Geçen hafta ne işlenmişti?
Ham: 5, 2, 4, 1, 1, 2, 3
Sıralanmış: 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5
3
x
F
∑f
1
2
2
2
2
4
3
1
5
4
1
6
5
1
7
2
1
0
1
Frekans tablosu
2
3
4
5
Sütun grafiği
Gruplandırılmış veri
Sürekli veriler için çizgi grafiği
daha uygun olabilir.
3. Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri
Not: Ders paylaşımında kullanılan sunumlar Hasan Kalyoncu Üniversitesi
hazırlanmıştır. Emeği ona aittir
öğretim üyesi Dr. Öğr. Üyesi Ufuk AKBAŞ tarafından
Merkezi Eğilim Ölçüleri
Eldeki verilerin hangi nokta
etrafında toplandığı ya da
hangi noktaya doğru yığılma
gösterdiğinin belirlenmesinde
kullanılırlar.
Mod (Tepe değer)
Medyan (Ortanca)
Aritmetik ortalama
Ağırlıklı ortalama
Bir veri setinde,
en sık tekrarlanan
en çok tekrar eden
frekansı en yüksek olan
ölçümdür.
Frekans
Tepe değer (Mod)
Çizgi grafiği
5
4
3
2
1
Puan
0
1
3
6 11 12 13 14 15 16 18 21 23 24 25
1, 3, 3, 3, 6, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 18, 18, 21, 23, 23, 24, 25
Puan
1
3
6
11
12
13
14
Frekans (sayı)
1
3
1
2
2
1
3
15
16
18
21
23
24
25
4
1
2
1
2
1
1
Tepe değer (Mod)
Puan (x)
10
20
30
40
50
60
70
Frekans
2
6
4
5
4
4
3
7
6
5
4
3
2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
Tepe değer (Mod)
A, B, C, Ç, D, E, F, G, Ğ, H, I, İ, J, K, L, M, N, O, Ö, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z
Frekans
Tepe değer (Mod)
6
5
4
3
İki Modlu
2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
Puan
Ortanca (Medyan)
Büyüklük sırasına dizilmiş (sıralanmış) verilerde tam ortada yer alan ölçümdür.
Small – Medium – Large
Medyan
Ortanca (Medyan)
25 öğrencinin bulunduğu bir sınıfta uygulanan bir başarı testinden elde edilen puanlar şöyledir:
1, 6, 14, 14, 24, 15, 18, 12, 11, 3, 15, 23, 11, 13, 21, 23, 3, 12, 15, 18, 15, 25, 3, 14, 16
Ortanca kaçtır?
1, 3, 3, 3, 6, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 18, 18, 21, 23, 23, 24, 25
1
3
3
3
6
11 11 12 12 13 14 14 14 15 15 15 15 16 18 18 21 23 23 24 25
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
Ortanca (Medyan)
Ölçümler çift sayıda değer içeriyorsa ortanca ortada
kalan iki değerin aritmetik ortalaması alınarak
hesaplanır.
2
6
9
10
(ortanca)
14
15
10  14
Ortanca 
 12
2
21
22
Ortanca (Medyan)
Puan sayısı  1
Ortanca:
. sırada kalan değer
2
1
3
3
3
6
11 11 12 12 13 14 14
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
14
15 15 15 15 16 18 18 21 23 23 24 25
9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
Veri setinde 25 ölçüm bulunuyor. O halde ortanca 13. sıradaki
değer olacaktır.
25  1
Ortanca:
 13.
2
Ortanca (Medyan)
A, B, C, Ç, D, E, F, G, Ğ, H, I, İ, J, K, L, M, N, O, Ö, P, R, S, Ş, T, U, Ü, V, Y, Z
Aritmetik Ortalama
x

x
Puanların toplamının puan sayısına bölünmesiyle
hesaplanır.
1
3
3
4
6
8
n
10
1  3  3  4  6  8  10 35
x

5
7
7
Aritmetik Ortalama
Puan (x)
10
20
30
40
50
60
70
𝑥=
Frekans
2
6
4
5
4
4
3
7
6
5
4
3
2
1
0
10
20
30
40
50
60
10 ∙ 2 + 20 ∙ 6 + 30 ∙ 4 + 40 ∙ 5 + 50 ∙ 4 + 60 ∙ 4 + 70 ∙ 3 1110
=
= 39,64
2+6+4+5+4+4+3
28
70
Aritmetik Ortalama
Son bir örnek:
x
1
2
3
5
6
8
f
x.f
2
2
1
2
52
1
3
𝑥=
= 4,33
5
25
12
2
12
1
8
∑f=12 ∑x.f=52
Gruplandırılmış Verilerde Aritmetik Ortalama
Eğer veriler gruplandırılarak tablolaştırılmış ise aritmetik ortalama
hesaplanırken işlemler her bir grubun orta noktası (bkz. 2. hafta notları) esas
alınarak gerçekleştirilir.
Gruplar Frekans (f) Grup Orta Noktası (ON)
1-5
3
3
f*ON
3*3=9
6 - 10
11 - 15
7
2
8
13
7*8=56
2*13=26
16 - 20
21 - 25
5
3
18
23
5*18=90
3*23=69
20
250
𝑥
=
= 12,5
250
20
Eğilim Ölçülerinin Birbirlerine Göre Durumları
Sola (negatif) çarpık
Sağa (pozitif) çarpık
Ortalama < Ortanca < Tepe değer
Tepe değer < Ortanca < Ortalama
Grup başarısı yüksek
Grup başarısı düşük
Uygulanan test kolay
Uygulanan test zor
Program olumlu (artırma) yönünde etkili
Program olumsuz (azaltma) yönünde etkili
Eğilim Ölçülerinin Birbirlerine Göre Durumları
Simetrik Dağılım vs Normal Dağılım
Ağırlıklı Ortalama
Bileşen
Vize
Final
Ağırlık
%40
%60
Vizeden 40 puan ve
finalden 80 puan alan
Erdem’in
ağırlıklı
ortalama puanı kaçtır?
40
60
40 
 80 
 64
100
100
Dağılım / Değişim Ölçüleri
Elde edilen ölçümlerin nasıl bir yayılma / saçılma / değişkenlik gösterdiği
hakkında bilgi verir.
Ranj (Dizi Genişliği)
Ranj = En büyük puan – En küçük puan
1, 3, 3, 3, 6, 11, 11, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 16, 18, 18, 21,
23, 23, 24, 25
Ranj = 25 – 1 = 24
Birden çok grup için puan dağılımları karşılaştırılırken ranjın küçük
olması puanların daha benzeşik (homojen) olduğu yönünde
yorumlanabilir.
Ranj (Dizi Genişliği)
Puan
Frekans
10
1
20
1
30
3
40
2
50
1
60
4
70
1
Ranj = 70 – 10 = 60’tır.
Ranj (Dizi Genişliği)
A şubesi: 10, 23, 33, 53, 54, 61, 70, 80, 81, 82, 85
Ranj (A):75
B şubesi: 5, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15, 17, 90
Ranj (B): 85
*Uç değerler, ranjın büyük değerler almasına yol açabilir.
Standart sapma
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Sx 
 x  x 
2
n 1
Aritmetik ortalama hesaplanır
Her bir puan ile aritmetik ortalama arasındaki farklar hesaplanır
Farkların kareleri alınır
Kareler toplanır
Puan sayısının bir eksiğine bölünür
Karekök alınır
Standart sapma
Puanlar 1, 2 ve 3 olsun.
1. Adım:
1+2+3
𝑥= 3 =2
4. Adım:
1+0+1=2
2. Adım:
1-2= -1
2-2= 0
3-2= 1
5. Adım:
2
=1
3−1
3. Adım:
(−1)2 = 1
02 = 0
12 = 1
6. Adım:
1=
1.
Aritmetik ortalama hesaplanır
2.
Her bir puan ile aritmetik ortalama arasındaki farklar hesaplanır
3.
Farkların kareleri alınır
4.
Kareler toplanır
5.
Puan sayısının bir eksiğine bölünür
6.
Karekök alınır
Varyans
Standart sapmanın karesidir.
Diğer
dağılım
ölçülerine
benzer
şekilde,
varyansı
büyük olan ölçümler varyansı
küçük olan ölçümlere göre
daha heterojendir.
S
2
x
x  x


n 1
2
Çeyrek sapma
Sıralanmış ölçümlerde 1. ve 3. çeyrekler arasındaki uzaklığın ikiye bölünmesiyle hesaplanır.
Ç3  Ç1
ÇS 
2
2
6
8
10
12
16
18  7
ÇS 
 5,5
2
20
23