Secundaria
5
Álgebra
Álgebra - 5.o grado de secundaria.
resentación
l colegio Bertolt Brecht saluda a los padres de familia y estudiantes por la
confianza depositada en nuestra institución, la cual tiene por misión brindar
una educación integral en sus múltiples dimensiones, a través de la enseñanza de
la ciencia, el arte y el deporte, para la formación de ciudadanos conscientes y
comprometidos que aporten al engrandecimiento de nuestra sociedad.
Es así que, en esta oportunidad, se pone a disposición de los estudiantes este
cuaderno de trabajo, que será una herramienta de apoyo en el proceso de
enseñanza-aprendizaje y que contribuirá al logro de los objetivos curriculares. Este
material educativo permitirá al estudiante consolidar su aprendizaje en las
diferentes materias del grado.
La comunidad educativa saluda y reconoce el trabajo de todos los profesores
que participaron en la elaboración del presente texto, donde se plasman sus
conocimientos y experiencias adquiridas en esta labor tan importante como es la
de educar.
Finalmente, deseamos saludar al personal técnico-administrativo que participó
en la elaboración de este importante libro en beneficio del alumno y, asimismo, de
la sociedad.
Colegio Bertolt Brecht
Í
ndice
Tema 1.
Números complejos en su forma trigonométrica
7
Tema 2.
Matrices: definición y propiedades
10
Tema 3.
Problemas variados con matrices
15
Tema 4.
Determinantes
18
Tema 5.
Funciones. Dominio y rango
24
Tema 6.
Función real de variable real
30
Tema 7.
Gráfica de funciones I
33
Tema 8.
Método de divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides
38
Tema 9.
MCD y MCM: propiedades
44
Tema 10.
Lógica proposicional
51
Tema 11.
Medidas de posición para datos no agrupados
55
Tema 12.
Medidas de posición: media aritmética
58
Tema 13.
Medidas de posición: mediana
64
Tema 14.
Medidas de posición: moda
67
Á lgebra
1
TEMA
Números complejos en su forma trigonométrica
Objetivos
 Representar los números complejos en su forma trigonométrica o polar.
 Aplicar las operaciones y propiedades de los números complejos para resolver diversos problemas.
El conjunto de los números complejos es aquel
que contiene a todos los números que conocemos hasta ahora: naturales, enteros, racionales,
irracionales, reales e imaginarios.
Una forma de expresarlos es mediante su
forma binomial (a + bi ), sin embargo también
existen otras formas de expresarlo, mediante la
forma trigonométrica o polar, y exponencial. Esta
última hace uso de la constante e.
En esta unidad estudiaremos la forma trigonométrica de un número complejo, para ello recordaremos su representación en el plano complejo.
Argumento
Álgebra
Números complejos
Módulo
z=(a; b)=a+bi
b
| z|
θ
a=|z|senθ
a
b=|z|cosθ
z=a+bi=|z|(cosθ+isenθ)
un Poco de HisToRia
Leonhar Euler, matemático suizo, cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de la
matemática pura, presentó entre sus obras el estudio del cálculo diferencial, donde muestra a los
números imaginarios.
En su estudio de definir las funciones trigonométricas, utiliza expresiones con números complejos.
Esto convierte a la trigonometría en una de las aplicaciones de los números complejos. Además
demostró que las propiedades básicas de trigonometría eran producto de la aritmética de números
complejos.
Recuerda que...
Las potencias de i dependen de su exponente:
q i 4k =1
q i 4k+3 = – i
q i 4k+1 = i
q i 4k+2 = – 1
∀ k ∈Z si a+bi = m+ni, i = −1, se cumple que a = m ∧ b = n.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
7
Actividad en el aula
1. Sea (m – 5)+7i=3+ni. Halla el valor de
mn
.
2
A) 8
B) 7C) 21
D) 56E) 28
2. Encuentra el módulo de los siguientes números complejos.
a. Z1=9+12i
4. Si el módulo de x+6i es 10, encuentra la
suma de valores de x.
A) 8
B) 16C) 0
D) 1E) 64
5. Si el módulo de m+2mi es 7 5, halla el producto de valores que puede tomar m.
A) 7
B) – 49
C) 0
D) 14E) 1
2
2
Z1 = ( 9 ) + (12 )
6. Halla el argumento de los siguientes números.
a. Z1= 6+8i
b. Z2= – 3+3i
tan θ =
c. Z3= 8 – 6i
8 4
= →θ=
6 3
b. Z2 = 4i+3
c. Z3 = i + 3
d. Z4= −
3
1
−
i
2 2
d. Z4 = 5+5i
e. Z5 =
3. Halla el módulo de x+yi
si se sabe que (x – 2)+yi=1+4i.
A) 3
B) 7C) 5
D) 1E) 3
8
Compendio escolar
Álgebra
f.
Z6 =
1
3
+
i
2 2
3
+ 2i
2
7. Escribe en su forma trigonométrica los siguientes números.
a. z1=7+12i
10. Si 3 + 3 3i = m ( cos α o + i sen α o ), halla
b. z 2 = 3 + i
c. z3=1+i
8. Escribe en su forma binomial los siguientes
números.
(
)
z 2 = 15 ( cos 53o + i sen 53o )
z 3 = 2 3 ( cos 60o + i sen 60o )
z 4 = 4 ( cos 30o + i sen 30o )
o
o
a. z1 = 8 cos 45 + i sen 45
d.
11. Si z es un número complejo cuyo módulo es
2 2 y su argumento es 45o, halla z en su
forma binomial y da como respuesta la suma
de la parte real con la parte imaginaria.
A) 1
B) 3C) 2
D) 4E) 5
12. Sea z un número complejo que cumple
Re(z )+2Im(z )=7 y Im(z ) – Re(z )=2. Determina el módulo de z.
9. Sea m +ni =10(cos37o+i sen 37o).
Halla la suma de cifras de mn.
A) 10
B) 3 C) 2
D) 4E) 5
Álgebra
c.
α
.
m
A) 1
B) 10C) 3
D) 60E) 6
d. z4=3+4i
b.
A) 12
B) 48C) 10
D) 14E) 86
Actividad domiciliaria
1. Halla el módulo de los siguientes números.
a. 8 – 9i
a. z1 = 5 ( cos 53o +i sen 53o )
b. – 8 – 6i
b. z 2 = 2 ( cos 45o +i sen 45o )
c. 5+5i
c. z 3 = 6 ( cos 60o +i sen 60o )
d. 7 – 24i
d. z 4 = 10 ( cos 37o +i sen 37o )
e. 2 − 5i
2. Determina el módulo de a+bi si se sabe que
(3a –1)i+(b+2)=7+8i.
A) 8
6. Escribe en su forma binomial los siguientes
números.
B) 11C)
D) 9E)
34
8
3. Si x+3xi tiene por módulo a 5 10, encuentra
el mínimo valor de x 3.
A) 125
B) 5C) –125
D) 8E) 1
4. Halla el argumento de los siguientes números complejos.
7. Si 4+ai = b(cos37 o+i sen37 o), encuentra el
valor de ab +1 y da como respuesta la suma
de sus cifras.
A) 35
B) 9C) 8
D) 1E) 10
8. Si a+bi=m(cos45 o+i sen45 o), halla
c.
3i + 1
d. 7+24i
e. 3+4i
5. Escribe en su forma trigonométrica los números complejos de la pregunta 4.
m2
.
A) 1
B) 2C) 3
D) 4E) 5
9. Sea z = 2cis
a. 8+6i
b. 3+3i
a2 + b2
3π
. Determina la parte real de z.
4
A) 1
B) 2C) − 2
D) –1E) 0
10. Sea z = 2cis
π
π
+ 5 2cis − 3. Halla | z |.
6
4
A) 12
B) 12 C) 74
D) 5E) 7
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
9
2
TEMA
Matrices: definición y propiedades
Objetivos
 Reconocer una matriz y sus elementos que la caracterizan.
 Realizar operaciones de adición de matrices y aplicar la propiedad de igualdad.
Algo de historia
El primero que empleó el término “matriz’’ fue el matemático
inglés James Joseph Sylvester en el año 1850.
Los chinos, entre los años 200 d. n. e. y 100 d. n. e., habían
descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss, por tanto, ya empleaban tablas con números. Estuvieron mucho más cerca de las
matrices que los babilonios. Verdaderamente es justo decir que
el texto Los nueve capítulos de arte matemático, escrito durante
la Dinastía Han, da el primer ejemplo conocido sobre métodos
matriciales. El siguiente problema aparece en esta obra que pasa
por ser la más importante de las matemáticas chinas de la antigüedad y la propuesta de resolución que se hace en esta:
Hay tres tipos de cereal, de los cuales tres fardos del primero,
dos del segundo y uno del tercero hacen 39 medidas. Dos del
primero, tres del segundo y uno del tercero hacen 34 medidas.
Y uno del primero, dos del segundo y tres del tercero hacen 26 medidas. ¿Cuántas medidas de
cereal son contenidas en un fardo de cada tipo?
La estrategia de resolución que propone el autor es la siguiente:
1. Se crea la tabla siguiente
Ahora, para resolver este problema, el autor hace algo realmente extraordinario. Coloca los
coeficientes del sistema de tres ecuaciones lineales en una especie de “tablero contador”.
10
Compendio escolar
1
2
3
2
3
2
3
1
1
26
34
39
Álgebra
En nuestro siglo xx, escribimos las ecuaciones lineales por medio de filas más que por columnas
pero, naturalmente, el método es idéntico. Más extraordinario es que hace 200 años d. n. e., el
autor escribió instrucciones al lector.
2. A continuación da instrucciones para reducir la tabla a esta forma
0
0
3
4
5
2
8
1
1
39
24
39
b. Multiplicar la columna uno por cinco y la columna dos por cuatro, restar la nueva columna
dos a la columna uno, generando una nueva columna uno. El tablero contador queda así:
0
0
3
0
5
2
36
1
1
99
24
39
Con esto, tenemos la solución para el tercer tipo de cereal,
de este modo se puede encontrar la solución para el segundo
y, por último, para el primero por medio de la sustitución
hacia atrás. Este método, conocido ahora como eliminación
gaussiana, no se volvería a retomar sino hasta inicios del
siglo xix.
Pero hasta el siglo xix no se desarrolla en las matemáticas el
álgebra de matrices. A este desarrollo contribuyó de forma
decisiva el matemático inglés Arthur Cayley. En 1858 publicó unas Memorias sobre la teoría de matrices en la que daba la
definición de matriz y las operaciones suma de matrices, de
producto de un número real por una matriz, de producto
de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que
obtuvo la idea de matriz a través de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformaciones geométricas.
<http://palillo.usach.cl/Pamela/historia.htm>
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
11
Álgebra
a. Multiplicar la columna dos por tres y la columna tres por dos, restar la nueva columna tres
a la columna dos, generando una nueva columna dos. Luego, multiplicar la columna uno
por tres y restarle la columna tres generando una nueva columna uno. El tablero contador
queda así:
Actividad en el aula
 −2 3 −1

1. Dada la matriz A =  0 −2 4  , calcula el
 −3 0 5 
4. Si las matrices A y B son iguales
n 
 m
A=

2n − 1 m + 1
9 2 
B=

a b 
valor de E=a12+a222+a33.
calcula a · b.
A) 1
B) 2C) 4
D) 10E) 12
A) 30
B) 10C) 3
D) 11E) 18
 x + y 2z + w 
7 − 4
5. Si M = 
 y N =

 x − y z +w 
5 8 
son iguales, halla el valor de x · y – z · w.
2. Escribe explícitamente las siguientes matrices.
q A =(aij)3×4 / aij =2i + j
A) 6
B) 48C) 54
D) 42E) 8
 z2
6. Si 
2

y + 1

3  9
=
3 ,
3 
x   3w − 1 64 


encuentra el menor valor de x +y +z +w.
q B=(bij)3×3 / bij =i – j
A) 16
B) 10C) 12
D) 8E) 6
7. Sean
 3 0 1


A = 2 −1 2 
 4 0 1
q C=(cij)2×3 / cij =i 2+ j
 4 1 −2 


B = 5 0 7 
3 −4 5 
Calcula A+B.
3. Dados
m 2m 
A=

5 
4
3 p 
B=

a b 
Halla el valor de E = a +b +p +m
siendo A =B.
A) 10
B) 18C) 12
D) 16E) 20
8. Sean
4 3
 5
m n p 




A= 2
1 4 ; B =  k  q 
 3 2 1 
z 2 − 1 2 1


donde A=B.
Halla A+B.
12
Compendio escolar
Álgebra
Resolución
1 3
9. Si A = 
 , encuentra 2A.
 4 6
C12 
C
C =  11

 C 21 C 22 
 1 4
 3 2
10. Si A = 
 ; B = −
 y
2
5
−


 2 1
C = 2A + 3B, determina la traza de C.
 2 −4 
11. Si A = 
 , halla – 7A.
 −3 0 
 
=
 
C11 = (
)
C12 = (
)
C 21 = (
)
 
=
 
 
=
 
 
=
 
Reemplazando


C =


siendo I la matriz identidad.
 −1 
 
−2
13. Si A=(1 2 3 4) y B =   ,
 −3 
 
 −4 
halla C si C = A · B.
)





Álgebra
C 22 = (
1 3 5


12. Si B =  0 4 −6  , señala 3B – I
 −1 2 −3 


 1 −1
5 3 0


16. Si A =  3 2  y B = 
,
2 1 1
2 0 


halla A · B.
Resolución
C=(( )( )+( )( )+( )( )+( )( ))
C=(
+
+
+
)
C=( )
14. Escribe si existen o no las siguientes multiplicaciones de matrices.
5
2 1 
a. 
  1 
3 42
 
existe
 −1 0 1   7 4 
 


b.  4 6 2  ⋅  2 8 
 1 3 2 1 0
 


existe
7
c.   ⋅ ( 3 2 )
8
existe
1 5
d. 
 ⋅ ( 7 2 )
 2 1
existe
15. Halla C si C =A · B, además
3 5
6 2
A=
; B = 

2
1


7 3
2 3 
 1 −2 3 
17. Si A = 
; B = 
,
1 2 
 4 1 2
indica AB.
 2 −2 


3 2
 −3 0 −2 
y B =
18. Sean A = 
 .
1 0
 4 1 2 2×3


 −1 1 4×2
Halla A · B.
2 3 
2
19. Dada la matriz A = 
 , calcula A – 4A.
3 2 
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
13
Actividad domiciliaria
1. Dada la matriz
A) 1
B) 2C) 3
D) 4E) 5
 1 3 2i 


A =  0 1 1 ,


 i −2 −1
7. Sean las matrices
halla el valor de M = a12 + a31 · a13.
A) 0
B) 1C) 2
D) iE) – 2
2. Escribe explícitamente las siguientes matrices.
A = (aij)3×2 / aij = i + 2j
8. Dados
B = (bij)3×3 / bij = i – j
1 2 
2 2 




A =  −1 3  ; B = 1 −1  ,
 5 −2 
1 −3 




C = (cij)4×1 / cij = i · j – 4
D = (dij)2×5 / dij = i j
3. Si
 x − 1 3z 
 y B =  5 6  son iguales,
A=


 y + 1 w 
3 2

2
calcula el valor de x + y + z + w.
A) 14
B) 10C) 16
D) 12E) 20
 x + y  x − y
4. Si 
=
,
 3x − 2y   x − 4 
A) 1
B) 0C) 2
D) –1E) – 2
determina (x + 2y) – (z + w).
A) 0
B) 2C) 4
D) 1E) 6
6. Si A = B,
 1 2 3
a 2 3




siendo A =  4 5 b  ; B =  4 5 4  ,
m 2 3 
1 2 3




1   a 1− b  7 0 
+
=
,
−c   −2
3   1 −1
halla a · b · c · d.
A) 2
B) 4C) 16
D) 43E) 8
0
 
A = (−2 3 − 1) y B =  −5  ,
 −2 
 
determina A · B.
1 0
 0 −1
11. Si A 2 = B 2 = 
 ; AB = 
;
0 1
1 2 
 2 1
2
BA = 
, halla (A + B) .
−
1
0


4 0
A) 

0 4
8 0
B) 
 0 8
1 0
C) 

0 1
1 2
2 0
D) 
E) 

0 7
0 2
a +b
.
m
Compendio escolar
9. Si
 3

5 − d
A) (–13)
B) (–11) C) (10)
D) (12)E) (1)
 x + y 2z + w   3 5 
5. Si 
=
,
 x − y z −w   1 4
14
calcula 2A – 3B.
10. Si
halla el valor de xy.
indica
2 5 
1 0
 5 −9 
A=
; B = 
; C = 
.
4
1
7
4
−



0 1

Halla
a. A + B
b. 3A – 2B
c. A + 2B + 3C
Álgebra
3
Problemas variados con matrices
TEMA
Objetivos
 Aplicar los conocimientos sobre matrices y sus operaciones.
 Resolver problemas sobre matrices utilizando diversas estrategias aprendidas.
Sabemos que la matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones, y nos
preguntamos cuál es su función dentro del avance científico matemático. Conocemos su uso
para organizar datos, pero también es importante, junto a los vectores y al sistema de ecuaciones
lineales, para el nacimiento y avance de una de las ramas de las matemáticas, el álgebra lineal.
El enfoque más formal del álgebra lineal se da en el estudio de los espacios vectoriales y
transformaciones lineales, llevada muy de cerca por los estudiantes de ciencias puras e ingeniería.
T u+v)=Tu+Tv
T(
 3

 5

 2
i
0
2

0
A
A+ B

−1 4 
B
Actividad en el aula
1. Dada la matriz
 −1 2 −1


A =  0 −2 3 , calcula el valor de
 −8 0 6 


2
E = a12 + a23
+ a31.
A)
B)
C)
D)
E)
1
19
3
2
5
2. Sea la matriz B = (bij)4×3,
donde se cumple que
1; i < j

bij = 0; i = j
−1; i > j

Escribe explícitamente B.
Resolución
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
15
Álgebra
Uso de las matrices
3. Sea la matriz identidad
a b c 


C =  d e f . Halla el valor de
g h i 


M = a b + d e + (a + i )−e .
A) 2
B) 1/2C) –1
D) 3/2E) 1
4. La traza de la matriz diagonal M es cero.
y
x

M = w −3x
b
c



 ; x ≠ 0.
2
x 
z
a
 7 −2 
A) 

5 2 
 7 5
B) 

 −2 2 
 7 2
C) 

 4 2
5 3
5 1
D) 
E) 

9
1


3 9
7. Si
 35 0 
A
+ 3A = 
,
2
 −56 84 
halla la traza de la matriz A.
A) 17
B) 5C) 9
D) 34E) 12
 1 4
 3 2
8. Si A = 
; B = 
 y
 −2 5 
 −2 1 
Encuentra el valor de
A = w · z + b · c + x.
C = 3A + 2B, determina la traza C.
A) 1
B) 2C) 3
D) 4E) 5
5. Si
 2x − 1 3 
 3y 6y 
A=
; B = 
 y A = B,
−1
 4
 −2z −1 
calcula el valor de E = 4x + 2y – z.
A) 6
B) 8C) 13
D) 9E) 5
A) 18
B) 20C) 22
D) 24E) 26
 3 1 −2 


9. Dada la matriz A =  2 3 −1  y el polino −1 2 4 


mio P(x) = 5x – 2, halla la suma de los elementos de P(A).
A) – 69
B) 20C) 69
D) – 20E) 49
10. Dadas las matrices
 2x − 1 y 
6. Dadas las matrices A = 
;
 3 − y 2
5 − y 2 − x 
 −2 5 
B =
; C = 
 . Si A = B ,
2 
 x +1
 4 −1
calcula A + C.
 1
 
3
A = (1 0 2 4 ) ; B =   , calcula AB.
 −5 
 
7
A) 19
B) – 37
C) –19
D) 37E) – 25
Actividad domiciliaria
1. Resuelve la ecuación
(a
2
 1 1
2. Sea A = 
.
 0 1
 1
 
a 1  5  = (0).
6
 
)
A) S = {– 2; 3}
Indica la traza de A3.
B) S = {– 2}
C) S = {2; – 3}
D) S = {– 3}
16
Compendio escolar
E) S = {– 2; – 3}
Álgebra
A)
B)
C)
D)
E)
1
2
3
4
5
 −1 −1
2
7. Sea A = 
 y A = B. Halla B.
0
1


halla f(A).
 2 0
A) 

18 8 
0 0
A) 

1 0
 −1 0 
B) 

18 5 
 2 0
C) 

18 8 
 −1 −3 
D) 
E)
15 5 
 −1 0 


15 8 
4. Calcula (A + B)2, si se sabe que
 3 2
 3 −6 
2
A2 = 
; B = 
;
 −1 1 
 −3 6 
0 0
 4 −8 
AB = 
 ; BA = 
.
2
4

1 0

 5 −1
A) 

11 10 
 5 −6 
B) 

11 −1 
10 −12 
C) 

 11 −1 
 5 −6 
10 −12 
D) 
 E) 

 −1 11 
 −1 11 
5. Si las matrices
x 4
a + b x − y
A=
 y B =

5 y
x + y a −b 
son iguales, halla a · b.
A) 1
B) 2C) 3
D) 4E) 5
6. Si A = (aij)3×4 es una matriz definida por
i + j ; si i ≠ j
aij = 
ij ; si i = j
B) IC) f
 0 1
 −1 0 
D) 

 E) 
 0 1
 0 −1
8. Sea A = (aij)3×3; tal que
0; i ≥ j
aij = 
1; i < j
Determina A5.
0 1 1
0 0 0
0 0 1






A)  0 0 1  B)  0 0 0  C)  0 0 0 
0 0 0
0 0 0
0 0 0






0 1 1


D)  0 1 0 E)
0 0 1


0 0 1


0 0 0
0 0 1


9. Sean
 1 a 1
1 2 1




F = b 1 c  ; G = 3 1 4 y
 1 d 1
1 5 1




 8 9 10 


FG =  3 7 4  .
 8 9 10 


Halla el valor de a – b + c – d.
A) 1
B) 2C) 3
D) 4E) 5
5 1
10. Sea J = 
.
3 2
Calcula C + C 2 + C 3 + C 4 si C =
J − JT
.
2
encuentra la suma de los elementos de la segunda fila.
A) 0
A) 18
B) 10C) 20
D) 14E) 12
 25 1 
 −5 1 
D) 
 E) 

9
4


 3 −2 
5.o de secundaria
 25 1 
B) IC) 

 9 2
Colegio Bertolt Brecht
17
Álgebra
1 0
3. Si f(x ) = 2x 2 − 3 y A = 
,
3 2
4
TEMA
Determinantes
Objetivos
 Conocer el determinante como un operador de una matriz.
 Aplicar el determinante y sus propiedades en la resolución de problemas.
Historia de los determinantes
Los determinantes hicieron su aparición
en las matemáticas más de un siglo antes
que las matrices. El término matriz, precisa
mente, fue creado por James Joseph Sylvester
con el propósito de distinguir entre matrices y
determinantes. De hecho, su idea era que matriz significara “madre de los determinantes”.
La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes se originó con el matemático alemán
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716) quien,
con Newton, fue el inventor del cálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 en relación con los sistemas
de ecuaciones lineales. No obstante, algunos
creen que el matemático japonés Seki Kowa
hizo lo mismo diez años antes.
Las contribuciones más prolíficas a la
teoría de los determinantes fueron las del
matemático francés Augustín-Louis Cauchy
(1789 -1857). Este autor escribió en 1812 una
memoria de 84 páginas que contenía la primera demostración del teorema |AB| = |A| · |B|.
Hizo otras muchas contribuciones a las matemáticas puras como a las aplicadas. Solo
Euler escribió más que él.
El desarrollo de un determinante por
adjuntos fue utilizado por primera vez
por el matemático francés Pierre de Laplace
(1749 -1827), aunque Laplace es más conocido por la transformada que lleva su nombre,
que se estudia en matemática aplicadas, en
cursos superiores.
Una contribución importante a la teoría de
los determinantes (solo Caychy estaría delante de él) la aportó el matemático alemán Carl
Gustav Jacobi (1804 -1851).
18
Compendio escolar
Álgebra
Fue con él con quien la palabra determinante alcanzó la aceptación definitiva. Lo primero en lo que empleó Jacobi los determinantes fue al establecer la teoría de las funciones
de varias variables. Sylvester llamó más tarde
jacobiano a este determinante.
Por último, una reseña sobre la historia de
los determinantes no podría ser completa si no
se mencionara el libro de texto An Elementary
Theory of Determinants, escrito en 1867 por
Charles Dodgson (1832 -1898). Este matemático es más conocido con su seudónimo de
Lewis Carroll, con el que escribió su asombroso libro Alicia en el país de las maravillas.
a11
a21
a31
a11
a21
a12
a22
a32
a12
a22
–
a13 –
a23
–
a33
a13 +
a23 +
–
–
–
a11 a12 a13 a11 a12
o a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
+
+
+
+
–
a 
a
a
a
A =  11 12  → A = 11 12 = a11a22 − a21a12
a21 a22
 a21 a22 
+
a11 a12 a13
 a11 a12 a13 


A =  a21 a22 a23  → A = a21 a22 a23
a

a31 a32 a33
 31 a32 a33 
= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 −
− a31a22a13 − a21a33a12 − a32a11a23
Actividad en el aula
1. Encuentra el valor del determinante para cada una de las siguientes matrices de orden 2.
2 3
A=
 →
1 4
A =
2 3
= ........................................................................................................
1 4
 2 3
B =
 →
 4 1
B =
2 3
= ........................................................................................................
4 1
 3 −2 
D =
 →
 −1 −5 
D =
= ................................................................................................
 −4 2 
E =
 →
 1 1
E =
= .................................................................................................
1
3
F =
1

4
F =
= ................................................................................................

−2 
 →
5 

i 3
G =
 → G =
 2 −i 
 3
H =
 2

−1 
 →
12 
= ..................................................................................................
H =
 sen37º tan 45º 
I =
 →
 cos 60º sec 53º 
1 

1+ i

i  →
J =
 i3 1− i 


= ...........................................................................................
I =
J =
 senα − cos α 
K =
 →
 cos α senα 
= .................................................................................
= ...........................................................................................
K =
= ...............................................................................
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
19
Álgebra
5 4
 5 4
= ...................................................................................................
C =
 → C =
3
8
−
3 8
−


2. Determina el valor del determinante para las siguientes matrices de orden 3.
1 2 3 


A =  4 −2 1  →
 2 3 −5 


2 5 7


B = 3 4 1 →
 1 −1 3 


A =
B =
= ........................................................................................
= ...........................................................................................
 4 2 −6 


C =  3 1 −2  → C =
 2 −4 1 


 3 −2 4 


D =  2 −1 5  →
1 1 1


= ........................................................................................
D =
 1 −4 −1 


E =  −1 5 −3  →
 1 1 −1 


= ..........................................................................................
E =
= .......................................................................................
tan 45º tan135º 
 sen0º


F =  cos 90º
cos 0º
cot 90º  →
 sen180º cos 270º sec 90º 


 i −i

G =  0 −i
 −1 0

1

i  →
−1
I =
 1 2 0
 4 −2 3 




4. Si A =  3 1 0  y B =  0 0 0  ,
 −1 −4 0 
 −1 1 2 




2 1 3


A =  5 3 2 , calcula |A|.
1 4 3


20
halla |A| y |B|.
¿Existe alguna relación entre sus resultados?
10
20
30
40
80
Compendio escolar
= ..........................................................
= ........................................................................................
3. Si
A)
B)
C)
D)
E)
H =
Explica.
....................................................................
....................................................................
....................................................................
Álgebra
10. Si x satisface la ecuación
5. Sea
a +1 3 
A=
.
a − 1
 2
x+
Resuelve A = 10 y determina la suma de soluciones.
A) 4
B) 8C) 0
D) 10E) 5
6. Dada la matriz
A) 12
B) –32 C) 0
D) –10E) –2
x + 1 −x
8 1
=
.
x
x +2 3 5
A) 13
B) 9C) 4
D) 5E) 0
A) {7; 5}
D)
B)
{ }
{ }
7
; − 5 2
C)
{ }
1
; −5
2
7
; 5 E) φ
5
Álgebra
si |B|=100, halla la diferencia de las soluciones.
12. Resuelve
7. Sean
 −1 −2 
 2 −1
M =
 y N =
.
2
3


3 5 
2 
.
N 
A) 20
B) 18C) 1
D) – 4E) 6
8. Sea la ecuación
1 −2 −2 −1
=
x +2
.
3 −1
3 4
Halla x.
A) 5
B) –10 C) –13
D) 4E) 1
9. Dadas las matrices
2 1 3 
3 2 1 


A = 5 3 2  ; B = 2 5 3  ,
1 4 3 
3 4 2 
calcula el valor de E = 2|A| + 3|B|.
A)
B)
C)
D)
E)
calcula el valor de
E = traza (x) + |x|.
11. Resuelve
x −3
5
B = 3 −2 x + 4 ,
1 −7 −5
M
Halla |P | si P = 
 −1
2 −3
−1 4
=2
,
0 3
2 0
80
71
40
79
9
K
4
2
K K
−1 3 = 0.
5 1
A) { }
B) {1}C) {2}
D) {3}E) {0}
13. Determina a en
3 −1 −2 a + 1 −2a 3a + 1
4 1 2 = 4
1
2 .
−3
1 −3 6
1
6
Da como respuesta la suma de cifras de 1a2.
A) 4
B) 9C) 6
D) 7E) 8
14. Halla
2 5 1
3 −1 1
−2 −3 4
3
−2
2
−2 −3 4
+ 3 −1 1
2 5 1
.
−1 1
−3 4
5 1
A) 1
B) 2C) 3
D) 4E) N.A.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
21
Actividad domiciliaria
1. Sea la matriz A = (aij)3×3 definida por
 i; 1 > j

Aij = 1; i = j .
 j; i < j

A)
268 −51
−68 13
B)
244 −45
−68 11
C)
268 −45
−68 11
D)
244 −51
−60 13
E)
268 −45
−68 13
Calcula |A|.
A) 15
B) 30C) – 45
D) – 30E) – 60
2. Si (1 + x)(1 – x) = y2, indica
x −y −y −1
E=
+
.
y x
xy x
7. Encuentra el valor de K en la siguiente igualdad
A) 0
B) –1C) 1
D) 2E) – 2
3. Resuelve la ecuación
2 −x x
−x 2 x = 0.
x −x 2
A) –1
B) 1C) 2
D) 0E) 3
Da como respuesta la suma de sus raíces.
A) 4
B) 2C) 0
D) 3E) 1
4. Calcula el
0 1
M = 1 0
1 1
siguiente determinante
a
b.
c
A) a + b + c
2 1 5
8 7 2
3 4 0 =K 0 4 3.
2 7 8
5 1 2
B) a + b – c
C) a – b + c
8. Halla k en
2
1
3
4
5
8 = 10.
k k +1 k + 4
A) 1
B) 2C) –1
D) 0E) 4
9. Halla x si
a+x
x
x
x
a+x
x = 0.
x
x
a+x
D) 1E) 0
log2 32 log3 27
5. Si A =
, calcula |A|.
log 4 16 log5 125
A) 1
B) – a/3
C) – 3a
D) a/3E) 3a
10. Halla x si
A) 15
B) 13C) 8
D) 7E) 9
6. Dada la matriz H =
x2
x
−3
, si H = 4,
1
halla H 2, x ≠ 1.
22
Compendio escolar
Álgebra
x +2
3
4
2
4 = 0.
x +3
2
3
x+4
A) 2
B) – 3C) 4
D) 5E) 3
1− x 2
A) 2
B) 3C) 6
D) 9E) 12
12. Indica el valor de verdad de cada una de las
siguiente afirmaciones.
a.
a2
ab
ab b 2
= 2a 2b 2
n +1 n
= −1
b.
n
n −1
c.
a +b a −b
= 4ab
a − b n −1
A)
B)
C)
D)
E)
VVV
VVF
FVV
FVF
VFV
13. Dadas las matrices
1 2
5 2
3 2
;C = 
A=
; B =
,
3 4
7 3
8 5
se cumple que
A)
B)
C)
D)
E)
A <B <C
B < A <C
A <C <B
C <B < A
B <C < A
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
Álgebra
x + 2 2x + 1 3
11. Simplifica E = 2x
2
1.
0
0
3
23
5
TEMA
Funciones. Dominio y rango
Objetivos
 Reconocer una función como una relación de dos conjuntos con características particulares y
sus elementos.
 Utilizar las características de las funciones para resolver problemas sobre funciones.
Aplicación de las funciones
Las funciones no solo son un simple conjunto de pares ordenados, sino relaciones entre variables
reales, como la altura y el tiempo del vuelo de una pelota lanzada al aire, la distancia a un planeta
desde el Sol en diferentes tiempos del año y la población de un país a lo largo de los años. Las
funciones son leyes del universo y la sociedad.
Cualquier proceso, sea la fabricación de un producto, la importación de maquinarias, la producción agrícola, la compra-venta de acciones, la educación de un joven, etc., depende de una
serie de factores, que de algún modo “matemático” influyen en el resultado del proceso, esto
quiere decir que presentan variables de quienes dependen para obtener un resultado. Si el hombre
fuera capaz de descubrir la relación matemática de la intensidad con la que cada uno de los factores participa en el proceso y resumirlo en una ecuación matemática, sería capaz de controlarlo
perfectamente y encaminarlo hacia donde quisiera.
caída libre
Tierra
h
g=9,8 m/s2
Sol
M2
D2
O
M1
distancia = altura (h)
aceleración = gravedad (g)
C
V1
D1
Venus
V2
un Poco de HisToRia
La teoría de funciones es una de las herramientas más importantes utilizada por la ciencia para dar
soluciones a problemas que dificultan el avance y el desarrollo e la humanidad. Fue desarrollada en la
segunda mitad del siglo xViii, donde se realizaron estudios de las variaciones de las funciones, cálculo
de diferenciales y de integrales relativas a ciertas funciones.
Una de las obras más importantes y vasta de la época fue publicada por Leonhard Euler (1707 -1783),
quien utilizó el cálculo infinitesimal para estudiar las funciones que fueron divididas por él en funciones algebraicas y funciones trascendentes.
En realidad, el origen y el invento de las funciones no ha sido aclarado, aunque se presume que en
forma paralela Isaac Newton y Gottfried Leibniz dieron las primeras pautas, ya su uso no formalizado
proviene de muchos siglos atrás.
24
Compendio escolar
Álgebra
Recuerda que...
Par ordenado
(a; b)
Producto cartesiano
Sean dos conjuntos no vacíos. Se define
A×B={(a; b) / a∈ A ∧ b ∈B}
Relación
R es una relación de A en B → R ⊆ A×B
Álgebra
Ahora nos ejercitamos para recordar (desarrolla en tu cuaderno).
1. Si los pares ordenados (4; 2x – 10) y (x – 1; y + 2) son iguales, calcula x + y.
2. Determina el valor de xy si (5x + 2y; – 4) = (–1; 2x – y).
3. Dada la siguiente igualdad (y – 2; 2x +1)=(x –1; y + 2), indica el valor de x2 + y2.
4. Dados los conjuntos
A = {x ∈ Z / –1 ≤ x ≤ 3}
B = {x ∈ Z / 1 ≤ x < 4}
C = {x ∈ Z / 0 ≤ x ≤ 5},
halla A ×B, B ×C y (A – C)×B.
5. Si A = {x ∈ R / 1 ≤ x ≤ 4} y B = {x ∈ R / 2 ≤ x ≤ 3}, halla A × B.
6. Dados los conjuntos A = {2; 3; 6; 9} y B = {1; 4; 5; 6; 12},
Expresa por extensión cada una de las siguientes relaciones.
a. R1 = {(a; b)∈A × B / b = 2a}
b. R2 = {(x; y)∈A × B / x + y = 12}
7. Sea R la relación entre A = {1; 2; 3; 4} y B = {1; 2; 5}, si R = {(a; b)∈A × B / a < b}.
a. Expresa R como un conjunto de pares ordenados.
b. Representa R en el plano cartesiano.
Definición de una función
Sea f : A → B una relación de A en B; f es función si para todo a ∈ A existe un único b ∈ B,
tal que (a; b)∈ f.
f
A
B
(x)
y
5.o de secundaria
y = f (x)
Colegio Bertolt Brecht
25
Actividad en el aula
1. ¿Cuáles de los siguientes gráficos representa
una función? Justifica tu respuesta.
A
R1
5
6
–2
0
B
A
4
7
–6
–6
5
4
.............................
A
R3
–6
3
R2
B
1
.............................
R4
B
A
5
–4
8
–1
2
–9
–7
1
0
.............................
Resolución
4. Dada la función
g = {(x; 5), (3; 16), (4; 9), (3; x 2)},
calcula el valor de x.
Resolución
B
5. Se tiene la siguiente función
f
.............................
2. Determina cuáles de las siguientes relaciones representa una función. Justifica tu respuesta.
f = {(1; 3), (4; 7), (4; –5), (2; 0), (0; – 9)}
.....................................................................
g = {(– 2; 5), (6; 5), (1; 7), (2; 0)}
Indica verdadero (V) o falso (F).
a.
b.
c.
d.
Dom(f )={2; 3; 4}
Ran(f )={7; 9; 12; 5}
f(2)=7
f(4)=5
6. Calcula
f (2) + 1
si
f (5) + 2
.....................................................................
A
h = {(x; y), (x +1; y), (x + 2; y)}
2
.....................................................................
p=
{(
}
3; 8 ) , ( 4; 1) , ( 4; − 1) , ( π; π )
.....................................................................
x+3
es una función.
Resolución
3. Si la relación
f = {(– 8; a + b), (5; 2a +1), (– 8; 9), (5; 7)}
es una función, determina el valor de a – b.
26
Compendio escolar
Álgebra
7
9
12
5
2
3
4
f
B
x2
x+2
3
(
(
(
(
)
)
)
)
7. Si g = {(3; 9), (2; 4), (1; 1)}
9. Si el conjunto de pares ordenados
f = {(4; 3), (2; x), (4; y –1), (7; 5), (2; y)}
f
y
representa una función,
2
3
4
5
6
7
halla Dom(f ) ∩ Ran(f ).
10. Sea f una función, tal que
f : {3; 4; 5; 9} → B;
f(x)=2x – 3.
f (g (2)) + g (f (2)) + f (6)
.
g (1)
determina el valor de
Indica el rango de f.
11. Sea la función f(x)=ax 2 – bx + c, además se
cumple que
Resolución
f(1)=0 ∧ f(–1)=6 ∧ f(0)=1.
12. Se tiene la función g(x)=2x –1, cuyo dominio es
{1; 2; 3; 4; 5}. Determina el producto de los
elementos del rango.
8. Sea
f
13. Sea h una función, tal que
3
4
5
8
a
b
c
d
h(x )
1; x ∈ Z

= 0; x ∈ Q / Z
−1; x ∈ I

Si existe x0 en el dominio h, calcula
donde f(x) = x 2 – 5.
Halla a + b + c + d.
h ( x0 ) =
h(−2) + h(2 / 3)
5.o de secundaria
h( 2)
.
Colegio Bertolt Brecht
27
Álgebra
Calcula f(4).
Actividad domiciliaria
1. En cada una de las gráficas, indica cuál de
ellas es función. Justifica.
a. f
A) 1
B) 4C) 16
D) – 4E) 0
4. Se tiene en las siguientes funciones
4
1
2
3
f = {(2; 3), (4; 5), (7; 6)}
5
7
8
g
5
2
4
g
b. a
1
2
3
c. b
c
d
Calcula
( g(2) ) + g (f(4) ) + g(4)
f(4)
.
B) 2C) 3
D) 4E) 5
m
s
n
p
t
q
5. Sea la función
g = {(x; 3), (8; x 2), (4; 7), (8; 4), (2; 5)}.
Halla el valor de x 3.
A) 2
B) 8C) – 2
D) – 8E) 1
j
3
4
5
1
f
A) 1
h
d. 9
7
5
6. Calcula a + b + c si
f ={(2; 6), (3; a+b), (2; a+1), (3; 7), (6; 9), (6; c–1)}
6
3
7
representa una función.
A) 10
B) 17C) 20
D) 15E) 14
2. Indica cuál de las siguientes relaciones es
función.
a. R1 = {(1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5)}
b. R2 = {(5; 3), (2; 7), (3; 5), (7; 2), (2; 2)}
c. R3 = {(5; 3), (2; 7), (3; 5), (2; 2)}
7. Si el siguiente conjunto
f = {(3; x 2), (3; 4), (x; 5), (2; 7)}
representa una función, calcula x + 2.
A) 0
B) 1
3. Dada la función f, donde
C) 2
f = {(3; 16), (4; 9), (7; 5), (3; x ), (x; 5)},
D) – 2
halla el valor de x.
E) 3
2
28
Compendio escolar
Álgebra
12. Si el rango de la función
f = {(2; 3 – a), (a; 1), (b; p), (2; b + 3)}
está incluido en el conjunto {1; 2; 4; 5} y
Dom(f )={m; n}, determina 2m + 2n + 4p.
8. Dada la función f,
f
2
3
5
7
B
5
9
10
12
13
A) 2
B) 4C) 8
D) 1E) 9
indica verdadero (V) o falso (F) en las siguientes afirmaciones.
a. Dom(f )={2; 3; 5; 7}
( )
b. Ran(f )={5; 9; 10; 12; 13}
( )
c. Ran(f ) ⊂ B
( )
d. Dom(f )=A ( )
13. Vamos a construir una caja abierta con una
pieza cuadrada de material de 12 cm de
lado, cortando cuadrados iguales de lados x
en sus esquinas y doblando por las líneas de
puntos. Expresa el volumen V en términos
de x.
Álgebra
A
9. Sea h una función cuya regla de correspondencia es
h(x )
3x + 2; x ≥ 2

= x 2 − 14; − 2 ≤ x < 2

x − 3; x < −2
Calcula f ( f ( ) ) + f ( f ( ) ) .
2
1
A) 10
B) 26C) –16
D) 20E) 0
14. Un rectángulo está acotado por el eje x y el
semicírculo f(x ) = 25 − x 2 . Halla a · b.
10. Sea la función
 x + 2 − 1; 5 < x < 10
f(x ) 
x + 2; 1 < x ≤ 5
5
Halla f ( f (7) ) + f ( 2 ) .
3
A) 4
B) 2C) 8
D) 10E) 0
1
–5
–3
–1
(a; b)
f(x)
1
3
5
11. Sean las funciones
f = {(0; 3), (1; 4), (2; 0), (3; 8)},
g(x)=2x – 1.
Calcula g ( f( ) ) + f ( g( ) ) .
2
1
A) 1
B) 2C) 3
D) 4E) 5
15. Dada la función f : A → B, indica los valores
de verdad.
a. Si (x; y) ∈f ∧ (x; z) ∈f → y = z
( )
b. Si (x; y) ∈f ∧ (z; y) ∈f → y = z
( )
c. Ran(f ) ∈B
d. Si f(x)=x + 5 ∧ A=[– 3; 2] → f(3) = 8
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
( )
29
6
Función real de variable real
TEMA
Objetivos
 Determinar el dominio y el rango de una función real de variable real.
 Aplicar las propiedades de desigualdades para resolver problemas de dominio y rango.
Aplicación de la función real
Las funciones reales de variables reales y sus representaciones gráficas han sido utilizadas en las diversas construcciones de ingeniería, como la antena parabólica, las represas, los puentes, etcétera.
También se aplica en la medicina para observar el comportamiento
de las gráficas que se obtienen en el electrocardiograma, el electroencefalograma, entre otros.
Bernhard Bolzano, nacido en Praga en 1781, fue quien presentó rigurosamente la definición de función continua, así como
la diferencia entre la continuidad y la diferenciabilidad de una función, dándole carácter local, e introdujo la continuidad por derecha
e izquierda. Su obra no fue conocida sino hasta fines del siglo xix,
con lo cual muchos de sus resultados fueron descubiertos por otros
matemáticos.
y=
4/3
1+x
1+x 3
f(x)
1
x1 x2
g(x)
x3
x4
¿cuÁndo es una función Real de vaRiable Real?
R
x
R
f
f(x)
Ejemplo
Sea f [–2; 3⟩ → R ∧ f(x)=x 2.
Se observa que x ∈ [–2; 3⟩ ∈ R ∧ f(x)=x 2
–2 ≤ x < 3
0 ≤ x2 < 9
Una función f : A → B es una función real en variable real si y solo si A y B son subconjuntos de
R, es decir, el dominio y el rango son subconjuntos de los números reales.
30
Compendio escolar
Álgebra
( )2
f(x) → f(x) ∈ [0; 9⟩ ∈ R
Luego se tiene que f es una función real de variable real.
Actividad en el aula
1. Indica (V) o (F), según corresponda en cada
caso.
a. Sea f una función que representa el
volumen de un cubo.
( )
x
b. Sea f : Z → M y f(x)= .
2
Entonces f es función.
( )
7. Si el dominio de la función
g(x ) = 4 − x 2 es [m; n], calcula m + n.
x +2
c. Sea f : Q → R y f(x)=
.
3
+
Luego el rango es Q–.
6. Sea la función f : ⟨–2; 5⟩ → R, de modo que
f(x)=5x – 3, además Ran(f )=⟨a; b⟩. Calcula el
valor de a/b.
( )
2. Halla Dom(f ) si f(x ) = x − 2.
8. Determina Dom(f ) ∩ Dom(H) si
f(x ) = x 2 − 1, H (x ) = 9 − x 2 .
Álgebra
f : A → B. Entonces f es función.
5. Sea una función h, cuya regla de correspondencia es h(x)=3 – 5x.
Si además Ran(f )=⟨8; 33], determina Dom(f ).
9. Sea la función
Resolución
f(x ) = x 2 − 2x − 8 ;
donde Dom(f ) = ⟨– ∞; a] ∪ [b; +∞⟩.
Calcula el valor de a · b.
10. Determina el Dom(h) y el Ran(h) si
h(x ) =
x 2 − 2x
x2 − 4
3. Halla el dominio de
f(x )
2−x
= x +1 +
.
x
Resolución
11. Si F(x ) =
.
x
+ 2010, halla el rango de F.
x
12. Si f : ⟨2; 10⟩ → R es una función,
tal que f(x ) =
x +3
,
x +1
halla el rango.
Resolución
4. Dada la función f : ⟨2; 7⟩ → R, donde f(x)=2x +3,
halla el Ran(f ).
Resolución
13. Si f : [2; 5]⟩ → R es una función, tal que
f(x)=x 2– 4x + 9, halla su rango.
14. Halla el rango de f si f(x)=x 2 – 10x + 30.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
31
Actividad domiciliaria
13. Indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
1. Halla el dominio de
f(x ) = 5 3x − 15.
a. f(x) = {(x; y)∈ R2 / x + y = 2 ∧ xy =1} es
una función.
( )
2. Indica el dominio de
f(x ) = 25 − x 2 + x .
b. f(x) = {(x; x)∈ R2} es una función.
c. Si f(x) = {(x; y)∈ R2 / y = f(x)} es una fun-
3. Si el rango de la siguiente función
f(x ) = x − 2 + 5
ción, entonces {(x; y)∈ R2 / x = f(g)}
es de la forma [a; +∞⟩, da como respuesta el
valor de 2a +1.
también es una función.
4. El rango de la función f(x)=3 – 2x es ⟨5; 23].
Halla su dominio.
5. Determina el rango de la función
g ={(x; x 2– 3) / x ∈⟨4; 7⟩}.
6. Encuentra el rango de la función cuadrática
h(x)=x 2 – 4x +10,
si su dominio es ⟨3; 7⟩.
7. Sea la función f(x)=ax +3, además f(3)=15.
¿Cuál es su dominio si su rango es ⟨5; 23]?
8. Calcula el dominio de la siguiente función.
f(x ) = x 2 + 10x + 29
9. Sean
A = Ran(f ), donde f(x )
x −1
=
; x ∈ 5; 7
x −3
B = Ran(g ), donde g(x ) =
y
x2 +1
; x ∈ 1; 3 .
2
Halla A ∩ B.
10. Dada la función g: A ⊂ Z → R,
indica la suma de los elementos del dominio
de g, si g(x ) = x − 1 + 6 − x .
11. De la función f(x)=5 + x – x 2; x ∈ ⟨–1; 1⟩,
¿cuál es su rango?
12. Dada la función f(x ) =
5x 2 − 7x − 6
, definida
3
x+
5
3 3
sobre − ; , halla el rango de |f |.
5 5
UNI 2008-I
32
Compendio escolar
Álgebra
( )
14. Sea la función f(x ) =
x2 −1
x2 + 3
( )
; x ∈ [−3; 2].
Si m ≤ f(x) ≤ M, halla la suma entre el mayor
valor de m y el menor valor de M.
15. Se va a construir un aula para el cuarto año
de secundaria, de forma rectangular, con dimensiones como se muestran en la figura:
10 – x
x
Luego de expresar su área como una función
cuadrática de x, ¿para qué valor de x el área
será máxima?
16. Pedro Mejía es dueño de la pastelería Flor;
este contrató un consultor para analizar
las operaciones del negocio. El consultor
dice que sus ganancias P(x) de la venta de
x unidades de empanadas están dadas por
P(x)=120x – x 2. ¿Cuántos pasteles debe vender para maximizar las ganancias? ¿Cuál es
la ganancia máxima?
17. Un paquete rectangular, con sección cuadrada, tiene por suma de su longitud y el perímetro de su sección 108 cm. Expresa el
volumen V en función de x.
x
y
y
7
TEMA
Gráfica de funciones I
Objetivos
 Graficar las funciones elementales: constante y lineal utilizando sus características.
 Resolver problemas variados utilizando propiedades de las gráficas.
Nuestro entorno presenta diferentes figuras geométricas, muchas de ellas relacionadas con las funciones.
Círculo
Álgebra
Elipse
Parábola
Hipérbola
¿Sabía s que...?
La parábola es una curva que tiene una gran importancia en física y que se ajusta a la
descripción o la representación matemáticas de muchos fenómenos.
Pero la parábola también tiene importancia en nuestra vida cotidiana y, aunque muchas
veces no nos fijemos o no seamos conscientes de ello, tenemos muchas parábolas a
nuestro alrededor.
Ejemplo
Antena de seguimiento de satélites.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
33
Reconociendo una función
Sean f y g las gráficas de dos relaciones.
Y
Y
g
f
X
L1
f es función
X
L1
g no es función
L 1 es paralela al eje Y.
Principales observaciones al graficar
a.
b.
(x; y)
Y
3
Y
f
f
(0; y1)
c.
(x; y)
Y
g
f
1
1
f(1)=1
X
(x1; 0)
2
f(2)=3
x0
f(x0)=g(x0)
X
Actividad en el aula
1. Indica cuál de los siguientes gráficos pertenece a una función. Justifica tu respuesta.
a.
b.
Y
Y
X
34
Compendio escolar
Y
X
X
X
d.
c.
Y
e.
Y
X
Álgebra
X
10. Grafica la función
2. Dada la gráfica
Y
f(x )
b
y=6 – x
y=x+2
X
a
halla a · b.
x + 2; x < −2

= 5; − 2 ≤ x < 3
−x + 1; x ≥ 3

11. Grafica la función
2x + 3; − 2 ≤ x < 1
f(x ) = 
5 − x ; 1 ≤ x < 3
12. Halla el área de la región S.
3. Dada la gráfica
Y
y=f(x)=2
y=8 –x
y=x+6
p
m
Álgebra
S
n
X
2
y=x +2x –1
13. Sea f(x)=ax +b, cuya gráfica es
Determina m + n + p.
Y
8
4. Grafica
3; x < 2
f(x ) = 
−1; x ≥ 2
3
X
4
1
5. Esboza
f(x )
−2; x < −1

= −1; − 1 ≤ x < 1
1; x ≥ 1

6. Esboza la función
f(x) = 2x + 8.
7. Grafica la función
h(x) = – 3x + 9 para x ∈⟨2; 4].
8. Sea la función lineal f(x)=ax +b, tal que f(1)=6
y f(2)=10. Gráfica la función f(x).
9. Grafica
 x; x > 1
f(x ) = 
−x ; x ≤ 1
Halla 3a + 4b.
14. Esboza la gráfica
f(x ) =
x 2 − 9x + 18
x −3
y determina el dominio y el rango.
15. Indica el dominio y el rango luego de graficar
la función.
−1; − 2 < x ≤ 0
g (x ) = 
3x + 2; 0 < x ≤ 3
16. Halla el menor valor de la función luego de
esbozar su gráfica.
1 − 2x ; si x < 0

j(x ) = 1; si 0 ≤ x < 1
2x − 1; si x ≥ 1

5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
35
Actividad domiciliaria
1. Indica cuál de las siguientes gráficas es una
función.
a. 4. Dada la gráfica de f, donde f(x) = mx 3 + n,
calcula m · n.
Y
Y
2
m
X
1
b. Y
X
5. Sea la función lineal
f(x) = mx + n, tal que f(1) = 2 y f(2) =1.
Halla 2m + 3n.
X
6. Grafica la función
5 − x ; x ≥ 2
h(x ) = 
3; x < 2
c. Y
7. Halla el área de la región S.
Y
X
h(x)=2
S
X
2. Sea la función f(x)=7 – 2x, cuya gráfica es
Y
g(x)=5–x
8. Sea f(x)=ax +b – 4 una función cuya gráfica es
n
Y
2
m
–2
1
X
2
X
Halla m · n.
Halla ab.
3. Esboza la función
f(x )
36
9. Luego de graficar determina el dominio y el
rango de la función.
3; x < −1

= 2; x = −1
1; x > −1

Compendio escolar
f(x ) =
Álgebra
4x 2 − 1
2x + 1
10. Sea f(x) = ax + b una función lineal cuya gráfica es
Y
9
–3
–1
2
12. Grafica
2x + 3; x ≤ 1
f(x ) = 
6 − x ; x > 1
13. La compañía Agroservicios Cerro Blanco
vende sus productos a 10 dólares la unidad. Si los costos fijos de la empresa son de
12 000 dólares al mes, observa en la gráfica,
¿cuál es el punto de equilibrio?
X
Y
7
–2
–1
5
X
P
R(x)=10x
30
20
C(x)=4x+12 000
Álgebra
11. Dado el gráfico, halla Dom(f ) ∩ Ran(f ).
Precio unitario en miles de dólares
Determina ba.
10
1
2
3
4
X
Unidades de millar
Bibliografía
 FIGUEROA, R. Vectores y matrices. 4.a edición. Lima: Editorial América, 2001.
 LÁZARO, C. Moisés. Álgebra lineal. 2.a edición. Lima: Editorial Moshera, 1994.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
37
8
TEMA
Funciones especiales I: constante y lineal
Objetivos
 Reconocer las funciones constante y lineal, su gráfica y sus características principales.
 Representar y analizar la gráfica de las funciones constante y lineal.
 Resolver problemas con las funciones constante y lineal relacionándolas con la realidad.
Aplicación de las funciones lineales
Aun cuando no percibimos,
hacemos uso de las funciones como herramienta
para resolver problemas de
la vida diaria, de finanzas,
economía, estadística, medicina, ingeniería, química,
física y de cualquier área.
velocidad (m/s)
6000 m/s
v=18t
4000 m/s
y=18x
2000 m/s
Cuando se relaciona la
velocidad y el tiempo de
una nave o de un cohete se
tiene una función lineal.
tiempo (s)
60 120 180 240 300 360 420
tiempo: 450 s
velocidad: 18 · 450=8100 m/s
En medicina, son muchas las aplicaciones de la función lineal. Ciertas situaciones requieren del uso de funciones
lineales para el entendimiento de algunos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento
psicológico de Sternberg sobre la recuperación de información y la inteligencia.
Sternberg asocia el funcionamiento de la mente a una
serie de componentes. Estos componentes los etiquetó
como metacomponentes, componentes de rendimiento,
performance y componentes de adquisición de conocimiento.
Los metacomponentes son los procesos ejecutivos
usados en la resolución de problemas y la toma de decisiones que implican la mayor parte de la capacidad de
gestión de nuestra mente. Dicen a la mente cómo actuar.
38
Compendio escolar
Álgebra
Recordemos el tema de la gráfica de funciones en la siguiente pregunta.
Si tenemos las siguientes gráficas:
Y
Y
1,5
1
0,5
X
1
0,5
0,5
1
1,5
2
X
– 0,5
–1
– 1,5
...........................................................................................................................................................
Actividad en el aula N.o 1
1. Analizaremos las siguientes funciones: f(x) = 2 y g(x)= – 2 tabulando valores.
x
y=f(x)=2
x
y=g(x)= – 2
Representándolas gráficamente se tiene
Conclusión
A este tipo de función se le conoce como función constante, porque la imagen siempre es la
misma.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
39
Álgebra
¿cómo podemos saber si dicha gráfica representa a una función?
Recuerda que...
En la función constante siempre la variable y no depende de la variable x. Un ejemplo en
nuestra vida cotidiana sería que nuestra propina no depende de la cantidad de estudiantes que exista en mi aula.
P(x) = a
donde
- x: cantidad de estudiantes del aula
- a: cantidad de propina en soles
2. Escribe tres características de la función
constante (gráfica, dominio y rango).
4. Sean las funciones f(x)=m (x > a) y g(x)=n,
x ∈[b; c ⟩, (a, b, c, m, n ∈ R), cuyas gráficas
son
q ..............................................................
Y
q ..............................................................
f(x)
q ..............................................................
3. Grafica en tu cuaderno las siguientes funciones.
–2
–1
1
2
3
4
X
a. f(x) = 5
b. f(x) = – 6; x ∈[– 4; 2⟩
c. f(x )
−2; x > 3
=
 4; x ≤ 3
d. f(x )
 1; x > 2

=  3; x = 2
−3; x < 2

g(x)
Halla el valor de mc − a · b ·n .
5. Esboza la función f ( x )
−1; − 2 < x ≤ −1

=  0; − 1 < x ≤ 0
 1; 0 < x ≤ 1

Actividad domiciliaria N.o 1
1. Sobre la función constante, coloca verdadero
(V) o falso (F) según corresponda.
a. Su gráfica es una línea recta vertical. ( )
b. Su dominio siempre tiene un solo elemento.
( )
3. Grafica f ( x )
−1; − 3 ≤ x < −1

= −2; 0 < x < 2
 3; 3 ≤ x < 7

4. Sean las funciones constantes f(x)= m + 2 y
g(x)=7 – 2n (m; n ∈ Z) cuyas gráficas son
Y
c. Si f(x) = m es una función constante, un
punto de corte es (0; m).
( )
n–2
d. Sea f(x) = 4 una función constante, entonces (4; 0) es un punto de la gráfica. ( )
40
Compendio escolar
X
2m  5
3; x < 2
2. Grafica f ( x ) = 
−2; x ≥ 3
Halla f (5) + g(2).
Álgebra
g(x)
f(x)
5. Escribe en tu cuaderno dos ejemplos de funciones constantes relacionadas a nuestra vida cotidiana.
6. Grafica la función f(x)={m; m –1< x ≤ m; ∀ m ∈ Z}.
Actividad en el aula N.o 2
1. Analiza las gráficas de las siguientes funciones: f(x)=3x + 1 y g(x)= – 2x + 3 tabulando por lo menos
cinco valores y luego lo representamos gráficamente.
x
y=f(x)=3x+1
x
y=g(x)= – 2x+3
Álgebra
Se observa que si se tabularían infinitos valores, se tendría .........................................................
......................................................................................................................................................
2. Escribe cinco características de la función lineal (gráfica, dominio, rango y puntos de corte).
q ...............................................................................................................................................
q ...............................................................................................................................................
q ...............................................................................................................................................
q ...............................................................................................................................................
q ...............................................................................................................................................
3. Esboza la siguiente gráfica de la función f(x)=2x + 8.
4. Grafica la función h(x)= – 3x + 9 para x ∈ ⟨–2; 4].
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
41
5. Sea la función lineal f(x)=ax + b tal que f (1)= 6
y f (2) =10. Esboza la gráfica de la función f(x).
6. Grafica la función
9. Luego de graficar la función
−1; − 2 < x ≤ 0
g(x ) = 
3x + 2; 0 < x ≤ 3
determina el rango.
2x + 3; − 2 ≤ x < 1
f( x ) = 
 5 − x; 1 ≤ x < 3
10. Halla el menor valor de la función luego de
esbozar su gráfica.
7. Halla el área de la región determinada por
las funciones f (x)=3 y g(x)= – x + 5, y los ejes
de coordenadas.
8. Halla la regla de correspondencia de la función lineal.
Y
1 − 2x (si x < 0)

j( x ) = 1
(si 0 ≤ x < 1)
2x − 1 (si x ≥ 1)

11. La compañía Agroservicios Cerro Blanco
vende sus productos a $10 la unidad. Si los
costos fijos de la empresa son de $12 000 al
mes, ¿cuál es el punto de equilibrio?
7
R(x) 10x
–4
1
X
precio unitario en
miles de dólares
P
30
20
C(x) 4x 12 000
10
–3
1
2
3
4
X
unidades de millar
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Escribe en tu cuaderno tres ejemplos de funciones lineales aplicadas a la vida cotidiana.
2. Relaciona las características con la función correspondiente.
Su gráfica es una línea recta.
a
Su rango tiene un solo elemento.
función lineal
Su gráfica es una línea recta inclinada.
b
función constante
Su rango depende del dominio.
Su gráfica es una línea recta paralela al eje x.
3. Grafica f (x)=x.
4. Grafica f(x)= – x.
5. Investiga sobre las dos funciones de las preguntas tres y cuatro, y luego crea dos ejemplos de
cada uno.
5 − x ; x ≥ 2
6. Grafica la función h( x ) = 
 3; x < 2
42
Compendio escolar
Álgebra
7. Sea f (x)=ax + b – 4 una función, cuya gráfica
es
Y
11. A nivel del mar, el punto de ebullición (temperatura) del agua es de 100 ºC. Cuando se
asciende a una montaña, el punto de ebullición disminuye en función de la altura (h) y
se expresa matemáticamente
E(h)=100 – 0,001 h
2
a. Esboza la función E (utiliza valores adecuados).
b. ¿Cuál es el punto de ebullición a 1500 m
de altitud?
X
Halla la gráfica de la función h(x)=bx + a.
8. Sea f(x) = ax + b una función lineal, cuya gráfica es
Y
9
c. ¿Cuál es la temperatura de ebullición en
la cima del Everest (8848 m s. n. m.) y la
cima del Coropuna (6425 m s. n. m.)?
12. Luego de graficar, determina el dominio y el
rango de la función.
f(x ) =
Álgebra
2
4x 2 − 1
2x + 1
13. En el gráfico se muestra la producción de
camisas de dos tipos de obreros: expertos y
nuevos.
–3
–1
2
X
Halla ba.
9. Grafica.
n.º de
camisas
200
nuevos
150
50
2x + 3; x ≤ 1
f( x ) = 
6 − x ; x > 1
10. Halla el área de la región limitada por las
gráficas de las funciones f(x)= 4; g(x)= x y
h(x) = –x.
expertos
75
n.º de
obreros
a. ¿Cuántos obreros nuevos harán 90 pantalones?
b. ¿Cuántas camisas harán 48 obreros expertos?
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
43
9
TEMA
Funciones especiales II: función cuadrática
Objetivos
 Reconocer una función cuadrática, su gráfica y sus características.
 Representar y analizar la gráfica de la función cuadrática.
 Resolver ejercicios y problemas analizando la función cuadrática.
Aplicación de las funciones
cuadráticas a la construcción
A partir de una lámina metálica rectangular y larga de 12 pulgadas de ancho, hay que fabricar
una canoa doblando hacia arriba dos lados, de modo que sean perpendiculares a la lámina.
¿Cuántas pulgadas deben doblarse para dar a la canoa su máxima capacidad?
Observa las siguientes figuras:
canoa
T
12
12 – 2x
x
12 – 2x
figura 1
figura 2
Es notable que el volumen se maximiza, si se maximiza el área de cada una de las secciones
transversales T de la canoa, como la que aparece en la segunda representación. Lo anterior significa que para resolver el problema planteado, debemos construir una función cuadrática que
describa el área de una de las secciones transversales T, que podríamos trazar sobre la canoa.
Esta función sobre la base de los datos del problema viene dada por
T = A(x)= (12 – 2x)x = 12x – 2 2
Y
V(3; 18)
18
vértice de
la gráfica
0
3
6
X
El vértice V de esta parábola corresponde a V = (3; 18)
Maximizando la función, deben doblarse los lados de la lámina a tres pulgadas de distancia para
que la capacidad de la canoa sea máxima.
44
Compendio escolar
Álgebra
Actividad en el aula N.o 1
a. Si se hubiera tabulado infinitos valores,
¿cuál sería la forma de la gráfica?
................................................................
................................................................
b. ¿Tiene alguna relación la dirección de la
gráfica con los elementos de la función?
Explica.
................................................................
3. Halla el vértice de las siguientes funciones
completando cuadrados.
a. f(x) = x2 – 8x +12
b. g(x)= 2x2 + 4x + 3
c. h(x)= –x2 –10x – 9
4. Escribe cinco características de la función
lineal (gráfica, dominio y rango).
q ..............................................................
q ..............................................................
q ..............................................................
q ..............................................................
q ..............................................................
................................................................
5. Esboza la gráfica de la función f(x)=x2 + 8x +15.
c. ¿Cuántos puntos de corte tiene la gráfica
de la función con los ejes de coordenadas? Indica cuáles son.
6. Esboza la gráfica de la función
f(x)= –x2+12x – 40, e indica el máximo de la
función.
................................................................
7. Si la gráfica de la función f es
................................................................
Y
f(x) x 2 – 8x 12
d. ¿Cuál es la relación de dichos puntos de
corte con la función? Explica.
................................................................
c
................................................................
a
b
X
2
2. Dada la función f(x) = x – 6x + 8, completando
cuadrados tenemos
calcula el valor de f (a ) + f (b ) + c .
a +b
8. Expresa el área del rectángulo mostrado en
el gráfico como una función cuadrática de x.
¿Para qué valor de x el área será máxima?
2
f( x ) = x
−
6x
+
...
2
f ( x ) = ( x − .....) ...
2
De la forma general f(x ) = ( x − h ) + k su vértice es el punto V = (h; k)
10 – x
De la función anterior se tiene que el vértice
es V = (.....; .....)
x
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
45
Álgebra
1. En una hoja milimetrada, tabula 10 valores
de la función f(x)=x2 – 6x + 8 y represéntalos
en el plano cartesiano. Luego responde las
siguientes preguntas.
Actividad domiciliaria N.o 1
1. Sobre la función cuadrática, completa las siguientes expresiones.
a. Su gráfica es una ............... dirigida
............... o ............... .
7. Marca la alternativa que represente la gráfica de la función f(x)=x2 – 5x + 4. Justifica cada
alternativa.
a.
Y
b. Los puntos de corte con el eje X son las
............... de la función cuadrática.
X
c. El término independiente de la función
cuadrática en la gráfica representa el
............... con el eje ............... .
b.
Y
d. Si la parábola se dirige hacia ...............,
la función tiene un máximo valor.
X
2. Halla el vértice de las siguientes funciones.
a. f(x) = x2 – 4x –12
b. g(x) = x2 +12x + 35
c.
c. h(x) = –x2 + 3x – 2
Y
3. Grafica la función
f(x)=x2 – 2x – 8.
X
4. Indica el menor valor que puede tomar la
función luego de graficar.
d.
h(x)=x2 – 6x + 5
Y
5. Dada la función
f(x)= x2+ 6x +7,
halla a +b si f(a)=b, donde b es el mínimo valor que toma la función.
6. A partir del gráfico
Y
h(x)=ax 2  bx  c
–1
5
X
8. Expresa el volumen de la pirámide mostrada
en el gráfico como una función cuadrática
de x. Halla el valor de x para que el volumen
sea el mínimo.
hx–2
X
–10
A  3x
calcula b + c.
46
Compendio escolar
Álgebra
Actividad en el aula N.o 2
1. Dada la gráfica de la función
b.
Y
2
f(x) = mx + nx + p
f(x)
Y
X
X
q Sus raíces son ................................ .
q Su discriminante es ........................ .
completa las siguientes expresiones.
q Su T.I. es ........................................ .
a. Sus raíces son .................. y ..................;
por lo tanto, son ................. .
b. Como la gráfica está dirigida hacia
c.
Y
f(x) ax 2  bx  c
....................; por lo tanto, su coeficiente
principal (............) es ................... .
c. El punto de corte de la gráfica con el
eje .................... es el término independiente; por lo tanto, en la gráfica el T.I.
X
(............) es .................... .
d. Si sus raíces son ..............., entonces su
q Sus raíces son ................................ .
discriminante es ..................... .
q Su discriminante es ........................ .
q Su coeficiente principal es ............... .
q Su T.I. es ........................................ .
2. Dadas las siguientes gráficas, completa las
características.
a.
Y
d.
Y
f(x)
X
f(x) nx 2 – mx  p
X
q Sus raíces son ................................ .
q Su discriminante es ........................ .
q Sus raíces son ................................ .
q Su discriminante es ........................ .
q Su coeficiente principal es ............... .
q Su coeficiente principal es ............... .
q Su T.I. es ........................................ .
q Su T.I. es ........................................ .
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
47
Álgebra
q Su coeficiente principal es ............... .
3. Sea f(x)=mx2 – 4mx +1 una función cuya gráfica es
Y
7. Indica el mínimo valor de la función f
si f(x) = x2 –10x + 40.
8. Indica los valores que toma n si
P(x)= –x2 + 4x + 4n
f(x)
tiene como rango los reales menores que 5 y
como dominio los reales.
X
9. Si el Ranf = [5; + ∞⟩
además
Calcula f(2).
f(x) = x2 – 2x + a; x ∈R,
4. Sea la gráfica de
f(x) = x2 + bx + c
calcula a.
10. Luego de graficar, indica la suma del mínimo
y del máximo valor de las funciones
Y
f(x) = x 2– 6x + 29 y
x1
g(x) = –x 2+ 4x + 8, respectivamente.
3
x2
X
11. Halla la regla de correspondencia de la función.
–7
Y
Halla el valor de x1 · x2 + 2(x1 + x2).
f(x)
5. Dada la gráfica
Y
1
m
g(x)  2x
f(x)  x 2  x – 6
b
a
1
X
12. Dada la función cuadrática f(x) = 4x – 2x2+ 3,
X
halla las coordenadas del vértice de su gráfica.
n
calcula m + n.
13. Halla el rango y la gráfica de la función
definida por f(x)=x 2– x –12; x ∈[– 4; 6].
6. Dadas las gráficas
f (x) = x + b;
p(x)=x2 – 6x + 9
14. Luego de graficar la función
2
4 − x (si x ≤ 1)
g(x ) = 
2
2 + x (si x > 1)
Y
C
indica el dominio y el rango.
9
A
B
X
Indica el área de la región triangular ABC.
48
Compendio escolar
Álgebra
15. Un hombre dispone de 160 m de alambre
y desea cercar una superficie de forma
rectangular. Si uno de sus lados no necesita
cerca, ¿cuál debe ser la dimensión del lado
sin cerca para que el área sea máxima?
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Dadas las gráficas, escribe en tu cuaderno
sus características.
Y
f(x)
a.
Y
f(x)
x1
X
5. Dada la gráfica de las funciones
X
f(x)=2x + b y g(x)= x2– 4x + 4
Y
Y
B
Álgebra
b.
x2
2
f(x) mx  bx  a
H
A
X
C
indica el área de la región triangular ABC.
2. Dibuja en forma aproximada las funciones
cuadráticas con las siguientes características.
6. Dada la gráfica de la función
Y
a. Sus raíces complejas y su coeficiente
principal negativo
g(x)=x 2
b. Su coeficiente principal negativo y sus
raíces positivas
b
c
3. Sea h(x)=2x2+bx+c, cuya gráfica es
a a
X
2
¿qué relación se cumple entre b y c?
Y
6
7. De la siguiente gráfica:
2
m–2
–1
X
Y
vértice
X
y  x 2  cx  2b
halla el valor de m.
4. ¿Qué valores puede tomar a para que la función f(x)=ax2+(a – 3)x +1 presente la siguiente
gráfica?
vértice
2
X
y – x 2  bx  d
halla el valor de 2c – d.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
49
8. Dada la función cuadrática f y dado el vértice
(3; 1), halla f(2) si f(4) = 6.
9. Sean las funciones
f(x)=x2 – 4x + 7; x ∈R y g(x)= – 2x2 + 4x + 2; x ∈R
Halla el mínimo valor de f(x) más el máximo
valor de g(x).
10. Halla la función cuadrática en la siguiente
gráfica.
–3
(– 2; – 5)
50
Compendio escolar
3
(1; – 8)
Álgebra
11. Halla el dominio y el rango, y grafica la función.
x 2 + 1
(si x > −1)
h( x ) = 
2
2
 − x − 1 (si x < −1)
12. La resistencia de la cuerda que sostiene un peso x está dada por la función
f(x) = x(12 – 2x). ¿Para qué peso la resistencia
es máxima?
13. Un rectángulo tiene dos de sus lados sobre
los ejes de coordenadas y el cuarto vértice
sobre la recta de la función f(x) = 6 – x. Calcula
el área máxima del rectángulo.
10
TEMA
Función raíz cuadrada y función valor absoluto
Objetivos
 Reconocer la regla de correspondencia y la gráfica de las funciones raíz cuadrada y valor
absoluto.
 Representar y analizar la gráfica de las funciones raíz cuadrada y valor absoluto.
 Resolver problemas variados utilizando los conocimientos de las funciones valor absoluto y
raíz cuadrada.
Álgebra
Aplicación de las funciones
cuadráticas a la construcción
Todas las funciones son importantes para el entendimiento de nuestra realidad y son muy utilizadas en la creación de muchas construcciones que nos rodean. Las más conocidas son llamadas
funciones elementales o especiales, que ya empezamos a conocer en los temas anteriores.
Muchas de ellas las encontraremos en nuestra vida diaria, no se muestran como operaciones
ni como símbolos matemáticos, sino mediante su gráfica. Las que se estudiarán en este capítulo
serán la función raíz cuadrada y la función valor absoluto.
Recordemos una pileta, la forma que presenta la caída del agua, o muchas piletas, por ejemplo las formas de las caídas de agua del Parque de la Reserva (ahora llamado Parque de las
Aguas) de Lima. Todas ellas presentan diferentes gráficas de funciones.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
51
Actividad en el aula N.o 1
1. En una hoja milimetrada, tabula 10 valores
de cada función dada y grafícalos en un plano cartesiano (con calculadora).
Obs.: Busca valores enteros.
3. Grafica la función
f( x ) = 3 − x ,
luego determina su dominio y su rango.
4. Dada la gráfica
a. f ( x ) = x + 3
b. f ( x ) = 2 + x
Y
Luego une los puntos en forma aproximada
para obtener la gráfica.
z
f ( x ) = −x
f(x ) = − x ;
f ( x ) = − −x
6
5
2. Grafica en tu cuaderno las funciones
f(x ) = x ;
f(x) x  m
X
Halla z 2 – m.
5. Grafica la función
Tabulando por lo menos tienes cinco valores, luego determina el dominio y el rango de
cada función.
f ( x ) = x − 2 + 2, y
halla el dominio y el rango.
Actividad domiciliaria N.o 1
1. Grafica las funciones
4. Grafica la función
a. f ( x ) = x −1
f ( x ) = − x + 3 − 1, y
b. f ( x ) = − −x + 2
luego determina su dominio y su rango.
2. Halla la gráfica, el dominio y el rango de
función
halla el dominio y el rango.
5. Dada la gráfica
f ( x ) = 4 − x + 1.
Y
3. Dada la gráfica
f(x) – – x – 1 3
b
Y
3
2
X
halla a · b · c.
Halla el valor de ab.
52
c
f(x) – x  a  b
Compendio escolar
Álgebra
a
X
Actividad en el aula N.o 2
1. Sea f(x) = x.
Luego
x ; x ≥ 0
Recordemos que x = 
−x; x < 0
Entonces
x − 2; x ≥ 2
f(x)= x − 2 = 
 − x + 2; x < 2
Graficando se tiene
f(x) = – x + 2
x ; x ≥ 0
f (x)= x = 
−x; x < 0
sabemos que es una función
X
f(x) = x – 2
Y
X
Y
.................... de dos funciones
.................... .
Graficando se tiene
f (x)= – x
Y
X
Álgebra
X
Y
f(x) = x
Y
X
Y
X
3. Grafica la siguiente función
f (x)=x +1+3,
luego determina su dominio y su rango.
De la gráfica, completa.
a. Su gráfica es de la forma
4. Grafica
f(x)= –x + 2+ 1,
luego determina su dominio y su rango.
5. Dada la gráfica
............................................................. .
Y
f(x) x – a  b
b. La función tiene un .................... valor.
c. Su dominio es .................. y su rango es
C
1
.................. .
d. Su vértice es (........ ; ........).
2. Sea la función
f (x)=x – 2.
Sabemos que
x – 2
–2
X
Completa
a. El vértice es (........; ........).
x – 2; x – 2 ≥ 0
– x + 2; x – 2 < 0
b. En el punto C, ................. toma el valor
de cero.
c. Su rango es .................... .
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
53
6. Sea la función f(x ) = x + m + n , cuya gráfica
es
7. Halla el rango de la función.
Y
5
Y
f(x) – x –1  b
c
1
a
–2
4
b
X
8. Halla el área de la región generada por las
funciones
x
f(x)=x y g(x)= + 1.
2
X
9. Sea h(x)= –x – 2+ 5 y g(x) = 4, cuyas gráficas
se dan a continuación.
Completa.
a. El vértice es .................... .
Y
b. El valor de m es ................... y de
g(x)
es
.................... .
h(x)
c. Los puntos a y b se obtienen cuando
x1
.................... toma el valor de cero.
d. Halla a · b · c.
d
x2
X
Halla d.
Actividad domiciliaria N.o 2
1. Indica el rango de la función, luego de esbozar su gráfica.
g(x) = x – 3 + 3
2. Esboza la gráfica de la función.
 x ; x ∈[ −1; 3
h( x ) = 
 −2x + 3; x ∈[3; 6]
5. Sea f (x) = b +x – a una función, cuya gráfica
se da a continuación.
d
Y
f(x) – x 1  4
f(x)
b
a3
c
a
2
e
Compendio escolar
c
X
halla el valor de a · b · c + d · e.
54
f (x) = 4 ∧ g(x) =x–1
Y
3. Dada la gráfica
d
4. Halla el área de la región limitada por las
gráficas de las funciones.
Álgebra
Halla la relación entre c y d.
X
11
TEMA
Función exponencial
Objetivos
 Reconocer la función exponencial, su gráfica y sus características.
 Aplicar la definición y las propiedades de la función exponencial en la resolución de ejercicios.
La función exponencial es la función con más presencia en los fenómenos observables. Así presentan comportamiento exponencial: la reproducción de una colonia de bacterias, la desintegración de una sustancia radiactiva, algunos crecimientos demográficos, la inflación, la capitalización de un dinero colocado a interés compuesto, etcétera.
Existe una multitud de fenómenos naturales, los cuales pueden ser regidos por la función exponencial o su inversa, denominada función logarítmica. Las funciones exponencial y logarítmica
también se aplican en la química, en la física, en la economía, en la medicina y en otras materias.
En 1798, el economista inglés Thomas Malthus observó que para determinar el crecimiento
de la población mundial se aplica una función exponencial y estableció, además, que, como la
cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el mundo no podría resolver el problema del hambre. Si bien Malthus hace una aplicación práctica en la función exponencial, debemos tener en
cuenta que su análisis del hambre mundial no está considerando otros factores fundamentales,
como los económicos, sociales y políticos.
Función logarítmica
Incremento de la población bacteriana
P
población (P )
recursos (R)
R
crisis
tiempo (T )
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
55
Álgebra
Aplicación de la función exponencial
Actividad en el aula
1. Recordando las propiedades de exponentes,
completa.
n
2
a. 5 = 5 → n
b. 2x = 1 →
x
c. x0 = 1 →
x
d. 0x = 0 →
x
2
f(x)=2
 1
y g(x ) =  
 2
x
Luego une aproximadamente los puntos para
determinar su gráfica.
q 54 < 5y ↔ y
4
m
1
q  
7
5
1
> 
7
a. Su gráfica corta al eje x. (........)
b. Su gráfica corta al eje y. (........)
c. Se puede determinar algún punto en común en ambas gráficas, indica cuáles.
(........)
d. Ambas gráficas son iguales.
(........)
e. Si sabemos que la gráfica es llamada creciente cuando al aumentar el valor de x
aumenta el valor de y, y decreciente en
forma inversa, ¿cómo son las gráficas?
q f(x) es ............... y su base es ........ .
q g(x) es ............... y su base es ........ .
↔ x
5
3
↔ m
3
42
q z < 2 ↔ 4z
1
q w > 4 ↔  
 2
Responde.
w
 1
 
2
4
4. Grafica la función
f(x)=3x–1,
luego determina su dominio y su rango.
5. Halla el rango de la función
h(x)=4x +1 si el Domh = ⟨1; 3⟩.
6. Halla el dominio de la función f, tal que
f(x) = 22x – 1, siendo el Ranf = [4; 32⟩
7. Luego de resolver
2 x −1
Determina el dominio y el rango de cada
función.
 1 


 27 
q Domf = ................
determina el mayor valor entero que puede
tomar x.
q Ranf = .................
2
rrespondencia son f(x) = 2x + 2 y g(x) = 2x .
¿Para qué valores de x se cumple f(x) ≤ g(x)?
q Rang = ................
Compendio escolar
> 93− x ,
8. Sean las funciones f y g, cuyas reglas de co-
q Domg = ...............
56
4
x
y grafica cada función en un plano cartesiano.
f.
q 2x < 24 ↔ x
q  1  >  1 
 3
 3
2. En una hoja milimetrada, tabula siete valores
para cada una de las siguientes funciones:
x
3. Completa los espacios en blanco.
Álgebra
Actividad domiciliaria
1. Ubica el símbolo que corresponde en los
espacios en blanco.
2
1
1
q   > 
3
3
1
q  
5
0,5
5. Resuelve
9x > 273x – 2.
x
↔ x
2
6. Resuelve la inecuación
m
1
< 
5
↔ m
0,5
2. Grafica la función g, cuya regla de corresponx
1
dencia es g ( x ) =   ; x ∈ . Luego indica
3
Rang.
(0,3)4x
2
– 2x – 2
< (0,3)2x – 3.
7. Resuelve
 3
 
2
2 −2x
 8
≤ 
 27 
x −1
.
3. Grafica la función h, cuya regla de correspondencia es
3x ; 2 ≤ x
h( x ) = 
9; x ≤ 2
g(x)=5x. ¿Para qué valores de x se cumple
que f(x) < g(x)?
4. Luego de graficar la función g, tal que
x
 1
g ( x ) =   , para − 1 ≤ x < 3,
 2
Recuerda que...
x > 3 ↔ 5x > 53
determina Rang.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
57
Álgebra
2
8. Sean las funciones f y g, tal que f(x)=5x y
12
TEMA
Función logarítmica
Objetivos
 Reconocer y representar gráficamente una función logarítmica.
 Resolver problemas de funciones logarítmicas aplicando propiedades de logaritmos.
Historia de los logaritmos
A veces pensamos que la historia de la matemática es como una marcha
triunfal a lo largo de una avenida sin obstáculos. Al contrario, siempre
ha estado llena de dificultades. Un caso concreto es el logaritmo, que
al igual que todas las herramientas usadas en matemática, fue creado
por necesidad: para poder resolver ecuaciones de la forma bx = N, donde
hallar el valor de x (la incógnita) era el mayor problema.
El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente
en un único proceso, hubo otro cuya idea fundamental lo genera
Arquímedes:
“Cuando varios números están en proporción continua a partir de la
unidad y algunos de estos números se multiplican entre sí, el producto
John Neper
estará en la misma progresión, alejado del más grande de los números
multiplicados tantos números como el más pequeño de los números multiplicados lo está de la
unidad en la progresión, y alejado de la unidad la suma menos uno de los números de lugares que
los números multiplicados están alejados de la unidad”.
Otros trabajos no tuvieron suficiente influencia como para
imponer la comparación de una progresión geométrica con
una progresión aritmética. Fue recién en el año 1614 cuando
John Neper publicó Mirifici logarithmorum canonis descriptio,
donde pone en relación una progresión geométrica con una
progresión aritmética.
Más adelante se profundiza en una de las investigaciones obtenidas por Jakob Bernoulli (1917): la espiral logarítmica, una
curva que aparece frecuentemente en la naturaleza.
Ahora responde.
a. ¿Por qué fueron creados los logaritmos?
.....................................................................................................................................................
b. Investiga tres ejemplos donde se aplica la espiral logarítmica en la naturaleza.
q ...............................................................................................................................................
q ...............................................................................................................................................
q ...............................................................................................................................................
58
Compendio escolar
Álgebra
1. En una hoja milimetrada tabula 7 valores
para cada una de las siguientes funciones
4. En cada una de las siguientes funciones:
q f(x) = log3(x –1)
f ( x ) = log2 x y g ( x ) = log 1  x
2
 
q h(x) = log4(12 – 3x)
y grafica cada función en un plano cartesiano. Luego une los puntos aproximadamente
para determinar su gráfica.
q h(x) = logx(x – 1)
Ahora completa.
q g(x) = logx –1(2x –1)
a. Las gráficas cortan al eje .......................
halla sus dominios.
en el punto ...................... .
b. La gráfica de f(x) es .................................
y su base del logaritmo es .................... .
5. Dadas las funciones f y g, tales que
g ( x ) = log
x2 +4
(x − 5) y h( x ) = log x ( 36 − x 2 ) ,
halla Domg ∩ Domh.
c. La grafica de g(x) es ................................
y su base del logaritmo es .................... .
6. Resuelve la inecuación logarítmica
log2(x – 1) > 3.
d. Domf = ..............................
Ranf = ...............................
7. Si A es el conjunto solución de la inecuación
log3(x2+5) > 2, y B es el conjunto solución de
la inecuación log9(1– x) < 2, halla A ∩ B.
Domg = .............................
Rang = ..............................
2. Usando las propiedades, completa.
a. log2 x > log2 5 ↔ x
7
c. log0,3 m ≤ log0,3 2 ↔ m
2
 
2
d. z > 3 ↔ log 4 z
e. w ≥ 2 ↔ log 1  w
 
5
3. Grafica la función
f ( x ) = log3 ( x − 1) .
log 1 ( 9x 2 − 1) ≥ log 1 ( 8x 2 + 4x + 4 )
3
5
b. log 1  y > log 1  7 ↔ y
 
2
8. Si al resolver
3
se obtiene por conjunto solución a
[a; b⟩ ∪ ⟨c; d], calcula b + c + ad.
9. Calcula la suma de soluciones enteras de la
inecuación
log 1 ( x 2 − 4) ≥ −1.
log 4 3
5
log 1  2
 
5
10. La ley de curación de las heridas está dada
por la función A = Be– n/10. A (en cm2) es el
área dañada después de n días, y B (en cm2),
es el área originalmente dañada. Halla el
número de días necesarios para reducir la
herida a la mitad del área dañada.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
59
Álgebra
Actividad en el aula
Actividad domiciliaria
1. Grafica la función f ( x ) = log 1  ( x − 2), y luego
 
3
11. Si el conjunto solución de la inecuación
2 log 1 x ≥ log 1 (7x − 6) es [a; b ],
halla el dominio y el rango.
3
3
calcula 2b + a.
2. Calcula el dominio de la función
12. Resuelve log(10logx2) ≥ 1, e indica el menor
valor de x .
f(x) = log(2x – 8).
3. Calcula el dominio de la función
f(x) = logx –3(4x – 36).
4. Halla el dominio de la función
13. Indica cuántos enteros verifican la inecuación log5(4x + 2) – 2 > log5(2 – 8x), luego halla el menor valor de x .
g(x) = log3(x2 + x – 72).
14. Si el conjunto solución de la inecuación
5. Resuelve la inecuación
(
2
6. Resuelve log 1 (5x − 20) ≥ log 1 (2x + 10) .
4
)
log 1 log11 ( x 2 − 5) > 0
log5(4x – 12) ≥ log5(2x – 30).
4
7. Halla log2(5x+9) ≥ 4.
tiene la forma CS
⟨a; b⟩ ∪ ⟨– b; a⟩, calcula (a – b)(a + b).
15. Si el conjunto solución de
8. Determina el dominio de la función g tal que
g(x)= logx(4 – x2).
9. Resuelve la inecuación logarítmica
(
)
log16 log 4 (2 − x 2 ) < 0 es ⟨a; b⟩, calcula a +b.
 2x 2 + 4x − 2 
16. Al resolver log2 
 ≥ −1

4x − 1 
se obtiene
log3(1– x) < 2.
CS = [a ; b ∪ [a + 2; + ∞ .
10. Resuelve la inecuación logarítmica
log 1 (5x − 1) ≥ − 4.
3
60
Compendio escolar
Álgebra
Calcula
a2
b
13
TEMA
Introducción a la programación lineal I
Objetivos
 Representar gráficamente la región del conjunto solución de sistemas de inecuaciones lineales.
 Analizar la gráfica del conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales para determinar
puntos máximos y mínimos de funciones.
En los siglos xVii y xViii, habiendo hecho contribuciones fundamentales al desarrollo del cálculo infinitesimal, grandes matemáticos como Newton, Leibnitz, Bernoulli y Lagrange, especialmente este último, se ocuparon del problema de obtener valores
máximos y mínimos de ciertas funciones, sujetos a determinadas restricciones.
Más adelante, Joseph Fourier induce los métodos de la disciplina que hoy conocemos como programación lineal. Después
de Fourier, haciendo excepción del matemático Gaspar Monge,
que en 1776 se interesó por problemas de este género, no aparecen referencias importantes en la historia de la programación
lineal hasta la publicación del vasto trabajo monográfico del
matemático ruso Leonid Kantoróvich, Métodos matemáticos de
organización y planificación de la producción, en el que por primera vez se da una amplia gama
de problemas donde se aplica una teoría matemática rigurosa y bien definida, denominada hoy
programación lineal.
En 1945, G. Stigler plantea un problema de aplicación importante, de la naciente teoría,
conocida como régimen alimenticio optimal.
En 1947, George B. Dantzig señala, en términos matemáticos muy rigurosos y generales, el
enunciado estándar a que debe someterse cualquier problema de programación lineal. Dantzig,
en 1951, comenzó el estudio del método simplex, el cual posteriormente se transformaría en el
pilar fundamental de la programación lineal. Las contribuciones de este matemático a la consolidación de esta nueva disciplina son consideradas tan relevantes, a partir de ello, comúnmente, se
le conoce como el padre de la programación lineal.
No se puede dejar de mencionar al genial matemático norteamericano John von Neumann,
quien aportó los fundamentos matemáticos de la programación lineal. En 1928 publicó su célebre
trabajo Teoría de juegos, y posteriormente, en 1947, conjeturó la equivalencia de los problemas
de programación y la teoría de matrices desarrollada en sus trabajos. Para finalizar, cabe señalar,
como un ejemplo del dinamismo de las matemáticas en la solución de problemas, lo sucedido
en 1984: Narendra Karmarkar, matemático que trabajaba en los Laboratorios Bell, en Estados
Unidos, presenta un método alternativo al simplex, el cual, en comparación con este, aporta un
incremento notable en la rapidez para obtener soluciones en los problemas de programación lineal.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
61
Álgebra
Historia de la programación lineal
Nota
La programación lineal es una técnica matemática relativamente reciente (siglo xx), que
consiste en una serie de métodos y procedimientos que permiten resolver problemas de
optimización (maximizar o minimizar). Nosotros nos centramos en aquellos problemas de
programación lineal, donde solo intervienen dos variables (problemas bidimensionales).
Actividad en el aula
1. Representa gráficamente las siguientes expresiones.
a. x + y = 2
c. x + y < 1
Y
Y
X
X
d. x + y ≥ 3
b. y – 2x ≥ 1
Y
Y
X
62
Compendio escolar
Álgebra
X
2. Determina la inecuación que corresponde a
cada región sombreada.
2x − y ≥ 5
a. x + y ≤ 5

y≥0

Y
2
2
b.
2x − y ≥ 4

b. x + 2y ≤ 22

y≥0

X
x − 2y ≥ −10
c. 0 ≤ x ≤ 8

y ≥0

Y
6
x + y ≥ 2

d. x − y ≥ − 2
0 ≤ x ≤ 5

X
–2
5. Halla el sistema de inecuaciones lineales que
describe la región sombreada.
a.
c.
Y
Y
(1; 4)
2
–2
7
5
X
X
3. Representa gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen los siguientes sistemas de
ecuaciones lineales.
b.
Y
(2; 4)
4
x + y ≥ 3
a. 
3x − y ≤ 4
5
X
2x − y > 4
b. 
 x − 2y < 5
x + y > 4
c. 
 4x − 2y ≥ 5
c.
Y
5
y − 3x ≤ −1
d. 
x + y ≥ 2
–2
–3
8 X
y > x + 2
e. 
3 < x + y
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
63
Álgebra
a.
4. Representa gráficamente la solución de cada
uno de los siguientes sistemas.
6. Encuentra las coordenadas de los vértices
de la región que está determinada por los siguientes sistemas de inecuaciones lineales.
2x + 6y ≤ 17

x − y ≤ 5
b. 
x ≥ −1



y≤2
9. Dadas las restricciones
3x + 2y

 x + y

x



y
 x − 3y ≥ − 6

c. 
x ≤ −2

y ≥ −1

≤ 80
≥0
≥0
10. Dadas las restricciones
 x + 2y ≥ 80

3x + 2y ≤ 120

x ≥0



y ≥0
2x − 3y ≤ 10

 x + y ≥ 6
a. 
x ≥3



y≤7
minimiza la función objetivo
f(x; y) = 30x + 40y.
≤ 120
≤ 150
11. Minimiza la función
f(x; y) = 2x + 5y
≥0
si está sujeta a las restricciones
≥0
 x + y ≥ 120

x + 3y ≥ 150
c. 
x ≥0



y≥0
Compendio escolar
≤ 180
maximiza f(x; y) = 4x + 3y.
7. Determina la región factible de las siguientes
restricciones.
64
derando las siguientes restricciones.
x + y ≤ 4

x − y ≤ 2

x ≥ −5



y ≥0
2x − y ≤ 4

a. 7x + y ≥ 5

x + y ≤ 5
 x +y

x + 3y
b. 
x



y
8. Halla el máximo valor de f(x; y)=2x+3y consi-
 x + 3y

2x + y

 0≤ x

 0 ≤ y
Álgebra
≥ 12
≥8
≤ 12
≤8
Actividad domiciliaria
1. Representa en el plano la región que determina las siguientes inecuaciones.
a. x – 2y < 4
3. Representa gráficamente la solución de cada
uno de los siguientes sistemas.
 x + 2y ≥ 4

a. 
x ≤ 10

y≤5

b. 3x + y ≥ 2
c. x + y ≤ 1
d. y > 3x + 2
e. y > 2x – 1
2. Determina las inecuaciones que corresponden a cada región sombreada.
a. ...............................................
Y
2x + y ≤ 12
c.  x − y ≥ 2

y ≥ −3

4. Encuentra el sistema de inecuaciones lineales que describe la región sombreada.
a.
3
Y
5
2
2
X
1
1
3
5
X
4
X
b. ...............................................
Y
b.
Y
5
1
–1
X
3
2
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
65
Álgebra
2x − 5y ≤ 10

b.  x + y ≥ −3

y ≥ −3

5. Sea (x0; y0) el punto de intersección de las
rectas
30x + 20y = 1800

x + y = 80

Calcula x0 + y0.
6. Halla las coordenadas de los vértices de las
regiones determinadas por los siguientes
sistemas de inecuaciones lineales.
≥1
≥ −1
≥0
≥0
≤3
≥0
≥0
≤ −4
≥3
≥0
≥0
10. Maximiza
considerando las siguientes restricciones.
 x+y≥6
2x − y ≥ 3


x ≥0


y ≥0
Compendio escolar
≤5
 x − 2y

 x −y

x


y

7. Determina el mínimo valor de la función objetivo f(x; y) = 3x + 2y
66
x + y

x − y

x


y

9. Maximiza f(x; y) = 2x + y, bajo las restricciones.
 x + 2y ≤ 8
2x − y ≤ 6

a. 
x≥0


y≥0
x + y
x − y
b. 
x


y
8. Minimiza la función f(x; y)=2x + y sujeta a las
restricciones.
Álgebra
f(x; y) = 3x – y
sujeta a
 x+y≥6

2x + y ≤ 4

x ≥0


y ≥0

14
TEMA
Introducción a la programación lineal II
Objetivo
 Aplicar los conocimientos de programación lineal para resolver problemas relacionados con la
realidad.
En 1946 comienza el largo periodo de la Guerra Fría entre la
Unión Soviética y los Estados Unidos. Uno de los episodios
más llamativos de esa guerra se produjo a mediados de
1948, cuando la Unión Soviética bloqueó las comunicaciones
terrestres.
A los aliados se les presentaban dos posibilidades: o
rompían el bloqueo terrestre por la fuerza, o llegaban a Berlín
por aire. Se optó la decisión de demostrar el poder aéreo
estadounidense; a tal efecto, se organizó un gigantesco
puente aéreo para abastecer a la ciudad. En diciembre de
1948 se estaban transportando 4500 toneladas diarias; en
marzo de 1949, se llegó a las 8000 toneladas, tanto como
se transportaba por vía terrestre antes del corte de las comunicaciones. En la planificación de los
suministros se utilizó la programación lineal. El 12 de mayo de 1949, los soviéticos levantaron el
bloqueo.
¿dónde Podemos aPlicaR la PRogRamación lineal?
En el Perú, desde los primeros años de la década de 1960, diversas empresas y entidades han
aplicado la programación lineal para la toma de decisiones en problemas específicos, tales como las
siguientes:
Petroperú. Modelo de refinerías para la obtención de gasolinas del octanaje adecuado al mínimo
costo.
Nicolini Hnos. S.A. Modelo de mezcla de insumos para la fabricación de alimentos balanceados para
aves.
Ministerio de Transportes. Modelo de evaluación de proyectos de construcción vial considerando los
efectos regionales de centros de producción y consumo.
gestión de
negocios
matemática
aplicada
industria y
economía
investigación
operativa
áreas de
ingeniería
ingeniería de
software
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
67
Álgebra
El puente aéreo de Berlín
Ejemplo
Las restricciones pesqueras impuestas por el
Ministerio de Pesquería obligó a ciertas empresas a pescar como máximo 2000 t de merluza
y 2000 t de caballa; además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de
3000 t.
¿Qué cantidades de merluza y de caballa se deben
capturar para que el beneficio sea el máximo?
Graficamos las restricciones de la aplicación.
Y
3000
Resolución
Colocamos variables a las cantidades no conocidas
Merluza
2000
1000
Caballa
Cantidad
1000
2000
3000
X
Escribe las restricciones del ejemplo.
Determinamos las coordenadas de los vértices
del polígono.
......................................
......................................
..........................................................................
......................................
......................................
Restricciones de
......................................
no negatividad
Si el precio de la merluza es S/.7,00 por kilo y el
precio de la caballa es S/.5,00 por cada kilo, ordena los datos para encontrar la función objetivo.
Evaluamos dichos puntos en la función para determinar el máximo.
(......; ......) → G(......; ......)= ............................
..........................................................................
..........................................................................
..........................................................................
Merluza
Caballa
..........................................................................
..........................................................................
Cantidad
Costo
Para obtener el beneficio máximo, x = ...............
e y = .....................
Luego la función objetivo sería
Rpta.:
................. de merluza y ................. de caballa.
G(......; ......)=
Recomendaciones para resolver un problema de programación lineal
Para resolver un problema de programación lineal en dos variables, se sugiere seguir el siguiente
orden:
Paso 1. Leer detenidamente el enunciado del problema.
Paso 2. Expresar el problema en su formato estándar.
Paso 3. Representar gráficamente las restricciones y marcar claramente la región factible.
Paso 4. Hallar las coordenadas de todos los vértices de la región factible.
Paso 5. Evaluar la función objetivo en cada vértice.
Paso 6. Identificar el vértice que optimiza la función objetivo. Si solo existe un vértice con esta
propiedad, esta constituye la única solución óptima del problema. Si la función objetivo se optimiza
en dos esquinas adyacentes de la región factible, entonces existe una infinidad de soluciones óptimas
dadas por los puntos de segmento de recta determinada por estos dos vértices.
68
Compendio escolar
Álgebra
Actividad en el aula
1. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le
paga S/.5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga S/.7 por
impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para
los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos
como máximo. ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario
sea máximo?
Álgebra
Resolución
2. Un comerciante acude a cierto mercado a comprar naranjas con S/.50 000. Le ofrecen dos
tipos de naranjas: las de tipo A a S/.50 el kilogramo y las de tipo B a S/.80. Si se sabe que
solo dispone en su furgoneta de espacio para transportar 700 kg de naranjas, como máximo, y
piensa vender el kilogramo de naranjas tipo A a S/.5,8 y el kilogramo de tipo B a S/.9, contesta
lo siguiente:
a. ¿Cuántos kilogramos de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio?
b. ¿Cuál será ese beneficio máximo?
Resolución
3. Un club social encarga a una empresa de transporte el viaje para llevar a los 1200 socios a ver la
final de su equipo. Se contratan autobuses de 50 asientos y microbuses de 30 asientos. El precio
de cada viaje en el autobús es de $252 y el del viaje en microbús, de $180. Si se sabe que la
empresa dispone de 28 conductores, ¿cuál es el costo máximo del viaje?
Resolución
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
69
4. Juan se dedica a la compra venta de naranjas y papayas. Todos los días, temprano, en la mañana
visita a su proveedor de frutas en el mercado mayorista y hace las compras del día. El día anterior
recibe los pedidos de sus clientes y esta suma 600 kg de papaya y 1200 kg de naranja. Juan lleva
su camioneta para el transporte cuya capacidad de carga es de 1600 kg. ¿Cuántos kilos de cada
fruta debe comprar Juan para maximizar los beneficios?
Resolución
5. Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas económicas: A y B. Para ello dispone de
$600 000 y el costo de una casa de tipo A es de $13 000 y $8000 una de tipo B. El número de
casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 %, por lo menos. Si
cada casa de tipo A se vende a $16 000 y cada una de tipo B a $9000, ¿cuántas casas de cada
tipo debe construir para obtener el beneficio máximo?
Resolución
6. Un fabricante, con 70 kg de acero y 40 kg de aluminio, quiere fabricar ollas industriales de acero y de aluminio, las cuales quiere vender a S/.1500 y S/.1000, respectivamente, para obtener
la máxima ganancia. En la elaboración de las ollas de acero empleará 5 kg de acero y 2 kg de
aluminio, y en las ollas de aluminio 2 kg de cada metal. ¿Cuántas ollas industriales de acero y de
aluminio venderá el fabricante para obtener la máxima ganancia?
Resolución
7. Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden
suministrarle la fruta, para satisfacer sus necesidades, pero solo venden la fruta en contenedores
completos. El mayorista A envía en cada contenedor ocho cajas de naranjas, una de plátanos y
dos de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor dos cajas de naranjas, una de plátanos y siete de manzanas. Si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el
mayorista B a 300 km, calcula cuántos contenedores habrá que comprar a cada mayorista con el
objeto de ahorrar tiempo y dinero reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado.
Resolución
70
Compendio escolar
Álgebra
Actividad domiciliaria
1. Una fábrica de focos ahorradores produce dos tipos de ellos. Los de tipo normal valen S/.45 y
las halógenas, S/.60. La producción está limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al
día más de 400 normales y 300 halógenas ni más de 500 en total. Si venden toda la producción,
¿cuántos de cada clase convendrá producir para obtener la máxima facturación?
3. Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores: de la clase A a S/.200 la unidad, y la clase B, a
S/.150. En la producción diaria se sabe que el número de rotuladores de la clase B no supera en
1000 unidades los de clase A. Además, entre las dos clases no superan las 3000 unidades, y los
de clase B no bajan de 1000 unidades por día. Halla el costo máximo y mínimo de la producción
diaria.
4. Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior.
Para ello lanzan dos ofertas: A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón
que se vende a S/.30; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón que se venden a S/.50. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la oferta B.
¿Cuántos lotes han de vender de cada tipo para maximizar la ganancia?
5. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos secciones. En la sección A,
para hacer la carrocería de un camión, se invierte 7 días-operario; para fabricar la de un coche,
se precisan 2 días-operario. En la sección B se invierten 3 días-operario, tanto en carrocería de
camión como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la sección A dispone de
300 días-operario y la sección B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada
camión son de $6000 y por cada automóvil, $2000, ¿cuánto de cada tipo se debe fabricar para
que el beneficio sea máximo?
6. Cierto fabricante produce dos artículos (A y B) para lo que requiere la utilización de dos secciones
de producción: sección de montaje y secciones de pintura. El artículo A requiere una hora de trabajo en la sección de montaje y dos en la sección de pintura; y el artículo B, tres horas en la sección de montaje y una hora en la de pintura. La sección de montaje solo puede estar funcionando
nueve horas diarias, mientras que la de pintura solo ocho horas diarias. El beneficio que produce
el artículo B es de S/.40, y el de A es de S/.20. Calcula la producción diaria de los artículos A y
B que maximicen el beneficio.
Bibliografía
 ESPINOZA RAMOS, Eduardo. Análisis matemático I. Tercera edición. Lima: Editorial Servicios Gráficos, 2000.
 INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES. Álgebra y principios del análisis. Tomo II. Lima: Lumbreras
Editores, 2001.
 ROJAS PUÉMAPE, Alfonso. Matemática 5. Colección Skanners. Lima: Editorial San Marcos, 2004.
 SAAL RIQUEROS, César. Álgebra cero. Lima: Editorial Gómez, 1994.
 VENERO B., Armando. Análisis matemático I. Lima: Gemar, 2000.
5.o de secundaria
Colegio Bertolt Brecht
71
Álgebra
2. Un orfebre fabrica dos tipos de joyas. Las del tipo A precisan 1 g de oro y 1,5 g de plata, vendiéndolas a $40 cada una. Para la fabricación de las del tipo B, emplea 1,5 g de oro y 1 g de plata, y
las vende a $50. El orfebre tiene solo en el taller 750 g de cada uno de los metales. ¿Cuántas joyas
ha de fabricar de cada clase para obtener un beneficio máximo?