‫داﻧﺸﮑﺪه ﻣﻬﻨﺪﺳﯽ ﻫﻮاﻓﻀﺎ‬
‫ﻧﯿﻤﺴﺎل دوم ‪1398-99‬‬
‫ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻋﺪدي )‪(45119‬‬
‫اﻣﺘﺤﺎن ﭘﺎﯾﺎنﺗﺮم‬
‫ﺗﺎرﯾﺦ‪1399/4/10 :‬‬
‫اﺳﺘﺎد درس‪ :‬ﻣﺤﻤﺪﻫﺎدي اﻋﻈﻢﭘﻮر‬
‫در ﺳﻮاﻻت زﯾﺮ‪ ،‬ﻣﻨﻈﻮر از ‪ SN‬ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽ ﺷﻤﺎﺳﺖ‪.‬‬
‫‪ .1‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ ﺳﻮال )آ( و درﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺳﻮال )ب( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ 1,5) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫)آ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻨﺼﯿﻒ رﯾﺸﻪاي از ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪ f  x   x 2   SN8  x ‬را ﮐﻪ در ﻓﺎﺻﻠﻪ ‪  0,1‬ﻗﺮار‬
‫دارد‪ ،‬ﺗﺎ دﻗﺖ دو رﻗﻢ اﻋﺸﺎر ﺑﻪدﺳﺖآورﯾﺪ‪.‬‬
‫)ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﻧﺎﺑﺠﺎﯾﯽ رﯾﺸﻪاي از ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪0‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 10‬‬
‫‪ f  x   x 2   SN8  x ‬را ﮐﻪ در ﻓﺎﺻﻠﻪ ‪  0,1‬ﻗﺮار‬
‫دارد‪ ،‬ﺗﺎ دﻗﺖ دو رﻗﻢ اﻋﺸﺎر ﺑﻪدﺳﺖآورﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ .2‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ‪ mod(SN, 3)  0‬ﺳﻮال )آ(‪ ،‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ‪ mod(SN, 3)  1‬ﺳﻮال )ب( و در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ‬
‫‪ mod(SN, 3)  2‬ﺳﻮال )ج( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ 2) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫)آ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﻧﯿﻮﺗﻦ و ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ ‪ ، x 0  1.5‬رﯾﺸﻪ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪ f x   x  1 sin x  1  0‬را ﺗﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻫﻤﮕﺮاﺋﯽ‬
‫‪ 102‬‬
‫‪ f  xn ‬ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫)ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺳﮑﺎﻧﺖ و ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺎدﯾﺮ اوﻟﯿﻪ ‪ x 0  2.2‬و ‪ ، x 1  1.52‬رﯾﺸﻪ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﻌﺎدﻟﻪ‬
‫‪ f x   x  1 sin x  1  0‬را ﺗﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻫﻤﮕﺮاﺋﯽ‬
‫‪ 102‬‬
‫‪ f  xn ‬ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫)ج( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺳﮑﺎﻧﺖ ﺑﻬﺒﻮدﯾﺎﻓﺘﻪ و ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ ‪ x 0  1.45‬و ﻣﻘﺪار ﻧﻤﻮ ﺑﺮاﺑﺮ ‪،   105‬‬
‫رﯾﺸﻪ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ‪ f x   x  1 sin x  1  0‬را ﺗﺎ ﻣﻌﯿﺎر ﻫﻤﮕﺮاﺋﯽ‬
‫‪ 102‬‬
‫‪ f  xn ‬ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫‪ .3‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ ﺳﻮال )آ( و درﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺳﻮال )ب( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ 2,5) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫)آ( اﺑﺘﺪا ﺳﺎزﮔﺎري دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﯽ زﯾﺮ را ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﺮده و ﺗﻌﺪاد رﯾﺸﻪﻫﺎي آن را ﭘﯿﺶﺑﯿﻨﯽ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺳﭙﺲ‪،‬‬
‫دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺣﺬﻓﯽ ﮔﻮس‪-‬ﺟﺮدن ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫)ب( اﺑﺘﺪا ﺳﺎزﮔﺎري دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت ﺧﻄﯽ زﯾﺮ را ﺑﺮرﺳﯽ ﮐﺮده و ﺗﻌﺪاد رﯾﺸﻪﻫﺎي آن را ﭘﯿﺶﺑﯿﻨﯽ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫ﺳﭙﺲ‪ ،‬دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت را ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺣﺬﻓﯽ ﮔﻮس ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪x  3y  6z   SN‬‬
‫‪‬‬
‫‪107‬‬
‫‪ 8x  2y  z  7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪SN‬‬
‫‪‬‬
‫‪2x  5y  z  7‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .4‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ ﺳﻮال )آ( و درﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺳﻮال )ب( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ 2,5) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫)آ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﮑﺮاري ﮔﻮس‪-‬ﺳﺎﯾﺪل ‪ ،‬دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺣﻞ را ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ‬
‫‪T‬‬
‫‪SD ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 * 108 ‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪2 * 108‬‬
‫‪ SD‬‬
‫‪ x   ‬ﺗﺎ دﻗﺖ ‪ 0.1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 2 * 108‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ e ‬اداﻣﻪ دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫)ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﮑﺮاري ژاﮐﻮﺑﯽ ‪ ،‬دﺳﺘﮕﺎه ﻣﻌﺎدﻻت زﯾﺮ را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ .‬ﺣﻞ را ﺑﺎ ﻓﺮض ﻣﻘﺪار اوﻟﯿﻪ‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪SD‬‬
‫‪SD ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x  0  ‬ﺗﺎ دﻗﺖ ‪ e   0.1‬اداﻣﻪ دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 2 * 108 2 * 108 2 * 108 ‬‬
‫‪ 1 2 1‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 1 1 x   3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 1 4‬‬
‫‪6‬‬
‫‪ .5‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ ﺳﻮال )آ( و درﻏﯿﺮ اﯾﻦﺻﻮرت ﺳﻮال )ب( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ 1,5) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫)آ( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻮاﻧﯽ‪ ،‬ﻣﻘﺪار وﯾﮋه ﺑﯿﺸﯿﻨﻪ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ زﯾﺮ را ﺑﻪدﺳﺖآورﯾﺪ‪ .‬ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را ﺗﺎ ‪ 2‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎر دﻗﺖ‬
‫ﺑﺮاي ﻣﻘﺪار وﯾﮋه اﻧﺠﺎم دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫)ب( ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻮاﻧﯽ ﻣﻌﮑﻮس‪ ،‬ﻣﻘﺪار وﯾﮋه ﮐﻤﯿﻨﻪ ﻣﺎﺗﺮﯾﺲ زﯾﺮ را ﺑﻪدﺳﺖآورﯾﺪ‪ .‬ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت را ﺗﺎ ‪ 2‬رﻗﻢ اﻋﺸﺎر‬
‫دﻗﺖ ﺑﺮاي ﻣﻘﺪار وﯾﮋه اﻧﺠﺎم دﻫﯿﺪ‪.‬‬
‫‪ 1 2 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1 2 0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .6‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ‪ mod(SN, 4)  0‬ﺳﻮال )آ(‪ ،‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ‪ mod(SN, 4)  1‬ﺳﻮال )ب(‪ ،‬در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ‬
‫‪ mod(SN, 4)  2‬ﺳﻮال )ج( و در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ‪ mod(SN, 4)  3‬ﺳﻮال )د( را ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ 2) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫)آ( ﺗﻘﺮﯾﺐ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﺑﻪﺻﻮرت‬
‫‪a‬‬
‫‪x b‬‬
‫‪ y ‬را ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪-1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-2‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y 1.5 3.2 4.5 3.4 2‬‬
‫‪1‬‬
‫)ب( ﺗﻘﺮﯾﺐ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﺑﻪﺻﻮرت‬
‫‪mx  b‬‬
‫‪2 3.5‬‬
‫‪ y ‬را ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪x 0.2 0.4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1.3 1 0.7‬‬
‫)ج( ﺗﻘﺮﯾﺐ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﺑﻪﺻﻮرت‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪ y  m x  b‬را ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫‪5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪y 0.8 1.9 2.2 3 3.5‬‬
‫)د( ﺗﻘﺮﯾﺐ ﮐﻤﺘﺮﯾﻦ ﻣﺮﺑﻌﺎت ﺑﻪﺻﻮرت ‪ y  (c0  c1x )3‬را ﺑﺮاي ﻧﻘﺎط ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﯿﺎﺑﯿﺪ‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪y 1 0.008 0.027‬‬
‫‪SN‬‬
‫‪ .7‬اﻟﻒ( اﮔﺮ‬
‫‪107‬‬
‫‪ A ‬ﺑﺎﺷﺪ‪ ،‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش ﺗﻔﺎﺿﻼت ﺗﻘﺴﯿﻢﺷﺪه ﻧﯿﻮﺗﻦ‪ ،‬ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي درونﯾﺎب ﺟﺪول زﯾﺮ را‬
‫ﺑﻪدﺳﺖ آورﯾﺪ‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪xi‬‬
‫‪-4 -2‬‬
‫‪f(xi) A 42 A 42‬‬
‫‪ SN‬‬
‫‪‬‬
‫ب( ﻧﻘﻄﻪ ‪‬‬
‫‪ ‬را ﺑﻪ ﺟﺪول ﺑﺎﻻ اﺿﺎﻓﻪ ﮐﺮده و ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪاي دروﻧﯿﺎب ﺟﺪﯾﺪ را ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪ 2,5) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫‪,‬‬
‫‪91‬‬
‫‪ 2 * 107‬‬
‫‪‬‬
‫‪SN‬‬
‫‪ .8‬ﺑﺎ ﻓﺮض‬
‫‪108‬‬
‫‪ f  1 ، A ‬را ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻣﻘﺎدﯾﺮ ﺟﺪول زﯾﺮ ﺑﺎ ﺣﺪاﮐﺜﺮ دﻗﺘﯽ ﮐﻪ ﻣﯽﺗﻮاﻧﯿﺪ ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮐﻨﯿﺪ‪ 2) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫‪1.4‬‬
‫‪1.2‬‬
‫‪1.1‬‬
‫‪1.0‬‬
‫‪0.9‬‬
‫‪0.8‬‬
‫‪0.6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1.127086‬‬
‫‪1.074675‬‬
‫‪1.032743‬‬
‫‪A‬‬
‫‪0.925863‬‬
‫‪0.859892‬‬
‫‪0.707178‬‬
‫)‪f(x‬‬
‫‪ h .9‬را ﻃﻮري ﭘﯿﺪا ﮐﻨﯿﺪ ﮐﻪ ﺧﻄﺎي ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ اﻧﺘﮕﺮال ‪x cos  x  d x‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫ﺑﻪ روش ﺳﯿﻤﭙﺴﻮن ‪ 1/3‬ﮐﻤﺘﺮ از ‪ 10‬ﺑﺎﺷﺪ‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫)‪ 1‬ﻧﻤﺮه(‬
‫‪ .10‬ﻣﻌﺎدﻟﻪ دﯾﻔﺮاﻧﺴﯿﻞ ﻣﻌﻤﻮﻟﯽ ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪ 2‬زﯾﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﯿﺮﯾﺪ‪:‬‬
‫‪d2 y‬‬
‫‪ e xy‬‬
‫‪2‬‬
‫‪dx‬‬
‫اﯾﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ را ﺑﺎ ﺷﺮاﯾﻂ اوﻟﯿﻪ ‪ y(0)  0‬و ‪ 1‬‬
‫‪x 0‬‬
‫‪dy‬‬
‫‪dx‬‬
‫در ﺑﺎزه ]‪ [0,1‬ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از روش روﻧﮓ‪-‬ﮐﻮﺗﺎي ﻣﺮﺗﺒﻪ ‪2‬‬
‫)ﺿﺮاﯾﺐ روش اوﯾﻠﺮ ﺑﻬﺒﻮدﯾﺎﻓﺘﻪ در ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن ﻓﺮد اﺳﺖ و ﺿﺮاﯾﺐ روش ﻧﻘﻄﻪ ﻣﯿﺎﻧﯽ در‬
‫ﺻﻮرﺗﯽﮐﻪ ﺷﻤﺎره داﻧﺸﺠﻮﯾﯽﺗﺎن زوج اﺳﺖ( ﺑﺎ ‪ h  0.5‬ﺣﻞ ﮐﻨﯿﺪ‪ 2,5) .‬ﻧﻤﺮه(‬
‫ﻣﻮﻓﻖ ﺑﺎﺷﯿﺪ‪.‬‬