Transformasi Z
Transformasi Z
Transformasi-Z adalah salah satu alat bantu pada
analisis sistem LTI (Linier Time Invariant).
Transformasi
Z
merupakan
suatu
teknik
untuk
menggambarkan dan memanipulasi deretan (seperti
Transformasi Laplace pada Sinyal waktu Kontinyu).
Kegunaan Transformasi Z
• Mengurangi perhitungan dalam operasi konvolusi
• Solusi persamaan beda dapat ditemukan dengan
perhitungan aljabar yang lebih mudah
• Fungsi transfer pada sistem LTI
Definisi
Transformasi-z, X(z), dari fungsi waktu diskrit x(n) adalah:
∞
Z[ X (n)] = F(z) = ∑ x (n)z −n
(1)
n=−∞
dengan z adalah variabel kompleks
Hubungan pada Pers. (1) -> Transformasi-z bilateral.
Pers. (1) dapat ditulis:
∞
X(z) = ∑ x (n)z −n + ∑ x (n)z −n
0
n=−∞
n=0
Jika f(n)=0 untuk n > 0, maka:
∞
X(z) = ∑ x (n)z −n
(2)
n=0
Hubungan pada Pers. (2) -> Transformasi-z unilateral (satu sisi)
Definisi Transformasi z
Contoh
Diberikan sinyal waktu diskrit x(n), yang mempunyai jumlah
elemen yang terbatas seperti yang ditunjukkan oleh gambar
berikut ini :
x(n)
4
3
2
2
-2
-3
3
-1
0
1
4
2
-2
-4
-5
Secara matematis gambar diatas dapat dinyatakan sebagai :
x(-3) = 2,
x(n)
x(-2) = -5,
4
3
2
x(-1) = 3,
2
-2
x(0) = 0,
-3
3
-1
0
1
2
x(1) = 4,
-2
x(2) = 2,
-4
-5
x(3) = -4,
x(4) = -2
maka transformasi Z dari x(n) akan diperoleh :
TZ(x(n)) = X(Z) =
4
𝑛=∞
𝑛=−∞
_
𝑥(𝑛)𝑧 𝑛
X(Z) = 2Z3 – 5Z2 + 3Z1 + 4Z-1 + 2Z-2 – 4Z-3 – 2Z-4
x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
x(n) = {1, 2, 5, 7, 0, 1}
ROC
Karena Transformasi-z adalah deret pangkat tak hingga
Transforamsi-z hanya berlaku untuk nilai-nilai z
yang konvergen
Himpunan seluruh nilai z, agar F(z)
konvergen  ROC
4
Contoh
Tentukan transformasi Z dari x(n) = u(n)
Jawab:
Sinyal x(n) = u(n) memiliki nilai 1 untuk n ≥ 0. Dengan demikian:
_𝑛
𝑛=∞
𝑛=−∞ 𝑧 . 𝑥(𝑛)
TZ(x(n)) = X(Z) =
X(z) = ... +
z2
. x(-2) + z . x(-1) + x(0) +
z-1
. x(1) +
z-2
. x(2) + ...
1
𝑧
+
1
𝑧2
Jumlah tak berhingga
Sn = a/(1-r)
Deret geometri tak berhingga
akan konvergen (mempunyai
jumlah) untuk -1 < r < 1
= ... + z2 . 0 + z . 0 + 1 + z-1 . 1 + z-2 . 1 + ...
=1+
Dengan menggunakan rumus
jumlah deret geometri didapat :
+ ...
Kita bisa memandang X(z) tersebut sebagai deret geometri dengan suku awal 1 dan rasio
Deret ini dapat dijumlahkan menjadi
x(n) = u(n) 
𝑧
X(z) =
,|Z|>1
𝑧−1
1
1−
1
𝑧
=
𝑧
𝑧−1
asalkan |
1
𝑧
1
| <1 atau |z| > 1 ,jadi
𝑧
Syarat |Z| > 1 disebut dengan area ke-konvergen-an (Region of Convergence / ROC).
Region Of Convergence (ROC)
ROC dengan bentuk |z| > r dan |z| < r.
 Transformasi-z dari suatu sinyal x(n) adalah X(Z) disertai
dengan Region of Convergence-nya.
 Ada kemungkinan dua buah sinyal berbeda memiliki
transformasi z yang sama, namun ROC-nya berbeda.
Mari tinjau kasus berikut:
Seperti yang kita ketahui bahwa Transformasi-z dari
x1(n) = u(n) adalah X1(z) =
𝒛
(𝒛−𝟏)
dengan ROC |z|> 1.
Di sisi lain, transformasi-z dari x2(n) = -u(-n -1) adalah:
Tz(x2(n)) = X2(z)
=
_𝑛
𝑛=∞
𝑧
. 𝑥(𝑛)
𝑛=−∞
=-
_𝑛
𝑛=∞
𝑛=−∞ 𝑧 . 𝑢(−𝑛
=
𝑧
(𝑧−1)
− 1)
dengan ROC |z| < 1
X(n)
X(z)
ROC
u(n)
𝑧
(𝑧 − 1)
𝑧
(𝑧 − 1)
|Z| > 1
-u(-n-1)
|Z| < 1
Dengan demikian, transformasi-z yang lengkap adalah transformasi-z yang
disertai dengan nilai ROC-nya.
Selanjutnya bisa kita lihat pula bahwa:
x1(n) = an u(n) dan x2(n) = -an u(-n - 1)
juga memiliki bentuk transformasi-z yang sama yaitu
𝑧
(𝑧 − 𝑎)
, Hanya ROC nya yang berbeda.
X(n)
X(z)
an u(n)
𝑧
(𝑧 − 𝑎)
𝑧
(𝑧 − 𝑎)
-an -u(-n-1)
ROC
|Z| > a
|Z| < a
Pasangan Umum Transformasi Z
𝑥(𝑛)
𝑋(𝑧)
ROC
𝜕(𝑛)
1
Semua z
𝑎𝑛 𝑢(𝑛)
1
𝑧
=
−1
1 − 𝑎𝑧
𝑧−𝑎
𝑧 > 𝑎
−𝑎 𝑛 𝑢(−𝑛 − 1)
1
𝑧
=
−1
1 − 𝑎𝑧
𝑧−𝑎
𝑧 < 𝑎
𝑛𝑎 𝑛 𝑢(𝑛)
𝑎𝑧 −1
1 − 𝑎𝑧 −1
2
=
𝑎𝑧
𝑧−𝑎
2
−𝑛𝑎 𝑛 𝑢(−𝑛 − 1)
𝑎𝑧 −1
1 − 𝑎𝑧 −1
2
=
𝑎𝑧
𝑧−𝑎
2
cos 𝑛𝜔0 𝑢(𝑛)
sin 𝑛𝜔0 𝑢(𝑛)
𝑧 > 𝑎
𝑧 < 𝑎
1 − cos 𝜔0 𝑧 −1
=
1 − 2 cos 𝜔0 𝑧 −1 + 𝑧 −2
z 2  z  cos 0 
z 2  2 z  cos 0   1
𝑧 >1
sin 𝜔0 𝑧 −1
1−2 cos 𝜔0 𝑧 −1 +𝑧 −2
(sin 0 ) z
z  2 z  cos 0   1
𝑧 >1
=
2
an cos 𝑛𝜔0 𝑢(𝑛)
z  z  cos 0 
1 − cos 𝜔0 𝑧 −1
=
𝑎−2 − 2 cos 𝜔0 𝑧 −1 + 𝑧 −2
z 2  2 z  cos 0   a 2
𝑧 >1
an sin 𝑛𝜔0 𝑢(𝑛)
sin 𝜔0 𝑧 −1
 sin 0  z
= 2
−2
−1
−2
𝑎 − 2 cos 𝜔0 𝑧 + 𝑧
z  2 z  cos 0   a 2
𝑧 >1
2
Sifat Transformasi Z
No
Sifat
𝑥(𝑛)
𝑋(𝑧)
ROC
1
Linieritas
𝑎𝑥 𝑛 + 𝑏𝑦(𝑛)
𝑎𝑋 𝑧 + 𝑏𝑌(𝑧)
𝑅𝑥 ∩ 𝑅𝑦
2
Pergeseran
𝑥(𝑛 − 𝑛0 )
𝑧 −𝑛0 𝑋(𝑧)
𝑅𝑥
3
Pencerminan pada sumbu vertikal
𝑥(−𝑛)
𝑋(𝑧 −1 )
1
4
Penskalaan pada domain z
𝑎𝑛 𝑝(𝑛)
𝑃(𝑎−1 𝑧)
𝑎 𝑅𝑥
5
Konvolusi
𝑝 𝑛 ∗ 𝑞(𝑛)
𝑃 𝑧 𝑄(𝑧)
𝑅𝑥 ∩ 𝑅𝑦
6
Turunan/perkalianx(n) dengan n
𝑛𝑥(𝑛)
−𝑧
𝑑𝑋(𝑧)
𝑑𝑧
𝑅𝑥
𝑅𝑥
Sifat-Sifat Transformasi Z
 Sifat 1 ini disebut sifat linier dari transformasi-Z. Sifat ini berguna untuk
 menghitung transformasi-z dari jumlah dua atau lebih sinyal.
 Sifat 2 ini disebut sebagai sifat pergeseran pada sumbu waktu atau x(n).
 Sifat 3 ini disebut juga sebagai pencerminan pada sumbu vertikal dari
 Sifat 4 ini disebut juga sebagai sifat penskalaan pada domain-z.
 Sifat 5 menyatakan bahwa konvolusi di domain waktu adalah sama dengan
perkalian di domain-z.
 Sifat 6 ini adalah perkalian x(n) dengan n.