MATRIUS
[MCS] 2n BTX
1.
Escriviu la matriu
2.
Escriviu la matriu
els elements de la qual vénen definits per la
mateixa expressió que en el problema anterior.
3.
La traça d’una matriu quadrada és la suma dels elements de la diagonal.
Calculeu la traça d’una matriu quadrada, A, d’ordre 4, els elements de la
qual vénen definits per l’expressió
4.
els elements de la qual vénen definits per
5.
[PAU 2005]
Un magatzem de rodes de vehicles de diferents tipus té l’estoc de
components (en centenars d’unitats) donat per la taula següent:
Utilitaris
Berlines
Tot terrenys
Pneumàtics
3,1
1,6
0,9
Embellidors
0,3
1,1
0
6.
Llantes
2,1
0,6
0,2
La quantitat de quilos de primera matèria necessària per a cada
component és:
Acer
Cautxú
Pneumàtics
0,1
4,6
Embellidors
1
0,05
Llantes
5
0
a.
Calculeu el total d’acer acumulat en el magatzem.
b.
Calculeu el total de cautxú acumulat en el magatzem.
-1-
Determineu el valor del paràmetre m per a que les següents igualtats
siguin certes:
a.
(
)( )
b.
(
)(
c.
(
)(
d.
(
(
)
)
)
)(
(
)
(
)
)
(
)
Determineu el valor dels paràmetres a i b per a que les següents
igualtats siguin certes:
a.
(
)(
b.
(
)(
c.
(
)( )
d.
(
)(
e.
(
)(
)
(
)
)
(
)
(
)
)
(
)
)
(
)
MATRIUS
7.
[MCS] 2n BTX
13. [PAU 2010]
[PAU 2012]
Considereu les matrius
Considereu les matrius
(
a.
b.
8.
)
)
(
Justifiqueu si és possible efectuar A·B o B·A. En cas afirmatiu,
calculeu-ho.
Calculeu
i
a.
)
(
b.
Considereu les matrius
)
(
)
(
Determineu, si existeix, el valor de x a la matriu B per a que es
verifiqui la igualtat
.
b.
Obteniu una matriu C tal que
)
14. [PAU 2011]
Considereu la matriu
.
(
Trobeu totes les matrius que commuten amb A.
(
a.
)
b.
(
)
a.
Calculeu B·At per a x = 3.
b.
Calculeu el màxim valor que pot assolir el producte A·Bt i digueu per
a quin valor de x s’assoleix.
)(
), té dues columnes i
)
Feu els càlculs pertinents per a comprovar que (
)
15. Donades les matrius,
(
)
(
)
Raoneu si existeix alguna matriu, X, que satisfaci l’equació XB = C.
12. Siguin A i B dues matrius quadrades d’ordre n. Raoneu si és certa, en
general, la igualtat
(
Una matriu B, la primera fila de la qual és (
compleix que
Escriviu la matriu B completa.
11. Considereu les matrius
)
)
(
10. Siguin A i B que pertanyen a M3. Demostreu que, si A i B són diagonals, se
satisfà AB = BA.
(
)
Si P i Q són dues matrius quadrades qualssevol d’ordre 3, quina
condició s’ha de complir per a que es compleixi
)
a.
(
Comproveu si aquestes dues matrius compleixen la igualtat
.
(
9.
(
)
-2-
MATRIUS
[MCS] 2n BTX
16. [PAU 2012]
20. Considereu la matriu
Considereu les matrius
(
(
a.
)
(
)
Demostreu que A2 serà sempre una matriu diagonal,
és la matriu identitat. Digueu quin valor té .
Determineu les matrius X i Y que compleixen que
Calculeu (
) on I és la matriu identitat.
(
17. Donades les matrius,
(
(
)
(
)
a.
Calculeu la matriu X que verifica l’equació AX + B = A
b.
Calculeu la matriu X que verifica l’equació BX = C
c.
Raoneu si existeix alguna matriu, X, que satisfaci l’equació XB = C.
22. [PAU 2005]
Considereu la matriu
(
)
Calculeu A55
18. Donades les matrius,
(
)
Calculeu A80, An, B50 i B55
)
)
(
)
(
a.
Trobeu la matriu X que satisfà l’equació AX – B = C
b.
Raoneu si pot existir una matriu
23. Donada la matriu,
)
(
tal que XB = C
)
Calculeu A345 i A54 .
19. Donades les matrius
24. Donada la matriu,
(
)
(
, on
21. Donades les matrius,
}
b.
)
)
a.
Raoneu si existeix alguna matriu, X, que satisfaci l’equació XB = C.
b.
Raoneu si existeix alguna matriu, X, que satisfaci l’equació BX = C.
(
Calculeu A30, A31 i A32 .
-3-
)
(
)
iI
MATRIUS
[MCS] 2n BTX
25. Calculeu b per a que el determinant de la matriu X valgui
(
( )
28. Considereu el determinant següent:
)
|
26. Considereu la matriu
(
Sabem que | |
a.
b.
|
a.
Calculeu-lo per a x = -2.
b.
Calculeu quin és el mínim valor que pot assolir el determinant i per
a quin valor de x s’assoleix.
)
29. Aïlleu, si és possible, la matriu X de les següents equacions i calculeu-la
en cas que existeixi.
.
Raoneu si és possible que els valor de a, b i c siguin 1, 2 i 3,
respectivament.
a.
Digueu quin és el valor del determinant de les matrius B i C, raonant
la vostra resposta.
(
)
(
on
(
) i
(
) i
(
)
b.
AX+B=X
on
(
)
c.
AX=B+CX
on
(
d.
XA+B=AX
on
(
) i
(
e.
2X-A=B
on
(
) i
(
f.
3A-AX=I
on
(
) i I és la matriu identitat d’ordre 2.
)
) ,
(
) i
(
)
27. Sabent que
|
|
|
)
|
)
calculeu
a.
|
b.
|
|
c.
|
d.
|
|
[ (
)]
-4-
MATRIUS
30. a.
[MCS] 2n BTX
Calculeu k per al què la matriu X no tingui inversa:
(
b.
34. Proveu que
(
)
essent
Calculeu els valors de m per als quals la matriu X no té inversa:
(
)
(
(
)
a.
Calculeu
b.
Determineu X perquè es compleixi
(
)
i
Digueu què és el rang d’una matriu. Canvieu, si cal, una columna
de la matriu A per a construir una nova matriu, A’, que sigui de
rang 2.
b.
Aplicant el mètode de Gauss, transformeu la matriu A en una
matriu triangular B, que compleixi det B = det A.
36. Siguin A, B i C tres matrius quadrades d’ordre 2 tals que A + B = C. Sabem
que el rang de A i de B és 2. Poseu un exemple que mostri que el rang de
C pot ser 1.
32. [PAU 2011]
37. Considereu les matrius
Considereu la matriu
(
a.
(
)
Una matriu B, la primera fila de la qual és (
compleix que
(
), té dues columnes i
33. Sigui
Calculeu (
)
(
a.
Trobeu la matriu X que satisfà l’equació AX – XA = B.
b.
Calculeu
.
38. Donades les matrius,
)
(
. Demostreu que
)
(
calculeu la matriu X que verifica l’equació AXA = B.
|
)
)
Escriviu la matriu B completa.
b.
)
a.
Considereu les matrius
)
, on I és la matriu identitat.
35. Considereu la matriu A següent:
31. [PAU 2010]
(
)
|
| |
-5-
)
MATRIUS
39. a.
[MCS] 2n BTX
Siguin A i B dues matrius quadrades d’ordre n invertibles.
Demostreu que
(
b.
44. La matriu
)
(
Siguin A i B dues matrius quadrades d’ordre n tals que
i
. Raoneu, a partir de les conclusions que heu pogut treure
en l’apartat anterior, si és possible que
( ) sigui zero.
40. Sigui A una matriu quadrada d’ordre n de manera que
és la matriu nul·la (la formada completament per zeros).
a.
Comproveu que (
)
b.
Comproveu que les matrius
inversa de l’altra.
és de rang 3. Podem assegurar que la matriu
(
, en què O
45. Discutiu el rang de les matrius següents en funció del valor del
paràmetre m.
són l’una
41. Considereu els vectors ⃗
⃗⃗ que són linealment independents.
Raoneu quin serà el rang de la matriu que té per columnes els vectors
a.
⃗
b.
⃗ ⃗
⃗⃗ ⃗⃗
c.
⃗ ⃗
⃗⃗
d.
⃗
g.
(
⃗
(
⃗
)
⃗
(
⃗⃗ ⃗
⃗
)
⃗
e.
f.
)
és també de rang 3?
.
i
)
⃗⃗
⃗
⃗⃗
)
46. Siguin A, B i C matrius quadrades d’ordre n.
⃗⃗
42. Raoneu si és possible que una matriu
43. Considereu la matriu A següent:
(
a.
Expliqueu raonadament si és possible que
(
) = 0. Si és possible, poseu-ne un exemple.
b.
Si sabem que
i que
raonadament si podem assegurar que
sigui de rang 4.
)
Digueu què és el rang d’una matriu. Fent els càlculs que considereu
necessaris, digueu quin és el rang de A.
-6-
,
i
, expliqueu
.
MATRIUS
[MCS] 2n BTX
47. Considereu la matriu
(
)
a.
Comproveu que compleix la igualtat
matriu identitat d’ordre 2.
b.
Utilitzeu aquesta igualtat per a calcular la matriu inversa de A.
c.
Resoleu l’equació matricial
(
, on
és la
)
utilitzant la inversa de A.
-7-
MATRIUS
[MCS] 2n BTX
Solucions
1.
7.
(
a.
)
A·B no es pot efectuar perquè el nombre de columnes de A no és el
mateix que el nombre de files de B.
(
2.
(
4.
5.
b.
)
(
( )
3.
a.
1.646 kg d’acer
b.
2.583 kg de cautxú
)
(
8.
a.
)
x=2
b.
a.
(
)
9.
b.
(
c.
d.
6.
)
)
10. (...)
a.
11. a.
b.
b.
c.
d.
Per a
,
El màxim valor que pot assolir el producte
per a
.
12. Calculem (
e.
)(
(
és 16. S’assoleix
):
)(
)
Com que, en general, el producte de matrius no és commutatiu,
per tant, aquella igualtat no serà certa.
-8-
MATRIUS
13. a.
b.
[MCS] 2n BTX
(...)
18. a.
S’ha de complir que
.
(
14. a.
b.
(
b.
)
Una matriu d’odre (2,1) no es pot multiplicar per la matriu B. Per
tant, no existeix.
)
(...)
19. a.
15. No pot existir cap matriu que multiplicada per una matriu
com a resultat una matriu
, per tant, X no existeix.
doni
b.
16. a.
Mateixa resposta que la qüestió 17.c.
No existeix. Si es busca una matriu que satisfaci aquella equació,
s’acaba trobant un sistema d’equacions sense solució.
20.
(
)
(
(
)
)
(
)
21.
b.
(
)
(
(
)
)
(
)
(
17. a.
(
)
22.
b.
23. A345 = A54 = A
24.
(
c.
(
)
No existeix cap matriu X que pugui complir aquella condició, perquè
qualsevol producte X·B que es pugui realitzar donarà com a resultat
una matriu de dues columnes i C només en té una.
25.
-9-
)
(
)
)
MATRIUS
[MCS] 2n BTX
26. a.
Si a, b i c fossin 1, 2 i 3 respectivament, el determinat de A seria 0, i
no 5, com ens diu l’enunciat. Per tant, a, b i c no poden ser 1, 2 i 3.
b.
detB = 10. La matriu B s’obté multiplicant la segona columna de la
matriu A per 2, per tant, el determinant queda multiplicat per 2.
29.
a.
c.
27.
|
b.
|
c.
|
)
(
b.
detC = -5. La matriu C s’obté canviant a la matriu A la primera fila
per la segona, per tant, el determinant canvia de signe.
a.
(
|
d.
e.
|
(
)
)
)
(
)
(
)
(
No es pot aïllar.
(
(
)
(
)
)
(
f.
)
|
30. a.
d.
[ (
b.
)]
X no té inversa sigui quin sigui el valor de m.
31. a.
28. a.
b.
(
det A = 32
El mínim valor que pot assolir és 7. L’assoleix per a x = 3.
(
11. Rang d’una matriu: nombre de files (o columnes) linealment
independents que té la matriu.
El rang de la matriu A proposada a l’enunciat és dos, donat que la tercera
columna és combinació lineal (en aquest cas, la suma) de les dues
primeres.
)
)
b.
(
- 10 -
)
MATRIUS
[MCS] 2n BTX
38.
32. a.
(
)
39. a.
(
)(
(
b.
(
)
(
Per tant, (
34. (...)
Si (
El rang d’una matriu és el nombre de columnes (o files) linealment
independents. El rang de la matriu que es dóna a l’enunciat és 3. Per
a trobar A’ hi ha infinites possibilitats. Una d’elles és canviar la
tercera columna, per exemple, per una combinació lineal de la
primera i la segona (la suma).
(
b.
(
41. a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
)
36. Poden trobar-se infinits exemples. Un de possible és:
(
)
(
)
)
també existirà (conclusió de l’apartat a).
existeix,
(
) no pot ser zero.
Rang 2
Rang 2
Rang 3
Rang 1
Rang 3
Rang 3
Rang 3
( )
44. No ho podem assegurar. Pot ser que, de les columnes que hem deixat
només n’hi hagi dues linealment independents.
Per exemple
)
(
37. a.
(
b.
)
42. (...)
)
43.
)
(
40. (...)
Una possible solució seria,
(
)
b.
)
33. (...)
35. a.
)
)
)
és de rang 3, però la matriu
si n és senar
(
si n és parell
és de rang 2.
- 11 -
)
MATRIUS
[MCS] 2n BTX
45.
( )
( )
( )
( )
( )
46. a.
b.
47. a.
( )
Veure qüestió 39.b.
Si
, existeix la inversa de A. Per tant, podem aïllar B
d’aquella expressió,
(...)
b.
(
(
)
)
(
)
(
)
c.
(
)
(
)
- 12 -