Claudia Murro
Storia della matematica2 20/21
• nacque il 15 febbraio 1564 a Pisa
• 5 settembre 1580: iscrizione all'Università di Pisa
• 1583: incontro con Ostilio Ricci
Matematica come una scienza non astratta, una disciplina che servisse a risolvere
i problemi pratici. Importanza della precisione nell’osservazione dei dati.
• 1585: isocronismo delle oscillazioni del pendolo
ISOCRONISMO DEL PENDOLO
Dopo aver osservato nella Cattedrale di Pisa un lampadario che oscillava dopo un intervento di
accensione o spegnimento delle candele, Galileo ne misurò il tempo utilizzando il battito del polso.
Egli si accorse che il periodo di oscillazione di un pendolo è indipendente dalla sua ampiezza,
fenomeno detto isocronismo del pendolo, e cercò di trovare le relazioni tra la lunghezza e il peso del
pendolo e il suo periodo. In realtà, un pendolo è strettamente isocrono soltanto se le sue oscillazioni
sono di piccola ampiezza, come fu scoperto da Huygens in seguito.
Molti anni più tardi, Galileo propose l'utilizzo del pendolo come
meccanismo regolatore degli orologi, e ne abbozzò un progetto.
Tuttavia, ormai vecchio e cieco, non riuscì a realizzarlo, e l'orologio
a pendolo venne costruito solo nel 1657 da Huygens.
L'aneddoto è così celebre da essere diventato ormai il simbolo dello
spirito di osservazione che dovrebbe contraddistinguere lo
scienziato moderno.
Attuale lampada presente nel duomo di Pisa
• 1589 contratto triennale per una cattedra di matematica
all'Università di Pisa
«Il metodo che seguiremo sarà quello di far dipendere quel che si dice da quel che si è detto,
senza mai supporre come vero quello che si deve spiegare. Questo metodo me l'hanno insegnato
i miei matematici, mentre non è abbastanza osservato da certi filosofi quando insegnano
elementi fisici... Per conseguenza quelli che imparano, non sanno mai le cose dalle loro cause, ma
le credono solamente per fede, cioè perché le ha dette Aristotele. Se poi sarà vero quello che ha
detto Aristotele, sono pochi quelli che indagano; basta loro essere ritenuti più dotti perché hanno
per le mani maggior numero di testi aristotelici [...] che una tesi sia contraria all'opinione di molti,
non m'importa affatto, purché corrisponda alla esperienza e alla ragione.»
Pio Paschini, Vita e Opere di Galileo Galilei, Città del Vaticano, Casa Editrice Herder, 1965, p.70
•
1592 cattedra di matematica a Padova
«li diciotto anni migliori di tutta la mia età».
Lettera a Fortunio Liceti, 23 giugno 1640. (Ed. Naz., Vol. XVIII, Lettera N. 4025, pp. 164-165)
Officina in cui costruisce strumenti ed esegue esperimenti per studiare il moto dei corpi.
STUDI SUL MOTO
Secondola fisica aristotelica, vi era una spontanea tendenza dei corpi a spostarsi verso quello che era il
loro luogo naturale. Il fuoco saliva, mentre i corpi gravi (fatti di terra e acqua) tendevano a cadere per
raggiungere il centro della Terra.
Oltre ai moti detti “naturali”, c’erano i moti “violenti”, come il lancio di una pietra o di una freccia in cui
l’oggetto segue una certa direzione fino a che il suo “impeto” non si esaurisce, dando luogo a un moto
naturale verso il basso.
Aristotele sostiene che più un corpo è pesante più cade velocemente, Galileo sostiene che gli oggetti
cadono tutti con la stessa velocità, che è proporzionale non al peso ma al tempo trascorso da quando il
moto è iniziato.
Per Galileo qualunque corpo tende a cadere verso il basso nella direzione del centro della Terra. Se vi sono
corpi che salgono verso l'alto è perché il mezzo nel quale si trovano, avendo una densità maggiore, li spinge
in alto, secondo il principio di Archimede; Galileo formula: la legge sulla caduta dei gravi.
Ricorrendo alla matematica, il problema era quello di capire come trattare eventi dinamici, con figure
geometriche o numeri che sono statici. Galileo riuscì a risolvere il problema disegnando una linea ed
associando ad ogni punto un tempo e un segmento ortogonale proporzionale alla velocità. In questo modo
costruì il prototipo del diagramma velocità-tempo e lo spazio percorso da un corpo è semplicemente
uguale all'area della figura geometrica costruita.
Il tempo non è un’intuizione interiore della coscienza, ma una dimensione oggettiva della realtà che
costituisce, insieme allo spazio, un parametro misurabile del movimento
Il principio d'inerzia e il moto circolare: Studiando il piano inclinato ebbe l'intuizione del principio di
inerzia: un corpo, non soggetto a forze, permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme.
Si immagini infine di spianare montagne e riempire valli in modo da realizzare un percorso rettilineo
assolutamente piano e senza attriti. Una volta iniziato il moto inerziale della sfera che scende da un piano
inclinato, questa continuerà a muoversi lungo tale percorso rettilineo fino a fare il giro completo della Terra
e ricominciare quindi indisturbata il proprio cammino. Ecco realizzato un moto inerziale che avviene lungo
un'orbita circolare, coincidente con la circonferenza terrestre. Galileo sembrerebbe erroneamente ritenere
che tutti i moti inerziali debbano essere moti circolari. Probabilmente per questo motivo considerò, per i
moti planetari da lui ritenuti inerziali, sempre e solo orbite circolari.
Misura dell'accelerazione di gravità: Galileo riuscì a determinare il valore che egli credeva costante
dell'accelerazione di gravità studiando la caduta di sfere ben levigate lungo un piano inclinato, anch'esso
ben levigato. Con semplici misure ad angoli differenti d’inclinazione del piano riuscì a ottenere un valore di
g solamente di poco inferiore a quello esatto per Padova, nonostante gli errori sistematici, dovuti all'attrito
che non poteva essere completamente eliminato.
Misura della velocità della luce: La sua idea fu quella di portarsi su una collina con una lanterna coperta da
un drappo e quindi toglierlo lanciando così un segnale luminoso ad un assistente posto su un'altra collina
ad un chilometro e mezzo di distanza: questi non appena avesse visto il segnale, avrebbe quindi alzato a
sua volta il drappo della sua lanterna e Galileo vedendo la luce avrebbe potuto registrare l'intervallo di
tempo impiegato dal segnale luminoso per giungere all'altra collina e tornare indietro. Una misura precisa
di questo tempo avrebbe consentito di misurare la velocità della luce ma il tentativo fallì data l'impossibilità
per Galilei di avere uno strumento che potesse misurare i centomillesimi di secondo che la luce impiega per
percorrere una distanza di pochi chilometri.
Laboratorio didattico: “Gli esperimenti di Galileo”
• 9 ottobre 1604: Supernova di Keplero
I resti della Supernova di Keplero in
un'osservazione moderna
L’UNIVERSO DI ARISTOTELE
Poiché il cerchio era considerato la forma perfetta, i movimenti dei
corpi celesti dovevano essere circolari ed il cosmo doveva essere
suddiviso in una serie di sfere concentriche. La sfera centrale (detta
anche sublunare) era occupata dalla Terra e dalla sua atmosfera; essa
era l'unica parte "imperfetta" del cosmo perché mutevole.
Al di fuori di questa sfera ve ne erano altre otto, composte di etere. Le
prime corrispondenti ai sette pianeti (nell'ordine: Luna, Mercurio,
Venere, Sole, Marte, Giove e Saturno) e l'ultima, il Firmamento, alle
stelle fisse. Ogni oggetto celeste era "incastonato" nella propria sfera e
ne condivideva il moto circolare uniforme (perfetto, immutabile ed
eterno) attorno alla Terra.
La supernova fu accesa dalla fusione di due “cadaveri” stellari che unendosi determinarono la massa
critica necessaria per generare la spettacolare esplosione.
L’evento segna lo spartiacque tra l’astronomia antica e l’astronomia moderna: fu allora che nello studio
degli astri l’osservazione incominciò a prevalere sui preconcetti e sui dogmi. A Keplero e Galileo sfuggì
l’avvistamento ma ben presto i due si avventurarono nella controversa interpretazione di quanto stava
avvenendo in cielo e, pur divergendo nella spiegazione, su una cosa si trovarono d’accordo: la comparsa
di un nuovo corpo celeste negava il principio aristotelico dell‘immutabilità dei cieli.
SN 1604 - SUPERNOVA KEPLERO
La Supernova 1604, conosciuta anche come la Supernova di Keplero o la stella di Keplero, fu una
supernova esplosa nella nostra galassia, la Via Lattea.
È al momento l'ultima supernova ad essere stata osservata nella nostra galassia, e si trovava ad una
distanza di non più di 20.000 anni luce dalla Terra.
La supernova fu osservata per la prima volta il 9 ottobre 1604. Keplero la vide per la prima volta il 17
ottobre, non fu lui a scoprirla, ma la studiò così a lungo che essa prese il suo nome.
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Betelgeuse, la prossima supernova osservabile dal secolo XVII?
Betelgeuse è oggi una Supergigante rossa 800 volte più grande del Sole, dista da noi circa 600 anni luce.
La luce di Betelgeuse, la stella più brillante della costellazione di Orione, nel
2019 si è affievolita del 50% circa e il destino di Betelgeuse è di esplodere in un
momento imprecisato da qui a 100 mila anni nel futuro. Per questa ragione
ogni evento insolito che riguarda questa stella è seguito con interesse dagli
astronomi che si occupano di evoluzione stellare.
L’ultima supernova nella nostra Via Lattea (visibile ad occhio nudo) fu quella
del 1604. Se assisteremo all’esplosione di Betelgeuse sarà un evento
che non accade da secoli e quando avverrà cambierà l’aspetto della
costellazione di Orione, familiare agli esseri umani per migliaia di anni.
• 1609: Galileo punta un cannocchiale verso il cielo
Non sembra che, negli anni della polemica sulla "nuova stella", Galilei si fosse già pubblicamente
pronunciato a favore della teoria copernicana: si ritiene che pensasse di non disporre ancora di prove
sufficientemente forti finché non seppe che alcuni occhialai olandesi avevano realizzato un curioso
strumento ottico: un tubo munito alle estremità di due lenti, guardando attraverso il quale gli oggetti
lontani apparivano più vicini. Non appena conobbe i dettagli costruttivi, Galileo si dedicò a perfezionare lo
strumento, riuscendo in pochi mesi ad aumentarne il potere d’ingrandimento (fino a 20 ingrandimenti:
ottenne quindi un telescopio), per primo decise di puntarlo verso il cielo.
La novità sta nel fatto che Galileo è stato il primo a portare dentro la scienza questo strumento, usandolo
in maniera prettamente scientifica e concependolo come un potenziamento dei nostri sensi
Grazie al cannocchiale, Galileo propone una nuova visione del mondo celeste:
•
Alle stelle visibili ad occhio nudo, si aggiungono altre innumerevoli stelle mai scorte prima d’ora.
L'Universo, dunque, diventa più grande.
•
Non c’è differenza di natura fra la Terra e la Luna. Galileo arreca così un duro colpo alla visione
aristotelico-tolemaica del mondo, sostenendo che la superficie della Luna non è affatto liscia e levigata
bensì ruvida, rocciosa. Quindi, tra gli astri, almeno la Luna non possiede i caratteri di “assoluta
perfezione” che ad essa erano attribuiti dalla tradizione.
Vengono scoperti i satelliti di Giove, che Galileo denominerà “stelle medicee” in onore di Cosimo II de’
Medici.
•
Le nuove scoperte furono pubblicate il 12 marzo del 1610 nel Sidereus Nuncius
Galileo osservò come prima cosa la Luna: osservò la metà chiara (quando vediamo la "mezzaluna”) e la
metà scura e si accorse che laddove terminava la parte chiara c’erano puntini scuri e laddove terminava la
parte scura c’erano puntini chiari: interpretò questa cosa in modo corretto, le chiazze erano delle
montagne: anche sulla Luna, quindi, ci sono le montagne come sulla Terra.
Questa osservazione fa cadere definitivamente l’idea di matrice aristotelica per cui la Luna, doveva essere
perfettamente sferica, priva di irregolarità. Invece la Luna, come la Terra, era fatta di materiale irregolare
ed imperfetto.
Disegni di Galileo Galilei
Foto del
Poi Galileo osserva le fasi di Venere: come la Luna, Venere presenta fasi, esse testimoniano che Venere
gira intorno al Sole e non alla Terra.
Se l’osservazione della Luna fa cadere la diversità tra mondo terrestre e mondo sublunare, l’osservazione
delle fasi di Venere fa vedere che quella di Copernico non era un’ipotesi matematica ma una verità fisica.
Teoria sulle maree
Nel 1616 Galileo Galilei scrisse il Discorso sul flusso e il reflusso del mare, egli cercò di spiegare le maree
come risultato della rotazione e rivoluzione terrestre attorno al Sole, ritenendo che gli oceani si
comportassero come l'acqua in una grande bacinella. La rotazione terrestre costringerebbe gli oceani
alternativamente ad accelerare e ritardare. La teoria era però errata.
Scoperta delle macchie solari – invenzione dell’elioscopio
Galileo oscura la stanza e punta il cannocchiale verso il Sole, collocando, a circa 1 metro dall'oculare, un
foglio di carta bianca. In tal modo il disco solare viene proiettato sul foglio. Per osservare le macchie
solari con maggiore contrasto, Galileo dispone uno schermo oscurante intorno al foglio. A questo punto
traccia col compasso un cerchio sopra il foglio e accostando o allontanando il foglio, trova la posizione
nella quale l'immagine del Sole corrisponde perfettamente al cerchio. Registra quindi sul foglio le
macchie.
Gli oppositori (astronomi del vaticano) sostenevano che le macchie fossero sciami di astri rotanti intorno
al Sole, mentre Galileo le considerava materia fluida appartenente alla superficie del Sole e ruotante
intorno ad esso proprio a causa della rotazione stessa della stella.
Fra il 1612 e il 1615 Galileo difese il modello eliocentrico e chiarì la sua concezione della scienza in
quattro lettere private, note come "lettere copernicane".
Il Saggiatore (1623)
ll Saggiatore, nel quale con bilancia esquisita e giusta si ponderano le cose contenute nella
Libra astronomica e filosofica di Lotario Sarsi Sigensano
Nell’autunno del 1618 erano apparse tre comete.
Orazio Grassi pubblicò un trattato, proponendo una spiegazione a questo fenomeno. Galileo rispose
tramite un suo discepolo. Il Grassi, sotto lo pseudonimo di Lotario Sarsi, replicò, fingendo che il Sarsi fosse
una persona diversa dal Grassi, scrisse il Saggiatore.
Il titolo dell'opuscolo deriva dalla bilancia di precisione, il "saggiatore" appunto, con la quale gli orefici
pesano l'oro, in contrapposizione alla grossolana "libra", con la quale il Grassi, secondo il parere di Galileo,
pesa le opinioni, che esse siano proprie o altrui.
L'ipotesi di Galileo che le comete fossero delle apparenze dovute ai raggi solari era sbagliata, mentre il
Grassi, correttamente, affermava che esse erano corpi celesti. Ma Galileo aveva ragione nel sostenere che
non era la scienza libresca del Grassi quella giusta, in quanto non fondata sulle esperienze, bensì sui libri
degli antichi. Galileo invece si basava sul suo nuovo metodo scientifico, sull'osservazione e la
sperimentazione. Celeberrima, in quest’ottica, è la metafora del “libro della natura”: esso sarebbe
costituito, secondo Galilei, non da carta - come pare intendere il “Sarsi” - bensì da “triangoli, cerchi ed
altre figure geometriche”, e solo chi si intende di matematica può essere in grado di leggerlo
adeguatamente. Per questo motivo Il Saggiatore è di grande rilevanza nel moderno concetto di scienza.
Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo (1632)
Ebbe da subito un enorme successo, ma la Chiesa, che dapprima ne aveva concesso la stampa, mutò
radicalmente la sua posizione, inserendolo nell'Indice dei libri proibiti nel 1633.
Dialogo che, confrontando le diverse opinioni degli interlocutori, gli avrebbe consentito di esporre le varie
teorie correnti sulla cosmologia, e dunque anche quella copernicana, senza mostrare di impegnarsi
personalmente a favore di nessuna di esse.
Nel Dialogo i due massimi sistemi messi a confronto sono quello tolemaico e quello copernicano (Galileo
esclude così dalla discussione l'ipotesi recente di Tycho Brahe) e tre sono i protagonisti: due sono
personaggi reali, amici di Galileo, Salviati (1582-1614) e Sagredo (1571-1620), mentre il terzo protagonista
è Simplicio, un personaggio inventato che richiama nel nome un noto, antico commentatore di Aristotele,
oltre a sottintendere il suo semplicismo scientifico. Egli è il sostenitore del sistema tolemaico, mentre
l'opposizione copernicana è sostenuta dal Salviati e, svolgendo una funzione più neutrale, dal Sagredo.
ESPERIMENTO MENTALE
Un esperimento mentale è un esperimento che non si intende realizzare nella pratica, ma viene solo
immaginato: i suoi risultati non vengono, quindi, misurati sulla base di un esperimento fisico in
laboratorio, ma calcolati teoricamente applicando le leggi della fisica.
Esempio: Einstein per mostrare come, secondo la teoria della relatività ristretta, eventi che sono
simultanei in un sistema di riferimento inerziale non lo sono in un altro descrive il paradosso dei gemelli.
Altri esperimenti mentali sono i paradossi di Zenone (come Achille e la tartaruga).
Il gran naviglio
‘’Salviati Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d’aver mosche, farfalle e
simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d’acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia
vadia versando dell’acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli
animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le
stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all’amico alcuna cosa, non piú gagliardamente la dovrete gettare verso quella
parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti.
Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosí,
fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una
minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando
passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, né, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso
la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al
compagno, non con piú forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l’opposito; le
gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti
palmi; i pesci nella lor acqua non con piú fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza
verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell’orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente
verso tutte le parti, né mai accaderà che si riduchino verso la parete che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce
corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d’incenso si farà
un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non piú verso questa che quella
parte. E di tutta questa corrispondenza d’effetti ne è cagione l’esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all’aria
ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta; ché quando si stesse di sopra e nell’aria aperta e non seguace del corso della nave,
differenze piú e men notabili si vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati: e non è dubbio che il fumo resterebbe in dietro, quanto l’aria stessa;
le mosche parimente e le farfalle, impedite dall’aria, non potrebber seguir il moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si
separassero; ma trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbrica anfrattuosa, porta seco parte dell’aria sua prossima, senza
intoppo o fatica seguirebbon la nave, e per simil cagione veggiamo tal volta, nel correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli,
volandogli ora in questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle gocciole cadenti pochissima sarebbe la differenza, e ne i salti e ne i proietti
gravi, del tutto impercettibile.
Sagredo: Queste osservazioni, ancorché navigando non mi sia caduto in mente di farle a posta, tuttavia son piú che sicuro che succederanno
nella maniera raccontata: in confermazione di che mi ricordo essermi cento volte trovato, essendo nella mia camera, a domandar se la nave
camminava o stava ferma, e tal volta, essendo sopra fantasia, ho creduto che ella andasse per un verso, mentre il moto era al contrario. Per tanto
io sin qui resto sodisfatto e capacissimo della nullità del valore di tutte l’esperienze prodotte in provar piú la parte negativa che l’affirmativa della
conversion della Terra’’
Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo
Scontro con la chiesa e gli ultimi anni
Nel 1615 Galileo fu denunciato al Santo Uffizio per la pericolosità delle sue teorie in quanto contraddiceva le
Sacre scritture.
Nel 1616, iniziò il primo processo a Galileo, ma qualcuno introdusse nel verbale del processo un atto dove si
obbligava lo scienziato a non insegnare le teorie di Copernico. Carta di cui non si seppe nulla fino al 1633,
quando si aprì il secondo processo a Galileo in seguito alla pubblicazione del Dialogo sopra i due massimi
sistemi del mondo. Lo scienziato aveva inviato il suo manoscritto a Roma alla fine del 1629 per ottenere il
permesso alla pubblicazione. L’inquisitore lo concesse, previa una revisione del libro, che Galileo fece solo in
parte. Fu allora che i suoi nemici tirarono fuori gli atti falsificati della prima serie di udienze, e lo scienziato fu
accusato di eresia e condannato.
Da una serie di documenti presenti negli archivi vaticani si evince come a salvare dal rogo lo scienziato fu
proprio il cardinal Bellarmino, il primo accusatore (ma anche caro amico di Galileo), che scrisse di suo pugno
“Galilei non è eretico”.
Quando si aprì il secondo processo Galileo era ormai anziano, la sua salute malferma.
Solo il 12 aprile 1633 l’inquisitore lo interrogò (in latino) e lui poté rispondere (in italiano). Gli interrogatori si
susseguirono per settimane fino al 21 giugno, giorno dell’ultima udienza: minacciandolo di tortura, gli
chiesero se sostenesse ancora la teoria eliocentrica: «Tenni, sì come tengo ancora, per verissima e indubitata
l’opinione di Tolomeo, cioè la stabilità della Terra e la mobilità del Sole” fu l’arrendevole risposta.
Il giorno dopo gli inquisitori lessero a Galileo, genuflesso, la sentenza: «Ti sei reso a questo Santo
Offizio veementemente sospetto d’eresia, d’aver tenuto e creduto dottrina falsa e contraria alle
Sacre e divine scritture, ch’il Sole sia centro della Terra e che non si muova [...] e che la Terra si
muova e non sia centro del mondo. [...] Ordiniamo che per publico editto sia proibito il libro de’
Dialoghi e ti condaniamo al carcere».
Per salvare la vita, lo scienziato abiurò: «Io Galileo inginocchiato avanti di voi [...] con cuor sincero e
fede non finta abiuro, maledico e detesto li sudetti errori e eresie [...] questo dì 22 giugno 1633».
Continuò a scrivere e studiare e morì nel 1642 nella sua casa-prigione di Arcetri.