Diketahui L1 ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =
0 dan L2 ≡ x 2 + y 2 − 10 x − 16 y + 40 =
0. Tentukan persamaan
L3 yang melalui titik potong L1 dan L2 serta titik pusatnya pada garis l ≡ 8 x − 3 y − 2 =
0.
Cara 1: Kuli, kuli, dan kuli
Apabila tidak terdapat trik yang memadai, akan digunakan cara ini yang bersifat melelahkan. Hasil garis
persekutuan yang melalui dua titik potong tersebu adalah g ≡ L1 − L2 ≡ 4 x + 20 y − 52 ≡ x + 5 y − 13 =
0.
Hasil substitusi =
x 13 − 5 y akan digunakan untuk mengetahui titik potong yang dimaksud dan akan
diterapkan ke dalam salah satu persamaan lingkaran, dalam pengerjaan ini akan digunakan L1.
0
x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =
(13 − 5 y )
2
0
+ y 2 − 6 (13 − 5 y ) + 4 y − 12 =
26 y 2 − 96 y + 79 =
0
Rumus ABC akan memberikan penyelesaian bahwa ordinat dua titik potong yang terbentuk masingmasing
adalah y 1
=
48 − 5 10
48 + 5 10
.
=
dan y 2
26
26
Hasil substitusi sederhana =
x 13 − 5 y dalam dua ordinat tersebut akan memberikan absis masingmasing x1
=
Alhasil,
K1
98 + 25 10
98 − 25 10
=
dan x2
26
26
titik
potong
yang
terbentuk
dari
dua
lingkaran
tersebut
masing-masing
adalah
 98 + 25 10 48 − 5 10 
 98 − 25 10 48 + 5 10 
,
,
=
 dan K 2 

26
26
26
26




Untuk menentukan titik pusat lingkaran, akan dilakukan pengujian kesamaan jarak dari titik pusat L3,
misalkan O3 ke masing-masing K1 dan K2 sehingga OK1 dan OK2 adalah jari-jari lingkaran dengan O
 1

melalui garis l sehingga akan dibuat abstraksi
O  k , ( 8k − 2 )  . Melalui persamaan OK1 = OK2,
=
 3

diperoleh hasil berikut.
OK1 = OK 2
2
OK1 = OK 2
(x
(x
(x
K1
2
K1
(x
2
K1
− xO ) + ( y K − y O ) = ( xK − xO ) + ( y K − y O )
2
K1
2
1
) (
− xK
2
) (( x
1
1
)
2
1
2
) (
1
1
+ xK ) − 2 xO + ( y K − y K
K1
2
2
2
2
) (
− 2 xK xO + xO2 + y K2 − 2y K y O + y O2 =xK2 − 2 xK xO + xO2 + y K2 − 2y K y O + y O2
− xK2 ) − 2 xO ( xK − xK ) − 2y O ( y K − y K ) + ( y K2 − y K2
2
2
1
2
) (( y
2
K1
1
2
2
2
2
2
)
0
)=
)
+ y K ) − 2y O =
0
2
25 10  98
 5 10  48 2 (

− 2k  −
− 8k − 2 )  =
0


13  13
13  13 3


26

( 8k − 2 )  =
5 ( 98 − 26k ) −  48 −
0
3



k =7
 1

Hasil tersebut memberikan hasil bahwa titik pusat L3 berada di=
O  k , ( 8k − =
2 )  ( 7,18 )
 3

Jari-jari dapat diketahui dengan mengetahui salah satu dari OK1 atau OK2, akan digunakan OK1 dalam
pengerjaan ini.
r 2 = ( xK − xO ) + ( y K − y O )
2
1
2
1
2
 98 + 25 10
  48 − 5 10

= 
− 7 + 
− 18 
26
26

 

2
2
2
 25 10 − 84   −5 10 − 420 
= 
 +

26
26

 

1
( 7056 + 6250 + 250 + 176400 − 4200 10 + 4200 10 )
=
262
1
=
× 189956
676
= 281
Dengan L3 yang memiliki titik pusat (7,18) dan jari-jari
281 satuan, diperoleh persamaan lingkaran
yang dimaksud adalah L3 ≡ ( x − 7 ) + ( y − 18 ) = 281 ⇔ x 2 + y 2 − 14 x − 28 y + 92 = 0
2
2
Cara 2: Titik tengah dan sedikit penyederhanaan (tapi masih kuli)
Perhatikan ilustrasi di bawah ini yang dianggap cukup representatif dengan kasus ini.
Titik O sebagai titik pusat L3 memiliki dua properti. Yang pertama, titik tersebut melalui garis
l ≡ 8 x − 3y − 2 =
0 (biru) sebagaimana diketahui sifatnya dalam soal dan berperan sebagai kesamaan
panjang OK1 dan OK2 (ungu) sebagai jari-jari lingkaran.
Bagian ini akan memfokuskan dalam properti kedua yang dimiliki oleh titik O. Dalam segitiga OK1K2
yang dapat diketahui merupakan segitiga sama kaki dengan K1K2 adalah tali busur lingkaran, akan
didefinisikan T sebagai titik tengah tali busur tersebut sehingga OT merupakan apotema. Karena OT
tegak lurus K1K2, perpanjangan OT juga berperan sebagai titik pusat lingkaran. Dalam kasus ini
terdapat dua garis yang sama-sama memiliki titik pusat tersebut.
Dalam kesamaan properti tersebut atas garis l dan perpanjangan OT, dapat disimpulkan bahwa titik
pusat lingkaran secara tepat berada di perpotongan dua garis tersebut. Garis l telah diketahui secara
eksplisit sementara perpanjangan OT belum diketahui letak titik yang dilalui sebagai petunjuk dan
gradiennya.
Berdasarkan kesamaan jarak setiap titik yang melalui perpanjangan garis OT ke K1 atau K2, diperoleh
salah satu titik sebagai petunjuk, yaitu titik tengah K1 dan K2 yang dapat diperoleh melalui sifat operasi
akar persamaan kuadrat.
Akan digunakan persamaan kuadrat yang telah dibentuk untuk hubungan ordinat dua titik dan diperoleh
dari metode substitusi persamaan garis persekutuan ke salah satu persamaan lingkaran sesuai dengan
Cara 1. Cara ini tidak akan menentukan kembali koordinat K1 dan K2 secara eksplisit untuk
mempermudah pengerjaan.
Diperoleh persamaan kuadrat 26 y 2 − 96 y + 79 =
0 berdasarkan operasi akar persamaan kuadrat,
( −96 ) 48
= dan untuk absis dapat menggunakan langkah
26
13
diperoleh hubungan sederhana y 1 + y 2 =
−
serupa menggunakan pemisalan garis persekutuan =
x 13 − 5 y , dapat diperoleh penjumlahan absis
 48  98
.
x1 + x2 = (13 − 5 y 1 ) + (13 − 5 y 2 ) = 26 − 5 ( y 1 + y 2 ) = 26 − 5 
=
 13  13
 x1 + x2 y 1 + y 2   49 24 
sebagai T =
Titik T sebagai titik tengah K1 dan K2 dapat diidentifikasi
=
,
  , 
 2
2   13 13 
Dalam hubungan tersebut, garis refleksi K1 dan K2 diwakili oleh OT. Gradien garis OT dapat
diidentifikasi melalui gradien garis yang tegak lurus dengan garis K1K2. Hasil secara sederhana akan
diperoleh hasil berikut.
∆y y K − y K
=
=
∆x xK − xK
mK=
K
2
1 2
1
2
=
1
yK − yK
2
1
−5 ( y K − y K
2
1
)
yK − yK
2
1
(13 − 5y ) − (13 − 5y )
= −
K2
1
5
1
−
=
5
mOT =
mK K
1 2
Hasil di atas memberikan persamaan garis OT adalah
y − y=
mOT ( x − xT )
T
24
49 

= 5 x −

13
13 

13 y − 24 = 65 x − 245
65 x − 13 y − 221 =
0
y−
5 x − y − 17 =
0
K1
Berdasarkan properti yang diketahui bahwa perpotongan garis l dan garis OT akan memberikan titik
pusat lingkaran, maka penyelesaian l1 ≡ 8 x − 3 y − 2 =
0 dan l 2 ≡ 5 x − y − 17 =
0 merupakan titik pusat
lingkaran. Hasil penyelesaian SPLDV akan didapat titik penyelesaian O(7,18).
Titik pusat lingkaran L3 telah diketahui, berikutnya akan ditentukan jari-jari L3. Dengan memerhatikan
ilustrasi yang disediakan di atas, bahwa jari-jari dapat diidentifikasi menggunakan dalil Pythagoras
2
sehingga berlaku hubungan=
r 2 OK=
OT 2 + TK 2 .
2
TK merupakan panjang setengah tali busur lingkaran yang dapat diketahui melalui jarak antara dua
titik. Hasil penghitungan “sederhana” akan diperoleh sebagai berikut.
( 26 y 2 − 96 y + 79 =
0)
x 13 − 5 y menjadi 26 x 2 − 116 x + 129 =
0 dengan =
1
1
2
2
K1K=
( xK − xK ) + ( y K − y K )
2
2
2
1
2
TK=
x 2 + xK2 − 2 xK xK + y 2 + y K2 − 2y K y K
4
1
2
2
=
xK + xK ) + ( y K + y K ) − 4 xK xK − 4 xK xK
(
4
2
2
1   98   48 
 129 
 79  
=
+
  
 − 4
 − 4

4   13   13 
 26 
 26  
125
=
13
=
TK
1
((
(
K1
2
1
2
2
1
2
1
) (
1
2
K1
2
2
1
1
2
2
1
))
2
)
Jarak serupa untuk OT adalah
2
2
2
 49
  24

OT 2 = ( xT − xO ) + ( yT − y O ) = 
− 7 + 
− 18 
 13
  13

2
2
2
1
3528
 42   210 
2
2
2
= −
 + −
 = 2 × 42 (1 + 5 ) =
13
13
 13   13 
Hasil tersebut memberikan kesimpulan bahwa
r 2 = OK 2
2
= OT 2 + TK 2 =
3528 125 3653
+
=
= 281
13
13
13
Dengan L3 yang memiliki titik pusat (7,18) dan jari-jari
281 satuan, diperoleh persamaan lingkaran
yang dimaksud adalah L3 ≡ ( x − 7 ) + ( y − 18 ) = 281 ⇔ x 2 + y 2 − 14 x − 28 y + 92 = 0
2
2
Cara 3: Kolinearitas dan Penerapan Geometri Sederhana
Perhatikan ilustrasi di bawah ini. Ilustrasi pertama merupakan hasil seperti dalam Cara 2. Ilustrasi
kedua merupakan ilustrasi yang sama namun dirotasikan dengan garis kolinear tersebut sebagai garis
horizontal dan ilustrasi ketiga merupakan tinjauan bidang yang dibentuk dari titik pusat tiga lingkaran
dan salah satu perpotongan L1 dan L2 (titik K1).
Berdasarkan pengembangan sifat sebagaimana yang telah dijabarkan dalam Cara 2 terkait dengan
properti segitiga sama kaki untuk garis OT, hasil uji O1, O2, dan O3 sebagai titik pusat lingkaran L1, L2,
dan L3 berturut-turut memberikan hasil bahwa ketiga titik berada dalam satu garis (kolinear). Dengan
mengadopsi ragam informasi yang telah didapat dalam dua cara sebelumnya dan pengolahan sifat
secara sederhana, diperoleh hal-hal penting yang dapat diperoleh seperti:
1.
L1 ≡ x 2 + y 2 − 6 x + 4 y − 12 =0 ⇔ ( x − 3 ) + ( y + 2 ) =25
2.
L2 ≡ x 2 + y 2 − 10 x − 16 y + 40 =0 ⇔ ( x − 5 ) + ( y − 8 ) =49
2
2
2
2
3. Titik O3 adalah (7,18) dari perpotongan garis kolinear 5x – y – 17 = 0 dan l ≡ 8 x − 3 y − 2 =
0.
4.
O1O2 = 2 26 dari O1 ( 3, −2 ) dan O2 ( 5,8 )
5.
O1O3 = 4 26 dari O1 ( 3, −2 ) dan O2 ( 7,18 )
6.=
r1 O=
K
5;
=
r2 O=
K
7; dan
=
r3 O3 K1
1 1
2 1
Dengan menerapkan aturan kosinus dalam segitiga K1O1O2 dengan α adalah ∠K1O1O2 , diperoleh nilai
kosinus sebagai berikut.
2
cos ∠K1O1O2 =cos α =
2
O1K1 + O1O2 − O2 K1
2 × O1K1 × O1O2
2
52 + 104 − 72
4
=
=
2 × 5 × 2 26
26
Dengan menggunakan sudut tumpuan yang sama dan memindahkan tinjauan segitiga K1O1O3 ,
diperoleh panjang jari-jari L3 menggunakan aturan kosinus adalah sebagai berikut.
2
2
2
r32 = O3 K1 = O1K1 + O1O3 − 2 O1K1 O1O3 cos α
= 52 + 416 − 2 × 5 × 4 26 ×
4
26
=25 + 416 − 160
= 281
Dengan L3 yang memiliki titik pusat (7,18) dan jari-jari
281 satuan, diperoleh persamaan lingkaran
yang dimaksud adalah L3 ≡ ( x − 7 ) + ( y − 18 ) = 281 ⇔ x 2 + y 2 − 14 x − 28 y + 92 = 0
2
2
Hayasaka Akari