Stelling van Pythagoras
Wanneer je twee zijden in een rechthoekige
driehoek weet, kun je de derde zijde
uitrekenen.
Korte zijde2 + Korte zijde2 = Lange zijde2
Voorbeeld 1:
Bereken zijde BC. (LANGE ZIJDE BEREKENEN)
Uitrekenen met schema:
KZ2
KZ2
LZ2
= 82
=152
=
LZ = √289 = 17
Dus BC = 17
= 64
= 225 +
= 289
Uitrekenen met complete berekening:
AB2 + AC2 = BC2
152 + 82 = BC2
225 + 64 = 289
BC = √289 = 17
Voorbeeld 2:
Bereken zijde QR. (KORTE ZIJDE BEREKENEN)
Rond af op 1 decimaal.
Uitrekenen met schema:
KZ2
KZ2
LZ2
= 3,52 = 12,25
= …….. = 68,75 +
= 92
= 81
Uitrekenen met complete berekening:
PQ2 + QR2 = PR2
3,52 + QR2 = 92
12,25 + QR2 = 81
81 – 12,25 = 68,75
81 – 12,25 = 68,75
KZ = √68,75 = 8,291 …
QR = √68,75 = 8,291 …
Dus QR ≈ 8,3
Dus QR ≈ 8,3
Verlengde stelling van Pythagoras
Je kunt de verlengde stelling van Pythagoras gebruiken om de lengte van een
lichaamsdiagonaal te berekenen.
Lichaamsdiagonaal: Een lichaamsdiagonaal
verbindt twee hoekpunten met elkaar en gaat
door het ruimtelijk figuur heen.
Hiernaast zie je lichaamsdiagonaal BH.
KZ2
KZ2
KZ2
LZ2
= 42
= 32
= 42
=
= 16
= 9
= 16 +
= 41
LZ = √41 = 6,403 …
BH ≈ 6,4
Hellingsgetal, Hellingspercentage en Hellingshoek
Hellingspercentage: Geeft in procenten aan hoe steil een helling is. Rond een
hellingspercentage af op helen.
Hellingspercentage: tan hellingshoek x 100
(zie schema hierboven)
SOSCASTOA
SOSCASTOA is een ezelsbruggetje om te weten welke zijden je nodig hebt.
Vaak wordt dit regeltje zo opgeschreven:
𝑜 𝑎 𝑜
𝑆 𝐶 𝑇
𝑠 𝑠 𝑎
Sinus
Cosinus
Tangens
De o, a en s in de delingen staan voor overstaand, aanliggend en schuin.
Waar gebruik je de tangens, sinus en cosinus voor:


Als twee zijden in een rechthoekige driehoek bekend zijn, kun je een hoek
berekenen.
Wanneer een hoek en een zijde bekend is in een rechthoekige driehoek, kun je een
andere zijde berekenen.
Stappenplan:
1. Maak een schets van de situatie. Zet letters bij je schets.
2. Geef aan wat aanliggend, overstaand en schuin is (Let op! Dit is afhankelijk van welke
hoek je weet of welke hoe je wilt berekenen)
3. Schrijf eerst op met letters
4. Invullen
5. Berekenen
6. Conclusie geven.
Voorbeeld 1:
De vlaggenstok heeft een schaduw van 4
meter. De zonnehoek is 57°. Bereken de
hoogte van de vlaggenstok. Rond af op 2
decimalen.
Stap 1: schets
Stap 2: Geef aan wat o, a en s is.
(zie schets) Je bekijkt alles vanuit de hoek van 57°. Dit is namelijk de gegeven hoek.
Stap 3: Schrijf op met letters
tan(∠𝐴) =
𝐵𝐶
𝐴𝐵
tan(57°) =
𝐵𝐶
4
Stap 4: invullen
Stap 5: berekenen
𝐵𝐶 = 4 × tan(57°) = 6,159…
Stap 6: conclusie
De vlaggenstok is 6,16 meter lang
Voorbeeld 2
Van driehoek KLM is ∠𝐾 = 90°, ∠𝑀 = 73° en KL = 13,8 cm. Bereken LM in 1 decimaal
nauwkeurig.
Stap 1: Schets
Stap 2: Geef aan wat o, a en s is.
Stap 3: Schrijf op met letters
sin(∠𝑀) =
𝐾𝐿
𝐿𝑀
sin(73°) =
13,8
𝐿𝑀
Stap 4: Invullen
Stap 5: Berekenen
𝐿𝑀 =
13,8
= 14,430 …
sin(73°)
Stap 6: Conclusie
𝐿𝑀 ≈ 14,4 𝑐𝑚
Voorbeeld 3
𝐵𝐶
𝐴𝐶
35
cos(∠𝐶) =
180
cos(∠𝐶) =
∠𝐶 = cos −1 (
∠𝐶 ≈ 79°
35
) = 78,78 …
180
Gelijkvormigheid
Stappenplan:
1. Geef aan welke hoeken even groot zijn
2. Schrijf de gelijkvormigheid op (denk aan de volgorde van de letters. Overeenkomstige
hoeken staan op dezelfde plek).
3. Maak een tabel
4. Bereken de vergrotingsfactor
5. Bereken de ontbrekende zijden
6. Schrijf je conclusie op.
STAP 1 EN STAP 2
STAP 3
STAP 4
Dus de tabel wordt:
STAP 5
Hoeken berekenen
Hoekensom driehoek:
In een driehoek zijn alle hoeken samen 180°.
Gelijkzijdige driehoek:
Alle hoeken zijn 60°.
Gelijkbenige driehoek:
De basishoeken zijn even groot. (Een gelijkbenige driehoek is
symmetrisch. Je kunt de driehoek dubbelvouwen en dan passen
twee hoeken op elkaar.
Gestrekte hoek:
Een gestrekte hoek is 180°
Deellijn:
Een deellijn deelt een hoek doormidden.
Overstaande hoeken:
Bij twee snijdende lijnen zijn overstaande hoeken even groot.
∠𝑅1 = ∠𝑅3 en ∠𝑅2 = ∠𝑅4
Schuifsymmetrie:
De hoeken bij punt T kun je op de hoeken bij punt R liggen door
schuifsymmetrie. Zo is bijvoorbeeld ∠𝑅1 = ∠𝑇3
Ditzelfde kun je doen met de hoeken bij punt S en punt Q.
F-hoeken
∠𝐸1 = ∠𝐵
∠𝐷1 = ∠𝐶
Z-hoeken
∠𝐴1 = ∠𝐶2
Hoekensom vierhoek:
In een vierhoek zijn alle hoeken samen 360°
Wanneer je hoeken gaat berekenen, schrijf dan steeds op welke regel je gebruikt. Zet deze
steeds tussen haakjes achter de som.
Voorbeeld;
Coördinaten in de ruimte
Een assenstelsel in de ruimte is een driedimensionaal assenstelsel.
Vanuit de oorsprong ga je:
… stappen in de x-richting
… stappen in de y-richting
… stappen in de z-richting
Coördinaten zijn dan (x, y, z)
Dus coördinaten van punt A zijn A(0, 3, 2)
Perspectief
In de tekening is een horizon. Op de horizon
ligt een verdwijnpunt.
Perspectiefregels:
1. Evenwijdige lijnen die van je aflopen
snijden elkaar in het verdwijnpunt
op de horizon.
2. De horizon is op ooghoogte. Dus op ongeveer 1,50 meter hoogte.
Let op! In een perspectieftekening mag je meten.
Wanneer je het huis opmeet, dan is de hoogte in de tekening 6 cm. De afstand tot de
horizon is ongeveer een cm. Dit is dus 1/6 deel van het huis.
De horizon is op een hoogte van 1,50m.
De hoogte van het huis is dus in werkelijkheid 6 x 1,50 = 9 meter hoog.
Evenredig
Wordt de ene variabele 3x zo groot, dan wordt de andere variabele ook 3 keer zo groot.
Voorbeeld: 4 bananen kosten €0,90. Koop je 3 keer zo veel bananen, dan moet je ook drie
keer zoveel betalen.
-
De tabel bij een evenredig verband is een verhoudingstabel
De grafiek is een stijgende rechte lijn die door de oorsprong gaat.
De formule heeft de vorm: variabele = getal x variabele.
Voorbeeld:
x3
x2
Huur bladblazer
Aantal dagen (d) 1
Prijs in €
6
2
12
x2
x5
3
18
x3
x5
10
60
x5
15
90
Steeds x 6
x5
Grafiek:
Formule:
Prijs in € = 6d
Als je in de tabel de prijs in euro steeds deelt door het aantal dagen, dan kom
je altijd op het antwoord 6 uit. Dit is de 6 die ook in de formule staat.
Omgekeerd evenredig
Wordt de ene variabele 2 keer zo groot, dan wordt de andere 2 keer zo klein.
In een tabel: Als je boven deelt door een getal, dan moet je onder vermenigvuldigen met
hetzelfde getal. (En andersom)
-
Als je in de tabel het getal boven en onder met elkaar vermenigvuldigt, dan is de
uitkomst steeds hetzelfde.
De grafiek bij een omgekeerd evenredig verband noem je een hyperbool. Deze
grafiek zal de assen nooit raken!
Formule:
𝑔𝑒𝑡𝑎𝑙
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙𝑒 = 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙𝑒
Voorbeeld:
Kampeerplaats
Lengte
Breedte
(getal)
5
12
60
6
10
60
8
7,5
60
10
6
60
12
5
60
x
Wanneer de lengte en de breedte met elkaar vermenigvuldigd kom je steeds op 60 uit.
De formule die hierbij hoort is:
60
𝐵𝑟𝑒𝑒𝑑𝑡𝑒 = 𝐿𝑒𝑛𝑔𝑡𝑒
(Je weet dat de formule begint met Breedte, want onder in de tabel staat altijd wat je aan
het uitrekenen bent)
Soorten grafieken
Grafiek herkennen bij een verband
Ander soorten grafieken:
-
vloeiende kromme
Trapjesgrafiek
Stippengrafiek
Lineaire grafiek
Puntenwolk
Globale grafiek
Gelijkwaardige formules
Grafieken kunnen met elkaar overeenkomen. Ze zijn dan gelijkwaardig.
De formules die je wilt onderzoeken hebben allebei dezelfde variabelen.
Voorbeeld:
hoogte = 50 + 2t en t = -25 + 0,5 x hoogte
Beide formules hebben de variabelen hoogte en t
Controleren of twee formules gelijkwaardig zijn:
1.
2.
3.
4.
Kies zelf een waarde die je gaat invullen voor t.
Reken uit wat de bijbehorende hoogte is.
Vul deze uitkomst in de tweede formule in en bereken de uitkomt t.
Is deze uitkomst hetzelfde als de t die je hebt gekozen, dan is de formule
waarschijnlijk gelijkwaardig.
5. Om het zeker te weten kies je nog een keer een getal om in te vullen. Voer dus stap 1
tot en met 4 nog een keer uit.
Is je uitkomst nu weer hetzelfde als de t die je hebt gekozen, dan zijn de formules
gelijkwaardig.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
t=2
Hoogte = 50 + 2 x 2 = 54
t = -25 + 0,5 x 54 = 2
Het kan zijn dat ze gelijkwaardig zijn.
t=5
hoogte = 50 + 2 x 5 = 60
t = -25 + 0,5 x 60 = 5
Het klopt 2 keer. Dus we mogen er vanuit gaan dat de twee formules gelijkwaardig
zijn.
Vergelijking oplossen met grafieken
In een grafiek kun je oplossing aflezen.
Nadeel:
-
Onnauwkeurig
Veel werk (als je nog geen grafiek hebt gekregen)
Voorbeeld:
Je kunt in de grafiek aflezen dat de bal op een afstand van ongeveer 2,4 meter op de grond
komt. De bal heeft een maximale hoogte van 2 meter.
Balansmethode
Bij een vergelijking heb je, net als bij een balans, twee kanten.
Links van het = teken noemen we het linkerlid, rechts van het = teken noemen we het
rechterlid.
De letter in de vergelijking is de variabele.
Stappenplan:
1.
2.
3.
4.
Zorg ervoor dat de variabele in het rechterlid verdwijnt.
Zorg ervoor dat in het linkerlid de losse getallen verdwijnen.
Deel door het getal dat voor de variabele staat.
Controleer je antwoord (Dit is een extra controle, waardoor je weet of je het goed
hebt gedaan.
Voorbeeld:
De waterhoogte in een ton wordt berekend met de formule:
waterhoogte in cm = 45 + 0,2t
Een andere ton loopt leeg. Daarbij hoort de formule:
waterhoogte in cm = 130 – 0,5t
Na hoeveel minuten zit er evenveel water in beide tonnen?
Oplossen met inklemmen
Als een vergelijking niet is op te lossen met de balansmethode, dan gebruik je inklemmen.
Inklemmen gebruik je dus bijvoorbeeld bij kwadratische vergelijking of bij een exponentiele
vergelijking.
Voorbeeld:
Je ziet hier de grafieken van hoogte = a2 – 6a + 8 en hoogte = 4.
A is de horizontale afstand in meters. De hoogte wordt ook
gegeven in meter.
Bereken de coördinaten van snijpunt P. Rond af op 1 decimaal.
1. Maak de vergelijking (Je bent op zoek naar het snijpunt
van twee grafieken. Stel de twee grafieken dus aan
elkaar gelijk.)
a2 – 6a + 8 = 4
2. Los op met inklemmen.
3. a = 0,8 wat 3,84 ligt dichter bij 4 dan 4,29.
Het snijpunt ligt bij P(0,8; 4)