Antennes
Bases et principes
par
Joseph ROGER
Ingénieur de l’École Nationale Supérieure des Télécommunications
Ancien Responsable du Service Antennes des Radars de surface à THOMSON-CSF
1.
1.1
1.2
Présentation ...............................................................................................
Antennes de la nature ..................................................................................
Antennes de l’homme..................................................................................
E 3 280 - 2
—
2
—
3
2.
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Notions de base.........................................................................................
Antenne d’émission .....................................................................................
Diagramme de rayonnement ......................................................................
Gain ...............................................................................................................
Antenne de réception...................................................................................
Réciprocité ....................................................................................................
Polarisation ...................................................................................................
Température de bruit....................................................................................
—
—
—
—
—
—
—
—
6
6
7
8
9
9
10
13
3.
3.1
3.2
3.3
Antennes théoriques................................................................................
Ouvertures ....................................................................................................
Réseaux .........................................................................................................
Petites antennes remarquables...................................................................
—
—
—
—
14
14
32
35
4.
Annexe .........................................................................................................
—
36
Références bibliographiques ..........................................................................
—
38
ne antenne d’émission est un dispositif qui assure la transmission de
l’énergie entre une source et l’espace libre dans lequel cette énergie va se
propager. Réciproquement, une antenne de réception est un dispositif qui
assure la transmission de l’énergie d’une onde se propageant dans l’espace à un
appareil récepteur. Généralement, la source d’émission (ou le récepteur) est
reliée à l’antenne par une ligne de transport d’énergie qui est fréquemment une
ligne coaxiale ou un guide d’ondes.
Les longueurs d’onde l utilisées pour les télécommunications, les aides à la
navigation ou le radar s’étendent de quelques kilomètres à quelques millimètres. On conçoit que les antennes diffèrent très sensiblement d’aspect d’une
extrémité à l’autre de ce spectre radioélectrique.
Dans cet article consacré aux bases et principes des antennes, on va d’abord
sensibiliser le lecteur, à la présence des antennes autour de lui, soit dans la
nature (on prendra pour exemple la chauve-souris et l’homme), soit dans le
monde humain (on prendra pour exemples une maison, un navire de guerre, un
centre d’astrophysique et un satellite d’observation).
Après avoir donné les éléments de base des antennes (antenne d’émission,
diagramme de rayonnement, gain, antenne de réception, réciprocité, polarisation, température de bruit), on parlera des antennes théoriques, antennes fictives, « mathématiques », indispensables pour étudier ou concevoir les antennes
réelles. On verra successivement les ouvertures, les réseaux et les petites antennes remarquables.
U
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E 3 280 - 1
ANTENNES
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L’article « Antennes » fait l’objet de plusieurs fascicules :
E 3280 Bases et principes
E 3282 Types
E 3284 Techniques
E 3286 Applications. Calculs. Mesures
E 3288 Éléments connexes
Les sujets ne sont pas indépendants les uns des autres.
Le lecteur devra assez souvent se reporter aux autres fascicules.
1. Présentation
Son antenne d’émission est la bouche ou les narines suivant les
espèces, analogues à des cavités.
Ses antennes de réception sont ses oreilles en forme de cornets.
1.1 Antennes de la nature
1.1.2 L’homme
La nature a doté chaque être vivant de capteurs qui lui permettent
d’interagir avec son environnement. Les milieux de propagation
sont l’air et l’eau et les ondes utilisées sont les ondes acoustiques et
les ondes électromagnétiques.
Prenons deux exemples, la chauve-souris et l’homme.
Chacun d’entre nous est lui aussi doté d’antennes très sophistiquées.
1.1.1 La chauve-souris
1.1.2.1 La vision
La chauve-souris, qui dort le jour et chasse la nuit, émet et reçoit
des ultrasons qui lui permettent de détecter les obstacles et les
proies.
La vision utilise deux antennes (du type lentilles) (figure 1) sensibles aux ondes électromagnétiques de longueur d’onde comprise
entre 0,4 et 0,8 mm et dont l’émetteur principal est le soleil.
L’homme possède deux systèmes de réception, la vision et l’ouïe.
Le cristallin est une lentille
biconvexe qui permet de former
une image du monde extérieur
sur la rétine. Des muscles spécifiques lui permettent
de s'allonger ou de se rétrécir de façon à ce que
l'image soit nette qu'elle que soit la distance
de l'objet regardé. Un diaphragme, l'iris
contrôle la quantité de lumière.
Le corps vitré
est un milieu
transparent pour
les ondes lumineuses
Le globe oculaire dont le diamètre
est de 25 mm environ, possède tout un jeu
de muscles qui lui permettent de s'orienter
dans une direction de vision privilégiée.
La rétine est constituée de cellules
d'analyse reliées au cerveau par
le nerf optique. Les cellules sont
spécialisées pour une fonction donnée :
vision périphérique, vision centrale,
vision des couleurs, lignes verticales,
lignes horizontales, etc.
Figure 1 – L’œil
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1.1.2.2 L’ouïe
L’ouïe utilise les ondes acoustiques par l’intermédiaire de deux
capteurs ou antennes du type cornet à très large bande, les oreilles.
L’ouïe contribue, comme la vision, à fournir au cerveau une image
de l’environnement (cris des animaux, bruits du vent, de la pluie,
etc.). L’ouïe fournit surtout la possibilité de communiquer avec les
autres hommes.
Antenne yagi pour la réception
de télévision diffusée
par émetteurs régionaux
(180 – 800 MHz)
Parabole de réception
de télévision par satellites
(12 GHz)
Ce système est très sophistiqué ; il permet de déterminer la direction des sources d’émission.
À noter aussi sa très grande dynamique (plus de 100 dB) c’està-dire la faculté de percevoir des sons très puissants aussi bien
que des sons extrêmement faibles.
De même, la largeur de bande est remarquable : de 20 Hz à 20 kHz,
soit 10 octaves (rappel : deux fréquences sont distantes de 1 octave
lorsque la fréquence la plus grande est le double de la plus petite).
L’homme dispose également d’un système d’émission d’ondes
acoustiques. Celui-ci comporte une source, les cordes vocales
situées près du larynx, et une « antenne », la bouche, qui sert aussi
de modulateur. La bande de fréquence est inférieure à la bande de
fréquence de réception.
1.1.3 Autres exemples
On pourrait trouver de nombreux autres exemples d’antennes
extraordinaires créées par la nature. Citons :
— l’œil de la mouche qui lui permet de voir partout à la fois ;
— la tête de la luciole qui lui permet d’émettre des ondes lumineuses et, ainsi, de signaler sa présence à ses congénères ou pour
certaines espèces d’attirer les proies.
1.2 Antennes de l’homme
1.2.1 Exemples typiques
1.2.1.1 Généralités
L’aventure a commencé en 1884, lorsque Maxwell a démontré
mathématiquement l’existence des ondes électromagnétiques.
La première antenne « humaine » fut utilisée par Hertz en 1885
lorsqu’il vérifia l’existence et la propagation de ces ondes. Une boucle ouverte servait à l’émission comme à la réception.
Très vite, ensuite, de nombreux types d’antennes apparaîtront au
fur et à mesure que se poursuivra l’exploration des fréquences liée
généralement à l’invention des émetteurs capables de les produire.
À l’aube du vingt et unième siècle, nous vivons dans un monde
d’antennes de toutes sortes. Nous allons illustrer cela en considérant quelques exemples :
— une maison de tout un chacun ;
— un navire de guerre ;
— un centre de recherches en astrophysique ;
— un satellite d’observation du sol.
1.2.1.2 La maison
■ La figure 2 montre quelques antennes que l’on peut trouver chez
chacun.
Si le propriétaire est un radioamateur, on peut trouver aussi des
antennes d’émission et réception dans des bandes réservées entre
1,6 MHz et 27 GHz.
Si le propriétaire est un plaisancier, il peut avoir une montre balise
de détresse qui automatiquement, peut sortir un dipôle par lequel la
montre pourra émettre un signal de détresse à 150 MHz et également avoir un récepteur GPS (Global Positioning System).
Téléphone portatif
en liaison radio
avec sa base
(800 MHz)
Poste de radio
(bandes spécifiques
entre 30 kHz et 110 MHz)
Radio surveillance
en hyperfréquence
( bande X ou KU)
Pendule radiopilotée
(77 kHz)
Jouet télécommandé
(27 MHz)
Figure 2 – Les antennes dans la maison
■ D’ici une ou deux décennies, on devrait voir apparaître de nouvelles antennes telles que :
— des antennes à balayage électronique permettant un pointage
très rapide vers les différents satellites stationnaires ;
— des petites paraboles en bande KU ou KA pour des liaisons
locales à grand débit en remplacement du câble téléphonique ou du
câble en fibre optique ;
— des antennes de communication pour liaison avec les systèmes à satellites défilants.
■ Quand il sort, le propriétaire « moderne » est muni d’un radiotéléphone avec lequel il peut communiquer avec des personnes ou
des banques de données, via des réseaux d’émetteurs récepteurs
qui sont aujourd’hui terrestres, mais qui seront dans quelques
années portés par des grappes de satellites à défilement (projets iridium, globalstar, etc.).
Sa voiture est bien sûr équipée d’antennes permettant de :
— recevoir la radio ;
— communiquer par radio ou radiotéléphone ;
— se positionner par récepteur GPS ;
— percevoir et éviter les obstacles (sous une décennie).
1.2.1.3 Un navire de guerre
La figure 3 montre quelques antennes présentes sur un navire de
guerre de taille moyenne du type frégate. Il doit être autonome et
donc assurer sa propre défense.
Il dispose d’artillerie, de missiles antiaériens et donc de plusieurs
radars de surveillance, de poursuite et d’identification « amiennemi ».
Il est muni d’un système sophistiqué de « guerre électronique »
qui nécessite des antennes à très larges bandes.
Il a des moyens de communication courte, moyenne et longue
portée, y compris des liaisons par satellites. Il a enfin les moyens
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E 3 280 - 3
ANTENNES
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Antennes à très larges bandes
du système de "guerre électronique" :
écoute des émissions adverses
(radars et communications)
pour identification et brouillage
Antennes de communication
(HF, VHF, etc.)
Antenne du radar
de conduite de tir
(artillerie)
Antenne des radars
d'acquisition et de poursuite
du système de lance-missiles
Antenne réseau (dalle)
du radar de veille aérienne
et de surface
Figure 3 – Les antennes sur la frégate
« La Fayette »
communs à tous les navires : radar de navigation et moyens de
repérage.
Spirale conique
Ce sont donc des dizaines d’antennes de toutes sortes et en toutes
bandes qui sont présentes.
9m
1.2.1.4 Une station de radioastronomie (Nançay)
La radioastronomie est la branche de l’astronomie qui capte et
analyse les ondes radioélectriques émises par les corps célestes,
afin d’étudier l’univers, sa structure et son évolution.
5m
Le centre de Nançay (150 ha dans le département du Cher), qui
dépend de l’observatoire de Paris-Meudon, dispose d’antennes
remarquables :
— un réseau décamétrique pour la radioastronomie planétaire
(figure 4) ;
— un radiotélescope pour la radioastronomie galactique, extragalactique et cométaire (figure 5) ;
— un radiohéliographe pour la radioastronomie du soleil
(figure 6).
1.2.1.5 Un satellite d’observation du sol
Les satellites d’observation du sol nous permettent d’augmenter
notre connaissance sur notre planète et aussi d’en gérer les ressources.
L’observation en hyperfréquence permet d’obtenir des images
malgré la présence des nuages ou du brouillard.
La figure 7 montre quelques-unes des antennes d’un tel système.
L’antenne du radar d’observation est une antenne très sophistiquée
qui doit être à balayage électronique et à ouverture synthétique. Elle
profite du mouvement du satellite sur son orbite pour réaliser
« synthétiquement », c’est-à-dire par traitement du signal reçu,
l’équivalent d’une antenne de très grandes dimensions, seule capable de fournir une bonne résolution.
D’autres antennes, sur le satellite et au sol, assurent la télécommande du satellite et la transmission des images réalisées, en direct
ou par l’intermédiaire de satellites relais.
E 3 280 - 4
Réseau de 144 antennes
à polarisation circulaire,
à balayage électronique ;
surface totale 100 m x 100 m
Figure 4 – Réseau décamétrique 10 à 100 MHz pour l’étude
du soleil et de Jupiter
1.2.2 Autres exemples
Outre les exemples des paragraphes 1.2.1, il y a de très nombreuses autres applications des ondes électromagnétiques qui utilisent
des antennes. Sans vouloir être exhaustif, mais afin de prendre
conscience de la grande diversité, on peut citer des applications
aussi bien civiles que militaires.
■ Applications civiles
■ Trafic aérien :
— le contrôle du trafic aérien ;
• radars à longue portée ;
• radars d’approche ;
• radars de surveillance du trafic au sol ;
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Foyer de l'antenne, cornets
de réception et préamplificateurs
refroidis à – 250 ¡C mobiles sur un arc de 250 m
Miroir plan mobile autour d'un axe est-ouest
(hauteur 40 m ; longueur 200 m ; précision de surface 4 mm,
moyenne quadratique ; poids 700 t)
Surface grillagée pour réduire
la température de bruit de l'antenne (45 K)
Miroir sphérique fixe, d'axe nord-sud
(hauteur 35 m, longueur 300 m,
précision de surface 3 mm,
moyenne quadratique ; rayon 560 m)
Figure 5 – Radiotélescope 1 à 3,5 GHz pour l’étude des comètes, étoiles et galaxies
Réseau linéaire nord-sud
constitué de 24 paraboles
de 5 m de diamètre
Réseau linéaire est-ouest
constitué de 15 antennes
"lunettes" de 3 m
1 parabole de 5 m
1 parabole de 7 m
2 paraboles de 10 m
1 250 m
3 200 m
Figure 6 – Radiohéliographe de 150 à 450 MHz pour l’étude de la couronne solaire
Antenne du radar d'imagerie
du sol (balayage électronique
et ouverture synthétique
Liaison
de télécommande
bande S
Antenne de la station
de télécommande
du satellite
Liaison
en bande KA
Liaison
en bande X
Satellite relais
Liaison
en bande KA
Antennes de réception des images
prises par le satellite d'observation
Figure 7 – Satellite d’observation du sol
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E 3 280 - 5
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• radars secondaires (l’avion interrogé émet un message donnant son identité et son altitude) ;
• émetteurs récepteurs de liaison ;
— les aides à la navigation :
• balises ;
• radars d’anticollision ;
• altimètres ;
• aides à l’atterrissage : ILS (instrument landing system) et MLS
(microwave landing system).
● Radars de contrôle du trafic routier.
● Trafic maritime :
— radar de navigation ;
— balises et radiophares ;
— radar de surveillance de zones particulières (entrées de ports ;
caps dangereux...).
● Systèmes de localisation par satellites (GPS Global Positioning
System). Ces systèmes connaissent un développement exponentiel.
Ils permettent, grâce à la réception simultanée de signaux émis par
plusieurs satellites à défilement et à position parfaitement connue à
chaque instant, de déterminer la position précise du récepteur sur la
terre.
Ondes
sphériques
Surfaces
d'ondes
E
Émetteur
D
2. Notions de base
2.1 Antenne d’émission
Ce paragraphe a pour but de fournir une représentation visuelle
d’une antenne en fonction d’émission (figure 8).
■ On va faire les hypothèses suivantes :
— l’émetteur, qui alimente l’antenne, fournit une puissance P (en
watts), de fréquence fixe (et donc de longueur d’onde fixe) et en
ondes entretenues pures (CW continuous waves) ;
— l’antenne est ronde et de diamètre D grand devant la longueur
d’onde l (10 par exemple) ;
— sur l’ouverture de l’antenne, c’est-à-dire sur un plan très voisin
de la sortie, le champ émis est sensiblement celui d’une onde plane :
• phase constante
• amplitude constante
• polarisation constante
On verra plus tard (§ 3.1.4) que ces conditions sont celles qui fournissent le gain (c’est-à-dire la faculté de concentrer la puissance
émise) maximum.
E 3 280 - 6
H
R
u
1
2
Ligne
d'alimentation
3
Zone très proche
(quelques l )
4
On les trouve partout : bateau, avion, camion, taxi et, bientôt,
dans la voiture de tout un chacun.
■ Applications militaires
● Radars de surveillance aérienne du territoire.
● Radars de surveillance lointaine :
— radars OTH (over the horizon) ; ces radars utilisent la réflexion
des ondes de longueur décamétrique sur l’ionosphère pour détecter
d’éventuels lancements de missiles à plusieurs milliers de kilomètres ;
— radars ABM (anti balistic missiles) ; ces radars qui utilisent de
gigantesques antennes à balayage électronique ont pour mission de
détecter et d’analyser d’éventuelles ogives nucléaires ;
— armes électromagnétiques ; ces futures armes ont pour but de
mettre hors de fonctionnement les systèmes électroniques adverses, par utilisation d’émetteurs de très fortes puissances crête et des
antennes très directives ;
— satellites de surveillance du sol.
Surface
d'onde
Ondes
planes
Antenne
ANTENNES
Zone proche
(zone de Fresnel)
0 < R < 2D 2/ l
5
Zone lointaine
(zone de Fraunhoffer)
R > 2D 2/ l
Figure 8 – Antenne en fonction d’émission
■ On peut alors considérer 5 régions (figure 8) et préciser pour
chacune le comportement de la puissance P.
➀
Ligne d’alimentation
Dans cette région, P reste sensiblement constant car la ligne
(coaxial, guide d’onde...) a une atténuation très faible et il n’y a pas
de rayonnement. La longueur d’onde l est généralement différente
de la longueur d’onde en espace libre.
➁
Antenne proprement dite
Dans cette région, P est réparti sur l’ouverture suivant différentes
structures (lentille, réflecteur, distributeur...) fournissant une onde
plane sur l’ouverture de densité moyenne P /S (S étant la surface de
l’antenne).
➂ Zone très proche. Son épaisseur est de quelques longueurs
d’onde.
Dans cette région, P se propage dans l’espace sous forme d’onde
plane.
La densité de puissance est constante dans un petit cylindre normal à l’ouverture.
➃ Zone proche. Cette région, appelée aussi zone de Fresnel, a
pour épaisseur :
d = 2 D2/l
P reste approximativement canalisé dans un cylindre qui a pour
section l’ouverture de l’antenne. Les surfaces d’onde se transforment progressivement de plans en sphères (avec des « remous »).
➄ Zone lointaine. On appelle aussi cette région zone de Fraunhoffer.
P est rayonné jusqu’à l’infini sous forme d’ondes sphériques centrées sur un point voisin de l’ouverture (le centre de phase). Dans
une direction donnée, la puissance est constante dans un petit cône
ayant cette direction pour axe, la densité de puissance (en W/sr) est
une fonction caractéristique de la direction.
La densité de puissance (en W/m2) varie donc en : 1/R2
R étant la distance à l’antenne.
La longueur d’onde est celle de l’espace libre.
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2.2 Diagramme de rayonnement
Dans la zone lointaine, la densité de puissance rayonnée (W/sr),
dans une direction de l’espace u, ne dépend plus de la distance R.
qg
1
■ Le champ électrique s’écrit :
0,707
exp ( Ð j k R )
E ( u , R ) = --------------------------------- F ( u ) p ( u ) exp ( j w t )
R
avec
qs
(1)
E (u, R )
vecteur champ électrique dans la direction u et à
la distance R,
k = 2p/ l
constante de propagation,
F (u )
amplitude et phase du champ électrique,
p (u )
vecteur polarisation dans la direction u,
w
pulsation (= 2 p f t, f étant la fréquence).
Site
Gisement
Figure 10 – Diagramme de rayonnement en amplitude à deux
dimensions correspondant à une antenne rectangulaire
■ Localement, l’onde est plane et le champ magnétique est :
e
--- u ´ E ( u , R )
m
H (u,R ) =
avec
e
permittivité du vide,
m
perméabilité magnétique du vide.
(2)
■ Le diagramme de rayonnement d’une antenne est la distribution spatiale d’une grandeur qui caractérise le champ électromagnétique rayonné par l’antenne. Cette distribution peut être exprimée
sous forme d’une fonction F ou d’une représentation graphique.
Les grandeurs généralement utilisées sont proportionnelles à :
— la densité de flux de puissance ;
— l’amplitude, la phase ou la polarisation du champ électrique.
On distingue :
— le diagramme en amplitude ou en champ, si c’est l’amplitude
ou l’amplitude relative qui est représentée ;
— le diagramme en puissance (le plus utilisé), si c’est le carré de
l’amplitude ou de l’amplitude relative qui est représenté.
Souvent on se contente de coupes dans deux plans principaux
(figure 9) :
— plan de gisement ;
— plan de site.
y
Plan de site y Oz
uy
O
ux
qg
Plan de gisement x Oz
x
qs
u
yy
,,
,,
yy
,,
yy
Figure 9 – Diagramme de rayonnement : systèmes de repères
z
Figure 11 – Diagramme de rayonnement en amplitude à deux
dimensions correspondant à une antenne circulaire
Les diagrammes sont normalisés par rapport au maximum et
exprimés en décibels :
F (q )
F dB ( q ) = 20 lg -----------------------------------sup ( F ( q ) )
(3)
FdB (q ) étant le diagramme en dB.
Suivant les cas, la direction u est représentée par des angles q
(exprimés en degrés ou en radians) ou par ses cosinus directeurs ux
et uy.
● La figure 10 est un exemple de diagramme en amplitude à
deux dimensions correspondant à une antenne rectangulaire.
●
Dans un diagramme, on distingue :
— le lobe principal caractérisé par ses largeurs à mi-puissance,
ou à 3 dB (ou à 1 / 2 pour un diagramme en amplitude), en gisement et en site ;
— les lobes latéraux qui correspondent à des remontées du diagramme de rayonnement hors du lobe principal, caractérisés par
leur niveau relatif et éventuellement par leur forme et leur position.
● La figure 11 est un exemple de diagramme correspondant à
une antenne circulaire ; sa loi d’illumination est de révolution et
donc, par raison de symétrie, son diagramme est de révolution.
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E 3 280 - 7
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
2.3.2 Gain
F (q )
1
0,8
Le gain d’une antenne, dans une direction u donnée, est le rapport
entre la densité de puissance rayonnée par l’antenne dans cette
direction et la densité de puissance qui serait rayonnée si l’antenne
était isotrope :
1
2
0,6
( F ( u ) )2
G ( u ) = -----------------------P¤ 4p
0,4
0,2
0
– 45
avec
– 30
– 15
0
15
30
q (¡)
45
(ïF (u )ï)2
puissance rayonnée dans la direction u,
P
puissance entrant dans l’antenne.
(5)
Si la direction n’est pas spécifiée, c’est la direction du maximum
de rayonnement qui est considérée.
Figure 12 – Diagramme de rayonnement en amplitude d’une antenne
rectangulaire en fonction de l’angle q
Le gain s’exprime généralement en décibels :
GdB = 10 lg (G )
2.3.3 Directivité
20 lg ( F ( q ) ) (dB)
0
Cette grandeur est le rapport de la puissance rayonnée dans une
direction u à la puissance moyenne rayonnée par l’antenne (alors
que le gain se réfère à la puissance entrant dans l’antenne) :
–3
–5
– 10
( F ( u ) )2
D ( u ) = 4 p -------------------------------------
– 15
ò
– 20
– 25
– 30
– 45
(6)
( F ( u ) ) 2 dw
■ Dans le cas particulier où le diagramme est de révolution, il ne
dépend que d’un angle q, l’intégrale se simplifie et on obtient :
– 30
– 15
0
15
30
q (¡)
45
2 f ( q )2
D ( q ) = --------------------------------------------------------
ò
Figure 13 – Diagramme de rayonnement en puissance d’une antenne
rectangulaire en fonction de l’angle q
p
(7)
f ( q ) 2 sin ( q ) dq
0
et la directivité maximale est :
● Les figures 12 et 13 donnent, à titre d’illustration, des coupes
de diagramme d’une antenne rectangulaire, dont la dimension est
de 5l, dans le plan de la coupe, en amplitude et en puissance (dB),
en fonction de l’angle q.
On utilise aussi les coordonnées polaires pour représenter des
diagrammes larges (correspondant à de petites antennes en terme
de longueur d’onde).
2 max ( f ( q ) 2 )
D ( q ) = --------------------------------------------------------
ò
p
(8)
f ( q ) 2 sin ( q ) dq
0
avec
q
angle entre une direction courante et l’axe de
l’antenne,
f (q )
diagramme en amplitude de l’antenne.
■ La directivité se déduit de la seule connaissance du diagramme
et, pour passer au gain, il faut déduire toutes les pertes de l’antenne.
2.3 Gain
■ Si l’antenne est sans pertes, la directivité est égale au gain.
2.3.1 Antenne isotrope
2.3.4 Exemples
L’antenne isotrope est une antenne fictive qui rayonne la même
densité de puissance quelle que soit la direction de l’espace :
On va supposer, dans ces exemples, que l’antenne est sans pertes et donc que le gain est égal à la directivité.
P
( F ( u ) ) 2 = -------4p
avec
(4)
(ïF (u )ï)2
densité de puissance rayonnée dans la
direction u (en W/sr),
P
puissance entrant dans l’antenne supposée
sans pertes.
Par définition, son gain est 1.
E 3 280 - 8
■ Antennes rayonnant uniformément dans un cône seulement (cas fictifs mais pédagogiques) ; on a :
f (q ) =
1 si 0 < q < q 0
0 si q 0 < q < p
donc
1
G = -------------------------------sin 2 ( q 0 ¤ 2 )
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■ Antenne omnidirectionnelle :
q0 = p
G=1
1
(0 dB)
3
■ Antenne rayonnant uniformément dans un demi-espace :
4
p
q 0 = --2
G=2
Ligne d'alimentation
Ondes planes incidentes
sur l'antenne en provenance
de la direction u
l
Zone d'ombre
D
lg
(3 dB)
u
■ Antenne rayonnant dans un cône étroit :
2
2 D /l
q0 << p
4
G = ------q02
2
Antenne
Application numérique : q = 1°, le gain de l’antenne est :
[ (----------------------p ¤ 180 ) ] = 1,313 · 10
4
G =
4
2
Figure 14 – Antenne en fonction réception
soit 41,18 dB
■ Antennes réelles :
● dipôle petit devant la longueur d’onde :
➂
Ligne d’alimentation
Dans cette région, qui relie l’antenne au récepteur, P reste sensiblement constant car la ligne (coaxial, guide d’onde...) a une atténuation très faible et il n’y a pas de rayonnement. La longueur
d’onde l est généralement différente de la longueur d’onde en
espace libre (lg).
f (q ) = sin (q)
G = 1,5 (1,76 dB)
●
Ondes rerayonnées
par l'antenne
dipôle de demi-longueur d’onde :
➃
p
cos æ --- cos ( q )ö
è2
ø
f ( q ) = -------------------------------------------sin ( q )
Zone arrière de l’antenne
Cette zone qui s’étend jusqu’à 2D 2/ l environ est une zone
d’ombre pour l’onde plane incidente, c’est-à-dire que la densité de
puissance en provenance de l’émetteur y est nulle ou très inférieure
à W. Au-delà de cette zone, l’onde plane se reforme progressivement et on peut placer, si besoin, une nouvelle antenne.
G = 1,64 (2,15 dB)
2.4 Antenne de réception
1. La puissance captée par l’antenne est au maximum égale
à:
Ce paragraphe a pour but de fournir une représentation d’une
antenne de réception (figure 14).
■ On va faire les hypothèses suivantes :
— l’émetteur, qui éclaire l’antenne, est suffisamment loin de
celle-ci pour que l’on puisse considérer que les ondes sont planes
sur son ouverture. Il fournit une densité de puissance W (watts
par m2) de fréquence fixe et en ondes entretenues pures ;
— l’antenne est ronde et de diamètre D grand devant la longueur
d’onde (10 par exemple).
P = W S (u )
On verra plus tard (§ 3.1.4) quel type d’antenne permet d’obtenir ceci.
2. D’une façon générale, la surface équivalente de réception
d’une antenne, pour une direction donnée de l’espace, est le
rapport entre la puissance disponible à la sortie de l’antenne et
la densité de puissance d’une onde plane incidente sur
l’antenne en provenance de cette direction, et dont la polarisation est la même que la polarisation nominale de l’antenne.
■ On peut alors considérer 4 régions (figure 14) et préciser pour
chacune le comportement de la puissance P.
➀
2.5 Réciprocité
Zone devant l’antenne
Dans cette région, la puissance incidente se propage sous forme
d’ondes planes. La puissance incidente sur l’antenne est :
Pi = S (u ) W
(9)
S (u ) étant la surface projetée de l’antenne, dans la direction u.
➁
Antenne proprement dite
Dans cette région, une partie de Pi est généralement réfléchie ou
diffractée par l’antenne et se retrouve rerayonnée dans l’espace ;
l’autre partie de Pi va être concentrée suivant différentes structures
(lentille, réflecteur, distributeur...) et fournir une puissance utile P
disponible à la sortie de l’antenne.
2.5.1 Couplage entre antennes
Considérons deux antennes l’une émettant 1 W l’autre recevant
Pr W (figure 15 a) ; si on inverse les fonctions des antennes, on
trouve que la puissance reçue par la première antenne est encore
Pr W (figure 15 b). Cela peut, bien entendu, être démontré rigoureusement à partir des équations de Maxwell.
Le couplage entre deux antennes ne dépend pas de l’antenne qui
émet.
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E 3 280 - 9
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
Antenne
d'émission
Antenne
de réception
Antenne
de réception
Antenne
d'émission
x
Direction
de propagation
z
Champ
électrique e
Pr W
1W
Pr W
a
1W
b
O
Figure 15 – Couplage entre antennes
y
Champ
magnétique h
Figure 16 – Polarisation rectiligne
On a donc pour la puissance reçue :
z
1
P r = 1 á G 1 ( u ) S 2 ( u ) --------------4 p r2
1
P r = 1 á G 2 ( u ) S 1 ( u ) ---------------4 p r2
et
G1 ( u )
G2 ( u )
------------------ = -----------------S1 ( u )
S2 ( u )
l
G1 (u ), G2 (u )
gains des antennes dans la direction u,
S1 (u ), S2 (u )
surface de réception des antennes dans la
direction u,
r
distance entre les deux antennes.
y
x
2.5.2 Théorème de réciprocité
Figure 17 – Polarisation rectiligne : tracé du vecteur champ
électrique
Il y a un rapport constant pour une antenne donnée entre son gain
et sa surface équivalente de réception ; on montre que :
pour le champ magnétique, dans le plan Ox, Oy, on a :
4p
G ( u ) = --------- S ( u )
l2
(10)
h =
e
--- e
m
La puissance moyenne transportée par l’onde est donnée par :
2.6 Polarisation
1
p = --2
Les ondes électromagnétiques propagent des champs vectoriels ;
on dit qu’elles sont polarisées. Ce n’est pas le cas, par exemple, des
ondes acoustiques qui propagent un champ scalaire.
Le champ magnétique d’une onde plane se déduisant directement
du champ électrique, celui-ci, seul, est considéré pour définir la
polarisation.
avec
e
--- e 02
m
(12)
Ox, Oy,
plan de polarisation,
f
fréquence,
c
vitesse de la lumière,
m et e
perméabilité magnétique et permittivité du vide.
La figure 17 présente une autre représentation à un instant
donné.
2.6.1 Polarisation rectiligne
C‘est le cas le plus simple et le plus utilisé dans les antennes. Le
champ électrique reste dans un plan, par exemple le plan Ox, Oz
(figure 16), et a pour valeur :
z
e = e 0 cos 2 p f æè t Ð --- öø
c
E 3 280 - 10
(11)
2.6.2 Polarisation circulaire
La polarisation est dite circulaire si le vecteur champ électrique
décrit un cercle en se propageant.
On peut alors le considérer comme la somme de deux ondes planes à polarisation rectiligne (figure 18), dont les champs électriques
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___________________________________________________________________________________________________________________________ ANTENNES
x
Direction
de propagation
z
z
l
Champ
électrique ex
O
y
Champ
magnétique ey
Figure 18 – Polarisation circulaire
y
z
x
Figure 20 – Polarisation elliptique
l
x
Direction
de propagation
Angle
de tilt
z
b : petit axe
a : grand axe
y
y
x
Figure 19 – Polarisation circulaire droite : tracé du vecteur champ
électrique
Plan
de polarisation
sont d’égale amplitude, perpendiculaire l’un à l’autre et déphasés de
± p /2 (quadrature) :
ü
ï
ï
ý
ï
z
p
e y = e 0 cos 2 p f æè t Ð --- öø + --- ï
c
2 þ
z
e x = e 0 cos 2 p f æè t Ð --- öø
c
(13)
Figure 21 – Polarisation elliptique : tracé du vecteur champ
électrique
Les sens de polarisation, droite ou gauche, ont la même définition
que pour la polarisation circulaire (§ 2.6.2). La figure 21 présente le
plan de polarisation elliptique.
Le taux d’ellipticité de l’onde est le rapport des axes de l’ellipse, il
s’exprime aussi en décibels :
Par convention, la polarisation circulaire est dite « droite » si, pour
l’observateur qui regarde l’onde s’éloignant, le vecteur polarisation
tourne dans le sens trigonométrique ou encore dans le sens inverse
des aiguilles d’une montre. Elle est dite « gauche » dans le cas contraire (ce qui correspond à un déphasage de - p /2 de la composante
située dans le plan Oy, Oz).
ü
ï
ï
ý
a
ï
= 20 lg æ --- ö ï
èb ø
þ
a
t = --b
La figure 19 présente une représentation à un instant donné de la
polarisation circulaire droite.
t dB
(14)
Une onde à polarisation rectiligne est une onde à polarisation
elliptique de taux d’ellipticité infini.
Une onde à polarisation circulaire est une onde à polarisation
elliptique de taux d’ellipticité égal à 1.
2.6.3 Polarisation elliptique
La polarisation est dite elliptique si le vecteur champ électrique
décrit une ellipse en se propageant (figure 20).
On peut alors le considérer comme la somme de deux ondes planes dont les champs électriques ne sont pas d’égale amplitude, sont
perpendiculaires l’un à l’autre et déphasés de ± p /2 (quadrature).
2.6.4 Onde dépolarisée
Une onde est dite « dépolarisée » si le vecteur champ électrique
décrit une courbe aléatoire en se propageant.
On peut alors le considérer comme la somme de deux ondes planes orthogonales dont les champs électriques sont décorrélées.
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C’est le cas des ondes provenant des objets naturels tels que le
soleil ou les étoiles. C’est aussi ce que recherche à faire un « bon »
brouilleur pour éviter que l’antenne à brouiller ne choisisse une
polarisation orthogonale.
2.6.5 Sphère de Poincaré
La sphère de Poincaré est une sphère dont les points sont associés, un à un, avec tous les états de polarisation possibles, selon les
règles suivantes :
— la longitude égale deux fois l’angle de tilt ;
— la latitude est deux fois l’angle dont la cotangente est le négatif
du taux d’ellipticité de l’ellipse de polarisation.
➀ Dans cette définition le taux d’ellipticité porte le signe +
si la polarisation a le sens « droit » et le signe - dans le cas
contraire.
➁ Les points de l’hémisphère nord de la sphère de Poincaré
représentent les polarisations de sens « gauche » et ceux de
l’hémisphère sud représentent les polarisations de sens
« droit ».
Le pôle nord représente la polarisation circulaire gauche. Le
pôle sud représente la polarisation circulaire droite.
Les points de l’équateur représentent toutes les polarisations
rectilignes possibles.
2.6.6 Polarisation adaptée et polarisation
orthogonale
Par suite du théorème de réciprocité, la polarisation qui maximise
la puissance reçue en provenance d’une direction donnée est la
polarisation que l’antenne émet dans cette direction ; c’est la polarisation adaptée pour cette direction.
Il existe de même une polarisation orthogonale qui annule toute
puissance reçue par l’antenne.
Exemples
■ Une antenne à polarisation rectiligne et une antenne à
polarisation circulaire
Soit a l’amplitude de la polarisation circulaire, l’onde transporte la
puissance 2a 2
L’antenne à polarisation rectiligne ne capte qu’une composante ;
le coefficient de transfert est donc :
a2
R = --------2 a2
soit
1
R = --2
La puissance transmise est la moitié de la puissance qui serait
transmise si les deux antennes avaient la même polarisation.
■ Une antenne à polarisation rectiligne et une antenne à
polarisation elliptique
Si la polarisation rectiligne est parallèle au grand côté, on a :
a2
R = ------------------a2 + b2
avec
soit
t2
R = ---------------2
t +1
R
taux de transfert en puissance (= 1 si les
polarisations sont les mêmes),
a, b
grand et petit axe de l’ellipse,
t
taux d’ellipticité (= a /b).
Si la polarisation rectiligne est parallèle au petit côté, on a :
b2
R = ------------------a2 + b2
soit
1
R = ---------------t2+1
Dans les cas intermédiaires, le coefficient de transfert varie entre
les deux extrêmes précédents.
■ Une antenne à polarisation elliptique et une antenne à
polarisation circulaire
La polarisation elliptique a, b est équivalente à deux polarisations
circulaires d’amplitude x et y, de sens opposés telles que :
x + y = a et x Ð y = b
■ Polarisation verticale (exemple de polarisation rectiligne) :
— polarisation adaptée : polarisation verticale ;
— polarisation orthogonale : polarisation horizontale.
■ Polarisation circulaire droite :
— polarisation adaptée : polarisation circulaire droite ;
— polarisation orthogonale : polarisation circulaire gauche.
La réflexion d’une onde à polarisation circulaire sur un plan normal à la direction de propagation ou sur un objet de symétrie sphérique par rapport à l’axe de propagation donne une onde de
polarisation orthogonale (ce qui n’est pas le cas des ondes à polarisation rectilignes ou elliptiques).
Cela est exploité dans les antennes pour radar de surveillance
aérienne qui peuvent ainsi éliminer les échos de pluie (gouttes d’eau
sensiblement sphériques).
■ Polarisation elliptique :
— polarisation adaptée : polarisation elliptique du même type
(même angle de tilt et même sens de rotation pour la polarisation) ;
— polarisation orthogonale : polarisation elliptique ayant un
angle de tilt en quadrature avec l’angle de tilt de l’onde émise et un
sens de rotation opposé.
a+b
soit : x = ------------2
aÐb
y = ------------2
et
La puissance prise par la polarisation circulaire d’amplitude x
est 2x 2.
On a donc :
— si les deux antennes ont le même sens de polarisation :
(a + b) 2
R = ----------------------------- soit
2(a 2 + b 2)
(t + 1) 2
R = -----------------------2(t 2 + 1)
— dans le cas contraire :
( t Ð 1 )2
R = -------------------------2 (t 2 + 1)
2.6.8 Polarisation des antennes
■ Très généralement, la polarisation souhaitée par les antennes est
du type polarisation rectiligne (verticale ou horizontale) ou
circulaire ; c’est la polarisation nominale de l’antenne.
2.6.7 Couplage entre antennes ayant
des polarisations différentes
■ Pratiquement, pour des raisons de choix de structure ou d’imperfections de fabrication, l’antenne émet aussi de la puissance en
polarisation croisée.
■ Deux antennes à polarisation rectilignes
Une antenne bien faite peut avoir un niveau de polarisation croisée de - 20 dB par rapport à la polarisation nominale dans le faisceau et de - 5 à - 10 dB dans les lobes latéraux.
La puissance transmise est proportionnelle à cos2 (q), q étant
l’angle que font les deux directions de polarisation entre elles.
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Dans les antennes dites « à réutilisation de fréquence », ce niveau
doit être inférieur à - 35 dB dans l’axe de l’antenne.
■ Pour éviter les interférences entre émetteurs de télévision desservant des régions voisines, on alterne souvent les polarisations
nominales : horizontale, puis verticale, etc.
Pour éviter les extinctions de liaison entre antennes de télécommunication dont l’une est mobile, on utilise parfois une antenne à
polarisation circulaire pour l’une et une antenne à polarisation rectiligne pour l’autre, la perte de 3 dB étant moins pénalisante que
l’extinction due à des polarisations pouvant devenir orthogonales.
Tb(K)
103
8
6
4
Galaxie
2
q = 90¡
102
8
6
4
2.7 Température de bruit
85¡
2
80¡
2.7.1 Sources de bruit
10
À la sortie de toute antenne de réception, même en l’absence de
signal utile, on reçoit une puissance radioélectrique parce que
l’antenne est entourée d’émetteurs naturels assimilables à des
corps noirs :
— la terre ;
— les étoiles ;
— notre galaxie ;
— les galaxies lointaines.
Aux fréquences radioélectriques :
— tout corps noir (c’est-à-dire absorbant aux fréquences considérées) rayonne une puissance proportionnelle à sa température ; la
brillance d’un corps noir, c’est-à-dire sa puissance rayonnée par
unité de surface, et par unité d’angle solide dans la direction normale à cette surface (dans une direction faisant un angle s avec la
normale à la surface, le rayonnement est B cos s) est donnée par :
B = k T CN
avec
1
D f -----l2
k
constante de Boltzmann (= 1,38 · 10-23 J/K),
TCN
(K) température thermique du corps noir,
Df
(Hz) bande de fréquence,
(15)
l
(m) longueur d’onde,
— tout corps partiellement transparent (l’atmosphère par exemple) qui absorbe une fraction p de la puissance thermodynamique
qui le traverse, réémet la fraction p de la puissance qu’émettrait un
corps noir porté à la même température.
2.7.2 Température de bruit d’une antenne
■ Si le diagramme de rayonnement de l’antenne est entièrement
dirigé vers un même corps noir, on montre facilement que la puissance de bruit (en watts) reçue par l’antenne est donnée par la relation :
N = k TCN D f
avec
Df
(16)
N = k Ta D f
Ta
60¡
6
4
0¡
2
1
10 –1
2
4
6
8
1
2
4
6
8
10
2
4
6
8
102
f (GHz)
Figure 22 – Valeurs calculées de température de bruit correspondant
à l’atténuation due à l’oxygène et à la vapeur d’eau atmosphériques,
en été et dans les régions tempérées
— la température de bruit d’une antenne de satellite observant la
terre est d’environ 300 K ;
— la température de bruit d’une antenne pointée vers le soleil et
dont le faisceau est inférieur à 0,5 degré est d’environ 8 000 K ;
— la température de bruit d’une antenne idéale à faisceau très fin,
située hors de l’atmosphère et dirigée vers une région de l’univers
sans étoiles, est de 0,3 K (rayonnement fossile).
2.7.3 Température de bruit dans une direction
donnée de l’espace
Pour un point d’observation donné, on peut définir la température
de bruit pour une direction de l’espace comme étant la température
de bruit d’une antenne idéale ayant un diagramme de rayonnement
très petit vis-à-vis de la variation de la loi observée et pointé dans
cette direction.
Cette température de bruit dépend de la fréquence f et de la direction q en raison notamment de l’atmosphère dont l’épaisseur, et
donc l’atténuation, dépend du site d’observation. L’atténuation par
unité de longueur traversée dépend aussi de la fréquence en raison
des comportements sélectifs de la vapeur d’eau et de l’oxygène
contenus dans l’air (figure 22).
(Hz) bande de fréquence de mesure .
■ Lorsque plusieurs corps noirs, à des températures différentes,
se trouvent dans le diagramme de l’antenne, la puissance reçue par
l’antenne reste proportionnelle à la largeur de bande de mesure et il
est commode de définir une température de bruit de l’antenne par
la relation :
avec
8
(17)
2.7.4 Calcul de la température de bruit
d’une antenne
On montre que la température de bruit d’une antenne de gain
G (u ) dans un espace où la température de bruit, dans la direction u,
est T (u ) est :
1
T a = -------4p
(K) température de bruit de l’antenne.
■ Exemples :
— la température de bruit d’une antenne située dans une chambre sourde, dont la température intérieure est de 20 °C (soit 293 K) ;
avec
dW
òT G
dW
(18)
angle solide élémentaire, l’intégration se faisant
dans tout l’espace.
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ANTENNES
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2.7.5 Effet de l’atténuation d’une ligne
sur la température de bruit
3. Antennes théoriques
Si un élément de ligne est introduit entre l’antenne supposée parfaite et sa sortie, ce qui est généralement le cas, alors cet élément va
augmenter la température de bruit :
3.1 Ouvertures
Ta2 = A Ta1 + Tth (1 - A)
avec
(19)
A
atténuation de la ligne (puissance en sortie /
puissance en entrée),
Ta1
température de bruit en amont de la ligne,
Ta2
température de bruit de l’antenne en aval de la
ligne,
Tth
température thermique de la ligne.
3.1.1 Hypothèses et définitions
On va faire quelques hypothèses simplificatrices et en rappeler les
limites.
■ Première hypothèse
Pour déterminer les caractéristiques du champ lointain d’une
antenne, il suffit de connaître le champ proche sur un plan voisin de
l’antenne : son ouverture.
●
Application numérique :
A = 0,9, soit une atténuation de -10 lg (A) = 0,46 dB
Ta1 = 50 K
Tth = 300 K
On obtient : Ta2 = 75 K
Pour une estimation rigoureuse de la température de bruit d’une
antenne, il faut tenir compte de toutes les pertes :
●
Limite
Pour calculer le rayonnement diffus (lobes latéraux lointains), il
faut prendre en considération la structure fine de l’antenne : tirants,
bords du réflecteur, spillover...
■ Deuxième hypothèse
Une fonction scalaire définie sur l’ouverture suffit à caractériser le
champ proche.
— lignes ;
— radômes ;
●
— pertes dues à la réflexion sur les réflecteurs, etc.
■ La terre et l’eau sont considérés, dans les estimations courantes, comme des corps noirs à une température de 290 K.
■ Un corps métallique très bon conducteur, en revanche, est
« froid », car il reflète le ciel.
■ Bruits industriels : outre les émetteurs naturels cités précédemment, il ne faut pas oublier que tous les équipements électriques fabriqués par l’homme rayonnent également une partie
de leur puissance électrique consommée. C’est pour cette raison
que les radiotélescopes sont installés le plus loin possible des
villes.
■ La température de bruit peut être sérieusement affectée par
les conditions météorologiques (telles que pluie, brouillard...)
qui augmentent l’atténuation atmosphérique.
■ Pour la température de bruit d’une petite antenne située à la
surface de la terre ; la moitié du diagramme étant dirigée vers la
terre, la température de bruit est, au moins, égale à 190 K.
■ Pour la température de bruit d’une antenne de télécommunications spatiales, le faisceau est étroit, dirigé vers le ciel ;
l’antenne est conçue pour avoir un rayonnement très faible vers
le sol, on peut obtenir des températures d’antennes faibles (20 K
par exemple).
Justification
On demande généralement aux antennes de rayonner dans une
polarisation bien précise, tout rayonnement dans la polarisation
croisée étant une perte d’énergie. Il faut donc réaliser sur l’ouverture
une illumination ayant cette même pureté de polarisation. On peut
donc négliger le caractère vectoriel du champ électromagnétique.
●
Limite
Si la polarisation sur l’ouverture n’est pas parfaite, il faudra ajouter une autre fonction représentant l’illumination en polarisation
croisée (orthogonale à la polarisation principale) qui produira un
diagramme dans cette même polarisation.
En toute rigueur, si le champ sur l’ouverture est quelconque,
il faut utiliser des relations vectorielles complexes (formules de
Kottler, § 3.3.2) pour passer du champ proche au champ lointain.
Pour calculer le rayonnement diffus (lobes latéraux lointains), il
faut prendre en considération la structure fine de l’antenne : tirants,
bords du réflecteur, spillover...
■ Troisième hypothèse
Le diagramme de rayonnement (champ lointain) est lié à la loi
d’illumination (champ sur l’ouverture) par une transformée de Fourier.
●
Justification
C’est une excellente approximation lorsque les conditions ci-dessus sont remplies (voir annexe, § 4.1). On bénéficie d’autre part
d’algorithmes de calculs très rapides (FFT Fast Fourier Transform).
●
■ Pour la température de bruit d’une antenne d’astrophysique,
tout est fait pour avoir une température d’antenne très faible :
préamplificateurs et guide d’antennes refroidis à l’hélium
liquide (4 K) rayonnements vers le sol très réduits et, éventuellement, métallisation des surfaces du sol « vues » par l’antenne.
E 3 280 - 14
Justification
Cela est vrai pour les antennes grandes devant la longueur d’onde
et qui sont donc très directives, et lorsque l’on veut déterminer les
caractéristiques de l’antenne concernant le lobe principal et les premiers lobes latéraux (ce sont souvent les principales spécifications).
Limite
Lorsque les antennes ne sont plus grandes devant la longueur
d’onde, mais que la notion d’ouverture reste valable (cornet, par
exemple), le diagramme calculé par la transformée de Fourier doit
être multiplié par le facteur correctif cos q, q étant l’angle fait entre la
direction considérée et la normale à l’ouverture.
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___________________________________________________________________________________________________________________________ ANTENNES
3.1.4 Relations entre lois d’illumination
et diagrammes
z
uz
u
On va voir maintenant qu’il existe une relation fondamentale
entre diagramme et loi d’illumination, et qu’il existe des lois d’illuminations remarquables :
Vecteur
unitaire
— la loi d’illumination uniforme, qui donne le gain maximal ;
— la loi d’illumination séparable fournie, par exemple, par les
réseaux rectangulaires et qui simplifie notablement les relations ;
Ouverture de point
courant M(x,y)
uy
O
y
— la loi d’illumination impaire, qui fournit des diagrammes du
type « différence » dans les antennes monopulse ;
— la loi de révolution qui fournit des diagrammes de révolution ;
M(x,y)
ux
— la loi échantillonnée fournie par les réseaux.
■ Relation fondamentale
x
Figure 23 – Repères des ouvertures rayonnantes
Le diagramme est proportionnel à la transformée de Fourier de la
loi d’illumination :
3.1.2 Repères
1
F ( u x , u y ) = --l
En zone proche, on supposera que le champ rayonné est connu
sur une portion de plan Ox, Oy, appelée « ouverture » et qu’il est nul
en dehors (figure 23).
En zone lointaine, une direction de l’espace sera caractérisée par
le vecteur unitaire u de composantes ux, uy, uz.
¥
¥
Ð¥
Ð¥
ò ò
x
y
(20)
f ( x , y ) exp Ð j 2 p æè --- u x + --- u y öø dx d y
l
l
On va donner une démonstration simplifiée.
Dans la direction u, le rayonnement de l’élément de surface dS
situé autour du point M(x, y ) est en avance par rapport au rayonnement du point O du bout de chemin d, (figure 24), il s’ensuit un
déphasage df :
p
d f = Ð 2 --- d
l
3.1.3 Fonctions
■ On suppose que le champ électromagnétique est représenté,
dans le plan Ox, Oy, par la fonction scalaire f (x, y ), nulle en dehors
de l’ouverture de l’antenne. On désignera cette fonction par loi
d’illumination de l’ouverture.
avec d = OM · u
La fonction f (x, y ) est proportionnelle au champ électrique
(amplitude et phase) en M (x, y ) (figure 23). Il est parfois commode
de prendre le coefficient de proportionnalité tel que le module au
carré de f (x, y ), soit égal au flux de la densité de puissance électromagnétique en M :
soit
1
( f ( x , y ) ) 2 = --- ( E ( x , y ) ) 2
2
e
--m
d = x ux + y uy
x
y
d f = Ð 2 p æ --- u x + --- u yö
èl
l ø
En intégrant sur tout le plan, on retrouve bien la relation (20) de la
transformée de Fourier entre loi d’illumination et diagramme de
rayonnement.
Le terme en 1/l vient de l’égalité entre la puissance sortant de
l’ouverture et la puissance rayonnée dans l’espace.
■ Le champ électromagnétique rayonné dans la direction u
(figure 23) est représenté par la fonction F (u ) appelée diagramme.
Il est parfois commode de prendre pour module de F (u ) la racine
carrée de la densité de puissance électromagnétique moyenne
rayonnée dans la direction u (W/sr).
z
uz
L’argument de F (u ) est la phase du champ électrique rayonné
dans la direction u et compté à la distance R = 0.
u
À la distance R >> R0, la phase du champ électrique est donc :
2 p
f = --------- R
l
d
2 D2
R 0 = ------------l2
avec
R0
distance de Rayleigh,
D
diamètre de l’ouverture,
l
longueur d’onde.
uy
O
dS
y
M(x,y )
ux
x
Figure 24 – Détermination de la relation entre loi d’illumination
et diagramme de rayonnement
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E 3 280 - 15
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
■ Loi d’illumination séparable
■ Relation entre loi d’illumination et gain
Par définition, le gain dans la direction u, G (u ), est donné par la
relation (5) :
( F ( u ) )2
G ( u ) = ------------------------P¤4 p
avec
(21)
P
puissance totale,
F (u )
diagramme de rayonnement (§ 3.1.3).
Une loi d’illumination est dite séparable si elle peut s’exprimer
sous la forme d’un produit de fonctions à une variable f (x ), g (y )
(ou lois d’illumination linéaires), et si l’ouverture est rectangulaire.
L’intérêt de ce cas est qu’il est fréquent dans les antennes réseaux
et qu’il conduit à une grande simplification des calculs, car, en effet,
le diagramme est lui aussi séparable :
F ( u x , u y ) = Fu x ( u x ) Fu y ( u y )
On en déduit, pour toute antenne dont le gain maximal est dans la
direction normale à l’ouverture, f (x,y ) étant la loi d’illumination :
Fu x ( u x ) =
ò ò
ò ò
Ð¥
Ð¥
( f (x,y)
)2
¥
ò
¥
Ð¥
2
¥
æ ¥
ö
ç
÷
ç Ð¥ Ð¥ f ( x , y ) d x dy ÷
è
ø
4 p
G ( 0,0 ) = -------- ------------------------------------------------------------------------------l2
¥
¥
ò
Fu y ( u y ) =
Ð¥
(22)
x
f x ( x ) exp æè Ð j 2 p --- u x öø d x
l
y
f y ( y ) exp æè Ð j 2 p --- u y öø d y
l
On définit le rendement partiel hx d’une loi d’illumination partielle fx (x) par :
dx dy
2
¥
æ
ö
fx ( x ) d x ÷
ç
è Ð¥
ø
h x = --------------------------------------------------------
■ Loi d’illumination correspondant au gain maximal
L’inégalité de Schwartz appliquée à la relation précédente conclut
que le maximum possible est atteint lorsque f (x,y ) est constant sur
l’ouverture (on dit aussi éclairement uniforme) ; le gain est alors :
ax
ò
ò
¥
(27)
( fx ( x ) ) 2 d x
Ð¥
ax étant la largeur de l’ouverture suivant Ox.
4 p S
G = --------------l2
(23)
On définirait de même un rendement partiel hy.
Le rendement total de la loi d’illumination séparable est alors :
h = h x hy
S étant la surface de l’ouverture.
Si l’ouverture est un cercle de diamètre D, la relation devient :
p D 2
G = æè -------------öø
l
(24)
Lorsque le gain de l’antenne est la spécification principale, on
cherchera donc à se rapprocher le plus possible d’un éclairement
uniforme.
■ Loi d’illumination linéaire
C’est un cas particulier des lois séparables. L’antenne est grande
(en terme de l) dans une dimension et petite dans l’autre dimension. Un cas fréquent est celui d’un alignement à une dimension
d’antennes élémentaires.
Dans les paragraphes 3.1.5 à 3.1.7, nous allons donner les
principaux couples lois d’illumination-diagramme.
■ Rendement d’une loi d’illumination
3.1.5 Lois d’illumination linéaires paires
On définit le rendement d’une loi d’illumination f (x,y ) par :
3.1.5.1 Lois en cosinus puissance n
2
¥
æ ¥
ö
ç
÷
ç Ð¥ Ð¥ f ( x , y ) d x dy ÷
è
ø
h = ----------------------------------------------------------------------------------
ò ò
S
¥
¥
Ð¥
Ð¥
ò ò
■ Intérêt
(25)
( f ( x , y ) )2 d x d y
On a alors pour le gain :
S
G = h 4 p -----l2
(26)
Le rendement h de la loi d’illumination est inférieur ou égal à 1.
E 3 280 - 16
Les lois en « cosinus puissance n » comprennent :
— la loi uniforme, particulièrement importante, car elle a un rendement de 1 ;
— la loi en cosinus (n = 1), qui est la loi naturelle d’illumination
des cornets rectangulaires excités en mode fondamental, dans le
plan H ;
— les autres puissances (n > 1) ont surtout un intérêt pédagogique ; elles montrent que plus la loi d’illumination est adoucie sur les
bords de l’ouverture et plus le niveau des lobes latéraux (et le rendement) est bas.
● Équation de définition
La loi d’illumination est donnée par :
f (x ) = cos (p x ) n
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(28)
___________________________________________________________________________________________________________________________ ANTENNES
avec
x
abscisse réduite (= x /a, a étant la longueur de
l’antenne).
F (u ) (dB)
0
À l’abscisse réduite pour décrire la loi d’illumination :
1
x < --2
1
0 si x > -2
– 10
1 si
x =
– 20
correspond l’angle réduit pour décrire le diagramme :
– 30
a
u = --- u x
l
– 40
ou :
a
u = --- sin ( q )
l
– 50
–3
– 1,5
0
1,5
n=0
ux < 1
n=1
n=2
3
u
Le domaine réel correspond bien sûr à :
n=3
n=4
Figure 26 – Loi en cosinus puissance n : graphe du diagramme
et donc à :
u < --la
■ Principales caractéristiques
On les trouve dans le tableau 1 :
L’angle réduit permet d’obtenir des diagrammes valables quelles
que soient a et l.
■ Choix des paramètres
avec h
N1
q 3dB
rendement partiel,
niveau du premier lobe latéral (dB),
largeur du faisceau (en l/a).
On prend 5 valeurs de n :
0, 1, 2, 3, 4 .
Tableau 1 – Lois en cosinus puissance n.
Principales caractéristiques
■ Graphe de la loi d’illumination
Il est donné par la figure 25.
h
q 3dB
(en l/a)
N1
(dB)
0
1
0,886
- 13,3
1
0,811
1,188
- 23
2
0,667
1,441
- 31,5
3
0,576
1,659
- 39,3
4
0,514
1,853
- 46,7
n
■ Graphe du diagramme
Il est donné par la figure 26.
f (x )
1
On peut rattacher à cette famille, la loi de Hamming, qui est un
cosinus sur piédestal :
0,75
x
f ( x ) = 0,54 + 0,46 cos æè 2 p --- öø
a
0,5
(29)
et dont le diagramme a les caractéristiques suivantes :
q 3dB = 1,3 l/a
0,25
0
–1
n=0
– 0,5
n=1
0
n=2
0,5
n=3
Figure 25 – Loi en cosinus puissance n : graphe de la loi
d’illumination
x
1
N1
= - 42,8 dB
h
= 0,73
3.1.5.2 Lois en gaussienne tronquée
■ Intérêt
n=4
Ces lois sont définies par leur niveau de recoupement sur les
bords. Ce sont de bons modèles pour les antennes utilisant un système focalisant (parabole, lentille) éclairé par une source primaire.
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E 3 280 - 17
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
F (u ) (dB)
f (x )
0
1
– 10
0,75
– 20
0,5
– 30
0,25
– 40
0
– 50
–1
– 0,5
n=1
0
n=2
n=3
0,5
x
n=4
1
n=5
–3
– 1,5
n=1
n=2
La loi d’illumination est donnée par :
n=5
R
(dB)
h
q 3dB
(en l/a)
N1
(dB)
1
- 5
0,974
0,962
- 17
2
- 10
0,915
1,047
- 22
paramètre définissant le recoupement sur les
bords,
3
- 15
0,844
1,137
- 30
4
- 20
0,776
1,232
- 34
abscisse réduite (= x / a, a étant la longueur de
l’antenne).
5
- 25
0,715
1,329
- 38
(30)
■ Choix des paramètres
3.1.5.3 Lois de Taylor
■ Intérêt
On prend 5 valeurs de n :
1, 2, 3, 4, 5
qui correspondent respectivement à des recoupements de :
La loi de Taylor permet de définir une loi d’illumination pour un
niveau donné de lobes latéraux du diagramme de rayonnement.
■ Équation de définition
La loi d’illumination est donnée par :
- 5, - 10, - 15, - 20, - 25 dB.
I0 ( b p 1 Ð 4 x2 )
f ( x ) = ----------------------------------------------I0 (p b)
■ Graphe de la loi d’illumination
Il est donné par la figure 27.
■ Graphe du diagramme
Il est donné par la figure 28, avec l’angle réduit : u = a sin (q )/ l.
■ Principales caractéristiques
Elles sont données dans le tableau 2 :
avec
n=4
n
n
f ( x ) = exp æè Ð -------------- x 2öø
lg ( e )
x
n=3
3
u
Tableau 2 – Lois en gaussienne tronquée.
Principales caractéristiques
■ Équation de définition
n
1,5
Figure 28 – Loi en gaussienne tronquée : graphe du diagramme
Figure 27 – Loi en gaussienne tronquée : graphe de la loi
d’illumination
avec
0
avec
(31)
x
abscisse réduite (= x/a, a étant la longueur de
l’antenne),
b
I0
paramètre lié au niveau du premier lobe latéral,
fonction de Bessel modifiée d’ordre zéro du
premier type.
Le niveau N1 du premier lobe est lié au paramètre b par :
sh ( pb )
N 1 = 20 lg æè -----------------------öø + 13,26
pb
R
niveau de recoupement sur les bords,
■ Choix des paramètres
h
rendement partiel,
Pour illustrer la loi de Taylor, on prend 5 valeurs de niveau du premier lobe :
N1
niveau du premier lobe latéral (dB),
q 3dB
E 3 280 - 18
largeur du faisceau (en l /a).
- 20, - 30, - 40, - 50, - 60 dB
correspondant respectivement à n = 1, 2, 3, 4, 5.
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f (x )
Tableau 3 – Lois de Taylor. Principales caractéristiques
1
0,75
0,5
n
N1
(dB)
b
h
q 3dB
(en l /a)
1
- 20
0,739
0,933
1,023
2
- 30
1,276
0,801
1,199
3
- 40
1,742
0,709
1,348
4
- 50
2,179
0,644
1,482
5
- 60
2,602
0,594
1,601
0,25
0
–1
– 0,5
n=1
n=2
0
0,5
n=3
n=4
x
1
n=5
Figure 29 – Loi de Taylor : graphe de la loi d’illumination
La loi de Taylor est très utilisée pour obtenir des diagrammes
à faibles lobes latéraux.
Il existe aussi une loi de Taylor à 2 paramètres, un tout petit
peu mieux optimisée pour le rendement que la loi précédente,
dans laquelle on peut spécifier le niveau et le nombre des premiers lobes latéraux (tous de même niveau).
3.1.6 Lois d’illumination linéaires impaires
F (u ) (dB)
0
3.1.6.1 Généralités
Les lois impaires sont utilisées dans les antennes destinées à suivre un objectif mobile (radar de poursuite ou de trajectographie,
communication par satellite...). Leur diagramme de rayonnement
est lui-même impair. Dans l’axe de l’antenne, le rayonnement est
nul, mais il croît très rapidement dès que l’on s’éloigne de l’axe. Il
est ainsi possible d’asservir l’antenne (le critère étant de ne recevoir
aucun signal) dans la direction d’une cible éclairée ou d’un émetteur, avec une grande précision angulaire.
– 10
– 20
– 30
Le diagramme est, en coordonnées réduites :
– 40
F (u ) =
– 50
ò
1
--2
1
Ð --2
f ( x ) exp ( Ð j 2 p u x ) d x
Le diagramme, au voisinage de 0, tend vers :
– 60
–3
n=1
– 1,5
0
n=2
1,5
n=3
u
n=4
3
F (u ) = j 2 p u
n=5
Figure 30 – Loi de Taylor : graphe du diagramme
ò
f (x ) x dx
1
--2
ò
■ Graphe du diagramme
figure 30,
1
Ð --2
f (x) x dx
1
Ð --d
2
------- F ( u ) = 2 p ---------------------------------------------------du
1
Il est donné par la figure 29.
la
ò
La pente pour une fonction normalisée est :
■ Graphe de la loi d’illumination
Il est donné par
toujours u = a sin (q ) / l.
1
--2
l’angle
réduit
--2
1
Ð --2
étant
( f ( x ) )2 d x
à j près.
■ Principales caractéristiques
On les trouve dans le tableau 3 :
avec
n
En appliquant l’inégalité de Schwartz, on obtient la pente maximale lorsque la loi impaire est linéaire :
f (x ) = k x
indice,
N1
niveau du premier lobe latéral (dB),
b
coefficient de la loi de Taylor,
h
rendement partiel de la loi d’illumination,
q 3dB
largeur à 3 dB du diagramme (en l /a).
avec
k
constante.
Cette pente maximale, relativement à l’angle réduit u, est :
2 p
p max = ---------12
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E 3 280 - 19
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
Pour une loi impaire quelconque, la pente sera :
f (x )
p = pmax h
1
Le rendement h de la loi impaire (inférieur à 1) étant :
0,5
h =
1
--2
ò
1
Ð --2
f (x) x dx
0
12 ------------------------------------------------------
ò
1
--2
1
Ð --2
( f ( x ) )2 d x
0,5
Les principales caractéristiques du diagramme d’une loi
impaire sont :
— son rendement de pente ;
— le niveau de son lobe latéral le plus élevé ;
— le niveau des deux maximums relativement au champ qui
serait rayonné dans l’axe par une loi uniforme contenant la
même puissance que la loi impaire considérée.
3.1.6.2 Lois impaires simples
0
– 0,5
– 0,25
n=1
0
n=2
0,25
n=3
x
0,5
n=4
Figure 31 – Loi linéaire impaire simple : graphe de la loi
d’illumination
F (u ) (dB)
■ Intérêt
0
Ces lois ont un intérêt pédagogique. La loi optimale du point de
vue de la pente du diagramme sert de référence.
–5
■ Équations de définition
– 10
Dans l’ordre de 1 à 4, les lois d’illumination impaires simples sont
les suivantes :
– 15
– 20
f (x ) = 2x
ü
f ( x ) = sin ( p x ) ï
ï
f ( x ) = sin ( 2 p x ) ý
ï
x
ï
f ( x ) = ------þ
x
avec
x
– 25
(32)
abscisse réduite (= x /a, a étant la longueur de
l’antenne).
– 30
–5
n=1
–4
–3
–2
n=2
–1
0
1
n=3
2
3
u
4
5
n=4
Figure 32 – Loi linéaire impaire simple : graphe du diagramme
■ Choix des paramètres
On prend 4 valeurs de n :
Tableau 4 – Lois impaires simples.
Principales caractéristiques
1, 2, 3, 4
■ Graphe des lois d’illumination
Il est donné par la figure 31.
■ Graphe du diagramme
Il est donné par la figure 32, avec l’angle réduit : u = a sin (q )/ l.
h
N1
(dB)
1
1
- 8
- 2,4
2
0,993
- 10
- 2,2
3
0,78
- 25
- 2,7
4
0,866
- 32
- 2,8
n
dG0
(dB)
■ Principales caractéristiques
On les trouve dans le tableau 4 :
avec
3.1.6.3 Lois impaires en Rayleigh tronqué
h
rendement partiel (pour une loi impaire),
N1
niveau du premier lobe latéral (dB),
dG0
niveau relatif du lobe principal par rapport à une
loi uniforme rayonnant la même puissance (dB).
E 3 280 - 20
■ Intérêt
Ces lois sont définies par leur niveau de recoupement sur les
bords. Ce sont de bons modèles pour les antennes utilisant un système focalisant (parabole, lentille) éclairé pour une source primaire.
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___________________________________________________________________________________________________________________________ ANTENNES
f (x )
1
F (u ) (dB)
0
0,5
– 10
– 20
0
– 30
– 0,5
– 40
–1
– 0,5
n=1
– 0,25
0
n=2
n=3
0,25
x
n=4
0,5
– 50
–5
n=5
Figure 33 – Loi linéaire impaire en Rayleigh tronqué :
graphe de la loi d’illumination
–4
n=1
–3
–2
–1
n=2
0
1
n=3
2
3
u
4
n=4
5
n=5
Figure 34 – Loi linéaire impaire en Rayleigh tronqué :
graphe de la loi d’illumination
Elles correspondent aux lois en gaussienne tronquée utilisées dans
les illuminations paires.
Tableau 5 – Lois impaires en Rayleigh tronqué.
Principales caractéristiques
■ Équation de définition
La loi d’illumination est donnée par :
(33)
n
R
(dB)
h
N1
(dB)
dG0
(dB)
abscisse réduite (= x /a, a étant la longueur de
l’antenne).
1
- 5
0,906
- 18
- 2,3
2
- 10
0,822
- 25
- 2,5
3
- 15
0,742
- 29
- 2,9
4
- 20
0,672
- 36
- 3,3
5
- 25
0,612
- 42
- 2,6
f (x ) = 2,74 b x exp [- 1,382 (b x ) 2 ]
avec
x
Le paramètre b de la loi de Rayleigh est lié au niveau R (en dB) du
recoupement sur les bords par :
1
1
R ( b ) = 20 lg 2,74 b --- exp Ð 1,382 æè b --- öø
2
2
2
(34)
■ Choix des paramètres
On prend 5 valeurs de n :
1, 2, 3, 4, 5
qui correspondent respectivement à des recoupements de :
- 5, - 10, - 15, - 20, - 25 dB.
Les lois impaires de Bayliss, dans laquelle on peut spécifier le
niveau et le nombre des premiers latéraux (tous de même
niveau), permettent d’optimiser les performances des lois
impaires pour un niveau de lobes latéraux donné.
■ Graphe de la loi d’illumination
Il est donné par la figure 33.
3.1.7 Lois d’illumination de révolution
■ Graphe du diagramme
Il est donné par la figure 34, avec l’angle réduit :
u = a sin (q )/ l
■ Principales caractéristiques
On les trouve dans le tableau 5 :
avec
R
niveau de recoupement sur les bords (dB),
h
rendement partiel (pour une loi impaire),
N1
niveau du premier lobe latéral (dB),
dG0
niveau relatif du lobe principal par rapport à une
loi uniforme rayonnant la même puissance (dB).
Les lois d’illumination de révolution (c’est-à-dire à symétrie circulaire) engendrent des diagrammes de révolution. Ce sont les lois
naturelles de toutes les antennes rondes et notamment des antennes à système focalisant rond : paraboloïdes, lentilles... Ce type
d’antenne étant très répandu leur importance est donc très grande.
Les principales caractéristiques du diagramme d’une loi de
révolution sont :
— son rendement (vis-à-vis de l’illumination uniforme) ;
— le niveau de son lobe latéral le plus élevé ;
— la largeur à mi-puissance.
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E 3 280 - 21
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
f (x )
F (u ) (dB)
1
0
– 10
0,75
– 20
– 30
0,5
– 40
0,25
– 50
– 60
0
–1
– 0,5
0
0,5
–3
1
x
– 1,5
n=0
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
Figure 35 – Loi de révolution en gaussienne tronquée :
graphe de la loi d’illumination
■ Intérêt
Ces lois sont définies par leur niveau de recoupement sur les
bords. Ce sont de bons modèles pour les antennes utilisant un système focalisant (parabole, lentille) éclairé par une source primaire.
■ Équation de définition
La loi d’illumination est donnée par :
n
f ( x ) = exp æè Ð -------------- x 2öø
lg ( e )
(35)
n
paramètre définissant le
recoupement sur les bords,
x
abscisse réduite (= x /D, D étant le diamètre de
l’antenne).
niveau
R
■ Choix des paramètres
0, 1, 2, 3, 4, 5
qui correspondent respectivement à des recoupements de :
0 (illumination uniforme), - 5, - 10, - 15, - 20, - 25 dB.
de
n
h
R
(dB)
n=4
n=5
N1
(dB)
q3dB
(dB)
0
0
1
- 17,6
1,03
1
- 5
0,973
- 20,5
1,08
2
- 10
0,902
- 24,4
1,15
3
- 15
0,808
- 30,1
1,22
4
- 20
0,711
- 36,9
1,29
5
- 25
0,621
- 40,3
1,38
3.1.7.2 Lois de Hansen (lois de révolution)
Ces lois sont au lois de révolution ce que sont les lois de Taylor
aux lois linéaires. Elles sont quasi optimales du point de vue rendement, pour un niveau de lobes latéraux donnés.
■ Équation de définition
La loi d’illumination est donnée par :
I0 (p b 1 Ð 4 x 2)
f ( x ) = --------------------------------------------------I0 (p b)
Il est donné par la figure 35.
■ Graphe du diagramme
Il est donné par la figure 36, avec l’angle réduit :
2 I1 (p b)
N 1 = 20 lg æè -------------------------- öø + 17,57
p b
■ Principales caractéristiques
On les trouve dans le tableau 6 :
niveau de recoupement sur les bords (dB),
h
rendement,
N1
niveau du lobe latéral le plus élevé (dB),
q 3dB
largeur du faisceau (en l /D).
(36)
Le niveau N1 du premier lobe latéral est lié au paramètre b par :
u = D sin (q )/ l
E 3 280 - 22
n=3
3
Figure 36 – Loi de révolution en gaussienne tronquée :
graphe du diagramme
■ Graphe de la loi d’illumination
R
n=2
u
■ Intérêt
On prend 6 valeurs de n :
avec
n=1
1,5
Tableau 6 – Lois de révolution en gaussienne tronquée.
Principales caractéristiques
3.1.7.1 Lois de révolution en gaussienne tronquée
avec
0
avec
(37)
x
abscisse réduite (= x / D, D étant le diamètre de
l’antenne),
I0
fonction de Bessel modifiée d’ordre zéro du
premier type,
I1
fonction de Bessel modifiée d’ordre un du
premier type.
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q 3dB
f (x )
1
largeur du faisceau (en l /D).
Il existe aussi une loi de révolution dite de Taylor à 2 paramètres, un tout petit peu mieux optimisée pour le rendement
que la loi précédente, dans laquelle on peut spécifier le niveau
et le nombre des premiers latéraux (tous de même niveau).
0,5
0
Tableau 7 – Lois de révolution de Hansen
n
N1
(dB)
b
h
q 3dB
(en l /D)
1
- 20
0,487
0,979
1,078
2
- 30
1,198
0,759
1,259
3
- 40
1,725
0,596
1,414
0,5
4
- 50
2,203
0,492
1,547
n=5
5
- 60
2,655
0,421
1,667
– 0,5
–1
– 0,5
– 0,25
n=1
n=2
0
0,25
n=3
n=4
x
Figure 37 – Loi de Hansen : graphe de la loi d’illumination
3.1.8 Actions sur la loi de phase
F (u ) (dB)
0
3.1.8.1 Loi de phase linéaire
■ Si on applique une loi de phase linéaire sur l’ouverture, le diagramme se translate.
– 10
Si f (x , y ) a pour transformée de Fourier F (u x , u y ),
– 30
x
alors f ( x , y ) exp æ j 2 p --- u x 0 ö a pour transformée de Fourier
è
ø
l
F ( ux Ð ux 0 , uy ) .
– 40
C’est une conséquence directe des propriétés de la transformée
de Fourier.
– 50
On peut encore dire que, en coordonnées non réduites (x , u ), pour
déplacer le diagramme de du, il faut créer la loi de phase linéaire :
– 20
x
f ( x ) = 2 p --- d u
l
– 60
–3
– 1,5
n=1
0
n=2
n=3
1,5
n=4
u
3
n=5
Figure 38 – Loi de Hansen : graphe du diagramme
En coordonnées réduites (x, u ), pour déplacer le diagramme de
dx, il faut créer la loi de phase linéaire :
f (x ) = 2 p x du
■ Exemple
■ Choix des paramètres
Pour illustrer la loi de Hansen, on prend 5 valeurs de niveau du
premier lobe :
f (x ) = 20 x
Le graphe de la loi d’illumination avec phase linéaire est donné
par la figure 39.
●
- 20, - 30, - 40, - 50, - 60 dB
correspondant respectivement à :
n = 1, 2, 3, 4, 5
■ Graphe de la loi d’illumination
f (x )
1
Il est donné par la figure 37.
■ Graphe du diagramme
Il est donné par la figure 38, avec l’angle réduit :
0
u = D sin (q )/ l
■ Principales caractéristiques
On les trouve dans le tableau 7 :
avec
n
indice,
N1
niveau du premier lobe latéral (dB),
b
coefficient de la loi de Hansen,
h
rendement de la loi d’illumination,
–1
–1
– 0,5
0
0,5
x
1
amplitude (loi de Taylor : 40 dB)
phase linéaire de coefficient 20 (échelle 1/10)
Figure 39 – Loi d’illumination avec phase linéaire : exemple
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E 3 280 - 23
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
f (x )
1
F (u ) (dB)
0
0,8
– 10
0,6
– 20
0,4
– 30
0,2
– 40
0
–1
– 0,5
0
0,5
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
u
5
1
x
– 50
amplitude (loi de Taylor : 40 dB)
0 sur les bords
diagramme d'origine
p /16 sur les bords (échelle 1/p)
avec loi de phase linéaire de (coefficient 20)
p /4 sur les bords
p sur les bords
Figure 40 – Diagramme de rayonnement avec phase linéaire :
exemple
Figure 41 – Loi d’illumination avec phase quadratique : exemple
● Le graphe du diagramme de rayonnement avec phase linéaire
est donné par la figure 40.
F (u ) (dB)
0
Les déphaseurs électroniques permettent de créer, facilement et rapidement, sur l’ouverture n’importe quelle loi linéaire
et, par conséquent, de déplacer aussi rapidement le diagramme
de rayonnement (antennes à « balayage électronique »).
– 10
3.1.8.2 Loi de phase légèrement quadratique
Si on applique sur l’ouverture, une loi de phase légèrement quadratique, alors :
— le gain diminue ;
— le diagramme s’élargit ;
— le niveau des lobes latéraux remonte.
– 20
– 30
■ Illustration
On prend la loi de Taylor avec un niveau de - 40 dB.
● Le graphe de la loi d’illumination avec phase quadratique est
donné par la figure 41.
● Le graphe de rayonnement avec phase quadratique est donné :
— par la figure 42 ;
— ou, encore, en réduisant l’échelle verticale par la figure 43.
■ Conséquence sur l’évasement des cornets
Les cornets rectangulaires ou circulaires sont très utilisés comme
sources primaires des réflecteurs ou encore antennes de gain
moyen. On peut considérer que, à l’intérieur, ils propagent une onde
sphérique centrée sur leur sommet.
Pour que leur gain et leur diagramme soient voisins de l’idéal,
p
l’erreur de phase sur les bords doit être : < --4
E 3 280 - 24
– 40
– 50
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
u
5
diagramme d'origine
p /16 sur les bords
p /4 sur les bords
p sur les bords
Figure 42 – Diagramme de rayonnement avec phase quadratique :
exemple
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F (u ) (dB)
d
0
Antenne
Émetteur
a
– 0,5
Figure 45 – Loi d’illumination avec phase quadratique :
distance de mesure de diagramme
On admet, généralement, qu’il faut une différence de trajet sur les
bords de l’ouverture :
–1
l
d < ----16
sur les bords, ce qui conduit à une distance minimale entre
l’antenne et l’émetteur (figure 45) de :
– 1,5
–1
0
u
1
2
R > 2 a
------l
diagramme d'origine
(38)
p /16 sur les bords
a étant encore la plus grande largeur de l’ouverture de l’antenne.
p /4 sur les bords
Cette distance R, qui correspond à une erreur de phase sur les
p
l
bords de d f = --- , soit une erreur de trajet de d = ------ , est aussi appe16
8
lée distance de Rayleigh : c’est la distance pour laquelle on peut
considérer que le diagramme est voisin du diagramme à l’infini.
p sur les bords
Figure 43 – Diagramme de rayonnement avec phase quadratique :
exemple de la figure 42 en réduisant l’échelle verticale
Il faut noter, comme on peut le voir sur les diagrammes, que cette
distance est insuffisante si l’on veut mesurer des diagrammes à très
faibles lobes latéraux.
a
d
3.1.8.3 Élargissement du diagramme par loi de phase
quadratique
La fonction gaussienne est une fonction propre de la transformée
de Fourier, c’est-à-dire que son diagramme est aussi une fonction
gaussienne.
L
■ Plus précisément, en coordonnées réduites, la loi d’illumination
f ( x ) = exp ( Ð p a x 2 )
Figure 44 – Loi d’illumination avec phase quadratique :
évasement d’un cornet
a pour diagramme
La différence de trajet sur les bords de l’ouverture est alors
(figure 44) :
d < --l8
a2
2 d L = -----4
ou
La longueur du cornet est donc :
2
L > a
-----l
avec
a
la plus grande longueur du cornet,
l
longueur d’onde.
■ Conséquence sur la distance de mesure de diagramme
L’émetteur qui sert à éclairer l’antenne à mesurer est toujours à
une distance finie de celle-ci, il s’ensuit une erreur de phase quadratique sur l’ouverture qui produit une erreur de mesure.
1
p
F ( u ) = ------- exp æè Ð --- u 2 öø
a
a
ou, encore, en posant a = a g ( 1 + j k g ) :
f ( x ) = exp ( Ð p a g x 2 )
exp
( Ð j p kg ag x 2 )
(39)
qui a pour diagramme (à un coefficient près) :
p
1
F ( u ) = A ( k ) exp æè Ð ------ ---------------- u 2 öø
a g 1 + k g2
(40)
Le coefficient kg permet donc de moduler la largeur du diagramme. L’élargissement obtenu est :
m =
1 + k g2
On peut appliquer ce résultat à une loi d’illumination réelle, nulle
en dehors de l’ouverture, si la loi est très dégressive et qu’elle ressemble donc à une loi gaussienne.
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E 3 280 - 25
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
F (u,n) (dB)
F (u,n) (dB)
0
0
– 10
–1
– 20
– 30
–2
– 40
–3
– 50
– 20
– 16
– 12
–8
–4
0
4
8
12
16
u
–6
20
–4
–2
0
2
4
F (u,0)
diagramme d'origine loi de Taylor 40 dB)
F (u,0)
diagramme d'origine (loi de Taylor 40 dB)
F (u,1)
x2
F (u,1)
x2
F (u,2)
x4
F (u,2)
x4
F (u,3)
x8
F (u,3)
x8
Figure 46 – Élargissement par phase quadratique d’un diagramme
de rayonnement
Figure 47 – Élargissement par phase quadratique ; exemple
de la figure 46 avec échelle verticale réduite
Le coefficient ag de la loi gaussienne approchée se fait en égalant
les largeurs à 3 dB des diagrammes :
■ Illustration
p q 3dB
a g = -----------------2 ln ( 2 )
et la loi quadratique à appliquer pour un élargissement souhaité de
m est donc :
exp ( Ð j p a g
m2 Ð 1 x 2 )
■ Illustration
La figure 46 donne, par exemple, les diagrammes élargis par ce
procédé, à partir d’une loi de Taylor 40 dB, dont la largeur à 3 dB est :
du = 1,348
On obtient la figure 47, en réduisant l’échelle verticale.
Sur la figure 47, les sommets des diagrammes ont été ramenés
à 1 pour faciliter la comparaison des largeurs à 3 dB.
3.1.8.4 Diagramme cosécanté
■ Les antennes utilisées dans les radars de contrôle du trafic aérien
ont des diagrammes en site qui sont « cosécantés », c’est-à-dire des
diagrammes élargis suivant une loi en cosécante de l’angle de site,
pour les sites négatifs ; en revanche, le diagramme doit « chuter »
rapidement de façon à réduire les échos de sol.
Une des méthodes pour réaliser ce type de diagramme est
d’appliquer sur une partie de l’ouverture une loi de phase non
linéaire.
E 3 280 - 26
u
6
Dans l’exemple de la figure 48, on a appliqué la loi de phase
exp ( Ð j a g x 2,5 ) pour Ð 0,25 < x < 0,5
le coefficient ag étant caractérisé par la phase (radians) obtenue en
bout de l’ouverture (x = 1/2).
■ Le graphe de rayonnement correspondant est donné figure 49.
3.1.9 Influence des erreurs de phase
Quelle que soit le type de l’antenne, il y a toujours des tolérances
de fabrication qui se traduisent en erreurs de phase et ou d’amplitude qui modifient la loi d’illumination désirée et qui peuvent donc
altérer les qualités de rayonnement souhaitées.
3.1.9.1 Erreurs de phase aléatoires
Les erreurs de phase aléatoires de la loi d’illumination ont pour
conséquence sur le rayonnement de l’antenne :
— une perte de gain ;
— une élévation du niveau de lobes latéraux.
■ La perte de gain est donnée par la formule approximative
suivante :
G
------- = 1 Ð s 2
G0
avec
G
G0
s
gain avec erreurs de phase,
gain sans erreur de phase,
écart-type des erreurs de phase (en radians).
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Électronique
(41)
___________________________________________________________________________________________________________________________ ANTENNES
1
Application numérique : le tableau 8 donne des valeurs pour illustrer cette perte de gain.
0,8
■ Le niveau moyen du « diffus » par rapport au niveau isotrope
des lobes latéraux et, notamment, des lobes lointains (« diffus »)
est donné par la formule approchée suivante :
f (x )
L = p s2
0,6
Application numérique : le tableau 8 donne des valeurs pour illustrer ce niveau des lobes latéraux.
0,4
Tableau 8 – Erreurs de phase aléatoires
0,2
0
–1
– 0,5
0
0,5
1
x
amplitude (loi de Taylor : 30 dB)
phase initiale
p (échelle 1/8 p)
s
(°)
s
(rad)
G/G0
1
0,017
1,000
2
0,035
0,999
4
0,070
8
G/G0
L
L
(dB)
- 0,001
0,001
- 30,2
- 0,005
0,004
- 24,2
0,995
- 0,021
0,015
- 18,1
0,140
0,981
- 0,086
0,061
- 12,1
16
0,279
0,922
- 0,353
0,245
- 6,1
32
0,559
0,688
- 1,624
0,980
- 0,1
(dB)
2p
4p
■ Illustration
8p
Pour illustrer l’influence des erreurs de phase, les figures 50 et 51
donnent des diagrammes correspondants à des erreurs de phase
aléatoire, de moyenne nulle et d’écart-type :
Figure 48 – Loi d’illumination pour diagramme cosécanté
s = 0, 2, 8, 32°
La figure 50 montre la perte de gain et la figure 51 le niveau de
diffus.
F (u,n) (dB)
0
■ Si l’erreur de phase provient d’une erreur de trajet, l’écarttype de l’erreur de phase correspondante est donnée par :
2 p
s = --------- d
l
– 10
d
avec
(42)
écart-type de l’erreur de trajet.
■ Si l’antenne est un réflecteur, l’erreur de trajet est à peu près
égale à 2 fois l’erreur de fabrication.
– 20
3.1.9.2 Erreurs de phase périodiques
Les erreurs de phase périodiques de la loi d’illumination ont pour
conséquence sur le rayonnement de l’antenne l’apparition d’échos
parasites du lobe principal.
– 30
Si l’erreur de phase périodique suivant Ox est donnée par :
x
f ( x ) = e sin æè 2 p ---- öø
T
– 40
–2
0
2
4
6
8
10
12
F (u,0)
diagramme d'origine (loi de Taylor : 30 dB)
F (u,1)
p
F (u,2)
2p
F (u,3)
4p
F (u,4)
8p
14
u
16
avec
e
amplitude de l’erreur de phase périodique (en
radians),
T
période de l’erreur de phase.
Le niveau en amplitude des lobes parasites est alors :
Figure 49 – Diagramme cosécanté
e
p = --2
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E 3 280 - 27
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
dans les directions :
F (u,n) (dB)
l
u x = --T
0
et
l
u x = Ð æè --- öø
T
■ Application numérique : le tableau 9 donne des valeurs de
l’erreur de phase périodique pour illustrer.
– 0,4
– 0,8
Tableau 9 – Erreurs de phase périodiques
– 1,2
e
(°)
e
(rad)
p
1
0,017
0,009
- 41,2
2
0,035
0,017
- 35,2
4
0,070
0,035
- 29,1
8
0,140
0,070
- 23,1
16
0,279
0,140
- 17,1
32
0,559
0,279
- 11,1
– 1,6
–2
–1
– 0,5
F (u,0)
0¡
F (u,1)
2¡
F (u,2)
8¡
F (u,3)
32¡
0
0,5
1
u
p
(dB)
■ Exemple
Pour illustrer l’influence des erreurs de phase périodiques, les
figures 52 et 53 donnent respectivement la loi d’illumination et le
diagramme de rayonnement pour une loi de Taylor 40 dB.
Figure 50 – Diagramme avec erreurs de phase aléatoires :
perte de gain pour un diagramme de Taylor 40 dB
En raison de la fabrication des antennes réseaux par sousréseaux ou des antennes réflecteurs par utilisation de tirants, les
erreurs de fabrication périodiques sont courantes. L’exemple
précédent montre qu’il faut les maîtriser sérieusement sous
peine de voir apparaître des lobes parasites à des niveaux
importants.
F (u ,n) (dB)
0
3.1.10 Influence des erreurs d’amplitude
– 0,4
3.1.10.1 Erreurs d’amplitude aléatoires
L’amplitude de la loi d’illumination peut elle aussi être affectée
d’erreurs dues à la fabrication ou à la technique utilisée. Elle
devient :
– 0,8
f (x ) (1 + e (x ))
– 1,2
avec
– 1,6
f (x )
loi d’illumination théorique,
e (x )
variable aléatoire de moyenne nulle et d’écarttype s.
Les effets sur le diagramme de rayonnement sont semblables aux
effets des erreurs de phase :
— une perte de gain ;
— une élévation du niveau des lobes latéraux.
–2
–1
– 0,5
F (u,0)
0¡
F (u,1)
2¡
F (u,2)
8¡
F (u,3)
32¡
0
0,5
Figure 51 – Diagramme avec erreurs de phase aléatoires :
niveau de diffus pour un diagramme de Taylor 40 dB
E 3 280 - 28
u
1
■ La perte de gain est donnée par la formule approximative suivante :
G
------- = 1 Ð s 2
G0
avec
(43)
G
gain avec erreurs d’amplitude,
G0
gain sans erreur d’amplitude,
s
écart-type des erreurs d’amplitude (en radians).
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Électronique
___________________________________________________________________________________________________________________________ ANTENNES
s
1
0,5
d
0
Loi avec masque
–1
– 0,5
0
0,5
Masque avec
une phase
opposée
1
x
Figure 54 – Loi d’illumination avec masque : elle peut être
considérée comme la somme de deux lois d’illumination
f ( x ) amplitude (Taylor 40 dB)
f(x)
Loi sans masque
phase périodique d'amplitude et de période 0,2
(en coordonnée réduite, c'est-à-dire en fonction
de la largeur a de l'ouverture)
On traite souvent les masques comme s’ils étaient absorbants et
produisaient donc un « trou » dans la loi d’illumination. La loi d’illumination est considérée comme la loi d’illumination théorique additionnée d’une loi d’illumination correspondant au masque et en
opposition de phase (figure 54).
Figure 52 – Loi d’illumination avec phase périodique
■ Perte de gain (illumination uniforme) ; on a :
F (u ) (dB)
0
– pour une loi linéaire :
G =
G0
– 10
1– s
d
2
(44)
– pour une loi de révolution, avec masque
de révolution :
– 20
G =
G0
– 30
avec
– 40
2
1– s
d2
2
G
gain de l’antenne avec masque,
G0
gain de l’antenne sans masque,
s, d
dimensions du masque et de l’ouverture.
Application numérique : pour s /d = 0,1 on trouve respectivement
pour G /G0 :
- 0,92 dB et - 0,09 dB
– 50
– 10
–5
0
5
u
10
Figure 53 – Diagramme de rayonnement avec phase périodique
■ Le niveau moyen du « diffus » par rapport au niveau isotrope
des lobes latéraux et, notamment, des lobes lointains (« diffus »)
est donné par la formule approchée suivante :
L = p s2
Si la loi n’est pas uniforme, le masque, s’il est central, entraîne
des pertes plus importantes.
■ Élévation du niveau des lobes latéraux proches
Dans la région du lobe principal, si s << d, le lobe parasite peut
être regardé comme constant.
● Pour une loi linéaire, si le niveau du premier lobe est I0, il
devient :
3.1.10.2 Erreurs d’amplitude dues à des masques
Un masque est un obtacle situé au voisinage et dans le champ de
l’ouverture d’une antenne, par exemple :
— le réflecteur auxiliaire d’une antenne cassegrain ;
— la source primaire qui éclaire un paraboloïde de révolution ;
— les tirants (supports) qui soutiennent la source primaire ou le
réflecteur auxiliaire ;
— éventuellement, pendant une partie de la rotation d’une
antenne de bateau, la cheminée ou un pylône...
Les masques produisent sur le diagramme de rayonnement :
— une perte de gain ;
— une remontée du niveau des lobes proches ;
— une remontée des lobes diffus due principalement aux effets
de diffraction : celle-ci est difficile à généraliser.
s
I = I 0 + --d
Application numérique : I0 = 0,01 (- 40 dB) et s /d = 0,1 :
I = 0,11 (- 19,2 dB) !!!!!!!
Pour une loi de révolution avec masque de révolution, si le
niveau du premier lobe est I0, il devient :
●
s
I = I 0 + æ --- ö
èd ø
2
Application numérique : I0 = 0,01 (- 40 dB) et s /d = 0,1 :
I = 0,02 (- 34 dB)
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E 3 280 - 29
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___________________________________________________________________________________________________________________________
■ On obtient donc ce résultat fondamental : la loi d’illumination
dans le plan focal (avec les coordonnées X /F et Y /F ), est la transformée de Fourier de la loi d’illumination sur l’ouverture (à un coefficient de phase près).
z
On peut interpréter ce coefficient, en disant que le plan de phase
constante n’est pas le plan focal, mais une sphère tangente à ce plan
et de rayon F.
o
y
m(x,y )
Le point O est appelé foyer, F distance focale (ou focale tout court)
et les dispositifs de ce type, systèmes focalisants.
Ouverture
■ Applications
R(m)
De nombreux dispositifs créent une loi de phase sphérique :
— les lentilles diélectriques ;
— les lentilles utilisant des lignes ;
— les paraboloïdes qui réalisent cette loi par réflexion ;
— les réseaux plans à déphaseurs électroniques.
x
R(M,m)
F
O
Y
C’est une façon très économique de réaliser une grande antenne,
puisqu’il suffit de placer une petite antenne au foyer d’un tel dispositif.
Plan focal
M(X,Y )
Les systèmes focalisants servent aussi à focaliser l’énergie d’une
grande antenne en un point donné.
X
Figure 55 – loi de phase sphérique
■ Tache de diffraction (TF)
3.1.11 Focalisation par une loi de phase sphérique
Considérons la figure 55, caractérisée par deux plans :
— un plan dit d’ouverture sur laquelle la loi d’illumination est
f (x,y ) ;
— un plan dit focal situé à la distance F du précédent.
Lorsque un système focalisant reçoit une onde plane perpendiculaire à son axe, la loi d’illumination créée sur l’ouverture est uniforme.
On obtient alors, dans le plan focal, si l’ouverture est un cercle de
diamètre D, la loi d’illumination absolue, appelée tache de
diffraction :
D rö
J1 æ p
è ---------------l F ø
T ( r ) = 2 ------------------------------p D r
---------------l F
Supposons que l’on réalise, sur le plan de l’ouverture, une loi de
phase sphérique c’est-à-dire une loi telle que :
f ( x , y ) = exp
R (m)
avec
p
j 2 --- R ( m )
l
r = X2 + Y2
La largeur de la tache à 3 dB est :
avec
distance entre les points m et O
L’illumination créée en M par l’élément de surface dx dy sera :
p
M ( X , Y ) = f ( x , y ) exp Ð j 2 --- ( R ( M,m ) Ð R ( m ) ) d x d y
l
R (m) =
avec
(45)
l
d r 3dB = 1,029 ---- F
D
d r0
F 2 + ( X Ð x )2 + ( Y Ð y )2
Si l’on suppose que x, y, X, Y sont toutes des distances plus petites que F, alors on peut appliquer l’approximation :
e
1 + e = 1 + --- + ... ( e < <1 )
2
On obtient :
(48)
La largeur de la tache entre les deux zéros est :
F2 + x2 + y2
R ( M,m ) =
(47)
●
l
= 2,439 ---- F
D
Si l’ouverture est un carré de côté a, on obtient :
p a X
sin æ -----------------ö
è lF ø
T ( X , Y ) = ---------------------------------p a X
---------------l F
p a Yö
sin æ ---------------è lF ø
-----------------------------------p a X
---------------l F
La largeur de la tache à 3 dB est :
X 2 + Y 2 x X + yY
R ( M,m ) Ð R ( m ) = ---------------------- Ð -------------------------F
2×F
et en étendant à toute l’ouverture, dont la plus grande dimension est
supposée bien plus petite que F :
p
+
M ( X , Y ) = exp æ j 2 --- --------------------- ö
è
l
2F ø
X2
Y2
l
d X 3dB = 0,886 ---- F
D
La largeur de la tache entre les deux zéros est :
d X0
l
= 2 ---- F
D
■ Translation de la tache de diffraction
¥
¥
Ð¥
Ð¥
ò ò
f ( x , y ) exp
E 3 280 - 30
X
Y
p
Ð j 2 --- æ x ---- + y ---- ö
l è F
Fø
Si l’onde incidente provient de la direction (ux, uy), elle crée sur
l’ouverture une loi de phase linéaire :
dx dy
(46)
p
f ( x , y ) = 2 --- ( x u x + y u y )
l
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1
z
0,8
2
2
0,6
u
0,4
o
Ouverture
y
0,2
0
– 20
F
x
– 15
0 q 3dB
O
Plan focal
Y
– 10
–5
2 q 3dB
0
4 q 3dB
6 q 3dB
5
X (en l )
8 q 3dB
Figure 57 – Taches de diffraction pour F = 2a
1
X
Figure 56 – Loi de phase sphérique : translation de la tache
de diffraction
0,8
2
2
Il s’ensuivra (propriété de la TF) dans le plan focal, une translation
de la tache de diffraction (figure 56) de :
X
----- = Ð u x
F
Y
---- = Ð u y
F
0,6
0,4
0,2
■ Convolution
Si dans le plan focal on place une antenne de loi d’illumination g,
la puissance recueillie d’une onde plane issue de la direction (ux,uy)
est :
G ( ux , uy ) =
¥
¥
Ð¥
Ð¥
ò ò
0
– 10
0 q 3dB
Y
X
X Y
g æè ---- , ---- öø T æè ---- Ð u x , ---- Ð u y öø dX dY (49)
F
F
F F
C’est la convolution des fonctions g et T.
–8
–6
–4
2 q 3dB
–2
0
2
X (en l )
6 q 3dB
4 q 3dB
8 q 3dB
Figure 58 – Taches de diffraction pour F = a
Distorsions
Si les conditions de grande focale (devant les dimensions de
l’ouverture) n ‘existent pas, la tache de diffraction se déforme, lorsque la direction de l’onde incidente se déplace.
1
Illustrations
Les figures 57, 58 et 59 donnent les taches de diffraction (module
du champ relatif) correspondant aux données suivantes :
— ouverture rectangulaire ;
p
— focalisation cylindrique : f ( x , y ) = exp æ j 2 --- x 2 + F 2 ö
è
ø
l
— dimension de l’ouverture suivant l’axe Ox : a = 20 l
— distances focales respectivement : a /2, a, 2 a
Les taches correspondent à l’arrivée d’ondes planes en provenance des directions (exprimées en largeur à 3 dB de l’ouverture,
l
soit q 3dB = 0,89 --- , soit encore 44,5 mrad ou 2,55°) :
a
0, 2, 4, 6, 8 (q3dB).
■ On voit que les distorsions sont d’autant plus grandes que la
focale est courte (devant l’ouverture), et que la tache s’écarte du
foyer.
0,8
2
2
0,6
0,4
0,2
0
– 10
0 q 3dB
–4
2 q 3dB
–2
0
4 q 3dB
X (en l )
6 q 3dB
2
8 q 3dB
Figure 59 – Taches de diffraction pour F = a /2
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E 3 280 - 31
ANTENNES
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3.2 Réseaux
S (u )
étant le diagramme de la source élémentaire et le
facteur de réseau donné par :
n
R (u ) =
3.2.1 Définition
å ak
exp [ Ð j 2 p ( x k u x + y k u y + z k u z ) ]
(50)
k =1
Beaucoup d’antennes sont constituées d’un ensemble d’antennes
élémentaires réunies par un distributeur, ce sont les réseaux. Ils permettent d’obtenir des lois d’illumination sophistiquées et, surtout,
en associant un déphaseur à chaque source élémentaire, une agilité
de faisceau indispensable à certaines applications (radars multifonctions, satellites de communications à adressage sélectif...).
Il existe une grande variété de réseaux :
ak
avec
excitation de la source numéro k (coefficient
complexe),
xk, yk, zk
coordonnées de la source sk,
ux, uy, uz composantes du vecteur unitaire u.
3.2.3 Réseaux réguliers
— réguliers (les sources ou antennes élémentaires sont disposées avec un pas constant) ou irréguliers :
— linéaires : les sources sont alignées sur une droite ;
— circulaires : les sources sont disposées sur un cercle ;
3.2.3.1 Cas simple
Considérons d’abord un cas simple : des sources à illumination
uniforme, espacées d’un pas p constant.
— surfaciques : les sources sont disposées sur un plan, une
sphère, un cylindre ou autre surface (on emploie aussi le mot
« conformées ») ;
Le diagramme d’une source élémentaire (en coordonnées réduites) est :
— volumiques : les sources sont réparties à l’intérieur d’un
volume (une sphère par exemple).
sin ( p u )
S ( u ) = ------------------------pu
Le facteur de réseau de n (impair) sources est :
3.2.2 Réseaux quelconques
nÐ1
------------2
Dans la plupart des réseaux, les sources élémentaires sont identiques et on peut considérer que leur diagramme est le même (cela,
en toute rigueur, est une approximation car l’environnement des
sources et donc leur diagramme est toujours particulier).
On considère alors, un réseau virtuel, constitué de sources omnidirectionnelles situées exactement à l’emplacement des sources
réelles et alimentées avec le même distributeur que le réseau réel
(figure 60). On appelle facteur de réseau le diagramme de ce réseau
virtuel.
å
exp ( Ð j 2 p k p u )
nÐ1
k = Ð ------------2
d’où l’on tire, par la relation :
qn Ð 1
1 + q + q 2 + ... + q n Ð 1 = ---------------qÐ1
le diagramme du réseau :
La loi fondamentale des réseaux est la suivante : le diagramme
d’un réseau est le produit du diagramme de la source élémentaire
par le facteur de réseau.
np
sin æ 2 p u ------- ö
è
2 ø
F ( u ) = ------------------------------------------- S ( u )
p
sin æ 2 p u --- ö
è
2ø
Le diagramme du réseau est :
(51)
Les figures 61 et 62 montrent respectivement la loi d’illumination
et le diagramme pour un pas de p = 3 et pour 5 sources.
F (u ) = S (u ) R (u )
On observe que le diagramme de la figure 62 :
Diagramme
d'une source
élémentaire
— comporte des lobes tous les d u = 1
--- ;
3
z
s3
f (x )
s1
1
s2
0,5
O
s4
y
0
–9
x
Figure 60 – Facteur de réseau
E 3 280 - 32
–6
–3
0
3
6
x
9
Figure 61 – Loi d’illumination pour un réseau régulier de 5 sources
et un pas p = 3
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1
Diagramme de e (x )
Diagramme de s (x)
0,5
0
l /a
–2
– 1,5
–1
– 0,5
0
0,5
1
1,5
u
2
ux
Figure 64 – Diagramme de rayonnement pour un réseau régulier
dans le cas général
F (u )
diagramme du réseau
n
S (u ) diagramme d'une source élémentaire
R (u )
facteur de réseau
n
y
u1
Figure 62 – Diagramme de rayonnement pour un réseau régulier
de 5 sources et un pas p = 3
u2
l
2l
O
e (x )
s (x )
x
p
Figure 65 – Lobe de réseau : constitution
a
x
Figure 63 – Loi d’illumination pour un réseau régulier dans le cas
général
La condition d’absence de lobes de réseaux, si les sources sont
toutes en phase est que :
p < l
— l’enveloppe de ces lobes est le diagramme d’une source élémentaire ;
— chaque lobe correspond au diagramme d’une illumination uniforme de dimension :
avec
La loi d’illumination (figure 63) est constituée de la répétition
d’une loi élémentaire s (x ) répétée tous les a et multipliés par une
enveloppe e (x ).
pas de réseau.
p
f ( x ) = 2 --- x u x
l
d = 4 p + 1 = 13
3.2.3.2 Cas général (coordonnées non réduites)
p
Si on applique sur les sources une loi de phase linéaire :
tout le peigne de lobes se translate alors de ux ; la condition
d’absence de lobes dans le domaine réel, qui implique - 1 < ux < 1,
--l- > 1 + u x
s’écrit :
p
ou, encore, si le balayage a lieu dans le seul plan du réseau :
Le diagramme (figure 64) est alors constitué de lobes de réseaux
espacés de l /a ; suivant la coordonnée angulaire ux, chaque lobe de
réseau est le diagramme de e (x ), et l’enveloppe des lobes de
réseaux est le diagramme de la source élémentaire s (x ).
qmax
3.2.3.3 Explication simple des lobes de réseaux
On en déduit que, si le pas est plus petit ou égal à la demi-longueur d’onde, il n’y a jamais de lobes de réseaux (figure 66).
Si l’on suppose que toutes les sources émettent en phase dans la
direction normale au réseau engendrant alors un lobe principal dans
cette direction, elles émettront aussi en phase dans la direction u
telle que la différence de chemin entre deux sources consécutives
soit l, puis 2 l, etc. (figure 65), engendrant d’autres lobes pondérés
par le diagramme de la source élémentaire.
3.2.3.4 Condition pour l’absence de lobes de réseaux
Les lobes de réseaux sont généralement indésirables parce qu’ils
entraînent une perte de gain dans le lobe principal et qu’ils sont
cause d’ambiguïtés (on ne sait pas par quel lobe, le signal est entré).
l
--- > 1 + sin ( q max )
p
étant l’angle de balayage maximal du réseau.
3.2.3.5 Effets des couplages
Le diagramme d’une source élémentaire en présence de voisines
très proches peut différer de beaucoup du diagramme d’une source
seule. Si l’on raisonne à l’émission, l’excitation d’une source
entraîne par « couplage » une certaine excitation des voisines qui
recueillent une partie de l’énergie émise et qui en rerayonnent une
autre partie entraînant une modification du diagramme et une
réflexion vers l’entrée du réseau.
Dans des cas extrêmes, pour des sources très couplées, on peut
obtenir, pour certaines directions un gain nul (blind effect).
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E 3 280 - 33
y,z zy,
{|zy, |zy
,{
ANTENNES
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sin (qmax )
— une perte de gain ;
— l’apparition d’un diffus ;
— éventuellement, l’apparition, pour certaines directions de pointages, d’un lobe parasite élevé appelé « lobe de quantification » et
dû à des erreurs de phase périodiques ;
— une déviation de l’axe du faisceau qui peut être gênante dans
les antennes de poursuite.
Domaine réel
–1
+1
l
a
Les effets de la quantification sur le diagramme sont :
ux
Figure 66 – Lobe de réseau : condition d‘absence
Ces défauts sont liés au nombre de bits des déphaseurs, par les
relations approchées suivantes (démontrées dans la bibliographie
[15], N étant le nombre de sources du réseau :
— s écart-type de l’erreur de phase due à la quantification :
d f2
s 2 = -----------12
(52)
14
d G dB = Ð --------22p
(53)
3.2.3.6 Effets des déphaseurs sur le diagramme
Les antennes à balayage électroniques utilisent généralement des
déphaseurs quantifiés, c‘est-à-dire des déphaseurs qui ne peuvent
prendre qu’un nombre limité d’états de phases. En conséquence
une loi de phase linéaire, nécessaire pour faire pointer le faisceau
dans une direction donnée, est seulement approchée par les déphaseurs et donc, un certain nombre de défauts apparaîtront sur le diagramme.
Le nombre d’état de phases possibles s’exprime par le nombre de
bits du déphaseur :
— la perte de gain :
— le niveau moyen du diffus normalisé par rapport au niveau
dans l’axe :
ne = 2p
s2
L = ------N
360
d f = ---------ne
avec
(54)
— le niveau moyen du diffus, en dB, relativement au gain maximal :
p
nombre de bits du déphaseur,
df
quantum de phase.
LdB = - (10 lg (N ) + 6 p - 5)
Le tableau 10 donne les états de phase possibles pour 2, 3 et
4 bits.
(55)
— le niveau du lobe de quantification, en dB, relativement au gain
maximal :
HdB = - 20 lg (22p - 1)
Tableau 10 – États de phase possibles en fonction
du nombre de bits des déphaseurs
p
2
3
4
ne
4
8
16
df
(°)
90,00
45,00
22,50
1
0,00
0,00
0,00
2
90,00
45,00
22,50
3
180,00
90,00
45,00
4
270,00
135,00
67,50
5
180,00
90,00
6
225,00
112,50
7
270,00
135,00
8
315,00
157,50
9
180,00
10
202,50
11
225,00
(56)
— l’écart-type de la déviation d’axe, en fraction de largeur du
faisceau à 3 dB :
sq
p
------------ = ------------------q 3dB
2p 3 N
(57)
Le tableau 11 donne un exemple de l’influence du déphaseur sur
le diagramme, sq , LdB étant calculés pour N = 100 sources.
Tableau 11 – Déphaseur : influence sur le diagramme
de rayonnement
p
2
3
4
5
ne
4
8
16
32
df
(°)
90,00
45,00
22,50
11,25
25,98
12,99
6,50
3,25
0,45
0,23
0,11
0,06
- 0,88
- 0,22
- 0,05
- 0,01
- 27,00
- 33,00
- 39,00
- 45,00
s (°)
s (rad)
12
247,50
13
270,00
d GdB (dB)
14
292,50
LdB (dB)
15
315,00
LdB (dB)
- 24,08
- 36,12
- 48,16
- 60,21
16
337,50
sq (q 3dB)
- 0,045
- 0,023
0,011
0,006
E 3 280 - 34
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z
z
u
,
M
q
I
I (z )
,
O
O
Dipôle << l
E
r
,
z
I (z )
Dipôle l /2
Figure 68 – Dipôle : distributions de courant
90
120
y
O
60
0,5
30
150
Figure 67 – Dipôle : principe
0
180
3.3 Petites antennes remarquables
Dans le présent article qui traite des aspects théoriques, on va
considérer seulement le dipôle et le petit élément d’onde plane qui
sont représentatifs des autres éléments :
— le dipôle représente les petites antennes où il est commode de
considérer le courant ;
— l’élément d’onde plane représente les petites antennes, où il
est commode de considérer une distribution de champ électromagnétique.
f 2( q ) : dipôle l /2
Figure 69 – Dipôle : diagramme de rayonnement
— pour un dipôle l /2 :
avec
Considérons, la figure 67. Un fil conducteur de longueur , est
parcouru par un courant I . Le courant I rayonne un champ électromagnétique dans tout l’espace. Par raison de symétrie, le champ
rayonné est de révolution autour de l’axe Oz.
On a, pour amplitude du champ électrique E au point M :
sin ( q )
E ( q ) = j 60 p ----------------rl
ò
1
--2
1
Ð --2
I ( z ) exp
Ðj 2 p
------------------ r ( z ) d z
l
(58)
Ðj 2 p
------------------ r ( z ) f 2 ( q )
l
(60)
f1 (q ) = sin (q)
p
cos æ --- cos ( q )ö
è2
ø
f 2 ( q ) = ---------------------------------------------sin ( q )
■ Les fonctions d’illumination sont représentées figure 69 pour ces
deux dipôles.
■ Par intégration des diagrammes sur la sphère, on trouve que le
gain :
— d’un dipôle < < l /2 est 1,5 (soit 1,75 dB),
— d’un dipôle l /2 est 1,64 (soit 2,15 dB).
3.3.2 Petit élément d’onde plane
q
angle Ou, Oz,
r
distance OM,
I(z )
courant sur le fil conducteur au point de
coordonnée z.
■ Les distributions de courant I(z ) (figure 68) sont triangulaires
pour un dipôle très petit devant l et en cosinus pour un dipôle l /2
(les dipôles sont supposés alimentés au centre).
On obtient alors :
— pour un petit dipôle :
j 60
E ( q ) = ---------- I 0 exp
r
300
270
q
f 1( q ) : dipôle << l
j 60
E ( q ) = ---------- I 0 exp
r
À grande distance (devant la longueur , du fil), dans une direction
u caractérisée par l’angle q, le champ électrique rayonné est perpendiculaire à la direction u et contenu dans le plan (Oz, Ou). Le champ
magnétique est tel que le trièdre E, H, u est trirectangle.
2
2
240
3.3.1 Dipôle
avec
330
210
On verra, dans l’article E 3 284 Les techniques d’antennes, qu’il y
a une grande quantité de sortes de petites antennes.
0
Ðj 2 p
------------------ r ( z ) f 1 ( q )
l
Soit un élément d’onde plane tel que dans la figure 70, dont les
dimensions dx, dy sont << l.
Les formules de Kottler donnent le champ rayonné au loin par
une surface sur laquelle on connaît les composantes tangentielles
du champ électrique et du champ magnétique :
p
j exp æ Ð j 2 --- R ö
è
l ø
E ( P ) = ----------------------------------------2 lR
òò
u ´ (E (O) ´ n) +
m
--- ( H ( O ) ´ n ) N dx dy
e
(61)
(59)
P
point lointain, dans la direction u ;
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E 3 280 - 35
ANTENNES
___________________________________________________________________________________________________________________________
z
z
uz
u
uz
u
q
H
O
uy
ux
x
y
O
E
E
ux
x
Figure 70 – Élément d’onde plane : principe
Les flèches sur la circonférence donnent la direction
du champ électrique pour quelques valeurs de u
n
vecteur unitaire normal à la surface ;
E (O), H (O)
champs électrique et magnétique au point O ;
R
distance OM ;
N
désigne la composante normale au vecteur u.
Figure 71 – Élément d’onde plane : polarisation dans le plan E
90
Si l’on suppose que, sur dx dy, le champ électromagnétique a une
structure d’onde plane, on trouve :
p
j exp æ Ð j 2 --- R ö
è
l ø
E ( P ) = ------------------------------------------------ d x d y E ( O ) v ( u )
2 lR
avec
v ( u ) = x ( 1 + u z Ð u x2 ) Ð y u x u y + z u x ( 1 Ð u z )
u
vecteur unitaire de composantes ux, uy, uz ;
x, y, z
vecteurs unitaires ;
E(P)
champ électrique au point P ;
v
vecteur représentant la polarisation du champ
électrique au point P.
120
60
150
180
(62)
30
0,5
0
210
0
330
2
2
240
300
270
q
r (q )
Figure 72 – Élément d’onde plane : diagramme dans le plan E
On trouve facilement que :
v ( u ) = 1 + uz
c’est-à-dire que le module du diagramme de rayonnement est de
révolution par rapport à la normale ne dépendant que de l’angle q
fait entre u et Oz :
z
1 + sin ( q )
F ( q ) = --------------------------2
dont on déduit, par intégration, que le gain d’une telle antenne est
égal à 3 (soit 4,77 dB).
u
uz
q
O
H
uy
y
On va analyser cette expression quand au vecteur polarisation,
dans les deux plans principaux xOz et yOz.
La polarisation est donnée, dans le plan x Oz, par la figure 71
et le diagramme normalisé à 1 (figure 72) est :
Figure 73 – Élément d’onde plane : polarisation dans le plan H
1 + cos ( q )
r ( q ) = ----------------------------2
Dans le plan x Oz, la polarisation est toujours perpendiculaire au
plan z Oy, et donc colinéaire au vecteur x. Le diagramme de rayonnement (figure 73) est encore :
1 + cos ( q )
r ( q ) = ------------------------------2
E 3 280 - 36
4. Annexe. Rappels sur la
transformée de Fourier
Le lecteur pourra utilement se reporter aux articles [16] et [17].
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■ Intérêt
(répétition, tous les T, d’une fonction u (t ))
La transformée de Fourier est un outil fondamental en antennes,
puisqu’elle relie la loi d’illumination sur l’ouverture au diagramme
de rayonnement. C’est aussi bien un outil d’analyse d’une structure
donnée qu’un outil de conception.
Un autre intérêt est qu’elle permet de faire bénéficier, aux antennes de tous les algorithmes de la théorie du signal.
■ Relations fondamentales
● Entre temps et fréquence (signal), on a :
— pour le spectre fonction de la fréquence f :
ò
U (f ) =
¥
Ð¥
u ( t ) exp ( Ð 2 p j f t ) d t
●
(peigne de raies, tous les F, ayant pour enveloppe U (f )).
● La fonction de Gauss a pour transformée une fonction de
Gauss :
f (t ) = exp (- p t 2)
F (f ) = exp (- p f 2)
La fonction de Gauss est une fonction propre de la transformée de
Fourier.
ò
¥
Ð¥
●
Les sinc (t ) décalés forment une famille de fonctions orthogona-
les :
F ( f ) exp ( 2 p j f t ) d t
ò
En coordonnées naturelles :
— le diagramme fonction de ux est donné par :
ò
¥
ò
ò
●
ò
¥
¥
Ð¥
et la loi d’illumination par :
x
f æè --- öø =
l
ò
Ð¥
ò
●
ò
¥
( U ( f ) )2 d f
Ð¥
Linéarité
Au+Bv ® AU+BV
f ( x ) exp ( Ð 2 p j x u ) d x
¥
Ð¥
( u ( t ) )2 d t =
■ Opérations formelles
avec
et la loi d’illumination par :
f (x ) =
¥
Ð¥
En coordonnées réduites :
— le diagramme est donné par :
¥
sin c ( t ) 2 d t = 1
sin c ( t Ð m ) sin c ( t Ð n ) d t = 1, m = n
1, m ¹ n
ò
Les coordonnées sont x / l et ux.
F (u ) =
¥
Conservation de l’énergie :
x
F ( u x ) exp æè 2 p j --- u x öø d u x
l
Ð¥
sin c ( t ) d t = 1
Ð¥
x
x
x
f æè --- öø exp æè Ð 2 p j --- u x öø d --l
l
l
Ð¥
¥
Ð¥
Entre loi d’illumination et fréquence (antenne)
F ( ux ) =
U ( n F ) d ( f Ðn F )
n = Х
■ Relations remarquables
— pour le signal fonction du temps t :
u (t ) =
¥
å
comb F U ( f ) =
A, B
constantes,
u, v
fonctions de t,
●
U, V
TF de u et v.
Rotation de p
●
Conjugaison
F ( u ) exp ( 2 p j x u ) d u
Les coordonnées sont x = x /a (a étant l’ouverture de l’antenne) et
u = a ux / l.
■ Fonctions fondamentales
● La fonction rectangulaire a pour transformée la fonction sinus
cardinal :
rect ( t ) =
1
1, t < --2
1
0, t > --2
sin ( p f )
sin c ( f ) = ------------------------pf
u (- t ) ® U (- f )
-----------u (t )
●
¥
å
n = Х
u (t Ð n T )
Différentiation
d
------ u ( t ) = 2 p j f U ( f )
dt
●
Décalage
●
Contraction
u (t - t ) ® U (f ) exp (- 2 p j f t )
● La fonction répétition a pour transformée la fonction peigne
(Comb) :
rep T u ( t ) =
--------------------® U
(Ð f )
1
t
u æè ------ öø ® ------- U ( f T )
T
T
●
Loi de phase linéaire
u (t) exp (- 2 p j f t ) ® U (f - f )
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ANTENNES
●
___________________________________________________________________________________________________________________________
Convolution
La TF d’un produit de convolution de deux fonctions est le produit
des TF des deux fonctions :
avec
g(t) =
ò
¥
u ( t ) v ( t Ð t ) dt
Ð¥
u*v ® U V
u*v = g (t )
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