а
иб
ли
Н.А. Чухновская
от
ек
Министерство образования и науки Республики Татарстан
Альметьевский государственный нефтяной институт
Решение задач
подземной гидромеханики
яб
Учебно-методическое пособие
для проведения практических занятий,
выполнения контрольных и самостоятельных работ
по дисциплине «Подземная гидромеханика»
Эл
ек
тр
о
нн
а
для студентов, обучающихся по направлению подготовки
дипломированных специалистов 130500 «Нефтегазовое дело»,
всех форм обучения
Альметьевск 2009
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
УДК 622
Ч 96
иб
ли
Чухновская Н.А.
Ч 96
Решение задач подземной гидромеханики: Учебно-методическое
пособие для проведения практических занятий, выполнения контрольных
и самостоятельных работ по дисциплине «Подземная гидромеханика» для
студентов, обучающихся по направлению подготовки дипломированных
специалистов
130500
«Нефтегазовое
дело».
–
Альметьевск:
Альметьевский государственный нефтяной институт, 2009. – 104 с.
нн
а
яб
В пособии изложены основные понятия теории фильтрации, рассмотрены
границы применимости закона Дарси, гидродинамическое несовершенство
скважин, основные формулы установившейся и неустановившейся фильтрации
в пористой среде. В доступной для студентов форме изложены рекомендации
по решению задач и приводятся задачи для самостоятельного решения.
В каждом разделе приведена краткая теория. Некоторые задачи
приведены с решением.
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки
дипломированных специалистов 130500 – Нефтегазовое дело.
Печатается по решению учебно-методического совета АГНИ.
Эл
ек
тр
о
Рецензенты:
доцент кафедры РЭНГМ Вакула Я.В.;
Ведущий геолог ОАО «СМП - Нефтегаз», к.ф.-.м.н. Мирсаитов Р.Г.
© Альметьевский государственный
нефтяной институт, 2009
2
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
II
2.1
III
3.1
3.2
3.3
3.4
IV
V
5.1
5.2
VI
6.1
6.3
VII
VIII
8.1
8.2
8.3
8.4
Стр.
5
5
5
от
ек
Эл
ек
тр
о
6.2
иб
ли
1.3
Основные понятия теории фильтрации
Фильтрация
Фильтрационно-емкостные свойства пористых и
трещиноватых сред. Коэффициенты пористости и
просветности
Линейный закон фильтрации Дарси. Коэффициенты
проницаемости и фильтрации. Скорость фильтрации,
скорость движения
Границы применимости закона Дарси
Критерий Рейнольдса
Одномерная
установившаяся
фильтрация
несжимаемой жидкости в пористой среде
Схемы одномерных фильтрационных потоков
Прямолинейно-параллельная фильтрация несжимаемой
жидкости
Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой жидкости
Радиально-сферическая фильтрация несжимаемой
жидкости
Влияние
гидродинамического
несовершенства
скважины на её дебит
Интерференция скважин
Приток жидкости к группе скважин в пласте с
удалённым контуром питания
Приток жидкости в пласте с прямолинейным контуром
питания
Фильтрация упругих флюидов
Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток
идеального газа по закону Дарси
Плоскорадиальный фильтрационный поток идеального
газа по закону Дарси
Плоскорадиальный фильтрационный поток реального
газа по закону Дарси
Движение жидкости в пласте с неоднородной
проницаемостью
Неустановившаяся фильтрация упругой жидкости в
упругой пористой среде
Основные определения
Дифференциальное уравнение фильтрации упругой
жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси
Точное решение дифференциального уравнения
упругого режима
Подсчёт упругого запаса жидкости в пласте
яб
1.1
1.2
нн
а
I
а
СОДЕРЖАНИЕ
3
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
6
11
11
14
14
15
19
25
33
38
41
43
48
48
51
55
62
68
68
70
70
72
73
76
а
Интерференция скважин в условиях упругого режима
Определение коллекторских свойств пласта по данным
исследования скважин при упругом режиме
Контрольные задачи
Контрольные вопросы
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Приложение 4
Приложение 5
Приложение 6
Приложение 7
Литература
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
8.5
8.6
4
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
83
91
97
98
99
100
101
102
103
104
а
I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ФИЛЬТРАЦИИ
от
ек
1. 1. Фильтрация
яб
иб
ли
Нефть и природные газы заключены в недрах Земли. Их скопления
связаны с вмещающими породами – пористыми и проницаемыми
образованиями, имеющими непроницаемые кровлю и подошву. Горные
породы, которые могут служить вместилищами нефти и газа и отдавать их при
разработке, называются коллекторами. В свою очередь коллекторы называют
пористыми или трещиноватыми в зависимости от геометрии пустот.
Природные жидкости: нефть, газ, подземные воды и их смеси, находятся
в пустотах – порах и трещинах коллекторов. Часто находящиеся в пустотном
пространстве коллектора природные жидкости, газы и их смеси, обозначают
общим термином флюид, - подразумевая под ним любую из них или их смеси.
Флюид, находящийся в коллекторе, может находиться в состоянии покоя или
двигаться. Движение флюидов через твёрдые (деформируемые или
недеформируемые) трещиноватые или пористые среды называется
фильтрацией.
Таким образом, подземной гидромеханикой называется наука, которая
изучает законы равновесия и движения флюидов в пористых и
трещиноватых средах – подземных пластах, которые являются
коллекторами углеводородного сырья.
Фильтрационно-емкостные свойства
пористых и трещиноватых сред.
Коэффициенты пористости и просветности
нн
а
1.2.
Эл
ек
тр
о
Одной из важнейших характеристик пористой среды является
пористость, которую в дальнейшем будем обозначать через m .
Под пористостью однородного пустотного пространства понимают
отношение объёма пустот Vпор образца пористой среды ко всему объёму
образца Vобр :
m=
Vпор
Vобр
(1.1)
Под п о р и с т о с т ь ю в теории фильтрации понимается эффективная
п о р и с т о с т ь, при определении которой учитываются лишь сообщающиеся
между собой поры, которые могут быть заполнены жидкостью извне.
Другой важной характеристикой пористой среды является просветность
или поверхностная пористость, которую будем обозначать через m′ . Под
просветностью плоского сечения однородной пористой среды понимают
отношение площади просветов Fпросв к площади Fобр всего сечения:
5
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Fпросв
а
(1.2)
Fобр
от
ек
m′ =
m =1 −
иб
ли
Как следует из определений пористость и просветность, являются
безразмерными характеристиками.
Упрощённой моделью пористой среды является модель фиктивного
грунта. Ф и к т и в н ы й г р у н т состоит из шариков одного диаметра,
уложенных определённым образом.
Угол α изменяется в пределах от 600 до 900. Углу α = 600 соответствует
наиболее плотная укладка шаров, углу α = 900 – наиболее свободная.
Пористость фиктивного грунта определяется по формуле Ч.Слихтера:
π
6(1 − cos α ) 1 + 2 cos α
,
яб
из которой следует, что пористость зависит не от диаметра частиц, а лишь от их
взаимного расположения, которое определяется углом α .
1.3. Линейный закон фильтрации Дарси.
Коэффициенты проницаемости и фильтрации.
Скорость фильтрации, скорость движения
Эл
ек
тр
о
нн
а
Первые экспериментальные наблюдения за движением воды в трубах,
заполненных песком, произвели А.Дарси (1856г.) и Ж.Дюпюи (1948-1963гг.).
Этими работами было положено начало теории фильтрации. Именем Дарси
назван линейный закон фильтрации, который он установил создавая первую
совершенную систему водоснабжения в г. Дижоне (Франция).
Анри Дарси исследовал течение воды через вертикальные песчаные
фильтры. В результате тщательно проведённых экспериментов была
установлена экспериментальная формула:
Q = kф
где
H1 − H 2
l
F = kф
∆H
F,
l
(1.3)
3
Q – объемный расход жидкости через песчаный фильтр, (м /с),
2
F – площадь сечения, (м ),
∆H = H1 − H 2 - разность гидравлических напоров воды над
фильтром и у его основания,
k ф – коэффициент фильтрации, который зависит как от природы
пористой среды, так и свойств фильтрующейся жидкости.
l – длина песчаного фильтра.
6
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
k
∆H
ρ⋅g
F
µ
l
иб
ли
Q=
или
Q=
где
от
ек
а
Коэффициент фильтрации
имеет размерность скорости и
характеризует скорость потока через единицу площади сечения,
перпендикулярного к потоку, под действием единичного градиента напора.
Коэффициент фильтрации k ф используется обычно в гидродинамических
расчётах, где приходится иметь дело с одной жидкостью – водой. При
исследовании фильтрации газа, нефти и их смесей необходимо разделить
влияние свойств пористой среды и флюида. Поэтому для разделения свойств
флюида и пористой среды равенство (1.3) представляется в ином виде:
k p1 − p 2
k ∆p
F=
F,
µ
l
µ l
(1.4)
(1.5)
µ - динамический коэффициент вязкости, Па*с,
яб
p = ρ ⋅ g ⋅ H – давление,
k – коэффициент проницаемости, который не зависит от
нн
а
свойств жидкости и является динамической
характеристикой только пористой среды.
Размерность коэффициента проницаемости определяется из следующей
формулы:
[ k ]=
[Q ][µ ][l ] = м 3 ⋅ c −1 ⋅ Па ⋅ c ⋅ м = м 2
[∆p ][F ]
Па м 2
Эл
ек
тр
о
и равна размерности площади, то есть в системе единиц измерения СИ – метр в
квадрате.
Проницаемость большинства горных пород выражается весьма малыми
числами. Так проницаемость крупнозернистых песчаников составляет
10-12 – 10-13 м2 (1 – 0,1 мкм2), проницаемость плотных песчаников – 10-14 м2
(0,01 мкм2). В виду этого в нефтепромысловой практике получила
распространение единица измерения проницаемости 1 Д (Дарси) = 1,02 ⋅10-12
м2.
Из сравнения равенств (1.3) и (1.4) следует, что коэффициент фильтрации
и проницаемости связаны между собой соотношением вида:
где
kф =
k
⋅ρ⋅g
µ
3
ρ - плотность жидкости, кг/м ,
2
g - ускорение силы тяжести, м/с .
7
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(1.6)
от
ек
а
Скоростью фильтрации w называется отношение объёмного расхода
жидкости Q к площади поперечного сечения пласта Fобр :
Q
Fобр
w=
(1.7)
Скорость фильтрации – фиктивная скорость, так как она определена
в любой точке сечения пористой среды – и в порах, и в твёрдом скелете.
k ∆p
⋅
µ l
иб
ли
w=
равна отношению объёмного
Средняя скорость движения жидкости ϑ
расхода к площади просветов Fпросв.
Fпросв
=
Q
m⋅w
фильтрации
и
средняя
скорость
w = m ⋅ϑ
движения
(1.9)
связаны
(1.10)
нн
а
Скорость
соотношением
Q
яб
ϑ=
(1.8)
Фильтрация происходит по чрезвычайно малым в поперечных размерах
поровым каналам при очень малых скоростях движения жидкостей.
Задача 1
Эл
ек
тр
о
Определить коэффициент проницаемости пористой среды (в Дарси), если
известно, что коэффициент фильтрации
0,6 ⋅ 10 −4 см / с, кинематический
коэффициент вязкости фильтрующейся жидкости 10 −6 м 2 / с . Фильтрация
жидкости происходит по закону Дарси.
Задача 2
Пример решения.
Определить коэффициент пористости, зная, что скорость движения через
образец, определяемая при помощи индикатора, равна 3 ⋅ 10 −2 см / с , коэффициент
проницаемости 0,2 Д, вязкость жидкости 4 мПа⋅с и разность давлений 2 ат при
длине образца 15 см.
8
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
m=?
от
ек
а
Дано:
Решение:
-2
-4
Используя формулу (1.8) определим w :
ϑ = 3⋅10 см/с = 3⋅10 м/с
-12 2
k = 0,2 Д = 0,2⋅1,02⋅10 м
-3
k ∆p
µ = 4 мПа⋅с = 4⋅10 Па⋅с
w=
µ l
5
∆p = 2ат = 2⋅10 Па
С другой стороны:
l = 15 см = 0,15 м
w = m ⋅ϑ
(1.10)
Приравниваем эти величины и выразим m :
k ∆p 1
⋅
⋅
µ l υ
0,2 ⋅ 1,02 ⋅ 10 −12 ⋅ 2 ⋅ 10 2
m=
= 0,23
4 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,15 ⋅ 3 ⋅ 10 − 4
иб
ли
m=
Ответ: m = 23% .
Задача 3
яб
Определить коэффициент фильтрации, если известно, что площадь
поперечного сечения образца песчаника 30 см 2 , длина образца 15 см , разность
давлений на входе жидкости в образец и на выходе 2 ат, плотность жидкости
1000 кг / м 3 и расход равен 5 л / ч.
нн
а
Задача 4
Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения нефти у
стенки гидродинамически совершенной скважины и на расстоянии 75 м , если
известно, что толщина пласта 10 м , коэффициент пористости 12 % , радиус
скважины 0,1 м , массовый дебит скважины 5,4 т / сут и плотность нефти
Эл
ек
тр
о
850 кг / м 3 .
Задача 5
Определить объёмный дебит Qc и скорость фильтрации газа wc у стенки
гидродинамически совершенной скважины, если известно, что приведённый к
атмосферному давлению и пластовой температуре объёмный дебит газа
10 6 м 3 / сут , радиус скважины 0,1 м , толщина пласта 20 м , абсолютное давление
газа на забое 4,9 МПа.
9
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Задача 6
Задача 7
от
ек
Определить среднее значение скорости фильтрации у входа жидкости в
гидродинамически несовершенную по степени вскрытия скважину, если
толщина пласта 25 м , относительное вскрытие пласта 0,6, радиус скважины
0,1 м , дебит жидкости 2,5 м 3 / сут.
иб
ли
Определить коэффициенты проницаемости и фильтрации для
цилиндрического образца пористой среды диаметром 5 см , длиной 20 см, если
разность давлений на концах образца составляет 300 мм рт. ст., расход жидкости
1,70 л / ч, динамический коэффициент вязкости жидкости 5 мПа ⋅ с, плотность её
1000 г / см 3 . Найти также скорость фильтрации.
Задача 8
яб
Определить скорость фильтрации и среднюю скорость движения при
плоскорадиальной фильтрации газа к скважине в точке на расстоянии 150 м от
центра скважины, если давление в этой точке равно 7,84 МПа, толщина пласта
12 м, пористость его 20 % , а приведённый к атмосферному давлению и
м3
.
сут
нн
а
пластовой температуре дебит 2 ⋅ 10 6
Задача 9
Образец пористой среды длиной 10 см и диаметром 5 см после
насыщения под вакуумом керосином с плотностью 850
кг
стал тяжелее на
м3
Эл
ек
тр
о
20 гр. Определить коэффициент пористости образца.
Задача 10
После насыщения образца (см. задачу 9) через него началась
установившаяся фильтрация керосина в продольном направлении, причём за
10 мин через образец прошло 100 см 3 жидкости.
Определить скорость фильтрации и скорость движения.
10
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
2.1. Критерий Рейнольдса
а
II. ГРАНИЦЫ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНА ДАРСИ
иб
ли
Закон Дарси является линейным законом фильтрации, но иногда
очевидно его нарушение. Закон Дарси нарушается вследствии того, что силы
инерции, возникающие в жидкости за счёт извилистости каналов и изменения
площади их поперечных сечений, становятся соизмеримыми с силами трения.
Поэтому необходимо уметь определять применимость закона Дарси, используя
следующие формулы.
Впервые число Рейнольдса для фильтрации жидкости было введено
Н.Н. Павловским в виде:
w ⋅ d эф
Re =
(2.1)
(0,75m + 0,23) ⋅ν
где
w − скорость фильтрации,
d эф - эффективный диаметр частиц,
яб
m - коэффициент пористости,
ν - кинематический коэффициент вязкости:
ν=
(2.2)
µ - динамический коэффициент вязкости,
нн
а
где
µ
ρ
ρ - плотность жидкости.
Критическое значение Re по Н.Н. Павловскому равно:
Re кр = 7,5
Эл
ек
тр
о
Число Рейнольдса по В.Н. Щелкачёву имеет вид :
где
Re =
10 ⋅ w ⋅ k
m 2,3 ⋅ν
,
(2.3)
k - коэффициент проницаемости;
а его критическое значение
Re кр = 1 .
По М.Д. Миллионщикову за характерную скорость взята средняя
скорость движения жидкости:
11
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
k
⋅ρ
w⋅ k
m
= 1, 5
,
µ
m ⋅ν
(2.4)
иб
ли
Re =
а
k
, т.е.
m
а за линейный параметр – выражение
ϑ⋅
w
,
m
от
ек
ϑ=
Re кр = 0,022 .
яб
Если вычисленное по одной из формул (2.1), (2.3), (2.4) значение числа
Re оказывается меньше критического значения Re кр , то закон Дарси
справедлив, если Re больше критического значения Re кр , то закон Дарси
нарушен.
Задача 11
Пример решения.
нн
а
Определить по формуле Щелкачёва, происходит ли фильтрация в пласте
по закону Дарси, если известно, что дебит нефтяной скважины
3
200 м
сут
,
толщина пласта 5 м , коэффициент пористости 16 % , коэффициент
проницаемости 0,2 Д , плотность нефти 0,8 г 3 , динамический коэффициент
см
вязкости её 5 мПа ⋅ с . Скважина гидродинамически совершенна, радиус её 0,1 м .
Эл
ек
тр
о
Дано:
3
Q = 200 м /сут =
200 м
86400 с
3
h =5м
m = 16% = 0,16
-12 2
k = 0,2 Д = 0,2⋅1,02⋅10 м
3
3
= 0,8 г/см = 800 кг/м
-3
µ н = 5 мПа⋅с = 5⋅10 Па⋅с
rc = 0,1 м
ρ
Решение:
Из формулы (2.3) следует :
Re =
где
ν =
н
Re - ?
Re =
µ
,
ρ
10 w k
,
m 2,3 ν
10 w k ⋅ ρ
µ
m 2,3
По формуле (1.7) определим w :
12
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Q
, где F = 2π ⋅ rc ⋅ h
F
Q
w=
2π ⋅ rc ⋅ h
10 ⋅ 200 0,2 ⋅ 1,02 ⋅ 10 −12 ⋅ 800
= 0,036
0,16 2 ,3 ⋅ 86400 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 0,1 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 10 −3
иб
ли
Re =
Q⋅ k
10
⋅ρ
2, 3
m 2π ⋅ rc ⋅ h ⋅ µ
от
ек
Re =
а
w=
Ответ: Re = 0,036 < Re кр = 1 − фильтрация происходит по закону Дарси.
Задача 12
яб
Определить значение числа Рейнольдса у стенки гидродинамически
несовершенной по характеру вскрытия нефтяной скважины, если известно, что
эксплуатационная колонна перфорирована, на каждом метре длины колонны
прострелено 10 отверстий диаметром 10 мм , толщина пласта 15 м ,
проницаемость пласта 1 Д , пористость его 18 % , коэффициент вязкости нефти
4 мПа ⋅ с , плотность нефти 870 кг / м 3 и дебит скважины составляет 140 м 3 / сут.
нн
а
Задача 13
Эл
ек
тр
о
Определить радиус призабойной зоны, в которой нарушен закон Дарси,
при установившейся плоскорадиальной фильтрации идеального газа, если
известно, что приведённый к атмосферному давлению дебит скважины
2 ⋅ 10 6 м 3 / сут, толщина пласта 10 м , коэффициент проницаемости 0,6 Д ,
коэффициент пористости пласта 19 %, динамический коэффициент вязкости
газа в пластовых условиях 1,4 ⋅ 10 −5 Па ⋅ с, плотность газа при атмосферном
давлении и пластовой температуре 0,7 кг / м 3 .
Задача 14
Дебит газовой скважины, приведённый к атмосферному давлению при
пластовой температуре 2 ⋅ 10 6 м 3 / сут, абсолютное давление на забое 7,84 МПа ,
толщина пласта 10 м, коэффициент пористости пласта 18 %, коэффициент
проницаемости 1,2 Д , динамический коэффициент вязкости в пластовых
условиях 0,015 мПа ⋅ с, плотность газа при атмосферном давлении и пластовой
температуре 53,3 кг / м 3 . Определить, имеет ли место фильтрация по закону
Дарси в призабойной зоне совершенной скважины радиусом 10 см.
13
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Задача 15
Задача 16
от
ек
Через цилиндрический образец породы длиной 10 см и диаметром 7 см ,
пористостью 15,8 % фильтруется нефть ( ρ = 890 кг м 3 , µ = 1 Па ⋅ с ) с расходом
0,1 см 3 с при перепаде давления 10 ат .
Определить применимость закона Дарси (по формуле В.Н. Щелкачёва).
иб
ли
Горизонтальная цилиндрическая труба длиной 2 м с внутренним
диаметром 10 см заполнена песком (коэффициент проницаемости песка 26 % ).
Через трубу при перепаде давления 2 ат фильтруется жидкость вязкостью
4 мПа ⋅ с и плотностью 850 кг м 3 с расходом 4 см 3 с .
Доказать, что закон Дарси в этих условиях соблюдается и определить
коэффициент проницаемости песка.
яб
III. ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
3.1. Схемы одномерных фильтрационных потоков
Эл
ек
тр
о
нн
а
К простейшим одномерным задачам относятся такие, в которых
надлежащим выбором системы координат можно сделать так, что
фильтрационные характеристики (скорость, давление и т.д.) будут функциями
только одной координаты. Одномерные фильтрационные потоки обладают
различной симметрией. В зависимости от симметрии фильтрационного потока
различают прямолинейно-параллельное, плоскорадиальное и радиальносферическое течение.
В прямолинейно-параллельном потоке траектории частиц (линии тока)
представляют собой прямые линии, которые параллельны друг другу. В
качестве примеров прямолинейно-параллельных фильтрационных течений
можно привести следующее: в лабораторных условиях при движении жидкости
или газа через цилиндрический керн или через трубу постоянного диаметра,
заполненную пористой средой; на отдельных участках продуктивного пласта
при притоке жидкости к батарее скважин (рис. 1).
Рис. 1.
14
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Рис. 2.
иб
ли
от
ек
а
В случае плоскорадиального течения линии тока представляют собой
лучи, лежащие на плоскости и исходящие из общего центра (полюса).
Примером подобной схемы фильтрационного течения является приток флюида
к центральной скважине в круговом пласте (рис. 2), (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Вертикальное сечение плоскорадиального потока.
нн
а
яб
При радиально-сферической фильтрации траектории частиц направлены
к центру (от центра) полусферы. Подобное фильтрационное течение можно
представить в случае, когда вскрыта кровля пласта и приток флюида к
полусфере (рис. 3).
Рис. 3.
Эл
ек
тр
о
3.2. Прямолинейно-параллельная фильтрация
несжимаемой жидкости
Рассмотрим решение задачи по определению основных характеристик
одномерных
фильтрационных
течений
несжимаемой
однородной
ньютоновской жидкости в однородном недеформируемом пласте.
Рис. 4. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток.
15
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
иб
ли
от
ек
а
Пусть пласт представляет собой прямоугольный параллелепипед
шириной B и толщиной h, ограниченный сверху и снизу непроницаемыми
плоскостями, слева контуром питания, справа – галереей. Выберем систему
координат так, как это показано на рис. 4, то есть начало координат поместим
на плоскость контура питания. Название – контур питания – обусловлено тем,
что согласно постановке задачи через плоскость x = 0 происходит приток в
пласт жидкости, которая далее фильтруется к галерее x = Lk. Ось О x направим
параллельно вектору скорости фильтрации. Тогда можно положить, что
искомые функции – давление и скорость фильтрации – зависят только от
координаты x, и уравнение Лапласа в виде
∂2 p ∂2 p ∂2 p
+
+
=0
∂x 2 ∂у 2 ∂z 2
(3.1)
d2p
=0
dx 2
(3.2)
яб
запишется следующим образом:
Проинтегрировав уравнение ( 3.2 ) получим
откуда dp = C1 dx
нн
а
dp
= C1 ,
dx
и,
(3.3)
далее p = C1 x + C 2
Эл
ек
тр
о
Для нахождения констант интегрирования С1 и С2 необходимо задать
граничные условия, то есть значения давления в двух точках на линии тока.
Обычно известны значения давления на контуре питания pк и галерее p г
( pк > p г ). Поэтому для нахождения С1 и С2 имеем следующие граничные
условия
p = p к при x = 0
p = p г при
x = Lk ,
где p k – давление на контуре питания,
p г - давление на галерее.
Подставив граничные условия в выражение p = C1 ⋅ x + C 2 , получим
p г = С1 Lk + C 2
pk = C 2
16
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
pк − pг
Lk
C 2 = pk
и
от
ек
С1 = −
а
откуда найдём, что
Далее, подставив найденные значения постоянного интегрирования в
выражения для давления, градиента давления и скорости фильтрации, получим
решение задачи при прямолинейно-параллельной фильтрации
скорость фильтрации:
dp
p − pг
=− к
dx
Lk
яб
градиент давления:
pк − p г
x
Lk
иб
ли
p = pк −
давление:
нн
а
w=
k pk − pг
⋅
µ
Lk
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Объёмный расход жидкости в потоке определяется произведением
скорости фильтрации w на площадь поперечного сечения потока F = B ⋅ h ,
т.е.
Эл
ек
тр
о
Q = w⋅ F =
k pk − p г
⋅
⋅B⋅h
µ
Lk
(3.7)
Закон движения частиц жидкости (или определения времени движения
жидкости в пласте) t = f (x) найдём, используя соотношение между скоростью
фильтрации w и средней скоростью движения частиц жидкости ϑ . Имеем
w = m ⋅ϑ = m ⋅
dx
,
dt
откуда
dt =
m
⋅ dx
w
17
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(3.8)
m ⋅ µ ⋅ Lk
m
x
⋅x=
k pk − pг
k ⋅ ( pk − pг )
⋅
Lk
µ
и используя ( 3.7 ), можно представить в виде
t=
m⋅B⋅h
⋅x
Q
m⋅ B⋅h
2
T=
⋅ Lk
Q
T=
иб
ли
или
m
m⋅B ⋅h
⋅x=
⋅x
w
Q
(3.9)
от
ек
t=
а
Подставив выражение (3.6) для скорости фильтрации в (3.8) и интегрируя
в пределах от 0 до x , получим закон движения жидких частиц:
(3.10)
(3.11)
(3.12)
яб
Средневзвешенное по объёму порового пространства пластовое давление
найдём из выражения
1
~
p=
Vпор
пор
(3.13)
vпор
нн
а
В нашем случае
∫ p ⋅ dV
Vпор = m ⋅ B ⋅ h ⋅ Lk ,
dVпор = m ⋅ B ⋅ h ⋅ dx
(3.14)
Эл
ек
тр
о
Подставив значения Vпор , dVпор в (3.13) , p из (3.4) и проинтегрировав,
найдём
~
p=
L

pk − pг 
p − pг 
1 k


 p k − k
p
−
x
⋅
m
⋅
B
⋅
h
⋅
dx
=
⋅
⋅ x  ⋅dx =
∫0  k Lk 
∫
Lk 0 
Lk

p − p г L2 k  pk + p г
1 
=
=
⋅  p k ⋅ Lk − k
⋅
Lk 
Lk
2 
2
1
m ⋅ B ⋅ h ⋅ Lk
Lk
(3.15)
Таким образом, основные фильтрационные характеристики при
установившейся прямолинейно-параллельной фильтрации несжимаемой
жидкости определяются формулами (3.4) - (3.15).
18
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
иб
ли
от
ек
а
Изменение
характеристик
прямолинейно-параллельного
фильтрационного потока представлено на рис. 5.
Рис.5. Изменение характеристик прямолинейно-параллельного потока.
3.3. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой жидкости
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
Пусть несжимаемая жидкость притекает к гидродинамически
совершенной скважине радиусом rс, расположенной в центре однородного
горизонтального кругового пласта постоянной толщины h . На внешней
круговой границе пласта радиусом Rk , служащей контуром питания,
поддерживается постоянное давление p k , на забое скважины давление p c тоже
постоянно. Движение жидкости установившееся (рис. 6).
Рис. 6. Плоскорадиальный поток в круговом пласте.
Дифференциальное уравнение для случая плоского фильтрационного
потока имеет вид
∂2 p ∂2 p
+
=0
∂x 2 ∂у 2
(3.16)
Можно упростить исследование плоскорадиального потока, если
уравнение Лапласа (3.1) представить в цилиндрических координатах r и ϕ.
Используем для этого схему течения в трубке тока переменного сечения.
19
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
иб
ли
от
ек
а
Пусть ось цилиндра радиуса r > rc ( где rc - радиус скважины)
совпадает с осью z . Тогда для плоскорадиального потока произвольная трубка
тока с центральным углом ϕ и площадью фильтрационной поверхности
F (r ) = ϕ ⋅ r ⋅ h имеет вид, представленный на (рис. 7).
Рис. 7. Трубка тока в плоскорадиальном потоке
яб
Так как r = Rk − s , а ds = −dr , в соответствии с законом Дарси можно
записать:
k dp
k dp
Q=− ⋅
⋅ F = ⋅ ⋅ϕ ⋅ r ⋅ h .
µ ds
µ dr
Поскольку при установившемся движении несжимаемой жидкости
расход Q сохраняется вдоль оси r струйки, имеем
и
d
dr
 k dp

⋅  ⋅ ϕ ⋅ r ⋅ h  = 0 .
 µ dr

нн
а
dQ
=0
dr
Отсюда, сокращая на постоянные величины k , µ , h и ϕ , получаем
Эл
ек
тр
о
d  dp 
⋅r ⋅  = 0
dr  dr 
(3.17)
Уравнение (3.17) в развёрнутом виде запишется так:
d 2 p 1 dp
+
=0
dr 2 r dr
или
d 2 p dp
r⋅ 2 +
=0
dr
dr
(3.18)
Это и есть дифференциальное уравнение Лапласа для установившегося
плоскорадиального фильтрационного потока несжимаемой жидкости по закону
Дарси.
20
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
r⋅
dp
= C1
dr
dp = C1 ⋅
Выразим dp :
или
от
ек
а
Дважды проинтегрировав уравнение (3.18), получим его общее решение.
Находим последовательно
dp
1
= C1 ⋅
dr
r
dr
, откуда
r
иб
ли
p = C1 ⋅ ln r + C2
(3.19)
Постоянные интегрирования С1 и С2 находятся из граничных условий,
которые в данном случае можно записать в виде
при r = rc
p = pk
(3.20)
яб
при r = Rk
p = pc
Подставляя граничные условия (3.20) в общее решение (3.19), получаем
систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
нн
а
pc = C1 ⋅ ln rc + C 2 ;
pk = C1 ⋅ ln Rk + C2 .
Эл
ек
тр
о
откуда
C1 =
Подставив, значение С1 в уравнение
C2 = pc −
pk − pc
R ;
ln k
rc
(3.21)
(3.22)
p c = C 1 ⋅ ln rc + C 2 определим C 2 :
p k − pc
p − pc
⋅ ln rc = pk − k
⋅ ln Rk .
Rk
Rk
ln
ln
rc
rc
(3.23)
Подставляя C1 и C 2 в общее решение (3.19), получим закон
распределения давления в плоскорадиальном потоке:
21
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
p k − pc
p − pc
R
r
⋅ ln = p k − k
⋅ ln k
R
R
rc
r
ln k
ln k
rc
rc
(3.24)
от
ек
p = pc +
яб
иб
ли
Из формулы (3.24), следует, что давление в пласте распределено по
логарифмическому закону. Поэтому при значениях радиуса, близких к радиусу
контура питания, значения давления изменяются незначительно, но при
приближении к скважине давление резко изменяется (рис. 8). Эти формулы в
пространстве определяют поверхности, которые получаются вращением
образующей вокруг оси симметрии скважины. Поверхность, соответствующая
распределению давления, называется воронкой депрессии.
Рис. 8. Распределение давления в плоскорадиальном потоке.
dp
определим из (3.19 а), подставив в него значение
dr
С1 :
нн
а
Градиент давления
dp p k − pc 1
⋅
=
Rk r .
dr
ln
rc
(3.25)
Эл
ек
тр
о
Тогда скорость фильтрации будет равна:
w=
k dp k pk − pc 1
⋅
= ⋅
⋅
Rk r .
µ dr µ
ln
rc
(3.26)
Как видно из формул (3.25) и (3.26) градиент давления и скорость
фильтрации при приближении к скважине резко возрастают (рис. 9). Это легко
объяснимо, так как вблизи контура питания площадь боковой поверхности
цилиндра очень велика и скорости малы. При приближении к скважине
площадь поверхности постоянно уменьшается и скорость возрастает. Для того,
чтобы скорость возрастала, необходимо увеличение градиента давления.
22
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
от
ек
Дебит совершенной скважины:
Q = w⋅ F =
откуда
k pk − pc 1
⋅ ⋅ 2π ⋅ r ⋅ h ,
⋅
Rk r
µ
ln
rc
2π ⋅ k ⋅ h pk − pc
⋅
R
µ
ln k
rc
яб
Q=
иб
ли
Рис. 9. Зависимость скорости фильтрации и градиента давления
в плоскорадиальном потоке от радиуса.
(3.27)
нн
а
Формулу (3.27) называют формулой Дюпюи по фамилии её автора –
французского инженера – гидравлика XIX века.
Закон движения частиц жидкости вдоль их траекторий найдём из
соотношения скорости фильтрации и средней скорости движения жидкости
w = m ⋅ϑ = m ⋅
Эл
ек
тр
о
откуда
dt = −
ds
dr
= −m ⋅ ,
dt
dt
m
⋅ dr .
w
Подставляя сюда значение скорости фильтрации w из (3.26) и интегрируя
в пределах от 0 до t и r0 до r , получим закон движения жидких частиц:
R
m ⋅ µ ⋅ ln k
2
2
rc (r0 − r 2 ) π ⋅ m ⋅ h ⋅ (r0 − r 2 )
t=
⋅
=
,
(3.28)
k ⋅ ( pk − pc )
2
Q
где r0 – начальное положение частицы жидкости в момент времени t = 0;
r – текущее положение частицы жидкости в момент времени t.
23
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
T=
(
)
π ⋅m⋅h 2
2
Rk − rc .
Q
по
объёму
порового
(3.29)
пространства
иб
ли
Вычислим средневзвешенное
пластовое давление
1
~
p=
V пор
от
ек
а
Время Т отбора всей жидкости из кругового пласта радиусом Rk
получим, если в (3.28) подставим вместо r0 радиус контура питания Rk , а
вместо r - радиус скважины rc . Тогда
∫ p ⋅ dV
пор
.
Vпор
Здесь Vпор = π ⋅ h ⋅ m ⋅ ( Rk − rc ) - полный объём пор в пласте радиусом
2
2
Rk ;
яб
dV пор = 2π ⋅ m ⋅ h ⋅ r ⋅ dr .
Используя эти величины и формулу (3.24) для давления p, находим
нн
а
~
p=


p k − pc
Rk

∫r  p k − Rk ⋅ ln r
c
ln

rc

1
π ⋅ m ⋅ h ⋅ Rk2 − rc2
(
Rk
)


 2π ⋅ m ⋅ h ⋅ r ⋅ dr
,



Эл
ек
тр
о
откуда после интегрирования получим
p − pc
~
p = pk − k
R
2 ln k
rc
(3.30)
При вычислении интеграла предполагали, что rc << Rk .
Отношение дебита скважины Q к ∆ p называется коэффициентом
продуктивности скважины K . Из формулы (3.27) находим
K=
Q
2π ⋅ k ⋅ h
=
R .
∆p
µ ⋅ ln k
rc
24
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(3.31)
а
м3
[K ] =
.
Па ⋅ с
от
ек
Размерность коэффициента продуктивности K, как это следует из
формулы (3.31), будет
иб
ли
График зависимости дебита от перепада давления называется
индикаторной диаграммой. Следовательно, в рассматриваемом потоке
индикаторной линией является прямая (рис. 10).
яб
Рис.10. Индикаторная диаграмма плоскорадиального
потока несжимаемой жидкости по закону Дарси
нн
а
Таким образом, характеристики установившейся плоскорадиальной
фильтрации несжимаемой жидкости в однородном пласте определяются по
формулам (3.24) – (3.31).
3.4. Радиально-сферическая фильтрация несжимаемой жидкости
Эл
ек
тр
о
Определим распределение давления и скорости фильтрации в случае
радиально-сферической фильтрации несжимаемой жидкости. Пусть имеем
скважину радиуса rc , вскрывшую кровлю пласта, на забое которой
поддерживается постоянное давление p c . Можно предположить, что толщина
пласта h достаточно большая и можно выделить полусферу радиуса Rk , на
поверхности которой поддерживается постоянное давление p k и через неё
происходит приток флюида, равный дебиту скважины. Течение
установившееся и поверхность полусферы представляет собой контур питания.
Тогда можно предположить, что вскрытие кровли пласта имеет форму
полусферы и вектор скорости фильтрации в любой точке пласта между
контуром питания и забоем скважины направлен к центру сферы. В этом случае
задача имеет сферическую симметрию и её удобно решать в сферической
системе координат (рис. 11).
25
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
от
ек
Рис. 11. Радиально – сферический фильтрационный поток.
яб
иб
ли
Система уравнений для решения задачи остаётся прежней и представляется
уравнением (3.1).
В радиально-сферическом потоке трубка тока с телесным углом ϕ и
2
площадью фильтрационной поверхности F (s ) = ϕ ⋅ r (где r – радиус-вектор
этой поверхности) имеет вид, изображённый на рис. 12.
Рис. 12. Трубка тока в радиально-сферическом потоке
нн
а
Используя равенства s = Rk − r , ds = − dr и закон Дарси, аналогично
случаю плоскорадиального потока находим
Эл
ек
тр
о
Q=−
k dp
k ∂p
ϕ ⋅ r 2 = const ;
F (s ) =
µ ∂s
µ dr

dQ d  k dp
= 
ϕ ⋅ r 2  = 0
dr dr  µ dr

Отсюда, сокращая на постоянные величины ϕ, k и µ, имеем
d  2 dp 
r
=0
dr  dr 
Уравнение (3.32) можно записать в развёрнутом виде
r2
d2p
dp
+ 2r
=0
2
dr
dr
или
26
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(3.32)
а
d 2 р 2 dp
+
=0
dr 2 r dr
от
ек
(3.33)
Уравнение (3.33) и есть дифференциальное уравнение Лапласа в
сферических координатах для установившейся радиально-сферической
фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси.
Общее решение уравнения (3.33) найдём, посредством его двукратного
интегрирования. Имеем:
dp
dr
C1 ; dp = C1 2
dr
r
p=−
иб
ли
r2
C1
+ C2
r
(3.34)
(3.35)
Постоянные интегрирования С1 и С2 определяются из следующих
граничных условий:
p = pc
при r = Rk
p = pk
яб
при r = rc
(3.36)
нн
а
Подставив граничные условия (3.36) в решение (3.35), найдём
C
pc = − 1 + C 2
rc
pk = −
Эл
ек
тр
о
откуда
C 2 = pk +
C1
+ C2
Rk
C1 =
pk − pc
1
1
−
rc Rk
p k − pc
1
1 

R k  −
 rc R k 
= Pc +
(3.37)
p k − pc
1
1
rc  −
 rc R k



(3.38)
Распределение давления при радиально-сферической фильтрации
несжимаемой
жидкости
найдём,
подставив
значения
постоянных
интегрирования С1 и С2 формулы (3.37) и (3.38) в общее решение (3.35):
27
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1 1 
p − pc
 −
 = p c + k
1
1
 r Rk 
−
rc Rk
 1 1
 − 
 rc r 
а
p k − pc
1
1
−
rc Rk
(3.39)
от
ек
p = pk −
иб
ли
Градиент приведённого давления определим из (3.34), подставим
значение С1 из (3.37):
dp p k − p c 1
=
(3.40)
1 r2
dr 1
−
rc Rk
Тогда, используя (3.40), определяем дебит добывающей скважины
радиусом rc
Q=
2π ⋅ k p k − pc 1
k dp
k p k − pc 1
2π ⋅ r 2 =
2π ⋅ r 2 =
2
1 r
1 r2
µ dr
µ 1
µ 1
−
−
rc Rk
rc Rk
r
яб
Скорость фильтрации на расстоянии
найдём из её определения, используя (3.41):
от центра забоя скважины
Q
Q
k pk − pc 1
=
=
2
F (r ) 2π ⋅ r
µ 1 − 1 r2
rc Rk
нн
а
w=
(3.41)
(3.42)
Эл
ек
тр
о
Закон движения частиц жидкости вдоль их траекторий r определяется из
соотношения:
dt = −
m
dr ,
w
интегрируя которое в пределах от 0 до t и от r0 до r, и используя (3.42),
находим закон движения в следующем виде:
 1
1
m ⋅ µ  −
 Rc Rk
t=
k ⋅ ( p k − pc )

 3 3
3
3
 r0 − r = 2π ⋅ m r0 − r
3
Q
3
(3.43)
Для того чтобы найти время Т продвижения частицы жидкости от
начального положения r0 до скважины, нужно в последней формуле принять
r = rc . Если при этом пренебречь величиной rc3 вследствие ее малости, то
получим
28
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
2π ⋅ m 2
R0
3Q
(3.44)
от
ек
Т=
Средневзвешенное по объёму порового пространства пластовое давление
найдём из его определения:
1
~
p=
Vпор
∫ p ⋅ dV
пор
Vпор
иб
ли
В нашем случае
(3.45)
2
Vпор = π ⋅ Rk3 ⋅ m
3
dVпор = 2π ⋅ r 2 dr ⋅ m,
p определяется по формуле (3.39).
яб
Тогда выражение (3.45) можно записать так:


p − pc
1
~
 pk − k
p=
∫
2
1
1
π ⋅ RK3 ⋅ m rc 
−

3
rc Rk

нн
а
Rk

 1 1 
 −
 2π ⋅ m ⋅ r 2 dr ,
 r Rk  


2
3
откуда после интегрирования, пренебрегая значениями rc и rc , по
2
сравнению с R к , найдём
Эл
ек
тр
о
p − pc
~
p = pk − k
(3.46)
R
2 k
rc
Таким образом, характеристики установившейся радиально-сферической
фильтрации несжимаемой жидкости в однородном пласте определяется
формулами (3.39) – (3.44) и (3.46).
Задача 17
Определить дебит дренажной галереи шириной
пласта
10 м , расстояние до контура питания
29
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
100 м , если толщина
10 км , коэффициент
Задача 18
от
ек
а
проницаемости пласта 1 Д , динамический коэффициент вязкости жидкости
1 мПа ⋅ с , давление на контуре питания 10 МПа и давление в галерее 8 МПа .
Движение жидкости напорное, подчиняется закону Дарси.
иб
ли
Определить коэффициент проницаемости пласта (в м2, Дарси и мДарси),
если известно, что в пласте происходит одномерное, прямолинейнопараллельное установившееся движение однородной жидкости по закону
Дарси. Гидравлический уклон 0,03, ширина галереи 500 м, толщина пласта
6 м, плотность жидкости 850 кг / м 3 , динамический коэффициент вязкости
5 мПа ⋅ с и дебит галереи 30 м 3 / сут.
Задача 19
яб
Найти градиент давления при прямолинейно-параллельном движении в
пласте несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации, используя
следующие данные: ширина галереи 300 м, толщина пласта 10 м, коэффициент
проницаемости пласта 0,8 Д , динамический коэффициент вязкости 4 мПа ⋅ с и
дебит галереи 26 м 3 / сут.
Задача 20
Эл
ек
тр
о
нн
а
В пласте с проницаемостью 0,5 Д , шириной 100 м , толщиной 15 м ,
содержится нефть вязкость 5 мПа ⋅ с . Галерея, эксплуатирующая залежь,
находится на расстоянии 3 км . Давление на левой границе пласта 150 ат , на
правой 120 ат , давление галереи 70 ат . Расстояние от левой до правой границы
5 км . Определить дебит и скорость фильтрации в левой и правой части пласта.
Задача 21
Определить дебит нефтяной скважины ( т / сут ) в случае установившейся
плоскорадиальной фильтрации жидкости по закону Дарси, если известно, что
давление на контуре питания 9,8 МПа , давление на забое скважины
7,35 МПа, коэффициент
проницаемости
пласта
0,5 Д , толщина
пласта
15 м, диаметр скважины 24,8 см, радиус контура питания 10 км , динамический
коэффициент вязкости жидкости 6 мПа ⋅ с и плотность жидкости 850 кг / м 3 .
Задача 22
Определить давление на расстоянии 10 и 100 м от скважины при
плоскорадиальном установившемся движении несжимаемой жидкости по
30
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
линейному закону фильтрации, считая, что коэффициент проницаемости пласта
0,5 Д , толщина пласта 10 м, давление на забое скважины 7,84 МПа, радиус
скважины
12,4 см, динамический
коэффициент
вязкости
нефти
3
4 мПа ⋅ с , плотность нефти 870 кг / м и массовый дебит скважины 200 т / сут.
Rk
rc  r02 − rc2
⋅ 
k ⋅ ∆p
 2
m ⋅ µ ⋅ ln ⋅
t=
яб
t -?
Решение:
Формулу (3.28) перепишем по условию задачи:
10 3
0,1
−12
6
1,02 ⋅ 10 ⋅ 10
0,15 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 ⋅ ln
t=




 200 2 − 0,12 
 = 1600 сут.
⋅ 
2


Ответ: t = 1600 сут.
нн
а
Дано:
r0 = 200 м
-12 2
k = 1Д = 1,02⋅10 м
-3
µ = 5мПа⋅с = 5⋅10 Па⋅с
3
Rk = 1 км = 10 м
6
∆p = 1 МПа = 10 Па
h = 10 м
m = 15% = 0,15
rc = 10 см = 0,1 м
иб
ли
Задача 23
Пример решения.
Определить время, за которое частица жидкости подойдёт к стенке
скважины с расстояния 200 м , если коэффициент проницаемости пласта 1 Д ,
динамический коэффициент вязкости нефти 5 мПа ⋅ с , депрессия во всём пласте
радиусом 1 км составляет 1 МПа ; толщина пласта 10 м , коэффициент
пористости пласта 15 % , радиус скважины 10 см .
Задача 24
Эл
ек
тр
о
Определить коэффициент гидропроводности пласта kh / µ по данным о
коэффициенте продуктивности скважины. Известно, что фильтрация
происходит
по
закону
Дарси,
коэффициент
продуктивности
18 т /(сут ⋅ ат ), среднее
расстояние между скважинами 1400 м, плотность
3
925 кг / м , радиус скважины 0,1 м.
Задача 25
Определить средневзвешенное по объёму пластовое давление, если
известно, что давление на контуре питания 9,8 МПа, давление на забое скважины
7,84 МПа, расстояние до контура питания 25 км, радиус скважины 10 см. В пласте
имеет место установившаяся плоскорадиальная фильтрация несжимаемой
жидкости по закону Дарси.
31
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Задача 26
10 см.
Задача 27
от
ек
Определить время отбора нефти из призабойной зоны скважины
радиусом 100 м, если толщина пласта 10 м, коэффициент пористости пласта
20 %, массовый дебит нефти 40 т / сут, плотность её 920 кг / м 3 , радиус скважины
иб
ли
Как изменится дебит скважины Q при увеличении радиуса скважины
вдвое?
1. Движение происходит по линейному закону фильтрации.
2. Фильтрация происходит по закону Краснопольского.
Начальный радиус скважины 0,1 м . Расстояние до контура питания 5 км.
Задача 28
яб
Найти изменение перепада давления при увеличении радиуса скважины
вдвое, при котором дебит остаётся прежним. Рассмотреть два случая, как в
предыдущей задаче. Начальный радиус скважины 0,1 м , расстояние до контура
питания 1 км.
Задача 29
нн
а
Во сколько раз необходимо увеличить радиус скважины, чтобы дебит её
при прочих равных условиях удвоился?
1) Движение жидкости происходит по закону Дарси.
2) Жидкость фильтруется по закону Краснопольского. Начальный радиус
скважины 0,1 м. Расстояние до контура питания 1 км.
Задача 30
Эл
ек
тр
о
Скважина радиусом 10 см расположена в центре кругового пласта
радиусом 350 м. (См. рис. 30). Коэффициент проницаемости пласта 0,8 Д ,
толщина 12 м, динамический коэффициент вязкости нефти 5 мПа ⋅ с . Определить
дебит скважины, считая, что залежь по контуру радиуса Rk частично
непроницаема. Контур питания представляет собой в плане дугу окружности
радиусом Rk с центральным углом 1200. Давление на контуре питания
27,9 МПа, давление на забое скважины 7,84 МПа.
32
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
иб
ли
Задача 31
от
ек
Рис. 30.
яб
Сколько жидкости следует закачивать в пласт в единицу времени через
нагнетательную скважину, если необходимо, чтобы давление в скважине
поддерживалось в процессе закачки на 1,47 МПа выше давления,
установившегося в пласте на расстоянии 2 км от скважины? Имеет место закон
Дарси. Динамический коэффициент вязкости
1 мПа ⋅ с , коэффициент
проницаемости пласта 150 мД , толщина пласта 10 м, радиус скважины 10 см.
Задача 32
давление в
точках, отстоящих на расстоянии
20 м, 10 м, 5 м, 1,5 м и 1 м от центра забоя скважины, вскрывшей пласт бесконечной
толщины на величину 0,5 м. На расстоянии 1 км давление 9,8 МПа , на забое
скважины 7,35 МПа , радиус скважины 12,4 см. Фильтрация к скважине
происходит по закону Дарси.
нн
а
Определить
Задача 33
Эл
ек
тр
о
Скважина вскрывает пласт бесконечно большой толщины на небольшую
глубину. Считая движение радиально-сферическим, определить время
перемещения частиц жидкости вдоль линий тока от точки с координатой 100 м
до точки с координатой 5 м . Скважина эксплуатируется с постоянным дебитом
120 м 3 сут , коэффициент пористости пласта 15 % .
IV. ВЛИЯНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО
НЕСОВЕРШЕНСТВА СКВАЖИНЫ НА ЕЁ ДЕБИТ
За гидродинамически совершенную скважину в нефтепромысловой
практике принимают скважину с открытым забоем, где фильтрационные
потоки движутся к скважине параллельно друг другу, кровле и подошве пласта
(рис. 14 а).
33
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
от
ек
иб
ли
Рис.14. Виды гидродинамического несовершенства скважин.
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
Скважины
чаще
всего
гидродинамически
несовершенны.
Гидродинамическое несовершенство скважин проявляется появлением
дополнительных сопротивлений, возникающих в призабойной зоне у стенок
скважины вследствие отклонения потока жидкости, а также в результате
сгущения линий токов у перфорационных отверстий, вызывающих местное
повышение скоростей движения жидкости.
Бывают гидродинамически несовершенные скважины по степени
вскрытия, где продуктивные пласты вскрывают не на всю толщину (рис. 14 б).
Линии тока к этим скважинам от кровли до забоя параллельны, а ниже уровня
забоя искривляются, в результате чего возникают дополнительные
гидравлические сопротивления. По характеру вскрытия большая часть
скважин является гидродинамически несовершенной. При этом вскрывается
продуктивный пласт на всю его толщину, но сообщение с ним происходит
через перфорационные отверстия в эксплуатационной колонне (рис. 14 в).
Встречаются также скважины несовершенные и по степени, и по
характеру вскрытия (рис. 14 г).
Дебит скважины, несовершенной
определить по формуле М.Маскета.
Q=
по
степени
вскрытия,
2π ⋅ k ⋅ h p k − p c
µ
ξ
можно
(4.1)
где


4h
4h
− ϕ h  − ln
2 ln
rc
Rk


b
и относительное вскрытие пласта h = .
h
ξ=
()
1
2h
34
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(4.2)
(
) (
)
Г (0,875h ) ⋅ Г 0,125h
,
Г 1 − 0,875h ⋅ Г 1 − 0,125h
(
)
от
ек
()
ϕ h = ln
а
Функция ϕ (h ) имеет следующее аналитическое выражение:
(4.3)
где Г – интеграл Эйлера второго рода или иначе, гамма-функция, для
которой имеется таблица (приложение 7).
Дебит скважины гидродинамически несовершенной как по степени, так и
по характеру вскрытия пласта можно подсчитать по формуле
2π ⋅ k ⋅ h ⋅ ( p k − pc )
 Rk
,
+ C1 + C 2 
µ ⋅  ln
 rc

иб
ли
Q=
(4.4)
нн
а
яб
где С1 – безразмерная величина, определяющая дополнительное
фильтрационное сопротивление, обусловленное несовершенством скважины по
степени вскрытия пласта;
С2 – безразмерная величина, определяющая дополнительное
фильтрационное сопротивление, вызванное несовершенством скважины по
характеру вскрытия пласта.
С1 и С2 находятся из графиков В.И.Щурова, построенных по данным
исследования притока жидкости к скважинам с двойным видом несовершенства
на электролитических моделях.
Величина С1 представлена (приложение 1) в зависимости от параметров:
а=
h
Dc
и
h=
b
h
Эл
ек
тр
о
В приложениях 2 – 4 дана зависимость С 2 от трёх параметров:
где
n ⋅ Dc , l =
l′
Dc
и
α=
d0
Dc
(4.5)
n – число перфорационных отверстий на 1 м толщины пласта;
Dc – диаметр скважины;
l ′ - глубина проникновения пуль в породу;
d 0 – диаметр отверстий.
Соответствие между кривыми и значениями параметра α =
следующих данных:
35
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
d0
, видно из
Dc
......
0,03
2
3
0,04
0,05
4
0,06
Приведённый радиус скважины
5
0,07
6
0,08
а
α
1
7
0,09
от
ек
Номер кривой
rc = rc ⋅ e − (C1 + C2 ) = rc ⋅ е − с
(4.6)
Q=
иб
ли
т.е. радиус такой совершенной скважины, дебит которой равен дебиту
несовершенной скважины:
2π ⋅ k ⋅ h ⋅ ( pk − pc )
R
µ ⋅ ln k
rc
(4.7)
яб
Отношение дебита
гидродинамически несовершенной скважины к
дебиту гидродинамически совершенной при равных условиях называется
коэффициентом гидродинамического несовершенства скважины, который
всегда меньше единицы, то есть выражается в долях от 1:
Qн.с
,
Qсов
нн
а
δ =
(4.8)
Эл
ек
тр
о
где Qн.с. – дебит несовершенной скважины;
Qсов – дебит гидродинамически совершенной скважины.
Коэффициент совершенства скважины δ и величина С = С1 + С 2 связаны
между собой зависимостью:
ln
δ=
ln
Rk
rc
Rk
+C
rc
(4.9)
или
R
1 
C =  − 1 ⋅ ln k
rc
δ

(4.10)
Задача 34
Пласт толщиной 50 м вскрыт скважиной радиусом 12,35 м на глубину 4 м .
36
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Задача 35
от
ек
а
Расстояние до контура питания 1 км , коэффициент проницаемости пласта
400 мД , динамический коэффициент вязкости нефти 2 мПа ⋅ с , давление на
контуре питания 12 МПа , давление на забое скважины 10 МПа . Найти дебит
скважины по формуле Маскета ( м 3 / сут) .
иб
ли
Используя график В.И.Щурова, найти коэффициенты
С1 и С 2 ,
определяющие
дополнительные
фильтрационные
сопротивления,
обусловленные несовершенством скважины, соответственно по ступени и по
характеру вскрытия, а также приведённый радиус, считая, что нефть притекает
к скважине диаметром 24,7 см , несовершенной как по степени, так и по
характеру вскрытия. Толщина пласта 12 м , вскрытие пласта 7 м , число
прострелов на 1 м вскрытой толщины пласта 17
отв / м, глубина
проникновения пуль в породу 6,25 см .
Задача 36
Дано:
δ = 0,75
rc = 10см = 0,1м
Rk = 1км = 10 3 м
Эл
ек
тр
о
С -?
нн
а
яб
Пример решения.
Какому
коэффициенту
С,
определяющему
дополнительное
фильтрационное
сопротивление
обусловленное
гидродинамическим
несовершенством скважины, соответствует δ = 0,75 ? Радиус скважины 10 см,
радиус контура питания 1 км.
Решение:
Используем (4.10) определим C :
10 3
 1

C =
− 1 ⋅ ln
= 3,07
0,1
 0,75 
Ответ: С = 3,07 .
Задача 37
Гидродинамически несовершенная скважина вскрывает пласт толщиной
20 м на глубину 10 м . Радиус скважины 10 см, радиус контура питания 200 м.
Каково превышение фактического дебита, определяющего по формуле
Маскета, над дебитом в случае строго плоскорадиальной фильтрации к
скважине с частичным вскрытием пласта?
37
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Задача 38
Задача 39
от
ек
Используя решения Маскета и графики В.И.Щурова, определить
коэффициент С1 , учитывающий несовершенство скважины по степени
вскрытия. Известно, что скважина диаметром 203 мм вскрывает пласт
толщиной 25 м на глубину 5 м . Расстояние до контура питания 1000 м.
иб
ли
Определить коэффициент совершенства скважины, несовершенной по
характеру вскрытия. Забой скважины обсажен и перфорирован при помощи
кумулятивного перфоратора, число круглых отверстий на 1 м равно 10, диаметр
отверстия 16 мм, длина канала 100 мм , радиус скважины 10 см, расстояние до
контура питания 500 м.
Задача 40
яб
Определить
коэффициент
С1 ,
учитывающий
дополнительное
фильтрационное сопротивление, приведённый радиус rc и коэффициент
совершенства δ гидродинамически несовершенной по степени вскрытия
скважины радиусом 0,1 м , находящийся в пласте с круговым контуром питания.
Толщина пласта 16 м, толщина вскрытой части пласта 9,6 м, радиус контура
питания 1 км.
нн
а
V. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СКВАЖИН
Эл
ек
тр
о
Интерференция – это взаимодействие (взаимовлияние) скважин по
одному пласту. Это влияние приводит к тому, что при вводе в эксплуатацию
новых скважин суммарная добыча на месторождении растёт медленнее, чем
увеличивается число скважин.
Введём некоторые определения:
1) Точечный сток на плоскости – это точка, поглощающая жидкость
пласта и является моделью добывающей скважины;
2) Точечный источник – это точка на плоскости, выделяющая жидкость
в пласт и является моделью нагнетательной скважины.
3) Потенциал течения – это функция производная, которой равна
скорости потока:
w=−
dФ
dl
(5.1)
Найдём потенциал Ф точечного стока на плоскости. Так как точечный
сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него
плоскорадиальное, то можно воспользоваться формулой скорости фильтрации
для данного вида потока:
38
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
где
q=
а
k p k − pc 1
Q 1
q
⋅
⋅ =
⋅ =
R
µ
r 2π ⋅ h r 2π ⋅ r
ln k
rc
(5.2)
от
ек
w=
Q
- дебит скважины – стока, приходящийся на единицу
h
w=−
иб
ли
толщины пласта.
Но для плоскорадиального потока
dФ dФ
=
,
ds
dr
откуда
q dr
,
2π r
яб
dФ = w ⋅ dr =
и после интегрирования получим выражение потенциала для точечного
стока на плоскости:
q
ln r + C ,
2π
нн
а
Ф=
(5.3)
где С – постоянная интегрирования.
Эл
ек
тр
о
Таким
образом,
потенциал
в
окрестности
скважины-стока
пропорционален логарифму расстояния r от стока (центра скважины). При r = 0
и r = ∞ функция ln r обращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих
точках теряет смысл.
Для точечного источника справедливы все написанные формулы, но
дебит q считается отрицательным (q<0).
Из
формулы
следует,
что
линиями
равного
потенциала
(эквипотенциалами) являются окружности r = const.
Найдём теперь потенциал точечного стока в пространстве. Движение
вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость
фильтрации
откуда
(
)
ω = Q / 4πr 2 = dФ/dr,
dФ =
Q dr
,
4π r 2
39
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Q
+C
4π ⋅ r
(5.4)
от
ек
Ф=-
а
и потенциал точечного стока в пространстве
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
Для потенциала точечного источника знак дебита в формуле заменяется
на противоположный.
Отметим, что метод источников и стоков очень удобен, он широко
используется при решении не только задач фильтрации, но и задач, связанных с
обтеканием различных тел в потоке жидкости. Применяется этот метод и в
задачах теории теплопроводности, электричества и магнетизма.
На основе свойств уравнения Лапласа, которым описывается
распределение давления и потенциала в установившихся потоках жидкости в
пласте, в подземной гидромеханике разработан метод решения сложных
гидродинамических задач, названный методом суперпозиции (методом
наложения).
Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что
изменения давления и потенциала в любой точке пласта, вызванные работой
каждой скважины (добывающей или нагнетательной), алгебраически
суммируются в каждой точке пласта. При этом суммарная скорость фильтрации
находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой
каждой скважины.
Пусть на неограниченной плоскости расположено n источников и стоков
(рис.15). Потенциал каждого из них в точке М определяется по формуле
q
q
Ф1 = 1 ln r1 + c1 , Ф 2 = 2 ln r2 + C 2 , . . . ,
2π
2π
q
Ф n = n ln rn + C n ,
2π
где r1, r2 , . . . , rn – расстояния от первого, второго, . . . , n – го стоков до точки
М; С1, С2, . . . , Сn – постоянные.
Рис. 15. Схема скоростей фильтрации в точке М при работе источников
и стоков на неограниченной плоскости (а) и результирующий
вектор скорости фильтрации в точке М (б)
40
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Ф = Ф1 + Ф2 + ... + Фn =
1
2π
n
∑q
i =1
С = С1 + С 2 + . . . + С n
i
от
ек
а
Каждая из функций Ф1, Ф2 , . . . , Фn удовлетворяет уравнению Лапласа.
Тогда сумма потенциалов
ln ri + C ,
иб
ли
также удовлетворяют уравнению Лапласа. Физически это означает, что
фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока
накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип суперпозиции,
или сложения течений.
Вектор скорости фильтрации w в точке М
w = w1 + w2 + . . . + wn ,
где
w1 = q1 / (2π ⋅ r1 ), w2 = q 2 / (2π ⋅ r2 ), . . ., wn = q n / (2π ⋅ rn ).
нн
а
яб
Метод суперпозиции можно использовать не только в бесконечных
пластах, но и в пластах, имеющих контур питания или непроницаемую границу
той или иной формы. В этом случае для выполнения тех или иных условий на
границах приходится вводить фиктивные скважины-стоки или скважиныисточники за пределами пласта. Фиктивные скважины в совокупности с
реальными обеспечивают необходимые условия на границах. При этом задача
сводится к рассмотрению одновременной работы реальных и фиктивных
скважин в неограниченном пласте. Этот метод называется методом
отображения источников и стоков.
Рассмотрим здесь использование метода суперпозиции и отображения
источников и стоков на задачах, имеющих практическое применение в теории
разработки нефтяных и газовых месторождений.
Эл
ек
тр
о
5.1. Приток жидкости к группе скважин в пласте
с удаленным контуром питания
Пусть в горизонтальном пласте толщиной h расположена группа скважин
А1, А2, . . . , Аn радиусами rc i , работающих с различными забойными
потенциалами Фс i , где i = 1,2, . . . , n (рис. 16).
Расстояния между центрами i – й и j – й скважин известны (rij = rji). Так
как контур питания находится далеко от всех скважин, то можно приближенно
считать, что расстояние от всех скважин до всех точек контура одно и то же и
равно Rk. Потенциал Фк на контуре питания считается заданным. Требуется
определить дебит каждой скважины.
41
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
от
ек
иб
ли
Рис. 16. Схема группы скважин в пласте с удалённым контуром питания.
Поместив мысленно точку М последовательно на забой каждой
скважины, получим выражения для забойного потенциала на них
(5.5)
1
(q1 ln rn1 + q 2 ln rn 2 + q3 ln rn 3 + . . . + qn ln rс ) + C.
2π
нн
а
Ф сn =
яб
1
(q1 ln rc + q 2 ln r12 + q3 ln r13 + . . . + q n ln r1n ) + C;
2π
1
(q1 ln r21 + q 2 ln rc + q3 ln r23 + . . . + qn ln r2n ) + C ;
Фс2 =
2π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Фс1 =
Эл
ек
тр
о
Здесь приближенно принято, что расстояние от точки на стенке данной
скважины i до центра любой другой скважины j равно расстоянию между
центрами этих скважин, так как rci << rij (i ≠ j ).
Система (5.5) состоит из n уравнений и содержит n + 1 неизвестных (n
дебитов скважин и постоянную интегрирования С). Дополнительное уравнение
получим, поместив точку М на контур питания:
Фк ≈
1
(q1 ln Rk + q2 ln Rk + . . . + qn ln Rk ) + C
2π
(5.6)
Вычитая почленно каждое из уравнений (5.5) из (5.6), исключим
постоянную С и получим систему из n уравнений, решив которую, можно
определить дебиты скважин q1 , q 2 , . . ., q n , если заданы забойные Фс1 , Фс 2 , . . . , Фсn и
контурный Фк потенциалы. Точно так же можно решить и обратную задачу
определения потенциалов по известным дебитам qi = (i = 1,2, . . . , n ).
Имеем:
42
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1
2π

R
R
R
 q1 ln k + q 2 ln k + . . . + q n ln k
rc
r12
r 1n


;

Ф к − Фсn =
1
2π

R
R
R
 q1 ln k + q 2 ln k + . . . + q n ln k
rn1
rn 2
rc

(5.7)

.

иб
ли
1
2π
от
ек

R
R
R 
 q1 ln k + q 2 ln k + . . . + q n ln k ;
r21
rc
r2 n 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ф к − Фс 2 =
а
Ф к − Фс1 =
Если на месторождении находятся в эксплуатации десятки, а то и сотни
скважин, то, очевидно, надо составить десятки или сотни таких уравнений.
5.2. Приток жидкости к скважине в пласте с
прямолинейным контуром питания
нн
а
яб
Пусть в пласте с прямолинейным контуром питания, на котором
потенциал равен Фк , работает одна добывающая скважина А с забойным
потенциалом Фс . Необходимо найти дебит скважины q и потенциал.
Эл
ек
тр
о
Рис. 17. Схема притока жидкости к
скважине в пласте с прямолинейным
контуром питания
Рис. 18. Схема пласта с различными
контурами питания
Если бы пласт был неограниченным или контур питания был бы кругом,
в центре которого расположена скважина, то потенциал в любой точке пласта
находился бы по формуле (5.3). При этом условие постоянства потенциала на
прямолинейном контуре питания не выполняется, так как расстояние r разных
точек контура питания от скважины А неодинаково.
Для решения задачи используем метод отображения источников и стоков.
Зеркально отобразим скважину-сток А относительно контура питания и дебиту
скважины-изображения А′ припишем противоположный знак, т.е. будем
считать её скважиной источником. Теперь рассмотрим в бесконечном пласте
совместную работу двух скважин: скважины-стока А с дебитом + q и
43
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
скважины-источники А′ с дебитом – q (рис. 17). Потенциал в любой точке М,
находящейся на расстоянии r1 от скважины А и на расстоянии r2 от скважины
А′:
r
q
+q
−q
ln r1 +
ln r2 + C =
ln 1 + C
ФМ =
(5.8)
2π
2π
2π r2
Потенциал на контуре питания можно выразить, подставив в r1 = r2. В
результате получим
иб
ли
Ф = С = ФК
(5.9)
т.е. потенциал на контуре питания действительно постоянен. Тогда потенциал
на забое скважины А (r1 = rc, r2 = 2а) можно выразить так:
Фс =
q
r
q
2а
ln c + Фк = Фк −
ln
2π 2а
2π
rc
(5.10)
яб
Из (5.8) выражение для дебита скважины А, приходящегося на единицу
толщины пласта, получим в следующем виде
q=
2π (Ф к − Фс )
2а
ln
rc
(5.11)
нн
а
Если бы контур питания был окружностью радиуса а, то дебит скважины
был бы равен (по формуле Дюпюи)
Эл
ек
тр
о
q=
2π (Ф к − Фс )
a
ln
rc
(5.12)
В реальных условиях форма контура питания МN (рис. 18) часто бывает,
неизвестна, но она заключена между окружностью и прямой линией.
Следовательно, дебит скважины в этих условиях будет находиться в пределах
2π (Фк − Фс )
2π (Ф к − Фс )
≥q≥
a
2a
ln
ln
rc
rc
(5.13)
Для определения потенциала в любой точке М (см.рис. 18) воспользуемся
формулой (5.8) с учётом (5.9):
ФМ =
q
r
ln 1 + Ф к
2π r2
44
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(5.14)
а
Задача 41
иб
ли
от
ек
Определить дебит батареи из четырёх скважин, расположенных вдали от
контура питания, и одной скважины, находящейся в центре (см. рис.19), если
известно, что все скважины находятся в одинаковых условиях; радиус батареи
200 м, расстояние до контура питания 10 км, радиус скважины 10 см, толщина
пласта 10 м, потенциал на контуре питания 40 см2/с, потенциал на скважинах 30
см2/с.
яб
Рис. 19.
Задача 42
нн
а
Найти значения потенциалов на скважинах, расположенных симметрично
на расстоянии 300 м относительно центра кругового контура питания радиуса
5 км, если известно, что дебит одной составляет 200 т/сут, а другой – 300
т/сут, потенциал на контуре питания 50 см2/с, радиус контура питания 10 см,
толщина пласта 10 м, плотность нефти 850 кг/м3.
Задача 43
Эл
ек
тр
о
Пример решения.
Определить, при каком постоянном забойном давлении работала скважина
1 с радиусом 10 см в круговом пласте радиуса 10 км, если при введении
скважины 2 с таким же радиусом, расположенной на расстоянии 150 м от
первой и работающей с забойным давлением 6,82 МПа, скважина 1 была
полностью заглушена. Давление на контуре питания 9,8 МПа (рис. 20).
Рис. 20.
45
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
R k = 10 км = 10 4 м
2σ = 150 м
р с2 = 6,82 МПа
р к = 9,8 МПа
иб
ли
р с1 − ?
а
rc = 0,1
Решение:
Считая скважины достаточно удалёнными от контура
питания и применяя принцип суперпозиции, запишем
выражение для потенциала результирующего течения
в произвольной точке М
R
R
q
q
Фк − ФМ = 1 ln k + 2 ln k .
2π
r1 2π
r2
Помещая точку М на контур первой скважины,
получим
q
R
q
R
Фк − ФМ = 1 ln k + 2 ln k ,
2π 2σ 2π 2σ
помещая её на контур второй скважины, найдём
q
R
q
R
Фк − Фс 2 = 1 ln k + 1 ln k .
2π 2σ q 2
rc
от
ек
Дано :
яб
Так как в скв.1 полностью заглушена, то её дебит
q1 = 0 и уравнения приобретают вид
q2 Rk
ln
2π 2σ
q
R
Ф к − Фс 2 = 2 ln k
2π rc
нн
а
Фк − Фс1 =
отсюда, исключая дебит q2 , определим потенциал
Эл
ек
тр
о
ФС1
Rk
Ф к − Фс1
= 2σ ,
R
Фк − Фс 2
ln k
rc
ln
Rk
Фс1 = Фк − (Фк − Фс 2 ) 2σ .
R
lg k
rc
Переходя от потенциалов к давлениям, окончательно
найдём
lg
46
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Rk
10 4
lg
р с1 = р к − ( р к − р с 2 ) 2σ = 9,8 - 2,94 1504 =
R
10
lg k
lg
rc
0,1
от
ек
9,8 − 2,94
а
lg
1,823
= 8,72 МПа.
5
иб
ли
Задача 44
яб
Круговой нефтяной пласт радиусом 15 км, толщиной 8 м эксплуатируется
пятью скважинами радиусом 7,5 см, из которых четыре расположены в
вершинах квадрата со стороной 150 м, а пятая – в центре. Давление на контуре
питания 10,78 МПа, скважины работают с одинаковым забойным давлением
8,82 МПа. Коэффициент проницаемости пласта 620 мД, динамический
коэффициент вязкости нефти 1,1 мПа*с. Определить дебиты скважин и
отношение дебитов Q5/Q1.
Задача 45
Эл
ек
тр
о
нн
а
Совершенная скважина радиуса 10 см работает в пласте, ограниченном
двумя прямолинейными непроницаемыми границами, расположенными под
углом 900 друг к другу. Расстояния до границ равны а=150 м, в=300 м (см.
рис.21), расстояние до контура питания 8 км. Давление на контуре питания
11,76 МПа, давление на забое скважины 9,8 МПа, толщина пласта 12 м,
динамический коэффициент вязкости жидкости 3 МПа*с, коэффициент
проницаемости 730 мД. Найти дебит скважины.
Рис. 21
47
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
6.1. Прямолинейно-параллельный фильтрационный
поток идеального газа
а
VI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГИХ ФЛЮИДОВ
Исследуем установившийся прямолинейно-параллельный фильтрационный
поток идеального газа.
Предварительно найдём функцию Лейбензона Р для идеального газа,
используя уравнение состояния
ρ ат
ρ
p ⋅ dp + C = ат p 2 + C
рат
2p ат
иб
ли
Р = ∫ ρdp + C = ∫
яб
Используя аналогию между течением несжимаемой жидкости и течением
газа, найдём характеристики фильтрационного потока газа по аналогии с
соответствующими характеристиками потока несжимаемой жидкости.
1.
Распределение
давления
в
прямолинейно-параллельном
фильтрационном потоке несжимаемой жидкости
p = pk −
p k − pг
⋅х
Lk
нн
а
При фильтрации газа аналогичное соотношение справедливо для
функции Лейбензона:
Р = Рk −
Рk − Р Г
⋅х
Lk
(6.1)
Эл
ек
тр
о
Подставив в (6.1) выражение функции Лейбензона и имея в виду, что
найдём распределение
идеального газа
Рk =
ρ ат 2
pk + C;
2p ат
давления
р=
в
РГ =
ρ ат 2
рГ + С
2 р ат
прямолинейно-параллельном
рк2 − рг2
р −
⋅х
Lk
2
к
(6.2)
потоке
(6.3)
Следовательно,
давление
по
длине
пласта
изменяется
по
2
параболическому закону (рис. 22, кривая 1). Зависимость р = f ( х) прямолинейная.
48
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
p − pГ
dp
=− k
.
dx
Lk
а
Градиент давления в потоке несжимаемой жидкости имеет вид
от
ек
2.
Аналогично градиент функции Лейбензона для потока газа можно
записать в виде
иб
ли
Р − РГ
dР
=− к
.
dx
Lk
Дифференцируя по х выражение, подставляя и используя, получим
распределение градиента давления в фильтрационном потоке газа
ρ ат
р ат
яб
откуда
ρ ат р к2 ρ ат р г2
−
р ат 2 р ат 2
р 2 dp
,
=−
2 dx
Lk
(6.4)
нн
а
pk2 − pг2 1
dp
=−
⋅
dx
2L k
p
Эл
ек
тр
о
где давление р определяется по формуле (6.3).
Рис. 22. Кривые распределения давления (1) и градиента давления (2)
в прямолинейно-параллельном потоке газа
График распределения градиента давления в фильтрационном потоке газа
изображен на рис. 22, кривая 2. Градиент давления не остается постоянным, как
в случае несжимаемой жидкости, а возрастает при приближении к галерее.
3.
Объёмный расход несжимаемой жидкости в рассматриваемом
одномерном потоке
49
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
k pk − pг
B⋅h
µ Lk
от
ек
Q=
где В – ширина потока; h- толщина пласта.
Подставив вместо объёмного расхода Q массовый расход газа Q m и
вместо давления функцию Лейбензона, получим
(
)
иб
ли
ρ ат
2
р к − р г2
k Р к − РГ
k 2р ат
Qm =
B⋅h =
B ⋅ h.
µ
Lk
µ
Lk
Объёмный расход газа, приведенный к атмосферному давлению,
выражается формулой
Qm
рк2 − р г
k
Qат =
=
B⋅h
ρ ат µ ⋅ pат 2 Lk
2
(6.5)
4. Скорость фильтрации для несжимаемой жидкости
к рк − рг
µ
Lk
яб
w=
Эл
ек
тр
о
откуда
нн
а
при фильтрации газа аналогично определяется массовая скорость фильтрации,
т.е.
ρ
к Р − Рг
к ρ р 2 − р г2
или
р ⋅ w = ⋅ ат к
,
ρ ⋅w = ⋅ к
Lк
р ат
µ рат 2 Lk
µ
ат
к рк2 − рг2 1
w=
⋅
⋅
2µ
Lk
p
(6.6)
Так как скорость фильтрации пропорциональна градиенту давления, то её
график аналогичен графику градиента давления (см. рис. 22, кривая 2).
Физически возрастание скорости фильтрации вдоль газового пласта
происходит за счёт расширения газа при снижения давления.
5. Определим средневзвешенное по объёму порового пространства,
занятого газом, пластовое давление.
По определению
1
~
р=
р ⋅ dVпор ,
Vпор ∫
в нашем случае
Vпор = B ⋅ h ⋅ Lk ⋅ m; dVпор = B ⋅ h ⋅ m ⋅ dx;
50
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
р=
от
ек
Тогда
~
р=
1
В ⋅ h ⋅ Lк ⋅ m
а
рк2 − рг2
⋅x
р −
Lk
2
к
Lk
∫
0
pk2 − pг2
p −
х ⋅ B ⋅ h ⋅ m ⋅ dx
Lк
2
k
иб
ли
После интегрирования получим
2 р к3 − р г3
~
р=
3 р к2 − р г2
(6.7)
6.2. Плоскорадиальный фильтрационный поток
идеального газа по закону Дарси
нн
а
яб
Плоскорадиальный фильтрационный поток имеет место в круговом пласте
радиусом Rk , в центре которого имеется совершенная скважина радиусом rc .
Характеристики такого потока найдём, зная характеристики подобного потока
несжимаемой жидкости.
1.
Распределение пластового давления в потоке несжимаемой
жидкости определяется по формуле:
р = рк −
рк − рс Rk
ln
Rk
r
ln
rc
Эл
ек
тр
о
По такому же закону будет распределяться в фильтрационном потоке газа
функция Лейбензона
Р = Рк −
Р к − Рс Rk
ln
Rk
r
ln
rc
Подставив в выражение функции Лейбензона, получим закон
распределения пластового давления в плоскорадиальном потоке идеального
газа
р=
рк2 − рс2 Rk
р −
ln
Rk
r
ln
rc
2
к
51
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(6.8)
Рис. 23. Распределение давления в плоскорадиальном
потоке несжимаемой жидкости и газа
иб
ли
от
ек
а
Сравнение кривых распределения давления в пласте в случаях
установившейся плоскорадиальной фильтрации газа и несжимаемой жидкости
при одинаковых граничных условиях показывает, что в газовом потоке имеет
место резкое падение давления вблизи скважины и весьма малое вдали от неё
(рис. 23).
Рис. 24. Индикаторная линия при фильтрации газа по
закону Дарси
яб
2.
Изменение градиента давления в зависимости от координаты при
плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости описывается формулой:
нн
а
dp p k − p c 1
=
R r
dr
ln k
rc
Эл
ек
тр
о
В случае установившейся плоскорадиальной фильтрации газа по такому
же закону будет изменяться градиент функции Лейбензона:
dР Р к − Рс 1
=
R
dr
ln k r
rc
Переходя от функции Лейбензона к давлению, получим
ρ ат
р ат
1 ρ ат 2 1 ρ ат 2
рк −
рс
2 рат
dp 2 р ат
1
р
=
,
Rk
dr
r
ln
rc
откуда
dp pk2 − pc2 1 1
=
⋅
Rk r p
dr
2 ln
rc
52
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(6.9)
а
Из последней формулы следует, что градиент давления вблизи забоя
резко возрастает как за счёт уменьшения r, так и за счёт падения давления р.
2π ⋅ k ⋅ h Pк − Pс
⋅
R
µ
ln k
rc
или
Qат =
иб
ли
Qm =
от
ек
3. Дебит газовой скважины получим, подставив в формулу Дюпюи
вместо объёмного расхода несжимаемой жидкости Q массовый расход газа Qm
и вместо давления р функцию Лейбензона Р:
Qm π ⋅ к ⋅ h рк2 − рс2
=
R
ρ ат µ ⋅ pат
ln k
rc
(6.10)
Индикаторная линия при фильтрации газа строится в координатах
Qат − р к2 − р с2 и, очевидно, в установившемся плоскорадиальном потоке имеет
прямолинейный характер (рис.24).
яб
)
нн
а
(
4. Скорость фильтрации несжимаемой жидкости определяется по
формуле:
Эл
ек
тр
о
w=
к р к − рс 1
⋅
⋅
Rk r
µ
ln
rc
В плоскорадиальном потоке газа также будет изменяться массовая
скорость фильтрации
k P − Pc
ρ⋅w = ⋅ k
R
µ
ln k
rc
или
53
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
откуда
(6.11)
иб
ли
k pk2 − pc2 1 1
w= ⋅
⋅
Rk r p
µ
2 ln
rc
от
ек
ρ ат
рат
а
1 ρ ат 2 1 ρ ат 2
рк −
рс
2 рат
к 2 р ат
1
р⋅w =
R
r
µ
ln k
rc
6. Определим средневзвешенное по объёму порового пространства пластовое
давление в плоскорадиальном потоке газа. Оно определяется по формуле:
1
~
р=
р ⋅ dVпор
Vпор ∫
В нашем случае:
(
)
dVпор = 2π ⋅ r ⋅ h ⋅ m ⋅ dr;
яб
Vпор = π ⋅ m ⋅ h ⋅ Rk2 − rc2 ;
нн
а
р=
рк2 − рс2 Rk
р −
ln
Rk
r
ln
rc
2
к
Подставив эти выражения, получим
k
p k2 − p c2
2p
R
1
2
p
−
⋅ ln k ⋅ 2π ⋅ r ⋅ h ⋅ m ⋅ dr = 2 k 2
k
2
2 ∫
R
π ⋅ m ⋅ h ⋅ (Rk − rc ) rc
rc
Rk − rc
ln k
rc
R
Эл
ек
тр
о
~р =
Rk
∫
1 − ( pc / p k )
R
ln k r ⋅ dr
R
r
ln k
rc
2
1−
rc
Полученный интеграл не берётся в конечном виде. Поэтому расчёт ведется
приближенно. Обозначим
1 − ( pc / p k )
R
x=
ln k ,
R
r
ln k
rc
2
(0 ≤ x < 1
при rc ≤ r ≤ Rk ),
тогда подынтегральное выражение равно 1 − х и при х<1 его можно разложить
в ряд:
1 − х = (1 − х )
1/ 2
= 1−
х х2 х3
−
−
− ...
2 8 16
54
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Удержав два первых члена ряда, будем иметь
1 − ( рс / р к )
R
ln k .
R
r
2 ln k
rc
от
ек
2
1− х = 1−
Тогда


2

2р
1 − ( pc / pk )
R 
~
р = 2 к 2 ∫ 1 −
ln k  rdr.
Rk
rc 
Rk − rc rc 
2
ln


rc


иб
ли
Rk
Интегрируя по частям, подставляя
содержащими rc2 , получим
пределы
и
пренебрегая
(6.12)
яб


 1 − ( p / p )2 
~
c
k

p = p k 1 −
R


k
4 ln


rc


членами,
нн
а
Если по формуле провести расчёты для различных значений рк, рс, Rк, rс,
то можно убедиться, что средневзвешенное пластовое давление газа в круговом
пласте ~p близко к контурному, ~p ≈ p k . Физически это объясняется значительной
крутизной воронки депрессии при притоке газа к скважине. Средневзвешенное
давление используется при определении запасов газа в пласте, а также для
приближенного расчёта гидродинамических характеристик; замена его
контурным давлением значительно упрощает расчёты.
Эл
ек
тр
о
6.3. Плоскорадиальный фильтрационный поток
реального газа по закону Дарси
Если пластовое давление выше 10 МПа и депрессия не слишком мала, то
уравнение состояния газа значительно отклоняется от уравнения состояния
идеального газа и плотность определяется по формуле. Кроме того, для
высоких пластовых давлений нужно учитывать зависимость вязкости от
давления. Эта зависимость определяется по формулам, или по графикам.
Проницаемость будем считать постоянной.
Если выполняется закон Дарси и фильтрация установившаяся, то
справедливо уравнение, в котором под функцией Лейбензона надо понимать
выражение:
Р=∫
ρ
ρ
⋅ dp = ат
µ
р ат
р ⋅ dp
∫ µ ( p) ⋅ z( p) + C
55
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Qm =
2π ⋅ k ⋅ h ⋅ (Ρк − Ρс ) 2π ⋅ k ⋅ h ⋅ ρ ат
=
Rk
R
ln
рат ⋅ ln k
rc
rc
pk
от
ек
а
Найдем дебит скважины при плоскорадиальном движении. Используя
аналогию между установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости и газа,
напишем выражение для дебита, заменяя в формуле Дюпюи объёмный дебит
массовым, а ρ / µ - значениями функции Лейбензона:
p
∫ µ ( p )⋅ z( p )dp
pc
иб
ли
Затем перейдем к дебиту, приведенному к атмосферному давлению
Q
2π ⋅ k ⋅ h
Qат = m =
R
ρ ат
pат ln k
rc
pk
p
∫ µ ( p ) ⋅ z ( p )dp
pc
яб
Можно предложить несколько способов вычисления интеграла, но наиболее
употребляем следующий: по графикам зависимости z(p) и μ(p) определяется
значения z(pc) = zc, z(pk) = zk, μ(рс) = μс, μ(рк) = μк, переменные μ и z под знаком
интеграла заменяются постоянными, равными
~
z = ( z c + z k ) / 2;
µ~ = (µ с + µ к ) / 2.
нн
а
Тогда интеграл вычисляется, и формула принимает следующий вид:
2π ⋅ k ⋅ h 1
Qат
R ~z ⋅ µ~
pат ⋅ ln k
rc
pk
∫ p ⋅ dp =
pc
(
π ⋅ k ⋅ h ⋅ pk2 − pc2
R
pат ⋅ ~
z ⋅ µ~ ⋅ ln k
rc
)
(6.13)
Эл
ек
тр
о
Выражение, определяющее дебит реального газа, отличается от
выражения для идеального газа множителем ~z в знаменателе и
среднепластовым значением вязкости µ~ .
Можно вычислить функцию Лейбензона Р и приведенный дебит по
формуле (6.13), подставляя под интеграл выражения для коэффициентов
вязкости и сверхсжимаемости и проводя интегрирование.
При больших давлениях уравнение состояния реального газа отличается
от уравнения Клапейрона и имеет вид:
р
= z ⋅ R ⋅T
ρ
56
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(6.14)
p
рr =
Tr =
от
ек
а
где z = z ( p r , Т r ) - коэффициент сверхсжимаемости газа, учитывающий
отклонение реального газа от идеального и зависящий от приведённых
давления и температуры
,
p ср.кр
T
T ср.кр
иб
ли
и определяемый по графику (рис. 25). Здесь рср.кр и Тср.кр – соответственно
среднекритическое давление и среднекритическая температура. Так как
природный газ состоит из различный компонентов (метан, этан, пропан и т.д.),
то предварительно нужно вычислить значения рср.кр и Тср.кр по формулам:
∑n ⋅p
∑n
∑ n ⋅T
=
∑n
р ср .кр =
j
крj
,
j
крj
j
,
яб
Т ср.кр
j
Эл
ек
тр
о
нн
а
где nj – содержание j- го компонента в газе, об.%; ркрj и Ткрj – критическое
давление и температура j – го компонента соответственно.
Динамический коэффициент вязкости природного (реального) газа
зависит от давления и температуры. Считая процесс изотермическим, нужно
учитывать зависимость µ ( р ) . На основании экспериментальных исследований
построены графики, по которым с точностью до 6% можно найти значения
динамического коэффициента вязкости природного газ при различных
давлениях и температурах в зависимости от относительной плотности по
воздуху (рис. 26).
Для определения массового дебита реального газа или закона
распределения давления нужно записать закон Дарси для бесконечно малого
элемента пласта и, учитывая зависимость µ ( р ) и формулу (6.14),
проинтегрировать его графоаналитическим методом. Если давление в пласте
меняется в небольшом интервале, то можно аппроксимировать зависимость
р / µ ( р )z (р ) простой алгебраической функцией, взять интеграл аналитически и
получить аналитическое выражение для дебита и закона распределения
давления.
57
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
от
ек
иб
ли
яб
нн
а
Эл
ек
тр
о
Рис. 25
58
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
от
ек
иб
ли
яб
Рис. 26
нн
а
Задача 46
Эл
ек
тр
о
В пласте имеет место установившаяся плоскорадиальная фильтрация газа
по закону Дарси. Абсолютное давление на контуре питания 9,8 МПа (100
атм.), давление на забое скважины 6,86 МПа (70 атм.), приведенный к
атмосферному давлению и пластовой температуре объёмный расход газа 8·105
м3/сут. Радиус контура питания 750 м, радиус скважины 0,1 м, толщина пласта
10 м, пористость 20%. Определить давление, скорость фильтрации и среднюю
скорость движения газа на расстоянии 50 м от скважины.
Задача 47
Определить объёмный приведенный к атмосферному давлению и
массовый дебиты совершенной газовой скважины, считая, что фильтрация
происходит по закону Дарси.
Толщина пласта 25 м, коэффициент
проницаемости пласта 250 мД, динамический коэффициент вязкости газа 0,014
мПа·с, плотность газа в нормальных условиях 0,650 кг/м3, радиус скважины 0,1
м, расстояние до контура питания 900 м, абсолютное давления на забое
скважины 2,94 МПа и на контуре питания 3,92 МПа, газ считать идеальным.
59
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Задача 48
иб
ли
от
ек
Пример решения.
Известно, что в пласте происходит установившаяся плоскорадиальная
фильтрация газа по закону Дарси. Радиус контура питания 1000 м, радиус
скважины 0,1 м, абсолютное давление газа на контуре питания 100 атм.,
давление на забое скважины 92 атм. Определить средневзвешенное по объёму
пласта давление ~р .
Дано:
Rk = 1000 м
rc = 0,1 м
рк = 100 атм.
рс = 92 атм.
~
р -?
Решение:
При установившейся плоскорадиальной фильтрации газа по закону Дарси
давление в каждой точке пласта определяется по формуле:
р к2 −
р к2 − рс2 Rk
ln
Rk
r
ln
rc
яб
р=
нн
а
Для нахождения средневзвешенного пластового давления газа ~р выделим
на расстоянии r от скважины кольцевой элемент пласта шириной dr. Объём
порового пространства этого элемента равен
dVпор = 2π ⋅ r ⋅ h ⋅ dr ⋅ m
Эл
ек
тр
о
Объём порового пространства всего пласта равен
Vпор = π ⋅ (Rk2 − rc2 )h ⋅ m
Давление
1
~
р=
Vпор
∫
Vпор
р ⋅ dVпор
k
pk2 − pc2 Rk
1
2
p
=
−
ln
⋅
k
Rk
r
π (Rk2 − rc2 )h ⋅ m r∫c
ln
r
2
⋅ 2π ⋅ r ⋅ h ⋅ m ⋅ dr = 2
R k − rc2
R
Rk
∫
p k2 −
rc
pk2 − pc2 Rk
ln
⋅ rdr.
Rk
r
ln
rc
Если правую и левую части полученного равенства разделим на рк и
введем обозначения ξ = ~р / р к и ε = рс / рк , то получим
60
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
∫
1−
rc
1 − ε 2 Rk
ln
⋅ rdr
r
Rk
ln
rc
Заменим
х=
1 − ε 2 Rk
ln
,
Rk
r
ln
rc
тогда
1 − ε 2 Rk
ln
= 1 − х.
Rk
r
ln
rc
иб
ли
1−
а
Rk
от
ек
~
2
р
ξ=
= 2
рк Rk − rc2
Если х < 1, то 1 - х можно разложить в ряд.
Известно, что
(1 ± х ) 2
1
= 1±
1
1
1
х − х2 ± х3 − . . .
2
8
16
1− х = 1−
Тогда
яб
Разложим 1 − х в ряд, удержав первые два члена ряда,
R
1
1− ε 2
1− ε 2
r
х = 1−
ln k = 1 +
ln
.
R
R
2
r
Rk
2 ln k
2 ln k
rc
rc
нн
а


2
2
1 + 1 − ε
ξ = 2
Rk
Rk − rc2 r∫c 
 2 ln
rc

Rk


 rdr.



Интегрируя, подставляя пределы и пренебрегая членами, содержащими
r , получим
2
c
Эл
ек
тр
о




1− ε  1
1 
−
ξ = 1−
.
Rk Rk2
2 
 2 ln
− 1 

rc
rc2


2
Подсчитаем среднее пластовое давление по данным задачи




~
р
1 − 0,92 
1
1
 = 1 − 0,0042 = 0,9958
ξ=
= 1−
−
2


1000
рк
2
 1000 
 2 ⋅ 2,31g

−
1


0,1


 0,1 
2
откуда ~р = 0,9958·100 = 99,58 атм.
61
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Задача 49
от
ек
а
Как видно, при установившейся плоскорадиальной фильтрации газа
средневзвешенное пластовое давление ~р близко к контурному давлению р к .
Определить приведенный дебит газовой скважины, если природный газ
имеет следующий состав
ркр.j,
атм.
190,5
305
370
425
~45,8
48,8
42,0
37,5
0,5538
1,038
1,522
2
1,53
461
32,9
2,48
ρj
яб
Метан
Этан
Пропан
Бутан
Более
тяжелые
фракции
Tкр.j,
К
иб
ли
Компонент
Плотность
по воздуху
Содержание
компонента
nj,об.%
83,19
8,48
4,37
5,44
нн
а
Давление на контуре питания рк = 100 атм., давление на забое скважины
рс = 50 атм., проницаемость пласта k = 0,12 Д, толщина пласта h = 8 м, радиус
контура питания Rk = 750 м, радиус скважины rc = 10 см, температура пласта
t = 380 C.
Задача 50
Эл
ек
тр
о
Совершенная скважина расположена в центре кругового пласта радиуса
10 км, толщина пласта
15 м, коэффициент проницаемости 400 мД,
коэффициент динамической вязкости пластовой жидкости 1,02 мПа·с,
коэффициенты сжимаемости жидкости 4,64·10-10 Па-1, давление на контуре
питания 11,76 МПа, давление на забое скважины 7,35 МПа, радиус скважины
0,1 м. Фильтрация происходит при водонапорном режиме по закону Дарси.
Определить различие в объемном суточном дебите скважины,
подсчитанном с учётом сжимаемости и при условии, что жидкость несжимаема.
VII. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ПЛАСТЕ С НЕОДНОРОДНОЙ
ПРОНИЦАЕМОСТЬЮ
Проницаемость в различных точках продуктивных пластов не является
постоянной величиной. Иногда изменение проницаемости по пласту носит
столь хаотичный характер, что пласт можно рассматривать в среднем
однородно проницаемым.
62
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
яб
иб
ли
от
ек
а
Если изменение проницаемости носит не случайный характер, а на
значительном протяжении пласта имеют место определённые закономерности в
изменении проницаемости, тогда движение жидкостей и газов существенно
отличается от движения их в однородных пластах.
Отметим следующие простейшие случаи неоднородности пластов.
1.
Пласт состоит из нескольких слоёв (рис. 27, 28). В пределах
каждого слоя проницаемость в среднем одинакова и скачкообразно изменяется
при переходе от одного слоя к другому. Допустим, что все n слоёв
горизонтальны, толщина i – го слоя hi, проницаемость соответствующего слоя
ki. На одном конце каждого слоя давление равно рк , на другом – рг .
Рис. 27.
Если движение жидкости прямолинейно-параллельное (см. рис. 27) по
закону Дарси, то распределения р в каждом слое линейное и характеризуется
уравнением:
Эл
ек
тр
о
нн
а
р = рк −
рк − р Г
х
l
(7.1)
Рис. 28.
дебит потока вычисляется по формуле
B ( pк − р г ) n
Q=
k i ⋅ hi
∑
µ ⋅l
i =1
63
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(7.2)
k ср =
∑k
i =1
i
⋅ hi
n
∑ hi
i =1
от
ек
n
а
а средний коэффициент проницаемости по формуле
(7.3)
В случае плоскорадиального движения жидкости в многослойном пласте
к гидродинамически совершенной скважине по закону Дарси (см. рис. 28)
давление в каждом слое меняется по логарифмическому закону
р к − р с Rk
ln
Rk
r
ln
rc
иб
ли
р = рк −
дебит скважины:
яб
2π ( p k − pc ) n
Q=
∑ ki ⋅ hi
Rk i =1
µ ⋅ ln
rc
(7.4)
(7.5)
Эл
ек
тр
о
нн
а
а средний коэффициент проницаемости пласта и в этом случае находится по
(7.3).
2. Пласт состоит из нескольких зон различной проницаемости (рис. 29,
30). На границе двух зон проницаемость меняется скачкообразно; в пределах
одной и той же зоны проницаемость в среднем одинакова. С неоднородностью
такого рода можно встретиться, например, при соприкосновении двух разных
пластов вдоль сброса или в случае наличия изменчивости одного и того же
пласта.
Рис. 29.
64
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
от
ек
иб
ли
Рис. 30.
яб
Допустим, что горизонтальный пласт толщиной h, длиной l с
непроницаемыми кровлей и подошвой состоит из n зон различной
проницаемости. Длина i- той зоны li , коэффициент проницаемости ki (см. рис.
29).
При прямолинейно-параллельной фильтрации жидкости в таком пласте
по закону Дарси дебит фильтрационного потока подсчитывается по формуле
B ⋅ h ⋅ ( pk − p г )
n
l
µ ⋅∑ i
i =1 k i
нн
а
Q=
(7.6)
Эл
ек
тр
о
где В – ширина потока.
Средний коэффициент проницаемости
n
k ср =
∑l
i =1
n
∑
i =1
i
li
ki
=
l
n
∑
i =1
li
ki
(7.7)
При n = 2 распределения давления в первой зоне р1 и во второй – р2
описывается уравнениями:
65
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
( рк − р г ) ⋅ к 2 х;
р 2 = рг +
( рк − рг ) ⋅ к1 (l − x );
0 ≤ х ≤ l1 ,
l1 ⋅ k 2 + l2 ⋅ k1
от
ек
l1 ⋅ k 2 + l2 ⋅ k1
а
р1 = рк −
l1 ≤ x ≤ l.
Q=
иб
ли
Если при плоскорадиальном притоке жидкости к гидродинамически
совершенной скважине по закону Дарси зоны различной проницаемости пласта
имеют кольцеобразную форму (см. рис. 30), то формула дебита скважины
имеет вид:
2π ⋅ h ⋅ ( pk − pc )
n
1
r
µ ⋅ ∑ ln i
ri −1
i =1 k i
(7.8)
где ki – коэффициент проницаемости зоны за номером i; ri-1 и ri –
соответственно внутренний и внешний радиусы этой зоны, причём
r0 = rc , а
rn = Rk .
яб
Средний коэффициент проницаемости в этом случае находится по
формуле
ln
n
1
ri
ln
∑
ri −1
i =1 k i
нн
а
kср =
Rk
rc
(7.9)
Эл
ек
тр
о
При n = 2 распределение давления в первой зоне р1 и во второй зоне р2
определяется по формулам
( p k − p c )ln r
rc
p1 = p c +
; rc ≤ r ≤ r1 ,
r1 k1 Rk
ln + ln
rc k 2
r1
k1
( p к − рс ) ln r
k
Rk
р 2 = рк + 2
; r1 ≤ r ≤ Rk .
r1 k1 Rk
ln + ln
rc k 2
r1
66
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Задача 51
Толщина, м
5
8
3
Проницаемость, мД
610
230
860
иб
ли
Пропласток
I
II
III
от
ек
Определить средневзвешенный по толщине коэффициент проницаемости
пласта, представленного несколькими проницаемыми пропластками,
разделенными глинистыми пропластками. Жидкость движется в направлении
напластования. Толщина пласта и коэффициент проницаемости каждого
пропластка указаны ниже.
Задача 52
яб
Определить средний коэффициент проницаемости пласта в зоне радиуса
500 м, если первоначальный коэффициент проницаемости всего пласта 1200
мД, а затем в результате запарафинирования коэффициент проницаемости
призабойной зоны радиусом 30 м снизился до 150 мД. Радиус скважины 0,1 м.
Задача 53
Эл
ек
тр
о
rc = 10 см
нн
а
Пример решения
Какие давления должны быть на забое скважины радиуса 10 см, чтобы
получать один и тот же дебит для случаев: 1) когда пласт радиуса 10 км по
простиранию однородный с коэффициентом проницаемости 1000 мД; 2) когда
пласт делится на две зоны с 150 мД в призабойной зоне радиуса 5 м и 1000 мД в
остальной части пласта? Пластовое давление 14,7 МПа, депрессия в
однородном пласте 2,94 МПа.
Решение:
Дано:
R k = 10 км = 10 4 м
k 2 = 1000 мД
k 1 = 150 мД
r1 = 5 м
р к = 14,7 МПа
По условию задачи дебит однородного пласта
равен дебиту неоднородного пласта
2π ⋅ k 2 ⋅ h ⋅ ( pk − pc )
Q=
R
µ ⋅ ln k
rc
р к − р с = 2,94 МПа
Q1 =
р′с -?
2π ⋅ h ⋅ ( pk − pc′ )
1 r
1 R
µ ⋅  ln 1 + ln k
r1
 k1 rc k 2
67
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com



а
откуда
от
ек
1 r
1 R  k 2 r1
R
k 2  ln 1 + ln k 
lg + lg k 1000 lg 50 + lg 10000
k
rc k 2
r1  k1 rc
r1
p k − p′c
5 = 2,92
=  1
=
= 150
10000
Rk
Rk
p k − pc
lg
ln
lg
0.1
rc
rc
рс = рк – 2,94 = 14,7-2,94 = 11,76 МПа,
иб
ли
р с′ = р к − ( р к − р с ) ⋅ 2,92 = 14,7 − 2,94 ⋅ 2,92 = 6,11 МПа ,
т.е. давление на забое скважины должно быть снижено почти в 2 раза для
поддержания того же дебита.
Задача 54
нн
а
яб
Определить дебит дренажной галереи и распределение давления при
установившейся фильтрации жидкости по закону Дарси в неоднородном по
проницаемости пласте, если известно, что коэффициент проницаемости пласта
на участке длиной 2 км равен 800 мД, а на участке 500 м в призабойной части
пласта уменьшается линейно от 800 до 80 мД, давление на контуре питания 9,8
МПа, давление галереи 7,35 МПа, динамический коэффициент вязкости 5
мПа·с, толщина пласта 15 м, ширина фильтрационного потока 600 м.
VIII. НЕУСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ УПРУГОЙ
ЖИДКОСТИ В УПРУГОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ
8.1. Основные определения
Эл
ек
тр
о
При разработке и эксплуатации месторождений углеводородного сырья в
пластах часто возникают неустановившиеся процессы, обусловленные пуском
или остановкой скважин, изменением темпов отбора флюида из скважин и т.д.
Для неустановившихся процессов характерно перераспределение пластового
давления, изменение во времени скоростей фильтрационных потоков, дебитов
скважин и т.д. Количественные характеристики неустановившихся процессов
(величины изменения давления, скоростей, дебитов) зависят от упругих свойств
пластов и насыщающих их жидкостей. Последнее означает, что основной
формой пластовой энергии, обеспечивающей приток жидкости к скважинам в
рассматриваемых неустановившихся процессах, является энергия упругой
деформации жидкостей (нефти и/или воды) и твёрдого скелета пласта.
При пуске скважины в эксплуатацию в условиях упругого режима
движение жидкости начинается за счёт использования потенциальной энергии
упругой деформации пласта и жидкости сначала в ближайших окрестностях
забоя, затем во все более удаленных областях пласта. В самом деле, при
68
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
снижении
пластового
давления
упругое
противодействие
пласта
вышележащему горному массиву уменьшается, и это приводит к уменьшению
объёма порового пространства, что в свою очередь, увеличивает сжатие
жидкости. Все это, способствует вытеснению жидкости из пласта в скважину.
И, несмотря на то, что коэффициенты объёмной упругой деформации жидкости
и твёрдого скелета пласта очень малы, но зато очень велики объёмы жидкости,
извлекаемой из пласта за счёт упругости пласта и жидкости, могут быть весьма
значительными.
Характерная особенность проявления упругого режима в процессе
разработки нефтяных месторождений проявляется в длительности во времени
процесса перераспределения пластового давления после начала работы
скважины или изменения темпа отбора жидкости из скважины. Это связано с
тем, что при фильтрации вязкой жидкости в пласте возникают очень большие
силы сопротивления. Неустановившиеся процессы протекают тем быстрее, чем
больше коэффициент проницаемости k , и тем медленнее, чем больше вязкость
жидкости µ и коэффициенты объёмной упругости жидкости β ж и твёрдого
скелета пласта β с .
Первыми исследователями, разрабатывавшими теорию упругого режима
в 30-х годах, были Маскет, Шилсуиз, Херст, Тсейс и Джекоб. Однако они не
учитывали объёмную упругость пласта. Наиболее полно теория упругого
режима с учётом упругих свойств твёрдого скелета пласта и насыщающих
жидкостей была разработана В.Н.Щелкачёвым.
В теории упругого режима большую роль играют два параметра:
1. Коэффициент упругоёмкости пласта
β * = mβ ж + β с ,
(8.1)
Эл
ек
тр
о
где m - коэффициент пористости;
β ж и β с - соответственно коэффициенты сжимаемости жидкости и
пористой среды.
2. Коэффициент пьезопроводности пласта
χ=
k
,
µ⋅β*
эта величина впервые была введена В.Н.Щелкачёвым.
69
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(8.2)
а
8.2. Дифференциальное уравнение фильтрации упругой
жидкости в упругой пористой среде по закону Дарси
от
ек
Дифференциальное уравнение упругого режима фильтрации можно
записать
 ∂2 p ∂2 p ∂2 p 
∂p
= χ  2 + 2 + 2 
∂t
∂у
∂z 
 ∂x
где
k
µ ⋅β*
иб
ли
χ=
(8.3)
яб
Уравнение (8.3) – основное дифференциальное уравнение теории
упругого режима фильтрации. По предложению В.Н.Щелкачёва оно названо
уравнением пьезопроводности.
Коэффициент χ , характеризующий скорость перераспределения
пластового давления при неустановившейся фильтрации упругой жидкости в
упругой
пористой
среде,
В.Н.Щелкачёв
назвал
коэффициентом
пьезопроводности.
Размерность коэффициента пьезопроводности χ можно установить из
(8.2):
k
L2
L2
= −1
=
,
[µ ][β *] L MT −1 LM −1T 2 T
нн
а
[χ ] =
где L, M , T − соответственно размерности длины, массы и времени.
Наиболее часто встречающиеся в нефтепромысловой практике значения
коэффициента пьезопроводности заключены в пределах от 0,1 до 5 м 2 / c .
Эл
ек
тр
о
8.3. Точное решение дифференциального уравнения
упругого режима
Решение задачи перераспределения давления после пуска скважины с
постоянным дебитом Q в бесконечном горизонтальном пласте сводится к
интегрированию дифференциального уравнения (8.3), имеющего для
плоскорадиальной фильтрации вид
 ∂ 2 p 1 ∂p 
∂p

= χ  2 +
∂t
r ∂r 
 ∂r
70
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
(8.4)
Q=
2π ⋅ k ⋅ h  ∂p 
r  ,
µ
 ∂r  r = 0
p(r , t ) = p k при r = ∞
Точное решение этой задачи при rc = 0 даётся формулой
от
ек
p(r , t ) = p k при t = 0,
а
с начальными и граничными условиями
(8.5)
 r2 
Qµ
,
Ei −
4π ⋅ k ⋅ h  4 χ t 
иб
ли
p k − p(r , t ) = −
где
 r2 
 =
− Ei −
4
χ
t


∞
∫
r2
4 χt
e −u
du
u
(8.6)
(8.7)
яб
Эта табулированная функция называется интегральным экспоненциалом,
или интегральной показательной функцией.
r2
функцию
4χ ⋅ t
 r2 
 можно
− Ei −
 4χ t 
 r2 
4χ t
 ≈ ln 2 − 0,5772 ,
− Ei −
r
 4χ t 
(8.8)
При малых значениях аргумента
нн
а
приближённо заменить формулой:
и тогда
Эл
ек
тр
о
p k − p(r , t ) =
Qµ  4 χ t

 ln 2 − 0,5772 
4π ⋅ k ⋅ h  r

(8.9)
Формула (8.9) является основной формулой упругого режима пласта,
широко применяющейся при исследовании процесса перераспределения
пластового давления, вызванного пуском скважин с постоянными дебитами,
остановкой скважин, изменениями темпов добычи.
Формулу распределения движения по пласту в упругом режиме можно
представить через десятичный логарифм
p(r , t ) = p k − 0,18
Q ⋅ µ 2,25χ ⋅ t
lg
k ⋅h
r2
71
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
∆p = p k − p k + 0,18
Q ⋅ µ 2,25χ ⋅ t
lg
k ⋅h
r2
Q ⋅ µ 2,25 χ ⋅ t
lg
k ⋅h
r2
(8.10)
иб
ли
∆p = 0,18
от
ек
∆p = p k − p (r , t )
а
Изменение давления в любой точке пласта и в любой момент времени
представляется
(8.10) самая распространённая, простая и удобная формула для расчёта
изменений давления в любой точке пласта и в любой момент времени.
8.4. Подсчёт упругого запаса жидкости в пласте
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
Под упругим запасом жидкости в пласте понимается количество жидкости,
которое можно извлечь из пласта при снижении давления в нем за счёт
объёмной упругости пласта и насыщающих его жидкостей.
Хотя коэффициенты объёмной упругой деформации жидкости и пласта
очень малы, но очень велики объёмы пласта. Поэтому упругий запас жидкости
в пласте может быть весьма существенным.
При снижении давления в пласте упругий запас жидкости естественно
убывает, а при повышении давления происходит накопление упругого запаса
жидкости в нём.
Упругий запас жидкости в пласте можно подсчитать следующим образом.
Выделим мысленно элемент объёма пласта V0. Пусть Vож есть объём
жидкости, насыщающий элемент объёма пласта V0 при начальном давлении р0.
Упругий запас жидкости будем определять по её объёму, замеряемому при
начальном пластовом давлении. Обозначим через ∆V3 изменение упругого
запаса жидкости внутри объёма пласта V0 при изменении давления во всех его
точках на величину ∆р. Тогда получим в соответствии с формулами
∆V3 = β жVож ∆р + β сVo ∆p.
Учитывая, что начальный объём жидкости, насыщающий элемент объёма
пласта V0 , равен полному объёму пор в этом элементе пласта, имеем
Vож = mV0 ,
где m – пористость пласта.
Тогда формулу с учётом равенства можно переписать в следующем виде:
72
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
∆V3 = (mβ ж + β с ) V0 ∆p,
а
(8.11)
∆V3 = β * V0 ∆p,
где
β * = mβ ж + β с
(8.12)
от
ек
или
(8.13)
иб
ли
Коэффициент β * называется коэффициентом упругоёмкости пласта.
Коэффициент упругоёмкости β * численно равен изменению упругого запаса
жидкости в единице объёма пласта при изменении пластового давления в нем
на единицу.
8.5. Интерференция скважин в условиях упругого режима
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
Поскольку дифференциальное уравнение упругого режима является
линейным, то для его решения используем метод суперпозиции, позволяющий
исследовать интерференцию скважин и в условиях упругого режима.
Суть метода суперпозиции (метода наложения) состоит в том, что при
совместной работе в пласте нескольких добывающих и нагнетательных
скважин изменение пластового давления, вызванное работой каждой из
скважин, подсчитывается так, как если бы данная скважина работала одна;
затем изменения давления, вызванные работы каждой скважины, алгебраически
суммируются по всем скважинам. При этом скорости фильтрации в любой
данной точке пласта, вызванные работой каждой скважины, суммируются
геометрически.
Наличие прямолинейных границ пласта учитывается методом
отображения источников, как и в случае установившейся фильтрации
несжимаемой жидкости.
С
помощью
метода
суперпозиции
можно
исследовать
перераспределение пластового давления, вызванное пуском, остановкой или
изменением темпов отбора жидкости из скважины.
Для расчета изменения пластового давления используется основная
формула упругого режима фильтрации. Как было показано, этой формулой,
выведенном для точечного стока в бесконечном пласте, можно с высокой
степенью точности пользоваться и расчетах притока упругой жидкости к
скважине конечного радиуса в открытом или закрытом конечном пласте.
Поэтому результаты расчетов, основанные на методе суперпозиции и
использовании формулы для бесконечного пласта, оказываются справедливыми
с соответствующей степенью точности и в условиях конечного пласта.
Рассмотрим
несколько
примеров
использования
метода
суперпозиции при интерференции скважин в условиях упругого режима
фильтрации.
73
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
Пример 1. Пусть в бесконечном пласте одновременно работают п
скважин с постоянными дебитами. Начальное пластовое давление в
невозмущенном пласте всюду одинаково и равно рк. Требуется найти снижение
давления Δр = рк - p(r, t) в любой точке пласта М в любой момент времени t.
На основе метода суперпозиции снижение пластового давления в точке М
будет равно алгебраической сумме снижений давления в этой точке, вызванных
независимой работой каждой скважины, т.е.
n
∆р = р к − р(r , t ) = ∆p1 + ∆p 2 + .... + ∆р n = ∑ ∆pi
иб
ли
i =1
Снижение давления в точке М при работе одной i-ой скважины по формуле
будет
 ri 2
Qi µ 
−
E
 i  −
4πkh 
 4ℵti

Q µ 2,25ℵti
 = 0,18 i lg
kh
ri 2

Следовательно, при работе всех п скважин снижение давления в точке М
определяется из равенства
2,25ℵt i
µ
∆p = ∑ ∆p i = 0,18 ∑ Qi lg
(8.14)
кh
ri2
яб
∆рi =
Эл
ек
тр
о
нн
а
Где Qi - дебит i-й скважины (при этом дебит добывающей скважины
считается положительным, дебит нагнетательной - отрицательным); ri расстояние от центра i-й скважины до точки М, где определяется понижение
пластового давления; ti - время с начала работы i-й скважины до момента
времени t, в который определяется понижение давления.
Пример 2. Пусть в некоторый момент времени, принимаемый за
начальный (t=0), в невозмущенном пласте с давлением рk пущена в
эксплуатацию скважина с постоянным дебитом Q и через промежуток времени
t1 остановлена. Под остановкой ее подразумевается мгновенное прекращение
притока жидкости к забою скважины. Требуется определить давление в любой
точке пласта в любой момент времени как при работе скважины, так и после ее
остановки.
До момента времени t1 скважина работала одна, следовательно, пластовое
давление в любой точке пласта определяется по формуле
 r 2 
Qµ 
 ,
р( r , t ) = p k −
− E i  −
4πkh 
4
ℵ
t


где t изменяется в интервале от 0 до t1.
Начиная с момента времени t1 (скважина уже остановлена), следуя методу
суперпозиции, мысленно допустим, что вместе с продолжающей работать
74
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
добывающей скважинной в той точке начала работать нагнетательная скважина
с таким же расходом Q. Следовательно, с момента времени t1 в пласт в одной и
той же точке закачивается столько же жидкости, сколько из него и отбирается,
значит, суммарный фактический отбор жидкости из пласта оказывается равным
нулю, что свидетельствует об остановке добывающей скважины по условию
задачи.
К моменту времени t после остановки скважины (t > t1) понижение
давления в любой точке пласта определяется по методу суперпозиции.
∆p = 0,18
Qµ
2,25ℵt
− lg
2,25ℵ(t − t 1 )
)
(8.15)
r c2
r c2
Примерный график понижения забойного давления при работе и
остановке добывающей скважины показан на рис. 31.
Следует отметить, что подъем давления на забое возмущающей скважины
начинается сразу же после ее остановки, с момента t1. В любой другой точке
пласта после момента времени t1, будет еще некоторое время продолжаться
снижение пластового давления, причем, чем больше находится эта точка пласта
от возмущающей скважины, тем дольше в ней будет продолжаться процесс
понижения давления после остановки скважины. Затем и в этой точке пласта
начинается повышение давления.
яб
t1
t
нн
а
О
kh
(lg
иб
ли
∆p ≡ p k − p( r , t ) = ∆p 1 + ∆p 2
Эл
ек
тр
о
∆ pc
Рис. 31
Пример 3. Пусть сохраняются условия примера 2, но только в момент
времени t=t1 добывающая скважина не останавливается, а ее дебит изменяется
от Q до Q1.
Требуется исследовать процесс перераспределения пластового давления
после пуска скважины с постоянным дебитом Q и до момента t1 Изменение
пластового давления определяется по формуле (Δp). После изменения дебита
скважины, т.е. после момента t1, будем мысленно считать, что дебит этой
скважины Q сохраняется, а на месте этой же скважины включена
нагнетательная скважина с расходом Q-Q1. Тогда результирующей дебит этих
75
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
двух скважин после времени t1 будет равен Q-(Q-Q1)=Q1, т.е. соответствует
условию задачи.
Изменение давления после времени t1 будет слагаться из понижения
давления Δp1, вызываемого продолжающей работать с тем же дебитом Q
добывающей скважиной, и из повышения давления Δp2, вызываемого работой
воображаемой нагнетательной скважины, т.е.
(8.16)
иб
ли
∆p ≡ p k − p(r , t ) = ∆p 1 + ∆p 2
µ
2,25ℵt
2,25ℵ(t − t1 )
∆p = 0,18 (Q lg
+ (Q1 − Q) lg
)
2
kh
rc
rc2
При этом негласно предполагать, что дебит возмущающей скважины в
момент времени t1 снизился с Q до Q1. Если изменение дебита было связано с
увеличением его, то воображаемую скважину следовало бы считать
добывающей, а ее дебит (Q-Q1)-положительным.
t1
t
яб
0
Q1<Q
нн
а
∆p
Q1>Q
Рис. 32
Эл
ек
тр
о
8.6. Определение коллекторских свойств пласта по данным
исследования скважин при упругом режиме
Проектирование и контроль за разработкой нефтяных и газовых
месторождений, создание и эксплуатация подземных хранилищ газа связаны с
определением коллекторских свойств пластов и изучением их фильтрационных
характеристик (однородность пласта по толщине и площади, наличие
литологических и тектонических экранов и их расположение и т. д.).
В литературе имеется большое количество работ, посвященных этой
важной проблеме. Методы определения параметров пласта весьма
разнообразны и зависят от тех конкретных задач, которые ставят перед собой
исследователи.
Гидродинамические методы исследования пластов и скважин, связанные
с замерами пластовых и забойных давлений в возмущающих и реагирующих
скважинах,
называют
пьезометрическими.
Различают
две
группы
76
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
пьезометрических методов - при установившихся и неустановившихся
режимах.
Методы исследования пластов и скважин, основанные на изучении
неустановившихся
процессов
изменения
забойного
давления
в
возмущающих и реагирующих скважинах, тесно связаны с теорией упругого
режима. После пуска или остановки скважины на ее забое и в окружающих
реагирующих скважинах возникают (в условиях упругого режима) длительные
процессы перераспределения давления. При помощи самопишущих
скважинных манометров можно записать повышение или понижение давления
и построить график изменения забойного давления с течением времени кривую восстановления давления (КВД).
Чаще всего при гидродинамическом исследовании скважины наблюдают
(измеряют) восстановление забойного давления после остановки скважины,
ранее продолжительное время работавшей с постоянным дебитом Q.
Очевидно, что коллекторские свойства пласта влияют па форму графиков
восстановления забойного давления, поэтому по форме КВД стали определять
коллекторские свойства пласта - его проницаемость и пьезопроводность.
Однако форма графиков восстановления давления достаточно сложна в
реальных условиях.
Для упрощения обработки КВД прибегают к преобразованию графиков
восстановления
давления, изменяя
их
криволинейную форму в
прямолинейную.
Наиболее распространенный метод определения
коллекторских свойств пласта по данным о восстановлении забойного давления
в остановленных скважинах - метод построения преобразованного
графика восстановления забойного давления в
полулогарифмических координатах (Δp, lg t), имеющего форму прямой.
Прямолинейную зависимость Δр от lg t установить несложно. На основании
основной формулы теории упругого режима можно получить следующую
функциональную зависимость между изменением забойного давления Δрc и
временем t с момента пуска скважины в эксплуатацию с постоянным дебитом
Q:
∆рс = p k − рс −
× (ln
 r 2  Qµ
Qµ 
4 χt
Qµ
 ≈
−
E
(ln 2 − 0,58) =
×
 i  −
4πkh 
4
χ
t
4
π
kh
4
π
kh
r


c
Qµ
Qµ 2, 25χt
4 χt
4 χt
− ln 1,781) =
(2,3 lg
) = 0,18
lg
,
2
2
4πkh
kh
rc
1,781rc
rc2
∆рс = 0,18
Q ⋅ µ 2,25 χ ⋅ t
lg
k ⋅h
rc2
Последнее выражение можно переписать в виде
∆рс = 0,18
Q ⋅ µ 2,25χ
Q⋅µ
lg
+ 0,18
lg t ,
2
k ⋅h
rc
k ⋅h
77
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
или
где
A = i lg
от
ек
∆рс = A + i lgt ,
2,25 χ
rc2
i = 0,18
Qµ
kh
(8.17)
яб
иб
ли
Действительно, из формул (8.17) видно, что изменение (снижение)
забойного давления в пущенной с постоянным дебитом Q скважине
оказывается линейной функцией логарифма времени. Следовательно, эти
формулы можно рассматривать как уравнение графика изменения забойного
давления после пуска скважины в эксплуатацию.
Рассмотрим теперь кривую восстановления забойного давления, т. е. рост
забойного давления после мгновенной остановки скважины. Будем считать, что
до остановки скважина длительное время работала с постоянным дебитом Q и
вокруг нее в пласте имело место установившееся распределение пластового
давления, т. е. пьезометрическая линия является кривой логарифмического
типа.
Изменение забойного давления после мгновенной остановки скважины
можно определить, используя метод суперпозиции:
∆р с = р к − р с = ∆р с. уст. − ∆р с.неуст ,
нн
а
где ∆рс. уст - депрессия на пласт при установившейся работе добывающей
скважины с дебитом Q:
∆рс. уст = р к − р с. уст =
R
Qµ
ln k ;
2πkh rc
Эл
ек
тр
о
Δpc.неуст - изменение давления на забое воображаемой нагнетательной
скважины, лущенной в момент t=0 расходом Q:
∆р с. уст = p с − рс . уст
 rс 2 
Qµ 

=
− Ei  −

4πkh 
4
χ
⋅
t


Так как Δpc. уст величина постоянная (от времени не зависит), то
изменение забойного давления
Δpc будет определяться по последней
формуле.
Обработка
кривых
восстановления
забойного давления и определение по ним коллекторских свойств пласта
проводятся следующим образом.
Снятую скважинным манометром кривую восстановления забойного
давления после остановки скважины перестраивают в координатах (Δpc, lg t)
(рис. 33). По прямому участку этой кривой находится отрезок,
78
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
отсекаемый ее продолжением на оси
Δpc (отрезок А) и тангенс угла наклона
этой прямой к оси абсцисс (i=tg ϕ ).
Затем с помощью равенства
φ
i = 0,18
Qµ
определяется параметр kh/μ,
kh
называемый
пласта:
А
от
ек
а
Δр с
гидропроводностью
kh 0,18Q
=
µ
tgϕ
Рис. 33
иб
ли
lg t
Если известны вязкость жидкости в пластовых условиях μ и толщина
пласта h, то из последней формулы находится коэффициент проницаемости
пласта
0,18Q ⋅ µ
h ⋅ tgϕ
яб
к=
нн
а
Далее по известному угловому коэффициенту i = tgφ и радиусу rс
2,25χ
скважины из первого равенства A = i lg
, можно определить коэффициент
rc2
пьезопроводности пласта χ :
A
Эл
ек
тр
о
A
2,25 χ
= lg
;
tgϕ
rc2
χ=
2,25χ
= 10 tgϕ
2
rc
A
tgϕ
10
2
⋅ rc
2,25
Область применения указанных простых приемов интерпретации
результатов исследования нефтяных скважин ограничивается условиями, а
именно: скважина рассматривается как источник постоянной интенсивности в
бесконечном однородном пласте, и возможна мгновенная остановка притока
флюида в скважину.
В случае ограниченного пласта, когда изменение давления, вызванное
закрытием скважины, доходит до его границы, КВД в скважине искажается, а
через достаточно большое время выходит на горизонтальную асимптоту,
соответствующую стационарному распределению давления. Поэтому длина
прямолинейного участка на кривой (см. рис. 33) ограничена.
79
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
иб
ли
от
ек
а
Кроме того, в реальных условиях скважину нельзя остановить мгновенно.
После ее закрытия на устье приток флюида из пласта продолжается еще
некоторое время из-за упругости жидкостей и газов, заполняющих скважину.
Время выхода на асимптоту, должно, очевидно, превышать время
дополнительного притока. Поэтому возможны условия, при которых
прямолинейный участок на КВД появляется через значительный промежуток
времени, либо даже вовсе не существует.
Поскольку длительная остановка скважины нежелательна, были развиты
методы определения параметров пласта на неустановившихся режимах,
лишенные указанных недостатков и учитывающие, в частности, время работы
скважины до ее остановки (метод Хорнера), а также приток флюида в скважину
после ее остановки.
Задача 55
Дано:
h = 30м
нн
а
S = 500 га = 500 ⋅ 10 4 м
m = 20% = 0,2
σ B = 30% = 0,3
∆р1 = 300 атм.
∆р 2 = 200 атм.
β H = 3,06 ⋅ 10 -10 1
яб
Нефтяная залежь площадью 500 га и толщиной 30 м имеет пористость
20% и водонасыщенность 30%. Сколько нефти можно отобрать за счёт
объёмного расширения жидкости при падении давления от 300 атм. до 200
атм., если коэффициент сжимаемости нефти 1,53·10-9 1/Па, а коэффициент
сжимаемости воды 3,06·10-10 1/Па. Пласт считать недеформируемым.
Па
∆VH′ − ?
Эл
ек
тр
о
Решение:
Считая нефть и воду упругими жидкостями, определим изменение
объёмов, занимаемых нефтью и водой при падении давления на
∆р = 100 атм (9,8 МПа ) :
∆VH = Shm (1 − σ B )β H ∆p,
∆VB = Shmσ B β B ∆p,
объём вытесненной нефти ∆VH′ равен сумме объёмов ∆VH + ∆V B
∆V H′ = Shm[(1 − σ B )β H + σ B β B ] ∆p =
[
]
500 ⋅ 10 4 ⋅ 30 ⋅ 0,2 (1 − 0,3) 1,53 ⋅ 10 − 9 + 0,3 ⋅ 3,06 ⋅ 10 −10 9,8 ⋅ 10 6 = 3,42 ⋅ 10 5 м 3 .
80
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Задача 56
от
ек
Определить упругий запас нефти в замкнутой области нефтеносности
площадью 4500 га, толщиной 15 м, если средневзвешенное пластовое давление
изменилось на 50 атм., пористость пласта 18%, коэффициент сжимаемости
нефти 2,04·10-9 1/Па, насыщенность пласта связанной водой 20%, коэффициент
сжимаемости воды 4,59·10-10 1/Па, коэффициент сжимаемости породы 1,02·10-10
1/Па.
иб
ли
Задача 57
яб
Из скважины, расположенной в бесконечном пласте, начали отбор нефти,
поддерживая постоянное давление на забое 8,82 МПа. Начальное пластовое
давление 11,76 МПа. Используя метод последовательной смены стационарных
состояний, определить дебит скважины через 1 ч, 1 сут и 1мес после начала
эксплуатации, если коэффициент проницаемости пласта 250 мД, толщина
пласта 12 м, коэффициент пьезопроводности пласта 1,5 м2 /с, коэффициент
вязкости нефти 1,3 мПа ⋅ с. Скважина гидродинамически совершенная, радиус её
0,1 м.
Указание. По методу последовательной смены стационарных состояний
дебит скважины определяется по формуле Дюпюи, в которой под Rk онимается
приведённый радиус влияния скважины, который увеличивается с течением
нн
а
времени по закону Rk = 2 χ ⋅ t.
Задача 58
Эл
ек
тр
о
Определить коэффициент гидропроводности пласта kh / µ и коэффициент
пьезопроводности пласта χ по данным об изменении давления на забое
совершенной скважины, расположенной в бесконечном пласте постоянной
толщины. Скважина работает с постоянным дебитом 100 м3/сут в условиях
упругого режима. Начальное пластовое давление 150 атм., радиус скважины
0,1 м. Изменение депрессии р к − рс с течением времени приведено ниже:
Номер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 мин
∆р с , атм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3,46
2
1ч
3,84
3
12 ч
4,57
4
1 сут
4,76
5
5 сут
5,23
Задача 59
Рассчитать различными приближёнными методами изменение забойного
давления в гидродинамически совершенной скважине в круговом пласте,
пущенной в эксплуатацию с постоянным дебитом в пластовых условиях.
Сравнить результаты с точным методом упругого режима. Построить график.
81
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
Радиус контура питания 400 м; давление на контуре питания 27 МПа; радиус
скважины 0,10 м; дебит скважины 3,6 т/сут; толщина пласта 2 м;
проницаемость пласта 180 мД; пористость пласта 21%; динамическая вязкость
77 мПа*с; коэффициент сжимаемости жидкости 9*10-10 1/Па; коэффициент
сжимаемости пласта 6*10-11 1/Па; плотность жидкости 900 кг/м3; время 1,3,5
сут.
Задача 60
иб
ли
Определить
коэффициент
проницаемости,
гидропроводности
и
пьезопроводности пласта по данным об изменении давления на забое
совершенной скважины, расположенной в бесконечном пласте постоянной
толщины. Скважина работает с постоянным дебитом Q в условиях упругого
режима. Дебит скважины 15 м3 /сут; толщина пласта 2 м; радиус скважины
0,10 м; динамическая вязкость 77 мПа*с.
2
1ч
4,85
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
Номер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 мин
∆р с , атм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4,45
82
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
3
12 ч
5,58
4
1 сут
5,77
5
5 сут
6,24
от
ек
Вариант 1
а
Контрольные задачи
иб
ли
1. Определить значение скорости фильтрации у входа жидкости в
гидродинамически несовершенную по степени вскрытия скважину, если
толщина пласта 12 м, относительное вскрытие пласта 0,6, радиус скважины
12 см, дебит жидкости 20 м3/сут.
2. Определить время отбора нефти (сут, год) из призабойной зоны скважины
радиусом 120 м,
толщина пласта 8 м, коэффициент пористости 18 %,
массовый дебит нефти 35 т/сут, плотность нефти 910 кг/м3, радиус скважины
10 см.
Вариант 2
нн
а
яб
1. Определить по формуле М.Д. Миллионщикова происходит ли фильтрация в
пласте по закону Дарси, если известно, что дебит нефтяной скважины 125
м3/сут, толщина пласта 4,2 м, коэффициент пористости 14 %, коэффициент
проницаемости 0,4 Д, плотность нефти
0,85 г/см3, динамический коэффициент вязкости её 6 мПа*с. Скважина
гидродинамически совершенная, радиус её 10 см.
Эл
ек
тр
о
2. Используя графики В.Н. Щурова, определить коэффициенты С1 и С2, а также
приведённый радиус, считая, что нефть притекает к скважине диаметром 25 см,
несовершенной как по степени, так и по характеру вскрытия. Толщина пласта
10 м, вскрытие пласта 6 м, число прострелов на 1 м толщины пласта 15 отв/м,
глубина проникновения пуль в породу 6 см, диаметр отверстия 1 см.
Вариант 3
1. Образец пористой среды длиной 13 см, диаметром 6 см после насыщения
под вакуумом жидкостью стал тяжелее на 20 гр. Определить коэффициент
пористости (%) и просветности образца. Плотность жидкости 980 кг/м3.
2. Определить давление (МПа) на расстоянии 50 м от оси скважины при
плоскорадиальном установившемся движении несжимаемой жидкости по
линейному закону фильтрации, считая что, толщина пласта 12 м, коэффициент
проницаемости пласта 0,4 Д, давление на забое скважины 8 МПа, массовый
дебит нефти 230 т/сут, плотность нефти 870 кг/м3, радиус скважины 12,4 см,
динамический коэффициент вязкости нефти 4 мПа*с.
83
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Вариант 4
от
ек
1. Определить по формуле В.Н. Щелкачёва происходит ли фильтрация в пласте
по закону Дарси, если известно, что скважина является гидродинамически
несовершенной по степени вскрытия пласта. Дебит скважины 22 м3/сут,
вскрытие пласта 1,7 м, коэффициент пористости
18 %, коэффициент
проницаемости
438 мД, плотность нефти
0,89 г/см3, динамический
коэффициент вязкости её 5 мПа*с, радиус скважины 12,4 см.
иб
ли
2. Определить коэффициент С2, гидродинамически несовершенной скважины
по характеру вскрытия пласта радиусом 11 см, число прострелов на 1 м
вскрытой толщины пласта 15 , диаметр отверстий 13 мм, глубина
проникновения в породу 7 см.
Вариант 5
яб
1. Определить скорость фильтрации и скорость движения нефти на расстоянии
150 м от оси скважины, если известно, что скважина вскрыла нефтяной пласт
толщиной 8 м, массовый дебит скважины 52 т/сут, плотность нефти 830 кг/м3,
коэффициент пористости 14 %.
нн
а
2. Определить средневзвешенное по объёму пластовое давление (МПа), если
известно, что давление на контуре питания 16 МПа, давление на забое
скважины 10 МПа, расстояние до контура питания 23 км, радиус скважины
10 см.
Вариант 6
Эл
ек
тр
о
1. Дебит несовершенной газовой скважины по характеру вскрытия пласта,
приведённый к атмосферному давлению при пластовой температуре 3*106
м3/сут, абсолютное давление на забое 12 МПа, толщина пласта 6,8 м,
коэффициент пористости пласта 15 %, коэффициент проницаемости 520 мД,
динамический коэффициент вязкости в пластовых условиях 0,015 мПа*с,
плотность газа 57 кг/м3, количество перфорационных отверстий 16, диаметр их
10 мм. Определить число Рейнольдса (Re) по формуле М.Д. Миллионщикова.
2. Какому коэффициенту С, определяющему дополнительное фильтрационное
сопротивление,
обусловленное
гидродинамическим
несовершенством
скважины, соответствует коэффициент совершенства 0,53? Радиус скважины 7
см, радиус контура питания 700 м.
84
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Вариант 7
от
ек
1. После насыщения цилиндрического образца диаметром 4 см через него
началась установившаяся фильтрация жидкости в продольном направлении,
причём за 17 минут через образец прошло 120 см3 жидкости. Коэффициент
пористости образца 13 %. Определить скорость фильтрации и скорость
движения.
иб
ли
2. Определить время выработки галереи (сут., год), если известно, что длина
пласта 600 м,
коэффициент пористости 16 %, коэффициент проницаемости
490 мД, динамический коэффициент вязкости 3 мПа*с, давление на контуре
питания 6 МПа, давление галереи 3 МПа.
Вариант 8
яб
1. Определить значение числа Рейнольдса у стенки нефтяной скважины с
двойным видом несовершенства. Известно, что вскрытие пласта 4,3 м,
количество перфорационных отверстий 16 диаметром 6 мм, проницаемость
пласта 440 мД, пористость его 18,1 %, коэффициент вязкости нефти 35 мПа*с,
плотность нефти 850 кг/м3 и дебит скважины 23 м3/сут. (по формуле М.Д.
Миллионщикова).
нн
а
2. Рассчитайте приведённый радиус и коэффициент совершенства скважины,
если известно, что поправочный коэффициент С=6,3. Диаметр скважины 23 см,
радиус контура питания 1500 м.
Вариант 9
Эл
ек
тр
о
1. Определить коэффициенты проницаемости и фильтрации для
цилиндрического образца пористой среды диаметром 3 см, длиной 14 см, если
разность давлений на концах образца составляет 240 мм рт ст, расход жидкости
2 л/час, динамический коэффициент вязкости жидкости 4 мПа*с, плотность её
1010 кг/м3. Найти также скорость фильтрации.
2. Определить коэффициент проницаемости пласта (в различных системах
единиц), если известно, что в пласте происходит одномерное, прямолинейнопараллельное установившееся движение однородной жидкости по закону
Дарси. Гидравлический уклон 0,05, ширина галереи 540 м, толщина пласта 3,9
м, плотность жидкости 870 кг/м3, динамический коэффициент вязкости 6 мПа*с
и дебит галереи 23 м3/сут.
85
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Вариант 10
от
ек
1. Через цилиндрический образец породы длиной 13 см., диаметром 6 см
пористостью 14,6 % фильтруется жидкость плотностью
900 кг/м3,
динамический коэффициент вязкости жидкости 1 Па*с, расход 0,4 см3/с при
перепаде давлений 7 ат. Определить применимость закона Дарси (по формуле
В.Н. Щелкачёва).
иб
ли
2. Определить коэффициент С1, гидродинамически несовершенной по степени
вскрытия скважины радиусом 7 см, находящейся в пласте с круговым контуром
питания. Толщина пласта 3,8 м, относительное вскрытие пласта 55 %.
Вариант 11
яб
1. Рассчитайте скорость движения нефти у стенки несовершенной по характеру
вскрытия нефтяной скважины. Дебит скважины составляет 10 т/сут, плотность
жидкости 890 кг/м3, толщина пласта 8,7 м, количество перфорационных
отверстий 15, диаметр отверстия 6 мм, коэффициент пористости пласта 14,6 %.
нн
а
2. Определить время (сут., год), за которое частица жидкости подойдёт к стенке
скважины с расстояния 100 м, если коэффициент проницаемости пласта 496
мД, динамический коэффициент вязкости 6 мПа*с, депрессия во всём пласте
радиусом 1 км составляет 1,4 МПа. Коэффициент пористости 13,9 %,
радиус скважины 9 см.
Вариант 12
Эл
ек
тр
о
1. Определите, имеет ли место фильтрация по закону Дарси в призабойной
зоне скважины радиусом 200 м? Дебит газовой скважины, приведённый к
атмосферному давлению при пластовой температуре 4*106 м3/сут, пластовое
давление 19 МПа, толщина пласта 5,7 м, коэффициент пористости пласта 14,9
%, коэффициент проницаемости 250 мД, динамический коэффициент вязкости
в пластовых условиях 0,034 мПа*с, плотность газа 60 кг/м3 (по формуле М.Д.
Миллионщикова).
2. Определить коэффициент С2, гидродинамически несовершенной скважины
по характеру вскрытия пласта диаметром 18 см, число прострелов на 1 м
вскрытой толщины пласта 14 , диаметр отверстий 10 мм, глубина
проникновения в породу 6,5 см.
86
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Вариант 13
от
ек
1. Скважина вскрыла нефтяной пласт толщиной 7,9 м. Дебит скважины 9,6
м3/сут, коэффициент пористости 14,2 %. Найти скорость движения нефти на
расстоянии 58 м.
иб
ли
2. В пласте с проницаемостью 340 мД, толщиной 4,7 м и шириной 240 м
содержится жидкость вязкостью 25 мПа*с. Галерея, эксплуатирующая залежь
находится на расстоянии 2 км. Давление на левой границе 14 МПа, на правой
16 МПа, давление галереи 9 МПа. Расстояние от левой до правой границы – 6
км. Определите дебит галереи (т/сут, при плотности жидкости 890 кг/м3).
Вариант 14
яб
1. Докажите, что закон Дарси данных условиях соблюдается, труба длиной 0,6
м, с внутренним диаметром 4 см заполнена веществом пористостью 24,6 %.
Через трубу при перепаде давления 1,5 ат фильтруется жидкость вязкостью 33
мПа*с и плотностью 0,80 г/см3 . Расход жидкости составляет 3,8 см3/с.
нн
а
2. Определить коэффициент совершенства скважины, несовершенной по
характеру вскрытия пласта. Забой скважины обсажен и перфорирован при
помощи кумулятивного перфоратора, число отверстий на 1 м – 12, диаметр
отверстия -14 мм, длина канала перфорации – 120 мм, радиус скважины 8,5 см,
расстояние до контура питания – 430 м.
Вариант 15
Эл
ек
тр
о
1. Определить скорость фильтрации и скорость движения нефти у стенки
скважины, если известно, что скважина вскрыла нефтяной пласт толщиной 13
м, массовый дебит скважины 53 т/сут, плотность нефти 830 кг/м3, коэффициент
пористости 15 %, радиус скважины 10 см.
2. Определить коэффициент продуктивности скважины при следующих
данных: коэффициент проницаемости пласта 5 Д, толщина пласта 9 м,
диаметр скважины 24,8 см., динамический коэффициент вязкости нефти 3
мПа*с, радиус контура 15 км.
87
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Вариант 16
иб
ли
от
ек
1. Дебит газовой скважины, приведённый к атмосферному давлению при
пластовой температуре 2,5*106 м3/сут, абсолютное давление на забое 9 МПа,
толщина пласта 2,7 м, коэффициент пористости пласта 16 %, коэффициент
проницаемости 120 мД, динамический коэффициент вязкости в пластовых
условиях 0,017 мПа*с, плотность газа 53,8 кг/м3. Определить имеет ли место
фильтрация по закону Дарси в призабойной зоне совершенной скважины
радиусом 12,4 см.
2. Определить коэффициент С1, гидродинамически несовершенной по степени
вскрытия скважины радиусом 10 см, находящейся в пласте с круговым
контуром питания. Толщина пласта 5,1 м, толщина вскрытой части пласта 1,8
м.
Вариант 17
яб
1.Найти коэффициент проницаемости пористой среды, если известно, что
коэффициент фильтрации 1,4*10-4 см/с, а кинематическая вязкость жидкости
2* 10-6 м2/с. Фильтрация жидкости идёт по закону Дарси. (Ответ : в Д, мД).
нн
а
2. Найти градиент давления при прямолинейно-параллельном движении в
пласте несжимаемой жидкости по линейному закону фильтрации, используя
следующие данные: толщина пласта
8 м., ширина галереи
250 м,
коэффициент проницаемости пласта 0,5 Д, динамический коэффициент
вязкости жидкости 3 мПа*с, дебит галереи 45 м3/сут.
Эл
ек
тр
о
Вариант 18
1. Горизонтальная цилиндрическая труба длиной 1,5 м, с внутренним
диаметром 13 см заполнена песком (пористость 26 %). Через трубу при
перепаде давления 2 ат фильтруется жидкость динамический коэффициент
вязкости её 3 мПа*с, плотность 0,85 г/см3 с расходом 5 см3/с. Доказать, что
закон Дарси в этих условиях соблюдается и определить коэффициент
проницаемости песка.
2. Определить коэффициент С2, приведённый радиус и коэффициент
совершенства гидродинамически несовершенной скважины по характеру
вскрытия пласта радиусом 9 см, находящейся в пласте с круговым контуром
питания. Число прострелов на 1 м вскрытой толщины пласта 12, диаметр
88
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
отверстий 10 мм, глубина проникновения в породу 5 см, радиус контура
питания 1 км.
Вариант 19
1. Найти коэффициент фильтрации, если известно, что
коэффициент
проницаемости пласта 5 Д, динамический коэффициент вязкости жидкости 1
мПа*с, плотность жидкости 830 кг/м3.
иб
ли
2. Определить значение числа Рейнольдса у стенки гидродинамически
несовершенной по характеру вскрытия нефтяной скважины, если известно, что
эксплуатационная колонна перфорирована, на каждом метре длины колонны
прострелено 12 отверстий диаметром 10 мм, толщина пласта 5 м,
проницаемость пласта 100 мД, пористость его 17 %, коэффициент вязкости
нефти 24 мПа*с, плотность нефти 870 кг/м3 и дебит скважины 140 м3/сут. (по
формуле М.Д. Миллионщикова).
Вариант 20
нн
а
яб
1. Определить скорость фильтрации и действительную скорость движения
через цилиндрический образец пористой среды диаметром 4 см, длиной 22 см,
разность давлений на концах образца 300 мм рт ст., динамический
коэффициент вязкости жидкости 3 мПа*с, коэффициент пористости 14 %,
расход 1,9 л/час.
Эл
ек
тр
о
2. Определить дебит нефтяной скважины (т/сут) в случае установившейся
плоскорадиальной фильтрации жидкости по закону Дарси, если известно, что
давление на контуре питания 10 МПа, давление на забое скважины 7 МПа,
коэффициент проницаемости пласта 0,8 Д, толщина пласта 15 м, диаметр
скважины 24 см, радиус контура питания 12 км, динамический коэффициент
вязкости жидкости 5 мПа*с и плотность жидкости 830 кг/м3.
Вариант 21
1. Скважина радиусом 10 см вскрыла нефтяной пласт толщиной 6 м. Массовый
дебит скважины 52 т/сут. Плотность нефти 850 кг/м3, коэффициент пористости
14 %. Найти действительную скорость движения нефти у её стенки.
2. Определить дебит галереи (м3/сут) шириной 130 м., толщина пласта 12 м.,
расстояние до контура питания 10 км, коэффициент проницаемости пласта 3
Д, динамический коэффициент вязкости жидкости 5 мПа*с. Давление на
контуре питания 9,3 МПа, давление на галереи 6,85 МПа. Движение жидкости
подчиняется закону Дарси.
89
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Вариант 22
от
ек
1. Определить по формуле В.Н. Щелкачёва происходит ли фильтрация в пласте
по закону Дарси, если известно, что дебит нефтяной скважины 250 м3/сут,
толщина пласта
8 м, коэффициент пористости
14 %, коэффициент
3
проницаемости 0,5 Д, плотность нефти 0,83 г/см , динамический коэффициент
вязкости её 6 мПа*с. Скважина гидродинамически совершенная, радиус её 10
см.
иб
ли
2. Какому коэффициенту С, определяющему дополнительное фильтрационное
сопротивление,
обусловленное
гидродинамическим
несовершенством
скважины, соответствует коэффициент совершенства 0,75? Радиус скважины
7,5 см, радиус контура питания 700 м. Определить также приведённый радиус.
Вариант 23
яб
1. Определить коэффициент пористости (%), если известно, что скорость
движения через образец 3*10-2 см/с, коэффициент проницаемости 160 мД,
динамический коэффициент вязкости жидкости 5 мПа*с, разность давлений 2,5
ат при длине образца 18 см.
нн
а
2. Определить средневзвешенное по объёму пластовое давление (МПа), если
известно, что давление на контуре питания 9,5 МПа, давление на забое
скважины 7,54 МПа, расстояние до контура питания 28 км, радиус скважины
12,4 см.
Вариант 24
Эл
ек
тр
о
1. Через цилиндрический образец породы длиной 16 см., диаметром 8 см
пористостью 14 % фильтруется нефть. Плотность нефти 840 кг/м3,
динамический коэффициент вязкости жидкости 1 Па*с, расход 0,2 см3/с при
перепаде давлений 10 ат. Определить применимость закона Дарси (по формуле
М.Д. Миллионщикова).
2. Определить коэффициент С1, приведённый радиус и коэффициент
совершенства гидродинамически несовершенной скважины радиусом 12 см,
находящейся в пласте с круговым контуром питания. Толщина пласта 4,5 м,
толщина вскрытой части пласта 2,3 м, радиус контура питания 2 км.
90
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Контрольные вопросы
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
(в тестовой форме)
1. Укажите единицы измерения коэффициента пористости, коэффициента
проницаемости,
2. коэффициента фильтрации, коэффициента просветности, дебита
скважины, коэффициента
кинематической вязкости, динамической
вязкости, коэффициента продуктивности
3. скважины, коэффициента пьезопроводности, коэффициента
гидропроводности пласта
4. Подземная гидромеханика – наука…
5. Коэффициент пористости можно вычислить по следующей формуле…
6. Коэффициент фильтрации, вычисляется по следующей формуле …
7. Коэффициент проницаемости k вычисляется по следующей формуле …
8. Коэффициент просветности вычисляется по следующей формуле …
9. Критическая величина числа Рейнольдса Reкр по формуле В.Н.
Щелкачёва составляет…
10.Уравнение состояния идеального газа…
11.Уравнение состояния сжимаемой жидкости …
12.Уравнение состояния реального газа …
13.Уравнение состояния несжимаемой жидкости
14.Фиктивным грунтом называется модель пористой среды…
15.Выберите уравнение неразрывности фильтрационного потока для
установившейся фильтрации
несжимаемой жидкости
16.Прямолинейно – параллельный поток представляет собой …
17.Критическая величина числа Рейнольдса Rкр = 0,022, укажите к какой
формуле она применима
18.Критическая величина Rкр = 7,5 характерна для формулы…
19.Критическая величина Reкр = 1 характерна для формулы …
20.Укажите связь между динамической и кинематической вязкостью…
21.Линейный закон фильтрации справедлив в случае, если Re = ?
22.При изменении давления изменение коэффициента пористости можно
описать следующим уравнением…
23.Число Рейнольдса Re согласно методики Н.Н. Павловского
рассчитывается по следующей
формуле…
24.Закон Ф. Форхгеймера применяется, если …
25.Формула Ч. Слихтера применима для определения коэффициента
пористости (каких грунтов)
26.Величина 1 Дарси равна…
27.Скорость фильтрации и скорость движения связаны между собой
коэффициентом…
28.Скорость движения вычисляется по следующей формуле…
29.Скорость фильтрации вычисляется по следующей формуле
30.При изменении давления изменение динамической вязкости можно
описать следующим уравнением
91
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
31.Число Рейнольдса по методике В.Н. Щелкачёва можно вычислить по
следующей формуле…
32.Закон Ф.Форхгеймера применяется для простейшего случая…
33.Установите связь между скоростью фильтрации w и скоростью
движения…
34.Пористая среда называется однородной, если её фильтрационные
характеристики –
проницаемость и пористость…
35.Закон Дарси в дифференциальной форме можно записать в следующем
виде…
36.Выберите причину, при которой существуют отклонения от закона
Дарси
37.Число Рейнольдса Re согласно методики М.Д. Милионщикова можно
вычислить по следующей
формуле…
38.Пористая среда называется неоднородной, если ее фильтрационные
характеристики –
пористость и проницаемость
39.Линейный закон фильтрации был предложен …
40.Нелинейный закон фильтрации был впервые предложен …
41.Водонапорным называется режим нефтегазоводоносного пласта, при
котором нефть вытесняется в добывающие скважины…
42.Упругим называется режим нефтегазоводоносного пласта, при котором
нефть вытесняется в добывающие скважины…
43.Упруговодонапорным режимом называется режим, при котором нефть
вытесняется в скважины
44.Газонапорным называется режим, при котором нефть вытесняется в
скважины под действием…
45.Гравитационным называется режим, при котором нефть вытесняется в
скважины под действием…
46.Дифференциальное уравнение Лапласа для прямолинейно-параллельного
потока…
47.Выберите схему прямолинейно-параллельного потока
48.Градиент давления, давление, скорость фильтрации, дебит галереи,
средневзвешенное по объёму порового пространства пластовое давление
при прямолинейно – параллельной фильтрации несжимаемой жидкости
вычисляется по следующей формуле…
49.Закон движения частиц жидкости t при прямолинейно-параллельном
потоке несжимаемой жидкости, вычисляется по следующей формуле
50.Время выработки добывающей галереи, вычисляется по следующей
формуле
51.Выберите график, показывающий зависимость давления от координаты
x (прямолинейно-параллельный поток несжимаемой жидкости)
52.Укажите дифференциальное уравнение неразрывности фильтрационного
потока записанное в краткой форме…
53.Плоскорадиальный поток представляет собой…
92
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
от
ек
а
54.Давление в любой точке пласта, скорость фильтрации, градиент
давления, дебит скважины
при плоскорадиальной фильтрации
несжимаемой жидкости…
55.Средневзвешенное по объёму порового пространства пластовое давление
~
p при плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости …
56.Закон движения частиц жидкости в случае плоскорадиальной фильтрации
несжимаемой жидкости к совершенной скважине…
57.Время Т отбора всей жидкости из кругового пласта радиусом Rk ,
вычисляется по следующей формуле…
58.Анализируя формулу градиента давления при плоскорадиальной
dp p 2 к − p 2 с 1 1
=
⋅ ⋅
видно, что градиент
Rк r p
dr
2 ln
rс
иб
ли
фильтрации идеального газа
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
давления вблизи забоя резко возрастает за счёт…
59.Выберите график распределения давления по пласту при
плоскорадиальной фильтрации несжимаемой жидкости.
60.Коэффициент продуктивности скважины K вычисляется по формуле…
61.Укажите график зависимости градиента давления и скорости
фильтрации от координаты.
62.Выберите схему плоскорадиального потока
63.Формула для определения дебита совершенной скважины при
фильтрации несжимаемой жидкости была предложена …
64.Дифференциальное уравнение Лапласа для установившегося радиальносферического потока.
65.Выберите схему радиально-сферического потока
66.Выберите формулу распределения давления, градиента давления,
скорости фильтрации, дебита добывающей скважины, средневзвешенное
по объёму порового пространства пластовое давление для радиальносферического потока несжимаемой жидкости
67.Закон движения частиц жидкости для радиально-сферического потока
несжимаемой жидкости.
68.Время отбора всей жидкости из пласта T при радиально-сферическом
потоке несжимаемой жидкости.
69.Расчёты основных параметров для радиально-сферического потока
проводятся без учёта…
70.Дифференциальное уравнение Лапласа для установившегося
плоскорадиального потока…
71.Отношение дебита скважины Q к перепаду давления ∆p называется
коэффициентом …
72.Дебит несовершенной по степени вскрытия скважины, рассчитывается по
формуле…
73.Дебит несовершенной по характеру вскрытия скважины, рассчитывается
по формуле…
74.Формула Дюпюи применима при притоке жидкости к ? скважине.
93
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
µ
78.Формула в виде
Q=
от
ек
а
75.Для нахождения поправки на несовершенство по степени вскрытия
пласта С1 по графику В. И. Щурова необходимо определить
следующие значения…
76.Для нахождения поправки на несовершенство по характеру вскрытия С2,
необходимо вычислить следующие значения…
77.Формула в виде Q = 2πkh ⋅ pk − pc применима при притоке жидкости к…
ξ
применима при расчёте притока к
2 ⋅ π ⋅ k ⋅ h pk − pc
⋅
R
µ
ln k + С1
rc
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
(какой скважине)
79.Коэффициент совершенства скважины δ и величина С = С1 + С 2 связаны
между собой зависимостью…
80.Приведенный радиус скважины, вычисляется по формуле…
81.Относительное вскрытие пласта h , определяется следующим образом
82.Скважина называется гидродинамически совершенной, если она
вскрывает продуктивный пласт
83.Скважина называется гидродинамически несовершенной по степени
вскрытия пласта, если она вскрывает продуктивный пласт …
84.Скважина называется гидродинамически несовершенной по характеру
вскрытия пласта, если она вскрывает продуктивный пласт …
85.Потенциал точечного стока на плоскости…
86.Потенциал точечного стока в пространстве…
87.Точечным стоком на плоскости называют точку…
88.Точечным источником на плоскости называют точку…
89.Точечным стоком на плоскости называют точку, поглощающую жидкость
– это модель…
90.Единичный дебит для кругового контура питания вычисляется по
следующей формуле
91.Интерференцией называется явление …
92.При интерференции по пласту работает …
93.Дебит скважины, приходящийся на единицу толщины пласта в пласте с
прямолинейным контуром питания, вычисляется по следующей
формуле…
94.Коэффициент упругоёмкости пласта вычисляется по формуле…
95.Коэффициент пьезопроводности пласта вычисляется по формуле….
96.Функция Лейбензона запишется в следующем виде…
97.Функцию Лейбензона следует учитывать при расчётах фильтрации( какой
жидкости).
98.Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации упругой
жидкости по закону Дарси.
99.Коэффициент гидропроводности пласта можно определить по
следующей формуле.
100.
Дифференциальное уравнение установившейся фильтрации
упругой жидкости имеет вид…
94
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
101.
Дифференциальное уравнение неустановившейся фильтрации
упругой жидкости (дифференциальное уравнение пьезопроводности
пласта)
102.
Коэффициентом, характеризующим скорость перераспределения
пластового давления при
неустановившейся фильтрации упругой
жидкости в упругой пористой среде, называется…
103.
Выберите формулу для подсчёта упругого запаса жидкости в пласте
104.
Накопление упругого запаса жидкости в пласте происходит …
105.
Упругий запас жидкости убывает …
106.
Под упругим запасом жидкости в пласте понимается количество
жидкости, которое можно извлечь из пласта при снижении давления в
нём за счёт …
107.
Распределение давления в прямолинейно-параллельном
фильтрационном потоке идеального газа, можно вычислить по
следующей формуле…
108.
Объёмный расход газа, приведённый к атмосферному давлению Q ,
при прямолинейно- параллельной фильтрации идеального газа можно
вычислить по формуле…
109.
Градиент давления для прямолинейно – параллельного потока
идеального газа вычисляется по формуле…
110.
Скорость фильтрации w для прямолинейно-параллельного
фильтрационного потока идеального газа, можно вычислить по
формуле…
111.
Средневзвешенное по объему порового пространства пластовое
давление при прямолинейно-параллельном потоке идеального газа …
112.
Распределение давления при плоскорадиальной фильтрации
идеального газа…
113.
Дебит газовой скважины Q при плоскорадиальной фильтрации
идеального газа
114.
Средневзвешенное по объёму порового пространства пластовое
давление ~p в плоскорадиальном потоке идеального газа, определяется
по следующей формуле
115.
Выберите функцию Лейбензона, используемую при расчётах
фильтрации реального газа
116.
Объемный расход газа, приведенный к атмосферному давлению Q,
при плоскорадиальной фильтрации реального газа, можно вычислить по
следующей формуле
117.
Слоистая неоднородность …
118.
Выберите формулу распределения давления
p в каждом
пропластке( пласт слоисто- неоднородный,
поток
прямолинейнопараллельный)
119.
Выберите формулу скорости фильтрации wi в i - пропластке (
пласт слоисто-неоднородный,
поток прямолинейно-параллельный)
95
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
120.
Дебит потока Q для слоисто-неоднородного пласта прямолинейнопараллельного потока
121.
Движение частиц жидкости в каждом пропластке для слоистонеоднородного пласта прямолинейно-параллельного потока
122.
Распределение давления pi в каждой зоне для зональнонеоднородного пласта прямолинейно- параллельного потока
123.
Градиент давления в пределах каждой зоны для зональнонеоднородного пласта прямолинейно- параллельного потока
124.
Дебит потока Q несжимаемой жидкости для зональнонеоднородного пласта прямолинейно- параллельного потока
125.
Скорость фильтрации w в любом сечении потока для зональнонеоднородного пласта прямолинейно-параллельного потока
126.
Скорость фильтрации wi в каждом пропластке для
плоскорадиального потока слоистонеоднородного пласта
127.
Дебит Q для плоскорадиального потока слоисто-неоднородного
пласта
128.
Распределение давления pi в каждой i -ой зоне для зональнонеоднородного пласта плоскорадиального потока
129.
Градиент давления в i -ой зоне для зонально-неоднородного пласта
плоскорадиального потока Дебит Q для зонально-неоднородного
пласта плоскорадиального потока
130.
Воронка депрессии – это…
131.
Гидропроводность – комплексный параметр, характеризующий…
132.
Коэффициент сжимаемости пористой среды – это коэффициент,
характеризующий…
133.
Коэффициент относительной проницаемости – это…
134.
Фазовая проницаемость – это…
135.
Коэффициент продуктивности скважины – это …
136.
Кривая восстановления давления – это…
96
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
Приложение 1
97
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
Приложение 2
98
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
Приложение 3
99
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
иб
ли
от
ек
а
Приложение 4
100
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Коэффициент
пористости
Коэффициент
проницаемости
горных пород
Д
Плотность
Па,
мм. рт.ст.
Па
χ
м2 / с
м2 / с
kh
µ
м 3 / Па ⋅ с
β
Па −1
м 3 / сут
м3
с
кг
с
Qm
т/сут
µ
мПа ⋅ с
Па⋅ с
м2
с
l
F
V
М
t
м2
с
м
с
м
с
м
м
м2
м3
кг
сут
ρ
кг / м 3
кг / м 3
ν
υ
w
d или D
1ат = 0,1МПа =
= 10 5 Па
м 3 / Па ⋅ с
нн
а
Q
1 Д = 1,02 ⋅ 10 −12 м 2
иб
ли
м2
p
K
а
k
Эл
ек
тр
о
Динамическая
вязкость
Кинематическая
вязкость
Скорость
движения
Скорость
фильтрации
Диаметр
Длина
Площадь сечения
Объём
Масса
Время
безразмерный
яб
Коэффициент
пьезопроводности
Коэффициент
гидропроводности
Коэффициент
сжимаемости
Коэффициент
продуктивности
Массовый расход
m
ат,
Давление
Объёмный расход
Обозначение
Единицы
системы
СИ
от
ек
Величина
Единицы
измерения
Приложение 5
Коэффициент
пересчёта
единицы
измерения
101
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
1м 3 / сут =
= 11,57 ⋅ 10 −6
1 т / сут =
м3
с
= 11,57 ⋅ 10 −3 кг / с
1мПа = 10 −3 Па ⋅ с
м
с
1 сут = 86400 с
кг
1 т / м 3 = 10 3 3
м
кг
1 г / см 3 = 10 3 3
м
-
h
b
rc
м
м
м
Rk
м
B
м
а
h
от
ек
r
м
с
м
kф
иб
ли
Коэффициент
фильтрации
Расстояние
Относительное
вскрытие пласта
Толщина пласта
Вскрытие пласта
Радиус скважины
Радиус контура
питания
Ширина пласта
Приставки для обозначения кратных и дольных единиц измерений
Приложение 6
Эл
ек
тр
о
нн
а
яб
Кратные единицы
Дольные единицы
Множитель Приставка Обозначение Множитель Приставка Обозначение
T
деци
Д
тера
10 −1
1012
9
−2
гига
санти
С
10
10
Г
−3
6
милли
м
мега
10
10
М
−6
3
микро
мк
кило
10
10
К
2
−9
гекто
Г
нано
H
10
10
−12
дека
Да
пико
П
10
10
−15
фемто
Ф
10
102
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
Приложение 7
ГАММА-ФУНКЦИЯ
х
1,50
51
52
53
54
1,55
56
57
58
59
1,60
61
62
63
64
1,65
66
67
68
69
1,70
71
72
73
74
1,75
Г(х)
0,88623
0,88659
0,88704
0,88757
0,88818
0,88887
0,88964
0,89049
0,89142
0,89243
0,89352
0,89468
0,89592
0,89724
0,89864
0,90012
0,90167
0,90330
0,90500
0,90678
0,90864
0,91057
0,91258
0,91467
0,91683
0,91906
x
1,75
76
77
78
79
1,80
81
82
83
84
1,85
86
87
88
89
1,90
91
92
93
94
1,95
96
97
98
99
2,00
иб
ли
Г(х)
0,90640
0,90440
0,90250
0,90072
0,89904
0,89747
0,89600
0,89464
0,89338
0,89222
0,89115
0,89018
0,88931
0,88854
0,88785
0,88726
0,88676
0,88636
0,88604
0,88581
0,88566
0,88560
0,88563
0,88575
0,88595
0,88623
яб
x
1,25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
1,35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
1,45
46
47
48
49
1,50
нн
а
Г(х)
1,00000
0,99433
0,98884
0,98355
0,97844
0,97350
0,96874
0,96415
0,95973
0,95546
0,95135
0,94740
0,94359
0,93993
0,93642
0,93304
0,92980
0,92670
0,92373
0,92089
0,91817
0,91558
0,91311
0,91075
0,90852
0,90640
Эл
ек
тр
о
х
1,00
01
02
03
04
1,05
06
07
08
09
1,10
11
12
13
14
1,15
16
17
18
19
1,20
21
22
23
24
1,25
от
ек
Таблица специальных функций
Г(х)
0,91906
0,92137
0,92376
0,92623
0,92877
0,93138
0,93408
0,93685
0,93969
0,94261
0,94561
0,94869
0,95184
0,95507
0,95838
0,96177
0,96523
0,96877
0,97240
0,97610
0,97988
0,98374
0,98768
0,99171
0,99581
1,00000
Значения гамма - функции для х < 1 (х ≠ 0, -1, -2 ...) и для х > 2 могут быть
вычислены с помощью формул
Г ( х + 1)
Г (х ) =
х
Г ( х ) = (х − 1)Г ( х − 1)
Примеры: 1) Г (0,7)= Г (1,7)/0,7=0,90864/0,7= 1,2981
2) Г (3,5)= 2,5*Г(2,5)=2,5* 1,5*Г(1,5)=2,5* 1,5*0,88623=3,32336
103
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
а
ЛИТЕРАТУРА
от
ек
1. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Каневская Р.Д., Максимов В.М. Подземная
гидромеханика. – М. – Ижевск. 2006 г.
2. Басниев К.С., Дмитриев Н.М., Розенберг Г.Д. Нефтегазовая
гидромеханика.
Москва-Ижевск. 2003 г.
3. Басниев К.С., Власов А.М., Кочина И.Н. Подземная гидравлика.
М., «Недра», 1986 г.
иб
ли
4. Евдокимова В.А., Кочина И.Н.. Сборник задач по подземной гидравлике.
М., «Недра» 1979 г.
5. Пыхачёв Г.Б., Сборник задач по курсу Подземная Гидравлика. М., 1957 г.
6. Басниев К.С., Кочина И.Н., Максимов В.М. Подземная гидромеханика. –
М.: Недра, 1993 г.
яб
7. Пыхачёв Г.Б., Исаев Р.Г. Подземная гидравлика. – М.: Недра, 1973 г.
8. Чарный И.А. Подземная гидрогазодинамика. – М.: Гостоптехиздат, 1963г.
нн
а
9. Щелкачёв В.Н., Лапук Б.Б. Подземная гидравлика. М.: Гостоптехиздат,
1949 г.
10. Бадалов Г.И. Подземная гидромеханика. Учебно-методическое пособие.
Альметьевск, 2009 г.
11. Чухновская Н.А. Подземная гидромеханика. Учебно-методическое
пособие для проведения практических занятий. Альметьевск, 2006 г.
Эл
ек
тр
о
12. Бадалов Г.И., Чухновская Н.А. Расчёт притока в несовершенных
скважинах. Учебно-методическое пособие для курсовых работ.
Альметьевск, 2007 г.
Подписано в печать 22.12.2009 г.
Формат 60×84/16
Печать RISO
Объем 6,5 ус.печ.л.
Тираж 250 экз. Заказ № 389
ТИПОГРАФИЯ
АЛЬМЕТЬЕВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО
НЕФТЯНОГО ИНСТИТУТА
423452, Татарстан, г. Альметьевск, ул. Ленина, 2
104
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com