APUNTES DE MECÁNICA DE
MATERIALES I
MARZO – AGOSTO 2020
UNIDAD I: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES
PRESENTA
ING. GUILLERMO LOPEZ GONZALEZ
TITULAR DE ASIGNATURA
TIANGUISTENCO, MÉXICO, MARZO, 2020.
Basado en el libro “Mecánica de materiales”
Profesor James M. Gere and Barry J. Goodno,
Editorial CENGAGE Learning,7°E.
1
1. Esfuerzos y Deformaciones.
Los conceptos fundamentales en mecánica de materiales son el esfuerzo y deformación unitaria.
1.1. Esfuerzos por carga axial y cortante.
Cargas axiales
Cuando una barra isotrópica es estirada por una fuerza P, los esfuerzos son de tensión.
Figura 1: Barra prismática a tensión: a) Diagrama de cuerpo libre, b)
segmento de la barra antes de aplicar la carga, c) segmento de la barra
después de aplicar la carga, d) esfuerzos normales en la barra.
𝛔=
𝐏
𝐀
ecuación 1
Donde:
P= Carga axial
A=Área de la sección transversal
=Esfuerzo normal
Cuando la fuerza P es en sentido opuesto, los esfuerzos son a compresión.
Puesto que los esfuerzos actúan en dirección perpendicular a la superficie, se denominan esfuerzos
normales. Típicamente se designan valores positivos a los esfuerzos a tensión y negativos a
compresión.
Puesto que el esfuerzo normal  se obtiene dividiendo la fuerza axial entre el área de la sección
transversal, tiene unidades de fuerza por unidad de área.


Unidades Inglesas: Lb/plg2 ó psi (nota: 1ksi = 1000psi)
Unidades Internacionales: N/m2
NOTA: La ecuación 1 solo es válida si el esfuerzo está
uniformemente distribuido sobre la sección trasversal de la barra.
Esta condición se cumple si la fuerza axial P actúa en el centroide
del área de la sección transversal.
2
Para desarrollar las ecuaciones que constituyen las deformaciones por cargas axiales es necesario
expresar el esfuerzo norma en elementos infinitamente pequeños.
Figura 2: Elemento de esfuerzo normal: a) vista 3D b) vista
2D
Ejemplo 1
Un poste corto, construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de
compresión de 26 kips (figura 3). Los diámetros interior y exterior del tubo son d1=4.0in y d2=4.5in,
respectivamente. Determine el esfuerzo de compresión (no considere el peso del poste ni pandeo).
Figura 3: Poste hueco a compresión de aluminio.
Solución
Suponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo hueco, se puede emplear la
ecuación 1 para calcular el esfuerzo normal.
La fuerza P es igual a 26kips (26,000lb) y el área de la sección transversal es
𝜋
𝜋
𝐴 = (𝑑22 − 𝑑12 ) = [(4.5) 2 − (4.0)2 ] = 𝟑. 𝟑𝟑𝟖 𝒊𝒏𝟐
4
4
Por tanto, el esfuerzo a compresión es
𝜎=
𝑃 26,000 𝑙𝑏
=
= 𝟕, 𝟕𝟗𝟎 𝒑𝒔𝒊
𝐴 3.338 𝑖𝑛2
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
3
Ejemplo 2
Una barra circular de acero con longitud L y diámetro d cuelga en el tiro de una mina y en su extremo
inferior sostiene un balde con mineral y peso W (figura 4). a) obtenga una fórmula para el esfuerzo
máximo max en la barra, tomando en cuenta el peso de ésta. b) Calcule el esfuerzo máximo si L=40m
y d=8mm y W=1.5kN
Figura 4: Barra de acero soportando un peso W.
Solución
a) La fuerza axial máxima Fmax en la barra se tiene en el extremo superior y es igual al peso W del
balde con mineral más el peso Wo propio de la barra. Este último es igual al peso específico  del
acero por el volumen V de la barra.
𝑊𝑜 = 𝛾𝑉 = 𝛾𝐴𝐿
Donde A es el área de la sección transversal de la barra. Por tanto, la fórmula para el esfuerzo
máximo es.
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝐹𝑚𝑎𝑥
𝑊 + 𝛾𝐴𝐿 𝑾
=
= + 𝜸𝑳
𝐴
𝐴
𝑨
b) Para calcular el esfuerzo máximo, sustituimos los valores numéricos en la ecuación anterior. El
área de la sección anterior A es igual a d2/4, donde d= 8mm y el peso específico del acero es
77.0kN/m3. Por tanto.
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
1.5𝑘𝑁
+ (77.0𝑘𝑁/𝑚3 )(40𝑚) = 29.8𝑀𝑃𝑎 + 3.1 𝑀𝑃𝑎 = 𝟑𝟐. 𝟗𝑴𝑷𝒂
𝜋(8𝑚𝑚)2 /4
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
4
Cargas cortantes
Cuando un cuerpo experimenta una tendencia a ser cortado por la acción de una carga P se dice
que existe un esfuerzo cortante.
Figura 5: Conexión con perno en la que éste está sometido a
esfuerzo cortante.
La distribución real de los esfuerzos en el área de corte es difícil de determinar y por ello se supone
que existen uniformemente. Dicha suposición lleva a la siguiente ecuación.
𝛔𝒃 =
𝐏𝒃
𝐀𝒃
ecuación 2
Donde:
Pb= Fuerza de soporte total
Ab=Área de soporte
b=Esfuerzo de soporte promedio
Figura 6: Falla de un perno por cortante simple.
En mecánica de materiales se diferencian los esfuerzos cortantes de los normales mediante la
siguiente nomenclatura.
𝝉𝒑𝒓𝒐𝒎 =
𝐕
𝑨
Ecuación 3
Donde:
V=Fuerza cortante total
A=Área de la sección transversal
prom= Esfuerzo cortante promedio
Las unidades para esfuerzos cortantes son las mismas que para esfuerzos normales.


Unidades Inglesas: lb/plg2 ó psi (nota: 1ksi = 1000psi)
Unidades Internacionales: N/m2
5
NOTA: Normalmente existen fuerzas de fricción en sistemas de
esfuerzo cortante (apriete de tuercas) y parte de la carga es
soportada por ese apriete, pero como las fuerzas de fricción son
poco confiables, en la práctica se omiten para realizar cálculos
más conservadores.
Para desarrollar las ecuaciones que constituyen las deformaciones por cargas cortantes es necesario
expresar el esfuerzo cortante en elementos infinitamente pequeños.
Figura 7: Elemento de esfuerzo cortante.
Se podrá observar que el esfuerzo cortante 1 y su opuesto en la cara izquierda (-1) son claramente
identificados en el fenómeno del tornillo cortado de la figura 4; sin embargo, no son los únicos
cortantes existente en el elemento mostrado, existen cortantes en la parte superior (2) e inferior
(-2) del cubo que se oponen a los primeros cortantes. Estos segundos cortantes se generan de
manera natural y son responsables de equilibrar el sistema, de lo contrario el tornillo giraría.
Por lo anterior, se puede considerar 1 = 2 y -1 = -2
Cargas cortantes dobles
En cortante doble, cada una de las fuerzas de corta es igual a la mitad de la carga transmitida por el
perno; es decir, V=P/2.
Figura 8: Conexión con perno en la que éste está sometido a
esfuerzo cortante.
NOTA: Las ecuaciones expresadas son ejemplos de “cortantes
directos” en los cuales los esfuerzos se originan por la acción
directa de las fuerzas al tratar de cortar el material; sin embargo,
existen “cortantes indirectos” que se originan cuando un cuerpo
está
6 sometido a tensión, torsión y flexión.
Ejemplo 3
En la siguiente figura se muestra un punzón para hacer agujeros en placas de acero. Suponga que
se utiliza un punzón con un diámetro d=20mm para hacer un agujero en una placa de 8mm de
espesor, como se muestra en la vista transversal. Si se requiere de una fuerza P=110kN para hacer
el agujero, ¿Cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio
en el punzón?
Figura 9: Realización de un agujero con un punzón en una
placa de acero.
Solución
El esfuerzo cortante promedio en la placa se obtiene dividiendo la fuerza P entre el área cortante
de la placa. El área cortante As es igual a la circunferencia del agujero por el espesor de la placa, o.
La fuerza P es igual a 26kips (26,000lb) y el área de la sección transversal es
𝐴 = 𝜋𝑑𝑡 = 𝜋(2𝑚𝑚)(8𝑚𝑚) = 𝟓𝟎𝟐. 𝟕 𝒎𝒎𝟐
En donde d es el diámetro del punzón y t es el espesor de la placa. Por tanto, el esfuerzo cortante
promedio en la placa es
𝜏𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑃
110𝑘𝑁
=
= 𝟐𝟏𝟗𝑴𝑷𝒂
𝐴𝑠 502.7𝑚𝑚2
El esfuerzo de compresión promedio en el punzón es
𝜎𝑐 =
𝑃
𝐴𝑝𝑢𝑛𝑧ó𝑛
=
𝑃
110𝑘𝑁
=
= 𝟑𝟓𝟎𝑴𝑷𝒂
2
𝜋𝑑 /4
𝜋(20𝑚𝑚)2 /4
En donde Apunzón es el área de la sección transversal del punzón.
Nota: El análisis es muy idealizado ya que se ignoran los efectos del impacto que ocurre cuando se
penetra una placa con el punzón y cuya metodología va más allá del alcance de mecánica de
materiales.
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
7
Ejemplo 4
Un puntal S de acero transmite una fuerza de compresión P= 12k a la plataforma del muelle. El
puntal tiene una sección transversal hueca con espesor de pared t=0.375in y el ángulo con la base
es de 40°. El diámetro del pasador es de dpasador=0.75in y el del diámetro de los pernos de anclaje es
dperno=0.50in. Determine a) el esfuerzo cortante en los pasadores y b) los pernos de anclaje.
Figura 10: Conexión con pasador entre el puntal S y la placa
base B.
Solución
a) Como se observa en la figura, el pasador sufre 2 cortantes dobles y por ello la carga aplicada se
divide entre 4 diferentes planos.
𝜏𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟 =
𝑃
2
2𝜋𝑑𝑝𝑎𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟
/4
=
12𝑘
= 𝟏𝟑. 𝟔𝒌𝒔𝒊
2𝜋(0.75𝑖𝑛)2 /4
b) Los pernos de anclaje son 4 y la fuerza cortante debe ser horizontal al plano de corte; es decir, la
fuerza P se debe descomponer en su valor horizontal.
𝜏𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜 =
(12𝑘)(𝑐𝑜𝑠40°)
𝑃 𝑐𝑜𝑠40°
=
= 𝟏𝟏. 𝟕𝒌𝒔𝒊
2
4𝜋𝑑𝑝𝑒𝑟𝑛𝑜 /4 4𝜋(0.50𝑖𝑛)2 /4
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
8
1.2. Tipos de deformaciones por carga axial y cortante
Deformaciones por cargas axiales
Una barra sufre un aumento en su longitud cuando es cargada axialmente en tensión y un
acortamiento cuando es cargada axialmente en compresión.
El símbolo  representa el alargamiento o acortamiento de un elemento de longitud inicial L.
Para determinar la longitud que se deforma por cada unidad de medida se emplea el concepto de
deformación unitaria; es decir.
𝜹
𝜺=𝑳
ecuación 4
Donde:
= Deformación unitaria
= Deformación total
L= Longitud inicial
Puesto que la ecuación es un cociente de unidades longitudinales, el valor de la deformación unitaria
es adimensional.
Ejemplo 5
Considere una barra de acero con longitud L=2m. Al ser sometida a una carga se deforma 1.4mm.
Determine la deformación unitaria; es decir, la longitud que se deforma por unidad de longitud.
Solución
𝛿
𝜀=𝐿=
1.4𝑚𝑚
2.0𝑚
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟕
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
9
Deformaciones por cargas cortantes
Los esfuerzos cortantes en un elemento siempre van acompañados de deformaciones unitarias
cortantes, éstas no alargan o acortan los elementos, si no los deforman angularmente.
En la siguiente figura podrá observar que la forma original era un paralelepípedo regular y después
de la carga cortante se convierte en un paralelepípedo irregular.
Figura 11: Deformación unitaria del elemento.
Los ángulos originales de 90° (/2) aumentan o se acortan un valor  , según sea el caso.
Las deformaciones unitarias serán positivas cuando el ángulo entre dos caras positivas se reduzca y
serán negativa cuando el ángulo entre esas dos caras positivas aumente.
1.3. Diagramas de esfuerzo - deformación
El diseño de máquinas requiere del análisis de los materiales con que están hechas; es decir, tener
las propiedades mecánicas de los materiales. En general, la única forma para determinar cómo se
comportan los materiales cuando se someten a cargas es realizar experimentos en laboratorios. El
procedimiento usual es colocar pequeñas muestras en la máquina de ensayos, aplicar cargas y medir
su deformación en longitud y diámetro.
Figura 12: Ensayo de tensión con extensómetro conectado.
10
A fin de que se puedan comparar los resultados de los ensayos, se deben estandarizar las
dimensiones de las muestras y los métodos de aplicación de carga. Una de las principales
organizaciones normativas es la American Society for Testing and Material (ASTM) que se encarga
de publicar especificaciones técnicas para materiales y pruebas. Otras organizaciones son la
American Standards and Association (ASA) y el National Institute of Standards and Technology
(NIST). Desde luego que en el mundo existen muchos otros organismos de estandarización con
particularidades que los hacen únicos ya sea por el sector tecnológico al que están dirigidos
(automotriz, aeronáutico, etc) o por el país que los emite y/o adopta.
NOTA: Cada material existente en el mundo empleado para diseño
debe ser caracterizado con el propósito de encontrar sus
propiedades mecánicas y así predecir su comportamiento cuando
entre en función.
Los diagramas esfuerzo-deformación expresan la información que se extrajo de pruebas de
laboratorio y es una forma estandarizada de expresar el comportamiento mecánico de los
materiales, de lo contrario, se tendrían que hacer pruebas para cada material en sus dimensiones
reales de diseño, lo cual resulta impráctico.
Para analizar el diagrama esfuerzo-deformación debemos aclarar la diferencia entre esfuerzo
nominal (ó ingenieril) y esfuerzo real.
𝐞𝐬𝐟𝐮𝐞𝐫𝐳𝐨 𝐧𝐨𝐦𝐢𝐧𝐚𝐥 = 𝜎 =
𝑃
𝐴
Donde:
P= Carga aplicada axialmente
A=Área sobre la cual se aplica la carga P
Podrá observarse que la carga P se aplica de forma constante y el área A permanece constante. Esta
suposición no es del todo real, porque en las pruebas de laboratorio se observa que conforme la
carga aumenta el área de la probeta se reduce paulatinamente.
𝐞𝐬𝐟𝐮𝐞𝐫𝐳𝐨 𝐫𝐞𝐚𝐥 = 𝜎𝑟 =
𝑃
𝐴𝑖
El esfuerzo real no posee una relación constante ya que el área A varia en razón del tiempo (con
forme se aplica la carga el área se reduce).
Una apreciación importante que diferencia ambos esfuerzos radica en que el esfuerzo real será más
grande que el esfuerzo nominal ya que la carga aplicada P sobre un área A, que cada vez se reduce,
genera un valor de esfuerzo cada vez más grande siguiente la relación r=P/Ai.
11
Así como existen los esfuerzos nominales y reales, también se tienen deformaciones unitarias
nominales y reales. Ambas deformaciones siguen la misma relación (ecuación 3) y la única diferencia
radica en la forma de considerar la longitud inicial de medida L. Mientras que para deformaciones
unitarias nominales se ocupa la longitud completa de la probeta, para la deformación unitaria
verdadera se emplea la longitud entre las marcas de medida (colocación del extensómetro).
NOTA: Para fines prácticos de la actividad ingeniería, el esfuerzo y
deformación nominal son adecuados para cualquier análisis.
Finalmente, y después de realizar un análisis de un determinado material en el laboratorio para
esfuerzos y deformaciones unitarias con diferentes cargas, se puede extraer el diagrama esfuerzodeformación unitaria. Por lo anterior, podemos definirlo como.
“El diagrama que describe las propiedades mecánicas y comportamiento de un material”
Figura 13: Diagrama esfuerzo deformación unitaria para un
acero estructural a tensión.
Figura 14: Diagrama esfuerzo deformación unitaria real de
un análisis de tracción en laboratorio.
12
Figura 15: Diagrama esfuerzo deformación unitaria comparado con
la carga aplicada y comportamiento de la probeta.
Analizando las diversas etapas del diagrama tenemos:
Sección O-A:
Línea que describe la proporcionalidad entre  y ; es decir, el esfuerzo y deformación unitaria
crecen en igual proporción hasta llegar al punto A. El punto A se conoce como límite de
proporcionalidad. Esta línea se denomina módulo de elasticidad y representa la zona en la que el
material es capaz de regresar a su estado inicial sin deformarse.
Debido a que el módulo de elasticidad es la relación entre esfuerzo y deformación unitaria, éste
tiene unidades de esfuerzo (p.e. psi, Pa).
Sección A-B:
Con un pequeño incremento de esfuerzo más allá de la línea de proporcionalidad, la deformación
unitaria comienza a aumentar rápidamente hasta llegar al punto B. En consecuencia, la línea A-B es
de menor pendiente hasta que en el punto B se vuelve asintótica (horizontal).
Sección B-C:
A partir del punto B el material sufre una deformación significativa sin que exista un aumento
considerable en la fuerza aplicada; es decir, aunque la fuerza aplicada sigue aumentando (aunque
el incremento sea poco), el área se reduce un poco y por lo tanto la relación fuerza entre área nos
lleva a un esfuerzo constante en la sección B-C. A éste punto se le conoce como zona de fluencia y
comienza en el punto B (punto de fluencia); el esfuerzo es por lo tanto de fluencia.
13
En esta zona el material se vuelve perfectamente plástico, ya que se deforma de 10 a 15 veces más
que en la región lineal (aceros al carbón).
Sección C-D:
A partir del punto C (cuando la sección transversal se reduce) el material sufre un endurecimiento
por deformación ya que su estructura cristalina cambia (calentamiento-enfriamiento) y asume
nuevas propiedades mecánicas. Debido a que en el punto C la sección transversal más crítica se ha
reducido y tiene nuevas propiedades mecánicas (más duro), el material tiende a resistir un poco
más de fuerza y es por ello que el esfuerzo aumenta hasta un punto máximo en D. El esfuerzo en el
punto C también se conoce como esfuerzo de fluencia.
Sección D-E:
El punto D se denomina esfuerzo ultimo y representa la máxima capacidad de carga de un material.
Observe que el alargamiento adicional es acompañado de una reducción en la carga hasta el punto
de fractura.
Sección D-E´:
En el punto D el material comienza a sufrir una reducción significativa de área y en un entorno real
el material aumenta su dureza logrando resistir más carga hasta el punto de fractura. A esta curva
se le conoce como curva verdadera esfuerzo-deformación unitaria. Para cálculos ingenieriles no es
empleada.
NOTA: La curva empleada para cálculos en ingeniería es la “curva
convencional o ingenieril esfuerzo-deformación unitaria”.
Finalmente cabe aclarar que para fines prácticos de visualizar las diversas zonas del diagrama
esfuerzo-deformación unitaria, se emplean diagramas en escala logarítmica y no real como se
muestra en la siguiente figura.
Figura 16: Diagrama esfuerzo deformación unitaria de un acero
estructural dibujado a escala.
Los diagramas esfuerzo-deformación unitaria para compresión difieren de los de tensión. Los
metales dúctiles como el acero, cobre o aluminio poseen valores muy parecidos. Sin embargo,
después de iniciar la fluencia, el comportamiento es muy diferente.
14
Las probetas tienden a expandirse por el aplastamiento y su área aumenta, por ello el esfuerzo
que soporta se incrementa.
Nuevamente, existen una gráfica ingenieril y verdadera; donde la verdadera es en este caso más
pequeña que la nominal o ingenieril.
Figura 17: Diagrama esfuerzo deformación unitaria a
compresión para el cobre.
Ley de Hooke
La zona lineal de los diagramas esfuerzo-deformación unitaria es muy importante por obvias
razones. Al diseñar una estructura o maquina se busca que trabaje en esta región, evitando
deformaciones permanentes.
Dicha zona lineal es una razón proporcional de esfuerzo y deformación unitaria donde la constante
de proporcionalidad se denomina módulo de elasticidad y se representa por la letra E. En realidad,
E es la pendiente de la línea y tiene los mismos valores de esfuerzo. El módulo de elasticidad con
frecuencia se denomina Modulo de Young en honor a Thomas Young, científico inglés que introdujo
el concepto del módulo de elasticidad.
La ecuación que gobierna la zona lineal se denomina ley de Hooke.
𝜎 =𝐸∗𝜀
ecuación 5
Donde:
= Esfuerzo
E= módulo de elasticidad
= Deformación unitaria
NOTA: La ley de Hooke es una versión muy simplificada y un
análisis más completo tiene que ver con la consideración del
esfuerzo plano.
15
Ejemplo 5
Un tubo de acero con longitud L=4.0ft, diámetro exterior d2=6.0in y diámetro interior d1=4.5in se
comprime mediante una fuerza axial P=140k. El material tiene un módulo de elasticidad E=30,000ksi
y una relación de Poisson v=0.30. Determine: a) su acortamiento .
Figura 18: Tubo de acero en compresión
Solución
Determina el esfuerzo del sistema o requerido.
Calculando el área de acción:
𝜋
𝜋
𝐴 = (𝑑22 − 𝑑12 ) = [(6.0) 2 − (4.5)2 ] = 𝟏𝟐. 𝟑𝟕 𝒊𝒏𝟐
4
4
𝜎=−
𝑃
140 𝑘
=
= −𝟏𝟏. 𝟑𝟐 𝒌𝒔𝒊
𝐴 12.37 𝑖𝑛2
Determina la capacidad del material
E=30,000ksi
De la ley de Hooke:
𝜀=−
𝜎 −11.32 𝑘𝑠𝑖
=
= −377.3𝑥10−6
𝐸
30,000𝑘𝑠𝑖
De la ecuación 3 despejar 
𝜀=
𝛿
𝐿
𝛿 = 𝜀𝐿 = (−377.3𝑥10−𝟔 )(4.0ft)(12in/ft) = −𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝒊𝒏
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
16
Relación de Poisson
Relación designada con este nombre en honor al matemático francés Siméon Denis Poisson (17811840). Cuando una barra prismática se somete a tensión, la elongación axial va acompañada de
una contracción lateral.
Figura 19: Alargamiento axial y contracción lateral de la
barra prismática.
La contracción lateral se observa con facilidad en materiales significativamente elásticos, pero en
metales es imposible visualizarlos, la única forma es mediante medición precisa de laboratorio.
La deformación unitaria lateral ’ en cualquier punto en una barra es proporcional a la deformación
unitaria axial  en el mismo punto si el material es linealmente elástico. La relación de esas
deformaciones unitarias es una propiedad del material conocida como relación de Poisson.
𝑣=
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙
=−
’

ecuación 6
El signo es debido a que la deformación axial y lateral son generalmente opuestas (caso de cargas
axiales) pero en el caso de escenarios a compresión el termino es positivo.
NOTA: La relación de Poisson es válida para materiales
isotrópicos
Ejemplo 6
Para la misma condición geométrica y de carga del ejercicio 5 y considerando una relación de
Poisson de 𝑣=0.3, determine: a) la deformación unitaria lateral ’, b) el aumento de diámetro
exterior d2, c) el aumento de diámetro interior d1, d) el aumento del espesor t.
Figura 18 (repetida):
17 Tubo de acero en
compresión
Solución
a) De la ecuación 5 para el módulo de Poisson despejar la deformación unitaria lateral ’ y
sustituya los valores conocidos.
𝑣=−
’

’ = 𝑣 = −(0.3)(−377.3𝑥10−𝟔 ) = 𝟏𝟏𝟑. 𝟐𝒙𝟏𝟎−𝟔
b) El aumento del diámetro exterior es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro.
d2 = ’𝑑2 = (113.2𝑥10−𝟔 )(6.0𝑖𝑛) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟕𝟗𝒊𝒏
c) El aumento del diámetro interno es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro.
d1 = ’𝑑1 = (113.2𝑥10−𝟔 )(4.5𝑖𝑛) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓𝟎𝟗𝒊𝒏
d) El aumento del diámetro interno es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro.
t = ’𝑡 = (113.2𝑥10−𝟔 )(0.75𝑖𝑛) = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟖𝟓𝒊𝒏
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
Factor de seguridad
El propósito fundamental del cálculo estructural radica en garantizar que el diseño soportará las
cargas requeridas; es decir, la resistencia del material debe ser mayor a la requerida.
La siguiente relación determina el factor de seguridad, que en términos simples es una forma de
saber si el material aguantara la carga requerida.
𝐹. 𝑆. = 𝑛 =
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙
𝑅𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑟𝑖𝑑𝑎
=
(esfuerzo del diagrama −;ley hooke)
(esfuerzo calculado del sistema−requerido)
ecuación 7
Una interpretación de diferentes valores es:
Valor del factor de
seguridad
FS=1
FS=1.5
FS=2
FS=0.5
FS=0.1
Interpretación
La estructura o elemento soporta el 100% de la carga
requerida. La estructura está a punto de fallar.
La estructura o elemento soporta 50% más de la carga
requerida.
La estructura o elemento soporta 100% más de la carga
requerida.
La estructura soporta solo el 50% de la carga requerida. La
estructura fallará.
La estructura soporta solo el 10% de la carga requerida. La
estructura fallará.
18
El factor de seguridad es una relación generalizada que se puede emplear para cualquier variable
(esfuerzos de fluencia, esfuerzos últimos, fractura, etc) y es responsabilidad del diseñador la
interpretación y manejo de dichos valores.
Ejemplo 7
Para los datos del ejemplo 5 donde el esfuerzo del sistema o requerido es de r= -11.32ksi.
Determine el factor de seguridad si el material es un acero estructural con un esfuerzo de fluencia
de f=50ksi .
Solución
𝐹. 𝑆. = 𝑛 =
50ksi
= 4.4
−11.32ksi
Es decir, el material soportará 440% más de la carga requerida.
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
Elementos cargados axialmente
Hasta el momento solo se ha analizado la teoría de los esfuerzos requeridos y los esfuerzos ofrecidos
por los materiales mediante la ley de Hooke, pero el análisis de sistemas más complejos (p.e.
sistemas hiperestáticos) requiere de conocer la relación entra las cargas aplicadas y las
deformaciones que genera a un elemento. La combinación del mundo de los esfuerzos y de las
cargas aplicadas en función de su deformación genera una nueva relación de suma importancia para
sistemas más complejos.
Para desarrollar esta nueva relación entre fuerza-desplazamiento es necesario conocer el
comportamiento de un resorte.
En la siguiente figura se muestra un resorte sin carga y con carga. Debido a la acción de la fuerza P,
el resorte se alarga una cantidad  y su longitud final resulta L+. Si el material es linealmente
elástico la carga y el alargamiento será proporcional.
Figura 19: Alargamiento de un resorte
cargado axialmente.
19
La proporcionalidad es:
𝑃 = 𝑘𝛿
ecuación 8
ó
𝛿 = 𝑓𝑃
ecuación 9
Donde:
P=carga aplicada
k=rigidez del resorte
=deformación del elemento
f=flexibilidad
Si despejamos k de la ecuación 7, tenemos que la rigidez es la fuerza necesaria para provocar una
deformación determinada.
De igual forma, si despejamos la flexibilidad f de la ecuación 8, tenemos que es la deformación
lograda ante una determinada carga.
Por lo anterior, la relación entre rigidez y flexibilidad es:
1
𝑘=𝑓
ecuación 10
Anteriormente manejamos los siguientes conceptos.
σ=
𝜀=
P
A
𝛿
𝐿
…. Esfuerzo requerido
…….Deformación unitaria
𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜀 ….Esfuerzo de un determinado material
Ahora que conocemos la relación de fuerza, deformación y rigidez
𝑃 = 𝑘𝛿 …… Constante de rigidez
Es posible determinar una relación en función de la rigidez y módulo de elasticidad ó entre la carga
y módulo de elasticidad, como se muestra en las siguientes ecuaciones.
𝛿=
𝑃𝐿
𝐸𝐴
ecuación 11
𝑘=
𝐸𝐴
𝐿
ecuación 12
𝐿
𝑓 = 𝐸𝐴
ecuación 13
20
Ejemplo 8
Un cable de acero con diámetro nominal de 25mm y longitud inicial de 14m se utiliza en un patio de
construcción para levantar una sección de un puente que pesa 38kN, como se muestra en la figura.
El cable tiene un módulo de elasticidad efectivo E=140GPa. Determine a) el alargamiento del cable,
b) si el cable está especificado para soportar 70kN, ¿Cuál es el factor de seguridad?
Figura 20: Cable de acero.
Solución
a) Observe que el problema especifica un diámetro nominal del cable, pero el diseñador deberá
buscar el área efectiva; es decir, el área que realmente existe en el cable.
Sustituyendo valores en la ecuación 10.
𝛿=
(38𝑘𝑁)(14𝑚)
= 0.0125𝑚
(140𝐺𝑃𝑎)(0.000304𝑚2 )
b) Observe en la tabla que la carga ultima es de 406kN.
Por tanto.
𝐹. 𝑆. = 𝑛 =
406kN
= 5.8
70kN
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
21
1.4. Sistemas hiperestáticos.
Hasta el momento todas las ecuaciones mostradas (esfuerzos, ley de Hooke y deformaciones) se
pueden aplicar a sistemas estáticamente determinados; es decir, a partir de diagramas de cuerpo
libre y de conocer las propiedades del material se pueden determinar todas las reacciones.
La mayor parte de las estructuras en aplicaciones industriales no se pueden calcular mediante
simple estática. Esto lo podemos observar en la siguiente figura donde se muestra una barra
empotrada en ambos lados. Ahora hay dos reacciones verticales, pero solo una ecuación de
equilibrio; es decir, más incógnitas que ecuaciones. Este sistema es hiperestático o estáticamente
indeterminado.
Figura 21: Análisis de una barra hiperestática
La ecuación de equilibrio para el sistema mostrado de la figura 21 es.
∑ 𝐹𝑣𝑒𝑟𝑡 = 0
𝑅𝐴 − 𝑃 + 𝑅𝐵 = 0 Una sola ecuación con 2 incógnitas
Para solucionar este sistema se requiere de una ecuación adicional.
La ecuación adicional se basa en la observación de que sus extremos fijos no se desplazan.
𝛿𝐴𝐵 = 0
A la ecuación adicional se le llama comúnmente ecuación de compatibilidad. A fin de vincular ambas
ecuaciones (equilibrio y compatibilidad) se bebe expresar esta última en términos conocidos.
Suponiendo que la barra tiene un área de sección transversal A y está hecha de un material con un
módulo de elasticidad E tenemos.
𝛿=
𝑃𝐿
𝐸𝐴
El sistema requiere un análisis separado (de A-C y de C- B).
𝛿𝐴𝐶 =
𝑅𝐴 𝑎
𝐸𝐴
𝛿𝐶𝐵 = −
Resolviendo el sistema tenemos.
22
𝑅𝐵 𝑏
𝐸𝐴
𝛿𝐴𝐵 = 𝛿𝐴𝐶 + 𝛿𝐶𝐵 =
𝑅𝐴 𝑎
𝐸𝐴
−
𝑅𝐵 𝑏
𝐸𝐴
= 0 Segunda ecuación con 2 incógnitas
Resolviendo
𝑃𝑏
𝑃𝑎
𝑅𝐵 =
𝐿
𝐿
Sustituyendo la cualquier reacción en la ecuación dos
𝑅𝐴 =
𝛿𝐶 = 𝛿𝐴𝐶 =
𝑅𝐴 𝑎 𝑃𝑎𝑏
=
𝐸𝐴
𝐿𝐸𝐴
En conclusión, para resolver un sistema hiperestático se debe plantear:
-
Ecuaciones de equilibrio
Ecuaciones de compatibilidad (comúnmente llamadas ecuaciones geométricas)
Ecuación fuerza-desplazamiento
Buscar resolver ambas ecuaciones
NOTA: Para sistemas hiperestáticos simples el
procedimiento descrito es bastante aceptable y
funcional, sin embargo, para casos más complejos es
necesario recurrir al método de flexibilidad o de rigidez
(analizados más adelante).
La relación de Poisson es válida para materiales
isotrópicos
Ejemplo 9
Dentro de un tubo circular hueco de cobre C está encerrado un cilindro solido de acero S como se
muestra en la figura. El cilindro y el tubo se comprimen entre las placas rígidas de una máquina de
pruebas mediante fuerzas de compresión P. El cilindro de acero tiene un área de sección transversal
As y un módulo de elasticidad Es, el tubo de cobre tiene un área Ac y un módulo Ec, y las dos partes
tienen una longitud L. Determine a) las fuerzas de compresión Ps en el cilindro y Pc en el tubo de
cobre, b) Los esfuerzos de compresión correspondientes a cada material s y c , además del
acortamiento .
Figura 22: Estructura hiperestática.
23
Solución
a) Valor de fuerzas
- En búsqueda de la ecuación de equilibrio.
Figura 23: Ecuación de equilibrio (sumatoria de fuerzas).
∑ 𝐹𝑣𝑒𝑟𝑡 = 0
-
𝑃𝑆 + 𝑃𝐶 − 𝑃 = 0
En búsqueda de la ecuación de compatibilidad.
Como los extremos son rígidos, la deformación  en el cobre y acero es la misma.
𝑆 = 𝐶
-
En búsqueda de la relación fuerza-desplazamiento.
𝛿𝑆 =
𝑃𝑆 𝐿
𝐸𝑆 𝐴𝑆
𝛿𝐶 =
𝑃𝐶 𝐿
𝐸𝐶 𝐴𝐶
𝑃𝑆 𝐿
𝑃𝐶 𝐿
=
𝐸𝑆 𝐴𝑆 𝐸𝐶 𝐴𝐶
-
Resolviendo ambas ecuaciones
𝑃𝑆 = 𝑃 (
𝐸𝑆 𝐴𝑆
)
𝐸𝑆 𝐴𝑆 + 𝐸𝐶 𝐴𝐶
𝐸𝐶 𝐴𝐶
𝑃𝐶 = 𝑃 (
)
𝐸𝑆 𝐴𝑆 + 𝐸𝐶 𝐴𝐶
b) Sustituyendo el resultado anterior en la ecuación de =P/A
𝜎𝑆 =
𝑃𝑆
𝑃𝐸𝑆
=
𝐴𝑆
𝐸𝑆 𝐴𝑆 + 𝐸𝐶 𝐴𝐶
𝜎𝐶 =
24
𝑃𝐶
𝑃𝐸𝐶
=
𝐴𝐶
𝐸𝑆 𝐴𝑆 + 𝐸𝐶 𝐴𝐶
c) Después de calcular el valor de fuerza para cada metal es fácil determinar la deformación
mediante la ecuación.
𝑃𝐿
𝛿=
𝐸𝐴
Tenga en cuenta que se puede ocupar cualquier valor de , ya que tanto para el cobre como para
el acero es el mismo valor.
𝛿=
𝑃𝐿
𝐸𝑆 𝐴𝑆 + 𝐸𝐶 𝐴𝐶
Recomendación
Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito.
25