Secundaria
5
Aritmética
Aritmética - 5.o grado de secundaria.
resentación
l colegio Bertolt Brecht saluda a los padres de familia y estudiantes por la
confianza depositada en nuestra institución, la cual tiene por misión brindar
una educación integral en sus múltiples dimensiones, a través de la enseñanza de
la ciencia, el arte y el deporte, para la formación de ciudadanos conscientes y
comprometidos que aporten al engrandecimiento de nuestra sociedad.
Es así que, en esta oportunidad, se pone a disposición de los estudiantes este
cuaderno de trabajo, que será una herramienta de apoyo en el proceso de
enseñanza-aprendizaje y que contribuirá al logro de los objetivos curriculares. Este
material educativo permitirá al estudiante consolidar su aprendizaje en las
diferentes materias del grado.
La comunidad educativa saluda y reconoce el trabajo de todos los profesores
que participaron en la elaboración del presente texto, donde se plasman sus
conocimientos y experiencias adquiridas en esta labor tan importante como es la
de educar.
Finalmente, deseamos saludar al personal técnico-administrativo que participó
en la elaboración de este importante libro en beneficio del alumno y, asimismo, de
la sociedad.
Colegio Bertolt Brecht
Í
ndice
Aritmética
Tema 1.
Clasificación de los números enteros positivos (números simples y compuestos)
7
Tema 2.
Números PESI
11
Tema 3.
Teorema fundamental de la aritmética y tabla de divisores
16
Tema 4.
Cantidad de divisores
20
Tema 5.
Suma y producto de divisores
24
Tema 6.
Máximo común divisor (MCD)
29
Tema 7.
Mínimo común múltiplo (MCM)
32
Tema 8.
Método de divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides
35
Tema 9.
MCD y MCM: propiedades
39
Tema 10.
Lógica proposicional
44
Tema 11.
Medidas de posición para datos no agrupados
56
Tema 12.
Medidas de posición: media aritmética
60
Tema 13.
Medidas de posición: mediana
66
Tema 14.
Medidas de posición: moda
72
a ritmética
Aritmética
1
TEMA
Clasificación de los números enteros positivos
(números simples y compuestos)
Objetivos
 Diferenciar los números simples de los números compuestos.
 Determinar si un número es primo.
 Desarrollar la capacidad de pensamiento creativo y de resolución de problemas sobre números simples o compuestos.
La longeva cigarra y los números
primos
Hace cuatro años, en primavera, los estadounidenses de algunos territorios como Washington, Maryland y Virginia fueron testigos de uno
de los más grandes espectáculos que el reino
animal –y en concreto, el mundo de los insectos– puede ofrecer: las cicadas (una especie
de cigarra) y su extenso ciclo vital, que dura
ni más ni menos que diecisiete años, el más
largo de todos los insectos.
Las larvas de estas criaturas se entierran
en el suelo y viven durante años absorbiendo
los jugos vitales de las raíces de los árboles.
Luego, llegado el momento, como en una película de George A. Romero, millones de ninfas abandonan simultáneamente sus refugios
subterráneos, ascienden a un lugar elevado,
y sufren la asombrosa metamorfosis que las
transforma en frenéticos (y “cantarines” si son
machos) insectos alados ávidos por reproducirse antes de perecer rápidamente, también
en masa.
El porqué de tan largo ciclo vital de la
Magicicada septendecim, en comparación
con otra especie de la misma familia, como la
Magicicada tredecim, que aparece cada 13
años (siendo ambos números primos), continúa siendo un misterio de la naturaleza. Algunos zoólogos creen que la cigarra intenta
de este modo esquivar a alguna especie de
parásito cuyo ciclo vital es así mismo muy
extenso.
Si el parásito tiene un ciclo vital, pongamos, de 2 años, entonces la cigarra quiere evitar un ciclo vital que sea divisible por 2, sino el
parásito y la cigarra coincidirán regularmente.
De esta manera parecida, si el parásito tiene un
ciclo vital de 3 años, entonces la cigarra querrá
evitar un ciclo vital divisible por 3, sino el parásito y la cigarra volverán a coincidir. Al fin,
si quiere evitar encontrarse con su parásito, la
mejor estrategia de la cigarra es darse un ciclo
de vida largo, que dure un número primo de
años. Como nada dividirá el 17, la Magicicada
septendecim raramente se encontrará con su
parásito. Si el parásito tiene un ciclo de 2 años,
solo se encontrarán cada 34 años, y si tiene un
ciclo vital más largo, de 16 años por ejemplo,
solo se encontrarán cada 272 (16 · 17) años.
Ahora responde correctamente según la lectura.
a. ¿Qué son las cicadas?
.....................................................................................................................................................
b. ¿En dónde viven las cicadas?
.....................................................................................................................................................
c. ¿Por qué es tan largo el ciclo vital de la Magicicada septendecim?
.....................................................................................................................................................
d. ¿Qué es un número primo?
.....................................................................................................................................................
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
7
Actividad en el aula N.o 1
1. Completa las siguientes oraciones.
a. La .................... es aquel número que
tiene como único divisor a la unidad.
b. Los .................... tienen dos divisores.
c. Los .................... tienen más de dos divisores.
2. Completa el siguiente esquema.
c. Si A representa la suma de números primos mayores que 13 pero menores que
32 y B representa la suma de los números compuestos menores que 20, halla la
diferencia de A y B.
d. Cada uno de los integrantes de un grupo
de folklore tienen edades diferentes expresadas por todos los números primos
que son de la forma mn4. Calcula la cantidad de integrantes del grupo folklórico.
e. Si el producto de cuatro números primos
es 1785, halla el promedio de dichos números.
Números
enteros
positivos
f.
¿Cuántos números primos se escriben
con dos cifras en el sistema de base 7?
g. ¿Cuántos de los siguientes números son
primos absolutos en base 7: 117; 317;
617; 257?
3. Resuelve los siguientes ejercicios.
a. ¿Cuántos números simples y compuestos hay hasta el número 19?
b. Si en un conjunto de 37 números se tiene
29 números primos, ¿cuántos números
son compuestos?
h. Sean a, b y c números primos, donde se
cumple que a+b=c y a2+b2+c2=294.
Halla a × b – c.
i.
¿Cuántos de los siguientes números son
primos absolutos en base 5: 245; 325;
435; 135?
Actividad domiciliaria N.o 1
1. ¿Cuántos números primos menores que 24
son tales que al invertir el orden de sus cifras
resultan ser otro número primo?
6. Si el producto de cuatro números primos es
2926, halla la tercera parte de la suma de
dichos números.
2. Si N representa la suma de los números primos mayores que 15 pero menores que 42 y
M representa la suma de los números compuestos menores que 12, ¿cuánto es N – M?
7. Si a, b y c son números primos, además se tiene que a+b+c=86 y a – b=35, calcula (ab – c).
3. ¿Cuántos números de la forma 1ab5 son números primos?
4. ¿Cuántos números compuestos están comprendidos entre 100 y 120? Indica cuáles son.
5. Sea el numeral ab23.
a. ¿Cuántos numerales de la forma ab23
son números primos?
b. ¿Cuál es la suma de dichos números primos?
8
Compendio escolar
Aritmética
8. ¿Cuántos números compuestos se encuentran entre el mayor numeral de dos cifras
en base 5 y el menor numeral de tres
cifras en base 7, tal que la suma de cifras
del número compuesto sea menor que 10?
9. ¿Cuántos números de la forma (7a+3) son números compuestos menores que 52 si a ∈Z+?
10. ¿Cuántos de los siguientes numerales representan números compuestos?
238; 111112; 1035; 4107
Aritmética
Recuerda que...
q El conjunto de los números primos es infinito.
q Todos los números primos, a excepción del 2, son impares.
q Los únicos números consecutivos que son primos a la vez son el 2 y el 3.
(o ) (o )
q Todo número primo mayor que 2 es 4 + 1 o 4 − 1 , lo contrario no siempre se cumple.
¿Sabía s que...?
Los pasos para determinar si un número es primo o no son los siguientes:
q Se extrae la raíz cuadrada al número dado, si es exacta, se determina que el número
no es primo.
q Caso contrario, se considera todos los números primos menores o iguales que la parte entera a la raíz.
q Se divide de menor a mayor el número dado entre cada número primo considerado.
q Si en dichas divisiones se obtiene al menos una exacta, el número no es primo.
q Si todas las divisiones son inexactas, entonces el número es primo.
Actividad en el aula N.o 2
1. Calcula la raíz cuadrada de los siguientes
números 126;
230;
e. ¿Es 371 un número primo?
2256.
..............................................................
2. Elabora una criba de Eratóstenes con números del 1 al 200 y escribe todos los números
primos que encuentres.
f.
3. Responde las siguientes preguntas.
g. ¿Es 337 un número primo?
a. ¿Es 853 un número primo?
..............................................................
b. Elaboraremos una criba de Eratóstenes
para determinar si 853 es un número primo.
..............................................................
c. ¿Habrá otra manera de hallar si este número es primo?
..............................................................
d. ¿Cuál sería la manera?
..............................................................
¿Es 453 un número primo?
..............................................................
..............................................................
4. Se quiere averiguar si un número es primo,
faltando tres divisiones (se había previsto
realizar diez) se determina que el número es
compuesto. ¿Cuál es la suma de cifras del
número?
5. Para saber si un número es primo se deberían realizar ocho divisiones, pero faltando
dos divisiones, se determinó que era compuesto. ¿Cuántos números cumplen con dicha condición?
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
9
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Calcula la raíz cuadrada de los siguientes
números: 223; 476; 1456.
división resultó que es compuesto. Calcula
la suma del mayor y menor de los números
que cumplen con esta condición.
2. ¿Es 221 un número primo?
7. Para averiguar si un número es primo se deben realizar seis divisiones, pero en la cuarta división se determina que es compuesto,
¿cuál es la suma de cifras del mayor número
que cumple con dicha condición?
3. ¿Es 521 un número primo?
4. ¿Es 311 un número primo?
5. Para saber si un número es primo se pensó
en realizar siete divisiones, pero en la quinta
división resultó que es compuesto. Calcula
la suma de cifras del mayor de los números
que cumple con esta condición.
6. Para saber si un número es primo se pensó
en realizar ocho divisiones, pero en la sexta
8. Determina el valor de verdad (V) o falsedad
(F) de las siguientes proposiciones.
a. El número 143 no es primo.
b. 3; 5 y 7 son la única terna de números
impares consecutivos y primos a la vez.
c. Si 2b es primo, entonces la suma de valores que toma b es 12.
Glosario



10
cigarra. Insecto hemíptero, del suborden de los homópteros, de unos cuatro centímetros de largo, de color
comúnmente verdoso amarillento, con cabeza gruesa, ojos salientes, antenas pequeñas, cuatro alas membranosas y abdomen cónico, en cuya base tienen los machos un aparato con el cual producen un ruido estridente
y monótono. Después de adultos solo viven un verano.
parásito. Dicho de un organismo animal o vegetal: que vive a costa de otro de distinta especie, alimentándose
de él y depauperándolo sin llegar a matarlo.
números primos. Son aquellos números que tienen dos divisores, que son la unidad y el mismo número.
Compendio escolar
Aritmética
Números PESI
Aritmética
2
TEMA
Objetivos
 Identificar si un grupo de números son PESI.
 Deducir y aplicar las propiedades de los números primos entre sí (PESI).
 Desarrollar la capacidad de razonamiento y pensamiento creativo para plantear situaciones
problemáticas de la vida cotidiana en forma personal y colectiva, con números PESI.
Vida y muerte de Évariste Galois
Donde se muestra cómo el talento de los verdaderos genios
florece aun en las circunstancias más desfavorables
Nacido en 1811, de pequeño, Évariste Galois
vivió en la ciudad de Bourg-la-Reine en Francia, donde su padre era alcalde liberal y republicano. Su madre, una mujer preparada y excéntrica, se hizo cargo de su educación inicial.
Desde sus primeros años de escuela, Galois
descubrió su fascinación por las matemáticas.
En esta disciplina resolvía sin dificultad los
problemas por caminos directos y originales.
Este proceso lo confrontaba con sus profesores, incapaces de entender las ideas de Galois.
Muchos lo consideraban arrogante e insolente.
También tuvo conflictos en la escuela porque descuidaba las demás materias, ya que su
tiempo lo dedicaba a devorar libros de matemática mucho más avanzados de lo que correspondía a su edad. Por esta razón, estuvo a
punto de reprobar el año en varias ocasiones.
Quiso entrar demasiado joven a la famosa
Escuela Politécnica en París, máximo centro
francés de las matemáticas y la ciencia en ese
tiempo, pero fue rechazado en el examen de
admisión. Culpó por ello a sus examinadores
y al sistema, y seguramente tuvo razón. Siguió
estudiando pero se concentró siempre en sus
propias ideas y hallazgos. En 1829, escribió
un artículo que contenía descubrimientos fundamentales para la teoría de ecuaciones y se
lo envió a Cauchy, un destacado matemático
de la época. Cauchy prometió estudiarlo y,
si le parecía bueno, enviarlo a la Academia
de Ciencias, lo cual hubiera significado una
magnífica oportunidad
para Galois. Desafortunadamente, Cauchy no
cumplió su promesa;
argumentó que se le
había olvidado e, incluso, que había perdido el
artículo. Este hecho acrecentó la desilusión de
Galois y sus sentimientos negativos hacia la
comunidad académica.
Como alcalde de la ciudad, el padre de
Galois ejerció siempre una política anticlerical,
defendiendo a la gente de los abusos de muchos sacerdotes con lo que se hizo de muchos
enemigos. Después de unas turbulentas elecciones en 1827, un sacerdote desencadenó
una fuerte campaña contra el alcalde, quien
terminó suicidándose en un cuarto de hotel. El
joven genio se sumergió aún más en su aislado
mundo matemático y al poco tiempo decidió
intentar de nuevo ingresar a la Escuela Politécnica. Durante la parte oral del examen, Galois
descubrió un error en los argumentos de su
examinador, discutieron y después de un rato,
la cerrazón y arrogancia del profesor hicieron
que Galois perdiera la cabeza y le arrojara un
borrador, dando en el blanco. Sobra decir que
fue rechazado de nuevo.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
11
Un joven revolucionario
Después de perder definitivamente la oportunidad de ingresar en la Escuela Politécnica,
Galois se conformó con la Escuela de Maestros, una institución menor para sus pretensiones y talento. Allí su desempeño fue bueno
en física y matemática, regular en las demás
asignaturas. Algunos maestros reconocieron
su formidable talento matemático, otros decían que la forma de expresar sus argumentos
era oscura e intrincada y otros más afirmaban
que alguien tan malo para la literatura no podía ser bueno en nada.
Paralelamente a sus estudios, Galois siguió trabajando por su cuenta y escribió tres
artículos en los que desarrollaban ideas matemáticas revolucionarias relacionadas con la
teoría de ecuaciones algebraicas. Envió estos
trabajos a la Academia de Ciencias para un
concurso llamado El Gran Premio. No hay
duda de que hubiera ganado, pero nuevamente la mala suerte se interpuso en el camino: el
entonces secretario de la Academia, Joseph
Fourier, un famoso matemático decidió llevar
a casa los trabajos de Galois para revisarlos
con calma, pero murió antes de terminar y los
artículos se extraviaron.
Totalmente desilusionado por las injusticias y el desinterés de que había sido objeto
–debido, en su opinión, a la aduladora mediocridad institucional–, a los 19 años Galois decidió involucrarse en la política revolucionaria
que vivía Francia. Escribió un artículo en una
gaceta, criticando la apatía del director y de
los estudiantes de su escuela, después de lo
cual fue expulsado. Todavía hizo un último
intento por obtener el reconocimiento de los
matemáticos de vanguardia de la época: redactó una memoria que contenía sus resultados sobre la solución de ecuaciones y la envió
a la Academia de Ciencias. En esta ocasión el
juez fue otro destacado matemático y físico,
llamado Poisson, quien leyó superficialmente
el manuscrito y dijo solamente “es incomprensible”. Esta fue la gota que derramó el vaso, y
Galois, desesperado y desilusionado, decidió
dedicarse de lleno a la política. Se alistó en la
unidad de artillería y dedicó gran esfuerzo a
la causa revolucionaria. Fue etiquetado como
un republicano radical y encarcelado en dos
ocasiones. La primera, porque durante una reunión pública hizo un brindis en el que amenazaba y se burlaba del rey. Pudo salir de prisión
después de que algunos compañeros y maestros abogaran por él. Su libertad duró menos
12
Compendio escolar
Aritmética
de un mes, ya que se acercaba la celebración
de la toma de la Bastilla el 14 de julio y fue
nuevamente encarcelado, simplemente por
ser considerado “peligroso”. En la cárcel se
entretenía con las matemáticas, esta vez permaneció preso seis meses, durante los cuales
fue continuamente acosado y fue objeto de
burlas pues los demás reos lo consideraban un
ser extraño que no tomaba alcohol y no participaba en ninguna actividad.
Duelo a muerte
Galois salió de la cárcel el 25 de mayo de
1832. No se sabe exactamente qué ocurrió
durante los siguientes cuatro días, pero al parecer algunos enemigos políticos le tendieron
una trampa para obligarlo a defender el honor de una mujer que había sido su amante.
El 30 de mayo de 1832 Galois se enfrentaría
a su adversario en un duelo a 25 pasos con
arma de fuego. Como sospechaba que iba a
morir en este duelo, la noche anterior se dedicó asiduamente a escribir todas sus ideas
matemáticas en la forma más completa que
pudo. En el escrito se nota su desesperación
por la falta de tiempo. Le dio este material a
un amigo para que se lo hiciera llegar a algún
matemático reconocido como Jacobi o Gauss.
Además, escribió unas cartas en las que señalaba el absurdo de morir por culpa de una
mujerzuela y por una causa que no fuera su
país. El duelo se llevó a cabo en la madrugada. Galois fue atravesado en el abdomen por
una bala; quedó tirado en el piso hasta que
pasó por ahí un campesino y avisó para que
lo llevaran a un hospital. El joven matemático
murió al día siguiente, poco antes de cumplir
21 años. Galois aportó ideas matemáticas fundamentales, desarrolló técnicas imaginativas
y encontró soluciones originales; pero no hubo
quien las escuchara, eran muy avanzadas para
su tiempo. Sus procedimientos eran demasiado “modernos” y sus desarrollos muy densos,
por lo que resultaba muy difícil seguir paso a
paso sus razonamientos; tuvieron que transcurrir 14 años después de su muerte para que
sus trascendentales trabajos comenzaran a ser
“descubiertos” por los matemáticos. De haber
vivido más tiempo, es muy posible que Galois
hubiera acelerado considerablemente el desarrollo de la matemática moderna. Él poseía
una de las mentes más brillantes que han existido, de esas que se dan cada muchos siglos.
Galois nunca fue reconocido en vida, pero
su legado impactó definitivamente las matemáticas que le siguieron, hasta nuestros días.
No fue sino hasta los comienzos del siglo xix que Galois y Abel, un matemático sueco que también murió muy joven, mostraron
que es imposible la solución general de las
ecuaciones de quinto grado o mayores mediante un número finito de operaciones. Galois
estableció, además, las condiciones necesarias y suficientes para que cualquier ecuación
tenga soluciones. Pero lo verdaderamente importante de la obra de Galois no es el resultado
en sí, sino los métodos utilizados; se valió de
lo que se conoce como “teoría de grupos”, la
cual desarrolló y perfeccionó para poder lograr
sus objetivos. Estos métodos resultaron tener
gran alcance en otras áreas de las matemáticas y de las ciencias exactas en general, y
hasta nuestros días se utilizan en lo que hoy
conocemos como teoría de Galois.
Francisco Noreña Villarías
Elabora un resumen de la lectura, teniendo en cuenta los principios y valores que tenía Galois, así
mismo los aportes matemáticos que brindó a la humanidad.
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
Actividad en el aula
1. ¿Cuál o cuáles de los siguientes grupos de números tienen como único divisor común a la unidad?
a. 9; 22; 49
N. o
b. 12; 15; 20
Divisores
N. o
9
12
22
15
49
20
......... es el único divisor común a 9; 22 y 49.
Divisores
......... es el único divisor común a 12; 15 y 20.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
13
Aritmética
Precursor de las matemáticas modernas
La herencia matemática de Évariste Galois
está contenida en apenas 60 páginas. Solo
quien tiene estudios avanzados en esta materia puede entender plenamente sus teoremas y
resultados. La parte medular de sus hallazgos
se relaciona con la solución de ecuaciones. En
secundaria aprendemos a resolver ecuaciones
de primer y segundo grado con una incógnita, y un poco más adelante se estudian las de
tercera y cuarto grado. Esta manera de resolver ecuaciones mediante fórmulas, es decir,
mediante un número finito de operaciones de
suma, resta, multiplicación, división y extracción de raíces, se conoce desde el siglo xvi.
A partir de entonces los matemáticos se dieron a la tarea de encontrar soluciones para la
ecuación general de quinto grado y de grados
superiores, fracasando una y otra vez.
c. 12; 21; 51
N.º
Divisores
12
21
50
......... divisores en común ......... y ......... .
Finalmente, concluimos que los números .......... también llamados ............ o ............ son aquellos
grupos de números que tienen como único divisor en común a la ............ .
coprimos
unidad
primos
relativos
primos
entre sí
2. Dados los siguientes grupos de números, indica en cuál de ellos los números son PESI.
20; 35 y 15
20; 21; 22 y 23
34; 85; y 119
3. Si los números 4n, 16 y 18 son PESI, halla la suma de los valores de n.
4. De los 400 primeros números enteros positivos, ¿cuántos son coprimos con 40?
5. De los 900 primeros números enteros positivos, ¿cuántos son coprimos con 20?
6. Si ab y (ab +48) son PESI, halla el máximo valor de a+b.
7. ¿Cuántos numerales de dos cifras son PESI con 108?
8. ¿Cuántos números de tres cifras de la base 6 son primos relativos con 375?
9. ¿Cuántos números enteros positivos menores que 980 son PESI con 6753?
10. ¿Cuántos números de dos cifras son PESI con 1515?
Recuerda que...
q Dos números enteros consecutivos son siempre PESI.
q Un conjunto de más de dos números consecutivos es siempre PESI.
q Si A y B son PESI, se cumple lo siguiente:
A y A + B son PESI.
A y A – B son PESI.
q Si un grupo de números es PESI 2 a 2, entonces este grupo siempre será PESI.
Lo contrario no siempre se cumple.
14
Compendio escolar
Aritmética
1. ¿Qué grupo de números son PESI?
a. 12; 15; 16
c. 26; 13; 39
e. 100; 15;18
Aritmética
Actividad domiciliaria
b. 21; 70; 105
d. 20; 25; 45
2. De los 700 primeros números enteros positivos, ¿cuántos son coprimos con 35?
3. Halla el menor número primo distinto a la unidad que sea primo con 87 780 y 274 890.
4. De los 800 primeros números naturales, ¿cuántos son coprimos con 80?
5. ¿Cuántos números de tres cifras son PESI con 108?
6. ¿Cuántos números enteros de cuatro cifras existen, tales que sean primos con 6?
7. Dados los siguientes grupos de números, indica en cuál de ellos los números son PESI.
a. 14; 21 y 30
b. 21; 35 y 91
c. 22; 55 y 77
d. 79; 43 y 31
142
8. Calcula cuántos números PESI con 144143
existen desde 6000 al 8000.
9. Si abc y (abc+352) no son coprimos, calcula la cantidad de numerales abc que cumple con la
condición.
10. Determina el menor número natural diferente de 1, que sea coprimo con 5460 y con 5610. Da
como respuesta la suma de cifras.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
15
3
TEMA
Teorema fundamental de la aritmética y tabla de
divisores
Objetivos
 Lograr el pleno conocimiento del teorema fundamental de la aritmética y sus aplicaciones,
así como la elaboración de la tabla de divisores con destreza y celeridad.
 Descomponer canónicamente un número entero positivo para realizar un estudio de sus divisores.
Gauss, dos siglos de incógnitas
En la vida diaria uno trata con abogados, taxistas, líderes sindicales, ingenieros y panaderos.
No es ordinario tratar con matemáticos.
Las razones son varias; la principal es que
se presentan como licenciados y cuando –en
la parranda– uno les pide asesoría para quitarle –vía judicial– unas cacerolas y unos cubiertos a una tía a quien se los prestamos hace
tres años para una boda, nos contesta con una
especie de sonrojo que efectivamente es licenciado, pero en matemáticas, y que las cacerolas habrán de recuperarse vía negociación.
Se cree también que los matemáticos viven en la luna, pero no siempre es así.
Gauss ha sido reconocido universalmente como el más grande matemático de
todos los tiempos, dejando en el camino a
Newton, Arquímedes, Euclides, Descartes,
Leibnitz y a Rodrigues (Olinde Rodrigues, francés, 1794 - 1851).
Gauss ha contado que el 30 de marzo de
1796 la matemática se abrió para él, quien
había permanecido indeciso entre ella y la lingüística. La razón “fue su descubrimiento de
que es posible construir, usando únicamente
regla y compás, un polígono regular de 17
lados”. Karl Friedrich Gauss nació en Brunswick, Alemania, el 30 de abril de 1777. Se
sabe (Noreña: 1992) que hacia los diez años
pudo resolver el cálculo de la suma de todos
los números enteros hasta cierto número dado.
Su profesor le encargó al grupo sumar del uno
16
Compendio escolar
Aritmética
al cien y Gauss encontró un camino muy rápido: halló que al sumar los extremos de la
lista de números siempre daba 101 (es decir
1 + 100, 2 + 99, 3 + 98, etcétera), y que las parejas así asociadas eran 50. Lo que hizo enseguida fue multiplicar 101 por 50 para hallar
la suma correcta, que es válida para cualquier
suma de enteros. En 1799 (a los 22 años), la
Universidad de Helmstadt le otorgó el grado
de doctor in absentia por su disertación “Una
nueva prueba de que toda fracción algebraica racional entera de una variable puede ser
descompuesta en factores reales de primero o
segundo grado”, tema conocido ahora como
el teorema fundamental en álgebra: “Todo polinomio de una variable tiene al menos una raíz”.
Hizo estudios acerca de las raíces de los
números negativos, es decir, de los números
imaginarios y complejos. Con el uso de su
principio de los mínimos cuadrados, calculó
los parámetros de la órbita del asteroide Ceres. Hizo en Gotinga rigurosos estudios acerca
de las series infinitas, de los métodos de integración numérica aproximada, órbita de los
planetas, teorías de los números, declinación
de las estrellas, teoría del color y prismas.
Fue pionero en la creación de la geometría que afirma que por un punto ajeno a una
recta pueden pasar ninguna, dos o una infinidad de rectas y no una sola como propone la
geometría clásica a través del quinto postulado de Euclides.
habían sido motivados por las Disquisitiones
arithmeticae, publicadas en 1801 en latín.
En 1851 le correspondió revisar y probar la
tesis doctoral de Riemann sobre los fundamentos del análisis complejo. En 1852 trabajó
acerca del péndulo de Foucault mejorado. El
príncipe de las matemáticas murió el 23 de
febrero de 1855.
George F. Simmons afirma (Ecuaciones
diferenciales con aplicación y notas históricas, McGraw-Hill, 1977) que Gauss “fue el
más grande de los matemáticos y quizá el genio mejor dotado del que se tiene memoria...
Sobrepasó los niveles de realización posibles
para los hombres ordinarios en tantas formas
que... se tiene la extraña impresión de que
pertenecía a una especie superior”.
Cuando el barón Von Humboldt le
preguntó al astrónomo y matemático francés
Pierre-Simon Laplace (1749-1827), quién era
el matemático más grande de Alemania,
este extrañamente respondió que era Johann
Friedrich Pfaff (1765-1825).
Humboldt replicó a favor de Gauss y
Laplace respondió categórico, con una frase que
dos siglos después ha sido aceptada por todos.
–No, Pfaff es el más grande matemático de
Alemania, pero Gauss es el más grande matemático del mundo.
Wenceslao Vargas Márquez
Elabora un resumen de la lectura, teniendo en cuenta los principios y valores que tenía Gauss, así
mismo los aportes matemáticos que brindó a la humanidad.
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
...........................................................................................................................................................
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
17
Aritmética
En torno a estas geometrías no euclidianas trabajaron Nicolai Ivánovich Lobachevski
(ruso, 1792-1856), los Bolyai (Farkas y Janos, padre e hijo, húngaros del siglo xix) y
Bernhard Rieman (alemán, 1826-1866) y son
los cimientos de la teoría de la relatividad de
Alberto Einstein (1879-1955). Gauss analizó
la geometría diferencial y fue experto en geodesia. Antes que Niels Henaik Abel (1802-1829), Gauss había desarrollado la demostración de que una ecuación de quinto grado
no se puede resolver con el uso de radicales,
como la de segundo grado.
Hacia 1828, acompañando a Alexander
von Humboldt, en Berlín, se inició en el magnetismo, conoció a Wilhelm Weber (físico alemán, 1804-1891). Después de 1831 publicó
trabajos de mecánica, capilaridad, acústica,
óptica y cristalografía. Gauss y Weber inventaron el primer telégrafo eléctrico en 1833
usando un cable de 2,3 km. Morse, en Estados
Unidos, trabajó en esto hasta 1838.
Gauss aparece en los billetes modernos de
diez marcos alemanes. Dominó el alemán, el
ruso, el latín, el sánscrito y el inglés. En 1849,
cincuentenario de su doctorado, presentó su
cuarta demostración del teorema fundamental
del álgebra. Los matemáticos Abel y Karl Gustav
Jacobi (alemán, 1804-51) declararon que
sus trabajos acerca de las funciones elípticas
Todo ...................., mayor que la unidad, puede expresarse como el producto de sus divisores
.................... diferentes elevados a .................... enteros positivos. Dicha representación es única y
se denomina ....................
primos
número entero
positivo
exponentes
descomposición
canónica
β
N = aα
⋅b
⋅ cγ
descomposición
canónica (DC)
a; b y c son números primos diferentes.
a; b y g son enteros positivos.
Ejemplo
Descomposición canónica o descomposición en factores primos de un número entero positivo.
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
2
3
× 32× 51
360 = 2
×
2×
2×3
×3×5
divisores primos
360=
divisores simples: {1; 2; 3; 5}
23
× 32 ×51
Actividad en el aula
1. Halla la descomposición canónica de los siguientes números.
a. 12
b. 360
c. 200
5. Halla la descomposición canónica de
a. 1200
b. 25x · 180y
c. 5000n · 3600m
d. 70 · 90n
e. 56
f.
2100
g. 60 · 240
h. 12 n+1 · 152 n
2. Dada la descomposición canónica de varios
números, indica dichos números.
b. 23 · 52 · 11
c. 32 · 132 · 72
3. Señala la descomposición canónica de los
siguientes números.
a. 23 · 42 · 63 · 52
b. 282 · 302 · 153
c. 20n · 30n+1 · 322n
Compendio escolar
6. Sea la descomposición canónica de
N=aa · ba · c donde a < b < c y la suma de los
divisores no compuestos de N es 15. Halla la
suma de cifras de N.
7. Si N=aa · (a+1)a+2 · (a+9)a+1 es la descomposición canónica de N, calcula la suma de los
divisores simples de N.
a. 24 · 72
18
4. Encuentra n en la siguiente igualdad.
a. DC(56)=2n+1 · 7
b. DC(900)=3n –1 · 5n –1 · 4
c. DC(3900)=23n –1 · 75 · 132 – n
Aritmética
8. Construye la tabla de divisores de los siguientes números.
a. 18
b. 240
c. 6600
d. 7040
1. Halla la descomposición canónica de los siguientes números.
a. 2100
b. 60 · 240
c. 24n+1 · 152n
d. 2400
e. 70 · 220
f. 14n+1 · 132n
2. Indica la descomposición canónica de los siguientes números.
a. 23 · 42 · 63 · 52
b. 282 · 302 · 151
c. 20n · 30n+1 · 322n
3. Dada la descomposición canónica de varios
números, indica dichos números.
a. 24 · 72
b. 23 · 52 · 11
c. 32 · 132 · 72
4. Halla n en la siguiente igualdad.
a. DC(56)=2n+1 · 7
b. DC(900)=3n –1 · 5n –1 · 4
c. DC(3900)=2a –1 · 75 · 132 – n
5. Relaciona correctamente la descomposición
canónica con su respectivo número.
22 · 3 · 5 qq
2
2 ·3
2
36
q
q
56
2·3 ·5 q
q
60
q
90
2
3
2 · 7
q
6. Construye la tabla de divisores de los siguientes números.
a. 72
b. 360
c. 900
a
7. Si N = a a ⋅ ( a + b ) ⋅ 2a ⋅ bd es la descomposición canónica de N, halla la suma de los divisores primos de N.
8. Responde a las siguientes preguntas.
a. ¿En qué consiste el teorema fundamental?
b. ¿Cuáles son los pasos para hacer una tabla de divisores de 360?
c. ¿Cómo va el desarrollo de tu organización personal respecto de tus tareas domiciliarias?
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
19
Aritmética
Actividad domiciliaria
4
TEMA
Cantidad de divisores
Objetivos
 Calcular la cantidad de divisores de un número entero positivo aplicando procedimientos,
propiedades y estrategias.
 Consolidar la perseverancia y la seguridad en la aplicación de un algoritmo para hallar una
cantidad de divisores.
El modelo de curvas periódicas
superpuestas
La serie de la cantidad de divisores de los números naturales y la serie de los números primos se determinan en forma geométrica de la
siguiente manera: cada curva debe intersecarse con el número natural y con sus múltiplos.
Finalmente, se remarca con un punto grueso
a los números que han sido intersecados solo
por dos curvas: estos son los números primos.
Las propiedades del modelo son:
La cantidad de divisores de cada número
natural es igual a la cantidad de curvas que lo
intersecan sobre la recta numérica. Por ejemplo, el 6 aparece intersecado por cuatro curvas; por lo tanto, tiene cuatro divisores. Los
números primos son los números que aparecen intersecados por solo dos curvas. Por
ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11 …
Los números compuestos son los que
aparecen intersecados por más de dos curvas.
Por ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, 12; los números
cuadrados son aquellos intersecados por una
cantidad impar de curvas, por ejemplo: 1, 4,
9; las lagunas son los segmentos de la recta
numérica donde los números naturales son intersecados por más de dos curvas, por ejemplo, una pequeña laguna está localizada en el
intervalo que contiene a los números 8, 9 y 10
(véase la figura 1).
Los divisores de cada número natural se corresponden con los semiperiodos de las curvas
que lo intersecan. Por ejemplo, las curvas que
20
Compendio escolar
Aritmética
c
N
2
3
5
7
c
11
Fig. 1. Los números primos son los únicos intersecados
por dos curvas.
intersecan el número 6 tienen semiperiodos:
1, 2, 3 y 6. Por lo tanto, los divisores de 6 son 1,
2, 3 y 6. La construcción del diagrama se realiza
con regla y compás, o sino utilizando gráficas
de funciones periódicas. Por ejemplo, la gráfica
de la función trigonométrica seno. La forma de
la curva no es relevante sino los puntos en donde intercepta a la recta numérica. El tamaño del
modelo puede extenderse trasladando el límite
arbitrario CC’ hacia la derecha hasta donde se
desee. El diagrama se va haciendo cada vez
más complejo pero no tiene un límite teórico: es
infinito.
Omar Evaristo Polín
Divisores simples
Son todos aquellos divisores que a la vez son números compuestos.
Divisor elemental
Son todos aquellos divisores que a la vez son divisores primos absolutos.
Divisores primos
Es el menor divisor diferente de la unidad.
Divisores propios
Son todos aquellos divisores que a la vez son números simples.
Divisores compuestos
Son todos los divisores
de un número excepto el
mismo número.
Además tengamos en consideración
CD(N )=CDsimples+CDcompuestos
CDpropios=CD(N ) – 1
CDprimos=CDsimples – 1
CD(N )impares=CD(N ) – CD(N )pares
Aritmética
Con respecto a los divisores, relaciona correctamente.
Sea N=aa · bb · cg
Entonces respecto a sus divisores, se tiene lo siguiente:
CD(N )=(a+1)(b+1)(g+1); se lee “cantidad de divisores del número N ”.
N 
CD o ( N ) = CD   ; se lee “cantidad de divisores
a
a
del número N múltiplos de a”.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
21
Actividad en el aula N.o 1
1. Del número 8400, calcula la cantidad de divisores
a. simples.
b. compuestos.
c. pares.
d. impares.
e. primos.
2. Del número 840 000, calcula la cantidad de
divisores
a. compuestos.
b. pares.
c. impares.
d. múltiplos de 3.
e. múltiplos de 15.
f. que terminan en cero.
3. ¿Cuántos divisores menos tiene el número
360 que el número 1800?
5. Calcula 2n si el número 28 · 30n tiene 576
divisores.
6. Sea el número N=1440, calcula la cantidad de
a. divisores simples.
b. divisores compuestos.
c. divisores pares.
d. divisores impares.
e. divisores primos.
f. divisores múltiplos de 3.
g. divisores múltiplos de 15.
7. ¿Cuántos divisores más tiene 1203 que 64?
8. Del número 420, calcula la cantidad de divisores simples, compuestos, primos y propios.
9. ¿Cuántos divisores de 750 terminan en 5?
4. Del número 720, calcula la cantidad de divisores compuestos, múltiplos de 3, de 5 y de 10.
10. ¿Cuántos divisores tiene el número 914 760?
Actividad domiciliaria N.o 1
1. ¿Cuántos divisores tiene el número 1820?
8. ¿Cuántos divisores tiene el número 914 760?
2. ¿Cuántos divisores simples tiene el número
8400?
9. Si N=25 000, determina lo siguiente:
3. ¿Cuántos divisores de 120 son múltiplos de 10?
4. ¿Cuántos divisores compuestos tiene el número 180 000?
5. ¿Cuantos divisores tiene A · B, si
A=12 · 122 · 123 · 124 · ... · 12 n y
B=18 · 182 · 183 · 184 · ... · 18 n?
6. ¿Cuántos divisores de 720 son múltiplos de 6?
7. ¿Cuántos divisores menos tiene el número
360 que el número 1800?
22
Compendio escolar
Aritmética
a. Cantidad de divisores compuestos de N.
b. Cantidad de divisores múltiplos de 25,
de N.
Da como respuesta la suma de los resultados.
10. Con respecto al número 144 144, determina
el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las
siguientes proposiciones.
a. Tiene 5 divisores primos.
( )
b. Tiene a 7 como divisor primo.
( )
c. Tiene 12 divisores.
( )
1. ¿Cuántos triángulos rectángulos de catetos
enteros y expresados en metros se podrán
formar, cuyas áreas sean 480 m2?
6. Si el número N que se factoriza como
N=51(117n) tiene la tercera parte del número
de divisores de 311 040, señala el valor de N.
2. Si 42n tiene 81 divisores, halla el valor de n.
7. Determina el valor de n si 12 · 15n tiene 60
divisores.
3. Si 4k+2 – 4k tiene 88 divisores compuestos,
determina el valor de k+3.
4. Se sabe que M=12 · 30n tiene doble cantidad
de divisores que B=12n · 30, halla el valor de n.
5. ¿Cuántos ceros hay que agregar a la derecha de 275 para que el número resultante
tenga 70 divisores?
8. Entre los números 180; 756 y 900, ¿cuál es
el que tiene tantos divisores como 360?
9. Si N=15 · 30n tiene 294 divisores, halla n.
10. Si la cantidad de divisores de 40n+20n es
a 0 ( 4a ), ¿cuántos divisores cuadrados perna
fectos tiene an ?
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Sea N=3a · 5b, al dividir N entre 3 se suprimen seis divisores y al dividir N entre 5 se
suprimen cuatro divisores. Calcula a+b.
6. Si el número 13n – 13n – 2 tiene 43 divisores
compuestos, determina la suma de divisores
de (n – 2)n.
2. Halla m+n si el número P tiene 171 divisores
compuestos P=10 m · 9n.
7. El número A=12(20)x tiene 24 divisores más
que el número 672 280. Calcula x.
3. ¿Cuántos divisores múltiplos de 30 tiene el
número (90)3?
8. Halla x si A=21(15)x tiene 20 divisores compuestos.
4. Si al número N=12 · 6 m se le multiplica por
12, entonces la cantidad de divisores aumenta en 27. Halla m.
9. Calcula el valor de n si el número
R=12n · 28 tiene 152 divisores compuestos.
5. ¿Cuántos ceros se le debe agregar a la derecha del número 248 para que tenga 175
divisores propios?
10. Halla el valor de n para que el número de
divisores de N=30n sea el doble del número
de divisores de M=15 · 18n.
Ten en cuenta que...
Cuando se quiera hallar la cantidad de divisores de un número debemos garantizar que
esté descompuesto canónicamente.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
23
Aritmética
Actividad en el aula N.o 2
5
TEMA
Suma y producto de divisores
Objetivo
 Aplicar la descomposición para determinar la suma y el producto de divisores de un número.
Pitágoras de Samos
Filósofo griego nacido en la isla de Samos y
muerto en Metaponto. Se le considera el primer matemático puro, aunque no haya quedado ninguno de sus escritos.
En Crotona, vivía Milón, un hombre rico y
muy famoso, porque había sido el campeón
de los juegos olímpicos en repetidas ocasiones. Milón estaba interesado en la filosofía y la
matemática, y cedió parte de su casa a Pitágoras, para que crease su propia escuela. Allí
fundó una sociedad religiosa y filosófica. La
sociedad que fundó (hermandad pitagórica)
tenía un credo muy estricto y un rígido código
de conducta pero era igualitaria e incluía varias mujeres. Una de ellas era Teano, la hija de
Milón con quien Pitágoras se casó.
Superado un periodo de prueba, se permitía
a los nuevos iniciados en la secta oír la voz del
maestro, oculto tras una cortina. Años después,
más profundamente purificadas sus almas por
la regla pitagórica, se les permitiría ver a Pitágoras. La hermandad pitagórica era una comunidad religiosa y uno de los ídolos que veneraban
era el Número. Los pitagóricos creían que, merced de la matemática, el alma podría ascender
a través de las esferas hasta unirse finalmente a
Dios. La secta estaba caracterizada por el retiro,
el ascetismo y el misticismo.
La perfección numérica, para los pitagóricos, dependía de los divisores del número.
Los pitagóricos estudiaron propiedades
de los números que nos son familiares actualmente, como los números pares e impares,
números perfectos, números amigos, números primos figurados: triangulares, cuadrados,
pentagonales. Estos últimos solo conservan
un interés histórico.
24
Compendio escolar
Aritmética
Los números perfectos. El número 496
es un número perfecto.
¿Y qué quiere decir
un número perfecto?
¿En qué consiste la
perfección del número? Número perfecto
es el que presenta la
propiedad de ser igual
a la suma de sus divisores, excluyéndose, claro está, de entre ellos el propio número. Así,
por ejemplo, el número 28 presenta 5 divisores menores que 28; 1, 2, 4, 7 y 14.
La suma de esos divisores es precisamente
igual a 28. Luego, 28 pertenece a la categoría
de los números perfectos. El número 6 también es perfecto. Los divisores de 6, menores
que 6, son 1, 2, 3, cuya suma también es 6.
Al lado del 6 y del 28, puede figurar el número
496, que también es perfecto.
Los números triangulares. Los números
triangulares se generan a partir de la serie de
los números naturales puesto en línea, y por
continuas adiciones de los términos sucesivos, uno a uno, desde el principio, de manera
que, por sucesivas combinaciones y adiciones de otro término a la suma, los números
triangulares se van completando en orden regular.
Los números triangulares son, pues, suma
de la serie de los naturales hasta un número determinado: Por ejemplo, 28=1+2+3+4+5+6+7.
Por eso decimos que el 28 es número triangular de lado 7.


10 es número
triangular de lado 4 











 6 es número
 triangular de lado 3

Otros números triangulares son 120(15), 153(17), 276(23), 666(36).
a. Números cuadrados y pentagonales
El concepto es similar al de los números triangulares. El 1, 4, 9, 16, 25... son números cuadrados; el 1, 5, 12, 22, 35,... son números pentagonales.
















b. Números amigos
Cada uno de ellos es igual a la suma de los divisores propios del otro; por ejemplo, 220 y 284.
Divisores propios de 220: 1; 2; 4; 71; 142
1+ 2 + 9 +71+142 =220
Divisores propios de 284: 1; 2; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 55; 110
1+ 2 + 4 +5 +10 +11+ 20 + 22 + 44 +55 +110 =284
Se observa que 220 y 284 son números amigos.
Ahora responde correctamente las siguientes preguntas.
a. ¿En qué lugar nació Pitágoras y en dónde murió?
.....................................................................................................................................................
b. ¿Qué actividad realizaba la hermandad pitagórica?
.....................................................................................................................................................
c. ¿De qué dependía la perfección numérica para los pitagóricos?
.....................................................................................................................................................
d. ¿Qué son los números perfectos?
.....................................................................................................................................................
e. ¿Qué son los números amigos?
.....................................................................................................................................................
f.
¿Qué son los números triangulares?
.....................................................................................................................................................
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
25
Aritmética
En lo que sigue designaremos abreviadamente los números triangulares con el número de que
se trate seguido de su lado entre paréntesis. Así el 28, que es número triangular de lado 7, se expresa
como 28(7). También tenemos a 10 y 6 que son números triangulares, observamos:
Actividad en el aula N.o 1
1. Halla la suma de divisores de
a. 450.
b. 3600.
6. La suma de los divisores del numeral
8 n · 6 3n+1 es 31 veces la suma de los divisores del numeral 8 n · 3 n+1.
2. Determina la suma de divisores de 5250 que
son primos entre sí con
a. 7.
b. 5.
7. Calcula la suma de los divisores del número
1820.
3. Halla la suma de divisores de p(p –1)
si (4p+1+4p+4p –1) tiene 68 divisores.
8. Determina la suma de los divisores del número 8400.
4. Si N=(a –1)(a – 2)(a+1)... DC, halla la suma
de divisores de 20a.
9. Calcula la suma de los divisores múltiplos de
90 del número N =180 000.
5. Si el número N=18000...00 tiene 167 divi-
10. Si la descomposición canónica de un número es 23 · a2 · b, además el número y la suma
de sus divisores están en la relación de 36 a
105, calcula la suma de sus divisores.
n cifras
sores propios, calcula la suma de divisores
de (n – 4)n.
Actividad domiciliaria N.o 1
1. Si la suma de los divisores del número N está
dada por
SD(N )=(1+2+4+...+25) · (1+3+9+27) ·
(1+5+...+54),
calcula el valor de N.
2. Halla la suma de los divisores de 540 que
sean múltiplos de 6.
3. El número A=12(20)x tiene 24 divisores más
que el número 672 280. Halla x, luego calcula la suma de divisores de A.
6. Determina la suma de divisores múltiplos de
20 de
a. 960.
b. 400.
7. Señala la suma de divisores de 200 que son
primos entre sí con
a. 4.
b. 20.
8. Si A=21 · 15a tiene 20 divisores compuestos,
indica la suma de divisores de A/63.
4. Calcula el valor de n si el número R=12 n · 28
tiene 152 divisores compuestos, luego señala
la suma de sus divisores de R.
9. Si M = 4y – 4y – 2 tiene 28 divisores, halla la
suma de divisores de M. Da como respuesta
la suma de cifras.
5. Halla la suma de divisores de
a. 1200.
b. 480.
10. Si M = 2 · 3x · 7y tiene 24 divisores, halla la
suma de sus divisores si M es el menor valor
posible.
26
Compendio escolar
Aritmética
Aritmética
Recuerda que...
Sea N = aa · bb · cg.
Entonces, respecto a sus divisores, se tiene lo siguiente:
 a α +1 − 1  bβ +1 − 1  c γ +1 − 1
SD (N ) = 



 a −1  b −1  c −1 
N 
SD o (N ) = a ⋅ SD  
a
a
Actividad en el aula N.o 2
1. Del número 20, calcula
a. la cantidad de divisores.
b. la cantidad de divisores múltiplos de 5.
c. la suma de divisores.
d. la suma de divisores múltiplos de 2.
e. el producto de divisores.
2. Del número 1260, determina
a. la cantidad de divisores.
b. la cantidad de divisores múltiplos de 10.
c. la suma de divisores.
d. la suma de divisores múltiplos de 30.
e. el producto de divisores.
3. Si N=(a + 1)(a – 3)(a +5)... DC, halla el producto de divisores de 20a.
4. Si A=30 m tiene np divisores, además
m ≠ n ≠ p, halla el producto de divisores de A.
5. Si x – y = 3 y N = 3x+3y tiene 15 divisores múltiplos de 7, determina el producto de divisores de N.
6. Si el número M =12a · 28 tiene 152 divisores compuestos, calcula
a. el valor de a.
b. la cantidad de divisores primos.
c. la cantidad de divisores simples.
d. la cantidad de divisores de M.
e. el valor del número M.
f.
la cantidad de divisores de M.
g. la suma de divisores de M.
h. el producto de divisores de M.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
27
Recuerda que...
Sea N = aa · bb · cg.
Entonces, respecto a sus divisores, se tiene lo siguiente:
PD (N ) = N
CD(N )
2
( )
= N CD N
N 
PD o (N ) = a ⋅ PD  
a
a
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Halla el producto de divisores de
a. 960.
2. Del número 1800, calcula
a. la cantidad de divisores.
c. la suma de divisores.
e. el producto de divisores.
3. Si P=6m · 18n tiene 77 divisores, determina
a. la cantidad de divisores primos.
c. la cantidad de divisores de P.
e. el valor del número P.
g. la suma de divisores de P.
b. 400.
b. la cantidad de divisores múltiplos de 12.
d. la suma de divisores múltiplos de 20.
b.
d.
f.
h.
la cantidad de divisores simples.
el valor de m · n.
la cantidad de divisores de P.
el producto de divisores de P.
4. Si 1960a tiene 105 divisores, halla el producto de divisores de aa0.
5. Si P=9 x+1 – 9 x – 1, además 161 x+2 tiene x6 divisores, indica el producto de divisores de P.
6. Si el producto de divisores de N es igual a 512 · 218, halla N.
Glosario




28
divisor elemental. Es el menor divisor menor diferente de la unidad.
divisores simples. Son todos aquellos divisores que a la vez son números simples.
números defectuosos. Son aquellos números cuya suma de divisores propios es menor que ellos mismos.
números abundantes. Son aquellos números cuya suma de divisores propios es mayor que ellos mismos.
Compendio escolar
Aritmética
Máximo común divisor (MCD)
Aritmética
6
TEMA
Objetivos
 Determinar el mCD de un conjunto de números.
 Aplicar los conocimientos de mCD en la resolución de problemas concretos.
Distribución del almacén
Los almacenes tienen como objetivo principal el
brindar a los materiales una protección adecuada.
El principal recurso de los almacenes es el espacio, por lo que se busca cubrir el objetivo principal
del almacén aprovechando al máximo el espacio
disponible, para lograr esto es indispensable una
cuidadosa planeación.
En los almacenes, para aprovechar al máximo
el espacio del cual se dispone, se debe tener en
cuenta el largo, el ancho y la altura de las cajas
que se van a almacenar, para la fabricación de los
anaqueles en los cuales se colocarán dichas cajas. En estos anaqueles se apilarán las cajas
teniendo en la parte superior un espacio adecuado y mínimo para que al retirar dichas cajas el
proceso sea más rápido.
Para concluir, un almacén debe diseñarse y explotarse sobre tres conceptos básicos:
a. Orientación hacia el cliente.
b. Simplicidad.
c. Seguridad.
concePTos Básicos
Dado un conjunto de números enteros positivos, su MCD cumple con las siguientes condiciones:
a. Es un divisor entero positivo común de dichos números.
b. Es el mayor de los divisores comunes.
Ejemplo
Número
Divisores
18
1; 2; 3; 6; 9; 18
24
1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
MCD (18; 24 ) = 6
son múltiplos de 6
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
29
Ahora responde.
a. ¿Cuáles son los divisores comunes?
.....................................................................................................................................................
b. ¿Cuál es el máximo común divisor?
.....................................................................................................................................................
c. ¿Cuáles son los divisores del máximo común divisor?
.....................................................................................................................................................
Ten en cuenta que...
Cuando se analizan los divisores comunes de un conjunto de números y el MCD, se tiene
que los divisores comunes de un conjunto de números son también divisores de su MCD.
Entonces se cumple que
CD comunes de = CD(MCD( A; B; C ) )
( A; B y C )
SD comunes de = SD(MCD( A ; B; C ) )
( A; B y C )
PD comunes de = PD(MCD( A ; B; C ) )
( A; B y C )
Actividad en el aula
1. Si M = MCD de 180; 150 y 120 y N = MCD
de 90; 60 y 120, calcula M+N.
2. Si P = MCD de 350; 490 y 630 y Q = MCD
de 380; 570 y 760,
halla Q – 2P.
3. El MCM de 24m; 18m y 12m es 480. ¿Cuál
es el menor de los números?
4. Si MCD(6A; 9A; 12A; 15A)=30, halla 3A.
5. Expresa el MCD de A y B y calcula la suma
de los exponentes del MCD, si
A=212 · 38 · 59 · 74
6. ¿Cuántos divisores tiene el MCD de A y B?
3
A=24 · 15 ;
30
8. Se quiere cercar un terreno de forma rectangular de 720 m de largo y 432 m de ancho,
con mallas metálicas sujetas a postes equidistantes, de tal manera que la distancia de
poste a poste esté entre 20 y 30 m. ¿Cuántos postes se deben comprar?
9. Determina la cantidad de divisores comunes
de 480 y 720.
B=36 · 512 · 715.
4
7. Se tienen tres obras literarias con 660, 780
y 900 páginas, las cuales se quieren editar
en fascículos todos de igual cantidad de páginas. Cada fascículo comprende entre 10
y 20 páginas, a razón de uno semanal. ¿En
cuántas semanas, como mínimo, se terminarían de publicar las tres obras?
3
B=18 · 25
Compendio escolar
6
Aritmética
10. Halla el valor de n si se sabe que el MCD de
420k; 300k y 210k es 180.
1. Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
El MCD de 75 y 30 es 5.
( )
El MCD de 24 y 10 es 240.
( )
El MCD de 5 y 7 es 35.
( )
El MCD de 14 y 0 es 0.
( )
2. Sabiendo que
A=22 · 3 · 5
B=24 · 35 · 53
C=22 · 52,
calcula la cantidad de divisores comunes de
A, B y C.
3. La suma de los divisores comunes de 40 y
60 es ..................... .
4. El MCD de 36p; 54p y 90p es 1620. El valor
del número que no es el menor ni es el mayor es .................... .
Aritmética
Actividad domiciliaria
5. Halla r 2 sabiendo que
MCD (210r; 300r; 420r)=1200.
6. ¿Cuántos números dividen exactamente a
6750 ; 6300 y 4050?
7. Halla el valor de N si el MCD de 72N y 60N
es 84.
8. Si el MCD(A; B; C)=120, ¿cuántos divisores
comunes tienen A, B y C ?
9. Si se tiene que llenar cuatro cilindros de 72;
24; 56 y 120 galones de capacidad respectivamente, ¿cuál es la máxima capacidad del
balde que puede usarse para llenar exactamente dichos cilindros?
10. José Luis quiere obtener el menor número de
trazos de igual longitud, al dividir tres varillas
de alambre de 400 cm, 125 cm y 225 cm,
sin desperdiciar material.
Glosario



capacidad. Propiedad de una cosa de contener otras dentro de ciertos límites.
cilindro. Cuerpo limitado por una superficie cilíndrica cerrada y dos planos que la cortan.
tonel. Cuba grande.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
31
7
TEMA
Mínimo común múltiplo (MCM)
Objetivos
 Determinar el mCm de un conjunto de números.
 Aplicar los conocimientos de mCm en la resolución de problemas concretos.
Un problema de máximos y
mínimos resuelto por las abejas
A primera vista se podría pensar que la forma de los objetos
no tiene ninguna importancia, que cual sea su forma los
objetos sirven de igual modo para desempeñar su cometido;
pero en realidad no es exactamente así. Escogiendo unas
formas determinadas se consigue realizar la misma función
con menos gasto, e incluso en muchas ocasiones la naturaleza ha llegado a encontrar la mejor forma para lograr sus
propósitos.
Es lo que ocurre con los panales de miel que fabrican
las abejas tan alabadas por su laboriosidad, y que consiguen almacenar un determinado volumen
con la menor cantidad de cera posible.
Puig Adam, ingeniero, matemático y pedagogo español, señala en uno de sus textos de bachillerato que es un problema técnico resuelto por las abejas.
Las abejas tienen que almacenar la miel, y como es sabido lo hacen en unos recipientes hexagonales, concretamente prismas hexagonales regulares.
De esta manera, según Puig Adam, ahorran gran cantidad de cera, por los siguientes motivos:
Cada pared pertenece únicamente a dos celdas.
De todos los polígonos de n lados de igual extensión, el regular es el de menor perímetro.
De los tres polígonos capaces de formar un mosaico (triángulo, cuadrado y hexágono), el de
menor perímetro a igualdad de área es el hexágono. Las abejas adaptan instintivamente en la
construcción de sus panales (por añadidura dispuestos dos a dos para aprovechar el fondo por
ambos lados) la forma arquitectónica más económica de material (cera).
Fernando Corbalán, La matemática aplicada a la vida cotidiana
Se llama MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivos al número positivo que
cumple dos condiciones:
a. Es un múltiplo común de todos los números.
b. Es el menor posible.
32
Compendio escolar
Aritmética
Ejemplo
Sean los números 12 y 8.
12 → 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; ...........
8 → 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; 64; 72; ...........
Los múltiplos comunes son: 24; 48; 72; ...........,
de los cuales el menor es 24, entonces MCM
(12; 8)=24.
1. Si A = MCM de 385 y 245; B = MCM de 288 y
168; C = MCM de 527 y 374, calcula A+B – C.
2. Si A=23! · 35! · 56! y B=24! · 32! · 77!,
¿cuál es el MCD y MCM de (A; B)?
3. Halla n sabiendo que el MCM de los números
A=12n · 15
B=12 · 15n
6. Dos ciclistas parten a un mismo tiempo y
una misma línea de la pista circular. En cada
vuelta tardaron 1 min 1 s y 1 min 45 s, respectivamente. ¿Cuántas vueltas habrá dado
cada ciclista cuando coincidan pasando a la
vez por la línea de partida?
7. El MCM de 24k; 18k y 12k es 480. El menor
de los números es ........... .
8. Halla n si P=45 · 60n; Q=60 · 45n y
MCM(P; Q)=12 · MCD(P; Q).
tiene 140 divisores.
4. Halla el MCM de los números xByA; yBzC;
zCx A, siendo C > B > A.
9. Calcula el MCM y MCD de
5. Pedro, Luis y Raúl se encontraron el 10 de
marzo en el gimnasio. Si cada uno de ellos
va cada 10, 15 y 21 días, respectivamente,
¿cuándo será su siguiente encuentro?
10. Sean los números
A=14n · 91m; B=119m · 38n; n < m.
Determina el MCM de A y B.
A=230 · 510 · 72 y B=220 · 53 · 32.
Actividad domiciliaria
1. Calcula el MCM de 720; 180 y 900, y da
como resultado la mayor cifra del MCM.
2. Si los números A=32a · 15b y B=21b · 20a tienen 63 divisores comunes, ¿cuántos divisores tiene el MCM de dichos números? Considera que b < a.
=
=
000
0 y B 36000
0 cuyo MCM
3. Si A 48
...
...
n ceros
n ceros
de A y B tiene 180 divisores, calcula en
cuántos ceros termina el MCD de A y B.
4. Cuatro barcos de una empresa naviera salen
al mismo tiempo del Callao y se sabe que el
primero de ellos tarda 25 días en regresar y
permanece anclado 3 días; el segundo 45 y
5 días; el tercero 32 y 3 días, y el cuarto 60
y 10 días. ¿Cada cuánto tiempo zarpan los
cuatro barcos a la vez?
5. Si el MCD de 5n y 7n es 88, entonces el MCM
de n − 7 y n + 12. es ........... .
6. Se tienen tres toneles de vino que contienen
180; 240 y 288 litros de vino de diferente
calidad y se desea envasarlos en bidones de
igual capacidad. ¿Cuál es la menor cantidad
de bidones que se usarán, de modo que no
se desperdicie vino? Además, el volumen del
bidón está expresado en números enteros de
litros y los vinos de diferente calidad no se
deben mezclar.
7. Se sabe que A=12n · 10 y B=10n · 12, además,
A y B poseen 20 divisores comunes. Halla el
valor de n.
8. Si el MCM de 12k; 20k y 16k es 720, determina el número mayor.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
33
Aritmética
Actividad en el aula
9. Tres ciclistas recorren un velódromo circular de 3600 m de longitud cuyas velocidades son 36 m/s, 24 m/s y 30 m/s. Si a las
11:59 a. m. pasan los tres ciclistas por el
mismo punto, ¿cuántas veces más se encontraron en dicho punto desde las 12:00 p. m.
hasta las 3:00 p. m.?
10. Elizabeth quiere empaquetar en cajas cúbicas idénticas 12 000 barras de jabón, cuyas
dimensiones son 20 cm, 15 cm y 12 cm, de
modo que todas estén completamente llenas. ¿Cuántas cajas cúbicas, como máximo,
se podrán utilizar?
Glosario



empaquetar. Colocar convenientemente los paquetes dentro de bultos mayores.
velódromo. Lugar destinado para carreras en bicicleta.
bidón. Recipiente con cierre hermético, que se destina al transporte de líquidos o de sustancias que requieren
aislamiento.
Bibliografía
 ASOCIACIÓN FONDO DE INVESTIGADORES Y EDITORES. Compendio académico de matemática. Lima: Lumbreras Editores, 2003.
 Instituto de Ciencias y Humanidades. Aritmética: Análisis del número y sus aplicaciones. Lima: Lumbreras Editores, 2008.
34
Compendio escolar
Aritmética
Aritmética
8
TEMA
Método de divisiones sucesivas o
algoritmo de Euclides
Objetivo
 Aplicar los métodos que permitan determinar el Mcd y el McM de un conjunto de números.
Vida de Euclides
Matemático griego (330 a. n. e. - 275 a. n. e.). Poco se conoce a ciencia
cierta de la biografía de Euclides, pese a ser el matemático más famoso de la Antigüedad. Es probable que se educara en Atenas, lo que
permitiría explicar su buen conocimiento de la geometría elaborada en
la escuela de Platón, aunque no parece que estuviera familiarizado con
las obras de Aristóteles.
Euclides enseñó en Alejandría, donde alcanzó un gran prestigio en
el ejercicio de su magisterio durante el reinado de Tolomeo I Sóter;
se cuenta que este lo requirió para que le mostrara un procedimiento
abreviado para acceder al conocimiento de las matemáticas, a lo que
Euclides repuso que no existía una vía regia para llegar a la geometría
(el epigrama, sin embargo, se atribuye también a Menecmo como réplica a una demanda similar por parte de Alejandro Magno).
La tradición ha conservado una imagen de Euclides como hombre de notable amabilidad y modestia, y ha transmitido asimismo una
anécdota relativa a su enseñanza, recogida por Juan Estobeo: un joven principiante en el estudio de la geometría, quien le preguntó qué ganaría con su aprendizaje;
Euclides, tras explicarle que la adquisición de un conocimiento es siempre valiosa en sí misma,
ordenó a su esclavo que diera unas monedas al muchacho, dado que este tenía la pretensión de
obtener algún provecho de sus estudios.
Euclides fue autor de diversos tratados, pero su nombre se asocia principalmente a uno de
ellos, los Elementos, que rivaliza por su difusión con las obras más famosas de la literatura universal, como la Biblia o el Quijote. Se trata, en esencia, de una compilación de obras de autores
anteriores (entre los que destaca Hipócrates de Quíos), que las superó de inmediato por su plan
general y la magnitud de su propósito.
De los trece libros que la componen, los seis primeros corresponden a lo que se entiende todavía como geometría elemental; en ellos Euclides recoge las técnicas geométricas utilizadas por
los pitagóricos para resolver lo que hoy se consideran ejemplos de ecuaciones lineales y cuadráticas, e incluyen también la teoría general de la proporción, atribuida tradicionalmente a Eudoxo.
Los libros del séptimo al décimo tratan de cuestiones numéricas y los tres restantes se ocupan de
la geometría de los sólidos, hasta culminar en la construcción de los cinco poliedros regulares y
sus esferas circunscritas, que había sido ya objeto de estudio por parte de Teeteto.
La influencia posterior de los Elementos de Euclides fue decisiva; tras su aparición, se adoptó
de inmediato como libro de texto ejemplar en la enseñanza inicial de la matemática, con lo cual se
cumplió el propósito que debió de inspirar a Euclides. Más allá, incluso, del ámbito estrictamente
matemático, fue tomado como modelo, en su método y exposición, por autores como Galeno,
para la medicina, o Espinoza, para la ética.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
35
De hecho, Euclides estableció lo que, a partir de su contribución, había de ser la forma clásica
de una proposición matemática: un enunciado deducido lógicamente a partir de unos principios
previamente aceptados. En el caso de los Elementos, los principios que se toman como punto de
partida son veintitrés definiciones, cinco postulados y cinco axiomas o nociones comunes.
Asimismo el algoritmo de Euclides es un método antiguo y eficaz para calcular el máximo
común divisor (MCD). Fue originalmente descrito por Euclides en su obra Elementos. El algoritmo
de Euclides extendido es una ligera modificación que permite además expresar al máximo común
divisor como una combinación lineal. Este algoritmo tiene aplicaciones en diversas áreas como
álgebra, teoría de números y ciencias de la computación entre otras. Con unas ligeras modificaciones, el algoritmo suele ser utilizado en computadoras electrónicas debido a su gran eficiencia.
Adaptado de <http://www.biografiasyvidas.com/biografia/e/euclides.htm>
Ahora responde.
a. ¿Dónde nació Euclides y cuál era su profesión?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
b. ¿Cuál ha sido su aporte para el desarrollo de la humanidad?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
c. ¿Qué es el algoritmo de Euclides?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
d. ¿Qué valores puedes encontrar en Euclides? ¿Por qué?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
Aplicación del algoritmo de Euclides
Si se tienen los números A y B para determinar el MCD (A; B) se realiza el siguiente procedimiento:
Cocientes
C1
C2
C3
C4
C5
mayor menor
A
Residuos
B
r1
r2
r3
r4
r1
r2
r3
r4
0

división
exacta
∴ MCD (A; B) = r4
36
Compendio escolar
Aritmética
MCD
Aritmética
Actividad en el aula 1. Mediante el algoritmo de Euclides, calcula el MCD de los siguientes números.
a. 728 y 304
b. 442 931 y 1 052 393
2. Se calculó el MCD de un par de números que suman 222 por divisiones sucesivas, siendo los
cocientes 1; 2; 1; 3 y 4. Halla el mayor de ambos.
3. Cuando Luis calculó el MCD de dos números (A y B) por el algoritmo de Euclides, obtuvo como
cocientes sucesivos 3; 5; 2; 1 y 2. Si A y B son coprimos, calcula la diferencia de los números A
y B.
4. Mediante el algoritmo de Euclides, calcula el MCD la suma de los cocientes sucesivos y la suma
de los residuos sucesivos de los números: 16 589 y 22 223.
5. Cuando Diego encuentra el MCD de un par de números por el método del algoritmo de Euclides,
obtuvo como cocientes sucesivos: 1; 3; 2 y 4. Si el MCD es 7, halla el número menor.
6. El MCD de dos números es 504, siendo los cocientes obtenidos para calcular el MCD mediante el
algoritmo de Euclides. Determina la suma de dichos números.
7. Determina el MCD de 2227 y 2125 por el método del algoritmo de Euclides e indica la suma de
los residuos obtenidos.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
37
8. Aplicando el algoritmo de Euclides, calcula el MCD de los números 1517 y 779 y luego halla la
suma de los cocientes obtenidos.
9. Al calcular el MCD mediante el algoritmo de Euclides, se obtuvieron como cocientes sucesivos
1; 2; 2 y 2. Si la suma de los números es 116, calcula el máximo común divisor de los números.
10. Dos números suman 4708, y al calcular su MCD por divisiones sucesivas, los cocientes fueron 3;
1; 3 y 3. Calcula los números si la penúltima división se realizó por exceso.
11. Al calcular el MCD de los números abc y de6 por divisiones sucesivas, los cocientes fueron 2; 3;
1 y 5. Calcula a + c + d + e si a < d.
Actividad domiciliaria
1. El MCD de dos números es 13. Los cocientes
sucesivos que se obtienen al hallar el MCD
son 11; 9; 1; 1 y 2. Halla los números.
2. Halla la suma de dos números enteros si su
MCM es 22 400 y al calcular el MCD por divisiones sucesivas, se obtienen 2; 5 y 3 como
cocientes respectivos.
3. La suma de dos números enteros es 4572.
Se obtuvieron los cocientes 1; 1; 3; 5 y 2 al
determinar el MCD de estos números. Halla
la diferencia de dichos números.
4. Calcula el MCD de 2 759 y 4 717 e indica la
suma de los cocientes.
5. Determina el MCD de 1240 y 980 por el método del algoritmo de Euclides, luego halla
la suma de los cocientes que se obtienen en
el proceso.
6. La suma de dos números es 1133, además
los cocientes sucesivos al calcular el MCD
por divisiones sucesivas son 4; 2; 2; 1 y 2.
38
Compendio escolar
Aritmética
a. ¿Cuál es el mayor número?
b. ¿Cuál es el menor número?
c. ¿Cuánto equivale la diferencia de los números?
7. Al determinar el MCD de dos números enteros por el algoritmo de Euclides, los cocientes sucesivos fueron 4; 3; 2 y 5. Si los
números son primos relativos, determina el
mayor de ellos.
8. Al calcular el MCD de dos números mediante
el algoritmo de Euclides, se obtuvieron como
tercer y último cociente a 2 y como suma de
sus residuos 3060. Determina dicho MCD.
9. Al determinar el MCD de A y B, se obtuvieron como cocientes 1; 1 y 2 (por el algoritmo de Euclides); de A y C, se obtuvo como
cocientes 1; 2 y 2. Halla el MCD(A; B; C) si
A + B + C = 972.
10. Al determinar el MCD de dos números se
obtuvieron como cocientes 1; 2; 2 y 3 (por
el método de divisiones sucesivas). Calcula
la suma de dichos números sabiendo que su
mayor divisor común es 12.
MCD y MCM: propiedades
Aritmética
9
TEMA
Objetivos
 determinar el Mcd y el McM de un conjunto de números.
 Aplicar las propiedades para el cálculo del Mcd y McM en la resolución de problemas.
Pierre de Fermat
Fermat nació a inicios del siglo xvii y aunque sus contribuciones matemáticas nunca fueron publicadas en vida, fueron de tal calidad que la
relativamente modesta difusión que tuvieron entre la comunidad científica europea fue suficiente como para que su siglo le recuerde como
uno de sus mejores hijos. Y eso que el diecisiete fue un siglo pródigo en
matemáticos/científicos de primera fila: Descartes, Leibniz, Newton,
Jacobo y Juan Bernoulli, Huygens, Galileo, Torricelli, Cavalieri, Wallis,
etc. La lista se haría interminable. Y, como es lógico, tanta materia
gris no podía dejar de producir matemáticas de primera calidad. Tanta
que la producción del diecisiete marcaría un antes y un después. En
el diecisiete la matemática se empezó a consolidar como una ciencia
independiente, más o menos en las líneas que hoy la conocemos. Fermat contribuyó decisivamente a ello.
Además del álgebra, la geometría analítica y el cálculo, otras ramas de la matemática, empezaron a cultivarse en ese siglo: por ejemplo, la teoría de números (en el sentido moderno) y el
cálculo de probabilidades. En esas dos ramas, Fermat tuvo algo que decir. En teoría de números, mucho. Hay quien le considera el padre de la teoría de números moderna. En ese terreno,
su famoso gran teorema (o último teorema como los anglosajones le llaman) le ha dado la fama
universal de la cual era mucho más merecedor por sus contribuciones al álgebra, a la geometría
y al cálculo.
Fermat nació cerca de Toulouse, en un pueblo llamado Beaumont-de-Lomagne (entonces
parte de la Gascoña y hoy en el departamento de Tarn et Garonne). Vivió en Toulouse y murió
también muy cerca, en Castres (Tarn). Durante toda su vida casi no se movió de la región. Su familia tenía una buena posición económica y social. Su padre era un rico comerciante y su madre
pertenecía a una familia de la nobleza local. Tuvo un hermano y dos hermanas. Fermat, probablemente, se crio en su pueblo natal y fue educado en un cercano monasterio franciscano hasta
que ingresó en la Universidad de Toulouse. Sin que se sepa la razón, interrumpió sus estudios en
Toulouse y, durante unos años, vivió en Burdeos, donde se contactó con algunos matemáticos
que conocían bien la herencia de Vieta: Beaugrand, d’Espagnet… Ahí se formó en el álgebra y
el simbolismo de Vieta que tan útiles le serían más adelante. De esos años data su primera producción matemática: la restitución del libro perdido de las Cónicas de Apolonio: Plane Loci y los
primeros trabajos sobre máximos y mínimos.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
39
Los problemas de máximos y mínimos que Fermat ha planteado a Mersenne son de tal dificultad que Mersenne pide a Fermat la divulgación de sus métodos. De esta manera los escritos
de Fermat sobre el tema, antes mencionados, empiezan a circular estableciendo al mismo tiempo
su reputación como matemático de primera fila. Roberval, Mersenne y otros matemáticos de la
época le instan a que publique sus resultados, a lo cual Fermat se niega. De hecho, en vida solo
publicó un trabajo y hubo que esperar a 1679 a que su hijo mayor publicase su obra. No está clara
la razón de la negativa de Fermat a publicar. Por un lado Fermat se consideraba solo un aficionado dado que no se dedicaba por entero a la matemática. Y por otro lado, Fermat era consciente de
que para publicar sus resultados, debería ser mucho más claro y didáctico en sus explicaciones,
lo que le acarrearía mucho trabajo adicional y consumiría una parte importante del tiempo que
podía dedicar a la investigación.
Después de la etapa en Burdeos, reingresó en la universidad, esta vez en Orléans, donde
obtuvo su título en Leyes hacia 1631, año en que se instala en Toulouse en calidad de consejero
del Parlamento de Toulouse. Ese mismo año se casa con una prima lejana, Louise de Long, que
pertenece a la familia de alcurnia de su madre ligada a la noblesse de robe. Fermat añade el “de”
a su apellido. El matrimonio Fermat tuvo cinco hijos, dos varones y tres mujeres. El hijo mayor,
Clément-Samuel, heredaría el interés de su progenitor por las matemáticas, aunque no su genialidad. A Clément-Samuel le debemos la edición y publicación de las obras completas de su padre
en 1679.
Adaptado de <http://divulgamat2.ehu.es/divulgamat15/index.php?option=com_content&view=article&id=3343:fermat-pierrede-1601-1665&catid=37:biograf-de-matemcos-ilustres&directory=67>
Máximo común divisor: Propiedades
Todos los divisores comunes que comparten un
conjunto de números son también divisores de
su MCD.
Sean A y B dos números PESI.
→
Si MCD (A y B) = d
→
MCD (n ∙ A; n ∙ B) = n ∙ d
→
A B d
MCD  ;  =
n n  n
→
MCD (An ; B n) = d n
MCD (A y B) =1
o
Si A = B
→
40
Si MCD (A; B) = d1 y MCD(C; D) = d2,
MCD (A y B) = B
Compendio escolar
entonces MCD(A; B; C; D) = MCD(d1; d2).
Aritmética
1. Si el MCD de 35A y 42B es 140, halla el MCD
de 40A y 48B.
2. Si MCD(18A; 70B) = 700 y
MCD (99A; 7B) = 3850,
halla el MCD (9A; 7B).
3. Determina la diferencia de dos números enteros si se sabe que su MCD es 48 y su suma
es 288.
Aritmética
Actividad en el aula N.o 1
6. Si MCD(A; B) = 120x;
MCD (B; C) = 96x y
MCD (A; B; C) = 72,
halla 5x.
7. Dos números (A y B) son tales que su MCD
es 17 y su suma es 102. ¿Cuál es el mayor
de dichos números?
8. ¿Cuántos pares de números suman 476 y
tienen como MCD a 28?
4. La suma de dos números es 204 y su MCD
es 12. Calcula la diferencia de dichos números.
9. Los cuadrados de dos números es 3402 y
su MCD es 9. ¿Cuántos pares de números
cumplen con dicha condición?
5. Si MCD (P; Q) = 18 y el MCD (Q; R) = 30,
¿cuál es el MCD (P; Q; R)?
10. El MCD de dos números es 18 y el MCD de
otros dos es 24. Si consideramos los 4 números, ¿cuál será su MCD?
Actividad domiciliaria N.o 1
1. Si MCD(15A; 285B) = 560 y
MCD (25A; 15B) = 480,
halla MCD(A; B).
2. El MCD de dos números es 15 y su diferencia
es 15. Calcula la suma de dichos números.
3. El MCD de dos números es 3 y la suma de
estos es 36. Calcula su diferencia.
4. Si el MCD de dos números es 21 y uno de
ellos es el séxtuplo del otro, halla la suma de
los números.
5. Si MCD (18A; 27B) = 81, calcula el mínimo
valor de (A + B).
6. Halla dos números tales que su suma sea 10
veces su MCD y su producto 225 veces su
MCD. Luego da como respuesta la suma de
estos números.
7. Halla la suma de dos números sabiendo que
su MCD es 7 y su producto es 294.
8. Si
MCD (12A; 21B) = 120 y
MCD (21A; 12B) = 480,
calcula el MCD(A; B).
9. ¿Cuántas parejas de números son tales que
su MCD sea 9 y su suma sea 45?
10. Si el MCD(A; 360) = 60 y 180 < A < 720,
¿cuántos valores toma A?
11. Si
MCD(A; B) = 12k;
MCD(C; D) = 15k y
MCD(A; B; C; D) = k + 96,
calcula la suma de cifras de k.
12. Si MCD(A; B) = k, además
 A B
MCD(7A; 7B) + MCD  ;  = 200,
 7 7
calcula la suma de cifras del MCD (A2; B2).
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
41
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO: PROPIEDADES
Todos los múltiplos comunes que comparten un
conjunto de números son también múltiplos de
su MCM.
Sean A y B números PESI.
Si MCM (A y B) = m
→ MCM(nA; nB) = n × m
A B m
MCM  ;  =
n n  n
→ MCM(An; Bn)=mn
→ MCM(A y B) = A × B.
o
A × B = MCM(A; B) × MCD(A; B)
Si A = B
→ MCM(A y B) = A
MCM(A; B; C; D) = MCM[MCM(A; C ); MCM(B; D)]
Actividad en el aula N.o 2 1. El MCM de dos números es 630, y su producto,
3780. ¿Cuál es el MCD de dichos números?
6. Sabiendo que el MCM de N y N + 1 es 90, halla el MCM de N + 2 y 2N +1.
2. El MCM de dos números es 320. Halla dichos
números si se sabe que la diferencia entre
ambos es igual a siete veces el menor.
7. Si el MCM de A y B es igual a 2A y el MCD
es A/3. Halla el valor de A, sabiendo además
que A – B = 168.
3. ¿Cuáles son los números primos entre sí,
cuyo MCM es 330 y su diferencia es 7?
8. Halla el MCM de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48 y su suma 288.
4. La suma de dos números es a su diferencia
como 8 es a 3. El MCM de los números es
55 veces su MCD. Halla la suma de dichos
números si tienen dos cifras y los números
son máximos.
5. Si el MCM de 12k; 20k y 16k es 720, halla el
número mayor.
9. El MCD de dos números es 12, ¿cuál es su
MCM si el producto de dichos números es
888?
10. Calcula K2 sabiendo que
5
8 
 13
MCM  K ;
K ; K  = 520
 7
14
7 
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Completa.
a. El MCM de dos números de los cuales
uno contiene el otro es el ....................
de ellos.
b. El MCD de dos números es el producto
de ellos .................... por su MCM.
42
Compendio escolar
Aritmética
 MCM(A; B )
2. Si se cumple que 
 MCD(A; B ) = 40
calcula la suma de cifras de A × B.
3. El MCD de dos números es 9. ¿Cuál es su MCM
si el producto de dichos números es 1620?
5. Si el MCM(42A; 6B) = 8064 y el
MCD(77A; 11B) = 88, calcula A × B.
6. El MCD de dos números es 12. ¿Cuál es su
MCM si el producto de dichos números es 888?
7. Halla 2 números enteros sabiendo que uno
de ellos es igual a los 2/9 del otro y que el
producto de su MCM por MCD es igual a
3528. Da como respuesta el mayor de dichos números.
8. Si el MCD de dos números es 21 y uno de
ellos es el séxtuplo del otro, halla la suma de
los números.
9. Si el MCD (A; B) = 24 y A = 3B, calcula (A – B).
10. Si el MCM de 12k; 20k y 16k es 720, halla el
número mayor.
11. La razón de dos números (A y B) es 45/20.
Si el MCM(A; B) = 900, halla A.
12. Halla dos números sabiendo que su producto es igual a 8 veces su MCM y que su suma
es igual a 6 veces su MCD.
13. El producto y el cociente del MCM y MCD
de dos números son, respectivamente, 1620
y 45. ¿Cuáles son dichos números sabiendo
además que son menores que 100?
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
43
Aritmética
4. El mínimo común múltiplo de dos números
es 240 y su MCD es 2. Si uno de los números
es 16, ¿cuál es el otro número?
TEMA
Lógica proposicional
Objetivos
 comprender la importancia y el significado de la lógica proposicional.
 reconocer las proposiciones y sus clases.
 Formalizar las proposiciones haciendo uso de los símbolos lógicos y la jerarquía de los conectivos lógicos considerando los signos de puntuación.
 evaluar esquemas moleculares para hallar su valor veritativo mediante las tablas de verdad.
La historia de la lógica y
sus aplicaciones
Es interesante conocer la concepción etimológica de la palabra lógica,
proviene del griego logike, logikós, que además deriva de logos, que es
razón, o la ciencia que se encarga de enseñar de forma exacta razonar.
Si queremos entender qué es la lógica filosófica y cómo fue su
concepción a través de los años, debemos remontarnos a épocas sumamente arcaicas. Entre los primeros filósofos que lograron instaurar
el concepto, se encuentra a Aristóteles, aproximadamente en el siglo
iv a. n. e., que le dio una determinada definición: “La ciencia que estudia los razonamientos correctos”, lo más interesante es que la misma
era entendida como la forma en que debían aplicarse los diversos y
correctos razonamientos. A partir de allí comienza a ser definida como
una ciencia formal.
Muy comúnmente el método
a aplicar en esta ciencia para los
griegos, era el denominado silogismo, un razonamiento deductivo que consta de dos premisas y
una conclusión, detallamos que la
conclusión se desprende de las premisas.
Pero lógicamente hay otros estudios que se diferenciaron de dichos conceptos y métodos,
que es reconocida por ejemplo como la lógica estoica, en este caso se trata más precisamente de
una lógica proposicional, fundada en las proposiciones. Distinguiendo de esta forma el signo del
significante, en otras palabras y más común su conocimiento, la proposición es un axioma, y la
misma tiene un significado completo.
Continuando con el estudio de qué es la lógica, es importante tener en cuenta una definición
mayormente actualizada por la Real Academia Española, y la define así: "La ciencia que expone
las leyes, modos y formas del conocimiento científico”.
Además destacamos que la lógica también es muy común utilizarla en el campo más exacto,
de allí se puede saber que es la lógica matemática, que mediante la matemática se intenta estudiar a la lógica y su respectiva aplicación a diferentes estudios y ámbitos; por ejemplo, la lógica
se usa frecuentemente en las ciencias de la computación.
Adaptado de <http://quees.la/logica/>
44
Compendio escolar
Aritmética
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
b. ¿Qué es el silogismo?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
c. ¿Qué conoces de la lógica proposicional?
......................................................................................................................................................
......................................................................................................................................................
LÓGICA PROPOSICIONAL
Es una parte de la lógica que tiene por objetos de estudio la proposición y la relación existente entre
ellas, así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos.
ENUNCIADO
Se denomina enunciado a cualquier
frase, expresión u oración que nos
exprese una o más ideas.
Ejemplos
q ¡Viva el Perú!
q Él es atento y bueno.
q ¿Quién es ella?
q El dos es par y primo.
Observación
Los enunciados que expresan una exclamación, una interrogación
o una emoción son expresiones que no son proposiciones.
Ejemplos
• Prohibido hacer bulla • ¡Viva rápido!
• ¿Qué curso llevas?
PROPOSICIÓN LÓGICA
Es el significado de una expresión aseverativa que se caracteriza por tener un valor veritativo (es
decir, el significado tiene la posibilidad de ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez). También se
le llama enunciado cerrado.
Las proposiciones lógicas se representarán mediante letras minúsculas del abecedario (… p, q, r, s…),
a las cuales se les denomina variables proposicionales (V( )).
Ejemplos
q p: El 5 es primo.
V(p) = V
q q: César Vallejo escribió Los heraldos negros.
V(q) = V
q r: Federico Villarreal es un cantante.
V(r) = F
q s: José María Arguedas nació en Tumbes.
V(s) = F
q t: 5 + 2 > 17
V(t) = F
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
45
Aritmética
Responde.
a. ¿Qué es la lógica?
Ten en cuenta que...
Algunas proposiciones compuestas se enlazan con palabras que son entendidas igual
que los términos de enlace.
Algunas palabras que se entienden igual que el conectivo y.
Ejemplos
• La química y la matemática son ciencias.
Tanto la química como la matemática son ciencias.
• Jorge estudia y trabaja.
Jorge estudia, además trabaja.
El enunciado abierto es llamado también cuasiproposición. Es aquel enunciado que tiene una o más variables y se expresa con símbolos matemáticos o palabras, de modo que
al asignarle un valor (o nombre) a dicha variable, este enunciado se convierta en una
proposición lógica.
Ejemplos
• Él es un escritor peruano.• 2x – 3 < 7
variabledonde x es la variable.
Dando valores a la variable x
→ Ciro alegría es un escritor peruano. 2(4) – 3 < 7 (verdadero)
2(7) – 3 < 7(falso)
a. Proposiciones simples
Es aquella proposición con un solo significado. Carece de conjunciones gramaticales y del adverbio de negación “no”.
Ejemplos
q
Hoy es lunes.
q
Leslie es ingeniera industrial.
q
El acero es resistente.
b. Proposiciones compuestas o moleculares
Es aquella que tiene dos o más proposiciones unidas por conjunciones gramaticales o, en todo
caso, que contiene el adverbio de negación “no”.
Ejemplos
q
María llegó tarde, pero dio el examen.
q
Rosa canta y baila.
Nota
Como nos interesa manejar las relaciones entre proposiciones, independientemente
de cuál sea su contenido, simbolizamos las proposiciones mediante letras minúsculas:
p, q, r, s.
A estas se les denomina variables proposicionales.
46
Compendio escolar
Aritmética
1. ¿Cuál de los siguientes enunciados son proposiciones?
a. 15 tiene 2 cifras.
b. Está lloviendo.
c. x + 5 > 2
d. Ciro Alegría escribió Los ríos profundos.
e. ¿Cuál es tu nombre?
2. Indica verdadero (V) o falso (F) según las
siguientes proposiciones.
a. Los enunciados abiertos son proposiciones.
( )
b. Las proposiciones simples son aquellos
enunciados que tienen un solo sujeto y
un solo predicado.
( )
c. Dadas las proposiciones p y q, la conjunción es el resultado de unir estas proposiciones con el conectivo lógico ∧. ( )
3. Determina el valor de verdad de cada uno de
los siguientes enunciados.
a. 8 = 60 es una proposición simple.
b. x + 8 = 15 es una proposición simple.
c. x – 3 ≤ 13 es una proposición compuesta.
d. 3 + 4 ≤ 34 es una proposición compuesta.
Aritmética
Actividad en el aula N.o 1
6. Con respecto a los siguientes enunciados
a. Recoge ese lápiz.
b. 2 + 5 < 6
c. x – y = 5
d. Hace mucho frío.
¿cuáles son las alternativas correctas?
7. De las siguientes proposiciones, marca con
un aspa (7) cuáles son simples.
a. Carlos Marx nació en Alemania.
b. La silla es de madera.
c. Enrique es médico o estudia Arquitectura.
d. Todos los hombres no son mortales.
e. Si mañana el cielo está nublado, entonces lloverá.
8. Subraya los enunciados que no son proposiciones.
a. Bryan es estudiante de Economía.
b. ¡Viva el Perú!
c. Él es un buen cantante.
d. ¿Cómo iniciaste el año escolar?
e. El libro de matemática es verde.
4. Encierra en un círculo cuál o cuáles de los
siguientes enunciados son proposiciones.
a. ¡Ingresaste!
b. La capital de La Oroya es Yauli.
c. ¿Cuántos problemas resolviste?
d. Ciro Alegría escribió El retoño.
e. La Central Hidroeléctrica del Mantaro se
encuentra en el departamento de Junín.
9. Determina el valor de verdad (V) o falsedad (F) de cada uno de los siguientes enunciados.
a. 3 ≠ 7 es una proposición simple.
( )
b. x + 5 = 9 es una proposición simple. ( )
c. x + 5 ≤ 8 es una proposición compuesta.
( )
d. 3 + 4 ≤ 8 es una proposición compuesta.
( )
5. De las siguientes proposiciones, subraya cuántas son compuestas.
a. César Vallejo no nació en Santiago de
Chuco.
b. La hipotenusa es mayor que los catetos.
c. Claudia está en la universidad, además
trabaja.
d. El número 81 tiene dos cifras.
10. Subraya los enunciados que son proposiciones.
a. El Callao es la capital de Perú.
b. ¡Socorro!
c. Él es un profesor eficiente.
d. ¿Qué sabe de la ley de la selva?
e. Miguel y César son matemáticos.
f. Yo tengo un maletín vacío.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
47
Actividad domiciliaria N.o 1
1. ¿Cuáles de los siguientes enunciados son
proposiciones?
a. El átomo es una molécula.
b. ¿Qué es la lógica proposicional?
c. ¡Casi gano la lotería del sábado!
d. El cuadrilátero es un polígono de cuatro
lados.
e. 3 × 6 + 12 × 2 = 42
2. Subraya cuál o cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones.
a. ¿Qué hora tienes?
b. José Carlos Mariátegui escribió 7 ensayos de la realidad peruana.
c. La capital de Apurímac no es Abancay.
d. x + 15 < 100
3. Determina el valor de verdad (V) o falsedad (F)
respecto de los siguientes enunciados.
a. No es cierto que Federico Villarreal sea
ingeniero es una proposición simple. ( )
b. Todas las aves vuelan es una proposición simple.
( )
c. Einstein era peruano o alemán es una
proposición compuesta.
( )
4. Encierra en un círculo cuáles de los siguientes enunciados no son proposiciones.
a. Los electrones son partículas que se encuentran alrededor del núcleo del átomo.
b. ¡Por fin se va a iniciar el ciclo escolar!
c. El Inca Garcilaso de la Vega no es un
cronista puneño.
d. Un triángulo isósceles no tiene dos ángulos internos iguales.
e. La matemática y la física son ciencias
naturales.
f. ¿Qué es una proposición?
48
Compendio escolar
Aritmética
5. Indica la secuencia correcta del valor veritativo respecto a las siguientes proposiciones.
a. El Callao es la provincia constitucional
del Perú.
b. 23 × 14 = 112
c. Un día tiene 24 horas.
d. No es cierto que 4 es par.
6. Determina el valor de verdad (V) o falsedad (F) respecto a los siguientes enunciados.
a. Un triángulo tiene tres lados es una proposición simple.
( )
b. Kant es filósofo, pero Frege es lógico es
una proposición simple.
( )
c. El embajador del Perú va a viajar a Brasil o a España es una proposición compuesta.
( )
7. Pedro y Juan son expertos en matemáticas.
La expresión anterior
a) es un enunciado abierto.
b) es una proposición compuesta.
c) es un enunciado mas no proposición.
d) no es una proposición.
e) es una proposición simple.
8. Subraya cuántos de los siguientes enunciados no son proposiciones.
a. ¡Viva el Perú!
b. ¿Qué hora es?
c. Ciro Alegría es un escritor peruano.
d. Él es un experto en matemáticas.
9. Encierra en un círculo cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones.
a. Hola, ¿qué tal?
b. Miguel Grau es un héroe nacional.
c. x + 5 > 12
d. 7 + 3 > 20
e. Prohibido fumar
Son símbolos que enlazan proposiciones simples sin formar parte de ellas. Dichos símbolos
también toman el nombre de operadores.
Los conectivos lógicos que más usaremos para
componer se indican en la siguiente tabla:
Scholz
Russell
NOMBRE DE
LA PROPOSICIÓN
No es el
caso que…
∼
∼
Negativa
… y…
∧
.
Conjuntiva
… o…
∨
∨
Disyuntiva
débil
O… o…
↔
≡
Disyuntiva
fuerte
Si…,
entonces…
→
⊃
Condicional
… si y solo
si…
↔
≡
Bicondicional
TÉRMINO
DE ENLACE
SÍMBOLO
Ejemplo
Carmen es voleibolista o basquetbolista.
• p: Carmen es voleibolista.
• q: Carmen es basquetbolista.
Simbolización: p ∨ q
Además, la proposición compuesta es verdadera cuando por lo menos una de las proposiciones sea verdadera y es falsa cuando ambas
proposiciones simples sean falsas.
DISYUNCIÓN FUERTE O EXCLUSIVA (
)
Son aquellas proposiciones que se relacionan
mediante el término o… o… u expresiones equivalentes.
Ejemplo
O viajo por aire o viajo por tierra.
• p: viajo por aire.
• q: viajo por tierra.
Simbolización: p
q
Además, la proposición compuesta es falsa
cuando ambas proposiciones simples tengan
el mismo valor de verdad y resulta verdadera si
ambas proposiciones tienen diferente valor de
verdad.
NEGACIÓN
Son aquellas proposiciones que usan el adverbio
negativo no o expresiones equivalentes.
Ejemplos
• p: El lapicero es de color azul.
• ∼ p: El lapicero no es de color azul.
Simbolización: ∼ p
CONJUNCIÓN (∧)
Son aquellas proposiciones que se relacionan
mediante el término y o expresiones equivalentes.
Ejemplo
Pedro estudia inglés y Anaí, portugués.
• p: Pedro estudia inglés.
• q: Anaí estudia portugués.
Simbolización: p ∧ q
Además, la proposición compuesta es verdadera solo cuando ambas proposiciones simples
sean verdaderas; los demás casos, será siempre
falsa.
DISYUNCIÓN DÉBIL O INCLUSIVA (∨)
Son aquellas proposiciones que se relacionan
mediante el término o u expresiones equivalentes.
CONDICIONAL (→)
Son aquellas proposiciones que se relacionan
mediante el término de enlace Si…, entonces…
o expresiones equivalentes. La proposición condicional consta de dos partes: el antecedente y
el consecuente: p → q.
Ejemplo
Si Vilma es de Huancavelica, entonces es peruana.
La proposición es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; es verdadera
en todos los demás casos.
BICONDICIONAL (↔)
Son aquellas proposiciones que se relacionan
mediante el término de enlace si y solo si o expresiones equivalentes.
Ejemplo
Vladimir es mayor de edad si y solo si tiene 18
años.
Simbolización: (p ↔ q)
Es verdadera si ambas proposiciones tienen el
mismo valor de verdad y resulta falsa si ambas
proposiciones tienen diferente valor de verdad.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
49
Aritmética
CONECTIVOS LÓGICOS
TABLA DE VERDAD DE LAS PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS
p
q
∼p
p∧q
p∨q
p↔q
p→q
(p ↔ q)
V
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
V
Actividad en el aula N.o 2 1. Relaciona las siguientes proposiciones.
Conjunción
Un número natural es par si y solo si es divisible
por dos.
Bicondicional
Si dos ángulos adyacentes forman un par lineal,
entonces son suplementarios.
Condicional
La matemática y la lógica son ciencias formales.
2. Relaciona la expresión en lenguaje común
con su respectivo símbolo.
… y…
… o…
q
q
q
q
Si…, entonces… … si y solo si… q
q
q
q
→
∨
∧
↔
3. Si p = F, q = V y r = V, halla el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los esquemas moleculares.
a. ∼(p
p
4. Evalúa cada una de las siguientes proposiciones compuestas y da como respuesta su
valor de verdad.
a. 7 es un número primo o no es impar.
3
50
b.
∨ F=F
c. V ∧
=F
6. Si p = F, q = V y r = V, halla el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes esquemas moleculares.
a. q ∧ (p
r)
q) ∧ r
c. ∼p ∧ q
∼p
c. [(p ∧ q) ∨ r ]
F=V
a.
b. ∼(p
q) ∨ r
b. (q ∨ ∼r)
5. Coloca verdadero (V) o falso (F) en los recuadros para que se cumpla la igualdad.
7. Identifica, respectivamente, los valores de
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones.
a. (3 + 5 = 8) ∨ (5 – 3 = 4)
b. (5 – 3 = 8) ∧ (1 – 7 = 6)
b. 5 = 125 y – 4 > –1
c. (3 + 8 = 11) ∧ (7 – 4 > 1)
c. 60 tiene dos cifras o es menor que 100.
d. (4 + 6 = 9) ∨ (5 – 2 = 4)
Compendio escolar
Aritmética
V=F
a.
∨ F=F
b.
c. V ∧
=V
9. Tenemos lo siguiente:
• p: 15 es un número primo.
• q: El Perú no está en el continente americano.
• r: Carlos Mariátegui escribió 7 ensayos
de la realidad peruana.
Con los valores de verdad p, q y r, determina
el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares.
a. (∼p → q) ∧ r
( )
∼q) ∨ ∼p
( )
c. q ∧ ∼r
( )
b. (p
( )
b. (p ∨ r) → p
( )
c. p → (p ∨ q)
( )
a. F
F=V
b. F
F=F
c. V
F=V
12. Simboliza la siguiente proposición.
Si estudio mucho y asisto a clases, entonces
no reprobaré el examen y pasaré el año escolar.
13. Simboliza la siguiente proposición.
En Canadá nieva y hace frío significa que
no es el caso que En Canadá no nieve o no
haga frío.
14. Si (p ∨ ∼q) es falso, halla los valores de verdad de p y q en ese orden.
10. Tomando en cuenta las siguientes proposiciones:
•
p: 5 es un número primo.
•
q: 72 es múltiplo de 13.
•
r: 9 es cuadrado perfecto.
determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a. (p ∧ r) → p
11. Coloca los conectivos de disyunción débil (∨)
o de condicional (→) en cada uno de los recuadros.
15. Tenemos lo siguiente:
• p: Dos es par y el menor número, primo.
• q: Argentina organizó la Copa América
2011.
• r: No es cierto que la suma de quince
más doce sea veintisiete.
Con los valores de verdad p, q y r, determina
el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares.
a. (p → ∼q) ∧ r
( )
b. (p
q ) ∨ p
( )
c. ∼q ∧ r ( )
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Relaciona las siguientes proposiciones.
Disyunción exclusiva
Mario Vargas Llosa es peruano y Gabriel García
Márquez es colombiano.
Conjunción
Si 14 es un número primo, entonces no es compuesto.
Condicional
O bien el grupo de rock Aerosmith canta o bien
baila.
2. Marca con un aspa (7) las operaciones lógicas que están relacionadas con su símbolo.
a. disyunción inclusiva ( )
d. disyunción exclusiva (∨)
b. conjunción (∧)
e. bicondicional (→)
c. condicional (↔)
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
51
Aritmética
8. Coloca verdadero (V) o falso (F) en los recuadros para que se cumpla la igualdad.
3. Si el esquema molecular
∼[(p → ∼q) ∨ (q
r)] ∧ p
es verdadero, indica el valor veritativo de p,
r y q en ese mismo orden.
4. Si la proposición [∼q ∧ (r
p)] → p
es falsa, entonces determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a. p → ∼q
b. ∼p
r
c. (r ∧ q) ∨ (p → r)
5. Representa simbólicamente el siguiente enunciado.
Fiorella estudia y no trabaja si y solo si no
estudia. En consecuencia, Fiorella estudia.
6. Si la proposición (p ∧ ∼q) → (r → ∼s) es falsa,
indica el valor de verdad (V) o falsedad (F)
de las proposiciones q, p, r y s, en ese orden.
7. Si (p ↔ r) ∧ ∼(∼p ∨ ∼q) es verdadera, halla
el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los
siguientes esquemas moleculares.
a. p ∧ r
b. r ↔ q
c. p ∨ q
8. Resolver el esquema molecular
(p → ∼q) ∨ (∼r → ∼s) resulta falso. Determina
el valor de verdad de las siguientes proposiciones.
a. ∼s → ∼p
b. (∼r ∧ ∼s) ↔ ∼p
c. q → ∼(s → r)
9. Representa simbólicamente el siguiente enunciado.
Roberto vendrá si y solo si ha recibido la carta o vendrá porque está interesado todavía
en el asunto.
10. Simboliza el siguiente enunciado.
O no ingresaste a la universidad o no conseguiste el empleo. Si ingresas a la universidad
y consigues un empleo, entonces no vendes
tu casa.
52
Compendio escolar
Aritmética
11. Tenemos lo siguiente:
•
p: Haydé tiene exámenes que corregir.
•
q: Haydé descansa al mediodía.
•
r: Haydé trabaja hasta las doce de la
noche.
Simboliza el siguiente enunciado.
Si Haydé tiene muchos exámenes que corregir y ha descansado un poco al mediodía, entonces trabaja hasta las doce de la
noche. Pero hoy no trabajó hasta las doce.
Por lo tanto, será que no ha descansado al
mediodía.
12. Si ∼p → (∼q ∨ r) es falsa, halla el valor de
verdad de las siguientes proposiciones.
a. p ∨ (q ∨ r)
( )
b. p ∨(∼q ∧ ∼r)
( )
c. q → (p ∨ ∼r)
( )
13. Tenemos los siguientes enunciados:
• p: ser titulado bachiller.
• q: ser titulado en ciclo superior.
• r: tener 24 años.
• s: dictar en la universidad.
Simboliza el siguiente enunciado.
Ser bachiller o titulado en ciclo superior y tener 24 años cumplidos son condiciones para
poder dictar en la universidad.
14. Sabiendo que evaluar el esquema molecular
[(p → q) ∨ r] resulta falso, ¿cuáles de los siguientes enunciados son correctos?
a.
b.
c.
d.
(p ∨ q) es verdadera.
(p ∧ q) es verdadera.
(p
q) es falsa.
(p ↔ q) es falsa.
15. Si p = F, q = F y r = V, halla el valor de verdad (V) o falsedad (F) de los siguientes esquemas moleculares.
a. (p ∧ ∼q)
r
b. (p
q) ∨ ∼r
(r ∧ p)
c. (r ∨ ∼q)
Tautológico
Contradictorio
Al evaluar su tabla de verdad, el resultado
contiene solamente valores verdaderos.
Al evaluar su tabla de verdad, el resultado
contiene solamente valores falsos.
a. Implicancia lógica
Es aquella condicional que resulta tautológica.
Contingente o consistente
b. Equivalencia lógica
Es aquella bicondicional que resulta tautológica.
Al evaluar su tabla de verdad, el resultado
contiene por lo menos un valor verdadero y un
valor falso.
Actividad en el aula N.o 3 1. Si  es un operador lógico definido mediante la siguiente tabla de verdad:
p
q
p
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
F

q
desarrolla la tabla de verdad de la proposición compuesta (p  q) → (p  q)
e indica el resultado de su matriz principal.
5. Evalúa la tabla de verdad de la proposición
∼(p ∧ q) ↔ [(∼p) ∨ (∼q)]
y determina la cantidad de verdaderos que
resulta en la matriz principal.
6. Elabora la tabla de verdad del esquema molecular (p ∨ ∼q) ↔ ∼p.
Luego indica la secuencia correcta de los valores de verdad de la matriz principal.
7. Se define el operador lógico Ψ mediante la
siguiente tabla:
2. Luego de desarrollar la siguiente proposición
compuesta, determina la cantidad de verdaderos que resulta en su matriz principal.
p)
∼(p → q) ∨ (q
3. Si % es un operador lógico definido mediante
la siguiente tabla de verdad:
p
%
p
q
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
V
q
desarrolla la tabla de verdad de la proposición compuesta [(q % p) ∨ (∼q % ∼p)]
e indica el resultado de su matriz principal.
4. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
contingentes?
p
q
pΨq
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
Indica el valor de verdad de la matriz principal de [(∼q Ψ p ) Ψ (p Ψ q)] ∧ ∼p.
8. Completa en la tabla el operador que le corresponde.
a
b
c
p
q
∼(p
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
F
V
V
(p
q)
q)
a. ∼(∼q ∨ p)
b. p ↔ (q ∨ ∼p)
c. (p
q) → ∼p
Luego indica el nombre de cada uno de los operadores (a, b y c en ese orden).
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
53
Aritmética
TIPOS DE ESQUEMAS MOLECULARES
9. Completa en la tabla el operador que le corresponde.
a
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
(∼p
b
(p
q)
F
F
V
F
c
q)
V
F
V
V
V
V
V
F
Luego indica el nombre de cada uno de los
operadores (a, b y c en ese orden).
10. Relaciona con una línea cada una de las siguientes proposiciones con la opción correspondiente.
tautológicaq
q [(p ∨ q) → p]
contingenteq
q ∼p ∨ [(p ∨ q) → p]
contradictorio q
q (p ∧ q) ↔ (p → ∼q)
11. Crea dos proposiciones tautológicas, contingentes y contradictorias para cada clase.
Actividad domiciliaria N.o 3
1. Elabora la tabla de verdad de la proposición
(p ∨ q) ↔ q. Luego da como respuesta el
valor de verdad de la matriz principal.
5. Elabora la tabla de verdad de la proposición
(∼p ∨ q)
∼q. Luego da como respuesta el
valor de verdad de la matriz principal.
2. Elabora la tabla de verdad del esquema molecular (p ∧ ∼q)
q. Luego indica la secuencia correcta de los valores de verdad de la
matriz principal.
6. Completa en la tabla el operador que le corresponde.
3. Si & es un operador lógico definido mediante
la siguiente tabla de verdad:
p
&
p
q
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
q
4. De las siguientes proposiciones, ¿cuáles son
tautológicas?
a. (∼p ∧ q) → p
( )
b. ∼p → (∼p ∨ q)
( )
c. [(p ∧ q) ∨ p] → p
( )
Compendio escolar
b
c
p
q
∼ (p
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
V
F
(p
q)
q)
Luego, indica el nombre de cada uno de los
operadores (a, b y c en ese orden).
desarrolla la tabla de verdad de la proposición [(q & ∼p) → (p & ∼q)] e indica el resultado de su matriz principal.
54
a
Aritmética
7. Se define el operador lógico ® mediante la
siguiente tabla:
p
q
p®q
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
Indica el valor de verdad de la matriz principal de la siguiente expresión.
[(∼p ® q) ® ∼q] ® p
p
q
p۞q
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
tautológica
q
q (p ∧ q) ∨ ∼q
contingente
q
q (q → p) ∨ q
q ∼{[(p → q) ∧ ∼q] → ∼p}
contradictorio q
Simplifica la expresión
(p ۞ q) ∨ (∼q ۞ p).
12. Completa en la tabla el operador que le corresponde.
9. De las siguientes proposiciones, ¿cuáles son
tautológicas?
a. [p ∧ (∼p → q) ∨ ∼q]
( )
b. p → (p ∨ q)
( )
c. p → (∼p ∨ q)
( )
10. Asocia cada una de las siguientes proposiciones con la opción correspondiente.
tautológica
q
q [(p ∧ q) ↔ (q → ∼p)]
contingente
q
q [(p ∨ q) ↔ q]
contradictorio q
11. Asocia cada una de las siguientes proposiciones con la opción correspondiente.
Aritmética
8. Se define el operador lógico ۞ mediante la
siguiente tabla:
q (p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
a
b
∼q)
(p
c
∼(p
p
q
q)
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
Luego indica el nombre de cada uno de los
operadores (a, b y c en ese orden).
13. Si las proposiciones
M = (p T q) ↔ (∼ p → t) y
N = ∼ (q → ∼ q) son tautológicas,
determina los valores de verdad de p, q y t.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
55
11
TEMA
Medidas de posición para datos no agrupados
Objetivos
 utilizar las medidas de tendencia central para brindar conclusiones reales.
 calcular la media, la mediana y la moda para datos no agrupados.
¿Para qué sirven las medidas de
tendencia central?
Supóngase que Pedro obtiene 16 puntos en una prueba
10,9
11
de lectura. La calificación por sí misma tiene muy poco
significado a menos que usted conozca cuál es el total de
Mediana
puntos que obtiene una persona promedio al participar
Media
en esa prueba, cuál es la calificación menor y mayor que
Moda
se obtiene, y cuán variadas son esas calificaciones. Es
decir que para que una calificación tenga significado hay
que contar con elementos de referencia generalmente
relacionados con ciertos criterios estadísticos.
Las medidas de tendencia central sirven como puntos de referencia para interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba. Digamos, por
ejemplo, que la calificación promedio en la prueba que hizo Pedro fue de 12 puntos. De ser así
podemos decir que la calificación de Pedro se ubica sobre el promedio. Pero si la calificación
promedio fue de 18 puntos, entonces la conclusión sería muy diferente, dado que se ubicaría por
debajo del promedio de la clase.
En resumen, el propósito de las medidas de tendencia central son las siguientes:
q Mostrar en qué lugar se ubica la persona promedio o típica del grupo.
q Servir como un método para comparar o interpretar cualquier puntaje en relación con el puntaje central típico.
q Servir como un método para comparar el puntaje obtenido por una misma persona en dos
diferentes ocasiones.
q Servir como un método para comparar los resultados medios obtenidos por dos o más grupos.
Entre las medidas de tendencia central tenemos las siguientes:
1. Media aritmética o media
2. Mediana
3. Moda
Adaptado de <https://sites.google.com/site/lpsjestadistica/medidas-de-tendencia-central>
56
Compendio escolar
Aritmética
a. ¿Qué son las medidas de tendencia central?
.....................................................................................................................................................
b. ¿Para qué sirven las medidas de tendencia central?
.....................................................................................................................................................
c. ¿Cuáles son las medidas de tendencia central?
.....................................................................................................................................................
¿Sabías que...?
Podemos definir a la moda como un fenómeno cultural y social que tiene que ver con el
establecimiento de diferentes parámetros de vestimenta que se popularizan y se hacen
comunes a una época, marcándola claramente en oposición a otras. La moda, del mismo
modo que también puede hacerlo el arte, la música, la filosofía, son elementos culturales
y marcan la identidad y la personalidad o los elementos característicos de una sociedad.
¿QUÉ es Una Medida de Tendencia
cenTraL?
Es un valor de variación de las variables que resume y representa la distribución. Las medidas
centrales usuales son la media (x), la mediana
(xm) y la moda (Mo).
Media ariTMÉTica o Media (x)
También se le conoce como promedio, ya que
es un conjunto de datos obtenidos sumando todos los números divididos entre la cantidad total
de ellos.
suma de datos
media =
número de datos
Ejemplos
1. Halla (x) con los siguientes datos: 5; 3; 6; 7;
4; 5; 3; 7.
La cantidad de datos total es de 8.
Calculando la media
x = (5 + 3 + 6 + 7+ 4 + 5 + 3 + 7)/8 = 5
2. Halla (x) con los siguientes datos: 12; 15; 08;
15; 20.
x = (14 + 15 + 08 + 15 + 20)/5 = 14,4
600
400
200
0
Mediana (xm)
La mediana de un conjunto de datos es aquel
valor que tiene la propiedad de dividir al conjunto en dos grupos con igual cantidad de datos.
Si el número de datos fuese impar, entonces se
tomará como mediana el valor central.
Ejemplos
1. Halla (xm) con los siguientes datos: 9; 7; 9;
5; 4.
Primero ordenamos 4; 5; 7; 9; 9
xm=7
Si el número de datos fuese par, entonces
se tomará como mediana la semisuma a los
dos términos.
2. Halla (xm) con los siguientes datos: 8; 11;
10; 7; 3; 3; 2; 1.
Primero ordenamos: 1; 2; 3; 3; 7; 8; 10; 11.
3+7
xm =
=5
2
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
57
Aritmética
Responde.
Observación
Es imprescindible para calcular el valor de
la mediana el que primero se ordenen los
datos en cuanto a su magnitud, ya que, de
no hacerlo, se incurriría en un grave error.
mediana
Moda (Mo)
La moda de un conjunto de datos es aquel valor
que aparece con mayor frecuencia.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
moda=5
Ejemplos
1. Halla la (Mo) con los siguientes datos: 06;
02; 09; 06; 01; 19; 01; 06; 02; 06.
Se observa que 06 aparece cuatro veces; por
lo tanto, la moda es 06 y es un conjunto unimodal.
Mo = 06
2. Halla la (Mo) con los siguientes datos: 01;
02; 01; 13; 01; 12; 02; 07; 02.
0 1 2 3 4 5 6
sin moda
Se observa que 02 y 07 aparecen tres veces;
por lo tanto, hay dos modas y es un conjunto
bimodal.
Mo1 = 02 y Mo2 = 07
Actividad en el aula
1. Calcula la mediana en los siguientes datos.
2; 0; 2; 5; 7; 2; 0; 5; 5; 2; 0; 2; 6; 3
7; 9; 7; 7; 6; 5; 2; 6; 1
2. Calcula la moda en los siguientes datos.
7; 4; 6; 7; 2; 4; 7; 6; 2; 6; 7; 3; 6; 5; 10; 7; 6;
5; 7; 6; 7
3. Calcula la media en los siguientes datos.
10; 18; 12; 16; 20; 14; 16; 6; 9; 12; 15; 18;
21; 24
4. Para los datos 10; 3k; 30; 20 y m, la media
es 23. Para los datos 20; k; 10; m y 15, la
media es 18. Calcula los valores de k y m.
58
Compendio escolar
Aritmética
5. Un agricultor reparte 500 libras de maíz entre cinco de sus mejores empleados. Las
reparte así: 120; 100; 80; 95 y 105. Luego
decide agregarle S/.20 a cada uno. ¿Cuál es
la media finalmente?
6. Se han tomado como muestra las medidas de
seis cables usados en un arnés para lavadora,
las cuales son 15,2 cm; 15,0; 15,1; 15,2; 15,1
y 15,0. Determina su media aritmética.
7. Se hacen varias lecturas de una muestra que
contiene cobre. Las lecturas se hacen en
un espectrofotómetro de absorción atómica
y son las siguientes: 12,3%; 12,28; 12,27;
12,3; 12,24. Determina la concentración
promedio de Cu en la muestra.
9. Los siguientes datos son las mediciones obtenidas de un circuito utilizado en un arnés
de lavadora. Se toman como muestra siete
circuitos, y sus mediciones son 11,3; 11,2;
11,5; 11,2; 11,2; 11,4; 11,5 cm. Halla Me.
10. Determina la moda de los datos que se
muestran a continuación; se refieren a la estatura de un grupo de jóvenes: 1,60 m; 1,65;
1,70; 1,71; 1,70; 1,70; 1,70; 1,71; 1,70;
1,93; 1,87; 1,85.
Actividad domiciliaria
1. Para cada grupo, calcula la mediana.
a. 8; 10; 6; 12; 10; 11; 13
b. 20; 10; 15; 25; 30; 15; 14; 18
2. Calcula la moda del siguiente grupo.
7; 9; 6; 5; 8; 6; 7; 8; 6; 5; 3; 10; 6; 4; 7; 9; 3;
6; 5; 4; 7; 8; 6; 7; 8; 6; 5; 3; 10.
3. Calcula la media en los siguientes datos.
5; 10; 15; 4; 8,5; 2,5; 25; 30; 35; 40; 45; 50.
4. Para los datos 30; 15; 10; k; 50, se tiene que
si a cada valor se le suma 10, la media es 35.
Calcula el valor de k.
5. Se tienen cuatro cantidades cuya moda es
3, su mediana es 5 y su media es 6. Calcula
el producto de las dos cantidades mayores.
6. Siete estudiantes han leído el siguiente número de libros de este curso: 3; 4; 5; 6; 5;
7; 5.
Para estos datos, determina la media, la mediana y la moda.
7. Para los datos 10; 8; 14; 6; k, la media es 9.
Calcula el valor de k.
8. Se toman varias muestras de cierto tipo de
queso y se determina la cantidad de proteína por cada 100 g de queso, encontrándose
lo siguiente: 26,5 g, 24,8; 25,3; 30,5; 21,4.
Determina la cantidad promedio de proteína
encontrada en la muestra por cada 100 g de
queso que se elabora.
9. Los siguientes datos son las mediciones obtenidas de un circuito utilizado en un arnés
de lavadora. Se toman como muestra ocho
circuitos, y sus mediciones son 11,3; 11,2;
11,5; 11,2; 11,2; 11,4; 11,1; 11,4 cm.
Calcula la mediana.
10. Determina la moda de los siguientes datos
que se refieren a la edad de los alumnos del
primer semestre del Instituto Tecnológico de
Diseño.
18; 17; 19; 21; 19; 18; 22; 22; 18; 18; 17;
19; 19; 19; 18; 20; 21; 20; 18; 19; 18; 19;
18; 19; 22; 35
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
59
Aritmética
8. Determina la edad promedio de los estudiantes de una escuela de nivel superior al
iniciar sus estudios. Supón que se toman las
edades de algunos de los alumnos de cierta
clase y estas son las que siguen: 20; 18; 18;
19; 18; 19; 35; 20; 18; 18; 19.
12
TEMA
Medidas de posición: media aritmética
Objetivos
 interpretar correctamente la información estadística proveniente de hechos de la vida cotidiana.
 reconocer la importancia, la interpretación y su aplicación de la media aritmética para datos
agrupados.
Evolución de la pobreza extrema
La pobreza extrema es el estado más severo de
%
pobreza. Cuando las personas no pueden satisfacer varias de las necesidades básicas para
20
– 5,2
vivir como los alimentos, el agua potable, el techo, la sanidad, y el cuidado de la salud. Para
15
11,2 10,9
determinar la población afectada por la pobre– 0,3
9,5
za extrema, el Banco Mundial define la pobreza
10
7,6
6,3
6,0
extrema como personas viviendo con menos de
5
$1,25 al día. El Banco Mundial estima que 1,400
millones de personas han vivido bajo estas condiciones en el año 2008.
0
2007 2008 2009 2010 2011 2012
La erradicación de la pobreza extrema y del
hambre es la primera meta de los Objetivos de Fuente: INEI - Encuesta Nacional de Hogares ENAHO
2007 - 2012.
Desarrollo del Milenio estipuladas por 179 estados miembros de la Organización de las Naciones Unidas en el año 2000. Los economistas consideran que enfermedades epidémicas como el sida, malaria y tuberculosis son factores cruciales
y consecuencias de la pobreza extrema.
En el año 2012, el 6% de la población (alrededor de uno de cada cuatro pobres) se encontraba
en situación de pobreza extrema, que equivale a 1 millón 808 mil personas con un gasto per cápita inferior al costo de la canasta básica de alimentos. Entre el 2011 y 2012, la pobreza extrema
disminuyó en 0,3 puntos porcentuales.
Otro grupo que compone a la población pobre son los pobres no extremos que representan el
19,8 % de la población total y se caracterizan por tener un gasto per cápita superior al costo de la
canasta básica de alimentos pero inferior al valor de la canasta básica de consumo compuesto por
alimentos y no alimentos (línea de pobreza).
Por área de residencia, la incidencia de la pobreza extrema presenta disparidades. Así, en el
área rural afectó al 19,7% de la población, cuando en el área urbana solo afectó al 1,4% de su
población. Comparado con lo registrado en el 2011, la pobreza extrema decreció en el área rural
en 0,8 punto porcentual, mientras que en el área urbana se mantuvo en los mismos niveles, es
decir, no mostró variación alguna.
Adaptado de <http://www.inei.gob.pe/media/cifras_de_pobreza/pobreza_informetecnico2013_1.pdf>
60
Compendio escolar
Aritmética
Alrededor de 2005
País
Alrededor de 2011
Año
Pobreza
Indigencia
Año
Pobreza
Indigencia
Argentina
2005
30,6
11,9
2011
5,7
1,9
Bolivia
2004
63,9
34,7
2009
42,4
22,4
Brasil
2005
36,4
10,7
2011
20,9
6,1
Chile
2006
13,7
3,2
2011
11,0
3,1
Colombia
2005
45,2
13,9
2011
34,2
Costa Rica
2005
21,1
7,0
2011
18,8
Ecuador
2005
48,3
21,2
2011
El Salvador
2004
47,5
19,0
2010
Guatemala
2006
54,8
29,1
Honduras
2006
71,5
49,3
México
2006
31,7
8,7
Nicaragua
2005
61,9
31,9
Panamá
2005
31,0
Paraguay
2005
Perú
Alrededor de 2012
Año
Pobreza
Indigencia
2012
4,3
1,7
2012
18,6
5,4
10,7
2012
32,9
10,4
7,3
2012
17,8
7,3
35,3
13,8
2012
32,2
12,9
46,6
16,7
2012
45,3
13,5
2010
67,4
42,8
2010
36,3
13,3
2012
37,1
14,2
2009
58,3
29,5
14,1
2011
25,3
12,4
56,9
27,6
2011
49,6
28,0
2003
52,5
21,4
2011
27,8
6,3
2012
25,8
6,0
República
Dominicana
2005
47,5
24,6
2011
42,2
20,3
2012
41,2
20,9
Uruguay
2005
18,8
4,1
2011
6,5
1,1
2012
5,9
1,1
Venezuela
2005
37,1
15,9
2011
29,5
11,7
2012
23,9
9,7
Según la Cepal, los resultados están relacionados con la moderación del crecimiento económico de la
región, mientras que el ligero aumento de los niveles de indigencia se debe al incremento del precio
de los alimentos.
<http://www.ambito.com/noticia.asp?id=719236>
Recuerda que...
Una distribución de datos tiene la característica de que al aumentar el tamaño de la muestra, los datos tienden a acumularse en el centro de la distribución, a esto se le conoce como
tendencia central. Las medidas de tendencia central describen las características básicas de
un conjunto de datos. Son medidas representativas del conjunto y generalmente se resumen
mediante un valor numérico que indica la variación entre estos. Las medidas de tendencia
central son la media aritmética, la moda y la mediana.
La media aritmética, también llamada promedio, se obtiene al sumar todos los datos y dividir el resultado entre la cantidad de datos. La media tiene las siguientes propiedades:
• Se aplica solo a conjuntos de datos cuantitativos.
•
Su cálculo incluye todos los datos.
•
Es un valor único.
•
Se ve afectada por la presencia de valores atípicos en la población o muestra.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
61
Aritmética
En la siguiente tabla, podemos apreciar el índice de pobreza a nivel mundial:
Media aritmética para datos agrupados
Cuando los datos están agrupados en clases, se calcula la media aritmética usando la marca de clase
(el punto medio de cada intervalo), quedando la fórmula:
x=
∑ xi ⋅ fi
n
Ejemplo
Retomando la muestra de alumnos que rindieron el examen a la universidad, tenemos ya la tabla de
frecuencia en clases. Agregamos una columna para multiplicar cada marca de clase por su frecuencia.
Clases
Mi · f
Mi
fi
93,5
7
93,5 · 7 = 654,5
98-105
101,5
9
101,5 · 9 = 913,5
106-113
109,5
13
114-121
117,5
3
117,5 · 3 = 352,5
122-129
125,5
4
125,5 · 4 = 502
130-137
133,5
3
133,5 · 3 = 400,5
138-145
141,5
1
141,5 · 1 = 141,5
90-97
Total
40
109,5 · 13 = 1423,5
x=
4388
40
x =109,7
Σ = 4388
El promedio de aciertos es de 109,7.
Actividad en el aula 1. El histograma muestra la distribución de frecuencias de las edades de los ingresantes a
cierta facultad. Halla la media.
2. La siguiente ojiva muestra las frecuencias
absolutas acumuladas correspondientes al
ingreso diario (en nuevos soles) de un cierto
número de empleados.
fi
n.º de
empleados
54
200
180
36
120
27
70
8
0
15
17
19
21
23
edades
30
0
10 20 30 40 50 60 ingreso
Calcula el promedio de ingreso diario de los
empleados.
62
Compendio escolar
Aritmética
Fi
6. El siguiente gráfico nos muestra la frecuencia relativa acumulada de las notas de un
examen. Calcula el promedio de notas de los
estudiantes.
Hi %
20
19
100
95
13
65
9
50
4
30
0
10
12
14
16
18
20
Ii
notas
a. ¿Cuántos estudiantes tienen notas menores a 14?
b. ¿En qué intervalo hay más datos?
c. ¿Qué tanto por ciento del total tienen notas desde 14 hasta menores que 18?
d. Calcula el promedio de las notas de los
estudiantes.
4. Del siguiente gráfico, calcula el promedio de
notas de los estudiantes.
fi
35
25
20
0
4
8
12
16
20
notas
7. Conocida la siguiente tabla de frecuencias,
cuya distribución es simétrica y el ancho de
clase es constante
Ii
fi
;
⟩
[240;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[330;
⟩
[
Fi
Hi
24
10
1/5
a. ¿cuántos datos habrá en el intervalo
[240; 300⟩?
b. determina la media aritmética.
10
0 40
80
120
160
200
Ii
notas
5. En el siguiente diagrama escalonado, se muestran las notas de 30 estudiantes.
Fi
8. En el siguiente histograma se muestra la
distribución de frecuencia de un conjunto de
personas y sus pesos.
n.º de
personas
30
30
24
20
19
13
10
3
5
0
5
8
11
14
17
20
Ii
notas
Calcula el promedio de notas de los estudiantes.
0
40
50
60
70
80
peso
(kg)
Halla el precio promedio de las personas.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
63
Aritmética
3. El siguiente diagrama escalonado nos muestra la distribución de las notas de Matemática de un grupo de 20 estudiantes.
9. La siguiente tabla nos muestra la distribución de sueldos en una empresa. Halla [a; b]
si se sabe que el sueldo promedio de los trabajadores de la empresa es S/.580.
Sueldo
(S/.)
10. En la siguiente tabla de distribución de frecuencias, de ancho constante, se muestran
las estaturas de un grupo de bebés que han
nacido en una semana en un centro de salud.
Estatura (cm)
Frecuencia
relativa
[300; 500⟩
a
[500; 700⟩
b
[700; 900⟩
0,2
xi
fi
[140;
⟩
14
[
;
⟩
20
[
;
⟩
165
16
[170;
⟩
22
[
⟩
10
;
Actividad domiciliaria
1. La distribución de las edades de 100 personas está dada en la siguiente tabla:
3. Si el ancho de clase es constante
xi
Intervalo
de clase
xi
hi
Fi
Hi
5
[18; 24⟩
0,65
[30; 36⟩
⟩
[16;
⟩
[
0,42
[24; 30⟩
;
[
fi
hi
4
; 24⟩
[
;
⟩
6
0,2
calcula lo siguiente.
[36; 42⟩
a. R + f2 + f3
0,15
[42; 48⟩
b. la media aritmética
Halla el promedio de edades.
2. En una encuesta sobre los ingresos anuales,
en miles de nuevos soles, de un grupo de
familias, se obtuvo la siguiente información:
4. Dado el siguiente gráfico, calcula el peso
promedio de las personas asistentes al tópico de un centro de salud.
fi
Intervalo
de clase
xi
fi
20
[10; 30⟩
12
[30; 50⟩
9
[50; 70⟩
6
20
[70; 90⟩
Además, la media es 54 y
f2 1
= . Calcula el
f3 5
ingreso promedio por familia.
64
15
Compendio escolar
Aritmética
3
0
20
30
40
50
Halla la media aritmética.
60
70
Ii
Tiempo en
minutos
f
1-3
4
4-6
11
7-9
5
10-12
14
13-15
11
16-18
4
19-21
1
Total
50
Ii [35; 45⟩ [45; 55⟩ [55; 65⟩ [65; 75⟩ [75; 85⟩
fi
4
8
10
15
13
determina la media.
6. Calcula la estatura promedio (en pulgadas)
del siguiente grupo de estudiantes de una
universidad estatal.
n.º de
estudiantes
45
42
40
60 - 62
35
63 - 65
30
9. El siguiente histograma representa el ingreso
semanal de los empleados de una empresa
textil. Calcula el ingreso promedio por semana de dichos trabajadores.
66 - 68
27
25
20
18
69 - 71
fi
72 - 74
30
25
15
10
5
Aritmética
5. Dada la distribución
8
5
20
estaturas en
pulgadas
15
0
10
7. En el siguiente cuadro estadístico se indica
la cantidad de veces que un grupo de personas se moviliza en microbús durante un mes.
Ii
fi
[10; 20⟩
20
[20; 30⟩
n
[30; 40⟩
n2
[40; 50⟩
n3
[50; 60⟩
n4
0
50
100 150 200 250 300
Ii
10. El siguiente gráfico representa las edades de
120 niños asistentes a una vacunación organizada por el centro de salud del distrito
del Rímac. Calcula la edad promedio de los
niños que asistieron a la vacunación.
fi
5x
4x
17
Determina el número de personas en cada
caso si la media aritmética es 34,6.
x
2
8. Calcula el promedio de minutos de tardanza
a la primera hora de clases de un aula de un
colegio estatal.
1
0
2
5.o de secundaria
4
6
8
10
Colegio Bertolt Brecht
Ii
65
13
TEMA
Medidas de posición: mediana
Objetivos
 interpretar correctamente la información estadística proveniente de hechos de la vida cotidiana.
 reconocer la importancia, la interpretación y la aplicación de la mediana para datos agrupados.
¿Aumenta la venta de drogas al
menudeo en todo el país?
El tercer problema más grande del país: la droga
¿Debe legalizarse el uso de drogas en el Perú?
¿Qué debería hacer el Gobierno respecto al cultivo de la coca?
7,5 % Sí
85,6 %
92,5 %
No
considera que
se debe buscar
alternativas al
problema del
cultivo de la
coca.
¿Qué aspecto del problema de las drogas es
más grave en el Perú?
Microcomercio de drogas
18,8 %
Consumo de drogas
15,6 %
Narcotráfico
14,2 %
Elaboración de drogas
13,8 %
Cultivo de coca para narcotráfico
13 %
24,5 %
Indistinto
Combatirlo,
enfrentarlo, erradicarlo
Dar créditos para
sustituir cultivos
7,0 %
Promover la
erradicación voluntaria
Desarrollo de zonas
cocaleras
6,3 %
Industrializar la coca
6,2 %
Legalizar, despenalizar
el consumo
3,3 %
66
63,0
Éxtasis
Marihuana
55,4
Tabaco
Clorhidrato
de cocaína
43,9
Opio/heroína
15,0
Alcohol
32,4
Químicas (LSD,
ketamina, otros)
14,5
Compendio escolar
30,4
21,2
Aritmética
3,9 %
Para los primeros cinco ítems
¿Qué tan fácil sería para usted conseguir drogas? %
Qué tan fácil de conseguir...
Fácil
Difícil N/S-N/O
Alcohol
95,3
92,4
45,4
30,9
24,1
3,8
5,8
40,5
51,1
54,6
Tabaco
PBC
Pasta básica
de cocaína
11,2 %
Negociar con cocaleros
Marihuana
¿Cuáles son las drogas más peligrosas? %
57,2 %
Cocaína
0,8
1,7
14,1
18,0
21,3
¿Qué tan grave es el problema del narcotráfico en el Perú? %
Nada
grave
Lima Metropolitana
Resto de costa
Sierra
Selva
1,1
1,2
1,8
1,2
Medianamente
Grave
grave
5,7
11,3
10,5
7,2
93,2
87,5
87,7
91,5
FUENTE: CEDRO
Mayor facilidad
Otro de los puntos que arroja la investigación –que incluyó a personas de 12 a 65 años en Lima
y en 12 provincias de la costa, sierra y selva– es que un 95,3% considera que es fácil conseguir
alcohol y un 92,4% opina lo mismo del tabaco.
En el caso de las drogas ilegales, un 45,4% manifestó que es fácil conseguir marihuana, un
30,9% dijo lo mismo del PBC, y un 24,1%, de la cocaína.
Respecto a cuáles son las razones por las que se consume droga, el 39% de encuestados sostuvo que por problemas familiares.
Otro 21% afirmó que la curiosidad lleva a las personas a probar estupefacientes, un 9,4%
señaló como causa a la diversión, un 9,1% a la presión de grupo y un 6,5% a problemas psicológicos.
Entre tanto, al ser consultados sobre la acción del Gobierno Central respecto al delicado tema,
el 85,6% considera que este debe buscar alternativas al problema del cultivo de la coca (combatirlo, sustituir cultivos, negociar con cocaleros, procurar la erradicación voluntaria, desarrollar
zonas cocaleras, etcétera).
<http://peru21.pe/actualidad/aumenta-venta-drogas-al-menudeo-todo-pais-2137027>
Recuerda que...
La mediana (Me)
Se define como el valor o dato que se localiza a la mitad de un conjunto de datos ordenados.
Tiene las siguientes propiedades:
• Se aplica solo a datos cuantitativos.
• Su cálculo no incluye todos los datos.
• No se ve afectada por valores muy grandes o muy pequeños.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
67
Aritmética
Un kete de pasta básica de cocaína puede ser adquirido ahora a solo S/.0,40 –es decir, a un precio
menor de lo que cuesta un chocolate– en el colegio, en el barrio o en cualquier otro punto.
Reflejo de esta realidad es que los peruanos consideran que el problema más grave de las
drogas es, precisamente, la microcomercialización de estupefacientes.
La encuesta ‘Estudio de opinión sobre drogas en la población urbana peruana’, realizada por
Cedro, señala que las drogas son el tercer problema más importante del país (antes están la delincuencia y la pobreza).
Sin embargo, lo preocupante es que la mayoría de los entrevistados sostiene que lo más grave
es la venta al menudeo.
Así, el sondeo revela que cuatro de cada diez personas entrevistadas asegura que se vende
droga en sus barrios.
Al respecto, Alfonso Zavaleta, jefe de investigaciones de Cedro, manifestó a Perú21 que el
problema de la microcomercialización es mayor en Lima que en provincias. “La capital es el lugar
de comercio de todo, ya sea para lo bueno o para lo malo”, refirió.
Dijo que la percepción que tiene el público sobre la droga es que se trata de un grave problema del que se escucha todos los días. “Lo vemos en el barrio, el colegio, la universidad, en
discotecas y otros centros de diversión, hasta por delivery”, manifestó.
Mediana para datos agrupados en clases
Cuando los datos están agrupados en clases, se calcula la mediana usando la siguiente fórmula:
n

 2 − Fi −1 
Me = L + A 

i
fi


donde
- Li : límite real inferior de la clase donde se localiza la mediana
- A: amplitud de la clase o intervalo
- n: número de datos
- Fi –1: frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase de la mediana
- f i : frecuencia absoluta de la clase de la mediana
Ejemplo
Retomando la muestra de alumnos que rindieron el examen a la universidad, tenemos ya la tabla de
frecuencia en clases y agregamos la frecuencia acumulada.
Primero localizamos la clase de la mediana que corresponde al lugar
n 40
= = 20, el cual está en la clase 106-113
2
2
donde
-
Li: 105,5 (se toma medio punto antes del límite inferior 106)
-
A: 8 (número de datos en cada clase)
-
Fi –1: 16 (frecuencia acumulada antes de la mediana)
-
fi: 13 (frecuencia de la clase de la mediana)
Sustituyendo en la fórmula, tenemos
2

− Fi −1
3

 20 − 16 
 4
Me = Lr + a 
 = 105, 5 + 8  13  = 105, 5 + 8  13 
i
fi

Clases
Fi
fi
90-97
7
7
98-105
9
16
106-113
13
29
114-121
3
32
122-129
4
36
130-137
3
39
138-145
1
40
Me=105,5 + 2,46 = 107,96
Actividad en el aula 1. El siguiente polígono de frecuencias muestra
los volúmenes de los productos fabricados
en un taller.
1800
n.º de
productos
2. De la ojiva, halla la mediana.
Fi
60
1600
35
1400
15
10
1200
1000
0
0
200 240 280 320 360 volumen
Calcula la mediana.
68
Compendio escolar
Aritmética
10
20
30 35
50
60
fi
Ii
fi
[2; 6⟩
2
[6; 10⟩
6
[10; 14⟩
4
[14; 18⟩
10
[18; 22⟩
18
4. Calcula la mediana de los siguientes datos.
Ii
fi
xi
75
[
-
⟩
[
-
⟩
[
-
⟩
2
[20; 30⟩
3
[
-
⟩
[30; 40⟩
5
[
-
8
⟩
[40; 50⟩
[50; 60⟩
12
30
24
19
13
3
8
11
14
17
20
Ii
notas
6. En una planta de ensamblaje de equipos
eléctricos, el jefe de producción ha puesto a
prueba a 40 obreros para estudiar el tiempo
de ensamblaje de un nuevo equipo para lo
cual se obtuvo el siguiente gráfico:
cantidad
de obreros
50
Calcula la mediana.
30
40
10
14
95
52
20
donde
- fi: frecuencia absoluta simple
- hi: frecuencia relativa simple
- Hi: frecuencia relativa acumulada
Calcula la mediana.
9. Un pueblo de América del Sur tenía problemas con el agua potable, por contener altos
niveles de arsénico, por lo cual, a un instituto
de protección ambiental se le encargó investigar y proporcionar un tratamiento que removiera la mayor cantidad de arsénico del agua.
En la tabla se presentan los resultados obtenidos de remoción de arsénico en 60 muestras
de agua tratadas con cloruro de aluminio.
15
10
20
hi%
8. En una tabla de distribución de frecuencias
con seis intervalos de igual amplitud, el valor mínimo es 500 y el valor máximo es de
1700. Si la característica medida es el ingreso (en nuevos soles) de un grupo de trabajadores y se sabe además que
1
=
f4 =
f ; H 3 0, 95 ; f6 =10; h3 = 0,25
2 3
30
25
10
Fi
Calcula la mediana.
40
0
fi
Total
Fi
5
Tiempo
(minutos)
[10; 20⟩
5. En el siguiente diagrama escalonado se muestran las notas de 30 estudiantes.
Calcula la mediana.
0
7. A 60 alumnos se les aplicó un examen de
matemática y se anotó el tiempo en minutos
que demoró cada uno en contestar el examen. Los tiempos se ordenaron en una tabla
de frecuencias con amplitudes iguales. Observa algunos resultados.
50
60 horas
% de
remoción
Número de
muestras
[50-60⟩
9
[60-80⟩
16
[80-90⟩
15
[90-95⟩
20
Calcula la mediana.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
69
Aritmética
3. Halla la mediana de la siguiente distribución.
Actividad domiciliaria
1. Completa la tabla y luego calcula la mediana. Se conoce además que f3 = 7f4.
4. Calcula la suma de la media y de la mediana
a partir del siguiente gráfico.
fi
Ii
fi
[ 12 ;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
; 36 ⟩
Fi
hi
Hi
15
0,28
12
10
0,10
6
12
4
3
50
6
0
2. La siguiente tabla nos muestra la distribución de resultados obtenidos en un examen
(calificación de cero a cinco puntos).
10 14 18 22 26
Ii
5. A partir de la ojiva, halla la mediana del número de estudiantes que asisten a la asesoría de Aritmética.
Hi %
100%
Resultados
0
1
2
3
4
5
Frecuencia
1
5
9
12
15
8
60%
40%
Encuentra la mediana.
3. En la siguiente tabla se muestra la distribución de frecuencias de las edades de los
empleados de una fábrica. Si los intervalos
tienen igual ancho, determina la mediana.
Ii
xi
[
;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
fi
Fi
hi
12
60
33
Hi
Ii
xi
[
;
⟩
0,3
[
;
⟩
[ c
;
⟩
15
Total
Compendio escolar
100
140 número de
estudiantes
6. Completa el siguiente cuadro de distribución
de frecuencias si tiene ancho de clase común.
0,05
b
fi
hi
a
0,20
Hi
20
d
0,90
50
Luego calcula el valor de la mediana más
(a + b + c + d).
60
70
20
0
[ 30 ; 50 ⟩
35
55
20%
Aritmética
Ii
xi
fi
hi
[
;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
; 30⟩
17
[
;
⟩
10
Hi
10. Dado el tablero incompleto de la distribución
de la frecuencia de las notas de 30 alumnos,
completa el tablero con un ancho de clase
constante e igual a 4.
0,08
Ii
17,5
0,06
0,80
halla x + Me.
8. En un centro meteorológico, se tiene una
estación uniforme con 28 observaciones registradas, tal como se indica. Calcula la mediana aproximadamente.
Temperatura
fi
[20-30⟩
2
[30-40⟩
10
[40-55⟩
8
[55-65⟩
6
[65-85⟩
2
fi
⟩
2a
[5 [
-
⟩
[
-
⟩
[
-
⟩
[
- 30⟩
[
-
xifi
[
-
⟩
18
[
- 8⟩
18
[
-
⟩
[
-
⟩
[
-
⟩
20
80
72
Calcula la Me.
11. Dado el siguiente histograma, calcula la Me.
fi
6
4
0
Fi
12
18
24
30
36
Ii
12. Un fabricante de varillas de fierro para construcción clasifica un lote según longitudes,
y obtuvo el siguiente gráfico (ojiva). Calcula
la Me.
cantidad
5a
5a
2a
Fi
10
14a
⟩
fi
12
9. Dada la siguiente tabla de frecuencias correspondiente a las edades de 320 personas
Intervalo
xi
280
150
70
50
calcula la Me.
0
10 20
5.o de secundaria
40 50
80 longitud
Colegio Bertolt Brecht
71
Aritmética
7. Si consideramos que la siguiente distribución
de frecuencias tiene ancho de clase común
14
TEMA
Medidas de posición: moda
Objetivos
 interpretar correctamente la información estadística proveniente de hechos de la vida cotidiana.
 reconocer la importancia, la interpretación y su aplicación de la moda para datos agrupados.
¿Eres adicto a tu smartphone?
El siglo xxi trae lo suyo. Especialistas españoles han detectado una nueva fobia que la padece el
53 % de usuarios de teléfonos celulares. Se trata de nomofobia. La palabra viene del inglés ‘no
mobile’; es decir, sin móvil o celular. La nomofobia es considerada una patología tecnológica y
consiste en el miedo irracional a salir a la calle sin celular, olvidarlo, perderlo, que se descargue
la batería o estar en una zona sin cobertura.
No hay datos en el Perú, pero la encuesta española señala que los hombres son los más afectados: 58 % frente a un 48 % de las mujeres. Quienes poseen un smartphone (teléfono inteligente)
son más propensos a padecer la nomofobia. El asunto también viene siendo estudiado por la Universidad de Kansas (EE.UU.) y por expertos australianos.
Síntomas
Entre los principales síntomas que presentan estos enfermos tecnológicos del siglo xxi están la
agresividad, la dificultad para concentrarse y la inestabilidad emocional. No tener el celular a la
mano, la descarga de la batería o estar en una zona sin cobertura es un vía crucis para la creciente
legión de nomofóbicos según revelaron los usuarios españoles encuestados. Así, un avance tecnológico que debiera facilitar y hacer más agradable la vida se convierte en un elemento de estrés
y de limitante dependencia psicológica.
Si al salir de casa se percata de haber olvidado el aparato y eso le genera ansiedad al punto de
tener que volver a recogerlo –por lejos que esté–, es más que probable que caiga en la categoría
de nomofóbico.
Según la revista venezolana Vida efectiva es fácil distinguir a un nomofóbico: en las reuniones
con amigos, en la universidad, en el trabajo, en la casa y hasta en el baño habla por celular o
manipula el teléfono para leer mensajes. Al menos cada 2 minutos mira la pantalla, aunque no
espere ninguna llamada. Puede olvidar todo menos su celular. Los lugares que no permiten el uso
del teléfono celular, como cines, bancos, aviones, ciertos restaurantes, iglesias, entre otros, le
generan estrés.
71%
Conoce a un amigo o familiar
que puede ser adicto a su
smartphone.
84 %
Compendio escolar
Están preocupados
porque las horas del
smartphone
están aumentando.
45 %
Piensa que la
adicción al
smartphone existe.
72
57 %
52 %
Creen que tienen
adicción a su
smartphone.
Dicen que usan su
smartphone al menos
una vez cada hora.
Aritmética
Una reveladora encuesta
Una encuesta hecha por RIM sacó a la luz que 4 de cada 5 usuarios cree que debe contestar un
mensaje de flirteos, de texto o SMS, el mismo día. Ignorar el mensaje genera estrés en 2 de cada
3 usuarios y 87 % de ellos usa los mensajes para invitar a salir a alguien.
Según expertos, esto sucede porque permite que el coqueteo sea menos confrontacional e
invasivo, además porque es más fácil romper el hielo y ayuda ser emocionalmente más atrevidos.
No en vano el 77 % contestó que estaba bien terminar una relación usando los mensajes de texto.
Todo esto hace comprender mejor la nomofobia: para muchos su vida social, amorosa, familiar
y de trabajo, su identidad y estilo dependen de un aparato, a falta de habilidades sociales que les
permitan otro tipo de lazos.
Adaptado de <https://elcomercio.pe/tecnologia/actualidad/mas-mitad-usuarios-telefonoscelulares-sufre-nomofobia-noticia-1281521>
Recuerda que...
La moda (Mo)
Se define como el valor o dato que tiene mayor frecuencia. Tiene las siguientes propiedades:
• Se aplica tanto a datos cuantitativos como a cualitativos.
• Su cálculo no incluye todos los datos.
• Puede existir más de una moda; si existe una sola moda, se dice que la variable es unimodal; si existen dos modas, se llama bimodal, y así sucesivamente.
• La moda se ve afectada por la formación de las clases o intervalos.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
73
Aritmética
Nueva vida social
Según investigadores australianos, la elección del modelo de celular es otro factor estresante. Esto
porque a ciertas personas los teléfonos celulares inteligentes les dan un sentido de pertenencia a
un grupo social determinado y porque han empezado a expresar su identidad a través del modelo
del aparato.
Los estudiosos señalan que hay quienes se pasan hasta seis meses tratando de elegir el equipo y el plan de pago más adecuados, mientras que las ofertas, la publicidad y las tendencias los
confunden.
Un estudio de la Red Australiana de Acción del Consumidor de Comunicaciones, de la Universidad de Deakin, reveló que algunos usuarios se sienten desplazados si tienen el modelo equivocado. Para el doctor Paul Harrison, que lideró al grupo de investigadores, esto se debe a que los
teléfonos, especialmente los smartphones, se asumen cada vez más como un modo esencial de
operar en el mundo moderno. “Si quieres una vida social, tienes que mantenerte conectado. No
es un juguete”, afirma el doctor Harrison.
A esto se suma una encuesta de Research In Motion (RIM), fabricante de Blackberry, que revela que el 60 % de usuarios coquetea virtualmente vía mensajes de textos de sus celulares. La
experta en relaciones de pareja Katia Loisel-Fury escribió: “Desde que los teléfonos móviles se
convirtieron en tendencia, las relaciones amorosas sucumbieron a la presión y ansiedad asociada
a la espera de una respuesta, a lo que se conoce como la carta de amor de 160 caracteres”.
Moda para datos agrupados en clases
Cuando los datos están agrupados en clases, se calcula la moda usando la siguiente fórmula:
 ∆1 
Mo = Li + A 

 ∆1 + ∆2 
donde
- Li: límite real inferior de la clase de mayor frecuencia (clase modal)
- A: amplitud de la clase o intervalo
- Δ1: diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase anterior
- Δ2: diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase siguiente
Ejemplo
Retomando la muestra de alumnos que rindieron el examen a la universidad
tenemos ya la tabla de frecuencia en clases.
Primero localizamos la clase modal que corresponde a 106 -113, ya que es la
de mayor frecuencia igual a 13.
donde
- Li: 105,5 (se toma medio punto antes del límite inferior 106)
- A: 8 (número de datos en cada clase)
- Δ1: 13 – 9 = 4 (frecuencia modal menos frecuencia anterior)
- Δ2: 13 – 3 = 10 (frecuencia modal menos frecuencia siguiente)
Clases
f
90 - 97
7
98 -105
9
106 -113
13
114 -121
3
122 -129
4
130 -137
3
138 -145
1
Sustituyendo en la fórmula tenemos lo siguiente:
 ∆1 
 4 
 4
Mo = Lr + A 
= 105, 5 + 8 
= 105, 5 + 8  
 4 + 10 
 14 
1
 ∆1 + ∆ 2 
Mo = 105,5 + 2,28 = 107,78
Actividad en el aula 1. Determina la moda de la siguiente distribución.
Ii
[0; 1⟩
[1; 2⟩
[2; 3⟩
[3; 4⟩
[4; 5⟩
fi
3
10
17
8
5
2. Dado el siguiente histograma, calcula la
moda.
Número de
comidas por día
Número de
días
[0; 5⟩
3
42
[5; 10⟩
6
30
[10; 15⟩
5
[15; 20⟩
8
[20; 25⟩
2
[25; 30⟩
3
fi
60
18
8
0
74
3. Los estadísticos del programa de comidas calientes a enfermos confinados en casa desean
evaluar sus servicios. El número de comidas
diarias que suministran aparece en la siguiente tabla de frecuencias. Calcula la media, la
mediana y la moda.
10
20
30
Compendio escolar
40
50
60
Aritmética
Ii
(L1; L2)
fi
16; 32
32; 48
48; 64
6
a
8
64; 80
3a
80; 90
3
8. El histograma muestra la distribución de
frecuencias de las edades de los ingresantes a cierta facultad. Indica la clase modal y
calcula la moda.
fi
54
calcula el valor de a si se sabe que la moda
es 60 y pertenece al tercer intervalo.
5. Las temperaturas recogidas en una determinada ciudad durante enero se muestran en la
siguiente tabla:
Temperatura (ºC)
19
20 21 22 23
24
Número de días
7
9
2
6
4
3
a. ¿Cuántos días hizo por encima de 21 ºC?
b. ¿Cuántos días por debajo de 23 ºC?
c. ¿Cuántos días hizo la temperatura máxima?
d. Calcula la media, la mediana y la moda.
6. De la siguiente distribución de frecuencias
con ancho de clase constante, determina la
moda si la mediana es 36.
36
27
8
0
15
17
19
21
23
edades
9. El siguiente diagrama escalonado nos muestra la distribución de las notas de Matemática de un grupo de 20 estudiantes.
Fi
20
19
13
9
Ii
fi
[
; 20 ⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
44 ;
]
Fi
hi
0
0,28
12
14
16
18
20
Ii
notas
Calcula la moda e indica la clase modal.
33
cantidad de
empleados 5x
4x
x
2
1
4
6
8
10 12
10. La siguiente distribución muestra el peso en
gramos de 300 paquetes de un determinado
producto.
Ii
10-14
15-19
20-24
25-29
30-35
fi
k/2
0,17
2k
k
0,13
a. Calcula la moda e indica la clase modal.
b. Calcula la mediana e indica la clase mediana.
c. Calcula la media aritmética.
d. ¿Qué productos podrían tener dicho
peso?
7
2
10
39
7. El siguiente gráfico representa la cantidad de
horas al día que trabajan 40 empleados de
un call center. Calcula la moda e indica la
clase modal.
0
4
horas
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
75
Aritmética
4. Dada la siguiente distribución de frecuencias:
Actividad domiciliaria
1. Del siguiente gráfico, calcula la moda e indica la clase modal.
4. Del siguiente gráfico, halla la media más la
moda.
fi
40
fi
35
25
25
20
20
15
12
8
10
0
40
80
120
160
200
notas
2. Se muestra la siguiente tabla correspondiente al sueldo mensual, en nuevos soles, de un
grupo de trabajadores.
[
;
⟩
[
;
⟩
[
;
⟩
[
76
20
24
28
Intervalo de clase
Frecuencias
80
[400; 500⟩
2
[350; 400⟩
120
[500; 600⟩
8
[400; 450⟩
130
[600; 700⟩
4
[450; 500⟩
90
[700; 800⟩
10
[500; 550⟩
80
[800; 900⟩
6
[550; 600⟩
70
[600; 650⟩
50
[650; 700⟩
30
fi
Fi
hi
Hi
0,36
5
; 62 ⟩
Compendio escolar
0,96
50
Aritmética
32
xi
5. La siguiente distribución corresponde al salario
mensual de obreros en una empresa. Calcula
la media aritmética, la mediana y la moda.
[300; 350⟩
xi
⟩
16
fi
3. Dada la siguiente distribución, calcula la
f
f
moda si 3 = 4 .
3 2
[ 20 ;
12
Sueldo
Calcula la moda y la mediana.
Ii
0
6. Dada la siguiente tabla de frecuencias:
Intervalos
Frecuencias
absolutas
[50; 60⟩
15
[60; 70⟩
25
[70; 80⟩
45
[80; 90⟩
5
[90; 100⟩
10
Total
100
determina la suma de la media, de la mediana y de la moda.
[Li ; Ls]
xi
[10 - 30⟩
Fi
[30 - 50⟩
100
[50 - 70⟩
72
60
[70 - 90⟩
Además,
42
5
15
25
35 45 55
65 Ii
Frecuencia
20
xi . fi
f
1
= 54; 2 =
f3 5
i =1 n
4
∑
[0; 3⟩ [3; 6⟩ [6; 9⟩ [9; 12⟩ [12; 15⟩ [15; 18⟩
2
7
12
13
4
10. El siguiente histograma registra el ingreso
mensual de los empleados de un taller de tejido. Calcula la moda.
n.º de
personas
20
8. Dada la distribución de frecuencias
Intervalos
20
Calcula la moda e indica la clase modal.
12
4
0
fi
Aritmética
7. De la siguiente ojiva, calcula la suma de la
media y de la moda.
3
15
12
calcula la media, la moda y la mediana.
8
9. En una encuesta sobre los ingresos anuales
en miles de nuevos soles de un grupo de familias, se obtuvo la siguiente información:
0
150 250 350 450 550 650
gasto
mensual
(S/.)
Bibliografía
 Asociación de Fondo de investigadores y editores. Compendio Académico de Matemática. Lima:
Lumbreras Editores, 2007.
 BoroVKov, A. A. Estadística matemática. Moscú: Editorial Mir, 1984.
 Instituto de Ciencias y Humanidades. Aritmética. Análisis del número y sus aplicaciones. Lima:
Lumbreras Editores, 2009.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
77