例2
連續複利
一退休者 存款 10,000 元，年利 率為 8%，依連續 複利計算 ， 3 年後 的
總金額為多少？
解： 使用連續複利的公式
A  Pe rt
其中
P  10,000
t3
r  0.08
將百分率表為小數
結果為
A  10,000  e ( 0.08 )( 3)  10,000  e 0.24  10,000(1.2712 )  $12,712
三年後總金額 為 12,712 元。注意 ，計算器或表對 e 0.24 所提供的值 為
近似值。故使用“近似等於＂的符號。
194

現 值
若年利率為 7%，依連續複利計算，欲在 5 年後得 6000 元，則現在的
存款金額為多少？
解： 用連續複利的公式
A  Pe rt
其中
A  6000
r  0.07
t 5
結果為
6000  P  e ( 0.07 )(5)
例3
6000  Pe 0.35
則存款金額 P 為
6000 6000

或 4228 元
0.35
1419
.
e
欲在五年後得到 6000 元，則現在存款金額為 4228 元。
存款金額 4228 元稱為 現值 (present value)，一般而言，現值為欲
在未來的某個時間得到某特定金額時，現在必須存入的金額。

P
195
196
例4
推理成長
養殖池中的魚群數由以下的推理成長函數所限定：
y
2000
1  49e 0.3t
其中 y 為 t 個月後的魚群數。
(a) 起初的魚群數為多少？
(b) 10 個月後的魚群數為多少？
(c) 這個魚池最多可養殖的魚群數為多少？
解： (a) 起初， t  0 ，推理成長函數的值為
y
起初有 40 條魚。
197
2000
2000

 40
0
50
1  49  e
(b) 10 個月後， t  10 ，推理成長函數的值為
y
2000
1  49e 3
由計算器得 e 3  0.05 ，則
2000
y
 580
1  2.45
在 10 個月後，魚群數約為 580 條。
(c) 理論上，當 t   時有最多的魚。當然要考慮如下的極限：
lim e 0.3t  lim
t 
t 
1
e 0.3t
當 t   時 ， 0.3t   ， 這 表 示 e 0.3t   。 當 e 0.3t 趨 近  ，
1 / e 0.3t 趨近 0 。現在吾人可求得 t 趨近  時 y 的極限。
2000
2000
2000


 2000
t  1  49e 0.3t
1  49  0
1
lim
故養殖池最多可養殖 2000 條的魚 ( 見圖 5.5) 。
198

199
200
5.2
例1
解
對數函數
3 x  11
解： 將方程式寫成如下的對數形式，再解出 x ：
x  log 3 11
例2
解

107 x  9
解： 將指數方程式寫成對數形式就可分離出 7x ，
7 x  log 9 00000000000000
x
201
log 9
7
兩邊同除以 7

例3
解
4e5 x  12
解： 為了解得指數，似乎很自然就把方程式寫成對數形式，但底和指數必須
單獨地同在一邊才能寫成對數形式。對數符號的定義，或者例 1 及例 2
都是這種情形，當然在此處，只要方程式 4e5 x  12 兩邊同除以 4 之後，
就符合該情況。
4e5 x 12

4
4
e5 x  3
000000
5x  ln 3 對數形式
x
202
ln 3
兩邊同除以 5
5

例4
解
ln 7 x  50
解： 就像指數方程式改成對數形式後求解，對數方程式改成指數形式之後
亦可求解。
log e 7 x  50
7 x  e50
例5
解
3 ln 2 x  10
指數形式
e50
00 000
x
7

解： 要 改 成 指 數 形 式 之 前 ， 對 數 要 單 獨 在 一 邊 ， 方 程 式 兩 邊 同 除 以 3 即
可。
3 ln 2 x  10
10
ln 2 x 
3
2 x  e10/ 3
203
指數形式
e10/ 3
000 000
x
2

例9
連續複利
欲在 8 年後存款加倍，若為連續複利，則年利率應為多少？
解： 在 A  Ce kt 中， k 為成長率，時間為 t  8 年。存款加倍是指開始的
金額 C 在 8 年後變為 2C 。故 A  Ce kt 變為
2C  Ce k (8)
兩邊同時除以 C
2  e8 k
改成對數形式以解 k ，得
8k  ln 2
ln 2 0.6931
k

 0.087
8
8
小 數 0.087 等 於 8.7% 。 欲 在 8 年 後 存 款 加 倍 ， 年 利 率 應 為
8.7%。在本例中，8 年為 倍增時間 (doubling time)。
207

例 10
細菌成長
在細菌培養的實驗中，在 3 小時內細菌數目由 400 成長至 1000，假設
細菌係呈指數成長，試問在 10 小時後，細菌的數目為多少？
解：
為決定 10 小時後之細菌數目，吾人使用 A  Ce kt 公式，其中若 C , k
均為已知，則吾人可以 10 代入公式中的 t 而計算出細菌數目 A 。
由題意知，細菌之起始數目為 400，故 C  400 ，因此，
A  400e kt
又已知在 t  3 時， A  1000 ，故
1000  400e k ( 3)
由上式可解出 k ，並得到完整的公式 A  Ce kt 。將上式同時除以 400
得
208
2.5  e3k
為解 k 值，將上式寫成對數形式，
3k  ln 2.5
ln 2.5 0.9163
k

3
3
或
0.305
故細菌成長公式變成
A  400e0.305t
在 10 小時後，當 t  10 ，細菌數目 A  8446 ，計算如下：
A  400e0.305(10)  400e3.05  400(21115
. )  8446
本例之細菌成長曲線如圖 5.8 所示。
209
210
例 11
放射性物質之半衰期
鐳是一種呈指數衰減之放射性物質，它的半衰期約為 1600 年，若一開
始鐳的質量有 80 克，則在 200 年後鐳的質量還有多少？
解：
半衰期 (half-life) 為一放射性物質的質量因衰減而成為原質量的一半
時所需的時間。鐳的半衰期為 1600 年，表示 80 克的鐳在經過 1600
年的指數衰減後，只剩下 40 克 ( 衰減的部份分解成其它物質 )。利用
指數衰減公式 A  Ce kt ，可得
40  80e k (1600)
或再同除以 80，得
0.5  e1600 k
211
為解 k 值，將上式寫成對數形式
1600k  ln 0.5
ln 0.5 0.6931
k

 0.0004
1600
1600
故衰減率為  0.0004 ，負號表示衰減。
接著，將 k  0.0004 及 C  80 代入指數衰減公式，吾人可得在任一
時間 t 時鐳的質量 A ，亦即
A  80e 0.0004 t
在 200 年後， t  200 ，鐳的質量為
A  80e 0.0004 ( 200)  80e 0.08  80(0.9231)  7385
.
故在 200 年後，鐳的質量還有約 73.85 克。
本例鐳之放射衰減曲線如圖 5.9 所示。
212
213
例 12
實質利率
(a) 某銀行的名目年利率為 7.5%，則實質利率為多少？
(b) 某銀行的實質利率為 5.41%，則名目利率為多少？
解：
(a) 實質利率為 e r  1 ，此處 r  7.5% 或 0.075，故
e r  1  e 0.075  1  10779
.
 1  0.0779
實質利率為 7.79%，吾人將 e 0.075 的值四捨五人至小數四位。
(b) 實質利率為 5.41% 或 0.0541，又實質利率為 e r  1 ，其中 r 為名
目利率。故
e r  1  0.0541 或
e r  10541
.
改成對數形式，得
r  ln 10541
.
 0.0527
即名目利率為 5.27%。
214

5.3
指數函數的微分
f ( x )  x 3e x
例1
微分
解：
x 3e x 為積， x 3e x  x 3  e x ，使用微分的積法則得
d
d x
(e )  e x  ( x 3 )
dx
dx
 x 3  e x  e x  3x 2
f ( x )  x 3 
 x 3e x  3 x 2 e x
由各項提出 x 2 e x ，則可化簡成
f  ( x )  x 2 e x ( x  3)
提出因式有助於決定臨界數。
215
例2
若
ex  7
，求
y
2
x
dy
。
dx
解： 應用商法則得
dy ( x 2 )( e x )  ( e x  7)(2 x ) x 2 e x  2 xe x  14 x


2 2
dx
x4
(x )
由分子和分母提出 x ，再對消，則可化簡得
dy xe x  2e x  14

dx
x3
216
例3
若
y  e x  x ，求
dy / dx 。
解： 將式子表為數值指數時，得
y  (e x  x )1/ 2
依乘冪法則來微分，可得
dy 1 x
d x
1 x
1/ 2
 (e  x )
 (e  x )  (e  x ) 1/ 2 ( e x  1)
dx 2
dx
2
(e x  x )

1
2
可記成分母為 (e x  x )1/ 2 ，或
dy
ex  1

dx 2 e x  x
217
e x  x 的形式。故
例4
求 y  e8 x 的導函數。
解：
dy d 8 x
d
8x
 (e )  e  (8 x )  e8 x  8  8e8 x
dx dx
dx
例5
若
y  (1  e 3 x )12 ，求
dy / dx 。
解： 此處要應用乘冪法則，
dy
d
 12(1  e 3 x )11  (1  e 3 x )
000000
dx
dx
 12(1  e 3 x )11 ( e 3 x  3)
 36e3 x (1  e3 x )11
218
整理再化簡
例6
新屋價格的上漲
據調查顯示，在 82 至 87 年，新單一家庭房屋的價格上漲很多。函
數
p( t )  71  2t  e 0.6t
為 82 年 (t  0) 至 87 年 (t  5) 中，任意時間的房價 p( t ) ( 以萬元計
算 )。
(a) 證明在 82 至 87 的期間內，新屋的價格是上漲的。
(b) 在 85 年價格的變化率為多少？
219
解： (a) 記住，函數的導函數為正時，函數為遞增。現在
p (t )  2  0.6e 0.6t
對所有的 t ， e 0.6t  0 ，所以 0.6e 0.6t  0 且 2  0.6e 0.6t  0 。故對所
有的 t ， p ( t )  0 ，所以 p(t ) 對期間的所有 t 為遞增。吾人得結
論為，在 82 至 87 的期間內新屋的價格為上漲。
(b) 在 85 年的價格變化率為 p (3) ，即
p (t )  2  0.6e 0.6t
p (3)  2  0.6e1.8  5.6
在 85 年新屋價格的變化率為每年 5600 元。
220

例7
求 f ( x )  1  xe x 的所有臨界數。
解： 先求 f ( x ) ，
f ( x )  xe x  e x  e x ( x  1)
欲求函數的臨界數，可考慮使導函數為零的數。因 e x 絕不為零，只
有 x  1 為零時 f ( x ) 才為零，即 x  1 處 f ( x )  0 。故  1 為唯一

的臨界數。
例8
用隱微分求
dy / dx 。
xe y  ye x  x
解： 先對兩邊微分，
d
d
d
( xe y )  ( ye x )  ( x )
dx
dx
dx
221
因 y 為 x 的函數，故 xe y 為兩個 x 之函數 ( x 和 e y ) 的積。同
理， ye x 亦為兩個 x 之函數 ( y 和 e x ) 的積。
故吾人要以積法則來微分，得
x  ey 
dy
dy
 ey 1 y  ex  ex 
1
dx
dx
整理並提出 dy / dx 項，得
dy
dy
 ex
 1  e y  ye x
dx
dx
y
x dy
( xe  e )
 1  e y  ye x
dx
xe y
方程式兩邊同除以 dy / dx 的係數後，得
dy 1  e y  ye x

dx
xe y  e x
222

例 9
求
f ( x )
(a ) f ( x )  3 x
解：
( b ) f ( x )  10 x
(a ) 3 x 屬 於 a x 的 形 式 ， 故
f  ( x )  3 x ln 3
(b ) 10 x 屬 於 a x 的 形 式 ， 故
f  ( x )  10 x ln 10
例 10
解：
求 f ( x)  4 x
4
x 2 1
2
1
的導函數。
屬於 au 的形式，其中 u  x2  1 。
f ( x ) 
223
2
2
d
( 4 x  1 )  4 x  1  2 x ln 4
dx
5.4
對數函數的微分
f ( x )  x 2 ln x ，求
f ( x ) 。
例1
若
解：
x 2 ln x 為 x 2 與 ln x 的積，故用積法則來微分。於是
d
d
(ln x )  (ln x )  ( x 2 )
dx
dx
1
 x 2   (ln x )  2 x
x
 x  2 x ln x
f ( x )  x 2 
若欲求臨界數時，可將 x  2 x ln x 寫成 x (1  2 ln x ) 。
y  6(ln x ) 3
例2
微分
解：
dy d
d
18(ln x ) 2
3
3
2 1
 [6(ln x ) ]  6  (ln x )  6  3(ln x )  
dx dx
dx
x
x
224


例3
若
y
ln x
，求
x2
dy / dx 。
解： 此處應用商法則，
dy
d  ln x 

 2 
dx dx  x 
x2 
1
 (ln x )( 2 x )
x  2 x ln x
x

( x2 )2
x4
分子和分母可提出 x 再抵消，則分式化簡為
例4
微分
dy x (1  2 ln x ) 1  2 ln x


3
dx
x( x )
x3

1
1
2x
dy
d
d

ln( x 2  1)  2

( x 2  1)  2
 2x  2
dx dx
x  1 dx
x 1
x 1

y  ln( x 2  1)
解： 因 u  x2  1 ，故
225
例 5 已知 y  ln( x 3  9) 5 ，求 dy / dx 。
解： (a) 依 ln u 之導函數的公式，得
d 3
( x  9) 5
dy dx

dx
( x 3  9) 5
應用乘冪法則得
dy 5( x 3  9) 4  3x 2

dx
( x 3  9) 5
分子和分母的公因式為 ( x 3  9) 4 ，互相抵消後得
dy 15x 2
 3
dx x  9
(b) 但對數的第 3 性質可用來簡化過程，如下所示。
y  ln( x 3  9) 5
可寫成
y  5 ln( x 3  9)
則微分變得更簡單，即
226
3x 2
15x 2
dy
d
3
 5  ln( x  9)  5  3

dx
dx
x  9 x3  9
例6
求 f ( x )  ln 1  x 2 的導函數。
解： 將根號形式改為指數形式，得
f ( x )  ln(1  x 2 )1/ 2
使用對數的第 3 性質，將 ln(1  x 2 )1/ 2 寫成
1
ln(1  x 2 ) ，則微分的過
2
程更簡單。
1
ln(1  x 2 )
2
1 2x
x
f ( x )  

2 1  x2 1  x2
f ( x) 
讀者亦可不使用對數的第 3 性質，直接求 f ( x )  ln(1  x 2 )1/ 2 的導函
數，兩相比較就可瞭解這一種作法的價值。
227

例7
求 f ( x )  2 x  ln 2 x 的所有相對極值。
解： 首先由 f ( x ) 來找出臨界數，
f ( x )  2 
1
x
現在要決定 f ( x ) 在何處為零或無定義。
顯然在 x  0 處 f ( x ) 無定義，但原函數 f ( x )  2 x  ln 2 x 在
x  0 處亦為無定義的，這表示 0 不為臨界數。
而 f ( x ) 為零的 x 值為
1
0
x
1
2
x
2x  1
2
x
228
1
 1
因 f   有定義，故
為臨界數。
 2
2
1
2
 1
現用二階導函數判定法來看 f   是否為相對極值。因
 2
f ( x ) 
1
x2
而
 1
f    4  0
 2
故 f 在
1
 1
處為相對極小，即 f   為相對極小值。
 2
2
1
 1
 1
f    2   ln 2    1  0  1
 2
 2
2
10
1 為相對極小函數值，為函數 f ( x )  2 x  ln 2 x 的唯一相對極值，參見
圖 5.10。
229

例8
在函數 f ( x )  2 x 2  5 ln x 的圖形中，函數在點 (1 , 2) 處為遞增或遞
減？
解： 先求 f (1) ，若 f (1)  0 ，則在 (1 , 2) 處為遞增。若 f (1)  0 ，則在
(1 , 2) 處為遞減。
5
x
f (1)  4  5  1  0
f ( x )  4 x 
因 f (1)  0 ，故 f 的圖形在 (1 , 2) 處為遞減。
230

例9
城鄉遷移
在開發國家中，鄉村的貧窮導致人們大量遷居城市。因此世界資源學
會預測在 1995 至 2025 年，居住於這些城市人口的增加百分率。函
數
f (t )  0.75  0.002t  0.01ln(t  1)
預測由 1995(t  0) 到 2025( t  30) 拉丁美洲人口居住於城市的百分
率。
(a) 在 2005 年拉丁美洲人口將居住於城市的百分率為何？
(b) 在 2005 年居住於這些城市的人口之百分率的變化率？
231
解： (a) 在 2005 年為 t  10 ，故求 f (10) 。
f (10)  0.75  0.002(10)  0.01ln 11  0.794
即 2005 年人口的 79.4% 居住於城市。
(b) 至於變化率，則是 f (10) 。
0.01
f (t )  0.002 
t 1
0.01
f (10)  0.002 
 0.0029
11
在 2005 年人口居住於城市的百分率是以每年 0.29% 的速率在增
加。
232

例 10
用隱微分求
dy / dx 。
3x  y  ln( xy )  0
解：
首先注意到，若使用對數的性質 1，將 ln( xy ) 寫成 ln x  ln y ，則微
分起來是較簡單。故
3x  y  ln x  ln y  0
逐項微分得
dy 1 1 dy
3
  
0
dx x y dx
將方程式兩邊的各項同乘以公分母 xy ，則可消去分式，其結果為
3xy  xy
233
dy
dy
yx
0
dx
dx
移項，
xy
dy
dy
x
 3xy  y
dx
dx
然後，
( xy  x )
dy
  (3xy  y )
dx
最後，
dy
3xy  y

dx
xy  x
例 11
d
ln| x | 的公式 ( 在第 6 章將要用到此公式 )。
求
dx
解：
考慮 x 為正或為負的情況。
234
(i) 當 x  0 時，
(i) 這表示 | x |  x ，亦即 ln| x |  ln x 。故
d
d
1
ln| x |  ln x 
dx
dx
x
(ii) 當 x  0 時，
(ii) 這表示 | x |   x ，亦即 ln| x |  ln(  x ) 。故
d
d
ln| x |  ln(  x )
dx
dx
(ii) 可用求 ln u 之導函數的公式，繼續微分，以 u   x 來進行。
d
1 d
1
1
ln(  x ) 
 ( x) 
 ( 1) 
dx
 x dx
x
x
合併 (i) 及 (ii) 的結果，當 x 為正或為負， ln| x | 的導函數是相同，
都是 1 / x 。
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