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AR TIFICIOS DE INTEGRACION
353
Si!llples , es decir, reemplazarla por la suma algebraica de fraccion es
cuyas formas nos permitan completar la integración. En A 1gehra
superior se demuestra que esto es siempre posible cuando el denominador puede descomponerse en factores primos reales. *
Caso 1. Los jactores del denominador son todos de primer grado, y
ningún jactor se repite.
Corresponde a cada factor no repetido de prim er g rado, como
x - a, una fracción parcia l ele la forma
A
x-a'
siendo A constante. La fracción dada puede exp rf'sarse como una
suma de fra cciones de esta forma. Los ejemplos mue"tran el rll étor!o.
'.
J
+ 3) dx
+ X2 - 2 x'
(2 x
EJEMPLO.
Solución.
ga mos
Hal lar
x3
Los factores del denominad or son x.
2x+3
1) (x +2)
( 1)
B
+- + .\ e+
x - 1
A
x
-;----;-;--'-;---;-;::-:- = -
x (x -
x -
l.
x
+ 2.
Supon-
--o
2
e
e n donde A. H .
son constantes por det erm inH.
Qu iund o denominadore s de (1). obtenemos
(2)
2 x
2 x
+3 =
+3=
+ 2) + /l (x + 2) x + e (x - 1) x .
+ B + e) x2 + (A + 2 B - e) x - 2 A .
A (x - 1) (x
(A
Puesto que esta ecuación es una id e ntid ,HI. igualamos los coefic icntes d e Ll ó
mismas potencias de x en l os dos mi e mbros y obte n emos trcs cc u dC ion es s imul táneas
(
A
/J
= (J.
+ +e
(3)
{
A + 2B-e=2.
l
- 2 A=3.
Reso l v ie nd o l'i s istenl:1 formado por las ecuaciones (3 ) . ob te nemos
B=~
3
e=
1
6'
VL'ase Aduanccd Al yrbra . por H awhes .
En el proceso de descomponer la parte fraccion.Hia de 1" di ferencial dad.l .
no entra ni el sig no integral ni dx .
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354
INTEGRAL
CALCULO
Su st itu yendo
estos
valores
en (1).
f
x (x -
+
1) (x
3(x-l)
~f
dx = -
2)
%
=
3
+%
In x
e (x -
In
ó (x
+ 2.f~
dx
x
2
= -
Igualando
los coeficientes
ci o nes simultáneas
5
2x
+3
2 x
resulta
= __ 3_+
2x+3
x(x-I)(x+2)
ARTIFICI<
1)
x -
+ 2)
-3
- ~f~
I
6
x
+2
3 A
+ In
In (x -1) - Ytí In (x+2)
e
Resolviendo
%
este sistema.
más
breve
para
obtener
de
3
los
de A.
valores
B Y C es el
x = O;
el factor
Sea el factor
x-
Sea el factor
x
en to n ce s 3 = -2
I = O.
+2
= O.
o sea.
x = 1;
o sea.
x = -
en tonces
A =
5 = 3 B;
entonces
2;
A;
-
B =
I = 6 C;
C=
En todos los casos, el número de constantes por determinar
al grado del denominador.
-%.
%.
- Yu.
son todos de primer
X
dx = - Ir
3
(.
es iquol
1
Verificar
Caso n. Los factores del denominador
algunos se repiten.
1) 3
f x x3(x _+ 1)I
tlltn.1
Sea
+ 1 =-l
x
x (x -
(2)
se (
.
x%(x+2)Ytí
Un método
siguiente:
de
in teg i
las siguientes
grado, y
lo
(4 x - 2) dx = In
- x2 - 2 x
S
x3
En este caso a todo factor de primer grado repetido n veces, como
(x - a)ll, corresponde la suma de n fracciones parciales de la forma
+
A
(x-a)'"
en donde A, B, ..
integran fácilmente.
S
Adx
(x-a)n
B
L
(:r-a)n-¡+
,L
son constantes.
Por ejemplo,
S(
-
-A
)-lld'-
x-a
Estas fracciones
parciales
se
x-(l-n)(x_ayn-¡+'
Solución.
Puesto
xa
f
x (x
que
x -
Hallar
x3 + l
x(x-I)3=-;:
Quitando
A
+
-
l
)
I
3
(4 x3
I = A ix -
x3
+
1=
1)
tres
veces
+
B
(X-I)3
como
C
factor.
(A+D)x3+(-3A
+
Bx
2
J'
x
-
(x-I)
(x--!-I)2=
Z2 d z
(z _ 1)
3
y3
suponemos
8.
+ -.P..__.
(x-I)2
J'2
¡
x-l
9.
3
2
4 x3
J:4
2
+
= In
+ 3) dx
+8x +3x '
+ 2 x + 1) d.
= In (z -
7. S(yL8)dY
denominadores.
x3
-
dx .
I entra
+
4 x3
4. S
6.
EJEMPLO.
3)dx
x
-
5. S(3X2+5x)dx
e
A
x
x3
(4 x
3. S
"'+x-a'
2
2. S(5
+ Cx
(x -
+C-2
1)
+ Dx
(x -
1)
D)x2+(3A+B-C+D)x
2.
10.
- A.
So
1
=
+ 2 y2
JC2
(x-3)dx
xa
x2
=41r
{x3 - 2)dx
x3 - x2
=
+
(2-x2)dx
x3
+3
Z
X
2.2
+ 2x
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ARTIFICIOS DE
355
l NTEGRAC ION
Ig ual a nd o l os coeficientes de las mismas pote nc ias de x. obtenemos la s ecuacio n es sim ul tá neas
A +D=1.
-
+C
3 A
+B
3 A
- 2 D = O.
- C
+D
=
O.
-A
=
1.
1. B
Re so lv iendo este sistema. se obtiene A
3
x + 1
x (x - 1)
f x (xX3 -+ 1)1
3
= _ ~+
2
X
(x - 1)
dx = - In x -
+
I
(x - 1)
3
1
ex - 1)
3
x
(x - 1)
2
+ In
2. C
=
2
=
1. D = 2.
+ _ 2_.
X - I
- _1_ + 2 In ex X - I
(x - 1)2
1) + C
+C.
X
2
PROBLEMAS ·
Verificar las siguientes integraciones.
1. f(4x-2)d X =ln x 2 - 2x +C.
x 3 - X2 - 2 x
(x
1) 2
+
x2
2. f(5
-3)dX =ln x 3 (x 2 -1 ) + C .
x3 - x
3. f
(4x +3 )dx
= - 1- ln (2x +1 ) (2x+3) + c.
4 x3
8 X2 + 3 x
2
X2
+
4. fC4x3+2x2+I)dx=x+..!..ln C2x+I )(2x 4 x3 - x
2
X2
I)2+ c.
5. fCJX2+5X)dX =ln(x+l )(x - I ) 2 - -I- + C.
(x - 1) (x
1) 2
X
1
6.
J'
+
+
z
2
=In (z - I ) _ _ 2_
dz
(z -
1)
3
-
Z
-
1
_
I
2 (z -
1)
+C.
2
7. f(y4_ 8)d y=y2_2y+2+2In (y2 + 2y)+C.
y3
2 y2
2
.
y
+
8.
i
'2
1
(x - 3)dx
x3
X2
+
(4 (x 3 -
9. J2
10.
( 3
JI
x3 _
= ..
2) d x =
X2
In2_2..
3
2-2 + In ~3
(2 - x2)dx
x3+3 x2+2x
=
=
-0.3492.
2
In ~
ID
= 2.7877.
= _
0.1054 .
y
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356
CALCULO
f';]
11.
x3
2
(3-x)dx
+ 4 x" + 3 x
2
(1
12.
(3 x
J"
(x+l)
J
1
+7
(x+2)
9
4
H.
O
Calcular
cada
15. f a8
x
16. f(5
17. f
18.
J'
19.
j'
+
(2 x
una
!x4
dx
1) (x
+
Hagamos z
Yz p = u.
tituyendo estos valores) la nu
se integra fácilmente.
80
x)dx
(x+3)
= In ~3 = 0.2877.
= In ~2 - -35 = -
2
X
ARTIFICIC
=ln~=0.0125.
'5
(X2 - 3) dx
O (x+2)(x+I)"
13.
INTEGRAL
+ 2)
EJEMPLO
0.4139.
l.
Solución.
Supóngase
2
Q u i tanda
denominadores.
de las siguientes
in tegrales.
22.
.:
x2 - 9)dx.
x3 - 9 x
4
f
(5 x2 + 14 x +
(x+2)(x+l)2
23. f
(3 z +7)dz
(z+I)(z+2)(z+3)'
24.
+
(3 x2
II x + 2) dx.
(x + 3) (x2 - 1)
f
10) dx .
Igualando
+
los coeficientes
de 1;
A+B=
(24 y2 + 10 y + 5) dr,¡.
(2 y - 1) (2 Y + 1) 2
Esto
A
da
l.
(x + 2) dx
x4 + 2 x3 + x2'
3
25. f(x
4d
+ 4) + x (E
A (x2
=
-x3
que x
=5In3-4=1.4930.
2 x - 4)dx
x' + 2 x"
B = - l.
C
f x (x4dx+ 4) = J
..
-
2
= In
2
(2 x
+
x
3)
dx
(4 x~ -
2
26. f(2x +I)dx.
(x - 2)
1)'
3
EJEMPLO
20. f(t:,+_I~dt
21. f
f
Hallar
.
27. f
(x2 - X - 5) dx .
x3 + 5 x2
28. f(2
_(y4
- 3 y'1!!y
.
(y2 - 1) (y - 2)
14
+ 3
«(2
-
20 (-.28)dl.
4) (2 1 - 1)
(3 -
2.
f
Demostrar
dx
+8
x3
Solución.
=
que
I I
(x
n x2-
24
Descomponiendo
¡
I
x3 +8 = ~
Caso III. El denominador contiene factores de segundo grado, pero
ninguno de estos [actores se repite.
A todo factor no repetido de segundo grado,
corresponde una fracción parcial de la forma
como x2
+
(Ax
+ px + q ,
+ C) x
2
(A
+
+ (2
B) (x
Entonces.
A
Ax+ B
x2
+ px+
q'
El método de integrar una expresión de esta forma se ha explicado
en la página 252 (ejemplo 2).
Si p no es cero, completamos el cuadrado en el denominador)
Por
tanto.
(4)
f
02.
= -
=
f x- 022 x +-
=
12
dx
;(3
+8
X
2
I
Ahora
B = }L
J
-
4x" - 2.
bien.
x2
-
2 x
+4 =
(x -
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357
ARTIFICIOS DE INTEGRACION
Hagamos x + Yz p = u. Entonces x = u - Yz p, dx = duo Sustituyendo estos valores, la nueva integral, en fuución de la vari:1ble u,
se in tegra fácilmente.
Hallar
EJEMPLO l.
Solución.
f
4 dx .
x3
4 x
+
Supóngase que
4
~ + Bx
=
x(x2+4)
+ e.
x 2 +4
x
Q u i tando denominadores.
=
4
A (x 2
+ 4) + x(Bx + e) = (A + B)x + ex + 4 A.
2
Igualando los coeficientes de l as mismas potencias de x. obtenemos
A
EHo d.l A
l. B
+B
=-
=
e
O.
e = O.
l.
4
O.
=
4.
=
d e manera que
x
=;--
x(x2+4)
4A
x2+4'
4dx
=fdx - f~
f x (x 2
4)
X
X2
4
+
+
= In
D ~mostrar
EJEMPLO 2.
dx
+
f - -x3
8
= -I
24
J...
x -
In (x 2
2
....;
(x
In
X2 -
+ 2) 2 + -v
I - /3 arc
2x + 4
12
Ax
+
+8
tg
= (x
~
. /-
v 3
+ 2)
(x 2
X2 -
2
-
X2
e.
Entonces.
=
02.
-
B
=
%. e
=
02.
Por tanto.
(4)
f
f x~=
+ í:l
3
-
x+)!.;d x + f 02dx .
4
x
2
02
X2 -
-- J...
f
12 X2
2 x
-
+
4 - x
2 x
+
+ -±
dx
+ J...12
In (x
+ 2) + C.
Ahora bien .
.x 2
-
2 x
+4
+ 4'
+ e.
e
B
+8 =
2 x + 4+ x + 2•
(Ax + B) (x + 2) + e (x
2 x + 4) •
(A + e)
+ (2 A + B - 2 e) x + 2 B + 4
x3
A
ex
X2
que
Descomponiendo en faétores x 3
Solución.
+ 4) + In e = In
= (x -
1)
2
+3 =
((2
+ 3.
SI
X -
1
tI.
-
2 x
+ 4).
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358
CALCULO INTEGRAL
Entonces x
=
u
+
-,,_4'----::-,--:-:.X-,-...., dx
X2 2 x +4
f
=
l . dx
=
Sustituyendo ahora u
sol ución.
duo
y
f_3_-_u du
u2 + 3
x -
=
= vl3 arc
1
tg _ ~- - -2 In (u 2
V 3
+ 3).
1. empleando (4) y redu ciendo. tenemos la
Caso IV. El denominador contiene factores de segundo grado y algunos de estos se repiten.
A todo factor de segundo grado repetido n veces, como
(X2
+ px + q)n ,
corresponderá la suma de n fracciones parciales, de la forma
Ax + B
(X2+ px +q)n
+
ex + D
Lx + M
+ px + q)n - l + .. . + X2 + px + q'
(X2
A fin de llevar a cabo la integración, se necesita la "fórmula de
reducción ' ,
(5)
que se demuestra en el capítulo siguiente. Si n > 2, es necesario
repetir la aplicación ele (5). Si p no es cero, completamos el cuadrado
X2
+ px + q = (x + Yz p)2 + ~ (4 q -
p2)
= u 2 + a 2 , etc.,
como antes.
EJ EMP LO .
Demostrar que
J 2 (x ++x 1)+ 3 dx
X3
2
Solución.
=
In (x2
2
Puesto que
X2
+ 1) + _ 1 +2 3 x + -23 arc
2 (x + 1)
+ 1 entra dos
2 x3 + X +3
(x2+1)2
19 x
veces como factor. suponemos
Ax+B + Cx +D.
(x 2 + 1) 2
X2 + 1
Quitando den om inadores.
2 x3
+ +3
X
=
Ax
+B+
+ C.
(Cx
+ D)
(x 2
+ 1) .
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359
ARTIFICIOS DE INTEGRA CION
Ig ualand o los coeficientes de las misma s potencias de x, y resol v iendo ,
obten emos
A = - 1, B = 3, C = 2, O = O.
L
uego
f 2x3+x + 3d
f - x + 3 d +f2xdx
(x 2 + 1) 2
X =
(x2 + 1) 2 X
X2 + I
In (x 2
=
+ 1) -
f
x dx
{x2+ 1)2
+ 3 J' (x
2
dx
+1)2
El valor de la primera de estas dos inte g rale s se determin a por la fórmula (4)
del Artículo 128; el de la seg und a por la d e reducción (í), qu e acabam os de
dar, haciend o u = x, a = l . n = 2 . De este m o do obtenemos
ln (x2+ 1)+
I
+1.-[ __x__ +ar c tg x ] + C.
f 2x3+x+3dx=
(x2 +1 )2
2{x2+1)
2 x2+1
Reduciendo, ten e mos la so lu ció n.
Conclusión, Puesto que toda función racional puede reducirse al
cociente de dos funciones racionales enteras, es decir, a una fracción
racional, se sigue, de la discusión ant erior, que toda función raciona l
cuyo denominador podamos descomponer en factores reales de prim ero
y segundo grado , puede expresa rse como suma algebraica de fun ciones
racionales enteras y fracciones parciales. Hemos mostrado cómo se
deben integ rar todas las formas posibles de los término s de esta suma.
Resulta, entonces, el teo rema sigui en te:
Teorema. La integral de toda funci ón racional cuyo denom¡:nador es
posible descomponer en faclor es reales de primero y segundo grados puede
hallarse, y puede expresarse en términos de funciones algebraicas, loga ritmicas y tr igonométricas inversas; es decir, en términ os de las fun cion es
elementales.
PROBLEMAS
Verificar las sig ui ente s inte g racio n es.
1. f
(4x
2
Xl
2.
f
3. f
4. f
+6ldx= ln x 2 (x 2 +3)+ C.
+3x
(x' + x) dx
(x -
1) (x 2
+ 1)
=
In (x -
1)
+ ar e tg x + C.
(212-81-8)di=2 In I2+4+c.
( 1 -2)( 12 +4)
1- 1
2
(x +x-10)dx =~lnx2+4 +aretg~2+C.
(2x-3)(X2 +4 )
2
2x-3
-
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360
C ALC ULO INTEGRAL
5 . f ( x - 1 8)dx =ln4x2+9+ _61 aret g2 x +C .
.¡ x 3 + <) X
X2
3
6.
7.
f(2y3+y2+2y+2)dy = In (u 2 +2)+aretg y+C.
y'
3 y2
2
-
+
f
+ -I- + C .
+ I
X
JO (x3 +3x)dX=~ln ex 2+1 ) __2_1_I+C,
f
+ 1)
+
(X5
q x
2
2
3
(4 X2
<)
-
r
1
dI
=
dx
+ x2 + x
x3
é -
= In ~+ __x_
~
2
+2
x~
4 In
2
= -
+
4
+ C.
3
2
0(12+4)2
13. f
X2 -
+ 2 x +8)dx
+ 2)
x (x 2
5
x'
a
9) dx = x _ In x (x2 + 9)
+9 x
x~
11. f
12 .
are tg z + C.
2 x dx
= ar e tg x
(x 2 + 1) (x + 1) 2
(x 2
10.
1.Z
_d_z_ = -7- Z2
Z4
8. f
9.
+
( 12
2 X2
+ 4)
V2
_ +
+4
- _8_
12+ 4
4
vil
+ C.
~l are
In X2 + x + I _
X2
a re tg ~ + C.
tg
3
2~
V3
+ C.
14 . f
(x + 4x )dx =~l n (x2+2) +
15. f
4 dx = In ~ - :: are tg x
x' - I
x + I
16. f
(2z2+3z+2)dz
=2 In (z+ 2)-arctg (z+ I)+ C.
(Z+2)(Z2 + 2z+2)
17.
o
20.
22.
23 .
2
1
2
l
. +C.
(X2+~)2
+ C.
_) 2dl=arcrgel+2)- 2+~
+1+3
41 + )
1
1
+5+C'
~ 4 (5 xX2 ++44)x dx = 3 In -+ = 4, 1589 .
3
1
el ex + 5xclx
Jo
r
2)
I
Jo
1
21.
3
(x2+2)~
f(
1 8.
19.
5
(x 2
+
=l n ~ + ~ = 0,667.
1)
<)
4
(2 X2 + x + 3) dx = In 4 + .::
(x +l) (x2+1)
4
1 ex2 +
(4X2+2x)dx
o
J)
ex + 1) 2
=
2, 171.
=~+1.ln 2 =O ,59Z,
2
4
r4 e5 134 - 41)dl=ln~+1.2 In ~I03= 1, 522.
J3
.f
1
-
16
5
2(Z:I+2 Z2+6Z + 8)dZ
O
(z2+4)2
= -ZI In 2
1 257
+ -4 + -81=.
.
JI'
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ARTIFICIOS
Determinar
24.
f
f
f
•
!I+C,
25.
26.
•
27.
4
28.
+C.
2arctg~+C.
.)2
2~+C.
.)3
C.
(z
+
1)
+ c.
_+ c.
)
de cada
una
INTEGRACION
de las siguientes
(6 x2 + 3 x + 4) dx.
x" + 2 x
29.
(z4+3)dz
(z+l)
30.
(z2+1)'
integrales.
f
(4 x3+3
•
x2+18 x+12)
(x2+4)2
Soy,
i
1
31.
x3 + x2 + 3)dx.
x, + 3 x2
32.
(S x2 + 12 x + C)
x~ + 3 x2 + 3 x
361
O
J,3
1
ss.
33.
J:
O
(4y2+iT
(2x3-4)dx
(x2+I)(x+!)2
X;l
3
dx.
8!1 dy
(2y+l)
(3 x" + 3 x + 1) dx .
x' + 3 x2
f'(3
f
el valor
DE
.
(x+IO)dx
+ 2 x2 + 5 x
(2 x3 + 18) d x
(x+3)
(x2+9)
168. Integración por sustitución de una nueva variable; racíonalizacion. En el artículo anterior hemos visto que todas las funciones
racionales,
cuyos denominadores
es posible descomponer en factores
reales de primero y segundo grados, pueden integrarse.
De las funciones algebraicas no racionales, es decir, las que contienen radicales,
no se pueden integrar en términos de funciones elementales sino unas
pocas, hablando relativamente.
En algunos casos, sin embargo,
sustituyendo una nueva variable,
estas funciones pueden transformarse
en funciones equivalentes
que o son racionales o se encuentran
en la
lista de las formas elementales ordinarias
(Art. 128). El método de
integrar una función no racional, reemplazando
la variable por una
nueva variable de manera que el resultado sea una función racional,
se llama a veces integración. por racionalización.
Este es uno dé los
artificios más importante
en la integración.
Ahora vamos a tratar
algunos de los casos más importantes de esta clase.
Diferenciales que contienen solamente potencias fraccionarias
de x.
Una expresión que contiene solamente potencias [raccionarias de x puede
transformarse en forma racional mediante la sustitución
siendo n el menor
rios de x.
denominador
comiai de los exponentes
En efecto, x, dx y cada radical pueden entonces
nalmente en términos de z.
EJ EMPLO
= 1,257.
1.
Demostrar
f
xv,
dx
l
x%
+
que
=
-.! x%
3
-
-.! 1n
3
(l
+ x%;) + C.
fracciona-
expresarse
racio-