APUNTES DE MECÁNICA DE MATERIALES I MARZO – AGOSTO 2020 UNIDAD I: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES PRESENTA ING. GUILLERMO LOPEZ GONZALEZ TITULAR DE ASIGNATURA TIANGUISTENCO, MÉXICO, MARZO, 2020. Basado en el libro “Mecánica de materiales” Profesor James M. Gere and Barry J. Goodno, Editorial CENGAGE Learning,7°E. 1 1. Esfuerzos y Deformaciones. Los conceptos fundamentales en mecánica de materiales son el esfuerzo y deformación unitaria. 1.1. Esfuerzos por carga axial y cortante. Cargas axiales Cuando una barra isotrópica es estirada por una fuerza P, los esfuerzos son de tensión. Figura 1: Barra prismática a tensión: a) Diagrama de cuerpo libre, b) segmento de la barra antes de aplicar la carga, c) segmento de la barra después de aplicar la carga, d) esfuerzos normales en la barra. ๐= ๐ ๐ ecuación 1 Donde: P= Carga axial A=Área de la sección transversal ๏ณ=Esfuerzo normal Cuando la fuerza P es en sentido opuesto, los esfuerzos son a compresión. Puesto que los esfuerzos actúan en dirección perpendicular a la superficie, se denominan esfuerzos normales. Típicamente se designan valores positivos a los esfuerzos a tensión y negativos a compresión. Puesto que el esfuerzo normal ๏ ๏ณ se obtiene dividiendo la fuerza axial entre el área de la sección transversal, tiene unidades de fuerza por unidad de área. ๏ท ๏ท Unidades Inglesas: Lb/plg2 ó psi (nota: 1ksi = 1000psi) Unidades Internacionales: N/m2 NOTA: La ecuación 1 solo es válida si el esfuerzo está uniformemente distribuido sobre la sección trasversal de la barra. Esta condición se cumple si la fuerza axial P actúa en el centroide del área de la sección transversal. 2 Para desarrollar las ecuaciones que constituyen las deformaciones por cargas axiales es necesario expresar el esfuerzo norma en elementos infinitamente pequeños. Figura 2: Elemento de esfuerzo normal: a) vista 3D b) vista 2D Ejemplo 1 Un poste corto, construido con un tubo circular hueco de aluminio, soporta una carga de compresión de 26 kips (figura 3). Los diámetros interior y exterior del tubo son d1=4.0in y d2=4.5in, respectivamente. Determine el esfuerzo de compresión (no considere el peso del poste ni pandeo). Figura 3: Poste hueco a compresión de aluminio. Solución Suponiendo que la carga de compresión actúa en el centro del tubo hueco, se puede emplear la ecuación 1 para calcular el esfuerzo normal. La fuerza P es igual a 26kips (26,000lb) y el área de la sección transversal es ๐ ๐ ๐ด = (๐22 − ๐12 ) = [(4.5) 2 − (4.0)2 ] = ๐. ๐๐๐ ๐๐๐ 4 4 Por tanto, el esfuerzo a compresión es ๐= ๐ 26,000 ๐๐ = = ๐, ๐๐๐ ๐๐๐ ๐ด 3.338 ๐๐2 Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. 3 Ejemplo 2 Una barra circular de acero con longitud L y diámetro d cuelga en el tiro de una mina y en su extremo inferior sostiene un balde con mineral y peso W (figura 4). a) obtenga una fórmula para el esfuerzo máximo ๏ณmax en la barra, tomando en cuenta el peso de ésta. b) Calcule el esfuerzo máximo si L=40m y d=8mm y W=1.5kN Figura 4: Barra de acero soportando un peso W. Solución a) La fuerza axial máxima Fmax en la barra se tiene en el extremo superior y es igual al peso W del balde con mineral más el peso Wo propio de la barra. Este último es igual al peso específico ๏ง del acero por el volumen V de la barra. ๐๐ = ๐พ๐ = ๐พ๐ด๐ฟ Donde A es el área de la sección transversal de la barra. Por tanto, la fórmula para el esfuerzo máximo es. ๐๐๐๐ฅ = ๐น๐๐๐ฅ ๐ + ๐พ๐ด๐ฟ ๐พ = = + ๐ธ๐ณ ๐ด ๐ด ๐จ b) Para calcular el esfuerzo máximo, sustituimos los valores numéricos en la ecuación anterior. El área de la sección anterior A es igual a ๏ฐd2/4, donde d= 8mm y el peso específico del acero es 77.0kN/m3. Por tanto. ๐๐๐๐ฅ = 1.5๐๐ + (77.0๐๐/๐3 )(40๐) = 29.8๐๐๐ + 3.1 ๐๐๐ = ๐๐. ๐๐ด๐ท๐ ๐(8๐๐)2 /4 Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. 4 Cargas cortantes Cuando un cuerpo experimenta una tendencia a ser cortado por la acción de una carga P se dice que existe un esfuerzo cortante. Figura 5: Conexión con perno en la que éste está sometido a esfuerzo cortante. La distribución real de los esfuerzos en el área de corte es difícil de determinar y por ello se supone que existen uniformemente. Dicha suposición lleva a la siguiente ecuación. ๐๐ = ๐๐ ๐๐ ecuación 2 Donde: Pb= Fuerza de soporte total Ab=Área de soporte ๏ณb=Esfuerzo de soporte promedio Figura 6: Falla de un perno por cortante simple. En mecánica de materiales se diferencian los esfuerzos cortantes de los normales mediante la siguiente nomenclatura. ๐๐๐๐๐ = ๐ ๐จ Ecuación 3 Donde: V=Fuerza cortante total A=Área de la sección transversal ๏ดprom= Esfuerzo cortante promedio Las unidades para esfuerzos cortantes son las mismas que para esfuerzos normales. ๏ท ๏ท Unidades Inglesas: lb/plg2 ó psi (nota: 1ksi = 1000psi) Unidades Internacionales: N/m2 5 NOTA: Normalmente existen fuerzas de fricción en sistemas de esfuerzo cortante (apriete de tuercas) y parte de la carga es soportada por ese apriete, pero como las fuerzas de fricción son poco confiables, en la práctica se omiten para realizar cálculos más conservadores. Para desarrollar las ecuaciones que constituyen las deformaciones por cargas cortantes es necesario expresar el esfuerzo cortante en elementos infinitamente pequeños. Figura 7: Elemento de esfuerzo cortante. Se podrá observar que el esfuerzo cortante ๏ด1 y su opuesto en la cara izquierda (-๏ด1) son claramente identificados en el fenómeno del tornillo cortado de la figura 4; sin embargo, no son los únicos cortantes existente en el elemento mostrado, existen cortantes en la parte superior (๏ด2) e inferior (-๏ด2) del cubo que se oponen a los primeros cortantes. Estos segundos cortantes se generan de manera natural y son responsables de equilibrar el sistema, de lo contrario el tornillo giraría. Por lo anterior, se puede considerar ๏ด1 = ๏ด2 y -๏ด1 = -๏ด2 Cargas cortantes dobles En cortante doble, cada una de las fuerzas de corta es igual a la mitad de la carga transmitida por el perno; es decir, V=P/2. Figura 8: Conexión con perno en la que éste está sometido a esfuerzo cortante. NOTA: Las ecuaciones expresadas son ejemplos de “cortantes directos” en los cuales los esfuerzos se originan por la acción directa de las fuerzas al tratar de cortar el material; sin embargo, existen “cortantes indirectos” que se originan cuando un cuerpo está 6 sometido a tensión, torsión y flexión. Ejemplo 3 En la siguiente figura se muestra un punzón para hacer agujeros en placas de acero. Suponga que se utiliza un punzón con un diámetro d=20mm para hacer un agujero en una placa de 8mm de espesor, como se muestra en la vista transversal. Si se requiere de una fuerza P=110kN para hacer el agujero, ¿Cuál es el esfuerzo cortante promedio en la placa y el esfuerzo de compresión promedio en el punzón? Figura 9: Realización de un agujero con un punzón en una placa de acero. Solución El esfuerzo cortante promedio en la placa se obtiene dividiendo la fuerza P entre el área cortante de la placa. El área cortante As es igual a la circunferencia del agujero por el espesor de la placa, o. La fuerza P es igual a 26kips (26,000lb) y el área de la sección transversal es ๐ด = ๐๐๐ก = ๐(2๐๐)(8๐๐) = ๐๐๐. ๐ ๐๐๐ En donde d es el diámetro del punzón y t es el espesor de la placa. Por tanto, el esfuerzo cortante promedio en la placa es ๐๐๐๐๐ = ๐ 110๐๐ = = ๐๐๐๐ด๐ท๐ ๐ด๐ 502.7๐๐2 El esfuerzo de compresión promedio en el punzón es ๐๐ = ๐ ๐ด๐๐ข๐๐งó๐ = ๐ 110๐๐ = = ๐๐๐๐ด๐ท๐ 2 ๐๐ /4 ๐(20๐๐)2 /4 En donde Apunzón es el área de la sección transversal del punzón. Nota: El análisis es muy idealizado ya que se ignoran los efectos del impacto que ocurre cuando se penetra una placa con el punzón y cuya metodología va más allá del alcance de mecánica de materiales. Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. 7 Ejemplo 4 Un puntal S de acero transmite una fuerza de compresión P= 12k a la plataforma del muelle. El puntal tiene una sección transversal hueca con espesor de pared t=0.375in y el ángulo con la base es de 40°. El diámetro del pasador es de dpasador=0.75in y el del diámetro de los pernos de anclaje es dperno=0.50in. Determine a) el esfuerzo cortante en los pasadores y b) los pernos de anclaje. Figura 10: Conexión con pasador entre el puntal S y la placa base B. Solución a) Como se observa en la figura, el pasador sufre 2 cortantes dobles y por ello la carga aplicada se divide entre 4 diferentes planos. ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ = ๐ 2 2๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ /4 = 12๐ = ๐๐. ๐๐๐๐ 2๐(0.75๐๐)2 /4 b) Los pernos de anclaje son 4 y la fuerza cortante debe ser horizontal al plano de corte; es decir, la fuerza P se debe descomponer en su valor horizontal. ๐๐๐๐๐๐ = (12๐)(๐๐๐ 40°) ๐ ๐๐๐ 40° = = ๐๐. ๐๐๐๐ 2 4๐๐๐๐๐๐๐ /4 4๐(0.50๐๐)2 /4 Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. 8 1.2. Tipos de deformaciones por carga axial y cortante Deformaciones por cargas axiales Una barra sufre un aumento en su longitud cuando es cargada axialmente en tensión y un acortamiento cuando es cargada axialmente en compresión. El símbolo ๏ค representa el alargamiento o acortamiento de un elemento de longitud inicial L. Para determinar la longitud que se deforma por cada unidad de medida se emplea el concepto de deformación unitaria; es decir. ๐น ๐บ=๐ณ ecuación 4 Donde: ๏ฅ= Deformación unitaria ๏ค= Deformación total L= Longitud inicial Puesto que la ecuación es un cociente de unidades longitudinales, el valor de la deformación unitaria es adimensional. Ejemplo 5 Considere una barra de acero con longitud L=2m. Al ser sometida a una carga se deforma 1.4mm. Determine la deformación unitaria; es decir, la longitud que se deforma por unidad de longitud. Solución ๐ฟ ๐=๐ฟ= 1.4๐๐ 2.0๐ = ๐. ๐๐๐๐ Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. 9 Deformaciones por cargas cortantes Los esfuerzos cortantes en un elemento siempre van acompañados de deformaciones unitarias cortantes, éstas no alargan o acortan los elementos, si no los deforman angularmente. En la siguiente figura podrá observar que la forma original era un paralelepípedo regular y después de la carga cortante se convierte en un paralelepípedo irregular. Figura 11: Deformación unitaria del elemento. Los ángulos originales de 90° (๏ฐ/2) aumentan o se acortan un valor ๏ง , según sea el caso. Las deformaciones unitarias serán positivas cuando el ángulo entre dos caras positivas se reduzca y serán negativa cuando el ángulo entre esas dos caras positivas aumente. 1.3. Diagramas de esfuerzo - deformación El diseño de máquinas requiere del análisis de los materiales con que están hechas; es decir, tener las propiedades mecánicas de los materiales. En general, la única forma para determinar cómo se comportan los materiales cuando se someten a cargas es realizar experimentos en laboratorios. El procedimiento usual es colocar pequeñas muestras en la máquina de ensayos, aplicar cargas y medir su deformación en longitud y diámetro. Figura 12: Ensayo de tensión con extensómetro conectado. 10 A fin de que se puedan comparar los resultados de los ensayos, se deben estandarizar las dimensiones de las muestras y los métodos de aplicación de carga. Una de las principales organizaciones normativas es la American Society for Testing and Material (ASTM) que se encarga de publicar especificaciones técnicas para materiales y pruebas. Otras organizaciones son la American Standards and Association (ASA) y el National Institute of Standards and Technology (NIST). Desde luego que en el mundo existen muchos otros organismos de estandarización con particularidades que los hacen únicos ya sea por el sector tecnológico al que están dirigidos (automotriz, aeronáutico, etc) o por el país que los emite y/o adopta. NOTA: Cada material existente en el mundo empleado para diseño debe ser caracterizado con el propósito de encontrar sus propiedades mecánicas y así predecir su comportamiento cuando entre en función. Los diagramas esfuerzo-deformación expresan la información que se extrajo de pruebas de laboratorio y es una forma estandarizada de expresar el comportamiento mecánico de los materiales, de lo contrario, se tendrían que hacer pruebas para cada material en sus dimensiones reales de diseño, lo cual resulta impráctico. Para analizar el diagrama esfuerzo-deformación debemos aclarar la diferencia entre esfuerzo nominal (ó ingenieril) y esfuerzo real. ๐๐ฌ๐๐ฎ๐๐ซ๐ณ๐จ ๐ง๐จ๐ฆ๐ข๐ง๐๐ฅ = ๐ = ๐ ๐ด Donde: P= Carga aplicada axialmente A=Área sobre la cual se aplica la carga P Podrá observarse que la carga P se aplica de forma constante y el área A permanece constante. Esta suposición no es del todo real, porque en las pruebas de laboratorio se observa que conforme la carga aumenta el área de la probeta se reduce paulatinamente. ๐๐ฌ๐๐ฎ๐๐ซ๐ณ๐จ ๐ซ๐๐๐ฅ = ๐๐ = ๐ ๐ด๐ El esfuerzo real no posee una relación constante ya que el área A varia en razón del tiempo (con forme se aplica la carga el área se reduce). Una apreciación importante que diferencia ambos esfuerzos radica en que el esfuerzo real será más grande que el esfuerzo nominal ya que la carga aplicada P sobre un área A, que cada vez se reduce, genera un valor de esfuerzo cada vez más grande siguiente la relación ๏ณr=P/Ai. 11 Así como existen los esfuerzos nominales y reales, también se tienen deformaciones unitarias nominales y reales. Ambas deformaciones siguen la misma relación (ecuación 3) y la única diferencia radica en la forma de considerar la longitud inicial de medida L. Mientras que para deformaciones unitarias nominales se ocupa la longitud completa de la probeta, para la deformación unitaria verdadera se emplea la longitud entre las marcas de medida (colocación del extensómetro). NOTA: Para fines prácticos de la actividad ingeniería, el esfuerzo y deformación nominal son adecuados para cualquier análisis. Finalmente, y después de realizar un análisis de un determinado material en el laboratorio para esfuerzos y deformaciones unitarias con diferentes cargas, se puede extraer el diagrama esfuerzodeformación unitaria. Por lo anterior, podemos definirlo como. “El diagrama que describe las propiedades mecánicas y comportamiento de un material” Figura 13: Diagrama esfuerzo deformación unitaria para un acero estructural a tensión. Figura 14: Diagrama esfuerzo deformación unitaria real de un análisis de tracción en laboratorio. 12 Figura 15: Diagrama esfuerzo deformación unitaria comparado con la carga aplicada y comportamiento de la probeta. Analizando las diversas etapas del diagrama tenemos: Sección O-A: Línea que describe la proporcionalidad entre ๏ฅ y ๏ณ; es decir, el esfuerzo y deformación unitaria crecen en igual proporción hasta llegar al punto A. El punto A se conoce como límite de proporcionalidad. Esta línea se denomina módulo de elasticidad y representa la zona en la que el material es capaz de regresar a su estado inicial sin deformarse. Debido a que el módulo de elasticidad es la relación entre esfuerzo y deformación unitaria, éste tiene unidades de esfuerzo (p.e. psi, Pa). Sección A-B: Con un pequeño incremento de esfuerzo más allá de la línea de proporcionalidad, la deformación unitaria comienza a aumentar rápidamente hasta llegar al punto B. En consecuencia, la línea A-B es de menor pendiente hasta que en el punto B se vuelve asintótica (horizontal). Sección B-C: A partir del punto B el material sufre una deformación significativa sin que exista un aumento considerable en la fuerza aplicada; es decir, aunque la fuerza aplicada sigue aumentando (aunque el incremento sea poco), el área se reduce un poco y por lo tanto la relación fuerza entre área nos lleva a un esfuerzo constante en la sección B-C. A éste punto se le conoce como zona de fluencia y comienza en el punto B (punto de fluencia); el esfuerzo es por lo tanto de fluencia. 13 En esta zona el material se vuelve perfectamente plástico, ya que se deforma de 10 a 15 veces más que en la región lineal (aceros al carbón). Sección C-D: A partir del punto C (cuando la sección transversal se reduce) el material sufre un endurecimiento por deformación ya que su estructura cristalina cambia (calentamiento-enfriamiento) y asume nuevas propiedades mecánicas. Debido a que en el punto C la sección transversal más crítica se ha reducido y tiene nuevas propiedades mecánicas (más duro), el material tiende a resistir un poco más de fuerza y es por ello que el esfuerzo aumenta hasta un punto máximo en D. El esfuerzo en el punto C también se conoce como esfuerzo de fluencia. Sección D-E: El punto D se denomina esfuerzo ultimo y representa la máxima capacidad de carga de un material. Observe que el alargamiento adicional es acompañado de una reducción en la carga hasta el punto de fractura. Sección D-E´: En el punto D el material comienza a sufrir una reducción significativa de área y en un entorno real el material aumenta su dureza logrando resistir más carga hasta el punto de fractura. A esta curva se le conoce como curva verdadera esfuerzo-deformación unitaria. Para cálculos ingenieriles no es empleada. NOTA: La curva empleada para cálculos en ingeniería es la “curva convencional o ingenieril esfuerzo-deformación unitaria”. Finalmente cabe aclarar que para fines prácticos de visualizar las diversas zonas del diagrama esfuerzo-deformación unitaria, se emplean diagramas en escala logarítmica y no real como se muestra en la siguiente figura. Figura 16: Diagrama esfuerzo deformación unitaria de un acero estructural dibujado a escala. Los diagramas esfuerzo-deformación unitaria para compresión difieren de los de tensión. Los metales dúctiles como el acero, cobre o aluminio poseen valores muy parecidos. Sin embargo, después de iniciar la fluencia, el comportamiento es muy diferente. 14 Las probetas tienden a expandirse por el aplastamiento y su área aumenta, por ello el esfuerzo que soporta se incrementa. Nuevamente, existen una gráfica ingenieril y verdadera; donde la verdadera es en este caso más pequeña que la nominal o ingenieril. Figura 17: Diagrama esfuerzo deformación unitaria a compresión para el cobre. Ley de Hooke La zona lineal de los diagramas esfuerzo-deformación unitaria es muy importante por obvias razones. Al diseñar una estructura o maquina se busca que trabaje en esta región, evitando deformaciones permanentes. Dicha zona lineal es una razón proporcional de esfuerzo y deformación unitaria donde la constante de proporcionalidad se denomina módulo de elasticidad y se representa por la letra E. En realidad, E es la pendiente de la línea y tiene los mismos valores de esfuerzo. El módulo de elasticidad con frecuencia se denomina Modulo de Young en honor a Thomas Young, científico inglés que introdujo el concepto del módulo de elasticidad. La ecuación que gobierna la zona lineal se denomina ley de Hooke. ๐ =๐ธ∗๐ ecuación 5 Donde: ๏ณ= Esfuerzo E= módulo de elasticidad ๏ฅ= Deformación unitaria NOTA: La ley de Hooke es una versión muy simplificada y un análisis más completo tiene que ver con la consideración del esfuerzo plano. 15 Ejemplo 5 Un tubo de acero con longitud L=4.0ft, diámetro exterior d2=6.0in y diámetro interior d1=4.5in se comprime mediante una fuerza axial P=140k. El material tiene un módulo de elasticidad E=30,000ksi y una relación de Poisson v=0.30. Determine: a) su acortamiento ๏ค. Figura 18: Tubo de acero en compresión Solución Determina el esfuerzo del sistema o requerido. Calculando el área de acción: ๐ ๐ ๐ด = (๐22 − ๐12 ) = [(6.0) 2 − (4.5)2 ] = ๐๐. ๐๐ ๐๐๐ 4 4 ๐=− ๐ 140 ๐ = = −๐๐. ๐๐ ๐๐๐ ๐ด 12.37 ๐๐2 Determina la capacidad del material E=30,000ksi De la ley de Hooke: ๐=− ๐ −11.32 ๐๐ ๐ = = −377.3๐ฅ10−6 ๐ธ 30,000๐๐ ๐ De la ecuación 3 despejar ๏ค ๐= ๐ฟ ๐ฟ ๐ฟ = ๐๐ฟ = (−377.3๐ฅ10−๐ )(4.0ft)(12in/ft) = −๐. ๐๐๐๐๐ Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. 16 Relación de Poisson Relación designada con este nombre en honor al matemático francés Siméon Denis Poisson (17811840). Cuando una barra prismática se somete a tensión, la elongación axial va acompañada de una contracción lateral. Figura 19: Alargamiento axial y contracción lateral de la barra prismática. La contracción lateral se observa con facilidad en materiales significativamente elásticos, pero en metales es imposible visualizarlos, la única forma es mediante medición precisa de laboratorio. La deformación unitaria lateral ๏ฅ’ en cualquier punto en una barra es proporcional a la deformación unitaria axial ๏ฅ en el mismo punto si el material es linealmente elástico. La relación de esas deformaciones unitarias es una propiedad del material conocida como relación de Poisson. ๐ฃ= ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ó๐ ๐ข๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ó๐ ๐ข๐๐๐กá๐๐๐ ๐๐ฅ๐๐๐ =− ๏ฅ’ ๏ฅ ecuación 6 El signo es debido a que la deformación axial y lateral son generalmente opuestas (caso de cargas axiales) pero en el caso de escenarios a compresión el termino es positivo. NOTA: La relación de Poisson es válida para materiales isotrópicos Ejemplo 6 Para la misma condición geométrica y de carga del ejercicio 5 y considerando una relación de Poisson de ๐ฃ=0.3, determine: a) la deformación unitaria lateral ๏ฅ’, b) el aumento de diámetro exterior ๏d2, c) el aumento de diámetro interior ๏d1, d) el aumento del espesor ๏t. Figura 18 (repetida): 17 Tubo de acero en compresión Solución a) De la ecuación 5 para el módulo de Poisson despejar la deformación unitaria lateral ๏ฅ’ y sustituya los valores conocidos. ๐ฃ=− ๏ฅ’ ๏ฅ ๏ฅ’ = ๐ฃ๏ฅ = −(0.3)(−377.3๐ฅ10−๐ ) = ๐๐๐. ๐๐๐๐−๐ b) El aumento del diámetro exterior es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro. ๏d2 = ๏ฅ’๐2 = (113.2๐ฅ10−๐ )(6.0๐๐) = ๐. ๐๐๐๐๐๐๐๐ c) El aumento del diámetro interno es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro. ๏d1 = ๏ฅ’๐1 = (113.2๐ฅ10−๐ )(4.5๐๐) = ๐. ๐๐๐๐๐๐๐๐ d) El aumento del diámetro interno es igual a la deformación unitaria lateral por el diámetro. ๏t = ๏ฅ’๐ก = (113.2๐ฅ10−๐ )(0.75๐๐) = ๐. ๐๐๐๐๐๐๐๐ Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. Factor de seguridad El propósito fundamental del cálculo estructural radica en garantizar que el diseño soportará las cargas requeridas; es decir, la resistencia del material debe ser mayor a la requerida. La siguiente relación determina el factor de seguridad, que en términos simples es una forma de saber si el material aguantara la carga requerida. ๐น. ๐. = ๐ = ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ก๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ข๐๐๐๐๐ = ๏ณ(esfuerzo del diagrama ๏ณ−๏ฅ;ley hooke) ๏ณ(esfuerzo calculado del sistema−requerido) ecuación 7 Una interpretación de diferentes valores es: Valor del factor de seguridad FS=1 FS=1.5 FS=2 FS=0.5 FS=0.1 Interpretación La estructura o elemento soporta el 100% de la carga requerida. La estructura está a punto de fallar. La estructura o elemento soporta 50% más de la carga requerida. La estructura o elemento soporta 100% más de la carga requerida. La estructura soporta solo el 50% de la carga requerida. La estructura fallará. La estructura soporta solo el 10% de la carga requerida. La estructura fallará. 18 El factor de seguridad es una relación generalizada que se puede emplear para cualquier variable (esfuerzos de fluencia, esfuerzos últimos, fractura, etc) y es responsabilidad del diseñador la interpretación y manejo de dichos valores. Ejemplo 7 Para los datos del ejemplo 5 donde el esfuerzo del sistema o requerido es de ๏ณr= -11.32ksi. Determine el factor de seguridad si el material es un acero estructural con un esfuerzo de fluencia de ๏ณf=50ksi . Solución ๐น. ๐. = ๐ = 50ksi = 4.4 −11.32ksi Es decir, el material soportará 440% más de la carga requerida. Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. Elementos cargados axialmente Hasta el momento solo se ha analizado la teoría de los esfuerzos requeridos y los esfuerzos ofrecidos por los materiales mediante la ley de Hooke, pero el análisis de sistemas más complejos (p.e. sistemas hiperestáticos) requiere de conocer la relación entra las cargas aplicadas y las deformaciones que genera a un elemento. La combinación del mundo de los esfuerzos y de las cargas aplicadas en función de su deformación genera una nueva relación de suma importancia para sistemas más complejos. Para desarrollar esta nueva relación entre fuerza-desplazamiento es necesario conocer el comportamiento de un resorte. En la siguiente figura se muestra un resorte sin carga y con carga. Debido a la acción de la fuerza P, el resorte se alarga una cantidad ๏ค y su longitud final resulta L+๏ค. Si el material es linealmente elástico la carga y el alargamiento será proporcional. Figura 19: Alargamiento de un resorte cargado axialmente. 19 La proporcionalidad es: ๐ = ๐๐ฟ ecuación 8 ó ๐ฟ = ๐๐ ecuación 9 Donde: P=carga aplicada k=rigidez del resorte ๏ค=deformación del elemento f=flexibilidad Si despejamos k de la ecuación 7, tenemos que la rigidez es la fuerza necesaria para provocar una deformación determinada. De igual forma, si despejamos la flexibilidad f de la ecuación 8, tenemos que es la deformación lograda ante una determinada carga. Por lo anterior, la relación entre rigidez y flexibilidad es: 1 ๐=๐ ecuación 10 Anteriormente manejamos los siguientes conceptos. σ= ๐= P A ๐ฟ ๐ฟ …. Esfuerzo requerido …….Deformación unitaria ๐ = ๐ธ ∗ ๐ ….Esfuerzo de un determinado material Ahora que conocemos la relación de fuerza, deformación y rigidez ๐ = ๐๐ฟ …… Constante de rigidez Es posible determinar una relación en función de la rigidez y módulo de elasticidad ó entre la carga y módulo de elasticidad, como se muestra en las siguientes ecuaciones. ๐ฟ= ๐๐ฟ ๐ธ๐ด ecuación 11 ๐= ๐ธ๐ด ๐ฟ ecuación 12 ๐ฟ ๐ = ๐ธ๐ด ecuación 13 20 Ejemplo 8 Un cable de acero con diámetro nominal de 25mm y longitud inicial de 14m se utiliza en un patio de construcción para levantar una sección de un puente que pesa 38kN, como se muestra en la figura. El cable tiene un módulo de elasticidad efectivo E=140GPa. Determine a) el alargamiento del cable, b) si el cable está especificado para soportar 70kN, ¿Cuál es el factor de seguridad? Figura 20: Cable de acero. Solución a) Observe que el problema especifica un diámetro nominal del cable, pero el diseñador deberá buscar el área efectiva; es decir, el área que realmente existe en el cable. Sustituyendo valores en la ecuación 10. ๐ฟ= (38๐๐)(14๐) = 0.0125๐ (140๐บ๐๐)(0.000304๐2 ) b) Observe en la tabla que la carga ultima es de 406kN. Por tanto. ๐น. ๐. = ๐ = 406kN = 5.8 70kN Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. 21 1.4. Sistemas hiperestáticos. Hasta el momento todas las ecuaciones mostradas (esfuerzos, ley de Hooke y deformaciones) se pueden aplicar a sistemas estáticamente determinados; es decir, a partir de diagramas de cuerpo libre y de conocer las propiedades del material se pueden determinar todas las reacciones. La mayor parte de las estructuras en aplicaciones industriales no se pueden calcular mediante simple estática. Esto lo podemos observar en la siguiente figura donde se muestra una barra empotrada en ambos lados. Ahora hay dos reacciones verticales, pero solo una ecuación de equilibrio; es decir, más incógnitas que ecuaciones. Este sistema es hiperestático o estáticamente indeterminado. Figura 21: Análisis de una barra hiperestática La ecuación de equilibrio para el sistema mostrado de la figura 21 es. ∑ ๐น๐ฃ๐๐๐ก = 0 ๐ ๐ด − ๐ + ๐ ๐ต = 0 Una sola ecuación con 2 incógnitas Para solucionar este sistema se requiere de una ecuación adicional. La ecuación adicional se basa en la observación de que sus extremos fijos no se desplazan. ๐ฟ๐ด๐ต = 0 A la ecuación adicional se le llama comúnmente ecuación de compatibilidad. A fin de vincular ambas ecuaciones (equilibrio y compatibilidad) se bebe expresar esta última en términos conocidos. Suponiendo que la barra tiene un área de sección transversal A y está hecha de un material con un módulo de elasticidad E tenemos. ๐ฟ= ๐๐ฟ ๐ธ๐ด El sistema requiere un análisis separado (de A-C y de C- B). ๐ฟ๐ด๐ถ = ๐ ๐ด ๐ ๐ธ๐ด ๐ฟ๐ถ๐ต = − Resolviendo el sistema tenemos. 22 ๐ ๐ต ๐ ๐ธ๐ด ๐ฟ๐ด๐ต = ๐ฟ๐ด๐ถ + ๐ฟ๐ถ๐ต = ๐ ๐ด ๐ ๐ธ๐ด − ๐ ๐ต ๐ ๐ธ๐ด = 0 Segunda ecuación con 2 incógnitas Resolviendo ๐๐ ๐๐ ๐ ๐ต = ๐ฟ ๐ฟ Sustituyendo la cualquier reacción en la ecuación dos ๐ ๐ด = ๐ฟ๐ถ = ๐ฟ๐ด๐ถ = ๐ ๐ด ๐ ๐๐๐ = ๐ธ๐ด ๐ฟ๐ธ๐ด En conclusión, para resolver un sistema hiperestático se debe plantear: - Ecuaciones de equilibrio Ecuaciones de compatibilidad (comúnmente llamadas ecuaciones geométricas) Ecuación fuerza-desplazamiento Buscar resolver ambas ecuaciones NOTA: Para sistemas hiperestáticos simples el procedimiento descrito es bastante aceptable y funcional, sin embargo, para casos más complejos es necesario recurrir al método de flexibilidad o de rigidez (analizados más adelante). La relación de Poisson es válida para materiales isotrópicos Ejemplo 9 Dentro de un tubo circular hueco de cobre C está encerrado un cilindro solido de acero S como se muestra en la figura. El cilindro y el tubo se comprimen entre las placas rígidas de una máquina de pruebas mediante fuerzas de compresión P. El cilindro de acero tiene un área de sección transversal As y un módulo de elasticidad Es, el tubo de cobre tiene un área Ac y un módulo Ec, y las dos partes tienen una longitud L. Determine a) las fuerzas de compresión Ps en el cilindro y Pc en el tubo de cobre, b) Los esfuerzos de compresión correspondientes a cada material ๏ณs y ๏ณc , además del acortamiento ๏ค. Figura 22: Estructura hiperestática. 23 Solución a) Valor de fuerzas - En búsqueda de la ecuación de equilibrio. Figura 23: Ecuación de equilibrio (sumatoria de fuerzas). ∑ ๐น๐ฃ๐๐๐ก = 0 - ๐๐ + ๐๐ถ − ๐ = 0 En búsqueda de la ecuación de compatibilidad. Como los extremos son rígidos, la deformación ๏ค en el cobre y acero es la misma. ๏ค๐ = ๏ค๐ถ - En búsqueda de la relación fuerza-desplazamiento. ๐ฟ๐ = ๐๐ ๐ฟ ๐ธ๐ ๐ด๐ ๐ฟ๐ถ = ๐๐ถ ๐ฟ ๐ธ๐ถ ๐ด๐ถ ๐๐ ๐ฟ ๐๐ถ ๐ฟ = ๐ธ๐ ๐ด๐ ๐ธ๐ถ ๐ด๐ถ - Resolviendo ambas ecuaciones ๐๐ = ๐ ( ๐ธ๐ ๐ด๐ ) ๐ธ๐ ๐ด๐ + ๐ธ๐ถ ๐ด๐ถ ๐ธ๐ถ ๐ด๐ถ ๐๐ถ = ๐ ( ) ๐ธ๐ ๐ด๐ + ๐ธ๐ถ ๐ด๐ถ b) Sustituyendo el resultado anterior en la ecuación de ๏ณ=P/A ๐๐ = ๐๐ ๐๐ธ๐ = ๐ด๐ ๐ธ๐ ๐ด๐ + ๐ธ๐ถ ๐ด๐ถ ๐๐ถ = 24 ๐๐ถ ๐๐ธ๐ถ = ๐ด๐ถ ๐ธ๐ ๐ด๐ + ๐ธ๐ถ ๐ด๐ถ c) Después de calcular el valor de fuerza para cada metal es fácil determinar la deformación mediante la ecuación. ๐๐ฟ ๐ฟ= ๐ธ๐ด Tenga en cuenta que se puede ocupar cualquier valor de ๏ค, ya que tanto para el cobre como para el acero es el mismo valor. ๐ฟ= ๐๐ฟ ๐ธ๐ ๐ด๐ + ๐ธ๐ถ ๐ด๐ถ Recomendación Reproduzca el ejercicio en un simulador por elemento finito. 25