ตัด เกรด
กระดาษ A 4
→
→
mid
1
แผ่น ( หน้า
Final
2
แผ่น
-
แยก
หลัง )
01205362
Linear Control Systems
ควิซ วัน
พฤ
.
เมา ห้อง
)
30
มิ
.
ย
.
Part I
14
2562
(
1N
>
-
Chapter 1
สิ่ง ที่ จับ ต้องได้ )
pl ANT
>
-
OUT
OPEN
( ไม่
LOOP
รู้ คุณภาพ )
Introduction
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
1
1.1 Control System Definition
ใช้เวลา
r
ตัว เล็ก
lreference )
อุณหภูมิ
ปริมาณ gas
ะ
(r)
7
t
ใสั่ อะไร เพื่อ ค
l ผล ตอบสนอง
Desired response
)
,
.
( desired
( Y C)
,
Reference
ประกอบ ด้วย หลาย ๆ
ร่วม กัน
contrdoutput
ต้อง การ ควบคุม อะไร
เปลี่ยนแปลง
• Control System :
มา ทำ งาน
µ
ระบบ ย่อย CSU
bsytems )
เพื่อ สร้าง หรือ ให้ได้ atput
performance
)
โดย การ ป้อน
&
ตาม
ส่วน ดำเนิน การ หรือ
ที่ ต้องการ ldesiredoutput )
tput ที่ มี ลักษณะ
อบ
เครื่อง จักร ( processes Orplants
และ
)
มี สมรรถนะ ตาม ที่ ต้องการ
เฉพาะ ให้ กับ ระบบ
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
2
สัญญาณ อ้างอิง
ก
มี เวลา มา เกี่ยว
Close
loop
Open
Ioop
:
:
,
บอก
คุณภาพได้
เช่น แอร์ สามารถ ตัง อุณหภูมิ
ควบคุม วง ปิด
เช่น เตาแก๊ส
การ ควบคุม วง เปิด
การ
ป้อน กลับได้ ทั้ง บวก
-
ลบ
,
แต่ ถ้า เป็น linear ต้อง ป้อน ที่ ขา ลบ
เตาอบ
1.2 Performance of Control System
r
พื๋ฟื๋
.
.
•
..
. ..
+
.
ให้ transientresponse
มี ช่วง ระยะ เวลา ที่ สั้น & ไม่มี overshoot เกิด ขึ้น
Goal
:
พยายาม
หรือ ถ้า มี ก็ ให้น้อย
. .
.
อ
:ฬื๋ษื๋ษํ๊
% oal
I ให้
. ...
ะ
พยายาม ให้
steady
-
state error
steadystateactualresponse
เป็น
0
ใกล้เคียง
กับ 4
อsiredresp_รา
output
=
ที่สุด )
inpvt
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
3
1.3 Control System Configurations
1.3.1) Open-loop Control System
Input transducer
Controller
:
:
แปลง ค่า อิน
นำ สัญญาณ
จาก
พุท จาก ภาย นอก ให้ เป็น สัญญาณในระบบ ควบคุม เพื่อ ป้อน ให้ ส่วน ตัว ควบคุม
inputtransducer
มา
ประมวล ผล
& ดำเนิน การ สร้าง
(
Controller ) ได้
สัญญาณไป ขับเคลื่อน ส่วน ดำเนิน การ หรือ เครื่อง จักร
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
4
1.3.2) Closed-loop Control System (Feedback Control System)
OUTPUT trand UC er
Comparator
ะ
ะ
แปลง สัญญาณ จาก เซนเซอร์ ให้ เป็น สัญญาณ ในระบบ ควบคุม เพื่อ ป้อน ให้ กับ Cmtrdler
เปรียบเทียบ สัญญาณ ระหว่าง transduced
desiredresponse
กับ
transducedactualresponse
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
5
Ex. open- loop and closed-loop velocity control of DC motor
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
6
ควบคุม
สัญญาณ ภาย นอกไม่ ได้
Open loop control
Closed loop control
-
_
บั 0 ต
•
บั 0 ต
ระบบไม่ ซับซ้อน
ออก แบบ
ง่าย
สามารถ ลดทอน ผล กระทบ จาก
•
disturbances ได้ ดี
และ ราคา ถูก
ข้อ เสีย
ข้อ เสีย
•
ถ้า ระบบ มี
disturbances
จะ
สั่ง ผล กระทบ ต่อ สมรรถนะ
•
ระบบ มี ความ
ยุ่งยาก
ซับซ้อน มากขึ้น
และ ราคา
สูง
ใน การ ควบคุม
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
7
1.4 Study Topics
Modeling
เป็น การ หา แบบ จำลอง ทาง คณิตศาสตร์
Frequency Domain
Graphic Models
Time Domain
Tools
ของ ระบบ
Analysis
วิเคราะห์ คุณลักษณะ
สมรรถนะ ของ ระบบ
และ
ควบคุม
Design
ออก แบบ
controller
เพื่อ ให้ระบบ
ควบคุม มี สมรรถนะ ตาม ที่ ต้องการ
Transient and Time Response
Stability
Root Locus
Frequency
Response
Steady-state Response
Root locus
Frequency response
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
8
Definition
Laplace Transform Definition :
time domain
Laplace
Laplace Transform Review
transform
F s
L f t
st
f t e
dt
0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Laplace Transform of Standard Functions
• Impulse
• Unit step
t
L
u t
L
• Unit ramp
t u t
L
• nth power of time
n
L
• Exponential decay
t u t
e
at
u t
L
• Sine function
1
sin
• Cosine function
1
s
1
s2
cos
0
t u t
0
t u t
L
0
s
2
2
0
s
L
s
2
2
0
• Exponentially decaying sine wave
n!
sn 1
1
s a
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
e
at
sin
0
t u t
L
s a
0
2
2
0
• Exponentially decaying cosine wave
e
at
cos
0
t u t
L
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
s a
s a
2
2
0
Laplace Transform Properties
• Linearity :
• Multiplication by Time (frequency domain derivative):
- Homogenous
L a f t
L f1 t
- Additivity
- Superposition
L a f1 t
a F s
f2 t
F1 s
b f2 t
L tn f t
F2 s
a F1 s
• Time Shifting :
at
f t
b F2 s
L f t T u t T
e
• Time Scaling :
L
L f a t
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
dn
f t
dt n
L
F s
1
s
F
a
a
d
f t
dt
d2
f t
dt 2
L
F s a
sT
dn
F s
ds n
n
• Differentiation :
• Frequency Shifting :
L e
1
• Integration :
f
f 0
s2 F s
sf 0
sn F s
n
sn
f 0
k
f
k 1
t
L
sF s
F s
s
d
0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Inverse Laplace Transform by Partial Fraction
• Initial Value Theorem :
f 0
lim s
s F s
• Final Value Theorem :
f
lim s
0
s F s
• Time Convolution :
L f1 t
f2 t
Laplace transform
polynomial
F1 s F2 s
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
F s
bn s n bn 1s n 1
s n an 1s n 1
bn
cn 1s n 1
s n an 1s n
bn
N s
D s
b1s b0
a1s a0
1
c1s c0
a1s a0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
k 1
0
Ex.1
• Case1: D(s) have distinct real roots
F s
N s
D s
bn
Ai
s
f t
N s
D s
pi
1
L
for all i 1, 2,
s
u t
,n
An
s pn
A1
Ex.2
s
p1
s
pr
A1
bn
s
p1
1
s
pr
A2
r
s
p1
2
Ar 1
s pr
1
1
s 4
s
G s
1
g (t )
t
G s
Ar
s p1
r 1
s 2
1
di1
i 1 ! ds i 1
s
p1
r
N s
D s
for
s
Ar 2
s pr
i 1, 2,
p1
case1
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
A2
s 4
2
1
A1
A2
s 2
s 4
3s 4
s 2
s 4
4
s
4
4
s 4
s 2
e 2t u t
4e 4 t u t
#
Y s
U s
G s
transfer function
Y s
U s
s
Y s
G s U s
,r
4
11s
4
15
45s 2 81s 54
3
2
s
Ai
,
unit step response
N s
r
1
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
• Case2: D(s) have repeated real roots
bn
y t
3s 4
s 2 s 4
1
3s 4
s 2
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
F s
s 2 3s 4
s 2 6s 8
G s
s 2 3s 4
s 2 6s 8
G s
impulse response
pi
A1
s p1
bn
An
s pn
A1
s p1
bn
block diagram
3
11s
15
15
1
2
45s 81s 54 s
s s 2 s 3
A1
s 3
3
A3
A2
3
s 3
2
s 3
A4
s
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
A5
s 2
A1
A2
A3
A4
A5
s 3
15
3
s s 2
d
2 1 ! ds
1
s 3
s
3
s s 2
d
3 1 ! ds
s
2
2s
s 3
2
s 3
s
2
2s
2
s
3
15
s 2
3
s
3
2
s 3
20
3
3
y t
65
9
s 0
s
5 2
t e
2
Ex.3
bn
p1
s
pr
A1
s
p1
1
s
A2
r
s
3
s 3
65
5
18
s
9
s 3
2
20
te
3
5
18
s
9
s 3
3t
65
e
9
unit step response
G s
N s
s
3t
20
65
15
2
s 2
15
2
s 2
5
18
3t
15
e
2
2t
u t
#
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Method1
r
3
2
2
• Case3: D(s) have complex conjugate roots
bn
2
3
s 3
15
2
3
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
F s
3
5
18
3
s 3
s s 2
s
3
15
s 2
2 1!
3
15
3 1 ! s3
15
s s 2 s 3
15 2 s 2
1
1
s
20
5
5
15
3
15 2 s 2
1
s
5
3
s 3
Y s
p1
r 1
pr
2
s2
Ar
s p1
as b
Ar 1
s pr
1
Ar 2
s pr
Y s
U s
G s
transfer function
Y s
U s
s 1 s2
Y s
G s U s
A1
s
2
Km s Kn
s 2 as b
s 4
A1
s
s 4
s s 1 s
2
2s 5
s 0
4
5
,
2s 5
A2
s 1
A2
s 1
s 4
s 1 s2
A3 s
s
2
A4
2s 5
s 4
s s 1
s2
2s 5
Case1&2
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
1
s
2s 5
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
3
4
s
1
s 4
s 1 s
2
4
5
3
4
A3
2
2s 5
0
Y s
5
s
4
5
s
y t
4
5
3
4
s 1
3
4
s 1
3
e
4
5
t
A3 s A4
s 2 2s 5
4
s 1
s 3 3s 2 7 s 5
s s 1 s
A3
4
3
5
s
4
s 4
s s 1 s
4
1
2s 5 s
2
1
20
1
3
4
,
4
3
3
2 A3
5
4
2s 5
1
s 1
2
2
s s 1 s
s2
20
s 1
s 3 2 s 2 5s
2s 5
4
s 17
20
Method2
22
1 t
e cos 2t
20
1
20
2
s 1
2s 5
A4
3
5
s
A3 s 3
4
s 1
s2
A4 s 2
s s 1 s
0
2
2s 5
17
20
A4
1
s 1 16
20
2
s 1
22
8 2
8 t
e sin 2t
20
s
F s
N s
bn
s
r
p1
s
pr
A1
bn
s
pr
A2
r
p1
s
p1
Am
s
s
1
j
s
Ar
s p1
r 1
Am
s2
2
as b
Ar 1
s pr
1
*
j
Case1&2
22
u t
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
#
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Ar 2
s pr
2
Chapter 2
Mathematical Modeling
in Frequency Domain
1
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Introduction of Mathematical Modeling
LTI Differential Equation :
an
dำหื๋
) tdm
มา
%
+
.
,
Transfer Function
(Frequency Domain)
.
.
+ a
,
dcltl
+
aocct )
=
"
หั๋) tbmdlf
bnd
ก
+
.
.
.
+
r
b
,
4#
µ
+
borct )
State Space
(Time Domain)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
2
D= defined
2.1 Transfer Function Definition
G (5)
( (5)
=
าn
RCS )
[ (5)
•
Transferfunction
•
อธิบาย ความ สัมพันธ์ ใน
เป็น แบบ จำลอง ทาง คณิตศาสตร์ ที่ ใช้ อธิบาย ระบบ ใน รูปแบบ
frequency domain
ใช้ อธิบายได้ เฉพาะ ระบบ ที่ มี คุณสมบัติ lineartime invariant
-
•
•
ภายใต้
GCS ) R (5)
=
เงื่อนไข ว่า ระบบไม่ มี
initial Condition (
=
อ
|[
=
0
ความ สัมพันธ์ ระหว่าง
input กับ output
เท่า นั้น
)
3
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Find transfer function from differential equation :
• Consider differential equation
dndhff
tam d
ตั๋หุ๋
"
t
+
.
→
.
.
dcctl
a.
+
ao CM
=
bmd
"
หิ๋ tbmdmrly
+
.
.
.
tbidtcn
tbor a)
• Take Laplace Transform with all initial conditions = 0
"
ans ( (5) tan.gs
"
( 9ns
t
"
( (5)
9ms
t
.
.
""
t
.
.
.
.
t
9,5 [ (5)
tqstao )
¥า
ะ
t 9 ออ (5)
'
( (ร)
=
=
bm MR (5) tbms
Cbm Mtbm.gs
""
t
*
.
.
.
""
Rls)
+
+
.
.
.
b SR (5)
,
tbo Rls)
b , stbo ) Rls )
bmMtbm.im/-. .tb,s+bo-ansntan.,smt. .ta,St9o
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
4
Ex1. Given the differential equation of system :
d 3c(t )
d 2 c(t )
dc(t )
3
7
5c(t )
dt 3
dt 2
dt
dr (t )
4r (t )
dt
a) Find the transfer function
53C (5)
(
t
352C (5)
Pt 352
t
ttst
75C (5)
5) C (5)
[ (5)
µ
t
SR (5)
=
t 4
RCS)
(5+4) R (5)
=
=
5C (5)
ร
+4ns
3+352
tts +5
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
5
b) Find the impulse response
[ (5)
5+9
=
_
sำ
Rcs)
_
352 tts +5
St 4
=
e
sta
=
-
-
CS t 1) (52+25+5)
(A)
=
[ งุ
=
-
5 +
4
-
( R (5)
_
Sำ
=
1)
352 tts +5
ICH 1)
+
{ เ2)
2)
ะtำ
(5+1)
-
5+1
} อิ๋ cosat) { ยั๋ sinut 1)
+
+2
Ult)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
6
c) Find the unit step response
[ (5)
St 4
=
Ptssttstts
=
sแ
f}
-
ยั๋
{
15
=
5+25
+
ง
=
( Rl 5)
}
ย
=
ง)
=
sil "
%ทู
=
+
0
}|
=
lst "
-
!ทฺ ฐื๊ts )
อ
=
} (2)
+22
แtแะ
stlcstnti
-
Ult)
d) Find the steady state unit step response
clt
[ ( 0)
+
# etcosnttgitsinut ) )
-
[ 10 )
=
3
+
T
5)
10 )
งุฅุ๋
สาก
=
St 4
=
(A)
""
[
=
แ+
( (a)
=
CCH
|+
→
นะ
}
ง
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
7
Ex2. Given the differential equation of system :
d 4 c(t )
d 3c(t )
d 2 c(t )
dc(t )
dr (t )
11
45
81
54
c
(
t
)
15
dt 4
dt 3
dt 2
dt
dt
a) Find the transfer function
C. (5)
15 S
=
T T
RCS )
สึ
59+1
IS
ำ 95 ร้ +81 St 54
b) Find the unit ramp response
cct )
ะ
( ก ษุ้ยื๋
.
+
{t
ยิ๋
+
2ft ยึ๋
+
+ 222
<
ยื๋]
UH )
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
8
2.2 Electrical Transfer Function
Voltage-current relationships for electrical devices
Frequency
Domain
Time domain
idt)
idvf
=
Vrlt)
=
R-ip.lt )
Vdt )
,
=
=
{ qclt )
Rdqpltlne
dt
VLH ) =L
dhltl
=
Ldzquet)
dt
2
"
%
ะ
←
,
Vcl 5)
ะ
Es
R
c n
Ic (5)
"")
คณะ
↳
Ic (5)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
9
Ex3. Consider the electric system shown in below figure:
a) Find the transfer function
b) Find the transfer function
VC ( s )
Vin ( s )
I (s)
H (s)
Vin ( s )
G (s)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
10
a) Find the transfer function
G (s)
VC ( s )
Vin ( s )
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
b) Find the transfer function
H (s)
11
I (s)
Vin ( s )
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
12
Ex4.
a) Find the transfer function
b) Find the transfer function
I3 ( s)
Vin ( s )
V3 ( s )
H (s)
Vin ( s )
G (s)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
13
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
14
a) Find the transfer function
G(s)
I3 (s)
Vin ( s )
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
b) Find the transfer function
H (s)
15
V3 ( s )
Vin ( s )
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
16
2.3 Translational Mechanical Transfer Function
Force-displacement relationships
Frequency
Domain
Time domain
itmpedanle
f (f)
①
-
Zl 5)
FI
=
ค่าคงที่
×
¥หื๋
Fv
=
flt)
-
ญื่ะ ทาง
"
K
=
XCS)
FHI
{
②
KXHI
=
l
%
ษู๋,
Uvdxletl
Zl 5)
=
Mdklt)
2- (5)
=
=
Fl 5)
=
=
fvs
µบ S
µ
dt
fs
flt )
=
Fl "
dt
=
Fg
-
2
Mร้
17
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
นับ จุด
Ex5. Find the transfer function
อ้างอิง
flt )
-
Newton น
①
Kxlt )
Mdklt )
+
-
รู
X ( s)
F ( s)
G1 ( s )
③
and
lfvtttv )
Tt
t
=
dxltt
)
+
V (s)
F (s)
G2 ( s )
.
dxftl ltvdxlt MMIEY
-
offreedom
คงที่ (ไม่ มี ก เคลื่อน ที่ )
second law
②
เคลื่อน ที่ ได้ เป็น อิสระ ต่อกัน
degree
า
•
Kxlt)
=
f-
flt )
②
~
•
Take
( Ms
2
Laplace
Transform
lfvt
Uv ) Stk ) X (5)
+
G , (5)
=
× (5)
F- (5)
3
๐
←
=
FCS )
•
จาก
vct )
=
d×
หื๋
→
V (5)
=
SXIS )
1
=
l
-
คน
}
M ร้ t
Cfvt Mv ) Stk
#
Msztlfvt Mv ) Stk )
Gz (5)
=
Vlslnne
X (5)
=
FCS )
SFCS
lfvtuv
)
=
_
M ร้ +
) stk
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
#
18
มี มวล
l M)
2
ก้อน
Ex6. Consider the translational mechanical system shown in below figure.
2
degree
offreedom
H
It
Xglt )
(
=
เท่า กัน
า
Xzlt)
ตลอด เวลา
)
degreeaffreedom
เป็น ระบบ
•
Note
:D
egree offreedom
ณ
จุด ใด ๆ
ของ การ เค
2
degrees
Of
Freedom
llinearly independentmotor )
ลื่
19
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
f- KM
-
-
Kzlti ×2)
Fy ii. xi )
=
-
fv ,Xำ
-
mii
f
①
→
|
④
→
Xา
→
f
ไม่ อยู่ นิ่ง
1→
fy vii. ผุ้า
Fyin ii
-
←
i-MDE-kzn.ggนำ
e-
"
←
K 3h
Kzlti Xz )
1-
i
k
, Xg
Fy Xi
-
fvslxi ยุ่ ) kzlxix ) fvz กู๋z
-
-
-
,
a) Find the transfer function
สมการ ก
•
Flt )
•
-
.
เคลื่อน ที่ ของ
lfytfv3)
สมการ ก
-
.
x.lt)
หื๋
4×
dhltl
-
Mzki
X 1 ( s)
F (s)
:
-
เคลื่อน ที่ ของ xzlt )
lfvztfy )
=
lk ,
tty ) X , ( t )
tfvsdxzltl
+
Kz Xzlt )
=
MMIWY
:
lkztk 3) Xzlt )
tfydryltl
+
kz × า H )
=
Mz
dKหุ๋)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
20
•
จาก สมการ การ
เคลื่อน ที่
จัด รูป สม การ
Xit )
transform
Laptace
าโหื๋ tlfutfvddhltlKHEK.lt
fythcn.kz/klt)=fct)(M,S2t(fv,tfy)stlK,tKz))X,CS)-(fyStK)Xz(s)=FCS)
M
)
)
-
,n
•
-
•
เคลื่อน ที่
จัด รูป สม การ
transform-fydf.kz/hlt)tMzd2_tlfytfvs)dXzlt)t(KztKg)Xzlt)
จาก สมการ การ
lfys
*
X.lt )
kz ) × า (5)
l
t
Mzft lfvz
Laptace
tfvg) stlkztk g)
) Xz (5)
ะ
=
0
0
เขียน สมการ การ เคลื่อน ที่ ใน รูป เมทริกซ์
[
M,
ร้
+
lfytfv3) 5
t Ck HK 2)
TF" ""
-
Mzs
2
+
lfvgstkz )
lfytfy ) s
+ ck
| หื๋ |
#g)
=
/ หิ๋Y
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
ใช้
Cramer 3 rule
เพื่อ หา Xis)
:X( %)
,
21
(S )
-
lfb St Kz )
Mz 52
=
+
lfvztfy ) St lkztk 3)
|
-
[
M เ 52 tlfv , tfv3) St ( Mtkz )
-
'
Cfvgstkz )
MI tlfvztfv3) Stlkztk g)
Cfvgstkz )
-
]
D
(5)
Mz t lfvz X
)
(
)
,
=
Hfy
St
Kztkg
ิ
gt
๏
จะได้
transfer
FCS )
Fvnctioh
X , (5)
ด้
=
Mz 52
t
lfvztfy) Stlkztk 3)
-
g-
#
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
22
X 2 (s)
F ( s)
b) Find the transfer function
•
frequency domain
degree of freedom
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
23
⑤
๗
•
สมการ การ
เคลื่อน ที่ ของ ระบบ
[
MS tlfv , t Fvg) S
ใช้
Cramer ง rule
"
'
t
l Mtkz)
lfvitkz )
เพื่อ หา
-
การ
"
Xis )
Xz (5)
-
F, (5)
( fystkz )
tlfyt Fy
,
และ
=
] [ ไ | f %)
ckzty
=
)s
+
จัด รูป สมการ
แล้ว จะได้ transferfunction
lfvs St Kz )
-
D
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
24
Ex7. Write the equations of motion for each systems
|
-4
Xslt )
a)
1mi
xit )
f-
>
× แแ
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
ง
-
25
Elt )
b)
1
→
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
26
c)
(ฑิ๋กื๋ ญู๋๋ญู๊
""
.
. ..
.
.
.
..
.
.
.
.
.. . .
.
.
| | ภู้ | หุ๋
1 ษิ๋aะ i. | | ภู้ | หุ๋ |
"
.
.
.. .
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
d)
27
•
•
Mz
M, 0
=
=
0
| วู๋{ภื๋
.tl/=II:.Ecs)=f!.
.
.
;)
te
Order
ของ ระบบ
translational system
จะ
เท่า กับ
ผล รวม ของ
ตัว ชีกำลัง
ที่ มี ค่า มาก สุด
ของ
=
ฎุ๋
FCS )
impedance ที่ เกี่ยวข้อง กับ แต่ละ การ เคลื่อน ที่
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
28
2.4 Rotational Mechanical Transfer Function
Torque-angular displacement relationships
Frequency
Domain
Time domain
TH)
KOH )
=
ZC 5)
=
Tlfn
=
K
0 (5)
Tlt )
=
Ddoltlnn
ZCS)
d 20 4)
zcs)
=
I.
=
D. s
0 (5)
dt
t
Tlt )
J
=
=
-
e
=
J
-
ร้
0 (5)
d-12
29
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Body Diagram
Free
l FB D)
Ex8. Consider the rotational mechanical system
bearing ไป ต่อ กับ
Motor มี
""
_fnไ-
""
2T
=
S,
อุ่
สปริง
Gen
⇐⑨ : ฑุ๊ ⑧÷
-
_
T
แกน เหล็ก
T
/
เชื่อม
มี แรงเสียดทาน
Cbearing )
สปริง
เ
⑦
แรงเสียดทาน)
D 0ำ
ย 9
•
สม การ
เคลื่อน ที่
อi_ำ )
TCt )
ผล ต่าง การ ยืด สปริง
-
0M
Qlt )
D;
dQltl-k0.lt
(
ฏิ๊ ry
/
Kzl
0
สม การ
เคลื่อน ที่ 0ft )
D. อํ
→
2- G)
=
torrk
Oi 0 )
•
E
-
Dz
0,10 )
k
) + k 02 4)
(
1 (s)
T (s)
a) Find the transfer function
0
kl
=
J,
อำ เอ)
หุ๋
ะ
ET
""
d02lt-k0.lt
มี แรงเสียดทาน
d " 0,1
µ
:
)
,
bearing )
+ K 0 า lt )
=
Jzd
←
"
อะ 1แ
อ. เอ)
=
,
Jz อู่
อู่ เอง
_
dt
นรากร
ะ
kl 0 z -0 ;)
จน
.
อ rder ระบบ
1 จน S
=
อัน ดีเป็น Conditim
ของ ระบบ
ที่ ต้องการ
สูง สุด )
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
30
•
จาก สมการ การ
เคลื่อน ที่
หุ๋
"0
J,
( ค ร้
•
จาก สมการ การ
t
D;
+
KQHI
-
KQI 5)
Jz
t
จัด
รูป สมการ แล้ว Laplacetransform
)
0,1 5)
02 lt )
t
,
dQltltk0.lt
D, Stk )
เคลื่อน ที่
-
•
Qlt )
-
,
-
K 02 (5)
จัด
KQH )
=
=
Tlt)
T (5)
รูป สมการ แล้ว Laplacetransform
%
D.
+
d0zltltk0.lt
(52 52 * Dztk ) 02 (5)
=
)
=
0
0
เขียน สมการ การ เคลื่อน ที่ ใน รูป เมตริกซ์
[
""
ฑุ๋
"k
ฏั๋
| | อภิ๋ | | ยิ๋ |
=
+
µ +*
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Order
4
เมื่อ
5แ Jit 0
31
ทั้ง คู่
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
32
b) Find the transfer function
•
( s)
T (s)
2
frequency domain
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
สมการ การ
[
33
เคลื่อน ที่ ของ ระบบ
"
หื๋
"
"
sip.sn ) ( อ%) [ %) ยั๋
=
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
34
Ex9. Write the equations of rotation for each systems
ศื๋
a)
กํ๋
I.%ฑื๋ะ :') 1 %;) [ ]
=
""
.
+
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
b)
f
""
ญั๋ ศั๋
"
"
35
ศั๋ง
0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
36
2.5 Rotational Mechanical with Gears Transfer Function
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
37
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
38
Ex10. Find the transfer function
G(s)
(s)
T (s)
2
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
39
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
40
Ex11. Find the transfer function
•
2-
G(s)
(s)
T1 ( s )
4
degreeoffreedom system
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
41
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
42
•
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
43
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
44
Ex12. Find the transfer function
f
G ( s)
( s)
T1 ( s )
1
f
""
""
gatl
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
45
•
f
""
fn
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
46
2.6 Electromechanical Systems Transfer Function
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
47
Electrical Equations
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
48
Rotational Mechanical Equations
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
49
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
50
Find the electrical constants of motor’s transfer function
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Ex13. Find the transfer function
G(s)
51
(s)
Ea ( s )
L
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
52
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
54
Chapter 3
Mathematical Modeling
in Time Domain
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
1
Introduction of State-Space Modeling
Transfer Function
( Frequency domain)
Vs
State-space Model
( Time domain)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
2
3.1 State-Space Model
General form of state-space model
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
3
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
4
How to select the state variables of system
System variable :
State variable :
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
5
3.2 Applying the State-Space Model
Ex1. Given the electrical system :
a) Write state-output equation if the output is Vout (t)
b) Write state-output equation if the output is i o (t)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
6
a) Write state-output equation if the output is Vout (t)
•
•
state vector
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
7
•
-
(1)
-
(2)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
8
-
•
(4), (5)
(6)
(3)
state-output equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
9
b) Write state-output equation if the output is i o (t)
•
•
output equation
(4), (5), (6)
(7)
state-output equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
10
Ex2. Consider the translational mechanical system shown in below figure, write
is system output.
state-output equation equation if
•
x1(t):
•
x2(t):
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
11
state vector
•
state variable
x1(t)
•
state variable
x2(t)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
12
•
(1)-(4)
state-output equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
13
Ex3. Consider the translational mechanical system shown in below figure, write
is system output.
state-output equation if
•
x1(t):
•
x2(t):
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
14
•
state vector
•
state variable
x1(t)
•
state variable
x2(t)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
(1)-(4)
15
state-output equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
16
Ex4. Write state-output equation of the rotational mechanical system if
system output.
•
1(t):
•
2(t):
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
is
17
state vector
•
state variable
1(t)
•
state variable
2(t)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
18
•
(1)-(4)
state-output equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
19
3.3 Converting a Transfer Function to State-Space
Standard form of state-space:
Convert a transfer function into state-space in phase variable canonical form
•
•
transfer function
state variable
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
20
X1 s
R s
•
-
-
1
s
n
an 1s
n 1
differential equation
a1s a0
inverse Laplace transform
state vector
state variable
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
-
-
state variables
21
differential equation
state equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
22
C s
X1 s
•
-
-
bn s n bn 1s n
1
differential equation
state variables
(1)
(2)
b1s b0
inverse Laplace transform
differential equation
output equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
23
transfer function
C s
R s
G s
bn s n bn 1s n 1
s n an 1s n 1
state-output equation
b1s b0
a1s a0
phase variable canonical form
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
24
Ex5. Write state-output equation in phase-variable form for each the transfer functions:
C s
R s
•
s 3 6 s 2 21s 6
3s 3 27 s 2 26 s 24
state variable
•
25
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
-
-
differential equation
inverse Laplace transform
state vector
state variable
-
state variables
differential equation
.... (1)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
26
•
-
-
differential equation
state variables
inverse Laplace transform
differential equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
state-output equation
27
phase variable canonical form
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
28
3.4 Converting from State-Space to a Transfer Function
r t
xt
Ax t
Br t
yt
Cx t
Dr t
• Take Laplace transform the
state equation
•
y t
• Take Laplace transform the
output equation
transfer function
29
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
3.5 Time Response of the State-Space Model
r t
xt
Ax t
Br t
ct
Cx t
Dr t
; x0
x0
c t
Laplace Transform Method
• Take Laplace transform the state equation
•
state response
•
output response
inverse Laplace transform
output equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
30
Ex6. Given the state-space equation of the system:
x t
y t
0
3
2
x t
5
0
r t
1
; x 0
2
1
1 3x t
a) Find the transfer function
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
b) Find the state response if input is
r t
31
e tu t
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
32
c) Find the output response if input is
r t
e tu t
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
33
Solving directly differential equation method
•
state equation
differential equation
state response
state transition matrix
•
output response
output equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
34
Ex7. Given the state-space equation of the system:
x t
y t
0
2
2
x t
5
0
r t
1
; x 0
1
2
2 1 x t
a) Find the state transition matrix
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
35
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
36
b) Find the state response if input is
r t
e 2t u t
t
x t
t x 0
t
Bu
d
0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
c) Find the output response if input is r
t
37
e 2t u t
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
38
Chapter 4
Transient Response
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
1
4.1 Poles, Zeros and System Response
Definition of Pole and Zero
o Poles
o Zeros
o Characteristic equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
2
Ex1. Find the poles and zeros of the systems represented in transfer function
a)
G s
s3
•
s 3
11s 2 38s 40
transfer function
• Characteristic equation
• Poles :
• zeros :
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
b)
G s
•
3
s 3 8s 2 37 s 50
s 3 14 s 2 69 s 116
transfer function
• Characteristic equation
• Poles :
• zeros :
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
4
Relationship between the poles-zeros and system response
o
R s
Poles
input
1
s
G s
s 2
C s
s 5
Poles, zeros
system
5
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
o Poles
input
o Poles
system
•
•
real part poles
imaginary part poles
generates cos
generates e
o Poles
0
t
5t
zeros
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
6
4.2 Transient Response Performance Specifications
• Time constant (Tc ) :
• Rise Time (Tr ) :
• Setting Time (Ts ) :
• Peak Time (Tp ) :
• Percent overshoot (%OS ) :
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
7
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
8
4.3 First-order Systems without zeros
K
G s
R s
C s
s a
o Unit step response
o Final value unit step response
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
9
o Transient performance specification of first order system
• Time constant
• Setting time
• Rise time
Tr
Tc
1
a
Ts
4
a
2.31 0.11
a
a
2.2
a
Note 3: Transient specifications
poles
gain
steady-state output response
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
10
Ex2. Find the transient performance specification of the systems represented
in transfer function
a)
G1 s
Time constant
Setting time
Rise time
2
s 50
b)
1
0.02 sec.
50
4
0.08 sec.
Ts
50
2.2
0.044 sec.
Tr
50
Time constant
Tc
G2 s
Setting time
Rise time
1
s 50
1
0.02 sec.
50
4
0.08 sec.
Ts
50
2.2
0.044 sec.
Tr
50
Tc
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
11
• Unit step response
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
12
4.4 Second-order Systems without zeros
K
R s
s
• Natural frequency (
2
2
n
s
2
n
C s
):
• Damping ratio ( ) :
• Characteristic equation :
• Poles:
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
13
o Type of second-order system
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
14
Overdamped second order system
• Poles
• Unit step response
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
15
Critically damped 2nd-order system
• Poles
• Unit step response
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
16
Underdamped 2nd-order system
• Poles
• Unit step response
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
17
Undamped 2nd-order system
• Poles
• Unit step response
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
18
4.5 Underdamped Second-order Systems
K
R s
s
o Characteristics equation :
2
2
n
s
C s
2
n
0
1
o Poles:
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
19
o Unit step response:
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
20
o Transient performance specification of underdamped second
order system
• Peak Time
• Setting Time
• Percent overshoot
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
21
• Rise time
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
22
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
23
Ex3. Given the system shown in below figure, where x(t) is output
and f(t) is input.
Find natural frequency, damped frequency of oscillation and
exponential damping frequency and transient performance
specifications
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
24
• Transfer function
• Natural frequency
• Exponential damping frequency
• Damping ratio
• Damped frequency of oscillation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
25
• Setting time
• Peak time
• %overshoot
• Rise time
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
26
Ex4. Given the system shown in figure, find K and D to yield 23.3%
overshoot, setting time of 0.5 seconds and peak time of 0.1821
seconds for a unit step input of torque
• Transfer function
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
27
• From transient specifications
• Transfer function
28
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
o Effect of poles moving
• Case1: poles are moved in a horizontal direction
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
29
• Case2: poles are moved in a vertical direction
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
30
• Case3: poles are moved in a constant radial line
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
31
4.6 System Response with Additional Poles
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
32
3
G0 s
s
2
29
, G1 s
4 s 29
29*6
, G2 s
s 6 s 2 4 s 29
29*30
s 30 s 2 4s 29
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
33
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
34
Ex5. Find the transient specification of the systems represented in transfer function
G1 s
700
s 15 s 2 4 s 100
• Poles :
•
• Setting time
• Peak time
• %overshoot
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
35
unit step response
G1 s
700
s 15 s 2 4 s 100
700
G2 s
s
2
15
4 s 100
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
36
4.7 System Response with Zeros
Effect of adding negative zero to a system
3
G0 s
s2
9
2s 9
G1 s
4.5 s 2
s 2 2s 9
G2 s
0.6 s 15
s 2 2s 9
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
37
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
38
Effect of adding positive zero to a system
3
G0 s
s2
9
2s 9
G1 s
9s 1
s2 2s 9
G2 s
0.6 s 15
s2 2s 9
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
39
40
Pole-zero cancellation
G0 s
s
29
4s 29
2
0.2
s 0.3
0.3
s 0.2 s 2 4s 29
29
G1 s
10
s 10.1
10.1
s 10 s 2 4s 29
29
G2 s
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Partial fraction
41
unit step response in frequency domain
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
42
Chapter 5
Reduction of Multiple Subsystems
(Graphic Analysis)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
1
Introduction
(subsystem)
2
o Block diagram (
Transfer function)
o Signal flow graph (
state space model)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
2
5.1 Block Diagrams
Components of a block diagram
o Signal
o System or subsystem
o Summing junction
o Pickoff point
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
3
Cascaded Subsystems
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
4
Parallel Subsystems
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
5
(Negative) Feedback Subsystems
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
6
•
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
•
•
7
H(s) = 1
summing junction
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
8
Moving block to create familiar forms
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
9
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
10
Ex1. Reduce the block diagram to a single transfer function
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
11
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
12
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
13
Ex2. Reduce the block diagram to a single transfer function
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
14
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
15
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
16
5.2 Analysis and Design Feedback Systems
Ex3. For a unity feedback system with a forward-path transfer function
G s
25
s s 6
,find the transient performance specifications.
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
17
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
18
Ex4. For a unity feedback system with a forward-path transfer function
G s
K
s s 7
, Design the value of gain K so that the system will response with 20%
overshoot.
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
19
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
20
5.3 Signal-Flow Graphs
Components of a signal-flow graph
Block Diagram
Signal-flow graph
• Signal
• System
• Summing junction
• Pickoff point
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
21
Cascaded Subsystems
Parallel Subsystems
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
22
(Negative) Feedback subsystems
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
23
Ex5. Convert the block diagram of below figure to a signal-flow graph
E1 s
E2 s
X s
E3 s
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
24
5.4 Mason’s Rule
Signal flow graph
transfer function
Nomenclatures
• Loop gain :
• Forward path gain :
• Non-touching loop:
• Non-touching loop gain:
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
25
Mason’s Rule
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
26
Ex6. Find the transfer function for each of the following system
shown in figure.
a)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
27
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
28
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
29
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
30
b)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
31
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
32
c)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
33
5.5 Signal-flow graphs of State Equation
Ex7. Draw a signal-flow graph for the system shown in state equation
x1
x2
2
6
5
2
3
2
x1
x2
2
5 r t
x3
1
3
4
x3
7
y t
x1
4 6 9 x2
r t
x3
• Step 1 : node
( input, output, state variables
and their time derivatives)
• Step 2 :
state variables and their time derivatives
integration
• Step 3 :
node
time derivative of state variable
state equation
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
34
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
35
Ex8. Draw a signal-flow graph for the unity feedback system with
forward-path system shown in bellow state-output equation.
x1
x2
y t
105
1
506
0
100 500
x1
x2
1
e t
0
x1
x2
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
36
Chapter 6
Stability
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
1
Introduction
• Transient Performance
Control Performance
• Steady State Performance
• Stability
total output response
natural output response
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
2
6.1 Stability Definitions
Using the total response (BIBO Stability)
•
stable (
•
unstable (
input
)
)
output response
r t
System
c t
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
3
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
4
- System1
- System2
- System3
- System4
Using the natural response
•
stable (
•
unstable (
•
marginally stable (
)
)
)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
5
6.2 Relationship between the poles and Stability
R(s)
o
poles
G(s)
C(s)
s-plane (LHP)
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
6
poles
o
s-plane (RHP)
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
poles
o
poles
j
s-plane (RHP)
7
s-plane
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
8
poles
o
j
s-plane
s-plane
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
9
Ex1. Determine the stability for each of the following systems
shown in figure.
a)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
10
b)
c)
R(s)
d)
R(s)
e)
R(s)
1
C(s)
s 2 s
2
5
1
s 2 s
2
5
C(s)
2
1
s 2 s
2
C(s)
5 s
2
4
11
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
6.3 Routh-Hurwitz Criterion
stability
RHP, LHP,
(closed-loop) poles
•
j -axis
(closed-loop) transfer function
C s
an s n
R s
an 1s n
1
a1s a0
• Characteristic equation
an s n
an 1s n
1
a1s a0
0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
12
Routh Table
sn
sn 1
sn 2
sn 3
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
13
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
14
sn 4
s0
6.4 Interpreting the Routh Table
o
•
•
( +
poles
LHP
poles
–
– +)
RHP
Ex2. Determine the stability of the unity feedback system with forward path
transfer function
G
s
s s
3
200
6 s 2 1 1s
6
, and find the number of poles in the LHP,RHP and on the jw-axis.
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
15
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
16
s4
s3
s2
s1
s0
Ex3. Determine the stability of the unity feedback system with forward path
6
transfer function G s s 3 s 9 s 6 s 4 s 7 s 8 s 2
6
5
4
3
2
, and find the number of poles in the LHP,RHP and on the jw-axis.
s7
s6
s5
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
17
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
18
s4
s3
s2
s1
s0
o
•
Routh table
•
•
0+
take limit
0( +
poles
– +)
RHP
poles
–
LHP
Ex4. Determine the stability of the system with transfer function
T
s
C s
R s
10
s
5
2s
4
3s3
6s2
5s
3
And find the number of poles in the LHP,RHP and on the jw-axis
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
19
• Routh Table
s5
s4
s3
s2
s1
s0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
20
•
1 st column
0
0
s5
s4
s3
s2
s1
s0
21
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
o
•
•
•
Auxiliary polynomial equation, P(s),
P(s)
differentiate
2
Q(s)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
P(s)
22
-
Q(s)
RHP
Poles
pole
LHP
Q(s)
-
P(s)
pole
poles
poles
LHP (
Poles
RHP
P(s)
origin)
j -axis
23
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Ex5. Determine the stability of the system with transfer function
C s
R s
s
8
s
7
12s
6
22s
5
20
39s4
59s3
48s2
38s
20
, and find the number of poles in the LHP,RHP and on the jw-axis.
s8
s7
s6
s5
s4
s3
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
24
s2
s1
s0
25
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
Ex6. Determine the stability of the unity feedback system with forward
path transfer function
G s
s s7
3s 6
10 s 5
128
24 s 4 48 s 3
96 s 2
128 s
192
, and find the number of poles in the LHP,RHP and on the jw-axis.
s8
s7
s6
s5
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
26
s4
s3
s2
s1
s0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
27
6.5 Stability Design via Routh-Hurwitz
Ex7. Find the range of gain, K, for the system that will cause the system to be
stable, unstable and marginally stable. (Assume K>0)
s3
s2
s1
s0
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
28
•
stable :
•
unstable :
•
marginally stable :
1
K= 1386
s1
Routh table
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
29
Ex8. For the unity feedback system with the forward path transfer function
G
s
K
s s
s
2
20
s 3
find the range of gain, K, that will cause the system to be stable,
unstable and marginally stable. (Assume K>0)
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
30
• Routh table
s3
s2
s1
s0
•
stable :
•
unstable :
•
marginally stable :
1
s1
01205362 Linear Control Systems : fengnwc@ku.ac.th
31