Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
Matemáticas Avanzadas para Ingenierı́a:
Transformada de Fourier
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
Departamento de Matemáticas
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
MA3002
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Transformada de Fourier
Dada una función f (x) una función, no necesariamente
periódica, tal que
Z ∞
|f (x)| dx < ∞
−∞
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
entonces la transformada de Fourier de f (x) se define como
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
fˆ(ω) = F (ω) = F {f (x)} =
Z
∞
f (x) e −ω i x dx
−∞
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
La transformada inversa de Fourier de F (ω) se define como
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
f (x) = F
−1
1
{F (ω)} =
2π
Z
∞
F (ω) e +i x ω dω
−∞
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
En el contexto de las señales se usa el sı́mbolo j en lugar de i y
se usa como variable independiente t.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Código en la TI para la transformada de
Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
No olvide asignar adecuadamente la variable asumes antes de
ejecutar este programa. Puede inicializarla haciendo:
true → asumes
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
Ejemplo 1
Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

 0 para −∞ < x < − 12 τ
Pτ (x) = f (x) =
1 para − 21 τ < x < 12 τ

1
0 para
2τ < x < ∞
TI:F {f (x)}
1
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
−τ /2
τ /2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
Ejemplo 1
Obtenga la transformada de Fourier de un pulso rectangular:

 0 para −∞ < x < − 12 τ
Pτ (x) = f (x) =
1 para − 21 τ < x < 12 τ

1
0 para
2τ < x < ∞
TI:F {f (x)}
1
F {Pτ (x)}
Linealidad
−τ /2
Ejemplo 2
τ /2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
F {f (x)} =
R∞
R−∞
τ /2
f (x) e −ω i x dx
x=τ /2
= −τ /2 e −ω i x dx = − ω1 i e −ω i x x=−τ /2
= − ω1 i e −ω i τ /2 − e ω i τ /2
= − ω1 i [(cos(ω τ /2) − sen(ω τ /2) i) −
(cos(ω τ /2) + sen(ω τ /2) i)]
sen( 12 τ ω)
= 2
ω
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Solución del ejemplo 1 en la TI
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
Tabla
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
f (x)
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Pτ (x) 2
fˆ(ω)
sen( 12 τ ω)
ω
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Propiedad de Linealidad
Si f (x) y g (x) admiten transformada de Fourier, entonces
también c1 f (x) + c2 g (x) la admite y
F {c1 f (x) + c2 g (x)} = c1 F {f (x)} + c2 F {g (x)}
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
n
o
F −1 c1 fˆ(ω) + c2 ĝ (ω) = c1 f (x) + c2 g (x)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
Tabla
TI:F {f (x)}
f (x)
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
1
2
fˆ(ω)
sen( 12 τ ω)
Pτ (x)
2
ω
sen(a ω)
P2 a (x)
ω
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 2
Obtenga la transformada de Fourier de un
altura b:

 0 para −∞ < x
f (x) =
b para − 12 τ < x

1
0 para
2τ < x
pulso rectangular de
< − 21 τ
< 21 τ
< ∞
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 2
Obtenga la transformada de Fourier de un
altura b:

 0 para −∞ < x
f (x) =
b para − 12 τ < x

1
0 para
2τ < x
pulso rectangular de
< − 21 τ
< 21 τ
< ∞
F {f (x)} = F {b Pτ (x)}
= b F {Pτ (x)}
sen( 21 τ ω)
= b2
ω
sen( 12 τ ω)
= 2b
ω
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 3
Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de
Dirac):
Pensamos que la función δ(x)
es el lı́mite de funciones pulso
de ancho τ y con altura 1/τ ,
de manera que el área de los
rectángulos formados sea 1.
1
Pτ (x)
τ →0 τ
δ(x) = lim
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 3
Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de
Dirac):
Pensamos que la función δ(x)
es el lı́mite de funciones pulso
de ancho τ y con altura 1/τ ,
de manera que el área de los
rectángulos formados sea 1.
1
Pτ (x)
τ →0 τ
δ(x) = lim
1/4
−2
2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 3
Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de
Dirac):
Pensamos que la función δ(x)
es el lı́mite de funciones pulso
de ancho τ y con altura 1/τ ,
de manera que el área de los
rectángulos formados sea 1.
1
Pτ (x)
τ →0 τ
δ(x) = lim
1/2
−1
1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 3
Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de
Dirac):
Pensamos que la función δ(x)
es el lı́mite de funciones pulso
de ancho τ y con altura 1/τ ,
de manera que el área de los
rectángulos formados sea 1.
1
Pτ (x)
τ →0 τ
1
δ(x) = lim
−1/2
1/2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 3
Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de
Dirac):
Pensamos que la función δ(x)
es el lı́mite de funciones pulso
de ancho τ y con altura 1/τ ,
de manera que el área de los
rectángulos formados sea 1.
2
1
Pτ (x)
τ →0 τ
δ(x) = lim
−1/4
1/4
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 3
Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de
Dirac):
Pensamos que la función δ(x)
es el lı́mite de funciones pulso
de ancho τ y con altura 1/τ ,
de manera que el área de los
rectángulos formados sea 1.
4
1
Pτ (x)
τ →0 τ
δ(x) = lim
−1/8
1/8
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 3
Obtenga la transformada de Fourier del impulso δ(x) (delta de
Dirac):
Pensamos que la función δ(x)
es el lı́mite de funciones pulso
de ancho τ y con altura 1/τ ,
de manera que el área de los
rectángulos formados sea 1.
1
Pτ (x)
τ →0 τ
δ(x) = lim
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
F {δ(x)} = limτ →0 F
= limτ →0
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
= limτ →0
1
1
τ
τ
2
Pτ (x) sen( 12 τ ω)
sen( 12 τ ω)
1
2
τω
ω
=1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Solución del ejemplo 3 en la TI
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Tabla
F {f (x)}
f (x)
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
1
2
fˆ(ω)
sen( 12 τ ω)
Pτ (x)
2
ω
sen(a ω)
P2 a (x)
ω
δ(x)
1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Ejemplo 4
Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponencial
lateral f (x) = u(x) e −a x :
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
f (x)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Ejemplo 4
Obtenga la transformada de Fourier de un pulso exponencial
lateral f (x) = u(x) e −a x :
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
f (x)
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
fˆ(ω) =
=
Ejemplo 5
Traslación x
=
Ejemplo 6
Escalamiento
=
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
∞
Z0 ∞
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Z
=
=
e −a x e −ω x i dx
e −(a+ω i) x dx
0
1 h −(a+ω i) x ix=N
e
lim −
N→∞
a + ωi
x=0
1
−(a+ω i) N
−
lim e
−1
a + ω i N→∞ 1
−
lim e −a N (cos(ω N) − sen(ω N) i) − 1
a + ω i N→∞
1
a
ω
a+ω i = a2 +ω 2 − a2 +ω 2 i
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Solución del ejemplo 4 en la TI
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Tabla
F {f (x)}
f (x)
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Pτ (x)
P2 a (x)
δ(x)
u(x) e −a x
2
fˆ(ω)
sen( 12 τ ω)
ω
sen(a ω)
1
2
ω
1
1
a+ω i
=
a
a2 +ω 2
−
ω
a2 +ω 2
i
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo 5
Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = e −a |x| :
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
f (x)
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
f (x)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo 5
Obtenga la transformada de Fourier de f (x) = e −a |x| :
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
f (x)
F {Pτ (x)}
Linealidad
f (x)
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
F (ω) = fˆ(ω) =
2a
a2 + ω 2
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Solución del ejemplo 5 en la TI
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Tabla
F {f (x)}
f (x)
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Pτ (x)
P2 a (x)
δ(x)
u(x) e −a x
e −a |x|
2
fˆ(ω)
sen( 12 τ ω)
ω
sen(a ω)
1
2
ω
1
1
a+ω i
=
a
a2 +ω 2
2a
a2 +ω 2
−
ω
a2 +ω 2
i
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Traslación en el primer eje
Si f (x) admite transformada de Fourier, entonces para
cualquier xo también f (x − xo ) la admite y
F {f (x − xo )} = e −i ω xo F {f (x)} = e −i ω xo fˆ(ω)
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
n
o
F −1 e −i ω xo fˆ(ω) = f (x − xo )
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo 6
Calcule la transformada de Fourier de g (x):
0 para t < 3 y t > 7
g (x) =
6 para 3 ≤ x < 7
F {f (x)}
6
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
5
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
3
7
4
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Ejemplo 6
Calcule la transformada de Fourier de g (x):
0 para t < 3 y t > 7
g (x) =
6 para 3 ≤ x < 7
F {f (x)}
6
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
5
Ejemplo 2
F {δ(x)}
3
7
4
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Observamos que g (x) = 6 P4 (x − 5), y por tanto
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
−i ω 5 F {P (x)}
ĝ (ω) = F {6 P4 (x − 5)} = 6 e 4
1
sen
(
4
ω)
2
= 6 e −i ω 5
2
ω
= 12 e −5 ω i · sen(2 ω)
ω
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo 7
Calcule la transformada inversa de Fourier de g (x):
G (ω) =
e2 i ω
5 + iω
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
Ejemplo 7
Calcule la transformada inversa de Fourier de g (x):
G (ω) =
e2 i ω
5 + iω
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
F −1 {G (ω)} = F −1
n
e2 i ω
5+i ω
o
n
o
= F −1 e −i ω (−2) · 5+i1 ω
n
o
= F −1 5+i1 ω
x=x−(−2)
= u(x) e −5 x x=x+2
= u(x + 2) e −5 (x+2)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
Escalamiento en el primer eje
Si f (x) admite transformada de Fourier, entonces para
cualquier a 6= 0 también f (a x) la admite y
F {f (a x)} =
F {Pτ (x)}
1 ˆ ω 1
F {f (x)}ω=ω/a =
f
|a|
|a|
a
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
F
−1
n ω o
fˆ
= |a| f (a x)
a
Otra propiedad: Simetrı́a
n
o
F fˆ(x) = 2 π f (−ω)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
Ejemplo 8
Calcule las transformadas de Fourier de:
1 − |x| para − 1 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0
otro caso
1 − |7 x| para − 1/7 ≤ x ≤ 1/7
g (x) =
0
otro caso
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
1
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
−1 −1/7
1/7
1
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
Ejemplo 8
Calcule las transformadas de Fourier de:
1 − |x| para − 1 ≤ x ≤ 1
f (x) =
0
otro caso
1 − |7 x| para − 1/7 ≤ x ≤ 1/7
g (x) =
0
otro caso
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
1
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
−1 −1/7
1/7
1
Ejemplo 4
Ejemplo 5
De la definición de la transformada de Fourier:
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
fˆ(ω) =
ĝ (ω) =
2−2 cos(ω)
ω2
14−14 cos( 71 ω )
ω2
observamos que como g (x) = f (7 x), se cumple
ĝ (ω) = 17 fˆ( 17 ω).
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Traslación en frecuencia
Si f (x) admite transformada de Fourier, entonces para
cualquier ωo también e i ωo x f (x) la admite y
n
o
F e i ωo x f (x) = F {f (x)}ω=ω−ωo = fˆ(ω − ωo )
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Su versión la la transformada de Fourier inversa queda:
n
o
F −1 fˆ(ω − ωo ) = e i ωo x f (x)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
Diferenciación respecto a la primera variable
Sea n un entero positivo. Suponga que
• f (n−1) (x) es continua,
F {f (x)}
• f (n) (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito,
TI:F {f (x)}
• f (x)n−1 es absolutamente convergente en (−∞, +∞);
F {Pτ (x)}
Linealidad
• y que
lim f (k) (x) = 0 = lim f (k) (x)
Ejemplo 2
x→−∞
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
x→+∞
para k = 0, 1, . . . , n − 1. Entonces
entonces
n
o
F f (n) (x) = (i ω)n fˆ(ω)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial
y 0 (x) − a y (x) = u(x) e −b x
suponga que a y b con reales positivos (a 6= b).
Tomando la transformada de Fourier en ambos tenemos:
F {y 0 (x) − a y (x)} = F u(x) e −b x
F {y 0 (x)} − a F {y (x)} = F u(x) e −b x
1
i ω fˆ(ω) − a fˆ(ω) = b+ω
i
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Despejando ŷ (ω):
Ejemplo 5
fˆ(ω) =
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
donde
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
A
B
1
=
+
(−a + ω i) (b + ω i)
−a + ω i b + ω i
A=
1
1
1
1
=
yB=
=−
b + (−a i) i
b+a
−a + (b i) i
a+b
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
De
fˆ(ω) =
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
1
1
1
1
·
−
(b + a) (−a + ω i) (a + b) (b + ω i)
deducimos que
n
o
f (x) = F −1 fˆ(ω) =
1
1
u(x) e a x −
u(x) e −b x
(b + a)
(a + b)
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejercicio: trate el caso a = b.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Diferenciación respecto a la variable
frecuencia
Sea n un entero positivo. Suponga que
• f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito
• x n f (x) es absolutamente convergente en (−∞, +∞);
entonces
F {x n f (x)} = in
dn ˆ
f (ω)
dω n
Esta es una consecuencia de la Regla de Leibniz para la
diferenciación bajo la integral:
Z
Z d
∂
f (x, λ) dx =
f (x, λ) dx
dλ
∂λ
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Ejemplo
Calcule
F x u(x) e −a x
n
o
F x 2 e −a |x|
suponga que a es real positivo.
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Diferenciación respecto a la variable
frecuencia
Suponga que
Departamento
de
Matemáticas
• f (x) es continua a pedazos en cada intervalo finito
F {f (x)}
• fˆ(ω = 0) = 0
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
• f (x) es absolutamente convergente en (−∞, +∞);
entonces
F
Linealidad
Ejemplo 2
Z
x
f (y ) dy
−∞
=
1 ˆ
f (ω)
iω
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Recuerde que si
Z
f (y ) dy
−∞
Traslación x
Ejemplo 6
x
g (x) =
entonces g 0 (x) = f (x). También observe que
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
lim g (x) = 0 = lim g (x)
x→−∞
x→∞
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
Convolución
Sean f (x) y g (x) funciones definidas en la recta real que
cumplen:
Z b
Z b
1
f (x) dx y
g (x) dx existen para todo intervalo [a, b].
a
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
2
Para todo x
a
Z
∞
|f (y ) g (x − y )| dy
Linealidad
−∞
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
converge.
En este caso la convolución f ∗ g de f (x) con g (x) se define
como la función
Z ∞
f (y ) g (x − y ) dy
(f ∗ g )(x) =
−∞
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Ejemplos
Observando que para señales f (x) y g (x) que son cero para
x < 0:
Z ∞
Z x
(f ∗ g )(x) =
f (y ) g (x − y ) dy =
f (y ) g (x − y ) dx
−∞
0
Realice algunas convoluciones de la liga del MIT:
Linealidad
Ejemplo 2
http://math.mit.edu/mathlets/mathlets/
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Para señales que en el par no son cero calcule
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
e −a |x| ∗ u(x)
e −a |x| ∗ e −b |x|
e −a |x| ∗ sen(b x)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Convolución en el tiempo
Sean f (x) y g (x) funciones que admiten transformada de
Fourier y sean fˆ(ω) y ĝ (ω) sus transformadas de Fourier.
Entonces
F {(f ∗ g )(x)} = fˆ(ω) · ĝ (ω)
Es decir, la transformada de la convolución entre dos funciones
es el producto de las transformadas de ambas funciones. Esta
fórmula en su versión para la transformada inversa queda:
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
n
o
F −1 fˆ(ω) · ĝ (ω) = (f ∗ g )(x)
Matemáticas
Avanzadas
para
Ingenierı́a:
Transformada
de Fourier
Departamento
de
Matemáticas
F {f (x)}
TI:F {f (x)}
F {Pτ (x)}
Linealidad
Ejemplo 2
F {δ(x)}
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Traslación x
Ejemplo 6
Escalamiento
Ejemplo 8
Traslación ω
Derivación x
Derivación ω
Calcule:
F
−1
1
2
(4 + ω ) (9 + ω 2 )