Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Roberto Aguiar Falconí
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PRÓLOGO
Se inicia el libro con la presentación de un manual rápido de uso del programa
MATLAB, orientado a que el lector comprenda los programas que se desarrollan en los
diferentes capítulos del texto. MATLAB es un programa muy poderoso, que permite con pocas
sentencias realizar cálculos numéricos avanzados y esto fue lo que me motivo a elaborar una
serie de programas sobre los temas que se tratan ya que la lectura de los mismos servirá para
comprender mejor el marco teórico expuesto. Además de ello el lector contará con programas
que le faciliten su aplicación práctica a futuro.
En el primer capítulo se trata sobre la respuesta dinámica de sistemas de un grado de
libertad, para el efecto se trata primero el caso de vibración libre, luego se estudia las
vibraciones forzadas ante excitación armónica y finalmente la respuesta en el tiempo ante
pulsos rectangulares. Hay dos aspectos de interés muy práctico que son: el cálculo del
factor de amplificación por desplazamientos y el factor de amplificación de fuerzas,
cuando la frecuencia de la excitación armónica es similar a la frecuencia de vibración de
la estructura, es decir cuando se está cerca de la resonancia.
El segundo capítulo está dedicado a tratar los Espectros de Respuesta Elásticos,
se encuentra en primer lugar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad
ante una acción sísmica por el Método de Newmark, luego para ilustrar como se obtienen los
espectros se halla la respuesta de dos sistemas de un grado de libertad, que tienen diferentes
períodos ante un mismo sismo y finalmente se definen los espectros de respuesta. La
importancia de conocer las formas espectrales en una determinada localidad se lo ilustra
al analizar la forma de los espectros, de los sismos de 1985 registrados en México y en
Chile.
En el tercer capítulo se estudia los Espectros de Diseño, para ilustrar la forma de
cálculo se halla el respectivo espectro de diseño, en base a 17 acelerogramas de sismos
registrados en el Perú, los mismos que fueron normalizados, para que todos ellos tengan una
aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la gravedad. La forma espectral
obtenida fue comparada con las formas espectrales del Código Ecuatoriano de la Construcción,
CEC-2000, para los cuatro perfiles de suelo. Luego se presenta el trabajo realizado por Seed,
Ugas y Lysmer en 1976 que ha sido empleado en forma indirecta en la formulación de
espectros de diseño en varias normativas sísmicas de América Latina.
Por ser de actualidad el Análisis Sísmico por Desempeño, en el capítulo tres, también
se indica la propuesta realizada por el autor de este libro (2004), para encontrar los
espectros para los sismos: frecuente, ocasional, raro y muy raro que tienen períodos de
retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente.
Con el propósito de entender el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, con el cual
se pasa del espectro de diseño elástico al espectro de diseño inelástico, se deducen las reglas
de igual desplazamiento y de igual energía. Luego se muestra el trabajo desarrollado por
Newmark y Hall en 1982 sobre el factor de reducción por ductilidad, considerando el tipo de
suelo. En este contexto también se presenta los resultados de las investigaciones
realizadas en el Centro de Investigaciones Científicas por el autor de este libro (2005)
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para determinar el factor de reducción por ductilidad en base a 63 registros de sismos
ocurridos en Colombia, Perú, Chile y Argentina.
En la mayoría de normativas sísmicas vigentes se presentan valores para determinar el
factor de reducción de las fuerzas sísmicas en diferentes tipologías estructurales. Estos
factores tienen un carácter cualitativo, razón por la cual en este libro se indica una
metodología de cálculo para hallar este factor en forma cuantitativa, para el efecto se
debe hallar el producto del factor de reducción por ductilidad, del factor de resistencia y
del factor de redundancia. Se presentan propuestas para el cálculo de estos factores.
El capítulo cuatro es una magnifica oportunidad para repasar la teoría de Análisis
Matricial de Estructuras, ya que se detalla la forma como se obtiene la matriz de rigidez
de una estructura por Ensamblaje Directo, a partir de las matrices de rigidez de los
elementos. Se ilustra el cálculo del arreglo que contiene los grados de libertad, del vector de
colocación y del ensamblaje. Se presenta los diagramas de flujo y el respectivo programa de
computación. Posteriormente se indican algunas formas de obtener la matriz de rigidez
condensada, desde la más elemental que es mediante la inversa de una matriz hasta la más
práctica que se tiene en la triangularización de la matriz de rigidez, empleando Gauss.
El capítulo cinco está dedicado a la matriz de Masas de cualquier tipo de
estructura, claro está que por facilidad se orienta a los marcos planos pero la formulación es
general y esto se ha tratado de demostrar cuando se resuelve un modelo muy sencillo en el
cual se involucra la interacción suelo estructura. Para evaluar la matriz de masas se debe
calcular primero la Energía Cinética, para facilitar este cálculo se da una regla muy práctica.
Si el lector sabe los conceptos fundamentales para determinar las matrices de: rigidez,
masa y amortiguamiento, estará en capacidad de encontrar la respuesta dinámica de cualquier
estructura. Por esta razón, en el capítulo cuatro se estudia con detenimiento el cálculo de la
matriz de rigidez, en el capítulo cinco, se hace lo propio, con la matriz de masas y en el capítulo
siete se dedica a la matriz de amortiguamiento. Todo esto orientado al análisis dinámico de
estructuras.
En el capítulo seis se determinan los modos de vibración de una estructura sin
considerar amortiguamiento. Por lo tanto, se resuelve el problema de vibraciones libres en
sistemas de múltiples grados de libertad sin considerar amortiguamiento. A pesar de que
el cálculo se reduce a una sentencia con MATLAB sin embargo se presenta uno de los
métodos clásicos de la obtención de los valores y vectores propios como es el Método de
Jacobi, de igual manera se ilustra el algoritmo de M 1 / 2 para que el lector aprecie la bondad del
MATLAB y de paso conozca como se obtiene manualmente. Finaliza el capítulo con el
cálculo de los Modos Ritz en el que se consideran todos los grados de libertad de la
estructura.
En el capítulo siete se halla la matriz de amortiguamiento de dos maneras, la primera
mediante el Método de Rayleigh y la segunda empleando el algoritmo de Wilson y Penzien. Un
aspecto muy interesante es el desacoplamiento del sistema de ecuaciones diferenciales, tema
que se aborda en este capítulo, como también se ilustra el cálculo del exponencial de una
matriz orientado a la solución del problema de vibraciones libres, en sistemas de
múltiples grados considerando la matriz de amortiguamiento, en este caso se tienen
modos de vibración en desfase, por este motivo es que los valores y vectores propios
son números complejos.
El Análisis Sísmico Lineal de estructuras sometidas a acciones sísmicas es tratado en
el capítulo ocho, encontrando la respuesta dinámica aplicando el Método de Newmark
para sistemas de múltiples grados de libertad. Como aplicación práctica se halla la
respuesta en el tiempo, del cortante basal, de una estructura sometida a un acelerograma
artificial que es compatible con el espectro elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción
CEC-2000 y se aprovecha el ejemplo para ilustrar que un factor de reducción de las
fuerzas sísmicas igual a 10 es muy alto para estructuras conformadas por vigas y
columnas.
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En el capítulo nueve se halla la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados
de libertad aplicando el Procedimiento de Espacio de Estado que es muy útil utilizarlo
cuando se analizan estructuras con sistemas de control. Es importante que el lector conozca
sobre esta temática para cuando estudie el cálculo sísmico de estructuras con disipadores de
energía pueda seguir la parte numérica de la evaluación de la respuesta dinámica.
Los tres últimos capítulos del libro, están dedicados al análisis de una viga de flexión,
de una viga de corte y de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, todo esto
modelado como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad.
Aparentemente la solución de estos tres capítulos tiene más un enfoque teórico pero no es así
ya que a partir de estos modelos sencillos se han emitido recomendaciones que han sido
acogidas por varias normativas sísmicas.
En el capítulo diez se presenta en primer lugar la ecuación diferencial que
gobierna el problema de vibraciones de una viga de flexión y luego se resuelve el
problema de vibración libre, se hallan las formas de vibración de una viga en voladizo, de una
viga simplemente apoyada y de una viga en voladizo en la cual se incluye el efecto de la
interacción suelo estructura. En este modelo se ilustra mediante gráficos como en suelos
de baja resistencia los períodos de vibración de las estructuras se amplifican; en base al
estudio se presentan parámetros en los cuales se indican en que tipo de suelos es necesario o
no el cálculo con la interacción suelo estructura.
La ortogonalidad de los vectores propios se desarrolla con mucho detenimiento tanto
en el capítulo diez como en el once, para ilustrar posteriormente el cálculo de la respuesta
sísmica, de las vigas de flexión y de corte ante una determinada acción sísmica.
Como se ha venido indicando el capítulo once está dedicado al cálculo de una viga
de corte, para el efecto se deduce la ecuación diferencial y se resuelve el problema de
vibración libre y de vibración forzada, ante una acción sísmica. Se obtiene el primer modo de
vibración de una viga de corte y se compara con el primer modo de vibración de una viga de
flexión con lo cual se demuestra que en los primeros pisos la viga de flexión tiene menores
amplitudes y en los últimos pisos tiene mayores amplitudes, que la viga de corte en que el
comportamiento es al revés.
Una viga de flexión, es el modelo numérico de cálculo de un edificio conformado solo
por muros de corte y una viga de corte, es el modelo numérico de un edificio conformado solo
por vigas y columnas sin muros de corte. Al comparar el primer modo de vibración de estas
dos vigas se concluye que lo más adecuado es tener edificios con vigas, columnas y
muros de corte ya que la viga de flexión en los primeros pisos sostiene a la viga de corte
y en los últimos pisos es la viga de corte la que sostiene a la viga de flexión. El
acoplamiento de la viga de corte con la viga de flexión se lo estudia con detenimiento en
el capítulo doce.
Con el propósito de ilustrar la aplicación práctica y actual del estudio de una viga de
corte acoplada a una viga de flexión se presenta en el capítulo doce, el trabajo desarrollado por
Miranda (1999) con el que estima la deriva máxima de piso en sistemas de múltiples grados de
libertad, en forma rápida. Se ilustra el comportamiento de edificios en los cuales se tiene un
predominio de la viga de flexión sobre la de corte y viceversa, ante cargas laterales.
Miranda a partir del modelo de una viga de flexión acoplada a una viga de corte
determina dos parámetros que son utilizados en la evaluación rápida de la deriva máxima de
pisos. Esos parámetros son el que relaciona el desplazamiento máximo en un sistema de
múltiples grados de libertad con el desplazamiento máximo en un sistema de un grado de
libertad. El otro parámetro, que se presenta en el libro, es el que relaciona la deriva global de la
estructura con la deriva máxima de piso.
Por último, se
investigación realizado
Politécnica del Ejército
edificios de Hormigón
presenta en forma resumida el resultado del proyecto de
en el 2005, en el Centro de Investigaciones Científicas de la
titulado: “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en
Armado”, con el propósito de que el lector compare los dos
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parámetros obtenidos en el modelo de Miranda (1999) cuando resuelve una viga de flexión
acoplada a una viga de corte, con los que se hallan en el estudio y además para que lo
apliquen en la evaluación de la vulnerabilidad sísmica de las estructuras.
No puedo finalizar este prólogo, sin reconocer una vez más, que este libro ha sido
posible gracias a la ayuda de Dios, sin su ayuda no soy capaz de pasar de la primera página
pero gracias a su bondad he podido finalizar esta obra que tiene doce capítulos que se
consideran básicos en el Análisis Dinámico de Estructuras.
De igual manera deseo dedicarle este libro a mi querida madre Blanca Falconí Vda.
de Aguiar, que Dios me ha dado la dicha de tenerla por muchos años y espero contar con sus
consejos y bendiciones por muchos años más.
Por último, pero ellos saben que son lo más importante, quiero agradecer a mi esposa
Alice Noury y a mis hijos: Roberto, Alice, María José, Nicolás que acaba de graduarse de
bachiller, Gabriel y Felipe. Por la felicidad que reina en nuestro hogar.
Dr. Ing. Roberto Aguiar Falconí
Centro de Investigaciones Científicas
Escuela Superior Politécnica del Ejército
Quito, Agosto de 2006
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ÍNDICE GENERAL
MANUAL RÁPIDO DE MATLAB..................................................1
1. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN…………………………………… ………………………………………17
1.1 VIBRACIONES LIBRES…………………………………………….…………..17
1.1.1 Solución de la ecuación diferencial……………………………………...19
1.1.2 Vibración libre sin amortiguamiento……………………………………..19
1.1.3 Vibración libre subamortiguada………………………………………….20
1.1.4 Vibración libre sobre amortiguada……………………………………….23
1.1.5 Vibración libre críticamente amortiguada…………………………........24
1.1.6 Factor de amortiguamiento……………………………………………….26
1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA……….……………27
1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal………………...................27
1.2.2 Factor de amplificación………..…………………………………..…….31
1.2.3 Fuerza transmitida a la fundación…………………...………………….34
1.3 EXCITACIONES ARBITRARIAS………………….…………………………...36
1.3.1 Escalón unitario…..………………………………………………………36
1.3.2 Pulso rectangular…………………………………………………………39
2. ESPECTROS DE RESPUESTA
RESUMEN…………………………………………………………………………….41
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2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL…..…….41
2.2 PROGRAMA LINEAL………………………………………………….………..43
2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD……………………….…..……..46
2.4 ESPECTROS DE RESPUESTA..................................................................47
2.5 PROGRAMA ESPECTRO………………………………………………...……50
2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA………………………………….……….....52
2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES…………….………….55
2.8 SEUDO ESPECTROS…………………………………………………………..57
3. ESPECTROS DE DISEÑO
RESUMEN…………………………………………………………………………….59
3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO…….…………..…………..60
3.2 RESEÑA HISTÓRICA…………………………………..…............................63
3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000……….........................................64
3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO…………………………………..……….66
3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS.....................................................................69
3.6 REGLA DE IGUAL DESPELAZAMIENTO..................................................71
3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA………………………….…............................73
3.8 NEWMARK Y HALL (1982)…………………………….…...…………………74
3.9 AGUIAR Y GUERRERO (2005)…………………………...………………….78
3.10 APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000….………..79
3.11 INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA………….…………79
3.12 INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA……………………….……….82
3.13 CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R…………………….……….83
4. MATRIZ DE RIGIDEZ
RESUMEN……………………………………………………………………………87
4.1 MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO…………………………………..87
4.1.1 Análisis sin nudo rígido………………………...…………………………88
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4.1.2 Análisis con nudo rígido…………………….……………………………92
4.2 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA……………………….……….96
4.2.1 Coordenadas Generalizadas…………………………………………….96
4.2.2 Vector de Colocación…………………………………………………..…99
4.2.3 Ensamblaje directo………………………………………………………101
4.3 CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ……………….………….105
4.3.1 Condensación a las coordenadas “a”…………………………………106
4.3.2 Condensación a las coordenadas “b”…………………………………106
4.4 CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES…….……107
4.4.1 Caso en que Qb = 0……………………………………………………...108
4.4.2 Caso en que Qa = 0……………………………………………………...109
4.5 CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS………….…...109
4.6 MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL………………………………………….….112
4.6.1 Vigas axialmente rígidas……………………………………………..…112
4.6.2 Vigas y columnas axialmente rígidas………………………………….114
5. MATRIZ DE MASAS
RESUMEN…………………………………………………………………………..119
5.1 ENERGÍA CINÉTICA………………………….……………………………….119
5.2 REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS……..………………..121
5.3 REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA…….…..……………122
5.4 MATRIZ DE PASO…………………………………………….……………….125
5.5 ANÁLISIS PLANO…………………………………………….………………..128
5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso…………………..128
5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles………………………………………130
5.6 PÉNDULO INVERTIDO……………………………………………………….132
5.7 MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA………………….………………....132
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5.8 INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………………….…………………134
5.9 ANÁLISIS ESPACIAL……………………………………….………………...135
6. MODOS DE VIBRACIÓN
RESUMEN…………………………………………………………………………..139
6.1 VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO……………………………139
6.1.1 Valores propios………………………………………………………….140
6.1.2 Propiedades dinámicas………………………………..……………….142
6.1.3 Modos de vibración……………………………………………………..142
1
6.2 ALGORITMO DE M 2 .………………………………………….…………….145
6.3 MÉTODO DE JACOBI………………………………………………………...150
6.3.1 Desarrollo del Método………………………………………………….151
6.3.2 Procedimiento de cálculo………………………………………………152
6.3.3 Cálculo de los Vectores Propios………………………………………153
6.4 MODOS RITZ…………………………………………………………………..153
7. MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO
RESUMEN…………………………………………………………………………..157
7.1 AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH……………………………………157
7.2 ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN……………………………………..159
7.3 ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS……………………..163
7.4 VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO…………………………..167
7.4.1 Exponencial de una matriz…………………………………………….168
7.4.2 Resumen del procedimiento de cálculo………………………………171
7.5 PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS………………………………..175
7.5.1 Modos de vibración en el campo de los complejos…………………175
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7.5.2 Valores propios en el campo de los complejos……………………...177
7.5.3 Deducción en base a un sistema de un grado de libertad…………177
8. ANÁLISIS LINEAL
RESUMEN…………………………………………………………………………..181
8.1 MÉTODO DE NEWMARK…………………………………………………….181
8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK……………………………...186
8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO…………………………………………...187
8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO…………………………..191
8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MÍNIMO……………………199
9. PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO
RESUMEN…………………………………………………………………………..201
9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA…………………………………………..201
9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA………………………………………203
9.3 PROGRAMA PSE……………………………………………………………...204
9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN…………………………………..…….……...206
9.5 INTRODUCCIÓN A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA………...209
10. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN
RESUMEN…………………………………………………………………..………213
10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO……………………….…214
10.2 VIBRACIÓN LIBRE…………………………………………………………...216
10.2.1 Viga en Voladizo……………………………………………………...218
10.2.2 Viga apoyada………………………………………………………….220
10.2.3 Interacción suelo estructura…………………………………………224
10.2.4 Variación del período con la interacción…………………………...227
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10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACION………………….228
10.3.1 Valores propios y modos normalizados……………………………231
10.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...232
10.4.1 Masas modales……………………………………………………….234
10.4.2 Respuesta en el tiempo…………………………………………...…236
11. SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE
RESUMEN…………………………………………………………………………..241
11.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO………………………….241
11.2 VIBRACIÓN LIBRE………………………………………………………...…244
11.2.1 Viga en Voladizo…………………………………………………...…246
11.2.2 Comparación de formas modales…………………………………..248
11.2.3 Frecuencias de vibración………………………………………….…249
11.3 ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN………………………..250
11.4 VIBRACIÓN FORZADA……………………………………………………...252
11.5 CORTANTE BASAL……………………………………………………….…254
11.6 MASA MODAL………………………………………………………………...256
12. VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXIÓN
RESUMEN…………………………………………………………………………..261
12.1IMPORTANCIA DEL ESTUDIO……………………………………………...262
12.2 MODELO DE MIRANDA……………………………………………………..264
12.2.1 Respuesta en desplazamiento………………………………………266
12.2.2 Efecto de la distribución de cargas…………………………………269
12.3 APLICACIONES………………………………………………………………272
12.3.1 Parámetro β1................................................................................273
12.3.2 Desplazamiento lateral……………………………………………….276
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12.4 DERIVA DE PISO…………………………………………………………….280
12.4.1 Parámetro β2................................................................................282
12.5 EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO…………….283
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MANUAL RÁPIDO DE MATLAB
RESUMEN
Existe una gran cantidad de libros sobre como se debe utilizar el MATLAB, de igual
manera en Internet se puede encontrar información muy útil sobre el manejo de este programa
pero en los dos casos el lector de este libro va a perder tiempo, primero en encontrar la
información y segundo en hallar las sentencias especificas que en este texto se utilizan en la
elaboración de los programas que aquí se presentan.
Por este motivo se presenta un manual rápido de uso del manual, orientado a que el
lector comprenda los programas que se desarrollan en cada capítulo. MATLAB es un software
muy fácil de aprender y muy poderoso ya que cuenta con una gran cantidad de rutinas que
facilitan su uso y lo fundamental la graficación de los resultados en forma elemental.
Los programas que se desarrollan en el texto van a ayudar a comprender la teoría que
se expone, razón por la cual, se recomienda su lectura e implementación de los mismos.
1.
FORMAS DE TRABAJO
MATLAB proviene de las palabras MAtrix LABoratory es un lenguaje de alta
tecnología que integra en un solo ambiente la programación y la visualización gráfica. Existen
dos modalidades de trabajo que son la modalidad consola y la modalidad rutina.
•
En la modalidad consola aparece el Prompt (>>) cada vez que se hace una operación.
En esta modalidad los cálculos se realizan en forma inmediata por medio de los
comandos adecuados. Se pueden escribir matrices, vectores y variables en consola y
después utilizarlos en los programas que se hacen en la otra modalidad.
•
En la modalidad rutina no aparece el prompt >> pero en su lugar cada una de las líneas
están numeradas. Es en esta modalidad donde se realizan los programas y al estar
numeradas cada una de las líneas se facilita la corrección de los errores. Una vez que
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se realiza el programa se graba con un nombre. MATLAB automáticamente a este
archivo le asigna la extensión .m
Cuando se ejecuta MATLAB se ingresa a la modalidad prompt, a futuro se indicará
únicamente >> de aquí se pasa a la modalidad rutina escribiendo la palabra edit o en su
defecto utilizando el icono correspondiente para abrir archivos.
Tanto en la modalidad consola como en la modalidad rutina, si al final de una sentencia
se coloca ; no se imprimen los resultados. Si se omite el punto y coma si aparecerán los
resultados.
2.
MATRICES Y VECTORES
Dada la siguiente matriz A y el vector B, estas se cargan en MATLAB como se indica a
continuación.
⎡10.5
A=⎢
⎣23.1
23.1
80.2
30.4⎤
19.7 ⎥⎦
⎡15 ⎤
B=⎢ ⎥
⎣20⎦
>> A=[10.5 23.1 30.4; 23.1 80.2 19.7]
>> B=[15 ; 20]
ƒ
ƒ
ƒ
Después de cada número se deja uno o varios espacios.
Una vez que se han dado los datos de una fila se coloca punto y coma (;) con lo cual el
programa sabe que a continuación se tiene una nueva fila
Los elementos de una matriz o vector se indican entre [ ].
Una vez que se han definido las matrices y vectores, se pueden realizaras operaciones
de la siguiente forma:
ƒ
Para calcular la transpuesta, se escribe el nombre de la matriz o vector y a
continuación el apóstrofo que está entre paréntesis. (‘).
Para sumar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo +.
Pare restar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el signo -.
Para multiplicar se indican las matrices o vectores y se coloca entre ellas el
signo *.
Para invertir una matriz, por ejemplo la matriz A. El comando es inv (A).
Para multiplicar un escalar por una matriz se procede en forma similar a la
multiplicación de una matriz.
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
•
EJEMPLO 1
Dadas las matrices:
⎡2
A=⎢
⎣1
4⎤
3 ⎥⎦
⎡1
B=⎢
⎣2
− 1⎤
1 ⎥⎦
⎡3
C=⎢
⎣2
Encontrar:
i.
ii.
iii.
D = A t . La transpuesta de la matriz A .
E = A B . El producto de la matriz A por la matriz B .
F = C −1 . La matriz inversa de C .
2⎤
6⎥⎦
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iv.
v.
•
G = A + B . La suma de la matriz A con la matriz B .
H = A − C . La diferencia de las matrices A con la C .
SOLUCIÓN
>> A=[ 2 4; 1 3]; B=[ 1 -1; 2 1]; C=[ 3 2; 2 6 ]
>> D=A’
>> E=A*B
>> F=inv(C)
>> G=A+B
>> H=A-C
ƒ
ƒ
El colocar el punto y coma después del corchete hace que no se imprima a
continuación la matriz. En este caso no se imprimirá las matrices A y B pero si se
imprimirá la matriz C.
Después de cada sentencia aparece inmediatamente los resultados esperados, así
luego de colocar D=A’, aparece
⎡2
D=⎢
⎣4
ƒ
1⎤
3⎥⎦
Los restantes resultados que se obtienen son:
⎡10
E=⎢
⎣7
2⎤
2 ⎥⎦
⎡0.42857
F =⎢
⎣− 0.14286
− 0.14286⎤
0.21429⎥⎦
⎡3
G=⎢
⎣3
3⎤
4⎥⎦
⎡− 1
H =⎢
⎣− 1
2⎤
− 3⎥⎦
Si en el ejemplo, por desconocimiento o descuido, se colocaba:
>> E=a*B
MATLAB no puede hacer la operación ya que la matriz a no está definida. De tal
manera que en MATLAB se diferencian las minúsculas de las mayúsculas.
3.
SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales de la forma A X = B se procede de la
siguiente manera:
>> X= A\B
•
EJEMPLO 2
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
⎡8
⎢2
⎢
⎢⎣3
•
SOLUCIÓN
2
10
1
3⎤
1⎥⎥
5 ⎥⎦
⎡ X 1 ⎤ ⎡42⎤
⎢ X ⎥ = ⎢50 ⎥
⎢ 2⎥ ⎢ ⎥
⎢⎣ X 3 ⎥⎦ ⎢⎣40⎥⎦
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>> A=[8 2 3; 2 10 1; 3 1 5]; B=[ 42; 50; 40]; X= A\B
ƒ
ƒ
En este caso no se imprime la matriz A ni el vector B por el (;) .
Se pudo haber colocado la matriz A en una línea, el vector B en otra y el cálculo de las
incógnitas en otra.
La solución del ejercicio es:
⎡2.00⎤
X = ⎢⎢4.00⎥⎥
⎢⎣6.00 ⎥⎦
4.
CÁLCULO AVANZADO CON MATRICES
En este libro se tiene que calcular con cierta frecuencia los valores y vectores propios
de una matriz A y también el exponencial de una matriz eA. Esto se lo hace con los siguientes
comandos:
ƒ
ƒ
[V,D] = eig ( A )
expm(A)
•
EJEMPLO 3
En V vienen los vectores propios y en D los valores propios de A.
El comando expm(A) halla el exponencial de la matriz.
Encontrar los valores y vectores propios de la siguiente matriz A.
−2
⎡5
A = ⎢⎢− 2
⎢⎣0
•
3
−1
0⎤
− 1⎥⎥
1 ⎥⎦
SOLUCIÓN
>> A=[ 5 -2 0; -2 3 -1; 0 -1 1]; [V,D] = eig (A)
⎡0.2149
V = ⎢⎢0.4927
⎢⎣0.8433
⎡0.4158
D = ⎢⎢ 0.0
⎢⎣ 0.0
− 0.5049
− 0.6831
0.5277
0 .0
2.2943
0 .0
− 0.8360⎤
0.5392 ⎥⎥
− 0.1019 ⎥⎦
0 .0 ⎤
0.0 ⎥⎥
6.2899⎥⎦
Otra forma de calcular los valores y vectores propios, que ofrece MATLAB es:
ƒ
[V,D] = eig (K,M)
K es la matriz de rigidez, M es la matriz de masas. Las dos son
de orden (n x n) siendo n el número de grados de libertad. En
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V vienen los modos de vibración y en D los valores propios con
los cuales se obtienen las frecuencias naturales.
•
EJEMPLO 4
Calcular el exponencial de la siguiente matriz A
⎡4
A=⎢
⎣2
•
2⎤
9 ⎥⎦
SOLUCIÓN
>> A = [ 4 2 ; 2 9];
>> expm(A)
ans =
1.0e+004 *
0.1815
0.5096
0.5096
1.4555
En este caso no se le asignó el nombre de una matriz al resultado de eA. En este caso
MATLAB asigna la respuesta a ans.
El cálculo del exponencial de una matriz se lo aplica en el Procedimiento de Espacio de
Estado, para encontrar la respuesta sísmica de un sistema de n grados de libertad.
5.
CÁLCULO DE INTEGRALES
MATLAB ofrece varias formas de calcular una integral, en este libro se utiliza la regla
del trapecio y su formato de uso es:
•
trapz (X,Y)
Donde X es un vector que contiene los puntos discretos X. Por otra
parte Y es el nombre del vector que contiene los valores de la
función Y en los puntos discretos X.
•
trapz (Y)
Esta modalidad se utiliza cuando los puntos discretos se encuentran
espaciados cada unidad.
6.
MATRIZ IDENTIDAD Y NULA
MATLAB puede crear matrices de orden (n x n) con 1 solo en la diagonal, con 1 en
toda la matriz o con 0 en toda la matriz, de la siguiente manera:
ƒ
A = eye (m)
ƒ
A = ones (m)
m es el orden de la matriz A pero en este caso todos los elementos
de la matriz son unos.
ƒ
A = zeros (m)
m es el orden de la matriz A que está compuesta por ceros.
m es el orden de la matriz A identidad.
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7.
FUNCIONES MATEMÁTICA ELEMENTALES
En la tabla 1 se indican las funciones elementales que más se utilizan en este libro.
Función
sin (x)
cos (x)
tan (x)
sinh (x)
cosh (x)
asin (x)
asinh (x)
log (x)
8.
Tabla 1 Funciones matemáticas elementales.
Comentario
Función
Seno trigonométrico
abs (x)
Coseno
angle (x)
Tangente
sqrt (x)
Seno hiperbólico
real (x)
Coseno hiperbólico
imag (x)
Seno inverso trigon.
conj (x)
Seno inverso hiperbólico
exp (x)
Logaritmo de base e
log10 (x)
Comentario
Valor absoluto
Angulo de fase
Raíz cuadrada
Parte real del complejo
Parte imaginaria
Conjugado de complejo
Base exponencial e
Logaritmo de base 10
GRÁFICAS EN MATLAB
Nuevamente MATLAB ofrece gran versatilidad para la elaboración de figuras, aquí
únicamente se presentan los comandos con los cuales se obtuvieron las curvas que están en
este texto.
ƒ
Para realizar un simple gráfico en dos dimensiones el comando es:
plot (x,y)
xlabel (‘Titulo para eje de las x’); ylabel (‘Titulo para eje de las y’);
title (‘Titulo de la figura’)
Previamente se habrán obtenido los vectores x, y.
ƒ
Para realizar varias curvas en un solo gráfico, se procede de la siguiente manera:
hold off
plot (x,y,’+’)
hold on
plot (x,z,’o‘)
El comando hold on mantiene la gráfica para realizar otra curva. Es conveniente
apagarla con hold off para que no quede activado este comando. Cuando se
construyen varias curvas en una gráfica es conveniente dibujar cada una de ellas con
un símbolo diferente los mismos que se indican entre ‘ ‘. En el ejemplo la primera curva
se dibujara con el signo más y la segunda curva con círculo, en este caso se escribió la
o no el cero. En la tabla 2 se indican varios símbolos disponibles.
Tipo de marca
Punto
Líneas muy pequeñas
Signo más
Círculo
Tabla 2 Símbolos disponibles
Símbolo
Tipo de Marca
Línea-Punto
.
Líneas entrecortadas
:
Signo estrella
+
Marca x
O
Símbolo
-.
-*
x
En lugar de utilizar símbolos diferentes para construir las curvas se puede utilizar
colores, colocando en lugar del símbolo la letra de un color, las mismas que se indican
en la tabla 3.
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ƒ
Para presentar varias figuras, se tiene el comando subplot en que se pueden
presentar m por n gráficas. La sintaxis es:
•
subplot (m,n,k)
Color de línea
Rojo
Magenta
Verde
Blanco
•
k es el número de la gráfica que se dibuja, m y n se refiere a m por
n gráficas que se quieren dibujar.
Tabla 3 Colores disponibles
Símbolo
Color de línea
Amarillo
R
Turquesa
M
Azul
G
Negro
W
Símbolo
y
C
B
K
EJEMPLO 5
Encontrar en forma gráfica las raíces de la siguiente ecuación:
1 + cos p cosh p = 0
•
SOLUCIÓN
Esta ecuación aparece cuando se resuelve una viga en flexión modelado como un
sistema continuo. La ecuación propuesta se puede escribir de la siguiente manera:
cos p = −
1
cosh p
Por lo tanto se debe graficar las dos curvas que son:
cos p , por una parte, y
− 1 / cosh p , por otra. Se presenta a continuación la forma de graficar en la modalidad consola.
>> dx=0.01;
>> for i = 1:500
p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i));
end
>> plot (p,y,’r’); hold on; plot (p,z,’b’)
En la figura 1 se presentan las curvas que se obtienen:
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Figura 1 Gráfica de dos funciones.
Se puede colocar mayor información en el gráfico de la figura 1, con el propósito de
explicar mejor cuales son las raíces, esto se lo puede hacer con MATLAB pero es más fácil
realizarlo usando el programa PAINT; en la figura 2 se presenta el resultado final del cálculo
gráfico de las raíces que ha sido realizado con MATLAB y PAINT.
Figura 2 Raíces encontradas.
9.
PROGRAMAS
Roberto Aguiar Falconí
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Si bien en el apartado anterior se realizó un pequeño programa, para dibujar las dos
curvas, lo usual es que esto se realice en la modalidad rutina. La primera instrucción de un
programa es:
function [resultados] = nombre (datos)
En resultados vendrá el nombre de las variables que contienen los resultados del
programa, puede ser una o varias variables o arreglos. El nombre corresponde a la forma de
identificar el programa, no hay limitación en el número de letras que se utilicen para el efecto.
Por último en datos vienen de consola, la información que requiere el programa para su
ejecución. Normalmente se deben colocar datos pero también el programa puede pedir los
datos por pantalla o a su vez tomarlos de un archivo o se pueden asignar valores de tal forma
que no es obligatorio que existan siempre datos.
Es conveniente documentar los programas, para el efecto se colocarán comentarios,
esto se lo hace con % y a continuación se indican todos los comentarios que se requieran.
Cuando el programa ve % simplemente ignora esa sentencia ya sabe que son comentarios.
En una fila de datos se puede tener una o más sentencias en el ejemplo anterior se
escribió tres sentencias en una fila que son: p(i)=i*dx; y(i)=cos(p(i)); z(i)=-1/cosh(p(i)); esto hace
que los programas sean más cortos.
Para programar básicamente se necesita conocer como se escribe un bucle y la forma
de escribir las decisiones condicionales. En otras palabras saber el manejo del for y del if.
™
Bucles
Empiezan con la palabra for y terminan con la palabra end. Luego
de un índice el mismo que va a variar en la forma que el usuario
desee. La sintaxis del for es la siguiente:
for i = ni:nf
…………..
end
Donde ni es el número inicial en que empieza el lazo o bucle y nf es
el número en que termina el bucle. En la forma indicada el índice i
variará de uno en uno. Si se desea otro tipo de variación la sintaxis
en la siguiente:
for i = ni,dx,nf
…………..
end
En este caso se especifica el incremento dx con el cual va a ir
variando el índice i. Los …………., significan que en ese lugar se
colocarán las sentencias del programa.
™
Condicionales La forma más sencilla de un condicional es la siguiente:
if condición
..............
else
…………
end
Si se cumple la condición que está al lado del if se ejecutan las
líneas que están a continuación, caso contrario no se ejecutan estas
líneas y se ejecutan las líneas posteriores a else.
En este libro se trabaja con los siguientes operadores para los
condicionales:
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Nombre
Mayor que
Mayor o igual
Igual
Tabla 3 Lista de condicionales
Operador
Nombre
>
Menor que
>=
Menor o igual
==
No es igual
Operador
<
>=
=
La forma general de un condicional es:
if condición
..............
elseif
…………
else
…………
end
En este caso se tiene opción de hacer varias preguntas adicionales,
en este caso solo se ha efectuado una pregunta adicional con elseif
pero se pueden hacer tantas como sea necesario.
•
EJEMPLO 6
Elaborar un programa para encontrar una de las raíces de un polinomio de tercer grado
aplicando el Método de Newton Raphson.
•
SOLUCIÓN
La fórmula del Método de Newton Raphson es la siguiente:
X i +1 = X i −
f (X i )
f ' (X i )
Donde f ( X i ) es el valor de la función en el punto X i ;
derivada en
f ' ( X i ) es el valor de la
X i . Por facilidad se desarrolla un programa específico para un polinomio de tercer
grado de la forma: f ( x ) = ax + bx + cx + d
modalidad consola. La ecuación a programar es:
3
2
X i +1 = X i −
Los datos
a, b, c, d se indicarán en la
a X i3 + bX i2 + cX i + d
3aX i2 + 2bX i + c
El cálculo es iteractivo, ya que se debe imponer un valor inicial de
X i y el programa
X i +1 con este valor se ve si f ( X i +1 ) es menor o igual a una tolerancia, si es menor
se halló la raíz, caso contrario se continua con el cálculo para lo cual X i = X i +1 . El programa
determina
que se ha elaborado se denomina newtonraphson y se indica a continuación.
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Se destaca que en MATLAB no se puede colocar las tíldes en los programas de
tal manera que aparecerán ciertas palabras con error gramatical.
function [raiz]=newtonraphson(a,b,c,d,xi)
%
% Calculo de una raiz de un polinomio de tercer grado aplicando el
% Metodo de Newton Raphson
%
% a,b,c,d son datos del polinomio de tercer grado.
% xi
es dato el valor inicial que el usuario propone.
% raiz es una de las raices que se obtienen
% tol es el nombre de la tolerancia con la cual se desea calcular.
%f
es el valor de la funcion en el punto xi
tol=0.01;xx=xi;
for i=1:100
f=a*xi^3+b*xi^2+c*xi+d;
if f <=tol
raiz=xx; break
else
fp=3*a*xi^2+2*b*xi+c;xx=xi-f/fp;xi=xx;
end
end
Para ver la bondad del programa se encuentran las raíces del siguiente polinomio.
f ( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 2 = 0
La forma de ejecutar el programa es como sigue:
>> [raiz] = newtonraphson (2,-5,1,2,3)
El valor de
X i inicial propuesto es 3. El programa reporta:
raiz =
2.0006
Con relación al programa es necesario explicar dos sentencias que son: break y
continue
•
break
Sirve para salir del bucle. En el programa realizado en principio se debía
realizar 100 iteracciones ya que el lazo va de 1 a 100 pero con la
pregunta que se realiza si f <= tol , no se llega a las 100 iteracciones, es
probable que un número mucho menor ya se halle la raíz. Entonces la
forma de salir del lazo es con break.
•
continue
Tiene el efecto contrario al break. Se realiza una pregunta dentro de un
lazo y si cumple cierta condición y no se quiere hacer ninguna operación,
únicamente que continúe con el bucle, en este caso se coloca continue.
¾
Cálculo de raíces de un polinomio
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Se escribió el programa newtonraphson para ilustrar el uso de un bucle y de un
condicionante. Para hallar las raíces de un polinomio MATLAB tiene el comando roots
con el cual se hallan todas las raíces del polinomio. La sintaxis es:
R = roots (p)
Donde p es un vector que contiene los coeficientes del polinomio y R es el nombre del
vector que contiene las raíces. En lugar de p y R se puede colocar cualquier nombre.
Para hallar las raíces de:
manera:
f ( x) = 2 x 3 − 5 x 2 + x + 2 = 0 . Se procede de la siguiente
>> p = [ 2 -5 1 2]
>> raiz = roots (p)
El programa en el vector raiz reporta todas las raíces que son:
raiz =
2.0000
1.0000
-0.5000
Si se conocen las raíces de un polinomio y se desea hallar los coeficientes de dicho
polinomio el comando que se utiliza es poly ( r ) Donde r es el nombre del vector que
contiene las raíces. Para el ejemplo se tendría:
>> r = [ 2 1 -0.5]
>> poly (r)
El programa reporta:
ans =
1.0000 -2.5000
0.5000
1.0000
Que son los coeficientes del polinomio del ejemplo, dividido para 2.
Conforme pasa el tiempo, es probable que se olvide la forma de entrada de datos de
un determinado programa o no recuerda que hace el programa. En este caso, en la modalidad
consola se escribirá help y el nombre del programa. Luego va a aparecer todas las primeras
instrucciones que son comentarios.
10.
ARCHIVO DE DATOS Y RESULTADOS
En el libro se encuentra la respuesta sísmica de varias estructuras ante un
acelerograma, de un sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, lo primero que se
debe realizar antes de llevar el archivo a MATLAB es eliminar las líneas de comentarios que
normalmente traen los archivos y después darle un nombre con extensión .dat
En el libro el archivo de este acelerograma se denomina Peru04.dat. Este archivo debe
grabarse en la carpeta de MATLAB denominada WORK. Se destaca que debe ser un archivo
ASCII.
Para cargar un archivo, la sintaxis es: load datos.dat;
Por otra parte, para guardar un archivo de resultados, la sintaxis es: save result.res;
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En la sintaxis se ha denominado datos y result a los archivos de datos y resultados
pero pueden tener cualquier nombre.
11. FACILIDADES DE MATLAB CON MATRICES
MATLAB facilita, la forma de trabajar con matrices y vectores. A continuación se
indican algunas de estas formas:
¾
Creación de una matriz diagonal
Si en consola o rutina se escribe, por ejemplo:
A = diag ( [ 5 4 3 ] )
Se crea la matriz:
⎡5
A = ⎢⎢0
⎢⎣0
¾
0⎤
0⎥⎥
3 ⎥⎦
0
4
0
Obtención de una submatriz
Se desea obtener de la matriz A del ejemplo anterior una submatriz que se va a
denominar B compuesta por las dos primeras filas y columnas.
B = A ( 1:2,1:2)
Se crea la submatriz:
⎡5
B=⎢
⎣0
0⎤
4⎥⎦
La sintaxis es primero identificar la matriz de la cual se va a obtener la submatriz.
Luego entre paréntesis se indica la fila inicial : la fila final coma la columna inicial : la
columna final
Si se desea extraer un elemento de una matriz, se escribe en la notación clásica. Por
ejemplo de la matriz A se desea obtener el número 4.
A (2,2)
ans=
4
¾
Símbolo :
Sirve para denotar todos los elementos de una fila o columna de una matriz. Por
ejemplo si se quiere obtener los elementos de la tercera columna de la matriz A.
A(:,3)
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ans=
0
0
3
¾
Máximo y Mínimo de un vector
Para encontrar el valor máximo o mínimo de un vector la sintaxis es: max (A) o min(A).
Siendo A. El nombre del vector.
¾
Dimensión de un vector o matriz
Para saber el orden de una matriz o vector la sentencia es length (A) donde A es el
nombre de la matriz o vector.
12.
FUNCIONES
Una gran ventaja de MATLAB es que las funciones se pueden trabajar directamente
como vectores o matrices. Por ejemplo si se tiene una serie de tiempo que va desde 0 a 1 con
incrementos de 0.1, esto se lo obtiene de la siguiente manera:
>> t = linspace (0,1,11)
Con lo que se obtiene:
t=0
ƒ
ƒ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
La primera cantidad de linspace corresponde al número inicial, la segunda al número
final y la tercera al número de valores que se desea, entre los números inicial y final.
Se ha creado t como un vector fila. Esto es muy importante tener en cuenta ya que
para graficar funciones se necesita tener un vector columna. En este caso se escribe
de la siguiente manera:
>> t = linspace (0,1,11)’
Si se desea obtener el seno para cada uno de los valores de t se procede de la
siguiente manera:
>> a=sin(t)
Con lo que se halla:
a=
0
0.0998
0.8415
0.1987
0.2955
0.3894
0.4794
0.5646
0.6442
0.7174
0.7833
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Se ha presentado un manual rápido de MATLAB que tiene como objetivo que el lector
comprenda los programas que en libro se presentan. Con tantas ventajas que ofrece MATLAB,
los programas, de aspectos muy complejos como es por ejemplo, el hallar la respuesta en el
tiempo de un sistema de múltiples grados de libertad, son muy cortos.
Los programas que se desarrollan tienen un gran beneficio ya que ayudan al lector a
entender perfectamente el tema que se está exponiendo.
Para quienes deseen profundizar más en MATLAB se les recomienda el libro de
Shoichiro Nakamura (1997), Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, 476 p.,
Prentice-Hall Hispanoamericana S.A., México.
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CAPÍTULO 1
SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD
RESUMEN
Se deduce la ecuación diferencial del movimiento para sistemas de un grado de
libertad y se resuelve en forma analítica para el caso de vibración: libre, forzada ante carga
armónica y arbitraria ante pulsos rectangulares. Para el primer caso se obtiene la respuesta
para vibraciones sin amortiguamiento, subamortiguada, sobre amortiguada y críticamente
amortiguada. Para el segundo caso se obtiene el factor de amplificación dinámica y se ilustra el
problema de la resonancia, luego se obtienen las fuerzas que se transmiten a la fundación por
efecto de vibración armónica. Finalmente para el tercer caso, se presenta la solución ante un
escalón unitario y de fuerza arbitraria y ante un pulso rectangular.
Se complementa el marco teórico con la presentación de programas en MatLab para
resolver el problema de vibraciones libres y para calcular el factor de amplificación dinámica de
desplazamiento.
1.1 VIBRACIONES LIBRES
En las estructuras se tienen dos tipos de vibraciones que son: vibración libre y
vibración forzada. En el primer caso, que se presenta en este apartado, la estructura vibra
debido a condiciones iniciales. Para deducir la ecuación diferencial que gobierna el
comportamiento de vibración libre en un sistema de un grado de libertad, en la figura 1.1 se
indica el modelo numérico de cálculo a partir de un resorte que tiene una rigidez k como se
aprecia en la posición ( 1 ) de la figura 1.1, se ha notado por P.I. a la posición inicial del
sistema.
Se considera que la fuerza que se genera en el resorte es proporcional a la
deformación del mismo, con ésta hipótesis, se pasa a la posición ( 2 ) de la figura 1.1 en que
coloca la masa del sistema m sobre el resorte se lo hace de tal manera que el sistema no
vibre al terminar de colocar la masa el resorte se ha deformado una cantidad δ y ahora la
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Posición Inicial P.I., pasa a la posición de equilibrio estático que se ha llamado P.E.E. En la
posición ( 2 ) del equilibrio de fuerzas verticales se tiene:
mg=kδ
( 1.2 )
En la posición ( 3 ) se ha colocado el amortiguador c pero no entra en funcionamiento
ya que el sistema está en reposo. La fuerza del amortiguador se considera proporcional a la
velocidad. En consecuencia se tendrá fuerza en el amortiguador cuando el sistema se
encuentra en movimiento. En ( 4 ) se dan las condiciones iniciales del sistema, para un tiempo
.
t = 0 la masa se desplaza una cantidad qo con una velocidad q o .
Figura 1.1 Descripción del modelo numérico para vibración libre.
Se debe recalcar que el desplazamiento en un instante cualquiera q (t ) se mide a
partir de P.E.E. Finalmente en ( 5 ) se presenta una posición genérica del movimiento en la que
se ha colocado que la fuerza en el resorte vale k ( q + δ ) hacia arriba, el peso del sistema vale
.
..
m g hacia abajo, la fuerza en el amortiguador c q hacia arriba y la fuerza inercial m q hacia
arriba. Del equilibrio, de fuerzas verticales, se tiene:
.
..
k (q + δ ) + c q + m q − m g = 0
Al sustituir ( 1.1 ) en ésta última ecuación, se tiene:
..
.
m q + c q+ k q = 0
( 1.2 )
Se conoce que la frecuencia natural Wn y el período de vibración T , valen:
k
m
Wn =
T=
Por otra parte, se define el factor de amortiguamiento
ξ=
2π
Wn
ξ
( 1.3 )
como:
c
2 mk
Si la ecuación diferencial ( 1.2 ) se divide para m se tiene:
..
q+
c .
q + Wn2 q = 0
m
( 1.4 )
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Al multiplicar y dividir el término c/m por
2 mk y al utilizar la ecuación ( 1.4 ) se tiene:
c
c 2 mk
=
= 2 ξ Wn
m 2 mk m
Luego otra forma de presentar la ecuación diferencial del movimiento es:
..
.
q + 2ξ Wn q + Wn2 q = 0
1.1.1
( 1.5 )
Solución de la ecuación diferencial
Se plantea la solución de la ecuación diferencial ( 1.5 ) de la siguiente forma:
q(t ) = a e λ t
( 1.6 )
Donde a es una constante de integración y λ es una variable a determinar. Al derivar
la ecuación ( 1.6 ) con respecto al tiempo y reemplazar en ( 1.5 ) se tiene:
.
q = a λ eλ t
..
q = a λ2 e λ t
a λ2 e λ t + 2 ξ Wn a λ e λ t + Wn2 a e λ t = 0
(
)
a e λ t λ2 + 2 ξ Wn λ + Wn2 = 0
Para que la última ecuación sea igual a cero es necesario que la cantidad del
paréntesis sea cero.
λ2 + 2 ξ Wn λ + Wn2 = 0
λ=
− 2ξ Wn ± 4ξ 2 Wn2 − 4 Wn2
2
λ = −ξ Wn ± Wn ξ 2 − 1
Las raíces de
negativo.
1.1.2
λ
dependen del valor de
ξ
( 1.7 )
ya que el radical puede ser positivo, cero o
Vibración libre sin amortiguamiento
ξ = 0 , es un caso ideal que significa que la estructura queda vibrando
indefinidamente. Al ser ξ = 0 las raíces que se obtienen de ( 1.7 ) son:
En este caso
λ = ±Wn
Luego la solución se transforma en:
−1
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q (t ) = A cos(Wn t ) + B sen(Wn t ) = C sen(Wn t + γ )
C=
Siendo
•
γ
A2 + B 2
( 1.8 )
el ángulo de fase.
EJEMPLO 1
Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad cuyo período
de vibración es 0.2 s., que no tiene amortiguamiento y que en el tiempo igual a cero el
desplazamiento inicial es de 2.cm., y la velocidad inicial es 10 cm/s.
•
SOLUCIÓN
2π 2π
1
=
= 31.416
T
0.2
s
q(t ) = A cos(Wn t ) + Bsen(Wn t )
Wn =
q(t ) = − A Wn sen(Wn t ) + B Wn cos(Wn t )
.
Para t = 0 se tiene:
2= A
10 = B Wn
Luego:
→B=
10
10
=
= 0.3183
Wn 31.416
q (t ) = 2 cos(31.416 t ) + 0.3183 sen(31.416 t )
En la figura 1.2 se tiene la respuesta en el tiempo y es importante tener en cuenta los
siguientes comentarios:
9
9
9
9
La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial.
Como la velocidad inicial es positiva, la pendiente de la figura 1.2 en t=0 es positiva
razón por la cual la curva va hacia arriba.
El tiempo que se demora en una oscilación completa es igual a 0.2 s., que corresponde
al período de vibración.
Como el sistema no tiene amortiguamiento la amplitud de la oscilación no decrece.
1.1.3
Vibración libre subamortiguada
Corresponde al caso real en el cual vibran las estructuras, el valor de
este caso las raíces son también números complejos.
Las raíces son:
λ = −ξ Wn ± Wa
W a = Wn 1 − ξ 2
0 < ξ ≤ 1 . En
−1
( 1.9 )
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2,5
2
1,5
Desplazamiento (cm.)
1
0,5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
Tiempo (s.)
Figura 1.2 Respuesta en el tiempo de sistema de 1 gdl sin amortiguamiento.
Luego la solución es:
q (t ) = e −ξ Wnt [A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )]
q (t ) = exp(−ξ Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )]
( 1.10 )
La respuesta en el tiempo para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se ha
escrito de dos formas en la ecuación (1.10) toda vez que en la primera no se ve tan claro el
exponente. Al igual que el caso anterior la suma de dos armónicos es otro armónico por lo que
la ecuación ( 1.10 ) en función del ángulo de fase queda:
( 1.11 )
q (t ) = C exp( −ξ Wn t ) sen(Wa t + γ )
C=
•
A2 + B 2
EJEMPLO 2
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo anterior si
sistema es 0.2 s.
t=0
ξ = 0.05 .
q(0) = 2 cm.
.
q (0) = 10 cm / s.
•
SOLUCIÓN
q (t ) = exp(−ξ Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )]
q (t ) = −ξWn exp(−ξ Wn t )[ A sen(Wa t ) + B cos(Wa t )] +
.
exp(−ξWn t )[ A Wa cos(Wa t ) − B Wa sen(Wa t )]
Wa = 31.416 1 − 0.05 2 = 31.3767
El período del
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para t=0 se tiene:
2=B
10 = −0.05 ∗ 31.416 ∗ 2 + A ∗ 31.3767
A = 0.41883
Luego la respuesta en el tiempo es:
q (t ) = exp(− 1.5708 ∗ t ) ∗ [0.41883 sen(31.3767 t ) + 2 cos(31.3767 t )]
En la figura 1.3 se presenta la respuesta en el tiempo para el ejemplo 2 que tiene 5%
de amortiguamiento.
2,5
2
1,5
Desplazamiento (cm.)
1
0,5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
-0,5
-1
-1,5
-2
Tiempo (s.)
Figura 1.3 Respuesta en el tiempo para sistema con
ξ = 0.05
Los comentarios que se hacen al ejemplo 2, son los siguientes:
9
9
9
La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial.
La pendiente en t=0 es positiva.
El período de la oscilación en este caso vale:
Ta =
9
2π
Wa
Conforme transcurre el tiempo el desplazamiento tiende a cero.
1.1.4
Vibración libre sobre amortiguada
Corresponde al caso en que ξ es mayor que la unidad. En este aso las dos raíces son
reales. Luego la respuesta en el tiempo vale:
[(
)]
[(
)]
q(t ) = A exp − ξ Wn + Wn ξ 2 − 1 t + B exp − ξ Wn − Wn ξ 2 − 1 t
•
EJEMPLO 3
( 1.12 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si
ξ = 1.2 . El período del sistema es
0.2 s.
t=0
•
.
q(0) = 2 cm.
q(0) = 10 cm / s.
SOLUCIÓN
Se procede en forma similar a los ejercicios anteriores y la respuesta que se obtiene es
la siguiente:
q (t ) = 3.049 exp(− 16.8602 t ) − 1.049 exp(− 58.5382 t )
2,5
Desplazamiento (cm.)
2
1,5
1
0,5
0
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Tiempo (s.)
Figura 1.4 Respuesta en el tiempo para
ξ = 1.2
Los comentarios que se realizan a la figura 1.4, son:
9
9
9
La respuesta empieza en 2 cm., por la condición inicial.
La pendiente en t=0 es positiva.
El sistema tiene tanto amortiguamiento que no oscila.
1.1.5
Vibración libre críticamente amortiguada
En caso ξ = 1 . El radical de la ecuación ( 1.7 ) es cero y las dos raíces son iguales.
Por lo tanto, la respuesta en el tiempo es:
q(t ) = ( A t + B ) exp(− Wn t )
•
EJEMPLO 4
Encontrar la respuesta en el tiempo del ejemplo 1 si
0.2 s.
( 1.13 )
ξ = 1.0 . El período del sistema es
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
t=0
q(0) = 2 cm.
.
q (0) = 10 cm / s.
•
SOLUCIÓN
q (t ) = exp(− Wn t ) [A − ( A t + B ) Wn ]
.
Al reemplazar las condiciones iniciales se encuentra:
A = 72.832
B=2
La respuesta en el tiempo viene dada por:
q (t ) = (72.832 t + 2 ) exp(− 31.416 t )
La gráfica de la respuesta es similar a la de la figura 1.4
function [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo)
%
% Vibraciones libres en sistemas de un grado de libertad
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [q]=vlibre(zi,w,qo,qpo)
%------------------------------------------------------------% zi: factor de amortiguamiento
% w : frecuencia natural del sistema de 1 gdl.
% qo: desplazamiento en t=0
% qpo: velocidad en t=0
% tmax: tiempo maximo de la respuesta igual a 0.6 segundos.
t=linspace(0,0.6,500)';
if zi<1
wa=w*sqrt(1-zi*zi); B=qo; A=(qpo+zi*w*B)/wa;
q1=(A*sin(wa*t)+B*cos(wa*t)); q2=exp(-zi*w*t);
q=q2.*q1;
elseif zi==1
B=qo; A=qpo+B*w;
q=(A*t+B).*exp(-w*t);
else
landa1=-zi*w+w*sqrt(zi*zi-1); landa2=-zi*w-w*sqrt(zi*zi-1);
C=[1 1; landa1 landa2]; D=[qo; qpo];
X=C\D; A=X(1); B=X(2);
q=A*exp(landa1*t)+B*exp(landa2*t);
end
plot (t,q)
xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Desplazamiento')
title ('Vibracion libre en sistema de 1 gdl')
%---fin---
Se ha presentado un programa denominado VLIBRE que encuentra la respuesta en el
tiempo, para un problema de vibración libre. Los datos que se suministran al programa, son:
•
ξ
Factor de amortiguamiento.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
•
•
Wn Frecuencia natural del sistema.
q(0) Desplazamiento en t = 0 .
•
q(0) Velocidad en t = 0 .
.
Como aplicación del programa VLIBRE, se resuelve el ejemplo 2 de este capítulo:
¾
[q] = vlibre (0.05,31.416,2,10)
En la figura 1.5 se indica lo que reporta el programa VLIBRE.
Figura 1.5 Respuesta en el tiempo de ejemplo 2 que se obtiene con programa VLIBRE en MATLAB.
1.1.6
Factor de amortiguamiento
Una de las aplicaciones del caso de vibración libre sub amortiguada se presenta en el
cálculo del factor de amortiguamiento ξ para el efecto se mide el decremento logarítmico ∆ ξ
del movimiento, mediante la siguiente ecuación:
∆ξ =
⎛ q (t )
ln⎜⎜
2π n ⎝ q (t + nTa
1
⎞
⎟⎟
⎠
Donde n es el número de períodos que se considera para la medición,
amplitud en un instante de medición y q (t
( 1.14 )
q (t ) es la
+ nTa ) es la amplitud luego de n períodos. El valor
de Ta es el período de la vibración amortiguada. En la figura 1.6 se ilustra el cálculo del
decremento logarítmico, en este caso se ha medido las amplitudes en un período Ta . Por otra
parte se tiene que:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
∆ξ =
ξ
( 1.15 )
1− ξ 2
Figura 1.6 Cálculo del decremento logarítmico.
Newmark y Hall (1982) recomiendan los valores de ξ que se indican en la tabla 1.1.
Los comentarios que se pueden hacer al respecto son los siguientes:
™ El valor de
ξ
™ El valor de
depende del tipo de material y del sistema estructural.
ξ
depende del nivel de esfuerzos, mientras más bajo sea el nivel de
esfuerzos menor será
ξ.
™ Para estructuras de Hormigón Armado el valor de ξ es superior a 10 si el nivel de
daño en la estructura es grande.
™ Normalmente los espectros de diseño se presentan para ξ = 0.05 lo que implica que
existe un agrietamiento visible en la estructura.
1.2 VIBRACIONES FORZADA. EXCITACIÓN ARMÓNICA
Se tienen varios casos de vibración forzada de ellos, para quienes vivimos en una zona
de alta peligrosidad sísmica como es el Ecuador, el sismo es el más importante pero para otros
puede ser muy importante la acción del viento o las vibraciones que producen los motores de
máquinas.
Tabla 1.1 Valores recomendados de ξ en porcentaje.
Material y/o sistema estructural
Nivel de esfuerzos o deformaciones
Columnas aisladoras de porcelana
Sistemas de tuberías que pueden
vibrar libremente
Deformaciones elásticas
Esfuerzos admisibles; < 0.5 σ y
Cercanos a
σ y , sin excederlo
ξ (% )
0.5 a 1
1a2
2a3
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Sistemas
soldado
estructurales
de
acero
Esfuerzos admisibles; < 0.5 σ y
Cercanos a
σ y , sin excederlo
2a3
5a6
Concreto pretensazo
Esfuerzos admisibles; < 0.5 σ y
2a3
5a7
Sistemas estructurales de Hormigón
Armado
Cercanos a estados últimos,
Sin pérdida de pretensión
Sin pretensión residual
Esfuerzos admisibles sin agrietamiento
visible
Agrietamiento visible generalizado
Cercanos a estados últimos
Esfuerzos admisibles; < 0.5 σ y
Estructuras de acero apernadas
Sistemas estructurales de madera, con
elementos clavados o apernados.
Esfuerzos a nivel de cadencia
Esfuerzos admisibles
Cercano a estados últimos, con juntas
apernadas
Estado de agotamiento con juntas
clavadas
7 a 10
2a3
3a5
7 a 10
5a6
8 a 12
5a7
10 a 15
15 a 20
La excitación de una máquina puede se modela mediante un pulso el mismo que
puede ser rectangular, triangular, trapezoidal, etc., pero para su solución se puede aproximar
estas funciones periódicas por funciones armónicas tipo seno o coseno. Por este motivo es
necesario estudiar la respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una excitación
armónica.
1.2.1 Respuesta ante una excitación sinusoidal
Se desea encontrar la respuesta en el tiempo para el sistema de 1 gdl indicado en la
figura 1.7. La excitación vale Fo senω t ; siendo ω la frecuencia de vibración de la excitación,
Fo el valor de la amplitud máxima y t la variable tiempo.
Figura 1.7 Sistema de 1 gdl sometido a una fuerza armónica.
La ecuación diferencial del movimiento es:
m q&& + c q& + k q = Fo sen ω t
( 1.16 )
La solución del problema q (t ) será igual a la solución homogénea más la solución
particular.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
q(t ) = q h (t ) + q p (t )
La solución homogénea se halla igualando a cero la ecuación diferencial, es decir se
resuelve la ecuación diferencial de vibración libre, la misma que se la repite a continuación.
m q&&h + c q& h + k q h = 0
La solución particular depende de la forma de la excitación, se halla de la solución de:
m q&&p + c q& p + k q p = Fo sen ω t
La solución homogénea es importante en los primeros instantes de tiempo, luego
desaparece por lo que el sistema queda vibrando en base a la solución particular, se resolverá
a continuación únicamente la solución particular ya que la solución homogénea fue resuelta en
el apartado anterior y además desaparece en los primeros instantes de tiempo. Sea
q p = A senω t + B cos ω t
( 1.17 )
Donde A, B son constantes de integración que se determinan en base a la ecuación
diferencial. Las derivadas de q p con respecto al tiempo, son:
q& = A ω cos ω t − B ω senω t
q&& = − A ω 2 senω t − B ω 2 cos ω t
Al reemplazar en ecuación diferencial y agrupando términos se tiene:
(− mω
2
)
(
)
A − B c ω + k A senω t + − B m ω 2 + A c ω + k B cos ω t = Fo sen ω t
Al igualar coeficientes se tiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
(k − m ω ) A − cω B = F
c ω A + (k − m ω ) B = 0
2
o
2
En forma matricial se tiene:
⎡k − mω 2
⎢
⎢⎣cω
− cω ⎤
⎥
k − mω 2 ⎥⎦
⎡ A⎤ ⎡ Fo ⎤
⎢ B ⎥ = ⎢0 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
El determinante de los coeficientes vale:
∆ = (k − m ω 2 ) + (c ω )
2
2
Al aplicar la regla de Cramer se tiene:
− cω
Fo
A=
0
k − mω 2
∆
=
(
Fo k − m ω 2
∆
)
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
B=
k − mω 2
Fo
cω
0
=−
∆
c ω Fo
∆
Figura 1.8 Suma de dos armónicos
En el triángulo rectángulo de la figura 1.8 se tiene:
A = X cos γ
B = X senγ
Al reemplazar A, B en la ecuación ( 1.17 ) se tiene:
q p = X cos γ senω t + X senγ cos ω t = X sen(ω t + γ )
De la figura 1.8 se tiene:
Fo2 (k − m ω 2 ) (cω ) Fo2
+
= Fo
∆2
∆2
Fo
X =
(k − m ω 2 )2 + (c ω )2
2
X =
A +B =
2
2
(k − m ω ) + (c ω )
2 2
2
( 1.18 )
2
∆2
( 1.19 )
El ángulo de fase vale:
⎛B⎞
⎝ A⎠
cω
2
⎝k −mω
⎛
γ = tg −1 ⎜ ⎟ = tg −1 ⎜⎜
⎞
⎟⎟
⎠
( 1.20 )
En resumen si la respuesta del sistema viene dada por la respuesta permanente se
tiene que:
q=
•
Fo
(k − m ω ) + (c ω )
2 2
sen(ω t + γ )
( 1.21 )
2
EJEMPLO 5
Encontrar la respuesta en el tiempo para un sistema de 1 gdl, que tiene los siguientes
datos:
m = 17.51
Kg s 2
cm.
k = 27146
kg
cm
ξ = 0.05 →
c = 2ξ mk = 68.943
kg s
cm
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
La excitación está definida por:
Fo = 1 T = 1000kg
Ta = 0.3 s
→ ω=
2π
1
= 20.944
Ta
s
1500,000
1000,000
f(t)
500,000
0,000
0,00
-500,000
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
-1000,000
-1500,000
TIEMPO (t)
Figura 1.9 Excitación f (t ) = Fo senω t = 1000 sen(20.944 t )
•
SOLUCIÓN
El sistema de ecuaciones lineales a resolver para encontrar las constantes de
integración es el siguiente:
⎡k − mω 2
⎢
⎢⎣cω
⎡ 27146 − 17.51 ∗ (20.944 )2
⎢
⎢⎣68.943 ∗ 20.944
− cω ⎤
⎥
k − mω 2 ⎥⎦
⎡ A⎤ ⎡ Fo ⎤
⎢ B ⎥ = ⎢0 ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎤
⎥
2
27146 − 17.51 ∗ (20.944) ⎥⎦
⎡19465.21861
⎢1443.943
⎣
A = 5.10919 ∗ 10 − 2
− 68.943 ∗ 20.944
− 1443.943 ⎤
19465.21861⎥⎦
⎡ A⎤ ⎡1000.0⎤
⎢ B ⎥ = ⎢0.0 ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦
⎡ A⎤ ⎡1000.0⎤
⎢ B ⎥ = ⎢0.0 ⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦
B = −3.78996 ∗ 10 −3
q(t ) = 5.10919 ∗ 10 −2 sen(20.944t ) − 3.78996 ∗ 10 −3 cos(20.944t )
En la figura 1.10 se presenta la respuesta en el tiempo de los desplazamientos q (t ) .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
0,06000
Desplazamiento (cm)
0,04000
0,02000
0,00000
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
-0,02000
-0,04000
-0,06000
Tiempo (s)
Figura 1.10 Respuesta en el tiempo de desplazamientos.
1.2.2 Factor de amplificación
Si en la ecuación ( 1.19 ) se divide al numerador y denominador para la rigidez del
sistema se tiene:
X =
Fo
k
(k − m ω ) + (c ω )
2 2
2
k2
Se denomina:
Fo
k
Xo =
( 1.22 )
ω
r=
( 1.23 )
Wn
α=
X
Xo
( 1.24 )
En la ecuación ( 1.23 ) se ha denominado r a la relación de la frecuencia de la
excitación con respecto a la excitación de la frecuencia natural y α es el factor de
amplificación dinámica. Luego se tiene:
X =
Xo
⎛ mω 2
⎜⎜1 −
k
⎝
2
⎞ ⎛ cω ⎞
⎟⎟ + ⎜
⎟
⎠ ⎝ k ⎠
2
De donde:
α=
1
(1 − r ) + (2 ξ r )
2 2
( 1.25 )
2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
FACTOR DE AMPLIFICACION DINAMICA
5
4
0,01
3
0,1
α
0,15
2
0,25
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
r
Figura 1.11 Factor de amplificación dinámica en función del factor de amortiguamiento.
En la figura 1.11 se presenta el factor de amplificación dinámica, en función de la
relación de frecuencias r , y para valores del factor de amortiguamiento ξ desde 0.01 a 0.5.
De esta figura y de la ecuación (1.25) se tienen los siguientes comentarios:
¾ Para el caso de vibración forzada, sin amortiguamiento ξ = 0 y para r = 1 en la
ecuación ( 1.25 ) se tiene que α = ∞ , que constituye el pico principal de resonancia.
¾ A medida que ξ aumenta el factor de amplificación dinámica α disminuye.
¾
¾
Para r = 1 el valor de α tiene un máximo valor para factores de amortiguamiento
menores a 0.15. Tener r = 1 significa que la frecuencia de la excitación es igual a la
frecuencia natural del sistema y para estos casos el factor de amplificación dinámica es
mayor que la unidad.
A medida que el valor de ξ se incrementa más ancho es el pico de amplitudes
máximas.
A continuación se presenta el programa FAD que obtiene en forma gráfica el factor de
amplificación dinámica α para cuatro valores del factor de amortiguamiento ξ . La forma de
uso del programa, en MATLAB es la siguiente:
¾
[f] = fad(z1,z2,z3,z4)
Como ejemplo de aplicación, se desea encontrar las curvas del factor de amplificación
para valores de ξ igual a 0.01, 0.1, 0.15 y 0.5.
[f] = fad(0.01,0.1,0.15,0.5)
En la figura 1.12 se indican las curvas que se encuentran en el MATLAB, para los
datos indicados.
function [f]=fad(z1,z2,z3,z4)
%
% Factor de Amplificación Dinámica
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
%
CEINCI-ESPE
% --------------------------------------% [f]=fad(z1,z2,z3,z4)
% --------------------------------------% z1: Factor de amortiguamiento 1
% z2: Factor de amortiguamiento 2
% z3: Factor de amortiguamiento 3
% z4: Factor de amortiguamiento 4
% r : Relación entre la frecuencia excitación a frecuencia natural
% f : Factor de amplificación dinámica
hold off
dr=0.02;r=0;
for i=1:150
r=r+dr;
f(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z1*r)^2));f1(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z2*r)^2));
f2(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z3*r)^2));f3(i)=1.0/(sqrt((1-r^2)^2+(2*z4*r)^2));
rr(i)=r;
end
plot (rr,f); hold on
plot (rr,f1,'--'); plot (rr,f2,':'); plot (rr,f3,'-.')
xlabel('r'); ylabel('Factor de amplificacion');
axis([0,3,0,5]);
text (2.0,4.5,'z1 ---- ','Fontname','symbol'); text (2.0,4.0,'z2 - - -','Fontname','symbol')
text (2.0,3.5,'z3 .......','Fontname','symbol'); text (2.0,3.0,'z4 .-.-.-','Fontname','symbol')
hold off
% ---fin---
1.2.3
Fuerza transmitida a la fundación
Se ha visto que la solución de la ecuación diferencial ( 1.16 ) en régimen permanente
viene dada por:
q = X sen(ω t + γ )
De donde la derivada con respecto al tiempo es:
q = X ω cos(ω t + γ )
.
La fuerza que llega a la cimentación, f t , viene dada por la contribución de la fuerza del
k
c
resorte, f t , más la contribución de la fuerza del amortiguador f t .
.
f t = f tk + f tc = k q + c q
f t = k X sen(ω t + γ ) + c X ω cos(ω t + γ
)
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 1.12 Curvas que se obtienen con programa FAD en MATLAB.
Nuevamente se tiene la suma de dos armónicos por lo que la fuerza transmitida a la
fundación vale:
ft =
(k X )2 + (c ω X )2
sen(ω t + γ + φ )
Por lo tanto el valor máximo de la fuerza transmitida a la fundación FT vale:
FT = k 2 + (c ω ) X
2
Al reemplazar el valor de X de la ecuación ( 1.21 ) se tiene:
FT = Fo
k 2 + (c ω )
2
(k − m ω ) + (c ω )
2 2
2
( 1.26 )
Fo es la fuerza aplicada al sistema de 1 gdl y FT es la fuerza transmitida a la
fundación. Se denomina τ a la relación entre la fuerza transmitida a la cimentación con
relación a la fuerza aplicada.
τ=
FT
Fo
( 1.27 )
Pero de ecuación ( 1.26 ) se tiene que:
τ=
k 2 + (cω )
2
(k − m ω ) + (c ω )
2 2
2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al dividir el numerador y denominador del radical para
del factor r y ξ , el factor de transmisibilidad τ queda:
1 + (2 ξ r )
τ=
k 2 y al expresarle en función
2
(1 − r ) + (2 ξ r )
2 2
En la figura 1.13 se grafica τ para valores de
Del análisis de esta figura se desprende lo siguiente:
ξ
( 1.28 )
2
igual a 0.01; 0.1; 0.15; 0.25 y 0.50.
τ = 1.
r = 2 el valor de τ = 1 . Además es el punto en el cual cambia la forma de
¾
Cuando r = 0 el valor de
¾
Cuando
la curva.
¾
τ = 1 /(1 − r 2 ) ; y para r = 1 el valor de τ = ∞ .
Independiente del valor de ξ , cuando r → ∞ , el valor de τ = 0 . De ahí la necesidad
de que el valor de ω difiera lo mayor que se pueda con relación a Wn .
Para
¾
ξ =0
el valor de
FACTOR DE TRANSMITIBILIDAD
5
4
0,01
3
0,1
τ
0,15
2
0,25
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
r
Figura 1.13 Factor de transmitibilidad de las fuerzas a la cimentación.
1.3
EXCITACIONES ARBITRARIAS
Se desea encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl, ante una fuerza
f (t ) arbitraria, para lo cual en la figura 1.14 se indica el modelo numérico de cálculo. La
ecuación diferencial del movimiento es:
..
.
m q + c q + k q = f (t )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 1.14 Excitación arbitraria
1.3.1
Escalón unitario
En la figura 1.15 se presenta la fuerza escalón unitario que vale 0 para valores
negativos del tiempo y vale la unidad para valores positivos del tiempo.
f (t ) = 1
t≥0
.
Se consideran nulas las condiciones iniciales. Luego: q (0) = q (0) = 0
Figura 1.15 Función escalón unitario.
La ecuación diferencial a resolver es:
..
..
.
1⎞
⎛
⇒ m q + c q + k ⎜q − ⎟ = 0
k⎠
⎝
.
m q + c q + k q =1
Se realiza el siguiente cambio de variable:
q−
1
=z
k
Luego la ecuación diferencial se transforma en:
..
.
m z +c z +k z =0
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Por el cambio de variable, las condiciones iniciales, son:
z (0) = −
.
1
k
z (0) = 0
Por lo tanto la solución se ha transformado en un problema de vibración libre con
condiciones iniciales que se estudió en el apartado 1. Se denomina g (t ) a la solución del
escalón unitario. Las soluciones son:
♦
Caso sin amortiguamiento
z (t ) = A cos(Wn t ) + B sen(Wn t )
z (t ) = − A Wn sen(Wn t ) + B Wn cos(Wn t )
.
Al reemplazar las condiciones iniciales, se tiene:
−
1
=A
k
0=B
Luego:
1
z (t ) = − cos(Wn t )
k
Con el cambio e variable se tiene:
q(t ) = z (t ) +
q(t ) =
1
1
1
= − cos(Wn t ) +
k
k
k
1
[1 − cos(Wn t )]
k
A la solución se denomina g (t ) . Luego:
g (t ) =
♦
1
[1 − cos(Wn t )]
k
( 1.29 )
Caso sub amortiguado
Al proceder en forma similar al caso de vibración libre sin amortiguamiento se obtiene:
g (t ) =
⎛
⎞⎤
1⎡
ξ
⎢1 − exp(− ξ Wn t )⎜ cos Wa t +
senWa t ⎟⎥
⎜
⎟⎥
k⎢
1−ξ 2
⎝
⎠⎦
⎣
El valor de Wa está definido en la ecuación ( 1.9 ).
( 1.30 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
♦
Caso sobre amortiguado
g (t ) =
1⎡
⎢1 − exp(− ξ Wn
k⎢
⎣
⎛
⎞⎤
∩
∩
ξ
t )⎜ cosh W a t +
senh W a t ⎟⎥
⎜
⎟⎥
ξ 2 −1
⎝
⎠⎦
∩
W a = Wn ξ 2 − 1
( 1.31 )
( 1.32 )
Si la fuerza actuante no fuera unitaria sino que tiene una magnitud F0 la respuesta en
el tiempo, sería:
q (t ) = Fo g (t )
•
EJEMPLO 6
Encontrar la respuesta en el tiempo para la fuerza f (t ) que se indica en la figura 1.16
en que la fuerza empieza en el tiempo
T y tiene una magnitud F0 .
Figura 1.16 Fuerza escalón de magnitud F0 .
•
SOLUCIÓN
Para un tiempo t > T se tiene que el tiempo de duración de la fuerza F0 es t − T .
Luego:
q (t ) = F0 g (t − T )
1.3.2
Pulso rectangular
Se desea hallar la respuesta en el tiempo para el pulso rectangular indicado en la figura
1.17 en que la fuerza vale F0 hasta el tiempo T y luego es nula.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 1.17 Pulso rectangular.
Se tienen dos formas de resolver el problema del pulso rectangular, la primera resolver
la ecuación diferencial del movimiento y la segunda utilizar la respuesta g (t ) . Para el primer
caso se procedería así:
..
.
m q + c q + k q = F0
0<t <T
.
q ( 0) = q ( 0) = 0
Se resuelve la ecuación diferencial indicada, considerando condiciones iniciales nulas,
.
q(T ) y q(T ) que son las condiciones iniciales de la
siguiente ecuación diferencial que es valida para t ≥ T .
después se halla la respuesta en
..
.
mq + c q + k q = 0
t ≥T
Figura 1.18 Artificio para resolver un pulso rectangular
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
La segunda forma de solución se presenta en forma gráfica en la figura 1.18 en que el
pulso rectangular es igual a una fuerza escalón de magnitud F0 más otra fuerza escalón pero
de magnitud negativa F0 y que empieza en el tiempo T .
La solución para el caso indicado en la figura 1.18 es la siguiente:
q (t ) = F0 g (t )
q (t ) = F0 g (t ) − F0 g (t − T )
0<t <T
t ≥T
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 2
ESPECTROS DE RESPUESTA
RESUMEN
Se presenta en forma práctica el método de aceleración lineal para encontrar la
respuesta de un sistema de un grado de libertad ante una acción sísmica, para el efecto se ha
elaborado un programa en MATLAB denominado LINEAL.
Posteriormente se indica la definición de espectros de respuesta elásticos, los mismos
que se hallan con el programa elaborado en MATLAB denominado ESPECTRO.
Al leer detenidamente cada una de las instrucciones de los programas LINEAL y
ESPECTRO se entenderá mejor la forma como se obtiene la respuesta en el tiempo de un
sistema de un grado de libertad y como se encuentran los espectros de respuesta elásticos.
Por considerarlo muy práctico se presenta también el uso del programa DEGTRA que
permite obtener espectros de respuesta elásticos e inelásticos y más aspectos relacionados
con la dinámica de estructuras.
Finalmente, se ve la importancia de conocer las formas espectrales en base a dos
registros sísmicos, el uno de México de 1985 y el otro de Chile de 1985.
2.1 MÉTODO DE ACELERACIÓN LINEAL EN SISTEMAS DE 1GDL
La ecuación diferencial que gobierna un sistema de un grado de libertad ante una
acción sísmica definida por su acelerograma es la siguiente:
..
.
..
m q + c q + k q = − mU g
( 2.1 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Donde m es la masa; c es el amortiguamiento; k es la rigidez, del sistema de un
.
grado de libertad, 1gdl,
q es la respuesta en el tiempo de desplazamiento; q es la respuesta
..
..
en el tiempo de velocidad; q es la respuesta en el tiempo de aceleración y U g es la
aceleración del suelo.
Existe una gran cantidad de métodos para encontrar la respuesta lineal de la ecuación
diferencial ( 2.1 ). Uno de ellos es el método de Aceleración Lineal que está deducido en el
capítulo 4 del libro: Sistema de Computación CEINCI3 para evaluar daño sísmico en los Países
Bolivarianos, Aguiar (2002). Aquí se presenta una síntesis del método, orientado a la
elaboración de un programa de computación pero antes de ello es necesario manifestar que la
ecuación diferencial ( 2.1 ) se puede escribir también de la siguiente manera, al dividir todo
para la masa del sistema m .
..
.
..
q + 2ξ Wn q + Wn2 q = − U g
ξ
Siendo Wn la frecuencia natural del sistema y
( 2.2 )
es el factor de amortiguamiento
crítico. En el capítulo 1 se vio que:
Wn =
k
m
ξ=
c
2 mk
El método de aceleración lineal, considera que en la respuesta del sistema la
.
..
aceleración entre dos instantes de tiempo varía en forma lineal. Sea qi , q i y q i , el
.
..
desplazamiento, velocidad y aceleración en el tiempo discreto t i y sea q i +1 , q i +1 y q i +1 , lo
propio pero en el tiempo discreto t i +1 . El procedimiento de cálculo es el siguiente:
i.
Se determina la masa equivalente del sistema M
∗
c ∆t k ∆t 2
M =m+
+
2
6
∗
( 2.3 )
Donde ∆t es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta sísmica.
ii.
∗
Se halla el incremento de carga ∆Qi
..
k
⎛
⎞ .
∆Qi∗ = ∆Q − q i ⎜ c ∆t + ∆t 2 ⎟ − q i k ∆t
2
⎝
⎠
..
..
⎛
⎞
∆Q = − m ⎜ U i +1 − U i ⎟
⎝
⎠
..
( 2.4 )
..
Siendo U i , U i +1 la aceleración del suelo en los tiempos discretos t i y t i +1 .
..
iii.
Se halla el incremento de aceleraciones ∆ q
∆Qi∗
∆q =
M∗
..
( 2.5 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
.
Se encuentra el incremento de velocidad ∆ q
iv.
..
∆q
∆ q = q i ∆t +
∆t
2
.
..
( 2.6 )
Se determina el incremento de desplazamiento ∆q
v.
..
..
q
∆q 2
∆q = q i ∆t + i ∆t 2 +
∆t
2
6
.
( 2.7 )
Se obtiene el nuevo desplazamiento, velocidad y aceleración en t i +1
vi.
qi +1 = qi + ∆q
.
.
.
..
..
..
q i +1 = q i + ∆ q
q i +1 = q i + ∆ q
Los valores obtenidos en el tiempo t i +1 se asignan a t i
vii.
q i = q i +1
.
.
..
..
q i = q i +1
q i = q i +1
Para un nuevo incremento de tiempo se repite desde el paso dos. Es importante
destacar que en el Análisis Lineal, la masa equivalente M
∗
se determina una sola vez.
2.2 PROGRAMA LINEAL
El programa LINEAL, halla en forma gráfica, la respuesta en el tiempo de un sistema
de un grado de libertad, ante una acción sísmica, definida por su acelerograma, aplicando el
Método de Aceleración Lineal indicado en el apartado anterior.
El programa ha sido elaborado en MATLAB y antes de utilizarlo se debe grabar el
archivo que contiene únicamente las aceleraciones del sismo en formato ASCII. El nombre
tiene extensión .dat. Después de ello cuando se encuentra en la modalidad consola se carga
el acelerograma y después se ejecuta LINEAL, de la siguiente manera:
[d,v,a] = lineal (p,m,c,k,dt)
•
•
•
•
•
p
m
c
k
dt
es el nombre del archivo que contiene el acelerograma.
es la masa del sistema de 1 gdl.
es el amortiguamiento del sistema de 1 gdl.
es la rigidez del sistema de 1 gdl.
es el incremento de tiempo con el cual se desea hallar la respuesta. El mismo que
tiene que ser igual al incremento de tiempo con el cual se obtuvo el acelerograma.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Una vez que se ejecuta LINEAL aparecen cuatro gráficas, la primera de ellas es el
acelerograma, que es dato. La segunda la respuesta en el tiempo de los desplazamientos, la
tercera de las velocidades y la última de las aceleraciones.
function [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt)
%
% Respuesta en el tiempo de un sistema de un grado de libertad
% por el Método de la Aceleración Lineal
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
%-----------------------------------------------------------------% [d,v,a]=lineal(p,m,c,k,dt)
%-----------------------------------------------------------------% p : vector que contiene los registros del acelerograma
% m : masa del sistema
% c : amortiguamiento del sistema
% k : rigidez del sistema
% d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleración de la respuesta
% dt : incremento de tiempo
%
n=length(p); tmax=dt*n; t=linspace(0,tmax,n)';
ma=m+(c*dt/2)+(k*dt*dt/6);
d(1)=0; v(1)=0; a(1)=0;
for i=1:n-1
dq=-m*(p(i+1)-p(i));
dqa=dq-a(i)*(c*dt+k*dt*dt/2)-v(i)*k*dt;
inca=dqa/ma; incv=a(i)*dt+inca*dt/2; incd=v(i)*dt+a(i)*dt*dt/2+inca*dt*dt/6;
d(i+1)=d(i)+incd; v(i+1)=v(i)+incv; a(i+1)=a(i)+inca;
d(i)=d(i+1); v(i)=v(i+1); a(i)=a(i+1);
end
subplot (4,1,1); plot (t,p); title('Acelerograma');
subplot (4,1,2); plot (t,d); ylabel('Desplazamiento');
subplot (4,1,3); plot (t,v); ylabel('Velocidad');
subplot (4,1,4); plot (t,a);xlabel('Tiempo'); ylabel('Aceleracion');
%---fin--•
EJEMPLO 1
Hallar la respuesta en el tiempo del oscilador indicado en la figura 2.1, que tiene una
T s2
1
, una frecuencia natural Wn = 6.2832
y un coeficiente de
cm
s
amortiguamiento ξ = 0.05 . Ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en el Perú.
masa m = 0.004898
El acelerograma fue obtenido a 80 Km., del epicentro sobre un suelo limo arcilloso. El evento
tuvo una magnitud de 6. La aceleración máxima del sismo, en valor absoluto fue de 117 gals
(cm/s2). El incremento de tiempo con el cual fue obtenido el registro es ∆t = 0.02 s .
•
SOLUCIÓN
Para utilizar el programa LINEAL se debe determinar el amortiguamiento y la rigidez
del sistema, en base a la frecuencia natural y al coeficiente de amortiguamiento.
Wn2 = k / m
→ k = Wn2 m = 39.4786 * 0.004898 = 0.19336619 T / cm
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 2.1 Modelo de un sistema de 1 gdl.
ξ = c / 2 mk
→ c = 2ξ mk = 2 * 0.05 * 0.004898 * 0.193366 = 0.0030775 Ts / cm
El período del sistema que se analiza es T = 2π / Wn = 1 s. Una vez cargado el
acelerograma como un vector, en la modalidad consola, se ejecuta el programa lineal.
>>load Peru04.dat
>>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.004898, 0.00307751136, 0.19336619, 0.02)
Es importante tener muy en cuenta las unidades. Si el acelerograma viene en gals.
Se debe trabajar todo con cm y s. Así es como se ha procedido en el ejemplo realizado.
En la figura 2.2 se indica la respuesta en el tiempo del sistema de 1 gdl., del ejemplo 1.
Como se indicó aparece el acelerograma, los desplazamientos, velocidad y aceleración.
Se puede hallar las respuestas máximas, en valor absoluto, desde la modalidad
consola de la siguiente manera:
>>Sd=max(abs(d))
Sd=
2.9842
>>Sv=max(abs(v))
Sv=
23.8650
>>Sa=max(abs(a))
Sa=
213.5134
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 2.2 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 1.
Se ha denominado Sd, Sv, Sa a la máxima respuesta, en valor absoluto, de los
desplazamientos, velocidades y aceleraciones, respectivamente.
2.3 MODELOS DE UN GRADO DE LIBERTAD
En el capítulo 1 se presentó un modelo de un sistema de 1 gdl. En la figura 2.1 se
mostró otro modelo de 1 gdl. Todo esto, con el objeto de que el lector se familiarice con la
forma como se acostumbra representar los sistemas de 1 gdl.
Con este antecedente, en la figura 2.3 se indican dos modelos más. A la izquierda se
ha dibujado un pórtico de un vano y un piso en el que se ha resaltado la masa, se ha indicado
la rigidez y el amortiguamiento. A la derecha se tiene otra forma de presentar un sistema de un
grado de libertad, en base a una columna con una masa puntual. Lo importante es que el lector
observe que todos ellos, son formas de representar un sistema de 1 gdl.
Por su sencillez en el dibujo, se utilizará en el presente capítulo el último modelo
compuesto por una columna y la masa puntual.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 2.3 Modelo de un sistema de un grado de libertad.
•
EJEMPLO 2
Hallar la respuesta en el tiempo de un sistema cuya masa es 0.0024 Ts2/cm, la rigidez
es 0.023687 T/cm y el amortiguamiento vale 0.000753981 Ts/cm. Ante el sismo utilizado en el
ejemplo 1.
•
SOLUCIÓN
El sistema de 1 gdl del ejercicio anterior, tenía un período de vibración de 1 segundo y
el de este ejercicio, tiene un período de 2 segundos. Es importante tener esto presente para el
tema que se tratará en el próximo apartado.
>>load Peru04.dat
>>[d,v,a] = lineal (Peru04, 0.0024, 0.000753981, 0.023687, 0.02)
La respuesta en desplazamientos, velocidades y aceleraciones, que reporta el
MATLAB, al utilizar el programa lineal, se indican en la figura 2.4. Por otra parte, las respuestas
máximas son: S d = 2.6702
2.4
cm . S v = 15.0933 cm / s. y S a = 129.5191 cm / s 2 .
ESPECTROS DE RESPUESTA
Por los años de 1915, Naito diseñaba sus estructuras ante sismos considerando como
fuerzas laterales una fracción del peso de sus elementos y sus edificaciones tuvieron un buen
comportamiento durante el sismo de Tokyo de 1923 lo que no ocurrió con otras edificaciones
que colapsaron.
A partir de 1930 se reconoció el problema sísmico como un problema de dinámica de
estructuras y ya se empezaron a definir modelos numéricos de cálculo, en los que se
establecieron bien las variables involucradas. En 1934 Benioff introduce la definición de
espectro de respuesta. En 1952, Housner presenta el pseudo espectro de velocidades.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 2.4 Respuesta en el tiempo de Ejemplo 2.
Se define el espectro de respuesta como la respuesta máxima de un conjunto de
osciladores de 1 gdl que tienen el mismo amortiguamiento, sometidas a una historia de
aceleraciones dadas.
Figura 2.5 Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta.
En la figura 2.5 se muestra el esquema de cálculo de los espectros de respuesta. A la
izquierda aparecen un conjunto de osciladores de 1 gdl, todos ellos tienen ξ = 0.05 y cada
Roberto Aguiar Falconí
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uno va a ser sometido al sismo cuyo acelerograma se indica en la parte inferior izquierda. En
este caso, corresponde al sismo del 9 de noviembre de 1974, utilizado en los ejemplos 1 y 2.
En la parte central de la figura 2.5, se tiene la respuesta en el tiempo de
desplazamiento, se ha colocado únicamente de dos osciladores, el uno tiene un período de 1 s.
(ejemplo 1) y el otro un período de 2 s. (ejemplo 2). Se ha identificado las respuestas máximas
en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema con T=1 s., y Sd2 para el sistema con T=2 s.
Nótese que Sd1 es negativo ya que se halla en la parte inferior y Sd2 es positivo por estar en la
parte superior pero para encontrar el espectro se considera en valor absoluto
En la parte derecha, de la figura 2.5 se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados
a períodos de 1 y 2 s., se han colocado además los desplazamientos máximos
correspondientes a los restantes períodos del conjunto de osciladores, la gráfica que resulta de
unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta Elástica de Desplazamientos,
ante el sismo del 9 de Noviembre de 1974.
En la parte central de la figura 2.5 se pudo haber colocado las respuestas máximas de
velocidades o de aceleraciones, con lo que se habría hallado los espectros de respuesta
elásticos de velocidad y aceleración, respectivamente.
Por lo tanto, se pueden obtener espectros de respuesta elásticos de desplazamientos,
velocidades y aceleraciones, encontrando las máximas respuestas en valor absoluto de
.
..
q(t ), q(t ) y q (t ) . A estas respuestas máximas se las denomina con las letras S d , S v y S a .
S d = q (t ) max
( 2.8 )
S v = q& (t ) max
( 2.9 )
S a = q&&(t ) max
( 2.10 )
Las respuestas máximas en valor absoluto, de los ejercicios resueltos, se indican en la
tabla 2.1. Al graficar T − S d se tiene el espectro de desplazamientos, al graficar T − S v se
tiene el espectro de velocidades y al graficar T − S a se tiene el espectro de aceleraciones.
Tabla 2.1 Respuestas máximas encontradas en los dos ejercicios realizados.
Wn
⎛1⎞
⎜ ⎟
⎝s⎠
6.2832
3.1416
T
Sd
(s )
(cm.)
1.00
2.00
2.98
2.67
Sv
Sa
⎛ cm. ⎞
⎜
⎟
⎝ s ⎠
⎛ cm. ⎞
⎜ 2 ⎟
⎝ s ⎠
23.87
15.09
213.51
129.52
En la tabla 2.1 se tienen dos puntos de los espectros. Para tener el espectro completo se
deben analizar por lo menos 100 sistemas de 1 gdl.
2.5 PROGRAMA ESPECTRO
Se ha elaborado un programa en MATLAB denominado ESPECTRO, en base al
programa LINEAL. En este programa se ha omitido las sentencias con las cuales se
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
encontraba la respuesta en el tiempo de desplazamiento, velocidad y aceleración, así como se
suprimido la sentencia que dibujaba el acelerograma. El programa que encuentra las
respuestas paso a paso de un oscilador de 1 gdl pero que no presenta las respuestas en el
tiempo se denomina LINEALES.
La forma de utilizar el programa ESPECTRO es:
>> [Sd,Sv,Sa] = espectro (p,dt,zeda)
•
Sd Matriz que contiene los desplazamientos espectrales para diferentes valores de ξ .
•
Sv Matriz que contiene las velocidades espectrales para diferentes valores de
•
•
•
Sa
p Vector que contiene las aceleraciones del suelo para el cual se hallan los espectros
dt Incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta, igual al incremento de
tiempo del acelerograma.
zeda Vector que contiene los valores de ξ para los cuales se desean los espectros.
•
ξ.
Matriz que contiene las aceleraciones espectrales para diferentes valores de ξ .
El período obtiene los espectros, desde un período inicial igual a 0.01 s., hasta un
período máximo de 3.0 s., con un incremento en los períodos de 0.03 s. De tal manera que se
calculan los espectros en base a 100 osciladores, si se desea incrementar el número de
osciladores se debe disminuir el incremento de período. Cualquiera de estos valores se puede
modificar al ingresar al programa espectro.m
Antes de utilizar el programa, se debe cargar el archivo de datos en el cual se halla el
acelerograma y el vector que contiene los valores, del factor de amortiguamiento para los
cuales se desea encontrar los espectros.
function [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda)
%
% Espectros de respuesta elástica de: desplazamientos, velocidad y aceleración.
% Empleando Método de Aceleración Lineal.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%
%-----------------------------------------------------------------------------------------------% [Sd,Sv,Sa]=espectro(p,dt,zeda)
%-----------------------------------------------------------------------------------------------%
%p
Vector que contiene el acelerograma.
% dt
Intervalo de tiempo con el que se halla la respuesta igual al
%
valor con que fueron tomados los datos del acelerograma.
% zeda Vector que contiene los valores de amortiguamiento.
% Sd
Valores máximos de los desplazamientos en absoluto.
% Sv
Valores máximos de las velocidades en absoluto.
% Sa
Valores máximos de las aceleraciones en absoluto.
% DT
Intervalo de Periodos = 0.03 s.
% Tmin Período mínimo que se considera igual a 0.01 s.
% Tmax Período máximo que se considera igual a 3.00 s.
%
hold off; Tmin=0.01; Tmax=3.0; DT=0.03; n=((Tmax-Tmin)/DT)+1;
m=length(zeda); T=linspace(Tmin,Tmax,n)'; W=2*pi./T; K=W.*W;
for i=1:m
zi=zeda(i); C=(2*zi).*sqrt(K);
for j=1:n
xj=K(j); yj=C(j);
[d,v,a]=lineales(p,1,yj,xj,dt);
Sd(i,j)=max(abs(d)); Sv(i,j)=max(abs(v)); Sa(i,j)=max(abs(a));
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
end
end
subplot (3,1,1); plot (T,Sd); ylabel('Desplazamiento'); title('ESPECTROS
DESPLAZAMIENTO, VELOCIDAD Y ACELERACION RELATIVA')
hold on
subplot (3,1,2); plot (T,Sv); ylabel('Velocidad');
hold on
subplot (3,1,3); plot (T,Sa);xlabel('PERIODO'); ylabel('Aceleracion'); hold off
%---fin---
•
DE
EJEMPLO 3
Hallar los espectros de respuesta elástica de desplazamiento, velocidad y aceleración
del sismo del 9 de noviembre de 1974, para valores de ξ igual a: 0.05; 0.10 y 0.20.
•
SOLUCIÓN
>> load Peru04.dat
>> zeda=[0.05; 0.10; 0.20]
>> [Sd,Sv,Sa]=espectro (Peru04,0.02,zeda)
En la figura 2.6 se ha indicado los espectros que reporta el programa ESPECTRO. Los
comentarios que se realizan al respecto, son los siguientes:
ƒ
ƒ
La identificación del tipo de línea, que se encuentra en la parte inferior de la figura 2.6
se lo realizó con el programa PAINT.
El último de los espectros es de aceleración relativa. No se ha encontrado el espectro
de aceleración absoluta. La diferencia entre los dos, radica en que el espectro de
aceleraciones relativas, se encuentra de la respuesta máxima en valor absoluto de las
..
aceleraciones q (t ) . En cambio, para hallar de la aceleración absoluta se debe hallar
..
el valor máximo en valor absoluto de
ƒ
ƒ
ƒ
..
q (t )+ U g (t ) , es decir se debe sumar la
aceleración del suelo.
A medida que los valores de ξ se incrementan, las formas espectrales disminuyen.
Al presentar los tres espectros de respuesta de: desplazamiento, velocidad y
aceleración relativa, en un solo gráfico, la escala vertical se redujo con lo que se
deforma un poco las formas espectrales.
Se denominan espectros de respuesta, ya que son espectros para un determinado
sismo. Los espectros de diseño se obtienen en base a los espectros de respuesta de
varios sismos, como se ilustra en el próximo capítulo.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 2.6 Espectros de respuesta elástica para el sismo del 9 de noviembre de 1974.
2.6 USO DEL PROGRAMA DEGTRA
Un programa muy versátil para el análisis dinámico de sistemas de 1 gdl es el
programa DEGTRA desarrollado por Ordaz et al (2002) en el Instituto de Ingeniería de la
Universidad Nacional Autónoma de México, por lo que en este apartado se presenta su uso.
Una vez que se tiene instalado el programa DEGTRA, lo primero que se debe hacer,
es abrir una ventana para lo cual se selecciona el icono que está indicado con una flecha en la
figura 2.7.
Después se busca el archivo en el cual se halla el acelerograma, para el efecto se
selecciona el icono que está indicado en la figura 2.8.
Una vez que se ha seleccionado el archivo que contiene el acelerograma se debe
indicar el número de líneas inútiles y el incremento de tiempo con el cual fueron grabados estas
aceleraciones. En la figura 2.9 están en blanco los casilleros que deben ser llenados para que
se cargue el acelerograma.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 2.7 Abertura de ventana con el programa DEGTRA.
Figura 2.8 Selección del archivo que contiene el acelerograma.
Normalmente en las primeras líneas del archivo que contiene el acelerograma se tiene
información sobre el registro, como la fecha del sismo, la magnitud, el tipo de suelo en que fue
registrado el evento, la distancia epicentral, el nombre de la estación sismológica, el incremento
de tiempo, la dirección de la componente sísmica, etc. Esta información es muy valiosa pero
para fines de cálculo del espectro se convierte en líneas inútiles. Para el ejemplo de la figura
2.9 se tiene 11 líneas inútiles. Por otra parte el valor de DT = 0.02 s .
Luego de llenar los casilleros en blanco con el número de líneas inútiles y el valor de
DT se presiona el icono OK apareciendo inmediatamente el acelerograma que está indicado
en la figura 2.10.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 2.9 Datos que se deben indicar para cargar el acelerograma.
Posteriormente se selecciona el icono que calcula el espectro de respuesta que está
indicado en la figura 2.10. Luego de presionar el icono que está bajo la flecha aparece el
cuadro de datos que se presenta en la figura 2.11 y el usuario debe ratificar o rectificar esa
información que aparece.
Figura 2.10 Acelerograma y selección del icono que obtiene el espectro de respuesta.
Se debe indicar el número de puntos NT que se desean considerar para obtener el
espectro. Por defecto considera 50 puntos. Es el número de osciladores de 1 gdl que se
desean. Mientras más puntos se considera es mejor pero demanda más tiempo.
El segundo dato es el período mínimo a partir del cual se desea hallar el espectro, por
defecto este valor es 0.01 s., luego el período final hasta el cual se obtendra el espectro, por
defecto se considera 3 s., Estos dos valores son adecuados razón por la que no deben
modificarse.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 2.11 Información que se debe suministrar para encontrar el espectro de respuesta.
Finalmente se indica el valor de ξ que en la figura 2.11 se ha notado como Csi . Una
vez llenado estos datos se selecciona el tipo de espectro que se desea encontrar. En la figura
2.11 se ha seleccionado el icono que corresponde al espectro de desplazamiento.
Figura 2.12 Acelerograma y Espectro de respuesta.
En la figura 2.12 se aprecia a la izquierda el acelerograma y a la derecha el espectro
de respuesta elástico de desplazamiento, obtenido para ξ = 0.05 .
2.7 IMPORTANCIA DE LAS FORMAS ESPECTRALES
Los espectros de respuesta proporcionan información muy valiosa para el proyectista
estructural, ya que se puede inferir los edificios que van a estar sujetos a mayores fuerzas
sísmicas.
Por ejemplo, el sismo del 19 de septiembre de 1985, que tuvo una magnitud de 8.1 y
una profundidad focal de 33 Km., se registro a 20 Km., de la costa de Guerrero y en el centro
de Ciudad de México que se halla a 400 km., de la zona epicentral se tuvo gran daño en las
edificaciones de mediana altura que están asociadas a períodos entre 1.5 y 2.5 segundos
debido a que en esa zona se tuvo las mayores amplitudes como se aprecia a la derecha de la
figura 2.13 en que se presenta el espectro de respuesta elástico de aceleraciones absolutas.
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Figura 2.13 Acelerograma y espectro de aceleraciones del sismo del 19 de septiembre de 1985.
En la figura 2.13, a la izquierda se aprecia que la aceleración máxima del registro fue
de 0.17 g., 17% de la aceleración de la gravedad y de baja frecuencia semejante a una
excitación de tipo armónico que resultan ser muy destructivos. A la derecha de la figura 2.15 se
observa que la aceleración máxima espectral fue de 1 g., y está asociado a un período de 2 s.
Figura 2.14 Acelerograma y espectro del sismo de Chile de 1985.
En el espectro de aceleraciones de la figura 2.13 se ve que para períodos menores a
1.5 s., las ordenadas espectrales son bajas. Luego las estructuras que tienen estos períodos
que son las de pocos pisos, no fueron afectadas por el sismo de septiembre de 1985, como lo
fueron las estructuras que tienen períodos entre 1.5 y 2.5 s. En el centro del Distrito Federal la
velocidad de la onda de corte es muy baja. Por lo tanto, el período de vibración se debe
calcular considerando interacción suelo estructura, lo que implica que el período es mayor que
el que se obtiene con reglas como 0.11 N, siendo N el número de pisos.
El 3 de marzo de 1985 tuvo lugar en Chile un sismo, también de subducción, con una
profundidad focal de 15 km., y de una magnitud de 7.8. Aproximadamente a 140 km., del
epicentro, en Lloleo se tuvo un registro sísmico con una aceleración máxima de 698 gals que
corresponde a 0.71 g., cuyo acelerograma se indica a la izquierda de la figura 2.14 pero este
sismo causó menos daño en las estructuras, que el sismo del Distrito Federal a pesar de que la
aceleración máxima fue 4.17 veces mayor.
A la derecha de la figura 2.14 se presenta el espectro de aceleraciones absolutas del
registro de Llolleo, se aprecia que las aceleraciones espectrales máximas están asociadas a
períodos comprendidos entre 0.3 y 0.5 s. En consecuencia fueron las edificaciones pequeñas
las que sufrieron más daño. La aceleración máxima fue de 1880 gals que corresponde a 1.92
g., y está asociada a un período de 0.29 s.
Se ha presentado dos espectros, el uno, el de Ciudad de México de 1985 en el cual las
estructuras intermedias de 6 a 18 pisos fueron las más afectadas y el otro el del sismo de Chile
de 1985 en que las estructuras de 2 a 4 pisos fueron afectadas. De tal manera que en Ciudad
de México se tendrá mayor precaución en la construcción de edificaciones de 6 a 18 pisos y de
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ser posible se evitará tener edificios con estos pisos. En cambio en Chile habrá que tener
cuidado con las edificaciones de pocos pisos ya que se esperan fuerzas sísmicas muy altas.
Evidentemente que en base a dos eventos sísmicos no se pueden dar conclusiones
generales sin embargo de ello se hace notar que es muy importante conocer las formas
espectrales con el propósito de saber que tipo de edificaciones se verán más afectadas
durante un sismo de similares características.
2.8 SEUDO ESPECTROS
A partir del espectro de desplazamientos se puede obtener en forma aproximada el
espectro de velocidades y el espectro de aceleraciones, utilizando la definición de seudo
espectro.
PS v ≈ Wn S d
( 2.11 )
PS a ≈ Wn PS v ≈ Wn2 S d
( 2.12 )
Siendo PS v y PS a los seudo espectros de velocidad y aceleración. Si bien es cierto
desde el punto de vista numérico encontrar los espectros de velocidad o aceleración, aplicando
cualquier algoritmo de cálculo, no es ningún problema, de tal manera que no tendría mayor
importancia la definición de seudo espectros y las ecuaciones ( 2.11 ) y ( 2.12 ). Pero la
importancia de estas ecuaciones radica en la aplicación práctica para hallar el desplazamiento
espectral elástico a partir de la aceleración espectral, utilizando para el efecto la siguiente
ecuación.
⎛ T
S d = ⎜⎜
⎝2π
2
⎞
⎟⎟ S a
⎠
( 2.13 )
Donde T es el período de vibración. De esta forma se obtiene el desplazamiento
espectral a partir de la aceleración espectral.
Roberto Aguiar Falconí
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CAPÍTULO 3
ESPECTROS DE DISEÑO
RESUMEN
Se inicia el capítulo presentando en forma didáctica como se obtiene un espectro de
diseño para 17 acelerogramas de sismos registrados en el Perú. Luego se realiza una reseña
histórica sobre los espectros de diseño y se indican los resultados del trabajo desarrollado por
Seed, Ugas y Lysmer desarrollado en 1976, que han servido de base para la formulación de
formas espectrales en varias normativas sísmicas publicadas por la década de los años
ochenta. Posteriormente se presentan los Espectros Elásticos e Inelásticos del Código
Ecuatoriano de la Construcción, CEC-2000, se realiza un estudió muy detallado del factor de
reducción de las fuerzas sísmicas R por comportamiento inelástico de la estructura, se indica
la forma como se evalúa este factor en base al factor de ductilidad Rµ , al factor de
sobrerresistencia RS y al factor de redundancia R R .
Varias normativas sísmicas, entre ellas el CEC-2000 no indican como debe evaluarse
el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , únicamente se asignan valores para
determinadas tipologías estructurales, los mismos que provienen de la experiencia y poco rigor
cuantitativo, que al no ser utilizados en forma eficiente por desconocimiento de cómo se calcula
este factor puede llevar a sobre estimar o subestimar significativamente las fuerzas sísmicas de
diseño, razón por la cual en este capítulo se da bastante énfasis al cálculo del factor R .
También se presenta los resultados de dos investigaciones realizadas en el Centro de
Investigaciones Científicas, CEINCI, la primera, sobre el cálculo del factor Rµ en base al
estudio de las respuestas elástica e inelástica de 63 acelerogramas de sismos registrados en
Colombia, Perú, Chile y Argentina.
La segunda investigación que se presenta tiene que ver con la propuesta que se hace
para obtener espectros, para ser utilizados en el análisis sísmico por desempeño. En efecto se
proponen formas espectrales para los sismos denominados: frecuente, ocasional, raro y muy
raro que tienen períodos de retorno de 43, 73, 475 y 970 años, respectivamente. Estas formas
espectrales se derivan a partir del sismo raro estipulado por el CEC-2000. Se presenta,
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además, programas de computación en MATLAB para hallar los espectros por desempeño y el
factor de reducción por ductilidad.
3.1 OBTENCIÓN DE UN ESPECTRO DE DISEÑO
Para encontrar un espectro de diseño se deben clasificar los registros sísmicos de
acuerdo al lugar en que fueron registrados ya que la forma espectral depende del tipo de suelo.
Una vez que se tienen clasificados los eventos se procede a obtener los espectros de
respuesta de cada uno de ellos, posteriormente se aplican las estadísticas con las que se
determina el espectro de diseño. Realmente es muy sencillo encontrar un espectro de diseño lo
difícil es tener una muestra de datos que se la pueda considerar confiable.
Es deseable que los registros sísmicos con los cuales se vayan a obtener los espectros
de diseño tengan una aceleración máxima de suelo considerable, por lo menos que sean
mayores al 10% de la aceleración de la gravedad. En la mayor parte de países de
Latinoamérica no se cuenta con una cantidad suficiente de eventos fuertes por lo que han
trabajado con sismos de aceleraciones pequeñas normalizados a aceleraciones grandes, este
procedimiento no es correcto pero ante la ausencia de registros fuertes no queda otra opción.
•
EJEMPLO 1
Obtener un espectro de diseño a partir de los registros sísmicos indicados en la tabla
3.1, que fueron sentidos o registrados en el Perú. En la última columna se muestra el tipo de
suelo en el cual se obtuvo el registro, cuando no se tiene información del tipo de suelo en el
que se ha obtenido el acelerograma se acostumbra colocar suelo a secas.
Cod
01 b
02 a
02 b
03 a
03 b
04 a
04 b
05 a
05 b
06 a
06 b
07 a
07 b
08 a
08 b
09 a
09 b
•
Tabla 3.1 Registros sísmicos considerados para obtener espectro de diseño
Fecha
Lugar
Distancia
Magnitud
Aceleración
Tipo de
Epicentral
Máxima
Suelo
13-06-05
Iquique
387.79 km.
7.8 Mw
125.43 gals
Roca
13-06-05
Iquique
180.31 km.
7.8 Mw
119.10 gals
Suelo
13-06-05
Iquique
180.31 km.
7.8 Nw.
111.15 gals
Suelo
17-10-66
Perú
225.26 km.
6.4 Mb.
180.59 gals Grava guesa
17-10-66
Perú
225.26 km.
6.4 Mb.
269.34 gals Grava gruesa
9-11-74
Perú
80.55 km.
6.0 Mb.
116.79 gals Limo arcilloso
9-11-74
Perú
80.55 km.
6.0 Mb.
93.71 gals Limo arcilloso
23-06-01
Perú
338.46 km.
8.3 Mw
295.22 gals
Suelo
23-06-01
Perú
338.46 km.
8.3 Mw
220.04 gals
Suelo
31-05-70
Perú
369.17 km.
7.9 Mw
104.82 gals Grava gruesa
31-05-70
Perú
369.17 km.
7.9 Mw.
97.749 gals Grava gruesa
3-10-74
Perú
59.74 km.
8.1 Mw
97.96 gals Grava gruesa
3-10-74
Perú
59.74 km.
8.1 Mw.
178.95 gals Grava gruesa
3-10-74
Perú
63.89 km.
6.2 Mb.
192.35 gals
Aluvional
3-10-74
Perú
63.89 km.
6.2 Mb.
207.12 gals
Aluvional
5-01-74
Perú
90.10 km.
6.5 Mw.
139.59 gals
Suelo
5-01-74
Perú
90.10 km.
6.5 Mw.
156.18 gals
Suelo
SOLUCIÓN
En la tabla 3.1 se tiene un total de 17 registros, cantidad que es pequeña como para
pensar en separarlos de acuerdo al tipo de suelo en que fueron registrados, razón por la que se
trabaja con todos ellos. Cada uno de estos registros fue normalizado a 392 gals (0.4 g) de
tal manera que los registros se multiplicaron por un factor tal que la aceleración máxima sea la
indicada. Los espectros se obtuvieron para ξ = 0.05
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En la figura 3.1 se indican los espectros de respuesta, de aceleraciones absolutas, de
cada uno de ellos y con una línea más gruesa se presenta el espectro medio. Para cada
período de vibración se tienen 17 aceleraciones espectrales de tal manera que se puede hallar
la media y la desviación estándar para cada período.
La línea más gruesa de la figura 3.1 corresponde al espectro medio que se sería el
espectro de diseño del grupo de datos, la misma que se presenta en la figura 3.2. Nótese que
para T = 0 la aceleración espectral vale 0.4 g = 392 gals tiene un valor que está alrededor de
975 gals. La relación entre estos dos valores se denomina β que será comentado cuando se
hable del Espectro de Diseño del Código Ecuatoriano. Retomando el ejemplo, con los datos se
tiene que β = 2.49
ESPECTROS RESPUESTA
2000
1800
1600
Aceleració
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
01b
02a
02b
03a
03b
04a
04b
05a
05b
06a
06b
07a
07b
08a
08b
09a
09b
Media
Periodo
Figura 3.1 Espectros de respuesta y espectro medio de la muestra considerada.
Al trabajar con el espectro medio se tiene que la probabilidad de excedencia de
las ordenadas espectrales es del 50%. En efecto, se aprecia que existe una cantidad
significativa de aceleraciones que están sobre la curva media. Si se desea disminuir esta
probabilidad de excedencia a la curva de valores medios se deberá sumar una desviación
estándar o más dependiendo de la probabilidad de excedencia con la cual se desea trabajar.
Una vez que se tiene el espectro medio, para dar ecuaciones para una normativa
sísmica, se definen líneas y curvas que más se aproxime al espectro medio, como se ilustra en
la figura 3.3 en que se ha definido una línea ascendente, luego una recta, posteriormente una
curva descendente y finalmente una recta. El punto de inicio del espectro tiene una
aceleración espectral que vale: α A0 , siendo α el coeficiente de importancia y A0 la
aceleración máxima del suelo. La recta de aceleración constante, que va desde el período T0
hasta el período T
*
tiene un valor de
α β A0 .
Habrá que definir la ecuación de la curva
descendente del espectro que va desde el período T
+
períodos mayores a T .
∗
hasta T
+
y finalmente la ecuación para
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Figura 3.2 Espectro medio, de diseño de grupo de datos.
Con el propósito de ser conservador y teniendo presente que el valor del período T0 es
muy bajo se puede pensar en eliminar la recta ascendente y dejar el espectro para la normativa
sísmica como se indica en la figura 3.4. En este caso se tienen dos rectas y una curva. Se hace
hincapié en que para períodos menores a T0 se está sobredimensionando la aceleración
espectral y por ende la fuerza sísmica resultante.
Figura 3.3 Espectro medio y formas spectrales para normativa sísmica
3.2 RESEÑA HISTÓRICA
En 1959, Housner propuso el primer grupo de formas espectrales promedio,
normalizando para el efecto 8 registros obtenidos de los siguientes terremotos: El Centro 1934
y 1940, Western Washington, (Olympia) 1949 y Kerb County (Taft) 1952. Trabajando en forma
similar a la indicada en el apartado anterior.
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Hayashi, Tsuchida y Kurata en 1971, presentan formas espectrales promedio
trabajando con 61 acelerogramas registrados en Japón, lamentablemente muchos de los
registros tenían aceleraciones muy bajas y las condiciones del subsuelo en las estaciones de
los registros se conocen parcialmente, por estos motivos los resultados obtenidos son
considerados como preliminares.
Figura 3.4 Modelo de 2 rectas y una curva para el espectro de diseño.
Newmark, Blume y Kapur en 1973 presentaron los resultados a los que llegaron
trabajando con acelerogramas cuya aceleración máxima del suelo es mayor que 0.1g. Los
estudios realizados los dividieron en dos grupos. ... En el primer grupo obtuvieron espectros
normalizados con respecto a la aceleración máxima del suelo ..., para el efecto trabajaron con
33 registros. ... En el segundo grupo obtuvieron espectros normalizados con respecto a la
velocidad máxima del suelo ..., en este caso trabajaron con 28 registros. En los estudios
realizados no se clasificó los registros de acuerdo al tipo de suelo.
Seed, Ugas y Lysmer en 1976 ampliaron el estudio y consideran 104 registros
obtenidos en sitios en los cuales se conoce con cierta exactitud las condiciones del suelo. Este
trabajo ha servido de base para la formulación de varios códigos en América del Sur. Razón
por la cual a continuación se presentan los resultados del trabajo en la figura 3.5.
Seed et al (1976) clasificaron los 104 registros en cuatro tipos de suelo, a saber: i)
Registros en roca (28), ii) Registros en suelo duro con espesor inferior a 60 m., (suelo rígido)
(31), iii) Registros en suelos granulares con profundidad superior a 75 m. (30), y iv) registros
para arcillas medias o arenas (15).
Seed et al (1976), luego de la clasificación de los registros, construyeron los espectros de
respuesta elásticos para un 5% de amortiguamiento y en la figura 3.5 se indican los espectros
de aceleración promedios para los cuatro tipos de suelo, indicados. Del análisis de la figura 3.5
se puede indicar:
•
La respuesta máxima espectral de los registros en roca se da para un período de
0.2 s., y tiene un factor de amplificación de 2.5.
•
En los suelos duros con espesores inferiores a los 60 m, la respuesta máxima se dio
para períodos de 0.4 s con un factor de amplificación de 2.8.
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•
El espectro promedio de suelos no cohesivos profundos tiene dos picos máximos,
uno a los 0.45 s de período con un factor de amplificación de 2.7 y otro a los 0.90 s
de período con un factor de 1.9.
• Los registros de arcillas blandas a medias, producen un espectro con un factor de
amplificación de 2.1, que se da para un rango de períodos que varía de 0.3 a 1.0 s.
Figura 3.5
Espectros promedios, para diferentes condiciones de suelo.
3.3 ESPECTRO ELÁSTICO DEL CEC 2000
El Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 considera cuatro zonas sísmicas
que van desde 0.15 g . , en la región oriental, hasta la zona cuatro que tiene un valor
Ao = 0.4 g . , en parte de la costa y de la sierra. En la figura 3.6 se presenta la forma del
espectro de diseño elástico del CEC-2000 que está definido por las siguientes ecuaciones:
T <T∗
T∗ <T <T+
T >T+
Donde
α
Ad = α β Ao
1.25 α Ao S
T
α Ao
Ad =
2
Ad =
( 3.1 )
S
es el coeficiente de importancia de la estructura;
( 3.2 )
( 3.3 )
β , T∗, T + , S
parámetros que están definidos en la tabla 3.2 y que dependen del perfil de suelo. A0 es la
aceleración máxima del suelo y está definido en el mapa de peligrosidad sísmica del Ecuador.
T es el período de vibración de la estructura.
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Figura 3.6 Espectro Elástico del Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000
El valor de A0 del CEC-2000 fue obtenido para un período de retorno de 475 años con
una probabilidad de excedencia del 10%. Si se considera α = 1 , se mantiene la probabilidad
de excedencia, este valor se recomienda para viviendas y oficinas. Si se considera α = 1.5 la
probabilidad de excedencia está alrededor de 2% cantidad muy baja considerando el período
de retorno. Si α = 1.25 la probabilidad de excedencia está alrededor del 5%.
Tabla 3.2 Parámetros que definen el espectro elástico del CEC-2000
Perfil de suelo
T∗
T+
β
S
S1
S2
S3
S4
(s)
0.50
0.52
0.82
2.00
(s)
2.50
3.11
4.59
10.00
2.5
3.0
2.8
2.5
1.0
1.2
1.5
2.0
A0 es la aceleración del suelo en roca, ahora por efecto del tipo de suelo la
aceleración del suelo vale S A0 como se ilustra en la figura 3.7, donde S es el factor de
amplificación por efecto del tipo de suelo. Los valores de S indicados en la tabla 3.2 son los
recomendados por el Uniform Building Code UBC-97
En la figura 3.8 se presentan los cuatro espectros del CEC-2000 para los perfiles de
suelo: S1, S2, S3 y S4, para un valor de A0 = 0.4 g ; α = 1 . Se indica además el espectro
medio encontrado en el apartado 3.1 en base a los sismos registrados en Perú pero
normalizados a 0.4 g. Se aprecia una buena correlación con el espectro correspondiente a un
perfil de suelo S1, debido a que la mayor parte de los registros utilizados fueron registrados en
suelo S1.
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Figura 3.7 Amplificación de la aceleración por efecto del tipo de suelo.
3.4 ESPECTROS POR DESEMPEÑO
Las grandes pérdidas que dejaron los sismos de Loma Prieta de 1989 de ocho mil
millones de dólares y el sismo de Northridge de cuarenta mil millones de dólares obligó a que
en 1992 se creará en los Estados Unidos de Norte América el Comité VISION 2000 para que
presente la nueva filosofía de diseño sísmico para el siglo XXI. En 1995 el SEAOC por sus
siglas en Inglés (Structural Engineers Association of California), publicó sus resultados y en
ellos se estableció que las estructuras deberán verificar su desempeño sísmico para los cuatro
eventos denominados: Frecuente, Ocasional, Raro y Muy Raro que constan en la tabla 3.3
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Figura 3.8 Espectros del CEC-2000 y espectro medio obtenido en apartado 1.
En el libro: Análisis Sísmico por Desempeño, Aguiar (2003) se tiene un estudio muy
detallado al respecto. Ahora lo que interesa ilustrar es como determinar los cuatro espectros
estipulados en la tabla 3.3. Para el efecto en el capítulo 8 del libro antes indicado se presenta
una propuesta para obtener estos espectros a partir del espectro correspondiente al sismo raro,
que es el estipulado por el CEC-2000. La propuesta se resume a continuación.
Sismo
Frecuente
Ocasional
Raro
Muy raro
•
Tabla 3.3 Sismos recomendados por el Comité VISION 2000.
Tasa Anual de
Vida Útil
Probabilidad de Período medio
∗
T
excedencia, p1
de retorno, t r
Excedencia P
30 años
50%
43 años
0.02310
50 años
50%
72 años
0.01386
50 años
10%
475 años
0.00211
100 años
10%
970 años
0.00105
Para el Sismo Frecuente se dividen las ordenadas espectrales del Sismo Raro para 3
y posteriormente se ajusta la forma espectral para un amortiguamiento ξ del 2%,
empleando las ecuaciones propuestas por Newmark y Hall, que se indican a
continuación:
α a = 3.21 − 0.68 ln ξ
α v = 2.31 − 0.41 ln ξ
α d = 1.82 − 0.27 ln ξ
( 3.4 )
Las ecuaciones denominadas ( 3.4 ) tienen un 50% de probabilidad de excedencia. Por
otra parte, en estas ecuaciones α a , α b , α c , son los factores de amplificación para la
aceleración, velocidad y desplazamiento. Existe otra ecuación más sencilla, que
también se puede hallar para pasar del espectro que está calculado para un ξ = 0.05
a un
ξ = 0.02
Esta es:
⎛5⎞
f a = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ξ ⎠
0.04
( 3.5 )
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En la ecuación ( 3.5 ) el valor de
ξ
se indica en porcentaje.
•
Para el Sismo Ocasional se multiplica el sismo frecuente por 1.4
•
Para el Sismo muy raro se multiplica el sismo raro por 1.3
Se ha elaborado un programa en MATLAB denominado Vision que determina los
cuatro espectros, para análisis sísmico por desempeño. La forma de uso del programa es:
[saf,sao,sar,sam]=Vision (A0)
•
•
A0 es la aceleración maxima del suelo en gals, definida en el Código Ecuatoriano de
la Construcción, varía desde 392 gals en la zona de mayor peligrosidad sísmica, hasta
147 gals.
Posteriormente, por pantalla se debe indicar un código que identifica el perfil de suelo.
Para un perfil de suelo S1, el código es 1; para un suelo S2 el código es 2; para suelo
S3 es 3 y para suelo S4 es 4.
function [saf,sao,sar,sam]=Vision(a0);
%
% ESPECTROS POR DESEMPEÑO
%
% Por: Roberto Aguiar
% ESPE
%
%-------------------------------------------------------------------------% [saf,sao,sar,sam]=Vision(a0)
%-------------------------------------------------------------------------% a0
: Aceleración del suelo en roca en gal definido en la zona sismica
% Ta
: Periodo donde termina la aceleracion constante
% Tm
: Periodo donde termina la aceleracion descendente
% beta : Parametro por tipo de suelo
%s
: Parametro por tipo de suelo
% alfa : Coeficiente de importancia
% is
: Codigo del perfil de suelo
%
alfa=1.0;
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input ('\n Indique el codigo :');
if is==1
ta=0.50; tm=2.50; beta=2.5; s=1.0;
elseif is==2
ta=0.52; tm=3.11; beta=3.0; s=1.2;
elseif is==3
ta=0.82; tm=4.59; beta=2.8; s=1.5;
else
ta=2.0; tm=10.0; beta=2.5; s=2.0;
end
tmin=0.01; tmax=3.0; n=100; dt=(tmax-tmin)/n;
hold off
for i=1:n;
t(i)=i*dt;
if t(i)<=ta;
sar(i)= alfa*beta*a0;
elseif t(i)<=tm & t(i)>ta;
sar(i)= (1.25*alfa*a0*(s^s))/t(i);
else
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sar(i)= (alfa*a0)/2;
end
saf(i)=sar(i)/3; sao(i)=saf(i)*1.4; sam(i)=sar(i)*1.3;
end
plot(t,saf);
hold on
plot(t,sao,'--'); plot(t,sar),':'; plot(t,sam),'-.';
xlabel ('Periodo (s)'); ylabel ('Aceleracion (gal)')
hold off
end
En el programa VISION no se ha realizado la corrección de las formas espectrales por
el factor de amortiaguamiento, para los sismos frecuente y ocasional.
•
EJEMPLO 2
Ilustrar el uso del programa VISION para hallar los espectros por desempeño, para la
zona de mayor peligrosidad sísmica del Ecuador ( A0 = 0.4 g = 392 cm / s ) en un perfil de
2
suelo S3.
•
SOLUCION
[saf,sao,sar,sam]=Vision (392)
Por pantalla se digitará el número 3, para indicar que corresponde al perfil de suelo S3.
En la figura 3.8 se indican los espectros de desempeño que reporta el programa.
3.5 ESPECTROS INELÁSTICOS
El CEC-2000 obtiene el Espectro Inelástico dividiendo el Espectro Elástico, indicado en
la figura 3.6 para el factor R φ p φ e . Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas
debido a comportamiento no lineal,
φe
φp
factor que toma en cuenta las irregularidades en planta,
factor que considera las irregularidades en elevación.
La curva superior de la figura 3.9 corresponde al espectro elástico y la curva inferior al
espectro inelástico, en la que se aprecia que las tres ramas del espectro se hallan divididas
para R φ p φ e . Las ecuaciones que definen las tres zonas del espectro inelástico son:
T < T∗
Ad =
α β Ao
R φ p φe
( 3.6 )
T∗ < T < T+
Ad =
1.25 α Ao S S
T R φ p φe
( 3.7 )
T >T+
Ad =
α Ao
2 R φ p φe
( 3.8 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 3.8 Espectros Propuestos para un perfil de suelo S3 en la zona de mayor peligrosidad.
Es importante tener en cuenta que si se diseña un edificio para el espectro elástico no
se espera ningún daño en la estructura pero resultará muy costosa ya que las fuerzas sísmicas
serán muy altas. En cambio si se diseña para el espectro inelástico se espera daño en la
estructura pero no costará tanto la edificación ya que se ha diseñado para menores fuerzas
sísmicas.
Esto ha llevado a que los proyectistas estructurales trabajen con los valores más
altos de R que están estipulados en el CEC-2000 pero esto implica un gran riesgo y es
debido a que las fuerzas sísmicas se encuentren subvaloradas es decir se está
calculando por el lado de la inseguridad, para cierto rango de períodos, como se verá
posteriormente.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 3.9 Espectros: Elástico e Inelástico del CEC-2000
Por lo expuesto en el párrafo anterior es fundamental que el proyectista estructural
conozca que el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R se calcula con la siguiente
ecuación:
R = Rµ RS RR
( 3.9 )
Donde Rµ es un factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido a la ductilidad de
la estructura, RS es el factor de resistencia y R R es el factor de redundancia. En los siguientes
apartados se deduce la ecuación ( 3.9 ).
3.6 REGLA DE IGUAL DESPLAZAMIENTO
No se debe perder de vista que la definición de espectros sísmicos está relacionada
con un sistema de un grado de libertad 1 gdl. En este contexto en la figura 3.10 se presenta la
relación fuerza – desplazamiento de un sistema con comportamiento lineal que está
representada por las letras O-Y-E., y de un sistema con comportamiento inelástico o no lineal
que está representado por las letras O-Y-I.
La relación entre la fuerza y el desplazamiento representa la rigidez del sistema. Ahora
bien, en análisis lineal la rigidez no cambia lo que significa que por más que se incremente
la fuerza lateral al sistema la rigidez permanece constante. En cambio, cuando se realiza un
análisis no lineal, la rigidez se mantiene constante hasta el punto de fluencia, que en la figura
3.10 se ha indicado con la letra Y. Una vez que se alcanza la fluencia la rigidez cambia, en la
figura 3.10 al tener la recta Y-I significa que la rigidez de post fluencia es nula, a este modelo
se denomina elasto perfectamente plástico. En definitiva en análisis no lineal la rigidez
cambia.
Para explicar la regla de igual desplazamiento, se considera que se tiene un sistema de
1 gdl., al cual se lo ha analizado con un modelo e análisis lineal y con un modelo de análisis no
lineal. Luego de lo cual, sorprendentemente se encuentra que el desplazamiento latelaral
máximo es el mismo. En consecuencia se tiene que:
∆i = ∆e
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Donde ∆ i es el máximo desplazamiento lateral que se obtiene en un sistema de 1 gdl
al considerar comportamiento inelástico y ∆ e es el máximo desplazamiento lateral que se
encuentra en el sistema de 1 gdl con comportamiento elástico.
Al considerar comportamiento elástico la máxima fuerza lateral que se halla en el
sistema de acuerdo a la nomenclatura de la figura 3.10 es Fe y al considerar comportamiento
inelástico la máxima fuerza lateral del sistema es Fy . Se define como Rµ a la relación entre la
máxima fuerza elástica con respecto a la máxima fuerza inelástica.
Rµ =
Fe
Fy
( 3.10 )
Rµ es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido al comportamiento no
lineal del sistema, sin incorporar el factor de sobrerresistencia. Por otro lado a la relación entre
el máximo desplazamiento inelástico ∆ i con respecto al desplazamiento de fluencia ∆ y se
denomina la demanda de ductilidad
µ.
Figura 3.10 Relación fuerza – desplazamiento. Regla de igual desplazamiento.
En la figura 3.10 se aprecia que el triángulo rectángulo O-Y- ∆ y es semejante al
triángulo rectángulo O-E- ∆ i . Por lo tanto se tiene que:
Fe
∆
= i
Fy ∆ y
Pero Fe / Fy es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R µ ; y , ∆ i / ∆ y es la
demanda de ductilidad del sistema
tiene:
µ.
Por lo tanto, en la regla de igual desplazamiento se
Rµ = µ
( 3.11 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
3.7 REGLA DE IGUAL ENERGÍA
En la regla de igual energía se considera que el máximo desplazamiento inelástico en
un sistema de 1 gdl, es diferente del máximo desplazamiento elástico, como se aprecia en la
figura 3.11. La recta O-Y-E representa el comportamiento elástico del sistema y las rectas O-Y-I
el comportamiento inelástico.
Figura 3.11 Relación fuerza – desplazamiento. Regla de igual energía.
La regla de igual energía establece que la energía del sistema con comportamiento
elástico es igual a la energía del sistema con comportamiento inelástico. En otras palabras el
área del triángulo O-E- ∆ e es igual al área del triángulo O-Y- ∆ y más el área del rectángulo
∆ y -Y-I- ∆ i .
Fe ∆ e Fy ∆ y
=
+ Fy ∆ i − ∆ y
2
2
(
)
De ecuación ( 3.10 ) se tiene que Fe = Rµ Fy al reemplazar este valor y luego de
simplificar Fy se obtiene:
Rµ ∆ e
2
=
∆y
2
(
)
+ ∆i − ∆ y = ∆i −
∆y
2
De la relación de triángulos semejantes se encuentra que:
Fe ∆ e
=
= Rµ
Fy ∆ y
⇒ ∆ e = Rµ ∆ y
Al reemplazar el valor de ∆ e se tiene:
Rµ2 ∆ y
2
= ∆i −
∆y
2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al dividir para ∆ y , y teniendo en cuenta que:
µ=
∆i
∆y
Se halla:
Rµ2
2
=µ−
1
2
De donde:
Rµ = 2µ − 1
( 3.12 )
Se ha encontrado dos expresiones para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas,
por comportamiento inelástico, la primera obtenida a partir de la regla de iguales
desplazamientos que indica que Rµ = µ , y la segunda hallada de la regla de igual energía
que establece que Rµ =
2µ − 1 . Estas dos reglas fueron deducidas por Newmark y Hall en
1982, razón por la cual es necesario presentar aunque sea en forma resumida.
3.8
NEWMARK Y HALL (1982)
Para sistemas de 1 gdl. Newmark y Hall en 1982 presentaron una ecuación para
encontrar el desplazamiento máximo inelástico ∆ i en función del desplazamiento máximo
elástico ∆ e . Esta ecuación es:
∆i =
Donde
µ
µ
Rµ
∆e
( 3.13 )
es la demanda de ductilidad del sistema y Rµ es el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas, sin considerar sobrerresistencia, que depende del período de vibración
T . Dos de los valores de Rµ son los correspondientes a la regla de igual desplazamiento y a
la regla de igual energía. Los valores propuestos por Newmark y Hall (1982) son:
Rµ = 1
T < Ta = 1 / 33 s
Rµ = (2 µ − 1)
β
1 / 33 ≤ T ≤ Tb = 0.125 s.
Rµ = 2µ − 1
Rµ = µ
Tb ≤ T ≤ Tc'
T
Tc
( 3.14 )
Tc' < T < Tc
Rµ = µ
T ≥ Tc
β=
T =
'
c
log(T / Ta )
2 log(Tb / Ta )
2µ − 1
µ
Tc
( 3.15 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 3.12 Nomenclatura utilizada por Newmark y Hall (1982).
En la figura 3.12 se indica la nomenclatura de los períodos utilizados por Newmark y
Hall en 1982, en el espectro de aceleraciones. Los valores de Ta y Tb están definidos y valen
'
0.0303 s., y 0.125 s., el valor de Tc dependen del tipo de suelo y Tc se encuentra con la
ecuación ( 3.15 ).
El estudio realizado por Newmark y Hall (1982) concluye en que para períodos de
vibración muy pequeños que tienden a cero el desplazamiento máximo inelástico es
igual a la ductilidad del sistema por el desplazamiento máximo elástico. Por el lado
contrario para períodos grandes el desplazamiento máximo inelástico es igual al
desplazamiento máximo elástico y para los períodos intermedios se tienen valores
intermedios determinados por las ecuaciones ( 3.14 ).
El programa denominado NEWMARKHALL permite encontrar el factor de reducción
para algunos valores de ductilidad, el usuario en la modalidad consola mediante el vector u
indicará los valores de ductilidad para los cuales desea calcular el factor Rµ . El uso del
programa es:
[Ru] = newmarkhall (u)
•
u
Vector que contiene las ductilidades para las cuales se desea calcular Rµ .
function [Ru]=newmarkhall(u)
%
% Factor de reduccion por Ductilidad propuesto por Newmark y Hall (1982)
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%----------------------------------------------------------------------% [Ru]=newmarkhall(u)
%----------------------------------------------------------------------% Ru
Factor de reduccion por ductilidad
%u
Vector que contiene las demandas de ductilidad que se obtienen.
% Ta, Tb Periodos del espectro definidos por Newmark y Hall.
% Tc
Periodos caracteristicos del suelo se consideran los del CEC-2000
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
%T
Periodo de vibracion de la estructura.
%
m=length(u);
fprintf ('\n Codigos para perfiles de suelo: S1=1 S2=2 S3=3 S4=4');
is=input('\n Indique el codigo del tipo de suelo :');
if is==1
Tc=0.50;
elseif is==2
Tc=0.52;
elseif is==3
Tc=0.82;
else
Tc=2.0;
end
Tmin=0.01; Tmax=3.0; n=100; DT=((Tmax-Tmin)/n); Ta=1/33; Tb=0.125; hold off;
for j=1:m
Tac=(sqrt(2*u(j)-1)/u(j))*Tc;
for i=1:n
T(i)=i*DT;
if T(i)<Ta
Ru(i,j)=1;
elseif T(i)>=Ta & T(i)<=Tb
beta=(log10(T(i)/Ta))/(2*log10(Tb/Ta)); Ru(i,j)=(2*u(j)-1)^beta;
elseif T(i)>=Tb & T(i)<=Tac
Ru(i,j)=sqrt(2*u(j)-1);
elseif T(i)>Tac & T(i) <Tc
Ru(i,j)=u(j)*T(i)/Tc;
else
Ru(i,j)=u(j);
end
end
end
for j=1:m
if j==1
plot (T,Ru)
elseif j==2
plot (T,Ru,'--')
else
plot (T,Ru,':')
end
hold on
end
xlabel('Periodo (s)'); ylabel ('Factor de Reduccion por Ductilidad');
axis([0,3,0,4.5]);
%---fin
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 3.13 Factores de reducción por ductilidad utilizando ecuaciones de Newmark y Hall.
•
EJEMPLO 3
Utilizando el programa NEWMARHALL encontrar los factores de reducción de
ductilidad, para un perfil de suelo S2, de acuerdo a la propuesta de Newmark y Hall (1982),
para ductilidades de 1.5, 2.0, 2.5, 3.0, 3.5 y 4.0
•
SOLUCIÓN
>> u = [ 1.5; 2.0; 2.5; 3.0; 3.5; 4.0]
>> [Ru]=newmarkhall(u)
En la figura 3.13 se indican las curvas que reporta el programa NEWMARKHALL. La
identificación de cada curva se la realizó utilizando PAINT.
3.9
AGUIAR Y GUERRERO (2005)
En base al análisis de 63 registros sísmicos con aceleración máxima del suelo mayor al
10% de la aceleración de la gravedad, Aguiar y Guerrero en el 2005 encuentran relaciones
para el desplazamiento máximo inelástico ∆ i con respecto al desplazamiento máximo elástico
∆ e . Si se aprecia la ecuación ( 3.13 ) está relación reporta µ / Rµ . Lo importante es
determinar el valor de Rµ que pueda ser utilizado en el Ecuador o en alguno de los países de
donde proceden los acelerogramas con que se ha trabajado. Las ecuaciones obtenidas son las
siguientes:
Roberto Aguiar Falconí
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∆i = β3 ∆e
β3 =
( 3.16 )
µ
[c (µ − 1) + 1]
1/ c
=
µ
( 3.17 )
Rµ
0.381
T 2.07
+
2.07
T
1+ T
1.247
0.248
T
+
c(T , α ) =
1.247
T
1+ T
c(T , α ) =
para α = 0.0
para α = 0.05
( 3.18 )
( 3.19 )
Donde α es la relación entre la rigidez post fluencia con respecto a la rigidez elástica,
para el modelo elasto plato perfecto indicado en las figuras 3.10 y 3.11 el valor de α = 0 ya
que la rigidez post fluencia es cero (recta Y-I). El denominador de la ecuación ( 3.17 ) viene a
ser el valor de Rµ que se ha comentado en los últimos apartados.
En la figura 3.14 se indica la curva que dio origen a la ecuación ( 3.17 ) para el caso de
α = 0 , para demandas de ductilidad de 2 a 4. Se destaca que los sismos del estudio fueron
registrados en Colombia, Perú, Argentina y Chile.
Se observa en la figura 3.14 que para períodos mayores a 0.5 s., el desplazamiento
máximo inelástico es prácticamente igual al desplazamiento máximo elástico. Por lo
tanto para períodos mayores a 0.5 s., se cumple la regla de igual desplazamiento. Para
períodos menores a 0.5 s., la regla de igual desplazamiento subestima el cálculo del
desplazamiento máximo inelástico.
Se aprecia en la figura 3.14 que cuando el período tiende a cero la relación entre el
desplazamiento máximo inelástico con respecto al desplazamiento máximo elástico tiende a la
ductilidad, de acuerdo al trabajo desarrollado por Newmark y Hall (1982).
Con los datos indicados en la figura 3.14 se puede indicar que para períodos
menores a 0.5 s., la regla de igual energía es apropiada para calcular el desplazamiento
máximo inelástico.
Figura 3.14 Parámetro
β3
obtenido en base a sismos registrados en América del Sur.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
3.10
APLICACIÓN AL ESPECTRO INELÁSTICO DEL CEC-2000
Con relación a las figuras 3.10 y 3.11 se tiene que la fuerza elástica Fe es igual al
producto de la masa m por la aceleración elástica Ae . De igual manera la fuerza inelástica Fy
es igual a la masa m por la aceleración inelástica Ai .
Fe = m Ae
Fy = m Ai
Al dividir estas dos ecuaciones y teniendo en cuenta que Fe / Fy = Rµ se tiene que la
aceleración inelástica es igual a la aceleración elástica dividida para el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas.
Ai =
Ae
Rµ
( 3.20 )
Esta ecuación ha sido adoptada por el CEC-2000 y por algunas otras normativas
sísmicas, de tal manera que a partir del espectro elástico se halla el espectro inelástico
dividiendo para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas.
3.11
INCORPORACIÓN DEL FACTOR DE RESISTENCIA
Cuando se realiza el análisis sísmico se encuentran las fuerzas laterales, estáticas
equivalentes con las que se procede al diseño de la estructura. La sumatoria de estas fuerzas
laterales representa el cortante basal de diseño V0 . Ahora bien, cuando se diseñan los
elementos estructurales, para facilitar el sistema constructivo, se coloca más armadura o se
agrandan las secciones de los elementos para poder utilizar los mismos encofrados o para
facilitar el armado.
Adicionalmente, en el cálculo se deben realizar una serie de controles, como por
ejemplo, el control de la conexión viga columna, el mismo que algunas veces conduce a
incrementar la sección de los elementos. Todo esto ocasiona un incremento en la capacidad al
corte basal de la estructura lo que da origen al factor de resistencia RS que no es más que la
relación entre la verdadera capacidad al corte en la base que tiene la estructura con relación al
corte basal de diseño.
Únicamente para mantener el esquema de la explicación se hace una abstracción a la
nomenclatura utilizada en las figuras 3.10 y 3.11 y se emplea una figura realizada por Julio
Hernández (1997) la misma que se presenta en la figura 3.15.
El modelo elasto perfectamente plástico es un modelo ideal, en la realidad la rigidez
post fluencia es diferente de cero. Por otra parte, ante un sismo severo no se forma una sola
rótula plástica sino que se forman varias rótulas como lo ilustra la figura 3.15. La primera rótula
está identificada en la figura con la letra D de diseño que vendría a representar la letra Y de las
figuras 3.10 y 3.11 pero ahora el nuevo modelo elasto plasto se encuentra más arriba porque la
estructura tiene una mayor capacidad sísmica.
Con esta indicación el factor de resistencia RS viene definida por:
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RS =
Fy
( 3.21 )
Fd
Por relación de triángulos semejantes, de la figura 3.15 se tiene que:
∆y
∆d
=
Fy
Fd
= RS
De donde:
Fy = RS Fd
∆ y = RS ∆ d
Luego:
Rµ =
µ=
Fe
Fe
=
Fy RS Fd
⇒ Fe = Rµ RS Fd
∆i
∆i
=
∆ y RS ∆ d
⇒ ∆ i = µ RS ∆ d
( 3.22 )
( 3.23 )
Por lo tanto, al considerar el factor de resistencia, se tiene que el factor de reducción de
las fuerzas sísmicas R y la ductilidad global del sistema D, valen:
R = RS Rµ
D = RS µ
( 3.24 )
Figura 3.15 Capacidad sísmica resistente.
Es importante ver con detenimiento la ecuación ( 3.24 ) que indica que la
ductilidad global del sistema es igual al producto del factor de resistencia por la
demanda de ductilidad. En estructuras muy bien detalladas que tengan ductilidades por
curvatura en las vigas mayores a 12 se puede pensar en tener una ductilidad µ = 4 y un factor
Roberto Aguiar Falconí
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de resistencia de 1.5 de tal manera que la ductilidad global es de 6. Para estas condiciones, en
la figura 3.16, se indica el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R .
Figura 3.16 Factor de reducción R para una demanda de ductilidad global 6.
El factor de reducción de las fuerzas por ductilidad Rµ se halló con la siguiente
ecuación:
Rµ = [c(µ − 1) + 1]
1/ c
c=
T 2.07
0.381
+
2.07
T
1+ T
Nótese, en la figura 3.16, que para períodos menores a 0.5 s., los valores de R son
menores a 6. De tal manera que para este rango de períodos no se puede trabajar considerar
un factor de reducción de las fuerzas sísmicas igual a 10 ya que el sismo le va a demandar
mayores fuerzas sísmicas. Es verdad que en el ejemplo se ha considerado que el factor de
redundancia es igual a la unidad pero al considerar este factor tampoco se llega a 10.
El desconocimiento de la forma como se evalúa el factor de reducción de las
fuerzas sísmicas R puede llevar a que emplee el mayor valor que estipula el Código y de
esa manera se obtienen fuerzas estáticas por sismo muy bajas que están mal evaluadas.
3.12
INCORPORACIÓN DE LA REDUNDANCIA
Cuando la estructura ingresa al rango no lineal, es importante que la mayor parte de
elementos tome partido soportando las fuerzas sísmicas, para que de esta manera se de una
redistribución de esfuerzos en la estructura. El Índice de redundancia, es el parámetro que
permite calificar la redistribución de esfuerzos en la estructura cuando esta incursiona
en el rango no lineal. Guendelman (2000).
Como se podrá apreciar el índice de redundancia depende de que resistencia adicional
tenga el elemento cuando ha llegado a la fluencia, cuando ha llegado al límite del rango
elástico. En efecto, habrá elementos que han llegado a la fluencia y otros no pero si los
primeros tienen todavía una capacidad de soportar más fuerzas sísmicas o tienen una gran
ductilidad, de seguro que esto obligará a que los elementos que están menos solicitados
Roberto Aguiar Falconí
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absorban mayores cargas y deformaciones, de esta forma no se permite tener elementos
ociosos y así la estructura disipará la mayor cantidad de energía sísmica.
El índice de redundancia también es función del número de elementos que tenga el
pórtico y del número de pórticos que tenga la estructura, ya que a mayor cantidad de
elementos se tendrá una mayor cantidad de rótulas plásticas. Pero no es función únicamente
del número de rótulas plásticas el índice de redundancia si no también de que tanto permite
esa rótula plástica incursionar en el rango no lineal, de tal manera que el índice de redundancia
se puede calcular en base al número de rótulas plásticas y a la capacidad de incursionar en el
rango inelástico de ese elemento.
El ATC (1995) penaliza a las estructuras que tienen menos de 4 ejes de columnas,
asignado valores para el factor de redundancia R R menores a la unidad, como se aprecia en la
tabla 3.4. Donde, por ejemplo, para estructuras compuestas por 3 ejes de columnas en cada
dirección el factor R R , de acuerdo al ATC es de 0.86 Estas son estructuras compuestas por 9
columnas.
Tabla 3.4 Valores propuesto de R R por el ATC-1995
Número de ejes de columnas
Factor R R
2
0.71
3
0.86
4
1.00
En forma implícita se incorporaba el factor de redundancia, en el factor de ductilidad
global del sistema D y para efecto se consideraba que si una estructura tiene una mayor
cantidad de ejes de columnas, tendrá un mayor valor de D. La tendencia actual es
transparentar ese valor y para el efecto se están realizando numerosas investigaciones entre
las que se destacan las realizadas por Tsopelas y Husain (2004) en que proponen el cálculo
del factor de redundancia R R en función de dos índices, el uno denominado índice de
redundancia por resistencia rs y el otro denominado índice de redundancia por formación de
rótulas plásticas rv .
⎛ 1 − k ve rv
RR = rs ⎜⎜
⎝ 1 − k ve
⎞
⎟
⎟
⎠
( 3.25 )
Donde k es un parámetro estadístico que está relacionado con una función normal de
resistencia de los elementos de la estructura. Este parámetro varía entre 1.5 y 2.5. (Nowak y
Collins, 2000). ν e es el coeficiente de variación de la resistencia de los elementos, varía entre
0.08 y 0.14 (Ellingwood et al. 1980).
rv =
1 1
n m −1
( 3.26 )
Siendo n el número de rótulas plásticas que se esperan en un pórtico plano; m el
número de pórticos que tiene la estructura en la dirección analizada.
rs =
Su
S nr
( 3.27 )
Donde S u es la máxima resistencia de la estructura, que no está asociada al colapso
de la misma. S nr es la resistencia de la estructura como que no tuviera redundancia. Se ha
presentado únicamente el modelo desarrollado por Tsopelas y Husain (2004) para determinar
Roberto Aguiar Falconí
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para determinar el factor de redundancia y tener idea de las variables que intervienen en su
formulación. La determinación de R R se la realiza en cada dirección principal de la estructura.
3.13
CÁLCULO DEL FACTOR DE REDUCCIÓN R
Para iniciar el análisis sísmico de una estructura, el proyectista estructural debe
imponerse un valor de reducción de las fuerzas sísmicas R y para el efecto acude al Código o
Normativa Sísmica y selecciona el mayor valor estipulado de acuerdo a la tipología estructural.
Es conveniente que el lector conozca que esos valores no tienen un respaldo cuantitativo más
bien tienen un respaldo cualitativo y están basados en el criterio de expertos. Por lo que se
recomienda ser cautelosos con la selección de los mismos y no tomar el mayor estipulado
especialmente si el período de la estructura es menor a 0.5 segundos, (figura 3.16 ).
Una vez que el proyectista selecciona el valor de R , también selecciona el valor de la
ductilidad µ . Si R es alto el valor de µ también será alto y para lograr un µ alto deberá
seguir al pie de la letra todo lo requerido en el Código A.C.I. (American Concrete Institute). Una
vez que ha finalizado el diseño, es obligación del calculista calcular el factor R , para lo
cual debe proceder de la siguiente manera:
i.
Calcular el factor de reducción por ductilidad Rµ , el mismo que está en función del
período de vibración
T y de la ductilidad del sistema µ
Rµ = [c(µ − 1) + 1]
1/ c
T 2.07
0.381
+
c=
2.07
T
1+ T
ii.
Determinar el factor de resistencia RS para el efecto debe encontrar la curva de
capacidad sísmica resistente, empleando la técnica del pushover. La curva de
capacidad sísmica relaciona el cortante basal V con el desplazamiento lateral máximo
en el tope del edificio Dt . Aguiar (2003). En la figura 3.17, a la izquierda se indica con
líneas entrecortadas esta curva y con línea continua se presenta el modelo bilineal.
∗
Figura 3.17 Descripción del modelo utilizado para calcular VU .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El modelo bilineal está definido por el cortante de fluencia V y , el desplazamiento a
nivel de fluencia Dty , el cortante a nivel de fallo Vu y el desplazamiento asociado Dtu .
En Aguiar (2002) se enseñan varios criterios con los cuales se puede hallar el modelo
bilineal.
Una vez que se halla el modelo bilineal, que contempla incremento de resistencia en el
rango no lineal, se halla el modelo elasto perfectamente plástico que se muestra en la
gráfica de la derecha de la figura 3.17, mediante las siguientes ecuaciones:
∗
U
V =
V y + Vu
VU∗
Dty
D =
Vy
∗
ty
2
( 3.28 )
∗
Donde VU es la capacidad de cortante último de la estructura. Para encontrar el factor
de resistencia RS se debe conocer el cortante de diseño V0 ya que:
RS =
VU∗
V0
( 3.29 )
El valor de V0 debe encontrarse con cualquier método en el cual no intervenga el
factor de reducción de las fuerzas sísmicas R ya que este el valor se está
calculando. Se recomienda utilizar el Método del Espectro de Capacidad descrito con
detalle en el libro: “Análisis Sísmico por Desempeño”, Aguiar (2003).
En el Método del Espectro de Capacidad se coloca en un mismo grafico, el espectro de
capacidad de la estructura y el espectro de demanda sísmica como se tiene en la figura
3.18. En el eje de las X, se representa el desplazamiento espectral que se ha
denominado S d y en el eje de las Y, la aceleración espectral denominada S a . De tal
manera que el espectro de diseño que relaciona el período de la estructura con la
aceleración espectral debe pasarse al formato desplazamiento aceleración. Lo propio
debe ejecutarse con la curva de capacidad sísmica de la estructura que está en el
formato desplazamiento lateral máximo vs. cortante basal.
En el Método del Espectro de capacidad básicamente se halla el punto de desempeño
que en la figura 3.18 se ha identificado como dt.
Figura 3.18 Descripción del Método del Espectro de capacidad.
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CEINCI-ESPE
El desplazamiento dt está asociado a un sistema de un grado de libertad por lo que
para encontrar el desplazamiento máximo Dt en el sistema real que tiene múltiples
grados de libertad se debe multiplicar este valor por el factor
β1 .
Dt = β 1 d t
( 3.30 )
Donde d t es el desplazamiento lateral máximo, en un sistema de un grado de libertad,
que se halla en el Método del Espectro de Capacidad.
β1
es el factor de amplificación
que permite encontrar el desplazamiento lateral máximo en el tope del edificio Dt . Se
recomienda la ecuación propuesta por Algan (1982) para calcular
β1 =
3N
2 N +1
β 1 . Esta es:
( 3.31 )
Siendo N el número de pisos de la estructura. Una vez que se ha determinado Dt se
ingresa a la curva de capacidad sísmica de la estructura, con este valor y se halla el
cortante basal V0 . Finalmente se aplica la ecuación ( 3.29 ) y se halla RS .
iii.
Se halla el factor de redundancia R R para el efecto se recurre a la técnica del
pushover para ver el número de rótulas plásticas que se pueden formar en la
estructura. Más fácil es ver el número de rótulas plásticas n que se forman en un
pórtico hasta llegar al fallo de la estructura. Para una determina dirección se tiene el
número de pórticos m . Por lo tanto al aplicar la ecuación ( 3.26 ) que se copia a
continuación, se halla el índice de redundancia por formación de rótulas plásticas.
rv =
1 1
n m −1
Para encontrar el índice de resistencia rs se recomienda trabajar con la siguiente expresión:
rs =
ns
∑
i =1
M ui
M yi
( 3.32 )
ns
Donde M ui , M yi son los momentos último y de fluencia en la sección i. La sumatoria
va desde i=1 hasta ns siendo ns el número total de secciones del pórtico . Por lo tanto, se
debe hallar la relación momento curvatura en cada uno de los elementos del pórtico y encontrar
el valor promedio indicado en ( 3.32 ). Para cada elemento se hallan seis valores de la relación
M u / M y dos en el nudo inicial, dos en el centro de luz y dos en el nudo. Son dos valores ya
que se debe considerar que el elemento trabaja a flexión en forma cóncava y convexa. De
estos seis valores se halla el promedio en el elemento y con estos promedios se encuentra el
valor medio de todo el pórtico.
Se entiende que el programa que se está empleando para hallar la curva de capacidad
sísmica de la estructura aplicando la técnica del pushover, obtiene también la relación
momento curvatura en la forma anotada en el párrafo anterior.
Finalmente se recomienda el cálculo del factor de redundancia con la siguiente ecuación:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎛ 1 − 0.12 rV ⎞
R R = rS ⎜
⎟
⎝ 0.88 ⎠
( 3.33 )
En la ecuación propuesta por Tsopelas y Husain (2004) se ha reemplazado k v e = 0.12 .
Al aplicar la técnica del pushover y el Método del Espectro de capacidad para hallar el punto de
desempeño, el proyectista estructural estará conociendo más de cerca el probable
comportamiento sísmico que va a tener la estructura ya que podrá apreciar cual es la
secuencia de formación de las rótulas plásticas, la capacidad de incursionar en el rango no
lineal cada elemento y la estructura en si.
Un programa de computación que facilita el cálculo del factor de resistencia RS y del factor de
redundancia R R es el CEINCI 3. Aguiar (2003).
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 4
MATRIZ DE RIGIDEZ
RESUMEN
La condensación estática de la matriz de rigidez, es la base fundamental para el
análisis sísmico de estructuras, tanto en el rango lineal como en el rango no lineal. Por este
motivo, en el presente capítulo se presenta esta temática orientada al uso del computador.
Se presentan tres formas de encontrar la matriz de rigidez condensada, a saber: la
primera involucra la inversión de una matriz, la segunda implica la solución de un conjunto de
ecuaciones lineales y la tercera, que es la más se utiliza, mediante la eliminación de Gauss.
Por otra parte, se presenta la matriz de rigidez de los elementos para el análisis
sísmico de pórticos planos, de dos maneras, la primera sin considerar nudos rígidos y la
segunda considerando nudos rígidos.
El análisis sísmico de una estructura puede realizarse considerando pisos rígidos o
considerando pisos flexibles, temas que también son analizados en el presente capítulo. Para
el primer caso, se presentan dos formas de modelar los elementos, en la primera se considera
que solo las vigas son axialmente rígidas y en la segunda todos los elementos son axialmente
rígidos.
Para todos los tópicos presentados en este capítulo se han desarrollado programas de
computación en MATLAB los mismos que ayudan a entender la teoría expuesta y además
para su utilización práctica.
4.1
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO
En análisis lineal se considera que la rigidez a flexión (EI)o, es constante; lo propio
sucede con la rigidez al corte (GA)o. En consecuencia, la matriz de rigidez de un elemento es
constante y lo mismo sucede con la matriz de rigidez de la estructura. La obtención de las
matrices indicadas se presenta con detenimiento en la tercera edición del libro: “Análisis
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Matricial de Estructuras”, Aguiar ( 2004), aquí se omite la deducción y únicamente se presentan
los formularios de cálculo.
4.1.1 Análisis sin nudo rígido
En la figura 4.1, se indica el sistema de coordenadas locales de un elemento horizontal
de un pórtico plano, en el que no se considera la deformación axial, hipótesis de cálculo que se
puede utilizar en el análisis sísmico de estructuras para los elementos horizontales.
Figura 4.1 Sistema de coordenadas locales para un elemento axialmente rígido.
Para el elemento horizontal indicado en la figura 4.1, se tiene que el sistema de
coordenadas locales es igual al sistema de coordenadas globales. Por otra parte, se recuerda
que las estructuras se resuelven en coordenadas globales.
La matriz de rigidez del elemento, es simétrica con respecto a la diagonal principal,
razón por la cual solo se presenta la matriz triangular superior. Con relación al sistema de
coordenadas locales de la figura 4.1, la matriz de rigidez es la siguiente.
⎡t b − t b' ⎤
⎢
⎥
k −b a ⎥
⎢
k=
⎢
t − b' ⎥
⎢
⎥
⎢⎣
k '⎥⎦
( 4.1 )
La forma de la matriz de rigidez, indicada en ( 4.1 ) es válida para elementos de
sección constante o de variable. Para elementos de sección constante, se tiene:
4( EI ) o ⎡ 1 + φ ⎤
L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦
k'= k
2( EI ) o ⎡1 − 2φ ⎤
a=
L ⎢⎣1 + 4φ ⎥⎦
k=
6( EI ) o ⎡ 1 ⎤
⎢
⎥
L2 ⎣1 + 4φ ⎦
b' = b
12( EI ) o ⎡ 1 ⎤
t=
⎢
⎥
L3 ⎣1 + 4φ ⎦
b=
( 4.2.1 )
( 4.2.2 )
( 4.2.3 )
( 4.2.4 )
( 4.2.5 )
( 4.2.6 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
φ=
3( EI ) o β
(GA) o L2
( 4.2.7 )
Donde E es el módulo de elasticidad del material, I es la inercia a flexión de la sección
transversal, β es el factor de forma por corte de la sección, A es el área de la sección
transversal, G es el módulo de corte y L la longitud del elemento.
•
EJEMPLO 1
Encontrar la matriz de rigidez, sin considerar nudos rígidos, para una viga de sección
constante de 30cm de base por 30 cm. de altura y tiene una longitud de 3.7m. Por otra parte,
E=2100000 T/m2 y G=840000 T/m2.
•
SOLUCIÓN
A = 0.3 × 0.3 = 0.09m 2
0.3 × 0.33
= 0.000675m 4
12
3 × 1.2 × 2100000 × 0.000675
= 0.004931
φ=
0.09 × 840000 × 3.7 2
I=
k=
4 × 2100000 × 0.000675 ⎡ 1 + 0.004931 ⎤
⎢⎣1 + 4 × 0.004931⎥⎦ = 1510.21Tm
3.7
k ' = k = 1510.21Tm
2 × 2100000 × 0.000675 ⎡1 − 2 × 0.004931⎤
⎢⎣1 + 4 × 0.004931⎥⎦ = 743.99Tm
3.7
6 × 2100000 × 0.000675 ⎡
1
⎤
b=
2
⎢
⎥ = 609.24T
3 .7
⎣1 + 4 × 0.004931⎦
a=
b' = b = 609.24T
t=
12 × 2100000 × 0.000675 ⎡
1
⎤
3
⎢
⎥ = 329.32T / m
3 .7
⎣1 + 4 × 0.004931⎦
⎡329.32 609.24 − 329.32 609.24 ⎤
⎢
⎥
1510.20 − 609.24 743.99 ⎥
⎢
k=
⎢
329.32 − 609.24⎥
⎢
⎥
⎢⎣
1510.20⎥⎦
El programa que calcula la matriz de rigidez de un elemento viga sin considerar nudos
rígidos se denomina kviga y la forma de uso es la siguiente:
[k] = kviga (b,h,L,E)
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
•
•
•
•
b es la base de la sección transversal del elemento.
h es la altura de la sección transversal del elemento.
L es la longitud del elemento.
E es el módulo de elasticidad del elemento.
Para el ejemplo 1, los datos de entrada, son:
>> [k]=kviga (0.30,0.30,3.70,2100000)
function [k]=kviga(b,h,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento viga sin nudos rigidos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [k]=kviga(b,h,L,E)
%------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% L: longitud del elemento.
% E: modulo de elasticidad del material
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;
k(1,1)=t; k(1,2)=b; k(1,3)=-t; k(1,4)=bp; k(2,2)=kf; k(2,3)=-b; k(2,4)=a;
k(3,3)=t; k(3,4)=-bp; k(4,4)=kpf;
for i=1:3;
for j=i+1:4;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n')
for i=1:4
for j=1:4
fprintf ('%10.3f', k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.2 Sistema de coordenadas globales para un elemento vertical, totalmente flexible.
Para un elemento vertical, en la figura 4.2, se indica el sistema de coordenadas
globales, para el caso de que el elemento sea totalmente flexible. La matriz de rigidez es:
⎡t 0 − b − t 0
⎢
0 −r
⎢ r 0
⎢
k
b 0
k= ⎢
⎢
t 0
⎢
r
⎢
⎢
⎣
EA
r=
L
− b'⎤
⎥
0 ⎥
a ⎥
⎥
b' ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
k' ⎦
( 4.3 )
( 4.4 )
Los restantes términos de la matriz de rigidez, fueron indicados en las ecuaciones
anteriores.
function [k]=kcolumna(b,h,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento columna sin nudos rigidos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [k]=kcolumna(b,h,L,E)
%------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% L: longitud del elemento.
% E: modulo de elasticidad del material
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;r=E*area/L
k=zeros(6);
k(1,1)=t; k(1,3)=-b; k(1,4)=-t; k(1,6)=-bp; k(2,2)=r; k(2,5)=-r;
k(3,3)=kf; k(3,4)=b; k(3,6)=a; k(4,4)=t; k(4,6)=bp; k(5,5)=r; k(6,6)=kpf;
for i=1:5;
for j=i+1:6;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Columna: \n\n')
for i=1:6
for j=1:6
fprintf ('%12.3f', k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
El programa que determina la matriz de rigidez de un elemento columna, sin nudos
rígidos es kcolumna y la forma de utilizarlo es:
[k] = columna (b,h,L,E)
El significado de las variables de entrada, son iguales a las del programa kviga.
4.1.2
Análisis con nudo rígido
En el análisis estructural se puede considerar que los nudos son completamente
rígidos. En consecuencia, la longitud de los elementos que ingresa al nudo, tienen rigidez axial
infinita y rigidez a flexión infinita. Sean c1 y c 2 las longitudes de rigidez infinita de un elemento,
como el indicado en la figura 4.3.
Figura 4.3 Coordenadas locales para un elemento A = ∞ , con dos sectores de rigidez infinita.
Ahora, la matriz de rigidez del elemento, es la siguiente.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡t
⎢
⎢
k= ⎢
⎢
⎢
⎣
b + c1t
−t
k + 2c1b + c1 t
2
− (b + c1t )
t
b'+ c 2 t
⎤
⎥
a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎥
⎥
− (b'+c 2 t )
⎥
⎥
2
k '+2c 2 b'+c 2 t ⎦
( 4.5 )
Los términos de rigidez k, a, k', b, b', t, son los indicados en las ecuaciones ( 4.2.1 a 4.2.7 ).
•
EJEMPLO 2
Encontrar la matriz de rigidez, para la viga de sección constante del ejemplo 1,
considerando nudos rígidos, para el caso de la figura 4.4.
Figura 4.4 Geometría de la viga con dos sectores de rigidez infinita.
•
SOLUCIÓN
Al reemplazar c1 = c2 = 0.15 y los restantes datos indicados en el ejemplo anterior, en
(4.5 ), se obtiene:
⎡329.32 658.64 − 329.32 658.64 ⎤
⎥
⎢
1700.39 − 658.64 934.17 ⎥
⎢
k=
⎢
329.32 − 658.64⎥
⎢
⎥
⎢⎣
1700.39 ⎥⎦
function [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento viga con nudos rigidos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%-------------------------------------------------------------------% [k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E)
%-------------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% c1 longitud del nudo rigido en el nudo inicial.
% c2 longitud del nudo rigido en el nudo final.
% L: longitud del elemento de borde a borde sin los nudos rigidos
% E: modulo de elasticidad del material
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;
k(1,1)=t; k(1,2)=b+c1*t; k(1,3)=-t; k(1,4)=bp+c2*t;
k(2,2)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(2,3)=-(b+c1*t); k(2,4)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(3,3)=t; k(3,4)=-(bp+c2*t); k(4,4)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;
for i=1:3;
for j=i+1:4;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n')
for i=1:4
for j=1:4
fprintf ('%10.3f', k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
El programa que determina la matriz de rigidez de un elemento viga, considerando
nudos rígidos, se denomina: kviganr . La forma de uso y los datos de entrada son:
[k]=kviganr(b,h,c1,c2,L,E)
•
•
•
b,h
son la base y altura de la sección transversal del elemento.
c1,c2 son la longitudes del nudo rígido, en el nudo inicial y final, respectivamente.
L, E es la luz libre del elemento y el módulo de elasticidad.
Figura 4.5 Coordenadas globales para un elemento vertical, con dos sectores de rigidez infinita.
En la figura 4.5, se indica el sistema de coordenadas globales, de un elemento vertical,
en el cual se consideran dos sectores de rigidez infinita de longitudes c1, para el nudo inicial y
c2, para el nudo final. La matriz de rigidez del elemento, en este caso es la indicada en ( 4.6 ).
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡t
⎢
⎢
⎢
⎢
k=
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
0 − (b + c1t )
−t
r
0
0
k + 2c1b + c1 t
2
0
−r
b + c1t
0
t
0
r
− (b'+ c 2 t )
⎤
⎥
0
⎥
⎥
a + c1b'+ c 2 b + c1c 2 t ⎥
⎥
b'+ c 2 t
⎥
⎥
0
⎥
2
⎥⎦
k '+2c 2 b'+c 2 t
( 4.6 )
Por facilidad de escritura se han presentado la matriz triangular superior de todas las
matrices de rigidez, pero en los respectivos programas se obtiene toda la matriz de rigidez.
Primero se han programado los elementos de la matriz triangular superior y después mediante
dos lazos se ha encontrado los elementos de la matriz triangular inferior, sabiendo que estas
matrices son simétricas, con respecto a la diagonal principal.
EL programa que determina la matriz de rigidez de un elemento columna, con nudos
rígidos es:
[k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E)
•
•
•
b,h
son la base y altura de la sección transversal del elemento.
c1,c2 son la longitudes del nudo rígido, en el nudo inicial y final, respectivamente.
L, E es la luz libre del elemento y el módulo de elasticidad.
function [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento columna con nudos rigidos
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%--------------------------------------------------------------------------------% [k]=kcolumnanr(b,h,c1,c2,L,E)
%--------------------------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% L: longitud del elemento.
% E: modulo de elasticidad del material
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;r=E*area/L
k=zeros(6);
k(1,1)=t; k(1,3)=-(b+c1*t); k(1,4)=-t; k(1,6)=-(bp+c2*t);k(2,2)=r; k(2,5)=-r;
k(3,3)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(3,4)=b+c1*t; k(3,6)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(4,4)=t; k(4,6)=bp+c2*t; k(5,5)=r; k(6,6)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;
for i=1:5;
for j=i+1:6;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Columna: \n\n')
for i=1:6
for j=1:6
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
fprintf ('%12.3f', k(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin---
4.2
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
Se presenta en forma rápida, la forma como se obtiene la matriz de rigidez de una
estructura, orientada al cálculo de la matriz de rigidez lateral. Para el efecto se verá como se
obtiene la matriz de Coordenadas Generalizadas, CG; la matriz que contiene a los Vectores de
Colocación, VC, el ensamblaje de la matriz de rigidez de la estructura y finalmente el cálculo de
la matriz de rigidez lateral.
4.2.1
Coordenadas Generalizadas
Para ilustrar el cálculo de la matriz de Coordenadas Generalizadas, CG, en la figura 4.6
se ha dibujado un pórtico de 1 vano y dos pisos. Para el análisis sísmico se considera que
las vigas son axialmente rígidas, de tal forma que se tiene un solo desplazamiento lateral por
piso. Las columnas son totalmente flexibles. Con estas hipótesis se tiene que cada nudo
interior de un pórtico plano tiene dos grados de libertad que son: la componente de
desplazamiento vertical y la rotación. Además en cada piso se tiene un desplazamiento lateral.
Se puede numerar primero los dos grados de libertad de cada nudo interior y al final los
desplazamientos horizontales de piso, así se ha procedido en la figura 4.6. Se pudo también
numerar en primer lugar los desplazamientos horizontales de piso y al final los dos grados de
libertad de cada nudo.
Figura 4.6 Numeración de los nudos y grados de libertad.
A continuación se indica el programa CG, que obtiene los grados de libertad de un
pórtico plano en el que primero se numeran los dos grados de libertad por nudo
(desplazamiento vertical y giro) y posteriormente el desplazamiento horizontal por piso. La
forma para utilizar el programa es:
[CG]=cg(nod,np,nr)
•
•
nod
np
Número de nudos del pórtico plano.
Número de pisos del pórtico
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
•
nr
Número de nudos restringidos.
Con esta información de entrada el programa se ejecuta y empieza un dialogo entre el
programa, que hace preguntas y el usuario que suministra los datos.
Con la información del número de nudos, el programa genera una matriz de (nod,3)
llena de 1. El número de filas es igual al número de nudos y el número de columnas es igual a
3, que son los tres grados de libertad que tiene un nudo de un pórtico plano. La primera
columna define el desplazamiento horizontal, la segunda el desplazamiento vertical y la tercera
el giro. A esta matriz se ha denominado CG.
Posteriormente cuando se indica el número de nudos restringidos, se genera un lazo
en que el usuario debe responder, con letra minúscula, si el nudo restringido puede
desplazarse horizontalmente, verticalmente o si puede rotar. Para la estructura de la figura 4.6,
las dos primeras filas de la matriz CG que estaban con 1 se cambian por 0. Finalmente en la
última parte del programa se obtienen todos los grados de libertad. En resumen, los valores
que tiene la matriz CG, en cada etapa son:
⎡1
⎢1
⎢
⎢1
⎢
⎢1
⎢1
⎢
⎣⎢1
1
1
1
1
1
1
1⎤
1⎥⎥
1⎥
⎥
1⎥
1⎥
⎥
1⎦⎥
⎡0
⎢0
⎢
⎢1
⎢
⎢1
⎢1
⎢
⎣⎢1
0
0
1
1
1
1
0⎤
0⎥⎥
1 ⎥
⎥
1 ⎥
1 ⎥
⎥
1 ⎦⎥
function [CG]=cg(nod,np,nr)
%
% Programa para encontrar las coordenadas generalizadas
% orientado al calculo de la matriz de rigidez lateral
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [CG]=cg(nod,np.nr)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% nod Numero de nudos
% np Numero de pisos
% nr Numero de nudos restringidos
%
ngl=0; CG=ones(nod,3);
for i=1:np
fprintf ('Nudo mayor del piso, %d ',i)
nn(i)=input (' Numero del nudo:');
end
% analisis de restricciones
for i=1:nr
nudres= input ('\n Numero del nudo restringido:');
X1 = input (' Desplazamiento en X ,si(s) o no(n):','s');
if X1=='n'
CG(nudres,1)=0;
else
ngl=ngl+1; CG(nudres,1)=ngl;
end
⎡0
⎢0
⎢
⎢9
⎢
⎢9
⎢10
⎢
⎣⎢10
0
0
1
3
5
7
0⎤
0⎥⎥
2⎥
⎥
4⎥
6⎥
⎥
8⎦⎥
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Y1 = input (' Desplazamiento en Y ,si(s) o no(n):','s');
if Y1=='n'
CG(nudres,2)=0;
else
ngl=ngl+1; CG(nudres,2)=ngl;
end
R1 = input (' Rotacion ,si(s) o no(n):','s');
if R1=='n'
CG(nudres,3)=0;
else
ngl=ngl+1; CG(nudres,3)=ngl;
end
end
% grados de libertad
for i=1:nod
for j=1:2
if CG(i,j+1)~=0
ngl=ngl+1; CG(i,j+1)=ngl;
else,end
end
end
ico=0;ii=1;
for i=1:nod-nr
j=nr+i;
if ico==0
ngl=ngl+1; ico=1;
else, end
if j<=nn(ii)
CG(j,1)=ngl;
else,end
if j==nn(ii)
ico=0;ii=ii+1;
else,end
end
% ---end--En la figura 4.7 se indica la entrada de datos, de la estructura de la figura 4.6, para el
programa CG. Al final se indica lo que reporta el programa. Cada fila de CG contiene la
información de los grados de libertad de un nudo.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.7 Uso de programa CG para la estructura de la figura 4.6
4.2.2
Vector de Colocación
El Vector de Colocación de cada elemento, está conformado por los grados de libertad
del nudo inicial y del nudo final, escritos en el siguiente orden: primero, el desplazamiento
horizontal; segundo, el desplazamiento vertical y tercero, el giro.
En la figura 4.8, a la izquierda, se indica la numeración de los nudos y a la derecha, de
los elementos de la estructura de 2 pisos y 1 vano. La identificación del nudo inicial y del nudo
final de un elemento, es arbitraria. Sin embargo, se recomienda que en columnas el nudo inicial
sea el que se halla abajo y el nudo final el que se halla arriba; para vigas, se recomienda que el
nudo inicial este a la izquierda y el nudo final a la derecha del elemento. Al aplicar esta
recomendación, se tienen los valores indicados en la tabla 4.1 para la ubicación del nudo inicial
y final.
Figura 4.8 Numeración de nudos y elementos.
function [VC]=vc(mbr,ncol,CG)
%
% Programa para encontrar el vector de colocacion de porticos planos
% orientado al calculo de la matriz de rigidez lateral
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [VC]=vc(mbr,ncol,CG)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
% mbr Numero de miembros
% ncol Numero de columnas
%
% Informacion de elementos
for i=1:mbr
if i<=ncol
fprintf ('\n Columna %d:',i);
ini(i)=input ('\nNumero nudo inicial:');
fin(i)=input ('Numero nudo final:');
else
fprintf ('\n viga %d:',i);
ini(i)=input ('\nNumero nudo inicial:');
fin(i)=input ('Numero nudo final:');
end
end
% Arreglo VC. Vectores de colocacion
for i=1:mbr
for k=1:3
VC(i,k)= CG(ini(i),k);
VC(i,k+3) = CG(fin(i),k);
end
end
fprintf(' \n Vectores de colocacion de los elementos \n')
for i=1:mbr
for k=1:6
fprintf('%7d',VC(i,k))
end
fprintf( '\n')
end
% ---fin---
Elemento
Nudo Inicial
Nudo Final
Tabla 4.1 Identificación del nudo inicial y final de los elementos.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
3
3
4
5
6
4
6
5
6
Con la información de la tabla 4.1 y con la matriz de Coordenadas Generalizadas, se
hallan los Vectores de Colocación, que son:
VC (1) = [0
VC (2) = [0
VC (3) = [9
VC (4) = [9
VC (5) = [9
VC (6) = [10
0
0
1
3
1
5
0
0
2
4
2
6
9
9
10
10
9
10
1
3
5
7
3
7
2]
4]
6]
8]
4]
8]
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El programa que obtiene el vector de colocación se ha denominado VC y la entrada de
datos es la siguiente:
[VC]=vc(mbr,ncol,CG)
•
•
•
mbr
ncol
CG
Número de elementos del pórtico.
Número total de columnas.
Matriz que contiene las coordenadas generalizadas de cada elemento.
Cuando se ejecuta VC el usuario por pantalla debe indicar al programa el nudo inicial y
el nudo final de cada uno de los elementos de la estructura.
4.2.3
Ensamblaje directo
Una vez que se tiene determinado el Vector de Colocación de cada uno de los
elementos, se procede al cálculo de la matriz de rigidez de la estructura, para lo cual en un
gran lazo que va de 1 al número total de elementos (mbr) se halla la matriz de rigidez del
elemento k , sea este viga o columna. Luego se realiza el ensamblaje utilizando el vector de
colocación como se lo indica en el diagrama de flujo indicado en la figura 4.9. Se ha
denominado SS a la matriz de rigidez de la estructura. En el libro Análisis Matricial de
Estructuras, Aguiar (2004), se presenta el fundamento teórico del ensamblaje directo, con una
serie de ejemplos.
El programa klateral obtiene la matriz de rigidez de la estructura, que se ha visto en
este subapartado y en la última parte del programa determina la matriz de rigidez lateral, que
se estudiará en el próximo apartado. La forma de uso de este programa, es:
[KL]=klateral(E)
•
E
Es el módulo de elasticidad del material.
Cuando se ejecuta el programa, a más de los datos ya indicados para encontrar las
Coordenadas Generalizadas y el Vector de Colocación, el usuario deberá indicar por pantalla,
la base, la altura de la sección transversal; las longitudes del nudo rígido inicial y final y la luz
libre.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.9 Diagrama de flujo para encontrar la matriz de rigidez
function [KL]=klateral(E)
%
% Programa para encontrar la matriz de rigidez lateral de un portico plano
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [KL]=klateral(E)
%------------------------------------------------------------% CG Matriz de coordenadas generalizadas
% VC Vector de colocacion
% E Modulo de elasticidad del material
% SS Matriz de rigidez de la estructura
% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% long: longitud del elemento.
%
nod=input('\n Numero de nudos:');
np=input(' Numero de pisos:');
nr=input(' Numero de nudos restringuidos:');
[CG,ngl]=cg1(nod,np,nr);
mbr=input('\n\n Numero de miembros:' );
ncol=input('\n Numero de columnas:');
[VC]=vc1(mbr,ncol,CG)
for i=1:mbr
if i<=ncol
fprintf ('\n Columna %d:',i);
B(i)=input ('\n Base:'); H(i)=input ('Altura:'); L(i)=input ('Luz libre:');
C1(i)=input ('Longitud de nudo rigido inicial:');
C2(i)=input ('Longitud de nudo rigido final:');
else
fprintf ('\n viga %d:',i);
B(i)=input ('\n Base:'); H(i)=input ('Altura:'); L(i)=input ('Luz libre:');
C1(i)=input ('Longitud de nudo rigido inicial:');
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
C2(i)=input ('Longitud de nudo rigido final:');
end
end
% Calculo de la matriz de rigidez de la estructura
SS=zeros(ngl,ngl);
for i=1:mbr
b=B(i);h=H(i);c1=C1(i);c2=C2(i);long=L(i);
if i<=ncol
[k]=kcnr(b,h,c1,c2,long,E);
else
[k]=kvnr(b,h,c1,c2,long,E);
end
for j=1:6
jj=VC(i,j);
if jj==0
continue
end
for m=1:6
mm=VC(i,m);
if mm==0
continue
end
SS(jj,mm)=SS(jj,mm)+k(j,m);
end
end
end
% Matriz de rigidez lateral
na=ngl-np;nb=np;
Kaa=SS(1:na,1:na);Kab=SS(1:na,na+1:ngl);Kba=Kab';Kbb=SS(na+1:ngl,na+1:ngl);
KL=Kbb-Kba*inv(Kaa)*Kab;
fprintf ('\n Matriz de rigidez lateral :')
for i=1,np;
for j=1,np;
fprintf ('%12.3f', KL(i,j))
end
fprintf('\n')
end
%---fin--Al final del capítulo se presenta la rutina KVNR que se indica en el programa
KLATERAL, tiene la particularidad de que se usa el artificio, mediante el cual la matriz de
rigidez de un elemento viga es de 6x6 para poder realizar el ensamblaje directo en la forma
indicada en el programa. La otra rutina que se utiliza es KCNR pero esta se obtiene
eliminando las impresiones de la rutina KCOLUMNANR.
En el diagrama de flujo presentado se arma toda la matriz de rigidez de la estructura,
pero esto no es necesario, se puede obtener solo la matriz triangular superior en forma de
vector, etc. En el libro indicado anteriormente se presenta amplia información al respecto.
•
EJEMPLO 3
Hallar la matriz de rigidez de la estructura indicada en la figura 4.10, considerando
nudos rígidos. Todos los elementos son de 30/30. Se consideran los mismos valores de E y G,
de los ejemplos anteriores.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.10 Geometría y grados de libertad de pórtico plano, utilizado en ejemplo.
•
SOLUCIÓN
En este ejercicio, primero se ha numerado el desplazamiento horizontal de piso y
después los restantes dos grados de libertad por nudo. Contrario a la forma como se realizó el
programa klateral, de tal manera que la matriz de rigidez de la estructura que se obtendrá en el
presente ejercicio es diferente a la que se halla con el programa klateral debido a que los
grados de libertad son diferentes. En realidad los valores son los mismos pero están en
diferentes posiciones.
La matriz de rigidez lateral, que está asociada solo a la componente de desplazamiento
horizontal de piso, si es la misma.
Sea la columna izquierda, el elemento número 1, la viga el 2 y la columna derecha el 3.
Los vectores de colocación de estos elementos, son:
VC (1) = [0 0 0 1 2 3]
VC ( 3) = [0 0 0 1 4 5]
VC ( 2) = [2 3 4 5]
Nótese que el vector de colocación del elementos dos, tiene cuatro elementos, debido
a que la matriz de rigidez del elemento es de 4X4. En el programa klateral, se utilizó un artificio
para convertir la matriz de 4X4 en una de 6X6 y consistió en colocar ceros en la primera y
cuarta fila y en la primera y cuarta columna, de esta nueva matriz, como se observa en el
programa. De esta manera se tiene una sola forma de ensamblar la matriz de rigidez.
La matriz de rigidez del elemento dos, se indicó en el ejemplo 2 y la de los elementos
uno y tres, al aplicar ( 4.6 ), se obtiene:
− 1468.28
0
⎡1249.60
⎢
80425.53
0
⎢
⎢
2328.42
k= ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
− 1249.60
− 1655.72⎤
⎥
− 80425.53
0
0 ⎥
1468.28
0
1342.28 ⎥
⎥
1249.60
0
1655.72 ⎥
⎥
80425.53
0
⎥
⎥
2797.02 ⎦
0
Al efectuar el ensamblaje directo de la matriz de rigidez de la estructura, se obtiene:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
0
1655.72
0
⎡2499.20
⎢
80754.85 658.64 − 329.32
⎢
k= ⎢
4497.40 − 658.64
⎢
⎢
80754.85
⎢
⎢⎣
4.3
1655.72⎤
⎥
658.64 ⎥
934.17 ⎥
⎥
− 658.64 ⎥
⎥
4497.40 ⎥⎦
CONDENSACIÓN DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
En la figura 4.11, se presenta nuevamente la estructura, de un vano y un piso, que se
ha venido analizando y cuyos grados de libertad se indicaron en la figura 4.10. Ahora, con línea
más gruesa se indica el desplazamiento horizontal y con líneas menos gruesa los restantes
grados de libertad. Lo importante es notar que se separan los grados de libertad.
En el sistema de coordenadas de una estructura, se puede diferenciar un grupo de
coordenadas a las que se denomina ”coordenadas a'', que en el ejemplo de la figura 4.7 es la
uno y las restantes, a las que se denomina "coordenadas b''. Con esto, tanto el vector de
cargas generalizadas Q, como el vector de coordenadas generalizadas q , están particionados
de la siguiente forma:
⎛ Qa ⎞
Q = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ Qb ⎠
⎛ qa ⎞
q = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ qb ⎠
( 4.7.1)
( 4.7.2)
Figura 4.11 Coordenadas "a" y "b", de estructura ejemplo.
Por otra parte, la ecuación básica de análisis estático, que relaciona el vector de cargas
generalizadas Q, con el vector de coordenadas generalizadas q, por medio de la matriz de
rigidez de la estructura K, es:
Q=Kq
( 4.8 )
Al reemplazar ( 4.7.1 ) y ( 4.7.2 ) en ( 4.8 ) y al trabajar con submatrices, la matriz de
rigidez de la estructura, también estará particionada, de la siguiente forma:
⎛ Qa ⎞ ⎡ K aa K ab ⎤ ⎛ q a ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢
⎥ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ Qb ⎠ ⎣k ba k bb ⎦ ⎝ q b ⎠
( 4.9 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
La condensación estática de la matriz de rigidez se da cuando Qa o Qb son ceros, los
dos casos se desarrollan a continuación:
4.3.1
Condensación a las coordenadas "a"
Este caso se presenta cuando el vector Qb=0.
⎛ Qa ⎞ ⎡ K aa K ab ⎤ ⎛ q a ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢
⎥ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0 ⎠ ⎣k ba k bb ⎦ ⎝ q b ⎠
de donde:
Qa = k aa qa + K ab q b
0 = K ba q a + K bb qb
luego:
q b = − k bb−1 K ba q a
Qa = ( K aa − K ab K
−1
bb
K ba )q a
( 4.10.1 )
( 4.10.2 )
Sea K* la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "a".
K * = K aa − K ab K bb−1 K ba
4.3.2
( 4.10.3 )
Condensación a las coordenadas "b"
Se presenta cuando el vector de cargas Qa=0. Procediendo en forma similar se
obtiene:
q a = − k aa−1 K ab q b
( 4.11.1 )
Qb = ( K bb − K ba K aa−1 K ab )q b
( 4.11.2 )
Sea K+ la matriz de rigidez condensada a las coordenadas "b".
K + = K bb − K ba K aa−1 K ab
( 4.11.3 )
La ecuación (4.11.3) es la que se utilizó en el programa klateral. En MATLAB como
ya se cuentan con rutinas definidas es muy sencillo determinar las submatrices. El cálculo de la
matriz de rigidez lateral se encuentra en la parte final del programa.
•
EJEMPLO 4
Encontrar la matriz de rigidez condensada a la coordenada lateral 1, indicada en la
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
figura 4.11. Que corresponde a la estructura de la figura 4.10, del ejemplo anterior.
•
SOLUCIÓN
En este caso, la partición de la matriz de rigidez de la estructura K se la realiza en la
primera fila y primera columna, toda vez que existe una sola "coordenada a". Por lo tanto las
submatrices, son:
K aa = [2499.20]
K ab = [0 1655.72 0 1655.72]
K bb
⎡80754.85 658.64 − 329.32
⎢
4497.40 − 658.64
=⎢
⎢
80754.85
⎢
⎣
658.64⎤
934.17 ⎥⎥
− 658.64 ⎥
⎥
4497.40 ⎦
La submatriz Kba es la transpuesta de la submatriz Kab. Para aplicar la ecuación
(4.10.3) es necesario calcular la inversa de Kbb.
K bb−1
⎡1.24 − 0.1501 0.0026 − 0.1501⎤
⎢
23.27 0.1501 − 4.790 ⎥⎥
⎢
× 10 −5
=
⎢
1.241
0.1501 ⎥
⎥
⎢
23.27 ⎦
⎣
K ab K bb−1 K ba = [1013.428]
K * = K aa − K ab K bb−1 K ba
K * = [1485.772]
4.4
CONDENSACIÓN MEDIANTE SOLUCIÓN DE ECUACIONES
El trabajar con la ecuación (4.10.3) o con la ecuación (4.11.3) implica calcular una
matriz inversa, lo cual demanda bastante tiempo de cálculo, si se piensa en estructuras de
algunos pisos. Razón por la cual, en la práctica, se transforma el cálculo de la matriz inversa
por un sistema de ecuaciones lineales, como se ve a continuación.
4.4.1
Caso en que Qb = 0
En la ecuación ( 4.10.3 ) se realiza, se define la matriz
T de la siguiente manera:
T = − K bb−1 K ba
( 4.12.1 )
Al multiplicar ambos lados de la ecuación ( 4.12.1 ) por Kbb, se obtiene:
K bb T = − K ba
( 4.12.2 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para encontrar la matriz T, se debe resolver un conjunto de ecuaciones lineales, cuya
matriz de coeficientes es la submatriz Kbb y los términos independientes son las diferentes
columnas de la submatriz Kba.
Con el cambio de variable realizado, la ecuación ( 4.10.3 ) se transforma en:
K * = K aa + K abT
•
( 4.12.3 )
EJEMPLO 5
Encontrar la matriz de rigidez condensada del ejercicio anterior, por intermedio de la
matriz T.
•
SOLUCIÓN
Al sustituir las submatrices, del ejemplo anterior en ( 4.12.2 ), se obtiene:
⎡80754.85 658.64
⎢
⎢ 658.64 4497.40
⎢ − 329.32 − 658.64
⎢
⎢⎣ 658.64 934.17
− 329.32
658.64 ⎤ ⎛ T11 ⎞
⎞
⎛0
⎟
⎜
⎥⎜ ⎟
− 658.64 934.17 ⎥ ⎜ T21 ⎟
⎜1655.72 ⎟
⎜ ⎟ = −⎜
⎟
0
80754.85 − 658.64⎥ ⎜ T31 ⎟
⎟
⎜
⎥
⎟
⎜
⎟
⎜
− 658.64 4497.40 ⎥⎦ ⎝ T41 ⎠
⎝1655.72 ⎠
La solución del sistema de ecuaciones lineales, reporta
⎛ 0.00497 ⎞
⎜
⎟
⎜ − 0.30605 ⎟
T =⎜
− 0.00497 ⎟
⎜
⎟
⎜ − 0.30599 ⎟
⎝
⎠
K ab T = [1013.428]
K * = K aa + K abT
K * = [1485.772]
4.4.2
Caso en que Qa= 0
Se procede en forma similar al indicado en el apartado ( 4.3.1 ), con lo que se obtiene:
T = − K aa−1 K ab
+
K = K bb + K ba T
K aa T = − K ab
( 4.13.1 )
( 4.13.2 )
( 4.13.3 )
Ahora, la matriz T se obtiene resolviendo un conjunto de ecuaciones lineales que
tienen una sola matriz de coeficientes que es Kaa pero diferentes términos independientes que
son las diferentes columnas de la matriz kab.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
4.5
CONDENSACIÓN MEDIANTE ELIMINACIÓN DE GAUSS
Si bien es cierto, mediante la solución de un conjunto de ecuaciones lineales, se
optimiza la obtención de la matriz de rigidez condensada. No es menos cierto, que todavía se
puede optimizar el proceso de cálculo únicamente triangularizando la matriz de rigidez, tema
que se trata a continuación y es válido únicamente para el caso de que Qa= 0.
⎛ 0 ⎞ ⎡ K aa K ab ⎤ ⎛ q a ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢
⎥ ⎜⎜ q ⎟⎟
Q
k
k
bb ⎦ ⎝ b ⎠
⎝ b ⎠ ⎣ ba
de donde:
0 = k aa qa + K ab qb
Qb = K ba q a + K bb q b
( 4.14.1 )
( 4.14.2 )
Si a la ecuación ( 4.14.1 ) multiplicamos por Kaa-1, y en ésta se reemplaza la ecuación
(4.13.1), se obtiene:
0 = I q a + K aa−1 K ab q b
0 = I qa − T qb
( 4.14.3 )
Ahora, si a la ecuación ( 4.14.3 ) multiplicamos por -Kba y sumamos a la ecuación
(4.14.2 ) se encuentra:
Q b = 0 q a + (K bb + K ba T ) q b
( 4.14.4 )
De acuerdo a ( 4.13.2 ), la ecuación entre paréntesis es la matriz de rigidez
condensada K+.
Qb = 0 qa + K + qb
( 4.14.5 )
Al reescribir en forma matricial las ecuaciones ( 4.14.3 ) y ( 4.14.5 ) se halla.
⎛ 0 ⎞ ⎡I
⎜⎜ ⎟⎟ = ⎢
⎝ Q b ⎠ ⎣0
− T ⎤ ⎛ qa ⎞
⎥⎜ ⎟
K + ⎦ ⎜⎝ q b ⎟⎠
( 4.14.6 )
Por consiguiente, dada la matriz de rigidez total, se aplica la eliminación de Gauss
Jordan hasta eliminar los elementos correspondientes a las coordenadas "a" y lo que se
obtienen son las matrices T y K+.
•
EJEMPLO 6
Encontrar la matriz de rigidez condensada, de la estructura de un piso y un vano, de la
estructura de los ejemplos 4 y 5, pero aplicando la eliminación de Gauss Jordan.
•
SOLUCIÓN
Primero se debe encontrar la matriz de rigidez de la estructura, para la nueva
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numeración de los grados de libertad, que se indican en la figura 4.12. Nótese que la
coordenada lateral, se ha numerado al último.
Figura 4.12 Numeración de los grados de libertad para eliminación de Gauss Jordan.
⎡80754.85 658.64 − 329.32
⎢
4497.40 − 658.64
⎢
80754.85
k =⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
934.17 1655.72 ⎥
⎥
0
− 658.64
⎥
4497.40 1655.72 ⎥
⎥
2499.20⎥⎦
658.64
0
Al triangularizar la matriz de rigidez, se obtiene:
⎡1 0.008156 − 0.004078 0.008156
⎢
1
− 0.146027 0.206764
⎢0
⎢0
0
1
− 0.00645
⎢
⎢0
0
0
1
⎢
0
0
0
⎣⎢0
0.000000⎤
⎥
0.368591⎥
0.0030 ⎥
⎥
0.31116 ⎥
⎥
1485.772 ⎦⎥
Finalmente, al llevar a la forma de la ecuación ( 4.14.5 ), se encuentra:
⎡1
⎢
⎢0
⎢0
⎢
⎢0
⎢
⎢⎣0
0 0 0 0.000000 ⎤
⎥
1 0 0 0.368591 ⎥
0 1 0 0.0030 ⎥
⎥
0 0 1 0.31116 ⎥
⎥
0 0 0 1485.772⎥⎦
Roberto Aguiar Falconí
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Los valores de las cuatro primeras filas de la quinta columna, corresponden a -T, la
diferencia que existe es debido al redondeo. El último valor es la matriz de rigidez condensada
a la coordenada lateral, de la estructura analizada.
...Para fines prácticos la matriz de rigidez se obtiene únicamente de la etapa de
triangularización y no necesariamente deben ser unos los elementos de la diagonal...
4.6
MATRIZ DE RIGIDEZ LATERAL
Se define ...matriz de rigidez lateral, KL... a la matriz de rigidez asociada a las
coordenadas laterales de piso. Cuando en el análisis sísmico de pórticos planos se considera
un solo grado de libertad por piso, a este modelo se denomina ...piso rígido... y sirve
únicamente para el análisis ante la componente horizontal de movimiento del suelo.
Existen dos formas de modelar los elementos de un pórtico plano, ante la acción
sísmica horizontal. En la primera forma se considera que únicamente las vigas son axialmente
rígidas y las columnas totalmente flexibles. En cambio, en la segunda forma se considera que
todos los elementos son axialmente rígidos. El pórtico analizado en los numerales anteriores
corresponde a la primera forma de cálculo.
En la figura 4.9, se indican los dos modelos anotados, para un pórtico plano de dos
pisos y dos vanos. El modelo de la izquierda, corresponde a la primera forma de cálculo y el de
la derecha a la segunda forma de cálculo. En el pórtico de la izquierda se nota que solo las
vigas son axialmente rígidas; en cambio, en el de la derecha todos los elementos son
axialmente rígidos.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 4.9 Modelos de cálculo para determinar la matriz de rigidez lateral.
4.6.1
Vigas axialmente rígidas
Para este modelo de cálculo, las matrices de rigidez de los elementos: viga y columna,
orientados al análisis en el computador, se indicó en el apartado 4.1, razón por la cual se omite
el marco teórico y únicamente se presenta un ejemplo de cálculo.
•
EJEMPLO 7
Para el pórtico plano indicado en la figura 4.10, cuyas vigas son de 30/30 y las
columnas de 30/40. Se desea encontrar la matriz de rigidez lateral, considerando que solo las
vigas son axialmente rígidas. A la derecha de la figura 4.10, se indica la numeración de los
elementos. Por otra parte, el módulo de elasticidad E = 2173706.5 T/m2 y no se considera
nudos rígidos.
Figura 4.10 Geometría del pórtico y numeración de elementos.
•
SOLUCIÓN
En la figura 4.11, se indica a la izquierda los grados de libertad del pórtico de la figura
4.10, al considerar que solo las vigas son axialmente rígidas. Se ha numerado primero los
corrimientos laterales de piso y luego los restantes grados de libertad, de tal manera que no se
aplicará la triangularización de Gauss. A la derecha de la figura 4.11, se presentan las
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coordenadas laterales de piso.
Figura 4.11 Grados de libertad, considerando vigas axialmente rígidas y coordenadas laterales.
La matriz de rigidez es de 14 por 14; la submatriz Kaa es de 2 por 2, la Kab de 2 por 12;
la Kbb es de 12 por 12 y la Kba de 12 por 2. En forma resumida, las operaciones matriciales son:
⎡16026.30 − 8013.15⎤ ⎡4477.64 − 3558.07⎤
K aa − K ab K bb−1 K ba = ⎢
⎥−⎢
⎥
⎣− 8013.15 8013.15 ⎦ ⎣− 3558.07 5286.50 ⎦
⎡11548.66 − 4455.08⎤
KL = ⎢
⎥
⎣− 4455.08 2726.65 ⎦
4.6.2
Vigas y columnas axialmente rígidas
Cuando todos los elementos de un pórtico plano, conformado por vigas y columnas, se
consideran axialmente rígidos, se disminuye notablemente el número de grados de libertad y el
cálculo es más rápido. Para el caso de que no se considere nudo rígido, las matrices de
rigidez, son:
•
Elemento viga
Figura 4.12 Coordenadas globales para un elemento viga, axialmente rígido.
⎡k
a⎤
⎥
⎣a k '⎦
k =⎢
( 4.15 )
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La ecuación ( 4.15 ) se encuentra de la ecuación ( 4.1 ), eliminando la primera y tercera
columna, y, la primera y tercera fila. El sistema de coordenadas asociado con la ecuación
(4.15) se indica en la figura 4.12.
Figura 4.13 Coordenadas globales para un elemento columna, axialmente rígido.
•
Elemento columna
⎡t − b − t − b' ⎤
⎥
⎢
b
a ⎥
−b k
⎢
k=
⎢− t b
t
b' ⎥
⎥
⎢
⎢⎣− b' a
b'
k '⎥⎦
( 4.16 )
Si en la ecuación ( 4.3 ), se elimina la segunda y quinta fila, por un lado, y se elimina la
segunda y quinta columna, por otro lado, se obtiene la ecuación ( 4.16 ) que es la matriz del
elemento columna para el sistema de coordenadas globales indicado en la figura 4.13.
•
EJEMPLO 8
Con relación al pórtico plano de la figura 4.10. Encontrar la matriz de rigidez lateral,
considerando que todos los elementos son axialmente rígidos.
•
SOLUCIÓN
En la figura 4.14, a la izquierda se indica los grados de libertad del pórtico, cuando
todos los elementos son axialmente rígidos. Existe un corrimiento horizontal en cada piso y una
rotación en cada uno de los nudos. A la derecha de la figura 4.14, se muestran las
coordenadas laterales para las cuales se determina la matriz de rigidez lateral.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 4.14 Grados de libertad, considerando que todos los elementos son axialmente rígidos
y coordenadas laterales.
•
Matriz de rigidez del elemento viga.
⎡1304.22 652.11 ⎤
⎥
⎣652.11 1304.22⎦
k =⎢
•
Matriz de rigidez del elemento columna.
⎡2671.05
⎢
⎢− 3338.81
k=
⎢− 2671.05
⎢
⎢⎣− 3338.81
•
− 3338.81 − 2671.05 − 3338.8132⎤
⎥
5564.69
3338.81
2782.34 ⎥
3338.81
2671.05
3338.81 ⎥
⎥
2782.34
3338.81
5564.69 ⎥⎦
Vectores de colocación VC, de las vigas.
VC 7 = [3 4]
VC 8 = [4 5]
VC 9 = [6 7]
VC 10 = [7 8]
•
Vectores de colocación VC, de las columnas.
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VC 1 = [0 0 1 2]
VC 2 = [0 0 1 4]
VC 3 = [0 0 1 5]
VC 4 = [0 0 2 6]
VC 5 = [0 0 2 7]
VC 6 = [0 0 2 8]
•
Submatrices Kaa, Kab, Kbb
⎡16026.303 − 8013.152⎤
K aa = ⎢
⎥
⎣− 8013.152 8013.152 ⎦
− 3338.813 − 3338.813 − 3338.813⎤
0
0
0
⎡
K ab = ⎢
⎥
⎣3338.813 3338.813 3338.813 3338.813 3338.813 3338.813 ⎦
K bb
•
⎡12433.601
⎢ 652.112
⎢
⎢ 0
=⎢
⎢2782.344
⎢ 0
⎢
⎣⎢ 0
652.112
0
2782.344
0
0 ⎤
⎥
13737.83 652.112
0
2782.344
0
⎥
652.112 10207.726 0
0
2782.344 ⎥
⎥
0
0
6868.913 652.112
0
⎥
2782.344
0
652.112 8173.136 652.112 ⎥
⎥
0
2782.344
0
652.112 6868.913⎦⎥
Matriz de rigidez lateral
⎡16026.30 − 8013.15⎤ ⎡4516.582 − 3509.309⎤
K aa − K ab K bb−1 K ba = ⎢
⎥−⎢
⎥
⎣− 8013.15 8013.15 ⎦ ⎣− 3509.309 5358.492 ⎦
⎡11509.718 − 4503.841⎤
KL = ⎢
⎥
⎣− 4503.841 2654.658 ⎦
Se han presentado dos modelos para el cálculo de la matriz de rigidez lateral, el
primero es más adecuado pero demanda de una mayor cantidad de números. En estructuras
esbeltas es necesario considerar la deformación axial en los elementos, si la relación altoancho en planta, es mayor que tres se debe considerar la deformación axial.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 4.15 Significado físico de los elementos de la primera columna de la matriz de rigidez, para el
primer modelo de cálculo.
En la figura 4.15 se indica el significado físico de los elementos de la primera columna
de la matriz de rigidez lateral, para el primer modelo de cálculo. Se aprecia que son las fuerzas
que producen un desplazamiento unitario en el primer piso y nulo en el segundo piso.
En el programa KLATERAL se utilizan dos rutinas que no han sido indicadas la una es
la que obtiene la matriz de rigidez de elemento, en vigas, denominada KVNR y la otra la que
obtiene la matriz de rigidez de elemento, en columnas. En el ensamblaje de la matriz de rigidez
que se utiliza en el programa KLATERAL, se trabaja con matrices de 6 x 6 para los elementos
pero al considerar que la viga es axialmente rígida, esta matriz es de 4 x 4 razón por la cual se
utiliza un artificio en el programa KVNR para que sea de 6 x 6.
function [k]=kvnr(b,h,c1,c2,L,E)
%
% Matriz de rigidez de un elemento viga con nudos rigidos
% Se usa para el calculo de la matriz de rigidez de la estructura
% Se la completa a 6X6 con ceros en la primera y cuarta fila.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
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%-------------------------------------------------------------------% [k]=kvnr(b,h,c1,c2,L,E)
%-------------------------------------------------------------------% b: base de la seccion transversal.
% h: altura de la seccion transversal.
% c1 longitud del nudo rigido en el nudo inicial.
% c2 longitud del nudo rigido en el nudo final.
% L: longitud del elemento de borde a borde sin los nudos rigidos
% E: modulo de elasticidad del material
% beta: factor de forma se considera 1.2
G=0.4*E; beta=1.2; inercia=b*h^3/12; area=b*h; fi=(3*E*inercia*beta)/(G*area*L*L);
kf=((4*E*inercia)*(1+fi))/(L*(1+4*fi)); a=((2*E*inercia)*(1-2*fi))/(L*(1+4*fi));
kpf=kf; b=(kf+a)/L; bp=b; t=(b+bp)/L;
k=zeros(6,6);
k(2,2)=t; k(2,3)=b+c1*t; k(2,5)=-t; k(2,6)=bp+c2*t;
k(3,3)=kf+2*c1*b+c1*c1*t; k(3,5)=-(b+c1*t); k(3,6)=a+c1*bp+c2*b+c1*c2*t;
k(5,5)=t; k(5,6)=-(bp+c2*t); k(6,6)=kpf+2*c2*bp+c2*c2*t;
for i=1:5;
for j=i+1:6;
k(j,i)=k(i,j);
end
end
%fprintf ('\n Matriz de Rigidez de Elemento Viga: \n\n')
%for i=1:4
% for j=1:4
%
fprintf ('%10.3f', k(i,j))
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% end
% fprintf('\n')
%end
%---fin---
No se indica la rutina KCNR por que esta se obtiene de la rutina KCOLUMNANR
suprimiendo las instrucciones de impresión.
Roberto Aguiar Falconí
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CAPÍTULO 5
MATRIZ DE MASAS
RESUMEN
Se presenta el marco teórico para el cálculo de la matriz de masas, orientado al
análisis sísmico de estructuras, en el plano y en el espacio. Se inicia el capítulo calculando la
energía cinética de las estructuras y de este cálculo se encuentra la matriz de masas. Por la
importancia del tema se obtiene la matriz de masas en dos sistemas de coordenadas diferentes
y se ve la relación que existe entre estas dos matrices, empleando la matriz de transformación
de coordenadas.
Posteriormente se presentan reglas prácticas de cómo obtener la matriz de masas para
el análisis plano considerando piso rígido y considerando piso flexible. De igual forma se
presenta una regla práctica para hallar la matriz de masas para el análisis espacial
considerando tres grados de libertad por planta. Por considerarlo didáctico se presenta el
cálculo de la matriz de masas para una estructura en forma de péndulo invertido considerando
la interacción suelo estructura.
5.1
ENERGÍA CINÉTICA
La energía cinética de una estructura T es igual a la energía cinética de traslación
más la energía cinética de rotación.
1
1 .2
2
T = mv + Jθ
2
2
( 5.1 )
Donde m es la masa, v es la velocidad lineal de traslación, J es el momento de
.
inercia de la masa y
θ
es la velocidad angular.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
•
EJEMPLO 1
Calcular la energía cinética de la estructura mostrada en la figura 5.1, si se desprecia el
momento de inercia de las masas concentradas.
•
SOLUCIÓN
Por ser las columnas axialmente rígidas, no existe desplazamiento vertical en los
nudos. Por lo tanto, el sistema tiene cuatro grados de libertad, que son los corrimientos
horizontales y rotación de los nudos. Ahora, como se desprecia la inercia rotacional de las
masas, las coordenadas principales, serán los desplazamientos horizontales y las
coordenadas secundarias, serán los giros.
Figura 5.1 Pórtico plano con masas puntuales en los nudos.
A las coordenadas principales se las identifica con la letra q y a las coordenadas
secundarias con la letra s , como se aprecia a la izquierda de la figura 5.2. A la derecha de la
mencionada figura, únicamente se colocan las coordenadas principales, debido a que la
solución dinámica se realiza para las coordenadas principales.
En la deformada, que se ha dibujado a la izquierda de la figura 5.2, se recuerda que en
los nudos se cumple que la rotación de la columna es igual a la rotación de la viga. De igual
manera que en el empotramiento no hay giros.
Figura 5.2 Coordenadas principales q y secundarias s .
La energía cinética T será igual a:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
T=
. 2
. 2
. 2 ⎫
1
1
1⎧ .2
m1 q 1 + m2 q 2 = ⎨m1 q 1 + m2 q 2 ⎬
2
2
2⎩
⎭
.
.
Siendo q 1 la velocidad de traslación horizontal de la masa m1 y q 2 la velocidad de
traslación horizontal de la masa m 2 .
5.2
REGLA DE CÁLCULO DE LA MATRIZ DE MASAS
Para sistemas de varios grados de libertad, la energía cinética se puede escribir en
forma matricial de la siguiente manera:
.
1 .t
T= q Mq
2
( 5.2 )
.
Donde q es el vector de velocidades y M es la matriz de masas, que es simétrica,
con respecto a la diagonal principal y todos los elementos de la diagonal son positivos.
Para deducir la regla práctica, de cálculo de la matriz de masas M , y, para no alargar
la exposición se considera un sistema de dos grados de libertad. En consecuencia, se tendrá:
⎡. ⎤
q1
q = ⎢. ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢q 2 ⎦⎥
⎡m
M = ⎢ 11
⎣m21
.
m12 ⎤
m22 ⎥⎦
.
Al reemplazar el vector
q y la matriz de masas M en la ecuación ( 5.2 ) y teniendo
presente que m 21 = m12 se tiene:
1⎡.
T = ⎢q 1
2⎣
⎤
q2 ⎥
⎦
.
.
.
1⎡
T = ⎢m11 q 1 + m21 q 2
2⎣
T=
⎡m11
⎢m
⎣ 21
m12 ⎤
m22 ⎥⎦
⎡. ⎤
⎢q 1 ⎥
⎢. ⎥
⎢⎣q 2 ⎥⎦
⎡. ⎤
⎢q 1 ⎥
⎢. ⎥
⎢⎣q 2 ⎥⎦
. 2⎫
q2 ⎬
⎭
⎤
m12 q 1 + m22 q 2 ⎥
⎦
.
.
.
. 2
1⎧
⎨m11 q 1 + 2 m12 q 1 q 2 + m22
2⎩
.
Luego, la regla práctica para encontrar la matriz de masas, es la siguiente:
i.
Encontrar la energía cinética de la estructura y sacar factor común
1
.
2
. 2
ii.
Los elementos de la diagonal principal son los coeficientes de q i .
iii.
Los elementos que están fuera de la diagonal, son simétricos y por ejemplo, para el
término, mij vale
1 . .
qi q j .
2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al aplicar la regla indicada a la estructura indicada en la figura 5.1, que se encontró la
energía cinética en el apartado anterior se tiene que la matriz de masas es:
⎡m
M=⎢ 1
⎣0
5.3
0⎤
m2 ⎥⎦
REGLA DE CÁLCULO DE LA ENERGÍA CINÉTICA
Para facilitar el cálculo de la energía cinética T de una estructura, se recomienda el
siguiente procedimiento:
i.
ii.
iii.
iv.
•
Seleccionar las coordenadas principales de la estructura.
Encontrar los desplazamientos y giros en el centro de masas.
Hallar el diagrama de distribución de velocidades.
Calcular la Energía Cinética y sacar factor común 1 / 2 .
EJEMPLO 2
Encontrar la matriz de masas para la estructura de la figura 5.3; las masas se
encuentran distribuidas en todo el piso, el mismo que se considera totalmente rígido.
Adicionalmente dos columnas son axialmente rígidas.
•
SOLUCIÓN
Se recomienda la lectura del libro: “Análisis Matricial de Estructuras”, Aguiar (2004),
antes de realizar el ejercicio.
La estructura tiene 4 grados de libertad, se recuerda que los elementos A = ∞
disminuyen un grado de libertad y que los elementos I = ∞ disminuyen dos grados de
libertad. Luego el número de grados de libertad es igual a 4 * 3 − 4 * 1 − 2 * 2 = 4 . Los nudos
interiores tienen tres grados de libertad, de ahí el primer producto. En la figura 5.4 se indica el
sistema de coordenadas generalizadas, para el ejemplo, son todas coordenadas principales.
Se destaca que las coordenadas principales son aquellas que se necesitan para definir la
posición de las masas.
El centro de masas se halla en L / 2 debido a que el elemento es de sección constante
y la masa está uniforme distribuida. Por lo tanto, se debe hallar los desplazamientos y giros en
L / 2 , para el efecto es conveniente dibujar una deformada general y obtener los corrimientos y
giros en el centro de masa.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.3 Pórtico plano con piso rígido.
Si resulta complicada la determinación de los desplazamientos y giros a partir de la
deformada general, se puede construir las deformadas elementales, e ir viendo para cada una
de ellas, los desplazamientos y giros, en el centro de masa. Luego, se aplica el principio de
superposición, que no es más que sumar los resultados parciales.
En la figura 5.5, a la izquierda, se presentan los desplazamientos y giros en el centro
de masa. El diagrama de distribución de velocidades son estos desplazamientos y giros pero
con velocidades, este diagrama se indica a la derecha de la figura 5.5.
Figura 5.4 Grados de libertad de estructura analizada.
En el diagrama de velocidades, del segundo piso, se ha sumado las dos velocidades verticales:
.
⎛.
q4
⎜
q4 + ⎜q2 −
L
⎜
⎝
.
.
⎞
⎟ L . L q4
⎟⎟ 2 = q 2 2 + 2
⎠
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El momento de inercia de un elemento de longitud L y con masa uniforme distribuida es:
J=
m L2
12
( 5.3 )
Figura 5.5 Desplazamientos y giros en centro de masa y diagrama de distribución de velocidades.
.
⎧ ⎡
⎛ .
1 ⎪ ⎢ . 2 ⎜ q2 L q 4
+
T = ⎨m1 ⎢q 3 + ⎜
2⎪
2
⎜ 2
⎢
⎝
⎩ ⎣
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
2
⎤
2
⎥ m1 L
+
⎥
12
⎥⎦
.
⎛.
q
⎜
4
⎜⎜ q 2 − L
⎝
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
2
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
2
⎧ ⎡ 2 ⎛.
⎫
⎞ ⎤
2
2
.
1⎪ ⎢
⎜ q 2 L ⎟ ⎥ m2 L . ⎪
+
q2 ⎬
⎨m 2 q 1 + ⎜
2⎪ ⎢
12
⎜ 2 ⎟⎟ ⎥
⎪
⎢
⎝
⎠ ⎥⎦
⎩ ⎣
⎭
El primer término corresponde a la energía cinética de traslación y el segundo a la
energía cinética de rotación, tanto para la masa del segundo piso como para la masa del primer
piso. Así mismo, se aprecia que se ha calculado la velocidad lineal resultante, cuando se tienen
dos componentes de velocidad.
Luego de algunas simplificaciones y agrupar términos, se tiene:
T=
1 ⎧⎪ . 2 ⎛ m1 L2 m2 L2
+
⎨m2 q 1 + ⎜⎜
2 ⎪⎩
3
⎝ 3
. 2
⎞.2
m . 2 2 m1 L . . ⎪⎫
⎟⎟ q 2 + m1 q 3 + 1 q 4 +
q2 q4 ⎬
3
6
⎪⎭
⎠
Al aplicar la regla indicada en el apartado anterior, se tiene:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
m11 = m2
m34 = m43 = 0
m1 L2 m2 L2
+
3
3
m33 = m1
m23 = m32 = 0
m22 =
m14 = m41 = 0
m1
3
mL
= 1
6
m44 =
m12 = m21 = 0
m24
m13 = m31 = 0
Se escribe solo la matriz triangular inferior, debido a que la matriz de masas es
simétrica.
⎡m2
⎢
⎢0
⎢
M=⎢
0
⎢
⎢
⎢0
⎣
5.4
2
2
m1 L
m L
+ 2
3
3
0
m1 L
6
m1
0
m1
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
MATRIZ DE PASO
En la figura 5.6 se tiene a la izquierda un pórtico cuyo piso es totalmente rígido y la
masa está repartida en toda su longitud. La estructura tiene tres grados de libertad, en la parte
central se han indicado una opción de la ubicación de los grados de libertad y en el extremo
derecho se tiene otra opción. Como son dos sistemas diferentes se han denominado sistemas
Q − q y Q ∗ − q ∗ , siguiendo la nomenclatura del libro “Análisis Matricial de Estructuras”,
Aguiar (2004). La letra mayúscula define el vector de cargas generalizadas y la minúscula el
vector de coordenadas generalizadas o coordenadas principales.
M la matriz de masas en el sistema de coordenadas Q − q y M ∗ la matriz de
∗
∗
masas en el sistema Q − q .
Sea,
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.6 Dos sistemas de coordenadas principales
Se define la matriz de paso
∗
T que permite pasar del sistema Q − q al sistema
∗
Q − q , de la siguiente manera:
q = T q∗
( 5.4 )
M∗ =Tt M T
( 5.5 )
Se demuestra ahora, que:
•
DEMOSTRACIÓN
La energía cinética T (sin negrilla) es igual a:
T=
.
1 .t
q Mq
2
Al reemplazar ( 5.4 ) en esta expresión se tiene:
t
⎛ .∗⎞
1⎛ .∗⎞
T = ⎜⎜ T q ⎟⎟ M ⎜⎜ T q ⎟⎟
2⎝
⎠
⎝
⎠
Luego:
∗
. ∗
1 .t
t
T = q (T M T ) q
2
De donde:
M∗ =Tt M T
Se deja al lector, que demuestre que la matriz de masas, para el sistema de
coordenadas de la mitad de la figura 5.6 es:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡
⎢m
⎢
M = ⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢⎣
0
m
mL
2
⎤
0 ⎥
⎥
mL ⎥
2 ⎥
⎥
mL2 ⎥
3 ⎥⎦
Cuando las coordenadas se consideran en el centro de masa, sistema de la derecha
de la figura 5.6, se obtiene:
⎡
⎢m
⎢
M ∗ = ⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣
0
m
0
⎤
0⎥
⎥
0⎥
mL2 ⎥⎥
12 ⎥⎦
En la figura 5.7 se presentan las deformadas elementales con las cuales se encuentra
la matriz de paso T . La matriz T se obtiene dibujando las deformadas elementales en el
sistema
q ∗ y se mide en el sistema q . Al proceder de esta manera se obtiene.
⎡1
⎢
T = ⎢0
⎢
⎢0
⎣
0
1
0
0⎤
L⎥
− ⎥
2⎥
1⎥⎦
Figura 5.7 Deformadas elementales
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡
⎢1
0
⎢
M ∗ = ⎢0
1
⎢
L
⎢0 −
2
⎣
⎤
0⎥
⎥
0⎥
⎥
1⎥
⎦
⎡
⎢m
⎢
⎢0
⎢
⎢
⎢0
⎢⎣
0
m
mL
2
⎤
0 ⎥
⎥
mL ⎥
2 ⎥
⎥
mL2 ⎥
3 ⎥⎦
⎡1
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎣
⎡
0⎤ ⎢
m
L ⎥⎥ ⎢
= ⎢0
1 −
2⎥ ⎢
0
1⎥⎦ ⎢0
⎣
0
0
m
0
⎤
⎥
⎥
0 ⎥
mL2 ⎥⎥
12 ⎦
0
Dos objetivos se perseguían con la realización del ejercicio, el primero que el lector vea
que si considera el sistema de coordenadas en el centro de masas, la matriz de masas
que se obtiene es simétrica y el segundo que la matriz de masas de una estructura no es
única, depende del sistema de coordenadas pero estas matrices se encuentran relacionadas
por medio de la matriz de paso T .
5.5
ANÁLISIS PLANO
Uno de los aspectos más complejos que se tiene al analizar una estructura, es definir
el modelo numérico de cálculo, el mismo que represente en forma sencilla y a la vez real el
comportamiento sísmico o dinámico, que tendrá la edificación. En el presente apartado se
presentan varios modelos para el análisis de pórticos planos.
5.5.1 Análisis con masas concentradas a nivel de piso
Como se indicó en el capítulo anterior, en pórticos planos se puede considerar, que
únicamente las vigas son axialmente rígidas y los restantes elementos son totalmente flexibles.
En consecuencia, se tiene un grado de libertad por piso, la componente de desplazamiento
horizontal y dos grados de libertad adicional en cada uno de los nudos que son la componente
de desplazamiento vertical y la rotación. Por otra parte, se considera que las masas son
puntuales y se encuentran concentradas a nivel de cada piso, teniendo cada una de ellas un
grado de libertad que es la componente de desplazamiento horizontal de piso.
Figura 5.8 Modelo de masas concentradas de un pórtico plano.
En la figura 5.8, a la izquierda se presenta un pórtico plano, que puede tener voladizos
y a derecha el modelo numérico para el análisis sísmico, en el cual se han concentrado la
masa a nivel de cada piso, de tal manera que m1 es la masa total del piso 1; m 2 es la masa
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
total del piso 2; etc. Normalmente se desprecia la inercia rotacional de las masas, de tal
manera que la energía cinética del sistema es igual a la energía cinética de traslación.
. 2
. 2
. 2
. 2⎫
1⎧
T = ⎨m1 q 1 + m2 q 2 + m3 q 3 + m4 q 4 ⎬
2⎩
⎭
De donde:
⎡m1
⎢
M=⎢
⎢
⎢
⎣
m2
m3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
m4 ⎦
En el modelo de masas puntuales, la matriz de masas es diagonal y los elementos
son las masas de cada piso, de tal manera que la forma general de M es la siguiente:
⎡m1
⎢
⎢
⎢
M=⎢
⎢
⎢
⎢
⎣⎢
m2
...
mi
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
mn ⎦⎥
( 5.6 )
Donde mi es la masa total del piso i; m n es la masa total del último piso. El modelo de
masas puntuales concentradas en cada piso sirve para:
•
Realizar el análisis sísmico ante la componente horizontal de movimiento del suelo.
Este modelo no permite considerar la componente vertical.
•
Para considerar la respuesta sísmica a nivel de piso. No permite encontrar la respuesta
a nivel de una viga específica o de una columna específica del piso. Si se desea
encontrar la respuesta en el tiempo en los elementos, se deben considerar todos los
grados de libertad como coordenadas principales. Es decir a más de los corrimientos
horizontales de piso se debe tomar en cuenta el desplazamiento vertical y rotación de
cada nudo del pórtico. Esto se ilustra en el pórtico de un piso y un vano de la figura 5.9.
En la figura 5.9, se ha considerado que la viga es axialmente rígida, de esa manera se
tiene un solo desplazamiento horizontal de piso. Si se va a realizar el análisis sísmico con
todos los grados de libertad, la matriz de masas será de cinco por cinco y tendrá valor
únicamente el elemento de la primera fila y primera columna, que vale m, los demás elementos
son cero
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 5.9 Modelo en el cual se consideran todos los grados de libertad.
.
El modelo de la figura 5.9 permite encontrar la variación de momentos, de cortantes, de
fuerza axial, en cada instante de tiempo. A cambio, la solución del problema de valores y
vectores propios, que se estudiará en capítulos posteriores, es un poco más complicada que el
caso en que no se tienen ceros en la diagonal de la matriz de masas.
5.5.2 Análisis con entrepisos flexibles
En el modelo con piso flexible se concentran las masas en cada una de las juntas como
se aprecia a la derecha de la figura 5.10. En la parte izquierda, se indican los grados de libertad
con los cuales se encontrará la matriz de la estructura. En el modelo se considera que todos
los elementos son totalmente flexibles.
Figura 5.10 Grados de libertad para análisis estático y dinámico .Modelo de masas puntuales en nudos.
Nótese, la forma de numerar las coordenadas, primero se notan las componentes de
desplazamiento horizontal y luego las componentes de desplazamiento vertical, finalmente las
rotaciones de los nudos. Se procede de esta manera ya que ahora las coordenadas principales
son los desplazamientos horizontales y verticales; las coordenadas secundarias son los giros,
En la parte central de la figura 5.10 se indican las coordenadas principales, en este caso la
matriz de masas es de 16 por 16.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para el modelo de masas puntuales en las juntas, la forma de la matriz de masas es la
siguiente:
⎡M H
M =⎢
⎣
•
⎤
M V ⎥⎦
MH
⎡m1
⎢
=M V = ⎢
⎢
⎢
⎣
m2
...
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
mn ⎦
( 5.7 )
EJEMPLO 3
Se desea encontrar la matriz de masas para la estructura de la figura 5.11,
T s2
.
concentrando las masas a nivel de cada uno de los nudos. La masa m1 = m 2 = 0.612
m
•
SOLUCIÓN
En la figura 5.11, a la derecha, se indica la geometría de la estructura, con las masas
concentradas a nivel de los nudos. También se indican todos los grados de libertad a la
izquierda y en la parte central se indican las coordenadas principales.
Figura 5.11 Modelo de cálculo con piso flexible, grados de libertad para el análisis estático y dinámico.
⎡m1
⎢0
M =⎢
⎢0
⎢
⎣0
5.6
0
0
m2
0
0
m1
0
0
0⎤
⎡0.612
⎥
⎢ 0.0
0⎥
=⎢
⎢ 0.0
0⎥
⎥
⎢
m2 ⎦
⎣ 0.0
⎤
0.612 0.0
0.0 ⎥⎥
0.0
0.612 0.0 ⎥
⎥
0.0
0.0
0.612⎦
0.0
0.0
0.0
PÉNDULO INVERTIDO
Las estructuras en forma de péndulo invertido son aquellas que tienen una sola
columna y sobre ella se tiene una losa con o sin vigas. El modelo de análisis se indica en la
figura 5.12 a la izquierda se indica la geometría de la estructura y a la derecha los grados de
libertad que se consideran para el análisis sísmico. El modelo no considera deformación axial
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en la columna, para el ejemplo que se está presentando.
Figura 5.12 Modelo de cálculo de una estructura en forma de péndulo invertido.
En las estructuras en forma de péndulo invertido, la componente rotacional es
fundamental considerarla en el análisis, de tal manera que no se desprecia la inercia rotacional
J . La energía cinética vale:
T=
. 2⎫
1⎧ .2
+
m
q
J
q
⎨
1
2⎬
2⎩
⎭
De donde:
⎡m
M=⎢
⎣0
0⎤
J ⎥⎦
( 5.8 )
Siendo m la masa total del sistema y J el momento de inercia de la masa, que vale:
J=
5.7
(
m 2
a + h2
12
)
( 5.9 )
MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA
En este apartado se deduce la ecuación ( 5.9 ) con el propósito de conocer más sobre
el momento de inercia de la masa J . Para la deducción se considera un elemento diferencial
dm que se halla a una distancia r del eje de rotación, como se ilustra a la derecha de la figura
5.13. Por definición se tiene:
J = ∫ r 2 dm
m
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Figura 5.13 Cálculo del momento de inercia de la masa con respecto al eje Z.
Se considera que la densidad ρ es constante. Luego el diferencial de masa es igual al
producto de la densidad por el diferencial de volumen.
dm = ρ dV = ρ dx dy dz
Por otra parte:
r2 = X 2 +Y 2
Luego:
(
)
J = ∫∫∫ X 2 + Y 2 ρ dx dy dz
En la figura 5.13, a la izquierda, se observa que la profundidad es constante y vale b .
De igual forma al ser la densidad constante, sale de la integral con lo que se halla:
J =bρ
∫∫ (X
2
)
+ Y 2 dx dy
Al integrar únicamente en el cuadrante superior, los resultados se multiplican por 4 y se
encuentra:
J =4b ρ
∫ ∫ (X
)
h/2 a/2
0
2
+ Y 2 dx dy
0
Luego, de efectuar las integrales indicadas y al reemplazar límites, se llega a:
⎡a2 + h2 ⎤
J =ρbah⎢
⎥
⎣ 12 ⎦
Pero el producto
ρbah
es la masa del sistema m , con lo que:
J=
[
m 2
a + h2
12
]
Que era lo que se quería demostrar. Se destaca que la ecuación ( 5.3 ) es un caso
particular, para h = 0 .
Roberto Aguiar Falconí
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Se ha calculado el momento de inercia de la masa con respecto al eje Z de la figura
(5.13 ). Existen dos momentos de inercia más, con respecto a los ejes X e Y, se deja al lector la
deducción de las respectivas ecuaciones que son similares a la encontrada.
5.8
INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA
Por considerarlo de interés y sobre todo para reafirmar la forma de cálculo de la
energía cinética; se presenta un modelo sencillo de interacción suelo estructura, para el
péndulo invertido que se ha venido analizando. En la figura 5.14 se indica dicho modelo en el
que se consideran cuatro grados de libertad, los dos primeros son los que se tenían
anteriormente y los grados de libertad 3 y 4 corresponden al desplazamiento de la cimentación
y a la rotación de la cimentación.
En la figura 5.14, a la izquierda se tiene el modelo de cálculo en el cual la masa de la
cimentación tiene un valor mo y la masa de la cubierta tiene un valor m .
Como hipótesis se considera que la cimentación se mueve como cuerpo rígido, de tal
manera que cuando la cimentación se desplaza q3 , toda la estructura se desplaza q3 y
cuando la cimentación rota q 4 , la masa superior se desplaza una cantidad igual a L q 4 , esta
cantidad es negativa ya que se desplaza hacia la izquierda. Con estas indicaciones en la figura
5.15 se indica el diagrama de velocidades.
Figura 5.14 Modelo de interacción suelo estructura considerado.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 5.15 Diagrama de distribución de velocidades.
2
T=
2
. 2
. 2
.
.
.
1 ⎛.
1 ⎛.
1
1
⎞
⎞
m⎜ q 1 + q 3 − L q 4 ⎟ + J ⎜ q 2 + q 4 ⎟ + m0 q 3 + J c q 4
2 ⎝
2 ⎝
2
2
⎠
⎠
Donde J es el momento de inercia de la masa de cubierta y J c es el momento de
inercia de la masa de la cimentación. Al desarrollar la ecuación se tiene:
T=
2
. 2
. 2
. 2
. .
. .
.
.
.
. ⎫
1 ⎧⎪ .
⎪
2
⎨m q 1 + J q 2 + (m + m 0 ) q 3 + J + J c + mL q 4 + 2 m q 1 q 3 − 2mL q 1 q 4 − 2mL q 3 q 4 + 2 J q 2 q 4 ⎬
2 ⎪⎩
⎪⎭
(
)
Luego la matriz de masas resultante se indica a continuación. Se ha copiado la matriz
triangular inferior, por ser simétrica la matriz de masas.
⎡ m
⎢ 0
M=⎢
⎢ m
⎢
⎣⎢− mL
5.9
J
0
m + m0
J
− mL
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
mL2 + J + J c ⎦⎥
( 5.10 )
ANÁLISIS ESPACIAL
Se presenta el modelo en el cual la losa es totalmente rígida en el plano, de tal manera
que se tiene, en cada piso, tres grados de libertad por planta, que son la componente de
desplazamiento horizontal en sentido X, la componente de desplazamiento horizontal en
sentido Y, la rotación de piso con relación a un eje perpendicular a la losa.
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 5.16 Modelo de piso rígido para análisis sísmico espacial.
En la figura 5.16 se indica a la izquierda una estructura de dos pisos, cuyas
dimensiones en planta son a y b . La masa total del primer piso es m1 y la masa total del
segundo piso es m 2 . A la derecha de la figura 5.16 se indican los grados de libertad; primero
se han numerado las componentes de desplazamiento horizontal en sentido X, empezando
desde el primer piso, luego las componentes de desplazamiento horizontal en sentido Y,
finalmente las rotaciones o torsión de piso. La matriz de masas resultante es:
⎡m1
⎢
⎢
⎢
M=⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
m2
m1
m2
J1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
J 2 ⎥⎦
En general, para un edificio de n pisos, la matriz de masas es la siguiente:
⎡m
M = ⎢⎢
⎢⎣
m
⎤
⎥
⎥
J ⎥⎦
( 5.11 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡m1
⎢
m=⎢
⎢
⎢
⎣
⎡ J1
⎢
J=⎢
⎢
⎢
⎣
m2
L
J2
L
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
mn ⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
Jn ⎦
( 5.12 )
( 5.13 )
siendo m1 la masa total del piso 1; m 2 la masa total del piso 2, etc.; J 1 es el momento de
inercia de la masa m1 ; J 2 es el momento de inercia de la masa m 2 , etc. Para un piso i se
tiene que:
Ji =
(
mi 2
ai + bi2
12
)
donde a i , bi son las dimensiones de la losa en el piso i.
•
EJEMPLO 4
Calcular la matriz de masas de la casa de dos pisos que se indica en la figura 5.17, si
la carga muerta D = 500
kg
kg
y la carga viva L = 200 2 . Estas cargas son iguales en los
2
m
m
dos pisos.
Para el análisis se considera la carga muerta más un porcentaje de la carga viva.
Este porcentaje depende del uso de la edificación. Para viviendas este porcentaje es del 25%.
Este porcentaje considera la poca probabilidad que existe para que se registre un sismo con
toda la carga viva.
•
SOLUCIÓN
kg
∗ 16 m 2 = 8000 kg = 8.0 T
2
m
kg
PL = 200 2 ∗ 16 m 2 = 3200 kg = 3.2 T
m
PT = PD + 0.25 PL = 8 + 0.25 ∗ 3.2 = 8.8 T .
PD = 500
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 5.17 Descripción de la estructura cuya matriz de masas se calcula.
T s2
8.8
= 0.898
9.8
m
0.898
4.00 2 + 4.00 2 = 2.395 T m s 2
J1 = J 2 =
12
m1 = m2 =
(
⎡0.898
⎤
m=⎢
0.898⎥⎦
⎣
)
⎡2.395
⎤
J =⎢
2.395⎥⎦
⎣
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CAPÍTULO 6
MODOS DE VIBRACIÓN
RESUMEN
Se presenta la solución del problema de vibraciones libres, sin considerar el
amortiguamiento del sistema, el mismo que conduce a la obtención de los valores y vectores
propios de una estructura. Con los valores propios se hallan las frecuencias y períodos de
vibración y los vectores propios son los modos de vibración. Posteriormente se indica el
1/ 2
algoritmo de M
con el cual se obtienen los períodos y modos de vibración en las
estructuras. Además se presenta un programa en MATLAB para este algoritmo.
Un método clásico para encontrar los valores y vectores propios, es el Método de
Jacobi, razón por la cual se estudia con bastante detenimiento, este método.
Finalmente, un tema muy importante, en la dinámica de estructuras, es el relacionado
con los Modos Ritz, que permite encontrar los modos de vibración con todos los grados de
libertad. Con este tema se cierra el capítulo.
6.1
VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO
La forma general del sistema de ecuaciones diferenciales, para el análisis dinámico, en
un sistema de múltiples grados de libertad, es:
..
.
M q +C q + K q =Q
Donde
( 6.1 )
M , C , K son las matrices de masas, amortiguamiento y rigidez; Q es el
.
..
q, q, q son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración,
respectivamente. Para el caso de vibración libre sin amortiguamiento se tiene que C = 0 y
vector de cargas,
Roberto Aguiar Falconí
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Q = 0 . Luego, el sistema de ecuaciones que se resuelve en este apartado es:
..
M q + K q=0
( 6.2 )
Se plantea la solución de ( 6.2) de la siguiente manera:
q (t ) = φ f (t )
Donde
φ
( 6.3 )
es un vector que no depende del tiempo y que contiene los vectores propios
y f (t ) es una función del tiempo. La primera y segunda derivada, con respecto al tiempo de
q , son:
.
.
..
q (t ) = φ f (t )
.
..
q(t ) = φ f (t )
..
Al reemplazar q (t ), q (t ) y q (t ) en la ecuación ( 6.2 ) se tiene:
..
M φ f (t ) + K φ f (t ) = 0
De donde:
..
⎛
⎞
f (t ) ⎟
⎜
⎜⎜ K + f (t ) M ⎟⎟ φ = 0
⎝
⎠
Se denomina:
..
f (t )
= −λ
f (t )
⇒
..
f (t ) + λ f (t ) = 0
( 6.4 )
Luego se tiene:
(K − λ M ) φ = 0
( 6.5 )
En resumen, el problema de vibración libre, definido en la ecuación ( 6.2 ) se ha
descompuesto en dos problemas, que son:
_
(K − λ M ) φ = 0
..
f (t ) + λ f (t ) = 0
6.1.1 Valores Propios
La ecuación (6.5), representa el problema de valores y vectores propios, donde λ es el
valor propio y φ es el vector propio. Una vez calculado λ se obtiene de la ecuación ( 6.4 ) el
valor de
f (t ) .
La ecuación ( 6.5 ) tiene soluciones
de la matriz de coeficientes es nulo.
φ
distintas de cero, solamente si el determinante
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det
K −λ M =0
( 6.6 )
Al resolver la ecuación ( 6.6 ) se obtiene un polinomio característico; si se tiene una
matriz de rigidez y de masas de orden n × n, este polinomio será de orden n.
M
De la solución de este polinomio se encuentran n raíces de λ . Si las matrices
son reales, simétricas y definidas positivas; los valores de λ son reales y positivos.
•
K y
EJEMPLO 1
Encontrar los valores propios de una estructura, cuyas matrices de rigidez y de masas,
son las siguientes:
⎡12352.0
K =⎢
⎣− 3983.0
•
− 3983.0⎤
2100.8 ⎥⎦
⎡2.02
M =⎢
⎣0.00
0.00⎤
0.97⎥⎦
SOLUCIÓN
K − λM = 0
⎡ 12352 .0 − 3983 .0⎤
⎡ 2.02 0.0 ⎤
−λ ⋅⎢
K − λM = ⎢
⎥
⎥
⎣− 3983 .0 2100 .8 ⎦
⎣ 0.0 0.97 ⎦
⎡12352 .0 − 2.02λ
K − λM = ⎢
− 3983 .0
⎣
− 3983 .0 ⎤
2100 .8 − 0.97 λ ⎥⎦
[
]
K − λM = [(12352 .0 − 2.02λ ) ∗ (2100 .8 − 0.97 λ )] − (− 3983 .0 ) = 0
2
∴ P (λ ) = 1.9594 λ 2 − 16225 .056 λ + 10084792 .6 = 0
λ1 = 676 .888
λ 2 = 7603 .737
Cuando se resuelva el polinomio característico P (λ ) , siempre se notarán las raíces
de menor a mayor.
λ1 ≤ λ 2 ≤ λ3 ......... ≤ λ n
6.1.2
Propiedades dinámicas
Una vez que se ha resuelto el problema de valores propios, y se ha obtenido las raíces
del polinomio característico, se pasa a calcular las frecuencias de vibración Wni usando la
ecuación ( 6.7 ). El subíndice i representa el modo i.
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CEINCI-ESPE
Wni = λi
( 6.7 )
Ti =
2π
Wni
( 6.8 )
Con cada una de las frecuencias de vibración, se obtienen los períodos de vibración,
Ti con la ecuación ( 6.8 ). Para el ejercicio 1, se tiene:
Wn 1 = λ1 = 676.888 = 26.017
Wn 2 = λ 2 = 7603.737 = 87.1994
6.1.3
T1 =
2π
2π
=
= 0.242 s.
Wn1 26.017
T2 =
2π
2π
=
= 0.072 s.
Wn 2 87.1994
Modos de vibración
Cada uno de los valores propios, está asociado a un modo de vibración. Estos modos
de vibración indican la forma como va a responder la estructura y son adimensionales.
Se obtienen los modos de vibración, reemplazando los valores propios obtenidos en la
ecuación ( 6.5 ). Este procedimiento se apreciara mejor a medida que sigamos resolviendo el
ejercicio.
•
EJEMPLO 2
Hallar los modos de vibración del ejemplo 1.
•
SOLUCIÓN
o
Cálculo del primer modo de vibración
φ (1) .
[K − λ1 ⋅ M ]⋅ φ (1) = 0
Sea
φ ( 1)
de la forma:
⎡a ⎤
φ (1 ) = ⎢ ⎥
⎣b ⎦
Al reemplazar valores se tiene:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡ 12352.0 − 3983.0⎤
⎡2.02 0.0 ⎤
− (676.888) ⋅ ⎢
K − λ1 ⋅ M = ⎢
⎥
⎥
⎣− 3983.0 2100.8 ⎦
⎣ 0.0 0.97 ⎦
0.0 ⎤
⎡ 12352.0 − 3983.0⎤ ⎡1367.314
=⎢
−⎢
⎥
656.581⎥⎦
⎣− 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0
⎡10984.686 − 3983.0 ⎤
=⎢
⎥
⎣ − 3983.0 1444.219⎦
[K − λ1 ⋅ M ]⋅ φ (1) = 0
⎡10984 .686 − 3983 .0 ⎤ ⎡ a ⎤ ⎡0 ⎤
⎢ − 3983 .0 1444 .219 ⎥ ⋅ ⎢b ⎥ = ⎢0 ⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
De donde
10984 .686 ⋅ a − 3983 .0 ⋅ b = 0
− 3983 .0 ⋅ a + 1444 .219 ⋅ b = 0
Aparentemente se tienen dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero eso no es cierto, ya
que si a la segunda ecuación se multiplica por –2.7579, se obtiene la primera ecuación y es
una de las características de los vectores propios. Siempre hay una ecuación menos.
De tal manera que el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, eso significa
que hay una gran cantidad de vectores propios. Por ejemplo, si a = 1 y se reemplaza en la
primera ecuación, se obtiene b = 2.758, pero si b = 1 se obtiene que a = 0.363, es decir que
tendríamos:
⎡ 1 ⎤
⎡0.363⎤
φ (1) = ⎢
⎥
⎣2.758⎦
φ (1) = ⎢
⎥
⎣ 1 ⎦
L
Al existir un infinito número de vectores propios, se habla de vectores propios
normalizados. La forma más común de normalizar los modos es:
φ (i ) t
M
φ (i ) = ℜ
( 6.9 )
Donde ℜ es una constante de normalización que puede tener cualquier valor. Algunos
consideran el valor del promedio de las masas, otros lo normalizan de tal forma de ℜ sea la
unidad
Por didáctica se va a llamar X el vector propio sin normalizar, como los que se han
obtenido en los ejemplos realizados y φ al vector propio normalizado. Para el modo de
vibración i, se tendrá:
φ (i ) = α (i ) X (i )
Al sustituir ( 6.10 ) en ( 6.9 ) y luego de despejar
( 6.10 )
α (i )
se tiene:
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α (i ) =
•
X
(i ) t
ℜ
M
X (i )
( 6.11 )
EJEMPLO 3
Normalizar los modos de vibración del ejercicio 1, que se ha venido resolviendo en el
presente apartado, si la constante de normalización es la unidad, ℜ = 1 .
•
SOLUCIÓN
Al reemplazar valores en ( 6.11 ) se obtiene
propio normalizado vale:
α (1) = 0.326 . Por lo tanto el primer vector
⎡1.000 ⎤ ⎡0.326⎤
⎥=⎢
⎥
⎣2.758⎦ ⎣0.899⎦
φ (1) = α (1) X (1) = 0.326 ⎢
o Cálculo del segundo modo de vibración
X ( 2)
⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤
⎡2.02 0.0 ⎤
− (7603.737 ) ⋅ ⎢
K − λ2 ⋅ M = ⎢
⎥
⎥
⎣ − 3983.0 2100.8 ⎦
⎣ 0.0 0.97 ⎦
0.0 ⎤
⎡ 12352 .0 − 3983.0⎤ ⎡15359 .549
=⎢
−⎢
⎥
7375.625⎥⎦
⎣− 3983.0 2100.8 ⎦ ⎣ 0.0
⎡− 3007.549 − 3983.0 ⎤
=⎢
⎥
⎣ − 3983.0 − 5274.825⎦
[K − λ 2
Sea X
( 2)
−
M ] X ( 2) = 0
−
⎡a ⎤
= ⎢ ⎥ al reemplazar en [K − λ 2 M ] X ( 2) = 0 se tiene:
⎣b ⎦
⎡− 3007.549 − 3983.0 ⎤ ⎡a ⎤ ⎡0⎤
⎢ − 3983.0 − 5274.825⎥ ⋅ ⎢b ⎥ = ⎢0⎥
⎣
⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
De donde el sistema de ecuaciones resulta:
− 3007.549 a − 3983.0 b = 0
− 3983.0 a − 5274.825 b = 0
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al igual que antes, solo se tiene una ecuación con dos incógnitas, así que se impone
un valor para cualquiera de las variables. Si a = 1, se tiene que:
⎡1.000 ⎤
X ( 2) = ⎢
⎥
⎣− 0.755⎦
( 2)
A partir de X
se encuentra por un procedimiento similar al anterior el vector propio
normalizado a la unidad. Encontrando:
⎡ − 0.623⎤
φ ( 2) = ⎢
⎥
⎣ 0.471 ⎦
Estos dos modos de vibración encontrados, indican como se comportará una estructura
bajo la acción de un sismo o de una excitación dinámica. En la figura 6.1 se grafican estos
modos para el caso de un pórtico plano de dos pisos en el que se han concentrado las masas a
nivel de piso.
Figura 6.1 Modos de vibración de una estructura de dos pisos.
6.2 ALGORITMO DE M
1
2
En el apartado anterior se presentó el cálculo de las propiedades dinámicas y de los
modos de vibración de una estructura desde un punto de vista conceptual. Ahora bien en la
práctica se calculan los valores y vectores propios de una matriz utilizando algún método, uno
de los más utilizados es el de Jacobi que encuentra todos los valores y vectores propios de una
matriz simétrica.
Se tiene que definir por lo tanto esa matriz, a partir de las matrices de rigidez K y de
masas M . Para el efecto, una alternativa es utilizar el algoritmo que en este apartado se
indica. La ecuación ( 6.5 ) puede escribirse de la siguiente manera:
( 6.12 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Kφ =λ Mφ
Sea
φ=M
−
1
2
φo
( 6.13 )
Al reemplazar ( 6.13 ) en ( 6.12 ) se tiene:
K M
−
1
2
φo = λ M M
−
1
2
φo
Por otro lado se tiene que:
M=M
1
2
M
1
2
Al reemplazar en la última ecuación se encuentra:
K M
−
1
2
Al multiplicar por la izquierda, por M
M
−
1
2
1
φo = λ M 2φo
−
1
2
K M
se obtiene:
−
1
2
φo = λ φo
( 6.14 )
Se denomina
Ko = M
−
1
2
K M
−
1
2
( 6.15 )
De donde, la ecuación ( 6.14 ) se transforma en:
K o φo = λ φo
( 6.16 )
El procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una
estructura aplicando el algoritmo de M
1
2
es el siguiente:
1
1. Se encuentra la matriz M 2 . Normalmente la matriz de masas es diagonal de
1
tal manera que M 2 se encuentra sacando la raíz cuadrada de los elementos
de la diagonal.
−
1
2. Se determina M 2 . Para el caso de matrices diagonales no es más que la
inversa de los elementos de la diagonal.
3. Se determina K o .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
4. Se aplica cualquier Método de cálculo de valores y vectores propios en K o .
5. Finalmente se hallan los vectores propios
φ=M
−
1
2
φo
El programa MODOSPLANO escrito en MATLAB determina los períodos y modos de
1
2
vibración de pórticos planos, utilizando el algoritmo de M . Previamente el usuario habrá
obtenido con otro programa la matriz de rigidez lateral o carga esta matriz. La forma de uso, es:
[Modos]=modosplano (K)
•
•
K es la matriz de rigidez lateral del pórtico.
Modos son los modos de vibración del pórtico.
function [Modos]=modosplano(K)
%
% Calculo de modos de vibracion de porticos planos.
% Empleando algoritmo de M elevado a la 1/2.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
% ----------------------------------------------------------------% [Modos]=modosplano(K)
% ----------------------------------------------------------------% K Matriz de rigidez lateral del portico plano
% M Matriz de masas, se programa como vector ya que es diagonal
% NP Numero de pisos.
%
Por pantalla se indicara las masas de cada piso.
%
Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral
%
con otro programa.
% T Periodos de vibracion.
%
NP = input (' \n Numero de pisos ');
for i=1:NP
fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i);
M(i) = input (', Valor de la masa: ');
end
M12=sqrt(M);
for i=1:NP
M12(i)=1.0/M12(i);
end
MINV=zeros(NP,NP); MINV=diag(M12); Ko=MINV*K*MINV;
[V,D]=eig(Ko); Modos=MINV*V; Wn=sqrt(D); T=diag(Wn);
for i=1:NP
T(i)=2*pi/T(i);
end
fprintf ('\n Periodos de vibracion ')
T
fprintf ('\n Modos de vibracion ')
Modos;
% ---fin
•
EJEMPLO 4
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Encontrar los períodos y modos de vibración de la estructura de la figura 6.2. Si
E = 1738965.21 T / m 2 . La carga es uniforme distribuida en cada piso y tiene una magnitud
1
2
de 2.0 T/m., aplicando el algoritmo de M .
Figura 6.2 Pórtico y modelo con masas puntuales.
•
SOLUCIÓN
Al multiplicar la carga uniforme repartida por la longitud total de 8 m., y al dividir por el
valor de la gravedad, se encuentra la masa concentrada en cada piso, que vale 1.633 Ts2/m.
La matriz de rigidez y la matriz de masas para el cálculo del problema de valores y
vectores propios, son:
⎡ 2761.1
K = ⎢⎢− 1538.1
⎢⎣ 285.7
M
1/ 2
⎡1.278
= ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
− 1538.1
285.7 ⎤
− 1080.6⎥⎥
836.9 ⎥⎦
2278.0
− 1080.6
0
1.278
0
⎤
0 ⎥⎥
1.278⎥⎦
0
De donde, la matriz K o resulta:
M
−1 / 2
⎡1.633
M = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0 ⎤
1.633
0 ⎥⎥
0
1.633⎥⎦
⎡0.783
= ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0
0
0.783
0
⎤
0 ⎥⎥
0.783⎥⎦
0
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
− 941.86
⎡1690.81
K o = ⎢⎢− 941.86
⎢⎣ 174.95
1395.00
− 661.73
174.95 ⎤
− 661.73 ⎥⎥
512.46⎥⎦
Los períodos de vibración resultan:
T1 = 0.6921 s.
T2 = 0.2135 s.
T3 = 0.1221 s.
Los modos de vibración, son:
φ
(1)
⎡0.1963⎤
= ⎢⎢0.4486⎥⎥
⎢⎣0.6104⎥⎦
φ
( 2)
⎡0.5232 ⎤
= ⎢⎢0.3757 ⎥⎥
⎢⎣− 0.4444⎥⎦
φ
( 3)
⎡0.5478 ⎤
= ⎢⎢− 0.5196⎥⎥
⎢⎣0.2057 ⎥⎦
Figura 6.3 Modos de vibración
En la figura 6.3, se indican los respectivos modos de vibración. Nótese que el primer
modo no tiene punto de inflexión. El segundo modo tiene un punto de inflexión y el tercer modo
tiene dos puntos de inflexión.
El cálculo de los valores y vectores propios, en la matriz K o se hallaron aplicando el
Método de Jacobi que se indica en el siguiente apartado.
Si se desea encontrar los períodos de vibración con el programa MODOSPLANO se
debe proceder de la siguiente manera:
>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1
>> [Modos] = modos plano(K)
2278.0
-1080.6; 285.7
-1080.6
836.9]
Numero de pisos
3
Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 1.633
Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 1.633
Indique la masa del piso, 3, Valor de la masa: 1.633
Luego el programa reporta los períodos y modos indicados en el ejemplo. Con la
salvedad que está cambiado de signo los valores del tercer modo pero esto no tiene
trascendencia ya que los modos son una base.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
MATLAB presenta otra opción para calcular directamente los valores y vectores
propios directamente, por consola, utilizando el comando eig pero de forma diferente a la que
está en el programa modosplano.
•
EJEMPLO 5
Determinar, por consola, los valores y vectores propios del ejemplo 4.
•
SOLUCIÓN
>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7
>> M=[1.633 0 0; 0 1.633 0; 0 0 1.633];
>> [V,D] = eig (K,M)
-1080.6
836.9];
En V se encuentran los modos de vibración o vectores propios y en D los valores
propios.
6.3 MÉTODO DE JACOBI
Un método clásico para encontrar los valores y vectores propios de una matriz
simétrica es el Método de Jacobi. Los teoremas fundamentales en que se basa el método son:
™ Teorema 1. Dos matrices A y B se dicen que son semejantes si existe una
matriz que admite inversa P, tal que:
B = P −1 A P
( 6.17 )
™ Teorema 2. Si A y B son dos matrices semejantes, entonces tienen los mismos
valores propios.
™ Teorema 3. Si una matriz es diagonal. Entonces los valores propios son los
elementos de la diagonal.
™ Teorema 4. Toda matriz simétrica es diagonalizable en una base de vectores
propios.
™ Definición de Matriz Ortogonal. Una matriz H se dice que es ortogonal, si:
H Ht = I
→ H −1 = H t
( 6.18 )
La idea básica del Método de Jacobi es construir una serie de matrices que son
semejantes a la original, para lo cual se emplea una matriz de paso P que es ortogonal. Las
matrices semejantes que se van obteniendo tienden a ser diagonales. El procedimiento es
iterativo y termina estrictamente cuando se llega a una matriz diagonal.
El procedimiento termina cuando en la última matriz encontrada, la suma de los
elementos fuera de la diagonal en valor absoluto es menor a una tolerancia prefijada. La matriz
final es semejante a la matriz original y además se considera diagonal. Por lo tanto los valores
propios son las cantidades de la diagonal.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Existe las siguientes posibilidades para hacer cero a los elementos fuera de la
diagonal: i) Hacer ceros por filas, ii) Hacer ceros por columnas, iii) Hacer cero al mayor
elemento fuera de la diagonal en valor absoluto, iv) Una combinación de los casos anotados.
6.3.1
Desarrollo del Método
Sea a p ,q el elemento de la fila p y columna q, de una matriz A, que se desea hacer
cero, p ≠ q , el elemento se encuentra en la matriz triangular inferior en el ciclo k. La matriz P,
con la cual se construirá la matriz semejante y con la cual se logrará el objetivo propuesto tiene
la siguiente forma:
⎡
⎢
⎢
AK = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
a p ,q
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎡1
⎢
⎢
P=⎢
⎢
⎢
⎢⎣
P →
Ak +1
Cosθ
⎡
⎢
⎢
=⎢
⎢
⎢
⎢⎣
Senθ
1
− Senθ
Cosθ
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
1⎥⎦
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
( 6.19 )
En la ecuación ( 6.19 ) se han indicado los elementos no nulos de la matriz P. En
general ésta matriz se determina de la siguiente manera.
i.
ii.
En la diagonal principal todos los elementos son 1 a excepción de dos términos
que valen Cos θ . Estos términos corresponden a los ubicados en la fila p y
columna p; y al ubicado en la fila q y columna q.
El elemento a p ,q de la matriz triangular inferior tiene por valor − Senθ , su
simétrico vale Senθ
La matriz P, indicada en la ecuación ( 6.19 ) es ortogonal. En consecuencia se cumple
que la inversa de la matriz P no es más que la transpuesta. A esta matriz se la conoce también
con el nombre de matriz de rotación.
La base del método consiste en evaluar
θ
de tal manera que el elemento a p ,q
correspondiente a la matriz Ak +1 sea nulo. El valor de
θ
se obtiene a partir de la siguiente
ecuación:
tg 2θ =
6.3.2
Procedimiento de cálculo
2 a p ,q
a p , p − a q ,q
( 6.20 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El procedimiento de cálculo para encontrar los valores y vectores propios de una matriz
A simétrica es como sigue:
i.
Se construye la matriz A1 semejante a la matriz A
A1 = P1−1 A P1
−1
pero P1
= P1t . Luego:
A1 = P1t A P1
ii.
Se obtiene la matriz A2 semejante a A1 , etc.…
A2 = P2t A1 P2
A3 = P3t A2 P3
A4 = P4t A3 P4
........................
Ak +1 = Pkt+1 Ak Pk +1
Se puede decir que Ak +1 = Dk +1 + E k +1 . Donde Dk +1 es una matriz diagonal y E k +1
lo que está fuera de la diagonal. Entonces.
lim k →∞
lim k →∞
⎡λ1
⎢
⎢
Dk +1 = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
E k +1 = 0
Por el teorema 2, los valores propios
λ2
...
....
λ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
λ n ⎥⎦
de A son los valores propios de Ak +1 . Por otra
∑a
< ε . La sumatoria en valor absoluto de
los elementos fuera de la diagonal es menor que una cantidad muy pequeña ε .
parte el test de parada deberá verificar que
6.3.3
k +1
i, j
Cálculo de los Vectores Propios
Al desarrollar el procedimiento indicado en el apartado anterior, se tiene:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
A1 = P1t A P1
A2 = P2t A1 P2 = P2t P1t A P1 P2
A3 = P3t P2t P1t A P1 P2 P3
A4 = P4t P3t P2t P1t A P1 P2 P3 P4
...
........
Ak +1 = Pkt+1 Pkt Pkt−1 .......P4t P3t P2t P1t A P1 P2 P3 P4 .......Pk −1 Pk Pk +1
( 6.21 )
t
El producto de las matrices P transpuesta de ( 6.21 ) converge a P y el producto de
las matrices P de ( 6.21 ) converge a P, que es matriz ortogonal. Luego se tiene que:
Ak +1 = P t A P
( 6.22 )
Por lo tanto por el teorema 4, las columnas de la matriz P de ( 6.22 ) son los vectores
propios de A.
Como se indicó el método de Jacobí se aplica en la matriz K o
6.4 MODOS RITZ
En el apartado 6.2 de este capítulo, se obtuvo los modos de vibración de un pórtico
plano, considerando que los elementos horizontales son axialmente rígidos de tal manera que
existe un grado de libertad horizontal por piso y un corrimiento vertical y rotación en cada uno
de los nudos. El cálculo se realizó con la matriz de rigidez lateral que es aquella matriz que
está asociada a los desplazamientos laterales de piso.
Al proceder de esta manera en el análisis dinámico, únicamente se obtienen los
desplazamientos horizontales de cada piso, no es factible conocer los desplazamientos
verticales y giros de cada uno de los nudos. De igual manera los modos de vibración que se
obtienen están relacionados exclusivamente con los desplazamientos horizontales.
Si se desea conocer los modos de vibración, asociados a todos los grados de libertad,
se debe trabajar con toda la matriz de rigidez pero normalmente la matriz de masa solo tiene
cantidades diferentes de cero en las coordenadas laterales de piso de tal manera que trabajar
con toda la matriz de rigidez y con toda la matriz de masa para hallar los valores y vectores
propios demandaría demasiadas operaciones y algo muy importante que no todos los
algoritmos de cálculo podrían resolver el problema de valores y vectores propios.
•
EJEMPLO 6
En la figura 6.4 se indica un pórtico de un piso y un vano, en el cual se han numerado
sus grados de libertad considerando que la viga es axialmente rígida. La matriz de rigidez es de
5 X 5 y la matriz de masas es también de 5 X 5 pero únicamente el término (5,5) tiene una
cantidad diferente de cero. Se desea calcular los valores y vectores propios de la estructura, si
las matrices de rigidez y de masas, son:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡80754.85
⎢
⎢
K=⎢
⎢
⎢
⎢⎣
658.64
4497.40
− 392.32
− 658.64
80754.85
658.64
934.17
− 658.64
4497.40
0.00 ⎤
1655.72 ⎥⎥
0.00 ⎥
⎥
1655.72 ⎥
2499.20⎥⎦
⎡0.00⎤
⎢0.00⎥
⎥
⎢
M = ⎢0.00⎥
⎢
⎥
⎢0.00⎥
⎢⎣0.45⎥⎦
Se ha escrito la matriz triangular superior de K ya que la matriz es simétrica y los
elementos de la diagonal de la matriz de masas.
•
SOLUCIÓN
El problema de valores y vectores propios está definido por la siguiente ecuación:
(K − λ
M )φ = 0
( 6.23 )
Donde λ es el vector que contiene los valores propios y φ la matriz que contiene los
vectores propios. K es la matriz de rigidez y M es la matriz de masa. Debido a que la matriz M
contiene ceros en la diagonal es factible aplicar la condensación estática para lo cual la
ecuación ( 6.23 ) puede escribirse de la forma
⎡ K AA
⎢K
⎣ BA
K AB ⎤ ⎡φ A ⎤
=λ
K BB ⎥⎦ ⎢⎣φ B ⎥⎦
⎡0
⎢0
⎣
0 ⎤
M B ⎥⎦
⎡φ A ⎤
⎢φ ⎥
⎣ B⎦
( 6.24 )
Al trabajar con las submatrices indicadas se obtiene:
K AA φ A + K AB φ B = 0
−1
⇒ φ A = − K AA
K AB φ B
K BA φ A + K BB φ B = λ M B φ B
Figura 6.4 Estructura de análisis para ilustrar los modos Ritz.
( 6.25 )
( 6.26 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
De la ecuación ( 6.25 ) se obtiene:
φ A = T φB
( 6.27 )
Siendo:
( 6.28 )
−1
T = − K AA
K AB
Al reemplazar ( 6.27 ) en ( 6.26 ) se encuentra:
∗
K BB
φB = λ M B φB
( 6.29 )
Donde:
∗
K BB
= K BB + K BA T
( 6.30 )
La ecuación ( 6.29 ) es similar a la ecuación ( 6.23 ). Por lo tanto, se debe hallar la
submatriz K BB y luego hallar los valores y vectores propios.
Para el ejemplo que se está analizando las submatrices son:
K AA
⎡80754.85
⎢ 658.64
=⎢
⎢ − 392.32
⎢
⎣ 658.64
658.64
4497.40
− 392.32
− 658.64
− 658.64
934.17
80754.85
− 658.64
658.64 ⎤
934.17 ⎥⎥
− 658.64 ⎥
⎥
4497.40⎦
K AB
⎡0.0
⎤
⎢1655.72⎥
⎥
=⎢
⎢0.0
⎥
⎢
⎥
⎣1655.72⎦
K BB = [2499.20]
t
K BA = K AB
Al reemplazar los valores en ( 6.28 ) se obtiene la matriz T, y al reemplazar en ( 6.30 )
∗
se halla K BB . Estas matrices resultan:
⎡0.00497 ⎤
⎢ − 0.30604⎥
⎥
T=⎢
⎢ − 0.00497⎥
⎢
⎥
⎣ − 0.30604⎦
∗
= [1485.77511]
K BB
Al reemplazar en ( 6.29 ) se tiene:
(K
∗
K BB
φB = λ M B φB
Por definición de vectores propios
∗
K BB
− λ MB = 0
φB
∗
BB
− λ M B )φ B = 0
tiene que ser diferente de cero. Luego:
→ 1485.77511 − λ ∗ 0.45 = 0
λ = 3301.72248
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
∗
K BB
hubiese sido de orden 2x2 o de mayor orden el determinante de
∗
K BB − λ M B debe igualarse a cero. Finalmente al reemplazar el valor de λ en ( 6.29 ) se
t
halla φ B . En este caso φ B puede ser cualquier valor pero para que cumpla φ B M B φ B = 1 El
valor de φ B = 1.49071 .
Si
Al reemplazar
T y φ B en ( 6.27 ) se halla φ A
⎡0.00741 ⎤
⎢ − 0.45621⎥
⎥
φA = ⎢
⎢ − 0.00741⎥
⎥
⎢
⎣ − 0.45621⎦
De esta manera se ha encontrado el vector
φ
⎡0.00741 ⎤
⎢ − 0.45621⎥
⎥
φ
⎡ ⎤ ⎢
φ = ⎢ A ⎥ = ⎢ − 0.00741⎥
⎣φ B ⎦ ⎢ − 0.45621⎥
⎥
⎢
⎢⎣1.49071 ⎥⎦
De tal manera que es factible encontrar los modos de vibración con todos los grados de
libertad.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 7
MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO
RESUMEN
Se presentan dos formas de cálculo de la Matriz de Amortiguamiento, la primera del
tipo Rayleigh y la segunda mediante el algoritmo propuesto por Wilson y Penzien. Para esta
última forma de cálculo se ha elaborado un programa denominado AMORTIGUAMIENTO que
permite hallar la matriz de amortiguamiento para pórticos planos.
Posteriormente se presenta el desacoplamiento de las ecuaciones diferenciales, que
gobiernan los problemas dinámicos, en forma numérica y teórica.
Finalmente se resuelve el problema de Vibraciones Libres de Sistemas con
Amortiguamiento de múltiples grados de libertad, por el método del exponencial de la matriz,
también conocido como procedimiento de espacio de estado y se indica el programa
denominado VLIBREAMORTIGUADO que halla la respuesta en el tiempo de un pórtico plano
sometido a un ensayo de vibración libre, el programa gráfica la respuesta en desplazamientos
para el último piso del pórtico. Se demuestra, mediante un sistema de un grado de libertad, que
al considerar el amortiguamiento, los valores y vectores propios son números complejos. Se
indica la forma como se debe hallar la frecuencia natural de vibración a partir de los números
complejos y la forma de interpretar los modos de vibración con números complejos.
7.1
AMORTIGUAMIENTO TIPO RAYLEIGH
Cuando se encuentra la respuesta en el tiempo, por los métodos denominados paso a
paso, es necesario determinar la matriz de amortiguamiento C , ya sea para análisis lineal o no
lineal, tema que es abordado en el presente capítulo.
Normalmente se considera C , del tipo Rayleigh, como una combinación lineal de las
matrices de masa M y de rigidez K .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
C = a o M + a1 K
( 7.1 )
Donde a o y a1 , son dos constantes que se obtienen en base a los dos primeros
modos de vibración, utilizando la siguiente ecuación:
ξi =
Siendo
a1 W ni
ao
+
2 W ni
2
( 7.2 )
ξ i , factor de amortiguamiento del modo i, Wni , frecuencia natural del modo i.
El amortiguamiento tipo Rayleigh indicado es un caso particular del amortiguamiento
desarrollado por Caughey (1960), el mismo que viene expresado de la siguiente manera:
n −1
C = M ∑ a i ( M −1 K ) i
( 7.3 )
i =0
Donde n, es el número de modos que se consideran en el análisis. La ecuación (7.3)
permite calcular la matriz de amortiguamiento considerando un número n de modos de
vibración; si n = 2 se tiene el amortiguamiento tipo Rayleigh.
•
EJEMPLO 1
Encontrar la matriz de amortiguamiento tipo Rayleigh de una estructura cuyas matrices
de rigidez y de masas, son las siguientes:
⎡1545.747
K =⎢
⎣2318.620
Se considera que
•
2318.620⎤
4637.241⎥⎦
⎡0.709
M =⎢
⎣0.000
0.000⎤
1.299 ⎥⎦
ξ1 = ξ 2 = 0.05
SOLUCIÓN
De la solución del problema de valores y vectores propios, se halla:
Wn1 = 19.002
Al reemplazar
ξ1 = ξ 2 = 0.05
1
s
Wn 2 = 73.410
1
s
en la ecuación ( 7.2 ) se halla:
a0
a ∗ 19.002
+ 1
2 ∗ 19.002
2
a0
a ∗ 73.410
0.05 =
+ 1
2 ∗ 73.410
2
0.05 =
De donde:
a 0 = 1.509
a1 = 0.0011
Luego, la matriz de amortiguamiento, resulta:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
C = a 0 M + a1 K
⎡0.709
C = 1.509⎢
⎣0.00
7.2
0.00 ⎤
⎡1545.747
+ 0.0011⎢
⎥
1.299⎦
⎣2318.62
2318.62⎤ ⎡2.7702
=
4637.241⎥⎦ ⎢⎣2.5505
2.5505⎤
7.0612 ⎥⎦
ALGORITMO DE WILSON Y PENZIEN
La evaluación de la matriz de amortiguamiento tipo Caughey, considerando n modos de
vibración, tiene cierta dificultad, razón por la cual es conveniente utilizar el algoritmo
desarrollado por Wilson y Penzien (1972) para obtener la matriz C . Este algoritmo parte de la
matriz de amortiguamiento ortogonal C , definida de la siguiente manera:
Φ t C Φ = C ∗ = 2ξ Ω M ∗
( 7.4 )
Siendo Φ la matriz modal
[
Φ = φ1
φ2
φ3
...
⎡ξ1
⎢ ξ
2
⎢
...
ξ =⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
φn ]
...
...
ξn
⎡Wn1
⎢
Wn 2
⎢
Ω=⎢
...
⎢
...
⎢
⎢
Wnn
⎣
( 7.5 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
( 7.6 )
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
( 7.7 )
M ∗ = Φt M Φ
( 7.8 )
M ∗ , Ω , ξ son matrices diagonales. Por lo tanto la matriz C ∗ es diagonal.
Por otra parte, la matriz C puede escribirse de la siguiente manera:
Donde
C = (Φ t ) Φ t C Φ Φ −1
−1
( 7.9 )
Al reemplazar la ecuación (7.4) en (7.9), se obtiene:
( )
C = Φt
−1
C ∗ Φ −1
( 7.10 )
( )
Por otro lado, si en la ecuación (7.8) se premultiplica por M
(M )
∗ −1
De donde:
M ∗ = I = (M
)
∗ −1
Φt M Φ
∗ −1
, se obtiene:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
( )
−1
Φ −1 = M ∗
Φt M
( 7.11 )
De un modo similar a partir de la ecuación (7.8) se obtiene:
(Φ )
t −1
( )
= M Φ M∗
−1
( 7.12 )
Al reemplazar (7.12), (7.4) y (7.11) en la ecuación (7.10), se obtiene:
C = M Φ (M ∗ ) 2 ξ Ω Φ t M
−1
De donde se obtiene la matriz
( 7.13 )
C i , que define el amortiguamiento en cada modo de
vibración i.
Ci =
Siendo
φi ,
2 ξ i W ni
(M φ i ) (φ it M )
∗
Mi
( 7.14 )
el modo de vibración i. Finalmente la matriz de amortiguamiento C se
obtiene mediante el sumatorio indicado en la ecuación (7.15)
n
C = ∑Ci
( 7.15 )
i =1
•
EJEMPLO 2
Determinar la matriz de amortiguamiento, aplicando el algoritmo de Wilson y Penzien,
de una estructura cuyo valor de ξ1 = ξ 2 = 0.05 . Por otra parte, las matrices de rigidez y de
masas, son:
⎡348000
K =⎢
⎣− 125000
•
− 125000⎤
88000 ⎥⎦
0.0 ⎤
587.0⎥⎦
SOLUCIÓN
Los valores propios, son
λ1 = 61.9323
⎡0.01548⎤
φ1 = ⎢
⎥
⎣0.03747⎦
M 1∗ = φ1t M φ1 = 1.0
•
⎡734.0
M =⎢
⎣0.0
y
λ 2 = 562.0970 , y los vectores propios son:
⎡0.03351 ⎤
φ2 = ⎢
⎥
⎣− 0.01731⎦
M 2∗ = φ 2t M φ 2 = 1.0
Modo 1
W n1 = 61.9323 = 7.8697
2ξ 1W n1
M 1∗
=
2 ∗ 0.05 ∗ 7.8697
= 0.7870
1
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al aplicar la ecuación (7.14) se obtiene:
⎡101.6104
C1 = ⎢
⎣196.6778
•
196.6778⎤
380.6911⎥⎦
Modo 2
Wn 2 = 562.0970 = 23.7086
⎡1434.0948
C2 = ⎢
⎣− 592.5193
2ξ 2Wn 2 2 ∗ 0.05 ∗ 23.7086
=
= 2.3709
1
M 2∗
− 592.5193⎤
244.8089 ⎥⎦
Finalmente, al aplicar la ecuación (7.15), se obtiene:
⎡1535.7052
C=⎢
⎣− 395.8415
− 395.8415⎤
625.4999 ⎥⎦
Nótese en este ejemplo que la contribución del modo dos es más importante en valores
que la contribución del modo uno.
El programa denominado AMORTIGUAMIENTO obtiene la matriz de amortiguamiento
de una estructura utilizando el algoritmo de Wilson y Penzien. Para su uso en la modalidad
consola el usuario debe indicar la matriz de rigidez y el vector zeda que contiene los factores
de amortiguamiento ξ , tantos como el orden de la matriz de rigidez. La forma de uso, es:
>> [C]=amortiguamiento (K,zeda)
•
•
K
es la matriz de rigidez.
zeda vector que contiene los factores de amortiguamiento.
Posteriormente por pantalla se indican las masas de cada piso.
function [C]=amortiguamiento(K,zeda)
%
% Calculo de la matriz de amortiguamiento utilizando
% Algoritmo de Wilson y Penzien
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
% ----------------------------------------------------------------% [C]=amortiguamiento(K,zeda)
% ----------------------------------------------------------------% K Matriz de rigidez lateral del portico plano.
% M Matriz de masas.
% NP Numero de pisos.
%
Por pantalla se indicara las masas de cada piso.
%
Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral
%
con otro programa.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% T Periodos de vibracion.
% C Matriz de amortiguamiento.
% zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento.
%
NP = input (' \n Numero de pisos ');
M = zeros(NP,NP); C = zeros(NP,NP);
for i=1:NP
fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i);
M(i,i) = input (', Valor de la masa: ');
end
[V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);
for i=1:NP
fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
C=C+aux.*M*fi*fi'*M;
end
fprintf ('\n Matriz de amortiguamiento')
C
% ---fin
•
EJEMPLO 3
Ilustrar la forma de uso del programa amortiguamiento con los datos del ejemplo 2.
•
SOLUCIÓN
>> K = [348000 -125000; -125000
88000]
>> zeda =[0.05; 0.05]
>> [C] = amortiguamiento (K,zeda)
Número de pisos
2
Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 734
Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 587
•
REPORTE DE PROGRAMA
Matriz de amortiguamiento
C=
1.0 e+003 *
1.5357
-0.3958
-0.3958
0.6255
7.3
ECUACIONES DIFERENCIALES DESACOPLADAS
En el algoritmo de Wilson y Penzien, se empezó indicando que:
Φ t C Φ = C ∗ = 2ξ Ω M ∗
Para demostrar esta ecuación, es necesario explicar el desacoplamiento del sistema de
ecuaciones diferenciales. Para ello, se recurre al sistema de ecuaciones diferenciales que
gobiernan los problemas dinámicos. Esta es:
..
.
M q+C q+ K q=Q
( 7.16 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Donde
M , C , K son las matrices de masas, rigidez y amortiguamiento
.
..
respectivamente; Q es el vector de cargas generalizadas, q, q, q son los vectores de
desplazamiento, velocidad y aceleración.
El sistema de ecuaciones diferenciales ( 7.16 ) es acoplado, debido a que las matrices
de rigidez y de amortiguamiento no son diagonales ya que tienen elementos fuera de la
diagonal principal. Para desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales y tener las nuevas
matrices de masa, amortiguamiento y rigidez, diagonales, se plantea el siguiente cambio de
variable:
q=Φ X
( 7.17 )
Donde Φ es la matriz Modal cuyas columnas son los respectivos modos de vibración y
fue indicada en ( 7.5 ). En realidad Φ es una matriz de paso que permite pasar de las
coordenadas q a las coordenadas X. La ecuación ( 7.16 ) se transforma en:
..
.
M ∗ X + C ∗ X + K ∗ X = Q∗
( 7.18 )
M ∗ = Φt M Φ
( 7.19 )
C∗ = Φt C Φ
( 7.20 )
K ∗ =Φt K Φ
( 7.21 )
Q∗ = Φ t Q
( 7.22 )
Donde:
•
EJEMPLO 4
Antes de realizar la demostración de la ecuación ( 7.20 ) en forma analítica, se hace lo
mismo pero en forma numérica. Para el efecto se desea desacoplar las ecuaciones
diferenciales de la estructura de la figura 7.1, en la cual, a la izquierda se presenta un pórtico
con piso flexible y sus correspondientes grados de libertad; al centro se indican los grados de
libertad que permiten considerar la componente sísmica horizontal o vertical y a la derecha el
modelo de masas concentradas en los nudos.
Las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento, para los cuatro grados de libertad del
modelo indicado al centro de la figura 7.1, son:
⎡47816.896
⎢− 47149.665
K =⎢
⎢− 164.613
⎢
⎣ 164.613
− 47149.665
47816.896
− 164.613
164.613
− 164.613
− 164.613
75737.177
− 137.177
164.613 ⎤
164.613 ⎥⎥
− 137.177 ⎥
⎥
75737.177⎦
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 7.1 Estructura con piso flexible, modelos y grados de libertad.
⎡ m1
⎢0
M =⎢
⎢0
⎢
⎣0
⎡ 13.064
⎢− 11.045
C=⎢
⎢ − 0.043
⎢
⎣ 0.043
•
0
m2
0
0
0
m1
0
0
− 11.045
13.064
− 0.043
0.043
0⎤
⎡0.612
⎥
⎢0.0
0⎥
=⎢
⎢0.0
0⎥
⎥
⎢
m2 ⎦
⎣0.0
⎤
0.612 0.0
0.0 ⎥⎥
0.0
0.612 0.0 ⎥
⎥
0.0
0.0
0.612⎦
0.0
0.0
0.0
− 0.043
0.043 ⎤
− 0.043
0.043 ⎥⎥
21.529 − 0.019 ⎥
⎥
− 0.019
21.529⎦
SOLUCION
0.00396
⎡0.90388
⎢− 0.90388 0.00396
Φ=⎢
⎢ 0.00
− 0.90387
⎢
0.90387
⎣ 0.00
0.00
0.00
0.90388
0.90388
− 0.90387 ⎤
− 0.90387⎥⎥
− 0.00396⎥
⎥
0.00396 ⎦
La matriz de amortiguamiento C se halló mediante el algoritmo de Wilson y Penzien.
Se ha indicado también la matriz modal Φ que se obtiene de la solución del problema de
valores y vectores propios. La primera columna de Φ corresponde al primer modo, la segunda
al segundo modo, etc.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Por otra parte, luego del triple producto matricial indicado en las ecuaciones ( 7.19 ) a
(7.21) se encuentra:
⎡155170.00
⎢
∗
K =⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
1087.9⎦
123980
123530
⎡1
⎢
∗
M =⎢
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
1⎦
1
1
Era de esperarse que los elementos de la diagonal de la matriz de masa sean la unidad
debido a que los modos están normalizados de la forma
⎡39.394
⎢
∗
C =⎢
⎢
⎢
⎣
∗
∗
φ (i )t M φ (i ) = 1 .
35.210
35.147
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
3.2984⎦
∗
Tanto en K , M , C se han escrito únicamente los términos de la diagonal ya que
los restantes elementos son cero. Al ser diagonales las matrices se tienen para el ejemplo, 4
ecuaciones diferenciales cada una de ellas en una sola variable, estas son:
..
.
X 1 + 39.394 X 1 + 155170 X 1 = Q1∗
..
.
..
.
..
.
X 2 + 35.210 X 2 + 123980 X 2 = Q2∗
X 3 + 35.147 X 3 + 125530 X 3 = Q3∗
X 4 + 3.2984 X 4 + 1087.9 X 4 = Q4∗
Al tener ecuaciones diferenciales en una sola variable, la solución analítica es sencilla.
Lo que no sucede cuando se tienen ecuaciones diferenciales con dos o más variables que se
presentan cuando no se desacopla el sistema de ecuaciones diferenciales.
Para el ejemplo que se analiza, las matrices
ξ
y
Ω , son:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡0.05
⎢
ξ =⎢
⎢
⎢
⎣
0.05
0.05
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
0.05⎦
⎡393.916
⎤
⎢
⎥
352.108
⎥
Ω=⎢
⎢
⎥
351.468
⎢
⎥
32.983⎦
⎣
C ∗ anotada. Es importante
∗
destacar que se pudo obtener la matriz de amortiguamiento C , diagonal debido a que
se utilizó el algoritmo de Wilson y Penzien para hallar C .
Luego, al utilizar la ecuación ( 7.4 ) se halla la matriz
*
*
*
Para demostrar que K , M , C son diagonales se debe realizar el triple producto
matricial indicado en las ecuaciones ( 7.21 ), ( 7.19 ) y ( 7.20 ) respectivamente. Además se
debe tener en cuenta que debido a la ortogonalidad de los modos de vibración se cumple que:
φ (i )t M φ ( j) = 0
φ (i )t K φ ( j) = 0
*
Donde i, j, representan los modos i, j. De tal manera que las matrices K , M
tendrán elementos en la diagonal principal.
⎡φ (1) t Kφ (1)
⎢
⎢
⎢
K* = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
*
solo
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
φ ( n) t Kφ ( n ) ⎥⎦
φ ( 2 ) t Kφ ( 2 )
LL
φ ( i ) t Kφ ( i )
LL
*
Algo similar se obtiene para M , en donde un término cualquiera de la diagonal
M φ pero por la forma como se obtuvieron los modos, para el presente
(i )t
ejemplo, se tiene: φ
M φ (i ) = 1.
principal vale
φ
(i )t
(i )
En la solución del problema de valores y vectores propios, estudiado en el capítulo 6,
se tenía:
K φ (i ) = λ i M φ (i )
Donde
dos lados por
λ i es el valor propio del modo i. Además λi = Wni2 . Ahora si se multiplica a los
φ (i )t
se tiene:
φ (i )t K φ (i ) = λ i φ (i )t M φ (i )
⇒ φ (i )t K φ (i ) = λ i
De tal forma que los elementos de la diagonal de la matriz K
frecuencias de vibración elevadas al cuadrado.
∗
son iguales a las
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡W n21
⎢
∗
K = ⎢⎢
⎢
⎢⎣
7.4
⎤
⎥
⎥
⎥
L
⎥
W nn2 ⎥⎦
W n22
VIBRACIÓN LIBRE CON AMORTIGUAMIENTO
El sistema de ecuaciones diferenciales, que definen el problema de vibración libre con
amortiguamiento, en sistemas de n grados de libertad es el siguiente:
..
.
M q+C q+ K q=0
Al multiplicar esta ecuación por M
−1
..
( 7.23 )
por la izquierda se tiene:
.
q + M −1 C q + M −1 K q = 0
( 7.24 )
Por otra parte, como artificio numérico de cálculo se incorpora la siguiente relación:
.
.
q−q=0
( 7.25 )
Al escribir en forma matricial las ecuaciones ( 7.25 ) y ( 7.24 ) en este orden, se tiene:
⎡.⎤
0
⎢q ⎥ − ⎡
⎢
⎢ .. ⎥ ⎣− M −1 K
⎣q ⎦
⎤
−1 ⎥
− M C⎦
I
⎡q ⎤
⎢.⎥ =0
⎢⎣q ⎥⎦
( 7.26 )
Se define la matriz F de la siguiente manera:
⎡ 0
F =⎢
−1
⎣− M K
⎤
⎥
− M C⎦
I
−1
( 7.27 )
La matriz F es de orden (2n x 2n). Siendo n el número de grados de libertad. Ahora
se plantea el siguiente cambio de variable:
⎡q ⎤
X = ⎢.⎥
⎢⎣q ⎥⎦
( 7.28 )
El vector X es de orden ( 2n ) y está compuesto por el vector de desplazamientos y el
vector de velocidades. Al derivar X con respecto al tiempo se tiene:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡.⎤
q
X = ⎢ .. ⎥
⎢ ⎥
⎣q ⎦
.
( 7.29 )
Al reemplazar ( 7.27 ) en ( 7.26 ) y posteriormente al sustituir ( 7.29 ) y ( 7.28) se tiene:
.
X −F X =0
7.4.1
( 7.30 )
Exponencial de una matriz
El sistema de ecuaciones diferenciales ( 7.30 ) se puede escribir de la forma:
.
X=F X
Sea D una matriz, diagonal, semejante a la matriz
de paso Φ que admite inversa, tal que:
F . Por lo tanto, existe una matriz
D = Φ −1 F Φ
( 7.31 )
Donde Φ es la matriz modal de orden n x n, cuyas columnas son los vectores propios
de la matriz F . Se plantea el siguiente cambio de variable para resolver la ecuación ( 7.30 ).
X =ΦU
( 7.32 )
⎡U 1 (t ) ⎤
⎢U (t ) ⎥
U =⎢ 2 ⎥
⎢ M ⎥
⎢
⎥
⎣U n (t )⎦
Al derivar ( 7.32 ) con respecto al tiempo, se encuentra:
.
.
X =ΦU
⎡.
⎤
⎢U 1 (t ) ⎥
⎢.
⎥
.
U = ⎢U 2 (t ) ⎥
⎢ M ⎥
⎢.
⎥
⎢U (t )⎥
⎣ n ⎦
( 7.33 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al reemplazar ( 7.33 ) y ( 7.32 ) en ( 7.30) se tiene:
.
.
⇒ U = Φ −1 F Φ U
ΦU = F ΦU
−1
Pero el producto Φ F Φ es la matriz diagonal
desacoplar el sistema de ecuaciones diferenciales.
D . Por lo tanto, se ha logrado
.
U = DU
( 7.34 )
Al ser desacoplado el sistema ( 7.34 ) por ser
D , diagonal, se tiene:
⎡C1 e λ 1 t ⎤
⎢
⎥
C2 eλ 2 t ⎥
⎢
U (t ) = ⎢
⎥
M
⎢
⎥
⎢⎣C n e λn t ⎥⎦
λ1 , λ 2 , L λ n
( 7.35 )
F . Por otra parte, C1 , C 2 ,L C n son
las constantes de integración, que se obtienen en función de las condiciones iniciales. Sea X 0
el vector de condiciones iniciales, para t = 0 . Al tener presente en la ecuación ( 7.32 ) que
λt
para t = 0 el exponencial e es igual a la unidad, se tiene:
⎡C 1 ⎤
⎢C ⎥
2
X0 = Φ ⎢ ⎥
⎢M ⎥
⎢ ⎥
⎣C n ⎦
Donde
son los valores propios de
Sea C 0 el vector que contiene a las constantes de integración.
X 0 = Φ C0
⇒ C 0 = Φ −1 X 0
( 7.36 )
La ecuación ( 7.35 ) se puede escribir de la siguiente manera:
⎡C 1 e λ 1 t ⎤ ⎡ e λ 1 t
⎢
⎥ ⎢
C2 eλ2 t ⎥ ⎢
eλ2 t
⎢
U (t ) = ⎢
⎥=⎢
M
M
⎢
⎥ ⎢
⎢⎣C n e λn t ⎥⎦ ⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
e λn t ⎥⎦
λ1 t
⎡C 1 ⎤ ⎡ e
⎢C ⎥ ⎢
eλ2 t
⎢ 2⎥ = ⎢
⎢M ⎥ ⎢
M
⎢ ⎥ ⎢
⎣C n ⎦ ⎢⎣
Se denomina, matriz E a la matriz de los exponenciales.
⎤
⎥
⎥C
⎥ 0
⎥
e λn t ⎥⎦
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡e λ1 t
⎢
eλ2 t
E=⎢
⎢
M
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
e λn t ⎥⎦
( 7.37 )
Con lo que se tiene:
U ( t ) = E C 0 = E Φ −1 X 0
Pero X ( t ) = Φ U ( t ) . Luego:
X ( t ) = Φ E Φ −1 X 0
( 7.38 )
La forma reducida de Jordan, establece que el exponencial de una matriz es igual a:
e
Ft
=ΦEΦ
−1
( 7.39 )
Finalmente:
X (t ) = e F t X 0
7.4.2
( 7.40 )
Resumen del procedimiento de cálculo
Para resolver un problema de vibración libre, en sistemas de n grados de libertad,
considerando el amortiguamiento. Son datos, las matrices de masas, amortiguamiento y
rigidez: M , C , K y el vector de condiciones iniciales X 0 . El procedimiento de cálculo es el
siguiente:
•
•
•
•
•
•
Se determina la matriz F .
Se hallan los valores y vectores propios de la matriz F .
Con los vectores propios se encuentra la matriz modal Φ .
Con los valores propios se halla la matriz E .
Ft
Se halla el exponencial de e
Finalmente se encuentra la respuesta X ( t ) mediante la ecuación ( 7.40).
El programa VLIBREAMORTIGUADO, resuelve el problema de vibraciones libres en
un sistema de múltiples grados de libertad considerando el amortiguamiento. La forma de uso
del programa es la siguiente:
[q]=vlibreamortiguado(K, zeda, Xo)
•
•
K es la matriz de rigidez lateral de la estructura, la misma que deberá indicarse en
consola.
zeda es el vector que contiene los factores de amortiguamiento. Si el sistema tiene n
grados de libertad, se deberán indicar n valores de ξ .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
•
Xo es el vector de condiciones iniciales, que contiene los desplazamientos y
velocidades del sistema. El orden de este vector es 2n; los n primeros valores
corresponden a los desplazamientos y los n restantes a las velocidades en t = 0 .
function [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo)
%
% Vibraciones libres considerando amortiguamiento.
% Solucion por medio del exponencial de una matriz.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
% ----------------------------------------------------------------% [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo)
% ----------------------------------------------------------------% K Matriz de rigidez lateral del portico plano, viene de consola.
% M Matriz de masas.
% NP Numero de pisos, igual al numero de grados de libertad.
%
Por pantalla se indicara las masas de cada piso.
%
Previamente el usuario habra calculado la matriz de rigidez lateral
%
con otro programa.
% T Periodos de vibracion.
% C Matriz de amortiguamiento.
% zeda Vector que contiene los coeficientes de amortiguamiento. viene de
%
consola, sirve para calcular matriz de amortiguamiento.
% Xo Vector de condiciones iniciales, viene de consola.
% F Matriz de orden 2nx2n
% q Los n primeros valores corresponden a los desplazamientos y los
%
restantes a las velocidades.
% dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta.
% n Numero de puntos que se desean obtener en la respuesta.
%
Programado para dt=0.02 y n=100
dt=0.02; n=100;
NP = input (' \n Numero de pisos ');
M = zeros(NP,NP); C = zeros(NP,NP);
% Matriz de Masas
for i=1:NP
fprintf ('Indique la masa del piso , %2d',i);
M(i,i) = input (', Valor de la masa: ');
end
% Matriz de amortiguamiento mediante algoritmo de Wilson y Penzien
[V,D]=eig(K,M); Wn=sqrt(D); W=diag(Wn);
for i=1:NP
fi=V(:,i); mi=fi'*M*fi; aux=2*zeda(i)*W(i)/mi;
C=C+aux.*M*fi*fi'*M;
end
% Matriz F
CERO=zeros(NP,NP); IDENT=eye(NP,NP);MIK=(-1)*inv(M)*K; MIC=(-1)*inv(M)*C;
F=[CERO IDENT; MIK
MIC];
% Valores Propios de F
[V,D] = eig(F)
% Respuesta en el tiempo
for j=1:n
t=j*dt; E=expm(F*t); EE=real(E); q=EE*Xo;
tt(j)=t; des(j)=q(NP);
end
% Dibujo para la respuesta en el tiempo del ultimo piso
plot (tt,des)
xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento ultimo piso');
title ('Vibracion libre considerando amortiguamiento');
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% ---fin
•
EJEMPLO 5
Encontrar la respuesta en el tiempo, para el tercer piso, de la estructura indicada en la
figura 7.2, cuyas matrices de rigidez y masa, son:
⎡ 2761.1
K = ⎢⎢− 1538.1
⎢⎣ 285.7
− 1538.1
2278.0
− 1080.6
285.7 ⎤
− 1080.6⎥⎥
836.9 ⎥⎦
⎡1.633
M = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0 ⎤
1.633
0 ⎥⎥
0
1.633⎥⎦
0
Para los siguientes casos:
i)
ii)
En t=0 ; los desplazamientos laterales son 1.0 cm., para el primer piso; 2.0 cm.,
para el segundo piso y 3.0 cm., para el tercer piso. Las velocidades son nulas para
t=0.
En t=0; únicamente el desplazamiento del tercer piso vale 3.0 cm. Las velocidades
son nulas.
Para los dos casos los valores de
ξ1 = ξ 2 = ξ 3 = 0.05
Esta estructura fue analizada en el capítulo 6, cuando se hallaron los modos de
vibración.
Figura 7.2 Pórtico plano sometido a dos ensayos de vibración libre.
•
SOLUCIÓN
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Los vectores de condiciones iniciales, para los dos casos que se van a analizar, son:
⎡0.01⎤
⎢0.02⎥
⎢
⎥
⎢0.03⎥
X0 = ⎢
⎥
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 ⎥⎦
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
⎢
⎥
⎢0.03⎥
X0 = ⎢
⎥
⎢0 ⎥
⎢0 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 ⎥⎦
Se detalla el cálculo para el primer caso, con el programa VLIBREAMORTIGUADO
>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7
>> zeda=[0.05; 0.05; 0.05];
>> Xo=[0.01; 0.02; 0.03; 0; 0; 0];
>> [q]=vlibreamortiguado(K,zeda,Xo)
Número de pisos 3
Indique la masa del piso, 1, Valor de la masa: 1.633
Indique la masa del piso, 2, Valor de la masa: 1.633
Indique la masa del piso, 3, Valor de la masa: 1.633
-1080.6
836.9];
La respuesta, para los desplazamientos laterales del tercer piso se indica en la figura
7.3. El programa VLIBREAMORTIGUADO encuentra la respuesta en el tiempo para un
incremento de tiempo de 0.02 s., y hasta un tiempo de 2 s., si se desea la respuesta para un
incremento de tiempo menor se debe cambiar dt en el programa. De igual forma si se desea
calcular para un mayor tiempo se debe cambiar n.
Figura 7.3 Respuesta en el tiempo para los 2 primeros segundos, caso 1 de ejemplo 5.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 7.4 Respuesta en el tiempo para los 2 primeros segundos, caso 2 de ejemplo 5.
En la figura 7.4 se indica la respuesta en el tiempo para el caso 2, en que únicamente
el tercer piso se mueve 2 cm. y todas las demás condiciones iniciales son nulas.
7.5
PROPIEDADES DINÁMICAS COMPLEJAS
Si se obtienen los valores y vectores propios de la matriz F del ejemplo anterior, los
valores y vectores propios son números complejos, esto es debido a que con el
amortiguamiento las formas modales no se conservan. Por esta razón se acostumbra
llamar modos no normales de vibración o modos fuera de fase.
7.5.1
•
Modos de vibración en el campo de los complejos
EJEMPLO 6
Presentar los modos de vibración del ejemplo 5, que corresponde a la estructura de 3
pisos indicada en la figura 7.2
•
SOLUCIÓN
Al imprimir la matriz V, del programa VLIBREAMORTIGUADO se hallan los 6 modos
de vibración. Los dos primeros se indican a continuación:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
φ (1)
⎡− 0.0014 − 0.0274 i ⎤
⎢− 0.0031 − 0.0627 i ⎥
⎢
⎥
⎢− 0.0043 − 0.0853 i ⎥
=⎢
⎥
⎢0.2494
⎥
⎢0.5698
⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.7753
⎥⎦
φ ( 2)
⎡− 0.0014 + 0.0274 i ⎤
⎢− 0.0031 + 0.0627 i ⎥
⎢
⎥
⎢− 0.0043 + 0.0853 i ⎥
=⎢
⎥
⎢0.2494
⎥
⎢0.5698
⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.7753
⎥⎦
Las tres primeras cantidades corresponden a los desplazamientos laterales y las tres
últimas a las velocidades. Los restantes modos de vibración, son:
φ ( 3)
⎡− 0.0011 − 0.0227 i ⎤
⎢− 0.0008 − 0.0163 i ⎥
⎢
⎥
⎢0.0010 + 0.0193 i ⎥
=⎢
⎥
⎢0.6682
⎥
⎢0.4798
⎥
⎢
⎥
⎣⎢− 0.5675
⎦⎥
φ ( 5)
⎡− 0.0007 − 0.0136 i ⎤
⎢0.0006 + 0.0129 i ⎥
⎢
⎥
⎢− 0.0003 − 0.0051 i ⎥
=⎢
⎥
⎢0.6999
⎥
⎢− 0.6639
⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.2628
⎥⎦
φ ( 4)
⎡− 0.0011 + 0.0227 i ⎤
⎢− 0.0008 + 0.0163 i ⎥
⎢
⎥
⎢0.0010 − 0.0193 i ⎥
=⎢
⎥
⎢0.6682
⎥
⎢0.4798
⎥
⎢
⎥
⎣⎢− 0.5675
⎦⎥
φ (6)
⎡− 0.0007 − 0.0136 i ⎤
⎢0.0006 + 0.0129 i ⎥
⎢
⎥
⎢− 0.0003 − 0.0051 i ⎥
=⎢
⎥
⎢0.6999
⎥
⎢− 0.6639
⎥
⎢
⎥
⎢⎣0.2628
⎥⎦
En todos los casos se aprecia que los modos son complejos conjugados, de tal
manera que no se tienen 6 modos, sino únicamente 3. Para entender su significado físico se
debe encontrar el módulo del complejo. Estos resultan:
φ (1)
⎡0.0275⎤
⎢0.0628⎥
⎢
⎥
⎢0.0854⎥
=⎢
⎥
⎢0.2494⎥
⎢0.5698⎥
⎢
⎥
⎣⎢0.7753⎦⎥
φ ( 2)
⎡0.0227⎤
⎢0.0163⎥
⎢
⎥
⎢0.0193⎥
=⎢
⎥
⎢0.6682⎥
⎢0.4788⎥
⎢
⎥
⎣⎢0.5675⎦⎥
φ ( 3)
⎡0.0136⎤
⎢0.0129⎥
⎢
⎥
⎢0.0051⎥
=⎢
⎥
⎢0.6999⎥
⎢0.6639⎥
⎢
⎥
⎣⎢0.2628⎦⎥
Al obtener el módulo se pierde el signo, de tal manera que es bastante difícil dibujar las
formas modales pero al observar los valores complejos del primer modo se aprecia que las
tres primeras cantidades tienen el mismo signo, luego se puede dibujar la forma modal. De
igual manera al observar el tercer modo con números complejos se aprecia que dos
cantidades tienen el mismo signo y la tercera signo diferente, de manera que es posible dibujar
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
la forma modal y al observar el quinto modo se tiene algo similar. En la figura 7.5 se presentan
los modos de vibración encontrados.
Figura 7.5 Modos de vibración
7.5.2
•
Valores propios en el campo de los complejos
EJEMPLO 7
Presentar los valores propios del ejemplo 5, que corresponde a la estructura de 3 pisos
indicada en la figura 7.2
•
SOLUCIÓN
Al imprimir la matriz diagonal D, del ejemplo realizado se tiene que los valores propios
son:
λ1 = −0.4539 − 9.0676 i
λ3 = −1.4713 − 29.3899 i
λ5 = −2.5739 − 51.4131 i
λ 2 = −0.4539 + 9.0676 i
λ3 = −1.4713 + 29.3899 i
λ6 = −2.5739 + 51.4131 i
Los valores propios son números complejos conjugados. En el siguiente sub apartado
se va a demostrar que un valor propio cualquiera tiene la siguiente forma:
λ = −ξ Wn + Wa i
λ = −ξ Wn + Wa i
De tal manera que la parte real del número complejo es el valor de
( 7.41 )
ξ Wn
imaginaria es Wa . Se recuerda que la frecuencia de vibración amortiguada es igual a:
Wa = Wn 1 − ξ 2
y la parte
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El módulo del número complejo vale:
ξ 2 Wn2 + Wn2 (1 − ξ 2 ) = Wn
Por lo tanto, para hallar las frecuencias de vibración se debe hallar los módulos. Para el
ejemplo estos resultan:
Wn1 = 9.079
1
s
Wn 2 = 29.4267
1
s
Wn 3 = 51.4775
1
s
Se destaca que MATLAB reporta los valores propios de mayor a menor.
7.5.3
Deducción en base a un sistema de un grado de libertad
Solamente por facilidad, la demostración se realiza para un sistema de un grado de
libertad. En este caso la matriz F puede escribirse de la siguiente manera
⎡ 0
F=⎢ k
⎢−
⎣ m
1 ⎤
c⎥
− ⎥
m⎦
Para hallar los valores propios, se debe cumplir que el determinante de
cero. Donde I es la matriz identidad.
⎡− λ
det( F − λ I ) = det ⎢ k
⎢−
⎣ m
⎤
⎥=0
c
− − λ⎥
m
⎦
1
De donde:
P (λ ) = λ 2 +
c
k
λ + =0
m
m
En el capítulo 1, se vio que para sistemas de 1 gdl, se cumple que:
c
= 2 ξ Wn
m
k
= Wn2
m
Por lo tanto, el polinomio característico P (λ ) queda:
P (λ ) = λ2 + 2ξ Wn λ + Wn2 = 0
Las raíces de
P(λ ) , son:
λ1 = −ξ Wn + Wa i
λ2 = −ξ Wn − Wa i
F − λ I sea
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Por lo tanto, los valores propios de F , son en general, complejos conjugados y el
coeficiente de la parte imaginaria es el valor de la frecuencia natural del sistema amortiguado y
la parte real corresponde al producto − ξ Wn . Para fines prácticos se tiene que Wa ≈ Wn , con
esta aproximación el coeficiente de la parte imaginaria es el valor de la frecuencia natural del
sistema.
Para encontrar los modos de vibración, se deben reemplazar los valores propios en:
(F − λ I ) φ = 0
Así, para el primer valor propio se tiene:
⎡ξ Wn − Wa i
⎢
k
⎢
−
⎢⎣
m
⎤
⎥
c
− + ξ W n − Wa i ⎥
⎥⎦
m
⇓
1
⎡ξ Wn − Wa i
⎢
− Wn2
⎣
⎡ a ⎤ ⎡0 ⎤
⎢b ⎥ = ⎢0⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎤ ⎡ a ⎤ ⎡0 ⎤
⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥
− ξ Wn − Wa i ⎦ ⎣b ⎦ ⎣0⎦
1
Como el sistema de ecuaciones es linealmente dependiente, para la solución se
considera:
a = 1+ i
De donde:
b = −(Wa + ξ Wn ) + (Wa − ξ Wn ) i
Por lo tanto, el primer modo resulta:
⎡
1+ i
⎤
φ (1) = ⎢
⎥
⎣− (Wa + ξ Wn ) + (Wa − ξ Wn ) i ⎦
Procediendo de igual forma se halla el segundo modo de vibración, que es el
conjugado de
φ (1) . De tal manera que la matriz modal Φ
1+ i
⎡
Φ=⎢
⎣− (Wa + ξ Wn ) + (Wa − ξ Wn ) i
resulta:
1− i
⎤
− (Wa + ξ Wn ) − (Wa − ξ Wn ) i ⎥⎦
( 7.42 )
Para hallar el exponencial de la matriz F , se debe calcular la inversa de Φ , esta es:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Φ −1 =
1 ⎡(Wa + ξ Wn ) + (Wa − ξ Wn ) i
⎢
4 Wa i ⎣− (Wa + ξ Wn ) + (Wa − ξ Wn ) i
1− i ⎤
− 1 − i ⎥⎦
La matriz E , para el sistema de 1 gdl., que se está analizando, resulta:
0 ⎤ ⎡e (−ξ Wn+Wa i )t
⎥=⎢
e λ 2 t ⎦⎥ ⎣⎢
0
⎡e λ 1 t
E=⎢
⎣⎢ 0
⎤
⎥
e (−ξ Wn−Wa i )t ⎦⎥
0
De donde:
⎡e −ξ Wn t e Wa t i
E=⎢
0
⎣⎢
0
e −ξ Wn t e −Wa t i
El exponencial de e
Ft
⎤
0
⎤
−ξ Wn t ⎡cos(W a t ) + i sen(W a t )
⎥=e
⎢
⎥
0
cos(Wa t ) − i sen(Wa t )⎦
⎣
⎦⎥
resulta:
e F t = Φ E Φ −1
eF t =
e −ξ Wn t ⎡ξ Wn sen(Wa t ) + Wa cos(Wa t )
⎢
Wa ⎣
− Wn2 sen(Wa t )
−1
sen(Wa t )
⎤
⎥
Wa cos(Wa t ) − ξ Wn sen(Wa t )⎦
contienen números complejos, el triple producto
Si bien las matrices Φ, E , Φ
matricial de las mismas contiene solo cantidades reales. Luego la solución del problema de
vibración libre, con cualquier tipo de amortiguamiento, está en el campo de los números reales.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 8
ANÁLISIS LINEAL
RESUMEN
Se presenta el Método de Newmark, para encontrar la respuesta lineal, en el tiempo,
de un sistema de múltiples grados de libertad, ante una acción sísmica. En primer lugar se
deducen las ecuaciones generales, para el caso de aceleración constante y de aceleración
lineal. Luego se aplica el Método, para el análisis sísmico plano y se resume el procedimiento
de cálculo.
Se indica además el programa NEWMARKLINEAL que grafica la respuesta de
desplazamientos del último piso de un pórtico plano e indica la respuesta máxima. El programa
es de carácter general ya que ingresan como datos las matrices de masas, amortiguamiento,
rigidez y el vector J que define las cargas generalizadas. Encuentra la respuesta ante un
acelerograma.
Finalmente, se describe el modelo de análisis sísmico, para pórticos planos y se realiza
un ejemplo en el que se ilustra el cálculo de las respuestas en el tiempo de desplazamientos
laterales y del cortante basal. Se destaca que el corte basal hallado en el análisis elástico es
bastante alto y que en la práctica se divide este valor para el factor de reducción de las fuerzas
sísmicas, debido a comportamiento inelástico de la estructura. El valor estipulado de este valor
en el Código Ecuatoriano de la Construcción CEC-2000 es muy alto lo cual se demuestra en el
ejemplo.
8.1 MÉTODO DE NEWMARK
..
..
Sea q i y q i +1 los vectores de respuesta, de aceleración de un sistema de n grados de
libertad en los tiempos discretos t i y t i +1 , ante acciones dinámicas y ∆t el incremento de
tiempo, como lo muestra la figura 8.1
Se define:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
τ = t − ti
t i ≤ t ≤ t i +1
para
( 8.1 )
De ecuación ( 8.1 ), se observa que para t = t i , se tiene que
t = t i +1
→
τ =0
y para
τ = ∆t . Siendo:
∆t = t i +1 − t i
La aceleración del sistema para un instante cualquiera
..
..
q(τ ) = q i
..
τ
, viene definida por:
..
+ f (τ ) (q i +1 − q i )
( 8.2 )
[
Figura 8.1 Variación de la aceleración entre t i , t i +1
]
De tal forma, que:
f (τ ) = 0
f (τ ) = 1
para τ = 0
para τ = ∆t
En otras palabras, se tiene que:
0 ≤ f (τ ) ≤ 1
La ecuación ( 8.2 ) considera que la ley de variación de las aceleraciones en el
intervalo t i , t i +1 es la misma para los n grados de libertad.
[
]
La velocidad del sistema para un tiempo cualquiera del intervalo puede expresarse
como:
.
.
t ..
q (τ ) = q i + ∫ q (τ ) dτ
0
Al reemplazar ( 8.2 ) en ( 8.3 ) se tiene:
( 8.3 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
.
.
τ ..
τ
..
⎛ ..
⎞
+ ∫ ⎜ q i +1 − q i ⎟ f (τ ) dτ
⎠
0⎝
q (τ ) = q i + ∫ q i dτ
0
.
..
..
Se destaca que q i , q i y q i +1 son los vectores de velocidad y aceleración en los
tiempos discretos t i y t i +1 respectivamente, son cantidades constantes. Luego:
t
.
.
..
..
⎛ ..
⎞
q (τ ) = q i + q i τ + ⎜ q i +1 − q i ⎟ ∫ f (τ ) dτ
⎝
⎠0
( 8.4 )
Sea:
τ
g (τ ) = ∫ f (τ ) dτ
( 8.5 )
0
∆t γ =
∆t
∫ f (τ )dτ
( 8.6 )
0
∆t
∆t β = ∫ g (τ )dτ
2
( 8.7 )
0
Para
τ = t i +1 = ∆t
se tiene al reemplazar ( 8.6 ) en ( 8.4 )
.
.
..
..
..
q i +1 = q i + q i ∆t + (q i +1 − q i ) γ ∆t
De donde:
.
.
..
..
⎤
⎡
q i +1 = q i + ⎢(1 − γ ) q i + γ q i +1 ⎥ ∆t
⎦
⎣
( 8.8 )
Al reemplazar ( 8.5 ) en ( 8.4 ) e integrar, se halla:
τ
t .
τ
τ
.
..
..
⎛ ..
⎞
∫0 q(τ )dτ = ∫0 q i d (τ ) + ∫0 q i τ dτ + ⎜⎝ q i +1 − q i ⎟⎠∫0 g (τ )dτ
.
..
q (τ ) − q i = q i τ + q i
.
..
q (τ ) = q i + q i τ + q i
Para
τ = t i +1 = ∆t
τ
τ2
..
⎛ ..
⎞
+ ⎜ q i +1 − q i ⎟ ∫ g (τ )dτ
2 ⎝
⎠0
τ2
2
..
..
τ
+ (q i +1 − q i ) ∫ g (τ )dτ
0
se encuentra, luego de sustituir ( 8.7 )
.
..
q i +1 = q i + q i ∆t + q i
..
∆t 2 ⎛ ..
⎞
+ ⎜ q i +1 − q i ⎟ β ∆t 2
2 ⎝
⎠
De donde:
.
..
⎡⎛ 1
⎤
⎞ ..
q i +1 = q i + q i ∆t + ⎢⎜ − β ⎟ q i + β q i +1 ⎥ ∆t 2
⎠
⎣⎝ 2
⎦
( 8.9 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
.
..
⎛1
⎞ ..
q i +1 = q i + q i ∆t + ⎜ − β ⎟ q i ∆t 2 + β q i +1 ∆t 2
⎝2
⎠
..
Al despejar q i +1 de esta última ecuación, se tiene:
..
q i +1 =
1
β ∆t
.
⎞ ..
⎤ ⎛ 1
⎡
q
q
q
t
−
⎜
−
1
⎟⎟ q i
−
−
∆
i
i
+
1
i
⎜
⎥⎦
⎢⎣
⎝ 2β
⎠
( 8.10 )
Al reemplazar ( 8.10 ) en ( 8.8 ), se obtiene:
q i +1 = q i + (1 − γ ) q i ∆t + γ ∆t
.
.
..
1
β ∆t 2
.
.. ⎛ 1
⎞
⎤
⎡
−
∆
q
q
q
t
t
q
γ
−
−
∆
i
i
i ⎜
⎜ 2β − 1⎟⎟
⎥⎦
⎢⎣ i +1
⎝
⎠
Luego:
.
q i +1 =
•
γ
β ∆t
(q i +1 − q i ) + ⎛⎜⎜1 − γ
⎝
..
⎞
⎟⎟ ∆t q i
⎠
EJEMPLO 1
Determinar los valores de
•
⎞ . ⎛
γ
⎟⎟ q i + ⎜⎜1 −
β⎠
⎝ 2β
β
y
γ
. Si f (τ ) se considera constante y vale 0.5
SOLUCIÓN
Al ser constante f (τ ) de ecuación ( 8.5 ), se tiene:
1
g (τ ) = τ
2
Al sustituir este valor en ecuación ( 8.7 ), se obtiene:
∆t 2 β =
∆t
∫
0
1
τ dτ
2
1 2
∆t
4
1
β=
4
∆t 2 β =
Por otra parte, al reemplazar f (τ ) en ecuación ( 8.6 ) se halla:
( 8.11 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
∆t γ =
∆t
1
dτ
2
∫
0
1
∆t
2
1
γ =
2
∆t γ =
Por lo tanto, cuando se considera que la variación de la aceleración en la
β
respuesta del sistema es constante, los valores de
y
γ
son respectivamente
1 1
y
.
4 2
A este caso se denomina Método de Aceleración Constante o Método del Trapezoide.
•
EJEMPLO 2
Determinar los valores de
siguiente ecuación:
β
y
γ
si f (τ ) varía en forma lineal y viene definida por la
τ
f (τ ) =
•
∆t
SOLUCIÓN
Al emplear la ecuación ( 8.5 ), se encuentra:
τ2
g (τ ) =
2 ∆t
Al reemplazar este valor en ( 8.7 ) e integrar, se halla:
1
∆t β =
2 ∆t
∆t
2
∫τ
2
dτ
0
1 ∆t 3
2 ∆t 3
∆t 2 β =
1
6
β=
Al trabajar con la ecuación ( 8.6 ), se obtiene:
∆t γ =
∆t
τ
∫ ∆t dτ
0
1 ∆t 2
∆t 2
1
γ =
2
∆t γ =
Por lo tanto, para el caso de aceleración lineal
β=
1
1
yγ =
6
2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
8.2 APLICACIÓN DEL MÉTODO DE NEWMARK
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna los problemas dinámicos, está
definido por la ecuación ( 8.12 ). La solución de este sistema se realizará con el Método de
Newmark.
..
.
M q + C q + K q = − M J a (t )
( 8.12 )
Donde M , C , K son las matrices de Masa, Amortiguamiento y Rigidez del sistema.
.
..
Se consideran constantes para análisis lineal. q, q, q son los vectores de desplazamiento,
velocidad y aceleración, respectivamente, . J es un vector que contiene unos para el caso
plano, depende del modelo numérico de análisis, a(t) es la aceleración de movimiento del
suelo. Normalmente se considera la componente horizontal.
Para el tiempo discreto t i +1 , la ecuación ( 8.12 ), queda:
..
.
M q i +1 + C q i +1 + K q i +1 = − M J a i +1
( 8.13 )
Por otra parte, el vector de desplazamientos en forma incremental, es
q i +1 = ∆q i +1 + q i
( 8.14 )
Las ecuaciones ( 8.11 ) y ( 8.10 ) en función de ∆ quedan:
..
q i +1 =
.
q i +1 =
⎛ 1
⎞ ..
1
1 .
∆q i +1 −
− 1⎟⎟ q i
q i − ⎜⎜
2
β ∆t
β ∆t
⎝ 2β
⎠
γ
⎛ γ
∆q i +1 + ⎜⎜1 −
β ∆t
⎝ β
⎞. ⎛
γ
⎟⎟ q i + ⎜⎜1 −
⎠
⎝ 2β
⎞ ..
⎟⎟∆t q i
⎠
( 8.15 )
( 8.16 )
Finalmente, al reemplazar ( 8.16 ), ( 8.15 ) y ( 8.14 ) en ( 8.13 ), se obtiene luego de
agrupar términos
∧
K ∆q i +1 = Fi +1
( 8.17 )
Siendo:
∧
K =K +
1
γ
M+
C
2
β ∆t
β ∆t
⎡ 1 . ⎛ 1
⎡⎛ γ
⎞ .. ⎤
− 1⎟⎟ q i ⎥ − C ⎢⎜⎜1 −
Fi +1 = − M J a i +1 + M ⎢
q i + ⎜⎜
⎝ 2β
⎠ ⎦
⎣ β∆t
⎣⎝ β
( 8.18 )
⎞. ⎛
γ
⎟⎟ q i + ⎜⎜1 −
⎠
⎝ 2β
⎞ .. ⎤
⎟⎟∆t q i ⎥ − K q i
⎠
⎦
(8.19)
∧
Se denomina a K como la matriz de rigidez efectiva, que es una matriz constante para
análisis lineal y a Fi +1 el vector de cargas efectivas, que es variable en cada instante de
tiempo.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al resolver el sistema de ecuaciones lineales definido en ( 8.17 ) se encuentra ∆q i +1 .
Por lo tanto el vector de desplazamientos para el tiempo i + 1 se obtendrá sumando éstos
valores a los del tiempo i, utilizando la ecuación ( 8.14 ). La aceleración y velocidad para el
tiempo i + 1 se encuentran con las ecuaciones ( 8.15 ) y ( 8.16 ).
Si en el tiempo t = 0 , la aceleración del suelo es diferente de cero y si las condiciones
.
..
iniciales q (0) = q (0) = 0 . Se debe evaluar q (0) con la ecuación del movimiento que queda:
..
M q(0) = − M J a (0)
8.3 PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO
El procedimiento de cálculo, para el análisis lineal, utilizando el método
Newmark, es el siguiente:
i.
∧
1
γ
M+
C
2
β ∆t
β ∆t
Para el instante de tiempo i + 1 se determina el vector de cargas efectivo.
⎡ 1 . ⎛ 1
⎡⎛ γ
⎞ .. ⎤
− 1⎟⎟ q i ⎥ − C ⎢⎜⎜1 −
Fi +1 = − M J a i +1 + M ⎢
q i + ⎜⎜
⎝ 2β
⎠ ⎦
⎣ β∆t
⎣⎝ β
iii.
de
Se determina la matriz de rigidez efectiva.
K =K +
ii.
β
⎞. ⎛
γ
⎟⎟ q i + ⎜⎜1 −
⎠
⎝ 2β
⎞ .. ⎤
⎟⎟∆t q i ⎥ − K q i
⎠
⎦
Se obtiene el incremento de desplazamiento para el tiempo i + 1 , para ello se debe
resolver el sistema de ecuaciones lineales:
∧
K ∆q i +1 = F i +1
iv.
Se calculan la aceleración, velocidad y desplazamiento en el incremento de tiempo
i + 1.
..
q i +1 =
.
q i +1 =
⎛ 1
⎞ ..
1
1 .
∆q i +1 −
− 1⎟⎟ q i
q i − ⎜⎜
2
β ∆t
β ∆t
⎝ 2β
⎠
γ
⎛ γ
∆q i +1 + ⎜⎜1 −
β ∆t
⎝ β
⎞. ⎛
γ
⎟⎟ q i + ⎜⎜1 −
⎠
⎝ 2β
⎞ ..
⎟⎟∆t q i
⎠
q i +1 = ∆q i +1 + q i
v.
Se actualizan desplazamientos, velocidades y aceleraciones y se pasa al próximo
punto desde el paso ii.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
q i = q i +1
.
.
..
..
q i = q i +1
q i = q i +1
•
EJEMPLO 3
Encontrar la respuesta en el tiempo, del pórtico plano de la figura 8.2 ante el sismo del
9 de noviembre de 1974, registrado en Perú. Las matrices de rigidez, masas, amortiguamiento
y el vector J, se indican a continuación.
⎡ 2761.1
K = ⎢⎢− 1538.1
⎢⎣ 285.7
− 1538.1
2278.0
− 1080.6
⎡ 6.3608
C = ⎢⎢− 2.1516
⎢⎣ 0.0124
•
285.7 ⎤
− 1080.6⎥⎥
836.9 ⎥⎦
− 2.1516
5.3010
− 2.1143
⎡1.633
M = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
0.0124 ⎤
− 2.1143⎥⎥
3.0325 ⎥⎦
0 ⎤
1.633
0 ⎥⎥
0
1.633⎥⎦
0
⎡1⎤
J = ⎢⎢1⎥⎥
⎢⎣1⎥⎦
SOLUCIÓN
Para el análisis sísmico plano, en que se concentran las masas, como se indica en la
figura 8.2, el vector J es unitario. Para encontrar las matrices de rigidez, masas y
amortiguamiento, las unidades utilizadas son T., m., y s. Esto se debe tener cuenta para que el
acelerograma tenga unidades de m/s2.
Para resolver el problema se elaboró el programa NEWMARKLINEAL y la forma de
uso es la siguiente:
[Y] = NEWMARKLINEAL (p,M,C,K,J,dt,beta)
•
•
•
•
•
•
•
•
p
M
C
K
J
dt
Corresponde al nombre del archivo que contiene el acelerograma.
Es la matriz de masas de orden (nxn) Siendo n el número de grados de libertad.
Es la matriz de amortiguamiento.
Es la matriz de rigidez.
Es el vector unitario, para el caso plano (Q = - M J a(t) ).
Es el incremento de tiempo del acelerograma y con el cual se halla la respuesta
dinámica.
beta Vale 0.25 cuando se considera aceleración constante o 0.167 para aceleración
lineal.
Y
Es la respuesta máxima de los desplazamientos, en valor absoluto, del último piso
de un pórtico plano.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 8.2 Modelo de cálculo de un pórtico plano para el análisis sísmico.
>> K=[2761.1 -1538.1 285.7; -1538.1 2278.0 -1080.6; 285.7 -1080.6 836.9]
>> M=[1.63 0 0; 0 1.63 0; 0 0 1.63]
>> C=[ 6.3608 -2.1516 0.0124; -2.1516 5.3010 -2.1143; 0.0124 -2.1143 3.0325]
>> J=[1; 1; 1]
>> load Peru04.dat
>> [Y] =newmarklineal (Peru04,M,C,K,J,0.02,0.167)
El archivo del acelerograma tiene un dt = 0.02 y se ha considerado β = 0.167 . La
respuesta del tercer piso se indica en la figura 8.3 y el valor máximo del desplazamiento es
0.0226 m. Este ejercicio se resuelve también en el próximo capítulo por el Procedimiento de
Espacio de Estado.
function [ymax]=Newmarklineal(p,M,C,K,J,dt,beta)
%
% Respuesta en el tiempo de un sistema de multiples grados de libertad
% por el Metodo de Newmark, ante una sismo definido por su acelerograma
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
%
%-----------------------------------------------------------------% [ymax]=Newmarklineal(p,M,C,K,J,dt,beta)
%-----------------------------------------------------------------% p : vector que contiene los registros del acelerograma
% M : matriz de masas del sistema
% C : matriz de amortiguamiento del sistema
% K : matriz de rigidez del sistema
% J : Q=-M J a(t) es vector unitario para caso plano.
% dt : incremento de tiempo con el cual se calcula la respuesta.
% beta: Vale 1/4 para aceleracion constante y 1/6 para aceleracion lineal
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% gama: Vale 0.5
% d, v, a : desplazamiento, velocidad y aceleracion de la respuesta
%
n=length(p);tmax=dt*n;t=linspace(0,tmax,n)';gama=0.5;ngl=length(K);
% Cambio de cm/s2 a m/s2 en el acelerograma
for i=1:n
p(i)=p(i)/100;
end
% Constantes auxiliares de calculo
fac1=1/(beta*dt);fac2=gama/(beta*dt); fac3=1/(beta*dt*dt);
fac4=(1/(2*beta))-1;fac5=1-(gama/beta); fac6=1-(gama/(2*beta));
% Calculo de K sombrero
Ks=K+fac3*M+fac2*C;
% Condiciones iniciales
for i=1:ngl
d(i)=0; v(i)=0; a(i)=0;
end
d=d';v=v';a=a';
% Respuesta en el tiempo
for i=1:n-1
F=-M*J*p(i+1)+M*(fac1*v+fac4*a)-C*(fac5*v+fac6*dt*a)-K*d;
dq=Ks\F;aa=fac3*dq-fac1*v-fac4*a;
vv=fac2*dq+fac5*v+fac6*dt*a;dd=dq+d;
y(i)=dd(ngl);tt(i)=dt*i;
d=dd; v=vv; a=aa;
end
plot (tt,y)
ylabel('Desplazamiento ultimo piso');xlabel('Tiempo')
ymax=max(abs(y))
%---fin---
Figura 8.3 Respuesta en desplazamientos del tercer piso.
Roberto Aguiar Falconí
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8.4 MODELO NUMÉRICO PARA ANÁLISIS PLANO
El modelo numérico con el cual se realiza el análisis sísmico, se lo ha venido
desarrollando en los capítulos anteriores, sin embargo en el presente apartado, se describe en
forma rápida el mismo, en el presente apartado.
•
EJEMPLO 4
Encontrar la respuesta sísmica del pórtico 2, de una construcción de 2 pisos, de la
figura 8.4, ante el acelerograma sintético, indicado en la figura 8.5. Este acelerograma genera
en forma aproximada el espectro del CEC-2000 para un perfil de suelo S2 en la zona de mayor
peligrosidad sísmica de Ecuador.
El registro de la figura 8.5 es una acelerograma artificial, que tiene una duración de 20
segundos y la fase inicial y final son de 5 segundos, cada uno. De tal forma que la fase intensa
la que produce daño tiene una duración de 10 segundos. Como se indicó este acelerograma
reproduce, en forma aproximada, el espectro del Código Ecuatoriano de la Construcción, para
un perfil de suelo S2 y para una aceleración máxima del suelo del 40% de la aceleración de la
gravedad.
Las cargas que se consideran para el análisis, son de 500 kg/m2 para la carga muerta y
de 200 kg/m2 para la carga viva, de tal manera que la carga para el análisis sísmico es de 550
kg/m2 ya que se trata de una vivienda. (550 = 500 + 0.25 x 200).
Figura 8.4 Estructura de análisis
Roberto Aguiar Falconí
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Figura 8.5 Acelerograma sintético.
•
SOLUCIÓN
En la figura 8.6, se aprecia que sobre el pórtico 2, gravitan dos cargas triangulares, de
tal forma que la carga uniforme distribuida sobre el pórtico, tiene un valor de:
P0 =
W s
0.55 ∗ 4.0
T
∗2 =
* 2 = 1.467
3
3
m
Siendo W la carga uniforme distribuida por unidad de área, s la luz corta, que en
este caso es igual y vale 4.0 m., se multiplica por 2 ya que son dos áreas cooperantes. En la
figura 8.7 se presenta la geometría del pórtico 2, con las cargas actuantes y las secciones de
las vigas y columnas.
Las vigas se consideran axialmente rígidas, de tal manera de tener un solo
desplazamiento horizontal por piso. Las columnas se consideran totalmente flexibles, con esta
indicación en la figura 8.8 se indican los grados de libertad, respectivos.
Figura 8.6 Área cooperante de carga para el pórtico 2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
En la figura 8.8, se indican las coordenadas principales, que son la 9 y la 10. Las
coordenadas secundarias van del 1 al 8. Las coordenadas principales se han numerado al final,
debido a que la matriz de rigidez lateral, se obtiene aplicando la primera etapa de Gauss, que
consiste en triangularizar el sistema, como se indicó en el capítulo 4. La matriz de rigidez de la
estructura es de 10 por 10, luego al aplicar la primera etapa de Gauss pero hasta la fila 8, se
obtiene la matriz de rigidez lateral en las dos últimas filas.
Figura 8.7 Geometría del pórtico 2 y cargas actuantes.
Únicamente para aplicar el Método de Newmark se trabaja con la matriz de rigidez
lateral, que para el presente ejemplo es de 2 por 2.
Figura 8.8 Coordenadas principales y secundarias
Roberto Aguiar Falconí
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Se trabaja con un modelo de masas puntuales por piso, como se indica en la figura 8.9,
de tal manera que m1 es la masa total del piso 1 y m 2 es la masa total del piso 2.
m1 = m2 =
T s2
1.467 ∗ 4
= 0.599
9.8
m
La matriz de masas es de 10 por 10, en la cual solo existen valores diferentes de cero
en la fila 9 y columna 9, que vale m1 y en la fila 10 y columna 10, que vale m 2 . Se trabaja con
modos Ritz, como se vio en el capítulo 6. Para el ejercicio, las propiedades dinámicas del
pórtico que se analiza se indican en la tabla 8.1.
Modo
1
2
Tabla 8.1 Propiedades dinámicas de pórtico 2.
Frecuencia Natural
Valor Propio
(1/s)
646.645
25.429
9017.31
94.959
Período
(s)
0.247
0.066
Figura 8.9 Modelo para el cálculo de las masas
Como se trabajó con matrices de 10 por 10, los modos de vibración tienen 10
elementos y son:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
φ (1)
⎡0.00495 ⎤
⎢0.2043 ⎥
⎢
⎥
⎢− 0.00495⎥
⎢
⎥
⎢0.2043 ⎥
⎢0.0069 ⎥
=⎢
⎥
⎢0.1456 ⎥
⎢− 0.0069 ⎥
⎢
⎥
⎢0.1456 ⎥
⎢0.5151 ⎥
⎢
⎥
⎢⎣1.1850 ⎥⎦
φ ( 2)
⎡− 0.00757 ⎤
⎢0.01458 ⎥
⎢
⎥
⎢0.00757 ⎥
⎢
⎥
⎢0.01458 ⎥
⎢− 0.01541 ⎥
=⎢
⎥
⎢− 0.5521 ⎥
⎢0.01541 ⎥
⎢
⎥
⎢− 0.5521 ⎥
⎢1.185
⎥
⎢
⎥
⎢⎣− 0.5151 ⎥⎦
Para entender el significado de los modos de vibración, se debe mirar primero la figura
8.8; ahí se aprecia que la primera coordenada corresponde al desplazamiento vertical del nudo
izquierdo de la primera planta, positivo si va hacia arriba, la segunda al giro de ese nudo,
positivo si es antihorario, etc. Las dos últimas coordenadas corresponden al desplazamiento
lateral del primero y segundo piso.
Nótese que los desplazamientos verticales, tanto para el primer modo como para el
segundo modo, son pequeños, pero existen y los giros en cada uno de los nudos, no son tan
pequeños, especialmente para el primer modo. Se recuerda que los modos lo único que
indican es la forma como va a responder la estructura y son adimensionales.
En la figura 8.10 se ha dibujado las dos formas modales; cada uno de los nudos se ha
identificado con una letra tanto para la posición inicial como para la posición final. Con el
propósito de ilustrar la forma del modo no se ha dibujado en forma proporcional a los
resultados. Lo importante de todo esto, es que se vea que ha más de los desplazamientos
horizontales existen desplazamientos verticales y rotaciones, en cada uno de los nudos.
Figura 8.10 Modos de vibración considerando todos los grados de libertad.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Normalmente, para el análisis sísmico plano, se dibujan los modos de vibración como
se indica en la figura 8.11, para las coordenadas principales, debido a que las coordenadas
secundarias influyen muy poco en la respuesta estructural.
Figura 8.11 Modos de vibración considerando solo los desplazamientos horizontales.
A pesar de que la matrices de rigidez, masa y amortiguamiento son de 10 por 10, la
estructura solo tiene dos modos de vibración, debido a que las dos últimas matrices solo dos
cantidades son diferentes de cero.
En las figuras 8.12 y 8.13 se muestran la respuesta en el tiempo del desplazamiento
horizontal del primer y del segundo piso. Como se trabaja en el rango elástico la estructura
oscila siempre con respecto al eje de coordenadas (desplazamiento igual a cero); cuando la
estructura responde en el rango no lineal este eje varía de acuerdo a las deformaciones
permanentes del sistema. Se aprecia en estas figuras que los dos pisos tienen básicamente el
mismo comportamiento, claro está que el segundo piso tiene mayores desplazamientos
horizontales que el primer piso.
Para fines prácticos, interesa los desplazamientos laterales máximos, estos son:
0.0107 m., para el piso uno y 0.0242 m., para el piso dos.
Desplazamiento Primer Piso
(m)
0,015
0,01
0,005
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-0,005
-0,01
-0,015
Tiempo (Seg)
Figura 8.12 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal del primer piso.
20
Desplazamiento Segundo Piso
(m)
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0,03
0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
-0,005 0
-0,01
-0,015
-0,02
-0,025
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Tiempo (Seg)
Figura 8.13 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal del segundo piso.
Por otra parte, en la figura 8.14 se presentan las fuerzas horizontales que actúan en los
pisos uno y dos, la suma de estas fuerzas horizontales, reporta el cortante basal que se ha
denominado V y en la figura 8.15 se indica la respuesta en el tiempo del cortante basal.
Figura 8.14 Fuerzas horizontales equivalentes y cortante basal
Roberto Aguiar Falconí
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16
Cortante Basal (Ton)
14
12
10
8
6
4
2
0
-2 0
5
10
15
20
Tiempo (Seg)
Figura 8.15 Variación en el tiempo del cortante basal.
Como era de esperarse las respuestas máximas se hallan en la fase intensa del
acelerograma que va desde los 5 hasta los 15 segundos.
Figuras similares, se puede presentar para ver la variación en el tiempo, de los
momentos a flexión, cortantes o fuerzas axiales, en vigas y columnas.
El cortante basal máximo, que se observa en la figura 8.15 es de 14.456 T., es una
cantidad muy alta. Como se estudió en el capítulo 3, este es el cortante elástico y el cortante
inelástico para el cual se diseña la estructura, se obtiene dividiendo el cortante elástico
para el factor de reducción de las fuerzas sísmicas R , que es función del factor de
reducción por ductilidad Rµ , del factor de resistencia Rs y del factor de redundancia
RR
8.5 COMENTARIO SOBRE CORTANTE BASAL MINIMO
Algunos proyectistas estructurales, reducen el cálculo sísmico a obtener el cortante
basal V0 de acuerdo al Código Ecuatoriano de la Construcción y luego encuentran las fuerzas
laterales en cada uno de los pisos. El valor de V0 se halla con la siguiente ecuación:
V0 =
ZIC
W
R φ p φe
( 8.20 )
Donde Z es el factor de zonificación sísmica, I es el coeficiente de importancia, C el
coeficiente sísmico, R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas, φ p , φ e coeficientes
que toman en cuenta las irregularidades en planta y elevación, W es el peso reactivo que se
obtiene únicamente con la carga muerta.
Para el ejercicio que se resolvió en el apartado anterior, se tiene que el factor de
zonificación es igual a 0.4, el de importancia es 1, que el coeficiente sísmico C = 3 . Para el
tipo de estructura el Código Ecuatoriano de la Construcción permite trabajar con R = 10 y
como la estructura no tiene irregularidades en planta y elevación se tiene: φ p = φ e = 1 .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El peso total reactivo, obtienen multiplicando el área cooperante (negreada de figura
8.4) por el valor de la carga muerta y por el número de pisos, de tal forma que:
⎤
⎡⎛ 4 ∗ 2
⎞
W = ⎢⎜
∗ 2 ⎟ ∗ 0.5⎥ ∗ 2 = 8 T .
⎠
⎣⎝ 2
⎦
Al reemplazar todos estos valores, se encuentra que el cortante basal mínimo V0 es
igual a:
V0 =
0.4 ∗ 1.0 ∗ 3.0
∗ 8 = 0.96 T
10 ∗ 1 ∗ 1
El cortante basal que se obtuvo del análisis elástico es de 14.456 T., y si diseñan para
un cortante basal de 0.96 T., el real valor de R con el cual están trabajando es 15.05, cantidad
que resulta de dividir 14.456 para 0.96.
Se debe tener mucho cuidado con el valor de R . Se recomienda que en pórticos
planos conformados por vigas y columnas el valor máximo de R sea igual a 8, con el
compromiso del proyectista estructural de que va a cumplir estrictamente con todo lo
estipulado en el Código A.C.I. de 2005.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 9
PROCEDIMIENTO DE ESPACIO DE ESTADO
RESUMEN
El Procedimiento de Espacio de Estado, SSP, es muy utilizado en el control activo de
estructuras, sin embargo aquí se lo presenta para resolver la respuesta en el tiempo de un
sistema de múltiples grados de libertad acoplados. Por lo tanto se trabajan con matrices de
rigidez, masa y amortiguamiento que no son diagonales. El Procedimiento de Espacio de
Estado, tiene enormes ventajas de exactitud y tiempo de ejecución respecto a métodos
clásicos. Además de ello no presenta problemas de estabilidad en la solución numérica.
Se presenta el programa denominado PSE que encuentra la respuesta en el tiempo
para cualquier modelo numérico de cálculo ya que se debe dar como datos: las matrices de
masa, amortiguamiento y rigidez; de igual manera, se dará como dato el vector que multiplica a
la aceleración del suelo. El programa PSE halla la respuesta en el tiempo de un sistema de
múltiples grados de libertad ante un determinado acelerograma y presenta la historia de
desplazamientos correspondiente al grado de libertad n, pero el usuario fácilmente puede
encontrar la respuesta en desplazamientos con respecto a cualquier grado de libertad.
Finalmente se presenta un modelo de análisis sísmico de un sistema en forma de
péndulo invertido considerando la interacción suelo estructura, donde se aplica el
Procedimiento de Espacio de Estado para encontrar la respuesta en el tiempo.
9.1 FORMULACIÓN DEL PROBLEMA
El sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan los problemas de dinámica
estructural, es el siguiente:
..
.
M q +C q + K q =Q
( 9.1 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Donde
M , C, K
.
son
las
matrices
de
masa,
amortiguamiento
y
rigidez,
..
respectivamente; q, q, q son los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración. Q es
el vector de cargas generalizadas.
Al premultiplicar la ecuación ( 9.1 ) por M
..
−1
, por la izquierda, se halla:
.
q + M −1 C q + M −1 K q = M −1 Q
( 9.2 )
Como artificio numérico de cálculo se introduce la siguiente ecuación:
.
.
q−q=0
( 9.3 )
Se introduce la siguiente notación:
⎡q ⎤
X = ⎢.⎥
⎢⎣q ⎥⎦
⎡.⎤
q
⇒ X = ⎢ .. ⎥
⎢ ⎥
⎣q ⎦
.
( 9.4 )
Con esta notación, las ecuaciones ( 9.3 ) y ( 9.2 ), quedan:
.
X =F X +r
( 9.5 )
Donde:
⎡ 0
F =⎢
−1
⎣− M K
I
− M −1 C
⎤
⎥
⎦
⎡ 0 ⎤
r = ⎢ −1 ⎥
⎣M Q⎦
( 9.6 )
( 9.7 )
La solución del sistema es la siguiente:
X k +1 = A X k + P1 rk +1 + P2 (rk +1 − rk )
( 9.8 )
Siendo:
A = e ∆t F
F
−1
( 9.9 )
P1 = F −1 ( A − I )
( 9.10 )
⎛ 1
⎞
P2 = F −1 ⎜
P1 − A ⎟
⎝ ∆t
⎠
( 9.11 )
⎡ − K −1 C
=⎢
⎣ I
− K −1 M ⎤
⎥
0 ⎦
En la ecuación ( 9.8 ) el subíndice k corresponde al instante de tiempo k y el subíndice
k+1 al instante de tiempo k+1. En la ecuación ( 9.9 ), ∆t es el incremento de tiempo con el cual
se desea hallar la respuesta en el tiempo. En el programa PSE que se presenta en los
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
siguientes apartados se ha considerado que ∆t es el incremento de tiempo con el cual se
obtuvo el acelerograma y es igual al incremento de tiempo con el cual se halla la respuesta en
el tiempo.
Para hallar el vector de estado X en el instante k+1 mediante la ecuación ( 9.8 ) se
debe conocer el valor de X en el instante k, el valor de la excitación en los instantes k y k+1.
La fuente de error se tiene en el cálculo del exponencial de la matriz:
A = exp(∆t F ) = Φ E Φ −1
( 9.12 )
Siendo Φ la matriz modal, cuyas columnas son los vectores propios de F , E es la
matriz diagonal cuyos elementos son exp(∆t λ ) , donde λ son los valores propios de F .
9.2 FORMULACIÓN DE LA RESPUESTA
La solución de la ecuación ( 9.5 ) es la siguiente:
t
X (t ) = exp(F t ) X 0 + ∫ exp[F (t − τ )] r (τ ) dτ
( 9.13 )
0
Al discretizar la respuesta y considerando un incremento constante de tiempo ∆t se
puede encontrar la respuesta en un instante t = (k + 1)∆t en función del valor anterior para
t 0 = k ∆t .
X (k∆t + ∆t ) = exp(F ∆t )X (k∆t ) +
( k +1)∆t
∫ exp{[(k + 1)∆t − τ ]F } [r (τ )]dτ
k∆t
Se considera que la variación de la excitación r entre el instante de tiempo k ∆t y el
instante de tiempo (k + 1)∆t es lineal. Luego:
r (τ ) = r (k∆t ) + (τ − k∆t )
r (k∆t + ∆t ) − r (k∆t )
∆t
k∆t ≤ τ < (k + 1)∆t
Al sustituir esta variación de r (τ ) en la integral y considerando el siguiente cambio de
variable:
µ = (k + 1)∆t − τ
⇒ dµ = − dτ
Se tiene:
r (k∆t + ∆t ) − r (k∆t )
⎡
⎤
X (k∆t + ∆t ) = exp(F ∆t )X (k∆t ) + ∫ exp(µF )⎢(∆t − µ )
+ r (k∆t )⎥ dµ
∆t
⎦
⎣
0
∆t
Ecuación que puede expresarse en forma condensada, de la siguiente manera:
X (k + 1) = A X (k ) + P1 r (k + 1) P2 [r (k + 1) − r (k )]
Donde:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
A = e ∆t F
P1 = F −1 ( A − I )
⎛ 1
⎞
P2 = F −1 ⎜
P1 − A ⎟
⎝ ∆t
⎠
El algoritmo de Espacio de Estado puede ser considerado como la generalización de la
integral de Duhamel para varios grados de libertad.
9.3 PROGRAMA PSE
El programa PSE encuentra la respuesta en el tiempo de un sistema de n grados de
libertad ante una acción sísmica definida por el acelerograma. La forma de uso del programa
es la siguiente:
[q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt)
•
•
•
•
•
•
M es la matriz de masas del sistema, de orden nXn. El usuario debe indicar por consola
esta matriz.
C es la matriz de amortiguamiento del sistema, que debe el usuario dar por consola.
K es la matriz de rigidez del sistema, que debe el usuario dar por consola.
Qo es el vector que multiplica a la aceleración del suelo, se debe indicar por consola.
p es el nombre del archivo que contiene al acelerograma.
dt es el incremento de tiempo del acelerograma. Con este incremento de tiempo se
encuentra la respuesta en el tiempo.
Si se tiene un sistema de un grado de libertad, la ecuación del movimiento es:
..
.
m q + c q + k q = − m a(t )
Para este caso el valor de Qo que se debe indicar al programa es: Qo=[-m]
Para un sistema de múltiples grados de libertad, el sistema de ecuaciones diferenciales
es el siguiente:
..
.
M q + C q + K q = − M J a (t )
En este caso el valor de Qo es: Q0 = − M J
Como se aprecia Qo es el vector que multiplica a la aceleración del suelo a ( t ) . Es
importante tener presente las unidades en las cuales está el acelerograma. Si las unidades
están en cm./s2, en el cálculo de las matrices de masa, rigidez y amortiguamiento se deberá
trabajar con T., y cm., como se aprecia en el primer ejemplo que se resuelve, posteriormente.
Si en todo el cálculo dinámico se ha trabajado en T., y m., el usuario del programa
debe cambiar las unidades del acelerograma de cm./s2 a m/s2. Esto antes de utilizar el
programa PSE, la otra opción es modificar al programa de tal manera que la aceleración del
suelo se pase de cm./s2., a m/s2.; este procedimiento se ilustra en el segundo ejemplo. Lo
importante es que se tengan unidades compatibles.
function [q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt)
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
%
% Procedimiento de Espacio de Estado para sistemas de n grados de libertad
% Programa general en que se requiere la respuesta ante un acelerograma.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI ESPE
% ----------------------------------------------------------------% [q]=pse(M,C,K,Qo,p,dt)
% ----------------------------------------------------------------% M Matriz de masas.
% C Matriz de amortiguamiento.
% K Matriz de rigidez.
% Qo Coeficiente del vector de cargas que multiplica a la aceleracion
%
del suelo.
% p Acelerograma para el cual se calcula la respuesta en el tiempo.
%
Previamente el usuario habrá calculado las matrices de masa,
%
amortiguamiento, rigidez, así como el coeficiente Qo.
% F Matriz de orden 2nx2n
% q Los n primeros valores corresponden a los desplazamientos y los
%
restantes a las velocidades.
% dt Incremento de tiempo con el cual se obtiene la respuesta.
ngl=length(K);
% Matriz F
CERO=zeros(ngl,ngl); IDENT=eye(ngl,ngl);MIK=(-1)*inv(M)*K;MIC=(-1)*inv(M)*C;
F=[CERO IDENT; MIK
MIC];
% Exponencial de la matriz F multiplicado por dt
A=expm(dt*F);
% Matrices P1 y P2
IDEN=eye(2*ngl,2*ngl); P1=inv(F)*(A-IDEN); P2=inv(F)*((1/dt)*P1-A);
% Vector r de cargas sísmicas
for i=1:ngl; NULO(i)=0; end; MIQ=inv(M)*Qo;
% respuesta en el tiempo
n=length(p);
for i=1:2*ngl; Xk(i)=0;end; Xk=Xk';q=Xk(ngl);
for i=1:n-1
t(i)=i*dt;
MCARGA=MIQ*p(i);
MCARGA2=MIQ*p(i+1);rk=[NULO';
MCARGA];rk2=[NULO';
MCARGA2];
Xk2=A*Xk+P1*rk2+P2*(rk2-rk);
% Solo almacena la respuesta en el tiempo del ultimo grado de libertad
q(i)=Xk2(ngl); Xk=Xk2;
end
q=q'; t=t';
% Dibujo para la respuesta en el tiempo del ultimo piso
plot (t,q)
xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento ultimo piso');
% ---fin
9.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Se resuelven dos ejemplos, el primero corresponde a un sistema de 1 gdl., que es el
sistema del ejercicio 1, resuelto en el capítulo 1 y el segundo a un pórtico de 3 pisos. En el
primer caso las unidades son compatibles, mientras que en el segundo no lo son.
•
EJEMPLO 1
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Encontrar la respuesta en el tiempo de un sistema de 1 gdl., que está definido por:
T s2
m = 0.004898
cm
c = 0.0030775
T
cm
k = 0.193366
T
cm
Ante el sismo registrado en el Perú el 9 de noviembre de 1974, cuyo archivo está en
gals y se denomina Peru04.dat. El intervalo de tiempo de este archivo es 0.02 s.
•
SOLUCIÓN
En la figura 9.1 se presenta la respuesta en el tiempo del sistema, pero antes se indica
la forma como se debe proceder para la entrada de datos.
>> M=[0.004898]
>> C=[0.003775]
>> K=[0.193366]
>> Qo=[-0.004898]
>> load Peru04.dat
>> [q]=pse(M,C,K,Qo,Peru04,0.02)
Las matrices F , F
−1
0
⎡
F =⎢
⎣− 39.4786
⎡ 0.0199
P1 = ⎢
⎣− 0.0079
, A, P1 , P2 , son:
1
⎤
− 0.6283⎥⎦
⎡− 0.0159
F −1 = ⎢
1
⎣
⎡ 0.9921
A=⎢
⎣− 0.7826
0.0198 ⎤
0.9797 ⎥⎦
0.0002 ⎤
0.0198⎥⎦
⎡− 0.010
P2 = ⎢
⎣0.0052
− 0.0253⎤
0 ⎥⎦
− 0.0001 ⎤
− 0.0099⎥⎦
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 9.1 Respuesta en el tiempo de ejemplo 1.
•
EJEMPLO 2
Encontrar la respuesta en el tiempo, del tercer piso, de la estructura indicada en la
figura 9.2, ante el sismo de Perú del 9 de noviembre de 1974. Las unidades con las cuales se
obtuvieron las matrices de rigidez, masa y amortiguamiento son T., y m.
⎡ 2761.1
K = ⎢⎢− 1538.1
⎢⎣ 285.7
− 1538.1
2278.0
− 1080.6
⎡ 6.3608
C = ⎢⎢− 2.1516
⎢⎣ 0.0124
La
matriz
ξ1 = ξ 2 = ξ 3 = 0.05 .
de
285.7 ⎤
− 1080.6⎥⎥
836.9 ⎥⎦
− 2.1516
se
obtuvo
0 ⎤
1.633
0 ⎥⎥
0
1.633⎥⎦
0
⎡− 1.633⎤
Q0 = ⎢⎢− 1.633⎥⎥
⎢⎣− 1.633⎥⎦
0.0124 ⎤
− 2.1143⎥⎥
3.0325 ⎥⎦
5.3010
− 2.1143
amortiguamiento
⎡1.633
M = ⎢⎢ 0
⎢⎣ 0
con
los
siguientes
valores
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 9.2 Pórtico plano sometido a dos ensayos de vibración libre.
•
SOLUCIÓN
Se modificó al programa PSE debido a que el acelerograma está en cm./s2 y se desea
tener en m/s2. Las sentencias que se incrementaron son:
for i=1:n
p(i)=p(i)/100;
end
En la figura 9.3 se indica la respuesta de desplazamientos del tercer piso, se aprecia
que prácticamente se obtuvieron los mismos resultados cuando se aplicó el Método de
Newmark, en el capítulo anterior.
Los desplazamientos laterales máximos, para cada uno de los pisos y el cálculo de la
deriva máxima de piso se indican en la tabla 9.1. La deriva máxima de piso es el
desplazamiento relativo de piso dividido para la altura de piso.
Piso
3
2
1
Tabla 9.1 Cálculo de la deriva máxima de piso
Desplazamiento Desplazamiento
Altura de Piso
Máximo
Relativo
(m)
(m)
(m)
0.0227
0.0063
3.00
0.0164
0.0092
3.00
0.0072
0.0072
3.00
Deriva de Piso
(%)
0.21
0.31
0.24
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 9.3 Desplazamientos del tercer piso de ejemplo 2.
En la última columna de la tabla 9.1 se indica la deriva máxima de piso en porcentaje.
Interesa el mayor valor de todos ellos. Este es 0.31%.
9.5 INTRODUCCION A LA INTERACCIÓN SUELO ESTRUCTURA
A la izquierda de la figura 9.4 se presenta un modelo de cálculo de una estructura en
forma de péndulo invertido que tiene una masa m y su correspondiente cimentación que tiene
una masa mo. Este modelo fue presentado en el capítulo 5, cuando se calculó la matriz de
masas. La diferencia que se tiene ahora es que los giros se consideran horario positivos. En el
libro “Análisis Sísmico de estructuras en forma de Péndulo Invertido” de Roberto Aguiar (1991)
se presenta un estudio muy detallado. Aquí se presentan la forma de la matrices de rigidez,
masa y del vector de cargas generalizadas y se realiza un ejemplo de cálculo utilizando el
Procedimiento de Espacio de Estado.
•
Figura 9.4 Modelo de Péndulo Invertido considerando la interacción suelo estructura.
Matriz de rigidez
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡t
⎢ '
b
K=⎢
⎢0
⎢
⎢⎣0
'
b'
0
k'
0
0
kd
0
0
0⎤
⎥
0⎥
0⎥
⎥
k r ⎥⎦
( 9.14 )
'
Donde t , b , k son elementos de la matriz de rigidez, considerando base empotrada.
En el capítulo 4 se indicó como se obtienen estos valores. k d es la rigidez lineal del conjunto
suelo-cimentación. k r es la rigidez angular del conjunto suelo-cimentación.
•
Matriz de masas
⎡ m
⎢ 0
M=⎢
⎢ m
⎢
⎣⎢− mH
0
J
−m H
J
⎤
⎥
⎥
⎥
− mH
⎥
mH 2 + J * J c ⎦⎥
m
0
0
m + m0
J
−m H
( 9.15 )
Donde m, m0 son las masas de la estructura y de la cimentación; J , J c son los
momentos de inercia de las masas de la estructura y de la cimentación;
cimentación y la losa como se aprecia en la figura 5.4.
•
H es la altura entre la
Matriz de amortiguamiento
⎡C E
C = ⎢⎢
⎢⎣
Cd
⎤
⎥
⎥
C r ⎥⎦
( 9.16 )
Donde C E es la matriz de amortiguamiento que se obtiene con la base empotrada,
puede calcularse utilizando el Método de Rayleigh o el algoritmo propuesto por Wilson y
Penzien, estudiados en el capítulo 7; C d es el amortiguamiento viscoso lineal del conjunto
suelo-cimentación; C r es el amortiguamiento viscoso angular del conjunto suelo-cimentación.
•
Vector de Cargas
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡ m ⎤
⎢ 0 ⎥
⎥ a (t )
Q = Q0 a (t ) = − ⎢
⎢m + m0 ⎥
⎢
⎥
⎣− m H ⎦
La variable todavía no definida es
•
( 9.17 )
a (t ) que es la aceleración del suelo.
EJEMPLO 3
Encontrar la respuesta en el tiempo, del desplazamiento horizontal de la estructura, de
la banda transportadora de material indicada en el capítulo 6 del libro: “Análisis Sísmico de
estructuras en forma de péndulo invertido”, Aguiar (1991); ante el sismo del 9 de noviembre de
1974, si las matrices que definen el problema dinámico, son:
0.0
0.596
⎡0.596
⎢0.0
0.091
0.00
M =⎢
⎢0.596
0.0
0.787
⎢
⎣− 2.682 0.091 − 2.682
⎡2060.995
⎢3091.493
K =⎢
⎢ 0.0
⎢
⎣ 0.0
•
3091.493
6182.987
0.0
0.0
− 2.682⎤
⎡0.898
⎢0.417
0.091 ⎥⎥
C=⎢
⎢0.0
− 2.682⎥
⎥
⎢
12.185 ⎦
⎣0.0
0.417
0.0
0.930
0.0
0.0
41.232
0.0
0.0
0.0
0.0
⎤
⎥
0.0
0.0
⎥
⎥
38539.311
0.0
⎥
0.0
38151.929⎦
0.0 ⎤
0.0 ⎥⎥
0.0 ⎥
⎥
5.593⎦
⎡0.596 ⎤
⎢0.00 ⎥
⎥
Q0 = − ⎢
⎢0.787 ⎥
⎢
⎥
⎣− 2.682⎦
SOLUCIÓN
El desplazamiento lateral máximo de la banda transportadora ante el sismo del 9 de
noviembre de 1974 es de 6.5 mm. Se destaca que la aceleración máxima del sismo es de
116.785 gals.
En la figura 9.5 se presenta la respuesta en el tiempo solicitada.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 9.5 Respuesta en el tiempo del desplazamiento horizontal de la estructura.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 10
SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE FLEXIÓN
RESUMEN
El análisis de una viga en voladizo, que trabaja a flexión, es muy utilizado para
modelar edificios con muros de corte, razón por la cual en este capítulo se deduce en primer
lugar la ecuación diferencial de una viga a flexión de sección constante o variable, modelada
como un sistema continuo, sometida a cargas transversales al eje del elemento. Todo el
estudio se enfoca hacia vigas de sección constante.
Posteriormente se estudia con detenimiento el problema de vibración libre en sistemas
continuos, para tres casos que son: viga en voladizo, viga apoyada-apoyada y viga en voladizo
considerando la interacción suelo estructura; es importante reconocer las formas modales
especialmente de la viga en voladizo con base empotrada.
Luego se realiza un estudio bastante detallado sobre la ortogonalidad de lo modos de
vibración en sistemas continuos y finalmente se resuelve el caso de vibración forzada de una
viga en voladizo con base empotrada ante una acción sísmica definida por un acelerograma.
El marco teórico se complementa con la realización de ejemplos y programas de
computación. Se han elaborado los siguientes programas: VLIBREVOLADIZO, que presenta
las formas modales para una viga en voladizo con base empotrada; VLIBREAPOYADO, que
halla las formas modales para una viga apoyada apoyada; VLIBREINTERACCION, que
demuestra como se incrementa el período de vibración, de una estructura si se halla en suelos
blandos, obtiene curvas para diferentes relaciones de la rigidez trasnacional del suelocimentación con respecto a la rigidez de la estructura y también de la rigidez rotacional del
suelo-cimentación con respecto a la rigidez de la estructura.
Se presenta también el programa MASAMODALFLEXION, que determina la masa
modal equivalente de una viga en flexión, para los cinco primeros modos y se demuestra que
es el mínimo número de modos que se deben considerar en la respuesta sísmica. El último
programa desarrollado es VFORZADAVOLADIZO, que halla la respuesta en el tiempo del
desplazamiento lateral en el tope de la viga en voladizo, con base empotrada, ante un sismo
caracterizado por su acelerograma.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
10.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO
Se estudian las vibraciones de una viga de flexión, de sección constante o variable,
sometido a unas fuerzas transversales al eje de elemento, P ( x, t ) las mismas que varían en el
__
tiempo, como se ilustra en la figura 10.1. Se denomina m a la masa por unidad de longitud; L
a la longitud del elemento. Si bien en la figura 10.1 se han colocado dos apoyos fijos para
presentar el problema, se puede tener cualquier tipo de apoyo.
Figura 10.1 Viga transversal con carga transversal al eje del elemento.
Para encontrar la ecuación diferencial que gobierna el problema, es necesario
considerar un elemento diferencial como el mostrado en la figura 10.2 y en el describir las
cargas actuantes; el peso propio no está en la dirección en que se realiza la suma de fuerzas.
Sean V , M el cortante y momento a la izquierda del elemento diferencial, se considera
únicamente el primer término de variación de la serie de Taylor para el cortante y momento a la
derecha del elemento diferencial. Del equilibrio de fuerzas verticales, se tiene:
V − (V +
Donde
__
dV
d 2Y
dx) + P dx − m dx 2 = 0
dx
dt
( 10.1 )
Y ( x, t ) es el desplazamiento vertical en el punto x y en el instante de tiempo
t . De paso nótese la convención de signos positiva considerada para el cortante y la flexión.
Simplificando la expresión y dividiéndola para dx se tiene:
__
dV
d 2Y
= P −m 2
dx
dt
( 10.2 )
Del equilibrio de momentos, con respecto al punto A, se tiene:
2
(
dx )
Vdx + M + P
2
− (M +
dM
dx) = 0
dx
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.2 Elemento diferencial y cargas actuantes
Por ser un elemento diferencial, se puede considerar que dx elevado al cuadrado es
igual a cero. Luego de simplificar los momentos y dividiendo para dx , se halla:
V =
dM
dx
( 10.3 )
De la resistencia de materiales se conoce que:
d 2Y
M
=
2
EI ( x)
dx
⇒ M = EI ( x)
d 2Y
dx 2
Derivando esta última expresión obtenemos el cortante, como sigue:
V =
d ⎡
d 2Y ⎤
(
)
EI
x
⎥
⎢
dx ⎣
dx 2 ⎦
V =E
dI ( x) d 2Y
d 3Y
EI
x
+
(
)
dx dx 2
dx 3
Ahora al derivar esta última ecuación y al reemplazar en ( 10.2 ) se halla:
d 4Y
dI ( x) d 3Y
d 2 I ( x) d 2Y
d 2Y
EI ( x) 4 + 2 E
+E
= P−m 2
dx dx 3
dx
dx 2 dx 2
dt
( 10.4 )
Que es la ecuación diferencial general para una viga de flexión, de inercia variable, que
está sujeto a cargas transversales al eje. Para elementos de sección constante la derivada de
la inercia con respecto a x es cero, con lo que la ecuación (10.4) queda:
EI
d 4Y
d 2Y
+
m
=P
dx 4
dt 2
( 10.5 )
Se deja constancia, desde un punto de vista riguroso, que las derivadas que
intervienen en ( 10.5 ) no son derivadas ordinarias, sino derivadas parciales ya que Y es
función de ( x,t ). Por lo tanto, la ecuación ( 10.5 ) debió haberse escrito de la siguiente manera:
EI
∂ 4Y
∂ 2Y
m
=P
+
∂x 4
∂t 2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
10.2 VIBRACIÓN LIBRE
Para el caso de vibración libre se tiene que la fuerza transversal P = 0 . Luego la
ecuación diferencial a resolver es:
EI
d 4Y
d 2Y
+
=0
m
dx 4
dt 2
Se plantea la solución como el producto de una función modal
del tiempo
( 10.6 )
v( x) por una función
y (t )
Y ( x, t ) = v( x) y (t )
( 10.7 )
Al obtener la derivada cuarta de Y con respecto a x, y la derivada segunda de Y con
respecto al tiempo y al reemplazar en ( 10.6 ) se halla:
__
d 4v
m
d2y
(
)
+
(
)
=0
y
t
v
x
EI
dx 4
dt 2
Al dividir todo por v( x) se halla:
d 4v
__
2
dx 4 y (t ) + m d y = 0
v( x)
EI dt 2
De donde:
d2y
d 4v
__
dx 4 = − m dt 2
v( x)
EI y (t )
( 10.8 )
El lado izquierdo de la ecuación (10.8) solo depende de la variable x, y el lado derecho
depende de la variable t . Luego para que se cumpla ( 10.8 ) es importante y necesario que sea
igual esta igualdad sea igual a una constante a4
d2y
d 4v
__
dx 4 = − m dt 2 = a 4
v( x)
EI y (t )
Luego el problema de vibración libre, definido en ( 10.6 ) se ha desacoplado en dos
problemas, que son:
d 4v
dx 4 = a 4
v( x)
d2y
m dt 2
−
= a4
EI y (t )
⇒
__
⇒
d 4v
− a 4 v( x) = 0
4
dx
d 2 y EI 4
+ __ a y (t ) = 0
dt 2
m
( 10.9 )
( 10.10 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Se aprecia que la ecuación ( 10.10 ) representa un problema de vibración libre sin
amortiguamiento en un sistema de un grado de libertad pero para ello debe cumplirse que:
Wn2 =
EI
__
a4
( 10.11 )
m
Por lo tanto, para encontrar la frecuencia natural
Wn del sistema, se debe calcular
primero el valor de a mediante la ecuación ( 10.9 ) cuya solución es:
v( x) = A sen(ax) + B cos(ax) + C senh(ax) + D cosh(ax)
Las constantes de integración:
( 10.12 )
A, B, C , D dependen de las condiciones de contorno.
Figura 10.3 Viga en voladizo de flexión.
10.2.1 Viga en Voladizo
•
EJEMPLO 1
Encontrar los modos de vibración de la viga de flexión en voladizo presentada en la
figura 10.3, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.
•
SOLUCIÓN
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para la viga en voladizo, las condiciones de borde, son:
i.
ii.
iii.
iv.
x=0
En x = 0
En x = L
En x = L
En
⇒
⇒
⇒
⇒
v( x) = 0
θ ( x) = 0
V =0
M =0
Para reemplazar las condiciones de borde es necesario calcular las derivadas de
v( x)
v ' ( x) = A a cos(ax) − B a sen(ax) + C a cosh(ax) + D a senh(ax)
v '' ( x) = − A a 2 sen(ax) − B a 2 cos(ax) + C a 2 senh(ax) + D a 2 cosh(ax)
v ''' ( x) = − A a 3 cos(ax) + B a 3 sen(ax) + C a 3 cosh(ax) + D a 3 senh(ax)
El cortante se calcula con la tercera derivada y el momento con la segunda derivada.
Con esta indicación al reemplazar las condiciones de borde, se tiene en forma matricial:
⎡ 0
⎢ 1
⎢
⎢cos(aL)
⎢
⎣ sen(aL)
1
0
− sen(aL)
cos(aL)
0
1
− cosh(aL)
− senh(aL)
1
⎤
⎥
0
⎥
− senh(aL)⎥
⎥
− cosh(aL) ⎦
⎡A⎤
⎢B ⎥
⎢ ⎥=0
⎢C ⎥
⎢ ⎥
⎣ D⎦
( 10.13 )
Para que se cumpla ( 10.3 ) debe cumplir que el determinante de los coeficientes debe
ser cero. Luego:
⎡ 0
⎢ 1
det ⎢
⎢cos(aL)
⎢
⎣ sen(aL)
1
0
− sen(aL)
cos(aL)
0
1
− cosh(aL)
− senh(aL)
1
⎤
⎥
0
⎥=0
− senh(aL)⎥
⎥
− cosh(aL) ⎦
Al desarrollar el determinante y después de algunas simplificaciones, se tiene:
1 + cos( p) cosh( p) = 0
( 10.14 )
Siendo:
p=aL
Las tres primeras raíces de
( 10.15 )
p , son:
p1 = 1.875
p 2 = 4.694
p3 = 7.854
A partir de la tercera raíz se cumple, aproximadamente que:
p n ≈ (2 n − 1)
π
2
n≥3
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El sistema de ecuaciones definido en ( 10.13 ) en linealmente dependiente, luego es
necesario imponerse el valor de una variable y hallar las restantes. Para A = 1 las constantes
de integración, son:
A =1
C = −1
D=
cos( p ) + cosh( p )
senh( p ) − sen( p )
B = −D
( 10.16 )
Para hallar las formas modales, se debe reemplazar el valor de las constantes de
integración en la ecuación ( 10.12 ).
El programa VLIBREVOLADIZO encuentra en forma gráfica los tres primeros modos
de vibración de una viga de sección constante en voladizo. La forma de uso del programa, es:
[v]=vlibrevoladizo(L)
•
•
L es la longitud de la viga en voladizo.
v es la forma modal.
function [V]=vlibrevoladizo(L)
%
% Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga de flexion en voladizo
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [v]=vlibrevoladizo(L)
%------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento
% Las tres primeras raices de: 1+cos(p)*cosh(p)=0
% son: p1=1.875
p2=4.694
p3=7.854
% p=aL
% Constantes de Integracion
p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L;
A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1;
D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2;
D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3;
for i=1:100
x(i)=i*dx;
v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1);
v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2);
v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3);
end
hold off
plot(v1,x,'--'); hold on
plot(v2,x,':'); plot(v3,x,'-.')
ylabel('Altura'); title('Formas modales de una viga en voladizo')
hold off
%---fin---
En la figura 10.4, se indican las tres primeras formas modales de la viga en voladizo del
ejemplo 1.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.4 Formas modales para una viga de 4.0 m., de longitud.
10.2.2 Viga apoyada
•
EJEMPLO 2
Encontrar los modos de vibración de la viga apoyada-apoyada, de sección constante,
presentada en la figura 10.5, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.
Figura 10.5 Viga apoyada-apoyada.
•
SOLUCIÓN
Para la viga apoyada-apoyada, las condiciones de borde, son:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
i.
ii.
iii.
iv.
x=0
En x = 0
En x = L
En x = L
En
⇒
⇒
⇒
⇒
v( x) = 0
M ( x) = 0
v( x) = 0
M ( x) = 0
Las condiciones de borde, conducen al planteamiento del siguiente sistema de
ecuaciones.
⎡ 0
⎢ 0
⎢
⎢ sen( p )
⎢
⎣− sen( p )
1
−1
cos( p)
− cos( p)
1
⎤
⎥
1
⎥
cosh( p) ⎥
⎥
cosh( p)⎦
0
0
senh( p )
senh( p)
⎡A⎤
⎢B ⎥
⎢ ⎥=0
⎢C ⎥
⎢ ⎥
⎣ D⎦
( 10.17 )
Procediendo de igual manera, que el ejemplo anterior, se halla que el polinomio
característico es:
sen( p) senh( p ) = 0
( 10.18 )
Las raíces de ( 10.18 ) son:
p1 = π
p 2 = 2π
p3 = 3π
En general, se tiene que:
pi = i π
( 10.19 )
De las dos primeras condiciones de borde se concluye que:
B=D=0
Luego quedan dos ecuaciones dependientes, al imponernos
C=−
sen( p)
senh( p)
( 10.20 )
A = 1 se encuentra:
( 10.21 )
En la figura 10.6 se indican las tres primeras formas modales de la viga apoyadaapoyada.
El programa que encuentra los modos de vibración de una viga de sección constante,
apoyada-apoyada, se denomina VLIBREAPOYADO y la forma de uso es la siguiente:
[v]=vlibreapoyado (L)
•
•
L es la longitud de la viga en voladizo.
v es la forma modal.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.6 Modos de vibración de una viga apoyada-apoyada.
function [V]=vlibreapoyado(L)
%
% Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga en voladizo
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [v]=vlibreapoyado(L)
%------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento
% Las cuatro primeras raices de: sen(p)*senh(p)=0
% son: p1=3.1416 p2=6.2832 p3=9,4248 p4=12.5664
% p=aL
% Constantes de Integracion
p1=pi;a1=p1/L;dx=L/100; p2=2*pi; a2=p2/L; p3=3*pi; a3=p3/L; p4=4*pi; a4=p4/L;
B=0; D=0; A=1; C1=-sin(p1)/sinh(p1); C2=-sin(p2)/sinh(p2);
C3=-sin(p3)/sinh(p3);
for i=1:100
x(i)=i*dx;
v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B*cos(x(i)*a1)+C1*sinh(x(i)*a1)+D*cosh(x(i)*a1);
v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B*cos(x(i)*a2)+C2*sinh(x(i)*a2)+D*cosh(x(i)*a2);
v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B*cos(x(i)*a3)+C3*sinh(x(i)*a3)+D*cosh(x(i)*a3);
end
hold off
plot(x,v1,'--'); hold on
plot(x,v2,':'); plot(x,v3,'-.');
xlabel('Longitud'); title('Formas modales de una viga apoyada-apoyada')
hold off
%---fin---
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.7 Modelo considerado para el estudio de la interacción suelo-estructura
10.2.3 Interacción suelo estructura
En la figura 10.7 se indica el modelo que se considera la para el estudio de la
interacción suelo-estructura. Se tiene la viga a flexión de sección constante, con masa uniforme
distribuida, la misma que está simplemente apoyada y en su base existen dos resortes: un
horizontal de rigidez lineal k d y uno rotacional de rigidez k r .
Para el modelo numérico de las figura 10.7, las condiciones de borde, son:
i.
ii.
iii.
iv.
x=0
En x = 0
En x = L
En x = L
En
⇒
⇒
⇒
⇒
V = − K d ∗ v(0)
M = k r ∗ θ ( 0)
V =0
M =0
Para ver el signo negativo de la primera condición se recomienda mirar la convención
de signos positiva de la figura 10.1 al tener un desplazamiento lateral en la base se genera en
el resorte una fuerza de sentido contrario a la convención positiva en el resorte por lo que es
negativo. Por facilidad se denomina:
µ=
Se conoce que:
kd
EI
λ=
kr
EI
( 10.22 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
V = EI
d 3v
= EI v '''
3
dx
Luego la condición i., conduce a:
EI v ''' (0) = − k d v(0)
⇒ v '' ' ( 0 ) +
kd
v ( 0)
EI
( 10.23 )
De donde
− A a3 + C a3 +
Kd
(B + D ) = 0
EI
A a 3 − C a 3 − µ (B + D ) = 0 ( 10.24 )
⇒
Para la condición ii., se tiene:
EI
d 2v
(0) − k r v ' (0) = 0
dx 2
⇒ v '' (0) −
kr '
v (0) = 0
EI
Luego:
− B a2 + D a2 −
kr
(A a + C a) = 0
EI
Al cambiar de signo y teniendo en cuenta ( 10.22 ) se halla:
B a 2 − D a 2 + λ (A a + C a) = 0
⇒ B a − D a + λ ( A + C ) = 0 ( 10.25 )
La tercera y cuarta condición fue desarrollada en el sub apartado 10.2.1, cuando se
analizó una viga en voladizo. Por consiguiente, las condiciones de contorno, escrito en forma
matricial son:
⎡ a3
⎢
⎢ λ
⎢cos(aL)
⎢
⎢⎣ sen(aL)
−µ
− a3
a
λ
− sen(aL)
− cosh(aL)
cos(aL)
− senh(aL)
⎤
⎥
−a
⎥
− senh(aL)⎥
⎥
− cosh(aL) ⎥⎦
−µ
⎡A⎤
⎢B ⎥
⎢ ⎥=0
⎢C ⎥
⎢ ⎥
⎣ D⎦
( 10.26 )
Para que ( 10.26 ) tenga solución diferente de cero, se debe cumplir que el
determinante de la matriz de coeficientes debe ser igual a cero. Esta condición reporta:
⎛ 1 a2 ⎞
⎛ a2 1 ⎞
⎟⎟ cos(aL) senh(aL)
a ⎜⎜
+ ⎟⎟ sen(aL) cosh(aL) − a ⎜⎜ −
⎝λ µ ⎠
⎝ µ λ⎠
⎛
⎛ a4
⎞
a4 ⎞
⎟⎟ cos(aL) cosh(aL) − ⎜⎜
− ⎜⎜1 −
+ 1⎟⎟ = 0
µλ ⎠
⎝
⎝ µλ
⎠
Se define:
i=
kr
EI / L
j=
kd
EI / L3
( 10.27 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Con estas definiciones y con la ecuación ( 10.15 ). La ecuación del determinante se
transforma en:
⎛1 p2 ⎞
⎛ p2 1⎞
⎟ cos( p ) senh( p )
p ⎜⎜
+ ⎟⎟ sen( p ) cosh ( p ) − p ⎜⎜ −
j ⎟⎠
⎝i
⎝ j i⎠
( 10.28)
⎛
⎛
p4 ⎞
p4 ⎞
⎟⎟ = 0
⎟⎟ cos( p ) cosh ( p ) − ⎜⎜1 +
− ⎜⎜1 −
⎝ i j⎠
⎝ i j⎠
•
EJEMPLO 3
Presentar en una figura la variación del parámetro p , para el primer modo de
vibración, para valores de j de 1 a 500 y para los siguientes valores de i : 0.5; 5; 50; 500.
•
SOLUCIÓN
Antes de presentar la solución del ejercicio, se destaca que:
p=aL
⇒
a=
p
L
Al sustituir este valor en la ecuación ( 10.11 ) se tiene:
Wn2 =
EI
__
a4
m
De tal manera que el parámetro
vibración.
Wn2 =
EI
__
p4
( 10.29 )
4
mL
p conduce al cálculo de la frecuencia natural de
Para resolver el ejercicio se elaboró el programa VLIBREINTERACCION cuya forma
de utilización es la siguiente:
[p] = vlibreinteraccion
function [p]=vlibreinteraccion
%
% Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga en voladizo
% considerando la interaccion suelo estructura.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [p]=vlibreinteraccion
%------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento
% ii = kr/(EI/L)
jj = kd/(EI/L3)
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
% kr : Rigidez rotacional del conjunto suelo-cimentacion
% kd : Rigidez traslacional del conjunto suelo-cimentacion
% p=aL
% Constantes de Integracion
tol=0.1; valores=[0.5; 5; 50; 500];
for k=1:4
ii=valores(k);
for jj=1:500
dx=0.001; icod=0;
for i=1:3000
p=i*dx; f1= p*((p*p/jj)+(1/ii))*sin(p)*cosh(p);
f2= p*((1/ii)-(p*p/jj))*cos(p)*sinh(p);
f3=(1-(p^4/(ii*jj)))*cos(p)*cosh(p);
f4=1+(p^4/(ii*jj));
ft=abs(f1-f2-f3-f4);
if ft <= tol & icod==0
pp(jj)=p; icod=1;
end
end
end
if k==1
p1=pp';
elseif k==2
p2=pp';
elseif k==3
p3=pp';
else
p4=pp';
end
end
hold off
plot(p1,'--'); hold on; plot(p2,':'); plot(p3,'-.'); plot(p4)
xlabel('Valores de j'); ylabel('Valores de p'), title('Primer modo')
%---fin--En la figura 10.8 se presenta la figura que se obtiene con el programa y en siguiente
sub apartado se comentan las curvas obtenidas.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.8 Frecuencias del primer modo de vibración
10.2.4 Variación del período con la interacción
Valores altos de i implican un suelo muy duro, de tal manera que un valor de i = 500
significa tener una base empotrada. De igual manera valores altos j corresponden a suelos
muy duros. El caso contrario se tendría para valores de i, j muy bajos.
En la figura 10.8 se aprecia que para i = 500 y para valores de
j > 100 el parámetro
p = 1.875 que corresponde al valor que se obtiene, para el primer modo de vibración
considerando base empotrada. De tal manera que las curvas de la figura 10.8 para valores de
i ≤ 50 indican que la frecuencia natural disminuye a medida que la rigidez relativa lineal
disminuye. Lo propio se puede indicar con los valores de j .
El período de vibración se halla con la siguiente expresión
T = 2π / Wn . De tal
manera que para suelos de dureza intermedia y de baja resistencia, existe una
amplificación del período fundamental de vibración. Amplificación que es mayor en los
suelos blandos que corresponden a valores de i, j , muy bajos.
En la figura 10.8 se aprecia un notable incremento de p para valores de j < 10 luego
el incremento disminuye hasta valores que de j que están alrededor de 30 y finalmente son
constantes estos valores.
Con respecto a la variación de las curvas de la figura 10.8, en lo concerniente al
parámetro i se puede indicar que la variación de p es notable entre i = 0.5 e i = 5 . Luego
este incremento disminuye pero también es notable entre i = 5 e i = 50 . Para valores
mayores de i la variación de p es mínima.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Arboleda (1989), en base al modelo presentado concluye en lo siguiente:
0 < j < 10 el suelo no es apto para una cimentación superficial.
y 10 < j < 20 se debe considerar el efecto de la interacción suelo
•
Si 0 < i < 5
•
Si 5 < i < 50
estructura en el análisis.
Si i > 50 y j > 60 se debe analizar con base empotrada.
•
o
10.3 ORTOGONALIDAD DE LOS MODOS DE VIBRACIÓN
La ecuación diferencial ( 10.5 ) se la reescribe de la siguiente manera:
EI
d 4Y
d 2Y
+
m
=P
dx 4
dt 2
[EI Y ] + m Y = P
⇒
''
''
__ ..
Para el caso de vibración libre se tiene:
[EI Y ]
''
''
__ ..
+ mY =0
En la forma de solución, planteada en la ecuación ( 10.7 ) en lugar de llamar a la forma
modal v( x) se la va a denominar φ ( x) . De tal manera que:
Y ( x, t ) = v( x) y (t )
⇒
Y ( x, t ) = φ ( x) y (t )
Luego la ecuación diferencial del movimiento de vibración libre, queda:
[EI φ ( x)]
''
''
__
..
y (t ) + m φ ( x) y (t ) = 0
__
Al dividir para
m φ ( x) y (t ) se halla:
[EI φ ( x)]
''
__
m φ ( x)
''
..
y (t )
+
=0
y (t )
[EI φ ( x)]
''
__
m φ ( x)
''
..
y (t )
=−
y (t )
( 10.30 )
Se vuelve a copiar de nuevo las ecuaciones ( 10.10 ) y ( 10.11 ) para demostrar que el
lado derecho de la ecuación ( 10.30 ) vale
Wn2
d 2 y EI 4
+ __ a y (t ) = 0
dt 2
m
..
y (t )
EI
= − __ a 4
y (t )
m
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
EI
Wn2 =
a4
__
m
Luego:
..
y (t )
−
= Wn2
y (t )
..
y (t ) + λ y (t ) = 0
⇒
( 10.31 )
Siendo
λ = Wn2
Retomando la ecuación ( 10.30 ) se tiene:
[EI φ ( x)]
''
__
m φ ( x)
''
..
y (t )
=−
= Wn2
y (t )
De donde:
[EI φ ( x)] − m φ ( x) W
''
__
''
2
n
=0
Para el modo j se tiene:
[EI φ ( x)] − m φ ( x) W
''
j
__
''
j
Al multiplicar esta última expresión por
φi ( x)
=0
i ≠ j e integrando la ecuación
en que
L se halla:
resultante entre 0 y
∫ [EI φ
L
''
j
]
( x) φi ( x) dx − W
''
0
ƒ
2
nj
2
nj
L __
∫mφ
j
( x) φ i ( x) dx = 0
0
Al integrar por partes la primera integral, considerando
u = φi ( x) y dv a lo restante,
se tiene:
{[EI φ ( x)] φ ( x)} − ∫ [EI φ ( x)] φ ( x) dx
L
L
'
''
j
i
''
j
0
'
'
i
0
Luego:
{[EI φ ( x)] φ ( x)} − ∫ [EI φ ( x)] φ ( x) dx
''
j
L
'
i
L
''
j
0
0
'
'
i
L __
− Wnj2 ∫ m φ j ( x) φi ( x) dx = 0
0
Para una viga en voladizo, se tiene que en x = L el cortante vale cero pero el cortante
está relacionado con la tercera derivada de φ ( x) . De igual manera en el desplazamiento vale
cero luego en x = 0 se tiene que φ ( x) = 0 . Estas dos condiciones conducen a que el primer
término valga cero. Por lo tanto, la ecuación queda:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
L
[
]
L __
− ∫ EI φ j'' ( x ) φi' ( x ) dx
− Wnj2 ∫ m φ j ( x ) φi ( x ) dx = 0
'
0
ƒ
0
Nuevamente al integrar por partes la primera integral pero ahora se considera
u = φi' ( x) y dv a lo restante:
ƒ
− {EI φ 'j' ( x) φi' ( x)}0 + ∫ EI φ 'j' ( x) φi'' ( x) dx
L
L
0
La expresión completa queda:
{
} + ∫ EI φ
− EI φ 'j' ( x) φi' ( x)
L
L
0
0
''
j
L __
( x) φ i'' ( x) dx − Wnj2 ∫ m φ j ( x) φ i ( x) dx = 0
0
Otra vez, para la viga en voladizo se tiene que en x = L el momento es igual a cero
pero el momento está relacionado con la segunda derivada de φ ( x) . También se tiene que
φ ' ( x) . Con estas dos condiciones se anula la
para x = 0 el giro es igual a cero, esto es que
primera expresión, con lo que se tiene:
L
L __
0
0
''
''
2
∫ EI φ j ( x) φi ( x) dx − Wnj ∫ m φ j ( x) φi ( x) dx = 0
De donde:
L
L __
0
0
''
''
2
∫ EI φ j ( x) φi ( x) dx = Wnj ∫ m φ j ( x) φi ( x) dx
( 10.32 )
Procediendo de un modo similar para el modo i, se tendría:
[EI φ ( x)] − m φ ( x) W
''
i
φ j ( x)
Ahora al multiplicar por
''
__
i
2
ni
=0
e integrando entre 0 y
L (se vuelve a repetir el proceso
de cálculo) se halla:
L
∫ EI φ
''
i
( x) φ ( x) dx = W
''
j
2
ni
L __
∫ m φ ( x) φ
i
j
( x) dx
( 10.33 )
0
0
Para el caso de que Wnj ≠ Wni al restar la ecuación ( 10.32 ) menos ( 10.33 ) se halla:
2
2
L __
∫ m φ ( x) φ
i
j
( x ) dx = 0
( 10.34 )
0
Al sustituir la ecuación ( 10.34 ) en cualquiera de las ecuaciones ( 10.32 ) o ( 10.33 ) se
encuentra:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
L
∫ EI φ
( x ) φ j'' ( x ) dx = 0
''
i
( 10.35 )
0
En resumen, las condiciones de ortogonalidad para una viga en voladizo que trabaja a
flexión, son:
L __
∫ m φ ( x) φ
i
j
( x ) dx = 0
0
L
∫ EI φ
( x ) φ j'' ( x ) dx = 0
''
i
0
10.3.1 Valores propios y modos normalizados
Para el caso en que el modo i sea igual al modo j, se tiene de la ecuación ( 10.33 )
[
L
W =
2
ni
''
∫ EI φi ( x)
0
L __
]
∫ m [φ ( x)]
2
dx
= λi
2
( 10.36 )
dx
i
0
Que es la ecuación con la cual, también se pueden encontrar los valores propios en la
viga en voladizo. Para este mismo caso en que el modo i = j se tiene que las dos condiciones
de ortogonalidad son diferentes de cero.
L __
∫mφ
∫ EI (φ ) dx ≠ 0
L
2
i
( x) dx ≠ 0
0
'' 2
i
0
Se normalizan los modos de vibración, de la siguiente manera:
φi ( x)
φi ( x) =
L __
∫mφ
2
i
( 10.37 )
( x) dx
0
Con lo que se halla:
L __
∫mφ
2
i
( x)dx = 1
( 10.38 )
0
Con esto, la ecuación ( 10.36 ) queda:
L
[
W = ∫ EI φi'' ( x)
2
ni
0
]
2
dx
( 10.39 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
10.4 VIBRACIÓN FORZADA
Se resuelve el caso de una viga de flexión en voladizo sometida a una acción sísmica
definida por su acelerograma. La ecuación diferencial para este caso es:
[EI Y ]
''
Donde
''
__ ..
__
+ m Y = − m a(t )
( 10.40 )
a (t ) es la aceleración del suelo. Se plantea la solución de la siguiente manera:
∞
Y ( x, t ) = ∑ φi ( x) y i (t )
( 10.41 )
i =1
Reemplazando ( 10.41 ) en ( 10.40 ) se halla:
∑ (EI φ )
∞
''
i
i =1
''
∞ __
__
..
y i (t ) + ∑ m φi ( x) y i (t ) = − m a (t )
i =1
Al multiplicar esta última ecuación por
φ j ( x)
e integrar entre 0 y
L se halla:
∑ yi (t ) ∫ (EI φi'' ) φ j ( x) dx + ∑ y i (t ) ∫ m φi ( x) φ j ( x) dx = −a(t ) ∫ m φ j ( x) dx
∞
L
i =1
0
∞
''
..
i =1
L __
L __
0
0
En forma similar, a la del apartado anterior, al integrar por partes la primera integral y
aplicar las condiciones de borde para una viga en voladizo se halla:
∞
∑ y (t ) ∫ EI φ
i =1
∞
L
i
''
i
0
..
L __
L __
0
0
φ ( x) dx + ∑ y i (t ) ∫ m φi ( x) φ j ( x) dx = − a(t ) ∫ m φ j ( x) dx
''
j
i =1
De la ortogonalidad de los modos de vibración (solo hay valores para
para el modo j
( )
L
y j (t )
''
∫ EI φ j
2
0
L __
Al dividir por
∫mφ
2
j
..
L __
L __
0
0
i = j ) se tiene
dx + y j (t ) ∫ m φ j2 ( x) dx = −a (t ) ∫ m φ j ( x) dx
( x) dx y teniendo en cuenta la ecuación ( 10.36 ), se halla,
0
escribiendo en primer lugar el segundo término.
L __
..
y j (t ) + y j (t ) W = − a (t )
2
nj
∫mφ
0
L __
∫mφ
0
*
Se denomina masa modal m j
j
( x) dx
2
j
( x) dx
( 10.42 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡ L __
⎤
⎢ ∫ m φ j ( x) dx ⎥
⎦
m *j = ⎣ 0L
__
2
∫ m φ j ( x) dx
2
( 10.43 )
0
Con lo cual, la ecuación ( 10.42 ) queda:
..
y j (t ) + W y j (t ) = −a (t )
2
nj
m *j
L __
∫mφ
j
( x) dx
0
La respuesta en el tiempo es:
− m *j
y j (t ) =
t
∫ a(τ ) sen W (t − τ )dτ
Wnj
∫mφ
( 10.44 )
nj
L __
j
( x) dx
0
0
10.4.1 Masas modales
•
EJEMPLO 4
Encontrar las cinco primeras masas modales para una viga de flexión, en voladizo, de
4.0 m., de longitud.
•
SOLUCIÓN
En el sub apartado 10.2.1 se encontró la siguiente ecuación:
1 + cos( p) cosh( p) = 0
Las 5 raíces de esta ecuación, son:
p1 = 1.875
p 2 = 4.694
p3 = 7.854
La forma modal se había denominado
p 4 = 10.996
p5 = 14.137
v( x) que ahora se llama φ ( x) es:
φ ( x) = A sen(ax) + B cos(ax) + C senh(ax) + D cosh(ax)
Las constantes de integración encontradas en el sub apartado 10.2.1 son:
A =1
C = −1
D=
cos( p ) + cosh( p )
senh( p ) − sen( p )
B = −D
p = a L de donde a = p / L . Con toda esta información se elaboró el
*
programa MASAMODALFLEXION que obtiene m j con la ecuación ( 10.43 ), que queda:
Por otra parte
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
⎡L
⎤
m L ⎢ ∫ φ j ( x) dx ⎥
⎣0
⎦
m *j =
L
2
∫ φ j ( x) dx
__
2
0
El programa reporta las siguientes masas modales
Tabla 10.1 Masas modales de viga en flexión en voladizo
Modo j
1 5
m*
j
__
m
1
2
3
4
5
0.6130
0.1882
0.0648
0.0315
0.0391
__
m
∑m
j =1
*
j
0.6130
0.8012
0.8660
0.8975
0.9366
Las normativas sísmicas establecen que el mínimo número de modos de vibración que
se consideren en el cálculo sea tal que la suma de las masas modales sea mayor a 0.9, de tal
manera que con los resultados encontrados se debe trabajar con 5 modos de vibración.
La forma de uso del programa, es:
>> L=4
>> [m]= masamodalflexion (L)
function [m]=masamodalflexion (L)
%
% Calculo de masas modales de viga en flexion en voladizo.
% Calculo para los cinco primeros modos de vibracion
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [m]=masamodalflexion(L)
%------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento
% Las cinco primeras raices de: 1+cos(p)+cosh(p)=0
% son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854 p4=10.996 p5=14.137
% p=aL
% Constantes de Integracion
p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L;
p4=10.996; a4=p4/L; p5=14.137; a5=p5/L;
A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1;
D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2;
D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3;
D4=(cos(p4)+cosh(p4))/(sinh(p4)-sin(p4));B4=-D4;
D5=(cos(p5)+cosh(p5))/(sinh(p5)-sin(p5));B5=-D5;
for i=1:100
x(i)=i*dx;
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1);
v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2);
v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3);
v4(i)=A*sin(x(i)*a3)+B4*cos(x(i)*a4)+C*sinh(x(i)*a4)+D4*cosh(x(i)*a4);
v5(i)=A*sin(x(i)*a3)+B5*cos(x(i)*a5)+C*sinh(x(i)*a5)+D5*cosh(x(i)*a5);
v11(i)=v1(i)*v1(i); v22(i)=v2(i)*v2(i); v33(i)=v3(i)*v3(i);
v44(i)=v4(i)*v4(i); v55(i)=v5(i)*v5(i);
end
NUM1=trapz(x,v1);NUM2=trapz(x,v2);NUM3=trapz(x,v3);
NUM4=trapz(x,v4);NUM5=trapz(x,v5)
DEN1=trapz(x,v11);DEN2=trapz(x,v22);DEN3=trapz(x,v33);
DEN4=trapz(x,v44);DEN5=trapz(x,v55);
m1=NUM1*NUM1/DEN1;m2=NUM2*NUM2/DEN2;m3=NUM3*NUM3/DEN3;
m4=NUM4*NUM4/DEN4;m5=NUM5*NUM5/DEN5;
m=[m1/L; m2/L; m3/L; m4/L; m5/L]; suma=sum(m)
%---fin---
10.4.2 Respuesta en el tiempo
Para hallar la respuesta en el tiempo de una viga de flexión en voladizo ante una
acción sísmica se debe desarrollar un poco más la ecuación ( 10.44 ) que se copia a
continuación.
− m *j
y j (t ) =
t
∫ a(τ ) sen W (t − τ )dτ
nj
L __
Wnj
∫mφ
j
( x) dx
0
0
La integral que contiene a la aceleración del tiempo es la que se desarrolla a
continuación:
t
t
0
0
[
]
∫ a(τ ) sen Wnj (t − τ )dτ = ∫ a(τ ) senWnj t cosτ − senτ cosWnj t dτ
t
t
t
0
0
0
∫ a(τ ) sen Wnj (t − τ )dτ = senWnj t ∫ a(τ ) cosτ dτ − cosWnj t ∫ a(τ )senτ dτ
De tal manera que la ecuación ( 10.44 ) queda:
− m *j
t
t
⎫
⎧
y j (t ) =
senW
t
a
(
τ
)
cos
τ
d
τ
cos
W
t
a
(
τ
)
sen
τ
d
τ
−
⎬
⎨
nj
nj
L __
∫0
∫0
⎭
⎩
Wnj ∫ m φ j ( x) dx
0
Para calcular las frecuencias naturales de vibración se trabaja con la ecuación ( 10.11 )
en la que se sustituye a = p / L
Wn2 =
EI
__
m
a4 =
EI p 4
__
L4
m
⇒ Wn =
p2
L2
EI
__
m
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Al reemplazar:
p1 = 1.875
p 2 = 4.694
p3 = 7.854
p 4 = 10.996
p5 = 14.137
Se tiene:
Wn1 =
3.5156 EI
__
L2
m
Wn 2 =
22.0336 EI
__
L2
m
Wn 4 =
120.9120 EI
__
L2
m
Wn 5 =
199.8548 EI
__
L2
m
Wn 3 =
61.6853 EI
__
L2
m
( 10.45 )
Finalmente la respuesta en el tiempo se obtiene con la ecuación ( 10.41 )
∞
Y ( x, t ) = ∑ φ j ( x) y j (t )
j =1
•
EJEMPLO 5
Encontrar la respuesta en el tiempo de una viga de flexión en voladizo, ante el sismo
registrado el 9 de noviembre de 1974 en Perú. Se desea la respuesta en el tiempo en el tope
de la viga. La geometría y masa por unidad de longitud, son:
EI = 231862.028 T .m .
2
•
L = 15 m.
T .s 2 .
m = 0.2694 2
m .
__
SOLUCIÓN
Se consideran los cinco primeros modos para hallar la respuesta en x = L .
∞
Y ( x, t ) = ∑ φ j ( x) y j (t )
j =1
Y ( x = L, t ) = φ1 ( x) y1 (t ) + φ 2 ( x) y 2 (t ) + φ3 ( x) y 3 (t ) + φ 4 ( x) y 4 (t ) + φ5 ( x) y 5 (t )
El programa VFORZADAVOLADIZO encuentra la respuesta en el tope del edificio ante
un sismo definido por un acelerograma. Es importante que las unidades de los datos sean
compatibles. En este caso el acelerograma tiene que estar en m/s2. La forma de uso del
programa es:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
[des]=vforzadavoladizo (EI,mu,L,Sismo,dt)
•
EI
•
•
•
•
mu
L
Sismo
dt
Valor de la rigidez a flexión de la viga en voladizo.
__
Es el valor de la masa por unidad de longitud m .
Es la longitud de la viga en voladizo
Es el nombre del archivo que contiene el acelerograma.
Es el incremento de tiempo del archivo del acelerograma.
Para el ejemplo se debe proceder de la siguiente manera:
>> EI=231862.028
>>mu=0.2694
>>L=15
>>load Peru04.dat
>>[des]=vforzadavoladizo (EI,mu,L,Peru04,0.02)
La respuesta en el tiempo se presenta en la figura 10.9. A continuación se lista el
programa.
function[des]=vforzadavoladizo(EI,mu,L,sismo,dt)
%
% Calculo de la respuesta en el tiempo, de una viga de flexion
% en voladizo. Calculo de desplazamiento en el tope del voladizo
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [des]=vforzadavoladizo(EI,mu,L,sismo,dt)
%------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento
% EI : es la rigidez a flexion de la viga en voladizo
% mu : es la masa por unidad de longitud de la viga en voladizo
% sismo : es el vector que contiene al archivo del acelerograma.
% dt : incremento de tiempo del acelerograma.
% des : desplazamiento en el tope del voladizo
% Las cinco primeras raices de: 1+cos(p)*cosh(p)=0
% son: p1=1.875 p2=4.694 p3=7.854 p4=10.996 p5=14.137
%
% Constantes de Integracion
p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.694; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L;
p4=10.996; a4=p4/L; p5=14.137; a5=p5/L;
A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1;
D2=(cos(p2)+cosh(p2))/(sinh(p2)-sin(p2));B2=-D2;
D3=(cos(p3)+cosh(p3))/(sinh(p3)-sin(p3));B3=-D3;
D4=(cos(p4)+cosh(p4))/(sinh(p4)-sin(p4));B4=-D4;
D5=(cos(p5)+cosh(p5))/(sinh(p5)-sin(p5));B5=-D5;
% Calculo de Integrales donde interviene accion sismica
np=length(sismo);tmax=dt*np;t=linspace(0,tmax,np)';
for i=1:np
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
F1(i)=sismo(i)*cos(i*dt);F2(i)=sismo(i)*sin(i*dt);
end
F1=F1';F2=F2';INT1=trapz(t,F1);INT2=trapz(t,F2);
% Calculo de frecuencias de los cinco primeros modos
aux1=sqrt(EI/mu); aux2=1/(L*L); aux=aux1*aux2; Wn1=3.5156*aux;
Wn2=22.0336*aux; Wn3=61.6853*aux; Wn4=120.912*aux; Wn5=199.8548*aux;
% Calculo de numerador que contiene al acelerograma para 5 primeros modos
for i=1:np
NSIS1(i)=sin(Wn1*i*dt)*INT1-cos(Wn1*i*dt)*INT2;
NSIS2(i)=sin(Wn2*i*dt)*INT1-cos(Wn2*i*dt)*INT2;
NSIS3(i)=sin(Wn3*i*dt)*INT1-cos(Wn3*i*dt)*INT2;
NSIS4(i)=sin(Wn4*i*dt)*INT1-cos(Wn4*i*dt)*INT2;
NSIS5(i)=sin(Wn5*i*dt)*INT1-cos(Wn5*i*dt)*INT2;
end
% Calculo de la Integral del denominador en funcion del modo de vibracion
for i=1:100
x(i)=i*dx;
v1(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1);
v2(i)=A*sin(x(i)*a2)+B2*cos(x(i)*a2)+C*sinh(x(i)*a2)+D2*cosh(x(i)*a2);
v3(i)=A*sin(x(i)*a3)+B3*cos(x(i)*a3)+C*sinh(x(i)*a3)+D3*cosh(x(i)*a3);
v4(i)=A*sin(x(i)*a3)+B4*cos(x(i)*a4)+C*sinh(x(i)*a4)+D4*cosh(x(i)*a4);
v5(i)=A*sin(x(i)*a3)+B5*cos(x(i)*a5)+C*sinh(x(i)*a5)+D5*cosh(x(i)*a5);
v1(i)=v1(i)*mu; v2(i)=v2(i)*mu; v3(i)=v3(i)*mu; v4(i)=v4(i)*mu; v5(i)=v5(i)*mu;
end
INT31=trapz(x,v1);INT32=trapz(x,v2);INT33=trapz(x,v3);
INT34=trapz(x,v4);INT35=trapz(x,v5);
% Masas modales
aux3=mu*L;
Mj1=0.6130*aux3; Mj2=0.1882*aux3; Mj3=0.0648*aux3; Mj4=0.0315*aux3;Mj5=0.0391*aux3;
%Calculo de y(t)
FAC1=-Mj1/(Wn1*INT31);FAC2=-Mj2/(Wn2*INT32);FAC3=-Mj3/(Wn3*INT33);
FAC4=-Mj4/(Wn1*INT34);FAC5=-Mj5/(Wn1*INT35);
y1=FAC1*NSIS1;y2=FAC2*NSIS2;y3=FAC3*NSIS3;y4=FAC4*NSIS4;y5=FAC5*NSIS5;
%Desplazamientos en el ultimo piso
v1L=A*sin(p1)+B1*cos(p1)+C*sinh(p1)+D1*cosh(p1);
v2L=A*sin(p2)+B2*cos(p2)+C*sinh(p2)+D2*cosh(p2);
v3L=A*sin(p3)+B3*cos(p3)+C*sinh(p3)+D3*cosh(p3);
v4L=A*sin(p4)+B4*cos(p4)+C*sinh(p4)+D4*cosh(p4);
v5L=A*sin(p5)+B5*cos(p5)+C*sinh(p5)+D5*cosh(p5);
des=v1L*y1+v2L*y2+v3L*y3+v4L*y4+v5L*y5;
plot(t,des); xlabel ('Tiempo (s)'); ylabel ('Desplazamiento lateral en el tope')
%---fin---
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 10.9 Respuesta de desplazamientos ante el sismo de nov., de 1974.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 11
SISTEMAS CONTINUOS: VIGA DE CORTE
RESUMEN
Se presenta el desarrollo numérico de una viga de corte de sección constante,
modelada como un sistema continuo de infinito número de grados de libertad. Este modelo se
utiliza para el estudio de pórticos conformado por vigas y columnas sin muros de corte.
Se resuelve, en primer lugar, el problema de vibración libre y se compara el primer
modo de vibración de una viga de corte con una viga de flexión. Posteriormente se estudia la
ortogonalidad de los modos de vibración y finalmente se resuelve el problema de vibración
forzada ante acciones sísmicas definidas por un acelerograma.
Se han elaborado los siguientes programas de computación: VLIBREVIGACORTE con
el cual se obtienen los modos de vibración de la viga de corte; VLIBRECOMPARACION que
sirve para comparar el primer modo de vibración de las vigas de corte y de flexión;
VIGACORTEBASAL con el cual se halla la respuesta en el tiempo del cortante basal de una
viga de corte ante una acción sísmica.
11.1
ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO
Un pórtico plano, compuesto únicamente por vigas y columnas, puede modelarse como
una viga de corte, en voladizo, como se aprecia en la figura 11.1. En el presente capítulo se
estudia, esta viga de corte como un sistema continuo, de tal manera que tiene infinito número
de grados de libertad.
Para encontrar la ecuación diferencial que gobierna a una viga de corte, al igual que en
el capítulo anterior se considera que actúan cargas transversales P ( x, t ) al eje del elemento.
De ésta viga se toma un elemento diferencial de longitud dx , el mismo que se presenta en la
figura 11.2.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 11.1 Modelo numérico de una viga de corte.
Figura 11.2 Elemento diferencial y cargas actuantes
Del equilibrio de fuerzas se tiene:
V − (V +
__
dV
d 2Y
dx) + P dx + m dx 2 = 0
dx
dt
( 11.1 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Donde
Y ( x, t ) es el desplazamiento vertical en el punto x y en el instante de tiempo
__
t ; m es la masa por unidad de longitud. Simplificando la expresión y dividiéndola para dx se
tiene:
dV __ d 2Y
−m 2 = − P
dx
dt
( 11.2 )
De la teoría de la elasticidad se conoce que:
γ xy =
Siendo
τ xy
G
⇒ θ ( x, t ) =
V ( x, t ) / Ac ( x, t )
G ( x)
Ac el área efectiva de corte que es igual al área de la sección transversal A
dividida para el factor de corte
β . De donde:
θ ( x, t ) = β
V ( x, t )
G ( x) A( x )
Por otra parte se conoce que la rotación
θ
es la derivada de
Y ( x, t ) con respecto a
x . Luego:
θ ( x, t ) = β
V
dY
=
G ( x) A( x ) dx
De donde el cortante V es igual a:
V =
G ( x) A( x) dY
β
dx
( 11.3 )
Para una viga de sección constante, al derivar ( 11.3 ) con respecto a x y reemplazar
en ( 11.2 ) se tiene:
GA d 2Y __ d 2Y
− m 2 = −P
β dx 2
dt
11.2
VIBRACIÓN LIBRE
( 11.4 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para este caso la ecuación diferencial se reduce a:
GA d 2Y __ d 2Y
−m 2 =0
β dx 2
dt
Se plantea la solución como el producto de una función modal
del tiempo
( 11.5 )
φ ( x)
por una función
y (t )
Y ( x, t ) = φ ( x) y (t )
Al encontrar las derivadas de ( 11.6 ) con respecto a x y con respecto ha
( 11.6 )
t se halla:
__
GA d 2φ
d2y
y
t
m
x
(
)
−
φ
(
)
=0
β dx 2
dt 2
Luego:
__
mβ
d 2φ
d2y
y
t
x
(
)
−
φ
(
)
=0
GA
dx 2
dt 2
Al dividir todo por
φ ( x)
se halla:
d 2φ
__
2
dx 2 y (t ) − m β d y = 0
φ ( x)
GA dt 2
De donde:
d 2φ
d2y
__
dx 2 = m β dt 2
φ ( x)
GA y (t )
( 11.7 )
Con igual razonamiento que en el capítulo anterior, para que ( 11.7 ) se cumpla es
importante que esta igualdad sea igual a menos una constante a2
d 2φ
d2y
__
dx 2 = m β dt 2 = −a 2
φ ( x)
GA y (t )
Luego el problema de vibración libre se ha desacoplado en dos problemas, que son:
d 2φ
dx 2 = − a 2
φ ( x)
⇒
d 2φ
+ a 2 φ ( x) = 0
2
dx
( 11.8 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
d2y
m β dt 2
= −a 2
GA y (t )
__
⇒
d 2 y GA 2
+
a y (t ) = 0
dt 2 __
mβ
( 11.9 )
La ecuación ( 11.9 ) representa un problema de vibración libre sin amortiguamiento en
un sistema de un grado de libertad pero para ello debe cumplirse que:
Wn2 =
GA
__
a2
( 11.10 )
mβ
La solución de la ecuación diferencial ( 11.8 ) es:
φ ( x) = A sen(ax) + B cos(ax)
Las constantes de integración:
( 11.11 )
A, B dependen de las condiciones de contorno.
Figura 11.3 Viga en voladizo de corte
11.2.1 Viga en Voladizo
•
EJEMPLO 1
Encontrar los modos de vibración de la viga de corte en voladizo presentada en la
figura 11.3, calculada como un sistema continuo. Si la longitud es de 4.0 m.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
•
SOLUCIÓN
Para la viga en voladizo, las condiciones de borde, son:
v.
vi.
x=0
En x = L
En
⇒ φ ( x) = 0
⇒ V =0
Antes de calcular las constantes de integración, es necesario desarrollar la ecuación
con la cual se calcula el cortante. Para ello se reemplaza ( 11.6 ) en ( 11.3 ), se tiene:
GA
V =
β
φ ' ( x) y (t )
Para que el cortante sea cero en x = L se debe cumplir que:
φ ' ( L) = 0
De la primera condición se tiene que:
φ (0) = 0
⇒ B=0
La segunda condición conduce a:
φ ' ( x) = A a cos(ax ) − B a sen(ax)
Luego:
φ ' ( L) = 0 = cos p
Luego la ecuación que se debe resolver para hallar el valor de p es:
cos p = 0
Siendo:
p=aL
Las raíces son:
p=
(2n − 1)π
2
Al reemplazar n=1, 2 y 3 se halla p1 = 1.5708 ; p 2 = 4.7124 ; p 3 = 7.854 , etc.
( 11.12 )
( 11.13 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 11.4 Modos de vibración de una viga de corte en voladizo.
En la figura 11.4 se presentan los tres primeros modos de vibración de la viga de corte,
en voladizo. Esta figura fue realizada con el programa VLIBREVIGACORTE, que se utiliza de
la siguiente manera:
[V]=vlibrevigacorte (L)
•
L
Es la longitud del elemento.
function [V]=vlibrevigacorte(L)
%
% Vibraciones libres en un sistema continuo de una viga de corte en voladizo
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [v]=vlibrevigacorte(L)
%------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento
% Las tres primeras raices son:
% p1=1.5708
p2=4.7124
p3=7.854
% p=aL
% Constantes de Integracion
p1=1.578;a1=p1/L;dx=L/100; p2=4.7124; a2=p2/L; p3=7.854; a3=p3/L; A=1;
for i=1:100
x(i)=i*dx; v1(i)=A*sin(x(i)*a1); v2(i)=A*sin(x(i)*a2);v3(i)=A*sin(x(i)*a3);
end
hold off
plot(v1,x,'--'); hold on
plot(v2,x,':'); plot(v3,x,'-.')
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
ylabel('Altura'); title('Formas modales de una viga de corte')
hold off
%---fin---
11.2.2 Comparación de formas modales
•
EJEMPLO 2
Presentar en un grafico el primer modo de vibración de una viga de flexión y de una
viga de corte, en voladizo.
•
SOLUCIÓN
En la figura 11.5 se presenta el primer modo de vibración de una viga de corte en la
cual se aprecia que en la parte inferior tiene mayores amplitudes que la viga de flexión y en la
parte superior se tiene mayores amplitudes en la viga de flexión que en la de corte.
Este ejemplo es muy ilustrativo del comportamiento de las estructuras e indica que los
edificios compuestos únicamente por vigas y columnas
tienen mayores
desplazamientos en los pisos inferiores que un edificio solo con muros de corte pero en
la parte superior el comportamiento es al revés, de ahí que lo ideal es tener una
combinación entre el comportamiento de una viga de flexión con una viga de corte.
El programa que compara los modos de
VLIBRECOMPARACION y se utiliza de la siguiente manera:
vibración
[A]=vlibrecomparacion (L)
•
L Es la longitud del elemento
function [A]=vlibrecomparacion(L)
%
% Comparacion del primer modo de vibracion de una viga de flexion
% y del primer modo de vibracion de una viga de corte.
% Normalizados en los dos casos a la unidad en el tope del voladizo
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [A]=vlibrecomparacion(L)
%------------------------------------------------------------% L : Longitud del elemento
% Viga de flexion
p1=1.875;a1=p1/L;dx=L/100;
A=1; C=-1; D1=(cos(p1)+cosh(p1))/(sinh(p1)-sin(p1));B1=-D1;
for i=1:100
x(i)=i*dx;
vf(i)=A*sin(x(i)*a1)+B1*cos(x(i)*a1)+C*sinh(x(i)*a1)+D1*cosh(x(i)*a1);
end
% Viga de corte
se
denomina:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
p1=1.578;a1=p1/L; A=1;
for i=1:100
x(i)=i*dx; vc(i)=A*sin(x(i)*a1);
end
hold off
plot(vf,x,'--'); hold on
plot(vc,x,':');
ylabel('Altura'); title('Comparacion de formas modales')
hold off
%---fin-
Se destaca que la figura 11.5 ha sido complementada con la ayuda del programa
PAINT. De igual manera se utilizó un artificio que no consta en el programa
VLIBRECOMPARACION que se indica a continuación para que el eje horizontal vaya de -3 a
3.
Figura 11.5 Comparación del primer modo de vibración
11.2.3 Frecuencias de vibración
Las frecuencias de vibración de una viga de corte, se obtiene con la ecuación ( 11.10 )
la misma que se escribe a continuación.
Wn = a
GA
__
mβ
Al reemplazar ( 11.13 ) en ( 11.12 ) y despejar el valor de a se halla:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
a=
(2 n − 1) π
2L
Luego:
Wn =
(2 n − 1) π
GA
( 11.14 )
__
2L
mβ
Al reemplazar n = 1 se halla la frecuencia del primer modo de vibración
Wn1 ; con
n = 2 se halla Wn 2 , etc. Las relaciones de estas frecuencias son:
Wn 2
=3
Wn1
Wn 3
=5
Wn1
Wn 4
=7
Wn1
Por lo tanto en una viga de corte de sección constante se cumplen las relaciones
indicadas de las frecuencias naturales de vibración.
11.3
ORTOGONALIDAD DE MODOS DE VIBRACIÓN
La ecuación ( 11.18 ) puede escribirse de la siguiente manera:
[φ ( x)]
'
+ a 2 φ ( x) = 0
'
Para el modo i se tiene:
[φ ( x)]
'
i
'
+ a 2 φi ( x) = 0
φ j ( x)
Al multiplicar esta ecuación por
e integrar entre 0 y
L se tiene:
'
'
2
∫ φ j ( x) [φi ( x)] dx + a ∫ φ j ( x) φi ( x) dx = 0
ƒ
L
L
0
0
Primera Integral
Sea:
u = φ j ( x)
[
⇒ du = φ 'j ( x) dx
]
dv = φi' ( x) dx
⇒ v = φi' ( x)
'
Luego al integrar por partes se tiene:
[φ ( x) φ ( x)] − ∫ φ ( x) φ ( x) dx
j
'
i
L
L
'
i
0
0
'
j
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
En x = 0 por empotramiento se tiene que
φ j (0) = 0 .
Por otro lado en x = L el
L
cortante es cero, luego
φi' ( L) = 0 . Luego la primera integral queda: − ∫ φi' ( x) φ 'j ( x) dx
0
Por lo tanto, se tiene:
L
L
0
0
− ∫ φi' ( x) φ 'j ( x) dx + a 2 ∫ φ j ( x) φi ( x) dx = 0
De donde:
L
L
0
0
a 2 ∫ φ j ( x) φ i ( x) dx = ∫ φ i' ( x) φ 'j ( x) dx
Pero el valor de
a 2 en función de la frecuencia natural, para el modo i, vale:
__
mβ
a =W
GA
2
2
ni
De donde:
W
2
ni
L __
∫mφ
j
( x) φi ( x) dx =
GA
β
0
L
∫ φ ( x) φ
'
i
'
j
( x) dx
( 11.15 )
0
Considerando ahora el modo j y repitiendo el mismo proceso de cálculo se llega a:
L __
Wnj2 ∫ m φ i ( x) φ j ( x) dx =
GA
0
β
L
∫φ
'
j
( x) φ i' ( x) dx
( 11.16 )
0
Al restar ( 11.16 ) menos ( 11.15 ) se tiene:
(W
2
nj
− Wni2 ) ∫ m φ i ( x) φ j ( x) dx = 0
L __
0
Para i ≠ j
L __
∫ m φ ( x) φ
i
j
( x ) dx = 0
( 11.17 )
0
De la ecuación ( 11.15 ) o de la ecuación ( 11.16 ) se concluye:
L
∫
0
GA
β
φ i' ( x ) φ j' ( x ) dx = 0
( 11.18 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
En resumen, de la condición de ortogonalidad de los modos de vibración se tiene que
para
i≠ j
L __
∫ m φ ( x) φ
i
0
L
∫
0
11.4
GA
β
j
( x ) dx = 0
φ i' ( x ) φ j' ( x ) dx = 0
VIBRACIÓN FORZADA
Para el caso de tener una viga de corte sometida a un movimiento del suelo, definido
por su aceleración a (t ) . La ecuación ( 11.4 ) queda:
'
__
⎡ GA ' ⎤ __ ..
⎢ β Y ⎥ − m Y = − m a (t )
⎣
⎦
( 11.19 )
Se plantea la solución, de la siguiente manera:
∞
Y = ∑ φi ( x) y i (t )
( 11.20 )
i =1
Al reemplazar ( 11.20 ) en ( 11.19 ) se tiene:
'
∞ ..
__
__
⎡ GA ' ⎤
y
(
t
)
φ
(
x
)
−
y
(
t
)
m
φ
(
x
)
=
−
m
a(t )
∑
∑
i
i
i
⎢ β i ⎥
i =1
i =1
⎣
⎦
∞
Al multiplicar por
φ j ( x)
e integrando entre 0 y
L.
'
∞ ..
L __
L __
⎡ GA ' ⎤
y
(
t
)
φ
(
x
)
φ
(
x
)
dx
−
y
(
t
)
m
φ
(
x
)
φ
(
x
)
dx
=
−
a
(
t
)
∑
∑
i
i
i
∫0 j ⎢⎣ β i ⎥⎦
∫0 j
∫0 m φ j ( x)dx
i =1
i =1
∞
L
Al integrar por partes la primera integral y considerando las condiciones de borde:
∞
− ∑ y i (t ) ∫
i =1
L
0
GA
β
∞
L __
..
L __
φi' ( x) φ 'j ( x) dx − ∑ y i (t ) ∫ m φ j ( x) φi ( x) dx = − a(t ) ∫ m φ j ( x)dx
0
i =1
0
Cambiando de signo a la expresión y para un modo
L
y i (t ) ∫
0
GA
β
[φ ( x)] dx + y (t ) ∫ m φ
'
i
2
L __
..
i
0
2
i
i ≠ j se tiene:
L __
( x) dx = a (t ) ∫ m φ i ( x) dx
0
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
L __
Al dividir para
∫mφ
2
i
( x) dx se tiene:
0
L
..
y i (t ) +
∫
GA
β
0
[φ ( x)] dx
L __
∫mφ
L __
2
'
i
i
y i (t ) = a (t )
2
i
∫ m φ ( x)dx
( x) dx
0
L __
∫mφ
2
i
( x)dx
0
0
y i (t ) es Wni2 . Luego:
Por la ecuación ( 11.16 ) el coeficiente de
mi*
..
y i (t ) + Wni2 y i (t ) =
a (t )
L __
∫ m φ ( x)dx
i
0
∗
Donde mi es la masa modal y vale:
⎡ L __
⎤
⎢ ∫ m φi ( x) dx ⎥
⎦
mi∗ = ⎣ 0L
__
2
∫ m φi ( x) dx
2
( 11.21 )
0
Finalmente, la respuesta en el tiempo, para el modo i, vale:
mi∗
y i (t ) =
t
Wni
∫mφ
i
a (τ ) sen Wni (t − τ ) dτ
∫
L __
( x) dx
0
0
11.5
CORTANTE BASAL
La ecuación con la cual se obtiene el cortante es:
V ( x, t ) =
GA
β
φ ' ( x) y (t )
Al reemplazar el valor de y (t ) hallado, para el modo i, se tiene:
t
mi∗
V ( x, t ) = ∑
i =1 Wni
∞
∫
a (τ ) sen Wni (t − τ ) dτ
0
L __
∫mφ
0
i
( x) dx
GA
β
φi' ( x)
( 11.22 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Se denomina:
t
Ai (t ) = Wni ∫ a (τ ) senWni (t − τ ) dτ
( 11.23 )
0
Luego el cortante en cualquier punto de la viga se obtiene con la siguiente ecuación:
GA
∗
i
2
ni
∞
β
m
i =1 W
V ( x, t ) = ∑
φi' ( x)
Ai (t )
L __
∫mφ
i
( 11.24 )
( x) dx
0
Sea V0 el cortante en la base de la viga de corte, denominado cortante basal.
GA
∞
∗
i
2
ni
φi' (0)
β
m
V0 = ∑
i =1 W
Ai (t )
L __
∫mφ
i
( 11.25 )
( x) dx
0
Se va a demostrar que:
GA
φi' (0)
β
= −1
L __
Wni2 ∫ m φi ( x) dx
0
Con lo que se simplifica notablemente el cálculo del cortante basal, para ello se
reescribe la ecuación ( 11.8 ), de la siguiente manera, para el modo i.
'
d 2φ
+ a 2 φ ( x) = 0
2
dx
__
⎡ GA ' ⎤
φi ( x)⎥ − Wni2 m φi ( x) = 0
⇒⎢
⎦
⎣ β
Al multiplicar por dx e integrar entre 0 y
L se tiene:
'
L __
⎡ GA ' ⎤
2
φ
(
x
)
dx
−
W
ni ∫ m φ i ( x ) dx = 0
∫0 ⎢⎣ β i ⎥⎦
0
L
La primera integral es directa, con lo que se halla:
__
⎡ GA ' ⎤
⎡ GA ' ⎤
2
φ
(
x
)
−
φ
(
x
)
−
W
m
φi ( x) dx = 0
i
ni ∫
⎢ β i ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦ X =L ⎣ β
⎦ X =0
0
L
Pero
φi' ( x = L) = 0
por condición de borde de cortante en voladizo. Luego:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
__
⎡ GA ' ⎤
−⎢
φ i ( 0) ⎥
− Wni2 ∫ m φi ( x) dx = 0
⎣ β
⎦ X =0
0
L
Al pasar el segundo término al lado derecho y dividir para esa cantidad se halla:
GA
φi' (0)
β
W
2
ni
= −1
L __
∫mφ
i
( x) dx
0
Con lo que la ecuación ( 11.25 ) queda:
∞
V0 = −∑ mi∗ Ai (t )
i =1
∞
t
V0 = ∑ m Wni ∫ a (τ ) senWni (t − τ ) dτ
i =1
∗
i
0
No tiene importancia el signo del cortante basal por lo que se lo ha omitido, al
desarrollar el senWni (t − τ ) se tiene:
t
t
⎡
⎤
V0 = ∑ m Wni ⎢ senWni t ∫ a (τ ) cosτ dτ − cos Wni t ∫ a(τ ) senτ dτ ⎥
i =1
0
0
⎣
⎦
∞
11.6
∗
i
MASA MODAL
Para una viga de corte se tiene que:
φi ( x) = A sen
(2i − 1)π
x
2L
Al reemplazar este valor en ( 11.21 ) se encuentra:
2
⎡ L __
⎤
⎢ ∫ m φi ( x) dx ⎥
⎦ =
mi∗ = ⎣ 0L
__
2
∫ m φi ( x) dx
0
2 L
⎤
(2i − 1)π
⎛ __ ⎞ ⎡
m
xdx ⎥
⎜ ⎟ ⎢ ∫ A sen
2L
⎝ ⎠ ⎣0
⎦
L
__
(2i − 1)π
m ∫ A 2 sen 2
xdx
2L
0
2
( 11.26 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
L
⎡⎛
(
2L
2i − 1)πx ⎞ ⎤
⎟ ⎥
cos
m ⎢⎜⎜ −
2 L ⎟⎠ 0 ⎥⎦
⎢⎣⎝ (2i − 1)π
2
__
mi∗ =
⎛x
(2i − 1)πx cos (2i − 1)πx ⎞⎟
L /π
⎜⎜ −
sen
2L
2 L ⎟⎠ 0
⎝ 2 2(2i − 1)
L
4 L2
__
m
mi* =
(2i − 1)2 π 2
L
2
__
∗
i
m =
8 mL
(2i − 1)2 π 2
__
Pero el producto m L es la masa total M t . De donde la masa modal, queda:
mi* =
8 Mt
( 11.27 )
(2i − 1)2 π 2
En la tabla 11.1 se presentan las masas modales en los cinco primeros modos de
vibración y la sumatoria de las mismas. Se destaca que algunas normativas sísmicas
recomiendan que el número de modos a considerar sea aquel en que la sumatoria de las
masas modales es mayor al 90% de la masa total.
Tabla 11.1 Masas modales de viga de corte
Modo i
1
2
3
4
5
•
mi*
Mt
5
∑m
i =1
0.811
0.090
0.032
0.017
0.010
*
i
Mt
0.811
0.901
0.933
0.950
0.960
EJEMPLO 3
Encontrar las cinco primeras frecuencias naturales y sus correspondientes períodos, de
una viga de corte de las siguientes características:
T
G = 695586.08 2
m
A = 0.36 m
2
L = 15 m.
Ts 2
m = 0.68 2
m
__
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
•
SOLUCION
Las frecuencias y períodos de vibración, se hallan con las siguientes ecuaciones:
Wni =
(2 i − 1) π
GA
__
2L
mβ
Ti =
2π
Wni
Tabla 11.2 Frecuencias y períodos de vibración
Modo i
1
2
3
4
5
Wni
Ti
(1/s)
(s)
58.0110
174.0330
290.0549
406.0769
522.0989
0.1083
0.0361
0.0217
0.0155
0.0120
Los resultados obtenidos se indican en la tabla 11.2
•
EJEMPLO 4
Encontrar la respuesta en el tiempo del cortante basal en los primeros 5 segundos, de
la viga de corte del ejemplo anterior, ante el sismo del 9 de noviembre de 1974, registrado en
Perú, que dura 40 segundos.
Hallar el cortante basal máximo considerando los cinco primeros modos de vibración y
presentar la contribución, al cortante basal, de cada uno de los modos.
G = 695586.08
•
T
m2
A = 0.36 m 2
L = 15 m.
__
m = 0.68
Ts 2
m2
SOLUCIÓN
Para resolver este problema se desarrolló el programa VIGACORTEBASAL, cuya
forma de uso es la siguiente:
[Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,Sismo,dt)
•
•
G
A
Es el módulo de corte de la viga.
Es el área de la viga de corte.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
•
•
•
•
__
mu
L
Sismo
dt
Es el valor de la masa por unidad de longitud m
Es la longitud de la viga de corte.
Es el nombre del archivo que contiene el acelerograma.
Es el incremento de tiempo en que viene el acelerograma.
function [Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,sismo,dt)
%
% Frecuencias Naturales de una viga de corte en voladizo para
% los cinco primeros modos de vibracion
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [Vmax]=vigacortebasal(G,A,mu,L,sismo,dt)
%------------------------------------------------------------% G : Modulo de corte
% A : Area de la seccion transversal de la viga de corte
% mu : Masa por unidad de longitud
% L : Longitud de la viga de corte
% beta : factor de forma por corte se considera igual a 1.2
% sismo: Nombre del archivo que contiene al acelerograma.
% dt : Incremento de tiempo del acelerograma.
beta=1.2;aux1= sqrt((G*A)/(mu*beta)); aux2=pi/(2*L); aux=aux1*aux2;
% Frecuencias Naturales y periodos
Wn1=aux; Wn2=3*aux; Wn3=5*aux; Wn4=7*aux; Wn5=9*aux;
% Calculo de Integrales donde interviene accion sismica
np=length(sismo);tmax=dt*np;t=linspace(0,tmax,np)';
% cambio de unidades del acelerograma de cm/s2 a m/s2
for i=1:np
sismo(i)=sismo(i)/100;
end
for i=1:np
F1(i)=sismo(i)*cos(i*dt);F2(i)=sismo(i)*sin(i*dt);
end
F1=F1';F2=F2';INT1=trapz(t,F1);INT2=trapz(t,F2);
% masas modales
Mt=mu*L;m1=0.811*Mt; m2=0.090*Mt; m3=0.032*Mt; m4=0.017*Mt; m5=0.010*Mt;
FAC1=m1*Wn1;FAC2=m2*Wn2; FAC3=m3*Wn3;FAC4=m4*Wn4;FAC5=m5*Wn5;
% Calculo de numerador que contiene al acelerograma para 5 primeros modos
for i=1:np
NSIS1(i)=sin(Wn1*i*dt)*INT1-cos(Wn1*i*dt)*INT2;
NSIS2(i)=sin(Wn2*i*dt)*INT1-cos(Wn2*i*dt)*INT2;
NSIS3(i)=sin(Wn3*i*dt)*INT1-cos(Wn3*i*dt)*INT2;
NSIS4(i)=sin(Wn4*i*dt)*INT1-cos(Wn4*i*dt)*INT2;
NSIS5(i)=sin(Wn5*i*dt)*INT1-cos(Wn5*i*dt)*INT2;
end
% Calculo del Cortante Basal
Vo=FAC1*NSIS1+FAC2*NSIS2+FAC3*NSIS3+FAC4*NSIS4+FAC5*NSIS5;
plot (t,Vo)
xlabel ('Tiempo'); ylabel ('Cortante Basal')
Vmax=max(abs(Vo))
%---fin---
En la figura 11.6, se presenta la respuesta del cortante en la base para los primeros
cinco segundos. No se indica la respuesta para los 40 segundos debido a que ve una gran
mancha de resultados y no se visualiza bien.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
El cortante máximo considerando los cinco primeros modos de vibración es 37.2611 T.,
y en la tabla 11.3 se presentan los cortantes máximos que se obtienen en cada modo de
vibración.
Modo
V0 (T.)
Tabla 11.3 Cortante Basal, máximo, hallados en cada modo de vibración
1
2
3
4
38.8588
12.9370
7.6663
5.7018
5
4.3123
Se aprecia en la tabla 11.3 que el cortante basal del primer modo es ligeramente mayor
al cortante basal que se halla con los cinco primeros modos de vibración; esto se al signo que
tiene el cortante en cada modo.
La suma de los cortantes en cada modo, de la tabla 11.3, es 69.4607 T. Este vendría a
ser el valor que se obtiene al aplicar el criterio de combinación modal de la suma de los valores
absolutos de cada modo de vibración, que por cierto es un criterio muy conservador.
Si se aplica el criterio del valor máximo probable que es igual a la raíz cuadrada de la
suma de los cuadrados se tendría que el cortante vale 42.2759 T.
Figura 11.6 Respuesta del cortante para los primeros 5 segundos.
En base al ejemplo realizado se ha visto la importancia que tiene en estudiar con
detenimiento los criterios de combinación, tema que se utiliza fundamentalmente cuando se
realiza el análisis sísmico por el Método de Superposición Modal.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
CAPÍTULO 12
VIGA DE CORTE ACOPLADA A UNA DE FLEXION
RESUMEN
Se presenta, en primer lugar, la teoría de una viga de corte acoplada a una viga de
flexión, que sirve para analizar edificios compuestos por vigas, columnas y muros de corte, en
el mismo formato indicado en los dos capítulos anteriores, como un sistema continuo de infinito
número de grados de libertad.
Luego, por considerarlo de interés y ser muy actual se presenta el modelo desarrollado
por Eduardo Miranda en ( 1999 ) para una viga de corte acoplada a una viga de flexión. Para
complementar el marco teórico de este modelo se han elaborado los siguientes programas en
MATLAB: VARIACIONCARGA que sirve para visualizar los modelos de carga distribuida que
considera el modelo de Miranda.
DESPLAZAMIENTOMIRANDA este programa encuentra los desplazamientos laterales
a lo largo de la viga en voladizo para varios tipos de carga lateral.
COMPARACIONDESPLAZAMIENTO es otro de los programas desarrollados. Este
programa sirve para comparar los desplazamientos laterales que se hallan en una viga en
voladizo cuando sobre ella actúan una carga triangular y una carga uniforme distribuida.
BETAUNO es el programa que obtiene el parámetro β 1 que permite pasar el
desplazamiento lateral obtenido de un sistema de un grado de liberad al desplazamiento lateral
máximo en el tope de un edificio. Este parámetro es muy importante para evaluar en forma
rápida la deriva máxima de pisos y también para encontrar la respuesta elástica de un edificio
ante la acción de un sismo definido por su espectro de desplazamientos; por este motivo se
presenta también la propuesta de Algan ( 1982) para hallar β 1 en edificios sin muros de corte.
Para comparar los resultados que se hallan con la propuesta de Algan con los que se
obtienen a partir de una viga de corte se elaboró el programa ALGAN que presenta en forma
gráfica esta comparación.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
DESPLAZAMIENTOLATERAL es otro de los programas elaborados en MATLAB, que
presenta la variación de los desplazamientos laterales, en una viga de corte acoplada a una de
flexión.
VARIACIÓNDERIVA es un programa que permite visualizar la deriva de piso en forma
continua en toda la altura del edificio. Para la mayor parte de los programas se presentan
curvas para diferentes tipos de edificios mediante un parámetro α se podrá ver el
comportamiento de un edificio en el cual predomina más el efecto de flexión sobre el de corte o
al revés.
Finalmente y como una aplicación práctica se presenta un resumen del proyecto
desarrollado por el autor de este libro en el Centro de Investigaciones Científicas de la
Politécnica del Ejército, en el 2005 sobre la “Evaluación rápida de la deriva máxima de pisos en
edificios de hormigón armado”. Se presenta debido a que dos de los parámetros que
intervienen en la evaluación β 1 y β 2 fueron estudiados en este capítulo. De tal manera que es
muy importante conocer la teoría de sistemas continuos.
12.1
IMPORTANCIA DEL ESTUDIO
En el capítulo 10 se estudio el comportamiento de una viga en flexión, que es el
modelo de un edificio con muros de corte; en el capítulo 11 se estudio el comportamiento de
una viga de corte que es el modelo de un edificio con columnas y vigas. Ahora se va a estudiar
el comportamiento de una viga de flexión acoplada a una viga de corte, que es el modelo
numérico de cálculo de un edificio con columnas, muros de corte y vigas.
En los pisos inferiores el muro de corte es más rígido y sujeta al pórtico, ante cargas
laterales; en cambio, en los pisos superiores el pórtico es más rígido y sujeta al muro de corte.
De tal manera que es muy apropiado tener estructuras con vigas, columnas y muros de corte.
En la figura 12.1, a la izquierda se presenta el modelo de un pórtico acoplado a una
viga de flexión y a la derecha la viga en voladizo. Se ha cambiado la nomenclatura, ahora al eje
del elemento se denomina eje z y a la altura de la viga en voladizo H.
El modelo está caracterizado por dos parámetros de rigidez, uno de corte que se
denomina C1 ( z ) y uno de flexión C 2 ( z ) .
C1 ( z ) =
GA( z )
C 2 ( z ) = EI ( z )
β
( 12.1 )
E es el módulo de elasticidad; β es el
factor de forma por corte; A( z ) es el área transversal de la viga de corte e I ( z ) es el
Donde: G es el módulo de corte de la viga;
momento de inercia a flexión de la viga a flexión.
Del equilibrio de fuerzas horizontales se tiene:
[C ( z) Y
''
2
( z)
] − [C ( z) Y ( z )] = w( z )
''
'
'
1
( 12.2 )
Ahora se denomina w( z ) a la variación de la carga perpendicular al eje del elemento.
Al extenderse la ecuación ( 12.2 ) a fuerzas inerciales se tiene:
[C ( z) Y
2
''
( z)
] − [C ( z) Y ( z )]
''
'
1
'
__ ..
+ m Y = w( z )
( 12.3 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.1 Modelo numérico de una viga de corte acoplada a una de flexión.
Se ha notado ( ‘ ) la derivada de Y con respecto a z, ( . ) la derivada de Y con respecto
__
al tiempo t. Por otra parte m es la masa por unidad de longitud. Para el caso de vibración libre
se tiene:
[C ( z) Y
''
2
( z)
] − [C ( z ) Y ( z)]
''
'
'
1
__ ..
+ mY =0
( 12.4 )
Se plantea la solución, de la forma:
( 12.5 )
Y ( z , t ) = φ ( z ) y (t )
Al reemplazar ( 12.5 ) en ( 12.4 ) se halla:
[C ( z) φ ( z)] − [C ( z ) φ ( z )]
''
2
''
'
1
Las condiciones de borde son las siguientes:
i.
En z = 0
φ ( z) = 0 .
'
__ ..
+m y=0
( 12.6 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
ii.
En z = 0
iii.
En z = L
iv.
En z = L
φ ' ( z) = 0
φ '' ( z ) = 0
[C2 ( z) φ '' ( z)] ' − [C1 ( z) φ ' ( z)] = 0
Se puede continuar con la solución, en forma similar a la desarrollada en los capítulos
anteriores pero se considera más importante presentar el modelo desarrollado por Eduardo
Miranda en (1999) y publicado en el Journal of Structural Engineering.
12.2
MODELO DE MIRANDA
Al desarrollar la ecuación ( 12.2 ) para el caso de una viga se sección constante pero
sin considerar la respuesta en el tiempo se tiene:
[EI u ( z)]
''
''
⎡ GA ' ⎤ '
−⎢
u ( z )⎥ = w( z )
⎣ β
⎦
Siendo u ( z ) es el desplazamiento en el punto z. Al dividir todo para EI se halla:
u ( z) −
' '''
α2
H
2
u '' ( z ) =
w( z )
EI
( 12.7 )
Donde:
α2
H
2
=
GAc
EI
( 12.8 )
Para valores muy pequeños de α el comportamiento es de una viga de flexión, para
α = 0 sería viga de flexión. Por el otro lado, para valores muy altos de α el comportamiento
es de una viga de corte; concretamente para α = ∞ es viga de corte. De tal manera que de
acuerdo al valor de α se puede tener una viga de flexión o una de corte o una que tenga las
propiedades de las dos.
La forma de distribución de la carga lateral considerada por Miranda, está definida por:
w( z ) = Wmax
1 − e −a z / H
1 − e −a
( 12.9 )
Donde Wmax es el valor máximo de la carga distribuida. Mediante el parámetro a se
puede tener variaciones de carga: triangular si a = 0.01 ; parabólica si a = 2.03 ; uniforme
distribuida si a tiene un valor muy alto.
•
EJEMPLO 1
Presentar la variación de la carga a lo largo de la altura de la viga, para los siguientes
valores de a: 0.01, 2, 5 y 2000. La variación e la carga dividirla para Wmax .
•
SOLUCIÓN
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Para resolver el problema se elaboró el programa VARIACIONCARGA cuya forma de
uso es la siguiente:
[w]=variacioncarga (a)
•
a
Es un vector que contiene 4 valores de a para los cuales se desea hallar la
variación de la carga.
>>a=[ 0.01; 2; 5; 2000]
>> [w]=variacioncarga(a)
En la figura 12.2 se presenta la variación de la carga para los valores de a solicitados.
Figura 12.2 Diferentes variaciones de carga transversal
function [w]=variacioncarga(a)
%
% Variacion de la carga en viga de corte acoplada a la flexion
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [w]=variacioncarga(a)
%------------------------------------------------------------%a
:Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es
%
triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida.
%
Es un vector que se da como dato, el programa obtiene la
%
distribucion de carga para 4 valores de a.
% Wmax : intensidad de la carga uniforme distribuida. Programado para 1
dz=0.01; hold off;
for k=1:4
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
aa=a(k);
for z=1:101
zh=(z-1)*dz;num=1-exp(-aa*zh);den=1-exp(-aa);w(z)=num/den;zz(z)=zh;
end
if k==1
plot(w,zz,'--'); hold on;
elseif k==2
plot(w,zz,':');
elseif k==3
plot(w,zz,'-.');
else
plot(w,zz)
end
end
xlabel ('Valor w(z) / Wmax'); ylabel ('z / H');
%---fin---
12.2.1
Respuesta en desplazamiento
La respuesta de la ecuación diferencial ( 12.7 ) encontrada por Miranda (1999) para la
variación de carga definida en ( 12.9 ) es:
2
⎤
Wmax H 4 ⎡
z
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
− az / H
+
+
+
+
+
u( z) =
C
senh
α
C
cosh
α
C
e
C
C
C
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎢
⎥
1
2
3
4
5
6
H
EI 1 − e − a ⎣⎢
⎝H⎠
⎝ H⎠
⎝ H⎠
⎦⎥
(
)
( 12.10 )
Las constantes de integración para la viga en voladizo son:
C1 =
α 2 e −a − a 2 e −a − a 3 + a α 2 − α 2
a α 3 (a 2 − α 2 )
( 12.11 )
a 2 e − a − α 2 e − a + a 3 − aα 2 + α 2 senhα α 2 e − a + a 2 − α 2 1
C2 =
+
cosh α
aα 3 a 2 − α 2
α 4 a 2 − α 2 cosh α
(
)
(
)
( 12.12 )
C3 =
−1
a a2 −α 2
2
(
C4 =
C5 =
C 6 = C1
)
( 12.13 )
−1
2α2
( 12.14 )
a 2 e −a − α 2 e −a + a 3 − a α 2
a α 2 a2 −α 2
(
)
( 12.15 )
α 2e −a + a 2 − α 2
1
1
senhα
+ 2 2
−
2
4
2
2
cosh α a a − α
cosh α
α a −α
(
)
(
)
( 12.16 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.3 Viga en voladizo sometida a carga triangular.
•
EJEMPLO 2
La viga en voladizo indicada en la figura 12.3 de 15 m., de altura tiene una rigidez
EI = 1 y sobre ella actúa una carga triangular cuyo valor máximo es 2 T./m., Se desea
presentar un gráfico para la variación del desplazamiento transversal dividido para el
desplazamiento máximo. Para los siguientes valores de α : 1; 2; 10 y 50.
•
SOLUCIÓN
Para resolver este problema se elaboró el programa DESPLAZAMIENTOMIRANDA
cuya forma de uso es la siguiente:
[u] = desplazamiento(Wmax,alfa,H,EI)
•
•
•
•
Wmax
alfa
H
EI
Valor máximo de la carga distribuida.
Vector que contiene los cuatro valores de
Altura de la viga en voladizo.
Rigidez a flexión de la viga en voladizo.
α
que definen la estructura.
function [u]=desplazamientomiranda(Wmax,alf,H,EI)
%
% Respuesta de una viga de flexion acoplada a una de corte, propuesta
% por Miranda (1999). Valida para vigas de seccion constante.
% Programado para distribucion de carga triangular.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [u]=desplazamientomiranda(Wmax,alf,H,EI)
%------------------------------------------------------------%a
:Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es
%
triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida.
% Wmax :Intensidad de la carga uniforme distribuida
% alf :Vector que contiene los cuatro valores de alfa para los cuales
%
:se encuentra el desplazamiento de la viga
% alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero
%
comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte.
%H
:Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion
% EI :Rigidez a flexion de la viga.
%Constantes de Integracion
a=0.01;
for k=1:4
alfa=alf(k);
num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2;
den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1;
num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2;
num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2);
aux1=num21/den1; aux2=num22/den2;
c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa)));
den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3;
den4=2*alfa^2; c4=-1/den4;
num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2;
den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5;
num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2;
aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa));
c6=aux5+aux3-aux6;
% Calculo de desplazamientos
aux7=EI*(1-exp(-a));aux=Wmax*H^4/aux7;dz=0.01;hold off
for z=1:101
zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh);
coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=aux*(coef1+coef2);y(z)=zh;
end
for z=1:101
u(z)=u(z)/u(101); hold on
end
if k==1
plot(u,y,'--')
elseif k==2
plot(u,y,':')
elseif k==3
plot(u,y,'-.')
else
plot(u,y)
end
xlabel ('Relacion u(z) / u(H) '); ylabel (' z / H ' );
title ('Variacion de carga triangular');
end
%---fin---
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.4 Variación del desplazamiento lateral con la altura.
En la figura 12.4 se presenta el desplazamiento lateral de las cuatro vigas. Nótese las
elásticas de deformación para α = 1 y α = 2 corresponden a estructuras cuyo
comportamiento es en flexión y las elásticas de deformación para α = 10 y α = 50 son para
estructuras de corte.
12.2.2
Efecto de la distribución de cargas
La forma como se aplica las cargas en la viga en voladizo, influye en la respuesta en
desplazamientos, para ver este efecto se resuelve el siguiente ejemplo.
•
EJEMPLO 3
Se desea hallar la variación de los desplazamientos, con la altura, de la viga indicada
en la figura 12.5 si sobre ella actúa una carga uniforme distribuida de magnitud 2 T./m. y
comparar con los resultados que se obtienen cuando sobre ella actúa una carga triangular con
magnitud máxima de 2 T/m. Para los dos casos considerar:
α =6
EI = 1
H = 15 m.
Wmax = 2.0 T / m.
Se desea comparar la respuesta de desplazamiento lateral u ( z ) con relación al
desplazamiento en el tope de la viga.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.5 Viga en voladizo sometida a carga uniforme distribuida y triangular.
•
SOLUCIÓN
En la figura 12.6 se indica la respuesta en desplazamientos para los dos tipos de
carga. Al haber obtenido la respuesta para u ( z ) / u ( H ) se pueden comparar las respuestas ya
que en los dos casos esta relación tiene un valor máximo en el tope de uno. Se aprecia que
con la carga triangular esta relación es menor a la que se obtiene con la carga uniforme
distribuida.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.6 Comparación del efecto de aplicación de las cargas.
El programa, elaborado en MATLAB, con el cual se resolvió este ejemplo se llama:
COMPARACIONDESPLAZAMIENTO. Su forma de uso es:
[u] = comparaciondesplazamiento (Wmax,alfa,H,EI)
•
•
•
•
Wmax es la carga máxima por unidad de longitud.
alfa
es el valor α que define el comportamiento estructural.
H
es la altura de la viga en voladizo.
EI
es la rigidez a flexión de la viga en voladizo.
function [u]=comparaciondesplazamiento(Wmax,alfa,H,EI)
%
% Compara los desplazamientos laterales de una viga en voladizo
% ante carga triangular y carga uniforme distribuida.
% Utilizando desarrollo numerico de Miranda (1999).
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [u]=comparaciondesplazamiento(Wmax,alfa,H,EI)
%------------------------------------------------------------%a
:Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es
%
triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida.
% Wmax :Intensidad de la carga uniforme distribuida
% alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero
%
comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte.
%H
:Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion
% EI :Rigidez a flexion de la viga.
%Constantes de Integracion
aa(1)=0.01; aa(2)=2000;
for k=1:2
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
a=aa(k);
num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2;
den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1;
num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2;
num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2);
aux1=num21/den1; aux2=num22/den2;
c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa)));
den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3;
den4=2*alfa^2; c4=-1/den4;
num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2;
den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5;
num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2;
aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa));
c6=aux5+aux3-aux6;
% Calculo de desplazamientos
aux7=EI*(1-exp(-a));aux=Wmax*H^4/aux7;dz=0.01;hold off
for z=1:101
zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh);
coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=aux*(coef1+coef2);y(z)=zh;
end
for z=1:101
u(z)=u(z)/u(101); hold on
end
if k==1
plot(u,y)
else k==2
plot(u,y,':')
end
xlabel ('Relacion u(z) / u(H) '); ylabel (' z / H ' );
title ('Comparacion de cargas');
end
%---fin---
12.3
APLICACIONES
Una de las principales aplicaciones de la temática que se ha venido estudiando es
poder evaluar en forma sencilla y rápida el desplazamiento lateral de un edificio, que en este
capítulo se ha denominado u ( z ) , ante un sismo definido por su espectro de respuesta elástica.
Sea S d el desplazamiento espectral elástico asociado al período de vibración T , el
desplazamiento lateral en cualquier punto del edificio se obtiene en forma aproximada con la
siguiente relación:
u j = β1 ψ j S d
( 12.17 )
Donde β 1 es un parámetro que permite pasar los desplazamientos de un sistema de
un grado de libertad, que se tiene al utilizar el espectro, a un sistema de múltiples grados de
libertad, que se tiene en el edificio. Tema que será desarrollado en el próximo sub apartado.
ψ j es la forma del desplazamiento lateral evaluado en el piso j; u j es el desplazamiento
lateral en el piso j.
12.3.1 Parámetro β 1
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Se define el parámetro β 1 como el factor de participación modal
desplazamiento modal en el tope del edificio.
N
β1 =
∑m
j
φj
j
φ
j =1
N
∑m
j =1
γ1
φN
( 12.18 )
2
j
Donde N es el número de pisos; m j es la masa del piso j;
vibración en el piso j;
φN
multiplicado por el
φj
es el modo de
es el valor modal en el último piso. Para el caso de que la masa sea
igual en todos los pisos y encontrando los modos de vibración normalizados a la unidad en el
último piso, la ecuación ( 12.18 ) se convierte en:
N
β1 =
∑φ
j =1
j
N
∑φ
j =1
2
j
Con la nomenclatura, utilizada por Miranda (1999) se tiene:
N
β1 =
∑ψ
j =1
j
( 12.19 )
N
∑ψ
j =1
2
j
Siendo:
ψ j = ψ (z j ) =
u( z j )
( 12.20 )
u(H )
Donde z j la altura desde la base del suelo hasta el piso j. Al reemplazar ( 12.10 ) en
(12.20) y evaluando el desplazamiento lateral en u ( H ) se tiene:
2
zj
⎛ zj ⎞
⎛ zj ⎞
⎛ zj ⎞
− az / H
C1 senh⎜⎜ α ⎟⎟ + C 2 cosh⎜⎜ α ⎟⎟ + C 3 e j + C 4 ⎜⎜ ⎟⎟ + C 5
+ C6
H
H
H
H
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
ψ (z j ) =
C1 senh(α ) + C 2 cosh (α ) + C 3 e − a + C 4 + C 5 + C 6
( 12.21 )
•
EJEMPLO 4
Presentar curvas del parámetro β 1 para edificios de 1 a 20 pisos y para los siguientes
valores de α : 2, 4, 8 y 30. Considerar que la altura de cada piso es igual y vale 3.0 m.
•
SOLUCIÓN
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Antes de presentar el programa BETAUNO con el cual se hallan las curvas pedidas,
veamos como se procedería para el caso de un edificio de 2 pisos. En este caso la altura total
es H = 6 m. Por lo tanto se debe evaluar ψ ( z1 = 3.0 m.) y ψ ( z 2 = 6.0 m.) con la ecuación
(12.21) . Luego de lo cual se realiza la sumatoria de la ecuación ( 12.19 ) para hallar
forma de uso del programa BETAUNO es la siguiente:
β1 . La
[beta]=betauno(alfa)
•
alfa
Es un vector que contiene los valores de
las curvas de
β1 .
α
para los cuales se desean hallar
>> alfa = [ 2; 4; 8; 30 ]
>> [beta]=betauno(alfa)
function [beta]=betauno(alf)
%
% Calculo del parametro beta1 utilizando el modelo de Miranda (1999)
% Obtiene la curva para 1 a 10 pisos para varios valores de alfa.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [beta]=betauno(alf)
%------------------------------------------------------------%a
:Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es
%
triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida.
% alf : Vector de datos de alfa que da el usuario.
% alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero
%
comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte.
%H
:Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion
%N
:Numero de pisos
KT=length(alf); a=0.01;hold off
for K=1:KT;
alfa=alf(K);
%Constantes de Integracion
num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2;
den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1;
num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2;
num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2);
aux1=num21/den1; aux2=num22/den2;
c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa)));
den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3;
den4=2*alfa^2; c4=-1/den4;
num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2;
den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5;
num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2;
aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa));
c6=aux5+aux3-aux6
% Calculo de denominador
denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6;
% Calculo del numerador
for N=1:20
H=3*N;dz=H/N;
for z=1:N
zh=z*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh/H)+c2*cosh(alfa*zh/H)+c3*exp(-a*zh/H);
coef2=c4*(zh/H)^2+c5*(zh/H)+c6; si(z)=(coef1+coef2)/denominador;
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
end
% Calculo de sumatorias
sumn=0; sumd=0;
for z=1:N
sumn=sumn+si(z); sumd=sumd+si(z)*si(z);
end
beta(N)=sumn/sumd;
end
if K==1
plot(beta,'--'); hold on;
elseif K==2
plot(beta,'-.')
elseif K==3
plot(beta,':')
else
plot(beta)
end
xlabel ('Numero de pisos ');
end
% ---fin---
En la figura 12.7 se presentan las curvas obtenidas con el programa BETAUNO. Como
se indicó anteriormente valores bajos de α corresponden al comportamiento de edificios que
trabajan como una viga de corte, en esos edificios se tienen valores altos de β 1 . Por el otro lado,
valores altos de α corresponden a edificios que trabajan como una viga de flexión, para este
caso los valores del parámetro β 1 son bajos.
•
EJEMPLO 5
Comparar las curvas del parámetro
β1
que se obtienen para
α = 0 .5
y
α = 1 con las
que se hallan con la ecuación propuesta por Algan ( 1982 ) en función del número de pisos N
siguiente:
β1 =
3N
2 N +1
( 12.22 )
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.7 Variación de
•
β1
en función del número de pisos.
SOLUCIÓN
La ecuación propuesta por Algan (1982) fue deducida para una viga de corte de
sección constante. Por lo tanto, es aplicable a estructuras en base a vigas y columnas, sin
muros de corte.
El parámetro
β1
varía muy poco a partir de los 10 pisos, razón por la que se comparan
las curvas para edificios de 1 a 10 pisos, en la figura 12.8. Para un valor de
curva con la de Algan.
α =2
coinciden la
En base al programa BETAUNO se elaboró el programa denominado ALGAN
añadiendo las siguientes sentencias:
% Propuesta de Algan
for N=1:10
beta(N)=3*N/(2*N+1);
end
plot(beta)
12.3.2 Desplazamiento lateral
La ecuación ( 12.17 ) sirve para encontrar la respuesta elástica, en desplazamientos,
de un edificio ante un espectro elástico. En este sub apartado interesa encontrar la relación
u ( z ) / S d = β 1 ψ j para ver como varían los desplazamientos en diferentes estructuras
caracterizadas por el valor
α.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.8 Comparación de
•
β1
con ecuación propuesta por Algan.
EJEMPLO 6
Encontrar la relación u ( z ) / S d para cuatro estructuras definidas por los siguientes
valores de α : 0.5; 3; 8 y 30. Considerando que son edificios de 20 pisos. Calcular con la
función ψ j normalizada a unidad en el tope.
•
SOLUCIÓN
En la figura 12.9 se presenta la respuesta del problema, la misma que se encontró con
el programa DESPLAZAMIENTOLATERAL que se utiliza de la siguiente forma:
[u] = desplazamientolateral (N,alfa)
•
•
N
Alfa
es el número de pisos.
es el vector que contiene los valores de
Para el ejemplo se tiene:
>> alfa=[0.5; 3; 8; 30]
>> desplazamientolateral (20,alfa)
α.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.9 Variación del desplazamiento en altura para diferentes estructuras.
Es interesante notar en la figura 12.9 que existe un punto en z / H = 0.85 que define
el comportamiento para valores menores y para valores mayores. Es como un punto de
inflexión donde cambia el comportamiento de las estructuras, las que se deforman menos
antes de este valor a partir de este punto se deforman más.
function [u]=desplazamientolateral(N,alf)
%
% Determina la variacion del desplazamiento lateral en altura, como un
% sistema continuo para diferentes valores de alfa. Utilizando el modelo
% propuesto por Miranda (1999)
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [u]=desplazamientolateral(N,alf)
%------------------------------------------------------------%a
:Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es
%
triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida.
% alf : Vector de datos de alfa que da el usuario.
% alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero
%
comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte.
%H
:Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion
%N
:Numero de pisos
% Este programa calcula: u(z)/Sd = beta1 * La forma modal
KT=length(alf); a=0.01;hold off
for K=1:KT;
alfa=alf(K);
%Constantes de Integracion
num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2;
den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1;
num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2;
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2);
aux1=num21/den1; aux2=num22/den2;
c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa)));
den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3;
den4=2*alfa^2; c4=-1/den4;
num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2;
den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5;
num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2;
aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa));
c6=aux5+aux3-aux6;
% Calculo de denominador
denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6;
% Calculo del numerador
H=3*N;dz=H/N;
for z=1:N
zh=z*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh/H)+c2*cosh(alfa*zh/H)+c3*exp(-a*zh/H);
coef2=c4*(zh/H)^2+c5*(zh/H)+c6; si(z)=(coef1+coef2)/denominador;
end
% Calculo de sumatorias
sumn=0; sumd=0;
for z=1:N
sumn=sumn+si(z); sumd=sumd+si(z)*si(z);
end
beta=sumn/sumd;
dz=0.01;
if K==1
for z=1:101
zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh);
coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh;
end
for z=1:101
u(z)=u(z)*beta/u(101);
end
plot(u,y,'--'); hold on;
elseif K==2
for z=1:101
zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh);
coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh;
end
for z=1:101
u(z)=u(z)*beta/u(101);
end
plot(u,y,'-.')
elseif K==3
for z=1:101
zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh);
coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2);y(z)=zh;
end
for z=1:101
u(z)=u(z)*beta/u(101);
end
plot(u,y,':')
else
for z=1:101
zh=(z-1)*dz; coef1=c1*sinh(alfa*zh)+c2*cosh(alfa*zh)+c3*exp(-a*zh);
coef2=c4*zh^2+c5*zh+c6; u(z)=(coef1+coef2)/denominador; y(z)=zh;
end
for z=1:101
u(z)=u(z)*beta/u(101);
end
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
plot(u,y)
end
xlabel ('u(z) / Sd '); ylabel (' z / H ' )
end
% ---fin---
12.4
DERIVA DE PISO
En el diseño de las estructuras, interesa conocer cuales son las derivas en cada uno de
los pisos, para saber si se encuentran dentro de lo tolerable por las normativas sísmicas y
sobre todo para tomar ciertas precauciones en los lugares en que se tengan mayores derivas
de piso.
Se define la deriva de piso
γj
como la relación entre el desplazamiento relativo de piso
dividido para la altura de piso h j .
γj =
u j +1 − u j
( 12.23 )
hj
La deriva de piso es aproximadamente igual a la derivada de u con respecto a z . A
continuación se halla la deriva a lo largo de la viga multiplicada por H / u ( H ) .
du ( z / H ) H
=
dz
u(H )
z
z
z
+ C 2α senhα − C 3 a e − az / H + 2C 4
+ C5
H
H
H
C1 senhα + C 2 cosh α + C 3 e − a + C 4 + C 5 + C 6
C1α cosh α
( 12.24 )
•
EJEMPLO 7
Presentar la variación de la deriva de piso normalizada por el producto H / u ( H ) para
valores de α : 2; 5; 10 y 30. El valor del desplazamiento en el último piso dividido para la altura
total es la deriva global, luego lo que se pide en el ejercicio es la relación entre la deriva de piso
dividida para la deriva global.
•
SOLUCIÓN
En la figura 12.10 se presenta la variación de la deriva de piso solicitada. Nótese que
los mayores valores se hallan para valores de
z
≤ 0.5 es decir en los pisos inferiores.
H
El programa con el cual se obtiene la figura 12.10 se denomina: VARIACIONDERIVA y
la forma de uso es la siguiente:
[u] = variacionderiva (alfa)
•
alfa
es el vector que contiene los valores de
α
La entrada de datos para el ejemplo es la siguiente:
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
>> alfa = [ 2; 5; 10; 30]
>> [u] = variacionderiva (alfa)
Figura 12.10 Variación de la deriva a lo largo de la altura.
function [u]=variacionderiva(alf)
%
% Determina la variacion de la deriva de piso con la altura, multiplicada
% por H/u(H). Trabajo de Miranda (1999) Calcula la variacion de la deriva
% para varios valores de alfa.
%
% Por: Roberto Aguiar Falconi
%
CEINCI-ESPE
%------------------------------------------------------------% [u]=variacionderiva(alf)
%------------------------------------------------------------%a
:Parametro que define la variacion de la carga a=0.01 es
%
triangular y a= infinito es carga uniforme distribuida.
% alf : Vector de datos de alfa que da el usuario.
% alfa :Parametro que controla el comportamiento de la viga si es cero
%
comporta como una viga de flexion y si es infinito como de corte.
%H
:Altura total de la viga de corte acoplada a la de flexion
%N
:Numero de pisos
% Este programa calcula: u(z)/Sd = beta1 * La forma modal
KT=length(alf); a=0.01;hold off
for K=1:KT;
alfa=alf(K);
%Constantes de Integracion
num1=alfa^2*exp(-a)-a^2*exp(-a)-a^3+a*alfa^2-alfa^2;
den1=a*alfa^3*(a^2-alfa^2); c1=num1/den1;
num21=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2+alfa^2;
num22=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; den2=alfa^4*(a^2-alfa^2);
aux1=num21/den1; aux2=num22/den2;
c2=(aux1*sinh(alfa)/cosh(alfa))+(aux2*(1/cosh(alfa)));
den3=a^2*(a^2-alfa^2); c3=-1/den3;
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
den4=2*alfa^2; c4=-1/den4;
num5=a^2*exp(-a)-alfa^2*exp(-a)+a^3-a*alfa^2;
den5=a*alfa^2*(a^2-alfa^2); c5=num5/den5;
num6=alfa^2*exp(-a)+a^2-alfa^2; aux3=1/den3;aux4=num6/den2;
aux5=c1*sinh(alfa)/cosh(alfa); aux6=aux4*(1/cosh(alfa));
c6=aux5+aux3-aux6;
% Calculo de denominador
denominador=c1*sinh(alfa)+c2*cosh(alfa)+c3*exp(-a)+c4+c5+c6;
% Calculo del numerador
dz=0.01;
for z=1:101
zh=(z-1)*dz;
coef1=c1*alfa*cosh(alfa*zh)+c2*alfa*sinh(alfa*zh)-c3*a*exp(-a*zh);
coef2=2*c4*zh+c5; u(z)=(coef1+coef2)/denominador;y(z)=zh;
end
if K==1
plot(u,y,'--'); hold on;
elseif K==2
plot(u,y,'-.')
elseif K==3
plot(u,y,':')
else
plot(u,y)
end
ylabel (' z / H ' )
end
% ---fin---
12.4.1 Parámetro β 2
Se define el parámetro
deriva global
γg
β2
como la relación entre la deriva de piso con respecto a la
del edificio. La deriva global relaciona el desplazamiento lateral máxima en el
tope con respecto a la altura total del edificio H .
β2 =
Max(γ j )
γg
=
Max(γ j )
⎡ du ( z ) H ⎤
= Max ⎢
⎥
u( H )
⎣ dz u ( H ) ⎦
H
Para encontrar los valores máximos de
( 12.25 )
du
se debe hallar la segunda derivada e
dz
igualar a cero.
d 2u
⎛ z ⎞
⎛ z ⎞
= C1 α 2 senh⎜ α ⎟ + C 2 α 2 cosh⎜ α ⎟ + C 3 a 2 e − a z / H + 2 C 4 = 0
2
dz
⎝ H⎠
⎝ H⎠
( 12.26 )
Una vez que se halla el valor de z / H con la ecuación ( 12.26 ) se reemplaza en la
ecuación ( 12.24 ) y se encuentra el valor de β 2 .
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Los parámetros β 1 , β 2 tienen varias aplicaciones, una de ellas es para encontrar la
deriva máxima de piso en forma rápida. En el Centro de Investigaciones Científicas de la
Politécnica del Ejército en el 2005 se desarrolló el proyecto denominado “Evaluación rápida de
la deriva máxima de piso en edificios de hormigón armado” que por considerarlo de importancia
se presenta a continuación un resumen del mismo.
12.5
EVALUACIÓN RÁPIDA DE LA DERIVA MÁXIMA DE PISO
Se incluyó el parámetro
deriva máxima de piso
siguiente manera:
γ
β5
en la forma propuesta por Miranda (2000) para evaluar la
, en edificios de hormigón armado, quedando la ecuación de la
γ =
Donde
β1
β1 β 2 β 3 β 4 β 5
H
Sd
( 12.27 )
es el valor de paso del sistema de un grado de libertad al sistema de
múltiples grados de libertad;
β2
es un factor de amplificación que permite determinar la
distorsión máxima de entrepiso a partir de la deriva global de la estructura;
β3
es un factor que
permite calcular los desplazamientos laterales máximos con comportamiento inelástico a partir
de los máximos desplazamientos laterales con comportamiento elástico; β 4 es un factor que
sirve para determinar el cociente entre la distorsión máxima de entrepiso y la distorsión global
pero calculado en una estructura con comportamiento inelástico con relación a la misma
relación pero calculada con comportamiento elástico; β 5 es un factor que toma en cuenta el
modelo de histéresis utilizado para hallar la respuesta no lineal; H es la altura total del edificio
y S d es el desplazamiento espectral elástico asociado al período efectivo Te de la estructura.
De la investigación realizada, se recomienda utilizar la ecuación de Algan (1982) para
el cálculo de β 1 . Para el parámetro β 2 en base al análisis de 3840 resultados de120 edificios
de 1 a 10 pisos, se obtuvo:
β 2 = −0.0231 N 2 + 0.3018 N + 0.6759
Donde N es el número de pisos. Para el parámetro
β3
( 12.28 )
en base a 63 acelerogramas
de sismos registrados en Colombia, Perú, Argentina y Chile, con aceleraciones mayores al 10
% de la aceleración de la gravedad, se encontró la siguiente expresión:
β3 =
µ
[c (µ − 1) + 1]1 / c
c(T , α ) =
c(T , α ) =
Te
2.07
1 + Te
Te
2.07
+
0.381
Te
para α = 0.0
+
0.248
Te
para α = 0.05
1.247
1 + Te
1.247
( 12.29 )
( 12.30 )
( 12.31 )
Donde µ es la ductilidad del sistema, α es la relación entre la rigidez post fluencia
con respecto a la rigidez elástica. Las ecuaciones ( 12.29 ) a ( 12.31 ) fueron obtenidas sin
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
considerar el tipo de suelo. Para tener en cuenta el tipo de suelo se trabajó con 24
acelerogramas artificiales
que reportan los espectros del Código Ecuatoriano de la
Construcción, CEC_2000, se encontró las siguientes ecuaciones:
d
⎡⎛ a
⎞⎛ T ⎞ ⎤
β 3 = 1 + ⎢⎜⎜ b + c ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎢⎣⎝ µ
⎠ ⎝ TS ⎠ ⎥⎦
−1
( 12.32 )
Tabla 12.1 Valores de a, b, c, d encontrados en el estudio.
Perfil de Suelo
a
b
c
d
TS
S1
S2
S3
S4
30.00
71.80
81.04
86.00
1.34
2.00
2.00
2.10
-1.49
-1.50
-2.55
-2.60
0.60
0.50
0.50
0.48
0.50
0.52
0.82
2.00
En la tabla 12.1 se indican los valores de a, b, c, d hallados en el estudio para los
perfiles de suelo S1 (roca o muy duro), S2 (de dureza intermedia), S3 (blando) y S4 (muy
blando).
Para el parámetro β 4 del análisis de 1944 casos, correspondientes a 72 edificios de 1
a 6 pisos, se obtuvo la siguiente relación:
( 12.33 )
β 4 = 0.029 N + 0.9796
Finalmente, para el parámetro
β5
se recomienda utilizar los resultados presentados en
la tabla 12.2; los mismos que se infirieron a partir del estudio de Lee et al (1999).
Tabla 12.2 Valores de
Ductilidad
β5
1
1.00
2
1.14
β5
en función de la demanda de ductilidad.
3
1.17
4
1.19
5
1.22
6
1.23
Para ver la bondad de la propuesta realizada se encontró la deriva máxima de piso
aplicando la metodología propuesta y se comparó con la obtenida con el programa IDARC
mediante análisis no lineal dinámico, en 72 estructuras sometidas a 25 registros sísmicos y se
encontró una muy buena aproximación como se ilustra en la figura 12.11.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
Figura 12.11 Relación
γ IDARC / γ
encontrada en el estudio.
Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
REFERENCIAS
1. Aguiar R., (1987) Diferencias Finitas en el Análisis Estático de Estructuras, Colegio de
Ingenieros Civiles del Guayas, 129 p, Guayaquil.
2. Aguiar R., (1989) Parrillas de cimentación de sección constante, Un Capítulo de las
Memorias del I Curso de Cimentaciones. Escuela Politécnica del Ejército, 31 p, Quito.
3. Aguiar R., (1991) Análisis Sísmico de Estructuras en forma de péndulo invertido,
Escuela Politécnica del Ejército, 325 p, Quito.
4. Aguiar R., (2004) Análisis Matricial de Estructuras, Centro de Investigaciones
Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, Tercera Edición, 540 p, Quito.
5. CAL-91, (1991) Computer Assited Learning of Structural Analysis, Manual del
Programa.
6. Gere J., Waver W., (1972) Análisis de Estructuras Reticulares, Compañía Editorial
Continental, S.A., Tercera Edición, 535 p, México.
7. Hidalgo W., (1989), Vigas de Cimentación sobre suelo elástico, Un Capítulo de las
Memorias del I Curso de Cimentaciones. Escuela Politécnica del Ejército, 49 p, Quito.
8. SAP2000, (1996) Integrated Finite Element Analysis and Design of Structures,
Computers and Structures, Inc. Berkeley California, USA.
9. Segovia A., (1976) Vigas de Cimentación sobre suelo elástico, Apuntes del Curso de
Estructuras. Facultad de Ingeniería Civil de la Escuela Politécnica Nacional, Quito.
10. Wilson E., (1997) Three Dimensional Dynamic Analysis of Structures, Computers and
Structures, Inc. Berkeley California, USA.