DINÁMICA
Introducción
En el capítulo anterior, abordamos la descripción del movimiento de un
cuerpo, describiéndolo en función de la posición (x), tiempo (t),
velocidad (v) y aceleración (a), de tal forma que mediante el análisis
decíamos hacia donde se mueve, como se mueve, y en un determinado
instante de tiempo predecir en que posición se encontraba y con que
velocidad se estaba moviendo. En tal descripción, no nos interesaba el
porque se mueve el cuerpo.
En el presente capítulo abordaremos las causas del movimiento de los
cuerpos, que es el objeto de estudio de la Dinámica.
Desde el punto de vista de la Mecánica Clásica que es el nivel que nos
atañe, al igual que en Cinemática, restringiremos nuestro estudio
considerando:
Cuerpos grandes como si fuesen partículas o corpúsculos (modelo
corpuscular) y que además se mueven con velocidades mucho muy
pequeñas en comparación con la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s ).
Las causas que originan el movimiento de los cuerpos se deben a la
interacción con otros cuerpos que conforman su medio ambiente,
entendiendo por medio ambiente todo aquello que lo rodea, como pueden
ser: planos horizontales, verticales, inclinados, lisos o ásperos; cuerdas;
poleas; la Tierra; el Sol, etc.
Introducción
Dentro del medio ambiente, restringiremos aún más nuestro problema,
considerando únicamente cuerpos cercanos ya que la interacción que
ejercen los cuerpos lejanos como el Sol o la Luna es insignificante y se
puede despreciar.
El problema a resolver es el siguiente:
Se nos proporciona un cuerpo del cual conocemos sus principales
características como pueden ser: su masa, peso, densidad, volumen,
composición, rugosidad, carga eléctrica, temperatura, etc.
Colocamos dicho cuerpo con una velocidad inicial en un medio ambiente
adecuado, del cual tenemos una descripción completa, es decir, si hay un
plano, si es liso o rugoso, si existen cuerdas, poleas, otros cuerpos, etc.
Las preguntas a contestar serían:
¿Por que se mueve?
¿Como se seguirá moviendo?
Dicho problema fue resuelto por Isaac Newton para una gran variedad
de medios ambientes y fue cuando formuló las Leyes de Movimiento y la
Ley de la Gravitación Universal.
Introducción
Las interacciones entre cuerpos se deben a cuatro tipo de fuerzas
llamadas fundamentales y son las que gobiernan el Universo:
 Fuerza Gravitacional.- Mantiene unidos a cuerpos grandes: Tierra personas; Tierra – Luna; Tierra – Sol).
 Fuerza Electromagnética.- Mantiene unidas a las moléculas y a los
átomos y en el interior de estos últimos, hace que los electrones
permanezcan cerca del núcleo.
 Fuerza Nuclear Fuerte.- Actúa a nivel nuclear y hace que las partículas
se mantengan juntas dentro del núcleo atómico.
 Fuerza Nuclear Débil.- Permite que algunos núcleos atómicos se
separen produciendo radioactividad.
De acuerdo a su magnitud pueden ser:
 Constantes
 Variables
Por su aplicación en sistemas o procesos pueden ser:
 Conservativas
 No conservativas o disipativas
Por su forma de actuar o interacción con otros cuerpos pueden ser:
 Por contacto
 A distancia
Introducción
En nuestro caso, abordaremos el concepto de interacción que es una
fuerza, la cual se define en función de la aceleración que experimenta un
cuerpo patrón cuando es colocado en un medio ambiente, estableciendo
una técnica para asociarle una masa m a cualquier cuerpo, con el fin de
entender que cuerpos de la misma naturaleza (por ejemplo madera),
experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en el mismo
medio ambiente.
El concepto de fuerza y masa se encuentran íntimamente relacionados,
asociamos a:
 la fuerza con jalar o empujar un objeto y,
 la masa como la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado
(movido).
Los tres conceptos: fuerza, masa y aceleración, se relacionan entre sí por
medio de:
 las Leyes de la Naturaleza o Leyes de Fuerzas y
 las Leyes de Movimiento o Leyes de Newton,
Las primeras son aquéllas mediante las cuales se rigen los fenómenos
naturales e involucran a las propiedades del cuerpo con su medio
ambiente.
Las segundas, son las que rigen su comportamiento en ese medio
ambiente.
Introducción ( Leyes de Fuerza )
Dentro de las Leyes de Fuerza se tienen dos clasificaciones:
 Interacción por contacto
 Interacción a distancia
Interacción por contacto



Fuerzas de fricción
 F = mN Por ejemplo un cuerpo al ser arrastrado por una
superficie áspera.
 F = mv Un cuerpo que se mueve en un medio que puede ser
aire o un líquido.
Fuerza elástica:
 F = kx Por ejemplo al comprimir o estirar un resorte.
Fuerza de sostén o soporte:
 F = P/A Por ejemplo cuando aplicamos una presión sobre un
objeto.
Introducción ( Leyes de Fuerza )
Interacción a distancia

Fuerza gravitacional (de atracción)
 F = may Por ejemplo el peso de un cuerpo (donde │ ay │ = g)


Fuerza Eléctrica (atracción o repulsión)


F = (GmM∕r2) r Por ejemplo la fuerza de atracción que
existe entre el Sol y la Tierra.
F = (kq1q2∕r2 ) r Por ejemplo la fuerza de repulsión que
existe entre dos electrones.
Fuerza magnética (atracción o repulsión)

F = q (v x B) Por ejemplo un electrón que se mueve en un
campo magnético.
Introducción (Leyes de Movimiento)
De las Leyes de Movimiento, tenemos los siguientes enunciados de las
Leyes de Newton:
Primera Ley.- Todo cuerpo permanecerá en su estado de reposo o de
movimiento rectilíneo uniforme, a menos que se vea obligado a cambiar
dicho estado por medio de un agente externo que le aplique una fuerza.
Segunda Ley.- La aceleración que experimenta un cuerpo es
directamente proporcional a la fuerza resultante e inversamente
proporcional su masa.
Tercera Ley.- A toda acción le corresponde una reacción de igual
magnitud pero en sentido contrario.
Introducción
En esta primera parte de la Dinámica de los cuerpos, consideraremos
únicamente casos ideales en los cuales:

No existe fricción,
adicionalmente, trabajaremos exclusivamente con

Fuerzas constantes,
es decir que en todo el movimiento del cuerpo se esta ejerciendo una
fuerza que no cambia de magnitud ni de dirección ni sentido.
En la segunda parte de la Dinámica se abordarán problemas que
involucran fricción.
Posteriormente (Capítulo de Trabajo y Energía) se abordarán fuerzas
tanto constantes como variables, así como conservativas y disipativas.
LEYES DE MOVIMIENTO
PRIMERA LEY DE NEWTON
En la época de Aristóteles, se creía firmemente que un cuerpo se
encontraba en su estado natural cuando estaba en reposo, que se
requería la presencia de un agente externo que lo impulsara y que
cambiara dicho estado. Cuando el agente externo dejaba de impulsarlo,
tendía nuevamente a su estado natural.
Dicha aseveración aún persiste en muchas personas en nuestros días, ya
que por experiencia propia, cuando arrojamos un objeto con una cierta
velocidad inicial sobre un plano, el cuerpo recorre una distancia y se
detiene.
Nuestro error así como el de Aristóteles lo aclara Galileo con el
siguiente experimento:
Él argumentaba que si arrojábamos un cuerpo sobre una superficie, este
tendería al reposo después de recorrer una distancia.
v0 ≠ 0
d = │ Δ x│
v=0
PRIMERA LEY DE NEWTON
Pero que si arrojamos el cuerpo con la misma velocidad inicial una vez
pulidas las superficies, el cuerpo recorrerá una mayor distancia.
v=0
v0 ≠ 0
d = │ Δ x│
Si además de pulir las superficies las lubricamos, entonces el cuerpo va
a recorrer una mayor distancia.
v=0
v0 ≠ 0
d = │ Δ x│
Si usamos cada vez superficies más tersas y mejor lubricadas, el
cuerpo recorrerá cada vez una mayor distancia.
v=0
v0 ≠ 0
d = │ Δ x│
Primera Ley de Newton
En el experimento anterior, se está eliminando la fricción, por lo que al
evitarla completamente, lo que tendremos será un cuerpo que se mueve
siempre con la misma velocidad con la que se arroja, es decir, será un
movimiento rectilíneo uniforme.
v0 ≠ 0
Δx
v = ctte.
Δx
v = ctte.
v = ctte.
Δx
El experimento, Galileo lo resumió en el siguiente enunciado:
“Se requiere la presencia de un agente externo para cambiar la
velocidad inicial de un cuerpo, pero no se requiere tal presencia para
que el cuerpo continúe moviéndose con la misma velocidad”.
Como se puede apreciar, aunque con otras palabras, la idea de Galileo se
encuentra expresada en el enunciado de la Primera Ley de Newton.
Primera Ley de Newton
Si nos adelantamos e interpretamos la Segunda Ley, apreciaremos que
si la fuerza neta sobre un cuerpo es cero, entonces no habrá
aceleración y por consiguiente el cuerpo estará en reposo o moviéndose
con velocidad constante.
Por tal razón, algunos autores atribuyen que la Primera Ley es un caso
especial de la Segunda Ley, sin embargo, la Primera Ley se atribuye a
marcos de referencia inerciales, ya que sobre un cuerpo puede estar
obrando una fuerza neta diferente de cero y la aceleración del cuerpo
es cero. Ejemplo de lo anterior, es cuando una persona parada en tierra
observa como se acelera un automóvil, un pasajero que vaya en el auto,
observará que todas las cosas en el interior del auto están en reposo
con respecto a él.
y
Visto desde Tierra, el sistema x´, y´ está
acelerado
y´
a=0
a
x´
Visto desde el interior del auto, el
sistema está en reposo
x
SEGUNDA LEY DE NEWTON
Como se mencionó en la introducción, el concepto de Fuerza lo
relacionamos con jalar o empujar un objeto, sin embargo en Física se
requiere una definición mas precisa y se define en función de la
aceleración que experimenta un cuerpo patrón en un medio ambiente
adecuado.
Por convención Internacional, el cuerpo patrón es un cilindro de Platino
e Iridio, al cual se le a asignado una masa de 1 kilogramo por lo que se le
denomina kilogramo patrón. Como medio ambiente, se elige una
superficie lisa (sin fricción) y un resorte de longitud L
Para determinar la Fuerza que el medio ambiente ejerce sobre el
cuerpo, se realiza el siguiente experimento:
se ata el kilogramo patrón al resorte, colocándolo sobre la superficie
horizontal y estirando el resorte una cierta longitud ΔL, de tal forma
que el cuerpo empiece a moverse (al iniciar el movimiento, el cuerpo que
estaba en reposo cambia de velocidad) acelerándose. Mientras
mantengamos elongado el resorte la misma longitud ΔL, la aceleración,
que podemos medir experimentalmente, será constante, su valor
numérico dependerá de que tanto incrementemos la longitud del
resorte.
Segunda Ley de Newton
Si para un cierto ΔL encontramos una aceleración de 1 m/s2, entonces
decimos que el medio ambiente está ejerciendo una Fuerza de 1 Newton
sobre el cuerpo patrón. Luego entonces, el Newton se define como:
1 Newton = 1 Kg m/s2
Si continuamos con el experimento pero incrementando al doble la
elongación del resorte, entonces la aceleración que encontraremos será
el doble de la anterior y en este caso decimos que el medio ambiente
está ejerciendo una fuerza de 2 Newton sobre el cuerpo.
a= 0
L
F1
L
L
ΔL
2 ΔL
F1
a1
L
2F1
2 a1
ΔL
2F1
L
2 ΔL
Segunda Ley de Newton
Una conclusión de nuestro experimento es que:
la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la aceleración que
experimenta el cuerpo.
Para determinar la constante de proporcionalidad, incrementamos
nuevamente la elongación del resorte aplicando una mayor fuerza, de tal
forma que al medir las aceleraciones encontramos los siguientes valores
para las respectivas elongaciones del resorte:
Fuerza
(Newton)
Elongación Aceleración
(cm)
(m/s2)
F1 = 1
ΔL
a1 = 1
F2 = 2
2 ΔL
2 a1 = 2
F3 = 3
3 ΔL
3 a1 = 3
F4 = 4
4 ΔL
4 a1 = 4
F5 = 5
5 ΔL
5 a1 = 5
F6 = 6
6 ΔL
6 a1 = 6
F7 = 7
7 ΔL
7 a1 = 7
Segunda Ley de Newton
Al graficar nuestros resultados de Fuerza contra aceleración, obtenemos:
F (Newton)
7
6
5
Pendiente = tan  =
6 Newton – 4 Newton =
6 kg m/s2 – 4 kg m/s2
6 m/s2 – 4 m/s2
6 m/s2 – 4 m/s2
Pendiente = tan  = 1 kg

4
3
2
1

1
2
3
4
5
6
7
a (m/s2)
Segunda Ley de Newton
Como se podrá observar en la gráfica, se obtiene una línea recta por lo
que la proporción que guarda la fuerza aplicada con respecto a la
aceleración del cuerpo patrón es una proporción lineal. Al calcular la
pendiente de la recta y aplicar la definición de fuerza, se tiene que las
unidades de la pendiente son unidades de masa, con lo cual se infiere
que la constante de proporcionalidad es la masa del cuerpo patrón.
Luego entonces, la Fuerza aplicada es directamente proporcional a la
aceleración del cuerpo, siendo la constante de proporcionalidad la masa
del mismo, lo cual expresado en terminología matemática es:
F=ma
Dicha ecuación es la segunda Ley de Newton.
Ya que la aceleración es un vector que es multiplicado por un escalar
como lo es la masa, se obtiene un nuevo vector que tiene la misma
dirección y sentido que el vector que le da origen. Consecuentemente, la
Fuerza es una cantidad vectorial, por lo que:
F=m a
Segunda Ley de Newton
Debemos de realizar nuevos experimentos para conocer los efectos que una
misma fuerza ejerce sobre otros cuerpos y comparar los resultados con el
efecto que se producen en el kilogramo patrón. Para ello, escojamos otros
cuerpos de masa desconocida y procedamos a realizar los experimentos.
a0
a0
Dl
l
m0
Dl
l
m0
F
F
a1 = a 0
2
Dl
m1
m1
l
Dl
l
Dl
F
l
a 2= 2 a 0
Dl
m2
F
m2
a 3= 4 a 0
l
m3
Dl
l
F
m3
Dl
Se aplica una fuerza F al kilogramo patrón
y experimentalmente determinamos la aceleración que experimenta, teniendo ésta un
cierto valor a.
A otro cuerpo de masa desconocida M, le
aplicamos la misma fuerza F, encontrando
que su aceleración es la mitad de la que -experimento el kilogramo patrón.
A un segundo cuerpo de masa desconocida
m2 le aplicamos la misma fuerza F, encontrando que su aceleración es el doble de la
F que experimentó el kilogramo patrón.
Por último, a un tercer cuerpo de masa desconocida m3 le aplicamos la misma fuerza F
encontrando que su aceleración es el cua--druple de la que experimentó el kilogramo -F patrón.
Segunda Ley de Newton
De lo anterior concluimos que: cuerpos de la misma naturaleza
experimentan diferentes aceleraciones cuando son colocados en un mismo
medio ambiente.
Así mismo, al tomar el cociente de la aceleración que experimenta el
cuerpo patrón y la aceleración que experimenta cualquiera de las masas
desconocidas, obtenemos:
aceleració n del cuerpo patrón
masa desconocid a

 ctte.
aceleració n de la masa desconocid a
masa patrón
o bien:
a0
m
m
m

 1  2  ctte.
a m0 m0 m0
conocida como relación de masas y aceleraciones, con la cual podemos
determinar la masa de cualquier cuerpo despejándola de la relación. Por
ejemplo:
m
(1kg)
2
a0 m0
1
s
m2 

 kg
m
a2
4
4 2
s
1
Segunda Ley de Newton
Cuando unimos varios cuerpos y aplicamos una fuerza, los cuerpos se
moverán en conjunto, experimentando la misma aceleración, lo cual es
equivalente a tener un solo cuerpo de masa
M = m1 + m2 + m3 + ...
m1
m2
P
m3
Equivale a:
M = m1 + m2 + m3
P
La aceleración se determina mediante:
a
P
P

M m1  m2  m3
donde P es la magnitud de la fuerza aplicada.
Segunda Ley de Newton
Sin embargo, sobre un cuerpo pueden actuar varias fuerzas como por
ejemplo:
F3
Como son vectores, debemos sumarlos
como vectores
y
F2
F4
F1
FR
F5
F2
F1
F3
F5
F4
donde FR es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre
o FUERZA RESULTANTE O NETA, lo que equivale a que sobre el
cuerpo estuviera actuando únicamente esta fuerza
FR
x
Segunda Ley de Newton
Para determinar analíticamente a la fuerza resultante, debemos descomponer
a las fuerzas individuales en sus componentes rectangulares sobre los ejes,
de tal forma que:
 F    F 

2
Fr  Fr  F 
Donde:
F
x
2
y
 F1x  F2 x  F3 x  F4 x  F5 x
x
F
y
 F1 y  F2 y  F3 y  F4 y  F5 y
Además, la segunda ley expresada en forma de componentes es:
F
 max
F
 may
x
y
En la cual la aceleración del cuerpo se determina mediante cálculos y en
algunos casos mediante la observación del cuerpo, como por ejemplo, cuando
se va deslizando sobre el piso (eje x), la aceleración en el eje vertical es cero
(ay = 0).
Segunda Ley de Newton
Al resolver problemas que involucren fuerzas, es conveniente realizar
Diagramas de Cuerpo Libre o aislado en los cuales consideramos al cuerpo
como si fuese un punto situado en el origen de coordenadas, colocando ahí
todas las fuerzas que actúan sobre él así como los respectivos ángulos que
dichas fuerzas forman con respecto a un determinado eje, esto último
para poder calcular las componentes de dichas fuerzas sobre los ejes.
Del ejemplo anterior, el Diagrama de Cuerpo Libre es:
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
F3
y+
F2
F4
F5
F1
F5
F4
F2

F1
x+
F3
Se elije un sistema de referencia con
su convención de signos y las fuerzas
se colocan en él y saliendo del origen
Segunda Ley de Newton
Para determinar las componentes, se procede como en el tema de vectores, teniendo
cuidado al seleccionar el ángulo, ya que en algunos problemas el ángulo se mide con
respecto al eje de las y´s, por lo que las funciones trigonométricas que relacionan a
las componentes con la magnitud del vector y el ángulo cambian.
Por tal motivo se recomienda siempre formar el triángulo rectángulo y a él aplicarle las
funciones sen , cos  y tan 
Aplicación de las funciones de acuerdo al ángulo
y+
y+
F2
F2
Fy
Fy

Fx
x+

Fx
Fx = │F2│cos 
Fx = │F2│sen 
Fy = │F2│sen 
Fy = │F2│cos 
x+
TERCERA LEY DE NEWTON
Todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, provienen de la interacción
mutua del mismo con el medio ambiente, debido a que es mutua, una
fuerza sola o aislada es una imposibilidad física, las fuerzas actúan por
parejas, una de ellas es la que ejerce el cuerpo sobre el medio ambiente y
la otra es la que el medio ambiente ejerce sobre el cuerpo (para efecto de
aplicaciones, ésta es la que nos interesa).
A una de ellas (cualquiera) se le llama Fuerza de Acción en tanto que a la
otra Fuerza de Reacción.
Ambas son de igual magnitud pero en sentido diferente, se encuentran
sobre la línea de acción que une a los dos cuerpos y lo importante de la
tercera ley es que actúan sobre cuerpos diferentes.
Si actuasen sobre el mismo cuerpo, al aplicar la segunda ley tendríamos
que ambas se anularían y consecuentemente no tendríamos movimiento
(aceleración).
Para ilustrar lo anterior, imaginemos que nos recargamos con la palma de
la mano sobre un muro. El muro nos detiene y evita que caigamos, esa es la
fuerza que el muro ejerce sobre nosotros, la otra fuerza, es la que
nosotros ejercemos sobre el muro, si éste no estuviese bien pegado, al
aplicarle una mayor fuerza podríamos derribarlo.
Tercera Ley de Newton
Otro ejemplo es cuando queremos cerrar una puerta de un golpe
utilizando nuestro pie descalzo. Nosotros ejercemos una fuerza sobre la
puerta y ésta hace que se cierre (acción); la puerta a su vez ejerce una
fuerza sobre nosotros, la cual experimentamos mediante el dolor del pie
(reacción).
Para que nos quede claro el concepto, analicemos el siguiente ejemplo
donde se tiene un bloque de masa m colocado sobre un piso horizontal
apoyado en ladrillos.
En éste ejemplo tenemos dos cuerpos; uno es el bloque y el otro el piso,
hagamos el análisis para ambos cuerpos utilizando diagramas de cuerpo
libre:
Tercera Ley de Newton
piso (peso del piso)
Sobre el bloque
bloque
Sobre el piso
y
y
N´
N
piso
x
ladrillo
N = Fuerza que el piso ejerce sobre el
bloque (evita que el bloque se hunda)
W = Fuerza que la Tierra ejerce sobre el
bloque, (lo que llamamos peso)
W
x
W´
W
N´ = Fuerza que los ladrillos
ejercen sobre el piso
W´ = Fuerza que la Tierra ejerce sobre
El Piso (peso del piso)
W = Fuerza que el bloque ejerce sobre
el Piso (peso del bloque)
Como el sistema está en reposo, las fuerzas que apuntan hacia arriba deben
de ser iguales a las que apuntan hacia abajo
N=W ;
N´ = W´ + W
Tercera Ley de Newton
Si deseamos encontrar por parejas a las fuerzas (acción y reacción),
debemos expresarlas de la siguiente forma:
Acción
Reacción
W = FTierra / bloque
Fbloque / Tierra
N = Fpiso / bloque
Fbloque / piso
W´ = FTierra / piso
Fpiso / Tierra
N´ = Fladrillos / piso
Fpiso / ladrillos
Si se observa bien, al encontrar una de las fuerzas, la otra surge
inmediatamente, lo único que tenemos que hacer es invertir los
subíndices. Por ejemplo: FT / b (acción), Fb / T (reacción).
Tercera Ley de Newton
Sobre la cuña
Sobre el hombre
N
P
f´
F
P*
N
P´
F
P´´
f´
W
N, W
P
P´
P´´
f
N
P*
f
Sobre la caja
W
W
Son las fuerzas Normales y Pesos de los cuerpos.
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la cuña.
Es la fuerza que la cuña ejerce sobre el hombre.
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la caja, y es la suma de P´ + f´
Es la fuerza que el hombre ejerce sobre la Tierra (fuerza de rozamiento), el hombre
empuja a la Tierra hacia atrás
Es la fuerza que la Tierra ejerce sobre el hombre, es la contraparte de la anterior y
es la que nos hace avanzar o caminar
Es la fuerza de rozamiento entre la caja y la Tierra, ésta fuerza puede ser menor que f
Es la fuerza que la caja ejerce sobre el hombre, es la contrparte de P´´
Tercera Ley de Newton
La fuerza normal recibe ese nombre debido a que es normal o
perpendicular a las superficies en contacto.
El peso siempre es vertical y dirigido hacia el centro de la Tierra.
La fuerza de rozamiento es paralela a las superficies en contacto y
siempre se oponen al movimiento (o bien son contrarias a la dirección del
movimiento).
Aplicaciones de las Leyes de Newton
Para resolver problemas aplicando las leyes de Newton, se recomienda:
Hacer el dibujo.









Hacer el diagrama de cuerpo libre o aislado, considerando al cuerpo
como si fuese un punto.
Colocar en el diagrama y saliendo del punto, todas las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo.
Elegir un sistema de referencia (plano cartesiano)
Colocar en el sistema la convención de signos.
Tomar como eje positivo el de la dirección de movimiento del
cuerpo.
Marcar los ángulos que forman las fuerzas con respecto a los ejes.
Descomponer a las fuerzas en sus componentes rectangulares.
Cuando se trabaje con planos inclinados, uno de los ejes debe de
ser paralelo al plano.
Aplicar la Segunda Ley de Newton, haciendo la sumatoria de las
componentes de las fuerzas sobre los ejes.
F
x
 max
F
y
 may
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Una persona empuja una caja de 50 kg sobre una superficie
horizontal lisa aplicando una fuerza de 30 Nt. Determine la aceleración
de la caja.
Diagrama de Cuerpo libre
y+
N
P
x+
W
La única fuerza que está actuando sobre el eje de las x es la Fuerza P
aplicada, además, tal fuerza es igual a la componente Px , por lo tanto:
F
x
 max
Px  max
despejando a la aceleración:
a
P 30 N
m

 0.6 2
m 50kg
s
Aplicaciones de las Leyes de Newton
En este tipo de problemas donde no existe fricción, no es necesario
realizar la suma de fuerzas en el eje de las y a menos que se solicite.
F
y
 may
Las fuerzas que actúan sobre el eje de las y son la Normal (positiva hacia
arriba) y el peso (negativo hacia abajo).
N  W  ma y
Como no hay movimiento en dicho eje, la aceleración aquí es cero (no hay
cambios de velocidad). Por lo tanto:
N W  0
m
)  490.5 N
2
s
ya que el peso es igual a la masa por la aceleración de la gravedad.
N  W  mg  50kg(9.81
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO.- Del ejemplo anterior, la persona le aplica a la caja la misma
fuerza pero haciendo un ángulo de 200 con respecto a la horizontal.
Determine la aceleración que tal fuerza le produce a la caja.
Diagrama de Cuerpo libre
y+
Py
P
N
200
W
Px
x+
donde las componentes rectangulares de P se determinan a partir del
triángulo que se forma:
Px  P cos  30 N (cos 200 )  30 N (0.9396)  28.19 N
Py  P sen  30 N (sen200 )  30 N (0.342)  10.26 N
Aplicando la suma de fuerzas en x:
Aplicaciones de las Leyes de Newton
F
x
 max
Px  ma x
ax 
Px 28.19 N
m

 0.5638 2
m
50kg
s
Como se puede observar de los dos resultados, la aceleración máxima
se obtiene cuando la fuerza aplicada es horizontal. A medida que
aumentamos el ángulo de aplicación de la fuerza, la aceleración disminuye.
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Del mismo problema pero cuando la caja es subida por un
plano inclinado 200 con respecto a la horizontal.
Diagrama de Cuerpo libre
y+
P
N
x+
Wx
Wy
200
200
W
Aplicaciones de las Leyes de Newton
Suma de fuerzas en x
F
x
Suma de fuerzas en y
 Fy  ma
 max
y
P  Wx  max
N  Wy  may
P  mg sen  max
N  mg cos   0
ax 
P  mgsen
m
30 N  50kg(9.81
ax 
N  mg cos 
m
) sen 20 0
2
s
50kg
ax 
30 N  167.76n
50kg
ax 
 137.76 N
50kg
a x  2.75
m
s2
(no hay mov. en este eje)
N  50kg(9  81
m
) cos 20 0
2
s
N  460.919 Nt
Aplicaciones de las Leyes de Newton
Como se obtiene un valor negativo para la aceleración, implica que la
dirección de movimiento que supusimos era incorrecta, es decir que el
cuerpo en lugar de subir baja. Lo anterior podemos reforzarlo si
analizamos las fuerzas (o componentes) que actúan en el eje x.
La componente del peso es:
Wx  mg sen  50kg(9.81
m
0
)(
sen
20
)  167.76 Nt
2
s
y la fuerza aplicada P tiene un valor de:
P = 30 Nt.
Como la componente del peso es mayor que la fuerza aplicada, la
dirección de la resultante de ambas tendrá esa misma dirección.
Lo cual nos lleva al siguiente ejemplo.
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Del mismo problema anterior, ¿ cuál debe de ser la magnitud
de la fuerza aplicada para poder sostener al cuerpo sobre el plano
inclinado?
En este caso, la caja estaría en equilibrio, es decir en reposo, por lo que
la aceleración
ax = 0
y
ay = 0
consecuentemente,
P - Wx = 0
P - mg sen  = 0
P = mg sen 
P = 167.76 Nt
EJEMPLO: Del mismo problema, si deseo subir la caja con velocidad
constante, ¿qué fuerza debo aplicar?
En este caso, el cuerpo se estaría moviendo pero con velocidad
constante, es decir que nuevamente la aceleración sería nula por lo que la
fuerza necesaria sería igual a la componente del peso.
P = Wx = 167.76 Nt
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Si deseo subir la caja
con una aceleración de 2 m/s2 ¿Qué
fuerza debo de aplicar?
Diagrama de Cuerpo libre
y+
P
N
Wx
x+
Wy
 Fx  max
F
x
0
P  Wx  max
P  max  Wx
P  50kg(2
m
m
)

50
kg
(
9
.
81
) sen 20 0
2
2
s
s
P  267.76 Nt
200
200
W
EJEMPLO: ¿Qué tan grande es esta
fuerza?
Para darnos una idea de que tan grande
es ésta fuerza, debemos de compararla
con algo que nos sea familiar, por
ejemplo, para levantar a una persona
que pesa 80 kg necesito aplicar una
fuerza de:
F = mg = 80 kg (9.81m/s2) = 784.1 Nt
Aplicaciones de las Leyes de Newton
EJEMPLO: Si el cuerpo parte del reposo y el plano tiene una longitud de
25 m. ¿Cuanto tiempo se invierte en subir la caja?, ¿Cuál será su
velocidad al llegar a la parte alta del plano?
Este ya es un problema de cinemática, por lo que tendremos que usar las
ecuaciones de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
x = x0 + v0 t + ½a t2
puesto que la posición inicial es cero en la base del plano y como parte del
reposo,
x = ½a t2
despejando el tiempo:
t
2x
2(25m)

 25s 2  5s
m
a
2 2
s
a velocidad se determina a partir de la ecuación:
v = v0 + at
v2
m
m
(
5
s
)

10
s
s2
Dinámica Segunda Parte (Fricción)
INTRODUCCIÓN
Una de las principales fuerzas que existen en la naturaleza son las
fuerzas de fricción o de rozamiento.
Si no existiesen tales fuerzas, nos sería imposible caminar, sostener o
agarrar objetos, en pocas palabras, sería un mundo inanimado ya que no
sería posible el movimiento.
Para darnos una idea de lo anterior, imagínese que se encuentra en el
centro de un lago congelado al cual se le vertió aceite lubricante en su
superficie, en esas condiciones, la superficie se puede considerar lisa y
sin rozamiento.
¿Considera Usted que puede salir de ahí?
La respuesta inmediata que le surge tal vez sería que no, ya que al
intentar caminar empezaría a resbalar o a patinar y se caería por no
tener apoyo. Si su respuesta es esa (que no), es que no lo meditó bien y
no ésta aplicando la tercera ley de Newton, lo único que tendría que
hacer es soplar.
Fricción estática ( fs )
Donde el subíndice s proviene de la palabra "statics" cuyo significado es
reposo o estático.
Las fuerzas de rozamiento se dan entre un par de superficies secas no
lubricadas que están en contacto mutuo, son paralelas a las superficies en
contacto y por lo general se oponen a la dirección de movimiento (no
siempre ocurre así).
Si dos cuerpos están en contacto pero no existe fuerza aplicada a uno de
ellos, no hay fuerza de rozamiento.
Las fuerzas de rozamiento aparecen en el momento en que se aplican
fuerzas, cuando un cuerpo está en reposo, la fuerza de rozamiento
empieza a incrementarse en la misma medida en que aumentamos la
fuerza aplicada.
Para ilustrar lo anterior, pongamos el siguiente ejemplo: Tenemos un
camión y queremos moverlo.
Viene una persona, le aplica una cierta fuerza y se observa que no puede
moverlo. Si aplicásemos la segunda ley de Newton, al aplicar una fuerza,
ésta debería de producir una aceleración, pero se observó que el camión
no se movió, por lo tanto inferimos que existe una fuerza de igual
magnitud y en sentido contrario a la fuerza aplicada, de tal forma que se
está anulando. Tal fuerza es la fuerza de rozamiento estática.
Fricción estática ( fs )
Viene otra persona a ayudarle a la primera, (supongamos que ambas
ejercen la misma fuerza) de tal forma que ambos empujan con una fuerza
doble que la anterior. Sin embargo, el camión sigue sin moverse. De ello
inferimos que al aumentar la fuerza aplicada, aumento también la fuerza
de fricción.
Viene una tercera persona y empuja también con la misma fuerza. El
camión sigue sin moverse. La fuerza de rozamiento vuelve a
incrementarse.
Viene una cuarta persona y se observa que el camión empieza a moverse,
primero muy lentamente y después más rápidamente.
En la transición en que el camión pasa del reposo al movimiento, la fuerza
de rozamiento adquiere su máximo valor. Dicho valor corresponde a la
mínima fuerza necesaria para iniciar el movimiento. Todo lo anterior se
ilustra en los siguientes dibujos:
Fricción estática ( fs )
Diagráma de
cuerpo libre
sistema
Aplicación de la
Segunda ley
y
N
fs
x
Fa
F=ma
S Fx = m a
(forma vectorial)
x
Fa- f = 0
(forma escalar)
(a x = 0 )
s
W
Observación del
sistema
no hay mov.
Fa= f s
y
N
no hay mov.
S Fx = m a x
f´s
F´a
F´f´ = 0
a s
x
(a x = 0 )
F´=
f´s
a
con F´a = 2 Fa
W
y
F´´f´´
s =0
a
f´´
s
no hay mov.
S Fx = m a x
N
F´´
a
(a x = 0 )
x
W
S Fx = m a x
y
F´´´f´´´
s =0
a
N
F´´´
a = f´´´
s
f´´´
s
F´´´
a
W
x
min.
max.
F´´=
f´´
s
a
con F´´
a = 3 Fa
Transicción entre reposo
y mov., la aceleración se
considera nula. En éste
momento, la fuerza de
rozamiento adquiere su
máximo valor, la cual
corresponde a la mínima
fuerza aplicada para iniciar el movimiento.
Fricción cinética ( fk )
Al igual que la fuerza de rozamiento estática, la de rozamiento cinética
también se da entre un par de superficies secas no lubricadas que se
encuentran en movimiento relativo una con respecto a la otra, su
dirección es opuesta a la dirección del movimiento.
En la última ilustración del dibujo anterior, con las cuatro personas
empujando el camión con la misma fuerza con la que se inició el
movimiento, éste empieza a moverse muy lentamente, pero si seguimos
ejerciendo esa misma fuerza, observamos que la velocidad empieza a
incrementarse paulatinamente, es decir, el camión empieza a acelerarse
de tal forma que después de unos segundos, prácticamente iremos
corriendo detrás de él.
La fuerza de rozamiento persiste, pero pasa a ser una de rozamiento
cinético fk (donde el subíndice k proviene de la palabra "kinematics" que
significa movimiento).
La experiencia nos indica que esta fuerza, es menor que la estática, ya
que el camión empieza a acelerarse con la misma fuerza ejercida al
comenzar el movimiento.
Fricción cinética ( fk )
S Fx = m a x
y
4 personas
N
F´´´fk = ma x
a
fk
F´´´fk
a
m
S Fx = m a´x
y
F´´f
a
a´x =
m
N
fk
F´´
a
k
= 0
S Fx = m a x
F´f = ma´´x
a k
N
y
a´´
x =
F´a
Como ax es diferente
de cero, implica que
= 0
F´´´>
fk
a
Con 3 personas, la fuerza
aplicada disminuye por lo
que la aceleración (a´ < a )
pero el camión sigue acelerado.
x
W
2 personas
ax=
x
F´´´
a
W
3 personas
con ax = 0
F´f
a
m
F´
= fk
a
x
k
=0
Con 2 personas, la fuerza aplicada
vuelve a disminuir, pero en este caso,
se iguala con la fuerza de rozamiento
por lo que no hay aceleración. Sin
embargo, como el camión está en
movimiento, se seguirá moviendo
pero con velocidad constante.
W
fk
N
1 persona
fk
En este caso,
F´a
W
x
Fa < f k
Fa - f k
<0
a´´´
=
x
m
Con una persona, la fuerza de
rozamiento será mayor que la
fuerza aplicada, por lo que el
camión comenzará a disminuir
la velocidad (frenarse) hasta
que quede en reposo.
Fricción cinética ( fk )
Si empezamos a disminuir la fuerza aplicada, llegará un momento en que
ésta se iguale con la fuerza de rozamiento cinético, en cuyo caso la
aceleración será igual a cero.
Pero como el camión ya tiene una velocidad en dicho instante de tiempo,
entonces se seguirá moviendo con esa misma velocidad (movimiento
rectilíneo uniforme).
De continuar disminuyendo la fuerza aplicada, entonces la de rozamiento
cinético será mayor, por lo que nuevamente el camión entrará a un
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (desacelerado),
disminuyendo su velocidad hasta quedar nuevamente en reposo.
De lo anterior se concluye que:
fs > fk
Coeficientes de Fricción
Veremos ahora de que dependen las fuerzas de rozamiento. Para ello,
supongamos que cargamos el camión y que nuevamente queremos
moverlo.
N
f
F
W
N
f
F
W
Las figuras anteriores nos indican que entre mayor peso tenga el camión,
necesitaremos una mayor fuerza para poder moverlo, eso nos indica que
la fuerza de rozamiento a crecido en forma proporcional al peso del
camión. Luego entonces, a grosso modo podemos afirmar que:
La fuerza de rozamiento es proporcional al peso del camión.
Coeficientes de Fricción
Sin embargo, como no hay movimiento en el eje vertical, el peso es igual a la
fuerza normal y consecuentemente, la fuerza de rozamiento está relacionada con
dicha fuerza normal.
Para ver esto, analicemos nuevamente el ejemplo anterior en los siguientes casos:
a) Camión en piso horizontal.
b) Camión en piso inclinado
i) de subida.
ii) de bajada.
Coeficientes de Fricción
N
f
F
W
N
F
f

Wx


Wy
W
N

f
W x
Wy

W
A l des c o mp on er el pes o en s u s
component es rect angul ar es, l a
c omp on en t e en el e je x s e s u ma
a la f u er z a n or ma l, p or l o qu e l a
F u er za ap lic ad a t en dr á qu e s er
may or . C omo en e l ej e v er t ic a l
s igu e s in h ab er m ov i m ien t o, la
c om p on en t e v er t ic a l es igu a l a
f u er za n or m al , la c u al d is m in u y e
N u ev amen te la c o mp on en te v er tic al
de l p es o es igu a l a l a F u er z a n or m al ,
per o la compon ent e del pes o en el
ej e h or i z on t a l l e ay u d a a la f u er z a
ap li c a d a , p or lo qu e s e r e qu ie r e d e
una f uerza apl ic ada men or para
F mov er el camión .
Coeficientes de Fricción
Por lo anterior, la fuerza de rozamiento, mas que proporcional al peso,
decimos que es proporcional a la Fuerza normal.
La constante de proporcionalidad depende de las superficies que estén
en contacto. Así por ejemplo, si el camión se encuentra en una superficie
horizontal, no es lo mismo que tal superficie sea de concreto, de tierra
que de arena. Se requiere de una menor fuerza cuando se tienen como
superficies en contacto concreto-hule que cuando se tiene tierra-hule y
una fuerza aún mayor cuando las superficies son arena-hule.
Consecuentemente, la fuerza de rozamiento depende del par de
superficies en contacto, tal dependencia es lo que denominamos
coeficientes de rozamiento. Cuando está en reposo es estático ( ms ) y en
movimiento, cinético ( mk ).
Generalmente, el coeficiente de rozamiento estático es mayor que el
cinético.
ms > mk
Coeficientes de Fricción
Existen dos tipos de rozamiento, el que hemos analizado es el de
rodamiento, el otro es el de deslizamiento, siendo menor el de
rodamiento que el de deslizamiento. Por ejemplo, no es lo mismo mover el
camión sin freno (rodamiento) que cuando están puestos
(deslizamiento).Adicionalmente a que las fuerzas de rozamiento son
proporcionales a la fuerza normal y a las superficies en contacto, dichas
fuerzas son aproximadamente independientes del área de contacto. Para
ello analicemos los siguientes dibujos:
Coeficientes de Fricción
El bloque tiene el mismo peso, independientemente de como se coloque, si
de lado, de canto o parado, las tres áreas en las que se apoya son
diferentes, el área A1 es mayor que el área A2, y ésta a su vez es mayor
que el área A3.
La Fuerza aplicada para moverlo es la misma, debido a que al apoyarse el
bloque en un área mayor, la presión que éste ejerce sobre la superficie
se reduce, y al apoyarse en un área menor, la presión que ejerce sobre la
superficie aumenta.
Esto hace que el área efectiva de apoyo sea la misma
independientemente de como se coloque el bloque, ya que al estar
apoyado en una mayor área, las irregularidades (picos) de las superficies
no son alteradas, en tanto que al apoyarse en un área menor, si se
afectan las irregularidades, quebrándose y aumentando el área efectiva
de apoyo.
Lo anterior se explica mejor en los siguientes dibujos a nivel
microscópico.
Coeficientes de Fricción
puntos de apoyo
mayor área distribuída en mayor
puntos de apoyo, haciendo una
área efectiva de apoyo A´
menor área distribuída en menor
puntos de apoyo (pero con mayor
área) haciendo una área efectiva
de apoyo A¨
Coeficientes de Fricción
Resumiendo, las fuerzas de fricción son directamente proporcionales a la
fuerza normal, donde la constante de proporcionalidad son los
coeficientes de rozamiento. Lo anterior expresado en forma de ecuación
matemática se reduce a:
fuerza de rozamiento estática:
fs ≤ ms
fuerza de rozamiento cinética:
fk = mk
Donde el signo menor (< ) en la de rozamiento estático indica que esta
fuerza crece a medida que aumentamos la fuerza aplicada y el signo igual
( = ) es cuando la fuerza de rozamiento estática adquiere su máximo
valor, siendo éste justo en el instante en que se va a iniciar el
movimiento.
Aplicación de Fricción
EJEMPLO: Determinar el coeficiente de rozamiento estático entre un
tablón y un ladrillo.
Para determinar el coeficiente, se realiza el siguiente experimento: Uno
de los extremos del tablón se apoya en un cuerpo fijo para evitar que
resbale. Con el ladrillo colocado en el otro extremo, gradualmente se va
levantando el tablón y se deja de levantar cuando se observa que el
ladrillo empieza a deslizarse.
Analicemos el experimento mediante los siguientes dibujos.
N
El sistema se encuentra en reposo
Las únicas Fuerzas que actúan sobre
el ladrillo son la Fuerza normal y el
w
peso, las cuales por la segunda ley de
Newton son iguales. Aún no se tiene
la fuerza de rozamiento estática.
Aplicación de Fricción
Al levantar el tablón, hacemos un diagrama de cuerpo libre, donde el eje
horizontal se toma paralelo al tablón, de esta forma, la fuerza normal
sigue apareciendo en el eje vertical en tanto que el peso (que es vertical
y hacia abajo) forma un ángulo de 5 grados con la "vertical", de tal forma
que en este sistema de referencia tiene una componente en el eje
vertical y otra en el eje horizontal. Como no hay desplazamiento en
ninguno de los ejes (de la observación vemos que el bloque no se mueve),
al aplicar la segunda ley de Newton, tenemos que la fuerza normal se
equilibra con la componente vertical del peso ( N = Wy ). En el caso de la
componente horizontal, ésta es la que debería hacer que el ladrillos se
deslizara sobre el tablón, pero como no lo hace, inferimos que existe una
fuerza que se opone al movimiento, siendo ésta la fuerza de rozamiento
estática ( fs = Wx = mg sen  )
El tablón se levanta 5 grados
fs
Aplicación de Fricción
El tablón se levanta 10 grados

Como sigue sin haber movimiento, nuevamente la fuerza normal se
equilibra con la componente vertical del peso. La componente
horizontal del peso aumenta y consecuentemente la fuerza de
rozamiento estática.
Aplicación de Fricción
El tablón se levanta 15 grados
Se repiten las mismas aseveraciones anteriores, debido a que el ladrillo
aún permanece en reposo. Hagámoslo ahora mediante ecuaciones.
F
x
F
 max
Wx - fs = m ax
y
N - Wy = may
(Como no hay movimiento
Wx - fs = 0
Wx = fs
mg sen  = fs
 may
ax = 0 ; ay = 0 )
N - Wy = 0
N = Wy
N = mg cos 
Aplicación de Fricción
Obsérvese que la fuerza de rozamiento estática depende del peso del
cuerpo (que es constante) y del ángulo de inclinación del tablón, el cual
estamos variando. Lo mismo sucede con la fuerza normal. la cual
disminuye a medida que aumentamos el ángulo (1 < cos  < 0; cos 00 = 1 ,
cos 900 = 0).
Ahora bien, existirá un ángulo al cual denominamos s bajo el cual el
ladrillo empieza a moverse. Cuando observemos esto, dejamos de levantar
el tablón y con un transportador medimos el ángulo.
El tablón se levanta  s grados
se inicia el movimiento
N
fs
  s
W
  s
Aplicación de Fricción
El tablón se levanta  s grados
se inicia el movimiento
N
fs
  s
F
x
 max
Wx - fs = max
F
W
  s
 may
N - Wy = may
y
(Como apenas se va a inciar el mov. ax = 0 ; ay = 0 )
Wx - fs = 0
Wx = fs
mg sens = fs
Pero
Fs = msN
N - Wy = 0
N = Wy
N = mg cos s
(adquiere el máximo justo cuando se inicia el movimiento)
Aplicación de Fricción
sustituyendo:
mg sen s = msN
sustituyendo nuevamente:
mg sen s = msmg cos s
despejando:
ms = tan s
Por lo que para medir el coeficiente de rozamiento estático entre
cualquier par de superficies, basta con colocar una encima de la otra y
levantar gradualmente la inferior, deteniéndonos y midiendo el ángulo
bajo el cual se inicia el movimiento. A éste ángulo le sacamos la tangente
y listo. Ya tenemos el coeficiente de rozamiento estático.
Para el caso del coeficiente de rozamiento cinético, se procede de igual
manera, pero resulta problemático debido a que debemos medir el ángulo
(  =  k ) bajo el cual el cuerpo superior desliza sobre el inferior con
velocidad constante.
Todos los problemas con rozamiento, se resuelven de igual manera que los
problemas sin rozamiento vistos en las aplicaciones de las leyes de
Newton, la única diferencia es que debemos de incorporar una nueva
fuerza (fuerza de rozamiento estática o cinética según sea el caso).
Aplicación de Fricción
EJEMPLO: Determine la fuerza necesaria que debe de ejercer una
persona para hacer que un bloque de 40 kg empiece a moverse hacia
arriba sobre un plano inclinado 300 con respecto a la horizontal, si el
coeficiente de rozamiento estático entre ambas superficies es de 0.60.
Una vez iniciado el movimiento, con esa misma fuerza aplicada, determine
la aceleración del bloque si el coeficiente de rozamiento cinético es de
0.40. Y por último, determine la fuerza necesaria para que el bloque se
deslice hacia arriba con velocidad constante.
N
P
Wx
Wy
fs
 
 
 
W
Aplicación de Fricción
Para que empiece a moverse:
De la aplicación de la segunda ley al diagrama de cuerpo libre tenemos
que:
S Fx = max
P - fs - Wx = 0 (el cuerpo está en reposo, ax = 0 )
P = fs + Wx
P = msN + mg sen 
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza
normal.
S Fy = may
N - Wy = 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay= 0 )
N = mg cos 
Aplicación de Fricción
sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas
en el eje "horizontal" (eje x)
P = ms mg cos  + mg sen 
P = mg ( ms cos  + sen  )
sustituyendo valores
P = ( 40kg )( 9.81m/s2 )( 0.6 cos 300 + sen 300 )
P = 400.09 Nt
El cuerpo ya se está moviendo y el coeficiente pasa a ser uno de
rozamiento cinético, con esa misma fuerza aplicada de 400.09 N el
cuerpo se acelera, la aceleración es:
S Fx = max
P - fk - Wx = max
P  f k  Wx
a
m
a
P  m k N  mgsen
m
Aplicación de Fricción
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza
normal.
S Fy = may
N - Wy = 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay= 0 )
N = mg cos 
sustituyendo en la expresión de la aceleración encontrada en la sumatoria
de fuerzas en el eje "horizontal" (eje x)
a
P  m k mg cos  mgsen
m
sustituyendo valores
a = 1.69 m/s2
Ahora determinaremos la fuerza necesaria para que el cuerpo se siga
moviendo hacia arriba con velocidad constante
S Fx = max
P - fk - Wx = 0
(el cuerpo está moviéndose con velocidad constante, ax = 0 )
P = fk + Wx
Aplicación de Fricción
P = mk N + mg sen 
De la suma de fuerzas en el eje vertical, determinamos a la fuerza
normal.
SFy = may
N - Wy = 0
(el cuerpo en ningún momento se mueve en el eje vertical ay = 0 )
N = mg cos 
sustituyendo en la expresión de P encontrada en la sumatoria de fuerzas
en el eje "horizontal" (eje x)
P = mk N + mg sen 
P = mk mg cos  + mg sen 
P = mg ( mk cos  + sen  )
sustituyendo valores
P = ( 40 kg )( 9.81m/s2 )( 0.4 cos 300 + sen 300 )
P = 332.13 N.