MANUAL DE ACTIVIDADES
MATEMÁTICA 1
2020
CARÁTULA MANUAL MATE 1
1
Clase 2: Relaciones y funciones. Función par e impar
Actividad 1 Tenemos estas tres imágenes de termómetros que marcan temperatura en
grados Centígrados y Fahrenheit.
Encuentra, si es posible, una relación entre las temperaturas en
ambas escalas Vuelca las lecturas en la siguiente tabla
ºC
ºF
Actividad 2
¿Cuál es la relación entre el área de un círculo y su radio? Escribe algunos pares de la relación
Radio del círculo
Área del círculo
2 cm
Compilación clases 1 a 8_I
2
16 Π cm²
Actividad 3
¿Cuál es la relación entre el perímetro de un cuadrado y su lado? Escribe algunos pares de la
relación
Lado del cuadrado
Perímetro
2 cm
0,8 cm
Concepto de función
Llamamos función a una relación de dependencia entre dos conjuntos, A y B: en la
que a cada elemento x del conjunto A le corresponde un único elemento y del
conjunto B.
Para referirnos a una función f, que relaciona dos conjuntos A y B, utilizaremos la
notación habitual y=f ( x )
Veamos otra definición
Actividad 4
Problema:
Considere la relación de números reales y=√ x ; justifica si la relación es función o no.
Dominio de una función
Son todos los elementos de la variable independiente x a los que les corresponde una imagen y.
Ejemplo 1
f ( x )=x 2 +1
Dominio: todos los números reales, ya que a todo número se lo puede
cuadrado y sumarle 1.
elevar
al
D f ( x ) ={ x ∕ x ∈ R }
Df ( x )=( − ∞;+ ∞ )
Compilación clases 1 a 8_I
3
Ejemplo 2
f ( x )= √ x +1
Para que la imagen de x por la función f sea un número real, es
necesario que el radicando sea positivo o cero, es decir, x + 1 ≥ 0.
Por tanto, el dominio es:
D (x) = [−1, +∞)
Restricciones al dominio
Las restricciones más comunes son:
 Los denominadores: Deben ser distintos de cero, ya que no es posible dividir por cero.
 Las raíces de índice par: el argumento de las raíces de índice par deben ser mayor o igual que cero,
ya que no existen las raíces pares de números negativos en el conjunto de los números reales
 Los logaritmos: el argumento de los logaritmos debe ser mayor a cero.
 Las funciones trigonométricas: tangente, cotangente, secante y cosecante.
Actividad 5
Ejercicios: Problema 123
1) Determinar el dominio de cada una de las siguientes funciones
2) Problema 124 Determinen el dominio de cada una de las funciones en el intervalo real indicado.
Compilación clases 1 a 8_I
4
Actividad 6
Determinen el dominio de las siguientes funciones.
a) Consideramos todos los cuadrados de lado x menor o igual a 5 metros y denominamos f(x) al
perímetro del cuadrado.
b) Disponemos de una cuerda de 100 centímetros de longitud y queremos formar con ella un
rectángulo. Si uno de los lados del rectángulo mide x, entonces f(x) es la longitud del lado
adyacente al lado de longitud x.
c) Consideramos todos los rectángulos de 100 cm² de área. Si uno de los lados mide x entonces
f(x) es la longitud del lado adyacente al lado de longitud x.
d) El triángulo abc verifica que: ab = x + 8; bc = x + 11; ca = x + 14. Entonces f(x) es el perímetro
del triángulo abc.
Representación de una función
Una relación funcional o función se puede expresar de varias formas: mediante una
expresión verbal, una expresión algebraica, una tabla de valores o una gráfica.
Si un elemento x del conjunto A se corresponde con un elemento y del conjunto B, decimos
que y es la imagen de x por la función f, o que x es una preimagen de y.
En esta unidad vamos a estudiar los casos en los que tanto A como B son conjuntos de
números reales. En este caso, decimos que f es una función real de variable real.
Función par
Es una función simétrica con respecto al eje y.
Una función es par si y sólo si f ( x )=f ( − x )
Ejemplo 1
Sea la función f ( x )=x 2 +1
f ( x )=x 2 +1
⇒ f ( x )=f (− x ) ⇒ f ( x ) es par
f ( − x )= (− x )2+1=x2 +1
}
Compilación clases 1 a 8_I
5
Ejemplo 2
Sea la función f ( x )=|x|−1
f ( x )=|x|−1
f ( x )=|x|−1
⇒
f ( − x )=|− x|−1=|x|+1
f ( x )=f ( − x ) ⇒ f ( x ) es par
}
Función impar
Es una función simétrica con respecto al origen de coordenadas.
Condición para que una función sea impar: f ( x )=− f ( − x )
Ejemplo 1
f ( x )=x 5 −3 x 3
f ( x )=x 5 −3 x 3
⇒
f ( − x )= (− x )5 −3. ( − x )3=− x 5+ 3 x 3
}
f ( x )=− f ( − x ) ⇒f ( x ) es impar
Ejemplo 2
f ( x )=3 x
f ( x )=3 x
⇒ f ( x )=− f ( − x )
f ( − x )=3. ( − x ) =−3 x
⇒ f ( x ) es impar
}
Actividad 7
Ejercicios
1) Determinen la paridad de cada una de las siguientes funciones. (Problema 130)
2) Supongamos que f y g son funciones pares. Estudia la paridad de a) f + g, b) f . g c)
g∘f .
3) ¿Existe alguna función que sea par e impar a la vez? Justifica la respuesta.
Compilación clases 1 a 8_I
6
CLASE 3
Actividad 8 Volvamos a estas tres imágenes de termómetros que marcan temperatura en
grados Centígrados y Fahrenheit.
Vuelca las lecturas en la siguiente tabla
ºC
ºF
Encuentra, si es posible, la ecuación de la recta que coincida con las temperaturas
Algunas ecuaciones de la recta:
y=m . x +b
(pendiente m y ordenada al origen b)
y=m . ( x − x 0 ) + y 0 (pendiente m y punto P=( x0 ; y0 )
Pendiente de la recta m=
Ecuación segmentaria
y 2− y 1
x 2−x 1
m=
Δy
Δx
x
y
+
= 1 donde “a” es la abscisa al origen y “b” es la
a
b
ordenada al origen
Compilación clases 1 a 8_I
7
Actividad 9
Este es el gráfico del problema 146 (aproximadamente)
Actividad 10
Completar la siguiente tabla
Punto P
Punto Q
(1; 4)
(5; -1)
(-1; -2)
(3;4)
(0;0)
(5;2)
(0;0)
(2;-3)
Compilación clases 1 a 8_I
Pendiente m
Ecuación de la
recta
Ordenada al
origen
8
(-5;-5)
(-1,1)
Actividad 11
Actividad 12
Hallar los conjuntos de positividad; de negatividad y de ceros de las funciones lineales:
(Escriba las soluciones con la notación de intervalos )
a)
y=2 x − 4
b)
y=− 3 x +6 c)
2 x − 4 y=4
Conjunto de positividad de la función: son los valores de x de su
dominio tales que f(x)>0. Se indica C+
Conjunto de negatividad de la función: son los valores de x de su
dominio tales que f(x)<0. Se indica CConjunto de ceros de la función: son los valores de x de su dominio
tales que f(x)=0. Se indica C0
Actividad 13
La siguiente ecuación y=2 x − 4 está asociada a un polinomio ¿cuáles son los coeficientes del
polinomio?¿de qué grado es?
Un polinomio de indeterminada “x” y coeficientes ai tiene la forma:
a0 + a1 x +a 2 x ²+a3 x ³+.....+an x n Los coeficientes son números reales o enteros, etc y las
potencias siempre serán números enteros positivos o cero
El grado del polinomio está dado por la mayor potencia del
polinomio
Especializar un polinomio significa reemplazar la indeterminada por
un número
Cuando el resultado de especializar el polinomio es cero, entonces el
número que reemplazamos se llama raíz del polinomio
Compilación clases 1 a 8_I
9
Si un polinomio tiene una raíz “a” entonces el polinomio es divisible
por x - a
Actividad 14
a) Escriba la expresión del perímetro de un cuadrado en función de su lado x
b) Haga una representación gráfica del perímetro para distintos valores de longitud del lado
c) Describa las características de esta función: ¿es polinómica? ¿de qué grado? ¿puede ser x cualquier
número real?
Actividad 15
a)Exprese el área de un cuadrado de lado x. b)¿Es el área una función polinómica?¿de qué grado?
¿Puede x ser cualquier número real? c) ¿para qué valor de x el área del cuadrado es de 10 cm²?
d) Exprese el área de un círculo de radio r. e)¿Es el área una función polinómica?¿de qué grado?
¿Puede r ser cualquier número real? f) ¿para qué valor de r el área del círculo es de 10 cm²?
Actividad 16
De una lámina cuadrada de 50 centímetros de lado se recortan cuadrados en cada esquina de lado x.
Se pliegan las caras laterales a 90º y se forma una caja
a) Halle un expresión que permita calcular el área de la base de la caja
b) Halle un expresión que permita calcular el área de las caras laterales de la caja
c) Halle una expresión que permita hallar el área total de la caja
d) ¿puede ser x cualquier número real?
e) explique si las expresiones anteriores son polinómicas y en caso que lo sean de qué grado
f)¿para qué valor de x se alcanza el valor máximo del área total de la caja?
Ecuación de segundo grado
ax ²+bx +c=0
se resuelve con
Discriminante
x=
−b±√(b ²−4 ac )
se obtienen
2a
x 1 ; x 2 se llaman raíces o ceros
Δ=b ²−4 ac
Si
Δ> 0 las raíces son reales y distintas
Si
Δ< 0 las raíces son números complejos y conjugados
Si
Δ=0 las raíces son coincidentes (raíz doble)
Función cuadrática
f : D→ℝ tal que f ( x )=ax ²+bx +c
Vértice
V =( x v ; y v )
Compilación clases 1 a 8_I
x v=
−b
2a
yv=
x1 + x 2
4 ac−b ²
también podés usar x v =
4a
2
10
f (x)=a(x−x v ) ²+ y v forma canónica
f (x)=a( x−x 1) .( x−x 2 ) forma factoreada
Actividad 17
Grafica las funciones siguientes:
a)
f ( x )=( x −2 ) ²+3 ; b)
g ( x ) =−2 x ²+ 3 ; c)
h ( x )=− 4 ( x+ 1 ) ²
De la guía resolveremos los problemas: 141; 134; 136; 137; 138
Actividad 18
Compilación clases 1 a 8_I
11
Podemos recordar el teorema de Bolzano (matemático nacido en Praga en 1781)
Si una función es continua en un intervalo [a;b] tal que f(a).f(b) < 0
(a y b en el intervalo) entonces existe al menos un “c” con
a < c < b tal que f(c) = 0 (Teorema de Bolzano)
Actividad 19
Halla los conjuntos de positividad; de negatividad y de ceros de las funciones. Escriba los
conjuntos en forma de intervalos:
a)
y=2 x ² − 4 x
b)
y=− x ²+ 4 c)
y=x ²+ 4
Conjunto de positividad de la función: son los valores de x de su
dominio tales que f(x)>0. Se indica C+
Conjunto de negatividad de la función: son los valores de x de su
dominio tales que f(x)<0. Se indica CConjunto de ceros de la función: son los valores de x de su dominio
tales que f(x)=0. Se indica C0
Compilación clases 1 a 8_I
12
Composición de funciones. Definición
f : A→B y
g :C→D tal que
Imagen g ⊂ Dom f
(f ∘ g)( x) = f (g( x)) “se lee g compuesta con f”
Imagen f ⊂ Dom g
( g∘ f )(x) = g (f ( x))
“se lee f compuesta con g”
Actividad 20
Dadas las funciones
f ( x )=2 x − 4
g ( x ) =2 x ² − 4 x
y
s ( x ) =√ ( 2 x )
( f ∘ g )( x ) ; b) ( f ∘ s )( x ) ; c) ( g ∘ f )( x ) ; d) ( s ∘ g ) ( x )
Hallar el dominio de: a) ( f ∘ g )( x ) ; b) ( f ∘ s )( x ) ; c) ( g ∘ f )( x ) ; d) ( s ∘ g ) ( x )
Hallar la expresión de: a)
Clase 4
Actividad 21
Funciones polinómicas (en general)
Veamos algunas funciones polinómicas de grado mayor que dos
Tengamos en cuenta el Teorema Fundamental del Álgebra y sus consecuencias
Compilación clases 1 a 8_I
13
Actividad 22
Funciones Homográficas
Actividad 23
Compilación clases 1 a 8_I
14
Otras funciones racionales
Compilación clases 1 a 8_I
15
Clase 5
Función inversa
Definiciones:
Función biyectiva: Una función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva
La función f es inyectiva si y sólo si x 1≠x 2→f (x 1)≠f (x2 ) es decir tomando dos elementos distintos
del dominio debemos tener respectivamente dos imágenes distintas
La función es sobreyectiva si y sólo si la Imagen de f es igual al conjunto de llegada (codominio de f)
Compilación clases 1 a 8_I
16
Función Inversa
Sea f una función biyectiva con dominio D e imagen I, la función f ⁽⁻¹⁾ con dominio I e ¹⁾ con dominio I e con dominio I e
imagen D tal que f ⁽ ⁻¹ ⁾( y ) = x ⇔ f ( x ) = y
Nota: a) En la segunda propiedad, recorrido es la imagen de la función. b) En la tercera propiedad la
simetría es una simetría axial respecto a la recta y = x
Cálculo algebraico de la función inversa
Ejemplo:
Compilación clases 1 a 8_I
17
Actividad 24
Actividad 25
3) Verifica si la función f es inversa de g demostrando mediante la composición de funciones
4) ¿Cuál de las siguientes funciones es la inversa de la función
f : x → f ( x )=3 x−2
5) Subraya la respuesta correcta. La función inversa de f (x)=x ³+ 4 es: a) f ⁻ ¹( x)=−x ³−4
3
3
b) f ⁻¹( x)= √ x−4 c) f ⁻¹( x)= √ x−4
Compilación clases 1 a 8_I
;
18
Clase 6
Funciones circulares
Actividad 26
De la página 50 de la guía anterior resaltamos el siguiente concepto
Calcula en radianes los siguientes ángulos sexagesimales:
a) 90º; b) 180º; c) 135º; d)225º; e) 270º; f) 360º; g) 30º; h) 25º32’
Calcula en el sistema sexagesimal un ángulo de: i) 1 radian; j)
Π radianes
8
Actividad 27 El seno de un ángulo
Dibuja una semirrecta desde el origen formando un ángulo de 60º con el eje x. Ubica un
punto cualquiera sobre dicha semirrecta. Anota las coordenadas x; y ; la distancia desde el
origen hasta el punto (usá el teorema de Pitágoras).
Dividí la coordenada y del punto por la distancia desde el origen a dicho punto.
Repetí la actividad con otros dos puntos sobre la misma semirrecta.
Compilación clases 1 a 8_I
19
¿Los resultados de las divisiones coinciden? Esos cocientes reciben el nombre de seno de
60º
Actividad 28 El coseno de un ángulo
Usá la misma semirrecta desde el origen formando un ángulo de 60º con el eje x. Usando
los mismos puntos
Dividí la coordenada x del punto por la distancia desde el origen a dicho punto.
Repetí la actividad con los otros dos puntos sobre la misma semirrecta.
¿Los resultados de las divisiones coinciden? Esos cocientes reciben el nombre de coseno de
60º
Actividad 29
Realizá las mismas actividades anteriores pero con puntos en el segundo, tercer y cuarto
cuadrantes. Por ejemplo con ángulos de 135º; 210º; 330º. Calculá los senos y cosenos y
después verificá los resultados con la calculadora
Actividad 30
Con todo lo trabajado hasta ahora sabemos que la relación trigonométrica: seno de un
ángulo es la relación entre la ordenada (coordenada y) de un punto y la distancia desde el
origen a dicho punto
sen (α)=
ordenada de P
distancia OP
En el caso del coseno tendremos
y para la tangente:
tan (α)=
cos (α)=
abscisa de P
distancia OP
ordenada de P
abscisa P
De acuerdo a las coordenadas de P completa la siguiente tabla
Cuadrante de P
I
Signo del seno
Signo del coseno
Signo de la tangente
0<α <90 º
II
90 º <α< 180 º
III
180 º <α< 270º
IV
270 º <α< 360º
Actividad 31
¿Cómo se genera la gráfica de la función seno?
Ya sabemos calcular el seno de un ángulo usando coordenadas de un punto y la distancia
de éste punto al origen pero para hacer más fácil los cálculo ubiquemos P a una distancia
Compilación clases 1 a 8_I
20
de 1 unidad del origen de coordenadas así el cociente
sen (α)=
ordenada de P
va a ser
distancia OP
simplemente el valor de la ordenada del punto.
Completa la siguiente tabla
α
α En
radianes
0º
0
sen (α) = ordenada de P
15º
30º
π =0,52
6
45º
60º
75º
90º
π =1,57
2
A partir de la tabla anterior hacé un gráfico poniendo en el eje x los valores del ángulo
en radianes y en el eje y los valores del sen (α) = ordenada de P
α
Actividad 32
Continuamos completando la siguiente tabla
α
α En
radianes
sen (α) = ordenada de P
105º
120º
135º
150º
165º
180º
A partir de la tabla anterior continua el gráficode la actividad 6 poniendo en el eje x los
valores del ángulo α en radianes y en el eje y los valores del
sen (α) = ordenada de P
Compilación clases 1 a 8_I
21
Actividad 33
Genera las tablas necesarias hasta completar los 360º y realiza el gráfico. Debería quedar
aproximadamente como el gráfico de la página 51 de la guía.
Actividad 34
A partir de tablas como las anteriores, generá la función coseno. No olvides que
abscisa de P
distancia OP
cos (α)=abscisa de P
cos (α)=
y como tomamos por convención la distancia OP = 1 nos quedará
Actividad 35
Como desafío extra te proponemos que generes la función tangente. Hay que tener cuidado
en aquellos valores donde la abscisa se hace cero. ¿te animás?
Compilación clases 1 a 8_I
22
Objetivo: Trabajar con identidades trigonométricas y resolver ecuaciones trigonométricas
sencillas para que sea fundamento del análisis matemático de dichas funciones y la
optimización de procesos que las utilicen como modelos en Matemática 1
Actividad 36
Retomamos algunas representaciones gráficas de la sinusoide
Las funciones representadas arriba son
f (x)=sen(x )
y
g ( x)=sen (3 x)
a) identifica cada una de ellas y justifica tu elección
b) ¿Cómo está graduado el eje x?, ¿son ángulos acaso medidos en grados minutos y
segundos?
c) Indica la amplitud de cada una de ellas y su período. (el período es el valor de x que
necesita la función para completar un ciclo, por lo general se refiere a un tiempo aunque
aquí no, aquí se refiere a un ángulo. La amplitud es el valor absoluto del número que
multiplica a la función)
Actividad 37
Completa los parámetros en la siguiente tabla y grafica en Geogebra
FUNCIÓN
AMPLITUD
PERÍODO
Imagen de f
f (x)=3. sen( x )
f (x)=−2. sen(4 x)
1
f (x)=cos( x )
2
Compilación clases 1 a 8_I
23
f (x)=2. cos (x)
Actividad 38
La corriente eléctrica puede tener una ecuación como la siguiente:
f (t)=√ (2) .220. sen (314. t)
a) ¿Cuales son las variables?. b) ¿Cuánto vale la amplitud de la sinusoide? c) Representa
en Geogebra la función y estime su período. (en este caso no será un ángulo en radianes
sino un tiempo en segundos)
Actividad 39
Represente gráficamente la función coseno. Busca las similitudes y las diferencias entre la
gráfica del seno y del coseno.
Identidades trigonométricas
Actividad 40
Calcule los valores que se indican en la tabla
Ángulo
sen 2 (x)
cos 2(x )
sen 2 ( x)+cos 2 ( x)
35°
Π (radianes)
4
120°
Actividad 41
Trace una semirrecta desde el origen y ubique allí un punto cualquiera. Obtenga las
coordenadas del punto y la distancia desde el origen al punto. Usando las definiciones de
2
2
seno y coseno calcule sen ( x)+cos ( x)
Actividad 42
Exprese las fórmulas que nos permitan calcular el seno de un ángulo si se sabe el valor del
coseno.
Exprese las fórmulas que nos permitan calcular el coseno de un ángulo si se sabe el valor
del seno.
Si el seno de un ángulo vale ½, ¿cuánto vale su coseno según las formulas obtenidas?
Actividad 43
Demuestre la siguiente identidad
1+tan 2 (x )=sec 2( x)
Actividad 44
El seno de la suma de dos ángulos y el seno de la diferencia de dos ángulos
Compilación clases 1 a 8_I
24
Si quisieras calcular
posible?
sen (45 ° ) como la suma del
Prueba con la siguiente expresión:
sen (15 °) más
sen (30 °) ¿sería esto
sen (a+ b)=sen(a) . cos(b)+cos (a). sen( b)
Además, para la diferencia tenemos la siguiente expresión:
sen (a−b)=sen (a). cos (b)−cos (a) . sen(b) , utilízalas para calcular
° sen(90 °−b) ; sen (Π−b) ; sen (360 ° +b)
Actividad 45
Actividad 46
Verifica las siguientes identidades trigonométricas:
a)
sen (x)
1+ cos( x )
=
1−cos( x)
sen (x)
b)
1
=sen (x).cos ( x )
tg (x )+cotg( x )
c)
1
− cos(x ) = sen( x ). tg( x)
cos( x )
d)
1+ tg( x )
tg( x+ Π ) =
4
1−tg( x)
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Actividad 47
Compilación clases 1 a 8_I
25
Funciones exponenciales
Sea f :ℝ→ℝ tal que f ( x )=a x
con a> 0 y a≠1
Actividad 48 Plantea y resuelve los siguientes problemas
Compilación clases 1 a 8_I
26
Actividad 49
Halla el dominio, las intersecciones con los ejes, las asíntotas (para calcular las asíntotas horizontales
trabajar la noción de límite usando tabla de valores cada vez más grandes o cada vez más negativos) ,
el conjunto de positividad y negatividad de las funciones
Haga una representación gráfica aproximada
a)
f (x)=2 x −1 explicar si esta función crece o decrece
b)
f (x)=3 x +2
c)
1 x
f (x)=( ) −3 explicar si esta función crece o decrece
2
d) Hallar el o los valores de x para los cuales cada una de las funciones anteriores vale 1
Actividad 50
Actividad 51
Compilación clases 1 a 8_I
27
Compilación clases 1 a 8_I
28
Definición:
log a (x ) = y
⇔
a y = x con a>0 a≠1
En particular: y = log (x) (se lee logaritmo decimal) “y” es es el valor del
exponente al cual la base 10 debe elevarse para obtener el valor “x”
Tener en cuenta que: La base del logaritmo debe ser mayor que cero y distinto que
1 (en este caso es 10), el argumento x debe ser mayor que cero
Compilación clases 1 a 8_I
29
Actividad 52 Funciones logarítmicas
completa la tabla siguiente para log x. (logaritmo decimal). Trata de resolver los logaritmos usando la
definición y luego verifica con la calculadora
x
100
10³
10⁶
0,01
10⁽⁻⁵⁾
log (x)
Actividad 53 Completa :
b) El logaritmo de un producto de dos números es igual a la ........................de los logaritmos de
estos números. Por lo tanto,
log 5 (5 . 125) es igual a ..............+...............
c) El logaritmo de un cociente de dos números es igual que la ........................de los logaritmos de
estos números. Por lo tanto,
log 5 (5 : 125) es igual a .............. - ...............
d) El logaritmo de un número elevado a una potencia es igual que el valor de la potencia multiplicada
1234
por el logaritmo del número. Por lo tanto, log 5 (5 ) es igual a ...........…
Volvemos a las Funciones logarítmicas
Actividad 54
Halla el dominio,, las intersecciones con los ejes, las asíntotas (para calcular las asíntotas verticales
trabajar la noción de límite usando tabla de valores cada vez más próximos a los valores convenientes),
el conjunto de positividad y negatividad y la representa gráficamente las funciones:
a)
f (x)=log( x−1) explicar si esta función crece o decrece
b)
f (x)=ln (x ²−1)
c)
f (x)=log 1 x explicar si esta función crece o decrece
( )
2
d) Hallar el o los valores de x para los cuales cada una de las funciones anteriores vale 1
Actividad 55
Dadas las funciones
f ( x )=ln ( x)
g ( x ) =2 x ² − 4 x
y
s ( x)=x ²+ x−2
Halla la expresión de: a) ( f ∘ g )( x ) ; b) ( f ∘ s )( x )
Halla el dominio de: a) ( f ∘ g )( x ) ; b) ( f ∘ s )( x )
Halla las asíntotas, conjuntos de positividad, de negatividad de a) ( f ∘ g )( x ) ; b) ( f ∘ s )( x )
Compilación clases 1 a 8_I
30
Funciones a trozos
Actividad 56
Definición: Valor absoluto de un número real x :
|x|= x
−x
{
si x ≥0
si x <0
Propiedades del valor absoluto:
1.
|x|≤ a → −a≤x≤a
2.
|x|≥ a → x≤−a ∨ x≥ a
Compilación clases 1 a 8_I
31
Actividad 57
Representa la función valor absoluto
y de positividad
f (x)=|x| . Hallar su dominio y los conjuntos de ceros
Actividad 58
Representa las funciones con valor absoluto. Hallar: dominio, conjuntos de ceros, de
positividad y de negatividad
a)
f (x)=|x−3| ; b)
g( x )=|x +2|−1 ; c)
h(x )= −|x−1|+4
Actividad 59 Hacia el concepto de límite
Actividad 60
1)Halla el dominio de la siguiente función (no es necesario buscar fórmulas)
2)Estima los valores de:
a) lim f ( x )
x→o
b) lim f (x )
x→−3
c) lim f ( x )
x→2
Compilación clases 1 a 8_I
32
Algunas indeterminaciones que podemos encontrar al resolver límites son del tipo
0 ∞
∞
; ∞ ; ∞−∞ ; 1 ; 0. ∞
0
Actividad 61
Compilación clases 1 a 8_I
33
Actividad 62 Resuelva el problema 180
Teorema de intercalación
Si f, g, h son tres funciones definidas en el mismo conjunto D y se cumple que:
1.
lim f ( x )=L ∧ lim h(x)=L
x→a
2.
x→ a
∀ x :{x ∈D∧x≠a ⇒ f ( x )≤g( x )≤h( x )}
entonces. lim g( x)=L
x→a
Actividad 63
Dos límites especiales:
1.
lim
x→0
sen ( x)
Usando el
x
Teorema
de
intercalación
sen (x)
= 1 Además se puede demostrar que
x
x→0
sen (2 x)
sen ( x−π)
a) Calcula lim
; b) lim
3x
x−π
x→0
x→π
lim
lim
f (x)→0
se
puede
demostrar
que
sen (f ( x ))
= 1
f ( x)
2. El número e
1 n
lim (1+ ) con
n
n→∞
3 x +1 2 x
; c) lim (
)
x→∞ 3 x−2
a) Calcula aproximadamente
b) Calcula
lim (1+
x→∞
Compilación clases 1 a 8_I
1 2x
)
5x
n∈ℕ
34
Clase 9
Continuidad en un punto
Una función f(x) es continua en
x=x 0 si y sólo si lim f ( x )=f (x 0)
x→x 0
Esto podría explicarse en los siguientes pasos
1−
∃f ( x 0 )
2− lim f ( x)=L
{
3−
x→ x0
f ( x 0)=L
Discontinuidades
Si no existe el límite L o el límite es infinito la discontinuidad es esencial
Si el límite existe y es finito pero no hay imagen en x=x 0 la discontinuidad es evitable
Si el límite existe y es finito pero la imagen en x=x 0 es distinta al límite, la
discontinuidad es evitable
Clase 9_E
35
Actividad 64
Resuelva el problema 191
Actividad 65
Problema 192 Hallar el valor de a para que las siguientes funciones sean continuas en x=2
Asíntotas
Asíntota vertical
La recta x=x 0 es una asíntota vertical si y sólo si lim f ( x )=∞
x→x 0
Asíntota horizontal
La recta y= y 0 es una asíntota horizontal si y sólo si lim f (x )= y 0
x→∞
Asíntota oblicua
La recta y=mx +b es una asíntota oblicua si y sólo si lim (f ( x) − (mx+ b))=0 siendo
x→∞
f (x)
lim
=m y lim (f ( x) − (mx ))=b
x
x→∞
x→∞
Clase 9_E
36
Actividad 66
Actividad 67
Halle las asíntotas de a) f (x)=
Clase 9_E
3−2 x
3
1
; b) f (x)=7−
; c) f (x)=x +
1
2 x−1
x
4 x+
2
37
Actividad 68
Actividad 69
Actividad 70
Clase 9_E
38
Actividad 70 bis
Halla las ecuaciones de las asíntotas y representa gráficamente las funciones racionales
Clase 9_E
39
Clase 10
Tasa de variación media
Si
y=f ( x)
; Δ y = y 2− y 1
;
Δ x=x2 −x1
; Tasa de variación media =
Δy
ΔX
Interpretación geométrica de la tasa de variación media: es la pendiente de la recta que pasa por los
puntos P1=( x1 ; y 1) P2 =(x 2 ; y 2 )
Actividad 70 bis
Actividad 71
La posición “y” (en metros) de un objeto depende del tiempo “x” (en segundos) según la ecuación
y=10+100 x−5 x ² Halla la velocidad media o tasa de variación media para los siguientes intervalos
a) x∈[ 0 ; 10] b) x∈[8 ; 12] ; c) x∈[10 ; 12] ; d) Haga una interpretación geométrica de la
actividad anterior
Actividad 72
Un globo esférico se infla con un gas. a) Encuentra la razón de cambio media (tasa de variación media)
del volumen con respecto al radio cuando el globo cambia su radio de 2 metros a 3 metros y cuando
cambia de 2 m a 2,5 m. b) Calcula la variación del volumen cuándo el radio se incrementa en 1
centímetro, c) Calcula la variación del volumen cuándo el radio se incrementa en 1 milímetro Se
sugiere la confección de las siguientes tablas para responder al ítem b).
Actividad 73
La posición “y” de un objeto depende del tiempo “x” según la ecuación y=10+100 x−5 x ²
velocidad media o tasa de variación media para los siguientes intervalos a) x∈[1 ; 2] b)
x∈[1 ; 1,5] ; c) x∈[1 ; 1,01]
Actividad 74
La posición “y” de un objeto depende del tiempo “x” según la ecuación y=10+100 x−5 x ²
velocidad instantánea v =100−10 x para x=1 Compare con los resultados anteriores
Clase 10 y 11_D
Halla la
Halla la
40
Tasa de variación instantánea o derivada
y=f ( x) ;
Δ y= y 2− y 1 ; Δ y =f (x 2 )−f (x 1) ; Δ x=x 2−x 1
; Tasade variación instantánea = lim
Δ x→0
Actividad 75
La posición “y” de un objeto depende del tiempo “x” según la ecuación y=10+100 x−5 x ²
velocidad instantánea mediante el límite. Compare con la expresión v =100−10 x usada
anteriormente
Δy
ΔX
Halla la
Tasa de variación instantánea o derivada
y=f ( x) ; Δ y =f ( x 2 )−f ( x 1) =f (x 1+ Δ x)−f ( x 1 );
Δ x=x 2−x 1 ; Derivada f ' ( x 1)= lim
Δ x→0
f (x 1+ Δ x)−f ( x 1 )
ΔX
La derivada por definición en x=x 1
f ' (x1 )= lim
Δ x→0
f ( x 1+ Δ x)−f (x 1)
o equivalente
ΔX
f ' (x1 )=lim
x→ x1
f (x )−f ( x1 )
x−x 1
Actividad 76
Hallar por definición las derivadas de a) f ( x)=c con “c” constante; b) f (x)=m. x +b con “m”
y “b” constantes ; c) f (x)=a. x ² con “a” constante; d) f (x)= √ (x) ; e) a) f (x)=
3. x+1
con
x−4
“m” y “b” constantes
Clase 11
La derivada en x=x 1 existe si y sólo si existen las derivadas laterales y son iguales
f ' +(x ) = lim
1
Δ x→0 ⁺
f ( x 1 +Δ x )−f ( x1 )
f ( x1 +Δ x )−f (x 1)
=f ' −( x )= lim
ΔX
ΔX
Δ x→0 ⁻
1
El primer miembro de la
igualdad es la derivada lateral por derecha y el segundo miembro es la derivada
lateral por la izquierda
o se puede expresar de forma equivalente
f ' +(x ) = lim
1
x→ x 1⁺
f (x)−f ( x1 )
f (x )−f (x 1)
=f ' −( x ) = lim
x−x 1
x−x 1
x→ x ⁻
1
1
Actividad 77
Halla la derivada en x=0 de f (x )= |x| Utiliza las derivadas laterales.
Halla la expresión de la función derivada de f (x)= |x| y grafícala
Clase 10 y 11_D
41
TABLA DE (algunas) DERIVADAS
f(x)
df
dx
= f’(x)
c
0
xn
n . x n−1
c . xn
c . n . x n−1
c . f ( x)
c . f ' ( x)
√(x )
1
2. √( x )
sen ( x)
cos (x)
cos (x)
−sen ( x)
ln( x )
1
x
log a (x )
1
. log a (e)
x
ex
ex
ax
a x . ln (a)
f (x)+g(x )
f ' (x)+ g ' (x )
f (x) . g( x )
f ' (x) . g( x )+f (x) . g '( x)
f (x)
g ( x)
f '( x ). g( x )−f ( x) . g '( x)
[g ( x)]2
Actividad 78
Usando la tabla de derivadas halla las funciones derivadas
Clase 10 y 11_D
42
Derivada de la función compuesta (regla de la cadena)
Si la función g es derivable en x = x0 y la función f es derivable en g(x0) entonces la función compuesta f ∘ g es
derivable en x = x0 siendo (f ∘ g)' ( x= x )=f ' (g(x 0 )). g ' (x 0)
0
Actividad 79
x
x
2x
1
Derivar a) y=3. e +5 b) y= 2. 5 +3 x c) y=e + x ² d) y=2 +5 x ³ e) y=Π x + e−cos( Π) f)
2−x
e x + e−x
) j) y=cos ³(x ²) k)
g) y=(e x ² + √ 2).(x ³−x ) h) y=ln (2−x ) i) y=ln(
y=
2 x +1
2
sen( π )
1
4
y=
l)
(cosecante)
y=cos ³(2 x)+ sen( √ x ) k) y=
sen (2 x+1)
sen ( x)
−x
La función inversa y la derivada
Dada una función continua y=f (x) dada en la forma x=g( y )
Δx
Δy
=1:
se puede ver que
haciendo el límite cuando Δ x →0 y por ser continua
Δy
Δx
dg
df
=1 :
se cumple que Δ y →0 nos quedará:
o sea g '( x )=1: f ' ( x )
dy
dx
Actividad 80
Hallar las derivadas de:
3
a) f (x)=arc tan(x ) b) f (x)=arcsen ( x) c) f (x)= √ x
Actividad 81
Derivada logarítmica: aplicando las propiedades de los logaritmos y teniendo en cuenta que
y=f (x) y su derivada es y’, hallar las derivadas siguientes:
a) y=x x b) y=x sen (x) c) y=x √( x)
Clase 10 y 11_D
43
Clase 12
Derivación implícita
Dada la función definida por la siguiente expresión x ⁶−x=2 y ⁶+ y ⁵− y ³ es imposible expresar
a y en términos de x.
Teniendo en cuenta que y=f (x) podemos escribir x ⁶−x = 2( f (x)) ⁶+( f (x)) ⁵−(f ( x))³
que es válida para valores en el Domino de f. Decimos que la función está definida implícitamente.
Para derivarla debemos tener en cuenta la regla de la cadena
Dx significa derivada respecto de x
D x (x ⁶−x ) = D x (2(f ( x ))⁶ +(f ( x ))⁵−( f (x )) ³)
6 x ⁵−1 = 12( f ( x )) ⁵. f '( x)+5(f ( x))⁴. f ' (x )−3 (f (x ))². f ' (x ) o equivalente
6 x ⁵−1 = 12. y ⁵. y ' +5. y ⁴. y ' −3. y ². y '
6 x ⁵−1
Despejando y ' (x)=
12 y ⁵+5 y ⁴−3 y ²
Actividad
Derivar: a) 3 x ⁴ y ²−5 xy ³=2−8 y
ecuación de la recta tangente a
b)
x ³−sen( x . y)+2 y=1 c)
x² y²
+ =1 en el punto
9 4
x² y²
+ =2 d) Halla la
9 4
P(3 ; 0)
El diferencial
Clase 12_D implicita
44
Aproximación diferencial. Aproximación lineal
dy≃Δ y siempre que Δ x →0 es decir f (x 0+ Δ x)≃f ' (x 0 ). Δ x +f (x 0)
Actividad
El radio de una placa circular aumentó por efecto de la temperatura de 10 m a 10,1 m, usando
diferenciales calcula en forma aproximada el aumento del área. Calcula en forma aproximada el
valor del área aumentada y compara con el valor exacta de dicha área
Clase 12_D implicita
45
Clase 12_D implicita
46
Clase 13 y 14 Aplicaciones de la derivada: recta tangente, polinomio de Taylor, regla de L’Hôpital.
Derivabilidad
La recta tangente
Ecuaciones de la recta:
y=m . x +b (pendiente m y ordenada al origen b)
y=m . ( x − x 0 ) + y 0 (pendiente m y punto P=( x0 ; y0 )
La recta tangente a la curva y=f(x) en P=( x0 ; y 0 ) es aquella que pasa por P y tiene
como pendiente m=f´(x0 )
Actividad 89
Clase 13 y 14_E
47
Actividad 90
Polinomio de Taylor
Un polinomio de indeterminada “x” y coeficientes ai tiene la forma:
a0 + a1 x +a 2 x ²+a3 x ³+.....+an x n El grado del polinomio está dado por la mayor potencia del
polinomio
El Polinomio de Taylor para una función f continua en un intervalo [a;x] y sus “n”derivadas
también continuas en dicho intervalo, tiene la forma:
P( x)=f ( x 0 )+ f ´ (x 0 ).(x−x 0 )+
1
1
. f ´ ´ (x 0).(x−x 0)2 +....+ . f n( x 0 ).(x−x0 )n
2!
n!
Actividad 91
Halla aproximaciones de Taylor (o Taylor Mac Laurin) para las siguientes funciones
a) f (x)=sen(x ) en x 0=0 de grado 2
b) f (x)=sen( x ) en x 0=0 de grado 3
c) f (x)=e x en x 0=0 de grado 5
c) f (x)=ln (x 2+1) en x 0=1 de grado 2
Actividad 92
Haga las composiciones ( P∘ g)(x) siendo P los polinomios hallados en la actividad anterior y
g( x)=x ⁵
La regla de L´Hôpital
Esta regla resuelve únicamente indeterminaciones del tipo cero sobre cero o infinito sobre infinito
Clase 13 y 14_E
48
Actividad 93
Derivabilidad
Actividad 94
a) Estudiar la derivabilidad de f (x)=| x | en x = 0
b) Representa gráficamente la función f’
Actividad 95
¿Es f continua en x = 0 ?
Clase 13 y 14_E
49
Derivabilidad y continuidad
Clase 13 y 14_E
50
Actividad 95 bis
Actividad 96
a) Estudia la continuidad y la derivabilidad de f (x)= ( x−1) ² si x≤1
2 x si x>1
b) Halla una expresión de f’
c) Representa gráficamente f
{
Clase 13 y 14_E
51
Clase 15
Clase 15
Análisis Matemático de funciones
52
Actividad 97
Actividad 98
2
Analizar y graficar las funciones: a) f (x)=e− x b) f (x)=
Clase 15
e x +e−x
c) f (x)=3. sen(2 x)
2
53
Clase 16 Optimización
Actividad 99
Resuelva los siguientes problemas de optimización
Clase 16
54
Clase 16
55
Clase 16
56
Clase 17 Antidiferenciación
Antiderivación o antidiferencicación
Teorema
Si F es una antiderivada de f en el intervalo I, entonces cada antiderivada de f en I está
dada por la expresión: F(x) + C donde C es una constante arbitraria y todas las
antiderivadas de f en I pueden obtenerse dándole valores a C
Clase 17
57
Propiedades de la integral indefinida
Clase 17
58
Clase 18. Integrales.
Actividades iniciales
Actividad 100
Verifica las siguientes identidades
a)
∫ dx= x+C
b)
∫ dt=t +C
c)
∫k
dx=k ∫ dx=k . x+C d)
Actividad 101
Resuelva las siguientes integrales inmediatas
3
a) ∫ (1+ Π)² dx b) ∫ ( x+2) dx c) ∫ (5 x ²+2 x−1)dx d)
5
3
2x x
f) ∫ ( +2 π ) dx g) ∫ ( +2 ) dx h) ∫ (1+ 3 x ²)² dx i)
√x
√x
k
∫e
dx=
k
k
dx= . x +C
∫
e
e
x
∫ ( 5 + 2 √ x) dx
e)
3
∫ ( x + 2 √3 x ²)dx
∫ (e+ e x) dx
Actividad 102
Te dejamos algunas integrales inmediatas resueltas. Te proponemos que las resuelvas por tu cuenta y
compares los resultados
Actividad 103
Halla la o las funciones tales que sus derivadas son:
a) f ' (x)=2 x−1 b) f ' (x)=x ³−2 x +3 ; f (0)=2 c) f ' (x)=sen( x)−1
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
;
f (1)=0
59
Actividad 104
Resuelva las siguientes integrales
a)
∫ (√2+ √ x ) ³ dx
e)
∫ 1+ x ² dx
x²
f)
tg ( π )
∫ x 4⁵ dx k)
b)
1
5
∫ (√ x ³− 3 x ² + x ⁴ ) dx
√
∫ (Sh( x)+Ch( x)) dx
g)
c)
∫ √ π . e . x ³ dx
dx
∫ cos ² (x)
d)
x
h)
1
∫ (e x −cos ( x)+ x )dx
∫ ( e +e
ex
2x
) dx i)
∫ πx . ln (π )dx
j)
∫ 5 x 2²+x √ x dx
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
60
Clase 19
Integración por sustitución de variables
Actividad 105
Te dejamos algunas integrales resueltas. Te proponemos que las resuelvas por tu cuenta y compares los
resultados
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
61
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
62
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
63
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
64
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
65
Actividad 105 bis
Resuelva las siguientes integrales. Sustitución de variables
1
x²
dx c) ∫ 3
dx d) ∫ (e3 x +5−x ) dx
a) ∫ √ 1−2 x dx b) ∫ 3
√ 2−5 x
√ 2−x ³
3 x²
dx f) ∫ cos (5 x) dx g) ∫ tg(x) dx h) ∫ cos ²( x) dx i)
e) ∫
4+x ³
1
1
dx k) ∫
dx
j) ∫
1+ 25 x ²
√ 25−x ²
2
∫ 1−2 x
dx
Integral por partes
∫u
dv = u . v −∫ v du
Actividad 106
Resuelva las siguientes integrales. Integración por partes.
x
x
a) ∫ ln ( x) dx b) ∫ x . e dx c) ∫ x ².cos (x) dx d) ∫ (e . cos( x )) dx
x
x
e) ∫ 2 . e dx f) ∫ arctg (x) dx g) ∫ arc sen(x ) dx h) ∫ sen ²( x ) dx
3x
i) ∫ (e . cos(2 x)) dx
Actividad 107
Resuelva usando métodos adecuados
cos(ln ( x ))
a) ∫
b) ∫ ln (cos( x)) dx
dx
x
c)
∫ cos (√ 1−2 x)
dx
Cociente de polinomios. Expansión en fracciones simples
Siendo el grado de P(x) menor que el grado de Q(x) y las n raíces simples y reales de Q podemos escribir
P( x)
A
B
C
N
=
+
+
+ ...+
Q( x) x −x1 x−x 2 x−x 3
x−x n
Si las raíces son múltiples deben aparecer con sus respectivas multiplicidades y en forma decreciente.
1
A B
C
D
E
= + +
+
+
Por ejemplo
siendo que el MCM del denominador del
x
²
x
x ²( x−2)³
(x−2)³ (x−2)² (x−2)
segundo miembro coincide con el denominador del primer miembro
Actividad 108
Resuelva las siguientes integrales de funciones racionales
dx
b)
x ³ + x ²+ 2
dx
x ³−x
a)
∫ x ²−9
e)
∫ ( x−2)(x−1)² dx
x ²− x+ 4
∫
f)
c)
dx
x ⁴−3
∫ x ³ + x ² dx
d)
x−1
∫ x ³−x ²−2 x dx
∫ 1−x ⁴
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
66
Clase 18 y 19 Integrales sustitucion partes fracciones_B
67
Clase 20
La integral definida. El Teorema Fundamental del Cálculo. Área y Volumen de
Revolución. (imágenes del Cálculo de una variable de James Stewart y del Cálculo con geometría
Analítica de Louis Leithold)
Definición de integral definida. La suma de Riemann. ( Bemhard Riemann 1826-1866)
Este teorema nos dice que en el intervalo puede haber discontinuidades de salto finto y así mismo
2
1
la función ser integrable ¿se puede calcular ∫ dx ?
−1 x
Clase 20_D Integral Definida área y volumen
68
En la propiedad 8 vemos que si la función está acotada entonces la integral se puede acotar entre
dos rectángulos
Actividad 109
1
Halla un valor aproximado de
∫ e−x ²
dx
0
Clase 20_D Integral Definida área y volumen
69
Clase 20_D Integral Definida área y volumen
70
La regla de Barrow
Clase 20_D Integral Definida área y volumen
71
En síntesis
Actividad 110
Calcula las integrales definidas
2
a)
1
∫ (5 x ³−2 x) dx b)
1
2
f)
∫π sen(2 x) dx
1
∫ (1−2 x)⁹ dx d)
0
e
g)
∫ ln ( x)dx
1
2
∫ (5 x ³−2 x) dx e)
2
2
∫ y ( y ²+1)dy
−1
2
h)
∫ x e x dx
0
Teorema
Si una función es continua en [a;b] entonces existe
b
c ∈[a ; b] tal que
∫ f ( x)dx=f (c ).(b−a)
a
El valor medio es aplicado en el centro de masa y en electricidad
Actividad 111
Calcula el valor medio de la función seno de x en el intervalo [0; π ]
2
Clase 20_D Integral Definida área y volumen
72
Área entre dos curvas
Clase 20_D Integral Definida área y volumen
73
Actividad 112
Actividad 112
Halla el área encerrada por las curvas mediante integrales definidas. Haga un bosquejo de las curvas
previamente.
1
a)
y=x ; y =x2 −1 ; b)
y=x ; y =x3 ; c)
y=x 3 ; y=1 ; x=0 ;
1
2
d) y=x ; y=x−2 ; x=0 e)
y=x 2 ; y =x 3 −12 x f)
x=−1 ; y =e−x ; y =e x ; x=2 ;
g)
y=sen(x ) ; x=− π ; x=π ; g)
y=tan (x) ; x=−1 ; x=1
2
Volumen de un sólido
Sea S un sólido que está entre dos planos perpendiculares al eje x para a≤x≤b .
Si la medida del área A(x) de la sección plana S es continua en [a; b] entonces el volumen
b
V está dado por v =∫ A ( x)dx
a
Clase 20_D Integral Definida área y volumen
74
Volumen de un sólido de revolución
Sea S un sólido que está entre dos planos perpendiculares al eje x para a≤x≤b que se
obtiene de rotar f (x)≥0 en [a; b] alrededor del eje x
b
El volumen V está dado por v =∫ π (f ( x ))2 dx
a
Actividad 113
Halla el volumen al rotar las siguientes curvas
a)
y=x 2 ; 0≤x≤2 alrededor del eje x ; b)
y=x 2 ; 0< x<2 alrededor del eje y
c) y=1+2 x 1≤x ≤3 alrededor del eje x ; d) y=1+2 x 1≤x ≤3 alrededor del eje y
e) y=ln ( x) 1≤x ≤e alrededor del eje y
Clase 20_D Integral Definida área y volumen
75
La integral definida y el centro de masa
Centro de masa
76
Centro de masa
77
Centro de masa
78
Centro de masa
79
CATENARIA
e
x
La función f ( x)=a. Ch( ) se puede escribir f ( x)=a.
a
Para a = 2
−x
2
e
x
f ( x)=2. Ch( ) se puede escribir f (x)= 2.
2
Una aproximación polinómica es :
Catenaria_1
−x
a
x
+ ea
2
x
+ e2
2
La representación es:
1
g( x)=2+ x ²
4
80
CATENARIA
Actividad 1
x
Calcular la longitud de una catenaria f ( x)=2. Ch( ) con −3≤x≤3
2
Tengamos en cuenta que Ch² (x)−Sh ²( x )=1
Algunos aportes teóricos
Catenaria_1
81
9- BIBLIOGRAFIA

Baranenkov, G y otros. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático.Paraninfo 1993

Edminister, Joseph. Teoría y Problemas de Circuitos Eléctricos. McGraw-Hill.

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