CASTRO, IGNACIO
HIDRÁULICA I
UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CORDOBA
FACULTAD DE INGENIERIA
AÑO: 2012
Castro, Ignacio - 2
PROGRAMA ANALÍTICO
I. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS.
Definición de fluido. Medio continúo. Densidad, volumen específico, peso específico, densidad relativa. Viscosidad.
Presión. Gas perfecto. Módulo elástico a la compresión. Presión de vapor. Tensión superficial. Unidades.
II. ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS.
Presión en un punto. Ecuación fundamental de la estática de los fluidos o hidrostática. Unidades y escalas para
medición de presión. Manómetros. Fuerzas sobre superficies planas. Componentes de fuerzas sobre superficies
curvas. Fuerzas de flotación. Estabilidad de cuerpos flotantes y sumergidos. Equilibrio relativo.
III. ECUACIONES BÁSICAS Y CONCEPTOS DE FLUJO EN FLUIDOS
Características de flujo; definiciones. Conceptos de sistema y volumen de control. Aplicación de volumen de control a
la continuidad. Aplicación de volumen de control a la energía. Aplicación del volumen de control a la cantidad de
movimiento. Ecuación de continuidad. Ecuaciones de Euler. La ecuación de Bernoulli. Reversibilidad, irreversibilidad y
pérdidas. Ecuación de energía a régimen permanente. Relación entre la ecuación de Euler y las relaciones
termodinámicas. Aplicación de la ecuación de cantidad de movimiento lineal. Ecuación de momento de la cantidad de
movimiento. Aplicaciones.
IV. ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINÁMICA.
Homogeneidad dimensional y relaciones adimensionales. Dimensiones y unidades. El teorema PI. Análisis de
parámetros adimensionales. Similitud: estudios con modelos.
V. FLUJO VISCOSO, TUBERÍAS Y CANALES.
Flujo laminar y turbulento, flujo interno y externo. Ecuaciones de Navier-Stokes. Flujo laminar, incompresible a
régimen permanente entre placas paralelas. Flujo laminar en tuberías y coronas circulares. Relaciones para el
esfuerzo de corte turbulento. Flujo turbulento en conductos abiertos y cerrados. Flujo uniforme a régimen
permanente en canales abiertos. Flujo incompresible a régimen permanente en tuberías sencillas. Pérdidas menores.
Mecánica de la lubricación.
VI. FLUJOS EXTERNOS.
Fuerza de corte y de presión. Conceptos de capa límite. Arrastre sobre cuerpos sumergidos. Sustentación.
VII. FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL
Condiciones para el flujo de un fluido ideal. Ecuación de Euler del movimiento. Flujo irrotacional; potencial de
velocidad. Integración de las ecuaciones de Euler; ecuación de Bernoulli. Funciones de corriente; condiciones de
frontera. La red de flujo. Flujo bidimensional.
VIII. MEDICIONES DE FLUIDOS
Medición de presión. Medición de velocidad y volumen. Orificios. Medidor de Venturi, boquilla y otros medidores de
velocidad. Vertederos. Medición de turbulencia. Medición de viscosidad.
IX. TURBOMAQUINARIA
Unidades homólogas, velocidad específica. Teoría elemental de alabes. Teoría de las turbo máquinas. Turbinas de
reacción. Bombas y ventiladores. Turbinas de impulso. Cavitación.
X. FLUJO A RÉGIMEN PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS.
Fórmulas exponenciales de rozamiento en tubos. Líneas piezométrica y de energía. El sifón. Tuberías en serie.
Tuberías en paralelo. Tuberías interconectadas. Redes de tuberías. Conductos de secciones transversales no
circulares. Envejecimiento de tuberías.
XI. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; PRINCIPIO DE ENERGÍA Y DE CANTIDAD DEMOVIMIENTO
Energía específica. Flujo subcrítico, crítico y supercrítico. Controles (caso canal ancho constante, caso canal ancho
variable). Aplicaciones del principio de energía. Cantidad de movimiento especifica o fuerza especifica. Salto
hidráulico. Aplicaciones del principio de la cantidad de movimiento.
XII. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; CONCEPTOS Y CÁLCULOS DEL FLUJO UNIFORME
Establecimiento del flujo uniforme. Las ecuaciones de Chezy y Manning. Estimación del coeficiente de resistencia.
Cálculos del tirante y velocidad normal. Pendientes normal y crítica. Canales de rugosidad compuesta. Aplicaciones.
XIII. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; TEORÍA Y ANÁLISIS DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
Suposiciones básicas y la ecuación del flujo gradualmente variado. Características y clasificación de los perfiles del
flujo gradualmente variado. Cálculo del flujo gradualmente variado. Aplicaciones.
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XIV. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; DISEÑO DE CANALES
Diseño de canales revestidos. Diseño de canales de tierra estables, no revestidos. Diseño de canales con pasto.
XV. MÉTODOS COMPUTACIONALES; DISEÑO DE CANALES
Introducción al empleo de Software Hidráulicos. Principios Básicos, ecuaciones y parámetros. Resolución de Ejercicios.
Diseño de canales de sección regular.
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I. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
Definición de fluido
Sustancia que se deforma constantemente cuando se somete a esfuerzo de corte (no resiste al corte). El esfuerzo
cortante es la componente de fuerza tangente a una superficie.
Sustancia entre dos placas paralelas muy cercanas, tan grandes que se desprecian las condiciones de borde. La placa
inferior se fija y se aplica una fuerza F a la placa superior, la cual ejerce un esfuerzo cortante F/A sobre cualquier
sustancia que se encuentre entre las placas. A es el área de la placa superior. Si la fuerza F hace que la placa superior
se mueva con una velocidad permanente (diferente de cero) sin importar que tan pequeña sea la magnitud de F, la
sustancia entre las dos placas es un fluido.
El fluido en contacto inmediato con una frontera sólida tiene la misma velocidad que la frontera, es decir no existe
deslizamiento en la frontera.
El fluido en el área abcd fluye a ab´c´d, cada partícula se mueve paralelamente a la placa y la velocidad u varía
uniformemente desde cero en la placa fija hasta U en la placa superior. Experimentalmente se demuestra que:
A: área de la placa.
U: velocidad.
t: espesor
μ: factor de proporcionalidad.
Si ζ= F/A,
donde la relación U/t es la velocidad angular de la línea ab o tasa de deformación
angular del fluido.
También se puede expresar la velocidad angular como el gradiente de velocidad,
ya que ambas expresan
el cambio de velocidad dividido por la distancia en que éste ocurre. Así:
Ley de viscosidad de Newton
El factor de proporcionalidad μ se conoce como la viscosidad del fluido.
Clasificación de fluidos
Los fluidos se clasifican como newtonianos o no newtonianos. En un fluido
newtoniano existe una relación lineal entre la magnitud del esfuerzo
cortante aplicado y la tasa de deformación resultante.
En un fluido no newtoniano existe una relación no lineal entre la magnitud
del esfuerzo cortante aplicado y la tasa de deformación angular.
Un plástico ideal tiene un esfuerzo de fluencia definido y una relación lineal
constante de ζ a du/dy.
Una sustancia tixotrópica, tal como la tinta de una impresora tiene una
viscosidad que depende de la deformación angular inmediatamente anterior
de la sustancia y tiene una tendencia a solidificarse cuando se encuentra en reposo.
Fluido ideal: fluido incomprensible  ζ=0 y u=0.
Medio continuo: se considera que la estructura molecular real del fluido es remplazada por un medio hipotético
continuo, al tratar las relaciones de flujo con bases matemáticas.
Viscosidad
 Es la propiedad de los fluidos de ofrecer resistencia al corte.
 La viscosidad de un gas aumenta con la temperatura, mientras que la de un líquido disminuye.
 La resistencia de un fluido al corte depende de su cohesión y de la tasa de transferencia de momentum
molecular.
 Cuando la presión P es baja, la viscosidad es independiente de la P y solo depende de la T°.
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Viscosidad absoluta dinámica:
Dimensiones
ζ: FL-2 u: LT-1 y: L μ: FL-2T ; Si F=MLT-2 μ: ML-1T-1 ;
SIμ: [N.s/m2] ó [kg/m.s]
Viscosidad cinemática:
Dimensiones
R=V.L/υ Número de Reynolds;
v: L2T-1 ; SI  v:[m2/s]
Un líquido tiene fuerzas cohesivas mayores que un gas. Pero la cohesividad disminuye con la temperatura la
viscosidad también.
Densidad ρ: de un fluido se define como su masa por unidad de volumen. Para agua: ρ=1000(kg/m3).
Volumen específico (Vs): es la inversa de la densidad S y representa el volumen ocupado por una
masa unitaria de fluido.
Peso específico (γ): es el peso por unidad de volumen.
Densidad relativa (S): de una sustancia es la relación entre su peso específico y el peso específico
del agua.
Presión: es la relación entre fuerza normal y el área de un plano. La presión es causada por una
fuerza normal que empuja contra un plano en el fluido. Se mide en [Pa].
Gas perfecto: se define como toda sustancia que satisface la ley del gas perfecto.
Tiene viscosidad, desarrolla esfuerzos de corte y es comprensible. Un fluido ideal no
tiene fricción y es incomprensible.
Módulo elástico a la compresión: como se involucran cambios bruscos en la P y en la T°, la
compresibilidad de líquidos y gases se vuelve importante. La compresibilidad de un líquido se
expresa mediante su módulo de elasticidad volumétrica K.
Presión de vapor: es el punto de equilibrio entre el agua y el vapor de ésta a una T° dada. Los líquidos se evaporan
porque las moléculas se escapan de la superficie, las moléculas de vapor ejercen una presión parcial en la superficie
conocida como Pv.
La (Pv) está en función de la T° (Pv=f (t)) y se incrementa al aumentar la misma. Cuando la presión en la
superficie de un líquido es igual a la Pv del líquido ocurre la ebullición.
Cavitación: en flujos de líquido, se pueden crear condiciones que conduzcan a una presión por debajo de la presión
de vapor del líquido. Cuando esto sucede, se forman burbujas localmente, este fenómeno se llama cavitación:
formación de burbujas en un líquido cuando la presión baja por debajo de la presión de vapor del líquido. En flujo de
líquidos es posible producir P muy bajas. Cuando la P≤ Pv se produce cavitación, el líquido se convierte
rápidamente en vapor (evaporación brusca), se forma una cavidad de vapor en expansión rápida.
Tensión superficial: en la interfaz liquido-gas, o entre 2 líquidos
no inmiscibles, se forma una película debido a la atracción
molecular del líquido bajo la superficie. La tensión superficial es la
fuerza de estiramiento requerida para formar la película y se
obtiene al dividir el término de energía superficial entre la unidad de
longitud de la película en equilibrio.
Capilaridad: ascenso o descenso de un líquido debido a la acción de la
tensión superficial y por el valor relativo de la adhesión entre líquido y sólido
con respecto a la cohesión.
 Un líquido que moja al sólido tiene adhesión > cohesión. Ej. Agua.
 Un líquido que no moja al sólido tiene adhesión < cohesión. Ej.
Mercurio.
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II. ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS
INTRODUCCIÓN
La estática se basa en que la segunda ley de Newton es nula
𝑑(𝑚𝑣)
𝑑𝑡
= 0. Esto ocurre cuando la velocidad del fluido es
constante, o cuando la aceleración es constante en todo el flujo.
La suposición fundamental para ello es que no existe movimiento relativo entre capas de fluido adyacentes, los
esfuerzos de corte son nulos. Por esto solo se consideran que actúan fuerzas normales y fuerzas de presión sobre los
fluidos.
FUERZA Y ESFUERZO
En un fluido existen 2 clases de fuerzas: las fuerzas de cuerpo y las fuerzas de superficie.
Las primeras actúan mediante acciones a distancia (electromagnéticas y gravitacionales). Las segundas resultan del
contacto directo entre paquetes de fluido. Consideremos un grupo de partículas unidas, cada una con una velocidad
diferente. Ahora analizamos el área de contacto entre 1 y 6. Definimos los vectores direccionales unitarios S1 y S6
que son tangenciales al punto de contacto. Se define al vector unitario normal con respecto al plano formado por S1 y
S6. La partícula ejerce una fuerza sobre la 6 y viceversa (acción y reacción), descomponemos el vector fuerza en 3
direcciones ortogonales ɅFn, ɅFS1 y ɅFS6.
Como las áreas en cuestión van rotando con el tiempo, es difícil seguir su trayectoria. Para ello se definen los
esfuerzos en un sentido de límites a medida que el área de contacto tiende a cero. Pueden ser normales y cortantes.
PRESIÓN EN UN PUNTO
Un punto de un fluido en equilibrio tiene la misma presión en todas las
direcciones. Es decir que para un elemento δA, la fuerza que actúa sobre
cualquiera de sus lados es constante. Para demostrar lo anterior vamos a
proponer las siguientes condiciones:
 Cuerpo libre, en forma de cuña.
 Espesor unitario.
 Fluido en reposo.
 Fuerzas actuantes: la normal y la gravitacional, no existen fuerzas
cortantes.
Las ecuaciones de movimiento en las direcciones x e y, son respectivamente:
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ECUACIÓN BÁSICA DE LA ESTÁTICA DE FLUIDOS
Las fuerzas que actúan sobre un elemento de fluido en
reposo, constan de fuerzas superficiales y fuerzas de cuerpo
(g es la única fuerza de cuerpo actuante). Variación de P en
un fluido estático:
Las fuerzas paralelas a “y” ejercidas por la P:
Fuerza resultante sobre una
unidad de volumen.
Aplicando la 2° ley de Newton:
∑ 𝐹𝑦 = 𝑚 𝑎𝑦
𝜕𝑝
𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 − 𝛾𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 = 𝜌 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 𝑎𝑦
𝜕𝑦
Entonces nos quedan las Ecuaciones generales de la Hidrostática:
𝜕𝑝
= 𝜌 𝑎𝑥
−
𝜕𝑥
𝜕𝑝
−
− 𝛾 = 𝜌 𝑎𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑝
= 𝜌 𝑎𝑧
−
𝜕𝑧
Vectorialmente:
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝜕𝑝
𝛿𝐹 = 𝑖 𝛿𝐹𝑥 + 𝑗 𝛿𝐹𝑦 + 𝑘 𝛿𝐹𝑧 = − ( 𝑖̂ +
𝑗̂ +
𝑘̂ ) 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 − 𝑗̂ 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
−
𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧 ≥ 0 ==>
𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛
Dividiendo miembro a miembro por: 𝛿∀= 𝛿𝑥𝛿𝑦𝛿𝑧
𝛿𝐹
𝜕
𝜕
𝜕
= − ( 𝑖̂ +
𝑗̂ + 𝑘̂)
𝛿∀
𝜕𝑦
𝜕𝑧
⏟𝜕𝑥
𝑝 − 𝑗̂ 𝛾
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒= ∇ (𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑛𝑎𝑏𝑙𝑎)
−∇𝑝 − 𝑗̂ 𝛾 = 0 𝐸𝑠á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠 (1)
−∇𝑝 − 𝑗̂ 𝛾 = 𝜌 𝑎̅ 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟
De (1):
𝜕𝑝
𝜕𝑥
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝜕𝑝
𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝑠 𝜕𝑦
𝜕𝑝
{ 𝜕𝑧
=
0
= −𝛾
= 0
Esto demuestra que p solo varía con el Ɣ y la profundidad (y):
𝜕𝑝
= −𝛾 𝐿𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝑃𝑎𝑠𝑐𝑎𝑙
𝜕𝑦
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Variación de la P en un fluido incomprensible:
Condiciones: Fluidos homogéneos e incomprensibles; Ɣ es constante. Integrando la ecuación:
∆𝑝 𝑃 − 𝑃𝑜
𝑑𝑝 = −𝛾 𝑑𝑦
−𝛾 =
=
∆𝑦 𝑦 − 𝑦𝑜
∫ 𝑑𝑝 = − ∫ 𝛾 𝑑𝑦
𝑃 = 𝑃𝑜 − 𝛾(𝑦 − 𝑦𝑜)
∆𝑝 = −𝛾 ∆𝑦
𝑃 = −𝛾 𝑦 = 𝛾 ℎ
h: se mide verticalmente hacia abajo (h=-y) a partir de una superficie de libre del líquido. P es el incremento de
presión con respecto a aquella encontrada en la superficie libre.
Variación de la P en un fluido comprensible:
Condiciones: el fluido es un gas perfecto en reposo a T° es constante. 𝑃 = 𝜌𝑅𝑇  R=cte.
𝑃 𝑃𝑜
−𝑃𝑜 𝑑𝑝
=
𝑑𝑦 =
𝜌 𝜌𝑜
𝑔 𝜌𝑜 𝑃
𝜌=
𝑃 𝜌𝑜
𝑃𝑜
𝑦
∫ 𝑑𝑦 =
(1)
𝑦𝑜
𝑑𝑝 = −𝛾 𝑑𝑦
𝑃
−𝑃𝑜
𝑑𝑝
∫
𝑔 𝜌𝑜 𝑃𝑜 𝑃
𝑦 − 𝑦𝑜 =
𝑑𝑝 = −𝜌 𝑔 𝑑𝑦 (2)
𝑃 𝜌𝑜
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 1 𝑒𝑛 2: 𝑑𝑝 = −
𝑔 𝑑𝑦
𝑃𝑜
−𝑃𝑜
𝑃
𝑙𝑛
𝑔 𝜌𝑜
𝑃𝑜
𝑦−𝑦𝑜
𝑃 = 𝑃𝑜 𝑒
− 𝑃𝑜
𝑔 𝜌𝑜
La P varía exponencialmente.
UNIDADES Y ESCALAS DE MEDICIÓN DE PRESIÓN
La P se puede expresar con referencia a cualquier dato arbitrario, esta puede ser:
Cero Absoluto
Referida
Presión
Atmosférica
La P se expresa como una diferencia entre su valor y un vacío
completo. Se llama Presión absoluta (barómetros).
La P se expresa como la diferencia entre su valor y la P
atmosférica local. Se llama Presión Manométrica (manómetros).
La P se expresa en términos de longitud de columna de líquido, es equivalente a la fuerza por unidad de área en la
base de la columna.
Barómetro de mercurio
La presión atmosférica local se mide mediante un barómetro de mercurio. Está compuesto por un tubo de
vidrio cerrado en uno de sus extremos, lleno de mercurio e invertido, de tal forma que su extremo abierto
se sumerge en mercurio. Tiene una escala colocada de tal manera que se puede determinar la altura de la
columna R. El espacio por encima del mercurio contiene vapor de mercurio.
Si la presión de vapor de mercurio hv está dada en milímetros de mercurio y R se mide en las mismas
unidades, la presión en A puede expresarse como:
La presión barométrica varía con el lugar, es decir con la elevación y con las condiciones del tiempo.
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MANÓMETROS SIMPLES
Los manómetros son aparatos que emplean columnas de líquido para determinar la diferencia de
presión.
Piezómetro: mide la presión de un líquido cuando éste se encuentra por encima del cero
manométrico. Es un tubo de vidrio vertical conectado con el exterior. El líquido sube por el tubo
hasta equilibrarse (no trabaja para presiones negativas). La P está dada por la distancia vertical h. Si
la densidad relativa del líquido es S, la presión en A es h S unidades de longitud de agua.
Para medir presiones negativas pequeñas o presiones manométricas positivas en un líquido. El
tubo puede tomar la forma esta forma. Así el menisco puede llegar al reposo por debajo de A.
Como la P en el menisco es cero manométrica y la presión disminuye con la elevación. Tenemos:
Para presiones negativas grandes o presiones manométricas positivas se emplea un
segundo líquido de densidad relativa mayor. Éste debe ser no miscible con el primer
fluido, el cual puede ser un gas. La PA medida en unidades de longitud será:
Si A contiene un gas, S1 es muy pequeño, por lo tanto, h1 S1 se desprecia.
MANOMETROS DIFERENCIALES
Determina la diferencia de presión entre 2 puntos A
y B cuando la presión real en cualquier punto del
sistema no se puede determinar.
FUERZAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS
Las fuerzas distribuidas producidas por la acción de un fluido sobre un área finita pueden reemplazarse por una fuerza
resultante, de la cual se determinan su magnitud y su línea de acción:
Superficies planas
Una superficie plana en una posición horizontal en un fluido en reposo está
sujeta a presión constante.
La P varía con la profundidad en forma triangular (lineal). La línea de
acción de la fuerza F pasa por el centroide del área.
𝑭
𝒑 = ==> 𝑭 = 𝒑. 𝑨 = 𝜸. 𝒚. 𝑨
𝑨
La magnitud de la fuerza que actúa sobre la cara horizontal de la superficie
es:
𝑭 = ∫ 𝒑 𝒅𝑨 = 𝒑 ∫ 𝒅𝑨 = 𝒑 𝑨
Su dirección es perpendicular a la superficie y hacia ésta si p es positiva.
Para encontrar la línea de acción de la resultante, es decir el punto en el área donde el momento de la resultante
debe ser igual al momento del sistema de fuerzas alrededor de cualquier eje, por ejemplo alrededor del eje y:
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Superficies inclinadas
Una superficie plana dada por la línea A´y B´, se encuentra
inclinada un ángulo Ɵ sobre el plano xy. Se busca la magnitud,
dirección y línea de acción de la fuerza resultante debida al
líquido que actúa sobre un lado del área.
La magnitud de la fuerza δF que actúa sobre un elemento con
área δA con espesor δy es:
Debido a que todas las fuerzas elementales son paralelas, la
integral sobre el área es la magnitud de la fuerza F, que actúa
sobre un lado del área:
Tomando las relaciones:
Centro de presión
La línea de acción de la fuerza resultante tiene su punto de aplicación sobre la superficie en un punto llamado centro
de presión, con coordenadas (xP;yP). A diferencia de lo que ocurre en una superficie horizontal, el centro de presión
de una superficie inclinada no se encuentra en el centroide.
Concepto de prisma de presión
Es un volumen prismático cuya base es el área superficial dada y cuya altura en
cualquier punto de la base está dada por p=Ɣ.h
Distancias al centroide:
La línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del centroide del prisma
de presión (solo se aplica para áreas simples).
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COMPONENTES DE FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
Cuando las fuerzas elementales pδA varían en la dirección, como en el caso de una superficie curva, se deben sumar
vectorialmente, es decir, sus componentes en tres direcciones.
Componente horizontal sobre una superficie curva
La componente horizontal de la fuerza de presión sobre una
superficie curva es igual a la fuerza de presión ejercida sobre una
proyección de la superficie curva. El plano vertical de la proyección
es normal a la dirección de la componente.
ℎ𝑝 = ℎ +
𝐼
ℎ𝐴
=
(ℎ2 − ℎ1)3
ℎ1 + ℎ2
ℎ1 ℎ2 (ℎ2 − ℎ1)2
+
=
+
+
ℎ1+ℎ2
2
2
2 6 (ℎ1 + ℎ2)
12 (
) (ℎ2 − ℎ1)
2
ℎ𝑝 =
(ℎ2 − ℎ1)2
1
[(ℎ1 + ℎ2)2 +
]
2 (ℎ1 + ℎ2)
3
Componente vertical de la fuerza sobre una superficie curva
La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva
es igual al peso del líquido situado verticalmente por encima de la superficie
curva y que se extiende hasta la superficie libre.
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FUERZAS DE FLOTACIÓN (BOYAMIENTO)
La fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido estático que se encuentra sumergido o flotando se conoce
como la fuerza de boyamiento. Actúa verticalmente hacia arriba. La fuerza de boyamiento sobre un cuerpo sumergido
es la diferencia entre la componente vertical de la fuerza de presión en su lado superior y la componente vertical de la
fuerza de presión en su lado inferior. La diferencia es una fuerza vertical hacia arriba debido al peso del líquido
desplazado por el sólido.
V1=volumen de fluido por encima.
V2=volumen de fluido por debajo.
Fb=fuerza de flotación
Para encontrar la línea de acción de la fuerza de boyamiento, se toman momentos alrededor de
un eje, y se igualan al
momento de la resultante:
La fuerza de flotación actúa a través del centroide del volumen del fluido desplazado (centro de
flotación) o centro de boyamiento (C.B.).
ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS
Un cuerpo que flota en un líquido estático tiene una estabilidad vertical:
Lineal
Estabilidad
Rotatoria
Cuando un pequeño deslizamiento lineal en cualquier
dirección establece fuerzas de restauración.
Cuando un par restaurador se establece por cualquier
desplazamiento angular pequeño.
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Tipos de equilibrio
a) Estable: cualquier desplazamiento
genera un par estabilizador.
angular
b) Inestable: cualquier desplazamiento angular
genera un par que incrementa dicho
desplazamiento.
c) Neutro: cualquier desplazamiento angular no
genera par alguno.
Determinación de la estabilidad rotacional de objetos flotantes
Un objeto completamente sumergido es rotacionalmente estable solo cuando su centro de gravedad está por debajo
de su centro de boyamiento.
Sin embargo, en ciertos objetos flotantes se encuentran en equilibrio cuando su C.G. está por encima de su C.B., para
analizarlo, consideramos una sección transversal prismática:
El C.B. es siempre el centroide del volumen desplazado, el cual es el centroide del área por debajo de la superficie
líquida.
Cuando el cuerpo se inclina, el C.B. está en B´y la fuerza de flotación actúa a través de ese punto, mientras que el
peso actúa siempre en G.
El cuerpo se encuentra en equilibrio estable cuando la vertical pasante por B´ intercepta a la línea central original por
encima de G. La intersección se conoce como Metacentro y a la distancia MG se la llama altura metacéntrica y es una
medida directa de la estabilidad del cuerpo.
Por encima del centro de gravedad
Posición del
Metacentro
Por debajo del centro de gravedad
Junto al centro de gravedad
Estable
Inestable
Neutro
EQUILIBRIO RELATIVO
Nos interesan 2 casos:
 Una aceleración lineal uniforme.
 Una rotación uniforme alrededor de un eje vertical.
En estas situaciones el fluido se mueve como si fuera un sólido, no ocurren esfuerzos cortantes y se puede determinar
la variación de P. Aquí se dice que el líquido está en equilibrio relativo.
Hipótesis:
1. El fluido actúa como un sólido.
2. No existen esfuerzos de corte relativo.
3. Distancia entre partículas se mantiene fija.
Aceleración lineal uniforme
Un líquido en un recipiente abierto se somete a una aceleración lineal
uniforme a. Luego de un tiempo se mueve como un sólido (la distancia entre
partículas permanece constanteno hay esfuerzos de corte).
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III. ECUACIONES BÁSICAS Y CONCEPTOS DE FLUJO EN FLUIDOS
CARACTERÍSTICAS DE FLUJO; DEFINICIONES
1. Flujo laminar: las partículas del fluido se mueven a lo largo de trayectorias suaves en láminas o capas,
gobernado por la ley de viscosidad de newton.
2. Flujo turbulento: las partículas del fluido se mueven en trayectorias muy irregulares, causando un intercambio
de cantidad de movimiento de una porción de fluido con otra, la turbulencia ocasionada establece mayores esfuerzos
de corte y por ende mayores pérdidas.
𝑑𝑢
𝜏=𝜂
𝐿𝑒𝑦 de viscosidad de Newton, para flujo turbulento
𝑑𝑦
𝜏 = (𝜂 + 𝜇)
𝑑𝑢
Tanto la viscosidad como la turbulencia constribuyen al esfuerzo cortante
𝑑𝑦
3. Flujo ideal: no tiene fricción, es incompresible, un fluido sin fricción no es viscoso por ende no existen perdidas.
4. Flujo adiabático: no hay transferencia de calor desde el fluido o hacia este. El flujo adiabático reversible (sin
fricción) se denomina flujo isentrópico.
5. Flujo a régimen permanente: ocurre cuando las condiciones en cualquier punto del fluido no cambian con el
tiempo.
6. Flujo a régimen no permanente: cuando las condiciones en cualquier punto varían con el tiempo.
7. Flujo uniforme: en todo punto el vector velocidad es el mismo en dirección y magnitud para cualquier instante.
8. Flujo no uniforme: flujo en el que el vector velocidad varía de un lugar a otro en cualquier instante.
9. Flujo rotacional: las partículas dentro de una región del fluido tienen rotación alrededor de cualquier eje.
10. Flujo irrotacional: lo contrario al anterior.
Línea de corriente (LC): es una línea continua trazada a través del fluido en forma tal que tiene una dirección del
vector velocidad en cada punto, no puede haber flujo a través de una línea de corriente.

En flujo a régimen permanente: LC fija en el espacio, la trayectoria de un partícula es una LC.

En flujo a régimen no permanente: Una LC puede desplazarse en el espacio instante a instante
CONCEPTO DE SISTEMA Y VOLUMEN DE CONTROL
Sistema
Se refiere a una masa definida de material distinguiéndola de toda la demás materia, denominada entorno o
alrededores. Las fronteras del sistema forman una superficie cerrada.
La ecuación de conservación de la masa establece que la masa dentro del sistema permanece constante
con el tiempo.
La segunda ley de Newton se expresa:
Sin embargo, en la mayoría de los casos de la dinámica de fluidos, se presentan números de paquetes de fluido, lo
suficientemente grandes como para tener propiedades definidas en el sentido del continuo pero que son muy
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pequeñas en comparación con la geometría del flujo. Cuando ocurre el movimiento del paquete e fluido, los paquetes
pierden contacto entre sí, cambian su orientación y posición y raídamente están mezclados entre paquetes de fluidos
de sus alrededores. Luego es difícil utilizar un sistema de masa fija para deducir las ecuaciones de dinámica de
fluidos. Se adopta un enfoque euleriano, el cual considera un volumen de control fijo o un punto fijo en el espacio.
Volumen de control
Se refiere a una región del espacio donde el fluido pasa a través o cerca de él. La frontera de un volumen de control
es su superficie de control (S.C.).
El tamaño y forma del V.C. son arbitrarios pero se lo suele hacer coincidir con las fronteras sólidas.
Las ecuaciones fundamentales se formulan por medio de un V.C. ya que:
 Como los fluidos son capaces de deformarse de manera continua, generalmente resulta difícil identificar y
seguir el movimiento en todo instante de la misma masa de fluido.
 Normalmente interesa el efecto que causa el movimiento del fluido en algún dispositivo o estructura de
movimiento global del fluido.
Cualquier sea la naturaleza del flujo todas las situaciones están sujetas a las siguientes relaciones:
1. Ley de la conservación de masa(relación de continuidad)
2. Leyes de movimiento de newton.
3. Primera y segunda ley de la termodinámica.
4. Condiciones de frontera: un fluido real tiene velocidad nula relativa a una frontera o fluido sin fricción no
puede penetrar una frontera.
Relación entre derivadas para un sistema y las expresiones para un volumen de control
Para establecer la relación, consideramos una situación general de flujo en donde la velocidad del
⃗ tiene coordenadas en x, y, z.
flujo 𝑉
En el tiempo t, existe una masa de fluido contenida en un sistema, el cual tiene las fronteras de
líneas punteadas. También considérese un V.C. fijo que coincide con el sistema.
En el tiempo t+δt el sistema se movió. Comprende los volúmenes II y III, mientras que en el
tiempo t, éste ocupa el volumen II.
Sean N: La cantidad total de alguna propiedad (por ejemplo, masa, energía).
𝜂: La cantidad de esta propiedad por unidad de masa, a través del fluido.
La tasa temporal de incremento de N para el sistema se formula ahora en términos de volumen de
control.
El incremento de la propiedad N en el sistema en el tiempo δt está dado por:
𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑡+𝛿𝑡 − 𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑡 = (∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
− (∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝐼𝐼
𝑡+𝛿𝑡
En donde 𝑑∀ es el elemento del volumen. Sumando y restando
𝑡
(∫𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝑡+𝛿𝑡
nos queda:
𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑡+𝛿𝑡 − 𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑡 = (∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀ − ∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝐼𝐼
𝐼𝐼𝐼
𝐼
𝐼
𝑡+𝛿𝑡
− (∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝐼𝐼
𝑡
Dividiendo todo por δt y ordenando, se llega a:
(∫𝐼𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
− (∫𝐼𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
(∫𝐼𝐼𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
(∫𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑡+𝛿𝑡 − 𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑡
𝑡+𝛿𝑡
𝑡
𝑡+𝛿𝑡
𝑡+𝛿𝑡
=
+
−
𝛿𝑡
𝛿𝑡
𝛿𝑡
𝛿𝑡
El término de la izquierda es la tasa temporal promedio de incremento de N dentro del sistema durante el tiempo δt.
En el primer término de la derecha, las primeras dos integrales son la cantidad de N dentro del volumen de control en
t+ δt. La tercera integral es la cantidad de N en el volumen de control en el tiempo t.
Castro, Ignacio - 18
A medida que δt se aproxima a cero:
𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑡+𝛿𝑡 − 𝑁𝑠𝑖𝑠𝑡 𝑡 𝑑𝑁
=
|
𝛿𝑡→0
𝛿𝑡
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
lim
lim
(∫𝐼𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝑡+𝛿𝑡
𝛿𝑡→0
lim
𝛿𝑡→0
𝑡
𝛿𝑡
𝛿𝑡→0
lim
− (∫𝐼𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
(∫𝐼𝐼𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝑡+𝛿𝑡
𝛿𝑡
=∫
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎
(∫𝐼 𝜂 𝜌 𝑑∀)
𝑡+𝛿𝑡
𝛿𝑡
= −∫
á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎
=
𝜕
∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝜂 𝜌 ⃗⃗⃗
𝑉. 𝑑𝐴 = ∫ 𝜂 𝜌 𝑉 cos 𝛼 𝑑𝐴
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = − ∫ 𝜂 𝜌 𝑉 cos 𝛼 𝑑𝐴
𝜂 𝜌 𝑉.
Combinando las dos ecuaciones anteriores:
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
∫ 𝜂 𝜌 𝑉.
𝑆.𝐶.
Por último nos queda:
𝑑𝑁
𝜕
= ∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝜂 𝜌 ⃗⃗⃗
𝑉. 𝑑𝐴
|
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
En la cual: El primer término: es la rapidez con que cambia cualquier propiedad extensiva N del sistema.
El segundo término: es la rapidez con que cambia cualquier propiedad extensiva dentro del V.C.
El tercer término: es el flujo neto de la propiedad extensiva N que pasa a través de la S.C.
Esta ecuación se usa para convertir de la forma de sistema a la forma de volumen de control.
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad se desarrolla a partir del principio general de la conservación de la masa, que afirma que
la masa dentro de un sistema permanece constante en el tiempo.
Utilizando la ecuación de volumen de control:
𝑑𝑁
𝜕
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
= ∫ 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝜂 𝜌 𝑉.
|
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡 𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
Si N=m, entonces
𝜂 es la masa por unidad de masa, o sea: 𝜂 = 1.
𝑑𝑁
𝑑𝑚
𝜕
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
=
= 0 = ∫ 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝜌 𝑉.
|
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
La ecuación de conservación de la masa establece que la tasa temporal de cambio de la masa en el volumen de
control, más la tasa neta a la cual la masa sale del volumen de control a través de su superficie es igual a cero.
Aplicación:
Considérese un tubo cilíndrico, en el cual entra flujo en la sección 1 y sale en la
sección 2.
El volumen de control se define de tal manera que incluya todo el fluido en el
tubo dentro de la pared sólida y desde la sección 1 a la 2.
Se supone flujo a régimen permanente (no varía con el tiempo).
𝜕
∫ 𝜌 𝑑∀ = 0 ==> ∫ 𝜌 ⃗⃗⃗
𝑉. 𝑑𝐴 = 0
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
Esta ecuación afirma que la tasa de flujo que sale del V.C. debe ser 0 (lo que sale es igual a lo que entra).
Lo que entra en 1: 𝜌1 ⃗⃗⃗⃗
𝑉1 . 𝑑𝐴1 = 𝜌1 𝑉1 𝑑𝐴1 cos 180° = −𝜌1 𝑉1 𝑑𝐴1
Lo que sale en 2: 𝜌2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑉2 . 𝑑𝐴2 = 𝜌2 𝑉2 𝑑𝐴2 cos 0° = 𝜌2 𝑉2 𝑑𝐴2
Castro, Ignacio - 19
No hay flujo a través de las paredes del tubo. Entonces:
∫ 𝜌 ⃗⃗⃗
𝑉. 𝑑𝐴 = −𝜌1 𝑉1 𝑑𝐴1 + 𝜌2 𝑉2 𝑑𝐴2 = 0
𝑆.𝐶.
𝜌1 𝑉1 𝑑𝐴1 = 𝜌2 𝑉2 𝑑𝐴2
Integrando:
𝑚̇ = 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑎 (𝑘𝑔/𝑠𝑒𝑔)
𝜌1 𝑉1 𝐴1 = 𝜌2 𝑉2 𝐴2 = 𝑚̇
==> 𝜌1 𝑄1 = 𝜌2 𝑄2
Si definimos el caudal como: 𝑄 = 𝐴 𝑉
Como el flujo es incomprensible y a régimen permanente: 𝜌1 = 𝜌2
𝑄1 = 𝑄2 ==>
𝑉1 𝐴1 = 𝑉2 𝐴2
ECUACIÓN DE EULER DE MOVIMIENTO A LO LARGO DE UNA TRAYECTORIA
Existen 2 formas de deducir la ecuación de Euler:
 Mediante el uso de un V.C. para un elemento cilíndrico con eje a lo largo de una L.C.
 Mediante la segunda ley de Newton.
Por segunda ley de Newton:
La fuerza de gravedad es la única fuerza de cuerpo presente la ecuación de Euler se basa en un fluido sin fricción por
lo que partimos de la ecuación básica de la hidrostática:
−∇p − ∇(γ z) = ρa⃗
−∇(p + γ z) = ρ (î
du
dv
dw
+ ĵ + k̂
)
dt
dt
dt
Separamos la ecuación en componentes:
𝜕
du
𝜕
dv
𝜕
dw
(p + γ z) = 𝜌
(p + γ z) = 𝜌
− (p + γ z) = 𝜌
;−
;−
𝜕𝑥
dt
𝜕𝑦
dt
𝜕𝑧
dt
(1)
du
Es la componente en x de aceleración u = f(x, y, z, t) y a su vez x, y, z son las coordenadas de la partícula que
dt
varían con el tiempo Po=f (t) del fluido en movimiento.
𝑎𝑥 =
du 𝜕𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑦 𝜕𝑢 𝜕𝑧 𝜕𝑢
=
+
+
+
dt 𝜕𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑡 𝜕𝑡
du
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢 𝜕𝑢
=𝑢
+𝑣
+𝑤
+
dt
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 (1), 𝑖𝑑𝑒𝑚 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑑𝑣 𝑑𝑤
𝑦
:
𝑑𝑡 𝑑𝑡
1 𝜕
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢 𝜕𝑢
(p + γ z) = 𝑢
+𝑣
+𝑤
+
𝜌 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑡
1 𝜕
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣 𝜕𝑣
(p + γ z) = 𝑢
−
+𝑣
+𝑤
+
𝜌 𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑡
1 𝜕
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤 𝜕𝑤
(p + γ z) = 𝑢
−
+𝑣
+𝑤
+
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
{ 𝜌 𝜕𝑧
−
Aceleración convectiva Aceleración lineal
−∇(p + γ z) = ρ (
⃗
𝜕𝑉
⃗ )𝑉
⃗)
+ (∇ . 𝑉
𝜕𝑡
Por identidad vectorial:
⃗ )𝑉
⃗ =∇
(∇ . 𝑉
Ecuación de Euler
𝑉2
⃗ 𝑥 (∇
⃗)
− 𝑉
⏟ x𝑉
2
𝑅𝑂𝑇𝑂𝑅
Castro, Ignacio - 20
Reemplazando:
−∇(p + γ z) = ρ [
−∇(p + γ z) = ρ
⃗
𝜕𝑉
𝑉2
⃗ 𝑥(∇ x 𝑉
⃗ )]
+∇
− 𝑉
𝜕𝑡
2
⃗
𝜕𝑉
𝑉2
⃗ 𝑥(∇ x 𝑉
⃗)
+ ρ∇
− ρ𝑉
𝜕𝑡
2
−∇(p + γ z) − ρ∇
⃗
𝑉2
𝜕𝑉
⃗ 𝑥(∇ x 𝑉
⃗)
=ρ
− ρ𝑉
2
𝜕𝑡
Para flujo incomprensible a régimen permanente:
⃗
𝜕𝑉
𝑉2
𝑉2
⃗ 𝑥(∇ x 𝑉
⃗ ) ==> ∇(p + γ z) + ρ∇
⃗ 𝑥(∇ x 𝑉
⃗)
= 0 ==> −∇(p + γ z) − ρ∇
= −ρ𝑉
= +ρ𝑉
𝜕𝑡
2
2
Para flujo irrotacional:
⃗ ) = 0 ==> ∇(p + γ z) + ρ∇
(∇ x 𝑉
∇(p + γ z) + ∇ (
∇ (p + γ z +
Si la derivada es nula  la función es constante:
p+γz+
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝜌 =
𝛾
γ𝑉 2
==> p + γ z +
= 𝑐𝑡𝑒
𝑔
2𝑔
𝑉2
=0
2
𝜌 = 𝑐𝑡𝑒
ρ𝑉 2
)=0
2
ρ𝑉 2
)=0
2
ρ𝑉 2
= 𝑐𝑡𝑒
2
𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑚. 𝑎 𝑚. 𝑝𝑜𝑟 𝛾 𝑛𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎:
p
𝑉2
+ z+
= 𝑐𝑡𝑒 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐵𝑒𝑟𝑛𝑜𝑢𝑙𝑙𝑖
γ
2𝑔



Primer término: energía del flujo.
Segundo término: energía potencial.
Tercer término: energía cinética.
Limitaciones de la ecuación de Bernoulli:
1. Flujo estacionario
2. Flujo incomprensible
3. Flujo sin rozamiento
4. Flujo a lo largo de una L.C.
ECUACIÓN DE LA ENERGÍA A RÉGIMEN PERMANENTE
La primera ley de la termodinámica para un sistema establece que el calor Q H añadido a un sistema, menos el trabajo
W hecho por el sistema, depende únicamente de los estados inicial y final del sistema. La diferencia en el estado del
sistema, desde el estado inicial al final, debe ser una propiedad del sistema. Esta se conoce como energía interna E:
𝑄𝐻 − 𝑊 = 𝐸2 − 𝐸1
La ecuación de volumen de control:
𝑑𝑁
|
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝜕
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
= 𝜕𝑡 ∫𝑉.𝐶. 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫𝑆.𝐶. 𝜂 𝜌 𝑉.
Si N=E  𝜂 = 𝑒  energía interna por unidad de masa:
𝜕𝑄
𝑑𝐸
𝜕𝑊
𝜕
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
= 𝐻−
=
∫ 𝑒 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝑒 𝜌 𝑉.
|
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
El trabajo realizado se puede dividir en dos partes: W PR hecho por las fuerzas de presión sobre las fronteras móviles y
el trabajo Ws realizado por las fuerzas cortantes.
𝑊 = 𝑊𝑃𝑅 + 𝑊𝑆
𝜕𝑄𝐻 𝜕𝑊𝑃𝑅 𝜕𝑊𝑆
𝜕
⃗⃗
−
−
= ∫ 𝑒 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝑒 𝜌 ⃗⃗⃗
𝑉. 𝑑𝐴
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
𝜕𝑊𝑃𝑅
⃗⃗ ==>
⃗⃗
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
𝐸𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 ℎ𝑒𝑐ℎ𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝛿𝑡 𝑒𝑠 𝛿𝑊𝑃𝑅 = 𝛿𝑡 ∫ 𝜌 𝑉.
= ∫ 𝑃 𝑉.
𝑆.𝐶.
𝜕𝑡
𝑆.𝐶.
Castro, Ignacio - 21
Entonces:
𝜕𝑄𝐻 𝜕𝑊𝑆
𝜕
⃗⃗ + ∫ 𝑃 𝑉.
⃗⃗
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
−
= ∫ 𝑒 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝑒 𝜌 𝑉.
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
𝑆.𝐶.
𝜕𝑄𝐻 𝜕𝑊𝑆
𝜕
𝑃 ⃗⃗⃗ ⃗⃗
−
= ∫ 𝑒 𝜌 𝑑∀ + ∫ (𝑒 + ) 𝜌 𝑉.
𝑑𝐴 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎
𝜕𝑡
𝜕𝑡
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝜌
𝑆.𝐶.
La energía interna e de una sustancia pura es la suma de las energías potencial, cinética e intrínseca.
𝑒=𝑔𝑧+
𝑉2
+ 𝑢 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎
2
Se considera una cámara de mezcla, utilizando los procedimientos para la
aplicación y simplificación del volumen de control a la sección mencionada, la
ecuación de energía se desarrolla como sigue:
1. Establecer el V.C. de tal forma que en las áreas de entrada y salida las
L.C. y los vectores velocidad sean perpendiculares a las áreas
respectivamente.
2. Establecer un eje de referencia para medir elevaciones (z).
3. Si el flujo es permanente
4.
𝜕
∫ 𝑒
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝜌 𝑑∀ = 0
Aplicar la ecuación de la energía a cada área de la S.C., como los
vectores son perpendiculares a las áreas, los productos punto se
simplifican quedando solo los signos, nos queda:
𝜕𝑄𝐻 𝜕𝑊𝑆
𝑃1
𝑉1 2
𝑃2
𝑉2 2
−
= − ∫ ( + 𝑔𝑧1 +
+ 𝑢1 ) 𝜌 1 𝑉1 𝑑𝐴1 + ∫ ( + 𝑔𝑧2 +
+ 𝑢2 ) 𝜌2 𝑉2 𝑑𝐴2
𝜕𝑡
𝜕𝑡
2
2
𝑆.𝐶.1 𝜌1
𝑆.𝐶.2 𝜌2
𝜕𝑄𝐻
𝑃1
𝑉1 2
𝜕𝑊𝑆
𝑃2
𝑉2 2
+(
+ 𝑔𝑧1 +
+ 𝑢1 ) 𝜌 1 𝑉1 𝐴1 =
+ ( + 𝑔𝑧2 +
+ 𝑢2 ) 𝜌2 𝑉2 𝐴2
𝜕𝑡
𝜌1
2
𝜕𝑡
𝜌2
2
Suponemos:
 u= constante
 z= tomamos la altura promedio.
 p= tomamos la presión promedio sobre el área.
 ρ= se supone uniforme.
 v= se determina a partir de un factor de corrección 𝛼, lo suponemos igual a 1.
Integrando:
𝑃1
𝑉1 2
𝑃2
𝑉2 2
𝑞𝐻 + + 𝑔𝑧1 +
+ 𝑢1 = 𝑊𝑆 +
+ 𝑔𝑧2 +
+ 𝑢2
𝜌1
2
𝜌2
2
Donde el qH es el calor añadido por unidad de masa de flujo.
WS es el trabajo por unidad de masa.
ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL
Por la segunda ley de Newton:
Por ecuación de volumen de control:
𝑑𝑁
|
𝑑𝑡 𝑠𝑖𝑠𝑡
𝜕
= 𝜕𝑡 ∫𝑉.𝐶. 𝜂 𝜌 𝑑∀ + ∫𝑆.𝐶. 𝜂 𝜌 ⃗⃗⃗
𝑉. 𝑑𝐴
⃗ (Cantidad de movimiento)  𝜂 =
En este caso: N=m.𝑉
⃗
m.𝑉
𝑚
⃗
=𝑉
𝑑𝑁
𝑑
𝜕
= ∑ 𝐹 = (m. ⃗𝑉) = ∫ ⃗𝑉 𝜌 𝑑∀ + ∫ ⃗𝑉 𝜌 ⃗⃗⃗
𝑉. 𝑑𝐴
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
La fuerza resultante que actúa en un V.C. es igual a la rapidez del aumento de la cantidad de movimiento lineal en el
V.C. más el flujo neto al cual la cantidad de movimiento está dejando la S.C.
Se considera la dirección en la que se calcula la fuerza y el fluido es a régimen permanente:
𝜕
∫ 𝜌
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑑∀ = 0
Castro, Ignacio - 22
Entonces:
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 = 𝜌1 𝑉𝑥1 𝑉1 𝑑𝐴1 cos 180° + 𝜌2 𝑉𝑥2 𝑉 𝐴2 cos 0°
⃗ 𝜌 𝑉.
∑𝐹 = ∫ 𝑉
2
𝑆.𝐶.
= −𝜌1 𝑉𝑥1 𝑉1 𝑑𝐴1 + 𝜌2 𝑉𝑥2 𝑉2 𝐴2
Por conservación de masa: 𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄 ==>
𝑉1 𝐴1 = 𝑉2 𝐴2
= −𝜌1 𝑉𝑥1 𝑄 + 𝜌2 𝑉𝑥2 𝑄
Por flujo incomprensible: 𝜌1 = 𝜌2 = 𝜌
= −𝜌𝑉𝑥1 𝑄 + 𝜌𝑉𝑥2 𝑄
Nos queda
𝐹𝑥 = 𝜌 𝑄(𝑉𝑥2 − 𝑉𝑥1 )
Análogamente para Fy. Con Fx y Fy se obtiene la F resultante, la cual considera la fuerza de peso Pw, las fuerzas de
presión en los extremos Fp1 y Fp2, fuerzas de corte Fζ, fuerzas normales FN, etc.
M1 y M2 son las cantidades de intercambio de movimiento a la entrada y a la salida respectivamente. La forma final
de la segunda ley de Newton es:
𝑃𝑊 + 𝐹𝑃1 + 𝐹𝑃2 + 𝐹 = 𝑀1 + 𝑀2
ECUACIÓN DE MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
La ecuación de cantidad de movimiento lineal a régimen no permanente aplicada a un V.C. es:
𝐹=
𝜕
∫ ⃗𝑉 𝜌 𝑑∀ + ∫ ⃗𝑉 𝜌 ⃗⃗⃗
𝑉. 𝑑𝐴
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
El momento de una fuerza F alrededor de un punto o, esta dado por: 𝑟 𝑥 𝐹
Donde 𝑟 es el vector posición. El producto cruz de dos vectores es: 𝐹 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃
Si tomamos 𝑟 𝑥 𝐹 en la ecuación de cantidad de movimiento:
𝑟𝑥𝐹=
𝜕
⃗⃗ )
⃗ 𝜌 𝑑∀ + ∫ (𝜌 𝑟 𝑥 𝑉
⃗ )( ⃗⃗⃗
∫ 𝑟𝑥𝑉
𝑉. 𝑑𝐴
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
El lado izquierdo de la ecuación es el torque ejercido por cualquier fuerza en el volumen de control.
Los términos en la parte derecha representan la tasa de cambio de momento de la cantidad de movimiento dentro del
volumen de control, más el flujo neto hacia fuera del momento de la cantidad de movimiento del volumen de control.
Esta ecuación es importante en máquinas como las turbomaquinarias, en donde el torque es más importante que la
fuerza.
Aplicación, caso de un flujo en el plano xy
Vt= velocidad tangencial
Vn= velocidad normal
r= distancia más corta a Vt
𝐹𝑡 𝑟 = 𝑇𝑧 =
𝜕
⃗⃗
∫ 𝜌 𝑟 𝑣𝑡 𝑑∀ + ∫ 𝜌 𝑟 𝑣𝑡 𝑣𝑛 𝑑𝐴
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
Si la aplicamos a un V.C. anular con flujo a régimen permanente:
𝜕
∫ 𝜌 𝑟 𝑣𝑡 𝑑∀ = 0
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
⃗⃗
𝑇𝑧 = ∫ 𝜌 𝑟 𝑣𝑡 𝑣𝑛 𝑑𝐴
𝑆.𝐶.
⃗⃗⃗⃗⃗2 − ∫ 𝜌 𝑟1 𝑣𝑡1 𝑣𝑛1 𝑑𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗1
𝑇𝑧 = ∫ 𝜌2 𝑟2 𝑣𝑡2 𝑣𝑛2 𝑑𝐴
1
𝑆.𝐶.
𝑆.𝐶.
Por simetría circular r, ρ, Vt, Vn son constantes sobre las S.C. de entrada y salida: 𝜌1 = 𝜌2 = 𝜌
𝑇𝑧 = 𝜌 𝑟2 𝑣𝑡2 𝑣𝑛2 𝐴2 − 𝜌 𝑟1 𝑣𝑡1 𝑣𝑛1 𝐴1
Castro, Ignacio - 23
Como: 𝑄1 = 𝑄2 = 𝑄 ==>
𝑉1 𝐴1 = 𝑉2 𝐴2
Nos queda:
𝑇𝑧 = 𝜌 𝑄[(𝑟 𝑉𝑡 )2 − (𝑟 𝑉𝑡 )1 ]
APLICACIÓN: SALTO HIDRÁULICO
Es un ejemplo de flujo a régimen permanente no uniforme, bajo condiciones apropiadas, una corriente que fluye
rápidamente en un canal abierto cambia repentinamente a una corriente de flujo lento.
Las relaciones entre variables se obtienen por medio de las ecuaciones de continuidad, cantidad de movimiento y
energía.
Castro, Ignacio - 24
IV. ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINÁMICA
HOMOGEIDAD DIMENSIONAL Y RELACIONES ADIMENSIONALES
La mayor parte de los fenómenos en la Mecánica de los Fluidos depende de una manera compleja de los parámetros
geométricos y del flujo.
Es posible encontrar soluciones exactas en problemas de Hidrostática y en algunos casos de flujo Laminar.
La resolución del flujo turbulento mediante el empleo de ecuaciones generales, solo brinda aproximaciones, por lo que
se requiere una verificación experimental.
Para analizar modelos e interrelacionar los resultados experimentales es necesario emplear parámetros
adimensionales.
DIMENSIONES Y UNIDADES
Las dimensiones de la mecánica son cuatro:
 Fuerza
 Masa


Longitud
Tiempo
Estando ellas relacionadas por la ley de movimiento de Newton:
La cual puede ser expresada en forma dimensional como:
Donde F es dimensión Fuerza; M dimensión Masa; L dimensión Longitud y T dimensión Tiempo.
EL TEOREMA 𝝅 (TEOREMA DE BUCKINGHAM)
En un problema físico que incluya n cantidades en las cuales existan m dimensiones, las cantidades se pueden
ordenar en n-m parámetros adimensionales independientes.
Sean A1, A2, A3… An las cantidades implicadas, se sabe que todas las cantidades
son esenciales a la solución, por lo que la relación funcional será:
Si 𝜋1 , 𝜋2 , … 𝜋𝑛−𝑚 representan agrupaciones adimensionales de las cantidades A1, A2,
A3… An, entonces con m dimensiones implicadas, existe una ecuación de forma:
Tal que:
Procedimiento para el empleo del Teorema 𝝅
El procedimiento tiene 6 pasos:
1. Listar los parámetros significativos (n). Si no se incluyen todos, se obtendrá una relación la cual no podrá
ofrecer una imagen completa del fenómeno físico. Si se incluyen más parámetros el análisis dimensional
demostrara la falta de injerencia del mismo.
2. Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones por ejemplo MLt o FLt.
3. Listar las dimensiones de todos los parámetros, expresados en funciones de dimensiones primarias.
4. De la lista de variables o parámetros elaborados en (1), seleccionar aquellos que se repetirán en los parámetros
adimensionales. Dichos parámetros repetitivos deberán ser iguales en número a las dimensiones primarias, y
deberá buscarse no dejar fuera a ninguna de ellas.
5. Establecer ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros repetitivos seleccionados en (4) con cada uno
de los restantes parámetros, buscando formar parámetros adimensionales (se obtendrán n-m ecuaciones)
6. Verificar que cada parámetro obtenido resulte adimensional.
PRINCIPALES PARÁMETROS ADIMENSIONALES
El número de Reynolds
El número de Reynolds es la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas. Un número de Reynolds crítico
distingue entre los diferentes regímenes de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberías, en la capa límite o
alrededor de objetos sumergidos.
Castro, Ignacio - 25
El número de Froude
El número de Froude, cuando se eleva al cuadrado y se multiplica y se divide por ρL2, es una relación de las fuerzas
dinámicas con respecto a las fuerzas gravitacionales. Este número es útil en cálculos de resalto hidráulico, en el
diseño de estructuras hidráulicas y de barcos.
Este número permite determinar la naturaleza del flujo, dada su velocidad  Fr < 1 Flujo subcrítico, Fr > 1 Flujo
supercrítico, Fr = 1 Flujo crítico.
El número de Weber
El número de Weber es la relación de las fuerzas inerciales con respecto a las fuerzas de tensión superficial. Este es
importante en interfaces gas-líquido o líquido-líquido y también donde estas interfaces se encuentran en contacto con
una frontera (orificio, vertederos, etc.).
El número de Mach
Es una medida de la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas elásticas. Es relevante en fluidos comprensibles
y en velocidades próximas a la del sonido.
Coeficiente de presión (Número de Euler)
Si se lo multiplica por el área A, sería la relación de las Fuerzas de Presión con respecto a las Fuerzas Inerciales.
SIMILITUD – ESTUDIOS CON MODELOS
El estudio con modelos permite una observación visual del flujo y hacen posible la obtención de datos numéricos.
Si se van a obtener datos cuantitativos concretos de un estudio con un modelo debe haber similitud dinámica entre
modelo y prototipos. Está similitud requiere:
1. Similitud Geométrica exacta.
2. Razón de presiones dinámicas en puntos correspondientes sean constantes (similitud cinemática) Es decir
líneas de corriente deber ser geométricamente similares.
Por consiguiente los números de R, Fr, W y M deben ser los mismos en el modelo y prototipo.
Cumplir con todos los requerimientos de similitud exigiría que la escala del modelo fuera 1:1, pero se pueden asumir
simplificaciones de acuerdo a la variable de análisis.




En Túneles de Viento  Mach (Prototipo = Modelo)
Flujo en Tuberías  Reynolds (Prototipo = Modelo)
Flujo en Canales Abiertos  Froude (Prototipo = Modelo)
Maquinaria Hidráulica  Bombas, Mayor implicancia del número de Reynolds
 Turbinas y Compresores, R o Mach
Castro, Ignacio - 26
V. FLUJO VISCOSO, TUBERÍAS Y CANALES
FLUJO LAMINAR Y TURBULENTO, FLUJO INTERNO Y EXTERNO
Flujo Laminar y Turbulento: El número de Reynolds
Flujo laminar: se define como aquel en el que el fluido se mueve en capas o láminas, con un intercambio mínimo de
movimiento.
El número adimensional de Reynolds indica la importancia relativa de las tendencias de turbulento a laminar.
Se dice que dos casos de flujo son dinámicamente similares cuando:
1. Sean geométricamente análogos, que las dimensiones lineales correspondientes tienen una razón constante.
2. Las Líneas de Corriente correspondientes son geométricamente semejantes o las presiones en puntos
correspondientes tienen una razón constante.
En la consideración de 2 situaciones de flujo geométricamente similares Reynolds dedujo que serían dinámicamente
similares si las ecuaciones diferenciales generales que describen su flujo son idénticas.
Flujo Interno y Externo
Flujo Interno: comprende un flujo en una región delimitada por superficies sólidas (por ejemplo: flujo a través de
conductos):
Para flujo laminar, Langhaar desarrollo la formula teórica:
Para flujo turbulento, el crecimiento de la capa límite es mucho más rápido. Por lo que L’≈ 25~40 en laboratorio en
condiciones reales ~80.
Flujo Externo: comprende un flujo en una región no delimitada, en donde el foco de atención está en el patrón de
flujo alrededor de un cuerpo sumergido en el fluido.
ECUACIONES DE NAVIER-STOKES
Las ecuaciones de Navier-Stokes surgen de la conjunción de la ecuación de Euler y la de viscosidad:
𝑁𝑎𝑣𝑖𝑒𝑟 − 𝑆𝑡𝑜𝑘𝑒𝑠 = 𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 + 𝑉𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 (1)
Ley de viscosidad de Newton:
Ley de viscosidad de Stokes:
(2)
Castro, Ignacio - 27
Ley de movimiento de Euler:
1
𝜌
1
−
𝜌
1
−
{ 𝜌
−
𝜕
𝑑𝑢
(p + γ z) =
𝜕𝑥
𝑑𝑡
𝜕
𝑑𝑣
(p + γ z) =
𝜕𝑦
𝑑𝑡
𝜕
𝑑𝑤
(p + γ z) =
𝜕𝑧
𝑑𝑡
Con (1), (2) y (3), para flujo incomprensible:
1 𝜕
𝑑𝑢
(p + γ z) + 𝜈 ∇2 𝑢 =
−
𝜌 𝜕𝑥
𝑑𝑡
1 𝜕
𝑑𝑣
(p + γ z) + 𝜈 ∇2 𝑣 =
−
𝜌 𝜕𝑦
𝑑𝑡
1 𝜕
𝑑𝑤
(p + γ z) + 𝜈 ∇2 𝑤 =
−
{ 𝜌 𝜕𝑧
𝑑𝑡
Entonces:
(3)
𝜈=
𝜇
𝑔
FLUJO LAMINAR INCOMPRESIBLE A RÉGIMEN PERMANENTE ENTRE PLACAS PARALELAS
La placa superior se mueve paralelamente a la
dirección del flujo, y existe una variación de la presión
en la dirección l.
El flujo se analiza tomando una lámina delgada de
espesor unitario como cuerpo libre.
En flujo permanente la lámina se mueve con una
velocidad constante u:
∑ 𝐹𝑥 = 𝜌 𝛿𝑦 − 𝜌 𝛿𝑦 −
𝜕𝑃
𝜕𝜏
𝛿𝑙 𝛿𝑦 − 𝜏 𝛿𝑙 + 𝜏 𝛿𝑙 +
𝛿𝑦 𝛿𝑙 + 𝛾 𝛿𝑦 𝛿𝑙 sen 𝜃 = 0
𝜕𝑙
𝜕𝑦
Simplificando:
𝜕𝑃
𝜕𝜏
𝛿𝑙 𝛿𝑦 +
𝛿𝑦 𝛿𝑙 + 𝛾 𝛿𝑦 𝛿𝑙 sen 𝜃 = 0
𝜕𝑙
𝜕𝑦
𝜕ℎ
Dividiendo m. a m. por 𝛿𝑦 𝛿𝑙 𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −
𝜕𝑙
𝜕𝑃 𝜕𝜏
𝜕ℎ
−
+
−𝛾
=0
𝜕𝑙
𝜕𝑦
𝜕𝑙
𝜕𝜏 𝜕𝑃
𝜕ℎ
𝜕
(𝑝 + 𝛾ℎ)
=
+𝛾
=
𝜕𝑦 𝜕𝑙
𝜕𝑙
𝜕𝑙
𝑑𝑢
𝜕𝜏
𝑑2𝑢
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝜏 = 𝜇
==>
=𝜇 2
𝑢 𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑦:
𝑑𝑦
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑2𝑢 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ)
𝜇 2=
𝑑𝑦
𝑑𝑙
Integrando:
𝑑𝑢
𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) + 𝐴
𝜇
=𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑙
Integro de nuevo:
𝑦2 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) + 𝐴𝑦 + 𝐵
𝜇𝑢 =
2 𝑑𝑙
2
𝑦 𝑑
𝐴𝑦 𝐵
(𝑝 + 𝛾ℎ) +
𝑢 =
+
(1)
2𝜇 𝑑𝑙
𝜇
𝜇
−
Castro, Ignacio - 28
A y B son constantes de integración. Para evaluarlas, se toma: y=0, u=0  𝐵 = 0
y=a, u=U, se obtiene:
𝑎2 𝑑
𝐴
(𝑝 + 𝛾ℎ) + 𝑎
𝑈 =
2𝜇 𝑑𝑙
𝜇
𝑈−
𝑎2 𝑑
𝐴
(𝑝 + 𝛾ℎ) = 𝑎
2𝜇 𝑑𝑙
𝜇
𝜇 𝑎 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ)
𝐴 =𝑈 −
𝑎 2 𝑑𝑙
Reemplazo los valores de A y B en (1):
𝑢 =
Nos queda:
𝑦2 𝑑
𝑦 𝑎𝑦 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) + 𝑈 −
(𝑝 + 𝛾ℎ) + 0
2𝜇 𝑑𝑙
𝑎 2 𝜇 𝑑𝑙
𝑦
1 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) (𝑎𝑦 − 𝑦 2 )
𝑢 =𝑈 −
𝑎 2𝜇 𝑑𝑙
El caudal que pasa a través de una sección transversal fija se obtiene integrando la ecuación anterior con respecto a y
𝑎
𝑄 = ∫ 𝑢 𝑑𝑦 =
0
𝑈𝑎
1 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) 𝑎3
−
2
12 𝜇 𝑑𝑙
En general la velocidad máxima se encuentra en el plano medio.
FLUJO LAMINAR EN TUBERÍAS Y CORONAS CIRCULARES
Para flujo laminar incomprensible permanente a través de un tubo
circular o un anillo, se toma como cuerpo libre una hoja cilíndrica
infinitesimal.
Se aplica la ecuación de movimiento en la dirección l, con una
aceleración igual a cero:
∑ 𝐹𝑥 = 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑟 𝑝 − 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑟 𝑝 − 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑟
Simplificando
𝑑𝑝
𝑑𝜏
𝛿𝑙 + 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑙 𝜏 − 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑙 𝜏 − 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑙
𝛿𝑟 + 𝛾 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑙 𝛿𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0
𝑑𝑙
𝑑𝑟
𝑑𝑝
𝑑𝜏
𝛿𝑙 − 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑙
𝛿𝑟 + 𝛾 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑙 𝛿𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 0
𝑑𝑙
𝑑𝑟
𝑑ℎ
Dividiendo m. a m. por 2 𝜋 𝑟 𝛿𝑟 𝛿𝑙 𝑦 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = −
−2 𝜋 𝑟 𝛿𝑟
𝑑𝑙
𝑑𝑝 𝑑𝜏
𝑑ℎ
𝑑𝑝 𝑑𝜏
𝑑ℎ
−
− 𝛾
= 0 ==> +
+
+ 𝛾
=0
𝑑𝑙
𝑑𝑟
𝑑𝑙
𝑑𝑙 𝑑𝑟
𝑑𝑙
𝑑
𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) +
(𝜏 ) = 0
𝑑𝑙
𝑑𝑟
(𝑝 + 𝛾ℎ) no es una función de r, la ecuación puede multiplicarse por 𝑟 𝛿𝑟 e integrarse con respecto a
−
Debido a que
r, se obtiene:
𝑑
𝑑𝑙
𝑟2 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) + 𝜏 𝑟 = 𝐴
2 𝑑𝑙
En la cual A es la constante de integración. Para un tubo circular esta ecuación se debe satisfacer cuando r =0; por
𝑑𝑢
consiguiente A=0 para este caso. Sustituyendo: 𝜏 = −𝜇
considerando que la velocidad u disminuye con r, por
consiguiente du/dr es negativa.
𝑑𝑟
𝑟2 𝑑
𝑑𝑢
(𝑝 + 𝛾ℎ) − 𝐴 = 𝜇
𝑟
2 𝑑𝑙
𝑑𝑟
𝑟 𝑑
𝐴
(𝑝 + 𝛾ℎ)𝑑𝑟 −
𝑑𝑢 =
𝑑𝑟
2𝜇 𝑑𝑙
𝜇𝑟
Castro, Ignacio - 29
Integrando de nuevo:
𝑢=
𝑟2 𝑑
𝐴
(𝑝 + 𝛾ℎ) − ln 𝑟 + 𝐵 (1)
4𝜇 𝑑𝑙
𝜇
Para tubos circulares:
De (1)  para r=0  𝐴 = 0
De (2)  para r=a  u=0
0=
𝑎2 𝑑
𝑎2 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) − 0 + 𝐵 ==> 𝐵 = −
(𝑝 + 𝛾ℎ)
4𝜇 𝑑𝑙
4𝜇 𝑑𝑙
Reemplazo A y B en (1):
𝑢=
𝑟2 𝑑
𝑟2 𝑑
𝑑
𝑟 2 − 𝑎2
(𝑝 + 𝛾ℎ) −
(𝑝 + 𝛾ℎ) ==> 𝑢 =
(𝑝 + 𝛾ℎ) [
]
4𝜇 𝑑𝑙
4𝜇 𝑑𝑙
𝑑𝑙
4𝜇
La velocidad máxima del flujo se da para r=0:
𝑎2 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ)
4𝜇 𝑑𝑙
Debido a que la distribución de velocidad es un paraboloide de revolución, su volumen es la mitad del cilindro que lo
circunscribe, por lo tanto, la velocidad promedio es la mitad de la velocidad máxima:
𝑎2 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ)
𝑉=−
8𝜇 𝑑𝑙
𝑢𝑚á𝑥 = −
El caudal Q es igual a 𝑉 𝐴 = 𝑉𝜋𝑎2 entonces:
𝑄=−
𝜋𝑎4 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ)
8𝜇 𝑑𝑙
Para coronas circulares:
Para r=b  u=0
Para r=a  u=0
Eliminando A y B, nos queda:
𝑢=−
1 𝑑
𝑎2 − 𝑏 2
𝑎
(𝑝 + 𝛾ℎ) [𝑎2 − 𝑟 2 +
ln ( ) ]
4𝜇 𝑑𝑙
ln(𝑏/𝑎)
𝑟
𝑎
𝑄 = ∫ 2 𝜋 𝑟 𝑢 𝑑𝑟 = −
𝑏
(𝑎2 − 𝑏 2 )2
𝜋 𝑑
(𝑝 + 𝛾ℎ) [𝑎4 − 𝑏 4 −
]
8𝜇 𝑑𝑙
ln(𝑎/𝑏)
RELACIONES PARA EL ESFUERZO DE CORTE TURBULENTO
En flujo turbulento las fluctuaciones aleatorias de cada componente de velocidad y términos de la presión en las
ecuaciones de Navier-Stokes hacen difícil o imposible un análisis exacto, por lo que es más conveniente separar las
cantidades en valores medios o promedios en el tiempo y en partes fluctuantes.
El valor medio de la fluctuación, tiene un valor de cero:
Sin embargo, el promedio cuadrado de cada fluctuación no es cero:
La raíz cuadrada del promedio cuadrado de cada fluctuación, una medida de la intensidad de turbulencia:
Reynolds descompuso cada propiedad en las variables medias y de fluctuación:
En cada caso el valor medio de la fluctuación es cero y la media cuadrada no lo es.
Castro, Ignacio - 30
Al sustituir las partes medias y de fluctuación de las variables en la ecuación de continuidad para flujo incompresible
se tiene:
Reemplazando en la ecuación de Navier-Stokes para la dirección x, se obtiene:
Los términos de aceleración convectiva se identifican con los esfuerzos de Reynolds. Estas partes son las que causan
el intercambio de cantidad de movimiento y la acción mezcladora en el flujo turbulento.
En el flujo unidimensional en la dirección x, el esfuerzo de corte turbulento es el más importante y la ecuación de
cantidad de movimiento lineal puede ser aproximada por:
LONGITUD DE MEZCLADO DE PRANDTL
Prandtl supuso que una partícula de fluido se desplaza una distancia l antes de que su cantidad de movimiento sea
modificada por el nuevo medio. La fluctuación u’ está relacionada con l por:
El flujo turbulento no alcanza su máxima expresión en un instante, sino que necesita una cierta distancia. Lo que
significa que la magnitud de cambio en la velocidad, depende de los cambios en la velocidad media temporal en dos
puntos separados una distancia l en la dirección y.
η no es una propiedad del fluido, ya que depende de la densidad, del gradiente de velocidades y de la longitud de
mezclado (viscosidad de remolino).
Von Kármán sugirió que:
Donde k es una constante universal en un flujo turbulento sin importar la configuración de la frontera o el valor del
número de Reynolds.
Viscosidad cinemática de remolino, la cual es una propiedad sólo del flujo y es análoga a la viscosidad
cinemática.
FLUJO TURBULENTO EN CONDUCTOS ABIERTOS Y CERRADOS
En flujo permanente, uniforme, turbulento e
incomprensible, para conductos de sección transversal
constante, el esfuerzo cortante en la pared es:
𝜌
𝜏0 = 𝜆 𝑉 2
2
En la cual λ es un coeficiente adimensional. En canales
abiertos y conductos cerrados no circulares, el
esfuerzo cortante no es constante en la superficie. En
estos casos ζo se utiliza como el esfuerzo cortante
promedio en la pared.
Castro, Ignacio - 31
Para un canal abierto se tiene  p1=p2 y el flujo ocurre como una reducción de la energía potencial z1-z2.
Para un conducto cerrado se tiene  La energía para el flujo podría proporcionarse por la caída de energía potencial
así como por una caída de presión p1-p2
Planteando la ecuación de Bernoulli se obtiene, para la sección (1) y (2)V1=V2:
(1)
Partiendo del supuesto de uniformidad y aplicando la
ecuación de cantidad de movimiento lineal sobre la
dirección L:
Si A1=A2:
Dividiendo por Ɣ, se obtendrá:
(𝑝1 − 𝑝2 )𝐴 + 𝛾 𝐴 (𝑧1 − 𝑧2 ) = 𝜏0 𝐿𝑃
𝜏0 𝐿𝑃
(𝑝1 − 𝑝2 ) + 𝛾 (𝑧1 − 𝑧2 ) =
𝐴
(𝑝1 − 𝑝2 )
𝜏0 𝐿𝑃
+ (𝑧1 − 𝑧2 ) =
(2)
𝛾
𝐴𝛾
Igualando (1) con (2):
𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠1−2 =
Como 𝜏0 = 𝜆
𝜌
2
𝜏0 𝐿𝑃
𝐴𝛾
𝑉 2 reemplazando:
𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠1−2 = 𝜆
Sabiendo que: ɣ=g ρ y R=A/P:
𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠1−2 =
𝜌 2 𝐿𝑃
𝑉
2
𝛾𝐴
𝜆 𝐿 𝑉2
= ℎ𝑓 𝑃é𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛
2𝑔𝑅
Si definimos a S como las pérdidas por unidad de longitud del canal,
se obtiene la fórmula de Chezy:
Donde λ es un coeficiente adimensional y debe encontrarse en forma experimental y C es el coeficiente de Chezy.
Para tubos λ=f/4 y R=D/4, al sustituir se encuentra la fórmula de Darcy-Weisbach:
En donde f es un valor experimental y D es el diámetro.
Está ecuación es aplicable a canales abiertos como:
En donde f se determina experimentalmente en tubos.
FLUJO UNIFORME A RÉGIMEN PERMANENTE EN CANALES ABIERTOS
Para un flujo incompresible a régimen permanente con profundidad constante en un canal prismático, se emplea la
fórmula de Manning, la cual se obtiene a partir de la fórmula de Chézy.
FLUJO PERMANENTE INCOMPRENSIBLE A TRAVÉS DE TUBERÍAS SIMPLES
Se utiliza la fórmula de Darcy-Weisbach:
El factor de fricción f depende de la velocidad, diámetro, densidad,
viscosidad, rugosidad de las paredes (є, є´) y de la forma (m).
Como f es adimensional, aplico el teorema 𝜋:
Experimentalmente se demostró la validéz de:
Moody desarrolló una gráfica para determinar f en tubos comerciales lisos.
Castro, Ignacio - 32
VI. FLUJOS EXTERNOS
FUERZAS DE CORTE Y PRESIÓN
Un fluido en movimiento ejerce presiones y fuerzas viscosas sobre cualquier cuerpo sumergido en su seno.
La suma de las fuerzas (presión, viscosidad) que actúan en dirección perpendicular a la del fluido sin perturbar
constituye la sustentación.
La suma de las fuerzas paralelas al movimiento es la resistencia al avance o arrastre (las cuales constituyen las únicas
fuerzas tenidas en cuenta por la acción dinámica del fluido en movimiento).
La acción dinámica del fluido en movimiento es la que desarrolla las fuerzas de arrastre y sustentación; otras fuerzas
como la gravitatoria y de flotación no se incluyen en estas.
La
La
La
La
velocidad del flujo en la parte superior es mayor que la corriente libre.
presión sobre la parte superior es menor que en la corriente libre.
velocidad del flujo en la parte inferior es menor que en la corriente libre.
presión sobre la parte inferior es mayor que en la corriente libre.
Esta variación de presión es la responsable de la fuerza de sustentación. La fuerza de arrastre es el resultado de la
variación de presión y los esfuerzos cortantes.
En la superficie del perfil aerodinámico los esfuerzos cortantes contribuyen con una porción muy pequeña a la
sustentación total y en general se pueden despreciar
CONCEPTO DE CAPA LÍMITE
Prandtl desarrollo el concepto de Capa Límite, el cual proporciona un importante enlace entre el flujo de un fluido
ideal y el flujo de un fluido real.
Para líquidos con viscosidad muy pequeña, el efecto de la fricción interna en un fluido se aprecia solo en una región
estrecha que rodea las fronteras del fluido.
Partiendo de esta hipótesis el flujo fuera de esta región estrecha próxima a las fronteras sólidas, se puede considerar
como flujo ideal ó flujo potencial.
Castro, Ignacio - 33
Descripción de la capa límite:
Además de los esfuerzos viscosos, el fluido también está sujeto a un gradiente de presiones, determinado a partir del
flujo potencial, este aumenta la cantidad de movimiento de la capa.
P disminuye  aumenta la cantidad de movimiento
P aumenta  disminuye la cantidad de movimiento (gradiente de presión adverso).
Definición del espesor de la capa límite
Para fronteras lisas la capa límite empieza como una capa laminar (el fluido se mueve en capas lisas), a medida que
aumenta su espesor se vuelve inestable y se transforma en una capa turbulenta (trayectorias aleatorias). Con la capa
turbulenta subsiste aún una capa muy delgada laminar llamada subcapa laminar.
Ecuación de cantidad de movimiento aplicada a la capa límite
Al seguir el Método de Von Kárman se puede aplicar
directamente el principio de cantidad de movimiento,
en un flujo permanente a lo largo de una capa plana.
Se toma el V.C. que encierra el fluido por encima de
la placa extendiéndose una distancia x a lo largo de
la placa. En la dirección y se extiende hasta una
distancia h tan grande que la velocidad no se
perturba en dirección x, a pesar de que a lo largo de
la superficie superior algún caudal sale del V.C.
Ecuación de Cantidad de Movimiento en la dirección
x:
Castro, Ignacio - 34
∑ 𝐹𝑥 =
𝜕
⃗⃗⃗ 𝑑𝐴
∫ 𝑢 𝜌 𝑑∀ + ∫ 𝑢 𝜌 𝑉.
𝜕𝑡 𝑉.𝐶.
𝑆.𝐶.
La única fuerza que actúa sobre el V.C. se debe al arrastre o esfuerzo cortante en la placa. Dado que la presión es
constante alrededor de la periferia del volumen de control.
ℎ
ℎ
−𝐴𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 𝜌 ∫ 𝑢2 𝑑𝑦 − 𝜌𝑈 2 ℎ + 𝑈 𝜌 ∫ (𝑈 − 𝑢)𝑑𝑦
0
(1)
0
El primer término del lado derecho de la ecuación es el flujo de cantidad de movimiento que sale por CD.
El segundo término es el flujo de cantidad de movimiento que entra por AB.
El tercer término es el flujo de entrada de volumen neto a través de AB y CD, que es igual al flujo de salida de
volumen a través de BC.
ℎ
ℎ
−𝐷 (𝑥) = 𝜌 ∫ 𝑢2 𝑑𝑦 − 𝜌𝑈 2 ℎ + 𝜌 ∫ 𝑈 (𝑈 − 𝑢)𝑑𝑦
0
ℎ
0
ℎ
−𝐷 (𝑥) = 𝜌 ∫ 𝑢2 𝑑𝑦 − 𝜌𝑈 2 ℎ + 𝜌 ∫ (𝑈 2 − 𝑢 𝑈)𝑑𝑦
0
0
ℎ
−𝐷 (𝑥) = 𝜌 ∫ (𝑢2 +𝑈 2 − 𝑢 𝑈)𝑑𝑦 − 𝜌𝑈 2 ℎ
0
ℎ
ℎ
−𝐷 (𝑥) = 𝜌 ∫ (𝑢2 − 𝑢 𝑈)𝑑𝑦 + 𝜌 ∫ 𝑈 2 𝑑𝑦 − 𝜌𝑈 2 ℎ
0
0
ℎ
−𝐷 (𝑥) = 𝜌 ∫ 𝑢 (𝑢 − 𝑈)𝑑𝑦 + 𝜌𝑈 2 ℎ − 𝜌𝑈 2 ℎ
0
ℎ
𝐷 (𝑥) = 𝜌 ∫ 𝑢 (𝑈 − 𝑢)𝑑𝑦
(2)
0
ℎ
El arrastre D(x) sobre la placa está en la dirección contraria, de tal manera que: 𝐷 (𝑥) = −𝜌 ∫0 𝑢 (𝑈 − 𝑢)𝑑𝑦
El arrastre sobre la placa también puede expresarse como la integral del esfuerzo cortante a lo largo de la placa:
𝑥
𝐷 (𝑥) = − ∫ 𝜁𝑜 𝑑𝑥 (3)
0
Igualando las expresiones (2) y (3):
𝑥
ℎ
∫ 𝜁𝑜 𝑑𝑥 = 𝜌 ∫ 𝑢 (𝑈 − 𝑢)𝑑𝑦
0
Derivo respecto de x:
𝜁𝑜 = 𝜌
0
𝜕 ℎ
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎
∫ 𝑢 (𝑈 − 𝑢)𝑑𝑦
𝜕𝑥 0
𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑏𝑖𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑐𝑎 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎
Para una distribución supuesta que satisface las condiciones de frontera u=0 y=0; u=U y=δ, se pueden determinar el
espesor de la capa límite al igual que el esfuerzo cortante en la frontera. Se supone que la distribución de velocidad
es la misma para cada valor de x.
Capa límite laminar
Para la capa límite Prandtl supuso:
Considerando la ecuación 𝜁𝑜 = 𝜌
𝜕 ℎ
∫ 𝑢
𝜕𝑥 0
(𝑈 − 𝑢)𝑑𝑦 se puede reescribir de la siguiente manera:
𝜁𝑜 = 𝜌𝑈 2
𝜁𝑜 = 𝜌𝑈 2
𝜕𝛿 ℎ 𝑢
𝑢
∫
(1 − ) 𝑑𝜂
𝜕𝑥 0 𝑈
𝑈
𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝑑𝑦
= 𝑑𝜂
𝛿
𝜕𝛿 ℎ
3
𝜂3 3
𝜂3
𝜕𝛿
(1)
∫ (1 − 𝜂 + ) ( 𝜂 − ) 𝑑𝜂 ==> 𝜁𝑜 = 0.139 𝜌𝑈 2
𝜕𝑥 0
2
2
2
2
𝜕𝑥
En la frontera:
3 𝑈
(2)
𝜁𝑜 = 𝜇
2 𝛿
Castro, Ignacio - 35
Igualando (1) y (2):
Reordenando:
𝛿 𝑑𝛿 = 10.78
Integrando:
3
𝑈 √ℝ 3 𝑈
𝑢𝑥
√ 2
𝜁𝑜 = 𝜇
= 𝜇
2 4.65 𝑥
2 4.65 𝑥 𝜈
3 𝑈
𝜕𝛿
𝜇 = 0.139 𝜌𝑈 2
2 𝛿
𝜕𝑥
𝜇
𝑑𝑥
𝜌𝑈
𝜇 𝜌 𝑈3
𝜁𝑜 = 0.322 √
𝑥
𝛿2
𝜐𝑥
= 10.78
+ 𝑐𝑡𝑒
2
𝑈
𝐿
𝐴𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = ∫ 𝜁𝑜 𝑑𝑥 = 0.644 √𝜇 𝜌 𝑈 3 𝑙
0
Para δ=0 x=0 cte=0
𝛿
𝜐
4.65
= 4.65√
=
𝑥
𝑈𝑥
√ℝ
4.65 𝑥 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒
𝛿=
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑙𝑎𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟
√ℝ
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝛿 𝑒𝑛 (2)
El arrastre puede ser expresado también como:
𝐴𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 𝐶𝐷
𝜌 𝑈2𝐿
2
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 𝐶𝐷 =
1.328
√ℝ
Capa límite turbulento
Por la ley de potencia 1/7 de Prandtl:
𝑢
𝑢𝑚á𝑥
1
𝑦 7
=( )
𝑟0
Integrando
Aplicando a una placa plana, produce:
𝐹=
𝛿 = 0.292
𝜈 4
(𝑈)
𝑥
1
5
4
𝜈
0.37 𝑥
𝛿 = 0.37 ( ) 𝑥 5 =
1
𝑈
𝑈𝑥 5
( )
1
7
1
𝑢
𝑦
= ( ) = 𝜂7
𝑈
𝛿
El esfuerzo cortante en la pared de una placa lisa con
capa límite turbulento:
𝜈
0.37 𝑥 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑠𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑝𝑎
𝛿=
1
𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜
ℝ5
1
𝜐 4
𝜁𝑜 = 0.00228 𝜌 𝑈 ( ) (1)
𝑈𝛿
2
Reemplazo en (1):
Utilizando la fórmula de capa límite laminar:
𝜁𝑜 = 𝜌𝑈 2
1
5
4
1
𝜐 5
𝜁𝑜 = 0.00228 𝜌 𝑈 ( )
𝑈𝑥
𝑙
2
𝜕𝛿
𝑢
𝑢
∫
(1 − ) 𝑑𝜂
𝜕𝑥 0 𝑈
𝑈
𝐿
1
1
𝜕𝛿 𝒍
7
𝜕𝛿
𝜁𝑜 = 𝜌𝑈
∫ (1 − 𝜂 7 ) 𝜂 7 𝑑𝜂 =
𝜌𝑈 2
(2)
𝜕𝑥 0
72
𝜕𝑥
𝐴𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = ∫ 𝜁𝑜 𝑑𝑥 = 0.036
2
0
Igualando las expresiones (1) y (2):
1
𝜈 4
𝛿 𝑑𝛿 = 0.234 ( ) 𝑑𝑥
𝑈
1
4
𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐴𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒
𝐶𝐷 =
𝜌 𝑈2𝐿
1
ℝ5
0.072
1
ℝ5
Nota: Catalini no toma el desarrollo de las capas limite y turbulento.
Separación de Estela
La separación de la estela, tienen una influencia importante en la presión de arrastre actuante.
Por otro lado la naturaleza laminar comparada con la turbulenta de la capa límite es importante para influenciar el
punto de separación. Una gran transferencia de cantidad de movimiento, dentro de la capa límite turbulenta requiere
un gradiente de presión adversa más grande.
ARRASTRE SOBRE CUERPOS SUMERGIDOS
El coeficiente de arrastre es: 𝐶𝑎 =
𝐹𝐴
𝑉2 𝜌
𝐴𝑇
2
El coeficiente de sustentación es: 𝐶𝑠 =
==> 𝐴𝑟𝑟𝑎𝑠𝑡𝑟𝑒 = 𝐶𝑎 𝐴 𝑇
𝐹𝑆
𝑉2 𝜌
𝐴𝐿
2
𝑉 2𝜌
2
==> 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 = 𝐶𝑠 𝐴𝐿
𝑉 2𝜌
2
Castro, Ignacio - 36
VII. FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL
CONDICIONES PARA EL FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL
La hipótesis de Prandtl establece que un flujo es incomprensible cuando la capa límite es muy delgada (𝛿 = 0), se
pueden aplicar los resultados de un fluido ideal a fluidos reales.
Un fluido ideal debe satisfacer las siguientes condiciones
 La ecuación de continuidad (div q=0)


La segunda Ley de Newton en cada punto y cada instante.
El fluido no penetra cualquier superficie sólida ni pueden existir espacios entre el fluido y la frontera de la
superficie sólida.
Si además de las condiciones previas se impone la suposición de flujo irrotacional:
ECUACIÓN DE EULER DEL MOVIMIENTO
A continuación se presentara el desarrollo de la ecuación de Euler para un sistema de coordenadas xyz de orientación
arbitraria, con la suposición que la única fuerza de cuerpo presente es la de gravedad.
1 𝜕
𝜕𝑢
𝜕𝑢
𝜕𝑢 𝜕𝑢
(p + γ z) = 𝑢
−
+𝑣
+𝑤
+
𝜌 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
1 𝜕
𝜕𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑣 𝜕𝑣
(p + γ z) = 𝑢
−
+𝑣
+𝑤
+
𝜌 𝜕𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧 𝜕𝑡
1 𝜕
𝜕𝑤
𝜕𝑤
𝜕𝑤 𝜕𝑤
(p + γ z) = 𝑢
−
+𝑣
+𝑤
+
𝜌
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
{
Aceleración convectiva Aceleración lineal
Los tres primeros términos del lado derecho de las ecuaciones son los términos de la aceleración convectiva, que
dependen de los cambios de la velocidad con respecto al espacio. El último término de la aceleración lineal (local o
temporal) depende del cambio en la velocidad con respecto al tiempo en un punto.
Como la ecuación de Euler se basa en un fluido sin fricción la ecuación vectorial tiene la forma:
Estas son los cosenos directores de h con respecto al sistema de coordenadas xyz y pueden ser escritos como
FLUJO IRROTACIONAL: POTENCIAL DE VELOCIDAD
Se demuestra que la suposición de flujo irrotacional conduce a la existencia de un potencial de velocidad. Haciendo
uso de estas relaciones y suponiendo que la fuerza sobre el cuerpo es conservativa, se puede integrar la ecuación de
Euler.
La componente de rotación puede ser definida como la velocidad angular promedio de dos elementos infinitesimales
lineales que son perpendiculares entre sí respecto al eje de rotación
Castro, Ignacio - 37
La componente de rotación de una partícula en xy:
1 𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝑤𝑧 = [ − ] (1)
2 𝜕𝑥 𝜕𝑦
1
1 𝜕𝑤 𝜕𝑣
⃗
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑅𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑤𝑥 = [
𝑤
⃗⃗ = ∇𝑥𝑉
− ] (2)
2
2 𝜕𝑦 𝜕𝑧
1 𝜕𝑢 𝜕𝑤
𝑤𝑦 = [ −
] (3)
{
2 𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝑖̂
𝑗̂
𝑘̂
𝜕
𝜕
𝜕 | = 𝑖̂ [𝜕𝑤 − 𝜕𝑣 ] + 𝑗̂ [𝜕𝑢 − 𝜕𝑤 ] + 𝑘̂ [𝜕𝑣 − 𝜕𝑢]
⃗ =|
−∇𝑥𝑉
𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑧 𝜕𝑥
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝑢
𝑣 𝑤
El vector vorticidad se define como 2 veces el vector rotación: 𝑟𝑜𝑡 𝑞 = ∇𝑥𝑞 = 2𝑤
⃗⃗
La condición para flujo irrotacional  𝑟𝑜𝑡 𝑞 = 0 ==> ∇𝑥𝑞 = 0 ==> 𝑤
⃗⃗ = 0 (𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠)
𝜕𝑣 𝜕𝑢
𝐷𝑒 (1) = 0 ==> [ − ]
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑤 𝜕𝑣
𝐷𝑒 (2) = 0 ==> [
− ] 𝐶𝑜𝑛 𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑖𝑟 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜
𝜕𝑦 𝜕𝑧
𝜕𝑢 𝜕𝑤
𝐷𝑒 (3) = 0 ==> [ −
]
𝜕𝑧 𝜕𝑥
Debe existir alguna función que nos relacione como varía con el desplazamiento:
𝑢 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑦 = −𝑑∅ 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 (– )𝑒𝑠 𝑎𝑟𝑏𝑖𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜
𝜕∅
𝜕∅
𝑢 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑦 = −𝑑∅ = −
𝑑𝑥 −
𝑑𝑦 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
⏟
𝜕𝑥
𝜕𝑦
⏟
(𝐴)
(𝐵)
Igualo (A) con (B):
𝜕∅
𝜕∅
𝜕∅
; 𝑣=−
; 𝑤=−
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Esto demuestra la existencia de una función Ø, tal que su derivada negativa respecto a cualquier dirección es la
componente de la velocidad en esa dirección. La función Ø relaciona las dimensiones y representa las líneas de
corriente:
𝜕∅
𝜕∅
𝜕∅
⃗ = −∇. ∇∅ = −∇2 ∅ = 0 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒
∇. 𝑉
⃗ = −∇. ∅ = (−
𝑉
;−
;− )
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
Cualquier función Ø que satisfaga esta ecuación es un posible caso de flujo irrotacional.
𝑢=−
FUNCIONES DE CORRIENTE Y CONDICIONES DE FRONTERA
Castro, Ignacio - 38
Funciones de Corriente en dos dimensiones
A y P dos puntos en uno de los planos de flujo (plano xy) y teniendo el plano espesor
unitario, el caudal a través de cualquier par de líneas ACP y ABP debe ser el mismo.
(Condición de continuidad)
Si P es un punto móvil, el caudal a través de cualquier línea que una estos dos puntos será
función de la posición P. Si está función es ψ, entonces:
Las componentes de velocidad u y v en la dirección de x e y pueden ser obtenidas a partir de la definición de
corriente.
El flujo 𝛿𝜓 através de AP= 𝛿𝑦 de derecha a izquierda es −𝑢 𝛿𝑦.
Si P1 y P2, se encuentran sobre la misma línea de corriente, ψ1-ψ2=0, ya que no hay flujo que cruce la línea de
corriente. Por lo tanto una línea de corriente está expresada por ψ=cte.
Comparando:
De las ecuaciones de Cauchy – Riemann es posible encontrar la función de corriente para cada potencial de velocidad.
Si el potencial de velocidad satisface la ecuación de Laplace, la función de corriente también lo hace. Entonces la
función de corriente puede ser considerada como un potencial de velocidad para otro caso de flujo.
Condiciones de Frontera
En una frontera fija, la componente normal a la frontera de la velocidad deberá ser igual a cero en
todos los puntos sobre la misma.
En notación escalar, se puede expresar como un potencial de velocidad:
Para una frontera en movimiento donde un punto en la frontera tiene un componente
⃗ , el componente normal a la frontera debe ser igual a la
vectorial de la velocidad 𝑉
velocidad de frontera normal a ésta:
LA RED DE FLUJO (FLUJO BIDIMENSIONAL)
Normalmente las distribuciones ψ y Ø se obtienen resolviendo la ecuación de Laplace. Para geometrías irregulares se
emplean métodos numéricos centrados en métodos de relajación.
La determinación de estas funciones, permite visualizar las distribuciones resultantes de las
funciones de corriente y del potencial de velocidad, creando de esta manera una red de
flujo.
 Una línea de Ø constante, se conoce como una línea equipotencial. Siendo el vector
velocidad perpendicular a la misma en cualquier punto.

Una línea de ψ constante es tangente al vector velocidad en cualquier punto y
siempre intersectará una línea equipotencial en ángulo recto.
Castro, Ignacio - 39
Dado que la velocidad vs en cualquier S está dada por:
Donde:
∆𝑠 = 0  Para dos puntos muy próximos entre sí que se encuentren sobre la misma línea equipotencial. (El vector
velocidad no tiene componente sobre la misma).
𝑙í𝑚∆𝑠→0  Demuestra que no existe componente de tangente a una línea equipotencial, por lo tanto, el vector
velocidad debe ser normal a la misma.
Si la distancia entre líneas de corriente y líneas equipotenciales (∆n y ∆s) es pequeña,
entonces la velocidad aproximada está dada en términos del espaciamiento de líneas
equipotenciales, o sea:
O en términos del espaciamiento entre líneas de corriente:
Caracterización
 Cuando ∆c es finitalas expresiones de us y vs son aproximadas.
 Cuando ∆c tiende a cerolas expresiones de us y vs son exactas.
 Como us=vs∆n=∆s o que la red de flujo consta de una red ortogonal, que se reduce a cuadrados perfectos
cuando el tamaño de la red tiende a cero.
Flujo alrededor de una esquina
Función Potencial
Función de Corriente
Condiciones de Origen, no definidas ya que representa un punto de estancamiento
(aguas muertas).
A partir de la forma polar de la función de corriente se puede observar que las dos líneas
Ø=0 y Ø= 𝜋 /2 son la función de corriente ψ=0
Generalizando se Obtiene:
Fuente y Sumidero
Una fuente es una lineal normal al plano xy desde la cual en forma imaginaria se emana flujo uniforme en todas las
direcciones y en ángulos rectos a ella.
Castro, Ignacio - 40
VIII. MEDICIONES DE FLUIDOS
Las mediciones de fluidos comprenden la determinación de la elevación, la velocidad, la temperatura y la
concentración. También se requieren tasas de transporte de calor, de masa y momento que generalmente son
deducidas de las variables antes mencionadas.
Un sistema de medición debe estar compuesto por cuatro componentes básicos:
MEDICIÓN DE LA PRESIÓN
La medición directa de presión usualmente se requiere para muchos sistemas de conductos y tuberías. Sin embargo,
para la mayoría de las aplicaciones de ingeniería civil, ambiental o agrícola las medidas de presión usualmente se
utilizan para medir elevaciones de niveles o inferir por medio de la ecuación de energía la velocidad y el caudal de la
corriente del fluido.
La presión estática de un fluido es su presión cuando la velocidad no es perturbada por la medición.
Abertura Piezométrica:
Cuando el flujo es paralelo, la variación de la presión es hidrostática en la dirección
perpendicular a las líneas de corriente. La abertura debe ser pequeña con una longitud de
al menos el doble del diámetro, y debe ser perpendicular a la superficie sin irregularidades
(es aconsejable emplear varias perforaciones en conjunto).
Tubo estático:
Superficies rugosas, el dispositivo consiste en un tubo dirigido hacía aguas arriba con su
extremo cerrado, el cual tiene perforaciones radiales en la porción aguas debajo del extremo
cerrado. Se presume que el flujo que se mueve por las aberturas no se encuentra perturbado.
Este dispositivo requiere calibración, si no se lee la presión estática real está suele discrepar de
acuerdo a:
Traductores elásticos:
La mayoría de los traductores elásticos de presión dependen de la distorsión de un elemento metálico flexible, la cual
es causada por la presión que se va a medir (ejemplo: Tubo Bourdon).
Piezoeléctricos:
Los Piezoeléctricos, son dispositivos electromecánicos diseñados para medir las presiones hidrodinámicas o acústicas
continuas o discontinuas. Se componen de membranas flexibles o conductores que responden a los cambios de
presión.
MEDICIÓN DE ELEVACIÓN
Una medida que parece simple pero muy importante es la elevación de la superficie del agua por encima de un nivel
de referencia.
Mediciones directas:
Se pueden realizar mediante el empleo de escalas (exactitud relativa), en caso de que el objetivo sea la exactitud se
puede emplear un manómetro de gancho (únicamente en condiciones de laboratorio). Para la medición en campo se
pueden citar tres actividades principales, a saber:
1. Medición de niveles en ríos (H-Q)
2. Medición de elevación de Mareas
3. Medición de elevación de Oleaje o frentes de Tormenta.
Castro, Ignacio - 41
Mediciones basadas en la presión:
Realizadas mediante el empleo de transductores de presión como los ya mencionados, mediante el empleo de la
ecuación hidrostática de presión.
MEDICIÓN DE VELOCIDAD
Las mediciones de la magnitud y dirección de la velocidad tienen una importancia crítica, como datos únicos acerca de
las condiciones del punto de muestreo o como datos que se integran en un plano tal como la sección transversal de
un río.
Las mediciones más simples se realizan con artefactos localizados directamente en el campo de flujo (métodos
invasivos). En contraposición existen equipos de medición remotos.
Tubo Pitot
Es uno de los métodos más simples y exactos, la abertura del flujo se dirige
hacia aguas arriba de tal manera que el fluido fluya hacía la abertura.
Este dispositivo mide la presión de estancamiento, la cual también se conoce
como presión total, la misma se encuentra compuesta por dos partes, la
presión estática (h0) y la presión dinámica (∆h) ℎ0+ ∆ℎ
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2:
Debido a que los dos puntos se encuentran a la misma elevación p1/Ɣ=h0, entonces la ecuación se reduce a:
Tubo Pitot y abertura piezométrica
Ecuación de Bernoulli entre 1 y 2:
(1)
Por Manómetro:
Ecuación para el manómetro expresado en altura de agua. Simplificando:
(2)
De (1) y (2):
Tubo Pitot estático
Adcp
El perfilador de corrientes por efecto Doppler es un equipo que permite obtener las componentes de la velocidad del
agua en diferentes capas de la columna de agua. El ADCP utiliza el efecto Doppler transmitiendo sonido a una
frecuencia fija y receptando los ecos reflectores del agua. Estos reflectores son pequeñas partículas que reflejan el
sonido hacia el ADCP.
Principales datos generados por un ADCP
 Velocidades (x,y,z)
 Eco intensidades
 Correlaciones
 Porcentajes de datos buenos en suspensión
 Caudales acumulados
Aplicaciones:
Determinación de:
 Caudales
 Velocidades
 Concentración de sedimento
Castro, Ignacio - 42
IX. TURBOMAQUINARIA
INTRODUCCIÓN
Las turbomaquinas son los dispositivos comúnmente empleados que suministran o extraen energía de un líquido que
fluye por medio de alabes, hélices o aspas rotatorios.
Una bomba agrega energía a un sistema con el resultado de que la presión se incremente; también causan que el
flujo incremente su velocidad.
Una turbina extrae energía de un sistema y la transforma en alguna otra forma útil, por lo general en energía
eléctrica.
𝑆𝑜𝑝𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑇𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝. 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠
𝑩𝑶𝑴𝑩𝑨𝑺 { 𝐴𝑥𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑻𝑼𝑹𝑩𝑶𝑴𝑨𝑸𝑼𝑰𝑵𝑨𝑹𝑰𝑨𝑺 { 𝑉𝑒𝑛𝑡𝑖𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠
𝑻𝑼𝑹𝑩𝑰𝑵𝑨𝑺 {
𝐻𝑖𝑑𝑟𝑜𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎𝑠
𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑀𝑒𝑧𝑐𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
Para cambiar la dirección de un fluido o cambiar la magnitud de su velocidad se requiere la aplicación de fuerzas.
Cuando un alabe móvil deflecta un chorro fluido y cambia su cantidad de movimiento, se ejercen fuerzas entre el
alabe y el chorro y se genera trabajo mediante el desplazamiento del alabe.
Las turbomaquinas hacen uso de este principio:
1. Las bombas axiales y centrifugas, los ventiladores y compresores, mediante el trabajo continuo sobre el fluido
le añaden energía.
2. Las turbinas de impulso, Francis y las turbinas de hélice, así como las turbinas de vapor y gas extraen energía
del fluido en forma continua y la convierten en un torque sobre un eje rotante.
3. El par fluido y el convertidor de torque, cada uno compuesto de una bomba y una turbina construida en
conjunto, hacen uso del fluido para transmitir potencia suavemente.
UNIDADES HOMÓLOGAS: VELOCIDAD ESPECÍFICA
𝐷𝑜𝑠 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑠𝑒𝑟á𝑛 ℎ𝑜𝑚ó𝑙𝑜𝑔𝑎𝑠 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒
𝑆𝑖𝑚𝑖𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐺𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎
𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛, 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖é𝑛 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟á𝑛
𝐷𝑖𝑠𝑒ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑢𝑟𝑏𝑜𝑚𝑎𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎𝑠 {
}
𝑆𝑖𝑚𝑖𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝐷𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑙í𝑛𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Es necesario despreciar los efectos viscosos debido a la imposibilidad de satisfacer estas 2 condiciones y tener el
mismo Reynolds.
Diagrama vectorial de la velocidad a la salida del impulsor de una bomba:
β: ángulo del alabe.
u: velocidad periférica del rotor al final del alabe.
v: velocidad del fluido relativa al alabe.
V: velocidad absoluta 𝑉 = 𝑢𝑖̂ + 𝑣𝑗̂
Vr: componente radial de la velocidad y es proporcional al caudal
Vt: velocidad tangencial
𝛼: es el ángulo entre V y u
De acuerdo con la similitud geométrica, β debe ser el mismo para las dos unidades, mientras que 𝛼 permite
establecer la similitud dinámica originando líneas de corriente similares.
Velocidad Específica
La velocidad especifica de una unidad homóloga, la cual es ampliamente utilizada para seleccionar el tipo de unidad y
para diseños preliminares. Usualmente está definida en forma diferente para una bomba y turbina.
La velocidad especifica Ns, de una serie homóloga de bombas se define como la velocidad de la unidad de la serie de
tamaño tal que mueve un caudal unitario con una carga unitaria. La misma se obtiene como:
Para que 𝛼 sea constante entre el modelo y prototipo:
𝑉𝑡
= 𝑐𝑡𝑒 1
𝑢
𝑢
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒𝑠 𝐻𝑜𝑚ó𝑙𝑜𝑔𝑎𝑠 (𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑒𝑠)
= 𝑐𝑡𝑒 2
𝑟
𝑉𝑟
= 𝑐𝑡𝑒 3
{ 𝑢
𝑉𝑡 = 𝑉 cos 𝛼 = 𝑢
𝑉𝑟 = 𝑉 𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑣
𝐷 = 𝑑𝑖á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜
𝑁 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 =
𝑢
𝐷
Si 𝛼 𝑦 𝛽 son constantes  u y v pueden ser obtenidas directamente.
Castro, Ignacio - 43
Si vemos el álabe completo (rotor de la turbina):
𝜋 𝐷 ℎ → Á𝑟𝑒𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎
ℎ
= 𝑐𝑡𝑒 4 ==> ℎ = 𝐷 𝑐𝑡𝑒 4
𝐷
𝑄 = 𝑉𝑟 𝐴 = 𝑉𝑟 𝜋 𝐷 ℎ = 𝑉𝑟 𝜋 𝐷 (𝐷 𝑐𝑡𝑒 4) = 𝑉𝑟 𝐷2 ⏟
𝜋 𝑐𝑡𝑒 4
𝐶𝑡𝑒 5
𝑄
𝑉𝑟 = 2 = 𝑐𝑡𝑒 5 (1)
𝐷
Igualando las Vr:
𝐴 𝑠𝑢 𝑣𝑒𝑧 𝑉𝑟 = 𝑢 𝑐𝑡𝑒 3
𝑄
= 𝑐𝑡𝑒 5
𝐷2
𝟏° 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒉𝒐𝒎ó𝒍𝒐𝒈𝒂
𝑄
𝐺𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑧𝑎
𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑒 ℎ𝑜𝑚ó𝑙𝑜𝑔𝑎
=
𝑐𝑡𝑒
6
𝑁 𝐷3
𝑚𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑔𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎.
𝑢 𝑐𝑡𝑒 3 =
El caudal Q en unidades homólogas puede relacionarse con la cabeza H y un área de sección transversal
representativa A, mediante la fórmula del orificio como:
𝑄 = 𝐶𝐷 𝐴 √2 𝑔 𝐻
CD es el coeficiente de descarga, varía lentamente con el número de Reynolds y por consiguiente causa un pequeño
cambio en la eficiencia el tamaño en series homólogasCD=f (Reynolds)=cte.
Como A~D2, la ecuación de caudal puede ser:
𝑄
𝐷2
√𝑔 𝐻
= 𝑐𝑡𝑒 7
Igualando las Q entre las constantes 6 y 7:
𝑐𝑡𝑒 6 𝑁 𝐷3 = 𝑐𝑡𝑒 7 𝐷2 √𝑔 𝐻
𝑁𝐷
√𝑔 𝐻
= 𝑐𝑡𝑒 8
𝑚𝑒 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑜
𝑛𝑜 𝑚𝑒 𝑔𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑧𝑎 𝑎ú𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎
Elevando al cuadrado la constante 8:
𝑁 2 𝐷2
𝟐° 𝑹𝒆𝒍𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒉𝒐𝒎ó𝒍𝒐𝒈𝒂
= 𝑐𝑡𝑒 9
𝐶𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑄 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑎𝑡𝑜
𝑔𝐻
Haciendo la inversa de la constante 9:
𝑔𝐻
= 𝑐𝑡𝑒 10
𝑁 2 𝐷2
1
3
𝑄
Q es incógnita de cte 6 ==> 𝐷 = (
)
𝑁 𝑐𝑡𝑒 6
Q es dato de cte 10 ==> 𝐷 = ( 2
𝑔𝐻
𝑁 𝑐𝑡𝑒 10
Nos queda:
𝑁√𝑄
3
4
3
4
= 𝑐𝑡𝑒 11
)
1
1
3
2
𝑄
𝑔𝐻
(
) =( 2
)
𝑁 𝑐𝑡𝑒 6
𝑁 𝑐𝑡𝑒 10
1
2
}
𝐺𝑎𝑟𝑎𝑛𝑡𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑚𝑖𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑
𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑔 𝐻
Por definición de velocidad específica de la bomba, para Q=1 y H=1 con g=cte:
𝑁√𝑄 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎
3
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑜𝑚𝑏𝑎𝑠
𝐻4
La velocidad específica para una serie homóloga de turbinas se define como velocidad de la unidad de serie de
tamaño tal que produce una potencia unitaria con carga unitaria. Debido a que la velocidad es proporcional a QH:
𝑄
𝑃
𝐷𝑒 𝑐𝑡𝑒 6 =
= 𝑐𝑡𝑒 12
𝑁
𝑁 𝐷3 }
𝛾𝑄𝐻
5
5 = 𝑐𝑡𝑒 13
𝑔𝐻
𝐷𝑒 𝑐𝑡𝑒 10 = 2 2 𝑔4 𝐻 4
𝑁 𝐷
P=1 y H=1, dejando de lado ρ y g se obtiene:
𝑁𝑆 =
𝑁𝑆 =
𝑁√𝑃 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎
5
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑖𝑛𝑎𝑠
𝐻4
Castro, Ignacio - 44
TEORÍA ELEMENTAL DE ÁLABES
Las turbomaquinas realizan o extraen trabajo de un fluido en forma continua, debido al flujo que pasa por una serie
de álabes móviles o fijos.
Si el fluido se aproxima a un álabe fijo en la dirección radial, su momento de la cantidad de movimiento cambia de
cero a un valor dependiente de la masa que fluye por unidad de tiempo, el componente de velocidad tangencial y el
radio. (Los alabes fijos no realizan trabajo).
Si el fluido se aproxima a una serie de álabes móviles los cuales giran a una velocidad ω dentro de un sistema de
álabes fijos. La mayor eficiencia, se lograra cuando el flujo de entrada a los álabes móviles presente el menor grado
de perturbaciones es decir en forma tangencial.
Ecuación de Momento de la Cantidad de Movimiento (Momentum)
El único desplazamiento de los álabes ocurre en la dirección tangencial, entonces el trabajo es debido al
desplazamiento de las componentes tangenciales de las fuerzas sobre el rotor. Los componentes radiales de la fuerzas
no efectúan trabajo.
Despreciando la fricción y suponiendo que el fluido es guiado perfectamente por el dispositivo, de modo que la
velocidad relativa sea siempre tangente a los álabesOcasiona simetría circular por lo que la ecuación de Momentum
adopta la forma de:
T es el momento de Torsión que actúa sobre el VC.
Donde:
V: velocidad absoluta
u: velocidad periférica del rotor
v: velocidad relativa del fluido respecto al rotor
ṁ: masa del fluido por unidad de tiempo a través del dispositivo.



Si T>0 el momento de la cantidad de movimiento del fluido aumenta al pasar por el rotor, como el caso de
una bomba, agrega energía.
Si T<0 el momento de la cantidad de movimiento disminuye al pasar por el rotor, como el caso de una
turbina, quita energía.
Si T= 0 significa que la tubería no tiene alabes.
Relaciones de Carga y Energía
Si se multiplica la expresión de Momento de la cantidad de movimiento por la velocidad angular ω [rad/seg], se
obtiene:
Sin considerar pérdidas, la potencia disponible de una turbina es:
Donde:
QƔ: peso por unidad de tiempo
H: carga sobre el rotor (energía potencial)
QƔH: potencia desarrollada por el rotor.
El intercambio de potencia resulta:
Castro, Ignacio - 45
Al despejar H y eliminar T de:
se obtiene:
Bombas
𝐻=
Turbinas
𝑢2 𝑉𝑢2 − 𝑢1 𝑉𝑢1
(1)
𝑔
𝐻=
𝑢2 𝑉𝑢2 + 𝑢1 𝑉𝑢1
𝑔
𝐻𝑎𝑝 = 𝑒ℎ 𝐻 = 𝐻 − 𝐻𝐿 (2)
Donde:
Hap= carga real.
eh= eficiencia hidráulica
HL=representa la totalidad de las perdidas.
𝑢2 𝑉2 cos 𝛼2
𝐻=
𝑔
Las Bombas se diseñan de modo que la cantidad de
movimiento angular del fluido a la entrada del
impulsor sea 0.
𝐻𝑎𝑡 =
𝐻
= 𝐻 + 𝐻𝐿
𝑒ℎ
𝑢1 𝑉𝑢1 cos 𝛼1
𝑔
Las turbinas se diseñan de modo que la cantidad de
movimiento sea cero a la sección de la salida para
condiciones de máxima eficiencia.
𝐻=
Empleando (1) y (2), se obtiene la ecuación de energía de una bomba como:
𝑉2 2 p2
𝑉1 2 p1
𝑢2 𝑉2 cos 𝛼2 − 𝑢1 𝑉1 cos 𝛼1
𝐻𝑃 = (
+
+ z2 ) − (
+
+ z1 ) =
− 𝐻𝐿
2𝑔
γ
2𝑔
γ
𝑔
Donde se ha supuesto que todas las L.C. que pasan por la bomba tienen la misma energía total:
𝑢12 + 𝑉1 2 − 2𝑢1 𝑉1 cos 𝛼1 = 𝑣1 2
𝑢22 + 𝑉2 2 − 2𝑢2 𝑉2 cos 𝛼2 = 𝑣2 2
𝐻𝐿 =
𝑢22 − 𝑢12 𝑣2 2 − 𝑣1 2 p2 − p1
−
−
− (z2 − z1 )
2𝑔
2𝑔
γ
𝐻𝐿 =
𝑢22 − 𝑢12
𝑉2 2 p2
𝑉1 2 p1
−(
+
+ z2 ) − (
+
+ z1 )
2𝑔
2𝑔
γ
2𝑔
γ
El primer miembro de la derecha son las pérdidas por diferencia de carga centrífuga.
BOMBAS Y VENTILADORES
Las bombas aumentan la energía de los líquidos, los ventiladores hacen lo mismos con los gases.
Clasificación de bombas
 Flujo Radial (centrifuga): está diseñada para
suministrar descargas relativamente bajas con una
alta carga hidrostática.
 Flujo Axial: produce descargas relativamente
grandes con cargas bajas.
 Flujo Mixto: para cargas y descargas intermedias.
TURBINAS DE IMPULSO
En una turbina de impulso toda la energía disponible en el flujo se convierte en energía cinética a presión atmosférica
mediante una boquilla, antes que el fluido entre en contacto con el alabe.
 Una caída alta (entre 245 a 700 m) requiere una turbina para alta presión, de impulso o tipo Pelton.
 Si la caída es intermedia (entre 20 y 80 m), entonces se escoge una turbina de reacción tipo Francis.
 Para caídas bajas (menores de 20 m) se utiliza un tipo de turbina de reacción tipo Kaplan.
CAVITACIÓN
Cuando un líquido fluye por una región donde la presión es menor que su presión de vapor. El líquido hierve y forma
burbujas de vapor. Estas burbujas son transportadas por el líquido hasta llegar a una región de mayor presión, donde
el vapor, regresa al estado líquido de manera abrupta.
Para caracterizar la susceptibilidad de un sistema que maneja un líquido a la cavitación, se utiliza el parámetro de
cavitación σ, definido por:
p: presión absoluta ρ: densidad del líquido.
pv: presión de vapor V: velocidad de referencia.
Dos sistemas geométricamente semejantes tienen el mismo grado de cavitación o sin igualmente susceptibles a
cavitar. Cuando σ= 0, la presión se reduce hasta la presión de vapor y en ese momento ocurre la ebullición.
Castro, Ignacio - 46
X. FLUJO A RÉGIMEN PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS
FORMULAS EXPONENCIALES PARA LA FRICCIÓN EN TUBERÍAS
Las fórmulas para cuantificar la fricción son en su mayoría de carácter empírico, adoptando la forma de:
Donde
hf/L; es la perdida de carga por unidad de longitud de la
tubería, es decir la pendiente de la línea de energía (S).
Q; es el caudal.
D; el diámetro interior de la tubería.
R; el coeficiente de resistencia, el cual es función de la
rugosidad.
Una ecuación con exponentes y coeficientes R específicos sólo es válida para la viscosidad del fluido con la que se
desarrollo y normalmente está limitada a un rango de número de Reynolds y diámetros.
La ecuación de Hazen-Williams para el flujo de agua a temperaturas ordinarias en tuberías tiene la forma de h f/L,
con valores de R dados por:
En donde n=1.852; m=4.8704 y C depende de la
rugosidad.
La ecuación de Chezy-Manning en general se asocia más con flujo en canales abiertos, pero puede ser adaptada
para su empleo en conductos (sobre todo para conductos en sobrecarga).
Donde
n= es el coeficiente de rugosidad de Manning.
K = 1 para unidades SI.
K = 2.22 para unidades USC.
Mientras que el exponente n=2 y m=5.33
Las ecuaciones exponenciales presentadas utilizan resultados experimentales, los cuales son muy útiles y de fácil
empleó, pero solo son validos para los datos empleados en su desarrollo.
Empleando la pendiente de la línea piezométrica de Darcy-Weisbach:
Mientras que para un coeficiente de Hazen-Williams C, un diámetro D dados, el factor de fricción se reduce al
aumentar el número de Reynolds.
Pudiéndose desarrollar de esta forma una ecuación similar de f en donde f=g(C, R e, V)
Las ecuaciones previas, pueden arrojar resultados disímiles, generalmente la ecuación de Darcy-Weisbach tiene bases
más racionales lo cual arroja resultados más próximos a la realidad.
LÍNEAS PIEZOMÉTRICAS Y DE ENERGÍA
Si en cada punto a lo largo de un sistema de tuberías, se calcula el término de p/Ɣ y se lo gráfica como una distancia
vertical por encima del centro de la tubería, el lugar geométrico de los puntos es la línea de altura motriz ó
piezométrica. La grafica de los dos términos:
𝑝
+𝑧
𝛾
Como ordenadas, y la longitud como abscisa, generan la línea piezométrica, la cual es el lugar geométrico de las
alturas hasta el cual subiría el líquido en tubos verticales conectados a aberturas piezométricas.
Cuando la presión es menor que la atmosférica, p/Ɣ es negativa y la línea piezométrica se encuentra por debajo de la
tubería.
La línea de energía es la gráfica del nivel de energía disponible en cada punto de la tubería en las ordenadas, y la
distancia a lo largo de la tubería en las abscisas, consta de la gráfica de:
Castro, Ignacio - 47
𝑉2
p
+ + z
2𝑔
γ
Para cada punto a lo largo de la tubería. Por definición la línea de energía siempre se encuentra verticalmente por
encima de la línea piezométrica una distancia de V 2/2g, sin tener en cuenta el factor de corrección 𝛼 de energía
cinética.
El gradiente motriz o hidráulico es la pendiente de la línea de altura motriz (LAM) ó piezométrica si el conducto es
horizontal, en otras situaciones este es:
𝑝
𝑑 (𝑧 + )
𝛾
𝑑𝐿
El gradiente de energía es la pendiente de la línea de energía si el conducto es horizontal, si no está definido por:
𝑝
𝑉2
𝛾
2𝑔
𝑑 (𝑧 + +
)
𝑑𝐿
Las pérdidas pueden despreciarse cuando estas son menores al 5 %, o en su defecto incluirse como longitudes
equivalentes de tubería que se añaden a la longitud real. Para estas situaciones el valor de la carga de velocidad es
pequeño por lo que se desprecia entonces la LAM y los niveles energéticos se superponen.
Las bombas agregan energía al flujo, un hecho el cual puede ser expresado en la ecuación de energía ya sea
incluyendo una perdida negativa o incluyendo la energía por unidad de peso, este es un término positivo en el lado
izquierdo de la ecuación.
EL SIFÓN
Un conducto cerrado, el cual es capaz de elevar un líquido a un nivel mayor que su
superficie libre y que luego descarga en una elevación menor recibe el nombre de
sifón.
El mismo tiene ciertos límites en su comportamiento debido a las bajas presiones que
pueden darse en el punto s.
La ecuación de energía entre 1 y 2 es:
𝑉2
𝑉2
𝐿 𝑉2
𝑉2
𝐿
𝐻=
+𝐾
+𝑓
==> 𝐻 =
(1 + 𝐾 + 𝑓 )
2𝑔
2𝑔
𝐷2𝑔
2𝑔
𝐷
La presión en el punto s, se encuentra aplicando la ecuación de energía entre 1 y s:
𝑝1 𝑝𝑆 𝑉 2
𝑉2
𝐿´
Donde K’ son todas las pérdidas menores entre 1 y s.
= +
+ 𝑦𝑆 +
(∑ 𝐾´ + 𝑓 )
L’ la longitud del conducto aguas arriba de s.
𝛾
𝛾 2𝑔
2𝑔
𝐷
𝑝𝑆
𝑉2
𝐿´
= −𝑦𝑆 −
(1 + 𝐾´ + 𝑓 )
𝛾
2𝑔
𝐷
TUBERÍAS EN SERIE
Cuando dos tuberías de diferente tamaño o rugosidad se conectan de modo que el fluido fluya por una tubería y
luego por otra, se dice que las tuberías están conectadas en serie.
Se desea saber:
 H para una descarga Q cierta.
Castro, Ignacio - 48

Q para una carga H dada.
Empleando la ecuación de energía entre A y B, incluyendo todas las pérdidas se obtiene:
De la ecuación de continuidad:
𝑄1 = 𝑄2
𝑉12 𝐷12 = 𝑉22 𝐷22
Si se elimina V2 de las ecuaciones anteriores, se obtiene:
Para tamaños y longitudes dadas de tuberías la expresión anterior se reduce a:
En donde se conocen C1, C2 y C3. Con el caudal se calcula el número de Reynolds y los valores de f pueden
determinarse del diagrama de Moody.
Longitud Equivalente
El método de la longitud equivalente pude ser empleado en la solución de tuberías en serie.
Se dice que dos sistemas de tuberías son equivalentes si la misma perdida de carga produce la misma descarga en
ambos sistemas.
Para una segunda tubería:
Las dos tuberías son equivalentes si hf1=hf2 y Q1=Q2. Al igualar hf1=hf2 y simplificando:
TUBERÍAS EN PARALELO
Una combinación de dos o más tuberías conectadas, de modo que el flujo se divide entre las tuberías y luego se
vuelven unir, reciben el nombre de tuberías en paralelo.
En las tuberías en serie el mismo fluido fluye por todas las tuberías y las pérdidas de carga son acumulables, pero en
el caso de tuberías en paralelo las pérdidas de carga son las mismas en cualquiera de las líneas y la descarga
acumulable.
Al analizar sistemas de tuberías en paralelo se supone que las pérdidas menores se suman a las longitudes de cada
tubería como longitudes equivalentes.
En donde zA, zB son las alturas de los puntos A y B y Q es la descarga de la tubería de entrada o salida.
Ocurren dos tipos de problemas:
1. Si se conoce la altura de la línea de altura motriz en A y B, se requiere determinar el Caudal Q.
2. Si se conoce Q, calcular la distribución de flujo y la pérdida de carga.
Se supone que son conocidos el tamaño de las tuberías, las rugosidades y las propiedades del fluido.
Castro, Ignacio - 49
El primer tipo de problema requiere la solución de un problema simple de cálculo de descarga. Mientras que para el
segundo el cálculo es más complejo, el procedimiento recomendado para su resolución establece:
a) Suponer una descarga Q’, en la tubería 1.
b) Calcúlese h’f1, considerando el supuesto anterior.
c) Utilizando h’f1, encontrar Q’2 y Q’3.
d) Para estas 3 descargas con pérdida de carga común supóngase que el Q se distribuye en las tuberías en la
misma proporción que Q’1, Q’2 y Q’3; por lo tanto.
e) Compruébese la validez de estas descargas mediante el cálculo de hf1, hf2 y hf3 para los Q1, Q2 y Q3
calculados.
REDES DE TUBERÍAS
Está situación es análoga al flujo de circuitos eléctricos. Por lo general este tipo de problemas es complejo y requiere
el uso de soluciones iterativas, en donde se realiza el balance de los circuitos elementales en primera medida hasta
que se satisfagan las condiciones de flujo.
En una
1.
2.
3.
red de tuberías se deben satisfacer:
La suma algebraica de las caídas de presión en cada circuito debe ser cero.
El flujo que entra a una unión debe ser igual al que sale de ella.
La ecuación de Darcy-Weisbach, o una formula exponencial de fricción equivalente, debe satisfacerse en cada
tubería.
No es conveniente resolver los problemas de redes en forma analítica, por el contrario se usan métodos de
aproximaciones sucesivas.
CONDUCTOS DE SECCIONES TRANSVERSALES NO CIRCULARES
Para secciones transversales no circulares es posible usar la ecuación de Darcy-Weisbach, siempre y cuando el
termino D sea interpretado en función de la sección.
El concepto de radio hidráulico permite el mismo tratamiento en secciones transversales circulares y no circulares.
Al suponer que es posible sustituir el diámetro por 4R en la ecuación de Darcy-Weisbach, en el número de Reynolds y
en la rugosidad relativa se tiene:
Las secciones circulares son tratadas de manera análoga y el diagrama de Moody se aplica como en los casos
anteriores.
ENVEJECIMIENTO DE TUBERÍAS
El diagrama de Moody, fue obtenido para tuberías nuevas y limpias. Con el uso, las tuberías se vuelven más rugosas
por efecto de:
 Corrosión
 Incrustaciones
 Sedimentación de sólidos
 Defectos constructivos
Castro, Ignacio - 50
XI. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; PRINCIPIO DE ENERGÍA Y DE CANTIDAD DEMOVIMIENTO
FLUJO EN CANALES ABIERTOS Y SU CLASIFICACIÓN
Flujo en canales
abiertos
Conducción de
Agua
Deben poseer superficie libre.
El fluido se encuentra sometido a la presión atmosférica.
No necesitan poseer superficie libre.
Flujo en conductos
cerrados (tuberías)
No se encuentra sometido necesariamente a la presión
atmosférica si no a la hidráulica.
Los piezómetros indican la altura piezométrica, la cual se conoce como la línea del gradiente hidráulico.
A su vez la línea de energía es definida por:
Clasificación del flujo en canales abiertos:
En función del tiempo:
 Permanente: la profundidad del flujo no cambia y puede considerarse constante en un cierto intercambio de
tiempo. Ej. Curva de remanso.

No permanente: lo contrario a lo anterior. Ej. Crecientes, oleaje, etc.
En función del espacio:
 Uniforme: la profundidad de flujo es la misma en cada sección del canal.
 No uniforme: lo contrario a lo anterior.
Combinándolas:
 Permanente: Uniforme (clásico en canales).
No uniforme: Gradualmente variado.
Rápidamente variado.
 No permanente: Uniforme (Teórico, no empleado en la práctica).
No uniforme: Gradualmente variado (crecientes).
Rápidamente variado.
Castro, Ignacio - 51
ESTADOS DEL FLUJO
El estado está gobernado por los efectos de la viscosidad y la gravedad en relación a las fuerzas inerciales de flujo:
Efecto de la viscosidad sobre el estado de flujo
 Flujo laminar: fuerzas viscosas muy fuertes en relación con las fuerzas inerciales.
 Flujo turbulento: fuerzas viscosas son débiles en relación con las fuerzas inerciales.
Efecto de la gravedad sobre el estado de flujo
El efecto de la gravedad sobre el estado de flujo se representa por la relación entre las fuerzas inerciales y
gravitatorias, la cual es dada por el número de Froude:
Donde:
𝑉
𝐹=
V: es la velocidad media
√𝑔 𝐿
g: la fuerza de la gravedad.
L: la longitud característica.
En canales abiertos la longitud característica se convierte en la profundidad hidráulica D, la cual está definida como el
área de la sección transversal dividida por el ancho de la superficie libre.
Cuando:
Regímenes de flujo
En un canal abierto el efecto combinado de la viscosidad y de la gravedad
puede producir cualquiera de cuatro regímenes de flujo distintos, a saber:
1. Subcrítico - Laminar
 F < 1 y R ≤ 500
2. Supercrítico – Laminar
 F > 1 y R ≤ 500
3. Supercrítico – Turbulento  F > 1 y R ≥ 2000
4. Subcrítico – Turbulento  F < 1 y R ≥ 2000
1 y 2 No son frecuentes en la hidráulica de canales abiertos (solo se da en
ocasiones para profundidades muy pequeñas)
Clases de Canales abiertos
Un canal abierto es un conducto en el cual el agua fluye con una superficie libre. De acuerdo al origen del mismo,
estos pueden ser Naturales o Artificiales.
Los canales naturales incluyen todos los cursos de agua que existen de manera natural en la tierra (estudiados por la
hidráulica fluvial). Las propiedades hidráulicas de estos son irregulares. Pudiéndose realizar suposiciones empíricas.
Los canales artificiales son aquellos construidos por el hombre. Las propiedades hidráulicas de estos canales pueden
ser controladas hasta un nivel deseado o diseñadas para cumplir con requisitos determinados.
Elementos geométricos de una sección de canal
Los elementos geométricos son propiedades de una sección de canal que pueden ser definidas por completo por la
geometría de la sección y la profundidad de flujo.
Profundidad de flujo (y): es la distancia vertical desde el punto más bajo de una sección de canal hasta la superficie
libre. A menudo este término se intercambia con la profundidad de la sección d. En efecto, la profundidad de flujo de
la sección es la profundidad de flujo perpendicular a la dirección de este, o la altura de la sección del canal que
contiene el agua. Para un canal con un ángulo de pendiente longitudinal Ɵ, por lo que:
𝑦 = 𝑑 cos 𝜃
El nivel: es la elevación o distancia vertical desde un nivel de referencia o datum, hasta la superficie libre.
El ancho superficial T: es el ancho del canal en la superficie libre.
Castro, Ignacio - 52
El área mojada A: es el área de la sección transversal del flujo perpendicular a la dirección del flujo.
El perímetro mojado P: es la longitud de la línea de intersección de la superficie de canal mojado y de una transversal
perpendicular a la dirección del flujo.
El radio hidráulico R: es la relación del área mojada con respecto a su perímetro mojado, o sea: 𝑅 =
La profundidad hidráulica D: es la relación entre el área mojada y el ancho de la superficie. 𝐷 =
𝐴
𝑃
𝐴
𝑇
𝐴
El factor de cálculo para el flujo crítico Z: 𝑍 = 𝐴√𝐷 = 𝐴√𝑇
2
El factor de sección para el cálculo de flujo uniforme: 𝐴. 𝑅 3
Distribución de velocidades en una sección de canal
Debido a la presencia de la superficie libre y a la fricción a lo largo de las paredes del canal,
la velocidad no será uniformemente distribuida en la sección.
La máxima velocidad medida en canales ocurre por debajo de la superficie libre a una
distancia de 0.05 a 0.25 de la profundidad.
ENERGÍA DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS
Por la ecuación de Bernoulli:
𝑝
𝑉2
𝑧 + 𝛾 + 2𝑔 = 𝑐𝑡𝑒
Replanteando la formula de energía para canales abiertos, y tomando un plano de referencia la altura total H (Energía
Total) de una sección O que contiene al punto A en una línea de corriente del flujo de un canal de pendiente alta, se
obtiene:
𝑉𝐴2
𝐻 = 𝑧𝐴 + 𝑑𝐴 cos 𝜃 +
2𝑔
En general, cada línea de corriente que pasa a través de una sección de canal tendrá una altura de velocidad
diferente, debido a la distribución no uniforme de velocidades.
Solo en un flujo paralelo ideal con distribución uniforme de velocidades puede ser idéntico para todos los puntos de la
sección transversal. Pudiéndose expresar la Energía Total en la sección del canal como:
𝑉2
𝐻 = 𝑧 + 𝑑 cos 𝜃 + 𝛼
2𝑔
𝛼: Coeficiente de Energía para tener en cuenta la no uniformidad en la distribución de velocidades.
Para canales de pendiente baja Ɵ≈0, la ecuación de Energía Total en la sección del canal es:
𝐻 =𝑧+𝑑+𝛼
𝑉2
2𝑔
Castro, Ignacio - 53
Considerando ahora, un canal con pendiente normal (𝜃 ≠ 0):
𝑆𝑓 = 𝑆𝑤 = 𝑆0 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑈𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚𝑒
De acuerdo al principio de conservación de Energía, la altura de Energía Total de la sección 1 debe ser igual al de la
sección 2 más las pérdidas (hf):
𝑉12
𝑉22
𝑧1 + 𝑑1 cos 𝜃 + 𝛼1
= 𝑧2 + 𝑑2 cos 𝜃 + 𝛼2
+ ℎ𝑓
2𝑔
2𝑔
Esta ecuación es aplicable a flujos paralelos o gradualmente variados. Para un canal de pendiente pequeña, ésta se
convierte en:
𝑉12
𝑉22
𝑧1 + 𝑦1 + 𝛼1
= 𝑧2 + 𝑦2 + 𝛼2
+ ℎ𝑓
2𝑔
2𝑔
Cualquiera de estas dos ecuaciones se conoce como ecuación de energía. Cuando h f=0, 𝛼1 =𝛼2 =1, se obtiene la
ecuación de energía de Bernoulli:
𝑉12
𝑉22
𝑧1 + 𝑦1 +
= 𝑧2 + 𝑦2 +
= 𝑐𝑡𝑒
2𝑔
2𝑔
ENERGÍA ESPECÍFICA
La Energía Especifica (E) es la energía por unidad de peso con respecto a la elevación del fondo del canal. De acuerdo
a la ecuación de energía, en donde z=0:
𝑉2
𝐸 = 𝑑 cos 𝜃 + 𝛼
2𝑔
O, para un canal de pendiente muy pequeña Ɵ=0 y 𝛼=1
𝑉2
𝑄2
=𝑦+
(1)
2𝑔
2𝑔 𝐴2
Para una sección de canal y un caudal especifico, la energía específica es solo función de la profundidad del flujo.
Cuando la profundidad de flujo se gráfica contra la energía específica para una sección de canal y un caudal
determinado, se obtiene una curva de energía especifica.
𝐸 =𝑦+
OD presenta un ángulo de 45°, en esta situación se tiene que Q=0 y el tirante y=E; siendo este el caso límite para
canales de baja pendiente. Para un Q>0 y una energía especifica dadas, existen dos valores posibles para el tirante y.
A estos tirantes se les conoce como tirantes conjugados.
En cualquier punto P, de esta curva, la ordenada representa la profundidad y la abscisa la Energía Específica, que es
igual a la suma de la altura de presión y la altura de velocidad. (V 2/2g)
Para una energía específica determinada existen 2 posibles profundidades:
y1 profundidad baja, supercrítico.
y2  profundidad alta, subcrítico.
Criterio para el estado crítico de flujo
El estado crítico de flujo ha sido definido como la condición para la cual el número de Froude es igual a 1.
Una definición más común es que éste es el estado del flujo para el cual la energía específica es mínima para un
caudal determinado.
Ahora si se deriva (1) respecto al tirante y Q se mantiene constante:
Castro, Ignacio - 54
𝑑𝐸
𝑄2 𝑑𝐴
𝑉 2 𝑑𝐴
=1−
=
1
−
𝑑𝑦
𝑔 𝐴3 𝑑𝑦
𝑔 𝐴 𝑑𝑦
En donde
𝑑𝐴
𝑑𝑦
= 𝑇 ==> 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙. D=A/T profundidad hidráulica.
𝑑𝐸
𝑉 2𝑇
𝑉2
=1−
=1−
𝑑𝑦
𝑔𝐴
𝑔𝐷
En el estado crítico de flujo la energía es mínima, dE/dy=0, por consiguiente se obtiene que:
𝑉2 𝐷
=
2𝑔 2
Este es el criterio para flujo crítico, el cual establece que en el estado crítico del flujo la altura es igual a la mitad de la
profundidad hidráulica. (O sea que es representado por F=1).
Este criterio es válido solo si y solo si:
1. El flujo es paralelo o gradualmente variado.
2. Canal con pendiente baja.
3. Coeficiente de energía supuesto igual a 1.
MOMENTUM DEL FLUJO EN CANALES ABIERTOS (CANTIDAD DE MOVIMIENTO)
Donde:
P1, P2: fuerzas resultantes
w: peso del agua contenida entre las secciones 1 y 2.
Ff= fuerza de fricción y de resistencias totales
extremas.
𝑦: Profundidad media.
𝑝1 = 𝛾 𝑧1 𝐴1
𝑝2 = 𝛾 𝑧2 𝐴2
𝑧1 ; 𝑧2 : 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑎 𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜𝑖𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒
𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑚𝑜𝑗𝑎𝑑𝑎𝑠 𝐴1 𝑦 𝐴2
𝐹𝑓 = ∫ 𝜏 𝑃 𝑑𝐿
El momentum del flujo pasante a través de una sección del canal por unidad de tiempo se expresa por:
Donde 𝛽 es el coeficiente de momentum
𝑤𝑄𝑉
𝛽
w es el peso unitario del agua
𝑔
De acuerdo a la segunda ley de Newton, el cambio en la cantidad de movimiento por unidad de tiempo en el cuerpo
de agua del canal es igual a la resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es decir:
∑ 𝐹𝑋 = 𝜌 𝑄 (𝑉2 − 𝑉1 )
𝑝1 − 𝑝2 + 𝑊 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝐹𝑓 = 𝜌 𝑄 (𝛽2 𝑉2 − 𝛽1 𝑉1 )
𝑭ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒈𝒆𝒏𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝑤
}
𝑝1 − 𝑝2 + 𝑊 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 𝐹𝑓 = 𝑄 (𝛽2 𝑉2 − 𝛽1 𝑉1 ) 𝒄𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒎𝒐𝒗𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐
𝑔
𝛽1 ; 𝛽2 : Son factores de corrección.
La energía es una cantidad escalar, contiene un término de perdidas internas.
El momentum es una cantidad vectorial, contiene un término para la resistencia externa.
FUERZA ESPECÍFICA
Al aplicar el principio de Cantidad de Movimiento a un tramo horizontal corto de un canal prismático pueden ignorarse
los efectos de fuerzas externas de fricción y del peso del agua.
Luego Ɵ=0 y Ff=0 y suponiendo que los coeficientes de cantidad de movimiento son iguales a 1, la ecuación general
de la cantidad de movimiento se convierte en:
𝑄𝑤
(𝑉2 − 𝑉1 ) = 𝑝1 − 𝑝2
𝑔
Las fuerzas hidrostáticas P1 y P2 pueden expresarse como:
𝑝1 = 𝑤 𝑧1 𝐴1
𝑝2 = 𝑤 𝑧2 𝐴2
Castro, Ignacio - 55
Y teniendo en cuenta que Q=V.A, la ecuación de cantidad de movimiento se puede expresar como:
𝑄2
𝑄2
+ 𝑧1 𝐴1 =
+ 𝑧2 𝐴2
𝑔𝐴1
𝑔𝐴2
Generalizando la fuerza específica puede ser expresada como:
En donde el primer término de la derecha es el
𝑄2
𝐹=
+𝑧𝐴
Momentum fluido pasante a través de la sección. Y el
𝑔𝐴
segundo es la fuerza por unidad de peso del agua.
Para un valor mínimo de la fuerza específica, la primera derivada de F con respecto a “y” debe ser igual a cero:
𝑑𝐹
𝑄2 𝑑𝐴 𝑑(𝑧 𝐴)
=− 2
+
=0
𝑑𝑦
𝑔𝐴 𝑑𝑦
𝑑𝑦
Para un cambio dy en la profundidad, el cambio correspondiente a 𝑑(𝑧 𝐴) en el momento estático del área mojada
alrededor de la superficie libre es igual a:
(𝑑𝑦 2 )
𝑑𝐹
𝑄2 𝑑𝐴
[𝐴 (𝑧 + 𝑑𝑦) + 𝑇
]−𝑧𝐴
=− 2
+𝐴 = 0
2
𝑑𝑦
𝑔𝐴 𝑑𝑦
Como dA/dy=T, Q/A=V y AT=D, lo cual permite despejar, que:
𝑉2
2𝑔
=
𝐷
2
Dado E2 posibles profundidades y1; y2´.
Dado F2 posibles profundidades y1; y2.
𝑦2 ´ > 𝑦2 ==> 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒
Para mantener un valor constante de F, la profundidad de flujo debe cambiar de y 1 a y2 perdiendo cierta energía ∆𝐸.
Ej. El resalto hidráulico.
RESALTO HIDRÁULICO
Un salto hidráulico es un fenómeno en el cual un fluido que circula en un
estado supercrítico abruptamente sufre una transición a un estado
subcrítico. Las condiciones de borde aguas arriba y aguas abajo dictaran
su fuerza lo mismo que su ubicación.
FLUJO CRÍTICO SU CÁLCULO Y APLICACIONES
El estado crítico del flujo a través de una sección de canal se caracteriza por varias condiciones importantes, a saber:
1. La energía específica es mínima para un caudal determinado.
2. El caudal es máximo para una determinada energía específica.
3. La fuerza específica es mínima para un caudal determinado.
4. La altura de velocidad es igual a la mitad de la profundidad hidráulica en un canal de pendiente baja.
5. El número de Froude es igual a la unidad.
6. La velocidad de flujo en un canal de baja pendiente con distribución uniforme de velocidades es igual a la
celeridad de pequeñas ondas gravitatorias en aguas poco profundas causadas por perturbaciones locales.
La pendiente de un canal que mantiene un determinado caudal con una profundidad uniforme y crítica se conoce
como pendiente crítica (Sc).
Una pendiente menor que la crítica producirá un flujo más lento de naturaleza subcrítica para el caudal determinado
(pendiente suave o subcrítica).
Una pendiente mayor que la crítica producirá un flujo más rápido de naturaleza supercrítica. Para el cálculo del flujo
crítico:
𝑉2
𝑄2
𝑄2
=
==>
= 𝐷 𝐴2
2 𝑔 2𝑔 𝐴2
𝑔
𝑄
𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒
= 𝐴 √𝐷 = 𝑍
𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛
√𝑔
Cuando el coeficiente de energía 𝛼 ≠ 1 ==> 𝑍 =
𝑄
𝑔
√𝛼
El factor de sección para el cálculo del flujo crítico, es función de un único valor de profundidad, la ecuación indica
que solo existe un caudal capaz de mantener el flujo crítico y que a su vez hace crítica la profundidad en una
determinada sección del canal.
Castro, Ignacio - 56
XII. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; CONCEPTOS Y CÁLCULOS DEL FLUJO UNIFORME
CARACTERÍSTICAS DEL FLUJO UNIFORME
Generalmente se considera que en flujo uniforme se dan las siguientes características:
1. La profundidad, el área mojada, la velocidad y el caudal son constantes.
2. La línea de energía, la superficie del agua y el fondo del canal son paralelos, es decir sus pendientes son
iguales (Sf=Sw=S0=S).
3. A los fines prácticos se considera que la velocidad media permanece constante.
4. Por otra parte, en canales abiertos, se considera que el flujo uniforme es sólo permanente, debido a que el
flujo uniforme no se da en condiciones naturales.
ESTABLECIMIENTO DEL FLUJO UNIFORME
Cuando el flujo ocurre en un canal abierto, el agua encuentra resistencia a medida que fluye hacía aguas abajo.
Está resistencia por lo general es contrarrestada por las componentes de fuerzas gravitacionales.
Un flujo uniforme se desarrollará si la resistencia se balancea con las fuerzas gravitacionales. La magnitud de la
resistencia cuando otros factores físicos permanecen constantes, depende de la velocidad del flujo.
Cuando el agua fluye por un canal abierto se pueden distinguir tres zonas:
 Zona Transitoria (aguas arriba): flujo acelerado y variado, si el canal es más corto que la longitud de
transición requerida no puede desarrollarse el flujo uniforme (predominio de fuerzas gravitacionales sobre
resistencia)
 Zona Flujo Uniforme: La velocidad y la resistencia se incrementan de manera gradual hasta alcanzar un
balance entre las fuerzas de resistencia y de gravedad.
 Zona transitoria (aguas abajo): Las fuerzas gravitatorias exceden a la resistencia llevando al flujo a condición
de flujo variado.
Pendiente Subcrítica: el agua en la zona transitoria aparece
fluctuante, el flujo uniforme se da en el tramo medio del canal
pero variado en los extremos.
Pendiente Crítica: la superficie del agua del flujo crítico es
inestable. En el tramo intermedio pueden ocurrir ondulaciones
pero en promedio la profundidad es constante y el flujo puede
ser considerado uniforme.
Pendiente Supercrítica: la superficie del agua transitoria pasa
del nivel subcrítico al nivel supercrítico a través de una caída
hidráulica gradual.
Castro, Ignacio - 57
La profundidad del flujo uniforme se conoce como profundidad normal (L.P.N ó yn).
La longitud de la zona transitoria depende del caudal y de las condiciones físicas del canal, como la condición de
entrada, la forma, la pendiente y rugosidad.
Desde el punto de vista hidrodinámico, la longitud de la zona de transición no debería ser menor que la longitud
requerida para el desarrollo completo de la capa límite bajo las condiciones dadas.
EXPRESIONES DE VELOCIDAD EN FLUJO UNIFORME:
Ecuación de Chézy
Para los cálculos hidráulicos la velocidad media de un flujo uniforme turbulento en canales abiertos por lo general se
expresa aproximadamente por la ecuación de flujo uniforme. Toma la siguiente forma:
Donde:
𝑉 = 𝐶√𝑅 𝑆
V: velocidad media.
R: Radio hidráulico
S: Pendiente de la línea de energía.
C: Factor de resistencia al flujo, conocido como C de
Chézy.
La ecuación de Chézy puede deducirse matemáticamente a partir de dos suposiciones:
1. La fuerza que resiste al flujo por unidad de área del lecho de la corriente es proporcional al cuadrado de la
velocidad.
Donde:
𝐹𝑓 = 𝐾 𝑉 2 𝑃 𝐿
𝐾 𝑉 2 : Fuerza unitaria (K constante de proporcionalidad)
𝑃 𝐿: Superficie en contacto con el flujo de agua
2. Es el principio básico del flujo uniforme, este establece que en flujo uniforme la componente efectiva de la
fuerza gravitacional que causa el flujo debe ser igual a la resistencia total.
𝑤 𝐴 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 𝑤 𝐴 𝐿 𝑆 Donde:
S= sen Ɵ
w= peso unitario del agua.
𝑤 𝐴 𝐿 𝑆 = 𝐾 𝑉2 𝑃 𝐿
Si A/P=R y si w/K=C
𝑤 𝐴
𝑉 = √( ) ( ) 𝑆 ==> 𝑉 = 𝐶√𝑅 𝑆
𝐾 𝑃
Ecuación de Manning
Para un flujo incompresible a régimen permanente con profundidad constante en un canal prismático, se emplea la
fórmula de Manning, la cual se obtiene a partir de la fórmula de Chézy:
Donde Cm=1 para SI y 1,49 para USC
𝐶𝑚 1
𝐶𝑚 2 1
𝐶=
𝑅6
𝑉=
𝑅3 𝑆 2
V; velocidad promedio de la sección transversal.
𝑛
𝑛
R; el radio hidráulico de la sección.
S; inclinación del fondo del canal.
n; coeficiente de rugosidad de Manning
𝑄=
2 1
𝐶𝑚
𝐴 𝑅3 𝑆 2
𝑛
Factores que afectan el coeficiente de Manning
El valor “n” es muy variable y depende de un cierto número de factores, los cuales a menudo se encuentran
interrelacionados. Entre estos los factores se pueden citar:
A. Rugosidad Superficial: Representa el tamaño y forma de los granos de material que forman el perímetro
mojado y producen un efecto retardador del flujo. (Puede ser susceptible a la profundidad)
B. Vegetación: Es una clase de rugosidad superficial, reduciendo de manera notable la capacidad del canal y
retardando el flujo.
C. Irregularidades del canal: Irregularidades del perímetro mojado y variaciones en la sección transversal,
tamaño y forma de ésta a lo largo del canal.
D. Alineamiento del canal: Curvas suaves producen valores de n relativamente bajos, en tanto que curvas
bruscas con meandros severos incrementan el valor n.
E. Sedimentación y socavación: En general la sedimentación puede disminuir el n, mientras que la socavación lo
aumenta.
F. Obstrucción: Actúan incrementando el n de la sección.
Castro, Ignacio - 58
G. Tamaño y forma del canal: no lo afecta de manera importante.
H. Nivel y Caudal: En la mayor parte de las corrientes el valor de n disminuye con el aumento del nivel y caudal
(no siempre).
I. Cambio estacional.
J. Material en suspensión y carga de lecho: Estos consumen energía y causan una perdida de altura e
incrementan la rugosidad aparente del canal.
Como guía general para escoger el valor del coeficiente de rugosidad, debe aceptarse que las condiciones que tiendan
a introducir turbulencia y causar retardo incrementara el valor de n y aquellos que tiendan a reducir turbulencias y
disminuir el retardo disminuirán el valor de n. Cowan desarrollo un procedimiento para estimar el valor de n, el cual
establece que:
𝑛 = (𝑛0 + 𝑛1 + 𝑛2 + 𝑛3 + 𝑛4 ) 𝑚5
Donde:
n0: es un valor básico de n para un canal recto, uniforme y liso.
n1: es un valor que debe agregarse para corregir el efecto de rugosidad superficial.
n2: considera las variaciones de forma y tamaño de la sección transversal.
n3: considera las obstrucciones que puedan existir.
n4: considera la vegetación y condiciones del flujo.
m5: es un factor de corrección por efectos de meandros.
Conductividad de una sección de Canal
El caudal del flujo uniforme en un canal puede expresarse como el producto de la velocidad y el área mojada:
𝑄 = 𝑉 𝐴 = 𝐶 𝐴 𝑅𝑥 𝑆𝑦 = 𝐾 𝑆𝑦
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐾 = 𝐶 𝐴 𝑅 𝑥
K: conductividad de la sección del canal, es una medida de la capacidad de transporte, debido a que es directamente
proporcional a Q.
Cuando se emplea la ecuación de Manning o la ecuación de Chézy como ecuación de flujo uniforme, es decir, cuando
y=1/2, el caudal se convierte en:
𝑄
𝑄 = 𝐾 √𝑆
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐾 =
√𝑆
1
Si se empleó la ecuación de Chézy la conductividad adopta la siguiente expresión: 𝐾 = 𝐶 𝐴 𝑅 2
2
Si se empleó la ecuación de Manning la conductividad se convierte en: 𝐾 =
𝐴 𝑅3
𝑛
El Factor de Sección en Flujo Uniforme
La expresión AR2/3 se conoce como factor de sección para el cálculo de flujo uniforme, y es un elemento importante
en el cálculo de flujo uniforme.
2
A partir de  𝐾 =
𝐴 𝑅3
𝑛
2
Este factor puede expresarse como: 𝐴 𝑅 3 = 𝑛 𝐾
Y a partir de 𝐾 =
𝑄
√𝑆
Se obtiene que el factor de sección es igual a:
2
𝐴 𝑅3 =
𝑛𝑄
√𝑆
Por consiguiente la ecuación muestra que para una determinada condición de n, Q y S, existe solo una profundidad
posible para mantener flujo uniforme siempre y cuando AR2/3 aumente con incrementos en la profundidad. Esta
profundidad es la profundidad normal. Cuando en una sección se conocen n y S, puede verse que existe un solo
caudal para mantener el flujo uniforme, siempre y cuando este aumente con un incremento de la profundidad (Caudal
Normal).
FLUJO EN UNA SECCIÓN DE CANAL CON RUGOSIDAD COMPUESTA
En canales simples, la rugosidad a lo largo del P, puede ser muy diferente en distintas partes del mismo, pero la
velocidad media aun puede calcularse a partir de la ecuación de flujo uniforme sin subdividir la sección.
Al aplicar la ecuación de Manning a tales canales, algunas veces se necesita el empleo de un valor de “n” equivalente
para el P completo y utilizarlo en toda la sección.
Castro, Ignacio - 59
Para determinar la rugosidad equivalente, el área mojada se divide en N partes para cada una de las cuales se
conocen los P1, P2…PN y los coeficiente n1,n2…nN:
V1=V2=…=VN
Iguales fuerzas de Fricción
Q1=Q2=…=QN
A menudo se encuentra que los canales laterales son más rugosos que el canal principal, luego la velocidad media en
el canal principal es mayor que en los canales laterales.
En tal caso, la ecuación de Manning puede aplicarse por separado a cada subsección, por consiguiente el caudal total
es igual a la suma de estos canales parciales y la velocidad media es igual al caudal total dividido el área mojada.
Debido a las diferencias que existen entre las velocidades de las subsecciones, los coeficientes de distribución de
velocidades de la sección completa son diferentes de aquellos de las subsecciones.
De la expresión anterior se obtiene que la velocidad media de la sección es igual a:
Si se incorpora este término a los coeficientes de distribución de velocidades𝛼 𝑦 𝛽 (Boussinesq) se obtienen estos
términos para la sección total.
Castro, Ignacio - 60
XIII. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; TEORÍA Y ANÁLISIS DEL FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
SUPOSICIONES BÁSICAS
Se supone que el flujo gradualmente variado, es el flujo permanente cuya profundidad varía de manera gradual a lo
largo del canal. Esta definición establece dos condiciones:
1. El flujo es permanente, es decir, las características hidráulicas de flujo permanece constante para el intervalo
de tiempo bajo consideración.
2. Las líneas de corriente son paralelas, es decir, prevalece la distribución hidrostática de presiones sobre la
sección del canal.
Todas las teorías desarrolladas para explicar matemáticamente el comportamiento del flujo gradualmente variado,
giran alrededor de las siguientes suposiciones básicas:
A. La pérdida de altura en una sección es la misma que para un flujo uniforme que tiene la velocidad y el radio
hidráulico de la sección.
De acuerdo a esta suposición, la ecuación de flujo uniforme puede utilizarse para evaluar la pendiente de energía
de un flujo gradualmente variado en una sección de canal determinada y el correspondiente coeficiente de
rugosidad desarrollado en principio para flujo uniforme se aplica al flujo variado.
B. La pendiente del canal es baja, esto significa que:
1. La profundidad de flujo es la misma sin importar si se utiliza la dirección vertical o normal al fondo del canal.
2. El factor de corrección de presiones cos Ɵ. (aplicado a la profundidad de la sección de flujo; h=d.cos Ɵ), es
igual a la unidad.
3. No se produce atrapamiento de aire.
C. El canal es prismático; es decir, que el canal presenta un cierto alineamiento y forma constante.
D. La distribución de velocidades en la sección del canal es fija. Luego los coeficientes de distribución de velocidades
(𝛼 𝑦 𝛽) constantes.
E. La conductividad K (AR2/3) y el factor de sección Z son funciones exponenciales de la profundidad de flujo.
F. El coeficiente de rugosidad es independiente de la profundidad de flujo y constante a través del tramo del canal
bajo consideración.
ECUACIÓN DINÁMICA DE FLUJO GRADUALMENTE VARIADO
Considérese el perfil de flujo gradualmente variado en la longitud elemental dx de un canal abierto:
𝑉2
𝐻 = 𝑧 + 𝑑 cos 𝜃 + 𝛼
2𝑔
Donde:
H: es la altura total de energía.
z: es la distancia vertical del fondo del canal del nivel de
referencia.
d: es la profundidad de la sección de flujo.
: es el ángulo de la pendiente del fondo.
: coeficiente de velocidad.
V: velocidad media del flujo.
En un FGV hay que analizar la variación de la profundidad
H con la distancia x.
Suponemos a 𝜃 𝑦 𝛼 como constantes:
𝑑𝐻 𝑑𝑧
𝑑𝑑
𝛼 𝑑𝑉 2
=
+ cos 𝜃
+
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑥 2𝑔 𝑑𝑥
La pendiente se define como el seno del ángulo de la
pendiente y se supone que es positiva si desciende en la
dirección del flujo y negativa si asciende. Por consiguiente,
en la figura, la pendiente de energía Sf=-dH/dx; y la
pendiente del fondo del canal es So=sen Ɵ=-dz/dx.
Sustituyendo:
𝑑𝑑
𝛼 𝑑𝑉 2
−𝑆𝑓 = −𝑆0 + cos 𝜃
+
(1)
𝑑𝑥 2𝑔 𝑑𝑥
Castro, Ignacio - 61
𝑃𝑎𝑟𝑎 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜𝑠: cos 𝜃 ≈ 1 ; 𝑑 ≈ 𝑦 ==>
Para representar el cambio de altura de V, al término
1 𝑑𝑉 2
2𝑔 𝑑𝑥
𝑑𝑑 𝑑𝑦
≈
; 𝛼≈1
𝑑𝑥 𝑑𝑥
lo derivamos respecto a la variable intermedia y:
𝑑 𝑉 2 𝑑𝑦
( )
𝑑𝑦 2 𝑔 𝑑𝑥
Reemplazando en (1):
−𝑆𝑓 = −𝑆0 +
𝑑𝑦 𝑑 𝑉 2 𝑑𝑦
𝑑𝑦
𝑑 𝑉2
+
( )
==> −𝑆𝑓 = −𝑆0 +
(1 +
( ))
𝑑𝑥 𝑑𝑦 2 𝑔 𝑑𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦 2𝑔
𝑆0 −𝑆𝑓
𝑑𝑦
𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙
=
𝑑𝑥 1 + 𝑑 ( 𝑉 2 )
𝑑𝑒𝑙 𝐹𝐺𝑉
𝑑𝑦 2 𝑔
A su vez:
𝐹=
𝑧 = 𝐴√𝐷
𝑧𝑐 =
𝑄
√𝑔
𝑉
√𝑔 𝐷
=
𝑄
𝐴 √𝑔 𝐷
==>
𝑄2
𝑧𝑐2
=
𝐴2 𝑔 𝐷
𝑧2
: 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑄 𝑦 𝑎 𝑦𝑐
𝑑 𝑉2
1 𝑑 𝑄2
𝑄2 𝑑 1
( )=
( 2) =
( )
𝑑𝑦 2 𝑔
2 𝑔 𝑑𝑦 𝐴
2 𝑔 𝑑𝑦 𝐴2
=−
𝑄 = 𝑐𝑡𝑒
𝐴 = 𝑓(𝑦)
𝑑𝐴
=𝑇
𝑑𝑦
𝑄2 1 𝑑𝐴
𝑄2 𝑇
1
1
𝑧𝑐2
𝑧𝑐
2
2
=
−
=
−𝑧
=
−𝑧
==>
−
= −𝐹 2 ==> 𝐹 =
𝑐 𝐴
𝑐
3
3
2
2
𝑔 𝐴 𝑑𝑦
𝑔 𝐴
𝐷𝐴
𝑧
𝑧
𝐴2
𝑇
En resumen:
𝑆0 −𝑆𝑓
𝑑𝑦
(2)
=
𝑧𝑐 2
𝑑𝑥
1−( )
𝑧
𝑄 2
𝐾
Ahora podemos expresar Sf en términos de la conductividad K 𝑆𝑓 = ( )
𝑄 2
)
𝐾𝑛
En el flujo uniforme: So=Sw=Sf=S 𝑆𝑜 = (
Así:
Reemplazando en (2):
𝐾𝑛: 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝐹𝑉 𝑐𝑜𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑦𝑎
𝑆𝑓 𝑘𝑛2
𝑘𝑛 2
= 2 ==> 𝑆𝑓 = 𝑆𝑜 ( )
𝑆𝑜
𝑘
𝑘
𝑘𝑛 2
1 − ( ) 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎
𝑑𝑦
𝑘
= So
𝑧𝑐 2
𝑑𝑒𝑙 𝐹𝐺𝑉
𝑑𝑥
1 − (𝑧)
CARACTERÍSTICAS DE LOS PERFILES DE FLUJO
Se supone que los valores de K y Z se
incrementan
o
disminuyen
continuamente con la profundidad y.
El perfil del flujo representa la curva de
la superficie del flujo. Representará una
curva de remanso si la profundidad se
incrementa en la dirección del flujo, y
una curva de caída si la profundidad
disminuye en la dirección del flujo.
La ecuación dinámica de flujo gradualmente variado,
expresa la pendiente de la superficie longitudinal del
flujo con respecto al fondo del canal. Por consiguiente
puede utilizarse para describir las características de
varios perfiles de flujo o perfiles de la superficie de
agua del flujo.
Cuando la superficie del agua es paralela al fondo del canal dy/dx=0, por lo que 1-(Kn/K)²=0 o y = yn, lo cual indica
un flujo uniforme.
 El flujo es uniforme crítico si y=yn=yc;
 El flujo es uniforme subcrítico si y=yn>yc;
 El flujo es uniforme supercrítico si yc>yn=y;
En un canal de pendiente horizontal S0=0; Kn=oo ó yn=oo.
Como 𝑘𝑛 √𝑆𝑜 = 𝑄, la ecuación dinámica de flujo gradualmente variado puede expresarse como:
𝑑𝑦
=
𝑑𝑥
𝑄 2
(𝐾)
𝑧
2
1 − ( 𝑧𝑐)
Aspectos importantes a tener en cuenta:
A. Discontinuidad en el perfil de flujo. Cuando y=yc, dy/dx=oo, es decir que el perfil debe ser vertical al cruzar la
línea de profundidad crítica (pudiéndose generar un resalto o una caída).
B. Comportamiento del perfil de flujo en profundidades específicas. Cuando y=00, dy/dx=S0, es decir; que la
superficie de flujo es horizontal.
y=yn, dy/dx=0, es decir, la superficie de flujo es paralela al fondo del canal, esto significa que el flujo es
uniforme.
y=yc, puede ocurrir un resalto hidráulico o una caída hidráulica en el perfil del flujo.
y=yn=yc  el flujo es uniforme y crítico.
C.
Puntos de inflexión en el perfil del flujo: Cuando y=0, parece producir una forma intermedia dy/dx=oo/oo.
Para un caudal y unas condiciones de canal determinadas las líneas de profundidad normal y las líneas de profundidad
dividen el espacio de un canal en tres zonas:
 Zona 1: el espacio por encima de la línea superior.
 Zona 2: el espacio entre dos líneas.
 Zona 3: el espacio por debajo de la línea inferior.
Luego los perfiles pueden clasificarse en trece tipos diferentes de acuerdo a la naturaleza de la pendiente del canal.
Donde la letra describe la pendiente:
 H: Horizontal.
 M: Suave (Subcrítica)
 C: Crítica
 S: Empinada (Supercrítica)
 A: Adversa
Pendiente del
canal
Horizontal
So=0
Suave
0<So<Sc
Relación de y con yn y
yc
Designación
Zona 1
Zona 2
Zona 3
Ninguno
H2
H3
M1
M2
M3
C1
Crítica
So=Sc>0
C2
C3
Empinada
So>Sc>0
Adversa
So<0
S1
S2
S3
Ninguno
A2
A3
Zona 1
Zona 2
Zona 3
Tipo general
de curva
Tipo de flujo
y > yn > yc
Ninguno
Ninguno
yn > y > yc
Caída
Subcrítico
yn > yc < y
Remanso
Supercrítico
y > yn > yc
Remanso
Subcrítico
yn > y > yc
Caída
Subcrítico
yn > yc > y
Remanso
Supercrítico
y > yc = yn
Remanso
Subcrítico
yc = y = yn
Paralelo al fondo
del canal
Uniforme
crítico
yc = yn > y
Remanso
Supercrítico
y > yc > yn
Remanso
Subcrítico
yc > y > yn
Caída
Supercrítico
yc > yn > y
Remanso
Supercrítico
y > yn > yc
Ninguno
Ninguno
yn > y > yc
Caída
Subcrítico
yn > yc > y
Remanso
Supercrítico
Castro, Ignacio - 63
MÉTODOS DE CÁLCULO
El cálculo de los perfiles de flujo gradualmente variado involucra en esencia la resolución de la ecuación diferencial
para flujo gradualmente variado.
𝑘𝑛 2
1−(𝑘)
𝑑𝑦
= So
𝑧 2
𝑑𝑥
1 − ( 𝑧𝑐 )
Para tal fin existen tres métodos:
1. Método de Integración Gráfica.
2. Método de Integración Directa.
3. Métodos de Paso (Paso Directo)
Castro, Ignacio - 64
Métodos de Cálculo: Método Integración Gráfica
Este método tiene como objetivo integrar la ecuación dinámica del flujo gradualmente variado mediante un
procedimiento gráfico.
Considérese 2 secciones de canal localizadas a una distancia x 1 y x2 respectivamente desde un origen escogido y con
las profundidades y1 e y2 correspondientes. La distancia a lo largo del canal es:
Suponga varios valores de “y” y calcule los valores
correspondientes de dx/dy, el cual es reciproco a la
ecuación de flujo gradualmente variado.
Luego se construye una curva de y contra dx/dy.
De acuerdo con la ecuación de x, es claro que el valor de x
es el área sombreada formada por la curva, el eje y y las
ordenadas dx/dy, correspondientes a y1 e y2.
Métodos de Cálculo: Método Integración Directa
La ecuación diferencial de flujo gradualmente variado no puede expresarse explícitamente en términos de y para
todos los tipos de secciones transversales de canal, por consiguiente una integración directa y exacta es casi
imposible.
Métodos de Cálculo: Método del Paso Directo
En general un método de paso se caracteriza por dividir el canal en tramos cortos y
llevar a cabo los cálculos paso a paso desde un extremo del tramo hasta el otro.
Tómese un tramo corto ∆𝑥. Al igualar las alturas totales en los extremos de la sección 1 y 2, puede escribirse lo
siguiente:
Al resolver para x:
Donde E es la energía específica. Y suponiendo que los
coeficientes de velocidad son iguales:
Castro, Ignacio - 65
Castro, Ignacio - 66
XIV. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; DISEÑO DE CANALES
CANALES NO EROSIONABLES
Son aquellos revestidos con un material resistente a la acción erosiva. La mayor parte de los canales artificiales
revestidos pueden resistir la acción erosiva de manera satisfactoria.
En el diseño de canales no erosionables, factores como la velocidad permisible máxima y la fuerza tractiva (tensión de
corte) no hacen parte del criterio de diseño a considerar.
El diseñador simplemente calcula las dimensiones del canal mediante la ecuación de flujo uniforme y luego decide
acerca de las dimensiones finales con base a la eficiencia hidráulica o reglas empíricas de sección óptima.
Los factores que se consideran en el diseño del canal son:
1. Clase del material que conforma el cuerpo del canal, el cual, determina el coeficiente de rugosidad.
2. La velocidad mínima permisible, la cual, evita el depósito de sedimentos.
3. La pendiente del fondo del canal y las pendientes laterales.
4. El borde libre.
5. La sección más eficiente (Hidráulica o Empírica)
Material y revestimientos no erosionables: Concreto, Mampostería, Acero, Hierro fundido, vidrio, etc.
Propósito:
1. Evitar la erosión.
2. Prevenir perdidas por infiltración.
Velocidad Mínima Permisible:
Es la menor velocidad que no permite el inicio de la sedimentación y no induce al crecimiento de plantas acuáticas y
musgos. En general se adoptan valores medios de 0,60 ~ 1,00 [m/s]
Pendientes del Canal:
La pendiente longitudinal por lo general está dada por la topografía y por la altura de energía requerida para el flujo
de agua.
Las pendientes laterales dependen principalmente de la clase de material, el método constructivo, la condición de
pérdidas por infiltración, los cambios climáticos, el tamaño del canal, etc.
Borde Libre:
Es la distancia vertical desde la parte superior del canal hasta la superficie del agua en la condición de diseño. Está
longitud debe ser lo suficientemente grande para prevenir que ondas o fluctuaciones del agua causen rebases por
encima de los lados.
En el diseño es común el uso de bordes libres que varían desde menos del 5% a más del 30% de la profundidad del
flujo.
El borde libre de un canal “no revestido” por lo general, estará gobernado por consideraciones de tamaño y
localización del canal, caudal de excedentes pluviales entrantes, fluctuaciones de nivel freático, acción del viento etc.
El U.S Bureau or Reclamation recomienda que las estimaciones preliminares de borde libre requerido bajo condiciones
ordinarias se haga de acuerdo a:
Donde:
𝐹 = √𝐶 𝑦
F: es la altura del borde libre.
y: La profundidad del canal.
C: 1,5 para Q=0,60 [m³/s] a 2.5 para Q= 85 [m³/s]
Sección hidráulica óptima:
La conductividad de una sección se incrementa con el aumento del radio hidráulico o la disminución en el perímetro
mojado.
Desde un punto de vista hidráulico, por consiguiente, la sección de canal que tenga el menor perímetro mojado para
un área determinada tiene la máxima conductividad, tal sección se conoce como “sección hidráulica óptima”.
Calculo de las dimensiones de la sección:
1. El cálculo de las dimensiones de la sección para canales no erosionables incluye los siguientes pasos:
2. Recolectar toda la información necesaria, estimar valores típicos de n y seleccionar la pendiente del fondo S.
3. Calcular el factor de sección AR2/3 mediante la ecuación de Manning.
Castro, Ignacio - 67
4. Sustituir los valores de A y R de acuerdo al tipo de sección y resolver para la profundidad (prueba y error,
etc.).
5. Si directamente se requiere la sección hidráulica óptima, sustituya en la ecuación de Manning las expresiones
de A y R y resuelva para la profundidad.
6. Empleo de otras fórmulas empíricas, para el diseño de los canales.
7. Verificación de la velocidad mínima permisible si el agua presenta carga de material en suspensión.
8. Añadir el borde libre apropiado a la profundidad de la sección.
CANALES EROSIONABLES
La ecuación de flujo uniforme la cual es apropiada para el diseño de canales no erosionables, no da una condición
suficiente para el diseño de canales erosionables.
Esto se debe a que la estabilidad de los canales erosionables, la cual gobierna el diseño, depende principalmente de
las propiedades del material que forma el cuerpo del canal más que de la hidráulica del flujo.
Sólo después de que se obtiene una sección estable para el canal erosionable, puede utilizarse la ecuación de flujo
uniforme para calcular la velocidad del flujo y el caudal.
Los métodos de cálculo de este tipo de canales se basan en Métodos de Aproximaciones Sucesivas, a saber:
1. Método de la velocidad permisibleUSA
2. Método de la fuerza tractiva (Tensión de corte) Europa
Velocidad Máxima Permisible:
Es la mayor velocidad promedio que no causara erosión en el cuerpo del canal. En general, los canales antiguos
permiten velocidades más altas que los nuevos, debido a que un lecho antiguo se encuentra mejor estabilizados, en
particular con la sedimentación de material coloidal.
Método de la Velocidad Máxima Permisible:
A partir del criterio de VMP, el procedimiento de diseño para una sección de canal, con forma supuestamente
trapezoidal consiste en:
1. Para la clase determinada de material que conforma el cuerpo del canal estimar el coeficiente de rugosidad
“n”, la pendiente del talud lateral (z) y la velocidad máxima permisible.
2. Calcular R a partir de la ecuación de Manning.
3. Calcular el área mojada requerida para el caudal y la velocidad permisible estimar A=Q/V
4. Calcular P=A/R
5. Utilizando las expresiones de A y P resolver simultáneamente para b e y.
6. Añadir el borde libre apropiado, y modificar la sección con el fin de hacer factible su construcción.
Fuerza Tractiva:
Cuando el agua fluye en un canal, se desarrolla una fuerza que actúa sobre el lecho de éste en la dirección del flujo.
Esta fuerza, la cual es simplemente el empuje del agua sobre el área mojada, se conoce como fuerza tractiva
(Cortante o de arrastre).
En un flujo uniforme, la fuerza tractiva es igual al componente efectivo de la fuerza gravitacional, que actúa sobre el
cuerpo de agua (wALS ó ƔALsenƟ).
𝜏𝑜 =
𝑤𝐴𝐿𝑆
=𝑤𝑅𝑆= 𝛾𝑅𝑆
𝑃𝐿
Donde:
S: pendiente del fondo.
P: perímetro mojado
y= profundidad
En un canal abierto lo suficientemente ancho R= y
𝜏𝑜 = 𝛾 𝑦 𝑆
La tensión de corte (𝜏𝑜 ), excepto en canales anchos no se encuentra distribuida de manera uniforme a lo largo del
perímetro mojado.
Castro, Ignacio - 68
Relación de Fuerzas Tractivas:
La relación de fuerza tractiva sobre una partícula de suelo que descanse en la pendiente lateral de una sección de
canal, en la cual se encuentra fluyendo agua, actúan dos fuerzas: la fuerza tractiva a 𝜏𝑠 , y la componente de fuerza
gravitacional 𝑊𝑠 𝑠𝑒𝑛 𝜙, la cual hace que la partícula ruede a lo largo de la pendiente lateral. La resultante de estas dos
fuerzas es:
Donde:
√𝑊𝑠 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜙 + 𝑎2 𝜏𝑠2
𝑎:Área efectiva de la partícula.
𝜏𝑠 : Fuerza tractiva unitaria en la pendiente del canal.
Ws=peso sumergido de la partícula.
𝜙: Ángulo de la pendiente lateral.
Cuando esta fuerza es lo suficientemente grande, la partícula se moverá.
A partir del principio de movimiento de fricción en mecánica, puede suponerse que cuando el movimiento es
inminente, la resistencia al movimiento de la partícula es igual a la fuerza que tiende a causar el movimiento. La
resistencia al movimiento de la partícula es igual a la fuerza normal 𝑊𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜙 multiplicada por el coeficiente de fricción
(𝑡𝑎𝑛 𝜃), donde 𝜃 es el ángulo de reposo. Luego:
𝑊𝑠 𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = √𝑊𝑠 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜙 + 𝑎2 𝜏𝑠2 (1)
Al resolver para la fuerza tractiva unitaria 𝜏𝑠 que causa el movimiento inminente en una superficie inclinada:
𝜏𝑠 =
𝑊𝑠
tan2 𝜙
𝑐𝑜𝑠 𝜙 𝑡𝑎𝑛 𝜃√1 −
𝑎
tan2 𝜃
(2)
Cuando el movimiento de una partícula sobre una superficie plana es inminente debido a la fuerza tractiva 𝑎 𝜏𝐿 ,
haciendo 𝜙 = 0 en (1):
𝑊𝑠 𝑡𝑎𝑛 𝜃 = 𝑎 𝜏𝐿
Al resolver para la fuerza tractiva unitaria 𝜏𝐿 que causa el movimiento inminente sobre una superficie plana:
𝑊𝑠
𝜏𝐿 =
𝑡𝑎𝑛 𝜃 (3)
𝑎
La relación de 𝜏𝑠 a 𝜏𝐿 se conoce como relación de fuerza tractiva, ésta es una relación importante para propósitos de
diseño. A partir de (2) y (3):
𝐾=
𝜏𝑠
tan2 𝜙
= cos 𝜙 √1 −
𝜏𝐿
tan2 𝜃
El factor de diseño es:
𝐾 = √1 −
tan2 𝜙
tan2 𝜃
Fuerza Tractiva Permisible:
Es la fuerza de corte unitaria máxima que no causa erosión significativa en el material que forma el lecho del canal en
una superficie plana (𝜏𝐶 tensión de corte crítica)
La determinación de ésta fuerza se basa en el tamaño de la partícula para materiales no cohesivos y en la
compactación o relación de vacíos para materiales cohesivos.
Castro, Ignacio - 69
CANALES DE PASTO
La presencia de pasto o vegetación en canales da como resultado una turbulencia considerable, lo cual significa
pérdidas de energía y retardo del flujo. Aunque su presencia puede ser ventajosa y conveniente, debido a que la
presencia del pasto estabiliza el cuerpo del canal, consolidando la masa de suelo del lecho y frena la erosión
superficial del canal.
Coeficiente de Retardo:
El coeficiente de Manning de rugosidad para canales de pasto se conoce específicamente como coeficiente de retardo.
La clasificación del coeficiente de retardo se basa en la clase de vegetación y la condición de crecimiento.
Velocidad Permisible:
Es aquella velocidad que evitará la erosión severa durante un periodo razonable de tiempo.
Castro, Ignacio - 70
ANEXO
Castro, Ignacio - 71
Castro, Ignacio - 72
TOP (TENTATIVO)
I. PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS.
1. Definición de fluido.
II. ESTÁTICA DE LOS FLUIDOS.
2. Presión en un punto.
3. Ecuación fundamental de la estática de los fluidos o hidrostática.
4. Fuerzas sobre superficies planas.
5. Componentes de fuerzas sobre superficies curvas.
6. Equilibrio relativo.
III. ECUACIONES BÁSICAS Y CONCEPTOS DE FLUJO EN FLUIDOS
7. Conceptos de sistema y volumen de control.
8. Ecuación de continuidad.
9. Ecuaciones de Euler.
10. La ecuación de Bernoulli.
11. Ecuación de energía.
12. Ecuación de momento de la cantidad de movimiento.
IV. ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD DINÁMICA.
13. Análisis de parámetros adimensionales.
V. FLUJO VISCOSO, TUBERÍAS Y CANALES.
14. Ecuaciones de Navier-Stokes.
15. Flujo laminar, incompresible a régimen permanente entre placas paralelas.
16. Relaciones para el esfuerzo de corte turbulento.
17. Flujo turbulento en conductos abiertos y cerrados.
VI. FLUJOS EXTERNOS.
18. Fuerza de corte y de presión. Arrastre sobre cuerpos sumergidos. Sustentación.
19. Conceptos de capa límite.
VII. FLUJO DE UN FLUIDO IDEAL
20. Condiciones para el flujo de un fluido ideal.
21. Flujo irrotacional; potencial de velocidad.
22. Funciones de corriente, la red de flujo. Flujo bidimensional.
VIII. MEDICIONES DE FLUIDOS
23. Medición de fluidos
IX. TURBOMAQUINARIA
24. Unidades homólogas, velocidad específica.
25. Teoría de las turbo máquinas.
X. FLUJO A RÉGIMEN PERMANENTE EN CONDUCTOS CERRADOS.
XI. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; PRINCIPIO DE ENERGÍA Y DE CANTIDAD DEMOVIMIENTO
26. Energía específica.
27. Energía del flujo en canales abiertos.
28. Cantidad de movimiento.
29. Fuerza especifica.
30. Flujo Crítico su cálculo y aplicaciones.
XII. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; CONCEPTOS Y CÁLCULOS DEL FLUJO UNIFORME
31. Establecimiento del flujo uniforme.
32. Las ecuaciones de Chezy y Manning.
XIII. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; TEORÍA Y ANÁLISIS DEL FLUJO GRADUALMENTEVARIADO
33. Suposiciones básicas y la ecuación del flujo gradualmente variado.
34. Características y clasificación de los perfiles del flujo gradualmente variado.
XIV. FLUJO EN CANALES ABIERTOS; DISEÑO DE CANALES
35. Diseño de canales revestidos y no revestidos.
Castro, Ignacio - 73
Castro, Ignacio - 74
PARCIALES
Castro, Ignacio - 75
Castro, Ignacio - 76
Castro, Ignacio - 77
Castro, Ignacio - 78
Castro, Ignacio - 79
Castro, Ignacio - 80
Castro, Ignacio - 81
Nota: 3° ejercicio: Ejemplo resuelto 4.5 del libro Potter (pág. 127 y 128)
Castro, Ignacio - 82