglove snaga pre kvara (δ0) i posle kvara (δn), kao i granični ugao stabilnosti (δgr), gubitke u prenosu posle kvara i faktor snage na kraju voda. d) Primenom metoda jednakih površina utvrditi, da li sistem u režimu rada posle kvara ostaje stabilan. Ako je odgovor potvrdan izračunati kritični ugao isključenja kvara ( δ ikr ) i kritično vreme isključenja kvara. Rezultate proračuna ilustrovati na fazorskom dijagramu napona i struja i dijagramima P(δ). Podaci o sistemu su prikazani na slici. Za bazne vrednosti pri proračunu relativnih jedinica usvojiti SB = 500 MVA i UB = 220 kV. 1 BT G 2 Vod 1 ~ 3 Kruta mreža K SnG = 500 MVA UnG = 20 kV x'dG = 20% mD2 = 162124 kgm2 nn = 3000 ob/min fn = 50 Hz SnT = 450 MVA UnT = 20/220 kV/kV xT = 12% Vod 2 xv = 0,32265 Ω/km Lv = 200 km U∞ = 220 kV P∞ = 450 MW cos ϕ∞ = 0,965 cap. Sl. 4.15a Jednopolna šema i parametri elemenata sistema iz zadatka 4.15 Rešenje: Proračun parametara elemenata sistema: ′ = X G = X dG 2 ′ U nG xdG 20 20 2  220  19,36  220  ⋅ ⋅ = 0,20 r.j. ,   =  = 19,36 Ω = 100 S nG  20  100 500  20  96,8 gde je ZB = U B2 220 2 = = 96,8 Ω ; SB 500 2 2 Proračun stabilnosti 355 2 xT U nT 12 220 2 12,907 XT = = ⋅ = 12,907 Ω = = 0,133 r.j. ; 100 S nT 100 450 96,8 64,53 X v = xv Lv = 0,32265 ⋅ 200 = 64,53 Ω = = 0,667 r.j. ; 96,8 Ti = 2,7414 (mD )n 2 S nG 2 n ⋅10 −9 = 2,7414 ⋅ 162124 ⋅ 3000 2 MWs ⋅10 −9 = 8 . 500 MVA a) Proračun stanja pre kvara Ekvivalentna šema sistema pre kvara predstavljena je na sl. 4.15b. ZG = j0,2 r.j. 1′ ° E ′ q = E q′ ∠δ 1 ZT = j0,133 r.j. SG 2 Zv = j0,333 r.j. S∞ I 3 ° U∞ = 1,0 r.j. ∠0° Sl. 4.15b Ekvivalentna šema sistema sa slike 4.15a, pre kvara PG = 0,9 r.j. I = (0,9 + j 0,2445) r.j. = 0,9326 r.j. ∠15,2° X = 0,2 + 0,133 + 0,333 = 0,666 r.j. S ∞ = (0,9 − j 0,2445) r.j. ϕ∞ = −15,2° Q∞ = P∞ tg ϕ∞ = 0,9 ⋅ 0,2171 = = −0,2445 r.j. Reaktivni gubici u prenosu su: gub Q pren = ( X T + X v ) I 2 = (0,133 + 0,333) ⋅ (0,9 2 + 0,2445 2 ) = 0,466 ⋅ 0,8698 = 0,4053 r.j. Kompleksna snaga na krajevima generatora je: gub S G = S ∞ + jQ pren = (0,9 − j 0,2445) + j 0,4053 = (0,9 + j 0,1608) r.j. = 0,9143 r.j. ∠10,13° . Napon na krajevima generatora, kada se napon U∞ postavi u realnu osu, je: U G = U ∞ + j ( X T + X v )I = 1,0 + j (0,133 + 0,333) ⋅ (0,9 + j 0,2445) = = (0,8861 + j 0,4194) r.j. = 0,9804 r.j. ∠25,33°. Fazni pomeraj računske struje I (koja je u relativnim jedinicama jednaka faznoj struji generatora) u odnosu na napon generatora je: ϕG = arg U g − arg I = 25,33° − 15,2° = 10,13° (videti fazorski dijagram napona i struje sistema na sl. 4.15c). Proračun stabilnosti 356 E q = 1,03 r.j. ∠36,60° U G = 0,9804 r.j. ∠25,33° 35,60° I = 0,9326 r.j. ∠15,2° ϕG = 10,13° 25,33° 15,2° U ∞ = 1,0 r.j. ∠0° Sl. 4.15c Fazorski dijagram napona i struje iz zadatka 4.15 Faktor snage generatora je onda: cos ϕG = cos10,13° = 0,9844 ind. Indukovana EMS Eq, koja određuje položaj q-ose generatora je: E q = U∞ + X Q∞ P 0,666 ⋅ 0,2445 0,666 ⋅ 0,9 = + jX ∞ = 1,0 − +j U∞ U∞ 1,0 1,0 = (0,8372 + j 0,5994) r.j. = 1,03 r.j. ∠35,60°, odakle je: Eq = 1,03 r.j. ; δ 0 = 35,60° = 0,621 rad . b) Izrazi za krive snaga-ugao: Pre kvara: P= EU ∞ 1,03 ⋅ 1 sin δ = sin δ = 1,546 sin δ . X 0,666 Provera vrednosti aktivne snage koja se isporučuje u krutu mrežu: P∞ = 1,546 sin 35,60° = 1,546 ⋅ 0,582 = 0,9 r.j. Proračun stabilnosti 357 Posle isključenja kvara ( X ′ = 0,2 + 0,133 + 0,667 = 1,0 r.j.), vrednost prenete snage je: Pi = EU ∞ 1,03 ⋅ 1 sin δ = sin δ = 1,03 sin δ . X′ 1,0 c) Ugao snage posle kvara je: δ n = arcsin 0,9 = arcsin 0,8738 = 60,9° = 1,0629 rad . 1,03 Ugao snage pre kvara (ranije pronađen u tač. a) bio je: δ 0 = 35,60° = 0,621 rad . Granični ugao stabilnosti je: δ gr = 180° − δ n = 119,1° = 2,079 rad . Krive snaga-ugao, pre kvara i posle isključenja kvara prikazane su na sl. 4.15d. P [r.j.] Pmax = 1,546 r.j. – Pre kvara 1,5 A2 > A1 A2 1,0 A1 Pimax = 1,03 r.j. – Posle isključenja kvara Pm = 0,9 r.j. 0,5 0 0 δ0 = 35,6° δn = 60,9° δgr = 119,1° δ [°] Sl. 4.15d Krive snaga – ugao sistema pre kvara i posle isključenja kvara iz tač. c i ilustracija metoda poređenja površina ubrzanja i usporenja iz tač. d Proračun stabilnosti 358 d) Provera stabilnosti sistema u režimu posle kvara Uvidom u dijagrame snaga-ugao sa sl. 4.15d, uočava se da su vrednosti površina ubrzanja (A1) i usporenja (A2) sledeće: δn A1 = 0,9 (δ n − δ 0 ) − ∫ (1,03 sin δ) dδ = 0,9 (δ n − δ 0 ) + 1,03(cos δ n − cos δ 0 ) = δ0 = 0,9 ⋅ (1,0629 − 0,621) + 1,03(cos 1,0629 − cos 0,621) = 0,0611; δ gr ( ) A2 = ∫ (1,03 sin δ) dδ − 0,9 (δ gr − δ n ) = 1,03 cos δ n − cos δ gr − 0,9 (δ gr − δ n ) = δn = 1,03(cos 1,0629 − cos 2,079 ) − 0,9 ⋅ (2,079 − 1,0629) = 0,0874 . Pošto je A2 > A1, sistem je u režimu posle isključenja kvara ostao stabilan. Kritični ugao isključenja kvara dobija se iz uslova jednakosti površina A1 i A2 na sl.4.15e i dat je preko izraza:  P   0,9  ⋅ (2,079 − 0,621) − 0,486 = δ ikr = arccos  m δ gr − δ 0 + cos δ gr  = arccos  1,03   Pimax  = arccos 0,788 = 38° = 0,633 rad. ( ) P [r.j.] Pmax = 1,546 r.j. 1,5 A2 = A1 A2 1,0 A1 Pimax = 1,03 r.j. Pm = 0,9 r.j. 0,5 0 δ ikr = 38° 0 δ0 = 35,6° δn = 60,9° δgr = 119,1° δ [°] Sl. 4.15e Ilustracija određivanja kritičnog ugla isključenja kvara δ ikr iz tač. d Proračun stabilnosti 359 Kritično vreme isključenja kvara je onda: tikr = ( ) 2 Ti δ ikr − δ 0 2 ⋅ 8 ⋅ (0,663 − 0,621) = = 0,049s ≈ 2,5 periode . ωs Pm 314 ⋅ 0,9 Proračun stabilnosti 360 Zadatak 4.16 Elektrana predstavljena ekvivalentnim generatorom, vezana je na moćnu mrežu posredstvom generatorskog blok-transformatora i prenosnog voda, kako je to prikazano na sl. 4.16a (na kojoj su takođe dati i svi podaci o elementima sistema). a) Naći izraz za karakteristiku snaga-ugao sistema u normalnom pogonu (pre kvara) i početni ugao δ10, ako se u moćnu mrežu isporučuje snaga P∞ = 300 MW, pri faktoru snage cos ϕ∞ = 1,0. b) Ako se na početku voda (neposredno iza sabirnica visokog napona blok-transformatora) dogodi jednofazni kratki spoj sa zemljom, naći izraz za karakteristiku snaga-ugao posle pojave kvara i početni ugao snage δ20. c) Primenom metoda jednakih površina utvrditi da li sistem posle pojave kvara ostaje stabilan. Rešenje ilustrovati grafički. U proračunima koristiti relativne jedinice sa SB = 400 MVA i UB = 220 kV. 1 G BT 2 3 ~ Xv = 48,4 Ω X0v = 3 Xv SnG = 400 MVA UnG = 15 kV x′d = 24% xi = x′d Moćna mreža U∞ = 220 kV P∞ = 300 MW SnT = 400 MVA UnT = 15/220 kV/kV xT = 12% Sprega: Y0d Sl. 4.16a Jednopolna šema i parametri elemenata sistema iz zadatka 4.16 Rešenje: a) Proračun stanja pre kvara: U B2 220 2 ZB = = = 121 Ω ; SB 400 X G = X d′ = 0,24 r.j. ; X T = 0,12 r.j. ; 48,4 Xv = = 0,4 r.j. ; 121 P 300 P= = = 0,75 r.j. ; S B 400 X 0v = 3 X v = 1,2 r.j. ; X 1ekv = X ekv = X G + X T + X v = 0,24 + 0,12 + 0,4 = 0,76 r.j. Proračun stabilnosti 361 Indukovana EMS pre kvara je: E ′ = U ∞ + jX ekv P 0,75 = 1,0 + j 0,76 ⋅ = (1 + j 0,57) r.j. = 1,151 r.j. ∠29,683° . U∞ 1,0 Kriva snaga-ugao pre kvara data je izrazom: P= E ′U ∞ 1,151 ⋅ 1,0 sin δ = sin δ = 1,5145 sin δ . ekv 0,76 X Početni ugao snage u normalnom režimu je: δ10 = arcsin PX ekv 0,75 = arcsin = 29,683° = 0,518 rad . E ′U ∞ 1,5145 b) Stanje za vreme kvara (ekvivalentna šema prikazana je na sl. 4.16b) 1′ ° E′ jXT 1 14444244443 j 0,36 r.j. jX G jXv 2 j0,4 r.j. 3 ° U∞ Zk = j(Xi + X0) = = 0,2986 r.j. Sl. 4.16b Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.16a za vreme kvara U zamenskoj šemi sistema za vreme kvara figuriše otočno priključena impedansa kvara Z k = j ( X i + X 0 ) , koja se sastoji od redno povezanih ekvivalentnih impedansi sistema inverznog i nultog redosleda (gledano sa mesta kvara), čije su vrednosti: Xi = X iv ( X iG + X iT ) 0,4 ⋅ (0,24 + 0,12) = = 0,1895 r.j. ; X iv + X iG + X iT 0,76 X0 = X 0T X 0v 0,12 ⋅ 1,2 = = 0,1091 r.j. X 0T + X 0v 0,12 + 1,2 Impedansa kvara je onda: Z k = j ( X i + X 0 ) = j (0,1895 + 0,1091) = j 0,2986 r.j. Proračun transfer impedanse za sistem sa sl. 4.16b, vrši se transfiguracijom zvezde, čije su impedanse Z 1′ 2 = j ( X G + X T ) = j 0,36 r.j. ; Z 23 = jX v = j 0,4 r.j. i Z k = j 0,2986 r.j. , tako da je: 0,4 ⋅ 0,36   ∆ Z 1′ 3 = j  0,36 + 0,4 +  = j1,242 r.j. 0,2986   Proračun stabilnosti 362 Kriva snaga-ugao za vreme kvara data je preko izraza: P= 1,151 ⋅1,0 sin δ = 0,92673 sin δ . 1,242 Početni ugao snage na krivoj njihanja za vreme kvara je ( Pm = δ 20 = arcsin 300 = 0,75 r.j. ): 400 0,75 = 54,03° = 0,943 rad . 0,92673 Granični ugao stabilnosti je onda: δ gr = 180° − δ 20 = 180° − 54,03° = 125,97° = 2,1986 rad . Karakteristične krive snaga-ugao pre i posle nastanka kvara prikazane su na sl. 4.16c. P [r.j.] 1,5 A2 A1 0,75 0 Kriva njihanja pre kvara 1,5145 sin δ Kriva njihanja za vreme kvara 0,92673 sin δ δ10 = 0,518 rad δ20 = 0,943 rad δgr = 2,1986 rad δ [rad] Sl. 4.16c Karakteristike snaga – ugao sistema iz zadatka 4.16, pre nastanka kvara i za vreme kvara c) Provera stabilnosti metodom jednakih površina: Uslov je da na sl. 4.16c bude A2 > A1 A1 = δ20 =0,943 ∫ (0,75 − 0,92673sinδ) dδ = 0,75⋅ (0,943− 0,518) + 0,92673⋅ (0,5874− 0,8688) = 0,058; δ10 =0,518 A2 = δgr =2,1986 ∫ (0,92673sinδ − 0,75) dδ = 0,92673⋅ (0,5874+ 0,5874) − 0,75⋅ (2,1986− 0,943) = 0,1469 . δ20=0,943 Kako je A2 > A1 sistem ostaje stabilan i posle pojave kvara. Proračun stabilnosti 363 Zadatak 4.17 Za dati trofazni jednopolno prikazani elektroenergetski sistem sa sl. 4.17a ispitati tranzijentnu stabilnost generatora za slučaj tropolnog kratkog spoja na početku voda-ogranka neopterećenog pre kvara, ako su ems generatora E ′ iza podužne tranzijentne reaktanse, kao i napon moćne mreže, konstantni. Trofazni kratki spoj se isključuje posle ti = 0,15 s. Ostali podaci o sistemu su dati na sl. 4.17a. U∞ = const Ur = 115 kV Moćna 70 MW mreža Lv = 100 km xv=0,4 Ω/km (XM → 0) 10 MVAr G T1 T2 ~ ° ° SnG = SnT1 = 75 MVA SnT2 = 75 MVA UnG = 10,5 kV xT2 = 12 % k3 x ′dG = 30% mT2 = 110/220 kV/kV xT1 = 10,5% mT1 = 10,5/115,5 kV/kV Ti = 8 s Sl. 4.17a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.17 Rešenje: Parametri ekvivalentne šeme sistema, prikazane na sl. 4.17b su: 40,5 115,5 2 ⋅ = 72 Ω ; 100 75 12 110 2 XT 2 = ⋅ = 19,36 Ω ; 100 75 1 X vekv = ⋅ 0,4 ⋅100 = 20 Ω . 2 ′ + X T1 = X dG j72 Ω E′ j20 Ω j19,36 Ω U r = 115 kV Sl. 4.17b Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.17a Dalje se nalazi: 72 ⋅10 72 ⋅ 70 +j = 128,94 kV ∠19°52′ ; 115 115 39,36 ⋅10 39,36 ⋅ 70 = 115 − −j = 114,12 kV ∠ − 12°07′ . 115 115 E ′ = 115 + U∞ U∞ Proračun stabilnosti 364 Ugao koji je ems E ′ zatvarala prema naponu moćne mreže pre kvara je: δ 0 = 19°52′ + 12°07′ = 31°59′ = 31,98° . Dinamička karakteristika radnog stanja pre, identična je sa karakteristikom posle isključenja kvara sa sl. 4.17c. P= E ′U ∞ 128,94 ⋅114,12 sin δ = sin δ = 132,14 sin δ , XΣ 111,36 odakle je 70 = 132,14 sin δ 0 , odnosno: sin δ 0 = 0,53 ; δ 0 = 31,99° ≈ 32° ; δ gr = 180° − 32° = 148° . Prema formuli: ( ) cos δ ikr = δ gr − δ 0 sin δ 0 + cos δ gr , odnosno: cos δ ikr = 116° ⋅ π ⋅ 0,53 − 0,848 = 0,225 , 180° nalazi se kritični ugao isključenja kvara: δ ikr = 77° . Kako je maksimalno vreme posle koga treba isključiti kvar: t max = ( ) Ti S nG δ ikr − δ 0 8 ⋅ 75 ⋅ 45 = = 0,207 s , 9000 Pm 9000 ⋅ 70 odnosno tmax > ti = 0,15 s, to se zaključuje da je generator tranzijentno stabilan. Proračun stabilnosti 365 P [MW] P = 132,14 sin δ 100 Pm = 70 MW 50 0 0 δ 0 = 32° δ ikr = 77° δ gr = 148° 180° δ [°] Sl. 4.17c Dinamička karakteristika sistema iz zadatka 4.17, sa označenim karakterističnim veličinama Napomena: pretpostavka da je otočni vod na kome se dešava kvar prethodno neopterećen znači u stvari i najteži slučaj sa gledišta stabilnosti jer tada udaljena elektrana predaje svu snagu moćnoj mreži pa je i početni ugao najveći. Takođe i pretpostavka tropolnog kratkog spoja predstavlja najteži slučaj, a s druge strane omogućava prostu metodiku proračuna, bez uzimanja u obzir preostalog dela sistema. Proračun stabilnosti 366 Zadatak 4.18 U kom vremenu treba obostrano jednovremeno isključiti vod V1, sistema jednopolno prikazanog na sl. 4.18a, na čijem se početku dogodio trofazni kratki spoj, da bi sistem bio tranzijentno stabilan, ako je generator nominalno pobuđen i ako odaje u sistem aktivnu snagu od 300 MW. Potrošački centri su jednaki i pri naponu na njihovim sabirnicama od 220 kV, svaki uzima po 150 MW pri cos ϕ = 0,95 (induktivni). Ostali podaci o sistemu dati su na sl. 4.18a. Zp = const Lv1 = Lv2 = Lv3 = Lv4 = 150 km xv = 0,42 Ω/km ° ° V1 U∞ = 220 kV = const Sistem beskonačne snage ° ° ~ G V2 UnM = 220 kV k3 T V3 SnG = SnT = 500 MVA cos ϕnG = 0,9 UnG = 15,75 kV xdG ′ = 30 % xT = 12 % mT = 15,75/231 kV/kV Ti = 8 s V4 Zp = const Sl. 4.18a Jednopolna šema i parametri sistema za zadatka 4.18 Rešenje: Parametri zamenske šeme sistema sa slike 4.18a, prikazane na slici 4.18b, su: 2312 = 44,823 Ω ; 500 = X v 4 = 63 Ω ; ′ + X T = 0,42 ⋅ X dG X v1 = X v 2 = X v 3 220 2 Zp = ⋅ (0,95 + j 0,312) = (291 + j 95,6) Ω . 150 0,95 Proračun stabilnosti 367 (291 + j95,6) Ω 1 j44,823 Ω E′ 3 j63 Ω j63 Ω 2 j63 Ω j63 Ω U∞ 4 (291 + j95,6) Ω Slika 4.18b Ekvivalentna šema sistema sa slike 4.18a. Kako su tačke 3 i 4 na istom potencijalu, to se zamenska šema razmatranog sistema sa sl. 4.18b može uprostiti kao što je to pokazano na sl. 4.18c. 1 j76,323 Ω j31,5 Ω 2 E′ (145,5 + j47,8) Ω U∞ = 220 kV = const Sl. 4.18c Uprošćena šema sistema sa sl. 4.18b. Sa šeme sa sl. 4.18c dobija se: j 31,5 ⋅ (145,5 + j 47,8) = 105,07 Ω ∠87°07′ ; j 31,5 + 145,5 + j 47,8 j 76,323 ⋅ j 31,5 = j 76,323 + j 31,5 + = 113,69 Ω ∠97°33′ . 145,5 + j 47,8 Z 11 = j 76,323 + Z 12 Zamenska šema sistema posle isključenja voda V1 predstavljena je na sl. 4.18d. 1 j44,82 Ω j63 Ω j63 Ω E′ (291 + j95,6) Ω 2 U∞ = 220 kV = const Sl. 4.18d Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.18a, posle isključenja voda V1 Proračun stabilnosti 368 j 63 ⋅ (291 + j 95,6) = 165,53 Ω ∠86°21′ ; j 63 + 291 + j 95,6 j107,823 ⋅ j 63 = j107,823 + j 63 + = 178,97 Ω ∠96°46′ . 291 + j 95,6 Z 11i = j107,823 + Z 12i Napomena: indeks 'i' ispred oznake za sopstvenu i međusobnu impedansu označava da su to vrednosti odgovarajućih impedansi posle isključenja voda V1. x′ %  x′ %   x′ %   x′ %  E ′ = U nG 1 + d sin ϕ nG  +  d cos ϕ nG  = U nG 1 +  d  + 2 d sin ϕ nG = 100 100    100   100  2 2 2 = 15,75 ⋅ 1 + 0,32 + 2 ⋅ 0,3 ⋅ 0,436 = 18,31 kV, ili svedeno na stranu mreže nominalnog napona 220 kV: ′ = 15,75 ⋅1,1626 ⋅ E sv 231 = 268,8 kV . 15,75 ′ , U∞ i δ ( δ je ugao između Karakteristika električne odate snage generatora u funkciji E sv ′ i U∞) neposredno pre nastanka kvara je: E sv ′2 E sv E′ U P= sin µ11 + sv ∞ sin (δ − µ12 ) , Z11 Z12 gde je µ11 = 90° − 87°07′ = 2°53′ ; µ12 = 90° − 97°33′ = −7°33′ . ′ i U∞ u stacionarnom režimu neposredno pre kvara δ0 može se izračunati Ugao između E sv iz jednačine: 268,8 2 268,8 ⋅ 220 300 = sin 2°53′ + sin (δ 0 + 7°33′) , 105,07 113,69 odakle je: δ 0 = 23°07′ . Za vreme trajanja trofaznog kratkog spoja na početku voda V1, odata električna aktivna ′ , U∞ i snaga generatora je jednaka nuli, a karakteristika odate električne aktivne snage u funkciji E sv δ posle isključenja voda V1 je: Pi = gde je: ′2 E sv E′ U sin µ11i + sv ∞ sin δ − µ12i , Z11i Z12i µ11i = 90° − 86°21′ = 3°39′ ; ( ) Proračun stabilnosti 369 µ12i = 90° − 96°46′ = −6°46′ ; Pi = 268,8 ⋅ 220 268,8 2 sin 3°39′ + sin (δ + 6°46′) = 27,8 + 331sin (δ + 6°46′) . 165,53 178,97 Granični ugao δgr određuje se iz jednačine: Pm = Pi , odnosno: ( ) 300 = 27,8 + 331sin δ gr + 6°46′ , Iz poslednje jednačine je: δ gr + 6°46′ = 180° − 55°35′ , tako da je: δ gr = 180° − 55°35′ − 6°46′ = 117°39′ . Kritični ugao isključenja voda V1 ( δ ikr ), određuje se iz jednačine: ( ) Pm δ ikr − δ 0 = δ gr ∫ (Pi − Pm )dδ , δikr odnosno: ( ) 300 ⋅ δ ikr − 0,40346 = 117°39′ ∫ [27,8 + 331sin(δ + 6°46′) − 300]dδ , δikr gde je 0,403462 ugao δ0 izražen u radijanima. Dalje je: ( ) ( ) 300 δ ikr − 121,0386 = 272,2 ⋅ δ ikr − 2,05338 + 331cos δ ikr + 6°46′ − 331cos(117°39′ + 6°46′) , gde je 2,05338 ugao δgr izražen u radijanima; ( ) 331cos δ ikr + 6°46′ = 27,8 δ ikr + 250,9614 . Rešavanjem ove poslednje transcedentne jednačine dobiće se δ ikr , koji iznosi: δ ikr ≈ 29°54′ . Na sl. 4.18e dat je grafički prikaz rešenja transcedentne jednačine iz zadatka 4.18. Proračun stabilnosti 370 P 27,8 ⋅ δ + 250,9614 331 ⋅ cos(δ + 6°46′) 0 δ ikr 0 90° δ [°] ′ Sl. 4.18e Grafički prikaz rešenja transcedentne jednačine iz zadatka 4.18 P [MW] Pm = 300 MW 300 Pi = 27,8 + 331sin (δ + 6°46′) 200 100 0 δ ikr = 29°54′ 0 δ 0 = 23°07 ′ 90° δ gr = 117°39′ 180° δ [°] Sl. 4.18f Dinamička karakteristika sistema iz zadatka 4.18 sa označenim karakterističnim veličinama. Kritično vreme jednovremenog obostranog isključenja voda V1 biće: tikr = ( ) Ti S nG δ ikr − δ 0 8 ⋅ 500 ⋅ (29°54′ − 23°07′) = = 0,101s ≈ 5 perioda. 9000 Pm 9000 ⋅ 300 Na sl. 4.18f ilustrovana je dinamička karakteristika sistema, sa označenim karakterističnim veličinama. Proračun stabilnosti 371 Zadatak 4.19 Za dati trofazni, na sl. 4.19a jednopolno prikazani elektroenergetski sistem nominalne učestanosti 50 Hz, podjednako opterećeni generatorsko-transformatorski blokovi istih karakteristika odaju na sabirnice višeg napona ukupnu (trofaznu) aktivnu snagu P uz cos ϕ = 1 pri (linijskom) naponu Ur. Sa istih sabirnica odvodi se u lokalno potrošačko područje pod navedenim naponom aktivna snaga Pp uz cos ϕ p = 1 , pri čemu se ekvivalentna impedansa (rezistansa) potrošača može smatrati konstantnom. Izračunati kritično vreme beznaponske pauze Tbpkr sa gledišta tranzijentne stabilnosti (tj. trajanje tropolnog isključenja do ponovnog uključenja) voda na čijem se početku desio čist trofazni kratki spoj, koji se isključuje u vremenu ti, ako se jaka aktivna mreža na kraju može zameniti reaktansom ′ izračunatom iz udela te mreže u tranzijentnoj tropolnoj snazi kratkog spoja S k′ 3 na Z ′ M ≈ jX M sabirnicama 2 sa nominalnim naponom mreže U nM , i konstantnim naponom U M iza te reaktanse. Svi neophodni podaci za proračune dati su na sl. 4.19a. 2 G T Ur = 230 kV AT Jaka aktivna P mreža Unv = 220 kV S k′ 3M xv = 0,42 Ω/km k3 Lv = 150 km G T ~ ~ SnG = SnT = 2×200 MVA UnG = 15,75 kV xG′ = 28 % xT = 12 % Ti = 10 s mT = 15,75/231 kV/kV Pp = 230 MW  Z p = const cos ϕ p = 1  P = 380 MW ti = 0,09 s SnAT =400 MVA xAT = 10 % mAT = 220/400 kV/kV S k′ 3M = 10000 MVA pri U nM = 400 kV Sl. 4.19a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.19 Rešenje: Proračun osnovnih parametara: sve veličine u proračunima biće svedene na stranu voda: (28 + 12) ⋅ 2312 = 53,36 Ω ; 100 ⋅ 2 ⋅ 200 X v = xv Lv = 0,42 ⋅150 = 63 Ω ; ′ sv = X GT 10 220 2 X AT = ⋅ = 12,1 Ω ; 100 400 2 U2 400 2  220  2 ′ sv = nM m AT XM = ⋅  = 4,84 Ω . S k′ 3M 10000  400  Svedena ems E ′ iza podužne tranzijentne reaktanse generatora X G′ , koja se prećutno pretpostavlja da je po modulu konstantna u vremenu u kome se odlučuje o tranzijentnoj stabilnosti, Proračun stabilnosti 372 izračunava se iz radnog napona (pre kvara) na sabirnicama višeg napona elektrane i snaga koje se predaju tim sabirnicama P i Q = 0 ( cos ϕ = 1 ): ′ = E sv U r2 ′ sv  PX GT +   Ur 2 2  380 ⋅ 53,36   = 230 2 +  = 246,32 kV .   230    Pošto se sa istih sabirnica konzumnom području takođe predaje čisto aktivna snaga Pp, to se vodu predaje aktivna snaga Pv kao razlika P – Pp, uz nultu reaktivnu snagu: Pv = P − Pp = 380 − 230 = 150 MW ; (Qv = Q − Q p = 0 − 0 = 0) . Sa tim snagama i radnim naponom Ur pre kvara, može se izračunati ekvivalentni napon jake mreže U M , koji je po pretpostavci konstantan, ako se prethodno izračuna zbirna reaktansa voda, autotransformatora i mreže: ′ sv = 63 + 12,1 + 4,84 = 79,94 Ω . X v′ , AT ,M = X v + X AT + X M Tada je U M sv = U r2  P X′ +  v v , AT ,M Ur  2 2   150 ⋅ 79,94   = 230 2 +   = 235,835 kV .  230   Da bi se našla dinamička karakteristika posle (uspešnog) tropolnog ponovnog uključenja voda, koja je identična (pod usvojenim pretpostavkama) sa onom pre kvara, izračunava se prvo impedansa (rezistansa) potrošačkog područja, koja je takođe po pretpostavci konstantna: Z p = Rp = U r2 230 2 = = 230 Ω , Pp 230 a zatim sopstvena (ulazna) impedansa punog sistema u tački 1 gde deluje ems E ′ , shodno ekvivalentnoj šemi sa slike 4.19b: ′ sv jX GT jX v′ , AT , M 1 E' Rp Sl. 4.19b Ekvivalentna šema za proračun ulazne impedanse sistema iz zadatka 4.19 ′ sv + Z 11 = jX GT R p jX v′ , AT ,M 230 ⋅ j 79,94 = j 53,36 + = 127,125 ∠78,756° = Z11 ∠ψ11 , R p + jX v′ , AT ,M 230 + j 79,94 tj. Z11 = 127,125 Ω , Proračun stabilnosti 373 a µ11 = 90° − ψ11 = 90° − 78,756° = 11,244° . Međusobna impedansa punog sistema između tačaka 1 i 2 (u kojoj deluje ekvivalentni napon mreže), nalazi se shodno šemi sa slike 4.19c: Z 12 1 ° ′ sv jX GT jX v′ , AT , M 2 ° Rp Sl. 4.19c Ekvivalentna šema za proračun međusobne impedanse sa sl. 4.19a ′ sv + jX v′ , AT ,M + Z 12 = jX GT ′ sv jX v′ , AT ,M jX GT 53,36 ⋅ 79,94 = j 53,36 + j 79,94 − = Rp 230 = −18,55 + j133,3 = 134,5845 ∠97,92°, tj. Z12 = 134,5845 Ω ψ12 = 97,92° ; µ12 = 90° − ψ12 = 90° − 97,92° = −7,92° , što je u sličnim slučajevima tipično. Dinamička karakteristika pre kvara odnosno posle (uspešnog) ponovnog uključenja, tj. za pun sistem na mestu 1 (unutrašnjost generatora) ima oblik P1 ≡ P1pu = ′ U M sv E sv ′2 Esv sin µ11 + sin (δ − µ12 ) = 93,057 + 431,631sin (δ + 7,92°) Z11 Z12 . Presek ove karakteristike sa pravom mehaničke snage Pm, koja se prećutno pretpostavlja da je konstantna, daje početni ugao δ 0 , koji se dobija preko izraza: Pm ≡ P10 = P = 380 = 93,057 + 431,63 sin (δ 0 + 7,92°) , gde je sa P10 označena početna (radna) snaga u tački 1 (unutrašnjost generatora), koja je zbog zanemarenja otpornosti (gubitaka) jednaka snazi P. Otuda je: sin (δ 0 + 7,92°) = 380 − 93,057 = 0,6647877 ⇒ δ 0 + 7,92° = 41,667° , 431,631 odakle je ugao: δ 0 = 41,667° − 7,92° = 33,747° . Proračun stabilnosti 374 Kontrola se može izvršiti na primer sabiranjem uglova bloka G-T i onoga za vod, AT i M: ′ sv U r 380 ⋅ 53,36 230 PX GT = = 0,3833 ⇒ θGT = 20,973° ; Ur 230 Pv X v′ , AT ,M U r 150 ⋅ 79,94 230 tg θv , AT ,M = = = 0,2266739 ⇒ θ v, AT ,M = 12,771° , Ur 230 tg θGT = E ′ sv δ0 θGT θv , AT , M Ur . . U M sv Sl. 4.19d Fazorski dijagram napona iz zadatka 4.19 pa je: δ 0 = θ GT + θ v , AT ,M = 20,973° + 12,771° = 33,744° , što pokazuje da je prethodni proračun ugla δ 0 bio korektan. Dinamička karakteristika za vreme kvara (čist trofazni kratak spoj na početku voda, što je isto kao da se dogodio na sabirnicama, s tom razlikom što će reagovati zaštita voda) dobije se kada se kvar zameni sa impedansom kvara Zk = 0, kako je to ilustrovano na sl. 4.19e, gde je ekvivalentna otočna impedansa: Ze = 1 ° Rp Z k Rp ⋅ 0 = = 0, Rp + Z k Rp + 0 jX v′ , AT ,M ′ sv jX GT Rp 2 ° Zk = 0 1 ° ⇒ ′ sv jX GT jX v′ , AT , M 2 ° Ze = 0 Sl. 4.19e Ekvivalentne šeme za proračun impedansi sistema sa sl. 4.19a za vreme kvara pa je sopstvena impedansa u 1 za vreme kvara: ′ sv = X GT ′ sv ∠90° = 53,36 ∠90° = Z11k ∠ψ11k , Z 11k = jX GT dok je: µ11k = 90° − ψ11k = 90° − 90° = 0° . Proračun stabilnosti 375 Moduo međusobne impedanse za vreme kvara teži beskonačnosti, jer je sa sl. 4.19e ′ sv + jX v′ , AT ,M + Z 12k = jX GT ′ sv jX v′ , AT ,M jX GT , Ze pa zbog Z e = 0 cela impedansa teži beskonačnosti. Prema tome generatori za vreme kvara odaju nultu snagu, tj. dinamička karakteristika degeneriše u apscisu pravouglog koordinatnog sistema P - δ: Pk = ′ U M sv E sv ′2 E sv 246,32 2 sin µ11k + sin δ − µ12k = sin 0° = 0 . 53,36 Z11k Z12k ( ) Dinamička karakteristika za vreme (trofaznog) isključenja voda, dobija se na bazi zamenske šeme, sa sl. 4.19f, u kojoj isključenje voda odgovara potpunom prekidu, odnosno beskonačnoj rednoj impedansi na mestu isključenja, pa moduo međusobne impedanse Z12i → ∞ dok je sopstvena impedansa: ′ sv = 230 + j53,36 = 236,10886 ∠13,062° , Z 11i = R p + jX GT tj. Z11i = 236,10886 Ω ; ψ11i = 13,062° ; µ11i = 90° − ψ11i = 90° − 13,062° = 76,938° . 1 ′ sv jX GT ∞ jXv ∞ jX ′AT ,M 2 Rp Sl. 4.19f Ekvivalentna šema za proračun impedansi sistema Prema tome dinamička karakteristika za vreme dok je vod isključen daće samo sopstveni član odnosno konstantnu aktivnu snagu: Pi = ′ U M sv E sv ′2 E sv 246,32 2 sin µ11i + sin δ − µ12i = sin 76,938° = Z11i Z12i 236,10886 ( ) = 256,968 ⋅ 0,97412 = 250,3176 MW. Ugao pri kome se isključuje vod može se izračunati na osnovu zadatog vremena isključenja voda ti: ti = 0,09 s = (δ i − δ 0 ) ⋅ 2Ti S n 360° ⋅ 50 ⋅ Pa , Proračun stabilnosti 376 tj. iz jednačine: 0,09 2 = (δi − 33,747°) ⋅ 2 ⋅10 ⋅ 2 ⋅ 200 , 18000 ⋅ 380 odakle se dobija da je: δ i = 40,6725° . Granični ugao δ gr izračunava se iz preseka prave mehaničke snage Pm sa opadajućim delom dinamičke karakteristike punog sistema, što se prevodi u jednačinu: ( ) Pm = 93,057 + 431,631sin δ gr + 7,92° = 380 , odakle je: ( ) sin δ gr + 7,92° = 0,6647877 , odnosno: δ gr + 7,92° = 180° − 41,667° , odakle se konačno dobija: δ gr = 180° − 49,587° = 130,413° . Sada je moguće po metodi jednakih površina, tj. izjednačavanjem površine ubrzanja A1 sa maksimalno mogućom površinom usporenja A2 max , izračunati kritični ugao ponovnog uključenja δ pukr : ( ) Pm (δ i − δ 0 ) + (Pm − Pi ) δ pukr − δ i = 144444 42444444 3 δ gr ∫ P1 (δ)dδ − Pm (δ gr − δ pu δ pukr kr ), 14444244443 A2 max A1 ili kraće, posle poništavanja pozitivne i negativne vrednosti za Pm δ i i Pm δ pukr : ( ) ( ) Pm δ gr − δ 0 − Pi δ pukr − δ i = δ gr ′ U M sv E sv  E sv  ′2 ∫  Z11 sin µ11 + Z12 sin (δ − µ12 )dδ . δ pu kr   Ova jednakost mogla se i neposredno iskazati, jer ako je površina A1 = A2 max , onda je i ( ) površina pravougaonika sa stranicama δ gr − δ 0 i Pm jednaka sumarnoj površini ispod odgovarajućih dinamičkih karakteristika: kvara (površina jednaka nuli pa otpada), isključenog voda i punog sistema posle uspešnog ponovnog uključenja. Proračun stabilnosti 377 P1 [MW] 500 P1 = P1pu Α2max 400 Pm Α1 300 Pa 200 Pi osa simetrije za P1 100 Pk 0 0 δ0 δi δ pukr 90° δ gr 180° δ [°] Sl. 4.19g Dinamičke karakteristike sistema iz zadatka 4.19 sa označenim karakterističnim veličinama Posle izvršene integracije i uvrštenja brojčanih vrednosti dobija se jednakost: 380 ⋅ (130,413° − 33,747°) π π = 250,318 ⋅ (δ pukr − 40,6725°) 180° 180° π + 93,057 ⋅ (130,413° − δ pukr ) 180° + 431,631 ⋅ cos(δ pukr + 7,92°) − cos(130,413° + 7,92°) , [ ] koja posle sređivanja daje jednačinu po δ pukr : 2,7447δ pukr + 431,63 cos(δ pukr + 7,92°) = 284,5585 . Ova nelinearna (transcedentna) jednačina po δ pukr ne dopušta iskazivanje cos δ pukr u eksplicitnom obliku kao u slučaju kada sve dinamičke karakteristike (sinusoide) prolaze kroz koordinatni početak, uključivo i slučaj kada sinusoida kvara degeneriše u apscisu (idealizovani jednomašinski sistem bez gubitaka i potrošnje često upotrebljavan kod približnih proračuna tranzijentne stabilnosti), već se rešava nekim numeričkim iterativnim metodom za rešavanje nelinearnih jednačina. Dovoljno tačno rešenje za δ pukr iz gornje jednačine je δ pukr ≈ 69,55° . Kritično (sa gledišta tranzijentne stabilnosti) vreme beznaponske pauze Tbpkr = t pukr − ti , kao razlika vremenskih trenutaka ponovnog uključenja (kod nađenog ugla δ pukr ) i isključenja voda Proračun stabilnosti 378 (merenih od nastanka kvara) može se izračunati iz poznatog obrasca za slučaj konstantne snage akceleracije (ovde Pa = Pm − Pi ), vodeći računa da je za vreme kvara do trenutka isključenja rotor agregata dobio nadsinhronu električnu ugaonu brzinu: ω  dδ   dδ    = s Pa ti +   ,  dt  t =ti Ti S n  dt  0 gde drugi sabirak zbog ω − ω s = ω0 − ω s = ω s − ωs = 0 otpada, tj. 360 ⋅ 50  dδ  = ⋅ 380 ⋅ 0,09 = 153,9°/s ,    dt  ti =0,09 s 10 ⋅ 2 ⋅ 200 pri čemu su svi proračuni sprovedeni za oba agregata zajedno, kao za jedan ekvivalentan, ali se očigledno isto dobija i za svaki agregat pojedinačno ( Pa1G = Pm1G = Pa 2 , pa su i Pa i Sn upola manji u gornjem obrascu za jedan umesto oba agregata). Treba takođe podvući da u gornjem obrascu vremenski trenutak ti znači vremenski interval od nastanka do isključenja kvara, tj. vreme kvara Tk = ti − t 0 ≡ ti . Izračunavanje promene ugla pri konstantnoj akceleraciji obavlja se po poznatom obrascu, vodeći računa da se primena ne odnosi na početno stanje, nego od trenutka isključenja kvara (odnosno voda) do ponovnog uključenja, tj. kao početni ugao ima se δi a ne δ 0 , početna ugaona  dδ   dδ  brzina   a ne   = 0 i akceleracija Pa = Pm − Pi a ne Pa = Pm , pa je:  dt  0  dt  ti δ pukr = δ i + ωs  dδ  PaTbp2 kr +   Tbpkr , 2 Ti S n  dt  ti pri čemu je vreme 't' kao što je već rečeno identično sa trajanjem beznaponske pauze, kritičnim sa gledišta stabilnosti, što je i jedina nepoznata. Sa zadatim brojčanim vrednostima iskazujući uglove u stepenima a ne u radijanima, biće 69,55° = 40,6725° + 360 ⋅ 50 ⋅ (380 − 250,318) 2 Tbpkr + 153,9 Tbpkr , 2 ⋅10 ⋅ 2 ⋅ 200 odakle se dobije kvadratna jednačina po Tbpkr : 291,78Tbp2 kr + 153,9 Tbpkr − 28,88 = 0 , sa rešenjima Tbpkr 1, 2 = − 153,9 ± 153,9 2 − 4 ⋅ 291,78 ⋅ (−28,88) , 2 ⋅ 291,78 od kojih je samo pozitivno rešenje fizički moguće, pa je: Tbpkr = − 153,9 + 239,5655 = 0,146798 s ≈ 0,15 s . 583,56 Proračun stabilnosti 379 Tranzijentna stabilnost ne dopušta duže vreme beznaponske pauze, kakvo je potrebno za uspešno ponovno uključenje kod prolaznog kvara sa gledišta dejonizacije prostora na mestu kvara (minimalno vreme dejonizacije oko 0,2 s, a poželjno i 0,3 do 0,4 s). Treba, znači, pokušati sa još kraćim vremenom isključenja kvara (jednoperiodna relejna zaštita i dvoperiodni prekidači, plus pola periode za gašenje luka, tj. sa ti = 0,02 + 2⋅0,02 + 0,01 = 0,07 s), ili proveriti da li se dobija dovoljno vreme beznaponske pauze za blaže a češće kvarove, pa se time zadovoljiti (interesantno je na kraju izračunati maksimalno klizanje pod pretpostavkom da je uključenje ipak uspešno). Za vreme kvara rotor dostigne klizanje: st i = 1 ωs pa je: smax = ω Pt 380 ⋅ 0,09  dδ  = 0,00855 ,   = s ai = dt ω T S 10 ⋅ 2 ⋅ 200   ti s i n ω s PaTbpkr 1  dδ  1  dδ  (380 − 250,32) ⋅ 0,15 = + + 0,00855 =   =   ω s  dt  t ωsTi S n ω s  dt  t 10 ⋅ 2 ⋅ 200 pu kr i = 0,00486 + 0,00855 = 0,01341 ( tj. 1,341%). Proračun stabilnosti 380 Zadatak 4.20 Za jednomašinski prenosni sistem, čija je jednopolna šema prikazana na sl. 4.20a, naći maksimalne prenosne snage, s obzirom na granice tranzijentne stabilnosti, u sledećim slučajevima: a) Normalno stanje (pre kvara); b) Trofazni kratki spoj na sredini jednog od dva paralelna voda; c) Dvofazni kratki spoj u istoj tački kao u b; d) Jednofazni kratki spoj u istoj tački kao u b; e) Dvofazni kratki spoj sa zemljom u istoj tački kao u b; f) Stanje posle isključenja voda u kvaru. Numeričke vrednosti parametara elemenata sistema, takođe su date na sl. 4.20a. U rekapitulaciji proračuna rangirati slučajeve a – f, po kriterijumu maksimalne prenosne snage. 1 G BT 2 ~ V1 3 V2 K E ′ = 1,2 r.j. X d′ = 0,1 r.j. XdT = XiT = 0,1 r.j. X0T = 0,05 r.j. XdG = XiG = X d′ Xdv1 = Xdv2 = 0,5 r.j. Xiv1 = Xiv2 = 0,5 r.j. Kruta mreža U∞ = 1,0 r.j. X0v1 = X0v2 = 1,0 r.j. Zk = 0 (nulta impedansa luka) Sl. 4.20a Jednopolna šema i osnovni parametri sistema iz zadatka 4.20 Rešenje: Za proračun maksimalne prenosne snage, za različite slučajeve definisane u formulaciji zadatka, neophodno je da se prvo proračunaju odgovarajuće transfer impedanse. 1. Proračun transfer impedanse Z13 1.a. Normalno stanje Transfer impedansa za normalno stanje jednostavno se nalazi uvidom u jednopolnu čemu sistema sa sl. 4.20a. Ona iznosi: 1 0,5   Z 13 = jX dG + jX dT + j X dv = j  0,1 + 0,1 +  = j 0,45 r.j. 2 2   1b. Trofazni kratki spoj Za proračun transfer impedanse pri trofaznom kratkom spoju na sredini jednog od dva paralelna voda, koristi se ekvivalentna šema impedansi direktnog redosleda, prikazana na sl. 4.20b, Proračun stabilnosti 381 odakle se, posle transfiguracije zvezde 1-2-3-K u trougao 13K, za vrednost transfer impedanse dobija: Z Z 0,2 ⋅ 0,5 Z d 13 = Z dS + Z dv + dS dv = j 0,2 + j 0,5 + j = j1,1r.j. Z dv 0,25 2 ZdG = j0,1 r.j. ZdT = j0,1 r.j. 1 Zdv = j0,5 r.j. 2 E′ = 1,2 r.j. ∠δ ZdS = ZdG + ZdT = j0,2 r.j. 3 U∞ = 1,0 r.j. ∠0° Z dv = j 0,25 r.j. 2 Z dv = j 0,25 r.j. 2 K K Sl. 4.20b Ekvivalentna mreža direktnog redosleda sistema iz zadatka 4.20 1c. Dvofazni kratki spoj Impedansa kvara, koja se redno spaja sa ekvivalentnom impedansom direktnog redosleda (gledano sa mesta kvara) je ekvivalentna impedansa inverznog redosleda, pa je ekvivalentna šema sistema za ovaj slučaj prikazana na sl. 4.20c. 1′ ZdS = j0,2 r.j. 2′ Zdv = j0,5 r.j. 3′ E′ = 1,2 r.j. ∠δ U∞ = 1,0 r.j. ∠0° Z dv = j 0,25 r.j. 2 Z dv = j 0,25 r.j. 2 K′ Z iekv = j0,1528 r.j. K″ Sl. 4.20c Ekvivalentna mreža za proračun transfer impedanse pri dvofaznom kratkom spoju sistema iz zadatka 4.20 Za proračun ekvivalentne impedanse inverznog redosleda koristi se šema sa sl. 4.20d, odakle je: Zi = 1 ekv Zi Z iS Z iv 0,2 ⋅ 0,5 = j = j 0,14286 r.j. ; Z iS + Z iv 0,2 + 0,5  1 Z iv  Z iv Zi +  2  2 (0,14286 + 0,25) ⋅ 0,25  = j = j 0,1528 r.j. = Z iv Z iv 0,14286 + 0,25 + 0,25 1 Zi + + 2 2 Proračun stabilnosti 382 1″ ZiS = j0,2 r.j. 2″ Ziv = j0,5 r.j. Z iv = j 0,25 r.j. 2 3″ Z iv = j 0,25 r.j. 2 K″ Sl. 4.20d Ekvivalentna šema mreže inverznih impedansi sistema iz zadatka 4.20 Za proračun transfer impedanse u ekvivalentnoj šemi sa sl. 4.20c, treba prvo izvršiti transfiguraciju trougla 2′3′K′ u zvezdu 0′-2′-3′-K′, a potom sprovesti ekvivalentovanje rednih i paralelnih grana shodno sl. 4.20e. 1′ ZdS = j0,2 r.j. 2′ Z2′-0′ = j0,125 r.j. Z3′-0′ = j0,125 r.j. 0′ E′ = 1,2 r.j. ∠δ 3′ U∞ = 1,0 r.j. ∠0° Z1′-0′ = j0,325 r.j. ZK′-0′ = j0,0625 r.j. ZK″-0′ = j0,2153 r.j. K′ ekv Zi = j 0,1528 r.j. K″ Sl. 4.20e Ekvivalentna mreža sa sl. 4.20c, posle transfiguracije trougla 2′3′K′ u zvezdu 0′-2′-3′-K′ Transfer impedansa pri dvofaznom kratkom spoju dobija se posle transfiguracije zvezde 0′-1′-3′-K′ u trougao 1′3′K″, odakle je: ∆ Z 1′ 3′ = j 0,325 + j 0,125 + j 0,325 ⋅ 0,125 = j 0,6387 r.j. 0,2153 1d. Jednofazni kratki spoj Impedansa kvara u ovom slučaju je zbir Z i + Z 0 , koja se na mestu kvara (sabirnice K) vezuje na red sa ekvivalentnom mrežom direktnog redosleda, shodno sl. 4.20f (na kojoj se koristi prethodno ekvivalentovana mreža direktnih impedansi sa sl. 4.20e i vrednost ekvivalentne impedanse inverznog redosleda sa sl. 4.20d. Prethodno treba sračunati ekvivalentnu impedansu nultog redosleda (gledano sa mesta kvara) shodno sl. 4.20g. ekv ekv Proračun stabilnosti 383 Z1′-0′ = j0,325 r.j. 1′ Z3′-0′ = j0,125 r.j. 0′ 3′ U∞ = 1,0 r.j. ∠0° E′ = 1,2 r.j. ∠δ ZK′-0′ = j0,0625 r.j. K′ ekv Zi = j 0,1528 r.j. K″ Z ekv 0 = j 0,2614 r.j. K0 Sl. 4.20f Ekvivalentna mreža za proračun transfer impedanse pri jednostrukom zemljospoju u sistemu iz zadatka 4.20 10 Z0T = j0,05 r.j. 20 Z0v = j1,0 r.j. Z 0v = j 0,5 r.j. 2 30 Z 0v = j 0,5 r.j. 2 K0 Sl. 4.20g Ekvivalentna šema mreže nultih impedansi sistema iz zadatka 4.20 Posle transfiguracije trougla 2030K0 u zvezdu 00-20-30-K0, dobija se ekvivalentna šema nultih impedansi na sl. 4.20h. 10 j0,05 r.j. 20 j0,25 r.j. j0,25 r.j. 00 30 j0,125 r.j. K0 Sl. 4.20h Ekvivalentna šema sistema nultih impedansi, posle transfiguracije trougla 2030K0 sa sl. 4.20g u zvezdu 00-20-30-K0 Ekvivalentna nulta impedansa sistema sa sl. 4.20h je: Z0 = j ekv (0,05 + 0,25) ⋅ 0,25 + j 0,125 = j 0,2614 r.j. 0,05 + 0,25 + 0,25 Proračun stabilnosti 384 Transfer impedansa za slučaj jednostrukog zemljospoja, dobija se sa sl. 4.20f posle transfiguracije zvezde 0′-1′-3′-K0 u trougao, odakle je: ∆ Z 1′ 3′ = j 0,325 + j 0,125 + j 0,325 ⋅ 0,125 = j 0,5352 r.j. 0,0625 + 0,1528 + 0,2614 1e. Dvofazni kratki spoj sa zemljom Impedansa kvara u ovom slučaju dobija se kao ekvivalentna impedansa paralelnih ekv ekv impedansi Z i i Z 0 , kako je to prikazano na sl. 4.20i (gde su iskorišćene ranije proračunate vrednosti direktnih impedansi sa sl. 4.20e i ekvivalentne vrednosti inverzne i nulte impedanse sa sl. 4.20d i 4.20h). 1′ Z1′-0′ = j0,325 r.j. Z3′-0′ = j0,125 r.j. 0′ 3′ U∞ = 1,0 r.j. ∠0° E′ = 1,2 r.j. ∠δ ZK′-0′ = j0,0625 r.j. K′ Z 0 = j 0,2614 r.j. Zi K0 K″ ekv ekv = j 0,1528 r.j. Sl. 4.20i Ekvivalentna mreža za proračun transfer impedanse pri dvostrukom zemljospoju u sistemu iz zadatka 4.20 Sa sl. 4.20i je: Z i0 = j ekv 0,2614 ⋅ 0,1528 = j 0,0964 r.j. 0,2614 + 0,1528 Onda je transfer impedansa za slučaj dvostrukog zemljospoja: ∆ Z 1′ 3′ = j 0,325 + j 0,125 + j 0,325 ⋅ 0,125 = j 0,7057 r.j. 0,0625 + 0,0964 1f. Stanje posle isključenja voda u kvaru Sa slike 4.20b, transfer impedansa u ovom slučaju je: Z 13 = Z dG + Z dT + Z dv = j 0,1 + j 0,1 + j 0,5 = j 0,7 r.j. Proračun stabilnosti 385 2. Proračun maksimalnih prenosnih snaga a. Normalno stanje b. Trofazni kratki na sredini jednog od dva paralelna voda c. Dvofazni kratak spoj na istom mestu d. Jednofazni kratki spoj e. Dvofazni kratki spoj sa zemljom f. Posle isključenja voda u kvaru Transfer impedansa j0,45 r.j. Maks. prenosna snaga 2,667 r.j. j1,10 r.j. j0,6387 r.j. j0,5352 r.j. j0,7057 r.j. j0,7 r.j. 1,091 r.j. 1,879 r.j. 2,242 r.j. 1,700 r.j. 1,714 r.j. P [r.j.] 2,5 a. Pmax = 2,667 r.j. 2 d. Pmax = 2,242 r.j. 1,5 c. Pmax = 1,879 r.j. f. Pmax = 1,714 r.j. e. Pmax = 1,700 r.j. 1 b. Pmax = 1,091 r.j. 0,5 0 0 90° 180° δ [°] Sl. 4.20j Krive snaga – ugao za slučajeve razmatrane u zadatku 4.20 3. Ako se po kriterijumu veličine prenosne snage načini redosled posmatranih slučajeva, on ima sledeći izgled 1. Normalno stanje 2. Jednofazni kratki spoj 3. Dvofazni kratak spoj 4. Stanje posle isključenja voda u kvaru 5. Dvofazni kratki spoj sa zemljom 6. Trofazni kratki spoj Pmax = 2,667 r.j. Pmax = 2,242 r.j. Pmax = 1,879 r.j. Pmax = 1,714 r.j. Pmax = 1,700 r.j. Pmax = 1,091 r.j. Proračun stabilnosti 386 Zadatak 4.21 Za elektroenergetski sistem na sl. 4.21a, proveriti tranzijentnu stabilnost generatora za slučaj trofaznog kratkog spoja na početku jednog od dva paralelna voda i isključenja voda u kvaru za ti = 0,20 s. Pretpostaviti da je šema idealizovana, a vod tretirati preko modela sa raspodeljenim parametrima. Radne veličine zadate su na sabirnicama 3 i date na sl. 4.21a. Na istoj slici su dati i ostali parametri sistema, neophodni za proračun. 1 2 3 Jaka mreža Lv = 200 km Zce ~ G T1 T2 P (XM → 0) U3 = UnM P = 0,8 ΣPnat cos ϕ = 0,9 (ind.) k3 SnG = SnT1 = 1,2 ΣPnat ′ = 30% xdG xT1 = 12% mT1 = UnG/1,05 Unv Ti = 8 s SnT2 = 1,08 ΣPnat xT2 = 12% mT2 = Unv/UnM Sl. 4.21a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.21 Rešenje: Jednopolna zamenska šema sistema direktnih impedansi prikazana je na sl. 4.21b. ′ + X T1 ) 1 j ( X dG Zce, λ • 1′ • 2 • E′ jXT2 3 U3 Sl. 4.21b Jednopolna zamenska šema sistema sa slike 4.21a U zamenskoj šemi na sl. 4.21b generator je predstavljen tranzijentnom reaktansom i EMS E ′ iza tranzijentne reaktanse, transformatori T1 i T2 preko reaktansi rasipanja XT1 i XT2, dva identična paralelna voda preko karakteristične impedanse Zce (Zce = Zc/2, gde je Zc karakteristična impedansa jednog od dva voda) i električne ugaone dužine λ, dok je jaka mreža, s obzirom da je pretpostavljeno da je neograničeno jaka, zamenjena preko krutog napona U3 (odnosno, ne postoji uticaj mreže na razmatrani sistem). Ako se pojedini elementi ekvivalentne šeme (blok generator-transformator, vod i transformator T2) predstave preko odgovarajućih četvorokrajnika, dobija se ekvivalentna šema na sl. 4.21c. Proračun stabilnosti 387 ′ + XT2 ) j ( X dG E′ Av Bv Cv Dv jXT2 U3 Sl. 4.21c Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.21b, pri predstavljanju elemenata odgovarajućim četvorokrajnicima Lanac četvorokrajnika na sl. 4.21c može se uprostiti tretmanom preko odgovarajućeg ekvivalentnog četvorokrajnika sa sl. 4.21d, čiji se parametri nalaze primenom matričnog računa: ° ° Ae Be ° Ce De E′ ° ° ° U3 ° ° Sl. 4.21d Ekvivalentni četvorokrajnik sistema sa sl. 4.21c jZce sinλ 1 jX ′ + X T1 )  cosλ  Ae Be  1 j( X dG T2     1 = C D  = 0  cosλ  0 1 1  e    j Zce sinλ  e   ′ + X T1  X dG X   ′ + X T1 )sinλ + Zce sinλ + ( X dG ′ + X T1 ) cosλ sinλ j  X T 2 cosλ − T 2 ( X dG cosλ − Zce Zce  . = X 1   j sinλ cosλ − T 2 sinλ   Zce Zce Parametri zamenske šeme su: 2 2 ′ % + xT 1 % U nG xdG U nv 0,42  1,05U nv  2 ′ + X T1 = X dG ⋅ (1,05U nv ) = 0,3859 ;   = 100 S nG  U nG  1,2 ΣPnat ΣPnat 2 XT2 2 2 2 U nv U nv xT 2 % U nT 2 . = = 0,12 = 0,111 100 S nT 2 1,08 ΣPnat ΣPnat Radne veličine koje odgovaraju zadatom radnom stanju sistema na sabirnicama 3 su: P = 0,8 ΣPnat ; Q = P tgϕ = 0,8 ΣPnat 1 − cos 2 ϕ = 0,8 ΣPnat ⋅ 0,484 = 0,3875 ΣPnat , cos ϕ gde je sa ΣPnat označena prirodna snaga dva paralelna voda. Ugao između ems E ′ i napona na sabirnicama 3 ( U 3 ), koji će biti označen sa δ 0 i koji, ako se napon U 3 stavi u faznu osu (U 3 = U 3 ∠0 = U nM ⋅ (U nv U nM ) ∠0 = U nv ∠0) , predstavlja fazni Proračun stabilnosti 388 stav ems E ′ , tj. E ′ = E ′ ∠δ 0 , nalazi se iz prve od jednačina, koja važi za ekvivalentni četvorokrajnik: E ′ = Ae U 3 + B e I . (1) Na osnovu prethodnog nalazi se da je Ae = cos λ − 2 ′ + X T1 X dG 0,3859U nv ΣPnat sin λ = cos12° − sin 12° = 0,89791 , 2 Z ce ΣPnat U nv pošto je električna ugaona dužina svakog od vodova: λ = 0,06 ⋅ 200 = 12° , i pošto je Z ce = 2 U nv , ΣPnat a takođe i X   ′ + X T 1 )sin λ + Z ce sin λ + ( X dG ′ + X T 1 )cos λ  = B e = j  X T 2 cos λ − T 2 ( X dG Z ce      X  ′ + X T 1 )1 − T 2 tgλ  + Z ce tgλ + X T 2  = = j cos λ ( X dG Z ce       U2 = j cos12° 0,3859 nv ΣPnat    = j 0,685    U2  0,111 nv  2 2  ΣPnat 1 −  + U nv tg 12° + 0,111 U nv  = tg 12 ° 2   ΣPnat ΣPnat  U nv    ΣPnat    2 U nv . ΣPnat U jednačini (1) struja I predstavlja računsku struju ( I = 3 I f ), ako su ems E ′ i napon U 3 linijske veličine, tako da je: I= I= S* U *3 = S e − jϕ ; U nv ΣP P cos ϕ − jϕ 0,8 ΣPnat − jϕ e = e = 0,889 nat e − j 25,84° . U nv cos ϕU nv U nv Proračun stabilnosti 389 Posle zamene nađenih veličina u (1) dobija se: E ′ = 0,89791U nv + j 0,685 2 U nv ΣP ⋅ 0,889 nat e − j 25,84° = 1,2858U nv e − j 25°13′ = E ′ ∠δ 0 ; ΣPnat U nv odakle je: E ′ = 1,2858U nv r.j. , a δ 0 = 25°13′ = 25,23° . Kontrola ovog rezultata lako se vrši preko dinamičke karakteristike ustaljenog stanja na kojoj se ugao δ 0 ima u tački u kojoj je električna odata snaga jednaka mehaničkoj snazi (pošto su gubici zanemareni), tj.: E ′U 3 E ′U 3 0,8 ΣPnat Be = sin δ 0 = Pm = 0,8 ΣPnat ⇒ sin δ 0 = . Z1′ 3 Be E ′U 3 Dinamička karakteristika posle isključenja voda u kvaru nalazi se preko koeficijenta ekvivalentnog četvorokrajnika Bei , gde indeks 'i' ukazuje da je jedan od dva paralelna voda isključen:    X  ′ + X T 1 )1 − T 2 tgλ  + Z c tgλ + X T 2  = B ei = j cos λ ( X dG Zc       U2 = j cos12° 0,3859 nv ΣPnat    = j 0,897    U2  0,111 nv  2 2  ΣPnat U U 1 − tg 12°  + 2 nv tg 12° + 0,111 nv  = 2  ΣPnat ΣPnat  U   2 nv  ΣPnat    2 U nv , ΣPnat jer je: Z c = 2Z ce = 2 2 U nv . ΣPnat Dinamička karakteristika sa isključenim vodom u kvaru ima oblik: Pi = E ′U 3 1,2858U nvU nv sin δ = sin δ = 1,433 ΣPnat sin δ , 2 Bei 0,897U nv ΣPnat i prikazana je na sl. 4.21e. Proračun stabilnosti 390 Za crtanje krivih njihanja na sl. 4.21e, nalazi se najpre ugao δ x , preko izraza Pm = Pi (δ x ) ⇒ sin δ x = 0,8 ΣPnat = 0,5581 , 1,433 ΣPnat odakle je: δ x = 33°55′ = 33,92° ; δ gr = 180° − 33°55′ = 146°05′ = 146,08° . P 1,877 ΣPnat 1,433 ΣPnat 1 2 A2 Pm = 0,8 ΣPnat A1 0 δ 0 = 25,23° δ x = 33,92° δ ikr = 69,67° δ gr = 146,08° δ Sl. 4.21e Krive njihanja sistema iz zadatka 4.21, 1- pre kvara; 2-posle isključenja kvara Kritični ugao isključenja voda u kvaru dobija se iz izraza: cos δ ikr = (δ gr − δ 0 )sin δ0 + ri cos δ gr , ri gde je: ri = X 1′′ 3 B e = = X 1′′ 3i B ei j 0,685 2 U nv ΣPnat 2 U nv j 0,897 ΣPnat = 0,7637 . Proračun stabilnosti 391 Dalje se ima: cos δ ikr = π (146,08° − 25,23°) ⋅ 180 ⋅ 0,426 + 0,7637 ⋅ (−0,83) ° 0,7637 = 0,347 , odnosno δ ikr = 69°40′ = 69,67° , tako da je kritično vreme isključenja voda u kvaru: tikr = ( ) Ti S n δ ikr − δ 0 8 ⋅1,2 ΣPnat (69,67 − 25,23) = = 0,243 s ≈ 2,5 periode . 9000 Pm 9000 ⋅ 0,8 ΣPnat Pošto se tropolni kratak spoj isključuje za ti = 0,20 s, to se zaključuje da je za pretpostavljeni kvar ti < t ikr , pa je generator tranzijentno stabilan. Proračun stabilnosti 392 Zadatak 4.22 Za dati trofazni, jednopolno prikazani jednomašinski sistem sa na sl. 4.22a, izračunati kritično vreme ponovnog uključenja (tzv. vreme beznaponske pauze) faze u kvaru, sa gledišta tranzijentne stabilnosti za slučaj prolaznog jednopolnog kratkog spoja na početku voda 220 kV. Faza u kvaru se monofazno isključuje u vremenu od 0,15 s. Pretpostavlja se da su identične generatorsko-transformatorske grupe bile jednako opterećene i da su odavale pre kvara na sabirnice ukupnu aktivnu snagu P = 120 MW uz cos ϕ = 1 . Pretpostaviti da su u kritičnom vremenu po tranzijentnu stabilnost ems E ′ i mehanička snaga turbine Pm, kao i napon (i učestanost) jake mreže konstantni. Podaci o sistemu, neophodni za proračune, takođe su dati na sl. 4.22a. G Ur = 235 kV ~ P ~ Lv = 300 km xv = 0,42 Ω/km x0v = 1,3 Ω/km k1Z G SnG = SnT = 2×80 MVA UnG = 10,5 kV xG′ = 33% = xGi xT = 12% Ti = 5 s mT = 10,5/231 kV/kV Jaka aktivna mreža X M′ → 0 U∞ = const f = const Sl. 4.22a Jednopolna šema i parametri sistema iz zadatka 4.22 Rešenje: Sve veličine se svode na nominalni napon voda. Obe paralelne generatorskotransformatorske grupe mogu se posmatrati kao jedna ekvivalentna grupa, čija je tranzijentna reaktansa, svedena na stranu voda: 2 ′ = X GT 33 + 12 10,5 2  231  ⋅ ⋅  = 150 Ω . 100 2 ⋅ 80  10,5  Ukupna reaktansa (direktna, inverzna) voda (kod proračuna stabilnosti obično računata bez faktora popravke): X v = xv Lv = 0,42 ⋅ 300 = 126 Ω . Celokupna reaktansa sistema, koja je istovremeno i međusobna reaktansa između krajeva generatora i krute mreže, shodno zamenskoj šemi sa sl. 4.22b je ′ + X v = 150 + 126 = 276 Ω . ΣX = X 12 = X GT Proračun stabilnosti 393 1 ′ jX GT jXv E′ 2 U∞ Sl. 4.22b Ekvivalentna šema impedansi direktnog i inverznog sistema Moduo svedene ems E ′ generatora je: ′   PX GT 2  120 ⋅150  E ′ = U r2 +   = 235 +   = 247,17 kV ,  235   Ur  2 2 pri čemu su zanemarene otpornosti elemenata mreže i pretpostavljeno da je faktor snage na krajevima generatorsko-transformatorskih blokova cos ϕ = 1 . Na sličan način nalazi se i napon U∞ jake mreže, shodno fazorskom dijagramu napona sa sl. 4.22c: 2 2  PX v  2  120 ⋅126  U ∞ = U r2 +   = 235 +   = 243,65 kV . U  235   r  E′ δ0 Ur ′ PX GT Ur PX v Ur U∞ Sl. 4.22c Fazorski dijagram napona sistema sa sl. 4.22a Početni ugao δ 0 može se naći iz izraza za prenosnu snagu: Pm = P0 = E ′U ∞ sin δ 0 = Pmax sin δ 0 , X 12 koji posle zamene brojčanih vrednosti poznatih veličina postaje: 120 = 247,17 ⋅ 243,65 sin δ 0 = 218,2 sin δ 0 , 276 odakle je: sin δ 0 = 120 = 0,549954 , 218,2 Proračun stabilnosti 394 odnosno: δ 0 = 33,364° . Pored radne tačke usput je nađena i dinamička karakteristika normalnog (punog) sistema, koja je istovetna sa onom posle (uspešnog) ponovnog uključenja (ovde faze prolaznog kvara), čija je forma: P = Ppu = 218,2 sin δ . Razume se da kod zanemarenja otpornosti, sopstvene i međusobne impedanse degenerišu u odgovarajuće reaktanse, a komplementarni uglovi njihovih argumenata µ11 i µ12 iščezavaju, pa sinusoida prenosne snage prolazi kroz koordinatni početak, sa apscisom kao osom simetrije. Da bi se našla dinamička karakteristika za vreme jednopolnog kratkog spoja treba na mesto kvara u direktnom sistemu otočno staviti rednu vezu ekvivalentne inverzne i nulte reaktanse sistema (tj. reaktansu jednopolnog kratkog spoja), kako je to ilustrovano na sl. 4.22d. 1 ′ jX GT E′ jXv 2 U∞ jXi     jX k1Z  jX0  Sl. 4.22d Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.22a za vreme kvara Može se uvesti smena: X k1Z = X i + X 0 . Inverzna komponenta ekvivalentne reaktanse sistema gledane otočno sa mesta kvara, lako se nalazi iz šeme sa sl. 4.22e: Xi = X iGT X iv 150 ⋅126 = = 68,5 Ω . X iGT + X iv 150 + 126 ′ X iGT = X GT X iv = X v Sl. 4.22e Ekvivalentna šema za proračun direktne i inverzne impedanse sistema, gledano sa mesta kvara Proračun stabilnosti 395 Analogno se nalazi i ekvivalentna otočno računata (između faze na mestu kvara i tačke nultog potencijala) nulta reaktansa sistema, shodno zamenskoj šemi sa sl. 4.22f, pri čemu treba voditi računa da su generatorski transformatori zbog sprege Yd zaprečni za nulti sistem i da su na strani višeg napona oba zvezdišta transforamtora direktno uzemljena (nulta reaktansa magnećenja transformatora, u paraleli sa rasipnom, može da se zanemari, pa nije ni zadata). Onda je: X0 = X 0T X 0v 40 ⋅ 390 = = 36,28 Ω , X 0T + X 0v 40 + 390 pri čemu je X 0T 12 2312 = XT = ⋅ = 40 Ω ; 100 160 X 0v = x0v Lv = 1,3 ⋅ 300 = 390 Ω . X0T X0v Sl. 4.22f Ekvivalentna šema za proračun nulte impedanse sistema, gledano sa mesta kvara Prema tome za reaktansu kvara, pri jednopolnom kratkom spoju ima se vrednost: X k1Z = X i + X 0 = 68,5 + 36,28 = 104,78 Ω , dok se ukupna transfer reaktansa (međusobna reaktansa) sistema za vreme kvara X 12k računa na osnovu šeme sa sl. 4.22g i iznosi: ′ + Xv + X 12k = X GT X GT X v 150 ⋅126 = 150 + 126 + = 456,4 Ω . X k1Z 104,78 jX 12k 1 E′ ′ jX GT 2 jXv U∞ jXk1Z Sl. 4.22g Ekvivalentna šema sistema za vreme kvara, posle zamene Xi + X0 na sl. 4.22d, sa Xk1Z. Proračun stabilnosti 396 Sada se konačno nalazi dinamička karakteristika sistema pri jednofaznom kratkom spoju): Pk = E ′U ∞ 247,17 ⋅ 243,65 sin δ = sin δ = Pmaxk sin δ = 131,95 sin δ . X 12k 456,4 Da bi se našla dinamička karakteristika za vreme isključene faze u kvaru potrebno je u jednopolnu zamensku šemu direktnog sistema na mesto prekida ubaciti paralelnu vezu ekvivalentne inverzne i nulte reaktanse redno računate (merene) na mestu prekida, tj. između polova prekidača, shodno šemi sa sl. 4.22h. 1 ′ jX GT jXie jXv E′ 2 U∞ jX0e Sl. 4.22h Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.22a, posle isključenja faze u kvaru Redno merena ekvivalentna inverzna reaktansa na mestu prekida Xie se nalazi iz šeme pasivnog inverznog sistema sa sl. 4.22i, ′ X iGT = X GT X iv = X v Sl. 4.22i Ekvivalentna mreža inverznih impedansi posle isključenja faze u kvaru tj. kao zbir inverznih reaktansi elemenata sistema: X ie = X iGT + X iv = 150 + 126 = 276 Ω . Analogno se nalazi ekvivalentna nulta reaktansa X0e redno spojena na mestu prekida (isključenja faze kvara), shodno šemi sa sl. 4.22j: X 0e = X 0T + X 0v = 40 + 390 = 430 Ω . X 0T = X T X 0v Sl. 4.22j Ekvivalentna mreža nultih impedansi posle isključenja faze u kvaru Paralelna veza reaktansi Xie i Xoe daje reaktansu isključenja jedne faze X i1 f (indeks i ovde znači isključenje, a ne inverzno), koja se stavlja redno na mesto prekida u direktan sistem shodno sl. 4.22k: X i1 f = X ie X 0e 276 ⋅ 430 = = 168,1Ω . X ie + X 0e 276 + 430 Proračun stabilnosti 397 jX 12i 1 E′ ′ jX GT jX i1 f 2 jXv U∞ Sl. 4.22k Ekvivalentna šema sistema sa sl. 4.22h, posle paralelnog sprezanja reaktansi Xie i Xoe Zbir svih reaktansi na sl. 4.22k daje transfer reaktansu između krajeva sistema za vreme isključenja jedne faze X 12i : ′ + X i1 f + X v = 150 + 168,1 + 126 = 444,1Ω . X 12i = X GT Konačno se nalazi dinamička karakteristika za vreme isključenja jedne faze čija je forma: Pi = E ′U ∞ 247,17 ⋅ 243,65 sin δ = sin δ = Pmaxi sin δ = 135,61sin δ . X 12i 444,1 Jednačina obrtnih masa agregata: &δ&(t ) = ω s (P − P (δ(t ) )) , Ti S n m kojom se opisuju elektromehanički prelazni procesi, prikazuje se u formi modela sistema u prostoru stanja: δ& (t ) = ωs (ω(t ) − 1) ; & (t ) = ω 1 (P − P(δ(t ) )) , Ti S n m gde su promenljive stanja ugao rotora δ(t ) i relativna ugaona brzina rotora ω(t ) u odnosu na sinhronu brzinu ωs. Vremenska zavisnost ugla, odnosno ugaone brzine agregata dobija se numeričkim rešavanjem ovog sistema diferencijalnih jednačina, uz uvažavanje da se u svakom od razmatranih perioda odata snaga agregata modeluje odgovarajućom dinamičkom karakteristikom. Usvajanjem da je u početnom ravnotežnom stanju ugaona brzina sistema bila jednaka sinhronoj, a ugao jednak δ 0 = 33,364° i rešavanjem sistema diferencijalnih jednačina: δ& (t ) = 314 (ω(t ) − 1) ; & (t ) = ω 1 (120 − 131,95 sin δ) , 5 ⋅ 2 ⋅ 80 Proračun stabilnosti 398 gde je dinamička karakreristika zamenjena karakteristikom za vreme kvara Pk , do trenutka isključenja faze kvara ti = 0,15 s, proračunava se ugao δi . Rezultati numeričke integracije Runge-Kutta metodom četvrtog reda, sa korakom integracije 0,01 s, dati su u tab. 4.22a. Tab. 4.22a Rezultati numeričke integracije do trenutka isključenja faze u kvaru ti ω [rad/s] 314,16 314,35 314,53 314,71 314,90 315,07 315,25 315,42 315,58 315,74 315,89 316,08 316,18 316,30 316,43 316,54 t [s] 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12 0,13 0,14 0,15 δ [ °] 33,36 33,42 33,58 33,84 34,21 34,69 35,26 35,93 36,70 37,56 38,51 39,58 40,66 41,86 43,12 44,45 Vremenu isključenja ti = 0,15 s odgovara nađeni ugao δ i = 44,45° , posle čega se prelazi na dinamičku karakteristiku sa isključenom fazom u kvaru. Sada je moguće po metodi jednakih površina izračunati kritični ugao ponovnog uključenja faze prolaznog kvara δ pukr . Analitički se dalje može naći cos δ pukr u obliku obrasca, tj. tačno, ako, kao u zadatku sve sinusoide prolaze kroz koordinatni početak. Ako su površine + i maksimalno moguća – jednake, onda se ima i jednakost pravougaonika osnove δ gr − δ 0 i visine Pm sa površinom ispod odgovarajućih sinusoida: ( ) ( ) δi δ pukr δ gr δ0 δi δ pu kr Pm δ gr − δ 0 = ∫ Pmax k sin δdδ + ∫ Pmaxi sin δdδ + ∫ Pmax sin δdδ , ili ako se amplitude snaga zamene proizvodom E ′U ∞ podeljenim odgovarajućom međusobnom reaktansom, a slično i Pm = Pmax sin δ 0 , dobiće se ugao δ pukr iz jednakosti: δ E ′U ∞ E ′U ∞ i E ′U ∞ sin δ 0 δ gr − δ 0 = Pmaxk sin δdδ + ∫ X 12 X 12k δ X 12i ( ) 0 δ pukr ∫ δi δ E ′U ∞ gr Pmaxi sin δdδ + P sin δdδ , X 12 δ ∫ max pu kr Proračun stabilnosti 399 P [MW] 1 P ≡ Ppu = 218,2 sin δ 200 150 3 Pi = 135,61sin δ − − + Pk = 131,95 sin δ + 100 Pm = 120 MW 2 50 0 δ0 δi 0 δ pukr δ gr 90° 180° δ [°] Sl. 4.22l Krive njihanja sistema sa sl. 4.22a: 1-pre kvara; 2-za vreme kvara; 3-posle isključenja faze u kvaru koja posle deljenja sa E ′U ∞ i množenja sa X12 i integracije postaje: ( ( ) ) Rešenje gornje jednačine po cos δ pukr je: cos δ pukr = ( ) sin δ 0 δ gr − δ 0 − rk (cos δ 0 − cos δ i ) − ri cos δ i + cos δ gr , 1 − ri gde je rk = X 12 X 12k i ( ) X 12 X X ( cos δ 0 − cos δ i ) + 12 cos δ i − cos δ pukr + 12 cos δ pukr − cos δ gr . X 12k X 12i X 12 sin δ 0 δ gr − δ 0 = ri = X 12 . X 12i Posle izračunavanja ugla δ gr = 180° − δ 0 = 180° − 33,364° = 146,636° Proračun stabilnosti 400 i parametara: rk = X 12 276 = = 0,6047 ; X 12k 456,4 ri = X 12 276 = = 0,6215 , X 12i 444,1 dobija se da je: π ⋅ sin 33,364° − 0,6047 ⋅ (cos 33,364° − cos 44,45°) 180° cos δ pukr = − 1 − 0,6215 0,6216 ⋅ cos 44,45° + cos146,636° − = −0,7005, 1 − 0,6215 (146,636° − 33,364°) ⋅ odakle je: δ pukr = 134,464° . Numeričkom integracijom može se sada izračunati i kritično vreme uključenja faze u kvaru, koje odgovara ovom uglu, sa sl. 4.22l. Odgovarajući sistem diferencijalnih jednačina za period isključene jedne faze, sa zamenjenom dinamičkom karakteristikom Pi = 135,61sin δ je: δ& (t ) = 314 (ω(t ) − 1) ; & (t ) = ω 1 (120 − 135,61sin δ) , 5 ⋅ 2 ⋅ 80 Početne vrednosti promenljivih stanja su krajnje vrednosti ovih promenljivih iz prethodnog perioda, odnosno: δ(0,15) = 44,45° ; ω(0,15) = 1,0076 r.j. δ pukr Rezultati numeričke integracije do dostizanja vrednosti kritičnog ugla ponovnog uključenja = 134,464° , pri čemu su do vremena 1,1 s prikazane vrednosti sa korakom 0,05 s, dati su u tab. 4.22b. Proračun stabilnosti 401 150 δ [°] 100 50 δ0 0 0 0,5 1 t [s] Sl. 4.22m Promena električnog ugla δ sa vremenom posle poremećaja u sistemu iz zadatka 4.22 Tab. 4.22b Rezultati numeričke integracije od trenutka isključenja faze u kvaru ti do trenutka dostizanja vrednosti kritičnog ugla ponovnog uključenja δ pukr t [s] 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,11 1,12 ω [rad/s] 316,53 316,91 317,07 317,03 316,85 316,58 316,28 315,98 315,70 315,46 315,26 315,11 315,01 314,95 314,93 314,96 315,05 315,21 315,44 315,79 315,87 315,96 δ [°] 44,45 51,86 60,03 68,35 76,34 83,67 90,19 95,83 100,64 104,71 108,14 111,08 113,64 115,97 118,19 120,43 122,85 125,61 128,93 133,07 134,02 135,03 Proračun stabilnosti 402 Izračunatom kritičnom uglu ponovnog uključenja isključene faze (prolaznog jednopolnog kratkog spoja δ pukr = 134,464° odgovara vreme računato od nastanka kvara od 1,115 sekundi. Otuda je maksimalno (kritično) vreme beznaponske pauze, tj. vreme od isključenja do ponovnog uključenja odgovarajuće faze, sa gledišta tranzijentne stabilnosti: t pauze = 1,115 − 0,15 = 0,965 s ≈ 1s . Minimalno vreme beznaponske pauze određuje se vremenom potrebnim za dejonizaciju vazduha na mestu jednopolnog kratkog spoja, što je preduslov uspešnog ponovnog uključenja za slučaj prolaznog kvara (inače je moguće da normalni napon ponovo upali luk, ako vazduh nije dovoljno dejonizovan). Za najviše napone, pa i za napon 220 kV, to minimalno vreme iznosi oko 0,3 do 0,4 s. Prema tome može se odabrati vreme pauze negde između 0,4 i 1 s, koje zadovoljava oba uslova: i minimalno vreme sa gledišta potrebne dejonizacije i maksimalno sa gledišta tranzijentne stabilnosti. Ugaona brzina odnosno klizanje rotora generatora rastu u toku odabranog vremenskog intervala, sve dok je snaga akceleracije pozitivna, tj. u konkretnom slučaju zaključno sa trenutkom t = 0,25 s, kada se postiže i najveće klizanje (kod generatora pozitivno za nadsinhrone brzine): ω − ω s 317,07 − 314 = = 0,00927, ωs 314 s ≈ ω −1 = odnosno 0,927 %, tj. ispod 1 %, što opravdava učinjenu aproksimaciju ω ≈ ω s kod izvođenja diferencijalne jednačine kretanja rotora. Zapaziti pozitivne priraštaje uglova i kod negativne akceleracije, koji se smanjuju (rotor usporava kod ω > ω s ). 317 ω  rad   s    316 315 314 0 0.5 1 t [s] Sl. 4.22n Promena ugaone brzine agregata posle poremećaja u sistemu iz zadatka 4.22 Proračun stabilnosti 403 Na sl. 4.22n nacrtana je zavisnost ugaone brzine ω u funkciji vremena sve do trenutka koji odgovara kritičnom vremenu ponovnog uključenja. Zapaža se izvesno usporavanje brzine u vremenskom intervalu koji odgovara površini – na sl. 4.22n, a zatim sve do kritičnog vremena ponovo brži rast usled + površina akceleracije. Dalji tok bi značio kasnije usporavanje, jer sledi negativna površina sve do izvesne granične vrednosti, s obzirom da se radi o granici stabilnosti. Proračun stabilnosti 404 Zadatak 4.23 Turbogenerator je vezan na moćnu mrežu, posredstvom blok-generatorskog transformatora rasipne reaktanse XT = 0,1 r.j. i prenosnog voda reaktanse Xv = 0,4 r.j. Napon jake mreže je U∞ = 1,00 r.j., elektromotorna sila turbogeneratora pri stalnoj pobudi E = 1,80 r.j., sinhrona reaktansa Xd = Xq = 0,90 r.j., učestanost sistema 50 Hz, a vremenska konstanta inercije Ti = 10 s, kako je to prikazano na jednopolnoj šemi na sl. 4.23a. a) Naći učestanost oscilacija ugla snage δ, pri malom impulsnom poremećaju, ako se zanemari prigušenje u sistemu, pri vrednostima odate snage generatora P0 = 0,05; 0,5 i 1,2 r.j. b) Naći kritično vreme isključenja krofaznog kratkog spoja na neopterećenom odvodu, neposredno iza sabirnica VN transformatora T, pri P0 = 0,5 r.j. c) Ako je vreme isključenja kvara ti = 0,9 tkr, naći maksimalni ugao njihanja generatora δmax i rezervu stabilnosti koja se tada ima u odnosu na slučaj b. T G Spojni vod ~ Xv = 0,4 r.j. E = 1,80 r.j. Xd = Xq = 0,9 r.j. XT = 0,1 r.j. Ti = 10 s fn = 50 Hz Kvar Moćna mreža U∞ = 1,00 r.j. Sl. 4.23a Jednopolna šema i osnovni podaci sistema iz zadatka 4.16 Rešenje: a) Izraz za krivu njihanja je: EU ∞ sin δ , X P= koji za E = 1,80 r.j.; U∞ = 1,00 r.j. i X = Xd + XT + Xv = 1,40 r.j. postaje: P= 1,80 ⋅1,00 sin δ = 1,286 sin δ [r.j.] . 1,40 Izraz za koeficijent sinhronizacione snage je: Ps = dP = 1,286 cos δ [r.j./rad] . dδ Proračun stabilnosti 405 Učestanost oscilacija ugla snage nalazi se preko formule: 1/ 2 ωosc  P 2πf 0  = s   Ti  [rad/s] . Rezultati proračuna koeficijenta sinhronizacione snage i učestanosti oscilacija za tri zadate vrednosti početne snage dati su u tab. 4.23a. Tab. 4.23a Proračun učestanosti oscilacija ugla snage δ iz zadatka 4.23a δ0 P0 [r.j.] 0,05 0,50 2,00 [ °] 2,23 22,89 68,96 [rad] 0,040 0,400 1,204 ωosc [rad/s] 6,35 6,10 3,81 Ps [r.j./rad] 1,285 1,184 0,462 f osc = ωosc 2π [Hz] 1,01 0,97 0,61 b) Kriva njihanja sistema P(δ) i ilustracija metoda jednakih površina za proračun kritičnog vremena isključenja kvara, za Pm = P0 = 0,5 r.j. , prikazana je na sl. 4.23b. Pmax = 1,286 r.j. P [r.j.] A2 1,0 P = 1,286 sin δ A1 Pm = 0,50 r.j. 0,5 A3 0 δ0 = 0,400 rad δkr = 1,581 rad δgr = 2,74 rad δ [rad] Sl. 4.23b Kriva njihanja sistema i ilustracija primene metode jednakih površina pri proračunu kritičnog vremena isključenja kvara Iz uslova jednakosti površina: A1 = A2 , Proračun stabilnosti 406 odnosno A1 + A3 = A2 + A3 , sledi: 0,5 ⋅ (π − 2δ 0 ) = δ gr = π−δ0 =2, 74 rad ∫ (1,286 sin δ)dδ , δ kr odakle se dobija jednačina po cos δkr: 1,1708 = 1,286(cos δ kr + 0,9213) , čije je rešenje: cos δ kr = −0,9213 + 0,9104 = −0,0109 , što znači da je kritični ugao isključenja kvara: δ kr = 90,624° = 1,582 rad . Kritično vreme isključenja kvara je onda:  T (δ − δ 0 )  t kr =  i kr   P0 πf 0  1/ 2 10 ⋅ (1,582 − 0,400)  =  0,5 π ⋅ 50  1/ 2 = 0,388 s. c) Ako je ti = 0,9 tkr = 0,349 s, ugao isključenja kvara je: δi = πf 0 P0 2 π ⋅ 50 ⋅ 0,5 ti + δ 0 = 0,349 2 + 0,400 = 1,357 rad = 77,75° . Ti 2⋅5 Onda je površina A1 sa slike 4.23b, kada se tkr zameni sa ti: A1 = P0 (δ i − δ 0 ) = 0,5 ⋅ (1,357 − 0,400) = 0,479 r.j. , a izraz za jednakost površina A1 i A2 (kada se ugao δgr = π - δ0 zameni sa δmax), daje: A2 = 0,479 = ( δ max ∫ (1,286 sin δ − 0,5)dδ = 1,286(cos δi − cos δ max ) − 0,5(δ max − δi ) = δi ) ( ) = 1,286 0,2112 − cos δ max − 0,5 δ max − 1,357 , odakle se dobija jednačina: 1,286 cos δ max + 0,5 δ max = 0,4711 . Proračun stabilnosti 407 Rešenje gornje nelinearne transcedentne jednačine je: δ max ≈ 1,99 rad = 114° . Rezerva stabilnosti (RS) za slučaj kada se kvar isključuje posle trajanja od ti = 0,9tkr = 0,349 s, u odnosu na slučaj ti = tkr = 0,388 s je: RS = P(ti =0,9 tkr ) − P(ti =tkr ) 1,286 sin δ max − 0,5 1,286 sin 114° − 0,5 = = = 1,3493 , P(ti =tkr ) 0,5 0,5 odnosno 34,93%. Ilustracija proračuna δmax i RS, pri ti = 0,9 tkr data je na sl. 4.23c. P [r.j.] P(δmax) = 1,1746 r.j. 1,0 A2 A1 0,5 0 P = 1,286 sin δ Pm = 0,50 r.j. δ0 = 0,400 rad δi = 1,357 rad δmax = 1,99 rad δgr = 2,74 rad δ [rad] Sl. 4.23c Ilustracija proračuna maksimalnog ugla njihanja i rezerve stabilnosti sistema iz zadatka 4.23c Proračun stabilnosti 408 Zadatak 4.24 Za uprošćeni elektroenergetski sistem EPS-a, čiji su podaci dati u zadacima 2.15 i 3.30, izvršiti procenu dinamičke stabilnosti (stabilnosti pri malim poremećajima), usvajajući za početni radni režim onaj koji je obrađivan u zadatku 2.15. Procenu stabilnosti izvršiti usvajajući da su sve mašine u sistemu neregulisane (sa konstantnom mehaničkom snagom agregata i konstantanim naponom pobude), i da je elektromotorna sila E' iza tranzijentne reaktanse kod svih generatora konstantna. Pri tome zanemariti prigušenja generatora D. Podaci za zamensku šemu generatora sa konstantnom elektromotornom silom dati su u zadatku 3.30. Vremenske konstante Ti ekvivalentnih agregata ovog pojednostavljenog sistema sa šest ekvivalentnih agregata, proračunate na bazi nominalnih prividnih snaga elektrana date su na osnovu stvarnih podataka za generatore EPS-a u tab. 4.24a. Tab. 4.24a Podaci za vremenske konstante inercije agregata iz zadatka 4.24 Broj čvora 1 5 6 15 17 21 Naziv čvora Obrenovac 400 Đerdap Kostolac Obrenovac 220 Bajina Bašta Kosovo Ti [MWs/MVA] 4,15 6,7 3,72 8,4 8,2 6,6 Ispitati dinamičku stabilnost ovog sistema i u slučaju da je sistem oslabljen ispadom dalekovoda između čvorova 5 i 6 sistema. Rešenje: Kompletan model za procenu dinamičke stabilnosti višemašinskog sistema sastoji se iz skupa diferencijalnih jednačina tipa: δ& i (t ) = ω s (ωi (t ) − 1) ; 1 & i (t ) = (Pm − Pi (δ i (t ) )) ; ω Ti i = 1, 2, ..., NG; i = 1, 2, ..., NG, pridruženih svakom agregatu u sistemu, gde je ωs sinhrona ugaona brzina, ωi(t) relativna ugaona brzina u odnosu na sinhronu brzinu a δi(t) ugao fazora elektromotorne sile Ei' iza tranzijentne reaktanse, kao i sistema algebarskih jednačina tipa jednakosti, koje predstavljaju jednačine tokova snaga, odnosno model mreže: Pi = Gii U i2 + N + NG ∑U i U j [Gij cos(θi − θ j ) + Bij sin (θi − θ j )] ; j =1 i = 1, 2, ..., N+NG; j ≠i Qi = − Bii U i2 + N + NG ∑U i U j [Gij sin (θi − θ j ) − Bij cos(θi − θ j )] ; j =1 i = 1, 2, ..., N+NG, j ≠i gde su Gij i Bij konduktanse, odnosno susceptanse elemenata kompleksne matrice admitansi nezavisnih čvorova sistema YČV date u zadatku 2.15, proširene sa NG ''unutrašnjih'' generatorskih Proračun stabilnosti 409 čvorova koji odgovaraju elektromotornim silama Ei'. Modelovanje potrošača konstantnim impedansama, kao i premeštanje injektiranja generatora u ''unutrašnje'' generatorske čvorove, dozvoljava da se sprovede Kronova redukcija, odnosno eliminacija svih pasivnih čvorova (tj. čvorova sa nultim injektiranjem), tako da u modelu mreže figurišu samo unutrašnji generatorski čvorovi, što je prikazano relacijama: [ NG ( ) ( Pi = GGii Ei′ 2 + ∑ Ei′ E ′j GGij cos δi − δ j + BGij sin δ i − δ j j =1 )] ; i = 1, 2, ..., NG; j ≠i [ NG ( ) ( Qi = − BGii Ei′ 2 + ∑ Ei′ E ′j GGij sin δ i − δ j − BGij cos δ i − δ j j =1 )] ; i = 1, 2, ..., NG, j ≠i gde su GGij i BGij elementi konduktansi i susceptansi kompleksne matrice YG, u poziciji 'ij', pri čemu je: −1 Y G = Y GG − Y GP Y PP Y PG . Matrice YGG, YPP, YGP i YPG su submatrice kompleksne matrice YČV sistema, koje odgovaraju unutrašnjim generatorskim čvorovima 'G' i negeneratorskim čvorovima 'P'. Ovakav model mreže ne dozvoljava detaljna razmatranja pojava vezanih za kvarove u mreži ili promenu njene konfiguracije, ali predstavlja osnov za analizu dinamičke stabilnosti jer se zamenom izraza za Pi u odgovarajuću diferencijalnu jednačinu dobija sistem običnih diferencijalnih jednačina tipa: δ& i (t ) = ω s (ωi (t ) − 1) ; i = 1, 2, ..., NG;     NG 1 & i (t ) =  Pm − GGii Ei′ 2 − ∑ Ei′ E ′j GGij cos δ i (t ) − δ j (t ) + BGij sin δ i (t ) − δ j (t )  ; ω Ti  j =1    j ≠ i   i = 1, 2, ..., NG, [ ( ) )] ( koji se linearizacijom u okolini date ravnotenže radne tačke prevodi u sistem običnih nelinearnih diferencijalnih jednačina oblika: ∆δ& i (t ) = ω s ∆ωi (t ) ; i = 1, 2, ..., NG;  1  NG & i (t ) =  ∑ Ei′ E ′j GGij sin δ i 0 − δ j 0 − BGij cos δ i 0 − δ j 0 ∆δ i (t ) − ∆δ j (t ) ∆ω Ti  j =1  j ≠i  [ ( ) ( )](   ;    i = 1, 2, ..., NG, ) sa konstantnim koeficijentima definisanim početnim radnim stanjem, čija se analiza stabilnosti svodi na analizu linearizovanog sistema tipa ∆&x = A∆x , odnosno analizu svojstva matrice stanja sistema A, gde vektor x predstavlja vektor stanja, dimenzije 2NG, čije su komponente uglovi δi i ugaone brzine ωi. Proračun stabilnosti 410 Na osnovu rešenja zadatog radnog režima, odnosno proračuna tokova snaga iz zadatka 2.15, uz usvojene vrednosti nominalnih snaga agregata priključenih u sistemu i odgovarajućih reaktansi generatora u tranzijentnom režimu po d osi xd′ i blok-generatorskih transformatora xBT datih u zadatku 3.30, a ovde ponovljenih u tab. 4.24b. Tab. 4.24b Reaktanse generatora i blok-transformatora sistema iz zadatka 4.24 Redni broj Naziv čvora Sn [MVA] xd′ [r.j.] xBT [r.j.] 1 2 3 4 5 6 Obrenovac 400 Đerdap Kostolac Obrenovac 220 Bajina Bašta Kosovo 1461 760 527 732 1308 509 0,015 0,050 0,042 0,030 0,020 0,065 0,009 0,0154 0,023 0,018 0,010 0,023 Takođe su proračunate i elektromotorne sile iza tranzijentne reaktanse svakog od šest ekvivalentnih generatora, prikazane u tab. 4.24c. Tab. 4.24c Rezultati proračuna EMS generatora iz zadatka 4.24 Redni broj 1 2 3 4 5 6 Naziv čvora Obrenovac 400 Đerdap Kostolac Obrenovac 220 Bajina Bašta Kosovo Ei' [r.j.] 1,1540 1,2379 1,0949 1,1033 1,0568 1,1275 δi0 [rad] 0,2474 0,4123 0,2069 0,2116 0,4127 0,2926 Matrice GG i BG sistema ovde imaju elemente, koji su izraženi u relativnim jedinicama za SB = 100 MVA i UB = 400 kV: 3,6167 0,9503  1,1798 GG =  1,8924 1,7027  0,7936 0,9503 1,1798 1,8924 1,7027 0,7936  0,7245 0,4534 0,4778 0,5273 0,4601 0,4534 0,6479 0,6145 0,5992 0,3122  ; 0,4778 0,6145 1,2753 0,9853 0,3681  0,5273 0,5992 0,9853 3,2978 0,5384   0,4601 0,3122 0,3681 0,5384 1,0599  - 24,7952 2,9417 3,9840 5,5781 4,6901  2,9417 - 10,2612 1,9591 1,1342 1,2760   3,9840 1,9591 - 11,9328 1,5922 1,5250 BG =   5,5781 1,1342 1,5922 - 15,8179 3,3371  4,6901 1,2760 1,5250 3,3371 - 16,4428   1,6318 1,1607 0,6367 0,6305 1,1733 1,6318 1,1607  0,6367   . 0,6305 1,1733   - 7,440  Proračun stabilnosti 411 Vremenske konstante inercije agregata date u postavci zadatka, preračunate na baznu snagu SB = 100 MVA, date su u tab. 4.24d. Tab. 4.24d Preračunate vrednosti konstanti Ti iz tab. 4.24a, na SB = 100 MVA Redni broj 1 5 6 15 17 21 Naziv čvora Obrenovac 400 Đerdap Kostolac Obrenovac 220 Bajina Bašta Kosovo Ti [MWs/MVA] 60,6 50,92 19,6 61,5 107,26 33,6 Zamenom datih vrednosti u sistem linearizovanih diferencijalnih jednačina ∆&x = A∆x , uz usvajanje da je sistem u početnom stanju bio u sinhronizmu (ωi0 = 0), dobija se matrica stanja sistema dvanaestog reda: 0 - 0,404 0 0,072 0 0,082 0 0,116 0 0,099 0 0,036   314,16 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0,077 0 - 0,216 0 0,049 0 0,027 0 0,033 0 0,030  0 0 314,16 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0,260 0 0,139 0 - 0,634 0 0,098 0 0,095 0 0,041  0 0 0 0 314,16 0 0 0 0 0 0 0 A =  0 0,117 0 0,027 0 0,031 0 - 0,254 0 0,066 0 0,013  0 0 0 0 0 0 314,16 0 0 0 0 0   0 0,049 0 0,016 0 0,015 0 0,033 0 - 0,125 0 0,012   0 0 0 0 0 0 0 0 314,16 0 0 0  0 0,062 0 0,050 0 0,022 0 0,022 0 0,043 0 - 0,200   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 314,16 0         .          Sopstvene vrednosti ove matrice, koja modeluje sistem pri zanemarenim prigušenjima su: λ1,2 = 0; λ3,4 = ± j14,9206; λ5,6 = ± j11,9604; λ7,8 = ± j7,4064; λ9,10 = ± j9,1127; λ11,12= ± j8,5079. Jedan par ovih vrednosti je jednak nuli, dok su ostali parovi sopstvenih vrednosti na imaginarnoj osi. Par koji je jednak nuli se javlja zbog linearne zavisnosti promenljivih, tj. u svim izrazima se uglovi javljaju kao razlika, te se može tražiti relativna vrednost u odnosu na jedan ugao koji se proizvoljno može usvojiti kao referentni (obično je to ugao prvog generatora). Uslovljenost da se svi koreni javljaju u paru ima za posledicu da su dve sopstvene vrednosti matrice stanja jednake nuli. Ostale sopstvene vrednosti, koje se nalaze na imaginarnoj osi, odnosno na samoj granici stabilnosti pokazuju da je ovaj sistem, uz uvažavanje sigurnog postojanja prigušenja, Proračun stabilnosti 412 stabilan. Frekvencije elektromehaničkih modova se kreću između 1,2 i 2,37 Hz što je i karakteristično za generatorske modove elektromehaničkih oscilacija. Slučaj kada je pri istoj početnoj raspodeli snaga aktivnog generisanja u sistemu, sistem oslabljen ispadom voda između čvorova 5 i 6 (400 kV vod između HE Đerdap i TE Kostolac) ima sledeće sopstvene vrednosti sistema: λ1,2 = 0; λ3,4 = ± j15,0976; λ5,6 = ± j11,5638; λ7,8 = ± j6,3953; λ9,10 = ± j8,3262; λ11,12= ± j8,5038. Pokazuje se da je sistem i u ovom slučaju dinamički stabilan i da se opseg kritičnih frekvencija menja ka nižim vrednostima (1,02 Hz), koje se približavaju vrednostima kritičnim za oscilacije između pojedinih grupa agregata (grupe se formiraju delimičnim razdvajanjem sistema usled znatno oslabljenih veza među generatorima). Proračun stabilnosti 413 Zadatak 4.25 Za sistem iz zadatka 4.24 ispitati tranzijentu stabilnost generatora u sistemu ako se desio trofazni kratki spoj na vodu 5-6 kod sabirnica 5, i to za sledeća dva slučaja: - Ako je vreme isključenja voda u kvaru 0,15 s. - Ako je vreme isključenja voda u kvaru 0,2 s. Za oba slučaja usvojiti da je vreme beznaponske pauze, pre ponovnog uključenja voda u kvaru 0,2 s. Rešenje: Pre rešavanja samog zadatka biće predstavljen metod koji je odabran za rešavanje ovog problema tranzijentne stabilnosti. Na sl. 4.25a je predstavljen jedan uopšteni elektroenergetski sistem sa N čvorova i NG sinhronih mašina. Svaka sinhrona mašina predstavljena je svojom unutrašnjom elektromotornom silom Ei′ i reaktansom za tranzijentni period X d′ . jX d′ 1 G1 jX d′ 2 G2 E1′ /δ1 ′ G jX dN E2′ /δ 2 Elektroenergetski sistem sa N čvorova koji sadrži priključne čvorove sinhronih mašina (G1, G2, ..., GNG ), vodove, transformatore, i potrošnju modelovanu GN G preko konstatnih admintansi. E ′NG /δ NG Sl. 4.25a Uopšćeni prikaz elektroenergetskog sistema sa N čvorova i NG sinhronih mašina Sinhrone mašine su povezane na sistem preko čvorova označenih sa G1, G2 i G NG . Potrošnje u pojedinim čvorovima modelovane su preko modela konstantnih impedansi. Imajući sve ovo u vidu može se napisati sledeća jednačina: gde je: Y 11 Y 12  U  0  Y T Y   E  =  I  , 22       12 (1) U = [U 1 U 2 L U N ]T , vektor napona čvorova, (2) E = E ′1 (3) [ I = [I 1 E ′ 2 L E ′ NG I 2 L I NG ] T , vektor unutrašnjih elektromotornih sila generatora, ] , vektor struja generatora, T (4) Y 11 Y 12  Y T Y  , (N+NG)×( N+NG) kompleksna matrica admitansi nezavisnih čvorova. (5) 22   12 Proračun stabilnosti 414 Matrica admitansi u jednačini 5 je podeljena na submatrice u skladu sa brojem čvorova u mreži (N) i brojem generatora u sistemu (NG), tako da su dimenzije pojedinih njenih submatrica sledeće: Y11 je dimenzija N×N; Y12 je dimenzija N× NG; Y22 je dimenzija NG × NG. Matrica Y11 je slična matrici admitansi koja se koristi u proračunim tokova snaga, s tom razlikom što su u nju uključene admitanse kojima je modelovana potrošnja kao i recipročne vrednosti impedansi generatora. Prema tome, ako npr. u čvoru n imamo potrošnju onda se ′ ) se admitansa kojom se modeluje potrošnja dodaje dijagonalnom elementu Y11nn. Takođe, (1 / jX dn dodaje dijagonalnom elementu Y 11GnGn . Matrica Y22 je dijagonalna matrica recipročnih vrednosti tranzijentnih impedansi generatora, odnosno: Y 22  1  jX d′ 1   =    0  0 1 jX d′ 2 O 1 ′ G jX dN     .     (6) Matrica Y12, odnosno element u poziciji 'km' dobija se prema jednačini:  −1 ako je k = Gn i m = n  Y 12 km =  jX dn . ′ 0 u protivnom (7) Kada se jednačina (1) razdvoji na dve jednačine, dobija se sistem: Y 11 U + Y 12 E = 0 , (8) + Y 22 E = I . (9) T Y 12 U Ako se pretpostavi da je vektor E poznat, tada je jednačina (8) linearna jednačina po nepoznatoj U koja se može odrediti ili iterativno ili Gaussovom eliminacijom. Koristeći GaussSeidelov metod k-ta komponenta vektora U u (i+1)-iteraciji je: U (ki +1) = k −1 N  1  NG ( i +1) − Y E − Y U − Y 11kn U in  ; ∑ ∑ ∑ 12 kn n 11kn n  Y 11kk  n=1 n=1 n= k +1  i = 1, 2, ... (10) Posle izračunavanja vektora U, vektor struja generatora može da se izračuna iz jednačine (9): [ I = I1 I 2 L I NG ] T T = Y 12 U + Y 22 E . (11) Proračun stabilnosti 415 Aktivne snage na izlaznim krajevima mašina se onda dobijaju preko jednačine: { } Pen = Re E n I ∗n , n = 1, 2 ,..., N G . (12) Na osnovu gore navedenog može se dati algoritam za rešavanje problema tranzijentne stabilnosti. U algoritmu se naizmenično rešavaju jednačine njihanja za pojedine generatore i jednačine tokova snaga koje predstavaljaju mrežu. Za rešavanje jednačina njihanja korišćen je modifikovani Eulerov metod za numeričku integraciju, dok je za rešavanje jednačina tokova snaga korišćen Gauss-Seidelov iterativni postupak. Pre predstavljanja algoritma za rešavanje problema tranzijentne stabilnosti biće izložen Eulerov metod za numeričku integraciju. Kriterijum jednakih površina je primenljiv za jednomašinski sistem. Za višemašinske sisteme, međutim, potrebno je primeniti tehnike numeričke integracije za rešavanje jednačine njihanja za svaku mašinu. Jedna relativno jednostavna tehnika numeričke integracije je Eulerov metod. Metod će biti primenjen na diferencijalnu jednačinu prvog reda: dx = f (x ) , dt (13) i ilustrovan je na sl. 4.25b. Korak integracije je označen sa ∆t. Tangenta (nagib krive) na početku intervala inegracije je: dxt = f ( xt ) . dt (14) Nova vrednost argumentu xt + ∆t se računa na osnovu prethodne vrednosti argumenta xt i priraštaja ∆x, preko izraza:  dx  xt + ∆t = xt + ∆x = xt +  t ∆t .  dt  (15) x Tačna vrednost dxt dt Proračunata vrednost ∆x xt+∆x ∆t xt t t+∆t Sl. 4.25b Ilustracija Eulerove metode t Proračun stabilnosti 416 Kao što je pokazano na sl. 4.25b, Eulerov metod pretpostavlja da je tangenta, odnosno nagib krive konstantna u toku posmatranog intervala ∆t. Unapređenje metode može se dobiti proračunom tangente (nagiba krive) i na početku i na kraju intervala, a zatim nalaženjem njihove srednje vrednosti. Modifikovan Eulerov metod ilustrovan je na sl. 4.25c. Najpre se izračuna tangenta na početku intervala po jednačini (13), a zatim se ta vrednost koristi za proračun preliminarne vrednosti argumenta ~ x po jednačini:  dx  ~ x = xt +  t ∆t  dt  (16) x: Posle toga se računa tangenta u tački ~ d~ x = f (~ x ). dt (17) Sada se nova vrednost argumenta xt + ∆t računa na osnovu srednjeg nagiba: 1  dx d~ x xt + ∆t = xt +  t + ∆t . 2  dt dt  (18) d~ x dt Tačna vrednost x 1  dxt d~ x +   2  dt dt  dxt dt ~ x xt+∆x ∆t xt t t+∆t t Sl. 4.25c Ilustracija modifikovane Eulerove metode Gore izložena metoda može da se primeni za proračun ugaone brzine ω i ugla snage generatora δ, pri čemu su vrednosti na početku intervala označene sa ωt i δt. Za slučaj jednačina njihanja koje su oblika kao jednačina (13), tangente (nagibi krivih) na početku intervala su: dδ t = ωt − ωs ; dt dωt p at (r . j .) ⋅ ω s = , dt Ti ⋅ ωt (r . j .) (19) (20) gde je p at (r . j .) snaga akceleracije u relativnim jedinicama, računata za δ = δt i ω t (r . j .) = ω t / ω s . Proračun stabilnosti 417 Primenjujući jednačinu (16) preliminarne vrednosti nepoznatih su: ~  dδ  δ = δt +  t ∆t ;  dt  ~ = ω +  dωt ∆t . ω t  dt  (21) (22) ~ ~ Dalje, tangente (nagibi) za δ i ω su: ~ dδ ~ = ω − ωs ; dt ~ ~ p a (r . j .) ⋅ ω s dω = , ~ dt Ti ⋅ ω (r . j .) (23) (24) ~ ~ ~ p at (r . j.) snaga akceleracije u relativnim jedinicama, računata za δ = δ i ω gde je ~ t ( r . j . ) = ωt / ω s . Primenjujući jednačinu (18) dobijaju se nove vrednosti za δ i ω na kraju intervala: ~ 1  dδ t d δ  ∆t ; δ t + ∆t = δ t +  + 2  dt dt  ~ 1  dω dω ωt +∆t = ωt +  t + ∆t . 2  dt dt  (25) (26) Procedura data jednačinama (19)-(26) počinje u t = 0 sa specifikovanim početnim vrednostima δ0 i ω0 i nastavlja se iterativno do vremena t = T, gde je T definisano konačno vreme proračuna. Sada se može izložiti algoritam za rešavanje problema tranzijentne stabilnosti za višemašinski sistem. On se sastoji od 11 koraka: 1. Izvršiti proračun tokova snaga u cilju dobijanja napona čvorova Uk (k = 1, ..., N), struja generatora In (n = 1, 2, ..., NG) i električne snage generatora Pen (n = 1, 2, ..., NG). Postaviti mehaničku snagu generatora na vrednost Pen, tj. Pmn = Pen. Takođe vrednost ugaone brzine postaviti na vrednost sinhrone brzine tj. ωn=ωs. U ovom koraku potrebno je izračunati i admitanse potrošnje tj. zameniti potrošnju modelom sa konstantnim admitansama. ′ ⋅In, 2. Izračunati unutrašnju elektromotornu silu generatora E n = E n ∠δ n = U Gn + jX dn (n = 1, 2, ..., NG), gde su UGn i In veličine izračunate u koraku 1. Veličinu En držati na konstatnoj vrednosti. Ugao δn je početni ugao snage. 3. Izračunati matricu Y11, modifikovanjem YČV matrice iz proračuna tokova snaga uključivanjem admitansi potrošnje i recipročnih impedansi generatora. 4. Izračunati matricu Y22 prema jednačini (6) i matricu Y12 prema jednačini (7). 5. Inicijalizovati vreme, tj. staviti t = 0. Proračun stabilnosti 418 6. Ako postoji operacija uključenja, promene opterećenja, kratkog spoja ili promene podataka uraditi sledeće: - Za slučaj operacija uključenja ili promene opterećenja modifikovati matricu admitansi. - Za slučaj trofaznog kratkog spoja postaviti napon sabirnice pogođene kvarom na 0. 7. Koristeći vrednosti za elektromotorne sile generatora E n = En ∠δ n , (n = 1, 2, ..., NG), za vrednost δn u vremenu t, izračunati električnu snagu generatora (Pen) u vremenu t preko jednačina (10)-(12). 8. Koristeći vrednosti za električnu snagu generatora (Pen) koja je izračunata u prethodnoj ~ tački i vrednosti za δn i ωn u vremenu t, izračunati preliminarne vrednosti ugla snage δn i ugaone ~ u vremenu t + ∆t preko jednačina (19)-(22). brzine ω n ~ 9. Koristeći vrednosti za elektromotorne sile generatora E n = En ∠ δn , (n = 1, 2, ..., NG), ~ izračunati preliminarnu vrednost električne snage generatora ( Pen ) u vremenu t + ∆t iz jednačina (10)-(12). ~ ~ ~ izračunate u 10. Koristeći veličinu Pen izračunatu u koraku 9, a takođe i veličine δn i ω n koraku 8, izračunati konačne vrednosti ugla snage δn i ugaone brzine ωn u vremenu t + ∆t iz jednačina (23)-(26). 11. Postaviti vreme na vrednost t = t + ∆t. Zaustaviti algoritam ako je t ≥ T. U protivnom vratiti se na korak 6. Jedina modifikacija koja je u ovom zadatku urađena u odnosu na izloženi metod je ta, da su impedansama generatora pridružene i impedanse blok-transformatora preko kojih su generatori priključeni na mrežu. Ta modifikacija suštinski ne menja izloženi metod. Svi potrebni proračuni izvršeni su u programskom paketu MATLAB 6. Kao izlazni rezultati dobijaju se promene uglova snaga generatora u sistemu. Dijagrami promena uglova snaga generatora sa vremenom za slučaj kada se kvar isključuje za vreme 0,15 s, dati su na sl. 4.25d. Za slučaj kada se kvar isključuje za 0,2 s dijagrami promene uglova snage generatora sa vremenom dati su na sl. 4.25e. Sa dijagrama se može uočiti da su u prvom slučaju svi generatori stabilni, dok je u drugom slučaju generator u čvoru 5 nestabilan jer ugao snage ovog generatora raste u beskonačnost. Proračun stabilnosti 419 čvor 1 δ (°) čvor 5 δ (°) 0.5 100 0 0 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5 t (s) čvor 6 δ (°) -100 20 0 0 -10 -20 0 0.5 1 1.5 t (s) čvor 17 δ (°) 0.5 -40 1 1.5 t (s) 1.5 t (s) 1.5 t (s) čvor 15 δ (°) 10 -20 0 0 0.5 1 čvor 21 50 δ (°) 50 0 0 -50 0 0.5 1 1.5 t (s) -50 0 0.5 1 Sl. 4.25d Dijagrami promena uglova snaga generatora u vremenu za prvi slučaj (stabilan sistem) čvor 1 δ (°) čvor 5 δ (°) 0.5 2000 0 1000 -0.5 -1 0 0.5 1 1.5 t (s) čvor 6 δ (°) 0 0 0.5 1 1.5 t (s) 1.5 t (s) 1.5 t (s) čvor 15 50 δ (°) 20 0 0 -20 -40 0 0.5 1 1.5 t (s) čvor 17 δ (°) -50 0 0.5 1 čvor 21 50 δ (°) 20 0 0 -20 0 0.5 1 1.5 t (s) -50 0 0.5 1 Sl. 4.25e Dijagrami promena uglova snaga generatora u vremenu za drugi slučaj (nestabilan sistem)

4.Poglavlje

Products

Support

4.Poglavlje

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib