SLOVENSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA V BRATISLAVE
STAVEBNÁ FAKULTA
KGZA
DRUŽICOVÁ GEODÉZIA
Zadanie č.3 – Kombinované spracovanie družicových
a terestrických meraní
ŠK. ROK
KRÚŽOK
SEMESTER
VYPRACOVAL
2020/2021
I. 2.GaK - 1
ZIMNÝ
Bc. Jaroslav Bodnárik
Slovenská technická univerzita v Bratislave
Stavebná fakulta
Katedra geodetických základov
Študijný program: GEODÉZIA A KARTOGRAFIA
Predmet:
DRUŽICOVÁ GEODÉZIA
Ročník:
ING – 2
Ak. rok:
2020/2021
Meno študenta: Bc. Jaroslav Bodnárik
Kombinované spracovanie družicových a terestrických meraní
Daná je množina bodov so známymi geocentrickými súradnicami v systéme ETRS. Určite
priestorovú polohu dvoch nových bodov z kombinácie meraní GNSS a terestrických meraní
medzi danými a určovanými bodmi. Výsledky meraní GNSS sú vo forme geodetických veličín
(azimut, zenitový uhol, priestorová vzdialenosť) a sú určené v lokálnom horizontálnom
súradnicovom systéme. Okrem toho určované body boli zamerané klasickými terestrickými
metódami, sú k dispozícii priestorové vzdialenosti, zenitové a vodorovné uhly medzi určovanými
a danými bodmi.
Obsah zadania:
1. Grafické znázornenie polohy bodov a vyznačenie meraných veličín – podľa konkrétneho
individuálneho zadania.
2. Príslušný matematický aparát.
3. Konverzia pravouhlých súradníc daných a určovaných bodov na elipsoidické súradnice
4. Zostavenie observačných rovníc, matice plánu, vektora redukovaných meraní a kovariančnej
matice meraní (vzťahy podľa konkrétnej situácie, vrátane vyčíslenia všetkých matíc
a vektorov s uvedením správnych jednotiek).
5. Výpočet neznámych súradníc (vzťahy podľa konkrétnej situácie, vrátane vyčíslenia).
6. Výpočet charakteristík presnosti (vzťahy podľa konkrétnej situácie, vrátane vyčíslenia
a grafického znázornenia konfidenčného elipsoidu).
Zadané: 2. 12. 2020
Termín odovzdania zadania: 11. 1. 2021
TECHNICKÁ SPRÁVA
ZADANIE Č.3: Kombinované spracovanie družicových a terestrických meraní
ÚLOHA:
Z množiny bodov so známymi geocentrickými súradnicami v systéme ETRS bola určená priestorová poloha
dvoch nových bodov (č. b. 2 a 11) z kombinácie meraní GNSS (azimut, zenitový uhol, priestorová
vzdialenosť) a terestrických meraní (priestorové vzdialenosti, zenitové a vodorovné uhly medzi určovanými
a danými bodmi).
Daná úloha sa týka lokality Dubník, kde sa nachádza geodetická sieť zložená z 10 známych a 2 určovaných
bodov. Priestorové rozloženie daných a východiskových bodov pre moje zadanie je zobrazené na Obr. 1.
Konkrétne merané veličiny medzi mne zadanými bodmi (1, 9 a 2, 11) sa nachádzajú v Prílohe č.1.
Grafické znázornenie polohy bodov
Obr.1 Priestorové rozmiestnenie určovaných a východiskových bodov
Vstupné údaje:
Číslo bodu
1
9
Súradnice východiskových bodov
X m
Y m 
4011523,056
1275462,714
4013032,735
1274711,242
Približné súradnice určovaných bodov
X 0  m
Y0  m 
Z m
4776531,816
4775484,642
Z0 m
Číslo bodu
2
4013170,700
1276974,500
4774511,300
11
4012410,100
1279270,400
4774532,800
Tab.1 Súradnice východiskových bodov a približné súradnice určovaných bodov
Terestrické merania a stredné chyby
3013,772m
8,5mm
𝑠
𝜎
2418,783m
10,7mm
𝑠
𝜎
𝜎
92,41255°
6,1´´
𝛽
𝜎 _ _
41,05381°
5,3´´
𝜔
𝜎 _ _
15,91715°
4,8´´
𝜔
Tab.2 Hodnoty z terestrického merania a ich stredné chyby
GNSS merania a stredné chyby
3013,766m
5,4mm
𝑠
𝜎
2467,515m
4,7mm
𝑠
𝜎
𝜎
𝛼
161,76284°
1,6´´
𝜎
120,69469°
3,7´´
𝛼
𝜎
93,50846°
1,3´´
𝛽
𝜎
94,51377 °
2,6´´
𝛽
Tab.3 Hodnoty z GNSS merania a ich stredné chyby
Postup výpočtu:
 Transformácia geocentrických pravouhlých súradníc východiskových a určovaných bodov na
elipsoidické súradnice:
Do výpočtu vstupujú aj nasledujúce konštanty:
Parametre GRS80:
Dĺžka hlavnej polosi ref. elipsoidu:
𝑎 = 6378137,000 𝑚
Dĺžka vedľajšej polosi ref. elipsoidu: 𝑏 = 6365752,314 𝑚
Prvá numerická excentricita:
𝑒 = 0,08181919

Výpočet parametra: pi = Xi2 + Yi2

Pomocný uhol:

Elipsoidická šírka:

Y
Elipsoidická dĺžka: λ = arctan  
X

Priečny polomer krivosti:
N=

Elipsoidická výška: h 
p
N
cos 
(1)
Z.a
p.b
(2)
 Z  e´2 .b sin 3  

2
3
 p  e .s cos  
(3)
θ = arctan
  arctan 
(4)
a
1- e .sin 2
2
(5)
(6)
h  m
 [°]
Číslo bodu
λ [°]
2
48,77638
17,65086
403,946
11
48,77670
17,68376
401,701
1
48,80207
17,63805
587,610
9
48,78768
17,62208
597,632
Tab.4 Hodnoty elipsoidických súradníc východiskových a určovaných bodov
2. LINEÁRNY MODEL – nepriame meranie vektorového parametra
 Deterministický model – všetky hodnoty sa uvažujú ako bezchybné
kde:
L (n x 1)
𝜣 (k x 1)
𝜣𝟎 (k x 1)
f(𝜣𝟎 ) (n x 1)
𝛥𝛩
A (n x k)
- vektor priamo merateľných veličín,
- vektor neznámych hodnôt parametrov,
- vektor približných hodnôt parametrov,
- vektorový funkčný vzťah medzi parametrami a merateľnými veličinami,
- vektor určovaných prírastkov neznámych parametrov,
- matica plánu (parciálne derivácie určujúcich rovníc podľa jednotlivých
neznámych),
- určujúca rovnica i=1,2,...,n.
li = fi(𝜣)
kde prvky vektora s indexom ter sú veličiny zamerané terestricky a s indexom GNSS sú merané
veličiny z merania GNSS
Vektor odhadovaných parametrov 𝜣:
Vektor približných hodnôt:
kde
Observačné rovnice:
𝑠
=
𝛼
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝛽
= 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
𝑠
=
𝛼
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝛽
= 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
𝑠
𝜔
(𝑋 − 𝛩 ) + (𝑌 − 𝛩 ) + (𝑍 − 𝛩 )
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑋 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑌 )
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑋 ) − 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). cos (𝜆 ). (𝛩 − 𝑌 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). (𝛩 − 𝑍 )
𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑋 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). 𝑠𝑖𝑛( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑌 ) + 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). (𝛩 − 𝑍 )
(𝛩
− 𝑋 ) + (𝛩
− 𝑌 ) + (𝛩
−𝑍 )
(𝑋 − 𝛩 ) + (𝑌 − 𝛩 ) + (𝑍 − 𝛩 )
=
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑋 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑌 )
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑋 ) − 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑌 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). (𝛩
𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩
− 𝑋 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). 𝑠𝑖𝑛( 𝜆 ). (𝛩
(𝛩
− 𝑋 ) + (𝛩
− 𝑌 ) + 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). (𝛩
− 𝑌 ) + (𝛩
−𝑍 )
−𝑍 )
−𝑍 )
(𝑋 − 𝛩 ) + (𝑌 − 𝛩 ) + (𝑍 − 𝛩 )
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜆2 ). (𝛩
= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
− 𝑋9 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜆2 ). (𝛩
− 𝑌9 )
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜑2 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆2 ). (𝛩 − 𝑋9 ) − 𝑠𝑖𝑛( 𝜑2 ). 𝑠𝑖𝑛( 𝜆2 ). (𝛩 − 𝑌9 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜑2 ). (𝛩 − 𝑍9 )
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑋 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑌 )
−𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑋 ) − 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). 𝑠𝑖𝑛( 𝜆 ). (𝛩 − 𝑌 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). (𝛩 − 𝑍 )
𝑠
=
(𝛩
− 𝛩 ) + (𝛩
− 𝛩 ) + (𝛩
−
−𝛩 )
𝜔
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜆
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝑋 − 𝛩
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜆
−180° + 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
− 𝑠𝑖𝑛( 𝜑 ). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝛩
= 360° − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝛽
= 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠
(
).
(
).(
). (𝑋 − 𝛩
) − 𝑠𝑖𝑛( 𝜑
). (𝛩 − 𝛩
) − 𝑠𝑖𝑛( 𝜑
)
(
(
)
(
).
(
)
) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝑌 − 𝛩 )
−
). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝑌 − 𝛩 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). (𝑍 − 𝛩 )
) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝛩 )
). 𝑐𝑜𝑠( 𝜆 ). (𝛩 − 𝛩 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝜑 ). (𝛩 − 𝛩 )
).(
)
(
)
(
).(
)
Vektor určovaných parametrov:
𝛩 = 𝛩 + 𝛥𝛩
kde: 𝛥𝛩 - je určovaný prírastok neznámeho parametra
(7)
 ∂f  Θ0  
A=
T 
 ∂Θ0 
Matica plánu:
 Stochastický model – deterministický model s uvážením náhodných chýb
a zároveň
Rank (A) = k , Rank (𝛴 ) = n, k ≤ p
k – počet určovaných parametrov
n - počet meraní
p – priamo merateľné veličiny
 Štatistický model – cieľom bolo na základe meraní x, 𝜮𝒙 získať odhady parametrov 𝜣 a 𝜮𝜣 .
Počet meraní:
Počet určovaných parametrov:
n = 11
k=6
Vektor meraní
𝑠
⎡𝛼
⎢
⎢𝛽
⎢𝑠
⎢𝛼
𝒙 = ⎢𝛽
⎢𝑠
⎢
⎢𝜔
⎢𝑠
⎢𝜔
⎣𝛽
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(8)
Kovariančná matica meraných veličín:
𝜎
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
𝛴 =⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
0
0
0
0
𝜎
𝜎
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
⎝ 0
0
0
0
0
0
𝜎
0
𝜎
𝜎
Vektor redukovaných meraní (n x1):
Odhadnuté prírastky vektora určovaných parametrov:
Vektor odhadnutých neznámych parametrov:
Vektor opráv:
𝜎
0
0
0
𝜎
0
0
0
0
𝜎
0
𝜎
0
0
y = x – f(𝚯𝟎 )
𝜟𝜣 = (𝑨𝑻 𝜮𝒙 𝟏 𝑨) 𝟏 𝑨𝑻 𝜮𝒙 𝟏 𝒚
𝜣 = 𝜣𝟎 + 𝜟𝜣
v = AΔΘ - y
ˆ  mm 
ΔΘ
0
0 ⎞
0 ⎟
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
0 ⎟
0 ⎟
0 ⎟
𝜎
(10)
⎠
(9)
(10)
(11)
(12)
ˆ  m
Θ
7,8
4013170,708
𝑋
-53,8
1276974,446
𝑌
-54,3
4774511,246
𝑍
-56,8
4012410,043
𝑋
8,4
1279270,408
𝑌
-147,0
4774532,653
𝑍
Tab. 5 Hodnoty prírastkov a odhadnutých parametrov
y
v
12,1𝑚𝑚
1,5 mm
6,1´´
-2,0´´
3,8´´
-0,6´´
-27,4mm
0,0 mm
4,2´´
0,2´´
2,7´´
1,3´´
18,1mm
-4,4 mm
78,5mm
0,1 mm
-6,4´´
0,0´´
-0,4´´
0,0´´
6,2´´
0,0´´
Tab.6 Hodnoty redukovaných meraní a opráv
Jednotková stredná chyba:
𝜎 =
𝜎 = 0,6572
(13)
Kovariančná matica určovaných parametrov:
70,941
22,216
⎛
61,714
𝜮𝜣 = ⎜
⎜ 21,651
6,655
⎝−20,267
22,216
12,708
32,698
−6,578
3,434
4,395
𝛴 = 𝜎 (𝐴 𝛴
61,714
32,698
84,779
−12,227
8,928
7,347
Stredné chyby určovaných parametrov: 𝜎 =
21,651
−6,578
−12,227
6013,277
1937,393
1378,883
𝑑𝑖𝑎𝑔𝛴
(14)
𝐴)
6,655
3,434
8,928
1937,393
684,853
409,696
−20,267
4,395
⎞
7,347
⎟ 𝑚𝑚
1378,883⎟
409,696
7150,065⎠
(15)
,
𝜎 [𝑚𝑚]
8,4
𝑋
3,6
𝑌
9,2
𝑍
77,5
𝑋
26,2
𝑌
84,6
𝑍
Tab.7 Hodnoty stredných chýb určovaných parametrov
Výpočet parametrov konfidenčných elipsoidov
Ďalším krokom bol výpočet parametrov na vykreslenie absolútnych konfidenčných elipsoidov
stredných chýb. Výpočet bol realizovaný pomocou vlastných čísel a vlastných vektorov
prislúchajúcich kovariančnej matici odhadnutých parametrov 𝜮𝜣
Z kovariančnej matici odhadnutých parametrov sme si spravili dve sub-matice prislúchajúce
určovaným bodom 2 a 11.
 Kovariančné matice:
𝜮𝜣𝟐 = 𝑠𝑢𝑏𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥(𝛴 , 1,3,1,3)
𝜮𝜣𝟐
6013,28
= 1937,39
1378,88
1937,39
684,85
409,69
𝜮𝜣𝟏𝟏 = 𝑠𝑢𝑏𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥(𝛴 , 4,6,4,6)
(16)
1378,88
70,94 22,22 61,71
409,69 𝑚𝑚 𝜮𝜣𝟏𝟏 = 22,22 12,71 32,70 𝑚𝑚
7150,06
61,71 32,70 84,78
 Výpočet vlastných čísel:
Na výpočet sme použili vstavanú funkciu v prostredí MathCAD
𝜆 = 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛𝑣𝑎𝑙𝑠(𝛴 )
𝜆 = 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛𝑣𝑎𝑙𝑠(𝛴
)
(17)
 Výpočet hlavných polosi konfidenčných elipsoidov:
a
a
 
 
 b   2
 b   11
c
c
 2
 11
𝑎
𝑎
12,29
7,40
𝑏 = 4,17 𝑚𝑚
𝑏
= 73,73 𝑚𝑚
𝑐
𝑐
0,01
91,42
(18)
Na samotné vykreslenie konfidenčných elipsoidov nám však nepostačujú len dĺžky polosí, ale je potreba
poznať aj smery, v ktorých sa dané dĺžky majú zobraziť. Smery sme dopočítali pomocou matíc
normalizovaných vlastných vektorov. Matice sme dopočítali znova pomocou vstavanej funkcie softvéru
MathCAD.
 Výpočet normalizovaných vlastných vektorov:
𝑬
𝑬 = 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛𝑣𝑒𝑐𝑠(𝛴 )
0,6334
𝑬 = 0,2728
0,7242
0,7718
−0,2903
−0,5657
−0,0559
−0,9172
0,3945
𝑬
= 𝑒𝑖𝑔𝑒𝑛𝑣𝑒𝑐𝑠(𝛴
0,3103
−0,9506
=
−0,0054
−0,7271
−0,2410
0,6428
)
0,6123
0,1955
0,7660
Grafické znázornenie konfidenčných elipsoidov pre určované body 2 a 11 sa nachádza v Prílohe č.2.
V Jure nad Hronom, dňa 18.12.2020
Bc. Jaroslav Bodnárik
(19)
Príloha č.2
Konfidenčný elipsoid pre bod č.2
Konfidenčný elipsoid pre bod č.11