TRABAJO FIN DE GRADO
Título
Modelos epidemiológicos basados en ecuaciones
diferenciales
Autor/es
Iranzu Sanz Garayalde
Director/es
Juan Luis Varona Malumbres
Facultad
Facultad de Ciencia y Tecnología
Titulación
Grado en Matemáticas
Departamento
Curso Académico
2015-2016
Modelos epidemiológicos basados en ecuaciones diferenciales, trabajo fin de
grado
de Iranzu Sanz Garayalde, dirigido por Juan Luis Varona Malumbres (publicado por la
Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported.
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©
©
El autor
Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2016
publicaciones.unirioja.es
E-mail: publicaciones@unirioja.es
Facultad de Ciencia y Tecnología
TRABAJO FIN DE GRADO
Grado en Matemáticas
Modelos epidemiológicos basados en ecuaciones
diferenciales
Alumno:
Iranzu Sanz Garayalde
Tutores:
Juan Luis Varona Malumbres
Logroño, 06/2016
Modelos epidemiológicos
basados en ecuaciones
diferenciales
Autora: Iranzu Sanz Garayalde
Tutor: Juan Luis Varona Malumbres
Grado en Matemáticas
Facultad de Ciencia y Tecnología
Universidad de La Rioja
Curso académico: 2015/2016
Resumen
Esta memoria trata de cómo aplicar modelos y aspectos matemáticos a
la vida cotidiana, concretamente a las enfermedades infecciosas, es decir, las
epidemias.
Aunque hay gran variedad de modelos dependiendo de la enfermedad, nos
hemos centrado en los tres más básicos y más generales como son los modelos
SIR, SI y SIS. Estos tres modelos tienen en cuenta a las personas infectadas,
los que pueden ser infectados y los que han superado la enfermedad. También
se incluye cómo afecta una vacuna en el desarrollo de una epidemia, en un
modelo SIR, y cómo se propaga una epidemia en el espacio mediante un
modelo SI.
Además hay una pequeña sección con otros modelos más complejos y más
específicos, SIRS, SEIS, SEIR, MSIR y MSEIR, que incluyen a los individuos
infectados que no pueden contagiar la enfermedad y a los individuos portadores pero que puede que no la padezcan nunca. Aparte de estos modelos,
en la literatura matemática existen muchos otros, nosotros hemos añadido
estos en modo informativo.
Por último, hay una sección con un ejemplo ilustrativo de modo que quede
más clara la utilidad de este tipo de modelos.
I
II
RESUMEN
Summary
This memory explains how to apply mathematical models and aspects to
daily life, particularly to infectious diseases, i.e. such as, epidemics.
Although there are a huge variety of models depending on the disease,
we have focused on the three more basic and more general ones, such as
the models SIR, SI and SIS. These three models take into account the people infected, the people that can be infected and those who have overcome
the disease. It also includes how a vaccine affects in the development of an
epidemic, in a SIR model, and how an epidemic is spread in space by a SI
model.
Moreover , there is a small section with more complex and more specific
models, SIRS, SEIS, SEIR, MSIR and MSEIR, which include infected people,
who cannot transmit the disease and carrier people, who may have never
suffered it. Apart from these models, in mathematical literature there exist
many others, we have added these ones in an informative way.
Finally, there is a section with an illustrative example, so as to make the
usefulness of this kind of models more clear.
III
IV
SUMMARY
Índice general
Resumen
I
Summary
III
1. Introducción
1.1. ¿Qué es la epidemiología? . . . . . . . .
1.1.1. ¿Qué es una epidemia? . . . . . .
1.2. Introducción histórica . . . . . . . . . . .
1.3. Importancia de los modelos matemáticos
2. Modelos epidemiológicos
2.1. Descripción general . . . . . . . .
2.2. Tipos de modelos matemáticos en
2.3. Principales modelos . . . . . . . .
2.3.1. Modelo SIR . . . . . . . .
2.3.2. Modelo SI . . . . . . . . .
2.3.3. Modelo SIS . . . . . . . .
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1
1
2
3
4
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epidemias
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5
. 5
. 6
. 7
. 8
. 34
. 36
3. Algunas propiedades y modelos adicionales
39
3.1. Propagación de la epidemia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2. Control y erradicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3. Otros modelos que no hemos considerado con detalle . . . . . 44
4. Aplicación con datos reales
49
Conclusiones
51
Bibliografía
53
V
VI
ÍNDICE GENERAL
Capítulo 1
Introducción
En el paso de los años, las matemáticas han sido aplicadas a una gran
variedad de campos; por ejemplo, en este trabajo, nosotros lo vamos a aplicar
a la epidemiología.
1.1.
¿Qué es la epidemiología?
La epidemiología es una disciplina científica que estudia la distribución, frecuencia, determinantes, relaciones, predicciones y control de los factores relacionados con la salud y enfermedad en
poblaciones humanas.
La anterior cita, obtenida de la página web [12], nos define epidemiología.
Hay varios tipos: epidemiología descriptiva, consiste en la observación y
registro de la enfermedad y las causas y generar una hipótesis a partir de ello;
epidemiología analítica, busca establecer relación entre los factores a los
que se exponen las personas y la población y la enfermedad que presentan a
través de procedimientos estadísticos y diagnósticos; epidemiología experimental, busca conclusiones que con la observación no se pueden obtener y,
para ello, realiza estudios en animales de laboratorio y estudios experimentales en poblaciones humanas; ecoepidemiología, estudia cómo interaccionan
los factores ambientales con las personas y las poblaciones y cómo afectan
en la enfermedad todo ello de manera ecológica; y epidemiología teórica,
consiste en la representación de la enfermedad por modelos matemáticos.
La epidemiología analiza la enfermedad para desarrollar planes de prevención y de lucha, tales como la vacunación o la cuarentena. Además intenta
indicar cuál será el número total o el número máximo de infectados en un
determinado momento.
1
2
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
1.1.1.
¿Qué es una epidemia?
Como todos sabemos, una epidemia es una enfermedad que ataca a un
gran número de personas o de animales en un mismo lugar y durante un mismo período de tiempo. Los motivos por los que una enfermedad se extiende
en una población son variados, puede ser debido a las malas condiciones de
salud, vida o higiene en una determinada zona. También puede deberse a
desastres naturales o causados por el ser humano.
Cuando una epidemia se extiende a distintos países se le llama pandemia.
Las epidemias más importantes de la historia se muestran en la figura 1.1.
A continuación tenemos algo de información sobre ellas:
La Viruela. Aparte de ser la pandemia que más muertos ha causado en
la historia de la humanidad, también ha dejado a millones de personas
desfiguradas. Se cree que apareció en el 10.000 a.C. y el último caso
que se registró la enfermedad fue en Somalía en 1977.
El Sarampión. Es la segunda mayor pandemia de la historia. Se conoce desde hace más de 3000 años y todavía no ha sido erradicada
solamente se puede prevenir el contagio.
La Gripe Española. A diferencia de las anteriores que causaron las
muertes a lo largo de los siglos, esta pandemia provocó todas las muertes
entre 1918 y 1920. El nombre no se debe a que se dieran los primeros
casos en España sino a que fue el primer país en informar.
La Peste Negra o Bubónica. Fue la pandemia de peste más letal de
la historia. Apareció a mediados del siglo XIV y su último brote fue a
principios del siglo XVIII.
El Virus de la Inmunodeficiencia Humana Adquirida o SIDA.
Esta enfermedad en sí no es la que provoca las muertes sino que destruye el sistema inmunológico de la persona, lo que hace que cualquier
enfermedad pueda provocar muertes. Apareció en el año 1981 y no se
conoce cura contra él.
La Plaga de Justiniano. Esta pandemia empezó en el siglo VI y
terminó en el siglo VIII.
La Tercera Pandemia. Es la tercera pandemia de peste bubónica.
Comenzó en el siglo XIX y estuvo activa hasta 1959.
1.2. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA
3
El Tifus. Se cree que llegó a Europa a principios del siglo XVIII y
aunque no está erradicada no supone, actualmente, un gran peligro.
El Cólera. Esta enfermedad cuenta con tres grandes pandemias ocurridas en el siglo XIX y epidemias muy extensas en el siglo XX. Sigue
presente en la actualidad.
La gripe de Hong Kong (H3N2). Ocurrió en 1968 y es uno de los
motivos por los que salta la alarma cada vez que se habla de gripe
debido a las muertes que produjo.
Figura 1.1: Número de muertos por epidemias
El año pasado la epidemia más oída fue el ébola, aunque todo apunta a
que no tendremos que añadirla a esta lista.
Una vez que en una zona se produce una epidemia, la Organización Mundial de la Salud declara que esta zona está libre de la enfermedad cuando
transcurren tres años sin que se dé ningún caso.
1.2.
Introducción histórica
Es probable que el hombre formulara ya teorías acerca de la naturaleza
de las enfermedades infecciosas desde mucho tiempo atrás. Pero el primer artículo conocido de una aplicación matemática a una enfermedad infecciosa,
4
CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN
la viruela, fue publicado en 1760 por Daniel Bernoulli, el cual tenía conocimientos matemáticos y médicos.
En el mismo siglo, Jean le Rond d’Alembert continuó el trabajo de Bernoulli y fue el primero en describir la propagación de enfermedades infecciosas
mediante un modelo.
A principios del siglo XX más modelos fueron publicados. William Heaton
Hamer formuló un modelo discreto analizando la epidemia de sarampión en
Inglaterra, y Ronald Ross, quien recibió el premio Nobel en 1902, demostró
que eliminando los mosquitos se eliminaría la malaria.
Basado en estos trabajos, Kermack y McKendrick publicaron en 1927 un
modo de predecir el tamaño final de una epidemia, la forma en la que se
propaga dicha epidemia y además plantearon lo que se conoce como teorema
del umbral. Estos dos autores, junto con otros, asumieron que la población era
homogénea, es decir, que la población comparte las mismas características.
Esta afirmación no es cierta ya que depende del modo de transmisión, los
agentes infecciosos o de la población afectada. (Veremos en la siguiente parte
esto más detalladamente, Modelos epidemiológicos, Capítulo 2.)
En 1990, empezó un mayor interés por entender la dinámica de las enfermedades como el VIH/SIDA.
1.3.
Importancia de los modelos matemáticos
La aplicación de modelos matemáticos hoy en día se ve limitada debido a
la falta de conocimientos acerca de los principios básicos de la modelización
matemática.
La importancia de estos modelos para epidemias es evidente:
a) Revelan algunas veces relaciones que no son obvias a primera vista.
b) Es posible extraer de ellos propiedades y características de las relaciones
entre los elementos que de otra forma permanecerían ocultas.
c) Se pueden usar los modelos para predecir las consecuencias de introducir cambios específicos, ya que en la mayor parte de las enfermedades
infecciosas del mundo real no es factible experimentar con la realidad.
d) Ayudan a entender la dispersión de una enfermedad infecciosa a través
de una población bajo diferentes escenarios.
Capítulo 2
Modelos epidemiológicos
2.1.
Descripción general
Existen diferentes factores dentro de una enfermedad que nos hacen no
poder estudiar todas de la misma forma, como son, el modo de transmisión, los agentes infecciosos, la población afectada y los estados por
los que puede pasar un individuo.
• El modo de transmisión. Algunas se transmiten de persona a persona, como es el caso del SIDA. Otras se transmiten a través del medio
ambiente, como el cólera. Un tercer grupo se transmite mediante el uso
de agentes (normalmente insectos) que son infectados por humanos e
infectan a otros humanos, como la malaria.
• Los agentes infecciosos, que son microorganismos capaces de producir una infección o una enfermedad infecciosa, influyen en los diferentes
estados por los que pasa. Podemos observarlo en la tabla 2.1.
• La población afectada. Depende de las características de la población:
a) Si no se tiene en cuenta el cambio en el número de la población,
es decir, si hay inmigración, emigración, muertes y nacimientos, o
si sí se tiene en cuenta.
b) Del estado de la enfermedad.
c) De los posibles factores que afectan según la edad o el sexo, por
ejemplo.
• Los estados por los que puede pasar un individuo. Los posibles
estados son:
5
6
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
Agente/Vía De persona a A través de
persona (o se- agua, alimenres de la mis- tos,...
ma especie)
Herpes, VIH,
Gripe
Bacteria
Tuberculosis,
Meningitis
Proteasoma Sífilis
Priones
Kurv
Gusanos
Virus
De agentes,
normalmente
insectos
contagiados
anteriormente por otras
personas, a
personas
De
agentes, ya sean
animales
o
plantas,
a
personas
Dengue, Fiebre amarilla
Cólera, Fie- Lyme
bre Tifoidea
Malaria
Rabia, Hantavirus
Antrax
Dracunculiasis Filariasis
Creustzfeldt
Triquinosis
Tabla 2.1: Tipos de enfermedades infecciosas según su modo de transmisión.
a) Susceptibles (S). Individuos sanos y que pueden contraer la enfermedad.
b) Expuestos (E). Individuos infectados pero que no pueden contagiar la enfermedad.
c) Infectados (I). Individuos infectados y que pueden contagiar a
otros.
d) Resistentes (R). Individuos resistentes a la enfermedad, normalmente la han superado o han sido vacunados.
e) Portadores (M). Individuos que portan la enfermedad pero puede
que no la padezcan nunca.
2.2.
Tipos de modelos matemáticos en epidemias
Hay dos tipos de modelos:
• Modelos estocásticos. Son modelos matemáticos, que aparecieron a
comienzos del siglo XX, donde al menos una variable es tomada como
un dato al azar y las relaciones entre variables se toman por medio de
funciones probabilísticas. (Una misma entrada puede producir diversos
estados y salidas, de manera impredecible.)
7
2.3. PRINCIPALES MODELOS
• Modelos determinísticos. Son modelos matemáticos, que aparecieron a finales de siglo XIX, donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del
azar. (Las mismas entradas producen siempre el mismo estado y las
mismas salidas.)
En las epidemias, para el caso determinístico la población queda determinada por un valor único, mientras que en el caso estocástico la población
puede variar desde 0 individuos hasta N . Esto influye en el resultado, ya
que, en un modelo determinístico, un solo sujeto causa una epidemia generalizada, mientras que, en el otro caso, es muy probable que un solo individuo
infectado provoque que la enfermedad se extinga. En este trabajo vamos a
estudiar solamente el caso determinístico.
2.3.
Principales modelos
Tenemos que distinguir entre epidemia y endemia a la hora de hacer los
modelos. Ya que uno de los factores más importantes a estudiar es si la
epidemia será o no endémica.
• Epidemia. Prevalece únicamente un determinado tiempo o bajo unas
determinadas circunstancias.
• Endemia. Prevalece durante mucho tiempo.
Para saber si una epidemia será o no endémica definimos el siguiente
indicador:
• R0 es el número básico de reproducción definido como el número medio
de infecciones secundarias que ocurren cuando un individuo infeccioso
es introducido en una población susceptible. Es decir, cuántos individuos va a infectar directamente el paciente cero. La cantidad R0 es de
gran importancia en epidemiología, ya que indica si la infección se va
a extender. Es la clave para entender por qué los programas de vacunación funcionan. Definimos el valor R0 :
R0 =
Z
∞
b(a) F (a) da,
0
donde F (a) es la probabilidad de que un nuevo infectado continúe infectado hasta el tiempo a y b(a) es el número medio de nuevos infectados
8
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
producidos por un individuo infectado por unidad de tiempo si éste permanece infectado por un tiempo a. La probabilidad de que un nuevo
infectado continué infectando se calcula mediante la fórmula
F (a) = e
−
Ra
0
p(t) dt
,
donde p(t) representa la proporción de individuos infecciosos que se
recuperan o mueren. (Se puede encontrar más información en [9] y [10].)
Como ya hemos dicho en la sección anterior, se parte del supuesto de que
los individuos se encuentran en uno de varios estados posibles. Los modelos
más importantes, y que vamos a estudiar a continuación, son: Modelo SIR,
Modelo SI y Modelo SIS. ([1] y [13].)
2.3.1.
Modelo SIR
Modelo SIR para epidemias
Como ya habíamos mencionado, en 1927, Kermack y McKendrick crearon un modelo donde consideraban una población fija con solo tres estados:
susceptibles (S), infectados (I) y resistentes (R), es decir, el modelo SIR.
Este tipo de modelo es adecuado cuando los agentes infecciosos son virus.
El esquema que representa el modelo es el siguiente:
contagio
recuperación
s −−−−→ i −−−−−−−→ r
(o muerte)
Con s(t), i(t) y r(t) variables que representan el número de individuos de
cada clase. Asumimos que:
• El número de infectados aumenta a una tasa, tasa de infección: α >
0, proporcional al número de infectados y al número de susceptibles:
αs(t)i(t). El número de susceptibles disminuye con la misma tasa.
• La tasa de recuperación: β > 0 de infectados es proporcional al número
de infectados solamente: βi(t). El número de removidos aumenta con
la misma tasa.
• El tiempo de incubación es despreciable: un susceptible, cuando se infecta, inmediatamente se vuelve infeccioso.
9
2.3. PRINCIPALES MODELOS
Como la población es constante, tenemos
s(t) + i(t) + r(t) = N,
donde N es el tamaño total de la población.
El modelo supone que todos los individuos tienen las mismas probabilidades de contagiarse. Esta suposición no se sostiene siempre, como por ejemplo
en las enfermedades de transmisión sexual, ETS (para las que veremos más
adelante un modelo más adecuado). El modelo basado en estas tres suposiciones es el siguiente:
i(t)
ds
= −αs(t)
,
dt
N
di
i(t)
= αs(t)
− βi(t),
dt
N
dr
= βi(t),
dt
(2.1)
(2.2)
(2.3)
donde α > 0 es la tasa de infección y β > 0 la tasa de recuperación.
Normalizamos las variables dividiendo por el tamaño de la población:
S(t) =
s(t)
i(t)
r(t)
, I(t) =
, R(t) =
.
N
N
N
Realizando algunos cálculos tenemos
dS
1 ds
=
= −αSI,
dt
N dt
dI
1 di
=
= αSI − βI,
dt
N dt
dR
1 dr
=
= βI,
dt
N dt
(2.4)
(2.5)
(2.6)
con las siguientes condiciones iniciales:
S(0) = S0 > 0, I(0) = I0 > 0, R(0) = 0.
Una cuestión importante en cualquier epidemia es si la infección se va a
propagar o no. En el caso de que se propague, cómo se va a desarrollar con
el tiempo y cuándo va a empezar a disminuir. Tenemos
"
dI
dt
#
= I0 (αS 0 − β)
t=0

> 0
< 0
si S0

> ρ
< ρ
donde ρ =
β
.
α
(2.7)
10
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
A partir de la ecuación (2.4) obtenemos que
Ahora, si S0 < ρ tenemos
dS
dt
≤ 0, por tanto, S ≤ S0 .
dI
= αSI − βI ≤ 0 para todo t ≥ 0.
dt
(2.8)
y en este caso I0 > I(t) → 0 cuando t → ∞ por lo que la infección muere,
es decir, no se da ninguna epidemia. En cambio, si S0 > ρ entonces I(t)
aumenta y tenemos una epidemia. Es decir, una epidemia ocurre si I(t) > I0
para algunos t > 0. Mientras el número de individuos susceptibles se reduzca
por debajo del umbral, la infección no se extenderá. El umbral teórico es αβ ,
en la práctica afectan otros factores como por ejemplo la proximidad entre
los individuos afectados.
Veamos ahora el concepto R0 = αβ , que es la velocidad reproductiva básica
de la infección, sabiendo que b(a) = αS(0) = α, ya que tomamos S(0) = 1
debido a que toda la población inicialmente es susceptible, y que F (a) = e−βa
ya que p(t) = β, que es la tasa de recuperados, para saber si la epidemia será
endémica o no.
Vamos a simular con Mathematica un caso del modelo SIR para observar
cómo se daría una epidemia y su evolución con el tiempo. Para ello utilizamos
las siguientes instrucciones para una población de 100 personas y suponiendo
que inicialmente hay 80 personas susceptibles y 20 personas infectadas:
In[1]:=
Needs["Graphics‘Legend‘"];
In[2]:=
a = 0.52; b = 0.2;
SIR = NDSolve[{S’[t] == - a*S[t]*II[t],
II’[t] == -b*II[t] + a*S[t]*II[t],
R’[t] == b*II[t],
S[0] == 0.80, II[0] == 0.20, R[0] == 0},
{S[t], II[t], R[t]}, {t, 0, 20}];
In[3]:=
R0 = a/b
Out[3]=
In[4]:=
2.6
Plot[Evaluate[{S[t], II[t], R[t]} /. SIR], {t, 0, 20},
PlotRange -> {{0, 20}, {0, 1}},
AxesLabel -> {"Tiempo", "Poblacion"},
PlotStyle -> {RGBColor[0,1,0], RGBColor[0,1,1],
11
2.3. PRINCIPALES MODELOS
RGBColor[1,0,1]}, LegendPosition -> {0.6, 0.2},
LegendSize -> {0.8, 0.5}, LegendSpacing -> 0.1,
LegendShadow -> {0, 0}, PlotLegend -> {"SUSCEPTIBLES",
"INFECCIOSOS", "RESISTENTES"}]
Observamos en la figura 2.1 que si R0 > 1 la epidemia puede ser endémica
ya que el número de infectados supera al de susceptibles, mientras que si
R0 < 1 acaba desapareciendo ya que el número de infectados es menor que
el de susceptibles.
(a) R0 > 1, con a = 0.52 y b = 0.2. (Lo
escrito anteriormente en el documento
en Mathematica, pág. 10.)
(b) R0 < 1, a = 0.052 y b = 0.2. (Este ejemplo también está generado con
Mathematica con un código muy similar, por eso no está añadido.)
Figura 2.1: Comparación con vacuna y sin vacuna.
Del sistema anteriormente planteado se pueden obtener otros resultados
útiles, por ello pasamos a resolverlo.
Observamos que las dos primeras ecuaciones ((2.4), (2.5)) no dependen
de R, de modo que manipulamos las ecuaciones para obtener una relación.
Dividimos las dos ecuaciones
dI
=
dS
dI
dt
dS
dt
=
αSI − βI
ρ
β
= −1 + , donde ρ = , (I 6= 0).
−αSI
S
α
(2.9)
Al integrar esta ecuación se obtiene
I = −S + ρ ln S + c
(2.10)
donde c es una constante arbitraria que viene determinada por las condiciones
iniciales S0 e I0 . Entonces tenemos
c = I0 + S0 − ρ ln S0 .
(2.11)
12
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
Y finalmente queda
I = I0 + S0 − S + ρ ln
S
.
S0
(2.12)
Notemos que con las condiciones iniciales S0 e I0 se satisface S0 + I0 = 1
ya que R(0) = 0, por eso, para t > 0, 0 ≤ S + I ≤ 1 y de esta afirmación se
obtiene la recta vertical que se observa en la figura 2.2. Dicha figura representa
las trayectorias en el plano de fase dependiendo de diferentes valores iniciales.
En dicha figura, podemos observar que la línea vertical separa las curvas de
tipo epidémicas (el lado derecho) de las no epidémicas (lado izquierdo).([8])
Figura 2.2: Trayectorias en el plano de fase para el modelo SIR donde varía
S0 y ρ es fijo.
Para analizar el comportamiento de las curvas (2.12) se calcula I 0 (t) =
−1 + Sρ . La cantidad −1 + Sρ es negativa para S > ρ y positiva en caso
contrario, véase la figura 2.3.
Además, vemos que si S = 0 entonces I(0) = I0 + S0 − 0 + ρ ln S00 = −∞
y que si S = S0 entonces I(S0 ) = I0 + S0 − S0 + ρ ln SS00 = I0 > 0. Por tanto,
existe un punto S∞ tal que I(S∞ ) = 0, con 0 < S∞ < S0 . (En el teorema 2.1
veremos que (S∞ , 0, 1 − S∞ ) es un punto de equilibrio ya que se anulan las
derivadas si I = 0.)
Teorema 2.1 ([6]). En un modelo SIR sin nacimientos ni muertes la enfermedad acaba desapareciendo, por lo que dicho modelo corresponde a una
epidemia no endémica en la que se cumple
lı́m I(t) = 0, lı́m S(t) = S∞ y lı́m R(t) = R∞ = 1 − S∞ ,
t→∞
t→∞
t→∞
2.3. PRINCIPALES MODELOS
13
Figura 2.3: Ecuación (2.12) para ρ = 0.5, I0 = 0.4 y S0 = 0.6, donde se puede
observar el crecimiento y decrecimiento.
con el correspondiente estado de equilibrio,
(S∞ , 0, 1 − S∞ ).
Demostración. Observamos que el sistema planteado cumple la condición de
que la población no varía:
S 0 + I 0 + R0 = (−αSI) + (αSI − βI) + (βI) = 0.
Buscamos los puntos de equilibrio del sistema, en los que S 0 = I 0 = R0 = 0.
Analizaremos las derivadas de dos de ellos, susceptibles y recuperados, ya
que si dos derivadas se anulan la tercera también lo hará.
El único modo de que se anulen ambas derivadas (2.4) y (2.6) a la vez es
que el número de individuos infecciosos sea cero, I = 0. Entonces tenemos
que S + R = 1 y de ahí el punto de equilibrio (S∞ , 0, 1 − S∞ ).
Comprobamos la estabilidad del punto. Los autovalores del jacobiano dan
la estabilidad lineal en los puntos de equilibrio, [20]. Aunque nuestro sistema
es no lineal, si todos los autovalores tienen parte real distinta de cero, el
sistema no lineal hereda la estabilidad (localmente). Partimos de la matriz
jacobiana


−αI −αS 0
αS − β 0 
A=
 αI
,
0
β
0
con lo cual
|A − λI| =
−αI − λ
−αS
0
−αI − λ
−αS
αI
αS − β − λ 0 = (−λ)
.
αI
αS − β − λ
0
β
−λ
14
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
Sustituimos el punto de equilibrio (S∞ , 0, 1 − S∞ ) e igualamos a 0 para
obtener los autovalores, tenemos lo siguiente:
(−λ)
−λ
−αS∞
0 αS∞ − β − λ
= (−λ)(−λαS∞ + βλ + λ2 )
= λ2 (αS∞ − β − λ) = 0,
de donde sacamos
(
λ=0
λ = αS∞ − β.
Para analizar este resultado tenemos que ver si los autovalores son positivos o negativos. Entonces
• si αS∞ − β < 0 las trayectorias tienden a los puntos críticos,
• pero si αS∞ − β > 0 las trayectorias se alejarán de dichos puntos
aumentando el número de infecciosos hasta que se cumpla αS∞ −β < 0.
Para la clasificación de puntos fijos introducimos el siguiente teorema:
Teorema 2.2. ([3]). Sea
ẋ = Ax
una representación de un sistema lineal donde

x1 (t)
 .
x=
 ..
xn (t)





 y 



a1 1
a2 1
..
.
a1 2 . . .
a2 2 . . .
..
.
a1 n
a2 n
..
.






an 1 an 2 . . . an n
a) Toda solución, x = φ(t), es estable si todos los valores característicos
de A tienen parte real negativa.
b) Toda solución, x = φ(t), es inestable si al menos un valor característico
de A tienen parte real positiva.
c) Supóngase que todos los valores característicos de A tienen parte real
≤ 0 y λ1 = iσ1 , . . . , λl = iσl tienen parte real igual a cero. Supóngase además que λj = iσj tiene multiplicidad kj . Eso significa que el
polinomio característico de A se puede factorizar como
p(λ) = (λ − iσ1 )k1 . . . (λ − iσl )kl q(λ)
donde todas las raíces de q(λ) tienen parte real negativa. Entonces toda
solución, x = φ(t), es estable si A tiene kj vectores característicos,
linealmente independientes para cada valor característico λj = iσj . De
otro modo, todas las soluciones, φ(t), son inestables
2.3. PRINCIPALES MODELOS
15
Por lo tanto, basándonos en el Teorema 2.2, podemos decir que existe un
único punto fijo estable.
Este resultado, el estado de equilibrio (S∞ , 0, 1 − S∞ ), tiene alguna implicación que vamos a comentar a continuación. Como estamos estudiando
en este momento S(t) e I(t) sin tener cuenta R(t), tomamos el punto de
equilibrio (S∞ , 0).
• Si S0 < ρ, entonces I(t) decrece monótonamente a cero y S(t) decrece
monótonamente a S∞ , con lo cual la enfermedad desaparecerá rápidamente.
• Si S0 > ρ, entonces I(t) crece mientras S(t) decrece hasta el valor ρ,
con lo cual I(t) alcanza su valor máximo S = ρ. En este caso, se da la
epidemia.
De estos resultados, es decir, de si S0 > ρ o si S0 > ρ, podemos sacar las
siguientes conclusiones:
• Ocurrirá una epidemia solamente si el número de susceptibles en la
población excede el valor del umbral, ρ = β/α.
• La propagación de la enfermedad no se detiene por falta de susceptibles
sino por falta de infecciosos.
También es interesante en el caso de que ocurra una epidemia conocer su
gravedad, para ello vamos a hallar el número máximo de infecciosos. Cuando
R0 > 1, el número máximo de infecciosos se alcanza cuando la derivada de I
es cero, es decir, cuando S = ρ. Y tenemos que
Imáx = ρ ln ρ − ρ + I0 + S0 − ρ ln S0
ρ
= I0 + (S0 − ρ) + ρ ln
S0
ρ
= 1 − ρ + ρ ln
.
S0
(2.13)
Las epidemias tienden a desarrollarse más rápido si la densidad de susceptibles es alta, por ejemplo, sobrepoblación, y si la tasa de retiro, β, es
baja, por ejemplo, tratamiento médico insuficiente.
Si el número de susceptibles, S0 , es inicialmente mayor que el valor del
umbral ρ aunque cercano a él, entonces podemos estimar el número de individuos que contraerán finalmente la enfermedad, Teorema del Umbral en
Epidemiología.
16
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
Teorema 2.3 (Teorema del Umbral en Epidemiología, [3]). Siguiendo con la notación (2.4), (2.5) y (2.6), sea S0 = ρ + v, donde ρ = αβ y v
es una cantidad muy pequeña, y supóngase que vρ es muy pequeño comparado
con uno. Supóngase además que el número inicial de infecciosos I0 es muy
pequeño. Entonces, el número de individuos que finalmente contraen la enfermedad es 2v. Dicho de otro modo, el nivel de susceptibles se reduce a un
nivel que dista (por abajo) del valor de umbral en la misma proporción que
éste distaba del número inicial de susceptibles.
Demostración. Partimos de la ecuación (2.12), I(S) = I0 + S0 − S + ρ ln SS0 ,
donde al tender t a infinito obtenemos
0 = I0 + S0 − S∞ + ρ ln
S∞
.
S0
Si I0 es muy pequeño comparado con S0 , entonces se puede ignorar y escribimos
S∞
S0
!
S0 − (S0 − S∞ )
= S0 − S∞ + ρ ln
S0
S0 − S∞
= S0 − S∞ + ρ ln 1 −
.
S0
0 ≈ S0 − S∞ + ρ ln
Ahora bien, si S0 −ρ es pequeño comparado con ρ, entonces S0 −S∞ será muy
pequeño comparado con S0 . Por tanto, podemos truncar la serie de Taylor
n
3
4
2
(ln(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 + ... + (−1)n xn ) después del segundo término,
en nuestro caso,
(S0 − S∞ )
ln 1 −
S0
!
S0 − S∞
1 S0 − S∞
≈−
−
S0
2
S0
2
Entonces nos queda
S0 − S∞
ρ S0 − S∞
0 ≈ S0 − S∞ − ρ
−
S0
2
S
"
# 0
ρ
ρ(S0 − S∞ )
−
.
= (S0 − S∞ ) 1 −
S0
2S02
2
Deducimos que
o bien S0 − S∞ = 0 y entonces tenemos que S0 = S∞ lo que no puede
darse ya que I(S0 ) = I0 6= 0 = I(S∞ ).
17
2.3. PRINCIPALES MODELOS
o bien 1 −
2S0
S0
ρ
ρ
S0
−
ρ(S0 −S∞ )
2S02
≈ 0 y entonces tenemos que S0 − S∞ ≈
−1 .
Con S0 = ρ + v y con la hipótesis que dice que
parado con uno, tenemos
v
ρ
es muy pequeño com!
S0 − S∞
ρ+v
= 2(ρ + v)
−1
ρ
v
= 2(ρ + v)
ρ
!
v ∼
= 2v 1 +
= 2v.
ρ
Durante el curso de una epidemia es imposible saber con exactitud el
número de infectados, ya que solamente aparecerán los que han recibido
ayuda médica. Es más fácil contar a los recuperados o muertos. Para poder
comparar los resultados predichos por el modelo con los valores de la epidemia
como función del tiempo. Para ello resolvemos la
real, necesitamos hallar dR
dt
ecuación (2.6). Partimos de
dR
= βI = β(1 − R − S),
dt
(2.14)
y observamos que
dS
−αSI
−S
=
=
.
dR
βI
ρ
Vemos que se trata de una ecuación separable dS
=
S
log S =
− Rρ
+ c y nos queda S(R) = S0 e
−R
ρ
(2.15)
−dR
,
ρ
de donde obtenemos
. Entonces, sustituyendo tenemos
−R
dR
= β(1 − R − S0 e ρ ).
(2.16)
dt
Esta ecuación es separable pero no puede resolverse explícitamente. Si la
epidemia no es muy grande y Rρ es pequeño, al menos Rρ < 1, podemos
P
xn
aproximarla utilizando la serie de Taylor, ex = ∞
n=0 n! , y truncarla en el
segundo término:
−R
dR
= β(1 − R − S0 e ρ )
dt
!!
R
R2
≈ β 1 − R − S0 1 − + 2
ρ
2ρ
!
!
S0
S0 R 2
= β 1 − S0 +
−1 R−
.
ρ
2ρ2
(2.17)
18
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
Nos queda una ecuación de Riccati (podemos clasificarla ayudándonos de [5]
o [18]). Para resolverla, es de gran ayuda encontrar una solución particular;
en nuestro caso, obtenemos una solución R(t) constante sin más que tomar
dR
= 0 y resolver la ecuación polinómica de segundo grado
dt
!
S0
S0 R2
1 − S0 +
−1 R−
= 0.
ρ
2ρ2
Con esto, siguiendo el procedimiento estándar para resolver ecuaciones de
Riccati llegamos a que la solución de (2.17) es
"
1
ρ2 S0
− 1 + µ tanh µβt − φ
R(t) =
S0 ρ
2
#
(2.18)
,
donde

2S0 (1 − S0 )
µ=
−
ρ2
!2  12
S0
−1 
y φ = tanh
ρ
−1
1
µ
!
S0
−1 .
ρ
Derivando respecto al tiempo, obtenemos
dR
βµ2 ρ2
1
=
sech2
µβt − φ .
dt
2S0
2
(2.19)
La ecuación dR
define una curva simétrica con forma de campana en el
dt
plano que se conoce como curva epidémica de la enfermedad, tal como la que
aparece en la figura 2.4.
(a) Datos reales.
(b) Simulación hecha con Mathematica utili2
zando la ecuación dR
dt = 890 sech (0.2t − 3.4),
con los datos obtenidos de la referencia [14].
Figura 2.4: Comparación de datos reales de una epidemia en Bombay con
una simulación.
Kermack y McKendrick compararon los valores predichos por la curva epidémica con los valores reales de une epidemia en Bombay, la cual se extendió
2.3. PRINCIPALES MODELOS
19
durante la segunda mitad de 1905 y la primer mitad de 1906. Compararon
los datos reales con el número de muertes por semanas debidas a la epidemia
y esta es una aproximación es muy buena, véase la figura 2.4.
La forma global de la curva epidémica puede revelar el tipo de epidemia
ante el que nos encontramos: origen común, origen puntual o propagado.
• Una epidemia de origen común es aquella en la cual la gente está expuesta intermitente o continuamente a una fuente dañina común. El
periodo de exposición puede ser corto o largo. Una exposición intermitente en una epidemia de origen común, frecuentemente presenta en su
curva epidémica picos irregulares que reflejan el tiempo y la extensión
de la exposición.
• Una epidemia de origen puntual normalmente presenta una curva epidémica con una pendiente aguda hacia arriba y una pendiente gradual
hacia abajo. Una epidemia de origen puntual es una epidemia de origen común, en la cual el periodo de exposición es relativamente corto
y todos los casos ocurren dentro de un periodo de incubación.
• Una epidemia propagada es aquella que pasa de persona a persona,
por lo cual este tipo de epidemias pueden durar más que las de origen común y pueden llevar a múltiples oleadas de infección si ocurren
casos secundarios y terciarios. La clásica curva epidémica propagada
tiene una serie de picos progresivamente más altos, siendo cada uno un
periodo de incubación aparte.
Figura 2.5: Tipos de epidemias.
20
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
Podemos observar en la figura 2.5 los gráficos que producen los diferentes
tipos de epidemias y así comparar sus curvas epidémicas, los gráficos se han
obtenido de la referencia [21].
En epidemias de origen común, que involucran enfermedades con periodos
de incubación conocidos, las curvas epidémicas pueden ayudar a determinar
el periodo probable de exposición.
Si el tiempo de la exposición es conocido, las curvas epidémicas pueden
ser usadas para estimar el periodo de incubación de la enfermedad, y esto
puede facilitar la identificación del agente causal.
Enfermedades que pueden ser modelizadas mediante un modelo SIR.
Es el mejor método para modelar enfermedades infantiles como el sarampión o la rubeola ya que la infección de ellas conlleva una inmunidad vitalicia
para el individuo.
Modelo SIR para endemias
En esta sección se considera una enfermedad endémica. Mientras que en
el caso de una epidemia asumimos que dura poco tiempo, en el caso de
la endemia la enfermedad prevalece más tiempo. En este tipo de modelos
se incluyen los nacimientos y muertes, siendo naturales o por enfermedad.
Vamos a distinguir dos casos:
• Sin muerte por enfermedad
Este modelo completa el descrito en la sección 2.3.1 con muertes y nacimientos naturales. Estamos realizando una simplificación debido a que tomaremos la misma tasa de nacimientos que de muertes, haciendo que el tamaño
de la población sea constante. Este modelo será útil para analizar enfermedades con baja mortalidad.
De nuevo la población constante, pero realizando los respectivos cambios
para que nos quede un modelo más simple, S = Ns , I = Ni , R = Nr , entonces
I(t) + S(t) + R(t) = 1.
El esquema que representa el modelo es el siguiente:
21
2.3. PRINCIPALES MODELOS
↓µ
S
↓µS
αSI
−−→
I
↓µI
βI
−→
R
↓µR
En este caso, además de las suposiciones que se encuentran en la pág. 8,
la notación ↓ µ encima de S significa que el número de susceptibles aumenta
con una tasa natalidad, µ, proporcional al número de población, por los
cambios realizados tenemos que es 1, y ↓ µS, ↓ µI y ↓ µR debajo de S,
I y R, respectivamente, alude a que tanto susceptibles, como infectados,
como recuperados se reducen de forma proporcional, µ, debido a las muertes
naturales.
Las ecuaciones son las siguientes:
dS
= −αSI + µ(1 − S),
dt
dI
= αSI − βI − µI,
dt
dR
= βI − µR,
dt
(2.20)
(2.21)
(2.22)
donde, como en el caso anterior, α > 0 es la tasa de infección y β > 0 la tasa
de recuperación, y el parámetro µ > 0 representa la tasa de natalidad/mortalidad por causas naturales. Y las condiciones iniciales son las mismas,
S(0) = S0 > 0, I(0) = I0 > 0, R(0) = 0.
Realizamos de nuevo el estudio para este modelo.
Obtenemos el número reproductivo básico de la epidemia. Realizando el
mismo proceso, donde b(a) es el mismo, b(a) = αS(0) = α, y cambia F (a),
F (a) = e−βa−µa = e−(β+µ)a ya que p(t) = β + µ, que es la proporción de
recuperados y los muertos de forma natural, obtenemos
R0 =
α
.
β+µ
En este modelo el teorema cambia, veamos en qué casos no se produce
endemia.
Teorema 2.4 ([6]). En un modelo SIR con nacimiento y muerte natural la
enfermedad puede ser o no endémica dependiendo del valor del parámetro R0 .
• Si R0 < 1 la enfermedad no es endémica, por lo que tiende a desaparecer, es decir, lı́m I(t) = 0, con el siguiente estado de equilibrio:
t→∞
(1, 0, 0).
22
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
• Si R0 > 1 la enfermedad puede ser o no endémica. Cuanto mayor sea
el valor de R0 más probabilidades hay de que sea endémica. Si no se da
la endemia, el punto de equilibrio es el anterior, en caso contrario es
el siguiente:
!
β + µ µ(α − β − µ) β(α − β − µ)
,
,
.
α
α(µ + β)
α(µ + β)
Demostración. Observamos nuevamente que el sistema planteado, formado
por las ecuaciones (2.20), (2.21) y (2.22), cumple S 0 + I 0 + R0 = 0.
Por tanto, como antes, si dos derivadas se anulan la tercera también lo
hará. Analizaremos en este caso las derivadas de los infecciosos y los resistentes.
Tenemos
dI
= αSI − βI − µI = I(αS − β − µ) = 0,
dt
de lo que obtenemos
αS − β − µ = 0, de donde sacamos S =
e I = 0.
β+µ
α
Existe una solución trivial cuando el número de individuos infecciosos y el de
resistentes es cero, independientemente del valor de R0 , por tanto el número
de susceptibles es el total de la población, es decir el punto de equilibrio
(1, 0, 0). (Esto es lógico ya que si no existe enfermedad todos los individuos
son susceptibles.)
.
Pero también puede anularse la derivada de los infecciosos si S = β+µ
α
β+µ
Como es una proporción entonces se tiene que cumplir que S = α < 1.
Observamos que S = R10 < 1 así que R0 > 1. Por tanto, este caso solo se da
si R0 > 1.
Para que se anula la derivada de los resistentes es necesario que βI −µR =
.
0, es decir, R = βI
µ
Entonces partimos de lo siguiente:

!
S+I +R=1 

β+µ
βI
β+µ
β
β+µ
S= α
⇒
+I +
=
+ 1+
I=1

α
µ
α
µ

βI
R= µ
23
2.3. PRINCIPALES MODELOS
y llegamos a
1 − β+µ
µ(α − β − µ)
α
,
I =
=
β
α(µ + β)
1+ µ
β µ(α−β−µ)
βI
β(α − β − µ)
α(µ+β)
R =
=
=
.
µ
µ
α(µ + β)
Como se trata de proporciones veamos que ambos son mayores que cero y
menores que 1.
• Son mayores que cero porque
α
µ(α − β − µ)
> 0⇔α−β−µ>0⇔α>β+µ⇔
> 1,
α(µ + β)
β+µ
β(α − β − µ)
α
> 0⇔α−β−µ>0⇔α>β+µ⇔
>1
α(µ + β)
β+µ
esto es cierto ya que R0 =
R0 > 1.
α
β+µ
y hemos dicho que estamos en el caso
• Son menores que la unidad ya que
µ(α − β − µ) β(α − β − µ)
,
máx
α(µ + β)
α(µ + β)
De aquí podemos decir que el punto
mente si R0 > 1.
!
(β + µ)(α − β − µ)
α(µ + β)
α−β−µ
=
α
β+µ
= 1−
α
1
= 1−
< 1.
R0
<
β+µ µ(α−β−µ) β(α−β−µ)
, α(µ+β) , α(µ+β)
α
es fijo sola-
Comprobamos la estabilidad del punto. Los autovalores del jacobiano dan
la estabilidad lineal en los puntos de equilibrio, [20]. Aunque nuestro sistema
es no lineal, si todos los autovalores tienen parte real distinta de cero, el
sistema no lineal hereda la estabilidad (localmente). Partimos de la matriz
jacobiana


−αI − µ
−αS
0

αI
αS − β − µ 0 
A=
,
0
β
−µ
24
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
con lo cual
−αI − µ − λ
−αS
0
αI
αS − β − µ − λ
0
0
β
−µ − λ
|A − λI| =
= (−µ − λ)
−αI − µ − λ
−αS
.
αI
αS − β − µ − λ
Sustituimos ambos puntos de equilibrio e igualamos a 0.
• En el caso (1, 0, 0) tenemos
(−µ − λ)
−µ − λ
−α
= (−µ − λ)2 (α − β − µ − λ) = 0,
0
α−β−µ−λ
de donde
(
λ = −µ,
λ = α − β − µ.
Entonces, si α−β−µ < 0 ambos autovalores son negativos con lo cual el
punto corresponde con un nodo estable, pero si α−β−µ > 0 tenemos un
autovalor positivo y otro negativo con lo cual el punto corresponde con
un punto de silla, por tanto, será inestable. Para llegar a este resultado
nos basamos en el Teorema 2.2.
• En el otro caso
β+µ µ(α−β−µ) β(α−β−µ)
, α(µ+β) , α(µ+β)
α
tenemos
−α µ(α−β−µ)
−µ−λ
−α β+µ
α(µ+β)
α
(−µ − λ)
β+µ
α µ(α−β−µ)
α
−
β
−
µ−λ
α(µ+β)
α
− µ(α−β−µ)
− µ − λ −β − µ
µ+β
= (−µ − λ)
µ(α−β−µ)
−λ
µ+β
!
!
µ(α − β − µ)
= (−µ − λ) −λ −
− µ − λ + µ(α − β − µ)
µ+β
!
µα
2
= (−µ − λ) λ +
λ + µ(α − β − µ) = 0.
µ+β
Las soluciones de esta ecuación son


λ = −µ, q




µα 2
µα

+ ( µ+β
− µ+β
) −4µ(α−β−µ)
=
λ=
2
q


2

µα
µα

− µ+β
− ( µ+β
) −4µ(α−β−µ)


λ=
=
2
√
−µR0 +
√
−µR0 −
µ2 R02 −4µ(α−β−µ)
2
ó
µ2 R02 −4µ(α−β−µ)
.
2
Como R0 > 1 entonces lo de fuera de la raíz es negativo. Veamos qué
ocurre dentro de la raíz.
25
2.3. PRINCIPALES MODELOS
a) Si es negativo estaremos ante una espiral estable.
b) Si es positivo estaremos ante un nodo estable.
Por lo tanto, basándonos en el Teorema 2.2, podemos decir que el punto
fijo es estable.
Por tanto, si R0 < 1 el punto de equilibrio será (1, 0, 0) y será estable
y la enfermedad desaparecerá.
Pero si R0 > 1 puede
haber dos puntos: el
β+µ µ(α−β−µ) β(α−β−µ)
(1, 0, 0) pero inestable o el α , α(µ+β) , α(µ+β) que será estable, punto
de equilibrio endémico.
Por tanto, puede darse una epidemia y no una endemia o, en caso contrario, que la endemia se convierta en epidemia dependiendo del valor de R0 ,
véase la figura 2.6.
(a) No endémica.
(b) Endémica.
Figura 2.6: Epidemia sin muerte por enfermedad, expresado en tanto por
uno.
• Con muerte por enfermedad
En este modelo también consideraremos la muerte por enfermedad que
sufran los individuos infecciosos. Por ello, podremos analizar enfermedades
con distintos índices de mortalidad. Consideramos que el número de individuos que fallece es el mismo, que el que nace, por lo que el número de
individuos de la población continua siendo constante.
La población constante y en este caso, por el mismo motivo que anteriormente, es decir, S = Ns , I = Ni , R = Nr :
I(t) + S(t) + R(t) = 1.
El esquema que representa el modelo es el siguiente:
26
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
↓µ+θβI
S
↓µS
αSI
−−→
I
↓µI+θβI
(1−θ)βI
−−−−→
R
↓µR
En este caso, además de las suposiciones de la sección Sin muerte por
enfermedad, pág. 20, como la población es constante el número de individuos
que nace es el mismo que el que muere, entonces la notación ↓ θβI debajo
de I significa que hay una proporción de los individuos infectados que se
recuperan que mueren, la notación ↓ θβI encima de S alude a la misma
proporción que antes pero en nacimientos ya que la población es constante,
(1−θ)βI
por último la notación −−−−→ representa la proporción de los infecciosos
recuperados que no mueren.
Las ecuaciones son las siguientes:
dS
= −αSI + µ(1 − S) + θβI,
dt
dI
= αSI − µI − θβI − (1 − θ)βI = αSI − µI − βI,
dt
dR
= (1 − θ)βI − µR,
dt
(2.23)
(2.24)
(2.25)
donde α > 0 es la tasa de infección, β > 0 la tasa de remoción, µ > 0 es la
tasa de natalidad/mortalidad por causas naturales, como anteriormente, y el
parámetro θ ∈ (0, 1) representa los individuos que mueren por la enfermedad.
Las condiciones iniciales son las mismas,
S(0) = S0 > 0, I(0) = I0 > 0, R(0) = 0.
Realizamos como en la sección 2.3.1 el estudio para este modelo.
Obtenemos el número reproductivo básico de la epidemia. Realizando el
mismo proceso, donde b(a) es el mismo, b(a) = α, y cambia F (a), F (a) =
e−(β+µ)a , con p(t) = −θβ − (1 − θ)β − µ = −(β + µ), obtenemos el mismo R0
que para la anterior sección, Sin muerte por enfermedad pág. 21.
R0 =
α
.
β+µ
En este modelo el teorema vuelve a cambiar.
Teorema 2.5 ([6]). En un modelo SIR con nacimiento y muerte natural,
así como con muerte debidas a la enfermedad, la enfermedad puede ser o no
endémica dependiendo del valor del parámetro R0 .
27
2.3. PRINCIPALES MODELOS
• Si R0 < 1 la enfermedad no es endémica, por lo que tiende a desaparecer
lı́m I(t) = 0, con el siguiente estado de equilibrio:
t→∞
(1, 0, 0).
• Si R0 > 1 la enfermedad puede ser o no endémica. Cuanto mayor sea
el valor de R0 más probabilidades hay de que sea endémica. Si no se da
la endemia, el punto de equilibrio es el anterior, en caso contrario es
el siguiente:
!
β + µ µ(α − β − µ) (1 − θ)β(α − β − µ)
,
,
.
α
α(µ + (1 − θ)β)
α(µ + (1 − θ)β)
Demostración. Como antes, el sistema planteado, formado por las ecuaciones
(2.23), (2.24) y (2.25), cumple S 0 + I 0 + R0 = 0. Por tanto, de nuevo, si dos
derivadas se anulan la tercera también lo hará. Analizamos las derivadas de
los infecciosos y los resistentes.
De
dI
dt
y
dR
dt
obtenemos
dI
dt
= αSI − µI − βI = I(αS − µ − β) = 0
(
⇒
I=0 y
S = µ+β
,
α
(1 − θ)βI
dR
= (1 − θ)βI − µR = 0 ⇒ R =
.
dt
µ
Nuevamente, existe una solución trivial cuando el número de individuos
infecciosos y el de resistentes es cero, por tanto el número de susceptibles es el
total de la población. Este punto de equilibrio es el (1, 0, 0) y es independiente
del valor R0 .
Pero también existe otra solución. Partimos de

S+I +R=1 


µ+β
(1 − θ)βI
S = µ+β
⇒
+
I
+
α

α
µ


R = (1−θ)βI
µ
!
=
µ+β
(1 − θ)β
+ 1+
I = 1,
α
µ
entonces
I =
R =
µ+β
α
(1−θ)β
µ
1−
1+
=
µ(α − µ − β)
,
α(µ + (1 − θ)β)
µ(α−µ−β)
(1 − θ)β α(µ+(1−θ)β)
µ
=
(1 − θ)β(α − µ − β)
.
α(µ + (1 − θ)β)
28
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
Como se trata de proporciones veamos que ambos son mayores que cero
y menores que 1, como en la demostración anterior.
• Son mayores que cero porque
µ(α − µ − β)
α
> 0⇔α−µ−β >0⇔
> 1 ⇔ R0 > 1,
α(µ + (1 − θ)β)
β+µ
(1 − θ)β(α − µ − β)
α
> 0⇔α−µ−β >0⇔
> 1 ⇔ R0 > 1.
α(µ + (1 − θ)β)
β+µ
• Son menores que la unidad ya que
µ(α − µ − β) (1 − θ)β(α − µ − β)
máx
,
α(µ + (1 − θ)β)
α(µ + (1 − θ)β)
De aquí podemos decir que el punto
solamente si R0 > 1.
!
(µ + (1 − θ)β)(α − µ − β)
α(µ + (1 − θ)β)
α−µ−β
=
α
β+µ
= 1−
α
1
= 1−
< 1.
R0
<
µ(α−µ−β)
µ+β
, α(µ+(1−θ)β)
, (1−θ)β(α−µ−β)
α
α(µ+(1−θ)β)
es fijo
Comprobamos la estabilidad del punto. Los autovalores del jacobiano dan
la estabilidad lineal en los puntos de equilibrio, [20]. Aunque nuestro sistema
es no lineal, si todos los autovalores tienen parte real distinta de cero, el
sistema no lineal hereda la estabilidad (localmente). Partimos de la matriz
jacobiana


−αI − µ −αS + θβ
0
αI
αS − β − µ 0 
A=

,
0
β(1 − θ)
−µ
con lo cual
|A − λI| =
−αI − µ − λ
−αS + θβ
0
αI
αS − β − µ − λ
0
0
β(1 − θ)
−µ − λ
= (−µ − λ)
−αI − µ − λ
−αS + θβ
.
αI
αS − β − µ − λ
Sustituimos ambos puntos de equilibrio e igualamos a 0.
29
2.3. PRINCIPALES MODELOS
• En el caso (1, 0, 0) tenemos
(−µ − λ)
−µ − λ
−α + θβ
= (−µ − λ)2 (α − β − µ − λ) = 0,
0
α−β−µ−λ
de donde
(
λ = −µ,
λ = α − β − µ.
Entonces, como en el teorema 2.4, pág. 24, si α − β − µ < 0 el punto
corresponde con un nodo estable, pero si α − β − µ > 0 el punto
corresponde con un punto de silla, por tanto, será inestable.
• En el otro caso
µ(α−µ−β)
µ+β
, α(µ+(1−θ)β)
, (1−θ)β(α−µ−β)
α
α(µ+(1−θ)β)
(−µ − λ)
−α
µ(α−µ−β)
−µ
α(µ+(1−θ)β)
µ(α−µ−β)
α α(µ+(1−θ)β)
−λ
tenemos
−α
α
µ+β
α
µ+β
α
+ θβ
−β−µ−λ
− µ(α−µ−β)
− µ − λ −µ − (1 − θ)β
µ+(1−θ)β
= (−µ − λ)
µ(α−µ−β)
−λ
µ+(1−θ)β
!
µ(α − µ − β)
= (−µ − λ)(−λ −
− µ − λ + µ(α − µ − β))
µ + (1 − θ)β
µα − µθβ
λ + µ(α − µ − β)) = 0.
= (−µ − λ)(λ2 +
(1 − θ)β + µ
Las soluciones de esta ecuación son


λ = −µ,




µθβ−µα

λ=






λ=
q
+
(1−θ)β+µ
µθβ−µα
· (1−θ)β+µ
−
2
µα−µθβ
)
( (1−θ)β+µ
q
(
−4µ(α−µ−β)
ó
2
µα−µθβ 2
−4µ(α−µ−β)
(1−θ)β+µ
)
2
.
Como R0 > 1 entonces lo de fuera de la raíz es negativo. Veamos qué
ocurre dentro de la raíz.
a) Si es negativo estaremos ante una espiral estable.
b) Si es positivo estaremos ante un nodo estable.
Por lo tanto, basándonos en el Teorema 2.2, podemos decir que el punto
fijo es estable.
Por tanto, si R0 < 1 el punto de equilibrio será (1, 0, 0) y será estable, la
enfermedad desaparecerá.
Pero si R0 > 1 puede haber
dos puntos: el (1, 0, 0)
µ(α−µ−β)
(1−θ)β(α−µ−β)
µ+β
pero inestable o el α , α(µ+(1−θ)β) , α(µ+(1−θ)β) que será estable, punto
de equilibrio endémico.
30
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
De nuevo ocurre lo mismo, puede darse una epidemia y no una endemia
o, en caso contrario, que la endemia se convierta en epidemia dependiendo
del valor de R0 , véase la figura 2.7.
(a) No endémica.
(b) Endémica.
Figura 2.7: Epidemia con muerte por enfermedad, expresado en tanto por
uno.
Modelo SIR completo pero con población no constante
En este modelo consideraremos que el tamaño de la población puede
variar. Como la población no va a ser constante, el número de muertes y
nacimientos no tienen porque ser iguales.
El esquema que representa el modelo es el siguiente:
↓µ
S
↓µS
αSI
−−→
I
↓µI+θβI
(1−θ)βI
−−−−→
R
↓µR
(1−θ)βI
En este caso, ↓ θβI y −−−−→ representan lo mismo que en la pág. 26.
Las nuevas ecuaciones son las siguientes:
dS
= −αSI + µ(1 − S),
dt
dI
= αSI − µI − θβI − (1 − θ)βI = αSI − µI − βI,
dt
dR
= (1 − θ)βI − µR.
dt
(2.26)
(2.27)
(2.28)
Con las mismas condiciones iniciales.
En los anteriores modelos considerábamos que el número máximo de la
población era 1,así era más fácil trabajar que con N . Pero en este caso la
31
2.3. PRINCIPALES MODELOS
suma de las tres variables S(t), I(t) e R(t) no tiene por qué ser 1, puede ser
también mayor o menor.
Realizamos, como en las anteriores secciones, el estudio para este modelo.
Obtenemos el número reproductivo básico de la epidemia. En este caso,
tenemos también b(a) = αS(0) = α, ya que la población es totalmente
susceptible S = 1, y F (a) = e−(β+µ)a , debido a que p(t) = −θβ−(1−θ)β−µ =
−(β + µ) y queda
α
.
R0 =
β+µ
En el modelo anterior obteníamos el mismo valor de R0 , pág. 21, por lo
que el tamaño de la población no influye en R0 .
En este modelo el teorema cambia nuevamente.
Teorema 2.6 ([6]). En un modelo SIR con nacimiento y muerte natural,
así como con muerte debidas a la enfermedad, y con población variable, la
enfermedad puede ser o no endémica dependiendo del valor del parámetro R0 .
• Si R0 < 1 la enfermedad no es endémica, por lo que tiende a desaparecer
lı́m I(t) = 0, con el siguiente estado de equilibrio:
t→∞
(1, 0, 0).
• Si R0 > 1 la enfermedad puede ser o no endémica. Cuanto mayor sea
el valor de R0 más probabilidades hay de que sea endémica. Si no se da
la endemia, el punto de equilibrio es el anterior, en caso contrario es
el siguiente:
!
β + µ µ(α − β − µ) (1 − θ)β(α − β − µ)
,
,
.
α
α(µ + β)
α(µ + β)
Demostración. En este caso la población es variable, por tanto, no nos basta
con que se anulen dos derivadas, tenemos que comprobar que se anulan las
tres derivadas, es decir,
dS
= −αSI + µ(1 − S) = 0,
(2.29)
dt
dI
= αSI − µI − θβI − (1 − θ)βI = αSI − µI − βI = 0, (2.30)
dt
dR
= (1 − θ)βI − µR = 0.
(2.31)
dt
32
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
De nuevo existe una solución trivial cuando el número de individuos infecciosos y el de resistentes es cero, por tanto el número de susceptibles es el
total de la población. Para que se anulen las tres derivadas se debe dar también el hecho de que el número de susceptibles sea 1. Este punto de equilibrio
es el (1, 0, 0) y es independiente del valor R0 .
Pero también hay otra solución. Partimos de (2.30) y (2.31) y llegamos a
(
y
S = β+µ
α
(1−θ)βI
R= µ
Por tanto, podemos plantear lo siguiente:
(
−αSI + µ(1 − S) = 0
S = β+µ
α
sustituimos y queda
!
β+µ
β+µ
I +µ 1−
−α
α
α
!!
= −(β + µ)I + µ − µ
β+µ
= 0,
α
y despejando I tenemos
I=
µ − µ β+µ
µ
µ
αµ − µ(β + µ)
µ(α − β − µ)
α
=
− =
=
,
β+µ
β+µ α
α(β + µ)
α(β + µ)
que lo sustituimos en R y queda
R=
(1 − θ)β µ(α−β−µ)
α(β+µ)
µ
= (1 − θ)β
α−β−µ
.
α(β + µ)
El tamaño de la población es variable y no tiene por qué ser menor que
uno pero tenemos que comprobar que es positivo porque no tiene sentido
poblaciones negativas. Veámoslo:
β+µ
, claramente es positiva,
α
µ(α − β − µ)
I =
> 0 ⇔ α − β − µ > 0 ⇔ R0 > 1,
α(β + µ)
(1 − θ)β(α − β − µ)
R =
> 0 ⇔ α − β − µ > 0 ⇔ R0 > 1.
α(β + µ)
S =
De aquí podemos decir que el punto
solamente si R0 > 1.
β+µ µ(α−β−µ) (1−θ)β(α−β−µ)
, α(β+µ) ,
α
α(β+µ)
es fijo
33
2.3. PRINCIPALES MODELOS
Comprobamos la estabilidad del punto. Los autovalores del jacobiano dan
la estabilidad lineal en los puntos de equilibrio, [20]. Aunque nuestro sistema
es no lineal, si todos los autovalores tienen parte real distinta de cero, el
sistema no lineal hereda la estabilidad (localmente). Partimos de la matriz
jacobiana


−αI − µ
−αS
0

αI
αS − β − µ 0 
A=
,
0
β(1 − θ)
−µ
con lo cual
−αI − µ − λ
−αS
0
αI
αS − β − µ − λ
0
0
β(1 − θ)
−µ − λ
|A − λI| =
= (−µ − λ)
−αI − µ − λ
−αS
.
αI
αS − β − µ − λ
Sustituimos ambos puntos de equilibrio e igualamos a 0.
• En el caso (1, 0, 0) tenemos
(−µ − λ)
−µ − λ
−α
= (−µ − λ)2 (α − β − µ − λ) = 0,
0
α−β−µ−λ
de donde
(
λ = −µ,
λ = α − β − µ.
Entonces, si α − β − µ < 0, como el otro autovalor es negativo, el
punto corresponde con un nodo estable, pero si α − β − µ > 0 el punto
corresponde con un punto de silla, por tanto, será inestable. Para llegar
a este resultado nos basamos en el Teorema 2.2.
• En el otro caso
β+µ µ(α−β−µ) (1−θ)β(α−β−µ)
, α(β+µ) ,
α
α(β+µ)
(−µ − λ)
= (−µ − λ)
tenemos
−α µ(α−β−µ)
−µ−λ
−α β+µ
α(µ+β)
α
µ(α−β−µ)
β+µ
α α(µ+β)
α α −β−µ−λ
− µ − λ −β − µ
− µ(α−β−µ)
µ+β
µ(α−β−µ)
−λ
µ+β
!
!
µ(α − β − µ)
= (−µ − λ) −λ −
− µ − λ + µ(α − β − µ)
µ+β
!
µα
2
= (−µ − λ) λ +
λ + µ(α − β − µ) = 0,
µ+β
34
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
cuyas soluciones son


λ = −µ,





− µα
λ=






λ=
µ+β
q
µα
( µ+β
)
+
µα
− µ+β
−
q
(
2
−4µ(α−β−µ)
2
µα
µ+β
)
2
2
−4µ(α−β−µ)
=
=
−µR0 +
−µR0 −
√
µ2 R02 −4µ(α−β−µ)
2
√
ó
µ2 R02 −4µ(α−β−µ)
.
2
Como R0 > 1 entonces lo de fuera de la raíz es negativo. Veamos qué
ocurre dentro de la raíz.
a) Si es negativo estaremos ante una espiral estable.
b) Si es positivo estaremos ante un nodo estable.
Por lo tanto, basándonos en el Teorema 2.2, podemos decir que el punto
fijo es estable.
Por tanto, si R0 < 1 el punto de equilibrio será (1, 0, 0) y será estable, por
lo que la enfermedad desaparecerá.
Pero si R0 > 1 puede haber
dos puntos el
β+µ µ(α−β−µ) (1−θ)β(α−β−µ)
que será estable,
(1, 0, 0) pero inestable o el α , α(β+µ) ,
α(β+µ)
punto de equilibrio endémico.
Nuevamente ocurre lo mismo, puede darse una epidemia y no una endemia
o, en caso contrario, que la endemia se convierta en epidemia dependiendo
del valor de R0 .
2.3.2.
Modelo SI
Es un modelo más simple que el SIR, la población consiste solamente
en susceptibles e infectados. Nuevamente, la enfermedad es contagiosa, es
decir, un susceptible se vuelve infeccioso nada más estar en contacto con la
enfermedad. En este caso, también tomamos las variables S(t), susceptibles,
e I(t), infecciosos, de tal forma que S(t) + I(t) = 1.
El esquema que representa el modelo es el siguiente:
contagio (αI)
S −−−−−−−→ I
Las ecuaciones que representan el modelo son:
dS
= −αSI,
dt
dI
= αSI,
dt
(2.32)
(2.33)
35
2.3. PRINCIPALES MODELOS
donde α es, de nuevo, la tasa de infección e imponemos las condiciones iniciales
S(0) = S0 e I(0) = I0 .
Dado que el tamaño de la población es constante, podemos reducir el
sistema sustituyendo S(t) = 1 − I(t), entonces nos queda
dI
= α(1 − I)I.
dt
(2.34)
Su resolución es fácil ya que se trata de una ecuación de variables separadas, podemos ayudarnos para clasificarla de [18] y [5], y procedemos de la
siguiente forma:
Z
1
dI
= α dt integramos ambos lados
· dI = αt + c.
(1 − I)I
(1 − I)I
Mientras que la segunda integral es inmediata, para resolver la primera necesitamos descomponer en suma de fracciones
1
A
B
A(1 − I) + BI
= +
=
, y tenemos A = 1 = B,
(1 − I)I
I
1−I
(1 − I)I
entonces la integral queda
Z
Z
Z
1
1
I
1
· dI =
· dI +
· dI = ln I − ln(1 − I) = ln
.
(1 − I)I
I
1−I
1−I
I
Por tanto, ln 1−I
= αt + c. Despejando I y tomando el valor inicial I(0) = I0
llegamos a
etα I0
I(t) =
.
−I0 + I0 etα + 1
Este modelo muestra una epidemia que siempre se extiende y eventualmente va infectando a todos los susceptibles, nadie puede curarse de la enfermedad. Véase la figura 2.8. (Las ordenes de Mathematica para realizar este
gráfico son muy parecidas a las escritas en la pág. 10.)
Enfermedades que pueden ser modelizadas mediante un modelo SI.
Este modelo resulta útil para describir la dinámica de enfermedades en
las que la infección es de por vida. Por ejemplo el sida, VIH.
36
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
Figura 2.8: Simulación modelo SI para α = 0.052.
2.3.3.
Modelo SIS
Este modelo amplia el modelo SI, los individuos pueden recuperarse pero
pasan otra vez a ser susceptibles. En este caso tampoco también tomamos las
variables S(t), susceptibles, e I(t), infecciosos, de forma que S(t) + I(t) = 1.
El esquema que representa el modelo es el siguiente:
αI
β
S −→ I →
− S
Tenemos las siguientes ecuaciones:
dS
= −αSI + βI,
dt
dI
= αSI − βI,
dt
(2.35)
(2.36)
donde α y β son la tasa de contagio y la tasa de recuperación respectivamente.
Y las mismas condiciones iniciales que en el anterior modelo, S(0) = S0 e
I(0) = I0 .
Como el tamaño de la población es constante, realizamos el mismo proceso
que en el modelo SI, S(t) = 1 − I(t),
dI
= α(1 − I)I − βI = αI
dt
"
!
#
β
1−
−I .
α
Se trata de una ecuación separable que se resuelve del mismo modo que
antes, pág. 35,
et(α−β) I0 (1 − αβ )
.
I(t) =
−I0 + et(α−β) I0 + (1 − αβ )
Para este modelo vuelve a ser interesante hallar el número reproductivo
básico R0 . Como en el modelo SIR, pág. 10, tenemos que b(a) = α y que
37
2.3. PRINCIPALES MODELOS
F (a) = e−βa ya que nuevamente p(a) = β, tasa de recuperados, por tanto,
llegamos a
α
R0 = .
β
Como ya sabemos, con este número podemos saber si la epidemia será o
no endémica.
• Si R0 < 1 la enfermedad acaba desapareciendo.
• Si R0 > 1 la enfermedad puede ser endémica.
Las trayectorias en el plano de fase de este modelo las podemos contemplar en la figura 2.9,. Además, en dicha figura, se puede observar una
simulación del modelo SIS en el caso endémico, (a), y otra en el caso no
endémico, (b).
(a) R0 > 1, con α = 0.52 y β = 0.02.
(b) R0 < 1, con α = 0.052 y β = 0.02.
(c) Trayectorias en el plano de fase
para el modelo SIS, en nuestro caso
estamos tomando N = 1.
Figura 2.9: Simulación modelo SIS y plano fase.
Este sistema, (2.35) y (2.36), es análogo a un sistema presa-depredador,
podemos verlo en la referencia [4]. De esta similitud podemos obtener r, que
38
CAPÍTULO 2. MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS
representa lo rápido que crece la enfermedad:
r = β(R0 − 1).
Enfermedades que pueden ser modelizadas mediante un modelo SIS.
Es muy útil para modelizar la mayor parte de las enfermedades de transmisión sexual (ETS) porque tan solo un número reducido de ETS confiere
inmunidad tras la infección, es decir, los individuos vuelven a ser susceptibles.
Capítulo 3
Algunas propiedades y modelos
adicionales
Aparte de saber si una epidemia será endémica o no, es interesante conocer
cómo se propagará una epidemia y cómo le afectará la vacunación. Vamos a
plantear este tipo de modelos pero no vamos a entrar en gran detalle.
3.1.
Propagación de la epidemia
Empezamos considerando el modelo más simple teniendo en cuenta solamente los infectados y los susceptibles, modelo SI, (2.32) y (2.33). Pero,
por otra parte, tomamos S e I en función del espacio y el tiempo, S(x, t),
I(x, t). Además, al modelo SI le añadimos la suposición de que los infectados
tienen una tasa de mortalidad βI. La dispersión espacial de los susceptibles
y de los infecciosos se modela por difusión simple, siguiendo la segunda ley
de Fick (podemos encontrar más información acerca de dicha ley en [7]), y
con un coeficiente de difusión D, que representa la facilidad con la que se
produce el contagio. Asumimos que la población es uniforme, es decir, que la
población está igualmente repartida por todas las zonas. El modelo para la
propagación nos queda
dS
= −αSI + D∇2 S,
dt
dI
= αSI − βI + D∇2 I,
dt
(3.1)
(3.2)
donde ∇2 S = ∆S y ∇2 I = ∆I es el laplaciano en las variables espaciales.
Por simplicidad, consideraremos solamente el caso unidimensional. Introducimos una serie de infecciosos en una población uniforme con una densidad
39
40CAPÍTULO 3. ALGUNAS PROPIEDADES Y MODELOS ADICIONALES
inicial de susceptibles homogénea, S0 , y determinamos la propagación de la
enfermedad.
Reescribimos el problema tomando
I
I = ,
S0
∗
t∗ = αS0 t,
S
S = ,
S0
β
λ=
.
αS0
αS0
x =
D
∗
∗
21
x,
(3.3)
(3.4)
Quitamos los asteriscos para simplificar la notación. El modelo se transforma
en
∂ 2S
dS
= −SI +
dt
∂x2
∂ 2I
dI
= SI − λI + 2
dt
∂x
(3.5)
(3.6)
con λ = αSβ 0 = R10 el número de infecciones secundarias producido por un
infeccioso primario en una población susceptible.
Buscamos soluciones de las ecuaciones (3.5) y (3.6) de tipo ondas viajeras,
es decir, ondas que se desplazan a una velocidad constante c sin perder su
forma. Para ello hacemos el siguiente cambio de variable:
S(x, t) = S(z), I(x, t) = I(z), z = x − ct,
Sustituimos en las ecuaciones anteriores, (3.5) y (3.6), y obtenemos
−S 0 = −SI + S 00
−cI 0 = SI − λI + I 00
o sea S 00 + S 0 − SI = 0,
o sea I 00 + cI 0 + I(S − λ) = 0,
donde las derivadas son respecto a z. Tenemos que encontrar los valores λ
para los que exista solución con c positiva y S y I no negativos tales que:
I(−∞) = I(∞) = 0, 0 ≤ S(−∞) < S(∞) = 1.
Las condiciones producen que los infecciosos se propaguen en los no infectados. Cuando z tiende a ∞, entonces S tiende a 1 e I tiende a 0 y tenemos
I 00 + cI 0 + I(1 − λ) ≈ 0.
(3.7)
La ecuación 3.7 es una ecuación diferencial de segundo orden homogénea.
Sustituimos I 00 por x2 , I 0 por x e I por 1 para tener la ecuación característica
y hallamos las raíces
x2 + cx + (1 − λ) ≈ 0 ⇒ x =
−c ±
q
c2 − 4(1 − λ)
2
.
41
3.2. CONTROL Y ERRADICACIÓN
Entonces la solución de la ecuación es aproximadamente:
√
I(z) ≈ k1 e
−c+
c2 −4(1−λ)
z
2
√
+ k2 e
−c−
c2 −4(1−λ)
z
2
donde K1 y k2 son constantes.
Para que exista onda viajera se tiene que cumplir que λ < 1, debido al
cambio que hemos realizado, (3.4), tenemos λ = αSβ 0 < 1, y que la raíz sea
positiva. Por tanto, debe ocurrir que
1
c ≥ 2(1 − λ) 2 .
Si λ > 1 no existe solución.
1
Entonces la velocidad mínima de la onda viajera es c = 2(1 − λ) 2 . La
velocidad de propagación viene determinada por
1
2
V = (αS0 D) c = 2(αS0 D)
Cuando λ =
β
αS0
1
2
"
β
1−
αS0
#1
2
,
β
< 1.
αS0
< 1 entonces:
• Se tiene que dar una densidad de población crítica mínima, Sc =
para que ocurra una onda epidémica. (Sc = λS0 .)
• Se tiene que exceder el coeficiente de transmisión crítico, rc =
que se propague la infección.
β
,
S0
β
,
α
para
• Se tiene que superar una tasa de mortalidad máxima, ac = αS0 , para
que se impida la epidemia. Esto se debe a que si hay un número muy
alto de muertos la enfermedad acaba desapareciendo.
Por lo tanto, cuanto más mortal sea la enfermedad, menos posibilidades
hay de una onda epidémica en movimiento a través de la población, ya que
los infecciosos tienen más probabilidades de morir. Finalmente con criterio
del umbral, λ < 1, observamos que una repentina afluencia de población
susceptible puede elevar S0 por encima de Sc , entonces tendríamos Sc = αβ <
S0 de donde despejando obtendríamos λ = SS0c < 1, y se inicia una epidemia.
(Se puede encontrar ejemplos de esto en [15].)
3.2.
Control y erradicación
Una de las razones para hacer estos modelos es que nos permitan diseñar
políticas destinadas a erradicar, o al menos, controlar las enfermedades, evitar
que una epidemia se convierta en endemia.
42CAPÍTULO 3. ALGUNAS PROPIEDADES Y MODELOS ADICIONALES
Para ello hay tres opciones:
• Aumentar la velocidad de removidos.
• Reducir la tasa de infección.
• Disminuir la población susceptible inicial.
El uso de vacunas disminuye la población susceptible inicial.
El modelo SIR con vacuna previa
Distinguimos el caso de endemia y epidemia. (Puedes encontrar más información en [16].)
Para epidemias
En el caso de un modelo SIR sin nacimientos ni muertes con una vacuna
al inicio de la enfermedad, en los modelos tales que R0 = αβ , una vacunación exitosa mueve una proporción p de la población susceptible inicial de la
clase susceptible a la clase resistente, dejando una proporción 1 − p en los
susceptibles. El efecto que tiene en el modelo
dS
= −αSI,
dt
dI
= αSI − βI,
dt
dR
= βI,
dt
es modificar las condiciones iniciales por su efecto inmunizador quedando
S(0) = (1 − p)S0 ,
R(0) = pS0 .
Por lo tanto una epidemia desaparecerá si (1 − p)R0 < 1, es decir, si
p ≥ 1 − R0−1 .
De aquí obtenemos que hay que vacunar a una proporción p ≥ 1 − R0−1 para
eliminar la amenaza de epidemia.
En la figura 3.1 podemos observar como, con vacuna, el número de resistentes a la enfermedad aumenta más rápido pasando a no poder ser endémica.
43
3.2. CONTROL Y ERRADICACIÓN
(a) R0 = 2.08. Simulación anterior con
Mathematica, pág. 10.
(b) R0 = 2.08. Simulación modelo SIR para α = 0.00052 y β = 0.02 con vacunación
p = 0.3.
Figura 3.1: Comparación con vacuna y sin vacuna.
Para endemias
En el caso del modelo SIR con nacimientos y muertes naturales, vacunamos a una proporción de susceptibles que se unen a la población. Entonces
las ecuaciones (2.20), (2.21) y (2.22) quedan:
dS
= −αSI + µ(1 − p)N − µS
dt
dI
= αSI − βI − µI
dt
dR
= βI − µR + µpN
dt
donde N = 1 ya que hemos tomado las variables S(t) =
de tal forma que S(t) + I(t) + R(t) = 1.
R(t) = r(t)
N
s(t)
,
N
I(t) =
i(t)
N
y
Con estas ecuaciones no hay estado de equilibrio por lo que la enfermedad
se extinguirá como en el anterior caso, es decir, si p ≥ 1 − R0−1 . Lo mismo
ocurre en casos más generales.
Por lo tanto, con vacunar una proporción de 1 − R0−1 susceptibles es
suficiente para que la enfermedad no se propague.
Con vacuna a lo largo del tiempo
Consideramos nuevamente un modelo más simple como es el SIS en el
que introducimos una nueva variable V (t) que indica el número de personas
44CAPÍTULO 3. ALGUNAS PROPIEDADES Y MODELOS ADICIONALES
que se han vacunado eficazmente en cada momento. Por tanto nos quedan
las siquientes ecuaciones:
dS
= −αSI + βI − V (t),
dt
dI
= αSI − βI,
dt
(3.8)
(3.9)
donde, como anteriormente, S(t) e I(t) representan los susceptibles e infecciosos y α y β la tasa de contagio y tasa de recuperación, respectivamente.
(Puedes encontrar algún ejemplo y una explicación más detallada en [11],
[17] y [19])
3.3.
Otros modelos que no hemos considerado con detalle
Aparte de los modelos explicados existe mucha más variedad, por ejemplo
los que enunciamos a continuación, aunque no vamos a estudiarlos.
• Modelo de Ross. [2]
Este modelo es específicamente para la malaria y fue creado por Ronald
Ross en 1911. Utiliza diferentes notaciones que vamos a introducir:
N y I(t) son los mismos que anteriormente.
i(t): el número de mosquitos infectados con malaria.
n: el total de la población de mosquitos.
b: frecuencia con la que pica un mosquito.
p: probabilidad de transmisión de la malaria de humano a mosquito.
p0 : probabilidad de transmisión de mosquito a humano.
a: proporción con la que una persona se recupera de la malaria.
m: la mortalidad del mosquito.
Durante un pequeño intervalo de tiempo, cada mosquito infectado pica
a b dt humanos de los todavía no están infectados NN−I . Con una probabilidad p0 de transmisión, hay bp0 i NN−I dt nuevos humanos infectados.
Y durante ese mismo tiempo hay una recuperación aI dt.
Por otro lado, cada mosquito no infectado pica a b dt humanos de los
cuales están infectados NI . Con una probabilidad p de transmisión, hay
3.3. OTROS MODELOS QUE NO HEMOS CONSIDERADO CON DETALLE45
bp(n − i) NI dt nuevos mosquitos infectados. Asumiendo que la infección
no influye en la mortalidad, el número de mosquitos que muere es mi dt.
Entonces tenemos
N −I
dI
= bp0 i
− aI,
dt
N
di
I
= bp(n − i) − mi.
dt
N
• Modelo SIRS. Pérdidad de inmunidad.
El esquema que representa el modelo es el siguiente:
S→I→R→S
Las ecuaciones que se tienen son
dS
= −αSI + µ(N − S) + f R,
dt
dI
= αSI − βI − µI,
dt
dR
= βI − µR − f R,
dt
donde α es la tasa de contagio, β es la tasa de recuperación, f es la
tasa promedio de pérdida de inmunidad en individuos recobrados y µ
es la tasa promedio de defunciones.
• Modelo SEIS. Este modelo considera un nuevo tipo de individuo: los
expuestos, E, quienes portan la enfermedad pero la tienen en periodo
de incubación por lo que no la contagian, y tiene en cuenta que un
individuo que ha enfermado nunca obtiene la inmunidad, por lo tanto,
el esquema es el siguiente:
S→E→I→S
Las ecuaciones son las siguientes:
dS
= B − αSI + βI − µS,
dt
dE
= αSI − σE − µE,
dt
dI
= σE − βI − µI,
dt
46CAPÍTULO 3. ALGUNAS PROPIEDADES Y MODELOS ADICIONALES
donde α es la tasa de contagio, β es la tasa de recuperación, σ es
la tasa promedio de pérdida de periodo de incubación en individuos
expuestos, B es la tasa promedio de nacimientos y µ es la tasa promedio
de defunciones.
• Modelo SEIR. En alguna ocasión ocurre que un individuo puede estar
infectado y no contagia la enfermedad durante un periodo de tiempo.
En ese caso tenemos este modelo:
S→E→I→R
Las ecuaciones son las siguientes:
dS
dt
dE
dt
dI
dt
dR
dt
= B − αSI − µS,
= αSI − µE − σE,
= σE − βI − µI,
= βI − µR,
donde α, β, σ, B y µ, son nuevamente, la tasa de contagio, la tasa de
recuperación, la tasa promedio de pérdida de periodo de incubación,
la tasa promedio de nacimientos y la tasa promedio de defunciones,
respectivamente.
• Modelo MSIR. Se considera una clase nueva de individuos los portadores, M , con inmunidad pasiva que tras cierto tiempo la pierde y se
vuelve portador de la enfermedad aunque puede que nunca la padezcan.
El esquema es el siguiente:
M →S→I→R
Y las ecuaciones son
dM
dt
dS
dt
dI
dt
dR
dt
= B − δM S − µM,
= δM S − αSI − µS,
= αSI − βI − µI,
= βI − µR,
3.3. OTROS MODELOS QUE NO HEMOS CONSIDERADO CON DETALLE47
donde α, β, σ, B y µ, son nuevamente, la tasa de contagio, la tasa de
recuperación, la tasa promedio de pérdida de periodo de incubación,
la tasa promedio de nacimientos y la tasa promedio de defunciones,
respectivamente y la nueva incógnita δ representa el tiempo promedio
de inmunidad temporal.
• Modelo MSEIR. Este modelo utiliza todos los estados, es decir, incluye los expuestos y los portadores. Su representación es
M →S→E→I→R
Las ecuaciones se representan de la siguiente forma:
dM
dt
dS
dt
dE
dt
dI
dt
dR
dt
= B − δM S − µM,
= δM S − αSI − µS,
= αSI − µE − σE,
= σE − βI − µI,
= βI − µR,
donde α, β, σ, B, µ y δ, son de nuevo la tasa de contagio, la tasa de
recuperación, la tasa promedio de pérdida de periodo de incubación,
la tasa promedio de nacimientos, la tasa promedio de defunciones y el
tiempo promedio de inmunidad temporal, respectivamente.
48CAPÍTULO 3. ALGUNAS PROPIEDADES Y MODELOS ADICIONALES
Capítulo 4
Aplicación con datos reales
Vamos a hacer una simulación y la vamos a comparar con los datos reales.
Para ello vamos a utilizar los datos de una epidemia de gripe, cuyos síntomas
eran fatiga, dolor de cabeza, irritación de garganta y fiebre, que ocurrió en
un internado del norte de Inglaterra, en enero de 1978.
En dicha epidemia, un total de 763 jóvenes de entre 10 y 18 años estuvieron expuestos al contagio. Todo comenzó cuando un joven de Hong Kong
tuvo fiebre del 15 al 18 de enero. En los cuatro días siguientes, tres estudiantes se contagiaron. La enfermedad se propagó rápidamente e infectó a
512 jóvenes, lo que equivale al 67 %. Aparte de los internos, estuvieron en
contacto 130 adultos pero solamente se contagió uno de ellos.
A continuación vamos a hacer una simulación con el modelo SIR con los
siguientes datos:
Tiempo promedio de convalecencia 6 días.
En este caso, la población total no es N = 1 sino que es N = 763,
es decir, S(t) + I(t) + R(t) = 763, el número inicial de susceptibles es
S0 = 762 y el de infectados I = 1.
La tasa de infección es α = 0.00218 y la razón de los recuperados
a los infectados es ρ = αβ = 202. Por tanto tenemos que la tasa de
recuperados es β = 0.44036.
Utilizamos Mathematica para generar el gráfico de la epidemia del onternado y poder compararlo con los datos reales, para ello usamos las siguientes
órdenes:
In[5]:=
a = 0.00218; b = 0.44036;
SIR = NDSolve[{S’[t] == - a*S[t]*I[t],
49
50
CAPÍTULO 4. APLICACIÓN CON DATOS REALES
I’[t] == -b*I[t] + a*S[t]*I[t],
R’[t] == b*I[t],
S[0] == 762, I[0] == 1, R[0] == 0},
{S[t], I[t], R[t]}, {t, 0, 15}];
In[6]:=
Plot[Evaluate[{S[t], I[t], R[t]} /. SIR], {t, 0, 15},
PlotRange -> {{0, 15}, {0, 800}},
AxesLabel -> {"Tiempo(dias)", "Poblacion"},
PlotStyle -> {{RGBColor[0, 1, 0], Thick},
{RGBColor[0, 1, 1], Thick},
{RGBColor[1, 0, 1], Thick}}]
Y obtenemos una simulación que está representada en la gráfica de la
izquierda de la figura 4.1.
(a) Simulación de la epidemia.
(b) Datos reales.
Figura 4.1: Comparación de la simulación con los datos reales.
Por último, podemos ver en la figura 4.2 la similitud que hay entre la
simulación y los datos reales, por lo que podemos concluir que este modelo
es bastante preciso a la hora de simular una epidemia como, al menos, esta
gripe. (Datos y alguna figura obtenidos de las referencias [8] y [14].)
Figura 4.2: Número de infectados en la epidemia y simulación.
Conclusiones
Como hemos podido comprobar en esta memoria, las matemáticas son
de gran utilidad a la hora de estudiar otros temas como en este caso las
epidemias. Hemos aprendido que hay diferentes modelos matemáticos y, dependiendo del tipo de epidemia, es más conveniente usar unos u otros, pero
lo que está claro es que todos son de gran utilidad.
Aunque las matemáticas son exactas, hemos observado que la modelización matemática no es exacta pero gracias los modelos matemáticos se puede
predecir la durabilidad de una epidemia o el número de contagios que puede
llegar a haber. Además, la modelización te sirve para ver que la vacunación
de la población reduce el contagio de una enfermedad.
Ya sea viéndolo del lado sanitario, del lado estadístico o del lado económico podemos decir que las matemáticas son una gran herramienta para la
vida cotidiana.
51
52
CONCLUSIONES
Bibliografía
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Springer, London, 2011, cap. 12 y 16, pág. 65-69 y 89-96.
[3] M. Braun, Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones, Grupo Editorial
Iberoamérica, México, 1990, cap. 4, pág. 373 y 451-458.
[4] N.F. Britton, Essential Mathematical Biology, Springer, New York,
2003, cap. 3, pág. 83-116.
[5] Ó. Ciaurri, Instantáneas diferenciales: métodos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, estudio del Problema de
Cauchy y Teoría de Ecuaciones y Sistemas Lineales, Universidad de La
Rioja, Logroño, 2013.
[6] D. De Pereda, Modelización matemática de la difusión de una epidemia de peste porcina entre granjas, http://www.mat.ucm.es/~ivorra/
papers/Diego-Epidemiologia.pdf, 2010.
[7] Á. Franco, Difusión, Ley de Fick, http://www.sc.ehu.es/sbweb/
fisica/transporte/difusion/difusion.htm, 2008.
[8] S. Galindo, M.A. Rodríguez y J.L. Cervantes, Las matemáticas
de las epidemias: caso México 2009 y otros, Espacio del divulgador, 2013,
Vol. 20-3, pág. 238-246.
[9] J.A.P. Heesterbeek y K. Dietz, The concept of R0 in epidemic
theory, Statistica Neerlandica, 1996, Vol. 50, pág. 89-110.
[10] J.M. Heffernan, R.J. Smith y L.M. Wahl, Perspectives on the
basic reproductive ratio, The Royal Society, 2005, Vol. 22, pág. 281293.
53
54
BIBLIOGRAFÍA
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análisis del impacto presupuestario es España aplicando un modelo de
transmisión dinámica, Rev. Esp. Salud Pública, 2016, Vol. 90, pág. 112.
[12] M.J.
Mesa,
Modelos
Epidemiológicos
“Marco
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http://modelosepidemiologicos.blogspot.com.es/2011/12/
modelos-epidemiologicos-marco-teorico.html, 2011.
[13] O.A. Montesinos-López y C.M. Hernández-Suárez, Modelos
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[14] J.D. Murray, Mathematical Biology I: An Introduction, Third Edition,
Springer, New York, 2002, cap. 10, pág. 315-394.
[15] J.D. Murray, Mathematical Biology II: Spatial Models and Biomedical Applications, Third Edition, Springer, New York, 2003, cap. 13,
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[16] S. Pedersen, (Algunos) Modelos matemáticos para (algunas) enfermedades contagiosas: transmisión, infección, tratamiento, Tesis de Licenciatura, Universidad de Buenos Aires, 2015.
[17] R: Pradas, A. Gil de Miguel, A. Álvaro, R. Gil-Prieto, R. Lorente, C. Méndez, P. Guijarro y F. Antoñanzas, Budget impact
analysis of a pneumococcal vaccination programme in the 65-year-old
Spanish cohort using a dynamic model, Bio Med Central, 2013, Vol. 13,
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[18] J.L. Varona, Métodos clásicos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, Universidad de La Rioja, Logroño, 1996.
[19] R.P. Velasco, F.A. Villar y J. Mar, Modelos matemáticos
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ecuaciones diferenciales,
http://www.gacetasanitaria.org/es/
modelos-matematicos-evaluacion-economica-los/articulo/
S0213911109002349/, Gaceta Sanitaria, 2008, Vol. 23, pág. 473-478.
[20] F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems, Springer, Berlín, 1996, cap. 5 y 7, pág. 59-68 y 83-95.
BIBLIOGRAFÍA
55
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de
epidemias,
http://vaccinationtool.appspot.com/
divulgacion/divulgacion.jsp?capitulo=epidemias_tipos.
html&idioma=ESP.