TESIS CARRERA DE MAESTRÍA EN INGENIERÍA
DISPOSITIVOS TERMOHIDRÁULICOS EN RÉGIMEN
DE CONVECCIÓN NATURAL
César M. Venier
Maestrando
Dr. Enzo A. Dari
Director
Dr. Federico E. Teruel
Co-director
Miembros del Jurado
Dr. Mariano I. Cantero (Instituto Balseiro)
Dr. Nicolas Silin (Instituto Balseiro)
Ing. Marcelo Gambetta Clevers (INVAP S.E.)
Marzo de 2013
Mecánica Computacional – Centro Atómico Bariloche
Instituto Balseiro
Universidad Nacional de Cuyo
Comisión Nacional de Energı́a Atómica
Argentina
a Fer,
a Gloria y Ángel
Índice de contenidos
Índice de contenidos
v
Índice de figuras
vii
Índice de tablas
ix
Resumen
xi
Abstract
xiii
1. Introducción
1
1.1. Motivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3. Estructura del trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2. Convección Natural en Medios Porosos
7
2.1. Ecuaciones de Navier-Stokes y Energı́a para flujos incompresibles . . .
7
2.2. Método de Promediados Volumétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.2. Algunas Identidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3. Conservación de la Masa en el Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4. Conservación de Momento en el Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . .
13
2.4.1. Término temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4.2. Término advectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.4.3. Término de presión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.4. Término de fuerza boyante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.5. Término de fuerzas viscosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.4.6. Algunas consideraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4.7. Permeabilidad y Ley de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.5. Conservación de Energı́a en el Medio Poroso . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5.1. Término temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5.2. Término advectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
v
vi
Índice de contenidos
2.5.3. Término difusivo . . . . . . . . . . .
2.5.4. Término fuente . . . . . . . . . . . .
2.5.5. Modelado en términos macroscópicos
2.6. Ecuaciones generalizadas en medios porosos
2.7. Adimensionalización de las ecuaciones . . . .
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18
18
19
19
21
3. Generalidades sobre la implementación mediante la herramienta PARGPFEP
23
3.1. Breve descripción del programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Un ejemplo práctico: Navier-Stokes incompresible térmicamente acoplado 25
3.2.1. Formulación variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2. Planteo del sistema matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4. Simulación directa del problema: El Modelo Microscópico
4.1. Planteo general del problema . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Propiedades del fluido . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Geometrı́a del problema modelo . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Condiciones iniciales y de contorno . . . . . . . . . .
4.2. Comentarios sobre el análisis dimensional . . . . . . . . . . .
4.3. Validación de la simulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Modelo Macroscópico
5.1. Descripción del problema homogéneo . . . . . . . . . .
5.2. Calibración de los parámetros macroscópicos . . . . . .
5.2.1. Porosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2. Permeabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3. Difusividad térmica efectiva . . . . . . . . . . .
5.2.4. Coeficiente de transferencia térmica equivalente
5.3. Resumen de ecuaciones y parámetros macroscópicos . .
5.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Análisis comparativo y desempeño del modelo . . . . .
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41
43
43
43
44
45
46
47
50
6. Conclusiones
55
Bibliografı́a
57
Agradecimientos
59
Índice de figuras
1.1. Intercambiador de calor de flujo paralelo (izquierda) y a contraflujo
(derecha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Intercambiador de calor de flujo cruzado . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3. Intercambiador de calor de tubos y coraza . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4. Evaporador de agua
3
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Transformador de potencia tipo ONAN
. . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1. Densidad másica promedio en función del tamaño del volumen de promediado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2. Posiciones relativas al centroide del volumen de promediados . . . . . .
11
4.1. Geometrı́a de la cavidad cuadrada con obstáculos . . . . . . . . . . . .
32
4.2. Mallado del Modelo Microscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.3. Esquema del problema de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.4. Lı́neas isotermas para Ra = 108 (izquierda), Ra = 109 (centro) y Ra =
1010 (derecha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
8
9
4.5. Perfil de temperatura en x = 0,525m para Ra = 10 (azul), Ra = 10
(amarillo) y Ra = 1010 (rojo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.6. Perfil de velocidad a través de los obstáculos en y = 0,525m para Ra =
108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
8
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39
9
. . . . . . . . . . .
39
. . . . . . . . . .
39
4.7. Campos de velocidad y temperatura para Ra = 10
4.8. Campos de velocidad y temperatura para Ra = 10
4.9. Campos de velocidad y temperatura para Ra = 1010
8
4.10. Perfil de velocidad horizontal en x = 0,525m para Ra = 10 (azul),
Ra = 109 (amarillo) y Ra = 1010 (rojo) . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.1. Mallado del Modelo Macroscópico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5.2. Perfil de temperatura en x = 0,525m para Ra = 108 (azul), Ra = 109
(amarillo) y Ra = 1010 (rojo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
5.3. Campos de velocidad y temperatura para Ra = 108 . . . . . . . . . . .
48
5.4. Campos de velocidad y temperatura para Ra = 109 . . . . . . . . . . .
48
vii
viii
Índice de figuras
5.5. Campos de velocidad y temperatura para Ra = 1010 . . . . . . . . . .
5.6. Perfil de velocidad horizontal en x = 0,525m para Ra = 108 (azul),
Ra = 109 (amarillo) y Ra = 1010 (rojo) . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7. Perfil de velocidad en la región obstruida con y = 0,525m para la simulación directa (azul) y modelo poroso (rojo) para Ra = 108 . . . . . .
5.8. Perfil de velocidad en y = 0,525m cercano a la pared izquierda para la
simulación directa (azul) y modelo poroso (rojo) para Ra = 108 (izquierda) y Ra = 1010 (derecha) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9. Campos de velocidad para la simulación directa (izquierda) y con el
modelo macroscópico (derecha) para Ra = 108 . . . . . . . . . . . . .
5.10. Campos de velocidad para la simulación directa (izquierda) y con el
modelo macroscópico (derecha) para Ra = 109 . . . . . . . . . . . . .
5.11. Campos de velocidad para la simulación directa (izquierda) y con el
modelo macroscópico (derecha) para Ra = 1010 . . . . . . . . . . . . .
5.12. Perfil de temperatura en x = 0,525m para la simulación directa (azul)
y modelo poroso (amarillo) para Ra = 1010 . . . . . . . . . . . . . . .
5.13. Números de Nusselt locales sobre la pared izquierda de la simulación
directa (azul) y del modelo macroscópico (amarillo) para Ra = 108 . .
5.14. Números de Nusselt locales sobre la pared izquierda de la simulación
directa (azul) y del modelo macroscópico (amarillo) para Ra = 109 . .
5.15. Números de Nusselt locales sobre la pared izquierda de la simulación
directa (azul) y del modelo macroscópico (amarillo) para Ra = 1010 . .
5.16. Numero de Nusselt para la simulación directa (azul) y modelo poroso
(rojo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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50
50
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51
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53
53
53
54
Índice de tablas
4.1. Propiedades del aceite refrigerante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Número de Nusselt en régimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Número de Nusselt en régimen estacionario . . . . . . . . . . . . . . . .
31
37
40
5.1. Parámetros macroscópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Comparación de transferencia de energı́a para ambos modelos . . . . .
47
54
ix
Resumen
El estudio de problemas dominados por convección natural a través de obstáculos
es de relevancia en diversas áreas de la ingenierı́a. Encontramos ejemplos donde los
obstáculos pueden ser modelados en forma explı́cita (por ejemplo intercambiadores de
calor), y ejemplos donde es conveniente y práctico considerar los obstáculos como un
medio poroso (por ejemplo, la cuba de un transformador de potencia).
En este trabajo, se presentan soluciones numéricas bidimensionales para una variante del problema clásico de convección natural en una cavidad cuadrada con condiciones
de contorno tipo Dirichlet para la temperatura. Para esto se dividió la cavidad en dos
regiones. En la región izquierda, el flujo circula libremente, mientras que en la región
derecha, el flujo atraviesa un medio formado por un arreglo de obstáculos circulares.
Luego, se presenta un modelo de medios porosos que busca representar el mismo problema. En éste se reemplaza la zona de obstáculos por una región donde las ecuaciones
de conservación se ven afectadas por algunos parámetros caracterı́sticos del medio, como son la porosidad y la permeabilidad. Para realizar las simulaciones, se utiliza la
plataforma PAR-GPFEP, basada en el Método de Elementos Finitos estabilizados.
Se pudo verificar el buen desempeño del modelo poroso frente a la simulación directa
evaluando perfiles de velocidad y temperatura, niveles de estratificación y transferencia
de energı́a a través de una pared lateral en régimen laminar. La principal ventaja de
incorporar modelos porosos es la reducción significativa de los costos computacionales.
En este trabajo se logró realizar simulaciones con dichos modelos en un tercio del
tiempo consumido por las simulación directa del problema, con el uso de los mismos
recursos computacionales.
xi
Abstract
The study of problems dominated by natural convection through obstacles is of
relevance in various fields of engineering. We may find examples where obstacles can
be modeled explicitly (i.e. heat exchangers) and examples where it is convenient and
practical to consider obstacles as a porous medium (i.e. the cooling tank of an electrical
power transformer).
In this work, two-dimensional numerical solutions are presented for a variant of
the classical problem of natural convection in a square cavity with Dirichlet boundary
conditions for temperature. In order to do this, the cavity has been divided into
two regions. In the left region, the flow circulates freely. In the right region, the
flow circulates through a medium formed by an array of circular obstacles. Then, we
present a porous media model that seeks to represent the same problem. In this one,
the obstacles region is replaced by a region where the conservation laws are affected
by the medium characteristics parameters, like the porosity and the permeability. The
PAR-GPFEP platform, based on the Finite Elements Method has been used to carry
out the simulations.
We have been able to verify the good performance of the porous model against the
direct simulation in the laminar regime in terms of the velocity and temperature profiles, stratification levels and heat transfer through a vertical wall. The main advantage
of the use of porous models is the significant reduction of the computational cost. In
this work we have been able to carry out porous model simulations in a third of the
total time consumed by the direct simulation of the problem, with the same amount
of computational resources.
xiii
Capı́tulo 1
Introducción
1.1.
Motivación
En las últimas décadas, la fluidodinámica computacional se ha vuelto una pieza
fundamental en el área de la termohidráulica. En este sentido, el desarrollo de una
herramienta de cálculo versátil es esencial para el estudio de múltiples problemas ingenieriles. Entre ellos, el estudio de flujos obstruidos se presenta en diversas aplicaciones
prácticas, es por ello que el entendimiento de los fenómenos que rigen el comportamiento de dichos sistemas continúa siendo un desafı́o cientı́fico de interés en la actualidad.
Algunas de las aplicaciones de flujos a través de medios porosos son la extracción
de petróleo, generadores de vapor, reactores nucleares, tratamiento de residuos, entre
otras. En particular vamos a destacar:
1. Intercambiadores de calor
En un intercambiador de calor, se produce una transferencia de calor de un fluido
a otro a través de una pared sólida que los separa. Una configuración común es la de
tubos dentro de un recinto. Una subdivisión de estos intercambiadores puede realizarse
en función de la circulación de los flujos. Entre ellos podrı́amos destacar:
- Intercambiadores de flujo paralelo: Ambos flujos circulan en la misma dirección
(Figura 1.1)
- Intercambiadores a contraflujo: Los flujos circulan en direcciones opuestas (Figura
1.1)
- Intercambiadores de flujo cruzado: Un flujo circula perpendicular al otro (Figura
1.2)
1
2
Introducción
Figura 1.1: Intercambiador de calor de flujo paralelo (izquierda) y a contraflujo (derecha)
Figura 1.2: Intercambiador de calor de flujo cruzado
Una configuración muy común es la de tubos y coraza, en donde el flujo circula
en varias direcciones (Figura 1.3). La presencia de deflectores inducen turbulencia y
componentes de flujo cruzado, generando ası́ una mayor transferencia de calor.
Figura 1.3: Intercambiador de calor de tubos y coraza
Un caso particular de interés es el estudio de intercambiadores de calor de tubos
horizontales, donde el flujo interno circula de manera forzada, mientras que el externo
circula por convección natural. Esta configuración se presenta en los evaporadores. En
estos, el fluido que circula por el interior de los tubos absorbe o transfiere energı́a y
cambia de fase. De esta forma, la condición en la pared de los tubos es de temperatura
constante (Figura 1.4).
Es posible realizar simulaciones directas de intercambiadores de calor de tubos ya
que la geometrı́a general no es de extrema complejidad. Esta situación no se presenta en todos los casos de flujos obstruidos, pero resulta interesante, a nivel comparativo, analizar los resultados obtenidos de esta forma, frente a los propios obtenidos
con la implementación de modelos fı́sicos. Siguiendo esta lı́nea, se puede optimizar
una metodologı́a para la simulación de flujos obstruidos en convección natural sin la
1.1 Motivación
3
representación exacta de los obstáculos para la generalidad de los casos ingenieriles
estudiados.
Figura 1.4: Evaporador de agua
2. Trasformadores de potencia
Una de las motivaciones principales de este trabajo es el análisis del comportamiento
termohidráulico del fluido refrigerante en la cuba de un transformador de potencia tipo
ONAN (Oil Natural Air Natural). Estos tienen como refrigerante un aceite, que a su
vez actúa como material aislante y que tiene la función de mantener la temperatura de
las distintas partes que lo conforman, dentro de ciertos lı́mites permisibles. Además,
están equipados con aletas flexibles que compensan los cambios de volumen del aceite
por el calentamiento. La circulación del aceite, en este tipo de transformadores, se da
por el principio de convección natural. El fluido se calienta y asciende por el calor
generado, principalmente en el núcleo y las bobinas, y desciende al enfriarse cuando
pasa por las aletas que proporcionan superficies de intercambio con el aire. Existen en
la actualidad estándares nacionales e internacionales que regulan el funcionamiento de
estos dispositivos, en donde se especifica la temperatura máxima de funcionamiento a
plena carga y el tipo de aceite. Con estas regulaciones se busca evitar la degradación
del aceite que pueda causar cortocircuito e incendios. Sin embargo, a pesar de que ya
se han estandarizado los lı́mites de temperatura y tipo de aceite, no existe ningún otro
criterio que busque mejorar su funcionamiento desde el punto de vista de una óptima
refrigeración.
Estudios en estos dispositivos han sido realizados por Gastelurrutia et al. [1] y
Quintana et al. [2] con el fin de estimar el volumen efectivo para la disipación térmica
y determinar dimensiones que lleven a reducir costos de fabricación preservando y/o
mejorando el desempeño del equipo.
4
Introducción
En la Figura (1.5) se puede ver la geometrı́a general del transformador.
Figura 1.5: Transformador de potencia tipo ONAN
1.2.
Objetivos
En este trabajo se buscará abordar dos ramas principales. La primera consiste en
la simulación de un problema de convección natural con una región conformada por
una arreglo de obstáculos circulares (geometrı́a exacta del problema), mientras que la
segunda parte consiste en la implementación de modelos que permiten reemplazar la
geometrı́a del medio obstruido. Una buena medida del “éxito” en la implementación
de estos modelos matemáticos será la similitud de los resultados, los cuales podrán ser
cuantificados mediante variables macroscópicas, como por ejemplo la transferencia de
calor al exterior una vez alcanzado el régimen estacionario.
La ventaja de poder desarrollar un modelo de medios poroso de buen desempeño
consiste en reducir sensiblemente los costos computacionales de realizar simulaciones
con la geometrı́a exacta de los obstáculos. Sumado a esto, existen muchos casos en
donde la dificultad de poder representar exactamente dichas geometrı́as puede volverse
excesiva y la necesidad del uso de un modelo homogéneo para el estudio de este tipo
de problemas se convierte en la única alternativa.
1.3.
Estructura del trabajo
Este trabajo está dividido en 6 capı́tulos. En el capı́tulo 2 se busca introducir al
lector en la metodologı́a de promediados volumétricos y su aplicación en las ecuaciones
de conservación de masa, momento y energı́a que rigen el comportamiento de flujos
incompresibles impulsados por fuerzas boyantes, y obtener finalmente la formulación
1.3 Estructura del trabajo
5
que se usará para el modelado de medios porosos (modelo macroscópico) en el capı́tulo
5. En el capı́tulo 3 se plantea brevemente la estructura general de la plataforma de
cálculo PAR-GPFEP y como se implementan las ecuaciones de conservación de un
problema tı́pico a partir de su formulación fuerte. Los resultados de la simulación
directa del problema y del modelo macroscópico se encuentra en el capı́tulo 4 y 5
respectivamente. En este último se realiza además un análisis comparativo entre ambos
modelos. Finalmente, en el capı́tulo 6 se encuentran las conclusiones de este trabajo.
Capı́tulo 2
Convección Natural en Medios
Porosos
Cuando un flujo atraviesa un medio poroso, las ecuaciones de Navier-Stokes con
acoplamiento térmico se ven afectadas por las caracterı́sticas del propio medio. Un
aspecto a tener en cuenta es que no siempre es posible definir la geometrı́a exacta
de nuestro dominio debido a las complejas estructuras de estos medios. Para poder
plantear un método general para estos problemas, es necesario utilizar modelos que
describan con cierto grado de fidelidad el comportamiento de los mismos.
En el desarrollo de este capı́tulo se analizarán las ecuaciones de conservación de
masa, momento y energı́a aplicadas a un medio denominado poroso. Para ello se introducirán algunos conceptos sobre el análisis de medios porosos y sobre la metodologı́a
de promediados volumétricos.
Como se verá más adelante, mediante el método de promediados volumétricos, se
buscará obtener un nuevo sistema de ecuaciones diferenciales que regirán el comportamiento de los fluidos y donde los campos variables pasan a ser promedios volumétricos
de las variables microscópicas (es decir, de los campos originales). Además, se propondrán modelos para algunos términos del nuevo sistema que permitirán independizarse
de la geometrı́a real de los obstáculos que componen el medio poroso. Al desarrollo
de este conjunto de técnicas, junto con la implementación numérica de las mismas, lo
llamaremos “Modelado Macroscópico”.
2.1.
Ecuaciones de Navier-Stokes y Energı́a para
flujos incompresibles
Las ecuaciones que rigen el movimiento y el comportamiento térmico en fluidos
newtonianos incompresibles impulsados por fuerzas boyantes son:
7
8
Convección Natural en Medios Porosos


div u = 0








∂u
ρ0
+ ρ0 div(u u) = −∇P + µ∇2 u + (ρ − ρ0 ) g
∂t








 ρ0 cp ∂T + ρ0 cp div(u T ) = div(k ∇T ) + Q
∂t
en Ω
(2.1)
Donde Ω es el dominio de estudio, u es el campo de velocidades, T la temperatura,
ρ0 la densidad de referencia del fluido, ρ la densidad a la temperatura T , µ la viscosidad
dinámica, g la aceleración de la gravedad (este vector tiene solo componente vertical),
cp el calor especı́fico, k el coeficiente de conductividad térmica y Q una fuente o sumidero de energı́a. El gradiente de presión ∇P tiene restada la componente de presión
hidrostática:
∇P = ∇p − ρ0 g
(2.2)
En la formulación de estas ecuaciones no se consideran las variaciones de todos los
parámetros materiales del fluido (como pueden ser la viscosidad, conductividad térmica,
calor especı́fico, entre otros), solo son consideradas las variaciones de la densidad en
el término de fuerzas externas. La fuerza boyante es debida a los cambios de densidad
en el fluido, y el origen de estos puede volverse más explı́cito con la introducción del
coeficiente de expansión térmica β:
1 ∂ρ β=−
ρ0 ∂T p=cte
(2.3)
Esta fórmula puede reescribirse como una relación lineal mediante la aproximación
de Boussinesq:
ρ = ρ0 [1 − β (T − T0 )]
(2.4)
Las suposiciones en las que se basa dicha aproximación (tal como es mencionado
por Gray et al. [3]) son que las variaciones de la densidad son debidas exclusivamente
a los cambios de temperatura y ocurren de manera leve.
Junto a las ecuaciones de conservación y la aproximación de Boussinesq que las
vincula, resta considerar las condiciones de contorno y condiciones iniciales.
2.2 Método de Promediados Volumétricos
9
Condiciones iniciales y de contorno para Navier-Stokes:


u(x, 0) = u0 (x) ∀x ∈ Ω






u(x, t) = v(x, t) ∀x ∈ ΓDu







(−p1 + 2µ∇S u)· n = F(x, t) ∀x ∈ ΓN u
(2.5)
Condiciones iniciales y de contorno para la conservación de la energı́a:


T (x, 0) = T0 (x) ∀x ∈ Ω






T (x, t) = Tw (x, t) ∀x ∈ ΓDt







h(t)T (x, t) − k∇T (x, t)· n = qw (x, t) ∀x ∈ ΓN t
(2.6)
Aquı́ u0 es la velocidad inicial, v es la velocidad en la frontera Dirichlet, F es la
tensión en la frontera Neumann, T0 es la temperatura inicial, Tw es la temperatura en la
frontera Dirichlet, h es el coeficiente de transferencia térmica convectiva, qw es el flujo
de calor en la frontera Neumann y n es un vector unitario normal a la superficie de la
frontera. Ası́ como Ω es el dominio de nuestro problema, ∂Ω es la frontera del dominio.
Llamaremos a ΓDu y ΓDt a la frontera de Dirichlet para la velocidad y la temperatura
respectivamente, mientras que ΓN u y ΓN t se corresponden con la frontera de Neumann
para las mismas variables. Además diremos que: ∂Ω = ΓD ∪ ΓN y ΓD ∩ ΓN = Ø.
2.2.
Método de Promediados Volumétricos
Una región porosa es una región compuesta por dos fases, una sólida y una fluida.
Existen al menos dos formas de analizar problemas en regiones porosas. Una consiste en
estudiar las ecuaciones de conservación junto con las condiciones de contorno correspondientes en la escala microscópica real. Sin embargo, resolver las ecuaciones tradicionales
de conservación de masa, momento y energı́a de manera directa no es práctico en la
mayorı́a de los problemas debido a la elevada complejidad de la geometrı́a en la región
porosa. El método de promediados volumétricos provee la segunda forma de estudiar
este tipo de problemas. El mismo consiste en promediar las ecuaciones de conservación
y obtener un nuevo conjunto de ecuaciones en variables “macroscópicas” para resolver
problemas de interés.
10
Convección Natural en Medios Porosos
2.2.1.
Definiciones
Densidad masica promedio
En los siguientes apartados, seguiremos los lineamientos propuestos por Ganesan
et al. [4], Kaviani [5] y Gray et al. [6]. En primer lugar, llamaremos dV al volumen de
promediado dentro de la zona porosa. En la Figura 2.1 podemos ver como se comporta
la densidad másica de lı́quido en función del tamaño del volumen de promediado dV
(el cual puede ser cuantificado por una longitud caracterı́stica, como puede ser el radio
de una esfera de volumen dV ).
l
Region 1
Region 2
d
Region 3
L
Region 4
Longitud caracteristica del volumen de promediado
Figura 2.1: Densidad másica promedio en función del tamaño del volumen de promediado
En este gráfico puede verse que, cuando el volumen dV es muy pequeño, la densidad varı́a discontinuamente entre cero y la densidad másica microscópica del lı́quido,
dependiendo de si el volumen dV se encuentra en la fase sólida o lı́quida respectivamente (Región 1). A medida que dV crece, se alcanza un tamaño en el cual la densidad
comienza a variar continuamente, esto es debido a que el volumen comienza a tener un
tamaño tal que contiene parte de las dos fases (Region 2). Estas variaciones comienzan a disminuir y, a partir de un determinado valor de dV , la densidad de lı́quido
comienza a ser independiente del volumen de promediado (Región 3). A medida que
continua creciendo dV , eventualmente se alcanza un determinado tamaño a partir del
cual la densidad de lı́quido comienza a crecer significativamente, esto se debe a que el
volumen de promediado comienza a contener regiones de lı́quido más allá de la región
porosa (Región 4). Basados en este análisis y con el fin de obtener uniformidad en las
propiedades del sistema, la longitud caracterı́stica de nuestro volumen de promediado
dV deberá estar en la Región 3 de la Figura 2.1. En esta región, al volumen de promediado lo denominaremos “Volumen Elemental Representativo” (REV). Otra forma de
2.2 Método de Promediados Volumétricos
11
expresar esta condición es:
l d L
(2.7)
Donde l es la longitud caracterı́stica microscópica (por ejemplo, el tamaño de un
poro), d es la longitud caracterı́stica del volumen de promediado y L es la longitud
caracterı́stica de la región porosa (por ejemplo, el largo o ancho de la región porosa).
La posición del centroide del volumen de promediado respecto a un sistema de
referencia fijo esta definido por el vector x. Por otro lado, la posición de un punto en
dV esta definido por el vector r respecto al mismo sistema de referencia fijo y por el
vector b respecto del centroide de dV , como puede apreciarse en la Figura 2.2.
r=x+b
(2.8)
b
r
x
dV
Figura 2.2: Posiciones relativas al centroide del volumen de promediados
Definiremos la porosidad φ como la fracción de lı́quido en el volumen de promediado.
Es decir:
dVl
1
φ(x, t) =
(x, t) =
dV
dV
Z
γ(r, t)dv
(2.9)
dV
Donde t es el tiempo, dVl es el volumen de dV ocupado solo por la fase lı́quida, dv
es el volumen elemental microscópico, y γ es una función de distribución que toma el
valor 1 cuando el punto definido por el vector r se encuentra posicionado en la fase
lı́quida y 0 cuando se encuentra en la fase sólida.
Entonces, diremos que toda variable microscópica ψ tiene asociada una variable
macroscópica ψ definida como:
12
Convección Natural en Medios Porosos
Z
1
ψ(x, t) =
dV
ψ(r, t)γ(r, t)dv
(2.10)
dV
El valor macroscópico de ψ promediado solo en el volumen de lı́quido resulta:
1
ψ L (x, t) =
dVl
Z
ψ(r, t)γ(r, t)dv
ψ L (x, t) =
2.2.2.
(2.11)
dV
1
ψ(x, t)
φ
(2.12)
Algunas Identidades
En esta sección se presentan algunos teoremas e identidades que se utilizarán más
adelante para obtener las ecuaciones de conservación del modelado macroscópico.
Teorema 1
Este teorema relaciona el promedio de una derivada temporal con la derivada temporal del promedio:
1
dV
Z
dV
∂ψ
∂ 1
γ dv =
∂t
∂t dV
Z
dV
1
ψ γ dv −
dV
Z
ψ w · nLS da
(2.13)
dA
Donde w es la velocidad microscópica en la interfase sólido-lı́quido, dA es el área de
dicha interfase en dV , da es el área elemental microscópica y nLS es el vector unitario
normal a la interfase sólido-lı́quido con sentido positivo hacia el sólido.
Teorema 2
Este teorema relaciona el promedio de una derivada espacial con la derivada espacial
del promedio:
1
dV
Z
dV
Z
1 Z
1
∇ψ γ dv = ∇
ψ γ dv +
ψ nLS da
dV dV
dV dA
(2.14)
A continuación se enumerarán algunas identidades útiles. En primer lugar definiremos la desviación de una variable microscópica ψe de su valor promedio:
e t) = ψ(r, t) − ψ L (x, t)
ψ(r,
(2.15)
La primer identidad dice que el promedio de una desviación es cero:
ψe = 0
(2.16)
La segunda identidad expresa que el promedio del producto entre una variable
microscópica promedio y la desviación de otra variable microscópica es cero:
2.3 Conservación de la Masa en el Medio Poroso
ψe ζ L = 0
13
(2.17)
La tercer identidad relaciona el promedio del producto de dos variables microscópicas con el producto del promedio:
ψ ζ = ψ L ζ L + ψe ζe
2.3.
(2.18)
Conservación de la Masa en el Medio Poroso
La conservación de la masa planteada en variables microscópicas es:
div u = 0
(2.19)
Si multiplicamos por la función de distribución γ y realizamos un promediado
volumétrico en dV :
1
dV
Z
div u γ dv = 0
(2.20)
dV
Si aplicamos (2.14), se obtiene:
Z
1 Z
1
div
u γ dv +
u · nLS da = 0
dV dV
dV dA
(2.21)
En el tipo de problema que estudiaremos, la fase sólida no se desplaza de su posición
original, es decir, que la velocidad en la interfase es nula:
div u = 0
2.4.
(2.22)
Conservación de Momento en el Medio Poroso
A continuación se analizará la conservación de momento lineal en variables macroscópicas:
ρ0
∂u
+ ρ0 div(u u) = −∇P + µ∇2 u + (ρ − ρ0 ) g
∂t
(2.23)
Aplicando el mismo procedimiento para la conservación de la masa, obtenemos:
14
Convección Natural en Medios Porosos
Z
1
dV
dV
1
∂u
γ dv +
ρ0
∂t
dV
1
dV
Z
dV
Z
ρ0 div(u u) γ dv =
dV
1
−∇P γ dv +
dV
Z
1
µ∇ u γ dv +
dV
2
dV
Z
(ρ − ρ0 ) g γ dv
dV
(2.24)
2.4.1.
Término temporal
1
dV
Z
ρ0
dV
∂u
γ dv
∂t
(2.25)
Aplicando (2.13):
1
dV
Z
dV
∂u
∂u
1
ρ0
γ dv = ρ0
−
∂t
∂t
dV
Z
u (w · nLS ) da
(2.26)
dA
Dado que nLS = 0. El término temporal en la ecuación de conservación de momento
resulta:
ρ0
2.4.2.
∂u
∂t
(2.27)
Término advectivo
1
dV
Z
ρ0 div(u u) γ dv
(2.28)
dV
Aplicando (2.14):
1
dV
Z
dV
Z
h 1 Z
i
1
ρ0 div(u u) γ dv = ρ0 div
(u u) γ dv + ρ0
(u u)· nLS da
dV dV
dV dA
(2.29)
Como ya mencionó previamente, la velocidad en la interfase es nula, entonces el
segundo término se anula. Si aplicamos la definición (2.15) y distribuimos, obtenemos:
h 1 Z
i
h 1 Z
i
e )(uL + u
e ) γ dv =
ρ0 div
(u u) γ dv = ρ0 div
(uL + u
dV dV
dV dV
h 1 Z
i
e+ u
e uL + u
eu
e ) γ dv (2.30)
ρ0 div
(uL uL + uL u
dV dV
2.4 Conservación de Momento en el Medio Poroso
15
Distribuyendo la integral en cada término, aplicando (2.9), (2.17) y teniendo en
cuenta que uL es constante en el volumen, finalmente obtenemos:
e)
ρ0 div(φ uL uL ) + ρ0 div(e
uu
2.4.3.
(2.31)
Término de presión
Z
1
dV
−∇P γ dv
(2.32)
dV
Aplicando el (2.12) y (2.14) se obtiene:
1
− φ ∇P L − P L ∇φ −
dV
2.4.4.
Z
P nLS da
(2.33)
dA
Término de fuerza boyante
1
dV
Z
(ρ − ρ0 ) g γ dv
(2.34)
dV
Aplicando (2.12):
φ (ρ − ρ0 )L g
2.4.5.
(2.35)
Término de fuerzas viscosas
1
dV
Z
µ∇2 u γ dv
(2.36)
dV
Aplicando (2.14), se obtiene:
1
dV
Z
dV
Z
1 Z
1
µ∇ u γ dv = µ div
∇u γ dv + µ
∇u · nLS da =
dV dV
dV dA
2
Z
1 Z
1 Z
1
µ∇
u γ dv + µ div
u nLS da + µ
∇u · nLS da (2.37)
dV dV
dV dA
dV dA
2
Teniendo en cuenta que la velocidad en la interfase sólido-lı́quido es nula, el término
en variables macroscópicas resulta:
1
µ∇ u+µ
dV
2
Z
∇ u· nLS da
dA
(2.38)
16
Convección Natural en Medios Porosos
2.4.6.
Algunas consideraciones
Dado que la función porosidad puede variar en nuestro dominio, el primer término
de la ecuación (2.31) conviene reescribirlo como:
ρ0 div(φ uL uL ) = ρ0 div(
1
1
1
u u) = ρ0 u div( u) + ρ0 u · ∇u =
φ
φ
φ
1
1
1
ρ0 u (u · ∇ ) + ρ0 u ( div u) + ρ0 u · ∇u (2.39)
φ
φ
φ
El segundo término del RHS (Right Hand Side) es nulo por (2.22). Si desarrollamos
el gradiente en el primer término, finalmente obtenemos:
ρ0 uL · ∇u − ρ0
1
(∇φ · u) u
φ2
(2.40)
Esta formulación resulta más sencilla para la implementación en el programa. De
esta manera, puede obtenerse una formulación similar a la tradicional para el término
advectivo de Navier-Stokes, con el agregado de un término que incorpora las variaciones
espaciales de la función φ.
2.4.7.
Permeabilidad y Ley de Darcy
La ley de Darcy en régimen estacionario y completamente desarrollado es:
µ
u
(2.41)
K
Donde K es la permeabilidad que depende de las caracterı́sticas del medio (como
pueden ser la porosidad y el tamaño de los obstáculos, entre otros). La forma de
calcular estos parámetros se estudiará más adelante, pero cabe mencionar que dependen
fuertemente del problema en cuestión.
La aplicabilidad de esta ley esta condicionada, en general, a:
− ∇P L =
Bajo numero de Reynolds
Flujo estacionario
La porosidad φ debe ser uniforme en el medio poroso
Para un caso más general, donde la velocidad del flujo es mayor, existen varias
extensiones de la ley de Darcy para regı́menes dominados por efectos inerciales. Para
abarcar este tipo de casos, en este trabajo se utilizan los conceptos desarrollados por
Ganesan et al. [4], Ergun [7] y Macdonald et al. [8], y se propone el siguiente modelado:
2.5 Conservación de Energı́a en el Medio Poroso
Z
1
µ
dV
∇u · nLS
dA
1
da − P L ∇φ −
dV
17
Z
dA
e) =
uu
P nLS da − ρ0 div(e
−
µ
(1 − φ) 1
ρ0 |u| u (2.42)
u − 1,8
K
φ3 d
Donde d es el diámetro de los obstáculos. El primer término del RHS se denomina
término de Darcy, mientras que el segundo término se denomina término de Forchheimer.
2.5.
Conservación de Energı́a en el Medio Poroso
La conservación de la energı́a en variables microscópicas es:
ρ 0 cp
∂T
+ ρ0 cp div(u T ) = div(k ∇T ) + Q
∂t
(2.43)
Aplicando la misma metodologı́a utilizada para la conservación de masa y momento:
1
dV
Z
dV
2.5.1.
∂T
1
ρ 0 cp
γ dv +
∂t
dV
Z
dV
ρ0 cp div(u T ) γ dv =
Z
Z
1
1
div(k ∇T ) γ dv +
Q γ dv (2.44)
dV dV
dV dV
Término temporal
1
dV
Z
ρ0 cp
dV
∂T
γ dv
∂t
(2.45)
Teniendo en cuenta que la densidad y el calor especı́fico del lı́quido son constantes
en dV y aplicando (2.13), se obtiene:
1
dV
Z
dV
∂T
∂ 1
ρ 0 cp
γ dv = ρ0 cp
∂t
∂t dV
Z
dV
1
T γ dv −
dV
∂T L
1
ρ 0 cp φ
−
∂t
dV
Z
T (w · nLS ) da =
dA
Z
T (w · nLS ) da (2.46)
dA
Como se dijo antes, w es la velocidad de la interfase sólido-lı́quido, que en nuestro
caso es nula. Con lo cual, el término temporal en la ecuación de conservación de la
18
Convección Natural en Medios Porosos
energı́a en variables macroscópicas resulta:
∂T L
∂t
(2.47)
ρ0 cp div(u T ) γ dv
(2.48)
ρ0 cp φ
2.5.2.
Término advectivo
1
dV
Z
dV
Aplicando el (2.14) obtenemos:
Z
1 Z
1
u T γ dv + ρ0 cp
T u · nLS da
ρ0 cp div
dV dV
dV dA
(2.49)
Debido a la condición de no deslizamiento en la interfase sólido-lı́quido, el último
término de esta ecuación es nulo. Ahora bien, aplicando la identidad (2.15), (2.18),
desarrollando cada variable y distribuyendo:
1 Z
u T γ dv = ρ0 cp div(u T ) = ρ0 cp div(φ uL T L )+ρ0 cp div(e
u Te) =
ρ0 cp div
dV dV
ρ0 cp T L div u + ρ0 cp φ uL · ∇T L + ρ0 cp div(e
u Te) (2.50)
Aplicando (2.22), se obtiene:
ρ0 cp φ uL · ∇T L + ρ0 cp div(e
u Te)
2.5.3.
(2.51)
Término difusivo
1
dV
Z
div(k ∇T ) γ dv
(2.52)
dV
Aplicando (2.14):
Z
1 Z
1
k ∇T γ dv +
k ∇T · nLS da
div
dV dV
dV dA
2.5.4.
(2.53)
Término fuente
1
dV
Z
Q γ dv
dV
(2.54)
2.6 Ecuaciones generalizadas en medios porosos
19
Aplicando la definición (2.9), se obtiene:
1
dV
2.5.5.
Z
Q γ dv = Q
(2.55)
dV
Modelado en términos macroscópicos
En este apartado, se seguirán los lineamientos propuestos por Cantero [9] y Ni et
al. [10] para el modelado de los términos en la ecuación de energı́a.
El segundo término de (2.51) podemos modelarlo como:
u Te) = ρ0 cp div(−αd ∇T L ) = div(−kd ∇T L )
ρ0 cp div(e
(2.56)
Donde αd es un coeficiente de dispersión “extra”. Este término es el encargado de
incrementar significativamente la difusividad térmica. Ante la ausencia de los obstáculos, los cuales generan el efecto difusivo en el problema microscópico, debe existir un
término que cumpla la misma función. Análogamente, kd representa la conductividad
térmica “extra” en ausencia de obstáculos.
Para (2.53), se seguirán los lineamientos de Ni et al. [10] y se propone el siguiente
modelo:
Z
1 Z
1
ALS
k ∇T γ dv +
k ∇T · nLS da = div(k ∇T L ) + H
(TS − T L )
div
dV dV
dV dA
dV
(2.57)
El coeficiente H puede interpretarse como un coeficiente de transferencia de tipo
convectivo. El valor de este coeficiente depende del problema en cuestión y se verá detenidamente más adelante. ALS representa la superficie de la interfase sólido-lı́quido y
TS representa la temperatura de la interfase.
2.6.
Ecuaciones generalizadas en medios porosos
Finalmente, las ecuaciones de conservación de masa, momento y energı́a en variables
macroscópicas con la implementación de los modelos resultan:
Conservación de la masa:
div u = 0
(2.58)
20
Convección Natural en Medios Porosos
Conservación de momento lineal:
ρ0
∂u
+ ρ0 uL · ∇u =
∂t
− φ ∇P L + µ ∇2 u + φ (ρ − ρ0 )L g +
1
µ
(1 − φ) 1
ρ0 |u| u
(∇φ
·
u)u
−
u
−
1,8
φ2
K
φ3 d
(2.59)
Conservación de energı́a:
φ ρ0 cp
∂T L
ALS
+ φ ρ0 cp uL · ∇T L = div[(kd + k) ∇T L ] + H
(TS − T L ) + Q (2.60)
∂t
dV
Aproximación de Boussinesq:
φ (ρ − ρ0 )L g = −φ ρ0 g β(T L − T0L )
(2.61)
Esto puede verse fácilmente promediando en volumen a partir de la aproximación
de Boussinesq original.
Condiciones iniciales y de contorno:
Las condiciones iniciales y de contorno no se encuentran promediadas en el volumen
ya que, en el tipo de problema que se estudiará, las condiciones impuestas serán solo de
dos tipos. Uno será condiciones de contorno de Neumann nulas. El segundo tipo serán
condiciones tipo Dirichlet, en donde el promediado no altera el valor de la variable en
el borde.
Navier-Stokes:


u(x, 0) = u0 (x) ∀x ∈ Ω






u(x, t) = v(x, t) ∀x ∈ ΓD







(−p1 + 2µ∇S u)· n = F(x, t) ∀x ∈ ΓN
(2.62)
Conservación de la energı́a:


T (x, 0) = T0 (x) ∀x ∈ Ω






T (x, t) = TW (x, t) ∀x ∈ ΓD







h(t)T (x, t) − k∇T (x, t)· n = qw (x, t) ∀x ∈ ΓN
(2.63)
2.7 Adimensionalización de las ecuaciones
2.7.
21
Adimensionalización de las ecuaciones
En el programa PAR-GPFEP, las ecuaciones son implementadas en forma dimensional con unidades del Sistema Internacional. Sin embargo, es de interés conceptual
estudiar las ecuaciones en su forma adimensional con el fin de cuantificar la importancia relativa de los diferentes términos de las ecuaciones, ası́ como también tener una
formulación más simple y compacta.
Tal como es planteado por Massarotti et al. [11], se propone la siguiente adimensionalización de variables:
x = Lx0 ; u =
L2 0
ρ0 α 2
k∆T 0
α 0
u ; t=
t ; p = 2 p0 ; T = T0 + ∆T T 0 ; Q =
Q
L
α
L
L2
(2.64)
Siendo ψ 0 la variable adimensionalizada, x toda variable que represente distancia,
L la longitud caracterı́stica, T0 la temperatura inicial del fluido y ∆T la diferencia de
temperaturas caliente y frı́a de las condiciones de borde de nuestro problema.
Las ecuaciones adimensionalizadas de esta forma resultan:


div u0 = 0









1 0 0
∂u0



 ∂t0 + div ( φ u u ) =
Pr 0
(1 − φ) 1 0 0
0

−φ ∇p0L + P r ∇2 u0 − Ra P r T L −
u − 1,8
|u | u


Da
φ3 d0







0



 ∂T L + u0L · ∇T 0L = div(Rk ∇T 0L ) + Rh (1 − T 0L ) + Q0L
∂t0
(2.65)
Donde:
Pr =
gβ∆T L3
K
ke
HALS L2
ν
; Ra =
; Da = 2 ; Rk =
; Rh =
α
να
L
φk
φ k dV
(2.66)
Siendo ke el coeficiente de conductividad térmica efectiva:
ke = kd + k
(2.67)
Capı́tulo 3
Generalidades sobre la
implementación mediante la
herramienta PAR-GPFEP
3.1.
Breve descripción del programa
El programa PAR-GPFEP (PARallel General Purpose Finite Elements Program)
es un sistema de generación de códigos de elementos finitos paralelizado. En el mismo,
se lleva un código de base común a un gran número de problemas, permitiendo, de
esta manera, que el usuario pueda abordar un caso de interés tan solo encargándose
de la programación de la formulación variacional discreta (FVD). Es decir, el código
brinda la manipulación de los sistemas algebraicos, la integración numérica, la gestión
de memoria, el ensamblaje de la matriz y RHS (segundo miembro) elementales y todo
tipo de tareas comunes a problemas de elementos finitos.
La experiencia de utilizar un programa de estas caracterı́sticas para este trabajo ha
sido muy provechosa, ya que ha permitido focalizar las horas de trabajo en el estudio del
comportamiento fı́sico de los problemas prácticos, en desarrollos teóricos previos y en
el análisis de los resultados. A su vez, siendo este un código abierto, se pudo incursionar
en los niveles programables, como ser el planteo de la matriz y RHS elemental, y la
implementación de modelos macroscópicos dentro de las rutinas correspondientes.
La plataforma PAR-GPFEP es una versión paralelizada del programa de ejecución
exclusivamente secuencial GPFEP, cuyas rutinas fueros programadas en lenguaje FORTRAN77. En este trabajo no se abordarán los conceptos de procesamiento distribuido
para el desarrollo del programa paralelizado, pero vale mencionar que el mismo fue desarrollado utilizando librerı́as de PETSc-MPI. Para más detalles sobre la paralelización
del mismo, referirse a Lew [12].
Pese a la gran extensión y complejidad propia de un código general de elementos
23
24 Generalidades sobre la implementación mediante la herramienta PAR-GPFEP
finitos, podemos plantear un esquema simplificado de un paso temporal mediante PARGPFEP:
Por cada paso temporal i
1. va ← v
2. Por cada paso fraccionado
• A) fijar el sistema lineal a A(i), x(i), b(i)
• B) fijar los ı́ndices del ensamblaje a los correspondientes a step=1
• C) A(i) ← 0, b(i) ← 0
• D) bucle sobre los elementos de la malla de volumen
◦ a) copiar el valor de todos los campos en los nodos del elemento a
un vector auxiliar
◦ b) llamar a la rutina elemental de volumen n◦ 1, que calcula la contribución elemental a A(i) y b(i) correspondiente a la FVD del
primer paso fraccionado. A esta rutina se le pasa el vector auxiliar generado en el paso anterior.
◦ c) ensamblar los valores elementales en A(i) y b(i)
• E) bucle sobre los elementos de la malla de superficie
◦ a) copiar el valor de todos los campos en los nodos del elemento a
un vector auxiliar
◦ b) llamar a la rutina elemental de superficie n◦ 1, que calcula la
contribución elemental a A(i) y b(i) correspondiente a la FVD del
primer paso fraccionado. A esta rutina se le pasa el vector auxiliar
generado en el paso anterior.
◦ c) ensamblar los valores elementales en A(i) y b(i)
• F) resolver A(i).x(i) = b(i)
• G) procedimiento x2v: actualizar v, colocando o sumando los valores de
x(i) en los lugares correspondientes
fin paso temporal
Donde v es el vector con todos los campos incógnita y x representa el vector del
campo incógnita involucrado en el paso fraccionado.
Este esquema es muy general y no necesita ser modificado al cambiar de problema,
queda a necesidad del usuario la programación de las subrutinas de generación de la
matriz elemental y RHS acorde al problema de interés.
3.2 Un ejemplo práctico: Navier-Stokes incompresible térmicamente acoplado
25
Como ya se mencionó, la tarea del usuario para resolver un problema por FEM
mediante PAR-GPFEP resulta acotada principalmente a realizar la geometrı́a y mallado del problema, y planteo de la matriz y RHS elementales. Tan solo resta indicarle
al programa detalles sobre los parámetros materiales de nuestro medio, parámetros
numéricos de los métodos de resolución, paso de tiempo (si es un problema transitorio)
y polinomios de interpolación, entre otros. Toda esta información debe detallarse en el
archivo de configuración gpfep.cfg.
3.2.
Un ejemplo práctico: Navier-Stokes incompresible térmicamente acoplado
A continuación veremos como pasar de la formulación fuerte a la formulación variacional utilizada para el Método de Elementos Finitos en un caso de flujo incompresible
en régimen transitorio. Esta etapa se corresponde con el punto 1-D-b) del esquema general planteado previamente. La mayor parte de la tarea de programación del usuario
radica en el planteo de estas rutinas elementales que dependen del problema en cuestión.
En nuestro problema original tenemos que resolver, además, la ecuación de conservación de la energı́a e incorporar las condiciones de contorno. Sin embargo, no es
el objetivo de este capı́tulo entrar en detalles del problema completo. Se busca dar
al lector una idea general de como se procede con la discretización de un problema
continuo por el Método de Elementos Finitos hasta obtener finalmente la formulación
usada en el código fuente del programa.
En el problema completo, se plantea de manera similar el sistema matricial para la
ecuación de conservación de la energı́a y los resultados del campo de temperatura en
el paso previo se incorporan a la rutina elemental de NS para el cálculo de la fuerza
boyante. De manera análoga, para la resolución del paso fraccionado de la energı́a,
se necesita un dato de velocidad para el término advectivo. En este caso se utiliza la
velocidad resuelta en el paso anterior. Entonces, los pasos fraccionados de las ecuaciones
de NS y energı́a se resuelven alternadamente.
La formulación fuerte para la resolución del paso fraccionado de NS es:


div u = 0


en Ω
(3.1)


 ρ0 ∂u + ρ0 (u· ∇)u = div σ + ρ g en Ω
∂t
Siendo la ecuación constitutiva para un fluido newtoniano incompresible:
s
σ = −p1 + 2µ∇ u
con
1
T
∇ u=
∇u + ∇u
2
s
(3.2)
26 Generalidades sobre la implementación mediante la herramienta PAR-GPFEP
3.2.1.
Formulación variacional
Para obtener la formulación variacional del problema, multiplicamos ambos miembros de la ecuación (3.1) por las funciones de prueba v y q e integramos en el dominio
Ω:
 Z


q div u dΩ = 0 ∀q ∈ Q


 Ω
Z
Z
Z
Z


∂u



div σ v dΩ + ρ g v dΩ ∀v ∈ V
v dΩ + ρ0 (u · ∇)u v dΩ =
ρ0
∂t
Ω
Ω
Ω
Ω
(3.3)
Donde V y Q son los espacios funcionales continuos correspondientes a v y q,
subespacios de H 1 (Ω)n y L2 (Ω), con n el número de dimensiones espaciales.
Aplicando el teorema de la divergencia a (3.3):
 Z


q div u dΩ = 0 ∀q ∈ Q



Ω





Z
 Z
∂u
ρ0
v dΩ + ρ0 (u · ∇)u v dΩ =

∂t
Ω
Ω





Z
Z
Z





(σ ∇n)v dΓ + σ : ∇v dΩ + ρ g v dΩ ∀v ∈ V
Γ
Ω
(3.4)
Ω
Para simplificar el problema, consideraremos, en principio, que tenemos condiciones
Dirichlet nulas para la velocidad en el contorno y pediremos lo mismo para las funciones
de forma v, es decir, u|Γ = 0 y v|Γ = 0, entonces se anula el primer término del RHS.
Aplicando (3.2) a (3.4) obtenemos:
 Z


q div u dΩ = 0 ∀q ∈ Q



Ω





Z
 Z
∂u
ρ0
v dΩ + ρ0 (u · ∇)u v dΩ =

∂t
Ω
Ω





Z
Z
Z



S
S


2 µ ∇ u ∇ v dΩ − p div v dΩ + ρ g v dΩ ∀v ∈ V
Ω
Ω
(3.5)
Ω
Si sumamos ambas ecuaciones y tenemos en cuenta (2.2), podemos plantear el
problema en su formulación variacional que resulta:
3.2 Un ejemplo práctico: Navier-Stokes incompresible térmicamente acoplado
27


Hallar (u, P ) que verifica:










a((u, P ), (v, q)) = L(v, q)










Siendo:



Z
Z
Z

∂u


v dΩ + ρ0 (u · ∇)u v dΩ − 2 µ ∇S u ∇S v dΩ +
a((u, P ), (v, q)) =
ρ0



∂t
Z
Z
Ω
Ω
Ω





P div v dΩ + q div u dΩ



Ω
Ω





Z




 L(v, q) = (ρ − ρ0 ) g v dΩ ∀(v, q) ∈ V x Q
Ω
(3.6)
3.2.2.
Planteo del sistema matricial
Discretización espacial
Para la discretización espacial, aplicando el método de Galerkin, se propondrá reemplazar las variables de campo continuas por las siguientes variables de campo discretas:

K
X




uh =
uj ϕ
~ j , vh = ϕ
~m



j=1

(3.7)


R

X



Pi ϕi , qh = ϕl

 Ph =
i=1
Donde ϕ
~ rj , ϕ
~ rm , ϕi y ϕl son funciones de forma continuas compuestas por tramos de
polinomios, siendo r el ı́ndice de componente. Entonces, la forma aproximada de (3.5)
resulta:
 Z


qh div uh dΩ = 0 ∀qh ∈ Qh



Ω





Z
 Z
∂uh
ρ0
vh dΩ + ρ0 (uh · ∇)uh vh dΩ =

∂t
Ω
Ω





Z
Z
Z



S
S


2 µ ∇ uh ∇ vh dΩ − Ph div vh dΩ + (ρ − ρ0 ) g vh dΩ ∀vh ∈ Vh
Ω
Ω
Ω
(3.8)
28 Generalidades sobre la implementación mediante la herramienta PAR-GPFEP
Siendo Vh y Qh los espacios funcionales continuos correspondientes a vh y qh , subespacios de H 1 (Ω)n y L2 (Ω).
Aplicando (3.7) a (3.8):
 K
X Z



ϕl div ϕ
~ j dΩ = 0
uj



Ω

j=1






Z
Z
Z
K
R
K
X
X
X
0

~jϕ
~ m dΩ +
uj
ρ0 (uh · ∇)~
ϕj ϕ
~ m dΩ +
Pi ϕi div ϕ
~ m dΩ−
uj (t) ρ0 ϕ



Ω
Ω
Ω

j=1
i=1
j=1


Z
K Z
K
 X
X



2µ ∇s ϕ
~ j ∇s ϕ
~ m dΩ =
(ρ − ρ0 ) g ϕ
~ m dΩ
uj


j=1
Ω
j=1
Ω
(3.9)
Para el análisis de las condiciones de convergencia del método, el lector puede
referirse a Babuska [13] y Brezzi [14]. Aunque esta teorı́a no sea estudiada en este trabajo, vale destacar que los métodos que utilizan la misma interpolación para la presión
que para cada componente de la velocidad no verifican la condición de convergencia de
Babuska-Brezzi. Dicho esto, existen dos formas de tratar con este condicionante. Por un
lado, pueden utilizarse distintos órdenes de aproximación para ambos campos incógnita. La segunda forma consiste en utilizar aproximaciones del tipo “equal-order” y luego
un método de estabilización para obtener convergencia (métodos GLS y SGS). Para
este problema en particular se utiliza un método del mismo orden por consideraciones
de simplicidad y eficiencia computacional.
Discretización temporal
Para la discretización temporal del problema se aplicará el Método Theta:
uN +1 − uN
+ θf (uN +1 ) + (1 − θ)f (uN ) = g
con 0 ≤ θ ≤ 1
(3.10)
∆t
El segundo término de la ecuación de momento en (3.9) puede linealizarse utilizando
el valor de la velocidad del paso temporal anterior para la variable dentro de la integral
(es por esto que no se aplicó la descomposición como combinación lineal de las funciones
de forma para esta variable).
Cuando el término advectivo es predominante frente al término difusivo, es posible
la aparición de oscilaciones en la solución. Frente a este problema, el PAR-GPFEP
tienen implementado el método de estabilización SUPG. El lector interesado puede
referirse a Lew [12] y Cantero [9].
3.2 Un ejemplo práctico: Navier-Stokes incompresible térmicamente acoplado
29
Si aplicamos (3.10) en (3.9) y distribuimos los términos obtenemos:
 K
Z
X


N +1

u
ϕ
div
ϕ
~
dΩ
=0

l
j
j


Ω

j=1







Z
Z
Z

K

 X N +1 1
N
ϕj ϕ
~ m dΩ − θ 2µ ∇s ϕ
~ j ∇s ϕ
~ m dΩ +
uj
ρ0 ϕ
~jϕ
~ m dΩ + θ ρ0 (u · ∇)~
Ω
Ω
Ω ∆t

j=1


Z
Z
Z
R
K

h
X
X

1



PiN +1 ϕi div ϕ
~ m dΩ = (ρ − ρ0 ) g ϕ
~ m dΩ +
uN
ρ0 ϕ
~jϕ
~ m dΩ−
j



Ω
Ω
Ω ∆t
i=1
j=1

Z
Z

i


N
s
s

 (1 − θ) ρ0 (u · ∇)~
ϕj ϕ
~ m dΩ + (1 − θ) 2µ ∇ ϕ
~j ∇ ϕ
~ m dΩ
Ω
Ω
(3.11)
Matriz y RHS elementales
En PAR-GPFEP, en lugar de resolver el sistema matricial con el vector de incógnitas
uN +1 y P N +1 , se resuelve el sistema con incógnitas (uN +1 − uN ) y (P N +1 − P N ). Esto
se debe a una cuestión de comodidad al momento de evaluar el residuo en cada paso
del proceso iterativo no lineal. Para obtener esto basta con restar las ecuaciones (3.11)
con los términos correspondientes al paso temporal anterior:

K
Z
X


N +1
N

(uj
− uj )
ϕl div ϕ
~ j dΩ = 0




Ω
j=1








Z
Z
K
i
hZ 1

 X
N +1
N
s
s
N
ϕj ϕ
~ m dΩ − θ 2µ∇ ϕ
~j ∇ ϕ
~ m dΩ +
(uj
− uj )
ρ0 ϕ
~jϕ
~ m dΩ + θ ρ0 (u · ∇)~
Ω
Ω
Ω δt

j=1


Z
Z
Z

R

X

N
+1
N


(Pi
− Pi ) ϕi div ϕ
~ m dΩ = (ρ − ρ0 ) g ϕ
~ m dΩ − ρ0 (uN · ∇)uN ϕ
~ m dΩ+



Ω
Ω
Ω

Zi=1
Z



s N
s


2µ∇ u ∇ ϕ
~ m dΩ − P N div ϕ
~ m dΩ
Ω
Ω
(3.12)
A partir de aquı́, llamaremos u̇ a (uN +1 − uN ) y de la misma manera a Ṗ . Las
ecuaciones (3.12) pueden expresarse más sencillamente en su forma matricial:
MxN +1 = bN
Donde b y M resultan del ensamblaje de be y Me :
(3.13)
30 Generalidades sobre la implementación mediante la herramienta PAR-GPFEP


u̇11
 2
 u̇1 
 
 . 
 
 
 . 
 
 u̇n 
 1
 1
 u̇2 
 

xe = 
 . 
 
 . 
 
u̇n 
 K
 
 Ṗ1 
 
 . 
 
 
 . 
ṖR


b1
 
 . 
 
 . 
 
 
 . 
 

be = 
bK 
 
0
 
 . 
 
 
 . 
0


|
A



Me = 


−
−
CT

C 


|


− − − 
| 0
(3.14)
Donde Me es una matriz de (K + R) x (K + R). Los elementos de esta matriz y
los elementos del vector de incógnitas elemental resultan:
Z
Ajm =
Ω
Z
1
ρ0 ϕ
~jϕ
~ m dΩ + θ
∆t
ρ0 (uN
ϕj ϕ
~m
j · ∇)~
Z
dΩ − θ
Ω
2µ ∇s ϕ
~ j ∇s ϕ
~ m dΩ
Ω
Z
ϕi div ϕ
~ m dΩ
Cim =
Ω
Z
Z
Ω
N
Z
ρ0 (u · ∇)u ϕ
~ m dΩ +
(ρ − ρ0 ) g ϕ
~ m dΩ −
bj =
N
Ω
s
N
s
Z
2µ ∇ u ∇ ϕ
~ m dΩ −
Ω
P N div ϕ
~ m dΩ
Ω
(3.15)
En nuestro problema particular, también debe resolverse un sistema similar para la
ecuación de conservación de la energı́a cuyo procedimiento es análogo. Otra observación
es que en este análisis se hizo la suposición de tener condiciones Dirichlet cero en todos
los bordes, lo cual se corresponde con nuestro problema (como se verá más adelante).
De todas formas, el PAR-GPFEP provee la posibilidad de implementar cualquier tipo
de condiciones de borde tipo Dirichlet y Neumann.
La matriz y RHS elementales en cada paso de tiempo son almacenadas para un
posterior ensamblaje y resolución del sistema completo en la subrutina correspondiente.
Capı́tulo 4
Simulación directa del problema: El
Modelo Microscópico
En este capı́tulo se resolverá numéricamente un problema bidimensional de convección natural en régimen laminar para una cavidad cuadrada con la variante de la
incorporación de obstáculos circulares. Los cálculos serán realizados con la plataforma
PAR-GPFEP. Se presentan resultados de transferencia de calor, caudales de circulación
a través de los obstáculos, ası́ como campos de temperaturas y velocidades en función
del número de Rayleigh. Los resultados de este problema serán utilizados como patrón
para el modelado macroscópico del problema.
4.1.
4.1.1.
Planteo general del problema
Propiedades del fluido
En la Tabla 4.1 se detallan las propiedades del aceite refrigerante del transformador
de potencia tipo ONAN. Estas mismas propiedades son las utilizadas para la simulación
microscópica.
Densidad a 20o C (ρ0 ) [Kg/m3 ]
866,8
2
o
Viscosidad dinámica a 20 C (µ) [N.s/m ]
0,01144
Coeficiente de difusión térmica (k) [W/m2 .K]
0,0744
o
Coeficiente de dilatación volumétrica (β) [1/ K] 0,00075
Calor especı́fico a 20o C (cp ) [J/Kg.o K]
1860,0
Tabla 4.1: Propiedades del aceite refrigerante
Un detalle a destacar es que, a pesar de que el programa PAR-GPFEP tiene implementado un modelo para la variación de la viscosidad con la temperatura, en el
problema estudiado en este trabajo la misma fue considerada constante. Esto se debe
31
32
Simulación directa del problema: El Modelo Microscópico
a que los cambios de temperatura son muy pequeños y la viscosidad no variarı́a en más
de un 2 %.
4.1.2.
Geometrı́a del problema modelo
En este capı́tulo se buscan resolver las ecuaciones (3.1) en una geometrı́a que consiste de una cavidad cuadrada de lado L = 1,05m. Si pensamos en una división virtual
de nuestro dominio en nueve regiones cuadradas de 0,35m de lado, como puede verse
en la Figura 4.1, en el cuadrante central derecho tenemos una región constituida por
un arreglo “en lı́nea” de 49 obstáculos circulares de diámetro d = 0,0282m. Además,
para favorecer la circulación unidireccional del flujo, se tiene una pared vertical del lado izquierdo de la región de obstáculos que llamaremos “pared buffer” de dimensiones
a = 0,001m y b = 0,35m.
c = 0.05
L = 1.05
b = 0.35
c = 0.05
r = 0.0282
a = 0.001
L = 1.05
Figura 4.1: Geometrı́a de la cavidad cuadrada con obstáculos
4.1 Planteo general del problema
33
Se utilizó una malla no estructurada de 106111 elementos triangulares y 54769 nodos
con un mayor refinamiento hacia la pared izquierda y en la región de los obstáculos
(Figura 4.2). En esta región, tendremos condiciones Dirichlet para la temperatura y es
donde se espera encontrar los mayores gradientes de los campos incógnita.
Figura 4.2: Mallado del Modelo Microscópico
4.1.3.
Condiciones iniciales y de contorno
Las condiciones iniciales para todos los casos que se analizarán serán u0 = 0 m/s
en todo el dominio y T0 = 20o C.
En cuanto a las condiciones de contorno, para la velocidad tendremos v = 0 m/s en
las paredes de la cavidad, en los obstáculos y en la pared buffer, mientras que, para la
temperatura, tendremos condiciones de temperatura fija en la pared izquierda (Tw ), en
el borde de los obstáculos (Tobs ), y flujo de calor nulo en el resto del contorno. Además
tendremos Tw < Tobs .
Analizaremos tres tipos de problemas, los cuales difieren entre sı́ en la temperatura
de los obstáculos. Las fronteras en este problema las podemos subdividir en:
1. Pinf : Pared inferior
2. Pder : Pared derecha
3. Psup : Pared superior
4. Pizq : Pared izquierda
5. Pbuf : Pared buffer
6. Pobs : Obstáculos
34
Simulación directa del problema: El Modelo Microscópico
Donde:


ΓDu = Pinf ∪ Pder ∪ Psup ∪ Pizq ∪ Pbuf ∪ Pobs





 ΓN u = Ø
ΓDt1 = Pizq



ΓDt2 = Pobs




ΓN t = Pinf ∪ Pder ∪ Psup ∪ Pbuf
(4.1)
Entonces, si expresamos las condiciones iniciales y de contorno en la forma utilizada
en (2.5) y (2.6) para Navier-Stokes:


 u(x, 0) = 0 ∀x ∈ Ω


(4.2)
u(x, t) = 0 ∀x ∈ ΓDu
Y para la conservación de la energı́a:


T (x, 0) = 20o C ∀x ∈ Ω










T (x, t) = Tw ∀x ∈ ΓDt1


(4.3)



T (x, t) = Tobs ∀x ∈ ΓDt2









 qw (x, t) = 0 W ∀x ∈ ΓN t
m2
Siendo:
Caso 1: Tobs = 20,01o C, Tw = 20o C
Caso 2: Tobs = 20,1o C, Tw = 20o C
Caso 3: Tobs = 21o C, Tw = 20o C
4.2.
Comentarios sobre el análisis dimensional
Utilizando la adimensionalización planteada en (2.64), obtenemos la siguiente formulación de las ecuaciones de conservación:
4.3 Validación de la simulación
35


div u0 = 0







 ∂u0
+ u0 · ∇u0 = −∇p0 + P r ∇2 u0 − Ra P r T 0
0
∂t






0


 ∂T + u0 · ∇T 0 = ∇2 T 0
∂t0
(4.4)
Como puede verse, en este problema no se tiene una fuente o sumidero de energı́a.
Con esta adimensionalización podemos condensar todos los parámetros dimensionales
que rigen el problema en:
Pr =
gβ∆T L3
ν
; Ra =
α
να
(4.5)
Dicho en otras palabras, si usamos un mismo fluido con ν y α constantes, nuestro
problema estará caracterizado exclusivamente por el número de Rayleigh.
Como se mencionó previamente, en este trabajo se utilizarán parámetros de fluido
y dimensiones de órdenes reales para mantener semejanza con problemas ingenieriles.
Un condicionante que surge de mantener estas similitudes es que, si se buscan tener
condiciones de contorno realistas (como podrı́a ser (Tobs − Tw ) = 10◦ C), nos estarı́amos
alejando del régimen laminar. En convección natural, el ı́ndice utilizado para determinar
si se encuentra en régimen laminar o turbulento es el número de Rayleigh. No es objetivo
de este trabajo implementar modelos de turbulencia y los tiempos computacionales de
realizar simulaciones DNS puede llegar a ser muy significativos. El criterio aplicado
en este trabajo es que Ra debe ser ≤ 1010 aproximadamente, usando como longitud
caracterı́stica Lc = L = 1,05m. Entonces, la condición más exigente es para Tobs = 21◦ C
donde:
g.β.∆T.L3c
9,8m/s2 . 0,00075◦ C −1 . 1◦ C . (1,05m)3
=
' 1,4 . 1010
Ra =
2
2
ν.α
0,000013m /s . 0,000000045m /s
4.3.
(4.6)
Validación de la simulación
El problema estudiado en este trabajo es de relativa complejidad y ha sido difı́cil encontrar soluciones confiables (tanto experimentales como numéricas) de otros autores.
Lo particular de este caso radica en que estamos estudiando flujos a través de obstáculos en régimen de convección natural, con temperatura fija en los mismos. Además, la
cantidad de obstáculos, la disposición en la que se encuentran (siendo el arreglo “en
lı́nea” el más común de los casos) y la distancia entre ellos, son variables importantes
para el cálculo de flujo volumétrico y transferencia de energı́a.
36
Simulación directa del problema: El Modelo Microscópico
Dicho esto, en este trabajo evaluaremos la confiabilidad de los resultados obtenidos
con PAR-GPFEP usando como prueba la aplicación del programa en un problema
con ciertas similitudes, más sencillo pero sumamente estudiado por diversos autores y
con amplia cantidad de soluciones de referencia. Estudiaremos, como prueba de este
código, las soluciones del problema de una cavidad cuadrada con condiciones de no
deslizamiento en las paredes, adiabáticas en las paredes inferior y superior, y temperatura fija (y distintas entre sı́) en las paredes laterales con P r = 0,71 y Ra = 108 , 109 y
1010 .
Figura 4.3: Esquema del problema de prueba
Se ha obtenido una solución independiente de la malla con aproximadamente 35000
elementos. En la Figura (4.4) se pueden ver las lı́neas isotermas tı́picas de este problema
en estado estacionario obtenidas con PAR-GPFEP.
Figura 4.4: Lı́neas isotermas para Ra = 108 (izquierda), Ra = 109 (centro) y Ra = 1010
(derecha)
A nivel global, usaremos como medidor de la precisión de nuestros resultados, el
número de Nusselt medio. Este número adimensional dará idea de la transferencia de
energı́a a través de una de las paredes laterales y se calcula:
1
Nu =
L
Z
H
N uy dy ,
0
N uy =
∂T hL L
=
k
TH − TC
∂x x=0
(4.7)
Donde h es el coeficiente de transferencia térmica convectiva, TH la temperatura de
la pared caliente y TC la temperatura de la pared frı́a.
4.4 Resultados
37
Los resultados obtenidos por PAR-GPFEP comparados con los de Barakos et al.
[15] y Henkes et al. [16] pueden verse en la Tabla 4.2.
Este trabajo
Barakos et al.
Henkes et al.
Ra = 108
29.7
30.1
30.4
Ra = 109
52.9
54.4
54.1
Ra = 1010
96.5
97.6
-
Tabla 4.2: Número de Nusselt en régimen estacionario
Basándonos en estos resultados, consideraremos que las simulaciones realizadas con
el programa PAR-GPFEP para casos de flujos regidos por convección natural con Ra
elevados, cercanos al lı́mite del régimen laminar, darán resultados aceptables. Con esta
consideración, utilizaremos los resultados de la simulación directa del problema para
el cálculo de los parámetros del modelo macroscópico y como soluciones de referencia
comparativas.
4.4.
Resultados
Cada caso del problema, tal como fue planteado, se corrió en un cluster constituido
por 12 CPUs con procesadores Intel Core i7 860 y 870, cada una con 8GB de RAM,
de las cuales se utilizaron 16 procesadores (4 CPUs) demorando 1.8 segundos por paso
de tiempo aproximadamente y un tiempo de cálculo total de 30 hs hasta alcanzar el
estado estacionario.
En las Figura 4.5 se muestran perfiles de temperaturas (en forma adimensional)
para cada uno de los casos de un corte vertical en x = 0,525m, donde puede apreciarse
un salto abrupto alrededor de y = 0,35m en todos los casos.
Figura 4.5: Perfil de temperatura en x = 0,525m para Ra = 108 (azul), Ra = 109 (amarillo)
y Ra = 1010 (rojo)
38
Simulación directa del problema: El Modelo Microscópico
En la Figura 4.6 puede apreciarse el patrón de flujo en la zona de obstáculos en
y = 0,525.
Figura 4.6: Perfil de velocidad a través de los obstáculos en y = 0,525m para Ra = 108
En las Figuras 4.7, 4.8 y 4.9 pueden verse los campos de velocidad y temperatura para cada caso. Analizando los campos de temperatura, puede apreciarse un flujo
fuertemente estratificado, con una zona superior casi completamente a la temperatura
de los obstáculos y una zona inferior por debajo de la lı́nea horizontal inferior de los
obstáculos, prácticamente a la temperatura de la pared. En cuanto a los campos de
velocidades, puede observarse una circulación preferencial en la zona superior y una
zona inferior con velocidades muy bajas. La circulación ascendente en los obstáculos
se genera por fuerzas boyantes a través de los canales verticales del arreglo. El flujo,
al salir de la zona de obstáculos, presenta una tendencia oscilatoria con aparición de
recirculaciones en la esquina superior derecha. Esto es debido a la no linealidad del
problema que, a Ra altos, favorece el desprendimiento de vórtices. Este efecto es poco
significativo para Ra = 108 y se comienza a apreciar para Ra = 109 y Ra = 1010 .
El flujo continua su circulación hacia la pared frı́a, en donde aumenta su velocidad en
circulación descendente. Luego, el flujo ingresa a la zona de obstáculos a velocidades
elevadas por debajo de la pared buffer.
4.4 Resultados
39
Figura 4.7: Campos de velocidad y temperatura para Ra = 108
Figura 4.8: Campos de velocidad y temperatura para Ra = 109
Figura 4.9: Campos de velocidad y temperatura para Ra = 1010
40
Simulación directa del problema: El Modelo Microscópico
En la Figura 4.10 pueden verse los perfiles de la componente horizontal de la velocidad en un corte vertical a x = 0,525m para cada uno de los casos. Aquı́ se denota la
circulación preferencial del flujo en dirección a la pared izquierda en la parte superior,
y el retorno a la zona de obstáculos en la parte inferior alrededor de y = 0,35m.
Figura 4.10: Perfil de velocidad horizontal en x = 0,525m para Ra = 108 (azul), Ra = 109
(amarillo) y Ra = 1010 (rojo)
Finalmente, en la Tabla 4.3 se presentan los resultados de N u en la pared izquierda
(calculado con la ecuación (4.7)) y caudal en la región de obstáculos.
Caso no
1
2
3
Ra
∼ 108
∼ 109
∼ 1010
Nu
48.2
87.3
160.0
3
Q [ cms ]
4.8
10.6
19.1
Tabla 4.3: Número de Nusselt en régimen estacionario
Capı́tulo 5
Modelo Macroscópico
En este capı́tulo, se buscará resolver un problema similar al estudiado en el capı́tulo
anterior pero con la variante de la implementación de un modelo homogéneo para la
región porosa. En este caso, tendremos un nuevo sistema de ecuaciones en variables
“macroscópicas”, es decir, variables promediadas en un volumen representativo, tal
como es propuesto en el Capı́tulo 2. Las ecuaciones que se buscarán resolver numéricamente son (2.58), (2.59), (2.60), (2.61), (2.62) y (2.63), sin fuente o sumidero de energı́a.
Una observación destacable es que, en la región donde el flujo circula libremente, las
ecuaciones mencionadas resultan equivalentes a las ecuaciones de conservación originales.
Esta metodologı́a, como fue mencionado previamente, nos permite abstraernos de
la geometrı́a exacta de los obstáculos sólidos del medio poroso. Entonces, en lugar de
tener un arreglo de obstáculos, tendremos una región homogénea de caracterı́sticas
distintas al resto del dominio. La diferencia estará dada por la incorporación de los
parámetros macroscópicos del medio que serán estudiados en detalle en los siguientes
apartados.
5.1.
Descripción del problema homogéneo
En la Figura 5.1 puede apreciarse la geometrı́a y la malla utilizada. Se utilizó una
malla no estructurada de 74285 elementos triangulares y 37763 nodos.
41
42
Modelo Macroscópico
Figura 5.1: Mallado del Modelo Macroscópico
En cuanto a las condiciones iniciales y de contorno, éstas serán similares a las del
modelo microscópico con la diferencia de que no tenemos los obstáculos como frontera.
En su lugar, el segundo término del RHS de (2.57) en forma de término reactivo/fuente,
cumple la función de aporte de energı́a al sistema, en ausencia de la condición Dirichlet.


ΓDu = Pinf ∪ Pder ∪ Psup ∪ Pizq ∪ Pbuf



 Γ =Ø
Nu

ΓDt = Pizq



 Γ =P ∪P ∪P ∪P
Nt
inf
der
sup
buf
(5.1)
Condiciones iniciales y de contorno para Navier-Stokes:


 u(x, 0) = 0 ∀x ∈ Ω


(5.2)
u(x, t) = 0 ∀x ∈ ΓDu
Condiciones iniciales y de contorno para la conservación de la energı́a:


T (x, 0) = 20o C ∀x ∈ Ω







T (x, t) = 20o C ∀x ∈ ΓDt







 qW (x, t) = 0 W ∀x ∈ ΓN t
m2
(5.3)
5.2 Calibración de los parámetros macroscópicos
5.2.
43
Calibración de los parámetros macroscópicos
A continuación se estudiarán algunos modelos a implementar para los parámetros
macroscópicos del problema homogéneo. Algunos son propuestos por autores obtenidos
mediante métodos numéricos o experimentales, mientras que otros son propuestos en
este trabajo basados en resultados de las simulaciones microscópicas.
5.2.1.
Porosidad
La porosidad fue definida en (2.9). Podrı́amos decir que la porosidad en un medio
compuesto por una fase sólida y una lı́quida, es la proporción de volumen ocupado por
la fase lı́quida en el volumen total de un volumen de control. Entonces, en la región
porosa, para un caso bidimensional tenemos:
φ(x, t) =
dAl
(x, t)
dA
(5.4)
En nuestro caso, tenemos:
φ=
Atotal − 49.Aobs
= 0,75
Atotal
(5.5)
Como puede verse en la ecuación (2.59), la función porosidad debe ser continua en
Ω. Esto debe tenerse en cuenta en la transición de la región porosa a la región libre
donde la porosidad pasa de 0,75 a 1. Aquı́ es recomendable tener una transición suave
para evitar gradientes muy importantes de los campos incógnita. Para lograr esto se
utilizará una función tipo senoidal.
5.2.2.
Permeabilidad
Para tener un modelo general de las ecuaciones homogéneas, se propuso la incorporación de un término que represente los efectos inerciales, que llamamos “término de
Forchheimer”. Sin embargo, como pudo verse en los resultados del modelo microscópico, incluso para la condición más exigente que es Ra = 1010 , las velocidades en la
región de obstáculos son relativamente bajas con número de Reynolds del orden de
Re ∼ 10−1 (utilizando el diámetro como longitud caracterı́stica). Para estos órdenes de
Re, Dybbs et al. [17] observaron que las fuerzas viscosas predominan sobre las fuerzas
inerciales y solo la geometrı́a de los poros tiene influencia sobre el flujo. En base a
esto, es aceptable despreciar el término de Forchheimer y considerar solo el término de
Darcy, simplificando ası́ la implementación del modelo.
El concepto de permeabilidad para flujos forzados a través de distintos arreglos
de obstáculos ha sido un campo muy estudiado por diferentes autores en los últimos
cuarenta años. Entre ellos, la teorı́a de Carman-Kozeny (planteada por Kaviany [5]) ha
44
Modelo Macroscópico
tenido mucha aceptación en el área y propone el siguiente modelo de la permeabilidad
para un arreglo de obstáculos cilı́ndricos:
K=
φ3 D2
16 kK (1 − φ)2
(5.6)
Donde D es el diámetro de los obstáculos y kK es la constante de Kozeny que
depende exclusivamente de la porosidad del medio. Algunos autores (Massarotti et al.
[11], Braga et al. [18]) han utilizado esta ecuación para el cálculo de la permeabilidad
en problemas de convección natural en medios obstruidos. Sin embargo, en este trabajo
se ha verificado que utilizar este modelo, basado en experimentos con flujos forzados,
no es apropiado para problemas de convección natural. Se han observado diferencias en
los flujos volumétricos obtenidos en la región obstruida para el modelo macroscópico
y para la simulación directa. Esta diferencia se ve aún más acentuada a mayores Ra.
Una conclusión que se desprende es que se debe redefinir la permeabilidad para que la
misma no dependa exclusivamente de la geometrı́a de los obstáculos, o bien modificar
el modelo para tener en cuenta los efectos térmicos en la restricción al paso del flujo.
En este trabajo se ha optado por utilizar el modelo de Darcy para representar las
fuerzas resistentes de la matriz porosa y ajustar el coeficiente de permeabilidad K para
obtener, en cada caso estudiado, el mismo caudal a través de la región porosa que en
la simulación con obstáculos.
5.2.3.
Difusividad térmica efectiva
Para obtener la difusividad térmica efectiva αe se aplicará la correlación obtenida
experimentalmente por Eidsath et al. [19] para un arreglo “en linea” de cilindros:
αd
= 0,7P e1,2
α
para P e ≥ 1
(5.7)
Siendo:
αe = α + αd
(5.8)
En ese mismo trabajo se define el número de Péclet P e como:
Pe =
uL D φ
1,5α (1 − φ)
para φ ≤ 0,9
(5.9)
Donde uL es una velocidad promedio en el lı́quido, la cual puede obtenerse de los
resultados de la simulación microscópica, D es el diámetro de los obstáculos y α el
coeficiente de difusión térmica del fluido.
Como es planteado en este modelo, el coeficiente de difusividad térmica efectiva
depende de P e, es por ello que para cada caso estudiado tendremos una difusividad
5.2 Calibración de los parámetros macroscópicos
45
térmica distinta.
En (2.60) puede verse que αe , al igual que la porosidad, debe ser continua y en lo
posible suave en Ω. Para ello se usó, nuevamente, una transición del tipo senoidal para
pasar de α a αe en la interfase con la región porosa.
5.2.4.
Coeficiente de transferencia térmica equivalente
En primer lugar, por cuestiones de simplicidad, vamos a agrupar el coeficiente
de transferencia térmica efectiva con los parámetros dimensionales, y lo llamaremos
coeficiente de transferencia térmica equivalente:
HT = H
ALS
ρ0 cp dV
(5.10)
Para obtener el coeficiente de transferencia térmica equivalente HT analizaremos la
ecuación de la conservación de la energı́a macroscópica en estado estacionario:
φ uL · ∇T L − div(αe ∇T L ) + HT T L − HT T obs = 0
(5.11)
Ahora, para modelar la transferencia de calor originada por la condición de temperatura en los obstáculos, vamos a observar el perfil de temperaturas que se obtiene
en la simulación microscópica sobre una lı́nea vertical que atraviese la región porosa.
Veremos cual debe ser este valor HT para las ecuación de la energı́a macroscópica unidimensional estacionaria con las condiciones de contorno de temperatura media a la
entrada y salida de la región porosa, obtenidas como solución de la simulación directa.
Tenemos que resolver:
αe
∂T L
∂ 2T L
−
φ
u
− HT T L + HT T obs = 0
L
∂y 2
∂y
(5.12)
Con las condiciones:
T L (y = 0) = Tin
(5.13)
T L (y = 0,35) = Tout
(5.14)
Teniendo como origen la lı́nea inferior de comienzo de la región de obstáculos. Se
propone una solución de la forma:
T L (y) = (Tin − T obs )ery + T obs
Incorporando (5.15) en (5.12):
(5.15)
46
Modelo Macroscópico
αe r2 − φ uL r − HT = 0
(5.16)
Evaluando (5.15) en el contorno:
T (y = 0) = (Tin − T obs )e0r + T obs = Tin
(5.17)
T (y = 0,35) = (Tin − T obs )e0,35r + T obs = Tout
(5.18)
h (T − T ) i
1
out
obs
r=
ln
0,35
(Tin − T obs )
(5.19)
Luego:
Por otro lado, para que (5.15) sea solución de (5.12), r debe cumplir:
φuL
r=
−
2αe
p
φ2 u2L + 4HT αe
2αe
(5.20)
Entonces, igualando (5.19) y (5.20) obtenemos que HT es:
n
h (T − T ) io2
2
obs
out
φuL −
αe ln
− φ2 u2L
0,35
(Tin − T obs )
HT =
4αe
5.3.
(5.21)
Resumen de ecuaciones y parámetros macroscópicos
Las ecuaciones implementadas en PAR-GPFEP para el problema macroscópico resultan:


div u = 0









∂u
1
µ
ρ0
+ ρ0 uL · ∇u = −φ ∇P L + µ ∇2 u + φ (ρ − ρ0 )L g + 2 (∇φ · u) u −
u
∂t
φ
K









 φ ∂T L + φ uL ∇T L = div(αe ∇T L ) + HT (Tobs − T L )
∂t
(5.22)
A continuación, en la Tabla 5.1, se detalla el valor de los parámetros macroscópicos
para cada uno de los casos estudiados en la región porosa y en la región libre. Vale
destacar, como ya fue mencionado, que φ y αe tienen una transición suave entre las
dos regiones.
5.4 Resultados
47
Parámetros
Región libre
φ
K (x10−6 ) [m2 ]
αe (x10−8 ) [m2 /s]
HT (x10−4 ) [1/s]
1,0
∞
4,5
0
Región porosa
Ra = 10 Ra = 109 Ra = 1010
0,75
36,4
18,0
2,9
122,0
253,2
505,9
2,8
3,2
10,0
8
Tabla 5.1: Parámetros macroscópicos
5.4.
Resultados
Cada caso del problema fue corrido en 16 procesadores, al igual que para la simulación directa. Cada paso de tiempo demoró aproximadamente 1.2 segundo y un tiempo
total de cálculo de 10hs hasta llegar al estado estacionario.
En la Figura 5.2 pueden verse los perfiles de temperatura adimensional en x =
0,525m para cada uno de los casos. Como puede aprecisarse, la estratificación se presenta a la misma altura que en la simulación directa.
Figura 5.2: Perfil de temperatura en x = 0,525m para Ra = 108 (azul), Ra = 109 (amarillo)
y Ra = 1010 (rojo)
48
Modelo Macroscópico
A continuación, en las Figuras 5.3, 5.4 y 5.5 se presentan resultados de campos de
velocidad y temperatura.
Figura 5.3: Campos de velocidad y temperatura para Ra = 108
Figura 5.4: Campos de velocidad y temperatura para Ra = 109
Figura 5.5: Campos de velocidad y temperatura para Ra = 1010
5.4 Resultados
49
En la Figura 5.6 se muestran perfiles de velocidades horizontales en x = 0,525m
para cada uno de los casos. El comportamiento general del flujo es similar al observado
en la simulación directa. Aquı́ puede destacarse una primera recirculación hacia la zona
porosa aproximadamente a la altura de y = 0,7m, la cual se ve intensificada a mayores
Ra.
Figura 5.6: Perfil de velocidad horizontal en x = 0,525m para Ra = 108 (azul), Ra = 109
(amarillo) y Ra = 1010 (rojo)
50
5.5.
Modelo Macroscópico
Análisis comparativo y desempeño del modelo
En la Figura 5.7 puede apreciarse un perfil de velocidades (para la simulación directa
y modelo homogéneo) en una lı́nea horizontal que pasa por la lı́nea central del arreglo de
obstáculos para Ra = 108 . Esta comparación puede ser interesante a nivel cualitativo,
pero los caudales lógicamente serán similares en esta región ya que la permeabilidad
fue ajustada para lograr esto.
Figura 5.7: Perfil de velocidad en la región obstruida con y = 0,525m para la simulación
directa (azul) y modelo poroso (rojo) para Ra = 108
A continuación vemos perfiles de velocidad en la pared izquierda para ambos modelos (Figura 5.8). Aquı́ puede apreciarse como, para Ra más altos, la capa lı́mite
hidrodinámica se hace más estrecha. Este comportamiento se verifica en ambas simulaciones y puede verse que las velocidades máximas son muy cercanas en ambos modelos.
Figura 5.8: Perfil de velocidad en y = 0,525m cercano a la pared izquierda para la simulación
directa (azul) y modelo poroso (rojo) para Ra = 108 (izquierda) y Ra = 1010 (derecha)
En las Figuras 5.9, 5.10 y 5.11 pueden verse los campos de velocidad (en escala
logarı́tmica) para la simulación directa con obstáculos y con el modelo homogéneo para
cada uno de los casos estudiados. Puede apreciarse que para Ra = 108 el modelo logra
reproducir muy bien los campos de velocidades. Para números de Rayleigh mayores
se pierde esta similitud, esto se atribuye principalmente a que el problema comienza a
alejarse del régimen laminar, lo cual se denota principalmente a la salida de la región
obstruida.
5.5 Análisis comparativo y desempeño del modelo
51
Figura 5.9: Campos de velocidad para la simulación directa (izquierda) y con el modelo
macroscópico (derecha) para Ra = 108
Figura 5.10: Campos de velocidad para la simulación directa (izquierda) y con el modelo
macroscópico (derecha) para Ra = 109
Figura 5.11: Campos de velocidad para la simulación directa (izquierda) y con el modelo
macroscópico (derecha) para Ra = 1010
52
Modelo Macroscópico
En la Figura 5.12 pueden verse en superposición los perfiles de temperatura en
x = 0,525m para ambos modelos con Ra = 1010 . Aquı́ puede observarse que el modelo
predice una estratificación debajo de la obtenida con la simulación directa.
Figura 5.12: Perfil de temperatura en x = 0,525m para la simulación directa (azul) y modelo
poroso (amarillo) para Ra = 1010
A pesar de las dificultades de simular a números de Rayleigh tan altos sin la implementación de modelos de turbulencia, es posible cuantificar el buen desempeño del
modelo macroscópico al analizar la transferencia de calor a través de la pared izquierda
y compararla con los resultados de la simulación directa.
En las Figuras 5.13, 5.14 y 5.15 pueden observarse los números de Nusselt locales
N uy en la pared izquierda para cada uno de los modelos. Aquı́ se obtuvo concordancia
del modelo macroscópico respecto a la simulación directa y puede apreciarse que, como
es de esperarse, la mayor transferencia de energı́a se produce en la zona superior de la
pared.
5.5 Análisis comparativo y desempeño del modelo
53
Figura 5.13: Números de Nusselt locales sobre la pared izquierda de la simulación directa
(azul) y del modelo macroscópico (amarillo) para Ra = 108
Figura 5.14: Números de Nusselt locales sobre la pared izquierda de la simulación directa
(azul) y del modelo macroscópico (amarillo) para Ra = 109
Figura 5.15: Números de Nusselt locales sobre la pared izquierda de la simulación directa
(azul) y del modelo macroscópico (amarillo) para Ra = 1010
54
Modelo Macroscópico
En la Tabla 5.2 puede verse los distintos números de Nusselt promedios para cada
caso y para cada uno de los modelos.
N u medio
Caso no
1
2
3
Ra
∼ 108
∼ 109
∼ 1010
Simulación Microscópica
48,2
87,3
160,0
Modelo Macroscópico
50,7
88,8
163,3
Tabla 5.2: Comparación de transferencia de energı́a para ambos modelos
Figura 5.16: Numero de Nusselt para la simulación directa (azul) y modelo poroso (rojo)
En la Figura 5.16 puede apreciarse que el modelo reproduce bastante bien el comportamiento del sistema a nivel energético, con diferencia menores al 5 % en el número
de Nusselt.
Capı́tulo 6
Conclusiones
En este trabajo se ha abordado un problema de convección natural bidimensional
en una cavidad cuadrada con una región obstruida por obstáculos. Luego se incorporó un modelo homogéneo de la región porosa con el fin de reproducir los resultados
de la simulación directa. Para ello se plantearon tres casos con distintas condiciones
de contorno, las cuales fueron seleccionadas de manera de mantener similitudes con
problemas reales en régimen laminar.
Para los cálculos se recurrió a la herramienta PAR-GPFEP que resultó de mucha
utilidad y redujo significativamente los tiempos de programación. En la medida en que
fue posible comparar resultados con los de otros autores, se vio que los mismos fueron
relativamente precisos, incluso en condiciones cercanas a la transición a regı́menes
turbulentos.
El ajuste de los parámetros macroscópicos para las ecuaciones del modelo homogéneo es de vital importancia para tener un buen desempeño del mismo. En este
trabajo se vio que, mientras algunos parámetros pudieron ser calculados basándose en
análisis y experimentos de otros autores, otros debieron ser ajustados de acuerdo a los
resultados de la simulación directa. Esto es debido principalmente a la fuerte dependencia de los parámetros con la naturaleza del problema. Un ejemplo fue la elección
del coeficiente de permeabilidad. Aquı́ se vio que el uso de definiciones basadas en
experimentos con flujos forzados es inadecuado para problemas de convección natural,
obteniendo diferencias en el flujo volumétrico a través de la región obstruida cada vez
más significativos a Ra más elevados. Basado en esto, se propuso el ajuste de la permeabilidad mediante los resultados obtenidos en las simulaciones detalladas (modelo
microscópico). Queda a trabajo futuro el desarrollo de una definición del coeficiente de
permeabilidad para flujos en convección natural que tenga en cuenta la dependencia
con el número de Rayleigh.
Uno de los resultados globales más interesantes fue la transferencia térmica total
(adimensionalizada a través del número de Nusselt medio) para distintos números de
55
56
Conclusiones
Rayleigh. Aquı́ se obtuvo concordancia con los resultados de la simulación directa para
cada uno de los casos estudiados. Con más detalle aún, también se obtuvieron números
de Nusselt locales similares entre ambos modelos. Este resultado es muy significativo
ya que denota que, no solo la transferencia térmica total es la misma, sino que la
intensidad de la transferencia de energı́a local a lo largo de la pared es semejante.
La homogeneización de este tipo de problemas es un tema de estudio vigente y
no existe una metodologı́a estandarizada de como abordarlo. Sin embargo, existen
razones para desarrollar y perfeccionar modelos de medios porosos que representen en
buena medida la naturaleza de flujos obstruidos. En particular haremos referencia a
dos. La primera consiste en poder estudiar flujos a través de obstáculos con geometrı́as
complejas. El segundo, el cual fue el motor principal de este trabajo, es el de reducir los
costos computacionales de la simulación con la geometrı́a exacta del problema. En este
trabajo se obtuvieron resultados satisfactorios en el comportamiento general de nuestro
sistema con la implementación del modelo poroso respecto a los campos de velocidad,
temperatura y transferencia térmica a través de la pared izquierda, obteniendo errores
menores al 5 % en el número de Nusselt medio. En estas condiciones se alcanzó un
estado estacionario en un tercio del tiempo computacional respecto a la simulación
directa con la geometrı́a exacta de los obstáculos.
Bibliografı́a
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modelling of natural convection of oil inside distribution transformers. tomo 31,
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págs. 1803–1816. Chem. Engng. Sci., 1983. 44
Agradecimientos
A mi familia...
A mi Mamá, Gloria, por todo el cariño y la libertad que me diste para que siguiera
el camino que yo quisiera a pesar de lo difı́cil que fuera la distancia. De vos recibı́ todo
el amor que podı́a necesitar (y más), espero poder retribuirlo de a poquito con estos
pequeños logros.
A mi Papá, Ángel, por fomentar mi vocación y, por sobre todo, por el cariño incondicional que siempre me diste. Este año que pasó fue quizás el más duro de nuestras
vidas y, aún ası́, me demostrás que la fortaleza del espı́ritu vence cualquier obstáculo.
A la Vero, la Dani, la Mile, Azul, Gustavo, Leandro, la Ceci y al gordito (Joaquı́n),
por estar junto a mi, antes o después, hoy forman una parte muy importante de mi
vida.
A mis viejos amigos...
A Rodrigo, mi amigo de fierro, porque estuviste en las buenas y en las malas,
siempre, dándome consejos, ánimos o distracciones cuando las necesité. Más de lo que
cualquiera pedirı́a en el mejor de los amigos.
A Cesitar, por toda la buena onda y risas que compartimos desde hace más de
quince años y, especialmente, porque nunca dejaste que nos distanciáramos.
A Dino y a Fernando, por todos los buenos momentos de chicos en Barrio Echesortu
y los que aún tenemos de más grandes.
Al Chino y a Ramiro, porque arrancamos la carrera juntos, terminamos juntos y
aún seguimos juntos.
Al Pino, José, Godine, al Defor y a Diego, por las risas, el fútbol, la música y todos
esos años en el Poli que parece que nunca terminaron.
A David, Nico, Equi, Juanma y Pablo, por todas las distracciones que ayudan
tanto en la vida, y a pesar de que cada tanto nos distanciamos, siempre nos volvemos
a encontrar.
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A mis nuevos amigos y compañeros de trabajo...
A Enzo, por la infinita paciencia que me tuviste, por todo lo que me enseñaste y
por mostrarme la clase de persona (a nivel profesional y humano) que quiero llegar a
ser.
A Fede, por la cercanı́a que me mostraste a la hora de explicarme las cosas y la
dedicación que tuviste conmigo. Ojalá siga encontrándome con profesores y amigos
como vos.
A la gente de Mecom, Claudio, Mario, Mariano, Pablo, Daniela, Mati, Nati, Roberto, Paola, Eze, Coy, Cocho, Richi y Gastón, porque cuando llegue a Bariloche no
sabı́a como iba a lidiar con la distancia de la familia y los amigos. Resultó que me
encontré con un grupo de trabajo que me recibió cálidamente con los brazos abiertos.
Formado por profesionales excelentes con quienes compartı́ horas de trabajo, pausas de
café, y momentos de ocio fuera del horario laboral. Gracias a uds me sentı́ más cerca
de casa.
A Juan, Cristian, Rodri, al Pela, Gonza, Liz y Luci, la banda con la que arranque
la maestrı́a en el Pabellón 6, con uds compartı́ habitación, tele, cocina y una buena
amistad. Hicieron muy amena mi llegada a Bariloche y el transcurso de los dı́as. Se los
va a extrañar mucho.
A las entidades...
Al Instituto Balseiro, a la Comisión Nacional de Energı́a Atómica y a la Universidad
Nacional de Cuyo, por haberme dado la oportunidad de estudiar en este lugar y cumplir
un sueño académico que habı́a quedado pendiente.
Por último y especialmente...
A mi novia, Fer. Porque sos mi pilar emocional desde hace muchos años, en estos
últimos te necesité más que nunca y allı́ estuviste. A pesar que la distancia y el tiempo
pusieron muchos obstáculos. me alumbraste todo el camino. Con todo mi corazón, esta
dedicatoria va especialmente hacia vos...