Uploaded by akbramantyo15

3

advertisement
𝜕ð‘Ē
ðœ•ð‘Ą
=𝛞
𝜕2 ð‘Ē
𝜕ð‘Ĩ 2
.........................................................(1)
ð‘Ē(ð‘Ĩ, ð‘Ą) = ðđ(ð‘Ĩ). 𝐚(ð‘Ą)
𝜕ð‘Ē
ðœ•ð‘Ą
= ðđ𝐚Ė‡ .............................................................(2)
𝜕ð‘Ē
= ðđ′𝐚
𝜕ð‘Ĩ
𝜕2 ð‘Ē
𝜕ð‘Ĩ 2
= ðđ ′′ 𝐚.........................................................(3)
Substitusi (2) dan (3) ke (1)
1
ðđ𝐚Ė‡ = 𝛞ðđ ′′ 𝐚 (kedua ruas dikali 𝛞ðđ𝐚)
1 𝐚Ė‡ ðđ ′′
=
=𝑘
𝛞𝐚
ðđ
Mencari F(x)
ðđ ′′
=𝑘
ðđ
ðđ ′′ − 𝑘ðđ = 0 menggunakan case 3 dengan 𝑘 = −𝑝2 , sehingga diperoleh persamaan karakteristik
λ2 + 𝑝 2 = 0
atau 𝜆 = ± 𝑝𝑖
Sehingga solusi F(x) diperoleh :
ðđ(ð‘Ĩ) = ðī cos 𝑝ð‘Ĩ + ðĩ sin 𝑝ð‘Ĩ
Dengan BC :
ð‘Ē(0, ð‘Ą) = ðđ(0). 𝐚(ð‘Ą) = 0
G(t) ≠ 0
F(0) = 0
ð‘Ē(0,1, ð‘Ą) = ðđ(0,1). 𝐚(ð‘Ą) = 0
G(t) ≠ 0
F(0,1) = 0
ðđ(0) = ðī cos 0 + ðĩ sin 0
0=ðī
ðđ(ð‘Ĩ) = ðĩ sin 𝑝ð‘Ĩ
ðđ(0,1) = ðĩ sin 0,1𝑝 = 0
dengan B ≠ 0 maka
0,1𝑝 = 𝑛𝜋
𝑝=
𝑛𝜋
0,1
Sehingga diperoleh :
𝑭(𝒙) = ð‘Đ 𝐎ðĒ𝐧 𝟏𝟎𝒏𝝅𝒙
Mencari G(t)
1 𝐚Ė‡
=𝑘
𝛞𝐚
𝑑𝐚
= 𝑘𝛞 ð‘‘ð‘Ą
𝐚
∫
𝑑𝐚
= ∫ 𝑘𝛞 ð‘‘ð‘Ą
𝐚
ln 𝐚 = ð‘˜ð›žð‘Ą
𝐚(ð‘Ą) = 𝑒 ð‘˜ð›žð‘Ą
dengan 𝑘 = −𝑝2 = −(10𝑛𝜋)2
λ𝑛 2 = 𝛞(10𝑛𝜋)2
𝟐 ðœķ𝒕
ð‘Ū(𝒕) = 𝒆−(𝟏𝟎𝒏𝝅)
−(𝟏𝟎𝒏𝝅)
Sehingga 𝒖(𝒙, 𝒕) = ∑∞
𝒏=𝟏 𝒆
Initial Condition :
ð‘Ē(ð‘Ĩ, 0) = 10ð‘Ĩ = 𝑓(ð‘Ĩ)
𝟐 ðœķ𝒕
ð‘Đ𝒏 𝐎ðĒ𝐧 𝟏𝟎𝒏𝝅𝒙
Download