Table of Laplace and Z-transforms
X(s)
x(t)
1.
–
–
2.
–
–
3.
4.
1
s
1
s+a
x(kT) or x(k)
1(t)
1(k)
e-at
e-akT
5.
1
s2
t
kT
6.
2
s3
t2
(kT)2
7.
6
s4
t3
(kT)3
8.
a
s (s + a )
1 – e-at
1 – e-akT
9.
b−a
(s + a )(s + b )
e-at – e-bt
e-akT – e-bkT
te-at
kTe-akT
(1 – at)e-at
(1 – akT)e-akT
t2e-at
(kT)2e-akT
10.
11.
12.
(s + a )
2
(s + a )2
Tz −1
(1 − z )
T z (1 + z )
(1 − z )
T z (1 + 4 z + z )
(1 − z )
(1 − e )z
(1 − z )(1 − e z )
(e − e )z
(1 − e z )(1 − e z )
−1 2
−1
(s + a )
3
−1
−1
akT – 1 + e-akT
14.
ω
s +ω 2
sin ωt
sin ωkT
15.
s
s +ω 2
cos ωt
cos ωkT
2
e-at sin ωt
e-akT sin ωkT
2
e-at cos ωt
e-akT cos ωkT
2
2
ω
s+a
17.
(s + a )
18.
–
–
ak
19.
–
–
ak-1
k = 1, 2, 3, …
20.
–
–
kak-1
21.
–
–
k2ak-1
22.
–
–
k3ak-1
− aT
−1
–
–
k4ak-1
24.
–
–
ak cos kπ
x(t) = 0
for t < 0
x(kT) = x(k) = 0 for k < 0
Unless otherwise noted, k = 0, 1, 2, 3, …
−1
− bT
−1
−1
−bT
Te − aT z −1
(1 − e
− aT
z −1
−1
)
2
1 − (1 + aT )e − aT z −1
(1 − e z )
T e (1 + e z )z
(1 − e z )
[(aT − 1 + e )+ (1 − e − aTe )z ]z
(1 − z ) (1 − e z )
−1 2
− aT
− aT
− aT
−1
−1
−1 3
− aT
− aT
−1 2
− aT
− aT
−1
−1
z −1 sin ωT
1 − 2 z −1 cos ωT + z − 2
1 − z −1 cos ωT
1 − 2 z −1 cos ωT + z − 2
e − aT z −1 sin ωT
1 − 2e − aT z −1 cos ωT + e − 2 aT z − 2
1 − e − aT z −1 cos ωT
1 − 2e z −1 cos ωT + e − 2 aT z − 2
1
1 − az −1
z −1
1 − az −1
− aT
z −1
(1 − az )
z (1 + az )
(1 − az )
−1 2
−1
23.
−2
− aT
− aT
at – 1 + e-at
+ω
−1
−1 4
− aT
a2
2
s (s + a )
+ω
−1
−1 3
2
2
2
1
1 − z −1
1
1 − e − aT z −1
− aT
s
(s + a )
z-k
3
1
2
1
2
13.
16.
X(z)
Kronecker delta δ0(k)
1
k=0
0
k≠0
δ0(n-k)
1
n=k
0
n≠k
−1
−1 3
(
z −1 1 + 4az −1 + a 2 z −2
(1 − az )
)
−1 4
(
z −1 1 + 11az −1 + 11a 2 z −2 + a 3 z −3
(1 − az )
−1 5
1
1 + az −1
)
−1