BAB III Geometri EDDY HERMANTO, ST * Dalil Ceva Misalkan D, E dan F berturut-turut adalah titik-titik yang terletak pada sisi BC, AC dan AB. Maka AD, BE dan CF akan berpotongan di satu titik π΄πΉ π΅π· πΆπΈ (concurrent) jika dan hanya jika β β =1 πΉπ΅ π·πΆ πΈπ΄ Persamaan tersebut juga ekivalen dengan Trigono Ceva. sin οπ΅π΄π· sin οπΆπ΅πΈ sin οπ΄πΆπΉ β β =1 sin οπΆπ΄π· sin οπ΄π΅πΈ sin οπ΅πΆπΉ * Dalil Manelaus Misalkan D, E dan F berturut-turut adalah titik-titik yang terletak pada sisi BC, AC dan AB. Maka D, E dan F akan berada pada satu garis lurus (collinear) π΄πΉ π΅π· πΆπΈ jika dan hanya jika β β =1 πΉπ΅ π·πΆ πΈπ΄ Persamaan tersebut juga ekivalen dengan Trigono Manelaus. sin οπ΅π΄π· sin οπΆπ΅πΈ sin οπ΄πΆπΉ β β =1 sin οπΆπ΄π· sin οπ΄π΅πΈ sin οπ΅πΆπΉ * Latihan 1 : Pada segitiga ABC yang siku-siku di C dengan AB = 10 dan AC = 8, titik P pada BC dan titik Q pada AC sehingga CP = CQ = 2. Garis AP dan BQ berpotongan di titik R. Garis CR dan PQ memotong garis AB berturut-turut di titik S dan T. Panjang TS adalah .... * Solusi : Panjang AB = 10 dan AC = 8 maka BC = 6 Karena AP, BQ dan CS berpotongan di satu titik maka π΅π πΆπ π΄π β β =1 ππΆ ππ΄ ππ΅ 4 2 10 − ππ΅ β β =1 2 6 ππ΅ SB = 4 sehingga AS = 6 * Titik Q, P, T berada pada satu garis lurus maka π΄π πΆπ π΅π β β =1 ππΆ ππ΅ ππ΄ 6 2 ππ − ππ΅ β β =1 2 4 ππ + ππ΄ 3 (TS – SB) = 2(TS + SA) 3(TS – 4) = 2(TS + 6) TS = 24 Jadi, panjang TS adalah 24. * Latihan 2 : (OSK 2015) Pada segitiga ABC, garis tinggi AD, garis bagi BE dan garis berat CF berpotongan di satu titik. Jika panjang AB = 4 dan BC = 5, dan CD = m2/n2 dengan m dan n relatif prima, maka nilai dari m – n adalah …. * Solusi : Karena CF adalah garis berat maka AF = FB = 2 Karena BE adalah garis bagi maka πΆπΈ π΅πΆ 5 = = πΈπ΄ π΄π΅ 4 Ketiga garis bertemu di satu titik maka sesuai dalil Ceva didapat * π΄πΉ π΅π· πΆπΈ β β =1 πΉπ΅ π·πΆ πΈπ΄ 2 π΅π· 5 β β =1 2 π·πΆ 4 Maka π΅π· 4 = π·πΆ 5 Misalkan BD = 4x maka CD = 5x 5 BD + CD = 5 maka x = 9 25 9 π2 π2 Maka panjang πΆπ· = = Didapat m = 5 dan n = 3. ο Jadi, nilai m ο n adalah 2. * Latihan 3 : Sebuah lingkaran melalui titik B dan C dari segitiga ABC serta memotong ruas AB di P dan ruas AC di R. Garis RP dan garis BC berpotongan di Q dengan P terletak di antara R dan Q. Buktikan bahwa ππΆ π πΆ. π΄πΆ = ππ΅ ππ΅. π΄π΅ * Solusi : Berdasarkan dalil manelaos didapat π πΆ π΄π ππ΅ β β =1 π΄π ππ΅ ππΆ ππΆ π πΆ. π΄π = ππ΅ π΄π . ππ΅ * Berdasarkan dalil secant tangent didapat AP.AB = AR.AC π΄π π΄πΆ = π΄π π΄π΅ ππΆ π πΆ. π΄π π πΆ. π΄πΆ = = ππ΅ π΄π . ππ΅ ππ΅. π΄π΅ ππΆ π πΆ.π΄πΆ ο Jadi, terbukti bahwa = . ππ΅ ππ΅.π΄π΅ * Latihan 3 : Pada segitiga ABC, titik E pada sisi AB dan F pada sisi AC sehingga AE = AF. Garis median AM dari segitiga ABC memotong EF di Q. Buktikan bahwa ππΈ π΄πΆ = ππΉ π΄π΅ * Solusi : Misalkan garis EF memotong perpanjangan BC di P. Perhatikan segitiga PFC dan tiga titik A, Q, M yang berada pada satu garis lurus. Berdasarkan teorema Manelaos maka : ππ πΉπ΄ πΆπ β β =1 ππΉ π΄πΆ ππ * Perhatikan segitiga PEB dengan A, Q, M berada pada satu garis lurus. Berdasarkan teorema Manelaos didapat : ππ πΈπ΄ π΅π β β =1 ππΈ π΄π΅ ππ Bagi kedua persamaan didapat ππ πΉπ΄ πΆπ ππΈ π΄π΅ ππ β β β β β =1 ππΉ π΄πΆ ππ ππ πΈπ΄ π΅π Dengan memperhatikan FA = EA dan BM = CM maka ππΈ π΄π΅ β =1 ππΉ π΄πΆ ππΈ π΄πΆ = ππΉ π΄π΅ Terbukti. * Latihan 4 : (OSP 2014) Diberikan segitiga ABC lancip dengan AB < AC. Lingkaran singgung luar dari segitiga ABC yang berlawanan terhadap B dan C berturut-turut berpusat di B1 dan C1. Misalkan D titik tengah dari B1C1. Misalkan pula E adalah titik perpotongan dari AB dan CD, serta F adalah titik perpotongan dari AC dan BD. Jika EF memotong BC di titik G, buktikan bahwa AG adalah garis bagi dari οBAC. (Lingkaran singgung luar dari segitiga ABC yang berlawanan terhadap B didefinisikan sebagai lingkaran yang menyinggung AC di segmennya serta menyinggung AB dan BC diperpanjangannya) * Solusi : Karena οEAY = οYAC maka AD adalah garis bagi οCAE. π΄πΆ πΈπ΄ = πΆπ· π·πΈ * Karena garis BD, AC dan EG melalui 1 titik maka sesuai dalil Ceva didapat π΅πΊ πΆπ· πΈπ΄ β β =1 πΊπΆ π·πΈ π΄π΅ π΅πΊ π΄π΅ π·πΈ π΄π΅ = β = πΊπΆ πΈπ΄ πΆπ· π΄πΆ π΅πΊ πΊπΆ = π΄π΅ π΄πΆ ο Jadi, terbukti bahwa AG adalah garis bagi οBAC. * Latihan 5 : Pada sisi luar segitiga ABC dibuat tiga buah persegi yaitu ADEB, BFGC dan ACKL. Misalkan P adalah pusat persegi BFGC. Buktikan bahwa garis AP, BL dan CD akan berpotongan di satu titik. * Solusi : Misalkan garis CD memotong sisi AB di Q, garis BL memotong sisi AC di R dan garis AP memotong sisi BC di S. Misalkan juga οBAC = ο‘, οABC = ο’ dan οACB = ο§. Karena P adalah pusat persegi BFGC maka οPBC = οPCB = 45o dan οBPC = 90o. * Karena π΅π· = π΄π· 2 maka π΄π π΄πΆπ· π΄πΆ β π΄π· β sin πΌ + 90π π΄πΆ β sin πΌ + 90π = = = π ππ΅ π΅πΆπ· π΅πΆ β π΅π· β sin π½ + 45 π΅πΆ β 2 β sin π½ + 45π Karena π΅π = πΆπ maka π΅π π΄π΅π π΄π΅ β π΅π β sin π½ + 45π π΄π΅ β sin π½ + 45π = = = ππΆ π΄πΆπ π΄πΆ β πΆπ β sin πΎ + 45π π΄πΆ β sin πΎ + 45π Karena πΆπΏ = π΄πΏ 2 maka πΆπ π΅πΆπΏ π΅πΆ β πΆπΏ β sin πΎ + 45π π΅πΆ β 2 β sin πΎ + 45π = = = π π΄ π΅π΄πΏ π΄π΅ β π΄πΏ β sin πΌ + 90π π΄π΅ β sin πΌ + 90π π΄π π΅π πΆπ β β =1 ππ΅ ππΆ π π΄ Sesuai dalil Ceva maka AP, BR dan CQ berpotongan di satu titik. ο Jadi, terbukti bahwa garis AP, BL dan CD akan berpotongan di satu titik. SEKIAN