Para FMAT
Unas poquitas integrales que encontre por ahi
por Picosenotheta . .bueno y que esperan , a bajar y trabajar y suerte en los controles
801
EJERCICIOS
RESUELTOS
DE
INTEGRAL
INDEFINIDA
INDICE
INTRODUCCION ............................................................................................................................................. 5
INSTRUCCIONES............................................................................................................................................ 6
ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE................................................................................................... 7
IDENTIFICACIONES USUALES ................................................................................................................. 7
IDENTIDADES ALGEBRAICAS .................................................................................................................. 7
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS....................................................................................................... 8
FORMULAS FUNDAMENTALES.................................................................................................................10
CAPITULO 1...................................................................................................................................................12
INTEGRALES ELEMENTALES ................................................................................................................12
EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................12
EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................20
RESPUESTAS..............................................................................................................................................21
CAPITULO 2...................................................................................................................................................29
INTEGRACION POR SUSTITUCION........................................................................................................29
EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................29
EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................39
RESPUESTAS..............................................................................................................................................41
CAPITULO 3...................................................................................................................................................59
INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS .......................................................................59
EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................59
EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................66
RESPUESTAS..............................................................................................................................................67
CAPITULO 4...................................................................................................................................................77
INTEGRACION POR PARTES...................................................................................................................77
EJERCICIOS DESARROLLADOS .............................................................................................................77
EJERCICIOS PROPUESTOS ......................................................................................................................88
RESPUESTAS..............................................................................................................................................89
CAPITULO 5.................................................................................................................................................111
INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS...............................................................................111
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................111
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................116
RESPUESTAS............................................................................................................................................117
CAPITULO 6.................................................................................................................................................126
INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA .................................................................126
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................126
EJERCICIOS PROPUESTOS: ...................................................................................................................135
RESPUESTAS............................................................................................................................................137
CAPITULO 7.................................................................................................................................................154
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES..................................................................................154
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................154
EJERCICICOS PROPUESTOS..................................................................................................................162
RESPUESTAS............................................................................................................................................163
CAPITULO 8.................................................................................................................................................188
2
INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO...............................................188
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................188
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................195
RESPUESTAS............................................................................................................................................195
CAPITULO 9.................................................................................................................................................199
INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES ...............................................................................199
EJERCICIOS DESARROLLADOS ...........................................................................................................199
EJERCICIOS PROPUESTOS ....................................................................................................................203
RESPUESTAS............................................................................................................................................203
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS ........................................................................................................208
RESPUESTAS............................................................................................................................................210
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................242
3
A
Patricia. / A Ana Zoraida.
A los que van quedando en el camino,
Compañeros de ayer,
De hoy y de siempre.
4
INTRODUCCION
El libro que os ofrecemos, no es un libro auto contenido, sino un instrumento
de complementación, para la práctica indispensable en el tópico relativo a las
integrales indefinidas. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo
llevará a hacer una realidad, el sabio principio que unifica la teoría con la práctica.
El trabajo compartido de los autores de “801 ejercicios resueltos” es una
experiencia que esperamos sea positiva, en el espíritu universitario de la
activación de las contrapartes, en todo caso será el usuario quien de su veredicto
al respecto, ya sea por medio del consejo oportuno, la crítica constructiva o la
observación fraterna, por lo cual desde ya agradecemos todo comentario al
respecto.
Nos es grato hacer un reconocimiento a la cooperación prestada por los
estudiantes de UNET: Jhonny Bonilla y Omar Umaña.
5
INSTRUCCIONES
Para un adecuado uso de este problemario, nos permitimos recomendar lo
siguiente:
a) Estudie la teoría pertinente en forma previa.
b) Ejercite la técnica de aprehender con los casos resueltos.
c) Trate de resolver sin ayuda, los ejercicios propuestos.
d) En caso de discrepancia consulte la solución respectiva.
e) En caso de mantener la discrepancia, recurre a la consulta de algún
profesor.
f) Al final, hay una cantidad grande de ejercicios sin especificar técnica
alguna. Proceda en forma en forma análoga.
g) El no poder hacer un ejercicio, no es razón para frustrarse. Adelante
y éxito.
6
ABREVIATURAS DE USO FRECUENTE
e:
η:
og :
sen :
arcs e n :
cos :
arc cos :
arc co s :
τg :
Base de logaritmos neperianos.
Logaritmo natural o neperiano.
Logaritmo vulgar o de briggs.
Seno.
Arco seno.
Coseno.
Arco coseno.
Arco coseno.
arc tg :
co τ g
arc co tg
sec :
arc sec :
cos ec :
arc sec :
exp :
dx :
x:
Tangente.
Arco tangente.
Cotangente.
Arco cotangente.
Secante.
Arco secante.
Cosecante.
Arco cosecante.
Exponencial.
Diferencial de x.
Valor absoluto de x.
m.c.m:
Mínimo común múltiplo.
IDENTIFICACIONES USUALES
s e n n x = (s e n x) n
η n x = ( η x) n
s e n −1 x = arcs e n x
og n x = ( ogx) n
ogx = og x
IDENTIDADES ALGEBRAICAS
1.
Sean a, b: bases; m, n números naturales.
a m a n = a m+ n
(a m ) n = a mn
(ab) n = a nb n
am
m−n
a
a
=
,
≠
0
an
n
m
an
⎛a⎞
a n = n am =
,
0
=
b
≠
⎜ ⎟
bn
⎝b⎠
a−n =
1
an
( a)
n
m
a 0 = 1, a ≠ 0
7
2.
Sean a, b ,c: bases; m, n números naturales
2
3
( a ± b ) = a 2 + 2ab + b2
( a ± b ) = a3 ± 3a 2b + 3ab2 + b3
(a ± b)
4
= a 4 ± 4a 3b + 6a 2b 2 ± 4ab3 + b 4
a 2 n − b 2 n = (a n + b n )(a n − b n )
(a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + ac + bc)
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
a 3 ± b3 = (a ± b)(a 2 ∓ ab ± b 2 )
3. Sean b, n, x, y, z: números naturales
⎛x⎞
ogb ⎜ ⎟ = ogb x − ogb y
og ( xyz ) = ogb x + ogb y + ogb z
⎝ y⎠
n
1
ogb x = n ogb x
ogb n x = ogb x
n
ogb 1 = 0
og bb = 1
ηe = 1
ηex = x
exp( η x) = x
η exp x = x = x
e ηx = x
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS
1.
sen =
1
cos ecθ
cos θ =
s e nθ
cos θ
2
s e n θ + cos 2 θ = 1
1
s ecθ
1
co τ gθ
2
1 + τ g θ = sec 2 θ
τ gθ =
τ gθ =
1+ co τ g 2θ = cos ec 2θ
cos θ cos ecθ = coτ gθ
cos θτ gθ = s e n θ
2.
(a)
s e n(α + β ) = s e n α cos β + cos α s e n β
sen
α
2
=±
1 − cos α
2
s e n 2α = 2s e n α cos α
1 − cos 2α
s e n2 α =
2
s e n(α − β ) = s e n α cos β − cos α s e n β
8
(b)
cos(α + β ) = cos α cos β − s e n α s e n β
1 + cos α
2
2
cos(α − β ) = cos α cos β + s e n α s e n β
cos
α
=±
1 + cos 2α
2
2
cos 2α = cos α − s e n 2 α = 1 − 2s e n 2 α = 2 cos 2 α − 1
cos 2 α =
(c)
τ gα + τ g β
1 − τ gατ g β
1 − cos 2α
τ g 2α =
1 + cos 2α
τ g (α + β ) =
τg
α
2
=±
2τ gα
1 − τ g 2α
τ gα − τ g β
τ g (α − β ) =
1 + τ gατ g β
τ g 2α =
1 − cos α
s e nα
1 − cos α
=
=
1 + cos α 1 + cos α
s e nα
(d)
1
[s e n(α + β ) + s e n(α − β )]
2
1
cos α cos β = [ cos(α + β ) + cos(α − β ) ]
2
α +β
α −β
s e n α + s e n β = 2s e n
cos
2
2
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
1
[s e n(α + β ) − s e n(α − β )]
2
1
s e n α s e n β = − [ cos(α + β ) − cos(α − β ) ]
2
α +β
α −β
s e n α − s e n β = 2 cos
sen
2
2
α +β
α −β
cos α − cos β = −2s e n
sen
2
2
(e)
arcs e n(s e n x) = x
arcτ g (τ gx) = x
arc sec(sec x) = x
arc cos(cos x) = x
arc co τ g (co τ gx) = x
arc co sec(co sec x) = x
s e n α cos β =
cos α s e n β =
9
FORMULAS FUNDAMENTALES
Diferenciales
Integrales
du
dx
u
2.- d (au ) = adu
1.- ∫ du = u + c
3.- d (u + v) = du + dv
3.- ∫ (du + dv) = ∫ du + ∫ dv
1.- du =
2.- ∫ adu = a ∫ du
4.- d (u n ) = nu n −1du
4.- ∫ u n du =
du
u
u
u
6.- d (e ) = e du
du
= η u +c
u
6.- ∫ eu du = eu + c
5.- ∫
5.- d ( η u ) =
7.- d (a u ) = a u η adu
7.- ∫ a u du =
8.- d (s e n u ) = cos udu
9.- ∫ s e n udu = − cos u + c
10.- d (τ gu ) = sec 2 udu
11.- d (coτ gu ) = − cosec2 udu
12.- d (sec u ) = sec uτ gudu
13.- d (co sec u ) = − co sec u coτ gudu
15.- d (arc cos u ) =
du
1− u
−du
au
+c
ηa
8.- ∫ cos udu = s e n u + c
9.- d (cos u ) = − s e n udu
14.- d (arcs e n u ) =
u n +1
+ c (n ≠ −1)
n +1
2
1− u2
du
16.- d (arcτ gu ) =
1+ u2
− du
17.- d (arc co τ gu ) =
1+ u2
du
18.- d (arc sec u ) =
u u2 −1
−du
19.- d (arc co sec u ) =
u u2 −1
10.- ∫ sec 2 udu = τ gu + c
11.- ∫ cosec 2 udu = − co τ gu + c
12.- ∫ sec uτ gudu = sec u + c
13.- ∫ co sec u co τ gudu = − co sec u + c
14.- ∫
15.- ∫
du
1− u2
du
= arcs e n u + c
= − arc cos u + c
1− u2
du
16.- ∫
= arcτ gu + c
1+ u2
du
17.- ∫
= − arc coτ gu + c
1+ u2
⎧ arc sec u + c; u > 0
du
18.- ∫
=⎨
u u 2 − 1 ⎩ − arc sec u + c; u < 0
⎧ − arc co sec u + c; u > 0
− du
19.- ∫
=⎨
u u 2 − 1 ⎩ arc co sec u + c; u < 0
10
OTRAS INTEGRALES INMEDIATAS
⎧⎪ η sec u + c
1.- ∫ τ gudu = ⎨
⎪⎩− η cos u + c
⎧ η sec u + τ gu + c
⎪
3.- ∫ sec udu = ⎨
⎛u π ⎞
⎪ η τ gu ⎜ 2 + 4 ⎟ + c
⎝
⎠
⎩
5.- ∫ s e n hudu = cos u + c
4.- ∫ co sec udu = η co sec u − coτ gu + c
9.- ∫ sec hudu = arcτ gh(s e n hu ) + c
10.- ∫ co sec hudu = − arc co τ gh(cos hu ) + c
7.- ∫ τ ghudu = η cos u + c
u
⎧
arcs e n + c
⎪
du
⎪
a
11.- ∫
=⎨
2
2
a −u
⎪ − arcs e n u + c
⎪⎩
a
u
⎧ 1
arcτ g + c
⎪
du
⎪ a
a
13.- ∫ 2
=⎨
2
u +a
⎪ 1 arc coτ g u + c
⎪⎩ a
a
15.- ∫
du
u a ±u
2
2
=
17.- u 2 ± a 2 du =
1
u
η
+c
a
a + a2 ± u2
2.- ∫ co τ gudu = η s e n u + c
6.- ∫ cos udu = s e n hu + c
8.- ∫ co τ ghudu = η s e n u + c
12.- ∫
14.- ∫
du
u ±a
2
2
= η u + u2 ± a2 + c
du
1
u−a
=
η
+c
2
u −a
2a
u+a
2
u
⎧1
arc cos + c
⎪
du
⎪a
a
16.- ∫
=⎨
2
2
u u −a
⎪ 1 arc sec u + c
⎪⎩ a
a
u 2
a2
η u + u2 ± a2 + c
u ± a2 ±
2
2
u 2
a2
u
2
a − u + arcs e n + c
18.- ∫ a − u du =
2
2
a
au
e (a s e n bu − b cos bu )
19.- ∫ e au s e n budu =
+c
a 2 + b2
e au (a cos bu + b s e n bu )
au
20.- ∫ e cos budu =
+c
a 2 + b2
2
2
Realmente, algunas de estas integrales no son estrictamente inmediatas; tal como
se verá mas adelante y donde se desarrollan varias de ellas.
11
CAPITULO 1
INTEGRALES ELEMENTALES
El Propósito de este capitulo, antes de conocer y practicar las técnicas
propiamente tales; es familiarizarse con aquellas integrales para las cuales basta
una transformación algebraica elemental.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1.1 .- Encontrar: ∫ e η x xdx
2
Solución.- Se sabe que: e η x = x 2
2
x4
Por lo tanto: ∫ e xdx = ∫ x xdx = ∫ x dx = + c
4
4
2
x
Respuesta: ∫ e η x xdx = + c ,
Fórmula utilizada:
4
1.2 .- Encontrar: ∫ 3a 7 x 6 dx
η x2
2
3
x n +1
∫ x dx = n + 1 , n ≠ −1
n
Solución.x7
+c
7
x7
Respuesta: ∫ 3a 7 x 6 dx = 3a 7
+c,
7
1.3.- Encontrar: ∫ (3 x 2 + 2 x + 1)dx
7 6
7
6
7
∫ 3a x dx = 3a ∫ x dx = 3a
Fórmula utilizada: del ejercicio anterior.
Solución.2
2
2
∫ (3x + 2 x + 1)dx = ∫ (3x + 2 x + 1)dx = ∫ 3x dx + ∫ 2 xdx + ∫ dx
= 3∫ x 2 dx + 2∫ xdx + ∫ dx = 3
x3
x2
+2
+ x + c = x3 + x 2 + x + c
3
2
Respuesta: ∫ (3 x 2 + 2 x + 1)dx = x3 + x 2 + x + c
1.4.- Encontrar: ∫ x(x + a )( x + b)dx
Solución.2
3
2
∫ x(x + a)( x + b)dx = ∫ x ⎡⎣ x + (a + b) x + ab ⎤⎦dx = ∫ ⎡⎣ x + ( a + b ) x + abx ⎤⎦dx
= ∫ x 3dx + ∫ (a + b) x 2 dx + ∫ abxdx =
=
∫ x dx + (a + b)∫ x dx + ab∫ xdx
3
2
x4
x3
x2
+ (a + b) + ab + c
4
3
2
12
x 4 (a + b) x3 abx 2
+
+
+c
4
3
2
Respuesta: ∫ x(x + a)( x + b)dx =
1.5.- Encontrar: ∫ (a + bx 3 ) 2 dx
Solución.3 2
2
3
2 6
2
3
2 6
∫ (a + bx ) dx = ∫ (a + 2abx + b x )dx = ∫ a dx + ∫ 2abx dx + ∫ b x dx
x4
x7
+ b2 + c
4
7
4
2 7
abx b x
+
+c
Respuesta: ∫ (a + bx3 ) 2 dx = a 2 x +
2
7
1.6.- Encontrar: ∫ 2 pxdx
= a 2 ∫ dx + 2ab ∫ x3dx + b 2 ∫ x 6 dx = a 2 x + 2ab
Solución.2
1
1
2
2 2 px 3
x2
2
2
2
2
pxdx
=
px
dx
=
p
x
dx
=
p
+
c
=
+c
∫
∫
∫
2
3
3
2 2 px x
Respuesta: ∫ 2 pxdx =
+c
3
dx
1.7.-Encontrar: ∫ n
x
Solución.-
∫
dx
= x
x ∫
−1
n
n
dx =
1
−1
+1
n
2
−1+ n
n
−1+ n
n
x
x
nx
+c =
+c =
+c
−1
−1 + n
1
n
−
+1
n
n
−1+ n
dx nx n
Respuesta: ∫ n =
+c
n −1
x
1.8.- Encontrar: ∫ (nx)
1− n
n
dx
Solución.-
∫ (nx)
= =n
1− n
n
1− n
n
dx = ∫ n
1
xn
1− n
n
x
1− n
n
−1+1
1
−1+1
n
+c = n
Respuesta: ∫ (nx)
1− n
n
dx = n
1− n
n
1− n
n
∫x
1− n
n
1
xn
+c = n
1
n
dx = n
1− n
n
1− n
n
1
−1
∫ x n dx
1
n
nx + c = n
1− n
+1
n
1
n
x +c = n
1− n + n
n
1
xn + c = n nx n + c
1
1
dx = n nx + c
1.9.- Encontrar: ∫ (a 3 − x 3 )3 dx
2
Solución.-
∫ (a
2
3
( )
− x 3 )3 dx = ∫ ⎡ a
⎣⎢
2
2
2
3
3
( )
−3 a
2
2
2
x 3 + 3a
2
2
3
( x ) − ( x ) ⎤⎦⎥dx
2
2
3
2
3
3
13
= ∫ (a 2 − 3a 3 x
4
2
3
2
+ 3a 3 x
4
3
− x 2 )dx = ∫ a 2 dx − ∫ 3a 3 x 3 dx + ∫ 3a 3 x 3 dx − ∫ x 2 dx
4
2
2
4
5
7
2
x3
x 3 x3
= a ∫ dx − 3a ∫ x dx + 3a ∫ x dx − ∫ x dx = a x − 3a
+ 3a 3
− +c
5
7
3
3
3
5
7
4
2
9a 3 x 3 9a 3 x 3 x 3
= a2 x −
+
− +c
5
7
3
5
7
4
2
2
2
9 a 3 x 3 9a 3 x 3 x 3
2
3
3 3
Respuesta: ∫ (a − x ) dx = a x −
+
− +c
5
7
3
1.10.- Encontrar: ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx
4
2
2
3
2
3
4
3
2
3
4
2
3
Solución.-
∫(
x + 1)( x − x + 1)dx = ( x x − ( x ) 2 +
x + x−
x + 1)dx
5
5
x2
2x 2
= ∫ ( x x + 1)dx = ∫ ( xx + 1)dx = ∫ ( x + 1)dx = ∫ x dx + ∫ dx =
+ x+c =
+ x+c
5
5
2
5
2
2x
Respuesta: ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx =
+ x+c
5
( x 2 + 1)( x 2 − 2)dx
1.11.- Encontrar: ∫
3 2
x
Solución.( x 2 + 1)( x 2 − 2)dx
( x 4 − x 2 − 2)dx
x4
x2
2
=
=
dx
−
2
2
2 dx − ∫
2 dx
∫
∫
∫
∫
3 2
x3
x3
x3
x3
x
1
3
2
10
= ∫ x dx − ∫ x dx − 2∫ x dx =
10
4
3
13
3
−2
3
x3
4
+1
10
+1
3
3
2
−
x3
−2
+1
4
+1
3
−2
x3
2
+1
−2
+1
3
=
x
13
13
3
3
−
x
7
7
3
3
−2
x
1
1
3
+c
3
7
3 13
3 7
x 3
x3
x
x
x4 3 x
x2 3 x
1
−3
− 6x 3 + c = 3
−3
− 63 x + c = 3
−3
− 63 x + c
13
7
13
7
13
7
2
2
4
2
⎞
( x + 1)( x − 2)dx ⎛ 3 x 3 x
Respuesta: ∫
=⎜
−
− 6⎟ 3 x + c
3 2
7
x
⎝ 13
⎠
m
n 2
(x − x )
1.12.- Encontrar: ∫
dx
x
Solución.( x m − x n )2
( x2m − 2 xm xn + x2n )
( x2m − 2 xm xn + x2n )
dx = ∫
dx = ∫
dx
∫
x1/ 2
x
x
=3
= ∫ ( x 2 m −1/ 2 − 2 x m+ n −1/ 2 + x 2 n −1/ 2 )dx =
4 m +1
2 m + 2 n +1
4 n +1
x 2 m −1/ 2+1
2 x m+ n +1/ 2
x 2 n +1/ 2
−
+
+c
2m − 1/ 2 + 1 m + n + 1/ 2 2n + 1/ 2
4 m +1
2 m + 2 n +1
4 n +1
x 2
2x 2
x 2
2x 2
4x 2
2x 2
=
−
+
+c =
−
+
+c
4m + 1 2m + 2n + 1 4n + 1
4m + 1 2m + 2n + 1 4 n + 1
2
2
2
14
=
2 x2m x
4 x m+n x
2 x2n x
−
+
+c
4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1
⎛ 2 x2m
( x m − x n )2
4 x m+n
2 x2n ⎞
Respuesta: ∫
dx = x ⎜
−
+
⎟+c
x
⎝ 4m + 1 2m + 2 n + 1 4n + 1 ⎠
( a − x )4
dx
ax
1.13.- Encontrar: ∫
Solución.( a − x )4
a 2 − 4a ax + 6 xa − 4 x ax + x 2
dx
=
dx
∫
∫
ax
ax
=∫
4a ax
4 x ax
x2
a2
6ax
dx
+
dx
−
dx
+
dx
−
1
∫ ax
∫ (ax) 12 ∫ ax
∫ (ax) 12 dx
(ax) 2
= ∫ a 2 a − 2 x − 2 dx − ∫ 4adx + ∫ 6aa − 2 xx − 2 dx − ∫ 4 xdx + ∫ a − 2 x 2 x − 2 dx
1
=a
3
=a
3
=a
3
2
1
1
−
∫ x 2 dx − 4a ∫ dx + 6a
1
x
2
−1 +1
2
−1
+1
2
x
2
1
2
1
2
− 4ax + 6a
− 4ax + 6a
1
2
1
x
2
1
1
1
2
3
3
2
2
1
−
∫ x dx − 4∫ xdx + a
2 +1
1
+1
2
x
1
−4
2
−4
x2
2
x1+1
1+1
+a
+a
− 12
x
− 12
5
5
2
x
3 +1
2
3
+1
2
2
1
2
∫x
3
2
1
dx
+c
+c
5
= 2a x − 4ax + 4a x − 2 x + 2a
3
2
1
1
2
2
3
2
2
− 12
x 2
+c
5
( a − x )4
3
3
2 x3
1
1
2
2
2
2
2
Respuesta: ∫
dx = 2a x − 4ax + 4a x − 2 x +
+c
ax
5 xa
dx
1.14.- Encontrar: ∫ 2
x − 10
Solución.dx
dx
1
x−a
Sea: a = 10 , Luego: ∫ 2
=∫ 2
=
+c
η
2
x − 10
x −a
2a
x+a
=
1
x − 10
10
x − 10
+c =
+c
η
η
20
2 10
x + 10
x + 10
Respuesta: ∫
dx
10
x − 10
=
+c
η
x − 10 20
x + 10
2
1.15.- Encontrar: ∫
dx
x +7
2
Solución.- Sea: a= 7 , Luego: ∫
dx
dx
1
x
=∫ 2
= arcτ g + c
2
x +7
x +a
a
a
2
15
x
1
7
7x
arcτ g
arcτ g
+c =
+c
7
a
7
7
dx
7
7x
arcτ g
=
+c
7
x +7
a
dx
1.16.- Encontrar: ∫
4 + x2
Solución.dx
dx
Sea: a = 2 , Luego: ∫
=∫
= η x + a2 + x2 + c
2
2
2
4+ x
a +x
Respuesta: ∫
2
= η x + 4 + x2 + c
Respuesta: ∫
dx
4+ x
= η x + 4 + x2 + c
2
dx
1.17.- Encontrar: ∫
8 − x2
Solución.Sea: a = 8 , Luego: ∫
dx
=∫
8 − x2
x
x
= arcs e n
+ c = arcs e n
+c
8
2 2
Respuesta: ∫
dx
8 − x2
1.18.- Encontrar: ∫
= arcs e n
dx
a2 − x2
x
+c
a
= arcs e n
2x
+c
4
dy
x +9
2
Solución.-
1
actúa como constante, luego:
x +9
dy
1
1
y
∫ x2 + 9 = x 2 + 9 ∫ dy = x2 + 9 y + c = x 2 + 9 + c
dy
y
Respuesta: ∫ 2
= 2
+c
x +9 x +9
La expresión:
2
1.19.- Encontrar: ∫
2 + x2 − 2 − x2
4 − x4
dx
Solución.-
∫
=∫
2 + x2 − 2 − x2
4 − x4
dx = ∫
2 + x2
(2 − x 2 ) (2 + x 2 )
dx − ∫
2 + x2
2 − x2
dx − ∫
dx
4 − x4
4 − x4
2 − x2
(2 − x 2 ) (2 + x 2 )
dx = ∫
dx
2 − x2
−∫
dx
2 + x2
16
Sea: a = 2 , Luego: ∫
= arcs e n
dx
a2 − x2
−∫
dx
a2 + x2
= arcs e n
x
− η x + a2 + x2 + c
a
x
x
− η x + ( 2) 2 + x 2 + c = arcs e n
− η x + 2 + x2 + c
2
2
Respuesta: ∫
2 + x2 − 2 − x2
4− x
1.20.- Encontrar: ∫ τ g 2 xdx
4
dx = arcs e n
x
− η x + 2 + x2 + c
2
Solución.2
2
2
∫ τ g xdx = ∫ (sec x − 1)dx = ∫ sec xdx − ∫ dx = τ gx − x + c
Respuesta: ∫ τ g 2 xdx = τ gx − x + c
1.21.- Encontrar: ∫ coτ g 2 xdx
Solución.2
2
2
∫ coτ g xdx = ∫ (cos ec x − 1)dx = ∫ cos ec xdx − ∫ dx = − coτ gx − x + c
Respuesta: ∫ co τ g 2 xdx = − coτ gx − x + c
1.22.- Encontrar: ∫
dx
2x2 + 4
Solución.dx
1
dx
1 1
x
2
2x
dx
∫ 2 x 2 + 4 = ∫ 2( x 2 + 2) = 2 ∫ x 2 + 2 = 2 2 arcτ g 2 + c = 4 arcτ g 2 + c
dx
2
2x
arcτ g
=
+c
2
2x + 4
4
2
dx
1.23.- Encontrar: ∫ 2
7x − 8
Solución.dx
dx
dx
dx
1
∫ 7 x 2 − 8 = ∫ 2 8 = ∫ 7 ⎡( x 2 − ( 8 )2 ⎤ = 7 ∫ ⎡ x 2 − ( 8 )2 ⎤
7
7
7( x − )
⎣
⎦
⎣
⎦
7
x − 87
x − 87
1 1
1
7
7x − 8
η
η
η
=
+c =
+c =
+c
8
8
8
7 2( 7 )
8
14 8
7x + 8
x+ 7
x+ 7
14
7
Respuesta: ∫
=
1
η
4 14
7x − 2 2
14
+c =
η
56
7x + 2 2
Respuesta: ∫
dx
14
η
=
2
7 x − 8 56
1.24.- Encontrar: ∫
7x − 2 2
+c
7x + 2 2
7x − 2 2
+c
7x + 2 2
x 2 dx
x2 + 3
17
Solución.x 2 dx
3
dx
dx
∫ x2 + 3 = ∫ (1 − x2 + 3)dx = ∫ dx − 3∫ x 2 + 3 = ∫ dx − 3∫ x2 + ( 3)2
= x−3
1
x
3x
arcτ g
+ c = = x − 3 arcτ g
+c
3
3
3
x 2 dx
3x
= x − 3 arcτ g
+c
2
x +3
3
dx
1.25.- Encontrar: ∫
7 + 8x2
Solución.dx
dx
1
2
∫ 7 + 8 x2 = ∫ ( 8 x)2 + ( 7)2 = 8 η 8x + 7 + 8x + c
Respuesta: ∫
Respuesta: ∫
dx
7 + 8x
∫
7 − 5x
2
=∫
Respuesta: ∫
2
η
4
8x + 7 + 8x2 + c
dx
1.26.- Encontrar: ∫
Solución.dx
2
=
7 − 5x2
dx
( 7) − ( 5 x)
2
dx
=
=
2
1
5
arcs e n x
+c
5
7
5
35 x
arcs e n
+c
5
7
7 − 5x
(a x − b x ) 2 dx
1.27.- Encontrar: ∫
a xb x
Solución.2
(a x − b x ) 2 dx
( a 2 x − 2a x b x + b 2 x )
a2x
2 a xb x
b 2x
=
dx
=
dx
−
dx
+
∫ a xb x
∫
∫ a xb x ∫ a xb x
∫ a x b x dx
a xb x
( a / b) − 2x + (b / a ) + c
ax
bx
⎛a⎞
⎛b⎞
= ∫ x dx − ∫ 2dx + ∫ x dx = ∫ ⎜ ⎟ dx − 2∫ dx + ∫ ⎜ ⎟ dx =
a
b
b
a
⎝b⎠
⎝a⎠
η
η
b
a
x
=
(a / b)
x
η a − ηb
− 2x +
(b / a )
x
ηb − η a
+c =
x
x
(a / b)
x
η a − ηb
− 2x −
(b / a )
x
x
η a − ηb
+c
⎛ ax bx ⎞
⎜ x− x⎟
b
a ⎠
=⎝
− 2x + c
η a − ηb
⎛ a 2 x − b2 x ⎞
⎜
⎟
x x
(a x − b x ) 2 dx ⎝ a b ⎠
Respuesta: ∫
=
− 2x + c
a xb x
η a − ηb
18
1.28.- Encontrar: ∫ s e n 2
x
dx
2
Solución.x
dx = ∫
2
x senx
= −
+c
2
2
∫sen
1 − cos 2
2
2
x
2
dx = ∫
1 − cos x
1
1
dx = ∫ dx − ∫ cos xdx
2
2
2
x
x senx
dx = −
+c
2
2
2
dx
1.29.- Encontrar: ∫
;(0 < b < a )
( a + b) + ( a − b ) x 2
Solución.dx
dx
Sea: c 2 = a + b, d 2 = a − b, ; luego ∫
=∫ 2
2
( a + b) + ( a − b) x
c + d 2 x2
dx
1
dx
1 1
x
1
dx
∫ 2 ⎛ c2 2 ⎞ = d 2 ∫ ⎛ c ⎞2 2 = d 2 c arctg c + c = cd arctg c + c
d
d ⎜ 2 +x ⎟
⎜ ⎟ +x
d
⎝d ⎠
⎝d
⎠
Respuesta: ∫ s e n 2
=
1
a − bx
1
a−b
arctg
+c =
arctg
x+c
2
2
a+b
a +b a −b
a+b
a −b
dx
1
a −b
arctg
=
x+c
2
( a + b) + ( a − b) x
a+b
a 2 − b2
dx
1.30.-Encontrar: ∫
;(0 < b < a )
( a + b) − ( a − b ) x 2
Solución.dx
dx
Sea: c 2 = a + b, d 2 = a − b, Luego: ∫
=∫ 2
2
( a + b) − ( a − b) x
c − d 2 x2
x− c
dx
1
dx
1 1
d + c = − 1 η dx − c + c
η
=∫
= 2∫
=− 2
2
2
dx + c
2cd
⎛c
⎞ d ⎛c⎞
d 2c
x+ c
d
d 2 ⎜ 2 − x2 ⎟
− x2
⎜
⎟
d
⎝d ⎠
⎝d
⎠
Respuesta: ∫
=−
1
2 a −b
2
2
Respuesta: ∫
η
a − bx − a + b
+c
a − bx + a + b
dx
1
η
=−
2
( a + b) − ( a − b ) x
2 a 2 − b2
a − bx − a + b
+c
a − bx + a + b
0
1.31.- Encontrar: ∫ ⎡⎢( a 2 x ) − 1⎤⎥dx
⎣
⎦
Solución.-
19
∫ ⎡⎢⎣( a )
− 1⎤⎥dx = ∫ (a 0 − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ dx − ∫ dx = ∫ 0dx = c
⎦
0
Respuesta: ∫ ⎡⎢( a 2 x ) − 1⎤⎥dx = c
⎣
⎦
2x 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
Mediante el uso del álgebra elemental, o algunas identidades trigonométricas,
transformar en integrales de fácil solución, las integrales que se presentan a
continuación.
1.32.- ∫ 3x5 dx
1.35.- ∫ cos 2 2x dx
1.38.- ∫
1+
1+
x
2
x
3
dy
dx
1.41.- ∫
x +5
1.44.- ∫ (s e n 2 x + cos 2 x − 1)dx
1.47.- ∫
1.50.- ∫
1.53.- ∫
1.56.- ∫
2
dx
x − 12
dx
1.33.- ∫ (1 + e) x dx
1.36.- ∫ (1 + x )3 dx
1.39.- ∫
1.42.- ∫
x 2 + 12
dx
x 12 − x 2
dx
2 x2 − 8
5− x
2
dx
x +5
2
1.45.- ∫ x (1 − x )dx
1.48.- ∫
2
dx
1.51.- ∫
1.54.- ∫
1.57.- ∫
dx
x + 12
dx
2
12 − x 2
dx
x 12 + x 2
dx
2 x2 + 8
1.59.- ∫ x 2 + 10dx
1.60.- ∫ 10 − x 2 dx
1.62.- ∫ 1 − s e n 2 xdx
1.63.- ∫ 1 − cos 2 xdx
1.34.- ∫ (1 + τ gx)dx
1.37.- ∫ (1 + x )0 dx
1.40.- ∫
1.43.- ∫
dx
x2 − 5
dx
x −5
2
1.46.- ∫ (τ g 2 x + 1)dx
1.49.- ∫
1.52.- ∫
1.55.- ∫
dx
x − 12
dx
2
x x 2 − 12
dx
8 − 2x2
1.58.- ∫ x 2 − 10dx
1 − cos 2 x
dx
s e n2 x
1.64.- ∫ (2 x − 3x )0 dx
1.61.- ∫
1.65.- ∫ (20 − 30 ) n dx
sen x ⎞
⎛
1.66.- ∫ ⎜τ gx −
⎟ dx
cos x ⎠
⎝
1.67.- ∫
1.68.- ∫
− x 2 dx
1.69.- ∫ x 2 − 34 dx
1.70.- ∫ x 2 + 34 dx
dx
1.72.- ∫
1.71.- ∫
3
4
x 3− x
1.74.- ∫ s e n 3 x θ dy
2
1.77.- ∫ e η x dx
x x −3
1.75.- ∫ η u dx
2
1.80.- ∫ x 2 − 11dx
dx
1.78.- ∫
2
x− 2
dx
2x
1.81.- ∫ x 2 + 11dx
1.73.- ∫
dx
3− x
dx
x x2 + 3
1.76.- ∫ exp( η x)dx
1.79.- ∫ 11 − x 2 dx
1.82.- ∫ η (e x )dx
20
0
⎡1 + x + x 3 ⎤
1.83.- ∫ ⎢
⎥ dx
⎢⎣ 1 − x
⎥⎦
1.86.- ∫ (coτ gθ − s e n θ )dx
1.89.- ∫
1.92.- ∫
1.84.- ∫ (τ g x + sec x − 1)dx
2
1.87.- ∫
x 3x2 − 1
1.95.- ∫ 1 − 3 x 2 dx
1.96.- ∫ 1 + 3 x 2 dx
1.98.- ∫ (3 x 2 − 1)dx
x
3
dx
1 + 3x 2
dx
1.90.- ∫ 2
3x + 4
dx
1.93.- ∫
x 1 + 3x 2
dx
1 + 3x 2
dx
1.101.- ∫ exp( η
2
0
1.99.- ∫ (3 x 2 − 1) dx
1.102.- ∫ η (e
)dx
2 x −1
2
)dx
1.85.- ∫
1.88.- ∫
dx
3x 2 − 1
dx
1 − 3x 2
dx
1.91.- ∫ 2
3x − 1
dx
1.94.- ∫
x 1 − 3x 2
1.97.- ∫ 3 x 2 − 1dx
n
1.100.- ∫ (3 x 2 − 1) du
1.103.- ∫ (e 2 + e + 1) x dx
⎛ 1+τ g 2x ⎞
1.104.- ∫ ⎜
− 1⎟dx
2
⎝ sec x
⎠
1.105.- ∫ exp( η 1 + x )dx
1.106.- ∫ 27 − x 2 dx
1.107.- ∫ x 2 − 27 dx
1.108.- ∫ x 2 + 27 dx
1.109.- ∫
1.110.- ∫
1.113.- ∫
dx
1.111.- ∫
2x 1 − x2
dx
1.114.- ∫
4 x x 2 + 16
1.116.- ∫ (1 + x + x) 2 dx
1.119.- ∫ e
η
1− cos x
2
dx
5x x2 + 1
dx
5 x x 2 − 25
1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx
⎛ 1 + x2 ⎞
1.120.- ∫ exp η ⎜ 2 ⎟ dx
⎝ x ⎠
dx
1.122.- ∫ (1 + x − 3 x )0 dx
1.123.- ∫ ηe
(1+ x )2
2
1.112.- ∫
dx
3x x2 − 1
dx
3x 9 − x2
(1 − x ) 2
dx
1.115.- ∫
x2
1.118.- ∫ (1 + x) 4 dx
1.121.- ∫ η e
1− s e n x
3
dx
dx
RESPUESTAS
1.32.- ∫ 3 x5 dx = 3∫ x 5 dx =
3 x 5+1
x6
x6
+c =3 +c = +c
5 +1
6
2
1.33.- ∫ (1 + e) x dx
ax
(1 + e) x
+c =
+c
Sea: a = 1 + e, Luego: ∫ (1 + e) dx = ∫ a dx =
ηa
η (1 + e)
x
x
1.34.- ∫ (1 + τ gx)dx = ∫ dx + ∫ τ gxdx = x + η sec x + c
1.35.- ∫ cos 2 2x dx = ∫
1 + cos x
1
1
1
1
dx = ∫ dx + ∫ cos xdx = x + s e n x + c
2
2
2
2
2
21
1.36.- ∫ (1 + x )3 dx = ∫ (1 + 3 x + 3( x 2 ) + x3 )dx = ∫ dx + 3 x + 3∫ xdx + ∫ x 2 dx
3
x2 2 52
x2 2
+ x + c = x + 2 x x + 3 + x2 x + c
2 5
2 5
0
1.37.- ∫ (1 + x ) dx = ∫ dx = x + c
= x + 2x 2 + 3
3
1.38.- ∫
1.39.- ∫
1+
1+
x
2
x
3
dy =
1+
1+
x
2
x
3
∫ dy =
1.41.- ∫
1.42.- ∫
y+c
5 − x2
dx
x −5
2
dx
x +5
2
=∫
=∫
dx
5 − x2
dx
x − ( 5)
dx
2
=∫
dx
( 5) 2 − x 2
= arcs e n
x
5x
+ c = arcs e n
+c
5
5
= η x + x2 − 5 + c
2
x 2 + ( 5) 2
= η x + x2 + 5 + c
dx
x +5
2
Sea: a = 5 , Luego: ∫
=
x
2
x
3
dx
Sea: a = 5 , Luego: ∫
1.40.- ∫
1+
1+
dx
1
x
arcτ g
=
+c
2
5
5
x + ( 5)
2
5
5x
arcτ g
+c
5
5
1.43.- ∫
dx
dx
1
x− 5
5
x− 5
η
η
=∫ 2
=
+c =
+c
2
x −5
10
2 5
x − ( 5)
x+ 5
x+ 5
2
1.44.- ∫ (s e n 2 x + cos 2 x − 1)dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c
2 32 x2
1.45.- ∫ x (1 − x )dx = ∫ ( x −x)dx = ∫ xdx − ∫ xdx = x − + c
3
2
2
2
1.46.- ∫ (τ g x + 1)dx = ∫ sec xdx = τ gx + c
1.47.- ∫
=
dx
dx
1
x − 12
1
x−2 3
η
η
=∫ 2
=
+c =
+c
2
x − 12
x − ( 12)
2 12
x + 12
4 3
x+2 3
2
3
x−2 3
η
+c
12
x+2 3
1.48.- ∫
dx
x + 12
2
Sea: a = 12 , Luego: ∫
dx
1
x
arcτ g
=
+c
2
12
12
x + ( 12)
2
22
=
1
2 3
arcτ g
dx
1.50.- ∫
3
3x
arc τ g
+c
6
6
dx
= η x + x 2 − 12 + c
2
2
x − ( 12)
dx
= η x + x 2 + 12 + c
2
2
x + ( 12)
+c =
2 3
dx
=∫
x 2 − 12
1.49.- ∫
=∫
x 2 + 12
dx
1.51.- ∫
12 − x 2
,Luego: ∫
a = 12
Sea:
= arcs e n
1.52.- ∫
x
dx
12 − x
2
=
∫
dx
( 12) 2 − x 2
x
x
3x
+ c = arcs e n
+ c = arcs e n
+c
6
12
2 3
dx
x x 2 − 12
=∫
dx
x x 2 − ( 12) 2
=
x
x
1
1
+c =
+c
arc sec
arc sec
12
12
2 3
2 3
3
3x
arc sec
+c
6
6
dx
dx
1
1.53.- ∫
=∫
=
η
2
2
2
12
x 12 − x
x ( 12) − x
=
=
3
η
6
1.54.- ∫
1.55.- ∫
1.56.- ∫
x
12 + 12 − x 2
dx
x 12 + x
dx
8 − 2x
dx
2
2 x2 − 8
2
12 + 12 − x 2
+c
+c
=
3
η
6
=∫
dx
=∫
x
x
12 + 12 + x 2
+c
1
dx
1
x
2
x
=
arcs e n + c =
arcs e n + c
∫
2
2
2
2
2
2
2(4 − x )
4− x
dx
1
dx
1
=
=
η x + x2 − 4 + c
∫
2
2
2
2
2( x − 4)
x −4
2
=
2
η x + x2 − 4 + c
2
dx
1
dx
1
dx
1.57.- ∫
=∫
=
=
η x + x2 + 4 + c
∫
2
2
2
2
2
2( x + 4)
x +4
2x + 8
=
=
2
η x + x2 + 4 + c
2
1.58.- ∫ x 2 − 10dx = ∫ x 2 − ( 10)2 dx =
x 2
10
x − 10 −
η x + x 2 − 10 + c
2
2
23
x 2
x − 10 − 5 η x + x 2 − 10 + c
2
x 2
1.59.- ∫ x 2 + 10dx =
x + 10 + 5 η x + x 2 + 10 + c
2
x
10
x
1.60.- ∫ 10 − x 2 dx = ∫ ( 10) 2 − x 2 dx =
+c
10 − x 2 + arcs e n
2
2
10
=
10 x
x
+c
10 − x 2 + 5arcs e n
2
10
1 − cos 2 x
s e n2 x
1.61.- ∫
dx
=
∫ s e n 2 x dx = ∫ dx = x + c
s e n2 x
=
1.62.- ∫ 1 − s e n 2 xdx = ∫ cos 2 xdx = ∫ cos xdx = s e n x + c
1.63.- ∫ 1 − cos 2 xdx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n xdx = − cos x + c
1.64.- ∫ (2 x − 3x )0 dx = ∫ dx = x + c
1.65.- ∫ (20 − 30 ) n dx = ∫ (0) n dx = ∫ 0dx = c
sen x ⎞
⎛
1.66.- ∫ ⎜τ gx −
⎟ dx = ∫ (τ gx − τ gx ) dx = ∫ 0dx = c
cos x ⎠
⎝
dx
3x
+c
1.67.- ∫ − x = ∫ 3x dx =
3
η3
3
x 3
x
2
4
1.68.- ∫ 34 − x 2 dx = ∫ ( 23 ) 2 − x 2 dx =
−
x
+
arcs e n 3 + c
4
2
2
2
x 3
3
2
x
=
− x 2 + arcs e n
+c
2 4
8
3
x 2 3 34
1.69.- ∫ x 2 − 34 dx = ∫ x 2 − ( 23 ) 2 dx =
x −4−
η x + x 2 − 34 + c
2
2
x 2 3 3
=
x − 4 − η x + x 2 − 34 + c
2
8
x 2 3 3
1.70.- ∫ x 2 + 34 dx = ∫ x 2 + ( 23 ) 2 dx =
x + 4 + η x + x 2 + 34 + c
2
8
dx
dx
1
x
1.71.- ∫
=∫
=
η
+c
3
x 3 − x2
3 + 3 − x2
x ( 3) 2 − x 2
=
3
η
3
1.72.- ∫
1.73.- ∫
x
3 + 3 − x2
dx
x x −3
dx
2
x x +3
2
+c
=
1
x
3
3x
arc sec
+c =
arc sec
+c
3
3
3
3
=
3
η
3
x
3 + x2 + 3
+c
24
1.74.- ∫ (s e n 3 x θ )dy = s e n 3 x θ ∫ dy = (s e n 3 x θ ) y + c
1.75.- ∫ η u dx = η u ∫ dx = η u x + c
1.76.- ∫ exp( η x)dx = ∫ xdx =
1.77.- ∫ e
1.78.- ∫
η x2
x2
+c
2
x3
dx = ∫ x dx = + c
3
2
x− 2
x
2
x
dx = ∫
dx − ∫
dx = ∫
dx − ∫
2x
2x
2x
2x
2
1
1
dx =
dx − ∫
dx =
∫
2x
x
2
1
=
1
−1
1
2
x2
1
x−
+c =
x − 2x 2 + c
dx − ∫ x 2 dx =
∫
1
2
2
2
2
11
11
11x
x
x
x
+c =
+c
11 − x 2 + arcs e n
11 − x 2 + arcs e n
2
2
2
2
11
11
x 2
11
x 2 − 11dx =
x − 11 −
η x + x 2 − 11 + c
2
2
x 2
11
x 2 + 11dx =
x + 11 +
η x + x 2 + 11 + c
2
2
3
x2
2
x
1
η (e )dx = ∫ xdx = ∫ x 2 dx = 3 + c = x x + c
3
2
1.79.- ∫ 11 − x 2 dx =
1.80.- ∫
1.81.- ∫
1.82.- ∫
0
⎡1 + x + x 3 ⎤
1.83.- ∫ ⎢
⎥ dx = ∫ dx = x + c
⎣⎢ 1 − x ⎥⎦
1.84.- ∫ (τ g 2 x + sec2 x − 1)dx = ∫ 0dx = c
1.85.- ∫
dx
3x − 1
2
=∫
dx
3 ( x − 13 )
2
=
dx
1
1
=
η x + ( x 2 − 13 ) + c
∫
2
1
3
3
( x − 3)
3
η x + ( x2 − 13 ) + c
3
1.86.- ∫ (co τ gθ − s e n θ )dx = (coτ gθ − s e n θ ) ∫ dx = (coτ gθ − s e n θ ) x + c
=
1.87.- ∫
1.88.- ∫
dx
1 + 3x
2
=∫
2
=∫
dx
1 − 3x
dx
3
1
3
+x
2
dx
3
1
3
−x
2
=
3
η x+
3
=
1
3∫
1
3
dx
1
3
−x
2
+ x2 + c
=
1
x
arcs e n 1 + c
3
3
3
arcs e n 3 x + c
3
1 dx
1 1
3
dx
dx
x
1.89.- ∫
=∫ 1
= ∫1
= 1 arcτ g 1 + c =
arcτ g 3x + c
2
2
2
1 + 3x
3( 3 + x ) 3 3 + x 3 3
3
3
=
25
1.90.- ∫
dx
1
dx
1 1
x
3
3x
= ∫ 2 4 = 2 arcτ g 2 + c =
+c
arcτ g
2
3x + 4 3 x + 3 3 3
6
2
3
1.91.- ∫
x−
1 dx
1 1
dx
η
= ∫ 2 1=
2
1
3x − 1 3 x − 3 3 2 3
x+
1.92.- ∫
dx
x 3x 2 − 1
=∫
dx
3x x 2 − 1
=
3
1
3
1
3
+c =
3x − 1
+c
3x + 1
3
η
6
1
dx
1
=
∫
3 x x2 − 1
3
3
1
1
arc sec
x
1
+c
3
3
= arc sec 3x + c
1.93.- ∫
dx
x 1 + 3x
=
2
x
= η
1
3
1.94.- ∫
+
1
3
1
dx
1
=
∫
2
1
3 x 3+x
3
dx
=
x 1 − 3x 2
1
3
x
η
1
3
3
+
1
3
+ x2
+c
+c
+ x2
1
dx
= η
∫
3 x 13 − x 2
1.95.- ∫ 1 − 3x 2 dx = 3 ∫
⎡x
= 3⎢
⎣2
1
1
1
3
x
1
3
+
⎡x
− x 2 dx = 3 ⎢
⎣⎢ 2
1
3
− x2
+c
1
1
3
− x 2 + 3 arcs e n
2
x ⎤
⎥+c
1
⎥
3⎦
1
⎤
− x 2 + arc s e n 3x ⎥ + c
6
⎦
1
⎡x 1
2
3
+ x 2 dx = 3 ⎢
+
+
x
η x + 13 + x 2
3
2
⎣2
1
⎡x 1
⎤
2
= 3⎢
η x + 13 + x 2 ⎥ + c
3+ x +
6
⎣2
⎦
⎡x 2 1 1
1.97.- ∫ 3x 2 − 1dx = 3 ∫ x 2 − 13 dx = 3 ⎢
x − 3 − η x + x 2 − 13
6
⎣2
1.96.- ∫ 1 + 3x 2 dx = 3 ∫
1
3
⎤
⎥+c
⎦
⎤
⎥⎦ + c
1.98.- ∫ (3 x 2 − 1)dx = 3∫ x 2 dx − ∫ dx = x3 − x + c
0
1.99.- ∫ (3x 2 − 1) dx = ∫ dx = x + c
n
1.100.- ∫ (3 x 2 − 1) du = (3 x 2 − 1) n ∫ du = (3 x 2 − 1) n u + c
3
1.101.- ∫ exp( η
x
3
)dx = ∫
x
1 1
1x2
2 3
+c = x 2 +c
dx = ∫ x 2 dx =
3
3
3 32
9
2x −1
1
x2 1
dx = ∫ xdx − ∫ dx = − x + c
1.102.- ∫ η (e )dx = ∫
2
2
2 2
2
x
1.103.- ∫ (e + e + 1) dx
2 x −1
2
26
Sea: a= (e 2 + e + 1) , Luego: ∫ a x dx =
ax
(e 2 + e − 1) x
+c =
+c
ηa
η (e2 + e − 1)
⎛ 1+τ g 2x ⎞
1.104.- ∫ ⎜
− 1⎟dx = ∫ (1 − 1)dx = ∫ 0dx = c
2
⎝ sec x
⎠
x2
1.105.- ∫ exp( η 1 + x )dx ∫ = ∫ (1 + x)dx = ∫ dx + ∫ xdx = x + + c
2
x
x
27
1.106.- ∫ 27 − x 2 dx =
+c
27 − x 2 + arc s e n
2
2
3 3
x 2
27
1.107.- ∫ x 2 − 27dx =
x − 27 −
η x + x 2 − 27 + c
2
2
x 2
27
1.108.- ∫ x 2 + 27dx =
x + 27 +
η x + x 2 + 27 + c
2
2
dx
1
dx
1
1.109.- ∫
= ∫
= arc secx + c
3x x 2 − 1 3 x x 2 − 1 3
1.110.- ∫
1.111.- ∫
1.112.- ∫
1.113.- ∫
dx
2x 1 − x2
dx
5x x + 1
2
dx
3x 9 − x
2
=
1
1
dx
x
= η
+c
∫
2 x 1 − x2 2
1 + 1 − x2
=
1
dx
1
x
= η
+c
∫
2
5 x x +1 5
1 + x2 + 1
=
1
11
1
dx
x
x
=
η
+c = η
+c
∫
2
2
3 x 9− x
33
9
3+ 9− x
3 + 9 − x2
dx
4 x x + 16
2
=
1
11
dx
x
=
η
+c
∫
2
4 x x + 16 4 4
4 + x 2 + 16
1
x
η
+c
16
4 + x 2 + 16
dx
1
dx
11
x
1
x
1.114.- ∫
= ∫
=
arc sec + c = arc sec + c
2
2
5
25
5
5 x x − 25 5 x x − 25 5 5
2
(1 − x )
1− 2 x + x
−3
1.115.- ∫
dx = ∫
dx = ∫ ( x −2 − 2 x 2 + x −1 )dx
2
2
x
x
−1
−1
−3
x 2
x 2
−2
−1
−1
−1
2
= ∫ x dx − ∫ 2 x dx + ∫ x dx = − x − 2
+ η x + c = −x − 2
+ η x +c
=
−1
−1
2
2
1 4
+ η x +c = − +
+ η x +c
x
x
3
1.116.- ∫ (1 + x + x)2 dx = (1 + x + x 2 + 2 x + 2 x + 2 x 2 )dx
= − x −1 + 4 x
−1
2
= ∫ (1 + 2 x 2 + 3x + 2 x 2 + x 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x 2 dx +3∫ xdx + 2∫ x 2 dx + ∫ x 2 dx
3
1
3
5
3
1
3
5
2x 2
x2
x 2 x3
4x 2
x2
x 2 x3
x+
+3 +2
+ +c = x+
+3 +4
+ +c
3
5
2
3
3
2
5
3
2
2
27
1.117.- ∫ (1 − x + x) 2 dx = ∫ (1 + x + x 2 − 2 x + 2 x − 2 x 2 )dx
3
3
5
x2
x 2 x3
4x 2
= ∫ (1 − 2 x + 3x − 2 x + x )dx = x −
+3 −4
+ +c
3
2
5
3
4
2
3
4
1.118.- ∫ (1 + x) dx = ∫ (1 + 4 x + 6 x + 4 x + x )dx
1
3
2
2
2
1
= ∫ dx + 4∫ xdx + 6∫ x 2 dx + 4∫ x3 dx + ∫ x 4 dx = x + 2 x 2 + 2 x3 + x 4 + x5 + c
5
1− cos x
2
1 − cos x
1
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ cos xdx = x − s e n xdx
2
2
2
2
2
2
2
⎛ 1+ x ⎞
1+ x
1
1
1.120.- ∫ exp η ⎜ 2 ⎟ dx = ∫ 2 dx = ∫ 2 dx + ∫ dx = ∫ x −2 dx + ∫ dx = − + x + c
x
x
x
⎝ x ⎠
1.119.- ∫ e
η
dx = ∫
1− s e n x
3
1− s e n x
1
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ s e n xdx = x + cos x + c
3
3
3
3
3
0
1.122.- ∫ (1 + x − 3 x ) dx = ∫ dx = x + c
1.121.- ∫ η e
1.123.- ∫ ηe
=
(1+ x )2
2
dx = ∫
dx = ∫
(1 + x) 2
1 + 2 x + x2
1
1
dx = ∫
dx = ∫ dx + ∫ xdx + ∫ x 2 dx
2
2
2
2
1
x 2 x3
x+ + +c
2
2 6
28
CAPITULO 2
INTEGRACION POR SUSTITUCION
A veces es conveniente hacer un cambio de variable, para transformar la integral
dada en otra, de forma conocida. La técnica en cuestión recibe el nombre de
método de sustitución.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
e η x dx
2.1.-Encontrar: ∫ 2
x +7
Solución.- Como: e
ηx
e η x dx
xdx
= x, se tiene: ∫ 2
=∫ 2
x +7
x +7
Sea la sustitución: u = x 2 + 7 , donde: du = 2 xdx , Dado que: ∫
xdx
1 2 xdx
,
= ∫ 2
2
x +7 2 x +7
1 2 xdx 1 du
, integral que es inmediata.
=
2 ∫ x2 + 7 2 ∫ u
1 du 1
1
Luego: = ∫
η u + c = η x2 + 7 + c
2 u 2
2
e η x dx 1
Respuesta: ∫ 2
= η x2 + 7 + c
x +7 2
2
e η x dx
2.2.-Encontrar: ∫ 3
x +8
2
e η x dx
x 2 dx
η x2
2
Solución.- Como: e = x , se tiene: ∫ 3
=∫ 3
x +8
x +8
Se tiene:
Sea la sustitución: w = x3 + 8 , donde: dw = 3x 2 dx , Dado que: ∫
x 2 dx 1 3 x 2 dx
=
,
x3 + 8 3 ∫ x3 + 8
1 3x 2 dx 1 dw
=
integral que es inmediata.
3 ∫ x3 + 8 3 ∫ w
1 dw 1
1
Luego: ∫
= η w + c = η x3 + 8 + c
3 w 3
3
η x2
e dx 1
Respuesta: ∫ 3
= η x3 + 8 + c
x +8 3
2.3.-Encontrar: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx
Se tiene:
Solución.- Sea la sustitución: u = x 2 + 4 x − 6 , donde: du = (2 x + 4)dx
1
Dado que: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = ∫ (2 x + 4) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx , se tiene:
2
29
1
1
(2 x + 4) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = ∫ s e n udu , integral que es inmediata.
∫
2
2
1
1
1
1
Luego: = ∫ s e n udu = (− cos u ) + c = − cos u + c = − cos( x 2 + 4 x − 6) + c
2
2
2
2
1
Respuesta: ∫ ( x + 2) s e n( x 2 + 4 x − 6)dx = − cos( x 2 + 4 x − 6) + c
2
2
2.4.-Encontrar: ∫ x s e n(1 − x )dx
=
Solución.-Sea la sustitución: w = 1 − x 2 , donde: dw = −2 xdx
1
Dado que: ∫ x s e n(1 − x 2 )dx = − ∫ (−2 x) s e n(1 − x 2 )dx
2
1
1
Se tiene que: − ∫ (−2 x) s e n(1 − x 2 )dx = − s e n wdw , integral que es inmediata.
2
2
1
1
1
1
Luego: − ∫ s e n wdw = − (− cos w)dw + c = cos w + c = cos(1 − x 2 ) + c
2
2
2
2
1
2
2
Respuesta: ∫ x s e n(1 − x )dx = cos(1 − x ) + c
2
2
2.5.-Encontrar: ∫ x coτ g ( x + 1)dx
Solución.-Sea la sustitución: u = x 2 + 1 , donde: du = 2 xdx
1
Dado que: ∫ x coτ g ( x 2 + 1)dx = ∫ 2 x coτ g ( x 2 + 1)dx
2
1
1
Se tiene que: ∫ 2 x coτ g ( x 2 + 1)dx = ∫ coτ gudu , integral que es inmediata.
2
2
1
1
1
Luego: ∫ co τ gudu = η s e n u + c = η s e n( x 2 + 1) + c
2
2
2
1
Respuesta: ∫ x co τ g ( x 2 + 1)dx = η s e n( x 2 + 1) + c
2
2.6.-Encontrar: ∫ 1 + y 4 y 3 dy
Solución.-Sea la sustitución: w = 1 + y 4 , donde: dw = 4 y 3 dy
1
1
Dado que: ∫ 1 + y 4 y 3 dy = ∫ (1 + y 4 ) 2 4 y 3 dy
4
1
1
1
1
Se tiene que: ∫ (1 + y 4 ) 2 4 y 3 dy = ∫ w 2 dw , integral que es inmediata.
4
4
3
2
3
1
1w
1 3
1
1
Luego: ∫ w 2 dw =
+ c = w 2 + c = (1 + y 4 ) 2 + c
3
4
4 2
6
6
1
3
Respuesta: ∫ 1 + y 4 y 3 dy = (1 + y 4 ) 2 + c
6
3tdt
2.7.-Encontrar: ∫
3 2
t +3
Solución.-Sea la sustitución: u = t 2 + 3 , donde: du = 2tdt
30
3
2tdt
1
∫
2
3 2
t + 3 2 (t + 3) 3
3
2tdt
3 du
Se tiene que: ∫ 2
= ∫ 1 , integral que es inmediata
1
3
2 (t + 3)
2 u3
Dado que: ∫
3tdt
=
2
3 du 3 − 13
3u 3
9 23
9 2
2
3
c
u
c
t
(
3)
= ∫ u du =
+
=
+
=
+
+c
1
∫
2
3
2 u
2
2 3
4
4
3tdt
9
2
Respuesta: ∫
= (t 2 + 3) 3 + c
3 2
t +3 4
dx
2.8.-Encontrar: ∫
1 , a y b constantes.
(a + bx) 3
Solución.- Sea: w = a + bx , donde: dw = bdx
2
−1
dx
bdx
1
1 dw 1
1w3
3 23
3
Luego: ∫
w
c
w +c
=
=
=
=
+
=
1
1
1
∫
∫
∫
b 23
2b
(a + bx) 3 b (a + bx) 3 b w 3 b
2
3
3
= (a + bx) + c
2b
2
dx
3
3
Respuesta: ∫
=
+
+c
a
bx
(
)
1
(a + bx) 3 2b
Luego:
arcs e n x
dx
1 − x2
arcs e n x
dx
dx = ∫ arcs e n x
Solución.- ∫
,
2
1− x
1 − x2
dx
Sea: u = arcs e n x , donde: du =
1 − x2
dx
2 3
2
1
Luego: ∫ arcs e n x
= ∫ u 2 du = u 2 + c =
(arcs e n x)3 + c
2
3
3
1− x
2.9.-Encontrar: ∫
arcs e n x
2
(arcs e n x)3 + c
dx =
2
1− x
3
x
arcτ g
2 dx
2.10.-Encontrar: ∫
4 + x2
x
1
1
2dx
Solución.- Sea: w = arcτ g , donde: dw =
( )dx =
x 2
2
1+ ( 2 ) 2
4 + x2
x
2
arcτ g
1
1
1 2
1⎛
x⎞
⎛ x ⎞ 2dx
2
Luego: ∫
= ∫ wdw = w + c = ⎜ arcτ g ⎟ + c
dx = ∫ arcτ g ⎜ ⎟
2
4 + x2
2
2
4
4⎝
2⎠
⎝ 2⎠ 4+ x
x
2
arcτ g
2 dx = 1 ⎛ arcτ g x ⎞ + c
Respuesta: ∫
⎜
⎟
4 + x2
4⎝
2⎠
Respuesta: ∫
31
x − arcτ g 2 x
dx
1 + 4x2
arcτ g 2 x
x − arcτ g 2 x
xdx
Solución.- ∫
dx = ∫
−∫
2
2
1+ 4x
1+ 4x
1 + 4 x2
2.11.-Encontrar: ∫
2dx
1 + 4x2
arcτ g 2 x 1 8 xdx 1
2dx
xdx
Luego: ∫
−∫
= ∫
− ∫ arcτ g 2 x
2
2
2
1 + 4x
1+ 4x
8 1+ 4x 2
1 + 4x2
1 du 1
1
1 3
1
1
3
1
= ∫
− ∫ w 2 dw = η u − w 2 + c = η 1 + 4 x 2 − (arcτ g 2 x) 2 + c
8 u 2
8
3
8
3
x − arcτ g 2 x
1
1
3
dx = η 1 + 4 x 2 − (arcτ g 2 x) 2 + c
Respuesta: ∫
2
1+ 4x
8
3
dx
2.12.-Encontrar: ∫
(1 + x 2 ) η x + 1 + x 2
Sea: u = 1 + 4 x 2 , donde: du = 8 xdx ; w = arcτ g 2 x , donde: dw =
Solución.- ∫
dx
(1 + x 2 ) η x + 1 + x 2
=∫
Sea: u = η x + 1 + x 2 , donde: du =
Luego:
∫
dx
1 + x2
Respuesta: ∫
η x + 1 + x2
=∫
dx
(1 + x 2 ) η x + 1 + x 2
2.13.-Encontrar: ∫
dx
η x + 1 + x2
1 + x2
1
(1 +
2x
) ⇒ du =
x + 1+ x
2 1+ x
du
−1
1
= ∫ u 2 du = 2u 2 + c = 2
u
2
=2
2
dx
1 + x2
η x + 1 + x2 + c
η x + 1 + x2 + c
co τ g ( η x)
dx
x
Solución.- Sea: w = η x , donde: dw =
dx
x
coτ g ( η x)
dx = ∫ coτ gwdw = η s e n w + c = η s e n( η x) + c
x
coτ g ( η x)
Respuesta: ∫
dx = η s e n( η x) + c
x
dx
2.14.-Encontrar: ∫
x ( η x )3
dx
Solución.- Sea: u = η x , donde: du =
x
−2
dx
du
u
1
1
Luego: ∫
= ∫ 3 = ∫ u −3 du =
+c = 2 +c =
+c
3
2
2u
2( η x) 2
x( η x)
u
Luego: ∫
32
Respuesta: ∫
dx
1
=
+c
3
2( η x) 2
x( η x)
1
e x2
2.15.-Encontrar: ∫ 3 dx
x
1
2
Solución.- Sea: w = 2 , donde: dw = − 3 dx
x
x
1
e x2
1 1 −2dx
1
1
1 1 x2
Luego: ∫ 3 dx = − ∫ e x2 3 = − ∫ e w dw = − e w + c = − e + c
x
x
2
2
2
2
1
e x2
1 1 x2
Respuesta: ∫ 3 dx = − e + c
2
x
− x2 + 2
2.16.-Encontrar: ∫ e
xdx
Solución.- Sea: u = − x 2 + 2 , donde: du = −2 xdx
2
2
1
1
1
1 2
Luego: ∫ e − x + 2 xdx = − ∫ e− x + 2 (−2 xdx) = − ∫ eu du = − eu + c = − e − x + 2 + c
2
2
2
2
2
2
1
Respuesta: ∫ e − x + 2 xdx = − e − x + 2 + c
2
2 x3
2.17.-Encontrar: ∫ x e dx
Solución.- Sea: w = x 3 , donde: dw = 3x 2 dx
3
3
1
1
1 3
Luego: ∫ x 2 e x dx = ∫ 3x 2 e x dx = ∫ e w dw = e x + c
3
3
3
3
1 3
Respuesta: ∫ x 2 e x dx = e x + c
3
x
2.18.-Encontrar: ∫ (e + 1) 2 e x dx
Solución.- Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx
u3
(e x + 1)3
+c
Luego: ∫ (e x + 1) 2 e x dx = ∫ u 2 du = + c =
3
3
(e x + 1)3
Respuesta: ∫ (e x + 1) 2 e x dx =
+c
3
ex −1
2.19.-Encontrar: ∫ x dx
e +1
x
e −1
ex
1
ex
e x e− x
Solución.- ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ x dx = ∫ x dx − ∫ x dx
e +1
e +1
e +1
e +1
e +1
x
−x
x
−x
e
e
e
e
= ∫ x dx − ∫ − x x
dx = ∫ x dx − ∫
dx
1 + ex
e +1
e (e + 1)
e +1
Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx ; w = 1 + e− x ,donde: dw = −e − x dx
ex
e− x
ex
−e − x
du
dw
Luego: ∫ x dx − ∫
dx
dx
dx = ∫
=
−
+∫
−x
x
x
∫
∫
e +1
e +1
u
w
1+ e
1+ e
33
= η u + c1 + η w + c2 = η e x + 1 + η 1 + e− x + C = η ⎡⎣ e x + 1 1 + e − x ⎤⎦ + c
ex −1
Respuesta: ∫ x dx = η ⎡⎣ (e x + 1)(1 + e − x ) ⎤⎦ + c , otra respuesta seria:
e +1
x
2
e −1
x
∫ e x + 1dx = η e + 1 − x + c
e2 x − 1
2.20.-Encontrar: ∫ 2 x dx
e +3
2x
e −1
e2 x
e0
Solución.- ∫ 2 x dx = ∫ 2 x dx − ∫ 2 x dx
e +3
e +3
e +3
2x
2 x −2 x
2x
e
e e
e
e −2 x
e2 x
e −2 x
dx = ∫ 2 x dx − ∫ −2 x 2 x
dx = ∫ 2 x dx − ∫
dx
= ∫ 2 x dx − ∫ 2 x
e +3
e +3
e +3
e (e + 3)
e +3
1 + 3e −2 x
Sea: u = e 2 x + 3 , donde: du = 2e 2 x dx ; w = 1 + 3e −2 x ,donde: dw = −6e −2 x dx
e2 x
e −2 x
1 2e 2 x
1 −6e −2 x
1 du 1 dw
dx
dx
dx = ∫
=
+
+
Luego: ∫ 2 x dx − ∫
2x
−2 x
−2 x
∫
∫
e +3
1 + 3e
2 e +3
6 1 + 3e
2 u 6∫ w
1
1
1
1
1
1
3
η u + η w + c = η e 2 x + 3 + η 1 + 3e−2 x + c = η e2 x + 3 + η 1 + 2 x + c
e
2
6
2
6
2
6
=
1
1
e2 x + 3
1
1
1
η e2 x + 3 + η 2 x + c = η e2 x + 3 + η e2 x + 3 − η e2 x + c
2
6
e
2
6
6
= η ( e 2 x + 3)
1/ 2
= η ( e 2 x + 3)
+ η ( e 2 x + 3)
1/ 6
1/ 2
1/ 6
1
x
− 2 x + c = η ⎢⎡( e2 x + 3) ( e 2 x + 3) ⎥⎤ − + c
⎣
⎦ 3
6
x
− +c
3
2x
2/3
e −1
x
Respuesta: ∫ 2 x dx = η ( e 2 x + 3) − + c
e +3
3
2
x +1
2.22.-Encontrar: ∫
dx
x −1
Solución.- Cuando el grado del polinomio dividendo es MAYOR o IGUAL que el
grado del polinomio divisor, es necesario efectuar previamente la división de
polinomios. El resultado de la división dada es:
2/3
x2 + 1
2
x2 + 1
2 ⎞
dx
⎛
dx = ∫ ⎜ x + 1 +
= ( x + 1) +
, Luego: ∫
⎟ dx = ∫ xdx + ∫ dx + 2∫
x −1
x −1
x −1
x −1 ⎠
x −1
⎝
Sea u = x − 1 , donde du = dx
dx
du x 2
Luego: ∫ xdx + ∫ dx + 2∫
= + x + η x −1 + c
= ∫ xdx + ∫ dx + 2∫
x −1
u
2
2
2
x +1
x
Respuesta: ∫
dx = + x + η x − 1 + c
x −1
2
x+2
2.23.-Encontrar: ∫
dx
x +1
34
x+2
1
x+2
1 ⎞
dx
⎛
, Luego: ∫
= 1+
dx = ∫ ⎜1 +
⎟ dx = ∫ dx + ∫
x +1
x +1
x +1
x +1
⎝ x +1⎠
Sea u = x + 1 , donde du = dx
du
∫ dx + ∫ u = x + η u + c =x + η x + 1 + c
x+2
dx = x + η x + 1 + c
Respuesta: ∫
x +1
2.24.-Encontrar: ∫ τ g 5 x sec2 xdx
Solución.-
Solución.- Sea: w = τ gx , donde: dw = sec 2 x
w6
(τ gx)
τ g6x
Luego: ∫ τ g x sec xdx = ∫ (τ gx) sec xdx = ∫ w dw =
+c =
+c =
+c
6
6
6
τ g6x
Respuesta: ∫ τ g 5 x sec 2 xdx =
+c
6
2.25.-Encontrar: ∫ s e n x sec 2 xdx
6
5
2
5
Solución.- ∫ s e n x sec 2 xdx = ∫ s e n x
2
5
1
sen x
dx = ∫
dx
2
cos x
cos 2 x
Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x
sen x
− s e n xdx
du
u −1
1
1
−2
dx
u
du
=
−
=
−
=
−
=
−
+c = +c =
+c
Luego: ∫
2
2
∫
∫
∫
u
u
cos x
cos x
−1
cos x
Respuesta: ∫ s e n x sec 2 xdx = sec x + c
sec2 3xdx
2.26.-Encontrar: ∫
1 + τ g 3x
Solución.- Sea: u = 1 + τ g 3 xdx , donde: du = 3sec 2 3xdx
Luego: ∫
sec2 3 xdx 1 3sec 2 3 xdx 1 du 1
1
= ∫
= ∫
= η u + c = η 1 + τ g 3x + c
1 + τ g 3x 3 1 + τ g 3x
3 u 3
3
Respuesta: ∫
sec 2 3 xdx 1
= η 1 + τ g 3x + c
1 + τ g 3x 3
2.27.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos xdx
Solución.- Sea: w = s e n x , donde: dw = cos xdx
Luego: ∫ s e n 3 x cos xdx = ∫ (s e n x)3 cos xdx = ∫ w3 dw = ∫
w4
s e n4 x
+ c =∫
+c
4
4
s e n4 x
+c
4
2.28.-Encontrar: ∫ cos 4 x s e n xdx
Respuesta: ∫ s e n 3 x cos xdx = ∫
Solución.- Sea: u = cos x , donde: du = − s e n x
Luego: ∫ cos 4 x s e n xdx = ∫ (cos x) 4 s e n xdx = − ∫ (cos x) 4 (− s e n x) dx = − ∫ u 4 du
35
u5
cos x5
cos5 x
+c = −
+c = −
+c
5
5
5
cos5 x
Respuesta: ∫ cos 4 x s e n xdx = −
+c
5
sec5
2.29.-Encontrar: ∫
dx
cos ecx
1
5
sec5
sen x
Solución.- ∫
dx = ∫ cos x dx = ∫
dx
1
cos ecx
(cos x)5
sen x
Sea: w = cos x , donde: dw = − s e n xdx
sen x
dw
w−4
1 1
1
−5
=
−
=
−
=
−
+c =
+c =
+c
Luego: ∫
dx
w
dw
5
5
4
∫
∫
−4
(cos x)
4w
4 cos 4 x
w
=−
=
sec 4 x
+c
4
sec5
sec 4 x
+c
dx =
cos ecx
4
2.30.-Encontrar: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx
Respuesta: ∫
Solución.- Sea: u = τ g 2 x , donde: du = 2sec 2 2 xdx
1
1
1
1
Luego: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx = ∫ eτ g 2 x (2sec2 2 xdx) = ∫ eu du = eu + c = eτ g 2 x + c
2
2
2
2
1
Respuesta: ∫ eτ g 2 x sec2 2 xdx = eτ g 2 x + c
2
2x − 5
2.31.-Encontrar: ∫ 2
dx
3x − 2
Solución.- Sea: w = 3x 2 − 2 , donde: dw = 6 xdx
2x − 5
1 3(2 x − 5)
1 6 x − 15
1 6 xdx 15
dx
Luego: ∫ 2
dx = ∫
dx = ∫ 2
dx = ∫ 2
− ∫ 2
2
3x − 2
3 3x − 2
3 3x − 2
3 3x − 2 3 3x − 2
1 6 xdx
dx
1 6 xdx 5
dx
1 6 xdx 5
dx
= ∫ 2
− 5∫
= ∫ 2
− ∫ 2 2 = ∫ 2
− ∫ 2
2
2
3 3x − 2
3( x − 3 ) 3 3x − 2 3 ( x − 3 ) 3 3 x − 2 3 x − ( 23 ) 2
1 dw 5
dx
1
5
dx
; Sea: v = x , donde: dv = dx
− ∫ 2
= η w + c1 − ∫ 2
∫
2
2
3 w 3 x −( 3) 3
3 x − ( 23 ) 2
Además: a =
=
=
2
3
; se tiene:
1
5
dv
η w + c1 − ∫ 2 2
3
3 v −a
x−
1
5 1
1
5⎡ 1
v−a
η 3x 2 − 2 + c1 −
η
η
+ c2 = η 3x 2 − 2 − ⎢
v+a
3
3 2a
3
3 ⎢⎣ 2 2 3
x+
1
5
η 3x 2 − 2 −
η
3
32 2
3x − 2
1
5
+ C = η 3x 2 − 2 −
η
3
3x + 2
2 6
2
2
3
3
⎤
⎥+C
⎥⎦
3x − 2
+C
3x + 2
36
Respuesta: ∫
2x − 5
1
5
η
dx = η 3 x 2 − 2 −
2
3x − 2
3
2 6
2.32.-Encontrar: ∫
Solución.- ∫
3x − 2
+C
3x + 2
dx
x 4 − 9 η2x
dx
x 4 − 9 η2x
=∫
dx
x 22 − (3 η x) 2
3dx
Sea: u = 3 η x , donde: du =
x
dx
1
3dx
1
du
1
u
Luego: ∫
= ∫
= ∫
= arcs e n + c
2
2
2
2
2
2
3 x 2 − (3 η x)
3
3
2
x 2 − (3 η x)
2 − (u )
3
1
3 ηx
1
= arcs e n
+ c = arcs e n η x 2 + c
3
2
3
3
dx
1
Respuesta: ∫
= arcs e n η x 2 + c
x 4 − 9 η2x 3
2.33.-Encontrar: ∫
dx
ex −1
Solución.- Sea: u = e x − 1 , donde: du =
e x dx
; Tal que: e x = u 2 + 1
2 e −1
2du
du
Luego: ∫
=∫ 2
= 2∫ 2
= 2 arcτ gu + c = 2 arcτ g e x + 1 + c
x
u
u
1
1
+
+
e −1
dx
Respuesta: ∫
= 2 arcτ g e x + 1 + c
x
e −1
x2 + 2 x + 2
dx
2.34.-Encontrar: ∫
x +1
x2 + 2 x + 2
( x 2 + 2 x + 1) + 1
( x + 1) 2 + 1
( x + 1) 2 + 1
Solución.- ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx
x +1
x +1
x +1
x +1
1
dx
)dx = ∫ xdx + ∫ dx + ∫
= ∫ (x +1+
, Sea: w = x + 1 , donde: dw = dx
x +1
x +1
dx
dw x 2
Luego: ∫ xdx + ∫ dx + ∫
= ∫ xdx + ∫ dx + ∫
= + x+ η w +c
x +1
w
2
2
x
= + x + η x +1 + c
2
x2 + 2 x + 2
x2
Respuesta: ∫
dx = + x + η x + 1 + c
x +1
2
2x
e
2.35.-Encontrar: ∫
dx
ex + 1
Solución.- Sea: u = e x + 1 , donde: du = e x dx
x
dx
37
Luego: ∫
=
u
3
3
2
2
−
u
−1
u −1
u2 u 2
−1
−1
1
1
−
+c
dx = ∫ 1 du = ∫ (u 2 − u 2 )du = ∫ u 2 du − ∫ u 2 du =
3
1
u2
2
2
ex + 1
3
e2 x
−1
1
2
+ c = 23 u 2 − 12 u 2 + c =
3
1
2
3
(e x + 1)3 − 2 (e x + 1) + c
2
Respuesta: ∫
e2 x
e +1
x
2.36.-Encontrar: ∫
dx =
2
3
(e x + 1)3 − 2 (e x + 1) + c
η 2 x dx
η 4x x
Solución.- Sea: u = η 4 x , donde: du =
dx
; además: η 4 x = (2 × 2 x) = η 2 + η 2 x
x
⇒ u = η 2 + η 2x ⇒ η 2x = u − η 2
η 2 x dx
u − η2
η2
du
=∫
= u − η2 u + c
Luego: ∫
du = ∫ du − ∫
du = ∫ du − η 2∫
η 4x x
u
u
u
= η 4 x − η 2 [ η ( η 4 x)] + c
η 2 x dx
= η 4 x − η 2 [ η ( η 4 x) ] + c
η 4x x
2.37.-Encontrar: ∫ x(3 x + 1)7 dx
Respuesta: ∫
Solución.- Sea: w = 3x + 1 , donde: dw = 3dx ; además: w − 1 = 3x ⇒ x =
w −1
3
w − 1 7 dw 1
1
= ∫ ( w − 1) w7 dw = ∫ ( w8 − w7 )dw
w
3
3 9
9
9
8
1
1
1w 1w
1
1
= ∫ w8 dw − ∫ w7 dw =
−
+ c = w9 − w8 + c
9
9
9 9 9 8
81
72
1
1
= (3x + 1)9 − (3x + 1)8 + c
81
72
(3x + 1)9 (3 x + 1)8
Respuesta: ∫ x(3 x + 1)7 dx =
−
+c
81
72
x2 − 5x + 6
2.38.-Encontrar: ∫
dx
x2 + 4
x2 − 5x + 6
2 − 5x
Solución.dx = 1 + 2
2
x +4
x +4
2
x − 5x + 6
2 − 5x
dx
xdx
Luego: ∫
dx = ∫ (1 + 2
)dx = ∫ dx + 2∫ 2
− 5∫ 2
2
x +4
x +4
x +4
x +4
2
Sea: u = x + 4 , donde: du = 2 xdx ; Entonces:
x 5 du
x 5
x 5
= x + arcτ g − ∫
=x + arcτ g − η u + c = x + arcτ g − η x 2 + 4 + c
2 2 u
2 2
2 2
2
x − 5x + 6
x 5
Respuesta: ∫
dx = x + arcτ g − η x 2 + 4 + c
2
x +4
2 2
Luego: ∫ x(3 x + 1)7 dx = ∫
38
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando Esencialmente la técnica de integración por sustitución, encontrar las
siguientes integrales:
adx
4t + 6
2.39.- ∫ 3x e x dx
2.40.- ∫
2.41.- ∫
dt
2t + 1
a−x
1 − 3x
xdx
ax − b
2.43.- ∫
2.42.- ∫
2.44.- ∫
dx
dx
αx+ β
a + bx
3 + 2x
2.45.- ∫
3t 2 + 3
dt
t −1
2
b ⎞
⎛
2.48.- ∫ ⎜ a +
⎟ dx
x−a⎠
⎝
2.51.- ∫ a − bxdx
2.54.- ∫
dx
3x 2 + 5
6t − 15
dt
3t 2 − 2
xdx
2.60.- ∫ 2
x −5
xdx
2.63.- ∫
a4 − x4
2.57.- ∫
2.66.- ∫
2.69.- ∫
x − arcτ g 3x
dx
1 + 9 x2
dt
(9 + 9t 2 ) η t + 1 + t 2
2.72.- ∫ (et − e − t )dt
2.75.- ∫
a2x −1
dx
ax
2.81.- ∫ (e a + 1) 3 e a dx
2.84.- ∫
x +1
x3 dx
2.55.- ∫ 2
a − x2
3 − 2x
2.58.- ∫ 2
dx
5x + 7
xdx
2.61.- ∫ 2
2x + 3
x 2 dx
2.64.- ∫
1 + x6
2
arcs e n t
dt
4 − 4t 2
2.70.- ∫ ae− mx dx
2.67.- ∫
2.73.- ∫ e − ( x
2
+1)
xdx
1
2
1
xdx
2.52.- ∫
2.76.- ∫
2.78.- ∫ x7 x dx
x
x2 + 5x + 7
dx
x+3
x
2.49.- ∫
dx
( x + 1) 2
2.46.- ∫
x
e − bx
dx
1 − e−2bx
2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx
2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax) 2 dx
ex
dx
x2
x4 + x2 + 1
dx
x −1
bdy
2.50.- ∫
1− y
2.47.- ∫
x + ηx
dx
x
y2 − 5 y + 6
dy
2.56.- ∫
y2 + 4
3x + 1
2.59.- ∫
dx
5x2 + 1
ax + b
dx
2.62.- ∫ 2 2
a x + b2
x 2 dx
2.65.- ∫
x6 − 1
arcτ g ( 3x )
2.68.- ∫
dx
9 + x2
2.53.- ∫
2.71.- ∫ 42−3 x dx
2.74.- ∫ (e a − e − a )2 dx
x
2.77.- ∫ 5
x
x
dx
x
2.79.- ∫
2.80.- ∫ e x a − be x dx
2.85.- ∫
a x dx
;a > 0
1 + a2 x
x
2.86.- ∫ cos dx
2
et dt
et − 1
dx
2.82.- ∫ x
2 +3
et dt
1 − e 2t
dx
x
2
2.91.- ∫ s e n xdx
2.88.- ∫ cos x
2.83.- ∫
2.89.- ∫ s e n( η x)
dx
x
2.92.- ∫ cos 2 xdx
39
2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx
2.94.- ∫ cosτ g 2 axdx
dx
3cos(5 x − π4 )
x
2.99.- ∫ coτ g
dx
a −b
dx
s e n(ax + b)
dx
2.100.- ∫ τ g x
x
dx
2.103.- ∫
s e n x cos x
2.97.- ∫
2.96.- ∫
2
1
⎛
⎞
2.102.- ∫ ⎜
− 1⎟ dx
⎝ sen x 2 ⎠
2.105.- ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt
2.108.- ∫
s e n x cos x
cos x − s e n x
2
2
dx
2.111.- ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt
s e n 3x
dx
3 + cos 3 x
τ gx
2.109.- ∫
dx
cos 2 x
2.106.- ∫
2.112.- ∫
2.115.- ∫ x 5 5 − x 2 dx
(cos ax + s e n ax) 2
2.117.- ∫
dx
s e n ax
x3 − 1
2.118.- ∫
dx
x +1
x3 − 1
dx
x4 − 4x + 1
τ g 3 x − coτ g 3x
2.123.- ∫
dx
s e n 3x
2.121.- ∫ xe − x dx
2.126.- ∫
2.129.- ∫
2.132.- ∫
sec 2 xdx
τ g2x − 2
x2
dx
x3 + 1
sec 2 xdx
4 −τ g 2 x
dx
x −1
arcτ gx
e
+ x η (1 + x 2 ) + 1
2.138.- ∫
1 + x2
(1 − s e n x2 ) 2
2.141.- ∫
dx
s e n x2
2.135.- ∫ τ g x − 1
2.144.- ∫
dθ
s e n aθ cos aθ
2
2.124.- ∫
2.127.- ∫
2.130.- ∫
2.107.- ∫ τ g 3 3x sec 2 3x dx
2.110.- ∫ cos ax s e n ax dx
2.113.- ∫ s e n 3 6 x cos 6 xdx
x3 dx
x8 + 5
2.114.- ∫ 1 + 3cos 2 x s e n 2 xdx
2.120.- ∫
dx
s e n ax
xdx
2.98.- ∫
cos 2 x 2
dx
2.101.- ∫
τ g 5x
cos ax
2.104.- ∫
dx
s e n 5 ax
2.95.- ∫
1 + s e n 3x
dx
cos 2 3 x
cos ec 2 3xdx
2.119.- ∫
b − a coτ g 3 x
2.116.- ∫
3 − 2 + 3x 2
2.122.- ∫
dx
2 + 3x 2
1+ s e n x
2.125.- ∫
dx
x + cos x
dx
ex
dx
2.128.- ∫ a s e n x cos xdx
x η x
2
2.131.- ∫ τ g 2 axdx
xdx
1 − x4
dx
2.133.- ∫
cos x a
2.134.- ∫
xdx
s e n x2
2.137.- ∫
2.136.- ∫
x 2 dx
2.139.- ∫ 2
x −2
5 − 3x
2.142.- ∫
dx
4 − 3x 2
2.145.- ∫
es
e2 s − 2
ds
3
1+ η x
dx
x
s e n x − cos x
dx
s e n x + cos x
2.140.- ∫ es e n x s e n 2 xdx
2
2.143.- ∫
ds
e +1
s
2.146.- ∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt
40
2.147.- ∫
2.150.- ∫
2.153.- ∫
2.156.- ∫
arc cos x 2
2.148.- ∫
dx
4 − x2
s e n x cos x
2−sen x
4
2.151.s ecxτ gx
dx
arc s e n x + x
1 − x2
∫
dx
s ec 2 x + 1
xdx
2.154.- ∫
x +1
dx
η ( x + x 2 + 1)
x2 + 1
(arcs e n x) 2
2.159.- ∫
dx
1 − x2
2t 2 − 10t + 12
2.162.- ∫
dt
t2 + 4
dx
x(4 − η 2 x)
dx
2.157.- ∫
s e n3 x
dx
cos x
2.150.- ∫ e x + e dx
x
2.163.- ∫
2.149.- ∫ e −τ gx sec 2 xdx
2.152.- ∫
dt
s e n t cos 2 t
2
2.155.- ∫ x(5 x 2 − 3)7 dx
2.158.- ∫
cos xdx
1+ s e n2 x
2.161.- ∫ t (4t + 1)7 dt
et − e − t
dt
et + e − t
RESPUESTAS
2.39.- ∫ 3x e x dx ,
x
u
∫ (3e) dx = ∫ (a) du =
Sea: u = x, du = dx, a = 3e
au
(3e) x
(3e) x
3x e x
3x e x
+c =
+c =
+c =
+c =
+c
ηa
η (3e)
η 3 ηe
η3 + ηe
η3 +1
adx
,
Sea: u = a − x, du = −dx
a−x
adx
du
∫ a − x = −a ∫ u = −a η u + c = −a η a − x + c
4t + 6
2t + 3
2
2.41.- ∫
Sea: u = 2t + 1, du = 2dt ;
= 1+
dt ,
2t + 1
2t + 1
2t + 1
4t + 6
2 ⎞
2
du
⎛
∫ 2t + 1 dt = 2∫ ⎜⎝1 + 2t + 1 ⎟⎠dt = 2∫ dt + 2∫ 2t + 1 dt =2∫ dt + 2∫ u =2t + 2 η u + c
= 2t + 2 η 2t + 1 + c
2.40.- ∫
11
1 − 3x
3
1 − 3x
2
Sea: u = 3 + 2 x, du = 2dx ;
2.42.- ∫
dx ,
=− +
3 + 2x
3 + 2x
2 2x + 3
11
1 − 3x
3
11 dx
3
11 du
⎛ 3
⎞
2
=
−
+
dx
⎜
∫ 3 + 2 x ∫ ⎝ 2 2 x + 3 ⎟⎠ dx = − 2 ∫ dx + 4 ∫ 2 x + 3 = − 2 ∫ dx + 4 ∫ u
3
11
− x+
η 2x + 3 + c
2
4
a
xdx
x
1
,
Sea: u = a + bx, du = bdx ;
2.43.- ∫
= − b
a + bx b a + bx
a + bx
xdx
1
a
dx
1
a du 1
a
x a
∫ a + bx = b ∫ dx − b ∫ a + bx = b ∫ dx − b2 ∫ u = b x − b2 η u + c = b − b2 η a + bx + c
41
αβ
ax − b
dx ,
2.44.- ∫
αx+ β
Sea: u = α x + β , du = α dx ;
+b
ax − b a α
= −
αx
ax + b α
αβ
aβ + α b
⎛
⎞
+b⎟
⎜
ax − b
a α
a
a
aβ + α b
dx
α
∫ α x + β dx = ∫ ⎜ α − α x ⎟ dx = ∫ α dx − ∫ α x + β dx = α ∫ dx − α ∫ aβ + α b
⎜
⎟
⎝
⎠
a
a β + α b du a
aβ + α b
a
aβ + α b
= ∫ dx −
= x−
η u +c = x−
η x+β +c
2
2
∫
α
α
u α
α
α
α2
3t 2 + 3
t2 +1
2
Sea: u = t − 1, du = dt ;
dt ,
= t +1+
t −1
t −1
t −1
2
3t + 3
2 ⎞
2
3 2
⎛
∫ t − 1 dt = 3∫ ⎜⎝ t + 1 + t − 1 ⎟⎠dt = 3∫ tdt + 3∫ dt + 3∫ t − 1 dt = 2 t + 3t + 6 η u + c
3
= t 2 + 3t + 6 η t − 1 + c
2
x2 + 5x + 7
x2 + 5x + 7
1
2.46.- ∫
Sea: u = t − 1, du = t + 1 ;
dx ,
= x+2+
x+3
x+3
x+3
2
x2 + 5x + 7
1
1
x
⎛
⎞
∫ x + 3 dx = ∫ ⎜⎝ x + 2 + x + 3 ⎟⎠ dx = ∫ xdx + 2∫ dx + ∫ x + 3 dx = 2 + 2 x + η u + c
2.45.- ∫
x2
x2
+ 2x + η u + c = + 2x + η x + 3 + c
2
2
4
2
x + x +1
2.47.- ∫
Sea: u = x − 1, du = dx ;
dx ,
x −1
x4 + x2 + 1
3 ⎞
dx
⎛ 3
2
3
2
∫ x − 1 dx = ∫ ⎜⎝ x + x + 2 x + 2 + x − 1 ⎟⎠ dx = ∫ x dx + ∫ x dx + 2∫ dx + 3∫ x − 1
x 4 x3
x 4 x3
= + + x2 + 2 + 3 η u + c = + + x2 + 2 x + 3 η x − 1 + c
4 3
4 3
=
2
b ⎞
⎛
2.48.- ∫ ⎜ a +
⎟ dx ,
x−a⎠
⎝
Sea: u = x − a, du = dx
⎛ 2 2ab
b ⎞
b2 ⎞
dx
dx
⎛
2
2
+
=
+
+
a
dx
a
∫ ⎜⎝ x − a ⎟⎠
∫ ⎜⎝ x − a ( x − a)2 ⎟⎠dx = a ∫ dx + 2ab∫ x − a + b ∫ ( x − a)2
2
= a 2 ∫ dx + 2ab ∫
49.- ∫
du
du
u −1
b2
+ b 2 ∫ 2 = a 2 x + 2ab η u + b 2
+ c = a 2 x + 2ab η x − a −
+ c 2.
−1
u
u
x−a
x
dx ,
( x + 1) 2
Sea: u = x + 1, du = dx
x
( x + 1) − 1
x +1
dx
dx
dx
u −1
dx
=
dx
=
dx
−
=
−
=
u
−
+c
η
∫ ( x + 1)2 ∫ ( x + 1)2
∫ ( x + 1)2 ∫ ( x + 1)2 ∫ u ∫ u 2
−1
42
1
+c
x +1
bdy
,
Sea: u = 1 − y, du = − dy
2.50.- ∫
1− y
bdy
du
−1
1
1
∫ 1 − y = −b∫ u = −b∫ u 2 du = −2bu 2 + c = − 2b(1 − y) 2 + c
= η x +1 +
2.51.- ∫ a − bxdx ,
Sea: u = a − bx, du = −bdx
3
∫
a − bxdx = −
2.52.- ∫
∫
xdx
1 12
1u 2
2 3
3
3
u
du
=
−
+ c = − u 2 + c = − (a − bx) 2 + c
∫
3
b
b 2
3b
2b
,
Sea: u = x 2 + 1, du = 2 xdx
x +1
1
xdx
1 du 1 −12
1 u2
1
= ∫
= ∫ u du =
+ c =( x 2 + 1) 2 + c
1
2
2 2
u 2
x +1 2
2
x + ηx
dx
Sea: u = η x, du =
dx ,
x
x
1/ 2
x + ηx
ηx
x
u2
−1/ 2
−1/ 2
dx
=
x
dx
+
dx
=
x
dx
+
udu
=
+
+c
∫ x
∫
∫ x
∫
∫
1/ 2 2
η2x
=2 x+
+c
2
dx
,
Sea: u 2 = 3 x 2 , u = 3 x, du = 3dx ; a 2 = 5; a = 5
2.54.- ∫ 2
3x + 5
dx
1
du
1 1
u
1 1
3x
15
3x
∫ 3x 2 + 5 = 3 ∫ u 2 + a 2 = 3 a arc tg a + c = 3 5 arc tg 5 + c = 15 arc tg 5 + c
2.53.- ∫
2.55.- ∫
x3dx
,
a2 − x2
Sea: u = x 2 − a 2 , du = 2 xdx
x 3dx
a 2 xdx
xdx
a 2 du
2
=
−
xdx
−
=
−
xdx
−
a
=
−
xdx
−
∫ a2 − x2 ∫
∫ x2 − a2 ∫
∫ x2 − a2 ∫
2 ∫ u
x2 a2
x2 a2
=− −
η u +c = − −
η x2 − a2 + c
2 2
2 2
y2 − 5 y + 6
2.56.- ∫
Sea: u = y 2 + 4, du = 2 ydy
dy ,
2
y +4
y2 − 5 y + 6
−5 y + 2
−5 y + 2
ydy
dy
∫ y 2 + 4 dy = ∫ (1 + y 2 + 4 )dy = ∫ dy + ∫ y 2 + 4 dy = ∫ dy − 5∫ y 2 + 4 + 2∫ y 2 + 22
y
y
= y − 5 η u + 2 1 arc τ g + c = y − 5 η y 2 + 4 + arcτ g + c
2
2
2
2
2
6t − 15
Sea: u = 3t 2 − 2, du = 6tdt ; w = 3t , dw = 3dt
dt ,
2.57.- ∫ 2
3t − 2
43
6t − 15
tdt
dt
tdt
dt
− 15∫ 2
= 6∫ 2
− 15∫
dt = 6∫ 2
2
−2
3t − 2
3t − 2
3t − 2
( 3t ) 2 − ( 2) 2
∫ 3t
=∫
du 15
dw
15 3 1
w− 2
η
−
= ηu−
+c
∫
2
2
3 2 2
u
3 w − ( 2)
w+ 2
= η 3t 2 − 2 −
5 6
t 3− 2
η
+c
4
t 3+ 2
3 − 2x
Sea: u = 5 x 2 + 7, du = 10 xdx; w = 5 x, dw = 5dx
dx ,
2
5x + 7
3 − 2x
dx
dx
dx
2 du
∫ 5 x 2 + 7dx = 3∫ 5 x2 + 7 − 2∫ 5x 2 + 7 = 3∫ ( 5x )2 + ( 7)2 − 10 ∫ u
2.58.- ∫
=
3
dw
1 du
3 1
x 5 1
− ∫
=
− η u +c
arcτ g
∫
2
2
5 w + ( 7) 5 u
5 7
7 5
3 35
5 1
arcτ gx
− η 5x2 + 7 + c
35
7 5
3x + 1
Sea: u = 5 x 2 + 1, du = 10 xdx; w = x 5, dw = 5dx
2.59.- ∫
dx ,
2
5x + 1
3x + 1
xdx
dx
xdx
dx
∫ 5 x2 + 1dx = 3∫ 5 x2 + 1 + ∫ ( x 5)2 + 12 = 3∫ 5 x 2 + 1 + ∫ ( x 5)2 + 12
=
1
3 du
1
dw
3 u2
1
= ∫
+
=
+
η w + w2 + 1 + c
∫
2
2
10
u
5
5
w + 1 10 1 2
3
1
5x2 + 1 +
=
η x 5 + 5x2 + 1 + c
5
5
xdx
,
Sea: u = x 2 + 5, du = 2 xdx
2.60.- ∫ 2
x −5
xdx
1 du 1
1
2
∫ x2 − 5 = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η x − 5 + c
xdx
,
Sea: u = 2 x 2 + 3, du = 4 xdx
2
2x + 3
xdx
1 du 1
1
2
∫ 2x2 + 3 = 4 ∫ u = 4 η u + c = 4 η 2x + 3 + c
ax + b
2.62.- ∫ 2 2
Sea: u = a 2 x 2 + b 2 , du = 2a 2 xdx; w = ax, dw = adx
dx ,
2
a x +b
ax + b
xdx
dx
a du b
dw
∫ a 2 x 2 + b2 dx = a ∫ a 2 x 2 + b2 + b ∫ a 2 x 2 + b2 = 2a 2 ∫ u + a ∫ w2 + b2
1
b 1
w
1
1
ax
arcτ g + c = η a 2 x 2 + b 2 + arcτ g + c
= ηu+
2
2
b
a
b
a b
2.61.- ∫
44
2.63.- ∫
∫
xdx
a −x
4
xdx
a −x
4
4
4
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
,
xdx
=∫
( a 2 )2 − ( x2 )2
=
1
du
1
u
= arcs e n 2 + c
∫
2
a
( a 2 )2 − u 2 2
1
x2
= arcs e n 2 + c
a
2
2
x dx
2.64.- ∫
,
Sea: u = x3 , du = 3x 2 dx
6
1+ x
2
x dx
x 2 dx
1 du
1
1
3
∫ 1 + x6 = ∫ 1 + ( x3 )2 = 3 ∫ 1 + u 2 = 3 arcτ g u + c = 3 arcτ gx + c
2.65.- ∫
∫
2
x dx
x −1
6
x 2 dx
x −1
6
=∫
Sea: u = x3 , du = 3x 2 dx
,
x 2 dx
(x ) −1
3 2
=
1
du
1
1
= η u + u 2 − 1 + c = η x3 + x 6 − 1 + c
∫
2
3 u −1 3
3
x − arcτ g 3x
3dx
Sea: u = 1 + 9 x 2 , du = 18 xdx; w = arcτ g 3 x, dw =
dx ,
2
1 + 9 x2
1+ 9x
x − arcτ g 3x
arcτ g 3x
xdx
1 du 1
1
∫ 1 + 9 x2 dx = ∫ 1 + 9 x 2 − ∫ 1 + 9 x 2 dx = 18 ∫ u − 3 ∫ w 2 dw
3
3
1
1w2
1
2(arcτ g 3 x) 2
2
=
+c =
+c
ηu−
η 1+ 9x −
18
33
18
9
2
dt
arcs e n t
2.67.- ∫
Sea: u = arcs e n t , du =
dt ,
2
4 − 4t
1− t2
2.66.- ∫
∫
arcs e n t
1
arcs e n t
1
arcs e n t
1
1 u
dt = ∫
dt = ∫
dt = ∫ udu =
2
2
4 − 4t
2
1− t
2
2
2 3
1− t2
3
2
2
1 3
+c = u 2 +c
3
1
(arcs e n t )3 + c
3
arcτ g ( 3x )
3dx
2.68.- ∫
Sea: u = arcτ g 3x , du =
dx ,
2
9+ x
9 + x2
arcτ g ( 3x )
arcτ g ( 3x ) 2
1
1 u2
1 2
=
=
+
=
+
=
+c
dx
udu
c
u
c
∫ 9 + x2
3∫
3 2
6
6
dt
dt
, Sea: u = η t + 1 + t 2 , du =
2.69.- ∫
1+ t2
(9 + 9t 2 ) η t + 1 + t 2
=
1
= ∫
3 (1 + t 2 )
dt
η t + 1+ t2
1
1 du 1 u 2
2
2
= ∫
=
+c =
u +c =
1
3 u 3
3
3
2
η t + 1+ t 2 + c
45
2.70.- ∫ ae − mx dx ,
∫ ae
− mx
Sea: u = − mx, du = −mdx
dx = a ∫ e − mx dx = −
2.71.- ∫ 42 −3 x dx ,
2 −3 x
∫ 4 dx = −
a u
a
a
e du = − eu + c = − e− mx + c
∫
m
m
m
Sea: u = 2 − 3x, du = −3dx; a = 4
1 u
1 au
4 2 −3 x
=
−
+
=
−
+c
a
du
c
3∫
3 ηa
3 η4
2.72.- ∫ (et − e − t )dt ,
∫ (e
Sea: u = −t , du = − dt
− e −t )dt = ∫ et dt − ∫ e− t dt = ∫ et dt − ∫ eu dt = et + eu + c = et + e− t + c
t
2.73.- ∫ e − ( x
2
+1)
xdx ,
Sea: u = − x 2 − 1, du = −2 xdx
2
1 u
1
1
1
e du = − eu + c = − e − ( x +1) + c = − x2 +1 + c
∫
2
2
2
2e
x
x
2
x
2
dx
2
x
2dx
, du =
; w = − , dw = −
Sea: u =
2.74.- ∫ (e a − e − a ) 2 dx ,
a
a
a
a
x
x
2x
x
x
−2 x
2x
−2 x
−
−
2
∫ (e a − e a ) dx = ∫ (e a + 2e a e a + e a )dx = ∫ e a dx + 2∫ dx + ∫ e a dx
∫e
− ( x 2 +1)
xdx = ∫ e − x −1 xdx = −
2
a u
a
a
a
a 2x
a −2x
e du + 2∫ dx − ∫ e w dw = eu + 2 x − e w + c = e a + 2 x − e a + c
∫
2
2
2
2
2
2
2x
a −1
2.75.- ∫
Sea: u = − 2x , du = − dx2 ; w = 32x , dw = 32dx
dx ,
x
a
2x
a −1
a 2 x dx
dx
3x
−x
−x
2 x− x
dx
=
∫ ax
∫ a x − ∫ a x = ∫ a 2 dx − ∫ a 2 dx = ∫ a 2 dx − ∫ a 2 dx
3x
−x
3x
−x
2 w
2 aw
au
2a 2
a 2
2 a 2
u
= ∫ a dw + 2 ∫ a du =
+2
+c =
+2
+c =
+ a 2)+c
(
ηa
ηa
ηa 3
3
3 ηa
3 ηa
=
1
ex
1
dx
Sea: u = , du = − 2
2.76.- ∫ 2 dx ,
x
x
x
1
x
e
1
u
u
x
∫ x 2 dx = −∫ e du = −e + c = −e x + c = − e + c
dx
dx
2.77.- ∫ 5 x
,
Sea: u = x , du =
x
2 x
∫5
x
dx
2 × 5u
2×5 x
= 2∫ 5u du =
+c =
+c
η5
η5
x
2.78.- ∫ x7 x dx ,
2
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
2
1 u
1 7u
1 7x
7
7
x
dx
=
du
=
+
c
=
+c
∫
2∫
2 η7
2 η7
x2
2.79.- ∫
et dt
,
et − 1
Sea: u = et − 1, du = et dt
46
et dt
du
t
∫ et − 1 = ∫ u = η u + c = η e − 1 + c
2.80.- ∫ e x a − be x dx ,
Sea: u = a − be x , du = −be x dx
3
∫e
1
1u 2
2 3
2
3
a − be dx = − ∫ udu = −
+ c = − u 2 + c = − (a − be x ) 2 + c
3
3b
3b
b
b 2
x
x
x
ea
dx
a
x
4
4
x
x
x
1
1
au 3
3a(e a + 1) 3
3 xa
a
a
a
3
3
+c
∫ (e + 1) e dx = ∫ e + 1e dx = a ∫ u du = 4 + c =
4
3
dx
2.82.- ∫ x
,
Sea: u = 2 x + 3, du = 2 x η 2dx
2 +3
dx
1 3dx
1 2x + 3 − 2x
1 2x + 3
1
2x
1
1 du
=
=
dx
=
dx
−
dx = ∫ dx − ∫
x
x
∫ 2x + 3 3 ∫ 2x + 3 3 ∫ 2x + 3
∫
∫
3 2 +3
3 2 +3
3
3 u
x
η 2 +3
1
1
1
1
1
= x− η u +c = x−
η u +c = x−
+c
3
3
3
3 η2
3
3 η2
2.81.- ∫ (e a + 1) 3 e a dx ,
x
Sea: u = e
x
1
x
a +1
, du =
a x dx
,
Sea: u = a x , du = a x η adx; a > 0
2x
1+ a
x
a dx
a x dx
1
du
1
1
x
=
∫ 1 + a 2 x ∫ 1 + (a x )2 = η a ∫ 1 + u 2 = η a arcτ gu + c = η a arcτ ga + c
2.83.- ∫
e − bx
Sea: u = e −bx , du = −be − bx dx
dx ,
1 − e−2bx
e − bx
e − bx
1 du
1
du
1
u −1
dx
=
∫ 1 − e−2bx
∫ 1 − (e−bx )2 dx = − b ∫ 1 − u 2 = − b ∫ (−1)(u 2 − 1) = 2b η u + 1 + c
2.84.- ∫
=
1
e − bx − 1
η − bx
+c.
2b
e +1
et dt
2.85.- ∫
∫
1− e
t
e dt
1− e
2t
=∫
2t
Sea: u = et , du = et dt
,
et dt
1 − (e )
t 2
=∫
du
1− u
2
x
dx
, du =
2
2
x
x
∫ cos 2 dx = 2 ∫ cos udu = 2 s e n u + c = 2 s e n 2 + c
2.87.- ∫ s e n(a + bx)dx ,
Sea: u = a + bx, du = bdx
2.86.- ∫ cos
x
dx ,
2
= arcs e n u + c = arcs e n et + c
1
Sea: u =
1
1
∫ s e n(a + bx)dx = b ∫ s e n udu = − b cos u + c = − b cos(a + bx) + c
47
2.88.- ∫ cos x
dx
,
x
Sea: u = x , du =
dx
2 x
dx
= 2∫ cos udu = 2s e n u + c = 2s e n x + c
x
dx
dx
2.89.- ∫ s e n( η x) ,
Sea: u = η x, du =
x
x
dx
∫ s e n( η x) x = ∫ s e n udu = − cos u + c = − cos η x + c
Sea: u = 2ax, du = 2adx
2.90.- ∫ (cos ax + s e n ax) 2 dx ,
∫ cos
x
∫ (cos ax + s e n ax) dx = ∫ (cos ax + 2 cos ax s e n ax + s e n ax)dx
= ∫ (1 + 2 cos ax s e n ax)dx = ∫ dx + 2∫ cos ax s e n axdx = ∫ dx + ∫ s e n 2axdx
2
2
2
1
cos 2ax + c
2a
2.91.- ∫ s e n 2 xdx ,
= x−
∫sen
2
xdx = ∫
Sea: u = 2 x, du = 2dx
1 − cos 2 x
1
1
1
1
1
1
dx = ∫ dx − ∫ cos 2 xdx = ∫ dx − ∫ cos udu = x − s e n u + c
2
2
2
2
4
2
4
1
1
x − s e n 2x + c
2
4
2.92.- ∫ cos 2 xdx ,
=
∫ cos
2
xdx = ∫
Sea: u = 2 x, du = 2dx
1 + cos 2 x
1
1
1
1
1
1
dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = ∫ dx + ∫ cos udu = x + s e n u + c
2
2
2
2
4
2
4
1
1
x + s e n 2x + c
2
4
2.93.- ∫ sec 2 (ax + b)dx ,
=
Sea: u = ax + b, du = adx
1
∫ sec (ax + b)dx = a ∫ sec
2.94.- ∫ coτ g axdx ,
2
2
1
2
1
1
udu = τ gu + c = τ g (ax + b) = + c
a
a
Sea: u = ax, du = adx
1
1
1
∫ coτ g axdx = a ∫ coτ g udu = a ∫ (cos ec u − 1)du = a ∫ cos ec udu − a ∫ du
2
2
2
2
co τ gu u
coτ gax a x
coτ gax
− +c = −
−
+c = −
−x+c
a
a
a
a
a
dx
2.95.- ∫
,
Sea: u = x a , du = dx a
s e n ax
dx
∫ s e n ax = ∫ cos ec ax dx = a ∫ cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c
=−
= a η cos ec x a − coτ g x a + c
48
dx
,
Sea: u = 5 x − π , du = 5dx
4
3cos(5 x − π4 )
dx
1
1
1
∫ 3cos(5 x − π4 ) = 3 ∫ sec(5 x − π4 )dx = 15 ∫ sec udu = 15 η sec u + τ gu + c
1
=
η sec(5 x − π4 ) + τ g (5 x − π4 ) + c
15
dx
,
Sea: u = ax + b, du = adx
2.97.- ∫
s e n(ax + b)
dx
1
1
∫ s e n(ax + b) = ∫ cos ec(ax + b)dx = a ∫ cos ecudu = a η cos ecu − coτ gu + c
1
= η cos ec(ax + b) − co τ g (ax + b) + c
a
xdx
2.98.- ∫
,
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
cos 2 x 2
xdx
1
1
1
2 2
2
2
∫ cos2 x2 = ∫ x sec x dx = 2 ∫ sec udu = 2 τ gu + c = 2 τ gx + c
x
x
dx
Sea: u =
2.99.- ∫ coτ g
dx ,
, du =
a −b
a −b
a −b
x
x
∫ coτ g a − b dx = (a − b)∫ coτ gudu = (a − b) η s e n u + c = (a − b) η s e n a − b + c
dx
dx
2.100.- ∫ τ g x
,
Sea: u = x , du =
x
2 x
dx
∫ τ g x x = 2∫ τ gudu = 2 η sec u + c = 2 η sec x + c
dx
2.101.- ∫
,
Sea: u = x , du = dx
5
5
τ g 5x
dx
∫ τ g x = ∫ coτ g 5x dx = 5∫ coτ gudu = 5 η s e n u + c = 5 η s e n x 5 + c
2.96.- ∫
5
2
1
⎛
⎞
2.102.- ∫ ⎜
− 1⎟ dx ,
⎝ sen x 2 ⎠
Sea: u = x 2, du = 2dx
2
1
⎛
⎞
2
2
∫ ⎜⎝ s e n x 2 − 1⎟⎠ dx = ∫ (cos ecx 2 − 1) dx =∫ (cos ec x 2 − 2 cos ecx 2 + 1)dx
1
2
= ∫ cos ec 2 x 2dx − 2∫ cos ecx 2dx + ∫ dx =
cos ec 2udu −
cos ecudu + ∫ dx
∫
2
2∫
1
=−
coτ gu − 2 η cos ecu − coτ gu + x + c
2
1
=−
coτ gx 2 − 2 η cos ecx 2 − coτ gx 2 + x + c
2
49
dx
,
Sea: u = 2 x, du = 2dx
s e n x cos x
dx
dx
∫ s e n x cos x = ∫ 1 s e n 2 x = 2∫ cos ec2 xdx = ∫ cos ecudu = η cos ecu − coτ gu + c
2
= η cos ec 2 x − coτ g 2 x + c
2.103.- ∫
cos ax
Sea: u = s e n ax, du = a cos axdx
dx ,
s e n 5 ax
cos ax
1 du 1 u −4
u −4
s e n −4 ax
1
=
=
+
=
−
+
=
−
+c = −
+c
dx
c
c
∫ s e n 5 ax a ∫ u 5 a −4
4a
4a
4a s e n 4 ax
2.104.- ∫
2.105.- ∫ t s e n(1 − 2t 2 )dt ,
∫ t s e n(1 − 2t
2
)dt = −
Sea: u = 1 − 2t 2 , du = −4tdt
1
1
1
s e n udu = cos u + c = cos(1 − 2t 2 ) + c
∫
4
4
4
s e n 3x
dx ,
Sea: u = 3 + cos 3x, du = −3s e n 3xdx
3 + cos 3x
s e n 3x
1 du
1
1
∫ 3 + cos 3xdx = − 3 ∫ u = − 3 η u + c = − 3 η 3 + cos 3x + c
Sea: u = τ g ( x 3 ), du = 13 sec2 ( x 3 )dx
2.107.- ∫ τ g 3 3x sec 2 3x dx ,
2.106.- ∫
3
2
3
∫ τ g 3x sec 3x dx = 3∫ u du =
3u 4
3τ g 4 ( x 3 )
+c =
+c
4
4
s e n x cos x
2.108.- ∫
Sea: u = cos 2 x, du = 2s e n 2 xdx
dx ,
cos 2 x − s e n 2 x
1
1
s e n x cos x
s e n x cos x
1 s e n 2 x 1 du 1 u 2
u2
∫ cos2 x − s e n 2 x dx = ∫ cos 2 x dx = 4 ∫ cos 2 x = 4 ∫ u = 4 12 + c = 2 + c
cos 2 x
=
+c
2
τ gx
2.109.- ∫
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
dx ,
cos 2 x
3
τ gx
u2
2 3
2 3
1
2
2
sec
dx
gx
xdx
u
du
τ
=
=
=
+ c = u 2 + c = τ g 2x + c
∫ cos2 x ∫
∫
3
3
3
2
Sea: u = 2 x , du = 2dx
2.110.- ∫ cos ax s e n ax dx ,
a
1
a
a
a
∫ cos ax s e n ax dx = 2 ∫ s e n 2ax dx = 4 ∫ s e n udu = − 4 cos u + c = − 4 cos 2ax + c
2.111.- ∫ t coτ g (2t 2 − 3)dt ,
Sea: u = 2t 3 − 3, du = 4tdt
∫ t coτ g (2t
2
− 3)dt =
1
1
1
coτ gudu = η s e n u + c = η s e n(2t 2 − 3) + c
∫
4
4
4
50
x 3 dx
,
Sea: u = x 4 , du = 4 x3 dx
8
x +5
3
x dx
x3 dx
1
du
1 1
u
5
x4
=
=
=
τ
g
+
c
=
τ
g
+c
arc
arc
∫ x8 + 5 ∫ ( x 4 )2 + ( 5)2 4 ∫ u 2 + ( 5)2 4 5
20
5
5
2.112.- ∫
2.113.- ∫ s e n 3 6 x cos 6 xdx ,
Sea: u = s e n 6 x, du = 6 cos 6 xdx
1 3
1 u4
u4
s e n4 6x
u
du
=
+
c
=
+
c
=
+c
6∫
6 4
24
24
5 + 3cos 2 x
2.114.- ∫ 1 + 3cos 2 x s e n 2 xdx ,
Sea: u =
, du = −3s e n 2 xdx
2
1 + cos 2 x
3 + 3cos 2 x
2
∫ 1 + 3cos x s e n 2 xdx = ∫ 1 + 3( 2 ) s e n 2 xdx = ∫ 1 + 2 s e n 2 xdx
3
∫ s e n 6 x cos 6 xdx =
5 + 3cos 2 x
1 1
1u 2
2 3
s e n 2 xdx = − ∫ u 2 du = −
+c = − u 2 +c
3
2
3
3
9
2
3
=∫
3
2 ⎛ 5 + 3cos 2 x ⎞ 2
=− ⎜
⎟ +c
9⎝
2
⎠
2.115.- ∫ x 5 5 − x 2 dx ,
Sea: u = 5 − x 2 , du = −2 xdx
1 15
1u5
5 65
5(5 − x 2 ) 5
∫ x 5 − x dx = − 2 ∫ u du = − 2 6 + c = − 12 u + c = − 12 + c
5
1 + s e n 3x
2.116.- ∫
Sea: u = s e n 3x, du = 3dx; w = cos u, dw = − s e n udu
dx ,
cos 2 3x
1 + s e n 3x
dx
s e n 3x
1
1 senu
2
∫ cos2 3x dx = ∫ cos2 3x + ∫ cos2 3xdx = 3 ∫ s ec udu + 3 ∫ cos2 u du
1
1 dw 1
1
1
1
1
1
= ∫ s ec 2udu − ∫ 2 = τ gu +
+ c = τ gu +
+ c = τ g 3x +
+c
3
3 w
3
3w
3
3cos u
3
3cos 3x
(cos ax + s e n ax) 2
2.117.- ∫
Sea: u = ax, du = adx
dx ,
s e n ax
(cos ax + s e n ax) 2
cos 2 ax + 2 cos ax s e n ax + s e n 2 ax
=
dx
dx
∫
∫
s e n ax
s e n ax
6
5
6
2
cos 2 ax
cos ax s e n ax
s e n 2 ax
=∫
dx + 2 ∫
dx + ∫
dx
s e n ax
s e n ax
s e n ax
1 − s e n 2 ax
=∫
dx + 2∫ cos axdx + ∫ s e n axdx
s e n ax
dx
=∫
+ 2 ∫ cos axdx
s e n ax
1
2
= ∫ cos ecaxdx + 2∫ cos axdx = ∫ cos ecudu + ∫ cos udu
a
a
51
1
2
1
2
η cos ecu − coτ gu + s e n u + c = η cos ecax − co τ gax + s e n ax + c
a
a
a
a
x3 − 1
2.118.- ∫
Sea: u = x + 1, du = dx
dx ,
x +1
x3 − 1
2
2
2
2
∫ x + 1 dx = ∫ ( x − x + 1 − x + 1)dx = ∫ x dx − ∫ xdx + ∫ dx − ∫ x + 1 dx
du x3 x 2
= ∫ x 2 dx − ∫ xdx + ∫ dx − 2∫
= − + x − 2 η x +1 + c
u
3 2
2
cos ec 3xdx
2.119.- ∫
,
Sea: u = b − a coτ g 3 x, du = 3a cos ec 2 3 xdx
b − a coτ g 3 x
=
cos ec 2 3 xdx
1 du 1
1
∫ b − a coτ g 3x = 3a ∫ u = 3a η u + c = 3a η b − a coτ g 3x + c
x3 − 1
Sea: u = x 4 − 4 x + 1, du = (4 x3 − 4)dx
dx ,
4
x − 4x + 1
3
x −1
1 (4 x3 − 4)dx 1 du 1
1
4
dx
=
∫ x4 − 4 x + 1 4 ∫ x4 − 4 x + 1 = 4 ∫ u = 4 η u + c = 4 η x − 4 x + 1 + c
2
2.121.- ∫ xe − x dx ,
Sea: u = − x 2 , du = −2 xdx
2.120.- ∫
∫ xe
− x2
dx = −
2.122.- ∫
1 u
1
1 2
e du = − eu + c = − e − x + c
∫
2
2
2
3 − 2 + 3x2
dx ,
2 + 3x 2
Sea: u = x 3, du = 3dx; a = 2
3 − 2 + 3x 2
dx
(2 + 3x 2 ) 2
∫ 2 + 3x 2 dx = 3∫ ( 2)2 + ( 3x)2 − ∫ 2 + 3x 2 dx
1
1
(2 + 3x 2 )
3
3dx
3
3dx
−1
− ∫ (2 + 3x 2 ) 2 dx
dx =
−∫
∫
∫
2
2
2
2
2
3 ( 2) + ( 3 x)
3 ( 2) + ( 3 x)
2 + 3x
3
du
du
dx
−1
=
− ∫ (2 + 3 x 2 ) 2 dx = 3 ∫ 2
−∫
2
2
2
∫
(a ) + (u )
3 (a) + (u )
( 2) 2 + ( x 3) 2
2
du
1
du
3
u 1
−
=
η u + a2 + u2 + c
arcτ g −
2
∫
2
2
a
a
(a ) + (u )
3
3
a +u
3
x 3
3
=
−
η x 3 + 2 + 3 + x2 + c
arcτ g
3
2
2
τ g 3 x − coτ g 3x
2.123.- ∫
Sea: u = 3x, du = 3dx; w = s e n u, dw = cos udu
dx ,
s e n 3x
s e n 3 x cos 3 x
−
τ g 3 x − coτ g 3 x
dx
cos 3 x
cos 3x s e n 3x dx =
=
dx
∫ s e n 3x
∫ s e n 3x
∫ cos 3x − ∫ s e n 2 3xdx
= 3∫
2
52
= ∫ sec 3xdx − ∫
cos 3x
1
1 cos u
1
1 dw
dx = ∫ sec udu − ∫
du = ∫ sec udu − ∫ 2
2
2
s e n 3x
3
3 sen u
3
3 w
1
1 w−1
1
1
η sec u + τ gu −
+ c = η sec 3x + τ g 3 x +
+c
3
3 −1
3
3s e n 3x
dx
x
dx
2.124.- ∫
,
Sea: u = − , du = −
2
2
ex
dx
dx
−x
−2
−2
−x
u
u
∫ e x = ∫ (e x ) 12 = ∫ e 2 dx = −2∫ e du = −2e + c = −2e 2 + c = e x 2 + c = e x + c
1+ s e n x
Sea: u = x + cos x, du = (1 − s e n x)dx
2.125.- ∫
dx ,
x + cos x
1+ s e n x
du
∫ x + cos x dx = ∫ u = η u + c = η x + cos x + c
sec 2 xdx
2.126.- ∫
,
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
2
τg x−2
=
∫
sec 2 xdx
τg x−2
2
2.127.- ∫
dx
∫x η
2
x
dx
x η x
2
=∫
du
=∫
u −2
2
= η u + u 2 − 2 + c = η τ gx + τ gx 2 − 2 + c
Sea: u = η x, du =
,
dx
du u −1
1
1
=
=
+c = − +c = −
+c
2
2
∫
x( η x)
u
u
−1
ηx
2.128.- ∫ a s e n x cos xdx ,
∫a
sen x
dx
2
Sea: u = s e n x, du = cos xdx
as e n x
cos xdx = ∫ a du =
+c =
+c
ηa
ηa
2.129.- ∫
u
x2
x +1
3
dx ,
a
u
Sea: u = x3 + 1, du = 3 x 2 dx
3
( x 2 + 1) 2
u3
( x 2 + 1) 3
x 2 dx
1 du 1 u 3
∫ x3 + 1 = ∫ ( x3 + 1) 13 = 3 ∫ u 13 = 3 2 + c = 2 + c = 2 + c = 2 + c
3
xdx
2.130.- ∫
,
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
4
1− x
xdx
xdx
1
2 xdx
1
2 xdx
1
∫ 1 − x 4 = ∫ 1 − ( x2 )2 = 2 ∫ 1 − ( x 2 )2 = 2 ∫ 1 − (u)2 = 2 arcs e n u + c
2
x dx
1
= arcs e n x 2 + c
2
2.131.- ∫ τ g 2 axdx ,
2
2
2
Sea: u = ax, du = adx
53
∫ τ g axdx = ∫ (sec
2
2
ax − 1)dx = ∫ sec2 axdx − ∫ dx =
1
= τ gax − x + c
a
sec 2 xdx
2.132.- ∫
,
4 −τ g 2 x
sec 2 xdx
∫
=∫
1
1
sec 2 udu − ∫ dx = τ gu − x + c
∫
a
a
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
u
τ gx
= arcs e n + c = arcs e n
+c
2
2
2 −u
du
4 −τ g x
dx
2.133.- ∫
,
Sea: u = x , du = dx
a
a
cos x a
dx
∫ cos x a = ∫ sec x a dx = a ∫ secudu = a η sec u + τ gu + c = a η sec x a + τ g x a + c
2
2.134.- ∫
3
2
2
1+ η x
dx ,
x
Sea: u = 1 + η x, du =
dx
x
1+ η x
u3
3u 3
3(1 + η x) 3
1
+c
∫ x dx = ∫ u 3 du = 4 + c = 4 + c =
4
3
dx
dx
,
Sea: u = x − 1, du =
2.135.- ∫ τ g x − 1
x −1
2 x −1
dx
du
∫ τ g x − 1 x − 1 = 2∫ τ gu u = 2 η sec x − 1 + c = −2 η cos x − 1 + c
xdx
2.136.- ∫
,
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
s e n x2
xdx
1 du
1
1
∫ s e n x 2 = 2 ∫ s e n u = 2 ∫ cos ecudu = 2 η cos ecu − coτ gu + c
1
= η cos ecx 2 − coτ gx 2 + c
2
s e n x − cos x
Sea: u = s e n x + cos x, du = (cos x − s e n x)dx
2.137.- ∫
dx ,
s e n x + cos x
s e n x − cos x
du
∫ s e n x + cos xdx = − ∫ u = − η s e n x + cos x + c
earcτ gx + x η (1 + x 2 ) + 1
dx
2 xdx
2.138.- ∫
, Sea: u = arcτ gx, du =
; w = η (1 + x 2 )d , dw =
2
2
1+ x
1+ x
1 + x2
earcτ gx + x η (1 + x 2 ) + 1
earcτ gx dx
x η (1 + x 2 )dx
dx
=
+
+∫
2
2
2
∫
∫
∫
1+ x
1+ x
1+ x
1 + x2
1
dx
1 w2
η 2 (1 + x 2 )
u
u
= ∫ eu du + ∫ wdw + ∫
=
e
+
+
gx
+
c
=
e
+
+ arcτ gx + c
τ
arc
2
1 + x2
2 2
4
3
4
4
4
x 2 dx
,
2.139.- ∫ 2
x −2
54
2
1
x 2 dx
dx
x− 2
∫ x2 − 2 = ∫ (1 + x2 − 2 )dx = ∫ dx + 2∫ x2 − 2 = x + 2 2 2 η x + 2 + c
= x+
2
x− 2
+c
η
2
x+ 2
2.140.- ∫ es e n x s e n 2 xdx ,
Sea: u =
2
sen x
∫ e s e n 2 xdx = ∫ e
2
2.141.- ∫
(1 − s e n
sen
1− cos 2 x
2
x 2
2
)
x
2
1 − cos 2 x
, du = s e n 2 xdx
2
s e n 2 xdx = ∫ eu du = eu + c = es e n x + c
2
Sea: u =
dx ,
x
dx
, du =
2
2
⎛ 1 − 2s e n x2 + s e n 2 x2 ⎞
dx
=
⎟ dx = ∫ cos ec x2 dx − 2∫ dx + ∫ s e n x2 dx
∫ sen x
∫ ⎜⎜
x
⎟
sen 2
2
⎝
⎠
= 2 ∫ cos ecudu − 2 ∫ dx + 2 ∫ s e n udu = 2 η cos ecu − coτ gu − 2 x − 2 cos u + c
(1 − s e n
x 2
2
)
= 2 η cos ec
4 − 3x
5 − 3x
4 − 3x
− coτ g
5 − 3x
2.142.- ∫
∫
x
2
2
2
dx = 5∫
x
2
− 2 x − 2 cos
+c
Sea: u = x 3, du = 3dx; w = 4 − 3x 2 , dw = −6 xdx
dx ,
dx
4 − 3x
x
2
2
− 3∫
xdx
4 − 3x
2
dx
= 5∫
4 − ( x 3) 2
− 3∫
xdx
4 − 3x2
1
5
du
3 dw
5
u 1w2
5 3
x 3
arcs
n
arcs e n
=
+
=
e
+
+c =
+ 4 − 3x 2 + c
∫
∫
2
2
6
2 2 1
3
2
w
3
3
2 −u
2
ds
,
Sea: u = 1 + e − s , du = −e− s ds
e +1
ds
e − s ds
du
−s
=
∫ e s + 1 ∫ e− s + 1 = − ∫ u = − η u + c = − η e + 1 + c
dθ
2.144.- ∫
,
Sea: u = 2aθ , du = 2adθ
s e n aθ cos aθ
dθ
dθ
2
∫ s e n aθ cos aθ = ∫ 12 s e n 2aθ = 2∫ cos ec2aθ dθ = 2a ∫ cos ecudu
1
1
= η cos ecu − co τ gu + c = η cos ec 2aθ − co τ g 2aθ + c
a
a
s
e
2.145.- ∫
Sea: u = e s , du = e s ds
ds ,
2s
e −2
s
e
es
du
2
=
ds
∫ e2 s − 2 ∫ (es )2 − 2 ds = −∫ u 2 − 2 = η u + u − 2 + c
2.143.- ∫
s
= η e s + (e s ) 2 − 2 + c = η e s + e 2 s − 2 + c
55
2π t
2π t
+ ϕ0 , du =
dt
T
T
T
T
T
2π t
∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt = 2π ∫ s e n udu = − 2π cos u + c = − 2π cos( T + ϕ0 ) + c
arc cos x 2
x
dx
Sea: u = arc cos , du = −
2.147.- ∫
dx ,
2
2
4 − x2
4− x
arc cos x 2
u2
(arc cos x 2 ) 2
dx
=
−
udu
=
−
+
c
=
−
+c
∫ 4 − x2
∫
2
2
dx
dx
2.148.- ∫
,
Sea: u = η x, du =
2
x(4 − η x)
x
2.146.- ∫ s e n( 2Tπ t + ϕ0 )dt ,
Sea: u =
dx
du
1
2+u
1
2 + ηx
=∫ 2
= η
+c = η
+c
2
2
2 −u
4
2−u
4
2− ηx
η x)
x ⎡⎣ 2 − ( η x) ⎤⎦
Sea: u = −τ gx, du = − sec 2 xdx
2.149.- ∫ e −τ gx sec 2 xdx ,
dx
∫ x(4 −
∫e
−τ gx
2
2
sec 2 xdx = − ∫ eu du = −eu + c = −e −τ gx + c
2.150.- ∫
∫
=∫
s e n x cos x
Sea: u = s e n 2 x, du = 2s e n x cos xdx
dx ,
2−sen x
s e n x cos x
s e n x cos x
1
du
1
u
dx = ∫
dx = ∫
= arcs e n
+c
4
2
2
2
2
2
2
2−sen x
2 − (s e n x)
2−u
4
1
(s e n 2 x)
= arcs e n
+c
2
2
s ecxτ gx
2.151.- ∫
Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx
dx ,
s ec 2 x + 1
s ecxτ gx
du
2
2
∫ s ec 2 x + 1dx = ∫ u 2 + 1 = η u + u + 1 + c = η s ecx + s ec x + 1 + c
dt
2.152.- ∫
,
Sea: u = 2t , du = 2dt
2
s e n t cos 2 t
dt
dt
dt
dt
2
∫ s e n 2 t cos2 t = ∫ (s e n t cos t )2 = ∫ ( 1 s e n 2t )2 = 4∫ s e n 2 2t = 4∫ cos ec 2tdt
2
= 2 ∫ cos ec 2udu = −2 co τ gu + c = −2 coτ g 2t + c
2.153.- ∫
Sea:
arc s e n x + x
1 − x2
dx ,
u = arcs e n x, du =
dx
; w = 1 − x 2 , dw = −2 xdx
1− x
arc s e n x + x
arc s e n x
x
1 dw
1 −1
∫ 1 − x 2 dx = ∫ 1 − x 2 dx + ∫ 1 − x2 dx = ∫ udu − 2 ∫ w = ∫ udu − 2 ∫ w 2 dw
2
56
1
u2 1 w 2
(arcs e n x) 2
= −
+c =
− 1 − x2 + c
2 2 1
2
2
xdx
,
Sea: t = x + 1 ⇒ x = t 2 − 1; dx = 2tdt
2.154.- ∫
x +1
2 ( x + 1)3
xdx
(t 2 − 1)2tdt
t3
2
=
=
2
(
t
−
1)
dt
=
2(
−
t
)
+
c
=
− 2 x +1 + c
∫ x +1 ∫ t
∫
3
3
Sea: u = 5 x 2 − 3, du = 10 xdx
2.155.- ∫ x(5 x 2 − 3)7 dx ,
2
7
∫ x(5 x − 3) dx =
1
1 u8
u8
(5 x 2 − 3)8
7
u
du
=
+
c
=
+
c
=
+c
10 ∫
10 8
80
80
η ( x + x 2 + 1)
2.156.- ∫
x +1
2
η ( x + x 2 + 1)
∫
x2 + 1
dx ,
dx = ∫
Sea: u = η ( x + x 2 + 1), du =
η ( x + x 2 + 1)
x2 + 1
dx
x2 + 1
3
dx = ∫ udu =
u2
+c
3
2
3
2 ⎡ η ( x + x 2 + 1) ⎤
⎣
⎦
=
+c
3
s e n3 x
2.157.- ∫
Sea: u = cos x, du = − s e n xdx
dx ,
cos x
s e n3 x
s e n 2 x s e n xdx
(1 − cos 2 x) s e n xdx
s e n xdx
cos 2 x s e n xdx
dx
=
=
=
−
∫ cos x ∫
∫
∫ cos x ∫
cos x
cos x
cos x
3
5
2
2
3
3
u
u
−1
1
= ∫ cos 2 x s e n xdx − ∫ cos 2 x s e n xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = −
+
+c
3
5
2
2
3
5
3
5
2u 2 2u 2
2 cos x 2 2 cos x 2
2 cos3 x 2 cos5 x
+
+c = −
+
+c = −
+
+c
3
5
3
5
3
5
cos xdx
,
2.158.- ∫
1+ s e n2 x
=−
Sea: t = 1 + s e n 2 x ⇒ s e n 2 x = t 2 − 1; 2s e n x cos xdx = 2tdt
t
cos xdx
dt
t 2 −1
2
∫ 1+ s e n2 x = ∫ t = ∫ t 2 −1 = η 1+ s e n x + s e n x + c
2.159.- ∫
∫
(arcs e n x) 2
1 − x2
(arcs e n x) 2
dx ,
dx = ∫ u 2 du =
1 − x2
2.150.- ∫ e x + e dx ,
x
Sea: u = arcs e n x, du =
dx
1 − x2
u3
(arcs e n x)3
+c =
+c
3
3
Sea: u = ee , du = ee e x dx
x
x
57
∫e
x+ex
dx = ∫ e x ee dx = ∫ du = u + c = ee + c
x
x
u −1
, du = 4dt
4
u − 1 7 du 1
1
1 u9 1 u8
7
7
8
7
t
(4
t
1)
dt
u
(
u
1)
u
du
(
u
u
)
du
+
=
=
−
=
−
=
−
+c
∫
∫ 4 4 16 ∫
16 ∫
16 9 16 8
(4t + 1)9 (4t + 1)8
=
−
+c
144
128
2t 2 − 10t + 12
2.162.- ∫
dt ,
Sea: u = t 2 + 4, du = du = 2tdt
t2 + 4
2t 2 − 10t + 12
t 2 − 5t + 6
dt
dt
⎛ 2 − 5t ⎞
dt
2
=
∫ t2 + 4
∫ t 2 + 4 dt = 2∫ ⎜⎝1 + t 2 + 4 ⎟⎠ dt = 2∫ dt + 4∫ t 2 + 4 −10∫ t 2 + 4
dt
du
= 2 ∫ dt + 4∫ 2
−5∫
= 2t + 2 arcτ g 2t − 5 η u + c = 2t + 2 arcτ g 2t − 5 η t 2 + 4 + c
t +4
u
et − e − t
2.163.- ∫ t
dt ,
e + e−t
Sea: u = e 2t + 1, du = 2e 2t dt ; w = 1 + e −2t , dw = −2e−2t dt
2.161.- ∫ t (4t + 1)7 dt ,
Sea: u = 4t + 1 ⇒ t =
et − e − t
et dt
e − t dt
e 2t dt
e −2t dt 1 du 1 dw
dt
=
−
=
−
∫ et + e−t ∫ et + e−t ∫ et + e−t ∫ e2t + 1 ∫ 1 + e−2t = 2 ∫ u + 2 ∫ w
1
1
1
= ( η u + η w ) + c = η uw + c = η (e2t + 1)(1 + e −2t ) + c
2
2
2
58
CAPITULO 3
INTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
En esta parte, serán consideradas las integrales trigonométricas de la forma:
i) ∫ s e n m u cos n udu
ii) ∫ τ g mu secn udu
iii) ∫ co τ g mu cos ec nudu
O bien, formas trigonométricas reducibles a algunos de los casos ya señalados.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
3.1.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx
1 + cos 2 x
2
1 + cos 2 x
1
1
x 1
Luego: ∫ cos 2 xdx = ∫
dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx = + s e n 2 x + c ,
2
2
2
2 4
1
Como: ∫ cosh xdx = s e nh x + c
h
1
1
Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n 2 x + c
2
4
4 1
3.2.-Encontrar: ∫ cos 2 xdx
Solución.- cos 2 xdx =
Solución.- cos 2 12 x =
1 + cos x
2
1
⎛ 1 + cos x ⎞
2
Luego: ∫ cos 4 12 xdx = ∫ (cos 2 12 x) 2 dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ (1 + 2 cos x + cos x)dx
2
4
⎝
⎠
1
1
1
= ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx , como: ∫ cos 2 xdx = 1 x + 1 s e n 2 x + c
2
4
4
2
4
1
1
1
1
1
1 1
1
= ∫ dx + ∫ cos xdx + ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + ( x + s e n 2 x) + c
4
2
4
4
2
4 2
4
1
1
1
1
3
1
1
= x + s e n x + x + s e n 2x + c = x + s e n x + s e n 2x + c
4
2
8
16
8
2
16
3
1
1
4 1
Respuesta: ∫ cos 2 xdx = x + s e n x + s e n 2 x + c
8
2
16
3
3.3.-Encontrar: ∫ cos xdx
2
Solución.- ∫ cos3 xdx = ∫ cos x cos 2 xdx , como: cos 2 x = 1 − s e n 2 x
59
= ∫ cos x cos 2 xdx = ∫ cos x(1 − s e n 2 x)dx = ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx
Sea: u = s e n x, du = cos xdx
= ∫ cos xdx − ∫ cos x s e n 2 xdx = ∫ cos xdx − ∫ u 2 du = s e n x −
Respuesta: ∫ cos3 xdx = s e n x −
u3
s e n3 x
+ c = sen x −
+c
3
3
s e n3 x
+c
3
3.4.-Encontrar: ∫ s e n x3 4 xdx
Solución.- ∫ s e n x3 4 xdx = ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx , como: s e n 2 4 x = 1 − cos 2 4 x
= ∫ s e n 4 x s e n 2 4 xdx = ∫ s e n 4 x(1 − cos 2 4 x)dx = ∫ s e n 4 xdx − ∫ s e n 4 x(cos 4 x) 2 dx
Sea: u = cos 4 x, du = −4s e n 4 xdx
1 2
1
1 u3
cos 4 x cos3 4 x
u
du
cos
4
x
c
=
−
+
+
=
−
+
+c
4∫
4
4 3
4
12
cos 4 x cos3 4 x
Respuesta: ∫ s e n x3 4 xdx = −
+
+c
4
12
3.5.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos3 xdx
= ∫ s e n 4 xdx +
Solución.- ∫ s e n 2 x cos3 xdx = ∫ s e n 2 x cos 2 x cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) cos xdx
= ∫ s e n 2 x cos xdx − ∫ s e n 4 x cos xdx ;
Sea: u = s e n x, du = cos xdx
u3 u5
s e n3 x s e n5 x
− +c =
−
+c
3 5
3
5
s e n3 x s e n5 x
Respuesta: ∫ s e n 2 x cos3 xdx =
−
+c
3
5
3.6.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx
= ∫ u 2 du − ∫ u 4 du =
Solución.- ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n x cos 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx
= ∫ (1 − cos 2 x) s e n x cos 2 xdx = ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx
Sea: u = cos x, du = − s e n xdx
= ∫ s e n x cos 2 xdx − ∫ s e n x cos 4 xdx = − ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = −
=−
u3 u5
+ +c
3 5
cos3 x cos5 x
+
+c
3
5
Respuesta: ∫ s e n 3 x cos 2 xdx = −
cos3 x cos5 x
+
+c
3
5
3.7.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos5 xdx
Solución.- ∫ s e n 2 x cos5 xdx = ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 cos xdx = ∫ s e n 2 x(1 − s e n 2 x) 2 cos xdx
= ∫ s e n 2 x(1 − 2s e n 2 x + s e n 4 x) cos xdx
60
= ∫ (s e n x) 2 cos xdx − 2∫ (s e n x) 4 cos xdx + ∫ (s e n x)6 cos xdx
Sea: u = s e n x, du = cos xdx
u3
u5 u7
s e n3 x
s e n5 x s e n7 x
−2 + +c =
−2
+
+c
3
5 7
3
5
7
s e n3 x
s e n5 x s e n7 x
Respuesta: ∫ s e n 2 x cos5 xdx =
−2
+
+c
3
5
7
3.8.-Encontrar: ∫ s e n 3 x cos3 xdx
= ∫ u 2 du − 2∫ u 4 du + ∫ u 6 du =
Solución.- ∫ s e n 3 x cos3 xdx = ∫ (s e n x cos x)3 dx ; como: s e n 2 x = 2s e n x cos x,
Se tiene que: s e n x cos x =
s e n 2x
; Luego:
2
3
1
1
⎛ s e n 2x ⎞
3
2
= ∫ (s e n x cos x) dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx = ∫ s e n 2 x s e n 2 xdx
8
8
⎝ 2 ⎠
1
1
1
= ∫ s e n 2 x(1 − cos 2 2 x)dx = ∫ s e n 2 xdx − ∫ s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx
8
8
8
Sea: u = cos 2 x, du = −2s e n 2 xdx
1
1
1
1
= ∫ s e n 2 xdx + ∫ −2s e n 2 x(cos 2 x) 2 dx = ∫ s e n 2 xdx + ∫ u 2 du
8
16
8
16
3
3
1
1 u
1
cos 2 x
= − cos 2 x +
+ c = − cos 2 x +
+c
16
16 3
16
48
1
cos3 2 x
Respuesta: ∫ s e n 3 x cos3 xdx = − cos 2 x +
+c
16
48
3.9.-Encontrar: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx
3
4
1
⎛ s e n 2x ⎞
4
Solución.- ∫ s e n 4 x cos 4 xdx = ∫ (s e n x cos x) 4 dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx
16
⎝ 2 ⎠
2
2
1
1 ⎛ 1 − cos 4 x ⎞
1
(s e n 2 2 x) dx = ∫ ⎜
(1 − cos 4 x) dx
⎟ dx =
∫
∫
16
16 ⎝
2
16 × 4
⎠
1
1
1
1
(1 − 2 cos 4 x + cos 2 4 x)dx =
=
dx − ∫ cos 4 xdx + ∫ cos 2 4 xdx
∫
∫
64
64
32
64
1
1
1 1 + cos8 x
=
dx − ∫ cos 4 xdx + ∫
dx
64 ∫
32
64
2
1
1
1
1
=
dx − ∫ cos 4 xdx +
dx +
cos8 xdx
∫
∫
64
32
128
128 ∫
1
1
1
1
3x s e n 4 x s e n 8 x
s e n 4x +
s e n 8x + c =
=
x−
x+
−
+
+c
64
128
128
1024
128
128
1024
1 ⎛
s e n 8x ⎞
Respuesta: ∫ s e n 4 x cos 4 xdx =
⎜ 3x − s e n 4 x +
⎟+c
128 ⎝
8 ⎠
3.10.-Encontrar: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx ;
Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
2
=
61
1
1
2 x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = ∫ (cos3 u − s e n 3 u )du
∫
2
2
1
1
1
1
= ∫ cos3 udu − ∫ s e n 3 udu = ∫ cos u cos 2 udu − ∫ s e n u s e n 2 udu
2
2
2
2
1
1
= ∫ cos u (1 − s e n 2 u )du − ∫ s e n u (1 − cos 2 u )du
2
2
1
1
1
1
= ∫ cos udu − ∫ cos u s e n 2 udu − ∫ s e n udu + ∫ s e n u cos 2 udu
2
2
2
2
Sea: w = s e n u, dw = cos udu; z = cos u, dz = − s e n udu
∫ x(cos
3
x 2 − s e n 3 x 2 )dx =
1
1
1
1 2
1
1 w3 1
1 z3
2
cos
udu
w
dw
s
e
n
udu
z
dz
s
e
n
u
cos
u
−
−
−
=
−
+
−
+c
2∫
2∫
2∫
2∫
2
2 3 2
2 3
s e n u s e n 3 u cos u cos3 u
1
1
=
−
+
−
+ c = (s e n u + cos u ) − (s e n 3 u + cos3 u ) + c
2
6
2
6
2
6
3
3
2
Dado que: s e n u + cos u = (s e n u + cos u )(s e n u − s e n u cos u + cos 2 )
=
O bien: s e n 3 u + cos3 u = (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) ; Lo que equivale a:
1
1
= (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 − s e n u cos u ) + c
2
6
1
1
2s e n u cos u
= (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 −
)+c
2
6
2
1
1
s e n 2u
= (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u )(1 −
)+c
2
6
2
1
1
1
= (s e n u + cos u ) − (s e n u + cos u ) (2 − s e n 2u ) + c
2
6
2
1
1
= (s e n u + cos u )(6 − (2 − s e n 2u )) + c = (s e n u + cos u )(4 + s e n 2u ) + c
12
12
1
= (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c
12
1
Respuesta: ∫ x(cos3 x 2 − s e n 3 x 2 )dx = (s e n x 2 + cos x 2 )(4 + s e n 2 x 2 ) + c
12
3.11.-Encontrar: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx
1
[s e n(α − β ) + s e n(α + β )] ; Se tiene que:
2
1
1
s e n 2 x cos 4 x = [s e n(2 x − 4 x) + s e n(2 x + 4 x) ] = [s e n(−2 x) + s e n(6 x) ]
2
2
1
1
= [ − s e n 2 x + s e n 6 x ] , Luego: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = ∫ (− s e n 2 x + s e n 6 x)dx
2
2
1
1
1
1
= − ∫ s e n 2 xdx + ∫ s e n 6 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c
2
2
4
12
1
1
Respuesta: ∫ s e n 2 x cos 4 xdx = cos 2 x − cos 6 x + c
4
12
Solución.- s e n α cos β =
62
3.12.-Encontrar: ∫ cos 3x cos 2 xdx
1
[cos(α − β ) + cos(α + β )] ; Se tiene que:
2
1
1
cos 3x cos 2 x = [ cos(3x − 2 x) + cos(3 x + 2 x) ] = [ cos x + cos 5 x ] , Luego:
2
2
1
1
1
= ∫ cos 3 x cos 2 xdx = ∫ [ cos x + cos 5 x ]dx = ∫ cos xdx + ∫ cos 5 xdx
2
2
2
1
1
= s e n x + s e n 5x + c
2
10
1
1
Respuesta: ∫ cos 3 x cos 2 xdx = s e n x + s e n 5 x + c
2
10
3.13.-Encontrar: ∫ s e n 5 x s e n xdx
Solución.- cos α cos β =
1
[ cos(α − β ) − cos(α + β )] ; Se tiene que:
2
1
1
s e n 5 x s e n x = [ cos(5 x − x) − cos(5 x + x) ] = [ cos 4 x − cos 6 x ] ; Luego:
2
2
1
1
1
= ∫ s e n 5 x s e n xdx = ∫ [ cos 4 x − cos 6 x ] = ∫ cos 4 xdx − ∫ cos 6 xdx
2
2
2
1
1
= s e n 4x − s e n 6x + c
8
12
1
1
Respuesta: ∫ s e n 5 x s e n xdx = s e n 4 x − s e n 6 x + c
8
12
4
3.14.-Encontrar: ∫ τ g xdx
Solución.- s e n α s e n β =
Solución.- ∫ τ g 4 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx ; como: τ g 2 = sec 2 x − 1 ; Luego:
= ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec2 xdx − ∫ τ g 2 xdx
s e n2 x
1 − cos 2 x
2
2
(
)
sec
dx
τ
gx
xdx
=
−
∫
∫ cos2 x dx
cos 2 x
Sea: w = τ gx, dw = sec 2 xdx
= ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx − ∫ sec 2 xdx + ∫ dx ;
= ∫ (τ gx) 2 sec2 xdx − ∫
w3
τ g3
− τ gx + x + c =
− τ gx + x + c
3
3
τ g3
Respuesta: ∫ τ g 4 xdx =
− τ gx + x + c
3
3.15.-Encontrar: ∫ sec6 xdx
= ∫ w2 dw − ∫ sec 2 x + ∫ dx =
Solución.- ∫ sec6 xdx = ∫ (sec2 x) 2 sec2 xdx ; como: sec 2 xdx = 1 + τ g 2 x
2
= ∫ (sec 2 x) 2 sec 2 xdx = ∫ (1 + τ g 2 x) sec 2 xdx = ∫ (1 + 2τ g 2 x + τ g 4 x) sec 2 xdx
= ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 4 sec 2 xdx ;
Sea: u = τ gx, du = sec2 xdx
63
2
1
2
1
= ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ u 2 du + ∫ u 4 du = τ gx + u 3 + u 5 + c = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c
3
5
3
5
2
1
Respuesta: ∫ sec6 xdx = τ gx + τ g 3 x + τ g 5 x + c
3
5
3
3.16.-Encontrar: ∫ τ g 2 xdx
Solución.3
2
2
2
∫ τ g 2 xdx = ∫ τ g 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g 2 x(sec 2 x − 1)dx = ∫ τ g 2 x sec 2 xdx − ∫ τ g 2 xdx
Sea: u = τ g 2 x, du = 2sec 2 2 xdx ;
=
Luego:
1
1u 1
τ g 2 2x 1
1
−
=
−
+
=
− η
+c
udu
τ
g
2
xdx
η
sec
2
x
c
∫
∫
2
2 2 2
4
2
cos 2 x
2
Respuesta: ∫ τ g 3 2 xdx =
τ g 2 2x 1
4
−
2
η
1
+c
cos 2 x
3.17.-Encontrar: ∫ τ g 5 xdx
2
1
Solución.- ∫ τ g 2 5 xdx = ∫ (sec 2 5 x − 1)dx = ∫ sec 2 5 xdx − ∫ dx = τ g 5 x − x + c
5
1
Respuesta: ∫ τ g 2 5 xdx = τ g 5 x − x + c
5
3
3.18.-Encontrar: ∫ τ g 3x sec 3xdx
Solución.- ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = ∫ τ g 2 3xτ g 3 x sec3 xdx = ∫ ( sec2 3x − 1)τ g 3x sec 3xdx
= ∫ (sec 3 x) 2τ g 3 x sec 3 xdx − ∫ τ g 3 x sec 3 xdx ; Sea: u = sec 3x, du = 3sec 3xτ g 3xdx
1 2
1
u du − ∫ 3τ g 3 x sec 3 xdx ; como: d (sec 3x) = 3τ g 3x sec 3xdx , se admite:
∫
3
3
1 2
1
1
1
1
1
u du − ∫ d (sec3 x) = u 3 − sec3 x + c = sec3 3 x − sec3 x + c
∫
3
3
9
3
9
3
1
1
Respuesta: ∫ τ g 3 3x sec 3xdx = sec3 3x − sec 3x + c
9
3
3
4
2
3.19.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx
Luego:
Solución.- ∫ τ g 2 x sec4 xdx = ∫ τ g 2 x(sec2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 2 x(1 + τ g 2 x) sec2 xdx
3
3
= ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx + ∫ (τ gx) 2 sec 2 xdx ;
3
7
3
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
3
7
2 5 2 9
2 5
2 9
Luego: ∫ u 2 du + ∫ u 2 du = u 2 + u 2 + c = τ g 2 x + τ g 2 + c
5
9
5
9
3
2 5
2 9
Respuesta: ∫ τ g 2 x sec4 xdx = τ g 2 x + τ g 2 + c
5
9
4
4
3.20.-Encontrar: ∫ τ g x sec xdx
Solución.- ∫ τ g 4 x(sec 2 x) sec 2 xdx = ∫ τ g 4 x(1 + τ g 2 x) sec 2 xdx
= ∫ (τ gx) 4 sec2 xdx + ∫ (τ gx)6 sec 2 xdx ;
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
64
τ g5x τ g7 x
u5 u7
+ +c =
+
+c
5 7
5
7
τ g5x τ g7x
Respuesta: ∫ τ g 4 x sec 4 xdx =
+
+c
5
7
3.21.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx
Luego: ∫ u 4 du + ∫ u 6 du =
Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec 4 xdx = ∫ co τ g 3 x(co sec2 x) co sec2 xdx
Como: cos ec 2 x = 1 + coτ g 2 x ; Luego:
∫ coτ g
3
x(1 + co τ g 2 x) co sec 2 xdx = ∫ co τ g 3 x co sec 2 xdx + ∫ coτ g 5 x co sec 2 xdx
Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx ,
u4 u6
coτ g 4 x coτ g 6 x
Luego: − ∫ u du − ∫ u du = − − + c = −
−
+c
4 6
4
6
co τ g 4 x coτ g 6 x
Respuesta: ∫ coτ g 3 x co sec 4 xdx = −
−
+c
4
6
3.22.-Encontrar: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx
3
5
Solución.- ∫ co τ g 3x co sec 4 3 xdx = ∫ coτ g 3x(co sec 2 3 x) co sec 2 3 xdx
∫ coτ g 3x(1 + coτ g
2
3x) co sec 2 3xdx = ∫ co τ g 3x co sec 2 3xdx + ∫ coτ g 3 3x co sec 2 3xdx
Sea: u = coτ g 3 x, du = −3cos ec 2 3 xdx ;
Luego:
1
1 3
u u
co τ g 3x co τ g 4 3x
udu
u
du
c
−
=
−
−
+
=
−
−
+c
3∫
3∫
6 12
6
12
coτ g 2 3x co τ g 4 3x
Respuesta: ∫ co τ g 3x co sec 4 3xdx = −
−
+c
6
12
3.23.-Encontrar: ∫ co sec 4 2 xdx
2
−
4
2
Solución.- ∫ co sec 2 2 x co sec 2 2 xdx = ∫ (1 + coτ g 2 2 x) co sec 2 2 xdx
∫ co sec
2
2 xdx + ∫ coτ g 2 2 x co sec 2 2 xdx ;
Sea: u = coτ g 2 x, du = − cos ec 2 2 xdx
1 2
1
u3
coτ g 2 x coτ g 3 2 x
co
τ
2
u
du
=
−
g
x
−
+
c
=
−
−
+c
2∫
2
3
2
6
coτ g 2 x coτ g 3 2 x
Respuesta: ∫ co sec 4 2xdx = −
−
+c
2
6
3.24.-Encontrar: ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx
Luego: ∫ co sec 2 2 xdx −
Solución.- ∫ co τ g 3 x co sec3 xdx = ∫ coτ g 2 x co sec2 x co τ gx co sec xdx
Como: co τ g 2 x = co sec 2 x − 1 ;
Luego: ∫ (co sec 2 x − 1) co sec 2 x co τ gx co sec xdx
= ∫ (co sec4 x co τ gx co sec xdx − ∫ co sec2 x coτ gx co sec xdx
Sea: u = cos ecx, du = − cos ecx coτ gxdx ;
65
u5 u3
cos ec5 x cos ec3 x
+ +c = −
+
+c
5 3
5
3
cos ec5 x cos ec3 x
Respuesta: ∫ coτ g 3 x co sec3 xdx = −
+
+c
5
3
3.25.-Encontrar: ∫ co τ g 3 xdx
Entonces: − ∫ u 4 du + ∫ u 2 du = −
Solución.- ∫ coτ g 3 xdx = ∫ coτ g 2 x co τ gxdx = ∫ (cos ec 2 x − 1) coτ gxdx
= ∫ cos ec 2 x coτ gxdx − ∫ coτ gxdx ;
Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx
u2
co τ g 2 x
− η sen x + c = −
− η sen x + c
2
2
co τ g 2 x
Respuesta: ∫ coτ g 3 xdx = −
− η sen x + c
2
Luego: − ∫ udu − ∫ coτ gxdx = −
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando esencialmente el mecanismo tratado, encontrar las siguientes integrales:
dx
3.26.- ∫ τ g 2 5 xdx
3.27.- ∫ s e n x cos xdx
3.28.- ∫
sec 2 x
3
cos 2 x
3.31.- ∫ τ g 2 3x sec 2 3x dx
3.30.- ∫ cos x s e n xdx
3.29.- ∫
dx
cos x
s e n 2x
3.33.- ∫ s e n 2 6x dx
3.32.- ∫ τ g 3 4 x sec 4 xdx
dx
3.34.- ∫
sen x
3.36.- ∫ sec3 4x τ g 4x dx
3.37.- ∫ τ g 4 2 x sec 4 2 xdx
3.35.- ∫ (sec x + cos ecx) 2 dx
3.38.- ∫ s e n 8 x s e n 3 xdx
4
3.39.- ∫ cos 4 x cos 5 xdx
⎛ sec x ⎞
3.41.- ∫ ⎜
⎟ dx
⎝ τ gx ⎠
3.44.- ∫ (τ g 3 3x + τ g 4 3x )dx
3.42.- ∫
dx
5
s e n x cos x
dx
3.50.- ∫
cos 6 4 x
3.48.- ∫
cos3 x
dx
s e n4 x
3.40.- ∫ s e n 2 x cos 3xdx
3.43.- ∫ cos ec 4 3 xdx
3.45.- ∫ coτ g 3 3x dx
3.46.- ∫ coτ g 4 6x dx
3.49.- ∫
3.53.- ∫ s e n 5 2x dx
cos 2 x
dx
s e n6 x
cos3 x
3.51.- ∫
dx
1− s e n x
3.54.- ∫ 1 − cos xdx
3.56.- ∫ s e n 3 2x cos5 2x dx
3.57.- ∫ s e n 2 x cos 2 xdx
3.58.- ∫ s e n 4 x cos 2 xdx
3.59.- ∫
3.60.- ∫
3.47.- ∫
1 − cos 2 x
dx
1 + cos 2 x
3.62.- ∫ s e n 2 2 x cos 2 2 xdx
cos3 x
dx
sen x
3.63.- ∫ cos 4 xdx
dx
s e n x cos 4 x
2
3.52.- ∫ cos3 7x dx
3.55.- ∫
dx
cos ec 4
x
3
3.61.- ∫ s e n 3 2 xdx
3.64.- ∫ τ g 4 x sec 2 xdx
66
3.65.- ∫ τ g 3 x sec xdx
3.66.- ∫ sec6 aθ dθ
3.70.- ∫ sec 4 3xτ g 3xdx
3.71.- ∫ sec n xτ gxdx;(n ≠ 0)
3.74.- ∫ τ g n x sec 2 xdx;(n ≠ −1)
s e n3 x
dx
cos 2 x
cos3 x
dx
3.72.- ∫
s e n2 x
3.75.- ∫ s e n 6 xdx
3.80.- ∫ cos x n s e n xdx;(n ≠ −1)
3.81.- ∫ τ g n xdx
3.82.- ∫ τ g 4 xdx
3.68.- ∫ co τ g 2 2 x cos ec 2 2 xdx
3.77.- ∫ s e n n x cos xdx;(n ≠ −1)
3.83.- ∫ cos 2 n +1 xdx
3.69.- ∫
3.78.- ∫ coτ g n axdx
3.67.- ∫ sec xdx
3.73.- ∫
dx
s e n4 x
3.76.- ∫ s e n 4 axdx
3.79.- ∫ coτ g 4 3 xdx
RESPUESTAS
1
3.26.- ∫ τ g 2 5 xdx = ∫ (sec 2 5 x − 1)dx = ∫ sec 2 5 xdx + ∫ dx = τ g 5 x − x + c
5
1
1
1
3.27.- ∫ s e n x cos xdx = ∫ 2s e n x cos xdx = ∫ s e n 2 xdx = − cos 2 x + c
2
2
4
dx
1
3.28.- ∫
= cos 2 xdx = s e n 2 x + c
sec 2 x ∫
2
2
cos 2 x
cos x − s e n 2 x
cos 2 x
s e n2 x
3.29.- ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx − ∫
dx
cos x
cos x
cos x
cos x
1 − cos 2 x
dx
dx = ∫ cos xdx − ∫
+ cos xdx = 2∫ cos xdx − ∫ sec xdx
cos x
cos x ∫
= 2s e n x − η sec x + τ gx + c
= ∫ cos xdx − ∫
3.30.- ∫ cos x s e n 3 xdx = ∫ cos x s e n 2 x s e n xdx = ∫ cos x (1 − cos 2 x) s e n xdx
= ∫ cos x s e n xdx − ∫ cos x cos 2 x s e n xdx = ∫ cos 2 x s e n xdx − ∫ cos 2 x s e n xdx
1
5
5
1
2 3 2 7
2
2
Sea: u = cos x, du = − s e n xdx ; Luego: − ∫ u du + ∫ u du = − u 2 + u 2 + c
3
7
2
3
2
7
2
2
= − cos 2 + cos 2 + c = −
cos3 x +
cos 7 x + c
3
7
3
7
2
2
= − cos x cos x + cos x 3 cos x + c
3
7
1
3.31.- ∫ τ g 2 3x sec2 3x dx = ∫ (τ g 3x ) 2 sec 2 3x dx ; Sea: u = τ g 3x , du = sec2 3x dx
3
2 x
2
3
3 x
x 2 1
3∫ (τ g 3 ) 3 sec 3 dx = 3∫ u du = u + c = τ g 3 + c
3.32.- ∫ τ g 3 4 x sec 4 xdx = ∫ (τ g 2 4 x)τ g 4 x sec 4 xdx = ∫ (sec2 4 x − 1)τ g 4 x sec 4 xdx
= ∫ sec 2 4 xτ g 4 x sec 4 xdx − ∫ τ g 4 x sec 4 xdx ; Sea: u = sec 4 x, du = 4sec 4 xτ g 4 xdx
67
1 2
1
1 u3 1
sec3 4 x sec 4 x
u
du
du
u
c
−
=
−
+
=
−
+c
4∫
4∫
4 3 4
12
4
1 − cos 2 6x
1 − cos 3x
1
1
3.33.- ∫ s e n 2 6x dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫ dx − ∫ cos 3x dx
2
2
2
2
1
3
= x − s en 3x + c
2
2
s e n 2x
2 s e n x cos x
3.34.- ∫
dx = ∫
dx = 2∫ cos xdx = 2s e n x + c
sen x
sen x
=
3.35.- ∫ (sec x + cos ecx) 2 dx = ∫ (sec 2 x + 2sec x cos ecx + cos ec 2 x)dx
1
1
dx + ∫ cos ec 2 xdx
cos x s e n x
dx
dx
= ∫ sec 2 xdx + 2 × 2 ∫
+ ∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 4∫
+ cos ec 2 xdx
2 cos x s e n x
s e n 2x ∫
= ∫ sec 2 xdx + 4∫ cos ec 2 xdx + ∫ cos ec 2 xdx
= ∫ sec 2 xdx + 2 ∫ sec x cos ecxdx + ∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec 2 xdx + 2 ∫
= τ gx + 4
2
η cos ec 2 x − co τ g 2 x − coτ gx + c
= τ gx + 2 η cos ec 2 x − co τ g 2 x − coτ gx + c
3.36.- ∫ sec3 4x τ g 4x dx = ∫ (sec 2 4x ) sec 4x τ g 4x dx
Sea: u = sec 4x , du = 14 sec 4x τ g 4x dx ,
4sec3 4x
u3
+c =
+c
3
3
3.37.- ∫ τ g 4 2 x sec4 2 xdx = ∫ τ g 4 2 x(sec2 2 x) sec 2 2 xdx = ∫ τ g 4 2 x(1 + τ g 2 2 x) sec 2 2 xdx
Luego: 4 ∫ u 2 du = 4
= ∫ (τ g 2 x) 4 sec 2 2 xdx + ∫ (τ g 2 x)6 sec 2 2 xdx
Luego:
Sea: u = τ g 2 x, du = 2sec 2 2 xdx ,
1
1
1
1
= ∫ (τ g 2 x) 4 2sec 2 2 xdx + ∫ (τ g 2 x)6 2sec 2 2 xdx = ∫ u 4 du + ∫ u 6 du
2
2
2
2
5
7
5
7
1u 1u
τ g 2x τ g 2x
=
+
+c =
+
+c
2 5 2 7
10
14
3.38.- ∫ s e n 8 x s e n 3 xdx
Considerando: s e n α s e n β =
1
[cos(α − β ) − cos(α + β )]
2
1
(cos 5 x − cos11x) ; Se tiene:
2
1
1
1
s e n 5 x s e n11x
= ∫ (cos 5 x − cos11x)dx = ∫ cos 5 xdx − ∫ cos11xdx =
−
+c
2
2
2
10
22
3.39.- ∫ cos 4 x cos 5 xdx
Luego: s e n 8 x s e n 3 x =
Considerando: cos α cos β =
1
[cos(α − β ) + cos(α + β )]
2
68
1
Luego: cos 4 x cos 5 x = (cos(− x) + cos 9 x) ;
2
1
Como: cos(− x) = cos x ⇒ (cos x + cos 9 x) ; entonces:
2
1
1
1
∫ cos 4 x cos 5 xdx = 2 ∫ ( cos x + cos 9 x)dx = 2 ∫ cos xdx + 2 ∫ cos 9 xdx
s e n x s e n 9x
=
+
+c
2
18
3.40.- ∫ s e n 2 x cos 3 xdx
Considerando: s e n α cos β =
1
[s e n(α − β ) + s e n(α + β )]
2
1
[s e n(− x) + s e n 5 x]
2
1
Como: s e n(− x) = − s e n x ⇒ (− s e n x + s e n 5 x) ; entonces:
2
1
1
1
∫ s e n 2 x cos 3xdx = 2 ∫ (− s e n x + s e n 5 x)dx = − 2 ∫ s e n xdx + 2 ∫ s e n 5 xdx
1
1
= cos x − cos 5 x + c
2
10
Luego: s e n 2 x cos 3x =
4
⎛
⎛ sec x ⎞
3.41.- ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ ⎜⎜
⎝ τ gx ⎠
⎝
4
4
⎞
4
⎛ 1 ⎞
=
=
dx
cos
ec
xdx = ∫ cos ec 2 x cos ec 2 xdx
⎟
⎜
⎟
∫
∫
sen x ⎟
⎝ sen x ⎠
cos x ⎠
= ∫ (1 + coτ g 2 x) cos ec 2 xdx = ∫ cos ec 2 xdx + ∫ coτ g 2 x cos ec 2 xdx
1
cos x
Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx
u3
coτ g 3 x
Luego: ∫ cos ec xdx − ∫ u du = − coτ gx − + c = − co τ gx −
+c
3
3
cos3 x
cos3 x 1
3.42.- ∫
dx
dx = ∫ coτ g 3 x cos ecxdx
=
4
3
∫
sen x
sen x sen x
2
= ∫ (co τ g x) co τ gx cos ecxdx = ∫ (cos ec 2 x − 1) coτ gx cos ecxdx =
2
2
= ∫ cos ec 2 x co τ gx cos ecxdx − ∫ co τ gx cos ecxdx
Sea: u = cos ecx, du = − cos ecx coτ gxdx
u3
cos ec3 x
+u+c =−
+ cos ecx + c
3
3
3.43.- ∫ cos ec 4 3xdx = ∫ (cos ec 2 3 x) cos ec 2 3 xdx = ∫ (1 + co τ g 2 3 x) cos ec 2 3 x) dx
Luego: − ∫ u 2 du + ∫ du = −
= ∫ cos ec 2 3xdx + ∫ co τ g 2 3 x cos ec 2 3 xdx
Sea: u = coτ g 3 x, du = −3cos ec 2 3 xdx
Luego: ∫ cos ec 2 3 xdx −
1 2
1
1 3
co τ g 3x coτ g 3 3x
u
du
co
τ
g
3
x
u
c
=
−
−
+
=
−
−
+c
3∫
3
9
3
9
69
3.44.- ∫ (τ g 3 3x + τ g 4 3x )dx = ∫ τ g 3 3x dx + ∫ τ g 4 3x dx = ∫ (τ g 2 3x )τ g 3x dx + ∫ (τ g 2 3x )τ g 2 3x dx
= ∫ (sec 2 3x − 1)τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x − 1)τ g 2 3x dx
= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ τ g 2 3x dx
= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ (sec2 3x − 1)dx
= ∫ sec 2 3x τ g 3x dx − ∫ τ g 3x dx + ∫ (sec 2 3x )τ g 2 3x dx − ∫ sec 2 3x dx + ∫ dx
1
Sea: u = τ g 3x , du = sec 2 3x dx
3
Luego: 3∫ udu − ∫ τ g 3x dx + 3∫ u 2 du − ∫ sec 2 3x dx + ∫ dx
3
3
= u 2 − 3 η sec 3x + u 3 − 3τ g 3x + x + c = τ g 2 3x − 3 η sec 3x + τ g 3 3x − 3τ g 3x + x + c
2
2
3 x
2 x
x
3.45.- ∫ co τ g 3 dx = ∫ (coτ g 3 ) coτ g 3 dx = ∫ (cos ec 2 3x − 1) coτ g 3x dx
1
= ∫ cos ec 2 3x co τ g 3x dx − ∫ coτ g 3x dx ; Sea: u = cos ec 3x , du = − cos ec 3x co τ g 3x dx
3
x
x
x
x
Luego: −3∫ (cos ec 3 )(− 1 cos ec 3 co τ g 3 )dx − ∫ co τ g 3 dx = −3∫ udu − ∫ co τ g 3x dx
3
2
−3cos ec 2 3x
−3u
x
=
−3 η sen 3 + c =
− 3 η s e n 3x + c
2
2
3.46.- ∫ co τ g 4 6x dx = ∫ (coτ g 2 6x ) coτ g 2 6x dx = ∫ (cos ec 2 6x − 1) co τ g 2 6x dx
= ∫ cos ec 2 6x coτ g 2 6x dx − ∫ coτ g 2 6x dx = ∫ cos ec 2 6x co τ g 2 6x dx − ∫ (cos ec 2 6x − 1)dx
= ∫ cos ec 2 6x co τ g 2 6x dx − ∫ cos ec 2 6x dx + ∫ dx
1
Sea: u = co τ g 6x , du = − cos ec 2 6x dx
6
2
Luego: −6∫ u du − ∫ cos ec 2 6x dx + ∫ dx = −2u 3 + 6 coτ g 6x + x + c
= −2 coτ g 3 6x + 6 co τ g 6x + x + c
dx
;
Como: s e n 2 x + cos 2 x = 1 ,
3.47.- ∫
5
s e n x cos x
s e n 2 x + cos 2 x
dx
cos xdx
Luego: ∫
dx = ∫
+∫
5
3
s e n x cos x
s e n x cos x
s e n5 x
s e n 2 x + cos 2 x
cos xdx
dx
cos xdx
cos xdx
dx + ∫
=∫
=∫
+∫
+∫
3
5
3
s e n x cos x
sen x
s e n x cos x
sen x
s e n5 x
dx
=∫
+ ∫ (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx
s e n x cos x
dx
=∫
+ (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx
s e n 2x ∫
2
= 2 ∫ cos ec 2 xdx + ∫ (s e n x) −3 cos xdx + ∫ (s e n x) −5 cos xdx (∗)
70
Sea: u = s e n x, du = cos xdx ,
Luego:
(∗) = 2 ∫ cos ec 2 xdx + ∫ u −3 du + ∫ u −5 du = η cos ec 2 x − coτ g 2 x −
1
1
− 4 +c
2
2u
4u
1
1
−
+c
2
2s e n x 4s e n 4 x
cos ec 2 x cos ec 4 x
= η cos ec 2 x − coτ g 2 x −
−
+c
2
4
cos 2 x
cos 2 x
1
3.48.- ∫
dx
dx = ∫ coτ g 2 x cos ec 4 xdx
=
6
2
∫
sen x
s e n x s e n4 x
= ∫ co τ g 2 x(cos ec 2 x) cos ec 2 xdx = ∫ co τ g 2 x(1 + co τ g 2 x) cos ec 2 xdx
= η cos ec 2 x − coτ g 2 x −
= ∫ co τ g 2 x cos ec 2 xdx + ∫ coτ g 4 x cos ec 2 xdx
Sea: u = coτ gx, du = − cos ec 2 xdx ,
u3 u5
coτ g 3 x coτ g 5 x
− +c = −
−
+c
3 5
3
5
dx
s e n 2 + cos 2 x
dx
dx
3.49.- ∫
dx = ∫
=
+∫
2
4
2
4
4
2
∫
s e n x cos x
s e n x cos x
cos x
s e n x cos 2 x
dx
dx
dx
= ∫ sec 4 xdx + ∫
= ∫ sec 4 xdx + ∫
= ∫ sec 4 xdx + 4∫
2
s
n
2
e
x
(s e n x cos x)
s e n2 2x
(
)2
2
4
2
2
2
= ∫ sec xdx + 4∫ cos ec 2 xdx = ∫ sec x sec xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx
Luego: − ∫ u 2 du − ∫ u 4 du = −
= ∫ (1 + τ g 2 x) sec2 xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx = ∫ sec2 xdx + ∫ τ g 2 x sec 2 xdx + 4∫ cos ec 2 2 xdx
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx ,
Luego: ∫ sec 2 xdx + ∫ u 2 du + 4∫ cos ec 2 2 xdx = τ gx +
= τ gx +
u3
− 2 coτ g 2 x + c
3
τ g3x
− 2 coτ g 2 x + c
3
dx
3.50.- ∫
= ∫ sec6 4 xdx = ∫ (sec 2 4 x)2 sec2 4 xdx = ∫ (1 + τ g 2 4 x)2 sec2 4 xdx
6
cos 4 x
= ∫ (1 + 2τ g 2 4 x + τ g 4 4 x) sec2 4 xdx
= ∫ sec 2 4 xdx + 2 ∫ (τ g 4 x) 2 sec 2 4 xdx + ∫ (τ g 4 x) 4 sec 2 4 xdx
Sea: u = τ g 4 x, du = 4sec 2 4 xdx ,
Luego:
1 2
1 4
τ g 4x 1 u3 1 u5
τ g 4x τ g 3 4x τ g 5 4x
u
du
+
u
du
=
+
+
+
c
=
+
+
+c
2∫
4∫
4
2 3 4 5
4
6
20
cos3 x
cos3 x(1 + s e n x)
cos 3 x(1 + s e n x)
3.51.- ∫
dx = ∫
dx
dx
=
∫
1− s e n x
1− s e n2 x
cos 2 x
2
∫ sec 4 xdx +
= ∫ cos x(1 + s e n x)dx = ∫ cos xdx + ∫ cos x s e n xdx = ∫ cos xdx +
1
s e n 2 xdx
2∫
71
1
= s e n x − cos 2 x + c
4
3.52.- ∫ cos3 7x dx = ∫ (cos 2 7x ) cos 7x dx = ∫ (1 − s e n 2 7x ) cos 7x dx
= ∫ cos 7x dx − ∫ s e n 2 7x cos 7x dx
Sea: u = s e n 7x , du = 1 cos 7x dx
7
7u 3
7
+ c = 7 s e n 7x − s e n 3 7x + c
3
3
5 x
2 x 2
2 x 2
x
3.53.- ∫ s e n 2 dx = ∫ (s e n 2 ) s e n 2 dx = ∫ (1 − cos 2 ) s e n 2x dx
Luego: = ∫ cos 7x dx − 7 ∫ u 2 du =7 s e n 7x −
= ∫ (1 − 2 cos 2 2x + cos 4 2x ) s e n 2x dx = ∫ s e n 2x dx − 2 ∫ cos 2 2x s e n 2x dx + ∫ cos 4 2x s e n 2x dx
1
Sea: u = cos 2x , du = − s e n 2x dx ,
2
Luego:
= ∫ s e n 2x dx + 4∫ u 2 du − 2∫ u 4 du = −2 cos 2x +
4u 3 2u 5
−
+c
3
5
4 cos3 2x 2 cos5 2x
−
+c
3
5
1 − cos xdx
= −2 cos 2x +
3.54.- ∫
1 − cos 2α
, y 2α = x
2
1 − cos 2 x
;
además: 1 − cos x = 2s e n 2
=
2
Considerando: s e n 2 α =
Se tiene: s e n 2
x
2
x
2
Luego: ∫ 2s e n 2 2x dx = 2 ∫ s e n 2x dx = −2 2 cos 2x + c
2
dx
⎛ 1 − cos 23x ⎞
4 x
2 x 2
3.55.- ∫
e
dx
e
dx
s
n
(s
n
)
=
=
=
3
3
∫
∫ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ dx
cos ec 4 3x ∫
1
1
1
1
= ∫ (1 − 2 cos 23x + cos 2 23x )dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ cos 2 23x dx
4
4
2
4
4x
1
1
1 1 + cos 3
1
1
1
= ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫
dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ (1 + cos 43x )dx
4
2
4
2
4
2
8
1
1
1
1
3
1
1
= ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ dx + ∫ cos 43x dx = ∫ dx − ∫ cos 23x dx + ∫ cos 43x dx
4
2
8
8
8
2
8
2x
4x
3s
e
n
3s
e
n
3
13
1
3
3
3
3
s e n 23x +
s e n 43x + c = x −
= x−
+
+c
8
22
84
8
4
32
3.56.- ∫ s e n 3 2x cos5 2x dx = ∫ s e n 2x s e n 2 2x cos5 2x dx = ∫ s e n 2x (1 − cos 2 2x ) cos5 2x dx
= ∫ s e n 2x cos5 2x dx − ∫ cos 7 2x s e n 2x dx
1
Sea: u = cos 2x , du = − s e n 2x dx
2
72
Luego: −2∫ u 5 du + 2∫ u 7 du = −
cos 6 2x cos8 2x
2u 6 2u 8
u 6 u8
+
+c = − + +c = −
+
+c
6
8
3 4
3
4
2
1
⎛ s e n 2x ⎞
2
3.57.- ∫ s e n 2 x cos 2 xdx = ∫ (s e n x cos x) 2 dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ s e n 2 xdx
4
⎝ 2 ⎠
1 1 − cos 4 x
1
1
1
x 1
dx = ∫ (1 − cos 4 x)dx = ∫ dx − ∫ cos 4 xdx = − s e n 4 x + c
= ∫
4
2
8
8
8
8 32
4
2
2
2
2
3.58.- ∫ s e n x cos xdx = ∫ (s e n x cos x) s e n xdx = ∫ (s e n x cos x) 2 s e n 2 xdx
1
⎛ s e n 2 x ⎞ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞
⎛ 1 − cos 2 x ⎞
2
= ∫⎜
⎟ ⎜
⎟dx = ∫ s e n 2 x ⎜
⎟ dx
2
4
2
⎝ 2 ⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
1
1
1
1
−
cos
4
x
1
dx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx
= ∫ s e n 2 2 xdx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx = ∫
8
8
8
2
8
1
1
1
= ∫ dx − ∫ cos 4 xdx − ∫ s e n 2 2 x cos 2 xdx(∗)
16
16
8
Sea: u = s e n 2 x, du = 2 cos 2 xdx , luego:
2
1
1
1
1
1
1 u3
2
dx
cos
4
xdx
u
du
x
s
e
n
4
x
−
−
=
−
−
+c
16 ∫
16 ∫
16 ∫
16
64
16 3
1
s e n 4 x s e n3 2x
= x−
−
+c
16
64
48
1 − cos 2 x
1 − cos 2 x
s e n2 x
2
3.59.- ∫
dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫ τ g 2 xdx = ∫ (sec 2 x − 1)dx
2
1 + cos 2 x
1 + cos 2 x
cos x
2
2
= ∫ sec xdx − ∫ dx = τ gx − x + c
(∗) =
cos3 x
−1
−1
dx = ∫ (s e n x) 2 cos3 xdx = ∫ (s e n x) 2 cos 2 x cos xdx
sen x
3
−1
−1
= ∫ (s e n x) 2 (1 − s e n 2 x) cos xdx = ∫ (s e n x) 2 cos xdx − ∫ s e n 2 x cos xdx(∗)
3.60.- ∫
Sea: u = s e n x, du = cos xdx , luego:
2 s e n5 x
+c
5
3.61.- ∫ s e n 3 2 xdx = ∫ s e n 2 2 x s e n 2 xdx = ∫ (1 − cos 2 2 x) s e n 2 xdx
(∗) = ∫ u 2 du − ∫ u 2 du = 2u 2 −
−1
3
1
= ∫ s e n 2 xdx − ∫ cos 2 2 x s e n 2 xdx(∗)
Sea: u = cos 2 x, du = −2s e n 2 xdx , luego:
1 u2
1
1 u3
1
u3
du
cos
2
x
c
cos
2
x
=
−
+
+
=
−
+
+c
2∫ 2
2
2 3
2
6
1
(cos3 2 x)
= − cos 2 x +
+c
2
6
(∗) = ∫ s e n 2 x +
73
1
⎛ 1 − cos 4 x ⎞ ⎛ 1 + cos 4 x ⎞
2
3.62.- ∫ s e n 2 2 x cos 2 2 xdx = ∫ ⎜
⎟⎜
⎟ dx = ∫ (1 − cos 4 x)dx
2
2
4
⎝
⎠⎝
⎠
1
1
1
1 ⎛ 1 + cos8 x ⎞
1
1
= ∫ dx − ∫ cos 2 4 xdx = ∫ dx − ∫ ⎜
⎟dx = ∫ dx − ∫ (1 + cos8 x)dx
4
4
4
4 ⎝
2
4
8
⎠
1
1
1
1
1
x s e n 8x
= ∫ dx − ∫ dx − ∫ cos8 xdx = ∫ dx − ∫ cos8 xdx = −
+c
4
8
8
8
8
8
64
1
⎛ 1 + cos 2 x ⎞
2
3.63.- ∫ cos 4 xdx = ∫ (cos 2 x) 2 dx = ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ (1 + cos 2 x) dx
2
4
⎝
⎠
1
1
1
1
= ∫ (1 + 2 cos 2 x + cos 2 x)dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 2 2 xdx
4
4
2
4
1
1
1 ⎛ 1 + cos 4 x ⎞
1
1
1
= ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ ⎜
⎟ dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ (1 + cos 4 x)dx
4
2
4 ⎝
2
4
2
8
⎠
1
1
1
1
3
1
1
= ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ dx + ∫ cos 4 xdx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx + ∫ cos 4 xdx
4
2
8
8
8
2
8
3
1
1
= x + s e n 2x + s e n 4x + c
8
4
32
4
2
3.64.- ∫ τ g x sec xdx
2
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
τ g5x
u5
+c =
+c
5
5
3.65.- ∫ τ g 3 x sec xdx = ∫ τ g 2 xτ gx sec xdx = ∫ (sec 2 x − 1)τ gx sec xdx
Luego: ∫ u 4 du =
= ∫ (sec 2 x)τ gx sec xdx − ∫ τ gx sec xdx
Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx
u3
sec3 x
−u +c =
− sec x + c
3
3
3.66.- ∫ sec6 aθ dθ = ∫ sec 4 aθ sec 2 aθ dθ = ∫ (sec 2 aθ ) 2 sec 2 aθ dθ
Luego: ∫ u 2 du − ∫ du =
= ∫ (1 + τ g 2 aθ ) 2 sec 2 aθ dθ = ∫ (1 + 2τ g 2 aθ + τ g 4 aθ ) sec 2 aθ dθ
= ∫ sec 2 aθ dθ + 2∫ τ g 2 aθ sec 2 aθ dθ + ∫ τ g 4 aθ sec 2 aθ dθ
Sea: u = τ gaθ , du = a sec 2 aθ dθ ,
Luego:
1
2 2
1 4
1⎡
2u 3 u 5 ⎤
1⎡
2τ g 3 aθ τ g 5 aθ ⎤
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+c
du
u
du
u
du
u
c
τ
ga
θ
a∫
a∫
a∫
a ⎢⎣
3
5 ⎥⎦
a ⎢⎣
3
5 ⎥⎦
sec x(τ gx + sec x)dx
sec xτ gx + sec 2 x
3.67.- ∫ sec xdx = ∫
=∫
dx
τ gx + sec x
τ gx + sec x
Sea: u = sec x + τ gx, du = (sec xτ gx + sec 2 x)dx
du
= η u + c = η sec x + τ gx + c
Luego: ∫
u
74
3.68.- ∫ co τ g 2 2 x cos ec 2 2 xdx
Sea: u = co τ g 2 x, du = −2 cos ec 2 2 xdx
1 2
u3
coτ g 3 2 x
+c
Luego: − ∫ u du = − + c = −
2
6
6
s e n3 x
s e n 2 x s e n xdx
(1 − cos 2 x) s e n xdx
s e n xdx
3.69.- ∫
=∫
=∫
− s e n xdx
dx = ∫
2
2
2
cos x
cos x
cos x
cos 2 x ∫
Sea: u = cos x, du = − s e n xdx ,
1
1
Luego: − ∫ u −2 du − ∫ s e n xdx = + cos x + c =
+ cos x + c = sec x + cos x + c
u
cos x
3.70.- ∫ sec 4 3 xτ g 3xdx = ∫ sec3 3x(sec 3xτ g 3x)dx
Sea: u = sec 3x, du = 3sec3 xτ g 3xdx
1 3
1 u4
u4
sec 4 3 x
u
du
c
c
=
+
=
+
=
+c
3∫
3 4
12
12
3.71.- ∫ sec n xτ gxdx = ∫ secn −1 x(sec xτ gx)dx
Luego:
Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx ,
Luego:
un
secn x
+c =
+ c, (n ≠ 0)
n
n
cos3 x
cos 2 x cos x
(1 − s e n 2 x) cos x
cos xdx
3.72.- ∫
dx
dx
dx = ∫
=
=
− cos xdx
2
2
2
∫
∫
sen x
sen x
sen x
s e n2 x ∫
1
−
−sen x + c
sen x
dx
s e n 2 x + cos 2 x
dx
cos 2 x
3.73.- ∫
dx
=
=
+
∫ s e n 2 x ∫ s e n 4 x dx
s e n4 x ∫
s e n4 x
cos 2 x dx
= ∫ cos ec 2 xdx + ∫
= ∫ cos ec 2 xdx + ∫ co τ g 2 x cos ec 2 xdx
2
2
sen x sen x
1
= − coτ gx − coτ g 3 x + c
3
n
3.74.- ∫ τ g x sec 2 xdx;(n ≠ −1)
n −1
∫ u du =
Sea: u = τ gx, du = sec 2 xdx
u n +1
τ g n +1 x
Luego: ∫ u du =
+c =
+ c, (n ≠ −1)
n +1
n +1
n
⎛ 1 − 2 cos 2 x ⎞
3.75.- ∫ s e n 6 xdx = ∫ (s e n 2 x)3 dx = ∫ ⎜
⎟ dx
2
⎝
⎠
1
= ∫ (1 − 3cos 2 x + 3cos 2 2 x − cos3 2 x)dx
8
1
= ⎡ ∫ dx − 3∫ cos 2 xdx + 3∫ cos 2 2 xdx − ∫ cos3 2 xdx ⎤
⎦
8⎣
3
75
5 x s e n 2 x 3s e n 4 x s e n 3 2 x
−
+
+
+c
16
4
64
48
1
3.76.- ∫ s e n 4 axdx = ∫ (s e n 2 ax) 2 dx = ∫ (1 − cos 2ax) 2 dx
4
1
1
1
= ∫ (1 − 2 cos 2ax + cos 2 2ax)dx = ∫ dx − ∫ cos 2axdx + ∫ cos 2 2axdx
4
2
4
1
1
1 1
1
3
1
1
= x − s e n 2ax + ( x + s e n 4ax) + c = x − s e n 2ax +
s e n 4ax + c
4
4a
4 2
8a
8
4a
32a
s e n n +1 x
3.77.- ∫ s e n n x cos xdx =
+ c, (n ≠ −1)
n +1
3.78.- ∫ co τ g n axdx = ∫ co τ g n − 2 ax coτ g 2 axdx = ∫ coτ g n − 2 ax(cos ec 2 ax − 1)dx
=
1 coτ g n −1ax
− ∫ coτ g n − 2 axdx
a n −1
4
3.79.- ∫ co τ g 3xdx , Haciendo uso del ejercicio anterior:
= ∫ co τ g n − 2 ax cos ec 2 axdx − ∫ coτ g n − 2 axdx = −
co τ g 3 3x
coτ g 3 3x
− ∫ coτ g 2 3xdx = −
− ∫ (cos ec 2 3 x − 1)dx
3× 3
9
co τ g 3 3x
co τ g 3 3x
=−
− ∫ cos ec 2 3 xdx + ∫ dx = −
− ∫ cos ec 2 3 xdx + ∫ dx
9
9
coτ g 3 3x coτ g 3x
=−
+
+ x+c
9
3
cos n +1 x
3.80.- ∫ cos x n s e n xdx = −
+ c;(n ≠ −1)
n +1
3.81.- ∫ τ g n xdx = ∫ τ g n − 2 xτ g 2 xdx = ∫ τ g n − 2 x(sec 2 x − 1)dx
=−
= ∫τ g
n−2
x sec xdx − ∫ τ g
2
3.82.- ∫ τ g xdx =
4
τg x
3
n−2
τ g xdx
3
3
xdx =
τ g n −1 x
n −1
− ∫ τ g xdx =
− ∫ sec 2 xdx − ∫ dx =
2
− ∫ τ g n − 2 xdx
τ g3x
3
− ∫ (sec 2 x − 1)dx
τg x
3
− τ gx + x + c
3
3
3.83.- ∫ cos 2 n +1 xdx = ∫ cos 2 n x cos xdx = ∫ (cos 2 x) n cos xdx = ∫ (1 − s e n 2 x) n cos xdx
=
Sea: u = s e n x, du = cos xdx .El resultado se obtiene, evaluando (1 − u 2 ) n por la
fórmula del binomio de Newton y calculando cada sumando, cuyas integrales son
del tipo: ∫ u n du .
Las fórmulas provenientes de los ejercicios 3.78 y 3.81, se denominan fórmulas
de reducción y su utilidad es obvia. Más adelante, en otros capítulos, usted
deducirá nuevas fórmulas de reducción.
76
CAPITULO 4
INTEGRACION POR PARTES
Existe una variedad de integrales que se pueden desarrollar, usando la
relación: ∫ udv = uv − ∫ vdu .
El problema es elegir u y dv , por lo cual es útil la siguiente identificación:
I: Función trigonométrica inversa.
L: Función logarítmica.
A: Función algebraica.
T: Función trigonométrica.
E: Función exponencial.
Se usa de la manera siguiente:
EJERCICIOS DESARROLLADOS
4.1.-Encontrar: ∫ x cos xdx
Solución.- I L A T E
↓ ↓
x cos x
u=x
dv = cos xdx
∴
du = dx
v = sen x
∴ ∫ x cos xdx = x s e n x − ∫ s e n xdx =x s e n x + cos x + c
Respuesta: ∫ x cos xdx = x s e n x + cos x + c
4.2.-Encontrar: ∫ x sec 2 xdx
Solución.- I L A T E
↓ ↓
x sec 2 3 x
u=x
dv = sec 2 3 xdx
∴
du = dx
v = 13 τ g 3 x
1
1
xτ g 3x 1
∴ ∫ x sec 2 xdx = xτ g 3 x − ∫ τ g 3xdx =
− η sec 3x + c
3
3
3
9
x
τ
g
3
x
1
Respuesta: ∫ x sec 2 xdx =
− η sec 3x + c
3
9
2
4.3.-Encontrar: ∫ x s e n xdx
Solución.- I L A T E
↓ ↓
x2 s e n x
77
u = x2
∴
dv = s e n xdx
v = − cos x
du = 2 xdx
2
∴ ∫ x s e n xdx = − x cos x + 2∫ x cos xdx , integrando por partes la segunda integral:
u=x
dv = cos xdx
∫ x cos xdx ;
du = dx
v = sen x
2
2
∴ ∫ x s e n xdx = − x cos x + 2 ⎡⎣ x s e n x − ∫ s e n xdx ⎤⎦ = − x 2 cos x + 2 x s e n x + 2 cos x + c
2
Respuesta: ∫ x 2 s e n xdx = − x 2 cos x + 2 x s e n x + 2 cos x + c
4.4.-Encontrar: ∫ ( x 2 + 5 x + 6) cos 2 xdx
Solución.- I L A T E
↓
2
x + 5 x + 6 cos 2x
∴
u = x2 + 5x + 6
dv = cos 2 xdx
1
v = s e n 2x
2
2
( x + 5 x + 6)
1
s e n 2 x − ∫ (2 x + 5) s e n 2 xdx
∴ ∫ ( x 2 + 5 x + 6) cos 2 xdx =
2
2
Integrando por partes la segunda integral:
I L A T E
du = (2 x + 5)dx
2x + 5 s e n 2x
∴
u = 2x + 5
du = 2dx
dv = s e n 2 xdx
1
v = − cos 2 x
2
1
1
2
∴ ∫ ( x + 5 x + 6) cos 2 xdx = s e n 2 x( x 2 + 5 x + 6) − ⎡⎣(2 x + 5)(− 1 2 cos 2 x) + ∫ cos 2 xdx ⎤⎦
2
2
2
x + 5x + 6
1
1
s e n 2 x + cos 2 x(2 x + 5) − ∫ cos 2 xdx
=
2
4
2
2
x + 5x + 6
2x + 5
1
s e n 2x +
cos 2 x − s e n 2 x + c
=
2
4
4
x2 + 5x + 6
2x + 5
1
Respuesta: ∫ ( x 2 + 5 x + 6) cos 2 xdx =
s e n 2x +
cos 2 x − s e n 2 x + c
2
4
4
Nota.-Ya se habrá dado cuenta el lector, que la elección conveniente para el u y el
dv , dependerá de la ubicación de los términos funcionales en la palabra ILATE. El
de la izquierda corresponde al u , y el otro será el dv .
4.5.-Encontrar: ∫ η xdx
Solución.- I L A T E
↓ ↓
ηx 1
78
u = ηx
∴
∴∫
dv = 1dx
dx
du =
v=x
x
η xdx = x η x − ∫ dx = x η x − x + c = x( η x − 1) + c
Respuesta: ∫ η xdx = x( η x − 1) + c
4.6.-Encontrar: ∫ η (a 2 + x 2 )dx
Solución.- I L A T E
↓
2
η (a + x 2 ) 1
u = ηx
dv = 1dx
∴
dx
du =
v=x
x
∴ ∫ η (a 2 + x 2 )dx = x η (a 2 + x 2 ) − ∫
2 x 2 dx
2a 2
2
2
x
(
a
x
)
(2
=
η
+
−
−
∫ x2 + a 2 )dx
a2 + x2
dx
2 a2
2
2
=
η
+
−
+
arcτ g ax + c
x
(
a
x
)
2
x
2
2
x +a
a
2
2
x
= x η (a + x ) − 2 x + 2a arcτ g a + c
= x η (a 2 + x 2 ) − 2 ∫ dx + 2a 2 ∫
Respuesta: ∫ η (a 2 + x 2 )dx = x η (a 2 + x 2 ) − 2 x + 2a arcτ g ax + c
4.7.-Encontrar: ∫ η x + x 2 − 1 dx
Solución.- I L A T E
↓
η x + x2 − 1
1
dv = 1dx
v=x
u = η x + x2 − 1
∴
1+
x
x2 −1 + x
x 2 − 1 d ⇒ du =
x 2 − 1 dx ⇒ du = dx
x + x2 − 1
x2 −1
x + x2 −1
xdx
∴ ∫ η x + x 2 − 1 dx = x η x + x 2 − 1 − ∫
x2 −1
Sea : w = x 2 + 1, dw = 2 xdx .
1
1 −1
−1
Luego: x η x + x 2 − 1 − ∫ ( x 2 − 1) 2 2 xdx = x η x + x 2 − 1 − ∫ w 2 dw
2
2
1
2
1w
1
= x η x + x2 −1 −
+ c = x η x + x2 − 1 − w 2 + c = x η x + x2 − 1 − x2 − 1 + c
1
2 2
du =
Respuesta: ∫ η x + x 2 − 1 dx = x η x + x 2 − 1 − x 2 − 1 + c
79
4.8.-Encontrar: ∫ η 2 xdx
Solución.- I L A T E
↓ ↓
η2x 1
u = η2x
∴
1
du = 2 η x dx
x
dv = 1dx
v=x
1
∴ ∫ η 2 xdx = x η 2 x − 2∫ η x xdx = x η 2 x − 2∫ η xdx
x
Por ejercicio 4.5, se tiene: ∫ η xdx = x( η x − 1) + c
Luego: ∫ η 2 xdx = x η 2 x − 2 [ x( η x − 1) + c ] = x η 2 x − 2 x( η x − 1) + c
Respuesta: ∫ η 2 xdx = x η 2 x − 2 x( η x − 1) + c
4.9.-Encontrar: ∫ arcτ gxdx
Solución.- I L A T E
↓ ↓
arcτ gx 1
u = arcτ gx
dv = 1dx
∴
dx
du =
v=x
1 + x2
xdx
∴ ∫ arc τ gxdx = x arcτ gx − ∫
1 + x2
2
Sea: w = 1 + x , dw = 2 xdx
1 2 xdx
1 dw
1
Luego: x arcτ gx − ∫
= x arcτ gx − ∫
= x arcτ gx − η w + c
2
2 1+ x
2 w
2
1
= x arcτ gx − η 1 + x 2 + c
2
1
Respuesta: ∫ arcτ gxdx = x arcτ gx − η 1 + x 2 + c
2
2
4.10.- ∫ x arcτ gxdx
Solución.- I L A T E
↓ ↓
arcτ gx x 2
u = arcτ gx
dv = x 2 dx
∴
dx
x3
du =
v=
2
1+ x
3
3
1 x 2 dx x3
1
x
x
∴ ∫ x 2 arcτ gxdx = arcτ gx − ∫
= arcτ gx − ∫ ( x − 2 )dx
2
x +1
3
3 1+ x
3
3
80
1
1
x3
x
dx
arcτ gx − ∫ xdx − ∫ 2
3
3
3 x +1
xdx 1
Por ejercicio 4.9, se tiene: ∫ 2
= η x2 + 1 + c
x +1 2
3
1
1
x
x3
x2 1
Luego: arcτ gx − ∫ xdx + η x 2 + 1 + c = arcτ gx − + η x 2 + 1 + c
3
3
6
3
6 6
3
2
x
x 1
Respuesta: ∫ x 2 arcτ gxdx = arcτ gx − + η x 2 + 1 + c
3
6 6
4.11.-Encontrar: ∫ arc cos 2xdx
=
Solución.- I L A T E
↓ ↓
arc cos 2x 1
u = arc cos 2 x
∴
2dx
du = −
1 − 4x2
dv = 1dx
v=x
∴ ∫ arc cos 2 xdx = x arc cos 2 x + 2 ∫
xdx
1 − 4 x2
Sea: w = 1 − 4 x 2 , dw = −8 xdx
2 −8 xdx
1
1w2
−1
Luego: x arc cos 2 x − ∫
= x arc cos 2 x − ∫ w 2 dw =x arc cos 2 x −
+c
8 1 − 4 x2
4
4 1
2
1
= x arc cos 2 x −
1
1 − 4x2 + c
2
Respuesta: ∫ arc cos 2xdx = x arc cos 2 x −
1
1 − 4x2 + c
2
arcs e n x
dx
x
Solución.- I L A T E
↓
arc s e n x 1
4.12.-Encontrar: ∫
u = arc s e n x
∴
du =
1 dx
1− x x
−1
dv = x 2 dx
v=2 x
∴ ∫ arc s e n xx 2 dx = 2 x arc s e n x − ∫
−1
dx
1− x
Sea: w = 1 − x, dw = − dx
−dx
−1
= 2 x arc s e n x + ∫ w 2 dw
1− x
1
2
= 2 x arc s e n x + 2 w + c = 2 x arc s e n x + 2 1 − x + c
Luego: 2 x arc s e n x + ∫
81
arcs e n x
dx = 2 x arc s e n x + 2 1 − x + c
x
4.13.-Encontrar: ∫ x arcs e n 2 x 2 dx
Respuesta: ∫
Solución.- I L A T E
↓
arc s e n 2 x 2
x
u = arc s e n 2 x 2
dv = xdx
∴
4 xdx
x2
du =
v
=
2
1 − 4x4
2
x
x3 dx
∴ ∫ x arc s e n 2 x 2 dx = arc s e n 2 x 2 − 2∫
2
1 − 4x4
Sea: w = 1 − 4 x 4 , dw = −16 x3 dx
Luego:
x2
2 (−16 x3 dx) x 2
1 −1
arc s e n 2 x 2 + ∫
= arc s e n 2 x 2 + ∫ w 2 dw
2
16
2
8
1 − 4x4
1
x2
1w2
x2
1 1
= arc s e n 2 x 2 +
+ c = arc s e n 2 x 2 + w 2 + c
2
8 1
2
4
2
1
x2
1 − 4 x4 + c
= arc s e n 2 x 2 +
2
4
1
x2
Respuesta: ∫ x arcs e n 2 x 2 dx = arc s e n 2 x 2 +
1 − 4 x4 + c
2
4
x
a
4.14.-Encontrar: ∫ xe dx
Sea: w =
x
dx
, dw =
a
a
x
x x dx
Luego: ∫ xe a dx = a 2 ∫ e a
= a 2 ∫ we w dw , integrando por partes se tiene:
a
a
Solución.- I L A T E
↓
↓
w
ew
u=w
dv = e w dw
∴
du = dw
v = ew
(
)
∴ a 2 ∫ we w dw = a 2 we w − ∫ e w dw = a 2 ( we w − e w + c ) = a 2 ( we w − e w ) + c
x ⎞
x
x
⎛x x
= a 2 ⎜ e a − e a ⎟ + c = a 2 e a ( − 1) + c
a
⎝a
⎠
x
x
x
Respuesta: ∫ xe a dx = a 2 e a ( − 1) + c
a
2 −3 x
4.15.-Encontrar: ∫ x e dx
Solución.- I L A T E
82
↓
x2
↓
e −3 x
dv = e−3 x dx
2
u=x
∴
1
v = − e −3 x
du = 2 xdx
3
1
2
∴ ∫ x 2 e −3 x dx = − x 2 e−3 x + ∫ xe−3 x dx , integrando por partes la segunda integral:
3
3
I L A T E
↓
↓
x
e −3 x
dv = e−3 x dx
u=x
∴
1
du = dx
v = − e −3 x
3
1 2 −3 x 2 ⎛ 1 −3 x 1 −3 x ⎞
x 2 e −3 x 2 −3 x 2 −3 x
2 −3 x
− xe + ∫ e dx
∴ ∫ x e dx = − x e + ⎜ − xe + ∫ e dx ⎟ = −
3
3⎝ 3
3
3
9
9
⎠
2 −3 x
xe
2
2
=−
− xe −3 x − e −3 x + c
3
9
27
− e −3 x ⎛ 2 2
2⎞
Respuesta: ∫ x 2 e −3 x dx =
⎜x + x+ ⎟+c
3 ⎝
3
9⎠
4.16.-Encontrar: ∫ x 3e− x dx
2
Solución.- ∫ x 3e − x dx = ∫ x 2 e− x xdx
2
2
Sea: w = − x 2 , dw = −2 xdx , además: x 2 = − w
2
2
1
1
1
Luego: ∫ x 2 e − x xdx = − ∫ x 2 e − x x(−2 xdx) = − ∫ − we w dw = ∫ we w dw , integrando por
2
2
2
Partes se tiene:
I L A T E
↓
↓
w ew
u=w
dv = e w dw
∴
du = dw
v = ew
1
1
1
1
1
1
∴ ∫ we w dw = we w − ∫ e w dw = we w − ∫ e w dw = we w − e w + c
2
2
2
2
2
2
1 2 − x2 1 − x2
1 − x2 2
= − x e − e + c = − e ( x + 1) + c
2
2
2
2
1 2
Respuesta: ∫ x 3e − x dx = − e − x ( x 2 + 1) + c
2
2
4.17.-Encontrar: ∫ ( x − 2 x + 5)e − x dx
(
)
Solución.- I L A T E
↓
↓
83
∴
x 2 − 2 x + 5 e− x
u = x2 − 2x + 5
du = (2 x − 2)dx
dv = e − x dx
v = −e − x
∴ ∫ ( x 2 − 2 x + 5)e− x dx = −e − x ( x 2 − 2 x + 5) + ∫ (2 x − 2)e − x dx , integrando por partes la
segunda integral:
I L A T E
↓
↓
2 x − 2 e− x
u = 2x − 2
∴
du = 2dx
dv = e− x dx
v = −e − x
∴ ∫ ( x 2 − 2 x + 5)e − x dx = −e− x ( x 2 − 2 x + 5) + ⎡⎣ −e − x (2 x − 2) + 2∫ e − x dx ⎤⎦
= −e− x ( x 2 − 2 x + 5) − e− x (2 x − 2) + 2 ∫ e − x dx = −e − x ( x 2 − 2 x + 5) − e − x (2 x − 2) − 2e− x + c
= −e− x ( x 2 −2 x + 5 +2x −2 + 2 ) + c = −e − x ( x 2 + 5) + c
Respuesta: ∫ ( x 2 − 2 x + 5)e − x dx = −e − x ( x 2 + 5) + c
4.18.-Encontrar: ∫ e ax cos bxdx
Solución.- I L A T E
↓
cos bx e ax
∴
u = cos bx
du = −b s e n bxdx
dv = e ax dx
v=
1 ax
e
a
e ax cos bx b ax
+ ∫ e s e n bxdx , Nótese que la segunda integral es
a
a
semejante a la primera, salvo en la parte trigonométrica; integrando por partes la
segunda integral:
I L A T E
↓
s e n bx e ax
dv = e ax dx
u = s e n bx
∴
1
du = b cos bxdx
v = e ax
a
ax
ax
⎞
e cos bx b ⎛ e s e n bx b ax
∴=
+ ⎜
− ∫ e cos bxdx ⎟
a
a⎝
a
a
⎠
∴ ∫ e ax cos bxdx =
e ax cos bx beax s e n bx b 2 ax
+
− 2 ∫ e cos bxdx , Nótese que:
a
a2
a
ax
e cos bx beax s e n bx b 2 ax
ax
=
+
− 2 ∫ e cos bxdx , la integral a encontrar
e
cos
bxdx
∫
a
a2
a
aparece con coeficiente 1 en el primer miembro, y en el segundo con coeficiente:
=
84
b2
. Transponiendo éste término al primer miembro y dividiendo por el nuevo
a2
b2 a 2 + b2
coeficiente: 1 + 2 =
, se tiene:
a
a2
⎛ a 2 + b 2 ⎞ ax
ae ax cos bx + beax s e n bx
e
cos
bxdx
=
+c
⎜
⎟∫
2
a2
⎝ a
⎠
−
ae ax cos bx + be ax s e n bx
ax
∫ e cos bxdx =
a2
+c =
eax (a cos bx + b s e n bx)
+c
a 2 + b2
⎛ a 2 + b2 ⎞
⎜
⎟
2
⎝ a
⎠
ax
e (a cos bx + b s e n bx)
+c
Respuesta: ∫ e ax cos bxdx =
a 2 + b2
4.19.-Encontrar: ∫ e x cos 2 xdx
Solución.- Este ejercicio es un caso particular del ejercicio anterior, donde: a = 1 y
b = 2 . Invitamos al lector, resolverlo por partes, aún cuando la respuesta es
inmediata.
e x (cos 2 x + 2s e n 2 x)
+c
Respuesta: ∫ e x cos 2 xdx =
5
4.20.-Encontrar: ∫ e ax s e n bxdx
Solución.- I L A T E
↓
s e n bx e ax
dv = e ax dx
∴
1
v = e ax
a
ax
e s e n bx b ax
− ∫ e cos bxdx , integrando por partes la segunda
∴ ∫ e ax s e n bxdx =
a
a
integral:
I L A T E
↓
ax
cos bx e
dv = e ax dx
u = cos bx
∴
1
du = −b s e n bxdx
v = e ax
a
ax
⎞
e s e n bx b ⎛ e ax cos bx b ax
∴ ∫ e ax s e n bxdx =
− ⎜
+ ∫ e s e n bxdx ⎟
a
a⎝
a
a
⎠
u = s e n bx
du = b cos bxdx
=
e ax s e n bx be ax cos bx b 2 ax
−
− 2 ∫ e s e n bxdx ,
a
a2
a
85
Como habrá notado el lector, la integral a encontrar aparece con coeficiente 1 en
b2
el primer miembro, y en el segundo con coeficiente: − 2 . Transponiendo éste
a
b2 a 2 + b2
término al primer miembro y dividiendo por el nuevo coeficiente: 1 + 2 =
, se
a
a2
tiene:
⎛ a 2 + b 2 ⎞ ax
ae ax s e n bx − be ax cos bx
e
s
e
n
bxdx
=
+c
⎜
⎟∫
2
a2
⎝ a
⎠
ae ax s e n bx − be ax cos bx
ax
∫ e s e n bxdx =
a2
+ c = ∫ e ax s e n bxdx =
⎛ a 2 + b2 ⎞
⎜
⎟
2
⎝ a
⎠
ax
e (a s e n bx − b cos bx)
Respuesta: ∫ e ax s e n bxdx =
+c
a2 + b2
4.21.-Encontrar: ∫ x 1 + xdx
e ax (a s e n bx − b cos bx)
+c
a 2 + b2
Solución.- Cuando el integrando, está formado por el producto de funciones
algebraicas, es necesario tomar como dv , la parte más fácil integrable y u como la
parte más fácil derivable. Sin embargo, la opción de “más fácil” quedará a criterio
del lector.
1
dv = (1 + x) 2 dx
u=x
∴
3
2
du = dx
v = (1 + x) 2
3
5
3
3
3
2
2
2
2 (1 + x) 2
2
2
2
∴ ∫ x 1 + xdx = x(1 + x) − ∫ (1 + x) dx = x(1 + x) −
+c
3
3
3
3 5
2
5
2
2
4(1 + x)
3
= x(1 + x) 2 −
+c
3
15
5
2
4(1 + x) 2
3
2
Respuesta: ∫ x 1 + xdx = x(1 + x) −
+c
3
15
x 2 dx
4.22.-Encontrar: ∫
1+ x
2
x dx
−1
= ∫ x 2 (1 + x) 2 dx
Solución.- ∫
1+ x
∴
∴∫
−1
u = x2
dv = (1 + x) 2 dx
du = 2 xdx
v = 2(1 + x)
1
2
x 2 dx
= 2 x 2 1 + x − 4 ∫ x 1 + xdx , integrando por partes la segunda integral:
1+ x
86
u=x
du = dx
∴
∫
x 2 dx
= 2 x2
1+ x
dv = (1 + x) 2 dx
1
3
2
v = (1 + x) 2
3
3
3
2
2
⎡2
⎤
1 + x − 4 ⎢ x(1 + x) 2 − ∫ (1 + x) dx ⎥
3
⎣3
⎦
3
3
5
8
8 (1 + x) 2
8
16
= 2 x 1 + x − x(1 + x) 2 +
+ c = 2 x 2 1 + x − x(1 + x) 2 + (1 + x) 2 + c
3
3 5
3
15
2
x 2 dx
8
3
16
5
Respuesta: ∫
= 2 x 2 1 + x − x(1 + x) 2 + (1 + x) 2 + c
3
15
1+ x
xdx
4.23.-Encontrar: ∫ x
e
xdx
Solución.- ∫ x = ∫ xe− x dx
e
I L A T E
↓
↓
x
e− x
u=x
dv = e− x dx
∴
du = dx
v = −e − x
5
2
∴ ∫ xe− x dx = − xe − x + ∫ e − x dx = − xe− x − e − x + c = e − x (− x − 1) + c = −e− x ( x + 1) + c
xdx
= −e− x ( x + 1) + c
x
e
4.24.-Encontrar: ∫ x 2 η 1 − x dx
Respuesta: ∫
u = η 1− x
Solución.- ∴
du =
1
− dx
−1
(1 − x) 2 (−1)dx ⇒ du =
2(1 − x)
1− x 2
1
dv = x 2 dx
v=
x3
3
x3
1 x3
x3
1 ⎛
1 ⎞
η 1− x + ∫
dx =
η 1 − x − ∫ ⎜ x2 + x + 1 −
⎟dx
3
6 1− x
3
6 ⎝
1− x ⎠
x3
1 x3 1 x 2 1
1
=
η 1− x −
−
− x − η 1− x + c
3
6 3 6 2 6
6
3
3
2
x
1
x x
x
=
η 1− x − η 1− x − − − + c
3
6
18 12 6
x3
1
x3 x 2 x
Respuesta: ∫ x 2 η 1 − x dx =
η 1− x − η 1− x − − − + c
3
6
18 12 6
2
4.25.-Encontrar: ∫ x s e n xdx
∴ ∫ x 2 η 1 − x dx =
Solución.-
87
dv = s e n 2 xdx
1 − cos 2 x ⎞
⎛
v=∫
dx ⎟
∴
1
1
⎜
du = dx
2
v = x − s e n 2x
⎝
⎠
2
4
1
1
1
1
∴ ∫ x s e n 2 xdx = x 2 − x s e n 2 x − ∫ xdx + ∫ s e n 2 xdx
2
4
2
4
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1
= x − x s e n 2 x − x − cos 2 x + c = x − x s e n 2 x − cos 2 x + c
2
4
4
8
4
4
8
2
x
x s e n 2 x cos 2 x
Respuesta: ∫ x s e n 2 xdx = −
−
+c
4
4
8
Otra solución.1 − cos 2 x
1
1
1 x2 1
2
x
e
xdx
=
x
dx
=
xdx
−
x
xdx
=
−
x cos 2 xdx
s
n
cos
2
∫
∫
2
2∫
2∫
2 2 2∫
x2 1
= − ∫ x cos 2 xdx ; integrando por partes, la segunda integral:
4 2
dv = cos 2 xdx
u=x
∴
1
du = dx
v = s e n 2x
2
2
2
x 1⎛ x
1
x
1
⎞ x
2
x
e
xdx
=
−
e
x
−
e
xdx
=
− s e n 2 x + ∫ s e n 2 xdx
s
n
s
n
2
s
n
2
⎜
⎟
∫
∫
4 2⎝ 2
2
4
⎠ 4 4
u=x
x2 x
1 1
x2 x
cos 2 x
= − s e n 2 x + (− cos 2 x) + c = − s e n 2 x −
+c
4 4
4 2
4 4
8
x 2 x s e n 2 x cos 2 x
2
Respuesta: ∫ x s e n xdx = −
−
+c
4
4
8
4.26.-Encontrar: ∫ x(3 x + 1)7 dx
Solución.dv = (3x + 1)7 dx
∴
v = ∫ (3x + 1)7 dx
1
8
du = dx
v = (3x + 1)
24
x
1
x
1 1 (3x + 1)9
7
8
8
8
∴ ∫ x(3 x + 1) dx = (3x + 1) − ∫ (3x + 1) dx = (3 x + 1) −
+c
24
24
24
24 3
9
x
(3x + 1)9
8
=
+c
(3 x + 1) −
24
648
x
(3x + 1)9
7
8
Respuesta: ∫ x(3x + 1) dx = (3x + 1) −
+c
24
648
u=x
(
)
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando esencialmente el mecanismo presentado, encontrar las integrales
siguientes:
88
4.27.- ∫ x(2 x + 5)10 dx
4.28.- ∫ arcs e n xdx
4.29.- ∫ x s e n xdx
4.33.- ∫ x3e − 3 dx
4.34.- ∫ x s e n x cos xdx
4.35.- ∫ x 2 η xdx
4.36.- ∫
4.37.- ∫
4.30.- ∫ x cos 3 xdx
x
ηx
x
3
dx
4.39.- ∫ x arcs e n xdx
4.42.- ∫ 3x cos xdx
4.45.- ∫ x η
1− x
dx
1+ x
4.48.- ∫ x(arcτ gx) 2 dx
arcs e n x
4.51.- ∫
dx
1− x
4.54.- ∫ x3 η 2 xdx
4.57.- ∫ x arcτ g (2 x + 3)dx
4.60.- ∫
η ( η x)
x
4.63.- ∫ cos xdx
dx
n
4.66.- ∫ x3 ( η x) 2 dx
4.31.- ∫ x 2− x dx
ηx
dx
x
xdx
4.40.- ∫
s e n2 x
4.43.- ∫ s e n( η x)dx
4.46.- ∫
η2x
dx
x2
4.49.- ∫ (arcs e n x) 2 dx
s e n2 x
4.52.- ∫
dx
ex
4.55.- ∫ x η (9 + x 2 )dx
4.32.- ∫ x 2 e3 x dx
4.38.- ∫ x arcτ gxdx
4.41.- ∫ e x s e n xdx
4.44.- ∫ ( x 2 − 2 x + 3) η xdx
4.47.- ∫ x 2 arcτ g 3 xdx
arcs e n x
dx
x2
4.53.- ∫ τ g 2 x sec3 xdx
4.50.- ∫
4.56.- ∫ arcs e n xdx
4.58.- ∫ e x dx
4.59.- ∫ cos 2 ( η x)dx
4.61.- ∫ η x + 1 dx
4.62.- ∫ x 2 e x dx
4.64.- ∫ s e n n xdx
4.65.- ∫ x m ( η x) n dx
4.67.- ∫ x n e x dx
4.68.- ∫ x3e x dx
4.69.- ∫ sec n xdx
4.70.- ∫ sec3 xdx
4.71.- ∫ x η xdx
4.75.- ∫ x 2 cos axdx
4.76.- ∫ x sec 2 axdx
4.77.- ∫ cos( η x)dx
4.72.- ∫ x n η ax dx, n ≠ −1
4.78.- ∫ η (9 + x 2 )dx
4.81.- ∫ arc sec xdx
4.84.- ∫ η ( x 2 + 1)dx
4.87.- ∫ x arcτ g x 2 − 1dx
4.73.- ∫ arcs e n axdx
4.79.- ∫ x cos(2 x + 1)dx
4.82.- ∫ a 2 − x 2 dx
4.85.- ∫ arcτ g xdx
4.88.- ∫
x arcτ gx
dx
( x 2 + 1) 2
4.74.- ∫ x s e n axdx
4.80.- ∫ x arc sec xdx
4.83.- ∫ η 1 − x dx
4.86.- ∫
x arcs e n x
1 − x2
4.89.- ∫ arcs e n x
dx
xdx
(1 − x 2 )3
4.90.- ∫ x 2 1 − xdx
RESPUESTAS
4.27.- ∫ x(2 x + 5)10 dx
Solución.-
89
∴
dv = (2 x + 5)10 dx
u=x
du = dx
(2 x + 5)11
22
x
1
x
1
10
11
11
11
12
∫ x(2 x + 5) dx = 22 (2 x + 5) − 22 ∫ (2 x + 5) dx = 22 (2 x + 5) − 44 (2 x + 5) + c
x
1
= (2 x + 5)11 −
(2 x + 5)12 + c
22
528
4.28.- ∫ arcs e n xdx
v=
Solución.u = arcs e n x
∴
du =
dx
1 − x2
∫ arcs e n xdx = x arcs e n x − ∫
dv = dx
v=x
xdx
1− x
2
Además: w = 1 − x 2 , dw = −2 xdx
= x arcs e n x +
1 dw
= x arcs e n x + 1 − x 2 + c
1
2∫w 2
4.29.- ∫ x s e n xdx
Solución.u=x
∴
du = dx
dv = s e n xdx
v = − cos x
∫ x s e n xdx = − x cos x + ∫ cos xdx = − x cos x + s e n x + c
4.30.- ∫ x cos 3 xdx
Solución.-
∴
u=x
du = dx
dv = cos 3xdx
1
v = s e n 3x
3
x
1
x
cos 3 x
∫ x cos 3xdx = 3 s e n 3x − ∫ 3 s e n 3xdx = 3 s e n 3x + 9 + c
4.31.- ∫ x 2− x dx
Solución.∴
dv = 2− x dx
u=x
du = dx
−x
∫ x2 dx = −
v=−
2− x
η2
x 2− x
1
x 2− x
1 ⎛ −2− x ⎞
x
1
−x
dx
2
+
=
−
+
− −x 2 + c
⎜
⎟+c = − x
∫
η2 η2
η2 η2 ⎝ η2 ⎠
2 η2 2 η 2
4.32.- ∫ x 2 e3 x dx
Solución.-
90
∴
u=x
dv = e3 x dx
2
1
v = e3 x
3
du = 2 xdx
x2 3x 2
e − ∫ xe3 x dx , integral la cual se desarrolla nuevamente por partes,
3
3
dv = e3 x dx
u=x
esto es:
∴
1
du = dx
v = e3 x
3
2
2
x
2⎛ x
1
2
2
x2
2x
2
⎞ x
= e3 x − ⎜ e3 x − ∫ e3 x dx ⎟ = e3 x − xe3 x + ∫ e3 x dx = e3 x − e3 x + e3 x + c
3
3⎝3
3
9
9
3
9
27
⎠ 3
2 3x
∫ x e dx =
4.33.- ∫ x3e − 3 dx
x
Solución.x
dv = e− 3 dx
u = x3
∴
x
du = 3x 2 dx
v = −3e− 3
3 −x
3 −x
2 −x
∫ x e 3 dx = −3x e 3 + 9∫ x e 3 dx , integral la cual se desarrolla nuevamente por
∴
partes, esto es:
(
= −3x3e− 3 + 9 −3 x 2 e −
x
x
3
u = x2
du = 2 xdx
dv = e− 3 dx
x
v = −3e− 3
x
x
x
x
+ 6∫ xe − 3 dx = −3 x3e − 3 − 27 x 2 e − 3 + 54∫ xe− 3 dx
x
)
, la nueva integral se desarrolla por partes, esto es:
x
u=x
dv = e− 3 dx
∴
x
du = dx
v = −3e− 3
(
)
−x
3x 3 27 x 2
3 x 3 27 x 2 162 x
−x3
−x3
−
+
−
xe
+
e
dx
=
−
− x − x + 162(−3e 3 ) + c
54
3
3
x
x
x
∫
3
3
3
3
3
e
e
e
e
e
3
2
3 x 27 x 162 x 486
= − x − x − x − x +c
e3
e3
e3
e3
4.34.- ∫ x s e n x cos xdx
=−
Solución.-
∴
u=x
dv = s e n 2 xdx
cos 2 x
2
1
1⎛ x
1
⎞
∫ x s e n x cos xdx = 2 ∫ x s e n 2 xdx = 2 ⎜⎝ − 2 cos 2 x + 2 ∫ cos 2 xdx ⎟⎠
x
1
x
1
= − cos 2 x + ∫ cos 2 xdx = − cos 2 x + s e n 2 x + c
4
4
4
8
2
4.35.- ∫ x η xdx
du = dx
v=−
Solución.-
91
u = ηx
∴
dv = x 2 dx
dx
x3
v=
x
3
3
3
x ηx 1 2
x η x x3
2
x
xdx
=
−
x
dx
=
− +c
η
∫
3
3∫
3
9
ηx
4.36.- ∫ 3 dx
x
Solución.u = ηx
dv = x −3 dx
∴
dx
1
du =
v=− 2
x
2x
ηx
η
x
1
ηx 1
−3
−3
∫ x3 dx = ∫ x η xdx = − 2 x2 + 2 ∫ x dx = − 2 x 2 − 4 x 2 + c
ηx
4.37.- ∫
dx
x
Solución.u = ηx
1
dv = x − 2 dx
∴
dx
du =
v=2 x
x
ηx
−1
−1
∫ x dx = ∫ x 2 η xdx = 2 x η x − 2∫ x 2 dx = 2 x η x − 4 x + c
4.38.- ∫ x arcτ gxdx
du =
Solución.u = arcτ gx
∴
dx
du =
1 + x2
dv = xdx
x2
2
2
2
x
1 x dx x 2
1 ⎛
1 ⎞
arc
arc
x
τ
gxdx
τ
gx
=
−
= arcτ gx − ∫ ⎜1 −
⎟dx
2
∫
∫
2
2 1+ x
2
2 ⎝ 1 + x2 ⎠
v=
x2
1
1 dx
x2
1
arcτ gx
=
+c
arcτ gx − ∫ dx + ∫
arcτ gx − x +
2
2
2
2 1+ x
2
2
2
4.39.- ∫ x arcs e n xdx
=
Solución.u = arcs e n x
dv = xdx
dx
∴
x2
du =
v
=
1 + x2
2
x2
1 x 2 dx
∫ x arcs e n xdx = 2 arcs e n x − 2 ∫ 1 + x2 , integral para la cual se sugiere la
x = s e nθ
sustitución siguiente: ∴
dx = cos θ dθ
92
=
x2
1 s e n 2 θ cos θ dθ
arcs e n x − ∫
2
2
cos θ
x2
1 ⎛ 1 − cos 2θ
arcs e n x − ∫ ⎜
2
2 ⎝
2
x2
1
1
⎞
=
θ
d
arcs e n x − ∫ dθ + ∫ cos 2θ dθ
⎟
2
4
4
⎠
2
2
x
1
1
x
1
2s e n θ cos θ
= arcs e n x − θ + s e n 2θ + c = arcs e n x − arcs e n x +
+c
2
4
8
2
4
8
=
Como: s e n θ = x, cos θ = 1 − x 2 ; luego:
x2
1
1
arcs e n x − arcs e n x + x 1 − x 2 + c
2
4
4
xdx
4.40.- ∫
s e n2 x
Solución.u=x
dv = cos ec 2 xdx
∴
du = dx
v = − coτ gx
xdx
2
∫ s e n 2 x = ∫ x cos ec xdx = − x coτ gx + ∫ coτ gxdx = − x coτ gx + η s e n x + c
4.41.- ∫ e x s e n xdx
=
Solución.u = sen x
∴
du = cos xdx
dv = e x dx
v = ex
x
x
x
∫ e s e n xdx = e s e n x − ∫ e cos xdx , integral la cual se desarrolla por partes, esto es:
∴
u = cos x
du = − s e n xdx
(
dv = e x dx
)
v = ex
= e x s e n x − e x cos x + ∫ e x s e n xdx = e x s e n x − e x cos x − ∫ e x s e n xdx
Luego se tiene: ∫ e x s e n xdx = e x s e n x − e x cos x − ∫ e x s e n xdx , de donde es inmediato:
2 ∫ e x s e n xdx = e x (s e n x − cos x) + c
ex
(s e n x − cos x) + c
2
4.42.- ∫ 3x cos xdx
x
∫ e s e n xdx =
Solución.-
∴
u = cos x
du = − s e n xdx
dv = 3x dx
v=
3x
η3
93
x
∫ 3 cos xdx = cos x
3x
= cos x
3x
η3
η3
+
1
3
η3 ∫
u = sen x
du = cos xdx
esto es: ∴
= cos x
3x
+
x
s e n xdx , integral la cual se desarrolla por partes,
dv = 3x dx
v=
3x
η3
⎞
1 ⎛ 3x
1
sen x −
3x cos xdx ⎟
⎜
∫
η3 ⎝ η3
η3
⎠
3x s e n x
1
− 2 ∫ 3x cos xdx ,luego:
2
η3
η 3
η 3
+
3x ⎛
sen x ⎞
1
x
⎜ cos x +
⎟ − 2 ∫ 3 cos xdx , de donde es inmediato:
η⎝
η3 ⎠ η 3
1
3x ⎛
sen x ⎞
= (1 + 2 ) ∫ 3x cos xdx =
+c
⎜ cos x +
η 3
η3 ⎝
η 3 ⎟⎠
= ∫ 3x cos xdx =
η 23 +1 x
3x ⎛
sen x ⎞
xdx
=
+c
)
3
cos
⎜ cos x +
∫
2
η 3 ⎟⎠
η3 ⎝
η 3
3x η 3 ⎛
sen x ⎞
= ∫ 3x cos xdx = 2
+c
⎜ cos x +
η 3 +1⎝
η 3 ⎟⎠
=(
4.43.- ∫ s e n( η x)dx
Solución.u = s e n( η x)
dv = dx
∴
cos( η x)
du =
dx
v=x
x
∫ s e n( η x)dx = x s e n( η x) − ∫ cos( η x)dx , integral la cual se desarrolla por partes,
esto es:
u = cos( η x)
dv = dx
∴
− s e n( η x)
du =
dx
v=x
x
= x s e n( η x) − ⎡⎣ x cos( η x) + ∫ s e n( η x)dx ⎤⎦ = x s e n( η x) − x cos( η x) − ∫ s e n( η x)dx
Se tiene por tanto:
∫ s e n( η x)dx = x [s e n( η x) − cos( η x)] − ∫ s e n( η x)dx , de donde es inmediato:
2 ∫ s e n( η x)dx = x [s e n( η x) − cos( η x) ] + c ∫ s e n( η x)dx =
x
[s e n( η x) − cos( η x)] + c
2
4.44.- ∫ ( x 2 − 2 x + 3) η xdx
Solución.-
94
u = ηx
∴
du =
dx
x
dv = ( x 2 − 2 x + 3)dx
v=
x3
− x 2 + 3x
3
x3
x2
− x 2 + 3 x) η x − ∫ ( − x + 3)dx
3
3
3
2
x
x
x3
x3 x2
= ( − x 2 + 3x) η x − ∫ dx − ∫ xdx + 3∫ dx = ( − x 2 + 3 x) η x − − + 3 x + c
3
3
3
9 2
1− x
dx
4.45.- ∫ x η
1+ x
Solución.1− x
dv = xdx
u= η
1+ x
∴
x2
v=
2dx
du = 2
2
x −1
1− x
x2
1− x
x 2 dx x 2
1− x
1
x
η
dx
η
η
=
−
=
− ∫ (1 + 2 )dx
2
∫ 1+ x
∫
x −1 2
x −1
2
1+ x
1+ x
2
∫ ( x − 2 x + 3) η xdx = (
=
x2
1− x
dx
x2
1− x
1
x −1
− ∫ dx − ∫ 2
=
−x− η
+c
η
η
2
1+ x
x −1 2
1+ x
2
x +1
4.46.- ∫
η2x
dx
x2
Solución.u = η2x
dv = x −2 dx
∴
2 ηx
1
du =
dx
v=−
x
x
2
2
η x
η x
ηx
η2x
dx
=
−
+
2
dx
=
−
+ 2∫ x −2 η xdx , integral la cual se desarrolla
2
∫ x2
∫
x
x
x
por partes, esto es:
u = ηx
dv = x −2 dx
∴
dx
1
du =
v=−
x
x
2
2
η x
η
x
dx
η
x 2 ηx
dx
η2x 2 ηx 2
⎛
⎞
=−
+ 2⎜ −
+∫ 2 ⎟=−
−
+ 2∫ 2 = −
−
− +c
x
x ⎠
x
x
x
x
x
x
⎝ x
4.47.- ∫ x 2 arcτ g 3 xdx
Solución.u = arcτ g 3x
∴
3dx
du =
1 + 9x2
dv = x 2 dx
v=
x3
3
95
x3
x3dx
x3
1
x3 dx
arcτ g 3x − ∫
arc
g
3
x
=
τ
−
3
1 + 9 x2 3
9 ∫ 1 + x2
9
⎡
2
⎞ ⎤ x3
1 x
x3
1 ⎛
xdx
⎟ dx ⎥ = arcτ g 3 x − 1 x + 1
= arcτ g 3x − ⎢ ∫ ⎜ x − 2 9
∫
3
9⎢ ⎜
9 2 81 x 2 + 1
x +1 ⎟ ⎥ 3
9⎠ ⎦
9
⎣ ⎝
3
2
x
x
1
1
= arcτ g 3x − +
η x2 + + c
3
18 162
9
2
∫ x arcτ g 3xdx =
4.48.- ∫ x(arcτ gx) 2 dx
Solución.dv = xdx
u = (arcτ gx) 2
∴
x2
2 arcτ gxdx
=
v
du =
2
1 + x2
2
x
x 2 dx
2
2
x
gx
dx
gx
gx
(arc
τ
)
=
(arc
τ
)
−
(arc
τ
)
, integral la cual se desarrolla por
∫
∫
2
1 + x2
partes, esto es:
u = arcτ gx
x 2 dx
dv =
∴
dx
1 + x2
du =
1 + x2
v = x − arcτ gx
( x arcτ gx) ⎡
dx ⎤
=
− ⎢( x − arcτ gx) arcτ gx − ∫ ( x − arcτ gx)
2
1 + x 2 ⎥⎦
⎣
2
( x arcτ gx)
xdx
arcτ gxdx
=
− x arcτ gx + (arcτ gx) 2 + ∫
−∫
2
2
1+ x
1 + x2
2
2
( x arcτ gx)
1
(arcτ gx)
2
2
=
− x arcτ gx + (arcτ gx) + η (1 + x ) −
+c
2
2
2
4.49.- ∫ (arcs e n x) 2 dx
2
Solución.u = (arc s e n x) 2
∴
2 arc s e n xdx
du =
1 − x2
dv = dx
v=x
∫ (arcs e n x) dx = x(arcs e n x)
2
2
− 2∫ arcs e n x
u = arcs e n x
partes, esto es: ∴
du =
dx
xdx
, integral la cual se desarrolla por
1 − x2
xdx
dv =
1 − x2
1 − x2
v = − 1 − x2
= x(arcs e n x) 2 − 2 ⎡ − 1 − x 2 arcs e n x + ∫ dx ⎤
⎣
⎦
= x(arcs e n x) 2 + 2 1 − x 2 arcs e n x − 2 x + c
96
arcs e n x
dx
x2
Solución.u = arcs e n x
dv = x −2 dx
dx
∴
1
du =
v=−
2
1− x
x
dx
arcs e n x
arcs e n x
−2
∫ x2 dx = ∫ x arcs e n xdx = − x + ∫ x 1 − x2
arcs e n x
x
=−
+ η
+c
x
1 + 1 − x2
4.50.- ∫
arcs e n x
dx
1− x
Solución.u = arcs e n x
∴
dx
1
du =
1− x 2 x
4.51.- ∫
dv =
dx
1− x
v = −2 1 − x
dx
arcs e n x
dx = −2 1 − x arcs e n x + ∫
= −2 1 − x arcs e n x + 2 x + c
x
1− x
s e n2 x
4.52.- ∫
dx
ex
Solución.dv = e− x dx
u = s e n2 x
∴
du = 2s e n x cos x
v = −e − x
s e n2 x
2
2
−x
−x
−x
∫ e x dx = ∫ s e n xe dx = −e s e n x + 2∫ s e n x cos xe dx
s e n 2x −x
= −e − x s e n 2 x + 2 ∫
e dx , ∗ Integral la cual se desarrolla por partes, esto es:
2
u = s e n 2x
dv = e− x dx
∴
du = 2 cos 2 xdx
v = −e − x
∫
= −e− x s e n 2 x + 2 ∫ cos 2 xe − x dx , Integral la cual se desarrolla por partes, esto es:
∴
u = cos 2 x
du = −2s e n 2 xdx
dv = e− x dx
v = −e − x
∫ s e n 2 xe dx = −e s e n 2 x + 2 ( −e cos 2 x − 2∫ s e n 2 xe dx )
∫ s e n 2 xe dx = −e s e n 2 x − 2e cos 2 x − 4∫ s e n 2 xe dx , de donde:
5∫ s e n 2 xe dx = −e (s e n 2 x + 2 cos 2 x) + c
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
−x
97
−e − x
(s e n 2 x + 2 cos 2 x) + c , Sustituyendo en: ∗
5
s e n 2 xdx
2e − x
−x
2
e
s
e
n
x
(s e n 2 x + 2 cos 2 x) + c
=
−
−
∫ ex
5
4.53.- ∫ τ g 2 x sec3 xdx = ∫ (sec 2 x − 1) sec3 xdx = ∫ sec5 xdx(∗) − ∫ sec3 xdx(∗∗)
−x
∫ s e n 2 xe dx =
Solución.-
∗∫ sec xdx ,
5
∫ sec
5
Sea:
∫ sec
dv = sec 2 xdx
du = 3sec3 xτ gxdx
v = τ gx
xdx = ∫ sec3 x sec2 xdx = sec3 xτ gx − 3∫ sec3 xτ g 2 xdx
∗∗ ∫ sec3 xdx , Sea:
3
u = sec3 x
u = sec x
du = sec xτ gxdx
dv = sec 2 xdx
v = τ gx
xdx = ∫ sec x sec xdx = sec xτ gx − ∫ sec xτ g xdx = sec xτ gx − ∫ sec x(sec x 2 − 1)dx
2
2
= sec xτ gx − ∫ sec3 xdx + ∫ sec xdx , luego: 2 ∫ sec3 xdx = sec xτ gx + ∫ sec xdx
1
Esto es: ∫ sec3 xdx = (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c , ahora bien:
2
2
3
5
3
∫ τ g x sec xdx = ∫ sec xdx − ∫ sec xdx , con ( ∗ y ∗∗ )
1
x sec3 xdx = sec3 xτ gx − 3∫ sec3 xτ g 2 xdx − (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c
2
1
De lo anterior: 4 ∫ τ g 2 x sec3 xdx = sec3 xτ gx − (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c
2
1
1
Esto es: ∫ τ g 2 x sec3 xdx = sec3 xτ gx − (sec xτ gx + n sec xτ gx ) + c
4
8
3
2
4.54.- ∫ x η xdx
∫τ g
2
Solución.dv = x3 dx
u = η2x
∴
2 ηx
x4
du =
dx
v=
x
4
4
x
1 3
3
2
2
∫ x η xdx = 4 η x − 2 ∫ x η xdx , integral la cual se desarrolla por partes, esto es:
u = ηx
dv = x3 dx
dx
x
x4
4
4
4
⎞ x4 2 1 4
x
1⎛ x
1
1 x4
η2x − ⎜
η x − ∫ x 3dx ⎟ =
η x − x ηx +
=
+c
4
2⎝ 4
4
8
8 4
⎠ 4
x4 2 1 4
x4
=
η x − x ηx + + c
4
8
32
du =
v=
98
4.55.- ∫ x η (9 + x 2 )dx
Solución.dv = xdx
u = η (9 + x 2 )
∴
x2
2 xdx
=
v
du =
2
9 + x2
2
3
x
x
x2
9x ⎞
⎛
2
2
+
=
+
−
=
(9
)
(9
)
x
η
x
dx
η
x
dx
η (9 + x 2 ) − ∫ ⎜ x − 2
⎟dx
2
∫
∫
2
9+ x
2
x +9⎠
⎝
x2
xdx
x2
x2 9
2
(9
)
η (9 + x 2 ) − ∫ xdx + 9 ∫
=
η
+
x
−
+ η ( x 2 + 9) + c
2
9 + x2 2
2 2
x2
9
= ⎡⎣ η (9 + x 2 ) − 1⎤⎦ + η ( x 2 + 9) + c
2
2
4.56.- ∫ arcs e n xdx
=
Solución.u = arcs e n xdx
∴
dx
1
du =
2
1− x 2 x
dv = dx
v=x
xdx 1
1
xdx
= x arcs e n x − ∫
2 1− x
1− x 2 x
Para la integral resultante, se recomienda la siguiente sustitución:
1 − x = t , de donde: x = 1 − t 2 , y dx = −2tdt ( ver capitulo 9)
∫ arcs e n
xdx = x arcs e n x − ∫
= x arcs e n x −
1 1 − t 2 (−2 t dt )dx
= x arcs e n x + 1 − t 2 dt ,
2
t
Se
recomienda
sustitución: t = s e n θ , de donde: 1 − t 2 = cos θ , y dt = cos θ dθ . Esto es:
1
= x arcs e n x + ∫ cos 2 θ dθ = x arcs e n x + ∫ (1 + cos 2θ )dθ
2
1
1
1
1
= x arcs e n x + θ + s e n 2θ + c = x arcs e n x + θ + s e n θ cos θ + c
2
4
2
2
arcs e n t t
arcs e n 1 − x
1− x
1 − t 2 + c = x arcs e n x +
= x arcs e n x +
+
+
2
2
2
2
4.57.- ∫ x arcτ g (2 x + 3)dx
Solución.u = arcτ g (2 x + 3)
∴
2dx
du =
1 + (2 x + 3) 2
∫ x arcτ g (2 x + 3)dx =
la
x +c
dv = xdx
v=
x2
2
x2
x 2 dx
arcτ g (2 x + 3) − ∫
2
1 + 4 x 2 + 12 x + 9
99
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⎛1
⎞
3x + 5
x2
x 2 dx
x2
2 ⎟dx
= arcτ g (2 x + 3) − ∫ ⎜ − 2
arcτ g (2 x + 3) − ∫ 2
2
4 x + 12 x + 10 2
⎜ 4 4 x + 12 x + 10 ⎟
⎝
⎠
3x + 5
x2
1
2 dx
arcτ g (2 x + 3) − ∫ dx + ∫ 2
2
4
4 x + 12 x + 10
x+ 5
x2
1
6
dx
arcτ g (2 x + 3) − x + 3∫ 2
2
4
4 x + 12 x + 10
8 x + 40
x2
1
3
6 dx
arcτ g (2 x + 3) − x + ∫ 2
2
4
8 4 x + 12 x + 10
32
x2
1
3 8 x + 12 − 6
dx
arcτ g (2 x + 3) − x + ∫ 2
2
4
8 4 x + 12 x + 10
x2
1
3 (8 x + 12)dx
3 32
dx
arcτ g (2 x + 3) − x + ∫ 2
−
2
∫
2
4
8 4 x + 12 x + 10 8 6 4 x + 12 x + 10
2
x
1
3
dx
arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 − 2∫ 2
2
4
8
4 x + 12 x + 10
2
x
1
3
dx
arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 − 2∫
2
4
8
(2 x + 3) 2 + 1
x2
1
3
2
2dx
arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 − ∫
2
4
8
2 (2 x + 3) 2 + 1
x2
1
3
arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 − arcτ g (2 x + 3) + c
2
4
8
1⎡
1
3
⎤
= ⎢( x 2 − 2) arcτ g (2 x + 3) − x + η 4 x 2 + 12 x + 10 ⎥ + c
2⎣
2
4
⎦
=
4.58.- ∫ e x dx
Solución.u=e x
∴
e x dx
du =
2 x
∫e
x
dx = xe
x
dv = dx
v=x
dx
1 xe x dx
, Se recomienda la sustitución: z = x , dz =
− ∫
2 2 x
2 x
1 2 z
z e dz , Esta integral resultante, se desarrolla por partes:
2∫
dv = e z dz
u = z2
∴
du = 2 zdz
v = ez
1
z 2e z
= xe x − z 2 e z − 2∫ ze z dz = xe x −
+ ∫ ze z dz , integral que se desarrolla por
2
2
partes:
= xe
x
−
(
)
100
∴
u=z
dv = e z dz
du = dz
v = ez
z 2e z
+ ze z − ∫ e z dz = xe
2
⎛x
⎞
= e x ⎜ + x − 1⎟ + c
⎝2
⎠
2
4.59.- ∫ cos ( η x)dx
= xe
x
−
x
−
z 2e z
+ ze z − e z + c = xe
2
x
−
xe x
+ xe
2
x
−e
x
+c
Solución.u = cos(2 η x)
dv = dx
∴
s e n(2 η x) ] 2dx
[
v=x
du = −
x
1 + cos(2 η x)
1
1
2
dx = ∫ dx + ∫ cos(2 η x)dx
∫ cos ( η x)dx = ∫
2
2
2
1
1⎡
x
x
= x + x cos(2 η x) + 2∫ s e n(2 η x)dx ⎤ = + cos(2 η x) + ∫ s e n(2 η x)dx ∗
⎣
⎦
2
2
2 2
Integral que se desarrolla por partes:
u = s e n(2 η x)
dv = dx
∴
cos(2 η x) ] 2dx
[
v=x
du = −
x
x x
∗ = + cos(2 η x) + x s e n(2 η x) − 2∫ cos(2 η x)dx ,
2 2
Dado que apareció nuevamente: ∫ cos(2 η x)dx , igualamos: ∗
x x
x 1
+ ∫ cos(2 η x)dx = + cos(2 η x) + x s e n(2 η x) − 2 ∫ cos(2 η x)dx , de donde:
2 2
2 2
x
5
cos(2 η x)dx = cos(2 η x) + x s e n(2 η x) + c
∫
2
2
1
x
x
cos(2 η x)dx = cos(2 η x) + s e n(2 η x) + c , Por tanto:
∫
2
10
5
x x
x
2
∫ cos ( η x)dx = 2 + 10 cos(2 η x) + 5 s e n(2 η x) + c
η ( η x)
dx
, Se tiene:
4.60.- ∫
dx , Sustituyendo por: w = η x, dw =
x
x
Solución.η ( η x)
∫ x dx = ∫ η wdw , Esta integral se desarrolla por partes:
u = ηw
dv = dw
∴
dw
du =
v=w
w
= w η w − ∫ dw = w η w − w + c = w( η w − 1) + c = η x [ η ( η x) − 1] + c
101
4.61.- ∫ η x + 1 dx
Solución.u = η x +1
∴
dx
du =
x +1
dv = dx
v=x
xdx
1 ⎞
⎛
= x η x + 1 − ∫ ⎜1 −
⎟dx
x +1
⎝ x +1 ⎠
= x η x +1 − x + η x +1 + c
∫
η x + 1 dx = x η x + 1 − ∫
4.62.- ∫ x 2 e x dx
Solución.u = x2
∴
du = 2 xdx
2 x
2 x
x
∫ x e dx = x e − 2∫ xe dx
dv = e x dx
v = ex
Integral que se desarrolla nuevamente por partes:
u=x
dv = e x dx
∴
du = dx
v = ex
= x 2 e x − 2 ⎡⎣ xe x − ∫ e x dx ⎤⎦ = x 2 e x − 2 xe x + 2e x + c
4.63.- ∫ cos n xdx = ∫ cos n −1 x cos xdx
Solución.u = cos n −1 x
∴
du = (n − 1) cos n − 2 x(− s e n x)dx
dv = cos xdx
v = sen x
= cos n −1 x s e n x + (n − 1) ∫ s e n 2 x cos n − 2 xdx
= cos n −1 x s e n x + (n − 1) ∫ (1 − cos 2 x) cos n − 2 xdx
= cos n −1 x s e n x + (n − 1) ∫ cos n − 2 xdx − (n − 1) ∫ cos n xdx , Se tiene:
∫ cos xdx = cos
n ∫ cos xdx = cos
n −1
n
n
x s e n x + (n − 1) ∫ cos n − 2 xdx − (n − 1) ∫ cos n xdx , Esto es:
n −1
x s e n x + (n − 1) ∫ cos n − 2 xdx
cos n −1 x s e n x (n − 1)
+
cos n − 2 xdx
∫
n
n
n
n −1
4.64.- ∫ s e n xdx = ∫ s e n x s e n xdx
n
∫ cos xdx =
Solución.u = s e n n −1 x
∴
du = (n − 1) s e n n − 2 x(cos x)dx
dv = s e n xdx
v = − cos x
= − s e n n −1 x cos x + (n − 1) ∫ cos 2 x s e n n − 2 xdx
= − s e n n −1 x cos x + (n − 1) ∫ (1 − s e n 2 x) s e n n − 2 xdx
102
= − s e n n −1 x cos x + (n − 1) ∫ s e n n − 2 xdx − (n − 1) ∫ s e n n xdx , Se tiene:
∫ s e n xdx = − s e n
n ∫ s e n xdx = − s e n
n −1
n
n
x cos x + (n − 1) ∫ s e n n − 2 xdx − (n − 1) ∫ s e n n xdx
n −1
x cos x + (n − 1) ∫ s e n n − 2 xdx
− s e n n −1 x cos x (n − 1)
+
s e n n − 2 xdx
n
n ∫
4.65.- ∫ x m ( η x)n dx = x m +1 ( η x)n − n ∫ x m ( η x)n −1 dx − m ∫ x m ( η x)n dx
n
∫ s e n xdx =
Solución.u = x m ( η x)n
dv = dx
∴
m
n −1 dx
m −1
n
v=x
du = x n( η x)
+ mx ( η x) dx
x
Se tiene: (m + 1) ∫ x m ( η x) n dx = x m +1 ( η x) n − n ∫ x m ( η x) n −1 dx
m
n
∫ x ( η x) dx =
x m +1 ( η x) n
n
−
x m ( η x) n −1 dx
(m + 1)
(m + 1) ∫
4.66.- ∫ x3 ( η x) 2 dx
Solución.Puede desarrollarse como caso particular del ejercicio anterior, haciendo:
m = 3, n = 2
x3+1 ( η x) 2
2
x 4 ( η x) 2 1 3
3
2 −1
∫ x ( η x) dx = 3 + 1 − 3 + 1 ∫ x ( η x) dx = 4 − 2 ∫ x ( η x)dx ∗
Para la integral resultante: ∫ x3 ( η x)dx ∗
3
2
x 4 ( η x) 1 3
x 4 ( η x) x 4
− ∫ x dx =
− + c , introduciendo en: ∗
4
4
4
16
4
2
4
4
x ( η x)
x
x
3
2
∫ x ( η x) dx = 4 − 8 ( η x) + 32 + c
4.67.- ∫ x n e x dx
3
∫ x ( η x)dx =
Solución.u = xn
dv = e x dx
∴
du = nx n −1dx
v = ex
n x
n x
n −1 x
∫ x e dx = x e − n∫ x e dx
4.68.- ∫ x3e x dx
Solución.u = x3
∴
du = 3x 2 dx
dv = e x dx
v = ex
Puede desarrollarse como el ejercicio anterior, haciendo: n = 3
3 x
3 x
2 x
∫ x e dx = x e − 3∫ x e dx ∗ , Además:
103
∗∫ x 2 e x dx = x 2 e x − 2∫ xe x dx ∗∗ , Además: ∫ xe x dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + c
Reemplazando en ∗∗ y luego en ∗ :
3 x
3 x
2 x
x
x
∫ x e dx = x e − 3 ⎡⎣ x e − 2( xe − e ) ⎤⎦ + c
∫ x e dx = e ( x − 3x + 6 x − 6) + c
4.69.- ∫ sec xdx = ∫ sec x sec xdx
3 x
x
3
n
2
n−2
2
Solución.u = sec n − 2 x
∴
du = (n − 2) secn −3 x sec xτ gxdx
= sec
n−2
xτ gx − (n − 2) ∫ τ g x sec
2
n−2
xdx = sec
dv = sec 2 xdx
v = τ gx
n−2
xτ gx − (n − 2) ∫ (sec 2 x − 1) sec n − 2 xdx
= sec n − 2 xτ gx − (n − 2) ∫ secn xdx +(n − 2) ∫ secn − 2 xdx , Se tiene:
∫ sec
n
xdx = sec n − 2 xτ gx − (n − 2) ∫ sec n xdx + (n − 2) ∫ sec n − 2 xdx
(n − 1) ∫ sec n xdx = sec n − 2 xτ gx + (n − 2) ∫ sec n − 2 xdx
secn − 2 xτ gx (n − 2)
n−2
∫ sec xdx = (n − 1) + (n − 1) ∫ sec xdx
n
4.70.- ∫ sec3 xdx
Solución.Puede desarrollarse como caso particular del ejercicio anterior, haciendo:
n=3
sec3− 2 xτ gx 3 − 2
sec xτ gx 1
3
sec
=
+
sec3− 2 xdx =
+ ∫ sec xdx
xdx
∫
∫
3 −1
3 −1
2
2
sec xτ gx 1
=
+ η sec xτ gx + c
2
2
4.71.- ∫ x η xdx
Solución.u = ηx
∴
dx
du =
x
2
x
xdx
∫ x η xdx = 2 η x − ∫ 2 =
4.72.- ∫ x n η ax dx, n ≠ −1
dv = xdx
v=
x2
2
x2
1
η x − x2 + c
2
4
Solución.dv = xdx
u = η ax
∴
x n +1
dx
v=
du =
n +1
x
n +1
x
1
x n +1
x n +1
n
n
x
η
ax
dx
=
η
ax
−
x
dx
=
η
ax
−
+c
∫
(n + 1) 2
n +1
n +1 ∫
n +1
104
4.73.- ∫ arcs e n axdx
Solución.u = arcs e n ax
adx
∴
du =
1 − a2 x2
dv = dx
v=x
∫ arcs e n axdx = x arcs e n ax − ∫
axdx
1 − a2 x2
= x arcs e n ax +
1 (−2a 2 x)dx
2a ∫ 1 − a 2 x 2
1 (1 − a 2 x 2 ) 2
1
+ c = x arcs e n ax +
1 − a2 x2 + c
1
a
2a
2
4.74.- ∫ x s e n axdx
1
= x arcs e n ax +
Solución.-
∴
dv = s e n axdx
u=x
1
v = − cos ax
a
du = dx
x
1
x
1
∫ x s e n axdx = − a cos ax + a ∫ cos axdx = − a cos ax + a
2
s e n ax + c
1
x
s e n ax − cos ax + c
2
a
a
2
4.75.- ∫ x cos axdx
=
Solución.-
∴
u = x2
du = 2 xdx
dv = cos axdx
1
v = − s e n ax
a
x2
2
s e n ax − ∫ x s e n axdx , aprovechando el ejercicio anterior:
a
a
2
x
2⎛ 1
x
x2
2
2x
⎞
= s e n ax − ⎜ 2 s e n ax − cos ax ⎟ + c = s e n ax − 3 s e n ax − 2 cos ax + c
a
a⎝a
a
a
a
a
⎠
2
∫ x cos axdx =
4.76.- ∫ x sec 2 axdx
Solución.-
∴
u=x
du = dx
dv = sec 2 axdx
1
v = τ gax
a
x
1
x
11
2
∫ x sec axdx = a τ gax − a ∫ τ gaxdx = a τ gax − a a η sec ax + c
x
1
= τ gax − 2 η sec ax + c
a
a
4.77.- ∫ cos( η x)dx
Solución.-
105
u = cos( η x)
dv = dx
s e n( η x)
du = −
dx
v=x
x
∫ cos( η x)dx = x cos( η x) + ∫ s e n( η x)dx , aprovechando el ejercicio:4.43
∴
x
∫ s e n( η x)dx = 2 [s e n( η x) − cos( η x)] + c , Luego:
= x cos( η x) +
x
x
x
[s e n( η x) − cos( η x)] + c = x cos( η x) + s e n( η x) − cos( η x) + c
2
2
2
x
[ cos( η x) + s e n( η x)] + c
2
4.78.- ∫ η (9 + x 2 )dx
=
Solución.u = η (9 + x 2 )
∴
2 xdx
du =
9 + x2
∫
dv = dx
v=x
η (9 + x 2 )dx = x η (9 + x 2 ) − 2∫
= x η (9 + x 2 ) − 2 ∫ dx + 18∫
x 2 dx
9 ⎞
⎛
= x η (9 + x 2 ) − 2 ∫ ⎜1 −
dx
2
2 ⎟
9+ x
⎝ 9+ x ⎠
dx
=x η (9 + x 2 ) − 2 x + 6 arcτ g x + c
2
3
9+ x
4.79.- ∫ x cos(2 x + 1)dx
Solución.-
∴
u=x
dv = cos(2 x + 1)dx
1
v = s e n(2 x + 1)
2
x
1
∫ x cos(2 x + 1)dx = 2 s e n(2 x + 1) − 2 ∫ s e n(2 x + 1)dx
x
1
= s e n(2 x + 1) + cos(2 x + 1) + c
2
4
4.80.- ∫ x arc sec xdx
du = dx
Solución.u = arc sec x
dv = xdx
dx
∴
x2
du =
v=
x x2 −1
2
2
x
1
xdx
x2
1 2
∫ x arc sec xdx = 2 arc sec x − 2 ∫ x 2 − 1 = 2 arc sec x − 2 x − 1 + c
4.81.- ∫ arc sec xdx
Solución.-
106
u = arc sec x
∴
dv = dx
1 dx
du =
2 x x −1
v=x
dx
1
= x arc sec x − x − 1 + c
∫
2
x −1
a2 − x2
dx
x 2 dx
dx = a 2 ∫
−∫
4.82.- ∫ a 2 − x 2 dx = ∫
a2 − x2
a2 − x2
a2 − x2
x
xdx
= a 2 arcs e n − ∫ x
∗ , integral que se desarrolla por partes:
a
a2 − x2
Solución.xdx
dv =
u=x
∴
a2 − x2
du = dx
v = − a2 − x2
x
∗ = a 2 arcs e n − − x a 2 − x 2 + ∫ a 2 − x 2 dx , Se tiene que:
a
x
2
2
2
2
2
2
2
∫ a − x dx = a arcs e n a + x a − x − ∫ a − x dx , De donde:
x
2 ∫ a 2 − x 2 dx = a 2 arcs e n + x a 2 − x 2 + c
a
2
a
x x 2
2
2
2
∫ a − x dx = 2 arcs e n a + 2 a − x + c
4.83.- ∫ η 1 − x dx
∫ arc sec
xdx = x arc sec x −
)
(
Solución.u = η 1− x
∴
dx
du = −
1− x
∫
dv = dx
v=x
η 1 − x dx = x η 1 − x − ∫
= x η 1 − x − ∫ dx − ∫
xdx
1 ⎞
⎛
= x η 1 − x − ∫ ⎜1 +
⎟ dx
x −1
⎝ x −1 ⎠
dx
= x η 1− x − x − η x −1 + c
x −1
4.84.- ∫ η ( x 2 + 1)dx
Solución.u = η ( x 2 + 1)
∴
2 xdx
du = 2
x +1
∫
dv = dx
v=x
η ( x 2 + 1)dx = x η ( x 2 + 1) − 2∫
x 2 dx
1 ⎞
⎛
= x η ( x 2 + 1) − 2∫ ⎜1 − 2 ⎟dx
2
x +1
⎝ x +1⎠
= x η ( x 2 + 1) − 2 x + 2 arcτ gx + c
107
4.85.- ∫ arcτ g xdx
Solución.u = arcτ g x
∴
dx 1
du =
1+ x 2 x
dv = dx
v=x
1
xdx
∗ En la integral resultante, se recomienda la
∫
2 1+ x
sustitución: x = t , esto es x = t 2 , dx = 2tdt
∫ arcτ g
xdx = x arcτ g x −
t 2 tdt
t 2 dt
1 ⎞
⎛
∫ 1 + t 2 = x arcτ g x − ∫ 1 + t 2 = x arcτ g x − ∫ ⎜⎝1 − 1 + t 2 ⎟⎠dt
dt
= x arcτ g x − ∫ dt + ∫
= x arcτ g x − t + arcτ gt + c
1+ t2
= x arcτ g x − x + arcτ g x + c
x arcs e n x
4.86.- ∫
dx
1 − x2
Solución.u = arcs e n x
xdx
dv =
dx
∴
1 − x2
du =
1 − x2
v = − 1 − x2
x arcs e n x
2
2
∫ 1 − x 2 dx = − 1 − x arcs e n x + ∫ dx = − 1 − x arcs e n x + x + c
1
= x arcτ g x −
2
4.87.- ∫ x arcτ g x 2 − 1dx
Solución.dv = xdx
u = arcτ g x 2 − 1
∴
du =
dx
v=
x x2 −1
2
∫ x arcτ g x − 1dx =
x arcτ gx
dx
( x 2 + 1) 2
Solución.-
x2
2
x2
1
xdx
x2
1 2
arcτ g x 2 − 1 − ∫
= arcτ g x 2 − 1 −
x −1 + c
2
2
2
2
x −1 2
4.88.- ∫
xdx
( x + 1) 2
∴
dx
du = 2
−1
v=
x +1
2( x 2 + 1)
x arcτ gx
− arcτ gx 1
dx
∫ ( x2 + 1)2 dx = 2( x 2 + 1) + 2 ∫ ( x 2 + 1)2 ∗ , Se recomienda la siguiente sustitución:
u = arcτ gx
dv =
2
108
x = τ gθ , de donde: dx = sec 2 θ dθ ; x 2 + 1 = sec 2 θ
− arcτ gx 1 sec 2 θ dθ
arcτ gx 1
arcτ gx 1 1 + cos 2θ dθ
+ ∫
=−
+ ∫ cos 2 θ dθ = −
+
2
4
2
2( x + 1) 2 sec θ
2( x + 1) 2
2( x 2 + 1) 2 ∫
2
arcτ gx 1
1
arcτ gx 1
1
=−
+ θ + s e n 2θ + c = −
+ arcτ gx + s e n θ cos θ + c
2
2
2( x + 1) 4
8
2( x + 1) 4
4
arcτ gx 1
1
x
1
=−
+ arcτ gx +
+c
2
2( x + 1) 4
4 x2 + 1 x2 + 1
arcτ gx 1
x
=−
+ arcτ gx +
+c
2
2
2( x + 1) 4
4( x + 1)
xdx
4.89.- ∫ arcs e n x
(1 − x 2 )3
Solución.xdx
u = arcs e n x
dv =
3
(1 − x 2 ) 2
dx
∴
du =
1
v=
1 − x2
1 − x2
xdx
arcs e n x
dx
arcs e n x 1
1− x
∫ arcs e n x (1 − x 2 )3 = 1 − x 2 − ∫ 1 − x2 = 1 − x 2 + 2 η 1 + x + c
∗=
4.90.- ∫ x 2 1 − xdx
Solución.dv = x 2 dx
u = 1− x
∴
dx
x3
du = −
v=
2 1− x
3
3
3
x
1 x dx
2
∫ x 1 − xdx = 3 1 − x + 6 ∫ 1 − x ∗ , Se recomienda
sustitución: 1 − x = t , o sea: x = 1 − t 2 , De donde: dx = −2tdt
1 (1 − t 2 )3 (− 2 t dt ) x3
1
x3
=
1− x + ∫
1 − x − ∫ (1 − t 2 )3 dt
=
3
3
3
t
6
usar
la
siguiente
x3
1
x3
1
3t 5 t 7
1 − x − ∫ (1 − 3t 2 + 3t 4 − t 6 )dt =
1 − x − (t − t 3 +
− )+c
3
3
3
3
5 7
x3
1⎡
3
3
⎤
1 − x − ⎢ 1 − x − (1 − x) 1 − x + (1 − x) 2 1 − x − (1 − x)3 1 − x ⎥ + c
=
3
3⎣
5
7
⎦
=
=
1− x
3
3
1
⎡ 3
2
3⎤
⎢⎣ x − 1 − (1 − x) + 5 (1 − x) − 7 (1 − x) ⎥⎦ + c
109
IMPORTANTE: En este capítulo ningún resultado, o casi ninguno, se presentaron
en su forma más reducida. Esto es intencional. Una de las causas del fracaso en
éstos tópicos, a veces está en el mal uso del álgebra elemental.
He aquí una oportunidad para mejorar tal eficiencia. Exprese cada resultado en su
forma más reducida.
110
CAPITULO 5
INTEGRACION DE FUNCIONES CUADRATICAS
Una función cuadrática, es de la forma: ax 2 + bx + c y si ésta aparece en el
denominador, la integral que la contiene se hace fácil de encontrar, para la cual
conviene diferenciar dos tipos esenciales en lo que se refiere al numerador.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
dx
x + 2x + 5
Solución.- Completando cuadrados, se tiene:
x 2 + 2 x + 5 = ( x 2 + 2 x + __) + 5 − __ = ( x 2 + 2 x + 1) + 5 − 1 = ( x 2 + 2 x + 1) + 4
x 2 + 2 x + 5 = ( x + 1) 2 + 22 , luego se tiene:
dx
dx
∫ x2 + 2 x + 5 = ∫ ( x + 1)2 + 22 . Sea: w = x + 1, dw = dx; a = 2
dx
dw
1
w
1
x +1
∫ ( x + 1)2 + 22 = ∫ w2 + 22 = 2 arcτ g a + c = 2 arcτ g 2 + c
dx
1
x +1
Respuesta: ∫ 2
= arcτ g
+c
x + 2x + 5 2
2
dx
5.2.-Encontrar: ∫ 2
4x + 4x + 2
dx
dx
1
dx
Solución.- ∫ 2
=∫
= ∫ 2
2
4x + 4x + 2
4( x + x + 1 ) 4 x + x + 1
2
2
Completando cuadrados:
1
1 1 1
1 1
x 2 + x + 1 = ( x 2 + x + __) + − __ = ( x 2 + x + ) + − = ( x 2 + x + ) +
2
2
4 2 4
4 4
1
1
1
( x 2 + x + ) = ( x + )2 + ( )2 , luego se tiene:
2
2
2
1
dx
1
dx
, Sea: w = x + 1 , dw = dx; a = 1
= ∫
∫
2
2
2
4 x +x+ 1
4 ( x + 1 )2 + ( 1 )2
2
2
2
x+ 1
1
1
11
1 1
dx
dw
w
2 +c
arc
arc
= ∫
=
=
+
=
τ
g
c
τ
g
2
2
∫
2
2
1
1
1
1
a
4 (x + ) + ( )
4 w +a
4a
4
2
2
2
2
2x + 1
1
1
2
+ c = arcτ g (2 x + 1) + c
= arcτ g
1
2
2
2
5.1.-Encontrar: ∫
2
111
dx
1
= arcτ g (2 x + 1) + c
4x + 4x + 2 2
2 xdx
5.3.-Encontrar: ∫ 2
x − x +1
2
Solución.- u = x − x + 1, du = (2 x − 1)dx
2 xdx
(2 x − 1 + 1)dx
(2 x − 1)dx
dx
du
dx
∫ x2 − x + 1 = ∫ x2 − x + 1 = ∫ x2 − x + 1 + ∫ x2 − x + 1 = ∫ u + ∫ x2 − x + 1
Completando cuadrados:
1
1
x 2 − x + 1 = ( x 2 − x + __) + 1__ = ( x 2 − x + ) + 1 −
4
4
3
x 2 − x + 1 = ( x 2 − 1 ) 2 + , Luego se tiene:
2
4
du
dx
du
du
du
dx
∫ u + ∫ x2 − x + 1 = ∫ u + ∫ 1 2 3 = ∫ u + ∫ 1 2 3 2
(x − ) + (
)
(x − ) +
2
2
2
4
1
3
, luego:
w = x − , dw = dx; a =
2
2
1
du
dx
du
dw
w
∫ u + ∫ 1 2 3 2 = ∫ u + ∫ w2 + a 2 = η u + a arcτ g a + c
(x − ) + (
)
2
2
2x −1
1
x−
1
2
3
2
2 + c = η x2 − x + 1 +
arcτ g
arcτ g
+c
= η x2 − x + 1 +
3
3
3
3
2
2
2
2 xdx
2 3
2x −1
Respuesta: ∫ 2
= η x2 − x + 1 +
arcτ g
+c
x − x +1
3
3
x 2 dx
5.4.-Encontrar: ∫ 2
x + 2x + 5
Solución.x 2 dx
2x + 5 ⎞
2x + 5
⎛
∫ x2 + 2 x + 5 = ∫ ⎜⎝1 − x2 + 2 x + 5 ⎟⎠dx = ∫ dx − ∫ x 2 + 2 x + 5 dx ,
Sea: u = x 2 + 2 x + 5, du = (2 x + 2)dx
Ya se habrá dado cuenta el lector que tiene que construir en el numerador, la
expresión: (2 x + 2)dx . Luego se tiene:
(2 x + 2 + 3)
(2 x + 2)dx
dx
= ∫ dx − ∫ 2
dx = ∫ dx − ∫ 2
+ 3∫ 2
,
x + 2x + 5
x + 2x + 5
x + 2x + 5
Completando cuadrados, se tiene:
x 2 + 2 x + 5 = ( x 2 + 2 x + __) + 5 − __ = ( x 2 + 2 x + 1) + 5 − 1 = ( x 2 + 2 x + 1) + 4 = ( x + 1) 2 + 22
Luego se admite como forma equivalente a la anterior:
du
dx
∫ dx − ∫ u − 3∫ ( x + 1)2 + 22 , Sea: w = x + 1, dw = dx; a = 2 , luego:
Respuesta: ∫
2
112
du
dw
1
w
− 3∫ 2
= x − η u − 3 arcτ g + c
2
u
w +a
a
a
3
x
+
1
= x − η x 2 + 2 x + 5 − arcτ g
+c
2
2
x 2 dx
3
x +1
Respuesta: ∫ 2
= x − η x 2 + 2 x + 5 − arcτ g
+c
2
2
x + 2x + 5
2x − 3
5.5.-Encontrar: ∫ 2
dx
x + 2x + 2
Solución.- Sea: u = x 2 + 2 x + 2, du = (2 x + 2)dx
2x − 3
2x + 2 − 5
2x + 2
dx
∫ x2 + 2 x + 2dx = ∫ x 2 + 2 x + 2dx = ∫ x 2 + 2 x + 2dx − 5∫ x 2 + 2 x + 2
du
dx
= ∫ dx − 5∫ 2
, Completando cuadrados:
u
x + 2x + 2
x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1) 2 + 12 . Luego:
du
dx
= ∫ dx − 5∫
, Sea: w = x + 1, du = dx; a = 1 . Entonces se tiene:
u
( x + 1) 2 + 12
du
dx
1
w
= ∫ dx − 5∫ 2
= η u − 5 arcτ g + c = η x 2 + 2 x + 5 − 5arcτ g ( x + 1) + c
2
u
w +a
a
a
2x − 3
Respuesta: ∫ 2
dx = η x 2 + 2 x + 5 − 5arcτ g ( x + 1) + c
x + 2x + 2
dx
5.6.-Encontrar: ∫
2
x − 2x − 8
Solución.- Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x − 8 = ( x − 1) 2 − 32
dx
dx
∫ x 2 − 2 x − 8 = ∫ ( x − 1)2 − 32 , Sea: w = x − 1, dw = dx; a = 3
dw
=∫
= η w + w2 − a 2 + c = η x − 1 + x 2 − 2 x − 8 + c
2
2
w −a
dx
Respuesta: ∫
= η x −1 + x2 − 2 x − 8 + c
2
x − 2x − 8
xdx
5.7.-Encontrar: ∫
x2 − 2 x + 5
Solución.- Sea: u = x 2 − 2 x + 5, du = (2 x − 2)dx . Luego:
xdx
1
2 xdx
1 2x − 2 + 2
∫ x 2 − 2 x + 5 = 2 ∫ x 2 − 2 x + 5 = 2 ∫ x 2 − 2 x + 5 dx
1 (2 x − 2)dx
2
dx
1 du
dx
= ∫
+ ∫
= ∫
+∫
2
u
x2 − 2 x + 5 2
x2 − 2 x + 5 2
x2 − 2x + 5
2
Completando cuadrados se tiene: x + 2 x + 5 = ( x − 1) 2 + 22 . Por lo tanto:
= ∫ dx − ∫
113
=
1 −1 2
dx
. Sea: w = x − 1, du = dx; a = 2
u du + ∫
∫
2
( x − 1) 2 + 22
1
1 −1
dw
1 u2
1
= ∫ u 2 du + ∫
=
+ η w + w2 + a 2 + c = u 2 + η w + w 2 + a 2 + c
2
2
2
2 1
w +a
2
= x2 + 2x + 5 + η x − 1 + x2 − 2x + 5 + c
Respuesta: ∫
xdx
= x2 − 2x + 5 + η x − 1 + x2 − 2x + 5 + c
x − 2x + 5
( x + 1)dx
5.8.-Encontrar: ∫
2 x − x2
Solución.- Sea: u = 2 x − x 2 , du = (2 − 2 x)dx .Luego:
( x + 1)dx
1 −2( x + 1)dx
1 (−2 x − 2)dx
1 (−2 x + 2 − 4)dx
∫ 2 x − x2 = − 2 ∫ 2 x − x2 = − 2 ∫ 2 x − x2 = − 2 ∫ 2 x − x2
1 (2 − 2 x)dx 4
dx
1 du
dx
=− ∫
+ ∫
=− ∫
+ 2∫
2
2
u
2 x − x2 2
2x − x2
2x − x2
2
2
Completando cuadrados: 2 x − x = −( x − 2 x) = −( x 2 − 2 x + 1 − 1) = −( x 2 − 2 x + 1) + 1
2
= −( x − 1) 2 + 1 = 1 − ( x − 1) 2 . Luego la expresión anterior es equivalente a:
1 −1
dx
= − ∫ u 2 du + 2∫
. Sea: w = x − 1, dw = dx; a = 1 . Entonces:
2
1 − ( x − 1) 2
1
2
1
u2
dw
w
1
2
∫ 1 du + 2∫ a 2 − w2 = −u 2 + 2 arcs e n a + c = − 2 x − x + 2 arcs e n( x − 1) + c
2
( x + 1)dx
= − 2 x − x 2 + 2 arcs e n( x − 1) + c
Respuesta: ∫
2
2x − x
xdx
5.9.-Encontrar: ∫
5x2 − 2 x + 1
Solución.- Sea: u = 5 x 2 − 2 x + 1, du = (10 x − 2)dx . Luego:
xdx
1
10 xdx
1 (10 x − 2 + 2)dx
∫ 5 x2 − 2 x + 1 = 10 ∫ 5 x 2 − 2 x + 1 = 10 ∫ 5 x2 − 2 x + 1
1 (10 x − 2)dx
2
dx
1 du 1
dx
= ∫
+ ∫
= ∫
+ ∫
2
2
2
10
u 5 5x − 2 x + 1
5 x − 2 x + 1 10
5 x − 2 x + 1 10
dx
dx
1 du 1
1
1
−1
= ∫
+ ∫
= ∫ u 2 du +
∫
10
u 5
5 5
5( x 2 − 2 x + 1 ) 10
( x2 − 2 x + 1 )
5
5
5
5
2
1
2
1
Completando cuadrados: x 2 − x + = ( x 2 − x + __) + − __
5
5
5
5
2
1
1
1
= ( x2 − x + ) + −
= ( x − 1 ) 2 + ( 2 ) 2 , Luego es equivalente:
5
5
5
25 5 25
=−
114
1
1
dx
−1
, Sea: w = x − 1 , dw = dx; a = 2 ,
u 2 du +
∫
∫
5
5
2
2
10
5 5
1
2
(x − ) + ( )
5
5
1
1
1
1 u2
1
dw
−1
2
Entonces: = ∫ u du +
=
+
η w + w2 + a 2 + c
∫
2
2
1
10
10
5 5
5 5
w +a
2
=
=
5x2 − 2 x + 1
1
1
5x2 − 2 x + 1
+
+c
η x− +
5
5
5 5
5
Respuesta: ∫
xdx
=
5x2 − 2 x + 1
5
1
5x2 − 2x + 1
+
+c
η x− +
5
25
5
5
5x2 − 2 x + 1
xdx
5.10.-Encontrar: ∫
5 + 4 x − x2
Solución.- u = 5 + 4 x − x 2 , du = (4 − 2 x)dx . Luego:
−2 xdx
xdx
1
1 (−2 x + 4 − 4)dx
∫ 5 + 4 x − x2 = − 2 ∫ 5 + 4 x − x2 = − 2 ∫ 5 + 4 x − x2
1 (4 − 2 x)dx
4
dx
1 du
dx
=− ∫
+ ∫
=− ∫
+ 2∫
2
2
2
2
2
u
5 + 4x − x
5 + 4x − x
5 + 4 x − x2
Completando cuadrados: 5 + 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x − 5) = −( x 2 − 4 x + 4 − 4 − 5)
= −( x 2 − 4 x + 4) + 9 = 9 − ( x − 2) 2 = 32 − ( x − 2) 2 . Equivalente a:
1 −1
dx
. Sea: w = x − 2, dw = dx; a = 3 . Entonces:
= − ∫ u 2 du + 2 ∫
2
2
3 − ( x − 2) 2
1
1 −1
dw
1 u2
w
= − ∫ u 2 du + 2∫
=−
+ 2 arcs e n + c
2
a
2 1
a 2 − w2
2
x−2
= − 5 + 4 x − x 2 + 2 arcs e n
+c
3
xdx
x−2
Respuesta: ∫
= − 5 + 4 x − x 2 + 2 arcs e n
+c
2
3
5 + 4x − x
dx
5.11.-Encontrar: ∫
2 + 3x − 2 x 2
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
3
9 25
2 + 3x − 2 x 2 = −(2 x 2 − 3 x − 2) = −2( x 2 − 3 x − 1) = −2( x 2 − x + − )
2
2
16 16
3
9
25 ⎤
⎡
= −2 ⎢( x 2 − x + ) − ⎥ = −2 ⎡( x − 3 ) 2 − ( 5 ) 2 ⎤ = 2 ⎡ ( 5 ) 2 − ( x − 3 ) 2 ⎤ , luego:
4
4 ⎦
4 ⎦
⎣
⎣ 4
2
16 16 ⎦
⎣
1
dx
dx
dx
=
∫ 2 + 3x − 2 x 2 = ∫ ⎡ 5 2
∫
2
2
( 5 ) − ( x − 3 )2
2 ( ) − ( x − 3 )2 ⎤
4
4
4 ⎦
⎣ 4
Sea: w = x − 3 , dw = dx, a = 5 . Luego:
4
4
115
x− 3
1
1
1
1
dx
dw
w
4 +c
arcs
e
n
c
arcs
e
n
=
=
+
=
∫
∫
2
2
5
2
2
a
2
2
2
2
a −w
(5 ) − (x − 3 )
4
4
4
2
4x − 3
=
arcs e n
+c
2
5
dx
2
4x − 3
Respuesta: ∫
=
arcs e n
+c
2
5
2 + 3x − 2 x 2
dx
5.12.-Encontrar: ∫ 2
3 x + 12 x + 42
Solución.dx
dx
1
dx
1
dx
∫ 3x 2 + 12 x + 42 = ∫ 3( x 2 + 4 x + 14) = 3 ∫ ( x2 + 4 x + 14) = 3 ∫ ( x 2 + 4 x + 4 + 10) =
1
dx
1
dx
1 1
x+2
= ∫
= ∫
=
+c
arcτ g
2
2
2
3 ( x + 2) + 10 3 ( x + 2) + ( 10)
3 10
10
=
dx
10
x+2
=
arcτ g
+c
3x + 12 x + 42 30
10
3x − 2
5.13.-Encontrar: ∫ 2
dx
x − 4x + 5
Solución.- Sea: u = x 2 − 4 x + 5, du = (2 x − 4)dx , Luego:
3x − 2
xdx
dx
( x − 2) + 2
dx
∫ x2 − 4 x + 5dx = 3∫ x 2 − 4 x + 5 − 2∫ x2 − 4 x + 5 = 3∫ x2 − 4 x + 5 − 2∫ x 2 − 4 x + 5
dx
dx
dx
( x − 2)
3 du
= 3∫ 2
+ 6∫ 2
− 2∫ 2
= ∫
+ 4∫ 2
x − 4x + 5
x − 4x + 5
x − 4x + 5 2 u
x − 4x + 5
3 du
dx
3
dx
= ∫
+ 4∫ 2
= η x 2 − 4 x + 5 + 4∫
2 u
( x − 4 x + 4) + 1 2
( x − 2) 2 + 1
3
= η x 2 − 4 x + 5 + 4 arcτ g ( x − 2) + c
2
3x − 2
3
Respuesta: ∫ 2
dx = η x 2 − 4 x + 5 + 4 arcτ g ( x − 2) + c
2
x − 4x + 5
Respuesta: ∫
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
Usando Esencialmente la técnica tratada, encontrar las integrales siguientes:
5.14.- ∫ x 2 + 2 x − 3dx
5.15.- ∫ 12 + 4x − x 2 dx
5.16.- ∫ x 2 + 4 xdx
5.17.- ∫ x 2 − 8 xdx
5.18.- ∫ 6x − x 2 dx
5.19.- ∫
(5 − 4 x)dx
12 x − 4 x 2 − 8
116
5.20.- ∫
xdx
27 + 6 x − x 2
dx
5.23.- ∫ 2
4 x + 4 x + 10
3
2 ( x + 2 )dx
5.26.- ∫ 2
3 9 x − 12 x + 8
3dx
5.29.- ∫
80 + 32 x − 4 x 2
5.32.- ∫ 12 − 8 x − 4 x 2 dx
5.35.- ∫
(1 − x)dx
8 + 2x − x
( x + 2)dx
5.38.- ∫ 2
x + 2x + 2
( x − 1)dx
5.41.- ∫ 2
x + 2x + 2
2
( x − 1)dx
3x 2 − 4 x + 3
(2 x + 2)dx
5.24.- ∫ 2
x − 4x + 9
( x + 6)dx
5.27.- ∫
5 − 4x − x2
5.21.- ∫
dx
5.30.- ∫
12 x − 4 x 2 − 8
5.33.- x 2 − x + 5 dx
4
xdx
x + 4x + 5
(2 x + 1)dx
5.39.- ∫ 2
x + 8x − 2
5.36.- ∫
2
5.22.- ∫
5.25.- ∫
(2 x − 3)dx
x 2 + 6 x + 15
(2 x + 4)dx
4 x − x2
dx
5.28.- ∫ 2
2 x + 20 x + 60
5.31.- ∫
5dx
28 − 12 x − x 2
dx
5.34.- ∫ 2
x − 2x + 5
(2 x + 3)dx
5.37.- ∫ 2
4x + 4x + 5
dx
5.40.- ∫
− x2 − 6 x
RESPUESTAS
5.14.- ∫ x 2 − 2 x − 3dx
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
x 2 − 2 x − 3 = ( x 2 − 2 x + 1) − 3 − 1 = ( x − 1) 2 − 4 = ( x − 1) 2 − 22
Haciendo: u = x − 1, du = dx; a = 2 , se tiene:
∫
x 2 − 2 x − 3dx = ∫ ( x − 1) 2 − 22 dx = ∫ u 2 − a 2 du
1
1
= u u2 − a2 − a2 η u + u2 − a2 + c
2
2
1
1
= ( x − 1) ( x − 1) 2 − 22 − 22 η ( x − 1) + ( x − 1)2 − 22 + c
2
2
1
= ( x − 1) x 2 − 2 x − 3 − 2 η ( x − 1) + x 2 − 2 x − 3 + c
2
5.15.- ∫ 12 + 4x − x 2 dx
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
12 + 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x − 12) = −( x 2 − 4 x + 4 − 12 − 4) = −( x 2 − 4 x + 4) + 16
= 42 − ( x − 2) 2
Haciendo: u = x − 2, du = dx; a = 4 , se tiene:
∫
1
1
u
12 + 4 x − x 2 dx = ∫ 42 − ( x − 2) 2 dx = ∫ a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcs e n + c
2
2
a
117
1
1
( x − 2)
= ( x − 2) 42 − ( x − 2)2 + 42 arcs e n
+c
2
2
4
1
( x − 2)
= ( x − 2) 12 + 4 x − x 2 + 8arcs e n
+c
2
4
5.16.- ∫ x 2 + 4 xdx
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
x 2 + 4 x = ( x 2 + 4 x + 4) − 4 = ( x + 2) 2 − 22
Haciendo: u = x + 2, du = dx; a = 2 , se tiene:
∫
x 2 + 4 xdx = ∫ ( x + 2) 2 − 22 dx = ∫ u 2 − a 2 du
1
1
= u u2 − a2 − a2 η u + u2 − a2 + c
2
2
1
1
= ( x + 2) ( x + 2) 2 − 22 − 22 η ( x + 2) + ( x + 2) 2 − 22 + c
2
2
( x + 2) 2
=
x + 4 x − 2 η ( x + 2) + x 2 + 4 x + c
2
5.17.- ∫ x 2 − 8 xdx
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
x 2 − 8 x = ( x 2 − 8 x + 16) − 16 = ( x − 4) 2 − 42
Haciendo: u = x − 4, du = dx; a = 4 , se tiene:
1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
∫ ( x − 4) − 4 dx = u − a du = 2 u u − a − 2 a η u + u − a + c
1
1
= ( x − 4) ( x − 4) 2 − 42 − 42 η ( x − 4) + ( x − 4) 2 − 42 + c
2
2
( x − 4) 2
=
x − 8 x − 8 η ( x − 4) + x 2 − 8 x + c
2
5.18.- ∫ 6x − x 2 dx
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
6 x − x 2 = −( x 2 − 6 x) = −( x 2 − 6 x + 9 − 9) = −( x 2 − 6 x + 9) + 9 = 32 − ( x − 3) 2
Haciendo: u = x − 3, du = dx; a = 3 , se tiene:
u
1
1 2
2
2
2
2
2
2
2
∫ 6 x − x dx = 3 − ( x − 3) dx = a − u du = 2 u a − u + 2 a arcs e n a + c
x −3
1
1
= ( x − 3) 32 − ( x − 3) 2 + 32 arcs e n
+c
2
2
3
( x − 3)
9
x −3
6 x − x 2 + arcs e n
=
+c
2
2
3
(5 − 4 x)dx
5.19.- ∫
12 x − 4 x 2 − 8
Solución.- Sea: u = 12 x − 4 x 2 − 8, du = (12 − 8 x)dx
118
1 2(−4 x + 5)dx 1 (−8 x + 10)dx
= ∫
∫
12 x − 4 x 2 − 8
12 x − 4 x 2 − 8 2 12 x − 4 x 2 − 8 2 12 x − 4 x 2 − 8
1 (−8 x + 12 − 2)dx 1 (−8 x + 12)dx
dx
= ∫
= ∫
−∫
2
2
2
12 x − 4 x − 8 2 12 x − 4 x − 8
12 x − 4 x 2 − 8
1 (−8 x + 12)dx
1 (−8 x + 12)dx 1
dx
dx
= ∫
−∫
= ∫
− ∫
2
2
2
2 12 x − 4 x − 8
4(3x − x − 2) 2 12 x − 4 x − 8 2
3x − x 2 − 2
∫
(5 − 4 x)dx
=∫
(−4 x + 5)dx
=
Completando cuadrados se tiene:
9 9
9 9
3 x − x 2 − 2 = −( x 2 − 3x + 2) = −( x 2 − 3 x + − + 2) = −( x 2 − 3 x + ) + − 2
4 4
4 4
1 1
3
= −( x − 3 ) 2 + = ( ) 2 − ( x − ) 2
2
4 2
2
1 (−8 x + 12)dx 1
dx
= ∫
− ∫
2 12 x − 4 x 2 − 8 2
( 1 )2 − ( x − 3 )2
2
2
2
Haciendo: u = 12 x − 4 x − 8, du = (12 − 8 x)dx y w = x − 3 , dw = dx , entonces:
2
1
2
w
1 du 1
1 u
1
dw
− arcs e n
+c
= ∫
− ∫
=
1
2
2
2 1
u 2
( 1 ) 2 − w2
2
2
2
1
1
1
= u 2 − arcs e n 2 w + c = 12 x − 4 x 2 − 8 − arcs e n(2 x − 3) + c
2
2
xdx
5.20.- ∫
27 + 6 x − x 2
Solución.- Sea: u = 27 + 6 x − x 2 , du = (6 − 2 x)dx
−2 xdx
xdx
1
1 (−2 x + 6 − 6)dx
∫ 27 + 6 x − x2 = − 2 ∫ 27 + 6 x − x 2 = − 2 ∫ 27 + 6 x − x2
1 (−2 x + 6)dx
dx
1 du
dx
=− ∫
+ 3∫
=− ∫
+ 3∫
2
2
2
2
u
27 + 6 x − x
27 + 6 x − x
27 + 6 x − x 2
Completando cuadrados se tiene:
27 + 6 x − x 2 = −( x 2 − 6 x − 27) = −( x 2 − 6 x + 9 − 9 − 27) = −( x 2 − 6 x + 9) + 36
= 62 − ( x − 3) 2 , Luego:
x −3
1 −1 2
dx
1 u2
u du + 3∫
=−
+ 3arcs e n
+c
∫
2
6
2 1
62 − ( x − 3) 2
2
x −3
x−3
1
= −u 2 + 3arcs e n
+ c = − 27 + 6 x − x 2 + 3arcs e n
+c
6
6
( x − 1)dx
5.21.- ∫ 2
3x − 4 x + 3
Solución.- Sea: u = 3x 2 − 4 x + 3, du = (6 x − 4)dx
( x − 1)dx
1 (6 x − 6)dx 1 (6 x − 4 − 2)dx 1 (6 x − 4)dx 1
dx
∫ 3x 2 − 4 x + 3 = 6 ∫ 3x 2 − 4 x + 3 = 6 ∫ 3x 2 − 4 x + 3 = 6 ∫ 3x 2 − 4 x + 3 − 3 ∫ 3x 2 − 4 x + 3
1
=−
119
dx
dx
1 du 1
1 du 1
− ∫ 2
= ∫
− ∫
∫
6 u 3 3x − 4 x + 3 6 u 3 3( x 2 − 4 x + 1)
3
1 du 1
dx
= ∫
− ∫ 2
4
6 u 9 (x −
x + 1)
3
Completando cuadrados se tiene:
4
4
4
4
4
4 5
x 2 − x + 1 = ( x 2 − x + ) + 1 − = ( x 2 − x + ) + = ( x − 2 )2 + ( 5 )2
3
3
3
3
9
9
3
9 9
x−2
1 du 1
1
1 1
dx
3 +c
= ∫
− ∫
= ηu−
arcτ g
6 u 9 ( x − 2 )2 + ( 5 )2 6
9 5
5
3
3
3
3
1
5
3x − 2
= η 3x 2 − 4 x + 3 −
arcτ g
+c
6
15
5
(2 x − 3)dx
5.22.- ∫ 2
x + 6 x + 15
Solución.- Sea: u = x 2 + 6 x + 15, du = (2 x + 6)dx
dx
(2 x − 3)dx
(2 x + 6 − 9)dx
(2 x + 6)dx
∫ x2 + 6 x + 15 = ∫ x 2 + 6 x + 15 = ∫ x2 + 6 x + 15 − 9∫ x 2 + 6 x + 15
du
dx
=∫
− 9∫ 2
, Completando cuadrados se tiene:
u
x + 6 x + 15
x 2 + 6 x + 15 = ( x 2 + 6 x + 9) + 15 − 9 = ( x + 3) 2 + 62 = ( x + 3) 2 + ( 6)2
du
dx
1
x+3
=∫
− 9∫
= η x 2 + 6 x + 15 − 9
+c
arcτ g
2
2
u
( x + 3) + ( 6)
6
6
=
= η x 2 + 6 x + 15 −
x+3
3 6
arcτ g
+c
2
6
dx
4 x + 4 x + 10
Solución.dx
dx
1
dx
∫ 4 x 2 + 4 x + 10 = ∫ 4( x 2 + x + 5 ) = 4 ∫ ( x2 + x + 5 ) , Completando cuadrados:
2
2
5
1 5 1
1
9
1
3
x 2 + x + = ( x 2 + x + ) + − = ( x + )2 + = ( x + )2 + ( )2
2
4 2 4
2
4
2
2
1
x+
1
1 1
dx
2 + c = 1 arcτ g 2 x + 1 + c
= ∫
=
arcτ g
1
3
3
3
4 ( x + )2 + ( )2 4
6
3
2
2
2
2
(2 x + 2)dx
5.24.- ∫ 2
x − 4x + 9
Solución.- Sea: u = x 2 − 4 x + 9, du = (2 x − 4)dx
5.23.- ∫
2
120
(2 x + 2)dx
(2 x − 4 + 6)dx
(2 x − 4)dx
dx
=∫ 2
=∫ 2
+ 6∫ 2
2
− 4x + 9
x − 4x + 9
x − 4x + 9
x − 4x + 9
du
dx
=∫
+ 6∫ 2
, Completando cuadrados se tiene:
u
x − 4x + 9
x 2 − 4 x + 9 = ( x 2 − 4 x + 4) + 9 − 4 = ( x − 2) 2 + 5 = ( x − 2) 2 + ( 5) 2 ,
du
dx
1
x−2
=∫
+ 6∫
= η u +6
+c
arcτ g
2
2
u
( x − 2) + ( 5)
5
5
∫x
= η x2 − 4 x + 9 +
5.25.- ∫
6 5
x−2
arcτ g
+c
5
5
(2 x + 4)dx
4 x − x2
Solución.- Sea: u = 4 x − x 2 + 9, du = (4 − 2 x)dx
(2 x + 4)dx
(−2 x − 4)dx
(−2 x + 4 − 8)dx
(−2 x + 4)dx
dx
∫ 4 x − x 2 = − ∫ 4 x − x 2 = − ∫ 4 x − x 2 = − ∫ 4 x − x 2 + 8∫ 4 x − x 2
dx
−1
, Completando cuadrados se tiene:
= − ∫ u 2 du + 8∫
4 x − x2
4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x) = −( x 2 − 4 x + 4 − 4) = −( x 2 − 4 x + 4) + 4 = 22 − ( x − 2) 2
dx
x−2
−1
1
= − ∫ u 2 du + 8∫
= −2u 2 + 8arcs e n
+c
2
2
2
2 − ( x − 2)
= −2 4 x − x 2 + 8arcs e n
x−2
+c
2
3
2 ( x + 2 )dx
5.26.- ∫ 2
3 9 x − 12 x + 8
Solución.- Sea: u = 9 x 2 − 12 x + 8, du = (18 x − 12)dx
3
2 ( x + 2 )dx
2 1 (18 x + 27)dx 1 (18 x + 27)dx 1 (18 x − 12 + 39)dx
=
=
=
2
∫
3 9 x − 12 x + 8 3 18 ∫ 9 x 2 − 12 x + 8 27 ∫ 9 x 2 − 12 x + 8 27 ∫ 9 x 2 − 12 x + 8
dx
dx
1 (18 x − 12)dx 39
1 du 39
=
+ ∫ 2
=
+ ∫
2
∫
∫
27 9 x − 12 x + 8 27 9 x − 12 x + 8 27 u 27 9( x 2 − 4 x + 8 )
3
9
dx
1 du
39
=
+
27 ∫ u 27 × 9 ∫ ( x 2 − 4 x + 8 )
3
9
Completando cuadrados se tiene:
4 8
4
4 8 4
x 2 − + = ( x 2 − x + ) + − = ( x − 2 )2 + 4 = ( x − 2 )2 + ( 2 )2
3
9
3
3
3 9
3
9 9 9
x−2
1 du
39
dx
1
39 1
3 +c
u
arc
η
τ
g
=
+
=
+
2
27 ∫ u 27 × 9 ∫ ( x − 2 ) 2 + ( 2 ) 2 27
27 × 9 2
3
3
3
3
121
1
13
3x − 2
η 9 x 2 − 12 x + 8 − arcτ g
+c
27
54
2
( x + 6)dx
5.27.- ∫
5 − 4 x − x2
Solución.- Sea: u = 5 − 4 x − x 2 , du = (−4 − 2 x)dx
( x + 6)dx
1 (−2 x − 12)dx
1 (−2 x − 4 − 8)dx
∫ 5 − 4 x − x2 = − 2 ∫ 5 − 4 x − x2 = − 2 ∫ 5 − 4 x − x2
1 (−2 x − 4)dx
dx
1 du
dx
=− ∫
+ 4∫
=− ∫
+ 4∫
2
2
2
2
u
5 − 4x − x
5 − 4x − x
5 − 4 x − x2
Completando cuadrados se tiene: 5 − 4 x − x 2 = 9 − ( x + 2) 2 = 32 − ( x + 2) 2
1 du
dx
x+2
=− ∫
+ 4∫
= − u + 4 arcs e n
+c
2
2
2
3
u
3 − ( x + 2)
=
= − 5 − 4 x − x 2 + 4 arcs e n
x+2
+c
3
dx
2 x + 20 x + 60
Solución.dx
1
dx
∫ 2 x 2 + 20 x + 60 = 2 ∫ x 2 + 10 x + 30 , Completando cuadrados se tiene:
x 2 + 10 x + 30 = ( x 2 + 10 x + 25) + 5 = ( x + 5) 2 + ( 5) 2
5.28.- ∫
2
dx
x+5
x+5
1
1 1
5
=
arcτ g
+c =
arcτ g
+c
∫
2
2
2 ( x + 5) + ( 5)
2 5
10
5
5
3dx
5.29.- ∫
80 + 32 x − 4 x 2
Solución.3dx
3dx
3
dx
∫ 80 + 32 x − 4 x 2 = ∫ 4(20 + 8 x − x 2 ) = 2 ∫ (20 + 8x − x2 )
Completando cuadrados se tiene:
20 + 8 x − x 2 = −( x 2 − 8 x − 20) = −( x 2 − 8 x + 16 − 20 − 16) = −( x 2 − 8 x + 16) + 36
= −( x − 4) 2 + 62 = 62 − ( x − 4) 2
3
dx
3
x−4
= ∫
= arcs e n
+c
2
2
2
2
6
6 − ( x − 4)
=
5.30.- ∫
dx
12 x − 4 x 2 − 8
Solución.1
dx
dx
dx
∫ 12 x − 4 x 2 − 8 = ∫ 4(− x 2 + 3x − 2) = 2 ∫ (− x 2 + 3x − 2)
Completando cuadrados se tiene:
122
9
9
9 1
− x 2 + 3x − 2 = −( x 2 − 3 x + 2) = −( x 2 − 3x + + 2 − ) = −( x 2 − 3x + ) +
4
4
4 4
2
2
3
1
= ( ) − (x − )
2
2
x− 3
1
dx
1
2 + c = 1 arcs e n(2 x − 3) + c
= ∫
= arcs e n
1
2
2
2
2
2
( 1 ) − (x − 3 )
2
2
2
5dx
5.31.- ∫
28 − 12 x − x 2
Solución.5dx
dx
∫ 28 − 12 x − x2 = 5∫ 28 − 12 x − x 2 , Completando cuadrados se tiene:
28 − 12 x − x 2 = 82 − ( x + 6) 2
dx
x+6
= 5∫
= 5arcs e n
+c
2
2
8
8 − ( x + 6)
5.32.- ∫ 12 − 8 x − 4 x 2 dx
Solución.- Sea: u = x + 1, du = dx; a = 2
∫
12 − 8 x − 4 x 2 dx = ∫ 4(3 − 2 x − x 2 )dx = 2∫ 3 − 2 x − x 2 dx
Completando cuadrados se tiene:
3 − 2 x − x 2 = −( x 2 + 2 x − 3) = −( x 2 + 2 x + 1) + 4 = 22 − ( x + 1) 2
a2
u
1
2 ∫ 22 − ( x + 1) 2 dx = 2∫ a 2 − u 2 du = 2( u a 2 − u 2 + arcs e n ) + c
2
2
a
x
+
1
= ( x + 1) − x 2 − 2 x + 3 + 4 arcs e n
+c
2
5.33.- x 2 − x + 5 dx
4
Solución.- Sea: u = x − 1 , du = dx; a = 1
2
Completando cuadrados se tiene:
x2 − x + 5 = ( x − 1 )2 + 1
4
2
x 2 − x + 5 dx = ( x − 1 ) 2 + 1dx = u 2 + a 2 du
4
2
1
1
= u u2 + a2 + a2 η u + u2 + a2 + c
2
2
1
1
= ( x − 1 ) x2 − x + 5 + η x − 1 + x2 − x + 5 + c
2
4
2
4
2
2
1
1
= (2 x − 1) x 2 − x + 5 + η x − 1 + x 2 − x + 5 + c
4 2
2
4
4
dx
5.34.- ∫ 2
x − 2x + 5
123
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
x 2 − 2 x + 5 = ( x 2 − 2 x + 4) + 1 = ( x − 2) 2 + 1
dx
dx
∫ x 2 − 2 x + 5 = ∫ ( x − 2)2 + 1 = arcτ g ( x − 2) + c
(1 − x)dx
5.35.- ∫
8 + 2 x − x2
Solución.- Sea: u = 8 + 2 x − x 2 , du = (2 − 2 x)dx = 2(1 − x)dx
(1 − x)dx
1 du 1 −1
2
∫ 8 + 2 x − x 2 = 2 ∫ u = 2 ∫ u 2 du = u + c = 8 + 2 x − x + c
xdx
5.36.- ∫ 2
x + 4x + 5
Solución.- Sea: u = x 2 + 4 x + 5, du = (2 x + 4)dx
xdx
1
2 xdx
1 (2 x + 4) − 4
∫ x2 + 4 x + 5 = 2 ∫ x 2 + 4 x + 5 = 2 ∫ x 2 + 4 x + 5 dx
1 (2 x + 4)dx
dx
1 du
dx
, Completando cuadrados se
= ∫ 2
− 2∫ 2
= ∫
− 2∫ 2
2 x + 4x + 5
x + 4x + 5 2 u
x + 4x + 5
tiene: x 2 + 4 x + 5 = ( x 2 + 4 x + 4) + 1 = ( x + 2) 2 + 1
1 du
dx
1
= ∫
− 2∫
= η u − 2 arcτ g ( x + 2) + c
2
2 u
( x + 2) + 1 2
1
= η x 2 + 4 x + 5 − 2 arcτ g ( x + 2) + c
2
(2 x + 3)dx
5.37.- ∫ 2
4x + 4x + 5
Solución.- Sea: u = 4 x 2 + 4 x + 5, du = (8 x + 4)dx
(2 x + 3)dx
1 (8 x + 12)dx 1 (8 x + 4) + 8
∫ 4 x 2 + 4 x + 5 = 4 ∫ 4 x 2 + 4 x + 5 = 4 ∫ 4 x 2 + 4 x + 5 dx
1 (8 x + 4)dx
dx
1 du
dx
1 du
dx
+ 2∫ 2
= ∫
+ 2∫ 2
= ∫
+ 2∫
2
∫
4 4x + 4x + 5
4x + 4x + 5 4 u
4x + 4x + 5 4 u
4( x 2 + x + 5 )
4
1 du 1
dx
= ∫
+ ∫ 2
, Completando cuadrados se tiene:
4 u 2 (x + x + 5 )
4
5
1
x2 + x + = ( x 2 + x + ) + 1 = ( x + 1 )2 + 1
2
4
4
dx
1 du 1
1
1
= ∫
+ ∫
= η u + arcτ g ( x + 1 ) + c
2
2
4 u 2 (x + 1 ) +1 4
2
2
( x + 2)dx
5.38.- ∫ 2
x + 2x + 2
Solución.- Sea: u = x 2 + 2 x + 2, du = (2 x + 2)dx
124
( x + 2)dx 1 (2 x + 4)dx 1 (2 x + 2) + 2
1 (2 x + 2)dx
dx
= ∫ 2
= ∫ 2
+∫ 2
dx = ∫ 2
2
+ 2x + 2 2 x + 2x + 2 2 x + 2x + 2
x + 2x + 2
2 x + 2x + 2
1 du
dx
1 du
dx
= ∫
+
=
+
2 u ∫ x 2 + 2 x + 2 2 ∫ u ∫ ( x + 1) 2 + 1
1
1
= η u + arcτ g ( x + 1) + c = η x 2 + 2 x + 2 + arcτ g ( x + 1) + c
2
2
(2 x + 1)dx
5.39.- ∫ 2
x + 8x − 2
Solución.- Sea: u = x 2 + 8 x − 2, du = (2 x + 8)dx
(2 x + 1)dx
(2 x + 8) − 7 dx
(2 x + 8)dx
dx
∫ x2 + 8x − 2 = ∫ x2 + 8x − 2 = ∫ x2 + 8x − 2 − 7∫ x2 + 8x − 2
du
dx
du
dx
=∫
− 7∫ 2
=∫
− 7∫
2
u
u
( x + 8 x + 16) − 18
( x + 4) − (3 2) 2
∫x
= η u −7
1
( x + 4) − (3 2)
η
+c
2(3 2)
( x + 4) + (3 2)
= η x2 + 8x − 2 −
5.40.- ∫
7 2
( x + 4) − (3 2)
η
+c
12
( x + 4) + (3 2)
dx
− x2 − 6 x
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
− x 2 − 6 x = −( x 2 + 6 x) = −( x 2 + 6 x + 9) + 9 = 32 − ( x + 3) 2
dx
x+3
∫ 32 − ( x + 3)2 = arcs e n 3 + c
( x − 1)dx
x2 + 2x + 2
Solución.- Sea: u = x 2 + 2 x + 2, du = (2 x + 2)dx
( x − 1)dx
1 (2 x + 2) − 4
1 (2 x + 2)dx
dx
∫ x2 + 2 x + 2 = 2 ∫ x 2 + 2 x + 2 dx = 2 ∫ x 2 + 2 x + 2 − 2∫ x 2 + 2 x + 2
1 du
dx
1 du
dx
1
= ∫
− 2∫ 2
= ∫
− 2∫
= η u − 2 arcτ g ( x + 1) + c
2
2 u
x + 2x + 2 2 u
( x + 1) + 1 2
1
= η x 2 + 2 x + 2 − 2 arcτ g ( x + 1) + c
2
5.41.- ∫
125
CAPITULO 6
INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA
Existen integrales que contienen expresiones de las formas: a 2 − x 2 , a 2 + x 2
x 2 − a 2 , las que tienen fácil solución si se hace la sustitución trigonométrica
adecuada. A saber, si la expresión es: a 2 − x 2 , la sustitución adecuada es:
x = a s e n θ ó x = a cos θ . Si la expresión es: a 2 + x 2 , entonces: x = a sec θ
EJERCICIOS DESARROLLADOS
1. Encontrar: ∫
dx
(4 − x 2 )3
Solución.- Dada le expresión: 4 − x 2 , la forma es: a 2 − x 2 , la sustitución adecuada
x
es: x = a s e n θ o sea: x = 2s e n θ ∴ dx = 2 cos θ dθ . Además: s e n θ = . Una figura
a
auxiliar adecuada para ésta situación, es:
2
x
θ
22 − x 2
∫
dx
(4 − x 2 )3
=∫
dx
(22 − x 2 )3
=∫
2 cos θ dθ
(22 − 22 s e n 2 θ )3
=∫
2 cos θ dθ
⎡⎣(22 (1 − s e n 2 θ ) ⎤⎦
2 cos θ dθ
2 cos θ dθ
2 cos θ dθ 1
dθ
1
=∫
=∫
=∫ 3
= 2∫
= ∫ sec 2 θ dθ
3
3
2
2
2
3
(2 cos θ )
2 cos θ 2 cos θ 4
(2 cos θ )
1
1
= ∫ sec 2 θ dθ = τ gθ + c . A partir de la figura triangular se tiene:
4
4
x
1
1
x
, Luego: τ gθ + c =
τ gθ =
+c
4
4 4 − x2
4 − x2
dx
1
x
Respuesta: ∫
=
+c
(4 − x 2 )3 4 4 − x 2
6.2.-Encontrar: ∫
3
25 − x 2
dx
x
Solución.-
126
∫
25 − x 2
52 − x 2
dx = ∫
dx , la forma es: a 2 − x 2 , luego:
x
x
Sea: x = 5s e n θ ∴ dx = 5 cos θ dθ ,
x
Además: s e n θ =
5
52 − x 2 = 5cos θ
52 − x 2
5 cos θ 5cos θ dθ
cos 2 θ dθ
(1 − s e n 2 θ )dθ
dx
=
=
5
=
5
∫ x
∫ 5 s e nθ
∫ s e nθ
∫ s e nθ
dθ
= 5∫
− 5∫ s e n θ dθ = 5∫ cos ecθ − 5∫ s e n θ dθ
s e nθ
5
= 5 η cos ecθ − co τ gθ + 5cos θ + c .
θ
De la figura se tiene:
cos ecθ =
=5 η
5
25 − x
, luego:
, coτ gθ =
x
x
2
5
25 − x 2
−
+5
x
x
Respuesta: ∫
x
52 − x 2
25 − x 2
5 − 25 − x 2
+c =5 η
+ 25 − x 2 + c
x
5
25 − x 2
5 − 25 − x 2
dx = 5 η
+ 25 − x 2 + c
x
x
6.3.-Encontrar: ∫
dx
(4 x − x 2 )3
Solución.- 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x) = −( x 2 − 4 x + 4 − 4) = 4 − ( x 2 − 4 x + 4) = 22 − ( x − 2) 2
dx
dx
2
2
∫ (4 x − x2 )3 = ∫ ( 22 − ( x − 2)2 )3 , la forma es: a − u ,
Luego: x − 2 = 2s e n θ ∴ dx = 2 cos θ dθ , 22 − ( x − 2) 2 = 2 cos θ
x−2
Además: s e n θ =
2
dx
2 cos θ dθ 1
dθ
1
1
2
∫ ( 22 − ( x − 2)2 )3 = ∫ 23 cos3 θ = 4 ∫ cos2 θ = 4 ∫ sec θ dθ = 4 τ gθ + c
2
De la figura se tiene:
x−2
1
x−2
, luego: τ gθ + c =
Pero: τ gθ =
+c
4
4x − x2
4 4x − x2
dx
x−2
Respuesta: ∫
=
+c
2 3
(4 x − x )
4 4x − x2
x-2
θ
4 − ( x − 2) 2 = 4 x − x 2
127
6.4.-Encontrar: ∫
x 2 dx
3
(a 2 − x 2 ) 2
Solución.x 2 dx
x 2 dx
2
2
=
3
∫ (a 2 − x 2 ) 2 ∫ ( a 2 − x 2 )3 , la forma es: a − x
Luego: x = a s e n θ , dx = a cos θ , a 2 − x 2 = a cos θ , además: s e n θ =
x 2 dx
=∫
x
a
a 2 s e n 2 θ a cos θ dθ
a 3 s e n 2 θ cos θ dθ
s e n 2 θ dθ
=
=
∫ a3 cos θ cos2 θ ∫ cos2 θ
(a cos θ )3
∫(
a 2 − x 2 )3
=∫
(1 − cos 2 θ )dθ
dθ
=∫
− ∫ dθ = ∫ s ec 2θ dθ − ∫ dθ = τ gθ − θ + c
2
2
cos θ
cos θ
a
x
θ
a2 − x2
De la figura se tiene:
x
x
x
y θ = arcs e n
a
a
a2 − x2
x
x
Luego: τ gθ − θ + c =
− arcs e n + c
a
a2 − x2
2
x dx
x
x
=
− arcs e n + c
Respuesta: ∫
a
( a 2 − x 2 )3
a2 − x2
Pero: τ gθ =
, además: s e n θ =
6.5.-Encontrar: ∫
Solución.dx
∫x
2
9− x
2
=∫
dx
x2 9 − x2
dx
x
3 −x
2
2
2
, la forma es: a 2 − x 2
Luego: x = 3s e n θ , dx = 3cos θ dθ , 32 − x 2 = 3cos θ , además: s e n θ =
∫x
dx
2
32 − x 2
=∫
x
3
3cos θ dθ
1
dθ
1
1
= ∫
= ∫ cos ec 2θ dθ = − co τ gθ + c
2
2
9
3 s e n θ 3cos θ 9 s e n θ 9
2
3
x
θ
De la figura se tiene:
9 − x2
128
Pero: co τ gθ =
Respuesta: ∫
9 − x2
1
9 − x2
, luego: co τ gθ + c = −
+c
9
9x
x
dx
=−
9 − x2
+c
9x
x2 9 − x2
x 2 dx
6.6.-Encontrar: ∫
9 − x2
Solución.x 2 dx
x 2 dx
2
2
=
∫ 9 − x 2 ∫ 32 − x 2 , la forma es: a − x
Luego: x = 3s e n θ , dx = 3cos θ dθ , 32 − x 2 = 3cos θ , además: s e n θ =
x
3
Usaremos la misma figura anterior, luego:
x 2 dx
32 s e n 2 θ 3cos θ dθ
(1 − cos 2θ )dθ
=
= 9 ∫ s e n 2 θ dθ = 9 ∫
∫ 32 − x 2 ∫
2
3cos θ
9
9
9
9
9
9
θ − ∫ cos 2θ dθ = θ − s e n 2θ + c = θ − 2s e n θ cos θ + c
∫
2
2
2
4
2
4
9
9
= θ − s e n θ cos θ + c , de la figura se
2
2
x
θ = arcs e n , luego es equivalente:
3
9
x 9 x 9 − x2
9⎛
x
= arcs e n −
+ c = ⎜ arcs e n −
⎜
2
3 43
3
2⎝
3
x 2 dx
9⎛
x
9 − x2
Respuesta: ∫
= ⎜ arcs e n −
3
9
9 − x 2 2 ⎜⎝
tiene que: s e n θ =
9 − x2
9
x
9 − x2
, cos θ =
3
3
y
⎞
⎟+c
⎟
⎠
⎞
⎟+c
⎟
⎠
6.7.-Encontrar: ∫ x 2 − 4dx
Solución.-
∫
x 2 − 4dx = ∫ x 2 − 22 dx , la forma es: x 2 − a 2
Luego: x = 2sec θ , dx = 2sec θτ gθ dθ , x 2 − 22 = 2τ gθ , además: sec θ =
∫
x
2
x 2 − 22 dx = ∫ 2τ gθ 2sec θτ gθ dθ = 4∫ sec θτ g 2θ dθ = 4∫ secθ (sec 2 θ − 1)dθ
= 4 ∫ sec3 θ dθ − 4∫ sec θ dθ
Se sabe que: ∫ sec3 θ dθ =
sec θτ gθ 1
+ η sec θ + τ gθ + c , luego lo anterior es
2
2
equivalente a:
129
1
⎛1
⎞
= 4 ⎜ sec θτ gθ + η sec θ + τ gθ ⎟ − 4 η sec θ + τ gθ + c
2
⎝2
⎠
= 2sec θτ gθ + 2 η sec θ + τ gθ − 4 η sec θ + τ gθ + c
= 2sec θτ gθ − 2 η sec θ + τ gθ + c
x
θ
De la figura se tiene:
sec θ =
=
x2 − 4
x
x2 − 4
x x2 − 4
x + x2 − 4
−2 η +
+c =
−2 η
+c
2
2
2
2
2
x
2
= 2
2
x −4
, luego:
2
2
x
, τ gθ =
2
x 2 − 22
x x2 − 4
− 2 η x + x2 − 4 − 2 η 2 + c
2
x x2 − 4
Respuesta: ∫ x − 4dx =
− 2 η x + x2 − 4 + c
2
2
x dx
6.8.-Encontrar: ∫
x 2 − 16
Solución.x 2 dx
x 2 dx
2
2
=
∫ x 2 − 16 ∫ x 2 − 42 , la forma es: x − a
2
Luego: x = 4sec t , dx = 4sec tτ gtdt , x 2 − 42 = 4τ gt , además: sec t =
x 2 dx
∫
=∫
42 sec 2 t ( 4 sec t τ gt dt )
x
4
= 16∫ sec3 tdt
4 τ gt
x −4
1
⎛1
⎞
= 16 ⎜ sec tτ gt + η sec t + τ gt + c ⎟ = 8sec tτ gt + 8 η sec t + τ gt + c
2
⎝2
⎠
2
2
x
De la figura se tiene:
sec t =
=8
=
x
4
x
,τ gt =
4
x − 16
, luego equivale a:
4
2
x 2 − 16
θ
4
x 2 − 16
x
x 2 − 16
x 2
x x 2 − 16
+8 η +
+c =
x − 16 + 8 η
+c
4
4
4
2
4
x 2
x 2
x − 16 + 8 η x x 2 − 16 − 8 η 4 + c =
x − 16 + 8 η x x 2 − 16 + c
2
2
130
Respuesta: ∫
x 2 dx
=
x 2
x − 16 + 8 η x x 2 − 16 + c
2
x − 16
dx
6.9.-Encontrar: ∫
x x2 − 1
Solución.dx
dx
2
2
∫ x x2 − 1 = ∫ x x 2 − 12 , la forma es: x − a
2
Luego: x = sec t , dx = sec tτ gtdt , x 2 − 12 = τ gt , además:
∫x
dx
x2 − 1
=∫
sec tτ gt dt
sec tτ gt
= ∫ dt = t + c ,
x
x2 − 1
θ
1
De la figura se tiene:
Dado que: sec t = x ⇒ t = arc sec x , luego:
t + c = arc sec x + c
dx
Respuesta: ∫
= arc sec x + c
x x2 − 1
dx
6.10.-Encontrar: ∫
2
( 4 x − 24 x + 27)3
Solución.dx
dx
=∫
∫ ( 4 x2 − 24 x + 27)3 = ∫
2
3
27
4( x − 6 x +
)
43
4
(
dx
x 2 − 6 x + 27
4
)
3
dx
1
, Se tiene:
∫
8
( x 2 − 6 x + 27 )3
4
27
27
27
x2 − 6 x +
= ( x 2 − 6 x + __) +
− __ = ( x 2 − 6 x + 9) +
−9
4
4
4
9
= ( x 2 − 6 x + 9) − = ( x 2 − 6 x + 27 ) = ( x − 3) 2 − ( 3 ) 2 , la expresión anterior equivale a:
4
2
4
dx
dx
1
1
= ∫
, siendo la forma: u 2 − a 2 , luego:
3
∫
2
3
8 ( x − 6 x + 27 )
8 ⎡
( x − 3) 2 − ( 3 ) 2 ⎤
4
2 ⎥⎦
⎢⎣
x−3
x − 3 = 3 sec t , dx = 3 sec tτ gtdt , además: sec t =
2
2
3
2
x-3
2
27
=
x −6+
4
θ
3
2
131
De la figura se tiene:
sec t =
x
,τ gt =
4
x 2 − 16
, luego equivale a:
4
1
3 sec tτ gtdt
dx
1
1
1 1 sec tdt 1 cos t
= ∫ 2 2 3 =
=
3
∫
8 ⎡
8 (3 ) τ g t
8 32 ∫ τ g 2t 18 ∫ s e n 2 t
2
2⎤
3
( x − 3) − ( )
2
2 ⎥⎦
⎢⎣
22
cos 2 t
1 cos tdt
1
1 (s e n t ) −1
1
1
−2
(s
e
n
t
)
cos
tdt
= ∫
=
=
+c = −
+c
2
∫
18 (s e n t ) 18
18 −1
18 (s e n t )
1
x−3
= − cos ect + c , como: cos ect =
, entonces:
18
x 2 − 6 x + 27
4
1
x−3
1
x−3
1
x−3
=−
+c = −
+c = −
+c
18 x 2 − 6 x + 27
18 4 x 2 − 24 x + 27
18 4 x 2 − 24 x + 27
4
4
2
1
x−3
=−
+c
2
9 4 x − 24 x + 27
dx
1
x−3
Respuesta: ∫
=−
+c
2
3
2
9 4 x − 24 x + 27
( 4 x − 24 x + 27)
dx
6.11.-Encontrar: ∫
Solución.dx
∫
(16 + x )
2 4
=∫
(16 + x 2 ) 4
dx
(4 + x 2 ) 4
2
Luego: x = 4τ gt , dx = 4sec 2 tdt , 42 + x 2 = 4sec t , además: τ gt = x
4
dx
4sec tdt 1
dt
1
1 (1 + cos 2t )
2
∫ (42 + x 2 )4 = ∫ 44 sec4 t = 64 ∫ sec2 t = 64 ∫ cos tdt = 64 ∫ 2 dt
1
1
1
1
=
dt +
cos 2tdt =
t+
s e n 2t + c
∫
∫
128
128
128 256
Como: τ gt = x ⇒ t = arcτ g x , s e n 2t = 2s e n t cos t ; luego:
4
4
1
1
x
4
8x
t+
s e n 2t + c = 2
, Se tiene:
=
2
2
128 256
16 + x 2
16 + x 16 + x
1
1
8x
1
x
+c =
+c
arcτ g x +
arcτ g x +
2
4
4
128
256 16 + x
128
32(16 + x 2 )
2
132
dx
Respuesta: ∫
(16 + x 2 ) 4
6.12.-Encontrar: ∫
=
1
x
x
arcτ g +
+c
128
4 32(16 + x 2 )
x 2 dx
3
( x 2 + 100) 2
Solución.x 2 dx
x 2 dx
=
3
∫ ( x 2 + 100) 2 ∫ ( x 2 + 102 )3 ,
se tiene: x = 10τ gt , dt = 10sec2 tdt , x 2 + 102 = 10sec t ;además: τ gt =
x
, luego:
10
s e n2 t
2
x 2 dx
102 τ g 2t (10 sec2 t )dt τ g 2tdt
cos 2 t dt = s e n t dt
=
=
=
∫ ( x 2 + 102 )3 ∫ (103 sec 3 t )
∫ sec t ∫ 1
∫ cos t
cos t
2
(1 − cos t )
dt
=∫
− cos tdt = ∫ sec tdt − ∫ cos tdt = η sec t + τ gt − s e n t + c
dt = ∫
cos t
cos t ∫
Como: sec t =
100 + x 2
x
x
,τ gt = , además: s e n t =
10
10
100 + x 2
100 + x 2 x
x
100 + x 2 + x
x
+
−
+c = η
−
+c
10
10
10
x 2 + 100
x 2 + 100
x
x
= η 100 + x 2 + x −
− η10 + c = η 100 + x 2 + x −
+c
x 2 + 100
x 2 + 100
x 2 dx
x
Respuesta: ∫ 2
= η 100 + x 2 + x −
+c
3
2
( x + 100)
x 2 + 100
= η
Nota: En los ejercicios 6.11 y 6.12 se ha omitido la figura (triángulo rectángulo).
Conviene hacerla y ubicar los datos pertinentes. En adelante se entenderá que el
estudiante agregará este complemento tan importante.
x 2 dx
6.13.-Encontrar: ∫ 2 2 3
(x + 8 ) 2
Solución.x 2 dx
x 2 dx
=
∫ ( x 2 + 82 ) 3 2 ∫ ( x 2 + 82 ) 3 ,
se tiene: x = 8τ gt , dt = 8sec 2 tdt ,
∫(
x 2 dx
x 2 + 82 ) 3
=∫
82 τ g 2t ( 8 sec 2 t )
83 sec 3 t
x 2 + 82 = 8sec t además: τ gt =
dt = ∫
τ g 2t
sec t
x
, luego:
8
dt = ∫ sec tdt − ∫ cos tdt
133
= η sec t + τ gt − s e n t + c , como: sec t =
x 2 + 64
x
,τ gt = ,s e n t =
8
8
x
x 2 + 64
Se tiene como expresión equivalente:
x 2 + 64 x
x
x 2 + 64 + x
x
+ −
+c = η
−
+c
2
2
8
8
8
x + 64
x + 64
x
= η x 2 + 64 + x −
+c
2
x + 64
x 2 dx
x
Respuesta: ∫ 2 2 3 = η x 2 + 64 + x −
+c
(x + 8 ) 2
x 2 + 64
dx
6.14.-Encontrar: ∫
2
( 3 + x 2 )4
= η
Solución.- se tiene: x = 3τ gt , dx = 3sec2 tdt ,
x
τ gt =
3
∫(
dx
=∫
32 + x 2 = 3sec t , además:
3 sec2 t dt 1
dt
1
1
1
cos 2 tdt = t + ∫ cos 2tdt
= 3∫
=
2
∫
4
4
54 54
3 + sec t 3 sec t 27
32 + x 2 ) 4
1
1
1
1
1
1
= t+
s e n 2t + c1 = t +
2s e n t cos t + c = t + s e n t cos t + c
54 108
54 108
54 54
x
x
x
3
, cos t =
Como: τ gt = ⇒ t = arcτ g , además: s e n t =
3
3
9 + x2
9 + x2
1
x 1
x
3
1
x
x
= arcτ g +
+ c = arcτ g +
+c
2
2
54
3 54 9 + x 9 + x
54
3 18(9 + x 2 )
dx
1
x
x
Respuesta: ∫
= arcτ g +
+c
2
2 4
54
3 18(9 + x 2 )
( 3 +x )
6.15.-Encontrar: ∫
dx
x − 4 x + 13
Solución.- Completando cuadrados se tiene:
x 2 − 4 x + 13 = ( x 2 − 4 x + __) + 13 − __ = ( x 2 − 4 x + 4) + 13 − 4 = ( x − 2) 2 + 32
2
Se tiene: x − 2 = 3τ gt , dx = 3sec 2 tdt ,
32 + x 2 = 3sec t
( x − 2) 2 + 32 = x 2 − 4 x + 13 = 3sec t ,
Sea: x − 2 = 3τ gt , dx = 3sec 2 tdt ;además: τ gt =
∫
dx
( x − 2) 2 + 32
=∫
x−2
, luego:
3
3 sec 2 tdt
= ∫ sec tdt = η sec t + τ gt + c
3sec t
134
x
2
− 4 x + 13
De la figura se tiene:
sec t =
θ
x 2 − 4 x + 13
x−2
, τ gt =
, luego:
3
3
= η
x 2 − 4 x + 13 x − 2
+
+c = η
3
3
= η
x 2 − 4 x + 13 + ( x − 2) + c
Respuesta: ∫
dx
x − 4 x + 13
2
= η
x−2
3
x 2 − 4 x + 13 + ( x − 2)
+c
3
x 2 − 4 x + 13 + ( x − 2) + c
6.16.-Encontrar: ∫ 1 + 4x 2 dx
Solución.-
∫
1 + 4 x 2 dx = ∫ 12 + (2 x) 2 dx
1
2x
Se tiene: 2 x = τ gt , 2dx = sec 2 tdt ⇒ dx = sec 2 tdt , Además: τ gt =
2
1
1
1
2
2
2
2 1
2
2
3
∫ 1 + (2 x) dx = ∫ 1 + τ g t 2 sec dt = 2 ∫ sec t sec tdt = 2 ∫ sec tdt
1
1
= sec tτ gt + η sec tτ gt + c ,
4
4
1+ 4x
De la figura se tiene:
1 + 4x2
, τ gt = 2 x
1
1
1
1 + 4x2 2 x + η 1 + 4x2 + 2x + c
=
4
4
1
1
Respuesta: ∫ 1 + 4 x 2 dx =
1 + 4x2 2x + η 1 + 4 x2 + 2x + c
4
4
sec t =
2
2x
θ
1
EJERCICIOS PROPUESTOS:
Utilizando esencialmente la técnica de sustitución por variables trigonométricas,
encontrar las integrales siguientes:
6.17.- ∫ 4 − x 2
6.18.- ∫
dx
a2 − x2
6.19.- ∫
dx
x + a2
2
135
dx
x − a2
dx
6.20.- ∫
6.23.- ∫
6.24.- ∫
x x2 − 9
x 2 dx
6.26.- ∫
6.27.- ∫
1 − x2
dx
6.29.- ∫
6.32.- ∫ a − x 2 dx
x
x +9
x
6.44.- ∫
6.47.-
6.53.- ∫
6.56.- ∫
6.59.- ∫
6.62.- ∫
6.65.- ∫
6.68.- ∫
x +a
dx
2
x2 + 1
dx
x
dx
2
6.45.- ∫
x 2 − 100
dx
x
6.48.- ∫
x2 + a2
dx
x
dx
6.51.- ∫
6.54.- ∫
4 + x2
( x + 1)dx
6.57.- ∫
4 − x2
dx
6.60.- ∫
4 − ( x − 1) 2
x 2 dx
21 + 4 x − x
dx
2
( x − 1) x − 3 x + 2
( x − 1)dx
2
x2 − 4 x + 3
5 − 4 x2
dx
x +3
dx
6.42.- ∫ 2
( x + a 2 )2
x2 a2 − x2
∫
6.50.- ∫
6.39.- ∫
dx
2
2 − x2
6.36.- ∫
2
6.38.- ∫ x 2 5 − x 2 dx
6.41.- ∫
x x2 − 2
x3 dx
6.33.- ∫ a 2 − x 2 dx
dx
2
x2 + a2
dx
6.30.- ∫
x 4 x 2 − 16
6.35.- ∫
dx
6.21.- ∫
2
x
4
2
2x2 − 5
dx
x
dx
x2 x2 − 2
xdx
a2 − x2
xdx
4 + x2
dx
2 − 5x2
x 2 dx
2 x − x2
dx
6.63.- ∫ 2
3
( x − 2 x + 5) 2
6.66.- ∫
6.69.- ∫
xdx
x − 2x + 5
dx
2
x2 − 2 x − 8
6.22.- ∫
6.25.- ∫
6.28.- ∫
6.31.- ∫
6.34.- ∫
dx
x2 − a2
dx
x 1 + x2
x2 − 9
dx
x
dx
x2 4 − x2
x 2 dx
x2 + a2
x 2 dx
6.37.- ∫
3
(4 − x 2 ) 2
6.40.- ∫ x3 a 2 x 2 + b 2 dx
6.43.- ∫ x3 a 2 x 2 − b 2 dx
6.46.- ∫
6.49.- ∫
6.52.- ∫
6.55.- ∫
x3dx
3x 2 − 5
dx
x 9 − x2
dx
1 − 4 x2
dx
x a2 + x2
dx
6.58.- ∫ 2
3
(a − x 2 ) 2
6.61.- ∫
6.64.- ∫
6.67.- ∫
6.70.- ∫
x 2 dx
17 − x 2
(2 x + 1)dx
(4 x 2 − 2 x + 1)3
( x + 1)dx
2 x − x2
xdx
x2 + 4 x + 5
136
RESPUESTAS
6.17.- ∫ 4 − x 2
Solución.-
2
x
θ
4 − x2
Se tiene: x = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 4 + x 2 = 2 cos θ
∫
4 − x 2 = ∫ 2 cos θ 2 cos θ dθ = 4 ∫ cos 2 θ dθ = 2θ + s e n 2θ + c = 2θ + 2s e n θ cos θ + c
x x 4 − x2
= 2 arcs e n +
+c
2
2
dx
6.18.- ∫
2
a − x2
Solución.- se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a 2 − x 2 = a cos θ
dx
∫
a −x
2
6.19.- ∫
2
=∫
a cos θ dθ
x
= ∫ dθ = θ + c = arcs e n + c
a
a cos θ
dx
x + a2
2
Solución.- se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ
dx
dx
a sec2 θ dθ 1
1
1
x
=
=
∫ x2 + a 2 ∫ ( x 2 + a 2 )2 ∫ a 2 sec2 θ = a ∫ dθ = a θ + c = a arcτ g a + c
dx
6.20.- ∫ 2
x
x − a2
Solución.-
x2 − a2
θ
a
Se tiene: x = a sec θ , dx = a sec θτ gθ dθ , x 2 − a 2 = aτ gθ
∫x
2
a sec θ τ gθ dθ 1 sec θ dθ 1
dx
dx
= ∫
= ∫ cos ecθ dθ
=∫
=∫
2
2
2
2
−a
a τ gθ
a
a 2τ g 2 θ
( x −a )
=
1
1
η cos ecθ − co τ gθ = η
a
a
=
1
η
a
6.21.- ∫
x−a
x2 − a2
dx
x2 + a2
Solución.-
+c =
1
η
a
x
x2 − a2
−
a
x2 − a2
+c
( x − a)2
1
x−a
η
+c =
+c
2
2
x −a
2a
x+a
x
2
+ a
2
x
θ
a
137
Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ
∫
dx
x2 + a2
=∫
a sec 2 θ dθ
= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c
a sec θ
x2 + a2 x
+ +c = η
a
a
= η
x2 + a2 + x
+ c = η x + x2 + a2 − η a + c
a
= η x + x2 + a2 + c
6.22.- ∫
dx
x − a2
Solución.2
x
x2 − a2
θ
a
Se tiene: x = a sec θ , dx = a sec θτ gθ dθ , x 2 + a 2 = aτ gθ
∫
dx
x2 − a2
=∫
a sec θ τ gθ dθ
aτ gθ
= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c
x
x2 − a2
x + x2 − a2
= η +
+c = η
+ c = η x + x2 − a2 + c
a
a
a
6.23.- ∫
dx
x x2 − 9
Solución.-
Se tiene: x = 3sec θ , dx = 3sec θτ gθ dθ , x 2 − 9 = 3τ gθ
∫x
dx
x2 − 9
6.24.- ∫
=∫
3sec θ τ gθ dθ
3sec θ 3 τ gθ
=
arc sec x
1
1
3 +c
d
c
θ
=
θ
+
=
3∫
3
3
dx
x x2 − 2
Solución.-
Se tiene: x = 2 sec θ , dx = 2 sec θτ gθ dθ , x 2 − 2 = 2τ gθ
∫x
dx
x −2
2
6.25.- ∫
=∫
2 sec θ τ gθ dθ
2 sec θ
2 τ gθ
=
2
2
2
2
θ +c =
dθ =
arc sec
x+c
∫
2
2
2
2
dx
x 1 + x2
Solución.-
1+ x
2
x
θ
1
138
Se tiene: x = τ gθ , dx = sec 2 θ dθ , 1 + x 2 = sec θ
∫x
dx
1 + x2
= η
=∫
sec 2 θ dθ
dθ
=∫
= cos ecθ dθ = η cos ecθ − coτ gθ + c
s e nθ ∫
τ gθ sec θ
1 + x2 1
− +c = η
x
x
6.26.- ∫
1 + x2 − 1
+c
x
x 2 dx
1 − x2
Solución.-
1
x
θ
1 − x2
Se tiene: x = s e n θ , dx = cos θ dθ , 1 − x 2 = cos θ
s e n 2 θ cos θ dθ
1
1
= ∫ s e n 2 θ dθ = θ − s e n 2θ + c
∫ 1 − x2
2
4
cos θ
1
1
arcs e n x x
= θ − s e n θ cos θ + c =
−
1 − x2 + c
2
2
2
2
x3dx
6.27.- ∫
2 − x2
Solución.x 2 dx
=∫
2
x
θ
2 − x2
Se tiene: x = 2 s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 2 − x 2 = 2 cos θ
∫
x3 dx
2 − x2
= 2 2(−
=∫
2 2 s e n 3 θ 2 cos θ dθ
2 cos θ
= 2 2 ∫ s e n 3 θ dθ = 2 2(− cos θ +
cos3 θ
)+c
3
2 − x 2 ( 2 − x 2 )3
(2 − x 2 ) 2 − x 2
2
+
+
c
=
−
−
x
+
+c
)
2(2
)
3
2
3( 2)3
x2 − 9
6.28.- ∫
dx
x
Solución.-
Se tiene: x = 3sec θ , dx = 3sec θτ gθ dθ , x 2 − 9 = 3τ gθ
x2 − 9
3τ gθ 3sec θ τ gθ dθ
= 3∫ τ g 2θ dθ = 3∫ (sec 2 θ − 1)dθ
∫ x dx = ∫
3sec θ
x
= 3∫ sec 2 θ dθ − 3∫ dθ = 3τ gθ − 3θ + c = x 2 − 9 − 3arc sec + c
3
139
dx
6.29.- ∫
x 4 x 2 − 16
Solución.x
x2
= sec θ , dx = 2sec θτ gθ dθ ,
− 1 = τ gθ
2
4
dx
1
dx
1 2sec θτ gθ dθ 1
1
=
=
= ∫ dθ = θ + c
∫ x 4 x 2 − 16 4 ∫ x 2
∫
4
4
2sec θτ gθ
x ( ) −1 4
2
1
x
= arc sec + c
4
2
Se tiene:
x2 + 1
dx
x
Solución.-
6.30.- ∫
x
2
+ 1
x
θ
Se tiene: x = τ gθ , dx = sec θ dθ , x + 1 = sec θ
2
2
1
x +1
sec θ sec θ dθ
dθ
θ
1
dx = ∫
=∫
= η τg +
+ c , o bien:
2
x
cos θ s e n θ
2 cos θ
τ gθ
2
∫
2
= η cos ecθ − co τ gθ +
1
+c = η
cos θ
x2 + 1 1
1
− +
+c
1
x
x
x2 + 1
x2 + 1 − 1
+ x2 + 1 + c
x
= η
dx
6.31.- ∫
x2 4 − x2
Solución.-
2
x
θ
Se tiene: x = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ ,
∫x
dx
2
=−
4− x
2
=∫
4 − x2
4 − x 2 = 2 cos θ
2 cos θ dθ
1
1
= ∫ cos ec 2θ dθ = − co τ gθ + c
2
4
4s e n θ 2 cos θ 4
4 − x2
+c
4x
6.32.- ∫ a − x 2 dx
Solución.-
a
x
θ
a − x2
140
Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a − x 2 = a cos θ
∫
a − x 2 dx = ∫ a cos θ a cos θ dθ = a ∫ cos 2 θ dθ
a
a
a
x
x 2
a − x2 + c
θ + s e n θ cos θ + c = arcs e n
+
2
2
2
a 2
6.33.- ∫ a 2 − x 2 dx
Solución.Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a 2 − x 2 = a cos θ
∫
a 2 − x 2 dx = ∫ a cos θ a cos θ dθ = a 2 ∫ cos 2 θ dθ
a2
a2
a2
x x 2
θ + s e n θ cos θ + c = arcs e n +
a − x2 + c
2
2
2
a 2
x 2 dx
6.34.- ∫
x2 + a2
Solución.-
x
2
+ a
2
x
θ
a
Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec θ dθ , x + a = a sec θ
2
∫
x 2 dx
=∫
2
2
a 2τ g 2θ a sec 2 θ dθ
s e n2 θ
= a 2 ∫ τ g 2θ sec θ dθ = a 2 ∫
dθ
cos3 θ
a sec θ
x2 + a2
2
2 (1 − cos θ )
dθ = a 2 ∫ sec3 θ dθ − a 2 ∫ sec θ dθ
=a ∫
3
cos θ
sec
θτ gθ 1
⎛
⎞
= a2 ⎜
+ η sec θ + τ gθ ⎟ − a 2 η sec θ + τ gθ + c
2
2
⎝
⎠
a2
a2
sec θτ gθ +
η sec θ + τ gθ − a 2 η sec θ + τ gθ + c
2
2
a2
a2
= sec θτ gθ −
η sec θ + τ gθ + c
2
2
=
a2
=
2
6.35.- ∫
x2 + a2 x a2
η
−
a
a 2
x2 + a2 x
x x2 + a2 a2
η
+ +c =
−
2
2
a
a
x2 + a2 + x + c
dx
x x2 + 9
Solución.2
x
2
+ 9
x
θ
3
141
Se tiene: x = 3τ gθ , dx = 3sec 2 θ dθ , x 2 + 9 = 3sec θ
∫x
dx
2
x2 + 9
=∫
3 sec 2 θ dθ
1 sec θ dθ 1 cos θ
1
= ∫
= ∫
+c
dθ = −
2
2
2
9 sen θ
9s e n θ
9τ g θ 3sec θ 9 τ g θ
x2 + 9
+c
9x
dx
6.36.- ∫
5 − 4x2
Solución.Se tiene: x = 5 s e n θ , dx = 5 cos θ dθ , ( 5 ) 2 − x 2 = 5 cos θ
4
4
4
4
=−
∫
dx
1
1
= ∫
= ∫
2
2
2
2
5 −x
5 − 4x
4
dx
5 cos θ dθ
4
5 cos θ
4
=
1
1
dθ = θ + c
∫
2
2
1
x
1
2x
+ c = arcs e n
+c
arcs e n
2
2
5
5
4
2
x dx
6.37.- ∫
3
(4 − x 2 ) 2
Solución.=
2
x
θ
4 − x2
Se tiene: x = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 4 − x = 2 cos θ
2
x 2 dx
x 2 dx
4 s e n 2 θ 2 cos θ dθ
= ∫ τ g 2θ dθ = ∫ (sec2 θ − 1)dθ
=
=
∫ (4 − x 2 ) 32 ∫ (4 − x 2 )3 ∫
3
8 cos θ
x
x
= τ gθ − θ + c =
− arcs e n + c
2
4 − x2
6.38.- ∫ x 2 5 − x 2 dx
Solución.Se tiene: x = 5 s e n θ , dx = 5 cos θ dθ , 5 − x 2 = 5 cos θ
∫x
2
5 − x 2 dx = ∫ 5s e n 2 θ 5 cos θ 5 cos θ dθ = 25∫ s e n 2 θ cos 2 θ dθ =
25
s e n 2 2θ dθ
4 ∫
25
25
25
25
25
(1 − cos 4θ )dθ = θ − s e n 4θ + c = θ − (2s e n 2θ cos 2θ ) + c
∫
8
8
32
8
32
25
25
= θ − ⎡⎣ 2s e n θ cos 2θ (cos 2 θ − s e n 2 θ ) ⎤⎦ + c
8
32
=
142
25
25
θ − ⎡⎣s e n θ cos3 θ − s e n 3 θ cos θ ) ⎤⎦ + c
8
16
⎡
25
x x ( 5 − x 2 )3 x 3 5 − x 2 ⎤
=
−
+
⎢arcs e n
⎥+c
2 ⎢⎣
25
25
5
⎥⎦
dx
6.39.- ∫
x4 x2 + 3
Solución.=
x
2
+ 3
x
θ
3
Se tiene: x = 3τ gθ , dx = 3 sec 2 θ dθ , x 2 + 3 = 3 sec θ
∫x
dx
4
x2 + 3
=∫
3 sec 2 θ dθ
9τ g 4θ 3 sec θ
=
1 sec θ dθ 1 cos3 θ dθ 1 (1 − s e n 2 θ ) cos θ dθ
= ∫
= ∫
9 ∫ τ g 4θ
9 s e n4 θ
9
s e n4 θ
1 cos θ dθ 1 cos θ dθ
1
1
= ∫
− ∫
= − cos ec3θ + cos ecθ + c =
4
2
9 sen θ 9 sen θ
27
9
3
x2 + 3 ⎛ x2 + 3 ⎞
−⎜
⎟ +c
⎜ 3x ⎟
9x
⎝
⎠
6.40.- ∫ x3 a 2 x 2 + b 2 dx
Solución.Se tiene: ax = bτ gθ , adx = b sec 2 θ dθ , a 2 x 2 + b 2 = b sec θ
b3 3
b
b5
2
τ
g
θ
b
sec
θ
sec
θ
d
θ
=
τ g 3θ sec3 θ dθ
3
4 ∫
a
a
a
5
5
b
b
= 4 ∫ τ g 2θ sec2 θτ gθ sec θ dθ = 4 ∫ (sec 2 θ − 1) sec 2 θτ gθ secθ dθ
a
a
5
5
b
b
b5 sec5 θ b5 sec3 θ
4
2
= 4 ∫ sec θτ gθ sec θ dθ − 4 ∫ sec θτ gθ sec θ dθ = 4
+ 4
+c
a
a
a
a
5
3
5
3
b5 ⎡ ( a 2 x 2 + b 2 )5 ( a 2 x 2 + b 2 )3 ⎤
(a 2 x 2 + b 2 ) 2 (a 2 x 2 + b 2 ) 2 b 2
= 4⎢
+
+
c
=
−
+c
⎥
a ⎢⎣
5b5
3b3
5a 4
3a 4
⎥⎦
dx
6.41.- ∫
x2 x2 + a2
Solución.x2 + a2
3
2 2
2
∫ x a x + b dx = ∫
x
θ
a
Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ
143
a sec 2 θ dθ
1 sec θ dθ
1 cos θ dθ
∫ x 2 x 2 + a 2 a 2τ g 2θ a secθ = a 2 ∫ τ g 2θ = a 2 ∫ s e n 2 θ dθ
1
cos ecθ
1
= 2 ∫ coτ gθ cos ecθ dθ = −
+ c = − 2 x2 + a2 + c
2
a
a
a x
dx
6.42.- ∫ 2
( x + a 2 )2
Solución.dx
=∫
x
2
+ a
2
x
θ
a
Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ
dx
dx
a sec 2 θ dθ 1
1
1 s e n 2θ
2
=
=
∫ ( x 2 + a 2 )2 ∫ ( x 2 + a 2 )4 ∫ a 4 sec 4 θ = a3 ∫ cos θ dθ = 2a3 θ + 2a3 2 + c
1
1 2 s e n θ cos θ
1
x
1 ⎛
x
c
g
θ
+
τ
+
=
+
arc
3
3
3
3 ⎜
2
a 2a ⎝ x + a 2
2a
2a
2a
2
1
x
1 ⎛ ax ⎞
= 3 arcτ g + 3 ⎜
⎟+c
2a
a 2a ⎝ x 2 + a 2 ⎠
=
⎞
⎟+c
x2 + a2 ⎠
a
6.43.- ∫ x3 a 2 x 2 − b 2 dx
Solución.Se tiene: ax = b sec θ , adx = b sec θτ gθ dθ , a 2 x 2 − b 2 = bτ gθ
b3
b
b5
3
sec
θ
b
τ
g
θ
sec
θτ
g
θ
d
θ
=
sec 4 θτ g 2θ dθ
a3
a
a4 ∫
b5
b5
4
2
4
2
sec
θ
(sec
θ
−
1)
θ
=
sec
θ
sec
θ
θ
−
sec2 θ sec 2 θ dθ
d
d
∫
a4 ∫
a4 ∫
b5
2
2
2
(1
+
τ
g
θ
)
sec
θ
d
θ
−
(1 + τ g 2θ ) sec 2 θ dθ
∫
a4 ∫
b5
2
4
2
(1
+
2
τ
g
θ
+
τ
g
θ
)
sec
θ
d
θ
−
(1 + τ g 2θ ) sec 2 θ dθ
∫
a4 ∫
5
5
⎡ 3
⎤
⎡ τ g 2θ sec 2 θ dθ + τ g 4θ sec 2 θ dθ ⎤ = b 4 ⎢τ g θ + τ g θ ⎥ + c
∫
∫
⎣
⎦ a
5 ⎦
⎣ 3
3
2 2
2
∫ x a x − b dx = ∫
b5
a4
b5
= 4
a
b5
= 4
a
b5
= 4
a
=
⎡
b5 1 ⎛ a 2 x 2 − b 2
= 4⎢ ⎜
a ⎢ 3 ⎜⎝
b
⎣
dx
6.44.- ∫
x2 a2 − x2
Solución.-
3
⎞ 1 ⎛ a 2 x2 − b2
⎟ + ⎜
⎟ 5⎜
b
⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
5
⎤
⎥+c
⎥
⎦
144
Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a 2 − x 2 = a cos θ
∫x
dx
2
=−
a −x
2
2
=∫
a cos θ dθ
1
1
= 2 ∫ cos ec 2θ dθ = − 2 coτ gθ + c
2
a
a s e n θ a cos θ a
2
1 cos θ
1 ⎛ a2 − x2
+
=
−
c
⎜
a2 s e n θ
a 2 ⎜⎝
x
⎞
⎟+c
⎟
⎠
2x2 − 5
dx
x
Solución.-
6.45.- ∫
Se tiene: 2 x = 5 sec θ , 2dx = 5 sec θτ gθ dθ , 2 x 2 − 5 = 5τ gθ
∫
2x − 5
dx = ∫
x
2
5τ gθ
5
sec θ τ gθ dθ
2
5
sec θ
2
= 5 ∫ τ g 2θ dθ = 5 ∫ sec2 θ dθ − 5 ∫ dθ
= 5τ gθ − 5θ + c = 2 x 2 − 5 − 5 arc sec 2 x + c
3
3
x dx
6.46.- ∫
3x 2 − 5
Solución.-
Se tiene: 3x = 5 sec θ , 3dx = 5 sec θτ gθ dθ , 3 x 2 − 5 = 5τ gθ
( 5 sec θ )3 5 sec θ τ gθ dθ 5 5
3
3
=
sec4 θ dθ
∫ 3x 2 − 5 = ∫
∫
9
5 τ gθ
3
5 5
5 5
=
sec 2 θ sec 2 θ dθ =
sec 2 θ (1 + τ g 2θ )dθ
∫
9
9 ∫
3
⎡
⎤
5 5⎡
2
2
2
⎤ = 5 5 ⎢τ gθ + τ g θ ⎥ + c
sec
sec
=
+
θ
d
θ
θτ
g
θ
d
θ
∫
∫
⎦
9 ⎣
9 ⎣
3 ⎦
x3dx
=
5⎡
( 3x 2 − 5)3 ⎤
2
⎢ 3x − 5 +
⎥+c
9 ⎢⎣
15
⎥⎦
x 2 − 100
∫ x dx
Solución.-
6.47.-
Se tiene: x = 10sec θ , dx = 10sec θτ gθ dθ , x 2 − 100 = 10τ gθ
x 2 − 100
10τ gθ 10sec θ τ gθ dθ
= 10∫ τ g 2θ dθ = 10∫ sec 2 θ − 10∫ dθ
∫ x dx = ∫
10sec θ
x
= 10(τ gθ − θ ) + c = x 2 − 100 − 10 arcs e n + c
10
145
dx
6.48.- ∫
x2 x2 − 2
Solución.-
x
x2 − 2
θ
2
Se tiene: x = 2 sec θ , dx = 2 sec θτ gθ dθ , x 2 − 2 = 2τ gθ
∫x
dx
2
x2 − 2
=∫
2 sec θ τ gθ dθ
2sec 2 θ 2τ gθ
=
1
1
1
cos θ dθ = s e n θ + c =
∫
2
2
2
x2 − 2
+c
x
x2 − 2
+c
2x
dx
6.49.- ∫
x 9 − x2
Solución.=
3
x
θ
9 − x2
Se tiene: x = 3s e n θ , dx = 3cos θ dθ , 9 − x 2 = 3cos θ
dx
∫x
=
9− x
2
=∫
3cos θ dθ
1
1
= ∫ cos ecθ dθ = η cos ecθ − coτ gθ + c
3
3s e n θ 3cos θ 3
1
3 − 9 − x2
η
+c
x
3
x2 + a2
dx
x
Solución.-
6.50.- ∫
x
2
+ a
2
x
θ
a
Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , x 2 + a 2 = a sec θ
∫
x2 + a2
a sec θ
sec3 θ dθ
sec2 θ sec θ
dx = ∫
dθ
a sec 2 θ dθ = a ∫
= a∫
x
τ gθ
τ gθ
a τ gθ
= a∫
(1 + τ g 2θ ) sec θ
sec θ
dθ = a ∫
dθ + a ∫ sec θτ gθ dθ
τ gθ
τ gθ
a η cos ecθ − coτ gθ + a sec θ + c = a η
x2 + a2 − a
+ x2 + a2 + c
x
146
xdx
6.51.- ∫
a2 − x2
Solución.-
Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a 2 − x 2 = a cos θ
xdx
∫
a −x
2
2
=∫
a s e n θ a cos θ
dθ = a ∫ s e n θ dθ = − a cos θ + c = − a 2 − x 2 + c
a cos θ
dx
6.52.- ∫
1 − 4 x2
Solución.Se tiene: 2 x = s e n θ , 2dx = cos θ dθ ,
1 − 4 x 2 = cos θ
1 cos θ
1
1
1
dθ = ∫ dθ = θ + c = arcs e n 2 x + c
∫
2
2
2
1 − 4 x 2 2 cos θ
dx
6.53.- ∫
4 + x2
Solución.dx
∫
=
Se tiene: x = 2τ gθ , dx = 2sec 2 θ dθ , 4 + x 2 = 2 sec θ
dx
∫
4+ x
2
=∫
2 sec 2 θ dθ
= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c = η
2sec θ
4 + x2 + x + c
xdx
6.54.- ∫
4 + x2
Solución.Se tiene: x = 2τ gθ , dx = 2sec 2 θ dθ , 4 + x 2 = 2sec θ
xdx
∫
4 + x2
2τ gθ 2 sec 2 θ dθ
= 2∫ τ gθ sec θ dθ = 2sec θ + c = 4 + x 2 + c
2sec θ
dx
=∫
6.55.- ∫
x a2 + x2
Solución.-
a
2
+ x
2
x
θ
a
Se tiene: x = aτ gθ , dx = a sec 2 θ dθ , a 2 + x 2 = a sec θ
∫x
=
dx
a2 + x2
=∫
a sec 2 θ dθ 1 sec θ dθ 1
=
= ∫ cosecθ dθ
a
aτ gθ a sec θ a ∫ τ gθ
1
1
η cos ecθ − co τ gθ + c = η
a
a
6.56.- ∫
a2 + x2 a
1
− +c = η
x
x
a
a2 + x2 − a
+c
x
( x + 1)dx
4 − x2
Solución.-
147
Se tiene: x = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 4 − x 2 = 2 cos θ
2s e n 2 cos θ dθ
2 cos θ dθ
+∫
2 cos θ
2 cos θ
4− x
4− x
4− x
x
2 ∫ s e n θ dθ + ∫ dθ = −2 cos θ + θ + c = − 4 − x 2 + arcs e n + c
2
dx
6.57.- ∫
2 − 5x2
Solución.-
∫
( x + 1)dx
2
xdx
=∫
2
+∫
dx
2
=∫
Se tiene: 5 x = 2 s e n θ , 5dx = 2 cos θ dθ , 2 − 5 x 2 = 2 cos θ
∫
dx
2
cos θ dθ
5
5
5
5
=
dθ =
θ +c =
arcs e n 5 x + c
∫
2
5
5
5
2 cos θ
=∫
2 − 5x2
dx
3
(a − x 2 ) 2
Solución.-
6.58.- ∫
2
a
x
θ
Se tiene: x = a s e n θ , dx = a cos θ dθ , a − x = a cos θ
2
2
a2 − x2
dx
dx
a cos θ dθ
1
1
= 2 ∫ sec 2 θ dθ = 2 τ gθ + c
=∫
=∫ 3
2 32
3
a
a
−x )
a cos θ
( a 2 − x 2 )3
x
=
+c
a2 a2 − x2
dx
6.59.- ∫
4 − ( x − 1) 2
Solución.-
∫ (a
2
Se tiene: x − 1 = 2s e n θ , dx = 2 cos θ dθ , 4 − ( x − 1) 2 = 2 cos θ
∫
dx
4 − ( x − 1)
6.60.- ∫
2
=∫
2 cos θ dθ
x −1
= ∫ dθ = θ + c = arcs e n
+c
2
2 cos θ
x 2 dx
2 x − x2
Solución.-
Se tiene: x − 1 = s e n θ ⇒ x = s e n θ + 1, dx = cos θ dθ , 1 − ( x − 1) 2 = cos θ
Completando cuadrados se tiene:
2 x − x 2 = −( x 2 − 2 x) = −( x 2 − 2 x + 1) + 1 = 1 − ( x − 1) 2 , luego:
∫
x 2 dx
2x − x2
=∫
x 2 dx
1 − ( x − 1) 2
=∫
(s e n θ + 1) 2 cos θ dθ
= ∫ (s e n θ + 1) 2 dθ
cos θ
148
1
1
dθ − ∫ cos 2θ dθ + 2∫ s e n θ dθ + ∫ dθ
∫
2
2
3
1
3
1
= ∫ dθ − ∫ cos 2θ dθ + 2∫ s e n θ dθ = θ − s e n 2θ − 2 cos θ + c
2
2
2
4
3
1
3
1
= θ − s e n θ cos θ − 2 cos θ + c = arcs e n( x − 1) − ( x − 1) 2 x − x 2 − 2 2 x − x 2 + c
2
2
2
2
2
x dx
6.61.- ∫
17 − x 2
Solución.= ∫ s e n 2 θ dθ + 2∫ s e n θ dθ + ∫ dθ =
Se tiene: x = 17 s e n θ , dx = 17 cos θ dθ , 17 − x 2 = 17 cos θ
∫
x 2 dx
=∫
17 s e n 2 θ 17 cos θ dθ
= 17 ∫ s e n 2 θ dθ =
17 − x
17 cos θ
17
17
17
17
= θ − s e n 2θ + c = θ − s e n θ cos θ + c
2
4
2
2
=
2
17
x
17
arcs e n
−
2
17 2
6.62.- ∫
x
17 − x 2
17
17
+c =
17
17
dθ − ∫ cos 2θ dθ
∫
2
2
17
x
1
arcs e n
− x 17 − x 2 + c
2
17 2
2
x dx
21 + 4 x − x 2
Solución.Se tiene: x − 2 = 5s e n θ ⇒ x = 5s e n θ + 2, dx = 5cos θ dθ , 52 − ( x − 2) 2 = 5cos θ
Completando cuadrados se tiene:
21 + 4 x − x 2 = −( x 2 − 4 x + 4 − 4) + 21 = −( x 2 − 4 x + 4) + 25 = 52 − ( x − 2) 2 , luego:
(5s e n θ + 2) 2 5cos θ dθ
= ∫ (5s e n θ + 2) 2 dθ
∫ 21 + 4 x − x2 = ∫ 52 − ( x − 2)2 = ∫
5cos θ
1 − cos 2θ
= ∫ (25s e n 2 θ + 20s e n θ + 4)dθ = 25∫
dθ + 20∫ s e n θ dθ + 4∫ dθ
2
25
25
25
25
=
dθ − ∫ cos 2θ dθ + 20∫ s e n θ dθ = θ − s e n 2θ − 20 cos θ + 4θ + c
∫
2
2
2
4
33
25
= θ − s e n θ cos θ − 20 cos θ + c
2
2
⎛ 21 + 4 x − x 2 ⎞
33
x − 2 25 x − 2 ⎛ 21 + 4 x − x 2 ⎞
= arcs e n
−
⎜
⎟ − 20 ⎜
⎟+c
⎟
⎜
⎟
2
5
2 5 ⎜⎝
5
5
⎠
⎝
⎠
33
x−2
x−2
= arcs e n
− 21 + 4 x − x 2 (
+ 4) + c
2
5
2
33
x−2
x+6
= arcs e n
− 21 + 4 x − x 2 (
)+c
2
5
2
x 2 dx
x 2 dx
149
dx
3
( x − 2 x + 5) 2
Solución.-
6.63.- ∫
2
x
2
− 2x + 5
x −1
θ
Se tiene: x − 1 = 2τ gθ , dx = 2sec2 θ dθ , ( x − 1) 2 + 22 = 2sec θ
Completando cuadrados se tiene:
x 2 − 2 x + 5 = ( x 2 − 2 x + 1) + 5 − 1 = ( x 2 − 2 x + 1) + 4 = ( x − 1) 2 + 22 , luego:
2
dx
dx
2sec2 θ dθ 1
1
=
=
= ∫ cos θ dθ = s e n θ + c
3
3
3
∫ ( x2 − 2 x + 5) 2 ∫
∫
3
2 sec θ
4
4
⎡⎣( x − 1) 2 + 22 ⎤⎦
1
x −1
=
+c
2
4 x − 2x + 5
(2 x + 1)dx
6.64.- ∫
(4 x 2 − 2 x + 1)3
1
1
x2 −
x +
1
Solución.x−
2
4
4
2
Sea: u = 4 x − 2 x + 1, du = (8 x − 2)dx
θ
3
4
1
3
3
=
τ gθ , dx =
sec 2 θ dθ , ( x − 1 ) 2 + ( 3 ) 2 = 3 sec θ
4
4
4
4 4
4
Completando cuadrados se tiene:
1
1
1
1
1 1
1
3
1
3
x 2 − x + = ( x 2 − x + ) + − = ( x − ) 2 + = ( x − ) 2 + ( ) 2 , luego:
2
4
2
16 4 16
4
16
4
4
(2 x + 1)dx
1
(8 x + 4)dx
1 (8 x − 2 + 6)dx
∫ (4 x 2 − 2 x + 1)3 = 4 ∫ (4 x 2 − 2 x + 1)3 = 4 ∫ (4 x 2 − 2 x + 1)3
Se tiene: x −
1
(8 x − 2)dx
3
dx
+ ∫
∫
4
(4 x 2 − 2 x + 1)3 2
(4 x 2 − 2 x + 1)3
1 du 3
dx
1
−3
31
dx
= ∫
= ∫ (u ) 2 du +
3 +
∫
∫
4 (u ) 2 2
28
4( x 2 − 1 x + 1 )3 4
( x 2 − 1 x + 1 )3
2
4
2
4
3
sec2 θ dθ
dx
−3
−3
1
3
1
3
4
= ∫ (u ) 2 du + ∫
= ∫ (u ) 2 du + ∫
3
4
16
4
16
3
⎡( x − 1 )2 + ( 3 )2 ⎤
( sec θ )3
⎢⎣
4
4 ⎥⎦
4
=
150
1
dθ
1 u 2
1
−3
= ∫ (u ) 2 du + ∫
=
+ s e nθ + c = − 1 + s e nθ + c
4
sec θ 4 (− 1 )
2u 2
2
x− 1
4x − 2
−1
4
=
+
+c =
+c
2
2
2
1
1
1
1
2 4x − 2x +1
4 x −
x −
x+
x+
2
4
2
4
−1
6.65.- ∫
dx
( x − 1) x 2 − 3x + 2
Solución.-
x − 3
2
x 2 − 3x + 2
θ
1
2
3 1
1
1
= sec θ ⇒ x − 1 = (sec θ + 1), dx = sec θτ gθ dθ ,
2 2
2
2
( x − 3 ) 2 + ( 1 ) 2 = 1 τ gθ
2
2
2
Completando cuadrados se tiene:
9 1
3
1
x 2 − 3 x + 2 = ( x 2 − 3x + ) − = ( x − ) 2 − ( ) 2 , luego:
4 4
2
2
1 sec θ τ gθ dθ
dx
dx
2
=
=
∫ ( x − 1) x 2 − 3x + 2 ∫
∫
1 (sec θ + 1) 1 τ gθ
3
1
( x − 1) ( x − ) 2 − ( ) 2
2
2
2
2
sec θ dθ
sec θ dθ
sec θ (sec θ − 1)dθ
sec 2 θ dθ
sec θ dθ
=∫
= 2∫
= 2∫
=
− 2∫
2
2
2
∫
1 (sec θ + 1)
τg θ
τ g 2θ
(sec θ + 1)
sec θ − 1
2
cosec θ dθ
= 2 ∫ cos ec 2θ dθ − 2∫
= −2 coτ gθ + 2 cosec θ + c
s e n2 θ
1
x− 3
2x − 4
2
2 +c =
−2
+2
+c
x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
x 2 − 3x + 2
xdx
6.66.- ∫
2
x − 2x + 5
Solución.Se tiene: x −
Se tiene: x − 1 = 2τ gθ , dx = 2sec2 θ dθ , ( x − 1) 2 + (2) 2 = 2sec θ
Completando cuadrados se tiene:
x 2 − 2 x + 5 = ( x 2 − 2 x + 1) + 4 = ( x − 1) 2 − 22 , luego:
151
∫
xdx
x2 − 2 x + 5
=∫
xdx
( x − 1) 2 − 22
=∫
(2τ gθ + 1) 2 sec 2 θ dθ
2sec θ
= 2 ∫ τ gθ sec θ dθ + ∫ sec θ dθ = 2sec θ + η sec θ + τ gθ + c
x2 − 2 x + 5 + x − 1
+c
2
= x − 2x + 5 + η
2
6.67.- ∫
( x + 1)dx
2 x − x2
Solución.-
Se tiene: x − 1 = s e n θ ⇒ x + 1 = s e n θ + 2, dx = cos θ dθ , 1 − ( x − 1) 2 = cos θ
Completando cuadrados se tiene:
2 x − x 2 = −( x 2 − 2 x) = −( x 2 − 2 x + 1 − 1) = −( x 2 − 2 x + 1) + 1 = 1 − ( x − 1) 2 , luego:
( x + 1)dx
( x + 1)dx
(s e n θ + 2) cos θ dθ
= ∫ s e n θ dθ + 2∫ dθ
∫ 2 x − x 2 = ∫ 1 − ( x − 1)2 = ∫
cos θ
= − cos θ + 2θ + c = − 2 x − x 2 + 2 arcs e n( x − 1) + c
( x − 1)dx
6.68.- ∫
x2 − 4 x + 3
Solución.-
Se tiene: x − 2 = sec θ ⇒ x − 1 = sec θ + 1, dx = sec θτ gθ dθ ,
Completando cuadrados se tiene:
x 2 − 4 x + 3 = x 2 − 4 x + 4 − 1 = ( x − 2) 2 − 1 , luego:
∫
( x − 1)dx
x2 − 4 x + 3
=∫
( x − 1)dx
( x − 2) 2 − 1
=∫
( x − 2)2 − 1 = τ gθ
(sec θ + 1) sec θ τ gθ dθ
τ gθ
= ∫ sec 2 θ dθ + ∫ sec θ dθ = τ gθ + η sec θ + τ gθ + c
= x2 − 4x + 3 + η x − 2 + x2 − 4x + 3 + c
6.69.- ∫
dx
x2 − 2 x − 8
Solución.-
Se tiene: x − 1 = 3sec θ , dx = 3sec θτ gθ dθ , ( x − 1) 2 − 32 = 3τ gθ
Completando cuadrados se tiene:
x 2 − 2 x − 8 = x 2 − 2 x + 1 − 9 = ( x − 1) 2 − 32 , luego:
∫
dx
x − 2x − 8
= η
2
=∫
dx
( x − 1) − 3
2
2
=∫
3 sec θ τ gθ dθ
3τ gθ
= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c
x −1
x2 − 2 x − 8
+
+ c = η x − 1 + x2 − 2x − 8 + c
3
3
152
6.70.- ∫
xdx
x2 + 4 x + 5
Solución.-
Se tiene: x + 2 = τ gθ , dx = sec 2 θ dθ , ( x + 2) 2 + 12 = s ecθ
Completando cuadrados se tiene:
x 2 + 4 x + 5 = ( x 2 + 4 x + 4) + 1 = ( x + 2) 2 + 12 , luego:
∫
xdx
x2 + 4 x + 5
=∫
xdx
( x + 2) 2 + 12
=∫
(τ gθ − 2) sec 2 θ dθ
= ∫ τ gθ sec θ dθ − 2 ∫ sec θ dθ
sec θ
= sec θ − 2 η sec θ + τ gθ + c = x 2 + 4 x + 5 − 2 η
x2 + 4 x + 5 + x + 2 + c
153
CAPITULO 7
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Mediante el recurso de la descomposición en fracciones simples, el proceso de
integración de funciones racionales se puede simplificar notablemente.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
dx
x −9
Solución.- Descomponiendo el denominador en factores: x 2 − 9 = ( x + 3)( x − 3) ,
Como los factores son ambos lineales y diferentes se tiene:
1
A
B
, de donde:
=
+
2
x −9 x +3 x−3
1
A
B
=
+
⇒ 1 = A( x − 3) + B ( x + 3)(∗) ⇒ 1 = ( A + B ) x + (−3 A + 3B)
x+3 x−3
x2 − 9
7.1.-Encontrar: ∫
2
Para calcular las constantes A y B, se pueden identificar los coeficientes de igual
potencia x en la última expresión, y se resuelve el sistema de ecuaciones dado;
obteniendo así los valores de las constantes en referencia (método general) luego:
⎛ A + B = 0 ⎞ ⎛ 3 A + 3B = 0 ⎞
1
⎜
⎟⇒⎜
⎟ ⇒ 6 B = 1 ⇒ B = 6 , además:
−
+
=
−
+
=
3
3
1
3
3
1
A
B
A
B
⎝
⎠ ⎝
⎠
A + B = 0 ⇒ A = − B =⇒ A = − 1
6
También es frecuente usar otro mecanismo, que consiste en la expresión (∗)
Sustituyendo a x por los valores que anulen los denominadores de las fracciones:
x = 3 ⇒ 1 = 6B ⇒ B = 1
6
x = −3 ⇒ 1 = −6 A ⇒ A = − 1
6
Usando cualquier método de los señalados anteriormente, se establece que:
1
−1
1
6 + 6 , Luego se tiene:
=
x2 − 9 x + 3 x − 3
dx
1 dx 1 dx
1
1
∫ x2 − 9 = − 6 ∫ x + 3 + 6 ∫ x − 3 = − 6 η x + 3 + 6 η x − 3 + c
1
= ( η x −3 − η x +3 )+c
6
154
dx
1
x−3
= η
+c
x −9 6
x+3
dx
7.2.-Encontrar: ∫ 2
x + 7x − 6
2
Solución.- Sea: x + 7 x + 6 = ( x + 6)( x + 1) , factores lineales y diferentes; luego:
1
A
B
,
=
+
2
x + 7x + 6 x + 6 x +1
De donde:
1 = A( x + 1) + B( x + 6)(∗) ⇒ 1 = ( A + B) x + ( A + 6 B) , calculando las constantes A y B
por el método general, se tiene: 1 = ( A + B) x + ( A + 6 B)
⎛ A + B = 0⎞
⎛ −A − B = 0⎞
1
⎜
⎟ ⇒ −⎜
⎟ ⇒ 5B = 1 ⇒ B = 5 , además:
6
1
6
1
A
+
B
=
A
+
B
=
⎝
⎠
⎝
⎠
Respuesta: ∫
2
A + B = 0 ⇒ A = − B =⇒ A = − 1
5
Ahora utilizando el método abreviado se tiene:
x = −1 ⇒ 1 = 5 B ⇒ B = 1
5
x = − 6 ⇒ 1 = −5 A ⇒ A = − 1
5
Usando cualquier método se puede establecer:
1
−1
1
5 + 5 , Luego se tiene:
=
x2 + 7 x + 6 x + 6 x + 1
dx
1 dx 1 dx
1
1
∫ x2 + 7 x + 6 = − 5 ∫ x + 6 + 5 ∫ x + 1 = − 5 η x + 6 + 5 η x + 1 + c
1
= ( η x +1 − η x + 6 ) + c
5
dx
1
x +1
Respuesta: ∫ 2
= η
+c
x + 7x + 6 5
x+6
xdx
7.3.-Encontrar: ∫ 2
x − 4x + 4
2
Solución.- Sea: x − 4 x + 4 = ( x − 2) 2 , factores lineales con repetición; luego:
x
A
B
x
A( x − 2) + B
,
=
+
⇒ 2
=
2
2
x − x + 4 x − 2 ( x − 2)
x −x+4
( x − 2) 2
De donde:
x = A( x − 2) + B(∗) , calculando las constantes A y B por el método general, se
tiene: x = Ax + (−2 A + B ) , luego:
= 1⎞
⎛ A
⎜
⎟ ⇒ B = 2 A ⇒ B = 2(1) ⇒ B = 2
⎝ −2 A + B = 0 ⎠
155
Usando el método abreviado, se sustituye en x , el valor que anula el
denominador(o los denominadores), y si este no es suficiente se usan para
sustituir cualquier valor conveniente de x , esto es: x = 0, x = −1 ; luego en (∗)
x=2⇒2= B⇒ B =2
x = 0 ⇒ 0 = −2 A + B ⇒ 2 A + B ⇒ A = B ⇒ A = 1
2
Usando cualquier método se establece:
xdx
dx
dx
2
∫ x2 − 4 x + 4 = ∫ x − 2 + 2∫ ( x − 2)2 = η x − 2 − x − 2 + c
xdx
2
Respuesta: ∫ 2
= η x−2 −
+c
x − 4x + 4
x−2
(2 x 2 + 3)dx
7.4.-Encontrar: ∫ 3
x − 2x2 + x
Solución.- Sea: x3 − 2 x 2 + x = x( x 2 − 2 x + 1) = x( x − 1) 2 , factores lineales:
x, x − 1 ; donde este último es con repetición; luego:
2x2 + 3
A
B
C
2 x2 + 3
A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx
=
= +
+
⇒ 3
x3 − 2 x 2 + x x ( x − 1) ( x − 1) 2
x( x − 1) 2
x − 2x2 + x
De donde:
2 x 2 + 3 = A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx(∗) , calculando las constantes A y B por el
método general, se tiene: 2 x 2 + 3 = ( A + B ) x 2 + (−2 A − B + C ) x + A , de donde
identificando los coeficientes de igual potencia de x se puede obtener el siguiente
sistema de ecuaciones:
=2⎞
⎛ A +B
⎜
⎟
⎜ −2 A − B + C = 0 ⎟ ⇒ B = 2 − A ⇒ B = 2 − 3 ⇒ B = −1 , tomando la segunda ecuación
⎜ A
= 3 ⎟⎠
⎝
del sistema: C = 2 A + B ⇒ C = 2(3) − 1 ⇒ C = 5 ,también es posible usar el método
abreviado, utilizando para ello la expresión (∗) en la cual:
x = 1 ⇒ 2(1) + 3 = C ⇒ C = 5
x =0⇒3= A⇒ A=3
Usando un valor arbitrario para x , sea este x = −1 :
x = −1 ⇒ 2(−1) 2 + 3 = A(−2) 2 + B(−1)(−2) + C (−1) ⇒ 5 = 4 A + 2 B − C , luego:
2 B = 5 − 4 A + C ⇒ 2 B = 5 − 4(3) + 5 ⇒ 2 B = −2 ⇒ B = −1 , S, e establece que:
2 x2 + 3
3
1
5
, entonces:
= −
+
3
2
x − 2 x + x x x − 1 ( x − 1) 2
2x2 + 3
dx
dx
dx
5
= 3∫ − ∫
+ 5∫
= 3 η x − η x −1 −
+c
3
2
2
( x − 1)
x − 2x + x
x
x −1
x −1
Respuesta: ∫
(2 x 2 + 3)dx
x3
5
=
−
+c
η
3
2
x − 2x + x
x −1 x −1
156
dx
x − 2x2 + x
Solución.- x3 − 2 x 2 + x = x( x − 1) 2 ,factores lineales:
x, x − 1 ; donde este último es con repetición; luego:
7.5.-Encontrar: ∫
3
1
A
B
C
1
A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx
=
+
+
⇒
=
x3 − 2 x 2 + x x ( x − 1) ( x − 1) 2
x( x − 1) 2
x3 − 2 x 2 + x
De donde:
1 = A( x − 1) 2 + Bx( x − 1) + Cx(∗) , calculando las constantes A y B por el método
general, se tiene: 1 = ( A + B ) x 2 + (−2 A − B + C ) x + A , de donde identificando los
coeficientes de igual potencia de x se puede obtener el siguiente sistema de
ecuaciones:
= 0⎞
⎛ A +B
⎜
⎟
⎜ −2 A − B + C = 0 ⎟ ⇒ B = − A ⇒ B = −1 , tomando la segunda ecuación del
⎜ A
= 1⎟⎠
⎝
sistema: C = 2 A + B ⇒ C = 2(1) − 1 ⇒ C = 1 , a partir de lo cual se tiene:
1
1
1
1
= −
+
3
2
x − 2 x + x x x − 1 ( x − 1) 2
dx
dx
dx
dx
1
∫ x3 − 2 x 2 + x = ∫ x − ∫ x − 1 + ∫ ( x − 1)2 = η x − η x − 1 − x − 1 + c
dx
x
1
Respuesta: ∫ 3
= η
−
+c
2
x − 2x + x
x −1 x −1
x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 6
dx
x3 − 6 x 2 + 12 x − 8
Solución.- Se sabe que si el grado del polinomio dividendo, es igual o superior al
grado del polinomio divisor, previamente conviene efectuar la división de tales
polinomios.
x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 0 x + 6 x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8
7.6.-Encontrar: ∫
− x 4 + 6 x3 − 12 x 2 + 8 x
x
8x + 6
x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 6
(8 x + 6)dx
dx = ∫ xdx + ∫ 3
3
2
x − 6 x + 12 x − 8
x − 6 x 2 + 12 x − 8
La descomposición de: x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 :
1 −6 12 −8
Luego se tiene: ∫
2 −8
8
1 −4 4
0
2
x = 2 ⇒ ( x − 2)
x 2 − 4 x + 4 = ( x − 2) 2
x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = ( x − 2)3
157
Esto es factores lineales: [ ( x − 2)] con repetición por tanto:
8x + 6
A
B
C
=
+
+
2
2
x − 6 x + 12 x − 8 x − 2 ( x − 2) ( x − 2)3
3
8x + 6
=
A( x − 2) 2 + B (( x − 2) + C
x3 − 6 x 2 + 12 x − 8
( x − 2)3
Luego:
8 x + 6 = A( x − 2) 2 + B( x − 2) + C ⇒ 8 x + 6 = A( x 2 − 4 x + 4) + B( x − 2) + C
8 x + 6 = Ax 2 + (−4 A + B) x + (4 A − 2 B + C )
Calculando las constantes A y B por el método general, se tiene:
= 0⎞
⎛ A
⎜
⎟
⎜ −4 A + B = 8 ⎟ ⇒ B = 8 + 4 A ⇒ B = 8 + 4(0) ⇒ B = 8 ,
⎜ + 4 A − 2B + C = 6 ⎟
⎝
⎠
Resolviendo el sistema: C = 6 − 4 A + 2 B ⇒ C = 6 − 4(0) + 2(8) ⇒ C = 22 , luego:
0
8x + 6
0
8
22
=
+
+
, de donde:
2
3
2
x − 6 x + 12 x − 8 x − 2
( x − 1) ( x − 1)3
(8 x + 6)dx
dx
dx
∫ x3 − 6 x 2 + 12 x − 8 = 8∫ ( x − 2)2 + 22∫ ( x − 2)3 , o sea:
dx
dx
= ∫ xdx +8∫
+ 22∫
= ∫ xdx +8∫ ( x − 2) −2 dx + 22∫ ( x − 2) −3 dx
2
3
( x − 2)
( x − 2)
x2
8
11
−
−
+c
2 x − 2 ( x − 2) 2
Respuesta: ∫
x 4 − 6 x3 + 12 x 2 + 6
x2
8
11
=
−
−
+c
dx
3
2
x − 6 x + 12 x − 8
2 x − 2 ( x − 2) 2
x3 + x 2 + x + 3
dx
x4 + 4x2 + 3
Solución.- x 4 + 4 x 2 + 3 = ( x 2 + 3)( x 2 + 1) , la descomposición es en factores
cuadráticos sin repetición, por lo tanto:
x3 + x 2 + x + 3 Ax + B Cx + D
= 2
+ 2
x4 + 4 x2 + 3
x +3
x +1
3
2
x + x + x + 3 ( Ax + B )( x 2 + 1) + (Cx + D)( x 2 + 3)
=
x4 + 4 x2 + 3
( x 2 + 3)( x 2 + 1)
7.7.-Encontrar: ∫
x3 + x 2 + x + 3 = A( x3 + x) + B( x 2 + 1) + C ( x3 + 3 x) + D( x 2 + 3)
x3 + x 2 + x + 3 = ( A + C ) x3 + ( B + D) x 2 + ( A + 3C ) x + ( B + 3D) , luego:
158
(1) ⎛ A + C
=1⎞
⎜
⎟
+ D = 1⎟
(2) ⎜ B
=1⎟
(3) ⎜ A + 3C
⎜
⎟
+ 3D = 3 ⎠
(4) ⎝ B
⎛ A + C = 1⎞
Con (1) y (3), se tiene: ⎜
⎟ ⇒ A = 1, C = 0
⎝ A + 3C = 1 ⎠
⎛ B + D = 1⎞
Con (2) y (4), se tiene: ⎜
⎟ ⇒ B = 0, D = 1
⎝ B + 3D = 3 ⎠
x3 + x 2 + x + 3
x
1
, o sea:
=
+ 2
4
2
x + 4x + 3
x + 3 x +1
x3 + x 2 + x + 3
xdx
dx
2
∫ x4 + 4 x 2 + 3 dx = ∫ x + 3 + ∫ x2 + 1 , sea: u = x + 3, du = 2 xdx , luego:
x3 + x 2 + x + 3
1 2 xdx
dx
1 du
dx
∫ x4 + 4 x 2 + 3 dx = 2 ∫ x + 3 + ∫ x 2 + 12 = 2 ∫ u + ∫ x2 + 12
1
1
= η u + arcτ gx + c = η x 2 + 3 + arcτ gx + c
2
2
3
2
x + x + x+3
1
Respuesta: ∫ 4
dx = η x 2 + 3 + arcτ gx + c
2
x + 4x + 3
2
4
x dx
7.8.-Encontrar: ∫ 4
x + 2x2 + 1
Solución.x4
x4 + 2 x2 + 1
Por lo tanto:
− x4 − 2x2 − 1
1
−2 x 2 − 1
Luego ∫
⎛
x 4 dx
2x2 + 1 ⎞
2 x2 + 1
=
1
−
dx
=
dx
−
⎜
⎟
∫ ∫ x 4 + 2 x2 + 1dx
x4 + 2 x2 + 1 ∫ ⎝ x4 + 2 x2 + 1 ⎠
La descomposición del denominador es: x 4 + 2 x 2 + 1 = ( x 2 + 1) 2 , entonces:
2x2 + 1
Ax + B Cx + D
2x2 + 1
( Ax + B )( x 2 + 1)(Cx + D)
=
+
⇒
=
x 4 + 2 x 2 + 1 x 2 + 1 ( x 2 + 1) 2
x4 + 2 x2 + 1
( x 2 + 1) 2
2 x 2 + 1 = ( Ax + B )( x 2 + 1) + (Cx + D) ⇒ 2 x 2 + 1 = A( x3 + x) + B( x 2 + 1) + Cx + D
2 x 2 + 1 = Ax3 + Bx 2 + ( A + C ) x + ( B + D)
Calculando las constantes por el método general, se tiene:
=0⎞
⎛A
⎜
⎟
= 2⎟
⎜ B
⎜ A +C
=0⎟
⎜
⎟
+ D =1 ⎠
⎝ B
159
Resolviendo el sistema: C = − A ⇒ A = 0 ∴ C = 0 , B + D = 1 ⇒ D = 1 − B ⇒ D = −1
luego:
2x2 + 1
2
1
, o sea:
= 2
− 2
4
2
x + 2 x + 1 x + 1 ( x + 1) 2
dx
dx
dx
dx
2x2 + 1
∫ x4 + 2 x 2 + 1 = 2∫ x 2 + 12 − ∫ ( x 2 + 1)2 = 2∫ x 2 + 12 − ∫ ( x2 + 1)4
Sea: x = τ gθ , dx = sec 2 θ dθ ; x 2 + 1 = sec θ , luego:
sec 2 θ
dθ
dθ = 2 arcτ gx − ∫
= 2 arcτ gx − ∫ cos 2 θ
4
2
sec θ
sec θ
1 + cos 2θ
1
1
dθ = 2 arcτ gx − ∫ dθ − ∫ cos 2θ dθ
= 2 arcτ gx − ∫
2
2
2
1
1
1
1
arcτ gx − θ − s e n 2θ + c = 2 arcτ gx − θ − s e n θ cos θ + c
2
2
2
2
= 2 arcτ gx − ∫
x
+ 1
x
θ
De la figura se tiene que:
τ gθ = x,θ arcτ gθ ,s e n θ =
2
x
, cos θ =
1
1
x +1
x +1
1
1
x
1
1
x
Luego: = 2 arcτ gx − arcτ gx −
+ c = 2 arcτ gx − arcτ gx −
+c
2
2
2 x2 + 1 x2 + 1
2
2( x + 1)
Recordando que:
x 4 dx
(2 x 2 + 1)dx
1
1
x
=
dx
−
= x − 2 arcτ gx + arcτ gx +
+c
4
2
4
2
2
∫
∫
x + 2x + 1
x + 2x +1
2
2 ( x + 1)
Respuesta: ∫
2
2
x 4 dx
3
x
= x − arcτ gx +
+c
4
2
2
2
2( x + 1)
x + 2x + 1
7.9.-Encontrar: ∫
x 4 dx
x4 −1
Solución.x4
x4 −1
− x4 + 1
1
1
Luego:
x 4 dx
1 ⎞
dx
⎛
∫ x4 − 1 = ∫ ⎜⎝1 + x 4 − 1 ⎟⎠dx = ∫ dx + ∫ x 4 − 1
Descomponiendo en factores el denominador:
x 4 − 1 = ( x 2 − 1)( x 2 + 1) = ( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) , es decir factores lineales y cuadráticos
sin repetición por tanto:
160
1
Ax + B
C
D
= 2
+
+
x −1 x +1 x + 1 x −1
1
( Ax + B )( x 2 − 1) + C ( x 2 + 1)( x − 1) + D( x + 1)( x 2 + 1)
=
x4 − 1
( x 2 + 1)( x + 1)( x + 1)
4
1 = A( x 3 − x) + B( x 2 + 1) + C ( x3 − x 2 + x − 1) + D( x3 + x 2 + x + 1)
1 = ( A + C + D ) x 3 + ( B − C + D ) x 2 + ( − A + C + D ) x + (− B − C + D )
Luego:
(1) ⎛ A
+ C +D = 0 ⎞
⎜
⎟
(2) ⎜
B − C + D = 0⎟
(3) ⎜ − A + C + D = 0 ⎟
⎜
⎟
(4) ⎝ − B −C + D = 1 ⎠
⎛ A+ C + D = 0⎞
Con (1) y (3), se tiene: ⎜
⎟ ⇒ 2C + 2 D = 0 (5)
⎝ −A + C + D = 0⎠
⎛ B − C + D = 0⎞
Con (2) y (4), se tiene: ⎜
⎟ ⇒ −2C + 2 D = 1 (6)
⎝ −B − C + D = 1⎠
⎛ 2C + 2 D = 0 ⎞
1
1
Con (5) y (6), se tiene: ⎜
⎟ ⇒ C = − 4,D = 4
⎝ −2C + 2 D = 1 ⎠
Además: A = 0, B = − 1 , luego:
2
1
1
1
1
, con lo cual:
=−
−
+
4
2
x −1
2( x + 1) 4( x + 1) 4( x − 1)
dx
1
dx
1
dx
1
dx
∫ x4 − 1 = − 2 ∫ ( x 2 + 1) − 4 ∫ ( x + 1) + 4 ∫ ( x − 1)
= − 1 arcτ gx − 1 η x + 1 + 1 η x − 1 + c
2
4
4
4
x dx
dx
x −1
Dado que: ∫ 4
= ∫ dx + ∫ 4
= x − 1 arcτ gx + 1 η
+ c , entonces:
2
4
x −1
x −1
x +1
1
x −1
Respuesta: ∫ 4
= x − 1 arcτ gx + 1 η
+c
2
4
x −1
x +1
x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3
7.10.-Encontrar: ∫
dx
x3 − 2 x 2 + 3x
Solución.x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3 x3 − 2 x 2 + 3x
− x 4 + 2 x3 − 3x 2
x
−x + 3
Luego:
161
x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3
x−3
x−3
⎛
⎞
∫ x3 − 2 x 2 + 3x dx = ∫ ⎜⎝ x − x3 − 2 x2 + 3x ⎟⎠dx = ∫ xdx − ∫ x3 − 2 x 2 + 3xdx
Descomponiendo en factores el denominador:
x3 − 2 x 2 + 3x = x( x 2 − 2 x + 3) , es decir un factor lineal y uno cuadrático; por lo cual:
x −3
A
Bx + C
x −3
A( x 2 − 2 x + 3) + ( Bx + C ) x
=
+
⇒
=
x3 − 2 x 2 + 3x x x 2 − 2 x + 3
x3 − 2 x 2 + 3x
x( x 2 − 2 x + 3)
x − 3 = A( x 2 − 2 x + 3) + ( Bx + C ) x ⇒ x − 3 = ( A + B) x 2 + (−2 A + C ) x + 3 A
De donde:
A+ B
= 0 ⎞ ⎧ A = −1
⎛
⎜
⎟ ⎪
+ C = 1 ⎟ ⇒ ⎨B = − A ⇒ B = 1
⎜ −2 A
⎜ 3A
= −3 ⎟⎠ ⎪⎩C = 1 + 2 A ⇒ C = −1
⎝
Luego:
x −3
1
x −1
=− + 2
, de donde:
3
2
x − 2 x + 3x
x x − 2x + 3
x−3
dx
x −1
x −1
∫ x3 − 2 x 2 + 3x dx = −∫ x + ∫ x 2 − 2 x + 3 dx = − η x + ∫ x 2 − 2 x + 3 dx
x 4 − 2 x3 + 3x 2 − x + 3
x −1
∫ x3 − 2 x 2 + 3x dx = ∫ xdx + η x − ∫ x2 − 2 x + 3 dx
x2
x −1
x2
1 2( x − 1)dx
= + η x −∫ 2
dx = + η x − ∫ 2
2
2
2 x − 2x + 3
x − 2x + 3
Sea: u = x 2 − 2 x + 3, du = (2 x − 2)dx ⇒ du = 2( x − 1)dx
x2
1 du x 2
1
+ η x− ∫
= + η x − η x2 − 2x + 3 + c
2
2 u
2
2
4
3
2
x − 2 x + 3x − x + 3
x2
x
Respuesta: ∫
=
+ η
+c
dx
3
2
x − 2 x + 3x
2
x2 − 2 x + 3
=
EJERCICICOS PROPUESTOS
Usando La técnica de descomposición en fracciones simples parciales, calcular
las siguientes integrales:
( x5 + 2)dx
x2 − 1
(3 x + 7)dx
7.14.- ∫
( x − 1)( x − 2)( x − 3)
7.12.- ∫
( x 2 + 1)dx
x3 + 1
7.18.- ∫
7.11.- ∫
7.17.- ∫
xdx
( x + 1) 2
dx
7.15.- ∫ 3 dx
x +1
( x 2 + 6)dx
( x − 1) 2 ( x − 2)
x3 dx
x2 − 2 x − 3
( x + 5)dx
7.16.- ∫ 2
x −x+6
7.13.- ∫
7.19.- ∫
( x 2 − 1)dx
( x 2 + 1)( x − 2)
162
xdx
x − 4x − 5
x 2 dx
7.23.- ∫ 2
x + 2x +1
dx
7.26.- ∫
2
x( x + x + 1)
7.20.- ∫
2
xdx
x − 2x − 3
dx
7.24.- ∫
x( x + 1) 2
2 x2 + 5x − 1
dx
7.27.- ∫ 3
x + x2 − 2x
7.21.- ∫
2
( x + 1)dx
x2 + 4 x − 5
dx
7.25.- ∫
( x + 1)( x 2 + 1)
( x 2 + 2 x + 3)dx
7.28.- ∫
( x − 1)( x + 1) 2
7.22.- ∫
7.29.- ∫
3x2 + 2 x − 2
dx
x3 − 1
7.30.- ∫
x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2
dx
( x − 1)( x 2 + 2) 2
7.32.- ∫
3x 2 + 3x + 1
dx
x3 + 2 x 2 + 2 x + 1
7.33.- ∫
x3 + 7 x 2 − 5 x + 5
dx
( x − 1) 2 ( x + 1) 2
7.36.- ∫
(2 x 2 − 3x + 5)dx
( x + 2)( x − 1)( x − 3)
7.39.- ∫
2 x3 + 3x 2 + x − 1
dx
( x + 1)( x 2 + 2 x + 2) 2
(3x 2 + x − 2)dx
( x − 1)( x 2 + 1)
(2 x + 1)dx
7.40.- ∫ 3
3x + 2 x − 1
7.42.- ∫
x4 − 2 x2 + 3x + 4
dx
( x − 1)3 ( x 2 + 2 x + 2)
7.43.- ∫
7.45.- ∫
4 x 4 − 2 x3 − x 2 + 3x + 1
dx
( x3 + x 2 − x − 1)
7.48.- ∫
(2 x 4 + 3x3 − x − 1)dx
( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) 2
3x 4 dx
( x 2 + 1) 2
dx
7.49.- ∫ 2 x x
e +e −2
7.51.- ∫
(2 + τ g 2θ ) sec 2 θ dθ
1 + τ g 3θ
7.52.- ∫
x2 + 2 x + 3
dx
x3 − x
( x + 5)dx
7.38.- ∫ 3
x − 3x + 2
7.35.- ∫
(2 x 2 + 3 x − 1)dx
x3 + 2 x 2 + 4 x + 2
s e n θ dθ
7.44.- ∫
2
cos θ + cos θ − 2
7.41.- ∫
(2 x 2 + 41x − 91)dx
x3 − 2 x 2 − 11x + 12
s e n xdx
7.50.- ∫
cos x(1 + cos 2 x)
7.47.- ∫
7.53.- ∫
(2 x 2 − 7 x − 1)dx
x3 + x 2 − x − 1
2 xdx
7.34.- ∫ 2
( x + x + 1) 2
7.31.- ∫
7.37.- ∫
et dt
e2t + 3et + 2
7.46.- ∫
(5 x3 + 2)dx
x3 − 5 x 2 + 4 x
x5 dx
( x3 + 1)( x3 + 8)
RESPUESTAS
( x5 + 2)dx
x2 − 1
Solución.( x5 + 2)dx
x+2 ⎞
x+2
⎛ 3
3
∫ x 2 − 1 = ∫ ⎜⎝ x + x + x 2 − 1 ⎟⎠dx = ∫ x dx + ∫ xdx + ∫ x 2 − 1 dx
x4 x2
( x + 2)dx
(∗) , luego:
= + +∫
4 2
( x + 1)( x − 1)
A
B
x+2
⇒ x + 2 = A( x − 1) + B( x + 1)
=
+
2
x −1 x +1 x −1
7.11.- ∫
163
⎧ x = 1 ⇒ 3 = 2B ⇒ B = 3
⎪
2
∴⎨
⎪⎩ x = −1 ⇒ 1 = −2 A ⇒ A = − 1 2
x 4 x 2 1 dx 3 dx
x4 x2 1
3
+ − ∫
+ ∫
= + − η x +1 + η x −1 + c
4 2 2 x + 1 2 x −1 4 2 2
2
3
4
2
2
x
x
( x − 1)
= + +η
+c
4 2
x +1
(∗) =
xdx
( x + 1) 2
Solución.xdx
Adx
Bdx
∫ ( x + 1)2 = ∫ x + 1 + ∫ ( x + 1)2 (∗) , luego:
x
A
B
=
+
⇒ x = A( x + 1) + B
2
( x + 1)
x + 1 ( x + 1) 2
⎧ x = −1 ⇒ −1 = B
∴⎨
⎩ x = 0 ⇒ 0 = A + B ⇒ A = − B ⇒ A = −1
dx
dx
1
−∫
= η x + 1 + ( x + 1) −1 + c = η x + 1 +
+c
(∗) ∫
2
( x + 1)
x +1
x +1
7.12.- ∫
x 3dx
x2 − 2 x − 3
Solución.x3dx
7x + 6 ⎞
(7 x + 6)dx
⎛
∫ x2 − 2 x − 3 = ∫ ⎜⎝ x + 2 + x 2 − 2 x − 3 ⎟⎠dx = ∫ xdx + 2∫ dx + ∫ x 2 − 2 x − 3
x2
(7 x + 6)dx
(∗) , luego:
= + 2x + ∫
2
( x − 3)( x + 1)
(7 x + 6)
A
B
=
+
⇒ 7 x + 6 = A( x + 1) + B( x − 3)
( x − 3)( x + 1) x − 3 x + 1
⎧ x = 3 ⇒ 27 = 4 A ⇒ A = 27
⎪
4
∴⎨
⎪⎩ x = −1 ⇒ −1 = −4 B ⇒ B = 1 4
x2
27 dx 1 dx
x2
27
1
(∗) = + 2 x + ∫
+ ∫
= + 2x +
η x − 3 + η x +1 + c
2
4 x − 3 4 x +1 2
4
4
2
x
1
= + 2 x + η ( x − 3) 27 ( x + 1) + c
2
4
(3 x + 7)dx
7.14.- ∫
( x − 1)( x − 2)( x − 3)
Solución.(3x + 7)dx
Adx
Bdx
Cdx
∫ ( x − 1)( x − 2)( x − 3) = ∫ x − 1 + ∫ x − 2 + ∫ x − 3 (∗)
7.13.- ∫
164
(3x + 7)
A
B
C
=
+
+
( x − 1)( x − 2)( x − 3) x − 1 x − 2 x − 3
3 x − 7 = A( x − 2)( x − 3) + B ( x − 1)( x − 3) + C ( x − 1)( x − 2) , luego:
⎧ x = 1 ⇒ −4 = 2 A ⇒ A = −2
⎪
∴ ⎨ x = 2 ⇒ −1 = − B ⇒ B = 1
⎪ x = 3 ⇒ 2 = 2C ⇒ C = 1
⎩
dx
dx
dx
+∫
+∫
= −2 η x − 1 + η x − 2 + η x − 3 + c
x −1
x−2
x−3
( x − 2)( x − 3)
= η
+c
( x − 1) 2
dx
7.15.- ∫ 3 dx
x +1
Solución.dx
dx
Adx
( Bx + C )dx
∫ x3 + 1dx = ∫ ( x + 1)( x 2 − x + 1) = ∫ x + 1 + ∫ ( x 2 − x + 1) (∗) , luego:
1
A
( Bx + C )
=
+ 2
⇒ 1 = A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1)
2
( x + 1)( x − x + 1) x + 1 ( x − x + 1)
⎧ x = −1 ⇒ 1 = 3 A ⇒ A = 1
3
⎪
⎪
∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A + C ⇒ C = 1− A ⇒ C = 2
3
⎪
1
⎪⎩ x = 1 ⇒ 1 = A + ( B + C )2 ⇒ 1 = 3 + 2 B + 2C ⇒ 1 3 = B + C ⇒ B = 1 3 − C
⇒B=−1
3
(− 1 x + 2 )dx 1
1 dx
1 ( x − 2)dx
3
3
+∫
= η x +1 − ∫ 2
(∗) = ∫
2
3 x +1
( x − x + 1)
3
3 x − x +1
1
1 (2 x − 4)dx 1
1 (2 x − 1 − 3)dx
= η x +1 − ∫ 2
= η x +1 − ∫
3
6 x − x +1 3
6
x2 − x + 1
1
1 (2 x − 1)dx 1
dx
= η x +1 − ∫ 2
+ ∫ 2
3
6 x − x +1 2 x − x +1
dx
1
1
1
= η x + 1 − η x2 − x + 1 + ∫ 2
3
6
2 (x − x + 1 ) + 3
4
4
1
1
1
dx
= η x + 1 − η x2 − x + 1 + ∫
3
6
2 ( x − 1 )2 + ( 3 )2
2
2
x− 1
1
1
1 1
2 +c
arcτ g
= η x + 1 − η x2 − x + 1 +
3
6
2 3
3
2
2
1
1
3
2x −1
= η x + 1 − η x2 − x + 1 +
arcτ g
+c
3
6
3
3
(∗) = −2∫
165
= η
3
x +1
+
3
2x −1
arcτ g
+c
3
3
x2 − x + 1
( x + 5)dx
7.16.- ∫ 2
x −x+6
Solución.( x + 5)dx
( x + 5)dx
Adx
Bdx
∫ x2 − x + 6 = ∫ ( x + 3)( x − 2) = ∫ ( x + 3) + ∫ ( x − 2) (∗) , luego:
( x + 5)
A
B
=
+
⇒ x + 5 = A( x − 2) + B ( x + 3)
2
( x + x − 6) ( x + 3) ( x − 2)
⎧ x = 2 ⇒ 7 = 5B ⇒ B = 7
⎪
5
∴⎨
⎪⎩ x = −3 ⇒ 2 = −5 A ⇒ A = − 2 5
2 dx 7 dx
2
2
1
( x − 2)7
(∗) = − ∫
+ ∫
= − η x+3 + η x−2 +c = η
+c
5 x+3 5 x−2
5
5
5
( x + 3) 2
6
( x 2 + 1)dx
x3 + 1
Solución.( x 2 + 1)dx
( x 2 + 1)dx
Adx
( Bx + C )dx
=
∫ x3 + 1 ∫ ( x + 1)( x 2 − x + 1) = ∫ ( x + 1) + ∫ ( x2 − x + 1) (∗) , luego:
7.17.- ∫
( x 2 + 1)
A
Bx + C
=
+ 2
⇒ x 2 + 1 = A( x 2 − x + 1) + ( Bx + C )( x + 1)
3
x + 1 ( x + 1) ( x − x + 1)
⎧ x = −1 ⇒ 2 = 3 A ⇒ A = 2
3
⎪
⎪
∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A + C ⇒ C = 1
3
⎪
⎪⎩ x = 1 ⇒ 2 = A + ( B + C )2 ⇒ B = 1 3
( x 2 + 1)dx
( x 2 + 1)dx
2
dx
1 ( x + 1)dx
(∗) ∫
=
= ∫
+ ∫ 2
3
2
∫
x +1
( x + 1)( x − x + 1) 3 ( x + 1) 3 ( x − x + 1)
⎡ 1 (2 x − 1) + 2 ⎤ dx
2
1
dx
3 ⎦ = 2 η x + 1 + 1 (2 x − 1)dx + 1
= η x +1 + ∫ ⎣ 2 2
2
2
∫
∫
3
3
( x − x + 1)
3
6 ( x − x + 1) 2 ( x − x + 1)
2
1
1
dx
= η x + 1 + η x2 − x + 1 + ∫ 2
3
6
2 ( x − x + 1)
dx
2
1
1
= η x + 1 + η x2 − x + 1 + ∫ 2
3
6
2 (x − x + 1 ) + 3
4
4
4
1
1
dx
= η x + 1 + η x2 − x + 1 + ∫
6
6
2 ( x − 1 )2 + ( 3 )2
2
2
166
x− 1
1
1 1
4
2
2 +c
arcτ g
= η ( x + 1) ( x − x + 1) +
6
2 3
3
2
2
1
3
2x −1
= η ( x + 1) 4 ( x 2 − x + 1) +
arcτ g
+c
6
3
3
( x 2 + 6)dx
7.18.- ∫
( x − 1) 2 ( x − 2)
Solución.( x 2 + 6)dx
Adx
Bdx
Cdx
∫ ( x − 1)2 ( x − 2) = ∫ ( x + 1) + ∫ ( x − 1)2 + ∫ ( x + 2) (∗) , luego:
( x 2 + 6)
A
B
C
=
+
+
2
2
( x − 1) ( x − 2) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 2)
x 2 + 6 = A( x + 1) + ( x + 2) + B( x + 2) + C ( x − 1) 2
⎧ x = 1 ⇒ 7 = 3B ⇒ B = 7
3
⎪
⎪
∴ ⎨ x = −2 ⇒ 10 = 9C ⇒ C = 10
9
⎪
⎪ x = 0 ⇒ 6 = −2 A + B + C ⇒ A = − 1 9
⎩
1
7
10
1
7 1
10
dx
dx
dx
+ ∫
+ ∫
= − η x −1 −
+
η x+2 +c
(∗) = − ∫
2
9 ( x + 1) 3 ( x − 1)
9 ( x + 2)
9
3 x −1 9
=
1
( x + 2)10
7
η
−
+c
9
3( x − 1)
x −1
( x 2 − 1)dx
( x 2 + 1)( x − 2)
Solución.( x 2 − 1)dx
Ax + B
Cdx
∫ ( x2 + 1)( x − 2) = ∫ ( x 2 + 1) dx + ∫ ( x − 2) (∗) , luego:
7.19.- ∫
( x 2 − 1)
Ax + B
C
= 2
+
⇒ x 2 − 1 = ( Ax + B)( x − 2) + C ( x 2 + 1)
2
( x + 1)( x − 2) ( x + 1) ( x − 2)
⎧ x = 2 ⇒ 3 = 5C ⇒ C = 3
5
⎪
⎪
∴ ⎨ x = 0 ⇒ −1 = −2 B + C ⇒ B = 4
5
⎪
⎪⎩ x = 1 ⇒ 0 = −( A + B ) + 2C ⇒ A = 2 5
3 dx
( 2 x + 4 )dx
dx
1 2 xdx
4
3 dx
5
5
+∫ 5
= ∫ 2
+ ∫ 2
+ ∫
(∗) = ∫
2
( x + 1)
( x − 2) 5 ( x + 1) 5 ( x + 1) 5 x − 2
1
4
3
1
4
= η x 2 + 1 + arc x + η x − 2 + c = η ( x 2 + 1)( x − 2)3 + arc x + c
5
5
5
5
5
167
xdx
x − 4x − 5
Solución.xdx
xdx
Adx
Bdx
∫ x2 − 4 x − 5 = ∫ ( x + 5)( x − 1) = ∫ ( x + 5) + ∫ ( x − 1) (∗) , luego:
x
A
B
=
+
⇒ x = A( x − 1) + B( x + 5)
( x + 5)( x − 1) ( x + 5) ( x − 1)
⎧ x = 1 ⇒ 1 = 6B ⇒ B = 1
⎪
6
∴⎨
⎪⎩ x = −5 ⇒ −5 = −6 A ⇒ A = 5 6
5
1
5
1
5
dx
dx
(∗) = ∫
+ ∫
= η x + 5 + η x − 1 + c = η ( x + 5)5 ( x − 1) + c
6 ( x + 5) 6 ( x − 1) 6
6
6
xdx
7.21.- ∫ 2
x − 2x − 3
Solución.xdx
xdx
Adx
Bdx
∫ x2 − 2 x − 3 = ∫ ( x − 3)( x + 1) = ∫ ( x − 3) + ∫ ( x + 1) (∗) , luego:
x
A
B
=
+
⇒ x = A( x + 1) + B( x − 3)
( x − 3)( x + 1) ( x − 3) ( x + 1)
⎧ x = −1 ⇒ −1 = −4 B ⇒ B = 1
⎪
4
∴⎨
⎪⎩ x = 3 ⇒ 3 = 4 A ⇒ A = 3 4
3
1
3
1
1
dx
B
(∗) = ∫
+ ∫
= η x − 3 + η x + 1 + c = η ( x − 3)3 ( x + 1) + c
4 ( x − 3) 4 ( x + 1) 4
4
4
( x + 1)dx
7.22.- ∫ 2
x + 4x − 5
Solución.( x + 1)dx
( x + 1)dx
Adx
Bdx
∫ x2 + 4 x − 5 = ∫ ( x + 5)( x − 1) = ∫ ( x + 5) + ∫ ( x − 1) (∗) , luego:
x +1
A
B
=
+
⇒ x + 1 = A( x − 1) + B ( x + 5)
2
( x + 4 x − 5) ( x + 5) ( x − 1)
⎧ x = 1 ⇒ 2 = 6B ⇒ B = 1
⎪
3
∴⎨
⎪⎩ x = − 5 ⇒ 3 = −4 A ⇒ −6 A = 2 3
2
1
2
1
1
dx
B
(∗) = ∫
+ ∫
= η x + 5 + η x − 1 + c = η ( x + 5) 2 ( x − 1) + c
3 ( x + 5) 3 ( x − 1) 3
3
3
2
x dx
7.23.- ∫ 2
x + 2x +1
Solución.7.20.- ∫
2
168
x 2 dx
2x +1 ⎞
(2 x + 1)dx
(2 x + 1)dx
⎛
∫ x2 + 2 x + 1 = ∫ ⎜⎝1 − x 2 + 2 x + 1 ⎟⎠ dx = ∫ dx − ∫ x 2 + 2 x + 1 = ∫ dx − ∫ ( x + 1)2
⎡ Adx
Bdx ⎤
(∗) , luego:
= x − ⎢∫
+∫
( x + 1) 2 ⎥⎦
⎣ ( x + 1)
2x +1
A
B
=
+
⇒ 2 x + 1 = A( x + 1) + B
2
( x + 1)
( x + 1) ( x + 1) 2
⎧ x = −1 ⇒ −1 = B ⇒ B = − 1
∴⎨
⎩x = 0 ⇒ 1 = A + B ⇒ A = 2
⎡
1 ⎤
1
dx
dx ⎤
⎡
−∫
= x − ⎢2 η x + 1 +
+ c = x − 2 η x +1 −
+c
(∗) = x − ⎢ 2∫
2⎥
⎥
x + 5⎦
x+5
( x + 1) ⎦
⎣
⎣ ( x + 1)
dx
7.24.- ∫
x( x + 1) 2
Solución.dx
Adx
Bdx
Cdx
∫ x( x + 1)2 = ∫ x + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 (∗) , luego:
1
A
B
C
= +
+
⇒ 1 = A( x + 1) 2 + Bx( x + 1) + Cx
2
2
x( x + 1)
x ( x + 1) ( x + 1)
⎧ x = −1 ⇒ 1 = −C ⇒ C = −1
⎪
∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A ⇒ A = 1
⎪ x = 1 ⇒ 1 = 4 A + 2 B + C ⇒ B = −1
⎩
1
1
dx
dx
dx
x
−∫
−∫
= η x − η x +1 +
+c = η
+
+c
2
x
x +1
x +1 x +1
( x + 1)
( x + 1)
dx
7.25.- ∫
( x + 1)( x 2 + 1)
Solución.dx
Adx
Bx + C
∫ ( x + 1)( x + 1)2 = ∫ x + 1 + ∫ ( x2 + 1) dx (∗) , luego:
1
A
Bx + C
=
+ 2
⇒ 1 = A( x 2 + 1) + ( Bx + C )( x + 1)
2
( x + 1)( x + 1) x + 1 ( x + 1)
⎧ x = −1 ⇒ 1 = 2 A ⇒ A = 1
2
⎪
⎪
1
∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A + C ⇒ C =
2
⎪
⎪⎩ x = 1 ⇒ 1 = 2 A + ( B + C )2 ⇒ B = −1 2
(−1 x + 1 )dx 1
1
1 x −1
dx
2
2
dx
+∫
= η x +1 − ∫ 2
(∗) = ∫
2
2 ( x + 1)
( x + 1)
2
2 ( x + 1)
1
1 2 xdx 1
1
1
1
dx
= η x +1 − ∫ 2
+ ∫ 2
= η x + 1 − η x 2 + 1 + arcτ gx + c
2
4 ( x + 1) 2 ( x + 1) 2
4
2
(∗) = ∫
169
1
( x + 1) 2 1
η 2
+ arcτ gx + c
x +1 2
4
dx
7.26.- ∫
2
x( x + x + 1)
Solución.dx
Adx
Bx + C
∫ x( x 2 + x + 1) = ∫ x + ∫ ( x 2 + x + 1) dx (∗) , luego:
1
A
Bx + C
= + 2
⇒ 1 = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C ) x
2
x( x + x + 1) x ( x + x + 1)
⎧x = 0 ⇒ 1 = A ⇒ A = 1
⎪
∴ ⎨ x = 1 ⇒ 1 = 3 A + B + C ⇒ B + C = −2
⎪ x = −1 ⇒ 1 = A + B − C ⇒ B − C = 0
⎩
=
( x + 1)dx
1 (2 x + 2)dx
dx
−∫ 2
= η x +1 − ∫ 2
( x + x + 1)
2 ( x + x + 1)
x
1 (2 x + 1) + 1
1 (2 x + 1)dx 1
dx
= η x− ∫ 2
dx = η x − ∫ 2
− ∫ 2
2 ( x + x + 1)
2 ( x + x + 1) 2 ( x + x + 1)
1
1
dx
= η x − η x2 + x + 1 − ∫ 2
2
2 (x + x + 1 ) + 3
4
4
1
1
dx
= η x − η x2 + x + 1 − ∫
2
2 ( x + 1 )2 + ( 3 )2
2
2
1
x+
1
1 1
2 +c
= η x − η x2 + x + 1 −
arcτ g
2
2 3
3
2
2
1
3
2x +1
= η x − η x2 + x + 1 −
arcτ g
+c
2
3
3
2 x2 + 5x − 1
7.27.- ∫ 3
dx
x + x2 − 2 x
Solución.(2 x 2 + 5 x − 1)dx
Adx
Bdx
Cdx
∫ ( x3 + x 2 − 2 x) = ∫ x + ∫ ( x − 1) + ∫ ( x + 2) (∗) , luego:
(∗)
=∫
2 x2 + 5x − 1
A
B
C
= +
+
3
2
( x + x − 2 x) x ( x − 1) ( x + 2)
2 x 2 + 5 x − 1 = A( x − 1)( x + 2) + Bx( x + 2) + Cx( x − 1)
⎧ x = 0 ⇒ −1 = − 2 A ⇒ A = 1
2
⎪⎪
∴ ⎨ x = 1 ⇒ 6 = 3B ⇒ B = 2
⎪
1
⎪⎩ x = −2 ⇒ −3 = 6C ⇒ C = − 2
170
(∗) =
1 dx
1
1
1
dx
dx
+ 2∫
− ∫
= η x + 2 η x −1 − η x + 2 + c
∫
2 x
( x − 1) 2 ( x + 2) 2
2
x2 + 2 x + 3
dx
( x − 1)( x + 1) 2
Solución.x2 + 2x + 3
Adx
Bdx
Cdx
∫ ( x − 1)( x + 1)2 dx = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 (∗) , luego:
7.28.- ∫
x2 + 2x + 3
A
B
C
=
+
+
2
( x − 1)( x + 1)
( x − 1) ( x − 1) ( x + 1) 2
x 2 + 2 x + 3 = A( x + 1) 2 + B ( x − 1)( x + 1) + C ( x − 1)
⎧x = 1 ⇒ 6 = 4A ⇒ A = 3
2
⎪⎪
∴ ⎨ x = − 1 ⇒ 2 = −2C ⇒ C = −1
⎪
1
⎪⎩ x = 0 ⇒ 3 = A − B − C ⇒ B = − 2
3 dx 1 dx
3
1
1
dx
(∗) = ∫
− ∫
−∫
= η x −1 − η x +1 +
+c
2
x +1
2 x −1 2 x +1
( x + 1)
2
2
=
1
( x − 1)3
1
η
+
+c
2
x +1
x +1
3x2 + 2 x − 2
dx
x3 − 1
Solución.3x 2 + 2 x − 2
3x 2 + 2 x − 2
Adx
( Bx + C )dx
dx
=
∫ x3 − 1
∫ ( x − 1)( x2 + x + 1)dx = ∫ x − 1 + ∫ ( x 2 + x + 1) (∗) , luego:
7.29.- ∫
3x 2 + 2 x − 2
A
Bx + C
=
+ 2
2
( x − 1)( x + x + 1) x − 1 ( x + x + 1)
3 x 2 + 2 x − 2 = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
⎧x = 1 ⇒ 3 = 3A ⇒ A = 1
⎪
∴ ⎨ x = 0 ⇒ −2 = A − C ⇒ C = 3
⎪ x = −1 ⇒ −1 = A + (− B + C )(−2) ⇒ B = 2
⎩
(2 x + 3)dx
(2 x + 1) + 2
dx
dx
+∫ 2
= η x −1 + ∫ 2
x −1
( x + x + 1)
( x + x + 1)
(2 x + 1)dx
dx
= η x −1 + ∫ 2
+ 2∫ 2
( x + x + 1)
( x + x + 1)
dx
= η x − 1 + η x 2 + x + 1 + 2∫
( x + 1 )2 + ( 3 )2
2
2
(∗) = ∫
171
x+ 1
1
2 +c
= η ( x − 1)( x + x + 1) + 2
arcτ g
3
3
2
4 3
2x +1
= η ( x − 1)( x 2 + x + 1) +
arcτ g
+c
3
3
x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2
7.30.- ∫
dx
( x − 1)( x 2 + 2) 2
Solución.x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2
Adx
( Bx + C )dx
( Dx + E )dx
∫ ( x − 1)( x 2 + 2)2 dx = ∫ x − 1 + ∫ ( x2 + 2) + ∫ ( x 2 + 2)2 (∗) , luego:
2
x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2
A
Bx + C
Dx + E
=
+ 2
+ 2
2
2
( x − 1)( x + 2)
x − 1 ( x + 2) ( x + 2) 2
x 4 − x3 + 2 x 2 − x + 2 = A( x 2 + 2) 2 + ( Bx + C )( x − 1)( x 2 + 2) + ( Dx + E )( x − 1)
= A( x 4 + 4 x 2 + 4) + ( Bx + C )( x3 + 2 x − x 2 − 2) + Dx 2 − Dx + Ex − E
= Ax 4 + 4 Ax 2 + 4 A + Bx 4 + 2 Bx 2 − Bx3 − 2 Bx + Cx3 + 2Cx − Cx 2 − 2C
⇒ + Dx 2 − Dx + Ex − E
= ( A + B ) x 4 + (C − B ) x3 + (4 A − C + 2 B + D) x 2 + (−2 B + 2C − D + E ) x + (4 A − 2C − E )
Igualando coeficientes, se tiene:
A+ B
=1 ⎞
⎛
⎜
⎟
− B+ C
= −1 ⎟
⎜
⎜ 4 A+ 2 B − C + D
= 2 ⎟ ∴ A = 1 3 , B = 2 3 , C = − 13 , D = −1, E = 0
⎜
⎟
− 2 B + 2 C − D + E = −1 ⎟
⎜
⎜
4A
− 2C
− E = 2 ⎟⎠
⎝
( 2 x − 1 )dx
1 dx
xdx
(∗) = ∫
+∫ 3 2 3
−∫ 2
3 x −1
( x + 2)
( x + 2)2
1 dx 1 2 xdx
1
dx
1
2 xdx
= ∫
+ ∫ 2
− ∫ 2
− ∫ 2
3 x − 1 3 ( x + 2) 3 ( x + 2) 2 ( x + 2) 2
=
1
1
2
x 1 1
η x − 1 + η x2 + 2 −
+
+c
arcτ g
2
3
3
6
2 2 x +2
1
2
x
1
η ( x − 1)( x 2 + 2) −
+
+c
arcτ g
2
3
6
2 2( x + 2)
2 x2 − 7 x − 1
7.31.- ∫ 3
dx
x + x2 − x −1
Solución.2x2 − 7 x − 1
2 x2 − 7 x −1
Adx
Bdx
Cdx
dx
=
∫ x3 + x2 − x − 1 ∫ ( x − 1)( x + 1)2 dx = ∫ x − 1 + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 (∗) , luego:
=
172
2x2 − 7 x − 1
A
B
C
=
+
+
3
2
( x + x − x − 1) x − 1 ( x + 1) ( x + 1) 2
2 x 2 − 7 x − 1 = A( x + 1) 2 + B ( x − 1)( x + 1) + C ( x − 1)
⎧ x = −1 ⇒ 8 = −2C ⇒ C = −4
⎪
⎪
∴ ⎨ x =1 ⇒ −6 = 4 A ⇒ A = − 3
2
⎪
⎪⎩ x = 0 ⇒ −1 = A − B − C ⇒ B = 7 2
3 dx 7 dx
3
7
4
dx
(∗) = − ∫
+ ∫
− 4∫
= − η x −1 + η x +1 +
+c
2
x +1
2 x −1 2 x +1
( x + 1)
2
2
=−
1
( x + 1)7
4
η
+
+c
3
2
( x − 1)
x +1
3x 2 + 3x + 1
dx
x3 + 2 x 2 + 2 x + 1
Solución.3x 2 + 3x + 1
(3 x 2 + 3x + 1)dx
Adx
( Bx + C )dx
dx
=
∫ x3 + 2 x 2 + 2 x + 1 ∫ ( x + 1)( x 2 + x + 1) = ∫ x + 1 + ∫ ( x2 + x + 1) (∗) , luego:
7.32.- ∫
3x2 + 3x + 1
A
Bx + C
=
+ 2
2
( x + 1)( x + x + 1) x + 1 ( x + x + 1)
3 x 2 + 3 x + 1 = A( x 2 + x + 1) + ( Bx + C )( x + 1)
⎧ x = −1 ⇒ A = 1
⎪
∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A + C ⇒ C = 0
⎪ x = 1 ⇒ 7 = 3 A + ( B + C )(2) ⇒ B = 2
⎩
2 xdx
(2 x + 1) − 1
dx
dx
+∫ 2
= η x +1 + ∫ 2
x +1
( x + x + 1)
( x + x + 1)
(2 x + 1)dx
dx
= η x +1 + ∫ 2
−∫ 2
( x + x + 1)
( x + x + 1)
dx
= η x + 1 + η x2 + x + 1 − ∫
( x 2 + x + 1 ) + ( 3 )2
4
2
1
x+
1
2 +c
= η x + 1 + η x2 + x + 1 −
arcτ g
3
3
2
2
2 3
2x +1
= η ( x + 1)( x 2 + x + 1) −
arcτ g
+c
3
3
x3 + 7 x 2 − 5 x + 5
7.33.- ∫
dx
( x − 1) 2 ( x + 1) 2
Solución.-
(∗) = ∫
173
x3 + 7 x 2 − 5 x + 5
Adx
Bdx
Cdx
Ddx
Edx
∫ ( x − 1)2 ( x + 1)3 dx = ∫ x − 1 + ∫ ( x − 1)2 + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 + ∫ ( x + 1)3 (∗) , luego:
x3 + 7 x 2 − 5 x + 5
A
B
C
D
E
=
+
+
+
+
2
3
2
2
( x − 1) ( x + 1)
x − 1 ( x − 1)
x + 1 ( x + 1) ( x + 1)3
x3 + 7 x 2 − 5 x + 5 = A( x − 1)( x + 1)3 + B( x + 1)3 + C ( x − 1) 2 ( x + 1) 2
⇒ + D( x − 1) 2 ( x + 1) + E ( x − 1) 2
= Ax 4 + 2 Ax3 − 2 Ax − A + Bx 3 + 3Bx 2 + 3Bx + B + Cx 4 − 2Cx 2 + C
⇒ + Dx3 − Dx 2 − Dx + D + Ex 2 − 2 Ex + E
= ( A + C ) x 4 + (2 A + B + D) x3 + (3B − 2C − D + E ) x 2
⇒ + (−2 A + 3B − D − 2 E ) x + (− A + B + C + D + E )
Igualando coeficientes, se tiene:
+C
= 0⎞
⎛ A
⎜
⎟
+D
= 1⎟
⎜ 2A + B
⎜
+ 3 B − 2 C − D + E = 7 ⎟ ∴ A = 0, B = 1, C = 0, D = 0, E = 4
⎜
⎟
− D − 2 E = −5 ⎟
⎜ −2 A + 3 B
⎜ − A + B + C + D + E = 2⎟
⎝
⎠
1
2
dx
dx
x2 − 4x − 1
4
c
+
=
−
−
+
=
−
+c
∫ ( x + 1)3 x − 1 ( x + 1)2
( x − 1) 2
( x − 1)( x + 1) 2
2 xdx
7.34.- ∫ 2
( x + x + 1) 2
Solución.2 xdx
( Ax + B)dx
(Cx + D)dx
∫ ( x2 + x + 1)2 = ∫ x 2 + x + 1 + ∫ ( x 2 + x + 1)2 (∗) , luego:
2x
Ax + B
Cx + D
= 2
+ 2
2
2
( x + x + 1)
x + x + 1 ( x + x + 1) 2
2 x = ( Ax + B)( x 2 + x + 1) + Cx + D ⇒ 2 x = Ax3 + Ax 2 + Ax + Bx 2 + Bx + B + Cx + D
= Ax3 + ( A + B) x 2 + ( A + B + C ) x + B + D , igualando coeficientes se tiene:
= 0⎞
⎛A
⎜
⎟
= 0⎟
⎜ A+ B
⎜ A+ B +C
=2⎟
⎜
⎟
+ D = 0⎠
⎝
∴ A = 0, B = 0, C = 2, D = 0
2 xdx
(∗) = ∫ 2
, de donde el método sugerido pierde aplicabilidad; tal como se
( x + x + 1)
había planteado la técnica trabajada debe ser sustituida por otra:
2 xdx
(2 x + 1)dx
dx
∫ ( x2 + x + 1) = ∫ ( x 2 + x + 1) − ∫ ( x 2 + x + 1)2
(∗) = ∫
174
(2 x + 1)dx 16
dx
− ∫
(∗∗)
2
2
( x + x + 1) 9 ⎪⎧ ⎡
⎫
⎪
⎤
⎨ ⎢ 2 ( x + 1 2) ⎥ + 1⎬
3
⎦
⎪⎩ ⎣
⎭⎪
sea: u = 2 ( x + 1 ), dx = 3 du , entonces:
2
2
3
=∫
1
16 3
du
−
, trabajando la integral sustituyendo
2
∫
x + x + 1 9 2 (u + 1) 2
trigonométricamente:
1
8 3 sec2 θ dθ
, ya que: u = τ gθ , du = sec 2 θ dθ
=− 2
−
4
∫
x + x +1
9
sec θ
1
8 3 ⎡1
1 u ⎤
arcτ gu +
=− 2
−
⎢
9 ⎣2
2 (u 2 + 1) ⎥⎦
x + x +1
(∗∗) −
2
⎧
1
8 3 ⎪1
=− 2
−
⎨ arcτ g
x + x +1
9 ⎪2
⎩
⎧
1
8 3 ⎪1
=− 2
−
⎨ arcτ g
x + x +1
9 ⎪2
⎩
2 (x + 1 ) ⎫
2
2
⎪
3
1
(x + ) +
⎬+c
2
2
3
2 ⎡ 4 ( x + 1 ) + 1⎤ ⎪
2
⎣ 3
⎦⎭
⎫
x+ 1
2
⎪
2
1
(x + ) +
⎬+c
2
2
3
3 ⎡ 4 ( x + 1 ) + 1⎤ ⎪
2
⎣ 3
⎦⎭
(x + 1 )
1
4 3
2
8
2
=− 2
−
+c
arcτ g
(x + 1 ) −
2
4
1
9
9 ⎡ ( x + ) 2 + 1⎤
x + x +1
3
2
⎣ 3
⎦
2
x + 2x + 3
7.35.- ∫
dx
x3 − x
Solución.x2 + 2 x + 3
x2 + 2 x + 3
Adx
Bdx
Cdx
dx
=
∫ x3 − x
∫ x( x − 1)( x + 1)dx = ∫ x + ∫ ( x − 1) + ∫ ( x + 1) (∗) , luego:
x2 + 2 x + 3
A
B
C
= +
+
x( x − 1)( x + 1) x ( x − 1) ( x + 1)
x 2 + 2 x + 3 = A( x − 1)( x + 1) + Bx( x + 1) + Cx( x − 1)
⎧ x = 0 ⇒ 3 = − A ⇒ A = −3
⎪
∴ ⎨ x = − 1 ⇒ 2 = 2C ⇒ C = 1
⎪ x = 1 ⇒ 6 = 2B ⇒ B = 3
⎩
(∗) = −3∫
= η
dx
dx
dx
+ 3∫
+∫
= −3 η x + 3 η x − 1 + η x + 1 + c
x
( x − 1)
( x + 1)
( x − 1)3 ( x + 1)
+c
x3
175
(2 x 2 − 3 x + 5)dx
( x + 2)( x − 1)( x − 3)
Solución.2 x 2 − 3x + 5
Adx
Bdx
Cdx
∫ ( x + 2)( x − 1)( x − 3)dx = ∫ ( x + 2) + ∫ ( x − 1) + ∫ ( x − 3) (∗) , luego:
7.36.- ∫
2 x 2 − 3x + 5
A
B
C
=
+
+
( x + 2)( x − 1)( x − 3) x + 2 x − 1 x − 3
2 x 2 − 3x + 5 = A( x − 1)( x − 3) + B ( x + 2)( x − 3) + C ( x + 2)( x − 1)
⎧ x = 1 ⇒ 4 = −6 B ⇒ B = − 2
3
⎪
⎪
∴ ⎨ x = 3 ⇒ 14 = 10C ⇒ C = 7
5
⎪
⎪ x = −2 ⇒ 19 = 15 A ⇒ A = 19 15
⎩
19 dx
2 dx 7 dx
19
2
7
(∗) = ∫
− ∫
+ ∫
=
η x + 2 − η x −1 + η x − 3 + c
15 x + 2 3 x − 1 5 x − 3 15
3
5
2
3x + x − 2
7.37.- ∫
dx
( x − 1)( x 2 + 1)
Solución.3x2 + x − 2
Adx
( Bx + C )dx
∫ ( x − 1)( x 2 + 1)dx = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x 2 + 1) (∗) , luego:
3x2 + x − 2
A
Bx + C
=
+ 2
2
( x − 1)( x + 1) x − 1 x + 1
3 x 2 + x − 2 = A( x 2 + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
⎧x = 1 ⇒ 2 = 2A ⇒ A = 1
⎪
∴ ⎨ x = 0 ⇒ −2 = A − C ⇒ C = 3
⎪ x = 2 ⇒ 12 = 5 A + 2 B + C ⇒ B = 2
⎩
dx
(2 x + 3)dx
dx
2 xdx
dx
+∫
=∫
+∫ 2
+ 3∫ 2
2
x −1
x +1
x −1
x +1
x +1
2
= η x − 1 + η x + 1 + 3arcτ gx + c = η ( x − 1)( x 2 + 1) + 3arcτ gx + c
(∗) = ∫
( x + 5)dx
x3 − 3x + 2
Solución.( x + 5)dx
( x + 5)dx
Adx
Bdx
Cdx
∫ x3 − 3x + 2 = ∫ ( x − 1)2 ( x + 2) = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x − 1)2 + ∫ ( x + 2) (∗) , luego:
x+5
A
B
C
=
+
+
3
2
x − 3 x + 2 x − 1 ( x − 1) ( x + 2)
x + 5 = A( x − 1)( x + 2) + B( x + 2) + C ( x − 1) 2
7.38.- ∫
176
⎧ x = 1 ⇒ 6 = 3B ⇒ B = 2
⎪
⎪
∴ ⎨ x = − 2 ⇒ 3 = 9C ⇒ C = 1
3
⎪
⎪⎩ x = 0 ⇒ 5 = −2 A + B + C ⇒ A = − 1 3
1
dx
dx
1
dx
1
2
1
(∗) = − ∫
+ 2∫
+ ∫
= − η x −1 −
+ η x+2 +c
2
x −1 3
3 ( x − 1)
( x − 1) 3 ( x + 2)
3
1
x+2
2
= η
−
+c
3
x −1 x −1
2 x3 + 3x 2 + x − 1
dx
( x + 1)( x 2 + 2 x + 2) 2
Solución.(2 x3 + 3 x 2 + x − 1)dx
Adx
( Bx + C )dx
( Dx + E )dx
∫ ( x + 1)( x2 + 2 x + 2)2 = ∫ x + 1 + ∫ ( x2 + 2 x + 2) + ∫ ( x2 + 2 x + 2)2 (∗) , luego:
7.39.- ∫
2 x3 + 3x 2 + x − 1
A
Bx + C
Dx + E
=
+ 2
+ 2
2
2
( x + 1)( x + 2 x + 2)
x + 1 ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2
2 x3 + 3x 2 + x − 1 = A( x 2 + 2 x + 2) 2 + ( Bx + C )( x 2 + 2 x + 2)( x + 1) + ( Dx + E )( x + 1)
= Ax 4 + 4 Ax3 + 8 Ax 2 + 8 Ax + 4 A + Bx 4 + 3Bx 3 + 4 Bx 2 + 2 Bx + Cx3 + 3Cx 2 + 4Cx
⇒ +2C + Dx 2 + Dx + Ex + E
= ( A + B ) x 4 + (4 A + 3B + C ) x3 + (+8 A + 4 B + 3C + D) x 2
⇒ + (8 A + 2 B + 4C + D + E ) x + (4 A + 2C + E )
Igualando coeficientes, se tiene:
= 0⎞
⎛ A + B
⎜
⎟
= 2⎟
⎜ 4 A +3B + C
⎜ 8 A + 4 B + 3C + D
= 3 ⎟ ∴ A = −1, B = 1, C = 3, D = −2, E = −3
⎜
⎟
⎜ 8 A + 2 B + 4C + D + E = 1 ⎟
⎜ 4A
+ 2C
+ E = −1 ⎟⎠
⎝
dx
( x + 3)dx
(2 x + 3)dx
+∫ 2
−∫ 2
x +1
( x + 2 x + 2)
( x + 2 x + 2) 2
1 (2 x + 6)dx
(2 x + 2) + 1dx
x −1 + ∫ 2
−∫ 2
2 ( x + 2 x + 2)
( x + 2 x + 2) 2
1 (2 x + 2) + 4
(2 x + 2)dx
dx
x −1 + ∫ 2
dx − ∫ 2
−∫ 2
2
2 ( x + 2 x + 2)
( x + 2 x + 2)
( x + 2 x + 2) 2
1 (2 x + 2)dx
dx
(2 x + 2)dx
dx
x −1 + ∫ 2
+ 2∫ 2
−∫ 2
−∫ 2
2
2 ( x + 2 x + 2)
( x + 2 x + 2)
( x + 2 x + 2)
( x + 2 x + 2) 2
1
1
1
dx
dx
+
−∫
x − 1 + η x2 + 2 x + 2 + 2∫
2
2
2
2
( x + 1) + 1 2 x + 2 x + 2
⎡⎣( x + 1) 2 + 1⎤⎦
(∗) = − ∫
=− η
=− η
=− η
=− η
177
1
η x 2 + 2 x + 2 + 2 arcτ g ( x + 1)
2
1
1
1
x +1
1
⇒+
−
− arcτ g ( x + 1) + c
2
2
2 x + 2x + 2 2 x + 2x + 2 2
= − η x −1 +
x2 + 2x + 2 3
1
x
+ arcτ g ( x + 1) −
+c
2
x +1
2
2 x + 2x + 2
= η
(2 x 2 + 3 x − 1)dx
7.40.- ∫ 3
x + 2x2 + 4x + 2
Solución.(2 x 2 + 3x − 1)dx
(2 x 2 + 3x − 1)dx
Adx
( Bx + C )dx
=
∫ x3 + 2 x 2 + 4 x + 2 ∫ ( x + 1)( x2 + 2 x + 2) = ∫ ( x + 1) + ∫ ( x2 + 2 x + 2) (∗) , luego:
(2 x 2 + 3 x − 1)
A
( Bx + C )
=
+ 2
2
( x + 1)( x + 2 x + 2) ( x + 1) ( x + 2 x + 2)
2 x 2 + 3x − 1 = A( x 2 + 2 x + 2) + ( Bx + C )( x + 1)
⎧ x = −1 ⇒ − 2 = A ⇒ A = − 2
⎪
∴ ⎨ x = 0 ⇒ −1 = 2 A + C ⇒ C = 3
⎪ x = 1 ⇒ 4 = 5 A + ( B + C )(2) ⇒ B = 4
⎩
dx
(4 x + 3)dx
(2 x + 2) − 1
dx
+∫ 2
= −2 η x + 1 + 2 ∫ 2
x + 2x + 2
x + 2x + 2
( x + 1)
dx
(2 x + 2)dx
= −2 η x + 1 + 2 ∫ 2
− 2∫ 2
x + 2x + 2
x + 2x + 2
2
= −2 η x + 1 + 2 η x + 2 x + 2 − 2 arcτ g ( x + 1) + c
(∗) = −2∫
(2 x + 1)dx
3x3 + 2 x − 1
Solución.(2 x + 1)dx
(2 x + 1)dx
Adx
( Bx + C )dx
∫ 3x3 − 2 x − 1 = ∫ ( x − 1)(3x 2 + 3x + 1) = ∫ ( x − 1) + ∫ (3x2 + 3x + 1) (∗) , luego:
(2 x + 1)
A
( Bx + C )
=
+
3
(3 x − 2 x − 1) ( x − 1) (3x 2 + 3x + 1)
2 x + 1 = A(3x 2 + 3x + 1) + ( Bx + C )( x − 1)
7.41.- ∫
⎧x = 1 ⇒ 3 = 7 A ⇒ A = 3
7
⎪
⎪
∴⎨x = 0 ⇒ 1 = A − C ⇒ C = − 4
7
⎪
⎪ x = −1 ⇒ −1 = A + (− B + C )(−2) ⇒ B = − 9 7
⎩
(∗) =
1
dx
3
1 (9 x + 4)dx 3
1 9 (6 x + 3 − 3 )dx
η
−
=
x
−
−
1
7 ∫ ( x − 1) 7 ∫ 3x 2 + 3x + 1 7
7 6 ∫ 3x2 + 3x + 1
178
3
3 (6 x + 3)dx 1
dx
η x −1 − ∫ 2
+ ∫ 2
7
14 3 x + 3 x + 1 14 3x + 3x + 1
3
3
1
dx
= η x −1 −
η 3x 2 + 3x + 1 + ∫
7
14
14 3( x + 1 ) 2 + 1
2
4
dx
3
3
2
= η x −1 −
η 3x 2 + 3x + 1 + ∫
7
14
7 12( x + 1 ) 2 + 1
2
3
3
3
arcτ g 2 3( x + 1 ) + c
= η x −1 −
η 3x 2 + 3x + 1 +
2
7
14
21
4
2
x − 2 x + 3x + 4
7.42.- ∫
dx
( x − 1)3 ( x 2 + 2 x + 2)
Solución.x 4 − 2 x 2 + 3x + 4
Adx
Bdx
Cdx
( Dx + E )dx
∫ ( x − 1)3 ( x 2 + 2 x + 2)dx = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x − 1)2 + ∫ ( x − 1)3 + ∫ ( x2 + 2 x + 2) (∗) , luego:
x 4 − 2 x 2 + 3x + 4
A
B
C
Dx + E
=
+
+
+ 2
3
2
2
3
( x − 1) ( x + 2 x + 2) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x + 2 x + 2)
x 4 − 2 x 2 + 3x + 4 = A( x − 1) 2 ( x 2 + 2 x + 2) + B( x − 1)( x 2 + 2 x + 2)
=
⇒ +C ( x 2 + 2 x + 2) + ( Dx + E )( x − 1)3
x 4 − 2 x 2 + 3x + 4 = A( x 2 − 2 x + 1)( x 2 + 2 x + 2) + B( x3 + 2 x 2 + 2 x − x 2 − 2 x − 2)
⇒ +C ( x 2 + 2 x + 2) + ( Dx + E )( x3 − 3 x 2 + 3x − 1)
x 4 − 2 x 2 + 3x + 4 = Ax 4 − Ax 2 − 2 Ax + 2 A + Bx3 + Bx 2 − 2 B + Cx 2 + 2Cx + 2C
⇒ + Dx 4 − 3Dx 3 + 3Dx 2 − Dx + Ex3 − 3Ex 2 + 3Ex − E
x 4 − 2 x 2 + 3 x + 4 = ( A + D ) x 4 + ( B − 3 D + E ) x 3 + ( − A + B + C + 3 D − 3E ) x 2
⇒ + (−2 A + 2C − D + 3E ) x + (−2 A − 2 B + 2C − E )
Igualando coeficientes se tiene:
+D
= 1⎞
⎛ A
⎜
⎟
B
−3 D + E = 0 ⎟
⎜
⎜ − A + B + C + 3 D − 3 E = −2 ⎟
⎜
⎟
+2C − D +3E = 3 ⎟
⎜ −2 A
⎜ 2 A −2 B +2C
− E = 4 ⎟⎠
⎝
∴ A = 106
125
,B = 9
25
, C = 6 , D = 19
, E = 102
5
125
125
106 dx
9
dx
6
dx
1 (19 x + 102)dx
− ∫
+ ∫
+
2
3
∫
125 x + 1 25 ( x − 1) 5 ( x − 1) 125 ∫ ( x 2 + 2 x + 2)
102 )dx
106
9 1
6
1
19 ( x +
19
η x −1 +
=
+
+
125
25 x − 1 5 (−2)( x − 1) 2 125 ∫ ( x 2 + 2 x + 2)
(∗) =
179
106
125
106
=
125
106
=
125
106
=
125
=
9
3
−
25( x − 1) 5( x − 1) 2
9
3
η x −1 +
−
25( x − 1) 5( x − 1) 2
9
3
η x −1 +
−
25( x − 1) 5( x − 1) 2
9
3
η x −1 +
−
25( x − 1) 5( x − 1) 2
η x −1 +
19 (2 x + 2) + 8 14
19
dx
2
∫
250 ( x + 2 x + 2)
dx
19
19 166
+
η x2 + 2 x + 2 +
2
∫
250
250 19 ( x + 2 x + 1) + 1
19
166
dx
+
η x2 + 2x + 2 +
∫
250
250 ( x + 1) 2 + 1
19
166
+
η x2 + 2 x + 2 +
arcτ g ( x + 1) + c
250
250
+
et dt
7.43.- ∫ 2t
e + 3et + 2
Solución.et dt
et dt
t
t
t
=
∫ e2t + 3et + 2 ∫ (et + 2)(et + 2) (∗) , Sea: u = e + 1, du = e dt; e + 2 = u + 1
Luego:
du
Adu
Bdu
(∗) ∫
(∗∗)
=∫
+∫
(u + 1)u
(u + 1)
u
1
A
B
=
+ ⇒ 1 = Au + B (u + 1)
(u + 1)u (u + 1) u
⎧u = 0 ⇒ 1 = B ⇒ B = 1
∴⎨
⎩u = − 1 ⇒ 1 = − A ⇒ A = −1
du
du
(∗∗) = − ∫
+∫
= − η u + 1 + η u + c = − η et + 2 + η e t + 1 + c
(u + 1)
u
= η
et + 1
+c
et + 2
s e n θ dθ
cos θ + cos θ − 2
Solución.s e n θ dθ
s e n θ dθ
∫ cos2 θ + cos θ − 2 = ∫ (cos θ + 2)(cosθ − 1) (∗) ,
Sea: u = cos θ − 1, du = − s e n θ dθ , cos θ + 2 = u + 3
Luego:
− du
du
Adu
Bdu
(∗) ∫
(∗∗)
= −∫
= −∫
−∫
(u + 3)u
u (u + 3)
u
u +3
1
A
B
= +
⇒ 1 = A(u + 3) + Bu
u (u + 3) u u + 3
⎧u = 0 ⇒ 1 = 3 A ⇒ A = 1
⎪
3
∴⎨
⎪⎩u = − 3 ⇒ 1 = −3B ⇒ B = − 1 3
7.44.- ∫
2
180
1 du 1
du
1
1
+ ∫
= − η u + η u+3 +c
∫
3 u 3 (u + 3)
3
3
1
η cos θ − 1 + η cos θ + 2 + c , Como: cos θ < 1 , se tiene:
3
1
1
2 + cos θ
η 1 − cos θ + η 2 + cos θ + c = η
+c
3
3
1 − cos θ
(∗∗) = −
1
3
1
=−
3
=−
4 x 4 − 2 x3 − x 2 + 3x + 1
dx
7.45.- ∫
( x3 + x 2 − x − 1)
Solución.⎛
4 x 4 − 2 x3 − x 2 + 3x + 1
9 x2 + x − 5 ⎞
4
6
dx
x
=
−
+
⎜
⎟ dx
∫ ( x3 + x 2 − x − 1)
∫⎝
x3 + x 2 − x − 1 ⎠
(9 x 2 + x − 5)dx
(9 x 2 + x − 5)dx
2
=
−
+
2
x
6
x
∫ x3 + x 2 − x − 1 (∗)
x3 + x 2 − x − 1
Trabajando sólo la integral resultante:
(9 x 2 + x − 5)dx
(9 x 2 + x − 5)dx
Adx
Bdx
Cdx
=
∫ x3 + x 2 − x − 1 ∫ ( x + 1)2 ( x − 1) = ∫ ( x + 1) + ∫ ( x + 1)2 + ∫ ( x − 1) (∗∗) , luego:
= ∫ 4dx − ∫ 6dx + ∫
(9 x 2 + x − 5)
A
B
C
=
+
+
3
2
2
x −1
( x + x − x − 1) ( x + 1) ( x + 1)
2
= 9 x + x − 5 = A( x + 1)( x − 1) + B( x − 1) + C ( x + 1) 2
⎧ x = 1 ⇒ 5 = 4C ⇒ C = 5
4
⎪
⎪
∴ ⎨ x = − 1 ⇒ 3 = −2 B ⇒ B = − 3
2
⎪
⎪⎩ x = 0 ⇒ −5 = − A − B + C ⇒ A = 31 4
dx
dx
dx
31
3
5
31
3
5
(∗∗) = ∫
− ∫
+ ∫
=
η x +1 +
+ η x −1 + c
2
4 ( x + 1) 2 ( x + 1) 4 ( x − 1) 4
2( x + 1) 4
31
3
5
(∗) = 2 x 2 − 6 x +
η x +1 +
+ η x −1 + c
4
2( x + 1) 4
3 x 4 dx
7.46.- ∫ 2
( x + 1) 2
Solución.⎡
3 x 4 dx
3 x 4 dx
2 x2 + 1 ⎤
2 x2 + 1
∫ ( x2 + 1)2 = ∫ ( x 4 + 2 x2 + 1) = 3∫ ⎢⎣1 − ( x 2 + 1)2 ⎥⎦dx = 3∫ dx − 3∫ ( x 2 + 1)2 dx
2 x2 + 1
= 3 x − 3∫ 2
dx (∗)
( x + 1) 2
Trabajando sólo la integral resultante:
(2 x 2 + 1)dx
( Ax + B)dx
(Cx + D)dx
∫ ( x 2 + 1)2 = ∫ ( x2 + 1) + ∫ ( x 2 + 1)2 (∗∗) , luego:
181
(2 x 2 + 1) Ax + B Cx + D
= 2
+ 2
⇒ 2 x 2 + 1 = ( Ax + B )( x 2 + 1) + Cx + D
2
2
2
( x + 1)
( x + 1) ( x + 1)
⇒ 2 x 2 + 1 = Ax3 + Ax + Bx 2 + B + Cx + D ⇒ 2 x 2 + 1 = Ax3 + Bx 2 + ( A + C ) x + ( B + D)
Igualando coeficientes: A = 0, B = 2, A + C = 0 ⇒ C = 0, B + D = 1 ⇒ D = −1
dx
dx
x ⎞
1⎛
−∫ 2
= 2 arcτ gx − ⎜ arcτ gx +
(∗∗) = 2 ∫ 2
⎟+c
2
( x + 1)
( x + 1)
2⎝
1 + x2 ⎠
x
3
= arcτ gx −
+c
2
2(1 + x 2 )
x
9
(∗) = 3 x − arcτ gx −
+c
2
2(1 + x 2 )
(2 x 2 + 41x − 91)dx
x3 − 2 x 2 − 11x + 12
Solución.(2 x 2 + 41x − 91)dx
(2 x 2 + 41x − 91)dx
∫ x3 − 2 x 2 − 11x + 12 = ∫ ( x − 1)( x + 3)( x − 4)
7.47.- ∫
=∫
(2 x 2 + 41x − 91)dx
Adx
Bdx
Cdx
(∗)
=∫
+∫
+∫
( x − 1)( x + 3)( x − 4)
x −1
x+3
x−4
(2 x 2 + 41x − 91)
A
B
C
=
+
+
( x − 1)( x + 3)( x − 4) x − 1 x + 3 x − 4
(2 x 2 + 41x − 91) = A( x + 3)( x − 4) + B ( x − 1)( x − 4) + C ( x − 1)( x + 3)
⎧ x = −3 ⇒ 18 − 123 − 91 = B(−4)(−7) ⇒ B = −7
⎪
∴ ⎨ x = 4 ⇒ 32 + 164 − 91 = C (3)(7) ⇒ C = 5
⎪ x = 1 ⇒ 2 + 41 − 91 = A(4)(−3) ⇒ A = 4
⎩
dx
dx
dx
(∗) = 4 ∫
− 7∫
+ 5∫
= 4 η x −1 − 7 η x + 3 + 5 η x − 4 + c
( x − 1)
( x + 3)
( x − 4)
= η
( x − 1) 4 ( x − 4)5
+c
( x + 3)7
(2 x 4 + 3 x 3 − x − 1)dx
( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) 2
Solución.2 x 4 + 3x3 − x − 1
Adx
( Bx + C )dx
( Dx + E )dx
∫ ( x − 1)( x 2 + 2 x + 2)2 dx = ∫ ( x − 1) + ∫ ( x 2 + 2 x + 2) + ∫ ( x2 + 2 x + 2)2 (∗) , luego:
7.48.- ∫
2 x 4 + 3x 2 − x − 1
A
Bx + C
Dx + E
=
+ 2
+ 2
2
2
( x − 1)( x + 2 x + 2)
( x − 1) ( x + 2 x + 2) ( x + 2 x + 2) 2
2 x 4 + 3 x3 − x − 1 = A( x 2 + 2 x + 2) 2 + ( Bx + C )( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) + ( Dx + E )( x − 1)
2 x 4 + 3 x3 − x − 1 = A( x 4 + 4 x 2 + 4 + 4 x3 + 4 x 2 + 8 x) + B ( x 4 + 2 x3 + 2 x 2 − x3 − 2 x 2 − 2 x)
⇒ +C ( x3 + 2 x 2 + 2 x − x 2 − 2 x − 2) + D( x 2 − x) + E ( x − 1)
182
2 x 4 + 3 x3 − x − 1 = ( A + B ) x 4 + (4 A + B + C ) x3 + (8 A + C + D) x 2
⇒ + (8 A − 2 B − D + E ) x + (4 A − 2C − E )
Igualando coeficientes se tiene:
= 2 ⎞
⎛ A + B
⎜
⎟
+ C
= 3 ⎟
⎜ 4A + B
⎜ 8A
+ C +D
= 0 ⎟
⎜
⎟
− 2B
− D + E = −1 ⎟
⎜ 8A
⎜ 4A
− 2C
− E = − 1 ⎟⎠
⎝
∴A= 3
, C = 16 , D = − 8 , E = 1
25
25
5
5
3 dx
1 (47 x + 16)dx 1
(8 x − 1)dx
+ ∫ 2
− ∫ 2
(∗) =
∫
25 x − 1 25 ( x + 2 x + 2) 5 ( x + 2 x + 2) 2
16 )dx
1
3
47 ( x +
8 ( x − 8 )dx
=
η x − 1 + ∫ 2 47 − ∫ 2
25
25 ( x + 2 x + 2) 5 ( x + 2 x + 2) 2
62
9
3
47 (2 x + 2) − 47
4 (2 x + 2) − 4
=
−
η x −1 + ∫
dx
dx
25
50 ( x 2 + 2 x + 2)
5 ∫ ( x 2 + 2 x + 2) 2
3
47 (2 x + 2)dx 62
dx
4 (2 x + 2)dx
=
− ∫ 2
− ∫ 2
η x −1 + ∫ 2
25
50 ( x + 2 x + 2) 50 ( x + 2 x + 2) 5 ( x + 2 x + 2) 2
9
dx
⇒+ ∫ 2
5 ( x + 2 x + 2) 2
3
47
62
dx
4
1
=
η x −1 +
η x2 + 2 x + 2 − ∫
+ ∫ 2
2
25
50
50 ( x + 1) + 1 5 ( x + 2 x + 2)
9
dx
⇒+ ∫
5 ⎡( x + 1) 2 + 1⎤ 2
⎣
⎦
3
47
62
4
=
η x −1 +
η x 2 + 2 x + 2 − arcτ g ( x + 1) +
2
25
50
50
5( x + 2 x + 2)
25
, B = 47
x +1 ⎤
9 ⎡1
1
⇒ + ⎢ arcτ g ( x + 1) +
+c
2
5 ⎣2
2 x + 2 x + 2 ⎥⎦
3
47
17
9 x + 17
=
η x −1 +
η x 2 + 2 x + 2 − arcτ g ( x + 1) +
+c
25
50
50
10( x 2 + 2 x + 2)
dx
7.49.- ∫ 2 x
e + ex − 2
Solución.dx
dx
dx
∫ e 2 x + e x − 2 = ∫ (e x ) 2 + e x − 2 = ∫ ⎡ (e x ) 2 + e x + 1 ⎤ − 2 − 1
⎣
4⎦
4
183
=∫
dx
2
du
(∗) , Sea: u = e x + 1 , du = e x dx ⇒ dx =
2
u− 1
⎡e x + 1 ⎤ − ( 3 ) 2
2
2⎦
2
⎣
Luego:
du
u− 1
du
Adu
Bdu
Cdu
2 =
=
−
+
(∗) ∫ 2
(∗∗)
∫
∫
∫
∫
3 ) (u − 3 )
u− 1
u − ( 3 )2
(u − 1 )(u + 3 )(u − 3 )
(
u
+
2
2
2
2
2
2
2
1
A
B
C
=
−
+
(u − 1 )(u + 3 )(u − 3 ) (u − 1 2) (u + 3 ) (u − 3 )
2
2
2
2
2
3
3
3
1
1
1 = A(u + )(u − ) − B (u − )(u − ) + C (u − )(u + 3 )
2
2
2
2
2
2
⎧u = 1 ⇒ 1 = A(2)(−1) ⇒ A = − 1
2
2
⎪
⎪
∴ ⎨u = − 3 ⇒ 1 = B (−2)(−3) ⇒ B = 1
2
6
⎪
⎪u = 3 2 ⇒ 1 = C (1)(3) ⇒ C = 1 3
⎩
1
du
1
du
1
du
+ ∫
+ ∫
(∗∗) = − ∫
1
3
2 (u − ) 6 (u + ) 3 (u − 3 )
2
2
2
1
1
1
= − η (u − 1 ) + η (u + 3 ) + η (u − 3 ) + c
2 6
2 3
2
2
2
2
x
x
x
x
(u + 3 )(u − 3 ) 2
1
2
2 + c = 1 η (e + 2)(e − 1) + c = 1 η (e + 2)(e − 1) + c
= η
6
6
(e x )3
6
e3 x
(u − 1 )3
2
s e n xdx
7.50.- ∫
cos x(1 + cos 2 x)
Solución.s e n xdx
− s e n xdx
du
Adu
( Bu + C )du
∫ cos x(1 + cos2 x) = ∫ cos x(1 + cos2 x) = − ∫ u(1 + u 2 ) = −∫ u − ∫ (1 + u 2 ) (∗)
Sea: u = cos x, du = − s e n xdx
1
A ( Bu + C )
= +
⇒ 1 = A(1 + u 2 ) + ( Bu + C )u
2
u (1 + u ) u (1 + u 2 )
1 = A + Au 2 + Bu 2 + Cu ⇒ 1 = ( A + B )u 2 + Cu + A
Igualando Coeficientes se tiene:
⎧ A + B = 0 ⇒ B = − A ⇒ B = −(1) ⇒ B = −1
⎪
∴ ⎨C = 0,
⎪A =1
⎩
du
udu
+∫
= − η u + η 1 + u 2 + c = − η cos x + η 1 + (cos x) 2 + c
(∗) = − ∫
2
u
1+ u
184
= η
1 + (cos x) 2
+c
cos x
(2 + τ g 2θ ) sec2 θ dθ
1 + τ g 3θ
Solución.(2 + τ g 2θ ) sec2 θ dθ
(2 + u 2 )du
(2 + u 2 )du
=
=
∫
∫ (1 + u 3 ) ∫ (1 + u)(u 2 − u + 1) (∗)
1 + τ g 3θ
Sea: u = τ gθ , du = − sec2 θ dθ
7.51.- ∫
(2 + u 2 )du
Adu
Bu + C
∫ (1 + u 3 ) = ∫ (1 + u) + ∫ (u 2 − u + 1) , luego:
(2 + u 2 )
A
Bu + C
=
+ 2
⇒ (2 + u 2 ) = A(u 2 − u + 1) + ( Bu + C )(1 + u )
3
(1 + u ) (1 + u ) (u − u + 1)
(2 + u 2 ) = Au 2 − Au + A + Bu 2 + Bu + C + Cu
(2 + u 2 ) = ( A + B)u 2 + (− A + B + C )u + A + C
Igualando Coeficientes se tiene:
A+ B
=1 ⎞
⎛
⎜
⎟
⎜ − A + B + C = 0 ⎟ ∴ A = 1, B = 0, C = 1
⎜ A
+ C = 2 ⎟⎠
⎝
du
du
du
du
(∗) = ∫
+∫ 2
=∫
+∫
1+ u
u − u +1
1+ u
(u − 1 ) 2 + ( 3 ) 2
2
2
1
u−
1
2 + c = η 1 + u + 2 arcτ g 2u − 1 + c
arcτ g
= η 1+ u +
3
3
3
3
2
2
2
(2τ gθ − 1)
= η 1 + τ gθ +
arcτ g
+c
3
3
(5 x 3 + 2)dx
7.52.- ∫ 3
x − 5x2 + 4 x
Solución.(5 x3 + 2)dx
(5 x3 + 2)dx
Adx
Bdx
Cdx
∫ x3 − 5 x2 + 4 x = ∫ x( x − 1)( x − 4) = ∫ x + ∫ ( x − 1) + ∫ ( x − 4) (∗)
(5 x3 + 2)
A
B
C
, Luego:
= +
+
x( x − 1)( x − 4) x ( x − 1) ( x − 4)
(5 x3 + 2) = A( x − 1)( x − 4) + Bx( x − 4) + Cx( x − 1)
Igualando Coeficientes se tiene:
185
⎧x = 0 ⇒ 2 = 4A ⇒ A = 1
2
⎪
⎪
∴ ⎨ x = 1 ⇒ 7 = −3B ⇒ B = − 7
3
⎪
⎪ x = 4 ⇒ 322 = 12C ⇒ C = 161 6
⎩
1 dx 7 dx 161 dx
1
7
161
+
= η x − η x −1 +
η x−4 +c
(∗) = ∫ − ∫
∫
2 x 3 x −1 6 x − 4 2
3
6
3
14
161
1
x3 ( x − 4)161
η x −1 +
η x−4 +c = η
= η x−
+c
6
3
6
6
( x − 1)14
x5 dx
( x3 + 1)( x3 + 8)
Solución.x 5 dx
x5 dx
=
∫ ( x3 + 1)( x3 + 8) ∫ ( x + 1)( x 2 − x + 1)( x + 2)( x2 − 2 x + 4)
Adx
Bdx
(Cx + D )dx
( Ex + F )dx
(∗) , luego:
=∫
+∫
+∫ 2
+∫ 2
( x + 1)
( x + 2)
( x − x + 1)
( x − 2 x + 4)
7.53.- ∫
x5
A
B
Cx + D
Ex + F
=
+
+ 2
+ 2
, luego:
3
3
( x + 1)( x + 8) ( x + 1) ( x + 2) ( x − x + 1) ( x − 2 x + 4)
x5 = A( x + 2)( x 2 − x + 1)( x 2 − 2 x + 4) + B( x + 1)( x 2 − x + 1)( x 2 − 2 x + 4)
⇒ + (Cx + D)( x + 1)( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) + ( Ex + F )( x + 1)( x + 1)( x 2 − x + 1)
x5 = A( x 5 + 8 x 2 − x 4 − 8 x + x3 + 8) + B ( x5 − 2 x 4 + 4 x 3 + x 2 − 2 x + 4)
⇒ + (Cx + D)( x 4 + 8 x + x3 + 8) + ( Ex + F )( x 4 + 2 x3 + x + 2)
x5 = ( A + B + C + E ) x5 + (− A − 2 B + C + D + 2 E + F ) x 4 + ( A + 4 B + D + 2 F ) x3
⇒ + (8 A + B + 8C + E ) x 2 + (−8 A − 2 B + 8C + 8 D + 2 E + F ) x + (8 A + 4 B + 8 D + 2 F )
Igualando coeficientes se tiene:
A
+ B + C
+ E
=1 ⎞
⎛
⎜
⎟
−2B + C + D +2E+ F = 0 ⎟
⎜ −A
⎜
+4B
+ D
+ 2F = 0 ⎟
A
⎜
⎟
+ B + 8C
+ E
=0 ⎟
⎜ 8A
⎜ 8A
−2B
+8 C + 8 D + 2 E + F = 0 ⎟
⎜⎜
⎟
+4B
+8D
+ 2 F = 0 ⎟⎠
⎝ 8A
∴A= − 1
, C = − 2 , D = 1 , E = 16 , F = − 16
21
21
21
21
21
1 dx
8
dx
1 (2 x − 1)dx 16
( x − 1)dx
(∗) = − ∫
+
−
+
21 x + 1 21 ∫ ( x + 2) 21 ∫ ( x 2 − x + 1) 21 ∫ ( x 2 − 2 x + 4)
1
8
1
8 (2 x − 2)dx
=−
η x +1 +
η x+2 −
η x2 − x + 1 + ∫ 2
21
21
21
21 x − 2 x + 4
21
,B = 8
186
=−
1
8
1
8
η x +1 +
η x+2 −
η x2 − x + 1 −
η x2 − 2x + 4 + c
21
21
21
21
8
⎡⎣( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) ⎤⎦
1
=
+c
η
21
( x + 1)( x 2 − x + 1)
187
CAPITULO 8
INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES D SENO Y COSENO
Existen funciones racionales que conllevan formas trigonométricas, reducibles por
si a: seno y coseno. Lo conveniente en tales casos es usar las siguientes
x
2dz
. Es fácil llegar a verificar
sustituciones: z = τ g , de donde: x = 2 arcτ gz y dx =
2
1+ z2
2z
1− z2
que de lo anterior se consigue: s e n x =
cos
x
y
=
1+ z2
1+ z2
EJERCICIOS DESARROLLADOS
8.1.-Encontrar: ∫
dx
2 − cos x
1
, y su
2 − cos x
solución se hace sencilla, usando sustituciones recomendadas, este es:
x
2dz
1− z2
cos
x
z = τ g , x = 2 arcτ gz , dx =
,
=
∴
2
1+ z2
1+ z2
2dz
2dz
dx
2dz
2dz
1+ z2
1+ z2 =
=
∫ 2 − cos x ∫ 1 − z 2 ∫ 2 + 2 z − 1 + z 2 = ∫ 3z 2 + 1 = ∫ 3( z 2 + 1 )
2−
3
1+ z2
1+ z2
2
dz
2
x
3 arcτ g 3z + c , recordando que: z = τ g , se tiene:
= ∫
=
2
2
2
3 z +( 1 ) 3
3
2
x
=
3 arcτ g 3τ g + c
3
2
2
dx
x
Respuesta: ∫
= arcτ g 3τ g + c
2 − cos x 3
2
dx
8.2.-Encontrar: ∫
2−sen x
1
Solución.- Forma racional:
,
2−sen x
x
2dz
2z
,sen x =
∴
sustituciones: z = τ g , x = 2 arcτ gz , dx =
2
1+ z2
2
1+ z
2dz
2dz
2
2 dz
dz
dx
1+ z2
1+ z
=
=
∫ 2 − s e n x ∫ 2 z ∫ 2 + 2 z 2 − 2 z = ∫ 2 (1 + z 2 − z ) = ∫ ( z 2 − z + 1)
2−
1+ z2
1+ z2
Solución.- La función racional con expresión trigonométrica es:
188
Ahora bien: z 2 − z + 1 = ( z 2 − z + 1 ) + 1 − 1 = ( z − 1 ) 2 + 3 = ( z − 1 ) 2 + ( 3 ) 2
4
4
2
4
2
2
2z −1
z− 1
1
dx
2 + c = 2 arcτ g 2 + c
∴∫
=
arcτ g
3
3
3
3
( z − 1 )2 + ( 3 )2
2
2
2
2
2
2
2z −1
x
=
arcτ g
+ c ,recordando que: z = τ g , se tiene:
2
3
3
2τ g x − 1
2 3
2 +c
=
arcτ g
3
3
2τ g x − 1
2 3
dx
2 +c
Respuesta: ∫
arcτ g
=
2−sen x
3
3
dθ
8.3.-Encontrar: ∫
4 − 5cos θ
1
Solución.- Forma racional:
,
4 − 5cos θ
θ
2dz
1− z2
sustituciones: z = τ g , x = 2 arcτ gz , dx =
,
=
cos
x
1+ z2
2
1+ z2
2dz
2dz
2
2dz
2dz
dx
1+ z2
1+ z
=∫ 2
=∫
∴∫
=∫
=
2
2
∫
2
2
4 + 4z − 5 + 5z
9z −1
4 − 5cos θ
⎛ 1− z ⎞
9( z − 1 )
9
4 − 5⎜
2 ⎟
2
1+ z
⎝ 1+ z ⎠
z− 1
dz
2
2
1
3 + c = 1 η 3z − 1 + c
= ∫ 2
=
η
9 z − ( 1 )2 9 2 ( 1 )
3
3z + 1
z+ 1
3
3
3
Recordando que: z = τ g
θ
2
, se tiene: =
3τ g θ − 1
1
2
+c
η
θ
3
3τ g
+1
2
3τ g θ − 1
1
dθ
2
Respuesta: ∫
= η
+c
4 − 5cos θ 3
3τ g θ + 1
2
dθ
8.4.-Encontrar: ∫
3cos θ + 4s e n θ
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
2dz
2dz
dθ
1+ z2
1+ z2
=
=
∫ 3cos θ + 4s e n θ ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2 z ⎞ ∫ 3 − 3z 2 + 8z
+ 4⎜
3⎜
2 ⎟
2 ⎟
1+ z2
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
189
dz
2dz
2
=
−
, pero:
∫
3 z2 − 8 z −1
−3( z 2 − 8 z − 1)
3
3
z 2 − 8 z − 1 = ( z 2 − 8 z + 16 ) − 1 − 16 = ( z − 4 ) 2 − ( 5 ) 2 , luego:
3
3
9
9
3
3
dz
2
=− ∫
, sea: w = z − 4 , dw = dz ; de donde:
3
3 ( z − 4 )2 − ( 5 )2
3
3
z−4 −5
2 1
3
3 + c = − 1 η 3z − 9 + c , como: z = τ g θ , se tiene:
η
=−
2
3 2( 5 )
5
3z + 1
z−4 +5
3
3
3
=∫
=−
3τ g θ − 9
1
2
η
+c
θ
5
3τ g
+1
2
3τ g θ − 9
dθ
1
2
=− η
+c
Respuesta: ∫
3cos θ + 4s e n θ
5
3τ g θ + 1
2
dθ
8.5.-Encontrar: ∫
3 + 2 cos θ + 2s e n θ
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
2dz
2dz
2
2
dθ
∫ 3 + 2 cos θ + 2s e n θ = ∫ ⎛ 1 − z12+⎞z ⎛ 2 z ⎞ = ∫ 2 −12+z 2z 4 z
3+
+
3+ 2⎜
+ 2⎜
2
2 ⎟
2 ⎟
z
1
1+ z2
+
z
z
1
1
+
+
⎝
⎠
⎝
⎠
2dz
2dz
2dz
1+ z2
=∫
=∫ 2
=∫
= 2 arcτ g ( z + 2) + c
2
2
3 + 3z + 2 − 2 z + 4 z
( z + 2) 2 + 1
z + 4z + 5
1+ z2
Como: z = τ g θ , se tiene: = 2 arcτ g (τ g θ + 2) + c
2
2
dθ
Respuesta: ∫
= 2 arcτ g (τ g θ + 2) + c
2
3 + 2 cos θ + 2s e n θ
dx
8.6.-Encontrar: ∫
τ gθ − s e n θ
Solución.- Antes de hacer las sustituciones recomendadas, se buscará la
equivalencia correspondiente a τ gθ
2z
s e nθ 1+ z2
2z
, procédase ahora como antes:
=
τ gθ =
=
2
1− z
cos θ
1− z2
1+ z2
190
2dz
2dz
2
2(1 − z 2 )dz
dx
1+ z2
1+ z
=
=
=
∫ τ gθ − s e n θ ∫ 2 z 2 z ∫ 2 z (1 + z 2 ) − 2 z (1 − z 2 ) ∫ 2 z + 2 z 3 −2 z + 2z 3
+
1− z2 1+ z2
(1 − z 2 ) (1 + z 2 )
(2 − 2 z 2 )dz 1 −3
1 dz
1 1
= ∫ z dz − ∫ = − 2 − η z + c
3
4z
2
2 z
4z
2
1
1
Como: z = τ g θ , se tiene: = − (coτ g 2 θ ) − η τ g θ + c
2
2
2
4
2
dx
1
1
Respuesta: ∫
= − (coτ g 2 θ ) − η τ g θ + c
2
2
4
2
τ gθ − s e n θ
dx
8.7.-Encontrar: ∫
2+sen x
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
2dz
2dz
2
dz
dz
dx
1+ z2
1+ z
=∫ 2
=∫ 2
=
=
2
∫ 2+sen x ∫
∫
2z
2 + 2z + 2z
z + z +1
(z + z + 1 ) + 3
2+
4
4
2
2
1+ z
1+ z
=∫
(z + 1 )
1
2 + c = 2 arcτ g 2 z + 1 + c
arcτ g
=∫
=
3
3
3
3
( z + 1 )2 + ( 3 )2
2
2
2
2
2τ g x + 1
2
2 +c
Como: z = τ g x , se tiene: =
arcτ g
2
3
3
2τ g x + 1
2
dx
2 +c
Respuesta: ∫
arcτ g
=
2+sen x
3
3
cos xdx
8.8.-Encontrar: ∫
1 + cos x
Solución.-usando las sustituciones recomendadas:
⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞
⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞
⎟
⎜
2 ⎟⎜
⎟
⎜
⎟⎜
2
1+ z2 ⎠ ⎝ 1+ z2 ⎠
cos xdx
2 (1 − z 2 )dz
(1 − z 2 )dz
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
⎝
=
=
=
=
∫ 1 + cos x ∫
∫ 1 + z 2 + 1 − z 2 ∫ (1 + z 2 ) 2 ∫ (1 + z 2 )
1− z2
1+
1+ z2
1+ z2
(− z 2 + 1)dz
2 ⎞
dz
⎛
=∫
= ∫ ⎜ −1 + 2 ⎟dz = ∫ dz + 2∫ 2
= − z + 2 arcτ gz + c
2
( z + 1)
z +1⎠
z +1
⎝
x
x
Como: z = τ g x , se tiene: = −τ g + 2 arcτ g (τ g ) + c
2
2
2
cos xdx
x
Respuesta: ∫
= −τ g + x + c
1 + cos x
2
2dz
191
dx
1 + s e n x + cos x
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
2dz
dx
2dz
1+ z2
=
∫ 1 + s e n x + cos x ∫ ⎛ 2 z ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ = ∫ 1 + z 2 + 2 z + 1 − z 2
1+ ⎜
+
2 ⎟ ⎜
2 ⎟
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
2dz
dz
=∫
=∫
= η z + 1 + c , como: z = τ g x , se tiene: = η τ g x + 1 + c
2
2
2z + 2
z +1
dx
Respuesta: ∫
= η τ g x +1 + c
2
1 + s e n x + cos x
dx
8.10.-Encontrar: ∫
cos x + 2s e n x + 3
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
2dz
dx
2dz
2dz
1+ z2
=
∫ cos x + 2s e n x + 3 ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 4 z ⎞ = ∫ 1 − z 2 + 4 z + 3 + 3z 2 = ∫ 2 z 2 + 2 z + 2
+
+3
⎜
2 ⎟ ⎜
2 ⎟
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
dz
dz
=∫ 2
=∫
= arcτ g ( z + 1) + c , como: z = τ g θ ,
2
2
z + 2z + 2
( z + 1) + 1
Se tiene: = arcτ g (τ g x + 1) + c
2
dx
= arcτ g (τ g x + 1) + c
Respuesta: ∫
2
cos x + 2s e n x + 3
s e n xdx
8.11.-Encontrar: ∫
1+ s e n2 x
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
4 zdz
⎛ 2 z ⎞⎛ 2dz ⎞
⎜
2 2
2 ⎟⎜
2 ⎟
s e n xdx
4 zdz
4 zdz
⎝ 1 + z ⎠⎝ 1 + z ⎠ (1 + z ) =
=
=∫
2
2
2 2
2
2
∫ 1+ s e n2 x ∫
∫
∫
4z
(1 + z ) + 4 z
1+ 2z + z4 + 4z2
⎛ 2z ⎞
+
1
1+ ⎜
2 ⎟
(1 + z 2 ) 2
⎝1+ z ⎠
4 zdz
4 zdz
4 zdz
=∫ 4
=∫ 4
=∫ 2
2
2
z + 6z +1
( z + 6 z + 9) − 8
( z + 3) 2 − ( 8) 2
Sea: w = z 2 + 3, dw = 2 zdz
8.9.-Encontrar: ∫
= 2∫
dw
2
w− 8
8
w− 8
8
z2 + 3 − 8
=
c
c
η
+
=
η
+
=
η
+c
8
8
w2 − ( 8) 2 2 8
w+ 8
w+ 8
z2 + 3 + 8
τ g2 x 2 + 3− 2 2
2
z2 + 3 − 8
2
θ
Como: z = τ g
, se tiene: =
+c =
+c
η 2
η 2
2
4
4
z +3+ 8
τ g x2 +3+ 2 2
192
τ g2 x 2 + 3− 2 2
s e n xdx
2
Respuesta: ∫
=
+c
η 2
1+ s e n2 x
4
τ g x2 +3+ 2 2
dθ
8.12.-Encontrar: ∫
5 + 4 cos θ
Solución.-usando las sustituciones recomendadas:
dx
∫ 5 + 4 cos θ = ∫
2dz
2dz
2dz
dz
1+ z2
=∫
=∫ 2
= 2∫ 2 2
2
2
2
5 + 5z + 4 − 4 z
z +9
z +3
⎛ 1− z ⎞
5 + 4⎜
2 ⎟
⎝1+ z ⎠
θ
τg 2
2
z
θ
2
= arcτ g + c , como: z = τ g , se tiene: = arcτ g
+c
3
3
3
3
2
τ gθ 2
2
dθ
Respuesta: ∫
= arcτ g
+c
5 + 4 cos θ 3
3
dx
8.14.-Encontrar: ∫
s e n x + cos x
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
2dz
dx
2dz
dz
1+ z2
=
∫ s e n x + cos x ∫ ⎛ 2 z ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ = ∫ 2 z + 1 − z 2 = 2∫ (− z 2 + 2 z + 1)
+
⎜
2 ⎟ ⎜
2 ⎟
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
= −2 ∫
dz
dz
1
z −1 − 2
= −2∫
=−2
η
+c
2
2
( z − 2 z + 1) − 2
( z − 1) − ( 2)
2 2
z −1+ 2
2
τ g x 2 −1 − 2
2
z −1− 2
2
x
, se tiene: = −
=−
+ c , como: z = τ g
η
+c
η
2
2
2
z −1 + 2
τ g x 2 −1+ 2
τ g x 2 −1− 2
dx
2
Respuesta: ∫
=−
+c
η
s e n x + cos x
2
τ g x 2 −1 + 2
sec xdx
8.14.-Encontrar: ∫
sec x + 2τ gx − 1
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
1
2dz
dx
2
sec xdx
dx
∫ sec x + 2τ gx − 1 = ∫ 1 cos2sx e n x = ∫ 1 + 2s e n x − cos x = ∫ ⎛ 4 z1 +⎞z ⎛ 1 − z 2 ⎞
+
−1
1+ ⎜
−
2 ⎟ ⎜
2 ⎟
cos x
cos x
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
193
2dz
=∫
dz
2dz
2 dz
1+ z2
=∫
(∗)
=∫ 2
=∫
2
2
2
z ( z + 2)
2z + 4z
1 + z + 4 z −1 + z
2 ( z + 2 z)
1+ z2
1
A
B
, de donde:
= +
z ( z + 2) z z + 2
1
A( z + 2) + B ( z )
=
⇒ 1 = A( z + 2) + B ( z ) , de donde: A = 1 , B = − 1
2
2
z ( z + 2)
z ( z + 2)
Ahora bien:
1 dz
1 dz
dz
1 dz 1 dz
1
1
2
(∗) ∫
=∫
−∫ 2 = ∫ − ∫
= η z − η z+2 +c
z ( z + 2)
z
z+2 2 z 2 z+2 2
2
τ g x2
1
z
1
= η
+ c , como: z = τ g x , se tiene: = η
+c
2
2
z+2
2
τg x2 + 2
τg x2
sec xdx
1
= η
+c
Respuesta: ∫
sec x + 2τ gx − 1 2
τ g x2 + 2
dx
8.15.-Encontrar: ∫
1 − cos x + s e n x
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
2dz
2dz
2dz
dx
1+ z2
1+ z2
=
=
∫ 1 − cos x + s e n x ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2 z ⎞ ∫ 1 + z 2 −1 + z 2 + 2 z = ∫ 2 z 2 + 2 z
1− ⎜
+
2 ⎟ ⎜
2 ⎟
1+ z2
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
2 dz
dz
(∗)
=∫
2
z ( z + 1)
2 ( z + z)
1
A
B
Ahora bien:
, de donde se tiene:
= +
z ( z + 1) z z + 1
1
A( z + 1) + B ( z )
⇒ 1 = A( z + 1) + B ( z ) , de donde: A = 1, B = −1 , luego:
=
z ( z + 1)
z ( z + 1)
=∫
dz
dz
dz
z
−∫
= η z − η z +1 + c = η
+ c , como: z = τ g x ,
2
z
z +1
z +1
τ g x2
Se tiene: = η
+c
τ g x 2 +1
τg x2
dx
Respuesta: ∫
= η
+c
1 − cos x + s e n x
τ g x 2 +1
dx
8.16.-Encontrar: ∫
8 − 4s e n x + 7 cos x
∫ z ( z + 1) = ∫
194
Solución.- usando las sustituciones recomendadas:
2dz
2dz
dx
1+ z2
1+ z2
=
=
∫ 8 − 4s e n x + 7 cos x ∫ ⎛ 8 z ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 8 + 8 z 2 − 8 z + 7 − 7 z 2
8−⎜
+ 7⎜
2 ⎟
2 ⎟
1+ z2
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
2dz
2dz
(∗)
=∫ 2
=∫
z − 8 z + 15
( z − 3)( z − 5)
2
A
B
Ahora bien:
, de donde se tiene:
=
+
( z − 3)( z − 5) ( z − 3) ( z − 5)
⇒ 2 = A( z − 5) + B( z − 3) , de donde: A = −1, B = 1 , luego:
2dz
dz
dz
z −5
∫ ( z − 3)( z − 5) = −∫ z − 3 + ∫ z − 5 = − η z − 3 + η z − 5 + c = η z − 3 + c ,
τ g x2 −5
x
, se tiene: = η
+c
como: z = τ g
2
τ g x2 −3
τ g x2 −5
dx
= η
+c
Respuesta: ∫
8 − 4s e n x + 7 cos x
τ g x2 −3
EJERCICIOS PROPUESTOS
dx
1 + cos x
cos xdx
8.20.- ∫
2 − cos x
8.23.- ∫ sec xdx
8.17.- ∫
dx
1 − cos x
dθ
8.21.- ∫
5 − 4 cos θ
cos θ dθ
8.24.- ∫
5 + 4 cos θ
8.18.- ∫
s e n xdx
1 + cos x
s e n θ dθ
8.22.- ∫
2
cos θ − cos θ − 2
dθ
8.25.- ∫
cos θ + co τ gθ
8.19.- ∫
RESPUESTAS
dx
1 + cos x
Solución.-
8.17.- ∫
2dz
2dz
2
dx
1+ z2
1+ z
=
=
∫ 1 + cos x ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 1 + z 2 + 1 − z 2 = ∫ dz = z + c = τ g x 2 + c
1+ ⎜
2 ⎟
1+ z2
⎝1+ z ⎠
dx
8.18.- ∫
1 − cos x
Solución.-
195
2dz
2dz
2
2 dz
1
dx
1+ z2
1+ z
=
=
∫ 1 − cos x ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 1 + z 2 −1 − z 2 = ∫ 2 z 2 = − z + c = − coτ g x 2 + c
1− ⎜
2 ⎟
1+ z2
⎝ 1+ z ⎠
s e n xdx
8.19.- ∫
1 + cos x
Solución.4 zdz
⎛ 2 z ⎞⎛ 2dz ⎞
⎜
2 ⎟⎜
2 ⎟
(1 + z 2 ) 2
4 zdz
2 zdz
s e n xdx
⎝ 1 + z ⎠⎝ 1 + z ⎠ =
=
=∫
=∫
2
∫ 1 + cos x ∫
∫
2
2
2
2(1 + z )
(1 + z 2 )
⎛ 1− z ⎞
1+ z +1 −z
1+ ⎜
2 ⎟
⎝ 1+ z ⎠
1+ z2
= η 1+ z2 + c = η 1+τ g 2 x + c
2
cos xdx
8.20.- ∫
2 − cos x
Solución.⎛ 2dz ⎞
⎜
2 ⎟
dx
cos xdx
2
⎛
⎞
⎝ 1+ z ⎠
=
−
+
dx
=
−
dx
+
=
−
dx
+
1
2
2
∫ 2 − cos x ∫ ⎜⎝ 2 − cos x ⎟⎠
∫
∫ 2 − cos x ∫
∫ ⎛ 1− z2 ⎞
2−⎜
2 ⎟
⎝ 1+ z ⎠
2dz
= − ∫ dx + 2 ∫
(1 + z 2 )
2 + 2z −1 + z
2
2
= − ∫ dx + 2∫
1+ z2
= − ∫ dx +
4
dz
∫
2
3 z +( 1
3
)
2
= −x + 4
2dz
4
dz
= − ∫ dx + ∫ 2
2
3z + 1
3 (z + 1 )
3
1
z
4 3
+ c = −x +
arcτ g
arcτ g 3 z + c
3 1
1
3
3
3
4 3
arcτ g ( 3τ g x ) + c
2
3
dθ
8.21.- ∫
5 − 4 cos θ
Solución.= −x +
2dz
⎛ 2dz ⎞
⎜
2 ⎟
(1 + z 2 )
2dz
2
dz
dθ
⎝ 1+ z ⎠ =
=
∫ 5 − 4 cos θ ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 5 + 5 z 2 − 4 + 4 z 2 = ∫ 9 z 2 + 1 = 9 ∫ ( z 2 + 1)
5 − 4⎜
2 ⎟
1+ z2
⎝ 1+ z ⎠
dz
z
2
2 1
2
2
arcτ g
= ∫ 2
=
+ c = arcτ g 3z + c = arcτ g (3τ g x ) + c
2
2
1
9 z +(1 )
9 1
3
3
3
3
3
196
s e n θ dθ
cos θ − cos θ − 2
Solución.-
8.22.- ∫
2
4 zdz
⎛ 2 z ⎞⎛ 2dz ⎞
⎜
2 ⎟⎜
2 ⎟
(1 + z 2 ) 2
s e n θ dθ
⎝ 1 + z ⎠⎝ 1 + z ⎠
=
=
∫ cos2 θ − cos θ − 2 ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞2 ⎛ 1 − z 2 ⎞
∫ (1 − z 2 )2 − (1 − z 2 )(1 + z 2 ) − 2(1 + z 2 )2
−⎜
−2
⎜
2 ⎟
2 ⎟
(1 + z 2 ) 2
⎝ 1+ z ⎠ ⎝ 1+ z ⎠
4 zdz
1
2 zdz
1
1
=∫
=− ∫ 2
= − η z2 − 1 + c = − η τ g 2 x − 1 + c
2
3
2
3
3 (z − 1 )
3
3
−6 z − 2
3
8.23.- ∫ sec xdx
Solución.2dz
∫ sec xdx = ∫
dx
2dz
2dz
1+ z2
=∫
=∫
=∫
(∗)
2
2
1− z
cos x
(1 − z )
(1 + z )(1 − z )
1+ z2
2
A
B
, de donde: A = 1, B = 1 , luego:
=
+
(1 + z )(1 − z ) 1 + z 1 − z
2dz
dz
dz
1+ z
(∗) ∫
=∫
−∫
= η 1+ z − η 1− z + c = η
+c
(1 + z )(1 − z )
1+ z
1− z
1− z
1+τ g x
2 +c
Como: z = τ g x , Se tiene: = η
2
x
1−τ g
2
cos θ dθ
8.24.- ∫
5 + 4 cos θ
Solución.⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 2dz ⎞
2(1 − z 2 )dz
⎜
2 ⎟⎜
2 ⎟
(2 − 2 z 2 )dz
dθ
(1 + z 2 ) 2
⎝ 1+ z ⎠⎝ 1+ z ⎠ =
=
=
∫ 5 + 4 cos θ ∫
∫ (5 + 5 z 2 + 4 − 4 z 2 ) ∫ (1 + z 2 )(9 + z 2 )
⎛ 1− z2 ⎞
5 + 4⎜
2 ⎟
(1 + z 2 )
⎝ 1+ z ⎠
Ahora bien:
Ahora bien:
2 − 2z2
Az + B Cz + D
, de donde: A = 0, B = 1 , C = 0, D = − 5 ,
= 2
+ 2
2
2
2
2
( z + 1)( z + 9)
z +1
z +9
luego:
(2 − 2 z 2 )
1 dz
5
dz
1
5
z
∫ ( z 2 + 1)( z 2 + 9) = 2 ∫ z 2 + 1 − 2 ∫ z 2 + 9 = 2 arcτ gz + 2 arcτ g 3 + c
θ
θ
τg 2
τg 2
1
5
θ 5
= arcτ g θ − arcτ g (
) + c = − arcτ g (
)+c
2 6
2
3
4 6
3
dθ
8.25.- ∫
cos θ + co τ gθ
197
Solución.2dz
⎛ 2dz ⎞
⎜
⎟
(1 + z 2 )
dθ
1+ z2 ⎠
⎝
∫ cos θ + coτ gθ = ∫ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ = ∫ 2 z (1 − z 2 ) + (1 − z 2 )(1 + z 2 )
+
⎜
⎟
2 ⎟ ⎜
(1 + z 2 )2 z
⎝ 1 + z ⎠ ⎝ 2z ⎠
4 zdz
4 zdz
4 zdz
=∫
=∫
(∗)
2
2
2
2
2 z (1 − z ) + (1 − z )(1 + z )
(1 − z )( z + 2 z + 1)
(1 + z 3 )(1 − z )
4z
A
B
C
D
Ahora bien:
=
+
+
+
3
2
3
(1 + z )(1 − z ) 1 + z (1 + z ) (1 + z ) (1 − z )
De donde: A = 1 , B = 1, C = −2, D = 1 , luego:
2
2
dz
dz
4z
1 dz
1 dz
= ∫
+∫
− 2∫
+ ∫
(∗) ∫
3
2
3
(1 + z )(1 − z ) 2 1 + z
(1 + z )
(1 + z ) 2 1 − z
1
1
1
1
1
1+ z
1
1
= η 1+ z −
+
− η 1− z + c = η
−
+
+c
2
2
1 + z (1 + z ) 2
2
1 − z 1 + z (1 + z ) 2
=∫
2
1+τ g θ
τ gθ 2
z
1
1 + z −(1 + z ) + 1
1
1+ z
1
2
= η
+
+c = η
−
+c = η
−
+c
2
1− z
(1 + z ) 2
2
1 − z (1 + z ) 2
2
1 −τ g θ
(1 + τ g θ ) 2
2
2
198
CAPITULO 9
INTEGRACION DE FUNCONES IRRACIONALES
En el caso de que el integrando contiene potencias faccionarias de la variable de
integración, estas se simplifican usando una sustitución del tipo:
x = t n , n x = t , siendo “n “el m.c.m de los denominadores de los exponentes.
EJERCICIOS DESARROLLADOS
xdx
1+ x
Solución.- La única expresión “irracional” es
x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt , luego:
9.1.-Encontrar: ∫
∫
x , por lo tanto:
xdx
t (2tdt )
t 2 dt
1 ⎞
dt
⎛
=∫
=
= 2∫ ⎜1 −
= 2t − 2 arcτ gt + c
2
dt = 2∫ dt − 2∫ 2
2
2
2 ⎟
∫
1+ x
1+ t
1+ t
t +1
⎝ 1+ t ⎠
Dado que: t = x , se tiene: = 2 x − 2 arcτ g x + c
xdx
= 2 x − 2 arcτ g x + c
1+ x
dx
9.2.-Encontrar: ∫
x (1 + x )
Respuesta: ∫
Solución.- Análogamente al caso anterior: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt , luego:
∫
dx
2 t dt
2dt
=∫
= 2 η t +1 + c
=∫
1+ t
t (1 + t )
x (1 + x )
Dado que: t = x , se tiene: = 2 η
x +1 + c
dx
= 2 η x +1 + c
x (1 + x )
dx
9.3.-Encontrar: ∫
3+ x + 2
Solución.- La expresión “irracional” es ahora
Respuesta: ∫
x + 2 , por lo tanto:
x + 2 = t ⇒ x = t 2 − 2, dx = 2tdt , luego:
dx
2tdt
3 ⎞
dt
⎛
∫ 3 + x + 2 = ∫ 3 + t = 2∫ ⎝⎜1 − t + 3 ⎠⎟ dt = 2∫ dt − 6∫ t + 3 = 2t − 6 η t + 3 + c
Dado que: t = x + 2 , se tiene: = 2 x + 2 − 6 η
Respuesta: ∫
dx
= 2 x+2 −6 η
3+ x + 2
x+2 +3 +c
x+2 +3 +c
199
1 − 3x + 2
dx
1 + 3x + 2
Solución.- La expresión “irracional” es ahora 3x + 2 , por lo tanto:
3x + 2 = t ⇒ 3 x = t 2 − 2, dx = 2 tdt , luego:
3
1 − 3x + 2
1− t 2
2 t − t2
2 ⎛
2 ⎞
dx
=
tdt
=
dt = ∫ ⎜ −t + 2 −
⎟ dt
∫ 1 + 3x + 2 ∫ 1 + t 3
∫
t +1⎠
3 1+ t
3 ⎝
2
4
4 dt
1
4 4
= − ∫ tdt + ∫ dt − ∫
= − t2 + t − η t +1 + c
3
3
3 t +1
3
3 3
Dado que: t = 3 x + 2 , se tiene:
1
4
4
= − (3x + 2) +
3x + 2 − η 3x + 2 + 1 + c
3
3
3
2 4
4
2 4
= −x − +
3x + 2 − η 3x + 2 + 1 + c = − x − +
3x + 2 − η 3x + 2 + 1 + c
3 3
3
3 3
1 − 3x + 2
2 4
Respuesta: ∫
dx = − x − +
3x + 2 − η 3x + 2 + 1 + c
3 3
1 + 3x + 2
9.4.-Encontrar: ∫
(
(
)
)
9.5.- Encontrar: ∫ 1 + x dx
Solución.- La expresión “irracional” es ahora
x = t ⇒ x = t , dx = 2tdt ,
2
x , por lo tanto:
luego: ∫ ( 1 + x )dx = ∫ 1 + t 2tdt ,
como
apareció
la
expresión: 1 + t ; se procede análogamente: w = 1 + t ⇒ t = w2 − 1, dt = 2wdw , esto
4 w5 4 w3
−
+c
5
3
es: 1 + t 2tdt = ∫ w2( w2 − 1)2 wdw = 4∫ ( w4 − w2 )dw =
4(1 + t ) 2 4(1 + t ) 2
−
+c
5
3
5
3
4(1 + x ) 2 4(1 + x ) 2
Respuesta: ∫ 1 + x dx =
−
+c
5
3
dx
9.6.-Encontrar: ∫
x +1 + 4 x +1
Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 4 ,
por lo cual: x + 1 = t 4 , dx = 4t 3 dt , de donde:
5
3
Dado que: w = 1 + t , se tiene: =
dx
4t 3 dt
t ⎞
dt
⎛
=
∫ x + 1 + 4 x + 1 ∫ t 2 + t = 4∫ ⎜⎝ t − 1 + t 2 + t ⎟⎠ dt = 4∫ tdt − 4∫ dt + 4∫ t + 1
= 2t 2 − 4t + 4 η t + 1 + c , dado que: t = 4 x + 1
Se tiene: = 2( x + 1) 2 − 4( x + 1) 2 + 4 η ( x + 1) 2 + 1 + c
1
Respuesta: ∫
1
1
dx
1
1
1
= 2( x + 1) 2 − 4( x + 1) 2 + 4 η ( x + 1) 2 + 1 + c
4
x +1 + x +1
200
dx
x+3 x
Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 6 ,
por lo cual: x = t 6 ⇒ t = 6 x , dx = 6t 5 dt , de donde:
9.7.-Encontrar: ∫
dx
6t 5 dt
t 3 dt
1 ⎞
dt
⎛ 2
2
=
=
6
∫ x + 3 x ∫ t 3 + t 2 ∫ t + 1 = 6∫ ⎝⎜ t − t + 1 − t + 1 ⎠⎟ dt = 6∫ t dt − 6∫ tdt + 6∫ dt − 6∫ t + 1
= 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 η t + 1 + c
Dado que: t = 6 x
Se tiene: = 2( 6 x )3 − 3( 6 x ) 2 + 6 6 x − 6 η
6
x +1 + c
dx
= 2 x − 33 x + 6 6 x − 6 η 6 x +1 + c
3
x+ x
dx
9.8.-Encontrar: ∫
x + 1 + ( x + 1)3
Solución.Previamente
se
tiene
igual
2
cual: x + 1 = t ⇒ x = t − 1, dx = 2tdt , de donde:
dx
2tdt
dt
∫ x + 1 + ( x + 1)3 = ∫ t + t 3 = 2∫ 1 + t 2 = 2 arcτ gt + c
Respuesta: ∫
índice
por
lo
Dado que: t = x + 1 , Se tiene: = 2 arcτ g x + 1 + c
dx
Respuesta: ∫
= 2 arcτ g x + 1 + c
x + 1 + ( x + 1)3
x −1
dx
3
x +1
Solución.- Previamente se tiene que el m.c.m. de los índices de Las raíces es: 6 ,
por lo cual: x = t 6 ⇒ t = 6 x , dx = 6t 5 dt , de donde:
9.9.-Encontrar: ∫
∫
3
x −1
t3 −1 5
t8 − t5
t −1 ⎞
⎛
dx = ∫ 2
6t dt = 6 ∫ 2
dt = 6 ∫ ⎜ t 6 − t 4 − t 3 + t 2 + t − 1 − 2 ⎟dt
t +1
t +1
t +1⎠
x +1
⎝
6
6
3
2t − 2
= t 7 − t 5 − t 4 + 2t 3 + 3t 2 − 6t + c1 − 3∫ 2 dt
7
5
2
t +1
6 7 6 5 3 4
2
t −2
dt
= t − t − t + 2t 3 + 3t 2 − 6t + c1 − 3∫ 2 dt + 6∫ 2
7
5
2
t +1
t +1
6
6
3
= t 7 − t 5 − t 4 + 2t 3 + 3t 2 − 6t − 3 η t 2 + 1 + 6 arcτ gt + c
7
5
2
Dado que: t = 6 x , se tiene:
6
6
3
= x 6 x − 6 x5 − 3 x 2 + 2 x + 3 3 x − 6 6 x − 3 η 1 + 3 x + 6 arcτ g 6 x + c
7
5
2
201
Respuesta:
x −1
6 6
66 5 33 2
3
6
3
6
∫ 3 x + 1dx = 7 x x − 5 x − 2 x + 2 x + 3 x − 6 x − 3 η 1 + x + 6 arcτ g x + c
xdx
x+2
Solución.- La expresión “irracional” es
x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt ,
9.10.-Encontrar: ∫
x , por lo tanto:
xdx
t (2tdt )
t 2 dt
2 ⎞
dt
⎛
=∫ 2
= 2∫ 2
= 2∫ ⎜1 − 2
⎟dt = 2∫ dt − 4∫ 2
x+2
t +2
t +2
t +2
⎝ t +2⎠
t
4
arcτ g
= 2t −
+ c , dado que: t = x , se tiene: = 2 x − 2 2 arcτ g x + c
2
2
2
luego: ∫
xdx
= 2 x − 2 2 arcτ g x + c
2
x+2
( x + 1 + 2)dx
9.11.-Encontrar: ∫
( x + 1) 2 − x + 1
Solución.Previamente
se
tiene
2
cual: x + 1 = t ⇒ x = t − 1, dx = 2tdt , de donde:
Respuesta: ∫
igual
índice
por
lo
⎡( x + 1) 2 + 2 ⎤ dx
( x + 1 + 2)dx
(t + 2) t dt
t+2
⎣
⎦
=
∫ ( x + 1)2 − x + 1 ∫ ( x + 1)2 − ( x + 1) 12 = ∫ t 4 − t 2tdt = 2∫ t (t 3 − 1)
(t + 2)dt
= 2∫
(∗) , considerando que:
(t − 1)(t 2 + t + 1)
t+2
A
Bt + C
=
+ 2
⇒ A = 1, B = −1, C = −1
2
(t − 1)(t + t + 1) (t − 1) (t + t + 1)
1
Dado que: t = x + 1 , Se tiene: = 2 arcτ g x + 1 + c
−t − 1
dt
dt
t +1
(t + 2)dt
= 2∫
+ 2∫ 2
− 2∫ 2
dt = 2∫
dt
(∗) 2 ∫
2
(t − 1)(t + t + 1)
(t − 1)
(t + t + 1)
(t − 1)
(t + t + 1)
1 (2t + 1) + 1
dt
dt
2 dt = 2 dt − (2t + 1)dt −
= 2∫
− 2∫ 2 2
2
2
∫
∫
∫
(t − 1)
(t + t + 1)
(t − 1)
(t + t + 1)
(t + t + 1)
dt
dt
(2t + 1)dt
= 2∫
−∫ 2
−∫ 2
(t − 1)
(t + t + 1)
(t + t + 1 ) + 3
4
4
t
2
2
+
1
arcτ g
= 2 η t −1 − η t 2 + t +1 −
+c
3
3
= η
(t − 1) 2
2
2t + 1
−
arcτ g
+c
2
(t + t + 1)
3
3
Dado que: t = x + 1 , se tiene
202
Respuesta: ∫
( x + 1 + 2)dx
( x + 1 − 1) 2
2
2 x +1 +1
arcτ g
η
=
−
+c
2
( x + 1) − x + 1
( x + 1 + x + 2)
3
3
EJERCICIOS PROPUESTOS
9.12.- ∫
1+ x
dx
1+ x
x+a
dx
x+a
dx
9.18.- ∫
dx
x−2− x
9.15.- ∫
9.21.- ∫
9.24.- ∫
3
x +1
dx
x
dx
4
x + x + 28 x
9.13.- ∫
1− x
dx
1+ x
9.14.- ∫
9.16.- ∫
xdx
1+ 4 x
9.17.- ∫
9.19.- ∫
1+ x
dx
1− x
9.22.- ∫
a2 − x2
dx
x3
dx
a+b x
x−6 x
dx
3
x +1
x+a
dx
x+b
9.23.- ∫ x 2 x + adx
9.20.- ∫
9.25.- ∫ x 3 x 2 + a 2 dx
RESPUESTAS
1+ x
dx
1+ x
Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt
9.12.- ∫
1+ x
1+ t2
t + t3
2 ⎞
⎛ 2
dx
2
tdt
2
=
=
∫ 1+ x ∫ 1+ t
∫ 1 + t dt = 2∫ ⎜⎝ t − t + 2 − t + 1 ⎟⎠dt
dt
2t 3 2 t 2
+ 4t − 4 η t + 1 + c
= 2 ∫ t 2 dt − 2∫ tdt + 4 ∫ dt − 4∫
=
−
t +1 3
2
2 x3
− x + 4 x − 4 η x +1 + c
3
1− x
9.13.- ∫
dx
1+ x
Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt
=
1− x
1− t
t − t2
dt
2
dx
=
2
tdt
=
2
∫ 1+ x ∫ 1+ t
∫ 1 + t dt = −2∫ tdt + 4∫ dt − 4∫ t + 1 = −t + 4t − 4 η t + 1 + c
= −x + 4 x − 4 η
x +1 + c
dx
a+b x
Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt
9.14.- ∫
203
2tdt
tdt
2
2a bdt
⎛1 a 1 ⎞
= 2∫
= 2∫ ⎜ −
⎟dt = ∫ dt − 2 ∫
a + bt
a + bt
b
b a + bt
x
⎝ b b a + bt ⎠
2 2a
2
2a
= t − 2 η a + bt + c =
x − 2 η a+b x +c
b
b
b
b
x+a
9.15.- ∫
dx
x+a
Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t 2 − a, dx = 2tdt
dx
∫ a+b
∫
=∫
x+a
t 2 t dt
= 2 ∫ dt = 2t + c = 2 x + a + c
dx = ∫
x+a
t2
xdx
1+ 4 x
Solución.- m.c.m: 4 ; Sea: 4 x = t ⇒ x = t 4 , dx = 4t 3 dt
9.16.- ∫
xdx
t 2 4t 3 dt
t 5 dt
1 ⎞
⎛ 4 3 2
=
=
4
∫ 1+ 4 x ∫ 1+ t
∫ 1 + t = 4∫ ⎜⎝ t − t + t − t + 1 − t + 1 ⎟⎠dt
⎛ t5 t4 t3 t2
⎞
4t 5 4 4t 3
= 4⎜ − + − + t − η t +1 ⎟ + c =
−t +
− 2t 2 + 4t − 4 η t + 1
5
4
3
2
5
3
⎝
⎠
5
3
4x 4
4x 4
1
1
1
=
−x+
− 2x 2 + 4x 4 − 4 η x 4 + 1
5
3
6
x− x
9.17.- ∫ 3
dx
x +1
Solución.- m.c.m: 6 ; Sea: 6 x = t ⇒ x = t 6 , dx = 6t 5 dt
x−6 x
t3 − t 5
(t 8 − t 6 )dt
dt
6
4
2
=
=
dx
6
t
dt
6
∫ 3 x +1
∫ t2 +1
∫ t 2 + 1 = 6∫ t dt − 2∫ t dt + 2∫ t dt − 2∫ dt + 2∫ 1 + t 2
⎛ t 7 2t 5 2t 3
⎞
6t 7 12t 5
= 6⎜ −
+
− 2t + 2 arcτ gt ⎟ + c =
−
+ 4t 3 − 12t + 12 arcτ gt + c
5
3
7
5
⎝7
⎠
7
5
6 x 6 12 x 2
1
1
1
=
−
+ 4 x 2 − 12 x 6 + 12 arcτ gx 6 + c
7
5
dx
9.18.- ∫
dx
x−2− x
Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt
dx
2tdt
(2t − 1) + 1
2t − 1
dt
∫ x − 2 − x dx = ∫ t 2 − 2 − t = ∫ t 2 − t − 2 dt = ∫ t 2 − t − 2dt + ∫ t 2 − t − 2
t−3
dt
2t − 1
1
2
2 +c
dt + ∫
=∫ 2
= η t −t −2 +
η
t −t −2
(t − 1 ) 2 − 9
2 3
t+3
2
4
2
2
204
= η t2 − t − 2 +
1
2t − 3
1
2 x −3
η
+c = η x− x −2 + η
+c
3
2t + 3
3
2 x +3
1+ x
dx
1− x
Solución.- Notará el lector, que este caso se diferencia de los anteriores, sin
embargo la técnica que se seguirá, tiene la misma fundamentación y la
información que se consiga es valiosa. (∗)
9.19.- ∫
1+ x
1+ x 2
=t⇒
= t ⇒ 1 + x = t 2 − t 2 x ⇒ x(1 + t 2 ) = t 2 − 1
1− x
1− x
t 2 −1
4tdt
, luego:
x= 2
⇒ dx = 2
t +1
(t + 1) 2
Sea:
1+ x
t 4tdt
4t 2 dt
t 2 dt
dx
=
=
=
4
∫ 1 − x ∫ (t 2 + 1)2 ∫ (t 2 + 1)2 ∫ ( t 2 + 1)4 (∗∗) , haciendo uso
sustituciones trigonométricas convenientes en (∗∗) , y de la figura se tiene:
(∗)
t2 + 1
de
t
θ
Se tiene: t = τ gθ , dt = sec θ dθ ; t + 1 = sec θ
2
(∗∗) 4 ∫
t 2 dt
=∫
( t 2 + 1) 4
2
1
4τ g 2θ sec 2 θ dθ
τ g 2θ
=
4
∫ sec2 θ dθ
sec 4 θ
= 4 ∫ s e n 2 θ dθ = 2∫ dθ − 2∫ cos 2θ dθ = 2θ − s e n 2θ + c = 2θ − 2s e n θ cos θ + c
1+ x
2
2t
1+ x
= 2 arcτ gt − 2
+ c = 2 arcτ gt − 2
+ c = 2 arcτ g
− 1− x + c
2
2
1+ x
t
x
+
1
1
−
t +1 t +1
+1
1− x
1+ x
1+ x
= 2 arcτ g
− (1 − x)
+c
1− x
1− x
t
1
x+a
dx
x+b
Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t 2 − a, dx = 2tdt
9.20.- ∫
⎛
x+a
t 2tdt
t 2 dt
b−a ⎞
=
=
dx
2
∫ x+b
∫ t 2 − a + b ∫ t 2 + (b − a) = 2∫ ⎜⎝1 − t 2 + (b − a) ⎟⎠dt
dt
t
1
arcτ g
= 2 ∫ dt − 2(b − a ) ∫ 2
= 2t − 2(b − a)
+c
t + (b − a )
b−a
b−a
205
= 2 x + a − 2 b − a arcτ g
x+a
+c
b−a
x +1
dx
x
Solución.- Sea: 3 x + 1 = t ⇒ x = t 3 − 1, dx = 3t 2 dt
9.21.- ∫
3
x +1
t 3t 2 dt
t 3 dt
1 ⎞
dt
⎛
dx
=
=
3
∫ x
∫ t 3 − 1 ∫ t 3 − 1 = 3∫ ⎜⎝1 + t 3 − 1 ⎟⎠dt = 3∫ dt + 3∫ t 3 − 1
dt
= 3∫ dt + 3∫
(∗) , por fracciones parciales:
(t − 1)(t 2 + t + 1)
A
Bt + C
3
=
+ 2
⇒ 3 = A(t 2 + t + 1) + ( Bt + C )(t − 1) , de donde:
2
(t − 1)(t + t + 1) (t − 1) (t + t + 1)
A = 1, B = −1, C = −2 , luego:
3
(∗) = 3∫ dt + ∫
9.22.- ∫
dt
t+2
⎛ 2t + 1 ⎞
−∫ 2
dt = 3t + η t − 1 − 1 η t 2 + t + 1 − 3 arcτ g ⎜
⎟+c
2
t −1
t + t +1
⎝ 3 ⎠
a2 − x2
dx
x3
Solución.- Sea: a 2 − x 2 = t ⇒ x 2 = a 2 − t 2 , xdx = −tdt
−t 2 dt
−t 2 dt
a2 − x2
a 2 − x 2 xdx
ttdt
=
=
−
=
=
dx
∫ x3
∫
∫ (a 2 − t 2 )2 ∫ (a 2 − t 2 )2 ∫ (a + t )2 (a − t )2 (∗)
x4
Por fracciones parciales:
−t 2
A
B
C
D
=
+
+
+
, de donde:
2
2
2
(t + a ) (t − a)
(t + a ) (t + a) (t − a) (t − a) 2
A = 1 a, B = − 1 , C = − 1 a, D = − 1 , luego:
4
4
4
4
2
−t dt
1
dt
1
dt
1
dt
1
dt
(∗) ∫
=
−
−
−
2
2
2
∫
∫
∫
∫
(a + t ) (a − t )
4a (t + a ) 4a (t + a ) 4a (t − a) 4a (t − a ) 2
1
1
1
1
=
η (t + a) +
−
η (t − a) +
+c
4a
4(t + a ) 4a
4(t − a)
=
1
(t + a )
1
1
+
+
+c
η
4a
(t − a) 4(t + a) 4(t − a)
=
1
η
4a
=
1
( a 2 − x 2 + a)2
a2 − x2
1
η
η
−
+
c
=
2
4a
2x
2a
a 2 − x 2 −a 2
a2 − x2 + a
a2 − x2 − a
+
a2 − x2
2( a 2 − x 2 −a 2 )
+c =
1
η
4a
a2 − x2 + a
a2 − x2 − a
a2 − x2 + a −
−
a2 − x2
+c
2 x2
1
a2 − x2
ηx−
+c
2a
2 x2
9.23.- ∫ x 2 x + adx
Solución.- Sea: x + a = t ⇒ x = t 2 − a, dx = 2tdt
206
∫x
2
x + adx = ∫ (t 2 − a) 2 t 2tdt = 2∫ t 2 (t 2 − a )2 dt = 2∫ (t 6 − 2at 4 + a 2t 2 )dt
2t 7 4at 5 2a 2t 3
−
+
+c
7
5
3
7
5
3
2( x + a ) 2 4a ( x + a) 2 2a 2 ( x + a) 2
=
−
+
+c
7
5
3
dx
9.24.- ∫
4
x + x + 28 x
Solución.- Sea: 8 x = t ⇒ x = t 8 , dx = 8t 7 dt
= 2 ∫ t 6 dt − 4a ∫ t 4 dt + 2a 2 ∫ t 2 dt =
∫
⎛ 3
dx
t 6 dt
t 2 + 4t + 4 ⎞
8t 7 dt
=
=
=
−
−
+
t
t
8
8
2
⎟dt
4
2
∫ t 3 + t + 2 ∫ ⎝⎜
t3 + t + 2 ⎠
x + 4 x + 2 8 x ∫ t + t + 2t
t 2 + 4t + 4
t 4 8t 2
t 2 + 4t + 4
=
−
−
+
dt
t
8
16
8
∫ t 3 + t + 2 dt
t3 + t + 2
4 2
t 2 + 4t + 4
= 2t 4 − 4t 2 − 16t + 8∫ 3
dt (∗) , por fracciones parciales:
t +t +2
t 2 + 4t + 4
t 2 + 4t + 4
A
Bt + C
=
=
+ 2
⇒ A = 1 , B = 3 , C = 14 , luego:
3
2
4
4
4
(t + t + 2) (t + 1)(t − t + 2) (t + 1) (t − t + 2)
= 8∫ t 3 − 8∫ tdt − 16∫ dt + 8∫
3 t + 14
⎛ 1 dt
⎞
4
4 dt ⎟
⎜
+ ∫ 42
(∗) = 2t − 4t − 16t + 8 ∫
t −t + 2
⎜ t +1
⎟
⎝
⎠
dt
3t + 14
⎛ 1 dt 1 3t + 14
⎞
= 2t 4 − 4t 2 − 16t + 8 ⎜ ∫
+ ∫ 2
dt ⎟ = 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2∫
+ 2∫ 2
dt
t +1
t −t + 2
⎝ 4 t +1 4 t − t + 2 ⎠
28 31 31
3 2t + 3 − 3 + 3
dt
= 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 2 ∫
t2 − t + 2
2
(2t − 1)
dt
= 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 3∫ 2
dt + 31∫ 2
t −t + 2
t −t + 2
dt
= 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 3 η t 2 − t + 2 + 31∫
(t − 1 ) 2 + 7
2
4
1
t−
2
2 +c
arcτ g
= 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 3 η t 2 − t + 2 + 31
7
7
2
t
62
2
−
1
arcτ g
= 2t 4 − 4t 2 − 16t + 2 η t + 1 + 3 η t 2 − t + 2 +
+c
7
7
1
62
2x 8 −1
1
1
1
1
1
1
8
8
8
2
4
4
= 2 x − 4 x − 16 x + 2 η x + 1 + 3 η x − x + 2 +
arcτ g
+c
7
7
4
2
9.25.- ∫ x3 x 2 + a 2 dx
Solución.- Sea: x 2 + a 2 = t ⇒ x 2 = t 2 − a 2 , xdx = tdt
207
∫x
3
x 2 + a 2 dx = ∫ x 2 x 2 + a 2 xdx = ∫ (t 2 − a 2 )ttdt = ∫ (t 2 − a 2 )t 2 dt = ∫ (t 4 − a 2t 2 )dt
2
2
t 5 a 2t 3
a2 ⎞
3 ⎛ x + a
( x2 + a2 ) 2 a2 ( x2 + a2 ) 2
= −
+c =
−
+ c = ( x2 + a2 ) 2 ⎜
− ⎟+c
5
3
5
3
3 ⎠
⎝ 5
2
2
⎞
3 ⎛ 3 x − 2a
= ( x2 + a2 ) 2 ⎜
⎟+c
15
⎝
⎠
5
3
EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
A continuación, se adjunta un listado de ejercicios que se proponen al lector.
Observará que no se indica técnica alguna solicitada para el desarrollo de los
mismos, y que además no se han respetado normas relativas a niveles de
dificultad, ni a las técnicas mismas. Como siempre, se adjuntaran las soluciones
cuyos desarrollos pueden diferir de los aquí presentados. No importa, eso es
posible; además una consulta con su profesor aclarará cualquier discrepancia.
Encontrar:
4
1.- ∫ t 3es e n t cos t 4 dt
2.- ∫
4.- ∫ eτ g 3θ sec 2 3θ dθ
5.- ∫
dx
(2 − x) 1 − x
(t + 1)dt
10.- ∫ 2
t + 2t − 5
8.- ∫ e 2 − x dx
7.- ∫
13.- ∫
η2
sen
η
dη
a
b
2
16.- ∫ sec (1 − x)dx
dx
x+4 − x+3
1
22.- ∫ t (1 − t 2 ) 2 arcs e n tdt
19.- ∫
25.- ∫
28.- ∫
e x dx
9−e
ds
2x
4 − s2
θ dθ
(1 + θ ) 2
3
3.- ∫
xdx
ax + b
11.- ∫ sec
ϕ
xdx
16 − x
4
20.- ∫ cos ecθ dθ
1 + cos 2 x
dx
s e n2 2x
dx
26.- ∫
( x − 1)3
23.- ∫
29.- ∫
x2 −1
x +1
e x dx
9.- ∫ x
ae − b
12.- ∫ τ gθ dθ
6.- ∫
dϕ
2
14.- ∫ ϕ sec 2 ϕ dϕ
17.- ∫
θ eθ dθ
(1 + θ ) 2
dx
x2 x2 + e
15.- ∫
18.- ∫
dx
5x
dy
1+ 1+ y
21.- ∫ t (1 − t 2 ) 2 dt
1
24.- ∫
27.- ∫
30.- ∫
x2 + 1
dx
x3 − x
(3 x + 4)dx
2x + x2
xdx
1+ x
208
31.- ∫
34.- ∫
37.- ∫
y 2 dy
y +1
32.- ∫
t 4 − t 3 + 4t 2 − 2t + 1
dt
t3 +1
dx
(16 + x 2 )3
40.- ∫ a ( x 2 + 1) 2 dy
1
43.- ∫
ex
dx
16 + e 2 x
46.- ∫
2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6
dy
( y − 1) 2 ( y 2 + 1) 2
35.- ∫
38.- ∫
41.- ∫
y 3 dy
y2 −1
dϕ
ηe
x3 dx
x2 + 4
dx
( 6 − x 2 )3
44.- ∫ cos 1 − xdx
5w3 − 5w2 + 2w − 1
dw
w4 + w2
2
xe −2 x
52.- ∫
dx
2
s e n xesec x
55.- ∫
dx
cos 2 x
49.- ∫
x η (1 + x 2 )
dx
1 + x2
dx
61.- ∫
cos 2 5 x
64.- ∫ τ g 4θ sec 2 4θ dθ
58.- ∫
67.- ∫ (1 + x) cos xdx
47.- ∫ s e n x + 1dx
50.- ∫
3dx
1 + 2x
53.- ∫ e 2t cos(et )dt
56.-
ds
∫ s 13 (1 + s 2 3 )
59.- ∫
co τ gxdx
η sen x
dx
12 − 7 x
xdx
65.- ∫
x−5
dx
68.- ∫
x( 1 + x − 1)
62.- ∫
70.- ∫ co τ g (2 x − 4)dx
71.- ∫ (et − e −2t ) 2 dt
73.- ∫ (co τ ge x )e x dx
74.- ∫
76.- ∫ x coτ g ( x
77.- ∫ x 4 x 2 − 2dx
2
5
)dx
79.- ∫ x 2 s e n 5 x3 cos x 3 dx
82.- ∫ s e n 2θ es e n θ dθ
2
80.- ∫
s e nθ +θ
dθ
cos θ + 1
xdx
5x2 + 7
dx
83.- ∫ x
e − 9e − x
33.- ∫
dθ
1 + 2 cos θ
36.- ∫ x(10 + 8 x 2 )9 dx
39.- ∫
x3 dx
16 − x 2
dx
42.- ∫
x(3 + η x)
x3 dx
x −1
9x2 + 7 x − 6
dx
48.- ∫
x3 − x
45.- ∫
(1 − x) 2 dx
x
3
54.- ∫ x ( x 2 − 4)3 dx
51.- ∫
10
1 ⎛ 1− z2 ⎞
57.- ∫ 3 ⎜ 2 ⎟ dz
z ⎝ z ⎠
60.- ∫
ax 2 − bx + c
dx
ax 2 + bx − c
63.- ∫ τ g16 xdx
66.- ∫
7t − 2
dt
7 − 2t 2
dx
69.- ∫
coτ g 6 x
( x + 1)dx
72.- ∫
( x + 2) 2 ( x + 3)
arcτ gxdx
75.- ∫
3
(1 + x 2 ) 2
( x 2 + 9) 2 dx
78.- ∫
x4
x3 dx
81.- ∫ 2
x − x−6
dw
84.- ∫
1 + cos w
1
209
85.- ∫ e
⎛ 1− s e n 2 x 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
3
⎝
⎠
2
(cos x s e n x )dx
2
2
2
88.- ∫ (sec ϕ + τ gϕ ) dϕ
3
91.- ∫ s e n 2 ϕ cos3 ϕ dϕ
86.- ∫
x3 dx
19 − x 2
dt
89.- ∫
1
t (4 + η 2t ) 2
87.- ∫
s e n ϕ dϕ
1
cos 2 ϕ
90.- ∫ aθ b 2θ c3θ dθ
sec 2 θ dθ
9 + τ g 2θ
dx
95.- ∫ 2
5x + 8x + 5
3dy
98.- ∫
1+ y
tdt
101.- ∫
1
(2t + 1) 2
93.- ∫
103.- ∫ (2 cos α s e n α − s e n 2α )dα
104.- ∫ t 4 η 2tdt
(ϕ + s e n 3ϕ )dϕ
106.- ∫
3ϕ 2 − 2 cos 3ϕ
105.- ∫ u 2 (1 + v) dx
( y 2 + 1)dy
107.- ∫ 1
y 2 ( y + 1)
108.- ∫
1
94.- ∫ (e − 1)(e + 1)ds
2s
2s
97.- ∫ (arcs e n 1 − x 2 )0 dx
100.- ∫
dϕ
a s e n ϕ + b 2 cos 2 ϕ
2
2
109.- ∫ u (1 + u 2 ) 2 du
dx
112.- ∫
x − 2x − 8
x + 7 x2 − 5x + 5
115.- ∫
dx
x2 + 2x − 3
xdx
118.- ∫
x2 + 4 x + 5
2
3
121.- ∫ η exp x − 1dx
s e n xdx
1 + s e n x + cos x
(1 + s e n x)dx
127.- ∫
s e n x(2 + cos x)
124.- ∫
92.- ∫
113.- ∫
( x3 + x 2 )dx
x2 + x − 2
( x + 1)dx
2x − x
e − 16
x +1
96.- ∫ 3
dx
x −x
1
99.- ∫ x(1 + x) 5 dx
3
102.- ∫
s η s ds
(1 − s 2 )
1
2
11
1
110.- ∫
dx
2x
2
ds
1
s ( s − 4) 2
3
2
111- ∫ adb
114.- ∫ f ( x) f ´( x)dx
dx
117.- ∫
( x − 1)dx
1 + x3
dx
x
dx
125.- ∫
3 + 2 cos x
dx
128.- ∫ 4
x +4
123.- ∫
x −1 1
dx
x +1 x
xdx
116.- ∫ e
119.- ∫
122.- ∫
η 1+ x + x 2
4dx
x + 4x
3
x2 − 4 x + 3
co τ gxdx
120.- ∫
η sen x
126.- ∫
x2 − 2 x + 5
RESPUESTAS
1.- ∫ t 3es e n t cos t 4 dt
4
Solución.- Sea: u = s e n t 4 , du = (cos t 4 )4t 3 dt ; luego:
1
1 u
1 u
1 s e n t4
3 sen t4
4
3 s e n t4
4
cos
4
cos
t
e
t
dt
=
t
e
t
dt
=
e
du
=
e
+
c
=
e
+c
∫
4∫
4∫
4
4
210
2.- ∫
θ dθ
(1 + θ ) 2
Solución.Adθ
Bdθ
θ dθ
∫ (1 + θ )2 = ∫ 1 + θ + ∫ (1 + θ )2 (∗)
A
B
θ
=
+
⇒ θ = A(1 + θ ) + B ⇒ θ = Aθ + ( A + B ) , de donde:
2
(1 + θ ) 1 + θ (1 + θ ) 2
dθ
dθ
θ dθ
1
A = 1, B = −1 , entonces: (∗) ∫
=∫
−∫
= η 1+ θ +
+c
2
2
(1 + θ )
1+θ
(1 + θ )
1+θ
3.- ∫
θ eθ dθ
(1 + θ ) 2
Solución.θ
u=e
Sea:
du = eθ dθ
dv =
θ dθ
(1 + θ ) 2
v = η 1+θ +
1
1+θ
θ eθ dθ
eθ
1 θ
θ
=
η
+
θ
+
− ∫ ( η 1+ θ +
e
1
) e dθ
∫ (1 + θ )2
1+θ
1+θ
eθ
eθ dθ
= eθ η 1 + θ +
− ∫ eθ η 1 + θ dθ − ∫
(∗) , resolviendo por partes la segunda
1+θ
1+θ
θ dθ
dv =
u = eθ
1+θ
integral se tiene:
du = eθ dθ
v = η 1+θ
eθ dθ
= eθ η 1 + θ − ∫ eθ η 1 + θ dθ , esto es:
1+θ
eθ
(∗) = eθ η 1 + θ +
− ∫ eθ η 1 + θ dθ −eθ η 1 + θ + ∫ eθ η 1 + θ dθ
1+θ
θ
e
=
1+θ
4.- ∫ eτ g 3θ sec 2 3θ dθ
Luego: ∫
Solución.- Sea: u = τ g 3θ , du = 3sec 2 3θ dθ
τ g 3θ
2
∫ e sec 3θ dθ =
5.- ∫
3
1 u
1 u
eτ g 3θ
=
+
=
+c
e
du
e
c
3∫
3
3
xdx
ax + b
Solución.- Sea: ax + b = t 3 ⇒ x =
t3 − b
3t 2
, dx =
dt
a
a
211
∫
3
⎛ t 3 − b ⎞ 3t 2
dt
⎜
⎟
a ⎠ a
xdx
3t (t 3 − b)
3
3 ⎛ t 5 bt 2 ⎞
⎝
4
=∫
=∫
=
−
=
dt
(
t
bt
)
dt
⎜ −
⎟+c
t
a2
a2 ∫
a2 ⎝ 5
2 ⎠
ax + b
=
3t 5 3bt 2
3(ax + b) 3 3b(ax + b) 3
− 2 +c =
−
+c
2
5a
2a
5a 2
2a 2
=
3(ax + b) 3 (ax + b) 2 3b 3 (ax + b) 2
−
+c
5a 2
2a 2
5
2
x2 −1
dx
x +1
Solución.6.- ∫
∫
x2 −1
dx = ∫
x +1
( x + 1) ( x − 1)
x +1
( x − 1) 2
2( x − 1) 2
+c =
+c
3
3
2
3
= ∫ ( x − 1) 2 dx =
1
3
2( x − 1) x − 1
+c
3
dx
7.- ∫
(2 − x) 1 − x
Solución.- Sea: 1 − x = t 2 ⇒ x = 1 − t 2 , dx = −2tdt
dx
−2tdt
dt
∫ (2 − x) 1 − x = ∫ ⎡2 − (1 − t 2 ) ⎤ t = −2∫ 1 + t 2 = −2 arcτ gt + c = −2 arcτ g 1 − x + c
⎣
⎦
=
8.- ∫ e 2− x dx
Solución.- Sea: u = 2 − x, du = −dx
∫e
2− x
dx = − ∫ eu du = −eu + c = −e 2− x + c
e x dx
ae x − b
Solución.- Sea: u = ae x − b, du = ae x dx
9.- ∫
e x dx
1 du 1
1
x
∫ ae x − b = a ∫ u = a η u + c = a η ae − b + c
(t + 1)dt
10.- ∫ 2
t + 2t − 5
Solución.- Sea: u = t 2 + 2t − 5, du = 2(t + 1)dt
(t + 1)dt
1 du 1
1
2
∫ t 2 + 2t − 5 = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η t + 2t − 5 + c
11.- ∫ sec
ϕ
2
dϕ
Solución.- Sea: u = sec
ϕ
2
+τ g
ϕ
1
ϕ ϕ
ϕ
, du = (sec τ g + sec 2 )dϕ
2
2
2
2
2
212
∫ sec
ϕ
2
dϕ = ∫
sec ϕ (sec ϕ + τ g ϕ )
sec2 ϕ + sec ϕ τ g ϕ
2
2
2 dϕ =
2
2
2 dϕ
∫
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sec
sec
+τ g
+τ g
2
2
2
2
du
= 2 η u + c = 2 η sec ϕ + τ g ϕ + c
2
2
u
12.- ∫ τ gθ dθ
= 2∫
Solución.- Sea: u = cos θ , du = − s e n θ dθ
s e nθ
du
1
∫ τ gθ dθ = ∫ cos θ dθ = −∫ u = − η u + c = − η cosθ + c = − η s ecθ + c
0
= − η1 + η s ecθ + c = η s ecθ + c
13.- ∫
η2
sen
a
Solución.u=
η
b
dη
η2
a
2η dη
du =
a
Sea:
dv = s e n
η
b
v = −b cos
dη
η
b
η
η
a 2
η 2b
η
∫ a s e n b dη = − b η cos b + a ∫η cos b dη (∗) , resolviendo por partes la segunda
2
integral se tiene:
u =η
du = dη
η
dv = cos dη
b
v = bsen
η
b
a
η 2b ⎛
η
η ⎞
(∗) = − η 2 cos + ⎜ bη s e n − b ∫ s e n dη ⎟
b
b a ⎝
b
b ⎠
a
η 2b 2
η 2b3
η
η sen +
= − η 2 cos +
cos + c
b
b
a
b
a
b
2
14.- ∫ ϕ sec ϕ dϕ
Solución.u =ϕ
Sea:
du = dϕ
dv = sec 2 ϕ dϕ
v = τ gϕ
∫ ϕ sec ϕ dϕ = ϕτ gϕ − ∫ τ gϕ dϕ = ϕτ gϕ −
dx
15.- ∫
5
2
η sec ϕ + c
x
Solución.- Sea: u = − x, du = −dx
dx
5u
5− x
1
−x
u
∫ 5x = ∫ 5 dx = − ∫ 5 du = − η 5 + c = − η 5 + c = − 5x η 5 + c
213
16.- ∫ sec 2 (1 − x)dx
Solución.- Sea: u = 1 − x, du = −dx
∫ sec (1 − x)dx = − ∫ sec
2
2
udu = −τ gu + c = −τ g (1 − x) + c
xdx
17.- ∫
16 − x 4
Solución.- Sea: u = x 2 , du = 2 xdx
xdx
xdx
1
2 xdx
1
du
1
u
∫ 16 − x4 = ∫ 42 − ( x 2 )2 = 2 ∫ 42 − ( x2 )2 = 2 ∫ 42 − u 2 = 2 arcs e n 4 + c
1
x2
= arcs e n + c
2
4
dy
18.- ∫
1+ 1+ y
1
2
Solución.- Sea: t = ⎡⎣1 + (1 + y ) 2 ⎤⎦ ⇒ t 2 = 1 + (1 + y ) 2 ⇒ t 2 − 1 = (1 + y )
⇒ (t 2 − 1) 2 = 1 + y ⇒ y = (t 2 − 1) 2 − 1, dy = 4t (t 2 − 1)dt
1
∫
dy
1+ 1+ y
=∫
1
1
2
t3
t2
4 t (t 2 − 1)dt
= 4 ∫ (t 2 − 1)dt = 4( − t ) + c = 4t ( − 1) + c
3
3
t
1+ 1+ y
4
= 4 1 1+ y (
− 1) + c =
1 1 + y ( 1 + y − 2) + c
3
3
dx
19.- ∫
x+4 − x+3
Solución.1
1
dx
( x + 4) 2 + ( x + 3) 2
1
1
∫ x + 4 − x + 3 = ∫ ( x + 4) − ( x + 3) dx = ∫ ⎡⎣( x + 4) 2 + ( x + 3) 2 ⎤⎦dx
2 ( x + 4)3 2 ( x + 3)3
( x + 4) 2 ( x + 3) 2
x
+
+
x
+
=
+
+
c
=
+
+c
(
4)
(
3)
∫
∫
3
3
3
3
2
2
2
=
( x + 4)3 + ( x + 3)3 + c
3
20.- ∫ cos ecθ dθ
3
1
2
(
1
3
2
)
Solución.- Sea: u = cos ecθ + coτ gθ , du = −(cos ecθ coτ gθ + cos ec 2θ )dθ
∫ cos ecθ dθ = ∫
cos ecθ (cos ecθ + co τ gθ )dθ
cos ec 2θ + cos ecθ coτ gθ dθ
=∫
cos ecθ + co τ gθ
cos ecθ + coτ gθ
du
= − η u + c = − η (cos ecθ + coτ gθ ) + c
u
1
21.- ∫ t (1 − t 2 ) 2 dt
= −∫
Solución.- Sea: u = 1 − t 2 , du = −2tdt
214
3
1 12
1 u2
1 3
1
3
+ c = − u 2 + c = − (1 − t 2 ) 2 + c
t
(1
−
t
)
dt
=
−
u
du
=
−
∫
∫
2
3
3
2 3
2
2
1
2
22.- ∫ t (1 − t 2 ) 2 arcs e n tdt
1
Solución.u = arcs e n t
dv = t (1 − t 2 ) 2 dt
dt
Sea:
3
1
du =
v = − (1 − t 2 ) 2
2
1− t
3
1
1
2 1
2 3
2
2
∫ t (1 − t ) 2 arcs e n tdt = − 3 (1 − t ) 2 arcs e n t + 3 ∫ (1 − t ) 1 − t
1
dt
1− t2
(1 − t 2 ) 2
1
(1 − t 2 ) 2
1
t3
arcs e n t + ∫ (1 − t 2 )dt = −
arcs e n t + (t − ) + c
3
3
3
3
3
3
1⎡
3
t ⎤
= − ⎢(1 − t 2 ) 2 arcs e n t − t + ⎥ + c
3⎣
3⎦
3
3
=−
1 + cos 2 x
dx
s e n2 2x
Solución.1 + cos 2 x
1 + cos 2 x
dx
dx
1
dx
∫ s e n 2 2 x dx = ∫ 1 − cos2 x dx = ∫ 1 − cos 2 x = ∫ ⎛ 1 − cos 2 x ⎞ = 2 ∫ s e n 2 x
2⎜
⎟
2
⎝
⎠
1
1
= ∫ cos ec 2 xdx = − coτ gx + c
2
2
2
x +1
24.- ∫ 3
dx
x −x
Solución.x2 + 1
( x 2 + 1)dx
( x 2 + 1)dx
Adx
Bdx
Cdx
dx
=
=
∫ x3 − x ∫ x( x2 − 1) ∫ x( x + 1)( x − 1) = ∫ x + ∫ ( x + 1) + ∫ ( x − 1) (∗)
23.- ∫
( x 2 + 1)
A
B
C
= +
+
⇒ ( x 2 + 1) = A( x 2 − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1)
x( x + 1)( x − 1) x ( x + 1) ( x − 1)
x = 0 ⇒ 1 = − A ⇒ A = −1
De donde: x = −1 ⇒ 2 = B(−1)(−2) ⇒ B = 1
x = 1 ⇒ 2 = C (1)(2) ⇒ C = 1
Entonces:
( x 2 + 1)dx
dx
dx
dx
(∗) ∫
= −∫ + ∫
+∫
= − η x + η x +1 + η x −1 + c
x( x + 1)( x − 1)
x
( x + 1)
( x − 1)
= η
x2 −1
+c
x
215
e x dx
25.- ∫
9 − e2 x
Solución.- Sea: u = e x , du = e x dx
∫
e x dx
e x dx
=∫
=∫
u
ex
= arcs e n + c = arcs e n + c
3
3
32 − u 2
du
9 − e2 x
32 − (e x ) 2
dx
26.- ∫
( x − 1)3
Solución.dx
( x − 1) −2
1
−3
x
dx
=
(
−
1)
=
−
+c = −
+c
∫ ( x − 1)3 ∫
2
( x − 1) 2
(3x + 4)dx
27.- ∫
2x + x2
Solución.- Sea: u = 2 x + x 2 , du = 2(1 + x)dx
(3 x + 4)dx
(3x + 3) + 1
( x + 1)dx
dx
3 du
dx
∫ 2 x + x2 = ∫ 2 x + x2 dx = 3∫ 2 x + x 2 + ∫ 2 x + x 2 = 2 ∫ u 12 + ∫ 2 x + x2
1
dx
dx
3 du
dx
3 u2
+∫
= 3 2 x + x2 + ∫
= ∫ 1 +∫
=
2 u2
( x + 1) 2 − 1
( x + 1) 2 − 1
( x 2 + 2 x + 1) − 1 2 1
2
Sustituyendo por: x + 1 = sec θ , dx = sec θτ gθ dθ , ( x + 1) 2 − 1 = τ gθ
= 3 2 x + x2 + ∫
sec θ τ gθ
τ gθ
dθ = 3 2 x + x 2 + ∫ sec θ dθ = 3 2 x + x 2 + η sec θ + τ gθ + c
= 3 2x + x2 + η x + 1 + 2 x + x2 + c
ds
28.- ∫
4 − s2
Solución.- Sea: s = 2s e n θ , ds = 2 cos θ dθ , 4 − s 2 = 2 cos θ
∫
ds
4 − s2
29.- ∫
=∫
2 cos θ dθ
= ∫ dθ = θ = arcs e n s + c
2
2 cos θ
dx
x
2
x2 + e
Solución.- Sea: x = eτ gθ , dx = e sec 2 θ dθ , x 2 + e = e sec θ
1
dθ
2
e sec θ dθ 1 sec θ dθ 1 cos θ
dx
1 cos θ
∫ x2 x 2 + e = ∫ eτ g 2 e secθ = e ∫ τ g 2 = e ∫ s e n 2 θ = e ∫ s e n 2 θ (∗)
cos 2 θ
Sea: u = s e n θ , du = cos θ dθ , luego:
216
(∗) =
1 du 1 −2
1 u −1
1
1
=
=
+c = − +c = −
+c =−
u
du
2
∫
∫
e u
e
e −1
eu
e s e nθ
e
1
x
+c
x2 + e
x2 + e
+c
ex
xdx
30.- ∫
1+ x
Solución.- Sea: x + 1 = t 2 ⇒ x = t 2 − 1, dx = 2tdt
=−
t3
t2
xdx
(t 2 − 1)2 t dt
2
=
2
(
t
−
1)
dt
=
2(
−
t
)
+
c
=
2
t
(
− 1) + c
=
∫ 1+ x ∫
∫
3
3
t
x +1
x−2
= 2 x + 1(
− 1) + c = 2 x + 1(
)+c
3
3
y 2 dy
31.- ∫
y +1
Solución.- Sea: y + 1 = t 2 ⇒ y = t 2 − 1, dy = 2tdt
⎛ t 5 2t 3 ⎞
y 2 dy
(t 2 − 1) 2 2 t dt
2
2
4
2
=
2
(
1)
2
(
2
1)
2
=
t
−
dt
=
t
−
t
+
dt
=
+t⎟+c
⎜ −
∫ y +1 ∫
∫
∫
3
t
⎝5
⎠
4
2
4
2
⎛ ( y + 1) 2( y + 1)
⎞
⎛t
⎞
2t
= 2t ⎜ −
+ 1⎟ + c = 2 y + 1 ⎜
−
+ 1⎟ + c
⎜
⎟
3
5
3
⎝5
⎠
⎝
⎠
2
2
⎛ ( y + 1) 2 y + 2 ⎞
⎛ y + 2 y +1 2 y + 2 ⎞
= 2 y +1⎜
−
+ 1⎟ + c = 2 y + 1 ⎜
−
+ 1⎟ + c
3
5
3
⎝ 5
⎠
⎝
⎠
⎛ 3 y2 − 4 y + 8 ⎞
= 2 y +1⎜
⎟+c
15
⎝
⎠
3
y dy
32.- ∫
y2 −1
Solución.- Sea: u = y 2 − 1 ⇒ y 2 = u + 1, dy = 2 ydy
⎛ 3
⎞
1
1 (u + 1)du 1
1⎜ u2
u2 ⎟
1
−1
2
2
∫ y 2 − 1 = ∫ y 2 − 1 = 2 ∫ u 12 = 2 ∫ (u + u )du = 2 ⎜ 3 + 1 ⎟ + c
⎜ 2
2 ⎟⎠
⎝
3
⎛ y2 −1 ⎞
⎛ y2 + 2 ⎞
u2
1
1
=
+ u 2 + c = u 2 ( 1 u + 1) + c = y 2 − 1 ⎜
+ 1⎟ + c = y 2 − 1 ⎜
⎟+c
3
3
⎝ 3
⎠
⎝ 3 ⎠
dθ
33.- ∫
1 + 2 cos θ
2dz
1− z2
Solución.- Sea: dθ =
θ
,
cos
=
,θ = 2 arcτ gz
1+ z2
1+ z2
y 3 dy
y 2 ydy
217
2dz
2dz
2dz
2dz
1+ z2
=∫
=∫
=∫
2
2
2
2
2
2(1 − z )
1 + z + 2(1 − z )
1 + z + 2 − 2z
3 − z2
1+
1+ z2
2dz
dz
dz
1
z− 3
η
+c
=∫
= −2 ∫ 2
= −2∫ 2
=−2
2
2
3− z
z −3
z+ 3
2 3
z − ( 3)
dθ
∫ 1 + 2 cos θ = ∫
τ gθ 2 − 3
1
=−
+c
η
3
τ gθ 2 + 3
t 4 − t 3 + 4t 2 − 2t + 1
34.- ∫
dt
t3 +1
Solución.⎛
t 4 − t 3 + 4t 2 − 2t + 1
3t 2 − t + 1 ⎞
3t 2 − t + 1
dt
=
t
−
1
+
dt
=
tdt
−
dt
+
⎟
∫
∫ ⎜⎝
∫ ∫ ∫ t 3 + t dt
t3 +1
t3 + t ⎠
t2
3t 2 − t + 1
−t + ∫ 3
dt (∗)
2
t +t
3t 2 − t + 1 A Bt + C
= + 2
⇒ 3t 2 − t + 1 = A(t 2 + 1) + ( Bt + C )t
t (t 2 + 1)
t (t + 1)
=
t = 0 ⇒1= A ⇒ A =1
t =1⇒ 3 = 2A + B + C ⇒ B + C = 1
⎫
De donde:
⎬ B = 2, C = −1
t = −1 ⇒ 5 = 2 A − (C − B) ⇒ B − C = 3 ⎭
2
t
Adt
Bt + C
t2
dt
2t − 1
(∗) = − t + ∫
+∫ 2
dt = − t + ∫ + ∫ 2
dt
2
t
t +1
2
t
t +1
t2
2tdt
dt
t2
= −t + η t + ∫ 2
−∫ 2
= − t + η t + η t 2 + 1 − arcτ gt + c
t +1 t +1 2
2
2
t
= − t + η t (t 2 + 1) − arcτ gt + c
2
dϕ
35.- ∫
ηe
Solución.dϕ
∫ η e = ∫ dϕ = ϕ + c
36.- ∫ x(10 + 8 x 2 )9 dx
Solución.- Sea: u = 10 + 8 x 2 , du = 16 xdx
2 9
∫ x(10 + 8x ) dx =
=
1
1
1 u10
u10
2 9
9
x
+
x
dx
=
u
ddu
=
+
c
=
+c
16
(10
8
)
16 ∫
16 ∫
16 10
160
(10 + 8 x 2 )10
+c
160
218
37.- ∫
dx
(16 + x 2 )3
Solución.- Sea: x = 4τ gθ , dx = 4sec 2 θ dθ
∫
dx
=∫
(16 + x 2 )3
38.- ∫
x
4sec 2 θ dθ 1 dθ
1
1
= ∫
= ∫ cos θ dθ = s e n θ + c =
+c
3
3
16 sec θ 16
16
4 sec θ
16 16 + x 2
x3 dx
x2 + 4
Solución.- Sea: u = x 2 + 4 ⇒ x 2 = u − 4, du = 2 xdx
∫
x3 dx
=∫
x 2 xdx
=
1 (u − 4)du 1
1 1
1
−1
−1
= ∫ (u 2 − 4u 2 )du = ∫ u 2 du − 2∫ u 2 du
1
∫
2
2
2
u2
x2 + 4
x2 + 4
3
3
1
1 u 2 2u 2
u2
u
x2 + 4
1
1
=
−
+c =
− 4u 2 + c = u 2 ( − 4) + c = x 2 + 4(
− 4) + c
1
3
3
3
2 3
2
2
x2 − 8
)+c
3
x3 dx
= x 2 + 4(
39.- ∫
16 − x 2
Solución.- Sea: u = 16 − x 2 ⇒ x 2 = 16 − u, du = −2 xdx
∫
x3 dx
=∫
x 2 xdx
=−
1 (16 − u )du
1
−1
1
= − ∫ (16u 2 − u 2 )du
1
∫
2
2
u2
16 − x 2
16 − x 2
3
3
1
u2
uu
u
1 16u 2 1 u 2
1
1
2
= −16u +
+ c = −16u 2 +
+ c = u (−16 + ) + c
=−
+
3
3
3
2 1
2 3
2
2
16 − x 2
32 + x 2
) + c = − 16 − x 2 (
)+c
3
3
1
40.- ∫ a ( x 2 + 1) 2 dy
= 16 − x 2 (−16 +
Solución.1
1
1
2
2
2
∫ a( x + 1) 2 dy = a( x + 1) 2 ∫ dy = a( x + 1) 2 y + c
41.- ∫
dx
( 6 − x 2 )3
Solución.- Sea: x = 6 s e n θ , dx = 6 cos θ dθ , 6 − x 2 = 6 cos θ
∫(
dx
=∫
6 cos θ dθ 1
dθ
1
1
1
x
= ∫
= sec 2 θ dθ = τ gθ + c =
+c
2
3
3
6
6 6 − x2
( 6) cos θ 6 cos θ 6
6− x )
dx
42.- ∫
x(3 + η x)
2 3
219
Solución.- Sea: u = 3 + η x, du =
dx
∫ x(3 +
η x)
=∫
dx
x
du
= η u + c = η 3+ ηx + c
u
ex
dx
16 + e 2 x
Solución.- Sea: u = e x , du = e x dx
43.- ∫
ex
du
1
u
1
ex
=
=
τ
g
+
c
=
τ
g
+c
dx
arc
arc
∫ 16 + e2 x ∫ 42 + u 2 4
4
4
4
44.- ∫ cos 1 − xdx
Solución.- Sea: 1 − x = t 2 ⇒ x = 1 − t 2 , dx = −2tdt
∫ cos
1 − xdx = −2 ∫ cos tdt (∗) , integrando por partes se tiene:
u =t
du = dt
dv = cos tdt
v = sent
(∗) = −2 t s e n t − ∫ s e n tdt = −2t s e n t + 2 ∫ s e n tdt = −2t s e n t − 2 cos t + c
Sea:
(
)
= −2 1 − x s e n 1 − x − 2 cos 1 − x + c
x3 dx
45.- ∫
x −1
Solución.- Sea: x − 1 = t 2 ⇒ x = t 2 + 1, dx = 2tdt
x3 dx
(t 2 + 1)3 2 t dt
2t 7 6t 5
6
4
2
=
=
2
(
t
+
3
t
+
3
t
+
1)
dt
=
+
+ 2t 3 + 2t + c
∫ x −1 ∫
∫
7
5
t
6
4
3
2
⎡ 2( x − 1) 6( x − 1)
⎤
2t
6t
= t(
+
+ 2t 2 + 2) + c = x − 1 ⎢
+
+ 2( x − 1) + 2 ⎥ + c
7
5
7
5
⎣
⎦
⎡ ( x − 1)3 3( x − 1) 2
⎤
= 2 x −1 ⎢
+
+ x⎥ + c
5
⎣ 7
⎦
5
4
3
2
2 y − 7 y + 7 y − 19 y + 7 y − 6
46.- ∫
dy
( y − 1) 2 ( y 2 + 1) 2
Solución.2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6
dy (∗)
∫
( y − 1) 2 ( y 2 + 1) 2
2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6
A
B
Cy + D Ey + F
=
+
+ 2
+
2
2
2
2
( y − 1) ( y + 1)
y − 1 ( y − 1) ( y + 1) ( y 2 + 1) 2
2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6 = A( y − 1)( y 2 + 1) 2 + B( y 2 + 1) 2
⇒ + (Cy + D)( y − 1) 2 ( y 2 + 1) + ( Ey + F )( y − 1) 2 , luego:
2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6 = ( A + C ) y 5 + (− A + B − 2C + D) y 4
⇒ + (2 A + 2C − 2 D + E ) y 3 + (−2 A + 2 B − 2C + 2 D − 2 E + F ) y 2
220
⇒ + ( A + C − 2 D + E − 2 F ) y + (− A + B + D + F ) , Igualando coeficientes se tiene:
+C
= 2 ⎞
⎛ A
⎜
⎟
= −7 ⎟
⎜ − A + B −2C + D
⎜ 2A
+2C −2 D + E
= 7 ⎟ ⇒ A = 1, B = −4, C = 1
⎜
⎟
+2 B −2C +2 D −2 E + F
= −19 ⎟ D = 0, E = 3, F = −1
⎜ −2 A
⎜ A
+ C −2 D + E −2 F
= 7 ⎟
⎜⎜
⎟
+ B
+D
+F
= − 6 ⎟⎠
⎝ −A
2 y 5 − 7 y 4 + 7 y 3 − 19 y 2 + 7 y − 6
dy
dy
ydy
(3 y − 1)dy
(∗) ∫
dy = ∫
− 4∫
+∫ 2
+∫ 2
2
2
2
2
y −1
( y − 1) ( y + 1)
( y − 1)
( y + 1)
( y + 1) 2
4
1
ydy
dy
= η y −1 +
+ η y 2 + 1 + 3∫ 2
−∫ 2
y −1 2
( y + 1) ( y + 1) 2
⎡1 y
⎤
4
3
1
= η y −1 +
+ η y2 + 1 − η y2 + 1 − ⎢
+ arcτ gy ⎥ + c
2
y −1
2
⎣ 2 y +1 2
⎦
4
3
y
1
= η ( y − 1) y 2 + 1 +
− η y2 +1 −
− arcτ gy + c
2
y −1 2
2( y + 1) 2
= η
( y − 1)
y2 +1
+
4
y
1
−
− arcτ gy + c
2
y − 1 2( y + 1) 2
47.- ∫ s e n x + 1dx
Solución.- Sea: x + 1 = t 2 ⇒ x = t 2 − 1, dx = 2tdt
∫sen
x + 1dx = 2∫ (s e n t )tdt (∗) , trabajando por partes
u =t
du = dt
dv = s e n tdt
v = − cos t
(∗)2 ∫ (s e n t )tdt = 2 −t cos t + ∫ cos tdt = −2t cos t + 2s e n t + c
Sea:
(
)
= −2 x + 1 cos x + 1 + 2s e n x + 1 + c
9 x2 + 7 x − 6
48.- ∫
dx
x3 − x
Solución.9x2 + 7 x − 6
9x2 + 7 x − 6
Adx
Bdx
Cdx
dx
=
∫ x3 − x
∫ x( x + 1)( x − 1)dx = ∫ x + ∫ x + 1 + ∫ x − 1(∗)
9x2 + 7 x − 6 A
B
C
= +
+
⇒ 9 x 2 + 7 x − 6 = A( x + 1)( x − 1) + Bx( x − 1) + Cx( x + 1)
3
x −x
x x +1 x −1
⎧ x = 0 ⇒ −6 = − A ⇒ A = 6
⎪
De donde: ⎨ x = 1 ⇒ 10 = 2C ⇒ C = 5
⎪ x = −1 ⇒ −4 = 2 B ⇒ B = −2
⎩
(∗) = 6∫
dx
dx
dx
− 2∫
+ 5∫
= 6 η x − 2 η x + 1 + 5 η x −1 + c
x
x +1
x −1
221
= η x 6 − η ( x + 1) 2 + η ( x − 1)5 + c = η
x 6 ( x − 1)5
+c
( x + 1) 2
5w3 − 5w2 + 2w − 1
dw
w4 + w2
Solución.5w3 − 5w2 + 2w − 1
5w3 − 5w2 + 2w − 1
dw
=
∫
∫ w2 (w2 + 1) dw(∗)
w4 + w2
49.- ∫
5w3 − 5w2 + 2w − 1 Aw + B Cw + D
=
+ 2
w2 ( w2 + 1)
w2
w +1
3
2
5w − 5w + 2 w − 1 = ( Aw + B)( w2 + 1) + (Cw + D) w2
⇒ Aw3 + Aw + Bw2 + B + Cw3 + Dw2 ⇒ ( A + C ) w3 + ( B + D) w2 + Aw + B
Igualando coeficientes se tiene:
+C
= 5⎞
⎛A
⎜
⎟
B
+ D = −5 ⎟
⎜
⇒ A = 2, B = −1, C = 3, D = −4
⎜A
= 2⎟
⎜
⎟
B
= −1 ⎠
⎝
Aw + B
Cw + D
2w − 1
3w − 4
(∗) ∫
dw + ∫ 2
dw = ∫
dw + ∫ 2 dw
2
2
w
w +1
w
w +1
2 wdw
3
2
wdw
dw
=∫
− ∫ w−2 dw + ∫ 2
−4
w2
2 w + 1 ∫ w2 + 1
1
1
= η w2 + + η ( w2 + 1)3 − 4 arcτ gw + c = η w2 ( w2 + 1)3 + − 4 arcτ gw + c
w
w
3dx
50.- ∫
1 + 2x
Solución.- Sea: u = 1 + 2 x, du = 2dx
3dx
dx
3 du 3
3
3
∫ 1 + 2 x = 3∫ 1 + 2 x = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η 1 + 2 x + c = η (1 + 2 x) + c
(1 − x) 2 dx
x
Solución.(1 − x) 2 dx
1 − 2 x + x 2 dx
dx
x2
η
=
=
−
2
dx
+
xdx
=
x
−
2
x
+
+c
∫ x
∫
∫x ∫ ∫
x
2
2
xe −2 x
52.- ∫
dx
2
Solución.- Sea: u = −2 x 2 , du = −4 xdx
51.- ∫
xe−2 x
1
1 u
1 u
1 −2 x2
−2 x 2
∫ 2 dx = 2 ∫ xe dx = − 8 ∫ e du = − 8 e + c = − 8 e + c
53.- ∫ e 2t cos(et )dt
2
222
Solución.- Sea: w = et , dw = et dt
∫ e cos(e )e dt = ∫ w cos wdw(∗) , trabajando por partes
t
t
t
u=w
du = dw
Sea:
dv = cos wdw
v = sen w
(∗) ∫ w cos wdw = w s e n w − ∫ s e n wdw = w s e n w + cos w + c = et s e n(et ) + cos(et ) + c
54.- ∫ x ( x 2 − 4)3 dx
3
3
xdx
2
3
3
2 3
2 u4
1 4
( x 2 − 4) 4
3
2
∫ x ( x − 4) dx = 3 ∫ u du = 3 4 + c = 6 u + c = 6 + c
s e n xesec x
s e n x 1 sec x
55.- ∫
dx = ∫
e dx = ∫ τ gx sec xesec x dx(∗)
2
cos x
cos x cos
Solución.- Sea: u = sec x, du = sec xτ gxdx
Solución.- Sea: u = x 2 − 4, du =
3
(∗) = ∫ eu du = eu + c = esec x + c
56.-
∫s
1
3
ds
2
(1 + s 3 )
Solución.- Sea: t = s 3 ⇒ s = t 3 , ds = 3t 2 dt
1
ds
3t 2 dt
3tdt
3
tdt
2
=
∫ s 13 (1 + s 2 3 ) ∫ t (1 + t 2 ) = ∫ (1 + t 2 ) = 3∫ (1 + t 2 ) = 2 η 1 + t + c
10
57.- ∫
1 ⎛ 1− z2 ⎞
⎜
⎟ dz
z3 ⎝ z 2 ⎠
Solución.- Sea: u =
1− z2
−2dz
, du = 3
2
z
z
10
11
1 ⎛ 1− z2 ⎞
1 10
1 u11
u11
1 ⎛ 1− z2 ⎞
dz
u
du
c
c
=
−
=
−
+
=
−
+
=
−
⎜
⎟ +c
∫ z 3 ⎜⎝ z 2 ⎟⎠
2∫
2 11
22
22 ⎝ z 2 ⎠
58.- ∫
x η (1 + x 2 )
dx
1 + x2
Solución.- Sea: u = η (1 + x 2 ), du =
2 xdx
1 + x2
2
⎡⎣ η (1 + x 2 ) ⎤⎦
x η (1 + x 2 )
1
1 u2
u2
+c
∫ 1 + x2 dx = 2 ∫ udu = 2 2 + c = 4 + c =
4
coτ gxdx
59.- ∫
η sen x
Solución.- Sea: u = η s e n x , du = coτ gxdx
∫
coτ gxdx
du
=∫
= η u + c = η η sen x + c
u
η sen x
223
ax 2 − bx + c
dx
ax 2 + bx − c
Solución.ax 2 − bx + c
ax 2 − bx + c
ax 2 − bx + c
dx
=
dt
=
t+c
∫ ax 2 + bx − c
ax 2 + bx − c ∫
ax 2 + bx − c
dx
61.- ∫
cos 2 5 x
Solución.- Sea: u = 5 x, du = 5dx
dx
1
1
1
2
2
∫ cos2 5x = ∫ sec 5xdx = 5 ∫ sec udu = 5 τ gu + c = 5 τ g 5x + c
dx
62.- ∫
12 − 7 x
Solución.- Sea: u = 12 − 7 x, du = −7dx
dx
1 du
1
1
∫ 12 − 7 x = − 7 ∫ u = − 7 η u + c = − 7 η 12 − 7 x + c
63.- ∫ τ g16 xdx
60.- ∫
Solución.- Sea: u = cos(16 x), du = −16s e n(16 x)dx
s e n(16 x)
1 du
1
1
∫ τ g16 xdx = ∫ cos(16 x) dx = − 16 ∫ u = − 16 η u + c = − 16 η cos(16 x) + c
64.- ∫ τ g 4θ sec 2 4θ dθ
Solución.- Sea: u = τ g 4θ , du = 4sec2 4θ dθ
2
∫ τ g 4θ sec 4θ dθ =
1
1 u2
u2
τ g 2 4θ
udu
=
+
c
=
+
c
=
+c
4∫
4 2
8
8
xdx
x−5
Solución.- Sea: u = x − 5 ⇒ x = u + 5, du = dx
65.- ∫
xdx
u+5
u2
u2
2u 2
−1
1
1
∫ x − 5 = ∫ u 12 du = ∫ u 2 du + 5∫ u 2 du = 3 + 5 1 + c = 3 + 10u 2 + c
2
2
2
2
⎛ x + 10 ⎞
= u u + 10 u + c = ( x − 5) x − 5 + 10 x − 5 + c = 2 x − 5 ⎜
⎟+c
3
3
⎝ 3 ⎠
7t − 2
66.- ∫
dt
7 − 2t 2
Solución.7t − 2
7tdt
2dt
7 −4tdt
dt
∫ 7 − 2t 2 dt = ∫ 7 − 2t 2 − ∫ 7 − 2t 2 = − 4 ∫ 7 − 2t 2 − 2 ∫ 7 2
−t
2
7
7 − 2t 2 − 2 arcs e n 2 t + c
=−
7
2
67.- ∫ (1 + x) cos xdx
3
1
3
224
Solución.- Sea: x = t ⇒ x = t 2 , dx = 2tdt
∫ (1 + x) cos
xdx = ∫ (1 + t 2 )(cos t )2tdt = 2∫ (t + t 3 )(cos t )dt = 2∫ t cos tdt + 2∫ t 3 cos tdt (∗)
Trabajando por partes: ∫ t 3 cos tdt
Sea:
dv = cos tdt
v = sent
u = t3
du = 3t 2 dt
3
3
2
∫ t cos tdt = t s e n t − 3∫ t s e n tdt
Trabajando por partes: ∫ t 2 s e n tdt
dv = s e n tdt
u = t2
v = − cos t
du = 2tdt
2
2
∫ t s e n tdt = −t cos t + 2∫ t cos tdt
Sea:
Trabajando por partes: ∫ t cos tdt
u =t
dv = cos tdt
du = dt
v = sent
∫ t cos tdt = t s e n t − ∫ s e n tdt = t s e n t + cos t + c1
Sea:
(
(∗) 2 ∫ t cos tdt + 2∫ t 3 cos tdt = 2 ∫ t cos tdt + 2 t 3 s e n t − 3∫ t 2 s e n tdt
(
)
= 2 ∫ t cos tdt + 2t 3 s e n t − 6 ∫ t 2 s e n tdt = 2∫ t cos tdt + 2t 3 s e n t − 6 −t 2 cos t + 2∫ t cos tdt
)
= 2 ∫ t cos tdt + 2t s e n t + 6t cos t − 12 ∫ t cos tdt = 2t s e n t + 6t cos t − 10 ∫ t cos tdt
3
2
3
2
= 2t 3 s e n t + 6t 2 cos t − 10(t s e n t + cos t ) + c
= 2t 3 s e n t + 6t 2 cos t − 10t s e n t − 10 cos t + c
= 2 x 3 s e n x + 6 x cos x − 10 x s e n x − 10 cos x + c
dx
68.- ∫
x( 1 + x − 1)
Solución.- Sea: (1 + x) 2 = t ⇒ 1 + x = t 2 ⇒ x = t 2 − 1, dx = 2tdt
dx
2tdt
∫ x( 1 + x − 1) = ∫ (t 2 − 1)(t − 1) (∗)
t
A
B
C
=
+
+
⇒ t = A(t − 1) 2 + B(t 2 − 1) + C (t + 1)
2
2
(t + 1)(t − 1) t + 1 t − 1 (t − 1)
⎧t = 1 ⇒ 1 = 2C ⇒ C = 1
2
⎪
⎪
De donde: ⎨t = −1 ⇒ −1 = 4 A ⇒ A = − 1
4
⎪
⎪⎩t = 0 ⇒ 0 = A − B + C ⇒ B = 1 4
⎡ Adt
⎡ 1 dt 1 dt 1
Bdt
Cdt ⎤
dt ⎤
+∫
+∫
= 2 ⎢− ∫
+ ∫
+ ∫
(∗) = 2 ⎢ ∫
2⎥
2⎥
t −1
(t − 1) ⎦
⎣ t +1
⎣ 4 t + 1 4 t − 1 2 (t − 1) ⎦
1
225
=−
=
1 dt 1 dt
1
1
1
dt
+ ∫
+∫
= − η t +1 + η t −1 −
+c
2
∫
2 t + 1 2 t −1
(t − 1)
2
2
t −1
1
t −1
1
1
η
−
+c = η
t + 1 t −1
2
2
1+ x −1
1
−
+c
1+ x +1
1 + x −1
dx
coτ g 6 x
Solución.- Sea: u = cos 6 x, du = −6s e n 6 xdx
dx
s e n 6x
1 du
1
1
∫ coτ g 6 x = ∫ τ g 6 xdx = ∫ cos 6 x dx = − 6 ∫ u = − 6 η u + c = − 6 η cos 6 x + c
69.- ∫
70.- ∫ co τ g (2 x − 4)dx
Solución.- Sea: u = s e n(2 x − 4), du = 2 cos(2 x − 4)dx
cos(2 x − 4)
1 du 1
1
∫ coτ g (2 x − 4)dx = ∫ s e n(2 x − 4) dx = 2 ∫ u = 2 η u + c = 2 η (2 x − 4) + c
71.- ∫ (et − e −2t ) 2 dt
Solución.t
−2 t 2
2t
t −2t
−4 t
2t
−t
−4 t
∫ (e − e ) dt = ∫ (e − 2e + e )dt = ∫ e dt − 2∫ e dt + ∫ e dt
1
1
= e 2t + 2e − t − e −4t + c
2
2
( x + 1)dx
72.- ∫
( x + 2) 2 ( x + 3)
Solución.( x + 1)dx
( x + 1)
A
B
C
∫ ( x + 2)2 ( x + 3) ⇒ ( x + 2)2 ( x + 3) = x + 2 + ( x + 2)2 + x + 3 (∗)
⇒ x + 1 = A( x + 2)( x + 3) + B( x + 3) + C ( x + 2) 2
⎧ x = − 2 ⇒ − 1 = B ⇒ B = −1
⎪
De donde: ⎨ x = −3 ⇒ −2 = C ⇒ C = −2
⎪ x = 0 ⇒ 1 = 6 A + 3B + 4C ⇒ A = 2
⎩
(∗)
Adx
Bdx
Cdx
dx
dx
∫ x + 2 + ∫ ( x + 2) + ∫ x + 3 = 2∫ x + 2 − ∫ ( x + 2)
2
2
− 2∫
dx
x+3
1
x+2
1
−2 η x+3 +c = η
+
+c
x+2
x+3
x+2
3
=2 η x+2 +
73.- ∫ (co τ ge x )e x dx
Solución.- Sea: u = s e n e x , du = (cos e x )e x dx
(cos e x )e x dx
du
x
∫ (coτ ge )e dx = ∫ s e n e x = ∫ u = η u + c = η s e n e + c
s e nθ +θ
74.- ∫
dθ
cos θ + 1
x
x
226
Solución.s e nθ +θ
s e n θ dθ
θ dθ
− s e n θ dθ
θ (cos θ − 1)dθ
∫ cos θ + 1 dθ = ∫ cos θ + 1 + ∫ cos θ + 1 = − ∫ cosθ + 1 + ∫ cos2 θ + 1
θ cos θ dθ
θ dθ
= − η cos θ + 1 − ∫
+∫
2
sen θ
s e n2 θ
= − η cos θ + 1 − ∫ θ co τ gθ cos ecθ dθ + ∫ θ cos ec 2θ dθ (∗)
Trabajando por partes: ∫ θ coτ gθ cos ecθ dθ
u =θ
dv = coτ gθ cos ecθ dθ
du = dθ
v = − cos ecθ
∫ θ coτ gθ cos ecθ dθ = −θ cos ecθ + ∫ cos ecθ dθ = −θ cos ecθ − η cos ecθ − coτ gθ + c1
Sea:
Trabajando por partes: ∫ θ cos ec 2θ dθ
Sea:
u =θ
du = dθ
dv = cos ec 2θ dθ
v = −t co τ gθ
∫ θ cos ec θ dθ = −θ coτ gθ + ∫ coτ gθ dθ = −θ coτ gθ +
2
η s e n θ + c2
(∗) = − η cos θ + 1 + θ cos ecθ + η cos ecθ − coτ gθ − θ coτ gθ + η s e n θ + c
(cos ecθ − co τ gθ ) s e n θ
+ θ (cos ecθ − coτ gθ ) + c
cos θ + 1
1 − cos θ
⎛ 1 − cos θ ⎞
= η
+θ ⎜
⎟+c
1 + cos θ
⎝ s e nθ ⎠
arcτ gxdx
75.- ∫
3
(1 + x 2 ) 2
= η
Solución.- Sea: x = τ gθ ⇒ θ = arcτ gx, dx = sec 2 θ dθ , 1 + x 2 = sec θ
arcτ gxdx
θ sec 2 θ dθ
θ dθ
=
3
∫ (1 + x 2 ) 2 ∫ sec 3 θ = ∫ secθ = ∫ θ cos θ dθ (∗) , trabajando por partes
u =θ
dv = cos θ dθ
Sea:
du = dθ
v = s e nθ
x
1
= θ s e n θ − ∫ s e n θ dθ = θ s e n θ + cos θ + c = (arcτ gx)
+
+c
2
1+ x
1 + x2
1
=
( x arcτ gx + 1) + c
1 + x2
2
76.- ∫ x coτ g ( x )dx
5
x2
2
x2
Solución.- Sea: u = s e n , du = x cos dx
5
5
5
227
x2
x cos
2
5 dx = 5 du = 5 η u + c = 5 η s e n x + c
x 2 )dx =
co
(
x
τ
g
∫
∫
5
x2
2∫ u 2
2
5
sen
5
77.- ∫ x 4 x 2 − 2dx
Solución.- Sea: u = 4 x 2 − 2, dx = 8 xdx
(4 x 2 − 2)3
1 12
1u 2
u2
4
2
x
x
−
dx
=
u
du
=
+
c
=
+
c
=
+c
∫
8∫
83
12
12
2
1
2
2
( x + 9) dx
78.- ∫
x4
3
3
2
Solución.- Sea: x = 3τ gθ , dx = 3sec 2 θ , x 2 + 9 = 3sec θ
1
1
dθ
( x 2 + 9) 2 dx
3sec θ 3sec 2 θ dθ 1 sec3 θ dθ 1 cos3 θ
1 cos θ dθ
=∫
= ∫
= ∫
= ∫
4
4
4
4
∫ x4
3 τg θ
9 τg θ
9 sen θ
9 s e n4 θ
cos 4 θ
1⎛ 1 1 ⎞
1
cos ec3θ
= ⎜−
+
=
−
+
=
−
+c
c
c
⎟
9 ⎝ 3 s e n3 θ ⎠
27 s e n 3 θ
27
3
1 ⎛ x2 + 9 ⎞
x2 + 9 2
=− ⎜
x +9 +c
⎟ +c = −
27 ⎜⎝
27 x3
x ⎟⎠
79.- ∫ x 2 s e n 5 x3 cos x 3 dx
Solución.- Sea: u = s e n x3 , du = 3x 2 cos x 3 dx
2
5 3
3
∫ x s e n x cos x dx =
80.- ∫
1 5
1 u6
u6
s e n 6 x3
u
du
=
+
c
=
+
c
=
+c
3∫
3 6
18
18
xdx
5x2 + 7
Solución.- Sea: u = 5 x 2 + 7, du = 10 xdx
1 du 1 u 2
u2
(5 x 2 + 7) 2
5x2 + 7
=
=
+
c
=
+
c
=
+
c
=
+c
∫ 5 x2 + 7 10 ∫ u 12 10 1
5
5
5
2
3
x dx
81.- ∫ 2
x − x−6
Solución.x3dx
7x + 6 ⎞
(7 x + 6)dx
⎛
∫ x2 − x − 6 = ∫ ⎜⎝ x + 1 + x 2 − x − 6 ⎟⎠dx = ∫ xdx + ∫ dx + ∫ ( x − 3)( x + 2)
x2
(7 x + 6)dx
(∗)
= + x+∫
2
( x − 3)( x + 2)
xdx
1
1
1
228
(7 x + 6)
A
B
=
+
⇒ 7 x + 6 = A( x + 2) + B( x − 3)
( x − 3)( x + 2) x − 3 x + 2
⎧ x = −2 ⇒ −8 = −5B ⇒ B = 8
⎪
5
De donde: ⎨
⎪⎩ x = 3 ⇒ 27 = 5 A ⇒ A = 27 5
x2
Adx
Bdx x 2
27 dx 8 dx
(∗) = + x + ∫
+∫
= + x+ ∫
+
2
5 x −3 5 ∫ x + 2
x−3
x+2 2
x2
27
8
= + x+
η x−3 + η x+ 2 +c
2
5
5
s e n2 θ
dθ
82.- ∫ s e n 2θ e
Solución.- Sea: u = s e n 2 θ , du = 2s e n θ cos θ dθ
sen θ
sen θ
u
u
sen θ
∫ s e n 2θ e dθ = ∫ 2s e n θ cos θ e dθ = ∫ e du = e + c = e + c
2
2
2
dx
e − 9e − x
Solución.- Sea: u = e x , du = e x dx
83.- ∫
x
dx
e x dx
e x dx
du
1
u −3
1
ex − 3
η
η
=
=
=
=
+
c
=
+c
∫ e x − 9e − x ∫ e 2 x − 9 ∫ ( e x ) 2 − 9 ∫ u 2 − 9 6 u + 3
ex + 3
6
dw
1 + cos w
Solución.dw
(1 − cos w)dw
(1 − cos w)dw
cos wdw
2
∫ 1 + cos w = ∫ 1 − cos2 w = ∫ s e n 2 w = ∫ cos ec wdw − ∫ s e n 2 w
(s e n w) −1
1
= − coτ gw −
+ c = − coτ gw +
+ c = − coτ gw + cos ecw + c
−1
sen w
Nota: Este ejercicio esta desarrollado diferente en el capitulo 8.
84.- ∫
85.- ∫ e
⎛ 1−s e n 2 x 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
3
⎝
⎠
2
(cos3 x s e n x )dx
2
2
2
⎛ 1− s e n2 x 2 ⎞
2
x
3 x
Solución.- Sea: u = ⎜
⎟ , du = − cos s e n dx
3
9
2
2
⎝
⎠
∫e
⎛ 1−s e n 2 x 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
3
⎝
⎠
86.- ∫
2
9
2
2
(cos3 x s e n x )dx = − ∫ eu du = − eu + c = − e
2
2
2
9
9
⎛ 1−s e n 2 x ⎞
⎜
2⎟
⎜
⎟
3
⎜
⎟
⎝
⎠
2
+c
x3 dx
19 − x 2
Solución.- Sea: x = 19 s e n θ , dx = 19 cos θ dθ , 19 − x 2 = 19 cos θ
∫
x3 dx
19 − x
2
=∫
( 19)3 s e n 3 θ 19 cos θ dθ
19 cos θ
= 19 19 ∫ s e n θ (1 − cos 2 θ )dθ
229
= 19 19 ∫ s e n θ dθ − 19 19 ∫ s e n θ cos 2 θ dθ = −19 19 cos θ +
19 − x 2
= −19 19
+
19
19 19
3
(19 − x 2 )3
( 19)
19 19
cos3 θ + c
3
+ c = −19 19 − x 2 + (19 − x 2 )3 + c
3
s e n ϕ dϕ
1
cos 2 ϕ
Solución.- Sea: u = cos ϕ , du = − s e n ϕ dϕ
87.- ∫
s e n ϕ dϕ
du
u2
1
−1
2
=
−
=
−
=
−
+ c = −2u 2 + c = −2 cos ϕ + c
u
du
1
1
∫ cos 2 ϕ ∫ u 2 ∫
1
2
2
88.- ∫ (sec ϕ + τ gϕ ) dϕ
1
Solución.2
2
2
∫ (sec ϕ + τ gϕ ) dϕ = ∫ (sec ϕ + 2sec ϕτ gϕ + τ g ϕ )dϕ
= ∫ (sec 2 ϕ + 2sec ϕτ gϕ + sec 2 ϕ − 1)dϕ = ∫ (2sec 2 ϕ + 2sec ϕτ gϕ − 1)dϕ
= 2 ∫ sec2 ϕ dϕ + 2∫ sec ϕτ gϕ dϕ − ∫ dϕ = 2τ gϕ + 2sec ϕ − ϕ + c
89.- ∫
dt
t (4 + η 2t )
1
2
dt
, además: u = 2τ gθ , du = 2sec 2 θ dθ , 4 + u 2 = 2sec θ
t
du
2 sec 2 θ dθ
=∫
= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c
2sec θ
4 + u2
Solución.- Sea: u = η t , du =
∫ t (4 +
= η
dt
η 2t )
1
2
=∫
4 + u2 u
+ +c = η
2
2
4 + u2 + u
+c = η
2
4 + η 2t + η t
+c
2
90.- ∫ aθ b 2θ c3θ dθ
Solución.- Sea: ab 2 c3 = k ,
θ 2θ 3θ
θ
θ
2 θ
3 θ
2 3 θ
∫ a b c dθ = ∫ a (b ) (c ) dθ = ∫ (ab c ) dθ = ∫ k dθ =
kθ
ηk
+c =
(ab 2 c3 )θ
+c
η (ab 2 c3 )
91.- ∫ s e n 2 ϕ cos3 ϕ dϕ
1
Solución.1
1
1
3
2
2
∫ s e n 2 ϕ cos ϕ dϕ = ∫ s e n 2 ϕ cos ϕ cos ϕ dϕ = ∫ s e n 2 ϕ (1 − s e n ϕ ) cos ϕ dϕ
sen 2 ϕ sen 2 ϕ
−
+c
3
7
2
2
3
= ∫ s e n 2 ϕ cos ϕ dϕ − ∫ s e n 2 ϕ cos ϕ dϕ =
5
1
2s e n 2 ϕ 2s e n 2 ϕ
−
+c
3
7
3
=
7
7
230
sec2 θ dθ
9 + τ g 2θ
Solución.- Sea: u = τ gθ , du = sec 2 θ dθ
92.- ∫
sec2 θ dθ
du
1
u
1
(τ gθ )
∫ 9 + τ g 2θ = ∫ 9 + u 2 = 3 arcτ g 3 + c = 3 arcτ g 3 + c
dx
93.- ∫
2x
e − 16
du
Solución.-Sea: u = e x , du = e x dx ⇒ dx =
u
Además: u = 4sec θ , du = 4sec θτ gθ dθ , u 2 − 16 = 4τ gθ
du
4sec θ τ gθ dθ 1
dx
du
1
u
=
∫ e2 x − 16 ∫ u 2 − 16 = ∫ u u 2 − 16 = ∫ 4secθ 4 τ gθ = 4 ∫ dθ = 4 θ + c
1
u
1
ex
= arc sec + c = arc sec + c
4
4
4
4
2s
2s
94.- ∫ (e − 1)(e + 1)ds
Solución.-
1
− 1)(e 2 s + 1)ds = ∫ ⎡⎣ (e 2 s ) 2 − 1⎤⎦ds = ∫ e 4 s ds − ∫ ds = e 4 s + s + c
4
dx
95.- ∫ 2
5x + 8x + 5
Solución.dx
dx
1
dx
∫ 5 x 2 + 8 x + 5 = ∫ 5( x 2 + 8 x + 1) = 5 ∫ x2 + 8 x + 1(∗) , completando cuadrados:
5
5
8
16
16
x2 + 8 x + 1 = ( x2 + x + ) + 1 −
= ( x + 4 )2 + 9 = ( x + 4 )2 + ( 3 )2
5
5
25
5
5
5
25
25
x+4
1
dx
1 1
5 + c = 1 arcτ g 5 x + 4 + c
arc
τ
g
(∗) = ∫
=
2
2
3
3
3
5 (x + 4 ) + ( 3 )
5 3
5
5
5
5
∫ (e
2s
x3 + 1
dx
x3 − x
Solución.x3 + 1
x +1 ⎞
x +1
( x + 1)dx
⎛
∫ x3 − xdx = ∫ ⎜⎝1 + x3 − x ⎟⎠ dx = ∫ dx + ∫ x3 − x dx =x + ∫ x( x 2 − 1)
( x + 1) dx
dx
Adx
Bdx
= x+∫
(∗)
= x+∫
= x+∫
+∫
x( x − 1)
x
x −1
x ( x + 1) ( x − 1)
96.- ∫
1
A
B
= +
⇒ 1 = A( x − 1) + Bx
x( x − 1) x x − 1
231
⎧ x = 0 ⇒ 1 = − A ⇒ A = −1
De donde: ⎨
⎩x = 1 ⇒ 1 = B ⇒ B = 1
dx
dx
x −1
(∗) = x − ∫ + ∫
= x − η x + η x −1 + c = x + η
+c
x
x −1
x
97.- ∫ (arcs e n 1 − x 2 )0 dx
Solución.-
∫ (arcs e n
98.- ∫
1 − x 2 )0 dx = ∫ dx = x + c
3dy
1+ y
Solución.-Sea: y 2 = t ⇒ y = t 2 , dy = 2tdt
3dy
dy
2tdt
tdt
1 ⎞
dt
⎛
∫ 1 + y = 3∫ 1 + y = 3∫ 1 + t = 6∫ 1 + t = 6∫ ⎝⎜1 − 1 + t ⎠⎟dt = 6∫ dt − 6∫ 1 + t
1
= 6t − 6 η 1 + t + c = 6 y − 6 η 1 + y + c = 6
(
)
y − η 1+ y + c
99.- ∫ x(1 + x) 5 dx
1
Solución.-Sea: u = 1 + x ⇒ x = u − 1, du = dx
11
6
u 5 u5
x
(1
+
x
)
dx
=
(
u
−
1)
u
du
=
(
u
−
u
)
du
=
u
du
−
u
du
=
−
+c
∫
∫
∫
∫
∫
11
6
5
5
2
2
⎛ 5u 5u ⎞ 15
⎛ 5(1 + x) 5(1 + x ) ⎞
1
5
=⎜
− ⎟u + c = ⎜
−
⎟ (1 + x) + c
11
6
11
6
⎝
⎠
⎝
⎠
dϕ
100.- ∫ 2
a s e n 2 ϕ + b 2 cos 2 ϕ
Solución.-Sea: u = τ gϕ , du = sec2 ϕ dϕ
1
5
1
5
dϕ
∫ a 2 s e n 2 ϕ + b2 cos2 ϕ = ∫
6
5
1
5
s e n 4 ϕ dϕ
6
5
=∫
1
5
s e n 2 ϕ dϕ
du
=∫ 2 2
2
2
2
(a τ g ϕ + b )
(a u + b 2 )
1
(a 2τ g 2ϕ + b 2 )
cos 2 ϕ
1
du
1 1
u
1
au
1
⎛ aτ gϕ ⎞
+c =
+c =
arcτ g
arcτ g
arcτ g ⎜
= 2∫ 2
= 2
⎟+c
2
b
a u + (b )
ab
b
ab
a b
⎝ b ⎠
a
a
a
tdt
101.- ∫
1
(2t + 1) 2
Solución.dt
dv =
u =t
Sea:
2t + 1
du = dt
v = 2t + 1
232
tdt
1 (2t + 1) 2
(2t + 1) 2
+
=
+
−
+c
2
1
2
1
2
1
2
1
=
t
t
+
−
t
+
dt
=
t
t
+
−
c
t
t
1
∫ (2t + 1) 2
∫
3
3
2
2
3
3
2t + 1
⎛ 2t + 1 ⎞
= 2t + 1 ⎜ t −
( t − 1) + c
⎟+c =
3 ⎠
3
⎝
s η s ds
102.- ∫
1
(1 − s 2 ) 2
Solución.sds
u= η s
dv =
1
(1 − s 2 ) 2 , además: s = s e n θ , ds = cos θ , 1 − s 2 = cos θ
Sea:
ds
du =
1
v = −(1 − s 2 ) 2
s
s η s ds
∫ (1 − s
2
)
1
2
= − 1− s2 η s + ∫
= − 1 − s2 η s + ∫
1 − s2
cos θ cos θ dθ
ds = − 1 − s 2 η s + ∫
s
s e nθ
(1 − s e n 2 θ )dθ
= − 1 − s 2 η s + ∫ cos ecθ dθ − ∫ s e n θ dθ
s e nθ
= − 1 − s 2 η s + η cos ecθ − co τ gθ + cos θ + c
= − 1 − s2 η s + η
1 − 1 − s2
+ 1− s2 + c
s
103.- ∫ (2 cos α s e n α − s e n α )dα
Solución.-
∫ (2 cos α s e n α − s e n 2α )dα = ∫ (s e n 2α − s e n 2α )
104.- ∫ t η tdt
4
dα = ∫ 0d α = c
2
dv = t 4 dt
u = η 2t
Sea:
0
du = 2 η t
dt
t
t
v=
5
5
t5 2 2 4
η t − ∫ t η tdt (∗) , trabajando por partes nuevamente:
5
5
u = ηt
dv = t 4 dt
5
dt
t
du =
v=
t
5
4
2
∫ t η tdt =
Sea:
(∗) =
=
⎞ t 5 2 2t 5
t5 2 2 ⎛ t5
1
2 t5
η t − ⎜ η t − ∫ t 4 dt ⎟ =
η t−
ηt +
+c
5
5⎝ 5
5
25
25 5
⎠ 5
t 5 2 2t 5
2t 5
η t−
ηt +
+c
5
25
125
11
105.- ∫ u 2 (1 + v) dx
233
Solución.2
11
2
11
2
11
∫ u (1 + v) dx = u (1 + v) ∫ dx = u (1 + v) x + c
(ϕ + s e n 3ϕ )dϕ
3ϕ 2 − 2 cos 3ϕ
Solución.-Sea: u = 3ϕ 2 − 2 cos 3ϕ , du = 6(ϕ + s e n 3ϕ )dϕ
(ϕ + s e n 3ϕ )dϕ 1 du 1
1
2
∫ 3ϕ 2 − 2 cos 3ϕ = 6 ∫ u = 6 η u + c = 6 η 3ϕ − 2 cos 3ϕ + c
106.- ∫
( y 2 + 1)dy
107.- ∫ 1
y 2 ( y + 1)
1
Solución.-Sea: y 2 = t ⇒ y = t 2 , dy = 2tdt
1
( y 2 + 1)dy
(t + 1)2 t dt
(t + 1)dt
2tdt
dt
2
∫ y 12 ( y + 1) = ∫ t (t 2 + 1) = 2∫ (t 2 + 1) = ∫ (t 2 + 1) + ∫ (t 2 + 1) = η t + 1 + 2 arcτ gt + c
1
= η y + 1 + 2 arcτ g y + c
ds
1
s ( s − 4) 2
Solución.-Sea: s = 2sec θ , ds = 2sec θτ gθ dθ
108.- ∫
∫ s (s
3
3
2
2 sec θ τ gθ dθ 1 dθ
ds
1
1
= ∫
= ∫ cos 2 θ dθ = ∫ (1 + cos 2θ )dθ
=∫
1
2
3
2
8 sec θ 8
16
− 4)
8sec θ 2 τ gθ
2
1
1
1⎛
s e n 2θ
θ + s e n 2θ + c = ⎜ θ +
16
32
16 ⎝
2
1⎛
2 s2 − 4 ⎞
= ⎜ arc sec s +
⎟+c
2
⎟
16 ⎜⎝
s2
⎠
2 2
109.- ∫ u (1 + u ) du
=
1
⎞
⎟ + c = (θ + s e n θ cos θ ) + c
16
⎠
Solución.5
9
1
2 2
2
4
∫ u (1 + u ) du = ∫ u (1 + 2u +u )du = ∫ u 2 du + 2∫ u 2 du + ∫ u 2 du
3
7
11
3
7
11
u2
u2 u 2
2u 2 4u 2 2u 2
2u u 4u 3 u 2u 5 u
=
+2
+
+c =
+
+
+c =
+
+
+c
3
7
11
3
7
11
3
7
11
2
2
2
3
⎛ 2u 4u 2u 5 ⎞
= u⎜ +
+
⎟+c
7
11 ⎠
⎝ 3
( x3 + x 2 )dx
x2 + x − 2
Solución.( x3 + x 2 )dx
2x
2 xdx
x2
2 xdx
⎛
⎞
=
x
+
dx
=
xdx
+
=
∫ x2 + x − 2 ∫ ⎜⎝ x 2 + x − 2 ⎟⎠ ∫
∫ ( x + 2)( x − 1) 2 + ∫ ( x + 2)( x − 1)
110.- ∫
234
x2
2 xdx
x2
Adx
Bdx
(∗)
+∫
= +∫
+∫
2
( x + 2)( x − 1) 2
x+2
x −1
2x
A
B
=
+
⇒ 2 x = A( x − 1) + B( x + 2)
( x + 2)( x − 1) x + 2 x − 1
⎧ x = 1 ⇒ 2 = 3B ⇒ B = 2
⎪
3
De donde: ⎨
⎪⎩ x = −2 ⇒ −4 = −3 A ⇒ A = 4 3
x 2 4 dx
2 dx
x2 4
2
+ ∫
= + η x + 2 + η x −1 + c
(∗) = + ∫
2 3 x + 2 3 x −1 2 3
3
2
x 2
= + η ( x + 2) 2 ( x − 1) + c
2 3
111- ∫ adb
=
Solución.∫ adb = a ∫ db = ab + c
dx
112.- ∫
x2 − 2 x − 8
Solución.Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x − 8 = ( x 2 − 2 x + 1) − 9 = ( x − 1) 2 − 32
Sea: x − 1 = 3sec θ , dx = 3sec θτ gθ dθ , ( x − 1) 2 − 32 = 3τ gθ , luego:
∫
dx
x2 − 2 x − 8
dx
=∫
( x − 1) 2 − 32
=∫
3 sec θ τ gθ dθ
3 τ gθ
= ∫ sec θ dθ = η sec θ + τ gθ + c
x −1
x2 − 2x − 8
= η
+
+c
3
3
113.- ∫
( x + 1)dx
2 x − x2
Solución.Completando cuadrados se tiene:
2 x − x 2 = −( x 2 − 2 x) = −( x 2 − 2 x + 1 − 1) = −( x 2 − 2 x + 1) + 1 = 1 − ( x 2 − 1)
Sea: x − 1 = s e n θ , dx = cos θ dθ , 1 − ( x − 1) 2 = cos θ , luego:
( x + 1)dx
1 (2 − 2 x) − 4
1 (2 − 2 x)dx
dx
∫ 2 x − x 2 = − 2 ∫ 2 x − x 2 dx = − 2 ∫ 2 x − x 2 + 2∫ 2 x − x2
dx
dx
= − 2 x − x 2 + 2∫
= − 2 x − x 2 + 2∫
2
2x − x
1 − ( x − 1) 2
= − 2 x − x 2 + 2∫
cos θ dθ
= − 2 x − x 2 + 2θ + c = − 2 x − x 2 + 2 arcs e n( x − 1) + c
cos θ
114.- ∫ f ( x) f ´( x)dx
235
Solución.- Sea: u = f ( x), du = f ´( x)dx
[ f ( x) ] + c
u2
+c =
2
2
2
∫
f ( x) f ´( x)dx = ∫ udu =
x3 + 7 x 2 − 5 x + 5
dx
x2 + 2x − 3
Solución.x3 + 7 x 2 − 5 x + 5
20 − 12 x ⎞
(20 − 12 x)dx
⎛
∫ x 2 + 2 x − 3 dx = ∫ ⎜⎝ x + 5 + x2 + 2 x − 3 ⎟⎠dx = ∫ xdx + 5∫ dx + ∫ x 2 + 2 x − 3
(20 − 12 x)dx x 2
Adx
B
5
xdx
+
dx
+
∫
∫ ∫ ( x + 3)( x − 1) = 2 + 5 x + ∫ x + 3 + ∫ x − 1(∗)
20 − 12 x = A( x − 1) + B( x + 3)
⎧ x = 1 ⇒ 8 = 4B ⇒ B = 2
De donde: ⎨
⎩ x = −3 ⇒ 56 = −4 A ⇒ A = −14
115.- ∫
(∗) =
x2
dx
dx x 2
+ 5 x − 14∫
+ 2∫
= + 5 x + 14 η x + 3 + 2 η x − 1 + c
x+3
x −1 2
2
116.- ∫ e
η 1+ x + x 2
dx
Solución.-
∫e
η 1+ x + x 2
117.- ∫
x 2 x3
dx = ∫ (1 + x + x )dx = x + + + c
2 3
( x − 1)dx
2
x2 − 4 x + 3
Solución.Completando cuadrados se tiene: x 2 − 4 x + 3 = x 2 − 4 x + 4 − 1 = ( x − 2) 2 − 1
Sea: x − 2 = sec θ , dx = sec θτ gθ dθ , ( x − 2)2 − 1 = τ gθ , luego:
( x − 1)dx
1 (2 x − 4) + 2
1 (2 x − 4)dx
dx
∫ x 2 − 4 x + 3 = 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 dx = 2 ∫ x 2 − 4 x + 3 + ∫ x 2 − 4 x + 3
dx
dx
= x2 − 4 x + 3 + ∫
= x2 − 4x + 3 + ∫
2
( x − 2) 2 − 1
x − 4x + 3
= x2 − 4x + 3 + ∫
sec θ τ gθ dθ
τ gθ
= x 2 − 4 x + 3 + ∫ sec θ dθ
= x 2 − 4 x + 3 + η sec θ + τ gθ + c
= x2 − 4x + 3 + η x − 2 + x2 − 4x + 3 + c
118.- ∫
xdx
x + 4x + 5
Solución.2
236
Completando cuadrados se tiene: x 2 + 4 x + 5 = x 2 + 4 x + 4 + 1 = ( x + 2) 2 + 1
Sea: x + 2 = τ gθ , dx = sec2 θ dθ , ( x + 2) 2 + 1 = sec θ , luego:
∫
xdx
x2 + 4 x + 5
=∫
xdx
( x + 2) 2 + 1
=∫
(τ gθ − 2) sec 2 θ dθ
= ∫ τ gθ sec θ dθ − 2∫ sec θ dθ
sec θ
= sec θ − 2 η sec θ + τ gθ + c = x 2 + 4 x + 5 − 2 η
x2 + 4 x + 5 + x + 2 + c
4dx
x + 4x
Solución.4dx
(3x 2 + 4) − 3x 2
(3 x 2 + 4)dx
x 2 dx
3
dx
=
=
−
∫ x3 + 4 x ∫ x3 + 4 x
∫ x3 + 4 x
∫ x3 + 4 x
3 2 xdx
3
= η x3 + 4 x − ∫ 2
= η x3 + 4 x − η x 2 + 4 + c
2 x +4
2
2
x( x + 4)
x
= η 2
+c = η
+c
3
2
2
( x + 4)
x +4
coτ gxdx
120.- ∫
η sen x
119.- ∫
3
Solución.- Sea: u = η s e n x , du = coτ gxdx
∫
coτ gxdx
du
=∫
= η u + c = η η sen x + c
u
η sen x
121.- ∫ η exp x − 1dx
Solución.-
2( x − 1) ( x − 1)
( x − 1) 2
x − 1dx =
+c =
+c
3
3
2
3
∫
η exp x − 1dx = ∫
1 + x3
dx
x
122.- ∫
Solución.- Sea: 1 + x3 = t ⇒ t 2 = 1 + x3 ⇒ x = 3 t 2 − 1, dx =
∫
1+ x
dx = ∫
x
3
t
2tdt
2
1 ⎞
2
2 dt
3(t 2 − 1) 3 2 t 2 dt 2 ⎛
= ∫ 2
= ∫ ⎜1 + 2 ⎟dt = ∫ dt + ∫ 2
1
2
3
3 t −1 3 ⎝ t −1 ⎠
3
3 t −1
(t − 1)
2 1
t −1
2
1
1 + x3 + η
= t+ η
+c =
3 3
3
3
t +1
123.- ∫
2tdt
2
3(t 2 − 1) 3
1 + x3 − 1
1 + x3 + 1
+c
x −1 1
dx
x +1 x
237
Solución.- Sea:
∫
x −1
x −1
1+ t2
4tdt
, dx =
= t ⇒ t2 =
⇒ x(1 − t 2 ) = t 2 ⇒ x =
2
1− t
(1 − t 2 ) 2
x +1
x +1
t 2 (1 − t 2 ) dt
(1 − t 2 ) 4tdt
x −1 1
t 2 dt
=
4
dx = ∫ t
4
=
∫ (1 + t 2 )(1 − t 2 ) 2 ∫ (1 + t 2 )(1 − t 2 )
(1 + t 2 ) (1 − t 2 ) 2
x +1 x
t 2 dt
Bdt
Ct + D ⎤
⎡ Adt
= 4 ⎢∫
+∫
+∫
dt ⎥ (∗)
2
(1 + t )(1 − t )(1 + t )
1− t
1+ t2
⎣ 1+ t
⎦
2
t
A
B Ct + D
=
+
+
2
(1 + t )(1 − t )(1 + t ) 1 + t 1 − t 1 + t 2
⇒ t 2 = A(1 − t )(1 + t 2 ) + B(1 + t )(1 + t 2 ) + (Ct + D)(1 − t 2 )
⎧t = 1 ⇒ 1 = 4 B ⇒ B = 1
4
⎪
⎪
⎨t = −1 ⇒ 1 = 4 A ⇒ A = 1 4
De donde: ⎪
⎪⎩t = 0 ⇒ 0 = A + B + D ⇒ D = − 1 2
t = 2 ⇒ 4 = −5 A + 15B + (2C + D)(−3) ⇒ C = 0
dt
dt
dt
⎛ 1 dt 1 dt 1 dt ⎞
(∗) = 4 ⎜ ∫
+ ∫
− ∫
=∫
−∫
− 2∫
2 ⎟
1+ t
1+ t2
t −1
⎝ 4 1+ t 4 1− t 2 1+ t ⎠
t +1
= η t + 1 − η t − 1 − 2 arcτ gt + c = η
− 2 arcτ gt + c
t −1
= 4∫
x +1
+1
x +1
x −1 + x +1
x +1
= η x −1
− 2 arcτ g
+c = η
− 2 arcτ g
+c
x −1
x −1
x +1
x −1 − x + 1
−1
x −1
s e n xdx
124.- ∫
1 + s e n x + cos x
2z
1− z2
x
2dz
Solución.- Sea: s e n x =
,
cos
, z = τ g , dx =
x
=
2
2
1+ z
1+ z
2
1+ z2
⎛ 2 z ⎞⎛ 2 ⎞
4z
dz
⎜
2 ⎟⎜
2 ⎟
s e n xdx
+
z
+
z
1
1
⎝
⎠⎝
⎠ dz =
1+ z2
=
∫ 1 + s e n x + cos x ∫ ⎛ 2 z ⎞ ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 1 + z 2 + 2 z + 1 − z 2
1+ ⎜
2 ⎟⎜
2 ⎟
⎝ 1+ z ⎠⎝ 1+ z ⎠
4 zdz
2 zdz
Adz
Bz + C
∫ (1 + z 2 )(2 + 2 z ) = ∫ (1 + z )(1 + z 2 ) = ∫ 1 + z + ∫ 1 + z 2 dz (∗)
2z
A
Bz + C
=
+
2
(1 + z )(1 + z ) 1 + z 1 + z 2
⎧ z = −1 ⇒ −2 = 2 A ⇒ A = −1
⎪
De donde: ⎨ z = 0 ⇒ 0 = A + C ⇒ C = 1
⎪ z = 1 ⇒ 2 = 2 A + 2 B + 2C ⇒ B = 1
⎩
238
(∗) = − ∫
dz
z +1
1 2 zdz
dz
+∫
dz = − η 1 + z + ∫ 2
+∫ 2
2
1+ z
1+ z
2 z +1
z +1
= − η 1+ z +
= η
125.- ∫
1
η z 2 + 1 + arcτ gz + c = η
2
τ g 2 x 2 +1
τ g x 2 +1
z2 +1
+ arcτ gz + c
z +1
+ arcτ gz + c
dx
3 + 2 cos x
Solución.- Sea: s e n x =
dx
∫ 3 + 2 cos x = ∫
2z
1− z2
x
2dz
,
cos
, z = τ g , dx =
x
=
2
2
1+ z
1+ z
2
1+ z2
2z
dz
z
2dz
2
1+ z2
dz = ∫
arcτ g
= 2∫
=
+c
2
2
2
2
3 + 3z + 2 − 2 z
5+ z
⎛ 1− z ⎞
5
5
3 + 2⎜
2 ⎟
⎝ 1+ z ⎠
⎛ 5
2 5
x⎞
τ g ⎟⎟ + c
arcτ g ⎜⎜
5
2⎠
⎝ 5
xdx
126.- ∫
2
x − 2x + 5
Solución.Completando cuadrados se tiene: x 2 − 2 x + 5 = x 2 − 2 x + 1 + 4 = ( x − 1) 2 + 22 ,
=
Sea: x − 1 = 2τ gθ , dx = 2sec 2 θ dθ , ( x − 1) 2 + 22 = 2sec θ ,luego:
xdx
1 (2 x − 2 + 2)dx 1 (2 x − 2)dx
dx
∫ x2 − 2 x + 5 = 2 ∫ x2 − 2 x + 5 = 2 ∫ x2 − 2 x + 5 + ∫ x2 − 2 x + 5
dx
dx
= x2 − 2x + 5 + ∫
= x2 − 2x + 5 + ∫
( x − 1) 2 + 22
x2 − 2 x + 5
= x2 − 2x + 5 + ∫
2 sec 2 θ dθ
= x 2 − 2 x + 5 + ∫ sec θ dθ
2sec θ
= x 2 − 2 x + 5 + η sec θ + τ gθ + c
127.- ∫
(1 + s e n x)dx
s e n x(2 + cos x)
Solución.- Sea: s e n x =
2z
1− z2
x
2dz
,
cos
, z = τ g , dx =
x
=
2
2
1+ z
1+ z
2
1+ z2
239
2z ⎞ 2
⎛
⎜1 +
2 ⎟
(1 + s e n x)dx
(1 + z 2 + 2 z )dz
⎝ 1+ z ⎠ 1+ z2
=
dz
=
∫ s e n x(2 + cos x) ∫ 2 z ⎛ 1 − z 2 ⎞ ∫ 2 z (1 + z 2 ) + z (1 − z 2 )
⎜2+
2 ⎟
1+ z2 ⎝ 1+ z ⎠
=∫
( z 2 + 2 z + 1)dz
( z 2 + 2 z + 1)dz
Adz
Bz + C
=
=∫
+∫ 2
dz (∗) }
3
2
∫
( z + 3)
z + 3z
z ( z + 3)
z
( z 2 + 2 z + 1) A Bz + C
= + 2
⇒ z 2 + 2 z + 1 = A( z 2 + 3) + ( Bz + C ) z
2
z ( z + 3)
z ( z + 3)
2
⇒ Az + 3 A + Bz 2 + Cz ⇒ ( A + B ) z 2 + Cz + 3 A , igualando coeficientes se tiene:
⎛ A +B
⎜
⎜
⎜ 3A
⎝
=1 ⎞
⎟
C = 2⎟ ⇒ A = 1 , B = 2 ,C = 2
3
3
= 1 ⎟⎠
2 z+2
1 dz
1 dz 1 2 zdz
dz
dz = ∫ + ∫ 2
+ 2∫ 2
(∗) = ∫ + ∫ 32
3 z
( z + 3)
3 z 3 ( z + 3)
( z + 3)
2
⎛τ g x ⎞
1
1
2
2 ⎟+c
arcτ g ⎜
= η τ g x + η τ g2 x + 3 +
2
2
3
3
⎜
3
3 ⎟
⎝
⎠
dx
128.- ∫ 4
x +4
Solución.- Sea: x 4 + 4 = x 4 + 4 x 2 + 4 − 4 x 2 = ( x 2 + 2) 2 − (2 x) 2 = ( x 2 + 2 x + 2)( x 2 − 2 x + 2)
dx
dx
( Ax + B )dx
(Cx + D)dx
∫ x4 + 4 = ∫ ( x2 + 2 x + 2)( x 2 − 2 x + 2) = ∫ ( x 2 + 2 x + 2) + ∫ ( x 2 − 2 x + 2) (∗)
1
( Ax + B )
(Cx + D)
= 2
+ 2
4
( x + 4) ( x + 2 x + 2) ( x − 2 x + 2)
1 = ( Ax + B)( x 2 − 2 x + 2) + (Cx + D)( x 2 + 2 x + 2)
1 = ( A + C ) x3 + (−2 A + B + 2C + D) x 2 + (2 A − 2 B + 2C + 2 D) x + (2 B + 2 D)
Igualando coeficientes se tiene:
A
+ C
=0⎞
⎛
⎜
⎟
⎜ −2 A + B + 2C + D = 0 ⎟ ⇒ A = 1 , B = 1 , C = − 1 , D = 1
8
4
8
4
⎜ 2 A − 2 B + 2C + 2 D = 0 ⎟
⎜
⎟
2B
+ 2 D = 1⎠
⎝
1
( x + 2)dx
1
( x − 2)dx
(∗) = ∫ 2
− ∫ 2
8 ( x + 2 x + 2) 8 ( x − 2 x + 2)
1 ( x + 1)dx 1
dx
1 ( x − 1)dx 1
dx
= ∫
+ ∫
− ∫
+ ∫
2
2
2
8 ( x + 1) + 1 8 ( x + 1) + 1 8 ( x − 1) + 1 8 ( x − 1) 2 + 1
1
1
1
1
=
η x 2 + 2 x + 2 + arcτ g ( x + 1) −
η x 2 − 2 x + 2 + arcτ g ( x − 1) + c
16
8
16
8
240
=
1
x2 + 2x + 2 1
η 2
+ [ arcτ g ( x + 1) + arcτ g ( x − 1) ] + c
16
x − 2x + 2 8
241
BIBLIOGRAFIA
AYRES Frank, Cálculo Diferencial e Integral
Ed libros Mac Graw Hill- Colombia 1970
Demidovich B, Ejercicios y problemas de análisis matemático
Ed Mir Moscú 1968
Ortiz Héctor, La integral Indefinida y Técnicas de Integración
U.N.E.T San Cristóbal- Venezuela 1977
Piscunov N, Cálculo Diferencial e Integral
Ed Montaner y Simón, S.A Barcelona 1970
Protter Monrey, Cálculo y Geometría Analítica- Fondo Educativo InteramericanoEEUU 1970
Takeuchi yu, Cálculo II- Editado por el Autor- Bogota 1969
Thomas G.B, Cálculo infinitesimal y Geometría Analítica
Ed.Aguilar-Madrid 1968
242