داﻧﺸﮑﺪه ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﻫﻮاﻓﻀﺎ ﻧﯿﻤﺴﺎل دوم 1398-99 ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدي )(45119 اﻣﺘﺤﺎن ﭘﺎﯾﺎنﺗﺮم ﺗﺎرﯾﺦ1399/4/10 : اﺳﺘﺎد درس :ﻣﺤﻤﺪﻫﺎدي اﻋﻈﻢﭘﻮر در ﺳﻮاﻻت زﯾﺮ ،ﻣﻨﻈﻮر از SNﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽ ﺷﻤﺎﺳﺖ. .1در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ ﺳﻮال )آ( و درﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺳﻮال )ب( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ 1,5) .ﻧﻤﺮه( )آ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻨﺼﯿﻒ رﯾﺸﻪاي از ﻣﻌﺎدﻟﻪ 0 5 10 f x x 2 SN8 x را ﮐﻪ در ﻓﺎﺻﻠﻪ 0,1ﻗﺮار دارد ،ﺗﺎ دﻗﺖ دو رﻗﻢ اﻋﺸﺎر ﺑﻪدﺳﺖآورﯾﺪ. )ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﻧﺎﺑﺠﺎﯾﯽ رﯾﺸﻪاي از ﻣﻌﺎدﻟﻪ 0 5 10 f x x 2 SN8 x را ﮐﻪ در ﻓﺎﺻﻠﻪ 0,1ﻗﺮار دارد ،ﺗﺎ دﻗﺖ دو رﻗﻢ اﻋﺸﺎر ﺑﻪدﺳﺖآورﯾﺪ. .2در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ mod(SN, 3) 0ﺳﻮال )آ( ،در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ mod(SN, 3) 1ﺳﻮال )ب( و در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ mod(SN, 3) 2ﺳﻮال )ج( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ 2) .ﻧﻤﺮه( )آ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﻧﯿﻮﺗﻦ و ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ ، x 0 1.5رﯾﺸﻪ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﻌﺎدﻟﻪ f x x 1 sin x 1 0را ﺗﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻫﻤﮕﺮاﺋﯽ 102 f xn ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ. )ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺳﮑﺎﻧﺖ و ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺎدﯾﺮ اوﻟﯿﻪ x 0 2.2و ، x 1 1.52رﯾﺸﻪ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﻌﺎدﻟﻪ f x x 1 sin x 1 0را ﺗﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻫﻤﮕﺮاﺋﯽ 102 f xn ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ. )ج( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺳﮑﺎﻧﺖ ﺑﻬﺒﻮدﯾﺎﻓﺘﻪ و ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ x 0 1.45و ﻣﻘﺪار ﻧﻤﻮ ﺑﺮاﺑﺮ ، 105 رﯾﺸﻪ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﻌﺎدﻟﻪ f x x 1 sin x 1 0را ﺗﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻫﻤﮕﺮاﺋﯽ 102 f xn ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ. .3در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ ﺳﻮال )آ( و درﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺳﻮال )ب( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ 2,5) .ﻧﻤﺮه( )آ( اﺑﺘﺪا ﺳﺎزﮔﺎري دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﯽ زﯾﺮ را ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﺮده و ﺗﻌﺪاد رﯾﺸﻪﻫﺎي آن را ﭘﯿﺶﺑﯿﻨﯽ ﮐﻨﯿﺪ .ﺳﭙﺲ، دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺣﺬﻓﯽ ﮔﻮس-ﺟﺮدن ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ. )ب( اﺑﺘﺪا ﺳﺎزﮔﺎري دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﯽ زﯾﺮ را ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﺮده و ﺗﻌﺪاد رﯾﺸﻪﻫﺎي آن را ﭘﯿﺶﺑﯿﻨﯽ ﮐﻨﯿﺪ. ﺳﭙﺲ ،دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺣﺬﻓﯽ ﮔﻮس ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ. x 3y 6z SN 107 8x 2y z 7 SN 2x 5y z 7 10 .4در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ ﺳﻮال )آ( و درﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺳﻮال )ب( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ 2,5) .ﻧﻤﺮه( )آ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﮑﺮاري ﮔﻮس-ﺳﺎﯾﺪل ،دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ .ﺣﻞ را ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ T SD 2 * 108 SD 2 * 108 SD x ﺗﺎ دﻗﺖ 0.1 0 2 * 108 2 e اداﻣﻪ دﻫﯿﺪ. )ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﮑﺮاري ژاﮐﻮﺑﯽ ،دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ .ﺣﻞ را ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ T SD SD SD x 0 ﺗﺎ دﻗﺖ e 0.1اداﻣﻪ دﻫﯿﺪ. 2 2 * 108 2 * 108 2 * 108 1 2 1 4 3 1 1 x 3 1 1 4 6 .5در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ ﺳﻮال )آ( و درﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺳﻮال )ب( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ 1,5) .ﻧﻤﺮه( )آ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻮاﻧﯽ ،ﻣﻘﺪار وﯾﮋه ﺑﯿﺸﯿﻨﻪ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ زﯾﺮ را ﺑﻪدﺳﺖآورﯾﺪ .ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را ﺗﺎ 2رﻗﻢ اﻋﺸﺎر دﻗﺖ ﺑﺮاي ﻣﻘﺪار وﯾﮋه اﻧﺠﺎم دﻫﯿﺪ. )ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻮاﻧﯽ ﻣﻌﮑﻮس ،ﻣﻘﺪار وﯾﮋه ﮐﻤﯿﻨﻪ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ زﯾﺮ را ﺑﻪدﺳﺖآورﯾﺪ .ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را ﺗﺎ 2رﻗﻢ اﻋﺸﺎر دﻗﺖ ﺑﺮاي ﻣﻘﺪار وﯾﮋه اﻧﺠﺎم دﻫﯿﺪ. 1 2 1 1 2 0 0 0 1 .6در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ mod(SN, 4) 0ﺳﻮال )آ( ،در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ mod(SN, 4) 1ﺳﻮال )ب( ،در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ mod(SN, 4) 2ﺳﻮال )ج( و در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ mod(SN, 4) 3ﺳﻮال )د( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ 2) .ﻧﻤﺮه( )آ( ﺗﻘﺮﯾﺐ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﺑﻪﺻﻮرت a x b y را ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. 2 2 1 -1 0 -2 x y 1.5 3.2 4.5 3.4 2 1 )ب( ﺗﻘﺮﯾﺐ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﺑﻪﺻﻮرت mx b 2 3.5 y را ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. x 0.2 0.4 1 1.3 1 0.7 )ج( ﺗﻘﺮﯾﺐ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﺑﻪﺻﻮرت 1 2 2 3 y y m x bرا ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. 8 5 2 3 1 x y 0.8 1.9 2.2 3 3.5 )د( ﺗﻘﺮﯾﺐ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﺑﻪﺻﻮرت y (c0 c1x )3را ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ. 2 1 x 0 y 1 0.008 0.027 SN .7اﻟﻒ( اﮔﺮ 107 A ﺑﺎﺷﺪ ،ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻔﺎﺿﻼت ﺗﻘﺴﯿﻢﺷﺪه ﻧﯿﻮﺗﻦ ،ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي درونﯾﺎب ﺟﺪول زﯾﺮ را ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ. 4 2 xi -4 -2 f(xi) A 42 A 42 SN ب( ﻧﻘﻄﻪ را ﺑﻪ ﺟﺪول ﺑﺎﻻ اﺿﺎﻓﻪ ﮐﺮده و ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي دروﻧﯿﺎب ﺟﺪﯾﺪ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ 2,5) .ﻧﻤﺮه( , 91 2 * 107 SN .8ﺑﺎ ﻓﺮض 108 f 1 ، A را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﺎ ﺣﺪاﮐﺜﺮ دﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ 2) .ﻧﻤﺮه( 1.4 1.2 1.1 1.0 0.9 0.8 0.6 x 1.127086 1.074675 1.032743 A 0.925863 0.859892 0.707178 )f(x h .9را ﻃﻮري ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺧﻄﺎي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اﻧﺘﮕﺮال x cos x d x 2 0 ﺑﻪ روش ﺳﯿﻤﭙﺴﻮن 1/3ﮐﻤﺘﺮ از 10ﺑﺎﺷﺪ. 5 ) 1ﻧﻤﺮه( .10ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ ﻣﺮﺗﺒﻪ 2زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ: d2 y e xy 2 dx اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﺎ ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ y(0) 0و 1 x 0 dy dx در ﺑﺎزه ] [0,1ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش روﻧﮓ-ﮐﻮﺗﺎي ﻣﺮﺗﺒﻪ 2 )ﺿﺮاﯾﺐ روش اوﯾﻠﺮ ﺑﻬﺒﻮدﯾﺎﻓﺘﻪ در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ و ﺿﺮاﯾﺐ روش ﻧﻘﻄﻪ ﻣﯿﺎﻧﯽ در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن زوج اﺳﺖ( ﺑﺎ h 0.5ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ 2,5) .ﻧﻤﺮه( ﻣﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﯿﺪ.