Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Matrizes
Matrizes
ALGA
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Matriz
Uma matriz do tipo m × n sobre IR (ou sobre C) é um quadro
que se obtém dispondo mn números – os elementos da matriz –
segundo m linhas e n colunas.
Dizemos que uma matriz é real ou complexa consoante os seus
elementos são números reais ou complexos, respetivamente.
Representamos o conjunto das matrizes do tipo m × n sobre IR
por Mm×n (IR). Usamos a notação IRm para Mm×1 (IR).
Exemplo de matrizes
1 2 0
10
−1 3 6
A = −3 1 −1 , B =
, c = −3
4 5 2
4 8 1
2
A ∈ M3×3 (IR), B ∈ M2×3 (IR) e c ∈ M3×1 (IR)(ou c ∈ IR3 )
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Uma matriz A do tipo m × n é usualmente representada na forma
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
A= .
..
..
..
..
.
.
.
am1 am2 · · · amn
ou
A=
aij
m×n
ou
A=
aij
i=1,...,m ; j=1,...,n
ou ainda, simplesmente
A=
aij
caso se subentenda o tipo da matriz.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Se A for uma matriz do tipo m × n, então o número
aij
é o elemento de A situado na linha i e coluna j, com
i ∈ {1, . . . , m} e j ∈ {1, . . . , n}. Assim,
i diz-se o ı́ndice de linha
j diz-se o ı́ndice de coluna
do elemento aij .
O elemento aij é referido como o elemento de A na posição (i, j),
ou por elemento (i, j) de A.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Dizemos que as matrizes A = aij m×n e B = bk` p×q são
iguais sse
m=p
e
aij = bij , i = 1, ..., m; j = 1, ..., n.
n=q
i.e. sempre que sejam do mesmo tipo (m = p e n = q), e tenham
elementos iguais em posições iguais, (aij = bij , para cada
i = 1, · · · , m, j = 1, · · · , n).
Exemplo
Sejam A =
1 a 0
−3 1 −1
eB=
1 2 0
−3 1 b
As matrizes A e B são iguais se a = 2 e b = −1.
Matrizes
ALGA
.
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Uma matriz A ∈ Mm×n (IR) diz-se quadrada de ordem n se
m = n.
Uma matriz A ∈ Mm×n (IR) diz-se retangular se m 6= n.
Exemplos
1
2 0
A matriz A = −3 0 9 é quadrada de ordem 3.
2 −1 4
0 −2 1
A matriz B =
é retangular.
−4 1 3
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Os elementos diagonais de uma matriz quadrada
A = [aij ] ∈ Mn×n (IR) são
a11 , a22 , . . . , ann .
A sequência ordenada
(a11 , a22 , . . . , ann )
constituı́da por estes elementos diz-se a diagonal principal de A.
Exemplo
1 2 3
4 0 9
Seja A =
5 −5 6
5 2 3
Os elementos diagonais
principal é (1, 0, 6, 4).
3
9
.
7
4
de A são 1, 0, 6, 4 e a sua diagonal
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Seja B = [bij ] ∈ Mn×n (IR).
B diz-se triangular superior se bij = 0, para i > j.
B diz-se triangular inferior se bij = 0, para i < j.
B diz-se diagonal se bij = 0, para i 6= j.
Exemplos
A matriz A =
A matriz B =
A matriz C =
1 2
0 0
0 0
1
2
3
−2
1 0
0 3
0 0
3
9 é triangular superior.
6
0 0 0
1 0 0
é triangular inferior.
1 6 0
0 3 4
0
0 é diagonal.
6
Matrizes
ALGA
Matrizes elementares
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
A matriz identidade de ordem n, In , é a matriz diagonal, de
ordem n, com os elementos diagonais iguais a 1,
1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
In = . . .
..
.
.
.
. .
. .
0 0 ··· 1
Se a ordem da matriz estiver clara a partir do contexto, usamos
simplesmente I.
Exemplos
I2 =
1 0
0 1
1
1 0 0
0
I3 = 0 1 0 I4 =
0
0 0 1
0
Matrizes
ALGA
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
A matriz nula m × n é a matriz m × n cujos elementos são todos
iguais a zero. Representa-se por 0m×n ou simplesmente 0 se o tipo
da matriz estiver claro a partir do contexto.
Exemplos
02×2 =
0 0
0 0
02×4 =
0 0 0 0
0 0 0 0
Para A = [aij ]m×n , define-se −A = [−aij ]m×n .
Exemplo
Se A =
2 0 3
−1 4 6
, então − A =
Matrizes
ALGA
−2 0 −3
1 −4 −6
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Sendo A uma matriz, uma submatriz de A é uma matriz que se
obtém por supressão de linhas e/ou colunas de A.
Exemplos
2
Seja A = −4
7
−4 5 6
e
7 8 9
1 3
2
5 6 . As matrizes −4
8 9
7
2 3
são submatrizes de
7 9
Matrizes
ALGA
3
3
6 , 6 ,
9
9
A.
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Sejam A = [aij ] ∈ Mm×n (IR), B = [bij ] ∈ Mm×n (IR) e α ∈ IR.
Define-se:
1
A + B como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento
(i, j) é aij + bij . Assim, A + B = [aij + bij ]m×n .
2
αA como sendo a matriz do tipo m × n cujo elemento (i, j) é
αaij . Assim, αA = [αaij ]m×n .
Exemplos
1 −5
0
Sejam A = 2 0 e B = 1
3 −1
4
1 −3
4
A + B = 3 −1 , 4A = 8
7 −3
12
Matrizes
2
−1 . Então
−2
−20
0 1
0 e 21 B = 12 − 12 .
2 −1
−4
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Teorema
Sejam A, B e C matrizes arbitrárias em Mm×n (IR). Então tem-se:
1
(A + B) + C = A + (B + C)
(associatividade da adição)
2
A+B =B+A
3
A + 0m×n = 0m×n + A = A
neutro da adição)
4
A + (−A) = (−A) + A = 0m×n
simétrico ou oposto de A)
(comutatividade da adição)
Matrizes
(a matriz nula é o elemento
ALGA
(−A é o elemento
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Teorema
Sejam A e B matrizes arbitrárias em Mm×n (IR) e α, β ∈ IR.
Então tem-se:
1
α(A + B) = αA + αB
2
(α + β)A = αA + βA
3
(αβ)A = α(βA)
4
1A = A
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Sendo A = [aij ] ∈ Mm×n (IR) e B = [bij ] ∈ Mn×p (IR), define-se
AB como sendo a matriz do tipo m × p cujo elemento (i, j) é
ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj .
Assim,
AB =
Pn
k=1
aik bkj
m×p
.
A matriz produto AB da matriz A pela matriz B só está definida
se o número de colunas da A for igual ao número de linhas de B.
1
O número de linhas da matriz produto AB é igual ao número
de linhas de A.
2
O número de colunas da matriz produto AB é igual ao
número de colunas de B.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
O elemento (i, j) de AB obtém-se a partir da linha i de A e da
coluna j de B:
. . . b1j . . .
... ... ... ... ... b
2j . . .
ai1 ai2 . . . ain
..
..
.. =
.
.
.
... ... ... ...
. . . bnj . . .
...
...
...
. . . ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj . . .
..
..
..
.
.
.
...
1
2
...
...
Para cada i = 1, . . . , m, a linha i de AB obtém-se
multiplicando a linha i de A pela matriz B.
Para cada j = 1, . . . , p, a coluna j de AB obtém-se
multiplicando a matriz A pela coluna j de B.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Para A e B duas matrizes observamos que:
1
O produto AB pode estar definido sem que BA esteja.
2
Mesmo que AB e BA estejam ambos definidos, não implica
que AB = BA.
3
Se AB = BA, dizemos que as duas matrizes comutam.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Teorema
Sejam A, A0 ∈ Mm×n (IR), B, B 0 ∈ Mn×p (IR), C ∈ Mp×q (IR)
matrizes arbitrárias e α ∈ IR. Então tem-se:
1
A0n×p = 0m×p , 0r×m A = 0r×n , AIn = Im A = A.
2
(AB)C = A(BC)
3
B0)
(associatividade da multiplicação).
A(B +
= AB + AB 0 , (A + A0 )B = AB + A0 B
(distributividade do produto em relação à adição).
4
α(AB) = (αA)B = A(αB).
5
AB = 0 6⇒ (A = 0 ou B = 0).
6
7
(AB = AB 0 e A 6= 0) 6⇒ B = B 0 e também (AB = A0 B e
B 6= 0) 6⇒ A = A0 .
A multiplicação de matrizes não é comutativa.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Teorema
Seja A ∈ Mm×n (IR) e designe-se por
j = 1, . . . , n. Dada a matriz-coluna
x1
x2
x= .
..
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
vj a coluna j de A,
xn
tem-se Ax = x1 v1 + x2 v2 + . . . + xn vn .
Nas condições do teorema, dizemos que Ax é uma combinação
linear das colunas de A.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Demonstração
a11
a21
Ax = .
..
a12
a22
..
.
Inversa de uma matriz quadrada
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
x1
x2
..
.
Transposição de matrizes
xn
am1 am2 · · · amn
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn
a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn
=
..
..
..
.
.
+
.
+ .. +
.
a
x
+
a
x
+
·
·
·
+
a
m1 1 m2 2
mn xn
a11 x1
a12 x2
a1n xn
a21 x1 a22 x2
a2n xn
=
+
+ ... +
..
..
..
.
.
.
am1 x1
am2 x2
Matrizes
amn xn
ALGA
Matrizes elementares
Generalidades
Operações com Matrizes
= x1
a11
a21
..
.
Inversa de uma matriz quadrada
+ x2
a12
a22
..
.
Transposição de matrizes
+ . . . + xn
amn
am2
am1
= x1 v1 + x2 v2 + . . . + xn vn
Matrizes
a1n
a2n
..
.
ALGA
.
Matrizes elementares
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é
invertı́vel se existir uma matriz X, quadrada de ordem n, tal que
AX = XA = In .
Teorema
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então existe no máximo
uma matriz de ordem n tal que AX = XA = In .
Demonstração
Sejam X e Y matrizes quadradas de ordem n tais que
AX = XA = In e AY = Y A = In . Assim,
X = In X = (Y A)X = Y (AX) = Y In = Y . Logo, existe no
máximo uma matriz X nas condições do Teorema.
Nas condições do Teorema, X diz-se a inversa de A e
representa-se por A−1 .
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Exemplo
1 1 1
A matriz 2 1 3 é invertı́vel, sendo a sua inversa a matriz
1 1 0
−3 1
2
3 −1 −1 , uma vez que
1
0 −1
1 1 1
−3 1
2
1 0 0
2 1 3 3 −1 −1 = 0 1 0
1 1 0
1
0 −1
0 0 1
e
−3 1
2
1 1 1
1 0 0
3 −1 −1 2 1 3 = 0 1 0 .
1
0 −1
1 1 0
0 0 1
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Exemplos
1
2
5 2 2
A matriz A = 0 0 0 não é invertı́vel, pois para
1 2 7
qualquer matriz X de ordem 3, a matriz produto AX tem a
segunda linha nula, logo AX não poderá ser a matriz I3 .
1 2 0
A matriz B = 5 0 0 não é invertı́vel, pois para
−3 2 0
qualquer matriz X de ordem 3, a matriz produto XB tem a
terceira coluna nula, logo XB não poderá ser a matriz I3 .
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Teorema
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n invertı́veis. Então
AB é invertı́vel e tem-se (AB)−1 = B −1 A−1 .
Demonstração
Como (AB)(B −1 A−1 ) = A(BB −1 )A−1 = AIn A−1 = AA−1 = In
e (B −1 A−1 )(AB) = B −1 (A−1 A)B = B −1 In B = B −1 B = In
então concluı́mos que AB é invertı́vel e a sua inversa é B −1 A−1 .
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Dadas duas matrizes A e B quadradas da mesma ordem, A diz-se
semelhante a B se existir uma matriz S invertı́vel tal que
A = SBS −1 .
Exemplo
1 1 2
1 0 0
1 0 1
Para A = 0 1 0 , D = 0 1 0 e S = 0 −2 0
0 1 3
0 0 3
0 1 1
1 − 21 −1
podemos verificar que S −1 = 0 − 21 0 e que A = SDS −1 .
0 12
1
Assim, concluı́mos que A é semelhante à matriz diagonal D.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Dada uma matriz do tipo m × n
a11 a12
a21 a22
A= .
..
..
.
···
···
..
.
Transposição de matrizes
a1n
a2n
..
.
Matrizes elementares
,
am1 am2 · · · amn
define-se a transposta da A como sendo a matriz do tipo n × m
a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
AT = .
..
.. .
.
.
.
.
.
.
.
a1n a2n · · · amn
Ou seja: o elemento (i, j) de AT é o elemento (j, i) de A, para
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Exemplos
A transposta
damatriz
1 −5
1
A = 2 0 é a matriz AT =
−5
3 −1
e a transposta
da matriz
1 4 3
B = 2 0 −1 é a matriz B T =
4 5 6
Matrizes
ALGA
Transposição de matrizes
2 3
0 −1
1 2 4
4 0 5 .
3 −1 6
Matrizes elementares
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Uma matriz A diz-se simétrica se A = AT .
Exemplos
1
2
1 2 4
A matriz A = 2 0 5 é simétrica.
4 5 6
1 2 0
A matriz B = 2 4 5 não é simétrica, pois os
0 1 7
elementos nas posições (2, 3) e (3, 2) não são iguais.
Matrizes
ALGA
Matrizes elementares
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
A transposição de matrizes goza das seguintes propriedades:
1
(AT )T = A;
2
(A + B)T = AT + B T ;
3
(αA)T = αAT , qualquer que seja o número α;
4
(AB)T = B T AT ;
5
(Ak )T = (AT )k , qualquer que seja o número natural k;
6
Se A for invertı́vel, AT também é, tendo-se
(AT )−1 = (A−1 )T .
Demonstração 6
Como AT (A−1 )T = (A−1 A)T = InT = In e
(A−1 )T AT = (AA−1 )T = InT = In , concluı́mos que AT é invertı́vel
e que (AT )−1 = (A−1 )T .
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Uma matriz quadrada diz-se ortogonal se for invertı́vel e a sua
inversa coincidir com a sua transposta (i.e. A−1 = AT ).
Exemplo
−1 0
A matriz B =
é
0 −1
−1
(uma vez que BB T =
0
−1
0
−1
e BT B =
0 −1
0
ortogonal pois B −1 = B T
0
−1 0
1 0
=
= I2
−1
0 −1
0 1
0
1 0
=
= I2 ).
−1
0 1
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
1
O produto de duas matrizes ortogonais é uma matriz
ortogonal.
2
A inversa de uma matriz ortogonal é uma matriz ortogonal.
Demonstração
1 Sejam A e B matrizes ortogonais de ordem n. Então
A−1 = AT e B −1 = B T . Assim,
(AB)−1 = B −1 A−1 = B T AT = (AB)T ,
i.e. AB é ortogonal.
2
Seja A uma matriz ortogonal de ordem n. Então A−1 = AT .
Assim,
(A−1 )−1 = (AT )−1 = (A−1 )T ,
i.e. A−1 é ortogonal.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Uma classe especial das matrizes ortogonais são as matrizes de
permutação.
Uma matriz quadrada de ordem n diz-se uma matriz de
permutação se tiver as mesmas linhas que a matriz identidade In
mas não necessariamente pela mesma ordem.
Exemplos
1 0 0
0 1 0
0 1
As matrizes
, 0 0 1 e 1 0 0 são matrizes
1 0
0 1 0
0 0 1
de permutação.
Toda a matriz de permutação é ortogonal.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Sendo A = [aij ]m×n uma matriz complexa, define-se a conjugada
de A como sendo Ā = [a¯ij ]m×n .
Exemplo
A conjugada da matriz A =
1 + i −2i
Ā =
.
3 + 4i 6
1 − i 2i
3 − 4i 6
Matrizes
ALGA
é a matriz
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Escrevemos A∗ = ĀT .
A matriz A diz-se hermı́tica se A = A∗ .
(uma matriz é hermı́tica se e só se os elementos diagonais forem
reais e os elementos situados em posições simétricas em relação à
diagonal principal forem conjugados.)
Exemplo
4
3 − 2i
Seja A =
.
3 + 2i
5
4
3 + 2i
4
3 − 2i
∗
T
Então Ā =
e A = Ā =
.
3 − 2i
5
3 + 2i
5
Como A = A∗ então a matriz A é hermı́tica.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
As matrizes complexas gozam das propriedades:
1
(A∗ )∗ = A;
2
(A + B)∗ = A∗ + B ∗ ;
3
(αA)∗ = ᾱA∗ , qualquer que seja o número complexo α;
4
(AB)∗ = B ∗ A∗ ;
5
(Ak )∗ = (A∗ )k , qualquer que seja o número natural k;
6
Se A for invertı́vel, A∗ também é, tendo-se (A∗ )−1 = (A−1 )∗ .
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Uma matriz complexa quadrada A diz-se unitária se for invertı́vel
e A−1 = A∗ .
Exemplo
0
Sendo A =
i
0
A∗ = ĀT =
i
Como AA∗ = I2
unitária.
−i
0 i
então Ā =
logo
0
−i 0
−i
.
0
e A∗ A = I2 então A−1 = A∗ , e portanto A é
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Operações elementares:
1
Substituição de uma linha da matriz pela sua soma com um
múltiplo de outra linha.
2
Troca entre si de duas linhas da matriz.
3
Multiplicação de uma linha da matriz por um número
diferente de zero.
Chama-se matriz elementar de ordem n a toda a matriz que se
obtém de In por aplicação de uma operação elementar às suas
linhas.
Obtemos assim três tipos de matrizes elementares de ordem n.
Matrizes
ALGA
Generalidades
1
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Para i 6= j (por exemplo, i < j) e α ∈ IR temos a matriz
1 0 ··· 0 ··· 0 ··· 0
0 1 ··· 0 ··· 0 ··· 0
.. .. . . .. . .
.. . . ..
. .
.
.
.
.
.
.
0 0 · · · 1 · · · α · · · 0 linha i
Eij (α) = . . .
.
.
.
.. .. . . .. . . . .. . . . ..
0 0 ··· 0 ··· 1 ··· 0
.. .. . . .. . .
. . . ..
. .
. .
. ..
. .
0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
coluna j
A matriz Eij (α) obtém-se da matriz identidade de ordem n,
In , adicionando à linha i a linha j previamente multiplicada
por α.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Exemplos
Exemplos
de matrizes elementares deordem 3:
1 0 0
1 0 0
E23 (4) = 0 1 4 , E31 (−1) = 0 1 0 e
0 0 1
−1 0 1
1 0 0
E21 (6) = 6 1 0 .
0 0 1
Exemplos
de matrizes elementares
de ordem
4:
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 −5 0
E41 (2) =
0 0 1 0 e E23 (−5) = 0 0 1 0 .
2 0 0 1
0 0 0 1
Matrizes
ALGA
Generalidades
2
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Para i 6= j
Pij =
0 ··· 0
0 ··· 0
.. . . ..
.
.
.
1 ··· 0
.. . . ..
. .
.
0 ··· 0
.. . . ..
. .
.
0 0 ··· 0 ··· 0 ··· 1
1 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ···
.. .. . . .. . .
. .
.
. .
0 0 ··· 0 ···
.. .. . . .. . .
. .
.
. .
0 0 ··· 1 ···
.. .. . . .. . .
. .
.
. .
linha i
linha j
A matriz Pij obtém-se de In trocando entre si a linha i com a
linha j.
As matrizes Pij são matrizes de permutação especiais, obtidas de
In por troca de apenas duas linhas.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Exemplos
Exemplos
de ordem
de matrizes
elementares
3:
1 0 0
0 0 1
0 1 0
P23 = 0 0 1 , P13 = 0 1 0 e P12 = 1 0 0
0 1 0
1 0 0
0 0 1
Exemplos
de matrizes elementares
de ordem 4:
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
P13 =
1 0 0 0 e P24 = 0 0 1 0 .
0 0 0 1
0 1 0 0
Matrizes
ALGA
Generalidades
3
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Para α ∈ IR, α 6= 0 e 1 ≤ i ≤ n temos
1 0 ··· 0 ···
0 1 ··· 0 ···
.. .. . .
. ..
. .
. ..
.
Di (α) =
0 0 ··· α ···
.. .. . .
. ..
. .
. ..
.
0 0 ··· 0 ···
0
0
..
.
0
..
.
Matrizes elementares
linha i
1
coluna i
A matriz Di (α) obtém-se de In multiplicando a linha i por α.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Exemplos
Exemplosde matrizeselementares de
ordem 3:
3 0 0
1 0 0
D1 (3) = 0 1 0 , D2 (−4) = 0 −4 0
0 0 1
0 0 1
1 0 0
D3 ( 54 ) = 0 1 0
0 0 54
Exemplosde matrizes elementares
de ordem
4:
1 0 0 0
1 0
0 5 0 0
0 1
D2 (5) =
0 0 1 0 e D4 (−3) = 0 0
0 0 0 1
0 0
Matrizes
ALGA
e
0 0
0 0
.
1 0
0 −3
Matrizes elementares
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Sejam A ∈ Mm×n , i 6= j e α ∈ IR. Então tem-se:
1
Eij (α)A é a matriz que se obtém de A adicionando à linha i
a linha j previamente multiplicada por α.
2
Pij A é a matriz que se obtém de A trocando a linha i com a
linha j.
3
Di (α)A é a matriz que se obtém de A multiplicando a linha i
por α.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Exemplos
1 2 3
Seja A = 4 5 6 .
7 8 9
1 2 3
7 8 9
Tem-se E31 (2)A = 4 5 6 , P13 A = 4 5 6 e
9 12 15
1 2 3
1 2 3
D3 (10)A = 4 5 6 .
70 80 90
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Sejam A ∈ Mm×n , i 6= j e α ∈ IR. Então tem-se:
1
AEij (α) é a matriz que se obtém de A adicionando à coluna
j a coluna i previamente multiplicada por α.
2
APij é a matriz que se obtém de A trocando a coluna i com
a coluna j.
3
ADi (α) é a matriz que se obtém de A multiplicando a coluna
i por α.
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Exemplos
1 2 3
Seja A = 4 5 6 .
7 8 9
7 2 3
3 2 1
Tem-se AE31 (2) = 16 5 6 , AP13 = 6 5 4 e
25 8 9
9 8 7
1 2 30
AD3 (10) = 4 5 60 .
7 8 90
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
As matrizes elementares Eij (α),Pij e Di (β), onde β 6= 0, são
invertı́veis e tem-se
(Eij (α))−1 = Eij (−α), (Pij )−1 = Pij e (Di (β))−1 = Di ( β1 ).
Exemplos
(E23 (4))−1 = E23 (−4)
(P12 )−1 = P12
(D3 (5))−1 = D3 ( 51 )
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Seja 1 ≤ j ≤ n − 1, e defina-se Ej como sendo o seguinte produto
de matrizes elementares
Ej+1,j (αj+1,j )Ej+2,j (αj+2,j ) · · · En,j (αn,j ).
Então tem-se:
Ej =
1 0 ···
0
0 1 ···
0
.. .. . .
..
.
. .
.
0 0 ···
1
0 0 · · · αj+1,j
0 0 · · · αj+2,j
..
.. .. . .
.
. .
.
0 0 · · · αn,j
Matrizes
ALGA
0 0
0 0
.. . .
.
.
0 0
1 0
0 1
.. ..
. .
0
0
··· 0
··· 0
.. ..
. .
··· 0
··· 0
··· 0
. . ..
. .
··· 1
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
E1 E2 · · · En−1
=
1
α21
α31
..
.
0
1
α32
..
.
Transposição de matrizes
0
0
1
..
.
αn1 αn2 αn3
Matrizes elementares
··· 0
··· 0
··· 0
. . ..
. .
··· 1
Assim, a matriz E1 E2 · · · En−1 obtém-se imediatamente das
matrizes E1 E2 · · · En−1 , sem necessidade de cálculos. O mesmo
não se passa com En−1 · · · E2 E1 , matriz para cujos elementos não
existe uma expressão simples a partir dos elementos das matrizes
Ej .
Matrizes
ALGA
Generalidades
Operações com Matrizes
Inversa de uma matriz quadrada
Transposição de matrizes
Matrizes elementares
Exemplo
1 0 0
Para E1 = E2,1 (3)E3,1 (5) = 3 1 0 e
5 0 1
1 0 0
E2 = E3,2 (7) = 0 1 0 tem-se
0 7 1
1 0 0
1 0 0
E1 E2 = 3 1 0 enquanto que E2 E1 = 3 1 0 .
5 7 1
26 7 1
Matrizes
ALGA
