ENE - UnB – Notas de Aula da disciplina Eletromagnetismo 1
Professor: Achiles Fontana da Mota
Aula 1 – Revisão de Álgebra Vetorial
Tópicos da aula: definição de ponto e vetor; operações de soma e subtração com vetores; produto escalar e
vetorial; definição de função escalar e função vetorial; operações diferenciais de primeira e segunda ordem
com funções vetoriais (gradiente, divergente, rotacional e laplaciano).
1. Ponto, vetor e versor
No plano cartesiano, um ponto determina uma posição infinitesimal no espaço. Em coordenadas cartesianas
(x,y,z), a localização do ponto é definido por sua distância em relação aos eixos x, y e z. Por exemplo, o ponto
A pode ser representado por sua distância (xA; yA; zA) em relação aos eixos (x;y;z), conforme apresentado na
Fig. 1 (a). A localização de um ponto também pode ser representada por um segmento de reta com início na
origem do sistema cartesiano e fim no ponto. Este segmento de reta, que possui amplitude direção e sentido
definido pelo segmento de reta mencionado é denominado vetor (a notação é uma seta acima da variável). O
mesmo ponto A (xA; yA; zA) pode ser representado pelo vetor ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 . Antes de definirmos o vetor ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 , precisamos
definir o espaço cartesiano a partir da notação vetorial. É de conhecimento, que o sistema cartesiano pode ser
descrito por sua base 𝑥̂, 𝑦̂, 𝑧̂ , onde 𝑥̂, 𝑦̂, 𝑧̂ são vetores de módulo unitário (denominados versores) com direção
e sentido dados pelos eixos cartesianos x, y e z, respectivamente, conforme apresentado na Fig. 1 (b). Neste
contexto, o ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 pode ser definido como:
𝑟𝐴 = 𝑥𝐴 𝑥̂ + 𝑦𝐴 𝑦̂ + 𝑧𝐴𝑧̂ .
⃗⃗⃗
(1)
O módulo de um vetor (notação ||), é simplesmente seu tamanho, ou seja, ele define a distância entre o ponto
e a origem do sistema de coordenadas. Em coordenadas cartesianas, o módulo do vetor ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 pode ser obtido
facilmente por relações geométricas (Pitágoras, vide Fig. 1 (b)), e é dado por,
|⃗⃗⃗
𝑟𝐴 | = √𝑥𝐴2 + 𝑦𝐴2 + 𝑧𝐴2 .
(2)
Para todo vetor, também podemos definir seu versor (a notação é um chapéu acima da variável), ou seja, um
vetor de módulo unitário que indica somente a direção e sentido do vetor. Para se obter o versor (𝑟̂𝐴 ) de um
vetor (𝑟⃗⃗⃗𝐴 ), basta dividi-lo pelo seu módulo |𝑟⃗⃗⃗𝐴 |, ou,
Figura 1 – Definição de ponto (a) e vetor (b).
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟
𝑟̂𝐴 = |𝑟⃗⃗⃗⃗⃗𝐴| =
𝐴
𝑥𝐴 𝑥̂+𝑦𝐴 𝑦̂+𝑧𝐴 𝑧̂
2 +𝑦 2 +𝑧 2
√𝑥𝐴
𝐴
𝐴
.
(3)
Na disciplina de eletromagnetismo é de extrema importância saber escrever o vetor através de seu módulo e
direção, ou seja, ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 = |𝑟⃗⃗⃗𝐴 |𝑟̂𝐴 , pois esta notação irá facilitar a resolução de vários problemas que serão propostos.
Além disso, destaco também a importância da notação que eu irei adotar. Sempre que se tratar de um vetor
relacionado a um ponto específico do espaço (ex. ponto B), será utilizado a notação em que todas as
componentes do vetor serão definidas com o subscrito B (ex: ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 , 𝑥𝐵 , 𝑦𝐵 , 𝑧𝐵 …). Caso estejamos falando de um
ponto genérico no espaço (como em funções vetoriais), não será adotado nenhum subscrito a variável (ex:
𝑟, 𝑥, 𝑦, 𝑧 …).
2. Soma e subtração de vetores
Antes de falar sobre soma e subtração, vamos definir o negativo de um vetor. O negativo de um vetor nada
mais é que um vetor de mesmo módulo e direção, porém com sentido oposto, conforme apresentado na Fig. 2
(a). Matematicamente, inverte-se o sentido de um vetor sem alterar seu módulo e direção adicionando o sinal
de menos a todas as coordenadas do vetor, por exemplo, o vetor negativo de ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 é dado por
−𝑟⃗⃗⃗𝐴 = −𝑥𝐴 𝑥̂−𝑦𝐴 𝑦̂ − 𝑧𝐴 𝑧̂ .
(4)
A resultante da soma de vetores (𝑟⃗⃗⃗𝐴 + ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 ) gera um vetor que liga a origem do sistema a um ponto C no espaço,
tal que ⃗⃗⃗
𝑟𝐶 = ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 + ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 , conforme mostrado na Fig. 2 (b). Geometricamente, esse ponto pode ser obtido
deslocando a origem de ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 para o ponto A, e o fim deste vetor representa o ponto C (vide Fig. 2 (b)). Como a
ordem dos fatores não altera a soma, o ponto C pode ser obtido deslocando ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 para o ponto B.
Matematicamente,
𝑟𝐶 = ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑟𝐴 + ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 = (𝑥𝐴 + 𝑥𝐵 )𝑥̂ + (𝑦𝐴 + 𝑦𝐵 )𝑦̂ + (𝑧𝐴 + 𝑧𝐵 )𝑧̂ .
(5)
A subtração de vetores ( ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 − ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 ) nada mais é que a soma do vetor de um vetor (𝑟⃗⃗⃗𝐴 ) com o negativo do outro
vetor (−𝑟⃗⃗⃗𝐵 ). Geometricamente, a soma com o negativo resulta em um vetor com origem no ponto B e fim no
ponto A, conforme apresentado na Fig. 2 (c). Do ponto de vista dessa disciplina, essa é a operação linear mais
importante de vetores, pois será de extrema importância para o cálculo de campos elétricos e magnéticos. Na
definição desse curso, o vetor que liga o ponto B com o ponto A será definido como ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑟𝐵𝐴 , e matematicamente
ele pode ser obtido pela expressão
3. Multiplicação de vetores
Existem dois operações para se multiplicar vetores, a primeira é conhecida como produto escalar e a segunda
como produto vetorial. Intuitivamente pelo nome, o resultado destas operações são variáveis escalares para
produtos escalares e vetoriais para produtos vetoriais.
-
(a) - Inverso
(b) - Soma
(c) - Subtração
Figura 2 – Definição do negativo (a), soma (b) e subtração (c) de vetores.
Produto Escalar
A notação do produto escalar entre vetores é o ∙. Suponha 2 vetores ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 e ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 com um ângulo θ entre eles, o
produto escalar entre eles é definido como por
𝑟𝐴 ∙ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑟𝐵 = |⃗⃗⃗
𝑟𝐴 ||⃗⃗⃗
𝑟𝐵 |cos𝜃.
(6)
Conforme pode ser visto, caso o ângulo entre os vetores seja de 90º, o produto escalar entre eles é zero, porém
se eles estiverem com mesma direção e sentido, o produto escalar é simplesmente o produto do módulo dos
vetores. Logo, o produto escalar nos da informação sobre o quão alinhado estão os vetores. Utilizando esta
lógica, podemos definir o produto entre os versores de x, y e z como:
𝑥̂ ∙ 𝑥̂ = 1
𝑥̂ ∙ 𝑦̂ = 0
𝑥̂ ∙ 𝑧̂ = 1
𝑦̂ ∙ 𝑥̂ = 0
𝑦̂ ∙ 𝑦̂ = 1
𝑦̂ ∙ 𝑧̂ = 0
𝑧̂ ∙ 𝑥̂ = 0
𝑧̂ ∙ 𝑦̂ = 0
𝑧̂ ∙ 𝑧̂ = 1
Sabendo das propriedades da tabela acima, o produto escalar também pode ser obtido utilizando a propriedade
distributiva de multiplicação, ou seja,
𝑟𝐴 ∙ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑟𝐵 = (𝑥𝐴 𝑥̂ + 𝑦𝐴 𝑦̂ + 𝑧𝐴 𝑧̂ ) ∙ (𝑥𝐵 𝑥̂ + 𝑦𝐵 𝑦̂ + 𝑧𝐵 𝑧̂ ) =
𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥̂ ∙ 𝑥̂ + 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝑥̂ ∙ 𝑦̂ + 𝑥𝐴 𝑧𝐵 𝑥̂ ∙ 𝑧̂ + 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝑦̂ ∙ 𝑥̂ + 𝑦𝐴 𝑦𝐵 𝑦̂ ∙ 𝑦̂ + 𝑦𝐴 𝑧𝐵 𝑦̂ ∙ 𝑧̂ + 𝑧𝐴 𝑥𝐵 𝑧̂ ∙ 𝑥̂
(7)
+𝑧𝐴 𝑦𝐵 𝑧̂ ∙ 𝑦̂ + 𝑧𝐴 𝑧𝐵 𝑧̂ ∙ 𝑧̂ =
𝑥𝐴 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 𝑦𝐵 + 𝑧𝐴𝑧𝐵 .
É importante ressaltar, o resultado de um produto escalar é sempre um escalar, |⃗⃗⃗
𝑟𝐴 ||⃗⃗⃗
𝑟𝐵 |cos𝜃 = 𝑥𝐴 𝑥𝐵 + 𝑦𝐴 𝑦𝐵 +
𝑧𝐴 𝑧𝐵 é uma grandeza escalar (número).
Produto Vetorial
A notação do produto escalar entre vetores é o ×. Suponha 2 vetores ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 e ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 com um ângulo θ entre eles, o
produto escalar entre eles é definido como
𝑥̂
𝑟𝐴 × ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑟𝐵 = | 𝑥𝐴
𝑥𝐵
𝑦̂
𝑦𝐴
𝑦𝐵
𝑧̂
𝑧𝐴 |.
𝑧𝐵
(8)
Vale lembrar que o produto vetorial é resulta em uma grandeza vetorial (um vetor), onde a direção do vetor
resultante é sempre normal ao plano definido pelos vetores ⃗⃗⃗
𝑟𝐴 e ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 . Quanto ao sentido, é necessário realizar a
regra da mão direita que será apresentada durante a aula. Quanto ao módulo do produto vetorial, ele é dado
por:
|⃗⃗⃗
𝑟𝐴 × ⃗⃗⃗
𝑟𝐵 | = |⃗⃗⃗
𝑟𝐴 ||⃗⃗⃗
𝑟𝐵 |sin𝜃.
(9)
Em muitas situações, calcular o determinante da eq. (8) é complicado, porém veremos nesse curso diversas
situações em que é mais fácil utilizar a propriedade distributiva da multiplicação para fazer esse produto. Porém
antes disso é definir o produto entre os versores de x, y e z como:
𝑥̂ × 𝑥̂ = 0
𝑥̂ × 𝑦̂ = 1
𝑥̂ × 𝑧̂ = −1
𝑦̂ × 𝑥̂ = −1
𝑦̂ × 𝑦̂ = 0
𝑦̂ × 𝑧̂ = 1
𝑧̂ × 𝑥̂ = 1
𝑧̂ × 𝑦̂ = −1
𝑧̂ × 𝑧̂ = 0
Conforme visto, a maior complicação da tabela acima é determinar o sinal + ou – do produto cruzado entre os
vetores. Para isto, pode-se utilizar a regra do “xyzxy”. Sempre que a ordem do produto aparecer da esquerda
para direita, o resultado é positivo, e negativo caso contrário. Por exemplo: 𝑦̂ × 𝑧̂ aparece da direita para
esquerda em “xyzxy”, logo o resultado é +1. Porém 𝑧̂ × 𝑦̂ aparece da direita para a esquerda em “xyzxy”, logo
o resultado é -1. Dúvidas quanto a este método podem ser tiradas na sala de aula. Vale ressaltar que caso o
aluno não esteja confortável com este truque, basta utilizar a eq. (8) para calcular o produto vetorial. Pela
propriedade distributiva,
𝑟𝐴 × ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
𝑟𝐵 = (𝑥𝐴 𝑥̂ + 𝑦𝐴 𝑦̂ + 𝑧𝐴𝑧̂ ) × (𝑥𝐵 𝑥̂ + 𝑦𝐵 𝑦̂ + 𝑧𝐵 𝑧̂ ) =
𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥̂ × 𝑥̂ + 𝑥𝐴 𝑦𝐵 𝑥̂ × 𝑦̂ + 𝑥𝐴 𝑧𝐵 𝑥̂ × 𝑧̂ + 𝑦𝐴 𝑥𝐵 𝑦̂ × 𝑥̂ + 𝑦𝐴 𝑦𝐵 𝑦̂ × 𝑦̂ + 𝑦𝐴 𝑧𝐵 𝑦̂ × 𝑧̂ + 𝑧𝐴 𝑥𝐵 𝑧̂ × 𝑥̂
(10)
+𝑧𝐴 𝑦𝐵 𝑧̂ × 𝑦̂ + 𝑧𝐴 𝑧𝐵 𝑧̂ × 𝑧̂ =
𝑥̂
(𝑦𝐴 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴𝑦𝐵 )𝑥̂ − (𝑥𝐴 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴 𝑥𝐵 )𝑦̂ + (𝑥𝐴 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑥𝐵 )𝑧̂ = | 𝑥𝐴
𝑥𝐵
𝑦̂
𝑦𝐴
𝑦𝐵
𝑧̂
𝑧𝐴 | .
𝑧𝐵
4. Funções Escalares e funções Vetoriais
No contexto desse curso de eletromagnetismo, iremos trabalhar com dois tipos de funções: as funções escalares
e as funções vetoriais. Ainda neste contexto, trabalharemos ainda com funções que serão definidas no espaço
(𝑟) e no tempo (t), logo as funções serão definidas para cada ponto no espaço e no tempo. A princípio, na parte
de eletro e magnetoestática, não utilizaremos a dependência temporal, porém ela entra a partir da terceira parte
do curso.
•
•
•
Funções escalares 𝑓(𝑟, 𝑡) são funções que definem uma variável escalar para cada ponto do espaço
(𝑟) e tempo (t). Exemplos de funções escalares são distribuições de temperatura (𝑇(𝑟, 𝑡)), cargas
elétricas (𝜌(𝑟, 𝑡)), potencial elétrico (𝑉(𝑟, 𝑡)), entre outros.
Funções vetoriais 𝑓 (𝑟, 𝑡) são funções que definem uma variável vetorial para cada ponto do espaço
(𝑟) e tempo (t). Exemplos de funções vetoriais são distribuições de velocidade em um fluido (𝑣 (𝑟, 𝑡)),
⃗ (𝑟, 𝑡)), entre outros. Podemos escrever a função vetorial
campo elétrico (𝐸⃗ (𝑟, 𝑡)), campo magnético (𝐻
como uma soma de funções escalares, uma função definida para cada eixo das coordenadas, i.e.,
𝑓 (𝑟, 𝑡) = 𝑓𝑥 (𝑟 , 𝑡)𝑥̂ + 𝑓𝑦 (𝑟, 𝑡)𝑦̂ + 𝑓𝑧 (𝑟, 𝑡)𝑧̂
É importante ressaltar que existe grandezas escalares e vetoriais que são definidas apenas em um ponto
específico no espaço, essas grandezas, no contexto desse curso não serão definidas como funções. Um
exemplo é o vetor força, cargas elétricas pontuais, vetor de velocidade de cargas pontuais, entre outros.
Obs.: Existem ferramentas matemáticas para definir essas grandezas como funções, porém não serão
adotadas neste curso.
5. Operações diferenciais espaciais em funções escalares e vetoriais
Antes de definir as operações, é importante definir o operador diferencial em coordenadas cartesianas,
⃗∇=
d
𝑥̂
d𝑥
+
d
𝑦̂
d𝑦
+
d
𝑧̂ .
d𝑧
(11)
Sendo ⃗∇, um vetor, é possível aplicar o operador de três formas nas funções escalares e vetoriais, onde cada
possibilidade recebe um nome específico:
⃗ e uma função escalar 𝑓(𝑟 , 𝑡);
1) Gradiente: Produto escalar entre ∇
⃗ e uma função vetorial 𝑓 (𝑟, 𝑡);
2) Divergente: Produto escalar entre ∇
⃗ e uma função vetorial 𝑓 (𝑟, 𝑡);
3) Rotacional: Produto vetorial entre ∇
Gradiente
Conforme explicado, o gradiente é definido pelo produto escalar entre ⃗∇ e uma função escalar 𝑓(𝑟, 𝑡), i.e.,
⃗∇𝑓(𝑟, 𝑡) = d𝑓(𝑟,𝑡) 𝑥̂ + d𝑓(𝑟,𝑡) 𝑦̂ + d𝑓(𝑟,𝑡) 𝑧̂ .
d𝑥
d𝑦
d𝑧
(12)
Nota-se que o gradiente de uma função escalar é sempre uma função vetorial, tendo uma função escalar
definida para cada eixo das coordenadas x, y e z. Fisicamente, a função vetorial resulta de dessa operação
representa a direção de crescimento da função 𝑓(𝑟 , 𝑡), ou seja, o vetor resultante aponta para a direção onde
no ponto 𝑟, 𝑡 a função tem maior taxa de crescimento com magnitude proporcional a esse crescimento. Um
exemplo pode ser observado na Fig. 3 (a).
Divergente
Conforme explicado, o divergente é definido pelo produto escalar entre ⃗∇ e uma função vetorial 𝑓 (𝑟, 𝑡), i.e.,
⃗∇𝑓 (𝑟, 𝑡) = d𝑓𝑥 (𝑟,𝑡) + d𝑓𝑦 (𝑟,𝑡) + d𝑓𝑧 (𝑟,𝑡).
d𝑥
d𝑦
(13)
d𝑧
Nota-se que o divergente de uma função vetorial é sempre uma função escalar. Fisicamente, a função vetorial
resulta de dessa operação representa o fluxo de campo que entra ou sai de um volume infinitesimal definido
no ponto 𝑟, 𝑡. Por exemplo, se 𝑣 (𝑟, 𝑡) a velocidade de um fluido, o divergente dessa função nos dá variação do
fluxo do fluído volume infinitesimal definido no ponto 𝑟, 𝑡, conforme apresentado na Fig. 3 (b).
Rotacional
Conforme explicado, o rotacional é definido pelo produto vetorial entre ⃗∇ e uma função vetorial 𝑓 (𝑟, 𝑡), i.e.,
𝑥̂
𝑦̂
𝑧̂
d
d𝑥
d
d𝑦
d
d𝑧
𝑓𝑧 (𝑟, 𝑡)
𝑓𝑦 (𝑟 , 𝑡)
𝑓𝑧 (𝑟, 𝑡)
⃗ × 𝑓 (𝑟 , 𝑡) =× ⃗⃗⃗
∇
𝑟𝐵 = |
|.
(14)
Nota-se que o rotacional de uma função vetorial é sempre uma função vetorial. Fisicamente, a função vetorial
resulta de dessa operação representa à tendência ou giro do vetor 𝑓 (𝑟, 𝑡) no ponto 𝑟, 𝑡.
Para todas as operações acima, vale ressaltar que a propriedade distributiva pode ser aplicada conforme
explicado na sessão dos produtos vetoriais e escalares. Por fim, algumas propriedades do gradiente, divergente
e do rotacional:
⃗∇[𝑓(𝑟, 𝑡) + 𝑔(𝑟 , 𝑡)] = ⃗∇𝑓(𝑟, 𝑡) + ⃗∇𝑔(𝑟, 𝑡)
⃗∇[𝑓 (𝑟, 𝑡) + 𝑔(𝑟, 𝑡)] = ⃗∇𝑓 (𝑟, 𝑡) + ⃗∇𝑔(𝑟, 𝑡).
⃗ × [𝑓 (𝑟, 𝑡) + 𝑔(𝑟, 𝑡)] = ∇
⃗ × 𝑓 (𝑟, 𝑡) + ∇
⃗ × 𝑔(𝑟, 𝑡).
∇
⃗∇[𝑔(𝑟, 𝑡)𝑓 (𝑟, 𝑡)] = [∇
⃗ 𝑔(𝑟, 𝑡)]𝑓 (𝑟, 𝑡) + 𝑔(𝑟, 𝑡)[∇
⃗ 𝑓 (𝑟, 𝑡)]
⃗∇ × [𝑔(𝑟, 𝑡)𝑓 (𝑟, 𝑡)] = [∇
⃗ 𝑔(𝑟, 𝑡)] × 𝑓 (𝑟, 𝑡) + 𝑔(𝑟 , 𝑡)[∇
⃗ × 𝑓 (𝑟, 𝑡)]
⃗ [∇
⃗ × 𝑓 (𝑟, 𝑡)] = 0
∇
⃗ × [∇
⃗ 𝑓(𝑟, 𝑡)] = 0
⃗
∇
(a) - Gradiente
(b) - Divergente
Figura 3 – Interpretação física do gradiente (a) e do divergente (b). (a) foi retirada da wikipedia.
(15)
6. Operador Laplaciano
O Operador Laplaciano é o operador diferencial de segunda ordem, e é definido o produto escalar entre ⃗∇ com
⃗ , i.e., como:
∇
⃗∇
⃗=
∆= ∇
d2
d𝑥 2
+
d2
d𝑦 2
+
d2
.
d𝑧 2
(16)
Note que ∆ é um operador escalar. Sendo assim, podemos aplicar o operador ∆ tanto a uma função escalar
quando a uma função vetorial.
Escalar
Quando ∆ é aplicado a uma função escalar 𝑓(𝑟, 𝑡), o resultado é sempre uma função escalar. Lembre-se, o
produto de dois escalares sempre resulta em um escalar. Com isso,
∆𝑓(𝑟, 𝑡) =
d2 𝑓(𝑟,𝑡)
d𝑥 2
+
d2 𝑓(𝑟,𝑡)
d𝑦 2
+
d2 𝑓(𝑟,𝑡)
.
d𝑧 2
(17)
Vetorial
Quando ∆ é aplicado a uma função escalar 𝑓 (𝑟, 𝑡), o resultado é sempre uma função vetorial. Com isso,
∆𝑓 (𝑟, 𝑡) = [∆𝑓𝑥 (𝑟, 𝑡)]𝑥̂ + [∆𝑓𝑦 (𝑟, 𝑡)]𝑦̂ + [∆𝑓𝑧 (𝑟, 𝑡)]𝑧̂ .
(18)
Assim como o divergente, gradiente e o rotacional, o Laplaciano também possui algumas propriedades, das
quais podemos destacar:
∆[𝑓(𝑟, 𝑡) + 𝑔(𝑟 , 𝑡)] = ∆𝑓(𝑟, 𝑡) + ∆𝑔(𝑟, 𝑡)
∆[𝑓 (𝑟, 𝑡) + 𝑔(𝑟, 𝑡)] = ∆𝑓 (𝑟, 𝑡) + ∆𝑔(𝑟, 𝑡).
⃗ [∇
⃗ 𝑓 (𝑟, 𝑡)] − ∇
⃗ × [∇
⃗ × 𝑓 (𝑟, 𝑡)].
∆𝑓 (𝑟, 𝑡) = ∇
(19)