Contoh Fungsi Injektif
Definisi:
Fungsi 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi injektif jika untuk setiap 𝑥1 ≠ 𝑥2 berlaku 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 )
Definisi di atas setara dengan f injektif jika 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) mengakibatkan 𝑥1 = 𝑥2
1
𝑥
Misalkan 𝑓: 𝑅 → 𝑅 didefinisikan 𝑓: 𝑅 − {0} → 𝑅 yang didefinisikan sebagai 𝑓(𝑥) = + 1
1
1
1
1
Jika 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) maka 𝑥 + 1 = 𝑥 + 1 ↔ 𝑥 = 𝑥 sehingga 𝑥1 = 𝑥2
1
2
1
2
Jadi f adalah fungsi injektif.
Contoh Fungsi Surjektif
Definisi:
Fungsi 𝑓 ∶ 𝑋 → 𝑌 disebut fungsi surjektif jika 𝑓(𝑥) = 𝑦
Karena 𝑓(𝑥) ⊆ 𝑌, maka untuk menunjukkan bahwa f adalah fungsi surjektif, cukup dibuktikan
bahwa untuk setiap 𝑦 ∈ 𝑌 terdapat 𝑥 ∈ 𝑋 sehingga 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Fungsi 𝑓: 𝑅 → [0, ∞) didefinisikan 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Diambil sebarang 1 ∈ [0, ∞). Terdapat 𝑦 = √𝑥 ∈ 𝑅, sehingga 𝑓(𝑦) = 𝑥
Oleh karena itu f fungsi surjektif.
Contoh Fungsi Bijektif
Diberikan 𝑓 ∶ 𝑅 → 𝑅 dengan 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1, untuk menunujukkan f bijektif kita harus
menunjukkan f injektif dan surjektif.
a. Injektif : Untuk menunjukkan bahwa f injektif kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap
𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅 yang berlaku 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) maka harus berlaku 𝑥1 = 𝑥2 , sehingga
𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 )
2𝑥1 + 1 = 2𝑥2 + 1
2𝑥1 = 2𝑥2
𝑥1 = 𝑥2
Dari sini terlihat bahwa jika 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) maka berlaku 𝑥1 = 𝑥2 , sehingga dapat
disimpulkan bahwa f injektif.
b. Surjektif: Untuk menujukkan bahwa f surjektif kita harus menunjukkan bahwa untuk setiap
𝑦 ∈ 𝑅, maka terdapat paling sedikit satu nilai 𝑥 ∈ 𝑅 sehingga berlaku 𝑓(𝑥) = 𝑦
Ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝑅, kemudian pilih 𝑥 =
𝑦−1
)+
2
𝑓(𝑥) = 2 (
𝑦−1
,
2
sehingga berlaku
1
𝑓(𝑥) = 𝑦 − 1 + 1
𝑓(𝑥) = 𝑦
Disini terlihat bahwa jika kita ambil sebarang 𝑦 ∈ 𝑅, kemudian pilih 𝑥 =
𝑦−1
2
maka berlaku
𝑓(𝑥) = 𝑦, sehingga dapat disimpulkan bahwa f surjektif.
Jadi, karena f berlaku injektif dan surjektif maka dapat disimpulkan f bijektif.