𝜕𝑢
𝜕𝑡
=𝛼
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
.........................................................(1)
𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝐹(𝑥). 𝐺(𝑡)
𝜕𝑢
𝜕𝑡
= 𝐹𝐺̇ .............................................................(2)
𝜕𝑢
= 𝐹′𝐺
𝜕𝑥
𝜕2 𝑢
𝜕𝑥 2
= 𝐹 ′′ 𝐺.........................................................(3)
Substitusi (2) dan (3) ke (1)
1
𝐹𝐺̇ = 𝛼𝐹 ′′ 𝐺 (kedua ruas dikali 𝛼𝐹𝐺)
1 𝐺̇ 𝐹 ′′
=
=𝑘
𝛼𝐺
𝐹
Mencari F(x)
𝐹 ′′
=𝑘
𝐹
𝐹 ′′ − 𝑘𝐹 = 0 menggunakan case 3 dengan 𝑘 = −𝑝2 , sehingga diperoleh persamaan karakteristik
λ2 + 𝑝 2 = 0
atau 𝜆 = ± 𝑝𝑖
Sehingga solusi F(x) diperoleh :
𝐹(𝑥) = 𝐴 cos 𝑝𝑥 + 𝐵 sin 𝑝𝑥
Dengan BC :
𝑢(0, 𝑡) = 𝐹(0). 𝐺(𝑡) = 0
G(t) ≠ 0
F(0) = 0
𝑢(0,1, 𝑡) = 𝐹(0,1). 𝐺(𝑡) = 0
G(t) ≠ 0
F(0,1) = 0
𝐹(0) = 𝐴 cos 0 + 𝐵 sin 0
0=𝐴
𝐹(𝑥) = 𝐵 sin 𝑝𝑥
𝐹(0,1) = 𝐵 sin 0,1𝑝 = 0
dengan B ≠ 0 maka
0,1𝑝 = 𝑛𝜋
𝑝=
𝑛𝜋
0,1
Sehingga diperoleh :
𝑭(𝒙) = 𝑩 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝒏𝝅𝒙
Mencari G(t)
1 𝐺̇
=𝑘
𝛼𝐺
𝑑𝐺
= 𝑘𝛼 𝑑𝑡
𝐺
∫
𝑑𝐺
= ∫ 𝑘𝛼 𝑑𝑡
𝐺
ln 𝐺 = 𝑘𝛼𝑡
𝐺(𝑡) = 𝑒 𝑘𝛼𝑡
dengan 𝑘 = −𝑝2 = −(10𝑛𝜋)2
λ𝑛 2 = 𝛼(10𝑛𝜋)2
𝟐 𝜶𝒕
𝑮(𝒕) = 𝒆−(𝟏𝟎𝒏𝝅)
−(𝟏𝟎𝒏𝝅)
Sehingga 𝒖(𝒙, 𝒕) = ∑∞
𝒏=𝟏 𝒆
Initial Condition :
𝑢(𝑥, 0) = 10𝑥 = 𝑓(𝑥)
𝟐 𝜶𝒕
𝑩𝒏 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟎𝒏𝝅𝒙