بسمه تعالی
تاریخ ارسال 93/12/23
مسائل زوج حل شود
تاریخ تحویل
94/1/17
کاربرد مشتقات جزئی 2
-1ماکزیمم و مینیمم نسبی تابع ذیل را در صورت وجود به دست آورید.
z = 2x 2 + y 3 − xy + 1
-2درجه حرارت در هر نقطه از یک ناحیه مثلث شکل با رئوس ) (0,1),(3,0),(0,0از رابطه T(x, y) = 4xy + y² + 6x
محاسبه می شود.مطلوبست تعیین سردترین و گرم ترین نقاط روی ناحیه.
-3نشان دهید دو رویه z = e2x+y+4 , z = xy − y² + 8y − 5در نقطه ) (-3,2,1بر هم مماسند.
-4با فرض آنکه F(x, y, z) = 0بتواند هر متغیر را به عنوان تابعی از دو متغیر دیگر تعریف کند ،نشان دهید در هر نقطه ای که
مشتقات جزئی Fz , Fy , Fxمخالف صفر باشند،
∂x ∂y
. = −1
∂y ∂x
∂x ∂y ∂z
. . = −1
∂y ∂z ∂x
-5نزدیکترین نقاط منحنی فصل مشترک دو سطح x² + y² = 1 , x² − xy + y² − z² = 1به مبداء را بیابید.
-6دو معادله y , x ، G(x, y, u, v) = 0 , F(x, y, u, v) = 0را به عنوان توابعی از u , vبه طور ضمنی معین می کند.مثال
) .y = Y(u, v), x = X(u, vنشان دهید در نقاطی که ژاکوبی ≠ 0
)∂(F,G
)∂(x,y
،
)∂(F, G
∂X
)∂(u, y
=−
)∂(F, G
∂u
)∂(x, y
1
1
-7موقع بارندگی روی سطح 𝑦𝑥 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 +آب در کدام قسمت سطح جمع می شود.
-8مطلوبست تعیین الپالس 𝑓 ∇²در دستگاه مختصات استوانه ای.
-9ثابت cرا طوری بیابید که صفحات مماس در هر نقطه فصل مشترک دو کره
(𝑥 − 𝑐)2 + 𝑦² + 𝑧² = 3
,
𝑥² + (𝑦 − 1)2 + 𝑧² = 1
بر هم عمود باشند.
-10اگر
𝜋
√𝛼²−1
=
𝑥𝑑
𝑥𝑠𝑜𝑐𝛼−
𝜋
∫0
،𝛼 > 1 ,آنگاه
?=
𝑥𝑑
(2−𝑐𝑜𝑠𝑥)²
𝜋
∫0
απ
Lnα
cosxdx
π
∫02 αcosx+sinx = 2(α2 +1) − α²+1
-11نشان دهید a:
3π+5−8Ln2
50
bبا استفاده از aثابت کنید:
cos²xdx
π
= ∫02 2cosx+sinx
-12مطلوبست محاسبه دیفرنسیل های مرتبه اول و دوم هر یک از توابع (𝑥 𝑧, 𝑦,متغیرهای مستقل) زیر:
𝑧
𝑥² + 𝑦²
-13ثابت کنید
)𝑟(´𝑓
⃗𝑟
𝑟
𝑦𝑥 𝑒 = 𝑢)𝑎
= 𝑢 )𝑏
= )𝑟(𝑓𝑑𝑎𝑟𝑔 که در آن 𝑘𝑧 𝑟 = |𝑟⃗| , 𝑟⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 +و 𝑓 تابعی است مشتق پذیر.
-14مطلوبست معادالت خط مماس و صفحه قائم بر منحنی با معادله
𝑥 2 − 3𝑥𝑦 + 𝑧 2 = 1
2𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥𝑧) + 2𝑦 2 − 𝑧 = 1
در نقطه)𝑀0 (0,1,1
1
-15مطلوبست تعیین مشتق جهت دار تابع 𝑧𝑦𝜋𝑠𝑜𝑐 𝑥 𝑒 = )𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦,در نقطه ) (0,1, 2در امتداد خط تقاطع دو صفحه
. 4𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 2 = 0 , 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 5 = 0
-16بر سطح 𝑥² + 𝑦² − 𝑧² − 2𝑥 = 0نقاطی را به دست آورید که صفحات مماس بر آنها موازی صفحات مختصات باشند.
3𝑥² + 𝑦²𝑧 = −2
{ در نقطه ) (1,-1,1را پیدا کنید.
-17معادالت خط مماس و صفحه قائم بر منحنی
2𝑥𝑧 − 𝑥²𝑦 = 3
-18توابع دیفرانسیل پذیر و مشتق پذیر )𝑦 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) , 𝑢 = 𝑢(𝑥,چنانند که
𝑢(1,2) = 𝑣(1,2) = 0
𝑥𝑒 𝑢+𝑣 + 2𝑢𝑣 = 1
𝑢
𝑦𝑒 𝑣−𝑢 −
𝑥= 2
𝑣1+
{
مطلوبست تعیین )𝑑𝑢(1,2) , 𝑑𝑣(1,2
-19اگر 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑟, 𝑠) = 0 , 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑟, 𝑠) = 0ثابت کنید
𝑠𝜕 𝑦𝜕 𝑟𝜕 𝑦𝜕
.
+
.
=0
𝑥𝜕 𝑠𝜕 𝑥𝜕 𝑟𝜕
-20اگر 𝑧³ − 𝑥𝑧 − 𝑦 = 0نشان دهید
𝑥3𝑧²+
(3𝑧 2 −𝑥)³
=−
𝑧𝜕²
𝑦𝜕𝑥𝜕
-21مشتق جهت دار تابع )𝑦 𝑓(𝑥,در امتداد 𝑗 𝑖 +برابر 2√2و در امتداد 𝑗 −2برابر -3است.مشتق جهت دار تابع در امتداد
𝑗 – 𝑖 − 2را بیابید.
𝑢𝑑
-22اگر 𝑦 𝑥² + 𝑦² = 𝑡² , 𝑥 5 + 𝑦 = 𝑡 , 𝑢 = 𝑥³مطلوبست تعیین 𝑡𝑑 .
-23نشان دهید که هر صفحه مماس بر سطح √𝑥 + √𝑦 + √𝑧 = 1محورهای مختصات را در نقاطی قطع می کند که مجموع
طول فواصل آن نقاط از مبداء مختصات مقداری است ثابت.
-24ثابت کنید تمام خطوط نرمال بر رویه دوار ) 𝑧 = 𝑓(√𝑥 2 + 𝑦 2محور xها را قطع می کند.
𝑥 + 2𝑦 − 𝐿𝑛𝑧 + 4 = 0
{ در نقطه ) (2,-3,1بر همدیگر مماسند.
-25ثابت کنید رویه های
𝑥² − 𝑥𝑦 − 8𝑥 + 𝑧 + 5 = 0
-26توابع دیفرانسیل پذیر )𝑦 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) , 𝑢 = 𝑢(𝑥,طوریست که 𝑣(1,2) = 0 , 𝑢(1,2) = 0و با دستگاه معادالت
𝑥𝑒 𝑢+𝑣 + 2𝑢𝑣 = 1
𝑢
𝑥= 2
𝑣1+
𝑦𝑒 𝑣−𝑢 −
مشخص می شوند .مطلوبست محاسبه ).𝑑𝑢(1,2) , 𝑑𝑣(1,2
-27مطلوبست تعیین فاصله ) (5,5,4از سهموی 𝑧 = 4 − 𝑥² − 𝑦²
-28مطلوبست تعیین قله کوهی با معادله 𝑧 = 2𝑥² + 𝑥𝑦 − 𝑦²که در داخل } 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|3 ≤ 𝑥 ≤ 3 , −3 ≤ 𝑦 ≤ 3قرار
داشته باشد.
-29اسکی بازی در نقطه ) (1,2,1روی کوهی که دارای معدله 𝑧 = 6𝑥 − 𝑥² − 𝑦²قرار دارد(محورzها به سمت باال در نظر
گرفته می شود ،محور yهابه سمت شمال و محور xها در سمت شرق)
) (aدر چه جهتی تندترین شیب وجود دارد.مقدار شیب چقدر است؟
) (bاگر اسکی باز به سمت غرب حرکت کند ،به سمت باالی کوه حرکت می کندو یا به سمت پایین و با چه میزانی( نسبت به فاصله)
) (cبرای برگشت به پایین کوه ،اسکی باز باید در چه جهتی حرکت کند؟
-30اگر 𝜑𝑠𝑜𝑐𝜌 = 𝑥 𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛𝜑 ,نشان دهید که
𝑉𝜕
𝜕𝑉 2
𝑉𝜕 𝜕𝑉 2 1
( )² + ( ) = ( ) + 2 ( )²
𝑥𝜕
𝑦𝜕
𝜌𝜕
𝜑𝜕 𝜌
𝑧²
𝑦²
𝑥²
-31در چه نقاطی از بیضی گون 𝑎² + 𝑏² + 𝑐² = 1خطوط قائم با محورهای مختصات زوایای مساوی می سازند؟
-32ثابت کنید خطوط قائم بر سطح دوار ) 𝑧 = 𝑓(√𝑥 2 + 𝑦 2همه یکدیگر را روی محور zها( محور دوران) قطع می کنند.
-33مشتق جهتی تابع 𝑧𝑦𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦² + 𝑧³ −در نقطه ) (1,1,2در جهتی با زوایای هادی 60°, 45°, 60°را بیابید.
1
𝛼
-34اگر 𝑥𝑑 𝜙(𝛼) = ∫ 𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼𝑥²مطلوبست محاسبه
√
-35ثابت کنید
1+√1−𝛼2
)
2
𝜙𝑑
𝛼𝑑
.
𝜋
(𝑛𝐿𝜋 = 𝑥𝑑)𝑥𝑠𝑜𝑐𝛼 ∫0 𝐿𝑛(1 +
-36دو معادله 𝑣𝑠𝑜𝑐 𝑢 𝑒 = 𝑥 𝑣, 𝑢, 𝑦 = 𝑒 𝑣 𝑠𝑖𝑛𝑣 ,را به عنوان توابعی از 𝑦 𝑥,مثال )𝑦 𝑣 = 𝑉(𝑥, 𝑦), 𝑢 = 𝑈(𝑥,تعریف
میکنند .برای )𝑦 𝑉(𝑥, 𝑦), 𝑈(𝑥,فرمولهای صریحی بیابید که بازاء هر 𝑥 > 0اعتبار داشته باشد و نشان دهید که بردارهای
)𝑦 ∇𝑉(𝑥, 𝑦), ∇𝑈(𝑥,در نقطه )𝑦 (𝑥,بر هم عمودند.
-37معادله دکارتی صفحه مماس بر سطح 𝑥𝑦𝑧 = 𝑎³را در نقطه ) (𝑥0 , 𝑦0 , 𝑧0بیابید .نشان دهید که حجم چهاروجهی محدود به
9
این صفحه و سه صفحه مختصات برابر 2 𝑎³است.
-38معادله خط مماس بر دو سطح 𝑧 = 𝑒 𝑥−𝑦 , 𝑥² + 𝑦² + 2𝑧² = 4در نقطه ) (1,1,1را بیابید.
-39صفحه مماس بر سطح 𝑦𝑥 = 𝑧 که بر خط
𝑧−1
−1
=
𝑦+2
1
=
𝑥+2
2
عمود است را بیابید.
(a) -40مطلوبست تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع 𝑥² + 𝑦² + 𝑧²با دو شرط = 1
𝑧²
25
+
𝑥²
𝑦²
+
4
5
𝑧 =𝑥+𝑦,
) (bنتیجه قسمت باال را از نظر هندسی تعبیر کنید.
1
-41مطلوبست تعیین نقطه ای از سهموی 𝑧 = 4 (𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 2که نزدیکترین نقطه به ) (0,1,0باشد
-42مطلوبست تعیین بردار یکه قائم بر رویه 2𝑥² + 4𝑦𝑧 − 5𝑧² = −10در نقطه ). 𝑃(3, −1,2
-43اگر 𝜙 = 2𝑥²𝑦 − 𝑥𝑧³مطلوبست تعیین )∇ϕ (a
-44نشان
)𝑟(´𝑓
دهید⃗𝑟
𝑟
= )𝑟(𝑓𝑑𝑎𝑟𝑔 که در آن
)∇²ϕ (b
𝑘𝑧 𝑟⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 +
,
𝑓𝑑
𝑟𝑑 = )𝑟(´𝑓
-45نشان دهید هر خط عمود بر کره 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝑎²از مرکز کره می گذرد.
-46مطلوبست تعیین سردترین و گرمترین نقاط روی کره 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 1در صورتی که درجه حرارت از معادله
𝑇 = 𝑥 4 + 𝑦 4 + 𝑧⁴حاصل شود.
-47مشتق جهت دار تابع 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥² + 2𝑥𝑦𝑧 − 𝑦𝑧²در نقطه ) (1,1,2در امتداد
𝑧−2
−3
=
𝑦−1
1
=
𝑥−1
2
را تعیین کنید.
-48صفحات 2𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 4 , 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0همدیگر را در روی خط مستقیمی قطع می کنند .نقطه های روی
خط بیابید که کوتاهترین فاصله تا مبداء را داشته باشد.
-49صفحه 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0نیمه باالیی مخروط 𝑧² = 𝑥² + 𝑦²را در یک منحنی قطع می کند .منحنی را بیابید .نقاطی را
روی این منحنی مشخص کنید که فاصله آنها تا مبداء بیشترین و کمترین مقدار باشد.
-50ثابت کنید تابع نیروی
𝑀𝑚
جاذبه⃗𝑟
𝑟³
𝑔، 𝐹(𝑟⃗) = −که در آن ، 𝑟⃗ = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 ،یک بردار گرادیان است.
-51مطلوبست تعیین ماکزیمم و مینیمم تابع 𝑧 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 4 −از بیضی محل تالقی .𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 , 𝑥² + 𝑦² = 8
-52مطلوبست تعیین معادالت مماس و خط قائم بر رویه
𝑧𝑥²𝑦𝑧 + 3𝑦² = 2𝑥𝑧² − 8
در نقطه ) . 𝑃(1,2, −1در چه نقاطی خط قائم بر رویه فوق صفحه 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = 10را قطع می کند.
-53مطلوبست معادالت خط مماس و صفحه قائم بر منحنی 𝑡𝑠𝑜𝑐 𝑧 = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦 = 3 + 𝑠𝑖𝑛2𝑡 , 𝑥 = 𝑡 −درنقطه ای
متناظر با
𝜋
2
= 𝑡.
-54مشتق جهت دار F = x²yz³در امتداد منحنی 𝑢 𝑧 = 𝑢 − 𝑐𝑜𝑠𝑢 , 𝑦 = 2𝑠𝑖𝑛𝑢 + 1 , 𝑥 = 𝑒 −در نقطه pکه در آن
u=0است را بیابید.
𝑢𝜕²
𝑢𝜕²
-55نشان دهید که مقدار الپالس + 𝜕𝑦² + 𝜕𝑧² = 0
𝑢𝜕²
𝜕𝑥²
در دستگاه مختصات استوانه ای با رابطه
𝑢𝜕 2 𝑢 1 𝜕𝑢 1 𝜕²𝑢 𝜕²
+
+
+
=0
𝜕𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑟² 𝜕𝜃² 𝜕𝑧²
داده می شود.
-56نشان دهید که در دستگاه مختصات کروی معادله الپالس به صورت زیر
𝑢𝜕²
1
𝑢1 𝜕²
+ 𝜌² 𝜕𝜙² + 𝜌²𝑠𝑖𝑛²𝜙 𝜕𝜃² = 0
است.
-57اگر توابع )𝑣 𝑣 = 𝑔(𝑥, 𝑦) , 𝑢 = ℎ(𝑥, 𝑦) , 𝑧 = 𝑓(𝑢,مشتق پذیر باشند ،ثابت کنید که:
𝑧𝜕
𝑧𝜕
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢 +
𝑣 𝑑𝑎𝑟𝑔
𝑢𝜕
𝑣𝜕
= 𝑧 𝑑𝑎𝑟𝑔
𝑢𝜕 𝜙𝑡𝑜𝑐
𝜙𝜕 𝜌²
𝑢𝜕 2
+ 𝜌 𝜕𝜌 +
𝑢𝜕²
𝜕𝜌²