I Motori Sincroni Le macchine sincrone sono macchine che funzionano in CA nelle quali la frequenza della f.e.m. indotta e la velocità angolare del rotore sono in rapporto costante. Trovano applicazione come: • Generatori Elettrici (alternatori); • Motori per applicazioni a giri fissi; • Attuatori nei sistemi di controllo. Generalità di Tipo Costruttivo Sistema induttore: è montato sul rotore ed è caratterizzato dalla presenza di un campo magnetico statico; Sistema indotto: è montato sullo statore ed è composto da un sistema di avvolgimenti polifasi (tipicamente trifase); Circuito magnetico di accoppiamento: è diviso da un traferro che divide la parte fissa (statore) dalla parte mobile (rotore). Distinzione in Base al Tipo di Rotore Le macchine sincrone possono essere distinte secondo diversi criteri. Secondo la tipologia di rotore: Poli salienti; Poli lisci; a magneti permanenti (brushless). Macchina a Poli Salienti L’avvolgimento di eccitazione è concentrato attorno alle scarpe polari, è formato da Ne spire per polo ed è percorso da una corrente continua, Ie. L’alimentazione CC può venire da: • una sorgente esterna (dinamo calettata sullo stesso albero) • ponte di raddrizzamento da alimentazione esterna o di macchina Rotori a Poli Salienti lmr r a b x isolamento di spira = 0,2 - 0,3 mm prepreg isolamento verso massa = 5 - 10 mm elettrovetro L’avvolgimento genera un campo magnetico che è guidato verso il traferro dalla scarpa polare di rotore. Il campo è fisso rispetto all’avvolgimento ed è costante nel tempo e vale, nella espressione stazionaria e dinamica: m (t ) N i (t ) M N I e e e e e e I poli sono disposti in modo tale da avere una alternanza tra poli nord e sud. SISTEMAZIONE DELLE BARRE DELLA GABBIA DI SMORZAMENTO IN CAVE SEMICHIUSE GIUNTI FLESSIBILI DI DILATAZIONE ANELLO DI CORTO CIRCUITO BARRA DELLA GABBIA DI SMORZAMENTO 4 3 2 1 bp bp1 f.m.m. GENERATA DAI POLI Il profilo della scarpa polare viene opportunamente sagomato per ottenere un determinato campo di valori di induzione come effetto della diversa riluttanza. Il campo di As ha un 0 andamento trapezioidale che cambia segno passando da un polo all’altro. hp Se il traferro fosse di spessore uniforme, l’induzione B avrebbe lo stesso profilo (salvo effetti di bordo come nelle macchine in CC). ( ) 0 cos( ) Se si considera un asse di riferimento che passa per la mezzaria polare, la scarpa è sagomata lungo la coordinata polare , per ottenere valori di riluttanza tale da generare un campo di induzione dall’andamento spaziale di tipo sinusoidale, pur in presenza di una f.m.m. di tipo trapezioidale. Ne I e B( ) ( ) B( ) B0 cos( ) Il campo magnetico generato dai poli ha delle linee di flusso che, uscendo dal polo, attraversano il traferro, si concatenano con gli avvolgimenti di statore e si richiudono nelle corone di statore e di rotore. Rotore a Poli Salienti (Macchina Anisotropa) 3 2 1 4 5 6 1- traferro; 2- dente di statore; 3- corona di statore; 4- scarpa polare; 5- polo induttore; 6- corona di rotore. Sviluppo planare del campo generato da 0 una coppia di poli. spessore traferro; - passo polare; del Rotore a Poli Salienti (Macchinaa Anisotropa) Sistema Multipolare Poli Salienti ie V ve Rp Re Le Il circuito di eccitazione è composto da un numero di bobine pari al numero di poli; Sono connesse in serie ed il verso di percorrenza della Ie è tale da generare poli nord/sud alternati. Il flusso che esce dal polo si divide a metà e si chiude sui due poli di segno opposto. Il circuito di eccitazione può essere schematizzato come in figura. Un sistema di spazzole lo collega al circuito esterno. Il Circuito Elettrico di Eccitazione Come nella CC, la configurazione sintetica prevede che con il reostato si regoli il livello di tensione ve(t) che alimenta la eccitazione in modo da far circolare la ie(t) che genera il campo elettrico. La equazione dinamica della eccitazione si scrive come il solito: die ( t ) ve ( t ) ( R p Re )ie ( t ) Le dt Ve ( R p Re )I e A regime si ha: Dalla legge della circuitazione magnetica sappiamo che una corrente ie(t) che percorre un avvolgimento di Ne spire genera un campo magnetico il cui valore max è pari a: h( t ) N eie ( t ) / L Avente un flusso totale: H Ne I e / L ( t , ) N eie ( t ) / ( ) N e I e / Rotori a Poli Lisci L’andamento del campo di induzione di forma cosinusoidale può essere ottenuto passando da avvolgimenti concentrati a quelli distribuiti sempre di tipo aperto, con ne conduttori per cava e qe cave per polo. p a) p b) Anche questo avvolgimento è percorso dalla Ie generata da un sistema di alimentazione identico a quello descritto in precedenza. Le macchine a poli lisci vengono realizzate per macchine veloci (al massimo 2 coppie polari). L’avvolgimento di eccitazione è di tipo distribuito, aperto, con ne conduttori per cava e qe cave per polo. La Ie è ancora in CC (ie(t) nel transitorio di manovra della eccitazione). Vantaggi: • struttura compatta e meccanicamente resistente; • elevato numero di giri; • riluttanza al traferro (quasi) costante. Al traferro viene generata una f.m.m a gradini, fissa rispetto all’avvolgimento, il cui valore max. è: ne qe ne qe Me I e me ( t ) ie ( t ) 2 2 Il traferro ha una ampiezza costante e, nella ipotesi di trascurare l’influenza delle aperture di cava, la riluttanza associata è costante lungo la coordinata angolare, . Ne segue che l’andamento della f.m.m corrisponde un analogo andamento della componente radiale della induzione magnetica B. Dalla scomposizione in serie di Fourier del diagramma a gradini, lungo la coordinata , si ricava una f.m.m ed una induzione di tipo sinusoidale più una serie di armoniche. Il periodo della fondamentale è legato al numero di cave con conduttori percorsi dalla corrente di eccitazione con segno concorde. In generale, l’espressione dello sviluppo in serie viene espresso da: 4 ne qe M e( ) I e kei sin( i ) 2 i 1 i Kei: coeff. Di avvolgimento di eccitazione relativo alla i-ma armonica. La fondamentale viene descritta dalla relazione di sopra per i=1: 2 ne qe 4 ne qe I e ke1 M e1 ( ) I e ke1 sin( ) M e1MAX 2 La scelta di qe determina lo sviluppo in serie. La f.m.m e l’induzione devono essere il più possibili sinusoidali. Il contributo delle armoniche deve essere ridotto al minimo. Si ottiene ciò controllando la distribuzione delle qe nel semipasso polare. Se così è, il max. dei gradini e della fondamentale risultano molto simili. Rotori a Magneti Permanenti (Brushless) Molto utilizzati negli azionamenti. Sul rotore vengono incollati magneti permanenti ad elevata efficienza. Vantaggi: si elimina il sistema di eccitazione ed i contatti striscianti che sono fonti di perdite. Svantaggi: smagnetizzazione Motore CC a magneti permanenti Motore Brushless Sono di due tipi: • (a) sinusoidale (equivalente ai poli lisci) • (b) trapezio (equivalente ai poli salienti) Statori di Macchine in AC Gli statori sono costruiti nella stessa maniera (sincroni ed asincroni). Sono composti da lamierini di materiale ferromagnetico sovrapposti per formare un pacco dallo spessore voluto, dotato di canali di raffreddamento, solidali con la carcassa di sostegno. Gli avvolgimenti di statore vengono allocati nelle cave. Queste hanno forme diverse a seconda della potenza della macchina e del tipo di avvolgimento che si intende utilizzare. Passo polare Passo di cava D p 2p D c Z D: diametro di alesatura; D: diametro di alesatura; 2p: numero di poli Z: numero di cave All’interno di ogni cava vengono collocati un numero nc di conduttori raccolti in bobine. Nella cava possono trovare posto una (singolo strato) o due bobine (doppio strato) Le bobine possono essere composte da conduttori formati o disposti a caso. La sezione dei conduttori è calcolata in base alla corrente nominale ed alla scelta della densità di corrente (legata alla potenza nominale ed al tipo di raffreddamento). Il Sistema di Isolamento E’ diversificato in funzione della potenza, della tensione nominale e della classe di temperatura. Isolamento di spira: smalto adeguato alla classe di isolamento di macchina (Polivinilacetaliche: TI.130°; Poliuretaniche: TI.155°; Poliesterimidiche: TI.180°; Poliesteri-amidiche-imidiche: TI.200°; Resine amidiche-imidiche: TI.240°; Lo spessore dell’isolamento è di circa s=0.075 mm. Nelle specifiche compare il bispessore. Isolamento contro massa • Basse tensione (<1 kV). fogli di poliesteri, carta plastificata, Mylar in un unico strato. •Media tensione (14 kV) 1 o + nastrature di nastro in fibra di vetro o micato con impregnazione in resina epossidica Isolamento contro massa • Media tensione (35 kV): 1 o + nastrature di nastro micato con ricopertura di nastro in fibra di vetro e mylar; • Media tensione (46 kV): gradature contro massa con vernice caricata con polvere di carbone per garantire il contatto tra sup. esterna dell’isolamento e la superficie della cava. • Alta tensione (57 kV): gradatura di campo di fine avvolgimento con vernice semicon (SiC) o nastro in poliestere caricato con (SiC) bc h3 h2 b1 his hc hi3 h1 hi1 h1 h Lo statore completo di avvolgimenti viene inserito in autoclave per la impregnazione (tecnica VPI: creazione del vuoto per la estrazione dell’aria, inserimento della resina a pressione elevata, incremento della pressione e riscaldamento dell’autoclave per favorire la polimerizzazione). Metodo di impregnazione per capillarità: collocamento dello statore in vasca con epossidica e conseguente infiltrazione. Materiali “Resin Rich Pre-Preg”. Il sistema isolante è predisposto con la resina di impregnazione. Viene steso, pressato e riscaldato. Avvolgimenti in AC Avvolgimento: insieme di bobine opportunamente collegate in serie o in parallelo per realizzare le polarità previste. E’ di tipo aperto (I e F). Un avvolgimento polifase (m>1) si dice simmetrico se le f.e.m. sono uguali in modulo e sfasate tra loro di 2/m (120° se m=3). I trifasi (m=3) sono i più comuni. Sono costituiti da 3 avvolgimenti tutti uguali che possono essere opportunamente connessi (stellatriangolo). I dati caratteristici dell’avvolgimento sono: • Z: numero di cave dell’avvolgimento; • 2p: numero di poli (p: numero di coppie polari); • nc: numero di conduttori per cava; • Q: numero di cave per polo: Q=Z/2p • q: numero di cave per polo e per fase: q=Z/2pm=Q/m Si ricavano le seguenti relazioni: • Z=2pmq • Q=mq n°di cave/polo • N=2pqnc n°conduttori/fase • Ns=N/2 n°spire • Nb=pq n°bobine/fase • il passo polare vale: p D i 2p • le espansioni polari occupano i 2/3 di p • l’angolo elettrico sotteso da una espansione polare è in rapporto = p con l’apertura angolare meccanica Esempio di avvolgimento: singolo strato q=4 Solo le parti attive dei conduttori sono rilevanti ai fini elettromagnetici Verso positivo Verso negativo I F Esempio di avvolgimento: a doppio strato q=4 I conduttori delle bobine nella stessa cava danno lo stesso contributi e possono essere considerati come una unica bobina Verso negativo Verso positivo P1 F1 • Gli avvolgimenti aperti possono essere embricati (a) od ondulati (b): gli avvolgimenti embricati hanno maggiore flessibilità di impiego (Passo intero, raccorciato, frazionario per idraulici con elevato n°di poli dove l’influenza delle cave produce armoniche di dentatura); gli avvolgimenti ondulati sono solo a passo intero. Vengono usati nei rotori avvolti dei motori asincroni perché non hanno bisogno di connessioni fra le matasse. a) b) • Per ciascun strato si possono avere un solo conduttore o più conduttori in serie. • I conduttori attivi possono essere collegati fra loro con collegamenti frontali di tipo concentrico o di tipo embricato. • I collegamenti frontali di tipo concentrico, ormai praticamente abbandonati, consentono di ottenere solamente avvolgimenti a semplice strato, inoltre ciascuna matassa è costituita da zone tutte diverse fra loro. Se monofasi hanno collegamenti su un solo ordine, se trifasi, per evitare interferenze hanno collegamenti su due o tre ordini. • I collegamenti frontali di tipo embricato consentono di ottenere avvolgimenti a semplice o a doppio strato, sono costituiti da zone di due soli tipi con collegamenti appartenenti a due ordini di solito, per gli avvolgimenti di statore, disposti su due superfici coniche di diversa conicità. Procedure per il Tracciamento di un Avvolgimento 1) Dato il diametro di alesatura D, lo divido in tanti settori quanti sono i poli (esempio: 2p=4, Z=48). Calcolo il numero di cave sotto ogni singolo polo Q=Z/2p=48/4=12. 2) Sotto ogni polo, dividiamo ciascun settore in parti uguali corrispondenti al numero delle fasi (se m=3, q=Z/2pm=Q/m allora q=12/3=4 numero di cave per polo e per fase. 3) si destinano le prime q=4 cave a raccogliere i conduttori relativi alla prima fase. Il ritorno di questi conduttori sarà collocato dopo Q cave per realizzare il polo di segno opposto. Si avvolgono tra la i-ma e la i+Q cava le nc spire previste dal progetto. La bobina raccoglie le nc spire. La disposizione di q=4 matasse conclude la disposizione di un singolo polo/fase. 4) Si ripete la disposizione tante volte quanto è il n° di poli previsti. Ciò conclude la disposizione della prima fase. Lati attivi Testate 5) si ripete la procedura per le altre fasi 2,3 ….m Questo è da considerarsi come uno schema base da cui possono evolvere diverse varianti per risolvere diversi problemi, in particolare, la soppressione di armoniche di campo. AVVOLGIMENTO APERTO, TRIFASE, A TESTE EMBRICATE, SINGOLO STRATO, PASSO INTERO, Z=24, 2P=2, Q = 12, q = 4 =D/2=> =180°/12=15° /3=>60° Ogni fase contribuisce con 4 cave ( q=4). Per posizionare il ritorno devo calcolarmi il passo di avvolgimento y=Z/2p (q=Z/2pm) => y=mq=12 ed il ritorno è quindi posizionato 12 cave dopo. Il polo è determinato dal verso delle tre correnti di fase nelle 12 cave adiacenti (Q=12) AVVOLGIMENTO APERTO, TRIFASE, A TESTE EMBRICATE, DOPPIO STRATO, PASSO INTERO, Z=24, 2p=4, Q = 6, q = 2 . y=Z/2p=6; =180 2p/Z=30° Ogni fase contribuisce con 2 cave.Il ritorno della 1 è sulla cava 7 . Prima di tracciare lo schema dobbiamo precisare che le connessioni possono generare un procedere in modo • progressivo (senso orario) o • regressivo (antiorario) TIPO PROGRESSSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4) N P S N S F • L’avvolgimento progressivo è adatto per avvolgimenti a singolo strato. Si notino le dissimmetrie di bobina e gli incroci dei collegamenti TIPO REGRESSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4) N P S N S F • anche l’avvolgimento regressivo puro presenta dei problemi nelle simmetrie delle forme e nei collegamenti di bobine TIPO PROGRESSIVO/REGRESSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4) N S N S P F • Si noti come si siano ottenute le migliori simmetrie TIPO PROGRESSIVO/REGRESSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4) N R W S S N T S U V Il Passo Raccorciato La presenza di armoniche produce degli effetti paragonabili a quelli dovuti alla presenza di una successione di corone polari che si infittiscono e decrescono in ampiezza al crescere dell’ordine dell’armonica. Per eliminarle è sufficiente creare dei controcampi in fase con quelli che si vogliono elidere. Fondamentale 5a armonica Passo raccorciato; y = 4/5 p Passo intero; y = 1 Passo allungato; y = 6/5 p Si raccorcia il passo perché si ottengono bobine più corte in testata (meno rame= minori costi, perdite, ingombri e reattanze di dispersione). Si deve mantenere la simmetria della configurazione che consente di realizzare l’avvolgimento con bobine tutte uguali (minori costi di produzione). Esempio: Raccorciamento di una cava. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 cava 2 3 4 1 2 3 5 4 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 11 12 10 13 11 12 14 15 13 16 14 15 17 18 19 20 21 22 23 24 16 17 18 19 20 21 22 1 23 24 Per eliminare la -ma armonica il passo raccorciato si calcola con la: 1 r Il raccorciamento di passo è particolarmente agevole per avvolgimenti a teste embricate a doppio strato. Il raccorciamento porta nella stessa cava bobine di fasi diverse. Devo aumentare le specifiche per il progetto dell’isolamento. Esempio: motore con m=3, Z=90, 2p=6. Q=90/6=15 cave per polo q=15/3=5 cave polo/fase con il passo intero, collego cava 1 con la 16; 2 con la 17, etc. Se raccorcio per eliminare la 5° o la 7° armonica: 5 1 r 5 15 12 5 7 1 r7 15 13 7 con il racc.per la 5° collego cava 1 con la 13; 2 con la 14, etc. TIPO PROGRESSIVO/REGRESSIVO (Z=24, Q = 6, q = 2, 2p = 4) raccorciamento di 1 cava, passo r=5 N S P N S F 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 14 15 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 15 16 17 18 19 21 22 23 24 20 21 22 1 23 24 SCHEMA DI AVVOLGIMENTO APERTO, TRIFASE, A TESTE EMBRICATE, REGRESSIVO, DOPPIO STRATO, PASSO RACCORCIATO r=1, p = 6, y = 5, q = 2, 2p = 4. N R W S S N T S U V Le f.e.m. Indotte Abbiamo visto che il campo di induzione al traferro può essere rappresentato da una serie trigonometrica di funzioni spaziali. Di queste considero la fondamentale (B()=B0sin()). Sviluppo nel piano una macchina a 4 poli. Il rotore si muove verso dx con velocità v pari ad una pulsazione m costanti. Con riferimento ad una singola fase, considero un conduttore di statore (A) dove colloco un osservatore. Se il sistema induttore presenta p coppie di poli, (A) vedrà passare p onde di induzione per ogni giro del rotore. Se n è il numero di giri compiuti dal rotore in un minuto, la frequenza dell’onda di induzione sarà Se si vuole che f sia la frequenza delle grandezze elettriche indotte, il n° di giri del motore è pn 60 f f=50Hz e p=1 =>n=3000 g/min f n 60 p f=50Hz e p=2 =>n=1500 g/min p p p p S N A S B 0 v N e m Se la frequenza è f, la pulsazione delle grandezze elettriche è e 2f mentre la pulsazione meccanica vale 2 n tenendo conto della relazione tra f ed n m 60 ( 2 )n ( 2 ) f la pul.elettrica e quella meccanica sono p e 60 m in proporzione tramite il n°di poli p Conseguentemente l’angolo elettrico e quello meccanico sono nella e stessa proporzione m p Assegnata la frequenza, f, per le grandezze indotte sullo statore, il numero di poli viene scelto in base alla velocità richiesta. L’andamento dell’induzione vista da (A) può essere espressa in funzione della posizione angolare del rotore e sarà: e BA ( e ) BM sin( e ) BM sin( p m ) m m t t p e BA ( t ) BM sin( p m ) BM sin( p t ) BM sin( et ) p Il flusso totale generato da un singolo polo può essere ora calcolato con riferimento alla superficie coperta da un singolo polo che è Sp=lp. Con riferimento alla figura sviluppata su un piano p 0 p p x x x l BM sin( )dx lBM sin( )d 0 p p p p p x lBM cos( ) lBM cos( ) cos( 0 ) p 0 2 p BM lBM 2l p Queste relazioni ci mostrano le relazioni tra il flusso sotto un singolo polo e l’indizione massima che lo determina. Ora noi sappiamo che le f.e.m. indotte sono legate al flusso concatenato, . Con riferimento ad (A), sappiamo che: d( t ) d( t ) d m d( ) e( t ) m ( t ) dt d m dt d m da sopra sappiamo che ( e ) m ( e ) M cos( e ) ne viene che e( t ) m ( t ) M sin( e ( t )) In condizioni di stazionarietà m=>costante e( t ) m M sin( et ) Mentre un polo induttore si sposta di un passo polare p, l’osservatore (A) viene investito da tutte le linee di forza corrispondenti al flusso totale uscente/entrante dal polo. In (A) si induce una f.e.m. il cui valore medio Em è determinato dal rapporto: Em=/tp essendo tp il tempo in cui si compie lo spostamento angolare di un passo polare p. Osservazione: il flusso totale corrisponde al flusso medio che si ottiene considerando l’andamento istantaneo del flusso concatenato con (A). Il tempo tp corrisponde a metà del periodo elettrico (Te/2), allora: 2 Em 2f T T 2 E k f f K f f EM 2( )f 2k f f 2 kf 2 Se consideriamo la relazione con il valore massimo e poi con il valore efficace otteniamo le relazioni accanto. Kf è detto fattore di forma e tiene conto della relazione esistente tra valori medi ed efficaci. Ora se (A) è una cava con nc conduttori raccolti in una bobina, il valore efficace della f.e.m. diventa: e( t ) EM sin( et ) K f nc fsin( et ) E nc K f f Se ho q cave polo/fase ed ogni cava contiene nc conduttori, queste sono distanziate tra loro per un passo di cava c. p p p p Si concatenano con flussi diversi. A S B 0 v N S e m N Le f.e.m. indotte nei conduttori collocati nelle diverse cave non sono più in fase tra di loro ma risultano sfasati di un angolo elettrico pari a: ec p c Se passiamo ai fasori, vediamo che essi sono rappresentati da vettori della stessa ampiezza ma egualmente sfasati. Dato che siamo sotto lo stesso polo e la stessa fase, le bobine sono collegate in serie. La f.e.m. risultante è data dalla somma geometrica dei fasori. Se moltiplico la espressione della f.e.m. indotta in una singola cava, E, per le q cave, non ottengo la Im f.e.m. risultante. Devo correggere il valore risultante con il coefficiente E di avvolgimento o di distribuzione, E ka, che tiene conto dello sfasamento E delle cave. c A c B C ec E K f Ka qnc f ED Re Sia Np=qnc il numero di conduttori per polo e per fase, la f.e.m. effettiva, E, sarà minore rispetto alla somma delle f.e.m. indotte nelle singole cave. Da questa constatazione si parte per calcolare ka. Sia EA la f.e.m. indotta su una singola cava EA K f nc f Gli sfasamenti meccanico ed elettrico tra due cave adiacenti sono 2 c z 2 ec p z rispettivamente. R R R Sotto un polo, per una singola fase, vengono indotte q f.e.m. sfasate tra di loro dell’angolo elettrico sopra riportato, identico per tutte le cave. Considero la stella dei q fasori rappresentativi delle f.e.m. indotte. Considero il cerchio di centro O e raggio R passante per i vertici dei fasori. Si mettono in relazione i triangoli AEO ed ABO osservando che sono isosceli con il lati uguali pari ad R. R Osservo che AH è metà della f.e.m. di una singola cava mentre AH è metà della f.e.m. delle q cave. R Con riferimento al triangolo AHO posso scrivere: R EA 1 R ec 2 sin( ) 2 Con riferimento al triangolo AKO, avente angolo al centro pari a q e / 2 posso scrivere: Eguagliando le relazioni in R, si ottiene: c R E 2 1 sin( q ec 2 ) E R 2 1 EA 1 ec ec 2 sin( q ) sin( ) 2 2 E EA sin( q sin( ec ) 2 ec 2 Se i q vettori fossero stati tutti in fase tra loro, allora E=qEA. Ora si riprende la definizione di fattore di avvolgimento: ) E 1 Ka qE A qE A E A sin( q sin( ec ec 2 2 ) ) sin( q q sin( ec 2 ec 2 Esempio: Z=72; m=3; 2p=4 => Q=Z/2p=72/4=18, q=Q/m=18/3=6. 2 360 c 5 Z 72 ec p m p ec 2 360 2 10 Z 72 10 sin( q ) sin( 6 ) 2 2 0.956 Ka ec 10 q sin( ) 6 sin( ) 2 2 ) ) Se siamo in presenza di un sistema a p coppie polari, tenendo conto che N è il numero di conduttori per fase (N=pqnc) E Ka K f pqnc f Ka K f Nf Ke f Se siamo in un sistema trifase e ripetiamo le stesse considerazioni fatte per un osservatore posto in (A), per altri due osservatori posti in (B) e (C) distanziati di 120° elettrici uno dall’altro ((120/p)° meccanici), tenendo conto del numero di conduttori per fase, del fattore di forma e di avvolgimento, ottengo un sistema trifase del tipo: eA ( t ) EM sin( et ) 2 eB ( t ) EM sin( et ) 3 4 eC ( t ) EM sin( et ) 3 EM K a 2 k f Nf Il Punto di Lavoro La f.e.m. indotta dipende dal flusso totale. Questi viene determinato dal valore di induzione massima che si desidera avere in corrispondenza al valore minimo del traferro. Variando la corrente di eccitazione è possibile fissare il punto di lavoro sulla caratteristica di magnetizzazione e stabilire il P valore di B0 con cui la macchina lavora (induzione al traferro minimo). Stabilito il valore di B0, si determina il flusso totale per polo e quindi il valore delle f.e.m. indotte a giri fissi (caratteristica a vuoto della macchina). E0 K e Nf Il sistema di eccitazione può essere dotato di un sistema di regolazione per la diseccitazione rapida in caso di mancanza di carico. Il Funzionamento a Carico I1 I2 I3 M m Se chiudiamo gli interruttori ed applichiamo una tensione trifase ai morsetti di macchina, questa assorbe la corrente necessaria a farla funzionare. La corrente, percorrendo gli avvolgimenti di statore, crea un campo magnetico che si compone con il campo principale dando origine alla coppia motrice. Per comprendere come avviene l’interazione tra questi due campi è necessario prima studiare attentamente quest’ultimo, poi studiarne la loro composizione. Il campo generato dalle correnti di armatura è il “campo magnetico rotante”. La sua descrizione è valida sia per le macchine sincrone che per le asincrone. Si da una dimostrazione semplificata ma esaustiva. Ipotesi sul Campo di Reazione al Traferro Le ipotesi di campo sono valide per macchine sincrone a rotore liscio, per brushless sinusoidali, per macchine asincrone. Risultano approssimate per sincrone a poli salienti e brushless trapezi. 1) permeabilità magnetica del ferro infinita (f= => Hf=0). 2) distribuzione del campo magnetico identica in tutti i piani perpendicolari all’asse di macchina (si trascurano gli effetti di bordo nelle testate). 3) andamento radiale delle linee di flusso al traferro (le componenti tangenziali del campo devono essere nulle). L’ip.3) ci dice che le linee del campo devono essere ortogonali alle superfici di statore e rotore ( piccolo). Le aperture delle cave perturbano questo andamento. L’ip.3) è accettabile a meno dell’influenza delle cave (si trascurano in questa trattazione). Il Campo Rotante Si consideri una serie di nc conduttori per cava che stanno sotto ciascun polo e si suppone che siano attraversati dalla corrente i=i(t). nc nc i 2 H dl n i c nc i 2 4 poli : p e : x e x p x e p Le ip. di linearità mi consentono di applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Al traferro, H sarà costante perché non è sede di correnti. Il campo H diventa funzione lineare della variabile x, distanza valutata lungo la periferia del traferro. Se è il semi periodo elettrico che corrisponde al passo polare p, l’arco di perimetro, x, sotteso dall’angolo elettrico e vale: Si considerano alcune curve chiuse su cui appoggiarsi per calcolare la circuitazione e valutare le Asp e quindi il campo H al traferro. Considero un riferimento posizionato in A. Considero come verso positivo di campo quello diretto dal rotore allo statore (senso orario di verso di percorrenza). Circ.A-B: n A e B sono presi in modo arbitrario sotto un polo. Ricordando che Hf=0, HA- HB=0 => HA=HB Se si ripete il calcolo variando sia A che B, sempre rimanendo sotto il polo, si ottiene lo stesso risultato: la costanza del campo sotto il polo. Circ.A-C: HA- HC=nci => HA-HC= nci/ nci genera il campo concatenato con il circuito c (A-C) c nc Circ.A-D: HA- HD=nci- nci =0 => HA=HB=HD i contributo di Asp dati dalle cave comprese nella circuitazione si elidono a vicenda. Circ.A-E: HA- HE=nci- nci+ nci = nci => HA-HE= nci/ => HC=HE Il campo magnetico assume, a poli alterni, lo stesso valore mentre, passando da un polo all’altro adiacente, subisce una discontinuità espressa in modulo dalla relazione: nci/ Segno: Si consideri un cilindro coassiale con il rotore con superficie laterale S compresa nel traferro. Il vettore induzione B è solenoidale quindi il flussi entrante/uscente dal cilindro è nullo. Nella ipotesi di aver trascurato gli effetti di bordo (campo nullo nelle testate), posso scrivere: BAl p BE l p BC l p BD l p 0 p l Al traferro: 0 H Al p 0 H E l p 0 H C l p 0 H Dl p 0 Sapendo che: HA=HD ed HC=HE 20 H Al p 20 H C l p 0 => HA=-HC ora essendo che HA-HC= nci/ nc nc i HA 2 nci HC 2 L’andamento di H(x) è di tipo rettangolare con valor medio nullo e periodo di periodo 2p ni 2 (in uno sviluppo planare). Si trascurano le perturbazioni delle cave (linee che non si concatenano con il rotore in corrispondenza ad x=c, x=2c ,…. x=kc). nc i 2 c Essendo H(x) rettangolare e periodica, posso svilupparla in seri di Fourier: nc i 2 nc i 2 4 4 1 4 1 H ( e ) Hsin ( e ) H sin( 3 e ) ...... H sin( n e ) 3 n Se ci limitiamo all’analisi della fondamentale: H ( e ) H M 1 sin( e ) H M1 4 nc i 2 nc i 2 x e p x H ( x ) H M 1 sin( ) p 2 nci x H 1( x ) sin( ) p Caso di q cave polo/fase In presenza di q cave per polo e per fase sfasate tra loro del passo di cava, c, otteniamo una serie di q profili rettangolari sfasati tra loro del passo di cava, ognuno dei quali può essere sviluppato in serie. Le fondamentali sono identiche ma risultano sfasate tra loro dell’angolo elettrico, c, che sottende il passo di cava, c. Il profilo delle Asp al traferro, sviluppato su un piano, è a gradini, con un andamento periodico a valor medio nullo. Il profilo dato dalla composizione delle fondamentali sfasate è ancora una funzione trigonometrica Il diverso sfasamento fa si che la somma algebrica delle onde differisca da quella geometrica (come nel caso delle f.e.m.). Introduciamo di nuovo il coefficiente di avvolgimento, Ka. x 2 nci x H 1( x ) H M 1 sin( ) H1( x ) K a qsin( ) p p L’espressione della f.m.m. diventa: Ora ci ricordiamo della corrente che attraversa i conduttori ha una legge di variazione temporale in stato stazionario: 1 H M 1 K f K a qnc i Si opera una traslazione di assi di riferimento per portarli in corrispondenza del valore massimo. 1 x H 1 ( x ) K f K a qnci cos( ) p i( t ) I M cos( et ) 2 I cos( et ) L’espressione della f.m.m. diventa una funzione dipendente dal tempo t e dallo spazio x: 1 x H 1 ( x ) K f K a qnc 2 I cos( et ) cos( ) p 12 2 x HM K a qnc I H 1( x ) H M cos( et ) cos( ) p Se applichiamo il teorema di Prostaferesi otteniamo: 1 x 1 x H 1( x ,t ) H M cos( et ) H M cos( et ) 2 p 2 p 1 x x H 1( x ,t ) H M [cos e ( t ) cos e ( t )] 2 e p e p Se vc è la velocità periferica di questo campo di f.m.m. ed e è la pulsazione elettrica, possiamo ipotizzare che nel medesimo tempo t* in cui un singolo polo investe un conduttore si ha una variazione di della grandezza elettrica. Quindi: p p e * * t ma t vc vc e La velocità angolare del campo, c, si ottiene dividendo vc per il raggio di alesatura, R. vc p e 2R 2R e e c ma p c m R R 2p 2 p R p Importante: nello stato stazionario, il campo di f.m.m e quindi il campo magnetico ha la stessa velocità angolare del rotore. In 60 f particolare, e 2nm 2f nc nm c m p p 60 p Vediamo di approfondire il significato della equazione del campo. 1 x x H 1 ( x ,t ) H M [cos e ( t ) cos e ( t )] 2 vc vc La fondamentale di una fase può essere scomposta in due componenti che pulsano nel tempo con la stessa frequenza e che si muovono nello spazio con la stessa velocità e versi opposti (onda progressiva concorde con la direzione di x ed onda regressiva. Sistema Trifase Equilibrato L’onda di un campo magnetico stazionario generato al traferro da una corrente di fase sinusoidale è equivalente a due campi controrotanti di eguale ampiezza (1/2 HM) ed uguale velocità in modulo. Se si ripetono le stesse considerazioni per gli altri avvolgimenti sfasati di 120° e 240°, rispettivamente, abbiamo, per le fondamentali: x H A ( x ,t ) H M cos( et ) cos( ) p 2 x 2 H B ( x ,t ) H M cos( et ) cos( ) 3 p 3 4 x 4 H C ( x ,t ) H M cos( et ) cos( ) 3 p 3 Applichiamo di nuovo Prostaferesi. 1 x x H ( x , t ) H [cos( t ) cos( t )] A M e e 2 p p 1 2 x 2 2 x 2 H ( x , t ) H [cos( t ) cos( t )] B M e e 2 3 p 3 3 p 3 1 4 x 4 4 x 4 H C ( x ,t ) H M [cos( et ) cos( et )] 2 3 p 3 3 p 3 Per l’ipotesi di linearità, in ogni punto x del traferro e per ogni istante, i singoli campi si sommano in un campo risultante: 3 x H ( x , t ) H [cos( t )] M e 2 p 1 H [cos( t x ) cos( t x 4 ) cos( t x 8 )] e e e 2 M p p 3 p 3 Il secondo termine da la somma di tre vettori uguali in modulo e sfasati di 120° uno dall’altro che è uguale a zero. Il campo magnetico viene descritto dalla relazione al primo termine. L’equazione: 3 x 3 x H ( x ,t ) H M [cos( et )] H M [cos e ( t )] 2 p 2 vc 12 2 Descrive il campo magnetico rotante HM K a qnc I nello spazio con pulsazione = , c m sincrono con il campo di rotore, in condizioni di stazionarietà, che pulsa nel tempo seguendo l’andamento delle correnti che lo generano. Si conclude che in un sistema equilibrato di correnti, la somma delle componenti inverse del campo da esse generato si annullano mentre quelle dirette danno origine ad un unico campo rotante. Campo visto da un osservatore fisso con lo statore Si consideri un osservatore solidale con lo statore in un punto A. A vede passare il campo con un andamento sinusoidale nel tempo. 3 xA Infatti, se x=xA costante, H ( x A ,t ) H M [cos e ( t )] 2 vc A vede solo alzare ed abbassare il livello del campo (analogia del bagnante). Il periodo della oscillazione osservata è: T B 2 p vc vc c p Campo visto da un osservatore fisso con il campo L’osservatore B posto sul campo si muove con velocità vm=vc. B vede un campo statico (analogia con la barca che cavalca l’onda). Composizione dei Campi di Induzione e di Reazione Un sistema di avvolgimenti a due poli, attraversato da un sistema equilibrato di correnti trifasi, origina un campo magnetico rotante che ha la stessa pulsazione di rete. In condizioni di stazionarietà, ha anche la stessa pulsazione di rotore. Se il sistema di avvolgimenti, con p coppie polari, è attraversato da un un sistema equilibrato di correnti trifasi, si generano p campi rotanti che hanno una pulsazione c= e/p. In condizioni di stazionarietà, c = m in ambo i casi. Si consideri ora un sistema a due poli. Le considerazioni svolte possono essere estese ad un sistema multipolare ripetendole per ogni coppia polare. Per comprendere come i due campi interagiscono si può pensare di simulare il campo rotante con delle espansioni polari fittizie che si contrappongono al sistema polare induttore N Stabile S N S S N N S N Senso del moto S N S N S Instabile S N S Senso del moto N In condizioni di stazionarietà, i due campi ruotano nello stesso verso ed in perfetto sincronismo, conservando invariata la loro posizione reciproca durante la rotazione. Il campo generato dalle correnti di fase altera la distribuzione del flusso magnetico a vuoto con modalità che dipendono dalla natura del carico (fenomeni di reazione di indotto). Il metodo generale di studio prevede la composizione delle f.m.m. punto per punto al traferro (la composizione dei flussi è alterata dalla saturazione). Il metodo scelto si basa sulla composizione dei campi sinusoidali (rotore liscio e condizioni di stazionarietà. Si studiano 3 casi particolari 1. campo rotante (correnti) in fase con la f.e.m. indotta dal sistema principale; 2. campo rotante (correnti) in quadratura ritardo con la f.e.m. indotta dal sistema principale; 3. campo rotante (correnti) in quadratura anticipo con la f.e.m. indotta dal sistema principale; 1. Corrente di fase in fase con la f.e.m. indotta Se il campo rotante assume il valore massimo nello stesso momento in cui la f.e.m. assume il suo, significa che la corrente di fase i(t) è in fase con la E0 ma a 90° in ritardo rispetto al flusso principale che la induce. Le linee di campo di reazione si richiudono attorno alle correnti che fluiscono negli avvolgimenti di statore. La loro composizione sul rotore origina un campo il cui asse mediano risulta perpendicolare a quello dell’asse induttore, mantenendosi costantemente in posizione ortogonale rispetto a quest’ultimo. L’indotto genera un campo rotante TRASVERSO al campo induttore. Ciascun polo induttore è collegato, durante la rotazione, ad un polo indotto di segno equivalente o contrario a seconda che si tratti di un generatore o di un motore. Lo schema si evidenzia meglio in uno sviluppo planare: Ciascun polo indotto viene ad esercitare una forza, Fa, di attrazione/repulsione sul polo di segno opposto/concorde del sistema induttore. La risultante, F, di queste forze agisce tangenzialmente sui poli induttori in senso contrario al moto (coppia frenante per i generatori) o in favore del moto (coppia motrice per i motori). Nel caso dei generatori, per mantenere la velocità di sincronismo è necessario applicare all’albero una coppia motrice uguale e contraria, spendendo potenza meccanica esattamente corrispondente alla potenza elettrica generata (più le perdite). 2. Corrente di fase in quadratura ritardo con la f.e.m. indotta I conduttori sede della massima corrente e quelli di max f.e.m. indotta sono sfasati di 90° elettrici. La corrente è in ritardo rispetto al sistema induttore. Sul rotore, si ha la sovrapposizione tra gli assi dei poli con direzione opposta. La reazione è di tipo LONGITUDINALE SMAGNETIZZANTE (caso dei generatori). La coppia si annulla perché mancano le componenti tangenziali (i bracci di coppia). Non viene richiesta potenza attiva (solo per le perdite) nel caso dei generatori o non viene fornita energia meccanica (motori). Viene messa in gioco solo energia reattiva. 3. Corrente di fase in quadratura anticipo con la f.e.m. indotta Si tratta ancora di una reazione diretta (poli allineati) ma magnetizzante perché le polarità non sono antagoniste ma concordi (reazione LONGITUDINALE MAGNETIZZANTE). Le forze che si esercitano tra i poli sono senza braccio e la coppia è 0 Osservazione: questo è uno dei motivi per cui si preferisce dare la potenza apparente come dato di targa. La ripartizione tra potenza attiva e reattiva dipende dal carico che può variare istante per istante. 4. Angoli compresi tra 0° e 90° E0 Viene studiato considerando separatamente gli effetti longitudinale e trasversali della corrente in fase con E0, Iq=Icos(), ed in quadratura con il I Iq flusso e quelli in quadratura con E0 (in direzione Id con il flusso), Id=Isin(). Composizione delle f.e.m. Il campo rotante produce proprie linee di forza che si concatenano con gli avvolgimenti di statore inducendo su questi delle f.e.m. Il flusso totale e le f.e.m. indotte da questi vengono modificati dalla presenza del campo rotante e delle sue f.e.m. (condizioni da vuoto a carico). Se ci limitiamo ad analizzare solo le fondamentali, queste essendo grandezze variabili con leggi trigonometriche, possiamo sintetizzarle mediante fasori. Sia: • 0 il flusso induttore principale ed E0 la f.e.m. indotta da questi e sfasata di 90° in ritardo rispetto a 0. • i il flusso indotto dalla corrente I ed Ei la f.e.m. indotta da questi e sfasata di 90° in ritardo rispetto a i e quindi da I. Sulla base di queste considerazioni si possono tracciare i diagrammi fasoriali nelle varie condizioni prima descritte. 1. Corrente di fase in fase con la E0 Se I è in fase con E0, allora la f.e.m. Ei E0 E indotta è sfasata di 90° in ritardo rispetto la E0. La f.e.m. risultante, E, è data dalla composizione vettoriale tra E0 ed Ei e I rappresenta la f.e.m. del campo risultante i che si ottiene nelle condizioni di carico ipotizzate. E e sono in ritardo su E0 e 0. E 0 i 2. Corrente di fase sfasata in ritardo di 90° sulla E0 E0 E 0 Ei i I i è opposto a 0 (campo smagnetizzante) = 0 - i Anche le f.e.m. corrispondenti lo sono, quindi: E= E0 - Ei Il campo rotante fa diminuire il modulo della E0. 3. Corrente di fase sfasata in anticipo di 90° sulla E0 E E0 Ei I 0 i i è in fase con 0 (campo magnetizzante) = 0 + i Anche le f.e.m. corrispondenti lo sono, quindi: E= E0 + Ei Il campo rotante fa aumentare il modulo della E0. 4. Condizione Generica Nel passaggio da vuoto a carico, per effetto della presenza del campo rotante, si viene a determinare una variazione di f.e.m. indotta sui conduttori, in termini di ampiezza e fase, in dipendenza del tipo di carico (ohmico, induttivo, capacitivo). Determinazione delle Equazioni Interne di Macchina Caso dei motori: Ipotesi Fondamentali Regime lineare, non saturo, rotore a poli lisci o brushless sinusoidale (considerazioni valide, con una certa approssimazione, anche per poli salienti e brushless trapezio). F.e.m. Indotte Mozionali in Regime Dinamico Il rotore non ha più una velocità angolare costante ma dipende dal carico meccanico che varia con una determinata legge temporale: m(t)=f(t). In regime stazionario (m(t)= m=cost) avevamo ricavato le seguenti espressioni per le fem dovute al flusso di rotore valide per una singola fase e sotto un polo: eA ( t ) EM sin( et ) EM sin( e ) EM sin( p m ) dove EM 2ka k f qnc f p T Ricordando che 0 Bm p l ; ed EM 2ka k f qnc f 2 Rm p e A ( t ) ( k f 0 )( K a qnc )( 2 f )sin( p m ) Rm p eA ( t ) ( BM pl )( K a qnc )( )sin( p m ) p e A ( t ) ( BM l )( K a qnc p )( Rm )sin( p m ) eA ( t ) ( K a RlNB M )m sin( p m ) Se m(t) è variabile allora la espressione si modifica come segue: eA ( t ) ( K a RlNBM ) m ( t ) sin( p m ( t )) Abbiamo già visto che: dm ( t ) dm ( t ) d m dm ( m ) e( t ) m ( t ) dt d m dt d m Eguagliando le espressioni possiamo ricavare l’espressione del flusso mozionale: dm ( m ) e( t ) m ( t ) ( K a RlNB M ) m ( t ) sin( p m ( t )) d m dm ( m ) ( K a RlNB M ) sin( p m ( t )) d m dm ( m ) ( K a RlNB M ) sin( p m ( t )) d m p p Integrando tra - ed m: m m N dm ( m ) ( K a Rl p BM ) sin( pm ( t )) d ( pm ) Si ottiene il flusso mozionale concatenato N m ( K a Rl BM ) cos( p m ( t )) p N BM Se si pone: K K a Rl p Si ottiene: m ( t ) K cos( p m ( t ) Estensione al Caso Trifase Se ripetiamo le stesse considerazioni per le altre due fasi sfasate di 120° e 240 possiamo riassumere le espressioni dei flussi mozionali concatenati con le tre fasi al variare della posizione angolare del rotore: m 1 K cos( p m ( t )) K cos( e ( t )) 2 2 ) K cos( e ( t ) ) m 2 K cos( p m ( t ) 3 3 4 4 m 3 K cos( p m ( t ) 3 ) K cos( e ( t ) 3 ) F.e.m. Indotte dalle Correnti di Statore in R.D. Si valutano tenendo conto dell’effetto dei flussi generati dalle correnti di statore che si concatenano con i conduttori stessi. Determinazione del coefficiente di autoinduzione, La. Tiene conto della influenza del flusso, generato dalla corrente che fluisce nei conduttori, sui medesimi conduttori delle stessa fase. Il coefficiente di auto induzione si definisce come: La=a/i a dipende dalla distribuzione dei conduttori. Conosciamo l’andamento a gradini della f.m.m. per una singola fase. Con riferimento alla fondamentale della f.m.m di un singolo polo e fase, 12 H 1 ( e ) K a qnc i cos( e ) L’andamento dell’induzione al traferro sarà: 12 B1 ( e ) 0 H 1 ( e ) 0 K a qnc i cos( e ) Sempre con riferimento al campo di f.m.m. al traferro, possiamo determinare la distribuzione equivalente di conduttori, F1(e) che origina un campo di induzione con profilo sinusoidale: H 1 ( e ) 2 F1 ( e ) K a qnc cos( e ) i Il flusso concatenato con la distribuzione equivalente di conduttori, generato da un campo di induzione, B1(e), sarà dato dall’espressione: a Rl F1( e ) B1( e )d ( m ) F1(e ) B(e ) e Rl H 1 ( e ) 0 H 1 ( e )d ( m ) i Ora, per definizione di coeff. di autoinduzione a Rl 2 Sapendo che La 0 2 H M 1 cos 2 ( e )d ( m ) 1 i i cos ( ) d ( ) cos( 2 )d ( 2 Rl 1 2 1 1 2 0 2 ( K a qnc i ) cos 2 ( e )d ( m ) 2 cos( 0 )d ( ) 0 2 2 i 1 2 La 0 Rl ( K a qnc )2 2 e m m e m ) Una spiegazione intuitiva sul perché l’integrale si pari a può essere data per via grafica: 1 cos p m d m 2 2 2 1 Cos2(pm) 1 2 - p 0 p m L’area sottesa dalla curva viene ripartita in un rettangolo di lati 1/2 e 2. Determinazione del coefficiente di Mutua induzione, M. Le mutue tengono conto degli effetti dei flussi generati da correnti relative ad una fase che si concatenano con i conduttori delle altre fasi. i 1 Si definiscono come: M ij ij ( M 12 i2 ) Anche le mutue dipendono dalla distribuzione dei conduttori. Lo sfasamento elettrico tra F1(e) e B2(e-2/3) è di F1(e) 120° elettrici che 2/3 B2(e-2/3) corrispondono a 120/p° meccanici H 1 ( e ) 2 F1 ( e ) K a qnc cos( e ) i1 2 2 12 2 B2 ( e ) 0 H 2 ( e ) 0 K a qnc i2 cos( e ) 3 3 3 2 M 12 Rl F1 ( e ) B2 ( e )d ( m ) 3 2 12 2 M 12 Rl ( K a qnc )( 0 K a qnc i2 ) cos( e ) cos( e ) d ( m ) 3 Sfruttando Prostaferesi, la soluzione per l’integrale è: 2 1 2 1 2 cos( ) cos( ) d ( ) cos( 2 ) d ( ) cos( ) d( m ) e e m e m 3 2 3 2 3 1 2 1 1 0 cos( )2 ( )2 2 3 2 2 2 Tornando alla definizione di mutua induttanza: M 12 1 1 2 1 2 0 Rl ( K a qnc ) i2 ( )( ) i2 i2 2 La mutua è negativa e vale circa la metà del modulo dell’auto induttanza. Il flusso totale concatenato In condizioni di linearità, il flusso totale concatenato sarà la somma di due contributi: • flusso mozionale generato dai poli induttori di rotore che dipende dalla posizione relativa del rotore rispetto all’avvolgimento e quindi dal moto; • flusso di auto e mutua induzione, dipendenti dalle correnti di statore e dalla distribuzione e dal tipo di avvolgimento; Per le tre fasi si può scrivere: 1 La i1 Mi2 Mi3 1m e Dove im(m) sono in prima approssimazione (studio della 2 Mi1 La i2 Mi3 2 m e fondamentale), funzioni Mi Mi L i sinusoidali di m. 1 2 a 3 3m e 3 La ed M sono i coefficienti di auto e di mutua induzione e sono uguali tra loro per la configurazione simmetrica della macchina (M=-La/2). Il motore è di solito connesso a stella senza neutro, quindi: i1+i2+i3=0 => i2+i3=- i1 => i1+i3=- i2 => i2+i1=- i3 1 ( La M )i1 1m e 2 ( La M )i2 2 m e Definiamo L=La-M-Ld, ( L M )i a 3 3m e 3 dove Ld è il coefficiente di auto Essendo che M=-La/2, ne viene che La-M=3/2La. induzione che tiene conto dei flussi dispersi. Con questa posizione si ottiene un modello molto semplice. In forma matriciale: [i]=[i1, i2, i3]t; []=[1, 2, 3]t; [m]=[m1, m2, m3]t; []=L[i]+ [m] il vettore [i] si muove sul piano (i1+i2+i3=0), così pure L[i] e [m]. Ciò da origine ad una interpretazione geometrica molto utile. Interpretazione Geometrica (armonica fond. e p=1) Si consideri un avvolgimento trifase a due poli che vengono schematizzati con degli avvolgimenti concentrati sulle direttrici di tre assi sfasati tra loro di 120° uno rispetto all’altro. Si consideri il rotore che ruota i2 2 con un angolo variabile nel tempo m N m (m(t)). S i1 La direzione di riferimento è la 1 direzione del flusso mozionale. 3 i3 Le componenti di [m] si ottengono proiettando m sugli assi 1,2 ,3. 2 2 4 m 3 m 3 m m 3 1 k cos( m ) 1m m m k cos m 2 2 m m 3 3 m m 4 k cos m 3 Correnti e f.m.m di statore Se alimento solo la fase 1 con una corrente I la f.m.m. vale: m1=F1I che ha la direzione dell’asse 1. Se alimento la fase 2, sempre con la corrente I, ottengo: 2 j m2 F1 I e 3 m1 = F1 I I m2 I asse reale m3 pongo e j 2 3 a ;e j 4 3 Allo stesso modo per la fase 3 m3 F1 I e j 4 3 a2 alimento le tre fasi con una terna di correnti equilibrate (i1 + i2 + i3 = 0) la f.m.m sarà sempre sinusoidale, rappresentabile con un vettore risultante, m, rappresentabile con un fasore m=m1+m2+m3= F1(i1+ai2+a2i3) Si definisce come vettore spaziale di corrente, i, il fasore: i=2/3(i1+ai2+a2i3) in modo che m= 3/2F1i L’espressione ed il significato del vettore spaziale di corrente, generato da un sistema di correnti trifasi equilibrate, si determina facilmente sfruttando le relazioni di Eulero: j e t je t e e i1 i cos( et ) i 2 j ( et 23 ) j ( et 23 ) e 2 e ) i i2 i cos( et 3 2 Dalla definizione di vettore spaziale, j ( et 43 ) j ( et 43 ) tenendo conto della e 4 e espressione di a ed i3 i cos( et 3 ) i 2 a2 : i jet jet i ( i1 ai2 a i3 ) e e 2 2 2 2 4 4 4 j ( t ) j ( t ) j j ( t ) j ( t ) j e 3 e e e 3 3 3 3 3 e e e e e e 2 i jet jet i e e e 2 e 4 4 j ( et ) 3 3 e 2 2 j ( et ) 3 3 4 4 j ( et ) 3 3 i jet jet j( et ) i e e e e 2 e 2 2 j ( et ) 3 3 4 j ( et ) 3 e j ( et ) e 8 j ( et ) 3 i jet jet i 3e e e 2 4 j ( et ) 3 e 8 j ( et ) 3 3 jet ie 2 La terna finale si annulla perché sono fasori sfasati di 120° l’uno dall’altro ed hanno lo stesso modulo. Rimane l’ultimo termine che è un fasore rotante nello spazio e di modulo maggiorato di 3/2. Nel caso di alimentazione sinusoidale, il vettore i si muove di moto uniforme su un cerchio. In generale, il tipo di moto di i i1 i cos( et ) i sul piano i1+i2+i3=0, e 2 quindi la figura geometrica ) che ne deriva, dipende dal i2 i cos( et 3 4 tipo di alimentazione. i3 i cos( et 3 ) Noto i, le correnti i1, i2, i3 si determinano facilmente proiettando il vettore i sugli assi 1, 2, 3 e moltiplicandoli per 3/2. Il termine 2/3 è necessario per recuperare il fattore 3/2 che compare nella espressione della corrente spaziale. PI a2i3 2 P 3 j e t i ie 2 i ai2 1 o i1 3 i Li m La trasformazione i=(i1+ai2+a2i3) ci porta ad OPI che è 3/2 maggiore rispetto ad OP. Ora, sapendo che il flusso totale può essere scomposto nel flusso mozionale e quello di auto e mutua induzione, possiamo scrivere che = Li + m Anche il flusso totale è rappresentato da un vettore spaziale. Li è un vettore parallelo al vettore spaziale di corrente Relazioni tra Tensioni e Correnti Se consideriamo le tensioni di fase applicate agli avvolgimenti chiusi a stella, possiamo scrivere le seguenti relazioni in base al teorema di Kirchoff: d 1 La tensione di fase è pari alla v1N v1 N Ri1 somma della caduta resistiva dt e della variazione nel tempo i1 1 v2N d 2 del flusso concatenato con v2 N Ri 2 dt l’avvolgimento stesso. i2 2 v3N d 3 Possiamo pervenire ad una v3 N Ri3 dt forma compatta avendo posto i 3 3 d v Ri dt [v]=[v1N, v2N, v3N]t; v jN Ri j d j dt per j = 1, 2, 3 Ricordando che : [] = Leq [ i ] + [ m] possiamo sostituire nella precedente ottenendo la d i d m v Ri L dt dt Che rappresentano i contributi di una caduta ohmica, una induttiva e della f.e.m. mozionale. A questa equazione matriciale possiamo associare il circuito equivalente avendo posto d jm i1 + 1 R L i2 2 R R + e2 + e3 L i3 3 e1 L ej dt Ogni componente riferito ad una singola fase può essere descritto dalla: di j v jN Ri j Leq ej dt le mutue induttanze sono tenute in conto da: L = La - M + Ls Bilancio Energetico v Ri L d i e Se premoltiplico la relazione dt per [i]t trovo che d i t i v i Ri i L i e dt t t t Se esaminiamo componente per componente vediamo che: la potenza elettrica fornita alla it v i1v1N i2v2 N i3v3 N èmacchina dalla rete. i Ri R( i1 i2 i3 d i di1 t i L L( i i t 2 2 1 dt dt 2 2 ) Perdite Joule. di3 di2 i3 ) dt dt È la derivata temporale della energia magnetica, W, accumulata nella macchina 1 W L i12 i22 i32 È opportuno che L sia piccola. 2 i e i t t Pm i t d m dt è la potenza elettrica trasformata in meccanica (trascurando le perdite nel ferro). Ora, m è una funzione di e. d m d e t d m pd m i d e dt d e dt d m i p m ( t ) Sappiamo che Pm=Tm(t)m(t), quindi d e t d m Pm i pm ( t ) Tm ( t )m ( t ) d e t d m Tm ( t ) pi d e In forma estesa d jm ( e ) Tm ( t ) p j i j d e t p( i1 d1m ( e ) d e i2 d 2m ( e ) d e i3 d3m ( e ) d e ) Equazioni Interne per la Dinamica die ( t ) Sistema di eccitazione ve ( t ) Reie ( t ) Le dt Flusso rotorico m ( t ) N eie ( t ) / Alimentazione di macchina d i v Ri L e dt Generazione della coppia motrice Tm ( t ) pi t d m d e Equazioni Esterne per la Dinamica Alimentazione con terna di tensioni concatenate che possono essere variate a piacere [v]=f(t). Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr(t), che varia in funzione della applicazione Tm(t)=Tr(t)+Fm (t)+Jdm (t)/dt Equazioni Interne per lo Stato Stazionario Sistema di eccitazione Flusso rotorico Alimentazione di macchina per una singola fase Coppia motrice Ve Re I e Ne I e / V f RI je LI E Pm 3 EI cos EI Tm m m Equazioni Esterne per lo Stato Stazionario Alimentazione con terna di tensioni concatenate sinusoidali. Per una singola fase, vf(t)=Vmsin(et). Carico rappresentato da una coppia resistente, Tr, costante Tm=Tr+Fm Stato Stazionario: Modello Fasoriale di Riferimento Dalla equazione elettrica V f RI jXI E si ricava facilmente il diagramma fasoriale da cui è possibile, tramite alcune semplificazioni, derivare le caratteristiche statiche più importanti del motore sincrono. Si ricorda che, a causa della reazione di indotto, EE0 in dipendenza delle Vf jXI caratteristiche del carico (I e cos). La f.e.m. Ei che si genera in ciascuna fase per la RI presenza della corrente di armatura è simile ad E una f.e.m. di auto induzione. Infatti, I => i in fase con I => Ei in ritardo di 90° I Gli effetti della reazione vengono tenuti in conto attribuendo a ciascuna fase una conveniente Induttanza fittizia in cui si generi una f.e.m. di autoinduzione pari a quella che in realtà è dovuta alla rotazione del campo di indotto: Ei=XiI Vf E i1 jXI RI jXiI 1 L R L i3 + e02 Li + e03 e3 3 R L e01 Li e2 2 I R i2 E0 + e1 Li V f RI jXI jX i I E0 Si definisce come reattanza sincrona, Xs, la somma di X+Xi. Il modello di riferimento, valido per poli lisci e macchine non sature, diventa quindi: V RI jX I E f s 0 Questo è un modello semplificato (modello di Ben-Eschemburg) ma è importante perché mette in evidenza la dipendenza da E0 Kf Il modello semplificato è sufficiente, entro certi limiti, per descrivere il comportamento del motore sincrono come attuatore elettromeccanico. Per descrivere un sistema a poli salienti è necessario ricorrere al modello delle due reattanza (modello di Blondel) che tiene conto della diversa riluttanza del circuito magnetico. Le condizioni di regime del motore sincrono dipendono da due parametri indipendenti che, entro certi limiti, possono essere variati a piacere: • la f.e.m. a vuoto del motore che dipende dal flusso totale e quindi dalla eccitazione del motore (nei brushless il livello di eccitazione è legato alla scelta della macchina); • la coppia resistente applicata all’albero o carico di macchina. Con riferimento a quest’ultimo aspetto e tenendo conto del modello semplificato, possiamo dire che la potenza elettrica assorbita dalla macchina è Pa 3V f I cos V f I mentre la potenza elettrica trasformata in meccanica è Pm 3 E0 I cos E0 I Pm 3 E0 I cos E la coppia motrice può essere espressa come Tm m m avendo posto l’angolo tra E0 ed I. Ora 3 pE0 I cos 3 p( Kf )I cos 3 pKI cos 3 Tm k m pI q e 2 f 2 2 Assegnata la macchina, Km è una costante 3 Tm k m pI q K m I q (costante meccanica di macchina). 2 Il contributo alla coppia viene dato dalla componente della corrente il fase con la E0, Iq. Se cos=1 => T=Tmax =>I ed E0 sono in fase Funzionamento con Eccitazione Variabile e Carico Costante Consideriamo di nuovo il modello semplificato in cui viene trascurato anche il contributo della caduta resistiva. Fissate le condizioni di carico (es:ohmico induttivo), il diagramma fasoriale è del tipo: In queste condizioni, I è in ritardo su Vf Vf jXsI dell’angolo mentre E0 lo è di su Vf . Ora E0 Pa 3V f I cos 3 pE0 I cos Tm e V =cos Pm 3 E0 I cos f Icos E0=cos I Avendo trascurato R, Pa=Pm, V f cos E0 cos Se il motore lavora a carico costante, il suo diagramma fasoriale si modifica al variare di Ie. La variazione di Ie non introduce o toglie potenza attiva alla macchina. Le grandezze proporzionali a Pm e Tm devono rimanere invariate al variare di Ie (Vf rimane costante per ipotesi). In particolare, deve rimanere costante la proiezione di I su Vf perché direttamente proporzionale a Pm. Se la Ie varia in +/- => E0 varia in +/- e => e variano in modo che Icos() resti costante. Il modulo di I varia essendo I: V E jXsI A Vf B C E0 Icos I V f jX s I E0 I f 0 jX s Se Ie cresce => E0 cresce => |I| cala; Se Ie cala => E0 cala => |I| cresce, mantenendo Icos() = costante L’angolo in B è per costruzione mentre la perpendicolare, per B, alla direzione di I apre un angolo di 90°. Dato che il triangolo ABC è rettangolo in C, L’angolo interno è ancora . CB=XIcos() ma CB=E0sin() => XIcos()= E0sin() Nella ipotesi di trascurare R, Pa=Pm la coppia diventa: 3 pV f I cos 3 pV f E0 sin( ) Se Tm rimane costante, Tm 3 pV f essendo costante e Xe Xe b jXsI A anche E0sin() deve rimanere costante. Vf Le direzioni aa e bb corrispondenti a segmenti proporzionali a Pm e Tm devono E0’’’ rimanere costanti. Se Ie varia => E0 varia E0’’ E0’ ma E0sin()=cost. I’’’ I’’ I’ a a Caso particolare: se Ie è tale per cui Icos E0cos()=Vf (|E0|>| Vf |) allora jXsI ha una direzione orizzontale ed I ha la direzione di b E0sin Vf (sono in fase, =0 e cos()=1). La Pa=cost con il minimo di corrente assorbita (massimo rendimento). Ie => =max è il valore che deve essere impostato in macchina Funzionamento in sovra-eccitazione Se aumento la Ie, la corrente assorbita, jXsI b inizialmente in ritardo, si porta prima in fase con A la Vf diminuendo il suo modulo, mantenendo Vf sempre costante la sua componente attiva, poi I E0 cresce di nuovo anticipando la Vf stessa con E0cos()>Vf (|E0|>| Vf |). I a a La potenza reattiva ha un carattere capacitivo ed Icos il motore si presenta alla linea come un carico b E0sin ohmico-capacitivo (rifasatore). Curve di Morday o Curve a “V” E’ possibile definire una famiglia di curve caratteristiche I=f(E0, P) o I=f(Ie, P) sfruttando la relazione con il flusso tramite la caratteristica di magnetizzazione, in cui la variabile indipendente è la E0 o la Ie ed il parametro è la potenza assorbita Pa. Vf jXsI E0 I A vuoto Pa0 cioè Icos=0. La corrente I è sfasata di 90° su E0 o Vf in modo che jXsI sia in fase con esse. Per una potenza attiva generica, P, si ottiene una curva spostata verso l’alto e a sinistra il cui minimo si ha per cos=1 che corrisponde al minimo della corrente assorbita. Ogni minimo divide le curve in due sezioni che corrispondono al regime sotto e sopra eccitato. Ogni curva è delimitata da limite di stabilità (perdita di passo) che corrisponde ad un di 90° in ritardo. Funzionamento con Carico Variabile ed Eccitazione Costante Se Ie=cost allora anche E0=cost in modulo mentre può variare l’angolo in quanto deve essere soddisfatta la relazione: V f jX s I E0 Se il carico varia, la corrente I varia, varia la caduta XsI e l’angolo varia di conseguenza. Vf jXsI0 A vuoto, Pm=0, E0 eVf sono in fase e, se siamo in regime di sottoeccitazione, Vf > E0. E0 A Carico, la ruota polare ritarda di un angolo I0 e non perde giri. E0 mantiene il modulo costante Vf (Ie=cost => =cost; dato che n=cost allora jXsI anche E0=cost). Se consideriamo l’espressione di Tm: E0 E0 3 pV f E0 sin( ) Tm Xe questa cresce con sin(). Bisogna però fare I attenzione al limite di stabilità Limite di Stabilità Meccanica 3 pV f E0 sin( ) 3V f E0 sin( ) Tm Sappiamo che Pm Xe X Se l’angolo aumenta, possiamo arrivare instabile Pm stabile B alla potenza massima 3V f E0 PmMAX (sin ( )=1) X A poi cala di nuovo ma con una pendenza tale da rendere ogni punto di lavoro =180° =90° instabile. Il tratto stabile è compreso tra 090°. Se siamo nel punto di lavoro A, un eventuale aumento di carico, e quindi della coppia resistente all’asse, fa aumentare che a sua volta fa richiamare corrente dalla linea (cresce la Pa). Il tratto instabile è compreso tra 90°180°. Se siamo nel punto di lavoro B, un eventuale aumento di carico, e quindi della coppia resistente all’asse, fa aumentare ma diminuire la Pm e la macchina tende a fermarsi. =90° è il limite di stabilità. Per avere un margine di manovra è bene fissare il punto di lavoro A vicino al limite di =90° per avere il massimo rendimento ma <90° per evitare la instabilità e la perdita di passo. Dal punto di vista fisico, la perdita di passo si può spiegare come il sopravazamento del sistema polari di induzione da parte del campo rotante. I poli di egual segno e di segno opposti che prima si affacciavano in modo da “spingersi” uno con l’altro nel verso del moto, ora sono disposti in modo tale da spingere in senso contrario al moto. N S S N N S S Senso del moto Stabile N N S N S N S N S S Senso del moto Instabile N jXsI’ E0’ Vf jXsI ’ E0 E0 I Osservazione: Si può recuperare un margine di stabilità aumentando la eccitazione ( a parità di potenza assorbita). Se si aumenta Ie a Pa costante, si chiude ed ottengo un migliore margine di stabilità. Per contro, se diminuisco Ie si apre e posso andare incontro ad instabilità. Le Curve Caratteristiche di Macchina Tm La Caratteristica Meccanica Tm=f(n) 60 f Sappiamo che la velocità angolare è n p rigidamente legata alla frequenza ma non direttamente alla coppia. La caratteristica è una retta verticale che interseca l’asse orizzontale in corrispondenza ai giri nominali. Tmmax Tmn Tmsp n<nn n=nn n>nn n E’ possibile regolare il numero di giri controllando la frequenza di alimentazione con dispositivi appositi. La Caratteristica Coppia Angolo di Stabilità Tm=f() Tm Ie =0° =90° =180° Una caratteristica di uso comune è quella che mostra, graficamente, la dipendenza tra Tm e assumendo Ie come parametro di controllo, ritenendo Vf ed costanti. Tm 3 pV f E0 sin( ) Xe Lo stessa valore di Tm è ottenibile impostando diversi valori di Ie ma con Ie maggiori, risulta minore, quindi più lontano dal limite di instabilità. La Regolazione della Velocità nei M.S. Sappiamo che la caratteristica meccanica è una retta verticale nel piano Tm=f(n). Se si vuole regolare la velocità del motore è 60 f n necessario disporre di una sorgente di p alimentazione a frequenza variabile (ciclo Tm fa<f f fb>f convertitore, convertitore statico). In tale caso, ad una variazione di frequenza, f, corrisponde una traslazione orizzontale della caratteristica meccanica. Vediamo di chiarire meglio i limiti di funzionamento (caso di M.S: a poli lisci, na n=nn nb non satura e con perdite trascurabili). In condizioni nominali sappiamo che: Pm 3V f I n cos( ) Tm 3 pV f E0 sin( ) Xe 3V f E0 sin( ) X 3 pV f I n cos( ) e Sia f= fn una generica frequenza di alimentazione. Il confronto tra i limiti di prestazione del motore alle frequenze f ed f viene effettuata, finchè è possibile, a parità di corrente di indotto fissata nella corrente nominale (In). Riduzione della velocità (<1) Se f<f, con Vf=Vn ed Ie => costanti, sia E0 che X variano proporzionalmente con (E0=Kf). Considero la relazione V f RI jX s I E0 B’ jI’ B A jI Vf/Xs E0/Xs O Considero il quest’ultima. Vf E0 jI Xs Xs diagramma fasoriale di E0 Kf K OA Xs 2fL 2L Il segmento OA resta costante al variare di f perché ambedue i termini del rapporto dipendono da f. B’ Cresce perché è calata Xs e OB B OB => OB’. Cresce così la A X 2 fL s jI corrente assorbita. Vf/Xs Si è però ipotizzato che I=In. La diminuzione di f ci porta in sovra-carico. Continuare a lavorare a potenza E0/Xs O costante (e costante) non è possibile. Si deve calare la potenza con il diminuire della frequenza. Se si riduce la tensione di alimentazione nel medesimo rapporto con cui si diminuisce la frequenza allora |Vf/Xs|=costante e si lavora con I=In e costanti A parità di I e di Ie, la potenza si riduce con Vf e quindi con mentre la Tm resta costante, infatti jI B Vf jI’ A Vf/Xs Pm E0/Xs O Vf 3V f E0 sin( ) X Tm 3 pV f E0 sin( ) Xe Tale condizione è verificata finchè f rimane sufficientemente elevata in modo che Xs>>R. Aumento della Velocità (>1) Se si vuole aumentare la velocità, si aumenta la frequenza (f>f), mantenendo costante Vf=Vn perché non posso andare in sovratensione. E0 ed Xs variano proporzionalmente con ed il loro rapporto resta costante. Il rapporto |Vf/Xs| si riduce in modo inversamente proporzionale ad . Se si vuole operare a potenza costante, è B necessario fare in modo che |E0/Xs| si riduca Vf/Xs jI della stessa proporzione in modo che la I, e B’ jI A quindi jI, restino costanti (AB=A’B’). Vf/Xs’ ed E0 E0/Xs Essendo Xs proporzionale a f A’ proporzionale a sua volta ad f ed al flusso, affinchè tutto ciò accada è necessario diminuire ’ E0’/Xs il flusso nel rapporto OA’/OA agendo sulla Ie O (Deflussaggio). L’angolo aumenta. Pm 3V f I n cos( ) cos t Tm 3 pV f I n cos( ) e 1 Tm L’apertura dell’angolo può avvenire fino al limite del margine di stabilità consentito (’). A questo angolo limite viene associato un valore di frequenza e numero di giri limite f’ tale che |Vf/Xs|=OB’’ (AB=A’’B’’). Se si vuole continuare ad aumentare la B’’ velocità fino ad un valore limite nL (=>fL), jI definito in base ad esigenze di Vf/Xs’’ dimensionamento del convertitore o del B’’’ jI’’’ rotore, è necessario che |E0/Xs| vari nella A’’ E0’’/Xs’’ direzione OA’’ con ampiezza proporzionale ’ A’’’ alla variazione |Vf/Xs|. Ciò implica che la Vf/Xs’’’ corrente debba essere ridotta di un fattore . E0’’’/Xs’’’ O In tali condizioni, la potenza risulta essere inversamente proporzionale ad mentre la coppia risulta proporzionale ad 1/ 2. 1 1 Pm 3V f I n cos( ) Pm Tm 3 pV f I n cos( ) e 1 Tm 2 Curve Limite di Potenza e Coppia con alimentazione a frequenza variabile Al variare della frequenza di alimentazione, e quindi della velocità di rotazione, si ottengono delle curve limite di potenza e di coppia, secondo le modalità sopra descritte, che delimitano le zone di funzionamento possibili per il motore sincrono. Motori sincroni che a frequenza di rete possono arrivare al massimo a n=3000 giri/min, possono arrivare, in deflussaggio anche a n=6000 giri/min. Si deve accettare una riduzione della Tm. L’Avviamento di un M.S. Si intuisce facilmente che il campo rotante sopravanza la ruota polare all’avviamento generando una coppia motrice a valor medio nullo. Il rotore deve essere aiutato a partire ed a raggiungere il sincronismo perché solo la sincronia tra campo rotante e campo di rotore genera la coppia motrice a valor medio non nullo (macchina non auto avviante). Diversi sono i metodi: • Sistema di regolazione frequenza ed ampiezza della tensione di alimentazione. • Gabbie ausiliarie per un motore auto avviante (autosincrono). Sfrutta il campo indotto nelle gabbie smorzatrici montate sulle espansioni polari. In questa fase, la macchina si comporta come un asincrono. Una volta raggiunto il sincronismo, il campo indotto si annulla. La coppia di spunto è bassa e la macchina deve essere avviata a vuoto. • Motore di lancio. La sua potenza deve essere sufficiente per vincere le perdite a vuoto della macchina (510% di Pn). Può essere una macchina asincrona o un motore CC. L’avviamento è sempre a vuoto. Dopo la partenza, il motore di lancio viene staccato dalla alimentazione o staccato dall’albero. Il Rendimento Si riassumono i termini di perdita per il calcolo del rendimento: • Perdite costanti, P0: • perdite a vuoto nel ferro attivo e perdite addizionali a vuoto nelle altre parti metalliche; • Perdite meccaniche per attrito e ventilazione. • Perdite nel circuito di eccitazione, Pe: • perdite Joule nell’avvolgimento e nei reostati di eccitazione; • perdite nel sistema di alimentazione dell’eccitazione; • perdite elettriche nelle spazzole. • Perdite sotto carico: • perdite Joule nell’avvolgimento di armatura; • perdite Joule negli avvolgimenti di avviamento e smorzamento. • Perdite addizionali sotto carico: • perdite dovute al carico nel ferro attivo e nelle altre parti metalliche, esclusi i conduttori; • perdite per correnti parassite nei conduttori dell’avvolgimento di armatura. Pu Pu Pa Pu P0 Pe Pa Dati la tensione ai morsetti ed un determinato cos, varia con la I secondo l’andamento qualitativo indicato dalle curve di figura (cos come parametro). L’influenza del cos non è rilevante finchè questi non diventa troppo basso. assume i valori massimi tra metà e pieno carico e scende rapidamente quando I è circa 1/4 della nominale. Strategie per il Controllo: Equazioni per la Dinamica Da un punto di vista modellistico siamo di fronte ad un avvolgimento trifase, fisso nello spazio, attraversato da un sistema di correnti equilibrate, collegate a stella, che i2 danno origine ad un campo i 2 m magnetico rotante nello spazio, i. N m i=2/3(i +ai +a2i ) con (i +i +i )=0 1 2 3 1 2 3 S i1 1 Il rotore è sede di un campo statico che ruota solidale con esso. 3 i3 L’espressione di Tm vale: d1m d2m d3m d [ m ] Tm ( t ) pi p( i1 i2 i3 ) d e d e d e d e t i Li m m Nelle ipotesi di trascurare il contributo delle d jm armoniche, possiamo ammettere che : 0 Ne segue che i vettori [i] e d[m]/de j d e stanno su uno stesso piano. La coppia Tm può anche essere rappresentata dal prodotto interno di due vettori a due dimensioni sul piano [i] e d[m]/de che indichiamo come piano . d [ m ] Tm ( t ) pi d e t d m 3 Tm ( t ) pi 2 d e Nel piano posso rappresentare il vettore tramite un sistema di due assi cartesiani, , con un numero complesso, oppure come somma di tre vettori allineati con le tracce, sul piano, dei tre assi nello spazio. i i 2 i 3 1 i i cos i i i sin i i ji 2 2 i i1 ai2 a i3 3 ae 2 j 3 La trasformazione di coordinate trifase-bifase, nella ipotesi di conservare le ampiezze delle componenti, si ottiene facilmente conoscendo gli sfasamenti che sono multipli di 120°. sin 30 1 i 2 i 3 0 i 2 i i 1 3 cos 30 i i 2 3 0 sin 30 i1 2 i2 3 cos 30 i 0 3 1 3 1 3 1 i 1 3 i2 1 i3 3 Con le stesse considerazioni possiamo pervenire alla matrice per la trasformazione inversa bifase-trifase. Si dimostra facilmente 2 I che BB I 3 1 1 2 3 2 1 i1 1 i2 2 i3 1 2 1 2 i1 i2 3 i3 2 0 3 2 3 2 i i 2 3 1 0 1 2 3 2 1 2 1 1 2 3 1 2 2 0 3 2 3 2 I Un sistema trifase equilibrato può riferirsi ad un vettore spaziale il quale, per essere identificato, necessita di due sole componenti sul piano. i 123 3 i 2 d m 3 Tm ( t ) pi 2 d Definiamo quindi, nel piano , dove i ie j i ji m m e j m jm m è funzione dell’angolo , 2 2 i1 ai2 a 2 i3 1m a2 m a 2 3 m intrinsecamente. 3 3 I vettori spaziali m e d m / d sono ortogonali tra loro e di pari 2 N ampiezza (|m| è pari a K f K a Rl B0 3 p d m dm j j j m m e e m je j m d d Su questa base, possiamo riscrivere l’espressione della coppia come: d m 3 3 Tm ( t ) p( i ) p( i m ) 2 d 2 d m j m d i m 3 Tm ( t ) p i m sin( ) 2 Tm è massima se il seno è 1 o quasi. Sarà compito del controllo ottimizzare questa condizione. Entrambi i vettori sono funzione dell’angolo meccanico. Se si riuscisse anche a rendere indipendente il flusso dall’angolo e quindi dal tempo, l’espressione si trasformerebbe T ( t ) 3 p i( t ) m m nella espressione 2 Tm ( t ) K i( t ) simile a quella ricavata in continua. Ci si riferisce ad un sistema di riferimento cartesiano che ruota con il rotore e che risulta fermo rispetto a questo (sistema d’assi dq) con l’asse d allineato con il fasore di flusso m . Trasformazione Assi Fissi / Assi Rotanti Si consideri un sistema di riferimento (d,q) che ruota rispetto al riferimento fisso con una velocità angolare d/dt, scelto in modo tale che per t=0 l’asse d coincide con l’asse . Per portarsi sugli assi rotanti (d, q) si possono individuare delle trasformazioni matriciali che operano direttamente sui vettori q i i id iq i A( ) cos sin d sin cos id i cos i sin iq i sin i cos cos sin i id i A( ) iq i i sin cos Si noti che la matrice inversa di A() è pari alla trasposta A 1 ( ) At ( ) cos sin sin cos Si ha quindi: id iq A( ) i i i i A () t id iq L’operatore matriciale A() trasforma le coordinate dello stesso vettore da un sistema di riferimento (, ) fisso ad un altro (d, q) mobile con il rotore e viceversa. Nel piano complesso, l’operatore e -j , applicato ad un vettore, lo ruota di - rispetto allo stesso sistema di riferimento. Si ha una completa corrispondenza tra gli operatori di rotazione: A()<==> e -j idq = id + jiq ; i = i + ji ; idq = e-j i d i q At()<==> e j id jiq e j ( i ji ) e-j i (cos jsin )( i ji ) i cos i sin j( i sin i cos ) Che corrisponde alla trasformazione matriciale: id iq cos sin sin i i cos A( ) i i Con la trasformazione assi fissi / assi rotanti ci portiamo su un riferimento fisso con il rotore. E’ necessario conoscere la posizione angolare del rotore stesso mediante misura o ricostruzione algoritmica. In queste condizioni, l’asse d è allineato con il vettore spaziale del flusso mozionale m e si perde la sua dipendenza dal tempo. Abbiamo visto che solo q componente in i i dq la A() quadratura contribuisce alla generazione della iq Possiamo angolo coppia. concludere che con le id m d trasformazioni viste 3 T p m iq ( t ) otteniamo una buona 2 espressione della coppia Le equazioni per la descrizione della dinamica possono essere riscritte con riferimento agli assi rotanti nel modo seguente. La relazione corrente-flusso si trasforma dal riferimento 123 a quello usando la matrice B e dal riferimento a quello dq usando la matrice di trasformazione A. [] = L [ i ] + [ m] sapendo che [i]=[i1, i2, i3]t; []=[1, 2, 3]t; [m]=[m1, m2, m3]t; trasf. 123 => [i] =[B][i]; [] =[B][]; trasf. => dq [i]dq=[A()][i] ; [m] =[B][m]; [] = L [ i ] + [ m] []dq=[A()][[] ; [m]dq=[A()][[m] ; []dq = L [ i ]dq + [ m]dq d v Ri L’equazione elettrica dt si trasforma immediatamente da 123 => usando la matrice B in quanto B non dipende dal tempo, tramite l’angolo , e l’operatore di derivazione non ha effetti su B. Bv BRi B d dt v Ri d dt La trasformazione => dq richiede maggiore attenzione per la presenza di un operatore di trasformazione dipendente dal tempo, A(). Si è visto che l’operazione di trasformazione può essere eseguita indifferentemente usando la matrice A() o l’operatore e-j applicato ai fasori rappresentativi delle grandezze elettriche. In questa trasformazione si sceglie quest’ultimo metodo. j de dq d j j v Ri e vdq e Ridq dt dt j j de dq de j d d dq de d dq j j dq e dq e dt dt dt d dt dt de j dq j je ( t ) dq e j d dq dt dt Tornando alla equazione di partenza, si trova che j j j j d dq e vdq e Ridq je ( t ) dq e dt d dq vdq Ridq j( t ) dq dt È comparso un termine j(t) dq che tiene conto del fatto che il riferimento dq è rotante con pulsazione (t). Riassumendo, le equazioni interne di macchina, con riferimento agli assi rotanti dq, è vdq Ridq j( t )dq dq Lidq mdq ddq dt 3 Tm p m iq 2 Il modello è valido per macchine in linearità e con rotore liscio (isotropo).
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