Análisis, simulación y control de
un convertidor de potencia dcdc tipo boost
Recibido: agosto de 2011
Arbitrado: septiembre de 2011
Freddy Fernando Valderrama*, Henry Moreno C**, Héctor Manuel Vega***
Resumen
INTRODUCCIÓN
En este artículo se describe el comportamiento de un pulsador elevador (Boost), este circuito de amplio uso a nivel
industrial exhibe un comportamiento no lineal en virtud de su
sistema de conmutación, se obtienen y simulan las ecuaciones diferenciales no lineales que describen el comportamiento
del circuito con Simulink/MatLab y mediante el algoritmo de
Runge Kutta. Seleccionando los valores de los parámetros
para el circuito se obtiene el punto de equilibrio, que junto
con el Jacobiano permiten obtener un modelo lineal. Con el
modelo lineal se sintoniza un controlador PID y un controlador
de realimentación de estado, y se comparan realizando el
análisis de sensibilidad y de la respuesta transitoria.
En diversas aplicaciones industriales es
necesario obtener a partir de una fuente de
corriente directa de voltaje fijo, otro valor
de tensión mayor o menor que el original, es
decir, se convierte de CD a CD (Corriente
directa). Estos circuitos denominados pulsadores se usan ampliamente en control
de motores eléctricos, en grúas, trenes y
montacargas, ya que permiten controlar la
aceleración, poseen alta eficiencia y una
respuesta dinámica rápida (Rashid 1993).
En especial, en este trabajo se estudia el
comportamiento de los pulsadores elevadores, los cuales permiten obtener un voltaje
mayor al de la entrada. Estos pulsadores
se caracterizan por ser sistemas que admiten descripciones matemáticas diferentes
durante periodos de operación diferentes,
y se conocen como sistemas de estructura
variable (Sira, 2005).
Palabras clave
Sistema no lineal, fuente conmutada, sistemas dinámicos, sistema interactivo, control lineal, control pid,
realimentación del estado, Simulink/MatLab, pérdidas
de potencia.
Abstract
This article describes the behavior of an elevator button
(Boost), this circuit is widely used at industrial level exhibits a nonlinear behavior by virtue of their switching system
are obtained and simulate nonlinear differential equations
describing the behavior of circuit with Simulink / Matlab
and by Runge Kutta algorithm. Selecting parameter values​​
for the circuit to obtain the equilibrium point, which together with the Jacobian possible to obtain a linear model.
With the linear model is tuned PID controller and a state
feedback controller and compared by analysis of sensitivity
and transient response.
44
*
Ingeniero Electrónico egresado de la Universidad Industrial de
Santander (2004); Candidato a Magister en ingeniería electrónica de la universidad javeriana. Especialista en Automatización
Industrial, Universidad Nacional (2008). freddyfvg@yahoo.es.
**
Ingeniero Electrónico egresado de la universidad Distrital Francisco José de Caldas, Candidato a Magister de Matemáticas
Aplicadas de la Universidad EAFIT,. elehenry@hotmail.com.
*** Ingeniero Electromecánico egresado de la Universidad
Pedagógica y Tecnológica de Colombia; profesor de Diseño
Macatrónico y Dinámica de Sistemas en Ingeniería Mecatrónica Universidad San Buenaventura, Bogotá; participa en el
desarrollo de proyectos de investigación como “Desarrollo de
software de simulación de sistemas mecánicos de traslación” y
“Simulación del proceso de polimerización mediante autómatas
celulares”. Es asesor en las aéreas de diseño y control en la
industria petrolera. hectormvega@gmail.com
Análisis, simulación y control de un convertidor de potencia dc-dc tipo boost • p. 44-55
Investigación
Debido a la gran variedad de aplicaciones del pulsador elevador, en este trabajo
se estudia el comportamiento del mismo
y se hace un análisis comparativo de dos
controladores (reguladores), en cuanto a
sensibilidad y a ciertos requerimientos de
diseño en el dominio del tiempo. Se diseña
e implementa un control analógico PID
(proporcional-integral-derivativo), cuyas
constantes se estiman usando el método
propuesto por Ziegler-Nichols y el modelo
promedio lineal del pulsador elevador, este
último se obtiene calculando el Jacobiano
y el punto de equilibrio de las ecuaciones
de estado. De otro lado, se diseña e implementa un control de realimentación de
estado, que incluye eliminación del error en
estado estable mediante una acción integral
(Kuo, 1996).
se asumen solamente los elementos que tienen un efecto
significativo en la funcionalidad del sistema, es por esto
que se tiene en cuenta el efecto de la resistencia interna
de la inductancia, pero desprecian efectos como las caídas
de voltaje en el diodo y el transistor, debido a que son muy
pequeños comparados con los voltajes de la fuente y el de
salida; igualmente se desprecia el efecto de la resistencia
interna del condensador, que al ser mucho mayor que la
carga, su efecto es prácticamente nulo.
I.
DESCRIPCIÓN DEL SISTEMA
El convertidor tipo Boost es un circuito elevador de tensión, que usa las características del inductor y el capacitor
como elementos almacenadores de energía para elevar la
corriente proveniente de la fuente de alimentación y usarla
para inyectarla al condensador, produciendo así niveles de
voltaje mayores en la carga que los de la fuente. El interruptor en el esquema (fig. 1), consiste de dos elementos:
un elemento de conmutación rápida como un transistor
BJT, un Mosfet o el más comúnmente usado el IGBT y el
otro, un diodo con un tiempo de recuperación mucho menor
que el periodo de la señal de control; la función de éste
último, es impedir que la corriente de descarga del condensador se devuelva, ya que se desea que cuando la fuente
se desconecta del condensador y de la resistencia de
carga para almacenar energía en la bobina, se suministre
corriente a la carga mediante la descarga del condensador.
Cuando el transistor está en conducción (interruptor en 1),
la inductancia almacena energía para luego suministrarla
simultáneamente a la carga y al condensador a otro nivel
de voltaje en los intervalos en los que el transistor esté
en corte (interruptor en 2).
Se inicia analizando el comportamiento
dinámico del sistema, con el fin de obtener
el modelo matemático (no lineal, en variables de estado) del mismo, en seguida
se selecciona un punto de equilibrio, y se
prueba usando Simulink de Matlab con el
fin de verificar el comportamiento esperado,
según el análisis de los fenómenos eléctricos. Por otra parte, se analiza e implementa
el método numérico de Runge Kutta (Burden, 1998) para solucionar el sistema de
ecuaciones de estado, obtenido del modelo
no lineal del pulsador, y se compara con el
resultado de Simulink. Posteriormente se
muestra el proceso analítico de linealización, y se compara con el resultado obtenido
mediante el comando linmod de MatLab.
A partir del modelo lineal se diseñan los
reguladores mencionados.
Aunque en la literatura se encuentran diferentes análisis de este tipo de pulsadores
como en (Spinetti 2005), se propone un
modelo sintetizado donde, sin ser muy complejo, no se pierda la profundidad requerida
para una aplicación en ingeniería; para esto,
Fig. 1. Circuito conversor elevador.
El interruptor en la posición 1 del circuito físico (fig. 2),
indica que el transistor está en saturación, por lo que el
ánodo del diodo queda cortocircuitado a tierra, con esto,
45
Revista de la Facultad de Ingeniería • Año 12 • n.° 24, julio-diciembre de 2011
el diodo queda en polarización inversa y por consiguiente
no conduce comportándose como un interruptor abierto.
y el periodo del oscilador se denomina ciclo
de trabajo (D). (Hard 2001).
Salida. Es la señal de voltaje con la que
Entrada. Se toma la señal u que define el tiempo de conducción del transistor y determ
desea
carga y corresponde
estado estable la se
relación
entrealimentar
el tiempo delaconducción
y el periodo del oscilador se de
al voltaje en el condensador (v), en régimen
(Hard 2001).
permanente este voltaje está dado por:
Salida. Es la señal(Hard
de voltaje
con la que se desea alimentar la carga y corresponde al vo
2001)
en régimen permanente este voltaje está dado por: (Hard 2001)
(1)
(1)
Fig. 2. Convertidor real con transistor y diodo que cumplen
la
Perturbaciones.
Los parámetros que pueden afectar en mayor medida el funcion
Perturbaciones.
Los de
parámetros
consiguiente el voltaje
de salida, son la fuente
alimentación que
(E) y la resistencia
función del interruptor
pueden
afectar
en
mayor
medida
funciocomponentes del sistema real produzcan perturbaciones enelmenor
grado, como el tra
dependiendo de las
características
de funcionamiento
de estos elementos,
1.1 Enfoque de sistemas
namiento
del circuito
y por consiguiente
el efectos como
funcionamiento. voltaje de salida, son la fuente de alimenta-
En la tabla 1 se muestran los aspectos más importantes
del sistema usado para modelar el pulsador elevador, los
parámetros y variables que se presentan en el sistema son:
ción (E) y la resistencia de carga (R), puede
Parámetros
Modelo
que componentes
delSeñal
sistema
real(u)produzEntradas
de control
can perturbaciones
en
menor
Salidas
Voltaje
(v) grado, como
Perturbaciones
Cambios
la fuente de alimentación
el transistor
y el diodo,
ya queendependiendo
Cambios
en
la resistenciade
de carga
de las características de funcionamiento
Subsistemas
Control
estos elementos, efectos como la temperaInterruptor
tura afecten su funcionamiento.
Circuito de potencia
Entrada. Se toma la señal u que define el tiempo de
conducción del transistor y determina el voltaje de salida.
En estado estable la relación entre el tiempo de conducción
Parámetros
Modelo
Entradas
Señal de control (u)
Salidas
Voltaje (v)
Perturbaciones
Cambios en la fuente de alimentación
Cambios en la resistencia de carga
Subsistemas
Control
Interruptor
Circuito de potencia
Carga
Sistemas análogos
Circuitos con autotransformadores
primer
subsistema
Circuitos con el
fuentes
dependientes
Ecuaciones
Carga
Circuitos con autotransformadores
Circuitos con fuentes dependientes
2,3,4,5 y 6
En la ecuación de estado (6) se presen
productos de las estado (i, v) por el contr
(u).
Clasificación
El sistema es continuo y determinístico
El sistema es dinámico y tiene un mode
matemático no lineal
Tabla 1. Parámetros más importantes del elevador de voltaje Bo
Sistemas
análogos
Ecuaciones
Alinealidades
Subsistemas. La señal de entrada al sistema requiere de un modulo capaz de modificar
que consiste de un generador de rampa y un comparador de vol
referencia establece el punto donde se produce el flanco de caída de la señal y por
2,3,4,5 y 6
modificar el ciclo de trabajo.
Alinealidades
En la ecuación de estado (6) se presenta productos de las estado (i,
v) por el control (u).
Clasificación
El sistema es continuo y determinístico
El sistema es dinámico y tiene un modelo matemático no lineal
Fig. 3. Diagrama de relaciones entre los subsistemas
Tabla 1. Parámetros más importantes del elevador de voltaje
Boostsubsistema consiste en transistor y el diodo, que en la figura 3 se repre
El segundo
transistor es directamente el elemento controlado, no obstante el diodo aunque es u
cumple
también lade
función
de interruptor,
ya que se
cuando
el transistor
está en con
Subsistemas. La señal de entrada al sistema
requiere
referencia
establece
el abre
punto
donde
se
forma a que el condensador se descargue solamente en la carga. Otro subsistema
de un modulo capaz de modificar el ancho de pulso,
produceson
el flanco
deelcaída
de la señal
por
potencia,este
cuyos elementos
la bobina,
condensador,
estos yelementos
poseen un
es el primer subsistema que consiste de un generador
de es
consiguiente
es capaz
de modificar
el sólo
ciclo
mayor influencia
la correspondiente
a la inductancia
por lo que
esta se tiene en c
la notación
aparece
(r). El último subsistema consiste en la carga y es el elem
rampa y un comparador de voltaje, donde una
entrada
de como
trabajo.
alimentar con el voltaje regulado proveniente del convertidor, la notación de la carg
ecuaciones es R.
46
2.2 Relaciones causa efecto entre las variables de estado y la entrada
El diagrama causal que relaciona la corriente en la inductancia, el voltaje de salida y el
El sistema es dinámico y tiene un modelo
matemático no lineal
Tabla 1. Parámetros más importantes del elevador de voltaje Boost
Análisis,
simulación
emas. La señal de entrada al sistema requiere de un modulo capaz de modificar el ancho
de pulso,
este esy control de un convertidor de potencia dc-dc tipo boost • p. 44-55
r subsistema que consiste de un generador de rampa y un comparador de voltaje, donde una entrada de
Investigación
cia establece el punto donde se produce el flanco de caída de la señal y por consiguiente es capaz de
ar el ciclo de trabajo.
control que actúa sobre el interruptor, genera un ancho de pulso que afecta directamente el voltaje en la carga
(Ecuación 1), por otra parte, el ciclo útil afecta directamente a la corriente y al voltaje por lo que todas las relaciones
en el entre
diagrama
son directas. Es necesario tener en cuenta para analizar correctamente estas relaciones, que el ciclo
Fig. 3. Diagrama de relaciones
los subsistemas
control
que
actúa
sobre0ely 1.
interruptor, genera un ancho de pulso que afecta directamente el voltaje en la carga
Fig. 3. Diagrama de relaciones
entre
losentre
útil toma
valores
(Ecuación
1),
por
otra
parte,
el ciclocomo
útil afecta
directamente
a la corriente y al voltaje por lo que todas las relaciones
ndo subsistema consiste
en transistor y el diodo, que en la figura 3 se representa
interruptor,
el
subsistemas
el diagrama
sonaunque
directas.
Eselemento
necesario
en cuenta para analizar correctamente estas relaciones, que el ciclo
or es directamente el elemento controlado, noenobstante
el diodo
es un
no tener
controlado,
también la función deEl
interruptor,
ya que se
abre
transistor
está0en
conducción,
de esta causal del pulsador elevador Boost.
útilcuando
toma el
valores
entre
y 1.
4. Diagrama
segundo
subsistema
consiste
en Fig.obligando
que el condensador se descargue solamente en la carga. Otro subsistema corresponde al circuito de
diodo, que
la figura
3 una
se resistencia interna, la de
a, cuyos elementostransistor
son la bobina,yelelcondensador,
estosen
elementos
poseen
1.3 Análisis con el interruptor en la posición 1
nfluencia es la correspondiente
a la inductancia
por lo que sólo esta
se tiene en cuenta para el modelo, y en
representa
como interruptor,
el transistor
ión aparece como (r). El último subsistema consiste en la carga y es el elemento externo que se desea
es directamente
elemento
controlado,
no en losEn
la figura
ar con el voltaje regulado
proveniente delelconvertidor,
la notación
de la carga
esquemas
y las5 se muestra el circuito con el transistor en
4. Diagrama lo
causal
pulsador
Boost.
nes es R.
obstante el diodo aunque es un elemento Fig.
conducción,
cualdel
hace
que elevador
la fuente
alimente solamente
no controlado, cumple también la función a la inductancia, mientras que el diodo entra en estado de
de interruptor, ya que se abre cuando el Fig.no4. conducción
y desacopla
el circuito
Diagrama causal
del pulsador elevador
Boost.RC.
ama causal que relaciona
la
corriente
en
la
inductancia,
el
voltaje
de
salida
y
el
ancho
de
pulso
de
la
señal
transistor está en conducción,
En la figura 5 seobligando
muestra el circuito con el transistor en conducción, lo cual hace que la fuente alimente solamente a
rol representada por el ciclo de trabajo, se muestra
mediantecon
un el
diagrama
de flujo,
el circuito
2.3.
Análisis
interruptor
endonde
la posición
1 de de no conducción y desacopla el circuito RC.
la inductancia,
mientras
que
entra en estado
de esta forma a que
el condensador
seel diodo
descargue solamente
en la5 se
carga.
En la figura
muestraOtro
el circuito con el transistor en conducción, lo cual hace que la fuente alimente solamente a
subsistema corresponde
al
circuito
deque
pola inductancia, mientras
el diodo entra en estado de no conducción y desacopla el circuito RC.
tencia, cuyos elementos son la bobina, el
condensador, estos elementos poseen una
resistencia interna, la de mayor influencia
es la correspondiente a la inductancia por
Fig. 5. Circuito equivalente con el transistor en conducción,
lo que sólo esta se tiene en cuenta para el
interruptor
posición
Fig. 5. Circuito equivalente
conen
el la
transistor
en 1.
conducción, interruptor en la posición 1.
modelo, y en la notación aparece como (r).
El último subsistemaLaconsiste
en lalamalla
carga
La ecuacion
para la malla de la izquierda es:
ecuacion para
de la izquierda
es:
Fig.desea
5. Circuito
y es el elemento externo que se
ali-equivalente con el transistor en conducción, interruptor en la posición 1.
mentar con el voltaje regulado proveniente
(2)
(2)
La ecuacion para la malla de la izquierda es:
del convertidor, la notación de la carga en
La ecuación para
circuito de la derecha
describe elpara
voltaje
en el condensador
que esdescribe
el mismo voltaje
los esquemas y las ecuaciones
es R.
La ecuación
circuito
de la derecha
el vol-de salida y
(2)
está dado por:
taje en el condensador que es el mismo voltaje de salida
(3)
1.2 Relaciones causa
efecto
entre
las
y estádescribe
dado por:
La ecuación para circuito de la derecha
el voltaje en el condensador que es el mismo voltaje de salida y
está dado
por:
variables de estado
y la entrada
2.4. Análisis con el interruptor en la posición 2
(3)
(3)
El diagrama causal que relaciona la coEste caso
corresponde
al transistor en corte o no conducción, el circuito resultante tiene dos mallas (fig. 6)
rriente en la inductancia,
el voltaje
salida
2.4. Análisis
con elde
interruptor
en1.4
la posición
Análisis2 con el interruptor en la posición 2
y el ancho de pulso de la señal de control
caso corresponde
al transistor
en
cortecaso
o no conducción,
el circuito
resultante tiene
dos mallas
(fig.con6)
representada por Este
el ciclo
de trabajo,
se
Este
corresponde
al transistor
en corte
o no
muestra mediante un diagrama de flujo, ducción, el circuito resultante tiene dos mallas (fig. 6)
donde el circuito de control que actúa sobre
el interruptor, genera un ancho de pulso
que afecta directamente el voltaje en la
carga (Ecuación 1), por otra parte, el ciclo
Fig. 6. Circuito equivalente con el transistor en corte, interruptor en la posición 2.
útil afecta directamente a la corriente y al
voltaje por lo que todas las relaciones en el
Fig.malla
6.tener
Circuito
equivalente
con el transistor en corte, interruptor en la posición 2.
Las ecuaciones
de
y el nodo
son:
diagrama son directas.
Es necesario
en cuenta para analizar correctamente es(4)
Fig. 6. Circuito equivalente con el transistor en corte, interruptor
tas relaciones, que el
ciclo
útil
toma
valores
Las ecuaciones de malla y el nodoen
son:
la posición 2.
entre 0 y 1.
(5)
(4)
aciones causa efecto entre las variables de estado
la entrada
2.3. yAnálisis
con el interruptor en la posición 1
47
(5)
III. CONSIDERACIONES DE DISEÑO Y SIMULACIÓN
Revista de la Facultad de Ingeniería • Año 12 • n.° 24, julio-diciembre de 2011
Los valores de los elementos usados en el circuito para desarrollar las simulaciones y los compens
Fig.
en
posición
2.
con
en régimen permanente. Las ecuaciones que definen los valores de L y C
Fig. 6.
6. Circuito
Circuito equivalente
equivalente con
con el
el transistor
transistor en
en corte,
corte, interruptor
interruptor
enella
lacircuito
posiciónoperando
2.
por (8). (Hard 2001)
Las ecuaciones de malla y el nodo son:
ones
ones de
de malla
malla yy el
el nodo
nodo son:
son:
(4)
(4)
(4)
(
)
(
(8) (8)
)
Los parámetros de entrada necesarios
Los parámetros de entrada necesarios para los cálculos son la frecuencia de operación (f) y l
para los cálculos son la frecuencia de ope(5)
representa la carga (R); el valor del ciclo de trabajo (D) se determina con el valor de la fuente
(5)
(5)
ración (f)
la resistencia
que representa
disponible (E) y el voltaje deseado
en lay carga
(V) con la ecuación
1. Si el valor de E es 100
carga
(R);deeltrabajo
valordedel
devalor
trabajo
deseado es 200 Voltios, se la
obtiene
un ciclo
0.5, ciclo
con este
y conociendo que la c
1.5 Unificación del modelo
adicionalmente se elige una(D)
frecuencia
de operación
(f) de
KHz de
y unlarizado
de 5%, con estos v
se determina
con
el 10
valor
fuente
L
min =312.5μH y C > 20μF. Se eligen los valores mostrados en la tabla 2, un poco mayores para al
Al considerar las ecuaciones 2 y 4, se observa que solo de alimentación disponible (E) y el voltaje
un punto crítico de operación. La resistencia interna de la bobina está representada por (r), y se tie
se diferencian en un término correspondiente
al voltaje,
deseado
en laencarga
(V)decon
la ecuación
ser un elemento
que siempre
está presente
este tipo
circuitos
que desvía1.
el punto de opera
de la misma forma las ecuaciones 3 y 5pérdidas
difieren
enque
el produce.
Si el valor de E es 100 Voltios, el voltaje dedesolo
energía
término correspondiente a la corriente; basado en esto, es
seado es 200 Voltios, se obtiene un ciclo de
trabajo de 0.5, con este valor y conociendo
Descripción
Valor
que representa la posición del interruptor con u = 0 cuando Elemento
que la alcarga
es R = 50Ω; adicionalmente
Al considerar
ecuaciones
4, se
observa
solo
diferencian
término
correspondiente
voltaje,
Al considerar
laslas
ecuaciones
2 y24,y se
observa
queque
solo
se se
diferencian
en en
un un
término
correspondiente
al voltaje,
de de de Carga.
R
Resistencia
50 Ω
el
interruptor
ensolo
lasolo
posición
1 ycorrespondiente
u correspondiente
= 1 cuandoa está
en Cbasado
sebasado
elige
una
frecuencia
de operación (f)
de
la misma
forma
ecuaciones
5 difieren
el término
la corriente;
esto,
a misma
forma
laslas
ecuaciones
3 y35yestá
difieren
en en
el término
laa corriente;
en en
esto,
es es
Condensador
25 μF
la
posición
2;
con
este
parámetro
las
cuatro
ecuaciones
10
KHz
y
un
rizado
de
5%,
con
estos
valores
posible
unificar
el
sistema
adicionando
un
parámetro
(u)
que
representa
la
posición
del
interruptor
con
u
=
0
cuando
posible unificar el sistema adicionando un parámetro (u) que representa la posición del interruptor
L con u = 0 cuando
Inductancia
400 μH
el
interruptor
está
en
la
posición
1
y
u
=
1
cuando
está
en
la
posición
2;
con
este
parámetro
las
cuatro
ecuaciones
se
el
interruptor
está
en
la
posición
1
y
u
=
1
cuando
está
en
la
posición
2;
con
este
parámetro
las
cuatro
ecuaciones
se
se
unifican,
y
al
despejar
los
términos
para
representar
la
=312.5μH
y
C
>
20μF.
Se
resulta
que
L
r
Resistencia
de
la
inductancia.
0.1Ω
nificación del modelo
min
unifican,
al despejar
términos
para
representar
la ecuación
estado
sistema
resulta.E eligen losVoltaje
unifican,
y aly despejar
loslos
términos
representar
la ecuación
de de
estado
deldel
sistema
resulta.
de alimentación
100V2,
ecuación
depara
estado
del sistema
resulta.
valores
mostrados en la tabla
Tabla 2. Parámetros
delelsistema
siderar las ecuaciones 2 y 4, se observa que solo se diferencian en un término correspondiente al
unvoltaje,
pocodemayores
para alejar
sistema de
ma forma las ecuaciones 3 y 5 difieren solo en el término
correspondiente
a
la
corriente;
basado
en
esto,
es
( (
) )
un punto crítico de operación. La resistencia
e unificar el sistema adicionando un parámetro (u) que representa la posición del interruptor con u = 0 cuando
interna de
ruptor está en la posición 1 y u = 1 cuando está en la posición 2; con este parámetro las cuatro ecuaciones
se la bobina está representada por
(
)
(6)
(6)
(r),
y
se
tiene
en cuenta por ser un elemento
) de estado del sistema
(6) resulta.
n, y al despejar los términos para representar (la ecuación
que siempre está presente en este tipo de
Al tener
solo
grupo
ecuaciones
para
modelar
el circuito
bajo
cualquier
condición
de
operación
el interruptor,
Al tener
un un
solo
grupo
de de
ecuaciones
modelar
el
circuito
bajo
cualquier
condición
de
operación
en en
el interruptor,
Al
tener
un para
solo
grupo
de
ecuaciones
para
modelar
el
circuitos
que desvía el punto de operación
(
)
ecuaciones
5 que
lineales,
se
transforman
en
ecuaciones
no
lineales
debido
a
la
multiplicación
las
aslas
ecuaciones
2 a2 circuito
5a que
sonson
lineales,
se
transforman
en
ecuaciones
no
lineales
debido
a
la
multiplicación
de de
las
bajo cualquier condición de operación en el inte- debido a las
pérdidas
de energía que provariables
estado
el parámetro
variables
de de
estado
concon
el parámetro
u. u.
rruptor, las ecuaciones 2 a 5 que son lineales, se transfor- duce.
(
)
(6)
en
ecuaciones
no
lineales
debido
acorresponden
lacorresponden
multiplicación
ecuaciones
6 se
obtiene
el modelo
variables
estado
la corriente
la inductancia
DeDe
laslas
ecuaciones
6man
se
obtiene
el modelo
en en
variables
de de
estado
queque
a laa corriente
en en
la inductancia
(i)
y
el
voltaje
en
la
carga
(v),
la
entrada
al
sistema
es
el
parámetro
u
que
determina
el
nivel
de
voltaje
salida, Descripción
de
las
variables
de
estado
con
el
parámetro
u.
(i)
y
el
voltaje
en
la
carga
(v),
la
entrada
al
sistema
es
el
parámetro
u
que
determina
el
nivel
de
voltaje
de de
salida,
Elemento
Valor
er un solo grupo de ecuaciones para modelar el circuito bajo cualquier condición de operación en el interruptor,
Unificación
modelo
2.5.2.5.
Unificación
deldel
modelo
posible
unificar el sistema adicionando un parámetro (u)
debido
controla
el
tiempo
de
conducción
transistor.
debido
a que
controla
el tiempo
dese
conducción
deldel
transistor.
R de las Resistencia de Carga.
uaciones
2a aque
5 que
son
lineales,
transforman
en
ecuaciones no lineales debido a la multiplicación
es de estado con el parámetro
u.
De las ecuaciones
6 se obtiene el modelo en variables de
C
Condensador
estado que[ corresponden
a la corriente
en la inductancia
L
(7)
] [variables
[
] [ [ ] ]a la (7)
[ ]corresponden
* ] +* + [que
[ ] en
ecuaciones 6 se obtiene el modelo
de] estado
corriente
en la inductancia
(i) y el voltaje en la carga (v), la entrada al sistema es el
r salida,
voltaje en la carga (v), la entrada al sistema es el parámetro u que determina el nivel de voltaje de
parámetro
u
que
determina
el
nivel
de
voltaje
de
salida,
dea que controla el tiempo de conducción del transistor.
E
bido a que controla el tiempo de conducción del transistor.
[ ]
CONSIDERACIONES
DISEÑO
Y SIMULACIÓN
III.
CONSIDERACIONES
DISEÑO
[ III.
] * + [ DE
] DE
[ ] Y SIMULACIÓN
(7)(7)
50 Ω
25 μF
Inductancia
400 μH
Resistencia de la inductancia.
0.1Ω
Voltaje de alimentación
100V
Tabla 2. Parámetros del sistema
2.1 Simulación
valores
elementos
usados
el circuito
para
desarrollar
simulaciones
y los
compensadores,
eligen
LosLos
valores
de de
loslos
elementos
usados
en en
el circuito
para
desarrollar
laslas
simulaciones
y los
compensadores,
se se
eligen
A partir
de la ecuación 7 se obtuvo el
el circuito
operando
régimen
permanente.
ecuaciones
definen
valores
están
definidas
concon
el circuito
operando
en en
régimen
permanente.
LasLas
ecuaciones
queque
definen
loslos
valores
de de
L yLCy Cestán
definidas
modelo no lineal en Simulink/MatLab (Fig.
(Hard
2001) III. CONSIDERACIONES DE DISEÑO Y SIMULACIÓN
porpor
(8).(8).
(Hard
2001)
( ( ) )
7), Y con éste obtener la simulación del
(8)(8)
II. CONSIDERACIONES DE DISEÑO Y
SIMULACIÓN
( ( ) )
Los valores de los elementos usados en el circuito para sistema, tanto en régimen normal, como
lores de los elementos
usados en ellas
circuito
para desarrollary las
y los compensadores,
eligen
también es útil para
desarrollar
simulaciones
lossimulaciones
compensadores,
se conseperturbaciones,
circuito
operando
en
régimen
permanente.
Las
ecuaciones
que
definen
los
valores
de
L
y
C
están
definidas
el que
modelo
lineal con la función
parámetros
entrada
necesarios
para
los
cálculos
son
la
frecuencia
operación
resistencia
que
LosLos
parámetros
de de
entrada
necesarios
para
losoperando
cálculos
son
larégimen
frecuencia
de de
operación
(f) (f)
y obtener
lay la
resistencia
eligen
con
el circuito
en
permanente.
. (Hard
2001)
representa
la carga
el valor
ciclo
trabajo
determina
el valor
fuente
alimentación
representa
la carga
(R);(R);
el valor
deldel
ciclo
de de
trabajo
(D)(D)
se se
determina
concon
el valor
de de
la la
fuente
de de
alimentación
linmod
de
MatLab;
por
otra parte con este
Las ecuaciones
(
) que definen los valores de L y C están
disponible
el voltaje
deseado
la carga
la ecuación
1.
Si
el valor
de
E es
100
Voltios,
el
voltaje
(8)
disponible
(E)(E)
y ely voltaje
deseado
en en
la carga
(V)(V)
concon
la
ecuación
1.
Si
el
valor
de
E
es
100
Voltios,
el
voltaje
archivo también se construye la máscara
(
)
definidas
porun(8).
(Hard
2001)
deseado
Voltios,
obtiene
un
ciclo
trabajo
este
valor
y conociendo
la carga
= 50Ω;
deseado
es es
200200
Voltios,
se se
obtiene
ciclo
de de
trabajo
de de
0.5,0.5,
concon
este
valor
y conociendo
queque
la carga
es es
R =R50Ω;
para
elresulta
sistema.
adicionalmente
elige
frecuencia
operación
KHz
y un
rizado
estos
valores
resulta
adicionalmente
se se
elige
unauna
frecuencia
de de
operación
(f) (f)
de de
10 10
KHz
y un
rizado
de de
5%,5%,
concon
estos
valores
queque
=312.5μH
>necesarios
20μF.
eligen
valores
mostrados
en
la tabla
2,operación
un
poco
mayores
alejar
elque
sistema
=312.5μH
y Cy >C20μF.
SeSe
eligen
loslos
valores
mostrados
la tabla
2,deun
poco
mayores
alejar
el sistema
de de
LminLmin
arámetros
de entrada
para
los
cálculos
son la en
frecuencia
(f) y para
la para
resistencia
un
punto
crítico
de
operación.
La
resistencia
interna
de
la
bobina
está
representada
por
(r),
y
se
tiene
en
cuenta
por
un
punto
crítico
de
operación.
La
resistencia
interna
de
la
bobina
está
representada
por
(r),
y
se
tiene
en
cuenta
por
enta la carga (R); el valor del ciclo de trabajo (D) se determina con el valor de la fuente de
48 alimentación
ser
un
elemento
que
siempre
está
presente
en
este
tipo
de
circuitos
que
desvía
el
punto
de
operación
debido
a
las
ser
un
elemento
que
siempre
está
presente
en
este
tipo
de
circuitos
que
desvía
el
punto
de
operación
debido
a
las
ible (E) y el voltaje deseado en la carga (V) con la ecuación 1. Si el valor de E es 100 Voltios, el voltaje
pérdidas
de
energía
que
produce.
pérdidas
de
energía
que
produce.
do es 200 Voltios, se obtiene un ciclo de trabajo de 0.5, con este valor y conociendo que la carga es R = 50Ω;
nalmente se elige una frecuencia de operación (f) de 10 KHz y un rizado de 5%, con estos valores resulta que
Análisis, simulación y control de un convertidor de potencia dc-dc tipo boost • p. 44-55
Investigación
camente estable. El retrato de fase muestra el efecto de
la conmutación, la cual produce el rizado de la corriente
de la bobina y el rizado del voltaje de salida.
Fig. 7. Esquema del sistema no lineal y su
máscara en Simulink
Fig. 9. Retrato de Fase del conversor.
En la figura 10 se muestra la respuesta del sistema ante
dos entradas, el valor definido del ciclo de trabajo para la
salida deseada (0.5) y esta entrada amplificada 1.5 veces,
es decir 0.75; estos valores se usan en el modelo con el
porcentaje del periodo del ciclo de la señal del generador
de pulsos. Con esta grafica, se verifica la no linealidad del
sistema, puesto que aunque las curvas tienen la misma
forma, no cumplen con los principios de homogeneidad
y superposición, debido a que al aumentar la entrada la
salida disminuye.
Fig. 8. Respuesta del sistema no lineal obtenida
en Simulink
La respuesta de la simulación (fig. 8)
muestra que el voltaje comienza en cero, lo
cual corresponde al estado inicial, después
de varias oscilaciones se estabiliza cerca
a los 200 voltios, este valor es el voltaje
esperado debido al ciclo de trabajo establecido; la pequeña desviación del punto
de equilibrio es causada por la resistencia
de la inductancia, que produce perdidas de
potencia.
2.2 Retrato de fase
Fig. 10. Simulación para dos entradas que muestran la no
En el retrato de fase de la Figura 9 se
muestra la trayectoria de los estados a
partir de condiciones iniciales nulas, en la
figura se resalta el punto de equilibrio al cual
se llega con cualquier valor de las condiciones iniciales cercanas a dicho punto, esto
corresponde a un punto de espiral asintóti-
linealidad del sistema.
2.3 Solución numérica del sistema no lineal.
Se desarrolló un algoritmo en un programa de MatLab,
usando el método de Runge Kutta de orden 4, con el que
se obtiene la simulación correspondiente a la solución de
49
Fig.
12. Comparación
las respuestas
no lineal,
con 1800
Simulink
y por Runge
Kutta. que son mu
numérico
de Runge de
Kutta,
este último del
consistema
el programa
usando
intervalos,
se observa
numérico de Runge Kutta, este último con el programa usando 1800 intervalos, se observa q
en el detalle se puede ver que la diferencia es prácticamente despreciable.
en el detalle se puede ver que la diferencia es prácticamente despreciable.
IV. LINEALIZACIÓN
IV.obtenidas
LINEALIZACIÓN
En
figura
12
se muestran
superpuestas
lasycurvas
voltaje obtenidas m
En la figura 12 se muestran superpuestas las curvas
delavoltaje
mediante
la simulación
por el de
método
Revista de la Facultad de Ingeniería • Año 12 • n.° 24, julio-diciembre
de 2011
numérico
de
Runge
Kutta,
este
último
con
el
programa
usando
numérico de Runge Kutta, este último con el programa usando 1800 intervalos, se observa que son muy similares, 1800 intervalo
en el detalle
se puede ver que la diferencia es prácticamente despreciable.
en elladetalle
se puede
ver que superpuestas
la diferencia eslasprácticamente
despreciable.
se muestran
curvas
voltaje
por el
AEn
partirfigura
de las12
queecuaciones
describen que
el sistema,
se de
hallan
los obtenidas
puntos
de mediante
equilibrio,
con estosypara
determinar
el determinar el
Aecuaciones
partir
de las
describen
el
sistema,
se hallan
los puntoslapara
desimulación
equilibrio,
conmétodo
estos
numérico
de
Runge
Kutta,
este
último
con
el
programa
usando
1800
intervalos,
se
observa
que
son
muy
similares,
modelo lineal necesario
paranecesario
el diseño para
de losel compensadores.
De las ecuaciones
4 yecuaciones
5 se tiene que
seel equilibrio se
modelo lineal
diseño de los compensadores.
De las
4 y 5elseequilibrio
tiene
que
Debido a la simplicidad de las ecuaciones
las ecuaciones
nover
lineales.
El resultado
se
en diferenciales
el detalle
se
puede
que la diferencia
es prácticamente
despreciable.
presenta
cuando:
presenta
cuando:
̅
̅ a la
aplicar métodos
numéricos
muestra mediante la curva de salida ̅correspondiente
̅ no ̅es
̅ necesario
̅
̅
̅ ̅ (9)
(9)
̅ ̅
para su solución, el ciclo de trabajo para réseñal de voltaje. (Fig. 11).
gimen
permanente
y con
elsuvoltaje
deseado,
Debido a la simplicidad
las ecuaciones
noecuaciones
es necesario
métodos
numéricos
paranuméricos
solución,
elsu
ciclo
de
Debido a de
la simplicidad
de las
noaplicar
es necesario
aplicar
métodos
para
solución,
el ciclo de
(Ec.
se
definió
antes
como
trabajo para régimen
permanente
con el voltajey con
deseado,
se definió
antes
̅
1),alal
trabajo para
régimeny permanente
el voltaje
deseado,
se como
definió antes
como ̅ (Ec.1),
(Ec. 1), al
sustituir este valor
en 9este
y resolver
resulta:
sustituir
valor en
9 y resolver resulta:
sustituir este valor en 9 y resolver resulta:
Fig. 12. Comparación de las respuestas del sistema no lineal, con Simulink y por Runge Kutta
̅ 12. Comparación
̅
Fig.
de las respuestas del sistema no lineal, con Simulink y por R
̅
̅
IV. LINEALIZACIÓN
IV.
resultados
losKutta.
datos
de la nosinlineal,
Los resultados
confirman
los datos
simulación
(fig.
8) y el Los
efecto
de
laLINEALIZACIÓN
inductancia,
embargo
12.
Comparación
las
respuestas
sistema
con S
confirman
los
datos dedel
la sistema
simulación
(fig.
8) las
y elpérdidas
efectoconfirman
deen
las
pérdidas
en
lasindel
inductancia,
embargo
Fig.Los
12.resultados
Comparación
dedelaslarespuestas
noFig.
lineal,
con
Simulink
yde
por
Runge
como la desviación
a los respecto
requerimientos
de diseñosimulación
es menor
al 1%
– (error
198.412),
entonces
se entonces se
como respecto
la desviación
a los requerimientos
de diseño
es(error
menor
=de200
– 198.412),
(fig.
8) y= al200
el1%
efecto
las
pérditoman los valores
nominales
(8A,nominales
200V)
para
hallar
elque
modelo
lineal;
este
proceso
se
realizó
por se
dos
métodos;
el
toman
los valores
(8A,
200V)
para
hallar
elella
modelo
lineal;
este
proceso
porla
dos
A partir
delas
lasrespuestas
ecuaciones
describen
sistema,
se hallan
los
puntos
derealizó
equilibrio,
paramétodos;
con estoseld
das
en
inductancia,
sin
embargo
como
Fig.
12. Comparación
de
del
sistema
no
lineal,
con Simulink
y por
Kutta.
A partir
de el
lasmodelo
ecuaciones
que
describen
el(Erickson
sistema,
seRunge
hallan
losIV.puntos
de
equilibrio,
paraelc
primero consistente
enconsistente
obtener
el
modelo
promedio
en
espacio
de
estados
2003)
y
(Griñó
2005),
el
LINEALIZACIÓN
primero
en
obtener
promedio
en
espacio
de
estados
(Erickson
2003)
y
(Griñó
2005),
modelo lineal necesario
el diseño
de los compensadores.
De
lasrequerimientos
ecuaciones 4 y 5 se tiene
que el
IV.para
LINEALIZACIÓN
desviación
respecto
a
los
modelo
lineal
necesario
para
el
diseño
de
los
compensadores.
De
las
ecuaciones
4
y
5
se tie
segundo método
empleado
corresponde
al
clásico
uso
de
la
matriz
Jacobiana
del
sistema;
con
ambos
segundo método
empleado
presenta
cuando: corresponde al clásico uso de la matriz Jacobiana del sistema; con ambos
presenta
cuando:
delo̅ que
diseño
es menor
al 1%
(error
=que
200
– concreto.
procedimientos
se
llega
al
mismo
resultado,
por
lo
que
se
documenta
solamente
el
segundo
que
es
más
concreto.
procedimientos
se
llega
al
mismo
resultado,
por
se
documenta
solamente
el
segundo
es
más
Fig. 11. Respuesta del sistema no lineal obtenida mediante laIV. LINEALIZACIÓN
̅
̅
̅
(9) los puntos de e
̅ ̅ 198.412),
̅ valores
̅ de
A partir
deloslaspuntos
que describen
sistema,
se hallan
entonces
se ̅toman
los
̅ determinar
(9)
̅ecuaciones
A del
partir
de las de
ecuaciones
que describen el sistema, se
hallan
equilibrio,
para
conel̅ estos
el
implementaciónEl
método
Runge
Kutta.
modelo
linealizado
se para
obtiene
utilizando
relación:
modelo
lineal
necesario
para
dehallar
los
El modelo
linealizado
se obtiene
utilizando
la siguiente
relación:
nominales
(8A,
200V)
para
modelo
modelo
lineal
necesario
el diseño
de la
lossiguiente
compensadores.
De las
ecuaciones
4elydiseño
5 se
tiene
quecompensadores.
elelequilibrio
se De las ecuacio
Debido a la simplicidad depresenta
las ecuaciones
no es necesario aplicar métodos numéricos para su solución
cuando:
Debido
a la simplicidad
decuando:
laspuntos
ecuaciones
no es se
necesario
aplicar
métodos
para s
proceso
realizó
por
dos
mé-numéricos
En la figurapresenta
12
se muestran
superpuestas
laselcurvas
de
A partir
de
las ecuaciones
que describen
sistema,
se
hallan
los
de
equilibrio,
para
con
estos
determinar
el
̅se
̇
̇
̇ lineal;
̇ este
trabajo
para
y
con
el
voltaje
deseado,
definió
antes
como
̅ ̇ régimen permanente
̅ ̅ ̅como
̅
̅ (10)
(10)
̇
̅
trabajo
para
régimen
permanente
y
con
el
voltaje
deseado,
se
definió
antes
̅
̅
̅
̅
̅De laselecuaciones
̅el diseño
modelo
lineal necesario
para
de
los
compensadores.
4consistente
y 5 se tiene queen
el equilibrio
primero(9)
obtenerse
voltaje obtenidas
mediante
la simulación
y por
elenmétodo
sustituir
este
valor
9 y resolver todos;
resulta:
sustituir
este
valor
en
9
y
resolver
resulta:
Donde:
Donde:
presenta Kutta,
cuando: este último con el programa el modelo promedio en espacio de estados
numérico de Runge
̅
Debido̅ aplicar
a la simplicidad
ecuaciones
no es necesario
aplicar métodos n
̅de las
̅
Debido
a
la
de las
ecuaciones
es necesario
numéricos
su solución,
el ciclo de
̅ ̅métodos
(9) ̅para 2005),
̅ son
(Erickson
2003)
y̅ (Griñó
el segundo
usando 1800 intervalos,simplicidad
se observa
que
muynosimilares,
̅ voltaje
̅
̅
trabajo
para
régimen
permanente
y
con
el
deseado,
trabajo para régimen permanente
y con ̇ el voltaje deseado, se ̇ definió antes ̅ ̇ como ̅̅
1), al se definió ante
̇
método
empleado
corresponde
al (Ec.
clásico
en el detalle sustituir
se puede
ver
que
la
diferencia
es
prácticasustituir
este
valor
en
9
y
resolver
resulta:
[
]=[
]
y
[
]
[
]
(11)
[
]=[
]
y
[
]
[
]
(11)
̅
̅
valor en 9 y de
resolver
resulta: no̅es necesario ̅aplicar métodos numéricos
Debido este
a la simplicidad
las ecuaciones
para su
solución,
el ciclo
de
uso
desimulación
la matriz(fig.
Jacobiana
del
sistema;
con
mente despreciable.
Los
resultados
confirman
los
datos
de
la
8)
y
el
efecto
pérdidas
enalla inductancia, s
trabajo para régimen permanente yLos
conresultados
el voltajeconfirman
deseado, los
se datos
definiódeantes
como (fig.
̅ 8) ydeellas
(Ec.
1),
̅
la
simulación
efecto
de
las
pérdidas
en la ind
procedimientos
llegaalal1%
mismo
̅
como laresulta:
desviación respecto
a losambos
requerimientos
de diseño essemenor
(error =re200 – 198.412), e
sustituir este valor en 9 y resolver
como la desviación
respecto
a
los
requerimientos
de
diseño
es
menor
al
1%
(error
=
200 –
̅
̅
toman los valores nominales
(8A,sultado,
200V) para
hallar
el modelo
lineal; estesolamente
proceso se realizó por dos
por
lo que
se
documenta
gura 12 se muestran superpuestas Al
lasreemplazar
curvas de Al
voltaje
obtenidas
mediante
la
simulación
y
por
el
método
toman
los
valores
nominales
(8A,
200V)
para
hallar
el
modelo
lineal;
este
proceso
se
realiz
losreemplazar
puntos de
equilibrio
establecidos
y desarrollar,
se
obtiene laense
ecuación
lineal
de estados
los
puntos
de equilibrio
establecidos
y desarrollar,
obtiene
la estados
ecuación
linealdelde 2003)
estados
del
primero
consistente
en̅ obtener
el segundo
modelo
promedio
espacio
de
(Erickson
y (Griñ
el
que
es
más
concreto.
co de Runge Kutta, este último con el
programa
usando
1800
intervalos,
se
observa
que
son
muy
similares,
primero
consistente
en
obtener
el
modelo
promedio
en
espacio
de
estados
(Erickson
200
Los
resultados
confirman
los
datos
de
la
simulación
(fig.
8)
y
el
efecto
de
las
sistema.
sistema.
segundo
empleado
corresponde
la matriz sin
Jacobiana
Losprácticamente
resultados confirman
los
datos demétodo
la simulación
(fig.
y el efecto deallasclásico
pérdidasuso
en ladeinductancia,
embargo del sistema; p
̅ 8)empleado
etalle se puede ver que la diferencia es
despreciable.
segundo método
corresponde
ala los
clásico
uso de lade matriz
Jacobiana
del
como
la
desviación
respecto
requerimientos
diseño
es
menor
al
1%
procedimientos
se llega de
al mismo
lo que
se documenta
solamente
el segundo
como la desviación respecto
a los requerimientos
diseñoresultado,
es menorpor
al 1%
(error
= 200 – 198.412),
entonces
se que es más
procedimientos se
llegalos
alElmismo
resultado,
por(8A,
lo que
documenta
solamente
el
segundo
toman
valores
nominales
200V)
para
hallar
el modelo
lineal;
este qu
p
modelo
linealizado
sese
obtiene
utilizando
toman
los
valores
nominales
(8A,
200V)
para
hallar
el
modelo
lineal;
este
proceso
se
realizó
por
dos
métodos;
el (12)
+uella+modelo
+ [
+ ** en
* simulación
*
+ * de] las+en
* + confirman
* consistente
+u(12)
+ *promedio
+(fig.
* +8)] y[el
*inductancia,
* de+ la
+obtener
*los+ datos
**pérdidas
Los resultados
efecto
sin embargo
primero
en
espacio
de
estado
laessiguiente
relación:
El modelo
linealizado
se de
obtiene
utilizando
siguiente
relación:
primero
consistenterespecto
en obtener
modelo
promedio
en espacio
delaestados
(Erickson
y (Griñóentonces
2005), el
como la desviación
a losel requerimientos
diseño
menor
al
1% (error
= 2002003)
– 198.412),
El modelo linealizado
se obtiene
utilizando
la siguiente
relación:
segundo
método
empleado
corresponde
al clásico
uso sede la matriz
segundo
método
empleado
corresponde
al
clásico
uso
de
la
matriz
Jacobiana
del
sistema;
con
ambos
toman los valores nominales (8A, 200V) para hallar procedimientos
el modelo lineal;
este
proceso
se
realizó
por
dos
métodos;
el
se ̇ llega al mismo
resultado,
lo que
se documenta
solamen
̇ segundo
procedimientos
se llegaenal obtener
mismo resultado,
lo que seendocumenta
solamente
el(Erickson
que
espor
más
concreto.
̇
̇
(10)
(10)
primero consistente
el modeloporpromedio
espaciȯ de
estados
2003)
y
(Griñó
2005),
el
(10)
̇
segundo método empleado
corresponde al clásico
uso delinealizado
la matrizse Jacobiana
del sistema;
conrelación:
ambos
Donde:
El modelo
obtiene utilizando
la siguiente
Donde:
Elprocedimientos
modelo linealizado
se obtiene
la por
siguiente
se llega
al mismoutilizando
resultado,
lo querelación:
se documenta solamente el segundo que es más concreto.
Donde:
̅
̇ ̅
̇
̅
̅̇
(10
̇
̇
̇ no la
El modelo
linealizado
se obtiene
utilizando
siguiente
̇
Fig. 12. Comparación
de las
respuestas
del sistema
lineal,
con relación:
[
]=[ ̅ (10)
] y
[ ] ̇ [ ̅ ] (11)
[
]=[ ̅
] y
[ ] [ ̅ ] (11)
Donde:
Donde:
Simulink y por Runge Kutta.
̇
̇
(10)
̇
̅
̅
̅
̇
̇
Donde:
̇
̇
[(11)
]=[ ̅
] y
[ ]
[
]=[
]
y
[
]
[
]
Al
reemplazar
los
puntos
de
equilibrio
establecidos
y
desarrollar,
se
obtiene
la
ecuación
de
y desarrollar,
(11) se obtiene la lineal
̅
Fig. 12. Comparación de las respuestas del sistema no lineal, con Simulink
y por̅ Runge
Al reemplazar
losKutta.
puntos
de
equilibrio
establecidos
ecuación
̅
̅
sistema.
sistema.
̇
̇
A partir de las ecuaciones que describen
el sistema,
se ] y
[
]=[ ̅
[ ] [ ̅ los
] (11)
Al reemplazar
puntos de equilibrio
hallan los puntos IV.
deLINEALIZACIÓN
equilibrio, para con estos
+u
(
+
[
* la
+
*
+ * + y desarrollar,
*
*
* + determinar
] * + establecidos
Al
reemplazar
los
puntos
de
equilibrio
establecidos
y
desarrollar,
+u obtie
+ * + la [ecuación lineal
+ * + * se
+ estados
*
* + y* desarrollar, se obtiene
] se*deobtiene
Al reemplazar los puntos de equilibrio establecidos
del
el modelo lineal
necesario para el diseño de los compensistema.
ecuación lineal de estados del sistema.
sistema.
̇
̇
III. LINEALIZACIÓN
sadores. De las ecuaciones 4 y 5 se tiene que el equilibrio
de las ecuaciones que describen el sistema,
se hallan
puntos
equilibrio,
para con estos
determinar se
el obtiene la ecuación lineal de estados del
Al reemplazar
los los
puntos
dede
equilibrio
establecidos
y desarrollar,
seelpresenta
cuando:
+
*
] * +
lineal necesario para
diseño de los
compensadores.
De
las
ecuaciones
4
y
5
se
tiene
que
el
equilibrio
se
sistema.
+* + [
* + *
] * + * * + * + * +u + * + [ (12)
ta cuando:
̅
(9)
̅ ̅
+(9)
* + [
+ * + * +u
* +̅ *̅ ̅
] * + *
(12)
(12)
a la simplicidad de las ecuaciones no es necesario aplicar métodos numéricos para su solución, el ciclo de
para régimen permanente y con el voltaje deseado, se definió antes como ̅
(Ec. 1), al
r este valor en 9 y resolver resulta:
50
̅
̅
*
+
Análisis, simulación y control de un convertidor de potencia dc-dc tipo boost • p. 44-55
Investigación
Usando el archivo de Simulink con el mo- IV. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS
delo no lineal, y los puntos de equilibrio, se
MODELOS
chivo de Simulinkhalla
con elelmodelo
no lineal,
puntos de la
equilibrio,
se halla el modelo
lineal medianteMATEMÁTICOS
modelo
linealy los
mediante
función
mod de MatLab resultando:
linmod de MatLab resultando:
Existen dos parámetros relevantes para el estudio de la
sensibilidad en el pulsador elevador, la resistencia de car*
+
ga (R) y la tensión en la fuente de alimentación (E). En el
presente estudio se analiza la sensibilidad de los modelos
* +
matemáticos (lineal y no lineal) al primer parámetro. La
variación de la resistencia (generalmente se hace menor)
*
+
* +
se presenta frecuentemente en las aplicaciones industriales del pulsador elevador. Para la construcción de la
Se obtienen
los mismos
exactamente los mismos
resultadosexactamente
por los dos métodos
analíticos y mediante la herramienta de
resultados por los dos métodos analíticos y tabla 3, se asumió una variación del 48% por debajo del
valor nominal de la resistencia de carga, esto produce un
mediante la herramienta de MatLab.
ación de la simulación del sistema linealizado con el no lineal
intervalo de variación [26 50].
Comparación
simulación
delal sistema lineal, se obtiene la grafica de
simulación con la3.1
ecuación
de estadosde
(12)laque
corresponden
4.1 Sensibilidad modelo lineal
sistema
linealizado
con
el
no
lineal
donde se muestra superpuesta con la respuesta del sistema no lineal, se observa que la curva sin
está en el promedio de la respuesta del sistema no lineal, donde se observan las oscilaciones
Modelo Lineal
Al realizar
la como
simulación
la ecuación
de
ntes al rizado del voltaje
de salida
efecto decon
la acción
del interruptor.
estados (12) que corresponden al sistema
lineal, se obtiene la grafica de la figura 13
donde se muestra superpuesta con la respuesta del sistema no lineal, se observa que
la curva sin oscilaciones está en el promedio
de la respuesta del sistema no lineal, donde
se observan las oscilaciones correspondientes al rizado del voltaje de salida como
efecto de la acción del interruptor.
Modelo No Lineal
R
Vp
Error
R
Vp
Error
50
196,825
-3,175
50
197,323
-2,677
47
196,625
-3,375
47
197,220
-2,780
44
196,396
-3,604
44
197,062
-2,938
41
196,134
-3,866
41
196,971
-3,029
38
195,835
-4,165
38
196,829
-3,171
35
195,480
-4,520
35
196,731
-3,269
32
195,060
-4,940
32
196,614
-3,386
29
194,560
-5,440
29
196,472
-3,528
26
193,940
-6,060
26
196,294
-3,706
Tabla 3. Errores producidos en el sistema con la variación del
parámetro R
Fig. 13. Comparación del sistema lineal con el no linealizado.
De la tabla 3 se concluye que para el modelo lineal una
variación en R del 48% (R = 26Ω), provoca una variación
de 1.44% del voltaje de salida. El error medio cuadrático
V. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS
resultante es 4.44 [V]
arámetros relevantes para el estudio de la sensibilidad en el pulsador elevador,
la resistencia demodelo
carga no lineal
4.2 Sensibilidad
ón en la fuente de alimentación (E). En el presente estudio se analiza la sensibilidad de los modelos
De la se
tabla
se concluye
que para el modelo lineal una
(lineal y no lineal) al primer parámetro. La variación de la resistencia (generalmente
hace3,
menor)
se
uentemente en las
aplicaciones
industriales
del
pulsador
elevador.
Para
la
construcción
de
la
tabla
3,
variación
del
48%
en
R,
provoca
una variación de 0.51%. El
Fig. 13. Comparación del sistema lineal con el no
a variación del 48% por debajo del valor nominal de la resistencia de carga,
esto
produce
un
intervalo
error medio cuadrático resultante es 3.18 V. Los resultados
linealizado.
26 50].
de las tablas, muestran que la sensibilidad en cuanto a la
resistencia de carga es mayor para el modelo lineal.
51
35 195,480 -4,520
35 196,731
-3,269
32 195,060 -4,940
32 196,614
-3,386
29 194,560
196,472• Año -3,528
Revista de-5,440
la Facultad29
de Ingeniería
12 • n.° 24, julio-diciembre de 2011
26 193,940 -6,060
26 196,294
-3,706
Tabla 3. Errores producidos en el sistema con la variación del parámetro R
Fig. 15. Medición delTeniendo
periodo crítico
la respuesta
del sistema
en lazo cerrado.
encon
cuenta
la tabla
del método
V.
DISEÑO DEL CONTROL PID
de sensibilidad (Vélez 2006) se calculan las
Teniendo
en 48%
cuenta(Rla=tabla
métodouna
de sensibilidad
(Vélez 2006) se calculan las constantes del contro
e la tabla 3 se concluye que para el modelo lineal una variación
en R del
26Ω),delprovoca
variación
constantes
del control PID, los resultados
resultados
se
muestran
en
la
ecuación
13
Se
selecciona
la
configuración
de
control
en
serie,
se
e 1.44% del voltaje de salida. El error medio cuadrático resultante es 4.44 [V]
requiere un diseño que permita obtener un sobre impul- se muestran en la ecuación 13
Kp  0.6* Kcr  1.98*103
2 Sensibilidad modelo
no linealo igual al 25%, la sintonización del PID con el
so menor
(13)
Ti  0.5* Pcr  0.4*103
método de Ziegler-Nichols garantiza el cumplimiento de
e la tabla 3, se concluye que para el modelo lineal una variación del 48% en R, provoca una variación de 0.51%.
esteresultante
requisito
(Ogata,
Debido
a quemuestran
la respuesta
Td  0.125*
Pcr  0.096*103
error medio cuadrático
es 3.18
V. Los 1998).
resultados
de las tablas,
que la sensibilidad
en cuanto
al escalón
del sistema
en lazo abierto no tiene la forma de
la resistencia de carga
es mayor para
el modelo lineal.
El esquema utilizado para comprobar
El esquema utilizado
comprobar el diseño del regulador, se muestra en la figura 16
respuesta de un sistema sobreamortiguado
con para
retardo,
el diseño del regulador, se muestra en la
entonces no se sintoniza con el método de la curva de figura 16
VI. DISEÑO DEL CONTROL PID
reacción, sino con el método de sensibilidad (Vélez 2006).
Para hallar
los parámetros
controlador
en este
último
e selecciona la configuración
de control
en serie, se del
requiere
un diseño que
permita
obtener un sobre impulso
se requiere
obtener
la ganancia
críticagarantiza
(Kcr) y elelcumplimiento de este
enor o igual al 25%,método,
la sintonización
del PID con
el método
de Ziegler-Nichols
quisito (Ogata, 1998).
Debidocrítico
a que (Pcr),
la respuesta
al escalón
del sistema
en lazo
periodo
la primera
se obtuvo
a partir
delabierto
lugarno tiene la forma de
spuesta de un sistema
sobreamortiguado
con
retardo,
entonces
no
se
sintoniza
con
el método de la curva de
geométrico de las raíces y se comprobó mediante Routhacción, sino con el método de sensibilidad (Vélez 2006).
Para
hallar
los
parámetros
del
controlador en este último
-3
elperiodo
periodo
crítico
determinó
Hurwitz,
Kcr =crítica
3.3×10
Fig.se16.
Sistema
con del
control
étodo, se requiere obtener
la ganancia
(Kcr) y, el
crítico
(Pcr), se
la primera
obtuvo
a partir
lugarPID y el subsistema de modulación PWM
-3, el periodo
al aplicar
dicha mediante
ganancia
al sistemaKcr
en=lazo
cerrado
(Fig.crítico se determinó al
eométrico de las raíces
y se comprobó
Routh-Hurwitz,
3.3×10
Fig. 16. Sistema con control PID y el subsistema
-3es aplicando
respuesta
obtenida
200 voltios, se muestra en la figura 17.
, que se de
muestra
plicar dicha ganancia14),
al sistema
lazo cerrado
(Fig. 14), yes
elLa
resultado
obtenido
Pcr=0.8×10
, que
se el-3escalón
y el en
resultado
obtenido
Pcr=0.8×10
de modulación PWM
n la figura 14.
muestra en la figura 14.
La respuesta obtenida aplicando el escalón
de 200 voltios, se muestra en la figura 17.
Fig. 14. Sistema en lazo cerrado con la ganancia crítica para medir el periodo crítico.
Fig. 14. Sistema en lazo cerrado con la ganancia crítica para
medir el periodo crítico.
Fig. 17. Respuesta del sistema con control PID
Fig. 17. Respuesta del sistema con control PID
Fig. 15. Medición del periodo crítico con la respuesta del sistema
en lazo cerrado.
Fig. 18. Respuesta del sistema controlado ante
variaciones en la entrada.
52
Análisis, simulación y control de un convertidor de potencia dc-dc tipo boost • p. 44-55
Investigación
En el sistema controlado, se observa
que el sobre impulso (Mp) es cercano al
25% (fig. 17.), lo cual es aceptable para
los requerimientos de diseño que ofrece el
método de Ziegler Nichols. El tiempo de
levantamiento es menor a un milisegundo, lo
que indica que el sistema de control ofrece
una respuesta rápida a cambios abruptos
en la entrada de referencia, esto se puede
apreciar en la figura 18, la cual resulta al
aplicar diferentes valores de referencia
cercanos al punto de equilibrio en el que
se linealizó el modelo. El error en estado
estacionario es despreciable, teniendo en
cuenta que el rizado en la salida depende
de un elemento ajeno al controlador PID, el
condensador del sistema.
analiza teniendo en cuenta la variación en la resistencia
de carga (R) en el mismo intervalo [26 50], los resultados
se muestran en la tabla 4
El lugar geométrico de las raíces al usar el
PID, se muestra en la figura 19. Se observa
una región de ubicación de los polos en lazo
cerrado en el lado izquierdo, esto permite
variar las constantes del controlador para
obtener respuestas más rápidas y con menor sobre impulso. La estabilidad relativa
del sistema según el LGR sigue siendo
similar, debido a los dos polos cercanos al
eje imaginario.
De la tabla se concluye que para el sistema controlado
con PID, una variación del 48% en R provoca una variación
de tan solo 0.14% en el voltaje de salida. El error medio
cuadrático resultante es 0.225 [V].
R
Vp
ess
50
200,105
0,105
47
200,119
0,119
44
200,136
0,136
41
200,156
0,156
38
200,182
0,182
35
200,214
0,214
32
200,255
0,255
29
200,310
0,310
26
200,385
0,385
Tabla 4. Errores producidos por la variación de R en el sistema con
control PID
VI. DISEÑO DEL CONTROL MEDIANTE
REALIMENTACIÓN DE ESTADO
El vector de ganancias de realimentación de estado, se
obtiene mediante el comando acker de MatLab, este comando requiere las matrices A y B del sistema linealizado,
además necesita la ubicación deseada de los polos en lazo
cerrado. Las matrices A y B se muestran previamente en
este documento, los polos entregados a la función acker
se obtuvieron de los polos en lazo cerrado del sistema
controlado con PID, esto último con el fin de obtener los
similares requerimientos de diseño del controlador. Debido
a que se requiere eliminar el error en estado estable, se
agrega un integrador, como se muestra en el esquema
de control de la figura 20. Al agregar dicho integrador, el
sistema resultante tiene un estado más (Kuo, 1995), y
por tanto se requiere una ganancia adicional. El resultado
arrojado por MatLab para el vector de realimentación es:
k = [0.0033 0.0027 -6.4345].
Fig. 19. Lugar geométrico de las raíces en lazo
cerrado.
5.1 Análisis de sensibilidad del PID
Al igual que con el sistema en lazo abierto,
la sensibilidad del sistema usando el PID se
53
es requerimientosEldevector
diseño
controlador.
Debido a de
queestado,
se requiere
eliminar
el error
en estado
estable,
de del
ganancias
de realimentación
se obtiene
mediante
el comando
acker
de MatLab, este
comando
requiere
las
matrices
A
y
B
del
sistema
linealizado,
además
necesita
la
ubicación
deseada
deel
los polos en
un integrador, como se muestra en el esquema de control de la figura 20. Al agregar dicho integrador,
lazo
cerrado.
Las
matrices
A
y
B
se
muestran
previamente
en
este
documento,
los
polos
entregados
sultante tiene un estado más (Kuo, 1995), y por tanto se requiere una ganancia adicional. El resultadoa la función
obtuvieron
dedelosla polos
cerrado
del12sistema
controlado
con
Revista
Facultad
Ingeniería
• Año
• n.° 24,-6.4345].
julio-diciembre
dePID,
2011 esto último con el fin de obtener
or MatLab para el acker
vectorsede
realimentación
es:enkde=lazo
[0.0033
0.0027
los similares requerimientos de diseño del controlador. Debido a que se requiere eliminar el error en estado estable,
se agrega un integrador, como se muestra en el esquema de control de la figura 20. Al agregar dicho integrador, el
sistema resultante tiene un estado más (Kuo, 1995), y por tanto se requiere una ganancia adicional. El resultado
arrojado por MatLab para el vector de realimentación es: k = [0.0033 0.0027 -6.4345]. R
Vp
ess
Fig. 20. Sistema con control por realimentación de estado
Fig. 20. Sistema con controlFig.
por20.
realimentación
de estado
Sistema con control
por realimentación de estado
as ganancias correspondientes
paraganancias
cada estado
son:
Por tanto las
correspondientes
para cada
Por tanto las ganancias correspondientes para cada estado son:
50
200,020
0,020
47
200,030
0,030
44
200,050
0,050
41
200,070
0,070
38
200,102
0,102
35
200,134
0,134
32
200,176
0,176
29
200,231
0,231
26
200,308
0,308
Tabla 5. Errores producidos por la variación de R
estado son:
.0033  K i  Kx
corriente
1  0.0033  K i  corriente
.0027  K v 0 
voltaje
Kx2  0.0027  K v 0  voltaje
en el sistema con control PID
De la tabla se concluye que para el sistema controlado con PID, una variación del
48% de R provoca una variación de tan solo
0.14% en el voltaje de salida. El error medio
cuadrático resultante es 0.155 [V].
.0033  K integralKx3  0.0033  Kintegral
CONCLUSIONES
La herramienta Simulink/MatLab permite implementar con relativa facilidad un
sistema de ecuaciones diferenciales, que
junto con el uso de las mascaras facilitan el
estudio del comportamiento de los sistemas
Fig. 21. Respuesta del sistema con control por realimentación
de estado.
no lineales.
Fig. 21. Respuesta del sistema con control por realimentación de estado.Los resultados de simulación del sistema
no lineal (Simulink) son muy similares a los
obtenidos con la implementación del algoritmo de Runge Kutta.
Fig. 21. Respuesta del sistema con control por realimentación de
estado.
La figura 21 muestra la respuesta al escalón para el control con realimentación de estado. Se observa claramente
que el sistema de control responde lentamente comparado
con el PID, el tiempo de levantamiento es cercano a 25
[ms], y el de asentamiento es mayor a 30[ms].
Para el punto de equilibrio seleccionado,
el sistema lineal obtenido con el modelo
promedio en el espacio de estados resulta
equivalente al obtenido mediante el Jacobiano y al resultado de la función linmod de
MatLab.
6.1 Análisis de sensibilidad del control con realimentación
de estado
La respuesta del sistema lineal corresponde exactamente con el promedio del
rizado de voltaje resultante de la simulación
del modelo real.
La perturbación en el valor de la resistencia en el intervalo trabajado, permite obtener los resultados de la tabla 5
54
Análisis, simulación y control de un convertidor de potencia dc-dc tipo boost • p. 44-55
Investigación
Los experimentos realizados con diferentes condiciones iníciales en el modelo real,
junto con el análisis del retrato de fase
permiten concluir que el punto de equilibrio
es asintóticamente estable.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
El modelo lineal resulta más sensible a la
variación de la resistencia de carga que el
modelo no lineal.
La implementación de los controles diseñados, junto con el análisis de los datos
obtenidos evidencia una considerable reducción de la sensibilidad a la variación de
la resistencia de carga.
El controlador PID resulta más veloz que
el control de realimentación de estados,
sin embargo este último reduce en mayor
medida la sensibilidad a la variación en la
resistencia de carga.
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Burden, R y Faires, D Análisis numérico. México: Thomson editores. (1998).
[2]
Erickson, R. y Maksimovic, D. Fundamentals of power electrinics. Boulder:
Kluwer Academic Publishers. (2003).
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convertidor elevador (“Boost”) bidireccional en corriente. (Tesis de Maestría,
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del convertidor Boost. (2005),
[10] Vélez, C Diseño de sistemas lineales. Notas de clase. 2006 Universidad Eafit.
Medellín. (2006).
55