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O BJE T I V O
Resolver problemas sobre matrices, utilizando definiciones, propiedades y métodos adecuados para
cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.
C O N T E NI D O :
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
ALGEBRA DE MATRICES
CLASIFICACION DE LAS MATRICES CUADRADAS
MATRIZ TRANSPUESTA
MATRIZ TRANSPUESTA - CONJUGADA
TRAZA DE UNA MATRIZ
POTENCIA DE UNA MATRIZ
CUESTIONARIO
1.1 A L G E B R A D E M A T RI C ES
En esta sección se introduce terminología básica, se define una matriz, matriz identidad y matriz escalar. Se define
y establecen las operaciones que se pueden realizar entre matrices, además, enunciaremos las propiedades más
importantes.
Las matrices se escribirán mediante un solo símbolo, que por lo común serán letras
mayúsculas como A, B, C, D, etc. Cuando no se utilicen números específicos para
designar los elementos de una matriz, se utilizarán minúsculas de la forma a ij. No
existen restricciones sobre el número de filas o columnas que una matriz puede tener.
D E F IN I C I O N 1.1.1
Una matriz es una ordenación rectangular de elementos distribuidos en n
filas (horizontales) y m columnas (verticales), el elemento que está en la
i-ésima fila y en la j-ésima columna se denota por a ij, siendo este elemento,
un número real o complejo. Formalmente lo denotamos como A = (a ij).
Una matriz con n filas y m columnas se llama matriz de n x m; la expresión n x m es
su orden o forma y lo expresamos como
a1m ·
§ a11 a12
¨
¸
a
a22
a2 m ¸
A ¨ 21
¨
¸
¸
¨¨ a
anm ¸¹
© n1 an 2
En otras palabras, podemos decir que una matriz de n x m definida sobre el conjunto
K , es una aplicación a : A x B o K que asocia a cada par (i, j) el número a ij. Los
2
MATRICES
elementos horizontales ai1, a i2, ..., aim representan las filas de la matriz y los
elementos verticales a1j, a2j, ..., anj representan las columnas. Así, la letra i representa
la fila y la j representa la columna.
Si n = m la matriz se denomina cuadrada y se dice que tiene orden n. Si una matriz
tiene una sola fila, se le llama matriz fila y se la representa por
A = (a i1 a i2 ... a im).
Si una matriz tiene una sola columna, se le llama matriz columna y se representa por
§ a1 j ·
¨
¸
¨ a2 j ¸
A ¨
¸.
¨
¸
¨ a nj ¸
©
¹
En particular, un elemento a ij puede considerarse como una matriz de una fila y una
columna. Es conveniente designar a la matriz con letras mayúsculas en
correspondencia, si es posible, con la letra minúscula común con la cual se designan
sus elementos.
A continuación se dan algunos tipos de matrices:
§1 0 4·
§1·
§2 5 7·
¨
¸
¨ ¸
A ¨5 6 2¸ ; B ¨
¸ ; C ¨ 4¸ ; D
1
9
2
©
¹
¨7 9 1¸
¨8¸
©
¹
© ¹
siendo A una matriz de 3 x 3, B de 2 x 3, C de 3 x 1 y D de 1 x 3.
1 2 9 ,
D E F IN I C I O N 1.1.2
Una matriz cuadrada que tiene el número 1 como elementos de la diagonal
principal, y los demás elementos son ceros, se denomina matriz identidad y
­1, si i j
se denota como I = (Gij), donde Gij ®
, G se denomina delta de
¯0, si i z j
Kronecker.
Matrices de este tipo se dan a continuación:
I2
§1 0·
¨
¸ ; I3
©0 1¹
§1 0 0·
¨
¸
¨0 1 0¸ ; I4
¨0 0 1¸
©
¹
§1
¨
¨0
¨0
¨
©0
0
1
0
0
0
0
1
0
0·
¸
0¸
; etc.
0¸
¸
1¹
D E F IN I C I O N 1.1.3
Una matriz cuadrada que tiene el número D  K diferente de cero, como
elementos de la diagonal principal, y los demás elementos son ceros, se
denomina matriz escalar y se denota como E = DI.
Este tipo de matrices tienen la siguiente forma:
0
0 ·
§a b
§1 0 0·
§ a 0·
§1 0·
¨
¸
¨
¸
E2 ¨
a b
0 ¸ ( a b) ¨ 0 1 0 ¸ ; etc.
¸ a¨
¸ ; E3 ¨ 0
©0 a¹
©0 1¹
¨ 0
¨0 0 1¸
0
a b ¸¹
©
©
¹
La definición de operaciones entre matrices es lo que determina la utilidad de ellas
puesto que una matriz de por sí es solamente un arreglo de números. Veremos que
aquellas definiciones que intuitivamente parecen obvias para operar con matrices son
también las más útiles.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
3
A continuación se explican algunas operaciones que se pueden realizar con matrices.
Definidas las matrices, podemos comenzar a estudiar su álgebra. Se explicará
primero el significado de la afirmación de que dos matrices A y B son iguales.
Lo anterior significa que los elementos correspondientes de cada matriz son iguales,
es decir a ij = bij para cada i y j. Cuando las matrices son iguales, se escribe A = B.
Para que dos matrices sean iguales, el número de filas de A debe ser el mismo que el
número de filas de B, y el número de columnas de A debe ser el mismo que el
número de columnas de B.
D E F IN I C I O N 1.1.4
Dadas A = (a ij), B = (bij), matrices de igual orden. Las matrices A y B se
dice son iguales si y sólo si los elementos correspondientes a cada una de
estas son iguales.
Es decir, dadas las matrices
a1 m ·
b1 m ·
§ a11 a1 2
§ b11 b1 2
¨
¸
¨
¸
a2 m ¸
b2 m ¸
¨ a21 a2 2
¨ b21 b2 2
A ¨
¸ y B =¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨ an 1 an 2
¸
¨ bn 1 bn 2
¸
a
b
n
m
n
m
©
¹
©
¹
por definición estas matrices son iguales si y sólo si se cumple que a11 = b11,
a12 = b12, ..., anm = bnm. De manera más compacta, se escribe A = B si a ij = bij, para
todo i, j  .
EJ E M P L O 1.1.1
Sean A y B dos matrices de 2 x 3:
§ 1 S
b ·
§ a b 1 2 2b a
c ·
A ¨
¸¸ .
¸ y B ¨¨
b
a b¹
© a
© c S 3c S i ¹
¿Cuando A y B son iguales?
SO L U C I O N
Las matrices A y B son iguales si cumplen la siguiente identidad:
b · § 1 S
§ a b 1 2 2b a
c ·
¸¸
¨
¸ ¨¨
a
b
a
b
©
¹ ©c S 3 S i¹
lo cual implica que
a ± b + 1 = i, 2 + 2b ± a = S, b = c, a = c + S, - b = 3 y a ± b = S + i. ’
EJ E M P L O 1.1.2
Determine los valores de a, b y c para que las matrices dadas sean iguales
§ 2 4·
§ a 2b c 2 a c ·
A ¨
¸ y B ¨
¸.
a 2b ¹
©1 6¹
© a 1
SO L U C I O N
Para que A y B sean iguales se debe cumplir por definición que sus correspondientes
elementos sean iguales, es decir:
­ a 2b c 2
­ a 2b c 2
­a 0
° 2a c 4
° 2a c 4
°
°
°
Ÿ ®
Ÿ ®b 3 . ’
®
a
1
1
a
0
°
°
° c 4
¯
°¯ a 2b 6
°¯ a 2b 6
Se definirá ahora la suma de matrices, que consiste simplemente, como esperará el
lector, en sumar los elementos correspondientes. Es decir, la suma C de una matriz A
que tenga n filas y m columnas, y una matriz B que tenga n filas y m columnas es
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
4
MATRICES
una matriz que tiene n filas y m columnas cuyos elementos están dados por
cij = a ij + bij, para todo i, j.
D E F IN I C I O N 1.1.5
Dadas A = (a ij), B = (bij) y C = (cij), matrices de igual orden. Si se cumple
que
C = (a ij) + (bij) = (aij + bij) = (c ij), i, j  N
a la matriz C se le denomina adición de A y B.
Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra
matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen sumando término a término los
correspondientes a dichas matrices, se denomina adición de matrices. Dadas las
matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la adición de matrices de la
siguiente manera:
C=A+B
b1 m ·
a1m · § b11 b1 2
§ a11 a12
¸
¨
¸ ¨b
b2 m ¸
a2 m ¸ ¨ 21 b2 2
¨ a21 a22
¨
¸
¨
¸
¸
¨¨
¸¸ ¨
¸
anm ¹ ¨ bn 1 bn 2
b
© an1 an 2
nm¹
©
a1 m b1 m ·
§ a11 b11 a1 2 b1 2
¨
¸
a2 m b2 m ¸
¨ a21 b21 a2 2 b2 2
¨
¸.
¨
¸
¨ an 1 bn 1 an 2 bn 2
an m bn m ¸¹
©
Debemos tener muy en cuenta que la adición de las matrices A y B se puede realizar
solamente cuando B tiene el mismo número de filas y el mismo número de columnas
que A. De aquí que el orden de la matriz suma es la misma que la de los sumandos.
EJ E M P L O 1.1.3
Dadas las matrices
§
¨ 1
¨
A ¨ 5 3i
¨
S
¨ Sen
2
©
Determine A + B.
SO L U C I O N
§
¨
¨
¨
¨
¨
¨
©
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
6
9
·
4i ¸
¸
S¸ y B
¸
1 ¸
¹
S
§
Tan
¨ 3
4
¨
¨ 5
3
¨
¨ Cos S
i
¨
2
©
·
¸
¸
S ¸
¸
3S
Tan ¸¸
4 ¹
4i
S
·
· § 3
Tan
4i ¸
4i ¸ ¨
4
¸
¸ ¨
6
S¸¨ 5
3
S ¸
¸
¸ ¨
S
3S
9
1 ¸ ¨¨ Cos
i
Tan ¸¸
2
4 ¹
¹ ©
S
·
1 (3)
1 Tan
4i (4i ) ¸
0
§ 2 1 i
·
4
¸ ¨
¸
(5 3i ) (5)
63
S S ¸ ¨ 3i
9 (1 i ) S ¸ . ’
¸ ¨
¸
S
S
3S
1 9i
0
¹
Sen Cos
9i
1 Tan ¸¸ ©
2
2
4 ¹
§
¨ 1
¨
¨ 5 3i
¨
S
¨ Sen
2
©
A+B
1
1
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
5
T E O R E M A 1.1.1
Sean las matrices A = (aij), O = (oij) de igual orden, entonces
A + O = O + A = A.
D E M OST R A C I O N
Sean A, O matrices de igual orden, entonces
A + O = (aij) + (oij)
= (a ij + oij)
= (oij + a ij)
= (a ij)
= A.
T E O R E M A 1.1.2
Si A = (a ij) y B = (bij) son matrices de igual orden, entonces la adición de
matrices es conmutativa, es decir, A + B = B + A.
D E M OST R A C I O N
Sean las matrices A, B de igual orden, entonces:
A + B = (a ij) + (bij)
= (a ij + bij)
= (bij + a ij)
= (bij) + (a ij)
= B + A.
T E O R E M A 1.1.3
Si A = (a ij), B = (bij), C = (c ij) son matrices de igual orden, entonces la adición
de matrices es asociativa, es decir, A + (B + C) = (A + B) + C.
D E M OST R A C I O N
Sean A, B, C matrices de igual orden, entonces:
A + (B + C) = (a ij) + (bij) + (cij)
= (a ij) + (bij + c ij)
= (a ij + bij + c ij)
= ( a ij + bij) + (c ij)
= (( a ij) + (bij)) + (c ij)
= (A + B) + C.
% CALCULAR LA SUMA DE MATRICES clc;;clear;; fprintf('\n SUMA DE MATRICES \n') fil=input('Ingrese el numero de filas de las Matrices A y B: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas de las Matrices A y B: ');; %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:\n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('Matriz B:\n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ B ES:\n') B ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
6
MATRICES
end fprintf(' LA SUMA C ES:\n') C=A+B end La siguiente operación que se considerará es la de multiplicar una matriz por un
número. Esta operación recibe el nombre de multiplicación por un escalar. Para
multiplicar una matriz A por un número D, simplemente se multiplica cada elemento
de A por D.
D E F IN I C I O N 1.1.6
Dada A = (a ij) una matriz arbitraria y D un escalar. El producto del escalar D
y la matriz A se define como la matriz C = (cij) del mismo orden que A,
cuyos elementos se obtienen multiplicando el escalar por cada uno de los
elementos de A.
Es decir; formalmente se expresa esta operación de la siguiente manera:
a1 m · § Da11 Da1 2
Da1 m ·
§ a11 a1 2
¨
¸ ¨
¸
a2 m ¸ ¨ Da21 Da2 2
D a2 m ¸
¨ a21 a2 2
C = ĮA D ¨
¸ ¨
¸
¨
¸ ¨
¸
¨ an 1 an 2
¸
¨
¸
a
D
a
D
a
D
a
nm ¹ ©
n1
n2
nm ¹
©
Cada elemento de A se multiplica por el escalar D. El producto DA es, por
consiguiente, otra matriz con n filas y m columnas, si A tiene n filas y m columnas.
Es decir, la matriz resultante del producto por un escalar conserva el orden de la
matriz original.
EJ E M P L O 1.1.4
Dada la matriz
A
S
§
¨ Tan 4
¨
¨ i
¨
©
Cos
S
4
1 i
·
1 ¸
¸ y k = 1 + i.
S¸
Sen ¸
4¹
Determine k A.
SO L U C I O N
kA
S
§
¨ Tan 4
(1 i ) ¨
¨ i
¨
©
Cos
S
4
1 i
·
1 ¸
¸
S
Sen ¸¸
4¹
S
S
§
·
¨ (1 i )Tan 4 (1 i ) Cos 4 (1 i ) 1 ¸
¨
¸
S
¨ (1 i )i
(1 i )(1 i ) (1 i ) Sen ¸¸
¨
4¹
©
1 i
§
·
i 1 ¸
¨1 i
2
¨
¸. ’
¨
1 i ¸
¨ i 1 2
¸
2¹
©
T E O R E M A 1.1.4
Sea A = (a ij) una matriz arbitraria y k un número, entonces k A = A k.
D E M OST R A C I O N
Sean A una matriz arbitraria y k un número, entonces:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
7
k A = k(a ij)
= (ka ij)
= (a ijk)
= (a ij)k
= A k.
EJ E M P L O 1.1.5
Un fabricante de sacos los produce en color negro, azul y rojo para hombres, mujeres
y niños. La capacidad de producción en miles en la planta A está dada por la matriz
Hombres Mujeres Niños
Negro
3
5
6
Azul
2
3
4
Rojo
5
1
3
La producción en la planta B está dada por
Hombres Mujeres Niños
Negro
2
3
3
Azul
4
2
5
Rojo
1
3
2
a.- Determine la representación matricial de la producción total de cada tipo de
sacos en ambas plantas.
b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la de B en un 30%, encuentre
la matriz que representa la nueva producción total de cada tipo de saco.
SO L U C I O N
a.- Para obtener la matriz de producción total, sumamos las matrices que relacionan
las plantas A y B:
§ 3 5 6· § 2 3 3· §5 8 9·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 2 3 4¸ ¨ 4 2 5¸ ¨6 5 9¸ .
¨ 5 1 3¸ ¨ 1 3 2¸ ¨ 6 4 5¸
©
¹ ©
¹ ©
¹
b.- La nueva matriz de producción total la obtenemos sumando las matrices
§ 3 5 6·
§ 2 3 3 · § 6.05 9.65 10.8 ·
¨
¸
¨
¸ ¨
¸
1.15 A +1.30 B 1.15 ¨ 2 3 4 ¸ 1.30 ¨ 4 2 5 ¸ ¨ 7.5 6.05 11.1 ¸ . ’
¨ 5 1 3¸
¨ 1 3 2 ¸ ¨ 7.05 5.05 6.05 ¸
©
¹
©
¹ ©
¹
EJ E M P L O 1.1.6
El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de la ciudad A a cada una de las
cuatro ciudades B, C, D y E, está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la
directiva de la aviación civil aprueban un incremento del 12% en las tarifas. Hallar
las nuevas tarifas.
SO L U C I O N
Las nuevas tarifas se obtienen multiplicando la matriz P por 1.12, es decir;
1.12P 1.12 75 62 35 55
84 69, 44 39, 2 61,6 . ’
EJ E M P L O 1.1.7
Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La
producción en miles en su planta A está dada por la matriz
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1
20
32
25
Modelo 2
15
15
29
Modelo 3
12
27
30
La producción en miles en su planta B está dada por la matriz
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
8
MATRICES
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1
35
42
19
Modelo 2
25
35
25
Modelo 3
12
18
21
a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas.
b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una
vez y cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la
producción en la planta C.
c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas?
SO L U C I O N
a.- Para representar la producción total en ambas plantas, debemos sumar ambas
matrices
§ 20 32 25 · § 35 42 19 · § 55 74 44 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 15 15 29 ¸ ¨ 25 35 25 ¸ ¨ 40 50 54 ¸ .
¨ 12 27 30 ¸ ¨ 12 18 21 ¸ ¨ 24 45 51 ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹
b.- Para encontrar la matriz C, tenemos que multiplicar a la matriz A por 1.25, es
decir
40 31.25 ·
§ 20 32 25 · § 25
¨
¸ ¨
¸
1.25 ¨ 15 15 29 ¸ ¨18.75 18.75 36.25 ¸ .
¨ 12 27 30 ¸ ¨ 15
33.75 37.5 ¸¹
©
¹ ©
c.- Para representar la producción total de las tres plantas, debemos sumar las
matrices A, B y C, es decir:
40 31.25 ·
§ 20 32 25 · § 35 42 19 · § 25
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
A + B + C ¨ 15 15 29 ¸ ¨ 25 35 25 ¸ ¨18.75 18.75 36.25 ¸
¨ 12 27 30 ¸ ¨ 12 18 21 ¸ ¨ 15
33.75 37.5 ¸¹
©
¹ ©
¹ ©
114 75.25 ·
§ 80
¨
¸
58.75
68.75
90.25 ¸ . ’
¨
¨ 39
78.75 88.5 ¸¹
©
EJ E M P L O 1.1.8
Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas en
los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su
producto de una planta a una bodega está dado por la matriz
Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV
Bodega P
13
12
17
12
Bodega Q
19
17
13
15
Bodega R
8
9
11
13
Bodega S
19
21
9
15
a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por
unidad, ¿cuál es la nueva matriz?
b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos.
SO L U C I O N
a.- Obtenemos la nueva matriz, sumándole a la matriz A la matriz de incrementos
§ 13 12 17 12 · § 0.5 0.5 0.5 0.5 · §13.5 12.5 17.5 12.5 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨19 17 13 15 ¸ ¨ 0.5 0.5 0.5 0.5 ¸ ¨19.5 17.5 13.5 15.5 ¸ .
¨ 8 9 11 13 ¸ ¨ 0.5 0.5 0.5 0.5 ¸ ¨ 8.5 9.5 11.5 13.5 ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
©19 21 9 15 ¹ © 0.5 0.5 0.5 0.5 ¹ ©19.5 21.5 9.5 15.5 ¹
b.- Los nuevos datos los obtenemos multiplicando la matriz A por 1.25, es decir
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
9
15
21.25 15 ·
§ 13 12 17 12 · § 16.25
¨
¸ ¨
¸
19 17 13 15 ¸ ¨ 23.75 21.25 16.25 18.75 ¸
. ’
1.25 ¨
¨ 8 9 11 13 ¸ ¨ 10
11.25 13.75 16.25 ¸
¨
¸ ¨
¸
©19 21 9 15 ¹ © 23.75 26.25 11.25 18.75 ¹
T E O R E M A 1.1.5
Si A = (aij), B = (bij) son matrices de igual orden y k un número, entonces se
cumple la ley distributiva respecto a la adición de matricial, es decir,
k(A + B) = k A + k B.
D E M OST R A C I O N
Sean A, B matrices de igual orden y k un número, entonces:
k(A + B) = k((a ij) + (bij))
= k(a ij) + bij)
= (ka ij + kbij)
= (ka ij) + (kbij)
= k A + k B.
T E O R E M A 1.1.6
Si A = (a ij) es una matriz arbitraria y k, t números, entonces se cumple la ley
distributiva con respecto a la adición de escalares, es decir,
(k + t)A = k A + t A.
D E M OST R A C I O N
Sean A una matriz arbitraria y k, t números, entonces:
(k + t)A = (k + t)( a ij)
= ((k + t) a ij)
= (ka ij + ta ij)
= (ka ij) + (ta ij)
= k A + t A.
% MULTIPLICACION DE UN ESCALAR Y UNA MATRIZ clc;;clear;; fprintf('\n PRODUCTO POR UN ESCALAR \n') fil=input('Ingrese el numero de filas de la Matriz A: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas de la Matriz A: ');; n=input('Ingrese el escalar: ');; %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end fprintf('\ LA MATRIZ A ES: \n') A end fprintf('\ LA MATRIZ PRODUCTO B ES: \n') B=A*n End La matriz opuesta de A puede obtenerse multiplicando la matriz original por el
escalar ±1. De acuerdo con esta definición; B = (-1)A, notándose B = -A, lo cual
podemos expresarlo detalladamente como
a1 m · § a11 a1 2
a1 m ·
§ a11 a1 2
¨
¸ ¨
¸
a2 m ¸ ¨ a21 a2 2
a2 m ¸
¨ a21 a2 2
C = A + (- A ) ¨
¸¨
¸
¨
¸ ¨
¸
¨ an 1 an 2
an m ¸¹ ¨© an 1 an 2
an m ¸¹
©
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10
MATRICES
§ a11 a11
¨
¨ a21 a21
¨
¨
¨ an 1 an 1
©
a1 2 a1 2
a2 2 a2 2
an 2 an 2
a1 m a1 m · § 0 0
¸
a2 m a2 m ¸ ¨¨ 0 0
¸ ¨
¸ ¨
an m an m ¸¹ © 0 0
0·
¸
0¸
.
¸
¸
0¹
D E F IN I C I O N 1.1.7
Una matriz B = (bij) que, dada una matriz A = (a ij) cumple la ecuación
matricial
(oij) = (a ij) + (bij), para todo i, j  N
recibe el nombre de matriz opuesta o negativa de A.
La operación de restar una matriz B de una matriz A se define exactamente como
esperará el lector: A ± B es la matriz cuyos elementos son a ij ± bij. Se observa
también que la resta puede definirse en términos de operaciones ya definidas,
como
A ± B = A + (-B).
Es decir, para restar dos matrices, restamos sus correspondientes elementos.
D E F IN I C I O N 1.1.8
Dadas A = (a ij), B = (bij) y C = (c ij), matrices de igual orden. Si se cumple
que
C = A - B = (aij) - (bij) = (a ij ± bij) = (c ij), i, j  N
a la matriz C se le denomina resta de A y B.
Es decir; si a cada par de matrices de orden n x m le hacemos corresponder otra
matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen restando término a término
los correspondientes a dichas matrices, se denomina resta de matrices. Dadas las
matrices A y B, detalladamente podemos interpretar la resta de matrices de la
siguiente manera:
C = A-B
a1 m · § b11 b1 2
b1 m ·
§ a11 a1 2
¨
¸ ¨
¸
a2 m ¸ ¨ b21 b2 2
b2 m ¸
¨ a21 a2 2
=¨
¸ ¨
¸
¨
¸ ¨
¸
¨ an 1 an 2
an m ¸¹ ¨© bn 1 bn 2
bn m ¸¹
©
a1 m b1 m ·
§ a11 b11 a1 2 b1 2
¨
¸
a2 m b2 m ¸
¨ a21 b21 a2 2 b2 2
¨
¸.
¨
¸
¨ an 1 bn 1 an 2 bn 2
an m bn m ¸¹
©
Debemos tener muy en cuenta, como lo hicimos para la adición, que la resta de las
matrices A y B se puede realizar solamente cuando tienen el mismo orden. De aquí
que el orden de la matriz obtenida de la resta es la misma que la de A y B.
E J E M P L O 1.1.9
Dadas las matrices
§ 13 5 12 ·
§ -6 11 3 ·
¨
¸ y B =¨
¸.
©17 6 8 ¹
©15 2 1 ¹
Determine la matriz M tal que A - 2M = 3B.
SO L U C I O N
Como A ± 2M = 3B, entonces:
A
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MATRICES
11
1
2M = A ± 3B Ÿ M = ( A - 3B )
2
Reemplazando los datos conocidos, obtenemos:
1 § § 13 5 12 · § -6 11 3 · · 1 § § 13 5 12 · § -18 33 9 · ·
M = ¨¨
¸ - 3¨
¸¸ = ¨¨
¸ -¨
¸¸
2 © ©17 6 8 ¹ ©15 2 1 ¹ ¹ 2 © ©17 6 8 ¹ © 45 6 3 ¹ ¹
1 § 31 28 3 ·
¨
¸. ’
2 © 28 0 5 ¹
EJ E M P L O 1.1.10
Dadas las matrices
A
S
§
¨ Sen 4
¨
¨ Cos S
¨
4
©
S·
Cos ¸
4¸
,
S¸
Sen ¸
4¹
B
S
§
¨ Tan 4
¨
¨ Sen S
¨
4
©
S·
Sen ¸
4¸
.
S ¸
Tan ¸
4 ¹
Determine A - B.
SO L U C I O N
A -B
S
§
¨ Sen 4
¨
¨ Cos S
¨
4
©
S· §
S
S·
Cos ¸ ¨ Tan
Sen ¸
4 ¸¨
4
4¸
S¸ ¨
S
S ¸
Sen ¸ ¨ Sen
Tan ¸
4¹ ©
4
4 ¹
§ 2
1
¨
¨ 2
¨
¨ 2
©
·
2 ¸
¸. ’
2 ¸
1¸
2
¹
§ 2
¨
¨ 2
¨
2
¨
© 2
2· §
¸ ¨ 1
2 ¸¨
2¸ ¨ 2
¸ ¨
2 ¹ © 2
2·
¸
2 ¸
¸
1 ¸
¹
EJ E M P L O 1.1.11
Tres máquinas de gaseosas se localizan en un centro comercial. El contenido de estas
máquinas se presenta en la siguiente matriz de inventario:
Coca - Cola Fanta Sprite
Maquina I
65
32
84
Maquina II
92
65
36
Maquina III
45
72
93
Los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que contiene cada
máquina. Suponga que la matriz de ventas para el día siguiente es
Coca - Cola Fanta Sprite
Maquina I
53
25
70
Maquina II
80
60
30
Maquina III
35
65
85
donde los elementos indican el número de latas de cada tipo de gaseosa que vende
cada máquina. Hallar la matriz de inventario al final del día.
SO L U C I O N
La matriz de inventario al final del día se obtiene de la siguiente manera:
§ 65 32 84 · § 53 25 70 · §12 7 14 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 92 65 36 ¸ ¨ 80 60 30 ¸ ¨12 5 6 ¸ .
¨ 45 72 93 ¸ ¨ 35 65 85 ¸ ¨10 7 8 ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹
Si cada máquina se recarga con 30 latas de Coca-Cola, 20 latas de Fanta y 15 latas de
Sprite, entonces la matriz de inventarios es la siguiente:
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12
MATRICES
§12 7 14 · § 30 20 15 · § 42 27 29 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨12 5 6 ¸ ¨ 30 20 15 ¸ ¨ 42 25 21 ¸ . ’
¨10 7 8 ¸ ¨ 30 20 15 ¸ ¨ 40 27 23 ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹
E J E M P L O 1.1.12
Determínense las matrices P y Q de orden 3 x 2, tales que satisfagan el sistema de
§1 3·
§ -1 0 ·
­2 P + 3Q = A
¨
¸
¨
¸
ecuaciones ®
, donde A = ¨ 2 4 ¸ y B = ¨ -1 -3 ¸ .
P
Q
=
B
¯
¨1 2¸
¨ 1 -1 ¸
©
¹
©
¹
SO L U C I O N
Multiplicando la segunda ecuación por 2, y sumandole a la primera, obtenemos las
matrices P y Q.
­ P = - A - 3B
®
¯ Q = A + 2B
Es decir:
§ 1 3 · § -1 0 · § -1 -3 · § -3 0 · § 2 -3 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
P = - ¨ 2 4 ¸ - 3 ¨ -1 -3 ¸ = ¨ -2 -4 ¸ - ¨ -3 -9 ¸ = ¨ 1 5 ¸
¨ 1 2 ¸ ¨ 1 -1 ¸ ¨ -1 -2 ¸ ¨ 3 -3 ¸ ¨ -4 1 ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹
1
3
-1
0
1
3
-2
0
-1
3
§
·
§
· §
· §
· §
·
¨
¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
Q = ¨ 2 4 ¸ + 2 ¨ -1 -3 ¸ = ¨ 2 4 ¸ + ¨ -2 -6 ¸ = ¨ 0 -2 ¸ . ’
¨1 2¸
¨ 1 -1 ¸ ¨ 1 2 ¸ ¨ 2 -2 ¸ ¨ 3 0 ¸
©
¹
©
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹
A continuación, dividamos una matriz A en partes mediante un sistema de rectas
verticales y horizontales. Estas partes pueden ser consideradas como matrices de
órdenes inferiores que forman, interpretadas como elementos, la propia matriz; se
denominan bloques o submatrices de la matriz A, mientras que la propia matriz A,
dividida de un modo determinado en submatrices, se denomina hipermatriz. Una
misma matriz puede ser dividida en submatrices de diferentes maneras.
D E F IN I C I O N 1.1.9
Se denomina hipermatriz a una ordenación rectangular de submatrices. Una
submatriz derivada de una matriz A es la formada por los elementos que
pertenecen simultáneamente a h filas y k columnas de A.
La conveniencia de la división en submatrices consiste en que las operaciones
principales sobre hipermatrices se realizan formalmente siguiendo las mismas reglas
que en el caso de matrices corrientes. En efecto, supongamos una matriz A dividida
de algún modo en submatrices:
A 1n ·
§ A 11 A 12
¨
¸
A
A
A
22
2n ¸
A ¨ 21
.
¨
¸
¨¨
¸
A mn ¸¹
© A m1 A m 2
Al multiplicar todas las submatrices por un número k multiplicaremos, al mismo
tiempo, todos los elementos de la matriz A por k. Por consiguiente
k A 1n ·
§ k A 11 k A 12
¨
¸
k
A
k
A
k
A 2n ¸
22
k A ¨ 21
.
¨
¸
¨¨
¸
k A mn ¸¹
© k A m1 k A m 2
Sea B una matriz dividida en el mismo número de submatrices que la matriz A
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MATRICES
13
B1n ·
§ B11 B12
¨
¸
B
B 22
B 2n ¸
.
B ¨ 21
¨
¸
¨¨
¸
B mn ¸¹
© B m1 B m 2
supongamos, además, que las correspondientes submatrices de las matrices A y B
son del mismo número de filas y de columnas respectivamente. Para sumar las
matrices A y B hay que sumar sus elementos correspondientes. Pero lo mismo
ocurrirá, si sumamos las submatrices correspondientes de estas matrices. Por esto
A 12 B12
A 1n B1n ·
§ A 11 B11
¨
¸
A
B
A
B
A
21
22
22
2n B 2n ¸
.
A + B ¨ 21
¨
¸
¨¨
¸
A mn B mn ¸¹
© A m1 B m1 A m 2 B m 2
% CALCULAR LA RESTA DE MATRICES clc;;clear;; fprintf('\n RESTA DE MATRICES \n') fil=input('Ingrese el numero de filas De las Matrices A y B: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas De las Matrices A y B: ');; %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:\n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('Matriz B:\n') for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ B ES:\n') B end fprintf('LA MATRIZ DIFERENCIA C ES:\n') C=A-­B End Como podemos ver, resulto fácil definir la igualdad, la multiplicación por un
escalar, y la suma de matrices. No es tan obvio, en cambio, cómo debe definirse
la multiplicación matricial. En este caso debe abandonarse, el concepto de matriz
como simple arreglo de números puesto que esta idea no nos proporciona una
guía para una definición propia. Ahora definiremos la operación más complicada
de multiplicar dos matrices.
D E F IN I C I O N 1.1.10
Dadas A = (a ij) y B = (bij), matrices en las cuales el número de columnas de
A es igual al número de filas de B. Se llama producto de A y B a una matriz
C = (c ij) cuyo orden es el número de filas de A y el número de columnas de
B, denotada
§
·
C (cij ) ¨ ¦ aik bkj ¸ , para todo i, j  .
© k
¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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14
MATRICES
De la propia definición se deduce que, en general, no es posible multiplicar dos
matrices rectangulares, ya que se exige que el número de columnas de la primera
matriz coincida con el número de filas de la segunda. Por lo tanto la condición
necesaria y suficiente para que el producto A B esté definido, es que el número de
columnas de A sea igual al número de filas de B.
Para formar los elementos de la primera fila de la matriz A B se han multiplicado
ordenadamente los elementos de la primera fila de A con los elementos de cada
columna de B y, después se suman los correspondientes productos. Procediendo
análogamente con cada una de las demás filas de A, se obtienen los elementos de
cada una de las restantes filas de A B. La notación formal se expresa como
C = A B y sus elementos se determinan de la siguiente manera:
a1 p · § b11 b1 2
b1 m ·
§ a11 a1 2
¨
¸¨
¸
a2 p ¸ ¨ b21 b2 2
b2 m ¸
¨ a21 a2 2
C = AB ¨
¸¨
¸
¨
¸¨
¸
¨ an 1 an 2
an p ¸¹ ¨© bp 1 bp 2
bp m ¸¹
©
§ ¦ a1 k bk 1 ¦ a1 k bk 2
¦ a1 k bk m ·¸
¨ k
k
k
¨
¸
¦ a2 k bk m ¸
¨ ¦ a2 k bk 1 ¦ a2 k bk 2
k
k
¨ k
¸.
¨
¸
¨
¸
¦ an k bk m ¸
¨ ¦ an k bk 1 ¦ an k bk 2
k
k
© k
¹
El producto de dos matrices, en términos generales, depende del orden de los
factores incluso en el caso en que el conjunto al cuál pertenecen sus elementos es
conmutativo. Si se consideran matrices no cuadradas, puede ocurrir incluso que el
producto de dos matrices tomadas en un orden tenga sentido y tomadas en el
orden contrario, no lo tenga.
E J E M P L O 1.1.13
Pruébese que si A es una matriz cuadrada y B = DA + EI, donde D y E son escalares,
entonces A B = B A.
SO L U C I O N
Calculamos el producto matricial A B, previamente reemplazando la identidad de B y
obtenemos el resultado requerido:
A B = A(DA + EI) = DA 2 + EA I = (DA + EI)A = B A. ’
E J E M P L O 1.1.14
Si
§ 2 1·
§ 7 6·
¨
¸ y B ¨
¸.
© 2 3 ¹
©9 8¹
Hallar matrices C y D de orden 2, tales que A C = B y D A = B.
SO L U C I O N
Para determinar matrices C y D, debemos tomar matrices de 2 x 2 cuyos elementos
son desconocidos y los establecemos como sigue:
2b d · § 7 6 ·
§ 2 1·§ a b · § 7 6 ·
§ 2a c
¨
¸¨
¸ ¨
¸ Ÿ ¨
¸ ¨
¸
© 2 3 ¹© c d ¹ © 9 8 ¹
© 2 a 3c 2b 3d ¹ © 9 8 ¹
A
f ·§ 2 1· § 7 6 ·
§ 2e 2 f e 3 f · § 7 6 ·
¸¨
¸ ¨
¸ Ÿ ¨
¸ ¨
¸
h ¹© 2 3 ¹ © 9 8 ¹
© 2 g 2h g 3h ¹ © 9 8 ¹
De aquí, establecemos los siguientes sistemas de ecuaciones:
§e
¨
©g
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MATRICES
15
2a c 7 ½
¾ c = 8 y d = 7;
2 a 3c 9 ¿
2e 2 f
e 3 f
7½
19
33
y e
¾ f
6¿
4
4
2 g 2h 9 ½
2b d 6 ½
15
13
25
43
y b
;
y g
¾ a
¾ h
2b 3d 8 ¿
g 3h 8 ¿
2
4
2
4
Solucionados ambos sistemas y obtenemos las matrices pedidas:
§ 33 19 ·
§ 15 13 ·
¨ 4
4 ¸¸ . ’
C ¨ 2 2¸ y D ¨
¨¨
¸¸
¨ 43 25 ¸
¨
¸
©8 7¹
© 4
4 ¹
E J E M P L O 1.1.15
Determine la matriz M de modo que satisfaga la relación
§ 3 1· § 5 7·
M¨
¸=¨
¸.
© -2 2 ¹ © -5 9 ¹
SO L U C I O N
Para resolver este problema, debemos tomar una matriz M de 2 x 2 cuyos elementos
son desconocidos y los establecemos de la siguiente manera:
§ a b ·§ 3 1 · § 5 7 ·
§ 3a 2b a 2b · § 5 7 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸ Ÿ ¨
¸ ¨
¸.
c
d
2
2
5
9
©
¹©
¹ ©
¹
© 3c 2d c 2d ¹ © 5 9 ¹
Dos matrices se dice son iguales si sus correspondientes elementos son iguales,
por tanto
3a 2b 5 ½
¾ Ÿ 4a = 12 Ÿ a = 3 y b = 2;
a 2b 7 ¿
3c 2d
c 2d
5 ½
¾ Ÿ 4c = 4 Ÿ c = 1 y d = 4
9 ¿
Por lo tanto
§3 2·
M =¨
¸. ’
©1 4¹
E J E M P L O 1.1.16
Encontrar todas las matrices de orden dos que conmutan con la matriz
§ CosT SenT ·
A ¨
¸.
© SenT CosT ¹
SO L U C I O N
Multiplicamos a la matriz A por la izquierda y derecha por una matriz 2 x 2 de
variables:
§ a b ·§ CosT SenT · § CosT SenT ·§ a b ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸¨
¸
© c d ¹© SenT CosT ¹ © SenT CosT ¹© c d ¹
Igualando los elementos de estas matrices, establecemos un sistema de ecuaciones:
­ aCosT bSenT aCosT cSenT
­ (b c ) SenT 0
° aSenT bCosT bCosT dSenT
°( a d ) SenT 0
°
°
Ÿ
®
®
cCos
T
d
S
en
T
a
S
en
T
cCos
T
°
°( a d ) SenT 0
°¯ cSenT dCosT bSenT dCosT
°¯ (b c ) SenT 0
Si SenT z 0, entonces: b + c = 0 Ÿ b = -c y a - d = 0 Ÿ a = d
por lo tanto la matriz buscada es
§ d c ·
¨
¸ , para todo c, d  R. ’
©c d ¹
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16
MATRICES
E J E M P L O 1.1.17
Dadas las matrices A, B, ¿en qué condiciones son válidas las siguientes ecuaciones?
a.- (A + B)2 = A 2 + 2A B + B 2;
b.- (A + B)(A - B) = (A - B)(A + B) = A 2 - B 2.
SO L U C I O N
a.- (A + B)2 = (A + B)(A + B) = A A + A B + B A + B B si A B = B A
= A 2 + 2A B + B 2.
b.- (A + B)(A - B) = A A - A B + B A - B B si A B = B A
= A2 - B2
(A - B)(A + B) = A A + A B - B A - BB si A B = B A
= A 2 - B 2. ’
EJ E M P L O 1.1.18
Dadas las matrices A, B, C, D, suponga que todas las operaciones están definidas;
demuestre entonces, a partir de la definición de multiplicación de matrices, que:
(A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = A C + A D + B C + B D.
Bajo qué hipótesis están definidas todas las operaciones?
SO L U C I O N
Realizamos el producto
(A + B)(C + D) = A C + A D + B C + BD
= (A C + A D) + (B C + B D)
= A(C + D) + B(C + D)
Las matrices A y B deben ser de orden m x n y las matrices C + D de orden n x p. ’
E J E M P L O 1.1.19
Si A, B, C son tres matrices tales que A C = C A y B C = C B, pruébese que:
(A B ± B A)C = C(A B ± B A).
SO L U C I O N
Tenemos como hipótesis que tanto A y C como B y C son conmutativas para el
producto, entonces:
(A B ± B A)C = A B C ± B A C = A C B ± B C A = C A B ± C B A = C(A B ± B A). ’
EJ E M P L O 1.1.20
Dadas las matrices
§1 0 2·
§1 3 0·
§6 5 7·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
A ¨ 0 1 1 ¸ , B ¨ 0 4 1 ¸ , C ¨ 2 2 4 ¸ .
¨ 3 3 6¸
¨ 2 0 2¸
¨ 2 3 0¸
©
¹
©
¹
©
¹
Muestre que A C = B C, sin embargo, A z B.
SO L U C I O N
Primero realizamos el producto A C y luego B C:
§ 1 0 2 ·§ 6 5 7 · §12 11 19 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
A C ¨ 0 1 1 ¸¨ 2 2 4 ¸ ¨ 5 5 10 ¸ ;
¨ 2 0 2 ¸¨ 3 3 6 ¸ ¨18 16 26 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
§ 1 3 0 ·§ 6 5 7 ·
¨
¸¨
¸
¨ 0 4 1¸¨ 2 2 4 ¸
¨ 2 3 0 ¸¨ 3 3 6 ¸
©
¹©
¹
De esta manera queda demostrado que A C = B C
BC
§12 11 19 ·
¨
¸
¨ 5 5 10 ¸ .
¨18 16 26 ¸
©
¹
sin que A = B. ’
E J E M P L O 1.1.21
Muestre que A y B conmutan si y sólo si A - DI y B - DI conmutan para un cierto
escalar unidad.
SO L U C I O N
Realizamos los productos correspondientes a (A - DI)(B - DI) y (B - DI)(A - DI):
(A - DI)(B - DI) = (B - DI)(A - DI)
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MATRICES
17
A B - DA I - DIB + D2 II = B A - DB I - DI A + D2 II
A B - DA - DB + D2 I 2 = B A - DB - DA + D2 I 2
A B = B A. ’
EJ E M P L O 1.1.22
§a b ·
Sea A ¨
¸ una matriz de 2 x 2 con ad ± bc z 0. Encuentre una matriz B tal
d¹
©c
que A B = B A = I.
SO L U C I O N
Realizamos los productos A B = I y B A = I, luego resolvemos los sistemas de
ecuaciones lineales generados por cada uno de ellos:
­ ax bz 1
d
c
­
z
° cx dz 0
°° x ad bc ;
§ a b ·§ x y · § 1 0 ·
°
ad
bc
AB ¨
Ÿ ®
¸¨
¸ ¨
¸ Ÿ ®
b
a
c
d
z
u
0
1
ay
bu
0
©
¹©
¹ ©
¹
°y
°
; u
°¯
°¯ cy du 1
ad bc
ad bc
­ ax cy 1
d
­
x
;
°bx dy 0
°
x
y
a
b
1
0
§
·§
· §
·
°
°
ad bc
Ÿ
Ÿ
BA ¨
®
®
¸¨
¸ ¨
¸
b
© z u ¹© c d ¹ © 0 1 ¹
°y
° az cu 0
;
°¯
°¯ bz du 1
ad bc
Por lo tanto la matriz B tiene la forma siguiente:
b ·
§ d
¨ ad bc ad bc ¸
¸. ’
B ¨
a ¸
¨ c
¨
¸
© ad bc ad bc ¹
z
u
c
ad bc .
a
ad bc
E J E M P L O 1.1.23
Demuestre que si A B = O y B z O, no existe ninguna matriz C tal que C A = I.
SO L U C I O N
Si A = O por ser B z O, la no existencia de la matriz C para que C A = I, es obvia. Si
A z O y B z O, entonces A z O, C A z C O, C A z O para que C A = I
necesariamente la matriz C debe ser la inversa de A, en caso contrario no podemos
obtener C A = I. ’
E J E M P L O 1.1.24
Sea A una matriz de n x n. Suponga que A B = B para toda matriz B de n x n.
Pruebe que A = I.
SO L U C I O N
Tenemos que:
A B = B Ÿ A B ± B = O Ÿ (A ± I)B = O.
Por hipótesis B z O, entonces A ± I = O, de donde A = I. ’
E J E M P L O 1.1.25
Encuentre un ejemplo para probar que existen matrices no cuadradas A y B, tales que
A B = I. Específicamente, pruebe que existe una matriz A de m x n y una matriz B de
n x m, tales que A B es la matriz identidad de m x m. Demuestre que B A no es la
matriz identidad de n x n. Pruebe en general que, si m z n, entonces A B y B A no
pueden ser ambas matrices identidad.
SO L U C I O N
§a b ·
§ 1 3 1·
¨
¸
Sea A ¨
¸ y B ¨ c d ¸ , entonces:
©4 2 1 ¹
¨e f ¸
©
¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
18
MATRICES
§a b ·
b 3d f · § 1 0 ·
§ 1 3 1· ¨
¸ § a 3c e
¨
¸¨ c d ¸ ¨
¸ ¨
¸.
4
2
1
4
a
2
c
e
4
b 2d f ¹ © 0 1 ¹
©
¹¨ e f ¸ ©
©
¹
Igualando las matrices, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
(1) ­ a 3c e 1
­§ a b ·
½
(2) °° 4 a 2c e 0
(1) (2) ­ 5 a 5c 1
°¨
¸ 5 a 5c 1 °
Ÿ
B
c
d
Ÿ
®
®
®¨
¾.
¸
(3) °b 3d f 0
(3) (4) ¯5b 5d 1
°¨ e f ¸ 5b 5d 1°
¹
¯©
¿
(4) °¯ 4b 2d f 1
Como comprobación, podemos escoger la matriz B de la siguiente manera:
3·
§ 3
¨ 5 10 ¸
¨
¸
§ 1 3 1· ¨ 2
1 ¸ §1 0·
AB ¨
¸¨
¨
¸.
2 ¸ ©0 1¹
©4 2 1 ¹¨ 5
¸
6 ¸
¨8
¨
¸
5 ¹
© 5
Con esto queda demostrado que existen matrices no cuadradas, tales que el producto
A B es la matriz I. A continuación, vamos a demostrar que el producto B A no es la
matriz I:
3·
6
9·
§ 3
§ 3
¸
¨ 5 10 ¸
¨ 5
5
10
¨
¸
¨
¸ §1 0 0·
2
1 ¸ § 1 3 1· ¨ 8
1
9 ¸ ¨
¸
¨
BA ¨
z ¨0 1 0¸ . ’
¨
¸ ¨
¸
¸
4
2
1
5
2 ©
5
10
¹ ¨ 5
¨
¸
¸ ¨© 0 0 1 ¸¹
6 ¸
¨8
¨ 16 12 14 ¸
¨
¸
¨
¸
5 ¹
5
5 ¹
© 5
© 5
AB
E J E M P L O 1.1.26
Suponga que la tercera columna de B es la suma de las primeras dos columnas. ¿Qué
se puede decir sobre la tercera columna de A B? ¿Por qué?
SO L U C I O N
La tercera columna de A B es la suma de las primeras dos columnas de A B. He aquí
por qué. Denotemos las primeras tres columnas de B por b1, b2, b3. Si b3 = b1 + b2,
entonces la tercera columna de A B es A b3 = A b1 + A b2, por una propiedad de la
multiplicación de matrices. ’
EJ E M P L O 1.1.27
Un comerciante de radios, tiene 10 radios de tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de
tamaño III. Los radios de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II en $47
cada uno y los de tamaño III se venden a $40 cada uno. Calcular el precio de venta
de su existencia de radios.
SO L U C I O N
Construimos una matriz A en la cual constan la cantidad de radios de cada uno de los
tamaños y, una matriz B de precios por tamaño. Realizamos el producto de A B para
obtener el precio de venta de la existencia de radios
§ 60 ·
¨ ¸
10 15 8 ¨ 47 ¸ $1625 . ’
¨ 40 ¸
© ¹
EJ E M P L O 1.1.28
Una empresa utiliza tres tipos de materias primas P1, P2 y P3 en la elaboración de tres
productos Q1, Q2 y Q3. El número de unidades de P1, P2 y P3 usados por cada unidad
de Q1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada unidad de Q2 son 5, 3 y 4,
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
19
respectivamente, y por cada unidad de Q3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que
la empresa produce 28 unidades de Q1, 18 unidades de Q2 y 39 unidades de Q3 a la
semana.
a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima?
b.- Si los costos por unidad para P1, P2 y P3 son 60, 52 y 18, respectivamente, ¿cuáles son los costos de las materias primas por unidad de Q1, Q2 y Q3?
c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a la semana en la producción de Q1, Q2 y Q3?
SO L U C I O N
a.- Para obtener el consumo semanal de la materia prima, construimos la matriz A
de unidades por producto y una matriz B de cantidad de materia prima por producto
y luego realizamos el producto A B
§ 4 3 2·
¨
¸
A B 28 18 39 ¨ 5 3 4 ¸ 280 333 245 .
¨ 2 5 3¸
©
¹
b.- Los costos de materia prima por unidad de cada producto lo calculamos de la
siguiente manera: a la matriz B del inciso anterior le multiplicamos la matriz C de
costos por unidad para cada tipo de materia prima, es decir
§ 4 3 2 ·§ 60 · § 432 ·
¨
¸¨ ¸ ¨
¸
B C ¨ 5 3 4 ¸¨ 52 ¸ ¨ 528 ¸ .
¨ 2 5 3 ¸¨ 18 ¸ ¨ 434 ¸
©
¹© ¹ ©
¹
c.- Si sumamos los tres tipos de materia prima, obtenemos la cantidad total gastada
a la semana en la producción de los tres productos
P1 + P2 + P3 = 280 + 333 + 245 = 858. ’
EJ E M P L O 1.1.29
Demostrar que la igualdad A B ± B A = I es imposible.
SO L U C I O N
Sea
§ a11 a12 ... a1n ·
§ b11 b12 ... b1n ·
¨
¸
¨
¸
a
a
...
a
b21 b22 ... b2 n ¸
21
22
2n ¸
A ¨
, B ¨
,
¨ ... ...
¨ ... ...
... ¸
... ¸
¨¨
¸¸
¨¨
¸¸
© an1 an 2 ... an n ¹
© bn1 bn 2 ... bn n ¹
n
n
§ n
·
¨ ¦ a1k bk 1 ¦ a1k bk 2 ... ¦ a1k bkn ¸
k 1
k 1
¨k 1
¸
¨ n
¸
n
n
¨ ¦ a2 k bk 1 ¦ a2 k bk 2 ... ¦ a2 k bkn ¸
AB ¨k 1
¸,
k 1
k 1
¨
¸
...
...
...
¨
¸
n
n
¨ n
¸
¨ ¦ ank bk 1 ¦ ank bk 2 ... ¦ ank bkn ¸
¨
¸
k 1
k 1
©k 1
¹
n
n
n
§
·
¨ ¦ b1k a k 1 ¦ b1k a k 2 ... ¦ b1k a kn ¸
k 1
k 1
¨k 1
¸
¨ n
¸
n
n
¨ ¦ b2 k a k 1 ¦ b2 k a k 2 ... ¦ b2 k a kn ¸
BA ¨k 1
¸.
k 1
k 1
¨
¸
...
...
...
¨
¸
n
n
¨ n
¸
¨ ¦ bnk a k 1 ¦ bnk a k 2 ... ¦ bnk a kn ¸
¨
¸
k 1
k 1
©k 1
¹
Entonces la suma de los elementos diagonales de la matriz A B es igual a
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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20
MATRICES
n
n
¦¦ aik bki , que es exactamente igual a la suma de los elementos diagonales para la
i 1k 1
matriz B A. Por consiguiente, la suma de los elementos diagonales de la matriz
A B ± B A es igual a cero, y la igualdad A B ± B A = I es imposible. ’
T E O R E M A 1.1.7
Sean A = (a ij), B = (bij) y C = (c ij), matrices compatibles para el producto,
entonces (A B)C = A(B C).
D E M OST R A C I O N
Sean A, B, C matrices compatibles para el producto y D = B C, entonces para todo i,
j natural
§ m
·
(d ij ) ¨ ¦ bik ckj ¸ .
©k 1
¹
Sea E = A D, entonces para todo i, j natural
§ m
· §m
§ m
·· § m m
·
(eij ) ¨ ¦ air d rj ¸ ¨ ¦ air ¨ ¦ brk ckj ¸ ¸ ¨ ¦¦ air brk ckj ¸ .
¨
¸
©r 1
¹ ©r 1 ©k 1
¹¹ © r 1 k 1
¹
Por otra parte, sea F = A B, entonces para todo i, j natural
§ m
·
( f ij ) ¨ ¦ aik bkj ¸ .
©k 1
¹
Sea G = F C, entonces para todo i, j natural
§m
· §m§m
· · § m m
·
( g ij ) ¨ ¦ f ir crj ¸ ¨ ¦ ¨ ¦ aik bkr ¸ c rj ¸ ¨ ¦¦ aik bkr c rj ¸ .
¨
¸
©r 1
¹ © r 1© k 1
¹ ¹ © r 1k 1
¹
Obtenemos E = G y, por tanto (A B)C = A(B C).
De este teorema se deduce que el producto de varias matrices dispuestas en un orden
determinado no depende de cómo se coloquen los paréntesis. Por esto podemos
hablar no sólo sobre el producto de dos matrices, sino también sobre el producto de
un número mayor de matrices.
T E O R E M A 1.1.8
Sean A = (a ij), B = (bij) y C = (c ij), matrices compatibles para el producto y
suma respectivamente, entonces
A(B + C) = A B + A C.
D E M OST R A C I O N
Sea D = B + C, entonces (dij) = (bij + c ij). Si E = A D, entonces
§ m
·
(eij ) ¨ ¦ ai k d k j ¸
©k 1
¹
§ m
·
¨ ¦ ( ai k bk j ai k ck j ) ¸
©r 1
¹
§ m
· § m
·
¨ ¦ ai k bk j ¸ ¨ ¦ ai k ck j ¸
©r 1
¹ ©r 1
¹
= AB + A C .
T E O R E M A 1.1.9
Sean A = ( a ij), B = (bij) y C = (c ij), matrices compatibles para la suma y el
producto respectivamente, entonces
(B + C)A = B A + C A.
D E M OST R A C I O N
Sea D = B + C, entonces (dij) = (bij + c ij). Si E = D A, entonces
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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MATRICES
21
§m
· §m
· § m
· § m
·
(eij ) ¨ ¦ dik akj ¸ ¨ ¦ (bik cik ) akj ¸ ¨ ¦ bik akj ¸ ¨ ¦ cik akj ¸
©k 1
¹ ©r 1
¹ ©r 1
¹ ©r 1
¹
BA + CA .
De las propiedades 1.1.8 y 1.1.9 se desprende directamente la siguiente regla general:
para multiplicar una suma de matrices por otra hay que multiplicar cada matriz de la
primera suma por cada matriz de la segunda suma y sumar los productos obtenidos.
Si las operaciones indicadas en uno de los miembros son posibles, las operaciones
indicadas en el otro miembro también son posibles y los resultados obtenidos en
ambos miembros coinciden.
T E O R E M A 1.1.10
Sean A = (a ij), I = (Gij) matrices cuadradas de igual orden. En las matrices
cuadradas es posible definir un elemento neutro respecto del producto
matricial, llamado matriz unidad o identidad, representado por I, que cumple
A I = I A = A.
D E M OST R A C I O N
Si D = A I, entonces
§ m
·
(d ij ) ¨ ¦ aik Gkj ¸ ( aij G jj ) ( aij )
©r 1
¹
Si E = I A, entonces
§m
·
(eij ) ¨ ¦ Gik akj ¸ (Gii aij ) ( aij )
©r 1
¹
Por tanto, D = E = A.
T E O R E M A 1.1.11
Sean A = (a ij), B = (bij) matrices compatibles para el producto. En general, el
producto de dos matrices no es conmutativo, y, por tanto A B z B A.
D E M OST R A C I O N
Si D = A B, entonces
§ m
·
(d ij ) ¨ ¦ aik bkj ¸
©r 1
¹
Si E = B A, entonces
§ m
·
(eij ) ¨ ¦ bik a kj ¸
©r 1
¹
Claramente observamos que D z E y, por tanto, en general el producto de matrices
no es conmutativo.
EJ E M P L O 1.1.30
Demuestre que A B z B A dadas las matrices
A
i·
§ 2 i 4 3i
¨
¸,
© 7 6 9i 1 i ¹
B
§ 8 4i
¨
6
¨
¨ 3 2i
©
5i ·
¸
2i ¸ .
4 5i ¸¹
SO L U C I O N
5i ·
§ 8 4i
i ·¨
6i 4 ·
§ 2 i 4 3i
¸ § 42 21i
6
2i ¸ ¨
¨
¸¨
¸;
7
6
9
i
1
i
97
25
i
27
24i ¹
©
¹ ¨ 3 2i 4 5i ¸ ©
©
¹
5i ·
§ 8 4i
§ 20 35i 38i 1 9 8i ·
i · ¨
¨
¸ § 2 i 4 3i
¸
2i ¸ ¨
¸ ¨ 12 8i 42 6i 6i 2 ¸ .
¨ 6
7
6
9
i
1
i
¹ ¨ 32 42i 83i 19 7 4i ¸
¨ 3 2i 4 5i ¸ ©
©
¹
©
¹
AB
BA
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
22
MATRICES
Por tanto A B z B A. ’
EJ E M P L O 1.1.31
Dadas las matrices
S
S·
S
S·
§
§
¨ Sen 4 Cos 4 ¸
¨ Tan 4 Sen 4 ¸
¸, B ¨
¸.
A ¨
¨ Cos S Sen S ¸
¨ Sen S Tan S ¸
¨
¸
¨
¸
4
4¹
4
4 ¹
©
©
Demuestre que A B = B A.
SO L U C I O N
Realizamos el producto A B:
S
S ·§
S
S·
§
¨ Sen 4 Cos 4 ¸¨ Tan 4 Sen 4 ¸
¸¨
¸
AB ¨
¨ Cos S Sen S ¸¨ Sen S Tan S ¸
¨
¸¨
¸
4
4 ¹©
4
4 ¹
©
§ 2
2 ·§
2·
¨
¸¨ 1 ¸
2 ¸¨
2 ¸
¨ 2
¨
¸
2
2 ¸¨ 2
1 ¸
¨
¸¨
2 ¹© 2
© 2
¹
También efectuamos el producto B A:
S
S ·§
S
§
¨ Tan 4 Sen 4 ¸¨ Sen 4
¸¨
BA ¨
¨ Sen S Tan S ¸¨ Cos S
¨
¸¨
4
4 ¹©
4
©
§
¨ 1
¨
¨ 2
¨
© 2
Por tanto A B = B A. ’
2 ·§ 2
¸¨
2 ¸¨ 2
¸¨
2
1 ¸¨ ¹© 2
2·
¸
2 ¸
2¸
¸
2 ¹
§ 2 1
¨
¨ 2
¨1 2
¨
© 2
2 1 ·
¸
2 ¸.
2 1¸
¸
2 ¹
S·
Cos ¸
4¸
S¸
Sen ¸
4¹
§ 2 1
¨
¨ 2
¨1 2
¨
© 2
2 1 ·
¸
2 ¸
.
2 1 ¸
¸
2 ¹
% CALCULAR LA MULTIPLICACION DE MATRICES clc;;clear;; fprintf('\n PRODUCTO ENTRE MATRICES \n') fil1=input('Ingrese el numero de filas de la matriz A : ');; col1=input('Ingrese el numero de columnas de la matriz A: ');; fil2=input('Ingrese el numero de filas de la matriz B : ');; col2=input('Ingrese el numero de columnas de la matriz B: ');; if (col1==fil2) %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:\n') for f=1:fil1 for c=1:col1 fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('Matriz B:\n') for f=1:fil2 for c=1:col2 fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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MATRICES
23
A fprintf(' LA MATRIZ B ES:\n') B fprintf(' LA MATRIZ PRODUCTO C ES:\n') C=A*B else fprintf('\n Las dimensiones no coinciden\n') end A continuación damos de forma general, la multiplicación de hipermatrices.
Consideremos las matrices
A1p ·
§ A 11 A 12
B1n ·
§ B11 B12
¨
¸
¨
¸
A2p ¸
B 2n ¸
¨ A 21 A 22
¨ B 21 B 22
A ¨
y
.
B
¸
¨
¸
¨
¸
¨¨
¸
¨ A m1 A m 2
B pn ¸¹
A mp ¸¹
© B p1 B p 2
©
divididas en submatrices A ik y B kj de manera que el número de columnas de la
submatriz A ik sea igual al número de filas de la submatriz B kj. En estas condiciones
las expresiones
C ij = A i1 B 1j + A i2 B 2j + ... + A ip B pj tienen sentido. Por tanto
§ ¦ A 1k B k 1 ¦ A 1k B k 2
¦ A 1k B km ·¸
¨ k
k
k
¨
¸
¦ A 2 k B km ¸
¨ ¦ A 2 k B k1 ¦ A 2 k B k 2
k
k
A B ¨ k
¸
¨
¸
¨
¸
¦ A nk B km ¸
¨ ¦ A nk B k 1 ¦ A nk B k 2
k
k
© k
¹
es decir, las matrices divididas de manera adecuada en submatrices pueden ser
multiplicadas de la forma corriente.
D E F IN I C I O N 1.1.11
Si A y B son dos hipermatrices cuyas submatrices son (A ik), (B kj), para todo
i, j, k  , respectivamente, la hipermatriz producto C = A B se define
como
§
·
C (cij ) ¨ ¦ A ik B kj ¸ , para todo i, j, k  .
© k
¹
EJ E M P L O 1.1.32
Determine A B, dadas las matrices
§4 3 5
¨
¨0 4 6
A ¨1 2 3
¨
¨1 2 5
¨1 0 3
©
2
3
6
6
5
1·
¸
8¸
2¸ y B
¸
7¸
1 ¸¹
§0
¨
¨1
¨2
¨
¨1
¨2
©
3
3
4
4
4
9
6
6
6
8
1·
¸
3¸
8¸ .
¸
3¸
5 ¸¹
SO L U C I O N
El producto A B se establece de la siguiente manera:
§ A 11B11 + A 1 2 B1 2 A 11B1 2 + A 1 2 B 2 2 · § C11 C12 ·
AB = ¨
¸=
¨ A 21B11 + A 2 2 B 21 A 21B1 2 + A 2 2 B 2 2 ¸ ¨© C 21 C 22 ¸¹
©
¹
§ 2 4 6·
§ 4 3 ·§ 0 3 9 · § 5 2 1 · ¨
¸
C11 ¨
¸¨
¸¨
¸¨1 4 6¸
© 0 4 ¹© 1 3 6 ¹ © 6 3 8 ¹ ¨ 2 4 8 ¸
©
¹
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24
MATRICES
C12
§ 3 21 54 · §14 32 50 · § 17 53
¨
¸¨
¸ ¨
© 4 12 24 ¹ © 31 68 118 ¹ © 35 80
§8·
§ 4 3 ·§ 1 · § 5 2 1 · ¨ ¸ § 13 · § 51 ·
¨
¸¨ ¸ ¨
¸ ¨ 3¸ ¨ ¸ ¨ ¸
© 0 4 ¹© 3 ¹ © 6 3 8 ¹ ¨ 5 ¸ ©12 ¹ © 97 ¹
© ¹
§1
¨
C 21 ¨1
¨1
©
§2
¨
¨2
¨0
©
C 22
2·
§3
¸§0 3 9· ¨
2¸¨
¸ 5
1 3 6 ¹ ¨¨
©
¸
0¹
©3
9 21· § 16 44
¸ ¨
9 21¸ ¨ 30 72
3 9 ¸¹ ¨© 13 36
6 2 ·§ 2 4
¸¨
6 7 ¸¨ 1 4
5 1 ¸¨
¹© 2 4
70 · § 18
¸ ¨
122 ¸ ¨ 32
56 ¸¹ ¨© 13
§1 2 ·
§ 3 6 2 ·§ 8 ·
¨
¸ §1· ¨
¸¨ ¸
¨1 2 ¸ ¨ 3 ¸ ¨ 5 6 7 ¸¨ 3 ¸
©
¹
¨1 0 ¸
¨ 3 5 1 ¸¨ 5 ¸
©
¹
©
¹© ¹
§ 17
¨
¨ 35
A B = ¨ 18
¨
¨ 32
¨ 13
©
104 ·
¸.
142 ¹
§ 64 ·
¨
¸.
© 109 ¹
6·
¸
6¸
8 ¸¹
53 91 ·
¸
81 143 ¸ .
39 65 ¸¹
§ 7 · § 52 · § 59 ·
¨ ¸ ¨ ¸ ¨
¸
¨ 7 ¸ ¨ 93 ¸ ¨ 100 ¸ .
¨ 1 ¸ ¨ 44 ¸ ¨ 45 ¸
© ¹ © ¹ ©
¹
53 104
80 142
53 91
81 143
39 65
64 ·
¸
109 ¸
59 ¸ . ’
¸
100 ¸
45 ¸¹
EJ E M P L O 1.1.33
Dada
§O I ·
A =¨
¸
©B O¹
donde las submatrices O, I, B son de k x k. Determine A 2 y A 4.
SO L U C I O N
Realizamos el producto A A y luego A 2 A 2 y obtenemos los resultados
correspondientes:
OI + IO · § B
§ O I ·§ O I · § O + I B
A2 = AA = ¨
¸¨
¸=¨
¸=¨
B
O
B
O
B
O
+
O
B
BI + O ¹ © O
©
¹©
¹ ©
§B
A4 = A2A2 = ¨
©O
O ·§ B
¸¨
B ¹© O
O · § B2 + O
¸=¨
B ¹ ¨© O B + B O
B O + O B · § B2
¸=¨
O + B 2 ¸¹ ¨© O
O·
¸;
B¹
O·
¸. ’
B 2 ¸¹
Las propiedades entre hipermatrices son las mismas que estudiamos anteriormente.
PR O B L E M AS
1.1.1 Multiplicar las matrices:
§ 1 2 1 ·§ 2 3 1 ·§ 1 2 1 ·
¨
¸¨
¸¨
¸
a.- ¨ 0 1 2 ¸¨ 1 1 0 ¸¨ 0 1 2 ¸ ;
¨ 3 1 1 ¸¨ 1 2 1¸¨ 3 1 1 ¸
©
¹©
¹©
¹
§ a b c · §1 a c ·
¨
¸¨
¸
b.- ¨ c b a ¸ ¨1 b b ¸ .
¨ 1 1 1 ¸ ¨1 c a ¸
©
¹©
¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1.1.2 Pruebe que si A es una matriz de n x n y B = a A +
b I, siendo a, b números reales, entonces A y B son
conmutativas.
1.1.3 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos
cubos son iguales a la matriz nula.
1.1.4 Pruebe que las matrices A y B son conmutativas, si
y solamente si C = a A + b B y D = c A + d B lo son,
donde a, b, c, d son números reales.
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
25
1.1.5 Dadas las matrices
§1·
§1·
§1·
§0·
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
¨ ¸
A ¨ 2¸ , B ¨ 0¸ , C ¨ 4¸ , D ¨0¸ .
¨ 3¸
¨ 2¸
¨ 4¸
¨1¸
© ¹
© ¹
© ¹
© ¹
a.- Encuentre escalares a y b tales que C = a A + b B;
b.- Demuestre que no existen escalares a y b tales que D
= a A + b B;
c.- Encuentre escalares no nulos a, b, c tales que a A + b B
+ c C = O.
1.1.14 Demuestre que si A es una matriz de m x n, n >
m, entonces existe un vector columna no nulo para el cual
A v = O.
1.1.6 Hallar todas las matrices se segundo orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz nula.
1.1.16 Demuestre que si A es una matriz de n x n tal que
A v = v para cualquier vector columna, entonces A = I.
1.1.7 Hallar todas
siguiente matriz:
§ 1 2 ·
a.- ¨
b.¸;
©4 1 ¹
1.1.17 Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz identidad.
§2
d.- ¨
© 1
§ 1
g.- ¨
©3
las matrices conmutativas con la
1·
¸;
1¹
§ 1 2 ·
¨
¸;
© 2 1 ¹
§3 4·
e.- ¨
¸;
©5 1¹
§ 1 1·
c.- ¨
¸;
© 1 1¹
§ 2 3 ·
f.- ¨
¸;
©2 4 ¹
4·
¸;
2¹
§ 3 8·
h.- ¨
¸;
© 3 1¹
§ 1 4 ·
i.- ¨
¸.
© 2 8¹
1.1.8 Hallar todas las matrices conmutativas con la
siguiente matriz:
§ 1 1 1·
§ 0 1 4 ·
¨
¸
¨
¸
a.- ¨ 1 1 1 ¸ ; b.- ¨ 3 2 1 ¸ ;
¨ 1 1 1¸
¨ 1 1 3 ¸
©
¹
©
¹
§ 5 1 3·
§ 4 5 1·
¨
¸
¨
¸
c.- ¨ 2 1 1 ¸ ; d.- ¨ 1 3 0 ¸ ;
¨ 1 1 3 ¸
¨ 2 0 1¸
©
¹
©
¹
§ 1 3 0 ·
¨
¸
e.- ¨ 2 1 3 ¸ ;
¨ 5 2 1¸
©
¹
§ 1 1 7 ·
¨
¸
f.- ¨ 2 3 1 ¸ .
¨1 4 1¸
©
¹
1.1.9 Encuentre matrices A y B de 2 x 2 tales que A B =
O pero B A z O.
1.1.10 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz nula.
1.1.11 Hallar todas las matrices de tercer orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz identidad.
1.1.12 Suponga que la última columna de A B es
completamente cero pero B misma no tiene ninguna
columna de ceros. ¿Qué se puede decir sobre las columnas
de A?
1.1.13 Demuestre que si el producto A B es de n x n,
entonces el producto B A está definido.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1.1.15
que
A
Encuentre una matriz B tal que A B C = D dado
§ 3 7·
¨
¸
¨ 2 1 ¸ , C
¨ 5 3¸
©
¹
§9 3 5·
§ 2 5 4·
¨
¸
¨
¸ , D ¨7 2 4¸ .
© 9 6 2¹
¨7 5 0¸
©
¹
1.1.18 Hallar todas las matrices reales de segundo orden,
cuyos cubos son iguales a la matriz identidad.
1.1.19 Hallar todas las matrices reales de segundo orden,
cuyas cuartas potencias son iguales a la matriz identidad.
1.1.20 Hállese la familia de matrices de la forma
§ a 0 0·
¨
¸
A ¨0 b c¸
¨0 d e¸
©
¹
2
tales que A = I.
1.1.21 Encontrar una matriz A de 4 x 4 cuyos elementos
cumplan la condición siguiente:
a.- aij = i ± j;
b.- aij = mín{i, j};
c.- a ij = j1+ j;
d.- a ij = ~i - j~;
­ 1 si i j ! 1
°
e.- a ij = máx{i, j};
f.- aij ®
.
°̄1 si i j d 1
1.1.22 Pruebe con un ejemplo que si B tiene una columna
de ceros, entonces A B tiene una columna correspondiente
de ceros.
1.1.23 Encuentre una matriz A tal que:
§1 2 4 ·
§ 1 2 1·
¨
¸
¨
¸
a.- A 3 ¨ 0 3 1¸ ; b.- A 2 ¨ 3 0 2 ¸ ;
¨ 0 5 1¸
¨0 0 3 ¸
©
¹
©
¹
§ 2 0 0·
§ 1 2 1·
¨
¸
¨
¸
c.- A 3 ¨ 1 3 2 ¸ ; d.- A 2 ¨ 1 0 2 ¸ .
¨ 1 1 1 ¸
¨ 1 2 1 ¸
©
¹
©
¹
1.1.24 Sean A y B matrices tales que el producto A B
está definido. Demuestre que si A tiene dos columnas
idénticas, entonces las dos columnas correspondientes de
A B también son idénticas.
JOE GARCIA ARCOS
26
MATRICES
1.1.25 Represente como un producto de matrices las
siguientes expresiones:
a.- x2 + 5y2 ± 4z2 + 2xy ± 4xz;
b.- 4x2 + y2 + z2 ± 4xy + 4xz ± 3yz;
c.- 2x2 + 18y2 + 8z2 ± 12xy + 8xz ± 27yz;
d.- -12x2 ± 3y2 ± 12z2 + 12xy ± 24xz + 8yz;
e.- 3x2 + 2y2 ± z2 ± 2u2 + 2xy ± 4yz + 2yu;
f.- 4x2 + y2 + 9z2 ± 12xz;
g.- 2x2 + 3y2 + 6z2 ± 4xy ± 4xz + 8yz;
h.- 3x2 + 10y2 + 25z2 ± 12xy ± 18xz + 40yz;
i.- 5x2 + 5y2 + 2z2 + 8xy + 6xz + 6yz;
j.- 2x2 + 9y2 + 3z2 + 8xy ± 4xz ± 10yz.
1.1.26 Encuentre una matriz A de orden 2 x 2, tal que
A B = I si
3 ·
§i
B ¨
¸.
©1 1 3i ¹
1.1.27 Comprobar que las identidades algebraicas
(A + B)2 = A 2 + 2A B + B 2
y
(A + B)(A ± B) = A 2 ± B 2
no son ciertas para las matrices de 2 x 2:
§ 1 3 ·
§ 0 1 ·
A ¨
¸ y B ¨
¸
© 4 5¹
© 2 3 ¹
Modificar el segundo miembro de esas identidades para
obtener fórmulas válidas para todas las matrices cuadradas
A y B. ¿Para qué matrices A y B son válidas las
identidades establecidas anteriormente?
1.1.28 Sean A y B matrices de n x n. Demuestre que si
todos los elementos de la j-ésima columna de A son nulos
entonces todos los elementos de la j-ésima columna de A B
son nulos.
1.1.29 Hállese la familia de matrices de la forma
§ a 0 0·
¨
¸
A ¨0 b c¸
¨0 d e¸
©
¹
2
tales que A = O.
1.1.30 Construya una matriz aleatoria A de 4 x 4 y
compruebe si (A + I)(A ± I) = A 2 ± I. La mejor manera de
hacer esto es calcular (A + I)(A ± I) ± (A 2 ± I) y verificar
que esta diferencia sea la matriz cero. Hágalo para tres
matrices al azar. Luego haga la prueba para (A + B)(A ±
B) = A 2 ± B 2 procediendo de la misma manera con tres
pares de matrices de 4 x 4 al azar. Informe los resultados.
1.1.31 Sea A
§0 0·
¨
¸ . Demuestre que para toda ma©0 1¹
triz B de 2 x 2
(A B ± A B A)2 = (B A ± A B A)2 = O.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1.1.32 Encuentre todas
conmuten con la matriz
§1
¨
1
A ¨
¨0
¨
©0
las matrices de 4 x 4 que
1
1
1
0
0
1
1
1
0·
¸
0¸
.
1¸
¸
1¹
1.1.33 La matriz
PARA A PARA B PARA C
DE A
1.50
1.25
1.05
DE B
0.75
0.50
0.45
DE C
0.35
0.45
0.95
representa la proporción de una población de electores
que cambia del partido i al partido j en una elección dada.
Es decir, pij (i z j) representa la proporción de la población
de electores que cambia del partido i al partido j y pii
representa la proporción que permanece leal al partido i
de una elección a otra. Encuentre el producto de P con sí
misma. ¿Qué representa este producto?
1.1.34 Pruebe con un ejemplo que si A tiene una fila de
ceros, entonces A B tiene una fila correspondiente de
ceros.
1.1.35 Suponga que se quiere calcular la cantidad de
dinero que se tiene al cabo de n años si invertimos $ 250 a
un interés compuesto anual del, 4.5, 5, 5.5 %. Si
colocamos P dólares durante un año a un interés r,
entonces el valor que se tiene al final del año es Capital
final = P + rP = (1 + r)P. Encuentre el monto al final del
tercero y cuarto años de una inversión de $ 250 al interés
de 4.5, 5 y 5.5 %, respectivamente.
1.1.36 El costo en dólares de comprar un boleto aéreo de
la ciudad A a cada una de las cuatro ciudades B, C, D y E,
está relacionado en la matriz P = (75 62 35 55). Si la
directiva de la aviación civil aprueba un incremento del
12% en las tarifas. Hallar las nuevas tarifas.
1.1.37 Suponga que una matriz de n x n satisface la
ecuación A 2 ± 2A + I = O. Demuestre que A 3 = 3A - 2I y
que A 4 = 4A ± 3I.
1.1.38 Demuestre que si ambos productos A B y B A están
definidos, entonces A B y B A son matrices cuadradas.
1.1.39 Tres máquinas de gaseosas se localizan en un
centro comercial. El contenido de estas máquinas se presenta en la siguiente matriz de inventario:
A B C
Maquina I 65 32 84
Maquina II 92 65 36
Maquina III 45 72 93
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
Los elementos indican el número de latas de cada tipo de
gaseosa que contiene cada máquina. Suponga que la matriz
de ventas para el día siguiente es
A B C
Maquina I 53 25 70
Maquina II 80 60 30
Maquina III 35 65 85
donde los elementos indican el número de latas de cada
tipo de gaseosa que vende cada máquina. Hallar la matriz
de inventario al final del día.
1.1.40 Un comerciante de radios, tiene 10 radios de
tamaño I, 15 de tamaño II y 8 de tamaño III. Los radios
de tamaño I se venden a $60 cada uno los de tamaño II
en $47 cada uno y los de tamaño III se venden a $40
cada uno. Calcular el precio de venta de su existencia de
radios.
1.1.41 Un fabricante de sacos los produce en color negro, azul y rojo para hombres, mujeres y niños. La capacidad de producción en miles en la planta A está dada
por la matriz
Hombres Mujeres Niños
Negro
3
5
6
Azul
2
3
4
Rojo
5
1
3
La producción en la planta B está dada por
Hombres Mujeres Niños
Negro
2
3
3
Azul
4
2
5
Rojo
1
3
2
a.- Determine la representación matricial de la producción
total de cada tipo de sacos en ambas plantas.
b.- Si la producción en A se incrementa en un 15% y la
de B en un 30%, encuentre la matriz que representa la
nueva producción total de cada tipo de saco.
1.1.42 Sean A y B dos matrices de 3 x 3. Demuestre que
la ecuación matricial A B ± B A = I no tiene solución.
1.1.43 Una empresa utiliza tres tipos de materias primas
P1, P2 y P3 en la elaboración de tres productos Q1, Q2 y Q3.
El número de unidades de P1, P2 y P3 usados por cada
unidad de Q1 son 4, 3 y 2 respectivamente, por cada
unidad de Q2 son 5, 3 y 4, respectivamente, y por cada
unidad de Q3 son 2, 5 y 3 respectivamente. Suponga que la
empresa produce 28 unidades de Q1, 18 unidades de Q2 y
39 unidades de Q3 a la semana:
a.- ¿Cuál es el consumo semanal de materia prima?
b.- Si los costos por unidad para P1, P2 y P3 son 60, 52 y
18, respectivamente, ¿cuáles son los costos de las materias
primas por unidad de Q1, Q2 y Q3?
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
27
c.- ¿Cuál es la cantidad total gastada en materias primas a
la semana en la producción de Q1, Q2 y Q3?
1.1.44 Sean las matrices
§ 2 2·
§ 1 1·
§1·
A ¨
¸, B ¨
¸, C ¨ ¸,
© 3 2¹
© 0 1¹
©0¹
§ 3·
D 2 1 , E ¨ ¸ .
©1¹
Encuéntrese cada uno de los productos que se piden, y
compruébese el resultado mediante la multiplicación
directa:
§ A O ·§ B O ·
§ A B ·§ A O ·
a.- ¨
¸¨
¸ ; b.- ¨
¸¨
¸;
O
B
O
I
©
¹©
¹
© B A ¹© I B ¹
§A
c.- ¨
©D
C ·§ E
¸¨
O ¹© O
I·
¸;
D¹
§A
¨
d.- ¨ O
¨O
©
O
B
O
O ·§ I ·
¸¨ ¸
O ¸¨ O ¸ .
O ¸¹ ¨© B ¸¹
1.1.45 Utilizando el programa hecho anteriormente,
realice el producto por partición entre las matrices
4
5·
§ 1 1 2 3
¨
¸
3 0
1
3¸
¨6 2
A ¨ i 1 i 2 9
0
1¸
¨
¸
5 i 2
7¸
¨6 4
¨ 4 81 56 92 102 15 ¸
©
¹
y
§ i 93 67 34 0 0.5 ·
¨
¸
¨ 1 i 4 8 3 0 ¸
¨ 8 56 71 23 41 3 ¸
B ¨
¸.
0 ¸
¨ 1 1 6 2 9
¨0 2 1 3 4 5 ¸
¨¨
¸
3 ¸¹
©6 9 6 2 1
1.1.46 Una fábrica elabora muebles de comedor y sala en
dos sitios. La matriz proporciona el costo total de
manufactura de cada producto en cada lugar (suponga que
solamente hay costos de mano de obra y de material):
SITIO1 SITIO 2
COMEDOR
65
45
SALA
50
60
a.- Dado que la mano de obra corresponde a casi 2/5 del
costo total, determine la matriz B que proporciona los
costos de mano de obra para cada producto en cada sitio.
b.- Encuentre la matriz C que da los costos de material
para cada producto en cada sitio.
1.1.47 En un ecosistema, ciertas especies proveen de
comida a otras. El elemento a ij de la matriz de consumo
es igual al número de unidades de la especie j consumidas diariamente por un individuo de la especie i.
JOE GARCIA ARCOS
28
MATRICES
Construya la matriz ( a ij) para el siguiente ecosistema
simple que consiste de tres especies:
a.- Cada especie consume en promedio 1 unidad de
cada una de las otras especies.
b.- La especie 1 consume una unidad de la especie 2; la
especie 2 consume ½ unidad de cada una de las especies
1 y 3; la especie 3 consume 2 unidades de la especie 1.
c.- La especie 1 consume 2 unidades de la especie 3; la
especie 2 consume 1 unidad de la especie 1; la especie 3
no consume de ninguna de las otras especies.
1.1.48
Cierta empresa cuenta con cuatro fábricas, cada una de ellas produce dos
productos:
FABRICA 1 FABRICA 2 FABRICA 3 FABRICA 4
PRODUCTO1
125
105
95
80
PRODUCTO 2
55
60
75
60
Determine los niveles de producción que habría si ésta se incrementase en un 25 %.
1.1.49 Un agricultor cosecha dos veces al año, las cuales se distribuyen a cuatro
mercados:
MERCADO1 MERCADO 2 MERCADO 3 MERCADO 4
COSECHA 1
125
105
95
80
COSECHA 2
55
60
75
60
La ganancia en una unidad del producto i se representa en la matriz B
1.25 3.25 .
Encuentre el producto B A y explique qué representa cada elemento de este producto.
1.1.50 La siguiente tabla, que puede ser vista como una matriz, da el costo en centavos de
un kilo de cada uno de los productos en tres supermercados:
CARNE PESCADO POLLO PAPAS ARROZ
SUPERMERCADO 1
80
35
65
25
25
SUPERMERCADO 2
85
40
70
30
30
SUPERMERCADO 3
75
45
65
35
35
Si se compran 4 kilos de carne, 4 kilos de pescado, 3 kilos de pollo, 10 kilos de papas, 10
kilos de arroz, encuentre el costo total en cada uno de los supermercados.
1.1.51 Una compañía tiene plantas en cuatro provincias, I, II, III y IV, y cuatro bodegas
en los lugares P, Q, R y S. El costo en miles de dólares de transportar cada unidad de su
producto de una planta a una bodega está dado por la matriz
Prov. I Prov. II Prov. III Prov. IV
Bodega P
13
12
17
12
Bodega Q
19
17
13
15
Bodega R
8
9
11
13
Bodega S
19
21
9
15
a.- Si los costos de transportación se incrementan uniformemente en $500 por unidad,
¿cuál es la nueva matriz?
b.- Si los costos de transportación se elevan en un 25%, escriba los nuevos costos.
1.1.52 Una empresa produce tres tamaños de radios en tres modelos diferentes. La
producción en miles en su planta A está dada por la matriz
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1
20
32
25
Modelo 2
15
15
29
Modelo 3
12
27
30
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
29
La producción en miles en su planta B está dada por la matriz
Tamaño 1 Tamaño 2 Tamaño 3
Modelo 1
35
42
19
Modelo 2
25
35
25
Modelo 3
12
18
21
a.- Escriba una matriz que represente la producción total de radios en ambas plantas.
b.- El dueño de la empresa planea abrir una tercera planta en C, la cual tendrá una vez y
cuarto la capacidad de la planta en A. Escriba la matriz que representa la producción en la
planta C.
c.- ¿Cuál sería la producción total de las tres plantas?
1.1.53 La siguiente tabla da el costo en centavos de un kilo de mariscos en tres diferentes
supermercados:
CAMARON CONCHA CALAMAR
SUPERMERCADO 1
0.95
1.10
0.45
SUPERMERCADO 2
0.90
0.95
0.50
SUPERMERCADO 3
0.93
1.00
0.55
Si un comprador compra 3 kilos de camarón, 2 kilos de concha y 4 kilos de calamar,
encuentre el costo total en cada uno de los supermercados.
1.2 C L ASI F I C A C I O N D E L AS M A T RI C ES C U A DR A D AS
En esta sección clasificamos y definimos las diversas partes de una matriz cuadrada, se introduce términología
básica, enunciamos sus correspondientes propiedades.
Las matrices cuadradas, desempeñan un papel muy importante en todos los aspectos
del álgebra de matrices. Su estructura requiere un análisis particular, el cual se
discutirá a continuación, de modo que no resulte incomprensible el estudio de las
operaciones que pueden efectuarse sobre este particular tipo de matrices.
D E F IN I C I O N 1.2.1
Sea A una matriz cuadrada de n x n. Dentro de este tipo de matrices,
podemos distinguir tres regiones que se definen de la siguiente manera:
a.- La diagonal principal, está formada por los elementos a ij para los
cuales i = j.
b.- El triángulo superior, está formado por los elementos a ij para los cuales
i < j.
c.- El triángulo inferior, está formado por los elementos a ij para los cuales
i > j.
Es decir, la diagonal principal de una matriz cuadrada son todos los elementos
que se encuentran en la línea que va del vértice superior de la izquierda al inferior
de la derecha. La diagonal secundaria la forman los elementos de una matriz que
se encuentran en la línea que va del vértice superior derecho al inferior izquierdo.
De la definición anterior, podemos distinguir algunas matrices cuya estructura
permite una clasificación bien determinada.
D E F IN I C I O N 1.2.2
Se dice que una matriz T = (tij) de orden n, es triangular superior (inferior)
si existen elementos tij = 0, con i > j (i < j).
Este tipo de matrices se determinan, cuando los elementos situados debajo (encima)
de la diagonal principal son nulos. Es decir:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
30
MATRICES
T
T
§ t11
¨
¨0
¨
¨
¨0
©
§ t11
¨
¨ t2 1
¨
¨
¨ tn 1
©
t1 2
t2 2
0
0
t2 2
tn 2
t1 n ·
¸
t2 n ¸
¸ , ti j = 0 si i > j;
¸
t n n ¸¹
0 ·
¸
0 ¸
¸ , tij = 0 si i < j.
¸
t n n ¸¹
T E O R E M A 1.2.1
La adición de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es
una matriz triangular superior o inferior.
D E M OST R A C I O N
Sean A = (a ij), con a ij = 0, para todo i > j y B = (bij), con bij = 0, para todo i > j.
A + B = (a ij) + (bij) = (a ij + bij) = (cij),
con c ij = 0, para todo i > j.
Sean A = (a ij), con a ij = 0, para todo i < j y B = (bij), con bij = 0, para todo i < j.
A + B = (a ij) + (bij) = (a ij + bij) = (cij),
con c ij = 0, para todo i < j.
T E O R E M A 1.2.2
El producto de dos matrices triangulares, ambas superiores o inferiores, es
una matriz triangular superior o inferior.
D E M OST R A C I O N
Sean T = (tij) con tij = 0, para todo i > j y T´ = (t´ij) con t´ij = 0, para todo i > j, las
matrices triangulares superiores. C = T T´, poseerá el elemento general
cij = ti1t´1j + ti2t´2j «ti nt´n j =
n
¦ ti k t´k j
k 1
que en este caso se transforma en cij
n
¦
k t1, k d j
tik t´kj , ya que, de otra manera, algún
sumando se anulará. La suma, pues, sólo estará definida para aquellos valores del
índice k que cumplan i d k d j, luego, c ij z 0 si i d j y, c ij = 0 si i > j, por tanto, C es
triangular superior. De forma análoga se demuestra cuando son triangulares superior.
EJ E M P L O 1.2.1
Sea
a
a 3b c 2 a b c ·
§
¨
¸
A ¨ a b c 1
b
a bc ¸
¨ b 3c
¸
2 a 2b c
c
©
¹
Analice en qué condiciones es la matriz:
a.- Triangular superior;
b.- Triangular inferior.
SO L U C I O N
a.- Para que la matriz A sea triangular superior, debe resolverse el siguiente sistema
de ecuaciones no homogéneo:
­ a b c 1 0
°
®b 3c 0
°2 a 2b c 0
¯
lo cual implica que a
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
5
, b = - 2, c
3
2
. Por tanto la matriz buscada tiene la
3
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
31
forma siguiente:
§ 5
·
¨ 3 7 6 ¸
¨
¸
A ¨ 0 2 3 ¸
¨
2¸
¨ 0
0 ¸
3¹
©
b.- Para que la matriz A sea triangular inferior, debe resolverse el siguiente sistema
de ecuaciones homogéneo:
­ a 3b c 0
°
®2 a b c 0
°a bc 0
¯
lo cual implica que a = b = c = 0. Por tanto la matriz buscada tiene la forma
siguiente:
§ 5
·
0 ¸
¨ 3 0
¨
¸
A ¨ 1 2 0 ¸ . ’
¨
2¸
¨ 0
0 ¸
3¹
©
D E F INI C I O N 1.2.3
Se dice que una matriz T de n x n es estrictamente triangular, si es triangular
superior (inferior) y además posee la diagonal principal nula.
Este tipo de matrices se las puede visualizar a continuación:
t1n ·
§ 0 t12 t13
¨
¸
t2 n ¸
¨ 0 0 t2 3
¸ , t i j = 0 si i t j;
T ¨
¨
¸
0
t n 1 n ¸
¨0 0
¨
¸
0 0
0 ¹
©0 0
0
0
0·
§ 0
¨
¸
t
0
0
0¸
¨ 21
¸ , t = 0 si i d j.
T ¨
¨
¸ ij
0¸
¨ t n 11 tn 1 2 t n 13
¨¨
¸
tn 2
t n 3 t n n 1 0 ¸¹
© tn 1
EJ E M P L O 1.2.2
Las llamadas matrices de giro de Pauli son
§0 1 ·
§ 0 i ·
§1 0 ·
S( x ) ¨
¸ , S( y ) ¨
¸ , S( z ) ¨
¸.
0¹
©1 0¹
©i
© 0 1¹
Demuestre que S(x)S(y) = iS(z), S(y)S(x) = -iS(z), S2(x) = S2(y) = S2(z) = I.
SO L U C I O N
§ 0 1 ·§ 0 i · § i 0 · § 1 0 ·
S( x)S( y) ¨
¸¨
¸ ¨
¸ i¨
¸ i S( z ) ;
© 1 0 ¹© i 0 ¹ © 0 i ¹ © 0 1¹
§ 0 i ·§ 0
S( y)S( x) ¨
¸¨
© i 0 ¹© 1
§ 0 1 ·§ 0 1 ·
S 2 ( x) ¨
¸¨
¸
© 1 0 ¹© 1 0 ¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1 · § i 0 ·
§1 0 ·
¸ ¨
¸ i ¨
¸ i S( z ) ;
0¹ © 0 i ¹
© 0 1¹
§ 1 0·
¨
¸ I;
©0 1¹
JOE GARCIA ARCOS
32
MATRICES
2
0 ·
§ 0 i ·§ 0 i · § i
S2 ( y) ¨
¨
¸
¸¨
¸ ¨
© i 0 ¹© i 0 ¹ © 0 i 2 ¸¹
§ 1 0 ·§ 1 0 · § 1 0 ·
S2 ( z ) ¨
¸¨
¸ ¨
¸ I.
© 0 1¹© 0 1¹ © 0 1 ¹
§1 0·
¨
¸ I;
©0 1¹
’
EJ E M P L O 1.2.3
Las matrices M(s), N(t) y P(u) están definidas por
§s 0 ·
§1 0 ·
§1 u ·
¸
M (s) ¨
1 ¸ , N (t ) ¨
¸ , P (u ) ¨
¸,
¨¨ 0
t
1
¸
©
¹
© 0 1¹
s¹
©
siendo s z 0. Demuestre que la condición necesaria y suficiente para que una matriz
§a b ·
A ¨
¸,
d¹
©c
pueda ponerse en la forma M(s)N(t)P(u) es a z 0 y ad ± bc = 1.
SO L U C I O N
Como A = M(s)N(t)P(u), entonces
su ·
§s 0·
§s
§a b · ¨
¸ §1 0 ·§ 1 u · Ÿ § a b · ¨
¸
1 ¸¨
t tu 1 ¸
¨
¸
¸¨
¸
¨
¸
d ¹ ¨¨ 0
d ¹ ¨¨
¸
¸ © t 1 ¹© 0 1 ¹
©c
©c
s¹
©
©s s s¹
­a s
°
°b su Ÿ u b si a z 0
°
a
°
t
®
° c s Ÿ t ac
°
° d 1 (tu 1) Ÿ d 1 § ac b 1· Ÿ d 1 (cb 1) Ÿ ad bc 1
°¯
s
a ¨© a ¸¹
a
Por lo tanto, a z 0 y ad ± bc = 1. ’
D E F IN I C I O N 1.2.4
Se dice que una matriz cuadrada es diagonal si, los triángulos superior e
inferior son nulos.
Es decir:
0
0 ·
§ d11
¨
¸
0 ¸
¨ 0 d2 2
D ¨
¸ , di j = 0 si i < j e i > j.
¨
¸
¨ 0
¸
0
0
d
n
n
©
¹
Debido a su estructura peculiar, las matrices diagonales también pueden denotarse
como Diag(a11, a22, ..., ann), en la cual debe existir algún elemento no nulo.
T E O R E M A 1.2.3
La adición de dos matrices diagonales es una matriz diagonal.
D E M OST R A C I O N
Sean A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), entonces
A + B = Diag(a11, a22, ..., ann) + Diag(b11, b22, ..., bnn)
= Diag(a11 + b11, a22 + b22, ..., ann + bnn).
Lo cual indica que es una matriz diagonal.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
33
T E O R E M A 1.2.4
El producto de dos matrices diagonales de igual orden es una matriz diagonal.
D E M OST R A C I O N
Sean A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), se tiene entonces que
aij = Gijai = Gijaj y bij = Gijbi = Gijbj,
por tanto, la matriz producto C = AB tiene como elemento general
cij = ai1b1j + ai2b2j «ai kbkj
= Gi1G1jaibj + Gi 2G2jaibj «GikGkjaibj
= Gijaibj.
T E O R E M A 1.2.5
Una matriz diagonal conmuta con todas las matrices diagonales.
D E M OST R A C I O N
Sea A = Diag(a11, a22, ..., ann) y B = Diag(b11, b22, ..., bnn), matrices diagonales
conocidas, mediante el teorema anterior, tenemos que A B = Diag(a1b1, a2b2, ...,
anbn). Del mismo modo tenemos que B A = Diag(b1a1, b2a2, ..., bnan). Por tanto
A B = B A.
D E F INI C I O N 1.2.5
Se dice que una matriz T = (tij) de orden n, es tridiagonal si al menos un
elemento de la diagonal principal y la paralela situada por encima y por
debajo, es diferente de cero.
De forma general, una matriz de este tipo se expresa como
T
§ t11 t1 2
¨
¨ t2 1 t2 2
¨ 0 t
32
¨
¨
¨
¨ 0
0
©
0 ·
¸
0 ¸
0 ¸¸ .
¸
¸
t n n ¸¹
0
t2 3
t3 3
0
D E F IN I C I O N 1.2.6
Se dice que una matriz T de orden n es banda si existen enteros p y q, 1 < p,
q < n, con la propiedad de que tij = 0 siempre que i + p d j o j + q d i. El
ancho de banda para una matriz de este tipo se expresa como r = p + q ± 1.
La definición de la matriz banda forzó a estas, a concentrar todos sus elementos no
nulos alrededor de la diagonal principal, es decir
T
§ t1,1 t1,2
¨
¨ t2 1 t2 2
¨t
t
¨ 31 3 2
¨ 0 t4 2
¨
¨
¨ 0
0
©
t1,3 0
t2 3 t2 4
t3 3
t3 4
t4 3 t4 4
0
0
0 ·
¸
0 ¸
0 ¸
¸.
0 ¸
¸
¸
t n n ¸¹
Las matrices tridiagonales son un caso particular de las matrices banda.
EJ E M P L O 1.2.4
Sean a y b números tales que a z b. Encuentre todas las matrices A de 2 x 2 tales que
§ a 0 · § a 0·
A¨
¸ ¨
¸A .
© 0 b¹ © 0 b¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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34
MATRICES
SO L U C I O N
§x
¨
©z
§ x y ·§ a
¨
¸¨
© z u ¹© 0
­ ax
°by
°
®
° az
°¯ bu
Haciendo que A
y·
¸ , entonces:
u¹
0· § a
¸ ¨
b¹ © 0
ax
ay Ÿ
bz Ÿ
bu
0 ·§ x y ·
§ ax by · § ax ay ·
¸¨
¸ Ÿ ¨
¸ ¨
¸
b ¹© z u ¹
© az bu ¹ © bz bu ¹
( a b) y 0 Ÿ y 0, si a z b
( a b) z 0 Ÿ z 0, si a z b
Por tanto
A
§ x 0·
¨
¸. ’
©0 u¹
EJ E M P L O 1.2.5
Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los elementos de la diagonal principal
distintos de cero. Encuentre una matriz diagonal E tal que D E = E D = I.
SO L U C I O N
§ a 0 0·
§ x 0 0·
¨
¸
¨
¸
Sean D ¨ 0 b 0 ¸ y E ¨ 0 y 0 ¸ , entonces:
¨0 0 c¸
¨0 0 z¸
©
¹
©
¹
1
­
° ax 1 Ÿ x a ,
§ a 0 0 ·§ x 0 0 · § 1 0 0 ·
°
1
°
¨
¸¨
¸ ¨
¸
Ÿ
,
0
b
0
0
y
0
0
1
0
®by 1 Ÿ y
¨
¸¨
¸ ¨
¸
b
°
¨ 0 0 c ¸¨ 0 0 z ¸ ¨ 0 0 1 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
°
1
° cz 1 Ÿ z c ,
¯
por otro lado tenemos:
1
­
° xa 1 Ÿ x a ,
§ x 0 0 ·§ a 0 0 · § 1 0 0 ·
°
1
°
¨
¸¨
¸ ¨
¸
Ÿ
,
0
y
0
0
b
0
0
1
0
® yb 1 Ÿ y
¨
¸¨
¸ ¨
¸
b
°
¨ 0 0 z ¸¨ 0 0 c ¸ ¨ 0 0 1 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
°
1
° zc 1 Ÿ z c ,
¯
Por lo tanto, la matriz buscada tiene la forma siguiente:
§1
·
¨ a 0 0¸
¨
¸
1
¨
E ¨0
0 ¸¸ . ’
b
¨
¸
¨ 0 0 1¸
¨
c ¸¹
©
az0
bz0,
cz0
az0
bz0.
cz0
EJ E M P L O 1.2.6
Sean D una matriz diagonal y A una matriz arbitraria m x n:
a.- Si A D está definida. ¿Cuál es la relación entre A y A D?;
b.- Si D A está definida. ¿Cuál es la relación entre A y D A?
SO L U C I O N
a.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de n x n, para que A D esté definida y
sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y A D es que tienen igual
orden, es decir son matrices rectangulares de m x n.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
35
b.- Como A es de m x n, entonces D debe ser de m x m, para que D A esté
definida y sea de m x n. Por lo tanto la relación entre las matrices A y D A es que
tienen igual orden, es decir son matrices rectangulares de m x n. ’
Siguiendo con las hipermatrices, en el caso de matrices cuadradas resulta
necesario, como regla general, dividirlas de manera que las submatrices
diagonales también sean cuadradas. Es fácil ver que, divididas dos matrices
cuadradas en submatrices de manera que las submatrices diagonales sean
cuadradas y que los ordenes de las submatrices diagonales correspondientes
coincidan, esta división satisface tanto las condiciones en las que es posible la
adición submatriz por submatriz, como las condiciones que son necesarias para
poder multiplicarlas como hipermatrices.
Además para poder realizar la multiplicación de una hipermatriz por sí misma es
necesario y suficiente que todas sus submatrices diagonales sean cuadradas. Toda
hipermatriz de tipo
§ A 11 O « O ·
¨
¸
O A 22 « O ¸
¨
A=
¨
¸
¨¨
¸
O « A pp ¸¹
© O
donde A 11, A 22« A pp son submatrices cuadradas y O son submatrices nulas de
dimensiones adecuadas, se llama hipermatriz diagonal.
Una hipermatriz cuadrada se denomina hipermatriz triangular si todas sus
submatrices en la diagonal principal, es decir, A 11, A 22, ..., A pp son cuadradas y
todas las submatrices que se encuentran por un lado de la diagonal principal son
nulas. Además podemos decir que si A y B son dos hipermatrices triangulares con
los mismos órdenes de las correspondientes submatrices diagonales y los ceros
por un lado de la diagonal, su producto A B también será una hipermatriz
triangular con los mismos órdenes de las submatrices diagonales y los ceros por el
mismo lado de la diagonal.
PR O B L E M AS
1.2.1 Pruebe con un ejemplo que para multiplicar dos
hipermatrices cuadradas es suficiente que las
submatrices diagonales sean cuadradas, con la
particularidad de que los órdenes de las correspondientes
submatrices diagonales sean iguales entre sí.
1.2.2 Demuestre que para multiplicar dos hipermatrices
cuadradas es suficiente que las submatrices diagonales
sean cuadradas, con la particularidad de que los órdenes de
las correspondientes submatrices sean iguales entre sí.
1.2.3 Una condición necesaria y suficiente para que la
matriz B de orden n conmute con una matriz diagonal A,
es que B sea una matriz diagonal. ¿Cómo tiene que ser la
matriz diagonal A para que conmute con cualquier matriz
B del mismo orden que A?
1.2.4 Sea D una matriz diagonal de 3 x 3 con los
elementos de la diagonal principal distintos de cero.
Encuentre una matriz diagonal E tal que D E = E D = I.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1.2.5 Encontrar una matriz diagonal A de 3 x 3 que
cumpla lo siguiente:
§1 0 0 ·
§1 0 0·
¸
¸
5 ¨
3 ¨
a.- A ¨ 0 1 0 ¸ ; b.- A ¨ 0 10 0 ¸ ;
¨ 0 0 10 ¸
¨0 0 1¸
©
¹
©
¹
§10 0 0 ·
§7 0 0·
¨
¸
¨
¸
c.- A 4 ¨ 0 1 0 ¸ ; d.- A 25 ¨ 0 5 0 ¸ .
¨ 0 0 1¸
¨ 0 0 3¸
©
¹
©
¹
1.2.6 Describa el producto A B si A es una matriz
diagonal de n x n y B es una matriz de n x n. Si en la
matriz diagonal A se tiene que a11 = a22 = ... = ann, ¿cómo
cambian los resultados?
1.2.7 Pruebe con un ejemplo que para realizar la
multiplicación por bloques de una hipermatriz por sí
misma es necesario y suficiente que todas sus submatrices
diagonales sean cuadradas.
JOE GARCIA ARCOS
36
MATRICES
1.2.8 Demuestre que si A y B son dos matrices
hipertriangulares con los mismos órdenes de las
correspondientes submatrices diagonales y los ceros por un
lado de la diagonal, su producto A B también será una
matriz hipertriangular con los mismos órdenes de las
submatrices diagonales y los ceros por el mismo lado de la
diagonal.
1.2.9 Demuestre que si A y B son matrices diagonales de
n x n, entonces A B = B A.
1.3 M A T RI Z T R A NSPU EST A
En esta sección se introduce la terminología básica y se define la matriz transpuesta, analizamos sus casos
particulares si la matriz es cuadrada, enunciamos sus correspondientes propiedades.
Sea A cualquier matriz. Considérese la matriz a partir de A intercambiando filas y
columnas, de manera que la primera columna de A se convierta en la nueva fila de
la nueva matriz, la segunda columna se convierta en la segunda fila, etc. La matriz
obtenida a partir de A intercambiando filas y columnas de este modo se denomina
transpuesta de la matriz A.
D E F I N I C I O N 1.3.1
Sea A = (a ij) una matriz de n x m. Mediante la transposición se obtiene una
nueva matriz de m x n, representada por A T = (aji) cuyos elementos se
obtienen intercambiando filas por columnas.
La transpuesta de una matriz es una aplicación de (n x m) en (m x n), determinada
mediante la regla de formación
f : (n x m) o (m x n)
A o AT
(aij) o (a ij)T = (aji), para todo i, j  .
Es decir, mediante la transposición se intercambian las filas de la matriz original por
sus columnas.
A continuación, damos algunas de las propiedades más importantes de la transpuesta
de una matriz.
T E O R E M A 1.3.1
Para toda matriz A = (a ij), se cumple que (A T)T = A.
D E M OST R A C I O N
Sea A = (a ij) una matriz cualquiera, entonces
(A T)T = ((a ij)T)T
= (a ji)T
= (a ij)
= A.
T E O R E M A 1.3.2
Para toda matriz A = (a ij) y para todo número k, se cumple que (k A)T = k A T.
D E M OST R A C I O N
Sea A = (a ij) una matriz cualquiera y sea k un número, entonces
(k A)T = (k(aij))T
= (ka ij)T
= (ka ji)
= k(a ji)
= k A T.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
37
T E O R E M A 1.3.3
Para todo par de matrices A = (a ij) y B = (bij), se cumple que
(A + B)T = A T + B T.
D E M OST R A C I O N
Sean A= (a ij) y B = (bij) matrices de igual orden, entonces:
(A + B)T = (a ij + bij)T
= (c ij)T
= (c ji)
= (a ji + bji)
= (a ji) + (bji)
= A T + B T.
T E O R E M A 1.3.4
Para todo par de matrices A = (a ij) y B = (bij), compatibles para el producto,
se cumple
(A B)T = B T A T.
D E M OST R A C I O N
Sean A = (a ij) de n x k y B = (bij) de k x m. Entonces A B es de n x m y (A B)T es de m
x n. B T es de m x k y A T es de k x n, así que B T A T también es de m x n. Para probar
que (A B)T = B T A T, debemos ver que el elemento (i, j) de (A B)T es igual al elemento
(i, j) de B T A T. Escribimos A T = (a´ij) y B T = (b´ij). Notemos que a´ij = a ji y b´ij = bji. El
elemento (i, j) de B T A T es
k
k
k
t 1
t 1
t 1
¦ b´it a´tj ¦ bti a jt ¦ a jt bti
y la última suma es exactamente el elemento (j, i) de A B. Pero éste es el elemento
(i, j) de (A B)T. Así pues, los elementos (i, j) de B T A T y de (A B)T son lo mismo; por
lo tanto, B T A T = (A B)T.
EJ E M P L O 1.3.1
Si A conmuta con B, demuestre que A T conmuta con B T.
SO L U C I O N
Siendo A B = B A, debemos probar que A T B T = B T A T. Es decir:
A T B T = (B A)T = (A B)T = B T A T. ’
EJ E M P L O 1.3.2
Suponga que A es n x n y X es n x 1. Demuestre que X T A X es de 1 x 1. Si X = B Y,
demuestre que X T A X = Y T(B T A B)Y.
SO L U C I O N
Conocemos que A es de n x n y X es de n x 1. Entonces X T A X es (1 x n)(n x n)(n x
1) = 1 x 1. Como X = B Y entonces
X T A X = (B Y)T A(B Y) = (Y T B T)A(B Y) = Y T(B T A B)Y. ’
% TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ clc;;clear;; fprintf('\n TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
38
MATRICES
fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') B=A.' end D E F IN I C I O N 1.3.2
Una matriz cuadrada A se denomina simétrica, si se cumple que esta matriz
es igual a su transpuesta, es decir: A = A T.
Es claro que una matriz simétrica debe ser cuadrada; es simétrica con respecto a la
diagonal principal, es decir que, una reflexión en la diagonal principal deja a la
matriz sin cambio. Una matriz simétrica de n x n no tiene sus n2 elementos arbitrarios
puesto que a ij = a ji, ambos uno encima y otro debajo de la diagonal principal.
n2 n
. Los elementos
2
de la diagonal son también arbitrarios. Entonces, el número total de elementos
n2 n
n(n 1)
n
arbitrarios en una matriz simétrica de n x n es
.
2
2
El número de elementos de arriba de la diagonal principal es
EJ E M P L O 1.3.3
Dadas dos matrices simétricas A, B de orden n. ¿Cuándo es el producto A B
simétrico?
SO L U C I O N
Si A = A T y B = B T, entonces A B = (A B)T = B T A T = B A. Por lo tanto el producto A B
es simétrico, cuando es conmutativo, es decir A B = B A. ’
T E O R E M A 1.3.5
Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz
simétrica S mediante A + A T.
D E M OST R A C I O N
Como A es una matriz cuadrada y S = A + A T, entonces debemos probar que ST = S.
Es decir
ST = (A + A T)T
= A T + (A T)T
= AT + A
= A + AT
= S.
EJ E M P L O 1.3.4
Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n y A es simétrica, entonces B T A B es
simétrica.
SO L U C I O N
Debemos probar que (B T A B)T = B T A B, conociendo que A = A T:
(B T A B)T = B T A T(B T)T = B T A T B = B T A B. ’
EJ E M P L O 1.3.5
Dadas las matrices n x n simétricas A y B, entonces A + B es simétrica.
SO L U C I O N
Si A = A T y B = B T, entonces debemos probar que (A + B)T = A + B:
(A + B)T = A T + B T = A + B. ’
EJ E M P L O 1.3.6
Si A y B son matrices reales arbitrarias de n x n, entonces A B T + B A T es simétrica.
SO L U C I O N
Debemos probar que (A B T + B A T)T = A B T + B A T. Es decir:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
39
T
T T
T T
T T
(A B + B A ) = (A B ) + (B A )
= (B T)T A T + (A T)T B T
= B A T + A BT
= A B T + B A T. ’
EJ E M P L O 1.3.7
Para cualquier matriz A muestre que los productos A A T y A T A están definidos y son
matrices simétricas.
SO L U C I O N
Si A es n x m, entonces A T es m x n. Por lo tanto A A T es n x n, A T A es m x m y los
productos están definidos. Además debemos probar que A A T = (A A T)T y A T A =
(A T A)T:
(A A T)T = (A T)T A T = A A T y (A T A)T = A T(A T)T = A T A. ’
EJ E M P L O 1.3.8
Dada la matriz
a b a c ·
§ a
¨
¸
A ¨a b
b
2a b ¸ .
¨bc b c
c ¸¹
©
Encuentre una matriz S simétrica.
SO L U C I O N
Sabemos que S es simétrica si se cumple que S = A + A T. Es decir:
a b a c · § a
a b b c·
§ a
¸ ¨
¸
T ¨
S= A+A
b
2a b ¸ ¨ a b
b
bc¸
¨a b
¨b c b c
c ¸¹ ¨© a c 2a b
c ¸¹
©
2a
a b 2c ·
§ 2a
¨
¸
2b
2 a 2b c ¸ . ’
¨ 2a
¨ a b 2c 2 a 2b c
¸
2c
©
¹
% CALCULO DE UNA MATRIZ SIMETRICA clc;;clear;; fprintf('\n MATRIZ SIMETRICA MEDIANTE: A+At\n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA S ES:\n') S=A+A.' end % CALCULO DE UNA MATRIZ SIMETRICA clc;;clear;; fprintf('\n MATRIZ SIMETRICA MEDIANTE: S=A*At y Q=At*A \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas: ');; ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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40
MATRICES
%Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA S ES:\n') S=A*A.' end fprintf(' LA MATRIZ SIMETRICA Q ES:\n') Q=A.'*A end D E F IN I C I O N 1.3.3
Una matriz cuadrada A se llama antisimétrica, si se cumple que esta matriz
es igual al opuesto de la transpuesta, es decir: A = -A T.
Una matriz antisimétrica es también una matriz cuadrada, y a ij = - a ji. Luego, los
elementos de la diagonal principal son cero, a ii = 0, y el número de elementos
n(n 1)
arbitrarios en una matriz antisimétrica de n x n es
. Los elementos simétricos
2
respecto de la diagonal principal coinciden en una matriz simétrica y son opuestos en
una matriz antisimétrica.
EJ E M P L O 1.3.9
Sean A y B dos matrices antisimétricas de orden n. Demuestre que A B es
antisimétrica si y sólo si B A = -A B. ¿Cuándo es simétrico el producto de dos
matrices antisimétricas?
SO L U C I O N
Como A y B son dos matrices antisimétricas, entonces: A = -A T; B = -B T y B A = A B. Debemos probar que (A B)T = - (A B).
(A B)T = B T A T = (- B)(- A) = B A = - (A B).
Además, dado A = - A T; B = - B T y A B = - (A B)T. Debemos probar que A B = - B A.
A B = - (A B)T = - (B T A T) = - (- B)(- A) = - (B A).
T
Dado A = - A y B = - B T, debemos encontrar una condición para que (A B)T = A B.
(A B)T = B T A T = (- B)(- A) = B A.
Por lo tanto, para que el producto de dos matrices antisimétricas sea simétrico es
necesario que B A = A B. ’
T E O R E M A 1.3.6
Para toda matriz cuadrada A, siempre es posible encontrar una matriz
antisimétrica R mediante A - A T.
D E M OST R A C I O N
Como A es una matriz cuadrada y R = A - A T, entonces debemos probar que R T = R.
Es decir
R T = (A - A T)T
= A T - (A T)T
= AT ± A
= - (A - A T)
= R.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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MATRICES
41
T E O R E M A 1.3.7
Una matriz cuadrada A puede expresarse como la adición de una matriz
simétrica S y una matriz antisimétrica B.
D E M OST R A C I O N
Sea S = ½ (A + A T) y B = ½ (A - A T), sumando las matrices S y B, obtenemos:
A =S+B
= ½ (A + A T) + ½ (A - A T)
= ½ A + ½ AT + ½ A - ½ AT
= A.
EJ E M P L O 1.3.10
Dada la matriz
a b a c ·
§ a
¨
¸
A = ¨a b
b
2a b ¸ .
¨bc b c
c ¸¹
©
Encuentre una matriz R antisimétrica.
SO L U C I O N
Sabemos que R es antisimétrica si se cumple que R = A - A T. Es decir:
a b a c · § a
a b b c·
§ a
¨
¸ ¨
T
R A-A
b
2a b ¸ ¨ a b
b
b c ¸¸
¨a b
¨b c b c
c ¸¹ ¨© a c 2a b
c ¸¹
©
2b
a b ·
§ 0
¨
2
b
0
2
a c ¸¸ . ’
¨
¨ a b 2 a c
0 ¸¹
©
EJ E M P L O 1.3.11
Dada una matriz simétrica A y una matriz antisimétrica B, ambas del mismo orden,
demuestre que si A y B conmutan, A B es antisimétrica.
SO L U C I O N
Si A = A T; B = - B T y A B = B A, entonces debemos probar que (A B)T = A B.
(A B)T = B T A T = (- B)(A) = - (B A) = - (A B). ’
EJ E M P L O 1.3.12
Si A y B son matrices antisimétricas, pruebe que A(A B + B A) ± (A B + B A)A es
simétrica.
SO L U C I O N
Sabemos que A T = -A, B T = -B y S = A(A B + B A) ± (A B + B A)A = A 2 B ± B A 2. Por
lo tanto, tenemos que mostrar que ST = S; es decir
ST = (A 2 B ± B A 2)T
= (A 2 B)T ± (B A 2)T
= B T(A T)2 ± (A T)2 B T
= (-B)(-A)2 ± (-A)2(-B)
= -B A 2 + A 2 B
= A 2B ± B A 2
= S.
De esta manera queda demostrado que A(A B + B A) ± (A B + B A)A es simétrica.
EJ E M P L O 1.3.13
Sea A una matriz antisimétrica. Demostrar que A 2n es una matriz simétrica y A 2n+1 es
una matriz antisimétrica.
SO L U C I O N
Por demostrar que A 2n = (A 2n)T, conociendo que A T = -A.
n = 1: A 2 = (A 2)T
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42
MATRICES
(A 2)T = (A A)T = ((-A T)(-A T))T = (A T A T)T = ((A 2)T)T = A 2.
n = k: A = (A 2k)T. Hipótesis inductiva.
n = k + 1: A 2k+2 = (A 2k+2)T
(A 2k+2)T = (A 2k A 2)T = (A 2)T(A 2k)T = A 2 A 2k = A 2k+2.
Por demostrar que A 2n+1 = -(A 2n+1)T, conociendo que A T = -A.
n = 1: A 3 = -(A 3)T
- (A 3)T = - (A A A)T = - ((-A T)(-A T)(-A T))T = ((A 3)T)T = A 3.
2k+1
n = k: A = -(A 2k+1)T. Hipótesis inductiva.
n = k + 1: A 2k+3 = -(A 2k+3)T
- (A 2k+3)T = - (A 2k+1 A 2)T = - (A 2)T(A 2k+1)T = - (A A)T(-A 2k+1) = - ((-A T)(-A T)T(-A 2k+1)
= - ((A 2)T)T(-A 2k+1) = (-A 2)(-A 2k+1) = A 2k+3. ’
2k
% CALCULO DE UNA MATRIZ ANTISIMETRICA clc;;clear;; fprintf('\n MATRIZ ANTISIMETRICA MEDIANTE: A-­At \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A.' end fprintf(' LA MATRIZ ANTISIMETRICA R ES:\n') R=A-­A.' end PR O B L E M AS
1.3.1 De ser posible, encuentre matrices de 2 x 2 tales que
A T A = A A T.
1.3.6 Comprobar si existe alguna matriz A de 3 x 2 tal
que A T A = I.
1.3.2 Si A es una matriz de n x n y X es la matriz de 1 x
n, compruebe que
1.3.7 Demuestre que si A T A = A, entonces A es simétrica y A = A 2.
X A XT
n
¦ aii xi2 ¦ aij xi x j .
i 1
iz j
1.3.3 Si A A T = I y B B T = I, demuestre que
(A B)(A B)T = I.
1.3.4 Demuestre que una matriz simétrica de n x n tiene,
n(n 1)
en general,
elementos distintos y una
2
n(n 1)
antisimétrica
elementos distintos.
2
1.3.5 Sea A una matriz de n x n. Determine si A es
simétrica con la siguiente condición:
a.- aij = i2 + j2;
b.- a ij = i2 ± j2;
c.- a ij = 2i ± 2j;
d.- a ij = 2i2 + 2j3.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1.3.8 Dada la matriz
§ 2 1 3i 1
4i ·
¨
¸
A ¨ 6 2i
1
3 i ¸ .
¨
¸
3
S S ¹
© 1 6
a.- Exprésese la matriz A como suma de una matriz
simétrica y otra antisimétrica.
b.- Hallar dos matrices simétricas diferentes a la del
apartado a).
1.3.9 Encuentre todas las matrices reales A de 3 x 3 para
las cuales A T A = O.
1.3.10 Demuestre que si una matriz A de n x n satisface
la ecuación A 3 + 4A 2 ± 2A + 7I, entonces A T también la
satisface.
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
43
1.3.11 De ser posible, encuentre todos los valores de a ,
b y c para los cuales A es simétrica:
§ 3 3a b 5c a 4b 2c ·
¨
A ¨1
4
a b c ¸¸ .
¨1
¸
1
5
©
¹
1.3.13 Encuentre matrices antisimétricas A y B de 3 x 3,
que satisfagan la condición A B = -B A.
1.3.14 Dadas las matrices
§ 2 4 6·
¨
¸
A + B ¨2 3 9¸ , A + AT
¨7 1 7¸
©
¹
1.3.12 Dadas las matrices siguientes:
2 i 3i ·
§ 1
i ·
§ 4 3
¨
¸
A ¨ 1
3
0¸, B ¨
¸,
© i 2 1 3i ¹
¨ 1 i 2 2i 2i ¸
©
¹
B - BT
Hállense A y B.
2
3 ·
§ i 2 ·
§ 1
¨
¸
¨
¸
C ¨ 4 6¸ , D ¨ 6
8 4i¸.
¨ 3 i ¸
¨1 3i i
i ¸¹
©
¹
©
Determine las siguientes operaciones:
a.- (3D T ± B T C T)T; b.- B(A ± D)T C;
c.- A(B T B ± C C T).
§ 0 0 0·
¨
¸
¨0 0 0¸ ,
¨ 0 0 0¸
©
¹
§ 0 0 0·
¨
¸
¨0 0 0¸ .
¨ 0 0 0¸
©
¹
1.3.15 Si A es una matriz simétrica, demuestre que
2A 2 ± 3ª + I es simétrica.
1.4 M A T RI Z T R A NSPU EST A - C O NJU G A D A
En esta sección se introduce la terminología básica y se definen las matrices conjugadas y transpuesta conjugada, analiza mos sus casos particulares si la matriz es cuadrada, enuncia mos sus correspondientes
propiedades.
D E F IN I C I O N 1.4.1
Mediante la conjugación, una matriz cualquiera A se transforma en una
nueva matriz, representada por A , cuyos elementos se construyen mediante
la regla
f :AoA
( aij ) o ( aij ) ( aij ) i, j  .
Mediante la conjugación se cambian los signos de la parte imaginaria de A. Es decir:
Re A = Re A
y Im A = -Im A .
Como casos particulares pueden encontrarse matrices tales que A = A , entonces
Im A = 0 , y la matriz A en este caso recibe el nombre de matriz real. Por el
contrario, si Re A = 0 , entonces A = A y, a la matriz A se le da el nombre de
matriz imaginaria pura. En este último caso la matriz A es expresable como el
producto de la unidad imaginaria, considerada como un escalar, por una matriz real.
Toda matriz puede ser expresada en la forma A = B + i C, en la cual B y C son
matrices reales, e i es la unidad imaginaria.
La conjugada de la matriz
5 ·
§ 2 1 i
A ¨
¸ es A
1
4
4
3i ¹
©
5 ·
§ 2 1 i
¨
¸.
1
4
4
3i ¹
©
T E O R E M A 1.4.1
Para toda matriz A = (a ij), se cumple que A = A .
D E M OST R A C I O N
Si A es una matriz, entonces
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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44
MATRICES
A = ( aij ) ( aij ) ( a ji )
A.
T E O R E M A 1.4.2
Para toda matriz A = (a ij) y para todo número k, se cumple que ( k A ) k A .
D E M OST R A C I O N
Dada A una matriz y k un número complejo, entonces
( k A ) ( k ( aij )) ( kaij ) ( k aij ) k ( aij ) k A .
T E O R E M A 1.4.3
Para todo par de matrices A = (a ij) y B = (bij) de n x m, se cumple que
A+B= A+B .
D E M OST R A C I O N
Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces
A + B = ( aij + bij ) (cij ) (cij ) ( aij bij ) ( aij ) (bij ) A + B .
T E O R E M A 1.4.4
Para todo par de matrices A = (a ik) y B = (bkj) compatibles para el producto,
se cumple A B = A B .
D E M OST R A C I O N
Dadas A y B dos matrices compatibles para el producto, entonces
§
·
§
·
A B = ¨ ¦ aik bkj ¸ (cij ) (cij ) ¨ ¦ aik bkj ¸
© k
¹
© k
¹
AB .
% CONJUGADA DE UNA MATRIZ clc;;clear;; fprintf('\n CONJUGADA DE UNA MATRIZ \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ CONJUGADA B ES:\n') B=conj(A) end D E F IN I C I O N 1.4.2
La aplicación sucesiva y de orden indistinto de la conjugación y la
transposición sobre una matriz A se representa por A +. La nueva matriz
recibe el nombre de matriz conjugada - transpuesta de A y se nota de la
siguiente manera:
A + = ( A )T = A T .
La transpuesta - conjugada de la matriz
A
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
5 ·
§ 2 1 i
¨
¸ es A
1
4
4
3
i
©
¹
1 ·
§ 2
¨
¸
1
i
4 ¸.
¨
¨ 5 4 3i ¸
©
¹
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
45
T E O R E M A 1.4.5
Para toda matriz arbitraria A, se cumple que (A +)+ = A.
D E M OST R A C I O N
Dada una matriz A arbitraria, entonces
( A + )+ = (( A T ))T
(( A T )T ) = ( A ) = A .
T E O R E M A 1.4.6
Para toda matriz arbitraria A y para todo número k, se cumple que
( k A ) k A .
D E M OST R A C I O N
Dada la matriz A arbitraria y k un número complejo, entonces
( k A ) + = ( k A )T = ( k A T ) = k ( A T ) = k A + .
T E O R E M A 1.4.7
Para todo par de matrices A y B de n x m, se cumple que (A + B)+ = A + + B +.
D E M OST R A C I O N
Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces
( A + B ) + = ( A + B )T = ( A T + B T ) = ( A T ) + ( B T ) = A + + B + .
T E O R E M A 1.4.8
Para todo par de matrices A y B compatibles para el producto, se cumple
(A B)+ = B + A +.
D E M OST R A C I O N
Dadas A y B dos matrices compatibles para la suma, entonces
( A B )+ = ( A B )T = ( B T A T ) = ( B T )( A T ) = B + A + .
EJ E M P L O 1.4.1
Demostrar que si las matrices A y B son conmutables, lo son también las matrices A +
y B +.
SO L U C I O N
Si A B = B A, entonces debemos demostrar que A + B + = B + A +. Es decir:
A + B + = (B A)+ = (A B)+ = B + A +.
Con lo cual se verifica que A + y B + son conmutables. ’
EJ E M P L O 1.4.2
Demuestre que si A es una matriz compleja y A + A = O, entonces A = O.
SO L U C I O N
Si A = O, entonces:
A + A = A + O Ÿ A + A = O. ’
% MATRIZ TRANSPUESTA-­CONJUGADA clc;;clear;; fprintf('\n MATRIZ TRANSPUESTA-­CONJUGADA \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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46
MATRICES
fprintf(' LA MATRIZ CONJUGADA B ES:\n') B=conj(A) end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA-­CONJUGADA C ES:\n') C=B.' end D E F I N I C I O N 1.4.3
Matrices hermíticas, son las matrices para las cuales la transpuesta
conjugada es igual a la matriz original. Es decir:
A + = A.
A nivel de sus elementos se tiene:
( aij ) ( a ji ) , i, j  ,
luego,
( aii ) ( aii ) , i  
y, por tanto,
Im aii
0 , i  .
E J E M P L O 1.4.3
Si A es una matriz de m x n con elementos complejos, entonces:
a.- A A + es hermítica; b.- A + A es hermítica.
SO L U C I O N
a.- Tenemos que probar que (A A +)+ = A A +. Es decir
(A A +)+ = (A +)+ A + = A A +.
b.- Tenemos que probar que (A + A)+ = A + A. Es decir
(A + A)+ = A +(A +)+ = A + A. ’
E J E M P L O 1.4.4
Dada A arbitraria, demuéstrese:
a.- (A A + - A + A) es hermítico; b.- (A A + + A + A) es hermítico.
SO L U C I O N
a.- Por demostrar que (A A + - A + A) = (A A + - A + A)+. Es decir:
(A A + - A + A)+ = (A A +)+ - (A + A)+ = (A +)+ A + - A +(A +)+ = A A + - A + A.
b.- Por demostrar que (A A + + A + A) = (A A + + A + A)+. Es decir:
(A A + + A + A)+ = (A A +)+ + (A + A)+ = (A +)+ A + + A +(A +)+ = A A + + A + A. ’
E J E M P L O 1.4.5
Toda matriz real y simétrica es hermítica.
SO L U C I O N
Sea A esta matriz, entonces, A T = A y A = A , luego:
A + = ( A )T = A T = A . ’
E J E M P L O 1.4.6
La condición necesaria y suficiente para que el producto de dos matrices hermíticas
A y B sea hermítico es que A B = B A.
SO L U C I O N
Se sabe que A + = A y B + = B, entonces:
i.- Supóngase que A B = B A, pero,
A B = B A = B + A + = (A B)+
y por lo tanto el producto es hermítico.
ii.- Supóngase que A B = (A B)+, entonces:
A B = (A B)+ = B + A + = B A
y por tanto, A B = B A. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
47
EJ E M P L O 1.4.7
Sea A = B + i C la descomposición hermítica de una matriz A. Hallar la descomposición hermítica de la matriz A +.
SO L U C I O N
Para que B + i C sea la descomposición hermítica de la matriz A, entonces, B es real
y simétrica, y C es real y antisimétrica. Por tanto, para la descomposición hermítica
de A +, las matrices B y C deben cumplir las mismas condiciones y (A +)+ = A. ’
E J E M P L O 1.4.8
Si A es una matriz arbitraria de n x n con elementos complejos, entonces:
a.- A + A + es hermítica; b.- A - A + es antihermítica.
SO L U C I O N
a.- Tenemos que probar que (A + A +)+ = A + A +.
(A + A +)+ = A + + (A +)+ = A + + A = A + A +.
b.- Tenemos que probar que (A - A +)+ = - (A - A +).
(A - A +)+ = A + - (A +)+ = A + - A = - (A - A +). ’
EJ E M P L O 1.4.9
Demuestre que si A es hermítica y A = O, entonces A 2 = O.
SO L U C I O N
Si A = O, entonces:
A + A = A + O Ÿ A + A = O Ÿ A A = O Ÿ A 2 = O. ’
E J E M P L O 1.4.10
Pruébese que toda matriz hermítica A puede escribirse como A = B + i C, siendo B
real y simétrica y C real y antisimétrica.
SO L U C I O N
Debemos probar que A + = A:
A + = (B + i C)+ = B + + (i C)+ = B + + i C + = B T - i C T = B ± i(-C) = B + i C = A. ’
% CALCULO DE UNA MATRIZ HERMITICA clc;;clear;; fprintf('\n MATRIZ HERMITICA MEDIANTE: H=A+A+\n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A' end fprintf(' LA MATRIZ HERMITICA H ES:\n') H=A+A' end % CALCULO DE UNA MATRIZ HERMITICA clc;;clear;; fprintf('\n MATRIZ HERMITICA MEDIANTE: H=A*A+ y P=A+*A \n') fil=input('Ingrese el numero de filas: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
48
MATRICES
fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA B ES:\n') B=A' end fprintf(' LA MATRIZ HERMITICA H ES:\n') H=A*A' end fprintf(' LA MATRIZ HERMITICA P ES:\n') P=A'*A end D E F IN I C I O N 1.4.4
Matrices antihermíticas, son aquellas para las cuales la transpuesta
conjugada es igual al opuesto de la matriz original. Es decir:
A + = - A.
Sus elementos cumplirán, por tanto,
( aij ) ( a ji ) , i, j  ,
entonces,
( aii ) ( aii ) , i  ,
y se cumple
Re aii
0 , i  .
EJ E M P L O 1.4.11
La condición necesaria y suficiente para que el producto de dos matrices
antihermíticas A y B sea hermítico es A B = B A.
SO L U C I O N
Se sabe que A + = -A y B + = -B, entonces:
i.- Sea A B = B A, entonces:
A B = B A = (-B)(-A) = B + A + = (A B)+
y por tanto el producto es hermítico.
ii.- Sea A B = (A B)+, entonces:
A B = (A B)+ = B + A + = (-B)(-A) = B A,
y por tanto, A B = B A. ’
EJ E M P L O 1.4.12
Toda matriz compleja se puede escribir como suma de una matriz real y una matriz
imaginaria; es decir, si C es compleja, entonces C = A + i B donde A y B son matrices reales. Demuestre que C es hermítica si y sólo si A es simétrica y B es antisimétrica. Pruebe que C es antihermítica si y sólo si A es antisimétrica y B es simétrica.
SO L U C I O N
a) Ÿ Como C = A + i B con A y B matrices reales, A es simétrica y B es antisimétrica, debemos demostrar que C + = C. Es decir:
C + = (A + i B)+ = A + ± i B + = A ± i(-B) = A + i B = C.
 Como C = A + i B con A y B matrices reales y C + = C, debemos demostrar que
A es simétrica y B es antisimétrica. Es decir:
C + = (A + i B)+ = A + ± i B + = A T ± i B T
+
para que C = C, A debe ser simétrica A T = A y B debe ser antisimétrica B T = -B.
b) Ÿ Como C = A + i B con A y B matrices reales, A es antisimétrica y B es simétrica, debemos demostrar que C + = -C. Es decir:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
49
+
+
+
+
C = (A + i B) = A ± i B = (-A) ± i B = -(A + i B) = -C.
 Como C = A + i B con A y B matrices reales y C + = -C, debemos demostrar que
A es antisimétrica y B es simétrica. Es decir:
C + = (A + i B)+ = A + ± i B + = A T ± i B T
+
para que C = C, A debe ser antisimétrica A T = -A y B debe ser simétrica B T = B. ’
EJ E M P L O 1.4.13
Sean A y B matrices antihermíticas. ¿En qué condiciones es C = m A + n B una
matriz antihermítica?
SO L U C I O N
Debemos probar que C + = -C, bajo ciertas condiciones:
C + = (m A + n B ) + = (m A ) + + ( n B ) +
+
+
­
°m A + n B = -(m A + n B ) = - C ,
=®
+
+
°̄ m A + nB = -(m A + nB ) z - C ,
Es decir C + = -C si m y n son números reales. ’
si m, n 
si m, n 
EJ E M P L O 1.4.14
Exprese la matriz A como suma de una matriz hermítica y una antihermítica.
i
1 2i ·
§2 i
¨
¸
A = ¨ 1 i
2 2 2i ¸ .
¨ 3 1 i 2 2i ¸
©
¹
SO L U C I O N
Una matriz hermítica es S = ½ (A + A +), es decir:
ª§ 2 i
i
1 2i · § 2 i 1 i
3 ·º
1 2i 4 2i ·
§ 4
1 Ǭ
¸ ¨
¸» 1 ¨
¸
S
1
i
2
2
2
i
i
2
1
i
1
2
i
4
3 3i ¸ .
¸ ¨
¸» 2 ¨
2 «¨¨
¨ 4 2i 3 3i
«© 3 1 i 2 2i ¸¹ ¨©1 2i 2 2i 2 2i ¸¹ »
4 ¸¹
©
¬
¼
Una matriz antihermítica es R = ½ (A + - A), es decir:
ª§ 2 i 1 i
3 · §2 i
i
1 2i · º
1 Ǭ
¸ ¨
¸»
R
i
2
1 i ¸ ¨ 1 i
2 2 2i ¸ »
2 «¨¨
«©1 2i 2 2i 2 2i ¸¹ ¨© 3 1 i 2 2i ¸¹ »
¬
¼
1 2 2i ·
§ 2i
1¨
¸
1
0 1 i ¸ .
2 ¨¨
¸
© 2 2i 1 i 4i ¹
Comprobación: A = S - R.
ª§ 4
1 2i 4 2i · § 2i
1 2 2i · º
1 Ǭ
¸ ¨
¸»
A
1 2i
4
3 3i ¸ ¨ 1
0 1 i ¸ »
«
¨
2 ¨
«© 4 2i 3 3i
4 ¸¹ ¨© 2 2i 1 i 4i ¸¹ »¼
¬
i
1 2i ·
§2 i
¨
¸
2 2 2i ¸ .
¨ 1 i
¨ 3 1 i 2 2i ¸
©
¹
% CALCULO DE UNA MATRIZ ANTIHERMITICA clc;;clear;; fprintf('\n MATRIZ ANTIHERMITICA MEDIANTE: A-­A+ \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ TRANSPUESTA-­CONJUGADA B ES:\n') B=A' end ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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50
MATRICES
fprintf(' LA MATRIZ ANTIHERMITICA H ES:\n') H=A-­A' end D E F I N I C I O N 1.4.5
Una matriz A de n x n para la cual el producto con su transpuesta conjugada
es conmutativo, se denomina normal. Es decir:
A + A = A A +.
EJ E M P L O 1.4.15
Sean D, F y G matrices diagonales de n x n en las que los elementos de las diagonales principales sean respectivamente números reales, imaginarios puros y complejos
de módulo 1. Si U es una matriz unitaria n x n, demuéstrese que las matrices U + DU,
U + F U y U + G U son respectivamente hermítica, antihermítica y unitaria.
SO L U C I O N
a.- Como D es una matriz diagonal real y UU + = U + U = I, entonces debemos probar
que U + DU es una matriz hermítica. Es decir:
(U + DU)+ = U + D +(U +)+ = U + D + U = U + DU;
b.- Como F es una matriz diagonal imaginaria y UU + = U + U = I, entonces debemos
probar que U + F U es una matriz antihermítica. Es decir:
(U + F U)+ = U + F +(U +)+ = U + F + U = U +(-F)U = -(U + F U);
c.- Como G es una matriz diagonal compleja de módulo 1 y UU + = U + U = I, entonces debemos probar que U + G U es una matriz unitaria. Es decir:
(U + G U)+(U + G U) = U + G +(U +)+U + G U = U + G + UU + G U = U + G + I G U
= U + G + G U = U + IU = U + U = I.
+
+
+
(U G U)(U G U) = U + G UU + G +(U +)+ = U + G UU + G + U = U + G I G + U
= U + G G + U = U + IU = U + U = I. ’
E J E M P L O 1.4.16
Demuestre que una matriz real antisimétrica es normal.
SO L U C I O N
Para que una matriz sea real y antisimétrica, debe cumplir que A = A y A T = -A.
Debemos probar que esta matriz es normal, es decir
A A + = A ( A )T = A A T = A (- A ) = - A 2 = (- A ) A = A T A = ( A )T A = A + A .
Por tanto se cumple que A A + = A + A y la matriz A es normal. ’
EJ E M P L O 1.4.17
Demuestre que una matriz antihermítica es normal.
SO L U C I O N
Como A + = -A, hay que demostrar que A + A = A A +. Es decir:
A + A = (-A)A = A(-A) = A A +.
Con lo cual queda probado que una matriz antihermítica es normal. ’
EJ E M P L O 1.4.18
Sean A y B matrices normales y A B = O. ¿Resulta de esto que B A = O?
SO L U C I O N
Como A + A - A A + = O, B + B - B B + = O y A B = O, entonces:
(A + A - A A +)(B + B - BB +) = O
+
+
A A B B ± A + A B B + ± A A + B + B + A A +B B + = O
A + A B B + ± A + A B B + ± A + A BB + + A + A B B + = O
+
A O B + ± A + O B + ± A + O B + + A + O B + = O Ÿ O = O.
Por lo tanto, no es condición que B A = O. ’
EJ E M P L O 1.4.19
Demuestre que si C = A + i B donde A y B son matrices reales y simétricas, entonces
C es normal si y sólo si A y B conmutan.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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MATRICES
51
SO L U C I O N
Ÿ Como C = A + i B con A y B son matrices reales y simétricas y C C + = C + C,
entonces debemos probar que A B = B A. Es decir:
(A + i B)(A + i B)+ = (A + i B)+(A + i B)
(A + i B)(A + ± i B +) = (A + ± i B +)(A + i B)
(A + i B)(A ± i B) = (A ± i B)(A + i B)
A 2 ± i A B + i B A + B2 = A2 + i A B ± iB A + B2
-i A B + i B A = i A B ± i B A Ÿ 2i B A = 2i A B Ÿ A B = B A.
 Como C = A + i B con A y B son matrices reales y simétricas y A B = B A, entonces debemos probar que C C + = C + C. Es decir:
C C + = (A + i B)(A + i B)+
= (A + i B)(A + ± i B +)
= (A + i B)(A ± i B)
= A 2 ± i A B + iB A + B2
= A 2 ± iB A + i A B + B2
= (A ± i B)A + (A ± i B)I b
= (A ± i B)(A + i B)
= (A + ± i B +)(A + i B)
= (A + i B)+(A + i B)
= C + C. ’
EJ E M P L O 1.4.20
Demostrar que una matriz A es una matriz normal si, y sólo si, las matrices B y C de
su descomposición hermítica A = B + i C son conmutables.
SO L U C I O N
Debemos probar que A + A = A A +. Es decir:
A + A = (B + i C)+(B + i C)
= (B + - i C +)(B + i C)
= B +B + i B + C ± i C + B + C + C
= BB + - i B C + + i C B + + C C +
= (B + i C)(B + - i C +)
= (B + i C)(B + i C)+
= A A +. ’
EJ E M P L O 1.4.21
Sea A = B + i C una matriz normal compleja de n x n. Demostrar que la matriz D real
de 2n x 2n
§ B -C ·
D=¨
¸
©C B ¹
es también normal.
SO L U C I O N
Si A es una matriz normal, entonces las matrices B y C de la descomposición hermítica A = B + i C son conmutables. Por lo tanto:
+
§ B -C · § B -C · § B C · § B -C · § BB + CC -BC + CB ·
D+ D = ¨
¸¨
¸
¸ ¨
¸=¨
¸=¨
© C B ¹ © C B ¹ ¨© -C B ¸¹ © C B ¹ ¨© -CB + BC CC + BB ¸¹
§ B B + C C B C - C B · § B -C · § B C · § B -C ·§ B -C ·+
+
=¨
¸=
¨
¸=
¸ = DD .
¨ C B - B C C C + B B ¸ ¨© C B ¸¹ ¨ -C B ¸ ¨© C B ¸¨
C
B
¹©
¹
©
¹
©
¹
Con esto queda demostrado que D es una matriz normal. ’
E J E M P L O 1.4.22
Sea A una matriz normal y supóngase que conmuta con una cierta matriz B. Demuestre que:
a.- A + conmuta con B; b.- A conmuta con B +.
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52
MATRICES
SO L U C I O N
Si una matriz normal conmuta con una matriz B, entonces:
a.- (A A +)B = B(A + A) Ÿ A(A + B) = (B A +)A Ÿ A + B = B A +
b.- (A A + B)+ = (B A + A)+ Ÿ B +(A A +)+ = (A + A)+ B + Ÿ B + A A + = A + A B +
(B + A)A + = A +(A B +) Ÿ B + A = A B +. ’
% COMPROBACION DE UNA MATRIZ NORMAL clc;;clear;; fprintf('\n COMPROBACION DE UNA MATRIZ NORMAL \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') B=A' end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') C=A'*A end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') D=A*A' end if (C==D) fprintf('\n LA MATRIZ ES NORMAL') else fprintf('\n LA MATRIZ NO ES NORMAL') end PR O B L E M AS
1.4.1 Demuestre mediante un ejemplo que, si A y B son
matrices hermíticas, no necesariamente se cumple que A B
sea hermítica. ¿Qué se cumple si A y B son hermíticas y
A B = B A?
1.4.6 Sean A y B matrices normales conmutables, A = C
+ i D, B = E + i F, sus descomposiciones hermíticas. Demuestre que todas las matrices C, D, E y F son conmutables.
1.4.2 Pruebe con un ejemplo, que existe una matriz compleja simétrica que no es normal.
1.4.7 Dar ejemplos que muestren que en el caso general
la suma A + B y el producto A B de matrices normales A
y B ya no serán matrices normales.
1.4.3 Sea A una matriz antihermítica y A n = I para algún
n > 0, demuestre que A 4 = I.
1.4.4 Demuestre: Los elementos de la diagonal principal
de una matriz hermítica son reales y que los elementos de
la diagonal principal de una matriz antihermítica son
imaginarios puros. ¿Qué son los elementos de la diagonal
principal de una matriz antisimétrica?
1.4.5 Demuestre mediante un ejemplo que, si A y B son
matrices hermíticas, no necesariamente se cumple que A B
sea hermítica. ¿Qué se cumple si A y B son hermíticas y
A B = B A?
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1.4.8 Pruebe con un ejemplo, que hay una matriz compleja antisimétrica que no es normal.
1.4.9 Dada la matriz
§ 2 1 3i 1
4i ·
¨
¸
A ¨ 6 2i
1
3 i ¸ .
¨
¸
3
S S ¹
© 1 6
a.- Exprésese la matriz A como suma de una matriz hermítica y otra antihermítica.
b.- Hallar 3 matrices hermíticas diferentes a la del apartado a).
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
53
1.5 T R A Z A D E UN A M A T RI Z
En esta sección se introduce la terminología básica y se define la traza de una matriz, enunciamos sus
correspondientes propiedades.
D E F I N I C I O N 1.5.1
Sea una matriz cuadrada A = (a ij). Se define la traza de una matriz A, a la
suma de los elementos que componen la diagonal principal, representada
por
Tr( A )
n
¦ aii .
a11 a22 ... ann
i 1
T E O R E M A 1.5.1
Para todo par de matrices cuadradas A = (a ij) y B = (bij) de igual orden,
entonces
Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B).
D E M OST R A C I O N
Dadas A y B matrices cuadradas compatibles para la suma y A + B = C, entonces
Tr( A + B ) = Tr( C )
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
¦ (cii ) ¦ ( aii bii ) ¦ aii ¦ bii
Tr( A ) + Tr( B ) .
T E O R E M A 1.5.2
Para toda matriz cuadrada A = (a ij) y para todo número k, entonces
Tr(k A) = kTr(A).
D E M OST R A C I O N
Dada A una matriz cuadrada y k un número, entonces
n
n
¦ kaii
Tr( k A )
k ¦ aii
i 1
kTr( A ) .
i 1
T E O R E M A 1.5.3
Para toda matriz cuadrada A = (a ij), entonces
Tr(A T) = Tr(A).
D E M OST R A C I O N
Sea A una matriz cuadrada, al transponer esta matriz, podemos observar que la
matriz A T conserva el mismo orden de A y, además los elementos de la diagonal
principal no varían. Es decir
Tr( A T )
n
n
i 1
i 1
¦ aii ¦ a jj
Tr( A ) .
T E O R E M A 1.5.4
Para todo par de matrices cuadradas y compatibles para el producto
A = (a ik) y B = (bkj), entonces Tr(A B) = Tr(B A).
D E M OST R A C I O N
Sean A B = C, B A = D, de modo tal que
cij
n
¦ aik bkj
y
k 1
n
¦ biq aqj
d ij
q 1
Ahora bien
n
Tr( A B ) = Tr( C ) = ¦ cii
i 1
n
Tr( B A ) = Tr( D ) = ¦ d pp
p 1
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
n
§
n
·
¦ ¨ ¦ aik bki ¸
k 1© k 1
n
§
n
¹
·
¦ ¨¨ ¦ bpq aqp ¸¸
p 1© q 1
¹
JOE GARCIA ARCOS
54
MATRICES
Trabajando con la última serie se intercambia el orden de las sumas y se emplea la
conmutatividad en ƒ para obtener
n § n
·
Tr( B A ) = ¦ ¨ ¦ aqp bpq ¸
¨
¸
q 1© p 1
¹
Pero los índices son solamente índices mudos a los que se les puede dar cualquier
nombre y eso no altera el valor de la suma. Sea entonces q = i, p = k y se halla
n
Tr( B A ) = ¦ aik bki = Tr( A B ) .
i 1
EJ E M P L O 1.5.1
Si Tr(A) = 0, pruebe que existen matrices B y C tales que A = B C ± C B.
SO L U C I O N
Como A = B C ± C B, entonces:
Tr(A) = Tr(B C ± C B) = Tr(B C) ± Tr(C B) = Tr(B C) ± Tr(B C) = 0.
Con esto se demuestra que existen matrices B y C. ’
EJ E M P L O 1.5.2
Si Tr(A B C) = Tr(C B A) para toda matriz C, pruebe que A B = B A.
SO L U C I O N
Si A B = B A, entonces A B C = B A C. Haciendo que B A = D, obtenemos:
Tr(A B C) = Tr(B A C) = Tr(D C) = Tr(C D) = Tr(C B A).
Con esto probamos que las matrices A y B son conmutativas. ’
EJ E M P L O 1.5.3
Sean A y B matrices hermíticas complejas de un mismo orden. Demuestre que la
traza de la matriz A B es un número real.
SO L U C I O N
Dadas las matrices A y B hermíticas complejas de igual orden, entonces
Tr( A B ) = Tr( A + B + ) = Tr( B A )+ = Tr( B A )T = Tr( B A )
lo cual indica que Tr(A B) es un número real. ’
E J E M P L O 1.5.4
Dada la matriz A
§1 3·
¨
¸ , determine una matriz B tal que Tr(A B) = Tr(A)Tr(B).
©5 2¹
SO L U C I O N
La matriz B debe tener la misma forma que la matriz A. Es decir
§a b·
§ a 3c b 3d ·
B =¨
¸ y AB = ¨
¸.
c
d
©
¹
© 5a 2c 5b 2d ¹
Por lo tanto
Tr(A B) = a + 3c + 5b + 2d, Tr(A) = 3, Tr(B) = a + d.
Por tanto
a + 5b + 3c + 2d = 3a + 3d Ÿ 2a - 5b ± 3c + d = 0
La familia de matrices que cumple esta condición esta dada por
­
½
°§ a b ·
°
S = ®¨
¸ / 2 a 5b 3c d 0 ¾ . ’
c
d
°
°
©
¹
¯
¿
% CALCULO DE LA TRAZA DE UNA MATRIZ clc;;clear;; fprintf('\n TRAZA DE UNA MATRIZ \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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MATRICES
55
for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') TrA=trace(A) end PR O B L E M AS
1.5.1 Sean A y B matrices cuadradas de n x n y sean a y b
escalares. Demuestre que
Tr(a A + b B) = aTr(A) + bTr(B).
1.5.2 Sea A una matriz compleja de n x n. Demuestre que
Tr(A + A) t 0, y que la igualdad se verifica si y sólo si A es
la matriz nula.
1.5.3 Sea A la matriz de n x n cuyos elementos son a ij = i
+ j, i, j «n. Calcule la traza de A y demuestre que
su valor coincide con la suma de los elementos de su
diagonal secundaria.
1.5.4 Sea A = SBS-1, donde
§1 1 0·
§1 1
¨
¸
¨
B = ¨ 1 2 1 ¸ y S = ¨1 1
¨ 0 1 3¸
¨1 0
©
¹
©
Encuentre A y verifique que Tr(A) = Tr(B).
0·
¸
1¸
1 ¸¹
1.5.5 Demuestre que si A y B son dos matrices
complejas, entonces
Tr( B + A )
2
d Tr( A + A )Tr( BB + ) .
1.5.6 Demuestre que si A es una matriz de n x n y si
Tr(A B) = 0 para todas las matrices B de n x n, entonces A
es la matriz nula.
1.6 PO T E N C I A D E UN A M A T RI Z
En esta sección se introduce la terminología básica y se define la n-ésima potencia de una matriz, analizamos sus
casos particulares, enunciamos sus correspondientes propiedades.
D E F I N I C I O N 1.6.1
Sea A una matriz cuadrada y n  . Se define la n-ésima potencia de A
como el producto, repetido n veces, de A por sí misma, y se simboliza
por A n, Es decir
A ˜ A ˜ ... ˜ A = A n .
n veces
T E O R E M A 1.6.1
Si dos matrices conmutan sus potencias naturales también conmutan.
D E M OST R A C I O N
Sean A, B compatibles para el producto y A B = B A. Si se multiplica A B = B A por la
izquierda por B n-1, obtenemos que B n-1 = B n A, o, lo que es lo mismo,
B n A = B n-1 B A = B n-1 A B = B n-2 B A B = B n-2 A B 2 = ... = A B n,
por lo tanto, A B n - B n A = O. Si multiplicamos la ecuación anterior por la izquierda
por A m-1, obtendremos que A m-1 B n A = A m B n, o, lo que es lo mismo,
A m B n = A m-1 B n A = A m-2 B n A 2 = ... = B n A m,
m n
por lo tanto, A B - B n A m = O. Esto quiere decir que si las matrices A y B son
conmutables, cualesquiera potencias naturales de las mismas también son
conmutables.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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56
MATRICES
EJ E M P L O 1.6.1
Dada la matriz
§a 0
¨
A = ¨0 b
¨c 0
©
siendo a, b, c  K. Determine A k para todo k
polinomio p(x) = 1 + x5 + x7.
SO L U C I O N
§ a 0 0·
n = 1: ¨¨ 0 b 0 ¸¸ ;
¨ c 0 0¸
©
¹
n = 2:
2
0
§ a 0 0 · § a 0 0 · §¨ a
¨
¸¨
¸
2
¨ 0 b 0¸¨ 0 b 0¸ ¨ 0 b
¨
¨ c 0 0 ¸ ¨ c 0 0 ¸ ¨ ac 0
©
¹©
¹ ©
n = 3:
§ a2 0
¨
¨ 0 b2
¨
¨ ac 0
©
0·
¸
0¸ ,
0 ¸¹
 . Calcúlese también p(A) para el
0·
¸
0¸ ;
¸
0¸
¹
0 · § a 0 0 · § a3 0
¸¨
¸ ¨
0 ¸ ¨ 0 b 0 ¸ ¨ 0 b3
¸
¨
0 ¸ ¨© c 0 0 ¸¹ ¨ a 2 c 0
¹
©
A
k
0·
¸
0¸ ;
¸
0 ¸¹
§ ak
0
¨
¨ 0
bk
¨ k 1
¨a c 0
©
0·
¸
0¸ .
¸
0 ¸¹
p( A ) I + A 5 + A 7
5
0
§ 1 0 0 · §¨ a
¨
¸
5
¨ 0 1 0¸ ¨ 0 b
¨ 0 0 1 ¸ ¨¨ 4
©
¹ ©a c 0
§ 1 a5 a7
0
¨
5
¨
0
1 b b7
¨ 4
¨ a c (1 a 2 )
0
©
0 · § a7 0
¸ ¨
0 ¸ ¨ 0 b7
¸ ¨
0 ¸¹ ¨© a 6 c 0
0·
¸
0¸
¸
0 ¸¹
0·
¸
0¸ . ’
¸
0 ¸¹
EJ E M P L O 1.6.2
b ·
2
¸ . Calcular A
d¹
y probar que existen números p y q, que se calculan en función de a, b, c y d, tales
que A 2 ± p A ± q I = O. Indicar en qué casos los coeficientes p y q no son únicos.
SO L U C I O N
Para encontrar A 2, debemos multiplicar A A:
2
§ a b ·§ a b · § a bc ab bd ·
¸
¨
¸¨
¸ ¨¨
© c d ¹© c d ¹ © ac cd bc d 2 ¸¹
§ a b ·§ a b ·
§a b·
§ 1 0·
A 2 p A qI ¨
¸¨
¸ p¨
¸ q¨
¸
© c d ¹© c d ¹
©c d¹
© 0 1¹
Sean a, b, c, d números arbitrarios; se considera la matriz A
§ a 2 bc ab bd · § pa
¨
¸
¨ ac cd bc d 2 ¸ ¨© pc
©
¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
§a
¨
©c
pb · § q 0 ·
¸¨
¸
pd ¹ © 0 q ¹
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
57
§ a 2 bc pa q
ab bd pb · § 0 0 ·
¨
¸ ¨
¸
¨ ac cd pc
bc d 2 pd q ¸¹ © 0 0 ¹
©
(1) ­ a 2 bc pa q 0
°
­ a 2 d 2 p( a d ) 0
(2) ° ab bd pb 0
(1) (4) °
Ÿ
®
®
(3) ° ac cd pc 0
(2) (3) °̄(b c )( a d ) p(b c ) 0
(4) °¯bc d 2 pd q 0
­p a d
°
® bzc .
° azd
¯
Reemplazamos el valor encontrado de p en la primera o cuarta ecuación, y
obtenemos que q = bc ± ad. Además p y q no son únicos cuando b z c y a z d. ’
EJ E M P L O 1.6.3
Demostrar que las matrices dadas satisfacen las ecuaciones que se indican:
§1 3·
2
a.- A = ¨
¸ ; A ± 3A + 8I = O;
2
2
©
¹
§a b ·
2
A =¨
¸ ; A ± (a + d)A + (ad ± bc)I = O.
c
d
©
¹
SO L U C I O N
§ 1 3 ·§ 1 3 · § 1 3 · § 1 0 ·
a.- ¨
¸¨
¸ 3¨
¸ 8¨
¸
© 2 2 ¹© 2 2 ¹ © 2 2 ¹ © 0 1¹
§ 5 9 · § 3 9 · § 8 0 · § 0 0 ·
¨
¸¨
¸¨
¸ ¨
¸;
© 6 2 ¹ © 6 6 ¹ © 0 8 ¹ © 0 0 ¹
§ a b ·§ a b ·
§a b ·
§1 0 ·
b.- ¨
¸¨
¸ (a d ) ¨
¸ ( ad bc ) ¨
¸
c
d
c
d
c
d
©
¹©
¹
©
¹
© 0 1¹
b.-
§ a 2 bc
¨
¨ ac cd
©
ab bd · § a 2 ad
¸¨
cb d 2 ¸¹ ¨© ac cd
ab bd · § ad bc
¸¨
ad d 2 ¸¹ © 0
0
· § 0 0·
¸ ¨
¸. ’
ad bc ¹ © 0 0 ¹
E J E M P L O 1.6.4
Sea la matriz
§0 1·
¨
¸.
© 0 0¹
Se considera la familia de matrices de la forma C = a I + b B, donde a, b son escalares
reales. Calcúlese C n, n  Z +.
SO L U C I O N
§1 0·
§0 1· § a b·
C a¨
¸b ¨
¸ ¨
¸
©0 1¹
© 0 0¹ © 0 a ¹
B
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
n = 1:
C
n = 2:
C2
n = 3:
C3
§a b·
¨
¸;
©0 a¹
2
§ a b ·§ a b · § a 2ab ·
¨
¸;
¨
¸¨
¸
© 0 a ¹© 0 a ¹ ¨© 0 a 2 ¸¹
§ a 2 2 ab · § a b · § a 3 3a 2b ·
¨
¸
¨
¸;
¨ 0 a 2 ¸ ¨© 0 a ¸¹ ¨ 0
a 3 ¸¹
©
¹
©
JOE GARCIA ARCOS
58
MATRICES
n = 4:
C4
§ a3
¨
¨0
©
3a 2 b · § a b · § a 4
¸¨
¸ ¨
a 3 ¸¹ © 0 a ¹ ¨© 0
4 a 3b ·
¸;
a 4 ¸¹
Por tanto
Cn
EJ E M P L O 1.6.5
Sea la matriz A, hallar
§1 0 1·
¨
¸
a.- A = ¨ 0 0 0 ¸ ;
¨1 0 1¸
©
¹
SO L U C I O N
§1 0
¨
a.- Como A ¨ 0 0
¨1 0
©
2
n = 2:
A
n = 3:
A3
§ an
¨
¨0
©
A n para todo n  Z +:
§ 1 1 1·
¨
¸
b.- A ¨1 1 1¸ ;
¨ 1 1 1¸
©
¹
1·
¸
0 ¸ , entonces:
1 ¸¹
§ 1 0 1 ·§ 1 0 1 ·
¨
¸¨
¸
¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 0 ¸
¨ 1 0 1 ¸¨ 1 0 1 ¸
©
¹©
¹
§ 2 0 2 ·§ 1 0 1 ·
¨
¸¨
¸
¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 0 ¸
¨ 2 0 2 ¸¨ 1 0 1 ¸
©
¹©
¹
§ 4 0 4 ·§ 1 0 1 ·
¸
n = 4: A ¨¨ 0 0 0 ¸¨
¸¨ 0 0 0 ¸
¨ 4 0 4 ¸¨ 1 0 1 ¸
©
¹©
¹
Por lo tanto: A n = 2n -1 A.
§ 1 1 1·
¨
¸
b.- Como A ¨1 1 1¸ , entonces:
¨ 1 1 1¸
©
¹
4
2
n = 2:
A
n = 3:
A3
na n 1b ·
¸. ’
a n ¸¹
§1 1 1·§1
¨
¸¨
¨1 1 1¸¨1
¨1 1 1¸¨1
©
¹©
§ 3 3 3 ·§1
¨
¸¨
¨ 3 3 3 ¸¨1
¨ 3 3 3 ¸¨1
©
¹©
c.- A
§0 a b·
¨
¸
¨0 0 c ¸ .
¨0 0 0¸
©
¹
§ 2 0 2·
¨
¸
¨0 0 0¸ 2A ;
¨ 2 0 2¸
©
¹
§ 4 0 4·
¨
¸
2
¨0 0 0¸ 4A 2 A ;
¨ 4 0 4¸
©
¹
§8 0 8·
¨
¸
¨0 0 0¸ 8A
¨8 0 8¸
©
¹
1 1· § 3
¸ ¨
1 1¸ ¨ 3
1 1¸¹ ¨© 3
1 1· § 9
¸ ¨
1 1¸ ¨ 9
1 1¸¹ ¨© 9
23 A .
3 3·
¸
3 3¸ 3 A ;
3 3 ¸¹
9 9·
¸
9 9 ¸ 9 A 32 A ;
9 9 ¸¹
§ 9 9 9 ·§1 1 1· § 27 27 27 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
¨ 9 9 9 ¸¨1 1 1¸ ¨ 27 27 27 ¸ 27 A
¨ 9 9 9 ¸¨1 1 1¸ ¨ 27 27 27 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
Por lo tanto: A n = 3n-1 A.
§0 a b·
¨
¸
c.- n = 1: ¨ 0 0 c ¸ ;
¨0 0 0¸
©
¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
n = 4:
A4
n = 2:
§ 0 a b ·§ 0 a b ·
¨
¸¨
¸
¨ 0 0 c ¸¨ 0 0 c ¸
¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 0 ¸
©
¹©
¹
33 A .
§ 0 0 ac ·
¨
¸
¨0 0 0 ¸ ;
¨0 0 0 ¸
©
¹
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
59
§ 0 0 ac ·§ 0 a b ·
¨
¸¨
¸
¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 c ¸
¨ 0 0 0 ¸¨ 0 0 0 ¸
©
¹©
¹
Por lo tanto: A n = O, n > 2. ’
n = 3:
§0 0 0·
¨
¸
¨0 0 0¸ .
¨0 0 0¸
©
¹
EJ E M P L O 1.6.6
Si A es una matriz de 2 x 2 que satisface A 2 ± A + I = O, determine A 3n en términos
de A para n  Z +.
SO L U C I O N
Como A 2 ± A + I = O, entonces, A 2 = A ± I. Multiplicando ambos miembros de esta
ecuación por A sucesivamente, obtenemos:
A3 = A2 ± A Ÿ A4 = A3 ± A2 Ÿ A5 = A4 ± A3 Ÿ A6 = A5 ± A4
Por lo tanto A 3n = A 3n-1 ± A 3n-2. ’
E J E M P L O 1.6.7
Sean las matrices A, B, compatibles para el producto, entonces se cumple, para
cualquier potencia de B
m-1
A B m - B m A = ¦ B k ( A B - B A ) B m- k -1 .
k =0
SO L U C I O N
Demostraremos la identidad utilizando el proceso de inducción matemática
m-1
P(m): A B m - B m A = ¦ B k ( A B - B A ) B m- k -1 .
k =0
0
P(1): A B1 - B1 A = ¦ B k ( A B - B A ) B -k
k=0
A B ± B A = B 0(A B ± B A)B 0 = I(A B ± B A)I = A B ± B A.
n -1
P(n): A B n - B n A = ¦ B k ( A B - B A ) B n- k -1 .
k =0
P(n+1):
n
A B n +1 - B n +1 A = ¦ B k ( A B - B A ) B n- k
k =0
n-1
= ¦ B k ( A B - B A ) B n- k + B n ( A B - B A ) B 0
k =0
§ n-1
·
= ¨ ¦ B k ( A B - B A ) B n- k -1 ¸ B + B n ( A B - B A ) I
© k =0
¹
= ( A Bn - Bn A )B + Bn ( A B - B A )
= AB n+1 - B n AB + B n AB - B n+1 A
= A B n+1 - B n+1 A
Por lo tanto P(m) es verdadera. ’
E J E M P L O 1.6.8
Sean A y B matrices de n x n tales que A B = B A = O. Demuestre que
(A + B)k = A k + B k, para k  .
SO L U C I O N
Ya que A y B son conmutativas, podemos utilizar el teorema del binomio. Es decir:
k k
§ ·
( A + B ) k = ¦ ¨ ¸ A k -i B i
i =0 © i ¹
§ k · k 0 § k · k -1 1 § k · k -2 2
§k· 0 k
¨ ¸A B ¨ ¸A B ¨ ¸A B « ¨ ¸A B
©0¹
©1¹
© 2¹
©k¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
60
MATRICES
§k ·
§k ·
= ¨ ¸ A k B0 + ¨ ¸ A 0B k = A k + B k . ’
©0¹
©k¹
E J E M P L O 1.6.9
Dada la matriz, calcular A n siendo n  Z +:
§ 2 1 ·
§1 1 ·
a.- ¨
¸ ; b.- ¨
¸.
3
2
©
¹
©1 0 ¹
SO L U C I O N
§ 2 1 ·
§ 2 1 ·§ 2 1 · § 1 0 ·
a.- n = 1: ¨
¸ ; n = 2: ¨
¸¨
¸ ¨
¸;
© 3 2 ¹
© 3 2 ¹© 3 2 ¹ © 0 1 ¹
§ 1 0 ·§ 2 1 · § 2 1 ·
§ 2 1 ·§ 2 1 · § 1 0 ·
n = 3: ¨
¸¨
¸ ¨
¸ ; n = 4: ¨
¸¨
¸ ¨
¸.
© 0 1 ¹© 3 2 ¹ © 3 2 ¹
© 3 2 ¹© 3 2 ¹ © 0 1 ¹
Cuando n es impar A n = A; cuando n es par A n = I.
§1 1 ·
§1 1 ·§1 1 · § 2 1·
b.- n = 1: ¨
¸ ; n = 2: ¨
¸¨
¸ ¨
¸;
1
0
©
¹
©1 0 ¹©1 0 ¹ © 1 1¹
n = 3:
n = 5:
§ 2 1·§1
¨
¸¨
© 1 1¹©1
§ 5 3 ·§1
¨
¸¨
© 3 2 ¹©1
Por lo tanto
1· § 3
¸ ¨
0¹ © 2
1· §8
¸ ¨
0¹ ©5
a11 :
a12 :
a21 :
a22 :
2·
¸;
1¹
§ 3 2 ·§1 1 · § 5 3 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸;
© 2 1 ¹©1 0 ¹ © 3 2 ¹
n = 4:
5·
¸.
3¹
0
An
1
1
1
1
1
1
1
§ an
¨
© an 1
2
2
2
2
3
3
3
3
5
5
5
8
an 1 ·
¸. ’
an 2 ¹
% CALCULA LA POTENCIA DE UNA MATRIZ clc;;clear;; fprintf('\n POTENCIA DE UNA MATRIZ \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas de la Matriz: ');; pt=input('Ingrese la potencia a la que va elevar la matriz: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA POTENCIA DE LA MATRIZ A ES:\n') PotA=A^pt end D E F I N I C I O N 1.6.2
Respecto a las potencias naturales de una matriz definiremos las
siguientes matrices:
a.- Se conviene en que A 0 = I.
b.- Una matriz periódica de periodo n cumple A n = A. Un caso particular lo
forman las matrices idempotentes para las cuales A 2 = A.
c.- Una matriz es nilpotente de índice n si A n = O.
d.- Una matriz es involutoria si A 2 = I.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
61
E J E M P L O 1.6.10
Encuentre una familia de matrices de 2 x 2 para que cumplan lo siguiente:
a.- sean idempotentes; b.- sean nilpotentes de índice 2; c.- sean involutorias.
SO L U C I O N
a.- Para que una matriz A sea idempotente, debe cumplirse que A 2 = A. Es decir:
§ a 2 bc ab bd · § a b ·
§ a b ·§ a b · § a b ·
¸ ¨
¨
¸¨
¸ ¨
¸ Ÿ ¨¨
¸.
2
¸
© c d ¹© c d ¹ © c d ¹
© ca dc d bc ¹ © c d ¹
Debemos resolver el sistema
(1) ­ a 2 bc a
°
(2) ° ab bd b
®
(3) ° ca dc c
(4) °¯d 2 bc d
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos
­ ad 0
­a 2 a d 2 d
­( a d )(1 a d ) 0
°1 a d 0
°
°
°
Ÿ ®
ab bd b
® ab bd b Ÿ ®
° ab bd b
°
° ca dc c
ca dc c
¯
¯
°¯ ca dc c
De donde concluimos que
1
­
°° a d 2
.
®
°b 1 , c z 0
°̄
4c
Por tanto, una posible solución es la matriz
§1 1 ·
¨ 2 4c ¸
¸.
A ¨
¨c 1 ¸
¨
¸
2 ¹
©
b.- Para que una matriz A sea nilpotente de índice 2, debe cumplirse que A 2 = O. Es
decir:
§ a 2 bc ab bd · § 0 0 ·
§ a b ·§ a b · § 0 0 ·
¸ ¨
¨
¸¨
¸ ¨
¸ Ÿ ¨¨
¸.
2
¸
© c d ¹© c d ¹ © 0 0 ¹
© ca dc d bc ¹ © 0 0 ¹
Debemos resolver el sistema
(1) ­ a 2 bc 0
°
(2) ° ab bd 0
®
(3) ° ca dc 0
(4) °¯ d 2 bc 0
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos
­ ad 0
­a 2 d 2 0
­( a d )( a d ) 0
° ad 0
°
°
°
Ÿ ®
® ab bd 0 Ÿ ® ab bd 0
° ab bd 0
° ca dc 0
° ca dc 0
¯
¯
°¯ ca dc 0
De donde concluimos que a = d = 0 y si reemplazamos estos valores en las
ecuaciones (1) y (4), obtenemos bc = 0, donde b = 0, c z 0 o c = 0, b z 0. Por tanto
las matrices buscadas tienen la forma
§ 0 0·
§0 b·
A ¨
¸ y A ¨
¸.
© c 0¹
© 0 0¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
62
MATRICES
c.- Para que una matriz A sea involutoria, debe cumplirse que A 2 = I. Es decir:
§ a 2 bc ab bd · § 1 0 ·
§ a b ·§ a b · § 1 0 ·
Ÿ
.
¨
¸
¨
¸¨
¸ ¨
¸
¨ ca dc d 2 bc ¸ ¨© 0 1 ¸¹
© c d ¹© c d ¹ © 0 1 ¹
©
¹
Debemos resolver el sistema
(1) ­ a 2 bc 1
°
(2) ° ab bd 0
®
(3) ° ca dc 0
(4) °¯ d 2 bc 1
Restando la cuarta ecuación de la primera, obtenemos
­ ad 0
­a 2 d 2 0
­( a d )( a d ) 0
° ad 0
°
°
°
Ÿ
Ÿ
ab
bd
0
ab
bd
0
®
®
®
° ab bd 0
° ca dc 0
° ca dc 0
¯
¯
°¯ ca dc 0
De donde concluimos que a = d = 0 y reemplazando estos valores en las ecuaciones
(1) y (4), obtenemos bc = 1 donde tenemos dos alternativas b = 1/c, c z 0 o c = 1/b,
b z 0. Por lo tanto dos de las posibles soluciones son
§ 0 1/ c ·
§ 0 b·
A ¨
¸ y A ¨
¸. ’
c
0
©
¹
©1/ b 0 ¹
E J E M P L O 1.6.11
Si A, B, C son matrices cuadradas de igual orden que cumplen lo siguiente: C es
nilpotente, índice de nilpotencia 2, B y C son conmutativas y A = B + C.
Demuéstrese que, para todo n  Z +, se cumple la ecuación A n+1 = B n(B + (n + 1)C).
SO L U C I O N
Sabemos que A n+1 = A n A, entonces:
A n+1 = (B + C)n+1
= (B + C)n(B + C)
= (B n + k B n-1 C + n(n - 1)B n-2 C 2 + ... + C n)(B + C)
= (B n + n B n-1 C + C n)(B + C)
= B n B + B n C + n B n C + n B n-1 C 2 + C n B + C n+1
= B n+1 + (n + 1)B n C = B n(B + (n + 1)C). ’
E J E M P L O 1.6.12
Si A es nilpotente de índice 2, demuéstrese que A(I ± A)n = A, siendo n  Z +.
SO L U C I O N
A(I ± A)n = A(I n ± n I n-1 A ± n(n - 1)I n-2 A 2 ± . . . ± A n)
= A I n ± n I n-1 A 2 ± . . . ± A n+1
= A ± A n-1 A 2
= A. ’
E J E M P L O 1.6.13
Sea una matriz cuadrada tal que A 2 = A. Demuéstrese que A n = A, para todo n  Z +.
SO L U C I O N
Probaremos esta proposición utilizando el proceso de inducción matemática.
Si A 2 = A, entonces:
P(n) : A n = A
P(1) : A 1 = A
P(k) : A k = A. Verdadero por hipótesis inductiva.
P(k + 1) : A k+1 = A
A k+1 = A k A = A A = A 2 = A,
lo cual es verdadero. Por lo tanto se cumple que A n = A. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
63
E J E M P L O 1.6.14
Demuéstrese que si A B = A y B A = B, entonces A y B son idempotentes.
SO L U C I O N
Para que A y B sean idempotentes, debe cumplirse: A 2 = A y B 2 = B.
A2 = A A = A B A B = A B B = A B = A
2
B = B B = B A B A = B A A = B A = B. ’
E J E M P L O 1.6.15
Si A es una matriz involutoria, demuéstrese que ½(I + A) y ½(I - A) son matrices
idempotentes y que [½(I + A)][½(I - A)] = O.
SO L U C I O N
[½(I + A)]2 = ¼(I + A)(I + A) = ¼(II + I A + A I + A A) si A 2 = I
= ¼(I + 2I A + I) = ¼(2I + 2A) = ½(I + A) es idempotente.
[½(I - A)]2 = ¼(I - A)(I - A) = ¼(II - I A - A I + A A) si A 2 = I
= ¼(I - 2I A + I) = ¼(2I - 2A) = ½(I - A) es idempotente.
[½(I + A)][½(I - A)] = ¼(I + A)(I - A) = ¼(II - I A + A I - A A) si A 2 = I
= ¼(I - I) = O. ’
E J E M P L O 1.6.16
Pruébese que la matriz A es involutoria si y sólo si, se cumple que
(I - A)(A + I) = O.
SO L U C I O N
Para que la matriz A sea involutoria es necesario que se cumpla A 2 = I.
(I - A)(A + I) = I A + II - A A - A I = A + I 2 ± A 2 - A = I ± I = O. ’
E J E M P L O 1.6.17
Las potencias naturales n t 2 de una matriz idempotente A, satisfacen la ecuación
A n = A.
SO L U C I O N
Siendo A idempotente, se cumple que A n = A, entonces A 3 = A A 2 = A A = A 2 = A.
Supóngase que A n = A, entonces
A n+1 = A A n = A A = A 2 = A. ’
E J E M P L O 1.6.18
Las potencias de una matriz involutoria A cumplen las ecuaciones
a.- A 2n = I, n  ; b.- A 2n+1 = A, n  .
SO L U C I O N
Siendo A una matriz involutoria, debe cumplirse que A 2 = I; entonces:
a.- A 2n = (A 2)n = I n = I;
b.- A 2n+1 = A A 2n = A I = A. ’
EJ E M P L O 1.6.19
Si A es una matriz idempotente, pruebe que (A B ± A B A)2 = O, para toda matriz B.
SO L U C I O N
Si A es idempotente, entonces A 2 = A; por lo tanto
(A B ± A B A)2 = (A B ± A B A)(A B ± A B A)
= ABAB ± ABABA ± ABA AB + ABA ABA
= A B A B ± A B A B A ± A B A 2B + A B A 2 B A
= ABAB ± ABABA ± ABAB + ABABA
= O. ’
EJ E M P L O 1.6.20
Demuestre que para una matriz nilpotente A de índice de nilpotencia p la matriz A +
es también nilpotente y posee el mismo índice de nilpotencia.
SO L U C I O N
Dado que A p = O, entonces tenemos que probar que (A +)p = O. Es decir:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
64
MATRICES
( A + ) p = A + ˜ A + ˜ ... ˜ A + = ( A ˜ A ˜ ... ˜ A ) + = ( A p ) + = O + = O . ’
p veces
p veces
EJ E M P L O 1.6.21
Demuestre que si A es idempotente, B = 2A ± I es involutoria, si B es involutoria,
A = ½(B + I) es idempotente.
SO L U C I O N
Si A 2 = A, entonces:
B 2 = (2A - I)2 = (2A - I)(2A - I) = 4A 2 ± 4A + I = 4A ± 4A + I = I.
2
Si B = I, entonces:
2
1
1
1
1
§1
·
A 2 = ¨ ( B + I ) ¸ = ( B 2 + 2 B + I ) = ( I + 2 B + I ) = (2 B + 2 I ) = ( B + I ) = A .
4
4
4
2
©2
¹
% COMPROBACION DE UNA MATRIZ PERIODICA clc;;clear;; fprintf('\n COMPROBACION DE UNA MATRIZ PERIODICA \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas de la Matriz: ');; pt=input('Ingrese la potencia a la que va elevar A: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ POTENCIA ES:\n') PotA=A^pt end if(A ==PotA) fprintf('\n LA MATRIZ A ES PERIODICA\n') if(pt==2) fprintf('\n LA MATRIZ A ES IDEMPOTENTE\n') end else fprintf('\n LA MATRIZ A NO ES PERIODICA\n') end % COMPROBACION DE UNA MATRIZ INVOLUTORIA clc;;clear;; fprintf('\n COMPROBACION DE UNA MATRIZ INVOLUTORIA \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas de la Matriz: ');; %pt=input('Ingrese la potencia a la que va elevar la matriz: ');; pt=2;; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ POTENCIA ES:\n') PotA=A^pt end I=eye(size(A));; end ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
65
if(PotA ==I) fprintf('\n LA MATRIZ A ES INVOLUTORIA\n') else fprintf('\n LA MATRIZ A NO ES INVOLUTORIA\n') end % COMPROBACION DE UNA MATRIZ NILPOTENTE clc;;clear;; fprintf('\n COMPROBACION DE UNA MATRIZ NILPOTENTE \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas de la Matriz: ');; pt=input('Ingrese la potencia a la que va elevar: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf(' LA MATRIZ A ES:\n') A End fprintf(' LA MATRIZ POTENCIA ES:\n') PotA=A^pt end ceros=zeros(size(A));; if(PotA ==ceros) fprintf('\nLA MATRIZ A ES NILPOTENTE DE INDICE %d\n',pt) else fprintf('\nLA MATRIZ A NO ES NILPOTENTE\n') end PR O B L E M AS
1.6.1 Si A 2 = A, demostrar que (A + I)k = I + (2k ± 1)A.
1.6.2 La ecuación A 2 = I se satisface para cada una de las
matrices 2 x 2
§1 0· §1 0 · §1 b ·
¸, ¨
¸
¨
¸, ¨
© 0 1 ¹ © c 1¹ © 0 1¹
donde b y c son números reales arbitrarios. Hallar todas las
matrices A de 2 x 2, tales que A 2 = I.
1.6.3 Dada la matriz
A
§ CosT SenT ·
¨
¸.
© SenT Cos T ¹
Calcular A n siendo n  Z +.
1.6.4 Demuestre que una matriz triangular es nilpotente
si, y sólo si, todos los elementos de la diagonal principal
son nulos, y el índice del carácter nilpotente de la matriz
triangular no supera su orden.
n
+
1.6.5 Sea k z 0, encuentre A , n  Z si
kSenT ·
§ CosT
¨
¸.
A
¨¨ 1 SenT CosT ¸¸
© k
¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1.6.6 La matriz
A
donde i2 = -1, a
1
(1 2
§a
¨
©i
i·
¸,
b¹
5) y b
1
(1 2
5) , tiene la
propiedad de que A es idempotente. Describir en forma
completa todas las matrices A de 2 x 2, con elementos
complejos tales que A sea idempotente.
1.6.7 Determine a y b tales que A sea idempotente
§ 1 0·
A ¨
¸.
© a b¹
1.6.8 Determine condiciones sobre a, b y c de modo que
A sea idempotente
§ a 0·
A ¨
¸.
©b c¹
1.6.9 Demuestre que A es idempotente sí y sólo si A T es
idempotente.
1.6.10 Demostrar que una hipermatriz triangular es
nilpotente si, y sólo si, todas sus submatrices en la
diagonal principal son nilpotentes.
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
66
1.6.11 Dada la matriz
nS
nS ·
§
Sen ¸
¨ Cos k
k ¸
A ¨
n
S
n
S
¨ Sen
Cos ¸¸
¨
k
k ¹
©
en donde k  Z +, encuentre A m para todo m. ¿A qué es
igual la matriz A m cuando m = k?
1.6.17 Demuestre que si A y B son idempotentes y A B =
B A, entonces A B es idempotente.
1.6.18 Encuentre una matriz hipertriangular nilpotente
de índice 2 tales que sus submatrices en la diagonal
principal sean nilpotentes de índice 2.
1.6.19 Si A y B son matrices de 2 x 2. Calcule:
a.- (A B ± B A)2;
b.- (A B ± B A)n, n > 2.
1.6.12 Demuéstrese que, si A es matriz cuadrada, entonces:
a.- A 3 ± I = (A ± I)(A 2 + A + I);
b.- A 4 ± I = (A 2 + I)(A + I)(A ± I);
c.- 3A 2 ± 2A - I = (3A + I)(A ± I);
d.- A k ± I = (A ± I)(A k-1 + A k-2 «+ I).
1.6.20 Si A y B son matrices de n x n tales que
A(A B ± B A) = (A B ± B A)A
y
B(A B ± B A) = (A B ± B A)B.
Demuestre que (A B ± B A)3 = O.
1.6.13 Demuestre que si A es nilpotente, entonces A T es
nilpotente con el mismo índice.
1.6.21 Encuentre una matriz triangular de 3 x 3, que sea
nilpotente de índice 2.
1.6.14 Sean las matrices
§ 3 2 ·
§ 4 2 ·
A ¨
¸, B ¨
¸,
© 15 8 ¹
© 15 7 ¹
1.6.22 Dada
p(x):
§ 1
¨
a.- A ¨ 1
¨2
©
p( x, y) x2 xy 2 y 2 y q( x, y) x2 y 2 2 y 1 :
a.- Verifíquese que A y B conmutan.
b.- Evalúese p(A, B).
c.- Evalúese q(A, B).
d.- Demuéstrese que, en general, si A y B son matrices
de n x n, y si A y B conmutan, entonces
(A + B)2 = A 2 + 2A B + B 2
y
A 2 ± B 2 = (A + B)(A ± B)
y verifíquese la validez de esas relaciones con las
matrices A, B que se han dado.
1.6.15 Sea f ( x) x 2 x 3 , g ( x) x3 2 x 1 ,
§ 3 1·
§ 1 2 ·
¨
¸, B ¨
¸ . Evalúese:
© 2 0¹
©3 4 ¹
a.- f(A);
b.- f(B);
c.- f(I);
d.- f(O);
e.- g(A);
f.- g(B);
g.- f(A + B).
A
1.6.16 En cada una de las elecciones siguientes de la
matriz A, demuéstrese que se puede expresar A como B
+ C, donde B es idempotente y C es nilpotente
(recuérdese que O es idempotente y nilpotente al mismo
tiempo):
§1 0·
§ 0 0·
a.- A ¨
¸ ; b.- A ¨
¸;
0
1
©
¹
©1 0¹
c.-
e.-
A
§1 0·
¨
¸;
© 0 0¹
A
§1 0 ·
¨
¸;
©1 0 ¹
d.-
f.-
A
A
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
§1
¨
©1
§1
¨
¨0
¨1
©
0·
¸;
1¹
0 0·
¸
1 0¸ .
0 0 ¸¹
la matriz A. Hallar el valor del polinomio
2 1·
¸
1 3 ¸ , p(x) = 3x2 ± 2x + 2;
1 1 ¸¹
§1 1 1 ·
¨
¸
b.- A ¨1 1 1¸ , p(x) = 2x2 + 3x ± 1;
¨1 1 1¸
©
¹
§1 2 3·
¨
¸
c.- A ¨ 4 5 6 ¸ , p(x) = x2 ± 5x ± 5;
¨7 8 9¸
©
¹
§1
¨
d.- A ¨ 2
¨3
©
§1
¨
e.- A ¨1
¨1
©
f.- A
4 7·
¸
5 8 ¸ , p(x) = 3x2 + 5x ± 5;
6 9 ¸¹
1 1·
¸
i 1¸ , p(x) = x2 + 3x + 1;
1 i ¸¹
1 ·
§1 i 1
¨
¸
2
¨ 1 1 i 1 ¸ , p(x) = x - 3x ± 2.
¨ 1
1 1 i ¸¹
©
1.6.23 Hallar matrices A y B tales que
§ 1 2 ·
§ 1 3 ·
2
A2 ¨
¸ y B
¨
¸.
0
1
©
¹
©2 5 ¹
1.6.24 Dada la matriz
A
encuentre A n, n  Z +.
§8 4
¨
¨4 2
¨ 4i 2i
©
4i ·
¸
2i ¸
2 ¸¹
JOE GARCIA ARCOS
MATRICES
67
1.7 C U EST I O N A RI O
Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,
indicar por que lo es:
1.7.1 Si dos productos A B y B A están definidos y A es
una matriz de m x n, entonces B es una matriz de m x n.
1.7.2 Una matriz que conmuta para el producto con una
matriz diagonal que posee elementos en la diagonal
distintos de dos en dos es también una matriz diagonal.
1.7.3 Si una matriz cuadrada A es conmutativa para el
producto con todas las matrices cuadradas del mismo
orden, ésta es la matriz nula.
1.7.4 Las operaciones sobre las matrices casi triangulares
de la misma estructura, superiores o inferiores conducen a
matrices casi diagonales de la misma estructura.
1.7.5 Si una matriz A es nilpotente de índice de
nilpotencia n, entonces la matriz A es también nilpotente
y posee el mismo índice de nilpotencia.
1.7.11 Si A y B son matrices cuadradas de un mismo
orden con la particularidad de que A B z B A, entonces
Tr(A B) z Tr(B A).
1.7.12 Para que una matriz cuadrada A sea conmutativa
con todas las matrices cuadradas del mismo orden, es
necesario y suficiente que la matriz A sea escalar.
1.7.13
Las operaciones sobre las matrices casi
diagonales de una misma estructura dan matrices casi
diagonales de la misma estructura.
1.7.14 Si A es una matriz diagonal y todos los elementos
de su diagonal principal se diferencian entre sí, cualquier
matriz, conmutativa con A debe ser nula.
1.7.15 Si A es una matriz de 2 x 2 y k un número entero
superior a dos, entonces A k = O si, y sólo si, A 2 = O.
1.7.6 Si las matrices A y B son conmutables para el
producto, entonces las matrices conjugadas A y B son
anticonmutativas.
1.7.16 Si para las matrices A y B ambos productos A B y
B A están definidos con la particularidad de que A B = B A,
entonces las matrices A y B son cuadradas y no
necesariamente tienen el mismo orden.
1.7.7 Una matriz triangular es nilpotente si, y sólo si,
todos los elementos de la diagonal principal son nulos, y el
índice de nilpotencia de la matriz triangular no supera su
orden.
1.7.17 Si A y B son matrices cuadradas de un mismo
orden con la particularidad de que A B z B A, entonces
(A - B)2 = A 2 + B 2.
1.7.8 Si A es una matriz normal y conmuta con una cierta
matriz B, entonces A conmuta con B.
1.7.18 Para cualquier matriz B con elementos reales o
complejos, entonces la matriz A = B B + es antihermítica.
1.7.9 El producto de dos matrices antisimétricas A y B es
una matriz antisimétrica si, y sólo si, A B z B A.
1.7.10 Para que una matriz cuadrada A sea conmutativa
con todas las matrices diagonales es necesario y suficiente
que la propia matriz A sea diagonal.
1.7.19 La suma A + B y el producto A B de matrices
normales A y B son matrices normales.
1.7.20 Una matriz normal casi triangular es una matriz
casi diagonal.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
O BJE T I V O
Resolver problemas sobre determinantes, utilizando definiciones, propiedades y métodos adecuados para cada
tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.
C O N T E NI D O :
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
DETERMINANTES DE SEGUNDO Y TERCER ORDEN
METODOS PARA EL DESARROLLO DE UN DETERMINANTE DE ORDEN SUPERIOR
PRODUCTO DE DETERMINANTES
DETERMINANTES DE VANDERMONDE
CUESTIONARIO
2.1 D E T E R M I N A N T ES D E SE G UND O Y T E R C E R O RD E N
En esta sección se introduce la terminología básica y se define el determinante de una matriz cuadrada de n-ésimo
orden, enunciamos sus propiedades.
Es evidente que una regla que asocie a cada matriz un número concreto definirá una
función de valores numéricos de las matrices. Una de las funciones con valores
numéricos más importante entre las que se definen para las matrices cuadradas es la
función determinante. Esta función ha sido objeto de un estudio exhaustivo durante
más de 200 años. El hecho más asombroso de la historia de los determinantes es que
el concepto de determinante se haya adelantado más o menos 100 años al concepto
de matriz. En realidad, hasta principios de este siglo, ambos conceptos se
confundían.
Si designamos los n primeros elementos del conjunto de los números naturales,
existe una permutación ordinaria de dichos elementos que se denomina permutación
fundamental o principal, la cual corresponde a la sucesión ordenada y creciente de
los números naturales; entonces, la permutación fundamental viene dada por 1 2 3 ...
n. Se dice que dos elementos de cualquiera de las n! permutaciones posibles forman
inversión cuando se suceden en un orden distinto al que presentan en la permutación
fundamental; así, por ejemplo, en la permutación 2 3 1 4, los pares de elementos
{2, 1} y {3, 1} forman inversiones. Si todos los pares de elementos forman
inversión, es decir, si todos los elementos están colocados en orden contrario al
natural, se trata de una permutación inversa, como 4 3 2 1. La clase de una
permutación viene dada por la paridad del número total de inversiones que existan
entre cada dos elementos de la permutación; así, una permutación es de clase par o
de clase impar, según sea par o impar dicho número de inversiones. Al cambiar entre
sí de lugar la posición de dos elementos de una permutación se ha originado una
transposición.
70
DETERMINANTES
T E O R E M A 2.1.1
Si en una permutación arbitraria se efectúa una transposición, la
permutación cambia de clase.
D E M OST R A C I O N
En efecto, si se verifica la transposición entre dos elementos consecutivos se origina
un aumento o una disminución en el número total de inversiones de la permutación,
según que dicho par de elementos estuvieran o no en el orden natural previamente
establecido; por otra parte, no existen más variaciones en el número total de
inversiones, ya que tanto los elementos anteriores como los posteriores a los que se
transponen siguen teniendo respecto a los elementos del par transpuesto la misma
posición relativa que tenían antes de la transposición. Si entre los elementos que se
transponen existen otros k elementos intercalados, para intercambiarlos de lugar
basta hacer avanzar k + 1 lugares al elemento más retrazado, lo que equivale a
efectuar k + 1 transposiciones y, a continuación, debe hacerse retroceder k lugares el
elemento más avanzado, lo que representa otras k nuevas transposiciones, con lo que
el número total de transposiciones efectuadas asciende a k + 1 + k = 2k + 1, que es un
número impar, siendo, por tanto, impar el número de cambios de la permutación
original; la permutación debe cambiar de clase.
Si en una permutación arbitraria se efectúa una transposición, la permutación cambia
de clase. Finalmente, se puede probar fácilmente que es posible obtener las n!
permutaciones del conjunto {1, 2, ..., n} a partir de la permutación principal y
cambiando, para formar una nueva permutación, dos elementos de la anterior, así: 1
2 3, 1 3 2, 3 1 2, 3 2 1, 2 3 1, 2 1 3, son las 3! = 6 permutaciones de {1, 2, 3}; por
tanto, como se cambia de clase al conseguir una nueva permutación, entre las n!
permutaciones posibles existen ½ n! de clase par y otras de clase impar.
D E F IN I C I O N 2.1.1
Formados todos los productos posibles de n elementos elegidos entre los n2
de la matriz dada, de modo que en cada producto haya un factor de cada fila
y uno de cada columna, y anteponiendo a cada producto el signo + o el -,
según que las permutaciones que indican las filas y las columnas sean de la
misma o distinta clase, el polinomio que tiene como términos todos los
productos así formados con sus signos correspondientes, se llama
determinante de la matriz dada. Es decir, para el conjunto de las matrices
cuadradas de orden n se puede establecer una aplicación inyectiva de forma
que a cada matriz A corresponda una función escalar de sus elementos y se
representa escribiendo ésta entre barras: Det( A ) = A .
D E F I N I C I O N 2.1.2
Se dice que dos determinantes son iguales, si al ser evaluados ambos dan
el mismo número.
La definición aceptada permite desarrollar cualquier determinante, pero en la
práctica no debe utilizarse directamente para los de orden superior a tres.
D E F IN I C I O N 2.1.3
El valor del determinante de una matriz
a12 ·
§a
A ¨ 11
¸
© a21 a22 ¹
de 2 x 2 se define mediante la expresión:
Det(A) = a11a22 ± a12a21.
Un determinante de segundo orden es un número que se calcula a partir de los
cuatro elementos de una ordenación cuadrangular.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
71
EJ E M P L O 2.1.1
Evaluar el determinante de la siguiente matriz
§ a 2 ab b2 a 2 ab b2 ·
A ¨¨
¸¸ .
a b
a b
©
¹
SO L U C I O N
Evaluamos el determinante de la matriz A utilizando la correspondiente definición
Det(A) = (a2 + ab + b2)(a - b) - (a2 - ab + b2)(a + b)
= a3 - a2b + a2b - ab2 + ab2 - b3 - a3 - a2b + a2b + ab2 - ab2 - b3
= - 2b3. ’
EJ E M P L O 2.1.2
Demostrar que, siendo a, b, c y d reales, las raíces de la ecuación
a x c id
0
c id b x
serán reales.
SO L U C I O N
Evaluando el determinante, obtenemos:
' = (a ± x)(b ± x) ± (c + id)(c ± id) = 0 Ÿ ab - ax - bx + x2 - c2 + icd - icd + i2d2 = 0
ab - ax - bx + x2 - c2 - d2 = 0 Ÿ x2 - (a + b)x + (ab - c2 - d2) = 0
Resolvemos esta ecuación cuadrática, resultando:
( a c ) r ( a b)2 4( ab c 2 d 2 ) ( a c ) r ( a b) 2 4(c 2 d 2 )
.
2
2
Como (a - b)2 + 4(c2 + d2) t 0, entonces las raíces son reales. ’
x1,2
EJ E M P L O 2.1.3
Dada la matriz
§ 4 5·
¨
¸
© 2 1¹
Encuentre de ser posible una matriz B tal que Det(A) = Det(A B).
SO L U C I O N
§a b·
§ 4 a 5c 4b 5d ·
Sea B ¨
¸ , entonces A B ¨
¸ . Por lo tanto
©c d¹
© 2 a c 2b d ¹
A
Det(A) = -6 y Det(A B) = 6bc ± 6ad Ÿ -6 = 6bc ± 6ad Ÿ ad ± bc = 1.
La matriz pedida tiene la forma siguiente:
­
½
°§ a b ·
°
B ®¨
¸ / ad bc 1¾ . ’
c
d
°
°
¹
¯©
¿
EJ E M P L O 2.1.4
Dada la matriz
§1 3·
¨
¸
© 4 2¹
Encuentre de ser posible una matriz B tal que Det(A + B) = Det(A) + Det(B).
SO L U C I O N
§a b·
§1 a 3 b ·
Sea B ¨
¸ , entonces A + B ¨
¸ . Por lo tanto
c
d
©
¹
©4 c 2 d ¹
Det(A + B) = (1 + a)(2 + d) ± (3 + b)(4 + c)
= 2a - 4b ± 3c + d + ad ± bc ± 10
Det(A) = -10 y Det(B) = ad ± bc.
De donde
2a - 4b ± 3c + d + ad ± bc ± 10 = -10 + ad ± bc Ÿ 2a - 4b ± 3c + d = 0.
A
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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72
DETERMINANTES
La matriz pedida tiene la forma siguiente:
­§ a b ·
°
B ®¨
¸ / 2 a 4b 3c d
°
¯© c d ¹
D E F IN I C I O N 2.1.4
El valor del determinante de una matriz
§ a11 a12
¨
A ¨ a21 a22
¨a
© 31 a32
½
°
0¾ . ’
°
¿
a13 ·
¸
a23 ¸
a33 ¸¹
de 3 x 3, se define de la siguiente manera:
Det(A) = a 11a 22a 33 + a 12 a 23a 31 + a 13a 21a 32 ± a 13a 22a 31 ± a 11a 23a 32 ±
a 12a 21a 33.
Un determinante de tercer orden es un número que se calcula a partir de los
elementos de una ordenación cuadrangular de 3 x 3. Obsérvese que el primer
término está compuesto por los elementos de la diagonal principal; y cada
paralela a ella, con el elemento del vértice opuesto, compone otro término con
signo +. Análogamente se deducen los otros tres que llevan signo -, partiendo de
la diagonal secundaria. Esta regla muy útil se llama regla de Sarrus.
EJ E M P L O 2.1.5
Calcule el determinante
b2 c 2
a.-
b
2
c
2
a2
2
a c
c
2
a2
2
b
2
a2 1
2
a b
;
2
b.-
ab
ac
ab
ac
2
bc
bc
2
b 1
.
c 1
SO L U C I O N
a.- Haciendo uso de la definición correspondiente evaluamos el determinante la
matriz:
' = (b2 + c2)(a2 + c2)(a2 + b2) + a2b2c2 + a2b2c2 ± a2c2(a2 + c2) ± b2c2(b2 + c2) ±
a2b2(a2 + b2)
= (b2a2 + b2c2 + a2c2 + c4)(a2 + b2) + 2a2b2c2 ± a4c2 - a2c4 ± b4c2 - b2c4 ± a4b2 - a2b4
= b2a4 + b4a2 + b2a2c2 + b4c2 + a4c2 + a2b2c2 + c4a2 + c4b2 + 2a2b2c2 ± a4c2 - a2c4 ±
4 2
b c - b2c4 - a4b2 - a2b4
= 4a2b2c2.
b.- Haciendo uso de la definición correspondiente evaluamos el determinante la
matriz:
' = (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) + a2b2c2 + a2b2c2 ± a2c2(b2 + 1) ± b2c2(a2 + 1) ±
a2b2(c2 + 1)
2 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
= (a b + a + b + 1)(c + 1) + 2a b c ± a b c - a c ± a b c - b c ± a b c - a2b2
= a2b2c2 + a2b2 + a2c2 + a2 + b2c2 + b2 + c2 + 1 ± a2b2c2 - a2c2 ± b2c2 - a2b2
= a2 + b2 + c2 + 1. ’
A continuación enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades mas
importantes de los determinantes.
T E O R E M A 2.1.2
El valor de un determinante no varía si se sustituye cada elemento por su
conjugado, es decir, si se cambian las filas por columnas, y éstas por
aquéllas, sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una.
D E M OST R A C I O N
En efecto; todo término del primer determinante está formado por n elementos, uno
de cada fila y uno de cada columna, luego pertenece también al segundo
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
73
determinante. Las dos permutaciones que indican filas (columnas) en el segundo
determinante, son las mismas que indican las columnas (filas) en el primero, luego el
signo de dicho término en ambos determinantes es + o -, según que ambas
permutaciones sean de la misma o distinta clase.
Al multiplicar cada elemento de la i-ésima fila o de la j-ésima columna por un
número r, Det(A) queda multiplicado por r. Consecuentemente, si cada elemento de
una matriz A de orden n x n se multiplica por un número r, entonces Det(A) queda
multiplicado por rn.
T E O R E M A 2.1.3
Si se multiplican todos los elementos de una fila o columna por un mismo
número, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que bj = ra j, mientras que bk = a k para k z j. Entonces, en particular,
b1j = ra1j. Si k z j, B 1k se obtiene a partir de A 1k multiplicando una columna por r y
como B 1k y A 1k son matrices (n ± 1) x (n ± 1), tenemos que Det(B 1k) = rDet(A 1k).
Por otra parte, B 1j = A 1j y b1k = a1k si k z j. Por tanto, para todo k,
B 1kDet(B 1k) = ra1kDet(A 1k).
Por tanto,
Det( B )
n
¦ (1)k 1 b1k Det( B1k )
k 1
n
¦ (1) k 1 r a1k Det( A1k )
rDet( A ) .
k 1
En el teorema siguiente podemos ver que un intercambio de dos filas o dos columnas
es una matriz de orden n x n cambia el signo del determinante.
T E O R E M A 2.1.4
Si B se obtiene a partir de A intercambiando dos filas (o dos columnas)
adyacentes sin alterar el orden relativo de los elementos de cada una,
entonces el valor absoluto del determinante no varía, pero cambia su signo.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que A y B son iguales, excepto que aj = bj+1 y a j+1 = bj. Si k z j y k z
j+1, tenemos que b1k = a1k y Det(B 1k) = -Det(A 1k) por la hipótesis de inducción, de
modo que
(-1)k+1b1kDet(B 1k) = -(-1)k+1a1kDet(A 1k)
Por otra parte, b1j = a1 j+1, B 1j = A 1 j+1, de modo que
(-1)j+1b1jDet(B 1j) = (-1)j+1a1 j+1Det(A 1 j+1)
= -(-1)j+2a1 j+1Det(A 1 j+1).
De la misma manera,
(-1)j+2b1 j+1Det(B 1 j+1) = -(-1)j+1a1jDet(A 1j).
Por tanto, cada término de la expresión para Det(B) es igual al negativo de un
término en la expresión para Det(A). Por tanto, Det(B) = -Det(A).
T E O R E M A 2.1.5
Si en una matriz cuadrada todos los elementos de una fila (o columna) son
cero, el valor de su determinante es cero.
D E M OST R A C I O N
Cada uno de los productos en que se desarrolla el determinante contiene un elemento
de esa fila, así que cada producto es nulo en la hipótesis hecha. De aquí que su suma
es cero; es decir Det(A) = 0.
T E O R E M A 2.1.6
Si en una matriz cuadrada, los elementos correspondientes de dos filas
(o dos columnas) son idénticos, entonces el valor de su determinante es
cero.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
74
DETERMINANTES
D E M OST R A C I O N
Suponga que a ik = a jk para todo k o que a ik = aij para todo i; si intercambiamos las dos
filas o las dos columnas iguales, la matriz A no ha cambiado. Pero el signo del
determinante cambia:
Det(A) = - Det(A) o Det(A) + Det(A) = 0.
El único número real para el cual se satisface la ecuación es Det(A) = 0.
T E O R E M A 2.1.7
Un determinante es nulo si los elementos de una fila (o columna) son
proporcionales a los términos de una paralela a ella.
D E M OST R A C I O N
Si los términos de una fila son iguales a los correspondientes de otra, multiplicados
por r, separando este número como factor del determinante, queda otro con dos filas
idénticas, y, por tanto, es nulo.
T E O R E M A 2.1.8
Sean A, B y C matrices iguales, excepto para la columna j, y supóngase que
la columna j de C es la suma de las columnas de j de A y B. Entonces
Det(C) = Det(A) + Det(B).
D E M OST R A C I O N
Tenemos que
c1j = a1j + b1j y C 1j = A 1j + B 1j.
Para k z j,
c1k = a1k = b1k y C 1k = A 1k = B 1k,
excepto para una columna que es la suma de las columnas correspondientes de A 1k y
B 1k. Por tanto, si k z j,
Det(C 1k) = Det(A 1k) + Det(B 1k)
por hipótesis de inducción. Si k = j tenemos
c1kDet(C 1k) = c1kDet(A 1k) + c1kDet(B 1k)
= a 1kDet(A 1k) + b1kDet(B 1k)
mientras que
c1jDet(C 1j) = a 1jDet(C 1j) + b1jDet(C 1j)
= a 1jDet(A 1j) + b1jDet(B 1j)
Por tanto
Det( C )
n
¦ (1)k 1 c1 k Det( C1 k )
k 1
n
n
k 1
k 1
¦ (1)k 1 a1k Det( A1k ) ¦ (1) k 1 b1k Det( B1k )
= Det(A) + Det(B).
El teorema siguiente nos da una manera eficiente para calcular el determinante de
una matriz grande.
T E O R E M A 2.1.9
Si C y A son matrices n x n y C se obtiene de A sumando un múltiplo
numérico de una columna a otra, entonces
Det(C) = Det(A).
D E M OST R A C I O N
Supongamos que la matriz C es igual a la matriz A, excepto que c j = a j + ra i. Sea la
matriz obtenida de A remplazando a j por ra i. Por el teorema anterior,
Det(C) = Det(A) + Det(B).
El Det(B) es r veces el determinante de una matriz con dos columnas iguales. Por
tanto,
Det(B) = 0 y Det(C) = Det(A).
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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DETERMINANTES
75
EJ E M P L O 2.1.6
Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:
1 a bc
ma1 mb1 mc1
a1 b1 c1
a.- na2 nb2 nc2 mnp a2 b2 c2 ; b.- 1 b ac
1 c ab
pa3 pb3 pc3
a3 b3 c3
1
a
1
b
a 2 b2
1
c .
c2
SO L U C I O N
a.- Extraemos m de la primera fila de la matriz, n de la segunda fila y p de la tercera
fila. Es decir
a1
b1
c1
a1
b1
c1
a1 b1 c1
m na2 nb2 nc2 mn a2
b2
c2
mnp a2 b2 c2
pa3 pb3 pc3
pa3 pb3 pc3
a3 b3 c3
b.- Multiplicando la primera, segunda y tercera filas por a, b y c, respectivamente,
obtenemos
a a2
1
b b2
abc
c c2
abc
a a2 1
abc
b b2 1
abc
c
c2 1
intercambiando las columnas 1 y 3, luego la 2 y 3, transponiendo la matriz
obtenemos la identidad
a a2 1
b b
2
c
2
c
1
1
1 a2
a
1 a
a2
1 b
2
b
1 b b
1 c
2
c
1 c
2
c2
1
a
1
b
a 2 b2
1
c . ’
c2
EJ E M P L O 2.1.7
Sea A una matriz antisimétrica de n x n. Demuestre que si n es impar, entonces
Det(A) = 0.
SO L U C I O N
Como A = -A T, entonces:
Det(A) = Det(-A T) = (-1)nDet(A T) = (-1)nDet(A) = - Det(A) Ÿ 2Det(A) = 0.
Luego Det(A) = 0. ’
EJ E M P L O 2.1.8
Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:
1 a
a2
a.- 1 b b 2
1 c
c2
1 a 0
(b a )(c a ) 0 1 b ;
0 1 c
1 a2
a3
bc
a a2
b.- 1 b 2
b3
ca b b 2 .
1 c2
c3
ab c
c2
SO L U C I O N
a.- Restando la fila 1 de la fila 2 y la fila 1 de la fila 3, obtenemos:
1
a
a2
0 b a b2 a 2
0 ca
c2 a2
extraemos (b ± a) de la segunda fila y (c ± a) de la tercera fila
1 a a2
(b a )( c a ) 0 1 b a
0 1 ca
descomponemos el determinante en suma de determinantes con respecto a la tercera
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76
DETERMINANTES
columna
­ 1 a 0
1 a a2 ½
°
°
(b a )( c a ) ® 0 1 b 0 1 a ¾
° 0 1 c
0 1 a °
¯
¿
podemos observar en la expresión que esta entre llaves, que el segundo determinante
es cero por tener dos filas iguales, lo cual permite llegar a demostrar la identidad.
1 a 0
(b a )( c a ) 0 1 b .
0 1 c
b.- A la primera columna del determinante le multiplicamos por abc:
abc a 2
a3
1
abc b 2
abc
abc c 2
b3
c3
Extraemos a de la primera fila, b de la segunda fila y c de la tercera fila:
bc a a 2
abc
ac b b 2
abc
ab c c 2
bc
a a2
ac b b 2 . ’
ab c
c2
EJ E M P L O 2.1.9
Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:
a3
1 a
a.- 1 b b3
b.-
0
a
b
c
(a b c) 1 b b2 ;
c3
1 c
a
0
c
b
b
c
0
a
a2
1 a
c
b
a
0
1 c
c2
1
1
1
0
2
b2
1 c2
0
a2
1 b2
a2
0
0
1
c
.
SO L U C I O N
a.- A la columna 3 le restamos la columna 1 multiplicada por abc
1 a
a 3 abc
1 b b3 abc
1 c
c 3 abc
A la columna 3 le sumamos la columna 2 multiplicada por ac
1 a
a 3 a 2 c abc
1 b b3 abc abc
1 c
c 3 ac 2 abc
A la columna 3 le sumamos la columna 2 multiplicada por bc
1 a
a 3 a 2 c abc abc
1 b
b3 b 2 c
1 c
c 3 ac 2 abc bc 2
A la columna 3 le sumamos la columna 2 multiplicada por ab
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DETERMINANTES
77
1 a
a 3 a 2 c a 2b
1 b b3 b 2 c b 2 a
1 c
a 2 (a b c)
1 a
1 b b2 ( a b c )
c 3 ac 2 bc 2
c 2 (a b c)
1 c
Extraemos a + b + c de la tercera columna
a2
1 a
( a b c ) 1 b b2 .
c2
1 c
b.- A la segunda fila del determinante se le multiplica por bc, a la tercera fila por ac
y a la cuarta fila por ab:
0
a
b
c
1
abc
0
bc 2
b2 c
0
a2c
a 2 b 2 c 2 abc ac 2
abc ab 2 a 2 b 0
De la primera columna extraemos abc, de la segunda columna a, de la tercera
columna b y de la cuarta columna c:
0 1 1 1
0 1 1 1
a 2b2 c 2 1 0
a 2b2 c 2 1 c 2
c2
b2
1
0
c2
b2
0
a2
1 c2
0
a2
1 b2
a2
0
1 b2
a2
0
. ’
EJ E M P L O 2.1.10
Evaluar los siguientes determinantes:
1 a b cd
1
a
b
c
1 b c da
1
b
c
a
a.; b..
1 c d a b
1
c
a
b
1 d a bc
1 2 a b 2b c 2c a
SO L U C I O N
a.- A la segunda columna
columnas:
1
1
1
1
del determinante, le sumamos la tercera y cuarta
a bc d b c d
bcd a c d a
c d a b d a b
d a bc a bc
Extraemos de la segunda columna a + b + c + d:
1 1 b cd
1 1 c da
(a b c d )
1 1 d a b
1 1 a bc
Como existen dos columnas iguales, el determinante es igual a 0.
b.- A la primera columna, le sumamos la tercera y cuarta columnas:
1 a bc
b
c
1 bca
c
a
1 c a b
a
b
1 a b c 2b c 2c a
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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78
DETERMINANTES
Extraemos de la segunda columna a + b + c :
1 1
b
c
1 1
c
a
.
(a b c)
1 1
a
b
1 1 2b c 2c a
Como existen dos columnas iguales, el determinante es igual a 0. ’
PR O B L E M AS
2.1.1 Si A y B son matrices triangulares superiores de n x
n tales que Det(a A + b B) = aDet(A) + bDet(B) para todo
a, b en K , demuestre que Det(A) = Det(B) = 0.
2.1.2 Dado que Det(A) = 81 y B es una matriz igual a A,
excepto que la primera y tercera filas fueron
intercambiadas una por la otra. ¿Cuál es el valor de
Det(B)?
2.1.3 Si Det(A) = 9 y B es una matriz igual a A, excepto
que la segunda y tercera filas fueron intercambiadas entre
sí. ¿Cuál es el valor de Det(B)?
2.1.4 Sean A y B matrices cuadradas de 4 x 4 tales que
Det(A) = -15 y Det(B) = -6. Encuentre Det(A B), Det(A 3),
Det(5B); Det(A B)T.
2.1.5 Si A es una matriz simétrica, demuestre que
Det(A + B) = Det(A + B T).
2.1.6 Encuentre matrices A y B de 2 x 2 tales que
Det(A + B) = Det(A) + Det(B).
2.1.7 Sea A una matriz de 3 x 3 tal que la suma de cada
una de sus filas es igual a cero. Encuentre Det(A).
2.1.8 Demuestre que si Det(A) = Det(B) z 0, entonces
hay una matriz C tal que Det(C) = 1 y A = C B.
2.1.9 Demuestre que si A es una matriz antisimétrica de
n x n, entonces Det(A) = (-1)nDet(A).
2.1.10 Si A es una matriz idempotente, ¿cuáles son los
valores posibles de Det(A)?
2.1.11 Sean A y B dos matrices de n x n. Encuentre
Det(C) en función de Det(A + B) y Det(A ± B), siendo
§A B·
C =¨
¸.
©B A¹
2.1.12
Si A T B T
§ 1 3 ·
¨
¸ y Det(B) = 3. ¿Cuál es el
© 2 4¹
Det(A)?
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
2.1.13 Evaluar los siguientes determinantes:
n 2 n 1 n
1
1
1
a.- n 1
n n ; b.- 1 2 a
1 ;
n
n n
1
1
3 a
1 2
3
c.- 1 a 1 3 ;
1 2
a 1
d.-
e.-
e c
b
c e a ;
b a e
g.-
a b
c
d
b
ac
d ;
b
c
ad
i.-
2 a2
3
3
2
1
3
5
1 9a
n 1 1
k.- 1 n 1 ;
1 1 n
f.-
;
1
a
cd
1
1
a b a ;
c
c
1
1 n
1 n 1 ;
n 1
1
a
ek
fk
h.-
j.-
2
dg dh
b eh ;
fg c
1 n n
n 2 n ;
n n 3
a b b
l.- b a b .
b b a
2.1.14 Demuestre que la ecuación de la recta que pasa
por los puntos P(a, b) y Q(c, d) está dada por
1 1 1
x a c 0.
y b d
2.1.15
Det( A )
§a b·
¨
¸ , entonces
©c d¹
es el área del paralelogramo con lados
Demuestre
que
si
A
determinados por (a, b) y (c, d).
2.1.16 Evaluar los siguientes determinantes:
n
1 0
1
a
0
b ;
a.- n 1 a 1 ; b.- 1 1 a
0
1 1 b
n2 0 a
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
c.-
e.-
79
2n 5 n 1
n
n 2 2n 3
n ;
n 2 n 1 2n 1
1 n
1
1
d.1 1 n
1 ;
1
1 1 n
a.-
a b ab
0
1
a b ab .
0
1
a b
§ 1 2 4 ·
¨
¸
¨ 3 1 1¸ evalúe Det(A - OI), donde O
¨5 2 6¸
©
¹
2.1.17 Si A
2.1.23 Sin desarrollar el determinante, demostrar la
siguiente identidad:
es un escalar.
b.-
a.-
c.-
c
f
i
g h
a b
d e
b.-
d e f
a b c ;
3g 3h 3i
i
c .
f
2.1.20 Use determinantes para encontrar:
a.- El área del rectángulo con lados determinados por
(4, 3) y (-6, 2).
b.- El volumen del paralelepípedo rectangular cuyos lados
están determinados por (2, 2, 0), (4, -4, 1) y (2, -2, -16).
§B C·
2.1.21 Sea n = p + q y sea A = ¨
¸ , donde B es
©D E¹
una matriz de p x p y E es una matriz q x q. Demuéstrese que:
a.- Si p < q, y si E = O, entonces
Det(A) = 0.
b.- Si p = q y si C = O, entonces
Det(A) = Det(B)Det(E).
c.- Si C = O y D = O, de manera que A es suma directa
de B y E, entonces
Det(A) = Det(B)Det(E).
§ a1
¨
¨ b1
¨c
© 1
a3 ·
¸
b3 ¸ entonces
2.1.22 Demuestre que si A
c3 ¸¹
Det( A ) es el volumen del paralelepípedo cuyos lados
están determinados por (a1, a2, a3), (b1, b2, b3) y (c1, c2, c3).
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
a2
b2
c2
a2
0
c2
b2
c2
0
0 1 1
a 2b2 c 2 1 0 1 ;
1 1 0
a4
a9
a16
1
a
a4
a9
a16
a 25
a 36 a
a4
a9 ;
a16
a 25
a 36
a4
a9
a16
a3
c.- 1 b 2
b3
1 c2
c3
a2
1 a
( ab bc ca ) 1 b b 2 ;
c2
1 c
d.-
a b a c bc
a c a b bc
bc ba ac
e.-
a b bc c a
m n n 1 1 m
x y yz zx
f.-
a1 b1
a2 b2
a3 b3
g.-
a b
bc
a1 b1 b1 c1
a2 b2 b2 c2
16 , encuentre:
a
b
c
d
e
f ;
ag bh ci
a 2 b2
1 a2
2.1.18 Sea A una matriz antisimétrica de orden impar.
Demuestre que Det(A) = 0.
a b
2.1.19 Si d e
g h
0
1 c b
2( a b c ) 1 b b ;
1 b a
a b c
2 m n 1 ;
x y z
a1 x b1 y c1
a2 x b2 y c2
a3 x b3 y c3
a1 b1
a2 b2
a3 b3
ca
c1 a1
c2 a 2
b
b1
b2
c
c1 ;
c2
h.-
a1 b1 x a1 b1 x c1
a2 b2 x a2 b2 x c2
a3 b3 x a3 b3 x c3
a1 b1
2 x a2 b2
a3 b3
c1
c2 ;
c3
i.-
a1 b1 x a1 x b1
a2 b2 x a2 x b2
a3 b3 x a3 x b3
a1
(1 x 2 ) a2
a3
c1
c2
c3
a
2 a1
a2
c1
c2 ;
c3
b1
b2
b3
c1
c2 .
c3
2.1.24 Sin desarrollar el determinante, demostrar la
siguiente identidad:
a2
0
1
2a
2
1
a
a
2
0
0
1
a
a2
1 2a
a.-
0
a
bc
b
c
a
ac
c
b.a
b
a b
a4
1
0
1
0
2
1
1
1
1
2
1
1
0
1
;
0
1
0 c b
2 c 0 a .
b a 0
2.1.25 Sean A y B matrices de n x n tales que A B = I.
Demuestre que Det(A) z 0 y Det(B) z 0.
JOE GARCIA ARCOS
80
DETERMINANTES
2.1.26 Evaluar los siguientes determinantes:
1 1 4
3 6 9
5 4 2
a.- 2 2 1 ; b.- 6 3 6 ; c.- 4 2 5 ;
3 3 5
9 9 3
2 5 4
2 1 4
d.- 5 2 3 ;
1 5 5
g.-
1 1 2
3 5 1 ;
5 3 1
e.-
h.-
3 4 3
5 6 5 ;
4 9 3
3 2 1
2 1 2 ;
1 2 3
3 1 2
f.- 2 3 1 ;
1 2 3
i.-
5 2 1
5 4 3 ;
4 2 3
j.-
4 3 5
5 4 3 .
3 5 4
2.1.27 Use determinantes para encontrar:
a.- El área del paralelogramo con lados determinados por
(2, -4), (1, -3).
b.- El volumen del paralelepípedo de lados determinados
por (-1, 2, 3), (4, -5, 3) y (4, -1, 2).
2.2 M E T O D OS P A R A E L D ESA RR O L L O D E UN D E T E R M I N A N T E D E O RD E N SUP E RI O R
En esta sección se analiza y desarrolla los métodos más importantes para el desarrollo de un determinante de
n-ésimo orden.
Nos interesa generalizar la noción de determinante a ordenaciones de n x n. En
los casos de arreglos de 2 x 2 y 3 x 3 se observa que un determinante es una suma
de términos cada uno de los cuales contiene uno y sólo un elemento de cada fila y
de cada columna de la ordenación rectangular. Además, el número de elementos
de cada término es el mismo que el de fila de la ordenación, es decir, que no hay
elementos repetidos. Notamos también una alternación en los signos de los
términos. No es fácil evaluar numéricamente un determinante cuando n es grande.
La labor de encontrar todas las permutaciones y asignar los signos
correspondientes es realmente difícil. Entonces, desarrollaremos métodos para
evaluar determinantes, que tiene una enorme importancia teórica, y simplifica el
procedimiento.
D E F IN I C I O N 2.2.1
El cofactor Det(A ij) del elemento a ij de cualquier matriz cuadrada A es
(-1)i+j veces el determinante de la submatriz de A obtenida al omitir la fila i
y la columna j.
D E F IN I C I O N 2.2.2
Si en una matriz cuadrada de orden n x n se suprimen la fila que ocupa el
lugar i y la columna j, se obtiene una matriz cuadrada de orden n ± 1 x n ±
1, cuyo determinante se llama menor complementario del elemento a ij
común a la fila y columna suprimidas. Lo designaremos Det(A ij). Si en el
desarrollo de un determinante sacamos factor común a ij en todos los
términos en que figura, aparece multiplicado por un polinomio que se llama
adjunto de a ij.
Nos será de mucha utilidad darles nombres a los determinantes de orden n ± 1 x
n ± 1, que aparecen en la evaluación de Det( A), paso a paso, por medio del
desarrollo por cofactores; los llamaremos los menores complementarios de la
matriz A.
D E F IN I C I O N 2.2.3
El adjunto de un elemento a ij es igual a su menor complementario, con
signo + o -, según que i + j sea par o impar. Por esta razón, el adjunto de a
suele llamarse también complemento algebraico, lo designaremos por
Det(A ij).
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
81
I. D ESA RR O L L O PO R L OS E L E M E N T OS D E UN A F I L A O
C O LUMNA
Si en la definición del determinante de 3 x 3 se saca factor común a los elementos de
la primera fila, se tiene
Det(A) = a11(a22a33 ± a23a32) + a12(a23a31 ± a21a33) + a13(a21a32 ± a22a31)
a
a
a
a
a
a
a11 (1)11 22 23 a12 (1)1 2 21 23 a11 (1)13 21 22
a32 a33
a31 a33
a31 a32
= a11Det(A 11) + a12Det(A 12) + a13Det(A 13)
en donde cada Det(A 1i) es el determinante que resulta de suprimir en la matriz A la
fila 1 y la columna i, afectado de un signo + o ± según que 1 + i sea un número par o
impar.
Se puede comprobar, para todos los casos posibles, que el determinante de 3 x 3 es
igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna de la matriz
del determinante por sus adjuntos respectivos. Este resultado se puede generalizar al
caso de un determinante cualquiera de n x n, sacando también factor común a los
elementos de una fila o columna y comprobando que cada uno de ellos multiplica a
su correspondiente adjunto, con lo que se consigue el desarrollo de un determinante
por los elementos de una fila o columna.
T E O R E M A 2.2.1
El símbolo Det(A) se llama determinante de la matriz A de n x n y significa
la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna y sus
respectivos cofactores; es decir
Det(A) = a i1Det(A i1) + a i2Det(A i2 «+ a inDet(A in)
o bien
Det(A) = a1jDet(A 1j) + a2jDet(A 2j «+ anjDet(A nj).
D E M OST R A C I O N
La demostración se lleva a cabo por inducción. La proposición es verdadera para un
determinante de 2 x 2. Suponiendo que es verdadera para un determinante de n ± 1 x
n ± 1, probaremos que es verdadera para un determinante de n x n. Desarróllese
Det(A) por la i-ésima fila. Un término típico es este desarrollo es
a ikDet(A ik) = (-1)i + k a ikDet(M ik).
El menor Det(M ik) de a i k en Det(A) es un determinante de n ± 1 x n ± 1. Por la
hipótesis de inducción, puede desarrollarse por cualquier fila. Desarróllese por la fila
correspondiente a la j-ésima fila de Det(A). Esta fila contiene los elementos a jr
(r z k). Es la (n ± 1)-ésima fila de Det(B ik), porque Det(B ik) no contiene elementos de
la i-ésima fila de Det(A) y i < j. Tiene que distinguirse entre dos casos:
Caso I. Si r < k, entonces el elemento a jr pertenece a la r-ésima columna de Det(A ik).
De aquí que el término que contiene a jr en este desarrollo es
a jr(cofactor de a jr en Det(B i k) = (-1)(j - 1) + ra jrDet(B ik jr)
donde Det(B ik jr) es el menor de ajr en Det(B ik). Como este menor se obtiene de
Det(B ik) eliminando la fila y columna de a jr, se obtiene en Det(A) eliminando el iésima y el j-ésima filas y la k-ésima y r-ésima columnas de Det(A). Introdúzcanse
los desarrollos de los Det(B ik) en el de Det(A). Entonces se deduce que los términos
de la representación resultante de Det(A) son de la forma
(-1)i+k+j+r -1a i k a j rDet(B i k j r) r < k.
Caso II. Si r > k, la única diferencia es que entonces a jr pertenece a la (r ± 1)-ésima
columna de Det(B ik), porque Det(B ik) no contiene elementos de la k-ésima columna
de Det(A) y k < r. Esto produce un signo menos adicional y, por tanto, se obtiene
-(-1)i + k + j + r ± 1a i ka j rDet(B i k j r) r > k.
De forma análoga se demuestra el desarrollo referente a las columnas.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
82
DETERMINANTES
En esta forma, Det(A) se define en términos de n determinantes de n ± 1 x n ± 1,
cada uno de los cuales, a su vez, se define en términos de n ± 1 determinantes de
n ± 2 x n ± 2, y así sucesivamente; finalmente se llega a determinantes de 2 x 2, en
los que los cofactores de los elementos son elementos sencillos de Det(A). Además,
de la definición se concluye que puede desarrollarse Det(A) por cualquier fila o
columna. El método expuesto para el desarrollo de un determinante complica
extraordinariamente el proceso de cálculo a medida que aumenta el orden del
determinante.
% CALCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ clc;;clear;; fprintf('\n DETERMINANTE DE UNA MATRIZ \n') filcol=input('Ingrese el numero de filas y columnas: ');; %Ingreso de elementos for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end A DetA=det(A);; DetA EJ E M P L O 2.2.1
Evaluar el siguiente determinante:
2 5 1 2
1 0
3 7 1 4
3 2
a.; b.5 9 2 7
3 9
4 6 1 2
3 1
2
8
4
8
8
5
.
7
5
SO L U C I O N
a.- Para desarrollar este determinante, elegimos la primera fila, es decir:
7 1 4
3 1 4
3 7 4
' 2(1)11 9 2 7 (5)(1)1 2 5
6 1 2
4
2 7 (1)13 5 9 7 1 2
4 6 2
3 7 1
2(1)
5 9 2
4 6 1
= 2(28 + 42 ± 36 + 48 ± 49 - 18) + 5(-12 ± 28 + 20 ± 32 + 21 + 10) +
+ (54 + 196 ± 120 + 144 ± 126 ± 70) + 2(27 + 56 + 30 ± 36 ± 36 ± 35)
= - 9.
b.- Desarrollando el determinante con respecto a la primera fila, obtenemos:
1 4
11
' (1)
2 8 5
3 2 5
3 2 8
1 3
1 4
(1) 9 4 7 (1) 2 3 9 7 ( 1) 8 3 9 4
1 8 5
3 1 5
3 1 8
2 8 5
3 2 5
3 2 8
9 4 7 2 3 9 7 8 3 9 4
1 8 5
3 1 5
3 1 8
= - (-40 ± 56 + 360 + 20 + 112 ± 360) + 2(135 + 42 ± 15 + 135 + 21 + 30) ±
- 8(216 + 24 ± 24 + 216 + 12 + 48)
= - 36 + 2(348) - 8(492)
= - 36 + 696 ± 3936
= - 3276. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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DETERMINANTES
83
EJ E M P L O 2.2.2
Sin desarrollar el determinante, demostrar la siguiente identidad:
a b c d
0 1
b c d a
1 c
( a b c d )(b a d c )
c d a b
1 d
d a b c
1 a
1
d
a
b
1
a
.
b
c
SO L U C I O N
A la primera columna se le restan la segunda, tercera y cuarta columnas:
a bcd b c d
a bcd c d a
a bcd d a b
a bcd a b c
Extraemos a + b + c + d de la primera columna:
1 b c d
1 c d a
(a b c d )
1 d a b
1 a b c
A la primera fila, se le resta la segunda, se le suma la tercera y se le resta la cuarta
filas:
0 bc d a c d a b d a bc
1
c
d
a
(a b c d )
1
d
a
b
1
a
b
c
Extraemos b ± a + d - c de la primera fila:
0 1
1 c
( a b c d )(b a d c )
1 d
1 a
1
d
a
b
1
a
. ’
b
c
T E O R E M A 2.2.2
El valor de un determinante es igual a la suma de los elementos de una fila
(columna) cualquier multiplicado por sus adjuntos correspondientes.
D E M OST R A C I O N
Fijémonos, por ejemplo, en la fila que ocupa el lugar i. En cada término de A hay un
elemento de esta fila, y sólo uno; luego podemos clasificar los n! Términos del
siguiente modo: todos los que contienen a i1 forman el producto a i1Det(A i1); los que
contienen a i2 forman a i2Det(A i2), ..., los que contienen a i n componen a i nDet(A i n),
luego:
Det(A) = a i1Det(A i1) + a i2Det(A i2 «+ a inDet(A in) =
n
¦ aij Det( A ij ) .
j 1
T E O R E M A 2.2.3
La suma de los elementos de una fila (o columna), multiplicados por los
adjuntos de los elementos de una paralela a ella, es cero.
D E M OST R A C I O N
En efecto, la suma a k1Det(A i1) + a k2Det(A i2 « a knDet(A in) en el desarrollo del
determinante obtenido poniendo en Det(A), en vez de la fila a k a k2 «a kn, la fila ai1ai2
« a in; este determinante tiene, pues, esta fila idéntica a la que ocupa el lugar k, luego
es nulo.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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84
DETERMINANTES
La aplicación de este teorema, para el desarrollo de Det(A), se simplifica observando
que siendo (-1)i+j el signo que lleva el menor complementario de a ij y siendo i
constante o j si se desarrolla por los elementos de una columna y tomando j los
valores 1, 2, ..., n, este signo es alternativamente + y -.
T E O R E M A 2.2.4
Sea A = (a i j) una matriz cuadrada de n x n. Entonces
Det(A T) = Det(A).
D E M OST R A C I O N
Para la demostración de este teorema, utilizaremos el principio de inducción
matemática en n. El teorema resulta evidente en el caso de n = 1. Supongamos que
sea válido para todas las matrices cuadradas de m x m, con m < n. Puesto que el
elemento a ij de A T es aji, tenemos que
Det( A T )
n
¦ (1)i j a ji Det( A Tij )
i 1
Observemos que A Ti j = (A i j)T, y que, en consecuencia resulta
Det(A Tij) = Det(A ji)T
= Det(A ji)
Puesto que A ij es una matriz cuadrada de n ± 1 x n ± 1. Tenemos que cada i = 1, 2, ...,
n, que
Det( A T )
n
¦ (1)i j a ji Det( A ji )
i 1
y, al sumar ambos miembros de esta última igualdad para i = 1, 2, ..., n, obtendremos
n
n
n
¦ Det( A T ) ¦¦ (1)i j a ji Det( A Tij )
i 1
i 1 j 1
n
n
¦¦ (1)i j a ji Det( A ji ) .
i 1 j 1
Si intercambiamos el orden de sumación de i y j en el miembro a la derecha de la
última fórmula, veremos que
nDet( A T )
n
n
¦¦ (1) j i a ji Det( A ji ) .
j 1i 1
Por otra parte,
n
¦ (1) j i a ji Det( A ji ) .
i 1
Es el desarrollo de Det(A) por la fila j-ésima, y, en consecuencia
n § n
·
¦ ¨¨ ¦ (1) j 1 a ji Det( A ji ) ¸¸ nDet( A ) .
i 1© j 1
¹
T
Es así como nDet(A ) = nDet(A) y, por lo tanto,
Det(A T) = Det(A).
EJ E M P L O 2.2.3
Si A es antisimétrica, ¿qué puede decirse acerca de Det(A)?
SO L U C I O N
Se sabe que una matriz es antisimétrica si A T = -A, por lo que
Det(A T) = Det(-A)
= (-1)nDet(A).
T
Por otra parte, Det(A ) = Det(A), así que
Det(A) = (-1)nDet(A).
Si n es par, no se puede afirmar nada. Sin embargo, si n es impar se tiene Det(A) = Det(A) y, por lo tanto, Det(A) = 0. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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DETERMINANTES
85
EJ E M P L O 2.2.4
Dada la expresión
0
a
a 0
b d
c e
b
d
0
f
c
e
f
0
a A b B c C
2
calcular A, B y C.
SO L U C I O N
Eligiendo la primera columna, desarrollamos el determinante
a
b c
a
b c
2 1
31
' ( a )(1)
d 0
f (b)(1)
0
d e e f 0
e f 0
a
b
( c )(1)41 0
d
e f
a A b B c C
c
e
0
2
a(- bef + cdf + af2) - b(- be2 + cde + aef) + c(adf - bed + cd2) = '
af(- be + cd + af) - be(- be + cd + af) + cd(af - be + cd) = '
(af - be + cd)2 = ' Ÿ af be cd a A b B c C
A
f Ÿ A = f 2;
B
e Ÿ B = e2;
C
d Ÿ C = d 2. ’
I I. D ESA RR O L L O G A USSI A N O
Los efectos que tienen las operaciones de filas o columnas en el valor del
determinante pueden resumirse de la siguiente manera:
1.- El intercambio de dos filas o columnas de una matriz cambia el signo del
determinante.
2.- La multiplicación de una fila o columna de una matriz por un escalar tiene el
efecto de multiplicar el valor del determinante por ese escalar.
3.- La suma de un múltiplo de una fila o columna a otra no cambia el valor del
determinante.
T E O R E M A 2.2.5
El determinante de una matriz de la forma triangular o diagonal, es igual al
producto de los elementos de la diagonal principal.
D E M OST R A C I O N
Sea A una matriz triangular superior. En virtud de que los elementos a21, a31, ..., an1
de la primera columna de A son 0, la definición del determinante de A origina
Det(A) = a11Det(A 11). La submatriz A 11 de A es también una matriz triangular
superior, pero de n ± 1 x n ± 1. Por consiguiente, merced al principio de inducción
Det(A 11) = a 22a 33 ... a nn el producto de sus elementos. Por lo tanto, Det(A) =
a 11Det(A11) = a 11a 22 ... a nn el producto de los elementos diagonales de A.
Sea A una matriz triangular inferior. En virtud de que los elementos a12, a13, ..., a1n
de la primera fila de A son 0, la definición del determinante de A origina Det(A) =
a11Det(A 11).
La submatriz A 11 de A es también una matriz triangular inferior, pero de n ± 1 x
n ± 1. Por consiguiente por inducción, es igual al producto de los elementos
diagonales
Det(A) = a 11Det(A 11) = a 11a 22 ... a nn.
Para el caso de la matriz diagonal, la demostración es análoga.
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86
DETERMINANTES
E J E M P L O 2.2.5
Evaluar el siguiente determinante:
2 5 1
3 7 1
5 9 2
4 6 1
2
4
.
7
2
SO L U C I O N
Mediante el desarrollo gaussiano, llevaremos la matriz a la forma triangular. A la
segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le sumamos 3 veces la primera fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 5 veces la primera fila, a la
cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila
2 5 1 2
1 1 0 1 1 14
˜ ˜
2 2 0 7 1 4
0 4 1 2
A la tercera fila le sumamos 7 veces la primera fila, a la cuarta fila le sumamos 4
veces la segunda fila
2 5 1 2
1 1 0 1 1 14
˜ ˜
2 2 0 0 6 102
0 0 3 54
Extraemos un 6 de la tercera fila y un 3 de la cuarta fila
2 5 1 2
0 1 1 14
1 1
˜ ˜ 6 ˜3˜
0 0 1 17
2 2
0 0 1 18
A la cuarta fila le restamos la tercera
2 5 1 2
0 1 1 14
1 1
˜ ˜ 6 ˜ 3˜
0 0 1 17
2 2
0 0 0 1
Por lo tanto el determinante buscado es igual a:
1 1
'
˜ ˜ 6 ˜ 3 ˜ 2 ˜ (1) ˜1 ˜1 9 . ’
2 2
I II. D ESA RR O L L O C O N R ESP E C T O A UN A F I L A Y UN A
C O LUMNA
Supongamos que se trata de la primera fila y de la primera columna, pues a este caso
se reduce cualquier otro, por transposiciones convenientes. Dado el determinante
a11 a12
a1k
a1n
a21 a22
a2 k
a2 n
Det( A )
a r1
ar 2
a rk
anr
an1 an 2
ank
ann
todos los términos en que entra a11 están comprendidos en la expresión a11Det(A 11);
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
87
cada uno de los demás contiene uno de los elementos a12, a13, ..., a1k, ..., a1n restantes
de la primera fila, y uno de los a21, a31, ..., a r1, ..., an1 de la primera columna.
Hallemos todos los términos que Det(C rk) = (-1)(r - 1) + (k - 1)Det(B rk), la expresión
(-1)k+r+1a1ka r1Det(B rk) adopta la forma sencilla ±a1ka r1Det(C rk). Por consiguiente
contengan el producto a1ka r1. Todos los términos de Det(A) que contienen a1k forman
la expresión (-1)1+ka1kDet(A 1k); desarrollemos ahora el menor Det(A 1k) por los
elementos de su primera columna a21 ... a r1 ... an1; como el menor complementario de
a r1 resulta de suprimir en Det(A) la primera fila, la primera columna, la fila r y la
columna k, este menor es también el complementario de a rk en el determinante
Det(A 11); y designándolo por Det(B rk), todos los términos del desarrollo de Det(A rk)
que contienen el elemento a r1 componen la expresión (-1)ra r1Det(B rk). En resumen,
todos los términos de Det(A) que contienen los elementos a1k a r1, forman la expresión
(-1)k+r+1a1ka r1Det(B rk) y observando que en el determinante Det(A 11) el adjunto de
Det(A rk) es Det(A) = a11Det(A 11) - ¦ a1k ar1Det( C rk ) , donde r = 2, 3, ..., n y k = 2,
3, ..., n.
M E T ODO
El desarrollo de un determinante por los elementos de la primera fila y la primera
columna, es igual a su elemento común a11 por su menor complementario Det(A 11),
menos todos los productos positivos de cada elemento a1k, restante de la primera fila,
por cada elemento a11 restante de la primera columna, por el adjunto Det(A 11) del
elemento a1k en que se cruzan la columna y la fila encabezadas por ambos elementos.
Si la fila y la columna elegidas son las determinadas por el elemento a ij, llevando éste
al primer lugar, el determinante obtenido sería (-1)i+jDet(A), luego el desarrollo por
la fila i y columna j está dado por la misma regla anterior, cambiando el signo al
resultado si es i + j impar.
EJ E M P L O 2.2.6
Evaluar los siguientes determinantes:
2 5
0 1 3 5
a.-
7 9 2 4
;
6 8 0 2
7 5 9 1
1
3 7 1
b.5 9 2
4 6 1
2
4
.
7
2
SO L U C I O N
a.- Intercambiamos la primera y tercera filas:
6 8 0
7 9 2
0 1 3
7 5 9
2
4
5
1
Desarrollando el determinante con respecto a la primera fila y primera columna,
obtenemos:
9 2 4
3 5
1 3
2 4
11
' (1) 6 1 3 5 (1) 2 21 56
(1) 2 4114
(1) 4 21 56
9 1
5 9
3 5
5 9 1
(1)4 4114
9 2
1 7
9 2 4
3 5
1 3
2 4
9 2
6 1 3 5 56
14
56
14
9 1
5 9
3 5
1 7
5 9 1
= -6(27 + 50 + 36 ± 60 ± 405 ± 2) + 56(3 ± 45) + 14(9 ± 15) + 56(10 ± 12) +
+ 14(63 ± 2) = 430.
b.- Para desarrollar este determinante, elegimos la primera fila y la primera
columna, es decir:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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88
DETERMINANTES
7 1 4
2 7
9 7
' (1)11 2 9 2 7 (1)2 2115
(1)231 (3)
1 2
6 2
6 1 2
(1)231 (6)
(1)3 4110
(1)4 41 8
9 2
1 4
7 4
(1)3 21 (25)
(1)331 5
6 1
1 2
6 2
7 1
1 4
7 4
(1)4 21 (20)
(1)431 4
6 1
2 7
9 7
7 1
9 2
9 . ’
I V. D ESA RR O L L O PO R M E N O R ES C O MP L E M E N T A RI OS
Un nuevo método para el desarrollo de un determinante de n x n es el conocido con
el nombre de desarrollo por menores complementarios; dicho método exige elegir k
filas o columnas de la matriz y formar determinantes de orden k con todas las
posibles matrices cuadradas de orden k que sean submatrices de la de orden k x n que
se ha seleccionado; a cada uno de estos determinantes de orden k le corresponde un
menor complementario o determinante de la matriz de orden n ± k x n ± k, cuyos
elementos no pertenecen a las filas y columnas de la primera matriz cuadrada de
orden k, aunque sí a todas las demás filas y columnas de la matriz total de orden n.
M E T ODO
Si en una matriz de orden n se suprimen varias filas, e igual número de columnas, se
obtiene otra matriz de orden inferior, llamada menor de la primera. Para determinar
una menor basta dar los números i1, i2, ..., ik que designan las filas que contiene, y los
j1, j2, ..., jk que expresan sus columnas. Si en la matriz primera se suprimen las filas
de lugares i1, i2, ..., ik y las columnas que ocupan los lugares j1, j2, ..., jk, se obtiene
otra menor, llamada complementaria de la anterior. La suma de los órdenes de dos
matrices complementarias es evidentemente n.
Para hallar la clase de su complemento Det(C) formaremos la suma análoga
¦ r ¦ t ik 1 in jk 1 jn
pero ik+1, ..., in designan las filas excluidas por Det(B), es decir, aquellos de los
números 1, 2, 3, ..., n, que son distintos de i1, i2, ..., ik; por tanto
¦ i ¦ r 1 2 3 n
y, análogamente
de donde
Luego
¦ j ¦t
¦i ¦ j
1 2 3 n
¦ r ¦t 2
¦ r ¦ t tiene la misma paridad que ¦ i ¦ j , es decir: dos menores
complementarios son de la misma clase.
Por otra parte, el menor complementario recibe el nombre de adjunto si va afectado
de un signo + o -, según que la suma de los lugares que ocupan cada una de sus filas
y cada una de sus columnas en la matriz de orden n sea un número par o impar.
O BSE R V A C I O N
Se dice que un menor Det(B) es de clase par o impar si la suma de los números de
orden de sus filas y columnas:
¦i ¦ j
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
i1 i2 ... ik j1 j2 ... j k
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
89
es par o impar.
D E F IN I C I O N 2.2.4
Se llama adjunto o complemento algebraico de un menor Det(B) al menor
complementario de Det(B), con el signo + o -, según que sea de clase par o
impar.
En particular, si el menor dado se reduce a un solo elemento, tendremos el adjunto
definido en el desarrollo de un determinante en suma de varios.
O BSE R V A C I O N
Un menor de orden k se llama principal, cuando está formado por las k primeras filas
y las k primeras columnas. Su adjunto coincide con su menor complementario,
puesto que es de clase par igual a 2(1 + 2 + ... + k).
T E O R E M A 2.2.6
El producto de un menor por su adjunto forma parte del determinante total.
D E M OST R A C I O N
Supongamos primero que un menor Det(B) esté formado por las k primeras filas y
las k primeras columnas
a11
a12
a1k
a1 k 1
a1n
a21
a22
a2 k
a2 k 1
a2 n
ak1
ak 2
a kk
a k k 1
a kn
a k 11
a k 1 2
a k 1 k
a k 1 k 1
a k 1 n
an1
an 2
ank
an k 1
ann
entonces es Det(B) de clase par y su adjunto es el menor complementario Det(C).
Multiplicando ambos determinantes menores, un término cualquiera del producto
será
(-1)Ma1 j1a2 j2 ... a k jk(-1)Gak+1 jk+1 ... an jn (1)
llamando M al número de inversiones de la permutación j1 j2 ... jk, que indica
columnas elegidas en el término de Det(B), y G al número de inversiones que ofrecen
los índices de las columnas en Det(C), y como éstos aumentados en k son
precisamente jk+1, jk+2, ..., jn, es también G el número de inversiones de esta
permutación; por tanto, el número de inversiones de la permutación j1 j2 ... jk jk+1 ... jn
es M + G, puesto que j1, j2, ..., jk son todos menor o igual a k, y, por tanto, no forman
inversiones con los jk+1, jk+2, ..., jn, los cuales son mayores o iguales a k.
Conteniendo, el producto (1) un elemento de cada fila de Det(A), y uno de cada
columna, y siendo además su signo (-1)M+G el que le corresponde en el desarrollo de
Det(A), dicho producto es un término de este desarrollo.
Sin el menor Det(B) no es principal, sino que está formado por las filas r1, r2, ..., rk, y
columnas t1, t2, ..., tk, se puede convertirlo en principal, por cambios sucesivos de
filas y columnas. Basta permutar la fila r1 con todas sus anteriores que son r1 ± 1,
hasta ocupar el primer lugar; la fila r2 con las r2 ± 2 que le preceden, hasta llegar al
segundo lugar; ...; la fila rk con las rk ± k que hay desde ella a la fila k. Haciendo lo
mismo con las columnas hemos llevado el menor Det(B) al primer lugar, reduciendo
este caso al anterior.
En el desarrollo del nuevo determinante Det(D), el adjunto del menor principal
Det(B) es el menor Det(C), el cual no ha sufrido variación, luego Det(D) =
Det(B)Det(C) + ... y como de Det(D) se deduce el Det(A), mediante un número de
transposiciones
(t1 ± 1) + (t2 ± 2) + ... + (tk ± k) + (r1 ± 1) + (r2 ± 2) + ... + (rk ± k) = ¦ t ¦ r 2
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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90
DETERMINANTES
será
Det(A) = (1)¦ t ¦ r Det( D) = (1)¦ t ¦ r Det( B )Det( C ) ...
y siendo (1)¦ t ¦ r Det(C) el adjunto de Det(B), queda demostrado el teorema.
A continuación consideramos otra técnica, más general, para desarrollar
determinantes conocidas como el método de desarrollo de Laplace, que contempla
como caso especial el desarrollo por cofactores. En vez de desarrollar por una sola
fila o columna, desarrollamos por varias filas o columnas. El determinante Det(A) se
escribe como una suma de términos, cada uno de los cuales es el producto de dos
determinantes.
T E O R E M A 2.2.7 L AP L A C E
Todo determinante es igual a la suma de los productos obtenidos
multiplicando todos los menores de orden k que se pueden formar con k
filas paralelas, por sus adjuntos respectivos.
Todos los términos de estos productos pertenecen al desarrollo de Det(A), en virtud
de la segunda propiedad; todos son distintos, pues contienen elementos distintos;
falta ver que en Det(A) no hay más términos que éstos. Un término cualquiera de
Det(A) puede descomponerse en dos productos, agrupando en uno de los elementos
que pertenecen a las k filas elegidas, y en otro los restantes. El primer producto es un
término de uno de los menores formados con aquellas k filas, y el segundo producto
es un término del complementario, luego ha sido ya obtenido en el producto de estos
dos menores.
El teorema anterior reduce el desarrollo de un determinante al de otros de orden
inferior. Para hacer el desarrollo por los menores de k filas, convendrá elegir aquéllas
en que aparezca el mayor número posible de columnas formadas por elementos
nulos; pues todo menor en que figure una de estas columnas, es nulo. La segunda
propiedad reduce el desarrollo de un determinante al de otros de orden inferior. Para
hacer el desarrollo por los menores de k filas, convendrá elegir aquéllas en que
aparezca el mayor número posible de columnas formadas por elementos nulos; pues
todo menor en que figure una de estas columnas, es nulo.
EJ E M P L O 2.2.7
Expresar el menor de m-ésimo orden del producto de dos matrices mediante los
menores de los factores.
SO L U C I O N
El menor formado por los elementos de las filas de índices i1, i2 « im y de las
columnas de índices k1, k2 « km, es el determinante del producto de la matriz
formada por las filas i1, i2 « im del primer factor, por la matriz formada por las
columnas k1, k2« km del segundo. Por ello, éste es igual a la suma de todos los
menores posibles de m-ésimo orden formados por las filas de la primer matriz de
índices i1, i2«im, multiplicados por los menores correspondientes formados por las
columnas de la segunda matriz de índices k1, k2«km. ’
EJ E M P L O 2.2.8
Demostrar que todos los menores principales (diagonales) de la matriz A T A son no
negativos. Aquí A es una matriz real y A T es la matriz transpuesta de A.
SO L U C I O N
El menor diagonal de la matriz A T A es igual a la suma de los cuadrados de todos los
menores de la matriz A del mismo orden, formados por los elementos de las
columnas que tienen iguales índices que las columnas de la matriz A T A que
contienen al menor tomado. Por consiguiente, éste es no negativo. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
91
EJ E M P L O 2.2.9
Demostrar que las sumas de todos los menores diagonales de un orden dado k,
calculados para las matrices A T A y A A T, son iguales.
SO L U C I O N
La suma de todos los menores diagonales de orden k de la matriz A T A es igual a la
suma de los cuadrados de todos los menores de orden k de la matriz A. También es
igual a este mismo número la suma de todos los menores diagonales de orden k de la
matriz A A T. ’
EJ E M P L O 2.2.10
Se llama matriz recíproca de una matriz dada A, aquella cuyos elementos son los
menores de (n-1)-ésimo orden de la matriz inicial en su disposición natural.
Demostrar que la matriz recíproca de la recíproca, es igual a la matriz inicial
multiplicada por su determinante elevado a la potencia n - 2.
SO L U C I O N
Para una matriz singular A el resultado es trivial. Supongamos que A es no singular
y sea A T su transpuesta, ' su determinante y A´ la recíproca de A. Entonces
A´ = 'C(A T)-1 C, donde
C
§ 1
¨
1
¨
¨
1
¨
©
·
¸
¸.
¸
¸
¹
Esto se deduce inmediatamente de la regla de la formación de la matriz inversa. Por
esto
Det(A´) = 'n-1 y (A´)´ = 'n-1 C((A´)T)-1 C = 'n-1'-1A = 'n-2A. ’
EJ E M P L O 2.2.11
Demostrar que el máximo de los valores absolutos de los determinantes de n-ésimo
orden, cuyos elementos son reales y no superiores a 1 en valor absoluto, es un
número entero divisible por 2n-1.
SO L U C I O N
Demostremos que todos los elementos de la matriz, para la cual el valor absoluto de
su determinante alcanza el valor máximo, son iguales a r1. En efecto, si -1 < a ik < 1,
' t 0 y A ik t 0, entonces, al sustituir a ik por 1, el determinante aumenta, y si ' t 0 y
A ik < 0, al sustituir a ik por -1, el determinante aumenta. Si ' < 0, el valor absoluto del
determinante aumentará al sustituir a ik por la unidad con el signo contrario al de A ik.
Finalmente, si A ik = 0, el valor del determinante no se altera al sustituir a ik por 1 o -1.
Sin restringir generalidad se puede considerar que todos los elementos de la primera
fila y de la primera columna del determinante máximo son iguales a 1; esto puede
conseguirse multiplicando por -1 las filas y columnas. Restemos ahora la primera fila
del determinante máximo de todas las demás. Entonces el determinante se reducirá a
un determinante de orden n-1 cuyos elementos son todos iguales a 0 ó a -2. Este
último es igual a 2n-1N, donde N es un número entero. ’
EJ E M P L O 2.2.12
Evaluar los siguientes determinantes:
5 2 1 3 2
2 1 4 3 5
7 2 1 3 4
4 0 7 0 0
3 4 0 5 0
1 0 2 0 3
a.- 2 3 7 5 3 ; b.- 3 4 5 2 1 ; c.- 3 0 4 0 7 .
2 3 6 4 5
1 5 2 4 3
6 3 2 4 5
3 0 4 0 0
4 6 0 7 0
5 1 2 2 3
SO L U C I O N
a.- Desarrollamos el determinante con respecto a la segunda y quinta filas:
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92
DETERMINANTES
2 3 2
4 7
' (1)
3 5 3 (16 21)(50 27 24 30 24 45) (5)(2)
3 4
3 4 5
b.- Desarrollamos el determinante con respecto a la tercera y quinta columnas:
4 4 5
3 4 5
2 1
3 3 4 5
43 4 5
23 5 1
' (1)
1 5 4 (1)
3 4 2 (1)
3 4
5 1
2 3
2 3
4 6 7
4 6 7
4 6
43
10
3
5
7
4 4 5
3 4 5
2 1 3
4 5
4 5
5 1
1 5 4 3 4 2 3 4 5
5 1
2 3
2 3
4 6 7
4 6 7
4 6 7
= (4 ± 25)(140 + 64 + 30 ± 100 ± 96 ± 28) ± (12 ± 10)(84 + 32 + 90 ± 80 ± 36 ± 84)
- (15 ± 2)(56 + 20 + 54 ± 48 ± 60 ± 21)
= (-21)(10) ± 2(6) ± 13 = - 210 ± 12 ± 13 = - 235.
c.- Desarrollamos el determinante con respecto a la segunda y cuarta columnas:
1 2 3
1 2 3
7 1 4
43 2 3
5 3 2 3
23 3 4
' (1)
3 4 7 (1)
3 4 7 ( 1)
1 2 3
3 4
1 2
1 2
5 2 3
6 3 4
3 4 7
1 2 3
1 2 3
7 1 4
2 3
2 3
3 4
3 4 7 3 4 7 1 2 3
3 4
1 2
1 2
5 2 3
6 3 4
3 4 7
= - (8 ± 9)(12 + 70 + 18 ± 60 ± 14 ± 18) + (4 ± 3)(16 + 84 + 27 ± 72 ± 21 ± 24)
- (6 ± 4)(98 + 9 + 16 ± 24 ± 7 ± 84) = -(-1)(8) + 10 ± 2(8) = 8 + 10 ± 16 = 2. ’
EJ E M P L O 2.2.13
Evaluar los siguientes determinantes:
1 2 3 4 5 3
7 6 5 4 3 2
6 5 7 8 4 2
9 7 8 9 4 3
9 8 6 7 0 0
7 4 9 7 0 0
a.; b..
3 2 4 5 0 0
5 3 6 1 0 0
3 4 0 0 0 0
0 0 5 6 0 0
5 6 0 0 0 0
0 0 6 8 0 0
SO L U C I O N
a.- Desarrollamos el determinante con respecto a la quinta y sexta filas:
3 4 5 3
3 4 7 8 4 2
(1) 2 2
5 6 6 7 0 0
4 5 0 0
Desarrollamos el segundo determinante con respecto a la tercera y cuarta columnas:
3 4 5 3 6 7
(1)2 2
5 6 4 2 4 5
Por lo tanto el valor del determinante es: ' = (18 ± 20)(10 ± 12)(30 ± 28) = 8.
b.- Desarrollamos el determinante con respecto a la quinta y sexta columnas:
7 4 9 7
3 2 5 3 6 1
(1) 2 2
4 3 0 0 5 6
0 0 6 8
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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DETERMINANTES
93
Desarrollamos el segundo determinante con respecto a la primera y segunda
columnas:
3 2 7 4 5 6
(1)2 2
4 3 5 3 6 8
Por lo tanto el valor del determinante es:
' = (9 - 8)(21 ± 20)(40 ± 36) = 4. ’
V. R E G L A D E C H I O
Esta regla consiste en conseguir que una de las filas del determinante esté formada
por elementos todos ellos nulos, excepto uno, que vale la unidad y se le llama
elemento base. De esta forma, al desarrollar dicho determinante por los adjuntos de
los elementos de esta fila, se anulan todos los sumandos, a excepción del que
corresponde al elemento base, que coincide con su adjunto. De esta manera, el
determinante primitivo coincide con el adjunto del elemento base, reduciendo el
determinante al cálculo de otro cuyo orden es inferior en una unidad. Para conseguir
que los elementos de una fila sean todos nulos, excepto uno, que valga la unidad, se
siguen los siguientes pasos:
a.- Se mira si algún elemento del determinante vale la unidad. En caso afirmativo se
elige una de las dos filas o columnas, que contiene a dicho elemento. En caso
negativo, nos fijamos en una fila que contenga el mayor número posible de
elementos nulos. Los elementos de esta fila se dividen por uno de ellos; de esta
forma se consigue que dicha fila posea un elemento que valga la unidad. Después de
efectuada esta operación, el determinante ha quedado dividido por este número, y
este resultado, por tanto, tenemos que tenerlo en cuenta al final del proceso que
vamos a seguir. También se puede conseguir un elemento, del determinante, que
valga uno, restando a una fila otra paralela a ella, siempre que existan dos elementos
que ocupen el mismo lugar en ambas filas y que difieran en una unidad.
b.- Una vez elegido el elemento base, supongamos que éste sea el elemento a11, los
demás elementos de la primera fila o primera columna deben ser nulos. Para ello, a la
segunda, tercera, ..., n-ésima columna se le resta la primera columna multiplicada
sucesivamente por a12, a13, ..., a in, con lo que el determinante no varía. Exactamente
se procedería para conseguir que sean nulos los elementos de la primera columna,
pero ahora, tendríamos que cambiar la palabra columna por la de fila y los elementos
serán a21, a31, ..., an1. Desarrollamos el determinante que nos resulta, por los adjuntos
de los elementos de la primera fila, con lo que se obtiene: Det(A) = 1.Det(A11) + ...
+ 0.Det(A1n) = Det(A11), como el valor del determinante de A, el adjunto del
elemento base, es decir, hemos reducido el problema a calcular el valor de un
determinante de orden inferior en una unidad, el cual se obtiene suprimiendo la fila y
la columna a la que pertenece el elemento base, anteponiendo los signos más o
menos, según que la suma de los índices relativos a dicho elemento sea par o impar.
EJ E M P L O 2.2.14
Calcular el valor del determinante
5
4
1
0
3
3
1
2
2
1
2
2
3
1
.
1
3
SO L U C I O N
Como elemento base se elige el a31 ya que la columna que contiene a ese elemento es
la línea con mayor número de ceros. Restando a la primera fila y a la segunda, la
tercera multiplicada por 5 y 4 respectivamente, obtenemos
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
94
5
4
1
0
3
3
1
2
2
1
2
2
0 2 8 3
0 1 7 3
1 1
2 1
0 2 2 3
3
1
1
3
2 8 3
1 7 3
2 2 3
Seguimos el proceso anterior explicado para calcular el valor de este determinante de
tercer orden, en lugar de aplicar la regla de Sarrus.
2 8 3
2 8 3
0 6
3
6
3
1 7 3 1 7 3
1 7
3
18 . ’
12 3
2 2 3
2 2 3
0 12 3
PR O B L E M AS
2.2.1 Evalúe los siguientes determinantes:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 0 3 4
1 23 33 43
a.;
b.1 2 0 4
1 25 35 45
1 2 3 0
1 27 37 47
1 2 3 4
c.-
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2 ;
2
5
e.-
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
5
1
1
1
1 .
1
6
1
1
d.- 1
1
1
2
3
2
2
2
3
3
5
3
3
4
4
4
7
4
5
5
5 ;
5
9
2.2.2 Calcular los determinantes:
a a 1 a 2 a 3 a 4
1 b
0
0
0
a.- 0
1
b
0
0 ;
0
0
1
b
0
0
0
0
1
b
a b 0 0
0
0 b c 0
0
b.- 0 0 c d
0 ;
0 0 0
d
e
1 1 1
1 1 e
c.-
a D x
a E
a T
a G
bD
b E x
bT
bG
.
c D
c E
c T x
c G
d D
d E
d T
d G x
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
5
5
5 ;
5
0
2.2.3 Calcular los determinantes:
a b b b b
b a
b b b
a.- b b a b b ;
b b b a b
b b b b a
1
a
b
c
d
1 ax
b
c
d
b.- 1
a
b y
c
d ;
1
a
b
cz
d
1
a
b
c
d u
c.-
1 a ( a 1)
a 2 ( a 1)
a 3 ( a 1)
1 b(b 1)
b 2 (b 1)
b3 (b 1)
c ( c 1)
c 2 ( c 1)
c 3 ( c 1)
1
.
1 d (d 1) d 2 (d 1) d 3 (d 1)
2.2.4 Calcular los determinantes:
a b b b b
a
b
b a b b b
a.- b b a b b ; b.- b
b
b b b a b
b
b b b b a
a
1
c.- 1
0
0
1
e.-
0 1
a 1
0 a 1
1 1
1 1
1
1 2a
2
3
2
3
2
1
1
0
a
0
0
0
1 ;
1
a
2
3
2
1
3
5
b c d 1
a c d 1
c a d 1 ;
c d a 1
c d e 1
1
1
d.- 1
1
1
b
a
b
b
b
c
c
a
c
c
d
d
d
a
d
e
e
e ;
e
a
.
1 9 a2
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
95
2.2.5 Evalúe los siguientes determinantes:
ax 1 ay 1 az 1 au
1 bx
by 1 bz 1 bu
a.;
1 cx 1 cy
cz
1 cu
1 dx 1 dy 1 dz
du
b.-
c.-
2.2.8 Evalúe los siguientes determinantes:
3 1 2 5
9 11 10 8
1 8 1 1
5 7 3 1
a.; b.;
4 3 3 9
2 3 5 8
5 1 4 3
5 2 1 3
a x a y a z a u
b x b y b z bu
;
c x c y c z c u
d x d y d z d u
1 a 1 a2
1 a3
1 a4
1 b 1 b2
1 b3
1 b4
1 c2
1 c3
1 c4
1 c
.
c.-
2 1 5 5
1 2 2 4
;
4 3 8 5
5 1 3 1
e.-
2
1
0
3
4 1 4
1 2 5
;
0 3 1
2 0 1
g.-
0
1
5
3
3 0
3 2
3 2
1 1
i.-
4i
i
2
1
1 d 1 d 2 1 d3 1 d 4
2.2.6 Evalúe los siguientes determinantes:
a.-
1 Cosx
Cos 2 x
Cos3 x
1 Cosy
Cos 2 y Cos3 y
1 Cosz
Cos 2 z
Cos3 z
1 Cosu
Cos 2 u
Cos 3u
;
1
1
b.1
1
Senx Sen 2 x Sen3x
Seny Sen 2 y Sen3 y
;
Senz Sen 2 z Sen3z
Senu Sen 2u Sen3u
1
1
c.1
1
Cosx Cos 2 x Cos3x
Cosy Cos 2 y Cos3 y
.
Cosz Cos 2 z Cos3z
Cosu Cos 2u Cos3u
i
i 1
k.i2
i 3
2.2.7 Evalúe los siguientes determinantes:
0
a
b c
d a b
a 0
d e
a d b
a.; b.b d 0
f
a b d
c e f 0
a b c
c.-
e.-
1 a
2
1 b
2
a
3
b
3
a
4
b
4
1 c2
c3
c4
1 d2
d3
d4
a
2
a
1 b
b
2
b3
1 c
c2
c3
1 d
d2
d3
1 a
;
d.-
1 Senx
Sen 2 x Sen3 x
1 Seny
Sen 2 y Sen3 y
1 Senz
Sen 2 z
Sen3 z
1 Senu
Sen 2 u
Sen3u
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
c
c
;
c
d
.
3
;
4
0
;
4
2
3
4
2
5
1 8i
i
3
i 1
i2
i 3
i4
i
3
d.3
1
4 0
2 3
f.1 2
10 4
h.-
i
i
;
2
2i
i2
i 3
i4
i 5
2 3 4
i 2 3
;
2 i 2
1 2 i
5 6
8 3
;
3 9
2 12
1 3 2
4 8 1
3 5 4
1 3 2
5
2
;
0
0
i 1 i
2 1 i
j.5 1
6
i
3 i
4 3 i
;
2
i
3 1
i 3
i4
.
i 5
i 6
2.2.9 Desarrollar por los elementos de la primera
columna y calcular el determinante
2 1 1 a
1 2 1 b
.
1 1 2 c
1 1 1 d
2.2.10 Evalúe el siguiente determinante:
1 1 1 0 0 0
2 3 4 0 0 0
3 6 10 0 0 0
.
4 9 14 1 1 1
5 15 24 1 5 9
9 24 38 1 25 81
2.2.11 Calcular el determinante de 4 x 4, cuyos elementos se establecen por las siguientes condiciones:
a.- aij = mín(i, j); b.- a ij = máx(i, j);
c.- a ij =µ2i - 3jµ.
JOE GARCIA ARCOS
96
DETERMINANTES
2.2.12 Evalúe los siguientes determinantes:
1 ax 1 ay 1 az 1 au
1 bx 1 by 1 bz 1 bu
a.;
1 cx 1 cy 1 cz 1 cu
1 dx 1 dy 1 dz 1 du
2.2.14 Evalúe el siguiente determinante:
1 1 0 0 0 1
a b 0 0 0 c
x u 1 1 1 r
b..
y v a b c s
1 a x
ay
az
a u
b x 1 b y b z
bu
b.;
cx
c y 1 c z
c u
dx
dy
d z 1 d u
2
2
b
a 2 b2
c2
t
0
0
c2
0
2.2.15 Desarrollar por los elementos de la primera fila y
calcular el determinante
a 1 1 1
b 0 1 1
.
c 1 0 1
d 1 1 0
2.2.13 Evalúense los siguientes determinantes:
x x 1 x 2 x 3
0
1
x
x2
a.;
x
1
0
1
0
0
x3
3
b.-
w
a
1 a
1
1
1
1 1 a
1
1
c..
1
1 1 b
1
1
1
1 1 b
1
i
1
i
1
i
1 i 1 i 1 i
1 i 1 i 1 i
z
i
i
.
1 i
1 i
2.2.16 Desarrollar por los elementos de la primera fila y
calcular el determinante
1 0 1 1
0 1 1 1
.
a b c d
1 1 1 0
2.3 PR O DU C T O D E D E T E R M I N A N T ES
En esta sección se introduce la terminología básica y se define el producto de determinantes, enunciamos la
propiedad más importante para el producto.
Una primera aplicación del teorema de Laplace permite transformar un determinante
de orden k < n en otro equivalente de orden n prolongando su diagonal principal con
elementos unitarios y haciendo nulos los elementos que faltan para completar la
matriz de orden n. Pero la aplicación más importante se debe a que permite
demostrar que el determinante correspondiente a un producto de dos matrices del
mismo orden es igual al producto de los determinantes de las matrices factores.
D E F IN I C I O N 2.3.1
El producto de dos determinantes de orden n está dado por la expresión
a11 a12 ... a1n b11 b12 ... b1n
c11 c12 ... c1n
a21 a22 ... a2 n b21 b22 ... b2 n
c21 c22 ... c2 n
... ...
...
... ...
...
... ...
...
an1 an 2 ... ann bn1 bn 2 ... bnn
cn1 cn 2 ... cnn
designando por c ij el producto de la fila i del primero por la fila j del
segundo
cij = a i1bj1 + a i2bj2 + . . . + a inbjn.
Ahora demostraremos el importante teorema de que el determinante del producto de
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
97
dos matrices cuadradas de n x n es igual al producto de los determinantes de las
matrices. Como un teorema sobre determinantes esto significa que el producto de
dos determinantes de n x n puede escribirse como un determinante de n x n cuyos
elementos se obtienen en la misma forma que los elementos de una matriz producto.
T E O R E M A 2.3.1
Sean A y B, matrices cuadradas de orden n. Entonces
Det(A B) = Det(A)Det(B).
D E M OST R A C I O N
En efecto
a11 a12
a1n b11 b12
b1n
a21 a22
a2n b21 b22
b2n
Det(A)Det(B) =
an1 an 2
a11
a21
=
a12
a22
an1 an 2
d11 d12
d 21 d 22
ann bn1 bn 2
a1n
a2 n
0
0
bnn
0
0
0
0
ann 0
0
d1n b11 b12
d 2 n b21 b22
0
b1n
b2 n
d n1 d n 2
d nn bn1 bn 2
bnn
cualesquiera que sean los números d; pues desarrollando este determinante por los
menores de las n primeras filas, como todos los menores, excepto el primero, tienen
alguna columna de ceros, y, por tanto, son nulos, resulta el producto Det(A)Det(B).
Para poder reducir el orden de este determinante, podemos suponer que los dos
determinantes dados sean del mismo orden n, si es n > m, pues en caso contrario se
puede transformar el de menor orden m en otro de orden n, prolongando su diagonal
principal con n ± m elementos 1, y completando con ceros las nuevas filas y
columnas. Además, como podemos disponer de los números indeterminados d,
tomemos todos ellos iguales a 0, excepto los de la diagonal d11, d22, ..., dnn, que
tomaremos iguales a ±1. Finalmente, podemos cambiar las filas por columnas, en el
determinante menor Det(B). Resulta así:
a11 a12
a1n 0
0
0
a21 a22
a2 n 0
0
0
a11 a12
a1n b11 b12
b1n
a21 a22
a2n b21 b22
b2n
a
an 2
ann 0
0
0
= n1
1 0
0 b11 b12
b1n
0
1
0 b21 b22
b2 n
an1 an 2
ann bn1 bn 2
bnn
bn1 bn 2
bnn
Si, mediante adiciones convencionales de filas o columnas, logramos reducir a 0 los
elementos a ij, en vez del cuadro de ceros aparecerá otro de nuevos elementos c ij, y el
nuevo determinante de orden 2n será igual al determinante de orden n formado por
estas c ij, multiplicado por su complemento algebraico; mas, reduciéndose el menor
complementario a su diagonal principal, su valor es (-1)n; tendremos, pues, el
producto en forma de determinante de orden n. Esto se logra de la siguiente manera:
sumemos a la primera fila las filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas respectivamente
por a11, a12, a1n, y obtenemos como primera la siguiente:
0, 0, ..., 0, a11b11 + ... + a1nb1n, ..., a11bn1 + ... + a1nbnn.
0
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
0
1
JOE GARCIA ARCOS
98
DETERMINANTES
Para simplificar, llamaremos producto de la fila i de Det(A) por la fila j de Det(B), y
lo designaremos por c ij, a la suma de los productos de los términos que ocupan
iguales lugares en ambas. Es decir:
cij = ai1bj1 + a i2bj2 + ... + a inbjn.
Con esta notación, la fila obtenida es la siguiente:
0, 0, ..., 0, c11, c12, ..., c1n.
Análogamente, sumando a la segunda fila las filas n + 1, n + 2, ..., 2n, multiplicadas
por a21, a22, ..., a2n, respectivamente, resulta como nueva fila
0, 0, ..., 0, c21, c22, ..., c2n.
Finalmente; sumando a la fila n-ésima las mismas filas n + 1, n + 2, ..., 2n,
multiplicadas por an1, an2, ..., ann, respectivamente, resulta
0, 0, ..., 0, cn1, cn2, ..., cnn.
El determinante producto se ha transformado en el siguiente:
0 0
0 c11 c12
c1n
0 0
0 c21 c22
c2 n
cn1 cn 2
b11 b21
b12 b22
0 0
1 0
0 1
0
0
0
0
1 b1n
0
b2 n
cnn
=
bn1
bn 2
bnn
(-1)k
c11 c12
c21 c22
c1n 1 0
c2 n 0 1
0
0
cn1 cn 2
cnn
1
0
0
siendo
k = (n + 1) + (n + 2) + ... + (n + n) + 1 + 2 + ... + n = n(2n + 1),
y como el valor del segundo menor es (-1)n, el factor que multiplica al primero es
(-1)n+k = (-1)n(n + 1), número que es igual a 1, por ser n y n + 1 dos números
consecutivos, y, por tanto, su producto es par.
Como el valor de un determinante no altera si se cambian entre sí las filas y las
columnas, puede hacerse también el producto por columnas; la fórmula es la misma,
designando c ij el producto de la columna i del primero por la columna j del segundo.
Finalmente, puede hacerse multiplicando las filas del primero por las columnas del
segundo, o inversamente.
% CALCULO DEL PRODUCTO DE DETERMINANTES clc;;clear;; fprintf('\n PRODUCTO DE DETERMINANTES \n') filcol=input('Ingrese el orden de las matrices A y B: ');; %Ingreso de elementos fprintf('Matriz A:\n') for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('Matriz B:\n') for f=1:filcol for c=1:filcol fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
99
B(f,c)=input(' :');; end end A B C=A*B DetAB=det(A*B) DetA=det(A) DetB=det(B) DetAB = det(A)*det(B) EJ E M P L O 2.3.1
Para cada una de las proposiciones siguientes relativas a matrices cuadradas, dar una
demostración o poner un contraejemplo:
a.- Det[(A + B)2] = [Det(A + B)]2;
b.- Det[(A + B)2] = Det(A 2 + 2A B + B 2);
c.- Det[(A + B)2] = Det(A 2 + B 2).
SO L U C I O N
a.- Det[(A + B)2] = Det[(A + B)(A + B)] = Det(A + B)Det(A + B) = [Det(A + B)]2.
b.- Det[(A + B)2] = Det[(A + B)(A + B)] = Det(A 2 + A B + B A + B 2).
Si A B = B A, entonces Det[(A + B)2] = Det(A 2 + 2A B + B 2).
c.- Det[(A + B)2] = Det[(A + B)(A + B)] = Det(A 2 + A B + B A + B 2).
Si A B = -B A o B A = -A B, entonces Det[(A + B)2] = Det(A 2 + B 2). ’
EJ E M P L O 2.3.2
Multiplicar los determinantes
1 2 3 2 3 1
3 4 2 1 4 3 .
4 5 4 1 5 2
SO L U C I O N
Podemos darnos cuenta que hay cuatro formas para multiplicar determinantes, y son
las siguientes:
1.- Filas por columnas
1 2 3 2 3 1
7 26 13
3 4 2 1 4 3
12 35 19 50 .
4 5 4 1 5 2
17 52 27
2.- Filas por filas
1 2 3 2 3 1
1 2 3
3 4 2 1 4 3
4 7 13 50 .
4 5 4 1 5 2
3 4 13
3.- Columnas por columnas
1 2 3 2 3 1
9 35 18
3 4 2 1 4 3
13 47 24 50 .
4 5 4 1 5 2
12 37 17
4.- Columnas por filas
1 2 3 2 3 1
3 1 6
3 4 2 1 4 3
3 1 8 50 . ’
4 5 4 1 5 2
4 7 1
EJ E M P L O 2.3.3
Si A 2 = A, entonces A se llama idempotente. Muestre que si A es idempotente,
entonces el determinante de A vale 1 o 0.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
100
DETERMINANTES
SO L U C I O N
Como A 2 = A, Det(A 2) = Det(A). Entonces
Det(A 2) = Det(A A) = Det(A) Ÿ Det(A)Det(A) = Det(A)
[Det(A)]2 ± Det(A) = 0 Ÿ Det(A)[Det(A) ± 1] = 0
Det(A) = 0 y Det(A) ± 1 = 0, Det(A) = 1. ’
EJ E M P L O 2.3.4
¿Qué puede decirse del determinante de una matriz nilpotente?
SO L U C I O N
El determinante debe ser cero. Como A n = O, Det(A n) = Det(O). Entonces
Det(A n) = Det(A A...A) = 0 Ÿ Det(A)Det(A)...Det(A) = 0
[Det(A)]n = 0 Ÿ Det(A) = 0. ’
EJ E M P L O 2.3.5
Sean A y B matrices de 4 x 4 con Det(A) = 8 y Det(B) = - 1. Determine el valor de:
a.- Det(A B); b.- Det(2A B).
SO L U C I O N
a.- Det(A B) = Det(A)Det(B) = 8(-1) = - 8.
b.- Det(2A B) = Det(2A)Det(B) = 24Det(A)Det(B) = (16)(8)(-1) = - 128. ’
EJ E M P L O 2.3.6
Multiplíquense los determinantes
1 1
1
x
x2
1 x2
x
Det( A )
1
a b c
b c a .
c a b
y Det( B )
Siendo x una raíz cúbica imaginaria de la unidad.
SO L U C I O N
Multiplicando fila por fila, tenemos:
a bc
ba
Det( A B )
a bx cx
2
b cx ax
c a b
2
c ax bx 2
a bx 2 cx b cx 2 ax c ax 2 bx
Pero
b + cx + ax2 = x2(a + bx + cx2) Ÿ c + ax + bx2 = x2(a + bx + cx2)
b + cx2 + ax = x2(a + bx2 + cx) Ÿ c + ax2 + bx = x2(a + bx2 + cx)
y, en consecuencia
1
1
1
Det( A B ) ( a b c )( a bx cx )( a bx cx) 1
x
x2
1 x2
x
2
2
Es decir:
Det(A B) = Det(A)Det(B) = -(a + b + c)(a + bx + cx2)(a + bx2 + cx)Det(A).
Siendo Det(A) un determinante de Vandermonde y, en consecuencia, distinto de
cero, puede suprimirse y entonces
Det(B) = - (a + b + c)(a + b + cx2)(a + bx2 + cx). ’
EJ E M P L O 2.3.7
Demostrar la siguiente identidad:
a a a a 1 1 0 0
a b b b 0 1 1 0
a b c c 0 0 1 1
a b c d 1 1 1 1
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
2 a (b a )( c b)(d c ) .
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
101
SO L U C I O N
Multiplicando los dos determinantes de forma normal, filas por columnas,
obtenemos:
0
a
a
0
a b
a
b
0
a c a b c
b
0
a d a b d b c d c d
Desarrollando este determinante con respecto a la cuarta columna, obtenemos:
0
a
a
(c d ) a b
a
b
a c a b c b
A la tercera fila le restamos la segunda fila:
0
a
a
(c d ) a b
a
b
c b c b 0
Extraemos de la tercera fila c - b:
0
a a
(c d )(c b) a b a b
1
1 0
A la segunda fila le restamos la primera fila:
0
a
a
(c d )(c b) a b 0 b a
1
1
0
Extraemos a de la primera fila y b ± a de la segunda fila:
0 1 1
a (b a )(c d )(c b) 1 0 1
1 1 0
Desarrollamos el determinante resultante por la regla de Sarrus y obtenemos el
resultado:
' = 2a(b ± a)(c ± b)(d ± c). ’
EJ E M P L O 2.3.8
Calcular el determinante elevándolo al cuadrado
a
b
c
d
b
a
d c
.
c d
a
b
d
c b
a
SO L U C I O N
a
b
b
a
c d
d
c
c
d
a
b
d
c
b
a
2
a
b
b
a
c d
d
c
c
d
a
b
a 2 b2 c 2 d 2
0
d
c
b
a
a
b
b
a
c d
d
c
c
d
a
b
0
2
2
0
2
a b c d
0
0
0
0
d
c
b
a
2
0
0
2
2
0
2
a b c d
0
2
0
2
2
a b c2 d 2
= (a2 + b2 + c2 + d2)4. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
102
DETERMINANTES
PR O B L E M AS
2.3.1 Sean A, B, C, D los determinantes de tercer orden
que se forman de la matriz
§a b c d ·
¨
¸
¨ a1 b1 c1 d1 ¸
¨a b c d ¸
2¹
© 2 2 2
al suprimir la primera, segunda, tercera y cuarta columna,
respectivamente. Demostrar que
a b c d 0 0
a1 b1 c1 d1 0 0
a2 b2 c2 d 2 0 0
AD - BC .
0 0 a b c d
0 0 a1 b1 c1 d1
0 0 a2 b2 c2 d 2
2.3.2 Multiplicar
determinantes:
5 a 1 2
4 b 3 4
a.2 c 2 3
4 d 4 5
a
0
b.5
0
2
b
4
0
y
desarrollar
1 3
2 2
d b
3 1
1 0 0 a 5
2 0 0 0 2
3 c c 1 3
d 0 0 0 d
2
4
a
3
los
siguientes
4
3
;
c
4
3
b
.
2
0
2.3.3 Aplicando la regla de multiplicación de las
matrices, expresar en forma de un determinante los
productos de determinantes:
3 5 4 8 6 3
a.- 1 3 7 4 5 2 ;
1 2 3 3 1 2
b.-
1 2
4 3
9 2
3 0
c.-
1 3 1 2
.
4 6 5 1
4 5
2 1 1 2 3 5
;
0 2 3 5 7 2
5 4
2.3.4 Calcular el cuadrado del determinante:
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 1 1
a.; b.;
1 1 1 1
2 0 3 1
1 1 1 1
3 7 1 9
c.-
2 5 8
2 3 2
1 2 7
2 6
4
1
0
.
4
0
2.4 D E T E R M I N A N T E D E V A ND E R M O ND E
En esta sección se introduce la terminología básica y se define el determinante de Vandermonde.
D E F IN I C I O N 2.4.1
Se denomina determinante de Vandermonde o determinante de las
diferencias, al formado por las potencias sucesivas de n números distintos:
a21, a22, a23, ..., a2 n-2, a2 n-1, a2 n,
ordenadas del siguiente modo:
1
1
1
...
1
1
a21 a22 a23 ... a2 n 1 a2 n
V
2
a21
...
2
a22
...
2
a23
...
... a22n 1
...
n 1
n 1
n 1
a21
a22
a23
... a2nn11
cuyo desarrollo está dado por
V
– ( a2 j a2 i ) .
a22n
...
a2nn1
1d i j d n
Podemos reducir a ceros los elementos de la primera columna, excepto el primero,
restando de cada fila la anterior, multiplicada por a21, y obtenemos
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
103
1
0
0
1
a22 a21
a22 ( a22 a21 )
1
a23 a21
a23 ( a23 a21 )
0
...
2
a22
( a22
2
a23
( a23
...
...
0
n2
a22
( a22
n2
a23
( a23
a21 )
a21 )
a21 )
1
...
a2 n 1 a21
...
... a2 n 1 ( a2 n 1 a21 )
...
a22n 1 ( a2 n 1
1
a2 n a21
a2 n ( a2 n a21 )
a22n ( a2 n a21 )
a21 )
...
...
a21 ) ... a2nn21 ( a2 n 1 a21 )
a2nn 2 ( a2 n a21 )
determinante que se reduce a uno de orden n ± 1, el cual, separando los factores
comunes, resulta
1
1
1
...
1
1
a22
a23
a24 ... a2 n 1 a2 n
2
( a22 a21 )...( a2 n a21 ) a22
...
2
a23
...
2
a24
...
... a22n 1
...
a22n
...
n2
n2
n2
a22
a23
a24
... a2nn21 a2nn 2
y observando que este determinante de orden n - 1 es de la misma forma que el
anterior, se le puede aplicar la misma transformación, resultando
1
1
1
...
1
1
a23 a24
a25 ... a2 n 1 a2 n
2
( a22 a21 )...( a2 n 1 a22 ) a23
...
2
a24
...
2
a25
...
... a22n 1
...
a22n
...
n 3
n 3
n 3
a23
a24
a25
... a2nn31 a2nn3
Con éste, que es de orden n ± 2, se opera de igual modo, y así se sigue hasta llegar a
uno de segundo orden
1
1
a2n a2n 1 .
a2n 1 a2n
Por consiguiente
V ( a22 a21 )( a23 a21 )...( a2n a2n1 )
–
1d i j d n
( a2 j a2 i ) .
% GENERACION DE UN DETERMINANTE DE VANDERMONDE clc;;clear;; fprintf('\n DETERMINANTE DE VANDERMONDE \n') fil=input(' Ingrese la dimension de la columna: ');; fprintf('Ingrese los elementos de la columna \n') %Ingreso de elementos %for f=1:col for f=1:fil fprintf('Ingrese el elemento %d',f) u(f,1)=input(' :');; end fprintf('\n LA COLUMNA ES:\n') u fprintf(' EL DETERMINANTE GENERADO ES:') V=vander(u) fprintf(' EL VALOR DEL DETERMINANTE ES:') DetV=det(V) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
104
DETERMINANTES
EJ E M P L O 2.4.1
Evaluar los siguientes determinantes y expresar su resultado en factores:
1 a bc
a.- 1 b ca ;
1 c ab
b.-
1
a
1
b
a 3 b3
1
c ;
1 bc ad
c.- 1 ac bd
c3
1 ab cd
b2 c 2 a 2 d 2
a 2 c 2 b2 d 2 .
a 2b2 c 2 d 2
SO L U C I O N
a.- A las filas 2 y 3 le restamos la fila 1:
1
a
bc
1
a
bc
0 b a ca bc
0 b a c (b a )
0 c a ab bc
0 c a b(c a )
extraemos de la fila 2 el factor (b ± a) y de la tercera fila el factor (c ± a):
1 a bc
(b a )( c a ) 0 1 c
0 1 b
a la fila 3 le restamos la fila 2:
1 a bc
(b a )(c a ) 0 1 c
0 0 c b
podemos observar que mediante este proceso, hemos transformado la matriz original
a una matriz equivalente triangular superior, lo cual nos permite aplicar una de las
propiedades para encontrar el valor del determinante: ' = (b - a)(c - a)(c - b).
b.- En este problema, aplicaremos operaciones elementales entre columnas, es
decir, a las columnas 2 y 3 le restamos la columna 1:
1
0
0
1
0
0
a
ba
ca
a
ba
ca
a 3 b3 a 3 c 3 a 3
a 3 (b a )(b 2 ab a 2 ) (c a )(c 2 ca a 2 )
a la columna 2 le extraemos (b ± a) y a la tercera columna (c ± a):
1
0
0
(b a )(c a ) a
1
0
a 3 b2 ab a 2
a la columna 3 le restamos la columna 2:
1
0
(b a )( c a ) a
1
a 3 b2 ab a 2
expresamos en factores el elemento a33:
1
0
(b a )(c a ) a
1
c 2 ca a 2
0
0
c 2 ca a 2 b 2 ab a 2
0
0
a 3 b2 ab a 2 (c b)( a b c )
como hemos reducido la matriz original a una matriz triangular inferior, aplicamos la
correspondiente propiedad, para obtener el valor del determinante
' = (b - a)(c - a)(c - b)(a + b + c).
c.- A la segunda y tercera filas, le restamos la primera:
1
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
bc ad
b2 c 2 a 2 d 2
0 ac bd bc ad
a 2 c 2 b2 d 2 b2 c 2 a 2 d 2
0 ab cd bc ad
a 2b 2 c 2 d 2 b 2 c 2 a 2 d 2
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
105
expresamos en factores los elementos de este determinante:
b2 c 2 a 2 d 2
bc ad
1
0 ( a b)( c d ) ( a 2 b 2 )(c 2 d 2 )
0 (b d )( a c ) (b 2 d 2 )( a 2 c 2 )
extraemos (a - b)(c - d) de la segunda fila y (b ± d)(a ± c) de la tercera fila:
1 bc ad b 2 c 2 a 2 d 2
( a b)(c d )(b d )( a c ) 0
1
( a b)( c d )
0
1
(b d )( a c )
a la tercera fila, restamos la segunda:
1 bc ad
( a b)(c d )(b d )( a c ) 0
1
0
0
b2 c 2 a 2 d 2
( a b)( c d )
( a d )(c b)
como el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos
de la diagonal principal, entonces:
' = (a - d)(c - b)(a - b)(c - d)(b - d)(a - c). ’
PR O B L E M AS
2.4.1 Evaluar los siguientes
resultado en factores:
a 2 ab b 2
a.- 2 a a b 2b ; b.1
1
1
c.-
a
2
b
2
c
2
bc
e.-
g.-
2
2
2
2
2
2
a (b c )
b (c a )
c ( a b)
a bc a (b c )
b ac b( a c ) ;
c ab c ( a b)
1 a
2
d.- 1 b
2
1 c
2
bc
ac ;
ab
a a3
c a b b3 ;
determinantes y expresar su
3
b ;
c
c3
( x a )2
( y a )2
( z a )2
( x b) 2
( y b) 2
( z b) 2 .
( x c )2
( y c )2
( z c)2
2.4.2 Calcular los determinantes:
1 a 1 a 2 1 a3
a.- 1 b 1 b 2 1 b3 ;
1 c3
1 a
1
1
1
1 1 a
1
1
b.;
1
1 1 a
1
1
1
1 1 a
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1 a ( a 1) a 2 ( a 1)
d.- 1 b(b 1) b 2 (b 1) ;
1 c ( c 1)
3
a
b
a b
b
a b
a ;
a b
a
b
f.-
a b c
1 c 1 c2
a
3
c.-
a b ab
0
0
1
a b ab
0
;
0
1
a b ab
0
0
1
a b
e.-
c 2 (c 1)
2a 7 a 2
a 1
a
a 3 2a 5 a 1
a
;
a 3 a 2 2a 3
a
a 3 a 2 a 1 2a 1
1 a
b
0
0
1 1 b
c
0
f..
0
1 1 c
d
0
0
1 1 d
2.4.3 Evaluar el determinante de Vandermonde:
1 1 1 1
1 1 1 1
a b c d
2 3 4 5
a.b..
2
2
2
2 ;
a b c d
22 32 42 52
a3
b3
c3
d3
23
33
43
53
JOE GARCIA ARCOS
106
DETERMINANTES
2.5 C U EST I O N A RI O
Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,
indicar por que lo es:
2.5.1 El valor de un determinante se altera si éste se
transpone.
2.5.2 Si en una matriz cuadrada de orden n se
intercambian dos columnas, entonces el determinante no
varía.
2.5.3 La suma de los productos de los elementos de
cualquier columna de un determinante por los
complementos
algebraicos
de
los
elementos
correspondientes de una paralela es diferente de cero.
2.5.4 Si una matriz A de orden n posee un menor M no
nulo de orden r, 1 d r d n-1, tal que todos los menores de
orden r + 1 que lo orlan son iguales a cero, entonces el
determinante de la matriz A es igual a cero.
2.5.5 Un determinante que contiene dos columnas
proporcionales es diferente de cero.
2.5.13 Si en un determinante todos los elementos de
una fila, a excepción de uno, son iguales a cero,
entonces, el determinante es igual al producto de este
elemento diferente de cero por un complemento
algebraico.
2.5.14 Todo determinante es igual a la suma de los
productos de los elementos de una de sus columnas por
los correspondientes complementos algebraicos.
2.5.15 Si una columna del determinante de una matriz
cuadrada de orden 3 es una combinación lineal de las
demás columnas, entonces el determinante será
diferente de cero.
2.5.16 El determinante difiere si a cada columna,
excepto la última, se le añade la columna siguiente.
2.5.6 El valor de un determinante no cambia si a todos
los elementos de una de sus columnas se suman los
elementos correspondientes de la columna.
2.5.17 El determinante no cambia si varía el signo de
todos los elementos en los lugares impares; pero si varía
el signo de todos los elementos en los lugares pares, el
determinante no cambia, siendo del orden par y cambia,
siendo del orden impar.
2.5.7 Para que un determinante sea igual a cero es
necesario y suficiente que sus columnas sean
linealmente independientes.
2.5.18 El determinante no cambia si de cada columna,
excepto la última, se restan todas las siguientes
columnas.
2.5.8 Si en el determinante de una matriz de orden n,
más de n2 ± n elementos son nulos, el determinante es
igual a cero.
2.5.19 Si a cada elemento de una de las columnas de
una matriz de orden n se le suma el producto del
número k por el elemento correspondiente de otra
columna, entonces el valor del determinante cambia.
2.5.9 Si en el determinante de una matriz cuadrada de
orden n para k + r > n en la intersección de ciertas k filas
y r columnas se hallan los elementos nulos, el
determinante es igual a cero.
2.5.20 El valor del determinante de una matriz de
orden n no cambia si se intercambian las filas y
columnas de la matriz.
2.5.10 Si en el determinante de una matriz cuadrada de
orden n todos los menores de orden k (k < n) son nulos,
entonces los menores de orden superior a k son
diferentes del nulo.
2.5.21 Si A y B son matrices cuadradas de diferente
orden, entonces el determinante del producto A B es
diferente del producto de los determinantes de cada una
de las matrices.
2.5.11 Para que un determinante de una matriz cuadrada
de orden 2 sea diferente de cero, es necesario y
suficiente que sus columnas sean proporcionales.
2.5.22 Si una matriz de orden n tiene un determinante
cero después de cualquier número de operaciones
elementales sobre las filas, entonces la matriz que
resulta tiene determinante cero.
2.5.12 Un determinante es igual a cero si es de orden
par y se duplicará, si es de orden impar, si a cada
columna, empezando por la segunda, se le añade la
columna anterior, sumando al mismo tiempo la primera
columna y la última.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
2.5.23 Si una matriz tiene determinante diferente de
cero, después de cualquier número de operaciones
elementales sobre las filas, entonces la matriz que
resulta tiene determinante diferente de cero.
JOE GARCIA ARCOS
DETERMINANTES
2.5.24
Si cada elemento de cierta columna del
determinante está representado en forma de suma de dos
sumandos, el determinante será igual a la suma de dos
determinantes, en este caso todas las columnas menos la
indicada, quedarán las mismas, y en la columna dicha
del primer determinante se encontrarán los primeros
sumandos, y en la del segundo, los segundos.
2.5.25 Si a los elementos de una columna del
determinante se les añaden los correspondientes
elementos de otra columna, multiplicadas por un mismo
número, entonces el determinante es diferente.
2.5.26 Un determinante es igual a cero si cada fila,
excepto la última, se resta la siguiente fila, y de la última
fila se resta la fila inicial.
107
2.5.30 La suma de todos los determinantes de orden
n t 2, cada uno de los cuales en cada fila y cada
columna tiene un elemento igual a la unidad y todos los
demás nulos; es nula y la cantidad de determinantes de
este tipo es n!.
2.5.31 Si en un determinante de una matriz cuadrada
de orden n, sus filas se escriben en orden inverso,
entonces éste se multiplicará por (-1)n(n-1)/2.
2.5.32 Si en un determinante de una matriz cuadrada
de orden n cada uno de sus elementos cambia de signo,
entonces el determinante se multiplicara por (-1)n.
2.5.33 El determinante de una matriz cuadrada de n x
n, cuyos elementos se prefijan por las condiciones
a ij = mín( i, j) es igual a cero.
2.5.27 Si todos los elementos de cualquier fila de un
determinante son iguales a la unidad, la suma de los
cofactores de todos los elementos de éste será igual al
propio determinante.
2.5.34 El determinante de una matriz cuadrada de
orden n, cuyos elementos se dan por las condiciones
a ij = máx( i, j) es igual a (-1)n-1n.
2.5.28 El determinante cuya suma de las filas con
números pares es igual a la suma de las filas con
números impares, es diferente de cero.
2.5.35 El determinante de una matriz cuadrada de
orden n, cuyos elementos se prefijan por las
condiciones a ij = | i ± j | es igual a (-1)n-12n-2(n ± 1).
2.5.29 Una matriz cuadrada tiene determinante cero si y
sólo si la matriz se puede reducir a una matriz triangular
superior con al menos un elemento igual a cero en la
diagonal principal.
2.5.36 La suma de los cofactores de todos los
elementos del determinante varía si a todos los
elementos se les añade un mismo número.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
O BJ E T I V O
Resolver problemas sobre matrices equivalentes, rango e inversa mediante la interpretación, expresión y
representación en términos de matrices y determinantes utilizando definiciones propiedades y métodos adecuados
para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias aplicadas.
C O NT ENID O:
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
MATRICES EQUIVALENTES
RANGO DE UNA MATRIZ
INVERSA DE UNA MATRIZ
METODOS PARA OBTENER LA INVERSA DE UNA MATRIZ
CUESTIONARIO
3.1 M A T R I C ES E Q U I V A L E N T ES
En esta sección se introduce la definición de matriz equivalente y enuncia mos sus propiedades mas
importantes.
En esta sección veremos que cada una de las operaciones de filas puede realizarse
en A multiplicando A por la izquierda por una matriz obtenida al efectuar dicha
operación a la matriz identidad.
Para este fin, definiremos una matriz elemental como cualquier matriz que se
obtenga a partir de la matriz identidad mediante una operación elemental de filas,
para lo cual utilizaremos el siguiente resultado.
Sea A una matriz de n x m. Supongamos que B se obtiene a partir de A mediante
una operación elemental de filas. Sea E la matriz elemental obtenida al efectuar
las mismas operaciones elementales de filas en la matriz identidad. Entonces
B = E A. Esto es, la matriz elemental E obtenida a partir de la matriz identidad
mediante una operación elemental de filas realiza la misma operación elemental
en A al multiplicarla por la izquierda.
E J E M P L O 3.1.1
Dada la matriz A, verifique lo antes mencionado:
§ 2 4 2·
§ 3 2 4 5 ·
¨
¸
¨
¸
a.- A ¨ 0 1 3 ¸ ; b.- A ¨ 0 3 8 3 ¸ .
¨ 4 1 3 7¸
¨ 3 4 2¸
©
¹
©
¹
SO L U C I O N
a.- Obtengamos B a partir de A intercambiando las filas f2 y f3:
110
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
§ 2 4 2·
¨
¸
¨ 3 4 2¸
¨ 0 1 3¸
©
¹
Efectuamos la misma operación en I de 3 x 3 para obtener:
§1 0 0·
¨
¸
E ¨0 0 1¸
¨0 1 0¸
©
¹
Ahora verificamos que E efectúa la misma operación de filas en A al multiplicar
por la izquierda a la matriz A por E:
§ 1 0 0 ·§ 2 4 2 · § 2 4 2 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
E A = ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 1 3 ¸ = ¨ 3 4 2 ¸ = B .
¨ 0 1 0 ¸¨ 3 4 2 ¸ ¨ 0 1 3 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
b.- Multiplicamos la tercera fila de A por ±2 para obtener B:
5 ·
§ 3 2 4
¨
¸
B ¨0 3 8
3 ¸
¨ 8 2 6 14 ¸
©
¹
Efectuamos la misma operación en I de 3 x 3 para obtener
§1 0 0 ·
¨
¸
E ¨0 1 0 ¸
¨ 0 0 2 ¸
©
¹
Entonces
§ 1 0 0 ·§ -3 2 4 5 · § -3 2 4 5 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
E A = ¨ 0 1 0 ¸¨ 0 3 8 3 ¸ = ¨ 0 3 8 3 ¸ = B . ’
¨ 0 0 -2 ¸¨ 4 1 3 7 ¸ ¨ -8 -2 -6 -14 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
B
E J E M P L O 3.1.2
Dada la matriz
§ 3 2 4 5 ·
¨
¸
A ¨ 0 3 8 3¸
¨ 4 1 3 7¸
©
¹
Multiplique la matriz A por la izquierda por un producto de matrices elementales.
SO L U C I O N
Intercambiamos las filas f2 y f3:
§ 3 2 4 5 ·
¨
¸
¨ 4 1 3 7¸
¨ 0 3 8 3¸
©
¹
Multiplicamos la segunda fila por 3/4:
§ 3 2 4 5 ·
¨
3
9
21 ¸
¨3 4 4 4¸
¨ 0 3 8 3¸
©
¹
A la segunda fila le sumamos la primera:
§ 3 2 4 5 ·
¨
25
41 ¸
B ¨ 0 11
4
4
4 ¸
¨ 0 3 8 3¸
©
¹
Cada operación puede ser realizada mediante una matriz elemental:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
111
E1
§1 0 0·
¨
¸
¨0 0 1¸ ,
¨0 1 0¸
©
¹
§1 0 0·
¨
¸
E 2 = ¨ 0 34 0 ¸ ,
¨0 0 1¸
©
¹
E3
§1 0 0·
¨
¸
¨1 1 0¸
¨0 0 1¸
©
¹
Se forma
§ 1 0 0 ·§ 1 0 0 ·§ 1 0 0 · § 1 0 0 ·§ 1 0 0 · § 1 0 0 ·
¨
¸¨
¸¨
¸ ¨
¸¨
¸ ¨
¸
E 3 E 2 E1 = ¨ 1 1 0 ¸¨ 0 34 0 ¸¨ 0 0 1 ¸ ¨ 1 34 0 ¸¨ 0 0 1 ¸ ¨ 1 0 34 ¸
¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 0 1 ¸¨ 0 1 0 ¸ ¨ 0 1 0 ¸
©
¹©
¹©
¹ ©
¹©
¹ ©
¹
Si se multiplica A por la izquierda por este producto de matrices elementales,
obtenemos el resultado final de las tres operaciones de filas:
§ 1 0 0 ·§ -3 2 4 5 · § -3 2 4 5 ·
¨
¸¨
¸ ¨
25
41 ¸
( E 3 E 2 E1 ) A = ¨ 1 0 34 ¸¨ 0 3 8 3 ¸ = ¨ 0 11
=B. ’
4
4
4 ¸
¨ 0 1 0 ¸¨ 4 1 3 7 ¸ ¨ 0 3 8 3 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
Algunas veces necesitaremos efectuar una sucesión de operaciones de filas en una
matriz A. Esto puede hacerse multiplicando A por la izquierda por un producto de
matrices elementales.
D E F I N I C I O N 3.1.1
Se dice que la matriz A es equivalente por filas a la matriz B si B se
obtiene a partir de A mediante una sucesión de operaciones elementales
de filas. Esto significa que la matriz B debe ser de la forma E n E n-1 ... E 1 A
para matrices elementales E 1, E 2, ..., E n.
T E O R E M A 3.1.1
Toda matriz es equivalente por filas a sí misma.
D E M OST R A C I O N
Observemos que la matriz A siempre puede obtenerse a partir de A mediante una
operación elemental de filas.
T E O R E M A 3.1.2
Si la matriz A es equivalente por filas a la matriz B entonces B es
equivalente por filas a A.
D E M OST R A C I O N
Se obtiene la matriz B a partir de la matriz A intercambiando las filas i y j de A,
obtenemos a A a partir de B intercambiando las filas i y j de B. Si obtenemos la
matriz B a partir de la matriz A multiplicando la fila j de A por un número k
distinto de cero, obtenemos A a partir de B multiplicando la fila j de B por 1/k. Si
obtenemos la matriz B a partir de la matriz A sumando k veces la fila i a la fila j,
obtenemos A a partir de B sumando ±k veces la fila i a la fila j de B. En resumen,
si obtenemos B a partir de A mediante operaciones elementales de filas, podemos
recuperar A a partir de B mediante operaciones elementales de filas del mismo
tipo. Ahora supongamos que A es equivalente por filas a B. Entonces B puede
obtenerse a partir de A mediante una sucesión de operaciones elementales de
filas. Por lo tanto, A se obtiene a partir de B mediante una sucesión de
operaciones elementales; así que B es equivalente por filas a A.
T E O R E M A 3.1.3
Si la matriz A es equivalente por filas a la matriz B y B es equivalente
por filas a la matriz C entonces A es equivalente por filas a C.
D E M OST R A C I O N
Si la matriz B se obtiene a partir de la matriz A mediante un producto de matrices
elementales, y la matriz C se obtiene a partir de B mediante un producto de
matrices elementales, hemos obtenido C a partir de A mediante un producto de
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
112
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
matrices elementales; por lo tanto, A es equivalente por filas a C.
Sea la matriz A de n x m. Si una fila tiene un elemento distinto de cero, el
elemento principal de la fila es su primer elemento distinto de cero, leyendo de
izquierda a derecha. Una fila que tiene únicamente ceros no tiene elemento
principal. Decimos que la matriz A es una matriz reducida si A tiene las
siguientes características:
1.- El elemento principal de cada fila distinto de cero es 1.
2.- Si una fila tiene su elemento principal en la columna j, todos los otros
elementos de la columna j son cero.
3.- Toda fila que tiene únicamente ceros está debajo de las filas que tienen
elementos distintos de cero.
4.- Si el elemento principal de la fila f1 está en la columna c1, el elemento
principal de la fila f2 está en la columna c2 y f1 < f2, entonces c1 < c2.
Por la segunda característica, si una columna contiene un elemento principal en
alguna fila, todos los otros elementos de esa columna son cero. Dicho de otra
manera, todos los elementos que están directamente por encima o debajo de
cualquier elemento principal son cero. La cuarta característica dice que los
elementos principales se mueven hacia abajo y a la derecha conforme se ve la
matriz.
T E O R E M A 3.1.4
Sea A una matriz de n x m. Entonces A es equivalente por filas a una
matriz en forma reducida.
D E M OST R A C I O N
Si la matriz A está en forma reducida, ya se acaba el proceso. Si no, leyendo de
izquierda a derecha la matriz, supongamos que la columna c1 es la primera
columna que tiene un elemento distinto de cero. Sea k el primer elemento distinto
de cero de esa columna, digamos que aparece en la fila f1. Multiplicamos la fila f1
por 1/k para obtener una matriz B. Por la elección de f1, la columna c1 de B tiene
exactamente ceros por encima del 1 en la fila f1. Si cualquier fila debajo de f1
tiene un elemento r distinto de cero en la columna c1 sumamos ± r veces la fila f1 a
esa fila. Obteniendo una nueva matriz con un cero donde estaba localizada r en B.
La repetición de este proceso da como resultado la matriz C que tiene ceros por
encima y debajo de la fila f1 en la columna c1. Ahora intercambiamos las filas 1 y
f1 de C para producir la matriz D que tiene como entrada principal 1 en la fila 1 y
la columna c1 y todos los demás elementos de esa columna son cero. Además, por
la elección de c1, cualquier columna de D a la izquierda de la columna c1 tiene
solamente elementos iguales a cero. Finalmente D es equivalente por filas a A ya
que llegamos a D por una sucesión de operaciones elementales de filas.
Si D es reducida, se acaba el proceso. Si no, repetimos este proceso, pero ahora
observando la primera columna, digamos la columna c 2, a la derecha de la
columna c1 y que tiene un elemento distinto de cero debajo de la fila 1. Sea f2 la
primera fila debajo de la fila 1 que tiene un elemento distinto de cero, digamos s.
Dividimos la fila f2 por s para obtener una matriz E con 1 como elemento f2, c2. Si
la columna c2 de E tiene un elemento distinto de cero s en una fila por encima o
debajo de f2 sumamos ±s veces la fila f2 a esa fila. La repetición de este proceso da
una matriz F con ceros en la columna c2 por encima y debajo del elemento 1 en la
fila f2. Finalmente, intercambiamos las filas 2 y f2 de F para obtener G. Si la
matriz G está en forma reducida, se acaba el proceso. Si no, localizamos la
primera columna a la derecha de la columna c2 y que tenga un elemento distinto
de cero debajo de la fila f2 y repetimos el proceso que hemos estado utilizando.
Como A tiene un número finito de columnas, eventualmente llegamos a una
matriz reducida y esta matriz reducida es equivalente por filas a A.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
113
El proceso de obtener una matriz reducida equivalente por filas a una matriz dada
A se llama reducción de A. Observemos que usualmente es posible efectuar
distintas sucesiones de operaciones elementales de filas en A para obtener una
matriz reducida.
Sea A una matriz de n x m. Suponga que se aplica una sucesión S1 de operaciones
elementales de filas empezando con la matriz A y obteniendo una matriz reducida
B. Suponga que se aplica otra sucesión S2 de operaciones elementales de filas
empezando con A y se obtiene una matriz reducida C, entonces B = C. Esto
implica que para una matriz A, el resultado final siempre es el mismo no importa
cuáles operaciones elementales de filas hayamos usado para llegar a él. Debido a
esto, hablaremos de la forma reducida de A en lugar de una forma reducida de A.
Denotaremos a la forma reducida de A como A R.
E J E M P L O 3.1.3
Reducir la matriz
§ 3 4 1 ·
¨
¸
A = ¨ 1 2 0¸ .
¨ 2 4 3¸
©
¹
SO L U C I O N
Empezamos con la primera columna, que tiene un elemento distinto de cero en la
primera fila. A la primera fila le multiplicamos por ±1/3:
§ 1 43 13 ·
¨
¸
0 ¸
¨1 2
¨¨ 2 4
3 ¸¸
©
¹
A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 2 veces la
primera fila:
§ 1 43 13 ·
¨
¸
1
¨ 0 103
3 ¸
¨¨
20
11 ¸
¸
3 ¹
©0 3
La segunda columna de la última matriz tiene elementos distintos de cero debajo
de la primera fila. Como queremos un 1 en esa posición, entonces hacemos las
siguientes operaciones. A la segunda fila le multiplicamos por 3/10:
§ 1 43 13 ·
¨
¸
1
¨0 1
10 ¸
¨¨
20
11 ¸
¸
3 ¹
©0 3
A la primera fila le sumamos 4/3 veces la segunda fila, a la tercera fila le
restamos 20/3 veces la segunda fila:
§ 1 0 15 ·
¨
¸
¨ 0 1 101 ¸
¨¨
¸¸
©0 0 3 ¹
La tercera columna de la última matriz tiene elementos distintos de cero debajo de
la segunda fila. Como queremos un 1 en esa posición, entonces hacemos las
siguientes operaciones. A la tercera fila le multiplicamos por 1/3:
§ 1 0 15 ·
¨
¸
¨ 0 1 101 ¸
¨¨
¸¸
©0 0 1 ¹
A la primera fila le sumamos 1/5 veces la tercera fila, a la segunda fila le
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
114
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
restamos 1/10 veces la tercera fila:
§1 0 0·
¨
¸
¨0 1 0¸ .
¨0 0 1¸
©
¹
Esta última matriz es AR, la forma reducida de A. En este caso A R = I. ’
Hemos obtenido A R a partir de A por una sucesión de operaciones elementales de
filas. Además, hemos visto que podemos realizar cualquier sucesión de
operaciones elementales de filas en A multiplicando a A por la izquierda por un
producto de matrices elementales. Esto nos indica que dada una matriz A de n x
m. Entonces existen matrices elementales E 1, E 2, ..., E n tales que A R = E n E n-1 ...
E 1 A.
PR O B L E M AS
3.1.1 En las siguientes matrices, efectúe la operación
elemental de filas indicada en A para obtener la matriz
B. Después encuentre la matriz E tal que E A = B:
§ 1 i 2 3 i ·
¨
¸
a.- A ¨ 2 4 5i 2 ¸ ; multiplicar la tercera fila
¨1 i 2 6 2 ¸
©
¹
por i.
§ 2i 3 4 ·
¨
¸
2 6 7¸
b.- A ¨
; sumar el producto de la tercera
¨ 1 i 3 ¸
¨
¸
© 5 8 4¹
fila por ±1 a la primera fila.
3.1.2 En las siguientes matrices, obtenga una matriz B
a partir de la matriz A dada efectuando la sucesión de
operaciones. Después obtener una matriz C tal que C A =
B:
2 3 5 ·
§ i
¨
¸
1 6i 7 8 ¸
a.- A ¨
; intercambiar las filas f2 y
¨1 i 4 6 1 i ¸
¨
¸
© i 3 7 4 ¹
f4, sumar i veces la segunda fila a la tercera fila, sumar la
primera fila a la tercera fila, multiplicar la segunda fila
por i.
§ 1 2i 3 4 6i ·
¨
¸
b.- A ¨ 7
2 5 4 ¸ ; sumar ± i veces la
¨ i
1 i 3 5 ¸¹
©
segunda fila a 7 veces la tercera fila, intercambiar las
filas f1 y f3, multiplicar la tercera fila por (1 ± 2 i).
c.- Encuentre una matriz elemental E tal que E B = A;
d.- Encuentre una matriz elemental E tal que E C = A.
3.1.3 E es la matriz elemental que se obtiene al
intercambiar dos filas de I. A es una matriz de n x n:
a.- ¿Cómo se relaciona o compara E A con A?;
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
b.- Encuentre E 2.
3.1.4 En las siguientes matrices, determine si la matriz
está en forma reducida. Si no lo está, haga una lista de
todas las condiciones de la definición que no se
cumplen y utilice las operaciones elementales de filas
para reducir la matriz:
§1 3 0 5·
§ 1 7 5 3·
¨
¸
6 0 3 5¸
¨
¸
¨
a.- A
; b.- A ¨ 0 2 0 1 ¸ ;
¨6 2 1 7¸
¨ 0 0 3 1¸
¨
¸
©
¹
0
3
1
1
©
¹
c.- A
§0
¨
¨0
¨4
¨
©1
2
0
0
5
3·
¸
2¸
.
3¸
¸
2¹
3.1.5 Dadas las matrices A, B y
§ 1 2 3 ·
¨
¸
A ¨ 0 1 2 ¸, B
¨ 1 2 0 ¸
©
¹
C:
§ 1 2 0 ·
¨
¸
¨ 0 1 2 ¸,
¨ 1 2 3 ¸
©
¹
§ 0 4 3 ·
¨
¸
¨ 0 1 2 ¸.
¨ 1 2 0 ¸
©
¹
a.- Encuentre una matriz elemental E tal que E A = B;
b.- Encuentre una matriz elemental E tal que E A = C.
C
3.1.6 Dé un ejemplo de dos matrices elementales cuyo
producto sea elemental.
3.1.7 Construya E sumando ± 3 veces la fila e de I a la
fila 4 y calcule E A. ¿Qué efecto produce en A la
multiplicación izquierda por E? ¿Sería cierta la misma
conclusión para cualquier matriz de 4 x 4? Encuentre
una matriz F tal que la multiplicación izquierda por F
transforme de nuevo E en I; esto es, F E = I.
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
115
3.2 R A N G O D E U N A M A T R I Z
En esta sección se introduce la terminología básica y se define el rango de una matriz, enuncia mos sus
propiedades mas importantes.
El determinante de una matriz se relaciona de manera importante con el concepto de
rango de una matriz. Para calcular prácticamente el rango de una matriz pueden
seguirse distintos procedimientos. Uno de ellos consiste en comprobar con las dos
primeras filas si existe algún determinante de 2 x 2 no nulo; si ocurre así, se procede
de la misma manera respecto a las tres primeras filas, y de la misma manera hasta
agotar el número de filas o encontrar un primer conjunto de menores de k x k que
sean nulos en su totalidad; en el primer caso, el rango es igual al número de filas n, y
en el segundo, es k ± 1.
D E F I N I C I O N 3.2.1
El rango de una matriz A es el orden de la matriz de mayor orden, cuyo
determinante es diferente de cero que se puede obtener de A al suprimir
filas y/o columnas. Representamos este número por Rang( A). Se dice
que A tiene rango 0 si todos sus elementos son cero.
Es evidente que el rango de una matriz de m x n cuando más puede ser igual al
menor de los números m y n, pero puede ser menor.
T E O R E M A 3.2.1
Sea una matriz A de m x n y sea k un número entero positivo. Entonces
Rang(A) t k si la matriz A contiene un subdeterminante distinto de cero de
orden k.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que Rang(A) t k. Entonces el rango por filas de la matriz A será, por lo
menos, k, y así en la matriz A hay k filas linealmente independientes. Numeremos
estas filas con f1, f2, ..., fk y sea B la matriz k x n en la que la fila i-ésima sea la fila fi
de la matriz A. Entonces, el rango por filas de B ha de ser k y, por lo tanto, Rang(B)
= k. De esto se desprende que el rango por columnas de B sea k y que, por lo tanto, B
contenga k columnas linealmente independientes. Consideremos la matriz C
cuadrada de orden k que conste de esas columnas. Las columnas de C son
linealmente independientes y, por lo tanto, Rang(C) = k. Por consiguiente Det(C) z
0. Puesto que C es una submatriz de A, hemos demostrado que A debe contener un
subdeterminante de orden k distinto de cero.
Una matriz A de m x n (m t n) posee un subdeterminante de n-1 x n-1 no nulo; todos
los subdeterminantes de n x n son nulos, entonces todos los subdeterminantes de
n x n de la matriz A son iguales a cero y, por consiguiente, el rango de la matriz A es
n-1.
T E O R E M A 3.2.2
El rango de una matriz A de m x n, será igual a k si hay por lo menos un
subdeterminante de A de k x k que sea distinto de cero mientras que todos
los demás subdeterminantes de A de k + 1 x k + 1 son cero.
D E M OST R A C I O N
Si Rang(A) = k, entonces la matriz A contendrá un subdeterminante de k x k distinto
de cero. Además, A no puede contener un subdeterminante de k + 1 x k + 1 que sea
distinto de cero, pues, de ser así, su rango no podría ser menor que k + 1.
EJ E M P L O 3.2.1
Hallar los valores del parámetro k, para que la matriz A tenga rango máximo.
¿Cuánto es el rango para los otros valores de k?
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
116
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
k
0
0 ·
2k ·
§k 3
§ k 2 2k 4 0
¨
¸
¨
¸
k k 3
0
0 ¸
0
1
0 k 1¸
a.- ¨
; b.- ¨
.
¨ k
¨ 2 k 3 k 1 k ¸
k 1 k 1 k 1¸
¨
¸
¨
¸
1 k 1 k 3 k ¹
k 1 0 2k 1¹
© k
© 0
SO L U C I O N
a.- La matriz A tiene rango máximo si el Det(A) z 0, es decir:
k 3
k
0
0
k 3 0
0
k
0
0
k k 3 0
0
( k 3) k 1 k 1 k 1 k k k 1 k 1
k
k 1 k 1 k 1
1 k 1 k 3 k
k 1 k 3 k
k
1 k 1 k 3 k
36
Como 36 z 0, entonces la matriz tiene rango máximo si k  ƒ.
b.- La matriz A tiene rango máximo si el Det(A) z 0, es decir:
k 2 2k 4 0 2k
k 2 2k 4 2k
0
1 0 k 1
0
1 k 1 k 3 ( k 2) z 0 .
2 k 3 k 1 k
0
k 1 2k 1
0
k 1 0 2k 1
Como k3(k + 2) z 0, entonces k z 0 y k z - 2. Por lo tanto
k = - 2:
§ 0 0 0 4 · § 0 0 0 4 · § 0
¨
¸ ¨
¸ ¨
¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0
¨ 2 1 2 1 ¸ ¨ 2 0 2 0 ¸ ¨ 2
¨
¸ ¨
¸ ¨
© 0 1 0 3 ¹ © 0 0 0 4 ¹ © 0
Rang(A) = 3. Cuando k = 0:
§ 2 4 0 0 · §2 4 0 0 · §2
¨
¸ ¨
¸ ¨
¨ 0 1 0 1¸ | ¨ 0 1 0 1¸ | ¨ 0
¨ 2 3 0 1 ¸ ¨ 0 1 0 1 ¸ ¨ 0
¨
¸ ¨
¸ ¨
© 0 1 0 1 ¹ ©0 1 0 1 ¹ ©0
k  ƒ \ {-2, 0}. Cuando
0
1
0
0
4
1
0
0
0
0
2
0
0·
¸
1¸
0¸
¸
4¹
0 0·
¸
0 1¸
0 0¸
¸
0 0¹
Rang(A) = 2. ’
T E O R E M A 3.2.3
El rango de una matriz A de m x n, será igual a k si hay por lo menos un
subdeterminante de A de k x k que sea distinto de cero mientras que todos
los demás subdeterminantes de A de k + 1 x k + 1 son cero.
D E M OST R A C I O N
Si Rang(A) = k, entonces la matriz A contendrá un subdeterminante de k x k distinto
de cero. Además, A no puede contener un subdeterminante de k + 1 x k + 1 que sea
distinto de cero, pues, de ser así, su rango no podría ser menor que k + 1.
EJ E M P L O 3.2.2
Calcular el rango de la matriz
A
§ 2 1 3 2 4 ·
¨
¸
¨ 4 2 5 1 7 ¸ .
¨ 2 1 1 8 2 ¸
©
¹
SO L U C I O N
Utilizaremos la definición, es decir:
2 4
18
1 7
Como este menor es diferente de cero, procedemos a tomar un menor de mayor
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
117
orden:
3 2 4
1 2 4
2 2 4
5 1 7
2 1 7
4 1 7
0
1 8 2
1 8 2
2 8 2
Como todos los menores de tercer orden son iguales a cero, entonces concluimos que
Rang(A) = 2. ’
D E F IN I C I O N 3.2.2
El número de filas distintas de cero de una matriz A en la forma reducida se
denomina rango de la matriz A.
Si A es una matriz de n x m, obviamente Rang(A) d n. Además, como A R es una
matriz reducida su rango es el número de sus filas distintas de cero; por lo tanto
Rang(A) es igual al número de filas de A R no nulas. Sea una matriz A de m x n y sea
k un número entero positivo. Entonces Rang(A) t k si la matriz A contiene un
subdeterminante distinto de cero de orden k.
El rango de una matriz A de m x n, será igual a k si hay por lo menos un
subdeterminante de A de k x k que sea distinto de cero mientras que todos los demás
subdeterminantes de A de k + 1 x k + 1 son cero.
T E O R E M A 3.2.3
Sea A una matriz de n x m. Entonces A es equivalente por filas a una
matriz en forma reducida.
D E M OST R A C I O N
Demostremos que una operación elemental no puede aumentar el rango k de una
matriz A. Si A tiene el máximo rango posible, esto es evidente. Sea k menor y
considérese cualquier submatriz cuadrada B de A con k + 1 filas. Por definición de
rango Det(B) = 0. Sea C la matriz obtenida a partir de B aplicando una operación
elemental a A. Si C = B, entonces Det(C) = 0. Sea C = B:
a.- Supóngase la operación de intercambio de dos filas de A. Si los dos tienen
elementos en B, entonces Det(C) = -Det(B). En caso contrario, C es igual a otra
submatriz cuadrada de A con k + 1 filas. De aquí que Det(C) = 0.
b.- Bajo la operación elemental de la multiplicación de una fila de A por un número
r diferente de cero, se tiene
Det(C) = rDet(B) = 0.
c.- Bajo la adición de un múltiplo constante de una fila de A a otra fila, la matriz C
difiere de la B en una fila, digamos c, de la forma c = b + ra, donde b es la fila
correspondiente de B. Así se tiene
Det(C) = Det(B) + rDet(D) = rDet(D),
donde D, tiene dos filas idénticas, o bien, es una submatriz cuadrada con k + 1 filas
de la matriz A.
En cualquier caso,
Det(D) = 0 y Det(C) = 0.
Esto completa la demostración de que una operación elemental no puede aumentar el
rango de una matriz A. Vamos a demostrar ahora que una operación elemental no
puede disminuir ese rango. Por inversa de una operación elemental se entiende la
operación que deshace el efecto de la operación dada. Esa inversa existe y es una
operación elemental. De aquí que, si una operación elemental pudiera disminuir el
rango, su inversa lo aumentaría, pero esto es imposible por lo que acaba de
demostrarse.
Este teorema implica que si se desea determinar el rango de una matriz dada, primero
puede simplificarse la matriz por medio de operaciones elementales. Más importante,
este teorema servirá de base para el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
118
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
EJ E M P L O 3.2.3
Hallar los valores del parámetro k, para que la matriz
2k ·
§ k 2 2k 4 0
¨
¸
0
1
0
k
1¸
A =¨
¨ 2 k 3 k 1 k ¸
¨
¸
k 1 0 2k 1¹
© 0
tenga rango máximo. ¿Cuánto es el rango para los otros valores de k?
SO L U C I O N
La matriz A tiene rango máximo si el Det(A) z 0, es decir:
k 2 2k 4 0 2k
k 2 2k 4
2k
0
1 0 k 1
=k 0
1
k 1 = k3(k + 2) z 0.
2 k 3 k 1 k
0
k 1 2k 1
0
k 1 0 2k 1
Como k3(k + 2) z 0, entonces k z 0 y k z - 2. Por lo tanto k  ƒ \ {-2, 0}. Cuando
k = - 2:
§ 0 0 0 4 · § 0 0 0 4 · § 0 0 0 0 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 1 0 1 ¸ Ÿ Rang(A) = 3.
¨ 2 1 2 1 ¸ ¨ 2 0 2 0 ¸ ¨ 2 0 2 0 ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
© 0 1 0 3 ¹ © 0 0 0 4 ¹ © 0 0 0 4 ¹
Cuando k = 0:
§ 2 4 0 0 · §2 4 0 0 · §2 4 0 0 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 0 1 0 1¸ | ¨ 0 1 0 1¸ | ¨ 0 1 0 1¸ Ÿ Rang(A) = 2. ’
¨ 2 3 0 1 ¸ ¨ 0 1 0 1 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
© 0 1 0 1 ¹ ©0 1 0 1 ¹ ©0 0 0 0 ¹
T E O R E M A 3.2.4
Sea A una matriz de n x n. Entonces Rang(A) = n si y sólo si A R = I.
D E M OST R A C I O N
Si A R = I, entonces la matriz A R tiene n filas no nulas; por lo tanto Rang(A) = n.
Recíprocamente, supongamos que Rang(A) = n. Entonces A R tiene exactamente n
filas no nulas y por lo tanto no tiene filas nulas. Toda fila de A R tiene elemento
principal 1. A R tiene cada elemento de la diagonal principal igual a 1. Todos los
elementos de la columna c j por encima y debajo de la diagonal principal son nulos.
Por lo tanto, A R = I.
T E O R E M A 3.2.5
El rango del producto de varias matrices no es superior al rango de cada
uno de los factores.
D E M OST R A C I O N
Sean dadas las matrices A y B, para las cuales tiene sentido el producto A B;
emplearemos la notación A B = C. Veamos la definición del producto de matrices,
que da la expresión de los elementos de la matriz C. Tomando esta fórmula para un k
dado y todos los i posibles, obtenemos que la k-ésima columna de la matriz C
representa una suma de todas las columnas de la matriz A, tomadas con ciertos
coeficientes.
De este modo, queda demostrado que el sistema de columnas de la matriz C se
expresa linealmente mediante el sistema de columnas de la matriz A, y, por
consiguiente, el rango del primer sistema es menor o igual al rango del segundo
sistema; en otras palabras, el rango de la matriz C no es mayor que el rango de la
matriz A. Por otra parte, como de la definición, para un i dado y todos los k, se
deduce que toda i-ésima fila de la matriz C es combinación lineal de las filas de la
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
119
matriz B, con razonamientos análogos obtenemos que el rango de C no es mayor
que el rango de B.
T E O R E M A 3.2.6
El rango de la transpuesta de una matriz es el mismo que el de la matriz
dada.
D E M OST R A C I O N
Sea Rang(A) = k y sea B una submatriz cuadrada de A con k filas y Det(B) z 0.
Evidentemente B T es una submatriz de A T. Por lo tanto
Det(B T) = Det(B).
T
De donde Rang(A ) t k. Por otra parte, si A contiene una submatriz cuadrada C de k
+ 1 filas, entonces, por definición de rango, Det(C) = 0. Como C corresponde a C T
en A T y Det(C T) = 0, se concluye que A T no puede contener una submatriz cuadrada
de k + 1 filas con un determinante diferente de cero. Como consecuencia, Rang(A T)
d k. En conjunto, Rang(A T) = k y se completa la demostración.
% CALCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ clc;;clear;; fprintf('\nRANGO DE UNA MATRIZ \n') fil=input('Ingrese el numero de filas de la Matriz A: ');; col=input('Ingrese el numero de columnas de la Matriz A: ');; %Ingreso de elementos for f=1:fil for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('\nLA MATRIZ A ES:\n') A fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA ES:\n') R=rref(A) fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ ES:\n') RangA=rank(R) end EJ E M P L O 3.2.4
Demostrar que la matriz A que posee la propiedad A 2 = I, puede representarse en la
forma PBP-1, donde P es una matriz no singular y B es una matriz diagonal cuyos
elementos son todos iguales a r1.
SO L U C I O N
El rango de la matriz (I + A «I ± A) es igual a n. Elijamos de esta matriz una matriz
cuadrada no singular P de orden n, y supongamos que sus primeras r columnas
pertenecen a la matriz I + A y las demás n ± r columnas pertenecen a la matriz I ± A.
Entonces, como (I + A)(I ± A) = O, se tiene
§ q11 q12 ... q1r 0 0 ... 0 ·
¨
¸
q
q22 ... q2 r 0 0 ... 0 ¸
( I + A ) P ¨ 21
;
¨ ...
...
... ... ...
... ¸
¨¨ q
¸¸
© n1 qn 2 ... qnr 0 0 ... 0 ¹
§0
¨
0
(I - A )P ¨
¨ ...
¨¨
©0
0 ... 0 q1, r 1
0 ... 0 q2, r 1
...
...
...
0 ... 0 qn, r 1
q1, r 2 ... q1n ·
¸
q2, r 2 ... q2 n ¸
.
...
... ¸
¸
qn, r 2 ... qnn ¸¹
Sumando estas igualdades, resulta
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
120
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
§ q11
¨
q21
2P ¨
¨ ...
¨¨
© qn1
q12 ... q1r
q22 ... q2 r
...
...
qn 2 ... qnr
q1, r 1 q1, r 2 ... q1n ·
¸
q2, r 1 q2, r 2 ... q2 n ¸
.
...
...
... ¸
¸
qn, r 1 qn, r 2 ... qnn ¸¹
q12 ... q1r
q22 ... q2 r
...
...
qn 2 ... qnr
q1, r 1
q2, r 1
...
qn, r 1
Restando, se obtiene
§ q11
¨
q21
2 AP ¨
¨ ...
¨¨
© qn1
q1, r 2
q2, r 2
...
qn, r 2
... q1n ·
¸
... q2 n ¸
... ¸
¸
... qnn ¸¹
§1
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
1
2P ¨
¸.
1
¨
¸
¨
¸
¨¨
¸
1 ¸¹
©
Con esto se deduce inmediatamente lo que se quería demostrar. ’
EJ E M P L O 3.2.5
Demostrar que si todos los menores principales de k-ésimo orden de la matriz A T A
son iguales a cero, los rangos de las matrices A T A y A son menores que k. Aquí A es
una matriz real y A T es la matriz transpuesta de ella.
SO L U C I O N
Si todos los menores principales de k-ésimo orden de la matriz A T A son iguales a 0,
entonces todos los menores de orden k de la matriz A son iguales a 0. Por
consiguiente, el rango de la matriz A, y junto con él también el rango de la matriz
A T A, es menor que k. ’
EJ E M P L O 3.2.6
Demostrar que el rango del producto de dos matrices cuadradas de orden n no es
inferior a r1 + r2 ± n, donde r1 y r2 son los rangos de los factores.
SO L U C I O N
Sea A = P1 R 1 Q 1, B = P2 R 2 Q 2, donde P1, Q 1, P2, Q 2 son matrices no singulares y R 1,
R 2 son matrices que tienen r1 y r2 unidades en la diagonal principal, respectivamente,
y los demás elementos son iguales a 0. Entonces A B = P1 R 1 Q 1P2 R 2 Q 2 y el rango de
A B es igual al rango de R 1 C R 2, donde C = Q 1P2 es una matriz no singular, la matriz
R 1 C R 2 se obtiene de la matriz C sustituyendo todos los elementos de las últimas
n ± r1 filas y n ± r2 columnas por ceros. Como la eliminación de una fila o una
columna rebaja el rango de la matriz no más que en una unidad, el rango de R 1 C R 2
no es menor que n ± (n ± r1) ± (n ± r2) = r1 + r2 ± n. ’
EJ E M P L O 3.2.7
Demostrar que si A 2 = I, entonces Rang(I + A) + Rang(I ± A) = n, donde n es el
orden de la matriz A.
SO L U C I O N
Sea Rang(I + A) = r1, Rang(I ± A) = r2. Como (I + A) + (I ± A) = 2I, se tiene r1 + r2
t n. Por otra parte, (I + A)(I ± A) = O, por lo cual 0 t r1 + r2 ± n. Por consiguiente,
r1 + r2 = n. ’
EJ E M P L O 3.2.8
Sea A una matriz rectangular de elementos complejos y sea A + la matriz transpuesta
de la matriz compleja conjugada de A. Demostrar que el determinante de la matriz
A + A es un número real no negativo y que este determinante es igual a 0, si y sólo si,
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
121
el rango de A es menor que el número de columnas.
SO L U C I O N
El determinante de A + A es igual a la suma de los cuadrados de los módulos de todos
los menores de orden m de la matriz A, donde m es el número de columnas de la
matriz A. ’
PR O B L E M AS
3.2.1 Demuestre que cualquier matriz de rango r puede
representar en forma de una suma de r matrices de rango 1,
pero no se puede representar en forma de una suma
inferior a r de semejantes matrices.
3.2.2 Demuestre que si el rango de la matriz A es igual a
r, el menor d que se encuentra en la intersección de
cualesquiera r filas linealmente independientes y r
columnas linealmente independientes de esta matriz, es
diferente de cero.
3.2.3 Demuestre que el rango de una matriz antisimétrica
es un número par.
3.2.4 Encuentre una matriz involutoria de 3 x 3, para la
cual Rang(I ± A) + Rang(I + A) = 3.
3.2.5 Calcular el rango de la matriz:
0 116
39
0 ·
§ 75
¨
¸
171 69 402 123
45 ¸
a.- ¨
;
¨ 301 0
87 417 169 ¸
¨
¸
30 ¹
©114 46 268 82
§1
¨
¨0
b.- ¨ 0
¨
¨1
¨4
©
§1
¨
¨ 2
c.- ¨ 2
¨
¨ 6
¨ 1
©
0
1
0
2
5
0 1 4·
¸
0 2 5¸
1 3 6 ¸;
¸
3 14 32 ¸
6 32 77 ¸¹
2 3 1 1
1 1 0 2
5 8 4 3
0 1 2 7
1 1 1 2
2 ·
¸
2 ¸
1 ¸ .
¸
5 ¸
1 ¸¹
3.2.6 Para cualquier matriz B con elementos reales o
complejos todos los menores principales de la matriz A =
B B + son no negativos y el rango de A es igual al rango de
B.
3.2.7 Dé un ejemplo de matrices A y B del mismo orden
tales que cumplan lo siguiente:
a.- Rang(A + B) < Rang(A) y Rang(A + B) < Rang(B);
b.- Rang(A + B) = Rang(A) y Rang(A + B) = Rang(B);
c.- Rang(A + B) > Rang(A) y Rang(A + B) > Rang(B).
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
3.2.8 Calcular el rango de la matriz:
§ 2 1 1 3 4 ·
¨
¸
¨ 2 1 2 1 2 ¸
¨ 2 3 1 2 2 ¸
a.- ¨
¸;
¨ 1 0 1 2 6 ¸
¨ 1 2 1 1 0 ¸
¨¨
¸¸
© 4 1 3 1 8 ¹
§ 1 1 2
¨
¨ 0 1 1
¨ 1 0 1
b.- ¨
¨ 1 1 0
¨2 0 0
¨¨
© 1 1 0
0 0
2 0
0 2
0 1
1 1
1 1
§ 0 4 10 1 ·
¨
¸
4 8 18 7 ¸
c.- ¨
;
¨10 18 40 17 ¸
¨
¸
© 1 7 17 3 ¹
1·
¸
1¸
1¸
¸;
2¸
1¸
¸
2 ¸¹
§1
¨
¨ 3
¨ 2
d.- ¨
¨ 2
¨7
¨¨
© 4
3 6 8
6 9 2
5 8 0
4 6 3
0 1 9
3 8 9
0·
¸
1¸
0¸
¸;
5¸
3¸
¸
1 ¸¹
4 ·
§ 1 1 2 3
¨
¸
0 ¸
¨ 2 1 1 2
e.- ¨ 1 2 1 1
3 ¸.
¨
¸
¨ 1 5 8 5 12 ¸
¨ 3 7 8 9 13 ¸
©
¹
3.2.9 Demuestre que el rango de la suma de dos matrices
no es superior a la suma de los rangos de las matrices que
se suman, es decir
Rang(A + B) d Rang(A) + Rang(B).
3.2.10 Demuestre que si una matriz está compuesta de m
filas y su rango es r, cualesquiera s de sus filas forman
una matriz, cuyo rango no es inferior a r + s - m.
3.2.11 Encuentre matrices A y B de 3 x 3 tales que A B =
O y Rang(A) + Rang(B) d 3, con la particularidad de que
para cualquier matriz dada A puede elegirse la matriz B
de manera tal que Rang(A) + Rang(B) = k, donde k es
cualquier número entero que satisface la condición
Rang(A) d k d 3.
JOE GARCIA ARCOS
122
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
3.2.12 Determine el rango de la matriz real dada para los
distintos valores del parámetro k  ƒ:
§ k 2k 1 3 1 ·
§ k 0 1 1·
¨
¸
¨
¸
1
1
1 1¸
1 2 0 2¸
a.- ¨
; b.- ¨
;
¨0
¨ 0 3 2 0 ¸
1 0 1 ¸
¨
¸
¨
¸
5
3 k¹
©3
©1 k 3 k ¹
k 1 2 ·
1
1 k ·
§1
§ 1
¨
¸
¨
¸
c.- ¨ 2 1 k 5 ¸ ; d.- ¨ 2
2k
2 ¸;
¨ 1 10 6 1 ¸
¨3 k
3
3 ¸¹
©
¹
©
§1 k 2
k
0 ·
¨
¸
2
k ¸ ;
e.- ¨ k 1 k
¨
2¸
¨ 0
¸
k
1
k
©
¹
3.2.13 Demuestre que cualquier matriz A de rango r
puede representarse en forma de un producto A = PR Q,
donde P y Q son matrices no singulares y R es una matriz
rectangular de las mismas dimensiones que A, en cuya
diagonal principal los primeros r elementos son iguales a
la unidad, mientras que todos los demás elementos son
nulos.
§ k 1 2·
¨
¸
f.- ¨ 2 k 2 ¸ .
¨1 k 1¸
©
¹
3.3 I N V E RSA D E UN A M A T RI Z
En esta sección se introduce la terminología básica y se define la inversa de una matriz cuadrada, enunciamos sus
propiedades mas importantes.
El determinante de una matriz se relaciona de manera importante con el concepto de
no singularidad de una matriz.
D E F I N I C I O N 3.3.1
Sea A una matriz cuadrada de n x n, si existe una matriz B de n x n tal
que A B = I se considera que B es una inversa por la derecha de A. Si
existe una matriz C de n x n tal que C A = I se dice que C es una
inversa por la izquierda de A.
D E F I N I C I O N 3.3.2
Sea A una matriz de n x n. Si B es una matriz de n x n tal que A B = I y
B A = I, donde I es la matriz identidad de n x n, entonces se dice que la
matriz B es una inversa de la matriz A y se representa por B = A -1.
Además podemos decir que toda matriz cuadrada A de n x n se
denomina singular, si su determinante es igual a cero; en caso contrario,
se denomina no singular.
T E O R E M A 3.3.1
Si una matriz A de n x n tiene inversa, entonces ella es única.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que B y C son matrices inversas de la matriz cuadrada A. Entonces
A B = B A = I y A C = C A = I.
Entonces
B = B I = B(A C) = (B A)C = I C = C.
Con esto demostramos que la inversa de una matriz es única.
EJ E M P L O 3.3.1
Sean A y B matrices de n x n tales que A B = I. Demuestre que
Det(A) z 0 y Det(B) z 0.
SO L U C I O N
Suponga que A y B son matrices de n x n tales que A B = I. Entonces, se sabe que
Det(A B) = 1. Si Det(A) = 0, entonces se concluye que Det(A B) = Det(A)Det(B) = 0,
lo cual es una contradicción. Por consiguiente es posible concluir que Det(A) z 0. Si
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
123
Det(B) = 0, se obtiene una contradicción semejante. ’
EJ E M P L O 3.3.2
Para toda matriz A de n x n, no singular se cumple que
1
.
Det( A -1 ) =
Det( A )
SO L U C I O N
Como A -1 A = I, se concluye que Det(A -1 A) = Det(I). Por consiguiente, se debe tener
que Det(A -1)Det(A) = 1. Como Det(A) = 0, la demostración puede completarse
dividiendo entre Det(A), es decir
1
. ’
Det( A -1 ) =
Det( A )
T E O R E M A 3.3.2
Si A y B son matrices no singulares, entonces:
a.- A B es no singular y (A B)-1 = B -1 A -1.
b.- A -1 es no singular y (A -1)-1 = A.
c.- Para k z 0, k A es no singular y (k A)-1 = k-1 A -1.
D E M OST R A C I O N
a.- Como A y B son matrices no singulares, existen A -1 y B -1. Ahora calculamos
(A B)(B -1 A -1) = A(BB -1)A -1 = A I A -1 = A A -1 = I
(B -1 A -1)(A B) = B -1(A -1 A)B = B -1 IB = B -1 B = I
-1 -1
Por lo tanto B A es la inversa de A B.
b.- De la definición de matriz inversa y la unicidad se sigue que
(A -1)-1 = A.
c.- Por las propiedades de las matrices, obtenemos
(k-1 A -1)(k A) = (k-1k)A -1 A = 1I = I
(k A)(k-1 A -1) = (kk-1)A A -1 = 1I = I
con lo que podemos decir que (k A)-1 = k-1 A -1.
EJ E M P L O 3.3.3
Dadas las matrices A y B de n x n. Demuestre que (A T B T)-1 = (A -1 B -1)T, donde A y B
son matrices no singulares.
SO L U C I O N
Si A y B son matrices no singulares, entonces:
(A T B T)(A -1 B -1)T = A T B T(B -1)T(A -1)T = A T B T(B T)-1(A T)-1 = A T(A T)-1 = I
(A -1 B -1)T(A T B T) = (B -1)T(A -1)T A T B T = (B T)-1(A T)-1 A T B T = (B T)-1 B T = I
y, por tanto (A -1 B -1)T es la inversa de la matriz A T B T. ’
T E O R E M A 3.3.3
Si A = A 1 A 2 ... A n y A 1, A 2, ..., A n son todas matrices no singulares,
entonces A es no singular y A -1 = (A 1 A 2 ... A n)-1 = A -1n ... A -12 A -11.
D E M OST R A C I O N
En el producto
(A -11 ... A -12 A -11)(A 1 A 2 ... A n) = A -1n ... A -12 A -11 A 1 A 2 ... A n
-1
como A i A i = I, entonces
(A -1n ... A -12 A -11)(A 1 A 2 ... A n) = A -1n ... A -12 I A 2 ... A n
= A -1n ... A -12 A 2 ... A n
= A -1n ... I ... A n
= A -1n ... A n
« I.
Del mismo modo demostramos que
(A 1 A 2 ... A n)(A -1n ... A -12 A -11) = A 1 A 2 ... A n A -1n ... A -12 A -11
= A 1 A 2 ... I... A -12 A -11
= A 1 ... A -11
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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124
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
= ... = I.
Con lo cual queda demostrado que los dos productos son inversos uno del otro.
T E O R E M A 3.3.4
Para toda matriz A de n x n, no singular se cumple que
1
.
Det( A -1 ) =
Det( A )
D E M OST R A C I O N
Como A -1 A = I, se concluye que Det(A -1 A) = Det(I). Por consiguiente, se debe tener
que
Det(A -1)Det(A) = 1.
Como Det(A) = 0, la demostración puede completarse dividiendo entre Det(A), es
decir
1
.
Det( A -1 ) =
Det( A )
EJ E M P L O 3.3.4
Si A y B son matrices de n x n con B no singular, demuestre que
Det(A) = Det(B -1 A B).
SO L U C I O N
Haciendo uso de la propiedad del producto de determinantes, tenemos
Det(B -1 A B) = Det(B -1)Det(A)Det(B)
= Det(A)Det(B -1)Det(B)
1
= Det(A)
Det(B) = Det(A). ’
Det( B )
EJ E M P L O 3.3.5
Demuestre que el rango del producto a la derecha y a la izquierda de una matriz A
por una matriz cuadrada no singular B, es igual al rango de la matriz A.
SO L U C I O N
Sea A B = C. Sabemos que el rango de la matriz C no es mayor que el rango de la
matriz A. Por otra parte, multiplicando a la derecha la igualdad A B = C por B -1,
llegamos a la igualdad A = C B -1 y, por consiguiente, el rango de A no es mayor que
el rango de C. Comparando estos dos resultados obtenemos la coincidencia de los
rangos de las matrices A y C. ’
EJ E M P L O 3.3.6
Demuestre que si A es una matriz de rango 1, por lo menos una de las matrices I + A
y I ± A es no singular.
SO L U C I O N
Sea la matriz A con Rang(A) = 1:
§ a11 a12 ... a1n ·
¨
¸
0
0 ... 0 ¸
A ¨
.
¨ ... ...
... ¸
¨
¸
0 ... 0 ¹
© 0
Entonces
§1 a11 a12 ... a1n ·
¨
¸
0
1 ... 0 ¸
I+A ¨
.
¨ ...
...
... ¸
¨
¸
0 ... 1 ¹
© 0
Como la matriz I + A es triangular, entonces Det(I + A) = 1 + a11 z 0, por lo tanto la
matriz I + A es no singular. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
125
T E O R E M A 3.3.5
Sean A y B matrices no singulares y conmutativas, entonces:
A -m B -n = B -n A -m m, n  .
D E M OST R A C I O N
Si A B = B A, entonces A B ± B A = O. Ya que B es no singular, B -1 existe, y, por
tanto
B -1 A B = A -1 B A = A
Además
B -1 A B B -1 = A B -1.
De la misma manera, puede encontrase que
A -1 B = B A -1.
De donde deducimos fácilmente que A -m B -n = B -n A -m.
T E O R E M A 3.3.6
Sea T una matriz triangular no singular; su inversa es triangular con la
misma estructura.
D E M OST R A C I O N
Sea T triangular inferior; su inversa T -1 cumplirá T T -1 = T -1 T = I ya que I al ser
diagonal es triangular inferior, T -1 debe ser, asimismo, triangular inferior. Los
elementos de T -1 pueden calcularse con facilidad planteando el sistema asociado
al producto T T -1. En efecto se tendrá
¦ tik t 1kj dij
k
la suma sólo tendrá sentido para los términos en los cuales i t k t j; luego
t
¦ tik t 1kj
k j
d ij .
D E F IN I C I O N 3.3.3
Una matriz A de orden n, se llama ortogonal cuando el producto de la
matriz A por su matriz transpuesta A T es la matriz identidad I, es decir
A A T = I.
E J E M P L O 3.3.7
Demostrar que el determinante de una matriz ortogonal es igual a ± 1.
SO L U C I O N
Si A es una matriz ortogonal, entonces por definición A T = A -1, por tanto
T
T
T
2
­
° A A = I Ÿ Det( A A ) = Det( I ) Ÿ Det( A )Det( A ) = 1 Ÿ [Det( A )] = 1
.
® T
T
T
2
°̄ A A = I Ÿ Det( A A ) = Det( I ) Ÿ Det( A )Det( A ) = 1 Ÿ [Det( A )] = 1
De esto podemos concluir que Det(A) = ± 1. ’
D E F IN I C I O N 3.3.4
Una matriz A de orden n, se llama unitaria cuando el producto de la matriz
A por su matriz transpuesta ± conjugada A + es la matriz identidad I, es decir
A A + = I.
EJ E M P L O 3.3.8
Demuestre que el determinante de una matriz unitaria tiene módulo igual a ± 1.
SO L U C I O N
Si A es una matriz unitaria, entonces por definición A + = A -1, por tanto
­ A A + = I Ÿ Det( A A + ) = Det( I ) Ÿ Det( A )Det( A + ) = 1 Ÿ Det( A ) 2 = 1
°
.
® +
+
+
2
°̄ A A = I Ÿ Det( A A ) = Det( I ) Ÿ Det( A )Det( A ) = 1 Ÿ Det( A ) = 1
De esto podemos concluir que el módulo del determinante de la matriz A es igual a ±
1. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
126
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
EJ E M P L O 3.3.9
Demuestre que la inversa de una matriz es única.
SO L U C I O N
Supongamos que B y C son matrices inversas de la matriz cuadrada A. Entonces
A B = B A = I y A C = C A = I.
Entonces
B = B I = B(A C) = (B A)C = I C = C.
Con esto se demuestra que la inversa de una matriz es única. ’
EJ E M P L O 3.3.10
Si A es una matriz no singular y k z 0 es un escalar, entonces
1 1
( k A )1
A .
k
SO L U C I O N
Aplicamos las propiedades de la multiplicación escalar. Debido a que
§1
· § 1·
§1
·
§1 ·
( k A ) ¨ A 1 ¸ ¨ k ˜ ¸ A A -1 = 1˜ I = I y ¨ A 1 ¸ ( k A ) ¨ ˜ k ¸ A -1 A = 1 ˜ I = I
©k
¹ © k¹
©k
¹
©k ¹
1 1
se concluye que A es la inversa de k A. ’
k
EJ E M P L O 3.3.11
Si A y B son matrices no singulares de n x n, entonces A B es no singular y
(A B)-1 = B -1 A -1.
SO L U C I O N
Para demostrar que B -1 A -1 es la inversa de A B, basta demostrar que se ajusta a la
definición de matriz inversa. Es decir:
-1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
­
°( A B )( B A ) = A ( B B ) A = A I A = ( A I ) A = A A = I
® -1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
°̄ ( B A )( A B ) = B ( A A ) B = B I B = B ( I B ) = B B = I
de esta manera concluimos que A B es no singular y que su inversa es B -1 A -1. ’
EJ E M P L O 3.3.12
Sean A y B matrices de n x n con B no singular. Dé un ejemplo para el que B -1 A B z
A. Luego, demuestre que Det(B -1 A B) = Det(A).
SO L U C I O N
Haciendo
2·
§1 2 ·
§2 1 ·
§ -27 -49 ·
-1 § -5
-1
B =¨
¸, B =¨
¸, A =¨
¸ , B AB = ¨
¸.
© 3 5¹
© 3 -1¹
© -1 0 ¹
© 16 29 ¹
Det(B -1 A B) = Det(B -1)Det(A)Det(B) = Det(B -1)Det(B)Det(A)
1
=
Det(B)Det(A) = Det(A). ’
Det( B )
EJ E M P L O 3.3.13
Suponga que en una hipermatriz cuadrada
§A B·
M =¨
¸
© C D¹
una submatriz A es cuadrada y no singular. Demuestre que el determinante de la
matriz M cumple la relación Det(M) = Det(A)Det(D ± C A -1 B).
SO L U C I O N
Representamos la matriz M bajo la forma de un producto
§ E O ·§ J K · § A B ·
M = PQ = ¨
¸¨
¸=¨
¸
© F H ¹© O L ¹ © C D ¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
127
­ Si J = I Ÿ E I = A Ÿ E = A
­ EJ + O = A
°
°E K + O L = B
-1
° AK = B Ÿ K = A B
°
Ÿ ®
®
° FJ + H O = C
° FI = C Ÿ F = C
°̄ F K + H L = D
°Si H = I Ÿ C A -1 B + I L = D Ÿ L = D - C A -1 B
¯
Por tanto
A -1 B ·
§ A O ·§ I
M =¨
¨
¸
¸
© C I ¹ ¨© O D - C A -1 B ¸¹
donde k es el orden de la matriz A, k + r es el orden de la matriz M. Entonces
Det(M) = Det(A I ± O C)Det(I(D ± C A -1 B) ± A -1 B O)
= Det(A ± O)Det(D ± C A -1 B ± O)
= Det(A)Det(D ± C A -1 B). ’
EJ E M P L O 3.3.14
Si Det(A) y Det(B) son números racionales, qué puede decirse respecto a Det(A B) y
a Det(C A C -1) si C es no singular.
SO L U C I O N
r
p
Sabemos que Det( A ) = y Det( B ) = , entonces
s
q
p r ps + qr
Det( A B ) = Det( A )Det( B ) = + =
q s
qs
es también un número racional. De forma análoga, tenemos
1
Det( C A C -1 ) = Det( C )Det( A )Det( C -1 ) = Det( C )Det( A )
= Det( A ) .
Det( C )
Por lo tanto, por las hipótesis también es un número racional. ’
EJ E M P L O 3.3.15
Si A y B son matrices no singulares, muestre que Det(A B A -1 B -1) = 1.
SO L U C I O N
Dado que A y B son matrices no singulares, se cumple lo siguiente:
Det( A B A -1 B -1 ) = Det( A )Det( B )Det( A -1 )Det( B -1 )
1
1
= Det( A )Det( B )
=1. ’
Det( A ) Det( B )
EJ E M P L O 3.3.16
Si Det(A) = 1, demuestre que pueden encontrarse matrices no singulares B y C tales
que A = B C B -1 C -1.
SO L U C I O N
Asumiendo que B y C son matrices no singulares, entonces se cumple lo siguiente:
Det( A ) = Det( B C B -1 C -1 ) = Det( B )Det( C )Det( B -1 )Det( C -1 )
1
1
= Det( B )Det( C )
= 1.
Det( B ) Det( C )
De esta manera demostramos que si se pueden encontrar matrices no singulares B y
C. ’
PR O B L E M AS
3.3.1 Encuentre dos matrices no singulares A y B de
3 x 3, para las cuales las matrices A B y B A no son
semejantes.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
3.3.2 Demuestre que si una matriz A es no singular, para
toda matriz B se cumple que
Rang(A B) = Rang(B A) = Rang(B).
JOE GARCIA ARCOS
128
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
3.3.3 Encuentre dos matrices no singulares A y B de 3 x
3, para las cuales las matrices A B y B A sean semejantes.
3.3.4 Demuestre que al multiplicar la matriz A a la
izquierda o a la derecha por una matriz no singular, su
rango no varía.
3.3.5 Sea B una matriz de rango 1, es decir B 2 = k B para
un cierto número k. Suponiendo que k z -1 demuestre que
1
( I + B )-1 = I B.
1+ k
3.3.6 Pruebe que una matriz de n x n es no singular sí y
sólo si el único vector columna n x 1 que satisface la
ecuación matricial A X = O es X = O.
3.3.7 Demuestre que si A es una matriz invertible,
entonces A A T y A T A también son invertibles.
3.3.8 Sea A una matriz no singular tal que todos los
elementos de A y A -1 son enteros. Demuestre que
Det(A) = r 1.
3.3.9 Sean A y B matrices de 2 x 2 con B no singular. Dé
un ejemplo de matrices 2 x 2 para el que B -1 A B z A.
Luego, demuestre que Det(P-1 AP) = Det(A).
3.3.10 De ser posible, encuentre los valores de a , b y c
para que la matriz dada sea invertible:
3
1·
1
4·
§a b
§ 2a
¨
¸
¨
¸
a.- ¨ 1
a b c ¸ ; b.- ¨ 2 b c a ¸ ;
¨ 3
¨ 1
2
1 ¸¹
3
1¸¹
©
©
4 a c·
§ 1
¨
¸
c.- ¨ a c b
0 ¸;
¨ 2
3 1 ¸¹
©
1
1·
§2
¨
¸
d.- ¨ 3 a b c a ¸ .
¨2
0
c ¸¹
©
3.3.15 El rango de una matriz no necesariamente
cuadrada, no cambia si se le multiplica por una matriz no
singular.
3.3.16 Sea A = B C una matriz de n x n de rango 1.
Demuestre que existe un número k tal que A 2 = k A. Hallar
la expresión del número k por medio de los elementos de
matrices B y C.
3.3.17 Demuestre que si A B C = I, entonces B C A = I y
C A B = I.
3.3.16 Pruebe que si A y B son matrices de n x n y A B
es no8singular, entonces A y B son no singulares.
3.3.19 Sean A y B matrices de n x n tales que A B es
singular. Demuestre que A o B es singular.
3.3.20 Pruebe que si A es una matriz de n x n y una fila
de A es múltiplo de otra fila de A, entonces A es singular.
3.3.21 Demuestre que si A es una matriz simétrica
invertible, entonces A -1 es simétrica.
3.3.22 Por medio de inducción matemática pruebe que,
si una matriz cuadrada A es no singular, entonces
(A n)-1 = (A -1)n para todo entero positivo n.
3.3.23 Suponga que todas las matrices que aparecen en
las ecuaciones siguientes son de n x n. Resuelva para X y
Y, estableciendo cuáles matrices se supone que son no
singulares:
­X + Y = A
­ X+Y=A
a.- ®
; b.- ®
;
¯X-Y=B
¯X + BY = C
­X + AY = B
c.- ®
;
¯X + CY = D
­AX + BY = C
d.- ®
.
¯DX + E Y = F
3.3.11 Suponiendo que las matrices A y B son no
singulares, demuestre las siguientes igualdades:
a.- (A -1 + B -1)-1 = A(A + B)-1 B;
b.- (I + A B)-1 A = A(I + B A)-1;
c.- (A + B B T)-1 B = A -1 B(I + B T A -1 B)-1.
3.3.24 Demuestre que B es una inversa izquierda para la
matriz A si y sólo si B T es inversa derecha para A T.
3.3.12 De ser posible, encuentre la inversa de la matriz
dada:
SenT
CosT
0·
§
¨
¸
SenT
0¸ .
¨ CosT
¨ SenT CosT SenT CosT 1 ¸
©
¹
3.3.26 Si A, B y C son no singulares, ¿cuál es la inversa
de A B -1 C? ¿es A 2 no singular? ¿es A + B no singular?
Mostrar que A -1(A + B)B -1 = A -1 + B -1.
3.3.13 Encuentre dos matrices no singulares cuya suma
sea singular.
3.3.14 Demuestre que si A es nilpotente, entonces A es
singular.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
3.3.25 Demuestre que si A 2 = A, entonces A = I o bien A
es singular.
3.3.27 Suponga que A es no singular. Explique por qué
A T A también es no singular. Luego demuestre que A -1 =
(A T A)-1 A T.
3.3.28 Suponga que P es no singular y A = PBP-1.
Despeje B en términos de A.
3.3.29 Si A = B y A -1 existe, ¿es necesario que A -1 = B -1?
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
129
3.3.30 Hallar todos los valores de k que, al multiplicar la
matriz no singular A por los mismos, no cambian su
determinante.
3.3.38 Suponga que A, B y C son matrices no singulares
de orden n. Demuestre que A B C es no singular y que
(A B C)-1 = C -1 B -1 A -1.
3.3.31
En cada una de las matrices siguientes,
determínense los valores de t para los que la matriz es
singular:
§1 t ·
§ Sent Cost ·
a.- ¨
¸ ; b.- ¨
¸;
© 0 1¹
© Cost Sent ¹
§3 t t2 ·
1 ·
§2 t
c.- ¨¨
¸¸ ; d.- ¨
¸;
2t¹
© 2 1 t ¹
© 4
3.3.39 Suponga que A es una matriz cuadrada con
A = -A T y que I - A es no singular, define B como
B = (I + A)(I - A)-1. Demuestre que B T B = BB T = I.
§ te t e t ·
e.- ¨
¸ ; f.¨ 2e 2t 2t ¸
©
¹
2
§ Sen t
1 ·
g.- ¨
¸.
¨ 1
4 Cos 2 t ¸¹
©
§ et
¨
¨ 2e t
©
3e 2t ·
¸;
4e 2t ¸¹
3.3.40 Demostrar que una matriz A no singular y una
matriz B arbitraria verifican la identidad
(A + B)A -1(A ± B) = (A ± B)A -1(A + B).
3.3.41 Las matrices A y B están ligados por la relación
A B + A + I = O. Demostrar que A es una matriz no
singular y además A -1 = - I ± B.
3.3.42 Sean A, B y A + B tres matrices no singulares.
Demuestre que A -1 + B -1 es no singular y que
(A -1 + B -1)-1 = A(A + B)-1 B.
3.3.32 Encuentre los valores del parámetro k, para que la
matriz
§§ k 2· § k 2· § k 2··
¨¨
¸ ¨
¸ ¨
¸¸
¨© k 4¹ © k 3¹ © k 2¹¸
¨ § k 1 · § k 1· § k 1 · ¸
¨¨
¸ ¨
¸ ¨
¸¸
¨ © k 4 ¹ © k 3¹ © k 2 ¹ ¸
¨
¸
¨§ k · § k · § k ·¸
¨ ¨ k 4 ¸ ¨ k 3¸ ¨ k 2 ¸ ¸
¹ ©
¹ ©
¹¹
©©
Sea no singular.
3.3.33 Si
§a b·
¨
¸ y A z r I,
©c d¹
determine las condiciones sobre los elementos de la
matriz, para que A = A -1.
A
3.3.43 Dada la matriz A, de ser posible encuentre una
matriz B de 2 x 2, tales que (A B)-1 = A -1 B -1:
§ 1 2·
§1 0 ·
a.- A ¨
¸ ; b.- A ¨
¸;
© 1 1 ¹
© 0 1¹
c.- A
e.- A
§ 1 1·
¨
¸;
© 1 1¹
§ 2i 1 ·
¨
¸.
© 1 2¹
d.- A
§ i 1·
¨
¸;
© 1 i¹
3.3.44 Sean A = B + i C una matriz compleja de n x n;
A -1 = F + i G, la inversa de la matriz A. Demuestre que las
matrices reales de orden 2n
§ B -C ·
§ F -G ·
¨
¸ y ¨
¸
©C B ¹
©G F ¹
son inversas recíprocamente.
§ 1 3 ·
¨
¸ . Hallar una matriz B triangular
© 2 4 ¹
superior tal que A B sea ortogonal.
3.3.45 Si C es una matriz no singular, entonces se
cumple lo siguiente:
a.- Si A C = B C, entonces A = B;
b.- Si C A = C B, entonces A = B.
§2 5·
¨
¸
3.3.35
Sea A ¨ 1 3 ¸ y sea C
¨2 4¸
©
¹
Compruebe que C A = I. ¿A es no singular?
3.3.46 Sea u un vector unitario en C n. Se define
H = I ± 2uu+. Demuestre que H es una matriz unitaria y
hermítica de n x n.
3.3.34 Sea A
§1 3 1 ·
¨
¸.
©1 0 1¹
3.3.36 Si A y B son matrices de 2 x 2 y B = C A C , en
donde C es de 2 x 2, demuestre que es posible encontrar
una matriz D de 2 x 2 tal que B = D A D -1.
3.3.47 De ser posible, encuentre D tal que la matriz
§ 3 D·
A ¨
¸.
© 2 3 ¹
sea su propia inversa.
3.3.37 Demuéstrese que si A es una matriz de n x n,
nilpotente de índice k, entonces I ± A es invertible y
( I - A )-1 = I + A + A 2 +... + A k -1 .
3.3.48 Las matrices A y B están ligadas por la relación
A B + A + I = O. Demuestre que A es una matriz no
singular y además A -1 = - I ± B.
-1
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
130
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
§B O·
3.3.49 Sea A = ¨
¸ , donde B y C son matrices
©O C¹
cuadradas. Demuestre que A es no singular sí y sólo si
tanto B como C son no singulares.
3.3.59 Sea A una matriz de n x n cuyos todos los
elementos son iguales a uno. Demuestre que
1
( I - A )-1 = I A.
n 1
3.3.50 Suponga que A n = O para alguna n > 1. Encuentre
un inverso de I ± A.
3.3.60 Hallar la inversa de una matriz A de k + r:
B·
§I
A =¨ k
¸.
© O Ir ¹
3.3.51 Demuestre que si A 2 = A, entonces
I ± 2A = (I ± 2A)-1.
3.3.52 Resuelva la ecuación A B = B C para A, suponiendo
que A, B y C son matrices cuadradas y que B es no
singular.
3.3.53 Demuestre que si una matriz A es no singular, las
matrices A + B y I + A -1 B todas son singulares o no
singulares.
3.3.54 Use álgebra de matrices para demostrar que si A es
una matriz no singular y C satisface A C = I, entonces
C = A -1.
3.3.55 Suponga que A B = A C, donde B y C son matrices
de n x p y A es no singular. Demuestre que B = C. ¿Es
esto cierto en general si A es singular?
3.3.56 Suponga que A, B y C son matrices no singulares
de n x n. Construyendo una matriz D tal que (A B C)D = I y
D(A B C) = I, demuestre que A B C también es no singular.
3.3.57 Encuentre D tal que la matriz A sea no singular:
§3 1 ·
A ¨
¸.
© D 1¹
3.3.58 Encuentre la matriz A dado que
§ 5 2·
(3 A )1 ¨
¸.
© 1 3 ¹
3.3.61 Demuestre que si A es triangular superior y no
singular y si B A es triangular superior, entonces B es
triangular superior.
§B O·
3.3.62 Demuéstrese que, si A = ¨
¸ es matriz no
©C D¹
singular y si B y D son matrices cuadradas, entonces B
y D son no singulares, y
§ B -1
O ·
A -1 = ¨
¸.
¨ - D -1 C B -1 D -1 ¸
©
¹
3.3.63 Resuelva la ecuación C -1(A + D)B -1 = I para D,
suponiendo que A, B y C son todas matrices no singulares
de n x n.
3.3.66 Suponga que A y B son matrices de n x n, B es no
singu4ar y A B es no singular. Demuestre que A es no
singular.
3.3.65 Suponga (B ± C)A = O, donde B y C son matrices
m x n y A es no singular. Demuestre que B = C.
3.3.66 Demuestre que si A, B y C son matrices de n x n
y A B C = I, entonces B es no singular y B -1 = C A.
3.3.67 Demuestre que (B A B -1)(B C B -1) = B(A C)B -1 para
todas las matrices A, C y B no singular.
3.4 M E T O D OS P A R A O B T E N E R L A I N V E RSA D E UN A M A T RI Z
En esta sección se analizan y desarrollan los métodos más importantes para encontrar la inversa de una
matriz, se enuncian las propiedades más importantes.
I. M E T O D O D E L A M A T RI Z A DJUN T A
A continuación obtendremos una fórmula para determinar la inversa de una
matriz en términos de su determinante y de los cofactores de sus elementos.
D E F IN I C I O N 3.4.1
Una matriz Cof(A), cuyos elementos son complementos algebraicos de los
elementos correspondientes de la matriz A de n-ésimo orden, donde el
complemento algebraico del elemento a ij está situado en la intersección de
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
131
la j-ésima fila y la i-ésima columna, se define como la matriz de cofactores
de la matriz A.
EJ E M P L O 3.4.1
Dada la matriz
§a 1 1 ·
¨
¸
A = ¨ 1 a 1¸
¨3 1 b ¸
©
¹
determine la matriz de cofactores.
SO L U C I O N
Por definición, la matriz de cofactores esta dada de la siguiente manera:
§ a 1
1 1
1 a ·
¨
¸
3 b
3 1 ¸
¨ 1 b
§ ab 1 b 3 1 3a ·
¨ 1 1
a 1
a 1¸ ¨
¸
¨
¸
Cof(A) = = ¨ 1 b ab 3 3 a ¸ . ’
3 b
3 1¸ ¨
¨ 1 b
¸
1 a a 1 a 2 1¹
¨
¸
a 1
a 1 ¸ ©
¨ 1 1
¨ a 1 1 1
1 a ¸¹
©
D E F IN I C I O N 3.4.2
La transpuesta de la matriz de cofactores Cof(A) de los elementos a ij de la
matriz A se denomina matriz adjunta y se denota por Adj(A).
T E O R E M A 3.4.1
Si A es una matriz con determinante diferente de cero y Adj(A) es la matriz
adjunta, entonces
Adj( A )
.
A 1
Det( A )
D E M OST R A C I O N
Sea Det(A) = 0. Demostraremos por inducción que la matriz A es singular. Si n = 1,
entonces Det(A) = 0 implica que A = O. Supongamos que este teorema sea válido
para todas las matrices cuadradas de n ± 1 x n ± 1, es decir, que para una matriz de
este orden un determinante cero implica singularidad, y supongamos que esto no se
verifique para la matriz A, es decir, que A sea no singular a pesar de nuestra
hipótesis de que Det(A) = 0. Obtendremos una contradicción. Si Det(A) = 0,
entonces A(Adj(A)) = O, y, por lo tanto resultaría A -1 AAdj(A) = O, es decir Adj(A)
= O. En otras palabras, todos los menores de la matriz A serían cero. Sea a
continuación B la matriz n ± 1 x n ± 1 que consista en las n ± 1 primeras filas de A.
Puesto que toda matriz cuadrada de n ± 1 x n ± 1 compuesta por n ± 1 columnas de B
tendrá determinante cero, podemos concluir, por la hipótesis de inducción, que cada
una de estas matrices cuadradas de n ± 1 x n ± 1 es singular, es decir, que tiene un
rango menor que n ± 1. Por lo tanto, no puede haber en B más que n ± 2 columnas
linealmente independientes y por tanto, no más de n ± 2 filas linealmente
independientes. De esta manera resulta que las filas de B y las filas de A son
linealmente dependientes, lo que contradice la suposición de la no singularidad de A.
Este teorema propone que el rango de una matriz cuadrada de n x n será n si y sólo si
su determinante es distinto de cero. Esto constituye, de hecho, un caso particular de
un hecho más general, acerca del que hay un teorema que relaciona el rango con los
determinantes.
EJ E M P L O 3.4.2
Demuestre que si Det(A) = 1 y todos los elementos de A son enteros, entonces todos
los elementos de A -1 también deben ser enteros.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
132
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
SO L U C I O N
Suponga que Det(A) = 1 y que todos los elementos de A son enteros. Lo anterior
implica que todos los elementos de Adj(A) deben ser enteros. Además, como
1
A -1 =
˜ Adj( A ) = Adj( A )
Det( A )
Podemos concluir que todos los elementos de A -1 deben ser enteros. ’
EJ E M P L O 3.4.3
Demuestre que si Det(A) = Det(B) z 0, entonces hay una matriz C tal que Det(C) = 1
y A = C B.
SO L U C I O N
Suponga que Det(A) = Det(B) z 0. Entonces B es no singular y al hacer C = A B -1, se
concluye que A = C B y
1
1
Det( C ) = Det( A B -1 ) = Det( A )Det( B -1 ) = Det( A ) ˜
= Det( A ) ˜
=1. ’
Det( B )
Det( A )
EJ E M P L O 3.4.4
Si A es una matriz antisimétrica, entonces la matriz Adj( A) es simétrica si n es
impar, y antisimétrica si n es par.
SO L U C I O N
Si A es una matriz antisimétrica. Entonces A T = -A, por tanto
(A T)-1 = (A -1)T = -A -1
1
De (A T)-1, tenemos que A -1 =
˜ Adj( A ) , entonces
Det( A )
1
1
1
( A T )-1 =
˜ (Adj( A ))T =
˜ Adj( A ) = (-1) n ˜
˜ Adj( A ) = - A -1
T
Det(A
)
Det(
A
)
Det( A )
1
pero - A -1 = (-1) ˜
˜ (Adj( A ))T , igualando las ecuaciones
Det( A )
1
1
( A T )-1 = (-1)n ˜
˜ Adj( A ) y - A -1 = (-1) ˜
˜ (Adj( A ))T
Det( A )
Det( A )
obtenemos
1
1
(-1)n ˜
˜ Adj( A ) = (-1) ˜
˜ (Adj( A ))T .
Det( A )
Det( A )
Si n es par, entonces n = 2p, y
(-1)2p-1Adj(A) = (Adj(A))T Ÿ - Adj(A) = (Adj(A))T,
por lo tanto, es antisimétrica. Si n es impar, es decir n = 2p + 1, entonces
(-1)2p+1-1Adj(A) = (Adj(A))T Ÿ (-1)2pAdj(A) = (Adj(A))T Ÿ Adj(A) = (Adj(A))T
por lo tanto, es simétrica. ’
EJ E M P L O 3.4.5
Dada una matriz A no singular de n x n. Suponga que n t 3. Demostrar que
Det(Adj(A)) = (Det(A))n-1.
SO L U C I O N
Suponga que A es una matriz de n x n. Como Adj(A) = A -1Det(A),
se concluye que
Det(Adj(A)) = Det(A -1Det(A)) = (Det(A))nDet(A -1)
1
= (Det(A))n
= (Det(A))n-1. ’
Det( A )
EJ E M P L O 3.4.6
Demuestre que si A es una matriz no singular de n x n, entonces se cumple que
Adj(A -1) = (Adj(A))-1.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
133
SO L U C I O N
Suponga que A es una matriz no singular de n x n. Como Adj(A -1) = ADet(A -1) y
1
(Adj( A ))-1 = ( A -1 ˜ Det( A ))-1 =
˜ A = A ˜ Det( A -1 )
Det( A )
se concluye que Adj(A -1) = (Adj(A))-1. ’
EJ E M P L O 3.4.7
Demuestre que si Det(A) = 1, entonces Adj(Adj(A)) = A.
SO L U C I O N
Como Det(A) z 0, entonces existe la inversa de A, es decir:
Adj( A)
Ÿ Adj(A) = (Det(A))A -1 = A -1.
A -1 =
Det( A)
Por lo tanto
A
Adj(Adj( A )) = Adj( A -1 ) = Det( A -1 )( A -1 )-1 =
=A. ’
Det( A )
EJ E M P L O 3.4.8
Hallar la inversa de la matriz
§1
§ 1 2 -1 ·
¨
¨
¸
a.- A = ¨ 2 5 4 ¸ ; b.- A = ¨ 1
¨5
¨ 3 7 4¸
©
©
¹
SO L U C I O N
a.- Como Det(A) = 1, entonces:
§ 5
¨
¨ 7
¨ 2
(Cof( A ))T = ¨ ¨ 3
¨
¨ 2
¨ 3
©
2 -3 ·
¸
-2 1¸ .
-2 -3 ¸¹
4
4
-
4
4
5
7
2
7
-1
4
1 -1
3 4
-
1 2
3 7
-1 ·
¸
4 ¸
1 -1 ¸
¸
2 4 ¸
¸
1 2 ¸
2 5 ¸¹
2
5
Por lo tanto,
§ -8 -15 13 ·
¨
¸
A =¨ 4
7 -6 ¸ .
¨ -1 -1 1¸
©
¹
b.- Como Det(A) = 0, entonces la matriz A es singular, es decir A no admite inversa.
-1
I I. OPE R A C I O N ES E L E M E N T A L ES
Usando el método de operaciones elementales, los cálculos se realizan
convenientemente en la matriz aumentada más grande, formada combinando las
matrices. Para la matriz dada A de n-ésimo orden construimos una matriz rectangular
(A~I) de dimensión (n x 2n), añadiendo a la derecha de A una matriz unidad. Luego,
haciendo uso de las transformaciones elementales sobre las filas, reducimos la matriz
(A~I) a la forma (I~B), lo que es siempre posible, si A es regular. En este caso
B = A -1.
§ a11 a12 ... a1n 1 0 ... 0 ·
¨
¸
¨ a21 a22 ... a2 n 0 1 ... 0 ¸ .
¨ ...
...
... ... ...
... ¸
¨¨
¸¸
© an1 an 2 ... ann 0 0 ... 1 ¹
Cuando hacemos las operaciones elementales de filas para reducir a A en el lado
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
134
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
derecho de (I |A) también las hacemos en el lado izquierdo. Por lo tanto, hacemos
en I exactamente las operaciones elementales de filas utilizadas para reducir a A.
Esto produce una matriz C que es un producto de matrices elementales cada una
efectuando una de las operaciones utilizadas para reducir a A. Por lo tanto, sea o
no A R = I tenemos C A = A R. Cuando A R = I, C debe ser A -1.
T E O R E M A 3.7.3
Sea A una matriz de n x n. Entonces A es no singular si y sólo si
Rang(A) = n.
D E M OST R A C I O N
Consideremos la ecuación A B = I, con B una matriz de incógnitas de n x n que
queremos resolver. Si A B = I, la columna c j de A B es igual a la columna c j de I, en la
que la última matriz columna tiene un 1 en la fila fj y cero en los demás. Por tanto, la
columna c j de B se encuentra con el sistema de ecuaciones A X = C, donde la matriz
C tiene un 1 en la fila fj. Ahora supongamos que Rang(A) = n. Entonces el sistema
A X = C tiene una única solución. Por lo tanto, podemos encontrar una única matriz
B tal que A B = I. Es posible demostrar que también B A = I; por lo tanto B es la
inversa de A. Recíprocamente, si A es no singular, el sistema A X = C tiene una
única solución para j = 1, 2, ..., n, ya que estas soluciones forman las columnas de
A -1. De esta forma podemos concluir que Rang(A) = n.
% ENCUENTRA LA INVERSA DE UNA MATRIZ clc;;clear;; fprintf('\n INVERSA DE UNA MATRIZ \n') fil=input(' INGRESE EL NUMERO DE FILAS: ');; %Ingreso de elementos fprintf(' INGRESE LA MATRIZ \n') for f=1:fil for c=1:fil fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('\n LA MATRIZ A ES:\n') A end fprintf(' LA MATRIZ IDENTIDAD ES:\n') I=eye(f,c) end fprintf(' LA MATRIZ AUMENTADA ES:\n') B=[A,I] end fprintf(' LA MATRIZ REDUCIDA ES:\n') R=rref(B) end if (det(A)==0) fprintf('LA MATRIZ NO ADMITE INVERSA \n') else fprintf(' LA MATRIZ INVERSA ES:\n') C=A^(-­1) end ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
EJ E M P L O 3.4.9
Sea A una matriz cuadrada no singular:
a.- Si se intercambian dos filas de A, ¿en qué es comparable la inversa de la matriz
resultante con A -1;
b.- Responda a la pregunta del inciso a) si una fila de A se multiplica por un número
k distinto de cero;
c.- Responder a la pregunta del inciso a) si la i-ésima fila de A se multiplica por un
número k y se suma a la j-ésima fila.
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
135
SO L U C I O N
a.- Si B se obtiene de A al intercambiar las filas i y j, entonces B -1 se obtiene de A -1
al intercambiar las columnas i y j.
b.- Si B se obtiene de A al multiplicar la fila i por a z 0, entonces B -1 se obtiene de
A -1 al multiplicar la columna i por 1/a.
c.- Si B se obtiene de A al sumar k veces la fila i a la fila j, entonces B -1 se
obtiene de A -1 al restar k veces la columna j de la columna i. ’
EJ E M P L O 3.4.10
Hallar la inversa de la siguiente matriz:
§ 2 3 4·
¨
¸
A = ¨8 2 1¸ .
¨ 0 2 4¸
©
¹
SO L U C I O N
Comenzaremos el proceso de operaciones elementales, formando la matriz
aumentada:
§2 3 4
1 0 0·
¨
¸
0 1 0¸
¨8 2 1
¨0 2 4
0 0 1 ¸¹
©
Luego designamos a la primera fila como fila base y a la segunda fila le restamos
cuatro veces la fila base:
§2
3
4
1 0 0·
¨
¸
0
10
15
4 1 0¸
¨
¨0
2
4
0 0 1 ¸¹
©
Elegimos la segunda fila como fila base y a la primera fila multiplicada por 10, le
sumamos 3 veces la fila base; a la tercera fila multiplicada por 5, le sumamos la fila
base:
§ 20
0
5
2 3 0·
¨
¸
4 1 0 ¸
¨ 0 10 15
¨0
0
5
4 1 5 ¸¹
©
Por último elegimos la tercera fila como fila base. A la primera fila le sumamos la
fila base; a la segunda fila le sumamos 3 veces la fila base:
§ 20
0 0
6 4 5·
¨
¸
16 4 15 ¸
¨ 0 10 0
¨ 0
0 5
4 1 5 ¸¹
©
Dividimos la primera fila para 20, la segunda fila para ±10 y la tercera fila para 5:
§
3
1
1 ·
¨
¸
10
5
4 ¸
¨1 0 0
8
2
3 ¸
¨
¸
¨0 1 0
5
5
2
¨0 0 1
¸
4
1
¨
1¸¸
¨
5
5
©
¹
De esta manera obtenemos la matriz inversa:
1
1 ·
§ 3
¨ 10
5
4 ¸¸
¨
8
2
3
A 1 ¨¨
¸¸ . ’
5
5
2
¨
¸
1
¨ 4
¸
1
¨
¸
5
© 5
¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
136
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
EJ E M P L O 3.4.11
Demuestre que toda matriz elemental es no singular, y la inversa también es una
matriz elemental.
SO L U C I O N
Si E es una matriz elemental, entonces E se obtiene al efectuar algunas operaciones
en las filas de I. Sea E 0 la matriz que se obtiene cuando la inversa de esta operación
se efectúa en I. Usando el hecho de que las operaciones inversas en las filas cancelan
mutuamente su efecto, se concluye que E 0 E = E E 0 = I. Así, la matriz elemental E 0 es
la inversa de E. ’
PR O B L E M AS
3.4.1 Si
§a b·
¨
¸
©c d¹
demuestre que Adj(Adj(A)) = A.
3.4.11 Determine la inversa de la siguiente matriz:
§ 1 a 0 ·§ 1 0 0 ·§ 1 0 0 ·
¨
¸¨
¸¨
¸
¨ 0 1 0 ¸¨ b 1 0 ¸¨ 0 1 0 ¸ .
¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 1 ¸¨ 0 0 c ¸
©
¹©
¹©
¹
3.4.2 Demuestre que si A es una matriz de n x n y
Det(A) = 0, entonces Det(Adj(A)) = 0.
3.4.12 Demuestre que si A es una matriz de n x n y
Det(A) = 0, entonces Det(Adj(A)) = 0.
3.4.3 Si
3.4.13 Demuestre que si A es una matriz cuadrada de n x
n, entonces A(Adj(A)) = (Adj(A))A = I Det(A).
A
§ 1 2 ·
§ 4 2·
A ¨
¸ y B ¨
¸
3
1
©
¹
© 3 2 ¹
son matrices no singulares, pruebe que
Adj(A B) = (Adj(A))(Adj(B)).
3.4.4 Demuestre que si A es una matriz de n x n, entonces
Det(Adj(A)) = (Det(A))n-1.
3.4.5 Demuestre que si A es una matriz no singular de n x
n (n t 2) entonces Adj(Adj(A)) = A(Det(A))n-2.
3.4.6 Demuestre que una matriz A es no singular, si y
sólo si su Adj(A) también es no singular.
3.4.7 Demuestre que si A es singular, entonces Adj(A) es
también singular.
3.4.8 Si A es singular, ¿qué puede decir acerca del
producto AAdj(A).
3.4.9 Dada la matriz
§ 1 -i -1 ·
¨
¸
A =¨4
i
-3 ¸ .
¨ -i 1+ i -1 ¸
©
¹
a.- Determine el determinante de A. ¿Es A no singular?;
b.- Determine Adj(A) y el producto AAdj(A).
3.4.10 Si A es una matriz de n x n con n t 2, demostrar
cada una de las propiedades siguientes de su matriz
cofactor:
a.- Cof(A T) = (Cof(A))T;
b.- (Cof(A))T A = (Det(A))I.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
3.4.14 Demuestre que Adj(k A) = kn-1Adj(A). Para
cualquier número k y cualquier matriz A de n x n.
3.4.15 Demuestre que si A y B son matrices no
singulares, entonces Adj(A B) = Adj(B)Adj(A).
3.4.16 Encuéntrese la inversa de cada una de las
matrices siguientes:
§ 0 1 0 0 0·
§1 1 1 0 0·
¨
¸
¨
¸
¨ 1 0 0 0 0¸
¨0 1 1 1 0¸
a.- ¨ 2 3 0 1 0 ¸ ; b.- ¨ 0 0 1 1 1 ¸ ;
¨
¸
¨
¸
¨ 1 0 0 0 1¸
¨0 0 0 1 1¸
¨ 1 1 1 0 0 ¸
¨0 0 0 0 1¸
©
¹
©
¹
§1 2 3 4 5·
¨
¸
¨0 1 2 3 4¸
c.- ¨ 0 0 1 2 3 ¸ .
¨
¸
¨0 0 0 1 2¸
¨0 0 0 0 1¸
©
¹
3.4.17 Determine la inversa de las siguientes matrices:
3i
i ·
i 1 i ·
§ 0
§ 1
¨
¸
¨
i 1 i ¸¸ ;
a.- ¨ 2 i i 1 i ¸ ; b.- ¨ i
¨1 i 1 i 1 i ¸
¨ i
2 i 4 i ¸¹
©
¹
©
i 1 i ·
§ 1
¨
i 1 i ¸¸ .
c.- ¨ i
¨1 i 1 i 1 i ¸
©
¹
JOE GARCIA ARCOS
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
3.4.18 Demuestre que si A es una matriz singular,
entonces A(Adj(A)) = O.
137
T
T
3.4.19 Demuestre que Adj(A ) = (Adj(A)) .
3.5 C U EST I O N A R I O
Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,
indicar por que lo es:
3.5.1 Toda matriz de orden n es equivalente por filas a
una matriz reducida por filas.
3.5.15 Toda matriz de orden n es equivalente por filas
a una matriz escalonada por filas.
3.5.2 Si A y B son dos matrices de orden m x n. Entonces
B es equivalente por filas a A si, y sólo si B = P A, donde P
es un producto de matrices elementales de m x m.
3.5.16
El producto de dos matrices de orden n es
singular si, y sólo si, por lo menos una de las dos matrices
es singular.
3.5.3 Una matriz elemental es no singular.
3.5.17 La suma de dos matrices no singulares de orden n
puede ser singular y la suma de dos matrices singulares
puede ser no singular.
3.5.4 El rango de una matriz varía con las operaciones
elementales.
3.5.5 El rango de una matriz es el orden máximo de sus
menores iguales a cero.
3.5.6 Si A es una matriz de orden m x n, entonces el
rango de las columnas de A no se altera al someter a A a
una operación elemental de filas.
3.5.7 Si A es una matriz de orden m x n, entonces el
rango por filas y el rango por columnas de A son
diferentes.
3.5.8 Sea A una matriz de orden m x n y sea k un entero
positivo. Entonces Rang(A) t k si y sólo si A contiene un
subdeterminante distinto de cero de orden k.
3.5.9 El rango del producto de varias matrices no es
superior al rango de cada una de las matrices que se
multiplican.
3.5.10 Una matriz A de n x n que tiene una inversa a la
izquierda o a la derecha es no singular.
3.5.11 La inversa de una matriz triangular superior es una
matriz triangular inferior.
3.5.12 Si A es una matriz no singular de n x n y si una
sucesión de operaciones elementales de fila reduce A a la
matriz identidad I, entonces la misma sucesión de
operaciones, cuando se aplica a I, da A -1.
3.5.13 La inversa de una matriz casi diagonal regular D
es casi diagonal y es también de la misma estructura que
D.
3.5.14 La inversa de una matriz ortogonal es unitaria.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
3.5.18 Si A y B son matrices no singulares, entonces A B
es una matriz singular.
3.5.19 Si A y B son matrices de orden n y si A es no
singular y B es singular, entonces A B y B A son matrices
no singulares.
3.5.20 Las matrices unitarias y las matrices hermíticas
son normales.
3.5.21 La inversa de una matriz hermítica no singular es
hermítica.
3.5.22 B es una inversa izquierda para la matriz A si y
sólo si B T es inversa derecha para A T.
3.5.23 B es una inversa derecha para la matriz A si y
sólo si B T es una inversa izquierda para A T.
3.5.24 El producto de matrices singulares es no
singular.
3.5.25 Una matriz de números enteros tiene una inversa
de números enteros cuando, y sólo cuando, la matriz
dada tiene determinante diferente de cero.
3.5.26 Para que una matriz cuadrada A sea ortogonal es
necesario y suficiente que su determinante sea igual a
r 1 y cada uno de sus elementos sea igual a su cofactor,
tomado con su signo si Det(A) = 1 y con el signo
opuesto, si Det(A) = -1.
3.5.27 Una matriz cuadrada real A de orden n t 3 es
ortogonal si cada uno de sus elementos es igual a su
cofactor y por lo menos uno de sus elementos es
distinto de cero.
JOE GARCIA ARCOS
138
RANGO E INVERSA DE UNA MATRIZ
3.5.28 La inversa de una matriz A casi triangular superior
regular es una matriz casi triangular superior y además es
de la misma estructura que A.
3.5.31 La suma de los cuadrados de todos los menores
de segundo orden que yacen en dos filas o columnas de
una matriz ortogonal, es igual a cero.
3.5.29 Si A tiene una inversa a la izquierda, B, y una
inversa a la derecha, C, entonces B z C.
3.5.22 Para que una matriz diagonal de orden n sea
ortogonal, es necesario que al menos un elemento de la
diagonal sea igual a cero.
3.5.30 Al multiplicar la matriz A a la izquierda o a la
derecha por una matriz no singular, su rango no varía.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
O BJE T I V O
Resolver problemas sobre sistemas de ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas mediante la
interpretación, expresión y representación en términos de matrices y determinantes utilizando definiciones
propiedades y métodos adecuados para cada tipo, en situaciones reales propias de la ingeniería y ciencias
aplicadas.
C O N T E NI D O :
4.1
4.2
4.3
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
METODOS PARA SOLUCIONAR UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
CUESTIONARIO
4.1 SIST E M AS D E E C U A C I O N ES L I N E A L ES
En esta sección introduciremos terminología básica, estudiaremos los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones
lineales y sus formas de soluciones. Enunciaremos y demostraremos las propiedades más importantes.
En el curso de Algebra Lineal la solución del sistema A X = B se expresa,
corrientemente, según el método de Cramer como una razón de los determinantes.
Dichas fórmulas no sirven para la resolución numérica del sistema A X = B, puesto
que requieren el cálculo de n + 1 determinantes, lo que, a su vez, exige un gran
número de operaciones aritméticas, hasta n!. Si incluso escogemos el mejor
método, para el cálculo de un solo determinante se necesitará aproximadamente
tanto tiempo que se requiere para la resolución de un sistema de ecuaciones
lineales por los métodos numéricos modernos. Además, hemos de tener en cuenta,
que los cálculos según las fórmulas de Cramer conducen con frecuencia a los
grandes errores de redondeo.
La peculiaridad de la mayoría de los métodos numéricos para A X = B consiste en
que se abandona la idea de buscar la matriz inversa. El requisito principal que se
levanta ante el método de resolución es el mínimo de operaciones aritméticas
suficientes para la búsqueda de una solución aproximada con la precisión
prefijada.
Los métodos directos permiten obtener, después de un número finito de
operaciones, una solución exacta del sistema de ecuaciones lineales, siempre que la
información de entrada viene dada con toda la exactitud y los cálculos se realizan
sin redondeo. El método iterativo permite hallar la solución aproximada del
sistema construyendo una sucesión de aproximaciones, a partir de cierta
aproximación inicial. La propia solución aproximada es el resultado de los cálculos
obtenido después de haberse realizado un número finito de iteraciones.
140
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Calcular los conjuntos de valores simultáneos de varias incógnitas, que satisfagan
a varias ecuaciones; se dice entonces que estas ecuaciones forman un sistema, y
cada conjunto de valores que las satisface a todas se llama una solución. Un
sistema sin soluciones, se llama inconsistente; y si tiene infinitas soluciones, se
llama indeterminado.
D E F I N I C I O N 4.1.1
Una ecuación lineal sobre ƒ en n variables es una expresión de la
forma:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
donde los a i, b son números conocidos y los xi son variables. Los a i se
denominan coeficientes de los xi respectivos, y b es el término
independiente de la ecuación.
Las ecuaciones en dos variables se representan geométricamente por una recta;
las tres variables por un plano; para más de tres variables no se tienen
representación visual, pero los geómetras le llaman hiperplano.
Una solución de la ecuación lineal
a 1x1 + a 2x2 + ... + a nxn = b
es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que
a1k1 + a2k2 + ... + ankn = b.
Un sistema de m ecuaciones lineales en n variables, es una expresión de la
forma
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
° a x a x ... a x b
° 21 1
22 2
2n n
2
®
...
°
°
¯ am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
donde los a ij y los bi pertenecen a los números reales. El primer subíndice en los
coeficientes indica el número de la ecuación, y el segundo, el número de la
variable. Para un sistema de m ecuaciones lineales en n variables xi, i = 1, 2, ..., n,
el conjunto solución S es el subconjunto de ƒn definido por S = S1 ˆ S2 ˆ ... ˆ Sm
donde Si es el conjunto solución de la i-ésima ecuación, i = 1, 2, ..., m.
Si m = n = 2, se tienen dos ecuaciones en las dos incógnitas x e y
­ a11 x a12 y b1
®
¯ a21 x a22 y b2
si se interpretan x, y como coordenadas en el plano xy, entonces cada una de las
dos ecuaciones representa una recta y (x, y) es una solución si, y sólo si, el punto
P(x, y) se encuentra sobre ambas rectas. De aquí que se tienen tres casos posibles:
1.- ninguna solución si las rectas son paralelas;
2.- precisamente una solución si se interceptan;
3.- un número infinito de soluciones si coinciden.
Nos formaremos ciertas ideas de las complicaciones que pueden surgir
considerando el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas. Cada una de esas
ecuaciones representa un plano en el espacio, y el determinante de los coeficientes
se anula si:
1.- dos cualesquiera de los tres planos son coincidentes o paralelos.
2.- la recta de intersección de dos de los planos pertenece o es paralela al tercer
plano.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
141
Toda solución del sistema de ecuaciones corresponde a un punto situado en los tres
planos. En los casos 1) y 2) no existe punto alguno que esté en los tres planos, o
bien hay infinitos. En particular, hay infinitas soluciones si los tres planos se
cortan a lo largo de una misma recta. El conjunto de todas las soluciones a un
sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de conjunto solución del sistema.
Una solución del sistema de ecuaciones lineales
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
° a x a x ... a x b
° 21 1
22 2
2n n
2
®
...
°
°
¯ am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
es un conjunto ordenado de n valores k1, k2, ..., kn tales que
­ a11 k1 a12 k 2 ... a1n k n b1
° a k a k ... a k b
° 21 1
22 2
2n n
2
®
...
°
°
¯ am1 k1 am 2 k 2 ... amn k n bm
Para cualesquiera sistemas de ecuaciones lineales, se presentan tres tipos de
conjunto solución:
1.- Un conjunto solución que contiene solamente un elemento. Se dice que el
sistema tiene solución única y se denomina sistema compatible determinado;
2.- Un conjunto solución que contiene más de un elemento. En este caso se dice
que el sistema tiene más de una solución y se denomina sistema compatible
indeterminado;
3.- Un conjunto solución vacío. Se dice que el sistema no tiene solución y se
denomina sistema incompatible.
D E F I N I C I O N 4.1.2
Se llama sistema de m ecuaciones homogéneas y n incógnitas, al
sistema
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
° a x a x ... a x b
° 21 1
22 2
2n n
2
®
...
°
°
¯ am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
siempre que b1 = b2 = ... = bm = 0, es decir, cuando todos los términos
independientes son nulos.
Un sistema de este tipo se da a continuación
­ 2x 5 y z u 0
°
® x 7 y 9 z 2u 0
° x y z 5u 0
¯
D E F I N I C I O N 4.1.3
Se llama sistema de m ecuaciones no homogéneas y n incógnitas, al
sistema
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
° a x a x ... a x b
° 21 1
22 2
2n n
2
®
...
°
°
¯ am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
siempre que al menos un bi z 0.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
142
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Un sistema de este tipo se da a continuación
­2 x 3 y z 5u 2
°
® x y z 2u 1
° x y z 5u 0
¯
D E F IN I C I O N 4.1.4
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es sobredeterminado si hay
más ecuaciones que incógnitas. Se dice que un sistema de ecuaciones
lineales está escasamente determinado si hay menos ecuaciones que
incógnitas.
Los sistemas sobredeterminados suelen ser inconsistentes, pero no lo son siempre.
Aunque es posible que los sistemas escasamente determinados sean inconsistentes,
en general son consistentes con muchas soluciones. Es posible que un sistema
escasamente determinado tenga solución única.
D E F IN I C I O N 4.1.5
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es no susceptible, si errores
pequeños en los coeficientes o en el proceso de resolución sólo tienen un
efecto pequeño sobre la solución. Y es susceptible, si errores pequeños en
los coeficientes o en el proceso de resolución tienen un efecto grande
sobre la solución.
Para el sistema de ecuaciones no susceptible, la solución está indicada con relativa
intensidad por las ecuaciones. Para el sistema de ecuaciones susceptible, la
solución está indicada con relativa debilidad por las ecuaciones.
Dos ecuaciones lineales en dos incógnitas representan dos rectas. Un sistema tal es
susceptible si, y sólo si, el ángulo entre las rectas es pequeño, es decir, si, y sólo si,
las rectas son casi paralelas. En efecto, entonces un pequeño cambio en un
coeficiente puede provocar un gran desplazamiento del punto de intersección de
las rectas. Para sistemas mayores de ecuaciones lineales, la situación es semejante
en principio, pero no es posible una interpretación geométrica tan sencilla y no
podríamos seguir cada detalle de la situación.
PR O B L E M AS
4.1.1 Sea A una matriz de 3 x 2. Explique por qué la
ecuación A X = B no puede ser consistente tiene sólo la
solución nula si y sólo si (Q A)X = O sólo tiene la
solución nula.
4.1.2 Sean A X = O un sistema homogéneo de n
ecuaciones lineales con n incógnitas y Q una matriz
invertible de n x n. Demuestre que A X = O solución fija.
Demuestre que toda solución del sistema se puede
escribir en la forma X = X 1 + X 0, donde X 0 es una
solución de A X = O. También demuestre que toda
matriz de esta forma es una solución.
4.1.3 Sea A una matriz de 5 x 3 y sean Y un vector en
ƒ3 y Z un vector en ƒ5. Suponga que A Y = Z. ¿Qué
hecho permite concluir que el sistema A X = 4 Z es
consistente?
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
4.1.4 Sea A X = O un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales en n incógnitas que sólo tiene la solución nula. Demuestre que si k es cualquier entero positivo, entonces el sistema A k X = O también tiene sólo la
solución nula.
4.1.5 Sea A una matriz de 3 x 4, sean Y 1 y Y 2 vectores
en ƒ3 y sea W = Y 1 + Y 2. Suponga que Y 1 = A X 1 y que
Y 2 = A X 2 para algunos vectores X 1 y X 2 en ƒ4. ¿Qué
hecho permite concluir que el sistema A X = W es
consistente?
4.1.6 Sea A X = B cualquier sistema de ecuaciones
lineales consistentes, y sea X 1 una para toda B en ƒ3.
Generalice el argumento para el caso de una matriz A
arbitraria con más filas que columnas.
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
143
4.2 M E T O D OS P A R A SO L U C I O N A R UN SIST E M A D E E C U A C I O N ES L I N E A L ES
En esta sección analizaremos la resolución de un sistema de ecuaciones lineales por diversos métodos, de acuerdo
a su estructura. Se enunciarán las propiedades más importantes.
I. E L I M I N A C I O N G A USSI A N A
Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a un segundo sistema de
ecuaciones lineales, si el primero puede obtenerse a partir del segundo por medio de
operaciones elementales. Además los sistemas equivalentes de ecuaciones lineales
tienen los mismos conjuntos de soluciones.
D E F I N I C I O N 4.2.1
Sea S un sistema lineal de la forma
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
° a x a x ... a x b
° 21 1
22 2
2n n
2
®
...
°
°
¯ am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
y sea S´ un sistema lineal de las mismas dimensiones que S
´
´
­ a11
x1 a12
x2 ... a1´ n xn b1´
° ´
° a21 x1 a´22 x2 ... a´2 n xn b2´
®
...
°
° ´
´
´
´
¯ am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
Los sistemas lineales S y S´ se llaman equivalentes, si ambos son
simultáneamente son compatibles y tienen las mismas soluciones.
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n variables, se va
a estudiar el método de reducción a la forma escalonada, que consiste en la
eliminación sucesiva de las variables para reducir el sistema a uno equivalente más
simple mediante la aplicación de las operaciones elementales siguientes:
T IP O 1. La ecuación E(i) puede multiplicarse por cualquier escalar a diferente de
cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de E(i). Notamos esta operación
como aE(i) o E(i);
T IP O 2. La ecuación E(j) puede multiplicarse por cualquier escalar a, sumarla a la
ecuación m-1 ecuaciones restantes y se obtenga el sistema equivalente:
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
°
(1)
(1)
(1)
° a22 x2 ... a2 n xn b2
®
...
°
° a (1) x ... a (1) x b(1)
mn n
m
¯ m2 2
(1)
Al pasar a la ejecución del segundo paso, supongamos que el elemento a22
, llamado
elemento principal del segundo paso, es distinto de cero. (En caso contrario, es
necesario efectuar la respectiva permutación de las ecuaciones.)
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
° (1)
(1)
(1)
(1)
° a22 x2 a23 x3 ... a 2 n xn b2
° (2)
(2)
(2)
(2)
® a33 x3 a34 x4 ... a3n xn b3
°
...
°
° a (2) x a (2) x ... a (2) x b(2)
mn n
m
m4 4
¯ m3 3
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
144
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Después del paso m-1 llegamos al sistema triangular
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
° (1)
(1)
(1)
(1)
° a22 x2 a23 x3 ... a2 n xn b2
° (2)
(2)
(2)
(2)
® a33 x3 a34 x4 ... a3n xn b3
°
...
°
( n 1)
°
amn xn bm( n 1)
¯
La reducción del sistema inicial S a la forma triangular actual finaliza la primera
etapa de elaboración de la solución según el método de reducción a la forma
escalonada. La segunda etapa, la marcha inversa, consiste en resolver el último
sistema triangular. Se realiza del modo siguiente, de la última ecuación se determina
xn. De acuerdo con el valor hallado de xn de la ecuación m-1 determinamos xn-1, a
continuación, con los valores de xn-1 y xn de la ecuación m-2 hallamos xn-2, etc., el
cálculo sucesivo de las incógnitas continúa hasta que se determina x1 de la primera
ecuación, aquí termina el proceso de construcción de la solución del sistema S con la
ayuda de la resolución del sistema triangular equivalente al primero.
Si durante el proceso de reducción se llega a un sistema tal, que una de las
ecuaciones del sistema equivalente es de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = bn, bn z
0, se dice que el sistema inicial es E(i), y usar la ecuación resultante en lugar de
E(i). Esta operación la notaremos como E(i) + aE(j) o E(i);
T IP O 3. Las ecuaciones E(i) y E(j) se pueden intercambiar, es decir E(i) l E(j).
T E O R E M A 4.2.1
Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes, si uno se obtiene
del otro aplicando una sucesión finita de operaciones elementales.
D E M OST R A C I O N
Es suficiente demostrar la equivalencia de los sistemas S y S´, obtenido de S, al
aplicar una operación elemental. Observemos, que el sistema S se obtiene del
sistema S´ también como resultado de una operación elemental; por cuanto estas
operaciones son inversibles. En otras palabras, en el caso del tipo 1, cambiando otra
vez de lugar a las ecuaciones i y t, regresamos al sistema inicial; análogamente, en el
caso del tipo 2, sumando la i-ésima ecuación en S´, la t-ésima ecuación multiplicada
por ±r, obtendremos la i-ésima ecuación del sistema S. Demostremos ahora, que
cualquier solución k1, k2, ..., kn del sistema S resulta también solución del sistema S´.
Si fue realizada una operación elemental del tipo 1, entonces, las propias ecuaciones,
en general, no cambiaron. Por eso, los números k1, k2, ..., kn, que antes las satisfacían,
las satisfacerán luego de la operación elemental. En el caso de una operación
elemental del tipo 2, las ecuaciones, excepto la i-ésima, no se modificaron, y por eso
la solución k1, k2, ..., kn satisface a éstas como antes. En virtud de la reversibilidad de
las operaciones elementales, las reflexiones realizadas demuestran también que,
recíprocamente, cualquier solución del sistema S´ será solución del sistema S. Queda
observar, que la incompatibilidad de un sistema proporciona la incompatibilidad del
otro.
Si en el sistema S se considera que a 11 z 0, para cada i > 1 llamado elemento
principal del primer paso (En el caso de que a 11 = 0 cambiamos de lugar las
ecuaciones con los números 1 e i, donde a i1 z 0.) se aplican las operaciones
elementales de modo que se sustituya la ecuación i -ésima por la ecuación que se
obtiene multiplicando la primera por ± a 11 y se sume con la i-ésima, de tal forma
que se elimine x1 en las incompatible, y, por tanto, no tiene solución. Si en los
sistemas equivalentes se llega a una ecuación de la forma 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0,
esta puede eliminarse sin que se afecte la solución del sistema.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
145
Calculemos el número de operaciones que hay que efectuar para obtener la solución
del sistema de ecuaciones lineales. Para reducir el sistema de ecuaciones a la forma
escalonada, aceptando que m = n, tendremos que realizar n inversiones
1
n2 + (n ± 1)2 + ... + 12 = (2n + 1)(n + 1)n
6
multiplicaciones y
(n 1)n(n 1)
n(n 1) (n 1)(n 2) 2 ˜1
3
adiciones. Además, para hallar del sistema reducido las incógnitas habrá que realizar
adicionalmente
1
1 + 2 + ... + (n ± 1) = n(n ± 1)
2
multiplicaciones y un número igual de adiciones. Por consiguiente, para resolver el
sistema de ecuaciones lineales empleando el método de Gauss, es necesario realizar,
en el caso general, n inversiones
1
1
n(n2 + 3n ± 1) | n3
3
3
multiplicaciones y
1
1
n(2n2 + 3n ± 5) | n3
6
3
adiciones. En resumen, este método de reducción se puede aplicar a cualquier
sistema de ecuaciones lineales. Debe observarse, además, que el método de
reducción es sistemático y que no se reduce a ningún artificio a base de los números
particulares que aparecen en las ecuaciones.
T E O R E M A 4.2.2
Para la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales es necesario y
suficiente que, después de ser reducido a la forma escalonada, en él no se
encuentren ecuaciones del tipo 0 = b´i, con b´i z 0. Si esta condición se
cumple, entonces, a las incógnitas independientes se les puede dar valores
arbitrarios; las incógnitas principales se determinan unívocamente en el
sistema de ecuaciones.
D E M OST R A C I O N
Comencemos con la cuestión de la compatibilidad. Es evidente, que si el sistema
­ a11 x1 a´1 n xn b´1
°
° a´2 k xk a´2 n xn b´2
° a´ x a´ x b´
3n n
3
°° 3 t t
(1)
®
°
° a´r s xs a´r n xn b´r
°
0 b´r 1
°
0 b´m
°̄
contiene ecuaciones del tipo 0 = b´i, con b´i z 0, entonces, este sistema es
incompatible, puesto que la igualdad 0 = b´i no puede ser satisfecha por ningún valor
para las incógnitas. Demostremos, que si en el sistema (1) no hay tales ecuaciones,
entonces el sistema es compatible. Y bien, sea b´i = 0 para i > r. Llamaremos
incógnitas principales a x1, xk, ..., xs, con las cuales comienzan la primera, segunda,
..., y r-ésima ecuaciones, respectivamente; las restantes incógnitas, si es que las hay,
se denominan independientes. Por definición, sólo hay r incógnitas principales.
Otorgamos a las incógnitas independientes valores arbitrarios, y los sustituimos en el
sistema (1). Entonces, para ks se obtiene una ecuación de tipo axs = b, con a = a´r s z
0, la cual tiene solución única. Sustituyendo el valor obtenido xs = ks en las primeras
r ± 1 ecuaciones, y yendo por el sistema (1) de abajo hacia arriba, nos convencemos
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146
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
de que los valores de las incógnitas principales se determinan unívocamente para
cualquier valor que se dé a las incógnitas independientes.
T E O R E M A 4.2.3
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución única si y sólo si el
sistema reducido correspondiente tiene la misma solución.
D E M OST R A C I O N
De la forma en que reducimos el sistema es claro que si cierto conjunto de números
x1, x2, ..., xn satisface el sistema original, cumplen también el sistema reducido. Ahora
cambiamos los papeles del sistema original reducido. Si comenzamos con el sistema
reducido, el sistema original se puede obtener de éste por alguna combinación de las
tres operaciones elementales. Ahora es claro que cualquier solución del sistema
reducido también es solución del sistema original.
T E O R E M A 4.2.4
El sistema compatible
­ a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
° a x a x a x b
° 21 1
22 2
2n n
2
®
°
°
¯ am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
con n > m es indeterminado.
D E M OST R A C I O N
Efectivamente, en todo caso r d m, por cuanto en el sistema (1) no hay más
ecuaciones que en el sistema dado, las ecuaciones con identidades iguales a cero para
ambos miembros, son desechadas. Por eso, la desigualdad n > m lleva a n > r, lo cual
significa indeterminación del sistema dado.
E J E M P L O 4.2.1
Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
­ x yz 3
­3x 4 y 6 z 7
°
°
a.- ®2 x y 4 z 3 ; b.- ®5 x 2 y 4 z 5 .
°3x 2 y z 8
° x 3 y 5z 3
¯
¯
SO L U C I O N
a.- Multiplicamos la ecuación 1 por 2 y luego le restamos la fila 2, multiplicamos la
fila 1 por 3 y luego restamos la fila 3:
­x y z 3
°
® y 2z 1
° y 2z 1
¯
restamos la fila dos a la fila tres:
­x y z 3
°
® y 2z 1
° 0 0
¯
podemos observar que 0 = 0, lo cual indica que el sistema es indeterminado, es decir
tiene un número infinito de soluciones:
z = t, x = 2 ± t, y = 1 + 2 t.
b.- Se multiplica la ecuación 1 por 5 y luego le restamos 3 veces la fila 2, y 3 veces
la fila 3:
­ 3x 4 y 6 z 7
°
® 13 y 21z 10
°13 y 21z 2
¯
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
147
restamos la fila dos a la fila tres:
­3x 4 y 6 z 7
°
® 13 y 21z 10
°
0 2
¯
podemos observar que 0 = 12, lo cual indica que el sistema es inconsistente. ’
E J E M P L O 4.2.2
Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
­ 2 x y 3 z 2u 4
­ x y zu 0
°3 x 3 y 3 z 2u 6
° x 2 y 3 z 4u 0
°
°
a.- ®
; b.- ®
.
3
x
y
z
2
u
6
°
° x 3 y 6 z 10u 0
°¯ 3 x y 3 z u 6
°¯ x 4 y 10 z 20u 0
SO L U C I O N
a.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera
fila, a la tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera
fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila
­2 x y 3z 2u 4
° 9 y 3z 2u 0
°
®
° y 11z 2u 0
°¯ y 3z 8u 0
A la tercera fila le multiplico por ±9 y luego le sumo la segunda fila, a la cuarta
fila le multiplico por ±9 y luego le sumo la segunda fila:
­2 x y 3z 2u 4
° 9 y 3z 2u 0
°
®
6z u 0
°
°¯ 12 z 35u 0
A la cuarta fila le resto 2 veces la tercera fila:
­2 x y 3z 2u 4
° 9 y 3z 2u 0
°
®
6z u 0
°
°¯
33u 0
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución
única:
x = 2, y = z = u = 0.
b.- A la segunda fila le resto la primera fila, a la tercera fila le resto la primera fila, a
la cuarta fila le resto la primera fila:
­ x y zu 0
° y 2 z 3u 0
°
®
° 2 y 5 z 9u 0
°¯3 y 9 z 19u 0
A la tercera fila le resto 2 veces la segunda fila, a la cuarta fila le resto 3 veces la
segunda fila:
­x y z u 0
° y 2 z 3u 0
°
®
° z 3u 0
°¯ 3 z 10u 0
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148
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A la cuarta fila le resto 3 veces la tercera fila:
­x y z u 0
° y 2 z 3u 0
°
®
° z 3u 0
°¯
u 0
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución
única:
x = y = z = u = 0. ’
E J E M P L O 4.2.3
Utilizando eliminación gaussiana, solucionar los
lineales:
­ x y 2 z 3u 1
­ x 2 y 3 z 2u
°3 x y z 2u 4
° 2 x y 2 z 3u
°
°
a.- ®
; b.- ®
2
x
3
y
z
u
6
°
° 3x 2 y z 2u
°¯ x 2 y 3z u 4
°¯2 x 3 y 2 z u
siguientes sistemas de ecuaciones
6
­ x 2 y 3z 4u
° 2 x y 2 z 3u
8
°
; c.- ®
4
° 3 x 2 y z 2u
°¯4 x 3 y 2 z u
8
5
1
.
1
5
SO L U C I O N
a.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 2
veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos la primera:
­ x y 2 z 3u 1
°4 y 7 z 11u 7
°
®
° y 5 z 7u 8
°¯ y z 4u 5
A la tercera fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila, a la
cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le sumamos la segunda fila:
­ x y 2 z 3u 1
°4 y 7 z 11u 7
°
®
° 27 z 39u 39
°¯
z 9u 9
A la cuarta fila le multiplicamos por 27 y luego le sumamos la tercera fila:
­ x y 2 z 3u 1
°4 y 7 z 11u 7
°
®
° 27 z 39u 39
°¯
u 1
Observamos que el sistema se redujo a la forma triangular, lo cual indica que el
sistema tiene solución única:
x = y = -1, z = 0, u = 1.
b.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos
3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila:
­ x 2 y 3z 2u 6
° 5 y 8 z u 4
°
®
° 2 y 5 z 4u 7
°¯7 y 4 z 5u 20
A la tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos 2 veces la segunda
fila, a la cuarta fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda
fila:
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
149
­ x 2 y 3z 2u 6
° 5 y 8 z u 4
°
®
z 2u 3
°
°¯
2 z u 4
A la cuarta fila le restamos 2 veces la tercera fila:
­ x 2 y 3z 2u 6
° 5 y 8 z u 4
°
®
z 2u 3
°
°¯
5u 10
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución
única: x = 1, y = 2, z = -12, u = -2.
c.- A la segunda fila le restamos 2veces la primera fila, a la tercera fila le restamos 3
veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos 4 veces la primera fila:
­ x 2 y 3z 4u 5
° 3 y 4 z 5u 9
°
®
° 2 y 4 z 5u 7
°¯ y 2 z 3u 5
A la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la segunda fila
multiplicada por 2, a la cuarta fila le multiplicamos por 3 y luego le sumamos la
segunda fila:
­ x 2 y 3z 4u 5
° 3 y 4 z 5u 9
°
®
4 z 5u 3
°
°¯
z 2u 3
A la cuarta fila le multiplicamos por 4 y luego le restamos la tercera fila:
­ x 2 y 3z 4u 5
° 3 y 4 z 5u 9
°
®
4 z 5u 3
°
°¯
u 3
Como el sistema se redujo a la forma triangular, entonces el sistema tiene solución
única: x = -2, y = 2, z = -3, u = 3. ’
I I. M E T O D O D E G A USS ± JO RD A N
El sistema S de ecuaciones lineales
­ a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
° a x a x ... a x b
° 21 1
22 2
2n n
2
®
...
°
°
¯ am1 x1 am 2 x2 ... amn xn bm
puede ser escrito en forma matricial como A X = B, donde A es la matriz m x n de
coeficientes con elementos a ij, B es un vector columna en ƒm y X es un vector
columna en ƒn. Efectuando la multiplicación matricial en la ecuación
a1n · § x1 · § b1 ·
§ a11 a12
¨
¸¨ ¸ ¨ ¸
a2 n ¸ ¨ x2 ¸ ¨ b2 ¸
¨ a21 a22
¨
¸¨ ¸ ¨ ¸
¨¨
¸¨ ¸ ¨ ¸
amn ¸¹ ¨© xn ¸¹ ¨© bm ¸¹
© am1 am 2
se ve de inmediato que esto es equivalente al sistema S.
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150
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
D E F IN I C I O N 4.2.2
En cuanto a la matriz
§ a11 a12
a1n
¨
a
a
a
22
2n
¨ 21
¨
¨¨
amn
© am1 am 2
se denomina matriz aumentada del sistema.
b1 ·
¸
b2 ¸
¸
¸
bm ¸¹
Consideremos ahora el sistema lineal no homogéneo A X = B, en donde A es de m x
n y B es de m x 1 y tiene al menos un elemento distinto de cero. A continuación
enunciaremos un teorema, en el cual se basara el método de las operaciones
elementales.
T E O R E M A 4.2.5
Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene un
número indeterminado de soluciones si n > m.
D E M OST R A C I O N
Cuando la matriz de coeficientes se ha reducido, la matriz aumentada del sistema
reducido tiene una última columna formada únicamente por ceros. Entonces, el
sistema tiene una solución, pero puede que no tenga soluciones no nulas. Sin
embargo, consideremos los elementos a ii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de
coeficientes. Estos elementos son 0 ó 1. Suponiendo que akk = 0 para algún k y k es el
menor elemento para el cual esto ocurre, la solución se puede escribir en términos de
xk y posiblemente de algunas otras variables. Pero tales variables son arbitrarias, y así
tomando a xk z 0, tenemos una solución no trivial. Si todos los a ii, i = 1, 2, ..., m, son
1, la última fila de la matriz aumentada del sistema reducido es
0, 0, ..., 0, 1, am m+1, am m+2, ..., am n, 0
y
xm = -am m+1xm+1 ± am m+2xm+2 - ... ± am nxn
donde xm+1, xm+2, ..., xn son arbitrarias. Tomando xm+1 z 0 lograremos una solución no
nula.
T E O R E M A 4.2.6
Sea X 1 cualquier solución de A X = B. Entonces X 1 ± X 2 es una solución
de A X = O ya que A(X 1 - X 2) = A X 1 - A X 2 = B - B = O. Sea X 3 = X 1 X 2. Entonces X 3 es una solución de A X = O y por supuesto X 1 = X 2 +
X 3.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que X 1 y X 2 son soluciones. Entonces A X 1 = B y A X 2 = B, y por
sustracción A(X 1 ± X 2) = O. Como quiera que si la ecuación homogénea no tiene
soluciones no nulas, entonces X 1 ± X 2 = O y X 1 = X 2. Esto muestra la unicidad.
Recíprocamente, suponiendo que X 3 z O es una solución de la ecuación homogénea,
es decir A X 3 = O, mientras que X 1 es una solución de A X 1 = B, entonces X 1 + X 3
también es solución, puesto que
A(X 1 + X 3) = A X 1 + A X 3 = B + O = B.
Esta es una contradicción a la unicidad y completa la demostración.
T E O R E M A 4.2.7
Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con m incógnitas tiene
solución trivial si y sólo si la matriz reducida de coeficientes no tiene filas
formadas únicamente por ceros.
D E M OST R A C I O N
Consideremos los elementos a ii, i = 1, 2, ..., m de la matriz reducida de coeficientes.
Si a ii = 1 para todo i, la matriz aumentada del sistema reducido es de la forma
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
151
§1 0
0 0·
¨
¸
0 0¸
¨0 1
¨
¸
¨¨
¸
1 0 ¸¹
©0 0
y la única solución es x1 = x2 = ... = xm = 0, algunos de los a ii son cero si y sólo si la
última fila de esta matriz está formada únicamente por ceros. Así, el sistema de
ecuaciones lineales tiene soluciones no nulas si y sólo si la matriz reducida de
coeficientes está formada únicamente por ceros.
T E O R E M A 4.2.8
Sea la matriz A de n x n. Entonces el sistema de ecuaciones no
homogéneo A X = B tiene solución única si y sólo si el Rang( A) = n.
D E M OST R A C I O N
Supongamos primero que Rang(A) = n. Entonces A R = I. De donde (A | B)R es de la
forma (I | C) para alguna matriz C de n x 1. El sistema I X = C tiene exactamente una
solución y esta es la única solución del sistema original. Recíprocamente,
supongamos que A X = B tiene exactamente una solución Y. Si A X = O tiene una
solución Z entonces Y + Z es una solución de A X = B. Pero entonces Y = Y + Z por
la suposición de que A X = B tiene solamente una solución Y. Concluimos que
Z = O y, por tanto, A X = O tiene solamente la solución trivial. Por lo tanto
Rang(A) = n.
Un sistema homogéneo A X = O de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene un
número indeterminado de soluciones si el número de ecuaciones es menor que el
número de incógnitas, es decir n > m.
Sea X 1 cualquier solución de A X = B. Entonces X 1 ± X 2 es una solución de
A X = O ya que
A(X 1 - X 2) = A X 1 - A X 2 = B - B = O.
Sea X 3 = X 1 - X 2. Entonces X 3 es una solución de A X = O y por supuesto X 1 = X 2
+ X 3.
Como hemos podido ver, cuando un sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones,
puede tener muchas soluciones. En efecto, la situación general cuando las soluciones
no son únicas, es que ciertas variables se pueden escribir en términos de otras y estas
son completamente arbitrarias. Podemos pensar en tales variables como parámetros
que pueden variar para generar soluciones. Podremos decir que tenemos la solución
general de un sistema si tenemos todas las variables expresadas en términos de
ciertos parámetros en tal forma que toda posible solución particular se pueda obtener
al asignar valores apropiados a estos parámetros.
Podemos ahora esbozar un procedimiento para encontrar la solución general de un
sistema lineal no homogéneo A X = B:
P ASO 1. Reducir (A~B) para obtener la matriz reducida de la forma (A R~C). Las
soluciones de A X = B son las mismas soluciones que las de A R X = C, así que
trabajaremos con este sistema reducido;
P ASO 2.
Si Rang((A~B)) z Rang(A), el sistema no tiene solución y ya
terminamos. Si estos dos rangos son iguales continuamos;
P ASO 3. Identificamos las incógnitas dependientes. Si la columna j contiene el
elemento principal de la fila i, utilizamos la ecuación i para escribir xj en términos de
las incógnitas independientes;
P ASO 4. Escribimos una matriz columna
(x1 x2 «xn)T
con cada xj dependiente escrita en términos de las incógnitas independientes y de c i.
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152
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Las incógnitas independientes son arbitrarias y se les puede asignar valores
cualesquiera;
P ASO 5. Para aclarar la estructura de la solución, la escribimos como una suma de
matrices columna multiplicadas por las incógnitas independientes (escalares
arbitrarios), más una matriz columna que contiene las c i que aparecen en las
expresiones para las incógnitas dependientes. Esta matriz columna constante es una
solución particular de A R X = C. Ahora tenemos la solución general de A X = B
escrita como la solución general de A R X = O más una solución particular de
A R X = C, obteniendo la solución general del sistema no homogéneo original.
T E O R E M A 4.2.9
Un sistema de ecuaciones lineales A X = B tiene solución única si y sólo si
el rango de la matriz A es igual al rango de la matriz (A | B).
D E M OST R A C I O N
Reduciendo la matriz de coeficientes usando operaciones elementales sobre las filas
podemos lograr el sistema equivalente (I | C) en este caso, y solamente en este caso,
el rango de A es igual al rango de la matriz aumentada (A | B).
Una solución a un sistema A X = B de m ecuaciones lineales con n incógnitas no
tiene solución única si n > m.
Un sistema de ecuaciones lineales A X = B tiene solución única si y sólo si el sistema
reducido correspondiente tiene la misma solución.
Si el sistema de ecuaciones lineales A X = B de m ecuaciones y n incógnitas es
consistente, y si r es el rango por filas de la forma escalonada reducida de la matriz
aumentada del sistema, entonces:
1.- Si r < n, el sistema tiene un número indeterminado de soluciones. Las soluciones
se expresan en base a n ± r variables.
2.- Si r = n, el sistema tiene solución única.
3.- Si m < n, entonces r d m < n, y el sistema tiene un número indeterminado de
soluciones.
T E O R E M A 4.2.10
Un sistema homogéneo de n ecuaciones lineales algebraicas con m
incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si m > n.
D E M OST R A C I O N
Escribimos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales como A X = O con la
matriz A de n x m. Este sistema tiene n ecuaciones y m incógnitas. Si hay más
incógnitas que ecuaciones, m > n. Ahora, Rang(A) es el número de filas distintas de
cero de A R y no puede ser mayor que n. Como Rang(A) d n, m ± Rang(A) t m ± n >
0. Por lo tanto, existe al menos una incógnita independiente a la que se puede asignar
cualquier valor en la solución general y, por tanto, se le pueden dar valores distintos
de cero llegando a un número indeterminado de soluciones.
Ahora podemos bosquejar ahora un procedimiento para resolver el sistema
homogéneo de ecuaciones lineales A X = O:
P ASO 1. Reducir A a A R. Como el sistema reducido tiene las mismas soluciones
que el sistema original, trabajaremos con el sistema reducido A R X = O;
P ASO 2. En el sistema A R X = O, determine si cada incógnita es dependiente o
independiente de acuerdo con el siguiente criterio. Si la columna j contiene el
elemento principal de cualquier fila de A, llame a xj dependiente; si no es así, xj es
independiente;
P ASO 3. Exprese cada incógnita dependiente en términos de las independientes,
usando las filas de A R. Si, por ejemplo, xj es dependiente porque la columna j
contiene el elemento principal de la fila i, podemos resolver para xj en términos de
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
153
las incógnitas independientes mediante la ecuación i;
P ASO 4. Para obtener la solución, a las incógnitas independientes se les puede
asignar cualquier valor; las incógnitas dependientes se expresan en términos de las
independientes usando el paso 3.
T E O R E M A 4.2.11
Si A es una matriz de n x m, el número de escalares arbitrarios en la
solución general del sistema homogéneo de ecuaciones lineales A X = O es
m ± Rang(A).
D E M OST R A C I O N
Si la matriz A es de n x m, el número de incógnitas independientes es igual al
número total de incógnitas m menos el número de incógnitas dependientes. Pero el
número de incógnitas dependientes es el número de filas de A R que tienen entradas
principales y, por lo tanto, es igual al número de filas distintas de cero de A R, es
decir, el rango de A.
T E O R E M A 4.2.12
Una solución de un sistema de ecuaciones lineales A X = B es única si y
sólo si el sistema homogéneo de ecuaciones A X = O tiene solución
trivial.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que X y Y son soluciones. Entonces A X = B y A Y = B, y por
sustracción A(X ± Y) = O. Como quiera que si la ecuación homogénea tiene
solución trivial, entonces X ± Y = O y X = Y. Esto muestra la unicidad.
Recíprocamente, suponiendo que Z z O es una solución de la ecuación homogénea,
es decir A Z = O, mientras que X es una solución de A X = B, entonces X + Z
también es solución, puesto que
A(X + Z) = A X + A Z = B + O = B.
Esta es una contradicción a la unicidad.
T E O R E M A 4.2.13
La solución general del sistema no homogéneo de ecuaciones, A X = B,
se puede obtener al sumar la solución general del sistema homogéneo
A X = O a cualquier solución particular del sistema no homogéneo.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que Z es una solución particular del sistema no homogéneo, entonces
A Z = B. Suponiendo que X es cualquier otra solución particular, entonces
A X = B y A(X ± Z) = A X ± A Z = B ± B = O.
De donde, Y = X ± Z es una solución del sistema de ecuaciones homogéneas y
entonces se puede obtener de la solución general del sistema de ecuaciones
homogéneas para una elección apropiada de ciertos parámetros. Así, X = Z + Y, y
como X es cualquier solución particular, podemos obtener la solución general del
sistema no homogéneo al sumar la solución general del sistema homogéneo a una
solución particular del sistema no homogéneo.
T E O R E M A 4.2.14
Un sistema de n ecuaciones lineales algebraicas homogéneas con n
incógnitas tiene un número indeterminado de soluciones si y sólo si el
determinante de la matriz de coeficientes es cero.
D E M OST R A C I O N
Si Det(A) no es cero la matriz A es no singular. Entonces, al multiplicar los dos
miembros del sistema A X = O por A -1 obtendremos A -1 A X = O, es decir X = O.
Por lo tanto, si Det( A) z 0, entonces X = O será la única solución de A X = O.
Supongamos a continuación que el sistema A X = O quede satisfecho por un
vector Y distinto de cero. Si k es el rango de A, entonces n ± k tiene que ser, por
lo menos, igual a 1. Dicho de otro modo, el rango por filas de A será
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154
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
estrictamente menor que n. Pero A no puede ser no singular, es singular y, por lo
tanto, Det(A) = 0.
% RESUELVE UN SISTEMA DE ECUACIONES clc;;clear;; fprintf('\n SISTEMA DE ECUACIONES AX=B \n') fil=input('Ingrese el numero de ecuaciones: ');; col=input('Ingrese el numero de incognitas: ');; %Ingreso de elementos fprintf('\nIngrese los coeficientes y terminos independientes del sistema\n') for f=1:fil fprintf('\n Ingrese los coeficientes (%d)\n', f) for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('\n Ingrese los coeficientes de B \n') %for f=1:col for c=1:fil fprintf('Ingrese el elemento %d',f) B(c,1)=input(' :');; end fprintf('\n LA MATRIZ DE COEFICIENTES A ES:\n') A end fprintf('El VECTOR B es:\n') B end fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA DE A ES:') R1= rref(A);; R1 fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ A ES:') RangA=rank(A) fprintf('\n LA MATRIZ AUMENTADA ES: \n',c);; C=[A,B];; C fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA DE C ES:') R2= rref(C);; R2 fprintf('EL RANGO DE LA MATRIZ AUMENTADA C ES:') RangC=rank(C) end end if RangC==col fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES TIENE SOLUCION UNICA\n') end if RangA<col fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES TIENE MAS DE UNA SOLUCION\n') end if RangA~=RangC fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n') end end ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
EJ E M P L O 4.2.4
Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente:
­x 3y z u 3
° 2x z u 1
°
.
®
° y 4z u 6
°¯ y z 5u 16
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
155
SO L U C I O N
Construimos la matriz aumentada (A|B) y luego procedemos por el método de Gauss
± Jordan:
§ 1 3 1 1 3 ·
¨
¸
1¸
¨2 0 1 1
¨ 0 1 4 1
6¸
¨¨
¸¸
© 0 1 1 5 16 ¹
A la primera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la segunda fila:
§ 1 3 1 1 3 ·
¨
¸
¨ 0 6 1 3 5 ¸
¨ 0 1 4 1
6¸
¨¨
¸¸
© 0 1 1 5 16 ¹
A la tercera fila le multiplicamos por 6 y luego le sumamos la segunda fila, a la
cuarta fila le multiplicamos por ±6 y luego le sumamos la segunda fila, a la primera
fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la segunda fila:
§2 0 1 1
1 ·
¨
¸
0
6
1
3
5 ¸
¨
¨ 0 0 25 3
41 ¸
¨¨
¸¸
© 0 0 5 27 91¹
A la primera fila le multiplicamos por 25 y luego le restamos la tercera fila, a la
segunda fila le multiplicamos por 25 y luego le restamos la tercera fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos la tercera fila:
§ 25 0 0 11 8 ·
¨
¸
¨ 0 25 0 13 14 ¸
¨ 0 0 25 3
41 ¸
¨¨
¸
1
3 ¸¹
©0 0 0
A la primera fila le restamos 25 veces la cuarta fila y luego dividimos toda la fila
para -25, a la segunda fila le sumamos 13 veces la cuarta fila y luego dividimos toda
la fila para 25, a la tercera fila le restamos 3 veces la cuarta fila y luego dividimos
toda la fila para 25:
§ 1 0 0 0 41 ·
25
¨
¸
53
¨0 1 0 0
¸
25
¨
¸
32
¨0 0 1 0
25 ¸
¨0 0 0 1
3 ¸¹
©
Por lo tanto Rang(A) = Rang(A|B) = 4 y la solución está dada por el vector siguiente:
X
§ 41
¨
© 25
53
25
T
32
·
3¸ . ’
25
¹
EJ E M P L O 4.2.5
Resuelva el sistema
­ x 3 y 2z 0
a.- ®
;
¯2 x y 3z 0
­2 x 3 y 5 z 2
°
b.- ® 3x 2 y 4 z 1 ;
°4 x 2 y 3z 3
¯
­ x 3y z 1
°
c.- ® 2 x y 2 z 3 .
°4 x 2 y 4 z 6
¯
SO L U C I O N
a.- Este sistema se puede resolver fácilmente sin matrices, pero queremos ilustrar el
método matricial.
PASO 1. Reducir A. Procedemos como sigue: Sumar 2 veces la fila 1 a la fila 2
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
156
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
§ 1 3 2 ·
¨
¸
© 0 5 1 ¹
multiplicar la fila 2 por -1/5
§ 1 3 2 ·
¨
¸
¨¨ 0 5 1 ¸¸
5¹
©
sumar 3 veces la fila 2 a la fila 1
7 ·
§
¨1 0 5 ¸
¨
¸ AR .
¨0 1 1 ¸
¨
¸
5¹
©
PASO 2. Identificar las incógnitas dependientes e independientes. La entrada
principal de la fila 1 está en la columna 1, así que x es dependiente; análogamente, y
es dependiente. Finalmente, z es independiente.
PASO 3. Escribimos las incógnitas dependientes en términos de las independientes.
De la fila 1 de A R, x + 7z/5 = 0, así que x = - 7z/5. De la fila 2, y - z/5 = 0, así que y =
z/5. En estas ecuaciones z es arbitraria.
PASO 4. Por conveniencia, sea x = - 7t/5, y = t/5. En forma matricial, la solución es
T
§ 7t t
·
t¸ .
¨
5
5
©
¹
Esta expresión se llama solución general del sistema porque obtenemos todas las
soluciones dando a t diferentes valores.
b.- Primero: resolvemos el sistema no homogéneo de ecuaciones lineales A X = B.
Construimos la matriz aumentada del sistema:
§ 2 3 5 2 ·
¨
¸
¨ 3 2 4 1 ¸
¨ 4 2 3 3 ¸
¹
©
A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a
la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila:
§ 2 3 5 2 ·
¨
¸
¨ 0 13 7 4 ¸
¨ 0 8 13
1 ¸¹
©
A la primera fila le multiplicamos por 13 y luego le sumamos 3 veces la segunda fila,
a la tercera fila le multiplicamos por 13 y luego le restamos 8 veces la segunda fila:
§13 0 43 7 ·
¨
¸
¨ 0 13 7 4 ¸
¨0
0
5
1 ¸¹
©
A la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 43 veces la tercera fila y
a continuación dividimos toda la fila para 65, a la segunda fila le multiplicamos por 5
y luego le sumamos 7 veces la tercera fila y después dividimos toda la fila para -65:
§1 0 0 8 ·
65
¨
¸
1
¨0 1 0
5 ¸
¨
1 ¸
¸
¨0 0 1
5 ¹
©
Por lo tanto, la solución está dada por el vector siguiente:
X
T
§ 8 1 1·
¨
¸ .
© 65 5 5 ¹
Segundo: resolvemos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales A X = O:
X1
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
157
§ 2 3 5 · § 2 3 5 · §13 0 43 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 3 2 4 ¸ | ¨ 0 13 7 ¸ | ¨ 0 13 7 ¸ |
¨ 4 2 3 ¸ ¨ 0 8 13 ¸ ¨ 0
0
5 ¸¹
¹ ©
©
¹ ©
Por lo tanto, la solución está dada por el vector siguiente: X 2
§1
¨
¨0
¨0
©
0
0 0·
¸
1 0¸
0 1 ¸¹
0 0 .
La solución al sistema esta dada por X 1 + X 2, es decir:
8 ·
8
§ 65
§0· § ·
¨ 1 ¸ ¨ ¸ ¨ 165 ¸
X ¨ 5 ¸ ¨0¸ ¨ 5 ¸ .
¨¨ 1 ¸¸ ¨ 0 ¸ ¨¨ 1 ¸¸
© 5 ¹ © ¹ © 5 ¹
Por lo tanto queda comprobado que el sistema tiene una única solución.
c.- Encontramos la solución del sistema A X = B:
§ 1 3 1 1 · § 1 3 1 1 · § 7 0 5 10 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 2 1 2 3 ¸ | ¨ 0 7 4 1 ¸ | ¨ 0 7 4 1 ¸
¨ 4 2 4 6 ¸ ¨ 0 14 8 2 ¸ ¨ 0 0 0
0 ¸¹
¹ ©
¹ ©
©
De aquí que la solución general del sistema A X = B es
1
T
X (t )
10 5t 1 4t 7t .
7
Si asignamos cualquier valor a t, digamos t = 1, obtenemos una solución particular:
1
T
X (1)
15 5 7 .
7
A continuación encontramos la solución general del sistema A X = O:
§ 1 3 1 0 · § 1 3 1 0 · § 7 0 5 0 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 2 1 2 0 ¸ | ¨ 0 7 4 0 ¸ | ¨ 0 7 4 0 ¸
¨ 4 2 4 0 ¸ ¨ 0 14 8 0 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸
¹ ©
¹ ©
¹
©
De aquí que la solución general del sistema A X = O es
1
T
X (t )
5t 4t 7t .
7
Si asignamos cualquier valor a t, digamos t = 7, obtenemos una solución particular:
X (7)
5 4 7
T
.
Por lo tanto la matriz X = X(7) + X(1) es solución del sistema A X = B, es decir
1
T
X
50 33 56 .
7
EJ E M P L O 4.2.6
Utilizando el método de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
­ x y 3 z 1
­ 2x y z 2
­ 2 x y 3z 3
°2x y 2z 1
° x 3y z 5
° 3x y 5 z 0
°
°
°
a.- ®
; b.- ®
; c.- ®
.
x
y
z
3
x
y
5
z
7
°
°
° 4x y z 3
°¯ x 2 y 3 z 1
°¯2 x 3 y 3 z 14
°¯ x 3 y 13z 6
SO L U C I O N
a.- A la segunda fila le restamos 2 veces la primera fila, a la tercera fila le restamos
la primera fila, a la cuarta fila le restamos la primera fila:
§ 1 1 3 1·
¨
¸
3¸
¨ 0 1 4
¨0 0 1
4¸
¨
¸
¨0 1 0
2¹
©
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
158
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
a la primera fila le sumamos la segunda fila:
§1 0 1
¨
¨ 0 1 4
¨0 0 1
¨
¨0 1 0
©
2·
¸
3¸
1¸
¸
2¹
a la primera fila le restamos la tercera fila, a la segunda fila le restamos la tercera
fila:
§1 0 0 1·
¨
¸
¨0 1 0 1¸
¨0 0 1 1¸
¨
¨ 0 1 0 2 ¸¹
©
a la cuarta fila le restamos la segunda fila:
§ 1 0 0 1·
¨
¸
¨ 0 1 0 1¸
¨ 0 0 1 1¸
¨
¨ 0 0 0 1¸¹
©
por la cuarta fila, tenemos que el sistema de ecuaciones no tiene solución.
b.- Multiplicamos la segunda fila por 2 y luego le restamos la primera fila,
multiplicamos la tercera fila por 2 y luego le restamos la primera fila, a la cuarta fila
le restamos la primera fila:
§2 1 1
2 ·
¨
¸
0
5
1
8
¨
¸
¨ 0 1 9 16 ¸
¨
¸
¨ 0 1 2
6 ¹
©
a la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos la segunda fila,
multiplicamos la tercera fila por 5 y luego le restamos la segunda fila,
multiplicamos la cuarta fila por 5 y luego le restamos la segunda fila:
§5 0 2
1·
¨
¸
8¸
¨0 5 1
¨ 0 0 1 2 ¸
¨
¨ 0 0 1 2 ¸¹
©
a la primera fila le restamos 2 veces la tercera fila, a la segunda fila le restamos la
tercera fila y a la cuarta fila le sumamos la tercera fila:
§1 0 0 1 ·
¨
¸
¨0 1 0 2 ¸
¨ 0 0 1 2 ¸
¨
¨ 0 0 0 0 ¸¹
©
el sistema tiene solución única, por lo tanto la solución general es: X (1 2 2)T .
c.- Multiplicamos la segunda fila por 2 y luego le restamos 3 veces la primera fila, a
la tercera fila le restamos 2 veces la primera fila, a la cuarta fila le multiplicamos por
2 y luego le restamos la primera fila:
§ 2 1 3
3 ·
¨
¸
¨ 0 5 19 9 ¸
¨ 0 1 5
3 ¸
¨
¨ 0 7 29 15 ¸¹
©
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
159
a la primera fila le multiplicamos por 5 y luego le sumamos la segunda fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos la segunda fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 5 y luego le restamos 7 veces la segunda fila:
§ 5 0 2
3·
¨
¸
¨ 0 5 19 9 ¸
¨0 0 1
1¸
¨
¸
¨0 0 1
1¹
©
a la primera fila le sumamos 2 veces la tercera fila, a la segunda fila le sumamos
19 veces la tercera fila y a la cuarta fila le restamos la tercera fila:
§1 0 0 1·
¨
¸
¨0 1 0 2¸
¨0 0 1 1¸
¨
¨ 0 0 0 0 ¸¹
©
el sistema tiene solución única, por lo tanto la solución general es:
X (1 2 1)T . ’
EJ E M P L O 4.2.7
Utilizando el método de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
x y 3u w 0
­
­ x y z u w 7
°
° 3x 2 y z u 3w 2
x
y
2
z
u
0
°
°
a.- ®
; b.- ®
.
4
x
2
y
6
z
3
u
4
w
0
°
° y 2 z 2u 6w 23
°¯2 x 4 y 2 z 4u 7 w 0
°¯5 x 4 y 3z 3u w 12
SO L U C I O N
a.- A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 4 veces
la primera fila y a la cuarta fila le restamos 2 veces la primera fila:
§ 1 1 0 3 1 0 ·
¨
¸
¨ 0 2 2 2 1 0 ¸
¨ 0 2 2 5 0 0 ¸
¨
¨ 0 2 2 10 5 0 ¸¹
©
multiplicamos la primera fila por 2 y luego le restamos la segunda fila, a la tercera
fila le restamos la segunda fila y a la cuarta fila le sumamos la segunda fila:
§ 2 0 2 4 1 0 ·
¨
¸
¨ 0 2 2 2 1 0 ¸
¨ 0 0 0 3 1 0 ¸
¨
¨ 0 0 0 3 1 0 ¸¹
©
multiplicamos la primera fila por 3 y luego le sumamos 4 veces la tercera fila,
multiplicamos la segunda fila por 3 y luego le restamos 2 veces la tercera fila y a
la cuarta fila le restamos la tercera fila:
§ 6 0 6 0 7 0 ·
¨
¸
¨ 0 6 6 0 5 0 ¸
¨ 0 0 0 3 1 0 ¸
¨
¨ 0 0 0 0 0 0 ¸¹
©
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene un
número indeterminado de soluciones y éstas se dan de la siguiente manera:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
160
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
T
7t
5t
t ·
§
r
r
t¸ .
¨ r 6
6
3 ¹
©
b.- A la segunda fila le restamos 3 veces la primera fila y a la cuarta fila le restamos
5 veces la primera fila:
§1 1 1 1 1
7 ·
¨
¸
¨ 0 1 2 2 6 23 ¸
¨0 1 2 2 6
23 ¸
¨
¨ 0 1 2 2 6 23 ¸¹
©
a la primera fila le restamos la segunda fila, a la tercera fila le sumamos la
segunda fila y a la cuarta fila le restamos la segunda fila:
§ 1 0 1 1 5 16 ·
¨
¸
23 ¸
¨0 1 2 2 6
¨0 0 0 0 0
0 ¸
¨
¸
¨0 0 0 0 0
0 ¹
©
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene un
número indeterminado de soluciones y éstas se dan de la siguiente manera:
X
X
t r s 16 23 2t 2r 6s t r s
T
. ’
EJ E M P L O 4.2.8
Utilizando el método de Gauss-Jordan, solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
­ x 4 y 6 z 4u w 0
­ 2x y z u w 2
° x y 4 z 6u 4 w 0
° x 2y z u w 0
°°
°°
a.- ®4 x y z 4u 6w 0 ; b.- ® x y 3z u w 3 .
°6 x 4 y z u 4 w 0
° x y z 4u w 2
°
°
°̄4 x 6 y 4 z u w 0
°̄ x y z u 5w 5
SO L U C I O N
a.- A la segunda fila le restamos la primera fila, a la tercera fila le restamos 4 veces
la primera fila, a la cuarta fila le restamos 6 veces la primera fila y a la quinta fila le
restamos 4 veces la primera fila:
§1 4
6
4
1 0·
¨
¸
2
3 0¸
¨ 0 3 2
¨ 0 15 23 12 2 0 ¸
¨
¸
¨ 0 20 35 23 2 0 ¸
¨ 0 10 20 15 3 0 ¸
¹
©
a la primera fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos 4 veces la segunda fila, a
la tercera fila le restamos 5 veces la segunda fila, a la cuarta fila le multiplicamos por
3 y luego le restamos 20 veces la segunda fila, a la quinta fila le multiplicamos por 3
y luego le restamos 10 veces la segunda fila:
§ 3 0 10
20
15 0 ·
¨
¸
2
3
0¸
¨ 0 3 2
¨ 0 0 13 22 13 0 ¸
¨
¸
¨ 0 0 65 109 66 0 ¸
¨ 0 0 40 65 39 0 ¸
¹
©
a la primera fila le multiplicamos por 13 y luego le sumamos 10 veces la tercera fila,
a la segunda fila le multiplicamos por 13 y luego le restamos 2 veces la tercera fila, a
la cuarta fila le restamos 5 veces la tercera fila, a la quinta fila le multiplicamos por
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
161
13 y luego le restamos 40 veces la tercera fila:
§ 39 0
0
40 65
¨
70 65
¨ 0 39 0
¨0
0 13 22 13
¨
0
0
1
1
¨0
¨0
0
0
35 13
©
0·
¸
0¸
0¸
¸
0¸
0 ¸¹
a la primera fila le restamos 40 veces la cuarta fila, a la segunda fila le restamos 70
veces la cuarta fila, a la tercera fila le sumamos 22 veces la cuarta fila, a la quinta fila
le restamos 35 veces la cuarta fila:
§ 39 0
0 0 105 0 ·
¨
¸
¨ 0 39 0 0 135 0 ¸
¨0
0 13 0 35 0 ¸
¨
¸
0
0 1 1 0 ¸
¨0
¨0
0
0 0 1
0 ¸¹
©
a la primera fila le restamos 105 veces la quinta fila, a la segunda fila le restamos 13
veces la quinta fila, a la tercera fila le sumamos 35 veces la quinta fila, a la cuarta fila
le sumamos la quinta fila:
§ 39 0
0 0 0 0·
¨
¸
¨ 0 39 0 0 0 0 ¸
¨0
0 13 0 0 0 ¸
¨
¸
0
0 1 0 0¸
¨0
¨0
0
0 0 1 0 ¸¹
©
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene
solución única y ésta se expresa de la siguiente manera:
x = y = z = u = w = 0.
b.- A la segunda fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la cuarta fila
le multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 2 y luego le restamos la primera fila:
§2 1 1 1 1 2 ·
¨
¸
¨ 0 3 1 1 1 2 ¸
¨0 1 5 1 1 4 ¸
¨
¸
¨ 0 1 1 7 1 6 ¸
¨0 1 1 1 9 8 ¸
¹
©
a la tercera fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila, a la cuarta
fila le multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 3 y luego le restamos la segunda fila:
§3 0 1 1 1
4·
¨
¸
¨ 0 3 1 1 1 2 ¸
¨0 0 7 1 1
7¸
¨
¸
¨ 0 0 1 10 1 8 ¸
¨ 0 0 1 1 13 13 ¸
¹
©
a la primera fila le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la
segunda fila le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la cuarta fila
le multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila, a la quinta fila le
multiplicamos por 7 y luego le restamos la tercera fila:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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162
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
§7
¨
¨0
¨0
¨
¨0
¨0
©
0
7
0
0
0
0 2 2
0 2 2
7 1 1
0 23 2
0 1 15
7 ·
¸
7 ¸
7 ¸
¸
21¸
14 ¸¹
a la primera fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos 2 veces la cuarta fila, a
la segunda fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos 2 veces la cuarta fila, a la
tercera fila le multiplicamos por 23 y luego le restamos la cuarta fila, a la quinta fila
le multiplicamos por 23 y luego le restamos la cuarta fila:
§161 0
0
0 42 203 ·
¨
¸
0 42 119 ¸
¨ 0 161 0
¨ 0
0 161 0 21 182 ¸
¨
¸
0
0 23 2
21 ¸
¨ 0
¨ 0
0
0
0 1
1 ¸¹
©
a la primera fila le restamos 42 veces la quinta fila, a la segunda fila le restamos 42
veces la quinta fila, a la tercera fila le restamos 21 veces la quinta fila, a la cuarta fila
le restamos 2 veces la quinta fila:
§161 0
0
0 0 161 ·
¨
¸
0 0 161¸
¨ 0 161 0
¨ 0
0 161 0 0 161 ¸
¨
¸
0
0 23 0 23 ¸
¨ 0
¨ 0
0
0
0 1
1 ¸¹
©
en esta matriz podemos observar que el sistema de ecuaciones lineales tiene
solución única y ésta se expresa de la siguiente manera:
x = 1, y = -1, z = 1, u = -1, w =1. ’
EJ E M P L O 4.2.9
¿Cuál es la condición para que tres rectas
­ a1 x b1 y c1 0
°
® a2 x b2 y c2 0
°a x b y c 0
3
3
¯ 3
pasen por un punto?
SO L U C I O N
Las tres rectas forman un sistema de ecuaciones lineales no homogéneo
­ a1 x b1 y c1 0
°
® a2 x b2 y c2 0
°a x b y c 0
3
3
¯ 3
y, para que estas tres rectas pasen por un punto, el determinante formado por los
coeficientes del sistema y términos independientes debe ser igual a cero, es decir:
a1 b1 c1
a2 b2 c2 0 . ’
a3 b3 c3
I II. M E T O D O D E C R A M E R
La definición de un determinante de n x n es sugerida por sistemas de n ecuaciones
en incógnitas y en el presente método se deducirá la regla de Cramer, que expresa
las soluciones como cocientes de determinantes.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
163
Para el trabajo numérico, son preferibles otras fórmulas, pero la regla de Cramer
tiene un interés práctico. Aunque para la resolución numérica es el método de
reducción más rápido, sobre todo si los coeficientes son números decimales, tiene
gran importancia la resolución por medio de determinantes, pues permite hacer a
discusión completa de los sistemas de ecuaciones lineales.
El valor de cada incógnita se obtiene dividiendo por el determinante del sistema, el
determinante formado sustituyendo por los términos independientes que están en los
segundos miembros, la columna que forman los coeficientes de dicha incógnita.
T E O R E M A 4.2.15
Sea A una matriz no singular de n x n. Entonces la única solución del
sistema no homogéneo A X = B está dada por
Det( A kB )
x k = xk
para k = 1, 2, ..., n,
Det( A )
donde A kB es la matriz de orden n x n que se obtiene reemplazando la
columna k de A con B.
D E M OST R A C I O N
Si Det(A) z 0, entonces la matriz A es no singular y, por lo tanto X = A -1 B es la
solución única de A X = B. Por consiguiente se tiene
X = A -1 B
1
=
˜ Adj( A ) ˜ B
Det( A )
Det( A n1 ) · § b1 ·
§ Det( A 11 ) Det( A 21 )
¨
¸¨ ¸
Det( A n 2 ) ¸ ¨ b2 ¸
1 ¨ Det( A 12 ) Det( A 22 )
=
¸¨ ¸
Det( A ) ¨
¨¨
¸¨ ¸
Det( A nn ) ¸¹ ¨© bn ¸¹
© Det( A 1n ) Det( A 2 n )
§ b1Det( A 11 ) + b2 Det( A 21 ) + + bn Det( A n1 ) ·
¨
¸
1 ¨ b1Det( A 12 ) + b2 Det( A 22 ) + + bn Det( A n 2 ) ¸
=
.
¸
Det( A ) ¨
¨¨
¸¸
© b1Det( A 1n ) + b2 Det( A 2 n ) + + bn Det( A nn ) ¹
Por tanto, el elemento de la j-ésima fila de X es
b1Det( A 1 j ) + b2 Det( A 2 j ) + + bn Det( A nj )
x( j ) =
.
Det( A )
Ahora, sea
a1 j 1 b1 a1 j 1
a1n ·
§ a11 a12
¨
¸
a2 j 1 b2 a2 j 1
a2 n ¸
¨ a21 a22
Aj ¨
¸,
¨
¸
¨ an1 an 2
anj 1 bn anj 1
ann ¸¹
©
Dado que A j difiere de A únicamente en la j-ésima columna, los cofactores de los
elementos b1, b2, ..., bn de A j son iguales a los cofactores de los elementos
correspondientes que están en la j-ésima columna de A. Como consecuencia, el
desarrollo por cofactores de Det(A j) a lo largo de la j-ésima columna es
Det(A j) = b1Det(A 1j) + b2Det(A 2j) + ... + bnDet(A nj).
Det( A j )
Al sustituir este resultado en (1) se obtiene x j
.
Det( A )
Para resolver un sistema de n ecuaciones en n incógnitas por la regla de Cramer, se
necesita evaluar n + 1 determinantes de n x n. Desde el punto de vista del cálculo,
para sistemas con más de tres ecuaciones, la eliminación gaussiana resulta superior,
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
164
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
puesto que sólo se ha de reducir una matriz aumentada (A | B) de n x n + 1. Sin
embargo, la regla de Cramer da una fórmula para la solución.
Debemos mencionar que es posible, aunque no muy práctico, aplicar la regla de
Cramer a sistemas de m ecuaciones lineales en n incógnitas. Si la matriz de los
coeficientes A y la matriz aumentada (A | B) tienen el mismo rango k, se sabe que
pueden asignárseles valores arbitrarios a n ± k incógnitas apropiadas, llamémoslas
xk+1, xk+2, ..., xn, tales que la submatriz de los coeficientes de las otras incógnitas x1, x2,
..., xk tenga rango k.
Esto implica que A y (A | B) tienen k vectores filas linealmente independientes,
digamos los primeros k vectores fila, y si k < m, entonces cualquiera de los otros
vectores fila es una combinación lineal de aquellos. Se deduce que las m ± k
ecuaciones correspondientes pueden reducirse a la forma 0 = 0 mediante operaciones
elementales. De esto se ve que pueden omitirse esas m ± k ecuaciones del sistema.
Ahora puede escribirse el sistema reducido en la forma
­ a11 x1 a12 x2 a1k xk b1 ( a1 k 1 xk 1 a1 n xn )
°
° a21 x1 a22 x2 a2 k xk b2 ( a2 k 1 xk 1 a2 n xn )
®
°
° a x a x a x b (a
a k n xn )
k2 2
kk k
k
k k 1 xk 1 ¯ k1 1
donde, si k = n, las expresiones de la derecha son b1, b2, ..., bk y resolverlo para x1,
x2, ..., xk mediante la regla de Cramer.
% RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES clc;;clear;; fprintf('\n METODO DE CRAMER \n') fil=input('Ingrese el numero de incognitas: ');; %Ingreso de elementos fprintf('Ingrese los coeficientes del sistema de ecuaciones\n') for f=1:fil for c=1:fil fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('\n Ingrese los terminos independientes\n') %for f=1:fil for c=1:fil fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(c,1)=input(' :');; end %end N=A(:,:);; A for c=1:fil N(:,c)=B(:,1) DetN=det(N) DetA=det(A) fprintf('\n La incognita (%d) es igual X : ', c) X=det(N)/det(A);; X N=A(:,:);; end end if DetA==0 fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n') end end % RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
165
clc;;clear;; fprintf('\n METODO DE CRAMER GENERALIZADO \n') fil=input('Ingrese el numero de incognitas: ');; %Ingreso de elementos fprintf('Ingrese los coeficientes del sistema de ecuaciones\n') for f=1:fil for c=1:fil fprintf('Ingrese el elemento A:(%d,%d)',f,c) A(f,c)=input(' :');; end end fprintf('\n Ingrese los terminos independientes\n') %for f=1:fil for c=1:fil fprintf('Ingrese el elemento B:(%d,%d)',f,c) B(c,1)=input(' :');; end end fprintf('LA MATRIZ A ES :\n') A end DetA=det(A) end fprintf('LA MATRIZ B ES:\n') B fprintf('LA INVERSA DE A ES:\n') C=inv(A) fprintf('EL VECTOR SOLUCION X ES:\n') X=inv(A)*B;; X end end if DetA==0 fprintf('EL SISTEMA DE ECUACIONES NO TIENE SOLUCION\n') end end EJ E M P L O 4.2.10
Resolver el sistema
­ x 3 y 4z 1
°
a.- ® x y 3z 14 ;
° y 3z 5
¯
­ ( a 1) x y z a 2 3a
°°
b.- ® x ( a 1) y z a 3 3a 2 .
°
4
3
°̄ x y ( a 1) z a 3a
SO L U C I O N
a.- La matriz de coeficientes es
§ 1 3 4 ·
¨
¸
¨ 1 1 3 ¸ .
¨ 0 1 3 ¸
©
¹
Encontramos que Det(A) = 13. Por la regla de Cramer,
§ 1 3 4 ·
§ 1 1 4 ·
1
117
1
10
¨
¸
¨
¸
x
Det ¨ 14 1 3 ¸ 9 , y
Det ¨ 1 14 3 ¸ ,
13
13
13
13
¨ 5 1 3 ¸
¨ 0 5 3 ¸
©
¹
©
¹
§ 1 3 1 ·
1
25
¨
¸
z
Det ¨ 1 1 14 ¸ .
13
13
¨ 0 1 5¸
©
¹
b.- La matriz de coeficientes es
A
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
166
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
1
1 ·
§ a 1
¨
¸
1
a
1
1
¨
¸
¨ 1
1
a 1¸¹
©
Encontramos que Det(A) = a3 + 3a2. Por la regla de Cramer,
A
x
2
1
1
2
1
1
a 1
1
1
a 1
a 4 3a 3
a 3 3a 2
a 1
a 3a
a 3a
1
1
3
3
a 3 3a 2
y
z
a 2 3a
1
a 1
a 2 3a
1
1
a 3 3a 2
1
1
1
4
a 3a
a 2 3a
a 1 a 3 3a 2
1
a 4 3a 3
3
3a 2 2 a 3 a 5
a 3 3a 2
a2 2 ,
2 a 4 5 a 3 3a 2
2a 1 ,
a 3 3a 2
a 1
a 6 5 a 5 5 a 4 4 a 3 3a 2
a 3 3a 2
a 3 2a 2 a 1
EJ E M P L O 4.2.11
Utilizando el método de Cramer, solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales:
­ x 2 y 3z 4u 5w 13
­ x 2 y 3z 4u w 1
°2 x y 2 z 3u 4w 10
° 2 x y 3z 4u 2w 8
°°
°°
a.- ® 2 x 2 y z 2u 3w 11 ; b.- ® 3x y z 2u w 3 .
° 2 x 2 y 2 z u 2w 6
°4 x 3 y 4 z 2u 2 w 2
°
°
°̄ 2 x 2 y 2 z 2u w 3
°̄ x y z 2u 3w 3
SO L U C I O N
a.- Calculamos los determinantes correspondientes:
13 2 3 4 5
1 13 3 4 5
10 1 2 3 4
2 10 2 3 4
' x 11 2 1 2 3 0 , ' y
2 11 1 2 3 62 ,
6 2 2 1 2
2 6 2 1 2
3 2 2 2 1
2 3 2 2 1
'z
1
2
2
2
2
2 13 4 5
1 10 3 4
2 11 2 3
2 6 1 2
2 3 2 1
62 , 'u
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3 13 5
2 10 4
1 11 3
2 6 2
2 3 1
0,
1 2 3 4 13
1 2 3 4 5
2 1 2 3 4
2 1 2 3 10
'w
2 2 1 2 11 93 , ' 2 2 1 2 3 31 .
2 2 2 1 2
2 2 2 1 6
2 2 2 2 1
2 2 2 2 3
A continuación reemplazamos en cada una de las variables, y obtenemos la solución
general:
' y 62
'x 0
'u 0
' z 62
1 , u
x
0, y
0,
2, z
'
31
' 31
' 31
' 31
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
167
' w 93
3.
' 31
b.- Calculamos los determinantes correspondientes:
1 2 3 4 1
1 1 3 4 1
8 1 3 4 2
2 8 3 4 2
'x
3 1 1 2 1 96 , ' y
3 3 1 2 1
2 3 4 2 2
4 2 4 2 2
3 1 1 2 3
1 3 1 2 3
w
'z
1 2 1 4 1
2 1 8 4 2
3 1 3 2 1
4 3 2 2 2
1 1 3 2 3
96 , 'u
1 2 3 1 1
2 1 3 8 2
3 1 1 3 1
4 3 4 2 2
1 1 1 3 3
0,
96 ,
1 2 3 4 1
1 2 3 4 1
2 1 3 4 8
2 1 3 4 2
'w
48 , ' 3 1 1 2 1 48 .
3 1 1 2 3
4 3 4 2 2
4 3 4 2 2
1 1 1 2 3
1 1 1 2 3
A continuación reemplazamos en cada una de las variables, y obtenemos la solución
general:
'y
' x 96
'u 96
' z 96
0
2 , u
x
2, y
2 ,
0, z
'
48
' 48
'
48
' 48
' w 48
w
1. ’
' 48
EJ E M P L O 4.2.12
Analizar según los parámetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
­ (5a 1) x 2 ay (4 a 1) z 1 a
­ ax ay ( a 1) z a
°
°
a.- ® (4 a 1) x ( a 1) y (4 a 1) z 1 ; b.- ® ax ay ( a 1) z a .
°2(3a 1) x 2 ay (5a 2) z 2 a
°( a 1) x ay (2 a 3) z 1
¯
¯
SO L U C I O N
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
5a 1
2a 4a 1
4a 1 a 1 4a 1 a 3 a
2(3a 1) 2 a 5a 2
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
­ az0
°
a3 ± a z 0 Ÿ a(a2 ± 1) z 0 Ÿ a(a ± 1)(a + 1) z 0 Ÿ ® a z 1
° a z 1
¯
por lo tanto a  ƒ \ {-1, 0, 1}. Cuando a = -1:
§ 1 1 1 1 · §1 1 3 1·
¨
¸ ¨
¸
¨ a c c d ¸ | ¨ 0 0 2 2 ¸
¨ 2
¨1 1 4 1¸
2
2
2¸
¹
©a c c d ¹ ©
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
168
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, si a = -1, el
sistema es inconsistente.
Cuando a = 0:
§ 1 0 1 1 · §1 1 3 1·
¨
¸ ¨
¸
¨ 1 1 1 1¸ | ¨ 0 0 2 2 ¸
¨ 2 0 2 2 ¸ ¨ 0 0 1 0 ¸
¹ ©
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 2. Por lo tanto, si a = 0, el
sistema es indeterminado.
Cuando a = 1:
§6 2 5 2 · §6 2 5 2·
2( a 1)
3
a
¨
¸ ¨
¸
3
2
¨ 3 0 3 1¸ | ¨ 0 2 1 4 ¸ | 4 a 1 a 1 2 a 1 a 6 a 11a 6
¨ 8 2 7 1 ¸ ¨ 0 2 1 5 ¸
5 a 4 a 1 3a 4
¹ ©
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, si a = 1, el
sistema es inconsistente.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema A X = B a la izquierda por
A -1, para obtener el vector solución X = A -1 B:
§ 5a 7 a 2 ·
§ 3a 2 a 2
4a 2 a 1 ·
2 ¨
¸
¨
¸
a2 1 ¸
a ( a 1)
a ( a 1) ¸
¨
¨
§1 a · ¨
1 ¨
1 4a
4a 1 ¸ ¨
8a 2 7 a ¸
¸
¸.
X
1
¨
¸ ¨ 1 ¸ ¨
2
1 a ¨
a 1
a 1
¸ ¨ 2 a ¸ ¨ a 1 ¸
©
¹ ¨ 2
¸
¨ 2a 2 2a 2
3a 2 2 a 1 ¸
¨ 5a 2 a 1 ¸
¨
¸
2
¨
¸
¨ a2 1 ¸
a ( a 1)
a ( a 1) ¹
©
©
¹
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
a
a a 1
a
a a 1
2 a
a 1 a 2a 3
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero: - 2a z 0 Ÿ a z 0 por lo tanto
a  ƒ \ {0}.
Cuando a = 0:
§0 0 1 0· §0 0 1 0·
¨
¸ ¨
¸
¨ 0 0 1 0 ¸ | ¨ 0 0 0 0 ¸
¨1 0 3 1¸ ¨1 0 3 1¸
¹ ©
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = 0, el sistema es indeterminado.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema A X = B a la izquierda por
A -1, para obtener el vector solución X = A -1 B:
a4
a2
§
·
1¸
¨ 2
2
¨
¸ § a · §1 a ·
¨ a 2 3a 1
¸¨ ¸ ¨
a2 a 1
¸
X ¨
1¸ ¨ a ¸ ¨ a ¸ . ’
2a
2a
¨
¸ ¨1¸ ¨ 0 ¸
¹
1
1
¨
¸© ¹ ©
0¸
¨
2
2
©
¹
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
169
EJ E M P L O 4.2.13
Analizar según los parámetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
­ ax (2 a 1) y ( a 2) z 1
°
a.- ®
;
( a 1) y ( a 3) z 1 a
° ax (3a 2) y (3a 1) z 2 a
¯
2( a 1) x 3 y az a 4
­
°
b.- ®(4 a 1) x ( a 1) y (2 a 1) z 2 a 2 .
° (5a 4) x ( a 1) y (3a 4) z a 1
¯
SO L U C I O N
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
a 2a 1 a 2
0 a 1 a 3
a 3 a 2 2a
a 3a 2 3a 1
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
­ az0
°
a3 + a2 ± 2a z 0 Ÿ a(a2 + a ± 2) z 0 Ÿ a(a ± 1)(a + 2) z 0 Ÿ ® a z 1
° a z 2
¯
por lo tanto a  ƒ \ {-2, 0, 1}. Cuando a = -2:
§ 2 5 0 0 · § 2 5 0 0 · § 2 5 0 0 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 0 3 5 1¸ | ¨ 0 3 5 1 ¸ | ¨ 0 3 5 1 ¸
¨ 2 8 5 4 ¸ ¨ 0 3 5 4 ¸ ¨ 0 0 0 5 ¸
¹ ©
¹ ©
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = -2, el sistema es inconsistente. Cuando a = 0:
§ 1 1 1 1 · § 0 1 2 1 · § 0 1 2 1 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ a c c d ¸ | ¨0 0 5 0¸ | ¨0 0 5 0¸
¨ 2
¨0 0 3 0¸ ¨0 0 0 0¸
2
2
2¸
¹ ©
¹
©a c c d ¹ ©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) =
a = 0, el sistema es indeterminado. Cuando a = 1:
§1 1 3 1· §1 1 3 1· §1 1
¨
¸ ¨
¸ ¨
¨ 0 0 2 2 ¸ | ¨ 0 0 2 2 ¸ | ¨ 0 0
¨ 1 1 4 1 ¸ ¨ 0 0 1 0 ¸ ¨ 0 0
¹ ©
¹ ©
©
2. Por lo tanto, cuando
3 1·
¸
2 2 ¸
0 2 ¸¹
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = 1, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema A X = B a la izquierda por A -1, para obtener el vector solución X = A -1 B:
§ 4 a 2 12 a 10 ·
§
9a 7
3a 2 5 a 3
a 2 8a 5 ·
¨
¸
¨
¸
¨ a ( a 1)( a 2) a (1 a )( a 2) a ( a 1)( a 2) ¸ § 1 · ¨ (1 a )( a 2) ¸
¨ 3a 2 3a 2 ¸
¨
¸¨
a 3
2a 1
a 3
¸
¸.
X ¨
¸ ¨1 a ¸ ¨ ¨ (1 a )( a 2) ¸
( a 1)( a 2)
(1 a )( a 2) ¸ ¨
¨ ( a 1)( a 2)
¸
¸
¨
¸ ©2 a¹ ¨
1
1
1
2a
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
a2
a2
a2
a2
©
¹
©
¹
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
170
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2( a 1)
3
a
4 a 1 a 1 2 a 1 a 3 6 a 2 11a 6
5 a 4 a 1 3a 4
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
­a z1
°
a3 - 6a2 + 11a - 6 z 0 Ÿ (a ± 1)(a ± 2)(a - 3) z 0 Ÿ ® a z 2
°a z 3
¯
por lo tanto a  ƒ \ {1, 2, 3}.
Cuando a = 1:
§4 3 1 5· §4 3 1 5 · §4 3 1 5 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 3 2 1 4 ¸ | ¨ 0 1 1 1¸ | ¨ 0 1 1 1¸
¨ 1 2 1 0 ¸ ¨ 0 5 5 5 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸
¹ ©
¹ ©
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = 1, el sistema es indeterminado.
Cuando a = 2:
§ 6 3 2 6· §6 3 2 6·
¨
¸
¸ ¨
¨ 7 3 3 6 ¸ | ¨ 0 3 4 6 ¸
¨ 6 3 2 1¸ ¨0 0 0 5¸
¹
¹ ©
©
podemos observar que el Rang(A)
a = 2, el sistema es inconsistente.
Cuando a = 3:
§ 8 3 3 7· §8
¨
¸ ¨
¨11 4 5 8 ¸ | ¨ 0
¨11 4 5 2 ¸ ¨ 0
¹ ©
©
= 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, cuando
3 3 7 · §8 3 3 7 ·
¸ ¨
¸
1 12 13 ¸ | ¨ 0 1 12 13 ¸
1 12 61¸¹ ¨© 0 0 0 48 ¸¹
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = 3, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema A X = B a la izquierda por A -1, para obtener el vector solución X = A -1 B:
§
·
§ 2 a 2 4 a 15 ·
a 1
a 6
a 2 5a 3
¨
¸
¨
¸
¨ ( a 1)( a 2) ( a 1)( a 3) (1 a )( a 2)( a 3) ¸ a 4
¨ ( a 2)( a 3) ¸
· ¨
¨
¸ §¨
¸
2a
a4
3a 2
a 18
¸ ¨ 2 a 2 ¸¸ ¨
¸
X ¨
¨ (1 a )( a 2) ( a 1)( a 3) (1 a )( a 2)( a 3) ¸ ¨
¨ ( a 2)( a 3) ¸
¸
¨
¸ © a 1 ¹ ¨ 2
¸
a 1
2a 7
2 a 2 8a 5
¨
¸
¨ 3a 3a 21 ¸
¨ (1 a )( a 2) (1 a )( a 3) ( a 1)( a 2)( a 3) ¸
¨ (2 a )( a 3) ¸
©
¹
©
¹
EJ E M P L O 4.2.14
Analizar según los parámetros dados y solucionar los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales:
­ x ay a 2 z a 3
­
x yz 1
°°
°
2
3
a.- ® x by b z b ; b.- ® ax by cz d .
° 2
°
2
3
2
2
2
¯a x b y c z d
°̄ x cy c z c
SO L U C I O N
a.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
171
1 a
a2
1 b b2
1 c
c
( a b)( a c )( c b)
2
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
­b z a
°
(a ± b)(a ± c)(c - b) z 0 Ÿ ® c z a Ÿ a z b z c
°b z c
¯
Cuando a = b:
§ 1 b b 2 b3 · § 1 b b 2
b3 ·
¨
¸ ¨
¸
2
3
¨1 b b b ¸ | ¨ 0 0 0
0
¸
¨
¸ ¨
¨1 c c 2 c 3 ¸ ¨© 1 0 bc bc (b c ) ¸¹
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = b, el sistema es indeterminado.
Cuando a = c:
§1 c c 2 c 3 · § 1 c c 2
c3 ·
¨
¸ ¨
¸
¨1 b b 2 b3 ¸ | ¨ 1 0 bc bc (b c ) ¸
¨
¸ ¨
¸
0
¨1 c c 2 c 3 ¸ ¨© 0 0 0
¹
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 2. Por lo tanto, cuando
a = c, el sistema es indeterminado.
Cuando b = c:
§1 a a 2 a 3 · § 1 0 ac ac ( a c ) ·
¨
¸ ¨
¸
¨1 c c 2 c 3 ¸ | ¨ 1 c c 2
c3 ¸
¨
¸ ¨
¸
0
¨1 c c 2 c 3 ¸ ¨© 0 0 0
¹
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 2. Por lo tanto, cuando
b = c, el sistema es indeterminado.
Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales, debemos encontrar la inversa de la
matriz de coeficientes y luego multiplicamos el sistema A X = B a la izquierda por
A -1, para obtener el vector solución X = A -1 B:
§
·
bc
ac
ab
¨
¸
(
a
b
)(
a
c
)
(
a
b
)(
c
b
)
(
a
c
)(
b
c
)
¨
¸ § a3 · §
abc
·
¨
¸¨ 3¸ ¨
bc
ac
a b
¸
¨
¸
X ¨
¸ b
¨ ab ac bc ¸ .
(
a
b
)(
c
a
)
(
a
b
)(
b
c
)
(
a
c
)(
c
b
)
¨
¸ ¨¨ 3 ¸¸ ¨ a b c ¸
¹
¨
¸©c ¹ ©
1
1
1
¨
¸
© ( a b)( a c ) ( a b)( c b) ( a c )(b c ) ¹
b.- El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes del
sistema:
1 1 1
a b c
( a b)( a c )(c b)
a 2 b2 c 2
Para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, el determinante de la
matriz de coeficientes debe ser diferente de cero:
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172
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
­b z a
°
(a ± b)(a ± c)(c - b) z 0 Ÿ ® c z a
°b z c
¯
Ÿ a z b z c.
Cuando a = b:
§ 1 1 1 1 · §1 1
1
1
1
1 · §1 1
·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
|
|
0
0
b
c
b
d
b
b
c
d
0
0
b
c
b
d
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 2
¨
¸
¨0 0
2
2
2¸
2
2
2
2¸
0
(
c
d
)(
b
d
)
¹
©b b c d ¹ ©0 0 b c b d ¹ ©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = b, el sistema es inconsistente.
Cuando a = c:
§ 1 1 1 1 · §1
1
1
1
1
1
1 · §1
·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
cd
¨ c b c d ¸ | ¨0 c b 0 c d ¸ | ¨0 c b 0
¸
¨ 2
¨
¸
¨0
2
2
2¸
2
2
2
2¸
0
0
(
b
d
)(
c
d
)
c
b
c
d
0
c
b
0
c
d
¹
©
¹ ©
¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, cuando
a = c, el sistema es inconsistente.
Cuando b = c:
§ 1 1 1 1 · §1
1
1
1 ·
¨
¸ ¨
¸
|
a
c
c
d
0
a
c
a
c
a
d ¸
¨
¸ ¨
¨ 2
¨
¸
2
2
2¸
2
2
a2 c2 a2 d 2 ¹
© a c c d ¹ ©0 a c
§1
1
1
1
·
¨
¸
ad
¨0 a c a c
¸
¨0
0
0 ( c d )( a d ) ¸¹
©
podemos observar que el Rang(A) = 2 y el Rang(A» B) = 3. Por lo tanto, cuando
b = c, el sistema es inconsistente. Para solucionar el sistema de ecuaciones lineales,
debemos encontrar la inversa de la matriz de coeficientes y luego multiplicamos el
sistema A X = B a la izquierda por A -1, para obtener el vector solución X = A -1 B:
§
·
§ (b d )(c d ) ·
bc
bc
1
¨
¸
¨
¸
¨ ( a b)( a c ) ( a b)( c a ) ( a b)( a c ) ¸ § 1 · ¨ ( a b)( a c ) ¸
¨
¸ ¨ ¸ ¨ ( a d )(d c ) ¸
ac
ac
1
X ¨
¸¨ d ¸ ¨
¸. ’
¨ ( a b)( c b) ( a b)(b c ) ( a b)( c b) ¸ ¨ 2 ¸ ¨ ( a b)(b c ) ¸
¨
¸ © d ¹ ¨ ( a d )(b d ) ¸
ab
a b
1
¨
¸
¨
¸
© ( a c )(b c ) ( a c )( c b) ( a c )(b c ) ¹
© ( a c )(b c ) ¹
I V. M E T O D O D E C H O L ESK Y
Si una matriz A de n x n y todas sus submatrices cuadradas principales son no
singulares, entonces A = L U donde L y U son las matrices triangulares inferior y
superior respectivamente. L y U son esencialmente únicas y se especifican los
elementos diagonales de L o bien, de U, son únicas. El punto es que pueden
obtenerse L y U sin resolver ecuaciones simultáneas. Para resolver un sistema A X =
B de n ecuaciones en n incógnitas, ahora puede introducirse A = L U, teniendo L U X
= B, y premultiplicando por L -1. Esto da U X = C donde C = L -1 B, y se ve que ésta es
la forma triangular del sistema. Primero se determina C a partir de L C = B y, a
continuación, se resuelve U X = C para X.
Los métodos numéricos se usan principalmente en aquellos problemas para los que
se sabe que la convergencia es rápida, de modo que se obtiene la solución con mucho
menos trabajo que con un método directo, y para sistemas de orden grande pero con
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
173
muchos coeficientes cero, para los cuales los métodos de eliminación serían
relativamente laboriosos y necesitarían mucha memoria en un computador. Los
métodos de cálculo numérico tienen un gran interés en ciertas aplicaciones de las
Matemáticas a la resolución de problemas en variadas áreas de la ingeniería, y entre
aquellos métodos destacan los que hacen referencia a la resolución de sistemas de
ecuaciones lineales.
EJ E M P L O 4.2.15
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
­ x 2 y 3z 14
°
®2 x 3 y 4 z 20 .
° 3x 4 y z 14
¯
SO L U C I O N
La matriz A de coeficientes del sistema es simétrica. Esto
pueden determinarse los elementos de U a partir de
0 ·§ a11 a12
§ 1 2 3 · § a11 0
¸¨
¨
¸ ¨
2
3
4
a
a
0 ¸¨ 0 a22
22
¨
¸ ¨ 12
¨3 4 1¸ ¨ a
¸¨
0
©
¹ © 13 a23 a33 ¹© 0
implica que L = U T y
a13 ·
¸
a23 ¸
a33 ¸¹
multiplicando e igualando los elementos correspondientes. Sucesivamente se obtiene
2
·
a11 a12
a11 a13
§ 1 2 3 · §¨ a11
¸
¨
¸
2
2
a12
a22
a12 a13 a22 a23 ¸
¨ 2 3 4 ¸ ¨ a11 a12
¨ 3 4 1 ¸ ¨¨
2
2
2 ¸
¸
a23
a33
©
¹ © a11 a13 a12 a13 a22 a23 a13
¹
2
­
a11
1, a11 a12 2, a11 a13 3
­ a11 1, a12 2
°
°
°
2
2
Ÿ ® a13 3, a22 i .
® a11 a12 2, a12 a22 3, a12 a13 a22 a23 4
°
°a
2
2
2
¯ 23 2i , a33 2i
°̄ a11 a13 3, a12 a13 a22 a23 4, a13 a 23 a33 1
De aquí que L C = B tiene la forma
§ c1 · §14 ·
§ 1 0 0 · § c1 · § 14 ·
¨ ¸ ¨ ¸
¨
¸¨ ¸ ¨ ¸
¨ 2 i 0 ¸ ¨ c2 ¸ ¨ 20 ¸ Ÿ ¨ c2 ¸ ¨ 8i ¸
¨ 3 2i 2i ¸ ¨ c ¸ ¨ 14 ¸
¨ c ¸ ¨ 6i ¸
©
¹© 3 ¹ © ¹
© 3¹ © ¹
Ahora se resuelve
§ 1 2 3 · § x1 ·
¨
¸¨ ¸
¨ 0 i 2i ¸ ¨ x2 ¸
¨ 0 0 2i ¸ ¨ x ¸
©
¹© 3 ¹
§ x1 ·
§14 ·
¨ ¸
¨ ¸
Ÿ
8
i
¨ x2 ¸
¨ ¸
¨ 6i ¸
¨x ¸
© ¹
© 3¹
§1·
¨ ¸
¨ 2¸ . ’
¨ 3¸
© ¹
V. M E T O D O D E G A USS - SE I D E L
Sea A X = B un sistema de ecuaciones lineales dado n ecuaciones. Sean X 0, X 1, ... la
sucesión iterativa de las aproximaciones sucesivas de Gauss ± Seidel,
correspondientes a una aproximación inicial X 0. Se dice que el método converge para
un X 0, si la sucesión iterativa correspondiente converge a una solución del sistema de
ecuaciones dado.
Sin pérdida de generalidad, puede suponerse a ij = 1 para j = 1, 2, ..., n, debido a que
puede lograrse esta forma de A, rearreglando las ecuaciones de modo que no se anule
coeficiente diagonal alguno y, a continuación, dividiendo cada ecuación por el
coeficiente diagonal que corresponda. Entonces puede escribirse A = I + L´ + U´,
donde I es la matriz identidad de n filas y L´ y U´ son, respectivamente, matrices
triangulares inferior y superior con diagonales principales nulas.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
174
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sustituyendo esta forma de A en A X = B, se tiene (I + L´ + U´)X = B. Se
acostumbra hacer L´ = - L y U´ = -U; entonces (I ± L ± U)X = B, de donde de hecho,
U es triangular superior y sus elementos (I ± L)X = B + U X. De esto se obtiene la
fórmula de Gauss ± Seidel
(I ± L)X m+1 = B + U X m m = 0, 1, ... (1)
diferentes de cero corresponden a esas posiciones en las que todavía tienen que
usarse las aproximaciones antiguas porque las nuevas correspondientes todavía no
están disponibles. En contraste, L es triangular inferior y sus elementos diferentes de
cero corresponden a aquellas posiciones en las que los elementos de la nueva
aproximación X m+1 ya se tienen disponibles. Resolviendo (1) para X m+1, se tiene
X m+1 = (I ± L)-1 B + C X m (2)
-1
donde C = (I ± L) U. La iteración de Gauss ± Seidel es un método de correcciones
sucesivas porque se reemplazan las aproximaciones por unas nuevas
correspondientes, tan pronto como éstas se han calculado. Este método recibe el
nombre de método de correcciones simultáneas si no se usa elemento alguno de una
aproximación X m+1 hasta que se han calculado todos los elementos X m+1.
EJ E M P L O 4.2.16
Utilizando el método de Gauss-Seidel y cuatro cifras significativas, solucionar los
siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
­ w 0.25 x 0.25 y 0.50
­ 4.1x 0.1y 0.2 z 0.2u 21.14
° 0.25w x 0.25 z 0.50
°0.3x 5.3 y 0.9 z 0.1u 17.82
°
°
a.- ®
; b.- ®
.
0.25
w
y
0.25
z
0.25
°
° 0.2 x 0.3 y 3.2 z 0.2u 9.02
°¯ 0.25 x 0.25 y z 0.25
°¯ 0.1x 0.1y 0.2 z 9.1u 17.08
SO L U C I O N
a.- Se escribe el sistema en la forma
­ w 0.25 x 0.25 y 0.50
° x 0.25w 0.25 z 0.50
°
(1)
®
° y 0.25w 0.25 z 0.25
°¯ z 0.25 x 0.25 y 0.25
y se usan estas ecuaciones para la iteración; es decir, se parte de una aproximación a
la solución, digamos w0 = 1, x0 = 1, y0 = 1, z0 = 1 y calculamos una aproximación
presumiblemente mejor
w1 0.25 0.25 0.50 1.0000
­ w1 0.25 x0 0.25 y0 0.50
­
° x 0.25w 0.25 z 0.50
°
x1 0.25 0.25 0.50 1.0000
° 1
°
1
0
Ÿ ®
(2)
®
y1 0.25 0.25 0.25 0.7500
° y1 0.25w1 0.25 z0 0.25
°
°¯ z1 0.25 x1 0.25 y1 0.25
°¯ z1 0.25 (0.25)(0.7500) 0.25 0.6875
Se ve que estas ecuaciones se obtienen de las (1), sustituyendo a la derecha las
aproximaciones más recientes. En efecto, elementos correspondientes reemplazan a
los previos tan pronto como se han calculado, de modo que en la segunda y tercera
ecuaciones se usa w1 y en la última ecuación de (2) se usa x1 y y1. El siguiente paso
da
­ w2 0.25 x1 0.25 y1 0.50
° x 0.25w 0.25 z 0.50
° 2
2
1
®
y
0.25
w
0.25
z
2
1 0.25
° 2
°¯ z2 0.25 x2 0.25 y2 0.25
­
°x
° 2
®
° y2
°¯ z2
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
w2 0.25 (0.25)(0.75) 0.50 0.9375
(0.25)(0.9375) (0.25)(0.6875) 0.50 0.9062
(3)
(0.25)(0.9375) (0.25)(0.6875) 0.25 0.6563
(0.25)(0.9062) (0.25)(0.6562) 0.25 0.6405
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
175
­ w3
°x
° 3
®
° y3
°¯ z3
­ w3 0.25 x2 0.25 y2 0.50
° x 0.25w 0.25 z 0.50
° 3
3
2
®
y
0.25
w
0.25
z
3
2 0.25
° 3
°¯ z3 0.25 x3 0.25 y3 0.25
(0.25)(0.9062) (0.25)(0.6563) 0.50
(0.25)(0.8906) (0.25)(0.6405) 0.50
(0.25)(0.8906) (0.25)(0.6405) 0.25
(0.25)(0.8827) (0.25)(0.6327) 0.25
0.8906
0.8827
(4)
0.6327
0.6288
­ w4
°x
° 4
®
° y4
°¯ z4
­ w4 0.25 x3 0.25 y3 0.50
° x 0.25w 0.25 z 0.50
° 4
4
3
®
y
0.25
w
0.25
z
4
4
3 0.25
°
°¯ z4 0.25 x4 0.25 y4 0.25
(0.25)(0.8827) (0.25)(0.6327) 0.50
(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6288) 0.50
(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6288) 0.25
(0.25)(0.8788) (0.25)(0.6268) 0.25
0.8788
0.8768
(5)
0.6268
0.6263
­ w5
°x
° 5
®
° y5
°¯ z5
­ w5 0.25 x4 0.25 y4 0.50
° x 0.25w 0.25 z 0.50
° 5
5
4
®
y
0.25
w
0.25
z
5
4 0.25
° 5
°¯ z5 0.25 x5 0.25 y5 0.25
(0.25)(0.8768) (0.25)(0.6268) 0.50
(0.25)(0.8758) (0.25)(0.6263) 0.50
(0.25)(0.8758) (0.25)(0.6263) 0.25
(0.25)(0.8755) (0.25)(0.6255) 0.25
0.8758
0.8755
(6)
0.6255
0.6252
­ w6
°x
° 6
®
° y6
°¯ z6
­ w6 0.25 x5 0.25 y5 0.50
° x 0.25w 0.25 z 0.50
° 6
6
5
®
y
0.25
w
0.25
z
6
6
5 0.25
°
°¯ z6 0.25 x6 0.25 y6 0.25
(0.25)(0.8755) (0.25)(0.6255) 0.50
(0.25)(0.8752) (0.25)(0.6252) 0.50
(0.25)(0.8752) (0.25)(0.6252) 0.25
(0.25)(0.8751) (0.25)(0.6251) 0.25
0.8752
0.8751
(7)
0.6251
0.6250
­ w7 0.25 x6 0.25 y6 0.50
° x 0.25w 0.25 z 0.50
° 7
7
6
®
y
0.25
w
0.25
z
7
6 0.25
° 7
°¯ z7 0.25 x7 0.25 y7 0.25
(0.25)(0.8751) (0.25)(0.6251) 0.50
(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.50
(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.25
(0.25)(0.8750) (0.25)(0.6250) 0.25
0.8750
0.8750
(8)
0.6250
0.6250
­ w7
°x
° 7
®
° y7
°¯ z7
Ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
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176
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
r
x
y
z
w
0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1
1.0000
0.7500
0.6875
1.0000
2
0.9062
0.6563
0.6405
0.9375
3
0.8827
0.6327
0.6288
0.8906
4
0.8768
0.6268
0.6263
0.8788
5
0.8758
0.8755
0.6255
0.8758
6
0.8751
0.6251
0.6250
0.8752
7
0.8750
0.6250
0.6250
0.8750
La solución exacta es w = x = 0.875, y = z = 0.625.
b.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:
0.1y 0.2 z 0.2u 21.14
­
°x
4.1
°
0.3
x
0.9
z
0.1u 17.82
°y
°
5.3
®
0.2
x
0.3
y
0.2u 9.02
°z
°
3.2
°
0.1
x
0.1
y
0.2 z 17.08
°u
°̄
9.1
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
r
x
y
z
u
0
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1
5.0340
-3.7980
2.7970
-1.8010
2
5.2000
-4.1650
2.9960
-1.7990
3
5.1990
-4.1990
3.0000
-1.8000
4
5.2000
-4.2000
3.0000
-1.8000
5
5.2000
-4.2000
3.0000
-1.8000
De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 5.2, y = -4.2, z = 3, u = -1.8 ’
EJ E M P L O 4.2.17
Aplicar la iteración de Gauss ± Seidel a los sistemas siguientes, partiendo de 1, 1, 1.
­ 10 x y z 13
­4 x 2 y z 14
°
°
a.- ® x 10 y z 36 ; b.- ® x 5 y z 10 .
° x y 10 z 35
° x y 8 z 20
¯
¯
SO L U C I O N
a.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:
y z 13
­
° x
10
°
x z 36
°
®y
10
°
°
x y 35
°z
10
¯
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
r
x
y
z
0
1.0000
1.0000
1.0000
1
1.5000
3.3500
3.9850
2
2.0330
2.9980
4.0030
3
2.0000
2.9990
4.0000
4
2.0000
3.0000
4.0000
De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 2, y = 3, z = 4.
b.- El sistema de ecuaciones se escribe en la forma:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
177
2 y z 14
­
°x
4
°
x
z 10
°
®y
5
°
°
x y 20
°z
8
¯
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
r
x
y
z
0
1.0000
1.0000
1.0000
1
2.7500
1.6500
1.9500
2
2.1870
1.9520
1.9820
3
2.0280
1.9900
1.9970
4
2.0050
1.9980
1.9990
5
2.0010
1.9990
2.0000
6
2.0000
2.0000
2.0000
De aquí concluimos que la solución exacta es: x = 2, y = 2, z = 2. ’
V I. M E T O D O D E J A C O BI
Una técnica iterativa para resolver el sistema de ecuaciones lineales A X = B,
comenzando con la aproximación inicial x(0) a la solución x, consiste en generar una
sucesión de aproximaciones x(0), x(1), ..., x(n) que convergerán a la solución x, donde
bi xi(1)
j 1, j z i
ai j x(0)
j
(0)
(0)
bi ai 1 x1(0) ... ai i 1 xi(0)
1 ai i 1 xi 1 ... ai n xn
ai i
bi xi(2)
n
¦
n
¦
j 1, j z i
ai i
ai j x (1)
j
(2)
(2)
bi ai 1 x1(2) ... ai i 1 xi(2)
1 ai i 1 xi 1 ... ai n xn
ai i
ai i
bi xi( r 1)
n
¦
j 1, j z i
ai j x (j r )
, r = 0, 1, 2, ...
ai i
expresión que se denomina fórmula de iteración de Jacobi. Matricialmente este
método es similar a la iteración de Gauss ± Seidel, pero que consiste en no usar
valores mejorados hasta que se ha completado el paso y a continuación, reemplazar
completamente X m por X m+1 para el ciclo siguiente.
De aquí que si se escribe A X = B en la forma X = B + (I ± A)X, la iteración de
Jacobi en notación matricial es X m+1 = B + (I ± A)X n. Este método tiene un gran
interés teórico. Converge para toda elección de X 0 si, y sólo si, el radio espectral de
I ± A es menor que 1; aquí nuevamente se supone a ij = 1 para j = 1, 2, ...
EJ E M P L O 4.2.18
Resuelva el siguiente sistema:
­ 7x y 4z 8
°
®3x 8 y 2 z 4
° 4x y 6z 3
¯
Realizar los cálculos con tres decimales redondeados.
SO L U C I O N
Analicemos previamente si la matriz de coeficientes es estrictamente diagonal
dominante, ya que es condición suficiente para que el proceso iterativo sea
convergente
| 7 | > | -1 | + | 4 |, | -8 | > | 3 | + | 2 | y | -6 | > | -4 | + | 1 |
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
178
Luego, efectivamente, cumple la condición suficiente de convergencia. Las fórmulas
de iteración de Jacobi para este sistema serán:
­ ( r 1) 1
(8 x2( r ) 4 x3( r ) )
° x1
7
°
° ( r 1) 1
(4 3 x1( r ) 2 x3( r ) )
® x2
8
°
° ( r 1)
1
(3 4 x1( r ) x2( r ) )
° x3
6
¯
Comencemos con la aproximación inicial x1(0) x2(0) x3(0) 0 . Entonces, la primera
iteración resulta
­ (1) 8
1,143
° x1
7
°
° (1) 4
0,5
® x2
8
°
° (1)
3
0,5
° x3
6
¯
y la segunda
1
­
x1(2)
(8 0,5 2) 1,5
°
7
°
1
°
(2)
(4 3, 429 1) 0,804
® x2
8
°
° (2)
1
(3 4,572 0,5) 1,179
° x3
6
¯
Así sucesivamente hasta que se cumpla la condición de paro establecida. En la
siguiente tabla se muestran las iteraciones necesarias, que resultan ser diez. ’
r
x1
x2
x3
0
0.000
0.000
0.000
1
1,143
0,500
-0,500
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
2
1,500
0,804
-1,179
3
1,931
0,768
-1,366
4
2,033
0,883
-1,659
5
2,217
0,848
-1,708
6
2,240
0,904
-1,837
7
2,322
0,881
-1,843
8
2,322
0,910
-1,901
9
2,359
0,895
-1,896
10
2,354
0,911
-1,923
EJ E M P L O 4.2.19
Partiendo de 0, 0, 0, demuestre que la iteración de Gauss ± Seidel converge para el
sistema siguiente
­2 x y z 4
°
®x 2 y z 4
°x y 2z 4
¯
mientras que la iteración de Jacobi diverge.
SO L U C I O N
Aplicando el método de Gauss ± Seidel, el sistema de ecuaciones se escribe en la
forma:
2 y z 14
­
°x
4
°
x
z 10
°
®y
5
°
°
x y 20
°z
8
¯
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
r
x
y
z
0
0.0000
0.0000
0.0000
1
2.0000
1.0000
0.5000
2
1.2500
1.1250
0.8125
179
3
1.0310
1.0780
0.9455
4
0.9882
1.0330
0.9893
5
0.9888
1.0100
1.0000
6
0.9950
1.0020
1.0010
7
0.9984
1.0000
1.0000
8
1.0000
1.0000
1.0000
de aquí concluimos que la solución exacta es: x = 1, y = 1, z = 1
Para Aplicar el método de Jacobi, analicemos previamente si la matriz de
coeficientes es estrictamente diagonal dominante, ya que es condición suficiente para
que el proceso iterativo sea convergente | 2 | > | 1 | + | 1 |, | 2 | > | 1 | + | 1 | y | 2 | > | 1 |
+ | 1 |. Podemos darnos cuenta que no se cumple la condición de Jacobi, por lo tanto
este método diverge. ’
EJ E M P L O 4.2.20
Resulta evidente pensar que la iteración de Gauss ± Seidel es mejor que la iteración
de Jacobi. En realidad, los métodos no son comparables. Ilustrar este hecho,
demostrando que para el sistema
­ xz 2
°
® x y 0
° x 2 y 3z 0
¯
la iteración de Jacobi converge, mientras que la iteración de Gauss ± Seidel diverge.
SO L U C I O N
Analicemos previamente si la matriz de coeficientes es estrictamente diagonal
dominante, ya que es condición suficiente para que el proceso iterativo sea
convergente | 1 | > | 1 |, | 1 | > | 1 | y | -3 | > | 1 | + | 2 |. Podemos darnos cuenta que no
se cumple la condición de Jacobi. Las fórmulas de iteración de Jacobi para este
sistema serán:
­
x ( r 1) 2 z ( r )
°
°
y ( r 1) x ( r )
®
°
1 (r)
° z ( r 1)
( x 2 y( r ) )
3
¯
Comencemos con la aproximación inicial
x(0) y(0) z (0) 0
En la siguiente tabla se muestran las iteraciones necesarias:
r
x
y
z
0
0.0000
0.0000
0.0000
11
0.8070
0.2229
0.4862
1
2.0000
0.0000
0.0000
12
1.5130
0.8070
0.4176
2
2.0000
2.0000
0.6666
13
1.5820
1.5130
1.0420
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
3
1.3330
2.0000
2.0000
4
0.0000
1.3330
1.7770
5
0.2229
0.0000
0.8886
6
1.1110
0.2229
0.0743
7
1.9250
1.1110
0.5189
14
0.9580
1.5820
1.5360
15
0.4640
0.9580
1.3740
16
0.6260
0.4640
0.7933
17
1.2060
0.6260
0.5180
18
0.7940
1.2060
0.8193
19
1.1800
0.7940
1.0680
23
1.0190
0.9030
1.0190
24
0.9809
1.0190
0.9416
25
1.0580
0.9809
1.0060
26
0.9940
1.0580
1.0060
27
0.9940
0.994
1.0360
28
0.9640
0.994
0.9940
8
1.4810
1.9250
1.3820
20
0.9320
1.1800
0.9226
9
0.6180
1.4810
1.7770
21
1.0770
0.9320
1.0970
10
0.2229
0.6180
1.1930
22
0.9030
1.0770
0.9803
de aquí concluimos que la solución exacta es:
x = 1, y = 1, z = 1
JOE GARCIA ARCOS
180
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Aplicando el método de Gauss ± Seidel, el sistema de ecuaciones se escribe en la
forma:
­
° x z 2
°
® y x
°
x 2y
°z
3
¯
Comenzando el proceso y ubicando todos los resultados en una tabla, obtenemos:
r
x
y
z
0
0
0
0
1
2
2
2
2
0
0
0
3
2
2
2
4
0
0
0
...
...
...
...
De aquí concluimos que este método diverge.
PR O B L E M AS
4.2.1 ¿Cuál es la condición para que tres puntos P(a, b),
Q (c, d), R(e, f) estén situados en una recta?
4.2.6 Hallar la ecuación de la recta que pasa por los
puntos P(a, b), Q (c, d).
4.2.2 Una compañía minera trabaja en tres minas, cada
una de las cuales produce minerales de tres clases. La
primera mina puede producir 4 Tm del mineral A, 3 Tm
del B y 5 Tm del C; la segunda mina puede producir 1 Tm
de cada uno de los minerales y, la tercera mina, 2 Tm del
A, 4 Tm del B y 3 Tm del C, por cada hora de
funcionamiento. Cuántas horas se debe trabajar en cada
mina para satisfacer los tres pedidos siguientes:
A B C
P1 19 25 25
P2 13 16 16
P3 8 12 10
4.4.7 Un espía sabe que en un aeropuerto hay
es2acionados 60 aviones entre cazas y bombarderos. El
agente conoce además que en el aeropuerto se han
introducido 200 cohetes para equipar a estos 60 aviones,
de manera que cada caza lleva 6 de dichos cohetes y cada
bombardero 2. ¿Cuál es el número de cazas y
bombarderos que hay en el aeropuerto?
4.2.3 Determinar el valor de k, utilizando el método de
Gauss-Jordan, para que el siguiente sistema no tenga
solución:
­4 x 2 y kz 2
°
yz 0
.
®
° 2x y z 3
¯
4.2.4 Plantear el sistema de ecuaciones lineales que
permite obtener el polinomio de tercer grado que es
divisible por (x ± 3) y (x + 1) y además tiene resto -3 y -15
al dividir respectivamente por (x ± 2) y (x + 2).
4.2.5 Hallar el polinomio f(t) de tercer grado para el cual
f(1) = -2, f(2) = -4, f(3) = -2, f(4) = 10.
4.2.13 Una empresa se dedica a la fabricación de cuatro
tipos de jabón. Desde la compra de materias primas
hasta la disposición para la distribución se realizan las
siguientes fases:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
4.2.8 Escribir la ecuación de la circunferencia que pasa
por los puntos
P(2, 1), Q(1, 2), R(0, 1).
4.2.9 ¿Cuál es la condición para que cuatro puntos
P(a, b), Q(c, d), R(e, f), S(m, n)
estén situados en una circunferencia?
4.2.10 Hallar la ecuación de la curva de segundo orden
que pasa por los puntos
P(0, 0), Q(1, 0), R(-1, 0), S(1, 1), T(-1, 1).
4.2.11 Hallar la ecuación de la parábola de tercer grado
que pasa por los puntos
P(1, 0), Q(0, -1), R(-1, -2), S(2, 7).
4.2.12 Formar la ecuación de la esfera que pasa por los
puntos
P(1, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(1, 1, 1), S(0, 1, 1).
I.
Se mezclan los dos tipos de materias primas
utilizadas, grasa vegetal y sosa cáustica.
II. Se introduce la mezcla obtenida en unos moldes
preparados para el efecto.
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
181
III. Los bloques obtenidos en la fase anterior se cortan
y troquelan.
IV. Las pastillas así obtenidas se envasan en cajas de
cartón de doscientas unidades.
Jabón
J1
J2
J3
J4
S. mezclado
Kg grasa
20
25
40
50
Kg sosa
10
15
20
22
Si se dispone durante una semana de 1970 kg de grasa
vegetal, 970 de sosa cáustica, 601 hora/máquina en la
sección de moldeados y de 504 horas/máquina en la
Los recursos necesarios para producir los cuatro tipos
de jabones, por caja fabricada, vienen dados en la
siguiente tabla:
S. moldeado
Hora / máquina
10
8
10
15
S. troquelado
Hora / máquina
3
4
7
20
sección de troquelado, ¿cuántas cajas de jabones de
cada tipo se pueden producir, utilizando todos los
recursos disponibles, en una semana?
4.2.14 Resolver mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones:
­ x 3y z 1
­ 2x y z 8
­4 x 5 y 6 z 3
­2 x y 6 z 3
°
°
°
°
a.- ® 2 x 2 y z 0 ;
b.- ® 5 x 3 y 2 z 3 ;
c.- ®8 x 7 y 3 z 9 ;
d.- ® x 3 y 2 z 5 ;
° x y 4z 1
°5 x 6 y 3z 2
°7 x y 3z 20
°7 x 8 y 9 z 6
¯
¯
¯
¯
­ x 5 y 2 z 3
°
f.- ® 2 x 8 y z 1 ;
° 3x 3 y 5 z 5
¯
­2 x y 5 z 2
°
j.- ® x 8 y 6 z 8 ;
° x 3y z 5
¯
­ 2 x y 3z 1
°
g.- ® x 5 y 2 z 4 ;
°3x 5 y 7 z 2
¯
­7 x 9 y 9 z 0
°
n.- ® x 12 y 5 z 5 ;
°3x 7 y 6 z 6
¯
­ x 5 y 9z 9
°
o.- ®5 x 3 y 3z 0 ;
° x y 3z 9
¯
­5 x 10 y z 5
°
q.- ® x 9 y 3z 1 ;
° 9x 5 y z 5
¯
­ 7x 9 y z 0
°
r.- ® x 9 y 7 z 1 ;
°2 x 5 y 7 z 2
¯
­x 9 y 7z 8
°
s.- ® x 7 y 9 z 1 ;
°x 8 y 2z 7
¯
­ x 9 y 7z
°
p.- ® x 8 y 2 z
°7 x 7 y 4 z
¯
­2x 3 y 9z
°
t.- ®7 x 7 y 4 z
° 5 x 8 y 3z
¯
­5 x 5 y 7 z 7
°
u.- ®2 x 9 y 2 z 2 ;
°9x 5 y 9z 9
¯
­ x 9 y 7z 7
°
v.- ® 3x y 9 z 3 ;
°5 x 7 y 9 z 5
¯
­ 6 x 9 y 3z 3
°
w.- ®2 x 4 y 8 z 2 ;
°7 x 9 y 5z 3
¯
­x 9 y 7z 5
°
x.- ® x 7 y 5 z 4 .
° x 9 y 5z 5
¯
­5 x 3z 4(1 y )
°
e.- ® 2( z 2 x) 8 y ;
° 2 y 3x 14 z
¯
­ x y 3z 0
°
i.- ® x 4 y z 1 ;
° x 7 y 3z 2
¯
­5x 5 y 9 z 5
°
m.- ® 7 x 6 y z 3 ;
°2 x 7 y 5 z 0
¯
­x 9 y 6z 8
°
k.- ® x 5 y 3z 1 ;
° 5x y z 7
¯
­7 x 4 y 3z 3
°
h.- ® 4 x 3 y z 1 ;
°6 x 7 y 3 z 6
¯
­ 7x 9 y z 0
°
l.- ®4 x 6 y 3z 1 ;
° x 7 y 5z 2
¯
0
1 ;
2
9
8;
7
4.2.15 Determine de ser posible los valores de a, para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única, tenga
más de una solución, no tenga solución y encuentre la solución general del sistema en términos de a :
­2 x 3 y az 1
­ ax 2 ay z 2
­ x y ( a 1) z 1
°
°
°
a.- ® ax y z 1 ;
b.- ® x y az a ;
c.- ® x ( a 1) y z 1 ;
° x y az 1
° 2 x y az 1
°( a 1) x y z 1
¯
¯
¯
­( a 1) x y z 2 a 3
°
d.- ® ( a 1) x y z 1 ;
° 2 x 4 y az 2
¯
­ x ( a 1) y z 1
°
g.- ® ax y ( a 1) z 1 ;
° x yz a
¯
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
­ x ay az 1
°
e.- ® ax ay z 1 ;
° ax y az 1
¯
­( a 1) x y az 1
°
x yz a
h.- ®
;
° 3x 2 y az 1
¯
­ x ay z
°
f.- ® ax y z
° x y az
¯
­ x 3ay z
°
i.- ® x 3 y z
° x yz
¯
1
a ;
1
0
a ;
1
JOE GARCIA ARCOS
182
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
­4 x 3 y az
°
j.- ® 2 x 3 y 3z
° x y az
¯
­ x ay 3z
°
m.- ® x y az
° 2x y z
¯
a
1;
a
2
3;
a
­ ax ( a 2) y z
°
p.- ® 2 x ( a 1) y z
° 3x ( a 1) y z
¯
­( a 2) x y z
°
s.- ® x ( a 3) y z
° x y ( a 4) z
¯
1
1;
1
2
3;
4
­2 ax 2 y 3z 1
°
v.- ® x 3ay z 1 ;
° x y 4 z 1
¯
­ x (2 a 1) y z 1
°
k.- ®(2 a 1) x y z 2 ;
° x y (2 a 1) z 3
¯
­ ax y z 1
°
n.- ® x a 2 y z 0 ;
° x y az 1
¯
­ (2 a 1) x y z
°
l.- ® x (2 a 2) y z
° x y (2 a 3) z
¯
­ ( a 1) x y z
°
o.- ®( a 2) x y z
° ( a 3) x y z
¯
­ x yz 1
°
q.- ®2 x y z 1 ;
° ax y z a
¯
­0.2 ax 0.1y z 0.2
°
t.- ® 0.1x 0.3 y z 0.1 ;
° 0.3x 0.4 y z 0.3
¯
­3ax 2 y 3z 1
°
r.- ® x 2 ay 3z 1 ;
° x y 3az 1
¯
­ x 3ay z 2
°
u.- ® 3ax y z 1 ;
° x y 3az 3
¯
­ x y ( a 3) z 1
°
w.- ® x ( a 3) y z 1 ;
°( a 3) x y z 1
¯
­ x y az a 3 a 2
°°
x.- ® x y z a 2 a .
° x y az a
°̄
1
1;
1
1
1;
1
4.2.16 Determine de ser posible los valores de a y b, para que el sistema de ecuaciones lineales tenga solución única,
tenga más de una solución, no tenga solución y encuentre la solución general del sistema en términos de a y b:
­ ax y z 4
­ ax by z 1
­bx ( a 1) y z 1
­ (2b 1) x y z 1
°
°
°
°
a.- ® x by z 3 ;
b.- ® x aby z b ;
c.- ® ax y ( a 1) z 1 ;
d.- ® x (2b 1) y z b ;
° x 2by z 4
° x by az 1
° x yz a
° x y (2b 1) z 1
¯
¯
¯
¯
­ ax y z
°
e.- ® x ay z
° x y az
¯
­ x by az
°
i.- ® bx ay z
° ax y az
¯
b
c;
d
1
1 ;
b
­ x ay z
°
f.- ®bx y z
° x yz
¯
­ x 3 y bz
°
j.- ® x by z
° x yz
¯
b
a;
1
0
a ;
b
­ x y (b 1) z 1
°
g.- ® x ( a 1) y z b ;
° (b 1) x y z 1
¯
­2bx 2 y 3z 1
°
k.- ® x 3ay z b ;
° x by 4 z 1
¯
­ x (2 a 1) y z
°
h.- ®(2 a 1) x y z
° x y (2b 1) z
¯
­ ax (b 2) y z
°
l.- ® bx ( a 1) y z
° 3x (b 1) y z
¯
1
b;
3
1
1;
1
­ x by az 2
°
m.- ® bx y z 3 ;
° 2x y z 1
¯
­bx 3 y bz b
°
n.- ® 2 x by 3z 1 ;
° x y az a
¯
­ (b 1) x y z 1
°
o.- ®( a 2) x y z b ;
° (b 3) x y z 1
¯
­0.2bx 0.1y z 0.2
°
p.- ® 0.1x 0.3by z 0.1 ;
°0.3x 0.4 y az 0.3
¯
­ bx y z 1
°
q.- ® x a 2 y z b ;
° x y bz 1
¯
­ ax y z b
°
r.- ® x by z 3 ;
° x y az b
¯
­bx 3 y az 1
°
s.- ® ax by z 1 ;
° bx y az b
¯
­ x y ( a 3) z b
°
t.- ® x (b 3) y z 1 ;
° ( a 3) x y z 1
¯
­ x yz b
°
u.- ®bx y z 1 ;
° ax by z a
¯
­ x 3ay az 2
°
v.- ® 3bx y z b ;
° x y 3z 3
¯
­3ax 2 y 3z b
°
w.- ® bx 2 ay 3z 1 ;
° x y 3bz 1
¯
­ x y z b3 b 2
°°
x.- ® x y z a 2 a .
° x yz b
°̄
4.2.17 Solucionar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales utilizando un método numérico:
­3.2 x 5.4 y 4.2 z 2.2u 2.6
­7.9 x 5.6 y 5.7 z 7.2w
° 2.1x 3.2 y 3.1z 1.1u 4.8
°8.5 x 4.8 y 0.8 z 3.5w
°
°
a.- ®
;
b.- ®
1.2
x
0.4
y
0.8
z
0.8
u
3.6
°
° 4.3x 4.2 y 3.2 z 9.3w
°¯ 4.7 x 10.4 y 9.7 z 9.7u 8.4
°¯ 3.2 x 1.4 y 8.9 z 3.3w
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
6.68
9.95
;
8.6
1
JOE GARCIA ARCOS
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
­ 2.5 x 1.25 y 3.75 z 5u 0.625
° 4.125 x 2.75 y 5.5 z 4.125u 1.25
°
c.- ®
;
° 8.125 x 4.875 y 3.25 z 1.625u 0.625
°¯5.25 x 5.25 y 1.75 z 3.5u 0, 625
­2.4 x 0.2 y 0.3 z 1.1u 5.8w 23.84
° 0.3x 0.1y 1.1z 10.2u w 38.85
°°
e.- ®0.5 x 6.2 y 0.1z 1.5u 1.2w 17.23 .
°0.1x 2.1y 5.1z 0.2u 0.3w 6.56
°
°̄ 2.5 x 0.1y 0.2 z 0.3u 0.4w 6.63
183
­3.2 x 5.4 y 4.2 z 2.2u 2.6
° 2.1x 3.2 y 3.1z 1.1u 4.8
°
d.- ®
;
°1.2 x 0.4 y 0.8 z 0.8u 3.6
°¯ 4.7 x 10.4 y 9.7 z 9.7u 8.4
4.2.18 Resolver mediante el método de eliminación de Gauss-Jordan los siguientes sistemas de ecuaciones:
­ x y z u 2
­ x y z u 1
­2 x y 2 z u
° x y 3z u 1
° x y z u 2
° x y 3z 3u
°
°
°
a.- ®
;
b.- ®
;
c.- ®
x
y
2
z
2
u
1
2
x
y
2
z
u
1
°
°
° 3x y 3z u
°¯ 3 x y z u 1
°¯ x 2 y z 2u 2
°¯ x y z 3u
­ 2x 3 y z u
°3 x 2 y 5 z u
°
d.- ®
° x 3 y 2z u
°¯ x y 2 z 3u
­ 3x y 2 z u
° x 3y z u
°
g.- ®
° x y 3z u
°¯ x y z 3u
0
1
;
0
1
1
2
;
1
1
0
1
;
0
1
­ x 2 y z 2u 0
° x 3y z u 1
°
e.- ®
;
°3 x y z 2u 0
°¯ x y 2 z u 1
­ x y z 3u
° x y 3z u
°
f.- ®
°x 3y z u
°¯ 3 x y z u
­ 5 x y 3z u 2
° x 3 y 2 z u 2
°
h.- ®
;
°3x 2 y z 2u 1
°¯ x y 2 z u 1
­2 x 2 y 3z 3u 1
° 2 x 2 y z 2u 1
°
i.- ®
;
° x 3 y 2 z 3u 1
°¯ x 3 y z 2u 1
3
2
;
1
1
­ x 2 y 3z u
°2 x 3 y 2 z u
°
j.- ®
° x 2 y 3z u
°¯ 2 x 3 y z 2u
3
1
;
2
1
­ 4x 3 y 2z u
°5 x 4 y 3 z u
°
k.- ®
° x 4 y 5 z 2u
°¯2 x y 2 z 3u
1
2
;
1
2
­ 3x y 3z u
° 2x 3 y 2z u
°
l.- ®
°3 x 2 y z 3u
°¯4 x 3 y z 3u
­ x 2 y z 3u
° x 2 y 3z 2u
°
m.- ®
° 3x y 2 z u
°¯ x y 3z 2u
5
3
;
1
2
­ x 3 y z 2u
° x 2 y 2 z 2u
°
n.- ®
° x 2 y 3z u
°¯ x 3 y z u
1
­ 5 x 3 y z 2u
°4 x 3 y 2 z 2u
°
o.- ®
° 3x 2 y 3z 3u
°¯ 2 x y z 4u
­ 3x 5 y 7 z u
° x 7 y 5 z 3u
°
p.- ®
°2 x 7 y 4 z u
°¯ x 5 y 4 z 3u
4
3
;
2
1
­ x 7 y 5 z 3u 5
°4 x y 3z 2u 2
°
q.- ®
;
° 5 x 3 y z 4u 3
°¯ x 6 y 4 z u 2
­ 7 x 12 y 4 z 3u
° 3x 7 y 5 z 4u
°
r.- ®
° 2 x 5 y 12 z u
°¯ x 12 y 15 z 2u
­ 4 x 3 y z 5u
° x 10 y z 3u
°
t.- ®
°4 x 2 y 5 z u
°¯ x 5 y 3z 2u
­3 x 4 y 5 z u
° x 5 y 6 z 2u
°
u.- ®
°2 x 4 y 4 z u
°¯ x 5 y 5 z 3u
­2 x 4 y 5 z 6u
° x 3 y 3 z 4u
°
s.- ®
° 3x y 2 z 3u
°¯ x 4 y 2 z 5u
1
1
;
3
2
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1
2
3
5
2
;
3
1
;
3
1
;
2
4
1
2
;
3
4
5
2
;
3
4
4
1
.
3
2
JOE GARCIA ARCOS
184
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
4.3 C U EST I O N A RI O
Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,
indicar por que lo es:
4.3.1 Si las matrices aumentadas de dos sistemas de
ecuaciones lineales son equivalentes por filas, entonces los
dos sistemas tienen el mismo conjunto solución.
4.3.4 Si A es una matriz de orden m x n, entonces, para
cada B  ƒm, entonces el sistema de ecuaciones A X = B
tiene un número indeterminado de soluciones.
4.3.8 Para que un sistema homogéneo de n ecuaciones
lineales con n incógnitas tenga soluciones no nulas es
necesario y suficiente que el determinante de la matriz de
coeficientes sea diferente de cero.
4.3.7 Para que un sistema homogéneo de ecuaciones
lineales sea inconsistente, es necesario y suficiente que el
rango de la matriz de coeficientes sea menor que el
número de variables.
4.3.10 La solución general de un sistema no homogéneo
de ecuaciones lineales es igual a la suma de la solución
general del sistema homogéneo asociado y de una solución
cualquiera, pero fija, del sistema no homogéneo.
4.3.9 Cualquier combinación lineal de unas soluciones
de un sistema homogéneo de ecuaciones lineales será
también una solución del mismo.
4.3.6 Para que un sistema no homogéneo de ecuaciones
lineales sea inconsistente, es necesario y suficiente que el
rango de la matriz de coeficientes sea igual al rango de la
matriz aumentada.
4.3.5 Un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene
un número indeterminado de soluciones si, y sólo si el
sistema tiene por lo menos una variable libre.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
4.3.2 Un sistema de ecuaciones lineales es consistente si
y sólo si la columna del extremo derecho de la matriz
aumentada es una columna pivote.
4.3.3 El sistema de ecuaciones A X = B tiene solución
única si y sólo si B es una combinación lineal de las
columnas de A.
JOE GARCIA ARCOS
O BJ E T I V O
Resolver problemas relacionados con los espacios vectoriales reales o complejos, interpretándolos como una
estructura algebraica, utilizando matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en
situaciones reales, propias de la ingeniería.
C O NT ENID O:
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
ESPACIOS VECTORIALES
SUBESPACIOS VECTORIALES
COMBINACIONES LINEALES. SUBESPACIOS GENERADOS
INTERSECCION Y SUMA DE SUBESPACIOS. SUMA DIRECTA
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
BASE Y DIMENSION
VECTOR DE COORDENADAS Y CAMBIO DE BASE
CUESTIONARIO
5.1 ESP A C I OS V E C T O R I A L ES
En esta sección se generalizará el concepto de vector. Se enunciará un conjunto de axiomas que, si una clase
de objetos hace que se cumplan, permitirá denominar vectores a esos objetos. Los axiomas se elegirán abstrayendo las propiedades más importantes de los vectores en ƒn. El trabajo desarrollado en esta sección es muy
útil, ya que proporciona una herra mienta poderosa para extender la representación geométrica a una a mplia
variedad de problemas matemáticos importantes en los que de otra forma no se contaría con la intuición geométrica.
La resolución de los problemas de cualquier género se reduce, al fin y al cabo, al
estudio de ciertos conjuntos y, en primer lugar, al estudio de la estructura de dichos conjuntos. Para estudiar la estructura de conjuntos se emplean los más diversos métodos. Por ejemplo, partiendo de la propiedad característica que poseen los
elementos o bien partiendo de las propiedades de las operaciones, si están definidas para los elementos.
El último método parece ser de atracción especial debido a su generalidad. Efectivamente, ya hemos visto repetidamente que en los más diversos conjuntos pueden introducirse las más diversas operaciones que, no obstante, poseen propiedades iguales. Será evidente por esta razón que si en la investigación de los conjuntos se obtiene cierto resultado sólo en la base de las propiedades de una operación, este resultado tendrá lugar en todos los conjuntos, donde las operaciones
poseen las mismas propiedades. En este caso la naturaleza concreta tanto de los
elementos como de las operaciones sobre ellos puede ser completamente diferente.
186
ESPACIOS VECTORIALES
Se conoce que en realidad detrás de los vectores están los objetos físicos bien
reales. Por esto, la investigación detallada de la estructura de los conjuntos representa interés por lo menos para la física. Hay una tentación, originada por la sencillez de los conjuntos citados, que conduce al deseo de estudiarlos apoyándose
sólo en las peculiaridades concretas de los elementos. Sin embargo, no podemos
sino observar el hecho de que dichos conjuntos tienen mucho en común, razón
por la cual parece racional comenzar su estudio partiendo de ciertas posiciones
generales, abrigando esperanza, por lo menos, que tendremos éxito en evitar repeticiones fastidiosas y monótonas al pasar de la investigación de un conjunto a la
del otro.
No se desarrollaran las diferentes propiedades de los cuerpos abstractos y no
trataremos de cuerpo específico alguno que no sea de los números racionales,
reales y complejos. Es conveniente y cómodo, por el momento, no especificar la
naturaleza exacta del cuerpo de escalares, porque gran parte de los espacios vectoriales es válida para cuerpos arbitrarios. El estudiante que no conoce los cuerpos
abstractos no estará en desventaja, pues basta con que piense en K como en uno
de los cuerpos que le son familiares. Todo lo que importa es que podamos efectuar las operaciones de adición y sustracción, multiplicación y división, en la
forma usual. Más adelante tendremos que restringir a K al cuerpo de los números
reales o al cuerpo de los números complejos, para obtener ciertos resultados clásicos; pero se pospondrá ese momento tanto como podamos. En general, usaremos
letras minúsculas del alfabeto latino para denotar a los vectores. Una excepción es
el vector nulo que se denotará por ‡.
D E F I N I C I O N 5.1.1
Sea V un conjunto cualesquiera no vacío de elementos sobre el que están
definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares.
Por adición se entiende una regla que asocia a cada par de elementos u y
v en V un elemento u + v denominado suma de u y v; por multiplicación
escalar se entiende una regla que asocia a cada escalar D y cada elemento
u en V un elemento Du, denominado múltiplo escalar de u por D. Si los
elementos u, v, w en V y los escalares D y E satisfacen los axiomas siguientes, entonces V se denomina espacio vectorial, y sus elementos se
denominan vectores:
1.- Si u, v están en V, entonces u + v está en V.
2.- Si u, v están en V, entonces u + v = v + u.
3.- Si u, v, w están en V, entonces u + (v + w) = (u + v) + w.
4.- Existe un único elemento ‡ en V, denominado vector cero de V, tal
que se cumple que ‡ + u = u + ‡ = u para todo u en V.
5.- Para todo u en V existe un elemento -u en V, denominado opuesto
de u, tal que se cumple u + (-u) = (-u) + u = ‡.
6.- Si D es cualquier escalar y u es cualquier elemento en V, entonces
Du está en V.
7.- Si u, v están en V y D es un escalar, entonces D(u + v) = Du + Dv.
8.- Si u está en V y D, E son escalares, entonces (D + E)u = Du + Eu.
9.- Si u está en V y D, E son escalares, entonces D(Eu) = (DE)u.
10.- Si u está en V y 1 es un escalar, 1u = u.
Los elementos de cualquier espacio vectorial los llamaremos vectores, a pesar de
que según su naturaleza concreta dichos elementos pueden ser bien distintos de
los segmentos dirigidos. Las representaciones geométricas, relacionadas con el
nombre de vectores, nos ayudaran en aclarar y, con frecuencia, en prever los
resultados necesarios, como también en buscar la interpretación geométrica de
diferentes hechos la cual no siempre resulta obvia. Cualquier tipo de objeto pueALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
187
de ser un vector, y es posible que las operaciones de adición y multiplicación
escalar no guarden ninguna relación o semejanza con las operaciones vectoriales
usuales sobre R n. El único requisito es que se cumplan los axiomas de la definición de espacio vectorial.
A continuación damos a conocer algunas propiedades que provienen de la existencia de las operaciones de adición y multiplicación por un número. Conciernen,
en lo esencial, a los vectores nulo y opuesto.
T E O R E M A 5.1.1
Sean V un espacio vectorial, u un elemento de V y a un escalar, entonces
se cumple lo siguiente:
1.- 0u = ‡.
2.- a‡ = ‡.
3.- (-1)u = -u.
4.- Si au = ‡, entonces a = 0 o u = ‡.
D E M OST R A C I O N
1.- Se puede escribir
0u + 0u = (0 + 0)u = 0u
Por el axioma 5, el vector 0 u tiene un negativo: -0u. Al sumar este negativo a
ambos miembros de la última expresión se obtiene
(0u + 0u) + (-0u) = 0u + (-0u)
o
0u + (0u + (-0u)) = 0u + (-0u)
0u + ‡ = ‡
0u = ‡
2.- Ya que a(v + ‡) = av + a‡, entonces a‡ = ‡.
3.- Para probar (-1)u = -u, es necesario demostrar que u + (-1)u = ‡. Para ver
esto, obsérvese que
u + (-1)u = 1u + (-1)u = (1 + (-1))u = 0u = ‡.
4.- Efectivamente, si la igualdad au = ‡ se realiza, puede haber una de las dos
posibilidades: o bien a = 0 o bien a z 0. El caso a = 0 confirma la afirmación. Sea
ahora, a z 0. En este caso
1
1
§1 ·
u 1˜ u ¨ ˜ a ¸ u
( au )
˜ ‡ = ‡.
a
a
a
©
¹
De esta forma, desde el punto de vista de las operaciones de multiplicación, adición y sustracción tienen lugar formalmente todas las reglas de transformaciones
equivalentes para las expresiones algebraicas.
En algunas aplicaciones, es necesario alterar la definición de espacio vectorial
para que los escalares sean números complejos. Entonces se habla de un espacio
vectorial complejo. En gran medida, la teoría de los espacios vectoriales reales es
igual que la teoría de los espacios vectoriales complejos. En consecuencia, a lo
largo del capítulo, se puede reemplazar la expresión espacio vectorial por espacio
vectorial complejo.
E J E M P L O 5.1.1
Considérese las funciones f : ƒ o ƒ. Dentro del conjunto de todas estas funciones
está el subconjunto que consiste en todas las funciones f derivables dos veces que
satisfacen a la ecuación diferencial f ´´ + f = 0, donde cada signo de prima indica
derivación. Por supuesto, f ´´ es nuevamente una función de ƒ en ƒ. Podemos
afirmar que el subconjunto ƒ(ƒ) formado por todas las funciones f que satisfacen la
ecuación diferencial, es un espacio vectorial sobre ƒ, donde utilizamos las mismas
operaciones de suma y producto por escalares en este subconjunto que en ƒ(ƒ).
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
188
ESPACIOS VECTORIALES
SO L U C I O N
Verifíquense los axiomas (1) y (6). Para hacerlo con (1), hemos de demostrar que si
las funciones f y g satisfacen ambas la ecuación diferencial, entonces también la
satisfará f + g. Pero esto es trivial, puesto que de f ´´ + f = 0 y g´´ + g = 0 obtenemos
fácilmente (f + g)´´ + (f + g) = 0. De forma análoga, si D es un número real, entonces
de f ´´ + f = 0 se halla que (Df)´´ + (Df) = 0. Por tanto, también es satisfecho el
axioma (6). Los otros axiomas automáticamente se cumplen. ’
E J E M P L O 5.1.2
Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales:
a.- En (-f; f), los polinomios de grado mayor o igual que 2;
b.- En (-f; f), los polinomios que tienen un cero en x = 2.
SO L U C I O N
a.- Tenemos que analizar el conjunto
S = {p(t)  P / p(t) = a2t2 + a3t3 + ... + antn, donde a2, a3, ..., an  ƒ}.
A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 están en S. Es decir:
(p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t) = (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (b2t2 + b3t3 + ... + bntn)
= (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 « an + bn)tn = c2t2 + c3t3 «+ cntn  S.
2.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 = p2 + p1. Es decir:
(p1 + p2)(t) = p1(t) + p2(t)
= (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + (b2t2 + b3t3 + ... + bntn)
= (a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 « an + bn)tn
= (b2 + a2)t2 + (b3 + a3)t3 « bn + an)tn
= p2(t) + p1(t)
= (p2 + p1)(t).
3.- Si p1, p2, p3 están en S, entonces p1 + (p2 + p3) = (p1 + p2) + p3. Es decir:
[p1 + (p2 + p3)](t) = p1(t) + [p2(t) + p3(t)]
= (a2t2 + a3t3 + ... + antn) + [(b2 + c2)t2 « bn + cn)tn]
= (a2 + b2 + c2)t2 + (a3 + b3 + c3)t3 « an + bn + cn)tn]
= [(a2 + b2) + c2]t2 + [(a3 + b3) + c3]t3 «> an + bn) + cn]tn
= [(a2 + b2)t2 + (a2 + b2)t2 « an + bn)tn] + (c2t2 + c3t3 + ... + cntn)
= [p1(t) + p2(t)] + p3(t) = [(p1 + p2) + p3](t).
4.- Existe un único elemento ‡p en S, denominado vector cero de S, tal que se
cumple que ‡p + p = p + ‡p = p para todo p en S. Es decir:
(‡p + p)(t) = ‡p(t) + p(t)
= (0t2 + 0t3 + ... + 0tn) + (a2t2 + a3t3 + ... + antn)
= (0 + a2)t2 + (0 + a3)t3 « an)tn
= a2t2 + a3t3 + ... + antn = p(t).
5.- Para todo p en S existe un elemento ±p en S, denominado opuesto de p, tal
que se cumple p + (-p) = (-p) + p = ‡p. Es decir:
[p + (-p)](t) = p(t) + [-p(t)]
= (a 2t2 + a 3t3 + ... + a ntn) + (- a 2t2 - a 3t3 - ... - a ntn)
= (a 2 - a 2)t2 + ( a 3 ± a 3)t3 « a n - a n)tn
= 0t2 + 0t3 «+ 0tn = ‡p(t).
6.- Si D es cualquier escalar y p es cualquier elemento en S, entonces Dp está en
S. Es decir:
(Dp)(t) = Dp(t)
= D(a2t2 + a3t3 + ... + antn)
= (Da2)t2 + (Da3)t3 + ... + (Dan)tn
= b2t2 + b3t3 + ... + bntn  S.
7.- Si p1, p2 están en S y D es un escalar, entonces D(p1 + p2) = Dp1 + Dp2. Es
decir:
[D(p1 + p2)](t) = D[p1(t) + p2(t)]
= D[(a2 + b2)t2 + (a3 + b3)t3 « an + bn)tn]
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JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
189
= (Da2 + Db2)t2 + (Da3 + Db3)t3 « Dan + Dbn)tn
= (Da2t2 + Da3t3 + ... + Dantn) + (Db2t2 + Db3t3 + ... + Dbntn)
= D(a2t2 + a3t3 + ... + antn) + D(b2t2 + b3t3 + ... + bntn)
= Dp1(t) + Dp2(t).
8.- Si p está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)p = Dp + Ep. Es decir:
[(D + E)p](t) = (D + E)p(t)
= (D + E)(a2t2 + a3t3 + ... + antn)
= (D + E)a2t2 + (D + E)a3t3 + ... + (D + E)antn
= (Da2t2 + Da3t3 + ... + Dantn) + (E a2t2 + Ea3t3 + ... + E antn)
= D(a2t2 + a3t3 + ... + antn) + E(a2t2 + a3t3 + ... + antn)
= Dp(t) + Ep(t).
9.- Si p está en S y D, E son escalares, entonces D(Ep) = (DE)p. Es decir:
[D(Ep)](t) = D[E p(t)]
= D(E a2t2 + E a3t3 + ... + E antn)
= DE a2t2 + DE a3t3 + ... + DE antn
= DE(a2t2 + a3t3 + ... + antn) = (DE)p(t).
10.- Si p está en S y 1 es un escalar, 1˜p = p. Es decir:
(1˜p)(t) = 1˜p(t)
= 1˜(a2t2 + a3t3 + ... + antn)
= 1˜a2t2 + 1˜a3t3 + ... + 1˜antn
= a2t2 + a3t3 + ... + antn = p(t).
Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial.
b.- En este caso tenemos que S = {p  „n / p(t) = (t ± 2)q(t), q(t)  „n-1}. A
continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 están en S. Es decir:
p1(t) + p2(t) = (t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t) = (t ± 2)(q1(t) + q2(t)) = (t ± 2)h(t)  S.
2.- Si p1, p2 están en S, entonces p1 + p2 = p2 + p1. Es decir:
p1(t) + p2(t) = (t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t) = (t ± 2)[q1(t) + q2(t)]
= (t ± 2) )[q2(t) + q1(t)] = (t ± 2)q2(t) + (t ± 2)q1(t) = p2(t) + p1(t).
3.- Si p1, p2, p3 están en S, entonces p1 + (p2 + p3) = (p1 + p2) + p3. Es decir:
p1(t) + [p2(t) + p3(t)] = (t ± 2)q1(t) + [(t ± 2)q2(t) + (t ± 2)q3(t)]
= (t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t) + (t ± 2)q3(t)
= [(t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t)] + (t ± 2)q3(t)
= [p1(t) + p2(t)] + p3(t).
4.- Existe un único elemento ‡p en S, denominado vector cero de S, tal que se
cumple que ‡p + p = p + ‡p = p para todo p en S. Es decir:
‡p(t) + p(t) = ‡p(t) + (t ± 2)q(t) = (t ± 2)q(t) + ‡p(t) = (t ± 2)q(t) = p(t).
5.- Para todo p en S existe un elemento ±p en S, denominado opuesto de p, tal
que se cumple p + (-p) = (-p) + p = ‡p. Es decir:
p(t) + [-p(t)] = (t ± 2)q(t) + [- (t ± 2)q(t)]
= (t ± 2)q(t) - (t ± 2)q(t)
= (t ± 2)[q(t) - q(t)]
= (t ± 2)‡p(t) = ‡p(t).
6.- Si D es cualquier escalar y p es cualquier elemento en S, entonces Dp está en
S. Es decir:
Dp(t) = D[(t ± 2)q(t)] = D(t ± 2)q(t) = (t ± 2)h(t)  S.
7.- Si p1, p2 están en S y D es un escalar, entonces D(p1 + p2) = Dp1 + Dp2. Es
decir:
D[p1(t) + p2(t)] = D[(t ± 2)q1(t) + (t ± 2)q2(t)]
= D(t ± 2)q1(t) + D(t ± 2)q2(t)
= Dp1(t) + Dp2(t).
8.- Si p está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)p = Dp + Ep. Es decir:
(D + E)p(t) = (D + E)[(t ± 2)q(t)] = D(t ± 2)q(t) + E(t ± 2)q(t) = Dp(t) + Ep(t).
9.- Si p está en S y D, E son escalares, entonces D(Ep) = (DE)p. Es decir:
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190
ESPACIOS VECTORIALES
D[Ep(t)] = D[E(t ± 2)q(t)] = DE(t ± 2)q(t) = (DE)(t ± 2)q(t) = (DE)p(t).
10.- Si p está en S y 1 es un escalar, 1˜p = p. Es decir:
1˜p(t) = 1(t ± 2)q(t) = (t ± 2)q(t) = p(t).
Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial. ’
EJ E M P L O 5.1.3
Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales:
a.- Todas las f en C 2[0; 1] tales que f ´´(x) = x2f(x);
b.- Todas las f en C(-1; 1), tales que f es monótona y estrictamente creciente.
SO L U C I O N
a.- En este caso tenemos que S = {f  F / f ´´(x) = x2f(x)}. A continuación
comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir:
(f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = x2f1(x) + x2f2(x) = x2[f1 + f2](x) = x2g(x)  S.
2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir:
(f1 + f2)´´(x) = f1´´(x) + f2´´(x) = x2f1(x) + x2f2(x) = x2[f1 + f2](x) = x2[f2 + f1](x)
= x2f2(x) + x2f1(x) = (f2 + f1)´´(x).
3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir:
[f1 + (f2 + f3)]´´(x) = f1´´(x) + (f2 + f3)´´(x) = x2f1(x) + x2(f2 + f3)(x)
= x2f1(x) + x2f2(x) + x2f3(x) = x2(f1 + f2)(x) + x2f3(x)
= (f1 + f2)´´(x) + f3´´(x) = [(f1 + f2) + f3]´´(x).
4.- Existe un único elemento ‡ f en S, denominado función cero de F, tal que se
cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en S. Es decir:
[‡ f + f]´´(x) = ‡ f ´´(x) + f ´´(x) = ‡ + x2f(x) = x2f(x) + ‡ = x2f(x) = f ´´(x).
5.- Para todo f en S existe un elemento ±f en S, denominado opuesto de f, tal que
se cumple f + (-f) = (-f) + f = ‡ f. Es decir:
[f + (-f)]´´(x) = f ´´(x) ± f ´´(x) = x2f(x) - x2f(x) = x2(f ± f)(x) = x2‡f(x) = ‡f ´´(x).
6.- Si D es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces Df está en
S. Es decir:
(Df)´´(x) = Df ´´(x) = D[x2f(x)] = x2[Df(x)] = x2g(x)  S.
7.- Si f1, f2 están en S y D es un escalar, entonces D(f1 + f2) = Df1 + Df2. Es decir:
D(f1 + f2)´´(x) = Df1´´(x) + Df2´´(x) = D[x2f1(x)] + D[x2f2(x)]
= Dx2f1(x) + Dx2f2(x) = Df1´´(x) + Df2´´(x).
8.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)f = Df + E f. Es decir:
(D + E)f ´´(t) = (D + E)x2f(x) = Dx2f(x) + Ex2f(x) = Df ´´(x) + Ef ´´(x).
9.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces D(E f) = (DE)f. Es decir:
D(E f)´´(x) = D[E f ´´(x)] = D[Ex2f(x)] = DEx2f(x) = (DE)x2f(x) = (DE)f ´´(x).
10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1˜f = f. Es decir:
1˜f ´´(x) = 1˜x2f(x) = x2f(x) = f ´´(x).
Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial.
b.- En este caso tenemos que S = {f  ‚ / f ´(x) > 0}. A continuación comprobamos
los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir:
(f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) > 0 + 0 = 0  S.
2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir:
(f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) > 0 + 0 = f2´(x) + f1´ = (f2 + f1)´(x).
3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir:
[f1 + (f2 + f3)]´(x) = f1´(x) + (f2 + f3)´(x) > 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0
= (f1 + f2)´(x) + f3´(x) = [(f1 + f2) + f3]´(x).
4.- Existe un único elemento ‡ f en S, denominado función cero de S, tal que se
cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en S. Es decir:
(‡ f + f)´(x) = ‡ f ´(x) + f ´(x).
Como la primera derivada de la función nula es igual a cero, entonces la función nula
no pertenece al conjunto S. Entonces, S no tiene estructura de espacio vectorial. ’
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ESPACIOS VECTORIALES
191
EJ E M P L O 5.1.4
Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales:
a.- El conjunto de las funciones diferenciables en [a; b];
b.- El conjunto de todas las funciones con derivada segunda en [0; 1].
SO L U C I O N
f ( x h) f ( x )
­
½
a.- En este caso tenemos que S ® f  F / f ´( x) lim
, a d x d b¾ .
h o0
h
¯
¿
A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir:
( f f )( x h) ( f1 f 2 )( x)
( f1 f 2 )´( x) lim 1 2
h o0
h
[ f1 ( x h) f1 ( x)] [ f 2 ( x h) f 2 ( x)]
lim
h o0
h
f1 ( x h) f1 ( x)
f ( x h) f 2 ( x )
lim
lim 2
h o0
h
o
0
h
h
f1´( x) f 2 ´( x)  S.
2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir:
( f f )( x h) ( f1 f 2 )( x)
( f1 f 2 )´( x) lim 1 2
h o0
h
[ f1 ( x h) f1 ( x)] [ f 2 ( x h) f 2 ( x)]
lim
h o0
h
[ f 2 ( x h) f 2 ( x)] [ f1 ( x h) f1 ( x)]
lim
h o0
h
( f 2 f1 )( x h) ( f 2 f1 )( x)
lim
h o0
h
( f 2 f1 )´( x) ( f 2 f1 )´( x) .
3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir:
[ f ( f 2 f 3 )]( x h) [ f1 ( f 2 f 3 )]( x)
[ f1 ( f 2 f 3 )]´( x) lim 1
h o0
h
[ f1 ( x h) f1 ( x)] [( f 2 f 3 )( x h) ( f 2 f 3 )( x)]
lim
h o0
h
[ f1 ( x h) f1 ( x)] [ f 2 ( x h) f 2 ( x)] [ f 3 ( x h) f 3 ( x)]
lim
ho0
h
[( f1 f 2 )( x h) ( f1 f 2 )( x)] [ f 3 ( x h) f 3 ( x)]
lim
h o0
h
[( f1 f 2 ) f 3 ]( x h) [( f1 f 2 ) f 3 ]( x)
lim
h o0
h
[( f1 f 2 ) f 3 ]´( x) .
4.- Existe un único elemento ‡ f en S, denominado función cero de S, tal que se
cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en S. Es decir:
(‡ f f )( x h) (‡ f f )( x)
(‡ f f )´( x) lim
h o0
h
[‡ f ( x h) ‡ f ( x)] [ f ( x h) f ( x)]
lim
h o0
h
‡ f ( x h) ‡ f ( x )
f ( x h) f ( x )
lim
lim
h o0
h o0
h
h
0 f ´( x) f ´( x) .
5.- Para todo f en S existe un elemento ±f en S, denominado opuesto de f, tal que
se cumple f + (-f) = (-f) + f = ‡ f. Es decir:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
192
ESPACIOS VECTORIALES
[ f ( f )]( x h) [ f ( f )]( x)
h
( f f )( x h) ( f f )( x)
lim
h o0
h
‡ f ( x h) ‡ f ( x )
lim
‡ f ´( x )
h o0
h
6.- Si D es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces Df está en
S. Es decir:
(Df )( x h) (Df )( x)
f ( x h) f ( x)
(Df )´( x) lim
D ˜ lim
Df ´( x)  S.
ho0
ho0
h
h
7.- Si f1, f2 están en S y D es un escalar, entonces D(f1 + f2) = Df1 + Df2. Es decir:
[D( f1 f 2 )]( x h) [D( f1 f 2 )]( x)
[D( f1 f 2 )]´( x) lim
h o0
h
(Df1 Df 2 )( x h) (Df1 Df 2 )( x)
lim
h o0
h
D[ f1 ( x h) f1 ( x)] D[ f 2 ( x h) f 2 ( x)]
lim
h o0
h
f1 ( x h) f1 ( x)
f ( x h) f 2 ( x )
D ˜ lim
D ˜ lim 2
h o0
h o0
h
h
Df1´( x) Df 2 ´( x) .
[ f ( f )]´( x)
lim
h o0
8.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)f = Df + E f. Es decir:
[(D E) f ]( x h) [(D E) f ]( x)
[(D E) f ]´( x) lim
h o0
h
(Df Ef )( x h) (Df E f )( x)
lim
h o0
h
D[ f ( x h) f ( x)] E[ f ( x h) f ( x)]
lim
h o0
h
f ( x h) f ( x )
f ( x h) f ( x )
D ˜ lim
E˜ lim
h o0
h o0
h
h
Df ´( x) Ef ´( x) .
9.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces D(E f) = (DE)f. Es decir:
[D(Ef )]( x h) [D(E f )]( x)
D[(Ef )( x h) (Ef )( x)]
[D(Ef )]´( x) lim
lim
ho0
h
o
0
h
h
(Ef )( x h) (Ef )( x)
f ( x h) f ( x)
D ˜ lim
DE˜ lim
(DE) f ´( x)
ho0
ho0
h
h
.
10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1˜f = f. Es decir:
(1˜ f )( x h) (1 ˜ f )( x)
f ( x h) f ( x)
(1˜ f )´( x) lim
lim
f ´( x) .
h o0
h o0
h
h
Como se prueban todos los axiomas, entonces S tiene estructura de espacio vectorial.
f ´( x h) f ´( x)
­
½
, 0 d x d 1¾ .
b.- En este caso tenemos que S ® f  F / f ´´( x) lim
h o0
h
¯
¿
A continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir:
( f f )´( x h) ( f1 f 2 )´( x)
( f1 f 2 )´´( x) lim 1 2
h o0
h
[ f1´( x h) f1´( x)] [ f 2 ´( x h) f 2 ´( x)]
lim
h o0
h
f1´( x h) f1´( x)
f ´( x h) f 2 ´( x)
lim
lim 2
f1´´( x) f 2 ´´( x)  S.
ho0
h
o
0
h
h
2.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
193
( f1 f 2 )´( x h) ( f1 f 2 )´( x)
h
[ f1´( x h) f1´( x)] [ f 2 ´( x h) f 2 ´( x)]
lim
h o0
h
[ f 2 ´( x h) f 2 ´( x)] [ f1´( x h) f1´( x)]
lim
h o0
h
( f 2 f1 )´( x h) ( f 2 f1 )´( x)
lim
h o0
h
( f 2 f1 )´´( x) .
3.- Si f1, f2, f3 están en S, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir:
[ f ( f 2 f 3 )]´( x h) [ f1 ( f 2 f 3 )]´( x)
[ f1 ( f 2 f 3 )]´´( x) lim 1
h o0
h
[ f1´( x h) f1´( x)] [( f 2 f 3 )´( x h) ( f 2 f 3 )´( x)]
lim
h o0
h
[ f1´( x h) f1´( x)] [ f 2 ´( x h) f 2 ´( x)] [ f 3´( x h) f 3´( x)]
lim
ho0
h
[( f1 f 2 )´( x h) ( f1 f 2 )´( x)] [ f 3´( x h) f 3´( x)]
lim
h o0
h
[( f1 f 2 ) f 3 ]´( x h) [( f1 f 2 ) f 3 ]´( x)
lim
[( f1 f 2 ) f 3 ]´´( x) .
ho0
h
4.- Existe un único elemento ‡ f en S, denominado función cero de S, tal que se
cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en S. Es decir:
(‡ f f )´( x h) (‡ f f )´( x)
(‡ f f )´( x) lim
h o0
h
[‡ f ´( x h) ‡ f ´( x)] [ f ´( x h) f ´( x)]
lim
h o0
h
‡ f ´( x h) ‡ f ´( x)
f ´( x h) f ´( x)
lim
lim
h o0
h o0
h
h
0 f ´´( x) f ´´( x) .
5.- Para todo f en S existe un elemento ±f en S, denominado opuesto de f, tal que
se cumple f + (-f) = (-f) + f = ‡ f. Es decir:
[ f ( f )]´( x h) [ f ( f )]´( x)
[ f ( f )]´´( x) lim
h o0
h
( f f )´( x h) ( f f )´( x)
lim
h o0
h
‡ f ´( x h) ‡ f ´( x)
lim
‡ f ´´( x )
h o0
h
6.- Si D es cualquier escalar y f es cualquier elemento en S, entonces Df está en
S. Es decir:
(Df )´( x h) (Df )´( x)
f ´( x h) f ´( x)
(Df )´´( x) lim
D ˜ lim
Df ´´( x)  S.
ho0
ho0
h
h
7.- Si f1, f2 están en S y D es un escalar, entonces D(f1 + f2) = Df1 + Df2. Es decir:
[D( f1 f 2 )]´( x h) [D( f1 f 2 )]´( x)
[D( f1 f 2 )]´´( x) lim
ho0
h
(Df1 Df 2 )´( x h) (Df1 Df 2 )´( x)
lim
h o0
h
D[ f1´( x h) f1´( x)] D[ f 2 ´( x h) f 2 ´( x)]
lim
h o0
h
( f1 f 2 )´´( x)
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
lim
h o0
JOE GARCIA ARCOS
194
ESPACIOS VECTORIALES
f1´( x h) f1´( x)
f ´( x h) f 2 ´( x)
D ˜ lim 2
h o0
h
h
Df1´´( x) Df 2 ´´( x) .
8.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)f = Df + E f. Es decir:
[(D E) f ]´( x h) [(D E) f ]´( x)
[(D E) f ]´´( x) lim
h o0
h
(Df Ef )´( x h) (Df Ef )´( x)
lim
h o0
h
D[ f ´( x h) f ´( x)] E[ f ´( x h) f ´( x)]
lim
h o0
h
f ´( x h) f ´( x)
f ´( x h) f ´( x)
D ˜ lim
E˜ lim
h o0
h o0
h
h
Df ´´( x) Ef ´´( x) .
9.- Si f está en S y D, E son escalares, entonces D(E f) = (DE)f. Es decir:
[D(Ef )]´( x h) [D(E f )]´( x)
D[(Ef )´( x h) (Ef )´( x)]
[D(Ef )]´´( x) lim
lim
h o0
h
o
0
h
h
(Ef )´( x h) (Ef )´( x)
f ´( x h) f ´( x)
D ˜ lim
DE˜ lim
(DE) f ´´( x)
ho0
ho0
h
h
.
10.- Si f está en S y 1 es un escalar, 1˜f = f. Es decir:
(1 ˜ f )´( x h) (1 ˜ f )´( x)
f ´( x h) f ´( x)
(1˜ f )´´( x) lim
lim
f ´´( x) .
ho0
ho0
h
h
Como se prueban todos los axiomas, entonces S es un espacio vectorial. ’
D ˜ lim
h o0
EJ E M P L O 5.1.5
Verifique que los conjuntos siguientes de funciones no son espacios vectoriales:
a.- El conjunto de todas las funciones f diferenciables en [0; 1] tales que f ´ = f ± 1;
b.- El conjunto de todas las funciones f en [0; 2] con la propiedad que x d~f(x)~ en
0 d x d 2;
SO L U C I O N
a.- En este caso tenemos que S = {f  F / f ´(x) = f(x) - 1, 0 d x d 1}. A
continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir:
(f1 + f2)´(x) = f1´(x) + f2´(x) = [f1(x) ± 1] + [f2(x) ± 1] = (f1 + f2)(x) ± 2  S.
Como no se cumple el primer axioma, entonces S no tiene estructura de espacio
vectorial.
b.- En este caso tenemos que S = {f  F / ~f(x)~ t x, 0 d x d 2}. A continuación
comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si f1, f2 están en S, entonces f1 + f2 están en S. Es decir:
~(f1 + f2)(x)~ = ~f1(x) + f2(x)~ d ~f1(x)~ + ~f2(x)~ = x + x = 2x  S.
Como no se cumple el primer axioma, entonces S no tiene estructura de espacio
vectorial. ’
EJ E M P L O 5.1.6
Determine cuáles de los conjuntos siguientes constituyen espacios vectoriales:
a.- S consiste en todas las soluciones de y´´ - 8xy = 0, con la suma de funciones y la
multiplicación de una función por un escalar usuales;
b.- V consta de todas las funciones reales y continuas definidas en [0; 1] tales que
1
³ 0 f ( x) dx
0 , con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un
escalar usuales.
SO L U C I O N
a.- En este caso tenemos que S = {y  F / y´´ - 8xy = 0}. A continuación
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ESPACIOS VECTORIALES
195
comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si y1, y2 están en S, entonces y1 + y2 están en S. Es decir:
(y1 + y2)´´ ± 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ ± 8xy1 ± 8xy2 = (y1´´ ± 8xy1) + (y2´´ ± 8xy2)
= 0 + 0 = 0  S.
2.- Si y1, y2 están en S, entonces y1 + y2 = y2 + y1. Es decir:
(y1 + y2)´´ ± 8x(y1 + y2) = y1´´ + y2´´ ± 8xy1 ± 8xy2 = (y1´´ ± 8xy1) + (y2´´ ± 8xy2)
= (y2´´ ± 8xy2) + (y1´´ ± 8xy1) = (y2 + y1)´´ ± 8x(y2 + y1).
3.- Si y1, y2, y3 están en S, entonces y1 + (y2 + y3) = (y1 + y2) + y3. Es decir:
[y1 + (y2 + y3)]´´ ± 8x[y1 + (y2 + y3)] = y1´´ + (y2 + y3)´´ ± 8xy1 ± 8x(y2 + y3)
= y1´´ + y2´´ + y3´´ ± 8xy1 ± 8xy2 - 8xy3
= (y1 + y2)´´ + y3´´ ± 8x(y1 + y2) ± 8xy3
= [(y1 + y2) + y3)]´´ ± 8x[(y1 + y2) + y3].
4.- Existe un único elemento ‡y en S, denominado función cero de S, tal que se
cumple que ‡y + y = y + ‡y = y para toda y en S. Es decir:
(‡y + y)´´(x) ± 8x(‡y + y) = ‡y´´(x) + y´´(x) ± 8x‡y ± 8xy = y´´(x) ± 8xy = 0.
5.- Para todo y en S existe un elemento ±y en S, denominado opuesto de y, tal
que se cumple y + (-y) = (-y) + y = ‡y. Es decir:
[y + (-y)]´´ ± 8x[y + (-y)] = y ´´ ± y´´ ± 8xy + 8xy = ‡y´´ - 8x‡y = 0.
6.- Si D es cualquier escalar y y es cualquier elemento en S, entonces Dy está en
S. Es decir:
D(y´´ ± 8xy) = Dy´´ - D8xy = (Dy)´´ - 8x(Dy) = z´´ - 8xz = 0  S.
7.- Si y1, y2 están en S y D es un escalar, entonces D(y1 + y2) = Dy1 + Dy2. Es
decir:
[D(y1 + y2)]´´ - 8Dx(y1 + y2) = (Dy1 + Dy2)´´ - 8x(Dy1 + Dy2)
= Dy1´´ + Dy2´´ - 8Dxy1 - 8Dxy2
= (Dy1´´ - 8Dxy1) + (Dy2´´ - 8Dxy2)
= D(y1´´ - 8xy1) + D(y2´´ - 8xy2)
8.- Si y está en S y D, E son escalares, entonces (D + E)y = Dy + E y. Es decir:
(D + E)(y´´ - 8xy) = (D + E)y´´ - 8(D + E)xy = Dy´´ + Ey´´ - 8Dxy - 8Exy
= (Dy´´ - 8Dxy) + (Ey´´ - 8Exy) = D(y´´ - 8xy) + E(y´´ - 8xy).
9.- Si y está en S y D, E son escalares, entonces D(Ey) = (DE)y. Es decir:
D[E(y´´ - 8xy)] = D(Ey´´ - 8Exy) = DEy´´ - 8DExy = (DE)(y´´ - 8xy).
10.- Si y está en S y 1 es un escalar, 1˜y = y. Es decir:
1˜(y´´ - 8xy) = 1˜y´´ - 1˜8xy) = y´´ - 8xy.
Como se prueban todos los axiomas, entonces S tiene estructura de espacio vectorial.
b.- En este caso tenemos que
V
^f F / ³
1
0
`
f ( x) dx 0, 0 d x d 1 . A
continuación comprobamos los 10 axiomas de la definición de espacio vectorial:
1.- Si f1, f2 están en V, entonces f1 + f2 están en V. Es decir:
1
1
1
³ 0 ( f1 f 2 )( x) dx ³ 0 f1 ( x) dx ³ 0 f 2 ( x) dx
0 0 0  S.
2.- Si f1, f2 están en V, entonces f1 + f2 = f2 + f1. Es decir:
1
1
1
1
1
³ 0 ( f1 f 2 )( x) dx ³ 0 f1 ( x) dx ³ 0 f 2 ( x) dx ³ 0 f 2 ( x) dx ³ 0 f1 ( x) dx
00 0
3.- Si f1, f2, f3 están en V, entonces f1 + (f2 + f3) = (f1 + f2) + f3. Es decir:
1
1
1
1
1
³ 0 [ f1 ( f 2 f3 )]( x) dx ³ 0 f1 ( x) dx ³ 0 ( f 2 f3 )( x) dx
1
³ 0 f1 ( x) dx ³ 0 f 2 ( x) dx ³ 0 f3 ( x) dx
1
1
³ 0 ( f1 f 2 )( x) dx ³ 0 f3 ( x) dx
1
³ 0 [( f1 f 2 ) f3 ]( x) dx .
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196
ESPACIOS VECTORIALES
4.- Existe un único elemento ‡ f en V, denominado función cero de V, tal que se
cumple que ‡ f + f = f + ‡ f = f para toda f en V. Es decir:
1
³ 0 (‡ f
1
³ 0 ‡ f ( x)
f )( x) dx
1
1
dx ³ f ( x) dx
1
³ 0 f ( x) dx ³ 0 ‡ f ( x)
0
dx 0 0 0
.
5.- Para todo f en V existe un elemento ±f en V, denominado opuesto de f, tal
que se cumple f + (-f) = (-f) + f = ‡ f. Es decir:
1
1
1
1
1
³ 0 [ f ( f )]( x) dx ³ 0 f ( x) dx ³ 0 ( f )( x) dx
³ 0 f ( x) dx ³ 0 f ( x) dx
00 0 .
6.- Si D es cualquier escalar y f es cualquier elemento en V, entonces Df está en
V. Es decir:
1
1
³ 0 (Df )( x) dx ³ 0 Df ( x) dx
1
D ³ f ( x) dx D ˜ 0 0  S
0
7.- Si f1, f2 están en V y D es un escalar, entonces D(f1 + f2) = Df1 + Df2. Es decir:
1
1
1
1
³ 0 [D( f1 f 2 )]( x) dx ³ 0 (Df1 Df 2 )]( x) dx ³ 0 Df1 ( x) dx ³ 0 Df 2 ( x) dx
1
1
0
0
D ³ f1 ( x) dx D ³ f 2 ( x) dx D ˜ 0 D ˜ 0 0
8.- Si f está en V y D, E son escalares, entonces (D + E)f = Df + E f. Es decir:
1
1
1
1
³ 0 [(D E) f ]( x) dx ³ 0 (Df Ef )( x) dx ³ 0 Df ( x) dx ³ 0 Ef ( x) dx
1
1
0
0
D ³ f ( x) dx E³ f ( x) dx D ˜ 0 E ˜ 0 0
9.- Si f está en V y D, E son escalares, entonces D(E f) = (DE)f. Es decir:
1
³ 0 D(Ef )( x) dx
1
1
1
0
0
0
D ³ (Ef )( x) dx D ³ Ef ( x) dx DE³ f ( x) dx (DE) ˜ 0 0 .
10.- Si f está en V y 1 es un escalar, 1˜f = f. Es decir:
1
³ 0 (1˜ f )( x) dx
1
1˜ ³ f ( x) dx
0
1
³ 0 f ( x) dx
0.
Como se prueban todos los axiomas, entonces S es espacio vectorial. ’
PR O B L E M AS
5.1.1 Demuéstrese que el conjunto compuesto solamente
por el número 0 es un espacio vectorial, con las reglas
habituales de la adición y la multiplicación de números.
5.1.2 Sea P m el conjunto de todos los polinomios con
coeficientes reales y de grado d m. Demuestre que P m es
un espacio vectorial, con la suma de polinomios y la
multiplicación de un polinomio por un escalar usuales.
5.1.3 V consta de todas las funciones reales y continuas
definidas en >0; 1@ tales que f(1) =1, con la suma de funciones y la multiplicación de una función por un escalar
usuales. Muestre que V no es un espacio vectorial.
5.1.4 „m consiste en todos los polinomios con coeficientes reales. Demuestre que „m es un espacio vectorial, con la suma de polinomios y la multiplicación de un
polinomio por un escalar usuales.
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5.1.5 Sea n un entero positivo. Sea „n el conjunto de
todos los polinomios con coeficientes reales y de grado
n, con la suma de polinomios y la multiplicación de un
polinomio por un escalar usuales. Demuestre que „n no
es un espacio vectorial. ¿Qué condiciones de la definición fallan?
5.1.6 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos siguientes de funciones es un espacio vectorial:
a.- Todos los polinomios a 0 + a 1x2 « a kx2k que no
contienen términos de grado impar.
b.- Todas las funciones continuas en >0; 1@ que tienen
un cero en 1.
c.- Todas las funciones definidas en >0; 1@ cuyos límites
existen cuando x o 0+.
d.- Todas las combinaciones lineales de Cosx, Cos2x,
Cos3x, con dominio - f < x < + f.
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ESPACIOS VECTORIALES
e.- El conjunto de los polinomios reales que tienen a r i
como ceros.
f.- El conjunto de los polinomios reales que son divisibles entre x2 + x + 1.
g.- El conjunto de todas las funciones en >0; 10@ que
valen cero en >2; 3@.
h.- El conjunto de todas las funciones f en >0; 1@ con
derivada tercera en ese intervalo y tales que f ´´´- xf ´ +
(Senx)f = 0.
i.- El conjunto de todas las funciones que tienen derivada segunda en todos los valores reales y la propiedad de
que f ´´(x) = 0.
j.- El conjunto de todas las funciones racionales cuyo
denominador es x2 + x + 1.
k.- El conjunto de todos los polinomios tales que p(0) =
p(1).
l.- El conjunto de todas las funciones escalonadas en
>0; 3@.
5.1.7 V consiste en todos los ( a , b), donde a y b son
números reales. Definimos la suma en V por
( a , b) + (c, d) = (2 a + 2 c, b + d)
y definimos la multiplicación por un escalar por
§ ka kb ·
k ( a , b) ¨ , ¸
© 2 2¹
¿Es V un espacio vectorial con estas operaciones?
5.1.8 Determine cuáles de los sistemas son espacios
vectoriales:
a.- V es el conjunto de todos los pares ordenados (x, y)
de números reales. La suma se define como (x, y) + (u, v)
= (x + 3u, y ± v), y la multiplicación escalar como D(x, y)
= (Dx, Dy).
b.- El conjunto V del literal a). La suma definida como
(x, y) + (u, v) = (x + u, y + v), y la multiplicación escalar
como D(x, y) = (-Dx, Dy).
c.- El conjunto V del literal a). La suma definida como
(x, y) + (u, v) = (x ± u, y ± v), y la multiplicación escalar
como D(x, y) = (-Dx, -Dy).
d.- El conjunto V del literal a). La suma definida como
(x, y) + (u, v) = (u, v), y la multiplicación escalar como
D(x, y) = (Dx, Dy).
5.1.9 Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos constituye un espacio vectorial:
a.- El conjunto de todos los vectores cuya segunda componente es cero;
b.- El conjunto de todos los vectores de la forma D( i + 2 j
± k), donde D es un escalar;
c.- El conjunto de todos los vectores de la forma D( i ± k)
+ E j, donde D, E son escalares;
d.- El conjunto de todos los números reales;
e.- Todas las funciones de la forma f(x) = D Cosx +
ESenx, donde D, E son números, con la forma usual de
adición y multiplicación por números;
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
197
f.- El conjunto de todos los polinomios cuadráticos,
lineales y constantes en x, con la adición y multiplicación usuales.
5.1.10 De los conjuntos de funciones que se dan a continuación, todas definidas en 0 < x < f, cuáles constituyen una espacio vectorial?:
a.- Todas las funciones cuyos límites existen cuando
x o f.
b.- Todas las funciones cuyos límites existen cuando
x o 0+.
c.- Todas las funciones con límite 0 cuando x o f.
d.- Todas las funciones con límite 0 cuando x o 0+.
e.- Todas las funciones con límite f cuando x o f.
f.- Todas las funciones con límite - f cuando x o 0+.
5.1.11 Considérense sucesiones infinitas ^sn`, ^tn`«
n «FRQODDGLFLyQ\ODPXOWLSOLFDFLyQGHILQLGDV
de la siguiente manera:
^sn` + ^tn` = ^sn + tn` y c^sn` = ^csn`
a.- Hágase ver que las sucesiones reales convergentes
forman un espacio vectorial e interprétese ese espacio
vectorial como espacio de funciones.
b.- Verifíquese que el conjunto de todas las sucesiones
complejas forma un espacio vectorial. ¿Se le puede
interpretar como espacio vectorial de funciones?
5.1.12 V consiste en todas las funciones reales y continuas definidas en >0; 1@ tales que f(1) = 0, con la suma
de funciones y la multiplicación de una función por un
escalar usuales. Demuestre que V es un espacio vectorial.
5.1.13 En los conjuntos siguientes, investíguese si son
espacios vectoriales:
a.- Todas las funciones f en >0; 1@ tales que f ´(x) > 0
en >0; 1@.
b.- Todas las funciones f en >0; 1@ tales que se puede
expresar f como g ± h, donde g y h son monótonas y
estrictamente crecientes.
c.- Todas las funciones f en >0; 1@ tales que f ´´(x) =
Senx.
d.- Todas las funciones f en >0; 1@ tales que f ´´(x) +
Senx f ´(x) = 0.
e.- V es el conjunto de todas las matrices de 2 x 2 con
componentes reales. La suma es la suma habitual de
matrices y la multiplicación escalar está definida por
§ a b · § Da 0 ·
D¨
¸ ¨
¸.
© c d ¹ © 0 Db ¹
f.- El conjunto V del literal e). La suma definida por
§a b· § e f · §a b·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
©c d¹ ©g h¹ ©c d¹
y la multiplicación escalar es la habitual.
g.- El conjunto V del literal e). La suma definida como
JOE GARCIA ARCOS
198
ESPACIOS VECTORIALES
§a b· § e f · § e f ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
©c d¹ ©g h¹ ©g h¹
y la multiplicación escalar definida por
§ a b · §0 0 ·
D¨
¸ ¨
¸.
© c d ¹ © 0 Dd ¹
h.- El conjunto V del literal e). La suma definida por
b f ·
§a b· § e f · § 0
¨
¸¨
¸ ¨
¸
0 ¹
©c d ¹ ©g h ¹ ©c g
y la multiplicación escalar por
§ a b · § Da Db ·
D¨
¸ ¨
¸.
© c d ¹ © Dc Dd ¹
5.1.14 Determine si el conjunto dado, junto con las
operaciones indicadas, es un espacio vectorial. En caso
negativo, indique que axiomas no se cumplen:
a.- El conjunto de todas las matrices singulares de n x n
con las operaciones normales;
b.- El conjunto de todas las matrices no singulares de n x
n con las operaciones normales;
c.- El conjunto de todas las matrices diagonales de n x n
con las operaciones normales.
5.1.15 Determine si el conjunto dado, junto con las
operaciones indicadas, es un espacio vectorial. En caso
negativo, indique que axiomas no se cumplen:
a.- Todas las funciones escalonadas definidas en [0; 1];
b.- Todas las funciones con período 2S;
c.- Todas las f integrable en [0; 1] con
5.1.20 Considérense todas las sucesiones infinitas con
índices que empiezan desde 1. Demuéstrese que cada
uno de los conjuntos siguientes constituye un espacio
vectorial de funciones:
a.- Todas las sucesiones infinitas.
b.- Todas las sucesiones convergentes.
c.- Todas las sucesiones con límite 0.
d.- Todas las sucesiones que están acotadas superior e
inferiormente.
5.1.21 Verifíquese que los conjuntos siguientes de
funciones no son espacios vectoriales:
a.- El conjunto de todas las funciones diferenciables en
>0; 1@ cuya derivada es 3x2.
b.- El conjunto de todas las funciones diferenciables f en
>0; 1@ tales que f ´ = f ± 1.
c.- El conjunto de todas las funciones f en >0; 2@ con la
propiedad de que x d f ( x) en 0 d x d 2.
d.- El conjunto de todas las funciones f en >0; 2@ tales
que f(1) = 1.
1
³0 f ( x)dx t 0 ;
d.- Todos los polinomios de Taylor de grado d n para un
n fijo (incluyendo el polinomio cero);
e.- Todas las soluciones de una ecuación diferencial
lineal homogénea de segundo orden y´´ + P(x)y´ + Q(x)y
= 0, siendo P y Q funciones dadas, continuas para todo x;
f.- Todas las sucesiones reales acotadas;
g.- Todas las sucesiones reales convergentes;
h.- Todas las gentes;
i.- Todas las series reales convergentes.
5.1.16 Demuestre que los números reales pueden
considerarse como un espacio vectorial sobre los
números racionales.
5.1.17 Demuestre que los números complejos se pueden
considerar como un espacio vectorial sobre los números
reales.
5.1.18 Sean V y W espacios vectoriales. Sea U el conjunto de todos los pares ordenados (v, w), donde v está
en V y w está en W. Definamos por analogía con V 2 la
adición y la multiplicación por escalares en U. Verifíquense que el sistema que se obtiene es un espacio vectorial. Es habitual denotar a U con el símbolo V x W.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
5.1.19 Demuéstrese que con las reglas habituales de la
adición y la multiplicación por escalares, los conjuntos
siguientes de funciones son espacios vectoriales:
a.- El conjunto de las funciones diferenciables en > a ; b@.
b.- El conjunto de todas las funciones con derivada
segunda en >0; 1@.
c.- El conjunto de las funciones definidas en >0; 2@ que
tienen ceros en 0, 1 y 2.
5.1.22 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos
siguientes es espacio vectorial de funciones:
a.- Todas las funciones f en >0; 1@ con derivadas continuas de primero, segundo y tercer órdenes.
b.- Todas las funciones f en >0; 1@ con la propiedad de
que f ´´ + f = 0.
c.- Todas las funciones f en >0; 1@ tales que f ´´ - 4f = 0.
d.- El conjunto de todas las funciones continuas por
tramos en >0; 3@.
e.- El conjunto de todas las funciones representables
como suma de una serie convergente de potencias
¦ an xn en (-1; 1).
5.1.23 Demuéstrese que cada uno de los conjuntos
siguientes de funciones no es un espacio vectorial:
a.- Todas las funciones f definidas y no negativas: f(x) t
0 para todo x, en un intervalo dado.
b.- Todas las funciones definidas y no continuas en un
intervalo dado.
c.- Todas las funciones que son continuas en >0; 1@ y
cuyo valor en x = 1 es 1.
d.- Todas las funciones definidas que tienen un número finito de ceros en >0; 1@.
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
199
5.2 SU B ESP A C I OS V E C T O R I A L ES
En esta sección se estudiará con detalle los espacios vectoriales que estén contenidos en un espacio vectorial
más grande. Se enunciarán y demostrarán sus propiedades.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
Con frecuencia, se tiene que un espacio vectorial está contenido en otro, y que la
adición y la multiplicación por escalares del primer espacio vectorial se llevan a
cabo de manera exactamente igual a la del segundo. Cuando esto es así, se dice
que el primer espacio vectorial es subespacio del segundo.
En términos generales, para demostrar que un conjunto U con la adición y la multiplicación escalar En términos generales, para demostrar que un forma un espacio
vectorial es necesario verificar los 10 axiomas de espacio vectorial. Sin embargo,
si U es parte de un conjunto más grande V del que se sabe es un espacio vectorial,
entonces no es necesario verificar ciertos axiomas para U porque son heredados de
V.
D E F I N I C I O N 5.2.1
Un subconjunto U de un espacio vectorial V se denomina subespacio de
V si U es un espacio vectorial bajo la adición y la multiplicación escalar
definidas sobre V.
Es importante tener en cuenta que para que un subconjunto no vacío U de un espacio vectorial V sea un subespacio, el subconjunto y las operaciones de suma de
vectores y multiplicación por un escalar deben formar un sistema autocontenido.
Es decir, cualquier suma o multiplicación por un escalar efectuada con vectores
del subconjunto U siempre produce un vector que está en U. Si U es no vacío y
cerrado bajo la suma y multiplicación por un escalar, con seguridad constituye un
espacio vectorial por derecho propio. Por tanto, se ha llegado a un criterio eficiente para determinar si un subconjunto es un subespacio de un espacio vectorial.
T E O R E M A 5.2.1
Si U es un conjunto formado por uno o más vectores de un espacio vectorial V, entonces U es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las condiciones siguientes:
1.- Si u, v son elementos de U, entonces u + v está en U.
2.- Si a es cualquier número y u es un elemento de U, entonces au está
en U.
D E M OST R A C I O N
Si U es un subespacio de V, entonces se cumplen todos los axiomas de espacio vectorial; en particular, se cumplen los axiomas 1 y 6. Pero éstas son precisamente las
condiciones 1 y 2. Recíprocamente, supóngase que se cumplen las condiciones 1 y 2.
Como estas condiciones son los axiomas 1 y 6 de espacio vectorial, basta demostrar
que U satisface los ocho axiomas restantes. Los vectores de U cumplen automáticamente los axiomas 2, 3, 7, 8, 9 y 10, ya que estos axiomas se cumplen para todos los
vectores en V. En consecuencia, para completar la demostración, basta verificar que
los axiomas 4 y 5 se cumplen para vectores en U. Sea u cualquier vector de U. Por la
condición 2, au está en U para cualquier escalar a. Haciendo a = 0, se concluye que
0u = ‡ está en U, y haciendo a = -1 se concluye que (-1)u = -u está en U.
Se dice que un conjunto U formado por uno o más vectores de un espacio vectorial
V es cerrado bajo la adición si se cumple la condición 1 del teorema anterior, y
cerrado bajo la multiplicación escalar si se cumple la condición 2. Así, de esta
manera se establece que U es un subespacio de V si y sólo si U es cerrado bajo la
adición y cerrado bajo la multiplicación escalar.
JOE GARCIA ARCOS
200
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
Si A X = B es un sistema de ecuaciones lineales, entonces todo vector que satisface
esta ecuación se denomina vector solución del sistema. El teorema siguiente muestra que los vectores solución de un sistema lineal homogéneo forman un espacio
vectorial, que se denomina espacio solución del sistema.
T E O R E M A 5.2.2
Si A X = ‡ es un sistema lineal homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas, entonces el conjunto de vectores solución es un subespacio de ƒn.
D E M OST R A C I O N
Sea U el conjunto de vectores solución. En U existe por lo menos un vector, a
saber, ‡. Para probar que U es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar,
es necesario demostrar que si X y Y son vectores solución cualesquiera y a es
cualquier escalar, entonces X + Y y a X también son vectores solución. Pero si X y
Y son vectores solución, entonces A X = ‡ y A Y = ‡. A partir de lo cual se deduce que
A(X + Y) = A X + A Y = ‡ + ‡ = ‡ y A( a X) = a A X = a‡ = ‡.
Lo cual demuestra que X + Y y a X son vectores solución.
Dado un espacio vectorial V, siempre se le puede considerar como subespacio se
sí mismo. Por lo tanto, cada espacio vectorial V contiene siempre los subespacios
{‡} y V; a estos subespacios se les llama, por lo común, subespacios impropios
de V. Un subespacio de V distinto a uno de los subespacios impropios de V se le
llama subespacio propio de V.
Sea U un subespacio propio de ƒ2. Entonces, U contiene un vector u distinto de
cero, y U contiene también a todos los múltiplos escalares de u. Si U contuviera un
vector v, que no fuera múltiplo escalar de u, entonces u, v serían linealmente independientes, y U habría de contener a todos los vectores en R 2 de la forma Du + Ev,
donde D, E son escalares arbitrarios. Pero así se puede representar todo vector del
plano y, en consecuencia, U coincidiría con ƒ2. Por lo tanto, no existe el tal vector
v, y U consta de los múltiplos escalares de u.
Por consiguiente, cada subespacio propio U de ƒ2 corresponde a una recta que
pasa por el origen, en el plano.
Sea U un subespacio propio de ƒ3. Entonces, U contiene un vector distinto de
cero, u = OQ y, en consecuencia, contiene a todos los múltiplos escalares Du; es
decir, a todos los vectores OP, con P en la recta L que pasa por O y por Q. Esto
puede ser la totalidad de U. De no ser así, entonces U contiene un vector v = OR,
donde R no está en L. En consecuencia, U también contiene a todos los vectores
u = OP, de la forma DOQ + EOR. Puesto que D y E toman todos los valores reales,
P varía en un plano S que pasa por O. Con esto, tal vez tengamos a todo U. De no
ser así, entonces en U hay un vector w = OS, donde S no está en S. En consecuencia, U contiene a todos los vectores u = OP de la forma DOQ + EOR + MOS. Pero,
como S no está en S, los puntos P van por todo el espacio tridimensional, y U
resulta ser la totalidad de ƒ3. Pero, con esto, U ya no sería subespacio propio de
R 3. Por lo tanto, sólo hay dos clases de subespacios propios de ƒ3: los que corresponden a rectas que pasan por O y los que corresponden a planos que pasan por O.
También se ve claramente que toda recta que pase por O y todo plano que pasa por
O corresponderán a subespacios propios U de ƒ3.
EJ E M P L O 5.2.1
El conjunto ‚ de funciones diferenciables f en [0; 1], con la propiedad de que
f ´ = Df, es subespacio vectorial.
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
201
SO L U C I O N
Se ve claramente que ‚ contiene a la función cero, de manera que es un conjunto
no vacío de funciones en [0; 1]. Si f y g están en ‚, entonces f + g y E f son funciones diferenciables en [0; 1], y
(f + g)´ = f ´ + g´ = E f + Eg = E(f + g), (E f)´ = E f ´ = E(Df) = D(E f).
En consecuencia, ‚ es cerrado bajo la adición y la multiplicación por escalares.
Por lo tanto, es subespacio vectorial. ’
E J E M P L O 5.2.2
Demostrar que el conjunto S = ^A  M(n x n) / A = A T` de las matrices simétricas,
forman un subespacio vectorial del espacio de las matrices cuadradas de orden n.
SO L U C I O N
Sean A = A T, B = B T  S. Entonces para escalares cualesquiera O y M tenemos:
(OA + MB)T = (OA)T + (MB)T = OA T + MB T = OA + MB  S.
Si además ‡  S, entonces:
(OA + MB)T = (O‡ + M‡)T = O‡T + M‡T = O‡ + M‡ = ‡  S.
Luego (OA + MB)T  S, y por lo tanto S es un subespacio de M(n x n). ’
EJ E M P L O 5.2.3
Sea el conjunto solución de un sistema no homogéneo A X = B, con las operaciones
usuales de adición de matrices y multiplicación por escalares. Demostrar que este
conjunto no es un subespacio vectorial.
SO L U C I O N
Supongamos que Y y Z son soluciones del sistema A X = B; es decir Y, Z  ƒn.
Entonces para escalares cualesquiera O y M, tenemos:
A(OY + MZ) = A(OY) + A(MZ) = O(A Y) + M(A Z) = OB + MB = (O + M)B z B
Como (OY + MZ) no es solución del sistema, entonces no es un subespacio vectorial
de ƒn. ’
E J E M P L O 5.2.4
Determine si los siguientes subconjuntos son subespacios de ƒ3. En caso afirmativo,
pruébelo, en caso contrario de una razón para la cual no sea un subespacio vectorial:
a.- S = {(a, b, c) / a + b ± 3 = 2c};
b.- S = {(a, b, c) / a + b = 4c};
c.- S = {(a, b, c) / a, b, c t 0};
d.- S = {(a, b, c) / a2 + b2 + c2 = 1}.
SO L U C I O N
a.- Está claro que S es vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Además el vector
más general de S es de la forma (-b + 2c + 3, b, c), donde b y c son números reales
cualesquiera. Sean los vectores (-x + 2y + 3, x, y) y (-u + 2v + 3, u, v) de S y sea k un
número real cualquiera. Entonces:
(-x + 2y + 3, x, y) + (-u + 2v + 3, u, v) = (-x ± u + 2y + 2v + 6, x + u, y + v)  S,
k(-x + 2y + 3, x, y) = (-kx + 2ky + 3k, kx, ky)  S.
Lo que prueba que S no es un subespacio vectorial.
b.- Está claro que S es no vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Además el vector
más general de S es de la forma (-b + 4c, b, c), donde b y c son números reales
cualesquiera. Sean los vectores (-x + 4y, x, y) y (-u + 4v, u, v) de S y sea k un número
real cualquiera. Entonces:
(-x + 4y, x, y) + (-u + 4v, u, v) = (-x ± u + 4y + 4v, x + u, y + v)  S,
k(-x + 4y, x, y) = (-kx + 4ky, kx, ky)  S.
Lo que prueba que S es un subespacio vectorial.
c.- Está claro que S es no vacío cuando a = b = c = 0, puesto que el vector (0, 0, 0)
 S, pero cuando a, b, c > 0, S es vacío puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Lo que
prueba que S no es un subespacio vectorial.
d.- Está claro que S es vacío, puesto que el vector (0, 0, 0)  S. Lo que prueba que S
no es un subespacio vectorial. ’
JOE GARCIA ARCOS
202
ESPACIOS VECTORIALES
EJ E M P L O 5.2.5
Explique si cada uno de los siguientes subconjuntos del espacio vectorial „3 son
subespacios vectoriales de él:
a.- S = {p(x) / a + b = 0`;
b.- S = {p(x) / a = b = c = d};
c.- S = {p(x) / a = b = c = 0};
d.- S = {p(x) / p(-1) = p(1) = 0}.
SO L U C I O N
a.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 +
0x + 0  S. Como S  „3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b, entonces
el polinomio más general de S es de la forma p(x) = bx3 + bx2 + cx + d, donde b, c y d
son números reales cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = Dx3 + Dx2 + Ex + M y
r(x) = mx3 + mx2 + nx + s de S y sea k un número real cualquiera. Entonces:
q(x) + r(x) = (D + m)x3 + (D + m)x2 + (E + n)x + (M + s)  S,
kq(x) = k(Dx3 + Dx2 + Ex + M) = kDx3 + kDx2 + kEx + kM  S.
Lo que prueba que S es un subespacio vectorial.
b.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 +
0x + 0  S. Como S  „3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b = c = d,
entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = dx3 + dx2 + dx + d,
donde d es un número real cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = Dx3 + Dx2 + Dx +
D y r(x) = Ex3 + Ex2 + Ex + E de S y sea k un número real cualquiera. Entonces:
q(x) + r(x) = (D + E)x3 + (D + E)x2 + (D + E)x + (D + E)  S,
kq(x) = k(Dx3 + Dx2 + Dx + D) = kDx3 + kDx2 + kDx + kD  S.
Lo que prueba que S es un subespacio vectorial.
c.- Claramente se puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 +
0x + 0  S. Como S  „3, entonces p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y como a = b = c = 0,
entonces el polinomio más general de S es de la forma p(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + d,
donde d es un número real cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = 0x3 + 0x2 + 0x +
D y r(x) = 0x3 + 0x2 + 0x + E de S y sea k un número real cualquiera. Entonces:
q(x) + r(x) = (0 + 0)x3 + (0 + 0)x2 + (0 + 0)x + (D + E)
= 0x3 + 0x2 + 0x + (D + E)  S,
3
kq(x) = k(0x + 0x2 + 0x + D) = 0x3 + 0x2 + 0x + kD  S.
Lo que prueba que S es un subespacio vectorial.
d.- Como S  „3, entonces
p(x) = ax3 + bx2 + cx + d y p(-1) = - a + b - c + d = 0, p(1) = a + b + c + d = 0.
Por lo tanto
­a b c d 0
®
¯a b c d 0
Resolviendo este sistema, obtenemos lo siguiente:
§1 1 1 1 0 · § 1 1 1 1 0 · § 1 1 1 1 0 · § 1 0 1 0 0 ·
¸
¨
¸|¨
¸|¨
¸|¨
©1 1 1 1 0 ¹ © 0 2 0 2 0 ¹ © 0 1 0 1 0 ¹ © 0 1 0 1 0 ¹
donde a = -c y b = -d. El nuevo conjunto S = {p(x) / a = -c y b = -d}. Claramente se
puede ver que S es no vacío, puesto que el polinomio 0x3 + 0x2 + 0x + 0  S.
Además el polinomio más general de S es de la forma p(x) = - cx3 - dx2 + cx + d,
donde c y d son números reales cualesquiera. Sean los polinomios q(x) = - Dx3 - Ex2
+ Dx + E y r(x) = - mx3 - nx2 + mx + n de S y sea k un número real cualquiera.
Entonces:
q(x) + r(x) = - (D + m)x3 ± (E + n)x2 + (D + m)x + (E + n)  S,
kq(x) = k(- Dx3 - Ex2 + Dx + E) = - Dkx3 - Ekx2 + Dkx + Ek  S.
Lo que prueba que S es un subespacio vectorial. ’
EJ E M P L O 5.2.6
Sea S1 el plano en el espacio ƒ3 dado por la ecuación a + 2b + c = 6. ¿Cuál es la
ecuación del plano S2 que pasa por el origen y es paralelo a S1? ¿Son S1 y S2
subespacios de ƒ3?
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ESPACIOS VECTORIALES
203
SO L U C I O N
Para que el plano S2 pase por el origen y sea paralelo al plano S1 es necesario y
suficiente que los coeficientes del plano S2 sean iguales a los de S1 y el término
independiente sea igual a cero; es decir S2 : a + 2b + c = 0. El plano S1 = {(a, b, c) / a
+ 2b + c = 6} no es un subespacio de ƒ3 porque no contiene al elemento nulo
(0, 0, 0)  S1. Para S2 = {(a, b, c) / a + 2b + c = 0}, está claro que S2 es no vacío,
puesto que el vector (0, 0, 0)  S2. Además el vector más general de S2 es de la forma
(-2b ± c, b, c), donde b y c son números reales cualesquiera. Sean los vectores
(-2x - y, x, y) y (-2u - v, u, v) de S2 y sea k un número real cualquiera. Entonces:
(-2x - y, x, y) + (-2u - v, u, v) = (-2x ± 2u ± y ± v, x + u, y + v)  S;
k(-2x - y, x, y) = (-2kx - ky, kx, ky)  S.
Lo que prueba que S2 es un subespacio vectorial. ’
PR O B L E M AS
5.2.1 Sea „5 el espacio vectorial y considere el conjunto
U de todos los polinomios de la forma (x3 + x)p(x),
donde p(x) está en „2. ¿U es un subespacio de „5?
5.2.2 Demuestre que los únicos subespacios de ƒ2 son:
1. el propio ƒ2;
2. el subespacio trivial que consiste únicamente del
vector cero (0, 0);
3. cualquier conjunto de vectores (x, y) representados por
flechas que están a lo largo de una recta que pase por el
origen.
Esto es, dada cualquier recta que pase por el origen,
todos los vectores de ƒ2 que puedan representarse como
vectores a lo largo de esta recta constituyen un subespacio de ƒ2. Además, cualquier subespacio distinto de ƒ2 y
del subespacio trivial consiste en vectores a lo largo de
una recta que pasa por el origen.
5.2.3 Demuestre que los únicos subespacios de ƒ3 son
los siguientes:
1. el propio ƒ3;
2. el subespacio trivial que consiste solamente del vector
cero (0, 0, 0);
3. todos los vectores paralelos a una recta dada que pasa
por el origen;
4. todos los vectores que están en un plano dado que
pasa por el origen.
5.2.4 En cada uno de los subconjuntos siguientes de
ƒ4, determínese si el subconjunto es un subespacio:
a.- W: todos los u = ( a 1, a 2, a3, a 4) tales que a 1 = a 2.
b.- U: todos los u tales que
a 1 = a 2 y a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 0.
c.- J: todos los u tales que a 1 es racional.
d.- K : todos los u tales que a 1 + a 2 + a 3 + a 4 d 0.
e.- L: todos los u tales que x1 x22 .
f.- M : todos los u tales que, o bien a 1 = a 2, o bien
a 3 = a 4.
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g.- N: todos los u tales que
a1 a2 a3 a4 z 0 .
5.2.5 Determine cuándo el conjunto S de vectores de
ƒn forman un subespacio de ƒn:
a.- S consta de todos los vectores de ƒ5 de la forma
(x, y, z, x, x);
b.- S consta de todos los vectores de ƒ4 de la forma
(x, 2x, 3x, y);
c.- S consta de todos los vectores de ƒ6 de la forma
(x, 0, 0, 1, 0, y);
d.- S consta de todos los vectores de ƒ3 de la forma
(0, x, y);
e.- S consta de todos los vectores de R 4 de la forma
(x, y, x + y, x - y);
f.- S consta de todos los vectores de ƒ7 con cero en la
tercera y quinta componentes;
g.- S consta de todos los vectores de ƒ4 con la primera
y segunda componentes iguales;
h.- S consta de todos los vectores de ƒ4 con la tercera
componente igual a 2;
i.- S consta de todos los vectores de ƒ7 con la séptima
componente igual a la suma de las primeras seis componentes;
j.- S consta de todos los vectores de ƒ8 con cero en la
primera, segunda y cuarta componentes y la tercera
componente igual a la sexta.
5.2.6 Sea U el espacio vectorial de todas las funciones
reales f en >-1; 1@. Determínese si cada uno de los conjuntos siguientes es subespacio de U:
a.- U: el conjunto de todas las f tales que f(0) = 0.
b.- U: el conjunto de todas las f tales que f(x) = 0 en -1
d x d ½.
c.- U: el conjunto de todas las f tales que f es continua
en x = ½.
d.- U: el conjunto de todas las f tales que f(x) = f(-x) en
-1 d x d 1.
JOE GARCIA ARCOS
204
ESPACIOS VECTORIALES
e.- U: el conjunto de todas las f tales que f es monótona
y estrictamente creciente en >-1; 1@.
5.2.7 Demuéstrese: si a 1« a k son escalares, no todos
0, y si W es el conjunto de todos los (u1« uk) con la
propiedad de que a 1u1 « a kuk = 0, entonces W es
subespacio de ƒ k, y W es espacio no trivial si k t 2.
5.2.8 Sean U y W subespacios de un espacio vectorial
V. Hágase ver que, si U es subconjunto de W, entonces
U es subespacio de V.
5.2.9 Sea W subespacio de V y sea U subespacio de
W. Hágase ver que U es subespacio de V.
5.3 C O M B I N A C I O N ES L I N E A L ES Y SU B ESP A C I OS G E N E R A D OS
En esta sección estudiaremos un conjunto de vectores S que genera un espacio vectorial dado si todo vector en
este espacio se puede expresar como una combinación lineal de los vectores de S. En general, puede haber
más de una forma de expresar un vector del espacio vectorial como una combinación lineal de vectores en un
conjunto generador.
Suponga que en el espacio vectorial V, definido sobre un cuerpo real o complejo,
se ha elegido un número determinado de vectores arbitrarios u1, u2, ..., uk que no
son necesariamente diferentes. Llamaremos a estos vectores sistema de vectores.
D E F I N I C I O N 5.3.1
Un sistema de vectores se denominará subsistema del segundo sistema,
si el primer sistema sólo contiene ciertos vectores del segundo y no contiene ningún otro vector.
Sobre los vectores del sistema dado y los vectores obtenidos de los primeros se
realizarán las operaciones de adición y multiplicación por escalares. Está claro
que todo vector u de la forma u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk donde a 1, a 2, ..., a k son
escalares, se obtiene de los vectores del sistema dado u1, u2, ..., uk con ayuda de
las operaciones citadas. Más aún, cualquiera que sea el orden en que se realicen
estas operaciones, obtendremos solamente los vectores del tipo antes mencionado.
D E F I N I C I O N 5.3.2
Un vector u se denomina combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk
si se puede expresar en la forma u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk donde a 1, a 2,
..., a k son escalares.
Si k = 1, entonces la ecuación de la definición precedente se reduce a u = a 1u1; es
decir, u es una combinación lineal de un solo vector u1 si es un múltiplo escalar
de u1. Respecto del vector u suele decirse que se expresa linealmente en términos
de los vectores u1, u2, ..., uk. El segundo miembro de la expresión u = a 1u1 + a 2u2
+ ... + a kuk se denomina combinación lineal de estos vectores y los números a 1, a 2,
..., a k son los coeficientes de la combinación lineal.
EJ E M P L O 5.3.1
Está dado el sistema de polinomios p(t) = 1 - t2, q(t) = 1 + t3, r(t) = t - t3, s(t) = 1 + t +
t2 + t3. Hallar las combinaciones lineales de los polinomios de ese sistema:
a.- 5p(t) + q(t) ± 4r(t); b.- p(t) + 9q(t) ± 4s(t).
Discutir los resultados obtenidos.
SO L U C I O N
a.- Para la combinación lineal 5p(t) + q(t) - 4 r(t), obtenemos
5(1 - t2) + (1 + t3) ± 4(t - t3) = 6 ± 4t ± 5t2 + 5t3.
b.- Para la combinación lineal p(t) + 9q(t) ± 4s(t), obtenemos
(1 - t2) + 9(1 + t3) ± 4(1 + t + t2 + t3) = 6 ± 4t - 5t2 + 5t3.
Podemos observar que tanto 5p(t) + q(t) - 4 r(t), como p(t) + 9q(t) ± 4s(t) tienen la
misma combinación lineal. ’
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ESPACIOS VECTORIALES
205
E J E M P L O 5.3.2
a.- Verifíquese que el polinomio p(t) = t2 + 4t - 3 es una combinación lineal de los
polinomios q(t) = t2 - 2t + 5, r(t) = 2t2 - 3t, s(t) = t + 3.
b.- Verifique si el vector v = (2, -5, 3) se puede expresar como combinación lineal
de los vectores v1 = (1, -3, 2), v2 = (2, -4, -1), v3 = (1, -5, 7).
SO L U C I O N
a.- Según la definición, debemos resolver p(t) = aq(t) + br(t) + cs(t). Es decir
t2 + 4t ± 3 = a (t2 - 2t + 5) + b(2t2 ± 3t) + c(t + 3)
Agrupando términos semejantes, obtenemos
t2 + 4t ± 3 = ( a + 2b)t2 + (-2 a - 3b + c)t + (5 a + 3c)
Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos
­ a 2b 1
­ a 3
°
°
®2 a 3b c 4 Ÿ ® b 2
° 5a 3c 3
°c 4
¯
¯
Por lo tanto
p(t) = - 3q(t) + 2 r(t) + 4s(t).
b.- Según la definición, debemos resolver v = av1 + bv2 + cv3. Es decir
(2, -5, 3) = a (1, -3, 2) + b(2, -4, -1) + c(1, -5, 7)
Agrupando términos semejantes, obtenemos
(2, -5, 3) = ( a + 2b + c, -3 a ± 4b ± 5c, 2a ± b + 7c)
Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos
­ a 2b c 2
°
®3a 4b 5c 5 .
° 2a b 7c 3
¯
Este sistema tiene un número indeterminado de soluciones. Por lo tanto el vector
v no se puede expresar como combinación lineal de los vectores v1, v2, v3. ’
EJ E M P L O 5.3.3
Verifique si la matriz A
§ 3 1·
¨
¸ se puede expresar como combinación lineal de
© 1 1¹
§1 1 ·
§ 0 0·
§0 2·
§0 1·
las matrices B ¨
¸, C ¨
¸, D ¨
¸, E ¨
¸.
1
0
1
1
0
1
©
¹
©
¹
©
¹
©1 0¹
SO L U C I O N
Según la definición, debemos resolver A = a B + b C + c D + d E. Es decir
§ 3 1·
§1 1 · § 0 0 · § 0 2 ·
§0 1·
¨
¸ a¨
¸ b¨
¸ c¨
¸d¨
¸
© 1 1¹
©1 0 ¹ © 1 1 ¹ © 0 1¹
©1 0¹
Agrupando términos semejantes, obtenemos
a
a 2c d ·
§ 3 1· §
¨
¸ ¨
¸
1
1
a
b
d
bc ¹
©
¹ ©
Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos
a 3
­
­a 3
° a 2c d 1
°b 2
°
°
Ÿ ®
®
a
b
d
1
°
° c 1
°¯ b c 1
°¯ d 0
Por lo tanto A = 3B - 2C ± D. ’
E J E M P L O 5.3.4
Compruebe que el vector p(t) = t2 + 3t ± 2 se puede expresar como combinación
lineal de los vectores q(t) = 3t2 + t - 4, r(t) = 2t ± 5, s(t) = 2t2 ± 2t + 3.
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206
ESPACIOS VECTORIALES
SO L U C I O N
Según la definición, debemos resolver p(t) = aq(t) + br(t) + cs(t). Es decir
t2 + 3t ± 2 = a (3t2 + t - 4) + b(2t ± 5) + c(2t2 ± 2t + 3)
Agrupando términos semejantes, obtenemos
t2 + 3t ± 2 = (3 a + 2c)t2 + ( a + 2b ± 2c)t + (- 4 a - 5b + 3c)
Establecemos el sistema de ecuaciones y resolvemos
­ 3a 2 c 1
­ a 13 / 3
13
20
°
°
q (t ) r (t ) 6 s (t ) . ’
Ÿ ® b 20 / 3 Ÿ p(t )
® a 2b 2c 3
3
3
°4 a 5b 3c 2
° c 6
¯
¯
% COMPRUEBA SI UN VECTOR ES COMBINACION LINEAL DE UN SISTEMA DE VECTORES S clc;;clear;; fprintf('\n COMBINACION LINEAL \n') fil=input('Ingrese el numero de vectores: ');; col=input('Ingrese la dimension del vector: ');; %Ingreso de elementos fprintf('\n Ingrese los vectores del sistema S\n') for f=1:fil fprintf('\n Ingrese el vector (%d)\n', f) for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento (%d,%d)',c,f) S(c,f)=input(' :');; end end fprintf('\n El SISTEMA DE VECTORES S ES:\n') S fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(c,1)=input(' :');; end fprintf('El VECTOR u es:\n') u end fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA ES:') R1= rref(S);; R1 RangS=rank(S) fprintf('\n LA MATRIZ AUMENTADA ES: \n',c);; A=[S,u];; A R2= rref(A);; R2 RangA=rank(A) end if RangA==col-­1 fprintf('El vector u si se expresa como combinacion lineal de S\n') else fprintf('El vector u no se puede expresar como combinacion lineal de S\n') end D E F I N I C I O N 5.3.3
Si S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto de vectores en un espacio vectorial
V, entonces el subespacio U de V que consta de todas las combinaciones
lineales de los vectores en S se denomina espacio generado por v1, v2, ...,
vk, y se dice que los vectores v1, v2, ..., vk generan a U. Para indicar que U
es el espacio generado por los vectores del conjunto S.
Fijemos el sistema de vectores u1, u2, ..., uk y dejemos que los coeficientes de las
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ESPACIOS VECTORIALES
207
combinaciones lineales tomen cualesquiera valores. En este caso quedará definido
cierto conjunto de vectores de V. Este conjunto lleva el nombre de subespacio
generado de los vectores u1, u2, ..., uk.
El interés hacia los subespacios generados se debe a dos circunstancias. En primer
lugar, si U es un subespacio de V que contiene a v1, v2, ..., vk, entonces U contiene
a todas las combinaciones lineales de esos vectores; es decir, U contiene a
Span{v1, v2, ..., vk}. Segundo, podemos decir que Span{v1, v2, ..., vk} es el menor
de los subespacios de V que contienen a los vectores v1, v2, ..., vk.
Si U es subespacio de V y si S es un subconjunto de V con la propiedad de que
Span(S) = U, decimos que S genera a U. Subconjuntos diferentes pueden generar
el mismo subespacio U. También podemos hablar del subespacio que genera un
subconjunto infinito S de V. En ese caso, Span(S) es el conjunto de todas las
combinaciones lineales de todos los subconjuntos finitos de S.
T E O R E M A 5.3.1
Si v1, v2, ..., vk son vectores en un espacio vectorial V, entonces:
1.- El conjunto U de las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk es
subespacio de V;
2.- U es el menor subespacio de V que contiene a v1, v2, ..., vk, en el sentido de que cualquier otro subespacio que contenga a v1, v2, ..., vk debe
contener a U.
D E M OST R A C I O N
1.- Para demostrar que U es un subespacio de V, es necesario probar que es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar. En U existe por lo menos un
vector, a saber, ‡, ya que
‡ = 0v1 + 0v2 + ... + 0vk.
Si u y v son vectores en U, entonces
u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk
y
v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk
donde a 1, a 2, ..., a k, b1, b2, ..., bk son escalares. Por consiguiente,
u + v = (a 1 + b1)v1 + ( a 2 + b2)v2 + ... + (a k + bk)vk
y, para cualquier escalar a ,
au = (aa 1)v1 + ( aa 2)v2 + ... + (aa k)vk.
Así, u + v y au son combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk, y, en consecuencia,
están en U. Por tanto, U es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar.
2.- Cada vector vi es una combinación lineal de v1, v2, ..., vk, ya que es posible escribir vi = 0v1 + 0v2 + ... + 0vk. Por consiguiente, en el subespacio U están todos y cada
uno de los vectores v1, v2, ..., vk. Sea W cualquier otro subespacio que contiene a v1,
v2, ..., vk. Como W es cerrado bajo la adición y la multiplicación escalar, debe contener todas las combinaciones lineales de v1, v2, ..., vk. Así, W contiene a cada vector de
U.
Ahora surgen unas preguntas: ¿En qué condiciones los subespacios generados de
dos sistemas diferentes de vectores consisten de los mismos vectores del espacio
inicial? ¿Qué número mínimo de vectores define un mismo subespacio vectorial?
¿Será el espacio vectorial inicial un subespacio generado de algunos de sus vectores? Las respuestas a estas preguntas y otras las daremos más adelante.
Con este fin emplearemos en gran escala la noción de combinación lineal y, en
particular, la propiedad de su transitividad. A saber, si un cierto vector u es una
combinación lineal de los vectores v1, v2, ..., vk, y cada uno de ellos, a su turno, es
una combinación lineal de los vectores w1, w2, ..., wk, entonces el vector u también
puede ser representado como combinación lineal de los vectores w1, w2, ..., wr.
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208
ESPACIOS VECTORIALES
D E F I N I C I O N 5.3.4
Dos sistemas de vectores S = {v1, v2, ..., vk} y S´ = {w1, w2, ..., wk} de un
espacio vectorial V, se dicen equivalentes, cuando ambos engendran el
mismo subespacio.
Es evidente que, para el conjunto de los sistemas finitos de vectores de un espacio
vectorial, la equivalencia recién definida es una relación de equivalencia. De aquí
se desprende que si los subespacios generadores de dos sistemas de vectores coinciden, entonces los sistemas son equivalentes. Así pues, los conjuntos generadores no son únicos.
T E O R E M A 5.3.2
Si S = {v1, v2, ..., vk} y S´= {w1, w2, ..., wk} son dos conjuntos de vectores
en un espacio vectorial V, entonces Span(S) = Span(S´) si y sólo si todo
vector en S es una combinación lineal de los vectores en S´ y, recíprocamente, todo vector en S´ es una combinación lineal de los vectores en
S.
D E M OST R A C I O N
Los sistemas S y S´ son equivalentes, es decir, si Span(S) = Span(S´), todo vector
de uno de estos subespacios, y en particular los vectores que le engendran
pertenecen al otro, es decir, depende linealmente de los vectores que engendran al
otro. Recíprocamente, si todos los vectores del sistema S dependen linealmente de
los del sistema S´, entonces, todo vector que depende linealmente de los vectores
de S también depende linealmente de los de S´, es decir Span(S)  Span(S´), si
además, también los vectores de S´ dependen linealmente de los de S, se
verificará que Span(S´)  Span(S).
E J E M P L O 5.3.5
Determine en caso de existir el subespacio generado por el conjunto de vectores
a.- S = {t2 + 3t ± 1, 2t2 + 1, 3t2 + t ± 1}; b.- S = {1- t2, t ± t2, 2 ± t ± t2}.
SO L U C I O N
a.- Dado at2 + bt + c un elemento de „2, debemos expresar este elemento como
combinación lineal de los elementos de S. Es decir
at2 + bt + c = O(t2 + 3t ± 1) + M(2t2 + 1) + G(3t2 + t ± 1)
Agrupando los términos comunes, obtenemos
at2 + bt + c = (O + M + 3G)t2 + (3O + G)t + (- O + M - G)
Establecemos el sistema de ecuaciones
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ESPACIOS VECTORIALES
209
­ O M 3G a
°
® 3O G b
° O M G c
¯
Resolvemos este sistema, utilizando el método de operaciones elementales
§ 1 1 3 a · §1 1 3
a · §1 1 3
a
·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
|
|
0
3
8
3
a
b
3
0
1
b
0
3
8
3
a
b
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 1 1 1 c ¸ ¨ 0 2 2 a c ¸ ¨ 0 0 10 3a 2b 3c ¸
¹
¹
¹
©
©
©
Como el Rang( A ) = 3, no existe subespacio generado por el conjunto S.
b.- Dado at2 + bt + c un elemento de „2, debemos expresar este elemento como
combinación lineal de los elementos de S. Es decir
at2 + bt + c = O(1 - t2) + M(t - t2) + G(2 ± t - t2).
Formamos el determinante de la matriz de coeficientes:
1 0 1
0 1 1 0 .
2 1 1
Como este determinante es igual cero, entonces procedemos a encontrar el subespacio generado:
§ 1 0 1 a · § 1 0 1
a · § 1 0 1
a
·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
0
1
1
b
0
1
1
b
0
1
1
b
|
|
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸.
¨ 2 1 1 c ¸ ¨ 0 1 1 2 a c ¸ ¨ 0 0 0 2 a b c ¸
¹ ©
¹ ©
¹
©
En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma:
Span(S) = {( a , b, c)/ 2 a - b ± c = 0}. ’
EJ E M P L O 5.3.6
Hallar el menor subespacio de „3 en el que se encuentran los polinomios:
q(t) = 2t3 + 2t2 - 2t, r(t) = t3 + 2t2 - t + 5, s(t) = t3 + 2t2 - 6t - 6.
SO L U C I O N
Como Oq(t) + Dr(t) + Gs(t) = p(t), entonces
O(2t3 + 2t2 - 2t) + D(t3 + 2t2 - t + 5) + G(t3 + 2t2 - 6t - 6) = at3 + bt2 + ct + d
§ 2 1 1 a · §2 1 1
·
a · §2 1
1
a
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
a b ¸
¨ 2 2 2 b ¸ | ¨ 0 1 1 a b ¸ | ¨ 0 1 1
¨ 2 1 6 c ¸ ¨ 0 0 5 a c ¸ ¨ 0 0 5
ac ¸
¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸
© 0 5 6 d ¹ © 0 5 6 d ¹ © 0 0 11 5a 5b d ¹
§2 1 1
·
a
¨
¸
a b
¨ 0 1 1
¸
¨ 0 0 5
¸
ac
¨¨
¸¸
© 0 0 0 14 a 25b 11c 5d ¹
Por lo tanto, el subespacio mínimo es
Span{q(t), r(t), s(t)` = Span{(a, b, c, d) / 14a - 25b ± 11c + 5d = 0}. ’
E J E M P L O 5.3.7
Demuestre que el menor subespacio de ƒ3 en el que se encuentran los vectores
v1 = (1, 0, -1), v2 = (0, 2, -2), v3 = (0, -2, 2) es el plano a + b + c = 0.
SO L U C I O N
El menor subespacio de ƒ3 que contiene a v1, v2 y v3 es Span(S), donde:
Span(S) = Span{(a, b, c) = O(1, 0, -1) + M(0, 2, -2) + G(0, -2, 2) / O, M, G  ƒ}
= Span{(a, b, c) = (O, 2D - 2G, -O - 2D + 2G) / O, D, G  ƒ}
Se desea describir este subespacio de ƒ3 en otros términos. Obsérvese que de la
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210
ESPACIOS VECTORIALES
última expresión para Span(S) se obtiene
­O a
°
® 2D 2G b
°O 2D 2G c
¯
que puede interpretarse como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas O, D, G, el
cual se sabe que tiene solución. Al aplicar el método de eliminación Gaussiana a este
sistema se obtiene
§ 1 0
0 a · §1 0 0
a · §1 0 0
a ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
b ¸ | ¨ 0 2 2
b ¸
¨ 0 2 2 b ¸ | ¨ 0 2 2
¨ 1 2
2 c ¸¹ ¨© 0 2 2 a c ¸¹ ¨© 0 0 0 a b c ¸¹
©
Entonces, el hecho de la existencia de soluciones del sistema es equivalente a que a
+ b + c = 0. Es decir, el vector v es una combinación lineal de v1, v2 y v3 si, y sólo si
a + b + c = 0. Por lo tanto, el subespacio Span{v1, v2, v3} puede ser escrito como:
Span{v1, v2, v3} = Span{(a, b, c) / a + b + c = 0},
lo cual es subespacio vectorial de ƒ3 que representa geométricamente un plano que
pasa por el origen. ’
E J E M P L O 5.3.8
Demuestre que no existe subespacio propio de ƒ3 en el que se encuentren los
vectores (1, 1, 1),
(1, 1, 0), (1, 0, 0).
SO L U C I O N
Span(S) = Span{( a , b, c) = O(1, 1, 1) + D(1, 1, 0) + G(1, 0, 0) / O, D, G  ƒ}
= {(O + D + G, O + D, O) / O, D, G  ƒ}
Se desea describir este subespacio de ƒ3 en otros términos. Obsérvese que de la
última expresión para Span{v1, v2, v3} se obtiene
­O D G a
°
®O D b
°O c
¯
que puede interpretarse como un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas O, D, G. Al
aplicar el método de eliminación Gaussiana a este sistema se obtiene
§1 1 1 a · § 1 1 1 a · § 1 1 0 a b ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨1 1 0 b ¸ | ¨ 0 0 1 b a ¸ | ¨ 0 0 1 b a ¸
¨1 0 0 c ¸ ¨ 0 1 1 c a ¸ ¨ 0 1 0 c b ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹
Podemos ver que no existe condición restrictiva para que el vector v sea combinación
lineal de los vectores v1, v2, v3. Por lo tanto no existe subespacio propio de ƒ3. ’
EJ E M P L O 5.3.9
Hallar el menor subespacio del subespacio solución S del sistema
homogéneo:
­ a 2b 2c 2d e 0
°
® a 2b c 3d 2e 0 .
°2 a 4b 7 c d e 0
¯
SO L U C I O N
Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneas:
§ 1 2 2 2 1 0 · § 1 2 2 2 1 0 · § 1 2 2
¨
¸ ¨
¸ ¨
¨ 1 2 1 3 2 0 ¸ | ¨ 0 0 1 1 1 0 ¸ | ¨ 0 0 1
¨ 2 4 7 1 1 0 ¸ ¨ 0 0 3 3 1 0 ¸ ¨ 0 0 0
©
¹ ©
¹ ©
de ecuaciones
2 1 0 ·
¸
1 1 0 ¸
0 2 0 ¸¹
Por lo tanto, el subespacio mínimo de S es
Span(S) = Span{(a, b, c, d, e) / a = - 2b ± 4d, c = - d, e = 0}. ’
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ESPACIOS VECTORIALES
211
EJ E M P L O 5.3.10
a.- Demuéstrese que si U es un subconjunto de V, entonces Span(U) es un
subespacio de V.
b.- Demostrar que Span(U) es el menor subespacio que contiene a U, si W es un
subespacio de V y si U  W, entonces Span(U)  W.
SO L U C I O N
a.- Sabemos por hipótesis que U  V y que U  Span(U). El Span(U) es el
subespacio generado por todas las combinaciones lineales de U, si U es subconjunto
de V, entonces sus elementos cumplen con los axiomas del espacio vectorial V. Por
lo tanto, el subespacio generado por U también cumple dichos axiomas, por lo cual
el Span(U) es un subespacio de V.
b.- Si U genera un subespacio, éste es el resultado de todas las combinaciones
lineales posibles a partir de U, si no se tomaran todas las combinaciones lineales
posibles para generar el Span(U), éste no heredaría los axiomas del espacio vectorial,
y por tanto solamente sería un conjunto contenido en el espacio vectorial. En
consecuencia, Span(U) es el menor subespacio de V que puede contener a U.
Además, si el conjunto U está contenido en un subespacio W del espacio vectorial V,
este subespacio W contiene al Span(U). En un caso muy particular, W puede ser
igual al Span(U), debido a que el Span(U) es el menor subespacio que puede ser
generado por el conjunto U en el espacio vectorial V. ’
EJ E M P L O 5.3.11
Describir el subespacio generado por los sistemas de vectores siguientes:
a.- S = {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1)};
b.- S = {(1, 0, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1, 0), (0, 0, 1, 0, 0)};
c.- S = {(1, 0, 0, 0, -1), (0, 1, 0, 0, -1), (0, 0, 1, 0, -1), (0, 0, 0, 1, -1)}.
SO L U C I O N
a.- Dado ( a , b, c, d, e) un elemento de ƒ5, debemos expresar este elemento como
combinación lineal de los elementos de S. Es decir
( a , b, c, d, e) = D(1, 0, 0, 0, 0) + E(0, 0, 1, 0, 0) + M(0, 0, 0, 0, 1).
Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal:
§1 0 0 a ·
¨
¸
¨0 0 0 b ¸
¨0 1 0 c ¸ .
¨
¸
¨0 0 0 d ¸
¨0 0 1 e ¸
¹
©
En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma:
Span(S) = {( a , b, c, d, e) / b = d = 0}.
b.- Dado ( a , b, c, d, e) un elemento de ƒ5, debemos expresar este elemento como combinación lineal de los elementos de S. Es decir
( a , b, c, d, e) = D(1, 0, 0, 0, 1) + E(0, 1, 0, 1, 0) + M(0, 0, 1, 0, 0).
Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal:
§1 0 0 a · §1 0 0
a · §1 0 0
a ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
b ¸ ¨0 1 0
b ¸
¨0 1 0 b ¸ ¨0 1 0
¨0 0 1 c ¸ | ¨0 0 1
c ¸ | ¨0 0 1
c ¸.
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
d ¸ ¨0 0 0 b d ¸
¨0 1 0 d ¸ ¨0 1 0
¨1 0 0 e ¸ ¨0 0 0 a e¸ ¨0 0 0 a e ¸
¹ ©
¹ ©
¹
©
En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma:
Span(S) = {( a , b, c, d, e) / b - d = 0, a ± e = 0}.
c.- Dado ( a , b, c, d, e) un elemento de ƒ5, debemos expresar este elemento como
combinación lineal de los elementos de S. Es decir
( a , b, c, d, e) = D(1, 0, 0, 0, -1) + E(0, 1, 0, 0, -1) + M(0, 0, 1, 0, -1) +
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212
ESPACIOS VECTORIALES
+ G(0, 0, 0, 1, -1)
Formamos la matriz aumentada del sistema generado por la combinación lineal:
§ 1 0 0 0 a · §1 0 0 0
a · §1 0 0 0
a ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
b ¸ ¨0 1 0 0
b ¸
¨ 0 1 0 0 b ¸ ¨0 1 0 0
¨ 0 0 1 0 c ¸ | ¨0 0 1 0
c ¸ | ¨0 0 1 0
c ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
d ¸ ¨0 0 0 1
d ¸
¨ 0 0 0 1 d ¸ ¨0 0 0 1
¨ 1 1 1 1 e ¸ ¨ 0 1 1 1 a e ¸ ¨ 0 0 1 1 a b e ¸
¹ ©
¹ ©
¹
©
§1
¨
¨0
¨0
¨
¨0
¨0
©
0
1
0
0
0
0 0
a
· §1
¸ ¨
0 0
b
¸ ¨0
¸ | ¨0
1 0
c
¸ ¨
0 1
d
¸ ¨0
0 1 a b c e ¸¹ ¨© 0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
a
·
¸
0
b
¸
¸.
0
c
¸
1
d
¸
0 a b c d e ¸¹
En este caso, el subespacio generado tiene la siguiente forma:
Span(S) = {( a , b, c, d, e) / a + b + c + d + e = 0}. ’
EJ E M P L O 5.3.12
Demuéstrese que si V es el espacio de las funciones doblemente diferenciables
definidas en a d t d b y S es el conjunto de funciones ^Sent, Cost}, entonces Span(S)
es el espacio de las funciones que cumplen f ´´ = - f.
SO L U C I O N
Sabemos que S = {Sent, Cost}. Haciendo la combinación lineal obtenemos
f(t) = aSent + bCost
derivamos dos veces esta expresión
f ´(t) = aCost ± bSent
f ´´(t) = - aSent ± bCost = - (aSent + bCost) = - f(t)
Por lo tanto concluimos que
Span(S) = {f  C 2[ a ; b] / f ´´(t) = - f(t)}. ’
PR O B L E M AS
5.3.1 Pruebe que S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)} es una
base, demostrando que Span(S) contiene a (1, 0, 0), (0, 1,
0) y (0, 0, 1). ¿Por qué basta esto?
5.3.2 Los números reales forman un espacio vectorial
sobre los racionales. Demuestre que {1, 2} y
{1 2,1 2} generan al mismo subespacio.
5.3.3 Encontrar la ecuación del plano generado por los
vectores u = (-1, 4, 5) y v = (6, -3, 2).
5.3.4 Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta
generada por el vector u = (5, -1, 4).
5.3.5 Sean S = {(1, 0, -2), (0, 3, 6), (-4, -2, 3)} y u = (4, 1,
-4) y sea W = Span(S):
a.- ¿Está u en S? ¿Cuántos vectores hay en S?;
b.- ¿Está u en W? ¿Cuántos vectores hay en W?
c.- Demuestre que (1, 0, -2) está en W.
5.3.6 Determine el menor subespacio de las matrices de 3
x 3 que contenga todas las matrices simétricas y todas las
matrices triangulares inferiores. ¿Cuál es el mayor
subespacio contenido en ambos subespacios?
5.3.7 Demuestre que los sistemas de vectores S1 = {(1, 6,
4), (2, 4, -1), (-1, 2, 5)} y S2 = {(1, -2, -5), (0, 8, 9)}
generan el mismo subespacio de ƒ3.
5.4 I N T E RSE C C I O N Y SU M A D E SU B ESP A C I OS. SU M A D I R E C T A
En esta sección se estudiarán los subespacios intersección, suma y suma directa. Con el trabajo aquí realizado
se comprenderá mejor la relación que hay entre las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales y las propiedades de su matriz de coeficientes.
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ESPACIOS VECTORIALES
213
Considere el espacio vectorial arbitrario V. Este espacio engendra el conjunto de
todos los subespacios suyos, El cual se representa por S. En este conjunto S se
pueden definir dos operaciones algebraicas que, a base de unos subespacios, permiten construir otros.
D E F IN I C I O N 5.4.1
Se denomina intersección de los subespacios vectoriales U y W, al conjunto
de todos los vectores pertenecientes simultáneamente tanto a U como a W.
T E O R E M A 5.4.1
Dados un subespacio vectorial S, sobre un cuerpo K, y dos subespacios
suyos U y W, demuestre que el conjunto U ˆ W es también un subespacio
vectorial de S.
D E M OST R A C I O N
Si u  U y w  W, se debe verificar, por una parte, que u  U ˆ W y w  U ˆ W, y
por otra parte, que u + w  U, u + w  W y u + w  U ˆ W. De la misma manera,
se llega a la conclusión u + w  U ˆ W, para todo a  K , que demuestra como
U ˆ W es un subespacio vectorial de S.
Como el vector nulo de V pertenece a todos sus subespacios, no hay subespacio de
intersección vacía. Cuando se diga que dos subespacios U y W son disjuntos,
se debe entender que no tienen más elemento en común que el vector cero, es
decir, se verifica que U ˆ W = {‡}.
Resulta evidente que el subespacio intersección de varios subespacios dados es el
más amplio de todos los subespacios contenidos en todos ellos.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
EJ E M P L O 5.4.1
Sean
U = {(a, b, c, d) / b ± 2c + d = 0} y W = {(a, b, c, d) / a = d, b = 2c}
subespacios de ƒ4. Hallar U ˆ W.
SO L U C I O N
Tomando las condiciones de los conjuntos U y W, tenemos el siguiente sistema de
ecuaciones homogéneo:
§ 0 1 2 1 0 · § 0 1 2 1 0 ·
­b 2c d 0
¨
°
¸ ¨
¸
Ÿ ¨ 1 0 0 1 0 ¸ | ¨ 1 0 0 1 0 ¸ .
®ad 0
° b 2c 0
¨ 0 1 2 0 0 ¸ ¨ 0 0 0 1 0 ¸
¹ ©
¹
¯
©
Por lo tanto U ˆ W = {(a, b, c, d) / a = d = 0, b = 2c}. ’
EJ E M P L O 5.4.2
Sean
U = {(1, -1, -1, 0, 0), (1, -2, -2, 0, -3), (1, -1, -2, -2, 1)}
y
W = {(1, -2, -3, 0, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)}
subespacios de ƒ5. Hallar U ˆ W.
SO L U C I O N
Primera encontramos los subespacios generados Para U y W:
§ 1 1 1 a · §1 1 1
a · §1 1 1
a
·
¨
¸ ¨
¸
¸ ¨
a b ¸
¨ 1 2 1 b ¸ ¨ 0 1 0 a b ¸ ¨ 0 1 0
¨ 1 2 2 c ¸ | ¨ 0 1 1 a c ¸ | ¨ 0 0 1
¸
bc
¨
¸ ¨
¸
¸ ¨
d
d ¸ ¨ 0 0 2
¨ 0 0 2 d ¸ ¨ 0 0 2
¸
¸ ¨ 0 0 1 3a 3b e ¸
¨ 0 3 1 e ¸ ¨ 0 3 1
e
¹
¹
¹
©
©
©
JOE GARCIA ARCOS
214
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
§1 1
¨
¨ 0 1
¨0 0
¨
¨0 0
¨0 0
©
1
a
·
¸
0
a b
¸
¸.
1
bc
¸
0
2b 2c d ¸
0 3a 4b c e ¸¹
Por lo tanto
Span(U) = {(a, b, c, d, e) / 3a + 4b ± c ± e = 0,
§ 1 1 1 a · §1 1 1
a · §1
¨
¸ ¨
¸ ¨
¨ 2 1 1 b ¸ ¨ 0 1 1 2 a b ¸ ¨ 0
¨ 3 3 2 c ¸ | ¨ 0 0 1 3 a c ¸ | ¨ 0
¨
¸ ¨
¸ ¨
d ¸ ¨0
¨ 0 2 2 d ¸ ¨0 2 2
¨ 2 4 5 e ¸ ¨ 0 2 3 2 a e ¸ ¨ 0
¹ ©
¹ ©
©
§1
¨
¨0
¨0
¨
¨0
¨0
©
1
1
0
0
0
2b ± 2c + d = 0}.
1 1
a
·
¸
1 1
2a b ¸
0 1
3a c ¸
¸
0 0 4 a 2b d ¸
0 1 6 a 2b e ¸¹
1
a
·
¸
1
2a b
¸
¸
1
3a c
¸
0 4 a 2b d ¸
0 9 a 2b c e ¸¹
Por lo tanto
Span(W) = {(a, b, c, d, e) / 4a + 2b ± d = 0, 9a + 2b + c ± e = 0}.
Luego, para encontrar la intersección entre estos subespacios debemos resolver el
sistema de ecuaciones homogéneas, que resulta de las condiciones restrictivas de
cada uno de estos subespacios:
§ 3 4 1 0 1 0 · § 3
4 1 0 1 0 ·
­ 3a 4b c e 0
¨
¸ ¨
¸
° 2b 2c d 0
2 2 1 0 0 ¸
°
¨ 0 2 2 1 0 0 ¸ | ¨ 0
Ÿ
®
¨ 4 2 0 1 0 0 ¸ ¨ 0 10 4 3 4 0 ¸
°4 a 2b d 0
¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸
°¯ 9 a 2b c e 0
© 9 2 1 0 1 0 ¹ © 0 10 4 0 2 0 ¹
§ 3 4 1 0 1 0 · § 3 4 1 0 1 0 ·
¨
¸ ¨
¸
¨ 0 2 2 1 0 0 ¸ | ¨ 0 2 2 1 0 0 ¸
¨ 0 0 6 2 4 0 ¸ ¨ 0 0 6 2 4 0 ¸
¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸
© 0 0 6 5 2 0 ¹ © 0 0 0 3 2 0 ¹
Por lo tanto
Span(U ˆ W) = {(a, b, c, d, e) / a = -d/2, b = 5d/6, c = 4d/3, e = 3d/2}. ’
EJ E M P L O 5.4.3
El conjunto U de todas las ternas de ƒ3 cuya primera coordenada es 0 es subespacio
de ƒ3, como también lo es el conjunto W de todas las ternas (a, b, c) en donde la
primera componente es igual a la segunda componente. Demuestre que U ˆ W es
subespacio de ƒ3.
SO L U C I O N
Por el ejemplo anterior, el conjunto U ˆ W es subespacio de ƒ3; U ˆ W consta de
todas las termas (0, 0, c) en las que c es arbitrario. ’
Sean U, W subconjuntos, no necesariamente subespacios, de un espacio vectorial V.
Denotaremos por U + W el conjunto de todos los vectores v de V que se pueden
expresar como suma de un vector de U y de un vector de W. Por lo tanto, v estará en
U + W exactamente cuando existan un vector u de U y un vector w en W tales que
v = u + w. El conjunto U + W se denomina suma de los conjuntos U y W.
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
215
D E F IN I C I O N 5.4.2
Dados un subespacio vectorial S, sobre un cuerpo K , y dos subespacios suyos U y W, se denominan suma de dichos subespacios, y se representa por
U + W, al conjunto de todos los vectores de S que pueden expresarse como
suma de un vector de U y otro de W.
Obsérvese que, tanto la intersección como la suma de subespacios siempre son
conjuntos no vacíos, ya que les pertenece a ciencia cierta el vector nulo del espacio
vectorial V.
T E O R E M A 5.4.2
Como U + W es subespacio de S, entonces el subespacio U + W contiene
tanto a U como a W. Además, si S es también subespacio de V que
contenga tanto a U como a W, entonces S también contiene a U + W. Por
lo tanto, U + W es el menor de los subespacios de S que contienen tanto a
U como a W; es decir, U + W = Span(U ‰ W). Además si U y W son
subespacios de S, entonces U + W es un subespacio de S.
D E M OST R A C I O N
Puesto que ‡  U y ‡  W, el elemento neutro pertenece a la suma, ya que
‡ = ‡ + ‡  U + W.
Por otra parte, si suponemos que
u1 + w1  U + W y u2 + w2  U + W,
debe verificarse que
(u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2)  U + W
y
a(u1 + w1) = au1 + aw1  U + W,
cuyas dos condiciones justifican que U + W es un subespacio vectorial de V. Dado
que ‡  U, W  U + W. De igual modo, U  U + W. Ya que U + W es un
subespacio que contiene a U ‰ W, Span(U ‰ W)  U + W. Para cualquier v  U +
W, v se puede escribir en la forma v = u + w donde u  U y w  W. Entonces u  U
 Span(U ‰ W) y w  W  Span(U ‰ W). Como Span(U ‰ W) es un subespacio,
v = u + w  Span(U + W). De donde U + W = Span(U + W).
En ƒ2, supongamos que en U sólo está el vector u = OQ, y sea W el conjunto de
todos los vectores OP desde el origen O hasta un punto P situado en el segmento de
recta AB. Entonces, U + W consta de todos los vectores OR = OQ + OP, donde Q es
fijo y P varía en el segmento AB. En consecuencia, U + W corresponde al segmento
de recta CD que se obtiene de AB al trasladar cada punto en el vector u; en particular, AC = u, BD = u.
En ƒ3 sean u, v vectores no nulos, ninguno de ellos múltiplo escalar del otro. Supongamos que U es el conjunto de todos los múltiplos escalares de u y que W es el conjunto de todos los múltiplos escalares v. Entonces, U + W consta de todos los vectores au + bv. Aquí, U corresponde a la recta L1 que pasa por O, W a la recta L2 que
pasa por O, y U + W a un plano S que también pasa por O y contiene a L1 y a L2.
Indiquemos, finalmente, las propiedades siguientes de la suma de subespacios, que
se desprenden directamente de la definición:
1.- U + W = W + U;
2.- U + (W + V) = (U + W) + V;
3.- Si U está contenido en un subespacio W, se tiene U + W = W.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
EJ E M P L O 5.4.4
Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V, se define U + W como el
conjunto de vectores de V que pueden escribirse como suma de uno de U más otro
JOE GARCIA ARCOS
216
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
de W, es decir, U + W = {w  V / w = u + v con u  U y v  W}. Demostrar que U
+ W es el mínimo subespacio vectorial que contiene a U y a W.
SO L U C I O N
En efecto, ‡  U + W, pues es ‡ = ‡ + ‡ y ‡  U y ‡  W. Además, si w1 y w2
son de U + W, serán
w1 = u1 + v1 y w2 = u2 + v2 donde u1, u2  U y v1, v2  W, y
por tanto, será w1 + w2 = (u1 + u2) + (v1 + v2), lo que por ser u1 + u2  U y v1 + v2 
W, indica que es w1 + w2  U + W. Por otro lado, si k es un escalar cualquiera y w 
U + W, es w = u + v con u  U y v  W, de donde, kw = k(u + v) = ku + kv, y como
ku  U y kv  W, es kw  U + W. Consecuentemente, U + W es un subespacio.
Además, U + W contiene a U, pues si u  U, es u = u + ‡, y ‡  W; del mismo
modo contiene a W, pues si v  W, es v = ‡ + v, y ‡  U. Y por fin, si un
subespacio contiene a U y a W, entonces debe contener todas las sumas del tipo u +
v donde u  U y v  W, y por tanto, debe contener a U + W, lo que prueba que U +
W es el mínimo subespacio que contiene a U y a W. ’
EJ E M P L O 5.4.5
Sean
U = {(a, b, c, d) / b ± 2c + d = 0} y W = {(a, b, c, d) / a = d, b = 2c}
subespacios de ƒ4. Hallar U + W.
SO L U C I O N
Los subespacios U y W generan las siguientes bases U = {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0),
(0, -1, 0, 1)} y W = {(0, 2, 1, 0), (1, 0, 0, 1)} construimos una matriz con los
vectores de ambos subespacios, para poder determinar los elementos que contiene el
subespacio U + W:
§1 0 0 0· §1 0 0 0·
¨
¸ ¨
¸
¨0 2 1 0¸ ¨0 2 1 0¸
¨ 0 1 0 1 ¸ | ¨ 0 0 1 2 ¸
¨
¸ ¨
¸
¨0 2 1 0¸ ¨0 0 0 0¸
¨ 1 0 0 1 ¸ ¨ 0 0 0 1 ¸
©
¹ ©
¹
Por lo tanto
Base(U + W) = {(1, 0, 0, 0), (0, 2, 1, 0), (0, 0, 1, 2), (0, 0, 0, -1)}.
Como Dim(U + W) = 4, entonces U + W = ƒ4. ’
EJ E M P L O 5.4.6
Sean
U = {(1, -1, -1, 0, 0), (1, -2, -2, 0, -3), (1, -1, -2, -2, 1)}
y
W = {(1, -2, -3, 0, -2), (1, -1, -3, 2, -4), (1, -1, -2, 2, -5)}
subespacios de ƒ5. Hallar U + W.
SO L U C I O N
Para encontrar el subespacio U + W, debemos construir una matriz cuyas filas sean
los elementos de los conjuntos U y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante
operaciones elementales. Las filas no nulas formarán la base de U + W:
§1 1 1 0 0 · § 1 1 1 0 0 · § 1 1 1 0 0 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨1 2 2 0 3 ¸ ¨ 0 1 3 0 3 ¸ ¨ 0 1 3 0 3 ¸
¨1 1 2 2 1 ¸ ¨ 0 0 3 2 1 ¸ ¨ 0 0 3 2 1 ¸
¨
¸|¨
¸ |¨
¸
¨1 2 3 0 2 ¸ ¨ 0 1 4 0 2 ¸ ¨ 0 0 1 0 1 ¸
¨1 1 3 2 4 ¸ ¨ 0 0 4 2 4 ¸ ¨ 0 0 4 2 4 ¸
¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸
©1 1 2 2 5 ¹ © 0 0 3 2 5 ¹ © 0 0 3 2 5 ¹
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
217
§ 1 1
¨
¨0 1
¨0 0
¨
¨0 0
¨0 0
¨¨
©0 0
1
3
3
0
0
0
0 0 · § 1 1
¸ ¨
0 3¸ ¨0 1
2 1 ¸ ¨ 0 0
¸ |¨
1 1¸ ¨0 0
7 8 ¸ ¨ 0 0
¸ ¨
2 3 ¸¹ ¨© 0 0
1
3
3
0
0
0
0 0·
¸
0 3¸
2 1 ¸
¸
1 1¸
0 1¸
¸
0 0 ¸¹
Por lo tanto:
Base(U + W) = {(1, -1, 1, 0, 0), (0, 1, 3, 0, 3), (0, 0, 3, 2, -1), (0, 0, 0, 1, 1),
(0, 0, 0, 0, 1)}.
5
Como Dim(U + W) = 5, entonces U + W = ƒ . ’
EJ E M P L O 5.4.7
Sea W el conjunto de todos los vectores de la forma (r, 2r ± t, r + t, t) de ƒ4, donde
r, t son arbitrarios. Sea U el conjunto de todos los vectores de la forma (2 a + 2b, b, b, 3a + 2b), donde a, b son arbitrarios:
a.- Compruebe que U + W es el conjunto de todos los vectores de la forma (u + 2w,
2u ± v, u + v, v + 3w);
b.- Compruebe que U, W y U + W son subespacios de ƒ4;
c.- Encuéntrese U ˆ W.
SO L U C I O N
a.- Encontramos las bases de W y U respectivamente:
(r, 2r ± t, r + t, t) = r(1, 2, 1, 0) + t(0, -1, 1, 1)
BaseW = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1)},
(2a + 2b, b, -b, 3a + 2b) = a(2, 0, 0, 3) + b(2, 1, -1, 2)
BaseU = {(2, 0, 0, 3), (2, 1, -1, 2)}.
A continuación encontramos una base para el subespacio U + W:
§1 2 1 0· §1 2 1 0 · §1 2 1 0· §1 2 1 0·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 0 1 1 1 ¸ | ¨ 0 1 1 1 ¸ | ¨ 0 1 1 1 ¸ | ¨ 0 1 1 1 ¸ .
¨ 2 0 0 3 ¸ ¨ 0 4 2 3 ¸ ¨ 0 0 6 1 ¸ ¨ 0 0 6 1 ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
© 2 1 1 2 ¹ © 0 3 3 2 ¹ © 0 0 6 1 ¹ © 0 0 0 0 ¹
De esta manera podemos decir que la base de U + W es:
Base(U + W) = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1), (2, 0, 0, 3)}.
Esta base es exactamente la misma que genera el subespacio U + W dada:
(u + 2w, 2u ± v, u + v, v + 3w) = u(1, 2, 1, 0) + v(0, -1, 1, 1) + w(2, 0, 0, 3)
Base(U + W) = {(1, 2, 1, 0), (0, -1, 1, 1), (2, 0, 0, 3)}.
Con esto queda demostrado el inciso a).
b.- Por el inciso a), U, W y U + W tienen estructura de subespacio vectorial de ƒ4,
por cuanto cada uno de ellos generan su propia base.
c.- En el inciso a) nos podemos dar cuenta que en la matriz se anula una fila, por
lo tanto la base del subespacio intersección U ˆ W es:
Base(U ˆ W) = {(2, 1, -1, 2)}. ’
EJ E M P L O 5.4.8
Hallar U + W y U ˆ W dados los siguientes sistemas:
a.- U = {(0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), (-2, 0, 1, 1)} y W = {(-1, 3, 2, -1), (1, 1, 0, -1)}.
b.- U = {(2, -5, 3, 4), (1, 2, 0, -7), (3, -6, 2, 5)} y W = {(2, 0, -4, 6), (1, 1, 1, 1),
(3, 3, 1, 5)}.
SO L U C I O N
a.- Debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U
y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las
filas no nulas formarán la base de U + W:
JOE GARCIA ARCOS
218
ESPACIOS VECTORIALES
§ 0 1 1 1 · §0 1 1 1 · §0 1 1 1 · §0 1 1 1 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 1 1 1 2 ¸ ¨ 0 0 1 3 ¸ ¨ 0 0 1 3 ¸ ¨ 0 0 1 3 ¸
¨ 2 0 1 1 ¸ | ¨ 0 2 1 1 ¸ | ¨ 0 0 1 3 ¸ | ¨ 0 0 0 0 ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 1 3 2 1¸ ¨ 0 4 2 2 ¸ ¨ 0 0 2 6 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸
¨ 1 1 0 1¸ ¨ 1 1 0 1 ¸ ¨ 1 1 0 1 ¸ ¨ 1 1 0 1 ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹
Por lo tanto:
Base(U + W) = {(0, 1, 1, 1), (0, 0, -1, -3), (1, 1, 0, -1)}.
Para encontrar el subespacio U + W, debemos hallar el subespacio generado con
respecto a la base encontrada:
§0 0 1 a · §1 0 1 b · §1 0 1
b ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
a ¸
¨1 0 1 b ¸ | ¨0 0 1 a ¸ | ¨0 0 1
¨ 1 1 0 c ¸ ¨ 1 1 0 c ¸ ¨ 0 1 1 b c ¸
¨¨
¸ ¨¨
¸ ¨¨
¸
© 1 3 1 d ¹ © 1 3 1 d ¹ © 0 3 2 b d ¹
§1
¨
¨0
¨0
¨¨
©0
0
0
1
0
1
b
· §1 0
¸ ¨
1
a
¸ | ¨0 0
1
b c ¸ ¨0 1
¸ ¨
1 2b 3c d ¹ ¨© 0 0
1
b
·
¸
1
a
¸.
¸
1
bc
¸
0 a 2b 3c d ¹
Por lo tanto
Span(U + W) = {(a, b, c, d) / a ± 2b + 3c ± d = 0}.
Podemos observar que (-2, 0, 1, 1) y (-1, 3, 2, -1) son los vectores que se eliminaron
al encontrar la base de U + W, entonces estos elementos forman la base de U ˆ W.
Para encontrar el subespacio U ˆ W, debemos hallar el subespacio generado con
respecto a la base encontrada:
§ 2 1 a · § 2 1
a · § 2 1
a
·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
0
3
b
0
3
b
0
3
b
¨
¸ |¨
¸|¨
¸.
¨ 1 2 c ¸ ¨ 0 3 a 2c ¸ ¨ 0 0 a b 2c ¸
¨¨
¸ ¨¨
¸ ¨¨
¸
© 1 1 d ¹ © 0 3 a 2d ¹ © 0 0 a b 2d ¹
Por lo tanto Span(U ˆ W ) = {(a, b, c, d) / a ± b + 2c = 0, a + b + 2d = 0}.
b.- Debemos construir una matriz cuyas filas sean los elementos de los conjuntos U
y W, y luego procedemos a eliminar filas mediante operaciones elementales. Las
filas no nulas formarán la base de U + W:
§ 2 5 3 4 · § 2 5 3 4 · § 2 5 3 4 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 1 2 0 7 ¸ ¨ 0 3 1 6 ¸ ¨ 0 3 1 6 ¸
¨ 3 6 2 5 ¸ ¨ 0 3 5 2 ¸ ¨ 0 0 1 1 ¸
¨
¸ |¨
¸ |¨
¸
¨ 2 0 4 6 ¸ ¨ 0 5 7 2 ¸ ¨ 0 0 4 9 ¸
¨ 1 1 1 1 ¸ ¨ 0 7 1 2 ¸ ¨ 0 0 1 9 ¸
¨¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
5 ¸¹ ¨© 0 21 7 2 ¸¹ ¨© 0 0 0 1 ¸¹
©3 3 1
§ 2 5 3 4 · § 2 5 3 4 ·
¨
¸ ¨
¸
¨ 0 3 1 6 ¸ ¨ 0 3 1 6 ¸
¨ 0 0 1 1 ¸ ¨ 0 0 1 1 ¸
¨
¸ |¨
¸
¨ 0 0 0 1¸ ¨ 0 0 0 1¸
¨0 0 0 1 ¸ ¨0 0 0 0 ¸
¨¨
¸¸ ¨¨
¸¸
©0 0 0 1 ¹ ©0 0 0 0 ¹
Por lo tanto:
Base(U + W) = {(2, -5, 3, 4), (0, -3, 1, 6), (0, 0, -1, 1), (0, 0, 0, 1)}.
Como Dim(U + W) = 4, entonces el subespacio U + W = ƒ4. Podemos observar que
(1, 1, 1, 1) y (3, 3, 1, 5) son los vectores que se eliminaron al encontrar la base de
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
219
U + W, entonces estos elementos forman la base de U ˆ W. Para encontrar el
subespacio U ˆ W, debemos hallar el subespacio generado con respecto a la base
encontrada:
§1 3 a · § 1 3
a · §1 3
a
·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
a b ¸
¨1 3 b ¸ | ¨ 0 0 a b ¸ | ¨ 0 0
.
¨1 1 c ¸ ¨ 0 2 a c ¸ ¨ 0 2
ac ¸
¨¨
¸ ¨¨
¸ ¨¨
¸
©1 5 d ¹ © 0 2 a d ¹ © 0 0 2 a c d ¹
Por lo tanto
Span(U ˆ W ) = {(a, b, c, d) / a ± b = 0, 2a ± c ± d = 0}. ’
D E F IN I C I O N 5.4.3
Sean U y W subconjuntos del espacio vectorial V y sea S el conjunto compuesto por todos los vectores v de V que están en U, en W o en ambos. El
conjunto S se llama unión de U y W. La unión la denotamos por ‰, y ponemos S = U ‰ W.
Se puede deducir que U + W contiene a U ‰ W, y que es el menor de los subespacios que contienen a U ‰ W. En general, U + W es un conjunto mucho mayor que
U ‰ W. Esto sirve para observar que, en contraste con la intersección, la unión de
dos subespacios no es necesariamente otro subespacio. Aquellos casos en los cuales
U ˆ W = {‡} merecen atención especial. Si U ˆ W = {‡}, se dice que la suma
U + W es directa: U + W es una suma directa de U y W.
Dados un espacio vectorial V y los subespacios suyos, U y W se dice que su suma,
U + W es suma directa, y se representa como U † W, si todo vector de dicha suma
puede expresarse de manera única como suma de vectores de los espacios sumandos.
Los subespacios U 1, U 2, ..., U n, del espacio vectorial V, son independientes si, y sólo
si, la descomposición del vector cero en suma de vectores de dichos subespacios es
única. Si en un espacio vectorial V, varios subespacios son independientes, entonces
son disjuntos dos a dos.
Es muy importante observar que la proposición recíproca, en general, no es cierta; es
decir, el sólo hecho de ser unos subespacios disjuntos dos a dos no implica forzosamente que ellos sean independientes. Como consecuencia de esta afirmación, podemos establecer que dos subespacios U y W son independientes si, y sólo si, son
disjuntos.
T E O R E M A 5.4.3
Demuestre que el espacio vectorial V es la suma directa de los subespacios
U y W si y solamente si se verifica que V = U + W y U ˆ W = {‡}.
D E M OST R A C I O N
Si se acepta que V = U † W, para todo v  V puede expresarse de una sola manera
en la forma v = u + w, con u  U y w  W, en cuyo caso particular se verifica que
V = U + W. Si suponemos que v  U ˆ W, debe ocurrir que
v = v + ‡, en donde v  U y ‡  W;
v = ‡ + v, en donde ‡  U y v  W;
pero al no ser posible nada más que de una sola forma la descomposición anterior, ha
de verificarse que v = ‡ y, por tanto, U ˆ W = {‡}. Recíprocamente, vamos a
probar que si se cumplen las condiciones del problema, se trata de una suma directa,
lo que exige demostrar que la suma v = u + w es única. Si existe otra posible
descomposición, tal como v = u1 + w1, con u1  U y w1  W, se tiene que u + w = u1
+ w1, de donde, u ± u1 = w1 - w; pero como u ± u1  U y w1 - w  W y por hipótesis
U ˆ W = {‡}, debe ocurrir que u ± u1 = w1 - w = ‡, de donde u = u1 y w = w1.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
220
ESPACIOS VECTORIALES
T E O R E M A 5.4.4
Los subespacios U 1, U 2, ..., U n, del espacio vectorial V, son independientes
si, y sólo si, la descomposición del vector cero en suma de vectores de
dichos subespacios es única.
D E M OST R A C I O N
Para demostrar este teorema basta con cerciorarse de que los subespacios U 1, U 2, ...,
U n, son independientes, pues con repetir la demostración un número finito de veces
se prueban todos los casos que se pueden presentar. Supóngase que U 1, U 2, ..., U n, no
fuesen independientes, es decir, que un cierto vector u de su suma admitiese dos
descomposiciones distintas como suma de vectores de los subespacios sumandos
u = u1 + u2 + ... + un y u = v1 + v2 + ... + vn, con ui, vi  U i y siendo uj z vj para
algunos índices j, entonces, tomando un vector cualquiera u  U 1, el vector v = u1 +
u pertenece a la suma U 1 + U 2 + ... + U n y sería expresable, como suma de vectores
de U 1, U 2, ..., U n, de dos formas distintas, u = u1 + u2 + ... + un y u = v1 + v2 + ... + vn,
lo cual no es posible, pues estos subespacios son independientes; esta imposibilidad
obliga a rechazar el supuesto de ser U 1 + U 2 + ... + U n no independientes, es decir, la
proposición es verdadera.
T E O R E M A 5.4.5
Si en un espacio vectorial V, varios subespacios son independientes,
entonces son disjuntos dos a dos.
D E M OST R A C I O N
Si dos de los subespacios, U i y U j, con i z j, no fuesen disjuntos, es decir, si existe v z
‡ que pertenece a ambos, todo vector u = u1 + u2 + ... + un de la suma podría
expresarse también en la forma u = u1 + ... + (ui + v) + ... + (uj + v) + ... + un, como
suma de vectores de los subespacios sumandos, distinta de la de partida, lo cual no es
posible, ya que dichos subespacios son independientes.
Es muy importante observar que la proposición recíproca, en general, no es cierta; es
decir, el sólo hecho de ser unos subespacios disjuntos dos a dos no implica
forzosamente que ellos sean independientes. Como consecuencia de este teorema,
podemos establecer que dos subespacios U y W son independientes si, y sólo si, son
disjuntos.
EJ E M P L O 5.4.9
Si S1 genera a U y S2 genera a W, entonces S1 ‰ S2 genera a U + W.
SO L U C I O N
Dado que ‡  U, W  U + W. De igual modo, U  U + W. Ya que U + W es un
subespacio que contiene a U ‰ W, Span(U ‰ W)  U + W. Para cualquier u  U +
W, u se puede escribir en la forma u = v + w donde v  U y w  W. Entonces v  U
 Span(U ‰ W) y w  W  Span(U ‰ W). Como Span(U ‰ W) es un subespacio,
u = v + w  Span(U ‰ W). De donde U + W = Span(U ‰ W).
La segunda parte de la demostración se deduce ahora directamente. U = Span(S1) 
Span(S1 ‰ S2) y W = Span(S2)  Span(S1 ‰ S2), de manera que U ‰ W  Span(S1
‰ S2)  Span(U ‰ W) y, por lo tanto, Span(U ‰ W) = Span(S1 ‰ S2). ’
EJ E M P L O 5.4.10
Sean U, W y S subespacios de un espacio vectorial V:
a.- Pruébese que U + W = Span(U ‰ W), es decir que U + W es el menor
subespacio que contiene a U ‰ W.
b.- Pruébese que U  S, entonces S ˆ (U + W) = U + (S ˆ W).
SO L U C I O N
a.- Como U y W están ambos contenidos en U + W se tiene que U ‰ W  U +
W. Supongamos que U es un subespacio que contiene a U ‰ W. Para todo elemento
u de U + W existen v  U y w  W con u = v + w. El elemento u es una suma de
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ESPACIOS VECTORIALES
221
dos elementos de X y por lo tanto pertenece a X. Hemos visto así que U + W  X.
Por tanto, todo subespacio X que contiene a U ‰ W contiene a U + W y, en
consecuencia, U + W es el menor subespacio que contiene a U ‰ W.
b.- Como W  U + W tenemos en cualquier caso que S ˆ W  S ˆ (U + W).
Además U  S y U  U + W, de donde U  S ˆ (U + W). Entonces, U ‰ (S ˆ W)
 S ˆ (U + W) y por a) U + (S ˆ W)  S ˆ (U + W). Para demostrar la extensión
recíproca, consideramos un elemento u  S ˆ (U + W). Entonces u  S y existen
v  U y w  W con u = v + w. Como U  S, el elemento w = u ± v  S y por tanto
u = v + w, con v  U y w  S ˆ W. Es decir u  U + (S ˆ W). ’
EJ E M P L O 5.4.11
La intersección de dos subespacios diferentes y propios de ƒ2 será siempre el
espacio nulo {‡}.
SO L U C I O N
Esto se ve con facilidad si se recuerda que los espacios propios de ƒ2 correspondían
a rectas que pasan por el origen, y que dos rectas diferentes entre sí y que pasan por
el origen se interceptan necesariamente sólo en el origen. Por lo tanto, el espacio de
la intersección consta solamente del vector cero; es decir la intersección es el espacio
nulo {‡}. De forma general, cuando dos subespacios de un espacio vectorial V se
interceptan en el espacio cero, decimos que se interceptan sólo trivialmente. ’
EJ E M P L O 5.4.12
Demuestre que si dos subespacios, U y W de un espacio vectorial V tienen la misma
dimensión finita y U  W, entonces U = W.
SO L U C I O N
Existe una base de U que se puede extender hacia una base de W. Pero como DimU
= DimW, la base de W no puede tener más elementos que la base de U. Esto
significa que una base de U es también una base de W; es decir, U = W. ’
EJ E M P L O 5.4.13
La suma de los subespacios U y W se denomina suma directa y se nota U † W si
sólo si todo vector de este subespacio se escribe como suma de uno de U y otro de W
de manera única. Demuestre que la suma de los subespacios U y W es directa si y
sólo si es U ˆ W = {‡}.
SO L U C I O N
En efecto, supongamos que la suma de los subespacios U y W es directa y que existe
un vector v z ‡ que pertenece a U y a W. Sería entonces ‡ = ‡ + ‡ y ‡ = v + (-v),
y por tanto, el vector ‡ se expresaría como suma de uno de U más otro de W cuando
menos de dos maneras distintas, contradiciendo el hecho de ser la suma de U y W
directa. Luego, el único vector que a la vez es de U y W es el vector ‡.
Recíprocamente, sea U ˆ W = {‡}. Si fuese u1 + v1 = u2 + v2, donde u1 y u2 son de
U y v1 y v2 son de W, sería el vector u1 + (-u2) de U igual al vector v2 + (-v1) de W,
de donde, debe ser u1 = u2 y v1 = v2, lo que prueba que la suma de los subespacios U
y W es directa. ’
EJ E M P L O 5.4.14
Si V = U † W y S es un subespacio cualquiera de V tal que U  S, pruebe que
S = (S ˆ U) † (S ˆ W).
SO L U C I O N
Ya que U  S, U + (S ˆ W)  S. Todo u  S ˆ (U + W) se puede escribir en la
forma u = v + w donde v  U y w  W. Como U  S, v  S. Así, w  S y u  (S
ˆ U) + (S ˆ W) = U + (S ˆ W). De donde, S = S ˆ (U + W) = U + (S ˆ W).
Finalmente, es fácil ver que esta última suma es directa. ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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222
ESPACIOS VECTORIALES
PR O B L E M AS
5.4.1 Suponga que U 1, U 2 y U 3 son subespacios de V,
entonces:
a.- Demuéstrese que (U 1 ˆ U 3) + (U 2 ˆ U 3) Ž (U 1 + U 2) ˆ
U 3;
b.- Dé un ejemplo en ƒ2, de tal forma que se cumpla el
inciso anterior.
5.4.4 Sean U = Span{(1, 2, 3, 6), (4, -1, 3, 6), (5, 1, 6,
12)} y W = Span{(1, -1, 1, 1), (2, -1, 4, 5)} subespacios
de ƒ4. Encuentre bases para U ˆ W y U + W. Extienda
la base de U ˆ W hacia una base de U, y extienda la
base de U ˆ W hacia una base de W. De estas bases,
obtenga una base de U + W.
5.4.2 Demuéstrese con un ejemplo que si U, W, S son
subconjuntos de un espacio vectorial V y si U está
contenido en W, entonces U + S está contenido en W + S.
5.4.5 Demuestre con un ejemplo que si U 1, U 2, U 3 son
subespacios de V y U 3  U 1, U 3  U 2 entonces U 3  U 1
ˆ U 2.
5.4.3 Descríbanse las intersecciones de los subconjuntos
siguientes U, W de C(-f; +f) y determínese si la intersección es un subespacio:
a.- U: todas las f tales que f(0) = 0; W: todas las f tales
que f(1) = 0.
b.- U: todos los polinomios; W: todas las funciones pares.
c.- U: todos los polinomios; W: todas las funciones acotadas.
d.- U: todas las f que tienen período 3S; W: todas las f
que tienen período 2S.
e.- U: todas las f con límite 0 cuando x o f; W: todas
las f con límite 1 cuando x o f.
5.4.6 Sea U el subespacio de „3 de todos los
polinomios tales que p(0) = 0, y sea W el subespacio de
todos los polinomios tales que p(1) = 0. Determine una
base de U, una base de W y una base de su intersección
U ˆ W.
f.- U: todas las f tales que existe
f tales que existe
f
³0
f ( x) dx ; W: todas las
5.4.7 Examínese desde el punto de vista geométrico
la clase posible de intersección de dos subespacios no
triviales U, W de ƒ3 en cada uno de los casos siguientes:
a.- U y W corresponden a rectas que pasan por 0.
b.- U corresponde a una recta que pasa por 0, W a un
plano que pasa por 0.
c.- U y W corresponden a planos que pasan por 0.
0
³f f ( x) dx .
5.5 D E P E N D E N C I A E I N D E P E N D E N C I A L I N E A L
En esta sección se estudiarán condiciones en las que cada vector en un espacio vectorial se puede expresar de
manera única como una combinación lineal de los vectores generadores. Los conjuntos generadores con esta
propiedad son funda mentales en el estudio de los espacios vectoriales.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
Considere los vectores arbitrarios u1, u2, ..., uk en un espacio vectorial V. Puede
ocurrir que uno de ellos se expresa como combinación lineal de los demás. Sea,
por ejemplo, el vector u1. Entonces, cada uno de los vectores u1, u2, ..., uk se expresa linealmente en términos de u2, ..., uk. Por esta razón cualquier combinación
lineal de los vectores u1, u2, ..., uk es también una combinación lineal de los vectores u2, ..., uk. Por consiguiente, los subespacios generados por los vectores u1, u2,
..., uk y u2, ..., uk coinciden.
Suponga luego que entre los vectores u2, ..., uk hay un vector, por ejemplo, u2
que también se expresa linealmente en términos de los vectores restantes. Al
repetir estos razonamientos, llegamos a la conclusión de que ahora cualquier
combinación lineal de los vectores u1, u2, ..., uk es también una combinación lineal
de los vectores u3, ..., uk. Continuando este proceso, pasamos, del sistema u1, u2,
..., uk a un sistema de vectores del cual ya no podemos excluir ni uno de los vectores.
El subespacio generado del nuevo sistema de vectores coincide con el subespacio
generado de los vectores u1, u2, ..., uk. Además, podemos decir que si entre u1, u2,
..., uk hubo aunque un solo vector no nulo, el nuevo sistema de vectores o bien
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
223
consiste solamente en un vector no nulo o bien ninguno de sus vectores se expresa
linealmente en términos de los vectores restantes. Tal sistema de vectores se denomina linealmente independiente.
D E F I N I C I O N 5.5.1
Si S = {u1, u2, ..., uk} es un conjunto no vacío de vectores, entonces la
ecuación vectorial a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk = ‡ tiene por lo menos una solución, a saber, a 1 = a 2 ... = a k = 0. Si esta es la única solución, entonces
S se denomina conjunto linealmente independiente. Si existen otras soluciones, entonces S se denomina conjunto linealmente dependiente.
Es evidente que la definición de independencia lineal de un conjunto no tendría
sentido si un vector de un conjunto pudiera aparecer un número arbitrario de
veces en una relación simple. Sin embargo, si se da un conjunto de vectores, particularizando los vectores de dicho conjunto, resulta inconveniente insistir en que
todos los vectores enumerados sean distintos.
La expresión linealmente dependiente sugiere que los vectores dependen entre sí
de alguna manera. La dependencia y la independencia lineal constituyen las propiedades del sistema de vectores.
T E O R E M A 5.5.1
Un conjunto S con dos o más vectores es:
1.- Linealmente dependiente si y sólo si por lo menos uno de los vectores en S puede expresarse como combinación lineal de los demás vectores en S.
2.- Linealmente independiente si y sólo si ningún vector en S se puede
expresar como una combinación lineal de los demás vectores en S.
D E M OST R A C I O N
1.- Sea S = {v1, v2, ..., vk} un conjunto con dos o más vectores. Si se supone que S
es linealmente dependiente, entonces existen escalares a1, a2, ..., ak, no todos iguales a cero, tales que
a 1v1 + a 2v2 + ... + a kvk = ‡.
Para ser más específicos, suponga que a 1 z 0. Entonces la expresión anterior se
puede volver a escribir como
§ a ·
§ a ·
v1 ¨ 2 ¸ v2 ... ¨ k ¸ vk
© a1 ¹
© a1 ¹
que expresa a v1 como una combinación lineal de los demás vectores en S. De
manera semejante, si a i z 0 en la misma expresión para alguna j = 2, 3, ..., k, entonces vi se puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores
en S. Recíprocamente, se supone que por lo menos uno de los vectores en S se
puede expresar como una combinación lineal de los demás vectores. En concreto,
supóngase que
v1 = c1v1 + c2v2 + ... + c kvk
de modo que
v1 ± c2v2 ± c3v3 - ... ± c kvk = ‡.
Se concluye que S es linealmente dependiente, ya que la ecuación
a 1v1 + a 2v2 + ... + a kvk = ‡
se satisface por a 1 = 1, a 2 = -c2, a 3 = -c3, ..., a k = -c k que no todos son cero. La
demostración para el caso en que algún vector diferente de v1 se puede expresar
como una combinación lineal de los demás vectores en S es semejante. La segunda parte del teorema se demuestra de forma análoga.
Si entre los vectores u1, u2, ..., uk no todos son nulo en términos de los vectores
citados nulos y si dicho sistema es linealmente dependiente, entonces en éste
JOE GARCIA ARCOS
224
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
puede existir un subsistema linealmente independiente de vectores, en cuyos
términos es linealmente expresado cualquiera de los vectores u1, u2, ..., uk. Una
circunstancia, inesperada a primera vista, determina si un sistema de vectores u1,
u2, ..., uk es linealmente dependiente o linealmente independiente.
Ya se observo que el vector nulo pertenece al subespacio generado y es representado por la combinación lineal u = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk con valores nulos de los
coeficientes. A pesar de esto, puede expresarse linealmente en términos de los
vectores a 1u1 + a 2u2 + ... + akuk de otro forma. La independencia lineal de los
vectores u1, u2, ..., uk está estrechamente vinculada con la unicidad de la representación del elemento nulo en términos de los vectores citados. El siguiente teorema
establece un hecho sencillo sobre independencia lineal que es importante conocer.
T E O R E M A 5.5.2
Un conjunto finito de vectores que contiene al vector cero es linealmente
dependiente.
D E M OST R A C I O N
Para vectores cualesquiera v1, v2, ..., vk, el conjunto S = {v1, v2, ..., vk, ‡} es linealmente dependiente, ya que la ecuación 0v1 + 0v2 + ... + 0vk + 1(‡) = ‡ expresa al
vector ‡ como una combinación lineal de los vectores en S con coeficientes no
todos iguales a cero.
Este teorema es una conclusión del hecho de que dos vectores son linealmente
independientes si y sólo si ninguno de ellos es un múltiplo escalar del otro. Geométricamente, esto equivale a afirmar que los vectores no están en la misma recta
cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen.
T E O R E M A 5.5.3
Cualquier parte de un sistema de vectores linealmente independientes
{u1, u2, ..., un}  V es linealmente independiente.
D E M OST R A C I O N
Si {u1, u2, ..., uk, uk+1,..., un} es un conjunto linealmente independiente, mientras el
subconjunto {u1, u2, ..., uk} (h < n) es linealmente dependiente, debe existir en a1u1 +
... + a kuk existe al menos un a i diferente de cero, en contra de la hipótesis que exige el
valor cero para todos los a i que figuran en la expresión a1u1 + ... + a kuk + ak+1uk+1 + ...
+ anun = ‡.
T E O R E M A 5.5.4
Si algunos de los vectores del sistema {u1, u2, ..., un} son linealmente dependientes, todo el sistema {u1, u2, ..., un} será linealmente dependiente.
D E M OST R A C I O N
Sin restringir la generalidad podemos considerar que los primeros vectores del
sistema {u1, u2, ..., uk} son linealmente dependientes. Por consiguiente, existen tales
escalares a1, a2, ..., a k, entre los cuales hay distintos de cero, que a1u1 + a2u2 + ... +
a kuk = ‡. De aquí fluye la legitimidad de la igualdad a1u1 + a2u2 + ... + a kuk + 0uk+1
+ ... + 0un = ‡. Mas, esta igualdad significa dependencia lineal de los vectores del
sistema {u1, u2, ..., un}, puesto que entre los escalares a1, a2, ..., a k, 0, ..., 0 hay algunos que no son nulos.
La independencia lineal de los vectores u1, u2, ..., uk está estrechamente vinculada
con la unicidad de la representación del elemento.
Con todo este análisis, podemos decir que un conjunto con exactamente dos vectores es linealmente independiente si y sólo si ninguno de los vectores es un múltiplo escalar del otro. Esta afirmación es una conclusión del hecho de que tres
vectores son linealmente independientes si y sólo si ninguno de ellos es una comJOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
225
binación lineal de los otros dos. Geométricamente, esto equivale a decir que ninguno de los vectores está en el mismo plano que los otros dos o, de otro modo,
que los tres vectores no están en un plano común cuando se colocan con sus puntos iniciales en el origen.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
T E O R E M A 5.5.5
Sea S un subconjunto de un espacio vectorial V, y suponga que S contiene a dos o más elementos. Entonces, S es linealmente dependiente si, y
sólo si, hay un subconjunto propio S´ de S con la propiedad de que
Span(S) = Span(S´).
D E M OST R A C I O N
Suponga que existe ese subconjunto S´. Entonces, debe haber un vector u que está
en S sin estar en S´. Ahora bien, u está en Span(S) y, como Span(S) = Span(S´), u
también está en Span(S´). Por lo tanto, u = a1u1 + a2u2 + ... + a kuk, donde u1, u2, ...,
uk están en S´. Por lo tanto, los ui están en S y son diferentes de u. Pero, entonces,
a1u1 + a2u2 + ... + akuk + (-1)u = ‡ y concluimos que S es linealmente dependiente.
A continuación, sea S un conjunto linealmente dependiente. Entonces, existen
vectores u1, u2, ..., uk en S tales que a1u1 + a2u2 + ... + a kuk = ‡ donde no todos los
coeficientes son cero; supongamos que a 1 z 0. Entonces, podemos expresar u1
como combinación lineal de u2, ..., uk. Por lo tanto, podemos expresar toda combinación lineal de elementos de S como una combinación lineal así, sin usar a u1.
Por lo tanto, si tomamos a S´ como S sin el vector u1, entonces Span(S´) =
Span(S), y S´ es subconjunto propio de S.
El siguiente teorema muestra que un conjunto linealmente independiente en ƒn
puede contener cuando mucho n vectores.
T E O R E M A 5.5.6
Sea S = {v1, v2, ..., vk} un conjunto de vectores en ƒn. Si k > n, entonces S
es linealmente dependiente.
D E M OST R A C I O N
Se supone que
­ v1 ( a11 , a1 2 , ..., a1 n )
°
°v2 ( a21 , a2 2 , ..., a2 n )
®
°
° v ( a , a , ..., a )
k1 k 2
kn
¯ k
Considérese la ecuación b1v1 + b2v2 + ... + bkvk = ‡. Si reemplazamos los vectores
anteriormente definidos en la ecuación, ambos miembros de esta se expresan en
términos de las componentes
b1( a 11, ..., a 1n) + b2( a 21, ..., a 2n) + ... + bk( a k1, ..., a kn) = (0, 0, ..., 0)
y después se igualan las componentes correspondientes, se obtiene el sistema
­ a11b1 a21b2 a k 1bk 0
°a b a b a b 0
° 12 1 22 2
k2 k
®
°
° a1n b1 a2 n b2 a k n bk 0
¯
Este es un sistema homogéneo de n ecuaciones en k incógnitas b1, b2, ..., bk. Como
k > n, se concluye que el sistema tiene soluciones no triviales. Por consiguiente, S
es un conjunto linealmente dependiente.
Este teorema establece que un conjunto en ƒ2 con más de dos vectores es linealmente dependiente, y que un conjunto ƒ3 con más de tres vectores es linealmente
dependiente.
JOE GARCIA ARCOS
226
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
EJ E M P L O 5.5.1
Mostrar que cualesquiera que sean los vectores u, v, w y los números a, b, c el
sistema de vectores {au - bv, cv - aw, bw - cu} es linealmente dependiente.
SO L U C I O N
Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:
‡ = D(au - bv) + E(cv - aw) + G(- cu + bw)
‡ = (aD - cG)u + (- bD + cE)v + (- aE + bG)w
Establecemos un sistema de ecuaciones homogéneas:
a 0 c
­ a D cG 0
°
0
0
®bD cE 0 Ÿ b c
° aE bG 0
0 a b
¯
Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es igual a
cero, entonces éste tiene un número indeterminado de soluciones. Lo cual indica que
el sistema dado es linealmente dependiente. ’
EJ E M P L O 5.5.2
Sea u, v, w un sistema de vectores linealmente independiente. Serán linealmente
independientes los sistemas de vectores siguientes:
a.- {u, u + v, u + v + w}; b.- {u + v, v + w, w + u}; c.- {u ± v, v ± w, w ± u}.
SO L U C I O N
a.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:
‡ = Du + E(u + v) + G(u + v + w) Ÿ ‡ = (D + E + G)u + (E + G)v + Gw
como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces:
1 1 1
­D E G 0
°
® EG 0 Ÿ 0 1 1 z0
° G 0
0 0 1
¯
Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es
diferente de cero, entonces éste tiene solución única y por lo tanto D = E = G = 0. Lo
cual indica que el sistema dado es linealmente independiente.
b.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:
‡ = D(u + v) + E(v + w) + G(u + w) Ÿ ‡ = (D + G)u + (D + E)v + (E + G)w
como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces:
1 0 1
­D G 0
°
®D E 0 Ÿ 1 1 0 z 0
°E G 0
0 1 1
¯
Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es
diferente de cero, entonces éste tiene solución única y por lo tanto D = E = G = 0. Lo
cual indica que el sistema dado es linealmente independiente.
c.- Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:
‡ = D(u - v) + E(v - w) + G(- u + w) Ÿ ‡ = (D - G)u + (- D + E)v + (- E + G)w
como u, v, w forman un sistema linealmente independiente, entonces:
1 0 1
­ DG 0
°
0
®D E 0 Ÿ 1 1 0
° E G 0
0
1
1
¯
Como el determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo es igual a
cero, entonces éste tiene un número indeterminado de soluciones. Lo cual indica que
el sistema dado es linealmente dependiente. ’
EJ E M P L O 5.5.3
Establecer, si los siguientes sistemas de vectores de sus correspondientes espacios,
son linealmente dependientes o no:
a.- {(1, i, 2 ± i, 3 + i), (1 ± i, 1 + i, 1 ± 3i, 4 ± 2i)};
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ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
227
b.- {(1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (1, -1, 1, -1), (1, 1, -1, -1)}.
SO L U C I O N
a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema
dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
i
2 i 3 i · §1 i 2 i 3 i ·
§ 1
¨
¸ |¨
¸.
0
0 ¹
©1 i 1 i 1 3i 4 2i ¹ © 0 0
Como el rango de la matriz es igual a 1, entonces el sistema es linealmente
dependiente.
b.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un
determinante con sus elementos:
1 1 1 1
1 1 1 1
z0.
1 1 1 1
1 1 1 1
Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente
independiente. ’
EJ E M P L O 5.5.4
Sean a, b, c distintos números reales. Será linealmente dependiente el siguiente
sistema de polinomios {(x - a)(x - b), (x - a)(x - c), (x - b)(x - c)}?
SO L U I C I O N
Hacemos la combinación lineal con el vector nulo:
‡ = D(x ± a)(x ± b) + E(x ± a)(x ± c) + G(x ± b)(x ± c)
0x2 + 0x + 0 = (D + E + G)x2 + [-(a + b)D - (a + c)E - (b + c)G]x + (abD + acE + bcG).
Establecemos un sistema de ecuaciones homogéneas:
D EG 0
1
1
1
­
°
®( a b)D ( a c )E (b c )G 0 Ÿ a b a c b c ( a b)( a c )(c b) .
°
ab
ac
bc
abD acE bcG 0
¯
Si (a ± b)(a ± c)(c ± b) = 0, el sistema es linealmente dependiente.
Si (a ± b)(a ± c)(c ± b) z 0, el sistema es linealmente independiente. ’
EJ E M P L O 5.5.5
Verifíquese que los conjuntos siguientes son subconjuntos linealmente
independientes del espacio vectorial „ de todos los polinomios:
a.- {1, t ± 1, t2 ± t, t3 ± t2}; b.- {1, 1 + t, 1 + t + t2, 1 + t + t2 + t3}.
SO L U C I O N
a.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un
determinante con sus elementos:
0 0 0 1
0 0 1 1
z0.
0 1 1 0
1 1 0 0
Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente
independiente.
b.- Para verificar si el sistema dado es linealmente dependiente o no, formamos un
determinante con sus elementos:
1 0 0 0
1 1 0 0
z0.
1 1 1 0
1 1 1 1
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228
ESPACIOS VECTORIALES
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema es linealmente
independiente. ’
Algunas veces la dependencia lineal de funciones se puede deducir a partir de
identidades conocidas. Sin embargo, tales identidades se pueden aplicar sólo en
situaciones especiales. Aunque no existe ningún método general para establecer
independencia lineal o dependencia lineal de funciones en ‚(-f, f), a continuación desarrollaremos un teorema que algunas veces se puede aplicar para demostrar que un conjunto de funciones dado es linealmente independiente.
D E F I N I C I O N 5.5.2
Las funciones f1, f2, ..., fn se dicen linealmente independientes en el intervalo [ a ; b] si existen constantes a 1, a 2, ..., a n todas nulas, tales que a 1f1 +
a 2f2 « a nfn = ‡. Caso contrario son linealmente dependientes.
Es decir, las funciones f1, f2, ..., fn son linealmente independientes en [ a ; b] si la
relación a 1f1 + a 2f2 « a nfn = ‡ para todo x, tal que a d x d b implica que
a 1 = a 2 = ... = a n = 0. En otras palabras, la única combinación lineal de f1, f2, ..., fn
que es idénticamente nula en [ a ; b], es la combinación lineal trivial. Si un conjunto de funciones f1, f2, ..., fn es linealmente dependiente en un intervalo [ a ; b], se
deduce inmediatamente que para cada x  [ a ; b], el correspondiente conjunto de n
vectores constantes es linealmente dependiente. Sin embargo, una afirmación
equivalente sobre la independencia lineal de n funciones no es válida, es decir, si
el conjunto de funciones f1, f2, ..., fn es linealmente independiente en un intervalo
[ a ; b] no se verifica que necesariamente los n vectores constantes sean linealmente independientes.
T E O R E M A 5.5.7
Si las funciones f1, f2, ..., fn admiten n - 1 derivadas continuas sobre el intervalo (-f; f) y si el wronskiano de estas funciones no es idénticamente
cero sobre este intervalo, entonces las funciones forman un conjunto linealmente independiente de vectores en ‚(n-1)(-f, f).
D E M OST R A C I O N
Si las funciones f1, f2, ..., fn son derivables n - 1 veces sobre el intervalo (-f, f),
entonces el determinante
f1
f2
fn
f ´1
f ´2
f ´n
W
f1( n 1) f 2( n 1)
f n( n 1)
se llama wronskiano de f1, f2, ..., fn. Supóngase, por el momento, que f1, f2, ..., fn
son vectores linealmente dependientes en ‚(n-1)(-f; f). Entonces existen escalares
a 1, a 2, ..., a n, no todos iguales a cero, tales que a 1f1 + a 2f2 « + a nfn = ‡ para
toda x en el intervalo (-f, f). Al combinar esta ecuación con las ecuaciones obtenidas al derivar sucesivamente n - 1 veces, se obtiene
­ a1 f1 a2 f 2 an f n 0
° a f ´ a f ´ a f ´ 0
n n
° 1 1 2 2
®
°
° a f ( n 1) a f ( n 1) a f ( n 1) 0
2 2
n n
¯ 1 1
Así, la dependencia lineal de f1, f2, ..., fn indica que el sistema lineal
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ESPACIOS VECTORIALES
229
f2
f n · § a1 · § 0 ·
§ f1
¨
¸
f ´2
f ´n ¸ ¨ a2 ¸ ¨ 0 ¸
¨ f ´1
¨ ¸ ¨ ¸
¨
¸¨ ¸ ¨ 0¸
¨ ( n 1)
¸¨ ¸ ¨ ¸
¨f
f 2( n 1)
f n( n 1) ¸¹ ¨© an ¸¹ © 0 ¹
© 1
tiene una solución no trivial para toda x en el intervalo (-f, f). Esto a su vez
significa que para toda x en (-f, f) la matriz de coeficientes es singular o, de
manera equivalente, que su determinante es cero para toda x en (-f, f). Por tanto,
si el wronskiano no es idénticamente cero sobre (-f, f), entonces las funciones f1,
f2, ..., fn deben ser vectores linealmente independientes en ‚(n-1)(-f, f).
El recíproco del teorema es falso. Si el wronskiano de f1, f2, ..., fn es idénticamente
cero sobre (-f, f), entonces no es posible llegar a ninguna conclusión respecto a
la independencia lineal de {f1, f2, ..., fn}; este conjunto de vectores puede ser linealmente independiente o linealmente dependiente.
EJ E M P L O 5.5.6
Determínese si los subconjuntos siguientes de C(0; f) son linealmente
independientes:
a.- {Sen2t, Sent, t}; b.- {Sent, Sen2t, Sen3t}; c.- {Sent, Sen(t + 1), Cost};
d.- {e t, te t, t2e t}; e.- { Cost, Cos2t, Cos3 t}.
SO L U C I O N
a.- Construimos el Wronskiano:
Sen2 t
Sent t
2
W{Sen t , Sent , t}
Sen2t
Cost 1 2Sent 2tSen 2 t 2tCost 3Sen3t .
2 Cos 2t Sent 0
Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Sen2t, Sent, t} es linealmente
dependiente.
b.- Construimos el Wronskiano:
Sent
Sen2t
Sen3t
W{Sent , Sen2t , Sen3t}
Cost 2Cos 2t 3Cos3t
Sent 4Sen2t 9Sen3t
9SentSen2tCos3t (5CostSen2t 16SentCos 2t )Sen3t
Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto {Sent, Sen2t, Sen3t} es
linealmente dependiente.
c.- Construimos el Wronskiano:
Sent
W{Sent , Sen(t 1), Cost}
Cost
Sent
Como W = 0, entonces el conjunto {Sent,
dependiente.
Sen(t 1) Cost
Cos (t 1) Sent 0 .
Sen(t 1) Cost
Sen(t + 1), Cost} es linealmente
d.- Construimos el Wronskiano:
W{e t , te t , t 2 e t }
et
te t
t 2 et
et
(t 1) e t
( t 2 2t ) e t
et
(t 2) e t
(t 2 4t 2) e t
2e 3t .
Como W z 0, entonces el conjunto { e t, te t, t2e t} es linealmente independiente.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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230
ESPACIOS VECTORIALES
e.- Construimos el Wronskiano:
W{Cost , Cos 2 t , Cos3 t}
Cost
Cos 2 t
Cos3t
Sent
Sen2t
3SentCos 2 t
Cost
2 Cos 2t
(9Sen 2 t 3) Cost
1
Sen3 2t .
4
Si t = 0, entonces W = 0. Por lo tanto el conjunto { Cost, Cos2t, Cos3t} es linealmente dependiente. ’
% COMPRUEBA LA DEPENDENCIA LINEAL DE UN SISTEMA DE VECTORES S clc;;clear;; fprintf('\n DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL \n') fil=input('Ingrese el numero de vectores: ');; col=input('Ingrese la dimension del vector: ');; %Ingreso de elementos fprintf('Ingrese los vectores del sistema S\n') for f=1:fil fprintf('\nIngrese la Ecuacion (%d)\n', f) for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',f) S(c,f)=input(' :');; end end fprintf('La matriz de vectores es:\n') S fprintf('La matriz reducida es:') R= rref(S);; R RangS=rank(R) if (rank(S)==fil) fprintf('El sistema S es linealmente independiente :\n') else fprintf('El sistema S es linealmente dependiente :\n') end PR O B L E M AS
5.5.1 Demuestre que un subconjunto no vacío de un
conjunto finito de vectores linealmente independientes es
linealmente independiente.
5.5.2 Demuestre que si S1 es un subconjunto de S2 y S1 es
linealmente dependiente, entonces también S2 es
linealmente dependiente.
5.5.3 Demuestre que cualquier conjunto de vectores que
contenga al vector cero es linealmente dependiente.
5.5.4 Demuestre que dos vectores son linealmente
dependientes sí y sólo si están en una misma recta que pasa
por el origen. Si u y v son linealmente independientes y si
{u, v, w} es linealmente dependiente, entonces e está en
Span{u, v}.
5.5.5
Dado que {u1, u2, ..., uk} es un conjunto de
vectores linealmente independientes, pero el conjunto
{u1, u2, ..., uk , u} es linealmente dependiente, demuestre
que u es una combinación lineal de los ui.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
5.5.6 Si u y v son linealmente independientes y w está en
Span{u, v} entonces {u, v, w} es linealmente dependiente.
5.5.7 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en ƒ4 y u3 =
2u1 + u2, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente
dependiente.
5.5.8 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en ƒ4 y u3 =
‡, entonces {u1, u2, u3, u4} es linealmente dependiente.
5.5.9 Demuestre que si u1 y u2 están en ƒ4 y u1 no es un
múltiplo escalar de u2, entonces {u1, u2} es linealmente
independiente.
5.5.10 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en ƒ4 y u3 no
es combinación lineal de u1, u2, u4, entonces {u1, u2, u3,
u4} es linealmente independiente.
5.5.11 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 son vectores
linealmente independientes en ƒ4, entonces {u1, u2, u3, u4}
es linealmente independiente.
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ESPACIOS VECTORIALES
231
5.5.12 Demuestre que si u1, u2, u3, u4 están en ƒ4 y {u1,
u2, u3} es linealmente dependiente, entonces {u1, u2, u3, u4}
también es linealmente dependiente.
5.5.13 ¿En qué condiciones un conjunto que consta de
un solo vector es linealmente independiente?
5.5.14 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si
U es subconjunto linealmente independiente de W, entonces U es subconjunto linealmente independiente de V.
5.5.15 Demuestre que si {u, v, w} es un conjunto de
vectores linealmente independiente en un espacio vectorial
V y x es cualquier vector en V, entonces {u, v, w, x}
también es linealmente independiente.
5.5.16 Demuestre que dos vectores u y v son linealmente
dependientes sí y sólo si uno es un múltiplo escalar del
otro.
5.5.17 Sean A y B dos matrices de n x n con A y B no
nulas. Demuestre que si A es simétrica y B es antisimétrica,
entonces {A, B} es un conjunto linealmente independiente.
5.5.18 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si
U es subconjunto de W que además es subconjunto
linealmente independiente de V, entonces U es
subconjunto linealmente independiente de W.
5.5.19 En cada caso, determínese un valor de k, de manera que el par dado de vectores sea linealmente dependiente:
a.- {(k + 1)u + v, 4u + (k + 1)v};
b.- {u ± 2v, 3u + kv}.
5.5.20 Demuestre que si {u, v, w} es un conjunto de
vectores linealmente independiente, entonces también {u,
v}, {u, w}, {v, w}, {u}, {v} y {w} son linealmente
independientes.
5.5.21 Demuestre que todo conjunto con más de tres
vectores de „2 es linealmente dependiente.
5.5.22 Demuéstrese que, si W es subespacio de V y si
U es base de W, entonces U es subconjunto linealmente
independiente de V.
5.5.23 Determínese si los subconjuntos siguientes de
C(0; f) son linealmente independientes:
a.- ^Senx, Cosx, 1`; b.- ^lnx, lnx2, lnx3`;
c.- ^ex, lnx, x`.
5.5.24 De los subconjuntos siguientes de ƒ3, ¿cuáles
son linealmente independientes?
a.- ^(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)`;
b.- ^(1, 2, 3), (3, 4, 5), (5, 6, 7)`;
c.- ^(1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 1, 1), (2, 3, 1)`;
d.- ^(1, 2, 3), (3, 2, 1), (-7, -2, 1)`;
e.- ^(1, 1, 2), (2, 3, -1), (-1, -6, 9)`.
5.5.25 Sean U, W subconjuntos de un espacio vectorial
V. Demuéstrese que:
a.- Si U es conjunto linealmente dependiente y si U está
contenido en W, entonces W es conjunto linealmente
dependiente.
b.- Si W es conjunto linealmente independiente y si U
está contenido en W, entonces U es conjunto linealmente independiente.
5.5.26 Suponga que A es una matriz de m x n con la
propiedad de que para cada B de ƒm la ecuación A X = B
tiene a lo más una solución. Utilice la definición de
independencia lineal para explicar por qué las columnas
de A deben de ser linealmente independientes.
5.5.27 Verifíquese que los conjuntos siguientes son
subconjuntos linealmente independientes del espacio
vectorial „ de todos los polinomios:
a.- ^1, x ± 1, x2 ± x, x3 ± x2`;
b.- ^1+ x, 1 + 2x, 1 + 3x`;
c.- ^x, x + x2, x + x2 + x3, x4`;
d.- ^x, x2 ± x, x3 ± x`;
e.- ^x3 - 1, 2x3 - 2, x4`;
f.- ^1, 1 + x, 1 + x + x2, 1 + x + x2 + x3`;
g.- ^x2 - 1, 2x2 - 4, x2 + 1`;
h.- ^x4 ± 2x2, x4 + 2x2, - x4 - 2x2`;
i.- ^x2 + 1, x2 - x, x2 - x`.
5.5.28 Demuestre que si {u, v} es linealmente
independiente y w no está en Span{u, v}, entonces {u, v,
w} es linealmente independiente.
5.6 B ASE Y D I M E NSI O N
En esta sección se estudiará la base y dimensión de un espacio vectorial, porque es común imaginar a una
recta como unidimensional, a un plano como bidimensional y al espacio circundante como tridimensional. Se
enunciarán y demostrarán las propiedades más importantes.
Sea dado un espacio vectorial V arbitrario que se compone no sólo de un vector
nulo. En tal espacio se tiene a ciencia cierta aunque un vector no nulo y, por lo
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232
ESPACIOS VECTORIALES
tanto, existe un sistema linealmente independiente, por lo menos, de un vector.
Por consiguiente, son posibles dos casos: o bien existe un sistema linealmente
independiente que contiene un número de vectores tan grande como se quiera o
bien existe un sistema linealmente independiente que contiene el número máximo de vectores. En el primer caso el espacio vectorial se dice que es de dimensión infinita y en el segundo caso, de dimensión finita.
Nuestra atención estará dirigida a lo largo de este trabajo exclusivamente a los
espacios vectoriales de dimensión finita. En particular, un espacio vectorial de
dimensión finita lo constituirá cualquier conjunto generador construido con un
número finito de vectores de un espacio vectorial arbitrario.
D E F I N I C I O N 5.6.1
Si V es cualquier espacio vectorial y S = {v1, v2, ..., vn} es un conjunto
de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las dos
condiciones siguientes:
1.- S es linealmente independiente.
2.- S genera a V.
Si S = {v1, v2, ..., vn} es una base de V, según la definición, un vector v de V se
puede escribir en la forma v = a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn. Lo interesante de una
base, a diferencia de otros conjuntos generadores, es que los coeficientes están
determinados en forma única por v. Porque, supóngase que también tenemos v =
b1v1 + b2v2 + ... + bnvn. Restando, se obtiene la relación lineal ( a 1 ± b1)v1 + ( a 2 ±
b2)v2 + ... + ( a n ± bn)vn = ‡ ya que S es un conjunto linealmente independiente,
a 1 ± b1 = 0, a 2 ± b2 = 0, ..., a n ± bn = 0 y, por tanto, a 1 = b1, a 2 = b2, ..., a n = bn.
Como veremos, un hecho relacionado con esto es que una base es un conjunto
generador particularmente eficiente.
Una base es la generalización de espacio vectorial de un sistema de coordenadas
en el espacio bidimensional y en el espacio tridimensional. El siguiente teorema
ayudará a ver por qué es así.
T E O R E M A 5.6.1
Si S = {v1, v2, ..., vn} es una base de un espacio vectorial V, entonces
todo vector v en V se puede expresar en forma única como v = a 1v1 +
a 2v2 + ... + a nvn.
D E M OST R A C I O N
Como S genera a V, por la definición de subespacio generado se concluye que
todo vector v en V se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S. Para ver que sólo existe una manera de expresar un vector como una
combinación lineal de los vectores en S, supóngase que algún vector v se puede
escribir como
v = a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn
y también como
v = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn.
Restando la segunda ecuación de la primera se obtiene
‡ = ( a 1 ± b1)v1 + ( a 2 ± b2)v2 + ... + ( a n ± bn)vn.
Como el miembro derecho de esta ecuación es una combinación lineal de vectores en S, la independencia lineal de S indica que a 1 ± b1 = 0, a 2 ± b2 = 0, ..., a n ±
bn = 0, es decir, a 1 = b1,
a 2 = b2, ..., a n = bn. Así, las dos expresiones para v
son iguales.
Este teorema indica que dos combinaciones lineales de vectores de una base
resultan en el mismo vector si, y sólo si, el coeficiente de cada vector de la base
es el mismo en las dos expresiones; es decir, si {v1, v2, ..., vn} es base de V y si
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ESPACIOS VECTORIALES
233
a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn
entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Este es el método de comparación de
coeficientes, que frecuentemente se usa.
EJ E M P L O 5.6.1
Todo conjunto linealmente independiente de tres vectores de ƒ3 es base de ƒ3.
SO L U C I O N
Si u = OP, v = OQ, w = OR son linealmente independientes, entonces O, P, Q, R
no están en el mismo plano y, por consiguiente, cada vector x = OS se puede
expresar como combinación lineal de u, v, w; esto se puede observar en la figura. ’
La noción de base está ligada con un sistema linealmente independiente que
contiene el número máximo de vectores. No obstante, es evidente que todas las
bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita representan sistemas
equivalentes linealmente independientes. Estos hechos nos sirven para asignar
un número, que se llama dimensión, a cada espacio vectorial.
Dos combinaciones lineales de vectores de una base resultan en el mismo vector
sí, y sólo si, el coeficiente de cada vector de la base es el mismo en las dos expresiones; es decir, si {v1, v2, ..., vn} es base de V y si
a 1v1 + a 2v2 + ... + a nvn = b1v1 + b2v2 + ... + bnvn
entonces a1 = b1, a2 = b2, ..., an = bn. Este es el método de comparación de
coeficientes, que frecuentemente se usa.
La noción de base está ligada con un sistema linealmente independiente que
contiene el número máximo de vectores. No obstante, es evidente que todas las
bases de un mismo espacio vectorial de dimensión finita representan sistemas
equivalentes linealmente independientes. Estos hechos nos sirven para asignar
un número, que se llama dimensión, a cada espacio vectorial.
D E F I N I C I O N 5.6.2
La dimensión de un espacio vectorial V de dimensión finita, denotada
por Dim(V), se define como el número de vectores que hay en una base
de V. Además, por definición, el espacio vectorial cero es de dimensión
cero.
Obsérvese que el espacio cero, {‡}, no tiene base, pues {‡} sólo contiene al
vector ‡, por lo cual no contiene ningún subconjunto linealmente independiente. Se puede demostrar que todos los demás espacios vectoriales sí tienen bases,
aunque a veces las bases son conjuntos infinitos.
D E F I N I C I O N 5.6.3
Se dice que un espacio vectorial V diferente de cero es de dimensión
finita si contiene un conjunto finito de vectores v1, v2, ..., vn que forma
una base. Si no es así, se dice que V es de dimensión infinita. Además,
se considera que el espacio vectorial cero es de dimensión finita.
Indicaremos que la dimensión de un espacio vectorial depende del sistema numérico que se use para los escalares. La dimensión de C, el conjunto de los
números complejos, como espacio vectorial complejo, es 1. Pero C también se
puede considerar como espacio vectorial real, y, en este caso, su dimensión es 2.
El siguiente teorema proporciona la clave del concepto de dimensión.
T E O R E M A 5.6.2
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234
ESPACIOS VECTORIALES
Si V es un espacio vectorial de dimensión finita y {v1, v2, ..., vn} es
cualquier base, entonces:
1.- Todo conjunto con más de n elementos es linealmente dependiente.
2.- Ningún conjunto con menos de n vectores genera a V.
D E M OST R A C I O N
1.- Sea S´ = {u1, u2, ..., um} cualquier conjunto de m vectores en V, donde m > n.
Se quiere demostrar que S´ es linealmente dependiente. Como S = {v1, v2, ..., vn}
es una base, todo ui se puede expresar como una combinación lineal de los vectores en S, por ejemplo
­ u1 a11v1 a21v2 an 1vn
°
° u2 a1 2 v1 a2 2 v2 an 2 vn
(1)
®
°
°u
¯ m a1 m v1 a2 m v2 an m vn
Para demostrar que S´ es linealmente dependiente, es necesario encontrar escalares b1, b2, ..., bm, no todos cero, tales que
b1u1 + b2u2 + ... + bmum = ‡ (2)
Usando las ecuaciones anteriores en esta expresión, obtenemos
b1( a 11v1 + a 21v2 + ... + a n1vn) + b2(a 12v1 + a 22v2 + ... + a n2v2) + ...
+ bm( a 1mv1 + a 2mv2 + ... + a nmvn) = ‡,
de donde
(b1a 11 + b2a 12 + ... + bma 1m)v1 + (b1a 21 + b2a 22 + ... + bma 2m)v2 + ...
+ (b1a n1 + b2a n2 + ... + bma nm)vn = ‡.
Así, a partir de la independencia lineal de S, el problema de demostrar que S´ es
un conjunto linealmente dependiente se reduce a probar que existen escalares b1,
b2, ..., bm, no todos cero, que satisfacen
­ a11b1 a12 b2 a1m bm 0
°a b a b a b
0
° 21 1 22 2
2m m
(3)
®
°
°¯ an1b1 an 2 b2 anm bm 0
Pero este sistema contiene más incógnitas que ecuaciones, de modo que la demostración está completa, ya que de esta manera se garantiza la existencia de
soluciones no triviales.
2.- Sea S´ = {u1, u2, ..., um} cualquier conjunto de m vectores en V, donde m <
n. Se quiere demostrar que S´ no genera a V. La demostración será por contradicción: Se probará que suponiendo que S´ genera a V se llega a una contradicción de la independencia lineal de {v1, v2, ..., vn}.
Si S´ genera a V, entonces todo vector en V es una combinación lineal de los
vectores en S´. En particular, cada vector básico vi es una combinación lineal de
los vectores en S´, por ejemplo,
­ v1 a11u1 a21u2 am 1um
°
°v2 a1 2u1 a2 2u2 am 2um
(4)
®
°
°v a u a u a u
1n 1
2n 2
mn m
¯ n
Para obtener la contradicción, se demostrará que existen escalares b1, b2, ..., bm,
no todos cero, tales que
b1v1 + b2v2 + ... + bnvn = ‡ (5)
Pero obsérvese que (4) y (5) son de la misma forma que (1) y (2), excepto que
se han intercambiado m y n, así como las u y las v. Por tanto, los cálculos con
los que se llegó a (3) ahora producen
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ESPACIOS VECTORIALES
235
­ a11b1 a1 2 b2 a1 n bn 0
°
° a21b1 a2 2 b2 a2 n bn 0
®
°
°a b a b a b 0
mn n
¯ m1 1 m 2 2
Este sistema lineal tiene más incógnitas que ecuaciones y por lo tanto posee
soluciones no triviales.
De este teorema se deduce que si S = {v1, v2, ..., vn} es cualquier base para un
espacio vectorial V, entonces todos los conjuntos en V que simultáneamente
generan a V y son linealmente independientes deben tener precisamente n vectores. Así, todas las bases de V deben tener el mismo número de vectores que la
base arbitraria S. Esto lleva al siguiente teorema, que es uno de los más importantes en álgebra lineal.
T E O R E M A 5.6.3
Todas las bases de un espacio vectorial de dimensión finita tienen el
mismo número de vectores.
D E M OST R A C I O N
Supóngase que S es una base con un número finito n de elementos y S´ otra base
cualquiera. Ya que S genera a V y S´ es linealmente independiente, el número m
de elementos en S´ debe ser a lo más n. Esto prueba que S´ es finita y m d n.
Pero entonces pueden intercambiarse los papeles de S y S´ para obtener la desigualdad en el otro sentido, así que m = n.
Este teorema afirma que, en un espacio vectorial V de dimensión finita, cualquier conjunto dado de vectores linealmente independientes de V forma parte de
alguna base de V. En realidad, hay muchas bases así. Se dice que la base S =
{v1, ..., vm, ..., vn} es la extensión a una base de V del conjunto linealmente independiente {v1, v2, ..., vm}.
EJ E M P L O 5.6.2
Hallar todas las bases de los sistemas de vectores siguientes:
a.- {(4, -2, 12, 8), (-6, 12, 9, -3), (-10, 5, -30, -20), (-14, 28, 21, -7)};
b.- {(1, 2, 3, 0, -1), (0, 1, 1, 1, 0), (1, 3, 4, 1, -1)};
c.- {(1 + i, 1 ± i, 2 + 3i), (i, 1, 2), (1 ± i, - 1 ± i, 3 ± 2i), (4, -4i, 10 + 2i)}.
SO L U C I O N
a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos
sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
8 · § 2 1 6 4 · § 2 1 6 4 · § 2 1 6
§ 4 2 12
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
6
12
9
3 ¸ ¨ 2 4 3 1 ¸ ¨ 0 1 3 1 ¸ ¨ 0 1 3
¨
|
|
|
¨ 10 5 30 20 ¸ ¨ 2 1 6 4 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸ ¨ 0 0 0
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
© 14 28 21 7 ¹ © 2 4 3 1 ¹ © 0 1 3 1 ¹ © 0 0 0
del
4·
¸
1¸
0¸
¸
0¹
Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tiene dos
elementos:
S1 = {(4, -2, 12, 8), (-6, 12, 9, -3)} y S2 = {(-10, 5, -30, -20), (-14, 28, 21, -7)}.
b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del
sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
§ 1 2 3 0 1· § 1 2 3 0 1· § 1 2 3 0 1·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨0 1 1 1 0 ¸ | ¨0 1 1 1 0 ¸ | ¨0 1 1 1 0 ¸
¨ 1 3 4 1 1¸ ¨ 0 1 1 1 0 ¸ ¨ 0 0 0 0 0 ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹
Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tienen dos
elementos:
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236
ESPACIOS VECTORIALES
S1 = {(1, 2, 3, 0, -1), (0, 1, 1, 1, 0)} y S2 = {(1, 2, 3, 0, -1), (1, 3, 4, 1, -1)}.
c.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del
sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
2 3i · §1 i 1 i 2 3i ·
§1 i 1 i
¨
¸ ¨
¸
i
1
2 ¸ ¨ 0
0
1 ¸
¨
|
¨1 i 1 i 3 2i ¸ ¨ 0
0
0 ¸
¨
¸ ¨
¸
4i 10 2i ¹ © 0
0
0 ¹
© 4
Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces cada una de las bases tienen dos
elementos:
S1 = {(1 + i, 1 ± i, 2 + 3i), (i, 1, 2)}, S2 = {(i, 1, 2), (1 ± i, - 1 ± i, 3 ± 2i)},
S3 = {(i, 1, 2), (4, -4i, 10 + 2i)}. ’
Cualquier vector distinto de cero v constituye un subconjunto linealmente independiente de V y, en consecuencia, el teorema afirma que cada vector v distinto
de cero aparece en alguna base de V. Entre otras cosas, lo que nos enseña el
teorema es que existen muchas bases diferentes de V y que tenemos algo de
libertad en la elección de una base de V.
T E O R E M A 5.6.4
Un conjunto de n vectores en un espacio vectorial V es una base si, y
sólo si es linealmente independiente.
D E M OST R A C I O N
Sea S = {v1, v2, ..., vn} un conjunto linealmente independiente y v un vector
cualquiera en V. Ya que {v1, v2, ..., vn, v} contiene n + 1 elementos, debe ser
linealmente dependiente. Cualquier relación no trivial que exista debe contener
a v con un coeficiente diferente de cero, porque si ese coeficiente fuera cero, la
relación equivaldría a una relación en S. Así pues, v depende de S. Por lo tanto,
S genera a V y es una base.
E J E M P L O 5.6.3
Todo conjunto linealmente independiente de tres vectores de ƒ3 es base de ƒ3.
SO L U C I O N
Si u = OP, v = OQ, w = OR son linealmente independientes, entonces O, P, Q, R
no están en el mismo plano y, por consiguiente, cada vector x = OS se puede
expresar como combinación lineal de u, v, w. ’
EJ E M P L O 5.6.4
Hallar una base cualquiera de cada uno de los siguientes sistemas de vectores:
a.- {(0, 2, -1), (3, 7, 1), (2, 0, 3), (5, 1, 8)};
b.- {(-1, 4, -3, -2), (3, -7, 5, 3), (3, -2, 1, 0), (-4, 1, 0, 1)};
c.- {(14, -27, -49, 113), (43, -82, -145, 15), (-29, 55, 96, -17), (85, -163, -13, 77)};
d.- {(3 ± i, 1 ± 2i, - 7 + 5i, 4 + 3i), (1 + 3i, 1 + i, - 6 ± 7i, 4i), (0, 1, 1, -3)}.
SO L U C I O N
a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del
sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
§ 0 2 1· § 0 2 1 · § 0 2 1·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
1 ¸ ¨3 7 1 ¸
¨3 7 1 ¸ | ¨3 7
|
¨ 2 0 3 ¸ ¨ 0 2 1 ¸ ¨ 0 0 0 ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
© 5 1 8 ¹ © 0 32 19 ¹ © 0 0 3 ¹
Como el rango de la matriz es igual a 3, entonces la base buscada esta formada por:
{(0, 2, -1), (3, 7, 1), (5, 1, 8)}.
b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del
sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
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ESPACIOS VECTORIALES
237
§ 1 4 3 2 · § 1 4 3 2 · § 1 4 3 2 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 3 7 5 3 ¸ | ¨ 0 5 4 3 ¸ | ¨ 0 5 4 3 ¸
¨ 3 2 1 0 ¸ ¨ 0 5 4 3 ¸ ¨ 0 0 0 0 ¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
© 4 1 0 1 ¹ © 0 5 4 3 ¹ © 0 0 0 0 ¹
Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces la base buscada esta formada por:
{(-1, 4, -3, -2), (3, -7, 5, 3)}.
c.- En este caso formamos un determinante, donde sus filas son los elementos del
sistema dado y luego procedemos a calcular dicho determinante:
14 27 49 113
43 82 145 15
z0
29 55
96 17
85 163 13 77
Como el determinante es diferente de cero, entonces el sistema dado es base.
d.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del
sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
§ 3 i 1 2i 7 5i 4 3i · § 3 i 1 2i 7 5i 4 3i ·
¨
¸ ¨
¸
4i ¸ | ¨ 0
3i
3i
9 3i ¸
¨1 3i 1 i 6 7i
¨ 0
1
1
3 ¸¹ ¨© 0
1
1
3 ¸¹
©
§ 3 i 1 2i 7 5i 4 3i ·
¨
¸
3i
3i
9 3i ¸
¨ 0
¨ 0
0
0
0 ¸¹
©
Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces la base buscada esta formada por:
{(3 ± i, 1 ± 2i, - 7 + 5i, 4 + 3i), (1 + 3i, 1 + i, - 6 ± 7i, 4i)}. ’
EJ E M P L O 5.6.5
Determínese si el subconjunto S es linealmente independiente y, cuando sea
posible, encuéntrese una base del espacio que contiene a S:
a.- S = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4)}  ƒ4; b.- S = {t + t3, t2 + t6, 1 ± t ± t3}  „6.
SO L U C I O N
a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del
sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
1 1
§1 1 1 1 ·
z0.
¨
¸ Ÿ 1 z0,
1 2
©1 2 3 4 ¹
Como el rango de la matriz es igual a 2, entonces el sistema dado es linealmente
independiente. Para extender hasta encontrar una base del espacio ƒ4 que contenga
a S, aumentamos a la matriz inicial una fila de variables:
1 1 1
§1 1 1 1·
¨
¸
Ÿ
1
2
3
4
1 2 3 a 2b c .
¨
¸
¨a b c d¸
a b c
©
¹
Para que el vector (a, b, c, d) forme parte de la base de ƒ4, entonces debe satisfacer
a ± 2b + c z 0, es decir un posible vector puede es, (1, 1, -1, 0). Para encontrar el
último vector que formará parte de la base del espacio ƒ4, a la última matriz le
aumentamos una fila de variables:
1 1 1 1
§1 1 1 1·
¨
¸
¨ 1 2 3 4 ¸ Ÿ 1 2 3 4 3x 4 y z 2u .
¨ 1 1 1 0 ¸
1 1 1 0
¨
¸
x y z u
©x y z u¹
Para que el vector (x, y, z, u) forme parte de la base de ƒ4, entonces debe satisfacer
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238
ESPACIOS VECTORIALES
3x ± 4y ± z + 2u z 0, es decir un posible vector puede es, (1, 1, 1, 0). Por lo tanto la
base de ƒ4 buscada tiene la forma:
Base ƒ4 = {(1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 4), (1, 1, -1, 0), (1, 1, 1, 0)}.
b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del
sistema dado y luego procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
0 1 0
§0 1 0 1 0 0 0·
0 1
¨
¸
Ÿ
,
,
z
0
1
z
0
0
0
1
0
0
0
1
0 0 1 z0.
¨
¸
1 0
¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸
1 1 0
©
¹
Como el rango de la matriz es igual a 3, entonces el sistema dado es linealmente
independiente. Para extender hasta encontrar una base del espacio „6 que contenga
a S, aumentamos a la matriz inicial una fila de variables:
0 1 0 1
§0 1 0 1 0 0 0·
¨
¸
¨0 0 1 0 0 0 1¸ Ÿ 0 0 1 0
d b .
¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸
1 1 0 1
¨
¸
a b c d
©a b c d e f g¹
2
3
4
Para que el polinomio a + bt + ct + dt + et + ft5 + gt6 forme parte de la base de
„6, entonces debe satisfacer b - d z 0, es decir un posible vector puede es, 1 + t +
t2 - t3 + t4 + t5 + t6. Para encontrar el último vector que formará parte de la base del
espacio „6, a la última matriz le aumentamos una fila de variables:
0 1 0 1 0
§0 1 0 1 0 0 0·
¨
¸
0 0 1 0 0
¨0 0 1 0 0 0 1¸
¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸ Ÿ 1 1 0 1 0 b d 2e .
¨
¸
1 1 1 1 1
¨ 1 1 1 1 1 1 1 ¸
¨a b c d e f g¸
a b c d e
©
¹
Para que el vector a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5 + gt6 forme parte de la base de „6,
entonces debe satisfacer b ± d ± 2e z 0, es decir un posible vector puede es, t4. De
esta forma seguimos encontrando los polinomios necesarios para formar la base del
espacio „6:
0 1 0 1 0 0
§0 1 0 1 0 0 0·
¨
¸
0
0
1
0
0
0
1
0 0 1 0 0 0
¨
¸
¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸
1 1 0 1 0 0
bd 2f
¨
¸ Ÿ
1 1 1 1 1 1
¨ 1 1 1 1 1 1 1 ¸
¨0 0 0 0 1 0 0¸
0 0 0 0 1 0
¨¨
¸¸
a b c d e f
©a b c d e f g¹
1 + t + t3 + t5;
0 1 0 1 0 0 0
§0 1 0 1 0 0 0·
¨
¸
0 0 1 0 0 0 1
¨0 0 1 0 0 0 1¸
¨ 1 1 0 1 0 0 0 ¸
1 1 0 1 0 0 0
¨
¸
¨ 1 1 1 1 1 1 1 ¸ Ÿ 1 1 1 1 1 1 1 2c 2 g
¨0 0 0 0 1 0 0¸
0 0 0 0 1 0 0
¨
¸
1 1 0 1 0 1 0
¨1 1 0 1 0 1 0 ¸
¨a b c d e f g¸
a b c d e f g
©
¹
1 + t + t2 + t3 + t4 + t5 - t6.
Por lo tanto la base de „6 buscada tiene la forma:
Base „6 = {t + t3, t2 + t6, 1 ± t ± t3, 1 + t + t2 - t3 + t4 + t5 + t6, t4, 1 + t + t3 + t5, 1 + t
+ t2 +
t3 + t4 + t5 - t6}. ’
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ESPACIOS VECTORIALES
239
T E O R E M A 5.6.5
En un espacio vectorial de dimensión finita, todo conjunto generador
contiene una base.
D E M OST R A C I O N
Sea S´ un conjunto que genera a V. Si V = {‡}, entonces ‡  S´ es una base de
{‡}. Si V z {‡}, entonces S´ debe contener al menos un vector v1, diferente de
cero. Busquemos otro vector en S´ que no dependa de {v1}. Llamemos a este
vector v2 y busquemos otro vector en S´ que no dependa del conjunto linealmente dependiente {v1}. Continuamos de la misma manera hasta donde podamos,
pero el proceso debe terminar ya que no podemos encontrar más de n vectores
linealmente independientes en S´. Supongamos que se ha hallado el conjunto
S = {v1, v2, ..., vm} con la propiedad de que todo vector en S´ es linealmente
dependiente de S. Entonces el conjunto S también debe generar a V y es una
base.
T E O R E M A 5.6.6
En un espacio vectorial de dimensión finita, cualquier conjunto linealmente independiente de vectores se puede extender hasta tener una base.
D E M OST R A C I O N
Sea S = {v1, v2, ..., vn} una base de V y S´ = {u1, u2, ..., um} un conjunto linealmente independiente m d n. El conjunto {u1, u2, ..., um, v1, v2, ..., vn} genera a V.
Si este conjunto es linealmente dependiente, entonces algún elemento es una
combinación lineal de los elementos precedentes. Este elemento no puede ser
uno de los ui, porque entonces S´ sería linealmente dependiente. Pero entonces
puede eliminarse este vi para obtener un conjunto menor que genera a V. Continuamos de esta manera, quitando elementos mientras se tenga un conjunto generador linealmente dependiente. En ningún paso se elimina a alguno de los ui. Ya
que nuestro conjunto generador es finito, este proceso debe terminar con una
base que contenga a S´ como subconjunto.
Como caso especial del teorema, podemos enunciar lo siguiente: si { v1, v2, ...,
vm} es base de un subespacio S de un espacio vectorial V de dimensión finita,
entonces existe una base de V que contiene a v1, v2, ..., vm. Por consiguiente, se
puede extender cada base de un subespacio a una base de la totalidad del espacio vectorial.
T E O R E M A 5.6.7
Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial V. Si S
es un conjunto linealmente independiente y v es un vector en V que no
pertenece a Span(S), entonces el conjunto que se obtiene al incluir v en
S aún es linealmente independiente.
D E M OST R A C I O N
Supóngase que S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto linealmente independiente de
vectores en V y que v es un vector en V fuera de Span(S). Para probar que S´ =
{v1, v2, ..., vk, v} es un conjunto linealmente independiente, es necesario demostrar que los únicos escalares que satisfacen
a 1v1 + a 2v2 + ... + a kvk + a k+1v = ‡
son a 1 = a 2 = ... = a k = a k+1 = 0. Pero se debe tener que a k+1 = 0; en caso contrario, v se podría despejar en la ecuación como una combinación lineal de S, contradiciendo la hipótesis de que v es un vector que no pertenece a Span(S). Así, la
ecuación se simplifica a a 1v1 + a 2v2 + ... + a kvk = ‡ lo cual, debido a la independencia lineal de S, significa que a 1 = a 2 = ... = a k = 0.
E J E M P L O 5.6.6
Sea Span(S) = {( a , b, c) / a ± b + c = 0} y v = (1, -2, 1)  ƒ3. Demostrar que el
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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240
ESPACIOS VECTORIALES
conjunto que se forma con la base de Span(S) y el vector v es linealmente independiente y, además es base de ƒ3.
SO L U C I O N
Encontramos una base para el subespacio; Base Span(S) = {(1, 1, 0), (-1, 0, 1)}.
Para verificar que los elementos de la base del subespacio y el vector v forman
una base de ƒ3, construimos una matriz con sus correspondientes elementos y
calculamos su determinante
1 1 0
1 0 1 z 0
1 2 1
como el determinante de la matriz es diferente de cero, el rango es igual 3 y la
dimensión del conjunto formado por estos elementos es linealmente independiente y tiene dimensión 3. Por lo tanto el conjunto
S´ = {(1, 1, 0), (-1, 0, 1), (1, -2, 1)}
es base de ƒ3. ’
Un conjunto S de tres vectores linealmente independientes en ƒ3 genera un
plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera
de este plano, entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es linealmente independiente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano
que los otros dos.
T E O R E M A 5.6.8
Sea S un conjunto no vacío de vectores en un espacio vectorial V. Si v
es un vector en S que se puede expresar como una combinación lineal
de los demás vectores en S, y si S - {v} denota el conjunto que se obtiene al quitar v de S, entonces S y S - {v} generan el mismo espacio; es
decir,
Span(S) = Span(S - {v}).
D E M OST R A C I O N
Supóngase que S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto de vectores en V y, para ser
específicos, supóngase que vk es una combinación lineal de v1, v2, ..., vk-1, por
ejemplo
vk = a 1v1 + a 2v2 + ... + a k-1vk-1 (1)
Se quiere demostrar que si vk se extrae de S, entonces el conjunto de vectores
restantes {v1, v2, ..., vk-1} sigue generando a Span(S); es decir, se debe demostrar
que todo vector u en Span(S) se puede expresar como una combinación lineal de
{v1, v2, ..., vk-1}. Pero si u está en Span(S), entonces u se puede expresar en la
forma
u = b1v1 + b2v2 + ... + bk-1vk-1 + bkvk (2)
o bien, sustituyendo en la ecuación (1)
u = b1v1 + b2v2 + ... + bk-1vk-1 + bk( a 1v1 + a 2v2 + ... + a k-1vk-1)
que expresa a u como una combinación lineal de v1, v2, ..., vk-1.
Si S es un conjunto de tres vectores no colineales en ƒ3 que están en un plano
común que pasa por el origen, entonces los tres vectores generan el plano. Sin
embargo, si de S se extrae cualquier vector v que sea una combinación lineal de
los otros dos, entonces el conjunto restante de dos vectores sigue generando el
plano.
En general, para probar que un conjunto de vectores { v1, v2, ..., vn} es una base
de un espacio vectorial V, se debe demostrar que los vectores son linealmente
independientes y generan a V. Sin embargo, si se sabe que la dimensión de V es
n, entonces basta verificar ya sea, la independencia lineal o la generación: la otra
condición se cumple automáticamente.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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ESPACIOS VECTORIALES
241
T E O R E M A 5.6.9
Si U es un subespacio vectorial de un espacio vectorial V de dimensión
finita, entonces Dim(U) d Dim(V); además, si Dim(U) = Dim(V), entonces U = V.
D E M OST R A C I O N
Sea S = {u1, u2, ..., um} una base para U. S puede ser una base para V o no. Si es
así, entonces Dim(U) = Dim( V) = m. Si no es así, entonces es posible agregar
vectores al conjunto linealmente independiente S a fin de convertirlo en una
base para V de modo que Dim(U) < Dim(V). Por tanto, Dim(U) d Dim(V) en
todos los casos. Si Dim(U) = Dim(V), entonces S es un conjunto de m vectores
linealmente independientes en el espacio vectorial V de dimensión m; por tanto,
S es una base para V. Esto significa que U = V.
Considerando la suma de dos subespacios vectoriales arbitrarios U y W, podremos ver fácilmente que su dimensión depende no sólo de la dimensión de los
subespacios U y W, sino también de cuán grande es la parte común de los mismos. El valor exacto de la dimensión de la suma se determina por el siguiente
teorema.
T E O R E M A 5.6.10
Si U y W son subespacios vectoriales de dimensión finita de un espacio
vectorial V, entonces
Dim(U + W) + Dim(U ˆ W) = Dim(U) + Dim( W).
D E M OST R A C I O N
Hemos de verificar que, si U y W son subespacios de dimensión finita de un
espacio vectorial V, entonces Dim(U + W) + Dim(U ˆ W) = Dim(U) +
Dim(W). Puesto que U ˆ W es subespacio del espacio de dimensión finita U.
Sabemos que U ˆ W es de dimensión finita. Como U + W está generado por la
unión de una base de U y una base de W, también es de dimensión finita. Sea
{u1, u2, ..., uk} una base de U ˆ W, existen vectores v1, v2, ..., vr en U tales que
{u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr} es base de U. De la misma manera, hay vectores w1,
w2, ..., wt en W tales que {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wt} es base de W. Vemos
claramente que
Span{u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr, w1, w2, ..., wt} = U + W.
Si
a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr + c1w1 + c2w2 + ... + c twt = ‡,
entonces,
v = a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr = - c1w1 - c2w2 - ... - c twt
está en U ˆ W. Luego existen escalares d1, d2, ..., dk con la propiedad de que
v = d1u1 + d2u2 + ... + dkuk,
de donde tenemos que
d1u1 + d2u2 + ... + dkuk + c1w1 + c2w2 + ... + c twt = ‡.
Pero {u1, u2, ..., uk, w1, w2, ..., wt} es un conjunto linealmente independiente de
V y, en consecuencia, c1 = c2 = ... = c t = 0. Pero, entonces vemos que
a 1u1 + a 2u2 + ... + a kuk + b1v1 + b2v2 + ... + brvr = ‡
y, como {u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr} es base de U y, por tanto, conjunto linealmente independiente, tenemos que a 1 = a 2 = ... = a k = b1 = b2 = ... = br = 0. Por lo
tanto, hemos hecho ver que
{u1, u2, ..., uk, v1, v2, ..., vr, w1, w2, ..., wt} es
linealmente independiente y genera a U + W. Por consiguiente,
Dim(U + W) = t + k + r = (t + k) + ( r + k) ± k
= Dim(U) + Dim(W) - Dim(U ˆ W).
De este teorema se puede deducir una desigualdad que ofrece el valor mínimo
de la dimensión de la intersección de unos subespacios. Consideremos los
subespacios vectoriales U y W de V y sean r y s las dimensiones de estos
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
242
ESPACIOS VECTORIALES
subespacios, n la dimensión de V y m la dimensión de la intersección U ˆ W.
En virtud del teorema, la dimensión de la suma U + W es igual a r + s ± m. Pero
la dimensión de la suma U + W es no mayor que la dimensión del espacio V.
Por consiguiente, r + s ± m d n, de donde se tiene m t r + s ± n. Es decir, la
dimensión de la intersección de dos subespacios vectoriales del espacio V no
puede ser menor que el exceso de la suma de las dimensiones de estos subespacios respecto a la dimensión del espacio vectorial V. Por ejemplo, la intersección de dos planos del espacio de tres dimensiones contiene siempre una recta,
la intersección de un subespacio de dos dimensiones con un subespacio de tres
dimensiones en un espacio de cuatro dimensiones contiene una recta, la intersección de dos subespacios de tres dimensiones de un espacio de cuatro dimensiones contiene un plano, etc.
EJ E M P L O 5.6.7
Suponga que V es de dimensión n y que cada uno de los conjuntos U y W es
subespacio de V de dimensión n - 1. Suponga además, que U z W. Entonces,
Dim(U ˆ W) = n - 2.
SO L U C I O N
Puesto que U z W, uno de los espacios contiene un vector que no está en el otro.
En consecuencia, U + W contiene a uno de U, W o tal vez a ambos, como
subespacio propio. De acuerdo con eso n t Dim(U + W) > n - 1 = Dim(U) =
Dim(W); de donde se desprende que Dim(U + W) = n. Entonces se deduce que
Dim(U ˆ W) = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W)
= (n - 1) + (n - 1) ± n
= n - 2. ’
EJ E M P L O 5.6.8
Sea U el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que a ± b + c = 0. Sea W el
conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que b + c + d = 0. Entonces, U ˆ W = S
será el conjunto de elementos (a, b, c, d) que cumplan tanto con la condición a ± b
+ c = 0 como con la condición b + c + d = 0, y DimS = 2.
SO L U C I O N
Como podemos apreciar, U, W son subespacios de ƒ4, y DimU = DimW = 3.
Se ve claramente que (1, 1, 0, 0) está en U y no está en W, de manera que
U z W. Por lo tanto DimS = 2. ’
Cuando se definen propiedades y se demuestran teoremas acerca de espacios
vectoriales, suele ser aconsejable, y, habitualmente, más fácil, trabajar sin tomar
una base particular. Cuando se define una propiedad por medio de una base, es
necesario determinar si esa propiedad es intrínseca del espacio vectorial o si
depende explícitamente de una base en particular. Por eso, al definir la dimensión de un espacio vectorial, nos aseguramos con mucho cuidado de que no
dependíamos, al hacerlo, de una base en particular, sino que teníamos una propiedad que poseen todas las bases y, por consiguiente, intrínseca al espacio
vectorial. Sin embargo, cuando se hacen cálculos, se encuentra que las cosas se
simplifican al usar una base en particular.
Si se sabe que la cantidad que se va a calcular es independiente, de la base usada, entonces podemos estar seguros de que nuestro resultado será el mismo, al
margen de nuestra elección de base. Es habitual que los cálculos se pueden
hacer con mucha facilidad si se elige la base adecuada.
T E O R E M A 5.6.11
La dimensión de una suma directa de subespacios es igual a la suma de
las dimensiones de estos subespacios.
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ESPACIOS VECTORIALES
243
D E M OST R A C I O N
Si tenemos dos sumandos, entonces la dimensión de la suma es igual, por el
teorema anterior. Pero, la intersección de subespacios en el caso de una suma
directa es nula y su dimensión es igual a cero. Por esto, la dimensión de una
suma directa de dos subespacios es igual a la suma de sus dimensiones.
T E O R E M A 5.6.12
La dimensión del espacio de soluciones del sistema homogéneo con n
incógnitas A X = O es igual a la diferencia n ± r, donde r es el rango del
sistema A X = O.
Como consecuencia de este teorema, podemos enunciar lo siguiente: para que
un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas de n incógnitas A X = O no
tenga soluciones no nulas, es necesario y suficiente que la matriz A de este
sistema sea no singular. Efectivamente, la condición n = r significa que el rango
de la matriz A debe coincidir con su orden, es decir, la matriz A debe ser no
singular. Otra consecuencia es la siguiente: para que un sistema de n ecuaciones
lineales homogéneas de n incógnitas tenga solución no nula es necesario y suficiente que el determinante de la matriz de este sistema sea igual a cero. En efecto, una matriz cuadrada es singular si, y sólo si, su determinante es igual a cero.
En un espacio vectorial V de dimensión finita, cualquier conjunto dado de vectores linealmente independientes de V forma parte de alguna base de V. En
realidad, hay muchas bases así. Se dice que la base S = {v1, ..., vm, ..., vn} es la
extensión a una base de V del conjunto linealmente independiente {v1, v2, ...,
vm}.
Un conjunto S de tres vectores linealmente independientes en ƒ3 genera un
plano que pasa por el origen. Si S se aumenta insertando cualquier vector v fuera
de este plano, entonces el conjunto resultante de tres vectores todavía es linealmente independiente, ya que ninguno de los tres vectores está en el mismo plano
que los otros dos.
Considerando la suma de dos subespacios vectoriales arbitrarios U y W, podremos ver fácilmente que su dimensión depende no sólo de la dimensión de los
subespacios U y W, sino también de cuán grande es la parte común de los mismos.
Consideremos los subespacios vectoriales U y W de V y sean r y s las dimensiones de estos subespacios, n la dimensión de V y m la dimensión de la intersección U ˆ W. La dimensión de la suma U + W es igual a r + s ± m. Pero la
dimensión de la suma U + W es no mayor que la dimensión del espacio V. Por
consiguiente, r + s ± m d n, de donde se tiene m t r + s ± n. Es decir, la dimensión de la intersección de dos subespacios vectoriales del espacio V no puede
ser menor que el exceso de la suma de las dimensiones de estos subespacios
respecto a la dimensión del espacio vectorial V. Por ejemplo, la intersección de
dos planos del espacio de tres dimensiones contiene siempre una recta, la intersección de un subespacio de dos dimensiones con un subespacio de tres dimensiones en un espacio de cuatro dimensiones contiene una recta, la intersección
de dos subespacios de tres dimensiones de un espacio de cuatro dimensiones
contiene un plano, etc.
% COMPRUEBA SI UN SISTEMA DE VECTORES S ES BASE clc;;clear;; fprintf('\n BASE Y DIMENSION \n') fil=input('Ingrese el numero de vectores: ');; col=input('Ingrese la dimension del vector: ');; ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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244
ESPACIOS VECTORIALES
%Ingreso de elementos fprintf('Ingrese los vectores del sistema S\n') for f=1:fil fprintf('\nIngrese la Ecuacion (%d)\n', f) for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',f) S(f,c)=input(' :');; end end fprintf('LA MATRIZ DE VECTORES ES:\n') S fprintf('LA MATRIZ REDUCIDA ES:') R= rref(S);; R if (rank(S)==fil) fprintf('EL SISTEMA DE VECTORES S ES UNA BASE \n') DimS=rank(R) else fprintf('EL SISTEMA DE VECTORES S NO ES UNA BASE \n') end E J E M P L O 5.6.9
Si a , b, c son números reales, si c z 0 y si S es el conjunto de todos los vectores (x, y, z) de ƒ3
con la propiedad de que ax + by + cz = 0, entonces S es subespacio de V y Dim(S) = 2.
SO L U C I O N
Como ax + by + cz = 0 es un plano que pasa por el origen, entonces vemos que S es subespacio
de ƒ3. Sean k = - a /c, r = - b/ c. Entonces, podemos describir a S como el conjunto de todos los
(x, y, z) tales que kx + ry - z = 0. Además, observamos que u = (1, 0, k) y v = (0, 1, r) están en S.
Podemos demostrar que u, v son linealmente independientes. Si w = (x, y, z)  S, entonces
z = kx + ry, de manera que w = (x, y, kx + by) = xu + yv. En consecuencia, Span{u, v} = S.
Como u, v es un conjunto linealmente independiente, concluimos que constituye una base de
S. ’
E J E M P L O 5.6.10
Sea S = {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (1, 1, 1), (3, 2, 1)}  ƒ3. Demuestre que tanto S como S´ = {(1, 2,
3), (0, 1, 2), (1, 1, 1)} generan el mismo subespacio.
SO L U C I O N
Para encontrar el Span(S), construimos la matriz aumentada de la siguiente manera:
§1 0 1 3 a · §1 0 1 3
·
a · §1 0 1 3
a
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
2
1
1
2
b
0
1
1
4
2
a
b
0
1
1
4
2
a
b
|
|
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 3 2 1 1 c ¸ ¨ 0 2 2 8 3a c ¸ ¨ 0 0 0 0 a 2b c ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹
de donde
Span(S) = {( a , b, c) / a ± 2b + c = 0}.
Para encontrar el Span(S´), construimos la matriz aumentada de la siguiente manera:
§1 0 1 a · §1 0 1
·
a · §1 0 1
a
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
2a b ¸
¨ 2 1 1 b ¸ | ¨ 0 1 1 2 a b ¸ | ¨ 0 1 1
¨ 3 2 1 c ¸ ¨ 0 2 2 3a c ¸ ¨ 0 0 0 a 2b c ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹
de donde
Span(S´) = {( a , b, c) / a ± 2b + c = 0}.
Por lo tanto concluimos que Span(S) = Span(S´). ’
E J E M P L O 5.6.11
Suponga que V es de dimensión n y que cada uno de los conjuntos U y W es subespacio de V
de dimensión n - 1. Suponga además, que U z W. Entonces, Dim(U ˆ W) = n - 2.
SO L U C I O N
Puesto que U z W, uno de los espacios contiene un vector que no está en el otro. En consecuenALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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ESPACIOS VECTORIALES
245
cia, U + W contiene a uno de U, W o tal vez a ambos, como subespacio propio. De acuerdo con
eso
n t Dim(U + W) > n - 1 = Dim(U) = Dim(W)
de donde se desprende que Dim(U + W) = n. Entonces se deduce que
Dim(U ˆ W) = Dim(U) + Dim(W) - Dim(U + W) = (n - 1) + (n - 1) ± n = n - 2. ’
EJ E M P L O 5.6.12
Sea U el conjunto de elementos (a, b, c, d) tales que a ± b + c = 0. Sea W el conjunto de elementos
(a, b, c, d) tales que b + c + d = 0. Entonces, U ˆ W = S será el conjunto de elementos (a, b, c, d)
que cumplan tanto con la condición a ± b + c = 0 como con la condición b + c + d = 0, y
Dim(S) = 2.
SO L U C I O N
Como podemos apreciar, U, W son subespacios de R 4, y Dim(U) = Dim( W) = 3. Se ve
claramente que (1, 1, 0, 0) está en U y no está en W, de manera que U z W. Por lo tanto
Dim(S) = 2. ’
EJ E M P L O 5.6.13
Hallar una base cualquiera y la dimensión del subespacio generado por los sistemas de polinomios
siguientes:
a.- {3t2 + 2t + 1, 4t2 + 3t + 2, 3t2 + 2t + 3, t2 + t + 1, 4t2 + 3t + 4};
b.- {t3 + 2t2 + 3t + 4, 2t3 + 3t2 + 4t + 5, 3t3 + 4t2 + 5t + 6, 4t3 + 5t2 + 6t + 7}.
SO L U C I O N
a.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego
procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
§3 2 1·
¨
¸
3 2 1
¨ 4 3 2¸
3 2
¨ 3 2 3¸ Ÿ 3 z 0 ,
z0, 4 3 2 z0.
4 3
¨
¸
3 2 3
¨1 1 1¸
¨ 4 3 4¸
©
¹
Como el rango de la matriz es 3, entonces la base buscada es {3t2 + 2t + 1, 4t2 + 3t + 2, 3t2 + 2t + 3}
y su dimensión es 3.
b.- En este caso formamos una matriz, donde sus filas son los elementos del sistema dado y luego
procedemos a calcular el rango de dicha matriz:
§1 2 3 4· §1 2 3 4· §1 2 3 4·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨ 2 3 4 5¸ | ¨0 1 2 3¸ | ¨0 1 2 3¸
¨3 4 5 6¸ ¨0 2 4 6¸ ¨0 0 0 0¸
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
©4 5 6 7¹ ©0 3 6 9¹ ©0 0 0 0¹
Como el rango de la matriz es 2, entonces la base buscada es {t3 + 2t2 + 3t + 4, 2t3 + 3t2 + 4t + 5} y
su dimensión es 3. ’
EJ E M P L O 5.6.14
Hallar los valores de a y b, para que el sistema de vectores siguientes sea una base de ƒ3:
a.- {(a, 1, 1), (1, a, 1), (1, 1, a)};
b.- {(a + 1, 1, 1), (1, a + 1, 1), (1, 1, a + 1)};
c.- {(1, a + 1, a), (a + 1, a + 2, a + 3), (a, 0, a + 4)};
d.- {(a ± i, 0, 1), (0, a, 0), (1, -2ia, a ± i)};
e.- {(a, 1, 1), (b, ab, b), (1, 1, a)};
f.- {(2a - b, 1, b ± a), (0, a, 0), (2a - 2b, 2, 2b ± a)}.
SO L U C I O N
a.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
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246
ESPACIOS VECTORIALES
a 1 1
1 a 1
1 1 a
( a 2)( a 1)2 .
En este caso (a + 2)(a ± 1)2 z 0, de donde obtenemos que a z -2 y a z 1.
b.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
a 1 1
1
1
a 1 1
a 2 ( a 3) .
1
1
a 1
En este caso a2(a + 3) z 0, de donde obtenemos que a z 0 y a z -3.
c.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
1
a 1
a
a 1 a 2 a 3 (1 a )( a 2)2 .
a
0
a4
En este caso (1 ± a)(a + 2)2 z 0, de donde obtenemos que a z 1 y a z -2.
d.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
ai
0
1
0
a
0
a ( a 1 i )( a 1 i ) .
1
2ia a i
En este caso a(a + 1 ± i)(a ± 1 ± i) z 0, de donde obtenemos que a z 0, a z -1 + i y a z 1 + i.
e.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
a 1 1
b ab b b( a 2)( a 1)2 .
1 1 a
En este caso b(a + 2)(a ± 1)2 z 0, de donde obtenemos que b z 0, a z -2 y a z 1.
f.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
2a b 1 b a
0
a
0
a 2b .
2 a 2b 2 2b a
En este caso a2b z 0, de donde obtenemos que a z 0 y b z 0. ’
EJ E M P L O 5.6.15
Sea S el conjunto de los vectores (a, b, c, d, e) de ƒ5 tales que
­a b c 0
®
¯b d e 0
Determínese una base de S. Encuéntrese una base de ƒ5 que sea extensión de la base obtenida para
S.
SO L U C I O N
Para encontrar una base para S, debemos resolver el sistema de ecuaciones:
§ 1 1 1 0 0 0 · § 1 0 1 1 1 0 ·
¸
¨
¸|¨
©0 1 0 1 1 0¹ ©0 1 0 1 1 0¹
donde a = - c ± d ± e y b = - d ± e. Con estas condiciones reemplazamos en el vector ( a, b, c, d, e)
para obtener la base:
(a, b, c, d, e) = (- c ± d ± e, - d ± e, c, d, e) = c(-1, 0, 1, 0, 0) + d(-1, -1, 0, 1, 0) + e(-1, -1, 0, 0, 1)
Base S = {(-1, 0, 1, 0, 0), (-1, -1, 0, 1, 0), (-1, -1, 0, 0, 1)}
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ESPACIOS VECTORIALES
A continuación extendemos esta base a una para ƒ5:
1 0
§ 1 0 1 0 0 ·
¨
¸
¨ 1 1 0 1 0 ¸ Ÿ 1 1
¨ 1 1 0 0 1 ¸
1 1
¨
¸
a b
© a b c d e¹
247
1
0
0
c
0
1
0
d
a b c
El cuarto elemento se puede obtener de la condición a ± b + c z 0, que puede ser (1, 1, 1, 0, 0). El
quinto elemento lo encontramos con la misma condición pero diferente al anterior, éste puede ser
(0, 0, 1, 1, 1). Entonces la base es:
Base ƒ5 = {{(-1, 0, 1, 0, 0), (-1, -1, 0, 1, 0), (-1, -1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 1)}. ’
EJ E M P L O 5.6.16
Sea S el conjunto de los polinomios reales de grado no mayor que 5 que tienen a 1 como cero.
Determínese una base de S. Encuéntrese Dim(S). Encuéntrese una base de „5 que sea extensión de
la base ya determinada de S.
SO L U C I O N
Este conjunto se puede expresar como:
S = {p  „5 / p(t) = (t ± 1)(a + bt + ct2 + dt3 + et4), a, b, c, d, e  ƒ}.
Expandiendo el polinomio, obtenemos:
p(t) = - a + (a ± b)t + (b ± c)t2 + (c ± d)t3 + (d ± e)t4 + et5
Una base para S es:
Base S = {(-1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,), (0, -1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1, 0),
(0, 0, 0, 0, -1, 1)}.
Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de „5, debemos construir un
determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean
incógnitas:
1 1 0 0 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 0 0
a b c d e f .
0 0 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1
a b c d e f
Como falta un elemento para completar la base de „5, entonces este elemento se puede obtener de
la condición a + b + c + d + e + f z 0. Una posible base es:
Base P5 = {(-1, 1, 1, 0, 0, 0, 0,), (0, -1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, -1, 1, 0, 0), (0, 0, 0, -1, 1, 0),
(0, 0, 0, 0, -1, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}. ’
EJ E M P L O 5.6.17
Hallar los valores de a y b, para que el sistema de vectores siguientes sea una base de ƒ4:
a.- {(1, a, b, a ± b), (a, a, 0, 0), (b, 0, b, 0), (a ± b, 0, 0, a ± b)};
b.- {(1, a, a, a), (a, 1, a, a), (a, a, 1, a), (a, a, a, 1)};
c.- {(2, 1, 1, a), (b, b, 2b, b), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0)};
d.- {(a + 3, -a, a, -a), (a, 3 ± a, a ± 1, 1 ± a), (0, 0, a + 1, 1 ± a), (0, 0, a ± 1, 3 ± a)};
e.- {(a + 2, 0, -2, 0), (2a + 4, -1, -a ± 3, a + 1), (0, 0, a, 0), (2a, -a ± 1, 1 ± a, 2a + 1)}.
SO L U C I O N
a.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
1
a b a b
a
a 0
0
ab(b a )(2 a 1) .
b
0 b
0
a b 0 0 a b
En este caso ab(b ± a)(2a - 1) z 0, de donde obtenemos que a z 0, b z 0, a z ½ y b z ½ .
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248
ESPACIOS VECTORIALES
b.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
1 a a a
a 1 a a
(1 a )3 (3a 1) .
a a 1 a
a a a 1
En este caso (1 ± a)3(3a + 1) z 0, de donde obtenemos que a z 1 y a z -1/3.
c.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
2 1 1 a
b b 2b b
2b(1 a ) .
1 1 0 0
0 1 1 0
En este caso 2b(1 ± a) z 0, de donde obtenemos que b z 0 y a z 1.
d.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
a 3 a
a
a
a
3 a a 1 1 a
36 .
0
0
a 1 1 a
0
0
a 1 3 a
En este caso para cualquier valor de a, el sistema es base de ƒ4.
e.- Una condición necesaria para que el sistema de vectores sea base, es que éste sea linealmente
independiente. Por lo tanto formaremos un determinante, cuyas filas son los vectores del sistema:
a2
0
2
0
2a 4
1
a 3 a 1
a 3 ( a 2) .
0
0
a
0
2a
a 1 1 a 2a 1
En este caso a3(a + 2) z 0, de donde obtenemos que a z 0 y a z -2. ’
EJ E M P L O 5.6.18
Sea S el conjunto de los polinomios reales de grado no mayor que 5 cuya derivada tercera es cero
en 0. Hágase ver que S es subespacio de „5. Determínese una base de S y hágase su extensión a
una base de „5.
SO L U C I O N
Este conjunto se puede expresar como:
S = {p  „5 / p´´´(0) = 0}.
Haciendo que p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5, entonces p´´´(t) = 6d + 24et + 60ft2, p´´´(0) = 6d =
0, d = 0. Una base para S es:
Base S = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1)}.
Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de „5, debemos construir un
determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean
incógnitas:
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
d.
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
a b c d e f
Como falta un elemento para completar la base de „5, entonces este elemento se puede obtener de
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ESPACIOS VECTORIALES
249
la condición d z 0. Una posible base es:
Base P5 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1),
(1, 1, 1, 1, 1, 1)}. ’
EJ E M P L O 5.6.19
Sea S el conjunto de los polinomios reales p(t) de grado no mayor que 5 con la propiedad de que
p´(3) = 0. Hágase ver que S es subespacio de „5. Determínese una base de S y hágase su extensión
a una base de „5.
SO L U C I O N
Este conjunto se puede expresar como:
S = {p  „5 / p´(3) = 0}.
Haciendo p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4 + ft5, entonces p´(3) = b + 6c + 27d + 108e + 405f, b + 6c +
27d + 108e + 405f = 0. Una base para S es:
Base S = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -6, 1, 0, 0, 0), (0, -27, 0, 1, 0, 0), (0, -108, 0, 0, 1, 0),
(0, -405, 0, 0, 0, 1)}.
Por tanto la dimensión de S es 5. Para encontrar una base de „5, debemos construir un
determinante cuya última fila este compuesta por un polinomio cuyos coeficientes sean
incógnitas:
1
0
0 0 0 0
0 6 1 0 0 0
0 27 0 1 0 0
b 6c 27d 108e 405 f .
0 108 0 0 1 0
0 405 0 0 0 1
a
b
c d e f
Como falta un elemento para completar la base de „5, entonces este elemento se puede obtener de
la condición b + 6c + 27d + 108e + 405f z 0. Una posible base es:
Base „5 = {(1, 0, 0, 0, 0, 0), (0, -6, 1, 0, 0, 0), (0, -27, 0, 1, 0, 0), (0, -108, 0, 0, 1, 0),
(0, -405, 0, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1)}. ’
PR O B L E M AS
5.6.1 Demuestre que si S = {u1, u2, ..., uk} es una base de
un espacio vectorial V y D es un escalar no nulo,
entonces el conjunto S1 = {Du1, Du2, ..., Duk} también es
una base de V.
5.6.2 Muéstrese gráficamente que w = u ± v, z = u + v
son linealmente independientes y que, por lo tanto, forman una base.
5.6.3 Sea V el conjunto generado por
u = Cos2x, v = Sen2x, w = Cos2x:
a.- Demuestre que S = {u, v, w} no es una base para V.
b.- Determine una base para V.
5.6.4 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones
continuas en el intervalo [-S; S]. Sea U el subconjunto de
V que consta de todas las funciones f que satisfacen las
tres
S
ecuaciones
³S f (t )Sentdt
S
³S f (t )dt
0,
S
³S f (t )Costdt
0:
a.- Demostrar que U es un subespacio de V.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
0,
b.- Demostrar que U contiene las funciones f(x) = Cosnx
y f(x) = Sennx para cada n = 2, 3, ...
c.- Demuestre que U es de dimensión infinita.
5.6.5 Sean f1« f k elementos de un espacio vectorial
V de funciones. Demuéstrense los siguientes enunciados:
a.- Si f1 = 0, entonces f1« f k son linealmente dependientes.
b.- Si se puede expresar f1 como combinación lineal de
f2« f k, entonces f1« f k son linealmente dependientes.
c.- Si k t 2 y si f1« f k son linealmente dependientes,
entonces una de las funciones se puede expresar como
combinación lineal de las demás.
d.- Si f1« f k son linealmente independientes y si h <
k, entonces f1«f k son linealmente independientes.
e.- Si f1« f k constituyen una base de V, entonces f1,
«f k son linealmente independientes.
f.- Si f1« f k son linealmente independientes y si c1f1
« c k f k = a 1f1 « a k f k, entonces c1 = a 1« c k =
a k.
JOE GARCIA ARCOS
250
ESPACIOS VECTORIALES
5.6.6 Demuestre que si U es un subespacio de un
espacio vectorial V de dimensión finita, entonces la
dimensión de U es menor o igual que la dimensión de V.
5.6.7 Demuéstrese que Cosx, Cos2x, Cos3x son linealmente independientes y que, por lo tanto, forman una
base.
5.6.8 Sea V el conjunto de todas las funciones racionales de la forma
ax b
, x z 1, x z 2
( x 1)( x 2)
a.- Hágase ver que V es espacio vectorial de dimensión
2.
1
1
b.- Demuéstrese que g1 ( x)
, g 2 ( x)
están
x 1
x2
en V, son linealmente independientes y forman una base
de V.
5.6.9 Sea V el conjunto de todas las funciones racionales de la forma
ax 2 bx c
, x z 0, x z 2, x z -2
x( x 2 4)
a.- Hágase ver que V es espacio vectorial de dimensión
3.
b.- Demuéstrese que
1
1
1
g1 ( x)
, g 2 ( x)
, g3 ( x )
x
x2
x2
están en V, son linealmente independientes y forman una
base de V.
5.6.10 a.- Sea W el conjunto de los vectores de ƒ5
tales que a 1 ± a 2 + a 3 = 0 y a 2 + a 4 + a 5 = 0. Determínese
una base de W. Encuéntrese una base de ƒ5 que sea
extensión de la base obtenida para W.
b.- Sea U el subespacio de los vectores de ƒ5 tales que
2 a 1 ± a 2 + a 3 ± a 5 = 0 y a 1 + a 2 ± a 4 + 6 a 5 = 0. Determínese una base de U. Encuéntrese una base de ƒ5 que sea
extensión de la base obtenida para U.
c.- Hágase ver que Dim(U ˆ W) t 1.
d.- Encuéntrese una base de U ˆ W.
5.6.11 Demuestre que el conjunto de las matrices triangulares de m x n constituye un espacio vectorial de
1
dimensión mn (m2 m) si m d n, y de dimensión
2
1 2
(n n) si n d m.
2
5.6.12 Determine una base del subespacio S de ƒn y
determine la dimensión del subespacio:
a.- S consiste en todos los vectores (x, y, -y, -x) en ƒ4;
b.- S consiste en todos los vectores (x, y, 2x, 3y) en ƒ4;
c.- S consiste en todos los vectores del plano 2x ± y + z
= 0 en el espacio ƒ3;
d.- S consiste en todos los vectores (x, y, -y, x ± y, z) en
ƒ5;
e.- S consiste en todos los vectores en ƒ4 con la segunda componente cero;
f.- S consiste en todos los vectores (-x, x, y, 2y) en ƒ4;
g.- S consiste en todos los vectores paralelos a la recta
y = 4x en ƒ2;
h.- S consiste en todos los vectores del plano 4x + 2y ±
z = 0 en ƒ3.
5.6.13 Sea {u, v, w} una base de un espacio vectorial V.
Demuestre que {x, y, z} también es una base, donde u = x,
y = u + v, z = u + v + w.
5.6.14 Sea W el espacio generado por f = Senx y
g = Cosx:
a.- Demuestre que para cualquier valor de T, f1 = Sen(x +
T) y g1 = Cos(x + T) son vectores en W.
b.- Demuestre que f1 y g1 forman una base para W.
5.6.15 En ƒ3, todos los vectores de un plano 3 que
pasa por el origen forman un subespacio S de ƒ3. Determine la dimensión de S para cualquier plano 3.
5.6.16 En ƒ2, todos los vectores paralelos a una recta
dada L que pasa por el origen forman un subespacio S.
Determine la dimensión de S para cualquier recta L.
5.7 V E C T O R D E C O O RD E N A D AS. C A M BI O D E B ASE
En esta sección se estudiará la relación entre los coeficientes de una combinación lineal con un vector de
coordenadas. Enunciaremos y demostraremos sus propiedades.
Anteriormente se ha considerado las propiedades generales de los espacios
vectoriales. Sin embargo, en las aplicaciones, además de conocer las propiedades
generales, es importante saber definir los vectores en términos de números y poder
reducir las operaciones vectoriales a operaciones con números. Este problema se
resuelve introduciendo las coordenadas de un espacio vectorial. Toda base de un
espacio vectorial V, cuyos vectores se toman en un orden determinado, se llamará
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
251
sistema de coordenadas de V. Por consiguiente, si B = {u1, u2, ..., un} es un sistema
de coordenadas de V, estos mismos vectores, pero tomados en otro orden,
representarán otro sistema de coordenadas de V.
D E F IN I C I O N 5.7.1
Sea V un espacio vectorial n-dimensional y sea B = {u1, u2, ..., un} una base
de V. Defínase el vector de coordenadas de u respecto de la base B, el cual
se denota por >u@ B, como el vector >u@B = (a 1, a 2, ..., a n)  ƒn, en donde los
escalares a 1, a 2, ..., a n son tales que u = a1u1 + a2u2 + ... + anun.
Sean B 1 = {u1, u2, ..., un} y B 2 = {v1, v2, ..., vn} dos bases del espacio vectorial ƒn
sobre el cuerpo K . Sea u un vector arbitrario del espacio vectorial. Nos proponemos
encontrar una relación entre las coordenadas de u respecto de la primera y segunda
base respectivamente. Para poder establecer esta relación se necesita conocer las
coordenadas de los vectores de una de las bases dadas respecto de la otra.
Supongamos conocidas las componentes de los vectores de la base B 1 respecto de la
base B 2.
­ u1 a11v1 a1 2 v2 a1 n vn
°
°u2 a21v1 a2 2 v2 a2 n vn
(1)
®
°
°u
¯ n an 1v1 an 2 v2 an n vn
El vector u, respecto de la base B 2, se expresa de forma única como u = a1u1 + a2u2 +
... + anun, por otro lado, al ser también B 1 una base, el vector u admite la siguiente
expresión:
u = b1u1 + b2u2 + ... + bnun
Por (1) se tiene:
u = b1(a11v1 + a12v2 + ... + a1nvn) + b2(a21v1 + a22v2 + ... + a2nvn) + ... + bn(an1v1 + an2v2
+ ... + annvn)
= (b1a11 + b2a21 + ... + bnan1)v1 + (b1a12 + b2a22 + ... + bnan2)v2 + ... + (b1a1n + b2a2n
+ ... + bnan n)vn
Luego
­ a1 b1 a11 b2 a21 bn a n1
°a b a b a b a
° 2 1 12 2 22
n n2
®
°
°¯ an b1 a1n b2 a2 n bn ann
que son las ecuaciones que permiten relacionar las coordenadas de un mismo vector
respecto de las bases B 1 y B 2.
El concepto de espacio vectorial tiene dos facetas esencialmente diferentes. En
primer lugar, un espacio vectorial es un conjunto de ciertos entes que se denominan
vectores y, en segundo lugar, en un espacio vectorial actúan las operaciones de
adición y de multiplicación por un número. Por esto, o bien podemos limitarnos a
estudiar qué es lo que representan los vectores y cuáles son la naturaleza y las
propiedades de los mismos, o bien podemos tomar otro punto de vista y estudiar las
propiedades de las operaciones indicadas independientemente de la naturaleza de los
elementos con los cuales se efectúan estas operaciones. En lo sucesivo nos
interesarán solamente las propiedades del segundo género. Por ello, dos espacios de
la misma estructura respecto a las operaciones de adición y de multiplicación por
números se considerará que tienen las mismas propiedades o que son isomorfos.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
252
ESPACIOS VECTORIALES
D E F IN I C I O N 5.7.2
Dos espacios vectoriales U y V dados sobre un mismo cuerpo K se llaman
isomorfos, si se puede establecer tal correspondencia biyectiva entre sus
vectores que a la suma de cualesquiera dos vectores del primer espacio le
corresponda la suma de los vectores correspondientes del segundo espacio y
al producto de un escalar por un vector del primer espacio le corresponda el
producto de este mismo escalar por el vector correspondiente del segundo
espacio.
Toda correspondencia biyectiva que posee las propiedades indicadas se llama
isomorfismo.
T E O R E M A 5.7.1
En una correspondencia isomorfa el vector nulo corresponde al vector nulo.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que en una aplicación isomorfa de un espacio vectorial V sobre otro
espacio vectorial W el vector v de V corresponde al vector w de W. Entonces, según
la definición, el vector nulo del primer espacio debe transformarse en el vector nulo
del segundo espacio.
T E O R E M A 5.7.2
En una aplicación isomorfa un sistema de generadores del primer espacio se
transforma en un sistema de generadores del segundo sistema.
D E M OST R A C I O N
Sean v1, v2, ..., vt unos generadores del espacio V y sean w1, w2, ..., wt los vectores
que les corresponden en el espacio W. Tomemos en W un vector arbitrario w y
consideremos el vector v de V. Por hipótesis, el vector v puede ser representado en la
forma v = a1v1 + a2v2 + ... + atvt.
Según la definición, la suma a 1v1 + a2v2 + ... + a tvt, debe transformarse en la suma
a1w1 + a2w2 + ... + atwt y, por consiguiente, el vector w debe coincidir con la suma
a1w1 + a2w2 + ... + atwt, es decir, los vectores w1, w2, ..., wt constituyen un sistema de
generadores del espacio W.
T E O R E M A 5.7.3
A un sistema linealmente independiente de vectores le corresponde de
nuevo un sistema linealmente independiente.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que los vectores linealmente independientes v1, v2, ..., vm del espacio V
se transforman en los vectores w1, w2, ..., wm del espacio W. Supongamos que entre
los últimos existe una relación de tipo
b1w1 + b2w2 + ... + bmwm = ‡.
Según la definición, al primer miembro de esta igualdad corresponde en el espacio V
el vector
b1v1 + b2v2 + ... + bmvm
y al vector nulo ‡ corresponde en el espacio V el vector nulo ‡. Por consiguiente
b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = ‡.
Puesto que los vectores v1, v2, ..., vm son linealmente independientes se tiene
b1 = b2 = ... = bm = 0,
es decir, los vectores w1, w2, ..., wm son linealmente independientes.
De estos teoremas se deduce directamente que en un isomorfismo una base de un
espacio vectorial se transforma de nuevo en una base de un espacio vectorial y, por
consiguiente, los espacios vectoriales isomorfos tienen la misma dimensión. La
afirmación recíproca es también válida: si dos espacios vectoriales sobre un mismo
cuerpo de coeficientes tienen la misma dimensión, son isomorfos.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
253
EJ E M P L O 5.7.1
Considere el conjunto de vectores en ƒ3, B = {(3, 1, 2), (-1, 0, 2), (4, 3, 5)}:
a.- Demuestre que B es una base de ƒ3;
b.- Encuentre (3, 4, 6) en B;
c.- Para un vector cualquiera u  ƒ3, encuentre u en B.
SO L U C I O N
Es fácil verificar que los vectores {(3, 1, 2), (-1, 0, 2), (4, 3, 5)} forman una base de
ƒ3. Es decir, debemos aprovechar que podemos calcular el determinante del sistema
de vectores
3 1 4
1 0 3 z0
2 2 5
como el determinante es diferente de cero, podemos concluir que el sistema B es
linealmente independiente y por lo tanto es una base. Aprovechando las operaciones
elementales que se pueden realizar sobre matrices para resolver sistemas de
ecuaciones, podemos evaluar los puntos b) y c) inmediatamente, es decir:
§ 3 1 4 3 a · § 3 1 4
3
a ·
¨
¸ ¨
¸
¨ 1 0 3 4 b ¸ | ¨ 0 1 5 4 a 3b ¸
¨ 2 2 5 6 c ¸ ¨ 0 8 7 12 2 a 3c ¸
¹ ©
¹
©
3a
0 0 48 18 a 39b 9c ·
· § 33
¸ ¨
¸
a 3b ¸ | ¨ 0 11 0
1
a 7b 5 c ¸
2 a 8b 3c ¸¹ ¨© 0
0 11
20
2 a 8b c ¸¹
16
1
20
De esta manera tenemos que O1 , O 2 y O3
, con lo que podemos
11
11
11
decir que
16
1 20
>(3, 4, 6)@B §¨ , , ·¸
© 11 11 11 ¹
1
6 a 13b 3c, a 7b 5c, 2 a 8b c . ’
>(3, 4, 6)@B
11
§3 0 9
¨
¨ 0 1 5
¨ 0 0 11
©
12
9
20
EJ E M P L O 5.7.2
En ƒ3 considere las dos bases
B 1 = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} y B 2 = {(2, 1, 2), (1, 0, 3), (-1, 4, -2)}:
a.- Encuentre [(1,1, 3)]B1 ;
b.- Encuentre [(1,1, 3)]B 2 ;
c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 1 a B 2;
d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 2 a B 1;
e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las matrices obtenidas en los
incisos c) y d).
SO L U C I O N
a.- (1, 1, 3) = a 1(1, 1, 1) + a 2(1, 1, 0) + a 3(1, 0, 0)
(1, 1, 3) = 3(1, 1, 1) ± 2(1, 1, 0) + 0(1, 0, 0)
[(1,1, 3)]B1 = (3, -2, 0)T.
b.- (1, 1, 3) = b1(2, 1, 2) + b2(1, 0, 3) + b3(-1, 4, -2)
(1, 1, 3) = 1/17(2, 1, 2) + 10/17(1, 0, 3) + 4/17(-1, 4, -2)
[(1,1, 3)]B 2 = (1/17, 19/17, 4/17)T.
§ 2 1 1
¨
c.- ¨ 1 0 4
¨ 2 3 2
©
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
1
1
1
1
1
0
1 · § 2 1 1 1
¸ ¨
0 ¸ | ¨ 0 1 9 1
0 ¸¹ ¨© 0 2 1 0
1 1·
¸
1 1¸
1 1¸¹
JOE GARCIA ARCOS
254
ESPACIOS VECTORIALES
§ 2 0 8
¨
¨ 0 1 9
¨ 0 0 17
©
2
1
2
2
1
1
P ª¬ B 2
§1 1 1
¨
d.- ¨1 1 0
¨1 0 0
©
§1
¨
¨0
¨0
©
2
1
2
e.- [(1,1, 3)]B1
1 · § 1 1
¸ ¨
4¸ | ¨0 0
2 ¸¹ ¨© 0 1
2
1 1 ·
¸
1 1 4 ¸
0 2
1 ¸¹
1
0
3
1 1
1 2
1 1
§1 0 0
¨
¨0 1 0
¨0 0 1
©
0· §1 0 0
¸ ¨
1¸ | ¨0 1 0
3 ¸¹ ¨© 0 0 1
13
§9
¨ 17
17
¨
1
8
B1 º¼ ¨¨
17
17
¨
1
¨ 2
¨
17
17
©
2
1
1
3
3
1
1
1
1
2
1
0
9 /17
1/17
2 /17
13 /17
8 /17
1/17
12 /17 ·
¸
10 /17 ¸
3 /17 ¸¹
12 ·
17 ¸¸
10
¸¸
17
¸
3
¸¸
17 ¹
1
1
2
1 ·
¸
5 ¸
1 ¸¹
§ 1 0 1
¨
|¨ 0 1 2
¨ 0 0 1
©
1
1
1
2
1
1
3 ·
¸
4 ¸
5 ¸¹
2 ·
§ 2 3 2 ·
¸
¨
¸
6 ¸ Ÿ P ª¬ B1 B 2 º¼ ¨ 1 3 6 ¸
¨ 1 1 5 ¸
5 ¸¹
©
¹
P ª¬ B1 B 2 º¼ [(1,1, 3)]B 2 = (3, -2, 0)T
[(1,1, 3)]B 2
P ª¬ B 2 B1 º¼ [(1,1, 3)]B1 = (1/17, 19/17, 4/17)T.
PR O B L E M AS
5.7.1 En „2 considere las dos bases
B 1 = {1 - t ± t2, - 1 ± 2t2, t + 2t2}
y
B 2 = {3 + 6t2, 2 + t + 6t2, t2}:
a.- Encuentre [1 t t 2 ]B1 ;
b.- Encuentre [1 t t 2 ]B 2 ;
c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 1 a B 2;
d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 2 a B 1;
e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las
matrices obtenidas en los incisos c) y d).
5.7.2 Sea P la matriz de transición de B 2 a B 1 y sea Q la
matriz de transición de B 1 a B 2. ¿Cuál es la matriz de
transición de B 2 a B 1?
5.7.3 En C 3 considere las dos bases
B 1 = {(1 + i, 2 ± i, 1), (3 + 2i, 4 ± 4i, 1), (i, 2, -i)}
y
B 2 = {(1, i, 1 + i), (1, i, -i), (2i, 1, 1 ± i)}:
a.- Encuentre [(2i , 3,1 i )]B1 ;
b.- Encuentre [(2i , 3,1 i )]B 2 ;
c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 1 a B 2;
d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 2 a B 1;
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las
matrices obtenidas en los incisos c) y d).
5.7.4 En :(2 x 2) considere las dos bases
­
°§1 1· § 1 1· §1 0 · § 0 1 · ½
°
B 1 = ®¨
¸, ¨
¸, ¨
¸, ¨
¸¾
1
1
1
1
1
0
2
0
°©
°
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹¿
¯
y
­§1 1· §1 1 · § 1 1 · § 1 0 · °
½
°
B 2 = ®¨
¸, ¨
¸, ¨
¸, ¨
¸¾ :
1
1
1
0
0
0
0
0
°©
°
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹¿
¯
ª§ 1 2 · º
a.- Encuentre Ǭ
¸» ;
¬ © 7 4 ¹ ¼ B1
ª§ 1 2 · º
b.- Encuentre Ǭ
¸» ;
¬© 7 4 ¹ ¼ B 2
c.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 1 a B 2;
d.- Encuentre la matriz de cambio de base de B 2 a B 1;
e.- Obtenga los resultados de los incisos a) y b) use las
matrices obtenidas en los incisos c) y d).
5.7.4 Sea P la matriz de transición de B 2 a B 1, y sea Q
matriz de transición de B 1 a B. ¿Cuál es la matriz de
transición de B a B 2?
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS VECTORIALES
255
5.8 C U EST I O N A RI O
Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,
indicar por que lo es:
5.8.1 Todos los polinomios de grado 3 que poseen coeficientes reales forman un espacio vectorial.
5.8.2 Las matrices antisimétricas no forman un subespacio vectorial de todas las matrices cuadradas de n x n.
5.8.3 Todos los vectores de ƒn, que tienen iguales la
primera y última coordenada forman un subespacio vectorial.
5.8.4 Tres vectores no coplanares u, v y w, son linealmente dependientes.
5.8.5 Un sistema de vectores que contiene dos vectores
iguales es linealmente dependiente.
5.8.6 Un sistema de vectores cuyos dos vectores se
diferencian por un factor escalar es linealmente independiente.
5.8.7 Un sistema de vectores que contiene al vector
nulo es linealmente dependiente.
5.8.8 Si una parte del sistema de vectores es linealmente
dependiente, entonces todo el sistema también es linealmente dependiente.
5.8.9 Cualquier parte de un sistema de vectores linealmente independiente es por sí misma linealmente dependiente.
5.8.10 Si tres vectores u1, u2 y u3 son linealmente dependientes y el vector u3 no se expresa linealmente a
través de los vectores u1 y u2, entonces estos últimos se
diferencian entre sí sólo por un factor numérico.
5.8.11 Sean S, U y W subespacios vectoriales de V.
Entonces S será la suma directa de U y W cuando y sólo
cuando S esté contenido en U y W.
5.8.12 Si los vectores u1, u2, ..., uk son linealmente dependientes, y los vectores u1, u2, ..., uk, u son linealmente
independientes, entonces el vector u se expresa linealmente a través de los vectores u1, u2, ..., uk.
5.8.13 Si la dimensión de la suma de dos subespacios
vectoriales del espacio V supera la dimensión de su intersección en una unidad, la suma coincide con uno de
esos subespacios y la intersección con el otro.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
5.8.14 Si un sistema de vectores dado, posee el rango
r, entonces cualesquiera r vectores linealmente independientes forman la base de este sistema.
5.8.15 Cualquier subsistema linealmente dependiente
de un sistema dado puede completarse hasta la base de
ese sistema.
5.8.16 Suponga que el subespacio vectorial W contiene
el subespacio vectorial U. Entonces la dimensión de U
no supera a la de W, con la particularidad de que las
dimensiones son iguales entre sí cuando, y sólo cuando,
U = W.
5.8.17 La suma S = U + W de dos subespacios vectoriales de V es igual a la intersección de todos los subespacios vectoriales de V que contienen tanto U, como
también W.
5.8.18 La suma U + W de los subespacios vectoriales U
y W será suma directa cuando, y sólo cuando, todos los
vectores u  U + W se representen de forma única como u = ui + vj, donde ui  U y vj  W.
5.8.19 Suponga que el subespacio vectorial S es la
suma directa de los subespacios vectoriales U y W.
Entonces la dimensión de S es igual a la suma de las
dimensiones de U y W con la particularidad de que
cualesquiera bases de U y W dan juntas la base de S.
5.8.20 Para cualquier subespacio vectorial U del espacio V puede hallarse otro subespacio W, tal que todo el
espacio V sea la suma directa de U y W.
5.8.21 Si los vectores u1, u2, ..., uk se expresan linealmente a través de los vectores v1, v2, ..., vr, el rango del primer
sistema no supera el del segundo.
5.8.22 Si el vector u se expresa linealmente mediante
los vectores u1, u2, ..., uk, el rango del último sistema de
vectores no varía, añadiéndole el vector u.
5.8.23 Todas las bases de un sistema de vectores dado,
contienen la misma cantidad de vectores.
5.8.24 Si los vectores u1, u2, ..., um son linealmente independientes y se expresan linealmente a través de los
vectores v1, v2, ..., vn, entonces m d n.
JOE GARCIA ARCOS
O BJE T I V O
Resolver problemas relacionados con los espacios euclídeos y hermíticos, utilizando matrices, determinantes,
rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales, propias de la ingeniería.
C O N T E NI D O :
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
ESPACIOS EUCLIDEOS
ESPACIOS HERMITICOS
NORMA, DISTANCIA Y ANGULO ENTRE VECTORES
BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES
SUBESPACIO COMPLEMENTO ORTOGONAL, PROYECCIONES ORTOGONALES
Y DISTANCIA A UN SUBESPACIO
CUESTIONARIO
6.1 ESP A C I OS E U C L I D E OS
En esta sección se usarán como axiomas las propiedades más importantes del producto interior euclidiano para
definir el concepto general de producto interior; luego se demostrará cómo los productos interiores se pueden
utilizar para definir la desigualdad de Cauchy ± Schwartz, la ortogonalidad, paralelismo y proyecciones entre
vectores.
Los espacios vectoriales que se estudiaron en el capítulo anterior resultan ser, en
determinado sentido, más pobres en conceptos y propiedades que nuestro espacio
corriente. En la teoría general de los espacios vectoriales no han quedado reflejados
conceptos como la longitud de un segmento, la magnitud del ángulo y el producto
interior que desempeñan un papel muy importante en la geometría. Por esto, si
queremos que la teoría general abarque todas las propiedades más esenciales del
espacio corriente, debemos introducir, además de las operaciones de adición de
vectores y de multiplicación de los mismos por escalares, la operación producto
interior.
En este capítulo se estudiarán precisamente las propiedades de los vectores
pertenecientes a espacios vectoriales provistos del producto interior. El cuerpo
principal es de carácter muy especial: es el cuerpo de los números reales en el caso
de espacios euclídeos y es el cuerpo de los números complejos en el caso de espacios
hermíticos.
Tomemos en el espacio vectorial V un sistema de coordenadas formado por k
cualesquiera vectores {e1, e2, ..., ek}, perpendiculares dos a dos, de longitud 1.
Entonces todo vector u admite una representación única de la forma u = a1e1 + a2e2 +
... + a kek donde a1, a2, ..., a k son las longitudes de las proyecciones del vector u sobre
258
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
los ejes coordenados, tomados con signo adecuado. Si v = b1e1 + b2e2 + ... + bkek es
otro vector cualquiera, resulta entonces que el producto interior es
¢u ˜ v² = a1b1 + a2b2 + ... + a kbk.
El espacio vectorial V es real. Esto se expresa en que las proyecciones, las longitudes
y los productos interiores de los vectores son números reales.
D E F IN I C I O N 6.1.1
Si dos vectores u y v están dados mediante sus coordenadas rectangulares
cartesianas, entonces el producto interior canónico de estos vectores es
igual a la suma de los productos, realizados dos a dos, de las coordenadas
correspondientes.
Nótese que el producto interior no define la multiplicación de vectores en el sentido
ordinario, es decir, el producto interior de dos vectores no es un vector sino un
número real.
EJ E M P L O 6.1.1
Formando el producto interior de los vectores ( CosT, SenM) y ( CosM, SenT), deducir
la identidad trigonométrica Cos(T - M) = CosT CosM + SenTSenM.
SO L U C I O N
Dado que u = ( CosT, SenM) y v = ( CosM, SenT), entonces realizando el producto
interior entre estos dos vectores, obtenemos:
¢u ˜ v² = ¢( CosT, SenM) ˜ ( CosM, SenT)²
= CosT CosM + SenMSenT = Cos(T - M).
De esta manera hemos demostrado que Cos(T - M) = CosT CosM + SenMSenT. ’
EJ E M P L O 6.1.2
Calcular ¢u ˜ v², siendo u = 2 i ± 4 j + k y v
1
³ 0 (te
2t
i tCosh2tj 2te 2t k ) dt .
SO L U C I O N
Integrando v, obtenemos:
v
1
³ 0 (te
2t
i tCosh2tj 2te 2t k ) dt
1
1
1
0
0
0
i ³ te 2t dt j ³ tCosh2t dt k ³ 2te 2t dt
1 2
1
1
(e 1)i (e 2 3e 2 2) j (1 3e 2 ) k .
4
8
2
Realizando el producto interior entre estos dos vectores, obtenemos:
1
1
1
¢ f ˜ g ² 2i 4 j k ˜ (e 2 1)i (e 2 3e 2 2) j (1 3e 2 ) k
4
8
2
1 2
1
1
(e 1) (e 2 3e 2 2) (1 3e 2 ) 0 . ’
2
2
2
E J E M P L O 6.1.3
En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n,
definimos el producto interior como
n
§k· §k·
¢ f ˜ g² ¦ f ¨ ¸ g ¨ ¸ .
k 0 ©n¹ ©n¹
Calcular ¢ f ˜ g² cuando f(t) = t y g(t) = at + b.
SO L U C I O N
k
Haciendo que t
, entonces:
n
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
259
1
1
t 0
t 0
¦ f (t ) g (t ) ¦ t ( at b)
¢ f ˜ g²
a b . ’
EJ E M P L O 6.1.4
Encuentre la función producto interior ¢f ˜ g² en el espacio V, del conjunto de todas
las funciones de valor real continuas en C([-S, S]), en donde
¢ f ˜ g²
S
³S f ( x) g ( x)dx :
a.- f(x) = Cosx, g(x) = x; b.- f(x) = ex, g(x) = Senx + Cosx;
c.- f(x) = Cos4x, g(x) = Senx; d.- f(x) = ex, g(x) = 1 ± ex.
SO L U C I O N
S
a.- ¢ f ˜ g ²
³S xCosxdx
b.- ¢ f ˜ g ²
³S e
c.- ¢ f ˜ g ²
S
S
³S
x
0;
S
(Senx Cosx)dx e x Senx
S
e2x
d.- ¢ f ˜ g ² ³ (1 e )e dx e S
2
x
x
0;
S
Cos3x Cos5 x
6
10
Cos 4 xSenx dx
S
S
S
Cosx xSenx
S
0;
S
1 2 e S 2 e 3S e 4 S
x
2e 2 S
S
. ’
E J E M P L O 6.1.5
Encuentre la función producto interior ¢f ˜ g² en el espacio V, del conjunto de todas
las funciones de valor real, definidas en C([0, 1]), en donde
1
³0
¢ f ˜ g²
a.- f ( x) Sen
Sx
Sx
, g ( x) Cos ;
2
2
f ( x) g ( x)dx :
b.- f ( x)
1
, g ( x)
2
x -
1
1
- x .
2
2
SO L U C I O N
a.- ¢ f ˜ g ²
b.- ¢ f ˜ g ²
1
³0
Sen
1
³0
Sx
Sx
CosSx
Cos dx 2
2
2S
1 §1
1 ·
x ¨ x ¸ dx
2 ©2
2 ¹
1
1
;
S
0
(2 x 1) 2 x 1
16
1
(2 x 1)3
24
0
1
. ’
24
E J E M P L O 6.1.6
Encontrar ¢f ˜ g² para cada uno de los siguientes pares de funciones en C([0, 1])
cuando la función producto interior está definida con respecto a la función peso
h(x) = ex; por
1
³0
¢ f ˜ g²
a.- f ( x) 1 2 x , g ( x) e x ;
c.- f ( x) Cos
SO L U C I O N
a.- ¢ f ˜ g ²
b.- ¢ f ˜ g ²
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
b.- f ( x) e
S
2 Sen
Sx
, g ( x) 1 .
2
1
³ 0 (1 2x)e
1 ³0
f ( x) g ( x)h( x)dx :
S
e 2 Sen
x x
e dx
S
1
³ 0 (1 2 x)dx
Sx 2
3Sx x
e Sen
e dx
2
2
x x2
1
³ 0 Sen
S
Sx
3Sx
, g ( x) e 2 Sen
;
2
2
1
0
0;
Sx
3Sx
Sen
dx
2
2
JOE GARCIA ARCOS
260
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
SenSx Sen2Sx
2S
4S
c.- ¢ f ˜ g ²
1 x
³0 e
Cos
Sx
dx
2
1
0;
0
Sx
Sx ·
§
2 ¨ 2 Cos SSen ¸ e x
2
2 ¹
©
S2 4
1
2Se 4
S2 4
. ’
0
E J E M P L O 6.1.7
Encuentre la función producto interior ¢f ˜ g² en el espacio V, del conjunto de todas
las funciones de valor real continuas en C([-S, S]), en donde
¢ f ˜ g²
S
³S f ( x) g ( x)dx :
a.- f(x) = Senmx, g(x) = Sennx, m, n  Z+;
b.- f(x) = Senmx, g(x) = Cosnx, m, n  Z+;
c.- f(x) = Cosmx, g(x) = Cosnx, m, n  Z+.
SO L U C I O N
a.- ¢ f ˜ g ²
S
³S
SenmxSennx dx
Sen(m n) x Sen(m n) x
2(m n)
2(m n)
S
S
Sen(m n)S Sen(m n)S
;
mn
mn
b.- ¢ f ˜ g ²
c.- ¢ f ˜ g ²
S
³S
S
³S
SenmxCosnx dx
CosmxCosnx dx
Cos(m n) x Cos (m n) x
2(n m)
2(m n)
Sen(m n) x Sen(m n) x
2(m n)
2(m n)
S
0;
S
S
S
Sen(m n)S Sen(m n)S
. ’
mn
mn
% CALCULO DEL PRODUCTO INTERIOR clc;;clear;; fprintf('\n PRODUCTO INTERIOR \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores : ');; fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :');; end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :');; end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end fprintf('EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') u*v' ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
261
D E F I N I C I O N 6.1.2
Dado (V, ƒ, +, ˜) un espacio vectorial definido sobre los reales. Un
producto interior en V es una función ¢ ˜ ² : V x V o ƒ, que a cada par
de vectores u, v en V le asocia un número real ¢ ˜ ² de forma tal que
satisface los siguientes axiomas:
1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad:
¢u ˜ u² > 0 cuando u z ‡ y ¢‡ ˜ ‡² = 0.
2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad:
¢u ˜ v² = ¢v ˜ u².
3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k, se cumple
la homogeneidad:
¢ku ˜ v² = k¢u ˜ v².
4.- Para toda terna de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad:
¢u ˜ (v + w)² = ¢u ˜ v² + ¢u ˜ w².
T E O R E M A 6.1.1
Para todo trío de vectores u, v, w de ƒn se cumple
¢(u + v) ˜ w² = ¢u ˜ w² + ¢v ˜ w².
D E M OST R A C I O N
¢(u + v) ˜ w² = ¢w ˜ (u + v)² axioma 2
= ¢w ˜ u² + ¢w ˜ v² axioma 4
= ¢u ˜ w² + ¢v ˜ w² axioma 2
T E O R E M A 6.1.2
Para todo par de vectores u, v de ƒn y para todo escalar real k se cumple
¢u ˜ kv² = k ¢u ˜ v².
D E M OST R A C I O N
¢u ˜ kv² = ¢kv ˜ u² axioma 2
= k¢v ˜ u² axioma 3
= k ¢u ˜ v² axioma 2
T E O R E M A 6.1.3
Para todo u, ‡ de ƒn, entonces ¢u ˜ ‡² = 0.
D E M OST R A C I O N
¢u ˜ ‡² = ¢u ˜ u - u²
= ¢u ˜ u² - ¢u ˜ u²
= 0.
axioma 4
EJ E M P L O 6.1.8
Determine cuáles de las siguientes funciones ¢ ˜ ² : ƒ2 x ƒ2 o ƒ son funciones
producto interior en el espacio vectorial ƒ2:
a.- ¢u ˜ v² = a1b1 ± a2b1 ± a1b2 + 2a2b2; b.- ¢u ˜ v² = a1b1 ± a2b1 + a1b2 - a2b2;
c.- ¢u ˜ v² = 2a1b1 + 2a2b2;
d.- ¢u ˜ v² = a1b1 ± a2b1 + a1b2 + 2a2b2.
SO L U C I O N
a.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces:
1.- ¢u ˜ u² a1a1 a2 a1 a1a2 2a2 a2 a12 2a1a2 2a22 (a1 a2 )2 a2 t 0 ;
2.- ¢ ku ˜ v²
ka1b1 ka2b1 ka1b2 2ka2b2 k (a1b1 a2b1 a1b2 2a2b2 ) k ¢u ˜ v² ;
3.- ¢u ˜ v² a1b1 a2b1 a1b2 2a2b2 b1a1 b2 a1 b1a2 2b2 a2 ¢v ˜ u² ;
4.- ¢u v ˜ w² ( a1 b1 )c1 (a2 b2 )c1 (a1 b1 )c2 2(a2 b2 )c2
a1c1 b1c1 a2 c1 b2 c1 a1c2 b1c2 2a2 c2 2b2 c2
( a1c1 a2 c1 a1c2 2a2 c2 ) (b1c1 b2 c1 b1c2 2b2 c2 )
¢u ˜ w² ¢v ˜ w² .
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
262
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
b.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces:
1.- ¢u ˜ u² a1a1 a2 a1 a1a2 a2 a2 a12 a22 .
De esto se concluye que a12 a22 no necesariamente es mayor que cero.
2.- ¢ ku ˜ v² ka1b1 ka2b1 ka1b2 ka2b2 k (a1b1 a2b1 a1b2 a2b2 ) k ¢u ˜ v² ;
3.- ¢u ˜ v² a1b1 a2b1 a1b2 a2b2 b1a1 b2 a1 b1a2 b2 a2 z ¢v ˜ u² ;
4.- ¢u v ˜ w² ( a1 b1 )c1 (a2 b2 )c1 (a1 b1 )c2 (a2 b2 )c2
a1c1 b1c1 a2 c1 b2 c1 a1c2 b1c2 a2 c2 b2 c2
( a1c1 a2 c1 a1c2 a2 c2 ) (b1c1 b2 c1 b1c2 b2 c2 )
¢u ˜ w² ¢v ˜ w² .
Como no se cumple la primera y tercera propiedad, entonces no es producto interior.
c.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces:
1.- ¢u ˜ u² 2a1a1 2a2 a2 2a12 2a22 t 0 ;
2.- ¢ ku ˜ v² 2ka1b1 2ka2b2 k (2a1b1 2a2b2 ) k ¢u ˜ v² ;
3.- ¢u ˜ v² 2a1b1 2a2b2 2b1a1 2b2 a2 ¢v ˜ u² ;
4.- ¢u v ˜ w² 2( a1 b1 )c1 2( a2 b2 )c2 2a1c1 2b1c1 2a2 c2 2b2 c2
(2a1c1 2a2 c2 ) (2b1c1 2b2 c2 ) ¢u ˜ w² ¢v ˜ w² .
d.- Sean u = (a1, a2), v = (b1, b2), w = (c1, c2), entonces:
1.- ¢u ˜ u² = ¢(a1, a2) ˜ (a1, a2)² = a1a1 ± a2a1 + a1a2 + 2a2a2 = a1a1 + 2a2a2 t 0
3.- ¢u ˜ v² = ¢(a1, a2) ˜ (b1, b2)² = a1b1 ± a2b1 + a1b2 + 2a2b2
¢v ˜ u² = ¢(b1, b2) ˜ (a1, a2)² = b1a1 ± b2a1 + b1a2 + 2b2a2
Por lo tanto ¢u ˜ v² z ¢v ˜ u². Como la tercera propiedad no se cumple, entonces ¢u ˜ v²
no es un producto interior. ’
EJ E M P L O 6.1.9
Determine cuáles de las siguientes funciones ¢ ˜ ² : C[-1,1] x C[-1,1] o ƒ son
productos interiores en el espacio vectorial C([-1,1]):
1
a.- ¢ f ˜ g ²
³ 1 f ( x) g ( x) dx ;
c.- ¢ f ˜ g ²
³ 1 (1 1
x 2 ) f ( x) g ( x)dx ;
1
b.- ¢ f ˜ g ²
³ 1 x
d.- ¢ f ˜ g ²
³ 1 xf ( x) g ( x)dx .
2
f ( x) g ( x)dx ;
1
SO L U C I O N
a.- Para verificar si ¢f ˜ g² define un producto interior, debemos demostrar los
axiomas de la definición:
1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que f 2(x) t 0 para toda x, se
tiene
¢f ˜ f²
³ 1 f
1
2
( x) dx t 0
¢f ˜ f²
³ 1 f
1
2
( x) dx 0
con
sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1].
2.- ¢ f ˜ g ²
1
1
³ 1 f ( x) g ( x) dx ³ 1 g ( x) f ( x) dx
3.- ¢Df ˜ g ²
4.- ¢ f ˜ g h²
1
³ 1 Df ( x) g ( x) dx
D³
1
1
1
¢g ˜ f ² .
f ( x) g ( x) dx D¢ f ˜ g ² .
1
³ 1 f ( x)[ g h]( x) dx ³ 1[ f ( x) g ( x) f ( x)h( x)] dx
1
1
³ 1 f ( x) g ( x) dx ³ 1 f ( x)h( x) dx
¢ f ˜ g ² ¢ f ˜ h² .
Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que ¢f ˜ g² es un
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
263
producto interior.
b.- Para verificar si ¢f ˜ g² define un producto interior, debemos demostrar los
axiomas de la definición:
1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que x2f 2(x) t 0 para toda x,
se tiene
1
2
dx t 0
1
2
dx 0
¢f ˜ f²
³ 1 ( xf ( x))
¢f ˜ f²
³ 1 ( xf ( x))
con
sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1].
2.- ¢ f ˜ g ²
1
³ 1 x
2
1
f ( x) g ( x) dx
³ 1 Dx
3.- ¢Df ˜ g ²
2
g ( x) f ( x) dx ¢ g ˜ f ² .
1
f ( x) g ( x) dx D ³ x 2 f ( x) g ( x) dx D¢ f ˜ g ² .
2
1
1
2
f ( x)[ g h]( x) dx
1
2
f ( x) g ( x) dx ³ x 2 f ( x)h( x) dx ¢ f ˜ g ² ¢ f ˜ h² .
³ 1 x
4.- ¢ f ˜ g h²
1
³ 1 x
³ 1 x
1
³ 1 x [ f ( x) g ( x) f ( x)h( x)] dx
2
1
1
Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que ¢f ˜ g² es un
producto interior.
c.- Para verificar si ¢f ˜ g² define un producto interior, debemos demostrar los
axiomas de la definición:
1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que (1 ± x2)f 2(x) t 0 para
toda x, se tiene
1
2
) f 2 ( x) dx t 0
1
2
) f 2 ( x) dx 0
¢f ˜ f²
³ 1 (1 x
¢f ˜ f²
³ 1 (1 x
con
sí y sólo si f es la función cero en C[-1; 1].
2.- ¢ f ˜ g ²
1
³ 1 (1 x
3.- ¢Df ˜ g ²
4.- ¢ f ˜ g h²
1
2
) f ( x) g ( x) dx
³ 1 D(1 x
2
1
³ 1 (1 x
2
) g ( x) f ( x) dx ¢ g ˜ f ² .
1
) f ( x) g ( x) dx D ³ (1 x 2 ) f ( x) g ( x) dx D¢ f ˜ g ² .
1
1
2
) f ( x)[ g h]( x) dx
1
2
) f ( x) g ( x) dx ³ (1 x 2 ) f ( x)h( x) dx ¢ f ˜ g ² ¢ f ˜ h² .
³ 1 (1 x
³ 1 (1 x
1
³ 1 (1 x
2
)[ f ( x) g ( x) f ( x)h( x)] dx
1
1
Como se cumplen los axiomas de la definición, podemos decir que ¢f ˜ g² es un
producto interior.
d.- Para verificar si ¢f ˜ g² define un producto interior, debemos demostrar los
axiomas de la definición:
1.- Esta propiedad requiere un poco de atención. Dado que xf 2(x) t 0 para toda x, se
tiene
¢f ˜ f²
1
³ 1 x f
2
( x) dx 0
con lo que no se cumple esta propiedad. Por lo tanto podemos decir que ¢f ˜ g² no es
un producto interior. ’
EJ E M P L O 6.1.10
Determine cuáles de las siguientes funciones ¢ ˜ ² : :(n, n) x :(n, n) o ƒ son
productos internos en el espacio vectorial ::
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
264
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
a.- ¢A˜B² = Det(A B); b.- ¢A˜B² = Tr(A B);
c.- ¢A˜B² = Tr(A T B); d.- ¢A˜B² = Tr(A B T).
SO L U C I O N
a.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces:
1.- ¢A ˜ A² = Det(A A) = Det(A)Det(A) t 0;
2.- ¢k A ˜ B² = Det(k A B) = knDet(A B) z kDet(A B);
3.- ¢A ˜ B² = Det(A B) = Det(B A) = ¢B ˜ A²;
4.- ¢A + B ˜ C² = Det((A + B)C) = Det(A C + B C) z Det(A C) + Det(B C).
Por tanto, se puede concluir que ¢A ˜ B² no es un producto interior.
b.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces:
1.- ¢A ˜ A² = Tr(A A) = Tr(A 2) t 0;
2.- ¢k A ˜ B² = Tr(k A B) = kTr(A B) = k¢A ˜ B²;
3.- ¢A ˜ B² = Tr(A B) = Tr(B A) = ¢B ˜ A²;
4.- ¢A + B ˜ C² = Tr((A + B)C) = Tr(A C + B C) = Tr(A C) + Tr(B C)
= ¢A ˜ C² + ¢B ˜ C².
Por tanto, se puede concluir que ¢A ˜ B² es un producto interior.
c.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces:
1.- ¢A ˜ A² = Tr(A T A) t 0;
2.- ¢k A ˜ B² = Tr((k A)T B) = Tr(k A T B) = kTr(A T B) = k¢A ˜ B²;
3.- ¢A ˜ B² = Tr(A T B) = Tr(A T B)T = Tr(B T A) = ¢B ˜ A²;
4.- ¢A + B ˜ C² = Tr((A + B)T C) = Tr(A T C + B T C) = Tr(A T C) + Tr(B T C)
= ¢A ˜ C² + ¢B ˜ C².
Por tanto, se puede concluir que ¢A ˜ B² es un producto interior.
d.- Sean A, B y C matrices de n x n, entonces:
1.- ¢A ˜ A² = Tr(A A T) t 0;
2.- ¢k A ˜ B² = Tr(k A B T) = kTr(A B T) = k¢A ˜ B²;
3.- ¢A ˜ B² = Tr(A B T) = Tr(A B T)T = Tr(B A T) = Tr(A T B) = ¢B ˜ A²;
4.- ¢A ˜ (B + C)² = Tr(A(B + C)T) = Tr(A B T + A C T) = Tr(A B T) + Tr(A C T)
= ¢A ˜ B² + ¢A ˜ C².
Por tanto, se puede concluir que ¢A ˜ B² es un producto interior. ’
D E F I N I C I O N 6.1.3
Un espacio vectorial real ( V, R, +, ˜) se denomina espacio vectorial
euclídeo, si a todo par de vectores, u, v de V se le ha puesto en
correspondencia un número real ¢ ˜ ², llamado producto
interior, considerándose cumplidos los siguientes axiomas:
1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad:
¢u ˜ u² > 0 cuando u z ‡ y ¢‡ ˜ ‡² = 0.
2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad:
¢u ˜ v² = ¢v ˜ u².
3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar real k, se cumple
la homogeneidad:
¢ku ˜ v² = k¢u ˜ v².
4.- Para toda terna de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad:
¢u ˜ (v + w)² = ¢u ˜ v² + ¢u ˜ w².
EJ E M P L O 6.1.11
Se da un espacio vectorial cuyos vectores son todos los sistemas posibles
compuestos por 3 números positivos:
u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3), w = (c1, c2, c3), ....
La adición de los vectores y la multiplicación de un vector por un número están
definidas por las igualdades
u + v = (a1b1, a2b2, a3b3), ku
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
a1k , a2k , a3k .
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
265
¿Se puede hacer euclídeo este espacio al definir la función producto interno por la
igualdad
¢u ˜ v² = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3?
SO L U C I O N
Vamos a comprobar el cumplimiento de los axiomas de los espacios euclídeos:
1.- ¢u ˜ u² = ln2a1 + ln2a2 + ln2a3 t 0.
2.- ¢u ˜ v² = lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3
¢u ˜ v² = lnb1lna1 + lnb2lna2 + lnb3lna3
Es decir, ¢u ˜ v² = ¢v ˜ u².
3.- ¢ku ˜ v² = lna k1lnb1 + lna k2lnb2 + lna k3lnb3 = klna1lnb1 + klna2lnb2 + klna3lnb3
= k(lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3) = k¢u ˜ v².
4.- ¢u˜ (v + w)² = lna1ln(b1c1) + lna2ln(b2c2) + lna3ln(b3c3)
= lna1lnb1 + lna1lnc1 + lna2lnb2 + lna2lnc2 + lna3lnb3 + lna3lnc3
= lna1lnb1 + lna2lnb2 + lna3lnb3 + lna1lnc1 + lna2lnc2 + lna3lnc3
= ¢u ˜ v² + ¢u ˜ w².
Por cumplirse todos los axiomas de la definición, el espacio que se considera es
euclídeo. ’
EJ E M P L O 6.1.12
¿Es el conjunto de todos los vectores geométricos un espacio euclídeo si el producto
interior de dos vectores se define como el producto de sus longitudes?
SO L U C I O N
El producto interior tiene la forma siguiente: ¢u ˜ v² u v , siendo u, v, w tres
vectores geométricos. Por tanto debemos probar los siguientes axiomas:
1.- ¢u ˜ u²
u
2.- ¢ ku ˜ v²
3.- ¢u ˜ v²
u
ku
u
4.- ¢u v ˜ w²
u
v
2
;
k u
v
v
uv
u
v zk u
v ;
¢ v ˜ u² ;
w d ( u v ) w z ¢u ˜ w² ¢v ˜ w² .
Como no se cumplen los axiomas segundo y cuarto, no es espacio euclídeo. ’
T E O R E M A 6.1.4
Dado (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial euclídeo, entonces para cualesquiera par
de vectores, de V es válida la desigualdad de Cauchy - Schwartz:
~¢u ˜ v²~2 d ¢u ˜ u² ¢v ˜ v².
La desigualdad de Cauchy - Schwartz se convierte en una igualdad si, y
sólo si, los vectores, son colineales.
D E M OST R A C I O N
El teorema tiene lugar, a ciencia cierta, si v = ‡, por lo cual convengamos en
considerar que v z ‡. Examinemos un vector u ± av, donde a es un número real
arbitrario. Tenemos
¢u - av ˜ u - av² t 0
¢u ˜ u² - a¢u ˜ v² - a¢v ˜ u² + a2¢v ˜ v² t 0
¢u ˜ u² - 2a¢u ˜ v² + a2¢v ˜ v² t 0
En el primer miembro de la desigualdad figura un producto interior de vectores
iguales. Por esta razón el trinomio de segundo grado es no negativo, cualquiera que
u˜v
sea a, en particular, para a
. De este modo,
v˜v
u˜v
u˜v
u ˜u 2
u˜v v˜v
v˜v
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
2
2
v˜v t 0
JOE GARCIA ARCOS
266
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
u ˜u 2
u ˜u u˜v
v˜v
u˜v
2
v˜v
2
v˜v 2
t 0 Ÿ u ˜u v˜v u ˜v
2
u˜v
2
v˜v
2
t0 Ÿ
v˜v t 0
u˜v
2
d u ˜u v˜v .
EJ E M P L O 6.1.13
Verifique que la función ¢ ˜ ² : :(n, n) x :(n, n) o ƒ definida por ¢A ˜ B² =
Tr(A B T), en el espacio vectorial :(n, n), cumple la desigualdad de Cauchy Schwartz.
SO L U C I O N
Debemos comprobar que se cumple~¢A ˜ B²~2 d ¢A ˜ A² ¢B ˜ B². Es decir:
~Tr(A B T)~2 d Tr(A A T)Tr(BB T)
2
n
n
n
n
§ n
· § n 2
2 ·§
2
2 ·
¨ ¦ a1i b1i ... ¦ ani bni ¸ d ¨ ¦ a1i ... ¦ ani ¸¨ ¦ b1i ... ¦ bni ¸
i 1
i 1
i 1
©i 1
¹ ©i 1
¹© i 1
¹
2
§ n n
· § n n
·§ n n
·
¨ ¦¦ a ji b ji ¸ d ¨ ¦¦ a 2ji ¸¨ ¦¦ b2ji ¸ .
¨ j 1i 1
¸ ¨ j 1 i 1 ¸¨ j 1 i 1 ¸
©
¹ ©
¹©
¹
Por lo tanto podemos observar que se cumple la desigualdad. ’
D E F I N I C I O N 6.1.4
En un espacio vectorial euclídeo V se dice que un vector u es ortogonal a
otro vector v, representado por u A v, si ¢u ˜ v² = 0, siendo u y v vectores
no nulos.
D E F IN I C I O N 6.1.5
Dos vectores u y v de un espacio euclídeo V distintos de cero son paralelos,
y se nota u»» v, si uno es múltiplo escalar del otro. Si u = kv con k > 0,
entonces u y v tienen la misma dirección; si k < 0, entonces u y v tienen
dirección opuesta.
Por analogía con los segmentos dirigidos, llamemos colineales dos vectores u y v de
cualquier espacio vectorial, si o bien u = av o bien v = bu para ciertos escalares a y b.
En virtud de la igualdad ‡ = 0u concluimos que los vectores u y v son colineales, a
ciencia cierta, si por lo menos uno de ellos es nulo.
T E O R E M A 6.1.5
La desigualdad |¢u ˜ v²|2 d ¢u ˜ u²¢v ˜ v² se convierte en una igualdad si, y sólo
si, los vectores u y v son colineales.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que los vectores u y v son colineales, entonces u = av. Hallamos
¢u ˜ v²2 = ¢av ˜ v²2 = a2¢v ˜ v²2
¢u ˜ u²¢v ˜ v² = ¢av ˜ av²¢v ˜ v² = a2¢v ˜ v²2
La comparación de estas igualdades muestra que la afirmación tiene lugar.
Supongamos ahora que para los vectores u y v se verifica la igualdad
¢u ˜ v²2 = ¢u ˜ u²¢v ˜ v²
Si v = ‡, los vectores son colineales. Sin embargo, si v z ‡, entonces, al tomar
u ˜v
a=
y teniendo presente la ecuación anterior, obtenemos ¢u - av ˜ u - av² = 0.
v˜v
En vista del axioma 1 de la definición, esto significa que u ± av = ‡, o bien u = av,
es decir, los vectores u y v son colineales.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
267
En muchas aplicaciones se desea descomponer un vector u en una adición de dos
sumandos, uno paralelo a un vector específico diferente de cero v y el otro
perpendicular a v. Si u y v se colocan de modo que sus puntos iniciales coincidan en
un punto Q, entonces es posible descomponer el vector u como sigue: Trazar una
perpendicular desde la punta de u hasta la recta que pasa por v, y obtener el vector w
que va de Q al pie de esta perpendicular. Luego, forma la diferencia u ± w
Como se puede ver en la figura, el vector w es paralelo a v, el vector u ± v es
perpendicular a v, y w + (u ± w) = u.
El vector w se denomina proyección ortogonal de u sobre v, o algunas veces se le
conoce como, componente vectorial de u a lo largo de v. Se denotará por Pr oyv u .
El vector u ± w se denomina componente vectorial de u ortogonal a v. Como se tiene
u ± w, este vector se puede escribir como u w u Pr oyv u .
Sean w Pr oyv u y u w u Pr oyv u . Como w es paralelo a v, debe ser un
múltiplo escalar de v, de modo que se puede escribir en la forma w = Ov. Así
u = w + (u ± w) = Ov + u ± w
Tomando el producto interior en ambos miembros de esta ecuación con v, se obtiene
¢u ˜ v² ¢Ov u w ˜ v² O v
2
¢u w ˜ v²
Pero ¢u - w ˜ v² = 0, ya que u ± w es perpendicular a v; de modo que se produce
¢ u ˜ v²
O
2
v
Como Pr oyv u w Ov , se obtiene
Pr oyv u
¢ u ˜ v²
v
2
v
¢ u ˜ v²
v
¢v ˜ v²
D E F IN I C I O N 6.1.6
Sean u y v vectores de un espacio euclídeo V, de modo que v z ‡.
Entonces, la proyección perpendicular de u sobre v está definida por
¢ u ˜ v²
Pr oyv u
v.
¢ v ˜ v²
E J E M P L O 6.1.14
Determine la proyección ortogonal de f(x) = 2 + 3x2 sobre g(x) = 1 + 3x ± x2.
SO L U C I O N
Si f(x) = a0 + a1x + a2x2 y g(x) = b0 + b1x + b2x2, entonces el producto interior
canónico se establece por ¢f ˜ g² = a0b0 + a1b1 + a2b2. Para determinar la proyección
¢ f ˜ g²
g , es decir:
ortogonal de f(x) sobre g(x), debemos utilizar Pr oyg f
¢ g ˜ g²
Pr oyg f
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
2 3x 2 ˜1 3x x 2
2
1 3x x ˜1 3x x
2
(1 3x x 2 )
23
(1 3x x 2 )
1 9 1
JOE GARCIA ARCOS
268
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
1
1 3
1
(1 3x x 2 ) x x 2 . ’
11
11 11
11
E J E M P L O 6.1.15
Para todo par de vectores u, v de un espacio vectorial euclídeo V, los vectores v y
u ± Proyvu son ortogonales.
SO L U C I O N
Usaremos las propiedades correspondientes al producto interno real:
u ˜v
¢u ˜ v²
¢u ˜ v²
¢v ˜ u Pr oyv u²
v ˜u v ¢ v ˜ u² v ˜
v ¢ v ˜ u² ¢v ˜ v²
¢v ˜ v²
¢v ˜ v²
¢v ˜ v²
¢v ˜ u² ¢u ˜ v² 0 . ’
% CALCULO DE LA PROYECCION DE VECTORES clc;;clear;; fprintf('\n PROYECCION DE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: ');; fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :');; end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :');; end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end fprintf('EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') numerador=u*v' denominador=v*v' fprintf('LA PROYECCION DEL VECTOR u SOBRE v ES:\n') w=((u*v')/(v*v')*v) PR O B L E M AS
6.1.1 En los siguientes problemas, determine en cada
caso, si ¢u ˜ v² es un producto interior en ƒn, si ¢u ˜ v² está
definido por la fórmula que se da. En caso contrario, decir
cuáles son los axiomas que no se cumplen:
a.- ¢u ˜ v²
b.- ¢u ˜ v²
n
n
n
i 1
i 1
i 1
¦ (ui vi )2 ¦ ui2 ¦ vi2 ;
n
¦ ui vi
;
c.- ¢u ˜ v²
i 1
d.- ¢u ˜ v²
n
¦ ui2vi2 ;
e.- ¢u ˜ v²
i 1
n
n
i 1
j 1
¦ ui
i 1
vi .
6.1.2 Encuentre ¢5u - 2v ˜ 2u + 3v², dado que
¢u ˜ u² = - 10, ¢u ˜ v² = - 8 y ¢v ˜ v² = - 3.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
2
§ n
· § n
·§ n
·
a.- ¨ ¦ ui vi ¸ d ¨ ¦ ui2 ¸¨ ¦ vi2 ¸ ;
©i 1
¹ © i 1 ¹© i 1 ¹
2
¦ ui ¦ v j ;
n
6.1.3 Utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz
demuestre las siguientes desigualdades:
§ n
· § n
·§ n 1 ·
b.- ¨ ¦ ui vi ¸ d ¨ ¦ O i ui2 ¸¨ ¦ vi2 ¸ .
©i 1
¹ ©i 1
¹© i 1 O i ¹
6.1.4 Describa los vectores u  ƒ2 que son ortogonales
al vector (-2, 5). Verifique que éstos son los puntos de una
recta que pasa por el origen.
6.1.5 Demuestre que la igualdad en la desigualdad
triangular se tiene si y sólo si uno de los vectores es un
múltiplo no negativo del otro vector.
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
269
6.1.6 Demuestre que en ƒ2 un producto interior puede ser
dado por la fórmula
¢u ˜ v² au1v1 bu1v2 bu2v1 cu2v2
si, y solamente si, a > 0 y ac > b2 simultáneamente.
6.1.10 ¿Qué es el producto interior de dos vectores en ƒ?
¿Cómo se ve la desigualdad de Cauchy-Schwarz para
vectores en ƒ? ¿En qué casos se tiene la igualdad en esta
desigualdad para vectores en ƒ?
6.1.7
¿Forma el conjunto de todos los vectores
geométricos un espacio euclídeo si el producto interior de
dos vectores arbitrarios u y v se define como el producto de
la longitud del vector u y la producción triplicada del
vector v por el sentido del vector u?
6.1.11 Encuentre ¢2u + v ˜ 3u ± 2v², dado que
¢u ˜ u² = 14, ¢u ˜ v² = 15 y ¢v ˜ v² = 11.
6.1.8 En el espacio vectorial de todos los polinomios
reales, determinar si ¢f ˜ g² es o no un producto interior
cuando se define ¢f ˜ g² con la fórmula que se da:
1
a.- ¢ f ˜ g ²
³ 0 f ( x) g ( x) dx
b.- ¢ f ˜ g ²
³ 0 f ( x) dx ³ 0 g ( x) dx
c.- ¢ f ˜ g ²
d.- ¢ f ˜ g ²
1
;
1
;
lim
1
6.1.13 Use la desigualdad de Cauchy-Schwarz para
probar que si x1, x2, ..., xn son números reales cualesquiera,
entonces
1
n
¦ xi
d
n
¦ xi2
n i 1
i 1
y que la igualdad se da si y sólo si todos los xi son iguales.
1
³ 0 f ´( x) g´( x) dx ;
t of t
6.1.12 Sean u, v dos vectores en ƒn y ±u, -v sus inversos
aditivos. Demuestre que:
a.- Proy-uv = Proyuv;
b.- Proyu(-v) = -Proyuv.
Verifique este resultado con los vectores
u = (2, -3), v = ( 3, 1).
t
³ 0 f ( x) g ( x) dx .
6.1.9 Sean v, u1, u2, ..., uk, k + 1 vectores en ƒ. Si u = u1 +
u2 + ... + uk. Demuestre que
Proyvu = Proyvu1 + Proyvu2 + ... + Proyvuk
Verifique este resultado con los vectores
u1 = (1, 1), u2 = (3, -2), v = (2, 3).
6.2 ESP A C I OS V E C T O RI A L ES H E R M I T I C OS
En esta sección se definirán productos interiores sobre espacios vectoriales complejos usando como axiomas
las propiedades del producto interior euclidiano sobre C n.
En este momento surge la necesidad de considerar vectores de proyecciones
complejas. A primera vista parece natural tomar de nuevo la expresión del
producto interior de vectores con coordenadas reales para el producto interior de
vectores con coordenadas complejas a 1, a 2, ..., a k y b1, b2, ..., bk.
En algunos casos se procede precisamente de este modo. El espacio que así
resulta se denomina espacio vectorial hermítico. Por desgracia, el producto
interior pierde entonces muchas propiedades importantes. Para evitar este
inconveniente, en lugar de la expresión
¢u ˜ v² = a 1b1 + a 2b2 + ... + a kbk
se toma como definición del producto interior de vectores complejos la expresión
u ˜ v a1 b1 a2 b2 ... ak bk
donde la raya superior significa que ha de pasarse a los números complejos
conjugados. En el caso en que los vectores u y v sean reales, tenemos bi bi y la
expresión del producto interior de vectores complejos coincide con la expresión del
producto interior de vectores reales. Por consiguiente, la nueva definición es una
generalización de la anterior.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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270
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
D E F IN I C I O N 6.2.1
Un espacio vectorial complejo V se denomina espacio vectorial hermítico,
si a todo par de vectores, u, v de V se le ha puesto en correspondencia un
número complejo ¢ ˜ ², llamado producto interior, considerándose cumplidos
los siguientes axiomas:
1.- Para todo vector u de V, entonces se cumple la positividad:
¢u ˜ u² > 0 cuando u z ‡.
2.- Para todo par de vectores u, v de V, se cumple la conmutatividad:
u ˜v
v ˜u .
3.- Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar complejo k,
se cumple la homogeneidad:
¢ku ˜ v² = k¢u ˜ v².
4.- Para todo trío de vectores u, v, w de V, se cumple la distributividad:
¢u ˜ v + w² = ¢u ˜ v² + ¢u ˜ w².
El axioma u ˜ v
v ˜ u muestra que las propiedades del espacio vectorial
hermítico difieren, en general, de las propiedades del espacio vectorial euclídeo. No
obstante, estas diferencias son de poca importancia. En todo caso, el espacio
hermítico se aproxima más por sus propiedades al espacio euclídeo. En el caso en
que el espacio vectorial está definido en los reales, el espacio hermítico se denomina
espacio euclídeo. En este caso la expresión v ˜ u coincide con la expresión ¢u ˜ v² y
el axioma 2 adquiere una forma más sencilla:
¢u ˜ v² = ¢v ˜ u².
Nótese también que en la definición de los espacios hermíticos no se exige que el
espacio sea de dimensión finita. Por esto cabe hablar también de espacios
hermíticos de dimensión infinita. Aun cuando algunas propiedades de los
espacios hermíticos no dependen de la dimensión de los mismos, nos limitaremos
a considerar, mientras que no se diga lo contrario, solamente espacios vectoriales
de dimensión finita.
T E O R E M A 6.2.1
Para todo par de vectores u, v de V y para todo escalar complejo k se
cumple
u ˜ kv k u ˜ v .
D E M OST R A C I O N
Para demostrar este teorema, utilizamos los axiomas 2 y 3 de la definición de
espacio hermítico:
¢u ˜ kv² = kv ˜ u
axioma 2
= k v ˜u
axioma 3
= k ¢u ˜ v²
axioma 2
T E O R E M A 6.2.2
Dado (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial hermítico, entonces para cualesquiera
par de vectores, de V es válida la desigualdad de Cauchy - Schwartz:
~¢u ˜ v²~2 d ¢u ˜ u² ¢v ˜ v².
La demostración es análoga a la del caso real.
EJ E M P L O 6.2.1
Para todo par de vectores u, v de un espacio vectorial hermítico V, el vector v y
u ± Proyvu son ortogonales.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
271
SO L U C I O N
Usaremos las propiedades correspondientes al producto interno complejo:
¢u ˜ v²
¢u ˜ v²
¢u ˜ v²
¢v ˜ u Pr oyv u²
v˜u v ¢v ˜ u² v ˜
v ¢v ˜ u² ¢v ˜ v²
¢v ˜ v²
¢v ˜ v²
¢ v ˜ v²
¢v ˜ u² ¢u ˜ v² ¢v ˜ u² ¢v ˜ u²
0. ’
EJ E M P L O 6.2.2
Si u = (2, 4, 1 + i), v = (1 - i, 2, 3i), hallar un vector no nulo w de un espacio
hermítico V, ortogonal simultáneamente a u y v.
SO L U C I O N
Debemos encontrar un vector w tal que ¢u ˜ w² = 0 y ¢v ˜ w² = 0. Es decir:
¢u ˜ w² = ¢(2, 4, 1 + i) ˜ (a, b, c)² = 2a + 4b + (1 - i)c = 0;
¢v ˜ w² = ¢(1 ± i, 2, 3i) ˜ (a, b, c)² = (1 + i)a + 2b ± 3ic = 0.
Resolvemos el sistema de ecuaciones homogéneo y obtenemos:
§ 2 4 1 i 0 · § 2 4 1 i 0 · § 2i 0 1 5i 0 ·
¨¨
¸ | ¨¨
¸.
¸ | ¨¨
©1 i 2 3i 0 ¹ © 0 2i 1 3i 0 ¹ © 0 2i 1 3i 0 ¹
Por lo tanto w = (5 ± i, 3 ± i, 2). ’
EJ E M P L O 6.2.3
Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de un espacio hermítico V se
cumple la siguiente identidad
uv
2
u v
2
2¢u ˜ v² 2¢u ˜ v² .
SO L U C I O N
Descomponemos || u + v ||2 y || u - v ||2 en función del producto interior:
uv
2
u v˜u v
u ˜u u ˜v v˜u v˜v
u ˜ u u ˜ v ¢u ˜ v² v ˜ v ;
u v
2
u v ˜u v
u ˜u u ˜v v ˜u v ˜v
u ˜ u u ˜ v ¢u ˜ v² v ˜ v .
Restamos estas dos expresiones y obtenemos el resultado buscado:
uv
2
u v
2
2¢u ˜ v² 2¢u ˜ v² . ’
EJ E M P L O 6.2.4
Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de un espacio hermítico V, la
suma ¢u ˜ v² ¢u ˜ v² es real.
SO L U C I O N
Del problema anterior tenemos:
uv
2
1
2
uv uv
2
Lo cual implica que ¢u ˜ v² ¢u ˜ v² es un número real. ’
2
2¢u ˜ v² 2¢u ˜ v²
uv
2
.
De donde
¢u ˜ v² ¢u ˜ v²
.
EJ E M P L O 6.2.5
Si u y v son vectores no nulos de un espacio hermítico V, demostrar que
¢ u ˜ v ² ¢ u ˜ v²
2 d
d 2.
|| u || || v ||
SO L U C I O N
Sabemos que
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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272
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
(1) Cos(u, v)
¢ u ˜ v²
¢ u ˜ v²
con 1 d
d1 ;
|| u || || v ||
|| u || || v ||
¢ v ˜ u²
¢u ˜ v²
¢ u ˜ v²
con 1 d
d1 .
|| u || || v || || u || || v ||
|| u || || v ||
Sumando estas dos expresiones, obtenemos:
¢v ˜ u²
¢u ˜ v²
¢v ˜ u² ¢u ˜ v²
.
Cos(u, v) Cos(v, u ) 2Cos(u, v)
|| u || || v || || u || || v ||
|| u || || v ||
Donde
¢v ˜ u² ¢u ˜ v²
2 Cos(u, v)
|| u || || v ||
con
¢ u ˜ v ² ¢ u ˜ v²
2 d
d 2.
|| u || || v ||
Lo cual demuestra la identidad. ’
(2) Cos(v, u )
EJ E M P L O 6.2.6
Definimos el ángulo T formado por dos vectores no nulos u y v de un espacio
hermítico V mediante la identidad
¢u ˜ v² ¢u ˜ v²
0 ArcCos
.
2 || u || || v ||
SO L U C I O N
En el problema anterior se demostró que
¢v ˜ u² ¢u ˜ v²
2 Cos(u, v) 2 CosT
|| u || || v ||
De donde
¢ v ˜ u ² ¢ u ˜ v²
¢ v ˜ u ² ¢ u ˜ v²
CosT
Ÿ T ArcCos
.
2 || u || || v ||
2 || u || || v ||
Con lo cual queda demostrada la identidad. ’
PR O B L E M AS
6.2.1
Sean u = (a, b) y v = (c, d). Demuestre que
¢u ˜ v² 3ac 2bd define un producto interior sobre C 2.
6.2.2 Calcular ¢u ˜ v² usando el producto interior
¢u ˜ v² 3ac 2bd :
a.- u = (2i, -i), v = (-i, 3i);
b.- u = (1 + i, 1 - i), v = (1 ± i, 1 + i);
c.- u = (3i, -1 + 2i), v = (3i, -1 ± 2i).
6.2.3 Sean u = (a, b) y v = (c, d). Determine cuáles de las
siguientes expresiones son productos interiores sobre C 2.
Para las que no lo sean, enumerar los axiomas que no se
cumplen:
a.- ¢u ˜ v² 2ac iad iba 2bd ;
2
2
2
2
b.- ¢u ˜ v²
a c b d ;
c.- ¢u ˜ v²
ac bd ;
d.- ¢u ˜ v² 2ac iad iba 2bd .
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
6.2.4 Demuestre que en un espacio hermítico se cumple
la siguiente identidad:
1ª
2
2
2
2
¢u ˜ v²
u v u v i u iv i u iv º
¼
4¬
6.2.5 Sea C 3 con el producto interior hermético.
Demuestre que para todos los valores de T el vector
§ i
1 1 ·
u e iT ¨
,
,
¸ tiene norma 1 y es ortogonal a
3
3 3¹
©
(1, i, 0) y a (0, i, -i).
6.2.6 Sea C 3 con el producto interior hermético. Usando
el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base {(i, i, i),
(-i, i, 0), (i, 2i, i)} en una base ortonormal.
6.2.7 Sean u = (a, b) y v = (c, d). Demuestre que
¢u ˜ v² ac (1 i ) ad (1 i )bc 3bd
define un producto interior sobre C 2.
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
273
4
6.2.8 Demuestre que si k es un número complejo y
¢u
˜ v² es un producto interior sobre un espacio vectorial
complejo, entonces:
a.- ¢u kv ˜ u kv² ¢u ˜ u² k ¢u ˜ v² k ¢u ˜ v² k k ¢v ˜ v² ;
6.2.13 Sea C con el producto interior hermético. Usando
el proceso de Gram-Schmidt, transformar la base
{(0, 2i, i, 0), (i, -i, 0, 0), (i, 2i, 0, -i), (i, 0, i, i)} en una base
ortonormal.
b.- 0 d ¢u ˜ u² k ¢u ˜ v² k ¢u ˜ v² k k ¢v ˜ v² .
6.2.14 Demuestre que si {v1, v2 « vk} es una base
ortonormal para un espacio V con producto interior
complejo y si u y v son vectores cualesquiera en V,
entonces
¢u ˜ w² ¢u ˜ v1 ²¢ w ˜ v1 ² ... ¢u ˜ vk ²¢ w ˜ vk ²
6.2.9 Use el producto interior
¢ A ˜ B² a1 b1 a2 b2 a3 b3 a4 b4
para encontrar ¢A ˜ B² si
§ i 1 i ·
§ 3 2 3i ·
A ¨
¸ y B ¨
¸.
i ¹
1 ¹
©1 i
© 4i
6.2.10 Sean u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3).
¿ ¢u ˜ v² u1 v1 u2 v2 u3 v3 u4 v4 define un producto
interior sobre C 3? En caso de no serlo, enumerar los
axiomas que no se cumplan.
6.2.11
Sea C 4 con el producto interior hermético.
Expresar w = (-i, 2i, 6i, 0) en la forma w = w1 + w2, donde
el vector w1 está en el espacio W generado por u1 = (-i, 0,
i, 2i) y u2 = (0, i, 0, i) y w2 es ortogonal a W.
6.2.12 Sea C 3 con el producto interior hermético.
Encontrar una base ortonormal para el subespacio generado
por
(0, i, 1 - i) y (-i, 0, 1 + i).
6.2.15 Demuestre que si f = f1(x) + if2(x) y g = g1(x) +
ig2(x) son vectores en el espacio complejo C[a; b],
entonces
¢ f ˜ g²
b
³a > f1 (0) if 2 (0)@> g1 (0) ig2 (0)@ dx
define un producto interior complejo sobre C[a; b].
6.2.16 Sea V es espacio vectorial de las funciones con
valores complejos de la variable real x, y sean
f = f1(x) + if2(x) y g = g1(x) + ig2(x)
son vectores en V. ¿La expresión
¢ f ˜ g²
> f1 (0) if 2 (0)@> g1 (0) ig2 (0)@
define un producto interior sobre V? En caso de no serlo,
enumerar todos los axiomas que no se cumplan.
6.3 N O R M A, DIST A N C I A Y A N G U L O E N T R E V E C T O R ES
En esta sección se definirá el concepto de longitud y distancia entre dos vectores y el ángulo entre dos vectores en
un espacio con producto interior, y esta idea se usará para obtener algunas relaciones básicas entre vectores en
un espacio con producto interior.
La longitud de un vector u a menudo se denomina norma de u y se denota por u .
De acuerdo con el teorema de Pitágoras se concluye que la norma de un vector
u = (a, b) en el espacio bidimensional es
u
a 2 b2 .
Sea u = (a, b, c) un vector en el espacio tridimensional. Usando la figura y dos
aplicaciones del teorema de Pitágoras se obtiene
u 2 ( OR)2 ( RP)2 ( OQ )2 ( OS )2 ( RP)2 a 2 b2 c 2
Así
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274
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
a 2 b2 c 2 .
u
D E F IN I C I O N 6.3.1
Sea (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial euclídeo. Se define la norma o longitud
del vector u de V, representada por, al número real no negativo
u
¢u ˜ u ² .
De esta definición se ve directamente que el vector nulo es el único vector cuya
longitud es igual a cero. Un vector de norma 1 se denomina vector unitario.
D E F IN I C I O N 6.3.2
Un vector de V es un vector unitario si tiene magnitud 1. Dado cualquier
vector distinto de cero u de V, un vector unitario con la misma dirección
que u está dado por
1
u.
u
EJ E M P L O 6.3.1
Dado p(x) = 2 ± 3x + 4x2 un polinomio en „2. Determine || p ||.
SO L U C I O N
Si p(x) = a0 + a1x + a2x2 y q(x) = b0 + b1x + b2x2, entonces el producto interior
canónico se establece por ¢p ˜ q² = a0b0 + a1b1 + a2b2. Por lo tanto
p
(2)(2) (3)(3) (4)(4)
4 9 16
29 . ’
EJ E M P L O 6.3.2
§1 0 3·
Sea la matriz A ¨
¸ . Use el producto interior canónico para determinar
©5 9 7¹
A .
SO L U C I O N
§a b
Si A ¨
©d e
c·
§ a1 b1 c1 ·
¸ , entonces el producto interior canónico se
¸ y B ¨
f¹
© d1 e1 f1 ¹
establece por ¢A ˜ B² = aa1 + bb1 + cc1 + dd1 + ee1 + ff1. Por lo tanto
A
(1)(1) (0)(0) (3)(3) (5)(5) (9)(9) (7)(7)
1 0 9 25 81 49 165 . ’
EJ E M P L O 6.3.3
Sea f(x) = exSenx una función definida en el intervalo -S d x d S. Determine || f ||.
SO L U C I O N
Como f(x) está definida en el intervalo -S d x d S, entonces para poder determinar la
norma de esta función debemos aplicar lo siguiente
f
S
³S f
2
( x) dx
S
³S e
2x
Sen2 x dx
2e S e 4S 1
. ’
4
EJ E M P L O 6.3.4
4 ·
§ 1 i 2i
Sea la matriz A ¨
¸ . Use el producto interior canónico para
© 1 1 i 2 i ¹
determinar A .
SO L U C I O N
El producto interior canónico se establece por
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
275
A˜B
Por lo tanto
A
a a1 bb1 c c1 d d1 e e1 f f1 .
(1 i )(1 i ) 2i (2i ) 4 ˜ 4 1˜1 (1 i )(1 i ) (2 i )(2 i )
1 i 2 4i 2 16 1 1 i 2 4 i 2
30 . ’
EJ E M P L O 6.3.5
Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en ƒ4. ¿Para qué valor de k los vectores u = ke1
+ ke2 ± e3 ± ke4 y v = e1 ± e2 + ke3 ± e4 tienen igual longitud?
SO L U C I O N
Como el espacio vectorial es ƒ4, entonces
e1 = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 = (0, 0, 0, 1),
entonces u = (k, k, -1, -k) y v = (1, -1, k, -1). Para que u y v tengan igual longitud,
u
v . Es decir
u
v
k 2 k 2 1 k 2
( k , k , 1, k ) ˜ ( k , k , 1, k )
(1, 1, k , 1) ˜ (1, 1, k , 1)
1 1 k 2 1
k2 3
igualamos las dos ecuaciones 3k2 + 1 = k2 + 3 y obtenemos k = r 1. ’
T E O R E M A 6.3.1
Sea (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial euclídeo. La norma, definida a partir de un
producto interno en un espacio vectorial real V, tiene las siguientes
propiedades:
1.- Para todo u  V, || u || > 0 y || u || = 0 si y sólo si u = ‡. Positividad.
k u .
2.- Para todo u  V y para todo escalar real k, entonces ku
Homogeneidad.
3.- Para todo u, v  V, entonces || u + v || d || u || + || v ||. Desigualdad
triangular.
D E M OST R A C I O N
1.- Si u = (a1, a2, ..., ak), entonces
|| u || =
u ˜u
a12 a22 ... ak2 > 0
u ˜u
02 02 ... 02
Si u = (0, 0, ..., 0), entonces
|| u || =
2.-
ku
ku ˜ ku
k u ˜ ku
k ku ˜ u
k2 u ˜u
0
rk
u ˜u
k u .
3.- || u + v || = ¢u + v ˜ u + v²
= ¢u ˜ u + v² + ¢v ˜ u + v²
= ¢u ˜ u² + 2¢u ˜ v² + ¢v ˜ v²
2
d ¢u ˜ u² + 2
2
u ˜u
v˜v
+ ¢v ˜ v²
2
= || u || + 2|| u || || v || + || v ||
= (|| u || + || v ||)2.
Por lo tanto || u + v || d || u || + || v ||.
EJ E M P L O 6.3.6
Sean los vectores u = (3, -2, 4) y v = (1, 9, 3) de ƒ3. Verifique la desigualdad
triangular con el producto interior definido por ¢u ˜ v² = a1b1 + 2a2b2 + 3a3b3 + a2b1 +
a1b3 + 2a2b3.
SO L U C I O N
Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || u + v || d || u || + || v ||.
u
(3, 2, 4)
¢(3, 2, 4) ˜ (3, 2, 4)²
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276
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
3 ˜ 3 2(2)(2) 3 ˜ 4 ˜ 4 (2) ˜ 3 3 ˜ 4 2 ˜ (2) ˜ 4
v
¢(1, 9, 3) ˜ (1, 9, 3)²
(1, 9, 3)
55
1˜1 2 ˜ 9 ˜ 9 3 ˜ 3 ˜ 3 9 ˜1 1 ˜ 3 2 ˜ 9 ˜ 3 16
;
uv
(3, 2, 4) (1, 9, 3)
¢(4, 7, 7) ˜ (4, 7, 7)²
(4, 7, 7)
4 ˜ 4 2 ˜ 7 ˜ 7 3˜ 7 ˜ 7 7 ˜ 4 4 ˜ 7 2 ˜ 7 ˜ 7
Por lo tanto
415
415 d 55 16 . ’
EJ E M P L O 6.3.7
§1 3 5·
§5 2 1·
Sean las matrices A ¨
¸ y B ¨
¸ . Verifique la desigualdad
© 2 4 6¹
© 4 3 2¹
triangular utilizando el producto interior canónico.
SO L U C I O N
Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || A + B || d || A || + || B ||.
§1 3 5·
¨
¸
© 2 4 6¹
A
§1 3 5· §1 3 5·
¨
¸˜¨
¸
© 2 4 6¹ © 2 4 6¹
1˜1 3 ˜ 3 5 ˜ 5 2 ˜ 2 4 ˜ 4 6 ˜ 6
§5 2 1·
¨
¸
© 4 3 2¹
B
91 ;
§5 2 1· §5 2 1·
¨
¸˜¨
¸
© 4 3 2¹ © 4 3 2¹
5 ˜ 5 2 ˜ 2 1˜1 4 ˜ 4 3 ˜ 3 2 ˜ 2
§ 1 3 5· § 5 2 1·
¨
¸¨
¸
© 2 4 6¹ © 4 3 2¹
A+B
59 ;
§ 6 5 6·
¨
¸
©6 7 8¹
6˜ 6 5˜5 6˜ 6 6˜ 6 7 ˜ 7 8˜8
Por tanto
246 .
246 d 91 59 . ’
EJ E M P L O 6.3.8
Sean las funciones f(x) = Senx y g(x) = Cosx definidas en C[-S; S]. Compruebe la
desigualdad triangular.
SO L U C I O N
Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos f g d f g .
2
S
2
Senx
¢ Senx ˜ Senx²
³ S Sen
g
Cosx
¢ Cosx ˜ Cosx²
³ S Cos
f g
Senx Cosx
S
x dx
x dx
S;
S;
¢ Senx Cosx ˜ Senx Cosx²
³ S (Senx Cosx)
Por tanto
S
f
2
dx
2S ;
2S d 2 S . ’
EJ E M P L O 6.3.9
3 ·
§ 1 2i 2 i
§ 2 i 1 i i ·
Sean las matrices A ¨
¸ y B ¨
¸ . Verifique
4
3
i
1
2
5
i
©
¹
©1 3i 2 3i i ¹
la desigualdad triangular utilizando el producto interior canónico.
SO L U C I O N
Para verificar la desigualdad triangular, comprobaremos || A + B || d || A || + || B ||:
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
277
3 ·
§ 1 2i 2 i
¨
¸
4
3
i
1
2
5i ¹
©
A
3 · § 1 2i 2 i
3 ·
§ 1 2i 2 i
¨
¸˜¨
¸
4
3
i
1
2
5
i
4
3
i
1
2
5i ¹
©
¹ ©
(1 2i )(1 2i ) (2 i )(2 i ) (3)(3) (4 3i)(4 3i) (1)( 1) (2 5i)(2 5i )
1 4i 2 4 i 2 9 16 9i 2 1 5 25i 2
B
§ 2 i 1 i i ·
¨
¸
©1 3i 2 3i i ¹
75 ;
§ 2 i 1 i i · § 2 i 1 i i ·
¨
¸˜¨
¸
©1 3i 2 3i i ¹ ©1 3i 2 3i i ¹
(2 i )(2 i ) (1 i )(1 i ) (i )(i ) (1 3i )(1 3i ) (2 3i )(2 3i ) (i )(i )
4 i 2 1 i 2 i 2 1 9i 2 4 9i 2 i 2
A+B
32 ;
3 · § 2 i 1 i i ·
§ 1 2i 2 i
¨
¸¨
¸
© 4 3i 1 2 5i ¹ ©1 3i 2 3i i ¹
§ 3 i 3 2i 3 i ·
¨
¸
© 5 6i 1 3i 2 4i ¹
9 i 2 9 4i 2 9 i 2 25 36i 2 1 9i 2 4 16i 2
2 31 ;
Por tanto 2 31 d 75 32 . ’
T E O R E M A 6.3.2
Dos vectores son ortogonales si y sólo si || u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2.
D E M OST R A C I O N
|| u + v ||2 = ¢u + v ˜ u + v² = ¢u ˜ u² + ¢u ˜ v² + ¢v ˜ u² + ¢v ˜ v²
= ¢u ˜ u² + 2¢u ˜ v² + ¢v ˜ v²
= ¢u ˜ u² + ¢v ˜ v² por definición de ortogonalidad
= || u ||2 + || v ||2.
% CALCULO DE LA NORMA DE UN VECTOR clc;;clear;; fprintf('\n NORMA DE UN VECTOR \n') col=input('Ingrese la dimension del vector: ');; fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :');; end %end fprintf('El VECTOR u es:\n') u end fprintf('LA NORMA DEL VECTOR u ES:\n') NORMA=sqrt(u*u') D E F IN I C I O N 6.3.3
Un espacio vectorial V en el que hay definida una norma se denomina
espacio vectorial normado.
Si P(a, b, c) y Q (x, y, z) son dos puntos en el espacio tridimensional, entonces la
distancia d(P, Q ) entre los puntos es la norma de Q ± P.
Ya que
Q ± P = (x ± a, y ± b, z ± c)
Es decir
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278
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
d ( P, Q )
( x a )2 ( y b)2 ( z c )2 .
D E F IN I C I O N 6.3.4
Se denomina distancia d(u, v) entre los vectores u y v de un espacio
vectorial euclídeo, a la magnitud
d (u, v) u v .
El hecho de disponer de una norma en un espacio vectorial implica que se puede
dotar automáticamente a éste de estructura de espacio métrico; no se piense, sin
embargo, que la única forma de obtener un espacio métrico es a partir de una norma;
obsérvese, en este sentido, que para dotar a un conjunto de una métrica no se precisa
que dicho conjunto tenga estructura algebraica alguna. Obsérvese nuevamente que
esta definición hace perfecto sentido en cualquier espacio con producto interno.
D E F IN I C I O N 6.3.5
Se denomina distancia d(P, Q ) entre los conjuntos P y Q de vectores de un
mismo espacio la magnitud
d ( P, Q )
inf d ( P, Q ) .
u  P , v Q
T E O R E M A 6.3.3
Sea (V, ¢ ˜ ²) un espacio vectorial euclídeo, la distancia d(u, v) entre los
vectores u, v de V satisface los siguientes axiomas:
1.- Para todo u, v  V, d(u, v) > 0 cuando u z v y d(u, v) = 0 si y sólo si
u = v.
2.- Para todo u, v  V, d(u, v) = d(v, u).
3.- Para todo u, v, w  V, d(u, v) d d(u, w) + d(w, v).
D E M OST R A C I O N
1.- Para todo u = (a1, a2, ..., ak), v = (b1, b2, ..., bk)  V, donde ai z bi, entonces
d(u, v) = || u ± v || =
=
u v ˜u v
( a1 b1 )2 ( a2 b2 )2 ... ( ak bk )2 > 0
Para u = (a1, a2, ..., ak), v = (b1, b2, ..., bk)  V, donde ai = bi, entonces
d(u, v) = || u ± v || =
u v ˜u v =
( a1 b1 )2 ( a2 b2 )2 ... ( ak bk )2 = 0.
2.- d(u, v) = || u ± v || = || -(v ± u) || = | -1 | || v ± u || = d(v, u).
3.- d(u, v) = || u ± v || = || u ± v + w ± w || = || (u ± w) + (w ± v) ||
d || u ± w || + || w ± v || = d(u, w) + d(w, v).
EJ E M P L O 6.3.10
Determine la distancia entre las funciones f(x) = Senx y g(x) = Cosx definidas en
C[-S; S].
SO L U C I O N
Para determinar la distancia entre las funciones f(x) y g(x), debemos calcular d(f, g) =
|| f ± g ||:
f g
Senx Cosx
¢ Senx Cosx ˜ Senx Cosx²
S
³ S (Senx Cosx)
2
dx
2S . ’
EJ E M P L O 6.3.11
Demostrar que entre todos los vectores u ± v, donde u es un vector dado y v recorre
el espacio dado V, tiene la longitud mínima el vector u ± w, donde w es la proyección
ortogonal de u sobre V.
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
279
SO L U C I O N
Desarrollamos lo siguiente:
u v
2
(u w) (w v)
2
uw
2
wv
2
t uw
2
donde la igualdad es posible sólo para v = w. ’
EJ E M P L O 6.3.12
Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de V, se cumple la identidad
uv
2
u
2
v
2
¢u ˜ v² ¢u ˜ v² .
SO L U C I O N
Descomponiendo || u + v ||2 en función del producto interior, obtenemos:
uv
2
¢u v ˜ u v²
¢u ˜ u² ¢u ˜ v² ¢v ˜ u² ¢v ˜ v²
¢u ˜ u² ¢u ˜ v² ¢u ˜ v² ¢u ˜ v²
u
2
v
2
¢u ˜ v² ¢u ˜ v² .
Con esto queda demostrada la identidad propuesta. ’
EJ E M P L O 6.3.13
Demostrar que para dos vectores cualesquiera u y v de V, se cumple la identidad
|| u + v ||2 + || u ± v ||2 = 2|| u ||2 + 2|| v ||2
SO L U C I O N
Descomponiendo || u + v ||2 y || u ± v ||2 en función del producto interior, obtenemos:
|| u + v ||2 = ¢u + v ˜ u + v²
= ¢u ˜ u² + ¢u ˜ v² + ¢v ˜ u² + ¢v ˜ v²
= || u ||2 + || v ||2 + ¢u ˜ v² + ¢v ˜ u²
2
|| u ± v || = ¢u - v ˜ u - v²
= ¢u ˜ u² - ¢u ˜ v² - ¢v ˜ u² + ¢v ˜ v²
= || u ||2 + || v ||2 - ¢u ˜ v² - ¢v ˜ u²
Sumamos estas dos expresiones
|| u + v ||2 + || u ± v ||2 = 2|| u ||2 + 2|| v ||2.
Con esto queda demostrada la identidad. ’
T E O R E M A 6.3.4
Sean u y v vectores de un espacio euclídeo V, de modo que v z ‡. Entonces
¢ u ˜ v²
d(u, Proyv u) < d(u, kv), k z
.
¢ v ˜ v²
Sean u y v vectores distintos de cero. Por la desigualdad de Cauchy ± Schwarz,
tenemos
|¢u ˜ v²| d || u || || v || Ÿ - || u || || v || d ¢u ˜ v² d || u || || v ||
es decir,
¢ u ˜ v²
-1d
d1
u v
En consecuencia, podemos encontrar un ángulo M en radianes, de manera que se
cumpla lo siguiente.
% CALCULO DE LA DISTANCIA ENTRE VECTORES clc;;clear;; fprintf('\n DISTANCIA ENTRE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: ');; fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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280
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :');; end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :');; end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v end w=v-­u fprintf('LA DISTANCIA ENTRE LOS VECTORES ES:\n') d=sqrt(w*w.') Sean u y v dos vectores diferentes de cero en el espacio tridimensional, y suponga
que estos vectores se colocan de modo que sus puntos iniciales parten del origen. Por
ángulo entre u y v se entiende el ángulo T determinado por u y v que satisface 0 d T d
S.
Sean u = (a, b, c) y v = (x, y, z) dos vectores diferentes de cero. Si, como se muestra
en la figura, T es el ángulo entre u y v, entonces la ley de los cosenos da
v u
u
2
v
¢u ˜ v²
2
2
u
2
2¢u ˜ v²
u
v
u
2
2
2 u
v
2
v CosT
2 u
v CosT Ÿ CosT
v CosT
¢ u ˜ v²
.
u v
D E F IN I C I O N 6.3.6
Sean u y v dos vectores no nulos del espacio vectorial euclídeo V. Se
denomina coseno del ángulo que forman los vectores u y v, representado
por Cos(u, v), al número real que cumple la igualdad
¢ u ˜ v²
. 0 d ‘ (u, v) d S.
Cos(u, v)
u v
Si ‘ (u, v) = 90°, decimos que u y v son ortogonales. Si entre los vectores u y v
existe al menos uno no nulo, el ángulo formado por tales vectores se considera
indeterminado.
EJ E M P L O 6.3.14
En el espacio de cuatro dimensiones se dan dos planos, engendrados por los vectores
del sistema S y S1. Entre los ángulos formados por los vectores del primer plano con
los vectores del segundo plano, hallar el mínimo:
a.- S = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, S1 = {(1, 1, 1, 1), (2, -2, 5, 2)};
b.- S = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0)}, S1 = {(1, 1, 1, 1), (1, -1, 1, -1)}.
SO L U C I O N
a.- La proyección del vector (t + 2r, t ± 2r, t + 5r, t + 2r) sobre el primer plano es
(t + 2r, t ± 2r, 0, 0). Por consiguiente
2t 2 8r 2
2 x2 8
Cos 2 T
4t 2 14tr 37 r 2 4 x 2 14 x 37
t
donde x
. Esta expresión alcanza el máximo, igual a 8/9, para x = -4.
r
b.- El ángulo formado por cualquier vector del segundo plano con su proyección
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
281
ortogonal sobre el primer plano queda invariante y es igual a S/4. ’
EJ E M P L O 6.3.15
Sea el espacio euclídeo V, cuyo producto interior está definido de forma usual.
Determine el ángulo entre los vectores
u (1, 3, 5, ..., 2n 1) y v = (1, 0, 0, ..., 0).
SO L U C I O N
Aplicando la definición, obtenemos:
(1, 3, 5, ..., 2n 1) ˜ (1, 0, 0, ..., 0)
Cos(u, v)
1
.
n
|| (1, 3, 5, ..., 2n 1) || || (1, 0, 0, ..., 0) ||
1
ArcCos . ’
n
Por lo tanto ‘(u, v)
EJ E M P L O 6.3.16
Sea S = {e1, e2, e3, e4} la base canónica de ƒ4. Determine el ángulo entre los vectores
u
7e1 5e2 3e3 2e4 y v
7e1 5e2 .
SO L U C I O N
Como S es la base canónica para ƒ4, entonces u ( 7, 5, 3, 2) y
v ( 7, 5, 0, 0) . Por la definición anterior:
( 7, 5, 3, 2) ˜ ( 7, 5, 0, 0)
Cos(u, v)
12
|| ( 7, 5, 3, 2) || || ( 7, 5, 0, 0) ||
Por lo tanto ‘(u, v) = 32,84 °. ’
17 12
12
.
17
EJ E M P L O 6.3.17
La desigualdad 2 d
¢ u ˜ v ² ¢ u ˜ v²
d 2 demuestra que siempre existe un único
u v
ángulo T en el intervalo 0 d T d S que satisface esta igualdad. Demostrar que
|| u ± v ||2 = || u ||2 + || v ||2 - 2|| u |||| v ||CosT
SO L U C I O N
¢ u ˜ v² ¢ u ˜ v²
¢ u ˜ v ² ¢ u ˜ v²
Sabemos que Cos(u, v)
para 2 d
d 2 . Entonces:
2 u v
u v
u v
2
u
2
u
2
v
2
v
2
¢u ˜ v² ¢u ˜ v²
2 u
u
v Cos(u, v)
2
v
u
2
2
(¢u ˜ v² ¢u ˜ v² )
v
2
2 u
v CosT .
Con esto queda demostrada la identidad. ’
EJ E M P L O 6.3.18
Tres vectores u, v, w de V satisfacen lo siguiente:
|| u || = || w || = 5, || v || = 1 y || u ± v + w || = || u + v + w ||.
Si el ángulo que forman u y v es S/8, hallar el que forman v y w.
SO L U C I O N
Sabemos que
u v w
u v w Ÿ ¢v ˜ w² = - ¢u ˜ v².
Como
Cos(u, v)
entonces
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
¢ u ˜ v²
u v
y Cos(v, w)
¢v ˜ w²
v w
¢u ˜ v² 5Cos(u, v) y ¢v ˜ w² 5Cos(v, w) .
JOE GARCIA ARCOS
282
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
De donde
5 Cos(u, v) = -5 Cos(v, w) Ÿ Cos(u, v) = - Cos(v, w).
S
7S
Como ‘(u, v) = , entonces ‘(v, w) =
. ’
8
8
El coseno del ángulo que forman los vectores u y v está comprendido entre ±1 y 1,
alcanzando estos valores extremos únicamente si u y v son linealmente dependientes.
El hecho de que el producto interior sea cero, es una prueba para que dos vectores
sean ortogonales. Esto motiva la definición de que dos vectores son ortogonales si
y sólo si su producto interior es cero. Como el producto interior de cualquier vector
con el vector nulo ‡ es cero, se acostumbra decir que el vector nulo es ortogonal a
cualquier otro vector.
Si los vectores u y v son no nulos y T es el ángulo entre ellos, entonces
a.- T es agudo, si y sólo si ¢u ˜ v² > 0.
b.- T es obtuso, si y sólo si ¢u ˜ v² < 0.
c.- T es S/2, si y sólo si ¢u ˜ v² = 0.
EJ E M P L O 6.3.19
Si u = (3, -i, 2) y v = (1 + i, 1 ± i, 2 + 3i), hallar un vector no nulo w de ƒ3 ortogonal
simultáneamente a u y v.
SO L U C I O N
Como w pertenece a ƒ3, entonces:
¢u ˜ w² = ¢(3, -i, 2) ˜ (a, b, c)² = 3a ± ib + 2c = 0;
¢v ˜ w² = ¢(1 + i, 1 - i, 2 + 3i) ˜ (a, b, c)² = (1 + i)a + (1 ± i)b + (2 + 3i)c = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, generado por las condiciones
anotadas, obtenemos:
i
2 0· § 3
i
2
0 · § 2i 2
0
1
0·
§ 3
¸ |¨
¸.
¨
¸ |¨
2i 2 4 7i 0 ¹
©1 i 1 i 2 3i 0 ¹ © 0 2i 2 4 7i 0 ¹ © 0
Por lo tanto w = (2 + 2i, 6 ± 22i, 8). ’
EJ E M P L O 6.3.20
Si u = (-1, 4, 3) y v = (2, 5, 1), hallar un vector no nulo w de V tal que sean
ortogonales simultáneamente.
SO L U C I O N
Como w pertenece a ƒ3, entonces:
¢u ˜ w² = ¢(-1, 4, 3) ˜ (a, b, c)² = -a + 4b + 3c = 0
¢v ˜ w² = ¢(2, 5, 1) ˜ (a, b, c)² = 2a + 5b + c = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneo, generado por las condiciones
anotadas, obtenemos:
§ 1 4 3 0 · § 1 4 3 0 · §13 0 11 0 ·
¨
¸ |¨
¸ |¨
¸.
© 2 5 1 0 ¹ © 0 13 7 0 ¹ © 0 13 7 0 ¹
Por lo tanto w = (-11, -7, 13). ’
EJ E M P L O 6.3.21
Si u = (7, 4, 5) y v = (-3, 2, -1), hallar los escalares a y b tales que w = au + bv es un
vector no nulo y que w y v sean ortogonales.
SO L U C I O N
Tenemos que
w = a(7, 4, 5) + b(-3, 2, -1) = (7a - 3b, 4a + 2b, 5a - b)
y
¢w ˜ v² = ¢(7a - 3b, 4a + 2b, 5a - b) ˜ (-3, 2, -1)² = 0,
de donde
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
283
-3(7a - 3b) + 2(4a + 2b) ± (5a - b) = 0 Ÿ -18a + 14b = 0 Ÿ b
9
a.
7
De donde
§ 22 46 26 ·
w ¨ a,
a,
a ¸ , a z 0. ’
7
7 ¹
© 7
EJ E M P L O 6.3.22
Si u = (2, -2, 1) y v = (-1, 1, 2), hallar los vectores w y x de V tales que v, x sean
ortogonales, w sea paralelo a v y u = w + x.
SO L U C I O N
Sabemos que
¢v ˜ x² = 0 Ÿ ¢(-1, 1, 2) ˜ (a, b, c)² = -a + b + 2c = 0 Ÿ a ± b ± 2c = 0;
w = kv Ÿ w = k(-1, 1, 2) = (-k, k, 2k);
u = w + x Ÿ (2, -2, 1) = (-k, k, 2k) + (a, b, c) = (a ± k, b + k, c + 2k)
­ a k 2 Ÿ a 2 k
°
®b k 2 Ÿ b 2 k .
° c 2k 1 Ÿ c 1 2k
¯
Reemplazando los valores de a, b y c en la primera ecuación, obtenemos que
1
k . Este valor de k lo reemplazamos en w y x, donde:
3
1
1
2·
§1
w (2, 2, 1) ¨ , , ¸ ;
3
3
3¹
©3
1
1
2· §5
5 5·
§
x (2 k , 2 k , 1 2k ) ¨ 2 , 2 , 1 ¸ ¨ , , ¸ . ’
3
3
3
3
3 3¹
©
¹ ©
E J E M P L O 6.3.23
En el espacio vectorial de los polinomios reales de grado menor o igual a n,
definimos el producto interior como
n
§k· §k·
¢ f ˜ g² ¦ f ¨ ¸ g ¨ ¸ .
k 0 ©n¹ ©n¹
Hallar todos los polinomios g(t) ortogonales a f(t) = t.
SO L U C I O N
k
Hacemos que g(t) = a 0 + a 1t + a 2t2 + ... + a ntn y t
, entonces:
n
¢ f ˜ g²
1
1
t 0
t 0
¦ f (t ) g (t ) ¦ ( a0 a1t a2t 2 ... ant n )t
a0 a1 a2 ... a n
0.
De donde a 0 = - ( a 1 + a 2 + ... + a n). Por lo tanto, el polinomio buscado tiene la
forma siguiente:
g(t) = - ( a 1 + a 2 + ... + a n) + a 1t + a 2t2 + ... + a ntn. ’
% CALCULO DEL ANGULO ENTRE VECTORES clc;;clear;; fprintf('\n ANGULO ENTRE VECTORES \n') col=input('Ingrese la dimension de los vectores: ');; fprintf('\n Ingrese el vector u \n') %for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) u(1,c)=input(' :');; end fprintf('\n El VECTOR u es:\n') u fprintf(' Ingrese el vector v \n') ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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284
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
%for f=1:col for c=1:col fprintf('Ingrese el elemento %d',c) v(1,c)=input(' :');; end fprintf('\n El VECTOR v es:\n') v fprintf('\n EL PRODUCTO INTERIOR ES:\n') p=u*v' fprintf('\n LAS NORMAS SON:\n') Norma1=sqrt(u*u') Norma2=sqrt(v*v') fprintf('EL ANGULO ENTRE LOS VECTORES ES:\n') d=(acos(p/(Norma1*Norma2)))*180/pi if (p>0) fprintf('El angulo es agudo\n') end if (p<0) fprintf('El angulo es obtuso\n') end if (p==0) fprintf('Los vectores son ortogonales\n') end PR O B L E M AS
6.3.1 Supóngase que u, v y w son vectores tales que
¢u ˜ v² 3 , ¢v ˜ w² 5 , ¢u ˜ w² 6 , u
2 , v 2 ,
w
4 . Determine el valor de las siguientes expresiones:
a.- ¢u v ˜ v w² ;
b.- ¢3v 2w ˜ 4u 3w² ;
c.- ¢u v 3w ˜ 5v 2w² ;
d.-
3u 2v ;
f.-
u 2v 3w .
e.-
5w 2v ;
6.3.2 Sea ‚ el espacio vectorial de todas las funciones
polinómicas f de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 para toda x
 ƒ tal que 0 d x d 1. Aquí, a0, a1, a2 son escalares que
sólo dependen de f y no de x. Demuestre que ‚ es un
espacio tridimensional sobre ƒ. Verifíquese también que
las funciones p(x) = 1, q(x) = x y r(x) = x2 son una base de
‚.
6.3.6 En el espacio „n de polinomios de grado d n con
coeficientes reales, el producto interior de polinomios se
determina por la fórmula ¢ p ˜ q² a0b0 a1b1 ... anbn .
Para los polinomios dados p(x) = 3x2 + 2x + 1, q(x) = -x2 +
2x + 1, r(x) = 3x2 + 2x + 5, s(x) = 3x2 + 5x + 2:
a.- Hallar el polinomio f(x) de grado d 2 equidistante de
p(x), q(x), r(x), s(x);
b.- Determinar la distancia entre f(x) y cada uno de los
polinomios p(x), q(x), r(x), s(x);
c.- Determine que todo polinomio de la forma f(x) + m3x3
«mnxn es también equidistante de p(x), q(x), r(x), s(x)
y determine su distancia hasta estos polinomios.
6.3.7 En el espacio vectorial real C(-1; 1), sea
¢ f ˜ g²
1
³ 1 f ( x) g ( x) dx .
Considerar las tres funciones
6.3.3 Encontrar el ángulo entre una diagonal de un cubo y
una de sus aristas.
f(x) = 1, g(x) = x y h(x) = 1 + x. Demostrar que dos de ellas
son ortogonales, dos forman entre sí un ángulo S/3, y dos
forman entre sí un ángulo S/6.
6.3.4 Calcular los ángulos internos del triángulo ABC,
dado por las coordenadas de sus vértices:
A = (1, 2, 1, 2), B = (3, 1, -1, 0), C = (1, 1, 0, 1).
6.3.8
6.3.5 En el espacio vectorial real C(1; e), definimos un
producto interior por
¢ f ˜ g²
e
³ 1 f ( x) g ( x) log x dx :
a.- Si f ( x)
x , calcular f ;
b.- Hallar un polinomio de primer grado g(x) = a + bx que
sea ortogonal a la función constante f(x) = 1.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
Pruébese que ¢ f ˜ g ²
1
³ 0 f ( x) g ( x) dx
es un
producto interior de P. Hállese una función g de P tal que
g 1 y ¢ g ˜ p² ¢ g ˜ q² 0 .
6.3.9 Sean u y v dos vectores en ƒ2 linealmente
independientes. Demuestre que el único vector de ƒ2
ortogonal a u y a v es el vector ‡. ¿Ocurre lo mismo si los
vectores son linealmente dependientes? ¿Es verdad esta
afirmación para vectores en el espacio ƒ3?
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
6.3.10 Trazar la circunferencia unitaria en ƒ2 usando el
producto interior dado:
1
1
u1v1 u2 v2 ;
a.- ¢u ˜ v²
4
16
b.- ¢u ˜ v² 2u1v1 u2 v2 ;
1
1
u1v1 u2 v2 .
c.- ¢u ˜ v²
9
4
6.3.11 Calcular el ángulo formado por los vectores:
a.- u = (2, 1, -1, 2), v = (3, -1, -2, 1);
b.- u = (1, 2, 2, 3), v = (3, 1, 5, 4);
c.- u = (1, 1, 1, 2), v = (3, 1, -1, 0).
6.3.12 Demuestre que si u es ortogonal a v y w, entonces u
es ortogonal a Dv + Ew para escalares D y E cualesquiera.
6.3.13 Demuestre que u v
u v sí y sólo si u y
285
6.3.22 Sean V = ƒ2, u = (1, 1) y v = (1, -1);
a.- Dótese a V con un producto interior tal que u
1 y
v 1;
b.- Dótese a V con un producto interior tal que un ángulo
T entre u y v sea S/3.
6.3.23 En el espacio vectorial real C(1; 3) con producto
3
1
interior ¢ f ˜ g ² ³ f ( x) g ( x) dx , sea f ( x)
, demostrar
1
x
que el polinomio constante g más próximo a f es
1
g
log 3 . Calcular g f 2 para éste.
2
6.3.24 En el espacio vectorial real C(0; 2S) con producto
interior ¢ f ˜ g ²
2S
³0
f ( x) g ( x) dx , sea f(x) = x. En el
v tienen la misma dirección.
espacio generado por p(x) = 1, q(x) = Cosx, r(x) = Senx,
hallar el polinomio trigonométrico más próximo a f(x).
6.3.14 Considere el cuadrilátero cuyos vértices son
A = ( 1, -2, 2), B = (1, 4, 0), C = (-4, 1, 1), D = (-5, -5, 3).
Demuestre que las diagonales AC y BD son ortogonales.
6.3.25 Sean a y b dos números reales no nulos. Demuestre
que los cuatro vectores (ra, rb)  ƒ2 tienen la misma
norma. Interprete geométricamente este hecho.
6.3.15 Sea u un vector no nulo. Determine un escalar a
tal que au 1 .
6.3.16 Demuestre que los puntos A = (1, 1), B = (2, 3) y
C = (5, -1) son los vértices de un triángulo rectángulo.
6.3.17 Encuéntrense los vectores unitarios que forman
un ángulo de 2S/3 con u = i ± j.
6.3.18 En el espacio de las funciones integrables reales,
supóngase que se define el producto interior por
6.3.26 Sean a, b y c tres números reales no nulos.
Demuestre que los 8 vectores (ra, rb, rc)  ƒ3 tienen la
misma norma. Interprete geométricamente este hecho.
6.3.27 ¿Qué es la norma de un vector u en ƒ? ¿Cómo se
ven las propiedades de la norma en este caso?
6.3.28 Sean u, v dos vectores en ƒn. Demuestre que
u v d u v .
Encuentre un polinomio de grado 2
6.3.29 Las cuatro diagonales de un cubo tienen la
misma longitud.
ortogonal a 1 y a x. Encuentre un polinomio de grado 3
ortogonal a 1, a x y a x2. ¿Son ortogonales estos dos
polinomios?
6.3.30 Las diagonales de un paralelogramo se bisecan
mutuamente.
1
³1 f ( x) g ( x)dx .
6.3.19 Sean u, v dos vectores ortogonales en ƒn, tales que
u 2 , v 7 , u v 8 . Calcule u v .
6.3.20 Sean u, v dos vectores en ƒn. Demuestre que:
a.- ¢u ˜ v²  ƒ+ si y sólo si u v ! u v ;
b.- -¢u ˜ v²  ƒ si y sólo si u v u v ;
+
c.- u y v son dos vectores ortogonales si y sólo si
uv
u v .
Discuta el contenido geométrico de estos resultados.
6.3.21 Demuestre que si u y v son vectores en un espacio
V con producto interior, entonces u v d u r v .
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
¿Existen vectores u, v  ƒn tales que
6.3.31
v
1,
que u
u
3,
n
uv
5 ? ¿Existen vectores u, v  ƒ tales
3, v
1, u v
5?
6.3.32 Sean u, v dos vectores ortogonales en Rn, tales que
u 5 , v 3 . Calcule u v , u v .
6.3.33 Sea S = {u, v} un conjunto ortogonal de vectores
unitarios en ƒn. Demuestre que el ángulo entre el vector u
y el vector u + v es de S/4. Discuta el contenido
geométrico de este resultado cuando n = 2. ¿Vale el
resultado si los vectores u y v no son unitarios?
JOE GARCIA ARCOS
286
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
6.3.34 Demuestre que si u y v son vectores en un espacio
con producto interior tal que u d 1 y v d 1 , entonces
¢u ˜ v² d 1 .
6.3.46 Demuestre que si el cuerpo de escalares es real y
u
v , entonces u ± v y u + v son ortogonales y
recíprocamente.
v .
Demuestre que los vectores u + v y u ± v son ortogonales.
¿Vale la afirmación recíproca?
6.3.47 Sean u, v y w vectores no nulos, cada uno
ortogonal a los otros dos. Demuestre que, para cualquier
vector z, existen escalares únicos a , b y c tales que z =
au + bv + cw.
6.3.36 Los vectores u y v de ƒn forman un ángulo de S/3.
Suponiendo que u 3 y v 4 . Calcule: ¢u ˜ v²,
6.3.48 Demuestre que u x v
6.3.35 Sean u y v dos vectores en ƒn tales que u
uv y uv .
6.3.37 Dados los vectores u, v y w, entonces:
a.- Demuestre que
u x (v x w) = ¢u ˜ w²v - ¢u ˜ v²w;
b.- Encuentre un ejemplo para el que
u x (v x w) z (u x v) x w.
u
v sí y sólo si u y v
son ortogonales.
6.3.49 Sean u y v vectores no nulos. Demuestre que el
vector
1
v u u v
u v
biseca el ángulo entre u y v. (Demuestre que este vector
forma el mismo ángulo con u que con v.)
6.3.38 Cada pareja de vectores u, v y w en ƒn forma un
ángulo de S/3. Suponga que u 1 , v 2 , w 3 .
6.3.50 Sean u y v dos vectores no nulos en ƒn tales que
u
v
u v . Demuestre que el ángulo entre u y v
Calcule u v w .
es de S/3. ¿Cuál es el ángulo entre u y u ± v, y entre v y u ±
v? Discuta el contenido geométrico en el caso n = 2.
6.3.39 Los vértices de un triángulo son A = (-1, 4),
B = (-6, 6), C = (3, 8). Determine las coordenadas de los
puntos medios de sus lados.
6.3.51 Las cuatro diagonales de un paralelepípedo se
cortan en un punto y se bisecan mutuamente.
6.3.40 Los puntos medios de los lados de un triángulo son
P = (2, -1), Q = (-1, 4) y R = (-2, 2). Determinar los vértices
del triángulo.
6.3.41 Sean u y v vectores en un espacio V con producto
interior. Demuestre que u v
u v sí y sólo si u y v
son ortogonales.
6.3.52 Si u y v son vectores diferentes de cero en R 3,
entonces se cumplen las siguientes igualdades:
a.- u x v es ortogonal tanto a u como a v;
b.- El ángulo T entre u y v está dado por
u xv
u v SenT ;
c.- u y v son paralelos sí y sólo si u x v = ‡;
d.- El paralelogramo cuyos lados adyacentes son u y v
tiene un área igual a u x v .
6.3.42 Demuestre que
f ( x) 1 x 2 y g ( x ) 2 x 1 x 2
son ortogonales en C[-1; 1].
6.3.43 Demuestre que en un triángulo arbitrario de un
espacio euclídeo, la longitud de cada lado no es menor que
la magnitud absoluta de la diferencia entre las longitudes
de los otros dos lados.
6.3.44 Demuestre que en un paralelogramo arbitrario de
un espacio euclídeo, la suma de los cuadrados de las
longitudes de las diagonales es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los lados.
6.3.45 Calcular los ángulos internos del triángulo ABC,
dado por las coordenadas de sus vértices:
A = (1, 2, 1, 2), B = (3, 1, -1, 0), C = (1, 1, 0, 1).
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
6.3.53 Demuestre que los puntos A = (2, 2), B = (-1, 6),
C = (-5, 3) y D = (-2, -1) son los vértices de un cuadrado.
6.3.54 La recta que pasa por uno de los vértices de un
paralelogramo y el punto medio de uno de los lados
opuestos divide a una de las diagonales en la razón 1:2.
Sean x = (x1, x2, ..., xn), y = (y1, y2, ..., yn) dos
1
( x y ) es
vectores en ƒn. Demuestre que el punto p
2
un punto equidistante de x e y (es decir, d(x, p) = d(y, p)),
el cual se encuentra sobre el segmento que une a x con y
(para ver esto, nótese que los vectores u = x ± p, v = y ± p,
son linealmente dependientes). Se dice que p es el punto
medio del segmento xy. Determine el punto medio del
segmento xy en cada uno de los siguientes casos:
a.- x = (1, 4, 5), y = (4, 8, -4);
6.3.55
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
287
6.3.61 Sean u y v dos vectores no nulos en ƒn tales que
u
u v . Demuestre que el ángulo entre los vectores
b.- x = (4, 7, -1), y = (4, 6, -3);
c.- x = (-3, -4, 5), y = (3, 5, 7).
6.3.56 Considere las rectas
L 1 = {(x, y) / (x, y) = (0, b1) + t(1, m1), t  ƒ}
L 2 = {(x, y) / (x, y) = (0, b2) + t(1, m2), t  ƒ}
con los vectores v1 = (1, m1) y v2 = (1, m2) que son
paralelos a L 1 y L 2 respectivamente. Demuestre, partiendo
de la fórmula para el ángulo entre dos vectores, que el
ángulo T (0 d T d S) entre L 1 y L 2 es
m m1
T ArcTan 2
.
1 m2 m1
6.3.57 Calcule la distancia entre las dos líneas paralelas
dadas:
a.- 3x ± 4y + 5 = 0, 3x ± 4y ± 5 = 0;
b.- 2x ± y ± 5 = 0, 4x ± 2y ± 10 = 0.
6.3.58 Use el concepto de proyección de un vector sobre
otro para demostrar que la distancia del punto P(x0, y0) a la
recta Ax + By + C = 0 viene dada por la fórmula
Ax0 By0 C
.
d
A2 B 2
6.3.59 Demuestre que las diagonales de un rombo son
perpendiculares entre sí. (Un rombo es un paralelogramo
cuyos lados tienen la misma longitud.)
6.3.60 Demuestre la identidad de Lagrange:
u xv
2
u
2
v
2
¢u ˜ v² 2 .
u y v es el mismo que el ángulo entre los vectores u y
u ± v. Discuta el contenido geométrico en el caso n = 2.
6.3.62 Sea u = (2, -3, 5). Determine el vector v  ƒ3
sabiendo que es linealmente dependiente con u, que
v 25 , y que el ángulo que forma v con la parte
positiva del eje z es agudo.
6.3.63 Considere la recta Ax + By + C = 0, la cual dista
d unidades del origen. Demuestre que la recta paralela a la
recta dada, que dista también d unidades del origen y que
resulta ser simétrica respecto del origen de la recta dada, es
Ax + By ± C = 0.
6.3.64 Demuestre que el triángulo cuyos vértices son A,
B y C es isósceles. Determine sus ángulos internos:
a.- A = (1, 1), B = (4, 3), C = (1/2, 5);
b.- A = (1, 2, 1), B = (3, -1, 7), C = (7, 4, -2).
6.3.65 Si u, v y w son vectores en ƒ y D un escalar,
entonces se cumplen las siguientes igualdades:
a.- u x v = - (v x u);
b.- u x (v + w) = (u x v) + (u x w);
c.- D(u x v) = Du x v = u x Dv;
d.- u x ‡ = ‡ x u = ‡;
e.- u x u = ‡;
f.- ¢u ˜ (v x w)² = ¢(u x v) ˜ w².
6.4 B ASES O R T O G O N A L ES Y O R T O N O R M A L ES
En esta sección se mostrará un proceso para obtener una base ortonormal. En muchos problemas con espacios
vectoriales, quien resuelve el problema puede elegir cualquier base que juzgue conveniente para el espacio
vectorial. En espacios con producto interior, la solución de un problema a menudo se simplifica bastante al elegir
una base en la que los vectores sean ortogonales entre sí.
Si V es un espacio vectorial, el concepto de ortogonalidad coincide con el de
perpendicularidad. Por esta razón la ortogonalidad puede ser considerada como una
generalización del concepto de perpendicularidad.
D E F IN I C I O N 6.4.1
Un conjunto S de vectores en un espacio vectorial V con producto interno
se dice que es ortogonal si o bien consiste en un solo vector o bien sus
vectores son ortogonales dos a dos.
La relación de ortogonalidad es simétrica: si el vector u es ortogonal al vector v, el
vector v es ortogonal al vector u. Es obvio que el vector nulo es ortogonal a cualquier
vector del espacio y es el único que posee esta propiedad.
D E F IN I C I O N 6.4.2
Dos conjuntos de vectores S1 y S2, de un espacio vectorial euclídeo V, se
dicen ortogonales, si todo vector de S1 es ortogonal a todo vector de S2.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
288
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
T E O R E M A 6.4.1
Para que el vector u sea ortogonal al subespacio U, es necesario y suficiente
que sea ortogonal respecto de todos los vectores de una base cualquiera del
subespacio U.
D E M OST R A C I O N
Fijemos la base S = {u1, u2, ..., uk} del subespacio U. Si u es perpendicular a U,
entonces u es ortogonal a todos los vectores de U y, en particular, a los vectores u1,
u2, ..., uk. Sea ahora, ¢u ˜ ui² = 0 para todo i  N. Elijamos un vector arbitrario v  U
y descompongámoslo según los vectores de la base. Si
v = a1u1 + a2u2 + ... + akuk
para ciertos números a1, a2, ..., ak, entonces
¢u ˜ v² = ¢u ˜ a1u1 + a2u2 + ... + akuk² = a1¢u ˜ u1² + a2¢u ˜ u2² + ... + ak¢u ˜ uk² = 0
Esto significa que u A U.
T E O R E M A 6.4.2
Si S = {v1, v2, ..., vk} es un conjunto ortogonal de vectores diferentes del
nulo en un espacio vectorial V, entonces S es linealmente independiente.
D E M OST R A C I O N
Sea S un sistema ortogonal de vectores no nulos y sea
a1v1 + a2v2 + ... + akvk = ‡.
Multiplicando esta igualdad escalarmente por vi, obtenemos
a1¢v1 ˜ vi² + a2¢v2 ˜ vi² «ai¢vi ˜ vi² «ak¢vk ˜ vi² = ‡
donde ai¢vi ˜ vi² = 0 ya que debido a la ortogonalidad del sistema todos los demás
términos se anulan. Pero vi z ‡; por consiguiente, ¢vi ˜ vi² z 0 y entonces resulta que
ai = 0 que es lo que se quería demostrar.
Supongamos que n es la dimensión del espacio vectorial V. La aseveración anterior
muestra que todo sistema ortogonal de vectores no nulos V no puede contener más
de n vectores. Si en V existen n vectores no nulos ortogonales, ellos constituyen una
base ortogonal del espacio vectorial V. Podemos decir que en V siempre existe una
base de esta índole.
T E O R E M A 6.4.3
Sea un espacio vectorial V de dimensión n, entonces cualquier conjunto de
n vectores ortogonales es una base de V.
EJ E M P L O 6.4.1
Demuestre que el conjunto ortogonal
­
1 · § 2 1 2 ·½
§1
S ® 1, 0, 1 , ¨ , 2, ¸ , ¨ , , ¸ ¾
2
2 ¹ © 9 9 9 ¹¿
©
¯
3
es una base de ƒ .
SO L U C I O N
Se puede observar que el conjunto S consta de tres vectores diferentes de cero y no
coplanares. Entonces podemos demostrar que forman una base para ƒ3:
a(1, 0, -1) + b( ½, 2, ½) + c(2/9, -1/9, 2/9) = (0, 0, 0);
(a + b/2 + 2c/9, 2b ± c/9, - a + b/2 + 2c/9) = (0, 0, 0)
1
2
­
°a 2 b 9 c 0
°
1
°
® 2b c 0
9
°
°
1
2
°a 2 b 9 c 0
¯
Sabemos que un sistema de ecuaciones homogéneo tiene solución única si y sólo si
el determinante de la matriz de coeficientes del sistema es diferente de cero, es decir
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
289
2
9
1
0 2 z0.
9
1 2
1
2 9
Por lo tanto a = b = c = 0 y S es linealmente independiente y como S genera todo
ƒ3, entonces S es base para ƒ3. ’
1
1
2
D E F IN I C I O N 6.4.3
Una base {w1, w2, ..., wk} para un subespacio U de V es ortonormal si los
vectores wi son unitarios y mutuamente perpendiculares.
Es obvio que normalizando vectores ortogonales no nulos obtenemos de nuevo
vectores ortogonales. Por lo tanto, al normalizar los vectores de una base ortogonal
del espacio, obtendremos una base ortonormal de este espacio.
D E F IN I C I O N 6.4.4
Se dice que un vector v de V es ortogonal a un conjunto S1 de vectores, si v
es ortogonal a todos los vectores de S1.
T E O R E M A 6.4.4
Sea V un espacio vectorial euclídeo. Si los subconjuntos S1, S2 de V son
ortogonales, entonces también son ortogonales los subespacios U y W,
engendrados por S1 y S2.
D E M OST R A C I O N
Sean u  U y v  W, esto es u = a1u1 + a2u2 + ... + anun y v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm
para ciertos vectores {u1, u2, ..., un} de S1, {v1, v2, ..., vm} de S2 y a1, a2, ..., an, b1, b2,
..., bm números reales; entonces
¢u ˜ v² = ¢a1u1 + a2u2 + ... + anun ˜ b1v1 + b2v2 + ... + bmvm²
= a1b1¢u1 ˜ v1² + a2b2¢u2 ˜ v2² + ... + anbm¢un ˜ vm² = 0.
T E O R E M A 6.4.5
Si dos subespacios vectoriales U, W de V son ortogonales, entonces son
independientes, es decir, su suma es directa.
D E M OST R A C I O N
Tenemos que demostrar que su suma es directa; esto es si fuese u  U ˆ W, por ser
u  U y u  W, tendría que ser u A u y, por tanto, u = ‡.
T E O R E M A 6.4.6
Para que dos subespacios sean ortogonales, es necesario y suficiente que
todo vector de cualquier base de un subespacio sea ortogonal a todos los
vectores de cualquier base de otro subespacio.
Puesto que cualquier sistema que contiene sólo un vector es ortogonal, de aquí se
deduce, en particular, que en todo espacio vectorial existe una base ortonormal.
T E O R E M A 6.4.7
Sea {u1, u2, ..., uk} una base de un espacio con producto interior V. Sea {v1,
v2, ..., vk} donde los vi están dados de la siguiente manera:
v1 = u1
¢u ˜ v ²
v2 u2 2 1 v1
¢v1 ˜ v1 ²
. . .
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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290
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
vk
uk ¢uk ˜ v1 ²
¢u ˜ v ²
¢u ˜ v ²
v1 k 2 v2 ... k k 1 vk 1 .
¢v1 ˜ v1 ²
¢v2 ˜ v2 ²
¢vk 1 ˜ vk 1 ²
vi
.
vi
Entonces el conjunto {w1, w2, ..., wk} es una base ortonormal de V. Estas
ecuaciones resumen el llamado proceso de Gram ± Schmidt para encontrar
un conjunto ortonormal a partir de un conjunto linealmente independiente.
D E M OST R A C I O N
Supongamos que {u1, u2, ..., uk} es un conjunto linealmente independiente En el
espacio vectorial V; deduzcamos un proceso para construir un conjunto ortonormal
de vectores {w1, w2, ..., wk}. Primero elegimos uno cualquiera de los ui, digamos u1 y
tomamos v1 = u1, donde
v1
.
w1
v1
Ahora elegimos otro de los ui, digamos u2 y consideremos su proyección en v1, es
u2 ˜ v1
decir, consideramos el vector u
v1 . Si los vectores fueran los vectores
v1 ˜ v1
geométricos ordinarios, la relación entre u1, u2 y v1 sería como lo muestra la figura
Entonces {v1, v2, ..., vk} es una base ortogonal de V. Sea wi
El vector v2 está definido por
v2
u2 u2 ˜ v1
v1
v1 ˜ v1
y podemos comprobar que v2 es ortogonal a v1. En efecto,
u ˜v
¢v2 ˜ v1² = ¢u2 ˜ v1² - 2 1 v1 ˜ v1 = ¢u2 ˜ v1² - ¢u2 ˜ v1² = 0.
v1 ˜ v1
Para obtener un vector unitario ortogonal w1, hacemos
v2
.
w2
v2
El vector w2 no puede ser cero, ya que, por su definición, esto implicaría que u2 y v1
son linealmente independientes.
Una vez encontrado v1 y v2, elegimos u3 y formamos su proyección en el subespacio
de V generado por v1 y v2. Por definición, este es el vector
u3 ˜ v1
u ˜v
v
v1 3 2 v2 .
v1 ˜ v1
v2 ˜ v2
Definimos v3 restando esta proyección a u3
u ˜v
u ˜v
v3 u3 3 1 v1 3 2 v2 .
v1 ˜ v1
v2 ˜ v2
Como antes, podemos verificar que v3 es ortogonal a v1 y v2. En efecto
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
¢v3 ˜ v1² = ¢u3 ˜ v1² -
291
u3 ˜ v1
u ˜v
v1 ˜ v1 3 2
v1 ˜ v1
v2 ˜ v2
v2 ˜ v1 = ¢u3 ˜ v1² - ¢u3 ˜ v1² = 0
Análogamente
u3 ˜ v1
u ˜v
v1 ˜ v2 - 3 2
v1 ˜ v1
v2 ˜ v2
En la figura se muestran estos vectores.
Definimos w3 por
v3
.
w3
v3
¢v3 ˜ v2² = ¢u3 ˜ v2² -
v2 ˜ v2 = ¢u3 ˜ v2² - ¢u3 ˜ v2² = 0
Nuevamente, v3 = ‡ implicaría la dependencia lineal de u3, v1 y v2. Pero como el
subespacio generado por v1 y v2 es igual al generado por u1 y u2, esto implicaría la
dependencia lineal de los ui. Procediendo de esta manera, calculamos sucesivamente
v1, v2, ..., vk.
Para encontrar vk, escribimos
¢u ˜ v ²
¢u ˜ v ²
¢u ˜ v ²
vk uk k 1 v1 k 2 v2 ... k k 1 vk 1
¢v1 ˜ v1 ²
¢v2 ˜ v2 ²
¢vk 1 ˜ vk 1 ²
de donde
vk
.
wk
vk
Como anteriormente, podemos verificar que vk es ortogonal a v1, v2, ..., vk-1.
E J E M P L O 6.4.2
Supongamos que V es el plano generado por v1 = (1, 0, 0, 0) y v2 = (1, 1, 0, 0) y
W es la recta generada por w1 = (0, 0, 4, 5). Encontrar, un w2 de tal manera que el
plano W generado por w1 y w2 continúe siendo ortogonal a V. Encontrar un v3 de
tal manera que el subespacio tridimensional generado por v1, v2 y v3, sea ortogonal
a la recta original W.
SO L U C I O N
Para que el plano W sea ortogonal a plano V, debe cumplir las siguientes
condiciones:
¢(a, b, c, d) ˜ (1, 0, 0, 0)² = 0 Ÿ a = 0;
¢(a, b, c, d) ˜ (1, 1, 0, 0)² = 0 Ÿ a + b = 0.
De estas dos condiciones, obtenemos que a = b = 0:
( a , b, c, d) = (0, 0, c, d) = c(0, 0, 1, 0) + d(0, 0, 0, 1).
Por tanto el vector buscado es: w2 = (0, 0, 1, 0) o w2 = (0, 0, 1, 0).
Para que el subespacio generado por {v1, v2, v3} sea ortogonal a la recta W, debe
cumplir la siguiente condición:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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292
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
¢(x, y, z, t) ˜ (0, 0, 4, 5)² = 0 Ÿ 4z + 5t = 0 Ÿ z
5
t.
4
Es decir:
4t ·
4 ·
§
§
( x, y, z, t ) ¨ x, y, , t ¸ x(1, 0, 0, 0) y (0,1, 0, 0) t ¨ 0, 0, ,1¸ .
5 ¹
5 ¹
©
©
Siendo v3 = (0, 0, -4, 5) el vector buscado. ’
EJ E M P L O 6.4.3
¿Porqué el plano x + 2y + z = 0 y cada plano x + 2y + z = k es ortogonal a la recta
generada por (1, 2, 1)?
SO L U C I O N
La base del plano x + 2y + z = 0 es B = {(-2, 1, 0), (-1, 0, 1)}. Como estos vectores
son ortogonales al vector (1, 2, 1):
¢(-2, 1, 0) ˜ (1, 2, 1)² = -2 + 2 + 0 = 0; ¢(-1, 0, 1) ˜ (1, 2, 1)² = -1 + 0 + 1 = 0.
Entonces concluimos que el plano dado que pasa por el origen es ortogonal a la recta.
Además como el plano x + 2y + z = 0 es paralelo a los planos x + 2y + z = k,
entonces el plano x + 2y + z = k también es ortogonal a la recta. ’
EJ E M P L O 6.4.4
Encontrar una base ortogonal para ƒ3, partiendo del vector (1, 1, -1).
SO L U C I O N
Si u = (1, 1, -1) y v = (a, b, c), entonces:
¢u ˜ v² = 0 Ÿ ¢(1, 1, -1) ˜ (a, b, c)² = a + b ± c = 0 Ÿ a + b ± c = 0.
Si a = - b + c, entonces:
(a, b, c) = (-b + c, b, c) = b(-1, 1, 0) + c(1, 0, 1).
Como estos vectores son ortogonales al vector (1, 1, -1), entonces la base ortogonal
buscada es:
{(1, 1, -1), (-1, 1, 0), (1, 0, 1)}. ’
EJ E M P L O 6.4.5
Sean u1, u2, ..., un vectores mutuamente perpendiculares, y tales que ui z 0 para
todo i. Sea u un elemento de V, y sea Oi la componente de u a lo largo de ui. Sean D1,
D2, ..., Dn números. Entonces
n
n
k 1
k 1
u ¦ O k uk d u ¦ D k uk
SO L U C I O N
n
Se sabe que u ¦ O k uk es perpendicular a cada uno de los ui, i = 1, 2, ..., n. Por
k 1
tanto, es perpendicular a cualquier combinación lineal de u1, u2, ..., un. Ahora
n
u ¦ D k uk
2
k 1
n
n
u ¦ O k uk ¦ (O k D k )uk
k 1
2
k 1
2
n
u ¦ O k uk
k 1
n
¦ (O k D k )uk
2
k 1
Por el teorema de Pitágoras. Esto prueba que
n
u ¦ D k uk
k 1
2
n
d u ¦ D k uk
2
. ’
k 1
EJ E M P L O 6.4.6
Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en ƒ4. Normalizar el vector
u = e1Sen3M + e2Sen2M CosM + e3SenM CosM + e4 CosM.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
293
SO L U C I O N
Como el vector u = (Sen3M, Sen2M CosM, SenM CosM, CosM), entonces
u
(Sen3D, Sen2 D CosD , SenD CosD, CosD)
|| u ||
Sen6 D Sen4 D Cos 2 D Sen2 D Cos 2 D Cos 2 D
( Sen3D, Sen2 D CosD, SenD CosD, CosD)
r1
(r Sen3D, r Sen2D CosD, r SenD CosD, r CosD) . ’
EJ E M P L O 6.4.7
Demuestre que el conjunto
­
2· §
6 6 6· § 3 3
3 ·½
°§ 2
°
S ®¨¨
, 0,
,
,
,
,
¸¸ , ¨¨ ¸¸ , ¨¨
¸¸ ¾
2
2
6
3
6
3
3
3
°©
°
¹ ©
¹ ©
¹¿
¯
3
es base ortonormal de ƒ .
SO L U C I O N
Primero demostraremos que los vectores del conjunto S son ortogonales tomados de
dos en dos:
§ 2
2· §
6 6 6·
12
12
, 0,
,
,
0
0
¨¨
¸¸ ˜ ¨¨ ¸¸
2 ¹ © 6 3 6 ¹
12
12
© 2
§ 2
2· § 3 3
3·
, 0,
,
,
¨¨
¸¸ ˜ ¨¨
¸
2 ¹ © 3 3
3 ¸¹
© 2
§
6 6 6· § 3 3
3·
,
,
,
,
¨¨ ¸¸ ˜ ¨¨
¸¸
6
3
6
3
3
3
©
¹ ©
¹
Además, cada vector debe tener longitud 1:
§ 2
2·
, 0,
¨¨
¸
2 ¸¹
© 2
§
6 6 6·
,
,
¨¨ ¸¸
© 6 3 6 ¹
6
6
0
6
6
0
18
18
18
18
9
18
§ 2
2· § 2
2·
, 0,
, 0,
¨¨
¸¸ ˜ ¨¨
¸
2 ¹ © 2
2 ¸¹
© 2
1
1
0
2
2
§
6 6 6· §
6 6 6·
,
,
,
,
¨¨ ¸¸ ˜ ¨¨ ¸¸
© 6 3 6 ¹ © 6 3 6 ¹
0
1
1 2 1
6 3 6
1
§ 3 3
§ 3 3
3·
3· § 3 3
3·
1 1 1
,
,
,
,
,
,
1
¨¨
¸¸
¨¨
¸¸ ˜ ¨¨
¸¸
3 ¹
3 ¹ © 3 3
3 ¹
3 3 3
© 3 3
© 3 3
Por consiguiente, S es un conjunto ortonormal. Dado que los tres vectores no son
coplanares, se sabe que generan a ƒ3. ’
EJ E M P L O 6.4.8
Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en ƒ4. ¿Para qué valor de k la base constituida
por los vectores
u1 = ke1 + e2 + e3 + e4, u2 = e1 + ke2 + e3 + e4
u3 = e1 + e2 + ke3 + e4, u4 = e1 + e2 + e3 + ke4
es ortogonal? Normalizar esta base.
SO L U C I O N
Los vectores son
u1 = (k, 1, 1, 1), u2 = (1, k, 1, 1), u3 = (1, 1, k, 1), u4 = (1, 1, 1, k),
entonces para encontrar el valor del parámetro k, de tal forma que los vectores sean
ortogonales, procedemos de la siguiente manera:
¢u1 ˜ u2² = 2k + 2 = 0; ¢u1 ˜ u3² = 2k + 2 = 0; ¢u1 ˜ u4² = 2k + 2 = 0;
¢u2 ˜ u3² = 2k + 2 = 0; ¢u2 ˜ u4² = 2k + 2 = 0; ¢u3 ˜ u4² = 2k + 2 = 0;
Como la ecuación 2k + 2 = 0 es común en todos los productos interiores, la solución
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
294
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
es k = -1. Los vectores son los siguientes:
u1 = (-1, 1, 1, 1), u2 = (1, -1, 1, 1), u3 = (1, 1, -1, 1), u4 = (1, 1, 1, -1).
A continuación, cada vector lo dividimos para su correspondiente norma para
normalizar cada uno de los vectores. Es decir:
u1
(1,1,1,1)
§ 1 1 1 1·
,r ,r ,r ¸;
¨
|| u1 ||
12 12 12 12 © 2 2 2 2 ¹
u2
|| u2 ||
u3
|| u3 ||
u4
|| u4 ||
(1, 1,1,1)
2
2
2
2
§ 1
¨r ,
© 2
2
2
2
2
§ 1 1
¨r , r ,
© 2 2
1 1 1 1
(1,1, 1,1)
1 1 1·
,r ,r ¸;
2 2 2¹
1 1·
, r ¸;
2 2¹
1 1 1 1
(1,1,1, 1)
§ 1 1 1
¨r , r , r ,
2
2
2
2
© 2 2 2
1 1 1 1
1·
¸. ’
2¹
EJ E M P L O 6.4.9
Demuestre que dado cualquier vector u de longitud 1, entonces existe una base
ortonormal con u como primer elemento.
SO L U C I O N
Ya que el conjunto {u} es linealmente independiente, se puede extender hasta
una base con u como primer elemento. Ahora bien, cuando se aplica el proceso de
ortonormalización, el primer vector, siendo de longitud 1, no se cambia y se
convierte en el primer vector de una base ortonormal. ’
EJ E M P L O 6.4.10
Aplique el proceso de ortonormalización a la base S = {(1, 0, -1), (1, 2, 0), (0, 1, 1)}.
SO L U C I O N
Aplicando el teorema correspondiente, obtenemos:
v1 = u1 = (1, 0, -1).
u ˜v
(1, 2, 0) ˜ (1, 0, 1)
v2 u2 2 1 v1 (1, 2, 0) (1, 0, 1)
v1 ˜ v1
(1, 0, 1) ˜ (1, 0, 1)
1
1·
§1
(1, 0, 1) ¨ , 2, ¸ .
2
2¹
©2
u ˜v
u ˜v
u3 3 1 v1 3 2 v2
v1 ˜ v1
v2 ˜ v2
(1, 2, 0) v3
1·
§1
(0,1,1) ˜ ¨ , 2, ¸
2¹ §1
¢(0,1,1) ˜ (1, 0, 1)²
1·
©2
(0,1,1) (1, 0, 1) ¨ , 2, ¸
¢(1, 0, 1) ˜ (1, 0, 1)²
2¹
1· §1
1· ©2
§1
¨ , 2, ¸ ˜ ¨ , 2, ¸
2¹ ©2
2¹
©2
1
5§1
1· §2 1 2·
(1, 0, 1) ¨ , 2, ¸ ¨ , , ¸ .
2
9©2
2¹ ©9 9 9¹
§ 2
v1
1
2·
w1
(1, 0, 1) ¨¨
, 0, ¸;
v1
2 ¸¹
2
© 2
v2
1 §1
1· § 2 2 2 2 ·
w2
,
,
¸;
¨ , 2, ¸ ¨¨
v2
2¹ © 6
3
6 ¸¹
9 ©2
2
v3
1 §2 1 2· §2 7
7 2 7·
w3
,
,
¸.
¨ , , ¸ ¨¨
v3
7
7 ¸¹
7 ©9 9 9¹ © 7
81
(0,1,1) ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
295
Por tanto
­
2· § 2 2 2 2· §2 7
7 2 7 ·½
°§ 2
°
S´´ ®¨¨
, 0, ,
,
,
,
¸¸ , ¨¨
¸¸ , ¨¨
¸¸ ¾
2
2
6
3
6
7
7
7
°©
°
¹ ©
¹ ©
¹¿
¯
es base ortonormal de ƒ3. ’
E J E M P L O 6.4.11
Encuentre una base ortonormal para los polinomios de la forma ax2 + ( a + b)x +
2b.
SO L U C I O N
Una posible base para este subespacio se determina de la siguiente manera:
( a , a + b, 2b) = a (1, 1, 0) + b(0, 1, 2) Ÿ Base U = {(1, 1, 0), (0, 1, 2)}.
Ortogonalizamos esta base:
v1 = (1, 1, 0);
¢(0,1, 2) ˜ (1,1, 0)²
1
§ 1 1 ·
v2 (0,1, 2) (1,1, 0) (0,1, 2) (1,1, 0) ¨ , , 2 ¸ .
¢(1,1, 0) ˜ (1,1, 0)²
2
© 2 2 ¹
Por tanto la base ortogonal está formada por los siguientes vectores:
­
§ 1 1 ·½
®(1,1, 0), ¨ , , 2 ¸ ¾ .
© 2 2 ¹¿
¯
Normalizando cada uno de estos elementos, encontramos la base ortonormal:
­ 1
1
½
(1,1, 0),
1,1, 4 ¾ . ’
®
2
10
¯
¿
EJ E M P L O 6.4.12
Encuéntrese en ƒ3 una base, que conste de dos vectores unitarios ortogonales entre
sí, para el subespacio compuesto de todos los puntos (x, y, z) para los que se verifica
que x + y + z = 0.
SO L U C I O N
Como x + y + z = 0, entonces x = - y ± z:
(x, y, z) = (- y ± z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(-1, 0 1).
Por tanto {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)} es base de U. Ortogonalizando, obtenemos:
v1 = (-1, 1, 0);
¢(1, 0,1) ˜ (1,1, 0)²
v2 (1, 0,1) (1,1, 0)
¢(1,1, 0) ˜ (1,1, 0)²
1
1 ·
§ 1
(1, 0,1) (1,1, 0) ¨ , , 1¸ .
2
2 ¹
© 2
La base ortogonal esta formada por los vectores:
­
1 ·½
§ 1
®(1,1, 0), ¨ , , 1¸ ¾ .
2 ¹¿
© 2
¯
Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal:
­ 1
1
½
(1, 1, 0),
(1, 1, 2) ¾ . ’
®
6
¯ 2
¿
EJ E M P L O 6.4.13
§ k 1 k ·
, r¸,
¿Para qué valores de k y r la base constituida por los vectores u ¨ ,
3
©3
¹
k·
§1 k
§ k 1 k ·
v ¨
, r, ¸ y w ¨ r, ,
¸ es ortonormal?
3 ¹
3¹
© 3
© 3
SO L U C I O N
Para encontrar el valor de los parámetros k y r, de tal forma que los vectores u, v y w
sean ortonormales, se procede de la siguiente manera:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
296
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
k·
k2 k r
§ k 1 k · § 1 k
, r ¸˜¨
, r, ¸ 0 Ÿ k2 ± k ± 3 r =
¨ ,
3
3¹
9 9 3
©3
¹ © 3
0;
k2 k r
§ k 1 k · § k 1 k ·
, r ¸ ˜ ¨ r, ,
0 Ÿ k2 ± k ± 3 r
¢u ˜ w² 0 Ÿ ¨ ,
¸ 3
3
3
3
9
9
3
©
¹ ©
¹
= 0;
k · § k 1 k ·
k2 k r
§1 k
, r, ¸ ˜ ¨ r, ,
0 Ÿ k2 ± k ± 3 r =
¢v ˜ w² 0 Ÿ ¨
¸
3¹ © 3
3 ¹
9 9 3
© 3
0;
¢u ˜ v² 0 Ÿ
u
1 Ÿ
v
1 Ÿ
§ k 1 k
,
¨ ,
3
©3
·
§ k 1 k
r¸
,
¨ ,
3
¹
©3
2k2 ± 2k + 9 r2 = 8;
· § k 1 k
r ¸ ˜¨ ,
,
3
¹ ©3
·
r¸
¹
k·
k · §1 k
k·
§1 k
§1 k
, r, ¸
, r, ¸ ˜ ¨
, r, ¸
¨
¨
3
3
3
3
3
3
©
¹
©
¹ ©
¹
2k2 ± 2k + 9 r2 = 8;
§ k 1 k ·
§ k 1 k · § k 1 k ·
¨ r, ,
¸
¨ r, ,
¸ ˜ ¨ r, ,
¸
3 ¹
3 ¹ © 3
3 ¹
© 3
© 3
2
2
2k ± 2k + 9 r = 8.
De todas estas condiciones, obtenemos únicamente dos ecuaciones:
2
­
° k k 3r 0
.
® 2
2
8
°̄2 k 2 k 9 r
Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos:
­
2 ­ k1 2
r1
, ®
°
3
¯ k 2 1
°
°°
­
1 i 15 .
®
° k3
2
°r 4 , °
®
°2
3 °
1 i 15
°
k4
°¯
2
¯°
2
2
Por lo tanto los valores de k y r son k = 2, r
y k = -1, r
. ’
3
3
u
1 Ÿ
1
1
1
EJ E M P L O 6.4.14
Considerar el plano dado implícitamente por la ecuación x + y + z = 0 en el espacio
euclidiano de tres dimensiones ƒ3. Construir una base ortonormal en la siguiente
forma: seleccionar una base ortonormal para el subespacio formada por puntos del
plano y luego calcular un tercer vector unitario y ortogonal al plano.
SO L U C I O N
Dado el plano x + y + z = 0, entonces x = - y ± z:
(x, y, z) = (- y ± z, y, z) = y(-1, 1, 0) + z(-1, 0 1).
Por tanto {(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)} es base de U. Ortogonalizando, obtenemos:
v1 = (-1, 1, 0);
¢(1, 0,1) ˜ (1,1, 0)²
v2 (1, 0,1) (1,1, 0)
¢(1,1, 0) ˜ (1,1, 0)²
1
1 ·
§ 1
(1, 0,1) (1,1, 0) ¨ , , 1¸ .
2
2 ¹
© 2
La base ortogonal esta formada por los vectores:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
297
­
§ 1 1 ·½
®(1, 1, 0), ¨ , ,1¸ ¾ .
© 2 2 ¹¿
¯
Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal:
­ 1
1
½
(1, 1, 0),
(1, 1, 2) ¾ .
®
6
¯ 2
¿
Para encontrar el tercer vector, realizamos las siguientes operaciones:
1
a b
(1, 1, 0)
0 Ÿ a ± b = 0;
¢ w ˜ u² 0 Ÿ ( a , b, c ) ˜
2
2
¢ w ˜ v² 0 Ÿ
w
( a , b, c ) ˜
1 Ÿ
( a, b, c )
1
6
(1, 1, 2)
a b 2c
6
0 Ÿ a + b ± 2c = 0;
1 Ÿ a 2 + b2 + c2 = 1.
( a, b, c ) ˜ ( a, b, c)
Como a = b, entonces c = b. Por lo tanto, reemplazando estos valores en la
ecuación a 2 + b2 + c2 = 1, obtenemos el tercer vector:
§ 1
1
1 ·
,r
,r
¨r
¸.
3
3
3¹
©
De esta manera la base buscada tiene la siguiente forma:
­ 1
1
1
½
(1, 1, 0),
(1, 1, 2),
(r1, r 1, r 1) ¾ . ’
®
6
3
¯ 2
¿
EJ E M P L O 6.4.15
Considérese el subespacio de ƒ4 generado por los vectores u1 = (1, 0, 1, 0) y
u2 = (1, -1, 1, -1), para construir una base ortonormal v1, v2 para el subespacio y luego
construir una base ortonormal para ƒ4 que contenga a v1 y v2.
SO L U C I O N
Dados los vectores u1 = (1, 0, 1, 0) y u2 = (1, -1, 1, -1), ortogonalizamos y luego
normalizamos cada uno de estos vectores:
v1 = (1, 0, 1, 0);
¢(1, 1,1, 1) ˜ (1, 0,1, 0)²
v2 (1, 1,1, 1) (1, 0,1, 0)
¢(1, 0,1, 0) ˜ (1, 0,1, 0)²
(1, 1,1, 1) (1, 0,1, 0) (0, 1, 0, 1) .
La base ortogonal esta formada por los vectores:
^(1, 0,1, 0), (0, 1, 0, 1)` .
Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal:
1
­ 1
½
(1, 0,1, 0),
(0, 1, 0, 1) ¾ .
®
2
¯ 2
¿
Para construir la base ortonormal para ƒ4, tomamos un vector (a, b, c, d) que cumpla
las siguientes condiciones:
1
ac
( a , b, c, d ) ˜
(1, 0,1, 0) 0 Ÿ
0 Ÿ a + c = 0;
2
2
( a , b, c, d ) ˜
( x, y, z, t )
1
2
(0, 1, 0, 1)
0 Ÿ
( x, y, z, t ) ˜ ( x, y, z, t )
b d
2
0 Ÿ b + d = 0;
1 Ÿ x2 + y2 + z2 + t2 = 1.
Como a = -c y b = -d, entonces reemplazando estos valores en la ecuación x2 + y2
+ z2 + t2 = 1, obtenemos el tercer vector:
1
(0, 1, 0,1) .
2
Para encontrar el cuarto vector hacemos que c = -a y d = -b, reemplazando estos
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
298
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
valores en la ecuación x2 + y2 + z2 + t2 = 1, obtenemos el vector:
1
(1, 0, 1, 0) .
2
De esta manera hemos encontrado la base de ƒ4:
1
1
1
­ 1
½
(1, 0,1, 0),
(0, 1, 0, 1),
(0, 1, 0,1),
(1, 0, 1, 0) ¾ . ’
®
2
2
2
¯ 2
¿
Un sistema de vectores e1, e2, ..., en considerados en un orden determinado ha sido
llamado sistema de coordenadas de un espacio vectorial V, si e1, e2, ..., en forman una
base del espacio vectorial V. Si e1, e2, ..., en es una base ortonormal, también el
sistema de coordenadas se denomina ortonormal.
T E O R E M A 6.4.8
Cualquier sistema ortonormalizado de vectores w1, w2, ..., wk puede ser
completado hasta obtener una base ortonormalizada de este espacio.
EJ E M P L O 6.4.16
Sea S = {e1, e2, e3, e4} base canónica en ƒ4. Hallar un vector normalizado que sea
ortogonal a los vectores
u = 3e1 ± e2 ± e3 ± e4, v = e1 - 3e2 + e3 + e4 y w = e1 + e2 - 3e3 + e4.
SO L U C I O N
Como u = (3, -1, -1, -1), v = (1, -3, 1, 1) y w = (1, 1, -3, 1), debemos encontrar un
vector unitario z que sea ortogonal a u, v y w, es decir:
(3, 1, 1, 1) ˜
(1, 3,1,1) ˜
(1,1, 3,1) ˜
( a , b, c, d )
a 2 b2 c 2 d 2
( a , b, c, d )
2
2
2
a b c d
2
( a , b, c, d )
0 Ÿ
0 Ÿ
0 Ÿ
3a b c d
0
a 2 b2 c 2 d 2
a 3b c d
a 2 b2 c 2 d 2
0
a b 3c d
0
a b c d
a 2 b2 c 2 d 2
Estas operaciones generan el siguiente sistema de ecuaciones homogéneas
­3 a b c d 0
°
® a 3b c d 0
° a b 3c d 0
¯
Por eliminación gaussiana, tenemos a = b = c = d. Por lo tanto una posible solución
particular es (1, 1, 1, 1) y el vector buscado es
(1,1,1,1)
§ 1 1 1 1·
z
¨r , r , r , r ¸. ’
2
2
2
2
© 2 2 2 2¹
1 1 1 1
2
2
2
2
PR O B L E M AS
6.4.1 Dados los vectores u = (1, -1, 2, -1), v = (-2, 2, 3, 2),
w = (1, 2, 0, 1) y x = (1, 0, 0, 1). Encuentre una base
ortonormal con respecto al producto interior canónico y
luego determine el vector de coordenadas de y = (-1, 1, -1,
1) con respecto a la base.
6.4.12 Sea V un subespacio r-dimensional de ƒn tal
que r < n. Demuestre que cualquier vector u en ƒn
puede expresarse de manera única en la forma u = v +
w, donde v está en V y w es ortogonal a todo vector en
V.
6.4.17 Sea S = {u1, u2, ..., un} una base de ƒn. Demuestre
que el único vector v  ƒn ortogonal a todos y cada uno de
los vectores de S es el vector ‡.
6.4.11 Sea S = {u1, u2, ..., uk} un conjunto ortogonal de k
vectores en ƒn. Demuestre que si k > n, entonces alguno
de los vectores de este conjunto es el vector ‡.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
6.4.2 Para cualquier subespacio U de dimensión m t 1 en
un espacio vectorial V de dimensión n (m < n), demostrar
que V tiene una base ortonormal formada de m vectores en
U y n ± m vectores ortogonales a todos los vectores en U.
6.4.3 Sea un espacio vectorial V de dimensión n, entonces
cualquier conjunto de n vectores ortogonales es una base de
V.
6.4.4
Para que dos subespacios sean ortogonales, es
necesario y suficiente que todo vector de cualquier base de
un subespacio sea ortogonal a todos los vectores de
cualquier base de otro subespacio.
6.4.5 Completar los siguientes sistemas de vectores hasta
bases ortonormales:
­§ 11
2 2· § 2
14 1 · ½
a.- ®¨ , , ¸ , ¨ , , ¸ ¾ ;
¯© 5 15 3 ¹ © 15 15 3 ¹ ¿
­§ 1 1 1 1 · § 1 1 1 1 · ½
b.- ®¨ , , , ¸ , ¨ , , , ¸ ¾ .
¯© 2 2 2 2 ¹ © 2 2 2 2 ¹ ¿
6.4.6 Sea ^u1, u2 « un` una base ortonormal de un
espacio euclídeo. Hallar la expresión del producto interior
de los vectores arbitrarios u y v haciendo uso de sus
coordenadas:
a.- En la base ^O1u1, O2u2«Onun`, donde O1, O2«On
son escalares no nulos;
b.- En la base ^u1 + u2, u2, u3«un`.
6.4.7 Describe los vectores u  ƒ3 que son ortogonales al
vector (-3, 4 , 3). Verifique que éste es un subespacio de ƒ3
del tipo S = {(x, y, z) / ax + by + cz = 0}. Más en general,
demuestre que todo subespacio S de ƒ3 como el anterior,
es descrito como S = {u  ƒ / ¢u ˜ v² = 0} para algún
v  ƒ3.
6.4.15 Escriba de manera vectorial cada una de las rectas
dadas a continuación. Es decir, como un conjunto de
vectores (x , y)  ƒ2 tales que (x, y) = (0, b) + t(1, m), t 
R, haciendo una gráfica en cada caso:
a.- y = 5x;
b.- y = 2x ± 1;
c.- y = - x + 5;
d.- y = -3x ±1; e.- y = x ± 7.
6.4.16 Considere la recta
L = {(x, y) / (x, y) = (0, 3) + t(1, 2), t  ƒ}.
Verifique que (2, 7)  L. ¿Significa esto que el vector (2,
7) se encuentra sobre la recta L?
6.4.18 Se sabe que todo conjunto ortogonal de n vectores
no nulos en ƒn es una base de este espacio. ¿Es cierta la
afirmación recíproca?
6.4.13 Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a
los vectores (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3).
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
299
6.4.8 Agregar a la matriz
§1 1 1 2 1 ·
¨
¸
¨ 1 0 0 1 2 ¸
¨ 2 1 1 0 2 ¸
©
¹
dos filas más, que sean ortogonales entre sí y ortogonales
a las primeras tres filas.
6.4.9 Mediante el proceso de ortogonalización, construir
una base ortogonal del subespacio dado por el sistema de
vectores:
a.- ^(2, 3, -4, -6), (1, 8, -2, -16), (12, 5, -14, 5), (3, 11, 4, 7)`;
b.- ^(1, 1, -1, -2), (-2, 1, 5, 11), (0, 3, 3, 7), (3, -3, -3, -9)`.
6.4.10 Para el sistema de ecuaciones
­3 x y z u 0
®
¯x 2 y z u 0
hallar un sistema fundamental ortonormal de soluciones.
6.4.14 Sea {u1, u2, ..., uk} un subconjunto ortonormal
de ƒn y sea u cualquier vector en ƒn. Demuestre que
2
u
k
t ¦ ¢ u ˜ ui ² 2 .
i 1
6.4.25 Sea {u1, u2, ..., un} una base ortonormal de ƒn.
Demuestre que
u
2
¢u ˜ u1 ²
2
¢u ˜ u2 ²
2
... ¢u ˜ un ²
2
para cualquier vector u en ƒn.
6.4.26 Determine los números a 0, b0, b1, c0, c1, c2 de
modo que las funciones f(x) = c0, g(x) = b0 + b1x, h(x) =
c0 + c1x + c2x2 formen un conjunto ortonormal sobre el
intervalo ± 1 d x d 1.
6.4.27 Demostrar que si las funciones f(x), g(x), h(x)
forman un conjunto ortogonal sobre un intervalo a d x d
b, entonces las funciones f(Dt + E), g(Dt + E), h(Dt + E),
D z 0, forman un conjunto ortogonal sobre el intervalo
a E
b E
dt d
.
D
D
6.4.28 Agregar a la matriz
§ 3 1 1 1 2 ·
¨
¸
¨ 1 1 1 2 2 ¸
¨ 1 2 1 3 1 ¸
©
¹
dos filas más, que sean ortogonales entre sí y ortogonales
a las primeras tres filas.
6.4.19 Mediante el proceso de ortonormalización, hallar
una base ortogonal del espacio engendrado por los
vectores (1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0).
JOE GARCIA ARCOS
300
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
6.4.20 Considere la base canónica de ƒ3. Determine la
matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(2/3, 2/3, 1/3), (2/3, 1/3, -2/3), (1/3, 2/3, 2/3)} es una base
ortonormal. Verifique que se trata de una matriz ortogonal.
¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S?
6.4.21 Hallar un vector normalizado que sea ortogonal a
los vectores (1, 1, 1, 1), (1, -1, -1, 1), (2, 1, 1, 3).
6.4.22 Construir una base ortonormal del espacio,
tomando como vectores de la base los vectores (1/2, 1/2,
1/2, 1/2) y (1/6, 1/6, 1/2, -5/6).
6.4.23 Considere la base canónica de ƒ2. Determine la
matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(½, ½,
½, ½), (½, ½, -½, -½), (½, -½, ½, -½), (½, -½, -½, ½)} es
una base ortonormal. Verifique que se trata de una matriz
ortogonal. ¿Cuál es la matriz de cambio de base de S´ a S?
6.4.30 Mediante el proceso de ortogonalización, hallar
una base ortogonal del espacio engendrado por los vectores
(1, 2, 1, 3), (4, 1, 1, 1), (3, 1, 1, 0).
6.5 SUB ESP A C I O C O MP L E M E N T O
DIST A N C I A A UN SUB ESP A C I O
6.4.29 Sea S = {(1, -1, 1), (1, 2, -2)} una base de un
subespacio de ƒ3 y sea u = (-1, -1, 3) un vector en el
subespacio:
a.- Exprese u como una combinación lineal de los
vectores en S. Es decir, encuentre las coordenadas de u
con respecto a S;
b.- Aplique el proceso de ortonormalización de GramSchmidt para transformar S en un conjunto ortonormal;
c.- Exprese u como una combinación lineal de los
vectores de la base ortonormal.
6.4.24 Encuentre bases ortonormales para los subespacios
de C 4:
a.- S = {(x, y, z, u)  C 4 / ix ± y + z = 0};
b.- S = {(x, y, z, u)  C 4 / x = iu, y = iz + iu}.
6.4.31 Considere la base canónica de ƒ2. Determine la
matriz de cambio de base de S a S´, en donde S = {(3/5,
4/5), (-4/5, 3/5)} es una base ortonormal. Verifique que se
trata de una matriz ortogonal. ¿Cuál es la matriz de
cambio de base de S´ a S?
O R T O G O N A L, PR O Y E C C I O N ES O R T O G O N A L ES Y
En esta sección se estudiarán varios problemas relacionados con el complemento ortogonal, proyecciones
ortogonales y la distancia de un vector a un subespacio.
Consideremos ahora un conjunto no vacío cualquiera S de vectores de un espacio
vectorial V. El conjunto de todos los vectores del espacio V ortogonales a S se llama
complemento ortogonal del conjunto S.
D E F IN I C I O N 6.5.1
Sea V un espacio vectorial euclídeo y S es un subconjunto de V. El
complemento ortogonal de S en V es definido y representado por el
subespacio SA = {v  V / ¢v ˜ w² = 0, para cada w  S}.
Si U es un subespacio de dimensión finita de V, la proyección ortogonal ProyU : V
o V es la única operación lineal donde ProyU(w) = w para todo W  U, y ProyU(v)
= ‡ para todo v  U A.
T E O R E M A 6.5.1
Dado V un espacio vectorial euclídeo, entonces U A es un subespacio de V.
D E M OST R A C I O N
Si u y v pertenecen al complemento ortogonal U A y w es un vector cualquiera de U,
se tiene
¢au + bv ˜ w² = a¢u ˜ w² + b¢v ˜ w² = 0.
Por consiguiente, cualesquiera que sean a y b el vector au + bv está contenido en U A
y U A es un subespacio vectorial.
D E F IN I C I O N 6.5.2
La totalidad de todos los vectores ortogonales al subespacio U, se denomina
complemento ortogonal del subespacio U y se representa por U A.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
301
Si U es un subespacio del espacio vectorial euclídeo V, su subespacio ortogonal U A
es tal que la suma de U y U A es directa. El hecho de que en el espacio ordinario
ocurra que U y U A sean siempre subespacios suplementarios puede hacer suponer
que ocurra también así en todo espacio vectorial euclídeo; sin embargo, en general,
las cosas no ocurren de esta manera, aun cuando, si el espacio es de dimensión finita,
se satisfaga que el subespacio ortogonal de un subespacio dado sea un subespacio
suplementario suyo.
T E O R E M A 6.5.2
El espacio euclídeo V es la suma ortogonal de cualquier subespacio
vectorial U de V y su complemento ortogonal U A, es decir V = U † U A.
D E M OST R A C I O N
Sea u1, u2, ..., uk una base ortonormal del subespacio U y sea uk+1, uk+2, ..., un una
base ortonormal del subespacio U A. Para demostrar el teorema es suficiente ver
que u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un es una base del espacio vectorial V. Supongamos,
por el contrario, que el sistema u1, u2, ..., un no es una base del espacio vectorial V.
Entonces este sistema puede ser complementado hasta obtener una base
ortonormal del espacio vectorial V. Sea u uno de los vectores complementarios.
Puesto que u es ortogonal a todos los vectores u1, u2, ..., uk, el vector u está
contenido en U A. Por consiguiente, U A contiene un sistema ortonormal y, por
ende, linealmente independiente de vectores uk+1, uk+2, ..., un, u. Pero esto
contradice a nuestra hipótesis de que uk+1, uk+2, ..., un es una base de U A.
T E O R E M A 6.5.3
Si U es un subespacio de V, entonces DimU + DimU A = n. Además, si {u1,
u2, ..., uk} es una base de U y {uk+1, uk+2, ..., un} es una base de U A, entonces
{u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un} es una base de V.
D E M OST R A C I O N
Si U = {‡}, entonces U A = V y DimU + DimU A = 0 + n = n. Para demostrar que {u1,
u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un} es una base para U, basta probar que los n vectores son
linealmente independientes. Supóngase que
a1u1 + a2u2 + ... + akuk + ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun = ‡
Sean
u = a1u1 + a2u2 + ... + akuk
y
v = ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun
Tenemos entonces que u + v = ‡, de donde u = - v. Por lo tanto, u y v son elementos
de U ˆ U A. Pero U ˆ U A = {‡}. En consecuencia
a1u1 + a2u2 + ... + akuk = ‡
y
ak+1uk+1 + ak+2uk+2 + ... + anun = ‡
Como u1, u2, ..., uk son linealmente independientes, entonces a1 = a2 = ... = ak = 0. De
manera similar uk+1, uk+2, ..., un son linealmente independientes y por tanto, ak+1 = ak+2
= ... = an = 0. En consecuencia, u1, u2, ..., uk, uk+1, uk+2, ..., un son linealmente
independientes y, en consecuencia, forman una base para V.
T E O R E M A 6.5.4
Supóngase que V es un espacio vectorial euclídeo y U es un subespacio de
V de dimensión finita. Entonces la única proyección ortogonal es
ProyU : V o V. Sea S = {w1, w2, ..., wk} una base ortonormal de U. La
proyección ortogonal ProyU se establece como
ProyU(v) = ¢v ˜ w1²w1 + ¢v ˜ w2²w2 + ... + ¢v ˜ wk²wk.
D E M OST R A C I O N
Como S ={w1, w2, ..., wk} es una base ortonormal de U, un vector v se puede expresar
como v = a1w1 + a2w2 + ... + akwk. Para todo vector wi en S se tiene
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302
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
¢v ˜ wi² = ¢a1w1 + a2w2 + ... + akwk ˜ wi² = a1¢w1 ˜ wi² + a2¢w2 ˜ wi² «+ ak¢wk ˜ wi²
Como S es un conjunto ortonormal, entonces se cumple que ¢wi ˜ wi² = 1 y ¢wj ˜ wi² =
0 si i z j. Por consiguiente, la expresión anterior se reduce a ¢v ˜ wi² = ai, con lo cual
queda demostrado el teorema.
Sea U un plano que pasa por el origen de R 3, y sea u un punto arbitrario que no está
en U. Entonces, si v indica la proyección perpendicular de u a U, la distancia de u a
U se define como la longitud del vector u ± v, como se muestra en la figura. Más aún,
el vector v se caracteriza por la propiedad de que es el vector único en U tal que u ± v
es perpendicular a U.
El vector v en la descomposición u = v + w se llamará proyección del vector u sobre
el subespacio U; w, perpendicular trazada desde el vector u al subespacio U; el
propio vector u, línea oblicua al subespacio U.
D E F IN I C I O N 6.5.3
Se denomina ángulo entre el vector u y el subespacio U el menor de los
ángulos formados por el vector u y los vectores de U.
Ahora se hace ver que el vector w, que es llamado la componente de u perpendicular
a U, puede usarse para medir la distancia de u a U. Para hacerlo, sea z z w cualquier
vector en V tal que u ± w pertenezca a U (puede imaginarse a z como un vector de U
al punto u). Entonces, ya que z ± w puede expresarse como la diferencia de dos
vectores en U, también pertenece a U y, así, es ortogonal a w. Ahora se sigue, del
teorema pitagórico, que || z ||2 = || w ||2 + || z ± w ||2 y, luego, ya que || z ± w || > 0, que
|| z || > || w ||. En otras palabras, de todos los vectores z en V tales que u ± z pertenezca
a U, w es aquél cuya longitud es la menor. Esto sirve para justificar la siguiente
definición.
Si U es un subespacio de dimensión finita de un espacio euclídeo V, y u es cualquier
vector en V, entonces la distancia de u a U es la longitud de la componente de u
perpendicular a U.
En términos de una definición se puede describir la proyección perpendicular u ± w
de u sobre U como aquel punto en el cual U está más cercano a u, en el sentido de
que si x es otro vector cualquiera en U, entonces || u ± x || es mayor que || w ||.
EJ E M P L O 6.5.1
§2 1·
Dada la matriz P ¨
¸ . Hallar el conjunto de todas las matrices M tales que
© 4 2¹
P M = M P y determine el complemento ortogonal.
SO L U C I O N
Para determinar el conjunto de matrices M para que cumpla PM = M P, debemos
tomar una matriz M cuyos elementos sean variables y luego multiplicar por la
izquierda y por la derecha de la igualdad a la matriz P, es decir
­4b c 0
°ad 0
§ 2 1 ·§ a b · § a b ·§ 2 1 ·
­4b c 0
°
Ÿ ®
¨
¸¨
¸ ¨
¸¨
¸ Ÿ ®
© 4 2 ¹© c d ¹ © c d ¹© 4 2 ¹
¯ad 0
°ad 0
°¯4b c 0
­ §a b· a d 0 ½
­§ 0 1 · § 1 0 · °
½
°
°
S ®¨
¾ Ÿ Base S = ®¨
¸
¸, ¨
¸¾ .
c
d
4
b
c
0
4
0
0
1
°©
¹
¿
¹ ©
¹°
°̄ ©
¯
¿
Aplicando la definición de complemento ortogonal, obtenemos
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
303
§ a b · § 0 1·
¨
¸˜¨
¸
© c d ¹ © 4 0¹
§ a b · §1 0·
¨
¸ ˜¨
¸
© c d ¹ ©0 1¹
SA
b 4c 0 Ÿ b = - 4 c ;
ad
0 Ÿ a = - d;
­ § a b · b 4c ½
°
®¨
¾. ’
¸
°̄ © c d ¹ a d ¿
EJ E M P L O 6.5.2
Sea V un espacio vectorial con producto interior y sean U y W subespacios de V.
Verifíquese lo siguiente:
a.- Si U  W entonces W A  U A;
b.- Span(U A) = U A;
c.- U  (UA)A;
d.- Si V es de dimensión finita, entonces U = (U A)A;
e.- (U + W)A = U A ˆ W A;
f.- U A + W A  (U ˆ W)A.
SO L U C I O N
a.- Suponga que U  W y que u  W A; entonces ¢u ˜ v² = 0 para todo v  W, luego
para todo v  U; por lo tanto, u  U A.
b.- Por el inciso a), sabemos que Span(U A)  U A. Veremos también que
U  Span(U A). Si u es un elemento de Span(U), entonces u puede escribirse como
combinación lineal de elementos de U, es decir
u = a1u1 + a2u2 + ... + anun para
algunos escalares a1, a2, ..., an y algunos vectores u1, u2, ..., un de U. Por tanto, si
v  U A, tenemos que
¢u ˜ v² = a1¢u1 ˜ v² + a2¢u2 ˜ v² + ... + an¢un ˜ v² = 0
y v pertenece a Span(U A).
c.- Si u  U y v  U A, entonces ¢u ˜ v² = 0. Luego, si u  U, u es ortogonal a todo
elemento de U A; por lo tanto, u  (U A)A. Con esto hemos visto que U  (U A)A.
d.- Basta tener en cuenta que U  (U A)A y que ambos subespacios tienen la misma
dimensión.
e.- Por el inciso a), al estar U y W contenidos en U + W, se tiene que (U + W)A 
U A y (U + W)A  W A, y en consecuencia (U + W)A  U A ˆ W A. Además, si u  U A
ˆ W A y v = v1 + v2  U + W con v1  U y v2  W, ¢u ˜ v² = ¢u ˜ v1² + ¢u ˜ v2² = 0, y
u  (U + W)A.
f.- Del inciso a) se deduce que U A  (U ˆ W)A y W A  (U ˆ W)A, luego, por la
definición de subespacio suma, tenemos que U A + W A  (U ˆ W)A. ’
EJ E M P L O 6.5.3
Demuestre que Span(S) = SAA.
SO L U C I O N
Ya que SAA es un subespacio que contiene a S, Span(S)  SAA. Sabemos que
S  Span(S), SA Š (Span(S))A, SAA  (Span(S))AA = Span(S). ’
EJ E M P L O 6.5.4
Determinar la proyección ortogonal del vector u = (1, 2, 3) sobre el subespacio
generado por el plano a + 2b ± c = 0.
SO L U C I O N
Debemos encontrar la base ortonormal para el subespacio generado por a + 2b ± c =
0. Es decir c = a + 2b y
(a, b, c) = (a, b, a + 2b) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 2).
Por lo tanto {(1, 0, 1), (0, 1, 2)} forman una base para el subespacio. La base
ortonormal la podemos encontrar utilizando el proceso de Gram ± Schmidt;
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304
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
­ 1
1
½
(1, 0,1),
(1,1,1) ¾
®
3
¯ 2
¿
Por lo tanto la proyección ortogonal es
1
1
1
Proy U v (1, 2, 3) ˜
(1, 0,1)
(1, 0,1) (1, 2, 3) ˜
(1,1,1)
2
2
3
1
3
(1,1,1)
4
4
§ 2 4 10 ·
(1, 0,1) (1,1,1) ¨ , ,
¸. ’
2
3
©3 3 3 ¹
EJ E M P L O 6.5.5
Si V es el espacio vectorial de polinomios con coeficientes reales definidos en el
intervalo [-1; 1], encuentre el subespacio complemento ortogonal:
a.- W = {1, t, t2}; b.- W = {t + t2, t2 + t3}.
SO L U C I O N
a.- Tomamos un genérico de P2, a + bt + ct2, tales que cumpla con las siguientes
condiciones:
1
2(3a c )
¢ a bt ct 2 ˜1² ³ ( a bt ct 2 )dt
0 Ÿ 3a + c = 0;
1
3
1
2b
¢ a bt ct 2 ˜ t ² ³ ( a bt ct 2 )t dt
0 Ÿ b = 0;
1
3
1
2(5a 3c )
¢ a bt ct 2 ˜ t 2 ² ³ ( a bt ct 2 )t 2 dt
0 Ÿ 5a + 3c = 0.
1
15
Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, obtenemos que a = b = c = 0.
Por lo tanto W A = {‡}.
b.- Tomamos un genérico de P3, a + bt + ct2 + dt3, tales que cumpla con las
siguientes condiciones:
1
2(5a 5b 3c 3d )
¢ a bt ct 2 dt 3 ˜ t t 2 ² ³ ( a bt ct 2 dt 3 )(t t 2 )dt
0
1
15
5a + 5b + 3c + 3d = 0;
¢ a bt ct 2 dt 3 ˜ t 2 t 3 ²
1
³ 1 (a bt ct
2
dt 3 )(t 2 t 3 )dt
2(35a 21b 21c 15d )
105
35a + 21b + 21c + 15d = 0.
0
Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, obtenemos que a
3c 29d
,
5
35
10d
. Por lo tanto el subespacio complemento ortogonal es:
7
3c 29d
10d ½
­
W A ® a bt ct 2 dt 3  P3 / a ,b ¾.
5
35
7 ¿
¯
La base de este subespacio se encuentra de la siguiente manera:
§ 3c 29d 10d
·
§ 3
·
§ 29 10
·
( a , b, c, d ) ¨ ,
, c, d ¸ c ¨ , 0,1, 0 ¸ d ¨ , , 0,1¸ .
5
35
7
5
35
7
©
¹
©
¹
©
¹
Entonces la base es:
{3 5t 2 , 29 50t 5t 3} . ’
b EJ E M P L O 6.5.6
¿Dónde está la proyección del vector (1, 1, 1) sobre el plano S generado por los
vectores (1, 0, 0) y (1, 1, 0)?
SO L U C I O N
Para encontrar la proyección del vector sobre el plano, tenemos que encontrar una
base ortonormal del plano. Es decir:
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
305
¢(1,1, 0) ˜ (1, 0, 0)²
(1, 0, 0) (1,1, 0) (1, 0, 0) (0,1, 0) .
¢(1, 0, 0) ˜ (1, 0, 0)²
La base ortogonal es {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}. Normalizando cada uno de estos vectores
obtenemos la base ortonormal, que es precisamente la base ortogonal. Procedemos a
encontrar la proyección del vector sobre el plano S:
ProySu = ¢(1, 1, 1) ˜ (1, 0, 0)²(1, 0, 0) + ¢(1, 1, 1) ˜ (0, 1, 0)²(0, 1, 0)
= (1, 0, 0) + (0, 1, 0) = (1, 1, 0).
Con este resultado podemos darnos cuenta que, la proyección del vector (1, 1, 1)
sobre el plano S, está ubicado en el plano XY. ’
v1 (1, 0, 0) ; v2
(1,1, 0) EJ E M P L O 6.5.7
Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3, 4) sobre el subespacio de R 4 generado
por los vectores (1, 0, 1, 0) y (1, -1, 1, -1).
SO L U C I O N
Para encontrar la proyección del vector sobre el subespacio, tenemos que encontrar
una base ortonormal del subespacio. Es decir:
v1 (1, 0,1, 0) ;
¢(1, 1,1, 1) ˜ (1, 0,1, 0)²
v2 (1, 1,1, 1) (1, 0,1, 0)
¢(1, 0,1, 0) ˜ (1, 0,1, 0)²
(1, 1,1, 1) (1, 0,1, 0) (0, 1, 0, 1) .
La base ortogonal es
{(1, 0, 1, 0), (0, -1, 0, -1)}.
Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal:
1
­ 1
½
(1, 0,1, 0),
(0, 1, 0, 1) ¾ .
®
2
¯ 2
¿
Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano S:
1
1
Proy W u (1, 2, 3, 4) ˜
(1, 0,1, 0)
(1, 0,1, 0) 2
2
(1, 2, 3, 4) ˜
1
2
2(1, 0,1, 0) 3(0, 1, 0, 1) (2, 3, 2, 3) . ’
(0, 1, 0, 1)
1
2
(0, 1, 0, 1)
EJ E M P L O 6.5.8
Encontrar la proyección del vector (1, 2, 3) sobre el plano dado implícitamente por
x + y + z = 0.
SO L U C I O N
Para encontrar la proyección del vector sobre el subespacio, tenemos que encontrar
una base ortonormal del subespacio. Es decir:
v1 (1,1, 0) ;
¢(1, 0,1) ˜ (1,1, 0)²
1
§ 1 1 ·
(1,1, 0) (1, 0,1) (1,1, 0) ¨ , ,1¸
¢(1,1, 0) ˜ (1,1, 0)²
2
© 2 2 ¹
La base ortogonal es
­
§ 1 1 ·½
®(1,1, 0), ¨ , ,1¸ ¾ .
© 2 2 ¹¿
¯
Normalizando cada uno de estos vectores obtenemos la base ortonormal:
­ 1
1
½
(1,1, 0),
(1, 1, 2) ¾ .
®
2
6
¯
¿
Procedemos a encontrar la proyección del vector sobre el plano S:
v2
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(1, 0,1) JOE GARCIA ARCOS
306
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
Proy W u
(1, 2, 3) ˜
1
2
(1,1, 0)
1
2
(1,1, 0) (1, 2, 3) ˜
1
6
(1, 1, 2)
1
6
(1, 1, 2)
1
1
(1,1, 0) (1, 1, 2) (1, 0,1) . ’
2
2
EJ E M P L O 6.5.9
Para cada uno de los subespacios W de R 4, escriba el vector u dado como una suma
de un vector de W y otro de W A:
a.- W = {(a, b, c, d) / a = b}, u = (1, 3, 1, 1);
b.- W = {(a, b, c, d) / a + b + c + d = 0}, u = (2, 1, 1, 0);
c.- W = {(1, 3, 1, 1), (2, -1, 0, 1)}, u = (1, 3, 1, 0);
d.- W = {(2, 1, -1, 0), (3, 1, 0, 1)}, u = (2, 1, 0, 1).
SO L U C I O N
a.- La base de W la encontramos de la siguiente manera:
(a, b, c, d) = (b, b, c, d) = b(1, 1, 0, 0) + c(0, 0, 1, 0) + d(0, 0, 0, 1)
{(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.
Ortonormalizamos esta base, obtenemos:
­ 1
½
(1,1, 0, 0), (0, 0,1, 0), (0, 0, 0,1) ¾ .
®
2
¯
¿
Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera:
1
v
¢(1, 3,1,1) ˜ (1,1, 0, 0)²(1,1, 0, 0) ¢(1, 3,1,1) ˜ (0, 0,1, 0)² (0, 0,1, 0) 2
¢(1, 3,1,1) ˜ (0, 0, 0,1)² (0, 0, 0,1)
2(1,1, 0, 0) (0, 0,1, 0) (0, 0, 0,1) (2, 2,1,1) .
Sabemos que w = u ± v  W A, de donde:
w = (1, 3, 1, 1) ± (2, 2, 1, 1) = (-1, 1, 0, 0).
De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de
W A.
b.- La base de W la encontramos de la siguiente manera:
(a, b, c, d) = (- b ± c ± d, b, c, d) = b(-1, 1, 0, 0) + c(-1, 0, 1, 0) + d(-1, 0, 0, 1)
{(-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1)}.
Ortonormalizamos esta base, obtenemos:
­ 1
1
1
½
(1,1, 0, 0),
(1, 1, 2, 0),
( 1, 1, 1, 3) ¾ .
®
6
2 3
¯ 2
¿
Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera:
1
1
v
¢(2,1,1, 0) ˜ (1,1, 0, 0)² (1,1, 0, 0) ¢(2,1,1, 0) ˜ (1, 1, 2, 0)² (1, 1, 2, 0) 2
6
1
¢(2,1,1, 0) ˜ (1, 1, 1, 3)² (1, 1, 1, 3)
12
1
1
1
(1,1, 0, 0) (1, 1, 2, 0) (1, 1, 1, 3) (1, 0, 0, 1) .
2
6
3
Sabemos que w = u ± v  W A, de donde: w (2,1,1, 0) (1, 0, 0, 1) (1,1,1,1) .
De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de
W A.
c.- Sabemos que W es base. Por lo tanto tenemos que encontrar la base ortonormal:
­ 1
1
½
(1, 3,1,1),
(2, 1, 0,1) ¾ .
®
6
¯2 3
¿
Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera:
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ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
307
1
1
¢(1, 3,1, 0) ˜ (1, 3,1,1)² (1, 3,1,1) ¢(1, 3,1, 0) ˜ (2, 1, 0,1)² (2, 1, 0,1)
12
6
11
1
7
35 11 3 ·
§
(1, 3,1,1) (2, 1, 0,1) ¨ , , , ¸
12
6
© 12 12 12 4 ¹
Sabemos que w = u ± v  W A, de donde:
3·
§ 7 35 11 3 · § 5 1 1
w (1, 3,1, 0) ¨ , , , ¸ ¨ , , , ¸ .
12
12
12
4
12
12
12
4¹
©
¹ ©
De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de
W A.
d.- Sabemos que W es base. Por lo tanto tenemos que encontrar la base ortonormal:
­ 1
1
½
(2,1, 1, 0),
(4, 1, 7, 6) ¾ .
®
102
¯ 6
¿
Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera:
1
1
v
¢(2,1, 0,1) ˜ (2,1, 1, 0)² (2,1, 1, 0) ¢(2,1, 0,1) ˜ (4, 1, 7, 6)² (4, 1, 7, 6)
6
102
5
13
§ 37 12 1 13 ·
(2,1, 1, 0) (4, 1, 7, 6) ¨ , , , ¸
6
102
© 17 17 17 17 ¹
Sabemos que w = u ± v  W A, de donde:
1 4·
§ 37 12 1 13 · § 3 5
w (2,1, 0,1) ¨ , , , ¸ ¨ , , , ¸ .
© 17 17 17 17 ¹ © 17 17 17 17 ¹
De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de
W A. ’
v
EJ E M P L O 6.5.10
Sea W el espacio solución del sistema homogéneo de ecuaciones lineales
­ 2 a b c 3d 0
°
®4 a 4b 4c 8d 0
° 3a 3b 3c 6d 0
¯
Escriba el vector (7, -4, -1, 2) como una suma de un vector en W y otro en W A.
SO L U C I O N
La base de este subespacio es:
{(0, -1, 1, 0), (-5, 7, 0, 1)}
Ortonormalizando esta base, obtenemos:
­ 1
1
½
(0, 1,1, 0),
(10, 7, 7, 2) ¾ .
®
202
¯ 2
¿
Encontramos el vector v = ProyW u  W de la siguiente manera:
1
v
¢(7, 4, 1, 2) ˜ (0, 1,1, 0)² (0, 1,1, 0) 2
1
¢(7, 4, 1, 2) ˜ (10, 7, 7, 2)²(10, 7, 7, 2)
202
3
1
(0, 1,1, 0) (10, 7, 7, 2) (5, 5, 2, 1) .
2
2
Sabemos que w = u ± v  W A, de donde:
w = (7, -4, -1, 2) ± (5, -5, -2, -1) = (2, 1, 1, 3).
De esta manera se expresa el vector u como la suma de un vector de W y otro de
W A. ’
EJ E M P L O 6.5.11
Encuentre la proyección ortogonal de cada uno de los vectores siguientes en [-S; S]
sobre el subespacio indicado W, y calcular la distancia del vector al subespacio y el
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
308
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
ángulo formado por el vector y el subespacio:
a.- f(t) = t, W = {1, Cost, Sent}; b.- f(t) = Cos2t, W = {1, Cos2t}.
SO L U C I O N
a.- Para encontrar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio W,
debemos ortonormalizar la base del subespacio W:
¢1˜ Cost ²
S
³S Cost dt
0 ; ¢1˜ Sent ²
S
³S Sent dt
S
³S CostSent dt
¢ Cost ˜ Sent ²
0;
0.
La base ortogonal es:
{1, Cost, Sent}.
Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal:
¢1˜1²
1
Sent
S
³S dt
2S ;
Cost
S
2
La proyección ortogonal es:
1 S
1 S
1
Proy W f (t )
t dt ˜1 ³ tCost dt ˜ Cost ³
S
S
2S
S
S
1 2Sent .
La distancia del vector al subespacio es:
f (t ) Proy W f (t )
2
S;
­ 1
1
1
½
S; ®
,
Cost ,
Sent ¾ .
S
¯ 2S S
¿
³S Sen t dt
¢ Sent ˜ Sent ²
S
³S Cos t dt
¢ Cost ˜ Cost ²
S
³S tSent dt
˜ Sent
S
³S (t 1 2Sent )
¢t 1 2Sent ˜ t 1 2Sent ²
2
dt
2S(S2 3)
.
3
El ángulo formado por el vector y el subespacio es:
¢t ˜1 2Sent ²
‘( f (t ), Proy W f (t )) ArcCos
t 1 2Sent
S
³S t (1 2Sent ) dt
ArcCos
S
³S t
2
S
³S (1 2Sent )
dt
2
dt
2
ArcCos .
S
b.- Para encontrar la proyección ortogonal del vector sobre el subespacio W,
debemos ortonormalizar la base del subespacio W:
¢1˜ Cos 2t ²
S
³S Cos2t dt
0.
La base ortogonal es:
{1, Cos2t}.
Normalizando cada uno de estos vectores, obtenemos la base ortonormal:
1
Cos 2t
¢1˜1²
S
³S dt
¢ Cos 2t ˜ Cos 2t ²
2S ;
S
³S Cos
2
2t dt
S;
­ 1
1
½
,
Cos 2t ¾ .
®
2
S
S
¯
¿
La proyección ortogonal es:
1 S
1
Proy W f (t )
Cos 2 t dt ˜1 2S ³S
S
1 1
Cos 2t Cos 2 t .
2 2
La distancia del vector al subespacio es:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
S
³S Cos tCos2t dt
2
˜ Cos 2t
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
309
f (t ) Proy W f (t )
S
³S 0 dt
¢ Cos 2 t Cos 2 t ˜ Cos 2 t Cos 2 t ²
0.
El ángulo formado por el vector y el subespacio es:
¢ Cos 2 t ˜ Cos 2 t ²
‘( f (t ), Proy W f (t )) ArcCos
Cos 2 t Cos 2 t
S
ArcCos
³S Cos
S
³S Cos
4
t dt
4
t dt
S
³S Cos
0. ’
4
t dt
PR O B L E M AS
6.5.1 Sea W la recta en R 2 cuya ecuación es y = 3x.
Encontrar una ecuación para W A.
vértices son:
a.- A = (1, 4, 2), B = (3, -1, 2), C = (0, 6, 1);
b.- A = (0, 2, 1), B = (-1, 3, -2), C = (1, -3, -2).
6.5.2 Sea W el plano en R 3 cuya ecuación es 2x ± y ± 2z
=0. Encuentre las ecuaciones paramétricas para W A.
6.5.3 El subespacio U es la suma ortogonal de los
subespacios U 1 y U 2. El vector u es ortogonal al subespacio
U 1. Demuestre que el ángulo formado por u y U es igual al
ángulo comprendido entre u y U 2.
3
6.5.4 Sea W la recta en R con ecuaciones paramétricas x
= 2t, y = -5t, z = 4t, -f < t < +f. Determine una ecuación
para W A.
6.5.5 Sea {u1, u2« uk} una base para un subespacio W
de V. Demuestre que W A consta de todos los vectores en V
que son ortogonales a todos los vectores básicos.
6.5.6 En cada uno de los incisos siguientes, encuentre el
vector u, proyección del vector y sobre el vector x.
Verifique en cada caso que el vector obtenido es ortogonal
a y ± u:
a.- x = (3, -2, 1), y = ( 1, -1, 2);
b.- x = (4, -5 7), y = (2, -2, 1);
c.- x = (1, 1, 3), y = (4 ,1, 2).
6.5.7 Hallar el ángulo entre los vectores del espacio R 4,
engendrado por los vectores u1, u2«um y el vector u:
a.- u = (1, 3, -1, 3), u1 = (1, -1, 1, 1),
u2 = (5, 1, -3, 3);
b.- u = (2, 2, -1, 1), u1 = (1, -1, 1, 1),
u2 = (-1, 2, 3, 1), u3 = (1, 0, 5, 3).
6.5.8 En el espacio R 4 se dan dos planos, engendrados por
los vectores u1, u2 y v1, v2. Entre los ángulos formados por
los vectores del primer plano con los vectores del segundo
plano, hallar el mínimo:
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
a.- u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0),
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (2, -2, 5, 2);
b.- u1 = (1, 0, 0, 0), u2 = (0, 1, 0, 0),
v1 = (1, 1, 1, 1), v2 = (1, -1, 1, -1).
6.5.9 Use el concepto de proyección de un vector sobre
otro para calcular el área del triángulo cuyos
§ 5 3 ·
d.- u ¨
¸,
©2 4 ¹
­
°§ 2 1· § 4 3 · § 1 0 · ½
°
S ®¨
¸, ¨
¸, ¨
¸¾ ;
3
5
5
7
7
11
°©
°
¹ ©
¹ ©
¹¿
¯
§8 7·
e.- u ¨
¸,
© 4 5¹
­
°§ 3 2 · § 2 3 · § 1 1· ½
°
S ®¨
¸, ¨
¸, ¨
¸¾ ;
1
4
2
3
1
7
°©
¹ ©
¹ ©
¹°
¯
¿
2
3
§
·
f.- u ¨
¸,
4
5
©
¹
­
°§ 1 2 · § 3 4 · § 4 5 · ½
°
S ®¨
¸, ¨
¸, ¨
¸¾ ;
7
8
1
2
6
7
°©
¹ ©
¹ ©
¹°
¯
¿
g.- p(t ) 2t 2 3t 1 ,
S
^4t
2
`
3t 1, 5t 2 11t 3 ;
h.- u = (-3, 0, -5, 9),
­ 3x 2 y z 2u 0
°
S ®5 x 4 y 3z 2u 0 .
° x 2 y 3z 10u 0
¯
6.1510 Sea v el vector de R 3 cuyo punto inicial está en
(1, -1, 5) y cuyo punto final está en (5, 4, -3). Encuentre la
proyección del vector (2, 2, 1) sobre v.
6.5.11 Descomponer el vector u en una suma de dos
vectores, uno de los cuales esté situado en el espacio
engendrado por los vectores u1, u2 « um y el otro sea
ortogonal a este espacio
a.- u = (5,2, -2, 2), u1 = (2, 1, 1, -1), u2 = (1, 1, 3, 0);
JOE GARCIA ARCOS
310
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
b.- u = (-3, 5, 9, 3), u1 = (1, 1, 1, 1),
u2 = (2, -1, 1, 1), u3 = (2, -7, -1, -1).
6.5.12 Hallar la proyección ortogonal del vector u sobre el
subespacio generado por el conjunto S:
a.- u = (14, -3, -6, -7),
S = {(-3, 0, 7, 6), (1, 4, 3, 2), (2, 2, -2, -2)};
b.- u = (2, -5, 3, 4),
S = {(1, 3, 3, 5), (1, 3, -5, -3), (1, -5, 3, -3)};
c.- u = (2, -1, 1, 2),
S = {(6, -3, 2, 4), (6, -3, 4, 8), (4, -2, 1, 1)};
6.5.13 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones
polinómicas definidas sobre el intervalo [-1; 1] y sea W el
subespacio de V que consta de todas las funciones
polinómicas impares. Encuentre W A, donde
¢ p ˜ q²
1
³ 1 p( x)q( x)dx .
6.5.15 En el espacio Pn de polinomios de grado d n con
coeficientes reales, el producto interior de polinomios se
determina por la fórmula ¢ p ˜ q² a0b0 a1b1 ... anbn .
Hallar el complemento ortogonal:
a.Del subespacio de todos los polinomios que
satisfacen la condición p(1) = 0;
b.- Del subespacio de todos los polinomios pares del
espacio Pn.
6.5.16 La suma directa de los subespacios U y U
engendra el espacio euclídeo V. Demostrar que esto es
también correcto para sus complementos ortogonales, es
decir, V = U1A + U 2A .
6.5.17 Encuentre la base del complemento ortogonal del
subespacio generado por el sistema de vectores del
espacio R 4:
{(1, 3, 0, 2), (3, 7, -1, 2), (2, 4, -1, 0)}
6.5.14 Demuestre que la suma de ángulos que un vector u
forma con un subespacio arbitrario U y su complemento
ortogonal U A es igual a S/2.
6.6 C U EST I O N A RI O
Responda verdadero (V) o falso (F) a cada una de las siguientes afirmaciones. Para las afirmaciones que sean falsas,
indicar por que lo es:
6.6.1 Un conjunto ortonormal de vectores es linealmente
dependiente.
6.6.2 Una matriz cuadrada de orden n es unitaria si y sólo
si sus filas constituyen un conjunto ortonormal.
6.6.3
El espacio euclídeo V es la suma directa de
cualquier subespacio suyo y del complemento ortogonal de
éste.
6.6.4 Sean U y W subespacios vectoriales de un espacio
euclídeo V con la particularidad de que la dimensión de U
es inferior a la de W; entonces en W habrá un vector no
nulo, ortogonal a todos los vectores de U.
6.6.5 Cualquier sistema de vectores no nulos ortogonales
de dos en dos es linealmente dependiente.
6.6.6 Sea U A complemento ortogonal del subespacio U
cada uno de los cuales es ortogonal a todos los vectores de
U, entonces la suma de las dimensiones de U y U A es igual
a la dimensión del espacio vectorial que los genera.
6.6.7
Para que dos subespacios U y W sean
recíprocamente ortogonales es necesario y suficiente que
todos los vectores de uno sean ortogonales a todos los
vectores del otro.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
6.6.8 El cuadrado del lado de un triángulo es igual a la
suma de los cuadrados de los dos otros lados con el
producto duplicado de estos lados por el coseno del
ángulo entre ellos.
6.6.9 Entre todos los vectores del subespacio vectorial U
el ángulo mínimo con el vector u dado lo forma la
proyección ortogonal v del vector u sobre U.
6.6.10 El coseno del ángulo entre vectores, es superior
por su valor absoluto a la unidad.
6.6.11 El cuadrado de la diagonal de un paralelogramo ndimensional es igual a suma de los cuadrados de sus
aristas que salen de un mismo vértice.
6.6.12 Si V es un espacio unitario y si S es un conjunto de
vectores diferentes de cero y perpendiculares entre sí,
entonces el conjunto S el linealmente dependiente.
6.6.13 La representación del subespacio vectorial U del
espacio V y de su complemento ortogonal U A en una base
ortonormal están relacionadas de la siguiente manera: los
coeficientes del sistema linealmente independiente de
ecuaciones lineales, que determina uno de esos
subespacios, sirven de coordenadas de los vectores de la
base del otro subespacio.
JOE GARCIA ARCOS
ESPACIOS EUCLIDEOS Y HERMITICOS
6.6.14 La suma de los cuadrados de las diagonales del
paralelogramo s igual a la suma de los cuadrados de sus
lados.
6.6.15 La intersección de dos subespacios recíprocamente
ortogonales es el vector nulo.
6.6.16 Todo vector de V que es ortonormal a U pertenece
a W.
311
6.6.18 Los vectores no nulos ortonormales dos a dos son
linealmente dependientes.
6.6.19 En todo espacio euclídeo V existen bases
ortonormales.
6.6.20 Si U es un subespacio de V y S es una base
ortonormal de U, los vectores de S pueden ser incluidos en
una base ortonormal de todo el espacio.
6.6.17 Dos vectores se dice son ortogonales si el producto
interior de estos vectores es igual a la unidad.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
O BJE T I V O
Resolver problemas relacionados con transformaciones lineales, mediante la interpretación y representación en
términos de matrices, determinantes, rango e inversa y sistemas de ecuaciones lineales, en situaciones reales,
propias de la ingeniería.
C O N T E NI D O :
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
7.9
DEFINICIONES Y PROPIEDADES
REPRESENTACION MATRICIAL. MATRIZ DE CAMBIO DE BASE
ALGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES
NUCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
TRANSFORMACIONES LINEALES INVERSIBLES
TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R2
TRANSFORMACIONES GRAFICAS EN R3
FORMAS LINEALES. ESPACIO DUAL
CUESTIONARIO
7.1 D E F I NI C I O N ES Y PR OPI E D A D ES
En esta sección se definirán y estudiarán transformaciones lineales de un espacio vectorial U a un espacio
vectorial V. Analizaremos y demostraremos sus propiedades más importantes. La atención se centrará en una
clase especial de tales funciones denominadas transformaciones lineales. Las transformaciones lineales son
fundamentales en el estudio del álgebra lineal y tienen muchas aplicaciones importantes.
En este capítulo, estudiaremos un tipo especial de función definida en un espacio
vectorial U y que toma los valores que son vectores en el mismo o en otro espacio
vectorial V, las cuales no alteran a las combinaciones lineales. Esta función se llama
transformación lineal. Estas transformaciones se pueden representar por medio de
matrices, en el mismo sentido que los vectores se representan por medio de n-adas.
Esta representación requiere que se definan las operaciones de adición,
multiplicación por escalares y multiplicación de matrices, de modo que correspondan
a estas operaciones con las transformaciones lineales.
La matriz que representa a una transformación lineal de U hacia V, depende de la
elección de una base en U y una base en V. Nuestro primer problema, que se repite
siempre que se usan matrices para representar cualquier cosa, es ver en qué forma un
cambio en la elección de las bases determina un cambio correspondiente en la matriz
que representa a la transformación lineal. Dos matrices que representan la misma
transformación lineal con respecto a conjuntos diferentes de bases, deben tener
algunas propiedades en común. Esto conduce a la idea de relaciones de equivalencia
entre dos matrices. La naturaleza exacta de esta relación de equivalencia depende de
314
TRANSFORMACIONES LINEALES
las bases que se permitan. En este capítulo no se imponen restricciones sobre las
bases que se permiten y obtenemos la clase de equivalencia más amplia.
D E F IN I C I O N 7.1.1
Sean U y V dos espacios vectoriales, ambos definidos sobre el mismo
cuerpo K . Una transformación lineal f de U hacia V es una aplicación
uniforme de U en V que asocia a cada elemento u de U, un elemento único
f(u) de V de tal forma que se cumplen los axiomas siguientes:
1.- Para todo u, v de U, entonces: f(u + v) = f(u) + f(v);
2.- Para todo u de U y para todo escalar O, entonces: f(Ou) = Of(u).
Observe que en esta identidad, la adición y la multiplicación escalar del primer
miembro, tienen lugar en U, mientras que las del segundo miembro tienen lugar en
V. A f(u) se le da el nombre de imagen de u bajo la transformación lineal f. Además
vemos que, para tener una transformación lineal,
f(u + v) = f(u) + f(v) y f(Ou) = Of(u).
Hablando en términos generales, la imagen de la suma es la suma de las imágenes
y la imagen del producto es el producto de las imágenes. Este lenguaje descriptivo
se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las operaciones antes y
después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a cabo en espacios
vectoriales diferentes.
EJ E M P L O 7.1.1
Determinar cuál de las siguientes funciones f : R 3 o R 3, define una transformación
lineal:
a.- f((a, b, c)) = (a + 2b ± 3c, 3a - b + 5c, a ± b ± c);
b.- f((a, b, c)) = (a + b + c, a + b + c, a + b + c);
c.- f((a, b, c)) = (2a - 2b + 3c, a ± b + c, 3a - 5b + 3c);
d.- f((a, b, c)) = (3a - 5b, 2a - 2b, a + b2).
SO L U C I O N
Sean u = (m, n, p) y v = (r, s, t) dos vectores del espacio de salida R 3 y sean D, E
escalares, entonces:
Du + Ev = (Dm + E r, Dn + Es, Dp + Et).
a.- f(Du + Ev) = (Dm + E r + 2Dn + 2Es - 3Dp - 3E t, 3Dm + 3E r - Dn - Es + 5Dp +
+ 5E t, Dm + E r ± Dn - Es - Dp - E t)
= (Dm + 2Dn - 3Dp, 3Dm - Dn + 5Dp, Dm - Dn - Dp) + (E r + 2Es - 3E t,
3E r - Es + 5E t, E r - Es - E t)
= D(m + 2n - 3p, 3m - n + 5p, m - n - p) + E( r + 2s - 3t, 3 r - s + 5t, r - s - t)
= Df(u) + E f(v).
Por lo tanto f es transformación lineal.
b.- f(Du + Ev) = (Dm + E r + Dn + Es + Dp + E t, Dm + E r + Dn + E s + Dp + E t,
Dm + E r + Dn + Es + Dp + E t)
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
TRANSFORMACIONES LINEALES
315
= (Dm + Dn + Dp, Dm + Dn + Dp, Dm + Dn + Dp) + (E r + Es + E t, E r + Es + E t,
E r + E s + E t)
= D(m + n + p, m + n + p, m + n + p) + E( r + s + t, r + s + t, r + s + t)
= Df(u) + E f(v).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- f(Du + Ev) = (2Dm + 2E r - 2Dn - 2Es + 3Dp + 3E t, Dm + E r - Dn - Es + Dp +
E t, 3Dm + 3E r ± 5Dn - 5E s + 3Dp + 3E t)
= (2Dm - 2Dn + 3Dp, Dm - Dn + Dp, 3Dm - 5Dn + 3Dp) + (2E r - 2Es + 3E t,
E r - Es + E t, 3E r - 5Es + 3E t)
= D(2m - 2n + 3p, m - n + p, 3m - 5n + 3p) + E(2 r - 2s + 3t, r - s + t, 3 r - 5s + 3t)
= Df(u) + E f(v).
Por lo tanto f es transformación lineal.
d.- f(Du + Ev) = (3Dm + 3E r - 5Dn - 5Es, 2Dm + 2E r - 2Dn - 2Es, Dm + E r + (Dn
+ Es)2)
= (3Dm + 3E r - 5Dn - 5Es, 2Dm + 2E r - 2Dn - 2Es, Dm + E r + D2n2 + 2DEns
2 2
+E s )
= (3Dm - 5Dn, 2Dm - 2Dn, Dm + D2n2 + 2DEns) + (3E r - 5Es, 2E r - 2Es, E r
2 2
+E s )
z Df(u) + E f(v).
Por lo tanto f no es transformación lineal. ’
E J E M P L O 7.1.2
Determinar cuál de las siguientes funciones f : P 2 o P 2 define una transformación
lineal:
a.- f(p(x)) = p(x) ± p(0); b.- f(p(x)) = p(x - 1) ± p(1); c.- f(p(x)) = p(1 + x) ± 2.
SO L U C I O N
Sean q(x) = d + ex + fx2 y h(x) = m + nx + kx2 dos polinomios del espacio de
salida P 2 y sean D, E escalares, entonces:
Dq(x) + Eh(x) = (Dd + Em) + (De + En)x + (Df + E k)x2.
a.- Como p(x) = a + bx + cx2 y p(0) = a , obtenemos p(x) - p(0) = bx + cx2,
entonces
f( a + bx + cx2) = bx + cx2.
Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos:
f(Dq(x) + Eh(x)) = (De + En)x + (Df + E k)x2
= (Dex + Dfx2) + (Enx + E kx2)
= D(ex + fx2) + E(nx + kx2)
= Df(q(x)) + Eh(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
b.- Como p(x - 1) = (a ± b + c) + (b ± 2c)x + cx2 y p(1) = a + b + c , obtenemos
p(x - 1) - p(1) = -2b + (b ± 2c)x + cx2
entonces
f( a + bx + cx2) = -2b + (b ± 2c)x + cx2.
Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos:
f(Dq(x) + Eh(x)) = -2(De + En) + (De + En - 2Df - 2E k)x + (Df + E k)x2
= {-2De + (De - 2Df )x + Dfx2} + {-2En + (En - 2E k)x + E kx2}
= D{-2e + (e - 2f )x + fx2} + E{-2n + (n - 2k)x + kx2}
= Df(q(x)) + Eh(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- Como p(1 + x) = (a + b + c ) + (b + 2c)x + cx2, obtenemos
p(x + 1) - 2 = ( a + b + c ± 2) + (b + 2c)x + cx2,
entonces
f( a + bx + cx2) = ( a + b + c ± 2) + (b + 2c)x + cx2.
Aplicando la definición de transformación lineal, tenemos:
f(Dq(x) + Eh(x)) = (Dd + Em + De + En + Df + E k ± 2) + (De + En + 2Df + 2E k)x +
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
316
TRANSFORMACIONES LINEALES
+ (Df + E k)x2
= {(Dd + De + Df - 2) + (De + 2Df)x + Dfx } + {(Em + En + E k) + (En + 2E k)x
+ E kx2}
2
= {(Dd + De + Df - 2) + (De + 2Df)x + Dfx } + E{(m + n + k) + (n + 2k)x + kx2}
z Df(q(x)) + Eh(x)).
Por lo tanto f no es transformación lineal. ’
2
La observación acerca de la multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos
la transformación lineal a escalares; la transformación lineal se define únicamente
para vectores en U. Aún así, la transformación lineal conserva las operaciones
estructurales en un espacio vectorial y ésta es la razón de su importancia. Al conjunto
U sobre el cual está definida la transformación lineal f se le conoce como dominio de
f. Decimos que V, el conjunto en el cual están definidas las imágenes de f, es el
codominio de f.
Hablando estrictamente, una transformación lineal debe especificar el dominio y el
codominio así como la aplicación. Consideremos ahora las transformaciones lineales
desde el punto de vista geométrico, tomando en cuenta situaciones en el espacio
euclidiano tridimensional, para obtener una interpretación intuitiva de lo que
significa una transformación lineal.
Una consecuencia de la definición es que una transformación lineal siempre aplica el
vector cero de U en el vector cero de V; es decir, f(‡) = ‡. Esta afirmación puede
ser establecida haciendo a = 0 en f(au) = af(u). Si f es una transformación lineal,
entonces f(au) = af(u), afirma que f aplica au sobre un vector f(au), cuya relación con
f(u) en términos de magnitud y dirección es la misma relación de au con u. Como u y
au son vectores paralelos, tenemos que f aplica vectores paralelos en vectores
paralelos. La ecuación f(u + v) = f(u) + f(v) con u, v  R 2 afirma que f aplica un
paralelogramo junto con sus diagonales sobre un paralelogramo junto con sus
diagonales.
El enfoque geométrico es útil para entender cómo es que una transformación lineal
actúa.
La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente
una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se
denomina transformación cero, y se indica por el símbolo ‡. La aplicación que envía
cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica
por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U.
EJ E M P L O 7.1.3
Demuestre que la transformación identidad f : V o V es una transformación lineal.
SO L U C I O N
Sea f : V o V definida por f(v) = v. Entonces
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TRANSFORMACIONES LINEALES
317
f(u + v) = u + v = f(u) + f(v) y f(Du) = Du = Df(u)
lo cual implica que f es una transformación lineal. ’
La transformación lineal f(u) = Ou se conoce como dilatación de u con factor O si
O > 1, y como contracción de u con factor O si 0 < O < 1. Geométricamente, la
dilatación estira a cada vector de u por un factor O, y la contracción de u comprime a
cada vector de u por un factor O.
EJ E M P L O 7.1.4
Sea la transformación f : R 2 o R2 definida por:
a.- f((a, b)) = (a, 5a + b); b.- f((a, b)) = (a + 5b, b).
Verificar que f es lineal y dar su interpretación geométrica.
SO L U C I O N
a.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es
decir
(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d))
= f((ka + rc, kb + rd))
= (ka + rc, 5ka + 5rc + kb + rd)
= (ka, 5ka + kb) + (rc, 5rc + rd)
= k(a, 5a + b) + r(c, 5c + d)
= kf(u) + rf(v).
Obsérvese que, en esta transformación particular, la coordenada u permanece fija
mientras que a la coordenada v se le suma cinco veces la coordenada u. La figura
muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector
f((1, 2)) se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es
paralela al eje v. Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante
en la dirección v con factor 5.
b.- Para la verificación, debemos utilizar la definición de transformación lineal. Es
decir
f(ku + rv) = f(k(a, b) + r(c, d))
= f((ka + rc, kb + rd))
= (ka + rc + 5kb + 5rd, kb + rd)
= (ka + 5kb, kb) + (rc + 5rd, rd)
= k(a + 5b, b) + r(c + 5d, d)
= kf(u) + rf(v).
Podemos observar que, en esta transformación, la coordenada v permanece fija
mientras que a la coordenada u se le suma cinco veces la coordenada v. La figura
muestra lo que pasa con el vector (1, 2). El extremo o terminación del vector f((1, 2))
se encuentra sobre la recta que pasa por el extremo del vector (1, 2) y es paralela al
eje u.
Dicha transformación se denomina transformación lineal cizallante en la dirección u
con factor 5.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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318
TRANSFORMACIONES LINEALES
D E F I N I C I O N 7.1.2
Dos transformaciones lineales f : U o V y g : U o V son iguales, si
ellas son iguales como transformaciones, esto es, f = g si y solamente si
f(u) = g(u), para todo u de U.
T E O R E M A 7.1.1
Sea f una transformación lineal de U en V. Sean u1, u2, ..., un elementos de
U y a1, a2, ..., an escalares. Entonces:
f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un).
D E M OST R A C I O N
Utilizando la definición de transformación lineal, obtenemos
f(a1u1 + a2u2 + ... + anun) = f(a1u1) + f(a2u2 + ... + anun)
= f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + anun)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un).
T E O R E M A 7.1.2
Si ‡ es el elemento neutro del espacio vectorial U, f(‡) es el elemento
neutro de V.
D E M OST R A C I O N
Como
f(u + ‡) = f(u) + f(‡) = f(u).
Por lo tanto, f(‡) es el elemento neutro de V.
T E O R E M A 7.1.3
Si - u es el elemento opuesto de u, entonces se verifica que f(-u) = - f(u).
D E M OST R A C I O N
Como
f(u + (-u)) = f(u) + f(-u) = f(u) ± f(u) = f(‡).
Por lo tanto, f(-u) = - f(u); es decir, la imagen del opuesto de un vector es el opuesto
de la imagen del vector.
T E O R E M A 7.1.4
Sean U y V espacios vectoriales. Sea S = {u1, u2, ..., uk} una base cualquiera
de U y sea S´ = {v1, v2, ..., vk} un conjunto cualquiera de k vectores en V, no
necesariamente linealmente independientes. Entonces existe una
transformación lineal determinada en forma única por f : U o V tal que
f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk.
D E M OST R A C I O N
Demostremos primero que la transformación lineal f : U o V está completamente
determinada cuando se conocen los valores de f(u1), f(u2), ..., f(uk). Para esta
demostración, supóngase que g : U o V también es una transformación lineal y que
f(u1) = g(u1), f(u2) = g(u2), ..., f(uk) = g(uk). Deseamos demostrar que f = g. Para ello,
debemos demostrar que f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, sea u = a1u1 + a2u2 +
... + akuk un vector arbitrario de U, donde a i  K . Si aplicamos f a cada miembro y
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TRANSFORMACIONES LINEALES
319
utilizamos f(ui) = g(ui) para todo i  N, obtenemos
f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + a kuk)
= f(a1u1) + f(a2u2 + ... + a kuk)
= f(a1u1) + f(a2u2) + f(a3u3 + ... + a kuk)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + a kf(uk)
= a1g(u1) + a2g(u2) + ... + akg(uk)
= g(a1u1 + a2u2 + ... + a kuk)
= g(u).
En consecuencia, f(u) = g(u) para todo u en U. Por tanto, f = g. Hemos demostrado
así que los vi son vectores dados de V, hay a lo más una transformación lineal
f : U o V tal que f(ui) = vi. Demostraremos ahora que siempre hay una
transformación lineal f : U o V con f(u1) = v1, f(u2) = v2, ..., f(uk) = vk. Para
demostrar la existencia de f, presentamos primero una función
f : U o V. Más
adelante demostraremos que nuestra f es una transformación lineal. A continuación
se dará una definición de f : U o V. Sea u un vector arbitrario de U, entonces u
puede expresarse en función de la base S, como u = a1u1 + a2u2 + ... + a kuk, los
escalares a i  K se determinan en forma única por u.
Definimos una función f : U o V especificando que f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + a kvk.
Esta función f : U o V queda ahora definida completamente puesto que todos los
valores f(u), u  U, se han determinado. Para demostrar que f es una transformación
lineal, sea v = b1u1 + b2u2 + ... + bkuk, otro vector de U. Sean a y b escalares
arbitrarios. Deseamos demostrar que f(au + bv) = af(u) + bf(v). De v = b1u1 + b2u2 +
... + bkuk y nuestra definición de f, tenemos f(v) = b1v1 + b2v2 + ... + bkvk.
Multiplicando cada miembro de u por a y cada miembro de v por b, y sumando
luego, obtenemos
au + bv = a(a1u1 + a2u2 + ... + akuk) + b(b1u1 + b2u2 + ... + bkuk)
= (aa1 + bb1)u1 + (aa2 + bb2)u2 + ... + (aa k + bbk)uk.
Por la definición de f, vemos que
f(au + bv) = (aa1 + bb1)f(u1) + (aa2 + bb2)f(u2) + ... + (aa k + bbk)f(uk)
= aa1v1 + aa2v2 + ... + aa kvk + bb1v1 + bb2v2 + ... + bbkvk
= a(a1v1 + a2v2 + ... + a kvk) + b(b1v1 + b2v2 + ... + bkvk)
= af(u) + bf(v).
Por lo tanto f(au + bv) = af(u) + bf(v). En consecuencia, la función f : U o V es una
transformación lineal. Es fácil observar, por f(u) = a1v1 + a2v2 + ... + a kvk, que
f(ui) = vi.
EJ E M P L O 7.1.5
Sea f una transformación lineal de R 3 en R 3, suponga que
f((1, 0, 1)) = (1, -1, 3), f((2, 1, 0)) = (0, 2, 1), f((1, -1, 1)) = (3, -1 2)
Determine f((-1, -2, 3)).
SO L U C I O N
Hacemos la combinación lineal con el vector (-1, -2, 3):
(-1, -2, 3) = a(1, 0, 1) + b(2, 1, 0)
resolvemos el sistema generado:
­ a 2b 1
­a 3
°
Ÿ ®
.
® a 3
¯b 2
° b 2
¯
Encontramos la imagen pedida:
f((-1, -2, 3)) = 3f((1, 0, 1)) ± 2f((2, 1, 0))
= 3(1, -1, 3) ± 2(0, 2, 1) = (3, -7, 7). ’
EJ E M P L O 7.1.6
Sea f una transformación lineal de R 3 en P2 tal que
f((1, 1, 1)) = 1 ± 2x + x2, f((2, 0, 0)) = 3 + x ± x2,
Determine f((2, -3, 1)).
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
f((0, 4, 5)) = 2 + 3x + 3x2
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320
TRANSFORMACIONES LINEALES
SO L U C I O N
Hacemos la combinación lineal con el vector (2, -3, 1):
(2, -3, 1) = a(1, 1, 1) + b(2, 0, 0) + c(0, 4, 5)
resolvemos el sistema generado:
­ a 2b 2
°
® a 4 c 3
° a 5c 1
¯
§1 2 0 2 · § 1 2 0 2 · § 1 0 4 3 · § 1 0 0 19 ·
¨
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸
¨1 0 4 3 ¸ | ¨ 0 2 4 5 ¸ | ¨ 0 2 4 5 ¸ | ¨ 0 2 0 21 ¸ .
¨1 0 5 1 ¸ ¨ 0 2 5 1 ¸ ¨ 0 0 1 4 ¸ ¨ 0 0 1 4 ¸
©
¹ ©
¹ ©
¹ ©
¹
Encontramos la imagen pedida:
21
f ((2, 3,1)) 19 f ((1,1,1)) f ((2, 0, 0)) 4 f ((0, 4, 5))
2
21
19(1 2 x x 2 ) (3 x x 2 ) 4(2 3x 3x 2 )
2
41 121
35 2
x x . ’
2
2
2
EJ E M P L O 7.1.7
Sea S = {u1, u2, u3}, un conjunto de vectores linealmente independientes en R 3.
Determine una transformación lineal f de R 3 en R 3 tal que el conjunto {f(u1), f(u2),
f(u3)} sea linealmente dependiente.
SO L U C I O N
Sea f : R 3 o R 3 definida por f((x, y, z)) = (0, 0, 0). Entonces si {u1, u2, u3} es
cualquier conjunto de vectores en R 3, el conjunto {f(u1), f(u2), f(u3)} = {‡, ‡, ‡} sea
linealmente dependiente. ’
La aplicación que envía cada vector en U sobre el vector cero en V es claramente
una transformación lineal de U en V para todos los U y V. Esta transformación, se
denomina transformación cero, y se indica por el símbolo ‡. La aplicación que envía
cada vector en U sobre sí mismo, se denomina transformación idéntica, y se indica
por el símbolo i. La ecuación que define a i es i(u) = u, para cualesquier u de U.
EJ E M P L O 7.1.8
Determinar cuál de las siguientes funciones f : :(n, n) o :(n, n) define una
transformación lineal:
a.- f(A) = ATA; b.- f(A) = AB + AT; c.- f(A) = Det(A); d.- f(A) = PAP-1;
e.- f(B) = A-1BA; f.- f(A) = AT + A+; g.- f(A) = OAC + MCA.
SO L U C I O N
Sean B y C dos matrices del espacio de salida :(n, n) y sean D, E escalares,
entonces:
a.- f(DB + EC) = (DB + EC)T(DB + EC) = (DBT + ECT)(DB + EC)
= D2BTB + DEBTC + DECTB + E2CTC z DBTB + ECTC.
Por lo tanto f no es transformación lineal.
b.- f(DC + ED) = (DC + ED)B + (DC + ED)T = DCB + EDB + DCT + EDT
= D(CB + CT) + E(DB + DT) = Df(C) + Ef(D).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- f(DC + ED) = det(DC + ED) z det(DC) + det(ED).
Por lo tanto f no es transformación lineal.
d.- f(DC + ED) = O(DC + ED)E + ME(DC + ED) = ODCE + OEDE + MDEC + MEED
= D(OCE + MEC) + E(ODE + MED) = Df(C) + Ef(D).
Por lo tanto f es transformación lineal.
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TRANSFORMACIONES LINEALES
321
e.- f(DB + EC) = A-1(DB + EC)A = A-1(DBA + ECA) = DA-1BA + EA-1CA
= D(A-1BA) + E(A-1CA) = Df(B) + Ef(C).
Por lo tanto f es transformación lineal.
f.- f(DB + EC) = (DB + EC)T + (DB + EC)+ = (DB)T + (EC)T + (DB)+ + (EC)+
T
T
+
+
­
°Į% ȕ& Į % ȕ & z Įf % ȕ f & Į ȕ  &
.
=®
T
T
+
+
Įf % ȕ f & Į ȕ  5
°̄ Į% ȕ& Į% ȕ&
Por lo tanto f es transformación lineal si D, E  R.
g.- f(DB + ED) = O(DB + ED)C + MC(DB + ED) = ODBC + OEDC + MDCB + MECD
= D(OBC + MCB) + E(ODC + MCD) = Df(B) + Ef(D).
Por lo tanto f es transformación lineal. ’
EJ E M P L O 7.1.9
Determinar cuál de las siguientes funciones define una transformación lineal en el
espacio de los polinomios de grado menor o igual a 3:
a.- f(p(x)) = (p(x))2;
b.- f(p(x)) = p(x + 1) - p(x);
c.- f(p(x)) = p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x); d.- f(p(x)) = p(x + 1) ± p´(0).
SO L U C I O N
Sean p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, q(x) = ex3 + fx2 + gx + h dos polinomios del espacio
de salida P3 y sean D, E escalares, entonces:
Dq(x) + Eh(x) = (Da + Ee)x3 + (Db + Ef)x2 + (Dc + Eg)x + (Dd + Eh).
a.- f(Dp(x) + Eq(x)) = (Dp(x) + Eq(x))2 = D2p2(x) + 2DEp(x)q(x) + E2q2(x)
z Df(p(x)) + Ef(q(x)).
Por lo tanto f no es transformación lineal.
b.- f(Dp(x) + Eq(x)) = (Dp + Eq)(x + 1) - (Dp + Eq)(x)
= Dp(x + 1) + Eq(x + 1) - Dp(x) - Eq(x)
= [Dp(x + 1) + Dp(x)] + [Eq(x + 1) + Eq(x)]
= D[p(x + 1) + p(x)] + E[q(x + 1) + q(x)]
= Df(p(x)) + Ef(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
c.- f(Dp(x) + Eq(x)) = (Dp + Eq)´´(x) - 2(Dp + Eq)´(x) + 3(Dp + Eq)(x)
= Dp´´(x) + Eq´´(x) - 2Dp´(x) - 2Eq´(x) + 3Dp(x) + 3Eq(x)
= [Dp´´(x) - 2Dp´(x) + 3Dp(x)] + [Eq´´(x) - 2Eq´(x) + 3Eq(x)]
= D[p´´(x) - 2p´(x) + 3p(x)] + E[q´´(x) - 2q´(x) + 3q(x)]
= Df(p(x)) + Ef(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal.
d.- f(Dp(x) + Eq(x)) = (Dp + Eq)(x + 1) - (Dp + Eq)´(0)
= Dp(x + 1) + Eq(x + 1) - Dp´(0) - Eq´(0)
= [Dp(x + 1) + Dp´(0)] + [Eq(x + 1) + Eq´(0)]
= D[p(x + 1) + p´(0)] + E[q(x + 1) + q´(0)]
= Df(p(x)) + Ef(q(x)).
Por lo tanto f es transformación lineal. ’
Considere la transformación lineal que aplica a todo vector de U sobre el vector cero
de V. Esta aplicación se llama aplicación cero. Si W es cualquier subespacio de V,
existe también una aplicación cero de U hacia W, y esta aplicación tiene el mismo
efecto sobre los elementos de U, como la aplicación cero de U hacia V. Sin embargo,
son transformaciones lineales diferentes, ya que tienen codominios diferentes.
Este lenguaje descriptivo se tiene que interpretar con cierta amplitud, ya que las
operaciones antes y después de aplicar la transformación lineal pueden llevarse a
cabo en espacios vectoriales diferentes. Además, la observación acerca de la
multiplicación escalar es inexacta, ya que no aplicamos la transformación lineal a
escalares; la transformación lineal se define únicamente para vectores en U. Aún
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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322
TRANSFORMACIONES LINEALES
así, la transformación lineal conserva las operaciones estructurales en un espacio
vectorial y ésta es la razón de su importancia. Una consecuencia de la definición
es que una transformación lineal siempre aplica el vector cero de U en el vector
cero de V; es decir, f(‡) = ‡. Esta afirmación puede ser establecida haciendo
a = 0 en f( au) = af(u).
EJ E M P L O 7.1.10
Considérese ahora C como un espacio vectorial sobre C. Defínase una función f de
C en C por f ( z ) z . ¿Es f una transformación lineal?
SO L U C I O N
Sean u = a + ib y v = c + id dos vectores del espacio de salida C y sean D, E
escalares, entonces:
f(Du + Ev) = f((Da + Ec) + i(Db + Ed)) (Da Ec) i (Db Ed )
= (Dr + Ex) - i(Db + Ed) = D(a - ib) + E(c - id)
z Df(u) + Ef(v).
Por lo tanto f no es transformación lineal. ’
EJ E M P L O 7.1.11
Considere el espacio vectorial de los números complejos C sobre R. Sea a un
número complejo fijo. Defínase f una aplicación de C en C por f(z) = (3 - 2i)z + a.
Determine el valor de a para que f sea transformación lineal.
SO L U C I O N
Tomamos el número complejo nulo y luego encontramos su imagen:
f(0 + i0) = (3 ± 2i)(0 + i0) + a = 0 + i0 + a = a.
Para que f sea transformación lineal, debe cumplirse que f(0 + i0) = 0 + i0, de donde
a = 0. ’
EJ E M P L O 7.1.12
¿Es la multiplicación de cada vector geométrico por su longitud una transformación
lineal?
SO L U C I O N
En este caso tenemos que f (u ) u u . Sean v y w dos vectores del espacio de
salida y sean D, E escalares, entonces:
f (Dv Ew) (Dv Ew) (Dv Ew) d (Dv Ew)( Dv Ew )
Por lo tanto f no es transformación lineal. ’
EJ E M P L O 7.1.13
a.- Muestre que la línea que pasa por los vectores u y v en R n puede escribirse en la
forma paramétrica x = (1 ± t)u + tv.
b.- El segmento de línea de u a v es el conjunto de los puntos de la forma (1 ± t)u +
tv para 0 d t d 1. Muestre que una transformación lineal f transforma este segmento
de línea sobre un segmento de línea o sobre un punto.
SO L U C I O N
a.- La línea que pasa por u y v es paralela al vector v ± u. Puesto que la línea pasa a
través de u, una ecuación paramétrica de la línea es
x = u + t(v ± u) = u ± tu + tv = (1 ± t)u + tv.
b.- Por la linealidad de f:
f((1 ± t)u + tv) = (1 ± t)f(u) + tf(v) para 0 d t d 1.
Si f(u) y f(v) son distintos, las imágenes forman el segmento de línea entre f(u) y
f(v). De otro modo, todas las imágenes coinciden con un punto, f(u). ’
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
TRANSFORMACIONES LINEALES
323
PR O B L E M AS
7.1.1 Verifíquese que cada uno de los siguientes es
transformación lineal de U en V:
a.- U = C>0; 1@, V = V 1, T(f) = f(0).
b.- U = C>0; 1@, V = V 1, T(f) = f(0) + f(1).
c.- U = C>0; 1@, V = V 2, T(f) = (f(0) + f(1)).
d.- U = V 2, V = C> a ; b@, T(x1, x2) = x1ex + x2e2x.
e.- U = C>0; 1@, V = C>0; 1@, T(f) = f(x) Cosx.
f.- U = C (1)> a ; b@, V = C> a ; b@, T(f) = f ´(x)Senx.
g.- U = C (2)> a ; b@, V = C> a ; b@,
T(f) = xf ´´ - f ´ + exf.
(3)
h.- U = C > a ; b@, V = C> a ; b@,
T(f) = f ´´´ + f ´´ + f ´ + f.
i.- U = C> a ; b@, V = C> a ; b@, T ( f )
x t
³0 e
f (t )dt .
(1)
j.- U = C > a ; b@, V = C> a ; b@,
T( f )
x
³0
f (t )dt 3 f ´( x) .
7.1.2 Demuestre que la transformación f definida por
f((x, y)) = (4x ± 2y, 3~y~) no es lineal.
7.1.3 Suponga que f : R 2 o R 2 tal que f((1, 0)) = (1, 0) y
f((0, 1)) = (0, 0). Determine f((x, y)) en R 2 y dé una
interpretación geométrica de f.
7.1.4 Sean U y V espacios vectoriales sobre K, siendo U
bidimensional. Sean S = {u1, u2} una base de U, y v1 y v2
dos vectores cualesquiera de V. Defínase f de U en V de la
siguiente manera: Si u  U, entonces u = au1 + bu2 para los
únicos escalares a y b. Hágase f(u) = av1 + bv2. Demuestre
que f es transformación lineal.
7.1.5 Sea f : R 2 o R 2 una transformación lineal que
transforma u = (1, 5) en (2, 0) y transforma v = (3, 1) en
(1, -4). Use el hecho de que f es lineal para encontrar las
imágenes bajo f de 2u y 3u + 5v.
7.1.6 Sea V un espacio con producto interior con un
subespacio que tiene a S = {w1, w2, ..., wk} como una base
ortonormal. Demuestre que la función f : V o V dada por
f(u) = ¢v ˜ w1²w1 + ¢v ˜ w2²w2 + ... + ¢v ˜ wk²wk
es una transformación lineal.
7.1.7 Se da el espacio vectorial de los vectores u = ae1 +
be2 + ce3 + de4, donde a, b, c, d son todos los números
reales posibles. Sea k un número real fijo. ¿Es lineal la
transformación f definida por la igualdad
f(u) = ae1 + be2 + ce3 + de4?
7.1.8 Verifíquese que si a 1, b1, a 2, b2 son números reales,
entonces
T(x1, x2) = (a 1x1 + a 2x2, b1x1 + b2x2)
Es transformación lineal de R 2 en R 2.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
7.1.9 Sea f : :(n, n) o R definida por Tr(A) = a11 + a22 +
... + ann. Demuestre que f es una transformación lineal.
7.1.10 Sea V un espacio con producto interior. Para un
vector fijo w en V, se define f : V o R por f(v) = ¢v ˜ w².
Demuestre que f es una transformación lineal.
7.1.11 Para cada uno de los conjuntos de condiciones
que se enuncian, determínese si existe una
transformación lineal T de U en V que cumpla con las
condiciones dadas:
a.- U = V 2, V = V 2, T(1, 1) = (1, 2),
T(1, -1) = (0, 3).
b.- U = V 2, V = V 2, T(1, 1) = (1, 0),
T(1, -1) = (3, 0), T(2, 3) = (1, 0).
c.- U = V 2, V = V 2, T(1, 2) = (1, 3),
T(2, 1) = (2, 0), T(1, 1) = (1, 1).
d.- U = P, V = P, T(1) = 0,
T(xn) = xn+1 para n t 1.
e.- U = P, V = P, T(1) = x, T(x + 1) = x2,
T(x2 - 1) = x3.
f.- U = P, V = P, T(1) = x2, T(x - 1) = x,
T(x2 + x) = x, T(x2) = x2.
7.1.12 Sea f una transformación lineal de P2 en P2 tal que
f(1) = x, f(x) = 1 + x y f(x2) = 1 + x + x2.
Determine f(2 ± 6x + x2).
7.1.13 Suponga que f : R 2 o R 2 tal que f((1, 0)) = (0, 1)
y f((0, 1)) = (1, 0). Determine f((x, y)) en R 2 y dé una
interpretación geométrica de f.
7.1.14 Sea f : R o R tal que f (u) proyv u , donde
v = (1, 1):
a.- Determine f((x, y)).
b.- Determine f((3, 4)) y f(f((3, 4))) y dé una interpretación
geométrica del resultado.
7.1.15 Trazar la imagen del cuadrado unitario cuyos
vértices son los puntos (0, 0), (1, 0), (1, 1) y (0, 1) bajo
la transformación lineal dada:
a.- f es una reflexión en el eje x.
b.- f es una reflexión en la recta y = x.
c.- f es la contracción f((x, y)) = (x/2, y).
7.1.16 Sea f la transformación lineal de R 2 en R 2
definida por
f(( a , b)) = (aCosT - bSenT, a SenT + bCosT).
Determine:
a.- f((4, 4)) para T = 45°;
b.- f((2, -1)) para T = 30°;
c.- f((5, -1)) para T = 120°.
JOE GARCIA ARCOS
324
TRANSFORMACIONES LINEALES
7.1.17 Determinar la imagen del cubo unitario cuyos
vértices son
(0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 0, 1),
(1, 1, 1) y (0, 1, 1)
cuando es rotado 45° alrededor del eje Z, y cuando es
rotado 90° alrededor del eje X.
7.1.18 Demuéstrese que, si ninguno de los espacios U y
V es el espacio cero y si uno de ellos es de dimensión
infinita, entonces el conjunto de las transformaciones
lineales de U en V es un espacio vectorial de dimensión
infinita.
7.1.19 Una traslación es una función de la forma f((x, y)) =
(x ± h, y ± k), donde por lo menos una de las constantes h o
k es diferente de cero:
a.- Demuestre que una traslación en el plano no es una
transformación lineal.
b.- Para la traslación f((x, y)) = (x ± 2, y + 1), determine las
imágenes de (0, 0), (2, -1) y (5, 4).
c.- Demuestre que una traslación en el plano no tiene
puntos fijos.
7.1.20 Sean u, v vectores en R n. Puede demostrarse que
el conjunto S de todos los puntos del paralelogramo
determinado por u y v tiene la forma Du + Ev, para 0 d D
d 1, 0 d E d 1. Sea f : R n o R n una transformación
lineal. Explique por qué la imagen de un punto en S bajo
la transformación f yace en el paralelogramo
determinado por f(u) y f(v).
7.1.21 Un vector u es un punto fijo de una transformación
lineal f : V o V si f(u) = u:
a.- Demuestre que ‡ es un punto fijo de cualquier
transformación lineal f : V o V.
b.- Demuestre que el conjunto de puntos fijos de una
transformación lineal f : V o V es un subespacio de V.
c.- Determine todos los puntos fijos de la transformación
lineal f : R 2 o R 2 dada por f((x, y)) = (x, 2y).
d.- f es la dilatación definida por f((x, y)) = (x, 3y).
e.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida
por f((x, y)) = (x + 2y, y).
f.- f es la deformación por esfuerzo cortante definida por
f((x, y)) = (x, 3x + y).
7.1.22 Dado v z ‡ y u en R n, la línea que pasa por u en
la dirección de v, tiene la ecuación paramétrica w = u +
tv. Demuestre que una transformación lineal f : R n o R n
transforma esta línea sobre otra línea o sobre un único
punto.
7.1.23 Si S es transformación lineal de R 3 en R 2 y si
S(1, 0, 0) = ( a 1, b1), S(0, 1, 0) = ( a 2, b2),
S(0, 0, 1) = ( a 3, b3),
entonces T y S son la misma transformación.
7.1.24 Sean e1, e2, u = (3, -5) y v = (-2, 7), y sea
f : R 2 o R 2 una transformación lineal que transforma e1
en u y e2 en v. Encuentre las imágenes de (7, 6) y de
(x, y).
7.2 R EPR ESE N T A C I O N M A T RI C I A L. M A T RI Z D E C A M BI O D E B ASE
En esta sección se demostrará que si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas, entonces con un poco
de ingenio cualquier transformación lineal f de U en V se puede expresar en forma matricial como f(u) = Au, en
cualesquiera bases.
Se pueden usar las matrices para representar una gran variedad de diferentes
conceptos matemáticos. La forma en que se manejan las matrices, depende de los
objetivos que representen. Considerando la amplia variedad de situaciones en las
cuales las matrices tienen aplicación, existe una notable semejanza en las
operaciones que se efectúan con las matrices en estas situaciones. Sin embargo,
también existen diferencias y, para entenderlas, debemos entender el objeto
representado y qué información se puede esperar trabajando con las matrices. Las
matrices no solamente nos proporcionan un medio conveniente para realizar todo
cálculo necesario con las transformaciones lineales, sino que la teoría de los espacios
vectoriales y las transformaciones lineales también demuestra ser una herramienta
poderosa en el desarrollo de las propiedades de las matrices.
A continuación damos a conocer un método general para construir la matriz de la
transformación lineal que actúa del espacio vectorial U en el espacio vectorial V.
Suponga que a los vectores de la base S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio vectorial U les
están asignados unos vectores y S2 = {v1, v2, ..., vn} del espacio vectorial V. En
este caso existe una transformación lineal f y es, además, única, que actúa de U en V
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TRANSFORMACIONES LINEALES
325
y que transforma todo vector de S1 en el vector correspondiente de S2. Suponga que
la transformación buscada f existe. Tómese un vector arbitrario u de U y represéntelo
en forma de un desarrollo u = a1u1 + a2u2 + ... + anun, entonces
f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)
= a1v1 + a2v2 + ... + anvn.
El segundo miembro de esta identidad se determina unívocamente por el vector u
y las imágenes de la base. Por esta razón, la igualdad obtenida demuestra la
unicidad de la transformación f, si éste existe. Por otra parte, podemos definir la
transformación f precisamente mediante esta igualdad, es decir, poner f(u) = a 1v1
+ a 2v2 + ... + a nvn. La transformación obtenida, es una transformación lineal que
actúa de U en V y transforma, a la vez, todo vector de S1 en el vector
correspondiente de S2. El dominio de la transformación f coincide con el
subespacio generado por el sistema de vectores S2.
Ahora podemos enunciar el siguiente teorema:
T E O R E M A 7.2.1
La transformación lineal f que actúa del espacio U en el espacio V está
completamente definido mediante la totalidad de imágenes f(u1), f(u2), ...,
f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U.
D E M OST R A C I O N
Fijemos en el espacio U la base S1 = {u1, u2, ..., un} y en el espacio V, la base
S2 = {v1, v2, ..., vm}. El vector u1 se transforma por la transformación f en cierto
vector f(u1) del espacio V, el cual, como todo vector de este espacio, puede ser
desarrollado por vectores básicos
f(u1) = a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm
f(u2) = a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm
...
f(un) = an1v1 + an2v2 + ... + anmvm
Los coeficientes a ij de estas combinaciones lineales determinan una matriz A de m
filas y n columnas
am1 ·
§ a11 a21
¨
¸
a
a22
am 2 ¸
A ¨ 12
¨
¸
¨¨
¸
amn ¸¹
© a1n a2 n
que se denomina matriz de la transformación f en bases elegidas. Como columnas de
la matriz de la transformación sirven los coeficientes de la cada combinación, en
otras palabras, las coordenadas de los vectores f(u1), f(u2), ..., f(un) respecto de la base
S2. Con el fin de determinar el elemento a ij de la matriz de la transformación f hace
falta aplicar la transformación al vector uj y tomar la i-ésima coordenada en la
imagen f(uj). En lo sucesivo haremos uso del método descrito para determinar los
elementos de la matriz de la transformación. Considere un vector arbitrario u de U y
su imagen v = f(u). Aclaremos de qué modo se expresar las coordenadas del vector v
en términos de las coordenadas del vector u y los elementos de la matriz de la
transformación. Sea
u = a1u1 + a2u2 + ... + anun
y
v = b1v1 + b2v2 + ... + bmvm
calculamos
f(u) = f(a1u1 + a2u2 + ... + anun)
= a1f(u1) + a2f(u2) + ... + anf(un)
= a1[a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm] + a2[a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm] + ... + an[an1v1 +
an2v2 + ... + anmvm]
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326
TRANSFORMACIONES LINEALES
= [a1a11 + a2a21 + ... + anan1]v1 + [a1a12 + a2a22 + ... + anan2]v2 + ... + [a1a1m +
a2a2m + ... + ananm]vm
Al comparar el segundo miembro de estas igualdades con el desarrollo de v,
concluimos que deben cumplirse las igualdades
a11a1 + a21a2 + ... + an1an = b1
a12a1 + a22a2 + ... + an2an = b2
...
a1ma1 + a2ma2 + ... + anman = bm
De esta manera, toda transformación lineal genera, cuando están definidas las
bases en los espacios U y V, las identidades antes mencionadas que relacionan
entre sí las coordenadas de la imagen y las de la preimagen. Con el fin de
determinar las coordenadas de la imagen según las coordenadas de la preimagen
basta calcular los primeros miembros de estas identidades.
Siendo determinadas las bases en los espacios U y V, la igualdad coordenada permite
investigar totalmente la acción de una transformación lineal. Evidentemente, cuanto
más simple es la forma de la matriz de una transformación, tanto más eficaz será la
realización de dicha investigación. Generalmente las matrices de las
transformaciones dependen de las bases y la tarea inmediata consiste en aclarar esta
dependencia.
Sean S1 = {u1, u2, ..., um} y S2 = {v1, v2, ..., vm} dos bases del espacio vectorial U. Los
vectores de S2 se definen unívocamente mediante sus descomposiciones
­v1 a11u1 a12 u2 ... a1m um
° v a u a u ... a u
° 2
21 1
22 2
2m m
(1)
®
...
°
°¯vm am1u1 am 2 u2 ... amm um
según los vectores de S1. Los coeficientes a ij determinan la matriz
§ a11 a21 ... am1 ·
¨
¸
a
a22 ... am 2 ¸
P ¨ 12
¨ ...
...
... ¸
¨¨
¸¸
© a1m a2 m ... amm ¹
la cual se denomina matriz de la transformación de coordenadas al pasar de la base
S1 a la base S2.
Tómese un vector arbitrario u de U y descompóngase según los vectores de ambas
bases. Sea
u = b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm
De acuerdo con (1) tenemos
b1u1 + b2u2 + ... + bmum = c1v1 + c2v2 + ... + cmvm
= c1(a11u1 + a12u2 + ... + a1mum) + c2(a21u1 + a22u2 + ... +
a2mum) + ... + cm(am1u1 + am2u2 + ... + ammum)
= (a11c1 + a21c2 + ... + am1cm)u1 + (a12c1 + a22c2 + ... +
am2cm)u2 + ... + (a1mc1 + a2mc2 + ... + ammcm)um.
Comparando los coeficientes ui en el primero y segundo miembros de las
correlaciones, encontramos
­b1 a11c1 a21c2 ... a m1cm
° b a c a c ... a c
° 2
12 1
22 2
m2 m
(2)
®
...
°
°¯bm a1m c1 a2 m c2 ... amm cm
Estas fórmulas se denominan fórmulas de transformación de las coordenadas.
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TRANSFORMACIONES LINEALES
327
Designemos, como hasta ahora, mediante XS1 y XS2 las matrices de dimensiones
m x 1, formadas por las coordenadas del vector u en las bases correspondientes. Las
fórmulas (2) muestran que XS1 = PXS2 . La matriz de la transformación de
coordenadas debe ser no singular, puesto que en el caso contrario tendrá lugar la
dependencia lineal entre sus columnas y, por tanto, entre los vectores de S2. Por
supuesto, cualquier matriz no singular es una matriz de cierta transformación de
coordenadas definida mediante XS1 = PXS2 . Al multiplicar a la izquierda de la
igualdad por la matriz P-1, obtendremos
P-1XS1 = P-1PXS2 Ÿ XS2 = P-1XS1 .
Supongamos ahora que en el espacio vectorial U vienen dadas tres bases S1, S2 y S3.
El paso de la primera base a la tercera puede realizarse con ayuda de dos
procedimientos: o bien directamente de la primera a la tercera o bien primero de la
primera a la segunda, y después de la segunda a la tercera. No es difícil establecer la
conexión entre las matrices correspondientes de la transformación de coordenadas.
De acuerdo con XS1 = PXS2 , tenemos:
XS1 = PXS2 Ÿ XS2 = RXS3 Ÿ XS1 = QXS3 .
De las primeras dos correlaciones se desprende
XS1 = PXS2 = P(RXS3 ) = (PR)XS3 = QXS3 .
De este modo, cuando las coordenadas se transforman de manera consecutiva, la
matriz de la transformación resultante será igual al producto de matrices de las
transformaciones intermedias.
Examinemos otra vez la transformación lineal f que actúa de U en V. Elijamos en el
espacio U dos bases S1 y S2, y en el espacio V otras dos bases S3 y S4. En las
primeras dos bases, a una misma transformación f le corresponde la igualdad
coordenada
YS3 = ASS1 XS1 (3)
3
y en las otras dos bases, la igualdad
YS4 = ASS2 XS2
(4)
4
En concordancia con estos pares de bases, para una misma transformación f tenemos
dos matrices ASS1 y ASS2 . Designemos con P la matriz de la transformación de
3
4
coordenadas al pasar de la base S1 a la base S2 y con Q , la matriz de la
transformación de coordenadas al pasar de S3 a S4.Se tiene
XS1 = PXS2 , YS3 = QYS4 .
Sustituyendo estas expresiones para XS1 y YS3 en (3), obtenemos
QYS4 = ASS1 PXS2
3
De donde se deduce que
YS4 = Q-1ASS1 P XS2 .
3
Al comparar la igualdad obtenida con (4), concluimos que
ASS2 = Q-1ASS1 P .
4
3
Esto es precisamente la correlación buscada que liga las matrices de una misma
transformación en diferentes bases. La transformación lineal f que actúa del espacio
U en el espacio V está completamente definido mediante la totalidad de imágenes
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328
TRANSFORMACIONES LINEALES
f(u1), f(u2), ..., f(un) para cualquier base definida S1 = {u1, u2, ..., un} del espacio U.
EJ E M P L O 7.2.1
En un espacio vectorial de dimensión 4, se examina una transformación lineal f.
Escribir esta transformación en la forma de coordenadas si
f(e1) = e3 + e4, f(e2) = e1 + e4,
f(e3) = e1 + e2, f(e4) = e2 + e3.
SO L U C I O N
f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 1, 1), f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 1),
f((0, 0, 1, 0)) = (1, 1, 0, 0), f((0, 0, 0, 1)) = (0, 1, 1, 0).
La matriz de la transformación f es
§0 1 1 0·
¨
¸
0 0 1 1¸
A ¨
.
¨1 0 0 1¸
¨
¸
©1 1 0 0¹
Por lo tanto, la transformación f se escribe en forma de coordenadas de la siguiente
manera:
f((a, b, c, d)) = (b + c, c + d, a + d, a + b). ’
EJ E M P L O 7.2.2
Sea f la transformación lineal de :(2, 2) en :(3, 1) definida por
§ 2 a 3b c ·
§§ a b ·· ¨
¸
f ¨¨
¸ ¸ ¨ a 2b c 2d ¸ .
c
d
©
¹
©
¹ ¨ a b 3c 4d ¸
©
¹
Encuentre la representación matricial de f.
SO L U C I O N
Tómese las bases canónicas de :(2, 2) y :(3, 1), es decir
­§ 1 ·
­§ 1 0 · § 0 1 · § 0 0 · § 0 0 · °
½
°¨ ¸
°
S
y
S1 ®¨
,
,
,
®¨ 0 ¸ ,
¸ ¨
¸ ¨
¸ ¨
¸¾
2
0
0
0
0
1
0
0
1
°©
°
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¹ ©
¹ ©
¹¿
¯
°¨ 0 ¸
¯© ¹
§ 0·
¨ ¸
¨1¸,
¨ 0¸
© ¹
§ 0 ·½
¨ ¸°
¨ 0 ¸¾
¨ 1 ¸°
© ¹¿
obtenga la matriz > f @ SS2 . Primeramente, determinaremos cuáles son las imágenes de
1
los vectores de la base S1 de :(2, 2):
§ 2·
§§1 0·· ¨ ¸
f ¨¨
¸¸ ¨1¸ ;
©© 0 0¹¹ ¨1¸
© ¹
§ 1 ·
§§ 0 0·· ¨ ¸
f ¨¨
¸¸ ¨ 1¸ ;
© © 1 0 ¹ ¹ ¨ 3 ¸
© ¹
§§0 1··
f ¨¨
¸¸
©© 0 0¹¹
§§ 0 0··
f ¨¨
¸¸
©©0 1¹¹
§ 3·
¨ ¸
¨ 2¸ ;
¨1¸
© ¹
§ 0·
¨ ¸
¨ 2¸ .
¨ 4 ¸
© ¹
Obsérvese que en este caso, como se está tomando la base canónica S2 de :(3, 1), se
tiene lo siguiente:
§ 2·
§ 3·
§ 1 ·
§ 0·
> f (E1 )@ S2 ¨¨ 1 ¸¸ ; > f (E 2 )@ S2 ¨¨ 2 ¸¸ ; > f (E3 )@ S2 ¨¨ 1 ¸¸ ; > f (E 4 )@ S2 ¨¨ 2 ¸¸ ,
¨1¸
¨1¸
¨ 3 ¸
¨ 4 ¸
© ¹
© ¹
© ¹
© ¹
de modo que
§ 2 3 1 0 ·
S2 ¨
f
> @ S1 ¨ 1 2 1 2 ¸¸ . ’
¨ 1 1 3 4 ¸
©
¹
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TRANSFORMACIONES LINEALES
329
EJ E M P L O 7.2.3
Considérese f la transformación lineal de P4 en P4 definida por f(p) = p'(x). Obtenga
[f]S en la base canónica de P4.
SO L U C I O N
La base canónica de P4 es S = {1, x, x2, x3, x4}. A continuación determinamos las
imágenes con respecto a cada elemento de S, es decir:
[f(1)]S = [(1)']S = [0]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2) + 0(x3) + 0(x4);
[f(x)]S = [(x)']S = [1]S = 1(1) + 0(x) + 0(x2) + 0(x3) + 0(x4);
[f(x2)]S = [(x2)']S = [2x]S = 0(1) + 2(x) + 0(x2) + 0(x3) + 0(x4);
[f(x3)]S = [(x3)']S = [3x2]S = 0(1) + 0(x) + 3(x2) + 0(x3) + 0(x4);
[f(x4)]S = [(x4)']S = [4x3]S = 0(1) + 0(x) + 0(x2) + 4(x3) + 0(x4).
Por lo tanto
§0 1 0 0 0·
¨
¸
¨0 0 2 0 0¸
> f @ S ¨0 0 0 3 0¸ .
¨
¸
¨0 0 0 0 4¸
¨0 0 0 0 0¸
©
¹
Mediante esta matriz, podemos derivar p(x) = 5 + 8x - 10x2 + 6x3 - 7x4, es decir
§0 1 0 0 0·§ 5· § 8 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
¨ 0 0 2 0 0 ¸ ¨ 8 ¸ ¨ 20 ¸
> f ( p)@ S > p '@ S > f @ S > p @ S ¨ 0 0 0 3 0 ¸ ¨ 10 ¸ ¨ 18 ¸ .
¨
¸¨
¸ ¨
¸
¨ 0 0 0 0 4 ¸ ¨ 6 ¸ ¨ 28 ¸
¨0 0 0 0 0¸¨ 7 ¸ ¨ 0¸
©
¹©
¹ ©
¹
Por lo tanto, p'(x) = 8 - 20x + 18x2 - 28x3. ’
EJ E M P L O 7.2.4
Sea f la transformación lineal de R 3 en R 4 definida por
f((a, b, c)) = (a + 3b ± c, 2a + b + 3c, -3a - 14b + 8c, 3a + 4b + 2c)
Obtenga >f@S en las bases canónicas.
SO L U C I O N
Tómense las bases canónicas de R 3 y R 4:
S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
y
S2 = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}
A continuación, obtenemos las imágenes correspondientes
f((1, 0, 0)) = (1, 2, -3, 3), f((0, 1, 0)) = (3, 1, -14, 4), f((0, 0, 1)) = (-1, 3, 8, 2)
obtenemos la matriz
3 1 ·
§ 1
¨
¸
2
1
3
> f @ SS12 ¨¨ 3 14 8 ¸¸ . ’
¨
¸
4 2¹
© 3
EJ E M P L O 7.2.5
Encuentre la matriz de la transformación lineal D definida en el conjunto de
polinomios en t sobre R de grado a lo sumo igual a 2 mediante D(p(t)) = p´(t), en
relación con la base.
a.- S1 = {1 + t, t, 1 + 2t + t2}; b.- S2 = {1/2(1 - t), 1/2(1 + t), t2}.
SO L U C I O N
a.- D(1 + t) = 1 = 1˜(1 + t) + (-1)˜t + 0˜(1 + 2t + t2)
D(t) = 1 = 1˜(1 + t) + (-1)˜t + 0˜(1 + 2t + t2)
D(1 + 2t + t2) = 2 + 2t = 2˜(1 + t) + 0˜t + 0˜(1 + 2t + t2)
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330
TRANSFORMACIONES LINEALES
§ 1 1 2·
¨
¸
D ¨ 1 1 0 ¸ .
¨ 0 0 0¸
©
¹
b.- D(1/2(1 - t)) = - 1/2 = (-1/2)˜1/2(1 - t) + (-1/2)˜1/2(1 + t) + 0˜t2
D(1/2(1 + t)) = 1/2 = 1/2˜1/2(1 - t) + 1/2˜1/2(1 + t) + 0.t2
D(t2) = 2t = (-2)˜1/2(1 - t) + 2˜1/2(1 + t) + 0˜t2
§ 1/ 2 1/ 2 2 ·
¨
¸
D ¨ 1/ 2 1/ 2 2 ¸ . ’
¨ 0
0
0 ¸¹
©
EJ E M P L O 7.2.6
Sea V el espacio de todas las funciones de la forma ae t + be2t + ce 3t. Si se define
D : V o V mediante D(f(t)) = f ´(t), obtenga:
a.- La matriz de D con respecto a la base S1 = {et, e2t, e3t};
b.- La matriz de D con respecto a la base S2 = {et + e2t, e2t + e3t, et + e3t}.
SO L U C I O N
a.- D(et) = et = 1˜et + 0˜e2t + 0˜e3t ;
D(e2t) = 2e2t = 0˜et + 2˜e2t + 0˜e3t
3t
3t
t
2t
3t
D(e ) = 3e = 0˜e + 0˜e + 3˜e
§1 0 0·
¨
¸
D ¨0 2 0¸
¨ 0 0 3¸
©
¹
b.- D(et + e2t) = et + 2e2t = 3/2˜(et + e2t) + 1/2˜(e2t + e3t) + (-1/2)˜(et + e3t)
D(e2t + e3t) = 2e2t + 3e3t = (-1/2)˜(et + e2t) + 5/2˜(e2t + e3t) + 1/2˜(et + e3t)
D(et + e3t) = et + 3e3t = (-1)˜(et + e2t) + 1˜(e2t + e3t) + 2˜(et + e3t)
1
§ 3
·
¨ 2 2 1 ¸
¨
¸
1
5
¨
D ¨
1 ¸¸ . ’
2
2
¨
¸
1
¨ 1
¸
2
¨
¸
2
© 2
¹
EJ E M P L O 7.2.7
Se examina el espacio vectorial de los vectores u = ae1 + be2 + ce3 + de4, donde a, b,
c, d son escalares reales. Demostrar que la transformación f definida por f(u) = be1 +
ce2 + de3 + ae4 es lineal, y hallar su representación matricial.
SO L U C I O N
Sabemos que f(u) = f((a, b, c, d)) = (b, c, d, a). Encontramos las imágenes con
respecto de la base canónica de R 4:
f((1, 0, 0, 0)) = (0, 0, 0, 1);
f((0, 1, 0, 0)) = (1, 0, 0, 0);
f((0, 0, 1, 0)) = (0, 1, 0, 0);
f((0, 0, 0, 1)) = (0, 0, 1, 0)
Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:
§0 1 0 0·
¨
¸
0 0 1 0¸
Af ¨
. ’
¨0 0 0 1¸
¨
¸
©1 0 0 0¹
EJ E M P L O 7.2.8
Sea V = P4 el espacio de todos los polinomios de grado menor o igual a 4, en la
indeterminada t y defínase f de P4 en P4 por f ( p(t )) p´´(t ) 2 p´(t ) p(t ) .
Representar a f mediante una matriz respecto a la base canónica de P4.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
TRANSFORMACIONES LINEALES
SO L U C I O N
Sabemos que
331
p(t) = a + bt + ct2 + dt3 + et4,
p´(t) = b + 2ct + 3dt2 + 4et3,
p´´(t) = 2c + 6dt + 12et2.
De donde:
f(a + bt + ct2 + dt3 + et4) = (a + 2b + 2c) + (b + 4c + 6d)t + (c + 6d + 12e)t2 +
+ (d + 8e)t3 + et4.
Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P4:
f(1) = 1 + 0t + 0t2 + 0t3 + 0t4; f(t) = 2 + t + 0t2 + 0t3 + 0t4;
f(t2) = 2 + 4t + t2 + 0t3 + 0t4; f(t3) = 0 + 6t + 6t2 + t3 + 0t4;
f(t4) = 0 + 0t + 12t2 + 8t3 + t4.
Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:
§1 2 2 0 0 ·
¨
¸
¨0 1 4 6 0 ¸
A f ¨ 0 0 1 6 12 ¸ . ’
¨
¸
¨0 0 0 1 8 ¸
¨0 0 0 0 1 ¸
©
¹
EJ E M P L O 7.2.9
Considérese la transformación lineal f : P3 o P2 definida por
f( at3 + bt2 + ct + d) = ( a + b + c)t2 + (2b ± c + 4d).
Determine la matriz de f en las bases canónicas.
SO L U C I O N
Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de P3 y luego cada una
de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de P2:
f(t3) = t2 + 0t + 0; f(t2) = t2 + 0t + 2; f(t) = t2 + 0t ± 1; f(1) = 0t2 + 0t + 4.
Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:
§1 1 1 0·
¨
¸
A f ¨0 0 0 0¸ . ’
¨ 0 2 1 4 ¸
©
¹
EJ E M P L O 7.2.10
Considérese la transformación lineal f : C 2 o C 2 definida por f((a, b)) = (a + b, ib).
Determine la matriz de f en las bases canónicas.
SO L U C I O N
Encontramos las imágenes con respecto de la base canónica de C 2 y luego cada una
de éstas, las expresamos como combinación lineal de la base canónica de C 2:
f((1, 0)) = (1, 0), f((0, i)) = (i, -1).
Por tanto la matriz de la transformación lineal tiene la siguiente forma:
§1 i ·
Af ¨
¸. ’
© 0 1¹
PR O B L E M AS
7.2.1 La transformación lineal definida en el ejemplo
anterior es uno a uno, es decir, f no aplica a dos vectores
diferentes sobre el mismo vector. Por tanto, existe una
transformación lineal que aplica a (3, -1) sobre (1, 0) y a
(-1, 2) sobre (0, 1). Esta transformación lineal invierte la
aplicación dada por f. Determine la matriz que la
representa con respecto a las bases canónicas.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
7.2.2 Encuentre la representación matricial A de la
transformación lineal f, use A para encontrar la imagen
del vector v y trace la gráfica de v y su imagen:
a.- f es la reflexión a través del origen en R 2:
f((x, y)) = (-x, -y), v = (3, 4).
b.- f es la reflexión en la recta y = x en R 2:
f((x, y)) = (y, x), v = (3, 4).
JOE GARCIA ARCOS
332
TRANSFORMACIONES LINEALES
c.- f es la rotación de 135° en sentido antihorario en R 2,
v = (4, 4).
d.- f es la rotación de 60° en sentido horario en R 2,
v = (1, 2).
e.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas
XY en R 3: f((x, y, z)) = (x, y, -z), v = (3, 2, 2).
f.- f es la reflexión a través del plano de coordenadas YZ
en R 3:
f((x, y, z)) = (-x, y, z), v = (2, 3, 4).
g.- f es la rotación de 180° en sentido antihorario en R 2,
v = (1, 2).
h.- f es la rotación de 45° en sentido antihorario en R 2,
v = (2, 2).
i.- f es la proyección sobre el vector w = (3, 1) en R 2:
f (v) proywv , v = (1, 4).
j.- f es la proyección sobre el vector w = (-1, 5) en R 2:
f (u) proywu , u = (2, -3).
k.- f es la reflexión con respecto al vector w = (3, 1) en
R 2, v = (1, 4). (La reflexión de un vector v a través de w
está definida por f (v) 2proywv v ).
7.2.3 Rote 90° alrededor del punto (5, 3) en sentido
antihorario el triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y
(3, 0). Graficar los triángulos.
Encuentre las matrices que representan a esta
transformación lineal con respecto a las bases canónicas
de R 2 y {(1, 1), (1, -2)}.
7.2.4 Sea la transformación lineal f : R 2 o R 3 que
aplica a (1, 1) sobre (0, 1, 2) y a (-1, 1) sobre (2, 1, 0).
Determine la matriz que representa a f con respecto a las
bases S1 = {(1, 0), (0, 1)} en R 2 y S2 = {(1, 0, 0),
(0, 1, 0), (0, 0, 1)} en R 3.
§ 1 0 ·
Sea A ¨
¸ , u = (5, 2) y v = (3, -1). Sea
© 0 1¹
f(w) = Aw para w en R 2:
a.- En un sistema de coordenadas rectangulares, grafique
los vectores u, v, f(u) y f(v).
b.- Dé una interpretación geométrica de lo que f hace a un
vector w en R 2.
7.2.5
7.2.6 Sea f una transformación lineal tal que f(u) = Du
para u en R n. Encuentre la matriz A para f.
7.2.7 Sea f una transformación lineal de R 2 hacia sí
mismo que aplica a (1, 1) sobre (2, -3) y a (1, -1) sobre
(4, -7). Determine la matriz que representa a f con
respecto a las bases canónicas.
7.2.8 Una transformación afín f : R n o R m tiene la
forma f(u) = Au + b, siendo A una matriz de m x n y con
b en R m. Demuestre que f no es una transformación lineal
cuando b z ‡.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
7.2.9 Decimos que una recta se aplica sobre sí misma,
si cada punto de la recta se aplica sobre un punto de la
recta, pero no todos sobre el mismo punto, aún
considerando que los puntos en la recta se pueden
mover de un lado a otro:
a.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre
(-1, 0) y a (0, 1) sobre (0, -1). Demuestre que cada recta
que pasa por el origen se aplica sobre sí misma.
Demuestre que cada una de esas rectas se aplica sobre sí
misma con el sentido de la dirección invertido. Esta
transformación lineal se llama inversión con respecto al
origen. Encuentre la matriz que representa a esta
transformación lineal con respecto a la base canónica de
R 2.
b.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre
(-1, -1) y deja fijo a (1, -1). Demuestre que toda recta
perpendicular a la recta x1 + x2 = 0 se aplica sobre sí
misma, con el sentido de la dirección invertido.
Pruebe que cada punto sobre la recta x1 + x2 = 0 se deja
fijo. ¿Cuáles rectas de las que pasan por el origen se
aplican sobre sí mismas?. Esta transformación lineal se
llama reflexión alrededor de la línea x1 + x2 = 0.
Encuentre la matriz que representa a esta transformación
lineal con respecto a la base canónica en R 2. Encuentre
la matriz que representa a esta transformación lineal con
respecto a la base {(1, 1), (1, -1)}.
c.- Una transformación lineal aplica a (1, 1) sobre
(2, 2) y a (1, -1) sobre (3, -3). Demuestre que las rectas
que pasan por el origen y por los puntos (1, 1) y (1, -1)
se aplican sobre sí mismas y que ningunas otras rectas
se aplican sobre sí mismas. Encuentre las matrices que
representan a esta transformación lineal con respecto a
las bases, canónicas en R 2 y {(1, 1), (1, -1)}.
d.- Una transformación lineal deja fijo a (1, 0) y aplica
(0, 1) sobre (1, 1). Demuestre que cada recta de la forma
x2 = c se aplica sobre sí misma y se traslada dentro de sí
misma una distancia igual a c. Esta transformación
lineal se llama deslizamiento. ¿Cuáles rectas que pasan
por el origen se aplican sobre sí mismas? Encuentre la
matriz que representa a esta transformación lineal con
respecto a la base canónica de R 2.
e.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre
(5/13, 12/13) y a (0, 1) sobre (-12/13, 5/13). Demuestre
que toda recta que pasa por el origen se hace girar en un
ángulo T = ArcCos(5/13), en sentido antihorario. Esta
transformación lineal se llama rotación. Encuentre la
matriz que representa a esta transformación lineal con
respecto a la base canónica de R 2.
f.- Una transformación lineal aplica a (1, 0) sobre
(2/3, 2/3) y a (0, 1) sobre (1/3, 1/3). Demuestre que cada
punto sobre la recta 2x1 + x2 = 3c se aplica sobre el
único punto ( c, c). La recta x1 ± x2 = 0 se deja fija. La
única otra recta que pasa por el origen y se aplica sobre
sí misma, es la recta 2x1 + x2 = 0. Esta transformación
lineal se llama proyección sobre la recta x1 ± x2 = 0
paralela a la recta 2x1 + x2 = 0.
JOE GARCIA ARCOS
TRANSFORMACIONES LINEALES
2
3
7.2.10 Sea S = {1, x, x , x } una base de P 3 y sea
f : P3 o P4 la transformación lineal definida por
f (xk )
x k
³0 t
dt :
a.- Encuentre la matriz A para f con respecto a S y a la
base canónica de P 4.
b.- Use A para integrar p(x) = 15 + 6x ± 2x2 + 5x3.
7.2.11 Use la matriz de rotación en R 2 en sentido
antihorario para rotar 90° alrededor del origen el
triángulo cuyos vértices son (3, 5), (5, 3) y (3, 0).
Grafique los triángulos.
7.2.12 Sean
S1 = {(1, 3), (-2, -2)} y S2 = {(-12, 0), (-4, 4)}
§ 3 2·
2
2
bases de R 2, y sea A ¨
¸ la matriz de f : R o R
© 0 4¹
con respecto a S1:
a.- Determine la matriz de transición P de S2 a S1.
b.- Aplique las matrices A y P para encontrar [v]S1 y
§ 1·
¨ ¸.
©2¹
c.- Determine B , la matriz de f con respecto a S2, y P -1.
d.- Encuentre [ f (v)]S2 de dos formas: primero como
[ f (v)]S1 , donde [v]S2
P1[ f (v)]S1 y luego como B[v]S2 .
7.2.13 En R 3 sean S1 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y
S2 = {(0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}. Encuentre la matriz de
transición P de S1 hacia S2 y la matriz de transición P -1
de S2 hacia S1.
7.2.14 Sea S1, S2 y S3 tres base de V. Sea P la matriz de
transición de S1 hacia S2 y Q la matriz de transición de S2
hacia S3. ¿Es PQ o QP la matriz de transición de S1 hacia
S3? Compare el orden de multiplicación de las matrices
de transición y de las matrices que representan
transformaciones lineales.
7.2.15 Sea f una transformación lineal de R 2 hacía si
mismo que aplica a (1, 0) sobre (3, -1) y a (0, 1) sobre (1, 2). Determine la matriz que representa a f con respecto
a las bases canónicas.
7.2.16 Sea S = {1, x, ex, xex} una base de un subespacio
U del espacio de funciones continuas y sea D x el
operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para D x
con respecto a la base S.
7.2.17 Sea S = {e2x, xe2x, x2e2x} una base de un
subespacio U del espacio de funciones continuas y sea D x
el operador diferencial sobre U. Encuentre la matriz para
D x con respecto a la base S.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
333
7.2.18 Sea u = (x, y), v = (-7, 4) y w = (3, -8), y sea
f : R 2 o R 2 una transformación que transforma u en
Dv + E w. Encuentre una matriz tal que f(u) sea Au para
cada u.
7.2.19 La transformación lineal definida por una matriz
diagonal cuyos elementos en la diagonal principal son
positivos se denomina amplificación. Encontrar las
imágenes de (1, 0), (0, 1) y (2, 2) bajo la transformación
§ 2 0·
definida por A ¨
¸ e interpretar gráficamente los
© 0 3¹
resultados.
7.2.20 Considere los números complejos de la forma
x + iy y represente tales números complejos por las
diadas (x, y) en R 2. Sea a + ib un número complejo fijo.
Considere la función f definida por la regla
f(x + iy) = ( a + ib)(x + iy) = u + iv:
a.- Demuestre que esta función es una transformación
lineal de R 2 hacia sí mismo que aplica a (x, y) sobre
(u, v).
b.- Encuentre la matriz que representa a esta
transformación lineal con respecto a la base canónica.
c.- Encuentre la matriz que representa a la
transformación lineal que se obtiene usando c + id en
lugar de a + ib. Calcule el producto de estas dos
matrices. ¿Se pueden conmutar?
d.- Determine el número complejo que se pueda usar en
lugar de a + ib para obtener una transformación
representada por este producto de matrices. ¿Cómo está
relacionado este número complejo con a + ib y c + id?
7.2.21 En el espacio C>0; 1@, definamos T( f) como Mf,
donde Mf es la función de x definida de la manera
siguiente, Mf(x) = máximo de f en >0; x@, 0 d x d 1. De
esto tenemos un ejemplo en un termómetro que registra
la temperatura máxima. Se puede demostrar que M f(x)
es función continua en >0; 1@ cuando f también lo es:
a.- Encuéntrese T(f) en
f(x) = x ± x2, f(x) = e-x, f(x) = Sen3x, f(x) = x2 ± x.
b.- ¿Es T transformación lineal?
c.- Descríbanse las funciones f para las cuales T( f) es la
función cero.
d.- Descríbanse las funciones f para las cuales T(f) = f.
7.2.22 Sea f : R 3 o R 3 la transformación lineal
determinada por la matriz
§ a 0 0·
¨
¸
A ¨ 0 b 0¸
¨0 0 c¸
©
¹
donde a , b y c son números positivos. Sea S la esfera
unitaria, cuya superficie limitante tiene la ecuación
x12 x22 x32 1 :
JOE GARCIA ARCOS
334
TRANSFORMACIONES LINEALES
a.- Demuestre que f(S) está delimitada por el elipsoide
que tiene la ecuación
x12
2
a
x22
2
b
x32
2
c
1.
b.- Utilice el hecho de que el volumen de la esfera
unitaria es 4S/3 para determinar el volumen de la región
acotada por el elipsoide de a).
7.3 A L G E B R A D E T R A NSF O R M A C I O N ES L I N E A L ES
En esta sección se analizarán las operaciones que se pueden realizar entre transformaciones lineales.
Enunciaremos sus propiedades más importantes.
Comenzamos el estudio sistemático de las transformaciones lineales con la
descripción de varias maneras en que pueden formarse nuevas transformaciones
partiendo de otras. De entre ellas la más simple es la adición de dos
transformaciones lineales, cada una de las cuales aplica un espacio vectorial dado
U en el espacio V.
D E F IN I C I O N 7.3.1
Sean U y V espacios vectoriales, ambos sobre el mismo cuerpo K . La suma
f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V está dada
por (f + g)(u) = f(u) + g(u) para cada vector u de U.
Ciertamente f + g es función de U en V. No obstante, es natural preguntarse si f + g
es una transformación lineal.
T E O R E M A 7.3.1
La suma f + g de las transformaciones lineales f de U en V y g de U en V,
es una transformación lineal.
D E M OST R A C I O N
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios de K. Para
demostrar que f + g sea una transformación lineal, debemos probar que
(f + g)(au + bv) = a(f + g)(u) + b(f + g)(v).
Es decir
(f + g)(au + bv) = f(au + bv) + g(au + vb)
= [af(u) + bf(v)) + (ag(u) + bg(v))]
= [af(u) + ag(u)) + (bf(v) + bg(v))]
= a[f(u) + g(u)] + b[f(v) + g(v)]
= a(f + g)(u) + b(f + g)(v).
La adición de transformaciones lineales tiene un gran número de propiedades
familiares y sugerentes. En primer lugar f + (g + h) = (f + g) + h y f + g = g + f,
siempre que f, g y h sean transformaciones lineales de U en V. En segundo lugar, la
transformación cero de U en V actúa como un cero para esta adición, ya que f + ‡ =
‡ + f = f para toda f de U en V. Finalmente, si f es cualquier transformación lineal de
U en V y si definimos ±f por la ecuación (-f)(u) = - f(u), para toda u de U, obtenemos
una transformación lineal de U en V con la propiedad de que f + (-f) = (-f) + f = ‡.
A continuación detallaremos la matriz asociada a la transformación lineal f + g. Sean
S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y V
respectivamente, y sean
§ a11 a21 ... an1 ·
§ b11 b21 ... bn1 ·
¨
¸
¨
¸
a
a
...
a
b
b22 ... bn 2 ¸
22
n2 ¸
A f ¨ 12
y B g ¨ 12
¨ ...
¨ ...
...
... ¸
...
.. ¸
¨¨
¸¸
¨¨
¸¸
© a1m a2 m ... anm ¹
© b1m b2 m ... bnm ¹
las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
JOE GARCIA ARCOS
TRANSFORMACIONES LINEALES
335
consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la
base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación f + g:
(f + g)(u1) = f(u1) + g(u1)
= (a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm) + (b11v1 + b12v2 + ... + b1mvm)
= (a11 + b11)v1 + (a12 + b12)v2 «+ (a1m + b1m)vm
(f + g)(u2) = f(u2) + g(u2)
= (a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm) + (b21v1 + b22v2 + ... + b2mvm)
= (a21 + b21)v1 + (a22 + b22)v2 « a2m + b2m)vm
...
(f + g)(un) = f(un) + g(un)
= (an1v1 + an2v2 + ... + anmvm) + (bn1v1 + bn2v2 + ... + bnmvm)
= (an1 + bn1)v1 + (an2 + bn2)v2 «+ (anm + bnm)vm
Por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por
§ a11 b11 a21 b21 ... an1 bn1 ·
¨
¸
a b
a22 b22 ... an 2 bn 2 ¸
A f B g ¨ 12 12
¨ ...
¸
...
...
¨¨
¸¸
© a1m b1m a2 m b2 m ... anm bnm ¹
es decir, la matriz asociada a la transformación lineal f + g se obtiene sumando
término a término los elementos de las matrices asociadas a la transformaciones
lineales f y g.
EJ E M P L O 7.3.1
La transformación lineal f consiste en que cada vector del plano está vuelto en el
ángulo T = S/4. Hallar en la forma de coordenada la transformación lineal f + i.
SO L U C I O N
Tenemos que
S
S
2
2
3S
3S
2
2
f (i ) iCos jSen
i
j ; f ( j ) iCos jSen
i
j
4
4
2
2
4
4
2
2
Por consiguiente
§ 2
2·
¨
¸
2 ¸
Af ¨ 2
.
¨ 2
2 ¸
¨
¸
2 ¹
© 2
Como Ii es la matriz identidad de 2 x 2, entonces
§ 2
§ 2
2·
2 ·
1 ¨
¸ 1 0 ¨
¸
· ¨ 2
2 ¸§
2 ¸
A f Ii ¨ 2
.
¨
¸
¨ 2
2 ¸ ©0 1¹ ¨
2
2 ¸
1¸
¨
¸
¨
2 ¹
2
© 2
© 2
¹
La transformación lineal Af + Ii se puede escribir como
§§ 2 ·
§ 2 · ·
2
2
( f i )(( a , b)) ¨ ¨¨
1¸¸ a b,
a ¨¨
1¸¸ b ¸ . ’
¨ 2
¸
2
2
¹
© 2
¹ ¹
©©
EJ E M P L O 7.3.2
Se dan dos transformaciones lineales
f((a, b, c)) = (a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b)
g((a, b, c)) = (a + 3b + c, a ± 3b + 2c, a + c).
Hallar 3f ± 2g.
SO L U C I O N
Como 3f ± 2g : R 3 o R 3, entonces:
3f((a, b, c)) ± 2g((a, b, c)) = 3(a + 2b + 3c, 4a + 5b + 6c, 7a + 8b) - 2(a + 3b + c,
a ± 3b + 2c, a + c)
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336
TRANSFORMACIONES LINEALES
= (3a + 6b + 9c, 12a + 15b + 18c, 21a + 24b) - (2a + 6b + 2c, 2a ± 6b + 4c, 2a + 2c)
= (a + 7c, 10a + 21b + 14c, 19a + 24b ± 2c). ’
Para completar lo que ahora debe ser una sucesión obvia de ideas, presentamos
una multiplicación escalar en el conjunto de las transformaciones lineales de U en
V.
D E F I N I C I O N 7.3.2
El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f
de U en V está dada por ( af)(u) = af(u) para todo vector u de U.
En otras palabras, af es la función cuyo valor en u se calcula formando el producto
escalar de a y el vector f(u).
T E O R E M A 7.3.2
El producto escalar af de un escalar a de K y una transformación lineal f de
U en V, es una transformación lineal.
D E M OST R A C I O N
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean k y r, escalares arbitrarios. Para
demostrar que af es una transformación lineal, debemos probar que
(af)(ku + rv) = k[(af)(u)] + r[(af)(v)].
Es decir
(af)(ku + rv) = a[f(ku + rv)]
= a[kf(u) + rf(v)]
= (ak)f(u) + (ar)f(v)
= k[af(u)] + r[af(v)]
= k[(af)(u)] + r[(af)(v)].
Sean S1 = {u1, u2, ..., un} y S2 = {v1, v2, ..., vm} bases de los espacios vectoriales U y
V respectivamente, y sea
§ a11 a21 ... an1 ·
¨
¸
a
a22 ... an 2 ¸
A f ¨ 12
¨ ...
...
... ¸
¨¨
¸¸
© a1m a2 m ... anm ¹
la matriz asociada a la transformación lineal f en las bases consideradas
anteriormente.
Calculamos los transformados de los elementos de la base S1, para determinar la
matriz asociada a la transformación af:
(af)(u1) = af(u1) = a(a11v1 + a12v2 + ... + a1mvm)
= aa11v1 + aa12v2 + ... + aa1mvm
(af)(u2) = af(u2) = a(a21v1 + a22v2 + ... + a2mvm)
= aa21v1 + aa22v2 + ... + aa2mvm
...
(af)(un) = af(un) = a(an1v1 + an2v2 + ... + anmvm)
= aan1v1 + aan2v2 + ... + aanmvm
por tanto, la matriz asociada en las bases consideradas vendrá dada por
§ aa11 aa21 ... aan1 ·
¨
¸
aa
aa22 ... aan 2 ¸
aA f ¨ 12
¨ ...
...
... ¸
¨¨ aa
¸¸
© 1m aa2 m ... aanm ¹
es decir, la matriz asociada a la transformación lineal af se obtiene multiplicando el
escalar a por todos los elementos de la matriz asociada a la transformación lineal f.
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TRANSFORMACIONES LINEALES
337
Al conjunto de transformaciones lineales f de U en V, se designa por L(U, V). Si
U y V son ambos de dimensión finita, entonces L(U, V) es de dimensión finita, y de
hecho dimL(U, V) = dimUdimV.
T E O R E M A 7.3.3
Con la adición y la multiplicación escalar como se definieron antes,
L(U, V) es un espacio vectorial sobre K .
D E M OST R A C I O N
Es necesario verificar, uno por uno, que los axiomas de la definición de espacio
vectorial son satisfechos. Para comprobar el primer axioma, debemos demostrar que
la suma f + g de las transformaciones lineales es una transformación lineal. Esto ya
se demostró antes. Para comprobar el axioma 6 se debe demostrar que el producto af
del escalar a y la transformación lineal f es una transformación lineal. Esto también
lo hicimos antes. La demostración se termina ahora con el siguiente razonamiento:
L(U, V) es un subconjunto de V(U), y las operaciones de adición y multiplicación
por escalares en L(U, V) y V(U), son las mismas. Como L(U, V) no es vacío y
satisface los dos axiomas 1 y 6, se desprende que L(U, V) es un espacio vectorial. El
espacio L(U, V) es un subespacio de V(U).
Para definir esta multiplicación, sean U, V y W espacios vectoriales, y
consideremos un par de transformaciones lineales f : U o V y g : V o W.
Entonces, para todo u de U, f(u) es un vector en V, y tiene por ello sentido hablar
de aplicar g a f(u) para obtener el vector g(f(u)) de W. Así, f y g pueden
combinarse, o multiplicarse, para producir una transformación de U en W, la que
denotaremos por gf, y llamaremos el producto de f y g en ese orden, es decir, primero
f, luego g.
D E F IN I C I O N 7.3.3
El producto, gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W
se define por (gf)(u) = g(f(u)) para todo vector u de U.
T E O R E M A 7.3.4
El producto gf de las transformaciones lineales f de U en V y g de V en
W es una transformación lineal.
D E M OST R A C I O N
Sean u y v vectores arbitrarios de U, y sean a y b escalares arbitrarios. Para
demostrar que gf es una transformación lineal, debemos probar que
(gf)(au + bv) = a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)].
Es decir
(gf)(au + bv) = g[f(au + bv)]
= g[af(u) + bf(v)]
= ag[f(u)] + bg[f(v)]
= a[(gf)(u)] + b[(gf)(v)].
Antes de proseguir, es conveniente un comentario sobre la notación. A primera vista
parecería más razonable denotar la composición de f y g por fg en lugar de gf como
arriba aparece. La explicación de no adoptar esta notación es muy simple. Si se usara
gf tendría que cambiarse para que tuviéramos fg(u) = g(f(u)), y la escritura de
ecuaciones se convertiría en una clara invitación al error. Una vez que se ha
establecido la convención de que el símbolo gf es el que se emplea para la
composición de f y g, en ese orden, observamos que esta composición está definida
solamente cuando la imagen de f está contenida en el dominio de g. Así pues, una de
las composiciones fg ó gf puede existir y el otro no. Pero incluso cuando tanto f como
g transformen un espacio vectorial dado en sí mismo, en cuyo caso fg y gf son
transformaciones lineales en el mismo espacio, no es cierto en forma alguna que
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
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338
TRANSFORMACIONES LINEALES
deban ser iguales. En resumen la composición de transformaciones lineales es
anticonmutativa.
A continuación damos la representación matricial de la transformación lineal gf.
Sean S1 = {u1, u2, ..., un}, S2 = {v1, v2, ..., vr} y S3 = {w1, w2, ..., wm} bases de los
espacios vectoriales U, V y W respectivamente, y sean
§ a11 a21 ... an1 ·
§ b11 b21 ... br1 ·
¨
¸
¨
¸
a
a22 ... an 2 ¸
b
b22 ... br 2 ¸
y B g ¨ 12
A f ¨ 12
¨ ... ...
¨ ...
... ¸
...
... ¸
¸
¨
¨¨ a
¸
¨
¸¸
© 1r a2 r ... anr ¹
© b1m b2 m ... brm ¹
las matrices asociadas a las transformaciones lineales f y g respecto de las bases
consideradas anteriormente. Calculamos los transformados de los elementos de la
base S1, para determinar la matriz asociada a la transformación gf:
(gf)(u1) = g(f(u1))
= g(a11v1 + a12v2 + ... + a1rvr)
= a11g(v1) + a12g(v2 «a1rg(vr)
= a11(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a12(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm «
a1r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)
= c11w1 + c12w2 + ... + c1mwm
(gf)(u2) = g(f(u2))
= g(a21v1 + a22v2 + ... + a2rvr)
= a21g(v1) + a22g(v2 «a2rg(vr)
= a21(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + a22(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm «
a2r(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)
= c21w1 + c22w2 + ... + c2mwm
...
(gf)(un) = g(f(un))
= g(an1v1 + an2v2 + ... + anrvr)
= an1g(v1) + an2g(v2 «anrg(vr)
= an1(b11w1 + b12w2 + ... + b1mwm) + an2(b21w1 + b22w2 + ... + b2mwm «
anr(br1w1 + br2w2 + ... + br mwm)
= cn1w1 + cn2w2 + ... + cnmwm
donde
c11 = a11b11 + a12b21 + ... + a1rbr1
c21 = a11b12 + a12b22 + ... + a1rbr2
...
cij = ai1b1j + a i2b2j + ... + a irbrj
...
cnm = an1b1m + an2b2m + ... + an rbr m
y la matriz asociada a la transformación lineal gf respecto de las bases consideradas,
será:
§ c11 c21 ... cn1 ·
¨
¸
c
c22 ... cn 2 ¸
B g A f ¨ 12
¨ ...
...
... ¸
¨¨
¸¸
© c1m c2 m ... cnm ¹
esto es, los elementos c ij de la matriz asociada a la transformación lineal gf se
obtienen sumando los productos que resultan de multiplicar los elementos de la fila
que ocupa el lugar j en la matriz Bg por los elementos de la columna que ocupa el
lugar i de la matriz A.
Relacionando las operaciones de adición y multiplicación de transformaciones
lineales, tenemos dos leyes distributivas.
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TRANSFORMACIONES LINEALES
339
T E O R E M A 7.3.5
Sean f y g transformaciones lineales de U en V y h y t transformaciones
lineales de V en W. Entonces tenemos:
a.- h(f + g) = hf + hg;
b.- (h + t)f = hf + tf.
D E M OST R A C I O N
a.- Como f + g va de U en V y h va de V en W, entonces h(f + g) es una función de
U en W. Análogamente, hf va de U en W y hg va de U en W y así hf + hg es una
función de U en W. Por tanto, para demostrar que h(f + g) = hf + hg, debemos
evaluar cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos
resultados son siempre iguales. Es decir
[h(f + g)](u) = h[(f + g)(u)]
= h[f(u) + g(u)]
= h[f(u)] + h[g(u)]
= (hf)(u) + (hg)(u)
= (hf + hg)(u)
b.- Como h + t va de V en W y f va de U en V, entonces (h + t)f es una función de
U en W. Análogamente, hf va de U en W y tf va de U en W y así hf + tf es una
función de U en W. Por tanto, para demostrar que (h + t)f = hf + tf, debemos evaluar
cada miembro en un vector arbitrario u de U y comprobar que los dos resultados son
siempre iguales. Es decir
[(h + t)f](u) = (h + t)[f(u)] = h[f(u)] + t[f(u)] = (hf)(u) + (tf)(u) = (hf + tf)(u).
Obsérvese que en el primer producto, h aparece a la izquierda, mientras que en el
segundo producto, f aparece a la derecha. Debido a que la multiplicación de las
transformaciones lineales no es conmutativa, las dos fórmulas no pueden
comprimirse en una sola ley distributiva. La primera fórmula se llama ley
distributiva a la izquierda y, la segunda fórmula, ley distributiva a la derecha. Sean
las transformaciones lineales f de U en V y g de V en W, y a un escalar arbitrario.
Entonces
a(gf) = (ag)f = g(af).
Hemos presentado los resultados básicos referentes a las sumas, a los productos
escalares y a los productos de transformaciones lineales.
Consideremos ahora el caso especial de las transformaciones lineales de V en V; esto
es, estudiaremos ahora L(V, V).
T E O R E M A 7.3.6
Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Entonces L(V, V) cumple lo
siguiente:
a.- L(V, V) es un espacio vectorial sobre K ;
b.- L(V, V) es cerrado bajo la multiplicación;
c.- f(gh) = (fg)h para toda f, g y h de L(V, V);
d.- Para cualesquiera f, g y h de L(V, V) tenemos
f(g + h) = fg + fh y (g + h)f = gf + hf;
e.- Para un escalar a de K y cualesquiera f y g de L(V, V), tenemos que
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340
TRANSFORMACIONES LINEALES
a(fg) = (af)g = f(ag);
f.- i(f) = f para toda f de L(V, V).
EJ E M P L O 7.3.3
Se dan dos transformaciones lineales:
f((a, b, c)) = (a + b, b + c, c + a) y g((a, b, c)) = (b + c, a + c, a + b).
Hallar las transformaciones fg y gf.
SO L U C I O N
Las matrices de las transformaciones dadas tienen la forma
§1 1 0·
§0 1 1·
¨
¸
¨
¸
A f ¨ 0 1 1 ¸ , Bg ¨ 1 0 1 ¸ .
¨1 0 1¸
¨1 1 0¸
©
¹
©
¹
Hallamos los productos de estas matrices:
§ 1 1 0 ·§ 0 1 1 · § 1 1 2 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
A f Bg ¨ 0 1 1 ¸¨ 1 0 1 ¸ ¨ 2 1 1 ¸ ,
¨ 1 0 1 ¸¨ 1 1 0 ¸ ¨ 1 2 1 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
§ 0 1 1 ·§ 1 1 0 · § 1 1 2 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
Bg A f ¨ 1 0 1 ¸¨ 0 1 1 ¸ ¨ 2 1 1 ¸ .
¨ 1 1 0 ¸¨ 1 0 1 ¸ ¨ 1 2 1 ¸
©
¹©
¹ ©
¹
En este caso AfBg = BgAf, por eso las transformaciones fg y gf coinciden. La forma
de coordenadas de la transformación fg se escribe de la forma siguiente:
gf((a, b, c)) = fg((a, b, c) = (a + b + 2c, 2a + b + c, a + 2b + c). ’
EJ E M P L O 7.3.4
Demuestre que si f : U o V, g : V o W y h : W o X son tres transformaciones,
tenemos entonces que h(gf) = (hg)f.
SO L U C I O N
Las transformaciones h(gf) y (hg)f tienen ambas dominio U y valores en X. Para cada
u de V, tenemos
(h(gf))(u) = h((gf)(u)) = h(g(f(u))) y ((hg)f)(u) = (hg)(f(u)) = h(g(f(u)))
lo que demuestra que h(gf) y (hg)f. ’
EJ E M P L O 7.3.5
Sea V = R 2. Sea S = {e1, e2} la base canónica de R 2. Defínanse f y g en L(V, V) tales
que cumplan f(e1) = e2, f(e2) = ‡, g(e1) = e1 + e2, g(e2) = ‡. Demuestre que aunque
fg y gf están ambas en L(V, V), fg z gf.
SO L U C I O N
Hacemos la combinación lineal con el vector (a, b):
­D a
(a, b) = D(1, 0) + E(0, 1) = (D, E) Ÿ ®
.
¯E b
f((a, b)) = af((1, 0)) + bf((0, 1)) = a(0, 1) + b(0, 0) = (0, a)
­D a
(a, b) = D(1, 0) + E(0, 1) = (D, E) Ÿ ®
.
¯E b
g((a, b)) = ag((1, 0)) + bg((0, 1)) = a(1, 1) + b(0, 0) = (a, a)
(fg)(a, b) = (0, a), (gf)(a, b) = (0, 0) Ÿ fg z gf.
Otra forma de resolver este problema, es el siguiente: Sabemos que S = {(1, 0),
(0,1)}, entonces:
§0 0·
f((1, 0)) = (0, 1), f((0, 1)) = (0, 0) Ÿ A f ¨
¸;
©1 0¹
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TRANSFORMACIONES LINEALES
341
§1 0 ·
¨
¸.
©1 0 ¹
§1 0 ·§ 0 0 · § 0 0 ·
¨
¸¨
¸ ¨
¸
©1 0 ¹© 1 0 ¹ © 0 0 ¹
g((1, 0)) = (1, 1), g((0, 1)) = (0, 0) Ÿ A g
§ 0 0 ·§1
¨
¸¨
© 1 0 ¹©1
Por tanto f g z g f . ’
A f Ag
0· § 0 0·
¸ ¨
¸ , Ag A f
0¹ ©1 0¹
EJ E M P L O 7.3.6
Sea V un espacio vectorial. Sean f, g de L(V, V). Demuestre que
(f + g)2 = f2 + 2fg + g2
si y sólo si fg = gf.
SO L U C I O N
Como f : V o V, g : V o V, entonces por definición
f + g : V o V y (f + g)2 : V o V.
Por lo tanto
(f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2.
Como fg = gf, entonces
(f + g)2 = f2 + 2fg + g2. ’
EJ E M P L O 7.3.7
Sea V un espacio vectorial. Sea f de L(V, V). ¿Implica siempre f2 = ‡, que f = ‡?
¿Por qué?
SO L U C I O N
Como f : V o V, entonces f2 : V o V. Por lo tanto f2 = ff es la composición de f
consigo mismo, entonces la transformación lineal f es nula, para que f2 = ‡. ’
EJ E M P L O 7.3.8
Sean f : V o V y g : V o V transformaciones lineales. Si f y g conmutan, demostrar
que (fg)n = fngn, para todo n t 0.
SO L U C I O N
Como f : V o V, g : V o V, entonces por definición fg : V o V y (fg)n : V o V.
Por lo tanto
( fg )n ( fg )( fg ) ( fg )
n veces
Como por hipótesis tenemos que fg = gf, entonces (fg)n = fngn. ’
EJ E M P L O 7.3.9
Sea V un espacio vectorial. Si f y g conmutan, demostrar que
(f + g)2 = f2 + 2fg + g2 y (f + g)3 = f3 + 3f2g + 3fg2 + g3.
Indicar cómo deben modificarse esas fórmulas si fg z gf.
SO L U C I O N
Como f : V o V, g : V o V, entonces por definición
f + g : V o V y (f + g)2 : V o V.
Por lo tanto
(f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2,
(f + g)3 = (f + g)2(f + g)
= (f2 + fg + gf + g2)(f + g)
= f3 + f2g + fgf + fg2 + gf2 + gfg + g2f + g3.
Como por hipótesis tenemos fg = gf, entonces
(f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + 2fg + g2,
3
2
(f + g) = (f + g) (f + g) = (f2 + fg + gf + g2)(f + g) = f3 + 3f2g + 3fg2 + g3.
Si fg z gf, es decir las transformaciones lineales f y g no son conmutativas, entonces
(f + g)2 = (f + g)(f + g) = f2 + fg + gf + g2,
(f + g)3 = (f + g)2(f + g) = (f2 + fg + gf + g2)(f + g)
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342
TRANSFORMACIONES LINEALES
= f3 + f2g + fgf + fg2 + gf2 + gfg + g2f + g3. ’
EJ E M P L O 7.3.10
Dadas las transformaciones lineales f : R 3 o R 3 y g : R 3 o R 3, definidas por
f((a, b, c)) = (a + b, b ± c, 2c) y g((a, b, c)) = (a, 2a + 3b, 4a + c),
describir las transformaciones lineales indicadas a continuación:
a.- 2f - g; b.- f2 + g2; c.- 3f + 5g; d.- fg - gf; e.- f2 + 2f + g.
SO L U C I O N
a.- Como 2f ± g : R 3 o R 3, entonces:
2f((a, b, c)) ± g((a, b, c)) = 2(a + b, b ± c, 2c) ± (a, 2a + 3b, 4a + c)
= (a + 2b, - 2a ± b ± 2c, - 4a + 3c);
b.- Como f2 + g2 : R 3 o R 3, entonces:
f2((a, b, c)) ± g2((a, b, c)) = (a + 2b ± c, b ± 3c, 4c) - (a, 8a + 9b, 8a + c)
= (2b ± c, - 8a ± 8b ± 3c, - 8a + 3c);
c.- Como 3f + 5g : R 3 o R 3, entonces:
3f((a, b, c)) + 5g((a, b, c)) = 3(a + b, b ± c, 2c) + 5(a, 2a + 3b, 4a + c)
= (8a + 3b, 10a + 18b ± 3c, 20a + 11c);
3
3
d.- Como fg ± gf : R o R , entonces:
fg((a, b, c)) ± gf((a, b, c)) = (3a + 3b, - 2a + 3b ± c, 8a + 2c) ± (a + b, 2a + 5b ± 3c,
4a + 4b + 2c)
= (2a + 2b, - 4a ± 2b + 2c, 4a ± 4b)
e.- Como f2 + 2f + g : R 3 o R 3, entonces:
f2((a, b, c)) + 2f((a, b, c)) + g((a, b, c)) = (a + 2b ± c, b ± 3c, 4c) + 2(a + b, b ± c, 2c)
+ (a, 2a + 3b, 4a + c)
= (4a + 4b ± c, 2a + 6b ± 5c, 4a + 9c). ’
PR O B L E M AS
7.3.1 Si P es el conjunto de los polinomios en x sobre R,
sean f : P o P, definida por f(p(x)) = p´(x) y g : P o P,
definida por g ( p( x))
a.- fg = i;
x
³0
p(t )dt . Pruebe lo siguiente:
b.- gf z i.
7.3.2 En el espacio vectorial de todas las funciones
reales, cada uno de los siguientes conjuntos es
independiente y genera un subespacio V de dimensión
finita. Utilizar el conjunto dado como base para V y sea
D : V o V el operador derivación. En cada caso, hallar
la matriz D y la de D 2 relativa a la base que se elige:
a.- {Senx, Cosx};
b.- {x, x + e x, x + ex + xex};
x 2 x
c.- {x, xe , x e };
d.- {e2xSen3x, e2x Cos3x};
x
x 2 x
e.- {e , xe , x e };
f.- {exSenx, ex Cosx}.
7.3.3
Encuéntrense ejemplos de transformaciones
lineales S, T tales que TS está definido, T z O, S z O y
TS = O.
7.3.4 Una transformación lineal f : R 2 o R 2 aplica los
vectores base e1 y e2 como sigue:
f(e1) = 3e1 + 5e2 y f(e2) = 2 e1 ± 3e2:
a.- Calcular f(9e1 ± 7e2) y f2(9e1 ± 7e2) en función de e1 y
e2.
b.- Determinar la matriz de f y de f2.
ALGEBRA LINEAL CON MATLAB
c.- Resolver la parte b) si la base canónica se reemplaza
por {2 e1 ± e2, e1 + 4e2}.
7.3.5 Una transformación lineal f : R 2 o R 2 se define
de la siguiente manera: cada vector u  R 2 se
transforma en su simétrico respecto al eje Y y luego se
duplica su longitud para obtener f(u). Determine la
matriz de f y la de f2.
7.3.6 Encontrar la potencia indicada de A, la matriz de
la transformación lineal f:
a.- f : R 3 o R 3, reflexión en el plano XY. Encontrar A 2.
b.- f : R 3 o R 3, proyección sobre el plano XY.
Encuentre A 2.
c.- f : R 2 o R 2, rotación de un ángulo T en sentido
antihorario. Encontrar A 3.
d.- f : P 3 o P 3, operador diferencial. Encontrar A 2.
7.3.7 Sea f : R 3 o R 3 la proyección ortogonal de R 3
sobre el plano XY. Demuestre que f f = f.
7.3.8 Sean f : R n o R m, g : R m o R s, h : R m o R s
transformaciones lineales. Demuestre la propiedad
distributiva de la composición respecto de la suma:
f (g + h ) = f g + f h.
¿Es esta propiedad válida para funciones en general?
JOE GARCIA ARCOS
TRANSFORMACIONES LINEALES
7.3.9 Sea f : R n o R m, g : R m o R s, h : R s o R t
transformaciones lineales. Demuestre la propiedad
asociativa de su composición. Es decir, demuestre que
las transformaciones lineales h (g f), (h g) f son
iguales. ¿Es esta propiedad válida para funciones en
general?
7.3.10 Sea f : R o R definida por f (v) proyu v , en
donde u = (4, 3):
a.- Determinar A, y demuestre que A 2 = A.
b.- Demuestre que (I ± A)2 = I ± A.
c.- Encuentre A v y (I ± A)v para v = (5, 0).
d.- Trazar la gráfica de u, v, A v y (I ± A)v.
7.3.11 Considere las transformaciones lineales
f : R 3 o R 2, f(( a , b, c)) = ( a - b, a + b),
g : R 2 o R 3, g((a , b)) = (b, a , a ± b).
Determine
expresiones
explícitas
para
las
transformaciones lineales f g : R 2 o R 2 y g f : R 3 o R 3.
Verifique en cada caso que la matriz que representa a la
composición de transformaciones es el producto de las
matrices que representan a cada una de las
transformaciones lineales que se componen.
7.3.12 Usando multiplicación matricial encuentre la
imagen del vector (3, -1, 2) cuando se hace girar:
a.- 30º en sentido antihorario con respecto al eje X;
b.- 45º en senti