PENGANTAR PROBABILITAS
Nama
: Ficky Dwi Santoso
Nim
: 4112319024
Dosen Pengampu : Dr. Wardono M.Si.
Soal
1. A dan B dua kejadian dengan P(A) = 2/5, P(A|B) = 3/8, P(B|A) = ½ . Tentukan :
a. P(A n B)
b. P(Ac n Bc)
2. Sebuah perusahaan memiliki 3 mesin, M1,M2,M3. Hasil dari masing masing mesin
disebutH1,H2,H3 menghasilkan 60% dari seluruh produksi, M2 = 25%, M3 = 15%.
Berdasarkan pemerikasaan, 5% dari H1 cacat, 2% dari H2 cacat dan 8% dari H3 cacat. Jika
salah satu haisl produksi diambil secara acak dan ternyata cacat. Tentukan peluang produk
tersebut bearasal dari M1
3. X variable acak dengan fungsi probabilitas, f(x) = 1/5 x2, 0<x<3, x bilangan bulat dan = 0, x
yang lain.
Tentukan
a. P(1<x<3)
b. E(x)
c. E(x2)
d. E(10x = 20199102)
e. Var (4x – 123456789)
4. Z variable acak dengan f(z) = 1/6 (2z-1), 1<z<3, z bilangan real dan = 0, x yang lain.
Tentukan :
a. E(z)
b. E(z2)
c. Var(z)
d. Var(2019123-3z)
5. F(y,z) = c(y2+z2), 0<y<2, 1<z<4 adalah fungsi distribusi probabilitas bersama variabel acak Y
dan Z. Tentukan :
a. Nilai c
b. P[(y,z)/0<y<2, 2<z<3]
c. P[(y,z)/y+z>4]
6. Diketahui variable acak X dan Z dnegan fungsi distribusi probabilitas Bersama sbb
X\Z
2
4
1
0.20
0.15
2
0.10
0.15
3
0.10
0.30
a. Tentukan distribusi marginal X dan Z
b. Apakah X dan Z saling bebas?
Jawab
1.
a. P(B|A) =
P(A n B)
P(A)
(A n B)= P(B|A) . P(A) =
b. P(A|B)=
P(B)=
1
2
x
2
5
=
1
5
P(A n B)
P(B)
P(A n B)
P(A|B)
=
1
5
x
8
3
8
= 15
P(A u B)=P(A) + P(B) - P(A n B)
= 2/5 + 8/15 - 1/5
=11/15
P(Ac n Bc)= 1- P(A u B)
= 1 - 11/15 = 4/15
2. Misalkan :
H1 = Kejadian mendapatkan hasil produksi M1
H2 = Kejadian mendapatkan hasil produksi M2
H3 = Kejadian mendapatkan hasil produksi M3
A. = Kejadian mendapatkan hasil produksi cacad
Ditanya ?

Peluang produksi tersebut diambil dari M1
P(H1|A) =
P(H1). 𝑃(𝐴|𝐻1)
𝑃(𝐻1). 𝑃𝐴|𝐻1)+(𝐻2).𝑃(𝐴|𝐻2)+𝐻3.𝑃(𝐴|𝐻3)
=
60% . 5%
60%.5%+25%.2%+15%.8%
3.
31
a. P(1<x<3) = ∫0 5 𝑥 2 dx
1
1
= 5 . [3 𝑥 3 ]30
= 1/5.1/3.(27-0)
= 9/5
31
b. E(x)= ∫0 5 𝑥 2 dx
=
1
5
1
. [4 𝑥 4 ]30
= 1/20 . (81-0)
= 81/20
31
c. E(x²) = ∫0 5 𝑥 2 dx
= 1/25 . (243-0)
= 243/25
d. E(10 - 20199102)=
= 10 E(x) - 20199102
= 10.(81/20) - 20199102
= 81/2 - 20199102
= 40398285/2
e. Var (4x - 12345678)
= 4². Bar (x)
= 4[(242/5)-16]
= 4 (162/5)
= 648/5
=
3%
4.7%
= 63.8%
4.
a. E (z)
3
1
= ∫1 𝑧. 6 (2z-1)dz
1 2
1
=6 [3 𝑧 3 − 2 𝑧 2 ]13
= 1/6 . ( 52/ 3-4)
= 1/6 . 40/3
= 40/18
= 20/9
b. E (z²)
3
1
= ∫1 𝑧. 6 (2z-1)dz
1 1
1
= =6 [ 2 𝑧 3 − 3 𝑧 2 ]13
= 1/6 . (40 - 26/3 )
= 1/6 - 94/3
= 47/9
c. Var (z)
= E(z²) - E (z)F
= 47/9 - 400/81
= 23/81
d. Var (2019213 - 3z)
= Var (-3z)
= 9 Var (z)
= 9 . 23/81
= 23/9
5.
2
4
a. ∫0 ∫1 𝑐( 𝑦2 + 𝑧 2 ) dy dz
4
2
1 3
𝑧 )] dy
3
1
2
1
=c [∫0 𝑧𝑦2 +
=1
=c ∫0 3𝑦2 + (64 − 1)dy
3
3
2
=1
= c [𝑦 3 + 21𝑧 )]0
=1
= c(50)
=1
c=
1
50
b. P[(y,z)/0<y<2, 2<z<3]
2
3
= ∫0 ∫2 𝑐( 𝑦2 + 𝑧 2 ) dy dz
3
1
2
= 𝑐 [∫0 𝑧𝑦2 + 3 𝑧3 )] dy
2
=
=
=
=
c.
1
2
1
2
3
1
[∫ 𝑧𝑦2 + 3 𝑧3 )] dy
50 0
2
1
∫ 𝑦2 + 3 (27 − 8)dy
50 0
1
1
1
8
1
46
19
2
[ 𝑦 3 + 3 𝑦)]
50 3
0
38
[ + 3]
50 3
=
( )
50 3
=
46
150
P[(y,z)/y+z>4]
= P[(y,z)/1<y<2, 3<z<4]
2
4 1
= ∫1 ∫3
50
1
2
1
2
( 𝑦 2+ 𝑧 2 ) dy dz
= 50 [∫1 𝑧𝑦 2 +
= 50 ∫1 𝑦 2 +
1
1
= 50 [3 𝑦 3 +
1
7
= 50 [3 +
1
1
3
37
3
1 2 4
𝑧 )] dy
3
3
(64 − 27)dy
𝑦)]
2
1
37
3
]
44
= 50 ( 3 )
44
= 150
6. a. Marginal X, g(x) = ∑4𝑧=2 𝑓(𝑥, 𝑧)
g(x=1) = 0.20 + 0.15 = 0.35
g(x=2) = 0.10 + 0.15 = 0.25
g(x=3) = 0.10 + 0.30 = 0.40
x
g(x)
1
0,35
2
0,25
3
0,40
Marginal Z, h(z) = ∑3𝑥=1 𝑓(𝑥, 𝑧)
h(z=2) = 0.20 + 0.10 + 0.20 = 0.40
h(z=4) = 0.15 + 0.15 + 0.30 = 0.60
z
h(z)
2
0.40
b. Apakah X dan Z saling bebas ?
Tidak , karena ada f(x,z)≠ g(x) . h (z)
Contohnya f (3,2) = g(3) . h(2)
0.10 = 0.40 . 0.40
4
0.60
0.10. ≠ 0.16
Maka X dan Z tidak saling bebas