Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dengan Metode Matriks
Operasi Baris Elementer pada matriks
1. Mengalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta yang tidak sama dengan nol.
2. Menukar posisi dua baris
3. Menambahkan perkalian dari satu baris pada baris lainnya
Sifat-sifat matriks eselon baris terreduksi:
1. Jika elemen-elemen pada sebuah baris tidak seluruhnya sama dengan nol, maka
bilangan taknol pertama pada baris tersebut adalah 1 (disebut sebagai 1 utama).
2. Baris-baris yang seluruh elemennya nol diletakkan di bagian bawah matriks
3. Sebarang dua baris berurutan, di mana kedua baris tersebut bukan baris nol, maka
1 utama pada baris yang lebih rendah berada lebih jauh ke kanan dari 1 utama
pada baris yang lebih tinggi
4. Setiap kolom yang memiliki 1 utama, maka elemen lainnya pada kolom tersebut
adalah nol.
Matriks yang hanya memenuhi sifat 1,2, dan 3 saja disebut matriks eselon baris.
Terdapat 2 metode matriks:
1. Eliminasi Gauss: operasi baris elementer dilakukan sampai tercapai matriks eselon
baris.
2. Eliminasi Gauss-Jordan: operasi baris elementer dilakukan sampai tercapai matriks
eselon baris terreduksi.
Contoh:
Temukanlah solusi dari sistem persamaan linier berikut:
x  y  2z  9
2 x  4 y  3z  1
3x  6 y  5 z  0
Penyelesaian:
Bentuklah matriks koefisien yang diperluas (augmented matrix), kemudian lakukan
serangkaian operasi baris elementer sehingga matriks koefisien menjadi matriks
identitas.
[2] - 2[1]
(Augmented matrix)
[3] - 3[1]
½ [2]
[3] - 3[2]
-2 [3]
(Matriks eselon baris. Metode
eliminasi Gauss hanya sampai
tahap ini)
[1]- [2]
[1] [2] +
11
[3]
2
7
[3]
2
(Matriks
eselon
baris
terreduksi. Tahapan akhir dari
Metode
eliminasi
Gauss-Jordan)
Berdasarkan metode eliminasi Gauss-Jordan, solusi SPL diperoleh dari matriks eselon
baris terreduksi (matriks terakhir), yaitu: x1  1, x2  2, x3  3
Jika menggunakan metode eliminasi Gauss, maka setelah tercapai matriks eselon
9 
1 1 2

baris 0 1  72  172  , langkah selanjutnya adalah melakukan substitusi balik


0 0 1
3 
(back substitution):
x3  3
7
17
x2  x3   , substitusikan x3  3 ke dalam persamaan ini, diperoleh x2  2
2
2
x1  x2  2 x2  9 , substitusikan x2  2 dan x3  3 ke dalam persamaan ini, diperoleh
x1  1 .
Maka solusinya adalah x1  1, x2  2, x3  3 ,
Menyelesaikan SPL n variabel dengan m persamaan, di mana m  n
Contoh:
Tentukanlah solusi dari SPL berikut:
x1  3 x2  2 x3
2 x5  0
2 x1  6 x2  5 x3  2 x4  4 x5  3 x6  1
5 x3  10 x4
2 x1  6 x2
 15 x6  5
 8 x4  4 x5  18 x6  6
Penyelesaian dengan metode Gauss-Jordan:
[2] - 2[1]
[3] + 5[2]
[4] + 4[2]
-[2]
[ 4]
[3]  [4]
1
6
[1] + 2[2]
[2] - 3[3]
Berdasarkan matriks terakhir (yang merupakan matriks eselon baris terreduksi),
diperoleh variabel utama x1 , x3 dan x6 , dengan persamaan yang bersesuaian berikut:
Diperoleh solusi untuk variabel utama adalah:
x1  3 x2  4 x4  2 x5
x3  2 x4
x6 
1
3
Dalam hal ini, nilai-nilai untuk x2 , x4 dan x5 ditentukan secara bebas. Oleh karena
itu, SPL tersebut memiliki kemungkinan himpunan solusi yang tidak terbatas.
Misalkan x2  r , x4  s , dan x5  t . Maka diperoleh:
x1  3r  4 s  2t
x3  2 s
x6 
1
3
SPL Homogen
Bentuk umum:
a11 x1  a12 x12    a1n x1n  0
a21 x1  a22 x12    a2 n x1n  0



0
am1 x1  am 2 x12    amn x1n  0
Setiap SPL homogen memiliki setidaknya satu solusi yang disebut solusi trivial,
yaitu:
x1  x2    xn  0
Untuk SPL homogen dengan m  n , selain solusi trivial juga terdapat pula solusi
non-trivial, yaitu jika setidaknya sebuah variabel memiliki nilai taknol.