INTEGRALES DE SUPERFICIE.
31. Encontrar el área de la superficie definida como intersección del plano x + y + z = 1
con el sólido x2 + 2y 2 ≤ 1.
Solución
La superficie dada se puede parametrizar por

 x = u cos
√v
y = (u/ 2) sen v
S:
√

z = 1 − u cos v − (u/ 2) sen v
(0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π),
ZZ
|Tu × Tv | dudv.
Por definición A =
D
En este caso,
√
√
(cos v, (1/ 2) sen v, − cos v − (1/ 2) sen v)
√
√
Tv = (−u sen v, (u/ 2) cos v, u sen v + (u/ 2) cos v)
i
j √
k
√
cos v
sen
v/
2
−
cos
v
−
sen
Tu × Tv =
√
√ v/ 2
−u sen v (u/ 2) cos v u sen v − (u/ 2) cos v
p
Por tanto, |Tu × Tv | = u 3/2 y
√
Z 1 Z 2π p
π 6
A=
du
u 3/2dv =
.
2
0
0
Tu
=
u u u = √ ,√ ,√ .
2
2
2
32. Sea S la superficie obtenida al hacer girar la curva y = f (x) (a ≤ x ≤ b) alrededor
del eje X. Comprobar, a partir de la definición, que el área de dicha superficie es
Z b
p
A = 2π
|f (x)| 1 + [f 0 (x)]2 dx.
a
Solución
Por definición, el área de la superficie corresponde a la integral
ZZ
A=
|Tu × Tv | dudv,
S
donde S se parametriza como (ver figura):

 x=u
y = f (u) cos v , a ≤ u ≤ b, 0 ≤ v ≤ 2π.

z = f (u) sen u
1
Los vectores tangentes son:
−
→
−
→
Tu = (1, f 0 (u) cos v, f 0 (u) sen v), Tv = (0, −f (u) sen v, f (u) cos v).
Por tanto,
−
→ −
→
Tu × Tv = (f (u)f 0 (u), −f (u) cos v, −f (u) sen v),
p
−
→ −
→
|Tu × Tv | = |f (u)| 1 + (f 0 (u))2 .
Al sustituir resulta entonces
Z b Z 2π
Z
p
|f (u)| 1 + (f 0 (u))2 dv = 2π
du
A=
0
a
b
p
|f (u)| 1 + (f 0 (u))2 du,
a
que es el resultado deseado.
ZZ
33. Calcular
z2
p
x2 + y 2 dS donde S representa la esfera de centro el origen y radio
S
R.
Solución
Parametrizamos la esfera de ecuación x2 + y 2 + z 2 = R2 como

 x = R cos u sen v
y = R sen u sen v , 0 ≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ π.

z = R cos v
De este modo,
−
→
Tu
−
→
Tv
Tu × Tv
|Tu × Tv |
=
(−R sen u sen v, R cos u sen v, 0),
= (R cos u cos v, R sen u cos v, −R sen v)
= (−R2 cos u sen2 v, −R2 sen u sen2 v, −R2 sen v cos v)
= R2 sen v.
Entonces,
ZZ
S
z2
p
x2 + y 2 dS
Z
2π
Z
π
R2 cos2 v · R sen v · R2 sen v dv
0
Z 0π
Z π
5
= R · 2π
sen2 v · cos2 v dv = 2πR5
(sen 2v/2)2 dv
0
0
Z
πR5 sen 4v π
π 2 R5
πR5 π 1 − cos 4v
dv =
v−
=
.
=
2
2
4
4
4
0
0
=
du
2
ZZ
34. Calcular
(xy+yz+zx) dS, donde S es la parte de la superficie cónica z =
p
x2 + y 2
S
recortada por la superficie x2 + y 2 = 2ax (a > 0).
Solución
p
x2 + y 2 , utilizamos la
Como la superficie está definida por la ecuación explı́cita z =
fórmula
ZZ
ZZ
q
F (x, y, z) dS =
F (x, y, z(x, y)) · 1 + (zx0 )2 + (zy0 )2 dxdy,
S
R
donde R es la región del plano XY que delimita la superficie.
y
x
, zy0 = p
, y R es la región limitada por la circunEn nuestro caso, zx0 = p
2
2
2
x +y
x + y2
ferencia x2 + y 2 = 2ax. En consecuencia,
ZZ
ZZ
p
p
(xy + yz + zx) dS =
[xy + y x2 + y 2 + x x2 + y 2 ]
S
R
s
x2
y2
× 1+ 2
+ 2
dxdy
2
x +y
x + y2
ZZ √
p
2 · [xy + (x + y) x2 + y 2 ] dxdy.
=
R
Resolveremos la integral doble mediante un cambio de variables a coordenadas polares. Si
llamamos x = u cos v, y = u sen v, entonces la circunferencia x2 + y 2 = 2ax se escribe como
u = 2a cos v. La integral queda de la forma:
ZZ √
p
I =
2 · [xy + (x + y) x2 + y 2 ] dxdy
Z
R
π/2
=
Z
2a cos v
dv
−π/2
√
2u · [u2 sen v cos v + u2 (sen v + cos v)] du
0
√
64 2a4
4a (sen v cos v + sen v cos v + cos v) dv =
.
15
−π/2
√ Z
=
2
ZZ
35. Calcular
π/2
4
5
4
5
xz dydz + x2 y dzdx + y 2 z dxdy, siendo S la superficie situada en el primer
S
octante y limitada por las superficies z = x2 +y 2 , x2 +y 2 = 1 y los planos coordenados.
3
Solución
Debemos descomponer la superficie S es cinco secciones:
S1
S2
S3
S4
S5
:
:
:
:
:
x ≥ 0, y ≥ 0, z = 0, x2 + y 2 ≤ 1,
x = 0, 0 ≤ y ≤ 1, z ≥ 0, z ≤ y 2 ,
0 ≤ x ≤ 1, y = 0, z ≥ 0, z ≤ x2 ,
x ≥ 0, y ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 1, x2 + y 2 = 1,
x ≥ 0, y ≥ 0, x2 + y 2 ≤ 1, z = x2 + y 2 ,
que corresponden a las distintas caras del sólido indicado. Debemos, por tanto, descomponer
la integral en cinco sumandos, a través de cada una de las superficies indicadas.
Si parametrizamos S1 por las ecuaciones

 x = u cos v
y = u sen v

z=0
, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2,
entonces Tu = (cos v, sen v, 0), Tv = (−u sen v, u cos v, 0) y Tu × Tv = (0, 0, u) (elegimos
→
como vector normal −
n 1 = (0, 0, −u) para que se trate de la normal exterior a la superficie).
Ası́ pues,
ZZ
xz dydz
+ x2 y dzdx + y 2 z dxdy
S1
Z
=
1
Z
du
0
π/2
(0, u3 sen v cos2 v, 0) · (0, 0, −u) dv = 0.
0
De forma análoga, parametrizamos S2 por

 x=0
y=u

z = vu2
, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 1,
de modo que Tu = (0, 1, 2vu), Tv = (0, 0, u2 ) y Tu × Tv = (u2 , 0, 0) (aunque consideraremos
→
el vector −
n 2 = (−u2 , 0, 0) que es normal exterior a la superficie). Entonces
ZZ
2
Z
2
xz dydz + x y dzdx + y z dxdy =
S2
1
Z
du
0
1
(0, 0, u4 v) · (−u2 , 0, 0) dv = 0.
0
La superficie S3 se parametriza de forma completamente análoga a S2 y el resultado de la
integral también es cero.
Con respecto a S4 , utilizaremos la parametrización

 x = cos v
y = sen v

z=u
, 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2,
4
con lo que Tu = (0, 0, 1), Tv = (− sen v, cos v, 0) y Tu × Tv = (− cos v, − sen v, 0). En este
→
caso, el vector normal exterior a la superficie es −
n 4 = (cos v, sen v, 0) y la integral vale
ZZ
xz dydz + x2 y dzdx + y 2 z dxdy
S4
Z
1
=
Z
π/2
(u cos v, sen v cos2 v, u sen2 v) · (cos v, sen v, 0) dv
du
0
Z
=
0
1
Z
du
0
π/2
(u cos2 v + sen2 v cos2 v) dv
0
Z 1h v sen 2v +
u
2
4
0
=
π/2
+
v
0
8
−
sen 4v 32
π/2 i
du =
0
3π
.
16
Por último, la superficie S5 podemos parametrizar como

 x = u cos v
y = u sen v , 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ π/2;

z = u2
por tanto,
Tu
Tv
Tu × Tv
= (cos v, sen v, 2u),
= (−u sen v, u cos v, 0),
= (−2u2 cos v, −2u2 sen v, u),0
Tenemos ası́ que,
ZZ
xz dydz + x2 y dzdx + y 2 z dxdy
Z
S5
1
=
Z
π/2
(u3 cos v, u3 sen v cos2 v, u4 sen2 v) · (−2u2 cos v, −2u2 sen v, u) dv
du
0
Z
0
1
=
Z
π/2
(−2u5 cos2 v − 2u5 sen2 v cos2 v + u5 sen2 v) dv
du
0
Z
=
0
1
u5 du
Z
0
=
1 h
· v
6
π/2
(1 − 3 cos2 v − sen2 2v/2) dv
0
π/2
−
0
sen 2v 3
v+
2
2
π/2
−
0
sen 4v 1 · v−
4
4
π/2 i
=
0
−π
.
16
Sumando todos los resultados parciales, obtenemos en definitiva que
ZZ
π
xz dydz + x2 y dzdx + y 2 z dxdy = .
8
S
Observación: Un método más sencillo de resolver la integral sin descomponer la superficie
en secciones se basa en el teorema de la divergencia de Gauss, que trataremos en el capı́tulo
siguiente.
5